Podstawowe zastosowania wzmacniaczy
operacyjnych.
Układ całkujący i różniczkujący
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest praktyczne poznanie układów ze wzmacniaczami operacyjnymi
stosownych do liniowego przekształcania sygnałów. Zakres ćwiczenia obejmuje projektowanie i
pomiary podstawowych parametrów układu całkującego i różniczkującego.
Na montaż i pomiary układu przeznaczono trzy godziny lekcyjne (135minut).
2. Opis badanego układu
W ćwiczeniu bada się właściwości układu całkującego lub różniczkującego. Układy te,
zbudowane z wykorzystaniem wzmacniaczy operacyjnych, omówiono w kolejnych
podpunktach.
2.1.
Układ całkujący (integrator)
Układ całkujący realizuje funkcję:
U WY teoret (t ) = k ∫ U WE (t )dt
(1)
Napięcie wyjściowe UWY rzeczywistego układu całkującego różni się od UWYteoret
o błąd całkowania.
Przy pobudzeniu sinusoidalnym (rys.1) błąd ten jest zdefiniowany jako:
a)
błąd amplitudy:
– względny
∆U = U WYteoret (t ) − U WY (t )
(2)
– bezwzględny
δ=
∆U
U WYteoret (t )
100%
(3)
b) błąd fazy:
∆ϕ = arg[U WYteoret (t )] − arg[U WY (t )]
(4)
U W E (t)
U W Y (t)
U W Y teo re t (t)
∆ U (t )
U W Y (t)
t
[s]
t
[s]
∆ϕ
Rys.1. Interpretacja graficzna błędów całkowania przy pobudzeniu sinusoidalnym
Schemat idealnego układu całkującego pokazano na rys.2.
Analizując układ w dziedzinie czasu można zapisać, że prąd
I WE =
IC = C
dUWY (t )
natomiast prąd
dt
U WE (t )
. Ponieważ (I prawo Kirchhoffa):
R
IWE + I C =
U WE (t )
dU WY (t )
+C
=0
R
dt
(5)
stąd:
U WY (t ) = −
1
U WE (t )dt
RC ∫
(6)
Transmitancję idealnego układu całkującego opisuje wyrażenie:
K U ( jω ) = −
a)
1
jωRC
(7)
b)
KU
C
charakterystyka
idealnego
integratora
IC
IWE
R
-
RG
+
UWE
U WY
R o bc
− 20 dB / dek
EG
ω
Rys.2. Podstawowy układ całkujący: a) schemat; b) charakterystyka Ku(ω) w skalach
logarytmicznych (w skali logarytmiczno-logarytmicznej).
W układzie z rys. 2 nie ma sprzężenia dla prądu stałego, co w praktyce oznacza nasycanie
się wzmacniacza operacyjnego. Dlatego wprowadzono dodatkowy rezystor R1 (Rys.3). Układ
taki nosi nazwę integratora stratnego.
a)
b)
KU
charakterystyka
wzmacniacza
operacyjnego
C
KUR
R1
-K
UR
RG
+
UWE
EG
charakterystyka
integratora
stratnego
R1
R
R
UWY
Robc
Rd
2π f
2πf p1
1
R1C
1
RC
p 1
ω
Rys.3.Układ całkujący stratny: a) schemat; b) charakterystyka Ku(ω) – skale logarytmiczne; KUR
wzmocnienie napięciowe wzmacniacza operacyjnego, fp1 górna częstotliwość graniczna
wzmacniacza operacyjnego
Rezystor
Rd
w
układzie
z
Rys.3
stosowany
jest
w
celu
zminimalizowania
błędu
niezrównoważenia,
Rd =
(RG + R )R1
(8)
RG + R + R1
gdzie RG jest rezystancją wewnętrzną generatora (50Ω dla generatorów w laboratorium).
