3.-ERLATIBITATEAREN TEORIA BEREZIA I
3.1-1900 aurretiko egoera.
3.2-Einsteinen bi postulatuak.
3.3-Lorentz-en transformazioa: parametrizazio desberdinak, espazioaren-en
uzkurdura, denboraren zabalkuntza.
3.4-Minkowskiren unibertsoa: Espazio-denbora tetrabektorea, Minkowskiren
diagramak, kalibrazio hiperbola.
3.5-Espazio-denbora tarteak: Argi-konoa. Denbora propioa.
3.6-Doppler shift erlatibista: tetrabektorea
3.7-Abiaduraren transformazioak. Abiaduren batura: tetrabiadura.
3.8-Partikula baten energia eta momentu erlatibista: Energia-momentu
tetrabektorea. Indarra eta Potentzia.
3.9-Azelerazioen transformazio-legea. Partikularen momentu erlatibista eta
indarra.
Bibliografia: Jackson 11
1
3.1-1900 aurretiko egoera.
2
ERLATIBITATE BEREZIA
HISTORIA
MAXWELLen teoria (1861)
HERTZen esperimentuek (1887)
ARGIA
erradiazio ELEKTROMAGNETIKOa
ETERra ?
-NEWTONen higidur ekuazioak
v⌃ i
mi ddt
⌅K :
=
ALDAEZINAK
⇧i
⇥
⇧i
⇥
vi
mi d⌃
dt =
-MAXWELLen ekuazioak (UHINAK)
-MAXWELLen ekuazioak (UHINAK)
(
i
K:
(⇤2
⇧
j Vij ( x i
j
Vij ( ⇧xi
1
c2
2
t2
2
c2 v
⇤
⇧
x j )⌥ partikula multzoa 2-gorputzen
⇧xj ) ⇧
arteko potentzial zentral baten
bidez elkarrekiten
ALDAKORRAK
⇥2
⇥x 2i
·⇤
GALILEOren transformazioarekiko
ALDAKORRAK
3
K :
0 µ0
Konstante Elektromagnetiko
unibertsala
⇥
⌅
x = ⌅x ⌅v t
t =t
GALILEOren transformazioak
⇥
⌃K :
1
c=
MAXWELLen elektrodinamika
t
1 ⇥2
) (x , t ) = 0
c2 ⇥t 2
1
c2 v
· ⇤v · ⇤) (x, t) = 0
3 AUKERA DAUDE:
1) MAXWELLen ekuazioak EZ dira ZUZENAK
2) Eremu ELEKTROMAGNETIKOak erreferentzia sistema pribilegiatua du,
ETERra, pausagunean dagoena. GALILEO --> mekanika OK
3) GALILEOren transformazioa TXARRA --> MEKANIKA ALDATU BEHAR DA
MICHELSON & MORLEY-ren esperimentu NULUA (1887)
4
3.2-Einsteinen bi postulatuak.
5
EINSTEINen POSTULATUAK (1905)
1) ERLATIBITATEAREN PRINTZIPIOA: Erreferentzia-sistema inertzial guztietan fisikaren oinarrizko
legeak modu berean adierazten dira.
2) ARGIAREN ABIADURAREN (hutsean) ALDAEZINTASUNAREN PRINTZIPIOA: Hutsean argiaren
abiadura berbera da erreferentzia-sistema inertzial guztietan; ez da behatzailearen eta iturriaren
abiaduraren menpeko.
ARGIA GELDI DAGOENEKO ERREFERENTZIA SISTEMARIK EZ DAGO: ez dago argiaren
erreferentzia-sistemarik eta, hortaz, sistemen arteko abiadura erlatiboa ezin daiteke c izan
Erreferentzia-sistemen arteko abiadura erlatiboaren modulua beti da c baino txikiagoa.
2. postulatuak aldiberekotasunaren kontzeptu Galilearra zalantzan jartzen du: GERTAEREN
aldiberekotasunaren kontzeptua ez da aldaezina, erlatiboa baizik.
