1 ….Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα. Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του ανθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύναμη αυτή δεν μπορείς πια να βρεις δικαιολογίες για τις ασήμαντες ή άναντρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμένη, ρίχνοντας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ , όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι ανθρώποι γύρα σου , εσύ μονάχα έχεις, ό,τι κι αν κάνεις, ότι κι αν γίνεις ακέραιη την ευθύνη. Και ντρέπεσαι τότε να γελάς, ντρέπεσαι να περγελάς αν μια φλεγόμενη ψυχή ζητάει το αδύνατο. Καλά πια καταλαβαίνεις πως αυτή είναι η αξία του ανθρώπου: να ζητάει και να ξέρεις πως ζητάει το αδύνατο και να’ ναι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως αν δεν λιποψυχήσει αν δεν ακούσει τι του κανοναρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δόντια την ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα να κυνηγάει το αδύνατο, τότε γίνεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοινός νους δε θα μπορούσε να το μαντέψει: το αδύνατο γίνεται δυνατό. Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του ¨Καπετάν Μιχάλη¨ ) 2 Η Τρελή Ροδιά Σ' αυτές τις κάτασπρες αυλές όπου φυσά νοτιάς Σφυρίζοντας σε θολωτές καμάρες, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που σκιρτάει στο φως σκορπίζοντας το καρποφόρο γέλιο της Με ανέμου πείσματα και ψυθιρίσματα, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που σπαρταράει με φυλλωσιές νιογέννητες τον όρθρο Ανοίγοντας όλα τα χρώματα ψηλά με ρίγος θριάμβου; Όταν στους κάμπους που ξυπνούν τα ολόγυμνα κορίτσια Θερίζουνε με τα ξανθά τους χέρια τα τριφύλλια Γυρίζοντας τα πέρατα των ύπνων τους, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που βάζει ανύποπτη μεσ' τα χλωρά πανέρια τους τα φώτα Που ξεχειλίζει από κελαηδισμούς τα ονόματά τους, πέστε μου Είναι η τρελλή ροδιά που μάχεται τη συννεφιά του κόσμου; ………………………. Πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά που χαιρετάει τα μάκρη Τινάζοντας ένα μαντήλι φύλλων από δροσερή φωτιά Μια θάλασσα ετοιμόγεννη με χίλια δυο καράβια Με κύματα που χίλιες δυο φορές κινάν και πάνε Σ' αμύριστες ακρογιαλιές, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που τρίζει τ' άρμενα ψηλά στο διάφανον αιθέρα; Πανύψηλα με το γλαυκό τσαμπί που ανάβει κι εορτάζει Αγέρωχο, γεμάτο κίνδυνο, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που σπάει με φως καταμεσίς του κόσμου τις κακοκαιριές του δαίμονα Που πέρα ως πέρα την κροκάτη απλώνει τραχηλιά της μέρας Την πολυκεντημένη από σπαρτά τραγούδια, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που βιαστικά ξεθηλυκώνει τα μεταξωτά της μέρας; Σε μεσοφούστανα πρωταπριλιάς και σε τζιτζίκια δεκαπενταυγούστου Πέστε μου, αυτή που παίζει, αυτή που οργίζεται, αυτή που ξελογιάζει Τινάζοντας απ' τη φοβέρα τα κακά μαύρα σκοτάδια της Ξεχύνοντας στους κόρφους του ήλιου τα μεθυστικά πουλιά Πέστε μου, αυτή που ανοίγει τα φτερά στο στήθος των πραγμάτων Στο στήθος των βαθιών ονείρων μας, είναι η τρελλή ροδιά; Οδυσσέας Ελύτης "Η θητεία του καλοκαιριού" 3 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Συναρτήσεις "Τα Μαθηματικά είναι η εξύψωση της κοινής λογικής" Lord Kelvin Πεδία ορισμού. Χρήσιμες προτάσεις για εύρεση του πεδίου ορισμού. Aν μας ζητούν να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης να έχουμε υπόψη ότι: h( x ) πρέπει g ( x) ≠ 0 . • Aν f ( x) = g ( x) • Aν f ( x) = ν g ( x) • Aν f ( x) = ln ( g ( x) ) πρέπει g ( x) ≥ 0 . πρέπει g ( x) > 0 . • Aν f ( x) = εϕ ( g ( x) ) πρέπει g ( x) ≠ κπ + • Aν f ( x) = σϕ ( g ( x) ) π , κ ∈. 2 πρέπει g ( x) ≠ κπ , κ ∈ . Μέθοδος. Πρακτικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι η απάντηση στην ερώτηση: «Τι τιμές μπορεί να πάρει το x ώστε το f ( x) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού;» Π.χ. Έστω f (= x) ln(1 − x) . Αναζητώ τις τιμές του x για τις οποίες το f ( x) έχει νόημα. Επειδή ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικούς αριθμούς πρέπει: 1 − x > 0 ⇔ x < 1. Άρα πεδίο ορισμού: D f = (−∞,1) . Παρατήρηση. Το πεδίο ορισμού το βρίσκουμε από τον τύπο της συνάρτησης f όπως μας δόθηκε αρχικά και όχι στη μορφή που προκύπτει μετά από τυχόν πράξεις ή απλοποιήσεις. x2 − 1 Π.χ. Αν απλοποιήσουμε τον τύπο της f ( x) = έχω f ( x)= x + 1 και από αυτόν τον x −1 απλοποιημένο τύπο προκύπτει ότι D f = , που είναι λάθος, αφού ο σωστός προκύπτει από την αρχική μορφή και είναι D f= − {1} . Κ. Αδαμόπουλος 4 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/01. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 1 Β) f ( x) = 6 − x + 2 x − 1 Α) f ( x) = 2 x − 2x Δ) f ( x) = log(4 x − 2 x − 12) Γ) = f ( x) ln 32 x − 81 ( ) x−4 +2 x −1 f= ( x) 2 x 1 − ln x Ε) = f ( x) Ζ) Θ) f ( x) = ΣΤ) x−4 x −1 ( ) Η) = f ( x) ln e 2 x − 1 x x −2 x −3 π ΙΑ) f ( x) = x + εϕ 2 x + 2 f ( x) = Ι) f ( x) =x 2 − x 2 − x IB) f ( x) = 1+ 3 x + 2 x−3 x2 − 1 1+ 5 − x ΙΔ) f ( x) = ΙΕ) f ( x) = IΓ) f ( x= ) x + 3 − 2x x −1 ln x − 1 ln x + 6 − x 1 ΙΖ) f ( x) = 1 + 2ηµx − 1 ΙΗ) f ( x) = f ( x) = 2x − 4 ln x ΓA/02.Για ποιες τιμές του λ ∈ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2 f ( x)= IΣT) (λ − 2) x 2 − 2λx + 2λ − 3 είναι το ; Παρατήρηση. Aν μας ζητούν να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης να έχουμε υπόψη ότι: x ∈ D f αν και μόνο αν το f ( x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Π.χ. Αν η f έχει D f = [1,5] για να βρω το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ( x) = 1 + f ( x + 2) σκέπτομαι ότι πρέπει το g ( x) να έχει νόημα, άρα το f ( x + 2) να έχει νόημα άρα ( x + 2) ∈ D f ⇔ 1 ≤ x + 2 ≤ 5 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 . Τελικά Dg = [−1,3] . ΓA/03.Aν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι: D f = [1,7] , τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: g= ( x) f (3 x − 2) B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ϕ( x)= 3 f (1 − 2 x) + 3 Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( x)= f ( x − 1) + f ( x + 3) . ΓA/04. Aν f ( x)= 3 6 − x + x − 1 , τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f . Κ. Αδαμόπουλος 5 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις x B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ϕ(= x) 2 f + 1 + 3 2 Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( x)= f ( x + 1) − 2 f (2 x − 1) . ΓA/05. Aν f ( x= ) 2ln(7 − x) + 3 x − 1 , τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f . B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: g ( x= ) 2 f ( x + 1) + f ( x − 2) Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( x= ) f ( x 2 + 1) − 2 f ( x − 1) . ΓA/06. Α) Aν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0,1) , βρες το πεδίο ορισμού της h( x) = f ( ln x ) . Β) A) Aν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα 3, 65 , βρες το πεδίο ορισμού της ϕ(= x) f ΓA/07. Aν η συνάρτηση ( ) 2x + 1 . f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ −3,7 ] βρείτε το πεδίο ορισμού της g (= x) f (1 − 2 x ) Β) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D f = [1, 4] βρείτε το πεδίο ορισμού της: g ( = x) f ( x − 3) − f ( x − 2) . Γραφική παράσταση Παρατήρηση. Επειδή σε κάθε x ∈ D f αντιστοιχεί ένα και μόνο y = f ( x) , κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη C f σε ένα το πολύ σημείο. ΓA/08. Αν f ( x) =x + 2 x − 1 γράψτε τον τύπο της χωρίς το απόλυτο, σχεδιάστε τη γραφική της παράσταση και βρείτε το σύνολο τιμών της. ΓA/09. Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις και να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: Α) f = ( x) ln( x − 1) Γ) f ( x) = ηµ 2 x + 1 , x ∈ [0, π] Β) f = ( x) 2x + 1 Δ) f ( x) = συνx , x ∈ [0, 2π] Σχόλιο. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο των τετμημένων όλων των σημείων της C f , ενώ το σύνολο των τεταγμένων όλων των σημείων της C f είναι το σύνολο τιμών της f . Κ. Αδαμόπουλος 6 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/10. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το Συναρτήσεις γράφημα μιας συνάρτησης f . Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της Β)Βρείτε τις τιμές: f (−2) , f (0) και f ( f (−1) ) . Γ) Λύστε τις εξισώσεις: f ( x) = 0 και f ( x) = −2 . Δ) Λύστε τις ανισώσεις: f ( x) < 3 και f ( x) ≥ 0 . Ε) Βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f ( x) = α για τις διάφορες τιμές του α. Πρόταση. Ένα σημείο Μ ( x0 , y0 ) ανήκει στη C f αν και μόνο αν f ( x0 ) = y0 . Π.χ. το Μ (1,3) ανήκει στη γραφική παράσταση της f ( x) = x 2 − 2 x + 4 αφού προφανώς f (1) = 3 , ενώ το Ν (2,1) όχι αφού f (2) ≠ 1 . ΓA/11. Αν f ( x) = x 2 + x + 2 κ , βρείτε το κ ∈ ώστε το σημείο Μ (2, κ) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f . x Όμοια αν g= ( x) 2ln + κx 2 , βρείτε το κ ∈ ώστε το σημείο Μ (2,3) να 2 ανήκει στη γραφική παράσταση της g . ΓA/12. A) Βρείτε τα α, β ∈ ώστε τα σημεία Α(α,3) και Β(β ,3β + 1) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x= ) 2 x − 1. B) Όμοια τα α, β ∈ αν τα Α(1,3) και Β(−1,1) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ( x= ) x 2 + αx + β . Πρόταση. Για να βρούμε το σημείο τομής της C f με τον άξονα x′x θέτω στον τύπο της f , x = 0 (και έτσι βρίσκουμε την τεταγμένη του σημείου τομής), ενώ για να βρούμε το σημείο τομής της C f με τον άξονα x′x θέτω στον τύπο της f , y = 0 . Π.χ. Βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες αν f ( x= ) x2 − 4 . Για x = 0, y = −4 άρα τέμνει τον y′y στο Α(0, −4) . Για y = 0 , x 2 − 4 =0 ⇔ x =2 ή x =−2 άρα τέμνει τον x′x στα Β(−2,0) και Γ(2,0) . Κ. Αδαμόπουλος 7 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/13. Α) Αν Συναρτήσεις f ( x) = x 2 − 3 x + 2 βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. Β) Όμοια για την f ( x) = 4 x + 2 x − 6 . Γ) Όμοια για την f ( = x) 2ln( x − 1) − 2 . ΓA/14. Αν το σημείο Α(5, 2) ανήκει στη γραφική παράσταση της f ( x) = κ − x + 4 : Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f και το κ ∈ . Β) Βρείτε τα σημεία τομής της f με τους άξονες. Γ) Βρείτε το λ ∈ αν το σημείο Β(−3, λ) ανήκει στη C f . Μέθοδος. Για να βρούμε τα σημεία τομής των C f και Cg λύνουμε την εξίσωση f ( x) = g ( x) . Οι λύσεις της είναι οι τετμημένες των σημείων τομής. Π.χ. Βρείτε τα σημεία τομής των γρ. παραστάσεων των f ( x) = x 2 και g ( x)= x + 2 . Είναι: f ( x) =g ( x) ⇔ x 2 =x + 2 ⇔ x 2 − x − 2 =0 ⇔ x =2 ή x =−1 . Άρα τα σημεία τομής τους είναι τα: Α(2,4) και Β(−1,1) . Οι C f και Cg τέμνονται πάνω στην ευθεία x = α αν και μόνο αν f (α ) = g (α ) . ΓA/15. Α) Βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f ( x) = x 2 και g ( x)= x + 6 . Β) Όμοια για τις f ( x) = x 3 και g ( x= ) 3x − 2 . ΓA/16. Βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f ( x) = x + ln ( x + e 2 − 1) και g ( x)= x + 2 . ΓA/17. Αν f ( x= ) x 2 + αx + α − 4 με α ∈ και η C f διέρχεται από το Α) τον αριθμό α . σημείο Μ (−3,5) να βρείτε: Β) τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. Γ) τα σημεία τομής της C f με τη Cg όπου g ( x) = −4 x + 1. Κ. Αδαμόπουλος 8 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Μέθοδος. Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x′x λύνουμε την ανίσωση f ( x) > 0 και αντίστοιχα για τα διαστήματα όπου η C f βρίσκεται κάτω από τον x′x την ανίσωση f ( x) < 0 . Επίσης για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από την Cg λύνουμε την ανίσωση f ( x) > g ( x) . Π.χ. Βρείτε τα διαστήματα όπου η f ( x) = x 2 − 4 x + 3 βρίσκεται κάτω από τον x′x . Λύνουμε την f ( x) < 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 < 0 ⇔ 1 < x < 3 . Άρα στο διάστημα ∆ =(1,3) . ΓA/18. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x= ) x 2 + αx + β και g( x= ) x 3 − 3 x 2 + β − 6α με α, β ∈ . Αν η C f τέμνει τον άξονα x′x στο -3 και η Cg τέμνει τον άξονα y′y στο σημείο με τεταγμένη −6 , να βρείτε: Α) τους Β) Τα σημεία τομής των C f και Cg . αριθμούς α , β . Γ) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τη Cg . ΓA/19. Βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της f ( x) = x3 − 2 x 2 − x + 2 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x′x . ΓA/20.Aν ) 3 x − 2 βρείτε τα διαστήματα όπου η C f f ( x) = x 2 και g ( x= βρίσκεται κάτω από τη Cg . ΓA/21. Αν f ( x) = x3 + 5 x + e x και g ( x= ) 6 x + e x βρείτε τα x ∈ για τα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τη Cg ; ΓA/22. Αν f ( x) =k − x + 1 . Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β) Αν το Α(3,1) ανήκει στη C f δείξτε ότι k = 3 . Γ) Αν k = 3 βρείτε που η C f τέμνει τους άξονες. ΓA/23. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x + k . x+3 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β) Αν το Α(1, 2) ανήκει στη C f Γ) Αν k = 7 βρείτε που η C f τέμνει τους άξονες. δείξτε ότι k = 7 . ΓA/24. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = αx 2 + βx + γ με α ≠ 0 . Bρείτε τα α, β, γ ∈ αν το σημείο Α(−1,6) ανήκει στη C f και η C f τέμνει τον άξονα yy ' στο σημείο Β(0, 2) ενώ τον x′x στο σημείο Γ(1,0) . Κ. Αδαμόπουλος 9 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συμμετρίες (Άρτια – περιττή) Συναρτήσεις Πρόταση. Έστω f : A → συνάρτηση τέτοια που για κάθε x ∈ A να είναι f ( x) για κάθε x ∈ A , − x ∈ A . Τότε: f άρτια αν f (− x) = ένώ f περιττή αν f (− x) = − f ( x) για κάθε x ∈ A . Οι περισσότερες συναρτήσεις δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. ΓA/25. Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές. f ( x) = ηµx , g ( x) = συνx , h( x= ) x 2 + 1, c( x= ) x 3 + 2 x , k ( x ) = x 2 + x + 1, ϕ( x= ) x + συνx , s ( x) = x − 2 + x + 2 , r( x) = x + 1 − x − 1 xηµx , σ( x ) = x2 + 1 x 3 − x 2 + 1 , αν x < 0 1− x . q( x) = ln 3 , π( x) = 2 1 , 0 x x x + − αν > 1+ x Πρόταση. Αν η συνάρτηση f είναι περιττή τότε f ( 0 ) = 0 . Απόδειξη: Αφού f περιττή f (−0) = 0 0. − f (0) ⇔ 2 f (0) =⇔ f (0) = ΓA/26. Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές. ) 3 x + ηµx , c( x= f ( x= ) x 3 + x , g ( x) =x 4 + 2 x 2 + 3 , h( x= ) x 2 + ηµx x xηµx , σ( x ) = , k ( x= ) x 2 + συνx , ϕ( x) = x 2 + x + 3 , s ( x) = 2 x +1 συνx + 2 x 3 + 5 x 2 − 3 , αν x ≤ −1 3− x . q( x) = ln 3 , π( x) = 2 − + αν ≥ x x x 5 3 , 1 3+ x ΓA/27. Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές. Κ. Αδαμόπουλος 10 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/28. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ) Λύστε τις εξισώσεις: f ( x) = 0 , f ( x) = 2 και f ( x) = −2 . Δ) Λύστε τις ανισώσεις: f ( x) > 0 , f ( x) < 0 , f ( x) ≤ 2 , f ( x) < −2 . E) Εξετάστε αν η f είναι άρτια ή περιττή. Ισότητα συναρτήσεων Μέθοδος. Για να δείξω ότι δύο συναρτήσεις f , g είναι ίσες πρέπει πρώτα να δείξω ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, και μετά ότι f ( x) = g ( x) για κάθε x ∈ Α . Το δεύτερο μόνο του δεν εξασφαλίζει την ισότητα. Π.χ. Οι x2 − 4 και g ( x)= x − 2 δεν είναι ίσες παρόλο x+2 ( x − 2 )( x + 2 ) = x − 2 = g ( x) , αφού D = − 2 ≠ D = . που f ( x) = {} g f x+2 συναρτήσεις f ( x) = x2 − 4 ΓA/29.A) Εξετάστε αν οι συναρτήσεις f ( x) = και g ( x)= x + 2 x−2 είναι ίσες . ΓA/30. Εξετάστε αν οι συναρτήσεις g ( x)= x − 1 ⋅ x − 4 είναι ίσες. ΓA/31. Εξετάστε αν οι συναρτήσεις g ( x)= f ( x) = ( x − 2)( x − 3) και x − 2 ⋅ x − 3 είναι ίσες . ΓA/33. Εξετάστε αν οι συναρτήσεις g ( x) = f ( x) = ( x − 1)(4 − x) και x − 1 ⋅ 4 − x είναι ίσες. ΓA/32. Εξετάστε αν οι συναρτήσεις g ( x) = f ( x) = ( x − 1)( x − 4) και f ( x) = ( x − 2)(3 − x) και x − 2 ⋅ 3 − x είναι ίσες. ΓA/34. Προσδιορίστε τα µ , λ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις: x 2 + λx − µ x 2 + ( µ + 5) x + λ + 1 και g ( x) = . f ( x) = x−λ+5 x + λ +1 Κ. Αδαμόπουλος 11 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/35. Προσδιορίστε τα µ , λ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις: x 2 + (µ − 1) x + 4 x 2 + λx + µ και g( x) = . f ( x) = x − µ +1 x−λ Βρείτε επίσης τα σημεία όπου η C f τέμνει τους άξονες. Πράξεις συναρτήσεων Μέθοδος. Στις πράξεις συναρτήσεων πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού και μετά τον τύπο της συνάρτησης που προκύπτει από τη συγκεκριμένη πράξη. Αν το πεδίο ορισμού είναι το κενό σύνολο ∅ τότε η συγκεκριμένη πράξη δεν ορίζεται. Π.χ. Αν f ( = x) x − 5 και g ( x) =+ 1 1 − x , τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση f + g αφού D f ∩ Dg = ∅ ⇔ D f + g = ∅ . ΓA/36. Αν f ( x ) = ln x και g ( x=) f + g , f −g , f ⋅g , 5 − x να ορίσετε τις συναρτήσεις: f . g ΓA/37. A) Αν f ( x ) = ln x και g ( x=) f + g , f −g , f ⋅g , f . g ΓA/38. ΓA/39. Αν f ( = x) x) 4 − x και g ( = ΓA/40. Αν f ( = x) 1 − x 2 βρείτε τις συναρτήσεις: Αν f= ) ( x) ln ( x − 2 ) και g ( x= x − 2 ορίστε τις f + g και f ⋅ g . 1 − x ορίστε τις f + g και f ⋅g. ( x) ln(4 − x) ορίστε f + g , f ⋅ g και x − 2 και g = f / g. 2x , x < 0 ορίστε τις συναρτήσεις: x +1 , x ≥ 0 ΓA/41. Αν f ( x ) = e x και g ( x) = f + g , f ⋅g . x2 , x < 0 x + 2 , x < 2 ΓA/42. Αν f ( x ) = και g ( x) = ορίστε τη ln x , x ≥ 2 x 1 , x 0 + ≥ συνάρτηση: f + g . Κ. Αδαμόπουλος 12 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) 2 x + 1, f ( x) = 2 x + 1, συναρτήσεις: f + g , f ⋅ g . 3x + 2 ΓA/44. Αν f ( x) = 2 x + 3 βρείτε τη συνάρτηση f + g . ΓA/43. Αν Συναρτήσεις x<2 x≥2 και g ( x) = ln x βρείτε τις ,x ≤ 2 − x + 2 , x < −1 και g ( x) = να − ≥ − x x ,x > 2 3 , 1 Σύνθεση συναρτήσεων Μέθοδος. Για να βρω το πεδίο ορισμού της f g , αναζητώ τα x ώστε το f ( g ( x ) ) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει το g ( x ) να έχει νόημα, άρα x ∈ Dg και στη συνέχεια το f ( g ( x ) ) να { έχει νόημα, άρα g ( x) ∈ D f . Δηλαδή : D f g = x ∈ Dg g ( x) ∈ D f Π.