ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
С. А. Шестаков
ЕГЭ 2020. Математика
Задачи с параметром
Задача 18 (профильный уровень)
Под редакцией И. В. Ященко
Издание соответствует Федеральному государственному
образовательному стандарту (ФГОС)
Москва
Издательство МЦНМО
2020
УДК 373:51
ББК 22.1Я72
Ш51
Ш51
Шестаков С. А.
ЕГЭ 2020. Математика. Задачи с параметром. Зада­
ча 18 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. —
М.: МЦНМО, 2020. — 288 с.
ISBN 978-5-4439-1418-3
Пособия по математике серии «ЕГЭ 2020. Математика» ориентиро­
ваны на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Едино­
го государственного экзамена по математике. В данном учебном посо­
бии представлен материал для подготовки к решению задачи 18.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществи гь контроль и само­
контроль знаний по теме «Задачи с параметром». Пособие также будет
полезным при изучении тем «Уравнения и системы уравнений», «Нера­
венства и системы неравенств».
Пособие предназначено для учащихся старшей школы и учителей
математики.
Издание соответствует Федеральному государственному образова­
тельному стандарту (ФГОС).
ББК 22.1Я72
12 +
ISBN 978-5-4439-1418-3
© Шестаков С. А., 2020.
© МЦНМО, 2020.
Предисловие
Эта книга в значительной своей части посвящена уравнениям и
неравенствам с параметрами, т. е. уравнениям и неравенствам, содер­
жащим наряду с неизвестной величиной ещё и буквенные параметры,
при различных числовых значениях которых меняется число реше­
ний уравнения или неравенства, а иногда и его вид. Решение задач
с параметрами предполагает, в сущности, определённую исследова­
тельскую деятельность, требующую внимания и уверенного владения
материалом школьной программы по математике во всей её полноте,
умения выдвигать и проверять гипотезы, проводить (в том числе и
достаточно разветвлённые) логические построения и делать выводы.
Поэтому такие задания относятся к сложным и располагаются в ва­
риантах вступительных экзаменов и ЕГЭ по математике на последних
позициях, предназначенных для тех выпускников и абитуриентов, ко­
торые претендуют на высокий экзаменационный балл.
По формулировке любую задачу с параметром можно отнести к од­
ной из двух следующих групп:
— найти все значения параметра, для каждого из которых вы­
полняются те или иные условия (уравнение, неравенство или си­
стема имеют определённое число решений; решение принадлежит
определённому множеству или удовлетворяет определённым огра­
ничениям и т. п.; сами решения находить при этом, как правило, не
требуется);
— найти все значения параметра, при каждом из которых задача
имеет хотя бы одно решение, и указать эти решения для каждого та­
кого значения параметра (кратко: «при каждом значении параметра
решить уравнение (неравенство, систему)».
В дальнейшем для экономии места условия задач второй группы
будем иногда приводить именно в краткой формулировке.
Разумная классификация задач с параметром по методам решений
достаточно затруднительна, поскольку каждая из них является в опре­
делённой степени нестандартной. В этой книге, как и в книге [1], по­
служившей для неё своего рода прообразом, задачи классифицируют­
ся по принципу «ключевой идеи» — идеи, позволяющей найти ключ
к решению. В пояснительных текстах параграфов разъясняются эти
идеи и приводятся примеры с решениями, иллюстрирующими приме­
нение этих идей. В каждом параграфе приведены упражнения для са­
мостоятельного решения, позволяющие закрепить и отработать изу­
ченный материал. Большинство задач взяты из опубликованных ва-
4
Предисловие
риантов вступительных экзаменов и предметных олимпиад в различ­
ные вузы, открытых вариантов диагностических и тренировочных ра­
бот и ЕГЭ по математике; некоторые задачи составлены специально
для этой книги.
Наряду с задачами с параметрами в книгу включены уравнения,
неравенства и системы, которые принято считать нестандартными,
поскольку их сведение к простейшим уравнениям и неравенствам
основано не на стандартных алгебраических преобразованиях, а на
иных идеях (монотонности, ограниченности, инвариантности, гра­
фических или геометрических интерпретациях и т. п.), аналогичных
тем, что применяются для решения части задач с параметром.
Автор признателен и благодарен О. А. Васильевой за вниматель­
ное и неравнодушное чтение рукописи, замечания и предложения,
в немалой степени способствовавшие улучшению книги.
[1] Шестаков С. А., Юрченко Е.В. Уравнения с параметром. Учеб­
но-методическое пособие. — М.: Слог, 1993. — ПО с.
Глава 1. Логический перебор в задачах
с параметром и нестандартных задачах
Эта глава посвящена своего рода знакомству с уравнениями, нера­
венствами и их системами, содержащими параметры: здесь представ­
лены задачи, для решения которых не требуются какие-то специаль­
ные знания, алгоритмы или идеи—достаточно устойчивых навыков
решения основных типов уравнений и неравенств, умения выполнять
стандартные алгебраические преобразования и делать не слишком
сложный и разветвлённый логический перебор. Так, например, урав­
нение (а2 — а)х2 + 2ах — За2 + 4а = О при а = 1 является линейным
уравнением 2х -I-1 = 0 с единственным корнем х = -0,5; при а = 0
обращается в тождество 0 = 0, которое выполняется при любом зна­
чении х (это означает, что корнем данного уравнения при а = 0
является любое действительное число); при значениях а, отличных
от 0 или 1, данное уравнение является квадратным и либо не имеет
действительных корней (если дискриминант уравнения отрицате­
лен), либо имеет один корень (если дискриминант уравнения равен
нулю), либо имеет два корня (при положительном дискриминанте).
Уже из приведённого примера ясно, что для успешного решения
подобных задач требуются наряду с базовыми навыками решения
линейных и квадратных уравнений внимательность и скрупулёзность
при анализе условия и логическом переборе возможных значений
параметра.
§ 1.1. Линейные уравнения и неравенства
с параметром
К числу самых простых задач с параметром относятся линейные
уравнения и неравенства, а также их системы. Любое линейное урав­
нение с параметром может быть сведено к виду /(a) -x=g(a), а нера­
венство— к виду f(a) -х V g(a) (здесь а — параметр, /(а) и g(a)—
алгебраические выражения, «V» — один из четырёх возможных зна­
ков неравенств: «>», «<», «>», «>»). Такой вид линейного уравнения
(неравенства) с параметром будем называть стандартным. Линейные
уравнения и неравенства после приведения к стандартному виду
обычно решаются с помощью логического перебора. В некоторых
задачах, прежде чем перейти к исследованию линейного уравнения
или неравенства, необходимо сделать замену переменной.
6
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Для того чтобы ответить на вопрос о числе корней уравнения
/(a) •x = g(a) (и при необходимости найти эти корни), достаточно
рассмотреть два случая: 1) /(а) = 0; 2) /(а) / 0. В первом случае число
корней уравнения зависит от g(a): если f(q) = 0, a g(a) 0, то корней
нет; если /(а) = 0 и g(a) = 0, уравнение принимает вид 0 • х = 0 и
его корнем является любое действительное число. Во втором случае
g(g)
уравнение имеет единственный корень х — удууДля ответа на вопрос о решениях неравенства f(a) -x<g(a) нужно
рассмотреть три случая: 1) f (а) > 0; 2) /(а) < 0; 3) /(а) = 0. В пер­
вом случае при делении обеих частей неравенства на положительное
число /(а) знак неравенства не меняется, и тогда х<
шение неравенства — промежуток
(
уу
т. е. ре-
D
I. Во втором случае при
делении обеих частей неравенства на отрицательное число / (а) знак
g(q)
неравенства меняется на противоположный, и тогда х>
, т. е. реf g(q)
шение неравенства — промежуток jyyy‘> + ooj. В третьем случае получаем неравенство 0 • х < g(a), и если g(a) •■;- 0, то решений нет, если
же g(a) > 0, то решением неравенства является любое действитель­
ное число. Исследование неравенств /(а) • х > g(a), /(а) • х С g(a) и
/(а) -x>g(a) проводится аналогично (каждый раз рассматриваются
три случая: 1) / (а) > 0; 2) /(а) <0; 3) f(a) = 0).
При решении линейных уравнений и неравенств с параметрами
следует помнить и о графической интерпретации линейного уравне­
ния или неравенства с двумя переменными: при каждом конкретном
значении параметра а (для которого хотя бы одно из чисел /(а) или
g(a) отлично от нуля) уравнение f(a)x i g(a)y р(а) является урав­
нением прямой на плоскости Оху, а неравенство f(a)x+g(a)y> р(а)
задаёт на плоскости Оху множество всех точек, расположенных выше
или ниже (в зависимости от значения параметра) этой прямой. При
этом нужно понимать, что при некоторых значениях параметра такое
уравнение или неравенство может либо выполняться для любых х и у,
либо не иметь решений вовсе.
Пример 1. Найдите все пары чисел (а; Ь), для каждой из которых
имеет не менее трёх корней уравнение
(а -2)х + Ь(х-2) = (2Ь- 1)х + (2х- 1)а.
Решение. Степень переменной х в каждой из частей данного
уравнения равна 1. Значит, это уравнение является линейным от­
носительно х и его можно привести к стандартному виду. Для этого
§ 1.1. Линейные уравнения и неравенства с параметром
7
раскроем скобки в обеих частях уравнения и запишем его в виде
(а - 2 + b - 2b -I-1 - 2а)х = 2Ь - а, откуда (а + b + 1)х = а - 2Ь. Если
а 4- b -I- 1 / 0, уравнение имеет единственный корень х = а+^-^ ■
Если а. + b + 1 = 0, но а — 2Ь
0, уравнение не имеет корней. Если
■ а + b +1 = О,
[а-2Ь = 0,
уравнение принимает вид 0 • х = 0 и его корнем является любое дей­
ствительное число. Значит, не менее трёх корней уравнение имеет
2,1
только в последнем случае. Решив систему, получим а = -~, Ь = — ~.
( 2
1У
Ответ: j
].
Пример 2. При каждом значении параметра а решите неравен­
ство
2ха2 - (5х + 2)а + 2х +1 > 0.
Решение. Данное неравенство является линейным относительно
переменной х. Раскроем скобки, перегруппируем слагаемые и приве­
дём его к стандартному виду: (2а2 — 5а + 2)х > 2а — 1. Корнями квад­
ратного трёхчлена в левой части полученного неравенства являются
числа а = 0,5 и а = 2, поэтому, разложив этот трёхчлен на линейные
множители, придём к неравенству
(2а-1)(а-2)х> 2а-1.
Коэффициент при переменной в левой части неравенства в зависи­
мости от значений параметра может быть равен нулю, положителен
или отрицателен. Рассмотрим все возможные случаи. Если а = 0,5,
неравенство принимает вид 0-х>0 и выполняется при любом зна­
чении переменной х. Если а = 2, неравенство принимает вид 0 • х 3
и не выполняется ни при каких значениях х. Если (2а — 1)(а — 2) > 0,
т. е. ае (—оо;0,5) и (2;+°о), то, разделив обе части неравенства на
положительное число (2а — 1)(а — 2) и сократив дробь в правой
части, получим х>
т. е. х е
• Если (2а — 1)(а - 2) < 0,
т. е. а е (0,5; 2), то, разделив обе части неравенства на отрицательное
число (2а — 1)(а — 2) и сократив дробь в правой части, получим
х Д —Ц-, т. е. хе f-oo; —!— I.
а — 2’
V
’а — 2 J
Ответ:
,,; +о°^ при а е (—«>; 0,5) и (2; +°°); (—°°; +°°) при
а = 0,5;
оо;
| при а е (0,5; 2); нет решений при а = 2.
8
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Пример 3. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых имеет не менее семи решений система уравнений
f (За2 — 13а)х +8у = За2-16а-8,
I 5.V г 4у = 2.
Решение. Каждое уравнение системы является уравнением пря­
мой на плоскости Оху. Эти прямые либо параллельны (тогда они не
имеют общих точек и, следовательно, система не имеет решений),
либо пересекаются в одной точке (тогда система имеет единственное
решение), либо совпадают (тогда система имеет бесконечно много
решений). Не менее семи решений система будет иметь только в по­
следнем случае. Напомним, что если а2 О, Ь2 0, с2 0, то две пря­
мые агх + tyy = с1и а2х + Ь2у = с2 совпадают в том и только том слу­
чае, если соответствующие коэффициенты пропорциональны, т. е. ес01
bi
Ci
За2-13а
8
За2-16а-8 п
а2
b2
с2
За2 — 13а
F
5
с
2
4
2 п
уравнение----------- = 2, получим а = 5 или а = --. Решив уравнение
За2-16а-8 „
,
2 „
л
------- я------- = 2, получим а = Ь или а = — х. Единственным общим кор2
„
2
нем этих уравнении является а = — -.
~
2.
Ответ: а = -~.
Иногда уравнение или неравенство можно свести к линейному
с помощью замены переменной. Сделав замену переменной, нуж­
но обязательно переформулировать задачу, ведь новая переменная
во многих случаях принимает значения только из определённого
множества. Например, при замене t = cosx придётся учитывать, что
переменная t может принимать значения только из отрезка [—1*1];
при замене t = log5(x2 + 5)—только из промежутка [1; +®) и т. д.
Переформулировка задачи для новой переменной в таких случаях
является значимой частью решения.
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых имеет хотя бы одно решение система уравнений
12 cos2 х + 5 cos2 у + 11 =-6а,
15cos2x + 4cos2y+ 25 = 12а.
Решение. Данная система является системой линейных уравне­
ний относительно и = cos2 х и V = cos2 у. Ясно, что и е [0; 1], v е [0; 1].
Задачу можно переформулировать так: найти все значения парамет­
§ 1.1. Линейные уравнения и неравенства с параметром
9
ра а, при каждом из которых система уравнений
f 12u + 5v +11 = 6а,
15и + 4v + 25 = 12а
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условиям ие[0;1],
ге[0;1]. Поскольку коэффициенты при переменных не зависят от
параметра, проще всего найти решение системы в общем виде. Умно­
жим обе части первого уравнения на —4, обе части второго уравне­
ния на 5 и рассмотрим почленную сумму полученных уравнений:
4а - 9
—48u -I- 75и — 44+ 125 = —24а + 60а, откуда и = —-—. Аналогично,
умножив обе части первого уравнения на 5, обе части второго уравне­
ния на —4 и рассмотрев почленную сумму полученных уравнений, по­
сле необходимых преобразований найдём v = 5 — 2а. Условия и е [0; 1] ,
v е [0; 1] выполняются в том и только том случае, если
(0 <
< 1,
\ 0 < 5 - 2а sc 1.
Из первого неравенства системы получим, что а е [2,25; 3], из второ­
го— что ае [2; 2,5]. Следовательно, ае [2,25; 2,5].
Ответ: а е [2,25; 2,5].
Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых следующее уравнение имеет хотя бы один корень:
61og025 sinx + a2 + 6a + 8 = alog4sinx.
Решение. Приведём логарифм в левой части уравнения к ос­
нованию 4. Получим —61og4 sinx + а2 + 6а + 8 = a log4 sinx, откуда
(а+ 6) log4sinx = a2 + 6a + 8. Пусть log4sinx = t. При всех допустимых
значениях переменной sinx С 1. Значит, 1<0. Теперь задачу мож­
но переформулировать так: найти все значения параметра а, при
каждом из которых уравнение (а + 6)1 = а2 + 6а + 8 имеет хотя бы
один неположительный корень. Корнями трёхчлена в правой части
уравнения являются числа a = —4 и a = —2. Разложив квадратный
трёхчлен на множители, получим (а + 6)1= (а + 4) (а + 2). Если а = — 6,
„
, ,
(а + 4)(а + 2) w „
корней нет. Если а # — 6, то 1 = ----- —?----- . Условию 1^0 найденный
(а + 4) (а +2)
„
корень удовлетворяет только в том случае, если ----- < 0.
Решение последнего неравенства найдём методом интервалов.
Ответ:
-6) и [—4; -2].
10
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Замечание. Обратим внимание на то, что в двух последних при­
мерах не требовалось делать обратную замену и возвращаться к
прежней переменной. Эта ситуация является достаточно распростра­
нённой, и при правильной переформулировке с учётом необходимых
ограничений на новую переменную возвращаться к старой не нужно,
если, конечно, не требуется искать сами корни данного уравнения
или решения данного неравенства. В последнем случае обратная
замена является обязательной.
Пример 6. При каждом значении параметра а решите уравнение
а • 5|cosxl-г 1 = (а-1)2.
Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения и приведём
подобные слагаемые. Получим уравнение а ■ 5'cosv' = а2 — 2а. Если
а = 0, уравнение обращается в тождество, справедливое при любом
значении переменной, т. е. в этом случае х е (—°°; +<»). Если а 0,
то, разделив обе части уравнения на а, получим 5!®®*! =а - 2. Пусть
t _ 5|еозх|_ Так как Q |cosx| р. получим, ЧТО 5° < t 5 , или 1 t < 5.
Значит, 1 < а — 2 < 5, откуда 3 ■.< а ■.< 7. Сделав обратную замену при
найденных значениях а, получим |cos х| = log5 (а - 2). Решения урав­
нения |cosx| =1 (где
1) в наиболее компактной форме можно
записать, воспользовавшись единичной окружностью.
Таким образом, х = ± arccos(log5 (а — 2)) + пп, neZ.
Ответ: ±arccos(log5(a — 2)) + яп, п eZ, при а е [3; 7]; (—°°; +°°)
при а = 0; при прочих а решений нет.
§ 1.1. Линейные уравнения и неравенства с параметром
11
Замечание. При решении последнего примера можно было обой­
тись без формальной замены переменной, эта замена была сделана
только для большей наглядности.
Упражнения к § 1.1
1. а) Для каждого значения параметра а найдите число корней
уравнения
9(5х - 1)а2 - (59х- 55)а + 6(х-1) = 0.
б) Для каждого значения параметра а найдите число корней урав­
нения
7(2х-1)а2-(23х-22)а + 3(х-1) = 0.
2. а) Для каждого значения параметра а найдите множество реше­
ний неравенства
4ха2 - (17х + 4)а + 4х+1 > 0.
б) Для каждого значения параметра а найдите множество реше­
ний неравенства
Бха2 - (26х + 1)а + 5х + 5
0.
3. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
|9х-г7а-3| = |4х + За + 4|
имеет два различных корня, среднее арифметическое которых рав­
но —8.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
|7х + 8а-5| = |9х + 7а-2|
имеет два различных корня, среднее арифметическое которых рав­
но 9.
4. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
|3х — 5а — 3| < 7-Ба-х
имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
|3х — 4а —1| <5 —4а-х
имеет единственное решение.
12
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
5. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет не менее трёх решений система уравнений
( (2а2 — llajx - 25у = 2а2-13а-30,
[ 8х — Бу = 3.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет не менее трёх решений система уравнений
( (9а2 - 49а)х + Збу = 9а2 - 58а + 44,
[ 9у — Бх = 5.
6. а) Для каждого значения параметра а решите систему7 уравнений
[ х + 7у = 2,
Зх + у = а,
I Зх + 13у = а2 + 3а.
б) Для каждого значения параметра а решите систему уравнений
( х + у = 2,
< 2х —у = а,
I 4х - у = а2 + 2а.
7. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
Г4а’
- =3
4а.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых сле­
дующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
(1 + 1 = з0,
I X у
1I 4 Н.—
5 = 3о — а.
п
8. а) Найдите все значения параметра а, при которых каждая из
систем уравнений
(х- бу) 1 = -0,1,
7х - 2у = 2а
и
: 4х + у = 2а,
)
1
- _1
I х — 4у “ 6
имеет единственное решение и эти решения совпадают.
§ 1.1. Линейные уравнения и неравенства с параметром
13
б) Найдите все значения параметра а, при которых каждая из си­
стем уравнений
f (л-
5v )
|
1 1
7)
(Зх + у — За
1
8’
и
>7х-3у = 3а,
1___ 1
| х —Зу — 4
имеет единственное решение и эти решения совпадают.
9. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующая система уравнений хотя бы одно решение:
f 12 cos2 х +11 cos2 у + 33а = 31,
[ 33cos2x + 4cos2y + 151 = 198а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующая система уравнений хотя бы одно решение:
' 21 sin2 х + 8 sin2 у + 59 = 6а,
( 24 sin2 х + 7 sin2 у + 91 = 9а.
10. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
^х+2а < 25х+а-4
{
За—3 >
3
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 3.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
( ух+2а+1 < 4рх+а+1
| дх—а—2 > 9Х+С1+2
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 1.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующее уравнение имеет хотя бы один корень:
6 log7 sinx + a log7 sinx = а2 + 5а + 4.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
log0,5 cosx + 7a = alog025 cosx + a2 + 12.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующее уравнение имеет хотя бы один корень:
(2'Л - l)a2 - (3 • 2slnx - l)a + 2sinx+1 = 0.
14
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
(3COSX - 1)а2 - (5 • 3C0S* - 2)а + 2 • 3C0S*+1 = 0.
§ 1.2. Нелинейные уравнения и неравенства
с параметром
Круг задач, решение которых основывается на стандартных пре­
образованиях и логическом переборе, довольно широк, а их форму­
лировки достаточно разнообразны. Ключевым признаком такой за­
дачи является то, что её решение, как отмечалось выше, не предпо­
лагает знакомства с какими-то новыми идеями и методами, которых
нет в школьных учебниках, а требует лишь умения выполнять преоб­
разования, отвечать на вопросы о существовании корней уравнения
или решений неравенства, удовлетворяющих определённым услови­
ям, находить, если требуется, сами эти решения, выполнять необхо­
димый логический перебор.
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение х3 — (а + 4)х2 + 4ах = 0 имеет ровно два различных
корня.
Решение. Вынесем за скобки общий множитель левой части урав­
нения: х(х2 - (а + 4)х + 4а) = 0, откуда х = 0 или х2 - (а + 4)х + 4а = 0.
Корнями последнего уравнения являются х = 4 и х = а (эти корни
можно найти, воспользовавшись формулами Виета или формулой
корней квадратного уравнения). Ровно два различных корня данное
уравнение имеет, только если а = 0 или а = 4.
Ответ: а = 0, а = 4.
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнения х2 + 2х + а = 17 и х2 + 5х = За + 18 имеют хотя бы
один общий корень.
Решение. Пусть х0 — корень каждого из данных уравнений. Тогда
справедливы тождества
х2 + 2х0 + а~17 = 0
(1)
х24-5х0-За-18 = 0.
(2)
и
Вычитая почленно равенство (1) из (2), получим Зх0 — 4а — 1 = 0, от4а +1 т
г
куда х0 = —-—. Таким образом, данные уравнения имеют не более
§ 1.2. Нелинейные уравнения и неравенства с параметром
15
~
4а +1 гг
4а + 1
одного общего корня х0 =
Подставим
- вместо х в люоое
из уравнений, например в первое. Получим
74а-г1Л2
о 4а + 1
„
+2-^^ + а-17 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно а. Выполнив пре­
образования, приведём его к стандартному виду: 16а2 -I- 41а - 146 = 0.
73
Корнями последнего уравнения являются а = - — и а = 2.
73
Ответ: а = -т7,
а = 2.
16
Пример 3. При каждом значении параметра а решите неравенство —5 т— > За.
х — За
Решение. Перенеся
в правую часть неравенства и приведя
полученную разность к общему знаменателю, придём к неравенству
—5
5
-—х _ —- < 0. При а = 0 неравенство примет вид -- < 0, отку­
да х. е (0;+°°). При а > 0 можно разделить обе части неравенства
х- (за + -^
на положительное число За. Получим ----- . _— < 0. Поскольку
в этом случае За +
> За, решением неравенства является интервал
+
+
-
При а < 0 можно разделить обе части неравенства на отрицатель­
ное число За, изменив знак неравенства на противоположный. ПолуX — Гза + J
чим---- х" о а ' - > 0. Поскольку в этом случае За + ч- < За, решени-
ем неравенства является объединение интервалов
и (За; +“):
+
Ответ: (За +
(3°;3“+й при а > 0.
-
и (За; +») при а
За + — i и
+
0; (0; +оо) при а = 0;
16
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение х + у х2 —■ 4ах — 7а = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Перепишем уравнение в виде \/х2 — 4ах — 7а = 3 - х.
Левая часть уравнения неотрицательна в силу неотрицательности
квадратного корня. Если правая часть уравнения отрицательна, кор­
ней оно не имеет. Если правая часть уравнения неотрицательна,
возведение в квадрат обеих его частей является равносильным преоб­
разованием, т. е. не приводит ни к потере корней, ни к приобретению
посторонних корней. В этом случае приходим к системе
(х
3,
Гх
( х -4ах- 7а = 9- 6х-1-х2,
3,
{ (6- 4а)х = 7а+ 9.
При а = 1,5 уравнение системы не имеет корней. При а
1,5 корнем
уравнения системы является х= б_4д. В этом случае данное уравне­
ние имеет хотя бы один корень, только если
3. Перенеся 3
в левую часть неравенства и приведя полученную разность к обще-
му знаменателю, придем к неравенству
0. Решив последнее
неравенство методом интервалов, получим ае
ос;
и
+Sft) :
+
9
19
Ответ: (
'й:
з
2
а
О
Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение 3 cos 2х — (а2 — 8а + 6) sinx = 3 имеет на отрезке
[0; 2л] ровно 4 корня.
Решение. Перенесём все слагаемые левой части уравнения в его
правую часть и, воспользовавшись формулой 1 — cos2x = 2sin2x,
приведём полученное уравнение к виду 6 sin2 х + (а2 — 8а -I- 6) sinx = 0,
„
.
а2-8а+ 6 т,
.
„
откуда sinx = 0 или smx=-------- g----- . Корнями уравнения sinx = 0
являются числа х = лк, к е Z. Отрезку [0; 2л] принадлежат ровно
3 корня этого уравнения: х = 0, х = л, х = 2л. Если а2 — 8а + 6 = 0,
а2-8а-г 6
корни уравнения sin х =-------- g----- совпадают с корнями уравнения
sin х = 0 и только 3 корня данного уравнения принадлежат отрезку
[0; 2л]. Если а2 — 8а + 6
0, корни уравнения sinx = — — "О
§ 1.2. Нелинейные уравнения и неравенства с параметром
17
не совпадают с корнями уравнения sinx = О и данное уравнение
будет иметь ровно 4 корня на отрезке [0; 2тт] только в случае, если
а2-8а+ 6
уравнение sinx=-------- g----- имеет на этом отрезке единственный
корень, что возможно, лишь если sinx = -1 или sinx = 1. Таким
са2-8а-г 6 л
„
,,
а2 —8а+ 6
.
ооразом,-------- g------ = 1 (откуда а = 2 или а = 6) или-------- g----- = -1
(откуда а = 0 или а = 8).
Ответ: 0; 2; 6; 8.
Пример 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых ни одно из чисел —9 и 8 не принадлежит множеству решений
неравенства
(х2 + х - 72) i/o,2 • 5^^+в2 - За +1 < 0.
Решение. Заметим, что 0,2 • 5х2+*^71 =
. 5Н+Х-71 _ ^.О+х-72_ кОр_
нями квадратного трёхчлена х2 + х — 72 являются числа —9 и 8. Раз­
ложив этот квадратный трёхчлен на множители, перепишем неравен­
ство в виде (х + 9) (х - 8) у 5^+9)&-8) _|_ а2
_|_ 1 о. Условие задачи
будет выполнено только в том случае, если при х = —9 и при х = 8
значение подкоренного выражения будет отрицательным, т. е. если
а2 - За + 2 < 0, откуда а е (1; 2).
Ответ: (1; 2).
Пример 7. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение lg(ax2 - (a + 2)х + 3) + log0д (Зх2 - (а + 2)х + а) = 0
имеет более двух корней.
Решение. Перейдя к основанию 10, перепишем данное уравнение
в виде lg(ax2 - (a + 2)х + 3) =lg(3x2 - (a + 2)x + a). Полученное урав­
нение равносильно системе
ах2 — (а + 2)х+ 3 — Зх2 - (а + 2)х+а,
Зх2 - (а + 2)х-I- а > 0.
Уравнение системы приводится к виду (а — 3)х2 = а — 3. Если а 3,
последнее уравнение является квадратным и более двух корней иметь
не может. Если a = 3, корнем уравнения является любое действитель­
ное число. При этом неравенство системы принимает вид Зх2 — 5х +
+ 3 > 0 и выполняется при любом значении переменной в силу отри­
цательности дискриминанта и положительности старшего коэффици­
ента квадратного трёхчлена в левой части неравенства.
Ответ: 3.
18
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Пример 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых любое решение неравенства log2x2<log2(3x + 4) является ре­
шением неравенства 81х2 < 16а4.
Решение. Неравенство log2x2<log2(3x + 4) равносильно системе
( х2 < Зх + 4,
[х
0.
Решением первого неравенства системы является отрезок [-1; 4] , по­
этому решение системы есть [—1; 0) и (0; 4]. Из неравенства 81х2 £
< 16а4 получаем |х|
Требование задачи будет выполнено, если
I .
<
I
о
,
4<е
1
Г
i
4’
°ТЕуда
2.9
ал > т,
„2>)
9■
т. е. а2 >9и, значит, а е (——3] и [3; 4-оо).
Ответ: (-<»; -3] и [3; +»).
Пример 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых любой корень уравнения
acos2x + |a| cos4x + cos6x = 1
(1)
является корнем уравнения
2sinxcos2x + sin5x = 2sin2xcos3x
(2)
и, наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравне­
ния (1).
Решение. Уравнение (2) не содержит параметра, поэтому целесо­
образно начать именно с его решения. Преобразовав в сумму произ­
ведение в правой части уравнения, получим
2 sin х cos 2х + sin 5х = sin 5х — sin х,
откуда 2 sinxfcos2х + 0,5) = 0, и, значит, sinx = 0 (откуда х = пк, k е Z)
или cos2x = —0,5 (откуда х =
+ пт, meZ). Все найденные кор­
ни можно записать в более компактном виде (например, рассмотрев
соответствующие им точки единичной окружности): х= тр, п еZ.
Таким образом, нужно найти все значения параметра а, при каждом
из которых корнями уравнения (1) являются числа х— О2-, neZ, и
только они. Подставим х = тр в уравнение (1):
2пп . | ,
4пп .
„
.
acos-..,- + |a|cos- . . + cos2nn = 1.
§ 1.2. Нелинейные уравнения и неравенства с параметром
19
Поскольку при любом п eZ справедливы равенства
„
т
Ann
2пп , „
cos 2яп = 1, cos —— = cos —— # О
(что легко доказать, воспользовавшись единичной окружностью, при­
менив перебор или формулы приведения), получим а + |а| = 0, откуда
а 0. Следовательно, если числа х = ■ .1 , п е Z, являются корнями
уравнения (1), то а < 0. Но из этого вовсе не следует, что при а 0
уравнение (1) не имеет других корней. Поэтому нужно рассмот­
реть, какие корни имеет уравнение (1) при а < 0. В этом случае оно
принимает вид acos2x - acos4x 4- cos6x = 1. Применив формулы
разности косинусов и косинуса удвоенного аргумента, после упро­
щений получим 2asinЗхsinx — 2sin“3x = 0, откуда либо sin3x = 0,
либо a sinx — sin3x = 0. Корнями уравнения sinЗх = 0 являются числа
х=
, т е Z, совпадающие с корнями уравнения (2). Уравнение
a sin х — sin Зх = 0 преобразуется к виду a sin х — 3 cos2 х sinх + sin3 х = 0,
откуда
sinx (а — 3 cos2 х + sin2 х) = 0.
Из последнего уравнения получим, что либо sinx = 0, либо cos2x =
=
Корни уравнения sinx = 0 принадлежат множеству чисел
х=
т eZ. Значит, чтобы уравнение (1) не имело других корней,
кроме этих чисел, нужно чтобы либо уравнение cos2x= —— вовсе
не имело корней, либо его корнями были только числа х=
Если х =
meZ, то либо cos2x =
meZ.
(и тогда a = 0; ясно, что при
а = 0 других корней нет), либо cos2х = 1 (что при а < 0 невозможно).
,,
-1 не имеет корней,
« если либо —
a +1 „ ,
Уравнение cos2 х = a—З—
— < 0 (откуда
а < —1), либо —> 1 (что при а 0 невозможно). Таким образом,
требование задачи выполнено, только если а = 0 или a < —1.
Ответ: (-<»;-1) и {0}.
Упражнения к § 1.2
1. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х3 - (а — 5)х2 - Бах = 0 имеет ровно два различных корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х3 + 2(а + 3)х2 + 12ах = 0 имеет ровно два различных
корня.
20
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
2. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнения х2 + Зх — 9а + 18 = 0 и х2 + 6х — 13а + 25 = 0 имеют хотя бы
один общий корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнения х2 — х — 5а. + 8 = 0 и х2 + х — 8а + 12 = 0 имеют хотя бы
один общий корень.
3. а) Найдите все значения параметра а 0, при каждом из ко­
торых положительны все абсциссы общих точек графиков функций
б) Найдите все значения параметра а 0, при каждом из кото­
рых положительны все абсциссы общих точек графиков функций
/(й=тЬ?игЮ=т
4. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
х
a
r
г
„
уравнения _ ■ = —а и _ . = -х имеют хотя бы один общий корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
4х
4п
уравнения + , = а и —= х имеют хотя бы один общий корень.
5. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
8 ах
9
ах
уравнения - = -у и _ , = — имеют хотя бы один общий корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнения
и —; = —
имеют хотя бы один общий корень.
6. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
х2 + 7х +12
<g
х2 - (а - 4)х - 4а
является объединение двух непересекающихся интервалов.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
х2 - 2х 3
<Q
х2-(а-1)х-а
является объединение двух непересекающихся интервалов.
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
х2 - (а 3)х За
х2-(а-5)х-5а
. „
является объединение двух непересекающихся интервалов.
§ 1.2. Нелинейные уравнения и неравенства с параметром
21
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
X2 — (а — 4)х —4а ,
х2 - (а +6)х + 6а
является объединение двух непересекающихся интервалов.
8. а) При каждом значении параметра а решите неравенство
3
-—~ > аб) При каждом значении параметра а решите неравенство
—Д- > 2а.
х-2а
9. а) При каждом значении параметра а решите неравенство
^^>1
ах + 2а
б) При каждом значении параметрит а решите неравенство
3
2
ах-г За '' 3’
10. а) Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых
функция
_ 10х2+9х + 8
У х2 — (2b - 7)х +1
определена на всей числовой прямой и принимает только положительные значения.
б) Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых
функция
5х2 —бх+7
У ~ Зх2 - (5Ь - 2)х + 3
определена на всей числовой прямой и принимает только положительные значения.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение VБах +7а = 5х+ 7 имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение л/2ах + За = 2х + 3 имеет хотя бы один корень.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства (х — За + 4) д/х + а + 2 < 0 является
отрезок числовой прямой, длина которого равна |а|.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства (х - 2а +1) Vx + 2a - 1 < 0 являет­
ся отрезок числовой прямой, длина которого равна |а|.
22
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (х — 2а) Ух — 5а + 12 = 0 имеет единственный корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (х + 4а) Ух — За — 7 = 0 имеет единственный корень.
14. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (ах2 — (а2 + 8)х + 8а) Ух + 3 = 0 имеет ровно два различ­
ных корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (ах2 - (а2 + 6)х + 6а) Ух 4- 5 = 0 имеет ровно два различ­
ных корня.
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (х — 2а + 1) Ух — За < 0 имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (х + За + 1) Ух + а у 0 имеет единственное решение.
16. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение 10cos2х = (а2 + 13а + 20) sinx + 10 имеет на отрезке
[0; 2л] ровно 4 корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 2cos2x + (а2 — 2а - 4) sinx = 2 имеет на отрезке [0; 2л]
ровно 4 корня.
17. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (3 sinx - а — 1)(3 sinx + 2а - 1) = 0 имеет на отрезке [0; 2л]
ровно 2 корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (9 sinx —а — 5) (9 sinx + 2а-I-1) = 0 имеет на отрезке [0; 2л]
ровно 2 корня.
18. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
5®
число — не является корнем уравнения
(х - У ' (х - 10®)
а2 + 7а+11 +cos -У- = 0,
а число 10® является корнем этого уравнения.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых чис7я
ло : не является корнем уравнения
fх — уу j (х — 14л)у а2 - 7а - 4 + 4cosLy^ = 0,
а число 14" является корнем этого уравнения.
§ 1.2. Нелинейные уравнения и неравенства с параметром
23
19. а) Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых
прямая у = Ь имеет с графиком функции
( _ 18sinx +17
' — 17sinx+18
хотя бы одну общую точку.
б) Найдите все значения параметра Ъ, при каждом из которых пря­
мая у = b имеет с графиком функции
_ 17sinx + 7
— sinx + 11
хотя бы одну общую точку.
20. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 7 cos2 х — (7а + 9) cosx -I- 9а = 0 имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 3 cos2 х — (За + 8) cosx -I- 8а = 0 имеет хотя бы один корень.
21. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
ни одно из чисел —3 и 1 не является корнем уравнения
(х2 + 2х - 3) а/б'-2 l 2v 3 -|- а2 - 14а + 44 = 0.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ни
одно из чисел —7 и 5 не является корнем уравнения
(х2 + 2х - 35) а/ 2х2+2^35 + а2 - 9а - 53 = 0.
22. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(7У - 49) ((0,5Гх - 8)((0,2)"х - 125я) (3' - 3 ■ 27“) < 0
имеет ровно два решения. Укажите эти решения для каждого из най­
денных значений параметра.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(6' —6)((0,25) 2 — 64)((0,5) Л—4-8,!)(3' —27") < 0
имеет ровно два решения. Укажите эти решения для каждого из най­
денных значений параметра.
23. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
log5 (а*2 - (а - 2)х + 7) + log0 2 (7х2 - (а - 2)х + а) = 0
имеет более двух корней.
24
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
log0 5 (ах2 - (а - 3)х - 2) + log2 (2х2 - (а - 3)х - а) = О
имеет более двух корней.
24. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
только одно из чисел 2 и 3 является решением неравенства
(х2 - 5х+6) log0 з С39 + (х - 2)а2 - 16а (х - 2)2) > 0.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
только одно из чисел 3 и 4 является решением неравенства
(х2 —7х+12) log07(72 +(х — 3)а2 — 17а(х —З)2) > 0.
25. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
любое решение неравенства log3 х2 < log3 (4х + 5) является решением
неравенства 16х2С25а4.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
любое решение неравенства log2x2 < log2(6x + 7) является решением
неравенства 9х2 С 49а4.
26. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнения
sin 3x + 2(|a|-2) sin2x = a sinx
и
sin3x + cos2x = 1 + 2 sinx cos 2x
имеют одно и то же множество корней.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнения
4cos2x+|a-4|(l + cos2x) = acosx + cos3x
и
2 cos х cos 2х = cos Зх + cos 2х + 1
имеют одно и то же множество корней.
27. а) Найдите все пары чисел а и Ъ, для каждой из которых имеет
не менее шести решений (х; у) система уравнений
f Ьх(2х —у) + (у — 1)(2х —у) = Ьх + у-1,
( 4х2 + у2 + аху = 1.
б) Найдите все пары чисел а и Ь, для каждой из которых имеет не
менее восьми решений (х; у) система уравнений
(х2 - у2 + а (х + у) = х - у + а,
I х2 + у2 + bxy = 1.
§ 1.2. Нелинейные уравнения и неравенства с параметром
25
28. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(log5(x + 3) — log5(x —З))2 —7(log5(x + 3) — log5(x —3)) -
-4а2-6а+ 10 = 0
имеет ровно два корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(log6(x + 4) -log6(x-4)J2- 10(log6(x + 4) -log6(x-4)) -
- 4a2 + 4a + 24 = 0
имеет ровно два корня.
29. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(log2(х + a) - log2 (х — a))2 — 3a (log2(x + a) - log2(x - a)) +
+ 2a2 - a -1 = 0
имеет ровно два корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(log7(x + a) -log7(x-a))2-3a(log7(x + a) -log7(x-a)) +
+ 2a2 + 3a - 9 = 0
имеет ровно два корня.
30. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(|x + l| + |x-a|)2-2(|x + l| + |x-a|) + 4a(l-a) = О
имеет ровно два корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(|х + 3| + |х-а|)2 - 6(|х + 3| + |х-а|) + 5а(6- 5а) = О
имеет ровно два корня.
31. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
ССа - 1)х' • Зх)' 2((а- 1)х2 + 3х) +1 -а2 = О
имеет ровно два корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(ах2 - 2х)2 + (а2 - а + 2) (ах2 - 2х) - а2(а - 2) = О
имеет ровно два корня.
26
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
Этот параграф посвящён задачам с целочисленными неизвестны­
ми (только такие задачи и будут рассматриваться). Ключевой идеей
решения задач с целочисленными неизвестными является идея дели­
мости одних чисел на другие, а необходимым элементом решения —
логический перебор. Идея делимости и логический перебор часто ис­
пользуются в последнем задании ЕГЭ по математике, обычно предпо­
лагающем ответы на два или три вопроса. И если последний из этих
вопросов является довольно сложным, то ответы на первый и — во
многих случаях — на второй вопросы могут оказаться по силам любо­
му успевающему выпускнику, что подтверждает высокий ежегодный
процент тех, кто получает за это задание хотя бы один балл. Неболь­
шой параграф едва ли позволит полноценно подготовиться к реше­
нию этого задания (для систематической подготовки лучше в течение
нескольких лет решать олимпиадные задачи и принимать участие в
математических олимпиадах разных уровней), но поможет познако­
миться на примерах с тем, как «работает» идея делимости и как де­
лается логический перебор, чтобы впоследствии применить сходные
рассуждения при самостоятельном решении подобных задач.
Начнём с нескольких относительно простых примеров (ещё раз на­
помним, что здесь и далее все переменные принимают только цело­
численные значения). Сначала проиллюстрируем, как «работает» ло­
гический перебор.
Пример 1. Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у, для которых
(х + 2у)2 +(2х + 3у —1)2 = 9.
Решение. Левая часть равенства представляет собой сумму двух
неотрицательных целых чисел. Равенство может быть выполнено,
только если это числа 0 и 9, или 1 и 8, или 2 и 7, или 3 и 6, или 4
и 5. Кроме того, каждое слагаемое левой части является квадратом
целого числа. Поэтому из 4 вариантов остаётся только один: 0 и 9.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: (х+2у)2=0, (2х+3у-1)2=9. Из первого уравнения на­
ходим х = -2у. Тогда второе уравнение принимает вид (—у —1)®=9,
или (у+1)2 = 9, откудау=2 (итогдах=—4) илиу =—4 (итогдах=8).
Случай 2: (х + 2у)2 = 9, (2х + Зу — I)2 = 0. Из второго уравне1 - Зу
ния находим х = —Тогда первое уравнение принимает вид
у 1 — Зу
у2
9
; ——— + 2у I =9, или (у + 1) = 36, откуда у = 5 (и тогда х = -7)
или у = — 7 (и тогда х = 11).
Ответ: (-4; 2); (8; -4); (-7; 5); (11;-7).
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
27
Теперь продемонстрируем, как используется идея делимости це­
лых чисел, начав с совсем простого примера.
Пример 2. Докажите, что уравнение 7х + 14у = 76 не имеет реше­
ний в целых числах.
Решение, Каждое слагаемое левой части уравнения делится на
число 7, поэтому их сумма также делится на число 7, а число в правой
части уравнения на 7 не делится. Следовательно, уравнение не имеет
решений в целых числах.
Пример 3. Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у, для которых
Зх + 9 = 4у.
Решение. Каждое слагаемое левой части данного равенства де­
лится на число 3, поэтому их сумма делится на число 3. Значит, число
в правой части равенства также должно делиться на 3. Но 4 не делится
на 3, поэтому число у должно делиться на 3, т. е. у = Зп, где п еZ. Но
тогда Зх + 9 = 12п, откуда х = 4п — 3.
Ответ: (4п- 3;3п), п eZ.
Рассмотренный пример, по сути, является примером уравнения
вида ах 4- by = с в целых числах (коэффициенты в таком уравнении
также являются целыми). Это уравнение можно решить в общем
виде, но в школьную программу соответствующий метод не входит
(хотя и основывается на материале, изучаемом в средней школе);
на практике для решения такого рода уравнений обычно достаточно
использовать свойства делимости целых чисел.
Пример 4. Решите в целых числах уравнение
2015х + 2016у = 2017.
Решение. Перепишем уравнение в виде
у - 2 = 2015 - 2015х - 2015у.
Каждое слагаемое правой части полученного равенства делится на
число 2015, поэтому их сумма делится на число 2015. Значит, чис­
ло в левой части этого равенства также должно делиться на чис­
ло 2015, т. е. у — 2 = 2015п, откуда у = 2015п + 2, где п eZ. Но тогда
2015/1 = 2015 —2015х —2015(2015/1 + 2), откуда и = 1 -х - (2015п + 2)
и х — 2016/1 - 1.
Ответ: (—2016м — 1; 2015/1 + 2), п eZ.
Рассмотрим ещё один характерный пример задачи с целочислен­
ными неизвестными, при решении которой используются соображе­
ния делимости и идея решения уравнения вида ах + by = с, проиллю­
стрированная предыдущим примером. Правда, при её решении этот
28
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
приём придётся применить дважды, хотя второй раз — неявным обра­
зом, воспользовавшись соображениями чётности/нечётности чисел
в каждой из частей уравнения.
Пример 5. На какое наибольшее натуральное число можно сокра, 7п + 6
тить дробь 5
, если nt=Z?
Решение. Пусть данная дробь сократима на число d. Это озна­
чает, что её числитель 7п + 6 и знаменатель 5п + 1 делятся на d.
Но тогда и числа 5(7п + 6) и 7(5n + 1) делятся на d. Поэтому раз­
ность 5(7п + 6) — 7(5n + 1) этих чисел также делится на d. Но эта
разность равна 23. Поэтому d является делителем числа 23. Наи­
больший делитель этого числа — само число 23. Остаётся показать,
что найдётся п, при котором данная дробь сократима на 23. Пусть
7п + 6 = 231, 5п -I-1 = 23k (I е Z, к е Z). Исключив из этих равенств
по аналогии с предыдущим переменную п (т. е. умножив обе части
первого уравнения на 5, второго — на 7 и рассмотрев почленную
разность полученных уравнений), получим 23 = 5 • 23/ - 7 • 23к, откуда
5/ — 7к = 1. Это уравнение вида ах -I- by = с. Перепишем уравнение,
выделив в его левой части число, кратное 5. Получим 5/ — 5к = 2к + 1.
Значит, 2к + 1 делится на 5, откуда 2к 4- 1 = 5r, г е Z. Левая часть урав­
нения 2к +1 = 5г при любом целом к будет нечётным числом. Значит,
г — нечётное число, т. е. г = 2т + 1, т е Z. Тогда 2к+ 1 = 5(2т + 1),
откуда к = 5т + 2. Положив, например, т = 0, получим, что к = 2. Но
тогда 5п + 1 = 23 • 2 и п = 9. Таким образом, данная дробь сократима
на число 23, например, при п = 9.
Ответ: 23.
Аналогичный приём используется и при решении следующей за­
дачи, условие которой содержит уже две целочисленные переменные.
Пример 6. На какое наибольшее натуральное число можно сокра- 5п-3т
т
,
тить дробь 2п + 4т’ если известно’ что ДР°бь — несократима (neZ,
т с Z) ?
Решение. Пусть данная дробь сократима на число d. Это означает,
что её числитель 5п — Зт и знаменатель Зп + 4т делятся на d. Но то­
гда и числа 3(3п -Г 4т) и 4(5п - Зт) делятся на d. Поэтому сумма этих
чисел также делится на d. Но эта сумма равна 29п. Аналогично числа
5(3п -I- 4т) и 3(5п — 3/п) делятся на d. Поэтому их разность делится
на d. Но эта разность равна 29т. Таким образом, каждое из чисел
29п и 29т делится на d. Поскольку дробь
несократима, числа т
и п не имеют общих делителей. Поэтому d является делителем чис­
ла 29. Наибольший делитель этого числа — само число 29. Остаётся
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
29
показать, что числа п и т, при которых данная дробь сократима на 29,
существуют. Пусть Зп 4- 4т = 291, 5п — 3т = 29к (7 eZ, к е Z). Исклю­
чая из этих равенств по аналогии с предыдущим одну из переменных
левой части, получим последовательно, что п = 31 4- 4к, т = 51 — Зк.
Выбрав, например, I = к = 1, получим п = 7, а т = 2.
Ответ: 29.
Перейдём теперь к примерам и методам решения некоторых нели­
нейных уравнений в целых числах.
Пример 7. Решите в целых числах уравнение (2х 4- 3) (Зу + 2) = 5.
Решение. Левая часть уравнения представляет собой произведе­
ние двух целых чисел. По условию это произведение равно 5, а число 5
можно представить в виде произведения двух целых чисел 4 способа­
ми: 1 и 5, 5 и 1, —1 и —5, -5 и —1. Рассмотрим все 4 случая.
Случай 1: 2х + 3 = 1, Зу + 2 = 5. Из первого уравнения находим
х = — 1, из второго — у = 1.
Случай 2: 2х + 3 = 5, Зу + 2 = 1. Из первого уравнения находим
п
1
х = 1, из второго — у = - 1 Поскольку
--не
является целым числом,
этот случай решений не даёт.
Случай 3: 2x4- 3 = — 1, Зу 4- 2 = -5. Из первого уравнения находим
7 7
х = —2, из второго — у = —Поскольку - - , не является целым чис­
лом, этот случай также не даёт решений.
Случай 4: 2х 4- 3 = —5, Зу 4- 2 = -1. Из первого уравнения находим
х = -4, из второго — у1.
Ответ: (-1; 1); (-4; -1).
Этот пример (как и пример 1) показывает, что решение уравнений
в целых числах обычно предполагает определённый логический пе­
ребор. Кроме того, он «подсказывает» одну из идей решения: нужно
попытаться представить левую часть уравнения в виде произведения
двух (или более) множителей так, чтобы в правой части при этом по­
лучилось целое число.
Следующий пример представляет собой уравнение в целых числах
вида ах4- Ъху + cy = d. Существует по крайней мере два эффективных
способа решения этого уравнения и подобных ему. Один из них свя­
зан с разложением на множители, другой (он будет рассмотрен позд­
нее) основан на выражении одной из переменных (степень которой
в уравнении равна 1) через другую в виде алгебраической дроби и
выделении целой части этой дроби.
Как «работает» разложение на множители для решения такого
уравнения, можно показать и в общем виде. Вынесем Ъх за скобки:
30
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Ьх( j + /J -г су = d. Теперь преобразуем второе слагаемое в левой
части. Вынесем с за скобки, в которых запишем выражение т + у,
и вычтем из суммы bx^ + yj :
' у) «корректирующее» число
со
,
—, чтобы получить выражение, тождественно равное выражению
в левой части последнего уравнения: bx( - +у I + с( Т + у ' -
= d,
откуда
+ yj (bx + с) = d + . Умножив обе части полученного
равенства на Ъ, придём к уравнению (а + by) (bx + с) = bd + са.
Пример 8. Решите в целых числах уравнение 4х + Зу +1 = бху.
Решение. Перепишем уравнение в виде 4х — бху 4- Зу +1 = 0 и
преобразуем его левую часть по аналогии с тем, как это было сделано
выше: —6xf у
3 ('у | ’ + 3 = 0, откуда (у - | ] (-6х + 3) = -3
и —з( у — z ) (2х — 1) = —3. Последнее уравнение легко приводится
к виду (Зу — 2) (2х — 1) = 3. Левая часть подушенного уравнения пред­
ставляет собой произведение двух целых чисел. По условию это про­
изведение равно 3, а число 3 можно представить в виде произведения
двух целых чисел 4 способами: 1 и 3, 3 и 1, —1 и —3, —3 и —1. Рассмот­
рим эти 4 случая.
Случай 1: 2х — 1 = 1, Зу - 2 = 3. Отсюда х = 1, у = |. Число | не
является целым, значит, этот случай не даёт решений.
Случай 2: 2х — 1 = 3, Зу — 2 = 1. В этом случае х = 2, у = 1.
Случай 3: 2х— 1 = -1, Зу - 2 = —3. В этом случае х = 0, у = - ‘ Чис1
„
ло — g не является целым, значит, этот случаи также не дает решении.
Случай 4: 2х — 1 = —3, Зу — 2 = —1. В этом случае х = -1, у = у.
Число g не является целым, значит, и этот случай не даёт решений.
Ответ: (2; 1).
В некоторых случаях для разложения на множители необходимо
использовать формулы сокращённого умножения.
Пример 9. Решите в целых числах уравнение х2 = у2 + 2у + 8.
Решение. Выделим в правой части уравнения полный квадрат:
х2 = (у + I)2 + 7. Применим формулу разности квадратов, переписав
уравнение в виде х2 — (у + I)2 = 7. Получим (х —у — 1)(х + у +1) = 7.
Левая часть последнего уравнения представляет собой произведение
двух целых чисел. По условию это произведение равно 7, а число 7
можно представить в виде произведения двух целых чисел 4 способа­
ми: 1 и 7, 7 и 1, —1 и —7, —7 и —1. Рассмотрим все 4 случая.
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
31
Случай 1: х - у - 1 = 1, х + у + 1 = 7. Сложив уравнения почленно,
находим 2х = 8, откуда х = 4. Вычитая почленно из второго уравнения
первое, находим 2у + 2 = 6, откуда у = 2.
Случай 2: х — у - 1 = 7, х + у +1 = 1. Сложив уравнения почленно,
находим 2х = 8, откуда х = 4. Вычитая почленно из второго уравнения
первое, находим 2у + 2 = —6, откуда у = —4.
Случай 3: х —у — 1 = -1, х + у + 1 = - 7. Сложив уравнения почлен­
но, находим 2х = —8, откуда х = —4. Вычитая почленно из второго
уравнения первое, находим 2у -I- 2 = —6, откуда у = -4Случай 4: х — у — 1 = - 7, х+у + 1 =—1. Сложив уравнения почлен­
но, находим 2х = -8, откуда х = — 4. Вычитая почленно из второго
уравнения первое, находим 2у 4- 2 = 6, откуда у = 2.
Ответ: (4; 2); (4; -4); (-4; -4); (-4; 2).
Кроме формул сокращённого умножения нужно помнить и форму­
лу разложения квадратного трёхчлена ах2 + Ъх + с на линейные мно­
жители: если хг и х2 — корни этого трёхчлена, то
ах2 + Ьх + с = а(х-х1)(х-х2).
Пример 10. Решите в целых числах уравнение
9х24 16ху-4у2 = -11.
Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный
трёхчлен относительно переменной х с коэффициентами 9, 16у,
—4у2. Корнями этого трёхчлена (их можно найти с помощью фор­
мулы корней квадратного уравнения или с помощью формул Виета)
2у
являются числа -2у и —. Применив формулу разложения квадрат­
ного трёхчлена на линейные множители, получим
9(х + 2у)(х- у) = -11,
откуда (х + 2у)(9х-2у) = -11.
Левая часть последнего уравнения представляет собой произведе­
ние двух целых чисел. По условию это произведение равно -11, а
число -11 можно представить в виде произведения двух целых чисел
4 способами: 1 и —11, —11 и 1, —1 и 11, 11 и —1. Рассмотрим все
4 случая.
Случай 1: х + 2у = 1, 9х —2у = —11. Сложив уравнения почленно,
находим 10х = —10, откуда х = —1. Тогда из первого уравнения полу­
чим, что у = 1.
Случай 2: х + 2у = —11, 9х — 2у = 1. Сложив уравнения почленно,
находим 10х = -10, откуда х = -1. Тогда из первого уравнения полу­
чим, что у = - 5.
32
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Случай 3: х + 2у = -1, 9х - 2у = 11. Сложив уравнения почленно,
находим 10х = 10, откуда х= 1. Тогда из первого уравнения получим,
что у = — 1.
Случай 4: х+2у=11, 9х—2у=—1. Сложив уравнения почленно, нахо­
дим 10х=10, откуда х=1. Тогда из первого уравнения получим, что у 5.
Ответ: (-1; 1); (-1; -5); (1; -1); (1; 5).
В более сложных случаях, рассматривая уравнение как квадратное
относительно одной из переменных, приходится проявлять опреде­
лённую изобретательность, для того чтобы дискриминант квадратно­
го трёхчлена оказался полным квадратом.
Пример 11. Решите в целых числах уравнение
2х2 + 5ху + 2у2 - 8х - 7у + 3 = 0.
Решение. Уравнение является квадратным относительно каждой
из двух переменных. Поэтому можно попытаться выделить в его ле­
вой части квадратный трёхчлен относительно одной из переменных
и представить его в виде произведения двух линейных множителей
(использовав формулу разложения квадратного трёхчлена на линей­
ные множители), чтобы получить уравнение вида «произведение двух
множителей равно целому числу». Рассмотрим данное уравнение
как квадратное относительно переменной х, переписав его в виде
2х2 + (5у — 8)х + 2у2 - 7у + 3 = 0. Постараемся добиться того, чтобы
дискриминант квадратного трёхчлена в левой части уравнения был
полным квадратом, варьируя свободный коэффициент трёхчлена. Для
этого введём вспомогательную неизвестную к, записав уравнение
в виде 2х2 + (5у — 8)х + 2у2 — 7у + к = к — 3. Теперь найдём дискри­
минант квадратного трёхчлена в левой части полученного уравнения:
D = 25у2 —80у+ 64—16у2 + 56у — 8fc =
= 9у2 - 24у + 64 - 8к = (Зу - 4)2 + 48 - 8к.
Если 48 — 8к = 0 ( г. е. к = 6), уравнение примет вид
2х2+(5у — 8)х +2у2 — 7у + 6 = 3
и его левую часть можно будет разложить на линейные множители,
поскольку дискриминант (Зу - 4)2 квадратного трёхчлена в левой ча­
сти уравнения будет полным квадратом. В этом случае
-(5у-8)±(Зу-4)
4
Х~
у-2
откуда х = —2у + 3 или х =---- —, и, следовательно,
2fx+^- |(х + 2у-3) = 3,
33
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
откуда (2л* + у — 2) (х + 2у — 3) = 3. Число 3 можно представить в виде
произведения двух целых чисел 4 способами: 1 и 3, 3 и 1, —1 и —3, —3
и -1. Рассмотрим эти 4 случая.
Случай 1: 2х + у -2 = 1, х + 2у — 3 = 3, откуда х = 0, у = 3.
Случай 2: 2х + у — 2 = 3, х + 2у — 3 =1, откуда х = 2, у = 1.
Случай 3: 2х + у - 2 = -1, х + 2у - 3 = -3, откуда х=
В этом случае целых решений нет.
2
у=
1
4
5
Случаи 4: 2х + у - 2 = -3, х. + 2у - 3 = -1, откуда х = —•g, у = fc.
В этом случае целых решений нет.
Ответ: (2; 1); (0; 3).
Если разложение на множители не представляется возможным,
следует поискать другие пути. К одному из них подводит следующий
пример.
Пример 12. Найдите все п е Z, при которых число А является це. би -г 7
лым, если А = 3п + 2.
Решение. Идея решения подобных задач состоит в выделении це­
лой части дроби с помощью деления многочлена на многочлен либо
иным способом, один из которых проиллюстрируем следующим пре­
образованием:
6п -I- 7 _ 2(3п+2)4-3
„
3
Зп + 2 “
Зп + 2
“2+Зп+2’
При таком преобразовании в числителе формально выделяется мно­
житель, равный знаменателю, а затем добавляется или вычитается
«корректирующее» число или выражение, которое позволяет полу­
чить выражение, тождественно равное числителю. Затем полученная
сумма или разность почленно делится на знаменатель. В данном
3
случае после деления получили А = 2 + }п + 2' Поскольку числа А
„
~
з
и 2 и являются целыми, в силу полученного равенства число 3 + 2
также должно быть целым. Знаменатель Зп + 2 дроби является целым
числом. Поэтому он должен быть делителем числа 3, т. е. может
принимать только значения 1, —1, 3, —3. Рассмотрим эти 4 случая.
Случай 1: Зп + 2 = 1. Отсюда п = — |. Полученное число не является
целым, и, следовательно, этот случай решений не даёт.
Случай 2: Зп + 2 = -1. Отсюда п = -1.
Случай 3: Зп + 2 = 3. Отсюда п = |. Полученное число не является
целым, и, следовательно, этот случай решений не даёт.
34
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Случай 4: Зп 4- 2 = —3. Отсюда п = — у. Полученное число не явля­
ется целым, и, следовательно, этот случай также не даёт решений.
Ответ: -1.
Если в этом примере заменить А на х, а п на у, переписать данное
равенство так, чтобы оно не содержало знаменателя, и перенести все
слагаемые в левую часть, получим Зху + 2х - бу - 7 = 0. Это пример
уравнения в целых числах, один из методов решения которого, в сущ­
ности, и проиллюстрирован выше: выражаем одну переменную через
другую, выделяем в полученной дроби целую часть и используем со­
ображения делимости. Таким способом можно решить в целых числах
любое уравнение вида аху + bx + cy + d = 0, в котором все коэффици­
енты— целые числа. Правда, иногда для этого требуется проявлять
чуть большую изобретательность. Это приходится делать в тех слу­
чаях, когда отношение коэффициента при переменной в числителе
к коэффициенту при переменной в знаменателе не является целым
числом, т. е. непосредственное выделение целой части невозможно.
Напомним, что другой способ решения таких уравнений изложен пе­
ред примером 7 и проиллюстрирован им.
Пример 13. Решите в целых числах уравнение х 4- lly -I- 6 = 5ху.
Решение. Выразим х через у, переписав уравнение в виде
Зху - х = 11у 4- 6,
откуда х(5у — 1) = Пу + 6. Поскольку у — целое число, получим, что
5у - 1
0. Поэтому х =
• Отношение коэффициента при пере­
менной в числителе к коэффициенту при переменной в знаменате­
ле дроби в правой части равенства не является целым числом, т. е.
непосредственное выделение целой части здесь невозможно. В таких
случаях можно использовать следующее рассуждение. Так как х — це,, _
55у + 30
лое число, 5х тоже целое число. Но 5х= 5 _ . Теперь указанное
отношение является целым числом и можно7выполнить стандартное
преобразование:
55у + 30 _ 11(5у- 1) + 41 =
5у-1
5у-1
Итак, 5х= 114-
41
+ 5у-Г
41
5у_}
, и> значит, 5у — 1 может принимать только зна­
чения 1, —1, 41, —41.
Рассмотрим эти 4 случая.
Случай 1: 5у — 1 = 1. Отсюда у = 0,4. Полученное число не является
целым, следовательно, этот случай решений не даёт.
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
35
Случай 2: 5у — 1 = -1. Отсюда у = 0. Тогда 5х = —30 и х= -6.
Случай 3: 5у — 1 = 41. Отсюда у = 8,2. Полученное число не явля­
ется целым, следовательно, этот случай решений не даёт.
Случай 4: 5у — 1 = -41. Отсюда у = -8. Тогда 5х = 10 их = 2.
Ответ: (-6; 0); (2; -8).
Рассмотренный пример иллюстрирует общую идею решения опре­
делённого типа уравнений в целых числах: если уравнение с двумя
переменными является линейным относительно одной из них, можно
попытаться выразить эту переменную через другую, а затем выделить
в полученном выражении «целую» часть.
Пример 14. Решите в целых числах уравнение
бу2 + 2уу - Зу - х = 2.
Решение. Это уравнение является линейным относительно пере­
менной х. Выразим эту переменную через у, переписав уравнение
в виде 2лу — х = —бу2 + Зу + 2, откуда х(2у — 1) = —бу2 + Зу + 2.
Заметим, что 2у — 1 0, поскольку у принимает только целочист-1
— бу2-I-Зу + 2
ленные значения. Поэтому х = —-,,, -у---- -. Выделим целую часть
в полученном выражении. Это можно сделать, например, выпол­
нив деление многочлена на многочлен столбиком. Мы попробуем
поступить иначе, выделив в числителе множитель 2у - 1. Получим
—бу2 + Зу + 2 = — Зу(2у — 1) + 2. Нам в каком-то смысле «повезло»:
иногда такое выделение множителя приходится делать несколько раз,
всегда начиная со старшей степени переменной. В таких случаях,
разумеется, проще выполнить деление «столбиком» многочлена на
многочлен. Теперь разделим почленно числитель на знаменатель:
—Зу(2у — 1) + 2 _
2
2у-1
' dy+2y-r
2
Итак, х = —Зу + --—. Поскольку числа х и —Зу являются целыми,
в силу полученного равенства число
также должно быть целым.
Знаменатель 2у — 1 также является целым числом. Поэтому он дол­
жен быть делителем числа 2, т. е. может принимать только значения
1, —1, 2, —2. Рассмотрим эти 4 случая.
2
Случай 1: 2у -1 = 1. Отсюда у=1, и, следовательно, х=—3 -14- у = -1.
Случай 2: 2у — 1 = —1. Отсюда у = 0, и, следовательно, х = — 3 • 0 +
Случай 3: 2у — 1 = 2. Отсюда у = 1,5. Полученное число не является
целым, следовательно, этот случай решений не даёт.
36
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
Случай 4: 2у - 1 = —2. Отсюда у = -0,5. Полученное число не яв­
ляется целым, следовательно, этот случай также не даёт решений.
Ответ: (-1; 1); (-2; 0).
Уравнения, рассмотренные выше, могут возникать и при решении
текстовых задач с целочисленными неизвестными.
Пример 15. Мастер делает за один час целое число деталей, боль­
шее 5, а каждый из учеников — на 2 детали меньше. Мастер выполня­
ет заказ за целое число часов, а два ученика вместе — на час быстрее.
Из какого числа деталей состоит заказ?