Transmitancję układu z Rys. 3 opisuje zależność:
K U ( jω ) = −
R1
1
R 1 + jωR1C
(9)
Jak wynika z przebiegu charakterystyki tego układu (rys.3) poprawne całkowanie następuje dla
pulsacji ω (nachylenie –20dB/dek):
1
<< ω << 2πK UR f p1
R1C
(10)
co, dla przebiegów sinusoidalnych, odpowiada w dziedzinie czasu warunkowi:
1
K UR f p1
<< T << 2πR1C
(11)
2.1.1. Projektowanie w dziedzinie czasu stratnego układu całkującego
Na wejście układu podajemy sygnał prostokątny o wartości międzyszczytowej UWEpp
=2UWEm i częstotliwości f=1/T, otrzymując na wyjściu sygnał trójkątny – rys. 4. Zmiana fazy
sygnału wyjściowego wynika ze wzoru (6).
UWE
[V]
UWYm
UWEm
UWY
[V]
nachylenie
-UWEm /RC
0
0
t[s]
t[s]
-UWEm
T
-UWYm
T
Rys.4. Pobudzenie prostokątne i odpowiedź na nie układu całkującego
Dla 0≤t≤T/2 opadające zbocze sygnału trójkątnego opisane jest funkcją:
U WY (t ) = −
U WEm t
+ U WYm
RC 2
(12)
Dla t=T/2, na podstawie rys.4 otrzymujemy:
U WYm =
U WEm T
RC 4
(13)
Projektując integrator stratny dobieramy najpierw wartości R i C, a następnie z warunku na
poprawne całkowanie (zal. 11), rezystor R1.
Przykład projektowy
Zadanie
Zaprojektować integrator stratny, który będzie realizował funkcję całkowania sygnału
prostokątnego o napięciach ±UWEm = 1V i okresie T = 1ms na sygnał trójkątny o napięciach
±UWYm = 1,6V.
Rozwiązanie
zakładamy R = 10kΩ,
dla założonego R dobieramy wartość C (zal. 13):
C=
U WEmT
0,001
=
≈ 15nF
4U WYm ⋅ R 4 ⋅ 1,6 ⋅ 10k
z warunku (11) na poprawne całkowanie dobieramy R1:
R1 >>
T
1m
=
= 10615
2πC 2π 15n
przyjmujemy R1 wielokrotnie większy np. ⇒ R1 = 620kΩ
2.2.
Układu różniczkujący
Idealny układ różniczkujący realizuje funkcję:
U WYteoret (t ) = k
dU WE (t )
dt
(14)
Napięcie wyjściowe rzeczywistego układu różniczkującego różni się od UWYteoret o błąd
różniczkowania. W przypadku pobudzenia sinusoidalnego (rys.5) błąd ten jest zdefiniowany
podobnie jak dla integratora i słuszne są zależności (2) – (4).
UWE(t)
UWY(t)
UWYteoret(t)
∆U
UWY(t)
t
[s]
t
[s]
∆ϕ
Rys.5. Interpretacja graficzna błędów różniczkowania
Podstawowy układ różniczkujący przedstawiono na rysunku 6.
Analizując układ w dziedzinie czasu możemy zapisać, że prąd
I WE = C
IR =
U WY (t )
natomiast prąd
R
dU WE (t )
. Ponieważ (I prawo Kirchhoffa):
dt
IWE + I C = C
dU WE (t ) U WY (t )
+
=0
dt
R
(15)
Stąd:
dU WE (t )
dt
(16)
K U ( jω ) = − jωRC
(17)
U WY (t ) = − RC
Transmitancję układu z rys. 6 opisuje funkcja:
a)
b)
KU
R
IWE
RG
C
charakterystyka
idealna
IR
-
+ 20 dB / dek
+
UWE
UWY
Robc
EG
ω
Rys.6. Podstawowy układ różniczkujący: a) schemat; b) charakterystyka KU (ω) w skalach
logarytmicznych
Układ realizuje funkcję różniczkowania
charakterystyki KU(ω) wynosi +20dB/dek.
przy
pulsacjach
przy
których
nachylenie
Podstawowy układ różniczkujący ma wiele wad: skłonność do oscylacji, spadek wzmocnienia
dla wyższych częstotliwości związany z charakterystyką częstotliwościową WO, bardzo małą
impedancję wejściowa przy wielkich częstotliwościach, duże wejściowe napięcie szumów
własnych. Wady te można zmniejszyć wprowadzając do układu dodatkowy rezystor R1.