χ. Αν f (= x) ln(5 − x) με D f = (−∞,5) και g ( = x) } x − 1 με Dg= [1, +∞) . Τότε για το D f g αναζητώ τα x ώστε x ∈ Dg και g ( x) ∈ D f δηλαδή x ≥ 1 και x −1 < 5 ή ισοδύναμα x ≥ 1 και x < 26 . Άρα D f g = [1, 26) και ( f g )( x ) = ( ) f ( g ( x ) ) = ln ( 5 − g ( x ) ) = ln 5 − x − 1 . ΓA/45.A) Αν f ( x ) = ln x και g ( x=) 5 − x να ορίσετε τις συναρτήσεις: f g και g f . ΓA/46. Αν f ( x ) = ln x και g ( = x) f g , g f , f f και g g . ΓA/47. Προσδιορίστε τη συνάρτηση g ( x) = log x . 4 − x 2 να ορίσετε τις συναρτήσεις: f g αν f ( = x) ΓA/48. Α) Προσδιορίστε τη συνάρτηση f g αν f ( x= ) 2 − x και 1 − x και g ( x) = − x2 + 2 x . ΓA/49. Αν f ( x) = e x και g ( x) = ln x ορίστε τις f g και g f . Παρατήρηση. Εκτός ελάχιστων εξαιρέσεω ισχύει f g ≠ g f . ΓA/50. Αν f= ( x) 25 − x 2 και g ( = x) συναρτήσεις: f g , g f και g g . x − 3 να ορίσετε τις Κ. Αδαμόπουλος 13 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/51. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με f ( x= ) x 2 + 1 και g ( = x) Να οριστούν οι συναρτήσεις g f και f g . ΓA/52. Αν f (= x) g f και f g . x−5. ) x 2 + 1 να οριστούν οι συναρτήσεις 10 − x και g ( x= ΓA/53. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με f ( x) = ln x και g ( = x) ορίσετε τις συναρτήσεις g f , f g και f f . x − 1 . Να ΓA/54. Αν f (= x) α x + β με α ≠ 0 προσδιορίστε τα α , β ∈ ώστε για κάθε x ∈ να ισχύει ( f f )( x) + f (1 − x) = f ( x − 2) . ΓA/55. Αν f ( x= ) 3 x + α και g ( x) =βx + 2 να βρεθούν τα α, β ∈ ώστε f g = g f και οι C f , Cg να τέμνονται πάνω στην ευθεία x = 1 . ΓA/56. 1 + e x − 2 , x ≤ 3 Βρείτε τη f g αν g ( x)= 2 + ln x και f ( x) = . x−2 − > 1 , 3 e x Αποσύνθεση συναρτήσεων ΓA/57. Αν g ( x=) ΓA/58. Αν f ( x=) 4 x − 5 και ( g f )( x) = x3 − 4 x + 1 βρείτε την f . 2 x − 3 και ( f g ) ( x) = 4 x 2 − 10συν x − 1 βρείτε τη συνάρτηση g . Μέθοδος. Αν γνωρίζω την f ( g ( x) ) και θέλω να μάθω την f ( x) θέτω t = g ( x) . την f ( x) . Π.χ. Έστω f ( x − 3) = 2 x + x + 4 για κάθε x ∈ και θέλω να βρω Θέτω t= x − 3 οπότε x = t + 3 και έτσι η δοσμένη γίνεται: f (t )= 2(t + 3) + t + 3 + 4 και τελικά f (t ) = 2t + 6 + t + 7 δηλ. f ( x) = 2 x + 6 + x + 7 . ΓA/59. Αν f ( x + 1) = x 2 − x − 2 για κάθε x ∈ , βρείτε την f ( x) . ΓA/60. Αν f ( x − 2) = x 2 + x + 1 για κάθε x ∈ , βρείτε την f ( x) . ΓA/61. Αν f ( x) = 1 + x και ( g f )( x) = 1 − x 2 προσδιορίστε τις συναρτήσεις g και f g . ΓA/62. Aν g ( x) = ln x και ( f g )( x ) = x 2 − x + 2 βρείτε την f . ΓA/63. Αν ( g f )( x=) 3x + 2 και g ( x) = x + 1 βρείτε την f . x −1 ΓA/64. Αν g ( x=) e x − 2 και ( g f )( x ) = x 2 + x + 1, βρείτε την f . Κ. Αδαμόπουλος 14 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/65. Αν g ( x=) e x − 1 και ( f g )( x ) = x3 − 3x + 1, βρείτε την ΓA/66. Αν f (= x) ln x + 1 και ( f g )( x= ) 2 x + 3 βρείτε την g . ΓA/67. Αν ( f g )( x) = x + 1 και g (= x) x − 1 βρείτε την f . x +1 ΓA/68. Α) Βρείτε την f ώστε: ( g f )( x= ) 2 x − 1 g ( x) = B) Aν ( f g ) ( x= ) 2 x + 1 και g ( x) = Μονοτονία Συνάρτησης x−2 . x +1 x +1 βρείτε την f . x Πρόταση. Αν f ↑ ισχύει: x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x2 ) Αν f ↓ ισχύει: f. (Διατηρείται η φορά) x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) (Αλλάζει η φορά) Χρήσιμες προτάσεις στη μονοτονία Αν x1 , x2 θετικοί, τότε: Αν x1 , x2 Αν x1 , x2 Αν x1 , x2 Αν x1 , x2 x1 < x2 ⇔ x12 < x22 αρνητικοί, τότε: x1 < x2 ⇔ x12 > x22 1 1 oμόσημοι, τότε: x1 < x2 ⇔ > x1 x2 θετικοί, τότε: x1 < x2 ⇔ x1 < x2 αρνητικοί, τότε: x1 < x2 ⇔ x1 > x2 (Διατηρείται η φορά) (Αλλάζει η φορά) (Αλλάζει η φορά) (Διατηρείται η φορά) (Αλλάζει η φορά) Αν x1 , x2 μη αρνητικοί, τότε: x1 < x2 ⇔ x1 < x2 (Διατηρείται η φορά) ΓA/69. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: ϕ ( x) 2e3−2 x − 3 , r ( x) = ( x) 2ln x + e x +1 5 − 3 4 − x , k= f ( x= ) 2 x − 3 + 1, = x s ( x) =3 x + 2 x − 3 , 2 3 h( x) = − 2ln( x − 1) . 4 ΓA/70. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: f ( x= ) 2 x − 1 + 1 , ϕ ( x)= 3 − 2e 2 x −1 , r ( x) = 1 − 3ln(1 − x) , k (= x) x− 1 x x 3 s ( x) = + ln(2 x − 1) , 2 h( x) =2 x + ln( x + 1) , g ( x) = 1 − 2 x − e x . Κ. Αδαμόπουλος 15 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Γνωστές μονότονες συναρτήσεις είναι: ) α x + β . Είναι f ↑ στο αν α > 0 ή f ↓ αν α < 0 . • f ( x= Είναι f ↑ στο αν α > 1 ή f ↓ αν 0 < α < 1. • f ( x) = α x . Είναι f ↑ στο ( 0, +∞ ) . • f ( x) = ln x • f ( x) = v x . Είναι f ↑ στο [0, +∞) . • f ( x) = Είναι f ↓ στα ( −∞,0 ) και ( 0, +∞ ) αν α > 0 α . x ή f ↑ ( −∞,0 ) και ( 0, +∞ ) αν α < 0 . • f ( x) = α x v με v περιττό. Είναι f ↑ στο αν α > 0 ή f ↓ αν α < 0 . Είναι f ↑ στα διαστήματα που ορίζεται. • f ( x) = εϕ x . ΓA/71. Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: ΓA/72. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: x 1 ϕ= ( x) − 2 x , f ( x) =− 1 2x + 2 − x , 2 x 2 x k ( x)= x + e = s ( x) − e x , 3 g= ( x) ln (1 − 3 x ) , r ( x= ) ex + 1 − 3 , h( x ) = 2 − x + 1 − x , −x q ( x)= x + ln x . 3 2 ) − α( x= 2 x 3 Κ. Αδαμόπουλος 16 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/73. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: Συναρτήσεις x 1 1 ϕ ( x) = − 2 x3 + 1 , f ( x) =4 − 8 − 2 x , r ( x) = − ln( x − 1) , x 2 k (= x) 2 x3 + 3e x h( x ) =2 x + x − 2 , s ( x) = x 2 + x − 1 , 1 − ln 2 x . g ( x) = 1 − 2ln ( 2 x − 1) , q ( x)= x ΓA/74. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο , μελετήστε την g ( x= ) 2 f (3 − x) − f ( x) + 1 ως προς τη μονοτονία. ΓA/75.A) Aν f γνησίως αύξουσα στο και για κάθε x ∈ ισχύει: f ( x) > 0 , μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: 1 = s ( x) − 3x , = g ( x) 2 f ( x) + 1 − 3 , h( x) = 1 − 2ln f ( x) , f ( x) B) Aν f γνησίως φθίνουσα στο και για κάθε x ∈ ισχύει: f ( x) > 0 , μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: k ( x) = 1 + f 3 ( x= ) , q( x) 2ln f ( x) − x και ϕ= ( x) f ( f ( x) ) − 3e f ( x ) αν ορίζεται το f ( f ( x) ) για κάθε x ∈ . ΓA/76. A1) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: g ( x)= x + ex στο . Α2) Αν για τη συνάρτηση f : → ισχύει f ( x) + e f ( x ) = 2 x + 1 για κάθε x ∈ να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. 1 Β) Δείξτε ότι αν h : → (0, +∞) ώστε να ισχύει: − ln h( x) = x −1 h( x ) για κάθε x ∈ (0, +∞) , δείξτε ότι η h είναι γνησίως φθίνουσα. 1 ln 1 1 h( x) − ln h( x) =e + ln h x h x ( ) ( ) ΓA/77. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο με f ( x) > 0 για κάθε x ∈ , μελέτησε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις : g ( x)= f (2 − x) − f ( x) + x και = ϕ ( x ) ln ( f ( x) ) + e f ( x ) − x . Κ. Αδαμόπουλος 17 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Μέθοδος.Αν στα πρώτα ερωτήματα μιας άσκησης μελετώ μια συνάρτηση f και στη συνέχεια μου ζητούν να λύσω μια εξίσωση ή μια ανίσωση, τότε θα πρέπει να εμφανίσω την f και να εκμεταλλευτώ τα συμπεράσματα των πρώτων ερωτημάτων. Π.χ. αν στο 1ο ερώτημα έχω αποδείξει ότι η f ( x)= x + ln x είναι «1-1» και στο 2ο μου ζητούν να λύσω την εξίσωση x 2 − ln x =− x 2ln x θα έχω: x 2 − ln x =x − ln x 2 ⇔ x 2 + ln x 2 =x + ln x ⇔ f x 2 =f ( x) και επειδή f «1-1» ( ) είναι x 2 = x ⇔ x ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 αφού η x = 0 απορρίπτεται. ΓA/78. Αν f ( x) =e x + ln x + 1 μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και λύστε την ανίσωση: e 2 x − ln( x + 1) < e x+1 − ln 2 x . ΓA/79. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η οι ανισώσεις: α) 23 x + 3 x > 2 x + 2 + x + 2 2 β) 23 x − x − x 2 > 26 − 2 x − 5 x + 6 . ) 2 x + x και να λυθούν f ( x= και ΓA/80. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: 2 = f ( x) 3 x −1 2 − e x +1 και λύστε την: 3 x 2 −1 2 + e 2 x+1 < e x +1 + 3 2 x −1 2 . ΓA/81. Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( x)= ln x + x − 1, λύστε την εξίσωση f ( x) = 0 καθώς και την ανίσωση 3x ln 2 < x 2 − 3x + 2 . x +2 Πρόταση. Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, έχει σε αυτό το πολύ μια ρίζα. Απόδειξη: Έστω ότι η f έχει στο Δ δύο ρίζες x1 < x2 .Τότε f= ( x1 ) f= ( x2 ) 0 . Αν f ↑ στο Δ είναι: x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇔ 0 < 0 Άτοπο. Αν f ↓ στο Δ είναι: x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) ⇔ 0 > 0 Άτοπο. Άρα η f έχει στο Δ το πολύ μία ρίζα. ΓA/82. Mελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: f ( x)= ln( x + 1) + e x + 2 x − 1 και λύστε την εξίσωση: f ( x) = 0 . ΓA/83. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( x) = x5 + x − 2 και λύστε την εξίσωση f ( x) = 0 . Κ. Αδαμόπουλος 18 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Μέθοδος. Για να λύσω μια εξίσωση που δεν λύνεται με τους γνωστούς τρόπους (Horner, παραγοντοποίηση, διακρίνουσα, κτλ) περνώ όλους τους όρους της στο ένα μέλος, ορίζω την αντίστοιχη συνάρτηση, αναζητώ προφανή ρίζα (συνήθως το 0 ή το 1) και αποδεικνύω ότι είναι μοναδική δείχνοντας ότι η συνάρτηση είναι μονότονη. ΓA/84. Λύστε την εξίσωση: e x + 3ln( x + 1) = 1 ΓA/85. Λύστε την εξίσωση: 2 x + ln(2 x + 1) =1 − x . ΓA/86. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( x)= e − x − x − 1 και λύστε την ανίσωση e − x − e −3 x > x 2 − 3 x . 2 ΓA/87. ΓA/88. ΓA/89. Λύστε την εξίσωση: 2 x + ln x = 2. Λύστε την εξίσωση: x + e x = 1. Λύστε την εξίσωση: e1− x − ln x = 1. x x 3 4 ΓA/90. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = + − 1. 5 5 Α) Δείξτε ότι η f είναι γν. φθίνουσα. Β) Λύστε την εξίσωση: 3x + 4 x = 5x . Γ) Να λυθούν οι ανισώσεις 3x + 4 x > 5 x και 3x + 4 x > 2 ⋅ 5 x . ΓA/91. Α) Δείξτε ότι αν f , g μονότονες συναρτήσεις, τότε η f g είναι γνησίως αύξουσα αν έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας ή γνησίως φθίνουσα αν έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας. Β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα στο , να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: f g , g f , f f , g g , θεωρώντας γνωστό ότι αυτές ορίζονται. ( ) Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις: Ι) ( f g ) x 2 − 2 x ≥ ( f g ) ( x + 4) , ΙΙ) g ( f ( 3 x ) ) < g ( f ( x + 4 ) ) ΓA/92. Αν και ( ( )) > g ( g ( x + 2)) . ΙΙΙ) g g x 2 f : → γνησίως μονότονη με σύνολο τιμών το , η C f διέρχεται από τα σημεία Α ( −1, −3) και Β ( 8, 2 ) και για κάθε x ∈ ισχύει: f (3 − x) + f ( x + 1) = 3 x − 3 : Α) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Κ. Αδαμόπουλος 19 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Β) Δείξτε ότι η g ( x= ) f ( x) + 2ln( x − 1) + x είναι επίσης γνησίως αύξουσα Γ) Λύστε την ανίσωση: f ( x) ≤ 0 . στο (1, +∞) . Δ) Λύστε την ανίσωση: g ( x) ≤ 8 . Ε) Λύστε την ανίσωση: f ( g ( x) ) > 2 . 3 ΓA/93. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) x 2 + 2 x , με x ∈ (0, +∞) . Α) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +∞) . Β) Λύστε την ανίσωση: f ( x) < 8 . Γ) Λύστε την ανίσωση: f ( f ( x) ) > 15 . Παρατήρηση. Αν η συνάρτηση f ορίζεται σε ένωση διαστημάτων A ∪ B και είναι γν. αύξουσα στο A και στο B , αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι είναι γν. αύξουσα και στο A ∪ B . (Όμοια αν f ↓ ) 1 είναι γν. αύξουσα στο ( −∞,0 ) και στο ( 0,+∞ ) αλλά δεν x είναι γν. αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της, δηλαδή στο ∗ αφού π.χ. είναι −1 < 1 ενώ f (−1) > f (1) . Π.χ. η συνάρτηση f ( x) = − Ακρότατα ΓA/94. Βρείτε για ποια τιμή του x οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν ακρότατο, καθώς και την τιμή του ακροτάτου. Α) f (= Β) g ( x)= 4 − 2 x 4 Γ) h( x= ) 2 x −1 +1 x) 5 x 2 + 1 E) k ( x= Δ) ϕ( x) = 2συνx + 1 με x ∈ [ 0, π] ) 3 x − 2 με x ∈ [1, 4] . ΓA/95. Βρείτε για ποια τιμή του x οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν ακρότατο, καθώς και την τιμή του ακροτάτου. 2 4 Β) g ( x) = Α) f ( x) = 2 ( x − 2 ) + 1 −3 ( x − 3) + 2 Δ) ϕ( x) =5 − 3 x − 1 Γ) h( x) = 2ηµx − 1 , x ∈ ( 0, 2π ) E) k ( x) = 1 + 2ln( x − 1) με x ∈ [ 2,e+ 1] . ΓA/96. Α) Αν f ( x) = 22 x δείξτε ότι για x = −1 η f παρουσιάζει x +1 ελάχιστο και για x = 1 μέγιστο. Β) Μια συνάρτηση f : → έχει την ιδιότητα: f ( x) + x ≤ x 2 + 1 ≤ f ( x + 1) − x για κάθε x ∈ . (να πάρετε την κάθε ανίσωση ξεχωριστά) Β1. Βρείτε τον τύπο της f . 1 Β2. Δείξτε ότι για x = η f παρουσιάζει ελάχιστο. 2 Κ. Αδαμόπουλος 20 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Γ) Δείξτε ότι η f ( x) = 3 − 2 x − 1 παρουσιάζει μέγιστο για x = 1 Δ) Δείξτε ότι η f ( x)= 3 συνx + 2 με x ∈ [0, π] παρουσιάζει μέγιστο για π x = 0 και ελάχιστο για x = 2 Σύνολο τιμών Μέθοδος. Για να βρω το σύνολο τιμών της συνάρτησης f θέτω y = f ( x) και αναζητώ όλες τις τιμές του y για τις οποίες: Α) η εξίσωση y = f ( x) έχει λύση ως προς x , και Β) η λύση αυτή ανήκει στο D f . Το σύνολο τιμών προκύπτει από την συναλήθευση των περιορισμών που προκύπτουν για το y από τις παραπάνω προτάσεις. Π.χ. Για να βρω το σύνολο τιμών της f ( x) =2 + x − 1 με D f= [1, +∞) , θέτω y =2 + x − 1 . Αναζητώ όλα τα y για τα οποία η εξίσωση αυτή έχει λύση ως προς x και η λύση αυτή ανήκει στο D f . Είναι: y = 2 + x − 1 ⇔ x − 1 = y − 2 . Για να έχει αυτή λύση πρέπει y − 2 ≥ 0 ⇔ y ≥ 2 . ( y − 2 ) ⇔ x = ( y − 2 ) + 1. 2 2 Πρέπει x ∈ D f ⇔ ( y − 2 ) + 1 ≥ 1 ⇔ ( y − 2 ) ≥ 0 που ισχύει για κάθε x ∈ . Αφού λοιπόν y ≥ 2 το σύνολο τιμών της f είναι f ( Α= ) [2, +∞) . Χρήσιμες προτάσεις στη διαδικασία εύρεσης συνόλου τιμών Αν συμβαίνει αυτό, είναι x − 1= 2 2 • Η εξίσωση αϕ( x) = β έχει λύση αν α ≠ 0 . β έχει λύση αν β > 0 . • Η εξίσωση α ϕ( x ) = β έχει λύση αν β ≥ 0 . • Η ν ϕ( x) = β έχει λύση αν β ≥ 0 . • Η ϕ( x) = • Η αx 2 + βx + γ = 0 έχει λύση αν ∆ ≥ 0 . • Οι ηµx = β και συνx = β έχουν λύση αν −1 ≤ β ≤ 1. ΓA/97. Βρες το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: Α) f ( x) = 5 − 2 x −1 Β) f (= x) 3e − 4 Δ) f ( x) = 3συνx + 4 . Ε) f ( x) = x x +1 x2 + x + 1 ex + 1 Γ) f ( x) = x e ΣΤ) f ( x) = 3 x − 2 + 1 Κ. Αδαμόπουλος 21 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/98. Βρες το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: Α) f ( x) = x x2 + 1 Β) f ( x) = 3ηµx − 2 Γ) f ( x) = 1 − x x −1 ex Δ) f ( x= ΣΤ) f ( x) = x ) 2 x − 3 με x ∈ [1,3] Ε) f ( x) = 2 x +x+2 e +1 1 −4 x + 3 Ζ) f ( x) = 2 Η) f ( x) = 2 Θ) f ( x= ) ex − 2 x +1 x + x +1 ex − 1 συνx + 2 ΙΑ) f ( x) = x ΙΒ) f ( x) =+ Ι) f ( x) = 1 9 − x2 3συνx − 4 e +1 Παρατήρηση. Αν μας δίνεται f : Α → Β , τότε το Β είναι το σύνολο άφιξης και όχι κατ’ ανάγκη το σύνολο τιμών της f . Πάντως αν το Β δεν είναι το , τότε μας δίνει κάποια πληροφορία που θα παίξει ρόλο στη λύση της άσκησης. Π.χ. αν μας δίνεται f : → [1, +∞) τότε έχω την πληροφορία: f ( x) ≥ 1. ΓA/99. Αν η f ( x= ) 2 x + 3 είναι ορισμένη στο Α = [ −1,3 ] , βρείτε το σύνολο τιμών της f ( Α) . ΓA/100. Αν η f ( x) = 1 + 2ln( x + 2) είναι ορισμένη στο Α = −1 , e3 − 2 βρείτε το σύνολο τιμών της f ( Α) . Συναρτήσεις «1-1» Μέθοδος. Για ν’ αποδείξω ότι μια συνάρτηση f είναι «1-1» αποδεικνύω ότι για x1 , x2 ∈ D f ισχύει: ● Αν x1 ≠ x2 τότε f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) (σπανίως) ή συνηθέστερα ● Αν f ( x1 ) = f ( x2 ) τότε x1 = x2 ή ότι ● η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Για ν’ αποδείξω ότι η συνάρτηση f δεν είναι «1-1» αρκεί να βρω ένα αντιπαράδειγμα, δηλαδή αρκεί να βρω δύο αριθμούς x1 , x2 ώστε να είναι x1 ≠ x2 ενώ f ( x1 ) = f ( x2 ) . Υποψιάζομαι ότι η f δεν είναι «1-1» αν είναι πολυώνυμο άρτιου βαθμού ή αν υπάρχει στον τύπο της ημίτονο, συνημίτονο ή απόλυτο. Κ. Αδαμόπουλος 22 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Π.χ. Για ν’ αποδείξω ότι η f ( x= ) x 2 + 1 δεν είναι «1-1», βρίσκω αντιπαράδειγμα παρατηρώντας ότι ενώ −1 ≠ 1 είναι f (−1) = f (1) . ΓA/101. Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «1-1» . Α) f ( x= Γ) f ( x) = 1 − 3e 2 x −1 2 − ln(3 x − 2) , ) 2 x + 1 , Β) f ( x) = Δ) f ( x= ) 2 x − 1 + 3 , Ε) f ( x)= x + e x , ( ) ΣΤ) f ( x)= 2 x3 + ln e x + 1 − 1 , ex + 1 Ζ) f ( x) = x + ln(2 x + 1) + 1 , H) f ( x) = x , Θ) f ( x= ) x2 + 1 e Ι) f ( x) = 2συνx − 3 . ΙΑ) f ( x) = 3 x − 2 − 1 , ΙΒ) f ( x) = 3ηµx + 1 3 Παρατήρηση.Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι «1-1» Απόδειξη: Έστω f ↑ στο πεδίο ορισμού της Α. Τότε για x1 , x2 ∈ A είναι: Αν x1 ≠ x2 τότε x1 < x2 οπότε f ( x1 ) < f ( x2 ) ή x1 > x2 οπότε f ( x1 ) > f ( x2 ) σε κάθε περίπτωση πάντως f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Άρα f «1-1». Όμοια αν f ↓ . Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Π.χ. η συνάρτηση f ( x) = ορισμού της. 1 είναι «1-1» , δεν είναι όμως γνησίως μονότονη στο πεδίο x ΓA/102. Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «1-1» . Α) f ( x= Γ) f (= x) e x +1 − 2 f ( x) ln(2 x − 3) , ) 4 x + 3 , Β) = ( ) Δ) f ( x) = ln 1 − e x + 1 , Ε) f ( x)= x + ln x 3x − 1 , x +1 Ι) f ( x)= 2 x − 1 + 3 , Ζ) f ( x) = Η) f ( x) = 2ηµx + 3 , ΣΤ) f ( x) =3 x3 + ln( x + 1) , Θ) f ( x) = ( x − 1)( x + 2) + 2 ΙΑ) = f ( x ) 2e x − 2 − 4 , ΙΒ) f ( x= ) x2 − 2x . ΓA/103. Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «1-1» . Α) f ( x ) = 1 − ln(2 x − 3) , Γ) f= ( x) 3e1− x − 2 −2 x + 3 , Β) f ( x) = 2e x − 1 Δ) f ( x) = , Ε) f ( x) = x , ΣΤ) f ( x) = x3 + ln(2 x + 3) e +1 x2 + 1 Ζ) f ( x) = −2 x3 + 3 , Η) f ( x) = 4συνx + 1 , Θ) f ( x) = ( x − 2)( x + 1) + 1 Ι) f ( x) = 2 x + 3 + 1, ΙΑ) f= ( x) 3e x + 2 − 1 , ΙΒ) f ( x= ) x 2 + 3x . x Κ. Αδαμόπουλος 23 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Σχόλιο. Αν η συνάρτηση f είναι «1-1» τότε για κάθε y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση f ( x) = y έχει ως προς x ακριβώς μία λύση. Παρατήρηση. Aν η συνάρτηση f είναι «1-1» τότε κάθε ευθεία της μορφής y = y0 (παράλληλη στον x′x ) τέμνει τη C f σε ένα το πολύ σημείο. Έτσι αν μια ευθεία παράλληλη στον x′x τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σε δύο σημεία τότε αυτή δεν είναι «1-1». Παρατήρηση. Αν η συνάρτηση f είναι «1-1» τότε έχει το πολύ μία ρίζα. Πράγματι: Αν η f έχει δύο ρίζες x1 , x2 με x1 ≠ x2 τότε θα πρέπει f= ( x1 ) f= ( x2 ) 0 . Άτοπο, αφού η f είναι «1-1». ΓA/104. Αν f 2 ( x) + f ( x) = x για κάθε x ∈ , δείξτε ότι η f είναι συνάρτηση «1-1». ΓA/105. είναι «1-1». Αν f 3 ( x) − 2 f ( x) =− 3 x 2 για κάθε x ∈ να αποδειχθεί ότι η f ΓA/106. Αν 2 f 3 ( x) + 3 f ( x) = 2e x + 1 για κάθε x ∈ , δείξτε ότι η f είναι συνάρτηση «1-1». ΓA/107. Αν f ( f ( x) ) + f 3 (= x) 2ln( x − 1) + 1 για κάθε x ∈ (1, +∞) , δείξτε ότι η f είναι συνάρτηση «1-1». ΓA/108. Αν ( f g ) = ( x) η g είναι «1-1». 