Решение. Пусть заказ состоит из х деталей, а мастер делает за
час у деталей (у > 5). Тогда ученик делает за час у — 2 детали,
а два ученика — 2у — 4 детали. Время, за которое сделает заказ
х
мастер, равно —, а время, за которое сделают заказ два ученика,
_4- Составим уравнение по условию задачи: — = 2^_4 + 1,
равно
откуда х(2у - 4) = ху + 2у2 - 4у. Полученное уравнение является
линейным относительно переменной х. Выразим эту переменную
через у, переписав уравнение в виде х(2у — 4) — ху = 2у2 — 4у, откуда
9
2у2—4у
х(у ~ 4) = 2у — 4у и (напомним, что у > 5) х =---- _4 . Но по
х
условию — является целым числом, а из полученного равенства слех
2у - 4
дует, что — — ^_4 . Выделим в числителе правой части множитель,
равный её знаменателю: 2у — 4 = 2(у — 4) + 4. Теперь выполним
почленное деление числителя на знаменатель:
2(у —4)+4 _
У~4
'2 + у-4-
Итак,
х
4
= 2+ ——г. Поскольку у > 5, получаем, что либо у — 4 = 2,
откуда у = 6, а х = 24, либо у — 4 = 4, откуда у = 8, а х = 24. В любом
случае получаем, что х = 24.
Ответ: 24.
Рассмотрим теперь несколько текстовых задач с целочисленными
неизвестными, аналогичных реальным заданиям ЕГЭ по математике.
Пример 16. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному
каждое из чисел 1, —2, —3, 4, —5, 7, —8, 9. Карточки переворачивают
и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному
каждое из чисел 1, —2, —3, 4, -5, 7, —8, 9. После этого числа на каж­
дой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
1. Может ли в результате получиться 0?
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
37
2. Может ли в результате получиться 1?
3. Какое наименьшее целое неотрицательное число может в ре­
зультате получиться?
Решение. 1. Среди восьми данных чисел нет противоположных.
Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё про­
изведение не может равняться нулю.
2. Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то
карточке попадётся два нечётных числа и их сумма чётная. Поэтому
всё произведение чётно и не может равняться 1.
3. Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на
двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа и сумма чисел
на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делит­
ся на 4. Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, —
это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках:
(1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8).
Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) 4.
Пример 17. Известно, что все члены арифметической прогрессии
{а„} являются различными натуральными числами и что её второй
член в 8 раз больше первого.
1. Может ли один из членов этой прогрессии быть больше другого
её члена в 567 раз?
2. Найдите наименьшее возможное отношение двух членов этой
прогрессии, отличных от а15 если известно, что это отношение явля­
ется целым числом, и укажите любую пару таких её членов.
3. Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один
из её членов равен 546.
Решение. 1. Из условия следует, что {ап}— арифметическая про­
грессия с разностью d 0, для которой а2 =
+ d = 8аъ откуда
d = 7аг. Следовательно, любой член этой прогрессии может быть
задан формулой ап = а1 + 7а1(п - 1), откуда ап = а\7п - 6). Пред­
положим, что
ак _ Ci(7k-6) _ 7fc-6 _ ц,7
ат ~ а^т-б)- 7т-6~ьь/-
Тогда 7к — 6 = 7 • 567 • т - 6 • 567, откуда 6 • 566 = 7 • 567 -т-7к, что
невозможно, поскольку правая часть этого равенства делится на 7,
а левая не делится.
2. Из предыдущего следует, что любой член данной прогрессии
начиная со второго может быть задан формулой ап+1 = аг + 7а
т. е. an+1 = а-, (7n + 1). Рассмотрим отношение двух членов этой про­
грессии, отличных от а15 и предположим, что это отношение равно
38
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
ак+1
аг(7к + 1)
7k+ 1
,
натуральному числу х. Получим — = М7>„ . п =
=х (здесь
к > т). Тогда 7к + 1 = 7тх + х и х — 1 = 7к — 7тх. Следовательно,
число х — 1 делится на 7. Наименьшим из таких натуральных чисел
является 7, откуда х = 8. Тогда к = 8т + 1. Если т = 1, то к = 9 и такими
членами являются а2 и «ю3. Если = 546, то а3 = 546(7 • 3 — 6) = 8190. Пусть теперь а-, 546.
Тогда а,1+1 = а1(7п + 1) = 546. Разложив число ая+1 = ax(7n +1) = 546
на простые множители, получим агС7п + 1) = 7 • 2 • 3 • 13, откуда
7п + 1 = 78 (поскольку единственным числом, остаток от деления
которого на 7 равен 1 и которое при этом либо является одним
из чисел 2, 3, 13, либо равно произведению любых двух из этих
чисел, либо равно произведению всех трёх чисел, будет именно
2-3-13 = 78). Но тогдап = 11, = 7иа3 = 7(7-3-6) = 105.
Ответ: 1) нет; 2) 8, а2 и а10; 3) 8190 или 105.
Пример 18. В некотором царстве было несколько (более двух) кня­
жеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царства­
ми и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое
было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа
прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и дели­
лись каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом
начале.
1. Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств
стать равным 102?
2. Могло ли в какой-то момент времени общее число княжеств
стать равным 320, если известно, что сразу после одного из делений
общее число княжеств было равно 162?
3. Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какогото из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше
первоначального?
Решение. Пусть п—число княжеств, которое было в самом нача­
ле, п > 2.
1. Каждое деление добавляет к общему числу княжеств и — 1 кня­
жество. Поэтому после к делений общее число княжеств будет равно
п -I- к (и — 1). Предположим, что
n + k(n —1) = 102.
Тогда п — 1 + к(п- 1) = 101 и (n — l)(k + 1) = 101. Поскольку 101 —
простое число, получим, что либо п - 1 = 1, откуда п = 2 (что проти­
воречит условию п > 2), либо к +1 = 1, откуда к = 0, что противоречит
тому, что было по крайней мере одно деление.
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
39
2. Предположим, что это возможно. Аналогично предыдущему по­
лучим, что в этом случае (п - 1)(к + 1) = 161 = 7 - 23 и (п - 1)(/ 4- 1) =
= 319 = 11 • 29, где к и I — номера делений. Такого натурального числа
и — 1 > 1, для которого выполнялись бы оба равенства
(п-1)(/с + 1) = 7-23
и
(п-1)(/ + 1) = 11-29,
очевидно, не существует.
3. Предположим, что это возможно. Получим, что в этом случае
п + к(п — 1) = 38п, откуда к(п — 1) = 37п и, следовательно, к(п — 1) =
= 37(п — 1) + 37- Далее, (к - 37) (и — 1) = 37, и, поскольку, п — 1 > 1,
получаем, что и — 1 = 37, к - 37 = 1. Таким образом, п = к = 38.
Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) 38.
Пример 19. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из
них выставляет оценку — целое число баллов от 1 до 15 включи­
тельно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки.
По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее
арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценива­
ния рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасы­
ваются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее
арифметическое пяти оставшихся оценок.
1. Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой
2 о■
системам оценивания, равняться —
2. Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой
2 о■
системам оценивания, равняться —
3. Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов,
вычисленных по старой и новой системам оценивания
Решение. Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по ста­
рой системе оценивания, через А, а рейтинг кинофильма, вычислен­
ный по новой системе оценивания, через В. Пусть х — наименьшая из
оценок, z — наибольшая, а у — сумма остальных пяти оценок. Тогда
x+y+z „ = |.
у
А. = ^Р,В
1. Рассмотрим разность
.
И
Ь “
x+y+z _ У _
7
5 “
2y+5z
35
2
5x-2y-l-5z
2
Предположим, что эта разность равна ту, т. е. что ------ту------ = ту,
*1 «3
О *3
i *3
14
откуда 5х — 2у -I- 5z = —. Равенство невозможно, поскольку его левая
часть является целым числом, а правая — нет.
,-г
40
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
2
2. Предположим, что А - В =
откуда аналогично предыдущему
пункту находим, что 5х — 2у + 5z = 2. В этом равенстве нет противо­
речия. Попробуем подобрать искомый набор, выбрав в качестве наи­
меньшей из оценок 1, т. е. положив х = 1. Тогда 5 — 2у + 5z = 2, откуда
5z = 2у — 3. Если в качестве у взять сумму следующих за единицей
оценок, то получим у = 2 -I- 3 + 4 + 5 + 6 = 20. Но тогда 5z = 40 — 3 = 37,
а число 37 на 5 не делится. Значит, набор слагаемых в сумме у на­
до изменить так, чтобы число 2у — 3 делилось на 5. Увеличение сум­
мы у на 1 приводит к увеличению числа 5z на 2. Чтобы прибавле­
нием двоек к 37 получить число, кратное 5, достаточно прибавить
к 37 четыре двойки, т. е. увеличить сумму у на 4. В этом случае по­
лучим 5z = 48 - 3 = 45, откуда z = 9. Увеличить сумму у на 4, выбирая
оценки от 2 до 8, можно, например, заменив 5 на 7, а 6 на 8. Тогда
у = 2 +3 + 4 +7 + 8 = 24 и равенство 5х — 2у + 5z = 2 для набора оце­
нок 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 выполняется.
3. Ранее мы получили, что
5х - 2у + 5z
А~в =------ 3§—’
Дробь будет максимальной, если её числитель равен наибольшему
возможному числу. Для этого необходимо, чтобы вычитаемое 2у было
наименьшим из возможных. Напомним, что х— наименьшая из оце­
нок, z — наибольшая, у — сумма остальных пяти различных оценок.
Эта сумма будет минимальной, если меньшая из её слагаемых-оценок
наиболее близка к х, т. е. равна х + 1, а каждая из следующих по
возрастанию четырёх оценок наиболее близка к предыдущей, т. е.
если у = (х 4- 1) + (х+2) +... + (х+5) = 5х +15. Тогда
_ 5х- 2(5х + 15) + 5z _ 5z —5х —30
А~ь~
35
35
Полученная дробь будет максимальной, если z = 15 (самая большая из
возможных оценок), а х = 1 (самая маленькая из возможных оценок).
При этом
5-15-5-1-30 _ 40 _ 8
А ь~
35
- 35 “ у
Осталось подобрать набор оценок, для которого найденное значение
достигается. Самая маленькая и самая большая оценки у нас уже есть,
как и правило выбора пяти промежуточных оценок. Искомый набор
оценок— 1, 2, 3, 4, 5, 6, 15.
Ответ: 1) нет; 2) да; 3) у.
Пример 20. В течение четверти учитель ставил школьникам оцен­
ки «1», «2», «3», «4», «5». Среднее арифметическое оценок ученика ока­
залось равным 4,7.
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
41
1. Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?
2. Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика,
если среди этих отметок есть отметка «1»?
3. Учитель заменил четыре отметки «3», «3», «5», «5» двумя отметка­
ми «4». На какое наибольшее число может увеличиться среднее ариф­
метическое отметок ученика после такой замены?
Решение. 1. Обозначим через п число оценок, через S — их сумму.
По условию ■. = 4,7, откуда S = 4,7п. Так как S =
и S — натураль­
ное число, п делится на 10. Следовательно, п > 10. Пример набора
из 10 оценок, удовлетворяющего условию задачи: три «четвёрки» и
семь «пятёрок».
2. Итак, отметок не меньше 10, и их число делится на 10. Если
одна из оценок — «единица», то не существует набора из 10 оценок,
удовлетворяющего условию задачи, поскольку если даже все девять
остальных оценок — «пятёрки», то сумма всех десяти оценок равна
5 • 9 4-1 = 46 < 47. Значит, оценок в этом случае не меньше 20. Ес­
ли оценок 20, то их сумма равна 94. Пример набора из 20 оценок,
удовлетворяющего условию задачи: одна «единица», две «четвёрки»
и семнадцать «пятёрок».
3. Среднее арифметическое набора оценок после замены равно
S —8 _ 4,7п —8 _
п -2 ' п-2
1,4
+ п-2'
Значение полученного выражения максимально при наименьшем до­
пустимом п, которое кратно 10. Если бы оценок было 10, то их сум­
ма была бы равна 47. Но поскольку среди оценок есть две «тройки»,
максимальное значение их суммы равно 2 • 3 + 8 • 5 = 46 < 47. Значит,
оценок не менее 20. Если оценок 20, то их сумма равна 94. Пример на­
бора из 20 оценок, удовлетворяющего условию задачи: две «тройки»,
две «четвёрки» и шестнадцать «пятёрок». В этом случае величина, на
которую увеличится среднее арифметическое оценок, равна
1,4
1,4
7
П -2 “ 20 -2 “ 90’
Ответ: 1) 10; 2) 20; 3)
Пример 21. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в те­
атр, при этом возможно, что кто-то из них сходил и в кино, и в театр.
4
Известно, что в театре мальчиков было не более
от общего чис­
ла учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не
более 7 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
42
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
1. Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно из­
вестно, что всего в группе было 20 учащихся?
2. Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе,
если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
3. Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего
числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов 1 и 2?
Решение. 1. Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших
только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек,
сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит,
в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.
2. Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда дево­
чек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, по­
скольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше
5
5
4
= т-т, что больше уу. Аналогично кино
Э I у
-L i
J O
7
7
2
посетило не более 6 мальчиков, поскольку —
=
> у Но тогда
хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противо­
речит условию. В предыдущем пункте было показано, что в группе из
20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количе­
ство мальчиков в группе — 10.
3. Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в ки­
но. Если бы вместо него в группе присутствовали два мальчика,
один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то
доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая
доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли
девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или
только в театр, или только в кино. Пусть в группе т1 мальчиков,
посетивших театр, т2 мальчиков, посетивших кино, и d девочек.
Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки
ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не
изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
г,
i
4 откуда
По условию тm+d
уд,
l
d
9
Wj
4
т2
т.е. — >
а — <
Кроме того, —
т1 ■ 4
d
9
1
m2 + d
_
предыдущему)> m2 < 2 Следовательно,
mi+m2 < 10
d
® 9 ’
2
5’
откуда (аналогично
-,к '
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
43
поэтому доля девочек в группе:
d____________1
m1+m2 + d — nii+m2
d
т
1
_ 9
Ю . , ~ 19'
9
Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 маль­
чиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и
9
в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна
.
о
Ответ: 1) да; 2) 10; 3) У..;
Пример 22. Задумано несколько (не обязательно различных) на­
туральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3
и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то
число п, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске
оставляется одно такое число п, а остальные числа, равные п, стира­
ются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет
записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
1. Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске бу­
дет записан набор 2, 4, 6, 8.
2. Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на
доске будет записан набор
1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?
3. Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на дос­
ке будет записан набор
9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.
Решение. 1. Задуманные числа 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор,
записанный на доске.
2. Поскольку задуманные числа натуральные, наименьшее число
в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее чис­
ло в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел запи­
санного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего,
т. е. 22 — 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует
примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выпи­
сан набор из условия.
3. Число 9 — наименьшее число в наборе — является наименьшим
из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма
всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не
52
превосходит целой части числа —, т. е. 5. Кроме того, числа 10 и
11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются
44
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна
52 — 9 - 10 — 1'1 = 22. Таким образом, так как наименьшее задуманное
число равно 9, оставшиеся задуманные числа — это 11 и 11 или 22.
Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11,11 или 9, 10, 11, 22 на доске будет
записан набор, данный в условии.
Ответ: 1) 2, 2, 2, 2; 2) нет; 3) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.
Упражнения к § 1.3
1. Докажите, что данное уравнение не имеет решений в целых числах:
а) 2х + 2у = 7; б) Зх + бу = 25.
2. Докажите, что данное уравнение не имеет решений в целых числах:
а) Зх2 + бху + 9у2 = 1234; б) 9х2 + бху+ 3у2 = 4321.
3. Решите в целых числах уравнение: а) ху = 3; б) ху = -2.
4. Решите в целых числах уравнение: а) у = 2+~; б) у = 5 + -.
Зх —2
2х —3
5. Решите в целых числах уравнение: а) у = х ■; б) у = —-—.
6. Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у, для которых:
а) 5х +10 = 7у; б) 7х + 21 = 11у.
7. Решите в целых числах уравнение:
а) 5х+11у = 12; б)7х-13у = 29.
8. Решите в целых числах уравнение:
а) (2х + у + 1)(х+2у + 1) = 1; б) (2х + Зу + 4)(Зх + 2у + 4) = 1.
9. Решите в целых числах уравнение:
а) х2 = у2 + 4у+ 5; б) у2 = х2 + 6х+10.
10. Решите в целых числах уравнение:
а) 4х2 + 8ху - 5у2 = 7; б) Зх2 - 4ху - 4у2 = 3.
11. Решите в целых числах уравнение:
а) Зх-4ху+16у = 5; б) 2х-Зху + 9у = 1.
12. Решите в целых числах уравнение:
а) у2 - Зху + 2 = 0; б) у2 - 4ху + 3 = 0.
13. Решите в целых числах уравнение:
а) Зх3 - Зху+ 5х2 -2у+ 2х = 5; б) 4х3 - 4ху -х2 - Зу - Зх = -7.
14. Решите в целых числах уравнение:
а) 2х3 - Зх2у - 2ху + Зу2 = 3; б) Зх3 - 5х2у + Зху - 5у2 = 5.
15. Решите в целых числах уравнение:
а) Зх2 + 5ху - 2у2 + 5х - 4у = 7; б) 4х2 + 14ху-8у2 + 7х-8у = 9.
16. Найдите все пей, при которых число А является целым, если:
а) А~ п + 1 ’ б) А~ 2п+3'
17. Найдите все пей, при которых число А является целым, если:
,
6п + 5. ,,
5л - 3
)А 4л + 3’
Зп+4'
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
45
18. На какое наибольшее натуральное число можно сократить
дробь А, еслипе%и: а)
б)
19. а) На какое наибольшее натуральное число можно сократить
- Зп+4т
, т
дробь 4п + зт» если известно, что она сократима, а дробь — несокра­
тима (пeZ, meZ)?
б) На какое наибольшее натуральное число можно сократить
, 2п + 3пг
, т
дробь
если известно, что она сократима, а дробь — несо­
кратима (n с Z, meZ)?
20. а) Сумма пяти наименьших натуральных делителей натураль­
ного числа равна 17, а сумма четырёх наибольших его делителей рав­
на 427. Найдите это число.
б) Сумма пяти наименьших натуральных делителей натурально­
го числа равна 17, а сумма четырёх наибольших его делителей рав­
на 671. Найдите это число.
21. а) Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в уу раза
больше, чем среднее арифметическое обратных чисел.
1. Докажите, что наименьшее из этих чисел равно 1.
2. Найдите эти числа.
б) Среднее арифметическое четырёх натуральных чисел в у= раза
больше, чем среднее арифметическое обратных чисел.
1. Докажите, что наименьшее из этих чисел равно 1.
2. Найдите эти числа.
22. а) Каждое из чисел 2, 3,..., 7 умножают на каждое из чисел
13,14, ...,21 и перед каждым из полученных произведений произ­
вольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54
полученных результата складывают.
1. Какую наибольшую по модулю сумму можно получить в резуль­
тате указанных действий?
2. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в резуль­
тате указанных действий?
б) Перед каждым из чисел 2, 3,..., 6 и 10,11,..., 20 произвольным
образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из обра­
зовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовав­
шихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов
складывают.
1. Какую наибольшую по модулю сумму можно получить в резуль­
тате указанных действий?
2. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в резуль­
тате указанных действий?
46
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
23. а) Все члены конечной последовательности являются нату­
ральными числами. Каждый член этой последовательности начиная
со второго отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма
всех членов последовательности равна 257.
1. Какое наименьшее число членов может быть в последователь­
ности?
2. Какое наибольшее число членов может быть в последовательности?
б) Все члены конечной последовательности являются натуральны­
ми числами. Каждый член этой последовательности начиная со вто­
рого отличается от предыдущего либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех
членов последовательности равна 437.
1. Какое наименьшее число членов может быть в последователь­
ности?
2. Какое наибольшее число членов может быть в последовательности?
24. а) Все члены геометрической прогрессии являются различны­
ми натуральными числами, заключёнными между числами 210 и 350.
1. Может ли такая прогрессия состоять из четырёх членов?
2. Может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
б) Все члены геометрической прогрессии являются различными
натуральными числами, заключёнными между числами 510 и 740.
1. Может ли такая прогрессия состоять из четырёх членов?
2. Может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
25. а) В возрастающей последовательности натуральных чисел
каждые три последовательных члена образуют либо арифметиче­
скую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последова­
тельности равен 1, а последний равен 2046.
1. Может ли последовательность состоять из трёх членов?
2. Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
3. Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
б) В возрастающей последовательности натуральных чисел каж­
дые три последовательных члена образуют либо арифметическую, ли­
бо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности ра­
вен 1, а последний равен 2076.
1. Может ли последовательность состоять из трёх членов?
2. Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
3. Может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
26. а) Все члены конечной последовательности являются нату­
ральными числами. Каждый член этой последовательности начиная
со второго либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего.
Сумма всех членов последовательности равна 3024.
1. Может ли последовательность состоять из двух членов?
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
47
2. Может ли последовательность состоять из трёх членов?
3. Какое наибольшее число членов может быть в последовательности?
б) Все члены конечной последовательности являются натуральны­
ми числами. Каждый член этой последовательности начиная со вто­
рого либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма
всех членов последовательности равна 3345.
1. Может ли последовательность состоять из двух членов?
2. Может ли последовательность состоять из трёх членов?
3. Какое наибольшее число членов может быть в последовательности?
27. а) На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­
нее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое
всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно —8.
1. Сколько чисел написано на доске?
2. Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
3. Какое наибольшее количество положительных чисел может
быть среди них?
б) На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех
положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отри­
цательных из них равно —18.
1. Сколько чисел написано на доске?
2. Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
3. Какое наибольшее количество положительных чисел может
быть среди них?
28. а) Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке
неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет
выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
1. На доске выписан набор —13, —8, —6, —5, — 1, 2, 7. Какие числа
были задуманы?
2. Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выпи­
санном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее
количество чисел могло быть задумано?
3. Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Все­
гда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные
числа?
б) Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и г. д.) выписывают на доску в порядке
неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет
выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8,10.
48
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
1. На доске выписан набор -9, -6, -4, —3, —1, 2, 5. Какие числа
были задуманы?
2. Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выпи­
санном на доске, число 0 встречается ровно 5 раз. Какое наименьшее
количество чисел могло быть задумано?
3. Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда
ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
29. а) Можно ли привести пример пяти различных натуральных
чисел, произведение которых равно 1008 и
1) пять; 2) четыре; 3) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример пяти различных натуральных чи­
сел, произведение которых равно 1512 и
1) пять; 2) четыре; 3) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
30. а) На листе бумаги написаны в строчку 14 единиц.
1. Докажите, что между этими единицами можно расставить знаки
сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий
получится число, делящееся на 162.
2. Докажите, что если единицы, стоящие на чётных местах, заме­
нить четвёрками, то всё равно между числами полученного набора
можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что по­
сле выполнения действий получится число, делящееся на 162.
3. Докажите, что между любыми 14 натуральными числами можно
расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после вы­
полнения действий получится число, делящееся на 162.
б) На листе бумаги написаны в строчку 13 единиц.
1. Докажите, что между этими единицами можно расставить знаки
сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий
получится число, делящееся на 108.
2. Докажите, что если единицы, стоящие на чётных местах, заме­
нить семёрками, то всё равно между числами полученного набора
можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что
после выполнения действий получится число, делящееся на 108.
3. Докажите, что между любыми 13 натуральными числами можно
расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после вы­
полнения действий получится число, делящееся на 108.
31. а) 1. Чему равно число способов записать число 1595 в виде
1595 = а3 ■ 103 + а2 • 102 3- аг • 10 + а0,
где числа а, целые, 0
а, < 99, i = 0; 1; 2; 3?
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
49
2. Существуют ли 10 таких различных чисел N, что их можно пред­
ставить в виде
N = а3 ■ 10” + <^2 ■
+ Я ■ 10 + Яд,
где числа я, целые, 0 я; С 99, i = 0; 1; 2; 3, ровно 160 способами?
3. Сколько существует таких чисел N, что их можно представить
в виде
N = я3 • 10 + я 2 ‘ Ю ■
' Ю Ф Яд,
где числа я,- целые, 0 я, 99, i = 0; 1; 2; 3, ровно 160 способами?
б) 1. Чему равно число способов записать число 1193 в виде
1193 = а3 ■ 10” + й-2 ■ Ю“ + я > • 10 + cLq,
где числа я; целые, 0 < я,- < 99, i = 0; 1; 2; 3?
2. Существуют ли 10 таких различных чисел N, что их можно пред­
ставить в виде
N — Я3 • 10 ' + Я 2 ‘ 1 О 0 01 • 10 + Яд,
где числа я, целые, О <я( < 99,1 = 0; 1; 2; 3, ровно 120 способами?
3. Сколько существует таких чисел N, что их можно представить
в виде
N — &з • 10° + 0.2 * Ю 4- сц • 10 + Gq,
где числа а, целые, 0 4 а( С 99, i = 0; 1; 2; 3, ровно 120 способами?
32. а) Рейтинг изделия оценивается семью экспертами, каждый
из которых ставит целую оценку от 0 до 12. При подсчёте рейтин­
га используется одна из двух моделей. В модели А учитываются все
оценки экспертов и рейтинг RA считается как среднее арифметиче­
ское всех семи оценок. В модели В отбрасываются самая высокая и
самая низкая оценки экспертов и рейтинг RB считается как среднее
арифметическое оставшихся пяти оценок.
1. Может ли разность рейтингов RA - RB быть равной —?
2. Может ли разность рейтингов RA — RB быть равной т4-?
3. Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов
Ra - RB, если дополнительно известно, что среди оценок экспертов
нет одинаковых.
б) Рейтинг изделия оценивается семью экспертами, каждый из ко­
торых ставит целую оценку от 0 до 10. При подсчёте рейтинга ис­
пользуется одна из двух моделей. В модели А учитываются все оценки
экспертов и рейтинг RA считается как среднее арифметическое всех
семи оценок. В модели В отбрасываются самая высокая и самая низ­
кая оценки экспертов и рейтинг RB считается как среднее арифмети­
ческое оставшихся пяти оценок.
50
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
1. Может ли разность рейтингов RA — RB быть равной ^?
2. Может ли разность рейтингов RA — RB быть равной ^?
3. Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов
Ra — RB, если дополнительно известно, что среди оценок экспертов
нет одинаковых.
33. а) Из натуральных нечётных чисел от 11 (включительно) до
67 (включительно) выбирают в порядке возрастания семь произволь­
ных. Пусть Ra—среднее арифметическое всех семи выбранных чи­
сел, RB —четвёртое из выбранных чисел в порядке возрастания.
1. Может ли разность RA — RB быть равной |?
2
2. Может ли разность RA — RB быть равной =?
3. Найдите наибольшее возможное значение разности RA - RB.
б) Из натуральных нечётных чисел от 1 (включительно) до 59
(включительно) выбирают в порядке возрастания семь произволь­
ных. Пусть Ra — среднее арифметическое всех семи выбранных чи­
сел, RB —четвёртое из выбранных чисел в порядке возрастания.
1. Может ли разность RA — RB быть равной =?
2
2. Может ли разность RA — RB быть равной у?
3. Найдите наибольшее возможное значение разности RA — RB.
34. а) За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, при­
чём каждый что-то ел и может быть так, что кто-то ел и то и другое.
Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более ~ от об­
щего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты,
2
было не более = от общего числа детей, евших конфеты.
1. Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно из­
вестно, что всего за столом было 25 детей?
2. Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом,
если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?
3. Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего
числа детей за столом без дополнительного условия пунктов 1 и 2?
б) Дома у каждого ученика класса живёт кошка или собака, а у
некоторых, возможно, и кошка, и собака. Известно, что мальчиков,
имеющих собак, не более j от общего числа учеников класса, име­
ющих собак, а мальчиков, имеющих кошек, не более — от общего
числа учеников класса, имеющих кошек.
1. Может ли в классе быть 11 мальчиков, если дополнительно из­
вестно, что всего в классе 21 ученик?
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными
51
2. Какое наибольшее количество мальчиков может быть в классе,
если дополнительно известно, что всего в классе 21 ученик?
3. Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего
числа учеников без дополнительного условия пунктов 1 и 2?
35. а) Гидролог вводит в компьютер измерения температуры за­
бортной воды. Температура измеряется с точностью до одной десятой
градуса, для целых значений после запятой ставится нуль. За время
наблюдений температура была выше 10°С, но ниже 17°С. Всего гид­
ролог ввёл 32 измерения, но из-за усталости, качки судна и плохой
клавиатуры один раз вместо десятичной запятой он нажал клавишу
«О», а в другой раз вообще не нажал десятичную запятую. После упо­
рядочивания данных по возрастанию получился ряд из 32 чисел, на­
чинающийся числами 12,2; 12,8; ... Если из полученного ряда удалить
два первых числа, среднее арифметическое оставшихся чисел будет
равно 68,8, а если удалить два последних, то среднее арифметиче­
ское оставшихся будет равно 13,7. Определите, в каких числах и какие
ошибки допустил гидролог.
б) Метеоролог вводит в компьютер измерения температуры воз­
духа. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса,
для целых значений после запятой ставится нуль. За время наблюде­
ний температура была выше 20°С, но ниже 26°С. Всего метеоролог
ввёл 22 измерения, но из-за усталости и плохой клавиатуры один раз
вместо десятичной запятой он нажал клавишу «О», а в другой раз во­
обще не нажал десятичную запятую. После упорядочивания данных
по возрастанию получился ряд из 22 чисел, начинающийся числами
21,3; 21,7; ... Если из полученного ряда удалить два первых числа,
среднее арифметическое оставшихся чисел будет равно 149,53, а если
удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся будет
равно 23,28. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил
метеоролог.
36. а) На доске было написано 30 натуральных чисел (необяза­
тельно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее
арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из
чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального.
Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
1. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел,
оставшихся на доске, больше 14?
2. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел
оказаться больше 12, но меньше 13?
3. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифмети­
ческого чисел, которые остались на доске.
52
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
б) На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно
различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некото­
рых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие
первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались
равными 0, с доски стёрли.
1. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на
доске увеличилось?
2. Среднее арифметическое первоначально написанных чисел рав­
нялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске
чисел оказаться равным 34?
3. Среднее арифметическое первоначально написанных чисел рав­
нялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего ариф­
метического чисел, которые остались на доске.
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
и нестандартных задачах
Решение значительной части задач с параметром и нестандартных
задач сводится к исследованию квадратного трёхчлена. Эти задачи
можно разделить на две большие группы:
— задачи, для решения которых достаточно исследования дискри­
минанта и, в некоторых случаях, применения формул Виета (к этой
группе относятся задачи, в которых дискриминант квадратного трёх­
члена является полным квадратом; задачи на определение знаков
корней квадратного трёхчлена; уравнения и неравенства с несколь­
кими переменными, квадратные относительно хотя бы одной из них);
— задачи, связанные с исследованием расположения корней квад­
ратного трёхчлена относительно заданных чисел, и сводимые к ним
после некоторых предварительных действий, прежде всего замены
переменной.
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
В этом параграфе будут рассмотрены уравнения и неравенства,
ключевой идеей решения которых является исследование дискрими­
нанта квадратного трёхчлена. В самых простых случаях дискрими­
нант квадратного трёхчлена является полным квадратом, что позво­
ляет в явном виде получить корни трёхчлена и ответить на вопрос за­
дачи. В более сложных задачах число неизвестных превосходит число
уравнений или неравенств, но степень по крайней мере одной пере­
менной в одном из уравнений или неравенств равна двум, что позво­
ляет рассматривать такое уравнение или неравенство как квадратное
относительно этой переменной.
При решении задач, связанных с определением знаков корней
квадратного трёхчлена, полезными оказываются формулы Виета:
Х| + х2 = —ХуХ-2 — - (здесь
и х2 — корни квадратного трёхчлена
/(х) = ах2 -г Ьх -г с, а 0). Из этих формул следует, что квадратный
трёхчлен имеет корни разных знаков в том и только том случае, если
— < 0 (тогда, разумеется, ас < 0 и условие существования корней,
т. е. условие положительности дискриминанта D = Ь2 — 4ас, будет
выполнено «автоматически», поскольку в этом случае Ь2 — 4ас > 0;
так что дискриминант можно не вычислять, если только не требуется
искать сами корни трёхчлена). Два различных корня одного знака
54
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
квадратный трёхчлен будет иметь, только если / > 0 и D > 0 (здесь
условие положительности дискриминанта, т. е. условие существо­
вания корней, уже является обязательным). Оба этих корня будут
положительны, если их сумма положительна (т. е. дополнительно вы­
полнено условие “ > 0 или эквивалентное ему ab > 0); оба корня будут
отрицательными, если их сумма отрицательна (г. е. дополнительно
выполнено условие | < 0 или эквивалентное ему ab < 0). В задачах
такого рода применение формулы корней квадратного уравнения
с последующим выписыванием соответствующих (часто иррацио­
нальных) неравенств обычно приводит к громоздким выкладкам и
существенно удлиняет решение. Основные утверждения о знаках
корней квадратного трёхчлена теперь можно привести в компактной
записи с помощью следующей таблицы.
Утверждения о знаках корней квадратного трёхчлена
/(х) ах2 i bx\ с (<( / 0, D = Ь2 4пс)
Необходимые
и достаточные условия
2) /(х) имеет два различных корня одного знака
r D>0,
k ас> 0
v
Л
О
Q
Q
о Р
V
-°
Y
Q
■
V
4) /(х) имеет два различных отрицательных корня
Q
t)
3) /(х) имеет два различных положительных корня
р РY
ас< 0
tl
1) /(х) имеет два корня разных знаков
Сформулированные утверждения позволяют отвечать и на более
сложные вопросы. Например, для ответа на вопрос о необходимых и
достаточных условиях того, что многочлен /(х) = ах2 + Ьх + с имеет
хотя бы один положительный корень, нужно, вообще говоря, рассмот­
реть пять случаев: 1) а = 0 и многочлен /(х) = Ьх + с имеет положи­
тельный корень; 2) а^О и многочлен /(х) = ах2 + Ьх + с имеет два
различных положительных корня; 3) а /0 и многочлен/ (х) имеет два
корня разных знаков; 4) а 0 и многочлен /(х) имеет два корня, один
из которых равен нулю, а другой положителен; 5) й/0 и многочлен
/(х) имеет ровно один корень, причём этот корень положителен.
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
55
Формулы Виета можно использовать и для вычисления корней
неприведённого квадратного уравнения. В самом деле, пусть дано
квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0, корнями которого являются
числа
и х2. Тогда, как уже отмечалось, справедливы формулы
Виета:
IГ^+х
I
b
2 = --.
V1%2 = а'
Если умножить обе части первого уравнения системы на а, а обе ча­
сти второго уравнения на а2, получим систему, которую можно запи­
сать так:
[ (axj + (ax2) = -b,
1 (axjfax^ = ас.
Таким образом, если найти два числа, произведение которых рав­
но ас, а сумма равна -Ь, то это будут числа ахг и ах2, после чего
останется каждое из найденных чисел разделить на а и получить кор­
ни данного уравнения. При определённом навыке такие вычисления
легко проводятся устно: на «роль» ахг и ах2 претендуют делите­
ли числа ас, и, перебирая «по возрастанию» возможные делители
этого числа (начиная с простейшего — единицы), можно доволь­
но быстро получить ответ. Так, для вычисления корней уравнения
8х2 — 73х + 9 = 0 найдём сначала два числа, произведение которых
равно 8 • 9 = 72, а сумма равна 73. Уже простейший делитель числа 72
позволяет получить ответ: 1 • 72 = 72, 1 + 72 = 73. Осталось разделить
о
1
найденные числа на 8 и получить корни данного уравнения: « и
72
— = 9. Рассмотрим ещё один пример, вычислив корни уравнения
9х2 — 15х + 4 = 0. Для этого сначала найдём два числа, произведе­
ние которых равно 9 • 4 = 36, а сумма равна 15. Перебирая пары
делителей числа 36 «по возрастанию» меньшего делителя (1 и 36,
2 и 18, 3 и 12), уже на третьем шаге находим искомые числа, сумма
которых равна 15: это 3 и 12. Разделив каждое из них на 9, получим
3
1
12
4
корни данного уравнения: н — j и
Для вычисления корней
уравнения 4х2 + 5х — 6 = 0 найдём два числа, произведение которых
равно 4 • (—6) = —24, а сумма равна —5. Поскольку произведение
двух этих чисел отрицательно, одно из них является положительным,
другое — отрицательным. Сумма этих чисел также отрицательна, по­
этому меньший делитель числа 24 будем «брать» со знаком «плюс», а
больший — со знаком «минус»: 1 и -24, 2 и —12, ... На третьем шаге
56
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
получаем два числа, сумма которых равна -5: это 3 и —8. Разделив
„ ..
3
каждое из этих чисел на 4, найдем корни данного уравнения: - и
- = —2. Разумеется, этот прием применим только в тех случаях,
когда корни квадратного уравнения рациональны.
Перейдём теперь к более сложным задачам.
Пример 1. Найдите все значения параметра а, для каждого из
которых больший корень уравнения х2 - (14а — 1)х + 49а2 - 7а = О
в пять раз больше, чем его меньший корень.
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное с пере­
менной х. Из условия задачи следует, что это уравнение должно иметь
два различных корня, что возможно в том и только том случае, ес­
ли дискриминант D уравнения положителен. Пусть
и х2 — соответ<. Л
„
14a-l--/D
ственно меньший и больший корни уравнения. Тогда Xj =---- ,----- ,
14a-l + /D „
Х2 = — —---- .Поскольку
D = (14а - I)2 - 4(49а2 - 7а) = 1,
получим, что х1 = 7а — 1, х2 = 7а. По условию х2 = 5хъ поэтому
7а = 5 (7а - 1), откуда а = у у.
„
5
Ответ: а = уу.
ZO
Замечание. Корни уравнения можно было найти, воспользо­
вавшись формулами Виета: их произведение равно 49а2 — 7а, т. е.
7а(7а - 1), а сумма равна 14а - 1, т. е. 7а + (7а - 1). Следует отметить,
что в некоторых случаях знание формул Виета позволяет быстрее
получить ответ, однако при отсутствии должной практики решения
подобных задач лучше «честно» вычислять дискриминант.
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение х2 — 2(а2 — 4а + 1)х + 4 = 0 имеет два различных
отрицательных корня.
Решение. Обозначим а2 - 4а + 1 через b и рассмотрим уравнение
х2 — 2Ьх + 4 = 0. Это уравнение имеет два различных корня в том и
только том случае, если его дискриминант D положителен (или, что
то же самое, если
= Ь2 — 4> 0). Из формул Виета следует, что ес­
ли это уравнение имеет два различных корня, то эти корни — одного
знака, так как их произведение равно положительному числу 4. Отри­
цательными эти корни будут, если их сумма отрицательна, т. е. если
Ъ < 0. Добавив к последнему неравенству условие положительности
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
57
D
числа —, получим систему
откуда
Ь< О,
СЬ — 2)СЬ + 2) > 0.
Решение второго неравенства системы — объединение двух лучей
(-оо; —2) и (2; +«):
С учётом первого неравенства системы получим, что b < —2,
т. е. а2 — 4а + 1 < —2, откуда а2 — 4а + 3 < 0. Корнями квадратного
трёхчлена в левой части последнего неравенства являются числа
1 и 3. Значит, (а - 1) (а — 3) < 0, откуда а е (1; 3):
+
3
1
а
Ответ: (1; 3).
Пример 3. Для каждого значения параметра а найдите корни
уравнения arcsin(ax2 — ах — 1) + arcsinx=0.
Решение. Перепишем уравнение в виде
arcsin(ax2 - ax — 1) = - arcsinx
и воспользуемся нечётностью арксинуса:
arcsin(ax2 — ax —1) = arcsin(—х).
Арксинусы двух чисел равны в том и только том случае, если эти числа
равны (это следует, например, из возрастания функции у = arcsint)
и модуль каждого из них не превосходит единицы (в силу равенства
чисел последнее ограничение достаточно записать только для одного
из них). Таким образом, приходим к системе
ах2 - ах - 1 = -х,
|-х| < 1,
откуда
ах2 - (а - 1)х-1 = О,
|х| < 1.
Первое уравнение системы является либо линейным (при а = 0), ли­
бо квадратным (при а =4 0). Рассмотрим оба этих случая. Пусть а = 0.
58
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
В этом случае система примет вид
х-1 = О,
|х| < 1,
Пусть а
откуда
х = 1.
0. В этом случае корнями уравнения системы являются
числа хг = 1 и х2 = — - (их можно наити, воспользовавшись формулой
корней квадратного уравнения или формулами Виета). Для первого из
них неравенство системы выполнено, а для второго это неравенство
1
1
У 1 и, значит, |а| 1. Если а = -1, то
а
1;
+<=о), уравнение имеет два корня.
х2 = хг = 1. Если а е (-оо; -1) и
примет вид
Ответ:
а
1, откуда
1при а е (-оо; -1) и [1; + »); {1} при а е [-1; 1).
Пример 4. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко— 2х — 1
торых уравнение ——2х~^2 = а имеет хотя ®ы °ДИН корень.
Решение. Заметим, что левая часть уравнения определена при лю­
бом действительном значении переменной, поскольку дискриминант
квадратного трёхчлена в знаменателе дроби отрицателен и, следо­
вательно, не обращается в нуль. Рассмотрим данное уравнение как
уравнение второй степени с переменной х, приведя его к стандарт­
ному виду. Выполним необходимые преобразования: х12 — 2х — 1 =
= а(х2 - 2х + 2), откуда (а - 1)х2 - 2(а - 1)х -I- 2а + 1 = 0. При а = 1
уравнение принимает вид 0 • х -I- 3 = 0 и не имеет корней. При а 1
уравнение является квадратным и имеет хотя бы один корень в том
и только том случае, если его дискриминант D неотрицателен (или,
что то же, если -;••()). Поскольку
J = (а - I)2 - (а - 1)(2а +1) = -(а -1)(а + 2),
получаем неравенство (а — 1) (а + 2)
а 1 находим, что а е [—2; 1).
0, из которого с учётом условия
1
а
Ответ: [-2; 1).
Замечание. Аналогичным образом можно, не прибегая к приме­
нению производной, найти множество значений любой дробно-квад­
ратичной функции, т. е. функции вида у = aix^ + ^ix + ci, где хотя gbI
С1?Х
^2^~
^2
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
59
один из коэффициентов ах или а2 отличен от нуля (последнее условие
можно коротко записать так: а2 + а2 0). Вообще, как мы увидим
в дальнейшем, рассмотрение уравнения с несколькими неизвестны­
ми как квадратного относительно одной из них оказывается весьма
эффективным и для решения более сложных задач.
Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение
121х + (За2 - а + 4) • 11х - 5а - 2 = 0
имеет единственный корень.
Решение, Сделаем замену переменной. Пусть t= 11х, Уравнение
примет вид 12 + (За2 — а + 4)1 — 5а — 2 = 0. Поскольку 11х > 0 при
любом действительном значении переменной, задачу можно пере­
формулировать так: найти все значения параметра а, при каждом
из которых уравнение 12 4- (За2 — а + 4)1 — 5а — 2 = 0 имеет един­
ственный положительный корень. Если это уравнение имеет корни
1! и 12, то их сумма равна —За2 + а — 4. Дискриминант квадратного
трёхчлена —За2 + а — 4 отрицателен (он равен —47) и коэффициент
при второй степени а отрицателен, поэтому —За2 + а — 4 < 0 при
любом действительном а. Значит, 1Х + 12 < 0 и только один корень
уравнения 12 + (За2 — а +4)1 — 5а — 2 = 0 может быть положителен.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие
t2t2 < 0, г. е. —5а — 2 < 0, откуда а > —0,4.
Ответ: (-0,4; +<»).
Пример 6. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых система уравнений
(х + 4у — 1,
■ х2 + 20ху + ЮОу2 - 8ах - 80ау + 97а2 + 144а + 64 = 0
имеет единственное решение.
Решение, Для того чтобы ответить на вопрос задачи, можно
из первого уравнения выразить х через у, подставить полученное
выражение во второе уравнение и рассмотреть его как квадратное от­
носительно переменной у. Данная система будет иметь единственное
решение в том и только том случае, если дискриминант подушенного
уравнения равен нулю. Приравняв дискриминант к нулю и решив по­
душенное уравнение с переменной а, найдём ответ. Выкладки можно
упростить, если заметить, что первые три слагаемых в левой части
второго уравнения системы представляют собой квадрат суммы чисел
х и 10у, а —8ах — 80ау = -8а(х 4- 10у), в силу чего это уравнение
можно привести к виду (х4- 10у)2 — 8а(х4- 10у)4-97а2 : 144а + 64=0.
60
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Если последнее (квадратное относительно t = х + 10у) уравнение
имеет два различных корня и t2, то и данная система будет иметь
два решения, поскольку каждая из систем
fx + 4y = l,
(
I х + 10у = (у
(х + 4у = 1,
(
[ х + 10у = t2
и
будет иметь ровно одно решение и эти решения являются различ­
ными (объясните почему). Следовательно, данная система имеет
единственное решение в том и только том случае, если уравнение
г — 8at + 97а2 + 144а + 64 = 0 имеет единственный корень. Послед­
нее возможно, только если дискриминант D этого уравнения равен
нулю (или, что то же самое, если
= 0). Поскольку
| = 16а2-(97а2 + 144а+ 64) = -(81а2 + 144а+ 64) = -(9а + 8)2,
условие равенства нулю дискриминанта выполняется только при
8
а- 9.
g
Ответ: а
.
Пример 7. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых при любом значении параметра b система уравнений
[ Ьх = у + az2,
[(Ь — 6)х + 2by = 4z + 4
имеет хотя бы одно решение (х; у; z).
Решение. Здесь мы встречаемся с довольно типичной для нестан­
дартных уравнений и неравенств (в том числе содержащих парамет­
ры) ситуацией: число уравнений меньше числа неизвестных, да к то­
му же система содержит параметр. Посмотрев на систему вниматель­
ней, видим, что относительно переменных х и у она является линей­
ной. Выразив из первого уравнения у через х, получим у = Ьх — az2.
Подставим это выражение во второе уравнение системы, перенесём
все слагаемые в левую часть и вынесем за скобки х. Получим систему
(у = Ьх - az2,
'■ (2Ь2 + Ь - 6)х - 2abz2 - 4z - 4 = 0.
Если 2b2 -I- Ь — 6 0 (т. е. Ь —2 и Ь 7), можно (начав со второго
уравнения) довольно легко подобрать решение системы при любом
4
п
и
4Ь
значении параметра а, например х 2b2+b~i6’ z=^> У='зх= 2Ь2+Ь~6’
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
61
3
Таким образом, при Ь^-2иЬ^ - система имеет хотя бы одно реше­
ние (вне зависимости от значений параметра а). Остаётся найти все
значения параметра а, при которых система имеет решения как при
3
b = —2, так и при b =
Пусть b = -2. Тогда система примет вид
(у = -2x-az2,
[az2-z-l = 0.
Эта система имеет решения, только если её второе уравнение име­
ет хотя бы один корень z0. В самом деле, в этом случае, выбрав
в качестве х любое действительное число х0, из первого уравне­
ния получим у = -2х0 — az2, и решением системы при любом а
будет (х0; — 2х0 — az2; z0). Таким образом, нужно исследовать второе
уравнение системы. Оно является либо линейным (при а = 0), либо
квадратным (при а 0). Рассмотрим оба этих случая. Пусть а = 0.
Тогда корнем второго уравнения является z = — 1 и система будет
иметь решения. Пусть а =4 0. Тогда второе уравнение имеет хотя
бы один корень, только если его дискриминант В, неотрицателен.
Поскольку Dj = 1 + 4а, получим, что 1 -I- 4а > 0, откуда а > — Значит,
при Ъ = —2 система имеет хотя бы одно решение только в случае
1 3
а>Пусть теперь b =
Данную систему в этом случае можно
переписать так:
(
3
2
! у = -x-az,
I 3az2 4- 4z 4- 4 = 0.
Исследование этой системы проводится аналогично исследованию
предыдущей: если а = 0, то система приводится к виду
и имеет бесконечно много решений; если а 0, второе уравнение си­
стемы является квадратным и система имеет хотя бы одно решение
только в случае неотрицательности дискриминанта В2 этого уравне­
ния. Из условия неотрицательности Р2 получим а < Значит, данная
система имеет хотя бы одно решение при любом значении парамет-
pa b только при выполнении обоих неравенств а>-тиа<й, откуда
М44
Ответ: [ — 4; ту 1 -
62
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
В тех случаях, когда дано одно уравнение (неравенство) с несколь­
кими переменными, часто удаётся ответить на вопрос задачи, рас­
смотрев это уравнение (неравенство) как квадратное относительно
одной из переменных и исследовав дискриминант соответствующего
квадратного трёхчлена. Эта идея является ключевой как для уравне­
ний и неравенств с параметром, так и для не содержащих параметра
уравнений и неравенств с несколькими переменными, решение кото­
рых требуется найти.
При решении подобных задач приходится во многих случаях воз­
водить в квадрат сумму трёх чисел. Напомним соответствующее пра­
вило: квадрат суммы трёх чисел равен сумме квадратов этих чисел,
сложенной с суммой всех возможных удвоенных попарных произве­
дений этих чисел: (а + b -I- с)2 = а2 -г Ь2 + с2 + 2ab + 2Ьс + 2ас. Эта фор­
мула доказывается перемножением скобок (а + Ъ + с) (а+ Ъ + с) и при­
ведением подобных слагаемых.
Пример 8. Найдите наименьшее значение параметра а, для ко­
торого существует хотя бы одна пара (х; у) таких чисел х и у, что
х2 + 2у2 - ху - ах -I- ау + а2 < 1.
Решение. Рассмотрим данное неравенство как квадратное с пере­
менной х, переписав его в виде х2 — (у -I- а)х -I- 2у2 + ау + а2 — 1 < 0.
Поскольку коэффициент при второй степени переменной положите­
лен, квадратный трёхчлен в левой части неравенства может прини­
мать неположительные значения в том и только том случае, если его
дискриминант D: неотрицателен. Поскольку
Dl = (у + а)2 - 4(2у2 + ау + а2 -1),
после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
Di = -1у2 - 2ау - За2 + 4.
Рассмотрим I?! как квадратный трёхчлен относительно у. Посколь­
ку коэффициент при второй степени этого трёхчлена отрицателен,
принимать неотрицательные значения он может только в том случае,
если его дискриминант D2 неотрицателен (или, что то же самое, если
г-у
0). Так как
= а2 - (—7) (—За2 -I- 4), после упрощений прихо­
дим к неравенству 28 — 20а2 > 0, откуда а2 < 1,4 и |а| < у'1,4. Зна­
чит, ае [—^/1,4; у/1,4] и наименьшим возможным значением пара­
метра а является —
Ответ: -у 1,4.
1,4.
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
63
Пример 9. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых существует хотя бы одна пара (х; у) таких чисел х и у, что
Зх2 + 2ху + у2 - 4х - 4х cos (па) + 4 cos2 (па) +4 = 0.
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное с пере­
менной х, переписав его в виде
Зх2 + 2(у - 2 - 2 cos(na))x + у2 + 4 соз2( ха) + 4 = 0.
Это уравнение имеет корни в том и только том случае, если его днеp.
криминант Dr неотрицателен (или, что то же самое, если — ^0). По­
скольку — = (у — 2 — 2cos(na))2 — 3(у2 + 4cos2(na) + 4), после рас­
крытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
Г, = —2у2 — 4у — 4у cos(xa) — 8 cos2(xa) + 8 соз(тга) — 8.
Из условия ■— > 0 после несложных преобразований получаем нера­
венство у2 + 2(1 + cos(xa))y + 4cos2(па) — 4cos(na) + 4 < 0. Левая
часть этого неравенства представляет собой квадратный трёхчлен
относительно у, коэффициент при второй степени которого поло­
жителен. Принимать неположительные значения этот квадратный
трёхчлен может только в том случае, если его дискриминант Z)2
D,
неотрицателен (или, что то же самое, если — jsO). Так как
•+• = (1 + cos(xa))2- (4 cos2 (xa) - 4cos(xa) + 4),
после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых полу­
чим
= — 3 cos2 (ха) + бсоз(ха) — 3, откуда
= — 3(cos(xa) — I)2.
Поскольку — 3(cos(xa) — I)2 < 0 при любом значении параметра а,
I).
о
условие — > 0 выполняется, только если — 3(cos(xa) — 1) = 0. Таким
образом, cos(xa) = 1, откуда па = 2пп, п eZ, и а = 2п, neZ.
Ответ: 2п, neZ.
В заключение рассмотрим не содержащие параметра уравнение и
систему уравнений с несколькими переменными. Как мы увидим ни­
же, ключевая идея — рассмотрение данного уравнения или какого-то
из уравнений системы как квадратного относительно одной из пере­
менных и исследование его дискриминанта — оказывается эффектив­
ной и в этом случае.
Пример 10. Найдите все тройки (х; у; z) таких чисел х, у, z, что
2х2 + 5 ■ 4У + logf z - 4х • 2У - 2х log2 z - 2y+1 + 1 = 0.
64
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное с пере­
менной х, переписав его в виде
2х2 -2(2- 2У + log2 z)x + 5 • 4У + log2 z - 2y+14-1 = 0.
Это уравнение имеет корни в том и только том случае, если его дисD,
криминант D-l неотрицателен (или, что то же самое, если у > 0). По­
скольку
= (2 • 2У + log2z)2 — 2(5 • 4У + log|z — 2y+1 -I-1), после рас­
крытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
у = -6 ■ 4У + 4 ■ 2У • log2 z + 2 ■ 2y+1 - log| z - 2.
Из условия у JJb 0 после несложных преобразований получаем нера­
венство 6 • 4У — 4(log2z 4- 1)2У + log| z + 2 < 0. Левая часть этого нера­
венства представляет собой квадратный трёхчлен относительно 2У,
коэффициент при второй степени которого положителен. Для того
чтобы этот трёхчлен принимал неположительные значения, необхо­
димо, чтобы его дискриминант 1)2 был неотрицателен (или, что то же
D,
самое, — 0). Заметим, что это условие не является достаточным, по­
скольку 2У принимает не все действительные значения, а только поло­
жительные, и это, возможно, придётся учитывать в дальнейшем. Так
как -. ■=4(log2z-l-1)2 — 6-(log| z+2), после раскрытия скобок и привеD2
2
дения подобных слагаемых получим — = —2 log2 z + 8 log2 z — 8, отку­
да
= —2(log2z — 2)2. Поскольку —2(log2z - 2)2
0 при любом зна-
Г>2
2
чении z, условие — > 0 выполняется, только если —2(log2 z — 2)z = 0.
D,
Таким образом, log2z = 2, откуда z = 4. В этом случае у = 0, квад­
ратный трёхчлен 6 • 4У — 4(log2z + 1)2У + log|z -I- 2 относительно 2У
является полным квадратом и неравенство
6 • 4У ~ 4(log2z+1)2У+ log2z+ 2 £ 0
приводится к виду 6 • (2‘ — I)2 < 0. Последнее неравенство выполнено,
только если 2У = 1, откуда у = 0. Это означает, что и у = 0, а значит,
log2 z)x + 5 • 4У + log| z — 2у+' + 1 = 0 имеет
2 • 2- + log2 z
единственный корень х =------~
2--------, где z = 4, у = 0, и, следователь­
но, х = 2.
уравнение 2х2 ■ 2(2 • 2У
Ответ: (2; 0; 4).
65
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
Замечание. Примеры 9, 10 и аналогичные им задачи можно ре­
шить, представив левую часть уравнения в виде суммы нескольких
квадратов, которая может быть равной нулю, только если каждый из
квадратов равен нулю.
В примере 9 получим
(х-2соз(яа))2 + (х + уУ + (х-2)2 = 0,
откуда х = 2, у = —2, а = 2п, п е Z. В примере 10 получим
(х - log2 z)2 + (х — 2 • 2У)2 + (2-у — 1)2 = 0,
откуда у = 0, х = 2, z = 4.
Пример 11. Решите систему
/ (2-x)(3x-2z) = 3-z,
I у2 Зу = х2 -Зх : 2,
| у2 + Z2 = 6z,
U st 3.
Решение. Раскрыв скобки в левой части первого уравнения, после
упрощений и приведения подобных слагаемых получим уравнение
Зх2 — 2(z + 3)х + 3z + 3 = 0.
Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно пе­
ременной х. Это уравнение имеет корни в том и только том случае,
если его дискриминант D неотрицателен (или, что то же самое, если
> 0). Поскольку -, = z2 - 3z, приходим к неравенству z2 — 3z > 0,
откуда z(z — 3) у. 0. Решив неравенство, получим, что z у 0 или z у 3:
3
z
Третье уравнение системы можно переписать в виде (z — З)2 + у2 =
= 9, откуда (z — З)2 у 9. Последнее неравенство можно решать раз­
ными способами, например, перейдя к неравенству |z - 3| у 3 или —
после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых — к нера­
венству z2 — 6z < 0, откуда z(z - 6) у 0. Решив неравенство, найдём,
что 0 у z У 6:
66
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Учитывая неравенство z<3 данной системы, получим, что 0£^3.
Но поскольку z < 0 или z 3, переменная z может принимать только
два значения: z = 0 или z = 3. Рассмотрим оба этих случая. При z = О
первое уравнение данной системы приводится к виду X2 — 2х + 1 = О,
или (х — I)2 = 0, откуда х = 1. Третье уравнение системы принимает
при этом вид у2 = 0, откуда у = 0. При х = 1 и у = 0 второе урав­
нение данной системы, очевидно, выполнено. Значит, тройка чисел
(1; 0; 0) является решением системы. При z = 3 первое уравнение дан­
ной системы принимает вид (2 — х)(3х — 6) = 0, откуда х = 2. Тогда
второе уравнение системы принимает вид у2 + Зу = 0, откуда у = 0
или у = —3, а третье уравнение принимает вид у2 = 9, откуда у = ±3.
Значит, у = —3, и тройка чисел (2; -3; 3) —второе решение системы.
Ответ: (1;0;0); (2;-3; 3).
Упражнения к § 2.1
1. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
больший корень уравнения
х2 - (6а - 1)х + 9а2 - За = 0
в 9 раз больше, чем его меньший корень.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
меньший корень уравнения
х2 - (8а - 3)х + 16а2 - 12а = 0
в 10 раз меньше, чем его больший корень.
2. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
больший корень уравнения
х2 - (10а - 19)х + 25а2 - 95а + 90 = 0
меньше 7.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
больший корень уравнения
х2-(4а-7)х + 4а2-14а+12 = 0
меньше -4.
3. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение (х + 2а)2 + (х — 6а)2 = 200 имеет два различных корня,
среднее арифметическое которых равно 2.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение (х - 2а)2 + (х — 4а)2 = 242 имеет два различных корня,
среднее арифметическое которых равно -3.
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
67
4. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
отношение дискриминанта уравнения ах2 + х + 2 = 0 к квадрату раз­
ности его корней равно 8 — 2а.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых от­
ношение дискриминанта уравнения ах2 — х + 4 = 0 к квадрату разно­
сти его корней равно 4а +12.
5. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а — 2)х2 — 2(а — 2)х + 3 = 0 имеет единственный корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а + 3)х2 — 2(а + 3)х — 5 = 0 имеет единственный корень.
6. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах2 + 4х + а = 3 имеет более одного корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах2 + 6х + а = 8 имеет более одного корня.
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(ах2- (а2 + 16)х + 16а) у/х + 5 = 0
имеет ровно два различных корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(ах2- (а2 + 9)х + 9а)у/х + 4 = 0
имеет ровно два различных корня.
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(а2 - 1)х2 + 2(а - 1)х + 1 > 0
выполнено при любом значении х.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(а2 — 4)х2 +2(а + 2)х —1 < 0
выполнено при любом значении х.
9. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
модуль разности корней уравнения х2 — 6х + а2 — 4а + 12 = 0 прини­
мает наибольшее возможное значение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых мо­
дуль разности корней уравнения х2 + 4х — а2 + 6а — 7 = 0 принимает
наименьшее возможное значение.
10. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х2 + 2(а2 + 7а + 3)х + 9 = 0 имеет два различных положи­
тельных корня.
68
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х2 + 2(а2 — 6а — 3)х +16 = 0 имеет два различных отрица­
тельных корня.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах2 — (а + 1)х + 2а2 — 5а — 3 = 0 имеет два корня разных
знаков.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а2 — а — 2)х2 — х + а2 + а — 2 = 0 имеет два корня разных
знаков.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
4 cos4 Зх — 4(а — 3) cos2 Зх — 2а + 5 = 0
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
4 sin4 5х — 4(а + 1) sin2 5х — 2а — 3 = 0
имеет хотя бы один корень.
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение cos4 х — (а + 2) cos2 х — а - 3 = 0 имеет хотя бы один корень,
и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение sin4 х + (а — 6) sin2 х — 4а + 8 = 0 имеет хотя бы один ко­
рень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значе­
ний а.
14. а) Найдите все значения параметрит а, при каждом из которых
уравнение
cosl4x + 2(5a + 9)sin7x- 110a + 43 = 0
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
cosl8x + 4(a — l)sin9x — 20a+ 69 = 0
имеет хотя бы один корень.
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение cos2x — 2(a + 1) cosx — 4a — 11 = 0 имеет хотя бы один ко­
рень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значе­
ний а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав­
нение cos 2х + (2а + 9) sinx — 5а - 11 = 0 имеет хотя бы один корень, и
укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
69
16. а) Для каждого значения параметра а найдите корни уравне­
ния arcsin((a - 1)х — 1 - (а — 1)х2) ; arcsinx 0.
б) Для каждого значения параметра а найдите корни уравнения
arccosfax2 — (a 4- 1)х + 2) + arccos(—х) = я.
17. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
2х^ — _|_ з
уравнение ——-—— = а 4-1 имеет хотя бы один корень.
X оХ I 4
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
— 4х + 3 а Н- 2
уравнение ——^х + 7 = ~~ имеет хотя бы один корень.
18. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
(2a -I- 1)х2 - 2(а + 5)х + 18с + 9
уравнение------------ -2—-— ------------ =3а имеет хотя бы один корень.
X оХ I z
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
(a + l)x2 + (5a + 4)x+9a + 9 ,,
уравнение ---------- 2— ----- --------= 2а имеет хотя бы один корень.
X
I 5х I 7
19. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
прямая у = а имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции
tg2 х +11
- — 3tgx -1 ’
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
прямая у = а имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции
_ tg2x + 14
— 4tgx +1 '
20. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 16х + (За2 4- 5а 4 7) • 4х — 2а 4- 3 = 0 имеет единственный
корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 49х + (За2 — а + 3) • 7х — а — 2 = 0 имеет единственный
корень.
21. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 36х — (8a - 1) • 6х + 16а2 — 4а - 2 = 0 имеет единственный
корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 25х — (8а + 5) • 5х 4- 16а2 4- 20а — 14 = 0 имеет единствен­
ный корень.
22. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 4х — (За - 1) • 2х + 2а2 + а - 6 0 имеет единственное
решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера­
венство 9 х — (За - 5) • 3 х 4- 2а2 — 6а 4-4 < 0 имеет единственное решение.
7Q
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
23. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
один из корней уравнения 16® - (4а+3 + 16а+1) • 4* + 43а+5 = 0 больше
другого в три раза.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
один из корней уравнения 25' — (125"' + 52'1’ ') ■ 5 х + 53" 0 = 0 боль­
ше другого в два раза.
24. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log|4 х — (18а + 5) log14 х + 81а2 + 45а + 6 = 0 имеет два раз­
личных корня, среднее арифметическое которых равно 105.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log26x- (16а + 19) log16x + 64а2 + 152а + 90 = 0 имеет два
различных корня, среднее арифметическое которых равно 8,5.
25. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство a log| х— (а—2) log3 х—2^0 имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера­
венство a log2 х — (а + 3) log5 х + 3 < 0 имеет единственное решение.
26. а) Найдите все значения параметрит а, для каждого из которых
система уравнений
(х-3у = -1,
1 х2 + бху + 9у2 - 10ах - ЗОау + 125а2 + 60а + 9 = 0
имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых си­
стема уравнений
( х + 5у = 3,
t х2 + 8ху + 16у2 - 8ах - 32ау + 25а2 + 12а + 4 = 0
имеет единственное решение.
27. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
при любом значении параметра Ъ система уравнений
f х + az2 = by,
! 2bx + (b — 6)y = 8z + 8
имеет хотя бы одно решение (х; у; z).
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра b система уравнений
( 2bx + y = а,
j (b-l)x + z2 + z = by
имеет хотя бы одно решение (х; у; z).
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
71
28. а) Найдите наибольшее значение параметра а, для которого
существует хотя бы одна пара (х; у) таких чисел х и у, что
х2 + 2у2 + ху - ах + ау + а2 + 3.
б) Найдите наименьшее значение параметра а, для которого суще­
ствует хотя бы одна пара (х; у) таких чисел х и у, что
2х2 + 2у2 + ху — ах + ау + а2 С 2.
29. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
существует хотя бы одна пара (х; у) таких чисел х и у, что
х2 - 4ху + бу2 + 2у + 2у §1п(ла) + §1п2(ла) + 1 — 0.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых су­
ществует хотя бы одна пара (х; у) таких чисел х и у, что
11х2 + бху + у2 - 2х - 2х tg( ла) + tg2 (ла) +1 = 0.
30. а) Найдите все пары (х; у) таких чисел х и у, что
х2 - х log2 (ху) - 2х + 0,5 log2 (.ху) + 2 = 0.
б) Найдите все пары (х; у) таких чисел х и у, что
log2 2 (ху) - 4у log0 2 СХУ) + 5У2 + 2у + 1 = 0.
31. а) Найдите все тройки (х; у; z) таких чисел х, у, z, что
log2 5 х + 2у2 +10 ■ 9Z + 2у log0.5 х~2у 3z+1 - 2 ■ 3Z +1 = 0.
б) Найдите все тройки (х; у; z) таких чисел х, у, z, что
17-25 х+log|y+ 2z2 — 8z-5 х — 2 • 5 х — 2zlog3y + 1 = 0.
32. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых существует единственная тройка (х; у; z) действительных чисел
х, у, z, удовлетворяющая системе уравнений
(х2 + у2 = Z,
(x+y+z = a.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых су­
ществует единственная тройка (х; у; z) действительных чисел х, у, z,
удовлетворяющая системе уравнений
( х2 + 4у2 = х + у + z,
(x + 2y + 3z = а.
72
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
[ (2z-y)(y + 2) = 4y + 9,
33. а) Решите систему у
(х —З)34-у+ 2 = 0,
2 2
U>o.
I 2(y-2)(y-z) = z-2,
I 8x3 + z = 3xy,
б) Решите систему <
„
„
7 4x2 + z2 = 4z,
U<2.
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
относительно данных чисел
Большинство задач с параметром предполагает ответ на вопрос
о том, при каких значениях параметра множество решений уравне­
ния, неравенства или системы удовлетворяет определённым услови­
ям. Не являются исключением и задачи, связанные с исследовани­
ем квадратного трёхчлена. Как правило, в таких задачах требуется
найти все значения параметра, при каждом из которых один или оба
корня х15 х2 (здесь и далее будем считать, что хг < х2) квадратного
трёхчлена f (х) = ах2 4- Ьх + с (а =4 0) больше или меньше данного чис­
ла, принадлежат данному промежутку и т. п. Обычно выделяют семь
основных случаев расположения корней квадратного трёхчлена /(х)
относительно данных чисел I и т (/ < т):
— оба корня больше данного числа I;
— оба корня меньше данного числа т;
— оба корня принадлежат данному интервалу (I; т);
— только меньший корень принадлежат данному интервалу (/; т);
— только больший корень принадлежат данному интервалу (I; тУ,
— один из корней меньше данного числа I, а другой корень больше
данного числа т;
— один из корней меньше данного числа I, а другой корень больше
этого числа.
Для получения необходимых и достаточных условий реализации
каждого из этих случаев можно воспользоваться материалом предыду­
щего параграфа или свойствами квадратного трёхчлена. Рассмотрим
сначала, как применить материал предыдущего параграфа. Пусть,
например, требуется найти необходимые и достаточные условия того,
что оба корня квадратного трёхчлена /(х) больше данного числа I.
Обозначим х - I через t. Тогда х = t -I-1, а условие х > I эквивалентно
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
73
условию t > 0. Выполнив замену переменной, получим квадратный
трёхчлен g(t) = a(t + Z)2 + b(t -I-1) + с. Остаётся найти необходимые и
достаточные условия того, что оба корня трёхчлена g(t) положитель­
ны, т. е., приведя g(t) к стандартному виду, воспользоваться таблицей
из предыдущего параграфа. Сделаем это. Раскрыв скобки и приведя
подобные слагаемые, получим gCt) = at2 + (2а/ + b)t + al2 + bl + с, или
gCt) = at2 + (2al + b~)t + /(/). Оба корня квадратного трёхчлена gCt)
положительны, если
[ D > 0,
{ а/(/) > 0,
I а (2а/ + Ь) < 0.
Найдём дискриминант: D = (2а/ + Ь)2 - 4а(а/2 \Ы Ус), откуда по­
сле раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
D = Ь2 — 4ас. Таким образом, дискриминанты трёхчленов f (х) и g(t)
одинаковы. Последнее наводит на мысль о том, что в дальнейшем
можно обходиться без формальной замены переменной, ограничив­
шись исследованием только данного трёхчлена /(х). Для этого оста­
ётся придать наглядный смысл третьему неравенству а (2а/ + Ь) < 0
системы. Условия отрицательности произведения и частного двух
чисел а и 2а/ + b эквивалентны, поэтому перейдём к равносильному
2al + t> „. b _ „
j , b ,п
неравенству-------- < 0, откуда 2/ + - < 0, или I + ~ < 0, и, значит,
>/. Поскольку - т.. =х0, где х0 — абсцисса вершины параболы
у = ах2 + Ьх + с, последнее неравенство можно переписать в виде
х0 > I. Таким образом, необходимые и достаточные условия того,
что оба корня квадратного трёхчлена /(х) больше данного числа I,
даются системой неравенств
I D > 0,
{ а/(/) > 0,
х0 > /•
Рассуждая аналогично, можно получить необходимые и достаточные
условия для каждого из указанных в начале параграфа семи случаев
расположения корней квадратного трёхчлена относительно данных
чисел (для некоторых из них замену переменной придётся делать два­
жды, переходя сначала к квадратному трёхчлену от t = х — I, а затем —
от t = х — т). При этом следует иметь в виду, что условие положи­
тельности дискриминанта в ряде случаев можно опустить. В самом
деле, например, неравенство а/(т) <0 означает, что числа а и /(т)
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
74
имеют разные знаки. Поэтому если ветви параболы у = ах2 + Ьх + с
направлены вверх (а > 0), то у Ст) = / (т) < 0, т. е. существует точка
параболы, расположенная ниже оси абсцисс, и, значит, парабола пере­
секает эту ось. Следовательно, в данном случае условие неотрицатель­
ности дискриминанта (существования корней трёхчлена) будет вы­
полнено как бы «автоматически»: оно является следствием неравен­
ства а/(т) < 0 и при выписывании необходимых и достаточных усло­
вий может быть опущено. Для наглядности приведём необходимые
и достаточные условия для всех семи случаев расположения корней
квадратного трёхчлена в виде таблицы. Заметим, что, как и условие
положительности дискриминанта, неравенства для х0 в ряде случаев
не нужны (попробуйте объяснить почему).
Утверждения о расположении корней Xj и х2 W <х2~) ква­
дратного трёхчлена f(x~)=ax2+bx+c (п/0, D Ь2 4ас,
х0=
—) относительно данных чисел / и т (1<т)
Необходимые и
достаточные условия
1. Оба корня больше данного числа /: 1 < х, < х2
2. Оба корня меньше данного числа т: х5 <х2<т
D > 0,
а/(0 > 0,
х0 > Z
(1)
D > 0,
- а/(т) > 0,
х0 < т
(2)
3. Оба корня принадлежат данному интервалу
(Z; m): 1 < Хг < х2 < т
1
D >0,
a/CZ) > 0,
а/(т) > 0,
J < х0 < т
(3)
4. Только меньший корень принадлежит данному
интервалу (/; ш): 1<х1<т<х2
(afd) > 0,
[akxo
№
5. Только больший корень принадлежит данному
интервалу (/; т): х1<1<х2<т
Ис/хо,
t а/(т) > 0
{s)
6. Один из корней меньше данного числа 1, а
другой корень больше данного числа т:
Ис/х°,
of Ст) < о
(6)
a/CZ) < 0
(7)
х1<1<т<х2
7. Один из корней меньше данного числа 1, а
другой корень больше этого числа: х, < 1 < х2
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
75
Обратим внимание на то, что все необходимые и достаточные
условия выписаны в предположении, что квадратный трёхчлен имеет
два различных корня и неравенства, которым удовлетворяют эти
корни, являются строгими. При необходимости неравенство для
дискриминанта может быть заменено на нестрогое, а случай, когда
один из корней трёхчлена равен какому-то из чисел I или т, рас­
смотрен отдельно (либо соответствующее неравенство заменено на
нестрогое). Кроме того, в условиях конкретных задач, как правило,
не оговаривается, что речь идёт именно о квадратном трёхчлене
f (х) = ах2 т Ьх + с, и случай а = 0 также требует отдельного рассмот­
рения.
Как уже отмечалось, приведённую выше таблицу можно получить,
основываясь только на свойствах квадратного трёхчлена и графиче­
ских представлениях. В определённом смысле такой подход является
более наглядным и позволяет исходя из требований конкретной зада­
чи выписывать необходимые и достаточные условия без использова­
ния таблицы. Сделаем это. По-прежнему будем считать, что Xj и х2
(хг < х2) — корни квадратного трёхчлена
/(х) = ах2 + Ъх + с
(а
0),
Л = Ь2-4ас,
х0 = - 4^ = Y1
■
Предположим для определённости, что а > 0 (случай а < 0 рассмат­
ривается совершенно аналогично), т. е. что ветви параболы, являю­
щейся графиком функции у = ах2 + Ьх + с, направлены вверх. В этом
случае квадратный трёхчлен принимает положительные значения на
промежутках (—оо;х1) и (х2;+®), а отрицательные значения — на
промежутке (хг; х2). Условие «оба корня квадратного трёхчлена /(х)
больше данного числа I» означает, что D > 0 (корни существуют) и
Рис. 1
76
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Z е (-оо; хх), т. е. /(I) > 0 и I <
место система
< х0 (см. рис. 1а). Тем самым имеет
а > О,
I D > О,
I /а) > о,
IХО > IОбратно, пусть дана последняя система. Условие D > 0 означает,
что квадратный трёхчлен /(х) имеет два различных корня; условие
/(Z) > 0 означает (в силу неравенства а > 0), что I е (—оо;х1) или
I е (х2; +°°), но из условия I < х0 следует (поскольку х0 < х2), что
I < х2, т. е. Ze (—оо; Xj), и, значит, оба корня квадратного трёхчлена
/ (х) больше I. Случай а < 0 (см. рис. 16) рассматривается аналогично:
а < О,
D > О,
f (?) < О,
х0 > Z.
Заметим, что в каждом случае числа а и /(/) одного знака, что
можно записать с помощью неравенства а/(?) > 0 и вместо двух си­
стем рассматривать одну систему (1). Итак, оба корня больше числа I
в том и только том случае, если имеет место система (1). Аналогично
оба корня квадратного трёхчлена /(х) меньше числа т в том и только
том случае, если (рис. 1а и 16)
а > О,
D > О,
/(т) > О,
х0 < т
или
а < О,
D > О,
/ (т) < О,
х0 < т,
т. е. (поскольку числа а и /(Л1) одного знака) если имеет место систе­
ма (2):
( D > О,
а/(т) > О,
I х0 < т.
Понятно, что оба корня принадлежат данному промежутку (?; т)
в том и только том случае, если имеют место обе системы (1) и (2),
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
77
что более коротко можно записать с помощью одной системы (3):
[ D > О,
I Я/(?) > о,
I а/(т) > О,
\1 < х0<т.
Подобным образом достаточно просто получить необходимые и
достаточные условия для каждого из оставшихся случаев располо­
жения корней квадратного трёхчлена относительно данных чисел.
Начинать выписывать эти условия нужно с определения знака f (х)
в каждой из данных точек I и т. Затем следует установить, нужны
ли условия на дискриминант и абсциссу вершины параболы. Как
уже отмечалось, в случае если ветви параболы направлены вверх
(соответственно вниз) и хотя бы в одной из данных точек квадратный
трёхчлен /(х) должен принимать отрицательное (соответственно
положительное) значение, условие положительности дискриминанта
будет выполнено «автоматически»: ведь в этом случае в силу непре­
рывности квадратичной функции парабола, являющаяся её графи­
ком, обязательно пересекает ось абсцисс, т. е. квадратный трёхчлен
/(х) имеет корни, и, значит, его дискриминант положителен. Как
правило, в таких случаях и условие на абсциссу вершины параболы
записывать не нужно. В самом деле, найдём, например, необходимые
и достаточные условия того, что только меньший корень принадле­
жат данному интервалу (/; т), рассмотрев два случая: а > 0 (рис. 2а)
Начинаем с определения знака /(х) в каждой из точек Z и т. Если
а > 0 (рис. 2а), то /(/) > 0, /(т) < 0. В силу последнего неравенства
/ (х) принимает отрицательное значение, значит, парабола, ветви ко­
78
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
торой направлены вверх, обязательно пересечёт ось абсцисс и усло­
вие положительности дискриминанта будет выполнено. Аналогично
если а < 0 (рис. 26), то /(/) < 0, /(т) > 0. Положение абсциссы верши­
ны параболы при этом, как видно, не играет никакой роли: на рисун­
ке 2а она находится справа от т, на рисунке 26 — слева от т. То, что
необходимые и достаточные условия в данном случае даются только
двумя неравенствами, можно обосновать и более формально. В самом
деле, если
| а > 0,
{ f (?) > 0,
[ / Ст) < 0,
то это означает, что I е
xj или I е (х2; + 00), а те (хг;х2). Но
I < т, значит, / е (—оо; хг), т. е. I < хг < т < х2, что и требовалось.
Учитывая, что в обоих случаях числа а и /(Z) одного знака, а числа
а и f(m) разных знаков, необходимые и достаточные условия того,
что только меньший корень квадратного трёхчлена /(х) принадле­
жат данному интервалу (Z; т), можно записать с помощью одной
системы (4):
of (Z) > 0,
af(rn) < 0.
Необходимые и достаточные условия для оставшихся случаев 5—7
расположения корней квадратного трёхчлена относительно данных
чисел легко получаются аналогичным образом с помощью свойств
квадратного трёхчлена и наглядно-графических представлений.
Рис. 3
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
79
Только больший корень квадратного трёхчлена /(х) принадлежат
данному интервалу (7; т),
I а> О,
I а <0,
если (рис. За) ■{ f(l}< 0,
^/(m)>0
или (рис. 36) $ /(?) > О,
^/(т)<0,
а значит, имеет место система (5):
а/П) < О,
а/(т) > 0.
Один из корней меньше данного числа I, а другой корень больше
данного числа т,
[ а > 0,
если (рис. 4а) < / (?) < 0,
( f (т) < 0
( а < 0,
или (рис. 46)
f (?) > 0,
/(т) > 0,
Один из корней меньше данного числа I, а другой корень больше
этого числа,
если (рис. 5а)
f а > 0,
7
<Q
или (рис. 56)
а значит, имеет место неравенство (7): af (?) < 0.
[ а < 0,
7
>Q
80
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Заметим, что формальное решение таких задач с помощью фор­
мулы корней квадратного уравнения обычно (за исключением задач,
в которых дискриминант является полным квадратом, рассмотрен­
ных в предыдущем параграфе) приводит к довольно громоздким
системам иррациональных неравенств (в отличие от изложенного
метода, при использовании которого, как правило, приходится иметь
дело лишь с линейными и квадратными неравенствами).
Перейдём к примерам.
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение (а—4)х2—Зах+а—2=0 имеет два корня разных знаков.
Решение. Из условия задачи следует, что уравнение должно иметь
два корня, поэтому а / 4. Пусть /(х) = (а - 4)х2 - Зах + а-2, хг и х2
(%! < х2) — корни квадратного трёхчлена /(х). Если а > 4, то ветви па­
раболы, являющейся графиком функции у = /(х), направлены вверх
и тогда /(0) < 0 (рис.ба); если а < 4, то ветви параболы направлены
вниз и тогда /(0) > 0 (рис. 66).
Рис. 6
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
81
Значит, необходимые и достаточные условия того, что один из кор­
ней трёхчлена f (х) меньше данного числа нуль, а другой корень боль­
ше этого числа (или что данное число нуль лежит между корнями
квадратного трёхчлена f (х)), даются двумя системами
а > 4,
(а < 4,
f(O)<o
(f(o)>o.
Это означает, что числа а — 4 и /(0) должны иметь разные знаки,
что более коротко можно записать с помощью одного неравенства
(а — 4)/(0) < 0. Поскольку f (0) = а — 2, приходим к неравенству
(а — 4) (а — 2) < 0, решением которого является интервал (2; 4).
Ответ: (2; 4).
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых урав­
нение х2 — (4а + 3)х + За + 4 = 0 имеет два корня разных знаков, мо­
дуль каждого из которых меньше 5.
Решение. Пусть
/(х) = х2- (4а • 3)х • За : 4.
хг и х2 (х2 < х2)—корни квадратного трёхчлена /(х), старший ко­
эффициент которого, не зависящий от параметра, положителен, и,
значит, ветви параболы, являющейся графиком функции у = /(х), на­
правлены вверх. Условие задачи будет выполнено, если хх е (—5; 0), а
х2 е (0; 5) (рис. 7).
Рис. 7
Для выполнения условия хг е (—5; 0) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись неравенства
/(-5) > 0,
/(0) < 0.
82
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Для выполнения условия хг е (0; 5) необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись неравенства
[f (5) > 0,
Вместо двух систем можно записать одну:
( /(-5) > 0,
] f (5) > О,
/СО) <о.
Поскольку /(0) = За + 4, /(—5) = 23а 4- 44, /(5) = 14 — 17а, получаем
систему
I 23а 4- 44 > О,
<! 14- 17а > 0,
[ За -I- 4 < О,
откуда
44
•_ ; < а <
4
С 44
4\
Ответ: ( у-;;
)•
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых неравенство х2 4- ах 4- а2 -I- 6а < 0 будет выполнено для любого
значения х, принадлежащего интервалу (0; 4).
Решение. Пусть f (х) = х2 4- ах 4- а2 4- 6а, хг и х2 (хт < х2) — кор­
ни квадратного трёхчлена /(х). Старший коэффициент квадратного
трёхчлена /(х) положителен, значит, ветви параболы, являющейся
графиком функции у = /(х), направлены вверх. В этом случае /(х)
может принимать отрицательные значения только на промежутке
(хг; х2). Поэтому условие задачи будет выполнено, если хг -:4 0 < 4 < х2
(Xi может быть равен 0, а х2 может быть равен 4, поскольку речь идёт
о строгом неравенстве, которое должно выполняться на интервале,
а не на отрезке). Необходимые и достаточные условия того, что
7(0)54 0,
хх 0 < 4 х2, даются системой Д4)<0 Поскольку/(0) = а^ 4-6а,
/(4) = а2 4- 10а 4-16, последняя система приводится к виду
J а2 + 6а < 0,
[ а2 4 10а 4-16 < 0,
откуда, разложив левую часть каждого неравенства на множители,
получим
а (а 4- 6) 0,
(а + 2)(а + 8) < 0.
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
83
В соответствии со свойствами квадратного трёхчлена решением пер­
вого неравенства полученной системы является отрезок [—6; 0], а ре­
шением второго неравенства — отрезок [—8; —2]. Следовательно, ре­
шение системы — отрезок [—6; —2]:
-8
-6
-2
0
а
Ответ: [-6; -2].
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых любое решение неравенства (а - 2)х2 — (2а -I- 3)х + а + 1 > 0
принадлежит отрезку [-1; 1].
Решение. Пусть f (х) = (а. — 2)х2 — (2а + 3)х + а +1. Рассмотрим
два случая: 1) а = 2; 2) а 2. Если а = 2, многочлен /(х) прини­
мает вид f(x) = —7х + 3 и неравенство Дх) > 0 выполняется, если
3
—7х + 3 > 0, откуда х< у. Ясно, что не все решения этого неравенства
принадлежат отрезку [—1; 1]. Значит, а = 2 не удовлетворяет условию
задачи. Пусть теперь а/2. В этом случае Дх) является квадратным
трёхчленом. Обозначим через хх и х2 (хг у х2) его корни, через D —
его дискриминант, через х0 — абсциссу вершины параболы, являю­
щейся графиком функции у = (а — 2)х2 — (2а + 3)х + а + 1. При а > 2
старший коэффициент квадратного трёхчлена Дх) положителен.
Значит, если D > 0, то Дх) > 0 при х е (—оо; хг) и (х2; +<»), а если
D < 0, то Дх) >0 при любом действительном х. Следовательно, при
а > 2 все решения неравенства Дх) > 0 не могут принадлежать отрез­
ку [-1; 1]. При а < 2 старший коэффициент квадратного трёхчлена
Дх) отрицателен и он может принимать положительные значения
только на интервале (хх;х2). Следовательно, условие задачи будет
выполняться, если —1 Ух, <х2 У: 1, т. е. если квадратный трёхчлен
Дх) имеет два различных корня, меньший из которых не меньше
числа —1, а больший не больше числа 1. В этом случае (рис. 8)
необходимые и достаточные условия даются системой
[а <2,
D > 0,
- Д-D « о,
/(1) С о,
, -1 < х0 < 1.
84
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Поскольку D = (2а + З)2 - 4(а - 2)(а + 1) = 16а + 17, /(-1) =
— а — 2 4- 2а + 3 + а + 1 = 4а 4- 2, f (1) = а — 2 — 2а — 3 + а + 1 = —4,
2а 4 3
Хо = 2(а-2)’ послеДняя система приводится к виду
[а < 2,
16а-1-17 > О,
4а + 2 < О,
—4 < О,
1
2а + 3
1 < 2 (а -2)
откуда, умножив все части последнего неравенства системы на
а - 2 < 0, после преобразований получим
[а < 2,
_17
16’
_1
2’
1
4’
и, значит, — 17 < а < —1-.
2
16
Ответ: I
16’
2_Г
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
85
Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение (а — 3)х2 — 2(а + 3)х — а — 3 = 0 имеет хотя бы один
корень, меньший 1.
Решение. Пусть /(х) = (а — 3)х2 — 2(а + 3)х — а - 3. Рассмотрим
два случая: 1) а = 3; 2) а / 3. Если а = 3, данное уравнение являет­
ся линейным и принимает вид — 12х — 6 = 0, откуда х = — 0,5 < 1.
Значит, а = 3 удовлетворяет условию задачи. Пусть теперь а 3.
В этом случае /(х) является квадратным трёхчленом. Обозначим
через Xj и х2 (хх С х2) его корни, через D — его дискриминант, че­
рез х0 — абсциссу вершины параболы, являющейся графиком функ­
ции у = (а — 3)х2 — 2(а + 3)х — а — 3. Условие задачи будет выполнено,
если:
— /(х) имеет единственный корень, и этот корень меньше 1;
— Дх) имеет два различных корня, один из которых меньше 1, а
другой больше или равен 1;
— Дх) имеет два различных корня, каждый из которых меньше 1.
Рассмотрим все эти возможности. Для того чтобы квадратный
трёхчлен Дх) имел хотя бы один корень, должно выполняться нера­
венство D > 0, или у > 0, где
= (а + З)2 + (а - 3)(а + 3) = 2а(а + 3).
Если ■ ' = 0, т. е. а = 0 либо а = —3, квадратный трёхчлен имеет един­
ственный корень х = х0 = - / При а = 0 этот корень равен —1; при
а = —3 он равен 0. В обоих случаях корень меньше 1, поэтому а = 0 и
а = —3 удовлетворяют условию задачи.
Если У > 0, то Дх) имеет два различных корня. Предположим,
что один из них равен 1. Тогда а — 3 — 2(а + 3) — а — 3 = 0, откуда
а = — 6. В этом случае данное уравнение примет вид — 9х2 + 6х + 3 = 0,
или Зх2 - 2х - 1 = 0. Корнями последнего уравнения являются числа
1 и
Поскольку —| < 1, значение а = —6 удовлетворяет условию
задачи.
Осталось исследовать случаи, когда данное уравнение имеет два
различных корня, ни один из которых не равен 1. Один из кор­
ней меньше 1, а другой больше 1 в том и только том случае, если
(а — 3)Д1) < 0 (см. систему (7)). Так как
/(1) = а - з - 2(а + 3) - а - 3 = -2а - 12,
последнее неравенство примет вид (а - 3)(-2а - 12) < 0. Разделив
обе части полученного неравенства на —2, придём к неравенству
(а - 3)(а + 6) > 0, откуда получим, что а е (-<»; -6) и (3; +<»).
86
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
Оба корня меньше 1 в том и только том случае (см. систему (2)),
если
4
’
(а —3)/(1)
откуда
I а(а • 3) > О,
I 2а(а + 3) > О,
J (а —3)(а + 6) < О,
I — < 1
У а 3
’
или
( (а — 3) (а + 6) < О,
Решение последней системы: (—6; —3) и (0;3). Таким образом,
а е (—оо; -3] и [0; +«).
Ответ: (— оо; —3] и [0; +<»).
Упражнения к § 2.2
1. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а — 2)х2 — 4ах + а — 1 = 0 имеет два корня разных знаков.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а + 2)х2 — Бах + а — 3 = 0 имеет два корня разных знаков.
2. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а2 - 9)х2 — (2а2 + Ба — 9)х+а + 3 = 0 имеет два корня раз­
ных знаков.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (25 — а2)х2 — (4а2 — а — 7)х + а — 5 = 0 имеет два корня
разных знаков.
3. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах2 — (а + 1)х + 2а2 - Ба — 3 = 0 имеет два корня разных
знаков.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а2 — а — 2)х2 — х + а2 + а — 2 = 0 имеет два корня разных
знаков.
4. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а2 — а)х2 — (а — 2)х — а — 6 = О имеет два различных корня,
один из которых больше 1, а другой — меньше 1.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а2 — а — 6)х2 — 2ах + а2 — 9 = 0 имеет два различных
корня, один из которых больше -1, а другой — меньше —1.
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена
87
5. а) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
х2 — (2а — 5)х + а — 7 = 0 имеет два корня разных знаков, модуль каж­
дого из которых меньше 3.
б) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
х2 — (За — 7')х -I- а — 4 = 0 имеет два корня разных знаков, модуль
каждого из которых меньше 2.
6. а) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(2а — 1)х2 — (а — 3)х 4- а + 5 = О имеет два корня разных знаков, мо­
дуль каждого из которых больше 1.
б) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(а + 1)х2 — (2а + 1)х 4- 2а — 5 = О имеет два корня разных знаков,
модуль каждого из которых больше 4.
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а — 1)х2 — 2(а 4- 1)х — 2а — 1 = 0 имеет два различных кор­
ня, каждый из которых больше —2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(а — 2)х2 +2(а — 6)х —2а — 18 = О
имеет два различных корня, каждый из которых больше —4.
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а 4- 1)х2 + 2(а — 1)х - 2а 4-1 = О имеет два различных кор­
ня, каждый из которых меньше 2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а 4- 2)х2 - 2(а -I- 4)х — 2а + 7 = 0 имеет два различных
корня, каждый из которых меньше 4.
9. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а — 3)х2 — 2(а + 3)х — 2а — 3 = 0 имеет два различных кор­
ня, принадлежащих интервалу (—2; 1).
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а - 5)х2 4- 2(а 4- 1)х — 2а 4- 1 = 0 имеет два различных
корня, принадлежащих интервалу (-1; 2).
10. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а 4- 6)х2 4- 2(а — 6)х — 2а 4- 6 = 0 имеет два различных кор­
ня, модуль каждого из которых меньше 2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 2(а 4- 5)х2 4- 2(а — 7)х — а 4- 4 = 0 имеет два различных
корня, модуль каждого из которых меньше 1.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство х2 — (а — 5)х4- а2 — 4а — 5 < 0 будет выполнено для любо­
го значения х, принадлежащего интервалу (-4; 0).
88
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство х2 + (а - 4)х + а2 — 2а — 8 < О будет выполнено для
любого значения х, принадлежащего интервалу (0; 4).
12. а) Найдите все значения параметрит а, при каждом из которых
неравенство 4х2 + 2(а — 2)х + а2 + 2а — 8 < 0 будет выполнено для лю­
бого значения х, принадлежащего интервалу (0; 2).
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 4х2 — 2(а — 1)х + а2 + 4а — 5 < 0 будет выполнено для
любого значения х, принадлежащего интервалу (—2; 0).
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 4(а — 3)х2 — 2(2а + 1)х + а > 0 имеет решения и любое
его решение принадлежит отрезку [—2; 2].
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 9(а — 1)х2 — 3(2а + 5)х + а + 2 > 0 имеет решения и
любое его решение принадлежит отрезку [-3; 3].
14. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (а - 4)х2 — 2(2а - 1)х + 4а — 4 > 0 имеет решения и лю­
бое его решение принадлежит отрезку [—0,5; 0,5].
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (а — 5)х2 — (2а - 3)х -I- а — 2 > 0 имеет решения и любое
его решение принадлежит отрезку [—0,25; 0,25].
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а + 4)х2 + 4(а + 1)Х + 2а + 2 = 0 имеет хотя бы один ко­
рень, больший —2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а + 3)х2 + 2(а — 3)х - а 4- 3 = 0 имеет хотя бы один корень,
больший —1.
16. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а — 4)х2 — 6(а — 2)х + 7а — 10 = 0 имеет хотя бы один ко­
рень, меньший 3.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а - 2)х2 — 4(а 4- 1)х 4 2а + 2 = 0 имеет хотя бы один
корень, меньший 2.
§ 2.3. Задачи, сводимые к исследованию
квадратного трёхчлена
В этом параграфе будут рассмотрены задачи, решение которых
сводится к исследованию расположения корней квадратного трёхчлена
относительно некоторых чисел только после определённых предвари­
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
89
тельных действий: алгебраических преобразований, замены перемен­
ной и т. п. Существенным при решении задач такого рода являет­
ся умение проводить правильные рассуждения и делать логически
обоснованные выводы, а ключевым моментом — переформулировка,
после которой данная задача сводится к задаче на исследование
расположения корней квадратного трёхчлена. Например, для того
чтобы ответить на вопрос о существовании корней квадратного
относительно sinx уравнения с параметром, нужно ввести новую
переменную, положив её равной sinx, получить квадратное урав­
нение относительно новой переменной и с учётом того, что эта
переменная принимает значения только из отрезка [-1; 1], найти
значения параметра, при которых хотя бы один корень полученного
квадратного уравнения принадлежит отрезку [-1; 1], рассмотрев все
возможные случаи: оба корня принадлежат отрезку [—1; 1]; только
меньший корень принадлежит отрезку [—1; 1]; только больший ко­
рень принадлежит отрезку [-1; 1]; уравнение имеет единственный
корень, который принадлежит отрезку [—1; 1]. Типичной ошибкой
при решении подобных задач является игнорирование принадлеж­
ности корней полученного квадратного уравнения отрезку [-1; 1]
и выписывание только условия неотрицательности дискриминанта.
Поэтому решение каждой такой задачи целесообразно делить на два
этапа, первый из которых состоит в сведении данной задачи к задаче
на исследование квадратного трёхчлена (с соответствующей пере­
формулировкой), а вторым является само исследование полученного
квадратного трёхчлена с помощью сформулированных в предыдущем
параграфе теорем.
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из коax-a(l-a) _ торых неравенство ————— > 0 выполнено для любых значении
переменной х из отрезка [—1; 1].
Решение. Поскольку частное двух чисел положительно в том
и только том случае, если положительно их произведение, данное
неравенство можно переписать в виде (ax — а(1 — а)) (а2 — ах - 2) > 0.
Пусть /(х) = (ах - а(1 - а)) (а2 - ах - 2), хх и х2 (хг < х2) — корни
квадратного трёхчлена f(x). Заметим, что коэффициент при х2 в
выражении /(х) равен —а2 и, следовательно, неположителен. Если
он равен нулю (т. е. а = 0), то неравенство принимает вид 0 > 0 и не
имеет решений. Если а 0, ветви параболы, являющейся графиком
функции у = /(х), направлены вниз, и задачу можно переформули­
ровать так: найти все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство /(х) > 0 выполняется для любого значения х из отрезка
90
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
[-1; 1]. Последнее имеет место, только если
f/С—1) > о,
|/(1)>0,
°ТКУДа
f(а2 - 2аКа2 + а - 2) > 0,
[а2(а2 — а — 2)>0.
Решим первое неравенство системы, приведя его к виду
а(а-2)(а-1)(а + 2) > 0
и применив метод интервалов:
Решение первого неравенства системы: (— оо; —2)и(0; 1)и(2; +<»).
Решим второе неравенство системы, приведя его к виду
п2(а-2)(а + 1) > 0
и применив метод интервалов:
-10
а
2
Решение второго неравенства системы:
Решение системы:
—2) и (2; +со)
-1) и (2; +<»).
Ответ: (-»; -2) и (2; +<»)..
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение х4 + 2(а — 1)х® + 4х2 + 8(а — 1)х +16 = 0 имеет не
менее двух различных отрицательных корней.
Решение. Заметим, что число 0 не является корнем уравнения.
Поэтому можно разделить обе части уравнения на х2, после чего пе­
регруппировать слагаемые: х2 4 — + 2(а — 1) ( х+ - ) +4 = 0. Обозначим
4
x+^ = t,
(1)
тогда х2 +
= t2 — 8 и уравнение принимает вид
I2 + 2(а — 1)1 — 4 = 0.
(2)
Тем самым задачу удалось свести к исследованию квадратного трёх­
члена /(t) = t2 + 2(a — l)t — 4. Попробуем установить, какие значения
может принимать переменная t. Из уравнения (1) легко следует,
что числа х и t одного знака. Кроме того, уравнение (1) можно
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
91
переписать в виде х2 — tx + 4 = 0. Последнее уравнение имеет корни
только в случае неотрицательности его дискриминанта D = t2 - 16,
т. е. если t2 — 16 + 0, откуда |t| > 4, т. е. t е (—°о; —4] и [4; +°°). При
этом если t е (—°°; —4) и (4; +°°), то уравнение х2 — tx + 4 = 0 будет
иметь два различных корня, а если t = ±4, то единственный корень.
Таким образом, если уравнение (2) имеет только положительные
корни, данное уравнение отрицательных корней иметь не может.
Если уравнение (2) имеет хотя бы один отрицательный корень, при­
надлежащий интервалу (— оо; — 4), то исходное уравнение будет иметь
по крайней мере два отрицательных корня. Теперь задачу можно
переформулировать так: найти все значения параметра а, при ко­
торых уравнение (2) имеет хотя бы один отрицательный корень,
принадлежащий промежутку (—оо; —4). Заметим, что /(0) = -4, сле­
довательно, при любом значении параметра а квадратный трёхчлен
имеет корни разных знаков. Поэтому исходное уравнение имеет не
более двух различных отрицательных корней. Ровно два различных
отрицательных корня оно будет иметь в том случае, если отрица­
тельный корень квадратного трёхчлена /(t) будет строго меньше —4.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
/(—4) < 0, т. е. 16 — 8(а — 1) - 4< 0, откуда а > 2,5.
Ответ: (2,5; +оо).
Замечание. Приведённый пример показывает, насколько важно
учитывать область значений новой переменной. Эта область для
4
t = х + - была найдена с помощью условия существования корней
квадратного уравнения (т. е. условия неотрицательности дискри­
минанта). Аналогично можно найти область значений переменной
t = кх + - при любых отличных от нуля к и I, переписав равен­
ство t = кх + в виде квадратного уравнения кх2 — tx + l = O. Для
того чтобы это уравнение имело хотя бы один корень, необходи­
мо и достаточно потребовать неотрицательности дискриминанта
D = t2 — 4kl, т. е. выполнения условия t2 4к1, которое при отрица­
тельном произведении kl будет выполнено для всех действитель­
ных значений t, а при kl > 0 приводится к неравенству |t| > 2д/И,
откуда t е (—оо; — 2Vkl] и [2д/И; +<»). Таким образом, если kl > О,
то кх + х > 2 УИ. При положительных к и I это же неравенство
может быть получено из неравенства Коши
> v'ab для среднего
арифметического и среднего геометрического двух неотрицатель­
ных чисел а и Ь, являющегося следствием очевидного неравенства
91
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
(^/а — +'Б)2 О и получающегося из последнего раскрытием ско­
бок и переносом слагаемых. Переписав неравенство Коши в виде
a -I- b iVab, заключаем, что сумма двух неотрицательных чисел
не меньше удвоенного корня из их произведения (знак равенства
возможен, только если числа равны). Поэтому при положительных к,
I и х получим кх + - > 2\1кхт. е. кх+ - ^iVkl. Если же к и I поX
V
X
X
ложительны, а х отрицательно, то (-х) положительно и для него вы­
полняется неравенство /с(—х) +
> iVkl, откуда после умножения
на —1 получим кх + - < —2 VkL Значит, кх --I-- -
2Vkl. Доказанное
двумя способами неравенство позволяет при замене t = кх + сразу
записывать в случае положительности к и I область значений новой
переменной: |1{ >2д/П, или te (—<*>; -2-/П] и [2у/И; + °°).
Рассмотрим ещё один пример.
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение
lg2 (2х2 - 4х + 3) + (За2 + 5а + 7) lg(2x2 — 4х + 3) — 2а + 3 = О
имеет хотя бы один корень.
Решение. Выделив полные квадраты под знаками логарифмов, пе­
репишем уравнение в виде
lg2(2(х - I)2 +1) + (За2 + 5а + 7) lg(2(x- I)2 + 1) - 2а + 3 = 0.
Пусть t = lg(2(x — l)2 + 1). Поскольку 2(х — I)2 + 1 > 1, получим, что
1 > 0. Тогда данное уравнение примет вид t2+(3a2+5a+7)t—2a+3=0
и задачу можно переформулировать так: найти все значения парамет­
ра а, при каждом из которых уравнение 12 + (За2 + 5а + 7)1 — 2а + 3 = 0
имеет хотя бы один неотрицательный корень. Обозначим через и и 12
корни квадратного трёхчлена /(1) = 12 + (За2 + 5а + 7)1 — 2а + 3, счи­
тая, что 1х 12. Графиком функции у = /(1) является парабола, ветви
u
,
3a2 + 5a + 7
которой направлены вверх, абсцисса вершины 10 =-----Заметим, что дискриминант трёхчлена За2 + 5а + 7 отрицателен
(он равен —59). Следовательно, За2 + 5а + 7 > 0, а 10 < 0 при лю­
бом действительном а. Поэтому если /(1) имеет единственный ко­
рень (т. е. 1; = 12 = 10), то этот корень отрицателен. Если /(1) имеет
два различных корня, то меньший из них будет отрицателен, по­
скольку 1г < 10 < 0. Следовательно, для того чтобы задача имела
решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
93
< 0 t2, т. е. /(0) < 0. Поскольку /(0) = —2а + 3, получаем неравен­
ство —2а + 3 < 0, откуда а 1,5.
Ответ: [1,5; +<»).
При исследовании неравенств с параметрами часто приходится
рассматривать значительно большее число возможных вариантов.
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых для любого действительного значения х выполнено неравен­
ство a(sin2x —3)2 + 2a + cos2x<4.
Решение. Обозначим sin2x через t. Тогда te [0; 1], cos2x= 1 — t и
данное неравенство примет вид a(t — З)2 + la + 1 - t < 4, откуда по­
сле раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и записи ле­
вой части в стандартном для квадратного неравенства виде получим
at2 — (6a + l)t+ 11a — 3 < 0. Теперь задачу можно переформулировать
так: найти все значения параметра а, для каждого из которых трёх­
член /(t) = at2 — (6a + l)t + Ila — 3 будет отрицательным при любом
te[O;l],
Рассмотрим три основных слушая.
1. Пусть a = 0. В этом случае /(t) = -t — 3 и /(t) < 0 при любом
t е [0; 1]. Значит, a = 0 удовлетворяет требованию задачи.
2. Пусть a > 0. В этом случае ветви параболы, являющейся графи­
ком функции y = /(t), направлены вверх. Следовательно, необходи­
мые и достаточные условия отрицательности /(t) при любом t [0; 1]
даются системой
[ а > 0,
/(0) < 0,
[Д1)<о,
( а > 0,
откуда
{ 11а-3 < 0,
( а-6а-1 + 11а-3 < 0,
и, значит,
Из последней системы получим 0 < а < .
3. Пусть а < 0. В этом случае ветви параболы, являющейся графи­
ком функции у = /(t), направлены вниз и /(t) будет принимать на
отрезке [0; 1] только отрицательные значения, лишь если:
а) график функции y = /(t) целиком лежит ниже оси абсцисс,
г. е. дискриминант D = 1 -I- 24а - 8а2 отрицателен (рис. 1а);
94
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
б) любой корень квадратного трёхчлена /(t) меньше нуля: (у t2 <
< 0 (рис. 16);
в) любой корень квадратного трёхчлена /(f) больше единицы:
1 <t; <t2 (рис. 1в).
в)
Рис. 1
В случае а) получим систему
а < О,
1 + 24а - 8а2 < 0.
Решение квадратного неравенства:
Следовательно, решение системы:
В случае б) необходимые и достаточные условия даются системой
I а < О,
11а-3 < О,
а < 0,
/(0) < 0,
D > 0,
t0 < 0,
откуда
I 1 -24а
V
2а
<
8а2 > О,
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
95
Из двух первых неравенств системы заключаем, что а < 0. С учётом
6(7 + 1 n
1
?
< 0 получим, что а > — . Решением квадГ6—л/38 б + л/381 „
ратного неравенства является отрезок —7; —-— . Сравним
этого из неравенства
6- д/38
1 „
6—V38 , 1 _
758-6^1
—— и — -. Предположим, что —< - -. Тогда —— У - и
/ооч.
20 , откуда ос-,
V38
>—
38 > 400 „
Последнее неравенство неверно. „Значит, и
„
б—л/38"
1 „
сделанное допущение неверно. Следовательно, —— > —6' ПоэтоГ6— л/38
му решением системы является промежуток —; 0 1.
В случае в) необходимые и достаточные условия даются системой
( а < 0,
(а < О,
/(1) <0,
Л >0
0ТКУДа
I 6а-4< 0,
| 1 + 24а - 8а2 > 0,
Из двух первых неравенств системы заключаем, что а < 0. Последнее
неравенство системы приводится к виду —> 0. С учетом того, что
а < 0, из последнего неравенства получаем а < — Решением квадГ6-У38 6 + V383 п
л
ратного неравенства является отрезок |
. Выше было
6- У38
1 _
6 - У38
1
доказано, что —— > ~q- Поэтому -----;— > — ■ и решении рас­
сматриваемая система не имеет.
Объединяя все найденные значения параметра, получим, что
Ответ:
оо;
1..
Замечание. Рассмотренный пример показывает, насколько раз­
ветвлённой может оказаться задача, связанная с исследованием рас­
положения корней квадратного трёхчлена. Кроме этого, следует
,
6-У38
1
,
обратить внимание на сравнение чисел —— и
а также оформ­
ление такого сравнения в тексте решения: ведь с необходимостью
сравнения достаточно «неприятных» чисел приходится сталкиваться
не только при решении задач с параметром, но и при решении
самых разных уравнений и неравенств (например, задачи 15 ЕГЭ по
математике). В некоторых случаях достаточно оценить корень (или
логарифм) двумя целыми числами, между которыми он заключён,
96
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
но в данном случае из того, что 6 < v'38 < 7, следует только, что
л
/оо < 1
п "'/38 — 6 1
1 6 — v'38 „
О < V38 — 6 < 1, откуда 0 < -—~
< 7, и, значит, — 4 <
~— < 0.
Для сравнения с — такой оценки недостаточно, поэтому приходится
уединять корень и сравнивать его с положительным рациональным
числом путём сравнения квадрата этого рационального числа с под­
коренным числом. Оформить такое сравнение на чистовике можно
либо от противного (как это было сделано при разборе примера),
либо записав в чистовике последовательность действий, обратную
проделанной в черновике: ведь доказывать неравенство можно толь­
ко опираясь на очевидное верное неравенство. В последнем случае
в чистовике следует привести такое доказательство:
Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых неравенство 4х — а • 2х — a --I-- 3^0 имеет хотя бы одно решение.
Решение. Пусть t = 2х, t > 0. Тогда данное неравенство примет
вид t2 — at — а + 3 < 0 и задачу можно переформулировать так: найти
все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
t2 — at — а + 3^0 имеет хотя бы одно положительное решение. Обо­
значим через и и t2 корни квадратного трёхчлена f(t) = t2 — at — а + 3,
считая, что и < t2, через D — его дискриминант: D = а2 + 4а— 12 =
= (а -г 6) (а - 2). Графиком функции у = f (t) является парабола, ветви
которой направлены вверх, абсциссой вершины является t0 = 3
Рассмотрим все три случая, когда /(t) СО хотя бы при одном по­
ложительном t.
Случай 1: с < 0 < t2. Это условие выполняется в том и только том
случае, если f (0) < 0. Поскольку f (0) = —а + 3, получаем неравенство
—а + 3 < 0, откуда а > 3, т. е. а е (3; +<»).
Рис. 2
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
Случай 2: 0 < fy
случае, если
97
t2. Это условие выполняется в том и только том
(/(0) > О,
' D > 0,
^о>О,
т. е.
[-а + 3>0,
-! (я + 6)(а — 2) > О,
^>0,
откуда 2 < а < 3, и, следовательно, а е [2; 3).
Рис. 3
Случай 3: один из корней квадратного трёхчлена /(t) равен нулю.
В этом случае /(0) = -а + 3 = 0, откуда а = 3. Но тогда /(t) = t2 - 3t и
второй корень равен 3, т. е. значение а = 3 также удовлетворяет усло­
вию задачи. Объединяя решения, получим, что а с [2; +оо).
Ответ: [2; +<»).
Во всех решениях, рассмотренных выше, требовалось лишь опре­
делить значение параметра, при которых задача имеет те или иные
решения. Сами решения при этом находить не требовалось. Перей­
дём теперь к рассмотрению тех задач, где нужно не только опреде­
лить все значения параметра, при которых уравнение или неравен­
ство имеет решение, но и указать для найденных значений парамет­
ра все эти решения. Как уже отмечалось, иногда эти задачи коротко
формулируют так: решить уравнение (неравенство, систему) с пара­
метром.
Пример 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение х + а2 -х2 = 1 имеет хотя бы один корень, и ука­
жите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
Решение. Перепишем уравнение в виде у а2 - х2 = -х +1 и вспом­
ним, что квадратным корнем из числа b называется такое неотрица­
98
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
тельное число с, квадрат которого равен Ь. Поэтому от последнего
уравнения можно перейти к системе
2
2
2
I а - х — х -2х + 1,
\ —х +1 > О,
Г
откуда
f 2х2-2х+1-а2 = О,
(
х 1.
Теперь задачу можно переформулировать так: найти все зна­
чения параметра а, при каждом из которых квадратный трёхчлен
/(х) = 2х2 — 2х + 1 - а2 имеет хотя бы один корень, не превосхо­
дящий 1, и указать корни для всех таких значений параметра а.
Обозначим через хх и х2 (хх х2) корни трёхчлена /(х), через D — его
дискриминант, через х0 — абсциссу вершины параболы, являющей­
ся графиком функции у = /(х), заметив, что ветви этой параболы
-D
о
направлены вверх. Тогда у = 2а — 1, а х0 = 0,5 < 1. Из последнего
следует, в частности, что если /(х) имеет корни, то по крайней мере
один из них меньше 1. Возможны три случая.
1. Ровно один из корней трёхчлена /(х) меньше 1, т. е. хх< 1 <х2.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
/(1) < 0. Так как/(1) = 1 — а2, получаем неравенство 1 - а2 < 0, откуда
I _ у2а2 — 1
|а| > 1, т. е. ае (-оо;-1) и (1;+оо). При этом х=хх =
2. Любой из корней трёхчлена /(х) меньше 1, т. е. х1^х2< 1В этом случае необходимые и достаточные условия даются системой
(2а2-1>0,
; /(1) > 0,
откуда
{ 1 -а2 > О,
.,
f v2~| Г V2 -А г.
Из последней системы получаем, что а е I — 1; —— и
1 ). Кор­
нями данного уравнения при этих значениях параметра являются
1±^2а2-1
числа------- -------- •
3. Один из корней трёхчлена /(х) равен 1. В этом случае /(Г) =
= 1 — а2 = О, откуда а = ±1, и второй корень равен 0.
Объединяя решения, получим ответ.
Ответ: :—Ч-—- при а е (-»; -1) и (1; +°°); 2—’
Г ,
л/2“| Га/2 ’I
а е —1; ——■ и —; 1 ; при прочих а корней нет.
------ при
Пример 7. Решите неравенство 144|v| - 2 ■ 12w + а^О при всех
значениях а.
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
99
Решение. Пусть t = 12|x|. Поскольку |х| >0, получим, что t>l.
Данное неравенство примет вид t2 — It + а 0. Обозначим через fy и t2
(ty < t2) корни квадратного трёхчлена /(t) = t2 — 2t + а, через D — его
дискриминант, через t0 — абсциссу вершины параболы, являющейся
графиком функции у = f(t), заметив, что ветви этой параболы направ­
лены вверх. Тогда ф = 1 - а, а Со = 1. Рассмотрим следующие случаи.
Случай 1: ~ < 0, т. е. 1 — а < 0, откуда a Jl 1. В этом случае /(t) Jl 0
при любом t, а значит, и при t > 1. Тем самым 121*1 ф? 1, откуда |х| > 0,
т.е.хе
+°°).
Случай 2: > 0, т. е. 1 — а > 0, откуда а < 1. В этом случае квадрат­
ный трёхчлен f (t) имеет два различных корня (у и t2 (<у < t2) и прини­
мает неотрицательные значения на промежутках (—оо;
и [t2; +»).
Поскольку t0 = 1, условие неотрицательности f (t) при t > 1, будет вы­
полнено, лишь если t е [t2; +°°). Найдя t2 = 1 + У1 — а и сделав об­
ратную замену, приходим при а < 1 к неравенству 12м > 1 + У1 — а,
откуда |х| > log12(l + \/1 - а), т. е.
х е (-оо; - log12(l + д/1 - а)] и [log12(l + \/1 - а); +<»).
Ответ: (-qq; +qq) при а е [1;+°°); (-оо; — log12(l + Ф1 - а)] и
и [log12(1 + V1 - а); +°°) при а е (-оо; 1).
Заметим, что в последнем примере равенство t0 = 1 при условии
t ty 1 позволило исключить из рассмотрения ещё целый ряд случаев.
Подводя итоги, отметим следующее. Любую из рассмотренных
задач можно было решить, непосредственно вычисляя корни соот­
ветствующих квадратных трёхчленов. Однако почти всегда вместо
системы, содержащей лишь линейные и квадратные неравенства, при
таком решении пришлось бы иметь дело с весьма громоздкими систе­
мами иррациональных неравенств, где вероятность арифметической
ошибки довольно велика. Тем не менее, изученные приёмы, хотя и
являются достаточно универсальными, в некоторых случаях могут
оказаться не самыми оптимальными. И ещё раз обратим внимание
на два ключевых момента. Во-первых, сделав замену переменной,
необходимо указать область значений новой переменной и обяза­
тельно переформулировать задачу с учётом этой области. Во-вторых,
при решении задач с параметрами следует остерегаться «подводных
камней». В этом смысле особую аккуратность и тщательность следует
проверять в тех случаях, когда выписываемые неравенства могуч
быть как строгими, так и нестрогими (например, если один из корней
квадратного трёхчлена может совпадать с характерным значением
100
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
I или т из теорем предыдущего параграфа). В этих случаях, чтобы не
запутаться, лучше пользоваться строгими неравенствами, а случаи
х{ = I и (или) х, = т (i = 1, 2) рассматривать отдельно, как это было
сделано при решении примеров 5 и 6. И последнее. Разумеется,
решение задач с параметрами, требующих исследования квадратного
трёхчлена, не ограничивается только изучением расположения кор­
ней квадратного трёхчлена относительно заданных чисел: здесь, как
мы видели, приходится пользоваться самыми разными свойствами
и фактами, опираясь как на алгебраические, так и на графические
представления. Для успешного решения таких задач нужно поста­
раться нарастить определённую математическую «мускулатуру», сде­
лав приводимые ниже упражнения — достаточно разнообразные и
вместе с тем связанные именно с квадратным трёхчленом и его
свойствами.
Упражнения к § 2.3
1. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
2ах + а(1 - 2а) „
неравенство 2а2 + 2ах—Г" < выполнено Для любых значении пере­
менной х из отрезка [-2; 2].
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
бах - а (2- а) _
неравенство ———— > 0 выполнено для люоых значении пере­
менной х из отрезка [—3; 3].
2. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 2х4 + (а — 2)х + 2х2 + (а — 2)х + 2 = 0 имеет не менее двух
различных отрицательных корней.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 2х4 — (5а + 2)х3 + 2х2 — (5а + 2)х + 2 = 0 имеет не менее
двух различных положительных корней.
3. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение lg2(3x2 + бх + 4) + (5а2 - а + 4) lg(3x2 + бх + 4) - а - 2 = 0
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
lg2 (5х2 - 10х + 6) + (За2 - 5а + 6) lg(5x2 - 10х + 6) - 4а + 3 = 0
имеет хотя бы один корень.
4. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log|(7x2 + 1) + (За2 - а + 3) ■ log3(7x2 + 1) + 4а2 - а4 = 0
имеет хотя бы один корень.
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
101
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log|(4x2 -I-1) 4 (2а2 - За + 4) • log5(4x2 4 1) 4 9а2 - а4 = 0
имеет хотя бы один корень.
5. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 49х 4 (2а2 — а + 6) • 7х + 2а2 4 а — 6 = 0 имеет единствен­
ный корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 25х -I- (2а2 — 5а + 12) • 5х + 2а2 4- 5а — 12 = 0 имеет един­
ственный корень.
6. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 36х—2(а41)-6х4а242а-8=0 имеет единственный корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 9х — 2(2а 4 1) • 3х 4 а2 4 4а - 12 = 0 имеет единственный
корень.
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любого действительного значения х выполнено неравенство
a (cos2 х - З)2 -I- 2а 411 sin2 х < 44.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любого действительного значения х выполнено неравенство
a(sin2 х — З)2 4 2а 4 88 > 22 cos2 х.
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 9 х — (а - 1) • 3х — а 4 4 4 0 имеет хотя бы одно решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 49х — (a + 1) • 7х — а 4 2 < 0 имеет хотя бы одно решение.
9. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 5 х — (а — 5) • (0.2 )х + 2 4 а имеет хотя бы одно решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 4х — (а 4 2) • (0,25)х <а45 имеет хотя бы одно решение.
10. а) Решите уравнение х + у а2 — х2 4- 2х - 1 = 2.
б) Решите уравнение х4- \/а2 — х2 4 4х — 4 = 3.
11. а) Решите неравенство 25|х' — 2 • 5|х| 4 a > 1.
б) Решите неравенство 36|х| - 2 • 6|х| 4 а >2.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а/ 2х — a 4 5 = х — 2а 4 4 имеет хотя бы один корень, и ука­
жите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а/ 2.x — a — 4 = х — 2a — 2 имеет хотя бы один корень, и
укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 49 х-2(а—1)-7х4а2—4а—5=0 имеет единственный корень.
102
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 9х — 2(а — 3) • 3 х -I- а2 — 8а + 7 = 0 имеет единственный
корень.
14. а) Найдите все значения параметрит а, при каждом из которых
для любого значения х выполнено неравенство
а2 + 2а - sin2 х — 2а cosx > 2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого значения х выполнено неравенство
cos2 х +2а sinx-2а < а3 -4.
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любого значения х выполнено неравенство
1-rlog5(x2 + 1) > log5(ax2-r4x + a).
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого значения х выполнено неравенство
log0 2 (4х2 +1) С 2 + log02 C4ax2 - 40х + a).
16. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любого значения х выполнено неравенство
(a-l)-9x + 4(a-2)-3x-l-a > 2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого значения х выполнено неравенство
(а - 2) ■ 25 х + 4(а -1) • 5х + а < 1.
17. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log3 (9х + 9а) =х имеет два различных корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log2 (4х — а) =х имеет два различных корня.
18. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
2 , бх . 9л/3 ,
„
уравнение х + -== -I--------- 1-36 = 0 имеет единственный корень.
Vsina cosa
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х2 + 2х -I—-—h 2а/2 = 0 имеет единственный корень.
vsina
cosa
19. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х(х + 1) (х + 2) (х + 3) = а имеет не менее трёх различных
отрицательных корней.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение a + х(х — 1) (х — 2) (х — 3) = 0 имеет не менее трёх различ­
ных положительных корней.
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
103
20. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 3- |х—а|>х2 имеет хотя бы одно отрицательное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 2 > |х + а| + х2 имеет хотя бы одно положительное реше­
ние.
21. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 11 — ах| = 1 + (1 — 2а)х+ах2 имеет единственный корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение | (а + 1)х - 2| = (1 + а)х2 — 2ах + 2 имеет единственный
корень.
22. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
J X+2у + ху +1 = 0,
[ аху + х-у +1,5 = 0.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
| Зу + 2 + ху = 0,
[ х(у +1 - а) +у(2а - 3) + а + 3 = 0.
23. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
(х2 + у2 = а,
[х-у = а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
f х2 + ау = 1,
I Зх + 2у = 3.
24. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
не имеет решений система уравнений
I 2х + а2у = а-2 +а2,
i х -I- 2у = 2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых не
имеет решений система уравнений
f 2х + (9а2 - 2)у = За,
(х + у = 1.
104
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
25. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
(x + 2y + 3z = х2 + 16у2,
[x+4y + 9z = а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
f х2 + 4у2 = 3z,
[ x+2y + 3z = а.
26. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
J 9х2 - бху + у2 + бх - 13у + 3 = 0,
(13х2 + бху + 10у2 + 16х + 2у - 4ах — бау + а2 - 2а. + 3 = 0.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
Г 4х2 - 12ху + 9у2 + 2х - бу = 0,
; 5х2 - 16ху + 13у2 - 6х + 10у + 2ах — 4ау + а2 - 2а - 5 = 0.
27. а) Найдите все значения параметрит а, при каждом из которых
уравнение ((2х + а) д/22а - 4а2 - 24 - 2(х2 + х) lg а) lg' 1 - = 0
имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а
другой не превосходит —1.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
((4х- а) \/ 11а —а2 -18 + (х2 -х) lg(3a - 1)) lg
''' = 0
имеет по крайней мере два корня, один из которых неположителен, а
другой не меньше 1.
28. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
любой из корней уравнения
Зах2+ (За3 - 12а2 — 1)х-а(а -4) = 0
удовлетворяет неравенству |х| < 1.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых лю­
бой из корней уравнения ах2 + (За3 — ба2 - 1)х — За (а — 2) = 0 удовле­
творяет неравенству |х| < 2.
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
105
29. а) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ь, для
каждой из которых неравенство |х2 + ах + Ъ\ > 2 не имеет ни одного
решения на отрезке [1; 5].
б) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ь, для каждой
из которых неравенство |2х2 + ах + Ь| > 1 не имеет ни одного решения
на отрезке [1; 3].
30. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 4(х — Va ■ 4й )х + 4(4“ — 1) + а = 0 имеет хотя бы один ко­
рень, и определите знаки корней для каждого из найденных значений
параметра а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 4х2 — 4х(а • 5“)0,5 + 5“+1 --I-- а — 5 = 0 имеет хотя бы один ко­
рень, и определите знаки корней для каждого из найденных значений
параметра а.
31. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для всех положительных значений переменной х выполнено неравен­
ство
(а3-I-(1 — \/2)а2 — (3 + д/2)а +3%/2)х2 + 2(а2 — 2)х + а >-V1.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
всех положительных значений переменной х выполнено неравенство
(а3 + (1-ч/3)а2-(4+У^)а + 4^/3)х2 + 2(а2-3)х + а > -Уз.
32. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (х — а)2(а(х — а)2 — а — 1) = -1 имеет больше положитель­
ных корней, чем отрицательных.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ((х — а — I)2 — 2)(х — а - I)2 = а2 — 1 имеет больше положи­
тельных корней, чем отрицательных.
33. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ((х — а)2 — 2а — 4) (х — а)2 = —2а — 3 имеет больше отрица­
тельных корней, чем положительных.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (х + 2а)2((х + 2а)2 — а — а4) = -а5 имеет больше отрица­
тельных корней, чем положительных.
34. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых функция ,/'(х) = sin2x — 8(а + 1) sinx + (4а2 + 8а — 14)х является
возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет крити­
ческих точек.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функ­
ция /(x) = sin2x-8(a+2) cosx — (4a2+16a+6)x является убывающей
на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.
106
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
35. а) Определите знак коэффициента а, если /(х) = ах2 + Ьх + с и
/(-1)<1,/(1)>-1,/(3)<-4б) Определите знак коэффициента а, если /(х) = ах2 + Ьх + с и
/С-3) < -5, /(-1) >0,/С1) <436. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
min(4x2 - 4ах + а2-2а + 2) = 3.
[0;2]
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
тах(-х2 + 2ах - а2 4- 2а - 3) = -2.
[0;1]
37. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
квадратичная функция
f(x) = (cos а)х2 + (2 sin а)х + cos Q ~sm а
является квадратом линейной функции,
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
квадратичная функция
Дх) = (sina)x2 + (2cosa)x + cosa + sina
является квадратом линейной функции.
38. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото.
„ ,
. .
sinx+ 2(1-а)
рых область значении функции у(х) =------- ^5----- содержит отре­
зок [1; 2].
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
область значений функции у(х) =
c°sx
содержит отрезок
39. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых для всех х, принадлежащих отрезку [2; 4], выполнено неравенб) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для всех х, принадлежащих отрезку [1;2], выполнено неравенство
х-2а- 1 Q
х—а
40. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых для всех х, принадлежащих отрезку [1; 3], выполнено неравен­
ство (х - За) (х - а - 3) < 0.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для всех х, принадлежащих отрезку [2; 3], выполнено неравенство
(х + 3 - 2а) (х + За - 2) < 0.
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена
107
41. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
решением системы неравенств
[ х2 - 2х
а -1,
[ х2 — 4х в 1 — 4а
является отрезок длины 1.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ре­
шением системы неравенств
J х2 + 6х + 7 + а < 0,
( х2 + 4х -I- 7 < 4а
является отрезок длины 1.
42. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых многочлен Р(х) = х4 + 2tg“ -х2 + (cos a + cos 2a)x + 2lg"2 является
квадратом квадратного трёхчлена от х.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
многочлен Р(х) = х4 + 2cosa • х2 + (sina + tga)x + 2cosa — 1 является
квадратом квадратного трёхчлена от х.
43. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение logyg-y(4x + a) = 4 имеет хотя бы один корень, и укажите
корни уравнения для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение logyj^y V2x +а = 2 имеет хотя бы один корень, и укажите
корни уравнения для каждого из найденных значений а.
44. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство х+2а — 2 уЗах+а2 > 0 имеет хотя бы одно решение, и ука­
жите все решения неравенства для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера­
венство х + 2а — \/Зах + 4а2 > 0 имеет хотя бы одно решение, и укажи­
те все решения неравенства для каждого из найденных значений а.
45. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(х-3)(х+1) + 3(х-3)^/|±| = (a-l)(a + 2)
имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого
из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(х + 2)(х + 4) + 5(х + 2)<УЩ-(а-1-2)(а-3) = 0
108
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого
из найденных значений а.
46. а) Найдите все целые значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение 5 — 4sin2 х — 8 cos2 т: = 3а имеет хотя бы один корень,
и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все целые значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение 2 — 2 cos Зх = За + 4sinx имеет хотя бы один корень, и
укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
47. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство а2 — 9'11 — 8а • 3х > 0 имеет хотя бы одно решение, и ука­
жите все решения неравенства для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера­
венство а2 - 2 • 4’с+1 — а ■ 2'"и > 0 имеет хотя бы одно решение, и укажи­
те все решения неравенства для каждого из найденных значений а.
48. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство v а2 — х2 > х +1 имеет хотя бы одно решение, и укажите
все решения неравенства для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 1 — х2 <х + а имеет хотя бы одно решение, и укажите
все решения неравенства для каждого из найденных значений а.
Глава 3. Применение свойств функций к решению
уравнений и неравенств
Решение большого числа считающихся нестандартными уравне­
ний, неравенств и их систем (с параметром и без) существенным об­
разом опирается на такие свойства элементарных функций, изучае­
мых в школьном курсе, как монотонность, ограниченность, непре­
рывность, чётность или нечётность, периодичность, дифференциру­
емость, а также на графические интерпретации уравнений и нера­
венств. Обычные (стандартные) приёмы и методы решения, основан­
ные на сведении уравнения (неравенства) к одному или нескольким
простейшим с помощью алгебраических преобразований или заме­
ны переменной, в таких задачах оказываются, как правило, малоэф­
фективными или неэффективными вовсе и являются лишь вспомо­
гательными, «инструментальными», техническими средствами реше­
ния, которые будут совершенно бесполезными в отсутствие ключе­
вой идеи. Знакомству с такими ключевыми идеями и посвящена эта
глава.
§3.1. Монотонность
Приведём вначале основные утверждения, связанные с моно­
тонными функциями (напомним, что монотоннымии называются
возрастающие и убывающие функции), ограничившись теми утвер­
ждениями, которые наиболее часто используются при решении урав­
нений и неравенств.
Утверждение 1. Если функция у = /(х) монотонна, то уравнение
/(х) = с (где с —любое действительное число) имеет не более одного
корня.
Это утверждение легко следует из определения монотонной функ­
ции. В самом деле, если /(хх) = с, /(х2) = с и, например, хх < х2, то
либо /(хх) </(х2) (при монотонном возрастании функции у = /(х)),
либо /(хг) >/(х2) (при монотонном убывании функции у = /(х)),
что противоречит условию /(хх) = с = /(х2).
Утверждение 2. Если функция у = /(х) монотонно возрастает, а
функция у = g(x) монотонно убывает, то уравнение /(х) = g(x) имеет
не более одного корня.
Доказательство этого утверждения также не представляет труда
и может быть проведено разными способами. В самом деле, ес­
ли функция у = g(x) монотонно убывает, то функция у = — g(x)
монотонно возрастает (объясните почему), а значит, и функция
110
Глава 3. Применение свойств функций
u(x) = /(x) - g(x) является монотонно возрастающей (как сумма
монотонно возрастающих функций). Поэтому в силу утверждения 1
уравнение и(х) = 0 (т. е. уравнение /(х) — g(x) = 0) имеет не более
одного корня. Следовательно, и уравнение f (х) = g(x) имеет не более
одного корня.
Утверждения 1 и 2 позволяют обосновывать единственность реше­
ния уравнения в тех случаях, когда свести его к простейшему не уда­
ётся, но довольно просто можно подобрать корень, который, как пра­
вило, является целым числом. Следует отметить, что решение урав­
нения «методом подбора» будет засчитано только при обосновании
того, что других корней это уравнение не имеет. Такое обоснование
часто удаётся сделать, опираясь на свойства монотонных функций.
Пример 1. Решите уравнение 2 r lg(x • 11) +1.
Решение. Ясно, что стандартным способом решить это уравне­
ние не представляется возможным. Попробуем подобрать корень,
перебирая небольшие по модулю целые числа. Число х = — 1 является
корнем уравнения. Обоснуем, что других корней уравнение не имеет.