LORENTZen TRANSFORMAZIOA
- Uhin ekuazioa aldaezina (alegia uhin Elektromagnetikoak)
Maxwellen ekuazioak
Uhin ELEKTROMAGNETIKOak
- c aldaezina
- Abiadura txikien hurbilketan
GALILEO
6
3.3-Lorentz-en transformazioa: parametrizazio desberdinak,
espazioaren-en uzkurdura, denboraren zabalkuntza.
7
LORENTZen TRANSFORMAZIOA
y
v
x)
c2
(2) x = (x + vt )
(1)
t = (t +
(3)
y=y
(4)
z=z
OINARRIZKO PARAMETRIZAZIOA
y
t = (t
⇥v
z
z
⇥=⇥
1
0
1
v2
c2
1;
=
1
(5)
x
x = (x
x
y =y
(7)
1
z =z
(8)
1
2
⇥
⇥
8
v
x)
c2
vt)
(6)
argizpiak norabide guztietan
ON, OFF
y y
t=t =0
⇥v
x
z
O
UHIN FRONTEA
x
O
z
y
y
r = ct
⇥v
r = ct
x
O
x
O
z
z
r2 = x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = c2 t 2
EINSTEINen 2. POSTULATUA
9
ERLATIBITATEAN ere ZENBAIT MAGNITUDE ALDAEZIN (ABSOLUTUAK)
ESPAZIO-DENBORA TARTEA ALDAEZINA
⇥
⇧ GS (t, ⌦r) ⌃
⌅
⇤
GS (t , r⌦ )
s
2
= c2 t 2
x2
c2 t 2
y2
z 2 = c2 t2
x2
2
r⌅ =
LORENTZ
= c2 t2
y2
z 2 = s2
⌅r2
OROKORKI
⇤
⌅
G
(t
,
⌦
r
)
⌥ 1S 1 1
⇧
⌃
G2S (t2 , ⌦r2 )
⇥
s2 = c2 (t2
(x2
t1 )2
x1 )2 + (y2
y1 )2 + (z2
z1 )2
ALDAEZINA
Hau da, METRIKA ez-euklidearra duen 4D-ko “espazio” batean, MINKOWSKIren UNIBERTSOAn, 2
puntuen arteko “distantzia” gisa har daiteke
(x0 , r)
(x0 , x1 , x2 , x3 )
10
(ct, x, y, z)
⇥
y
z
y
⇥
⌥
⇧x⇥0 = ct⇥ = ⇥(ct
x (9)
⌥
⇤
x
z
r⌥⇥ = ⌥r +
⇥
⌥ · ⌥r)⌥
⌃
⌥ · ⌥r) = ⇥(x0
(⇥ 1)
2
( ⌥ · ⌥r) ⌥
⇥ x0
LORENTZ
transformazioa
⌥
⌅
BESTE PARAMETRIZAZIOA
⌅ = ⌅v ;
c
⇥ = (1
= ⌅ ;
0
)
1⇥⇥⇥⇤
2
(5)
1/2
;
LORENTZ
transformazioak
(6)
1
(10)
⌅
⇥⇥ = sh⇤
⇥
x1 sh ⌃
⇧ x0 = x0 ch
⇤
x1 =
= th⇤
⌅
⇤ ⇥ = ch⇤
x0 sh + x1 ch
⌅
= boost
edo
azkartasun
parametroa
(11)
KOORDENATUEN BIRAKETA DIRUDI, BAINA FUNTZIO HIPERBOLIKOEKIN
11
ESPAZIOAren UZKURDURA
y
S
y
S*⇥v
S* erreferentzia-sistema PROPIOa,
bertan hagaxka pausagunean baitago
t=t1
z
O
x1
O
z
t = t2
t=t2
x2
x=
x
x
x
x
PROPIOA
1
t1 = 0
DENBORAren ZABALKUNTZA
S* PROPIOa, bertan erlojua
t = t1
S*
t = t2
S*
pausagunean baitago
t ⇥
t⇥ = t⇥ 2
t⇥ 1
denbora-tarte PROPIOa
O
x0
t=
x0
O
t
1
x =0
2 erloju
Behatzailearekiko higitzen diren erlojuak atzeratu egiten dute
12
erloju bat
3.4-Minkowskiren unibertsoa: Espazio-denbora tetrabektorea,
Minkowskiren diagramak, kalibrazio hiperbola.