3 2 ln(2 x − 3) + 1 για κάθε x ∈ , + ∞ δείξτε ότι 2 ΓA/109. Αν f 3 ( x) + f ( x) = 2e 2 x −1 + 3 για κάθε x ∈ δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι «1-1». ΓA/110. Αν ln ( f ( x) ) + e f ( x )= x − 1 + 3 για κάθε x ≥ 1 και f ( x) > 0 για κάθε x ≥ 1 , δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι «1-1». ΓA/111. Αν f : → , f ( x) ≠ 0 και ( f f ) ( x) = x3 f ( x) για κάθε x ∈ να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. Κ. Αδαμόπουλος 24 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/112. Αν ( ) Συναρτήσεις f , g : → , η g είναι 1-1 και για κάθε x ∈ ισχύει: g 2e x + = 1 f 3 ( x) + 2 f ( x) + 3 , να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. ΓA/113. Αν f , g : → , η g είναι 1-1 και g= ( x) f ( x) + e f ( x ) για κάθε x ∈ , να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. ΓA/114. Αν f , g : → , η g είναι 1-1, f ( x) > 0 και για κάθε x ∈ ισχύει: f ( x) ⋅ g ( x) = f 3 ( x) + f ( x) + 1 για κάθε x ∈ , να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. Σχόλιο. Για κάθε συνάρτηση f ισχύει: Αν x1 = x2 τότε f ( x1 ) = f ( x2 ) . Το αντίστροφο ισχύει μόνο για τις συναρτήσεις «1-1» . Δηλαδή για τις «1-1» συναρτήσεις ισχύει: x1 =⇔ x2 f ( x1 ) = f ( x2 ) Π.χ. Αν e 2 x+1 = e x−2 , επειδή η f ( x) = e x είναι «1-1» έχω: 2 x + 1 =x − 2 ⇔ x =−3 , π π ενώ αν ηµ x = ηµ δεν έχω υποχρεωτικά x = αφού η f ( x) = ηµ x δεν είναι 3 3 1». «1- ΓA/115. Αν 3 f 2 ( x) + e f ( x ) =e x −3 + 1 για κάθε x ∈ αποδείξτε ότι η 2 συνάρτηση f είναι «1-1» και να λυθεί η εξίσωση: f ( x= ) f ( x + 6) . ΓA/116. Δείξτε ότι η συνάρτηση εξίσωση e x 2 +x f ( x= ) e x + x είναι «1-1» και λύστε την + x 2 + x= e x + 9 + x + 9 . ΓA/117. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =α x − x , 0 < α < 1. Α) Δείξτε ότι είναι «1-1». 2 −2 Β) Λύστε την εξίσωση: α x −4 − α x= (x 2 − 4 ) − ( x − 2) . ΓA/118. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : → με 3 x 1 για κάθε x ∈ . ( f g ) ( x) + 2 g ( x) =− Α) Αποδείξτε ότι η g είναι «1-1». Β) Να λυθεί η εξίσωση g ( 4 x − 2 x+1 += 4 ) g ( 2 x+2 − 4 ) . ΓA/119. Αν ( g f ) ( x) = f ( x) + ln ( e x + 1) για κάθε x ∈ , δείξτε ότι η f ( ) ( ) είναι «1-1» και λύστε την εξίσωση: f 4 x − f 2 x + 2 = 0. Κ. Αδαμόπουλος 25 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/120. Αν η συνάρτηση f : → είναι γνησίως φθίνουσα , να λυθεί η εξίσωση ( f f ) ( x 2 += 4 x ) ( f f ) ( x + 4) . ΓA/121. Αν f : → συνάρτηση «1-1» με f ( x) ≠ 1 για κάθε x ∈ : Α) 2 f ( x) είναι επίσης «1-1». f ( x) − 1 2 f ( x2 ) 2 f ( x + 6) . Β) Να λύσετε την εξίσωση: = f ( x 2 ) − 1 f ( x + 6) − 1 δείξτε ότι και η g ( x) = ΓA/122. Αν f ( f ( x) ) + f 3 ( x) = 2 x + 5 για κάθε x ∈ δείξτε ότι η ( ) f είναι «1-1» και λύστε την εξίσωση f 2 x3 + x − 2 = f (2 − x) . ΓA/123. Αν ( f g ) ( x) = 2 x + e x − 1 για κάθε x ∈ δείξτε ότι η g είναι «1-1» ΓA/124. Αν ( g f ) ( x) =2 x5 + e f ( x ) + 1 για κάθε x ∈ , δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι «1-1» και λύστε την εξίσωση: f (ln= x) f (1 − x 3 ) . ΓA/125. Αν g ( x) = x + e x + 1 και h ( f ( x) ) = g ( x) + e g ( x ) + 1 δείξτε ότι οι g και f είναι «1-1» και λύστε την εξίσωση: g ( x 3 + ln x) = e+ 2 . ΓA/126. Αν g ( x) = x 3 + x + 1 και f 3 ( x) + 2 f ( x) = x 3 + x + 3 για κάθε Α) Δείξτε ότι η g είναι «1-1» x∈: Β) Δείξτε ότι η f είναι «1-1». Γ) Λύστε την εξίσωση f ( g= ( x 2 ) ) f ( g ( x + 2) ) . ΓA/127. Αν g ( f (= x) ) f ( x) + x 3 για κάθε x ∈ . Α) Δείξτε ότι η f είναι «1-1». Β) Αν επίσης f (= f ( x) ) f (ln x) + ln x για κάθε x ∈ : Β1) Δείξτε ότι f (1) = 0 . Β2) Λύστε την εξίσωση f ( x 3 + 2 x − 2 ) = 0. Αντίστροφη συνάρτηση Σημείωση. Μια συνάρτηση αντιστρέφεται (δηλ. έχει αντίστροφη) αν και μόνο αν είναι «1-1» Κ. Αδαμόπουλος 26 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Μέθοδος εύρεσης της αντίστροφης συνάρτησης f . • Βρίσκω το πεδίο ορισμού της f . • Αποδεικνύω ότι είναι «1-1» . • Βρίσκω το σύνολο τιμών της f που θα είναι πεδίο ορισμού της f −1 . • Λύνω τον τύπο y = f ( x) ως προς x και θέτω όπου x το f −1 ( y ) . Έχω έτσι τον τύπο της f −1 με μεταβλητή το y και θέτω όπου y το x . Π.χ. Να βρεθεί η αντίστροφη της f ( x) = 1 + e x . Προφανώς D f = . Αποδεικνύω ότι είναι «1-1». Για x1 , x2 ∈ f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇔ 1 + e x1 = 1 + e x2 ⇔ e x1 = e x2 ⇔ x1 = x2 άρα f »1-1» Βρίσκω σύνολο τιμών. y = f ( x) ⇔ y =1 + e x ⇔ e x =y − 1 για να έχει λύση αυτή η εξίσωση ως προς x θα πρέπει: y − 1 > 0 ⇔ y > 1 Τότε: ln e x= ln( y − 1) ⇔ x= ln( y − 1) Άρα σύνολο τιμών: f ( Α= ) (1, +∞) Βρίσκω τον τύπο της f −1 . Είναι= ( y ) ln( y − 1) δηλαδή x ln( y − 1) άρα f −1= (1, +∞) . f −1= ( x) ln( x − 1) με πεδίο ορισμού D f −= 1 ΓA/128. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ΓA/129. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ΓA/130. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ΓA/131. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f ( x= ) 2 x − 1 − 1. f= ( x) 2e x −1 + 1. f ( x)= ex − 1 + 4 . ex − 1 f ( x) = x . e ΓA/132. Βρείτε την αντίστροφη της f (= x) 2ln( x − 1) + 3 . ΓA/133. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f ( x) = 2 x + 1 . ΓA/134. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ΓA/135. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης x −1 f ( x) =2 − x − 4 . f ( x)= ln( x + 1) + 1. ex ΓA/136. Βρείτε τις αντίστροφες των συναρτήσεων: f ( x) = , 1 + ex 3x − 2 g ( x) = 1 − 1 − e x , h( x)= 3 + e x − 2 , ϕ( x) = , q( = x) 3e x − 2 − 5 . x +1 Κ. Αδαμόπουλος 27 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Σχόλιο: Προφανώς, εκτός από κάποιες εξαιρέσεις, ισχύει: f −1 ≠ 1 . f Σχόλιο: Είναι y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) Παρατήρηση: Είναι f −1 ( f ( x) ) = x για κάθε x ∈ D f ( ) και f f −1 ( y ) = y για κάθε y ∈ f ( Α) . −1 Απόδειξη: f −1 (= f ( x) ) f= ( y) x . ( ( ) Επίσης f f −1 (= y) f= ( x) y . ) Μπορώ επίσης να γράφω: f f −1 ( x) = x . ΓA/137. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x3 . Αποδείξτε ότι είναι «1-1» και να βρείτε την f −1 . (H αντίστροφη είναι δίκλαδη) ΓA/138. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) x3 − 1. Αποδείξτε ότι είναι «1-1» και να βρείτε την f −1 . Όμοια για την g(= x) 2 x5 + 3 . (διακρίνετε περιπτώσεις) 2x + 1 , x ≤ 0 ΓA/139.Αν f ( x) = βρείτε τα f ( (−∞ , 0]) και 2 + x x > 0 f ( (0 , + ∞) ) , δείξτε ότι η f είναι «1-1» και βρείτε την f −1 . 4 x3 − 1 ΓA/140. Αν f ( x) = . Α) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και 3 βρείτε την αντίστροφή της. (Η f −1 είναι δίκλαδη) Β) Βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 . Μέθοδος: Αν μου ζητούν να βρω την αντίστροφη μιας συνάρτησης f από μια συναρτησιακή της σχέση , θέτω όπου x το f −1 ( x) . Π.χ. Αν e f ( x ) + f ( x) = x + 1 για κάθε x ∈ , βρείτε την f −1 . Θέτω όπου x το f −1 ( x) οπότε η δοσμένη γίνεται: e ( f f −1 ( x ) ) + f f −1 ( x) = ( ) f −1( x) + 1 άρα e x + x = f −1 ( x) + 1⇔ f −1 ( x) = e x + x − 1 . ΓA/141. Aν f : → συνάρτηση με σύνολο τιμών το και για κάθε x + 3 , τότε δείξτε ότι η f είναι «1-1» και x ∈ ισχύει: f 3 ( x) + 2 f ( x) = βρείτε την αντίστροφή της. Κ. Αδαμόπουλος 28 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/142. Aν f : → συνάρτηση με σύνολο τιμών το [0, +∞) και για κάθε x ∈ ισχύει: 2 f ( x) + f ( x) − 2 x − 1 = 0 , τότε δείξτε ότι η f είναι «11» και βρείτε την αντίστροφή της. Πρόταση: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε και η f −1 είναι γνησίως μονότονη και μάλιστα με το ίδιο είδος μονοτονίας. Απόδειξη: Α΄τρόπος: Έστω f γν. αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α άρα και «1-1». Θα δείξουμε ότι και η f −1 είναι επίσης γν. αύξουσα. Έστω ότι η f −1 δεν είναι γν. αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν y1 , y2 ∈ f ( A ) ώστε: y1 < y2 ενώ f −1 ( y1 ) ≥ f −1 ( y2 ) . Αλλά σ’ αυτή την περίπτωση επειδή f ↑ θα είναι: ( ) ( ) f f −1 ( y1 ) ≥ f f −1 ( y2 ) ⇔ y1 ≥ y2 . Άτοπο. Άρα f −1 γν. αύξουσα. Όμοια αν f ↓ . Β΄τρόπος: Έστω f γν. αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α . Θα δείξουμε ότι και η f −1 ( ) είναι: είναι επίσης γν. αύξουσα. Πράγματι για κάθε y1 , y2 ∈ f D f ( ) ( ) y1 < y2 ⇔ f f −1 ( y1 ) < f f −1 ( y2 ) και επειδή η f είναι γν. αύξουσα τελικά: f −1 ( y1 ) < f −1 ( y2 ) . Άρα f −1 γν. αύξουσα. ΓA/143. Aν f : → συνάρτηση με σύνολο τιμών το και για κάθε x)) 2 f ( x) + x + 1, τότε δείξτε ότι η f είναι «1-1» και x ∈ ισχύει: f ( f (= βρείτε την αντίστροφή της συναρτήσει της f . ΓA/144. Aν f : → συνάρτηση με σύνολο τιμών το ( 0, +∞ ) και για κάθε x ∈ ισχύει: f ( x) + 2ln f ( x) = x + 1 , τότε δείξτε ότι η f είναι «1-1» βρείτε την αντίστροφή της και λύστε την εξίσωση: f ( x) = 2 . ΓA/145. Aν f : ∗ → ∗ συνάρτηση με σύνολο τιμών το ∗ και για κάθε 1 x ∈ ∗ ισχύει: e f ( x ) + f 2 ( x) = − 1 , τότε: x Α) Δείξτε ότι η f είναι «1-1» και βρείτε την αντίστροφή της. Β) Λύστε την εξίσωση: f ( x) = 0 . ΓA/146. Αν f : → ( 0, +∞ ) με σύνολο τιμών f (= ) (0, +∞) και 3 f 2 ( x) + ln f ( x) = 2 x + 1 για κάθε x ∈ , δείξτε ότι η f είναι συνάρτηση «11» και βρείτε την αντίστροφή της. Κ. Αδαμόπουλος 29 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/147. Συναρτήσεις ) (0, +∞) και Αν f : → ( 0, +∞ ) με σύνολο τιμών f (= 3ln f ( x) + f ( x ) − x + 4 = 0 για κάθε x ∈ , δείξτε ότι η f είναι συνάρτηση «1-1» και βρείτε την αντίστροφή της. Πρόταση: Αν η f είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι C f και C f −1 είναι καμπύλες συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων, δηλαδή την ευθεία ε : y = x . Απόδειξη: Αν το M ( x0 , y0 ) ανήκει στη C f τότε y0 = f ( x0 ) άρα f −1 ( y0 ) = x0 οπότε το M ' ( y0 , x0 ) ανήκει στη C f −1 . Τα M και M ' είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y = x . Άρα οι C f και C f −1 είναι συμμετρικές ως προς την ίδια ευθεία αφού κάθε σημείο της μιας έχει το συμμετρικό του πάνω στην άλλη. Πρόταση: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 βρίσκονται πάνω στην ευθεία y = x . Άρα οι εξισώσεις f ( x) = x , f −1 ( x) = x και f ( x) = f −1 ( x) είναι ισοδύναμες, δηλαδή αν έχω να λύσω μια από αυτές μπορώ στη θέση της να λύσω οποιαδήποτε από τις άλλες. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω x0 ρίζα της f −1 ( x ) = f ( x ) δηλαδή f −1 ( x0 ) = f ( x0 ) . Θα αποδείξω ότι το x0 είναι ρίζα της f ( x) = x , δηλαδή f ( x0 ) = x0 . ( ) Πράγματι f −1 ( x= f ( x0 ) ⇔ f f −1 ( x0 = ) f ( f ( x0 ) ) ⇔ x=0 f ( f ( x0 ) ) Είναι f ↑ . 0) Αν f ( x0 ) < x0 ⇔ f ( f ( x0 ) ) < f ( x0 ) ⇔ x0 < f ( x0 ) Άτοπο Αν f ( x0 ) > x0 ⇔ f ( f ( x0 ) ) > f ( x0 ) ⇔ x0 > f ( x0 ) Άτοπο. Άρα f ( x0 ) = x0 . Αντίστροφα: Έστω x0 ρίζα της f ( x) = x , δηλαδή f ( x0 ) = x0 Θα αποδείξω ότι το x0 είναι ρίζα της f −1 ( x ) = f ( x ) δηλαδή f −1 ( x0 ) = f ( x0 ) . Πράγματι: f ( x0 ) = x0 ⇔ x0 = f −1 ( x0 ) ⇔ f ( x0 ) = f −1 ( x0 ) . Πάντως για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση f η C f τέμνει την ευθεία y = x στα ίδια σημεία που την τέμνει και η C f −1 , άρα για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση f οι εξισώσεις f ( x) = x και f −1 ( x) = x είναι ισοδύναμες. ( ) Πράγματι f −1 ( x) = x ⇔ f f −1 ( x) = f ( x) ⇔ x = f ( x) . Κ. Αδαμόπουλος 30 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/148. Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το και ισχύει: f 3 ( x) + f ( x) = 2 x + 1 για κάθε x ∈ δείξτε ότι η f αντιστρέφεται, βρείτε την αντίστροφή της και λύστε την εξίσωση: f ( 3 x − 2= ) f ( 2 x + 4 ) καθώς επίσης και την f ( x) = 2 . Τέλος να κάνετε πρόχειρη γραφ. παράσταση της f . ΓA/149. Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το και ισχύει: f 3 ( x) + f ( x) = e x − 1 για κάθε x ∈ δείξτε ότι η f αντιστρέφεται, βρείτε την αντίστροφή της και λύστε την εξίσωση: f −1 ( 2 x−1 + 1) = f −1 (17 ) καθώς επίσης και την f ( x 3 + ln 3 − 1) = 1. ΓA/150. Αν f : → με f 3 ( x) − ln( x − 1) = 4 για κάθε x > 1 : Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f −1 . Β) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το . ΓA/151. Αν f : Α → συνάρτηση «1-1» με σύνολο τιμών f ( Α ) =Β και −1 για κάθε y ∈ Β ισχύει: f −1 ( y ) + e f ( y ) = y + 1: Β) Δείξτε ότι η f είναι μονότονη. Α) Βρείτε την f . Δ) Λύστε την εξίσωση f −1 ( x + e 2 ) = 2. Γ) Λύστε την f ( x) = 0 . ΓA/152. Έστω συνάρτηση f : → ώστε: ( f f ) ( x) − f ( x) = x 2003 για κάθε x ∈ . Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και f (0) = 0 . ΓA/153. Αν f : ∗ → ∗ με την ιδιότητα ( f f = ) ( x) xf ( x) + α , α ∈ για κάθε x ∈ ∗ και f (1) = 1, να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να f ( x) . δείξετε ότι f −1 ( x) = x ΓA/154. Αν f συνάρτηση «1-1» και ισχύει: g ( g (= x) ) g ( x) + f x3 για ( ) Α) Να δείξετε ότι η g είναι «1-1». 2 2 3 Β) βρείτε το x ώστε: ( g g ) 4 + e x−2 =g 4 + e − x + f 4 + e − x . κάθε x ∈ : ( ) ( ) ( ) ΓA/155. Αν f : → με σύνολο τιμών το (0, +∞) ώστε να ισχύει: f ( x) + f ( x) = x + 2 για κάθε x ∈ : Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της. Κ. Αδαμόπουλος 31 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Β) Λύστε την εξίσωση f ( x) = 0 . Γ) Να γίνει πρόχειρη γραφική παράσταση της f . Συναρτήσεις ΓA/156. Αν f : → ώστε: f 3 ( x) + 3 f ( x) + x = 0 για κάθε x ∈ : Α) Βρείτε το f (0) . Β) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της. Γ) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Δ) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται κάτω από τον x′x . ( ) Ε) Λύστε την ανίσωση: f f ( x + 1) − 13 < 2 . ΓA/157. Αν f : → με σύνολο τιμών το ( 0, +∞ ) και για κάθε x ∈ ισχύει: f ( x) + ln f ( x) = x + 1: Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της. Β) Λύστε την εξίσωση: f ( x) = 2 Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 . ΓA/158. Αν f ( x) = x31 + 4 x + 4 : Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται . Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 . Β) Βρείτε το f −1 (9) Δ) Λύστε την εξίσωση: f −1 ( x) = −1 . ΓA/159. Aν f : → συνάρτηση με σύνολο τιμών το ( 0, +∞ ) και για 0 , τότε δείξτε ότι η f είναι «1κάθε x ∈ ισχύει: f 2 ( x) + ln f ( x) − x − 3 = 1» και βρείτε την αντίστροφή της. ΓA/160. Αν f : → συνάρτηση με σύνολο τιμών το και ισχύει: f ( x) + e f ( x ) = x + 2 για κάθε x ∈ : Α) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της. B) Μελετήστε την f −1 και την f ως προς τη μονοτονία. Γ) Λύστε την ανίσωση: f ( x) < 2 . Δ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 . ΓA/161. Αν f ( x) = x + 2 x − 1 − 1 . Α) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και η f −1 είναι γνησίως αύξουσα. Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 . Κ. Αδαμόπουλος 32 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις −1 Δ) Λύστε την εξίσωση: f ( x) = 5 . ΓA/162. Αν f : → συνάρτηση με σύνολο τιμών το [0, +∞) και ισχύει f ( x) + 3 f ( x) = x + 3 για κάθε x ∈ : Α) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της. B) Μελετήστε την f −1 και την f ως προς τη μονοτονία. Γ) Λύστε την ανίσωση: f ( x) < 4 . Δ) Βρείτε τα κοινά σημεία της C f και της ευθείας y = x . ΓA/163. Αν f ( x) = x + ln( x + 1) + 1. Α) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται. Β ) Δείξτε ότι η f −1 είναι γνησίως αύξουσα. Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 . Δ) Βρείτε τα σημεία όπου η C f −1 τέμνει τον x′x . ΓA/164. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f ( x) + f (1 − x) = x για κάθε x ∈ . ΓA/165. Βρείτε για κάθε x ∈ ∗ . f ώστε να ισχύει 1 1 τη συνάρτηση f : ∗ → αν ισχύει: f ( x) − 2 xf = x x ΓA/166. Βρείτε τη συνάρτηση f : → αν για κάθε x ∈ ισχύει: 2x . f ( x) + 3 f (− x) =2 x +1 ΓA/167. Βρείτε τη συνάρτηση f : → αν για κάθε x ∈ − {−1,1} 3x − x 2 . Δείξτε επίσης ότι η f αντιστρέφεται και ισχύει: f ( x) − 2 f (− x) = 2 x −1 f −1 = f . ΓA/168. Να βρείτε συνάρτηση f : → , αν ισχύει: 3 f (1 − x) + f ( x + 1)= 2 x − x , για κάθε x ∈ . (Να θέσετε όπου 2 x το − x ). ΓA/169. Να βρείτε συνάρτηση f : → , αν ισχύει: f (3 − x) + 2 f ( x − 1) = x 2 + 1 , για κάθε x ∈ . (Να θέσετε όπου ΓA/170. Δίνεται η συνάρτηση: x το 4 − x ). f : → για την οποία ισχύει Κ. Αδαμόπουλος 33 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις για f ( x + y) + f ( x − y) = 2 f ( x) f ( y ) για κάθε x, y ∈ και f ( x) ≠ 0 κάθε x ∈ . Δείξτε ότι f (0) = 1 και f άρτια. x ΓA/171. Έστω f : ( 0, +∞ ) → ώστε f ( x) − f ( y) = f για κάθε y x, y > 0 και η f ( x) = 0 έχει μοναδική ρίζα: Β) Δείξτε ότι η f είναι «1-1» Α) Βρείτε το f (1) Γ) Λύστε την εξίσωση f (5 x − 6) = f x 2 − 2 + f ( x) ( ) Δ) Αν f ( x) > 0 για κάθε x > 1 να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ΓA/172. Έστω συνάρτηση f ώστε: f ( x + y )= f ( x) + f ( y ) για κάθε Α) Βρείτε το f (0) . Β) Δείξτε ότι η f είναι περιττή x, y ∈ . Γ) Δείξτε ότι: f ( x − y )= f ( x) − f ( y ) , για κάθε x, y ∈ . Δ) Αν η f ( x) = 0 έχει μοναδική ρίζα να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Ε) Αν f ( x) > 0 για κάθε x > 0 , δείξτε ότι η f είναι γν. αύξουσα στο . ΓA/173. Δίνεται συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: f ( x + y= ) 2 f ( x) + f ( y ) + 2 x − y για κάθε x, y ∈ . A) Να βρείτε το σημείο τομής της C f με τον άξονα y′y . B) Να βρείτε τον τύπο της f . ΓA/174. Δίνεται συνάρτηση f : → , για την οποία ισχύει: ) xf ( y ) − yf ( x) για κάθε x, y ∈ . Να αποδείξετε ότι: f ( x + y= A) η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. B) Η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Γ) f ( x − y= ) yf ( x) − xf ( y ) , x, y ∈ . Γενικές ασκήσεις ΓA/175. Αν f ( x ) =x + e x − 1 : Α) Εξετάστε ως προς τη μονοτονία. Β) Λύστε την εξίσωση: e x = 1 − x . Γ) Αν ισχύει: g ( x) + e g ( x ) =2 x + 1 για κάθε x ∈ : Γ2) Δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα Γ1) Δείξτε ότι g (0) = 0 Γ3) Λύστε την ανίσωση: ( g f ) ( x) > 0 . Κ. Αδαμόπουλος 34 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/176. Αν Συναρτήσεις f : → γνησίως αύξουσα με f ( ) = και ισχύει: = g ( x) f 3 ( x) + ( f f ) ( x) για κάθε x ∈ : f , g είναι «1-1» ( ) Α) Δείξτε ότι οι συναρτήσεις Β) Δείξτε ότι g f −1 ( x= ) x3 + f ( x) . Γ) Αν f (1) = 1 λύστε την εξίσωση: x3 + f ( x) = 2. π π f ( x= ) ηµ x + x + εϕ x με x ∈ − , 2 2 A) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται B) Λύστε την εξίσωση: f −1 ( x) = x . ΓA/177. Έστω η συνάρτηση ΓA/178. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2 − x − ln x . Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Γ. Λύστε την ανίσωση x + ln x > 1. Β. Λύστε την εξίσωση f ( x) = 1. ΓA/179. Αν f : → και f ( ) = και για κάθε x ∈ ισχύει: e f ( x ) + f ( x) − x = 0 : Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την 1− e αντίστροφή της. Β) Βρείτε τα f ( e + 1) , f . e (Παρατηρήστε ότι: f −1 (1) = e + 1 ⇔ f ( f −1 (1) )= f ( e + 1) ⋅⋅⋅⋅και f −1 ( −1) = ⋅⋅⋅⋅ ) Γ) Λύστε την f ( x) = 0 ( f ( x)= 0 ⇔ f −1 ( f ( x ) )= f −1 (0) ⋅⋅⋅⋅ ) Δ) Μελετήστε την f −1 ως προς τη μονοτονία. Ε) Λύστε την ανίσωση: e x 2 −x − ( x + 6 ) > e6 − x 2 . ΓA/180. Δίνονται οι συναρτήσεις: f , g : → με f () = για τις οποίες ισχύει ( f f + g f )( x) = x για κάθε x ∈ . Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και ισχύει f −1= ( x) f ( x) + g ( x) για κάθε x ∈ . ΓA/181. Αν f : → και για κάθε x ∈ ισχύει: f 3 ( x ) + f ( x) = 2x : Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της. Β) Λύστε την εξίσωση: f ( x ) = 2 . Γ) Να γίνει πρόχειρη γραφική παράσταση της f . ΓA/182. Αν f : → με f ( f ( x ) ) = x για κάθε x ∈ και η συνάρτηση g ( x= ) e x + e f ( x ) είναι «1-1» , τότε: Κ. Αδαμόπουλος 35 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Β) δείξτε ότι: ( g f )( x ) = g ( x) Α) δείξτε ότι η f είναι «1-1» Γ) βρείτε την συνάρτηση f . ΓA/183. A) Δείξτε ότι η h( x=) e x + x είναι γνησίως αύξουσα. ( και ) Β) Αν f συνάρτηση «1-1» και ισχύει: ( g g ) ( x) =g ( x) + 2 f x + e x για Β1) Δείξτε ότι η συνάρτηση g είναι «1-1» κάθε x ∈ : B2) Αν f (1) = 0 δείξτε ότι: g (0) = 0 . ) ( Β3) Να λυθεί η εξίσωση: g ( 2 x + 1) + 2 f 2 x + 1 + e 2 x +1 =0 . ΓA/184. Αν e f ( x)= ln x − + x να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και x −1 να λύσετε τις εξισώσεις: f ( x) = x και f −1 f x 2 − 3 x + 3 + 2e − 1 = e. ( ( ΓA/185. Αν ) ) f 1-1 συνάρτηση και Α(−2,5) , Β(7,9) σημεία της C f , λύστε ( ( την εξίσωση: f 2 + f x 2 − 3 x 9. )) = ΓA/186. Αν τα σημεία Α(1,9) και Β(6, −1) ανήκουν στη γραφική παράσταση της γνησίως μονότονης συνάρτησης f , να λύσετε την ανίσωση: ( ( )) f 2 + f x2 − x ≤ 9 . ΓA/187. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : → που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(3,2) και Β(5,9) ( 9. )) = − 8 x) − 2 ) < 2 . ( A) Λύστε την εξίσωση: f 2 + f −1 x 2 + x ( B) Λύστε την ανίσωση: f f −1 ( x 2 ΓA/188. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : → που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,-2) . A) Bρείτε τη μονοτονία της f . B) Λύστε την ανίσωση: f ( 3 x − 1) + 2 < 0 . ( ) f ( −2 + f Γ) Λύστε την εξίσωση: f e x−1 = 2 . Ε) Λύστε την εξίσωση: −1 Δ) Βρείτε τα f −1 (2) και f −1 (−2) . ) ( x + 2) =2 . ΓA/189. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : → που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(3,2) και Β(4,-3). Κ. Αδαμόπουλος 36 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ( ( Συναρτήσεις ) ) Να λύσετε την ανίσωση: f f −1 x 2 − 4 x − 1 ≥ 2 . ex − 1 ΓA/190. Έστω f = . Να δείξετε ότι η f ( x) ln 1 + e και g ( x) = x e +1 είναι 1-1 βρείτε την f −1 και τη συνάρτηση h ώστε h f = g . ( ΓA/191. Αν ( f f )( x ) = x ) − x για κάθε x ∈ να αποδείξετε ότι: Β) f −1 = − f Δ) η f είναι περιττή και f (0) = 0 . Α) η f είναι «1-1» Γ) η f δεν είναι μονότονη ΓA/192. Αν (θέτω όπου x το f ( x ) ) f : → , f ( ) = και ισχύει: ( f f )( x ) = x5 για κάθε ( ) x ∈ δείξτε ότι η f είναι «1-1» και ότι: f x5 = f ( x ) . ΓA/193. Αν ( f f ) ( x=) 5 3 x + 2 για κάθε x ∈ , δείξτε ότι: Α) f (−1) = −1 Β) Η συνάρτηση g ( x) =−4 x3 + 5 x 2 f ( x) − x + 1 δεν είναι αντιστρέψιμη. ΓA/194. Αν f : → ώστε ( f f )( x )= 2 − x για κάθε x ∈ να αποδειχθεί ότι: Α) Η f αντιστρέφεται Β) Δείξτε ότι f ( 2 − x ) =2 − f ( x) Δ) Η f έχει σύνολο τιμών το . (Αρκεί για κάθε y0 ∈ να υπάρχει Γ) f (1) = 1 y0 ⇔ f ( f ( x0 ) ) =⇔ f ( y0 ) ........ ) x0 ∈ ώστε f ( x0 ) = Ε) Δείξτε ότι f −1 ( x )= 2 − f ( x) . ΣΤ) Δείξτε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. ΓA/195. A) Αν f ( f ( x) ) = x 2 − x + 1 για κάθε x ∈ , βρείτε το f (1) . B) Aν f ( f ( x ) )= x + 1 για κάθε x ∈ , και f ( 0 ) = 3 βρείτε το f (1) . ΓA/196. Αν f ( f ( x ) )= x + f ( x) για κάθε x ∈ τότε να αποδείξετε ότι: Β) f ( 0 ) = 0 . Α) η συνάρτηση f είναι «1-1» ΓA/197. Αν f ( x) = x δείξτε ότι f −1 = f . x −1 Κ. Αδαμόπουλος 37 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/198. Αν η συνάρτηση f είναι γν. αύξουσα και f ( x) > 0 για κάθε f 2 ( x) −1 είναι «1-1» και λύστε την x ∈ , δείξτε ότι η συνάρτηση g ( x) = f ( x) 1 1 1 . (Υπόδειξη: g= ) εξίσωση : f x 2 − f ( x)= − ( x) f ( x) − f ( x) f ( x) f x2 ( ) ( ) ΓA/199. Έστω f : → με f ( f ( x)= ) 4 x + 9 , για κάθε x ∈ . 1 Α) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και ότι = f −1 ( x) ( f ( x) − 9 ) 4 Β) Αποδείξτε ότι f (4 x + 9) = 4 f ( x) + 9 για κάθε x ∈ . Γ) Βρείτε το α ώστε: f (α) =α ΓA/200. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : → με ( g f ) ( x=) e x − 1 για κάθε x ∈ . Α) Αποδείξτε ότι η f είναι 1-1. Β) Λύστε την εξίσωση: f= (ln x) f (ln 2 x − 2) . ΓA/201. Αν f ( x) = α x + (α − 1) x − 2α + 1 με α ∈ ( 0,1) : Β) Λύστε την f ( x) = 0 . Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται. Γ) Λύστε την f ( x) < 0 . Δ) Βρείτε το f −1 ( 0 ) . ΓA/202. Αν f :[0, +∞) → γνησίως αύξουσα στο [0, +∞) λύστε την εξίσωση: f ( x) + f (3 x) = f (2 x) + f (4 x) . ΓA/203. Α) Aποδείξτε ότι η g ( x) =+ x ln x + 1 είναι γν. αύξουσα. Β) Αποδείξτε ότι αν η συνάρτηση f είναι γν. αύξουσα και θετική τότε η h( x) =f ( x) + ln f ( x) + 1 είναι αντιστρέψιμη. Γ) Αν η C f τέμνει τον άξονα yy′ στο σημείο Α(0,1) να λύσετε την εξίσωση: f ( x) = e1− f ( x ) . ΓA/204. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει: f 3 ( x) + f ( x) = e x + x − 1 για κάθε x ∈ , τότε: Α) Δείξτε ότι η f είναι «1-1». (θέτω g ( x) = e x + x − 1 και αποδεικνύω ότι είναι 1-1) Β) Βρείτε το f −1 (0) . Γ) Λύστε την εξίσωση: f 3 ( x 2 ) − f 3 ( x + 2 ) = e x − e x + 2 + x 2 − x − 2 . 2 Κ. Αδαμόπουλος 38 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/205. Αν f : → με f ( ) = και ισχύει f 3 ( x) + 3e f ( x ) = x + 3 για κάθε x ∈ , τότε: Α) Δείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. e Γ) Βρείτε την f −1 . Β) Λύστε την εξίσωση f ( ln x ) = f . x Δ) Βρείτε το f (0) . Πρόταση. Aν f συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ, ονομάζω λόγο f ( x2 ) − f ( x1 ) με x1 , x2 τυχαία σημεία του Δ. x2 − x1 • Αν λ > 0 για κάθε x1 , x2 ∈ ∆ τότε f ↑ στο Δ. • Αν λ < 0 για κάθε x1 , x2 ∈ ∆ τότε f ↓ στο Δ. μεταβολής τον αριθμό λ = ΓA/206. Αν f ( x= x2 + 1 − x , x ∈ : ) Α) Δείξτε ότι f ( x) > 0 για κάθε x ∈ . Β) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο . (Δείξτε ότι ο λόγος μεταβολής λ = Γ) Λύστε την εξίσωση: e f ( x2 ) − f ( x1 ) είναι αρνητικό) x2 − x1 f −1 ( 2− f ( x) ) − ηµ 2 x = συν 2 x . ΓA/207. Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: ϕ( x) = x 2 + 2 x στο διάστημα (−2, +∞) . (Υπόδειξη: Δείξτε ότι το λ = f ( x2 ) − f ( x1 ) είναι θετικό ) x2 − x1 Β) Αν f : → (−1, +∞) και f 2 ( x) + 2 f ( x) − x = 0 για κάθε x ∈ να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα βρείτε το f (3) το f (15) και να λύσετε την ανίσωση: f ( f ( x) ) > 1. ΓA/208. Αν Αν f , g : → ώστε να ισχύει για κάθε x ∈ 3 g ( x) + f ( x − 1) = g ( g ( x) ) και η f είναι «1-1», δείξτε ότι και η g είναι «1- ( ) ( ) 1» και λύστε την εξίσωση: g e x + x + 1= g 2 − x3 . Κ. Αδαμόπουλος 39 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/209.Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων διπλανό σχήμα. Α) Υπολογίστε τα: ( f + g )( 2 ) , ( f f )( 0 ) , ( g f )( 5) , ( f g )( 3) . Συναρτήσεις f , g φαίνονται στο f Β) Να λύσετε την εξίσωση ( x ) = 1. g Γ) Βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η C f είναι πάνω από τη Cg Δ) Λύστε την ανίσωση ΓA/210. Αν ( f (f − g )( x ) < 0 . f f ) ( x= ) 2 x − 7 , για κάθε x ∈ , f (1) = 3 και f (3) = 9 , τότε: Α) Δείξτε ότι η f είναι «1-1» (όπου x το f −1 ( x) και μετά x = 1 ) Β) Βρείτε το f −1 (1) Γ) Λύστε την εξίσωση: f −1 ( x) = 9 (στην αρχική όπου x το f −1 ( x) και μετά x = 3 ) ΓA/211. Αν f : → και ( f f ) ( x= ) 3 x − 2 για κάθε x ∈ : = 3 f ( x) − 2 . A) Δείξτε ότι είναι «1-1». Β) Δείξτε ότι f (3 x − 2) Δ) Βρείτε την f −1 συναρτήσει της f . Γ) Βρείτε το f (1) ( f-άρω και αντικαθιστώ τα f(f(x)) και f(x) ) Ε) Λύστε την εξίσωση: f ( x) = x . ΓA/212. Αν f ( x ) = x 5 + x + 1: Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε το f −1 (3) . Β) Δείξτε ότι η f −1 είναι γνησίως αύξουσα στο . Γ) Λύστε τις εξισώσεις f ( x) = 35 και f −1 ( x) = 2 . Δ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f −1 με την ευθεία y = x . Ε) Λύστε την εξίσωση (2ηµx − 1)5 = 1 − 2ηµx . ΣΤ) Λύστε την f −1 ( f −1 ( x + 1) − 1 ) < f −1 (1) . ΓA/213. Δίνεται η συνάρτηση x ) ln ( 3e x + 1) − 2 . f με f (= A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . B) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Γ) Να ορίσετε την f −1 . Δ) Να λύσετε την ανίσωση f ( x ) < f −1 ( ln13 − 2 ) − 2 . Κ. Αδαμόπουλος 40 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/214. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( x ) = −2 x 3 − 3 x + 1. Α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f . Β) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται. Γ) Λύστε την εξίσωση f −1 ( x ) = 2 . Δ) Λύστε την ανίσωση f −1 ( x ) ≥ x − 1 . ΓA/215. Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: 2 x 1 για κάθε x ∈ και f ( 2 ) = 5 . ( f f )( x ) + 2 f ( x ) =+ A) Να βρείτε το f ( 5 ) . B) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Γ) Να βρείτε το f −1 ( 2 ) . (στην αρχική θέτω οπου x το f ( x) ) −1 ( ) Δ) Να λύσετε την εξίσωση: f f −1 ( 2 x 2 + 7 x ) − 1 = 2. ΓA/216. Δίνεται η συνάρτηση f : ∗ → και η συνάρτηση g με τύπο x+2 . A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f g . 2− x B) Να βρείτε συνάρτηση h για την οποία να ισχύει: ( h g )( x ) = x . Γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή. x 1 ΓA/217. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( x=) − 3x + 2 . 2 A) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και αποδείξτε ότι υπάρχει 1 μοναδικός x ∈ για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή − . 2 x x Β) Να λύσετε την ανίσωση: 3 x ⋅ 2 + 2 < 1 . g ( x ) = ln ΓA/218. Δίνονται οι συναρτήσεις: f , g : → ώστε ( f g ) ( x) = −3 x για κάθε x ∈ . A) Δείξτε ότι η g είναι «1-1». Β) Δείξτε ότι η g έχει σύνολο τιμών το . Γ) Βρείτε την αντίστροφη της g συναρτήσει της f . D) Δείξτε ότι αν η f είναι γν. φθίνουσα τότε η g είναι γν. αύξουσα. ΓA/219. Δίνεται η συνάρτηση κάθε x ∈ και f (2) = 10 . Β) Βρείτε το f −1 (2) . f : → ώστε ( f f ) ( x= ) 3 x − 5 για Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται. (στην αρχική θέτω οπου x το f −1 ( x) ) Γ) Λύστε την εξίσωση: f ( f −1 ( x − 2) + 3) = 2. Κ. Αδαμόπουλος 41 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/220. Δίνεται η συνάρτηση f : → με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει: 3 f ( x ) + 2 f 3 ( x ) = 4 x + 1 για κάθε x ∈ . Α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f −1 . Β) Να αποδείξετε ότι η f −1 είναι γνησίως αύξουσα. Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f −1 . −1 Δ) Να λυθεί η εξίσωση: f ( 2e x= ) f (3 − x ) . x+α και η C f διέρχεται από το σημείο Μ (−2,3) : x +1 Α) Βρείτε το α ∈ . Β) Ορίστε την f f . x +1 Γ) Εξετάστε αν οι f f και g ( x) = − 2 είναι ίσες. x +x ΓA/222. Αν f : ∗ → και g ( x) = ln 1 − x : 1+ x Α) Δείξτε ότι η g είναι περιττή. 1 Β) Βρείτε το D f g . Γ) Αν επιπλέον ( f g ) ( x) = − βρείτε την f . x Δ) Δείξτε ότι το γράφημα της f έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(0,0) . ΓA/221. Αν f ( x) = Κ. Αδαμόπουλος 42 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Ερωτήσεις Σωστό - Λάθος Συναρτήσεις 0, αν x άρτιος αριθμός 1. H αντιστοιχία f : → {0,1} με f (x) = 1, αν x περιττός αριθμός συνάρτηση. 2. Για τη συνάρτηση f ( x) = ln x , x > 0 ισχύει f (= xy ) f ( x) + f ( y ) για κάθε x, y ∈ + . είναι 3. Για τη συνάρτηση f ( x) = e x , x ∈ , ισχύει f (= xy ) f ( x) ⋅ f ( y ) για κάθε x, y ∈ . 4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x′x . 5. Δίνεται η συνάρτηση y = f ( x) . Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα x′x μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = 0 και λύσουμε την εξίσωση. 6. Δύο συναρτήσεις f , g είναι ίσες, αν υπάρχουν x ∈ , ώστε να ισχύει f ( x) = g ( x) . 7. Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων f και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία. 8. Αν η συνάρτηση f είναι «1-1», οι συναρτήσεις g , h έχουν πεδίο ορισμού το και ισχύει f ( g ( x) ) = f ( h ( x ) ) για κάθε x ∈ , τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες. x2 , x ≠ 0 , είναι σταθερή. 9. Η συνάρτηση f ( x) = x 10. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα ( α, β ) , τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο. 11. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το , είναι γνησίως αύξουσα και 1 έχει σύνολο τιμών το ( 0, +∞ ) . Τότε η συνάρτηση είναι γνησίως f φθίνουσα στο . Κ. Αδαμόπουλος 43 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις 12. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ. Αν ο λόγος f ( x2 ) − f ( x1 ) είναι θετικός για κάθε x1 , x2 ∈ ∆ , με x1 < x2 , τότε η μεταβολής x2 − x1 συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 13. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση − f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο 14. Η συνάρτηση f ( x) = x ( −∞,0 ) ∪ ( 0, +∞ ) . 15. Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο x0 , τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο − x0 . 16. Αν μια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο x0 , τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου στο σημείο − x0 . 17. Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι «1-1». 18. Αν μια συνάρτηση f είναι «1-1», τότε είναι πάντοτε περιττή. 19. Η συνάρτηση f ( x) = x v , v ∈ ∗ είναι: Α) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος Β) περιττή, αν ο ν είναι περιττός. 20. Αν η συνάρτηση f είναι ¨1-1» τότε ισχύουν: A) f ( f −1 ( x ) ) = x για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f . B) f −1 ( f ( x ) ) = x για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f . 21. Έστω η συνάρτηση f ( x) = x 2 , x ∈ [ 0, +∞ ) . Τότε κάθε κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των C f και C f −1 ανήκει στην ευθεία y = x . 22.Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε έχει αντίστροφη. 23. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το τότε ισχύει ότι: Α) f g= f ⋅ g Β) f g = g f 24. Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το και μια συνάρτηση I , για την οποία ισχύει I ( x) = x , για κάθε x ∈ . Τότε ισχύει ( I f ) ( x) = ( f I )( x ) , για κάθε x ∈ . Κ. Αδαμόπουλος 44 Μαθηματικά Γ’Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις 25. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως μονότονες στο , τότε η συνάρτηση g f είναι: Α) γνησίως αύξουσα, αν οι f , g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας Β) γνησίως φθίνουσα, αν οι f , g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονία 26. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με f ( x) < 0 για κάθε x ∈ ∆ , τότε η συνάρτηση f 2 είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ. 27. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι «1-1» στο , τότε και η συνάρτηση g f είναι «1-1» στο . M.C. Escher Κ. Αδαμόπουλος 45 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Όρια "Τα μαθηματικά φαίνεται να εφοδιάζουν αυτόν που ασχολείται μαζί τους με μια καινούργια αντίληψη για τα πράγματα" Charles Darwin Α. Όρια στο x0 ∈ Σημείωση: Αν η συνάρτηση f είναι ρητή ή πολυωνυμική ή άρρητη ή εκθετική ή λογαριθμική ή τριγωνομετρική ή προκύπτει από τις παραπάνω με οποιεσδήποτε πράξεις ή σύνθεση και x0 ∈ A f , τότε lim f ( x) = f ( x0 ) αν το x → x0 f ( x0 ) υπάρχει, δηλαδή το όριο ταυτίζεται με την τιμή της f στο x0 . ex + x e0 + 0 Π.χ. lim 2 x 2 + 1 − ηµ x= 2π 2 + 1 − ηµπ= 2π 2 + 1 ή lim = 1. = x →0 συν x − x 2 x →π συν 0 − 02 ( ΓB/01.Α) Αν ) f ( x) = 3 x 2 + 5 x + 1 υπολογίστε τα όρια: lim f ( x) , lim f ( x) x→1 και lim f ( x) . x→−1 x→0 x2 − x + 1 υπολογίστε τα όρια: lim f ( x) , lim f ( x) και Β) Αν f ( x) = x→1 x→5 x −1 +1 lim f ( x) , αν υπάρχουν. x→0 x + ln x υπολογίστε τα όρια: lim f ( x) , lim f ( x) και lim2 f ( x) , x→1 x→e x→e x +1 lim f ( x) αν υπάρχουν. Γ) Αν f ( x) = x →−1 x3 + x x3 − 3x + 2 ΓB/02. Υπολογίστε τα όρια: Α) lim Β) lim x→0 2 x 2 − x x→1 x2 − 1 2 x3 − 7 x − 2 2 x2 − 5x + 2 x3 + 3x − 4 Γ) lim 2 Δ) lim Ε) lim . x→2 x →1/2 x →1 x − 3 x + 2 x3 − 4 x 4 x2 − 1 x+5 −2 x −1 ΓB/03. Υπολογίστε τα όρια: Α) lim Β) lim x →−1 x →1 x − 1 x2 + x x 2 − 3x x+5 −2 x2 − 4 Δ) lim Ε) lim Γ) lim x →3 x − 2 − 1 x →2 x − 1 − 1 x →−1 x + 2 − 1 Κ. Αδαμόπουλος 46 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια 3 1 ΣΤ) lim − x→1/2 1 − 2 x 1 − 8 x 3 ΓB/04.