Функция g(x) = 2 Л является монотонно убывающей, а функция
/(х) =lg(x + 11) + 1 монотонно возрастает на всей области опреде­
ления. Поэтому уравнение /(x) = g(x) имеет не более одного корня.
Так как /(—1) = g(—1), то х = — 1 — единственный корень уравнения.
Ответ: -1.
Пример 2. Решите уравнение 3' + 4х = 5х.
Решение. Те, кто помнит теорему Пифагора и простейший еги­
петский треугольник, без труда подберут число, являющееся корнем
этого уравнения: х = 2. Остаётся показать, что других корней урав­
нение не имеет. Но каждая из функций у = 3х + 4х и у = 5Л является
возрастающей на всей числовой прямой, поэтому в данном случае
утверждение 2 «не работает». Учитывая, что 5* 0, и разделив обе
части уравнения на 5V, придём к уравнению I Т ) + ! ’ =1. Пусть
Функция у = /(х) является монотонно убывающей на всей числовой
прямой (как сумма монотонно убывающих функций), следовательно,
уравнение /(х) = 1 имеет не более одного корня. Так как /(2) = 1, то
х = 2 — единственный корень уравнения.
Ответ: 2.
Пример 3. Решите уравнение
х
д/х + 1 — 1
х +4
|
V А” + 5 — 1
х +9
_g
10 — 1
а/х +
ill
§ 3.1. Монотонность
Решение. Умножим и разделим каждую дробь в левой части урав­
нения на выражение, сопряжённое её знаменателю, т. е. на л/х +1 +1,
\/х + 5 + 1 и а/х + 10 +1 соответственно, после чего преобразуем зна­
менатель каждой дроби по формуле разности квадратов. После сокра­
щения дробей получим уравнение
у/х +1 + 1 + у/х + 5 + 1 + у/х + 10 +1 = 8,
откуда а/х +1 + а/х + 5 + Vx + 10 = 5. Обозначим левую часть послед­
него уравнения через /(х). Функция у = /(х) монотонно возраста­
ет на промежутке [—1; +<») (как сумма возрастающих функций). По­
скольку /(-1) = 5, в силу монотонности функции у = /(х) единствен­
ным корнем уравнения является х = — 1.
Ответ: -1.
____
____
..
. г*
Vx +1 + \/ х + 9 + а/х + 25 3
Пример 4. Решите уравнение ——
.
.
= =.
F
F
аЖ+а/х+4 + а/х + 16
2
Решение. Перепишем уравнение в виде
2(у/х +1 + у/х + 9 + у/х + 25) = 3(а/х+ у/х + 4 + у/х + 16),
откуда
2(у/х + 1 - а/х+ у/х + 9- у/х + 4+ у/х + 25- у/х +16) =
= а/х+ \/х + 4+ у/х + 16.
Обозначим правую часть уравнения через g(x), заметив, что
функция у = g(x) монотонно возрастает на [0; +«з) (как сумма воз­
растающих функций). Далее, поскольку а/х + 1 — а/х =
С
Q
1
а/x + 1 + а/х
..=^. и а/х+25 - а/х+16 =
.
а/х+9 + а/х+4
а/х+25 + а/х + 16
левая часть уравнения примет вид
а/х+9- а/х+4 =
5= + ^=9^
Л
л/х + 9 + V х + 4 л/х + 25 + д/х +16 +
Обозначив полученное выражение через /(х), заметим, что функция
у = f(x) является монотонно убывающей на [0; +<») (как сумма мо­
нотонно убывающих функций). Следовательно, уравнение f (х) =g(x)
имеет не более одного корня. Осталось заметить, что /(0) = g(0).
Ответ: 0.
Сформулируем теперь два утверждения о монотонных функциях,
связанные с решением неравенств.
112
Глава 3. Применение свойств функций
Утверждение 3. Если функция у = f(x) монотонно возрастает
на всей числовой прямой, а функция у = g(x) монотонно убывает
на всей числовой прямой, то справедливы следующие утверждения:
а) /(а) </(/3) в том и только в том случае, когда а < /3; б) g(a) <g(/3)
в том и только в том случае, когда я > /3.
Это утверждение является, в сущности, простой переформулиров­
кой определения возрастающей и убывающей функции.
Утверждение 4. Если функция у = /(х) монотонно возрастает на
всей числовой прямой, функция у = g(x) монотонно убывает на всей
числовой прямой и /(х0) = g(x0), то справедливы следующие утвер­
ждения:
а) / (х) < g(x) в том и только в том случае, когда х е
х0];
б) Дх) >g(x) в том и только в том случае, когда хе [х0; +о°).
Наглядный смысл этого утверждения очевиден (см. рисунок). По­
пробуйте доказать это утверждение формально, опираясь на опреде­
ление возрастающей (убывающей) функции.
Заметим, что далеко не каждая функция является монотонной на
всей числовой прямой. Во многих случаях приходится применять сфор­
мулированные утверждения, учитывая область определения функции
не только при обосновании монотонности, но и при записи ответа.
Пример 5. Решите неравенство
\/х5 -5 > log3 (5 — х) + 2.
Решение. Опять-таки понятно, что стандартные преобразования
здесь неприменимы. Перебирая небольшие по модулю целые числа,
довольно быстро можно установить, что левая и правая части данно­
го неравенства равны при х = 2. Функция /(х) = \/х5 — 5 монотонно
возрастает на всей числовой прямой, а функция g(x) = log3 (5 — х) + 2
монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравен­
113
§ 3.1. Монотонность
ство /(х) > g(x) выполняется, если х > 2 и х eD(g), где D(g) — об­
ласть определения функции у = g(x). Таким образом,
f х > 2,
’
| 5 -х > О,
откуда 2 < х < 5.
Ответ'. (2; 5).
Пример 6. Решите неравенство
75A'2 + log7(5x-l) g 7x+2 + log7(x + 3).
Решение. Обратим внимание на «похожесть» левой и правой ча­
стей неравенства. Рассмотрим функцию /(t) = 7( + log7(t + 1), моно­
тонно возрастающую на всей области определения. В силу возраста­
ния функции у—/(Й неравенство / (а) ^/(/3) будет выполняться при
допустимых а и [3 в том и только том случае, если а < /3. В нашем
случае а = 5х — 2, /3 = х + 2. Таким образом,
‘ 5х —2 <х + 2,
5х — 1 > 0,
| х 4- 3 > 0,
откуда 0,2 < х
1.
Ответ: (0,2; 1].
Замечание. Уже эти относительно несложные примеры показыва­
ют, что для успешного решения подобных задач нужно хорошо знать
свойства монотонных функций и уметь их использовать. Так, если
при допустимых значениях переменных функция у = f (t) монотон­
но возрастает, а функция t = g(x) монотонно убывает, то функция
у = /(g(x)) будет монотонно убывающей; если же при допустимых
значениях переменных и функция у = /(t) монотонно возрастает, и
функция t = g(x) монотонно возрастает, то функция у = /(g(x)) также
будет монотонно возрастающей. Фактически именно эти утвержде­
ния, которые довольно просто получить непосредственно из опреде­
ления возрастающей и убывающей функций, были неявным образом
использованы при решении последних примеров.
Пример 7. Решите систему уравнений
[ 5 sinx — 4у3 + Зх = 5siny —4х3 + Зу,
(х2 + у2 = 1.
Решение. Перепишем первое уравнение системы в виде
5 sin х + 4х3 + Зх = 5 sin у + 4у3 + Зу
Глава 3. Применение свойств функций
114
и рассмотрим функцию /(t) = 5 sint 4- 4t3 + 3t. Первое уравнение си­
стемы имеет вид f (х) = f(y'). Если бы функция /(t) = 5 sin t + 4t3 + 3t
была монотонной, можно было бы сделать вывод о том, что равенство
Дх) = /(у) выполняется только при х = у. Обоснованию монотонно­
сти «мешает» наличие sin t. И здесь потухший было взгляд падает на
второе уравнение системы, из которого следует, что |х| 1 и |у| < 1.
Но на отрезке [-1; 1] функция у = sint монотонно возрастает, а зна­
чит, монотонно возрастает и функция у = /(t) (как сумма возрастаю­
щих функций). Таким образом, получаем систему уравнений
I X = у,
(х24-у2 = 1,
решение которой несложно, оно дает две пары чисел
(
41
V2A
—- -у и
(44У
г.
Ответ-.
(42
42\ (42 423
J; [—;—)■
9
з4з
Пример 8. Решите уравнение х 4-------- = 4х.
1 + V X4 - 8х3 4- 16х2 4-1
Решение. Перепишем уравнение в виде
(4х - х2) (14- \/(4х-х2)24-1) = V3(1 4- V(v/3)24-l)
и рассмотрим функцию /(t) = t(l 4- \/t2 4-1), возрастающую на всей
числовой прямой. Последнее можно доказать, либо найдя производ­
ную функции, либо с помощью элементарных рассуждений. В самом
деле, если tx < 0 < t2, неравенство /(tj < /(t2) очевидно, поскольку
в этом случае /(tj < 0, a f (t2) > 0. Если 0 t1 < t2, то
0 < 14- ^/t2 + l < 1 +
и, следовательно, tyfl 4- ^^4-1) < t2(l 4- \/tf 4-1), т. е. /(tj < /(t2).
Наконец, если ty < t2
0, то Ж|> |t2|^ 0, откуда t2 > t| > 0 и
1 + -\Ai + l > 1 + -\Д2 + 1 > °Поэтому ti(l 4- >/t2 4-1) < t2(l 4- y/t2 + l) ^0, а значит, f (tj) </(t2) и
в этом случае. Таким образом, доказано, что для любой пары таких
чисел о и t2, что ty < t2, выполняется неравенство /(tj < f (t2),
т. е. функция f(t) = t(l 4- yt24-l) является возрастающей. В силу
115
§ 3.1. Монотонность
возрастания функции у = f(t) равенство /(а) = f Q3) будет выпол­
няться тогда и только тогда, когда а = /3. В нашем случае а = 4х- х2,
/3 = /3. Подушим уравнение 4х — х2 = УЗ, откуда х2 — 4х + /3 = 0 и
х = 2± </4-а/3.
Ответ: 2 + \/4- д/З.
Прежде чем переходить к разбору следующих задач, сформулиру­
ем и докажем ещё одно полезное, но менее очевидное по сравнению
с предыдущими утверждение.
Утверждение 5. Если функция у = /(х) монотонно возрастает, то
уравнения f (х) х и f (f (х)) = х имеют одно и то же множество кор­
ней.
Доказательство. Пусть число х0 является корнем уравнения /(х)=
= х, т. е. /(х0) = х0. Тогда /(/(х0)) =/(х0) = х0, т. е. х0 — корень
уравнения
(х)) = х. Как видим, в этой части доказательства мо­
нотонность даже не потребовалась. Обратно, пусть число х0 является
корнем уравнения /(/(х)) = х, т. е. /(/(х0)) =х0. Докажем, что тогда
и / (х0) = х0, т. е. х0 —корень уравнения f (х) = х. Предположим, что
это не так, т. е. что / (х0) х0- Тогда либо /(х0) > х0, либо / (х0) < х0.
В силу монотонного возрастания функции у = /(х) из неравенства
f (х0) > х0 следует неравенство /(/(х0)) > f (х0), но ДДх0)) = х0,
поэтому х0 > Дх0), что противоречит неравенству f (х0) > х0. Ана­
логично если f (х0) < х0, то /(/(х0)) < Дх0), откуда х0 < /(х0), что
противоречит неравенству /(х0) <х0. Значит, сделанное допущение
неверно и /(х0) = х0, т. е. х0 является корнем уравнения /(х) = х.
Утверждение доказано.
Отсюда легко выводится ещё одно утверждение, которое сформу­
лируем как следствие доказанного.
Следствие. Если п — натуральное число, а функция у = / (х) моно­
тонно возрастает, то уравнения /(х) = х и
/C/C-../Сх))...) = х
п раз
имеют одно и то же множество корней.
Пример 9. Решите уравнение х3 — 7 У7х — 6 + 6 = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде v 7х — 6 = Л +
возве­
дём в куб обе части последнего уравнения и выполним преобразова-
ния, уединив в правой части х. Получим уравнение
9у-----+6 =х.
Рассмотрим функцию /(х) = Л у”, возрастающую на всей числовой
116
Глава 3. Применение свойств функций
прямой. Полученное уравнение имеет вид /(/(х)) = х и в силу утвер­
ждения 5 имеет то же множество решений, что и уравнение /(х) = х,
X3 + 6
3 т г г л гт
т. е. уравнение —= х, откуда х — 7х -I- 6 = 0. Последнее уравнение
довольно просто решается с помощью разложения на множители его
левой части (или с помощью стандартных приёмов, применяющих­
ся при решении уравнений высоких степеней с целыми коэффициен­
тами): х3 — х — 6х + 6 = 0, откуда х(х2 - 1) — 6(х - 1) = 0, и, значит,
х(х — 1) (х-I-1) — 6(х — 1) = 0. Таким образом, приходим к уравнению
(х - 1) (х2 -г х — 6) = 0, корнями которого являются числа —3; 1; 2.
Ответ: —3; 1; 2.
Пример 10. Решите систему уравнений
j
х2 + 1+ \/у + х2 + 2 = у,
| -\/у2 — 7 + у/х-1-у2 — 7 = х.
Решение. Рассмотрим функцию f(t) = Vi + с, где с — некоторый
параметр, не зависящий от переменной с. Эта функция возрастает
на своей области определения, причём /(/(!)) = с + V t + с. Поэтому
в силу утверждения 5 уравнение /(f (t)) = t имеет то же множество
решений, что и уравнение /(t) = t. Положив t = у, с = х2 + 2, получим,
что первое уравнение данной системы можно заменить уравнением
\/ у + х2 + 2 = у. Положив t = х, с = у2 — 7, получим, что второе урав­
нение данной системы можно заменить уравнением д/х + у2 — 7 = х.
Таким образом, приходим к системе
[ v'y -I- х2 + 2 = у,
( \/х + у2 - 7 = х,
|'у + х2 + 2 = у2,
I X + у2 - 7 = х2,
I х > 0,
1у >0.
Заменив первое уравнение полученной системы почленной суммой
её уравнений, получим
I у + х - 5 = 0,
| х + у2 - 7 = х2,
I х > 0,
IУ 3 0.
§ 3.1. Монотонность
117
Тогда у = 5 — х и второе уравнение принимает вид х + (5 — х)2 — 7 = х2,
откуда после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых
получим, что х = 2. Следовательно, у = 3.
Ответ: (2; 3).
Пример 11. Решите уравнение-----= х15.
X + у X2 + \/х4 + у/X8 + 1
Решение. Прежде всего заметим, что при х 1 правая часть
уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если
уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. Далее, при х О
правая часть уравнения неположительна, а левая часть положитель­
на, в силу того что у х2 4 \/х4 4 у/х3 41 > |х| (объясните почему).
Значит, если уравнение имеет корни, то любой из них больше ну­
ля. Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит
интервалу (0; 1). Поэтому будем считать, что х е (0; 1), и все дальней­
шие преобразования проводить с учётом этого условия. Умножив обе
х-------------- = =х 16 .
части данного уравнения на х, подушим-----х + у х2 4 \/х4 + \/х3 +1
Теперь, разделив на х числитель и знаменатель левой части, получим
14 у 14
чив
=х16, откуда 14у14^/14+
1
----- .
14
= -^6. Обозна-
14
- через t, где t>0, получим уравнение 1 + \114 у/1+ \/1 4 4/t=t.
Рассмотрим возрастающую на своей области определения функ­
цию f(t) = 14 \/t. Полученное уравнение можно записать в виде
f (/(/(/W))) = t, и по следствию утверждения 5 оно имеет то же мно­
жество решений, что и уравнение /(t) = t, т. е. уравнение 1+ \Д= t,
откуда t - -.ft — 1 = 0. Единственным положительным корнем этого
квадратного относительно yt уравнения является ——■ Значит,
/-
V5 + 1
1
л/5 + 1
8
2
8
/5-1
vt = —2—’ 0ТКУДа ~ = —2—’ Т'е' Х = VK+7’ ИЛИ % = —2—’
8/V5-1
Следовательно, х= у —-—.
Ответ: у ——’•
Пример 12. Известно, что числа а, Ь, с и d положительны, а сумма
всех действительных корней уравнений ах321 -I- Ьх300 + ex100 4 d = 0 и
dx321 + cx22i + bx21 4 а = 0 равна -2,9. Найдите эти корни.
118
Глава 3. Применение свойств функций
Решение. В силу положительности коэффициентов a, b, end
ни одно из данных уравнений не имеет положительных корней.
Если число х0 — корень уравнения ах321 + bx300 + сх100 + d = 0, то
ах;:2'1 + &Xq°° + ex™ + d = 0. Разделим обе части последнего тождества
на Xq21 и запишем полученный результат в виде
1
откуда следует, что число — — корень уравнения
х0
dx321 + сх221 + Ьх21 + а = 0.
Но функция у = dx321 + сх221 + /?х21 + а монотонно возрастает на
всей числовой оси и принимает как отрицательные, так и поло­
жительные значения. Значит, уравнение dx321 + сх221 + Ьх21 + а = О
имеет единственный действительный отрицательный корень. По­
этому и уравнение ах321 + Ьх300 + сх100 + d = 0 имеет единственный
действительный отрицательный корень. Поскольку корни уравнений
являются взаимно обратными отрицательными числами, сумма кото­
рых равна — 2,9=
+ ( -- \ — —2,5 + (—0,4), это числа -2,5 и —0,4.
Ответ: —2,5, —0,4.
В заключение рассмотрим две задачи с параметром, ключевой
идеей решения которых является применение свойств монотонных
функций.
Пример 13. Найдите все значения параметра а, для каждого из
которых уравнение 8х6 + (а — х)3 + 2х2 + а = х имеет хотя бы один
корень.
Решение. Перепишем уравнение в виде 8х®+2хг = (х —а)3 1-х — а.
Рассмотрим функцию f (t) = t3 +t, монотонно возрастающую на всей
числовой прямой (как сумма возрастающих функций). В силу воз­
растания функции у = /(1) равенство /(а) = f (/3) будет выполняться
в том и только том случае, если а=/3. В нашем случае а=2х2, /3=х—а.
Таким образом, данное уравнение можно переписать так: 2х2 = х — а,
откуда 2х2 — х + а = 0. Для того чтобы полученное (а значит, и данное)
уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, что­
бы его дискриминант D = 1 - 8а был неотрицателен, т. е. 1 - 8а > 0,
1
откуда а < g.
Ответ: (
| |.
§ 3.1. Монотонность
119
Пример 14. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых для любого действительного значения х выполнено неравенство
|cosx + a2-а -1| + |2cosx + a2 -6а +10| < 4cosx + |2а2 - 7а + 6| + 4.
Решение. Перепишем неравенство в виде
|cosx + a2-a-1| + |2cosx + a2-6a + 10| -4 cosx - |2а2-7а + 6|-4< О,
введём новую переменную t = cosx и рассмотрим функцию f(t) =
= |t + а2 - а - 1| + |2t + а2 - 6а + 10| — 41 - |2а2 - 7а + 6| - 4, опреде­
лённую и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функ­
ции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и
лучей, каждое звено которой является частью прямой вида у = kt + l,
где к < 0 (поскольку при любом варианте «раскрытия» модулей ко­
эффициент при t будет отрицательным). Следовательно, функция
у = f(t) убывает на (—»;+<»), Так как t = cosx, то 1 е [—1; 1]. Поэтому
неравенство f (1) < 0 будет выполняться для любого te [—1; 1] в том и
только том случае, если max /(1) < 0. В силу монотонного убывания
функции у ■ f(t) получим, что
max/(t) = /(-1) = |а2 -а -2| + |а2- 6а + 8| - |2а2 - 7а + 6|.
Таким образом, приходим к неравенству
|а2-а-2| + |а2-6а + 8|-|2а2-7а + 6| < 0,
или |а2 — а — 2| --I-- |а2 — 6а + 8| |2а2 — 7а + 6|. Последнее неравенство
представляет собой неравенство вида |u| + |v| С |u + v|. Но |ц| + |у| )>
> |ц + v| для любых действительных пит. Значит, |и| + |v| = |п -г v|, что
возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь
из них равно нулю, т. е. если uv > 0. В нашем случае и а2 а 2,
v = а2 — 6а + 8. Значит, (а2 — а — 2) (а2 — 6а + 8) 0. Разложив квадрат­
ные трёхчлены на множители, получим неравенство
(а-1-1)(а-2) 2(а-4) > 0,
из которого находим, что ае (—°°; — 1] и {2} и [4; +°°).
Ответ: (-»;-1] и {2} и [4;-1-0°).
Разумеется, неравенство \а2 — а — 2| -I- |а2 - 6а + 8| < |2а2 — 7а + 6|
может быть решено любым другим способом, в частности рассмотре­
нием нескольких случаев.
Упражнения к § 3.1
1. а) Решите уравнение 3V = log3(x + 11) -I- 7.
120
Глава 3. Применение свойств функций
б) Решите уравнение 5 х = log5 (х + 6) + 4.
2. а) Решите уравнение 6х + 8х = 10х.
б) Решите уравнение 5х + 12х = 13 х.
3. а) Решите неравенство 2 fyx + 3 > log7 (5 - х) + 1.
б) Решите неравенство ^7 -Xs > log5(х + 6) +1.
4. а) Решите неравенство 52х 5 -I- log5 (2х — 3) > 54-х + log5 (6 — х).
б) Решите неравенство
('0,5)6'+logQ2(4 —х) > (0,5)х+4 + log02(x +2).
-____
____
5. а) Решите неравенство Ух — 7 + Ух — 4 -.11 —
____
з
б) Решите неравенство Ух —5'+ Ух - 2 <9
6. а) Решите неравенство х3 + 2х + Ух — 4^32.
б) Решите неравенство х5 + 3х+ Ух — 3 < 37.
7. а) Решите уравнение
4\/б — 5х+|3х —2| = 4х+|Зу/б-5х-2|.
б) Решите уравнение
5д/12 — х +|4х —3| = 5х+|4\/12-х-3|.
8. а) Решите уравнение
7а/5х + 24+2|Зх + 4| + 7х = 2|Зу/5х-Г24-4|.
б) Решите уравнение
8 V 7х + 3 0 + 312х + 51 + 8х = 312 \/ 7х + 30 - 51.
9. а) Решите систему уравнений
( 4sinx — Зу + 2х = 4siny — Зх3 + 2у,
( 9х2 + 16у2 = 9.
б) Решите систему уравнений
( 7 sinx — бу3 + 5х = 7 sin у — бх3 + 5у,
[ 16х2 + 9у2 = 4.
10. а) Решите систему уравнений
J Зх' + 7 sin х + Зу7 + 7 sin у = 0 ,
l3|x| + 7|y| = 2.
121
§ 3.1. Монотонность
б) Решите систему уравнений
9x5 + 2sinx + 9y5 + 2siny = О,
6|х| + 4|у | = 1.
11. а) Решите уравнение
(2х+1) (I + У(2х + 1)2 + 7) + х(1 + \/х2 + 7) = 0.
б) Решите уравнение
(2х +1) (2 + V(2x + l)2 + 3) + Зх (2 + у9х2 + 3) = 0.
12. а) Решите неравенство
5 / Г"i л ' л 1 I . Гл о 2 I 1
X* ' 4х + 13
Vx2 + 4x+ll + vl-2x2 + log7—2у2 + ]—Э* 0.
б) Решите неравенство
УУх2-х + 10+ V2-3x2 + log5
2*з~2*++214 < °'
13. а) Решите уравнение х3 — 4 %/4х — 3 + 3 = 0.
б) Решите уравнение х3 — 5 v5x —4+4=0.
14. а) Решите систему уравнений
| \/х2-2+ Уу + х2 —2 = у,
-\/у2-3 +А/х + у2-3 = х.
б) Решите систему уравнений
| -\/х2-3+ Уу + х2 —3 = у,
j 1/у2 - 5 + Ух + у2 - 5 = х.
15. а) Решите систему уравнений
{ х3 + х + 6 = 8у,
y3 + y + 6 = 8z,
z3 + z + 6 = 8х.
122
Глава 3. Применение свойств функций
б) Решите систему уравнений
I х3-Зу + 2 = О,
3 y3-3z + 2 = О,
I/ - ЗХ + 2 = 0.
16. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение 27хб+(За —4х) 3+Зх2+ За=4х имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение х10 4- (а — 2х)5 + х2 + а = 2х имеет хотя бы один корень.
17. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из кото­
рых уравнение sin14 х + (а - 3 sinx)' + sin2 х + а = 3 sinx имеет хотя бы
один корень.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение cos18х + (5cosx — а)9 + cos2x 4- 5cosx = а имеет хотя бы
один корень.
18. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение
sirr х
а) - (6sinx-!-а)3 = (6 sinx 4-а)9- (sin2x-a)3
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение
(cos2x + a)7- (4cosx-a)5 = (4cosx-a)7- (cos2x4-a)5
имеет хотя бы один корень.
19. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
любой корень уравнения 4 ^/3,5х — 2,5 4- 3 log2(3x - 1) -I- 2a = 0 при­
надлежит отрезку [1; 3].
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых лю­
бой корень уравнения 3 ^6,2х — 5,2 + 4 log5 (4х + 1) + 5а = 0 принад­
лежит отрезку [1; 6].
20. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
система уравнений
I sinx + sin3 х + sin3у 4- sin5у = a5 + 2a3 4- a,
\ sin x 4- sin3 x + a5 = sin3 у + sin5 у + a,
i sinx■ siny-sinz = a2
имеет хотя бы одно решение, и укажите эти решения для найденных
значений а.
123
§ 3.1. Монотонность
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых си­
стема уравнений
[ 2 х + 8х 4 8У 4 32у = а5 + 2а3' + а,
. 2х4 8х4а5 = 8У 4 32у4а,
’ xyz = log2 а
имеет хотя бы одно решение, и укажите эти решения для найденных
значений а.
21. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство ||х 4 2а | — За. 4 ||3х — а| + 4а| С 7х + 24 выполняется для
всех значений хе [0; 7].
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство ||х — 2а| + За| +1|3х 4 а| — 4а| <5х 4 24 выполняется для
всех значений х е [0; 6].
22. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любого действительного значения х выполнено неравенство
|4cosx + a + 6| 4 |5cosx4a24 1| < 10cosx4 |a2 4 a -2| 410.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого действительного значения х выполнено неравенство
|3 sinx 4 a2 — 22| + |7sinx4a4 12| С 11 sinx + |az4a- 20| + 11.
23. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
2х + 9х -4 3|х 4a — 2| 4 2|2х ■ a ■ • 2 + \/2х - 3
16
выполняется для всех значений х е [—2; 1].
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
Зх" 4 Их 4 4|х — a + 31 I 21Зх 4 a — 51 4 \/4х 4 5 4 25
выполняется для всех значений х е [-4; -1].
24. а) Известно, что числа а, Ъ, с и d отрицательны, а сумма всех
действительных корней уравнений
dx543 4 сх43 4 Ьх3 4 a = 0
и
ах543 4 Ьх540 4 сх500 4 d = 0
равна 2,05. Найдите эти корни.
б) Известно, что числа а, Ъ, с и d положительны, а сумма всех дей­
ствительных корней уравнений
dx865 4 сх65 4 Ьх5 4 a = 0
и
равна —4,25. Найдите эти корни.
ах865 4 Ьх860 4 сх800 4 d = 0
124
Глава 3. Применение свойств функций
§3.2. Ограниченность
Следующую группу задач, которые с определённой степенью прав­
доподобия можно назвать нестандартными, составляют уравнения и
неравенства (с параметром и без), решение которых основано на ис­
пользовании свойств ограниченных функций, прежде всего на оценке
множества значений функций. Такие задачи, как и задачи предыдуще­
го параграфа, обычно невозможно свести к простейшим уравнениям
(неравенствам) с помощью алгебраических преобразований или за­
мены переменной: ключом к решению здесь обычно является иссле­
дование множества значений функций или алгебраических выраже­
ний, в результате которого удаётся установить, например, что одна
из частей уравнения не больше некоторого действительного числа с,
а другая — не меньше этого же числа, откуда следует, что уравнение
будет иметь хотя бы один корень только в том случае, если его левая
и его правая части равны числу с. При этом одна из частей уравне­
ния может быть, скажем, логарифмом, а другая — синусом, да ещё
и от разных аргументов, так что решить такое уравнение стандарт­
ными приёмами заведомо невозможно, а вот уравнения вида «лога­
рифм равен числу» или «синус равен числу» будут решаться уже без
особого труда и вполне стандартными методами. При решении та­
ких задач, разумеется, приходится использовать не только свойства
ограниченных функций, но и, например, свойства монотонных функ­
ций. Поэтому отнесение задачи к тому или иному типу порой явля­
ется определённой условностью, но в любом случае ключевой идеей
решения остаётся применение свойств элементарных функций, изу­
чаемых в средней школе. Напомним основные свойства, связанные
с ограниченностью функций или алгебраических выражений, и стан­
дартные неравенства, которые понадобятся в дальнейшем:
1) a2 + b2^2ab для любых действительных а и Ь, причём а2 + Ъ2 =
= 2аЬ, только если а = Ь;
2) а + b 2 Vab для любых неотрицательных а и Ь, причём а + b =
= 2v/ab, только если а — Ь;
3) а | -2 при а>0, причём а-! ~=2, только если а=1; а •
2
при а < 0, причём а + ■ = —2, только если а = -1;
z
Ь Л2
4) ах2 + Ьх + с = а х + т—
Ьс--г-'^с--г- при а>0;
\
2а)
4а
4а
2 , г
,
г , ь л2
Ь2
Ь2
„
ах +Ьх + с = а х + т- I +с- -т- ^с- -г- при а<0;
(2а)
4а
4а “
5) |sinx| 1, |cosх| 1 при любых действительных х;
§ 3.2. Ограниченность
125
6) |а sinx + b cosx| < у a2 + b2 при любых действительных а, b, х;
7) —?<arcsfiix<'?; O^arccosx^rc; - ,;<arctgx<-^; 0<arcctgx< я.
На приведённых выше неравенствах и их комбинациях основыва­
ется решение большинства задач этого параграфа. Кроме того, весь­
ма существенным элементом решения будет очевидное утверждение,
о котором упоминалось выше. Сформулируем его в явном виде.
Утверждение 1. Если шах/(х) = с и ming(x) = с, то уравнение
/ (x) = g(x) имеет то же множество решений, что и система
J Дх) = с,
I g(x) = с.
Для решения некоторых неравенств применяется почти аналогич­
ное утверждение.
Утверждение 2. Если шах/(х) = с и ming(x) = с, то неравенство
f(x)
имеет то же множество решений, что и система
Г /(х) = с,
(g(x) = с.
Эти утверждения, разумеется, останутся в силе и в том случае, ес­
ли f и g будут функциями не одного, а разных аргументов.
Во многих случаях при решении нестандартных неравенств ока­
зывается полезным следующее столь же очевидное утверждение.
Утверждение 3. Для того чтобы неравенство Дх) >g(x) имело
хотя бы одно решение, необходимо (но не достаточно), чтобы выпол­
нялось условие шахДх) ^ming(x).
Перейдём к примерам, начав с относительно несложных тригоно­
метрических уравнений.
Пример 1. Решите уравнение cos(2ttx) + со8(2\/2ях) = 2.
Решение. Так как соз(2ях) <1 и со8(2а/2ях) < 1, левая часть дан­
ного уравнения не превосходит 2. Равной 2 она может быть в том и
только том случае, если
f cos(2rac) = 1,
(
_
[ cos(2^2%x) = 1,
откуда
( 2ях = 2дп,
1
_
i 2а/2ях = 2пк,
и, значит,
(х = п,
( а/2х = к,
где к е Z, п е Z. Если п = к = О, тох = 0 — решение системы. Если п / О,
то х 0 и можно второе уравнение последней системы почленно раз-
126
Глава 3. Применение свойств функций
делить на первое. Получим а/2 = - Поскольку v2— число иррациок
п
к
нальное, а - —число рациональное, равенство V2 = - не может вы­
полняться ни при каких целых к и п. Следовательно, х = 0 является
единственным решением системы
( X = п,
: v'2x = к,
а вместе с ней и данного уравнения.
Ответ: 0.
Рассмотренный пример любопытен несколько неожиданным для
многих школьников результатом: тригонометрическое уравнение име­
ет единственный корень, а не «привычное» бесконечное число ре­
шений. Это объясняется несоизмеримостью аргументов слагаемых
в левой части уравнения.
Пример 2. Решите уравнение эш(д sin( 77 sin( (sin ^х I ill— 0.
Решение. Если sir.. ’ -7а j = 0, то а = 2/с, к е Z. Если при этом ещё
|а| С 1, то к = 0, а = 0. Поэтому данное уравнение равносильно урав­
нению sin ( х) = 0, откуда х = 2п, neZ.
Ответ: 2п, пeZ.
Пример 3. Решите уравнение 4 sin Зх + 3 cos 4х = 7.
Решение. Так как sin Зх 1 и cos 4x^1, левая часть данного урав­
нения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том
случае, если
sm3x = 1,
cos4x = 1,
откуда
In, 2пп
х = — + —7—,
<
,
3
\ Y — ЗЗЁ
(х- 2 ’
где к е Z, п е Z. Остаётся установить, существуют ли такие целые кип,
при которых последняя система имеет решения. Для этого прирав„
п , 2пп
пк
няем правые части уравнении этой системы: - 3—-- = —, откуда
после умножения обеих частей полученного равенства на 6 и деления
на п получим 1 + 4п = Зк. Существует стандартный способ решения
полученного уравнения в целых числах, который не входит в програм­
му средней школы. Тем не менее, подобные задачи попадаются и в эк­
заменационных вариантах, и на олимпиадах разного уровня. Для их
решения, как правило, достаточно использовать элементарные сооб­
ражения, связанные с делимостью целых чисел, либо воспользоваться
§ 3.2. Ограниченность
127
единичной окружностью, отметив на ней точками решения каждого
из уравнений и выбрав совпавшие точки. Последний способ часто ве­
дёт к необходимости отмечать большое число точек, поэтому восполь­
зуемся соображениями делимости. Из равенства 1 + 4п = Зк следует,
что п = Зк — Зп — 1 = 3(k — п) — 1, т. е. п —число вида п = 31 — 1, где
I е Z. Но тогда Зк = 1 + 4п = 1 + 4(3Z — 1) = 12/ — 3, откуда к =41 — 1.
Таким образом, найдены целые к и п, при которых выполняется си­
стема
Я , 2пп
Х= 6+— ’
пк
х
= Т’
Осталось правую часть любого из уравнений этой системы выразить
через /. Получим х = - -ту + 2nl, I е Z.
Ответ:
\ 2тг1,1
Пример 4. Решите уравнение sin 7х • cos 6х = — 1.
Решение. Так как |sin 7х| 1 и |cos 6х| 1, левая часть уравнения
будет равной —1 в том и только том случае, если
sin7x = 1,
cos6x = — 1
или
sin7x = -1,
cos6x = 1.
Вместо двух систем можно получить одну, если сначала воспользо­
ваться формулой sin а • cos /3 = ~ (sin(a + /3) + sin(a — /3)) и перейти
к уравнению sin 13х + sinx = — 2, откуда
sin 13х = —1,
sinx = —1,
п , 2пп
и, значит,
Л
х=
2(>
13 ’
+2пк,
где к fc Z, п е Z. Остаётся установить, существуют ли такие целые кип,
при которых последняя система имеет решения. Для этого приравняtj
-■
л
2тгп
тс
.
ем правые части уравнении этой системы: —
= — - -Г 2як, от­
куда после упрощений получим — 1 + 4п = -13 + 52к. Следовательно,
п = 13к — 3, и решениями системы являются корни её второго уравне­
ния, 1. е. х
+2я/с, к eZ.
Ответ: —^+2nk,k&'Z.
Пример 5. Решите уравнение sin7 х + cos13 х = 1.
128
Глава 3. Применение свойств функций
Решение. Из неравенств 0 < |sinx| <1 и 0< |cosx| 1 следует,
что sin7 х sin2 х, cos13x < cos2x. Поэтому левая часть уравнения не
превосходит sin2x + cos2x, т. е. не превосходит 1. Равной 1 она будет
в том и только том случае, если
■ 7
- 2
sin'
X = sin
X,
COS113 X = COS 2 X,
откуда
sin2 x (sin5 x— 1) = 0,
cos2x(cosnx — 1) = 0.
Из первого уравнения последней системы получаем, что sinx = 1 или
sinx = 0. Если sinx= 1, то cosx = 0 и второе уравнение системы
выполнено. Следовательно, х = ^ + 2пк, к е Z, Если sinx = 0, то
cosx = ±l, но второму уравнению последней системы удовлетворяет
только cosx= 1. Значит, х= 2яп, п eZ.
Ответ: О + 2пк, к еZ; 2пп, п еZ.
Рассмотрим теперь уравнение, в котором левая и правая части за­
висят от разных аргументов, т. е., по существу, уравнение с двумя пе­
ременными.
Пример 6. Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у,
для каждой из которых 2|v| = cosy.
Решение. Из неравенства |х| > 0 следует, что 2™ > 1, и, поскольку
cosy 1, данное равенство возможно в том и только том случае, если
f 2W = 1,
[ cosy =1,
откуда
f х = 0,
\
[ у = 2тек,
где k е Z.
Ответ: (0; 2як), к eZ.
Аналогичные идеи, как уже отмечалось, используются и при реше­
нии неравенств.
Пример 7. Решите неравенство log3 (8х2 - 24х + 27) < |sin-(.nx)| + 1.
Решение. Сразу понятно, что стандартные приёмы и методы
здесь не помогут. Попробуем использовать ограниченность сину­
са и модуля: 0
[sinsx| < 1. Поэтому правую часть неравенства
можно оценить так: 1 < |sin ттх| + 1 2. Что касается левой части
неравенства, то здесь сначала нужно выделить полный квадрат:
8х2 - 24х + 27 = 8^х -I- 9. Поскольку 8^х - |j + 9^9, полу­
чим, что log3(8x2 - 24х + 27) = log3 f 8^х — |) + 9 j > log3 9, откуда
log3(8x2 - 24х + 27) > 2. Таким образом, левая часть неравенства не
меньше 2, а правая его часть не больше 2. Поэтому данное нера­
венство будет выполнено, только если и левая, и правая его части
§ 3.2. Ограниченность
129
равны 2, что возможно в том и только том случае, когда
[ |sin тгх| = 1,
| log3(8x2-24x + 27) = 2.
Единственным корнем второго уравнения системы является, как сле­
дует из предыдущего, х = 1,5. Проверкой легко убедиться, что это чис­
ло является и корнем первого уравнения системы.
Ответ: 1,5.
Пример 8. Найдите все пары (х;у) действительных чисел х и у,
«-»
о
о
4
для каждой из которых ЗОу + 3 js 25у + 9х + —.
О
о 4
Решение. Перепишем неравенство в виде ЗОу-ЬЗ—25у y9x + ~2Выделим в левой части полученного неравенства полный квадрат:
ЗОу + 3 - 25у2 = 12 - (5у — З)2. Следовательно, ЗОу + 3 - 25у2 <
< 12. Оценим правую часть неравенства, воспользовавшись тем, что
2
<
4
а2 + Ь2 2аЬ. В нашем случае а = 3|х|, Ъ = О7- Поэтому 9х2 + уу >
2
7
4
Э 2 • 3 |х| • р|, откуда 9х + уу JI 12. Таким образом, левая часть нера­
венства не больше 12, а правая его часть не меньше 12. Поэтому
данное неравенство будет выполнено, только если и левая, и правая
его части равны 12, что возможно в том и только том случае, когда
(12 — (5у — З)2 = 12,
<9
13|х| = ^,
Ь = |’
и, значит,
<
/-у
1Х = ±^_
Ответ:
Аналогичные приёмы применяются и при решении более сложных
задач. Возникает естественный вопрос: как опознать такую задачу?
Конечно, помогут в этом прежде всего навыки, полученные при са­
мостоятельном решении подобных задач. Не последнюю роль играет
и то обстоятельство, о котором уже не раз упоминалось: практически
ни одна из этих задач не может быть решена с помощью стандартных
приёмов: преобразований, замены переменной и т.п., хотя с ними
приходится иметь дело и при решении таких задач. Кроме того, на­
водит на мысль о том, что та или иная задача относится к рассмат­
риваемому типу, её «внешний вид»: наличие квадратных трёхчленов,
суммы двух взаимно обратных величин, синусов, косинусов и других
ограниченных функций. Рассмотрим ещё несколько примеров.
130
Глава 3. Применение свойств функций
Пример 9. Решите уравнение
(4х2412х411)logsini ( cos2(тгх)+6sin2 4-8 sin4 iy • cos2x cosx • 2
= -4.
Решение. Учитывая, что sin 4 = 2 2, и перейдя к основанию 2 у ло­
гарифма, после несложных преобразований получим уравнение
С(2х--3)2--2) log2(cos2(7rx)46sin2 ; —8sin4 ~ 4cos2x-cos
= 2.
Далее,
6 sin2
— 8 sin4 ф + cos 2х — cosx =
= 6 sin2
— 8 sin4 I 4 cos 2x — 1 -I- 2 sin2
=
= 8 sin 2 — 8 sm
IT о ■ 2 x
n . лX
O ■ 2x
Ho 8 sm 2 — 8 sm 2 = 8 sm
Поэтому
■ 2
X
Sin 7Г
- 2 sin x.
. 2X
2X
o-2
sm 2 cos 2 =2 sin x.
cos2 (та) 4 6 sin2 I - 8 sin4 ф + cos 2x — cos x 4 2 = cos2 (та) + 2.
Таким образом, данное уравнение приводится к виду
((2x4 З)2 4 2) log2 (cos2 (ттх) + 2) = 2.
Имеем cos2 (ях) 4 2 > 2, поэтому log2 (cos2 (ях)4 2) > 1. Но (2х4З)242
>2. Следовательно, левая часть уравнения не меньше 2, и уравнение
имеет корни, только если она равна 2, т. е. если
I log2(cos2(n;x)4 2) = 1,
(
0
I (2х4 3)24 2 = 2,
откуда
2
х——1,5.
Ответ: —1,5.
Отметим, что именно «внешний вид» этого уравнения явился по­
будительной причиной для оценки его левой части: с первого взгляда
ясно, что стандартные приёмы и методы ничего радостного здесь не
сулят.
Пример 10. Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у,
для каждой из которых cos х — у2 > д/у — х2 — 1.
Решение. Перепишем данное неравенство в виде
cos х > у2 4 д/у — х2 — 1
131
§ 3.2. Ограниченность
и попытаемся оценить левую и правую части полученного неравен­
ства. С левой частью проблем нет: -1 cosx < 1. Для правой части
единственной зацепкой является то, что она определена только при
условии у — х2 — 1 > О, откуда у х2 + 1 и, следовательно, у > 1. Но
тогда и у2 > 1. Вот оно, недостающее звено: правая часть неравенства
не меньше 1, а левая — не больше 1. Поэтому неравенство будет вы­
полняться, только если и левая, и правая его части равны 1. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система
( cosx = 1,
2 _ 1
У — П
\/у — х2 — 1 = 0,
откуда
( х = 0,
<
У
Ответ: (0; 1).
Пример 11. Решите уравнение
2х (х — 2) + 3 + 2 д/Зх (х ~ 2) + 4 + .. • + (п — 1) \/пх (х — 2) + и + 1 —
д/2х(х-2) +3
УЗх(х-2) +4
д/пх(х-2) +п + 1
Решение. Несмотря на пугающий вид, для решения этого уравне­
ния оказывается достаточным выполнить стандартное преобразова­
ние: выделение полного квадрата в каждом из подкоренных квадрат­
ных трёхчленов. В самом деле,
пх(х- 2) + п + 1 = пх2 - 2пх + n +1 = п(х- I)2 -I-1,
и, значит, \/пх{х-2) + п +1 > 1.
Поэтому левая часть уравнения не меньше
1+2+... + П-1 = 2^>
(как сумма нескольких первых членов арифметической прогрессии),
а правая часть не больше
1 2
п-1 _ п(п —1)
1 : 1 + ---+ i
2
г
п(п-1)
Следовательно, левая и правая части уравнения равны ——> что
возможно, лишь если х= 1.
Ответ: 1.
Пример 12. Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у,
для каждой из которых
у6 + у3 + 2х2 = \/ху - х2у2,
4ху3 + у3 + 0,5 S 2х2 + */1-г(2х-у)2.
132
Глава 3. Применение свойств функций
Решение. Первое знакомство с задачами такого рода вызыва­
ет обычно чувство глубокой безысходности. Ясно, что возведение
в квадрат в данном случае могут позволить себе только любители
«очень острых блюд». Мы же попытаемся сделать какие-то оценки
левой и правой частей уравнения и неравенства, впрочем, быть
может, без особой надежды на успех. Итак, рассмотрим уравнение
данной системы. Выделим полный квадрат в подкоренном выраже­
нии в правой части: ху — х2у2 = 0,25 — (ху — 0,5)2. Следовательно,
у/ху-х2у2^^0,25, т. е. \/ху—х2у2^0,5. Значит, и уб+у3+2х2<0,5.
Перейдём к неравенству данной системы. Поскольку \/1+(2х—у)2>1,
имеем 4ху3 + у3 + 0,5 — 2х2 > 1, откуда 2х2 — 4ху3 — у3 —0,5. Сложив
почленно последнее неравенство с неравенством у6 + у3 + 2х2 < 0,5,
получим, что у6 — 4ху' +- 4х2 у 0. И здесь с радостным изумлением
мы замечаем в левой части полный квадрат: (у3 — 2х)2< 0. Ясно, что
неравенство (у3 — 2х)2 0 возможно, только если у3 = 2х. Ясно и то,
что полный квадрат появился не случайно, а значит, мы на верном
пути. Поскольку у3 = 2х, неравенство у6 + у3 + 2х2 < 0,5 примет
вид 6х2 + 2х < 0,5, а неравенство 2х2 — 4ху3 — у3 —0,5 примет вид
-6х2 - 2х —0,5, откуда 6х2 + 2х 0,5. Таким образом, 6х2 + 2х СО,5
и 6х2 -I- 2х (i 0,5, что, как легко догадаться, возможно, лишь если
6х2 + 2х = 0,5. Корнями полученного квадратного уравнения являют­
ся числа х=—^ (тогда у = — 1) и х = 4 (тогда у =
Следовательно,
о
УЗ
данная система может иметь в качестве решений только (-0,5; —1) и
Г
1 -у1 К
••
: у;
|. Остается
сделать проверку и установить, что единственным
решением системы является (—0,5; —1).
Ответ: (-0,5; -1).
Перейдём к задачам с параметром.
Пример 13. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений
: |у| + а = 6sinx,
{ y4+z* = ба,
i (а-3)2 = |z2 + 6z| + sin22x + 9
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
Решение. Поскольку |у| 0 и sinx С 1, из первого уравнения си­
стемы следует, что а < 6. Поскольку у4 + z2 0, из второго уравнения
системы следует, что а > 0. Таким образом, 0 < а 6. Третье уравнение
§ 3.2. Ограниченность
133
системы, раскрывая скобки в его левой части и приводя подоб­
ные слагаемые, можно переписать так: а2 — 6а = |z2 + 6z| + siir 2х.
Поскольку |z2 4- 6z| + sin22x > 0, из последнего уравнения следует,
что а2 - 6а 0, откуда а е (—оо; 0] и [6; +<»). Учитывая неравенство
0 < а < 6, получаем, что допустимыми значениями параметра а явля­
ются только 0 и 6.
Пусть а = 0. Тогда из второго уравнения данной системы получим
у = z = 0. Поэтому первое уравнение системы примет вид sin х = 0, от­
куда х = яп, n&Z. При а = 0, х = пп, neZ, у = z = 0 третье уравнение
системы, очевидно, выполнено.
Пусть а = 6. Тогда левая часть первого уравнения данной системы
не меньше 6, а правая — не больше 6. Равенство возможно, только
если |у| = 0 и sinx = 1, откуда у = 0, х= - \ 2пк, k&Z. Тогда второе
уравнение данной системы принимает вид z2 = 36, и, значит, z = ±6.
При а=6их=^+ 2як, k е Z, последнее уравнение данной системы
принимает вид |z2 + 6z| = 0. Из двух значений z = ±6 только z = — 6
является корнем уравнения |z2 + 6z| = 0.
Ответ: (пп; 0; 0), и е Z, при а = 0;
+ 2пк; 0; —6^, к е Z, при
а = 6; при прочих а решений нет.
Решение двух следующих задач основывается как на свойствах
ограниченных функций, так и на свойствах монотонных функций, что
показывает определённую условность отнесения некоторых нестан­
дартных задач к тому или иному типу. Поскольку в этих примерах
монотонность играет хотя и весьма существенную, но вспомогатель­
ную роль (с её помощью доказывается ограниченность функции), они
включены именно в этот, а не в предыдущий параграф.
Пример 14. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение а2 + 7|х| + 49log7(2x2 + 7) = 7а + 3|2х — 7а\ имеет
хотя бы один корень.
Решение. Перепишем уравнение в виде
а2 - 7а + 49 log7(2x2 + 7) = 3|2х-7а| - 7|х|
и рассмотрим функции /(х) = а2 - 7а + 491og7(2x2 + 7) и g(x) =
= 3|2х — 7а| - 7|х|, определённые и непрерывные на всей числовой
прямой. График функции у = g(x) представляет собой ломаную,
состоящую из отрезков прямых и лучей. При х (г 0 каждое звено
ломаной является частью прямой вида у = kb +I, где к < 0 (посколь­
ку вне зависимости от «раскрытия» другого модуля коэффициент
при х будет отрицательным). Следовательно, на промежутке [0; +°о)
функция у = g(x) убывает от g(0) до — оо. Совершенно аналогично
134
Глава 3. Применение свойств функций
можно показать, что на промежутке (-оо; 0] функция у = g(x) воз­
растает от — оо до g(0). Поэтому в точке х = 0 эта функция достигает
своего наибольшего значения, т. е. maxg(x) = g(0) = 21|а|. Ясно,
что min/(х) = /(0) = а2 — 7а + 49, причём на промежутке [0; +да)
функция у = /(х) возрастает от /(0) до +«>, а на промежутке (—оо; 0]
функция у = /(х) убывает от +°о до /(0). Поэтому для рассмат­
риваемых функций уравнение /(х) = g(x) имеет хотя бы один ко­
рень в том и только том случае, если min/(x) <maxg(x), т. е. если
а2 — 7а 4- 49 С 21 |а|. При а > 0 последнее неравенство приводится
к виду а2 - 28а 49 + 0, откуда а е [14 - 7/3; 14 + 7л/3]. При а < 0
неравенство а2 — 7а + 49 + 21 |а| приводится к виду а2 + 14а + 49 < 0,
т. е. (а + 7)2< 0, откуда а = -7.
Ответ: {-7} и [’14-7/3; 14 +7/3].
Замечание. Условие min/(x) /maxg(x) является, вообще гово­
ря, только необходимым условием существования корней уравнения
/(x) = g(x). Выполнение этого условия ещё не означает обязатель­
ного существования корней такого уравнения (см. рисунок). Доста­
точность нуждается в более подробных обоснованиях (аналогичных
сделанным при решении примера 14), обычно основанных на мо­
нотонном возрастании одной из данных функций и монотонном
убывании другой на соответствующих промежутках.
При решении последнего примера этого параграфа используются
схожие идеи, только вместо уравнения рассматривается неравенство,
а число переменных увеличено до двух.
Пример 15. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых для любой пары (и; у) действительных чисел и и v выполнено
неравенство
13sinu — 7|sinu + v — 2а| + 3|sinu — 2v — a — 1| < 16.
Решение. Перепишем неравенство в виде
13 sinu — 7|sinu + v - 2а + 3|sinu - 2v - a - 1| - 16 < 0,
§ 3.2. Ограниченность
135
введём новую переменную i sin п и рассмотрим функцию f(jO =
= 13t — 7|t +v — 2а| + 3|t — 2v — a — 11 — 16, определённую и непрерыв­
ную на всей числовой прямой. График этой функции представляет
собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено
которой является частью прямой вида у = kt +I, где к > 0 (поскольку
вне зависимости от «раскрытия» модулей коэффициент при t будет
положительным). Следовательно, функция у = j'(t) возрастает на
(—оо;+оо). Но t = sinu, поэтому te [—1; 1]. Неравенство /(1) <0
будет выполняться для любого te [-1; 1] в том и только том случае,
если max f(t) < 0. В силу монотонного возрастания функции у = /(t)
получим, что
max/(t) = /(1) = -7|l + v-2aj + 3|2v + a|-3.
Таким образом, приходим к неравенству
-7|l + v-2a| + 3|2v + a|-3 < 0,
которое должно выполняться при любом действительном v.
Рассмотрим теперь функцию g(v) = —7|1 + v — 2a| + 312v + a| — 3,
определённую и непрерывную на всей числовой прямой. График
функции у = g(v) представляет собой ломаную, состоящую из отрез­
ков прямых и лучей. При v у 2а - 1 каждое звено ломаной является
частью прямой вида у = mv + р, где т < 0 (поскольку вне зависимости
от «раскрытия» второго модуля коэффициент при v будет отрицатель­
ным). Следовательно, при v У-2а — 1 функция убывает. Совершенно
аналогично можно показать, что при v < 2а — 1 функция возрастает.
Поэтому в точке v = 2a — 1 эта функция достигает своего наиболь­
шего значения, т. е. maxg(v) = g(2a — 1) = 3|5a — 2| — 3. Неравенство
g(v) <0 будет выполняться при любом действительном v в том и
только том случае, если maxg(v) < 0, т. е. 3|5а — 2| — 3 < 0, откуда
|5a - 2| < 1. Решая последнее неравенство, получим -1 С 5а — 2 1,
откуда 0,2 < а < 0,6.
Ответ: [0,2; 0,6].
В заключение сделаем несколько замечаний. Увидев задачу, в ко­
торой число неизвестных больше числа уравнений (неравенств), не
следует пугаться. Как правило, все не так страшно и недостающее
уравнение или неравенство получить не так сложно. Кроме того, да­
же не вселяющие поначалу оптимизма уравнения, неравенства и си­
стемы путём более или менее очевидных оценок могут быть сведе­
ны к простейшим уравнениям или неравенствам. И последнее. Боль­
шинство задач этого типа не требует длительных вычислений, при
136
Глава 3. Применение свойств функций
их решении самое главное — делать логически безупречные выводы
(впрочем, как и при решении любой нестандартной задачи). Успех
в этом случае будет гарантирован.
Упражнения к §3.2
1. а) Решите уравнение 2 cos(2+3ях) + 3 соз(2ях) = 5.
б) Решите уравнение 5 cos(3 г/Бях) + 2 cos(4rcx) = 7.
2. а) Решите уравнение 5cos4x — 4sin5x = 9.
б) Решите уравнение 6 sin 5х + 5 cos 6х = — 11.
3. а) Решите уравнение sin9x- cos8x = — 1.
б) Решите уравнение cos Их • cos 13х = 1.
4. а) Решите уравнение sin9 х + cos11 х = 1.
б) Решите уравнение sin6 х + cos7 х = 1.
5. а) Решите уравнение 1 + cos2x = log2(x2 + 4).
б) Решите уравнение 3 + 2 sin2 х = log3 (27 — х2).
6. а) Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для
каждой из которых 3l*~2W = 5 sin у + 4.
б) Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для каж­
дой из которых 5 1.у+31+2 = 13-12 cosx.
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующее уравнение имеет хотя бы один корень:
д/7 cos(8x + 9) +16 = 8а - а2 - 13.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение у/5 sin(4x + 3) + 86 = 5 4 4а — а2 имеет хотя бы один ко­
рень.
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующее неравенство имеет хотя бы одно решение:
15sin2(14x — 13) > 25а2 + 60а+ 51.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 4cos2(5x — 6) > 16а2 — 24а + 13 имеет хотя бы одно
решение.
9. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 12а + 34 + з25*2-®^'' = cos(IOttx) имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значе­
ний а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 16а2 + 40а + 20 + 610av2-6ta+10 + sin (5 —х) = 0 имеет хотя бы
§ 3.2. Ограниченность
137
один корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных
значений а.
10. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение (4а2 - 17а + 4)8 + (4х х - 4а)6 = 0 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значе­
ний а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (5а2 — 26а + 5)6 + (5 х х — 5а)4 = 0 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных зна­
чений а.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
выражение х + у принимает наименьшее возможное значение, если
(х; у) — решение системы уравнений
f 12 х + IV = 12аЧ9 +
i 12 х + И'1 б" = 12а2+9+ IV.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
выражение х + у принимает наименьшее возможное значение, если
(х; у) — решение системы уравнений
gv | gy _ ga2+100 | g5—20a
{
gx + 35-20a = 8a2+00 + 3y.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 'Уlg2х — 31gx + a + |a2 - 5a + 6| = 0 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных зна­
чений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение у а2 — 2а — 8 4- |lg2x — Igx + a| = 0 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных зна­
чений а.
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log
—
• =2(х + а - З)2 + 4а2 - 20а + 26 имеет хо­
тя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из най­
денных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение log3 12л-2 + 36х + 29 = 3(* _ a + З)2 + 4а2 - 12а + 11 имеет
хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из
найденных значений а.
138
Глава 3. Применение свойств функций
14. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
I sin100(x—1) + cos200(x — 1) = v/y-2 + v/F73 + a2-4a + 5,
< sin300(у - 2) + cos400(у- 2) =
+ a/x^T + a2 - 4a + 5,
sin500(z - 3) + cos600(z-3) = Vx-l + ^/y-2 + a2 - 4a + 5
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
I sin600(x + 3)+ cos500(x + 3) = Уу + 2 -I- л/z + 1 + a2 + 6a +10,
-■ sin400 (y + 2) + cos300 (y + 2) = a/z+T + a/x + 3 + a2 + 6a + 10,
[ sin200 (z +1) + cos100 (z +1) = a/x + 3 + y/y + 2 + a2 + 6a +10
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
( cos10(x- 10) = ^/у-20 + |а + 6| + а + 7,
■> cos2°(y-20) = a/z-30 + |а+ 6| + а + 7,
I cos3°(z-30) = Vx- 10 + |а + 6| + а +7
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
( cos40О+ 40) = ^/у + 50 + |a — 7| + a — 6,
cos50(у + 50) = а/z + 60 + |а- 7| + а - 6,
I cos60(z + 60) = а/х+ 40 + |а - 7| + а - 6
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
16. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х+2|х—3|—3|х—а-4|=7|х—а| имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 11 |х + а| + 2х + 3 |х — 5| = 5 |х + а - 4| имеет хотя бы один
корень.
§ 3.2. Ограниченность
139
17. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х + 1 + 2|х-2| = 8|х - а + 2| -|-3|х — а- 2| имеет единствен­
ный корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 13|х - а.4- 1| + 3|х 4- 7| = 2х + 5|х - а + 5| + 4 имеет един­
ственный корень.
18. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 4|х 4- а| + 2|х - а| 4- 2 = х + 9|х - 2| + 2|3а + 2| имеет два
различных корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 3|х - а| 4- 4|х 4- а| = х 4- 13|х + 1| + |7а - 1| 4-1 имеет два
различных корня.
19. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
17|х—а| + |а2 - 7x4-12| + |а2+2х-15| = |2а2 - ба+х-31 + |4|х| - |х+3а| |
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
18|х + а| + |а2 + 8х +12| + |а2 — х— 6| = |2а2 - 8а - х + 6| +15 |х| - |х- 4а 11
имеет хотя бы один корень.
20. а) Найдите все точки (х;у) координатной плоскости Оху, для
каждой из которых 5|х —3| + 3[х + 2[-=2у49 —у24-1
б) Найдите все точки (х; у) координатной плоскости Оху, для каж­
дой из которых 9|х — 11 -г 4|х + 4| 3 ^/25 — у2 4 5.
21. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
существует хотя бы одна такая пара (х; у) чисел действительных чи­
сел х и у, что 5|х- 2| -|-3|х + а| < у 4-у2 + 7.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых су­
ществует хотя бы одна такая пара (х; у) чисел действительных чисел
х и у, что 5|х-а| 4-3|х + 2| ^9-у2 4-6.
22. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
J а + у2 = 4 cos 2х,
</у + х2 = а,
| (а -2)2 = |z2- 2z| + [sin 4х| +4
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
140
Глава 3. Применение свойств функций
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
| а + уу = 2 sin Зх,
|y|+z4 = 8а,
(а-1)2 = |z2 + 2z| + |sin6x| +1
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
23. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любой пары (u; v) действительных чисел и и v выполнено нера­
венство
13sinu — 9|sinu-v + 2a- l| + 2|sinu + 3v + 4a- 1| < 15.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любой пары (u; v) действительных чисел и и v выполнено неравенство
23 cos u — 17|cosu + v — За - 1| 4- 4|cosu — Зу + 7а — 1| < 31.
24. а) Найдите все значения параметрит а, для каждого из которых
следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
I х2 + у2 = (а —2)2,
/—----- — ,
(2-а2)(а2-6)
S V X + У + а = log4-------- 4-------- .
1
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых сле­
дующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
I х2 + Зх + 5 = а + у,
1 I-----------,
(7-a2)(a2-l)
| \'У - х - а = log8-------- 5-------- .
25. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых существует хотя бы одна такая пара (х; у) действительных чисел
х и у, что
7V/7|x-5| + 4|x + a|-l< ^7+ а/16 ~ У2 + lg
7|х ! ^4|х М +Т
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых су­
ществует хотя бы одна такая пара (х; у) действительных чисел х и у,
§ 3.2. Ограниченность
141
что
^5|х + 4| + 2|х-а|-2 < ^2 + у/36-у2 + In 5|х + 4|
26. а) Решите неравенство cos2(x +1) lg(9 — 2х —х2) > 1.
б) Решите неравенство (4х —х2 — .3) log2(cos2 ях+1) 1.
27. а) Решите неравенство |У2|х| - 1| log2(2 — 2х2) > 1.
б) Решите неравенство 2-|х~21 • log2(4x - х2 — 2) 1.
28. а) Решите неравенство
(х2
4х • 3) log_L (cos2 =х : cosx - 2siir'- тй
2.
б) Решите неравенство
fX - х2 - 7 j log^/g (2 + 2 cos2 х -■ cos 2х + 3 cos2 ях) > -2.
29. а) Решите уравнение
tg27T(x + y)+Ctg27T(x + y) = у^-у + 1-
б) Решите уравнение
logj3x|+log|3v|7T =
___________ 2___________
sin2 (х + у) - 2 sin(x + у) + 2 ’
30. а) Найдите все тройки (х; у; z) действительных чисел х, у, z,
для каждой из которых ( cos 4х + 7—Цр(5 + tg2 5у)(6 + sin 6z) = 25.
б) Найдите все тройки (x;y;z) действительных чисел х, у, z, для
каждой из которых ( 4sin 4х +
(3 + ctg2 Зу) (2 + cos2z) = 12.
31. а) Найдите все тройки (x;y;z) действительных чисел х, у, z,
для каждой из которых
I tgx + 3ctgx = 2-/3 sin у,
• siny+ 2cosz = 1.
б) Найдите все тройки (х; у; z) действительных чисел х, у, z, для
каждой из которых
3tgx + ctgx = 2\/3cosy,
cosy+ 4sinz = 1.
32. а) Найдите все пары (х;у) действительных чисел х и у, для
каждой из которых |х|
у1 — х2 — у2+ |у | 4-1.
142
Глава 3. Применение свойств функций
б) Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для каж­
дой из которых |х| + у2 + \/ х2 — у2 — 1 с 1.
33. а) Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для
каждой из которых
( \/0,5(х-у)2-(х-у)4 = у2 - 2х2,
[ у > 4х4 4- 4ух2 4- 0,5.
б) Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для каж­
дой из которых
( 4у2 - 2х2 = л/2(х + 2у)2- (х + 2у)4,
[х4 + 2 < 4у(х2-1).
34. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из кото­
рых для любого действительного значения х выполнено неравенство
|3sin2x + asin2x + cos2x-l-a| <3.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых для
любого действительного значения х выполнено неравенство
|5sin2x + asin2x + cos2x + a-r-1| 4 6.
35. а) Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для
каждой из которых
2— |у|(5 sin2у—3 sin 2у—9 cos2 у 4 3 ^33) = а resin3х4 arccos2х—.
б) Найдите все пары (х; у) действительных чисел х и у, для каж­
дой из которых
\/х2 - 4(3 sin2 х -I- 5 sin 2х -I-11 cos2 х — 2 \/ЗО1) =
= 5я2 — 4 arcsin2 у — 4 arccos2 у.
36. а) Найдите все пары (х;у) положительных действительных чи1
2
сел х и у, для каждой из которых---------- =------ = - .
X Н------
;--
----- б) Найдите все тройки (x;y;z) положительных действительных
1
3
чисел х, у, z, для каждой из которых--------------- у-----------=
X Н---------- z------
--------- т----У + —т
z+Z
143
§ 3.2. Ограниченность
37. а) Найдите все наборы (х-; х2; ...;хп') положительных действи1
п
тельных чисел х15 х2, ..., хп, для которых---------------- j---------- =
хп
Хп -I----------- i----
-+—т
(каждая переменная в левой части равенства написана ровно 2 раза).
б) Найдите все наборы (хг; х2; • ••; хп) отрицательных действитель­
ных чисел х15 х2,
хп, для которых хп -I----------- —j--------- 1- - + 1 = О
|---п
...ч^
(каждая переменная в левой части равенства написана ровно 2 раза).
38. а) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ь, для
каждой из которых следующее уравнение имеет хотя бы один корень:
(Зх2 - 2b2 + ab)2 + (3b2 - ab + 2a2 - 12x)2 + 4 = 4x - x2.
б) Найдите все пары (a; b) действительных чисел a и b, для каждой
из которых следующее уравнение имеет хотя бы один корень:
(Зх - a2 + ab - b2)2 -I- (6х - а2 - ab)2 + х2 4- 9 = 6х.