13
MINKOWSKIren UNIBERTSOA
A
B
x’ ardatzeko A, B, C puntutan geldi dauden 3 partikula AB=BC
x = xC
x = xA
t
x = xB
MINKOWSKIren DIAGRAMAK eta ALDIBEREKOTASUNAren ERLATIBOTASUNA
lerroak partikularen unibertso-lerroa adierazten du
x
C
Lerroaren puntu bakoitzak (t’,x’) adierazten du
GERTAERA baten espazio-denbora koordenatuak
PARTIKULA GELDI
Unibertso-lerroaren
ekuazioa x = xA
Lerro osoak PARTIKULAREN HISTORIA adierazten du
x
=
x = xC
t
x = xB
S’
x = xA
Demagun t’=0 aldiunean; B-tik 2 argizpi igortzen direla
x
x
B
A1
A
=
xB
C1
ct
B
C
+
ct
⇥
C1 gertaera
C1 (t1 ; xC )
A1 gertaera
A1 (t1 ; xA )
}
ALDIBEREKOAK
S’-n
x
l
l
ERAIKITAKO DIAGRAMAN ALDIBEREKOAK DIREN GERTAEREN TOKI GEOMETRIKOAK
t’=kte ZUZENAK DIRA
14
y S y S’
⇥v
S: x = xA + vt
A-ren unibertso-lerroa
x = xB + vt B-ren unibertso-lerroa
B
C
x = xC + vt C-ren unibertso-lerroa
x
x
x
tA
=
xB
x
ct
A’
A
B
=
+
xC
vt
x=
+
xB
xA
S
x=
tC
x=
t
+
vt
vt
A
xB
+
ct
C’
malda C
malda v
x
C
A
argizpia A-ra heldu da
C
argizpia C-ra heldu da
A’ eta C’ EZ dira ALDIBEREKOAK
S-n
tA
=
A’
A
B
S eta S’ ELKARREKIN
xB
+
xC
C’
malda C
malda v
x
A
argizpia A-ra heldu da
C
argizpia C-ra heldu da
A’ eta C’ EZ dira ALDIBEREKOAK
S: tA < tC
ADIERAZ DAITEZKE !!
S-n
S’: tA = t C
t
t
vt
S’
C’
A’
t=t’=0 A
ct
C
x=
x=
=
+
xA +
t
vt
t
S
x=
ct
x
xB
vt
xB
x=
x
+
S
xA
tC
x=
t
+
vt
vt
15
t’=kte
tp
x
paraleloak
B
C
x
t’=0 ardatzak aldiberekotasuna
adierazten du
16
P
t’p
x
x’p
xp
xp = (xp
tp = (tp
x
vtp )
v
xp )
c2
MINKOWSKIren DIAGRAMAK
(t, ⌅r)
METRIKA ARAZOAK AURREKO DIAGRAMETAN
(ct, ⇧r)
MINKOWSKIren DIAGRAMAK
DIAGRAMA HAUETAN, JATORRITIK IRTENDAKO ARGIZPIAK KOADRANTEEN ERDIKARIAK DIRA.
45º
x
ct
=
=
ct
S’’
S
x
x
x
=
c
ar t
giz
pì
a
S
S’
x
ct
ct
ct
x
x =c
= t
ct
S
ct
ct
x
x
x
KALIBRAZIO HIPERBOLA
DIAGRAMA BEREAN AGERI DIREN KOORDENATU-SISTEMA DESBERDINETAN (S, S’, S’’ alegia)
ERABILTZEN DIREN LUZERA ESKALAK BERDINAK AL DIRA?
GERTAERA BAKOITZA PUNTU BAKARRAZ ADIERAZTEN DA.