Υπολογίστε τα όρια: Α) lim (x x →1 ) ( ) Γ) lim ( x + 2ln x ) x Δ) lim 1 + ηµ 2 π 2 x→ 2 Β) lim ( x + 1) ⋅ x + 1 x→4 2 x − 3x + 2 Ε) lim x →1 x2 − x x2 − 1 ΣΤ) lim x →1 x − 1 2 x2 + x − 1 Ζ) lim 1 8x2 − 2 x→ x3 − x 2 − 5 x + 6 Η) lim x→2 x2 − x − 2 x →e Θ) lim x →1 ΙΒ) lim 5x + 4 − 3 x2 − 1 2x + 3 −1 x +1 ηµ 2 x IE lim x→0 1 − συνx x →−1 2 − x−3 2 Ι) lim x →0 3+ x − 3− x x 2 ΙΑ) 2 x2 + x − 1 ΙΓ) lim x →−1 x3 + 1 x+3 −2 ΙΣΤ) lim . x→1 x −1 lim x →2 x + 2 − 3x − 2 x2 + x − 6 συν 2 x ΙΔ) lim x →π / 2 1 − ηµx x −1 IZ) lim 3 . x →1 x −1 Υπενθύμιση: α3 − β3 = (α − β) ( α 2 + αβ + β2 ) για κάθε α, β ∈ ( ) και α3 + β3 = (α + β) α 2 − αβ + β2 για κάθε α, β ∈ 4x − 2 ΙΘ) lim x →2 x−2 3 x+5 −2 x − 3 x+h IH) lim K) lim , x>0 x→3 h→0 x−3 h x3 − x 2 − x + 1 x3 − x − 6 ΓB/05. Βρείτε τα: L1 = lim , L2 = lim 3 , x →1 x 3 − 3 x + 2 x →2 2 x − 7 x − 2 x3 − x 8 x3 − 1 και L4 = lim1 3 . L3 = lim 3 2 x →1 x − 3 x 2 + 2 x x→ 6 x − 5 x + x 2 3 3 x 2 − (α + 1) x + α x 3 + 2µx 2 − µ 2 x − 2µ3 ΓB/06. Βρείτε τα lim , lim 3 x →µ x→α x3 − α3 x − µx 2 + 2µ 2 x − 2µ3 x 3 + (1 − µ) x 2 − (µ + 1) x + µ 2 x 3 + 3αx 2 + 2α 2 x + α 3 και . lim lim x →µ x →−α x 3 − µx 2 + x − µ x 3 − 3α 2 x − 2α 3 2− x−3 x−5 ΓB/07. Βρείτε τα: Α) lim Β) lim 2 x→7 x →5 x − 49 x −1 − 2 Κ. Αδαμόπουλος 47 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια x − 3x 2x + 3 −1 x −9 Δ) lim Ε) lim x→3 x − x→−1 x →3 x +1 − 7 − x x +1 −1 5+ x −2 x + x+3 −3 x+ 2 + x+7 −5 Z) lim ΣΤ) lim x→1 x →2 x −1 x−2 x −1 + x + 2 − 3 x + 3x + 6 − 4 Θ) lim . Η) lim x →2 x→1 x−2 x −1 x2 − 4 x+5 + x+ 2 −3 x −1 ΙΑ) lim 3 ΙΒ) lim Ι) lim 3 x→−1 x→2 x + 6 − 2 x →1 x +1 x −1 3 x +1 + x + 2 − 5 4x + 1 − x −1 − 2 ΙΔ) lim . ΙΓ) lim x →2 x→7 x−7 x−2 Αλλαγή μεταβλητής ηµ 2 x + ηµx − 2 ΓB/08. Βρείτε τα όρια: Α) xlim (Θέτω: u = ηµx ) →π / 2 ηµ 2 x − 1 ln 2 x + 2ln x − 3 e2 x + e x − 2 2ηµ 3 x − ηµ x − 1 Β) lim ,, Γ) lim Δ) lim x →e x →0 e 2 x − e x x →π / 2 ηµ 3 x − 1 ln 2 x − ln x ln 2 x − 1 e 2 x + 4e x − 5 συν3 x + συνx − 2 ΣΤ) Α) lim Ζ) lim Ε) lim x →e x →0 x → 0 2συν 2 x + συνx − 3 ex − 1 ln x − 1 3 x −1 ΓB/09. Βρείτε τα όρια: Α) lim (Θέτω: u = 6 x ) 3 x →1 x− x 3 3 x−x x −1 x −1 , Γ) Δ) Δ) B) lim lim lim x →1 x →1 x − 1 x →1 x−4 x x −1 4 x− 3 x x −1 x− 3 x + 4 x ΣΤ) lim Ζ) lim . Ε) lim 3 x →0 x + x →1 x − x x →1 x+4x x −1 Όρια σε κλαδικές συναρτήσεις. Παρατήρηση: Αν μας ζητούν το όριο μιας δίκλαδης συνάρτησης f στο σημείο x0 αλλαγής του τύπου της, τότε υπολογίζω τα πλευρικά όρια της Γ) lim 2 2 lim+ f ( x) και lim− f ( x) . Αν αυτά είναι ίσα lim+ f ( x) = lim− f ( x) = λ τότε x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 το όριο υπάρχει lim f ( x) = λ . Αν δεν είναι ίσα το όριο δεν υπάρχει. x → x0 Κ. Αδαμόπουλος 48 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια 3x − 1 , x ≤ 1 2 ΓB/10. A) Aν f ( x) = x − 1 βρείτε τα: lim f ( x) , lim f ( x) , x →2 x →0 > , x 1 x −1 lim f ( x) . x →1 Β) Βρείτε αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων στο x0 : x2 + x g ( x) = x − 1 x −1 x2 − x − 2 2 x + 3 , x ≤ −1 στο x0 = −1, φ( x) = x + 2 − 2 h( x ) = 3 x + 2 , x > −1 3x − 1 x2 − 4 ,x ≠ 2 στο x0 = 2 , f ( x) = x − 2 = x , 2 3 , x ≤1 , x >1 ,x < 2 στο x0 = 1 . στο x0 = 2 ,x ≥ 2 ΓB/11. Βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 αν: 3 x − 2 x ≤ 2 A) f ( x) = 2 , και x0 = 2 . x > 2 x x 2 + 3 x + 2 , x ≤ −1 B) f ( x) = και x0 = −1 . 2 x , > − 1 x + 3 + x − 1 x+7 −3 x>2 x−2 Γ) f ( x) = και x0 = 2 2 − < < x 2 2 − x 4 x + 2 − 2 x2 − x , x <1 ΓB/12. Α) Αν f ( x) = x 2 − 3x + 2 , βρείτε το κ ∈ ώστε να x + 3 + κ , x ≥1 υπάρχει το όριο: lim f ( x) . x→1 Κ. Αδαμόπουλος 49 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια x 2 + αx − 6 , x≤3 3 Β) Αν f ( x) = , βρείτε το α ∈ ώστε να υπάρχει το 18 ⋅ 2 x + 3 − 3 , x > 3 x−3 όριο: lim f ( x) . x→3 x2 + 2x − 3 , x <1 , βρείτε τα α, β ∈ ώστε να υπάρχει το Γ) Αν f ( x) = x 3 + x − 2 x 2 + αx + β , x ≥ 1 όριο: lim f ( x) και η C f να διέρχεται από το Α(2,3) . x→1 x 2 + αx + 1 , x < 1 , βρείτε τα α, β ∈ ώστε να υπάρχει το Δ) Αν f ( x) = x 3 , x 1 β + ≥ όριο της f στο 1 και μάλιστα να είναι: lim f ( x) = 2 . x→1 x −x , x <1 ΓB/13.Α) Αν f ( x) = x 2 − 3x + 2 , βρείτε το κ ∈ ώστε να x + 3 + κ , x ≥1 υπάρχει το όριο: lim f ( x) . 2 x→1 2 x −4 +α ,x < 2 , βρείτε τα α, β ∈ ώστε lim f ( x) = 3 . B) Αν f ( x) = x 2 − 3 x + 2 x →2 x2 − x + β , 2 x ≥ αx 2 − x + 3 x ≤1 ΓB/14. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 2 − 4 x + 3 , . x > 1 x −1 Για ποια τιμή του α ∈ η f έχει όριο στο σημείο x0 = 1 ; x −1 ΓB/15. Α) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x − 1 , x < 1 . αx + β, x ≥ 1 Αν η f έχει όριο στο x0 = 1 βρείτε τη συνθήκη που ικανοποιούν τα α, β ∈ . 3 Επιπλέον αν η C f διέρχεται από το Α 2, βρείτε τα α, β . 2 Κ. Αδαμόπουλος 50 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Όρια με απόλυτα. Μέθοδος: Αν ο υπολογισμός του lim f ( x) οδηγεί σε μορφή x → x0 0 και περιέχει 0 όρους της μορφής g ( x) : ►Αν το lim g ( x) είναι θετικό ή αρνητικό, τότε είναι αντίστοιχα g ( x) > 0 ή x → x0 g ( x) < 0 κοντά στο x0 και έτσι φεύγουν τα απόλυτα. ►Αν lim g ( x) = 0 τότε με τη βοήθεια πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο της x → x0 g ( x ) και αν χρειαστεί εργαζόμαστε με πλευρικά όρια. Ανάλογα εργαζόμαστε αν υπάρχουν περισσότεροι όροι της μορφής g ( x) με lim g ( x) = 0 . x → x0 2 x −1 + x − 3 − 3 . Επειδή lim ( x − 1) = 1 >0 είναι x − 1 > 0 κοντά στο x →2 x →2 x−2 x0 = 2 , οπότε x − 1 = x − 1 και όμοια x − 3 < 0 οπότε x − 3 = 3 − x και έτσι: 2( x − 1) + 3 − x − 3 x−2 = L lim = lim = 1. x →2 x →2 x − 2 x−2 2 x −1 + x −1 Επίσης: L = lim . Επειδή lim ( x − 1) = 0. x →1 x →1 x −1 x − 1 + x2 − 1 x − 1 + x2 − 1 x2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2=) lim x + 2= 3 = lim+ lim+ lim+ lim+ ( ) x →1 x →1 x →1 x →1+ x −1 x −1 x − 1 x→1 x −1 x − 1 + x2 − 1 x ( x − 1) 1 − x + x2 − 1 x2 − x = lim− = lim = x 1 lim− lim− lim− x →1 x →1 x →1 x − 1 x →1 x →1− x −1 x −1 x −1 Άρα δεν υπάρχει το L . Π.χ. για το L = lim ΓB/16. Βρείτε (αν υπάρχουν) τα: Β) lim x →1 Δ) lim x →0 x+3 − x−2 −3 A) lim x →0 Γ) lim 2x + 1 − 3 x →1 x + 1 + 2x −1 − 2 Ε) lim x −1 −1 x →−3 x + 1 + 2x −1 + 1 x+3 +2 x −1 + 2x + 1 − 3 2 x −1 + x −1 x2 + 2x − 3 x −1 − 4 . Κ. Αδαμόπουλος 51 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια ΓB/17. Βρείτε (αν υπάρχουν) τα: B) lim x →1 Ε) lim x →3 5 − 3x − 3x − 1 x2 − 1 x2 − 9 + x − 3 x+2 −5 A) lim x →0 x +1 + 2 x − 2 +1 3− x + x x 2 − 3x + 2 x − 3 + x − 2 − 2x2 − 1 Γ) lim Δ) lim x →1 x→2 x 2 − 3x + 2 x−2 x 2 − 2 x − 3x x2 + x − 1 + x + 1 − 2 ΣΤ) lim Ζ) lim x→0 x →0 x+3 −3 x 2 + 3x Τριγωνομετρικά όρια. ηµx Θεωρία: lim = 1, x →0 x συνx − 1 ηµαx = 0. = 1 και lim x →0 x → 0 αx x ηµ(5 x) x ΓB/18.Υπολόγισε τα όρια: Α) lim Β) lim x→0 x→0 ηµ3 x x ηµ (1 − συνx ) ηµ( x + 2) ηµ(ηµx − 1) Δ) lim Ε) lim 2 Γ) lim x→−2 x + 2 x x→π /2 x→0 1 − συνx ηµx − 1 ηµ 2 x + ηµx συν 2 x − 1 ηµx Ζ) Η) ΣΤ) lim lim lim x→0 x→0 x→0 x x 2 − 3x x +1 −1 συν 2 x − συνx 1 − συνx 2 x + ηµx Ι) lim ΙΑ) lim Θ) lim x→0 x→0 x→0 3 x + ηµx x x2 ηµ( x − 2) συν(π − x) − 1 εϕ2 x συνx − 1 ΙΓ) lim ΙΔ) lim ΙΕ) lim 2 . ΙΒ) lim x→π x→0 x→0 x →2 x − 2 x x−π x ηµx ηµ(αx) x ΓB/19.Υπολόγισε τα όρια: Α) lim Β) lim x→0 x→0 ηµx x x ηµ 2 αx ηµ3 x 2 x 2 Δ) lim Ε) lim ΣΤ) Γ) lim lim x →0 x→0 x→0 εϕ(αx ) x→0 ηµx x x2 lim 9 + ηµx − 3 ηµ(ln x − 1) ηµx 1 − συν 2 x Η) lim 2 Θ) lim Ι) lim x →0 x →0 x − x x →0 x→e x2 ln x − 1 x +1 −1 ηµ( x − 2) εϕx 3 x 2 − ηµ 2 x ηµ3 x ΙΒ) ΙΓ) ΙΔ) ΙΑ) lim 2 lim lim lim x →0 x + ηµ 2 x x→0 2 x x →0 ηµ 4 x x→2 x 2 − 5 x + 6 2 x 2 − ηµx συν 2 x − 1 συν3 x − 1 ΙΣΤ) lim ΙΖ) lim ΙΕ) lim x → 0 x + συνx − 1 x →0 x →0 x x Z) lim Κ. Αδαμόπουλος 52 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια x2 + 1 − 1 ηµx + ηµ 2 x + ⋅⋅⋅ + ηµνx x +1 −1 ΙΗ) lim ΙΘ) lim Κ) lim x→0 x →0 x →0 x ηµ 2 x ηµ3 x ηµ( x − 1) ηµx ⋅ εϕx ηµx 2 ηµ( x − 1) ΚΒ) lim ΚΓ) lim ΚΔ) lim ΚΑ) lim 2 x →1 x →0 x →0 x →1 x x −1 x2 x+3−2 3 x + ηµ 2 x ηµ( x + 3) ηµ3 x ΚΕ) lim ΚΣΤ) lim 2 ΚΖ) lim 2 . x→−3 x + 3 x x → 0 x + ηµ3 x x → 0 εϕ5 x ( ) ημ e x − 1 ΓB/20. Υπολογίστε τα όρια: A) L = lim x →0 ex −1 ημ ( ημx ) ημx ημ ( ημx ) ⋅ = ⋅⋅⋅ ) B) L = lim ( L = lim x →0 x x →0 x ημx ηµx + 2 x 2ηµx + x , x < 0 ΓB/21. Αν f ( x) = , βρείτε το κ ∈ ώστε να υπάρχει 2 x ηµ +κ , x>0 x το lim f ( x) . x→0 f ( x) ηµf ( x) ΓB/22. Αν lim . f ( x) = 0 και lim = 2 υπολογίστε το lim x→0 x→0 x→0 x ηµ 2 x ΓB/23. Α) Αν f ( x) = x 1 − συνx x 2 x ,x <0 βρες το lim f ( x) ,x >0 x →0 αx + β , x>2 x +1 (αν υπάρχει). Β) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = . x 2 − αx + α 2 , x ≤ 2 Αν η C f διέρχεται από το Α(1,3) βρείτε τα α, β ∈ (0, +∞) ώστε να υπάρχει το όριο της f στο x0 = 2 . x2 + 3 − α x −1 Γ) Αν f ( x) = ηµ( x − 1) x 2 − 1 , x <1 βρείτε το α ∈ ώστε lim f ( x) = l ∈ . , x >1 x→1 Κ. Αδαμόπουλος 53 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κριτήριο παρεμβολής. Θεωρία: Αν g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) για κάθε x κοντά στο x0 και lim = g ( x) lim = h( x) l τότε και lim f ( x) = l x → x0 Όρια x → x0 x → x0 ΓB/24. Αν για την f : → ισχύει: x 4 − x 3 + x 2 ≤ x 2 f ( x) ≤ 2 x 5 − 2 x 4 + x 2 για κάθε x ∈ , βρείτε τα lim f ( x) και lim f ( x) . ΓB/25. Α) Αν για την x→0 x→1 f : → ισχύει: x 2 − x ≤ xf ( x) ≤ 2 x 3 − x 2 − x για κάθε x ∈ , βρείτε τα lim f ( x) και lim f ( x) . x→1 x→0 2 Β) Αν για την f : → ισχύει: 2 x 3 − x + x ≤ xf ( x) ≤ x 4 + 3 x 2 + x για κάθε x κοντά στο 0, βρείτε το lim f ( x) . x→0 ΓB/26. Αν για την f : → ισχύει: x3 − 1 ≤ f ( x)( x − 1) ≤ x 2 + x − 2 για κάθε x κοντά στο 1, βρείτε το lim f ( x) . x→1 ΓB/27. Αν για την f : → ισχύει: x 3 + 2 x 2 ≤ xf ( x) ≤ 2 x 4 + x 3 + 2 x 2 για f ( x) . κάθε x ∈ , βρείτε τα lim f ( x) και lim x→0 x→0 x ΓB/28. Α) Αν για την f : → ισχύει: x 2 ≤ xf ( x) − ηµx ≤ 3x3 + 2 x 2 για κάθε x ∈ , βρείτε το lim f ( x) . x→0 Β) Αν για την f : → ισχύει: ηµx ≤ f ( x) − 2 x ≤ x 2 + x για κάθε x ∈ , f ( x) . βρείτε το lim f ( x) και το lim x→0 x→0 x ΓB/29. Α) Αν ln( x +21) + 2 + 1 ≤ f (2x) ≤ 2 ηµ3x + x για κάθε x κοντά στο x x x x0 = 0 βρείτε το lim f ( x) . x→0 f ( x) ηµx για κάθε x κοντά στο x0 = 0 βρείτε το lim f ( x) . ≤ x→0 x −1 x 1 ηµx f ( x) Γ) Αν x 2 + x + 2 ≤ ≤ x + 1 + για κάθε x κοντά στο x0 = 0 βρείτε το x x x lim f ( x) . Β) Αν x + 1 ≤ x→0 ΓB/30. Αν η συνάρτηση f : → ικανοποιεί τη σχέση Κ. Αδαμόπουλος 54 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια f ( x) − x + 2 ≤ x − 2 x + 1 για κάθε x ∈ , να βρεθεί το lim f ( x) . 2 x→1 ΓB/31. Αν f ( x) − 2 x ≤ ( x − 5) 2 για κάθε x ∈ , να αποδείξετε ότι lim f ( x) = f (5) . x→5 ΓB/32. Αν xf ( x) + ηµx ≤ x 3 + 2 x 2 για κάθε x ∈ βρείτε το lim f ( x) . x→0 ΓB/33. Αν η συνάρτηση f : → ικανοποιεί τη σχέση 2 − x − 1 ≤ f ( x) − 2 x ≤ x 2 − 2 x + 3 για κάθε x ∈ , βρείτε το lim f ( x) . ΓB/34. Α) Αν η συνάρτηση x→1 f : → ικανοποιεί τη σχέση x + x ≤ x f ( x) − x ≤ 2 x + 2 x 3 + x 2 για κάθε x ∈ , βρείτε το lim f ( x) . 4 2 2 3 5 x→0 Β) Αν η συνάρτηση f : → ικανοποιεί τη σχέση 2 x 2 − 1 ≤ ( x − 1) f ( x) + x 2 ≤ 3 x 2 − x − 1 για κάθε x ∈ , βρείτε το lim f ( x) και x→0 συνx − 1 . x→0 xf ( x ) + ηµx το lim ΓB/35. Αν η συνάρτηση f : → ικανοποιεί για κάθε x ∈ τη σχέση x3 + x ≤ f ( x) ≤ 2 x 4 − x 2 + x , f ( x) f ( x) Β) βρείτε το lim . A) Nα υπολογιστεί το lim x→0 x→1 x x ΓB/36. Αν f ( x)ηµx − 2 x ≤ x 2 για κάθε x ∈ , βρείτε τα όρια: xf ( x) + ηµx Β. lim . Α. lim f ( x) . x→0 x→0 2 x − ηµx ΓB/37.Αν για κάθε x > 0 ισχύει: 2 f ( x) − 4 , x→2 x − 2 f ( x) + 1 − 5 . x−2 lim f ( x) , x→2 lim x→2 lim 2 x ≤ f ( x) ≤ x + 2 βρείτε τα όρια: f 2 ( x) − 16 f ( x) − 4 , και lim lim x → x→2 2 − x 2 x+2−2 ΓB/38. Αν για την f : → ισχύει: f ( x)ηµx − 2ηµx ≤ x 3 + xεϕx για 6 x + ηµ 2 x . κάθε x ∈ , να βρείτε το lim f ( x) και το lim x →0 x→0 xf ( x ) + ηµx Κ. Αδαμόπουλος 55 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια ΓB/39. Αν η συνάρτηση f : → ικανοποιεί τη σχέση: 3 x + 3 ≤ ( x − 2) f ( x) + 3 ≤ 3 x + 7 − 6 για κάθε x ∈ (1, 3) , να βρεθεί το lim f ( x) . x →2 ΓB/40. Βρείτε το lim f ( x) αν για την x→1 f : → ισχύει: f ( x) + x 3 − x ≤ xf ( x) ≤ f ( x) − x 2 + 4 x − 3 για κάθε x ∈ . ΓB/41. Αν για τη συνάρτηση f : → ισχύει: x − x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + x για κάθε x ∈ (−1,1) , να βρείτε τα: lim f ( x) , lim x →0 και το lim x →0 x 2 f ( x) − ηµ 2 x x →0 x2 + 4 − 2 f ( x) ( αν υπάρχει). x Μηδενική επί φραγμένη. Μηδενική στο x0 λέμε μια συνάρτηση που στο x0 έχει όριο το μηδέν. (Απόλυτα) φραγμένη λέγεται μια συνάρτηση αν υπάρχει αριθμός M > 0 ώστε f ( x) < M . Χαρακτηριστικότερες φραγμένες συναρτήσεις είναι το ημίτονο και το συνημίτονο αφού: −1 ≤ ηµ x ≤ 1 και −1 ≤ συν x ≤ 1 για κάθε x ∈ , άρα ηµ x ≤ 1 και συν x ≤ 1. Ισχύει: Το όριο του γινομένου μηδενικής επί φραγμένη είναι το μηδέν. Η απόδειξη γίνεται με κριτήριο παρεμβολής. Προσοχή!!! Τα παραπάνω δεν μπορούμε να τα χρησιμοποιούμε σαν θεωρία αφού δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο!!! 1 Π.χ. Βρείτε το lim x 2 ⋅ηµ x →0 x 1 2 Λύση: Η συνάρτηση ηµ είναι φραγμένη ενώ η x μηδενική. x 1 1 1 ηµ ≤ 1 ⇔ x 2ηµ ≤ x 2 ⇔ − x 2 ≤ x 2ηµ ≤ x 2 x x x ( ) 1 Αλλά lim − x 2 = 0 και lim x 2 = 0 οπότε με κριτήριο παρεμβολής lim x 2ηµ = 0 . x →0 x →0 x →0 x ΓB/42. Υπολογίστε τα 1 όρια: Α) lim x3συν x →0 x (μηδενική επί φραγμένη) Κ. Αδαμόπουλος 56 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια x 1 3 x−2 Β) lim xηµ Γ) lim Δ) lim ln x ⋅ συν συν 2 x→2 x →1 x →0 x −1 x x x −4 x x 1 x −1 Ε) lim ΣΤ) lim ηµxσυν Ζ) lim ( x − 1) ηµ συν 2 x →1 x →1 x x →0 x − 1 x x − 1 x3 + 1 − 1 2 x2 − 1 x5 + x + 1 Η) lim x − x − 2 συν 3 Θ) lim ηµ 2 x →0 x→2 x x 8 x − x2 − 2 x + 1 1 3x ΙΑ) Ι) lim εϕx ⋅ συν 2 lim ηµ . 2 x →0 x →1 x 1 − x + x x x − ( ) x2 1 x −1 1 ΙΓ) lim x 2 ηµ ΙΔ) lim e x − 1 ηµ x ΙΒ) lim ηµ x →0 x →0 x → 0 ηµx e − 1 x x x + 1 x ΙΣΤ) lim ( x − 1) συν . IΕ) lim ηµ + 1 ln x x →1 x →1 x −1 x − 1 ( ΓB/43.Έστω μια συνάρτηση lim g ( x) όταν g ( x) = x→2 ( f ( x) ) 2 f μη σταθερή , με lim f ( x) = 4 . Βρείτε το x→2 − 5 f ( x) + 4 f ( x) − 2 ΓB/44. Αν για κάθε συνάρτηση για κάθε x ∈ , βρείτε το lim x →0 ) . f : → ισχύει f 3 ( x) − 8 x3 ≤ x3 − ηµ3 x f ( x) . x ΓB/45. Αν για μια συνάρτηση f ( x) = l ∈ ισχύει η x →0 x σχέση f 3 ( x) + f ( x) ⋅ ηµ 2= x 2 x 2 ηµx για κάθε x ∈ βρείτε το l . f ( x) ΓB/46. Αν για μια συνάρτηση f : → με lim = l ∈ ισχύει η x →0 x 3 2 3 σχέση f ( x) + 2 x f ( x) = 3ηµ x για κάθε x ∈ Β) Δείξτε ότι l = 1. Α) Υπολογίστε το f (0) f ( ημx ) f (ημx) ημx ( L1 = lim Γ) Βρείτε τα όρια: L1 = lim ⋅ = ⋅⋅⋅ ) x →0 x x →0 ημx x f x2 − x f ( f ( x) ) αν lim f ( x) = f (0) και L3 = lim 2 L2 = lim x →0 x →0 x − 3 x + 2 x →0 x f : → με lim ( ) Κ. Αδαμόπουλος 57 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Με χρήση βοηθητικής συνάρτησης. Μέθοδος: Αν μας δίνουν το όριο μιας παράστασης του f ( x) και μας ζητούν το όριο της f ( x) , χωρίς να γνωρίζω ότι υπάρχει, θέτω την παράσταση g ( x) λύνω την ισότητα ως προς f ( x) και παίρνω όρια. x + f ( x) = 2 βρείτε το lim f ( x) . x →1 1 + f ( x ) x →1 x + f ( x) Λύση: Θέτω = g ( x) οπότε lim g ( x) = 2 . Είναι x + f ( x) = g ( x) + f ( x) g ( x) ⇔ . x →1 1 + f ( x) x 2 −1 g ( x) − x lim g ( x) − lim g ( x) − x x →1 = = x→1 f ( x) = lim f ( x) lim Οπότε = = −1 . x →1 x →1 1 − g ( x ) 1 − g ( x) 1 − lim g ( x) 1− 2 Π.χ. Αν lim x →1 Σημείωση: Ισχύει lim f ( x) =l ⇔ lim [ f ( x) − l ] =0 ⇔ lim f ( x0 + h ) =l x → x0 x → x0 h →0 Σημείωση: Αν f ( x) = g ( x) τότε lim f ( x) = lim g ( x) . Το αντίστροφο δεν x → x0 x → x0 ισχύει γενικά. Π.χ. lim (1 + ηµ x ) = lim( x + 1) ενώ προφανώς 1 + ηµ x ≠ x 2 + 1. 2 x →0 x →0 f ( x) + x 2 + x + 1 = ΓB/47. Α) Αν lim 5 x →1 βρείτε το lim f ( x) αν: x→1 Α1) γνωρίζω ότι υπάρχει Α2) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει Β)Αν ισχύει lim ( f ( x) + 2ηµx + x + 1) = 5 , να βρείτε το lim f ( x) αν: x→0 x→0 Β1) γνωρίζω ότι υπάρχει Β2) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει f ( x) − 2 Γ) Αν ισχύει lim = 1 , να βρείτε το lim f ( x) . x→1 x→1 x −1 f ( x) + x3 f ( x) − 1 , να βρείτε τα , και Δ) Αν ισχύει lim lim f ( x ) = 1 lim x→−1 x→−1 x→−1 x 2 − 1 x2 − 1 f ( x) − 1 . lim x→−1 x +1 f ( x) − x 2 f ( x) − 4 και Ε) Αν ισχύει lim = 3 , να βρείτε τα lim f ( x) , lim 2 x →2 x →2 x →2 x − 4 x−2 f ( x) − 2 . lim x →2 x−2 Κ. Αδαμόπουλος 58 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) 2 βρείτε το lim f ( x) αν: ΓB/48. Α) Αν lim [ f ( x) − 3x + 1] = x→1 x →1 Όρια Α1) γνωρίζω ότι υπάρχει Α2) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει Β)Αν ισχύει lim ( 3 f ( x) + x 2 − x + 1) = 5 , να βρείτε το lim f ( x) αν: x →2 x →2 Β1) γνωρίζω ότι υπάρχει Β2) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει Γ) Αν ισχύει lim ( 2 f ( x) + 1 − x ) =3 , να βρείτε το lim f ( x) . x→−2 x→−2 f ( x) − 1 = 3 , να βρείτε το lim f ( x) . x→−2 x→−2 x + 2 f ( x) − 4 Ε) Αν ισχύει lim = 1 , να βρείτε το lim f ( x) . x→0 x→0 f ( x) + 2 Δ) Αν ισχύει lim f ( x) − x 2 ΣΤ) Αν ισχύει lim = 2 , να βρείτε τα όρια: x→1 x −1 f ( x) − x f ( x) − 1 και lim . lim f ( x) , lim 2 x→1 x→1 x→1 x − 1 x −1 x3 f ( x) − 1 f ( x) − 1 . Ζ) Αν lim = 3 υπολογίστε τα lim f ( x) και lim x →1 x →1 x →1 x − 1 x −1 x 2 + αx + β Η) lim = 2 βρείτε τα α, β ∈ . x →1 x −1 x2 + α − β Θ) Αν lim = 1 , βρείτε τα α, β ∈ . x→0 1 − συνx x2 + x + α ΓB/49. Α) Αν lim = 3 βρείτε το α ∈ . x →1 x −1 x 3 + αx + β Β) Αν lim = 2 , βρείτε τα α, β ∈ . x→2 x−2 2 x 2 + αx + β Γ) Αν lim = 1, βρείτε τα α, β ∈ . x →−1 x2 + x ΓB/50. Α) Αν f : → και g ( x) : → και lim ( 2 f ( x) + g ( x) ) = 3, x →2 lim ( f ( x) − 2 g ( x) ) = 4 . Βρείτε τα lim f ( x) και lim g ( x) . x →2 x →2 Β) Αν f , g : → , lim x→0 x →2 f ( x) = 2 και lim[( x + 4 − 2) g ( x)] = 5 να βρεθεί το x → 0 x lim[ f ( x) g ( x)] . x→0 Κ. Αδαμόπουλος 59 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/51.Αν για τη μη σταθερή συνάρτηση Όρια f ισχύει: lim(2 f ( x) + x 2 − x − 2) = 6 , να βρείτε τα όρια lim f ( x) και lim x→1 x→1 x→1 ΓB/52.