39. а) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором
следующее неравенство имеет хотя бы одно решение:
у/а5(8х-х‘' - 16) + -— а
■ Тя, -|а|созях|.
8х-х -16
3 1
б) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором следу­
ющее неравенство имеет хотя бы одно решение:
ava(x -2x4-1)4- ——
X
<LX т 1
< Va sin-y- .
40. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
следующая система неравенств имеет хотя бы одно решение:
х2 -I-lax 4- За2 4- За 4- 3
0 < у < 2я.
3siny - 4cosy,
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых сле­
дующая система неравенств имеет хотя бы одно решение:
х2 4- 2ах + 4а2 4- 2а 4- 4 < 4siny 4-3 cosy,
0 У у< 2тг.
144
Глава 3. Применение свойств функций
41. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(1 -I- (а + 2)2) log3(2x — х2) + (1 + (За + I)2) log11 ^1 —
=
= log3(2x-x2) + logu(l-y^
имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого
из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(1 + (За + 4)2) log2( 2х - х2) + (1 + (а - 2)2) log7 (1 - у ) =
= log7(l-y) +log2(—2х —х2)
имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого
из найденных значений а.
42. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 4cosxsina + 2sinxcosa — 3cosa = 2v'7 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значе­
ний а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 3 cosx sin a — sinx cos a - 4 cos a = 3 /3 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных зна­
чений а.
43. а) Найдите все тройки (х; у; z) действительных чисел х, у, z,
для каждой из которых
у |х2 - 2у2 + 2z2 + 10z + бу + -у х - 17 +
-I- УЗх2 — 2-/3x(cos(7ry) + cos(ttz)) + 4 = 0.
б) Найдите все тройки (x;y;z) действительных чисел х, у, z, для
каждой из которых
у 15х2 + 2у2 — 2z2 — 3+5х — 2у + 10z — 4 +
+ у 5х2 — 2v5xcos(n:y) cos(ttz) + 1 = 0.
145
§ 3.2. Ограниченность
44. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующее уравнение имеет хотя бы один целый корень:
\/ (х + За — Зя — 4) (|х+ я| + а — 2я -г 2) +
. .
________ я2 +а2 + 4________ __ „
°%п 2(а-я)|х + 2|-х2-4х + 2ая
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один целый корень:
,.
________ а2 + 4я2 + 4__________
4х-х2-2(а-2я)|х-2| + 4,та
- \/(х-5а + 10я- 34)(|я-х| -а + я-1-2) = 0.
45. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
яу с
cos ~2— 5
яу
cos —
cos — 4-13
. я(х-2у-1)
sm
3
,2_3
2(х2 4-(у — а)2) — 1 = 2
4’
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующая система уравнений имеет хотя бы одно решение:
яу г
cos -4— 5
cos
cos
4-1
. 'я(у —2х)у2
sm
1
12
х2 + (у-а)2 - |.
46. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 4- 5|х| 4- 7V2х2 + 49 = 2х 4- 2|х — 7а| имеет хотя бы один
корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 4- 6|х| 4- 5 у Зх2 4- 25 = Зх 4- 2|х — 5а| имеет хотя бы один
корень.
47. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 4- 7|х - 4| 4- 3у х2 - 8х4- 25 + 16 = 4х4- 2|х - За - 4| име­
ет хотя бы один корень.
146
Глава 3. Применение свойств функций
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 8|х - 5| + 2\/х2- 10х + 29 + 25 = 5х + 2|х - 2а - 5|
имеет хотя бы один корень.
48. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 8|х| 4- 41og2(5x2 + 2) = 5х + 2|х - 2а| имеет хотя бы
один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 4|х| + 161og4(x2 + 4) = х 4- 2|х — 4а| имеет хотя бы
один корень.
49. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 8|х-5| 4 361og6(x2- 10х + 31) + 25 = 5х + 2|х- 6а-5|
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 8|х - 5| + 91og3(x2 — 10х + 28) 4- 25 = 5х + 2|х — За - 5|
имеет хотя бы один корень.
50. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 5|х — 2| + 7х Ил | 6 + 4 =2х -I- 2|х — 7а — 2| имеет хотя
бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 8|х - 5| 4- 3V'2 '||'“'127 + 25 = 5.x + 2|х — За — 5| имеет
хотя бы один корень.
51. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 10|х| + 5\/Зх2 + 25 = 5а + 3|3х — 5а| имеет хотя бы
один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение a2 + 13|x| + 3-\/4x2 + 9 = 3a + 3|4x — За имеет хотя бы один
корень.
52. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 8|х — 5| 4- 2 v х2 — 10х + 29 = 2а + 3 |х — 2а — 5| имеет
хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 7|х - 4| + 5 \/х2 - 8х + 41 = 5а + 3|х - 5а - 4| имеет
хотя бы один корень.
53. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 13|х| + 91og3(4x2 + 3) = За + 3|4х — За| имеет хотя бы
один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 16|х| + 361og6(5x2 + 6) = 6а + 3|5х — 6а| имеет хотя бы
один корень.
§ 3.3. Инвариантность
147
54. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 10|х — 7| + 161og4(x2 - 14х + 53) = 4а + 3|х - 4а - 7|
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 6|х - 3| + 161og4(x2 - 6х + 13) = 4а + 3|х - 4а - 3|
имеет хотя бы один корень.
55. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 +10|х — 3| -I- 4' & 111 = 4а | 3|3х — 4а — 9| имеет хотя бы
один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 + 13 |х — 4| + 5' ,Чу | 1,4 . 5а + 3|4х — 5а — 16| имеет хотя
бы один корень.
56. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
а2 + 5а + 6|х — 5а| + 251og15(2x2- 20ах + 50а2 + 15) = 2х + 3|х- 10а |
имеет хотя бы один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
а2 + 2а+ 16|х — 2а| + 41og6(7x2- 28ах + 28а" + 6) = 7х + 8|х- 4а|
имеет хотя бы один корень.
§3.3. Инвариантность
В этом параграфе будут рассмотрены задачи, ключевым при­
знаком которых является инвариантность (т. с. неизменяемость)
уравнения или неравенства относительно замены переменной ка­
ким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простей­
шим примером инвариантности является чётность: если у = /(х)—
чётная функция, то уравнение Дх) = 0 инвариантно относительно
замены х на —х, поскольку Д—х) = Дх) = 0. Алгебраические выра­
жения, которые не меняются при подстановке вместо переменной
какого-либо алгебраического выражения от этой переменной, также
будем называть инвариантными относительно такой подстановки,
используя оба — в данном случае синонимических — термина: за­
мена и подстановка. Так, выражение f(x) + f(c- х) (здесь и далее
с — произвольное действительное число, отличное от нуля) не ме­
няется при замене х на с — х и, значит, инвариантно относительно
такой замены; выражение Дх) + Д
i при допустимых значениях
148
Глава 3. Применение свойств функций
м
с
переменной не меняется при подстановке - вместо х, т. е. является
инвариантным относительно такой подстановки. Задачи, в решении
которых инвариантность играет ключевую роль, можно разделить
на две основные группы. К первой — наиболее многочисленной —
относятся задачи, связанные с поиском всех значений параметра, при
которых уравнение, неравенство или система имеет единственное
решение (единственный корень). Слово «единственное» в формули­
ровке такой задачи является ключевым; его наличие служит своего
рода сигналом для проверки уравнения, неравенства или системы
на инвариантность: если, например, уравнение не меняется при
замене х на с — х и должно иметь единственный корень х0, это
означает, что х0 = с - х0 (откуда х0 = ту), ведь в противном случае
вместе с числом х0 корнем уравнения будет и число с — х0, и, значит,
уравнение заведомо имеет более одного корня либо вовсе не имеет
корней. Таким образом, если такое уравнение имеет единственный
корень, то им может быть только х0 — |. Подставив - в уравнение
вместо х, можно найти все значения параметра, при которых число |
будет корнем уравнения, после чего останется проверить, при каких
из найденных значений параметра это число будет единственным
корнем, а при каких уравнение будет иметь и другие корни. Анас
логично если уравнение не меняется при подстановке - вместо х и
должно иметь единственный корень х0, это означает, что х0 = — (отХ[)
куда х0 = ±-/с при с > 0; при с < 0 единственность невозможна); если
уравнение не меняется при замене х на —х, и должно иметь един­
ственный корень х0, это означает, что х0 = — х0 (откуда х0 = 0). Итак,
когда в формулировке задачи требуется найти значения параметра,
при которых решение единственно, нужно проверить, не обладает
ли уравнение (неравенство, система) свойством инвариантности.
При положительном ответе следует использовать алгоритм, схожий
с приведённым выше:
1) установить, какое число может быть единственным решением;
2) подставить его в данное уравнение (неравенство, систему) и
найти соответствующие значения параметра;
3) определить, при каких из найденных значений параметра это
число является единственным решением, а при каких — нет.
При отрицательном ответе нужно поискать другой способ реше­
ния задачи. О второй — куда менее многочисленной — группе задач,
которые принято называть функциональными уравнениями, речь
пойдёт ниже, после решения ряда примеров.
§ 3.3. Инвариантность
149
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение х2 - 2а sin(cosx) + а2 = 0 имеет единственный корень.
Решение. Заметим, что если х0— корень уравнения, то и —х0—
его корень. Для единственности решения необходимо, чтобы выпол­
нялось условие х0 = —х0, т. е. х0 = 0. Значит, если данное уравнение
имеет единственный корень, то этим корнем может быть только чис­
ло 0. Найдём все значения параметра, при каждом из которых число 0
является корнем данного уравнения. При х = 0 уравнение примет вид
—2а sin 1 + а2 = 0, откуда а = 0 либо а = 2 sin 1. Таким образом, суще­
ствуют только два значения параметра, при каждом из которых чис­
ло 0 является корнем данного уравнения. Остаётся проверить, будет
ли х = 0 единственным корнем уравнения при найденных значениях
параметра или нет.
Пусть а = 0. В этом случае данное уравнение примет вид х2 = 0 и
его единственным корнем является х = 0. Значит, а = 0 удовлетворяет
условию задачи.
Пусть а = 2 sin 1. В этом случае данное уравнение примет вид
x2-4sin l-sin(cosx) + 4sin2 1 = 0,
откуда х2 + 4sin2 1 = 4sinl • sin(cosx). Получили уравнение, которое
стандартными методами не решить. Попробуем применить свойства
монотонных и ограниченных функций, заметив, что —1 Сcosx gj 1, а
на отрезке [-1; 1] функция у = sint монотонно возрастает и прини­
мает своё наибольшее значение при t = 1. Поэтому sin(cosx) <sinl,
a 4sinl • sin(cosx) С 4sin2 1. Но левая часть х2 + 4sin2 1 уравнения
х2 + 4sin2 1 = 4sin 1 • sin(cosx) не меньше 4sin2 1. Значит, уравнение
имеет корни в том и только том случае, если
Г x2 + 4sin2 1 = 4 sin2 1,
( 4sin 1 • sin(cosx) = 4 sin2 1,
откуда x = 0. Следовательно, a = 2 sin 1 также удовлетворяет условию
задачи.
Ответ: 0; 2sin 1.
Уже этот пример показывает, что в подобных задачах получение
допустимых значений параметра — далеко не самая сложная часть
решения. Наиболее сложной является проверка достаточности, т. е.
доказательство или опровержение того, что при найденном значении
параметра уравнение действительно имеет единственный корень.
В тех случаях, когда такое доказательство провести не удаётся, следу­
ет подумать о том, не будет ли иметь задача ещё какое-либо решение.
Как правило, такое решение можно довольно просто найти подбором.
150
Глава 3. Применение свойств функций
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых система уравнений
f 3-2|у| + 5|у| + Зх + 4= 5у2 + 3а,
| х2 + у2 = 1
имеет единственное решение.
Решение. Заметим, что если (х0;у0)— решение системы, то и
(х0;-у0)—решение системы. Следовательно, для единственности
решения необходимо, чтобы выполнялось условие — у0=у0, т. е. уо = О.
При у = 0 система примет вид
| 7-гЗх = За,
( х2 = 1.
n
Если х = 11, то а = Ю
у; если х = — 11, то а = 4у „
Итак, допустимыми значе4
10
ниями параметра являются лишь значения а = и а= — .
4
Пусть а = g. Тогда данная система примет вид
(3-2w + 5|y| = —Зх + 5у2,
] Х2 + у2 = 1.
Понятно, что стандартные методы решения здесь опять не работают.
Попытаемся оценить левую и правую части первого уравнения по­
лученной системы с учётом её второго уравнения. Поскольку |у| > 0,
имеем 2|у1 1, а 3 • 2|у| > 3. Из второго уравнения полученной системы
следует, что |х| 1, |у| :< 1. Тогда |у| -У'. 3 > -Зх. Таким образом,
3 • 2|у| > 3 > —Зх, 5 |у| > 5у2. Следовательно, 3 • 2lyi 4- 5|у| > — Зх + 5у2,
причём знак равенства возможен только в случае, когда 3 • 2|у' = 3 =
= — Зх и 5 |у | = 5у2. Получаем систему
/ 3-2М = 3,
I -Зх = 3,
\
.
|5|у| = 5у2,
\ X2 • у-’- = 1,
откуда
1
f х = -1,
[У = 0.
оЗначит, при а = 4 данная система имеет единственное решение
(-1;0).
Пусть теперь а —
. Тогда данная система примет вид
( 3 • 2|у|+ 5|у|+ 3х = 5у2 + 6,
|х2 + у2 = 1.
151
§ 3.3. Инвариантность
Здесь провести оценку аналогично тому, как это было сделано для
случая а=
уже не получится. Попробуем доказать, что последняя
система имеет более одного решения. Для этого достаточно эти ре­
шения указать, найдя их, например, подбором. Одно из решений по­
лучить довольно просто, для него, как известно, у = 0. Из первого
уравнения получим, что в этом случае х = 1, но тогда и второе урав­
нение обращается в верное равенство, т. е. (1; 0) — решение системы.
Остаётся заметить, что и пара чисел (0; 1) является её решением. Таким образом, при а = — система имеет более одного решения.
п
4
Ответ:
Как видим, в рассмотренных задачах при доказательстве един­
ственности решения существенным образом используется оценка
множества значений функции и свойства ограниченных функций.
А в следующем примере при доказательстве единственности могут
возникнуть уже и логические трудности.
Пример 3. Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ь,
для каждой из которых имеет единственный корень уравнение
2 sin2 (тх) + 3 sin2 (xbx) = 5 sin2 (та).
Решение. Заметим, что если х0 — корень равнения, то и —х0—
его корень. Для единственности решения необходимо, чтобы вы­
полнялось условие х0 = — х0, т. е. х0 = 0. Значит, если данное урав­
нение имеет единственный корень, то этим корнем может быть
только число 0. Найдём все значения параметров а и Ь, при которых
число 0 является корнем данного уравнения. При х = 0 уравнение
примет вид 0 = 5 sin2 (та), откуда та = т/с, т. е. а = к, к е Z. Таким
образом, число 0 является корнем данного уравнения, если а —
произвольное целое число. В этом случае уравнение примет вид
2sin2(Tx) -Т 3 sin2 (тЬх) = 0, и, поскольку каждое слагаемое в левой
части неотрицательно, полученное равенство возможно в том и только
том случае, если
2зт2(тх) = 0,
„
откуда
3 sin (тЬх) = 0,
( тх = пп,
х
[ тох = тп,
т. е.
f х = п,
1 ,
[ Ьх = т,
neZ,meZ. Остаётся исследовать полученную систему на единствен­
ность решения. Если п = 0, то х = 0, и, следовательно, т = 0. Значит,
х = 0 является решением системы
х = и,
Ьх = т
152
Глава 3. Применение свойств функций
при любом значении параметра Ь. Для того чтобы данное уравнение
имело единственный корень, последняя система должна иметь един­
ственное решение х = 0. Пусть теперь п 0. В этом случае х^О и
можно почленно разделить второе уравнение этой системы на пер­
вое. Получим Ь=~. Если это равенство выполняется, система будет
иметь и другие решения, отличные от х = 0. Значит, нужно найти та­
кие значения параметра Ь, для которых равенство b =
где п е Z,
т е Z, п 0, невозможно. Правая часть этого равенства является ра­
циональным числом, записанным в общем виде. Поэтому если b —
отличное от нуля рациональное число, то всегда можно подобрать такие целые т и п, для которых Ь = —. Если b — произвольное ирра­
циональное число, равенство Ь = невозможно. Следовательно, b —
произвольное иррациональное число.
Ответ: а — произвольное целое число, b — произвольное ирраци­
ональное число.
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение (х +7)4 + (а - 5)4 = |х + а + 2| -Г |х - а + 121 имеет
единственный корень.
Решение. Уравнение не меняется при замене х на —х - 14. По­
этому если число х0 является корнем уравнения, то и число —х0 — 14
является его корнем. Для того чтобы уравнение имело единствен­
ный корень, необходимо выполнение условия х0 = — х0 — 14, откуда
х0 = -7. Таким образом, если данное уравнение имеет единственный
корень, то этим корнем может быть только число —7. Подставив
х= -7 в данное уравнение, найдём, при каких значениях парамет­
ра число —7 является корнем уравнения. При х = —7 уравнение
примет вид (а — 5)2 = 2|а — 5|. Поскольку (а — 5)2 = |а - 512, полу­
чим уравнение |а — 5|2 = 2|а - 5|, откуда |а — 5| = 0 или |а — 5| = 2.
Корнями двух последних уравнений являются а = 5, а = 3, а = 7.
При этих значениях параметра число —7 является корнем урав­
нения. Но из этого ещё не следует, что —7 будет единственным
корнем. Поэтому нужно рассмотреть данное уравнение при всех до­
пустимых значениях параметра и установить в каждом случае, будет
ли число —7 единственным корнем уравнения или нет. При а = 5
уравнение примет вид (х + 7)а = 2|х + 7|. Аналогичное уравнение,
только относительно переменной а, было решено ранее. Корнями
этого уравнения являются числа —9, -7, —5. Значит, при а = -7
уравнение имеет больше одного корня. При а = 3 и а = 7 уравне­
ние принимает вид у (х + 7)4 + 16 = |х + 5| + |х + 9|. При х > — 5
§ 3.3. Инвариантность
153
уравнение сводится к уравнению
(х + 7)4 + 16 = 2(х + 7), откуда
(х + 7)4 — 4(х + 7)2 +16 = 0. Последнее уравнение, квадратное отно­
сительно (х + 7)2, не имеет корней в силу отрицательности дискрими­
нанта. При — 9 < х < -5 уравнение принимает вид \/(х + 7)4 +16 = 4
и имеет единственный корень х = —7. При х < —9 получаем уравне­
ние
(х + 7)4 + 16 = —2(х + 7), откуда (х + 7)4 - 4(х + 7)2 + 16 = 0.
Последнее уравнение, как было показано выше, не имеет корней.
Значит, при а = 3 и а = 7 данное уравнение имеет единственный
корень.
Ответ'. {3; 7}.
Заметим, что решение предыдущего примера можно сделать бо­
лее очевидным в смысле поиска подстановки, относительно которой
уравнение инвариантно, выполнив замену t = х + 7, Ъ = а- 5 и приве­
дя уравнение к виду у t4 + Ь4 = |r + b| + |t — b\, инвариантному относи­
тельно замены t на —t.
Пример 5. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых существует единственная тройка (x;y;z) действительных чи­
сел х, у, z, удовлетворяющая системе уравнений
I х' + (4-х)' = 2у7,
' (х —2)2 +(у — 2)2 + z2 + a2 = 9,
; 6yz2 - (а - 3)y2z + 6 = 2а.
Решение. Система не изменится при замене х на 4 —х. Поэтому
если тройка чисел (х; у; z) является решением системы, то и трой­
ка чисел (4 — х; у; z) будет её решением. Следовательно, для един­
ственности решения необходимо выполнение условия х = 4 —х, отку­
да х = 2. При х = 2 первое уравнение системы примет вид 2 • 27 = 2у7,
откуда у = 2. При х = 2, у = 2 система примет вид
f z2 + a2 = 9,
I 6z2 — 2(а — 3)z + 3 - а = 0.
Из первого уравнения этой системы следует, что а2 < 9. Второе урав­
нение полученной системы, квадратное относительно переменной z,
имеет хотя бы одно решение в том и только том случае, если его
дискриминант D неотрицателен, откуда а2 — 9 > 0, или а2 >- 9. Таким
образом, последняя система имеет хотя бы одно решение, толь­
ко если а2 = 9, откуда а = ±3. Остаётся проверить, при каких из
найденных допустимых значений параметра данная система будет
154
Глава 3. Применение свойств функций
иметь единственное решение. При а = ±3 второе уравнение данной
системы принимает вид (х — 2)2 + (у — 2)2 + z2 = О, откуда х = 2,
у = 2, z = 0. Для найденных значений переменных первое уравнение
данной системы выполнено, а третье уравнение принимает вид 6 = 2а
и выполняется только при а = 3.
Ответ: 3.
Иногда при доказательстве единственности приходится проявлять
куда большую изобретательность и использовать несколько менее
очевидные приёмы и методы.
Пример 6. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых существует единственная тройка (x;y;z) действительных чи­
сел х, у, z, удовлетворяющая системе уравнений
I 3х + 3* = (а2-1)2 + у2 + 6,
( |y|z4 + 2z2-4a2z + a + 3 = 0.
Решение. Система не изменится при замене х на
Поэтому
если тройка чисел (х; у; z) является решением системы, то и трой­
ка чисел i ~;y;z^ будет её решением. Следовательно, для единственности решения необходимо выполнение условия х = -, откуда
х2 = 1, т. е. х = ±1. При х = —1 первое уравнение системы примет
вид 2 = (a2 — I)2 + у2 + 6. Правая часть полученного равенства не
меньше 6 (объясните почему). Значит, это равенство не выполняется
ни при каких а и у и тройка чисел (—1; у; z) не может быть решением
данной системы. Пусть теперь х = 1. Первое уравнение системы
примет вид 6 = (a2 — I)2 + у2 + 6, откуда (a2 — I)2 + у2 = 0. Полученное
равенство возможно, только если
f (a2-l)2 = 0,
1 2 n
у2 = 0,
откуда
f a = ±1,
(
(у = 0.
Рассмотрим оба этих случая: а=1, у=0 и а = -1, у=0. При а = 1, у=0
второе уравнение данной системы приводится к виду z2 — 2z + 2 = 0.
Дискриминант полученного квадратного уравнения отрицателен,
следовательно, корней оно не имеет. При а = —1, у = 0 второе урав­
нение данной системы приводится к виду z2 — 2z + 1 = 0, откуда
(z — l)2 = 0 и z = 1. Таким образом, единственным допустимым значе­
нием параметра является a = -1. Но это только первая часть решения.
Нужно ещё проверить, будет ли данная система при a = — 1 иметь
единственное решение или решений окажется больше одного.
155
§ 3.3. Инвариантность
Пусть а = — 1. Данная система в этом случае примет вид
3« + 3« = у2 + 6,
|y|z3
4-l-2z2 —4z4-2 = 0.
Второе уравнение полученной системы можно, выделив полный квад­
рат, записать так: |y|z4 + 2(z — I)2 = 0. Каждое из слагаемых в левой
части последнего равенства неотрицательно, поэтому это равенство
выполняется в том и только том случае, если каждое слагаемое равно
нулю, т. е. если
|у|24 = о,
2(z—I)2 = 0,
откуда
У = 0,
z = 1.
Осталось рассмотреть первое уравнение системы
( 3х 4 3’ = у2+ 6,
( |y|z4 + 2z2-4z + 2 = 0
при условии у = 0, т. е. уравнение 3х 4- 3® = 6. Если х < 0, каждое из
слагаемых левой части этого уравнения заведомо меньше 1, поэтому
отрицательных корней это уравнение не имеет. Пусть х > 0. Оценим
левую часть уравнения. Воспользуемся неравенством а 4- b ег 2v'ab
(оно справедливо для всех неотрицательных чисел а и Ъ и обраща­
ется в равенство при а = Ь; см. предыдущий параграф). Получим
3Х + 3* >2a/sF*3х. Но 3х-3* = 3х+*, ах + -^2\/х-~, т.е. х + -^2
’
х
М
х’
х
(в силу того же неравенства). Таким образом, Зх+? >32, т. е. Зх+7 > 9.
Значит, 3х 4- 3?
2 </9, откуда 3х 4- 37
6 при любом х > 0. Следо­
вательно, уравнение 3х 4- 3” = 6 будет иметь решения только в том
случае, когда каждое из двух неравенств, использованных для оценки
левой части этого уравнения, обращается в равенство, т. е. в случае,
1
1
когда х = - и 3х = 3 “, Единственным положительным корнем каждого
из этих уравнений является х = 1. Итак, при а = -1 данная система
имеет единственное решение (1; 0; 1).
Ответ: -1.
Пример 7. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых существует единственная тройка (x;y;z) действительных чи-
156
Глава 3. Применение свойств функций
сел х, у, z, удовлетворяющая системе уравнений
' z- cos(x-y) + (2 + ху) • sin(x + y) -z = О,
f х2 + (у - l)2 + z2 = а + 2х,
' (х + у + а • sin2z)((l - а) 1п(1 -ху) +1) = 0.
Решение. На первый взгляд эта система не обладает свойством
инвариантности. Однако, приведя её второе уравнение к виду
(х — I)2 + (у — I)2 + z2 = а + 1,
замечаем, что если тройка чисел (х0; Уа) zo) является решением систе­
мы, то и тройка чисел (у0; х0; z0) является её решением. Следователь­
но, для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось ра­
венство х0 = у0- При х = у система примет вид
' (x2 + 2)sin2x = 0,
<; 2(x-l)2+z2 = а + 1,
I (2х + а • sin2z)((l -а) 1п(1 -х2) +1) = 0.
Теперь заметим, что если пара чисел (х0; z0) является решением по­
следней системы (а следовательно, тройка чисел (x0;x0;z0)—реше­
нием данной системы), то и пара чисел (х0; —z0) является её решени­
ем (и соответственно тройка чисел (х0; х0; —z0) —решением данной
системы). Значит, для единственности решения необходимо, чтобы
выполнялось равенство z0 = —z0, т. е. z0 = 0. При z = 0 система ещё
больше упростится и примет вид
j (х2 + 2) sin 2х = 0,
< 2(х—I)2 = а + 1,
I 2х((1- а)1п(1- х2) + 1) = 0.
Третье уравнение полученной системы распадается на два: х = 0 и
(1 — а) 1п(1 — х2) = — 1. Рассмотрим оба этих случая. При х = 0 первое
уравнение полученной системы выполняется, а второе принимает вид
2 = а + 1, откуда а = 1. Во втором случае из первого уравнения сияк ,
стемы находим х = -ту, к tZ, а из последнего уравнения следует, что
1 — х2 > 0, откуда |х| С 1- Но из чисел х = <, к еZ, только х = 0 удо­
влетворяет условию |х| < 1. При х = 0 уравнение (1 — а) 1п(1 - х2) = —1
принимает вид 0 = —1, что невозможно. Итак, только а = 1 является
допустимым значением параметра. Проверим, будет ли в этом случае
§ 3.3. Инвариантность
157
решение данной системы единственным или нет. При а = 1 она при­
мет вид
I z ■ cos(x - у) + (2 + ху) • sin(x + у) - z = О,
I (x-l)2 + (y-l)2 + z2 = 2,
| х т у т sin2 z = О,
Ixy в 1-
Из третьего уравнения этой системы получаем, что х + у = - sin2 z,
откуда х + у < 0. Из второго уравнения после раскрытия скобок и
несложных преобразований находим, что 2(х + у) = х2 + у2 + z2,
откуда х + у ф 0. Таким образом, х + у < 0 и х + у > 0, что воз­
можно, только если х + у = 0. Но тогда второе уравнение системы
2(х + у) = х2 + у2 + z2 принимает вид х2 + у2 + z2 = 0, откуда х = 0,
у = 0, z = 0. Легко проверить, что остальные уравнения и неравенство
системы в этом случае выполняются. Итак, при а = 1 система имеет
единственное решение (0; 0; 0).
Ответ: 1.
Вторую группу задач, при решении которых используется инва­
риантность относительно какой-либо подстановки, составляют, как
уже отмечалось, так называемые функциональные уравнения, в ко­
торых наряду с конкретным, вполне определённым алгебраическим
выражением р(х) от переменной х есть и пара неизвестных алгеб­
раических выражений от этой переменной. Пару алгебраических
выражений будем называть инвариантной относительно некоторой
замены переменной (подстановки), если такая замена (подстановка)
не приводит к изменению этой пары. Наиболее часто встречаю­
щимися примерами таких пар являются f (х) и f(c — х) (пара не
меняется при замене х на с — х), /(х) и f ( ф j (пара не меняется при
замене х на ^). При этом алгебраическое выражение, составленное
из такой пары, само может не быть инвариантным относительно этой
замены (подстановки). Поэтому функциональные уравнения, строго
говоря, нельзя назвать инвариантными, хотя идея инвариантности
является ключевой и при их решении. Типичным примером такого
уравнения является следующий: г/(х) + qf (с - х) = р(х) (здесь г,
q, с — отличные от нуля действительные числа; |r| 7^ |q|). Для того
чтобы решить такую задачу, нужно сначала найти /(х) (а иногда
только это и требуется условием). Поскольку пара алгебраических
выражений /(х) и /(с —х) инвариантна относительно замены х на
с - х, это позволяет, выполнив такую замену, получить ещё одно урав­
нение rf (с - х) + qf (х) = р(с - х). Рассматривая полученное и данное
158
Глава 3. Применение свойств функций
уравнение как систему уравнений относительно f (х) и f (с — х),
можно из этой системы достаточно просто найти f(x). Для этого
нужно умножить обе части уравнения rf (х) + qf (с — х) = р (х) на г,
обе части уравнения rf (с — х) + qf(x) = р (с — х) —На q и получить
почленную разность уравнений: r2f (х) — q2f (х) = rp(x) — qp(c — х),
, rp(x)-qp(c-x)
откуда f (х) =------ ——------ .
Пример 8. Найдите корни уравнения f (х) = 31, если xf 0 и
2f(x) + f(^ =6х.
Решение. Заметим, что пара алгебраических выражений f (х) и
Л4Л
4
4
f - ) инвариантна относительно замены х на -. Заменив х на - в
V. J
X
х
равенстве If (х) '
= 6х, получим 2f ( f + f (x) =
Умножив
обе части данного равенства 2f (х) + f (“ I = 6х на число 2 и вычтя из
Л4Л
24
полученного равенства почленно равенство 2f I - [ + f (х) = — , нахо24
8
дим 3f (х) = 12х------, откуда f (х) = 4х----- . Теперь осталось решить
8
о
уравнение 4х ■ - — 31, откуда 4х — 31х — 8 = 0. Корнями последнего
уравнения являются числа х = —0,25 и х = 8.
Ответ'. -0,25; 8.
Пример 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение f (х) = а имеет хотя бы один корень, если
2f(х)
3f — — х" = cos2 х-I-8 sin х + 12cosx + 2
(1)
для любого действительного значения х.
Решение. Заметим, что пара f(x) и f; - — х^ инвариантна от­
носительно замены х на — — X. Заменим х на - — х в равенстве (1).
Получим
2f (д-xj + 3f(x) = sin2 х 4-8 cos х +12 sinx+ 2.
(2)
Умножим на 3 обе части равенства (2), а обе части равенства (1)
умножим на 2 и рассмотрим их почленную разность. После упроще­
ний получим 5f (х) = 5sin2x + 20sinx, откуда f (х) = sin2x + 4sinx.
Составим уравнение по условию задачи: sin2x + 4sinx = a, или
sin2 х + 4 sin х — a = 0.
Пусть t = sinx. Тогда t2 + 4t — a = 0 и t e [—1; 1]. Теперь задачу можно
переформулировать так: найти все значения параметра а, при каж­
§ 3.3. Инвариантность
159
дом из которых уравнение t2 + 4t - а = 0 имеет хотя бы один корень,
принадлежащий отрезку [—1; 1]. Пусть /(t) = t2 + 4t — а. Обозначим
через
и t2 корни квадратного трёхчлена f(t), считая, что (у < t2, а
через t0 — абсциссу вершины параболы, являющейся графиком функ­
ции у =
Заметим, что ветви параболы направлены вверх и что
t0 = — 2. Следовательно, fy t0 < — 1 и только больший корень трёхчле­
на /(t) может принадлежать отрезку [—1; 1]. Для этого необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись условия
(f (-1) < О,
ПтгО,
Те'
(1-4 —а < О,
V + 4-OS0.
Ответ: [—3;5].
Пример 10. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение h(x) а а2 имеет хотя бы один корень, если
h(x)+3h(—х) = 4а+16|х| +16 \/х2+16-6|х+4а | - 2|х-4а |+2х
(1)
для любого действительного значения х.
Решение. Заметим, что пара h(x) и h(—х) инвариантна относи­
тельно замены х на —х. Заменив х на —х и воспользовавшись свой­
ством модуля (|—х| = |х|, а значит, |-х + 4а| = |х - 4а|, |-х - 4а| =
= |х + 4а|), получим
h(-x)+3h(x) = 4а+16|х| +16 \/х2+16-6|х-4а|-2|х+4а|-2х. (2)
Умножим на 3 обе части равенства (2) и вычтем из результата
почленно равенство (1). После приведения подобных слагаемых по­
лучим 8h(х) = 8а + 32|х| + 32ух2+16 - 16|х - 4а| - 8х, откуда
h(x) = а + 4|х| + 4ух2 + 16-2|х-4а| — х.
Составим уравнение по условию задачи:
а + 4|х| + 4ух2 + 16- 2|х- 4а| - х = а - а2,
и, значит, а2 ■: 4ух2 • 16 х~ 2 х 4а 4х .
Теперь задача обретает более привычные черты: требуется най­
ти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
а2 + 4\/х2 + 16 = х + 2|х — 4а| — 4|х| имеет хотя бы один корень. Рас­
смотрим функции / (х) = а2 + 4\/х2 +16 и g(x) = х + 2|х - 4а| - 4|х|,
определённые и непрерывные на всей числовой прямой. График
функции у = g(x) представляет собой ломаную, состоящую из от-
160
Глава 3. Применение свойств функций
резков прямых и лучей. При х > 0 каждое звено ломаной является
частью прямой вида у = kb + I, где к < 0 (поскольку вне зависи­
мости от «раскрытия» другого модуля коэффициент при х будет
отрицательным). Следовательно, при х + 0 функция у = g(x) убывает.
Совершенно аналогично можно показать, что при х + 0 функция
у = g(x) возрастает. Поэтому в точке х = 0 эта функция достигает
своего наибольшего значения, т. е. maxg(x) = g(0) = 8|а|. Поскольку
min У (х) = f (0) = а2 + 16, уравнение имеет хотя бы один корень в том
и только том случае, если min/(x) ^maxg(x), т. е. если а2 +16 < 8|а|,
откуда (|а| - 4)2 СО и а = ±4.
Ответ: {-4; 4}.
В заключение заметим, что некоторые — обычно самые простые —
задачи, связанные с инвариантностью, иногда можно решить и более
традиционными способами, например, выполнив замену переменной
и сведя уравнение к квадратному или используя графические интер­
претации. Несколько таких задач приведено в упражнениях. Тем не
менее, постарайтесь решить эти задачи (упражнения 1—3), используя
именно инвариантность.
Упражнения к § 3.3
1. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение 3' + З2 Л' = а2 — 6а 4-11.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение 2'" + 22 2 = а2 — За 4-10.
2. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение х3 4- I - i 4 16 = 2а2.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение х3 +
+54 = За2.
3. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
х2 + (а - З)2 = |х- а + 3| + |х + а- 3|.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
х2 + (а-4)2 = |х-а + 4| + |х + а-4|.
4. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение х2 — 4а sin(cosx) + а2 = 0.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение 2х2 - a tg(cosx) 4 а2 = 0.
161
§ 3.3. Инвариантность
5. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение а2 • а Уз • 6 • sin2 ах = 6 cosх.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение а2 + аУ2 + 4 + sin2 ах = 4cosx.
6. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
22" ■ 4х + sin ^ + cos
= а3 - За2 + 2а + 2 + а/2.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
91 х . у2 -у а3 _ 5а2 + 4п + У2 = sin -4 -I- cos
+ 3.
7. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение 2 + 3 sin2 ах = 2 cosx.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение 3 + 2|sinax| = 3cos2x.
8. а) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ъ, для каж­
дой из которых имеет единственный корень уравнение
sin20rx)+ sin2(Ttax) = sin' (nb).
б) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ъ, для каждой
из которых имеет единственный корень уравнение
cos(2ttx)
+ cos(2"b.+) = |a|.
9. а) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ъ, для каж­
дой из которых имеет единственный корень уравнение
4cos(2ttx) + cos(2bTtx) = а.
б) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ъ, для каждой
из которых имеет единственный корень уравнение
cos(2"x) + 3 cos(2b"x) = а.
10. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
а(х4 + 1) = у- |х| + 2,
х2 + у2 = 4.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
а(х4 + 1) = у — |х| + 3,
х2 + у2 = 9.
162
Глава 3. Применение свойств функций
11. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
ax2 + a + 2|sinx| = у + 1,
tg2x + y2 = 1.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
ax2 + a-r3|sinx| = у + 2,
sin2 х + у2 = 4.
12. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
2|х| + |х| + 4 = у + х2 + а,
Х2 + у2 = 1.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
а(|х| +1) = у + cosx,
sin2x + y2 = 1.
13. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
5 ■ 2 м + 3 |х | - 2 = 5у -I- Зх2 - 5а,
х2+у2 = 1.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
3 ■ 2W + 2|х| - 1 = Зу + 2х2 - За,
х2 + у2 = 1.
14. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
х2 -2(а + 1)х + а2 - 12 = 2у,
у2- 2(а + 1)у + а2- 12 = 2х.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
х2- (2а + 1)х + а2-3 = у,
у2 - (2а +1)у-1-а2-3 = х.
§ 3.3. Инвариантность
163
15. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система
( (3 - 2л/2)у + (3 + 2V2F - За = х2 + 6х + 5,
у2-(а2-5а + 6)х2 = О,
-6
^0.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система
[ (2-СЗГ + С2+СЗГ-5 = а + 2у + у2,
х2 + (2 - а - а2)у2 = О,
[ -2 С У < 0.
16. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из кото­
рых существует единственная тройка (х; y;z) действительных чисел
х, у, z, удовлетворяющая системе уравнений
‘ х5+ (6-х)5 = 2у5,
j (х —3)2 +(у — 3)2 + z2 + a2 = 4,
{ 12yz2 —2(а —2)y2z + 18 = 9а.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых су­
ществует единственная тройка (х; у; z) действительных чисел х, у, z,
удовлетворяющая системе уравнений
( х11 + (8 - х)11 = 2уп,
] (x-4)2 + (y-4)2 + z2 + a2 = 25,
I 20yz2 - (a - 5)y2z + 40 = 8a.
17. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из кото­
рых существует единственная тройка (х; у; z) действительных чисел
х, у, z, удовлетворяющая системе уравнений
2*4.27 = (а2-4)2 + у2 + 8,
|у |z4 + 2z2 - a2z 4- а + 4 = 0.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых су­
ществует единственная тройка (х; у; z) действительных чисел х, у, z,
удовлетворяющая системе уравнений
3*43* = (а2-9)2 + у2 + 6,
y2z4 + z2 - 2a2z + a + 84 = 0.
164
Глава 3. Применение свойств функций
18. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
I (x + 2)2 + 2(a + 2y)+y2 + z2 = О,
; (2 + xyz2(a + 2) у/1 - 2ху) (a sin2 z + х + у) = О,
( (xy+l)tg(x + y) + cos(x-y) = 1.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственное решение система уравнений
j (ху — 2) • sin(y-x) +z = z-cos(x + y),
’ (x-l)2 + y2 + 2y + z2 + a = О,
! (a - sin2z + y-x)((a + 1)lg(xy +1) +1) = 0.
19. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из кото­
рых существует единственная тройка (х; у; z) действительных чисел
х, у, z, удовлетворяющая системе уравнений
[х2 + у2 = 4z,
\x+y + 2z = 2а.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых су­
ществует единственная тройка (х; у; z) действительных чисел х, у, z,
удовлетворяющая системе уравнений
J х2 + у2 = 9z,
[х+у = 3a + 3z.
20. а) Найдите все пары (а; Ъ) действительных чисел а и Ь, для
каждой из которых имеет единственное решение система уравнений
• xyz + z = а,
\ xyz2 + z = b,
. x2 + y2 + z2 = 4.
б) Найдите все пары (а; Ь) действительных чисел а и Ь, для каждой
из которых имеет единственное решение система уравнений
j 4xyz + х = а,
< 8x2yz + b = х,
I x2 + y2 + z2 = 1.
§ 3.3. Инвариантность
165
21. а) Найдите корни уравнения f (х) = 6, если
3/(х) — 2/(4 —х) = 2х2 + 27х —56
для любого действительного значения х.
б) Найдите корни уравнения /(х) = 14, если
4/(2 - х) - /(х) = 6х2 - 47х + 56
для любого действительного значения х.
22. а) Найдите корни уравнения /(х) = 6, если х / 0 и
3/(|)-/(х) = 8х.
б) Найдите корни уравнения /(х) = -8, если х/Ои
4/Q)-/(x) = 15x.
23. а) Найдите корни уравнения /(х) = 10, если
2/(х)+/(-х) = 22х+1 + 3 ■ 2x+1 + (0,25)х -I- 3 ■ (0,5)х
для любого действительного значения х.
б) Найдите корни уравнения /(х) = 15, если
/(х) + 5/(—х) = 25х - 2 ■ 5 х + (0,04)х 0,5 - 2 ■ (О^)^1
для любого действительного значения х.
24. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение /(х) а имеет хотя бы один корень, если
2/(х) + /( ■'/'■ —xj = 3cos2x + 7sinx-14cosx + 3
для любого действительного значения х.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение /(х) = а имеет хотя бы один корень, если
/(х) + 2/(
-xj = 4cos2x + 9cosx- 18sinx + 4
для любого действительного значения х.
25. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство /(х) С0 справедливо для любого действительного значе­
ния х,если
2/(х) - /(-х) = 21х + 11 |х + а - 51 - 19|х - а + 51 - 8а + 28.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство /(х) > 0 справедливо для любого действительного зна­
чения х, если
2/(х)+ /(—х) = Зх+12|х + а — 4| + 21|х —а + 4| — 12а+ 30.
Глава 4. Графические интерпретации
Важной частью математической культуры, необходимой для овла­
дения методами решения нестандартных уравнений и неравенств
(в том числе и задач с параметром), является умение строить графики
элементарных функций и использовать графические интерпретации
уравнений и неравенств. Задачи, в решении которых графические
интерпретации играют ключевую роль, можно с определённой степе­
нью условности разделить на три основные группы. К первой отнесём
задачи, в которых графические интерпретации позволяют наглядно
представить решение и записать ответ, а поиск ответа с помощью
только аналитических средств приводит к ощутимым логическим
трудностям. В таких задачах степень параметра обычно равна 1, а по
типу эти задачи представляют собой системы неравенств либо сво­
дятся к таким системам. Последнее позволяет изобразить множество
всех точек плоскости Оха (здесь а — параметр), удовлетворяющих
условию задачи, в виде некоторой фигуры (иногда говорят «области»,
а сам метод решения называют «методом областей»). После этого,
рассматривая различные положения горизонтальной прямой а = с
(такую прямую часто называют «считывающей»; здесь с — число)
относительно изображённой области, можно довольно просто найти
ответ на вопрос задачи. Ко второй группе отнесём задачи, допуска­
ющие прямую графическую интерпретацию, т. е. предполагающие
построение (в том числе с помощью известных элементарных преоб­
разований) и, возможно, исследование графика функции. К третьей
группе отнесём задачи, решение которых основывается на исследова­
нии взаимного расположения известных фигур — прямых, отрезков,
углов, окружностей — после соответствующей (графической или гео­
метрической) интерпретации данных уравнений или неравенств (т. е.
здесь, в отличие от задач предыдущих групп, рассматриваются не
только графики функций, но и геометрические фигуры, заданные
уравнениями или неравенствами).
§ 4.1. Метод областей
Начнём с задач первой группы, т. е. с задач, решаемых с помощью
«метода областей», но сначала вспомним, какими отношениями свя­
заны точки графика данной функции и все другие точки координат­
ной плоскости.
§ 4.1. Метод областей
167
Если дана функция у = f(x), то все точки (х;/(х)) координатной
плоскости Оху и только они принадлежат графику этой функции.
Очевидно, что все точки, ординаты которых больше чем /(х), т. е. точ­
ки (х;у), ординаты которых удовлетворяют неравенству у >/(х),
находятся над графиком функции; точки (х;у), ординаты которых
удовлетворяют неравенству у < / (х), находятся под графиком функ­
ции (см. рис. 1).
Рассуждая аналогично, можно легко изобразить на координат­
ной плоскости все точки, удовлетворяющие, например, неравенству
а < у < b при условии а < Ь: это горизонтальная полоса, ограниченная
прямыми у = а и у = Ъ (см. рис. 2).
Рис. 3
Рис. 2
Множеством всех точек координатной плоскости, удовлетворяю­
щих неравенству с < х С- d при условии с < d, является вертикальная
полоса, ограниченная прямыми х = с и x = d (см. рис. 3).
Найдём теперь множество всех точек (х; у) плоскости Оху, коор­
динаты каждой из которых удовлетворяют неравенству
(2у-х-4)(у+ х - 4) < 0.
168
Глава 4. Графические интерпретации
Произведение двух чисел неположительно, если эти числа имеют раз­
ные знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Поэтому данное нера­
венство выполняется только в случае, если
2у - х - 4 < О,
у+ х-4 >О
или
2у - х - 4 > О,
у+х —4 < 0.
Первая система легко приводится к виду
у < 0,5х + 2
У > 4-х,
вторая — к виду
у > 0,5х + 2
У < 4-х.
Это означает, что данному неравенству удовлетворяют все точки ко­
ординатной плоскости, которые расположены не выше одной из пря­
мых у = 0,5х + 2 или у = 4 — х и не ниже другой из этих прямых.
Таким образом, искомое множество ограничено парой вертикальных
углов, образованных этими прямыми (на рис. 4 эти углы заштрихо­
ваны). Координаты любой точки, принадлежащей части плоскости,
ограниченной другой парой вертикальных углов, образованных эти­
ми прямыми (на рис. 4 эти углы не заштрихованы), удовлетворяют,
как легко понять, неравенству (2у - х — 4) (у + х — 4) > 0.
Рис. 4
Вообще, множеством всех точек (х;у) плоскости Оху, удовле­
творяющих неравенству /(x)g(x) < 0, являются все те точки (х;у)
этой плоскости, для которых числа f (х) и g(x) имеют разные знаки,
т. е. все те точки, которые лежат выше одного из графиков функций
у = /(х) или у = g(x), но ниже другого; множеством всех точек (х; у)
§ 4.1. Метод областей
169
плоскости Оху, удовлетворяющих неравенству/(x)g(x) > О, являются
все те точки этой плоскости, для которых числа /(х) и g(x) одного
знака, т. е. все те точки, которые лежат выше каждого из графиков
у = f (х) и у = g(x) или ниже каждого из них (см. рис. 5).
Рис. 5
Далее, если даны графики функций у = f(x), у = g(x), у = h(x),
можно без труда изобразить множество всех таких точек (х; у) плос­
кости Оху, что, например,
Рис. 6
170
Глава 4. Графические интерпретации
Сформулируем для функций, графики которых изображены на
рис. 6, новую задачу: найти все значения параметра а, при каждом
из которых система неравенств
( а О f (х),
а
| а
g(x),
h(x)
имеет хотя бы одно решение, и указать решения системы для каждого
из найденных значений параметра а. Такая формулировка моде­
лирует в достаточно общем виде почти любую задачу на «метод
областей». Для ответа на поставленные вопросы удобно использовать
плоскость Оха, изобразив на ней множество всех точек, коорди­
наты которых удовлетворяют данной системе, и так называемую
«считывающую прямую» (кавычки в дальнейшем будем опускать),
т. е. прямую ас (здесь с — число), параллельную оси абсцисс. С по­
мощью параллельного переноса этой прямой довольно просто опре­
делить, какие значения может принимать параметр а, и выписать
решения системы для каждого из этих значений. На рис. 7 изоб­
ражено одно из возможных положений считывающей прямой. Для
Рис. 7
соответствующего значения параметра решением системы являет­
ся множество [Х!;х2] и [х3;х4], где число хх находится как корень
уравнения h (х) = а, числа х2 и х3 — как корни уравнения f (х) = а,
число х4 — как корень уравнения g(x) = а.
Перейдём к конкретным примерам.
§ 4.1. Метод областей
171
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых неравенство arccos(3ax +1) < arccos(2x + За - 1) имеет хотя бы од­
но решение, и укажите решения неравенства для каждого значения а.
Решение. Неравенство arccos I arccos q выполняется в том и толь­
ко том случае, если
(первое из неравенств системы следует из того, что функция у =
= arccos t монотонно убывает на области определения, два послед­
них— из того, что эта функция определена при те [-1; 1], и первого
неравенства системы). Таким образом,
j (За-2)х> За-2,
j Зах + 1 > 2х + За -1,
< 2х + За-1> -1,
I Зах + 1 S 1,
откуда
( х
-|а,
! ах < 0.
Изобразим множество всех точек (х; а) плоскости Оха, удовлетворяющих последней системе. Для этого заметим, что при а > й пер2 6
вое неравенство системы приводится к виду х>1; при а=| первое
неравенство системы приводится к виду 0 • х > 0 (и его решением
,
„
,
2
является любое действительное число); при а< - первое неравенство
системы приводится к виду х s'. 1. Искомое множество показано штри­
ховкой на рис. 8. Для записи ответа удобно рассматривать различные
Рис. 8
172
Глава 4. Графические интерпретации
положения считывающей прямой ас (с— действительное число),
2
2
эта прямая не имеет
2
с заштрихованной областью ни одной общей точки. При а = — эта
прямая имеет с заштрихованной областью единственную общую
точку, лежащую на прямой а = — |х (при этом х= 1). При а е ;
О
параллельной оси абсцисс. При а < — ц или а >
эта прямая пересекает заштрихованную область по отрезку, левый
2
3
конец которого лежит на прямой а = — ул (и, значит, х = -~а), а
правый — на прямой х= 1. При а е 10; | | эта прямая пересекает
заштрихованную область по отрезку, левый конец которого лежит на
2
3
прямой а = — -х (и, значит, х = --а), а правый — на оси ординат (и,
значит, х 0).
Ответ: решений нет при ае (- оо; — уJ и (
; {1} приа = -1;
[-|а; 1~| приае(-|;0~|; [-|а;01 приае(о;|].
Заметим, что в подобных задачах для упрощения записи решений
удобно выражать переменную через параметр и указывать найденное
выражение на соответствующем графике, как это сделано в нижней
части рис. 8.
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых система неравенств
| а + Зх С 12,
а 4- 4х > х2,
I а<х
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
Решение. Приведём данную систему к виду
[ а < 12-Зх,
а О х2 - 4х,
I а 0х
и построим в системе координат Оха графики функций а = 12 — Зх
(прямая, проходящая через точки (4; 0) и (3; 3)), а = х2 — 4х (пара­
бола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (2; —4),
пересекающая ось абсцисс в точках (0;0) и (4;0)), ах (прямая,
§ 4.1. Метод областей
173
проходящая через точки (0; 0) и (3; 3)). Множество всех точек (х; а)
плоскости Оха, удовлетворяющих данной системе, покажем серым
цветом (см. рис. 9). Для записи ответа будем рассматривать раз­
личные положения считывающей прямой (два таких положения:
а = а-i и а = а2 показаны на рис. 9). При а < -4 или а > 3 считыва­
ющая прямая не имеет с заштрихованной областью ни одной общей
точки. При а = —4 считывающая прямая имеет с заштрихованной
областью единственную общую точку — вершину параболы (т. е. ре­
шением данной системы является х = 2), при а = 3 эта прямая имеет
с заштрихованной областью также единственную общую точку —
точку пересечения прямых а = 12 — Зх и а = х (т. е. решением дан­
ной системы является х = 3). При а е (-4; 0] считывающая прямая
пересекает заштрихованную область по отрезку, концы которого
лежат на параболе а = х2 — 4х. В этом случае левый конец отрезка
является меньшим корнем уравнения х2 — 4х — а = 0 (этот корень
174
Глава 4. Графические интерпретации
равен 2 — л/а + 4), а правый — большим корнем этого уравнения (он
равен 2 4- Уа + 4). При а е (0; 3] считывающая прямая пересекает
заштрихованную область по отрезку, левый конец которого лежит на
прямой а = х (и, значит, х = а), а правый — на прямой а = 12 — Зх (и,
12 - а
значит, х —j—).
Ответ: решений нет при а е (— оо; —4) и (3; +1»); х = 2 при а = —4;
х=3 при а=3; xe[2-Va+4; 2+Va+4] при ае(-4; 0]; хе |а; 123
при а е (0; 3].
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых хотя бы одно решение неравенства х2 + а + |х — а — 11 -I-1 < Зх
принадлежит отрезку [0; 1].
Решение. Перепишем неравенство в виде |х-а-1|<3х—х2—а-1
и воспользуемся тем, что |р| < q в том и только том случае, если
(p<Q,
—q Р Ч, т. е. если <
Получим систему неравенств
(х - а -1 < Зх - х2 - а -1,
1
я
[х-а-1 Э? —Зх + х2 + а + 1,
х(х —2) 4. О’
откуда
а
-у+ 2х-1.
Множеством всех точек (х; а) плоскости Оха, координаты которых
удовлетворяют неравенству х(х — 2) < 0, является полоса, заключён­
ная между прямыми х = 0 и х = 2 (включая эти прямые). Множеством
всех точек (х; а) плоскости Оха, координаты которых удовлетворяют
X2
X2
неравенству а
+ 2х — 1, является парабола а = — ~ + 2х — 1 и
часть плоскости, расположенная ниже этой параболы (см. рис. 10).
Рис. 10
175
§ 4.1. Метод областей
Система неравенств
1
, ,
~п
j х(х — 2) < О,
[а^ -у+ 2х-1
имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; 1] только в том случае,
если а 0,5.
Ответ: а е (— оо; 0,5].
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых множеством решений неравенства
а2 — 2(2х +7)а — (х2 — 2х +7)(х2 — 6х —7) < 0
является объединение ровно двух непересекающихся промежутков
числовой прямой.
Решение. Рассмотрим неравенство как квадратное относительно
а и перепишем его в виде
az - (4х + 14)а + (х2 - 2х + 7) (-х2 + 6х+7) < 0.
Заметим, что (х2 — 2х + 7) + (-х2 + 6х + 7) = 4х +14. Поэтому соглас­
но формулам Виета корнями квадратного трёхчлена в левой части
неравенства являются х2 — 2х + 7 и —х2 + 6х + 7. Используя формулу
разложения квадратного трёхчлена на множители, данное неравен­
ство теперь можно записать так:
(а - (х2 - 2х + 7)) (а - (-xz + 6х + 7))
Рис. 11
0.
176
Глава 4. Графические интерпретации
Множество всех точек (х; а) плоскости Оха, координаты которых удовле­
творяют полученному неравенству лежит не выше одного из графиков
функций а = х2 — 2х + 7 или а = —х2 + бх + 7 и не ниже другого. Графи­
ком функции а = х2 — 2х + 7 является парабола, ветви которой направ­
лены вверх, с вершиной в точке (1; 6), пересекающая ось Оа в точке
(0; 7). Графиком функции а = —х2 + бх + 7 является парабола, ветви ко­
торой направлены вниз, с вершиной в точке (3; 16), пересекающая ось
Ох в точках (—1; 0) и (7; 0), а ось Оа — в точке (0; 7). Найдём общие
точки двух этих парабол (заметим, что одна из них уже найдена: это
точка (0; 7). Для этого решим уравнение х2 - 2х + 7 = —х2 + бх + 7,
откуда х = 0 или х = 4 (и тогда а = 15). Нарисуем эскизы графиков и
отметим штриховкой искомое множество точек (х; а) плоскости Оха.
Условие задачи будет выполнено, если пересечение прямой а = const
и заштрихованной области состоит из двух промежутков, не имею­
щих общих точек, т. е. если а е (—°°; 6) и {7; 15} и (16; + “).
Ответ: (—оо; 6) и {7; 15} и (16; +«>).
Упражнения к §4.1
1. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
,
I а V х : 3,
; а + 2х > 12,
. Заф х + 1
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
I 2а + х 15,
< За 2х + 5,
I а < Зх + 18
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
2. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство arccos(ax — а +1) < arccos(2x + а — 3) имеет хотя бы одно
решение, и укажите решения неравенства для каждого значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство arcsin(ax + а +1) > arcsin(2x+а +1) имеет хотя бы одно
решение, и укажите решения неравенства для каждого значения а.
§ 4.1. Метод областей
177
3. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство arcsin(ax+2a+l)+arccos(2x+a+3)^- имеет хотя бы од­
но решение, и укажите решения неравенства для каждого значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера­
венство arccos(ax-2a+l)+arcsin(2x+a—5)<-^ имеет хотя бы одно
решение, и укажите решения неравенства для каждого значения а.
4. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
j 2а + Зх sj 24,
{ 2а + 8х
х2,
2а < х
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
[ а+Х < 12,
9а + 12х > х2,
За < X
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
5. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
хотя бы одно решение неравенства
х2 + |х + а - 3| + 5 < 5х + а
принадлежит отрезку [1; 2].
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых хотя
бы одно решение неравенства 6х > 2х2 + а -I- |2х — а- 2| + 2 принадле­
жит отрезку [-1; 0].
6. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
существует хотя бы одно число х е (1; 2), не являющееся решением
неравенства
а + V'а2 - 2ах + х2 С Зх - х2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых су­
ществует хотя бы одно число х е (-2; 1), не являющееся решением
неравенства
2х2 + 6х + а + а/а2 + 4ах + 4х2 s' 0.
178
Глава 4. Графические интерпретации
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
I 7а 4- 6х > х2,
а < Vx,
За - х s( 10
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
I За + 2х х2,
а < 2</х,
I 2а + х С 5
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
J |2х — а| < 4,
| а + 4 > х2
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
J |3х + а| < 9,
j а -г х2 < 9
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
9. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (а 4- 4х — х2) (а - х) 0 имеет хотя бы одно решение, и
укажите решения неравенства для каждого значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (а + 6х 4- х2) (а 4- х) С 0 имеет хотя бы одно решение, и
укажите решения неравенства для каждого значения а.
10. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
,
,______
( а
v 25 -х2,
[ (4а - Зх) (За + 4х) 1? 0
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
§ 4.1. Метод областей
179
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
а + д/ 169-х2 > О,
(5а-12х)(12а + 5х) < О
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
I ах
2,
■{ \/х • • 1 ' а,
^Зх<2а + 11
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
[ ах
8,
Vx-4 2а,
! Зх 8а + 44
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 4.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
I a <log2x,
2а -I- х > 4,
5 а ■ 2х 10
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
( а < log2x,
< а + х > 1,
5 а + 4х V 9
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
180
Глава 4. Графические интерпретации
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
( а С 3 log3 х,
ах 9,
|х-9| + |х-27| < 18
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 15.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
j а < log3 х,
ах 3,
|х —9| + |х-27| < 18
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 9.
14. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
( (ax-8)(a-log2x)
I ----------------------< 0,
х
|х-2| + |х-8| < 6
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
’ (ax-4)(a-log2x-l)
,,
! -------------------- ~< 0,
iI
Х
|х — 1| + |х —4| < 3
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
( |х| + 2а < 4,
[ i/|x-1| < а
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
§ 4.1. Метод областей
181
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
' |х| -На < 2,
\ \/|2х — 1| < а
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
16. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(а + |х-11 -2)(а- \/|2х —3|) < О
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений неравен­
ства для каждого такого значения параметре! а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(а + |х+1|-2)(а- а/|2х+1|) < О
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений неравен­
ства для каждого такого значения параметра а.
17. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
(х2 + а' < Зх,
| а + 3 > 2,5|х|
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
Г 4х2 + а < 6х,
[ а + 3 > 5|х|
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений системы
для каждого такого значения параметра а.
18. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
■ а + 3х< 12,
а + 4х > х2,
а <х
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 2.
182
Глава 4. Графические интерпретации
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
| а + бх < 24,
j а + 8х > 2х2,
I а < 2х
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 2.
19. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
(х2-8х+а С О,
[ х2 - бх - а С О
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 6.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
( х2 - бх + а С 0,
[ х2 - 4х- а s' 0
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 4.
20. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство |х +1| — а|х - 3| = 4 имеет хотя бы одно решение, и ука­
жите множество решений неравенства для каждого такого значения
параметра а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство а|х — 2| + 2|х — 1| = 2 имеет хотя бы одно решение, и ука­
жите множество решений неравенства для каждого такого значения
параметра а.
21. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
(х2-4х + а)(а -4|х|-г-9) С °
является объединение ровно двух непересекающихся промежутков
числовой прямой.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
(х2 - бх + а) (а - 5|х| +12) < 0
является объединение ровно двух непересекающихся промежутков
числовой прямой.
§ 4.1. Метод областей
183
22. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
4|х| -г |а| < 4,
X2 + 2х
а+3
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 1.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений системы неравенств
Г 2|х| + |а| < 4,
(х2 + 4х< 4а + 12
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 2.
23. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
[ а. + 2х + 8 х2,
| а + 9 > 4|х|
имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
J а + 2х + 3 < х2,
| а + 4 4|х|
имеет единственное решение.
24. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множество решений системы неравенств
[ а + 2х + 7 S х2,
’[ а+ 8 < 4|х|
состоит из отрезка числовой прямой и не принадлежащей ему точки
этой прямой.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множество решений системы неравенств
а : 2х • 4 > х2,
а + 5 < 4|х|,
состоит из числовой прямой и не принадлежащей ему точки этой пря­
мой.
184
Глава 4. Графические интерпретации
25. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
(а + 7х + 4) (а - 2х + 4) < О,
а + Зх
х2
имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
(а + 13х + 9) (а
Зх • 9)
О,
а + 7х > х2
имеет единственное решение.
26. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
а2 + 6(2х + 3)а- 28х2 + 108х + 81 < О,
х2 - 8х - а < О
имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
а2 + (7х + 8)а -8х2 + 28х+ 16 < О,
х2 - 4х - а С О
имеет единственное решение.
27. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
„
(ах-6)(х-а-1)'
множеством решении неравенства---------- - ---------- > 0 является ров­
но один промежуток числовой прямой.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
(ах-10)(х-а-3) . „
множеством решении неравенства ----------- ------------ р 0 является
ровно один промежуток числовой прямой.
28. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
ах2- (а2 + 2а + 8)х + 8а-г16 „
множеством решении неравенства----------------- ------------------ > 0 яв­
ляется ровно один промежуток числовой прямой.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
„
ах2 - (а2 + 2а + 3)х 3-За + 6 п
множеством решении неравенства---------------- - ---------------- > 0 явля­
ется ровно один промежуток числовой прямой.
§ 4.1. Метод областей
185
29. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
(х2 - а - 4) (х2 + а - 2х) > О
является объединение ровно двух непересекающихся промежутков
числовой прямой.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
(х2 - а - 9) (х2 + а - Зх) > О
является объединение ровно двух непересекающихся промежутков
числовой прямой.
30. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
а2 + 2ах + 4х3
х4 + Зх2
является объединение ровно трёх непересекающихся промежутков
числовой прямой.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
а2 + 2ах + бх3 < х4 + 8х2
является объединение ровно трёх непересекающихся промежутков
числовой прямой.
31. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(х2 - 4х)2 - (а2 - За) (х2 - 4х) + а3 - 4а2 < О
имеет ровно два различных решения.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
(х2 - бх)2 - (а2 - 5а) (х2 - бх) + а3 - 6az < О
имеет ровно два различных решения.
32. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
( (а + 4х) (а - 2х + 9) > О,
1 х2 - 4х - а > О
имеет единственное решение.
186
Глава 4. Графические интерпретации
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
f (а — 6х) (а + 4х - 25) > О,
[ х2 - бх+а > о
имеет единственное решение.
33. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
I |2а —4х —3| >9,
[ х2 + а < 4х + 5
имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
(|а-4х + 5| > 18,
( х2 -I- а
8х + 9
имеет единственное решение.
34. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
(6х2 - Збх + 48 - а) (х2 - 4х - а) <J О
является объединение ровно двух непересекающихся отрезков число­
вой прямой.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множеством решений неравенства
(12х2 — Збх + 24 — а) (2х2 - 2х - а) < О
является объединение ровно двух непересекающихся отрезков число­
вой прямой.
35. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
2х4 - 4х3 - Зах2 + 2ах + а2 < 0
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений неравен­
ства для каждого такого значения параметра а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
2х4 - 4х3 - Зах2 + 4ах + а2 < 0
имеет хотя бы одно решение, и укажите множество решений неравен­
ства для каждого такого значения параметра а.
§ 4.2. Преобразованью графиков
187
§4.2. Преобразования графиков
Перейдём теперь к задачам, существенной частью решения кото­
рых является построение графика некоторой функции, в том числе
при помощи элементарных преобразований графика известной функ­
ции. Даже если преобразования графиков ранее не изучались, понять,
как они «устроены» и «работают», можно, задавая себе довольно оче­
видные вопросы и отвечая на них.
Например, как из графика функции у = f (х) получить график
функции у = /(х) + Ь? Ответ на этот вопрос достаточно прост: если
абсциссы точек этих графиков одинаковы, то соответствующие им
ординаты отличаются на |Ь|. Поэтому
• график функции у = f(x) + b получается из графика функции
y = f(x') параллельным переносом данного графика вдоль оси Оу
на |Ь| единиц вверх (если Ь>0) или вниз (если Ь<0) (см. рис. 1).