Schemat zmodyfikowanego układ różniczkującego przedstawiono na rys. 7.
a)
b)
KU
charakterystyka
wzmacniacza
operacyjnego
KUR
R
charakterystyka
idealna
R1
C
-K
R
R1
UR
RG
+
UWE
EG
UWY
charakterystyka
rzeczywista
Robc
Rd
1
R1C
1
RC
ω
Rys.7. Zmodyfikowany układ różniczkujący: a)schemat; b) charakterystyka Ku(ω) w skalach
logarytmicznych
Rezystor Rd stosowany jest w celu zminimalizowania błędu niezrównoważenia,
Rd = R
.
(18)
Transmitancję układu określa zależność:
K U ( jω ) = −
jωRC
1 + jωCR1
.
(19)
Jak wynika z przebiegu charakterystyki tego układu (rys.7) różniczkowanie sygnałów
sinusoidalnych następuje przy pulsacjach ω:
ω <<
1
R1C
,
(20)
co odpowiada w dziedzinie czasu warunkowi:
T >> 2πR1C
.
(21)
2.2.1. Projektowanie zmodyfikowanego układu w dziedzinie czasu
Podając ma wejście układu różniczkującego z rys.7 sygnał trójkątny o wartości
międzyszczytowej UWEpp=2UWEm i częstotliwości f, na wyjściu układu otrzymamy sygnał
prostokątny o wartości międzyszczytowej UWYpp=2UWYm – rys.8.
Dla 0≤t≤T/2 sygnał wejściowy opisuje wyrażenie:
U WE (t ) =
2U WEm
t − U WEm
T
2
Stąd, na podstawie wyrażenia (16) i rys. 8, dla t=T/2, otrzymujemy:
(22)
U WYm = RC
UWE
[V]
2U WEm
4U
= RC WEm
T
T
2
(23)
UWY
[V]
T
UWYm
UWEm
0
0
t[s]
-UWEm
t[s]
-UWYm
T
Rys.8. Pobudzenie i odpowiedź układu różniczkującego
Projektując rzeczywisty układ różniczkujący dobieramy najpierw wartości R i C, a następnie
z warunku na poprawne różniczkowanie (21) rezystor R1.
Przykład projektowy
Zadanie Zaprojektować układ różniczkujący, który będzie realizował funkcję różniczkowania
sygnału trójkątnego o napięciach ±UWEm = 1,6V i okresie T = 1ms na sygnał prostokątny o
napięciach ±UWYm = 1V.
Rozwiązanie
Zakładamy R = 10kΩ.
Dla założonego R dobieramy wartość C (zal. 23):
C=
U WYm
1
⋅T =
⋅ 0,001 ≈ 15nF
4 ⋅ U WEm ⋅ R
4 ⋅ 1,6 ⋅ 10k
z warunku na poprawne różniczkowanie
R1 <<
T >> 2πR1C , (21), dobieramy R1,
T
1m
=
= 10kΩ
2πC 2π 15n
przyjmujemy R1 = 1kΩ
3. Przygotowanie
UWAGA: Szacowany czas przygotowania do zajęć wynosi 3 do 6 godzin.
3.1.
Literatura
[1] Materiały Laboratorium i Wykładów Zespołu Układów Elektronicznych.
[2] U. Tietze, Ch. Schenk, Układy półprzewodnikowe, WNT, Warszawa, 1996, s. 586-611.
[3] S. Kuta, Elementy i układy elektroniczne, AGH, 2000, s. 375-415.
[4] Kulka Z., Nadachowski M., Wzmacniacze operacyjne i ich zastosowania, cz.2, Realizacje
praktyczne, Warszawa, WNT, 1982.
[5] Prałat A., Laboratorium układów elektronicznych, cz2, Wrocław, Oficyna Wydawnicza
Politechniki Wrocławskiej, 2001.
3.2.
Pytania kontrolne
1. Wyprowadzić wzór na napięcie wyjściowe układu całkującego w dziedzinie czasu ?
2. Wyprowadzić wzór na napięcie wyjściowe układu różniczkującego w dziedzinie czasu ?
3. Naszkicować charakterystykę amplitudowa i fazową układu całkującego idealnego i rzeczywistego
(wzmocnienie w [dB], logarytmiczna skala częstotliwości ?