Έστω f ( x) − 2 . f 2 ( x) − 16 f ( x) − x = 4 . Βρείτε το k ∈ έτσι x−2 f : → έτσι που lim x →2 xf ( x) − 4k να έχει στο x0 = 2 όριο L ∈ . x2 − 4 − x 2 + βx + 6, x ≥ 2 ΓB/53.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 2 − α , x<2 x − 2 Αν η f έχει στο σημείο x0 = 2 όριο L ∈ , να βρείτε τους αριθμούς α, β∈ και L . που η συνάρτηση g ( x) = Μέθοδος: Αν μου δίνεται μια συναρτησιακή σχέση που περιέχει μια συνάρτηση f καθώς και το τετράγωνό της, τότε προσπαθώ συνήθως να δημιουργήσω ταυτότητα. Π.χ. Βρείτε την f αν δεν είναι δίκλαδη και ισχύει: f 2 ( x) − 2 xf ( x) = ln 2 x − x 2 . f 2 ( x) − 2 xf ( x)= ln 2 x − x 2 ⇔ f 2 ( x) − 2 xf ( x) + x 2= ln 2 x ⇔ f ( x ) − x = ln 2 x ⇔ 2 ⇔ f ( x) − x = ln x ή f ( x) − x =− ln x ⇔ f ( x) =x + ln x ή f ( x)= x − ln x . Επισήμανση: Ισχύει: lim f v ( x ) = 0 ⇔ lim f ( x) = 0 x→ x x→ x 0 0 0 ⇔ lim f ( x) = 0. ► Ισχύει: lim f ( x) = x → x0 x → x0 ► Δεν ισχύει η πρόταση: Αν lim f 2 ( x ) = l 2 τότε υπάρχει το lim f ( x) και x → x0 x → x0 lim f ( x) = l ή lim f ( x) = −l , αφού μπορεί να είναι lim+ f ( x) = l και x → x0 x → x0 lim f ( x) = −l και το όριο να μην υπάρχει. x → x0 x → x0 − ► Δεν ισχύει επίσης η πρόταση: Αν lim f ( x) = l τότε υπάρχει το lim f ( x) x → x0 x → x0 και lim f ( x) = l , αφού μπορεί να είναι lim+ f ( x) = l και lim− f ( x) = −l και x → x0 x → x0 το όριο να μην υπάρχει.. x → x0 Κ. Αδαμόπουλος 60 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/54. A) Aν xlim f 2 ( x) = 0 δείξτε ότι lim f ( x) = 0 . x→ x →x 0 0 ( lim f ( x) = 0 ⇔ lim 2 x → x0 x → x0 Όρια 0 ⇔ lim f ( x) = 0 , − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) και κρ. παρ.) f ( x) = 2 x → x0 B) Αν x − 3 x + 1 ≤ f ( x) − 2 f ( x) ≤ x 2 − 2 για κάθε x ∈ , βρείτε το lim f ( x) . 2 2 Γ) Αν για κάθε x ∈ , η συνάρτηση f : → ικανοποιεί τη σχέση: 2 f ( x)ηµx + x 2 − 2ηµ 2 x ≤ f 2 ( x) ≤ x 2 + 2 f ( x)ηµx , να δείξετε ότι lim f ( x) = f (0) . x→1 x→0 ΓB/55.Αν για κάθε x ∈ , η συνάρτηση f : → ικανοποιεί τη σχέση: − x 2 ≤ f 2 ( x) − f ( x) ≤ 3 x 2 − 4 x + 1, βρείτε lim f ( x) . ΓB/56.Αν για την συνάρτηση δείξτε ότι lim f ( x) = f (0) . x→1/ 2 f ισχύει: f 2 ( x) ≤ 2 xf ( x) για κάθε x ∈ , (σχηματίστε ταυτότητα) x →0 ΓB/57.Αν για την συνάρτηση x ∈ , βρείτε το lim f ( x) . f ισχύει: f 2 ( x) + συν 2 x ≤ 2 f ( x) για κάθε x →0 ΓB/58. Αν για κάθε x ∈ ισχύει : f 2 ( x) ≤ 2 f ( x)ηµx να αποδείξετε ότι lim f ( x) = f (0) . x→0 ΓB/59. Αν για κάθε x ∈ ισχύει : όριο lim f ( x) . f 2 ( x) + x 2 ≤ 2 xf ( x) + ηµ 2 x να βρείτε το x→0 εϕx − ηµx ΓB/60.Υπολογίστε το lim 3 x→0 . x ΓB/61. Αν για κάθε x ∈ ισχύει 3x ≤ f ( x) + 4 ≤ 2 x 2 − x + 2 , βρείτε τα: f ( x) − 1 − 2 Β. lim Α. lim f ( x) x →1 x →1 x −1 (Υπόδειξη: επειδή lim f ( x) = −1 είναι lim ( f ( x) − 1) =−2 < 0 άρα f ( x) − 1 < 0 κοντά στο 1 κ.τ.λ.) x →1 x →1 Σχόλιο: Για να ορίζεται το lim f ( x) πρέπει η συνάρτηση f να ορίζεται x → x0 «κοντά» στο x0 , οπότε το x0 πρέπει να είναι εσωτερικό σημείο ή άκρο ανοικτού του διαστήματος του Α f . Κ. Αδαμόπουλος 61 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Π.χ. αν f ( x) = ln x είναι Α= (0, +∞) . Έτσι ορίζονται τα lim f ( x) , lim+ f ( x) ενώ δεν f x →1 ορίζεται το lim f ( x) αφού η f δεν ορίζεται «κοντά» στο -2. x →0 x →−2 ΓB/62. A) Αν f ( x= ) ln ( 2 x − 3) + 1 βρείτε το lim f ( x) αν υπάρχει. x →1 Β) Υπολογίστε, αν υπάρχει, το lim f ( x) αν f ( x) = x →6 10 − 2 x + 3 x − 2 . Γ) Β) Υπολογίστε, αν υπάρχει, το lim f ( x) αν f (= x) x→0 ΓB/63.Α) Υπολογίστε το x3 − x 2 . x 4 + x 2 − ηµx x2 + x lim x→0− 2 x + 1 − f ( x) − 5 f ( x) − 3 − ηµ 2 x και f x ( ) lim = 1 , βρείτε τα lim x →0 x →0 x x Κριτήριο σύγκρισης Σημείωση: Αν f ( x) ≤ g ( x) κοντά στο x0 τότε lim f ( x) ≤ lim g ( x) . Β) Αν lim x →0 x → x0 x → x0 Αν f ( x) < g ( x) κοντά στο x0 τότε επίσης ισχύει lim f ( x) ≤ lim g ( x) . x → x0 Π.χ. x → x0 1 2 1 2 < κοντά στο +∞ ενώ lim = lim = 0. x →+∞ x x →+∞ x x x ΓB/64. Αν για κάθε x ∈ ισχύει : xf ( x) ≥ ηµx βρες το lim f ( x) αν είναι x→0 γνωστό ότι υπάρχει . ΓB/65. Αν για κάθε x ∈ ισχύει : xf ( x) ≤ συνx − 1 να βρείτε το όριο lim f ( x) αν είναι γνωστό ότι υπάρχει. x→0 ΓB/66. Αν για κάθε x ∈ ισχύει : xf ( x) ≥ 2 f ( x) + ηµ( x − 2) να βρείτε το όριο lim f ( x) αν είναι γνωστό ότι υπάρχει. x →2 Μέθοδος: Αν μου δίνουν το lim f ( g ( x) ) και μου ζητούν το lim f ( h( x) ) x→ x x→ x τότε κάνω αλλαγή μεταβλητής. 1 2 Π.χ. Αν lim f ( x − 2) = 4 βρείτε το lim f ( x) x →2 x →0 Λύση: Θέτω u= x − 2 , τότε αφού x → 2 , u → 0 και είναι lim f ( x − 2) =4 ⇔ lim f (u ) =4 δηλαδή lim f ( x) = 4 x →2 u →0 x →0 Κ. Αδαμόπουλος 62 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/67.Δίνεται η Όρια x) f : → για την οποία ισχύουν: f (= x ∈ και lim f ( x) = 3 .Βρείτε το lim f ( x) . x→1 ΓB/68.Δίνεται η συνάρτηση x→0 f ( x − 1) για κάθε (αλλαγή μεταβλητής) f : → για την οποία ισχύουν: f= ( x) f ( x − 2) για κάθε x ∈ και lim f ( x) + x 3 − x = 12 .Βρείτε το x →2 lim f ( x) και lim f ( x) . x →2 x →0 ΓB/69.Έστω συνάρτηση f : → ώστε: f= ( x) 2 f (2 − x) για κάθε x ∈ και lim [ f ( x) − 2 x − 1] = 5 . Βρείτε το lim f ( x) . x→3 x→−1 ΓB/70. Αν για την f : → ισχύουν: f (= x) f ( x + 3) για κάθε x ∈ και f ( x) − 1 f ( x) − 1 . = 2 , βρείτε το lim x→1 x →4 x−4 x −1 ηµπx ηµx ΓB/71.Υπολογίστε το lim και το lim . x →1 x − 1 x →π x − π ΓB/72.Αν x 2 f ( x) ≤ x 2 − ηµ 2 x ≤ f ( x) για κάθε x ∈ βρείτε το lim f ( x) . lim x →0 ΓB/73.Aν lim x →0 f (4 x) f (3 x) . = 2 υπολόγισε το lim x →0 3x 5x f (2 x) f (3 x) ΓB/74.Aν lim . = 1 υπολόγισε το lim x→0 x → 0 3x 4x ΓB/75.Aν f ( x += y ) f ( x)συν 2 y + f ( y )συν 2 x για κάθε x, y ∈ και f ( x) f ( x ) − f (α ) lim = 1 να αποδείξετε ότι lim = συν 2α για κάθε α ∈ . x →0 x →α x x−α (Θέτω x − α = h ⇔ x = α + h ) ΓB/76. Έστω f ( x) = αηµx + βηµ 2 x + γηµ3 x . f ( x) Αν f ( x) ≥ 0 για κάθε x ∈ και lim = l με l ∈ , να αποδείξετε ότι x→0 x α + 2β + 3γ =0 . Κ. Αδαμόπουλος 63 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Β. Μη πεπερασμένο όριο f ( x) και είναι lim f ( x) ≠ 0 ενώ x → x0 g ( x ) x → x0 lim g ( x) = 0 (δηλαδή θέτοντας όπου x το x0 μηδενίζεται ο παρονομαστής Μέθοδος: Αν θέλω να υπολογίσω το lim x → x0 αλλά όχι και ο αριθμητής) τότε το όριο είναι +∞ ή −∞ ή δεν υπάρχει. Σ’ αυτή 1 f ( x) f ( x) την περίπτωση δίνω στο όριο τη μορφή: = ⋅ lim lim με x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) g ( x ) 1 2 g1 ( x) ⋅ g 2 ( x) = g ( x) , lim g1 ( x) = 0 και lim g 2 ( x) ≠ 0 (δηλαδή βγάζω x → x0 x → x0 μπροστά αυτό που μηδενίζει τον παρονομαστή). Αν η g1 ( x) διατηρεί το ίδιο πρόσημο δεξιά και αριστερά του x0 (πάντα όμως κοντά στο x0 ) τότε το όριο είναι +∞ ή −∞ . Αν η g1 ( x) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 τότε εργαζόμαστε με πλευρικά όρια και αποδεικνύουμε ότι το όριο δεν υπάρχει. x+5 5 1 x+5 = ⋅ = +∞ ⋅ = +∞ . lim ( ) 2 2 x →0 x 4 + 3 x 2 x →0 3 x x + 3 επίσης x 2 − 3x 1 x − 3 2 lim+ 3 = lim+ ⋅ 2 = ( +∞ ) ⋅ − = −∞ x →1 x + 2 x x →1 x x + 2 3 2 x − 3x 1 x − 3 2 lim− 3 = lim− ⋅ 2 = ( −∞ ) ⋅ − = +∞ Άρα το όριο δεν υπάρχει. x →1 x + 2 x x →1 x x + 2 3 Π.χ. lim x2 + 1 ΓB/77. Υπολογίστε τα όρια (αν υπάρχουν): A) lim x →0 x 3 − x 2 x + ln x x2 + 3 x2 + x + 1 x2 + 1 Γ) lim 3 Δ) lim Ε) lim+ 2 B) lim x →1 x − 2 x 2 + x x →π / 2 1 − ηµx x → 0 συνx − 1 x →0 x − x x +1 x +1 1 + ln x x2 + 1 Ζ) lim− 2 Η) lim− 2 Θ) lim 2 ΣΤ) lim 2 x →1 x + x − 2 x →0 x − x x→2 x − 2 x x →0 x − 2 x x + ex x2 + 1 x +1 1 + ηµ 2 x ΙΑ) lim ΙΒ) lim ΙΓ) lim Ι) lim x →1 (1 − x )ln x x → 0 xηµx x →1 ln x x → 0 x − ηµx Κ. Αδαμόπουλος 64 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια x −1 2 − x2 ΓB/78. Υπολογίστε τα όρια (αν υπάρχουν): Α) lim , Β) lim , x →0 x 2 x →1 ( x − 1) 2 1 + 2συνx x +1 +1 x2 + 1 Γ) lim 3 lim , Δ) , Ε) , lim 2 x →1 x − 2 x 2 + x x →0 x→2 x 2 − 4 x + 4 ηµ x 2 x +1 x +1 x +1 x +1 ΣΤ) lim , Ζ) lim 2 , Η) lim 2 , Θ) lim , x →1 x ( x − 1) x →0 x → 0 ηµx x → 0 x ( x − 1) x x+2 x2 + 1 x2 + 3 συνx − 1 , ΙΑ) lim , ΙΒ) lim 2 , ΙΓ) lim 3 . Ι) lim π x →0 x − 2 x x→2 x − 3x + 2 x → 0 1 − συνx x → ηµx − 1 2 3x − 2 ΓB/79. Υπολογίστε τα όρια (αν υπάρχουν) Α) lim x →1 2 x −1 2x − 3 x → 0 xηµ 2 x 2x −1 x → 0 1 − συν3 x Δ) lim Γ) lim 2x − 3 Ζ) lim π x → συνx 2x − 3 Η) lim 2 x → 0 x + ηµx 2 2 ΙΑ) lim x →1 E) lim− x →0 x →0 ΣΤ) lim x →1 2x2 − x + 3 Θ) lim x →1 x2 − 1 1 1 IB) lim − x→1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 4 x+2 x −1 x ηµ 2 x Β) lim+ Ι) lim x →0 ln( x + 2) x2 + x 2x −1 −1 ( x − 1) 3 3x + 2 ηµx − x 1 − ηµx . x →1 x 2 − x ln x ( ) ΙΓ) lim x2 + x + µ ΓB/80. Υπολογίστε το µ ∈ ώστε να ισχύει: lim = l , με l ∈ x →1 x −1 και στη συνέχεια υπολογίστε το l . x 2 + αx + β ΓB/81. Υπολογίστε τα α, β ∈ ώστε να ισχύει: lim = 1. x→2 x−2 x2 + x + µ − 1 ΓB/82. Αν f ( x) = βρείτε την τιμή του µ ∈ για την οποία x −1 υπάρχει στο το όριο lim f ( x) και στη συνέχεια βρείτε αυτό το όριο. x→1 x − 4x + λ = l ∈ βρείτε τα λ και l . x→1 x −1 x 2 + kx − 3 ΓB/84.Α) Βρείτε το lim για τις διάφορες τιμές του k ∈ . x →1 ( x − 1) 2 x 2 + kx − 3 . Β) Όμοια για το. lim x →1 x −1 ΓB/83. Αν 2 lim Κ. Αδαμόπουλος 65 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια + αx + β =2 . x −1 x 2 − αx + β αx 2 + β x − 2 Γ) Όμοια αν lim Β) Όμοια αν lim = 3. = 1. x →1 x →2 x −1 x−2 ΓB/86. Δίνεται η συνάρτηση f : − {1} → με τύπο kx 3 + (λ + 2) x + 4 f ( x) = k , λ ∈ . Να βρεθούν οι k , λ ώστε το όριο της f ( x − 1) 2 στο x0 = 1 να είναι πραγματικός αριθμός , ο οποίος και να βρεθεί. x ΓB/85. Α) Βρείτε τα α, β ∈ ώστε lim x→1 2 ΓB/87.Βρείτε τις τιμές των α, β ∈ για τις οποίες η συνάρτηση αx 2 + x + 2 f ( x) = + βx έχει στο σημείο x0 = 1 όριο το L=4. x −1 x +1 ΓB/88.Αν lim = +∞ βρείτε την τιμή του α ∈ . x →1 x 2 + αx + 1 x2 + 1 ΓB/89.Αν f ( x) = 2 , βρείτε τα α, β ∈ ώστε lim− f ( x) = +∞ και x →1 αx + β x + 2 x2 + 1 (Υπόδειξη: α x 2 + β x + 2 = και παίρνω όρια) . f ( x) lim+ f ( x) = +∞ . x →2 x2 + x ΓB/90.Αν f ορισμένη στο διάστημα (α,1) ∪ (1, β) και lim = +∞ , να x→1 f ( x ) βρείτε το lim f ( x) . x→1 f ( x) − 2 = −∞ , βρείτε το lim f ( x) . x →1 3 f ( x ) + 1 x →1 f ( x) + 5 Β) Αν f : → ώστε: lim = −∞ , βρείτε το lim f ( x) . x →1 2 f ( x ) + 7 x →1 ΓB/91.Α) Αν f : → ώστε: lim ΓB/92.Αν lim f ( x) = x →1 −∞ να υπολογίσετε τα όρια: f ( x) − 3 Α) lim x →1 2 f ( x ) + 1 2 f ( x) − 1 f 2 ( x) − 3 f ( x) + 1 Β) lim 2 Γ) lim 2 x →1 f ( x ) + 1 x →1 f ( x ) + f ( x ) + 1 f ( x)ηµ 2 x ΓB/93.Αν f : → ώστε: lim = −∞ , βρείτε το lim f ( x) . x →0 x →0 x+4 −2 ΓB/94.Αν lim f ( x) = x→2 +∞ να υπολογίσετε τα όρια: Κ. Αδαμόπουλος 66 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Α) lim 9 f ( x) + f ( x) − 5 2 x →1 ΓB/95. Α) Aν lim f ( x) = x →1 Β) lim x →1 f 2 ( x) − 2 f ( x) − 3 . f ( x) + 5 +∞ υπολογίστε τα: L1 = lim x→2 ( ), ηµ x 2 + 1 f ( x) x x ηµ ηµ +2 1 x −1 x −1 , L3 = lim και L4 lim L2 = lim ( ) f x = ηµ . x →1 → x 1 f x f ( x ) ( ) ( ) f x x →1 1 συν x2 1 x Β) Υπολογίστε το lim+ . Γ) Υπολογίστε το lim συν . x→π /2 εϕx x→0 ln x 2 x − π ημx ημx 1 ΓB/96. Υπολογίστε το L = lim . ( L lim και λάβετε = x ⋅ 2 2 3 2 → x 0 x − ημ x x → 0 x − xημ x υπόψη: x > ημx ⇔ x 2 > ημ 2 x ) ΓB/97. Αν lim f ( x) = x →0 ( lim g ( x) = +∞ . lim x → x0 x →0 x →0 f ( x) + g ( x) =0 f 2 ( x) + g 2 ( x) f ( x) + g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 1 1 ) = 2 + 2 ≤ 2 + 2 = + 2 2 2 2 f ( x) + g ( x) f ( x) + g ( x) f ( x) + g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ΓB/98. Α) Αν x → x0 lim g ( x) = +∞ δείξτε ότι lim f ( x) ≤ g ( x) κοντά στο x0 και lim f ( x) = +∞ τότε και x → x0 ( f ( x) ≤ g ( x) και f ( x), g ( x) θετικά οπότε 1 1 ≥ και επειδή f ( x) g ( x) 1 1 = 0 θα είναι και lim = 0 άρα lim g ( x) = +∞ ) x → x0 g ( x ) x → x0 f ( x) 1 1 Βρείτε τα όρια: Β) lim 2 + ηµ 2 x→0 x x 1 1 2 ηµ + 1 x x + e +1 . Γ) lim 2 x →0 1 x 2 + συν x Κ. Αδαμόπουλος 67 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Θεωρία: Αν f ( x) ≤ g ( x) και xlim f ( x) = +∞ τότε και lim g ( x) = +∞ →x x→ x 0 0 Επειδή lim f ( x) = +∞ είναι f ( x) > 0 άρα και g ( x) > 0 . x → x0 1 1 1 1 1 (1) ≥ ⇔ lim ≥ lim ⇔ 0 ≥ lim x → x0 f ( x ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) f ( x) g ( x) 1 1 1 Αλλά ≥ 0 ⇔ lim ≥ 0 (2). Από (1),(2) lim = 0 ⇔ lim g ( x) = +∞ . x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0 g ( x ) g ( x) Τότε: f ( x) ≤ g ( x) ⇔ Όμοια αν f ( x) ≤ g ( x) και lim g ( x) = −∞ τότε και lim f ( x) = −∞ . x → x0 x → x0 Τα παραπάνω παρότι δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο μπορούμε να τα χρησιμοποιούμε σαν θεωρία. ΓB/99. Αν x 2 f ( x) ≤ x − 1 και x g ( x) ≥ x + 2 για κάθε x ∈ : Α) Βρείτε τα lim f ( x) και lim g ( x) . x→0 x→0 Β) Βρείτε το lim [ 2 f ( x) − 3 g ( x) ] . x→0 Γ) Βρείτε το lim 3 g ( x) − f ( x) g ( x) . x→0 ΓB/100. Α) Αν f ( x) ≤ g ( x) κοντά στο x0 και lim g ( x) = −∞ τότε και x → x0 lim f ( x) = −∞ . x → x0 Β) Αν f ( x) ≤ ln x για κάθε x > 0 να δειχθεί ότι lim+ f ( x) = −∞ . x →0 1 Γ) Βρείτε το όριο lim+ ln x + ηµ − 1 . x →0 x Γ. Όρια στο άπειρο ΓB/101. Βρείτε τα όρια: ( lim ( −3 x ) − x + 2) Γ) lim −2 x3 − 4 x + 1 x →+∞ Ζ) x →+∞ 3 ( ) Α) lim 2 x 2 − 5 x − 31 x →+∞ ( Δ) lim 5 x5 + x + 3 x →−∞ ) ( ) Β) lim 3 x 2 + x − 1 ( x →−∞ ) Ε) lim − x3 + 2 x − 1 x →−∞ Η) lim x →+∞ ( ( συνθ − 2 ) x 3 − 5x − 3 ) 3x3 − x + 3 x 4 + 2 x3 + 12 − x2 + x Ι) lim 3 ΙΑ) lim Θ) lim 3 x →+∞ 2 x 3 − x + 1 x →+∞ 4 x − 2 x + 1 x →−∞ 3 x + 2 x + 1 ΙΒ) lim λx3 + 5 x − 10 , λ ∈ ΙΓ) lim (µ − 1) x 2 − 3 x + 2 , µ ∈ . x →−∞ ( ) ΓB/102. Βρείτε τα όρια: ( x →−∞ ( Α) lim 3 x 2 − x − 3 x →+∞ ) ) ( Β) lim 2 x 2 − x − 4 x →−∞ ) Κ. Αδαμόπουλος 68 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ( ) Γ) lim x3 − 2 x + 1 x →+∞ ( ΣΤ) lim −3 x3 − x + 2 x →+∞ ( ( ) ( ) Δ) lim 2 x5 + 3 x + 1 Ε) lim −2 x3 − 2 x − 4 ) ( ( συνθ − 2 ) x − 5x − 3) lim ( 3µx − x − 3) , µ ∈ . x →−∞ x →−∞ Ζ) lim 3 x →+∞ ) Θ) Η) lim (λ − 1) x3 + 2 x − 1 , λ ∈ x →−∞ Όρια 2 x →−∞ 2x − x + 2 x2 − 2 x ΓB/103. Βρείτε τα όρια: Α) xlim Β) lim 3 →+∞ 5 x 3 − x − 1 x →−∞ 2 x + x + 1 x2 2 x2 2 x 4 − 3x3 + 2 2x2 − x + 2 Γ) lim Δ) lim 3 E) lim − x →+∞ x − 1 x →+∞ x 3 − 3 x − 1 x →+∞ x − x − 1 x +1 3 2x2 + 1 x2 ΣT) lim − x →+∞ 2 x − 1 x 1 + Θ) lim Ι) lim x2 + 5x + 1 x→−∞ ΙΒ) lim x→+∞ ( 3x − 1 3 Ζ) lim Η) lim 2 x 2 − x + 1 − 2 x →+∞ x →−∞ x − 1 x − 3x + 2 ΙΑ) x 2 − 3x + 1 x →−∞ lim x→+∞ ) ( x + 1 − 4x + 1 ) x2 + 3 − 9x2 − x + 1 . 2 x2 − 1 ΓB/104. Αν 2 ≤ f ( x) ≤ 2 x − 1 για κάθε x < −1 βρείτε το xlim f ( x) . →−∞ x 1 + x +1 ( lim ( ) ΓB/105. Βρείτε τα όρια: Α) lim x2 + 1 + x Γ) lim Δ) x 2 + 3x + 1 + x x→−∞ ( Ε) lim x →+∞ x2 + x + 2 − x ( ΣΤ) lim x →+∞ ( ) x + 1 − 4x + 1 x2 + 1 − 2x ) x→+∞ x→−∞ ) (κοινός παράγοντας το Ζ) lim x →+∞ ( ( Δ) lim ( x→+∞ x→−∞ 9 x 2 + 1 − 3x ) 4x2 + 4x + 3 + 2x x →+∞ ( ) x2 + x + 1 − 2x ( Ε) lim ( x→−∞ ) 4 x 2 + 1 + x 2 + 3 − 3x x→+∞ ) ( x2 + 1 − x ) x) Γ) lim ΓB/107.Υπολογίστε τα Α) xlim ( →+∞ Β) lim ) x→+∞ x 2 − x + 1 − x Η) lim ΓB/106.Βρείτε τα όρια: Α) xlim ( →+∞ Β) lim B) lim ) x →−∞ ( ) 9 x 2 + x + 1 + 3x . 4x2 + 1 + 2x ) ) x 2 + 3x − 1 − x 2 + x + 1 . x 2 − x + 1 + x 2 + 1 − 2 x) Γ) lim x →−∞ ( ) 9 x 2 + x + 1 + 4 x 2 − 3x + 2 + 5 x . Κ. Αδαμόπουλος 69 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια x2 + 1 + 2x − 3 x+2 ΓB/108.Βρείτε τα όρια:Α) xlim →+∞ Γ) lim B) lim ( x 2 + 4 x + 5 − x + 3) x→+∞ Δ) lim x→−∞ ( x→−∞ ) ( x 2 − 2 x + 3 − λx 25 x 2 + 15 x + 3 + λx , λ ∈ Ε) lim x →+∞ ηµx ΓB/109. Βρείτε τα όρια: Α) xlim →+∞ x συν 2 x Δ) lim 2 x →−∞ x + 1 2 x Γ) lim συνx x →+∞ 3 x2 − 2 x + 3 Ζ) lim 2 x ⋅ συν 3 x →−∞ 3 1 x + ( ) 4 x 2 + 3 x + 5 + µx (μηδενική επί φραγμένη) ) για µ ∈ . B) lim ( e x ηµx ) x →−∞ xηµx ηµx + 1 ΣΤ) lim 2 x →+∞ x + 1 x →+∞ x Ε) lim 2 x 2 + ηµx Η) lim 2 x →+∞ x + xηµx (διαιρώ με το x 2 ) x3 ηµ 2 x +1 2πx x + 2ηµx x +1 Θ) lim Ι) lim ΙΑ) lim 1 + ηµ x →+∞ x →+∞ 2 x 2 + 1 x →+∞ 2 x + 1 3 x3 + 1 3 x x IΒ) lim ( 2 + συνx ) ΙΓ) lim − ημx ΙΔ) lim ( συν2 x − ln x ) x→+∞ x→+∞ x→−∞ 4 πx x ΙΕ) lim 2 IΣΤ) lim e x + ηµx (με κρ. παρεμβολής συν x →+∞ x →+∞ x + 1 x +1 x3 x x x −1 ≤ ηµx ≤ 1 ⇔ e − 1 ≤ e + ηµx ≤ e + 1 κ.τ.λ.) IΖ) lim 2 + 2συνx (με κρ. παρ.) x →−∞ x + 1 2x −1 2x −1 ηµ 2 ΓB/110.Βρείτε τα όρια: Α) xlim (Θέτω t = 2 ) x +1 →+∞ x +1 x −1 x3 1 2 x −1 2 x x − Β) lim e (Θέτω t = 2 ) Γ) lim 2 ηµ (Θέτω t = 1 ) x x − 2x x →+∞ x →+∞ x + 3 x ( 1 Δ) lim x συν − 1 (Θέτω t = 1 x x →−∞ x x+2 ΣΤ) lim ln 2 x →+∞ x +1 1 Η) lim xηµ (να θέσετε u = 1 ) x x →+∞ x ) ) Ε) lim συν x →+∞ Ζ) lim x →−∞ ( ( ) x2 + 1 − x ) 2 x 2 + 1 − 1 ηµ x 1 Θ) lim x5ηµ (να θέσετε u = 1 x x →+∞ x ) Κ. Αδαμόπουλος 70 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια ) ( x 1 1 (να θέσετε u = ) ΙΑ) lim x 2 + 1 − x ηµ . x x →+∞ x →+∞ 2 x ΙΓ) lim+ ln(1 − ln x) ΙΔ) lim− ln(1 − ln x) ΙΒ) lim ln(ln x) Ι) lim xηµ3 x→+∞ x→0 x→e ΓB/111. Βρείτε τα όρια: Β) lim x →+∞ Α) lim x −1 x →+∞ x 2 − 3x + 2 + 2 x 1− x x − 2 + 2 1− x Γ) lim 2 − x + 2 x 2 − 1 + 3x3 x +1 x →−∞ 2 ΓB/112.Αν η συνάρτηση 3 . f ορισμένη στο ( 0, +∞ ) και για κάθε x > 0 ισχύει (2 + x 4 ) f ( x) − 3 x 4 ≤ x 2 + 1 , δείξετε ότι lim f ( x) = 3 . x→+∞ x f ( x) − 2 x 2 + 1 ΓB/113.Έστω f : ( 0, +∞ ) → ώστε: xlim =3 . →+∞ x2 + 2 2 xf ( x) + ηµ x 3 xf ( x) + 1 Γ) lim . Βρείτε τα όρια: Α) lim f ( x) Β) lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2x + 1 3x + 2 2 ΓB/114.Βρείτε τα α, β ∈ ώστε xlim ( →+∞ ) x 2 + 2 x + 3 − αx + β = 7 Μέθοδος: Αν α > 1 τότε lim α x =0 και αν 0 < α < 1 lim α x =0 . x→−∞ x→+∞ Οπότε αν x → +∞ με συμφέρει να δημιουργώ εκθετικές με βάση μεγαλύτερη του 1, ενώ αν x → −∞ με βάση μεταξύ του 0 και του 1. 2 x + 3x + 4 x 2 x + 3x + 4 x ΓB/115.Βρείτε τα Α) x→+∞ Β) lim lim x→−∞ 2x + 4x 2x + 4x x x 2 5 +1+ 2 x + 5x + 2 3 ⋅ 2 x + 5 x − 3x 3 3 , Γ) lim x lim Δ) Ε) lim x x x→−∞ x→+∞ 2 ⋅ 5 x + 3x + 1 x→+∞ 2 + 2 ⋅ 5 x + 1 2 5 2 + + 2 3 3 7 x + 3x + 3 2 ⋅ 3x + 5 x 3x + 5 x , Η) lim x , Θ) lim x Ζ) lim x x→−∞ 2 + 5 x + 2 x→−∞ 3 − 5 x x→+∞ 3 − 5 x 2 x +1 + 3x + 4 x ΙΑ) lim ( 2 x − 3x ) ΙΒ) lim ( 3x − 4 x ) Ι) lim x + 2 1 x + x x→−∞ x→+∞ x →+∞ 2 + 3 + 2⋅4 Κ. Αδαμόπουλος 71 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) x Όρια x 2 5 +1+ 3x +1 + 2 x + 1 3 3 ΙΓ) lim , ΙΔ) lim x . x x x+2 x →+∞ →−∞ x 3 + 2 +1 1 2 5 3 + + 3x 3 3 x 2 + 3x + 2 ΓB/116.