А как из графика функции у = f (х) получить график функции
y = f(x- а)? Ответ на этот вопрос также не слишком сложен: если
ординаты точек этих графиков одинаковы, то соответствующие им
абсциссы отличаются на |а|. Поэтому
• график функции у = f(x - а) получается из графика функции
y = f(x') параллельным переносом данного графика вдоль оси Ох
на |а| единиц вправо (при а > 0), или влево (при а < 0) (см. рис. 2).
у = f(x - а), а <0
y = fM
Рис. 2
у = f(x - а), а> 0
188
Глава 4. Графические интерпретации
Теперь можно сделать следующий вывод: график функции у =
= f(x — а) + Ъ получается последовательными параллельными пере­
носами графика функции у -f(x) на |а| единиц вдоль оси Ох и на
|Ь| единиц вдоль оси Ох. Заметим, что такое преобразование можно
описать короче: график функции у = f(x — а) + Ь получается сдвигом
(параллельным переносом) графика функции у = f (х) на вектор
1(а; Ь) (см. рис. За; здесь а > 0 и Ъ > 0). Для дальнейшего важно, что
и график уравнения / (х — а; у - Ь) = 0 получается сдвигом (парал­
лельным переносом) графика уравнения /(х;у) = 0 на вектор / (а; Ь)
(см. рис. 36; здесь а > 0 и Ъ > 0). Напомним, что графиком уравнения
f(x; у) = 0 называют множество всех точек (х; у) плоскости Оху, для
каждой из которых f (х; у) = 0.
Рис. 3
§ 4.2. Преобразованью графиков
189
Ответим теперь на следующий вопрос: как из графика функ­
ции у = /(х) получить, например, график функции у = f | ^х I или
у = /(2х)? И здесь нам помогут достаточно простые рассуждения.
В самом деле, если ординаты точек графиков функций у = /(х),
у = fyix ) и у = /(2х) одинаковы, то соответствующие им абсциссы
точек графика у = /( |х ' вдвое больше, а точек графика у = /(2х)
вдвое меньше, чем абсциссы точек графика у = /(х). Поэтому для
того, чтобы из графика функции у = /(х) получить график функции
у = f ;|х^, нужно данный график «растянуть» в два раза вдоль оси
абсцисс (иногда в таких случаях говорят о растяжении графика от
оси Оу). Аналогично для того, чтобы из графика функции у = /(х)
получить график функции у = /(2х), нужно данный график «сжать»
в два раза вдоль оси абсцисс (иногда в таких случаях говорят о сжатии
графика к оси Оу).
Вообще,
• для построения графика функции у = f(kx) при к > 0, к ф 1 надо
растянуть график функции у = /(х) в | раз вдоль оси абсцисс.
При этом если k > 1, то часто говорят не о растяжении, а о сжатии
графика (см. рис. 4а, 46).
б)
Рис. 4
190
Глава 4. Графические интерпретации
Аналогично, рассматривая графики функций у = f (х) и у = с • f (х),
можно сделать следующий вывод:
• для построения графика функции у = с • /(х) при с > 0, с 7^ 1 надо
растянуть график функции y = f(x) в с раз вдоль оси ординат.
При этом если с < 1, то часто говорят не о растяжении, а о сжатии
графика (см. рис. 5а, 56).
Рис. 5
При изучении двух последних преобразований графиков функций
коэффициенты растяжения (в некоторых учебниках и пособиях все
такие преобразования называют сжатием) к и с считались положи­
тельными. Для того чтобы уметь строить графики и в том случае, ес­
ли эти коэффициенты отрицательны, рассмотрим, с помощью каких
преобразований можно из графика функции у = /(х) получить гра­
фики функций у = f(—х) и у = —/(х). Если абсциссы точек графи­
ков функций у = /(х) и у = /(—х) равны по абсолютной величине
и имеют противоположные знаки, то соответствующие им ординаты
одинаковы. Значит, графики этих функций симметричны относитель­
но оси ординат. Если абсциссы точек графиков функций у = /(х) и
у = —/(х) равны, то соответствующие им ординаты равны по абсо­
лютной величине и имеют противоположные знаки. Значит, графики
§ 4.2. Преобразованью графиков
191
этих функций симметричны относительно оси абсцисс. Теперь можно
сформулировать правило:
• для построения графика функции y = f(-x') надо зеркально от­
разить график функции у = /(х) относительно оси ординат
(см. рис. 6а); для построения графика, функции у = -/(х) надо
зеркально отразить график функции y — f(x) относительно оси
абсцисс (см. рис. 66).
С помощью последовательных преобразований графиков мож­
но из графика функции у = /(х) получить график функции у =■
= с - f(kx Т /) + Ь. Рассмотрим возможную последовательность таких
преобразований.
1. Представляем искомую функцию в виде y=c-/(k(x-t-a))+b. Для
этого нужно вынести коэффициент к за скобки: у=с-/( к^х4 ц I ) +Ь
К
I через а.
и обозначить
2. Строим график функции у = р4(х), где рг(х) = /(кх).
3. Строим график функции у = р2(х), где
р2(х) = рДх + а) = /(к(х+а)).
4. Строим график функции у = р3(х), где
р3(х) = с-р2(х) = с-/(к(х + а)).
5. Строим график функции у = р4(х), где
р4(х) = р3(х) -I-Ь = с-/(к(х + а))4 Ь.
Обратим внимание на то, что пункты 2, 3, 4 данного алгоритма
можно выполнять в любой последовательности. Кроме того, если ко­
эффициенты растяжения кис отрицательны, то в пунктах 2 и 4 нужно
192
Глава 4. Графические интерпретации
сначала выполнить растяжение в |к| или в |с| раз вдоль соответствую­
щей оси, а затем зеркально отразить относительно другой оси полу­
ченный после растяжения график.
Дополним список преобразований графиков функций ещё двумя
преобразованиями, связанными с построением графиков функций
у = |/(х)| и у = f (|х|) при условии, что график функции у = f(x)
задан. Рассмотрим построение графика функции у = f (|х|). При
х> О график этой функции совпадает с графиком функции у = f (х),
поскольку в этом случае |х| = х. При х<0 искомый график совпадает
с графиком функции у = /(-х), поскольку в этом случае |х| = —х.
Поэтому для построения искомого графика при х < 0 нужно зеркаль­
но отразить относительно оси ординат ту часть графика функции
у = /(х), для которой х;гО (см. рис. 7а, 76).
б)
Рис. 7
Для построения графика функции у = |/(х)| достаточно заметить,
что при f (х) >0 он совпадает с графиком функции у = /(х) (посколь­
ку в этом случае |/(х)| = /(х)), а при /(х) < 0 ординаты точек графика
у = |/(х) | равны ординатам соответствующих точек графика у = /(х)
по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Поэтому гра-
УУл/
о
У = |/(х)|
б)
Рис. 8
§ 4.2. Преобразованью графиков
193
фик функции у = |f (х) | можно получить из графика функции у = f (х),
зеркально отразив относительно оси абсцисс те его части, которые
расположены ниже этой оси, и оставив без изменения части, распо­
ложенные выше оси (см. рис. 8а, 86).
Приведём сводную таблицу преобразований графиков.
y = f(x) + b
Параллельный перенос графика функции у = fix)
вдоль оси Оу на |Ь| единиц вверх (при b > 0) или
вниз (при b < 0).
у = fix—а)
Параллельный перенос графика функции у = f ix)
вдоль оси Ох на |а| единиц вправо (при а > 0) или
влево (при а < 0).
у = fikx),
у = с-fix),
к>0
Растяжение (сжатие) графика функции у = fix)
в i раз вдоль оси Ох.
с>0
Растяжение (сжатие) графика функции у = fix)
в с раз вдоль оси Оу.
У =fi~x)
Симметрия графика функции у = f ix) относитель­
но оси Оу.
У = -fix)
Симметрия графика функции у = fix) относитель­
но оси Ох.
У = f (1х|)
Симметрия относительно оси Оу части графика
функции у = fix), расположенной в правой коор­
динатной полуплоскости: при этом часть графика
функции у = fix), расположенная в правой коор­
динатной полуплоскости, сохраняется, а его часть,
расположенная в левой координатной полуплоско­
сти, отбрасывается.
У=1/(х)|
Симметрия относительно оси Ох части графика
функции у = f ix), расположенной в нижней коор­
динатной полуплоскости: при этом часть графика
функции у = f ix), расположенная в верхней коор­
динатной полуплоскости, сохраняется, а его часть,
расположенная в нижней координатной полуплос­
кости, отбрасывается.
Пользуясь этой таблицей, можно строить графики более сложных
функций. Так, для построения графика функции у = \f (|х|) | нужно по­
строить сначала график функции у = f (|х|), а затем ту его часть, ко­
торая лежит ниже оси Ох, отразить симметрично относительно этой
оси.
Рассмотрим несколько характерных задач этой группы.
194
Глава 4. Графические интерпретации
Пример 1, Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение ах + у 3 — 2х — х2 = 4а + 2 имеет единственный корень.
Решение. Перепишем уравнение в виде \/з —2х—х2=—ах+4а+2
и рассмотрим графики функций у = \/з — 2х — х2 и у = -ах + 4а + 2.
Поскольку правая часть формулы у = у 3 - 2х - х2 неотрицательна,
левая её часть тоже не может быть отрицательной. Поэтому
(у2 = 3-2х-х2,
1
л
откуда
f (х + 1)2 + у2 = 4,
(
Значит, графиком функции у = '/3 — 2х — х2 является та часть окруж­
ности (х + I)2 + у2 = 4, ординаты точек которой неотрицательны,
т. е. полуокружность радиуса 2 с центром в точке (—1; 0), расположен­
ная не ниже оси абсцисс. Эта полуокружность имеет с осью абсцисс
общие точки А(-3; 0) и В(1; 0). Графиком функции у = —ах + 4а + 2
является прямая. Заметим, что у = — а(х - 4) + 2 и если х = 4, то
у = 2 вне зависимости от значений параметра. Поэтому прямая
у=—ах+4а+2 при любом значении параметра проходит через точку
М(4; 2). Данное уравнение имеет единственный корень только в том
случае, когда эта прямая имеет с полуокружностью единственную
общую точку. Последнее возможно, если эта прямая касается полу­
окружности либо расположена между прямыми МА и МВ (см. рис. 9)
так, что её угловой коэффициент -а е (а1;а2], где а. и а2— угло­
вые коэффициенты прямых МА и МВ соответственно. Поскольку
наиболее удалённая от оси абсцисс точка полуокружности С имеет
ту же ординату, что и точка М, прямая МС, параллельная оси абс-
Рис. 9
§ 4.2. Преобразованью графиков
195
цисс, будет касательной к полуокружности. В этом случае а = 0. Най­
дём теперь Я! и а2- Поскольку точка А(-3; 0) принадлежит прямой
у = —ах + 4а + 2, её координаты удовлетворяют уравнению этой пря2
2
мой. Поэтому 0=За+4а+2, откуда а= — у. Таким образом, а1=у. По­
скольку точка В (1; 0) принадлежит прямой у=—ах+4а+2, её коорди­
наты удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому 0=—а+4а+2,
2
2
откуда а = — х-. Таким образом, а2 = □. Значит, —а е (аг; а2], если
2
2
2
2
7<-а<д, откуда тр::а<
Ответ: {0}и | -4; -
Замечание. Обратим внимание на то, что при выборе функций в
таких задачах целесообразно руководствоваться следующим прави­
лом (разумеется, в тех задачах, где это возможно): график одной
из функций не должен зависеть от параметра. Кроме того, часто
в решении таких задач удаётся существенно продвинуться, проана­
лизировав функцию, зависящую от параметра, и найдя какое-то
её общее для всех значений параметра свойство. В рассмотренном
примере таким свойством являлась принадлежность точки М(4;2)
графику функции при любом значении параметра. В следующей
задаче таким свойством является принадлежность вершины угла
некоторой фиксированной прямой.
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение |х2 + 2х - 3| - 2а = |х — а| + 3 имеет ровно три раз­
личных корня.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
|х2 -I- 2х - 31 = |х - а | + 2а + 3
и рассмотрим графики функций у = |х2 + 2х — 3| и у = |х — а| + 2а + 3.
График функции у = |х2 + 2х — 3| получается из графика функции
у = х2 4 2х - 3 (это парабола, ветви которой направлены вверх,
вершина имеет координаты (—1; —4), точками пересечения пара­
болы с осями координат являются (1; 0), (—3; 0), (0; —3)) с помо­
щью зеркального отражения (симметрии) относительно оси абсцисс
части параболы, расположенной ниже этой оси. График функции
у = |х — а| + 2а + 3 получается из графика функции у = |х| (этот
график представляет собой прямой угол с вершиной в точке (0; 0)
и сторонами, лежащими на прямых у = х и у = —х выше оси абс­
цисс) параллельным переносом на вектор !(а;2а + 3). Таким обра­
зом, графиком функции у = |х - а| + 2а + 3 является прямой угол
с вершиной в точке (х0; у0), где х0 = а, у0 = 2а Т 3. Из двух послед-
196
Глава 4. Графические интерпретации
них формул следует, что у0 = 2х0 4- 3. Следовательно, вершина угла
у = |х — а| + 2а + 3 лежит на прямой у = 2х + 3, а не является про­
извольной точкой плоскости. Данное уравнение имеет ровно три
различных корня, если графики функций имеют ровно три общие
точки, что возможно только в двух случаях: соответствующие по­
ложения угла у =- |х — а| + 2а + 3 для этих случаев обозначены на
рис. 10 цифрами (1) и (2). В случае (1) сторона угла у = |х — а| + 2а + 3
Рис. 10
касается параболы у = |х2 + 2х — 3| в точке, лежащей на отражённом
участке параболы у = х2 + 2х — 3 (отсюда |х2 + 2х — 31 = —х2 — 2х + 3)
левее вершины угла, т. е. в точке, абсцисса которой меньше а (от­
сюда |х - а| = —х -I- а). Касание означает, что квадратное уравнение
—х2 — 2х + 3 = — х + а + 2а + 3 имеет единственный корень, т. е. что
его дискриминант равен нулю. Приведём уравнение к стандартному
виду х2 + х + За = 0 и, приравняв дискриминант D = 1 - 12а к нулю,
найдём а = • В случае (2) сторона угла, расположенная слевгт от его
вершины (отсюда |х - а| = -х 1- а и у = -х + За + 3), проходит через
точку (—3; 0). Поэтому 0 = —(-3) + 3а + 3, откуда а = -2.
Ответ:
-2.
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение ах + ~ + 4 = 2а имеет хотя бы один корень, и ука­
жите число корней уравнения для каждого значения а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде - -I- 4 = 2а — ах и
х
11
рассмотрим графики функций у= -3-4 и у = 2а — ах. График функ-
§ 4.2. Преобразованью графиков
197
ции у = -1 +, 4л получается с помощью параллельного переноса гипериоды у = - вдоль оси ординат на 4 единицы вверх и последую­
щего зеркального отражения (симметрии) относительно оси абсцисс
части полученного после параллельного переноса графика функции
У ~ + 4, лежащей ниже оси абсцисс. Графиком функции у = 2а — ах
является прямая. Заметим, что у = — а(х — 2) и если х = 2, то у = 0 вне
зависимости от значений параметра. Поэтому прямая у = 2а — ах при
любом значении параметра проходит через точку А(2; 0). На рис. 11
показаны три положения прямой у = 2а — ах: АВ и АС —касательные
к графику функции у = ~ + 4 (они касаются неотражённой части
этого графика, т. е. графика функции у = У + 4), AD соответствует
значению а = 0, совпадает с осью абсцисс и имеет с графиком един­
ственную общую точку Р
; 0 j. Прямая АЕ на том же рисунке пер-
пендикулярна оси абсцисс.
Найдём координаты точек В и С. Для этого достаточно найти от-
личные от нуля значения параметра, при которых уравнение - 4- 4 =
= 2а — ах имеет единственный корень. Это уравнение можно перепи­
сать в виде ах2 — 2(а — 2)х +1 = 0. Если а / 0, полученное уравнение
а —2
имеет единственный корень х = — - только в случае равенства нулю
его дискриминанта У = (а — 2)2 — а, откуда а2 — 5а + 4 = 0 и а = 1
или а = 4. Если а = 1, то х = -1 (точка В); если а = 4, то х = г, (точка
С). Следовательно, уравнениями прямых АВ и АС являются соответ­
ственно у = 2 — х и у=8- 4х.
Число корней данного уравнения равно при каждом значении па­
раметра а числу общих точек графика функции у =
и прямой
у = 2а - ах, угловой коэффициент которой равен —а.
Данное уравнение имеет единственный корень, если
1) прямая у = 2а - ах лежит внутри пары вертикальных углов,
один из которых—угол ВАС, т. е. кАС < — а < кАВ, где кАВ = — 1 и
кАС = —4 — угловые коэффициенты прямых АВ и АС соответственно,
откуда ае(1; 4) ;
2) прямая у = 2а — ах совпадает с прямой AD или лежит внутри
пары вертикальных углов, один из которых—угол EAD, т. е. —а > 0,
откуда ае (—оо; 0].
198
Глава 4. Графические интерпретации
Данное уравнение имеет ровно два корня, если прямая у = 2а- ах
совпадает с прямой АВ или с прямой АС, откуда а = 1 или а = 4.
Данное уравнение имеет три корня, если
1) прямая у = 2а — ах лежит внутри пары вертикальных углов, один
из которых — угол Вт АВ (см. рис. 11), т. е. кАВ<-а<0, откуда а е (0; 1);
2) прямая у = 2а — ах лежит внутри пары вертикальных углов,
один из которых — угол САЕ, т. е. -а < кАС, откуда а е (4; +°°).
Ответ: один корень, если а е (—оо; 0] и (1;4); два корня, если
а е {1; 4}; три корня, если а е (0; 1) и (4; +“).
6
1 + log, (х • • 2)
Пример 4. Решите неравенство 9х + 1 >------- ~-------- •
Решение. При х > 0 данное неравенство приводится к виду
6Y
2F7T-i>log2(x + 2),
откуда
2х + 1
> log2(x + 2).
§ 4.2. Преобразованью графиков
При х < 0 аналогично получим неравенство
смотрим функции у = f (х) и у = g(x), где
,, , _ 4х—I _ 2(2х + 1) -3 _
J W ' 2х + 1 "
2.x + J
"2
1,5
.х + 0,5 ’
Ду — 1
-р < log,.(Л-
199
2). Рас-
g(x) = log2(x + 2),
11 построим их графики. График функции у = f (х) (определённой при
всех х -0,5) получается при помощи описанных ранее стандарт­
ных элементарных преобразований (растяжения в 1,5 раза от оси
абсцисс и параллельного переноса на вектор ((—0,5; 2)) гиперболы,
являющейся графиком функции у = —К График функции у = g(x)
(определённой при всех х > -2) получается параллельным переносом
графика функции у = log2 х на две единицы влево вдоль оси абсцисс
(см. рис. 12). Требуется найти все х > 0, для каждого из которых
/ (х) > g(x), и все х < 0 (с учётом того, что х > —2, х —0,5), для
каждого из которых _/'(х) < g(x).
При х е (—2; —0,5) неравенство /(х) < g(x) (а значит, и данное
неравенство) решений не имеет, так как /(х) > 2, a g(x) < 2.
При х е (—0,5; 0) неравенство f (х) < g(x) (а значит, и данное
неравенство) выполняется, так как /(х) <0, a g(x) > 0 для всех
Х€(-0,5;0).
200
Глава 4. Графические интерпретации
При х е (0; 1) неравенство /(х) > g(x) (а значит, и данное неравен­
ство) решений не имеет, так как f (х) < 1, a g(x) > 1.
При хе (2; +°°) неравенство /(х) >g(x) (а значит, и данное нера­
венство) решений не имеет, так как f (х) < 2, a g(x) > 2.
Осталось рассмотреть отрезок [1;2]. Здесь доказательство не
столь очевидно (предыдущие легко следуют из свойств функций
у = /(х) и у = g(x) и простейших неравенств), но рисунок «подска­
зывает» идею доказательства: каждая из функций у = /(х) и у = g(x)
возрастает на этом отрезке, достигая своего наименьшего значения
в левом конце отрезка, а наибольшего — в правом, но похоже, что
шах/(х) = /(2) < ming(x) = g(l).
[1;2]
[1;2]
Если это так, то и на отрезке [1; 2] данное неравенство не будет
7
иметь решений. Сравним /(2) = и g(l) = log2 3. Предположим, что
7
7
f (2) > g(l). Тогда s > log2 3 и, следовательно, 2$ > 3, откуда 27 3 ,
т. е. 128 >729, что невозможно. Значит, допущение неверно. Поэтому
и на отрезке [1; 2] данное неравенство не имеет решений.
Ответ: (—0,5; 0).
Упражнения к §4.2
2х +1
1. а) Постройте график функции у =
- и определите, при каких
значениях к прямая у = кх имеет с графиком ровно одну общую точку.
х—2
б) Постройте график функции у = ———? и определите, при каких
значениях к прямая у = кх имеет с графиком ровно одну общую точку.
2. а) Постройте график функции у = х2 — 2х — 4|х| и определите,
при каких значениях с прямая у = с - 2 имеет с графиком не менее
одной, но не более трёх общих точек.
б) Постройте график функции у = 3|х| + х — х2 и определите, при
каких значениях с прямая у = с — 3 имеет с графиком не менее одной,
но не более двух общих точек.
3. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
За + V -3 - 4х - х2 = ах +1.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
ах + а/-5-6х-х2 = 5а + 2.
§ 4.2. Преобразованью графиков
201
4. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
ах + 2а + 3 = \/-7 + 8х-х2.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет единственный корень уравнение
6а + V -24 - 10х - х2 = ах +1.
5. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
12|х2 - 4| = 2а+|а-12х-1-12| + 36
имеет ровно три различных корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
6 |х2 - 4| = 2а + |а + 6х+ 6| + 18
имеет ровно три различных корня.
6. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение |ах + у1 + 2 = 2а имеет хотя бы один корень, и укажите
число корней уравнения для каждого значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
1
1,1,1
< хотя бы один корень, и укажите
уравнение ^ax
+ - + 1 = а имеет
число корней уравнения для каждого значения а.
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах|х| + |3х + 2| = 2а|х| имеет ровно один корень.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах|х| + |5х + 2| = 6а|х| имеет ровно три различных корня.
о . „
3
log2(x + 8)-l
8. а) Решите неравенство ~ ? > — ~х~ —
3
log2(x + 16) —2
б) Решите неравенство
. >-------- --------- .
9. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
5 „
,
уравнение 2 + - — 3 = ах имеет более двух положительных корней.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 4 + - — 6 = 2ах имеет более двух положительных корней.
10. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а|х — 3| =
э имеет более двух неотрицательных корней.
202
Глава 4. Графические интерпретации
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а|х — 6| = 77^ имеет более двух неотрицательных корней.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
( у = а/б + 4х - х2 + 2,
| у = v 9 - a2 -I- lax - х2 + а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
( у = а/5 - 8х - 4х2 + 2,
[ у + 2а =
9 — 4а2 + 8ах - 4х2.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение |х 4- 31 - а |х — 11 = 4 имеет хотя бы один корень, и укажите
корни уравнения для каждого значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а|х + 3| 4- 2|х + 4| = 2 имеет хотя бы один корень, и укажите
корни уравнения для каждого значения а.
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах = 12а+ у6|х|-г2х —х2 имеет нечётное число различ­
ных корней.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах = 24а + у12|х| + 4.x — х2 имеет отличное от нуля чётное
число различных корней.
14. а) а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых система уравнений
(у2- (х2 + \/ 2|х| -х2 - 4) у 4- (х2 - 4) а/ 2|х| -х2 = О,
[ а + 2х = у,
имеет нечётное число различных решений.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
/ у2 - (х2-Г \/4|х| -х2 - 16)у + (х2 - 16)\/4|х| -х2 = 0,
I а + 4х = у,
имеет нечётное число различных решений.
§ 4.2. Преобразованью графиков
203
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(5х + а)2 - (|х| + \J6|х| — х2 — 6)(5х + а) + (|х| - 6)\/6|х| -х2 = 0
имеет отличное от нуля чётное число различных корней.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(Зх+а)2- С|х| + \/ 10|х|—х2— 10) (Зх+а) + (|х| —10) \/ 10|х|—х2 = 0
имеет нечётное число различных корней.
16. а) а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых система уравнений
I (у2 -xy + 3x-y-6)Vx + 2
; -------- !----- —_---------------= 0,
<
76-х
. х+у = а
имеет ровно два различных решения.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
I (у2 — ху+ 2х — 4у+ 4)Vx+ 4
Iх + у = а
имеет единственное решение.
17. а) а) Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­
рых система уравнений
• ху2 —2лу —4у + 8 =
Vx + 4
У У = ах
имеет ровно два различных решения.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
! ху2 — Зху — Зу + 9 = 0
л/х + 3
У = ах
имеет ровно два различных решения.
204
Глава 4. Графические интерпретации
§ 4.3. Геометрические идеи
Этот параграф посвящён задачам, в которых графические интер­
претации основываются ещё и на геометрических представлениях.
Многие из таких задач связаны с уравнением окружности, формулой
расстояния между двумя точками, уравнением прямой, т. е., в сущ­
ности, с расстояниями и методом координат. Действительно, между
геометрическими и алгебраическими задачами, между языком алгеб­
ры («языком формул») и языком геометрии («языком расстояний»)
существует неоспоримая связь, ставшая со времён Декарта очевид­
ной даже для не слишком искушённого взгляда. Решение многих
геометрических задач сводится к решению систем алгебраических
уравнений и требует умения применять соответствующий алгеб­
раический инструментарий. Менее заметны (особенно школьнику)
геометрические идеи, являющиеся основанием для решения ряда
алгебраических задач: уравнений, неравенств, вычисления наиболь­
ших и наименьших значений некоторых выражений. Связано это,
вероятнее всего, с тем, что алгебраический язык является своего
рода первым математическим языком школьника, а геометрический
язык — вторым. Изучение языка невозможно начинать без словаря
или хотя бы разговорника. В нашем случае словарь довольно прост:
в нём всего три строчки. Для удобства приведём его в виде таблицы.
Алгебраический язык (язык формул) Геометрический язык (язык расстояний)
Числа и буквы
Расстояния до координатных осей (ко­
ординаты)
Модуль разности двух чисел
Расстояние между двумя точками коор­
динатной прямой
Сумма квадратов двух чисел
Квадрат расстояния между двумя точ­
ками координатной плоскости
Попытаемся теперь с помощью этого словаря заняться «перево­
дом» с геометрического языка на алгебраический, написав переводы
нескольких довольно употребительных «фраз» — основу нашего «раз­
говорника». При этом в левой колонке таблицы будут записаны фразы
на языке расстояний, а в правой — их «переводы» на язык формул,
снабжённые в некоторых случаях комментариями.
Расстояние между фигурами А и В (это могут быть точки, прямые,
плоскости и т.п.) будем обозначать г (А; В). Напомним, что расстоя­
§4.3. Геометрические идеи
205
ние между двумя фигурами — кратчайшее из всех возможных рассто­
яний от точки одной фигуры до точки другой.
Перевод на язык формул
Язык расстояний
1. Расстояние от точки t числовой |1 + 22| < 5. Комментарий. Расстояние между
оси до точки —22 меньше 5.
точками а и b числовой оси равно модулю раз­
ности чисел а и Ь, т.е. г(а; Ь) = |а — Ь|.
2. Сумма расстояний отточки .тс чис­ |х + 3| +|х —5| =12
ловой оси до точек —3 и 5 равна 12.
3. Точка 5 числовой оси равноудале­ |х - 6| = |х2 — 211
на от точек х — 1 и х2 — 16.
4. Расстояние от точки, лежащей на |3х — 2| = 5|х|.Комментарий. Расстояние отточ­
прямой у = Зх — 2, до оси абсцисс ки (х; у) графика функции у = /(х) до оси абс­
в 5 раз больше расстояния до оси ор­ цисс равно |/(х)|,адо осп ординат равно |х|.
динат.
5. Точка М(а;Ь) принадлежит ок­ а2+Ь2=9
ружности с центром в начале коор­
динат и радиусом 3.
6. Сумма расстояний от точки М (х: у) ■\/(х-3)2+(у-4)2 + \/(х+2)2+(у-5)2^6
до точек Р(3; 4) и Ж(—2; 5) не боль­
ше 6.
т2 +'п2 = 1,
7. Расстояние от точки M(m;n) еди­
ничной окружности до точки Р(-4; 1)
равно 3.
\/(т + 4)2+ (п -1)2 = 3
8. Расстояние от точки M(p;q) ок­
ружности с центром (-2; -4) и ра­
диусом 2 до точки Р(а; Ь) окружно­
сти с тем же центром и радиусом 6
равно 8.
' (р + 2)2 + (q+4)2 = 4,
(а + 2)2 + (Ь+4)2 =36,
(р — а)2 + (.q - Ь~)2 = 8
9. Сумма расстояний от точки М, ле­ \/(х—3)2+(2х—5)2+-\/(Х+1)2+(2х—2)2=5.
жащей на прямой у = 2х — 1, до то­ Комментарий. Если точка лежит на прямой
чек Р(3;4) и К(-1; 1) равна 5.
у = 2х — 1, то её координаты: (х; 2х -1).
10. Расстояние от точки М, лежащей
на прямой у = X, до точки Р, лежа­
щей на прямой у = 2х — 3, не мень­
ше 9.
\/(а— Ь)2+(а-2Ь+3)2У9.Комментарий. Вейлу
принадлежности точек данным прямым их коорди­
наты в общем виде можно заткать так: М(а; а),
Р(Ь; 2Ь - 3), где а и b — произвольные действи­
тельные числа.
Обратим внимание на то, что условие принадлежности некоторой
точки М той или иной фигуре (например, прямой или окружности),
заданной уравнением, может быть записано с помощью различных
букв, а не только с помощью букв х и у. Так, равенства
(р — З)2 + (q+ 2)2 = 16
и
(m - З)2 + (и т 2)2 = 16
206
Глава 4. Графические интерпретации
означают, что и точка (р; q), и точка (т; п) принадлежат окружности
с центром (3; —2) и радиусом 4, г. е. окружности
(х-3)2+(у + 2)2 = 16
координатной плоскости Оху.
Теперь сделаем несколько «переводов» с алгебраического языка на
геометрический, оформив и их в виде таблицы.
Язык формул
1. Решить уравнение
|х-5| = 2|х + 3|.
Перевод на язык расстояний
Найти все точки х числовой оси, расстояние от
каждой из которых до точки 5 в два раза больше
расстояния до точки —3.
2. Имеет ли система уравнений Можно ли на каждой из концентрических
окружностей с центром в начале координат,
p2 + q2 =16,
радиусы которых равны 4 и 5, найти по точке,
- r2-|-i-2=25j
расстояние между которыми равно 10?
(р — r)2 +(q — t)2 = 100
хотя бы одно решение?
3. Найти наименьшее значение На оси абсцисс найти точку, сумма расстояний от
которой до точек (1; 3) и (-3; -4) минимальна.
функции
у=\/(*-1)2+9+\/(^+3)2+16. Комментарий. Число \/ (х — 1) 2 + 9 равно
расстоянию между точками (х; 0) и (1; 3); число
\/ (х + 3)2 +16 равно расстоянию между точками
(х; 0) и (—3; —4).
4. Найти наименьшее значение На прямой у=2х найти точку, сумма расстояний
функции
от которой до точек (—2; -1) и (3; 5) минимальна.
у = \/ (х + 2)2 + (2х + 1)2 +
i \;(х
З)2 ;-(2х
5):.
5. Решить неравенство
(z-t)2 + (z-3t + 5)2<18.
Комментарий. Число -\/(х + 2)2 + (2х + 1)2 равно
расстоянию между точками (х; 2х) и (-2; -1);
число \/(х-3)2 +(2х-5)2 равно расстоянию
между точками (х; 2х) и (3; 5).
Найти все такие точки на прямой у =х и все такие
точки на прямой у = Зх - 5, что квадрат расстоя­
ния от точки на прямой у =х до точки на прямой
у = ЗХ — 5 не превосходит 18. Комментарий. Сумма
(z — t)2 + (z — 3t + 5)2 равна квадрату расстояния
между точками (z; z) и (t; 3/5).
6. Решить уравнение с парамет­ На графике функции у = ах — 3 найти все точки,
ром |х| =5|ах - 3|.
расстояние от каждой из которых до оси ординат
в 5 раз больше расстояния до осп абсцисс.
7. Найти все значения
параметра а, при каждом из
которых имеет единственное
решение система уравнений
((ш-3)2 + (п-4)2 = а2,
( т2 + п2 = 4.
Найти радиус окружности с центром в точке (3; 4),
если известно, что эта окружность касается
окружности, радиус которой равен 2, а центром
является начало координат. Комментарий.
Найденный радиус будет равен |а|.
§4.3. Геометрические идеи
207
Следует подчеркнуть, что правильные «переводы» у различных
«переводчиков» могут отличаться (это является особенностью «пере­
водов» в математике). Так в задании 3 вместо точки (1; 3) можно было
взять точку (1; —3), а вместо точки (—3; -4) рассматривать точку
(—3; 4). В задании 5 сумма (z — t)2 + (z — 3t + 5)2 может означать
квадрат расстояния между точками (z; z) и (t; 3t — 5) (т. е. квадрат
расстояния между точкой на прямой у = х и точкой на прямой
у = Зх — 5), а может означать и квадрат расстояния между точками
(z;z + 5) и (t; 3t) (т. е. квадрат расстояния между точкой на прямой
у = х + 5 и точкой на прямой у = Зх). Впрочем, эта особенность
присуща и переводам художественной литературы: при сохранении
смысла и фабулы некоторые предложения в различных переводах
могут отличаться весьма существенно. В нашем случае важно только,
чтобы «перевод» был адекватен «оригиналу»: это позволит верно ин­
терпретировать и решить задачу при любом правильном «переводе».
Теперь, после овладения определёнными «языковыми навыками»,
можно перейти к решению задач.
Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
у = Ух2 - 2х + 5 4- Ух2 - 16х + 89.
Решение. Решение этой задачи с помощью производной приве­
дёт, очевидно, к громоздким вычислениям, да и не во всех школьных
учебниках можно найти формулу производной сложной функции. По­
пробуем перевести условие задачи с языка формул на язык расстоя­
ний. Для этого выделим полные квадраты в подкоренных выражени­
ях: у = \/(х — 1)2 + 4 + У(х — 8)2 + 25. Каждое из слагаемых правой
части последнего равенства представляет собой расстояние от точки
А(х; 0) оси абсцисс до некоторой точки с фиксированными координа­
тами, не зависящими от переменной х. Таким образом, решить зада­
чу — значит найти такую точку А оси абсцисс, сумма расстояний от
которой до двух данных точек минимальна. Если данные точки В и С
лежат по разные стороны от оси абсцисс, то искомая точка, очевид­
но, есть точка пересечения прямой ВС с осью абсцисс, поскольку для
любой другой точки A L оси абсцисс сумма расстояний от неё до точек
В и С будет больше в силу неравенства треугольника: АВ + АС = ВС,
А2В + АгС > ВС (см. рис. 1). Абсциссы точек В и С известны — это
1 и 8, а квадраты их ординат равны соответственно 4 и 25. Выберем
знаки ординат точек В и С так, чтобы эти точки оказались лежащими
по разные стороны от оси абсцисс: В(1; —2) и С(8; 5). Найти уравне­
ние прямой ВС не представляет труда (это можно сделать разными
208
Глава 4. Графические интерпретации
способами): у = х - 3. Тогда абсцисса точки А равна 3, а искомый
минимум равен \/(3 — I)2 + 4 + (3 - 8)2 + 25, т. е. 7-У2.
Рис. 1
Ответ: 142.
Замечание 1. Найти расстояние ВС можно и как гипотенузу пря­
моугольного треугольника BCD с катетами BD = CD = 7. Абсциссу точ­
ки А можно вычислить, не составляя уравнения прямой ВС, а вос­
пользовавшись подобием треугольников АВХВ и АСС, из которого
АВ,
ВВ-,
2
находим
= г и, поскольку В= 7, получаем АВ1 = 2, а
/1С |
С С1
э
искомая абсцисса равна 3.
Замечание 2. В задачах на вычисление наибольшего или наи­
меньшего значения функции обязательным является указание точки,
в которой это значение достигается. Связано это с тем, что в таких
задачах часто используется условие обращения некоторого нестрого­
го неравенства в равенство, что возможно далеко не всегда. И хотя
в ответ записывается именно наибольшее или наименьшее значение
функции, тем не менее без обоснования того, что это значение дости­
гается, решение не может быть признано полным и засчитано. Для
такого обоснования в большинстве случаев достаточно найти точку,
в которой это значение достигается, что и было сделано при решении
примера 1.
Пример 2. Решите систему уравнений
\/(х-6)2 + у2 + Ух2 + (у - 4)2 = 2л/13,
\/ (х-9)2-1-у2 + \/х2 + (у - З)2 = ЗУ10.
Решение. Рассмотрим на координатной плоскости Оху точки
А(6; 0), В(0; 4), С(9; 0), £>(0; 3). Решить систему означает найти все
§4.3. Геометрические идеи
209
точки М(х; у), для каждой из которых МА + МВ = 2 V13, МС + MD =
= Зч/Т0. Но АВ = \/б2 + 42 = 2ч/13, CD = А/92 + 32 = Зч/10 (см. рис. 2).
Следовательно, МА + МВ = АВ (т. е. точка М принадлежит отрез­
ку АВ), МС -I- MD = CD (т. е. точка М принадлежит отрезку CD).
Поэтому точку М можно найти как точку пересечения отрезков
АВ и CD. Уравнения прямых АВ и CD, координаты двух точек каждой
из которых известны, находятся без труда: у = -~,х + 4—уравнение
прямой АВ; у = —|х + 3—уравнение прямой CD. Для вычисления
2
1
абсциссы точки М осталось решить уравнение — |х + 4 = -^х + 3,
откуда х = 3. Ордината точки М находится подстановкой полученной
2
абсциссы в уравнение любой из прямых АВ или CD '■ у = —| • 3 + 4 = 2.
Рис. 2
Ответ-. (3; 2).
Замечание 3. Найти уравнение прямой АВ можно, в частности,
воспользовавшись тем, что угловой коэффициент этой прямой отри|ОВ|
2
.
цателен и равен -г,-., , т. е. -т, а начальная ордината (ордината точ2
ки пересечения прямой с осью ординат) равна 4, откуда у = — х + 4.
Аналогично находится и уравнение прямой CD.
В некоторых случаях при определённом навыке решения подоб­
ных задач можно обойтись и без рисунков, особенно когда использу­
емые геометрические факты хорошо известны и не нуждаются в пря­
мых иллюстрациях. Рассмотрим три таких примера.
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых модуль разности корней уравнения х2 - 6х + 12 + а2 - 4а = 0
принимает наибольшее возможное значение.
Решение. Решим задачу двумя способами. Пусть хх и х2— корни
данного уравнения. Традиционное решение задачи состоит в вычис­
210
Глава 4. Графические интерпретации
лении наибольшего значения функции / (а) = |xj — х2|, т-е- функции
f (а) = 2у/-3 + 4а-а2,
или f (а) = 2\/1 - (а-2)2,
равного, очевидно, 2 при а = 2. Это решение требует определённой
культуры вычислений. К тому же значительная часть учащихся, ско­
рее всего, попытается провести исследование функции на наибольшее
значение по традиционному алгоритму, требующему применения про­
изводной, и столкнётся на этом пути с неизбежными и довольно зна­
чительными трудностями, связанными с дифференцированием слож­
ной функции и преобразованием иррациональных выражений. Второй
способ заключается в «переводе» условия данной задачи с алгебраиче­
ского языка на геометрический. Для этого выделим полные квадраты
в левой части уравнения и перепишем его в виде (х—3)2+(а — 2)2=1.
Полученное уравнение является уравнением окружности в системе
координат Оха, а корни данного уравнения равны абсциссам точек
пересечения окружности и прямой, параллельной оси абсцисс. Рас­
стояние между этими точками максимально, если они являются кон­
цами диаметра окружности, равного 2.
Ответ: 2.
Пример 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выраже­
ния (а — d)2 + (Ь + р)2 + (с — q)2, если числа a, b, с, d, р, q таковы, что
f a2 + b2 + c2 = 9,
\d2 + p2 + q2 = 16.
Решение. Переведём условие задачи на язык расстояний: выраже­
ние (а — d)2 -Г (b + р)2 + (с — q)2 представляет собой квадрат расстоя­
ния между точками (а; Ъ; с) и (d; — р; q), первая из которых лежит на
сфере с центром в начале координат и радиусом 3, вторая — на сфере
с тем же центром и радиусом 4. Наибольшее расстояние между точка­
ми этих сфер равно сумме радиусов, т. е. 7, а наименьшее расстояние
равно разности радиусов, т. е. 1. Поэтому искомые значения равны
49 и 1. Значение 49 достигается, например, при a = d = c = q = 0,b = 3,
р = 4. Значение 1 достигается, например, при a = d = c = q = O, b = 3,
р = -4.
Ответ: 49; 1.
Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых имеет единственное решение система уравнений
( (х +2а - 1)2+(у + 5а — 2)2 = 4,
| (х-За-Г 1)2+(у-6а + 5)2 = 9.
211
§4.3. Геометрические идеи
Решение. На геометрическом языке условие задачи означает,
что требуется найти все значения параметра а, при каждом из ко­
торых окружность с центром в точке (—2а + 1; —5а + 2) и ради­
усом 2 касается окружности с центром в точке (За — 1; 6а — 5) и
радиусом 3. Это возможно в том и только том случае, если рассто­
яние между центрами окружностей равно сумме радиусов (внеш­
нее касание) или разности радиусов (внутреннее касание). Таким
образом, получаем два уравнения: \/(5а — 2)2 + (11а — 7)2 = 5 или
•\/(5а — 2)2+ (11а — 7)2 = 1. Корнями первого уравнения являются
14 л
числа 72 и 1, а второе уравнение не имеет корней.
„
14
Ответ:
1.
В заключение параграфа рассмотрим несколько более сложных за­
дач, связанных с геометрическими интерпретациями, предлагавших­
ся в разные годы на Едином государственном экзамене по матема­
тике.
Пример 6. Найдите все значения параметра, при каждом из кото­
рых имеет единственное решение система уравнений
(х2 + (у-4)2 = 16,
[ i/x2 + (у -12)2 + У(х-а)2 + у2 = у/а2
144.
Решение. Первое уравнение системы является уравнением окруж­
ности с центром С (0; 4) и радиусом 4. Левая часть второго уравне­
ния равна сумме расстояний от точки М(х;у) координатной плос­
кости Оху до точек А(0; 12) и В (а; 0) этой плоскости. Заметим, что
длина отрезка АВ равна У (0 — а)2 + (12 — О)2 = \/а2 у-144, г. е. равна
правой части второго уравнения системы. Поэтому МА -I- МВ = АВ,
откуда следует, что точка М(х;у) принадлежит отрезку АВ. Теперь
условие задачи можно перевести с языка формул на язык расстоя­
ний: решить задачу—значит найти все значения параметра а, при
каждом из которых существует единственная точка М (х; у) коорди­
натной плоскости Оху, которая принадлежит как окружности с цен­
тром С (0; 4) и радиусом 4, так и отрезку с концами А(0; 12) и В (а; 0).
Таким образом, требуется найти такое положение точки В(а;0) на
оси абсцисс, при котором прямая АВ касается окружности в точке
М(х;у). Последнее возможно в двух случаях (см. рис. 3), при этом
соответственные значения параметра равны по абсолютной величине
и противоположны по знаку. В любом случае отрезок СМ является
радиусом, проведённым в точку касания, т. е. СМ = 4. Но СА = 8, зна­
212
Глава 4. Графические интерпретации
чит, угол САМ = 30°. Поэтому OB = ОА • tg30° = 12 • - р = 4\/3 (где точv3
ка О —начало координат). Следовательно, а = ±4\/3.
Рис. 3
Ответ: а = ±4УЗ.
Пример 7. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых имеет единственное решение система уравнений
Г (|х| — 6)2+(у — 12)2 = 4,
((х+1)2 + у2 = а2.
Решение. При х > 0 уравнение (|х| — 6)2 -I- (у — 12)2 = 4 является
уравнением окружности
с центром в точке (6; 12) и радиусом 2.
При х < 0 это уравнение является уравнением окружности
с цен­
тром в точке С2(—6; 12) и тем же радиусом (см. рис. 4).
Рис. 4
§4.3. Геометрические идеи
213
Если а = 0, второе уравнение данной системы принимает вид
(х + I)2 + у2 = 0, откуда х = — 1, у = 0. Эти числа не являются ре­
шением первого уравнения системы. Если а / 0, второе уравнение
данной системы является уравнением окружности со с центром в точ­
ке С(-1; 0) и радиусом г = |а|. Таким образом, требуется найти все
отличные от нуля значения параметра а, при каждом из которых
окружность со имеет единственную общую точку с объединением
окружностей сог и со2.
Из точки С проведём луч СС2 и обозначим через Aj и В, точки
его пересечения с окружностью сох, где Аг лежит между С и Сх.
Так как ССТ = \/(6 +1)2 +122 = 7193, получаем, что CAj = VI93 — 2,
CB1=v/193 + 2.
При г < СА2 или г > СВ1 окружности со и coj не пересекаются.
При СА2 <г< СВг окружности со и а>1 имеют две общие точки.
При г = СА1 или г = СВ2 окружности со и со2 касаются.
Из точки С проведём луч СС2 и обозначим через Д2 и В2 точки
его пересечения с окружностью <х>2, где Д2 лежит между С и С2. Так
как СС2 = у/(—6 +1)2 +122 = 13, получаем, что СА2 = 13 — 2 = 11,
СВ2 = 13 + 2=15.
При г < СА2 или г > СВ2 окружности со и со2 не пересекаются.
При СА2 <г< СВ2 окружности со и со2 имеют две общие точки.
При г = СА2 или г = СВ2 окружности со и со2 касаются.
Данная система имеет единственное решение тогда и только то­
гда, когда окружность со касается ровно одной из двух окружностей
сог и со2 и не имеет ни одной общей точки с другой окружностью.
Так как СА2 < САг < СВ2 < СВ1} условию задачи удовлетворяют только
числа г = 11 и r= V193 + 2, откуда а = ±11 или а = ±(V193-I-2).
Ответ: -/193-2; -11; 11; /193 + 2.
Пример 8, Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых имеет ровно три различных решения система уравнений
( (х-4)2 + (у-4)2 = 9,
[У = |х-а| +1.
Решение. Первое уравнение системы является уравнением окруж­
ности с центром в точке (4; 4) и радиусом 3. График функции у =
= |х — а| + 1 получается параллельным переносом на вектор 1(а; 1)
графика функции у = |х|. Поскольку график функции у = |х| представ­
ляет собой прямой угол с вершиной в точке (0; 0) и сторонами, лежа­
щими на прямых у = х и у = —х выше оси абсцисс, график функции
у = |х — а| + 1 также представляет собой прямой угол, но с вершиной
214
Глава 4. Графические интерпретации
в точке (а; 1) и сторонами, параллельными прямым у х и у = — х
(см. рис. 5). Сразу же заметим, что прямая у = 1, на которой лежит
вершина угла, является касательной к окружности.
Рис. 5
Ровно три общие точки фигуры имеют в следующих случаях.
1. Вершина прямого угла лежит в точке М касания окружности и
прямой у = 1, а его стороны пересекают окружность в двух точках
(первый случай). Это возможно, только если а = 4.
2. Одна из сторон прямого угла пересекает окружность в двух
точках, а другая касается окружности в точке А (второй случай) или
в точке В (третий случай). Найдём значения параметра для этих
двух случаев. Поскольку радиус окружности, проведённый в точку
касания окружности и прямой, перпендикулярен прямой, четырёх­
угольник BQAC является квадратом со стороной 3 и диагональю 3/2.
Тогда MD = МС = QC — QM = 3/2 — 3. Следовательно, для случая
касания в точке В получаем а = 3/2 — 3+4=1+ 3/2. Для касания
стороны угла и окружности в точке А аналогично получаем ещё одно
значение параметра: а = 4 — (3 /2 — 3) = 7 — 3 /2.
При а < 7 — 3/2 или а > 1 + 3/2 прямой угол имеет не более двух
общих точек с окружностью.
При 7 — 3 /2 < а < 4 или 4 < а < 1 + 3/2 прямой угол имеет четыре
общие точки с окружностью.
Ответ: 7 — 3/2; 4; 1 + 3/2.
§4.3. Геометрические идеи
215
Пример 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение
(x;y;z):
(х — 4sinz)2 + (y + 4cosz)2 = 1,
|х| + |у| =а.
Решение. При любом действительном значении z первое урав­
нение данной системы является уравнением окружности со плос­
кости Оху с радиусом, равным 1, и центром в точке (х0;у0), гДе
х0 = 4sinz, у0 = —4cosz. Поскольку х2 -|-у2 = 16, центр окружности со
в свою очередь лежит на окружности с центром в начале коорди­
нат и радиусом 4. Таким образом, множеством всех точек (х;у)
плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют первому урав­
нению данной системы, является кольцо, заключённое между двумя
концентрическими окружностями (включая сами эти окружности)
с центром в начале координат и радиусами 3 и 5 (рис. 6). Если а < О,
Рис. 6
данная система, очевидно, решений не имеет. Если а > 0, множеством
всех точек (х; у) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют
второму уравнению данной системы, является квадрат с диагона­
лью 2а и стороной а-/2, ограниченный прямыми у = а — х (при х У- О,
У 0), у = а + х (при х < 0, у > 0), у = -а - х (при х < 0, у < 0) и
у = -а + х (при х 0, у С 0). Данная система имеет хотя бы одно
216
Глава 4. Графические интерпретации
решение в тех и только тех случаях, когда квадрат либо вписан
в меньшую окружность, ограничивающую кольцо (в этом случае
а = 3), либо описан около большей окружности, ограничивающей
кольцо (в этом случае
= 5, откуда а = 5/2), либо занимает
промежуточное положение между двумя этими положениями (в этом
случае 3 < а < 2 /5).
Ответ: [3;5-/2].
Упражнения к §4.3
1. а) Найдите наименьшее значение функции
у = \/ (х-2)2 + 16 + У (х- 10)2 + 4.
б) Найдите наименьшее значение функции
у = 'J (х + 3)2 + 4 + \/ (х-9)2 + 9.
2. а) Найдите наименьшее значение функции
у = Ух2 + 9 + \/х2-8х + 20.
б) Найдите наименьшее значение функции
у = а/х2 -I-1 + 'Jх2 - 24х + 153.
3. а) Найдите наименьшее значение функции
у = \/ х2 + бх + 25 + д/x2 —10х + 29.
б) Найдите наименьшее значение функции
у — 'Jх2 + 8х + 20 -I- ух2- 16х + 73.
4. а) Найдите наименьшее значение функции
у = а/(х-3)2+(х~7)2+ а/(+—15)2+(х —2)2.
б) Найдите наименьшее значение функции
у = \/ (х- 1)2 + (х-2)2 + а/ (х-7)2 + (х + 6)2.
5. а) Решите уравнение ух2 — 6х + 58+ у х2 + 10х + 89= 17.
б) Решите уравнение у х2 + 8х + 20 + у х2 — 10х +125 = 15.
§4.3. Геометрические идеи
6. а) Решите неравенство
217
х2 — 20х + 109 -I- \/х2 - 2х + 82 < 15.
б) Решите неравенство у х2 + 6х + 58 --I-- \/х2 — 4х + 29 < 13.
7. а) Решите неравенство
V ('2х-1)2 + (х- 7)2+ х/С2х-13)2 + Сх-2)2 <13.
б) Решите неравенство
\/(х —2)2-I-(Зх —7)2 + а/(х-8)2 + (Зх + 1)2 < 10.
8. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(а-с)2+ (b-d)2,
если числа a, b, с, d таковы, что
| а2 + Ь2 = 4,
(c2-l-d2 = 36.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(a + u)2 + (b + v)2,
если числа а, Ь, и, v таковы, что
J а2 + Ь2 = 64,
[u2 + v2 = 25.
9. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(а + d)2 + (b - р)2 + (с + q)2,
если числа a, b, с, d, p,q таковы, что
f а2 + Ъ2 + с2 = 4,
[d2 + p2 + q2 = 121.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(а + d)2 + (b + р)2 + (с - q )2.
если числа a, b, с, d, р, q таковы, что
f а2 + Ъ2 + с2 = 25,
\d2 + p2 + q2 = 81.
10. а) Решите систему уравнений
( \/х2 + (у - 15)2+
(х-8)2 + у2 = 17,
[ \/х2 + (у - 12)2 4- У (х- 16)2 + у2 = 20.
218
Глава 4. Графические интерпретации
б) Решите систему уравнений
f \/х2 + (у-8)2 + \/(х-6)2 + у2 = 10,
[ \/(х-5)2 + у2 + \/х2 + (у- 12)2 = 13.
11. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
(х2 + у2 = 6х - 16 + 8у,
( (х —6)2 + (у — 8)2 = а2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
f х2 + у2 = 8х-37+10у,
[ (х —7)2 + (у — 9)2 = а2.
12. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
( (х —2а — З)2 + (у — За — 5)2 = 100,
j (х —За — 8)2 + (у — 4а — З)2 = 9.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
((х —5а —6)2 +(у — 4а + 5)2 = 36,
( (х —6а —5)2 +(у —5а + 8)2 = 16.
13. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
I (х - а - 2)2 +■ (у - а - 4)2 = (2а - I)2,
| (х - 2а +1)2 + (у - 2а - З)2 = (а -1)2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
j (х - а - I)2 + (у - а - З)2 = (2а - З)2,
[ (х —2а + З)2 + (у — 2а - I)2 = (а-2)2.
14. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
(х2 + (у —б)2 = 36,
\/х2 + (у — 18)2-1- \/(х-а)2 + у2 = \/а2 + 324.
§4.3. Геометрические идеи
219
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
f х2 + (у-5)2 = 25,
; Ух2 + (у - 15)2+ У (х-а)2 + у2 = У а2+ 225.
15. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет ровно два решения система уравнений
( (х + а-8)2+(у-а)2 = 32,
( \/х2+ (у — 8)2 + У(х-8)2 + у2 = 8а/2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет ровно два решения система уравнений
( (х + а -10)2 +(у-а)2 = 50,
■ У%2+ (у - 10)2+ У (х- 10)2 + у2 = 10л/2.
16. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
(у2- (2а + 1)у + а2 + а -2 = 0,
[ У(х-а)2 + у2 + У(х-а)2 + (у —З)2 = 3.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
( у2 + (2а + 5)у + а2 + 5а + 4=0,
[ У(х + а)2 + (у+ 3)2 + У(х + а)2 + у2 = 3.
17. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
( (|х| — 5)2+(у — 4)2 = 9,
[ (х + 2)2+у2 = а2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
Г(|х| - 10)2-1- (у-5)2 = 16,
( (х + 2)2 + у2 = а2.
18. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет ровно три различных решения система уравнений
Г (х-3)2 + (у-6)2 = 25,
220
Глава 4. Графические интерпретации
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет ровно три различных решения система уравнений
Г (х — 2)2 + (у — 5)2 = 9,
[У = |х-а| + 2.
19. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет ровно три решения система уравнений
I у + а = |х| + 5,
| Х2+(у — 2а + 5)2 = 4.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет ровно три решения система уравнений
Г у+ 6 = |х| + а,
| х2 +(у + За - 13)2 = 9.
20. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет единственное решение система уравнений
J у = а|х| + а + 2,
|х2+(у-а2)2 = 16.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет единственное решение система уравнений
J у = а|х| + а + 1,
|х2 + (у + а2)2 = 9.
21. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
[ у = /3|х|-г4а + 5,
( х2 : (у 5а - 4)2 = 36
имеет хотя бы одно решение, и укажите число решений системы для
каждого значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
[у = а/3|х| + 5а + 4,
| х2 + (у — 6а - 5)2 = 49
имеет хотя бы одно решение, и укажите число решений системы для
каждого значения а.
§4.3. Геометрические идеи
221
22. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет хотя бы одно решение (х; у; z) система уравнений
' (x + 3sinz)2+ (у -r-Scosz)2 = 4,
( |х| + |у | = а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (х; у; z):
((х — 5 sinz)2 + (у — 5 cosz)2 = 9,
t |х| + |у| =а.
23. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (х; у; z):
J (х + V25^z)2 + (у - yz)2 = 9,
[ а + х = у.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сле­
дующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (х; у; z):
((х - ув)2 + (у - 716-Z)2 = 4,
( х + у = а.
24. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет ровно два решения система неравенств
(16у2 > 9х2,
j (х - 6а +1)2 4- у2 < 9а2.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет ровно два решения система неравенств
[ 9у2 > 16х2,
[ (х — 7а + 4)2 + у2 < 16а2.
25. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет конечное число решений система неравенств
[ (У - Зх) (Зу - х) < О,
| (х-а)2 + (у + а)2 < 16а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых име­
ет конечное число решений система неравенств
((у - 4х) (4у - х) < О,
j (х - а)2 4- (у + а)2 < 25а.
222
Глава 4. Графические интерпретации
26. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
х2 — 2х -г у2 ~ 4у = 2|х + 2у -5|,
2х - у = а
имеет более двух решений.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
х2 - 8х + у2 + 4у + 15 = 4\2х-у- 10|,
х + 2у = а
имеет более двух решений.
27. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система
|3х —у + 2| 12,
(х-3а): + (у + а)' ■ ■ За : 4
имеет единственное решение.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема
|х + 2у + 1| < И,
(х - а)2 -г (у - 2а)2 = а -I- 2
имеет единственное решение.
28. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
J 2х‘' + 2у2 = 5ху,
J (х - а)2 + (у — а)2 = 5а4
имеет ровно два решения.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
[ 3х2 + 3у2 = Юху,
[ (х - а)2 + (у - а)2 = 10а4
имеет ровно два решения.
29. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
( \/ (х - 4)2 + (у - а)2 + \/ (х-7)2+ (у-а)2 = 3,
| 7(х-3)2 + (у-2)2 = 5
имеет хотя бы одно решение.
§4.3. Геометрические идеи
223
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
Г \/(х-6)2 + (у-а)2 + \/(х- 10)2 + (у-а)2 = 4,
{ V/(x-4)2+(y-3)2 = 10
имеет единственное решение.
30. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
J 2х — 2у — 2 = |х2 + у2- 1|,
[У = а(х- 1)
имеет более двух решений.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
J 4х - 4у - 8 = |х2 + у2 - 4|,
[у = а(х-2)
имеет более двух решений.
31. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
[ х2 -I- 5х + у2 - у - |х - 5у + 51 = 52,
|у-2 = а(х —5)
имеет ровно два решения.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
(х2 -I- 7х + у2 + у - |х - 5у + 11 = 46,
[У - 1 = Ж-4)
имеет ровно два решения.
32. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
J х2 + |х2-2х| =у2+|у2-2у|,
|х + у = а
имеет более двух решений.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
(х2 + |х2-х| =у2+|у2-у|,
[2х + 2у = а
имеет более двух решений.
224
Глава 4. Графические интерпретации
33. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
(у2-х-2 = |х2-х-2|,
[х-У = а
имеет более двух решений.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
f 2у2-х-1 = |2х2 — х — 1|,
[ 2х - 2у = а
имеет более двух решений.
34. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
( х2+ 20х+ у2 — 20у + 75 = |х2 + у2 —25|,
[х-у = а
имеет более одного решения.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
J х2 + 4х + у2-4у + 3 = |х2 + у2 —1|,
(5х —5у = а
имеет более одного решения.
Глава 5. Другие методы
Эта глава посвящена менее общим по сравнению с рассмотренны­
ми ранее методам решения нестандартных уравнений и неравенств
(в том числе уравнений и неравенств с параметром). Знакомство
с этими методами и овладение ими помогут более уверенно чув­
ствовать себя на экзамене по математике любого уровня сложности,
в частности при решении заданий части 2 Единого государственного
экзамена по математике.
§ 5.1. Метод упрощающего значения
В этом параграфе будут рассмотрены задачи, ключевым призна­
ком каждой из которых является наличие слова «любой» или его про­
изводных (как правило, относящихся к параметру, но иногда и к пере­
менной) в формулировке. К некоторым (далеко не ко всем!) из таких
задач применима следующая идея решения. Поскольку параметр мо­
жет принимать любые значения из некоторого множества, можно по­
пытаться подобрать такое его значение из этого множества, что при
подстановке этого значения в данное уравнение или неравенство уда­
ётся упростить задачу, сведя её к стандартному уравнению или нера­
венству. В силу этого будем называть рассматриваемый метод (усто­
явшейся терминологии нет) методом упрощающего значения.
Пример 1. Найдите все значения х, удовлетворяющие уравнению
log2 (а2х3 - 5а2х2 + у 6 - х) = loga2+2 (3 - \/х — 1)
при любом значении параметра а.
Решение. Понятно, что стандартными способами решить это
уравнение невозможно: основания логарифмов различны, причём
одно из них является числовым, а другое зависит от параметра, а
переход к одному основанию ещё больше усложнит задачу. Попробу­
ем применить идею, изложенную выше. Поскольку нужно найти все
значения х, удовлетворяющие данному уравнению при любом значе­
нии параметра а, постараемся подобрать такое значение параметра,
при котором решение уравнения стандартными способами не будет
представлять особых сложностей. В данном случае такое упрощаю­
щее значение достаточно очевидно: это a = 0. При а = 0 уравнение
примет вид log2 д/6 — х = log2(3 — Vx — 1). Основания логарифмов
одинаковы, поэтому числа под знаками логарифмов равны, причём
каждое из них должно быть положительным. В силу равенства чисел
226
Глава 5. Другие методы
условие положительности достаточно записать только для одного из
них. Таким образом, получаем систему
f V6-x = 3 — а/х-1,
(
,____
I 3 - а/х77! > 0,
откуда
6-х = (З-а/х77!)2,
ух77! < 3.
После очевидных преобразований последняя система примет вид
( Зд/х- 1 = х+ 1,
{ 1 <х < 10.
Поскольку обе части уравнения системы неотрицательны (левая — в
силу неотрицательности арифметического квадратного корня, пра­
вая— в силу неравенства системы), можно обе части уравнения
возвести в квадрат:
[ 9х-9 = х2 + 2х+ 1,
11 < х < 10,
х2 - 7х +10 = О,
°ТКУДа
1 < X < 10.
Корнями квадратного уравнения являются числа 2 и 5, каждое из
которых удовлетворяет неравенству системы. Итак, при а = 0 данное
уравнение может иметь только два корня: х = 2 и х = 5. Остаётся
проверить (и эта часть решения является не менее важной, чем
предыдущая), какие из найденных значений х являются корнями
данного уравнения не только при а = 0, но и при любых других
значениях параметра а. Пусть х = 2. Тогда уравнение примет вид
log2(2- 12а2) = loga2+22. Ясно, что оно выполняется не при любом
значении а —хотя бы потому, что его левая часть определена не при
любом значении параметра. Пусть х = 5. Тогда данное уравнение при­
мет вид log2 1 = loga2+2 1. Полученное равенство является тождеством
и выполняется при всех значениях параметра а, поскольку обе части
этого равенства тождественно равны нулю при любом а.
Ответ: 5.
Пример 2. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых при любом значении параметра b следующая система уравне­
ний имеет хотя бы одно решение:
f 2(l + |y|)a + (b2-2b + 2)z = 3,
[zy(z + b- 1) = 2a2 - 3a + 1.
Решение. Здесь подобрать упрощающее значение параметра нес­
колько сложней, чем в предыдущем примере. Выделив полный квад­
рат, второе слагаемое в левой части первого уравнения системы мож­
но привести к виду ((b — I)2 + 1)г, Наиболее простой вид это слагае­
мое будет иметь при b = 1. Так как система должна иметь решение при
§ 5.1. Метод упрощающего значения
227
любом значении параметра Ь, она должна иметь решение и при b = 1.
При Ъ = 1, как легко видеть, вся система существенно упрощается и
принимает вид
Г(1 + |у|)а = 1,
\z2y = 2а2-За + 1.
Так как |у| JI 0 при любом у, получаем, что 1 + |у| >1 при любом у.
Поэтому если у 0 и а > 0, то (1 + |у|)“ > 1; если у 0 и а < 0, то
(1 + |у |)“ < 1. Отсюда следует, что (1 -I- |у|)“ = 1 только при а = 0 или
у = 0. Если у = 0, то из второго уравнения последней системы полу­
чаем, что 2а2 — За + 1 = 0, т. е. а = 1 либо а = 0,5. Таким образом, при
b = 1 система может иметь хотя бы одно решение лишь в трёх случаях:
а = 0, а = 1, а = 0,5. Проверим, действительно ли при этих значениях а
система имеет хотя бы одно решение при любом значении Ь.
Пусть а = 0. Тогда система примет вид
f (Ь2 - 2b + 2)z = 1,
|zy(z + b-l) = 1,
ИЛИ
( ((b Г)2 + l)z = 1,
|zy(z + b-l) = 1.
Понятно, что первое уравнение полученной системы будет выполнено
при любых значениях параметра b только в случае z = 0. Но тогда
левая часть второго уравнения обращается в нуль, а правая его часть
отлична от нуля. Следовательно, второе уравнение системы (а значит,
и вся система) решений не имеет. Итак, при а = 0 данная система
имеет решение не при любых значениях параметра Ь.
Пусть а = 1 или а = 0,5. Тогда данная система примет вид
J 2(1-I-|у|)“ + (b2 - 2b +2)z = 3,
(zy(z + b —1) = 0.
Ясно, что пара чисел у = 0, z = 0 является решением системы при лю­
бом значении Ь.
Ответ: 0,5; 1.