4. Naszkicować charakterystykę amplitudowa i fazową układu różniczkującego idealnego i
rzeczywistego (wzmocnienie w [dB], logarytmiczna skala częstotliwości ?
5. Wyprowadzić wzory na amplitudę przebiegu wyjściowego układu całkującego przy pobudzeniu
przebiegiem prostokątnym o zadanej amplitudzie ?
6. Wyprowadzić wzory na amplitudę przebiegu wyjściowego układu różniczkującego przy pobudzeniu
przebiegiem trójkątnym o zadanej amplitudzie ?
3.3.
Przygotowanie do zajęć
Przed realizacją
projektowe.
ćwiczenia,
studenci
otrzymują
od
prowadzącego
zajęcia
zadanie
W zadaniu określony jest rodzaj układu oraz jego parametry. Student dopuszczony będzie
do ćwiczenia na podstawie znajomości zagadnień teoretycznych (kartkówka) oraz pod
warunkiem przygotowania projektu i szablonu sprawozdania według poniższych podpunktów.
3.4.
Projekt powinien zawierać:
1) Zadanie projektowe, schemat i obliczenia elementów układu. Należy pamiętać by dobierać
wartości elementów biernych ze znormalizowanych szeregów wartości – rezystory dobierać
z szeregu 5 %–ego, kondensatory z wartości dostępnych w laboratorium (360p, 1n, 1n5,
3n3, 4n7, 6n8, 10n, 15n, 22n, 100nF).
2) Symulacje komputerową układu, np. w programie PSpice. Częstotliwości i wzmocnienia
układu wyrazić w skalach logarytmicznych.
3) Szkic rozmieszczenia elementów na płytce montażowej.
3.5.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Szablon sprawozdania (sprawozdanie zawiera około 7 stron):
Strona tytułowa.
Schemat układu z naniesionymi wartościami elementów obliczonych w projekcie i
wolnym miejscem, przeznaczonym na wpisanie rzeczywistych wartości zmierzonych na
stanowisku laboratoryjnym.
Tabela na wyniki pomiarów charakterystyki:
a. dla układu całkującego: UWYm =f(f), przy pobudzeniu sygnałem prostokątnym.
b. dla układ różniczkującego: UWYm=f(1/f), przy pobudzeniu sygnałem trójkątnym.
Siatka w skali lin–lin na powyższych wykresach.
Tabela na wyniki pomiarów charakterystyk amplitudowej i fazowej.
Wykres z teoretyczną i symulowaną charakterystyką amplitudową układu, w skali log–
log, na którą nanoszona będzie rzeczywista charakterystyka, mierzona na stanowisku.
Wnioski.
UWAGA: Projekt należy dołączyć do sprawozdania.
4. Program ćwiczenia
4.1.
1)
2)
3)
Montaż układu
Mając na uwadze, że każdy element bierny wykonany jest z pewną dokładnością, przed
przystąpieniem do montażu układu, należy za pomocą miernika (dostępnego na
stanowisku) zmierzyć rzeczywiste wartości używanych elementów.
Zmierzone rzeczywiste wartości elementów nanieść na przygotowany schemat układu.
Zmontować układ na płytce drukowanej.
4.2.
Integrator
4.2.1. Pomiary przy pobudzeniu falą prostokątną
1)
Zmontować układ pomiarowy według schematu z rys.9, badany układ zasilić napięciem
±12V.
2) Z generatora podać sygnał prostokątny o parametrach zgodnych z wymaganiami
zadania projektowego. Na oscylogramie napięcia wyjściowego zmierzyć jego wartość
międzyszczytową UWYpp=2UWYm i obliczyć UWYm. W razie potrzeby skorygować wartości
elementów tak aby uzyskać sygnał wyjściowy o zadanych parametrach.
3) Zmieniając częstotliwość sygnału z generatora zmierzyć zależność UWYm=f(1/f) (sygnał
wyjściowy powinien zachowywać kształt trójkątny),
4) Wykreślić zależność UWYm=f(1/f)=f(T) i porównać z teoretyczną (równanie 13).