= Αν f ( x) + αx + β να βρείτε τις τιμές των α, β ∈ x−2 ώστε lim f ( x) = 2 x→+∞ (α + 1) x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 ΓB/117. Α) Βρείτε το xlim με α ∈ . →+∞ (α − 3) x 2 − αx + 1 (α − 1) x 4 + x 3 + x + 1 με α ∈ . Β) Βρείτε το lim x→+∞ (α − 3) x 3 + 2 x + 3 ΓB/118. Προσδιορίστε το πολυώνυμο Ρ( x) για το οποίο ισχύει: lim x →−∞ Ρ( x) ( x − 1) 2 = 3 και lim ΓB/119.Αν xlim →+∞ lim ( f ( x) g ( x) ) . x →1 Ρ( x) ( x − 1) 2 = 3. (( ) ) f ( x) 5 , να βρεθεί το = 2 και lim 2 x − x g ( x ) = x →+∞ x+ x x →+∞ f ( x) − x ΓB/120.Αν xlim = 0 να βρείτε τα όρια: →+∞ f ( x) x→+∞ x ηµx −x 2 + f ( x) e + 2 f ( x) 1 + 3 f ( x) Δ) lim Ε) Β) lim f ( x) Γ) lim lim x →+∞ x →+∞ ηµx + 2 f ( x ) x →+∞ 3 − f ( x ) x →+∞ f 2 ( x) + 1 3v 3 − 2v + 1 ΓB/121. Υπολογίστε το v→+∞ , v∈. lim α v αν α v = 3 4v + v 2 + v − 3 ΓB/122. Aν f : → συνάρτηση ώστε f 3 ( x) + 3 f 2 ( x) f (− x) =−2 x3 για κάθε x ∈ . Α) Δείξτε ότι η f είναι περιττή. Β) Δείξτε ότι f ( x) = x . συν 2 x x−2 lim Γ) Υπολογίστε τα όρια: lim και . 2 x→+∞ f 2 ( x ) x→1 f ( x ) − 1 [ ] Α) lim Κ. Αδαμόπουλος 72 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/123. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να υπολογίσετε τα όρια: Β) lim f ( x) Α) lim f ( x) y=3 x →−∞ x →+∞ f ( x) x →+∞ e x Ε) lim [ 2 f ( x) − 1] Γ) lim Όρια 1 x →−∞ xf ( x ) Δ) lim Cf x →+∞ x 1 1 ΣΤ) lim f ( x) Ζ) lim x →+∞ f ( x ) − 3 x →−∞ 2 Η) lim ( f ( x) − 3) ηµx x O x →+∞ ΓB/124. Όμοια για την Α) lim f ( x) x →+∞ f του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τα όρια: Β) lim f ( x) x →−∞ x f ( x) x →+∞ 2 x Ε) lim [3 f ( x) − 5] Γ) lim 1 2 Δ) lim x →+∞ f ( x ) Cf y=1 O x →−∞ x 2 ΣΤ) lim f ( x) x →−∞ 3 Ζ) lim x →+∞ 1 f ( x) − 1 Η) lim x →−∞ x ηµx f ( x) ΓB/125. Όμοια για την Α) lim f ( x) x →+∞ Γ) lim x →+∞ 1 f ( x) f του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τα όρια: Β) lim f ( x) x →−∞ Δ) lim x →−∞ Ε) lim [ 4 − 3 f ( x) ] f ( x) 3 4 Cf x y=2 O x →+∞ e− x ΣΤ) lim x →−∞ f ( x ) − 2 x ηµx . x →+∞ xf ( x ) Ζ) lim Κ. Αδαμόπουλος 73 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια ΓB/126. Όμοια για την f του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τα όρια: Β) lim f ( x) Α) lim f ( x) x →−∞ x →+∞ 1 1 x Δ) lim x →+∞ f ( x ) x →−∞ f ( x ) O x 2 Cf Ε) lim 2 f ( x) x →+∞ 3 1 xf ( x) + 1 x ΣΤ) lim Ζ) lim y x →+∞ xf ( x ) + x x →−∞ 1 − 2 f ( x ) ηµx ⋅ f ( x) . H) lim x →+∞ x ΓB/127. Έστω συνάρτηση f με γράφημα το διπλανό. Υπολογίστε τα όρια: Γ) lim Α) lim f ( x) x→−1 Δ) lim e x→−1 f ( x ) Β) lim ( f ( x) 1 − x x→1 ΣΤ) lim x→1 1 ( x +1)2 ) x −1 Γ) lim+ x→−2 f ( x) x+2 1 Ε) lim f ( x)ηµ x→1 f ( x) f 2 ( x) − 3 f ( x) + 1 1 − f 2 ( x) + 5 f ( x) Ζ) lim x →2 ln x − 2 f 2 ( x) 3 f ( x) − 1 1 Η) lim+ ( f ( x) − 1) ηµ Θ) lim+ 2 x→0 f ( x ) − 1 x→0 x Κ. Αδαμόπουλος 74 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Γενικές ασκήσεις στα όρια. ΓB/128. Υπολογίστε τα όρια: Α) lim x→1 Δ) lim ηµ ( x 2 − 1) x +3−2 x 2 − 1 + ηµ ( x 2 + x − 2 ) x→−∞ x→0 x2 + x + 1 − x ) 1 x Γ) lim x→+∞ 2 x + 3 ΣΤ) lim x→−∞ x2 + 4x 2x + x 1 + 2 x + 3x Θ) lim x→−∞ 1 + 5 x + e x x→0 2x − 7 x→3 x − 3 H) lim x→+∞ ( x2 + 4 − 2 x x→0 ηµ 2 x ΣΤ) lim 4x + 1 − x + 3 ΓB/129. Υπολογίστε τα όρια: Α) xlim →+∞ x 2 ηµ ηµ 2 x + 1 − συν 2 x E) lim x + x−2 ( Γ) lim 3x 2 − 2 x 2 x→1 Ζ) lim B) lim 2 ηµ ( ηµx ) ) ηµ 2 x x+ 2 x→+∞ x 2 − 3 x + 2 Θ) lim B) lim ( 2 x + ηµx ) x +1 + x x→+∞ 2 x2 + 1 1 Δ) lim ηµ x→+∞ x + 2 x E) lim+ x2 + 1 Z) lim ln x→−∞ 2− x 1 + 2 x + 3x Η) lim x→+∞ 1 + 5 x + e x x→0 Ι) lim ln(1 + 2 x ) − ln(1 + 3x ) x→+∞ ΙΒ) lim ln ( x − x + 1) − ln ( x + 1) x→+∞ 2 2 3ln x + 2 4ln x + ln 2 x + 1 3 ΙΑ) lim ln(e x + 1) − x x→+∞ x2 x + 1 ΙΓ) lim ln ln + 3 x→+∞ x 2 + x ΓB/130. Για τις διάφορες τιμές του λ ∈ , βρείτε το όριο στο −∞ της συνάρτησης f (= x) x 2 + 3 x + 5 + λx . ΓB/131. Αν x 2 + 4 x ≤ f ( x) ≤ 3 x 2 + 2 για κάθε x ∈ , να υπολογίσετε τα: f ( x) − 4 − 1 f ( x) − 5 f ( x) + x − 6 , Γ) lim , Δ) lim x→1 x→1 x→1 x→1 x −1 x −1 x −1 ΓB/132. Δίνεται συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: xf ( x) − 2 f ( x) − x 2 + 4 ≤ x 2 − 4 x + 4 για κάθε x ∈ . Να βρείτε lim f ( x) . Α) lim f ( x) , Β) lim x →2 ΓB/133. Δίνεται συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: x 2 + 2 x − 4 ≤ f 2 ( x) − 2 f ( x) ≤ 2 x 2 − 3 για κάθε x ∈ . Να βρείτε lim f ( x) . x→1 Κ. Αδαμόπουλος 75 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια ΓB/134. Έστω συνάρτηση f : → τέτοια, ώστε να ισχύει: f 3 ( x) + f ( x) = x για κάθε x κοντά στο 0. Να βρείτε το όριο της f στο x0 = 0 . ( f ( x) = x και κριτήριο παρεμβολής) f ( x) + 1 2 ΓB/135. Για τη µη σταθερή συνάρτηση f : → δίνεται ότι: 3 f ( x) − 3 . lim ( −2 f ( x) + x 2 − x ) = 0 . Να βρείτε το: lim 2 x→3 f ( x ) − 9 x→3 f ( x) ΓB/136. Έστω συνάρτηση f : → με lim = 1 . Να βρείτε το όριο: x→0 x xf (2 x) − f (− x)ηµ 2 x . lim x→0 2 x 2 − ηµ 2 x ΓB/137. Έστω η συνάρτηση f ( x) = 2 x + 1 με α ∈ . Να βρείτε τον α x + αx + 4 ώστε να είναι: lim f ( x) = +∞ . x →2 ΓB/138. Για τη συνάρτηση f : → δίνεται ότι: lim x→1 f ( x)ηµ(πx) = +∞ . π( x − 1) Να δείξετε ότι: lim f ( x) = −∞ . x→1 f ( x) − x = 4. x →2 x−2 xf ( x) − 3λ − λ 2 έχει στο Για ποια τιμή του λ ∈ (0, +∞) η συνάρτηση g ( x) = x2 − 4 x0 = 2 όριο πραγματικό αριθμό. Να βρεθεί αυτό το όριο. ΓB/139. Δίνεται μία συνάρτηση ΓB/140. Μία συνάρτηση f ορισμένη στο , με lim f είναι ορισμένη στο σύνολο (α,1)∪(1,β) και f ( x) − x 2 και lim f ( x ) = k − k + 1 . Να βρείτε τις τιμές του = 2 x→1− x→1 x2 − 1 k ∈ , έτσι ώστε να υπάρχει το όριο της f στο x0 = 1. f ( x) − 1 g( x) − 1 ΓB/141. Αν lim = 2 και lim = 3 , τότε να δειχθεί ότι: x→0 x→0 ηµx ηµx = f ( x) lim = g ( x) 1. Να υπολογισθούν επίσης τα όρια: lim ισχύουν: lim+ x→0 Α =lim x→0 x→0 f ( x) g ( x) − 1 xf ( x) − g ( x)ηµx − x + ηµx και Β =lim . x→0 ηµ 2 x ηµx Κ. Αδαμόπουλος 76 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια x2 + x + α , x ≤ 0 ΓB/142. Για ποια τιμή του α ∈ η f ( x) = ηµ2 x , x>0 1 + 3 x − 1 στο x0 = 0 όριο πραγματικό αριθμό; έχει ΓB/143. Προσδιορίστε τα α, β, γ ∈ , ώστε στο x0 = 1 η συνάρτηση αx + 4 , x <1 x 2 − 1 f ( x) = 2 βx + γx + 3 , x > 1 x −1 να έχει όριο πραγματικό αριθμό. Όρια Ερωτήσεις Θεωρίας (Σωστού – Λάθους) 1. Αν lim f ( x0 + h ) = l τότε lim f ( x) = l . h →0 x → x0 2. Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0 , έναν πραγματικό αριθμό . Αναγκαστικά το x0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της. 3. Αν lim f ( x) > 0 τότε f ( x) > 0 για κάθε x ∈ A f . x → x0 4. Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f , όταν το x παίρνει τιμές κοντά στο x0 , συμπίπτουν πάντοτε. 5. Το όριο μιας συνάρτησης f στο x0 εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό. 6. Αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0, τότε αυτό είναι μοναδικό. 7. Αν lim f ( x) = l , τότε υπάρχει συνάρτηση φ με lim ϕ ( x ) = 0 και x → x0 x → x0 f ( x) = l + ϕ ( x ) . 8. Αν για τις f , g : A → υπάρχει το lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] , τότε πάντοτε ισχύει x → x0 lim [ f ( x) ⋅ g ( x)= ] lim f ( x) ⋅ lim g ( x) . x → x0 9. Αν f ( x= ) x → x0 x x x → x0 − 1 , τότε lim− f ( x)= 0= lim+ f ( x) . x →0 x →0 Κ. Αδαμόπουλος 77 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια 10. Αν lim f ( x) = −e , τότε η f παίρνει αρνητικές τιμές για κάποια x 3 x → 2007 κοντά στο 2007. 11. Αν lim [ f ( x) − g ( x) ] = 0 τότε πάντα ισχύει lim f ( x) = lim g ( x) . x →α x →α x →α 12. Αν lim f ( x) = l , με l ≠ 0 τότε lim f ( x) = l . x → x0 x → x0 13. Αν lim f ( x) = l > 0 τότε πάντα lim f ( x) = l ή lim f ( x) = −l . x → x0 x → x0 x → x0 14. Αν f ( x) < g ( x) κοντά στο x0 , τότε πάντα ισχύει lim f ( x) < lim g ( x) . x → x0 x → x0 15. Ισχύει πάντα lim f ( x)= 0 ⇔ lim f ( x) = 0 . x → x0 x → x0 16. Αν το lim f ( x) είναι θετικός αριθμός, τότε η f παίρνει θετικές τιμές x → x0 κοντά στο x0. 17. Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που περιέχει το 0. Τότε ισχύει πάντοτε lim f ( x) = f (0) . x →0 18. Αν lim f ( x) = β , lim g ( x) = γ και f ( x) ≠ β κοντά στο α, τότε x →α lim g ( f ( x) ) = γ . x →α 19. Ισχύει ότι lim x →0 x →β ηµ (α x ) x = 1 με α ≠ 0, 1. f ( x) f (3 x) = l , τότε lim = 3l . x →0 x →0 x x 1 21. Αν 0 ≤ f ( x) ≤ + e − x , για κάθε x ∈ , τότε το lim f ( x) = 0 . x →+∞ x 22. Αν lim f ( x) = +∞ και g ( x) < 0 κοντά στο x0 , τότε πάντα ισχύει 20. Αν lim x → x0 lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] = −∞ . x → x0 23. Αν lim f ( x) = +∞ , τότε lim f ( x) = +∞ ή lim f ( x) = −∞ . x → x0 x → x0 x → x0 24. Για κάθε α ∈ ισχύει: lim α = +∞ . x 25. Ισχύει: lim+ ln x = −∞ . x →+∞ x →0 26. Αν lim f ( x) = +∞ , τότε lim x → x0 x → x0 1 = 0. f ( x) Κ. Αδαμόπουλος 78 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια 27. Αν lim f ( x) = +∞ και lim g ( x) = −∞ , το lim [ f ( x) + g ( x) ] δεν υπάρχει. x → x0 x → x0 x → x0 28. Αν lim f ( x) = 0 και f ( x) > 0 κοντά στο x0 , τότε lim x → x0 x → x0 1 = +∞ . f ( x) 1 1 = . x → x0 f ( x ) x → x0 l 30. Αν η συνάρτηση f :[0, +∞) → είναι γνησίως αύξουσα, τότε πάντοτε ισχύει lim f ( x) = +∞ . 29. Αν lim f ( x)= l ≠ 0 , τότε lim x →+∞ Κ. Αδαμόπουλος 79 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια Συνέχεια Συνάρτησης "Ο κόσμος των ιδεών τις οποίες αποκαλύπτουν ή διαφωτίζουν , η θέαση της Θείας ομορφιάς και τάξης στην οποία μας οδηγούν , η αρμονική σύνδεση των μερών τους , η άπειρη ιεραρχία και η απόλυτη βεβαιότητα των αληθειών με τις οποίες ασχολούνται , αυτά και άλλα παρόμοια είναι τα ασφαλέστερα θεμέλια της εκτίμησης που τρέφουν δικαίως οι άνθρωποι για τα μαθηματικά, και θα παρέμεναν αδιαμφισβήτητα και ακέραια , αν το σχέδιο του σύμπαντος ξετυλιγόταν σαν χάρτης μπροστά στα πόδια μας , και αν η ανθρώπινη νόηση είχε την ικανότητα να συλλάβει ολόκληρο το σχήμα της δημιουργίας με μια ματιά" J.J.Sylvester Σχόλιο: Οι πολυωνυμικές, οι ρητές, οι άρρηττες, οι τριγωνομετρικές, οι εκθετικές, οι λογαριθμικές συναρτήσεις και ότι προκύπτει από αυτές με πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, απόλυτη τιμή, ρίζα ύψωση σε εκθέτη και σύνθεση είναι συνεχείς συναρτήσεις. Έτσι αν οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς στο x0 , τότε και οι συναρτήσεις f , cf , f , f ν , v f , f g και g f είναι επίσης f + g , f −g , f ⋅g , g συνεχείς στο x0 . f Το αντίστροφο για τις f + g , f − g , f ⋅ g , , f δεν ισχύει γενικά. Έτσι g μπορεί π.χ. η συνάρτηση ϕ= f + g να είναι συνεχής στο x0 ενώ η f να μην είναι συνεχής στο x0 . Π.χ. Οι συναρτήσεις −1, x < 0 3, x < 0 δεν είναι συνεχείς αλλά η συνάρτηση και g ( x) f ( x) = 1, x ≥ 0 1, x ≥ 0 f + g είναι συνεχής. ΣΧΟ.Γ2. Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της αν δεν υπάρχει το όριό της στο x0 , ή υπάρχει αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της f ( x0 ) . Δεν έχει νόημα να ρωτάμε αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε σημείο που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού x2 −1 της. Π.χ. η f ( x) είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της αφού το x −1 x0 = 1 , όπου η f δεν ορίζεται δεν ανήκει στο D f . 80 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/01. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: x 2 − 3x + 2 x2 − 1 , x ≠1 , x≠2 Α) f ( x) = x − 1 Β) g ( x) = x − 2 2 3 , x=2 , x =1 ΓΓ/02. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: x2 + 2x + 1 , x ≥ 0 x2 + 3 , x <1 Β) g ( x) = x − 2 Α) f ( x) = x 2 + ηµx + 1 , x<0 2 x + ln x , x ≥ 1 x2 + 1 ΓΓ/03. Βρείτε το α ∈ ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις: x2 + 1 x 2 + αx + ln x , x ≥ 1 , x<2 Α) f ( x) = 3ηµ( x − 1) Β) g ( x) = x + 1 , x <1 2 x+2 +α , x≥2 x − 3x + 2 ΓΓ/04. Εξετάστε αν είναι συνεχείς οι συναρτήσεις: x2 + 1 , x < 0 Α) f ( x) = 3 x + 2 , x≥0 x −1 x2 + 1 , x < 0 Β) g( x) = 3 x + 2 , x>0 x −1 x2 + 5x + 4 , x ≠ −1 Δ) ϕ( x) = x +1 x = −1 2 x2 + 5x + 4 Γ) h( x) = x +1 ΓΓ/05. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: , x ≤1 x2 + 1 Α) f ( x) = 2συν(2πx) , x > 1 Β) 2 x − ηµx g ( x) = x + ηµx 1 , x≠0 , x=0 Μέθοδος: Αν μας ζητούν να βρούμε τις παραμέτρους ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής , τότε: ►Βρίσκουμε τα σημεία x0 που η f αλλάζει τύπο εκατέρωθέν τους ►Απαιτούμε να υπάρχει το lim f ( x ) (τα πλευρικά όρια να είναι ίσα) και x → x0 να είναι πραγματικός αριθμός ►Απαιτούμε να ισχύει η σχέση lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Από τα παραπάνω καταλήγω σε ένα σύστημα που η λύση του μου δίνει τις παραμέτρους. 81 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια x2 − x , x > 1 Π.χ. Βρείτε το α ∈ ώστε η f ( x) = να είναι συνεχής. Λύση: ≤ x , 1 + α x 2 Πρέπει: lim = f ( x ) lim = f ( x) f (1) ⇔ lim+ x 2 − x = lim− ( 2 x + α ) = 2 + α ⇔ − + x →1 x →1 x →1 ( ) x →1 ⇔ 0 =2 + α ⇔ α =−2 ΓΓ/06. Βρείτε τα α, β ∈ ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις: x − 2ηµx ηµ 2 x + α x < 0 x2 − x + α , x < 0 Β) g ( x) = Α) f ( x) = 3 ,x 0 2 x= 0 = 2x2 + x + β x > 0 x + ηµx +β , x > 0 x ΓΓ/07. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια και να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: x −1 , x ≥ 1 2 x − 1 , x ≤ 1 Α) f ( x) = 2 Β) g ( x) = 2 , x >1 , x <1 x 1− x −αx 2 , x ≤ −1 ΓΓ/08. Δίνεται η συνάρτηση: f (= x) 2 x + β , −1 < x ≤ 1 ln x , x >1 Να προσδιοριστούν τα α, β ∈ ώστε η f να είναι συνεχής στο . , x < −1 3αx + 2β ΓΓ/09. Δίνεται η = f ( x) x+4 , −1 ≤ x < 1 με α, β ∈ 2αx 2 + 2βx − 3 , x ≥1 Βρείτε τα α, β ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο . (α 2 + β 2 ) x 2 + 8 x + 2 , x < 1 ΓΓ/10. Αν η συνάρτηση f ( x) = , x ≥1 2(3α − β) x + 4 με α, β ∈ είναι συνεχής στο , να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (α, β) είναι κύκλος. ΓΓ/11. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ∈ ώστε να είναι συνεχής η (α + 1) x 2 − (2β + 1) x + 6 , x≠3 συνάρτηση: f ( x) = x−3 7 , x=3 82 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/12.Μελετήστε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: 2 x 2 − ηµ 2 x 1 3 , x≠0 xσυν x + ηµ 2 2 x Β) f ( x) = Α) f ( x) = x 1 0 , x=0 4 x2 + x − 2 + x + 2 − 5 , x ≠1 ΓΓ/13.Δείξε ότι η f ( x) = x −1 2 , x =1 συνεχής. , x≠0 , x=0 είναι Μέθοδος: Αν η f είναι συνεχής στο x0 και θέλουμε να βρούμε το f ( x0 ) αρκεί να βρούμε το lim f ( x) . x → x0 Αν θέλουμε να βρούμε το lim f ( x) αρκεί να βρούμε το f ( x0 ) . x → x0 x2 − 1 βρείτε το f (1) x −1 x2 − 1 Λύση: Αφού f συνεχής στο x0 = 1 είναι f (1) = lim = lim ( x + = 1) 2 . x →1 x − 1 x →1 Π.χ. Αν f συνεχής στο x0 = 1 και για x ≠ 1 είναι f ( x) = ΓΓ/14.Αν xf ( x= ) x3 + x + ηµx για κάθε x ∈ και η f είναι συνεχής στο x0 = 0 , βρείτε το f (0) . ΓΓ/15.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και για κάθε x ∈ ισχύει: ηµx − x 2 ≤ xf ( x) ≤ x + x 2 , βρείτε το f ( 0 ) . ΓΓ/16. Έστω xf ( x) += 1 ΓΓ/17.Αν f συνεχής στο ώστε για κάθε x ∈ ισχύει: x 2 + 1 , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. xf ( x= ) f ( x) + x + 3 − 2 για κάθε x ∈ [−3, +∞) και f συνεχής στο [−3, +∞) βρείτε τον τύπο της f . ΓΓ/18. Bρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : → με την ιδιότητα: f ( x) + x 2 + x + 2 =1 + x ( f ( x) + 1) για κάθε x ∈ . ΓΓ/19.Δίνεται η συνάρτηση f : → με f (1) = −2 και x 2 + x + f ( x) lim = −2 . Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 1 . x →1 x −1 ΓΓ/20. H συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και ισχύουν: 83 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια x 2 + f ( x) lim 2 = L ∈ και f (2) = −4 . x →2 x −4 Α. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 2 . f ( x) + 2 x 3 Β. Αν lim = βρείτε το L . x →2 x2 − 4 2 ΓΓ/21. Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και συνεχής στο σημείο x0 = 2 f ( x) + x 2 + x − 2 και ότι lim = 0 Α) να βρείτε την τιμή της f για x0 = 2 . x →2 x−2 Β) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο x0 = −2 . f ( x) . Γ) Υπολογίστε το lim 2 x →2 x − 4 x + 4 f ( x) − f (2) + ηµ( x − 2) . Δ) Υπολογίστε το lim x →2 x2 − 4 xf ( x) − ηµ5 x ΓΓ/22.Αν η f είναι συνεχής στο x0 = 0 , lim = 4 και x→0 x +1 −1 f ( x) − f ( x + 2) = x 2 + 7 x + 3 για κάθε x ∈ , να βρείτε την τιμή της f στο x0 = 0 και αποδείξτε ότι είναι συνεχής στο x0 = 2 . ΓΓ/23.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 = 0 και xf ( x) − ηµ3 x = 2 να βρείτε την τιμή της f στο x0 = 0 . 2 x→0 x +x ΓΓ/24.Αν 5 ≤ f ( x) ≤ x 2 − 6 x + 14 για κάθε x ∈ , να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 3 . lim ΓΓ/25. Αν 1 − x 2 ≤ συνεχής στο x0 = 0 . f ( x) ≤ 1 + x 2 για κάθε x ∈ , αποδείξτε ότι η f είναι ΓΓ/26. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 = 0 και για κάθε x ∈ ισχύει xf ( x) − ηµ 2 x ≤ x 4 , να βρεθεί το f (0) . Μέθοδος: Αν η f είναι συνεχής στο x0 και μας δίνεται μια ανισοτική σχέση μπορούμε να βρούμε το f ( x0 ) χρησιμοποιώντας πλευρικά όρια και καταλήγοντας στις σχέσεις f ( x0 ) ≤ α και f ( x0 ) ≥ α οπότε f ( x0 ) = α . ΓΓ/27. Α) Αν ( x − 2) f ( x) ≤ x 2 − 3x + 2 για κάθε x ∈ και στο x0 = 2 , να υπολογίσετε την τιμή της f στο x0 = 2 . f συνεχής Β) Αν ( x − 1) f ( x) ≤ x 2 − 1 για κάθε x ∈ και f συνεχής στο x0 = 1, να υπολογίσετε την τιμή της f στο x0 = 1. 84 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ) Αν x 3 f ( x) ≤ ( Συνέχεια ) x 2 + 4 − 2 ⋅ηµ 2 x για κάθε x ∈ και f συνεχής στο x0 = 0 , να υπολογίσετε την τιμή της f στο x0 = 0 . ΓΓ/28.Έστω συνάρτηση f συνεχής στο x = α και τέτοια που να ισχύει: f ( x)( x − α) ≥ x 2 + αx − 2α 2 για κάθε x ∈ . Δείξτε ότι f (α) = 3α . Μέθοδος: Αν μου δίνεται μια συναρτησιακή σχέση που περιέχει μια συνάρτηση f καθώς και το τετράγωνό της, τότε προσπαθώ συνήθως να δημιουργήσω ταυτότητα. Π.