Эти два примера демонстрируют основную идею, использующую­
ся при решении подобных задач. Параметр может принимать любые
значения, поэтому, подобрав такое значение параметра, которое су­
щественно упрощает задачу, мы тем самым ограничиваем число воз­
можных решений. После этого остаётся показать, действительно ли
эти решения будут решениями задачи при любых допустимых значе­
ниях параметра, а не только при упрощающих. Последний этап в ре­
шении является обязательным, так как из того, что задача имеет ре­
шение при некотором конкретном значении параметра, ещё не следу­
ет, что она будет иметь решение и при любых других значениях этого
228
Глава 5. Другие методы
параметра. Рассмотрим ещё одну задачу, в которой указанную идею
приходится применять лишь после некоторых преобразований.
Пример 3. Найдите все значения параметра Ь, при каждом из ко­
торых для любого значения параметрит а следующее неравенство име­
ет хотя бы одно решение:
log4-^~ 7а + 1°Ь
11х2-49а2 + 21а-1 <
< log4 у -
7Q + 1gb~21x2 + 2(7а - 1)х + 49а2 - 35а + 3.
Решение. Здесь не сразу можно сказать, какое значение парамет­
ра а является упрощающим. Поскольку |/(х)| ^g(x) в том и только
том случае, если
( f (х) < g(x),
[ f (х) > -g(x),
данное неравенство после преобразований приводится к системе
log4 х < х2 + (7а - 1)х + (7а - 2)2,
7а + 10Ь—16
х2 — (7а- 1)х + 7а-1
5
Теперь понятно, какое значение параметра является упрощающим:
это а =
Обозначим 7а — 1 через р, чтобы ещё больше упростить
систему. Поскольку а принимает любые значения, р тоже принима­
ет любые значения, и наоборот. Поэтому в дальнейшем о парамет­
ре а можно «забыть». С учётом нового обозначения последняя систе­
ма приводится к виду
log4 х < х2 -Г рх + (р - I)2,
р + 1ОЬ- 15 ,
------ 5-------х - рх + р < 0.
Так как р может принимать любые значения, положив р = 0 (т. е. а =
К
„
'
= у), получим, что второе неравенство последней системы примет
вид (2Ь — 3)х2 < 0. Поскольку log4 х определён лишь при х > 0, для
выполнения неравенства (2Ь — 3)х2 0 необходимо, чтобы выполня­
лось неравенство 2Ь — 3 0, т. е. b < 1,5. Попробуем доказать, что это
условие является достаточным, т. е. что при b < 1,5 система
log4 х < х2 + рх + (р - I)2,
р + 10Ь - 15
X2 -рх + р
5
§ 5.1. Метод упрощающего значения
229
(а следовательно, и данное неравенство) имеет хотя бы одно ре­
шение при любом значении параметра р (а следовательно, и при
любом значении параметра а). Второе неравенство системы мож-
но переписать в виде
• (х - 5х + 5) + (2Ь — 3)х < 0. Квадрат­
ный трёхчлен х2 — 5х + 5 обращается в нуль при х = — '".О . и, по­
скольку Ъ
1,5, эти два числа являются решениями неравенства
у • (х2 — 5х + 5) + (26 — 3)х2 < 0 при любом р. Далее, log4 х < х при
х > 0 (докажите!), а х2 + рх + (р — I)2 х при любых р и любых х.
Последнее следует из того, что дискриминант D = —3(р — I)2 квадрат­
ного трёхчлена х2 + (р — 1)х + (р — I)2 неположителен, а значит, нера­
венство х2 + (р — 1)х + (р — I)2 > 0 выполняется при любом значе­
нии х, откуда и следует выполнение неравенства х2 + рх + (р — I)2 > х
при любом значении х. Итак, log4x<x^x2-l-px-l- (р - I)2, т. е. log4x <
<х2 + рх+ (р — I)2 при любых положительных значениях х и, в част5 ± л/5 ...
5 ± а/5
ности, при х = - ,
Тем самым доказано, что числа х = - , являются решениями системы
log4 х < X2 + рх + (р - I)2*
р + 106-15
х2 — рх + р
5
при любых р и b < 1,5. Итак, при b < 1,5 эта система (а значит, и дан­
ное неравенство) имеет решение при любом значении параметра р
(а значит, и параметра а).
Ответ: (—°°; 1,5].
Замечание. В примере 3, в отличие от предыдущих, допустимы­
ми значениями параметра явились не отдельные числа, а промежу­
ток. Достаточно часто в таких случаях именно найденный промежу­
ток и является решением задачи, что, в свою очередь, требует строго­
го обоснования, так как находится этот промежуток исходя из необхо­
димых условий существования решения, а достаточность, естествен­
но, требует дополнительных обоснований.
Пример 4. Найдите все значения параметра а, для каждого из ко­
торых при любом значении параметра Ъ уравнение
х2 — 4|х| - 7|6 — а| + 3|6 - 3| - 26 + 5а - 15 = 0
имеет ровно два корня.
Решение. Обозначим —7|Ь - а| -I- 3|6 — 3| — 26 + 5а — 15 через с и
рассмотрим график чётной функции у = х2 - 4|х| + с, состоящий из
230
Глава 5. Другие методы
двух частей парабол у = х2 — 4х + с (при х > 0) и у = х2 + 4х + с (при
х < 0) с вершинами в точках (2; с - 4) и (-2; с — 4) соответственно.
При с < 0 график пересекает ось абсцисс в двух точках; при с = 0 —
в трёх точках, при 0 < с < 4 — в четырёх точках; при с = 4 — в двух
точках; при с > 4 график не имеет с осью абсцисс ни одной общей
точки.
Данное уравнение имеет ровно два корня, если график пересекает
ось абсцисс в двух точках, т. е. если с = 4 или с < 0. Рассмотрим оба
этих случая.
Пусть с = 4, т. е. — 7\Ъ — а | + 3|Ь — 3| — 2Ь + 5а — 15 = 4, откуда
7|Ь — а| — 3|Ь — 3| + 2Ь — 5а + 19 = 0. Последнее равенство должно
выполняться при любом значении Ъ, в частности при b = 3. В этом
случае получаем 7|3 — а| + 6 — 5а + 19 = 0, или 7|а - 3| = 5а — 25.
В силу неотрицательности модуля корни последнего уравнения должны
удовлетворять неравенству 5а — 25 >0, т. е. неравенству а > 5. Но
23
тогда 7а — 21 = 5а — 25 и а = —2 либо 7а - 21 = 25 - 5а и а =
Ни
одно из найденных значений а не удовлетворяет неравенству а > 5.
Следовательно, в этом случае решений нет.
Пусть с < 0, т. е. —7|Ь — а| --I-- 3|Ь — 3| — 2Ь + 5а — 15 < 0. Обозначим
g(b) = —7| Ь — а| 4- 31Ь — 31 — 2Ь + 5а — 15. График непрерывной функ­
ции у = g(b) представляет собой ломаную, состоящую из отрезков
прямых и лучей. При Ъ > а каждое звено ломаной является частью
прямой вида у = kb + I, где к < 0 (поскольку вне зависимости от
«раскрытия» второго модуля коэффициент при Ъ будет отрицатель­
ным). Следовательно, при Ъ>а функция у = g(b) убывает. Совер­
шенно аналогично можно показать, что при Ъ < а функция у = g(b)
§ 5.1. Метод упрощающего значения
231
возрастает. Поэтому в точке b = а эта функция достигает своего
наибольшего значения, т. е. maxg(b) = g(a). Поэтому неравенство
-7\Ъ — а| + 3|Ь — 31 — 2Ь + 5а — 15 < 0 будет выполняться при любом
значении Ъ в том и только том случае, если maxg(b) < 0, т. е. если
g(a) < 0. Но g(a) = 3|а — 3| + За — 15. Остаётся решить неравенство
3|а — 3| + 3а — 15 < 0. Преобразуем неравенство к виду |а — 3| < 5 — а и
перейдём к системе
[а-3<5-а,
I а - 3 > а- 5.
Второе неравенство системы выполняется при любом значении а; из
первого неравенства получаем а < 4.
Ответ:
4).
Упражнения к § 5.1
1. а) Найдите все значения х, удовлетворяющие уравнению
21oga2+2(4-
7 -I- 2х) = log2+агх2 (4 - Зх)
при любом значении параметра а.
б) Найдите все значения х, удовлетворяющие уравнению
2 log >„,2 f 2< - \/34 + х) = log.
,(3 - х)
при любом значении параметра а.
2. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
при любом значении параметра b следующая система уравнений име­
ет хотя бы одно решение:
[ (1 + Зх)2“ + (Ь2 - 4Ь + 5)'" = 2,
{ х2у2
(2
b)xy + а2 + 2а = 3.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра Ъ следующая система уравнений имеет
хотя бы одно решение:
[ 2(1 + |z|)a + (Ь2 — 2Ь +2)у = 3,
|zy(y + b-2) = 2a2-7a + 3.
3. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
при любом значении параметра b следующая система уравнений име­
ет хотя бы одно решение:
J (х2 +1)“ +(Ь2 +1)-у = 2,
! a + bxy + x2y = 1.
232
Глава 5. Другие методы
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра Ь следующая система уравнений имеет
хотя бы одно решение:
( 2bx+(a+l]by2 = а2,
( (а-1)х2 + у2 = 1.
4. а) Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых
для любого значения параметра а следующее неравенство имеет хотя
бы одно решение:
,
х . 1ОЬ 4- 3 а 4- 31 2 п 2 п
,
'
log
6
4---------5-------- х-9а-9а-1 <
00 3 6
10Ь + За
+ 41 х 2 -2(3а
пт +.I',
п 2 4-I 15а
и г 4-3.
io
С. log6 36
— 4--------s------1)х +| 9а
б) Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых для
любого значения параметра а следующее неравенство имеет хотя бы
одно решение:
,
х
а+5Ь-112
logs 25 — “g----- 'х
2,о
a 4 За
1 <
25 а4-Sb — 21 2 , or
чл , 2 г , о
< log5 ~ ~------$----- х 4- 2(а - 1)х4- а — 5а -Г 3.
5. а) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
при любом значении параметра b уравнение
х2 — 4|х| — 7|а 4- Ь4-1| -I- 3|Ь — 1| — 2Ь — 5а — 14 = О
имеет ровно два корня.
б) Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра Ъ уравнение
х2 - 4|х| - 71 a 4- 2Ь — 114- 3 |2Ь + 31 — 4Ь + 5а — 20 = О
имеет ровно два корня.
6. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любого значения х выполнено неравенство
a(4-sinx)4-3 + cos2x4-a > 0.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого значения х выполнено неравенство
2a-4 + a(3-sin2x) -r cos2x < 0.
7. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для любого значения х справедливо неравенство loga+i (х2 4- 3) > 1.
§ 5.2. Параметр как переменная
233
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого значения х справедливо неравенство log_j_ (х2 + 2) > 1.
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
возрастает и не имеет критических точек на всей прямой функция
у (х) = 8ах - a sin 6х - 7х - sin 5х.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
убывает и не имеет критических точек на всей прямой функция
у (х) = a sin 7х -I- 8ах + sin 4х - 5х.
§5.2. Параметр как переменная
Этот параграф посвящён задачам двух типов, ключевой идеей ре­
шения для каждого из которых является рассмотрение параметра как
переменной. Задачи первого типа представляют собой, как правило,
целые рациональные уравнения (неравенства), причём степени пе­
ременных в этих уравнениях и неравенствах относительно высоки,
а степень параметра не выше второй. Рассматривая или решая по­
добное уравнение (неравенство) как линейное или квадратное отно­
сительно параметра, часто удаётся ответить на вопрос задачи. Такой
метод (назовём его методом решения относительно параметра) схож
с методом решения уравнений ИЛИ неравенств с несколькими пере­
менными, рассматриваемых как линейные или квадратные относи­
тельно одной из них (см. § 2.1). Ко второму типу отнесём задачи, в ко­
торых требуется найти наименьшее или наибольшее значение неко­
торого выражения, зависящего (в большинстве случаев линейно) от
нескольких переменных, при определённой связи между ними. В та­
ких задачах нужно обозначить искомое выражение какой-то буквой,
введя её в качестве параметра. Затем следует выразить одну из пе­
ременных через остальные и введённый параметр, подставить полу­
ченное выражение в уравнение (неравенство) связи и, рассматривая
полученное уравнение как, например, квадратное относительно од­
ной из оставшихся переменных, ответить на вопрос задачи, исследо­
вав дискриминант уравнения. Такой метод будем называть методом
введения параметра. Он схож с методом решения относительно па­
раметра, но требует ещё одного предварительного шага — введения
параметра. Этот метод можно с успехом использовать при решении
некоторых типов задач с экономическим содержанием. Перейдём к
примерам, начав с задач первого типа.
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение 2х3 - (а + 2)х2 — ах + а2 = О имеет хотя бы один ко­
234
Глава 5. Другие методы
рень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значе­
ний а.
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относи­
тельно параметра а, переписав его в виде а1
2 — х(х4-1)а -2х2 + 2х3 = 0.
Найдём дискриминант D этого уравнения:
D = х2(х+1)2-8(х3-х2) = х4-6х3 + 9х2 = х2(х-3)2.
Далее, поскольку дискриминант является полным квадратом, полу­
чим, используя формулу корней квадратного уравнения, что
а = 2х,
2
а = х~х,
откуда.
J
х = у,
о
х-х-а = 0.
Уравнение х2 — х — а = 0 имеет хотя бы один корень в том и только
том случае, если его дискриминант 4а 4- 1 неотрицателен. В этом слу1 ± V4a + 1
1а
чае х =------ г---- . Определим, при каких значениях а > — у числа
и------ 2------ равны. Для этого рассмотрим равенство а = 1 ± V 4а 4- 1,
или а — 1 = ± vz4а-1-1. После возведения обеих частей последнего
равенства в квадрат и упрощений получим, что а2 — 6а = 0. Итак, а = 0
или а = 6. Оба найденных значения удовлетворяют условию а > —
Поскольку при возведении в квадрат могут появиться посторонние
корни, нужно сделать проверку. Подстановкой а = 0 в уравнение
а = 1 ± V4а 4-1 убеждаемся, что при этом значении параметра вы—4-1,
гт или а- =1------ V4a
+1 . Подстанов
„
полняется равенство а = 11 - уГл4а
------­
кой а = 6 в уравнение а = 1 ± V4a +1 убеждаемся, что при этом
значении параметра выполняется равенство а = 1 4 V4a +1, или
1+ 2QТаким образом, если ае^—0
| и(0; 6) и (6; +°°), дан-
а
1 — V4а 41
14 \/4а 41
ное уравнение имеет три корня: х=^,х=------ ------- > х =------ 2------ ’
если а = 0, данное уравнение имеет два корня: х = 0 и х = 1; если
а = 6, данное уравнение имеет два корня: х = —2 и х = 3; если а = 1
1
1
данное уравнение имеет два корня: х = — - и х = ту; если а < - -,
данное уравнение имеет один корень х =
а
лл
1 пА .т
»
а
1-V4a + 1
Ответ: если ае I- j; 0 1 и (0; 6) и (6; 4-°°), то х=ту, х=------------- >
1 + л/ 4а 41
n
п
г
о
г,
х=------ 2------ ’если а = 0, то х = 0 и х = 1; если а = 6, то х = -2 и х = 3;
1
1
1
(
1У
а
если а = -т,тох=-7 их = :т; если ае -оо;-- , то х =
4
о
Z
у
4J
Л
§ 5.2. Параметр как переменная
235
Пример 2. Найдите все целые значения параметра а, при каждом
из которых уравнение
2х7 — 4хб + Их5 - 18х4+ 25х3 — 2(а + 16)х2+ 25х - 5а - 23 = О
имеет хотя бы один целый корень.
Решение. Заметим, что относительно параметра уравнение явля­
ется линейным и его можно переписать в виде
(2х2 + 5)а = 2х7 - 4хб + Их5 - 18х4 + 25х3 - 32х2 + 25х - 23,
откуда
_ 2х7 - 4х6 +11х5 - 18х4 + 25х3 - 32х2 + 25х - 23
а~
2х2 + 5
Деля «уголком» числитель правой части на знаменатель, получим
а = х5 — 2х4 + Зх3 — 4х2 + 5х — 6 + — - . Поскольку по условию зада­
чи числа а и х являются целыми, число „ 7
тоже должно быть
2++5
целым, что (с учётом положительности числа 2х2 + 5) возможно,
только если 2х2 + 5 = 1 или 2х2 + 5 = 7. Первое уравнение корней
не имеет. Корнями второго уравнения являются х = — 1 и х = 1.
Если х = —1, то а = -1 — 2 — 3 — 4-5 — 6 + 1 = -20; если х = 1, то
а = 1-2 + 3 -4 + 5 -6 + 1 = -2.
Ответ: —20; —2.
Пример 3. Для каждого неотрицательного значения параметра а
найдите множество решений неравенства а3х4 + 6а2х2 — х + 9а + 3 > 0.
Решение. Если а = 0, то х < 3. Пусть теперь а > 0. В этом случае,
умножив обе части неравенства на положительное число а, получим
а4х4 + 6а3х2 — ах + 9а2 + За > 0. Временно обозначив ах через р, рас­
смотрим неравенство р4 + бар2 — р + 9а2 + За 0 как квадратное от­
носительно а, переписав его в виде 9а2 + 3(2р2 + 1)а + р4 — р 0. Най­
дём дискриминант D квадратного трёхчлена в левой части последнего
неравенства: D = 9(Ар'} + 4р2 + 1) — 36Ср4 — р) = (6р + З)2. Следова­
тельно, корнями квадратного трёхчлена 9а2 + 3(2р2 + 1)а + р4 - р явР~Р2
р2+р + 1
ляются а = —;— и а =------- ------ . Теперь, используя формулу разло­
жения квадратного трёхчлена на множители, можно привести нера­
венство 9а2 + 3(2р2 + 1)а + р4 —р >0 к виду
р2+р + 1
„
„
„
..
Заметим, что а +----- ------ > 0, поскольку а > 0 и квадратный трех­
член р2 + р + 1 положителен при любом р в силу положительности
старшего коэффициента и отрицательности дискриминанта. Поэтому
236
Глава 5. Другие методы
Р—Р
7
а - —, — Д 0, откуда р — р + За > 0. Возвращаясь к прежним обо­
значениям и деля обе части неравенства на а (что можно сделать
в силу положительности а), получаем неравенство ах2 — х + 3 > 0.
Дискриминант квадратного трёхчлена ах2 — х + 3 (ветви графика
которого направлены вверх, так как а > 0) равен 1 — 12а. Таким обп
1
разом, если 0 < а <
то решением неравенства является множество
р
1 - VI - 12а 1 , , Г 1 + VI-12а , Л
, 1
—оо;------ —------ и --------- ; +°° I; если а >
то неравенство
выполняется при всех действительных х.
Ответ: если а = 0, то хе (-°°; 3];
, Гn 1 Л
f
1 - VI-12а 1 Г 1 + VI-12а , Л
если а е (j);
J, то хе (-оо;------ -- ------ | и [------- ; +ooj;
если а е |
то хе (—оо; -|-оо).
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при которых среди
решений неравенства (а — х2) (а + 2х — 8) < 0 нет ни одного решения
неравенства х2 < 4.
Решение. Искать значения параметра, при которых неравенство
имеет решения, обычно привычней и проще, чем искать значения па­
раметра, при которых неравенство не имеет решений. В таких случа­
ях условие задачи целесообразно переформулировать в «позитивном»
ключе. Не является исключением и данная задача. Её можно пере­
формулировать так: найти все значения параметра а, при которых
неравенство (а-х2)(а — (—2х + 8)) >0 выполнено при любом значе­
нии х, удовлетворяющем условию х2 < 4, т. е. при любом хе (—2; -1-2).
Рассматривая неравенство (а — х2) (а — (—2х + 8)) > 0 как квадратное
относительно параметра а, заключаем, что его решением относитель­
но а будет вся числовая прямая за исключением интервала, концами
которого являются числа х2 и —2х + 8. Если хе (—2; +2), то х2 е [0; 4),
(—2х) е (—4; 4), а (—2х + 8) е (4; 12). Таким образом, х2 принимает
значения от 0 до 4, а (—2х + 8) принимает значения от 4 до 12. Зна­
чит, из решения неравенства (а — х2) (а — (—2х + 8)) < 0 должен быть
исключён интервал (0; 12). Таким образом, а е (—оо; 0] и [12; +оо).
Ответ: (—°°; 0] и [12; +®).
Прежде чем переходить к задачам второго типа, ещё раз отметим,
что рассмотренный метод можно с успехом использовать не только
при решении уравнений и неравенств с параметрами, но и при ре­
шении уравнений и неравенств с несколькими переменными. Этот
метод оказывается наиболее эффективным в тех случаях, когда ре­
шаемое уравнение (неравенство) является квадратным относительно
одной из переменных или может быть сведено к квадратному после
§ 5.2. Параметр как переменная
237
некоторых преобразований (как это было сделано в примере 3). Рас­
смотрим теперь несколько задач, которые решаются с помощью ме­
тода введения параметра.
Пример 5. Числа х, у, z таковы, что х2 + Зу2 -I- z2 = 2. Какое наи­
большее значение может принимать выражение 2x + y — z?
Решение. Обозначим 2х + у — z через а. Тогда z = 2х + у - а. Под­
ставив вместо z в уравнение х2 + Зу2 + z2 = 2 полученное выражение,
придём к уравнению х2 + Зу2 --I-- 4х2 + у2 + а2 + 4ху — 2ау — 4ах = 2.
Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно х,
переписав его в виде 5х2 + 4(у - а)х + 4у2 — 2ау + а2 — 2 = 0. Теперь
задачу можно переформулировать так: найти наибольшее значение
параметра а, при котором уравнение
5х2 + 4(у - d)x+4у2 - 2ау 4 а2 - 2 = 0
имеет хотя бы один корень. Для того чтобы это уравнение имело хотя
бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант D
был неотрицателен, или
>0. Но — = 4(у — а) — 5(4у — 2ау + а — 2),
откуда -j = — 16у2 + 2ау — a2 --I--10. Рассмотрим выражение —16у2 --I--
+ 2ау — а2 + 10 как квадратный трёхчлен относительно у. Для того
чтобы этот квадратный трёхчлен, старший коэффициент которого
отрицателен, принимал неотрицательные значения, необходимо и
достаточно, чтобы его дискриминант D-y был больше либо равен нулю,
или, что то же самое, — Js 0. Поскольку — = а + 16(—а + 10) =
= —15а2 + 160, остаётся решить неравенство —15а2 + 160 > 0, откуда
а2 .
и |а| < у 4F. Таким образом, наибольшим значением а явля-
/32
ется у —.
/ 32
Ответ-, у —.
Замечание. В данном случае не нужно находить значения пере­
менных, так как ответ получен исходя из необходимых и достаточных
условий существований корней уравнений.
Пример 6. Найдите наименьшее возможное значение выражения
2 sinx + 3 sin у, если 2 sin2 х + 3 sin2 у = 4.
Решение. Обозначим 2sinx + 3siny через а. Тогда 3siny = d —
— 2sinx. Умножим обе части равенства 2sin2x + 3sin2y = 4 на 3 и
заменим 3 sin у на а — 2 sinx. Получим уравнение
6 sin2 х + (а — 2 sinx)2 = 12,
238
Глава 5. Другие методы
откуда 10 sin2х. - 4а sinx + а2 — 12 = 0. Пусть t = sinx, t е [-1; 1]. Урав­
нение примет вид 10t2 - 4at + a2 - 12 = 0, и задачу можно переформу­
лировать так: найти наименьшее значение параметра а, при котором
уравнение 1 Of2 — 4at + а2 — 12 = 0 имеет хотя бы один корень, при­
надлежащий отрезку [—1; 1]. Для того чтобы полученное уравнение
имело хотя бы один корень (не обязательно на отрезке [—1; 1]), необ­
ходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен.
Условие неотрицательности дискриминанта после несложных преоб­
разований можно привести к виду а2 — 20 Д 0, откуда |а| < 2л/5. Наи­
меньшим решением неравенства |а| С2л/5 является а = -2у/5. При
этом значении а дискриминант уравнения 10t2 — 4a t + а2 - 12 = 0 ра­
вен нулю и его единственным корнем будет t0 = г = -
Тогда
a-2sinx
a_2t0
а
2У"5
smy = —----- =
= J = -—•
2а/5
Заметим, что---- — е [—1; 1]. Поэтому значения х и у, при которых
а = — 2\/5, существуют.
Ответ: — 2-/5.
Следующий пример представляет собой типичную задачу с эко­
номическим содержанием. В таких задачах обычно заданы опреде­
лённые условия производства какой-либо продукции или услуги (это
могут быть любые изделия, сельхозпродукты, полезные ископаемые,
транспортные перевозки и т. д. и т. п.) и нужно найти значения
некоторых величин с целью максимизации прибыли или миними­
зации расходов. Связи между данными величинами задаются ли­
нейными уравнениями и неравенствами (поэтому эти задачи часто
относят к задачам линейного программирования). Вводя в каче­
стве параметра величину, максимум или минимум которой надо
найти и которую обычно называют целевой функцией, мы при­
дём к традиционной с точки зрения элементарной математики —
и притом одной из наиболее простых — задаче на метод областей,
поскольку будут даны система линейных неравенств и уравнений,
задающих условия производства продукции или услуги, и линейная
функция с параметром, наибольшее или наименьшее значение кото­
рого надо найти. На координатной плоскости такая система задаёт
многоугольник, расположенный в первой координатной четверти
(поскольку в подобных задачах речь идёт о неотрицательных вели­
чинах), а графиком линейной функции является прямая, с помощью
параллельных переносов которой и можно найти требуемое значение
параметра — например, максимальное значение, при котором эта
§ 5.2. Параметр как переменная
239
прямая будет иметь с построенной областью хотя бы одну общую
точку. Иногда приходится учитывать и то, что общая точка прямой
и многоугольника должна иметь целые координаты. Отметим, что в
таких задачах порой используются абстрактные денежные единицы
(обозначение: д. е.) Это могуч быть рубли, тысячи, миллионы рублей
или единиц других валют.
Пример 7. Малое предприятие выпускает изделия двух типов.
Для изготовления изделия первого типа требуется пять часов работы
станка А и три часа работы станка Б, а для изготовления изделия вто­
рого типа требуется два часа работы станка А и четыре часа работы
станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По
техническим причинам станок А может работать не более 150 часов
в месяц, а станок Б — не более 132 часов в месяц. Каждое изделие пер­
вого типа приносит предприятию 300 д. е. прибыли, а каждое изделие
второго типа — 200 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную
ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий
первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для
получения этой прибыли.
Решение. Обозначим через х число изделий первого типа, че­
рез у—число изделий второго типа, а через а — прибыль пред­
приятия. Тогда а = ЗООх + 200у, откуда у = - -х + 555, а условия
производства даются системой
5х • 2у < 150,
Зх + 4у « 132,
х 0,
У >0,
где х и у — целые числа. На координатной плоскости Оху систе­
ма неравенств задаёт четырёхугольник ОАВС с внутренней обла­
стью, ограниченный осями координат и прямыми у = — |х + 75 и
3
у = -^х + ЗЗ (см. рисунок); три различных положения прямой у =
= - |х +
обозначены на рисунке: положение (1) соответствует
значению а = 0, положение (3) соответствует наибольшему возмож­
ному значению а, положение (2) соответствует промежуточному
значению а. При а > 0 прямая у = - |х +
пересекает ось абс­
цисс в точке с абсциссой
а ось ординат — в точке с абсциссой
т '.; Наибольшее значение каждой из этих величин соответствует
240
Глава 5. Другие методы
максимальной прибыли а и достигается, если прямая у = —
.,'у
проходит через точку В — точку пересечения прямых у = —|х + 75
3
и у = --^х 4- 33, абсцисса и ордината которой находятся из системы
уравнений
( у = -|х+75,
3 + 33
^у = -^
и равны соответственно 24 и 15. Подставив эти абсциссу и ординату
в уравнение прямой у = -
. находим а = 10 200.
Ответ: 24 изделия первого типа; 15 изделий второго типа; макси­
мальная прибыль равна 10 200 д. е.
§ 5.2. Параметр как переменная
241
Заметим, что для упрощения вычислений можно было в рассмот­
ренной задаче положить а = 3х -I- 2у, а после вычисления максималь­
ного значения а умножить результат на 100. В более сложных случаях
координаты точки В могут оказаться дробными числами. В таких слу­
чаях можно найти ближайшие к В точки четырёхугольника ОАВС и
его внутренней области (разумеется, это справедливо и для любого
другого многоугольника), имеющие целые координаты, и выбрать ту
из них, для которых прямая у = - 4х +
(или аналогичная ей) пе­
ресекает ось абсцисс (или ось ординат) в точке, наиболее удалённой
от начала координат.
Упражнения к § 5.2
1. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х3 — (а + 2)х2 — 2ах + 4а2 = 0 имеет хотя бы один корень, и
укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 4х3 — 2(а + 1)х2 — ах + а2 = 0 имеет хотя бы один корень, и
укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
2. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х4 — 4х3 — 8ах2 + Збах — 9а2 = 0 имеет хотя бы один корень,
и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х4 — 2х3 — Пах2 + 32ах + 16а2 = 0 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных зна­
чений а.
3. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х4 — 6х' — 5ах2 + 24ах + 4а2 = 0 имеет ровно три различ­
ных корня.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х4 — 8х3 — Wax2 + 72ах 4- 9а2 = 0 имеет ровно три различ­
ных корня.
4. а) Найдите все целые значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение 10х3 + х2 — (2а + 21)х — За + 5 = 0 имеет хотя бы
один целый корень.
б) Найдите все целые значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение 6х3 + 25х2 — (2а — 25)х — 5а + 7 = 0 имеет хотя бы один
целый корень.
5. а) Найдите все целые значения параметра а, при каждом из ко­
торых уравнение 6х5 + 8х4 -I- 13х3 — Зах2 — 2(2а + 5)х - 2а — 13 = 0
имеет хотя бы один целый корень.
242
Глава 5. Другие методы
б) Найдите все целые значения параметра а, при каждом из кото­
рых уравнение 8х5 -I- 2х4 - Их' - 2(2а - 1)х2 + 5(а + 1)х - 2а + 1 = О
имеет хотя бы один целый корень.
6. а) Для каждого неотрицательного значения параметра а найди­
те множество решений неравенства 4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 > 0.
б) Для каждого неотрицательного значения параметра а найдите
множество решений неравенства а3х4 + 2а2х2 — 8х + а + 4 > 0.
7. а) Найдите все значения параметра а, при которых среди реше­
ний неравенства (а — х2)(а + х - 2) < 0 нет ни одного решения нера­
венства х2 < 1.
б) Найдите все значения параметра а, при которых среди решений
неравенства (9а — 4х2) (За + 4х — 24) < 0 нет ни одного решения нера­
венства х2 < 9.
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство х3 — 2(а + 4)х2 + 12ах + 8а2 0 имеет хотя бы одно ре­
шение, и укажите решения неравенства для каждого значения а.
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство х' + 2(а + 6)х2 + 28ах + 8а2 0 имеет хотя бы одно
решение, и укажите решения неравенства для каждого значения а.
9. а) Числа х, у, z таковы, что х2 + Зу2 + 4z2 = 2. Какое наименьшее
значение может принимать выражение 2х + у — 2z?
б) Числа а, Ь, с таковы, что 2а2 + Ь2 + с2 = 3. Какое наибольшее
значение может принимать выражение а — 2Ь + с?
10. а) Найдите наименьшее возможное значение выражения
cos х + 3cosy,
если sin2 х + 3 sin2 у = 2.
б) Найдите наибольшее возможное значение выражения
4sinx + siny,
если 4cos2x+cos2y = 3.
11. а) Предприятие непрерывного цикла занимается испытанием
готовых изделий двух типов. Ежемесячно предприятие получает для
испытаний не более 600 изделий первого типа и не более 300 изделий
второго типа. Качество каждого изделия проверяется на двух стен­
дах А и Б (стенды могут использоваться для испытания каждого из­
делия в любой последовательности). Для проверки одного изделия
первого типа требуется 20 минут испытаний на стенде А и 6 минут
испытаний на стенде Б; для проверки одного изделия второго типа
требуется 24 минуты испытаний на стенде А и 20 минут испытаний на
стенде Б. По техническим причинам стенд А может работать не более
240 часов в месяц, а стенд Б — не более 120 часов в месяц. Проверка
одного изделия первого типа приносит предприятию 50 д. е. прибыли,
§ 5.2. Параметр как переменная
243
а проверка одного изделия второго типа — 90 д. е. прибыли. Найдите
наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и опре­
делите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа
следует ежемесячно проверять для получения этой прибыли.
б) Предприятие непрерывного цикла занимается испытанием го­
товых изделий двух типов. Ежемесячно предприятие получает для ис­
пытаний не более 300 изделий первого типа и не более 600 изделий
второго типа. Качество каждого изделия проверяется на двух стендах
А и Б (стенды могут использоваться для испытания каждого изделия
в любой последовательности). Для проверки одного изделия первого
типа требуется 36 минут испытаний на стенде А и 30 минут испыта­
ний на стенде Б; для проверки одного изделия второго типа требуется
30 минут испытаний на стенде А и 9 минут испытаний на стенде Б.
По техническим причинам стенд А может работать не более 360 ча­
сов в месяц, а стенд Б — не более 180 часов в месяц. Проверка одно­
го изделия первого типа приносит предприятию 135 д. е. прибыли, а
проверка одного изделия второго типа — 75 д. е. прибыли. Найдите
наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и опре­
делите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа
следует ежемесячно проверять для получения этой прибыли.
12. а) Предприятие непрерывного цикла выпускает изделия двух
типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 15 часов
работы цеха А и 10 часов работы цеха Б, а для изготовления изделия
второго типа требуется 5 часов работы цеха А и 20 часов работы
цеха Б (цеха могут работать над изделием в любой последователь­
ности). По техническим причинам цех А может работать не более
150 часов в неделю, а цех Б — не более 100 часов в неделю. Каждое
изделие первого типа приносит предприятию 5000 д. е. прибыли, а
каждое изделие второго типа — 4000 д. е. прибыли. Найдите наиболь­
шую возможную еженедельную прибыль предприятия и определите,
сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует
еженедельно выпускать для получения этой прибыли.
б) Предприятие непрерывного цикла выпускает изделия двух ти­
пов. Для изготовления изделия первого типа требуется 30 часов рабо­
ты цеха А и 20 часов работы цеха Б, а для изготовления изделия вто­
рого типа требуется 10 часов работы цеха А и 40 часов работы цеха Б
(цеха могут работать над изделием в любой последовательности). По
техническим причинам цех А может работать не более 600 часов в ме­
сяц, а цех Б — не более 400 часов в месяц. Каждое изделие первого
типа приносит предприятию 15 000 д. е. прибыли, а каждое изделие
второго типа —12 000 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возмож­
244
Глава 5. Другие методы
ную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изде­
лий первого типа и сколько изделий второго типа следует ежемесячно
выпускать для получения этой прибыли.
§ 5.3. Тригонометрические подстановки
Ряд задач, считающихся нестандартными, может быть достаточ­
но просто решён с использованием некоторых специальных замен
переменных, в частности тригонометрических подстановок. Их ис­
пользование целесообразно в основном в двух следующих случаях:
1) если искомые решения принадлежат множеству [—1; 1] или неко­
торому его подмножеству; 2) если данные уравнения и неравенства
содержат алгебраические выражения, «похожие» на известные три­
гонометрические формулы. Сказанное относится преимущественно
к рациональным и иррациональным уравнениям (системам урав­
нений), решение которых обычными приёмами затруднительно и
которые после введения тригонометрических подстановок сводятся
к несложным тригонометрическим уравнениям (системам уравне­
ний). Рассмотрим несколько характерных примеров.
Пример 1. Решите уравнение а/1 - х = 2х2 - 1 +2х\/1 — х2.
Решение. Очевидно, все х должны удовлетворять неравенству
1 — х2 0, т. е. |х| < 1. То, что |х| 1, наводит на мысль о примене­
нии тригонометрической подстановки x = cost либо x = sint. Пусть,
например, x = cost, te [0; я] (предпочтительность именно этой под­
становки станет понятна из дальнейшего). То, что t принадлежит
промежутку [0; я], объясняется тем, что при этом cost, а значит
и х, принимает все значения из промежутка [—1; 1], и притом один
раз. Таким образом, каждому t соответствует единственное значе­
ние х, и наоборот, т. е. указанная замена устанавливает взаимно
однозначное соответствие между переменными х и t, а значит, и
между множеством корней данного уравнения и уравнения, которое
будет получено из данного с помощью указанной замены переменяй.
Итак, пусть х = cos t, t е [0; я]. Тогда данное уравнение примет вид
л/1 — cost = 2cos21 — 1 + 2costy 1 — cos21. После упрощений с приме­
нением формул удвоенного аргумента и основного тригонометриче­
ского тождества получим уравнение Ф2 sin | = cos2t + 2cost|sint|.
На этом шаге целесообразность подстановки х = cos t, t е [0; я] , стано­
вится очевидной: ведь при te [0; я] числа sint и sin| неотрицатель­
ны, в силу чего знаки модуля в последнем уравнении можно опустить.
§ 5.3. Тригонометрические подстановки
245
В результате получим уравнение л/2 sin - = cos 21 + 2 cos t sin t, отку­
да sin 77 = —= cos 2П—= sin 21, или sin x = sin ( 21 + -г Y Из последнего
2
a/2
a/2
2
V
уравнения находим, что
21 + -^ — j Т 2~п.
2t+ = я - | + 2nk,
где n eZ, к eZ. Теперь уже совсем просто получить, что
' _ _п
4пп
1
6 + 3 ’
9 _ Зя: 4пк
_ ~ 10
5 ’
где п е Z, к е Z. Остаётся из найденных значений t отобрать те, ко­
торые принадлежат промежутку [0; я]. Таким значением, как легко
установить, является лишь t — ~. Но тогда х = cos
_
Зтс
Ответ: cos ух,
3 it
Замечание. Конечно, можно было выразить х = cos ух через ради­
калы, но условие задачи этого вовсе не требует. Поэтому нас ни в коей
мере не должен смущать тот факт, что при решении иррационального
уравнения мы подушили ответ, являющийся значением тригономет­
рической функции в некоторой точке. Иногда такие ответы бывают
ещё более «страшными».
Пример 2. Решите уравнение
4(Зху/1 - х2 + 4х2 - 2) = 5(у/1-х+ у/1+х).
Решение. Оставляя в стороне все рассуждения, которые анало­
гичны рассуждениям в предыдущем примере, положим сразу х = cos t,
t е [0; я]. Тогда уравнение после упрощений с применением формул
удвоенного аргумента и основного тригонометрического тождества
примет вид 6 sin 21 4- 8 cos 21 = 5л/2^зт” + cos . L В полученном
. , . 1
1
уравнении опущены знаки модуля, поскольку числа smt, sm 77, cos неотрицательны при 1 е [0; л]. Последнее уравнение решается стан­
дартным образом: введением вспомогательного угла. Для этого при. „ 3 ,
4
. 1 л/2 .
1 л/2
ведем его к виду sin 21 • + cos 21 ■ х = sm •.,■ - •+ cos - • ■ , откуда
At
тт Л
4
3
sin(21 + j?) = sin х + ■_ , где sin /3 = х, cos [3 = х (г. е., например,
V
'J
•О
О)
246
Глава 5. Другие методы
3
/3 = arccos $). Из последнего уравнения находим
Я 2
3 4пп
t = у - у arccos ■=• + -у—,
6 3 5 3
Зп 2
3 , 4пк
f = П)' ~ 5 arccos 5 +
’
где п е Z, к е Z. Отберём из найденных значений t те, которые принад­
лежат промежутку [0; те]. Очевидно, что никакие целые и, меньшие
нуля, не дают решений. Так как | <
(в чём легко убедиться), име-
ем arccos у
у- —5 те arccos у < 0.1 Таким образом, значение
5>—
4 а6 значит,
3
„
..
u „
3
1
3
п
п = 0 также не дает решении. Так как jj > й’ имеем arccosy < —,
тт
2
3
4тт
но тогда у — у arccos - + — > те. Значит, п = 1 также не даёт ре­
шений. Ясно, что при целых п, больших 1, значение выражения
- - arccos - -Г —— будет и подавно больше те.
Следовательно, первая серия не даёт решений данного уравнения
ни при каких целых п. Путём рассуждений, аналогичных только что
проведённым, можно убедиться (сделайте это самостоятельно!), что
вторая серия даёт решения, принадлежащие промежутку [0; те], лишь
при к = 0 и к = 1. Таким образом, решениями данного уравнения явЛЗте 2
ЗУ
Л11те 2
ЗУ
ляются числа х = cos | — - - arccos ~ . и х = cos [ - у— arccos - ,.
ГЗп 2
ЗУ
ГИте 2
ЗУ
Ответ: cost ту—у arccos у I; cost —~ — у arccos у I.
В обоих рассмотренных примерах на применение тригонометри­
ческой подстановки указывало естественное ограничение на пере­
менную х. Иногда подобное ограничение оговаривается в условии
задачи, хотя само уравнение такого ограничения не даёт.
Пример 3. Найдите число корней уравнения
8х(1 - 2х2)(8х4 - 8х2 + 1) = 1,
принадлежащих отрезку [0; 1].
Решение. То, что необходимо найти число корней данного урав­
нения именно на отрезке [0; 1], опять наводит на мысль о триго­
нометрической подстановке х = cos t. Заметим, что х = 0 и х = 1
не являются корнями уравнения (это легко проверить непосред­
ственно), поэтому можно рассматривать только значения хе (0; 1).
Но тогда t е ( 0; — |. Подобное «отсечение» граничных значений
часто оказывается полезным, в чём мы убедимся ниже. Итак, поло­
жив х —cost, te ^0; t. ', можно привести данное уравнение к виду
§ 5.3. Тригонометрические подстановки
247
8cost • cos2t • cos4t = — 1 (сделайте это самостоятельно). Так как
t 0, обе части этого уравнения можно умножить на sin t. Получим
8 sin t cos t ■ cos 2t • cos 4t = — sin t, или 8 sin t cos t • cos 2t • cos 4t = sin(-t)
(вот где пригодилось «отсечение» значения t = 0 — иначе пришлось
бы дополнительно рассматривать случай sint = O). Последнее урав­
нение с помощью трёхкратного применения формулы синуса удво­
енного аргумента к левой части приводится к виду sin8t = sin(—t),
откуда
' _ 2 лги
с -
9
t _ тг
_ ~ 7
,
2пк
7 ’
где п е Z, к е Z. Найденные значения t принадлежат интервалу Г0;
лишь при п = 1, п = 2, к = 0, к = 1. Таким образом, данное уравнение
на отрезке [0; 1] имеет ровно 4 корня.
Ответ: 4.
В заключение рассмотрим две задачи, в которых применение три­
гонометрической подстановки не вполне очевидно. Помочь в реше­
нии таких задач может хорошее знание формул тригонометрии и на­
выки, полученные при самостоятельном решении упражнений пара­
графа.
Пример 4. Решите систему уравнений
(х
=1 - yz,
V2
_ 4ху(2х2 — 1)
8х4 - 8х2 + 1'
Решение. Заметим, что из системы не следует никаких естествен­
ных ограничений на переменную z и если положить z = tgt, где
t е { — -г;
) (объясните почему), то из второго уравнения получим
у = sin 2t, но тогда из первого уравнения найдём, что х = cos 2t. Таким
образом, данную систему можно свести к следующей:
j z-tgt,
I х = cos2t,
) у = sin2t,
_ 4sin2t-cos2t(2cos22t—1)
v2
8 cos4 2t — 8 cos2 2t + 1 ’
248
Глава 5. Другие методы
откуда после упрощений получим
I z = tgt,
) х = cos2t,
j у = sin 2/,
k tgt = tg8t.
Далее, из уравнения tg8t = tgt находим t = Д-, где n eZ. С учётом
того, что te
получаем n = ±3; ±2; ±1; 0. Таким образом,
решения данной системы даются формулами х = cos
z
ig-
У = sm -у-,
где п = =ЬЗ; ±2; ±1; 0 (всего семь троек решений).
Ответ: (cos
sin^y^; tg^r), где п = ±3; ±2; ±1; 0.
Пример 5. Найдите наибольшее возможное значение выражения
х + Зу + 3z + 2t, где (х; у; z; t) — решение системы уравнений
(х2 + у2 = 4,
(z2 + t2 = 9,
удовлетворяющее условию xt + yz у 6.
Решение. Из первого уравнения данной системы следует, что
(х| «2, и если положить х = 2 cos и, и е [0; я], то у2 = 4 sin2 и, откуда
с учётом условия и е [0; я] получим, что у = 2 sin и. Аналогично,
положив во втором уравнении z = 3cosv, у е [0; я], найдём, что
t = 3sinv. Тогда данное неравенство xt + yzty 6 примет вид
6 sin у cos и + 6 cos v sin u > 6,
откуда sin(u + v) ty 1, что возможно в том и только том случае, если
sin(u + у) = 1. Таким образом, и + у = у + 2яп, п е Z. Но и е [0; я],
у е [0; я], поэтому 0 < и + v < 2я, и, следовательно, и = 0. Итак,
и -I- у = :откуда у = - — и. Значит, z = 3 cos( Л — и | =3 sinu, t =
= 3 sin'' - — и j = 3 cos и. Данное выражение s = x + 3y + 3z + 2t с учё­
том полученных формул примет вид s = 8 cos и + 15 sin и. Напомним,
что наибольшее и наименьшее значения выражения a cos и + b sin и
можно найти, например, преобразовав это выражение с помощью
формулы вспомогательного угла: acosu-l-bsinu = \/ а2 + b2 sin(u4- у).
Эту формулу при a > 0, Ъ > 0 легко получить, используя геометриче­
скую интерпретацию. Для вывода формулы достаточно рассмотреть
§ 5.3. Тригонометрические подстановки
249
прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а, АС = Ь и гипоте­
нузой АВ=\/а2+Ъ2 (см. рисунок). Если обозначить через у угол ВАС
выражение a cos и + b sin и можно преобразовать следующим образом:
a cos и + b sin и = \/a2 -I- b2 f г. ‘ — cos и Н——---- sm i/j =
vVa2+b2
V8? + b2
J
= Va2 + b2(siny cosu + cosy sinu) = v a2 + b2 sin(u + y).
В силу того что sin(u + у)
1, отсюда и следует неравенство
a cos и + b sin и < V а2 + Ь2.
В нашем случае а=8, Ь=15, у/82+152 = 17. Поэтому maxs=у 82+152=
= 17. Значение s = 17 достигается, если sin(u + у) = 1, откуда и + <f> =
— - + 2як, к е Z. Таким образом, и = j — у + 2пк, где sin у = уу,
cosy = уу. Остается показать, что решение системы, для которого
выражение х + Зу + 3z + 2t достигает наибольшего значения, равно­
го 17, существует. Это решение легко найти:
о
7л
Л
„ .
16
х = 2cos| ~ — у 1 = 2siny = —; у= 2sml
ч ■ Г
—у I
„ . Лл
)
45
„
(п
z = 3sml 7j- — у I = 3cosy = 7^; t= 3cos, - — yl
30
= 2 cos у = у?;
о •
24
= 3smy = -pr
Ответ: 17.
Разумеется, рассмотренные подстановки не исчерпывают всего
множества возможных тригонометрических подстановок. При реше­
нии некоторых иррациональных уравнений (неравенств и т. п.) могут
оказаться полезными и такие подстановки, как х =
х = a cost,
250
Глава 5. Другие методы
x = atgt (где а — некоторое данное число) и др. Несколько примеров
на применение подобных подстановок содержатся среди упражнений
для самостоятельного решения.
Упражнения к § 5.3
1. а) Решите уравнение у 1 — х2 = 4х3 — Зх.
б) Решите уравнение у 8х3 — 6х = 1.
2. а) Решите уравнение |2х — у 1 — 4х2| = i/2(8x2 — 1).
б) Решите уравнение |х+ у 1 -х2| = /2(2х2 - 1).
/ 1 + 2х д/1 — х2
3. а) Решите уравнение у —————— 4- 2х2 = 1.
б) Решите уравнение
=2х2 — 1.
х
35
4. а) Решите уравнение х 4—.
= ттг.
у/х2 -1 12
«лп
х
221 .
о) Решите уравнение х 4-,
5. а) Решите уравнение х 4----- 5
= \/х2 + 1.
2ух24-1
б) Решите уравнение х 4- -\/х2 4-1 =
5
.
у х2 4-1
6. а) Решите уравнение х(2х2 - 1) у1 -х2 = 0,125 а/2.
б) Решите уравнение х(1 2х2) у 1 —х2 = 0,125д/3.
7. а) Найдите число корней уравнения
8х(2х2 - 1) (8х4 - 8х2 4-1) = 1,
принадлежащих отрезку [0; 1].
б) Найдите число корней уравнения
х(х2 —2)(х4 —4х24-2) = -1,
принадлежащих отрезку [0; 2].
8. а) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 3x4- —— = = 0,2а\/х2 + 25 имеет хотя бы один корень.
ух24-25
б) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 5x4—■ = = 0,5а\/х2"1--4 имеет хотя бы один корень.
ух2 4-4
§ 5.3. Тригонометрические подстановки
9. Решите системы уравнений:
а)
2х =
х2+у2 = 1,
2у =
4ху(2х2- 1) = 1.
10. Решите системы уравнений:
( 2х + х2у = у,
а)
2y + y2z = z,
I 2z + x = z2x.
б) < y2z = z + 2y,
I 2z + x = z2x.
11. Решите системы уравнений:
IY
2Уг
1
—
2у2-Г
1-х2
а)
7 1 + х2 ’
2х
z=——x
ХП
б)
2у
У +1
2z
у=—>
2 Z2 =X2-------
12. Решите системы уравнений:
х2+у2 = 1,
у_ 2z
I x+yz = l,
a) J х2 + у2 = 1,
Z
ху
-z2
1 — 2х2'
X — Z2 — 1 ’
Z = ^2х2 -1 ’
13. а) Найдите наибольшее возможное значение выражения
х + 2у + 3z + 4t,
где (х; у; z; t) —решение системы уравнений
(Х2 +у2 = 1,
IZ2 +12 = 4,
удовлетворяющее условию xt + yz 2.
б) Найдите наибольшее возможное значение выражения
4х + Зу + 2z -I-1,
где (х; у; z; () —решение системы уравнений
| х2 + у2 = 1,
[z2 + t2 = 9,
удовлетворяющее условию xt + yz 3.
14. а) Найдите наибольшее возможное значение выражения
2х + Зу + 3z + 2t,
251
252
Глава 5. Другие методы
где (х; у; z; t) — решение системы уравнений
х2 + у2 = 9,
z2 +t2 = 49,
удовлетворяющее условию xt 4- yz > 21.
б) Найдите наибольшее возможное значение выражения
Зх + 2у + 2z + 31,
где (х; у; z; t) — решение системы уравнений
х2+у2 = 16,
z2 +12 = 25,
удовлетворяющее условию xt + yz
20.
§ 5.4. Векторные интерпретации в алгебре
Некоторые алгебраические задачи (уравнения, неравенства, вы­
числение наибольших и наименьших значений выражений), кажу­
щиеся на первый взгляд довольно сложными, могут быть с успехом
решены с помощью средств векторной алгебры, прежде всего нера­
венств | сГ| + | Ъ | > | <f + Ъ | и o’• Ъ < а" • | Ъ | и условий обращения этих
неравенств в равенства. Вначале рассмотрим, как можно применить
неравенство |Ж|+| В |>Ж+Ь I к решению ряда алгебраических задач.
Неравенство |cf| + | b |^|о’+ b | представляет собой по существу не что
иное, как неравенство треугольника (сумма длин двух векторов не
меньше длины вектора, равного сумме этих векторов; см. рисунок).
АВ = [Ж|;,
вс = Гь\,
АС = | с 4 b |,
АС И АВ + ВС.
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы а
и Ъ сонаправлены, т. е. когда отношения их соответствующих коор­
динат равны между собой и равны отношению их длин (модулей).
Пример 1. Найдите наименьшее значение параметра а, при котором
уравнение у х2-6x1-10 4- у х2-4х+8=а имеет хотя бы один корень.
§5.4. Векторные интерпретации в алгебре
253
Решение. Решить задачу — значит найти наименьшее значение
функции
а = Vх2 - 6x4-10 4- \/х2 - 4x4-8,
или
а = '/ (х-3)2 + 1 + а/ (х - 2)2 4- 4.
Введём векторы j>{3 — х; 1} и lf{x — 2; 2}. Тогда |р"| = у (х —3)24-1,
| <f | = у (х — 2)2 4- 4, вектор р" 4- д' имеет координаты {1; 3} и |р"4- д"| =
= у 124- З2 = д/IO. Поэтому в силу неравенства |р"| 4- |<f| > |р"4- q"| и
того, что а = |р"| 4- | <f |, получаем а >/10. Последнее неравенство об­
ращается в равенство, только если векторы р' и д' сонаправлены. Но
р" || д' в том и только том случае, если отношения их соответствую­
щих координат равны между собой и равны отношению их длин, от3-х
1. >
„
куда %_2 = - (заметим, что при х = 2 векторы не являются сонаправленными, следовательно, х^2 и деление на х — 2 возможно).
TZ
Корнем последнего уравнения является х= 8д. пЗначит, наименьшее
значение функции а = ух2 — 6x4-10 4- у х2 — 4х 4- 8 достигается при
х=
8
/тп
и равно у 10.
Ответ: у'10.
Заметим, что, вводя векторы р* и д', следует выбирать их коорди­
наты таким образом, чтобы координаты вектора р" 4- д' не зависели от
переменной х. Кроме того, если квадраты каких-то соответствующих
координат векторов р" и д' являются числами, то для того, чтобы было
выполнено условие сонаправленности векторов р" и д', знаки этих ко­
ординат должны выбираться одинаковыми. В более сложных случаях,
когда любая из координат векторов р* и д' зависит от переменной,
следует наложить ограничения на отношения соответствующих коор­
динат: эти отношения должны быть положительными.
Пример 2. Найдите наименьшее значение параметра а, при кото­
ром следующее уравнение имеет хотя бы один корень:
\/(х — 1)24- (х- 6)2 4- д/(х-4)24- (х-2)2 = а.
Решение. Рассмотрим функцию
а = д/(х — I)24- (х- 6)24- д/(х-4)24- (х-2)2
и найдём её наименьшее значение. Введём векторы р'{х - 1; 6 -х}
и д'{4 — х; х - 2}. Тогда а = |р"| 4- | cf |, вектор р — q имеет коорди­
наты {3; 4} и |р" 4- д'! = \/з2 + 42 = 5. Поэтому в силу неравенства
Глава 5. Другие методы
254
|p| + |g|^|p + g| получаем, что а
гается, только если p’tt <f, откуда
I х-1
5, причём знак равенства дости­
6-х
Решением уравнения и всей системы является х =
(заметим, что
ни при х = 4, ни при х = 2 векторы р' и д' не являются сонаправленными, следовательно, х / 2, х =4 4 и деление на х — 2 и х — 4 возможно).
Значит, наименьшее значение функции
а = \J(х-1)2 + (х — 6)2 -I- у/(х — 4)2 + (х — 2)2
22
достигается при х = — и равно 5.
Ответ: 5.
Обе рассмотренные задачи могли быть решены и с помощью гео­
метрических интерпретаций (см. §4.3). Какой метод выбрать для ре­
шения той или иной задачи (а некоторые из них могут быть решены
несколькими способами), зависит от разных факторов: того, какой
метод усвоен лучше, кажется более простым или первым приходит
в голову на экзамене и т. п.
Рассмотрим теперь несколько примеров на применение неравен­
ства а • Ъ
|а'| • |Ь |. Это неравенство (его называют неравенством
Коши—Буняковского) легко следует из определения скалярного про­
изведения векторов: о" ■ b = | o'| • | Ъ | • cos(cf, Ъ) < | <Г| • | Ъ |. Знак равен­
ства достигается тогда и только тогда, когда cos( д', Ъ) = 1, т. е. когда
угол между векторами д' и Ъ равен нулю и, следовательно, dТТ Ь.
Пример 3. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором
уравнение х (у/1 — 9х2 + 3 у/4 — х2) = а имеет хотя бы один корень.
Решение. Рассмотрим функцию д = х(у/1 — 9х2-ГЗу/4 —х2) с об-
ластью определения D(a) = — ту;
и найдем ее наибольшее зна­
чение. Введём векторы р'{х; у/4 —х2} и д'{ у/1 — 9х2; Зх}. Тогда а =
= P'q, |р | = у/х2 + 4-х2 = 2, | д"| = у/1 -9х2 + 9х2 = 1. В силу нера­
венства р- ■ д' | р"| • | д'! получаем, что а С 2, причём знак равенства
достигается, только если /ГИТ- Заметим, что при х = 0 векторы
дГ и д' не являются сонаправленными, поэтому с учётом области
§5.4. Векторные интерпретации в алгебре
255
определения условие сонаправленности имеет вид
( \/1 - 9х2 _
зх
х
" д/4^’
1°<х^|>
откуда
f (1 — 9х2)(4 —х2) = 9х4,
I0<х<
и после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем
I Х ~ 37’
[0<х<
„
2
Положительным корнем уравнения системы является х = —=, а
2
2
1
2
v37
-= < —= — т-. Поэтому х = —=. Следовательно, наибольшее знаV 37 УЗб 3
У37
чение функции а = х(\/1— 9х2 4- 3 V4 —х2) достигается при х —=
и равно 2.
37
Ответ: 2.
Обратим внимание на то, что при использовании неравенства
Р"‘ О' Ip"I ' ITI векторы р" и д’ следует вводить таким образом, чтобы
либо их длины не зависели от переменной, либо отношение длин этих
векторов было величиной постоянной. В противном случае извлечь
из условия сонаправленности какое-то содержательное уравнение
будет затруднительно или невозможно. Кроме того, следует отметить,
что если в условии (или в условиях) сонаправленности приходится
выполнять деление на выражение, содержащее неизвестную, нужно
проверить, не являются ли векторы р’и q’ сонаправленными и в том
случае, когда это выражение обращается в нуль. Если этого не сде­
лать, то в некоторых задачах можно просто потерять решение.
Пример 4. Найдите наибольшее значение параметра а, при кото­
ром уравнение
ах2 = 12х — 11 \/2х- 1 + |х -11 \/4х-1,
имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для этого
значения а.
Решение. Правая часть уравнения определена при х> > поэтому
|2х - 1| V2x - 1 + |х - 1| v'4x - 1 „
его можно переписать в виде а =---------------------2------------------ . Рас-
256
Глава 5. Другие методы
смотрим функцию а=
деления D(a) = |
12х - 11 V2x - 1 + |х - 11
—
——
—
с областью опре­
и найдём её наибольшее значение. Введём
векторы р'{|2х - 1|; V4х - 1} и q~{V2x- 1; |х — 11}. Тогда
| р| = ^|2х- 1|2 + (а/4х- I)2 = \/ 4х2 = 2|х| = 2х,
Iq'l =
Поскольку а = Р
а<
2х2
у (\/2х- I)2 + |х-1|2 = а/х2 = |х| = х.
, в силу неравенства р" • д' < | р*| • | д"| получаем, что
т. е. а < 2, причём знак равенства достигается, только если
р И д'. Заметим, что при х~
векторы р" и д' являются сонаправ-
ленными, а при х = 1 не являются. Если х
х2, то условие сонаправленности (с учётом области определения) имеет вид
f (2х —I)2
2х -1 “ 4’
■; 4х- 1 _
(х-1)2
Г>1
х>±
VХ > 2’
V
2’
Единственным корнем первого уравнения и решением всей систе­
мы является х = |. Следовательно, наибольшее значение функции
[ |2х-1| = 2х
У2х-1
х’
J л/4х- 1 _ 2х
откуда
|х-1|
х’
|2х — 1|+2х — 1 + |х — l|V4x — 1
„
1
а =--------------------j------------------ , равное 2, достигается при х = 7 и
X
~
„15
Ответ: а = 2, х= х= х;.
Понятно, что все рассмотренные задачи являются по существу за­
дачами на вычисление наименьших и наибольших значений функций
или алгебраических выражений. В некоторых задачах параметр не
вводится и с самого начала речь идёт о поиске таких значений.
Пример 5. Найдите наименьшее значение выражения
z = |х + 2 у I 4- а/(х-3)2 + (у-4)2.
Решение. Введём векторы р’{х + 2у; 0} и д'{3 - х;у — 4}. Тогда
|х + 2у |, 1^1 = у'(х —З)2 4-(у — 4)2, z = |р | + 1^1- Вектор р' + q’
имеет координаты {2у + 3; у — 4}, и
|р| =
IР +
g
I = а/(2у +
З)2 -I- (у-4)2 = а/5у2 + 4у + 25.
§5.4. Векторные интерпретации в алгебре
257
В силу неравенства |pT-|-|lf|>|p'+(f| получаем, что г^у5у2+4у-т-25,
причём знак равенства достигается, только если jj У У q~. Квадратный
трёхчлен 5у2 + 4у + 25 положителен при любом у в силу отрицатель­
ности дискриминанта и положительности коэффициента при у2. Наи2 Это наименьшее значеменьшего значения он достигает при у = — $.
121 „
.11
ние, как легко подсчитать, равно
Поэтому z у —=, причем знак
-3
V5
2
,
,
равенства достигается, лишь если у = — j и р || q, откуда х + 2у = О,
4
и, следовательно, х=
„
44
2>
11
Ответ: mmz = z
= — —=.
15’ 5J
Уз
Пример 6. Найдите наибольшее значение выражения
z = у \/1 -х2 + х \/з + 2у — 2у2.
Решение. Введём векторы рГ{у; i/3 + 2y — 2у2} и ~с[{\ 1 — х2; х}.
Тогда z = p^-~q,
|р| = \/у2 + 3 + 2у - 2у2 = ‘</4- (1 - у)2,
lo'l = \/1 -х2 + х2 = 1.
В силу неравенства рГ • д' < | р"| • |~q\ получаем, что z у \/4-(1 -у)2 С
< У4 = 2, причём знак равенства достигается, только если у = 1 (при
1/1 -X2
х
1
л/3
этом |р| = 2) и р И q, откуда •—- - = —= - их= —
('/З .Л „
Ответ: maxz = zl
1 . =2.
В заключение отметим, что в некоторых задачах вместо неравен­
ства треугольника может использоваться аналогичное ему неравен­
ство многоугольника. Кроме того, неравенства |cf| + |b|^|tf + b | и
а • Ъ < | cf| • | Ъ | справедливы, разумеется, и в трёхмерном простран­
стве. Несколько задач, требующих применения неравенства много­
угольника или рассмотрения векторов в трёхмерном пространстве,
содержатся среди упражнений для самостоятельного решения.
Упражнения к § 5.4
1. а) Найдите наименьшее значение параметрит а, при котором сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
у/4х2 + 20х 4- 29 + '/4х2 - 28х + 58 = а.
258
Глава 5. Другие методы
б) Найдите наименьшее значение параметра а, при котором сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
\/9х2 - 6х +17 + а/9х2-54x4-85 = а.
2. а) Найдите наименьшее значение параметра а, при котором сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
а/(5х +
I)2 + (5х + 2)2 + а/ (5х + 7)2-I-(5х — 6)2 = а.
б) Найдите наименьшее значение параметра а, при котором сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
а/(11х + 3)2
+ (11х + 7)2 + v(llx +15)2 + (Пх-1-2)2 = а.
3. а) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
х(6а/64-49х2 +
7а/25-36х2) = а.
б) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором следу­
ющее уравнение имеет хотя бы один корень:
х (4 а/81- 25х2 + 5 а/ 49 - 16х«] = а.
4. а) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором сле­
дующее уравнение имеет хотя бы один корень:
ах2 = |5х — 11 а/ 6х - 1 + |3х — 11л/ 10х- 1
б) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором следу­
ющее уравнение имеет хотя бы один корень:
ах2 = 17х -11 а/8х- 1 + 14х - 11 \/ 14х-1.
5. а) Найдите наименьшее значение выражения
z = |5х - бу | + у/(5х - З)2 + (Зу + 4)2.
б) Найдите наименьшее значение выражения
z = |7х+ 10у| + а/ (7х + З)2 + (5у -I- 4)2.
6. а) Найдите наибольшее значение выражения
z = у а/36 -х2 + х а/77 + 4у - 2у2.
§5.4. Векторные интерпретации в алгебре
б) Найдите наибольшее значение выражения
z = у а/144-х2 + х \/55 + бу - 2у2.
7. а) Решите систему уравнений
Iх + у + z= 413,
( а/х2 +1 + \/у2 + 4 + аЛ2 + 9 = 7.
б) Решите систему уравнений
(х+у+z = V19,
I \/х2 +1 + у/у2 + 9 + \/z2 + 25 = 10.
8. а) Решите систему уравнений
Г x + y-l-z = 1,
[ л/4х+Т + л/4у +1 + V4z+1 = 721.
б) Решите систему уравнений
( X + у + 2 = 2,
! \/Зх + 2 + д/ Зу + 2 4' a/3z + 2 = 6.
9. а) Решите неравенство 4х +1 + 42х - 3 + У50 — Зх < 12.
б) Решите неравенство 7х — 1 + 73х + 2 + 717 —4x^3 7б.
10. а) Решите систему уравнений
( х2 + 4у2 + 9z2 = 9,
[ \/х2 +1 + у/ 4у2 + 1 + a/9z2 +1 = 6.
б) Решите систему уравнений
[ х2 + 2у2 + 3z2 = 4,
( а/х2 + 1 + а/ 2у2 + 3 + а/з^2 + 4 = 6.
259
Диагностическая работа 1
Вариант 1
1. При каждом значении параметра а решите неравенство
ха2- (5х+2)а + 4х + 2 $ 0.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 2х3 - (а + 3)х2 + 2(а — 1)х = 0 имеет ровно два различных
корня.
3. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
больший корень уравнения х2 — (2а + 1)х + а2 + а = 0 в пять раз
больше, чем его меньший корень.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (а - 4)х2 — 2(а + 3)х + а + 2 > 0 имеет решения и любое
его решение принадлежит отрезку [—1; 1].