KONTSIDERA DITZAGUN 2 GERTAERA (0,0) eta (ct,x)
s2 = c2 t2
x2 = c2 t 2
17
x 2 = c2 t
2
x
2
s2 = c2 t2
x2 = c2 t 2 x 2 = c2 t 2 x 2
DEMAGUN ESPAZIO-DENBORA TARTEAK s2 = 1 BALIO DUELA
ct
ct
ct
x2 c2 t2 = 1
hiperbola ekilateroa
x
=
ct
hiperbola ekilateroaren
eskuineko adarra
B
O
OA2 ⇥ x2A
x
A
OB 2
x
C
x2B
c2 t2A = x2A = 1 ⇤ OA = 1; S-n
c2 t2B = xB2
x
x
c2 tB2 = xB2 = 1 ⇥
=
OB = 1;
ct
OC 2 ⇥ xc 2
S’-n
c2 tc 2 = xc 2 = 1 ⇤ OC = 1; S’’-n
HIPERBOLA
KALIBRAZIO HIPERBOLA, ERREFERENTZIA-SISTEMA DESBERDINEN
ESKALAK ERLAZIONATZEKO
ct
ct
G
L2
v
(ct =) x
c
L2
G
x
x
x
c
(ct =) x L1
v
18
L1
3.5-Espazio-denbora tarteak: Argi-konoa. Denbora propioa.
19
ESPAZIO-DENBORA TARTEA
G1 eta G2 GERTAEREN ARTEKO ESPAZIO-DENBORA TARTEA da:
s2 = c2 t2
r
nahiz eta karratu moduan idatzi,
2 gertaera aldiberekoak
⇤
2
= c2 t2
( x2 +
y2 +
z2)
s2 negatiboa izan daiteke
t=0⇥
0
s2
positiboa ere izan daiteke
2 gertaera puntu berean jazotzen badira
⇤r = 0 ⇥
s2
0
s2-ren ZEINUAREN ARABERA HIRUTAN SAILKATZEN DIRA 2 GERTAERA DESBERDINEN
ARTEKO ESPAZIO-DENBORA TARTEAK
20
s2 < 0
ESPAZIO MOTAKO TARTEAK
s2 < 0
2 GERTAEREN arteko ESPAZIO-TARTEA > DENBORA-TARTEA
t ⇥
⌦r > c
s2 = c2 t2
x2 < 0;
( y=
x
t
t =0
t>0
t <0
ct ct ct
x >0
2
1
c2
⇥ ve < c
x/ t
v î abiaduraz higitzen den sisteman
v
x) =
c2
t = ( t
t <0
>c
ve
Hasierako S sistemarekiko
x
x
x
v <c
definituz
x >0
x>0
z = 0)
⇥
⇤
⌃v = ve ⌥
v < ve
⌅
⇧
v > ve
t =0
t>0
t <0
2 GERTAEREN DENBORA-ORDENA EZ DA ABSOLUTUA
ESPAZIO MOTAKO TARTEA
v
)
ve
t(1
KAUSALITATE ARAZOAK
ERLAZIO KAUSALIK GABEKOAK
HONELAKO 2 GERTAEREN ORDEN ESPAZIALA EZIN DAITEKE ALDATU
21
DENBORA MOTAKO TARTEAK
c
t >
⇧r
s2 > 0
s2 = c2 t2
t >0
t>0
t >0
s2 > 0
⇥
x2 > 0 ⇥
x <0
t
<c
ve
higitzen den sisteman
v
c2
t = ( t
x
x
x
x <c
x
⇥ ve < c
t
Hasierako S sistemarekiko v î abiaduraz
x =0
x>0
1
x
t
definituz
2
ct ct ct
⇤
y=0
z=0
ve < c denez
vve
x) =
t(1
)
c2
vve
(1
)>0⇥ t >0
c2
EZ DAGO DENBORA-ORDENA ALDATZERIK
HORRELAKO 2 GERTAERA EZ DIRA