UWAGA: Wykres UWYm=f(1/f) nie opisuje wzmocnienia układu ani jego
transmitancji !.
ZASILACZ
+ -
GENERATOR
UWE
+ -
UKŁAD Z WO
UWY
OSCYLOSKOP
Rys.9. Schemat blokowy układu pomiarowego
4.2.2. Pomiary przy pobudzeniu sinusoidalnym
5)
6)
Zmierzyć charakterystyki amplitudowo-fazowe układu. Częstotliwości sygnału ustawiać
według skali logarytmicznej w zakresie od 10Hz do około 5MHz. Amplitudę sygnału
wejściowego dobierać tak, by sygnał wyjściowy nie był w jakimkolwiek stopniu
zniekształcony i aby jego poziom umożliwiał poprawny pomiar. Pomiary wykonujemy
przy pomocy oscyloskopu, mierząc wartości międzyszczytowe obu przebiegów oraz ich
przesunięcie fazowe.
Narysować zmierzone charakterystyki amplitudowo-fazowe układu. Z wykresów
odczytać zakres częstotliwości, w którym układ poprawnie całkuje sygnał wejściowy.
7)
4.3.
Porównać uzyskane
komputerowej.
przebiegi
z
teoretycznymi
oraz
uzyskanymi
w
symulacji
Układ różniczkujący
4.3.1. Pomiary przy pobudzeniu falą trójkątną
1) Zmontować układ pomiarowy z godnie ze schematem z rys. 9.
2) Z generatora podać sygnał trójkątny o parametrach zgodnych z wymaganiami zadania
projektowego. Na oscylogramie napięcia wyjściowego określić wartość międzyszczytową
UWYpp=2UWYm i obliczyć UWYm. W razie potrzeby skorygować wartości elementów układu
tak aby uzyskać sygnał wyjściowy o zadanych parametrach.
3) Zmieniając częstotliwość sygnału z generatora zmierzyć zależność UWYm=f(f) (sygnał
wyjściowy powinien zachowywać kształt prostokątny).
4) Wykreślić zależność UWYm=f(f)=f(1/T) i porównać z teoretyczną (wzór 23).
UWAGA: Charakterystyka UWYm=f(f) nie opisuje wzmocnienia układu ani jego
transmitancji !.
4.3.2. Pomiary przy pobudzeniu falą sinusoidalną
5)
Zmierzyć charakterystyki amplitudowo-fazowe układu. Częstotliwość sygnału ustawiać
według skali logarytmicznej w zakresie od 10Hz do około 5MHz. Amplitudę sygnału
wejściowego dobierać tak, by sygnał wyjściowy nie był w jakimkolwiek stopniu
zniekształcony i aby jego poziom umożliwiał poprawny pomiar. Pomiary wykonujemy
przy pomocy oscyloskopu, mierząc wartości międzyszczytowe obu przebiegów oraz ich
przesunięcie fazowe.
6) Narysować zmierzone charakterystyki amplitudowo-fazowe. Z wykresów odczytać
zakres częstotliwości, w którym układ poprawnie różniczkuje sygnał wejściowy.
7) Porównać uzyskane przebiegi z wykreślonymi teoretycznie oraz uzyskanymi w symulacji
komputerowej.
4.4.
Uwaga odnośnie sprawozdania
We wnioskach do sprawozdania należy przeprowadzić dyskusję różnic pomiędzy uzyskanymi
wynikami rzeczywistymi i teoretycznymi, podejmując próbę wyjaśnienia powodów powstawania
tych różnic.
5. Dodatek: Schemat i widok płytki PCB
2
20
7
1
1
7
1
1
2
1
4
2
1
1
1
8
2
7
3
6
4
5
1
1
2
1
4
2
1
2
2
2
1
2
1
1
0
1
2
10
1
2
2
9
3
1
0
2
Rys. 10.Widok płytki z rozmieszczeniem elementów, schemat ideowy układu, wzmacniacz
operacyjny TL061 – wyprowadzenie; kondensatory C1-C4 służą odprzęganiu zasilania i
wraz z układem TL 061 są wlutowane na płytce