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 36' — (а - 2) • 6х — а + 5 < 0 имеет хотя бы одно решение.
6. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение 8хб + (а + х + I)3 + 2х2 +а+х+1=0 имеет хотя бы один
корень.
Вариант 2
1. При каждом значении параметра а решите неравенство
2ха2 - (5х + 4)а + 2х+2 > 0.
2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравне­
ние 2х3 — (а + 9)х2 + 4(а + 1)х=0 имеет ровно два различных корня.
3. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
меньший корень уравнения х2 — (2а + 3)х + а2 + За + 2 = 0 в пять раз
меньше, чем его больший корень.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (а - 8)х2 - 2(а + 6)х + а + 4 > 0 имеет решения и любое
его решение принадлежит отрезку [-1; 1].
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство 81" - (о. + 4) • 9х — а — 1 £ 0 имеет хотя бы одно решение.
6. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение х6 + (2а — х — 2)3 + 4х2 + 8а = 4х + 8 имеет хотя бы один
корень.
Диагностическая работа 2
Вариант 1
1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 - 9а+ 8 4- 7|х - 1| 4-491og7(2x2 - 4х + 9) = 3|2х - 7а + 5|
имеет хотя бы один корень.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение \/ (х- 7)4 + (а - 8)4 = |х - а + 1| 4- |х + а - 151 имеет един­
ственный корень.
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
I а + 12х < 48,
а + 16х
( а 4х
4х2,
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах 4- у 4 — х2 = х + 5а — 3 имеет единственный корень.
5. Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет
единственное решение система уравнений
f (х-1)2+(у-3)2 = 16,
[ х/(х-I)2 + (у- 11)2 + у/(х-2а-1)2 + (у + 1)2 = 2\/a2 + 36.
6. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра b имеет хотя бы одно решение система
уравнений
( 2(1 + 2|у |)0,5<I 4-(9Ь2 — 6Ь+ 2)z = 3,
[ 4zy(z + 3b- 1) = a2 - 3a+ 2.
Вариант 2
1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение а2 - 5а.4- 7\х 4-11 + 49 log5 (2х2 4- 4х + 7) = 6 + 3|2х - 7а - 5|
имеет хотя бы один корень.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение \/(х 4- 8)4 4- (а 4- 5)4 = |х - а + 3| 4- |х -I- а -г 131 имеет един­
ственный корень.
262
Диагностическая работа 2
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
,
I а + х < 4,
-{ За + 4х х2,
I За: < х
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го значения а.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение ах + х + у/—4х —х2 = За + 5 имеет единственный корень.
5. Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет
единственное решение система уравнений
( (х +1)2 +(у — 5)2 = 16,
[ \/(х+1)2 + (у -13)2 + л/(х - 4а +1)2 + (у -1)2 = 4 у/а2 + 9.
6. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра b имеет хотя бы одно решение система
уравнений
| 2(1+ 3|у|)°’25“ + (4b2 — 4b + 2)z = 3,
| 24zy (z -I- 2b - 1) = a2 - 6a + 8.
Диагностическая работа 3
Вариант 1
1. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет не менее семи решений система уравнений
( (а2 - 13а')х + 24у = а2 - 16а - 24,
[ 5х + 4у — 2.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение cos2x — (За2 - 8а + 2) sinx = 1 имеет на отрезке [0; 2тт]
ровно 4 корня.
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 25х + (За2 — 7а + 8) • 5х — 5а + 3 = 0 имеет единственный
корень.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 162х ‘ — 9(а + 18)х2 — 9ах + а2 = 0 имеет хотя бы один
корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных зна­
чений а.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
J (а + 14х + 9) (а - 2х + 9) <J 0,
[ а + 8х Jh х2,
имеет единственное решение.
6. Найдите наименьшее значение параметра а, при котором урав­
нение у (х + 8)2 + (х + 2)2 + у (х +14)2 + (х + З)2 = 13а имеет хотя бы
один корень.
Вариант 2
1. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
имеет не менее семи решений система уравнений
f 4х + (6а2 + 13а)у = 6а2 + 16а - 4,
J 4х + 5у = 2.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 4cos2х — (За2 — 16а + 8) sinx = 4 имеет на отрезке [0; 2тт]
ровно 4 корня.
264
Диагностическая работа 3
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 49' -I- (За2 + 5а + 6) • 7х — 5а — 7 = 0 имеет единственный
корень.
4. Найдите все значения параметре! а, при каждом из которых
уравнение З2х3 — 4(а + 8)х2 — 4ах + а2 = 0 имеет хотя бы один корень,
и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема неравенств
(а + 8х + 4) (а - х + 4) < О,
а + 4х .у х2,
имеет единственное решение.
6. Найдите наименьшее значение параметра а, при котором урав­
нение у (х— 7)2 + (х — З)2 ■) у (х — II)2 + (х — I)2 = 10а имеет хотя бы
один корень.
Диагностическая работа 4
Вариант 1
1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а — 10)х2 — 2(а — 4)х — а + 4 = 0 имеет хотя бы один
корень, меньший 1.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого действительного значения х выполнено неравенство
a (cos2 х - З)2 + 2а + 2 sin2 х < 8.
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого действительного значения х выполнено неравенство
| sinx + а2 + За +1| + |2 sinx + а2 -2а + 2|
5 sinx+ |2а2+ а| + 5.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
[ |у| + 2а = 6sinx,
' y4 + 4z2 = 12а,
( (2а-3)2 = 4|z2 + 3z| + sin22x + 9
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение f ( ( - х ' = За имеет хотя бы один корень, если
2/( -^-х ) + 3/(х) = sin2x-t-8cosx + 12sinx + 2
для любого действительного значения х.
6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых хотя
бы одно решение неравенства х2 + х + а. + |х — а 4• 2| < 2 принадлежит
отрезку [—2; —1].
Вариант 2
1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (а + 2)х2 — 2(а + 8)х — а — 8 = 0 имеет хотя бы один корень,
меньший 1.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого действительного значения х выполнено неравенство
3a(cos2x + 2)2 + 6a < 3 • sin2x.
266
Диагностическая работа 4
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для
любого действительного значения х выполнено неравенство
| cosx+a2-3a~l- l| + |2cosx+a2-8a+17| С 7cosx+|2a2-lla + 15| + 7.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых си­
стема уравнений
I |у| + a = 2sinx,
J 81y4 + z2 = 18a,
I 9(a-l)2 = |z2 — 6z| + sin2 2x + 9
имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждо­
го из найденных значений а.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение / (я — х) = 0,5а имеет хотя бы один корень, если
2/(я-х) + 3/(х-
) = cos2x + 8sinx- 12cosx + 2
для любого действительного значения х.
6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых хотя
бы одно решение неравенства х2 + a + |х — а — 3| + 6^5х принадле­
жит отрезку [1; 2].
Диагностическая работа 5
Вариант 1
1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав­
нение 2|х2+2х—3| — 2а \2ха|+6 имеет ровно три различных корня.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет ровно три различных решения система уравнений
Г (х —5)2 + (у — 7)2 = 9,
[у = |х-а-3| + 4.
3. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра b уравнение
2х2 — 8|х| — 7|Ь — 2а — 4| И- 3|Ь — 6| — 2Ь + 10а = 10
имеет ровно два корня.
4. Для каждого неотрицательного значения параметра а найдите
множество решений неравенства ах4 + 18а2х2 - 27х + 81а + 81 > 0.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 40х 4 —=^= = а у/ х2 +16 имеет хотя бы один корень.
ух2 416
6. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором урав­
нение ах2 = 2|х — 11\/х — 1 + |х — 2| vz2x - 1 имеет хотя бы один ко­
рень, и укажите корни уравнения для этого значения а.
Вариант 2
1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав­
нение 3|х2т2х-3| —2а=|3х—а|+9 имеет ровно три различных корня.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
имеет ровно три различных решения система уравнений
Г (х —З)2 + (у — 6)2 = 9,
| у = |х- а 4-2| + 3.
3. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых при
любом значении параметра Ъ уравнение
Зх2 — 12|х| — 7|Ь — За + 6| + 3|Ь — 9| — 2Ь +15а = 75
имеет ровно два корня.
4. Для каждого неотрицательного значения параметра а найдите
множество решений неравенства а3х4 + 12а2х2 - х + 36а + 6 > 0.
268
Диагностическая работа 5
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 5х Н — ’ - = а \/х2 + 36 имеет хотя бы один корень.
ух2+ 36
6. Найдите наибольшее значение параметрит а, при котором урав­
нение ах2=21 х—21 у 0,5х—1+|х—4| Vx-1 имеет хотя бы один корень,
и укажите корни уравнения для этого значения а.
Ответы
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
§11
1. а) При а = - уравнение имеет бесконечно много корней;
6
при а = - уравнение не имеет корней;
при ае ; — оо; 1 j и ( Ут?) и
уравнение имеет один корень:
1
,
б) при <з=7 уравнение имеет бесконечно много корней;
3
при а=2 уравнение не имеет корней;
при пе (-оо;
иi
L ;
+coj уравнение имеет один корень.
+°°j при аб(—со; 0,25)U(4; +оо); [—os; +оо) при а = 0,25;
2. a)
при а е (0,25; 4); решений нет при а =4;
(—со;
б) ( —со; 5^ 1J при а 6 (—со; 0,2) и (5;-г-со); решений нет при а = 0,2;
; +со^ при ае(0,2; 5); (—оо; +ао) при а = 5.
|
3. а)^;б)-^.
4. а) 0,9; б)
5. а)-2,5; б)
6. а) (0,25; 0,25) приа = 1; (-1,36; 0,48) при а = -3,6;
нет решений при прочих а;
б) (1; 1) при а = 11;
16>1
-; —
I при а = — 4 нет решении при прочих а.
Г2
™ (- I) О (|;|) U (2; +.); «
8. а)5;б)|.
9. а) |
~ ; б) [10,5; И].
и (±; А)
+.).
10. а)-1,6; б)-2.
11. а) (—со; —6) и [—4; —1]; б) (—со; 2) и [3; 4].
12. a) f—оо; -21 U{1}U[4; +со); б) (-«;-1,5] U{2}U [4,5; f-oo).
§1.2
1.
а)-5; 0; б) 0; 3.
2. а)
16
4; б) В 4.
9
з. а) (о; ; б) (о;
v
67
V
.
97
4. а)-0,5; б) 2. 5. а) 1; б)-1. 6. а) (-со; -4); б) (-оо;-1).
7. а) (—5; —3); б) (-4; 6).
8. а) ' -со; а +-1 и(а;+оо) при а<0; (0;+оо) при а = 0; (а;а + | ; приа>0;
б)
9. a)
б)
со; 2<! ■
; и (2а; +со) при а < 0; (0; +со) при а = 0; (2а; 2а + —;) при а>0.
2+1—2j приа<0; решений нет при а=0; (—2;— 2+-у1 приа>0;
3 + —; — 3 ' при а < 0; решений нет при а = 0;
3; —3 + — ) при а > 0.
270
Ответы
10. а) (2,5; 4,5); б) (—0,8; 1,6). 11. а) а —любое число; б) а —любое число.
12. а) |; б) |. 13. а) [4; +»); б) [-1; +<х).
14. а) (-оо; -3]и| -|;0 |и{-2л/2;2д/2}; б) (-оо; -5]и Г-|; 0 [ и{-д/б; л/6}.
15.
17.
18.
20.
22.
а) [-1; +оо); б) [-0,5; + оо). 16. а) -13; -8; -5; 0; б) -2; 0; 2; 4.
а) (-4; -1)и{0}и{2}; б) (-14; -5)и{-2}и{4}.
а) (-5; —4] U [—3; -2); б) (-1; 0] и [7; 8). 19. а) [-1; 1]; б) [—1; 2].
а) [-1; 1]; б) [-1; 1]. 21. а) (5; 9); б) (-4; 13).
а) а = |; {2; 3}; б) а = |; {1; 3}. 23. а) 7; б) 2. 24. а) [3; 13]; б) [8; 9].
25. а) (—оо; —2] U [2; + оо); б) (— оо; —д/З] U [л/3; +оо).
26. а) [0; 1) U {3; 4} U (5; +оо); б) {4} U (5; +оо).
27. а) а = —4, b — любое число; а = 4, Ъ = 2;
б) а —любое число, Ь = 2;а = 1,Ь = -2;а = -1,Ь = -2.
28. а) (-2,5; -0,75) U (-0,75; 1); б) (-2; 0,5) U (0,5; 3).
29. а) (-оо;-2) и (-2;-0,5)U (1;+оо); б) (-оо; -3) и (1,5; 6) и (6; +оо).
30. а) (-оо;
и(1; +оо); б) (-оо; 0,5) U (0,75; +00).
31. а) (-оо; —0,5) U {0; 1}и (2,5; +оо); б) {—2; 0} U (1; +оо).
§1.3
3. а) (-3; -1); (-1; -3); (1; 3); (3; 1); б) (1; -2); (2; -1); (-1; 2); (-2; 1).
4. а) (-1; 1); (1; 3); б) (-1; 4); (1; 6).
5. а) (1; 1); (2; 2); (-1; 5); (-2; 4); б) (1; -1); (3; 1); (-1; 5); (-3; 3).
6. а) (7п — 2; 5n), п eZ; б) (11п — 3; 7n), neZ.
7. а) (1 In — 2; 2 — 5n), п eZ; б) (6 + 13n; 1 + 7n), neZ.
8. а) (0; 0); б) (-1; -1). 9. а) (1; -2); (-1; -2); б) (-3; -1); (-3; 1).
10. а) (3; -1); (1; 1); (-3; 1); (-1; -1); б) (1; -1); (1; 0); (-1; 1); (-1; 0).
11. а) (11; 1); (3; -1); б) (8; 1); (2; -1).
12. а) (1; 1); (1; 2); (-1; -1); (-1; -2); б) (1; 1); (1; 3); (-1; -1); (-1; -3).
13. а) (—1’5); (1; 1); б) (1; 1); (-1;-5).
14. а) (0; -1); (0; 1); (2; 1); б) (2; 1).
15. а) (1; 1); (-1; -3); б) (1; 1); (-1; -2).
16. а) -5; -3; -2; 0; 1; 3; б) -7; -2; -1; 4.
17. а) —1; б) —11; -1. 18. а) Дробь несократима; б) 2. 19. а) 7; б) 23.
20. а) 210; б) 330. 21. а) 2) 1; 1; 5; б) 2) 1; 1; 2; 3.
22. а) 1) 4131; 2) 1; б) 1) 1045; 2) 1. 23. а) 1) 3; 2) 72; б) 1) 3; 2) 96.
7
24. а) 1) Да, например, Ьг =216, = -; 2) нет;
9
б) 1) да, например, Ьг =512, <+ = -; 2) нет.
25. а) 1) Нет; 2) нет; 3) да, например, 1, 2,4, 6, 8,..., 2046;
б) 1) нет; 2) нет; 3) да, например, 1, 2,4, 6, 8,..., 2076.
26. а) 1) Нет; 2) да; 3) 549; б) 1) нет; 2) да; 3) 477.
27. а) 1) 44; 2) отрицательных; 3) 17; б) 1) 36; 2) отрицательных; 3) 16.
28. а) 1) -8, -5, 7; 2) 7; 3) нет; б) 1) -6, -3, 5; 2) 5; 3) нет.
Ответы
271
29. а) 1) Нет; 2) нет; 3) да; б) 1) нет; 2) нет; 3) да.
30. а) 1) Например, (1 + 1 +1) • (1 +1 + 1) • (1 + 1 +1) ■ (1 +1 + 1) ■ (1 + 1);
2) например, (1 + 4 +1) • (4 +• 1 + 4)■(1 + 4 + 1) ■ (4 + 1 +• 4) ■ 1 ■ 4;
б) 1) например, (1 + 1 +1) ■ (1 +1 + 1) ■ (1 +1 + 1) ■ (1 + 1) ■ (1 + 1);
2) например, (1 + 7 +1) ■ (7 +1 + 7) • (1 + 7 +1) ■ (7 +1) ■ (7+1).
31. а) 1) 160; 2) да; 3) 20; б) 1) 120; 2) да; 3) 20.
32. а) 1) Нет; 2) да; 3) |; б) 1) нет; 2) да; 3)
33. а) 1) Нет; 2) да; 3) ф; б) 1) нет; 2) да; 3)
34. а) 1) Да; 2) 13; 3) Ц; б) 1) да; 2) И; 3)
35. а) В числе 16,9 гидролог пропустил запятую, а в числе 15,9 вместо
запятой поставил нуль;
б) в числе 25,9 метеоролог пропустил запятую, а в числе 23,9 вместо
запятой поставил нуль.
36. а) 1) Да, например, если первоначально на доске было 24 числа,
равных 1, и 6 чисел, равных 31; 2) нет; 3) 18,5;
б) 1) да, например, если первоначально на доске было 19 чисел, равных 10,
и одно число, равное 1, которое потом стёрли; 2) нет; 3) 38
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром
и нестандартных задачах
§2.1
Й
5
1. а)^;б)|.
2. а) (—оо; 3,2); б) (—оо;—0,5).
3. а) 1; б)-1.
4. а)-4; б)-2. 5. а) 5; б)-8. 6. а) (-1; 0) и (0; 4); б) (-1; 0) и (0; 9).
7. а) (-оо; -5] U [-3,2; 0] U {-4; 4}; б) (-оо; -4] U [-2,25; 0] U {-3; 3}.
8. а) [1;+оо); б) [-2; 0). 9. а) 2; б) 3.
10. а) (—6; — 1); б) (-оо; -1)и(7; +оо). 11. а) (-оо;-0,5) и (0; 3);
б) (—2; —1)и(1; 2). 12. а) [2,5;3,5]; б) [-1,5;-0,5].
13. а) ±arccos Va + 3 + тгп, п GZ, при a G [—3; —2]; при прочих а корней нет;
б) + arcsin V2 — а + яп, п GZ, при a G [1; 2]; при прочих а корней нет.
14. а) [0,2; 0,6]; б) [3; 4].
15. а) ± arccos(a + 3) + 2яп, neZ, приае[-4; —2]; припрочиха корней нет;
6) (—1)" arcsin(a +2) +пп, neZ, при a G [—3; —1]; при прочих а корней нет.
16. а) { q 11; 1 ■■ при а 6 (—оо; 0] и (2; + оо); {1} при a G (0; 2];
б)
1} при a G (—со; —2] и (2; +оо); {1} при a G (—2; 2].
17. а) [-у;1);б) [-3; 1).
18. а) (-«>; ] U [g; +«>); б) [^;2].
19. а) (-оо; -2] и |~^; + ooY 6) (-оо; -2] U Г Y +00Y
20. а) (1,5; +оо); б) (-2; +оо). 21. а) (-0,25; 0,5]; б) (-1,75; 0,5].
22. а) 5; 6)3. 23. а)-7;-0,6; б) 0, 75; 3. 24. a) -Y б) -^.
9
о
272
25.
Ответы
а)-2; 6)3.
27. а) Г-|; f 1; б) Г-|; Н
26. а)-0,3; б)-|.
28. а) л/7; б) — л/3. 29. а) 2п +0,5, п eZ; б) п +0,25, п eZ.
30. а) (2; 2); б) (-25; -1). 31. а) (8; 3; 0); б) (0; 81; 4).
17
32. а) -0,5; б) -±j-. 33. а) (4; -3; 0); (2; -1; 2); б) (0; 1; 0); (-1; 2; 2).
§2.2
1. а) (1; 2); б) (-2; 3). 2. а) (-оо; -3) U (-3; 3); б) (-5; 5) U (5; +оо).
3. а) (—оо; -0,5) U (0; 3); б) (-2; -1) U (1; 2).
4. а) (—1; 0) U (1; 4); б) (-3;-2) и (2,5; 3). 5. a) (М 1Z + б) (2; 2,8).
6. а) (-0,25; 0,5); б) (-1; -0,7).
7. а) (^-оо;
и (о;
и(1; +оо); б) (-оо;-|) и (о;
8. а) (-оо; —1)и
и(2; +оо).
+ оо); б) (-оо; -2)и (-|; -1) и (-1; +00
о) и
9. а) (—4;-1)0 (0; 0,5); б) (-2; 1) и (2; 2,5).
10. а) (-1; 0)0 (2; 27); б) (0; 1)О(3;28). 11. а) [—1; 3]; б) [—2; 2].
12. а) [-4; 0]; б) [-5; -1]. 13. a) (--i-;gl;6) (-Ц; 0,341.
к
П/1
.
14. а)
15. а)
16. а)
1о
25 J
к
1о
J
Л 15 241.. Г31 491
—; —; б) i —; —
к 16 25 J
к 16 25 J
.
(—оо; —1 и [2; + оо); б) (—оо; 0] О [3; +оо).
(—оо; —2 О [1; +оо); б) (—оо; —4] и [—1; +оо).
§2.3
1. а) [-оо;
2.
4.
5.
7.
9.
О(2,5;+00); б) (-00; —9 — л/89) U (20; +оо).
а) (5; +оо); б) (0,2; +оо). 3. а) [-2; +оо); б) [0,75; +оо).
а) (—оо; —2] О {0} О [2; + оо); б) (—оо; —3] и {0} О [3; +оо).
а) (-2; 1,5); б) (-4; 1,5). 6. а) (-4; 2]; б) (-6; 2].
а) (—оо; 3); б) (—6; +оо). 8. а) [3; +оо); б) [1; +оо).
а) [4; +оо); б) [-3; +оо).
3 — д/2а2 — 1
10. а)------ - ------ при а е (—оо; —1) и (1; +оо);
3+ V2a2-1
Г
.
л/21
Гд/2
T
------ ------- при а 6 1—1; — — I и —; 1 ;
при прочих а корней нет;
5 — д/2а2 — 1
б)------ - ------- при а е (— оо; — 1) и (1; +«):;
—1
Г
.
л/2)
Г\/2
/I
------ ------- при a £ -1; —— и I —; II; при прочих а корней нет.
И. а) ( — со; 4-00) при а 6 [2; +оо);
(-оо; — log5(1 + л/2 — а)] и [logs(1 + л/2 — а); +») при а е (-оо; 2);
б) (—оо; +оо) при а 6 [3; +оо);
(—оо; — log6(l + т/3-а)] и [log6(l + л/3 — а); +оо) при а е (-оо; 3).
273
Ответы
,_______
t_______
12. а) 2а -3 + УЗа -2 при а е (1; +«>); 2а -3 ± УЗа -2 при ае
при прочих а корней нет;
б) 2а+ 3 + УЗа +1,при ае (0; +оо); 2а - 3 :• УЗа -I-1 при а е
при прочих а корней нет.
13. a) С—1; 5]; б) (1; 7].
14. а) (-оо; -2- Уб)и(У2; +оо); б) (-оо; -2-2У2)и(2; +оо).
15. а) (2; 3]; б) (10; 15]. 16. а) [2; + оо); б) (-оо; 1].
17. а)
б) (-0,25; 0).
г2
1
;
18. a) ^ + 2mi,neZ; ^+2лк, k&Z; ^£+2nl,leZ;
О
1о
1о
+ 2пп, пей;
б)
+ 2пк, keZ.
2О.а)(-а3>>Н;2).
21.
а) 0; 1; б) -1; 1.
23.
а) 0; 2; б) |.
22. а) -3,5±2л/2; -0,5; 1; б)
24. а) -2; б) -|.
. Г2-8У2 2 + ЗУ2]
26. а)
];б)
1; 3.
25. а) --||; б) -0,5.
Г5-6У7 5 + 6У7]
27. а)
и [2; 4); б) {2; 2,5}и [4; 9).
3J
Л + 73 3 + а/Т5Л
28. а) {0}и(2 + УЗ;2 + У5); б) {0}U (
V I.
29. а) (-6; 7); б) (-8; 7).
30. а) х = 0 при п = 0; оба корня положительны при а > 4;
корней нет при прочих значениях а;
б) х = 0 при а = 0; оба корня положительны при а > 5;
корней нет при прочих значениях а.
31. а) [-У2; 1) U [У2; +оо); б) [-УЗ; 1) U [УЗ; +оо).
32. а) [1; +оо); б) [0; +оо). 33. а) (—оо; —1]; б) (0; +оо).
34. а) (-оо;-2-У5)и(У5;+оо); б) (-оо;-3-У5)и(УЗ-1;+оо).
35. а) а < 0; б) а < 0. 36. a) 1 - У2; 5 + У10; б) 0,5; 2 + У2.
37. а) — ^ + 2пп, n<EZ; arctg(0,5) +2тск, k&Z;
б)
+ 2пп, п еZ; п — arctg2 + 2пк, k&Z.
38. а) [|; I) и (|; ||] ; б) [-2; 0) U (о; |] .
40.
а) (о; | 1; б) (-оо;-|] и(3; +оо).
39. а) (2; 8); б) (0,5; 1).
41. а) {0,25; 1}; б) {1; 1,75}.
42. а) п + 2тт, пей; б) 2тт, пей.
43. а) 4— У а +12 при а е (—8; —3) и (—3; + оо); при прочих а корней нет;
б) 3 — Уа +5 при а е (—4; —1) и (—1; +оо); при прочих а корней нет.
44. а) (0; +оо) при а = 0; [-1; 0J и (8а; +оо) при а е (0; -Ьоо);
решений нет при а е (—оо; 0);
б) (0; +оо) при а = 0; | -7; -а ] U (0;
решений нет при а е (—оо; 0).
+оо)
при ае(0; +«);
Ответы
274
45. а) {1 - д/а2-2а + 5; 1 + д/а2 +4а +8} при ае(-оо; -2);
{1 - д/а2-2а + 5; 1 - д/а2 +4а +8} при а е [-2; 1];
{1 + д/а2 - 2а -г 5; 1 - д/а2 + 4а -1-8} при а е (1;
+оо);
б) {-3 + д/а2 +4а -I- 5; -3 - \/а2 - 6а + 10} при а е (-оо; -2);
{-3 - \/а2 + 4а +5; -3 - \/а2 -6а +10} при а е [-2; 3];
{-3 - д/а2 + 4а +5; -3 + \/а2 - 6а +10} при а е (3; +оо).
46. а) т; + -пп, 2пт, neZ, m&Z, при а = — 1;
1
+ 2я/, I eZ, при а = 0;
v'7
± arccos ——— + 2як, k&Z, при а = 1; при прочих целых а корней нет;
+ nl, 1eZ, при а = 1;
б ) ■? + 2пп, пт, neZ, meZ, при а = 0; (—1)!+1 ■
(-l)fc+1 arcsin —-----н пк, keZ, при а = 2; при прочих целых а корней нет.
47. а) (-оо; -2 + log3 а) при а е (0; +оо); (-оо; log3(-a)) при ае (-оо; 0);
при а = 0 решений нет;
б) (-оо; -2 + log2a) при а е (0; +оо); (-оо; -1 +log3(-a)) при ае (-оо; 0);
при а = 0 решений нет.
48.
Г-1-л/2а2-1
-1 + д/2а2-1А
а) (---------- ----------- ;----------- ----------- J при
(— |а|;
'
ае
Л)
г
.1
| -1; - — J и ( —; 1J;
—- j при а е (—оо; — 1) и (1; + оо); при прочих а решений нет;
„ ('-а + у/2-а2
о
Г 1 -а-у/2-а2У
, a I \/'2 a2
б) (--------------- ; 11 приае(-1;и; |-1;------- ---------------------- --------;1
при а е (1; д/2]; [—1; 1] при а е (-/2; +оо); при прочих а решений нет.
Глава 3. Применение свойств функций к решению
уравнений и неравенств
§3.1
1. а)-2;б)-1. 2. а) 2; б) 2. 3. а) (-2; 5); б) (-6;-1).
4. а) [3; 6); б) [1; 4). 5. а) [4; 8]; б) [2; 6). 6. а) [3;+оо); б) (-оо; 2];
7. а) 1; б) 3. 8. а) -3; б) -3.
9. а) (-0,6; -0,6); (0,6; 0,6); б) (-0,4; -0,4); (0,4; 0,4).
10. а) (-0,2; 0,2); (0,2;-0,2); б) (-0,1; 0,1); (0,1;-0,1).
12. а) [—2; 6]; б) (-оо;-4]и[3; +оо).
л .
. /22. 23V
9 ’ 9 J’ 6
4' аЦ
13. а)
1
11. а) -б)
1; б)
3 1-
/59. 61Л
115 ’ 15 J’
15. а) (1; 1; 1); (2; 2; 2); (-3; -3; -3); б) (1; 1; 1); (-2; -2; -2).
16. а) (-оо;
; б) (-оо; 1]. 17. а) [-4; 2]; б) [—4; 6].
18.
а) [-2,5; 3,5]; б) [-2,5; 1,5].
19. а) [-8,5; -3,5]; б) [-2,8; -1,4].
1
275
Ответы
20. а) (тот; ®к;с), keZ, neZ, сей, при а = 0;
(j—1)га arcsina + пт; (—1)! arcsina + nl; - + 2яг), meZ, I eZ, г eZ,
при а е [-1; 0) и (0; 1]; при прочих а решений нет;
б) (0; 0; с), сеЖ3. при а = 1; (log2 a; log2 a; loga2) при а е (0; 1) и (1; +оо);
при прочих а решений нет.
21. а) [—3; 4]; б) [—4; 3]. 22. а) {-2} и [2; +оо); б) {-5} и [5; +оо).
23. а) 1; б) | -4; — | • 24. а) 0,8; 1,25; б) -4; -0,25.
§3.2
I. а) 0; б) 0.
2. a) ~^+2nl,leZ; б) ~^ + 2nl,l&Z.
3. а) — — + 2nl, I g Z; б) nl, I g Z.
4. а)
+ 2пк, keZ; 2пп, neZ; б) ~ +пк, k&Z; 2пп, neZ.
5. а) 0; б) 0.
6. а) ( 2; — -г 2пк , к (= Z; б) (п + 2пк; —3), к CZ.
7. а) 4; б) 2. 8. а) -1,2; б) 0,75.
9. а) 1,2 при a = — 6; при прочих а корней нет;
б) 0,3 при а = —1,25; при прочих а корней нет.
10. а) {—1; 2} при a = 4; {0; 1} при a = 0,25; при прочих а корней нет:
б) {—1; 2} при a = 5; {0; 1} при а = 0,2; при прочих а корней нет.
II. а) 3; б) 10.
12. а) 10; 100 при a = 2; при прочих а корней нет;
б) 0,1; 100 при а = —2; при прочих а корней нет.
13. а) 0,5 при а — 2,5; при прочих а корней нет;
б) —1,5 при a = 1,5; при прочих а корней нет.
14. а) (1; 2; 3) при a = 2; при прочих а решений нет;
б) (—3; —2; — 1) при а = —3; при прочих а решений нет.
15. а) (10; 20; 30) при
—6; при прочих а решений нет;
б) (—40; —50; —60) при а <7; при прочих а решений нет.
16. а) (-оо; -6] и [6; + оо); б) [-7; 5]. 17. а) -5; 7; б) -8; 4.
18. а) (-2; 2); б) (-1; 1).
19. а) (-оо; —5] U {3} U [4; + оо); б) (-оо; -3]U{2}U[3; +оо).
20. а) (3; 0) б) (1; 0). 21. а) [-5; 1]; б) [-5; 1].
22. а) (пк; 0; 2) при a = 4, keZ;
Z ft
ЛТ1
\
! — —; 0; 0J, n e Z, при a = 0; при прочих a решений нет;
б) ( — + -у-; 0; — 2 j, k&Z, при a = 2; (
; 0; 0^, пеZ, при a = 0;
при прочих а решений нет.
23. а) [-0,1; 0,1]; б) [-1; 1]. 24. а) -2; б) 2. 25. а) [-8; -2]; б) [-9; 1].
26. а)-1; б) 2. 27. а) 0; б) 2. 28. а) 2; б) 0,5.
„„
(■, 2п — ЗА
(п п „ Л ( п 5тт
Л
„
„
29. а) fl; —-—J ,neZ; б) f —; — +2nnj; ( - —; — + 2nm\, neZ, meZ.
276
„„
Ответы
. i' , п . пп
п
пк
„ ,
птД
„
„
30. а) ( ± — + —; —; — — Н—— ), и + Z, к+ Z, niGZ;
X. J_zu
4 О
J_ 4
О J
п
пп
п . пк п
Л
„ ,
„
„
6) IV, (— 1) • —
■< —4г; о ♦ ~;
тт + 7гп1J1, п + Z, кeZ, т + Z.
24
3 2
31. а) i т; + пп; + 2пк; ~ + пт^, neZ, ksZ, m&Z;
+ nil; 2nk; rmiY n eZ,
+ 2nt; 2nl\, reZ, teZ, Z eZ; 6)
(— у + nr; —
к + Z, meZ; — — + nr; n + 2nt; (— 1У ■ — + nl, reZ, t + Z, I +Z.
32. a) (1; 0); (-1; 0); 6) (1; 0); (-1; 0).
33. a) (0; 0,5); (-1; -1,5); 6) (-2; 1,5); (0; -0,5).
34. a) [-2,4; 0]; 6) [-4,8; 0]. 35. a) (-1; 2); (-1; -2); 6) (-2; -1); (2; -1).
36. a) (0,5; 1); 6)
|; 1). 37. a) xk= HN; 6) xfc = -j, keN.
38. a) (2; -2), (-2; 2), [75; 275), (-75; -275);
б) (3;3), (-3; -3), (275: 75), (—2л/3; -75).
39. а)
б) £. 40. а) [-2; 0,5]; б) I -1; |1.
16
9
L
3J
41. а) х = 1 при а = — -; при прочих а корней нет;
б) х = — 1 при а = 2; при прочих а корней нет.
4- 2як, к е Z, при а = arcsin 4- 4- 2ян, и е Z;
1 1 т
♦ 2
Я
т
4- 2як. к g Z, при а = — arcsin —- — — 4- 2яп, п е Z;
42. а) х = —
5 7Т
х= ——
6
’
’
/7
н
2
’
’
при прочих а корней нет;
б) х = у- + 2як, ke.Z, при а =
б
б
+ 2яп, п еZ;
х = — + 2як, к еZ, при а = — — 4- 2яп, и g Z;
б
б
при прочих а корней нет.
44.
45.
46.
48.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
п; л + 1; «г+3; б) 2п — 8; 2я; 2п— 1.
6п — 1; 6п; 6п -г 2; 6п +3, п eZ; б) 12п — 2; 12п + 2, neZ.
{-7; 7}; б) {-5; 5}. 47. а) {-3; 3}; б) {-2; 2}.
{-2; 2}; б) {-4; 4}. 49. а) {-6; 6}; б) {-3; 3}.
{—7; 7}; б) {-3;3}.
{-5}и[10-5д/3; 10 + 5л/3]; б) {—3} U [6 — 3л/3; 6 + 3л/3].
{-2}и[4-2л/3;4 + 2л/3]; б) {-5} и [10 - 5 V3; 10 + 5л/3].
{-3}и[6-3л/3;6 + 3л/3]; б) {-6} и [12 - бУЗ; 12 + 6л/3].
{-4}и[8-4д/3;8 + 4л/3]; б) {—4}U [8 — 4лДЗ; 8 + 4л/З]{—4} U [8 — 4л/3; 8+ 4л/3]; б) {-5} U [10 - 5 V3; 10 + 573].
{-5}и[10-5лЛ; 10 + 5-Л]; б) {-2} и [14-873; 14 + 8л/3].
§3.3
1. а) 1; 5; б) 1; 2.
2. а) -4; 0; 4; б) -6; 0; 6.
3. а) 1; 5; б) 2; 6.
Ответы
277
4. а) 0; 4sinl; б) 0; tgl. 5. а)-л/З; б)-л/2. 6. а) 0; 1; 2; б) 0; 1; 4.
7. а) а — произвольное иррациональное число;
б) а — произвольное иррациональное число.
8. а) а — произвольное иррациональное число, Ъ — произвольное целое число;
б) а = +2, b — произвольное иррациональное число.
9. а) а = 5, Ъ— произвольное иррациональное число;
б) а = 4, Ъ — произвольное иррациональное число.
10. а) 4; б) 6. 11. а) 2; б) 4. 12. а) 4; б) 2. 13. а) 0,4; б) |.
14. а) -4; б) -2. 15. а) -1; 2; б) -3; -2. 16. а) 2; б) 5.
17. а) -2; б) -3. 18. а) -2; б) -1. 19. а) -0,5; б) 0,5.
20. а) (-2; -2); б) (1; 1). 21. а) -1,5; 2; б) -3,5; 2.
22. а) 3; б) -4.23. а) 1; б) 1. 24. а) [-4; 10]; б) [-9; 9].
25. а) [1; 17]; б) (-оо; 2] и [10; +оо).
Глава 4. Графические интерпретации
§4.1
1. а) Решений нет при а е (—со; 2); х = 5 при о = 2;
хе [ 122 а;3а-11 приае(2;6]; хе [а-3; За -1] при а е (6;+со);
б) решений нет при а е (—со; —3) и (9; -г со);
X
„
„
„
„
7 при а = -3; х = -3 при а = 9;
Га —18
За-5)
.
„
хе —-—; —-—I при ае (-3; 5];
хе[° 318; 15-2аj приае(5;9).
2. а) Решений нет при а е (—со; —2) и (2; н-оо); {2} при а = —2;
[—у;2] приае(-2;0]; [уА 1] при ае(0; 2];
б) решений нет при а е (—со; -2) и (2; + со); {0} при а = —2;
[-УГ;0] пРиаб(-2;0];
приае(0;2].
3. а) Решений нет при а е (—со; —2) и (2; -4- оо);
{-1} при а= -2; [ -^-7^; -1 | при а е (-2; 0]; [-yyj -2] при а е (0; 2];
б) решений нет при а е (—со; —2) и (2; +оо); {3} при а = —2;
[уу;3 при ае(-2; 0];
приае(0;2]
4. а) Решений нет при а е (—со; —8) и (3; -Г со); х = 4 при а = - 8;
х = 6 при а = 3; х е [4 - л/2а + 16; 4 + 'J2а + 16] при а е (-8; 0];
Г„
24-2а)
хе 2а; —-— приае(0;3);
б) решений нет при а е (—со; —4) и (3; + оо); х = 6 при а = —4; х = 9 при а = 3;
хе [6-3-Уа +4; 6 + Зд/а +4] при ае (-4; 0]; хе ^За; 12-с | при а е (0; 3).
5. а) [0; +со); б) (—со; —2].
6. а) (1,5; + со); б) (4; + со).
Л
9Л
9
7. а) решений нет при а е 1 — со; — - J и (2; + со); х = 3 при а = — -;
278
Ответы
х = 4 при а = 2; х6 [3 - V7a + 9; 3+ л/7а + 9] при а е [-|; 0 |;
хе [а2; 3 + л/7а +9] при ае (0; 1]; хе [а2; 10-За] при ае (1; 2);
б) решений нет при ае(—со;—1]и(2; +<»); х = 1 при а = — | и а = 2;
хе [ 1 — -/За +1; 1 + V3a + 1] при а е [ — —; 0 |;
хе /у; 1 + л/За + 11 при а е (0; 1]; х е [; 5 - 2а приае(1;2).
8. а) Решений нет при а е (—со; —4) и (12; +оо); х = 0 при а = —4;
х = 4 при а = 12; хе |~-%/а +4; —— | при а е (-4; 0];
хе [; Va + 4 j при а е (0; 12);
б) решений нет при а е (—со; —27) и (9;
х = 6 при а = —27;
л/9-а при а е(—27;0]:
х = 0приа = 9;хе
хе |^—V9
+оо);
приае(0;9).
— а;
9. а) хе (-со; а] при а е (-со; -4); хе (—со; -4] и {2} при а = -4;
хе (-со; а] и [2 - Va +4; 2 + v'a +4] при а е (-4; 0);
хе (-со; 4] при а = 0;хе(-со;2 - v'a + 4] и [а; 2 + Va -I- 4] при ае (0; 5);
хе(— со; — 1]и{5} при а = 5;
хе (-со; 2- л/а + 4] и [2 +V'a + 4; а] при ае (5; +со);
б) хе (-со; -3 - V9-a] и [-3 + л/9 -а; -а] при а е (-со; 0);
хе (—со; —6] и {0} при а = 0;
хе (-оо; -3 - V9- а] и [-а; -3 + V9 —а] при ае (0; 5);
хе (—со; —1] при а = 5;
хе (-со; -а] и [-3 - V 9 - а; -3 + V9 - а] при ае (5; 9);
хе (-со; -9] и{—3} при а = 9; хе (—со; -а] при а е (9; +<»).
10. а) хе [—5; 5] при ае ( -со;
Г 4а
:
За]
За 4а'
(
15 .
пРиае1“Т;0/;
х = 0 при а = 0;
приае(0;3]; хе[-^;"\/25-а2] приае(3;4];
х е [- \/25 - а2; \/25-а2] при а е (4; 5); х = 0 при а = 5;
решений нет при а е (5; +со);
б) решений нет при ае( —co;-12)U; '-т-; + со]; х = — 5 при а = —12;
при а е (-12;-5); хе [-12;---; и{12} при а =-5;
хе -/169- а2; ~
хе [—/169 —а2; || j и
г
хе [-13; 13] при а = 0;
Г 325
.
/169-й2] приае(-5;0);
Г
12а]
хе -13;—— |
и
Г5а „_]
т^ ДЗ приае^О;^;
65
1
хе{-13}и [ —; 13j приа = —;
Г 5а
1
6 65
I 1
_J
V JL zu
х е —; 13 при а е
156Л
—; — I;
О
J
156
х = 13 при а = —.
О
279
Ответы
, л/7 + 1
„
У73-5
5
,-
11. а) —-—; —-—; б) V7-2; -.
12. а) Решений нет при а е ■' -<х; -=t ! и (2; 4- со);
х = 16
— при а
2
:х
4 при а = 2;
хе [4-2а; 5 - 0,5а] при а е ( «
z-ч
1"|; хе [2а; 5- 0,5а] при а е (1; 2);
5Л
(
..
8
.
б) решении нет при ае I — оо; — -J и (1; +оо); х = - при а = —
х = 2 при а = 1; хе [1 - а; 2,25 -0,25а] при ае
5
о];
х е [2а; 2,25 - 0,25а] при а е (0; 1).
13. а) 0,75; 31og312; б)
log318.
14. а) Решений нет при ае (—со; 1) и (4; +°о); хе{2; 8} при а = 1;
хе [2; 2“] и [ -; в] при а е (1; 2); хе [2; 8] при а = 2;
2;*1 и [2“; 8] при ае (2; 3); хе |^2; 11 и{8} при а = 3;
хе
а
при а е (3; 4); х = 2 при а = 4;
б) решений нет при а е (—со; 1) и (4; + со); хе{1; 4} при а = 1;
хе [1; 2“ *] и
4 j при а е (1; 2); хе [1; 4] при а = 2;
хе
а.
хе
и [2“ :; 4] при а е (2; 3); f е Г1;
а.
и {4} при а =3;
при а е (3; 4); х = 1 при а =4.
i;-l
а_
15. а) Решений нет при а е (—и; 0) и (2; + со); х = 1 при а = 0;
хе [1 - а2; 1 + а2] при ае(0; 1]; хе [1 - а2; 4-2а] при ае(1; -Уб - 1];
хе [2а -4; 4-2а] при а е (л/б- 1; 2); х = 0 при а = 2;
б) решений нет при а е (— со; 0) и (2; + »); х = 0,5 при а = 0;
хе
Г1-а2
1+а2"|
,,
Г1 —а? „
"I
гг
хе —-—; —-— при ае(0; 1]; хе —-—; 2-а | при а е (1; -Уб-1];
хе [а-2; 2-а] при ае(-Уб -1; 2); х = 0 при а = 2.
16. а) хе (-со; а -1] и [3 - а; + оо) при а е (-со; 0);
хе (—со; —1] и {1,5} и [3; + со) при а = 0;
хе (-со; а - 1] и
2а ; —| и [3 -а; + со) при а е (0; 1);
хе(—оо; 0]и [1; +со) при а = 1;
хе (-со; а -1] и | ’ 2'7 ; 3 — а j и [3^Q ; +00) ПРИ ае(1; -Уб- 1);
хе (—со; 4— -Уб] и [5 — -Уб; +оо) при а = Уб — 1;
хе ^—оо; 3 2° ] и [а - 1; 3 - а] и [3 + а ; +оо) при ае (-Уб-1; 2);
хе (—со; —0,5] и {1} и [3,5; +со) при а = 2;
Л
3-а2]
ГЗ + а2
Л
хе ; -со; —-—I и |—-—; 4-col при ае(2; +оо);
б)хе(—со;а — 3] и [1 — а; +оо) при а е (—со; 0);
280
Ответы
хе (— оо; —3] и{—0,5}и [1; +оо) при а = 0;
,
Г
а2 + 1
а2-1]
.
хе (-со; а -3] и I------ —; —-—I и [1 -а; + оо) при ае (0; 1);
хе (—оо; —2] и [— 1; +оо) при а = 1;
хе (-оо; а -3] и [-Q + 1; 1 - а] и
2 1; +оо) при ае(1; -Уб - 1);
хе (—оо; 2 — i/б | и [3 - -/б; -I-оо) при a = V6 — 1;
хе (-оо; — g +1] и [а -3; 1 - а] и Д 2 1; +оо) при ае (л/6 — 1; 2);
хе (—оо; —2,5] и{—1}и [1,5; +оо) при а = 2;
Л
а2+11
Га2 —1
Л
хе ( —оо;------ — | и —-—; +оо I при ае(2; +оо).
17. а) Решений нет при а е (— оо; —3) и (2,25; + оо); х = 0 при а = —3;
хе [-0,4а-1,2; 0,4а+ 1,2] приае(-3; -1,75];
хе [3~л/2~4а; 0,4а+ 1,2] при ае (-1,75; 2];
хе [ 3—+9 - 4а. 3 I +9 4а ] ПрИ ае (2; 2,25); х = 1,5 при а = 2,25;
б) решений нет при а е (—оо; —3) и (2,25; + оо); х = 0 при а = —3;
хе [—0,2а — 0,6; 0,2а + 0,6] при а е (—3; —1,75];
хе [ 3~^~4а; 0,2а + 0,6] при ае (-1,75; 2];
ГЗ-V9-4a
3+V9 —4а]
п __
„
х е I-------—;---- ------- | при а е (2; 2,25); х = 0,75 при а = 2,25.
18. а) -3; 1,5; б) -6; 3. 19. а) 0; 7; б) 0; 5.
20. а) {3} при а е (—оо; —1) и (1; +оо); [—1; 3] при а = — 1;
|
; 3 j при ае (-1; 1); [3; +оо) при а = 1.
б) [1; 2] при а = 2; [2; +оо) при а = —2; {2} при а е (—оо; -2) и (2; +оо);
{2; -^}Приае(-2; 2).
21. а) (—оо; —9) и {—5; 3} и (4;+оо); б) (-оо;-12) и {-7; 8} и (9; +оо).
22. а) 12—8а/3;2; б) 12-8-Л; 2. 23. а)-9;-5; б)-4; 0. 24. а)-4; б)-1.
25. а) -2,25; 4; 10; б) -12,25; 18; 30. 26. а) -16; 9; 33; б) -4; 0; 12.
27. а) -3; -1; 0; 2; б) -5; -3; 0; 2. 28. а) -4; -2; 0; 2; б) -3; -2; 0; 1.
29. а) (-оо; -4) U {-3; 0} U (1; +оо); б) (-оо; -9) и {-6,75; 0} U (2,25; +оо).
30. а) (-2,25; -2) U (-2; 0) U (0; 0,25); б) (-4; -3) U (-3; 0) U (0; 1).
31. а) 0; 5; б) 0; 7. 32. а)-6; 0; б) 0; 15. 33. а) 5; 8; б) 9; 21.
34. а) (-4; -3,84) U (-3,84; 0) U (0; +w); б) (-0,5; 0) U (0; 6,72) U (6,72; +оо).
35. а) Решений нет при а е (—оо; — 1); х = 1 при а = — 1;
х е [1 - Va +1; 1 + Va +1] при а е (-1; 0];
х е [- У0,5а; 1 - Va +1] и Ц/0,5а; 1 + Va +1] при а е (0; 8);
х е {-2} и [2; 4] при а = 8;
хе [1 - Va + 1; -^/0,5а] и [^/0,5а; 1 + Va +1] при а е (8; +«);
б) решений нет при а е (—оо; -2); х = 1 при а = — 2;
хе 1 — 1 + -; 1 + 1 + - | при а е(—2; 0];
281
Ответы
х £ — 77; 1 — у 1 + ~
л/я; 1 + -у/1 + — при я € (0; 16);
х е [-4; -2] и {4} при я = 16;
X£
1 — ^/1 + 2 J 0^1 + ^/1 + —; 77при я £ (16;
+со).
§4.2
1.
3.
а) 4; б) -0,25.
2. а) [-7; 1] U [2; +<»); б) (—оо; 3) U (4; 7].
aX0tU(l;l];6)[-i;-l)U{0>.
4. а) | -1;-|)и{0};б){0}и (^;|-].
5. а)-24; 1; б)-12; 0,5.
6. а) Один корень, если а е (—со; 0] и (0,5; 2); два корня, если я £ {0,5; 2};
три корня, если я £'0; ~ ] и (2; +»);
б) один корень, если а е (— со; 0] и ( |; 3 •; два корня, если я е | i; 3 J-;
три корня, если а е (о; | j и (3; + оо).
7. а) я 6 (-со; 0] и (0,5; 4,5); б) я£(0; 0,5)U (||;
+оо\
8. а) (-2; 0); б) (-4; 0). 9. а) (1,2; 1,25); б) (2,4; 2,5).
10. а) ПЬ-Ц;б) f|;^L И-а) [-1; 2) О (2; 5]; б) [-2,5;-1) О (-1; 0,5].
12. а) [1; +оо) при я = 1; [—3; 1] при я = —1;
1} прия£(-1; 1); {1} прияе(-оо; -1)0(1; +оо);
б) [-4; —3] при я = 2; [-3; +оо) при я = —2; {—3} при я £ (—со; —2) о (2; +со);
{-3;-^г}пРиае(-2;2).
13' а)-7Г_47Г0; б) (-^;_4V^)U(_4V^;0)’
14. а) —5;0; 75-2; 75 + 2; б) -20; 0; 2(717-4); 2(717 + 4).
15. а) (—30; 0) О (0; 3(726—5)) О (3(726 — 5); 3(726 + 5));
б) -30; 0; 5(710-3); 5(710 + 3).
16. а) (-6; 1] О {8} О [9; 10); б) (-со; -6] О {2} О [8; +оо).
17. а) (0; 0,25] О {1}; б) (о;
О {3}.
§4.3
1. а) 10; б) 13. 2. а) 741; б) 4710. 3. а) 10; б) 13. 4. а) 13; б) 10.
5. а) б)-2,5. 6. а) 7,75; б)-Д. 7. а) 4^; б) 2±.
8. а) 64; 16; б) 169; 9.
9. а) 169; 81; б) 196; 16.
10. а) (г|; io); б) (3,75; 3). 11. а) -8; -2;2; 8; б) -7; -3; 3; 7.
12. а) -10; -5; 2; 7; б) -5; 1; 3; 9.
14. а) ±673; б) ±573.
13. а) 2±^; 4±Тб; б)9±^; 5±Тб.
15. а) 4; б) 5.
282
Ответы
16. а) [-2; 1) U (1; 4]; б) [-4; -1) U (-1; 2].
17. а) -л/^5-3; -2; 2; V65+3; б) -17; 4--/89; V89-4; 17.
18. а) 8 —5л/2; 3; 5^2-2; б) 5-3^2; 2; Зл/2-1. 19. а) 4; б) 4.
20. а) -2; б) 1.
21. а) Одно решение, если а = —5; два решения, если а е (—5; 7) и {13};
три решения, если а = 7; четыре решения, если а е (7; 13);
нет решений при а е (—со; —5) и (13; +»);
б) одно решение, если а = —8; два решения, если а е (—8; 6) и {13};
три решения, если а = 6; четыре решения, если а е (6; 13);
нет решений при а е (—со; —8) и (13; +оо).
22. а) [1; 5л/2]; б) [2; 8л/2]. 23. а) [5 — 3 л/2; 8л/2]; б) [4-2^2; 6л/2].
24. а) р; 1; б) |; 2. 25. а) 0; 10; б) 0; 17.
26. а) (-5л/2; -5] и [5; 5^2); б) (-5V5; -5] и [5; 5У5).
27. а) - |; 2; б) -2; 3. 28. а) -0,2; 0,2; б) -0,2; 0,2.
29. а) [2 — 2л/6; -1] и [5;2 + 2д/б]; б) [3-4Уб;-5] и [11; 3 + 4л/б].
30. а) (1; 2); б) (1;2). 31. а) [-1,75; 8]; б) [-1,75; 8]."
32. а) (0; 1]; б) (0; 1]. 33. а) (1 - УТО; -2) и {0}; б) (1 - УТб; -2) и {0}.
34. а) [-5; 5V2- 10); б) [—5; 5л/2 — 10).
Глава 5. Другие методы
§5.1
1. а) 1; б) 2. 2. а) -3; 1; б) 0,5; 3. 3. а) 1; б) -1.
4. а) [-3,5; + со); б) (-со; 3]. 5. а) (-3; +оо); б) (-со; 2,5).
6. а)
+оо); б) (-оо; р [ 7. а) (-со; -2,5); б) (-со; -2).
8. а) (6; +со); б) I -со; р )
§5.2
1. а) Если а е (— р 0 j и (0; 6) и (6; +оо), то х = а, х
1 ± У4а -г 1;
если а = 0, то х = 0 и х = 2; если а = 6, то х = -4 и х = 6;
1
1
(
П
если а = - то х = — - их=1; если ае - со;— - , то х = а;
4
4
V
к
47
о! и (0; 3) и (3; + со), то х = ?;, У = ——т——
б) если а 6 [
8
J
2
4
если а = 0, тох = 0 их = 0,5; если а=3,тох = —1их = 1,5;
1
11
(
1Л
а
если а = --,тох = ~ — и х = - ; если ае -со;-- , то х= -.
о
1о
4
\
оу
Z
2. а) Если а е (4; +оо), то х = ±3 Уа; если а = 4, то х е {—6; 2; 6};
если ае(0; 1,44) и (1,44; 4), тох = ±ЗУа, х = 2± У4-а;
если а = 1,44, то х е {—3,6; 0,4; 3,6}; если а = 0, то х е {0; 4};
если а 6 (—со; 0), то х = 2 ± У4 —а;
б) если а е Го;
и
+°oY то х = ±4-/а, х = 1 + У а +1;
283
Ответы
если а =
64
то хе
Г
к
32
1Э
2 32]
к
1Э J_О J
.
гп
если а = 0, то хе{0; 2};
если а е (—1; 0), то х = 1 + Va +1; если а = —1, то х= 1;
если а е (—оо; -1), то корней нет.
3. а) 16; б) 9. 4. а)-1; 17; 29; 107; б) 5; 9; 77. 5. а)-14; б) 7.
6. а) Если а = 0, то хе [—0,25; +«>);
f
2+/4-2а]
“ -2+/4-2а
Л
если ае (0; 2), то хе I-оо;------- —----- I и I------- —------ ; +ео I;
если ае [2; +оо), то хе (—оо; +оо);
б) если а = 0, то хе (—оо; 0,5];
„ ,,
г
1-/1-а]
Г1+/1—а
Л
если а е (0; 1), то хе I-оо;----- ------ и I----- ------ ; +°° I;
если ае [1; +оо), то хе (—оо; +оо).
7. а) (—оо; 0] и [3; +оо); б) (— ОО; 0] U [12; +оо).
8. а) хе (-оо; 2а] при а е (-оо; -4); хе (-оо; -8] и {4} при а
4;
хе (-оо; 2а] и [4 - 2/а + 4; 4 + 2/а + 4] при ае (-4; 0);
хе (—оо; 8] при а = 0; хе (-оо; 4- 2/а + 4] и [2а; 4 +2/а +4] при ае (0; 5);
хе (—оо; —2] и{10} при а = 5;
хе(-оо;4-2/а+4] и [4 +2/а + 4; 2а] при а е (5; +оо);
б) хе (-оо; -6-2/9-а]и [—6 + 2/9—а; -2а] при ае (-оо; 0);
х е (—оо; —12] и {0} при а = 0;
хе (-оо; -6 - 2/9 - а] и [-2а; -6 + 2/9-а] при а е (0; 5);
хе (—оо; —2] при а = 5;
хе (-оо; -2а] и [-6-2/9 - а; -6 + 2/9-а] при а е (5; 9);
хе (-оо; -18] и{-6} при а = 9; хе (—оо; -2а] при а е (9; +<»).
9. а)
б)
10. а)-2/2; б) /10.
11. а) 450 изделий первого типа; 225 изделий второго типа;
максимальная прибыль равна 42 750 д. е.;
б) 225 изделий первого типа; 450 изделий второго типа;
максимальная прибыль равна 64125 д. е.
12. а) 10 изделий первого типа; 0 изделий второго типа; максимальная
прибыль равна 50 000 д. е.;
б) 20 изделий первого типа; 0 изделий второго типа;
максимальная прибыль равна 300 000 д. е.
§5.3
Ответы
284
,
9л
11л
f
.
Зл
„ f
л )
73
11л
11
5л
6. a) cos ———; cos ——; cos ——; cos — к б) jcos —;——;cos —;- к
I
16
16
16
16 J
I
Iz
z
Iz zj
7. a) 3; 6) 4.8. a) (-15; 15); 6) (-10; 10).
9. a) (0; 0);
f
л . л'\ (
л
. л'\ (
5 л . 5л'\ <
5л
. 5л 1
б) (cos-;sm-J; (-cos-;-sm-J; (cos-;dn-J; (-cos-; - sm - J.
10. a) (-tgy-;tg^-;tg^^,rflen = ±3;±2;±l;0;
6)
4лп1
2m
m
(
. „
. _
. . _
tg —; - tg —; tg — J , где n = ±3; ±2; ±1; 0.
; (- 73; -|;;
11. a) (0; 1; 0); (ТЗ;-j;
6) (0; 0; 0); (^;73;7з); (-^;-73;-7з); (-sinf;-tgf ;tgf);
( .
2л
2л 1
л
^sin-;tg-;tg-J.
12. a) (1; 0;
2 ’
6) (1; 0; 0); (-l;0;0);
f
л
(
2л
.л
__ ly r_i.
2л 1
vsJ’ I
cos —; sin 7; tg -J;
2л 1
f
л.л
2’
Г
л
. л
2л 1
(cos5;-sin5;-tgTJ;
2 л If
2л.
2л
лЛ
( - cos-; - sin-; tg — ;; (-cos-; sm-; -tg — I; (cos —; sm —; - tg - j;
.
2n
лА
f
2л
.
2л
л)
f
2л
.
2л
лА
|^-cos— ;sm — ;tg-J; (cos —;-sm —; tg-J; (^-cos —;-sm —; -tg-J.
13. a) /145; 6) v 130.
14. a) 10713; 6) 9713.
§5.4
1. a) 13; 6) 10. 2. a) 10; 6) 13. 3. a) 40; 6) 63. 4. a) 15; 6) 28.
c .
.
( 4
2 1
11
.
<421
11
5. a) mmZ = ^-; -J = ?=; 6) mmZ = ^--; -J =?=.
6. a) maxz = z0^^; 2J =54; 6) maxz = z(l,5T55; 3) = 96.
10.а)(±Л;±^;±2=)(со всеми возможными комбинациями знаков —
всего 8 решений);
б) (±73;±^;0) (со всеми возможными комбинациями знаков — всего
4 решения).
Диагностическая работа 1
Вариант 1. 1.
(—со;
’ а-4
[^4?+^]
приае(-оо; 1)и(4;+w); (-оо;+оо) приа = 1;
] при ае (1; 4); нет решений при а = 4.
285
Ответы
2.1; 5.
.
6. ( -®:
при ае(—оо; 0,5)и(2;+оо); (— ®; +®) при а = 0,5;
Вариант 2. 1.
при а е (0,5; 2); нет решений при а = 2.
(—сю;
2. -1; 7.
5. [4;+®).
4. (-y;-lj.
3.0,25.
3.-0,75.
5. [-2;+®).
4. f--2-;-2|.
6.
(-оо;|].
Диагностическая работа 2
Вариант 1. 1. {-6} и [15 - 7л/3; 15 + 7а/3]. 2. {6; 10}.
3. Решений нет при а е (—оо; —16) и (12; +оо); х = 2 при а — —16;
1о
о
z- I 4
аЛ/ I 16
16 I
4+
.
. - m
х = 3 при а = 12; хе [----- ------ ;------ --------- I при а е (-16; 0];
приае(0;12).
хе[^;^^]
5. ±2^3.
4. [|;|)и{1}.
6. 1;2.
Вариант 2. 1. {-8} и [13 - 7 л/З; 13 + 7л/3]. 2. {-7; -3}.
6
44 4
3. Решений нет при а е I — ®; - - ] и (1; 4-®); х = 2 при а = — -;
х = 3 при а = 1; х е [2 - л/За 4-4; 2 4- а/Зо +4] при а е (-1; 0 |;
хе [За; 4 —а] при а е (0; 1).
|:-|~) и{-1}.
4.
5. ±л/3.
6.2;4.
Диагностическая работа 3
Вариант 1. 1. -2.
2. 0;|;2;|.
3. (0,6;
4. Если ае ( - ^; о") и (0; 54) и (54;
\
4
4-®),
J
+со).
^а + 9;
то х = 77. х =
1о
о
если а = 0. то х = 0 и х = 1; если а = 54, то х = —2 и х = 3;
9
11
(
9\
а
если а = --,тох=--,х = ~; если ае; -оо; -- , то х = —.
4
о
2
к
4J
1о
5. -16; 9; 33. 6.1.
Вариант 2. 1.
2. 0;^;4;-у.
4. Если а е (-1; 0) и (0; 24) и (24;
3. (-1,4;
+оо),
4-®).
то х=
7,
х= 1±
+1;
если а = 0, то х = 0 и х = 1; если а = 24, то х = -2 и х = 3;
„
11
,
„v
а
если а = -1, тох = --,х=7; еслиае(—оо;-1), тох=
о
2
о
5. -4; 0; 12. 6. 1.
Диагностическая работа 4
Вариант 1. 1.
(-оо;
4]и[7;
+оо).
2.
(-оо;
2-).
3.
(—оо;
-3]и{0}и[2;
4. (рт; 0; 0), neZ при а = 0; (-(■ +2як; 0; —3 j, keZ при а = 3;
при прочих а решений нет.
5. (—1;к|-
6. ае(—®; 1,5].
4-оо).
286
Ответы
Вариант 2. 1.
(-со; —8]и[—5; +оо).
2.
3.
(-оо;
(-со;
0]и{3}и[5; +<»).
4. (пп; 0; 0), п eZ при а = 0; ( — + 2лк; 0; 6.j, к eZ при а = 2;
при прочих а решений нет.
5. [—6; 10].
6.
ае(—оо; —0,5].
Диагностическая работа 5
Вариант 1. 1. -4; |. 2. 5-Зл/2; 2; Зл/2-1.
4. Если а = 0, то хе (—со; 3];
П
(
3. (—оо; 2).
З-Зл/Т77^] , , ГЗ+Зл/Т77^
,
\
если а е (0; - J, то х е (-оо;-------- ----- и |-------- -- ------; + со J;
если ае
+со\ то хе (—со;+со).
5. а) (—40; 40).
6. а = 1, х = 1, х = 5.
Вариант 2. 1. —6;
2. 8 — Зл/2; 5; 2 + 3-/2. 3. (—со; 6).
4. Если а = 0, то хе (—со; 6];
е 1\
f
1 — л/1 —24а "I
Г1 + л/1-24а
если а е (0; - J, то хе (-со;-------- ----- и
если ае | —;+со^, то хе (-со;+»).
5. (-5;5).
6. а =
\
;
х = 2, х= 10.
Содержание
Предисловие ............................................................................................
3
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром и нестандарт­
ных задачах ............................................................................................
5
§ 1.1. Линейные уравнения и неравенства с параметром .....
5
§1.2. Нелинейные уравнения и неравенства с параметром ... 14
§ 1.3. Задачи с целочисленными неизвестными............................ 26
Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром и нестан­
дартных задачах......................................................................................
53
§ 2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета.............
53
§ 2.2. Расположение корней квадратного трёхчлена...................
72
§ 2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трёхчлена 88
Глава 3. Применение свойств функций к решению уравнений
и неравенств............................................................................................ 109
§ 3.1. Монотонность............................................................................. 109
§ 3.2. Ограниченность........................................................................ 124
§3.3. Инвариантность........................................................................ 147
Глава 4. Графические интерпретации.............................................. 166
§ 4.1. Метод областей........................................................................... 166
§ 4.2. Преобразования графиков....................................................... 187
§ 4.3. Геометрические идеи................................................................... 204
Глава 5. Другие методы............................................................................ 225
§ 5.1. Метод упрощающего значения.................................................. 225
§ 5.2. Параметр как переменная........................................................... 233
§5.3. Тригонометрические подстановки .......................................... 244
§5.4. Векторные интерпретации в алгебре........................................ 252
Диагностическая работа 1...................................................................... 260
Диагностическая работа 2................................................................... 261
Диагностическая работа 3...................................................................... 263
Диагностическая работа 4...................................................................... 265
Диагностическая работа 5...................................................................... 267
Ответы.......................................................................................................... 269
Учебно-методическое пособие
Сергей Алексеевич Шестаков
ЕГЭ 2020. Математика. Задачи с параметром.
Задача 18 (профильный уровень)
Под редакцией И. В. Ященко
Подписано в печать 15.07.2019 г. Формат 60 х 90 Ук. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 18. Тираж 4000 экз. Заказ №
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. И. Тел. (499) 241-08-04
Отпечатано в ООО «Типография „Миттель Пресс"».
г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89.
E-mail: mittelpress@mail.ru
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio@mccme .ru