ALDIBEREKOAK INONGO ERREFERENTZIA-SISTEMATAN
DENBORA MOTAKO TARTEA
KAUSALA IZAN DAITEKE
HONELAKO 2 GERTAEREK ORDENA ESPAZIALA ALDA DEZAKETE eta PUNTU BEREAN GERTA
⇥
DAITEZKE
x = ( x
v t) =
x(1
v
)=
x/ t
22
x(1
⇧v = ve ⌃
v
) ⇥ v < ve
⇤
⌅
ve
v > ve
x =0
x>0
x <0
s2 = 0
⇥
⇤
2
y
=
0
s =0
z=0
ARGI MOTAKO TARTEAK
⌅r = c
t
s2 = c2 t2
x2 = 0 ⇥
x
t
2
1
x
x
x
x
⇥ ve = c
t
Hasierako S sistemarekiko v î abiaduraz
definituz
x >0
x >0
x>0
v <c⇥
t
= c ⇥ espazio-denbora tartea=0
t >0
t>0
t >0
ct ct ct
x =c
ve
higitzen den sisteman
⇥
⌃ (1
⌅ (1
v
vve
t = ( t
x)
=
t(1
)
c2
c2
⇤
vve
)
>
0
⌥Δt berbera (zeinua) sistema orotan
c2
v
ve )
> 0 ⇧Δx berbera (zeinua) sistema orotan
EZ DAGO DENBORA-ORDENA zein ESPAZIO-ORDENA ALDATZERIK
2 GERTAERA EZ DIRA ALDIBEREKOAK INOLAKO ERREFERENTZIA-SISTEMATAN
2 GERTAERA EZ DIRA PUNTU BEREAN GERTATUKO INOLAKO ERREFERENTZIA-SISTEMATAN
ERLAZIO KAUSALA EGON DAITEKE
23
ARGI-KONOA
G0 GERTAERA BATEKIN ESPAZIO-DENBORAKO TARTE NULUA DEFINITZEN DUTEN PUNTUEN
TOKI GEOMETRIKOA G0-ren ARGI-KONOA DA eta ERREFERENTZIA-SISTEMA INERTZIAL
GUZTIETAN
s2 = 0 EKUAZIOAK EMANDAKOA DUGU
c2 (t
t0 )2 = (x
x0 )2 + (y
y0 )2 + (z
z0 )2
G0 BAINO BERANDUAGO JAZOTZEN DIREN GERTAERAK,
ERREFERENTZIA-SISTEMA INERTZIAL GUZTIETAN
G0-ren ONDORIO IZAN DAITEZKE
G0 BAINO LEHENAGO JAZOTZEN DIREN GERTAERAK,
ERREFERENTZIA-SISTEMA INERTZIAL GUZTIETAN
G0-ren ZERGATIA IZAN DAITEZKE
ARGI-KONOTIK KANPOKO GERTAERAK G0 BAINO
LEHENAGO, BERANDUAGO edo ALDIBEREAN JAZOTZEN
DIRA ERREFERENTZIA-SISTEMA DESBERDINETAN
EZ DUTE ERLAZIO KAUSALIK G0
GERTAERAREKIN
ct-ren ESKALA, X-renarekiko OSO DESBERDINA DA
argi-segundoa≈300 000 km
24
DENBORA-PROPIOA
y
ds2 = c2 dt2
⇤u(t)
x
S
z
S: d⇧r = ⇧udt
y
z
S’
S’:
x
dr⇤ = 0
ds2 = c2 d⇥ 2 = c2 dt2 (1
t2
2
denbora-propioa,
d
2
t1 =
1
⇥
d⇤
1
) ⇥ d⇤ = dt
dt =
2 (t)
2
= c2 dt2 (1
2
);
partikula pausagunean
dt
t
dr
d⇤
1
2 (t)
dt
1
}
ds2 = c2 d
2 (t)
=
dt
⇥(t)
2
(12)
= ⇥(t)d⇤
2
=
1
⇥(t)d⇤ ⇥ DENBORAren ZABALKUNTZA
> 1 baita
25
=
u
c