χ. Βρείτε την f αν δεν είναι δίκλαδη και ισχύει: f 2 ( x) − 2 xf ( x) = ln 2 x − x 2 . f 2 ( x) − 2 xf ( x)= ln 2 x − x 2 ⇔ f 2 ( x) − 2 xf ( x) + x 2= ln 2 x ⇔ f ( x ) − x = ln 2 x ⇔ 2 ln x ή f ( x) − x =− ln x ⇔ f ( x) =x + ln x ή f ( x)= x − ln x . ⇔ f ( x) − x = ΓΓ/29. Αν f 2 ( x) − 2 f ( x) + συν 2 x ≤ 0 για κάθε x ∈ να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 0 . Μέθοδος: Όταν μας δίνουν μια συναρτησιακή σχέση για μια συνάρτηση f και γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο α , τότε για να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της A , θα πρέπει να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε τυχαίο σημείο x0 ∈ A , κάνοντας αλλαγή μεταβλητής στην εύρεση του ορίου και χρησιμοποιώντας τη συναρτησιακή σχέση. Π.χ. αν f (= xy ) f ( x) + f ( y ) για κάθε x ∈ (0, +∞) και f συνεχής στο x0 = 1 δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, +∞) . Λύση:Αρκεί να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε τυχαίο σημείο x0 = α του (0, +∞) δηλαδή ότι lim f ( x) = f (α ) .Πράγματι είναι f συνεχής στο x0 = 1 άρα x →α lim f ( x) = f (1) . Θέτω h = α x →1 x ⇔ x = α h , για x → α , h → 1 και είναι: lim f ( x) = lim f (α h ) = lim [ f (α ) + f (h)] = lim f (α ) + lim f (h) = f (α ) + f (1) = x →α h→1 = f (α ⋅ 1)= f (α ) . h→1 h→1 h→1 ΓΓ/30. Αν f ( x + y) = f ( x) f ( y ) για κάθε x, y ∈ και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο . ΓΓ/31.Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει η σχέση: f (αβ= ) f (α) + f (β) για κάθε α, β ∈ .Αν η f είναι συνεχής στο x0 = 1 να δειχθεί ότι είναι συνεχής στο . ΓΓ/32.Αν f= ( xy ) xf ( y ) + yf ( x) για κάθε x, y ∈ ∗ και f συνεχής στο x0 = 1 να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο . 85 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια x ∗ f = f ( x) − f ( y ) για κάθε x, y ∈ και f συνεχής στο y x0 = 1 να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο . ΓΓ/33.Αν Υπενθύμιση: ( α3 − β3 = (α − β) α 2 + αβ + β2 α + αβ + β ≥ 0 2 ) α − αβ + β ≥ 0 2 2 ΓΓ/34. Δίνεται η συνάρτηση f : → f 3 ( x ) + f ( x) = x , για κάθε x ∈ . 2 για κάθε α, β ∈ για την οποία ισχύει η σχέση: Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο x0 = 0 . Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο . (Να θέσετε x = x0 και να αφαιρέσετε κατά μέλη) ΓΓ/35. Δίνεται η συνάρτηση f : → f 3 ( x ) − 1= 2 x − 2 f ( x ) , για κάθε x ∈ . για την οποία ισχύει η σχέση: Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο . (Να θέσετε x = x0 και να αφαιρέσετε κατά μέλη) Β) Αν το σύνολο τιμών της f είναι το , να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f −1 . Γ) Να λύσετε την εξίσωση f ( x ) = 0 . Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f −1 . ΓΓ/36. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: f ( x) − f (2) f (2 + h) . lim = 12 . Α) Βρείτε το f (2) . Β) Βρείτε το: lim x→2 h →0 h x2 − 4 (Με αλλαγή μεταβλητής) ΓΓ/37. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: f (3h) f ( x) − f (3) . lim = 6 . Α) Βρείτε το f (3) . Β) Βρείτε το: lim 2 h →1 h − 1 x →3 x +7−4 ηµf ( x) . Γ) Βρείτε το: lim x →3 x − 3 ΓΓ/38.Αν f ( x) + g ( x) = ηµ x για κάθε x ∈ , e x και f ( x) − g ( x) = αποδείξτε ότι οι f , g είναι συνεχείς στο . ΓΓ/39.Αν η f είναι περιττή και x 2 f ( x) ≤ ( ) x 2 + 4 − 2 ⋅ ηµx για κάθε Β) Βρείτε τον τύπο της f x ∈ : Α) Δείξτε ότι f (0) = 0 . Γ) Εξετάστε αν η f είναι συνεχής. 86 (όπου x το − x ). Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια Σχόλιο: Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A είναι συνεχής στο x0 , τότε το x0 ανήκει στο A , υπάρχει το lim f ( x ) , lim f ( x ) ∈ και x → x0 x → x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) . Γενικά εξετάζουμε τη συνέχεια της f στο x0 αν το x0 x → x0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f . ΓΓ/40. Στο ακόλουθο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. B) Βρείτε τα σημεία που η f δεν είναι συνεχής δικαιολογώντας την απάντησή σας. Γ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. 1 1 f ( x) 1 Γ1) lim Γ2) lim Γ3) lim + συν x→3 f ( x ) x →4 x − 4 x→3 x − 3 f ( x) 1+ x Δ) Αν g ( = x) ln − , να βρείτε το πεδίο ορισμού της g και μετά να x βρείτε το πεδίο ορισμού g f . Ε) 3 < α < β < 4 συγκρίνετε τους αριθμούς ln f (α) , f (α) , ln f (β) , f (β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΓΓ/41. Έστω συνάρτηση f που το γράφημά της δίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. Β) Υπολογίστε τα παρακάτω όρια, αν υπάρχουν. Αν δεν υπάρχουν δικαιολογήστε γιατί δεν υπάρχουν. Β1) lim f ( x) Β2) lim f ( x) Β3) lim f ( x) x→−3 ηµf ( x) x →4 f ( x) f ( x) Β9) lim x →4 x − 2 Β5) lim x →2 x→8 Β4) lim f ( x) x→10 x−5 1 ln f ( x) Β7) lim Β8) lim x →4 f ( x ) x→6 f ( x ) x→10 x − 10 f ( x) + 2 f ( x) + 4 Β10) lim Β11) lim . x→10 10 − x x→−3 x+3 Β6) lim 87 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια Γ) Βρείτε τα σημεία ασυνέχειας της f και εξηγείστε γιατί εκεί είναι ασυνεχής. Θεωρήματα συνέχειας (Θ. Βolzano - Θ.Ε.Τ. - Θ.Μ.Ε.Τ.) Προτάσεις: ►Αν f συνεχής στο [ α, β] και f (α) ⋅ f ( β ) < 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ ( α, β ) ώστε f ( x0 ) = 0 . (Θ. Βοlzano). ►To αντίστροφo του Θ. Βolzano δεν ισχύει γενικά. Δηλ. μπορεί μια συνάρτηση να μηδενίζεται σε ένα σημείο x0 ∈ ( α, β ) χωρίς να ισχύουν υποχρεωτικά οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano, δηλαδή χωρίς η f να είναι συνεχής στο [α , β ] ή χωρίς οι τιμές f (α ) , f ( β ) να είναι ετερόσημες. ► Αν f συνεχής στο [α , β ] και f (α ) ⋅ f ( β ) ≤ 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ [α , β ] ώστε f ( x0 ) = 0 . Σε αυτή την περίπτωση διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, για f (α) ⋅ f ( β ) < 0 και για f (α) ⋅ f ( β ) =0 . ►Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ α, β] και f (α) ⋅ f ( β ) < 0 τότε υπάρχει ένα ακριβώς x0 ∈ ( α, β ) ώστε f ( x0 ) = 0 . Σχόλιο: Το Θ. Bolzano είναι «υπαρξιακό» θεώρημα, διαπιστώνει δηλαδή την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας μιας συνάρτησης, άρα και μιας εξίσωσης σε ένα διάστημα, δεν μπορεί όμως να διαπιστώσει τον ακριβή αριθμό των ριζών ούτε και να τις προσδιορίσει. Πάντως είναι ιδιαίτερα χρήσιμο σε περιπτώσεις που λόγω της μορφής της συνάρτησης δεν μπορούμε με άλλο τρόπο να εξάγουμε συμπέρασμα για τις ρίζες της. Μέθοδος:►Για να αποδείξω ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα (α , β ) ακολουθούμε τα εξής βήματα: ● Φέρνουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος. ● Θεωρούμε το 1ο μέλος ως συνάρτηση f . ● Επαληθεύουμε ότι ισχύουν για την f οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [α , β ] ► Αν δεν μας δίνεται το διάστημα το βρίσκουμε με δοκιμές. ► Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία για περισσότερα διαστήματα χωρίζοντας το αρχικό διάστημα είτε βρίσκοντας με δοκιμές 88 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια νέα διαστήματα, αρκεί τα διαστήματα να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία. ► Αν η συνάρτηση f που ορίζουμε δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος γιατί μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής , κάνουμε πρώτα απαλοιφή παρονομαστών και μετά ορίζουμε νέα συνάρτηση. Π.χ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β ] , αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β ) 1 1 + . α −ξ β −ξ 1 1 Λύση: = και για x ≠ α , x ≠ β ισοδύναμα έχουμε: + f ( x) α−x β −x α + β − 2 x ⇔ (α − x )( β − x ) f ( x) + 2 x − α − β = 0 (α − x )( β − x ) f ( x) = Θεωρώ τη συνάρτηση g ( x) = (α − x )( β − x ) f ( x) + 2 x − α − β και εφαρμόζω Θ. Βοlzano για την g στο [α , β ] . f (ξ ) τέτοιο που = ► Αν το θεώρημα Bolzano είναι αναποτελεσματικό βρίσκω το σύνολο τιμών και αποδεικνύω ότι περιλαμβάνει το μηδέν. ► Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β ) που να ικανοποιεί μια ισότητα, τότε θέτουμε όπου ξ το x , προκύπτει έτσι μια εξίσωση και ακολουθούμε τις παραπάνω διαδικασίες. Π.χ. Δείξτε ότι υπάρχει ξ ∈ ( 0,1) ώστε να ισχύει: = ξ 3 6ξ 2 − 3 . Λύση: Είναι x3= 6 x 2 − 3 ⇔ x3 − 6 x 2 + 3= 0 . Θεωρώ τη συνάρτηση: f ( x ) =x3 − 6 x 2 + 3 Τότε: f συνεχής στο [ 0,1] και f (0) ⋅ f (1) =3 ⋅ (−2) =−6 < 0 άρα με Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( 0,1) ώστε ξ 3 − 6ξ 2 + 3 = 0 ⇔ ξ 3 = 6ξ 2 − 3 . ΓΓ/42. Δείξτε ότι η συνάρτηση f ( x ) = 2 x + e x − 3 έχει μια τουλάχιστον ΓΓ/43. Δείξτε ότι η συνάρτηση f ( x ) =x 2 + ln x − 3 έχει μια ρίζα στο διάστημα ( 0,1) . τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1, 2 ) . ΓΓ/44. Δείξτε ότι η εξίσωση x 2 + ln x = 2 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,e ) . ΓΓ/45. Δείξτε ότι η εξίσωση x − 1 = 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο x διάστημα (1, 4 ) . ΓΓ/46. Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( 0,1) ώστε: eξ + ln(ξ + 1) = 2 . 89 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια π Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ 0, ώστε: 2 ξ 2 + ηµξ = 1 . ΓΓ/47. ΓΓ/48. Δείξτε ότι η συνάρτηση f ( x ) = 2ηµx − 1 έχει μια τουλάχιστον π ρίζα στο διάστημα 0, . 2 Σχόλιο: Εξίσωση είναι μια ισότητα που ισχύει για ορισμένες μόνο τιμές των μεταβλητών της . Έτσι αν μας δίνεται η εξίσωση f ( x) = g ( x) αυτό δεν σημαίνει ότι οι δύο συναρτήσεις είναι μεταξύ τους ίσες αφού η ισότητα ισχύει για ορισμένες μόνο τιμές του x και όχι για όλες. ΓΓ/49. Α) Δείξτε ότι η εξίσωση 3 x + ln x =x 2 + 1 έχει μια τουλάχιστον 1 ρίζα στο διάστημα ,1 . 4 ΓΓ/50. Δείξτε ότι η εξίσωση x=3 x + 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 0, 2 ) . ΓΓ/51. Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (1, 2) ώστε ξ3 − 2ξ =0 . ΓΓ/52. Δείξτε ότι η συνάρτηση f ( x ) = x3 + x + 1 έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα ( −1,0 ) . ΓΓ/53. Δείξτε ότι η εξίσωση ln x= 2 − x έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα (1, 2 ) . ΓΓ/54. Δείξτε ότι η συνάρτηση f ( x) = 1 + 2ηµx έχει στο − π , π μία 2 2 τουλάχιστον ρίζα. ΓΓ/55.Αν f : → [0,1] συνεχής ,δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ [0,1] ώστε f ( x0 ) = x0 . ΓΓ/56.Αποδείξτε ότι η εξίσωση συν 2 x = x έχει μία τουλάχιστον ρίζα π π στο διάστημα − , . 4 4 ΓΓ/57. Αποδείξτε ότι η εξίσωση (3 − x)ln x =x3 − 5 x 2 + 5 x έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (1,4). ΓΓ/58. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( x − 2)συνx + 1 = τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (0,π). 90 ηµx έχει δύο Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΓ/59.Δείξτε ότι αν Συνέχεια f ( x) = ηµ3 x και g ( x) = π π σε σημείο του διαστήματος , . x τότε οι C f , Cg τέμνονται 3 4 3 ΓΓ/60.Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f και g ορισμένες στο διάστημα [0,1].Αν f (0) = g (1) , f (1) = g (0) , να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ∈ [0,1] ώστε f (ξ ) = g (ξ ) . ΓΓ/61.Αν f :[α, β] → [α, β] είναι συνεχής και αβ > 0 , αποδείξτε ότι f ( ξ) β υπάρχει ξ ∈ [α, β] τέτοιος που = . α ξ ΓΓ/62.Οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς στο διάστημα [ α, β] και ισχύουν : f ( x) < g ( x) για κάθε x ∈ [ α, β] , f (α) =α και g (β) =β . Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ ( α, β ) τέτοιο που να ισχύει 2 f ( x0 ) + 3 g ( x0 ) = 5 x0 . ΓΓ/63. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α 2 x 4 + β2 x − β2 = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [0,1] . ΓΓ/64. Αν f , g : [0,1] → 0, 1 συνεχείς να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα 2 τουλάχιστον x0 ∈ [ 0,1] ώστε f ( x0 ) + g ( x0 ) = x0 . Υπενθύμιση: Αν ∆ < 0 το τριώνυμο αx 2 + βx + γ είναι ομόσημο του α για κάθε x ∈ . ΓΓ/65.Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει 0 < f ( x) < 2 για κάθε 2 f ( x) έχει μια x ∈ ,να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 x + f 2 ( x) = τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,2) . ΓΓ/66.Αν η συνάρτηση f : [0,1] → [1,2] είναι συνεχής στο [0,1] να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ∈ ( 0,1) ώστε 2 f 2 (ξ) − 5 f (ξ) + 4ξ =0 . Υπενθύμιση: Ένα πολυώνυμο ν βαθμού έχει το πολύ ν ρίζες. ΓΓ/67. Αν α < β < γ αποδείξετε ότι η 1 3 5 + + = 0 έχει δύο x −α x −β x − γ ακριβώς ρίζες στο . ex 1 ΓΓ/68. Δείξτε ότι η εξίσωση + = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα x −α x −β 91 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια στο διάστημα ( α, β ) . ΓΓ/69. Δείξτε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα . ηµx συν 2 x έχει στο = 2x − π 2x + π π π − , μία 2 2 ΓΓ/70. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] , αποδείξτε ότι 1 1 . υπάρχει ξ ∈ (α, β) τέτοιο που f = ( ξ) + α−ξ β−ξ x 2021 + 2021 x 2022 + 2022 ΓΓ/71.Δείξτε ότι η εξίσωση + = 0 έχει μια x −1 x−2 τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2). ΓΓ/72.Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 5 έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο Μ που η x τετμημένη του ανήκει στο διάστημα (1,2). = f ( x) 2 x 3 − 1 και g ( x) = ΓΓ/73. Nα δείξετε ότι η εξίσωση x5 − 4 x + 3 =0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( 0,1) . ( Ηorner και Θ. Β. στο πηλίκο) ΓΓ/74. Nα δείξετε ότι η εξίσωση 1 =1 + (1 − x)ln x έχει μία ακριβώς x ( Απαλοιφή και ομαδοποίηση) ρίζα στο (1, 2 ) . ΓΓ/75. Nα δείξετε ότι η εξίσωση x 2 − x(ηµ x + συν x) + ηµ xσυν x = 0 π έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 0, . 2 (ομαδοποίηση) ΓΓ/76.Αν f , g συνεχείς στο διάστημα Δ και η f έχει ρίζες ρ1 < 0 < ρ2 στο Δ και f ( x) − g ( x) = cx για κάθε x ∈ και c ∈ , δείξτε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης g ( x) = 0 στο [ρ1 , ρ2 ] . ΓΓ/77.Αν f ( x) = αx 2 + βx + γ ( α ≠ 0 ) και ισχύει: γα + γβ + γ 2 < 0 , να αποδειχθεί ότι β2 ≥ 4αγ . ( γ ( α + β + γ ) < 0 ⇔ f (0) ⋅ f (1) < 0 κ.τ.λ.). ΓΓ/78.Αν f , g συνεχείς στο [ α, β] και f (α) + f (β) = g (α) + g (β) δείξτε ότι οι C f και Cg έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει στο [ α, β] . ΓΓ/79. Nα δείξετε ότι η εξίσωση 3x + ln x =x 2 + 1 ρίζα στο διάστημα ( 0,1) . 92 έχει μια τουλάχιστον Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/80. Nα δείξετε ότι η εξίσωση 2 x 2 + ln x =+ x ln ( 2 − x ) τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 0, 2 ) . ΓΓ/81. Αν f ( x=) e x + ln x , x ∈ ( 0, +∞ ) . Α) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0,+∞ ) . έχει μια Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της f . Γ) Δείξτε ότι η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο (0,1) . ΓΓ/82.Αν f : [ 0, 2] → συνεχής και γν. φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (2 x= ) f ( x) + x − 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( 0, 2 ) . ΓΓ/83.Αν f συνεχής στο [ 0, 2] και f (0) = f (2) δείξτε ότι η εξίσωση f (= x) f ( x + 1) έχει μια τουλάχιστον λύση στο [0, 2) . ΓΓ/84.Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 2π ] και f (0) = f (2π ) να δείξετε ότι : A) Υπάρχει x0 ∈ [0, π ] τέτοιο που f (= x0 ) f ( x0 + π ) . B) Υπάρχουν σε κάθε χρονική στιγμή τουλάχιστον δύο αντιδιαμετρικά σημεία του ισημερινού της γης που έχουν την ίδια θερμοκρασία. (Μετεωρολογικό θεώρημα). ΓΓ/85. Αν f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [1,5] και f (3) = 0 να δείξετε ότι: Α) f (1) > 0 και f (5) < 0 . Β) Η εξίσωση f (2 x + 3) = x έχει μοναδική ρίζα. ΓΓ/86.Αν f συνεχής στο [ −2,3] και −2 ≤ f (−2) ≤ 1 δείξτε ότι υπάρχει ΓΓ/87.Αν f : [ α, β] → συνεχής και α < γ < δ < β , δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ [ −2,3] ώστε : f 2 ( x0 ) + f ( x0 ) + x0 = 0. ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( α, β ) ώστε f ( γ ) + f (δ= ) 2 f ( ξ) . (Θ.Βolzano στο ( γ, δ) ) ΓΓ/88.Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση τουλάχιστον ρίζα. ΓΓ/89.Aν f ( x= ) e x − 2συν x έχει μια Β) Όμοια για την h( x)= x + ln x . f συνεχής στο [ α, β] , f (α ) = −4 , f ( β ) = 4 , τότε η εξίσωση 2 f= ( x) 2 f ( x) + 3 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [α , β ] . (3 Bolzano) ΓΓ/90. Έστω f : → συνεχής και τα σημεία Α (1, f (1) ) , Β ( 2, f (2) ) , Γ ( 4, f (4) ) , ∆ ( 5, f (5) ) της C f . Αν η ευθεία ΑΓ σχηματίζει με τον x′x π π π γωνία θ ∈ , και η ευθεία ΒΔ γωνία ω∈ 0, . Να δείξετε ότι 4 4 2 υπάρχει ξ1 , ξ 2 ∈ με ξ1 − ξ 2 = 3 ώστε f (ξ1 ) − f (ξ 2 ) = 3. 93 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/91. Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο και f 2 (1) + f 2 (3) + 4 f (1) − 8 f (3) + 20 = 0: Β) Βρείτε το είδος της μονοτονίας. Α) Βρείτε τα f (1) και f (3) . x Γ) Δείξτε ότι η εξίσωση f ( x + 1) =1 − έχει μία ακριβώς λύση. 2 ΓΓ/92. Έστω f : [α, β] → συνεχής και «1-1» με f (α) > 0 και f (β) > 0 . Δείξτε ότι f ( x) > 0 για κάθε x ∈ [ α, β] (Έστω ότι υπάρχει ρ ∈ (α, β) ώστε f (ρ) < 0 …..) ΓΓ/93. Aν f συνεχής στο [0,1] και f 5 ( x) + f 3 ( x) + f ( x) = x 2 + x − 1 για κάθε x ∈ [0,1] , να αποδείξετε ότι η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1) . (Υπόδειξη: θέστε g ( x) = f 5 ( x) + f 3 ( x) + f ( x) ) Θ.Ε.Τ. , Θ.Μ.Ε.Τ. και σύνολο τιμών. Συνδυασμός Θ.Ε.Τ και Θ.Μ.Ε.Τ.: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α , β ] τότε παίρνει σ’ αυτό ελάχιστη τιμή m , μέγιστη τιμή M καθώς και όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των m και M . Δηλαδή υπάρχουν x1 , x2 ∈ [α , β ] τέτοια ώστε f ( x1 ) = m , f ( x2 ) = M και m ≤ f ( x) ≤ M για κάθε x ∈ [α , β ] . Πρόταση: ►Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α , β ] , m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της , τότε το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο [ m, M ] . Το σύνολο αυτό δεν συμπίπτει γενικά με το διάστημα f (α ) , f ( β ) ή το f ( β ) , f (α ) . ►Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γν. αύξουσα με πεδίο ορισμού A , τότε το σύνολο τιμών f ( A) είναι: ( ● Αν A = (α , β ) τότε f ( A) = lim+ f ( x), lim− f ( x) x →α x→β ● Αν A = [α , β ] τότε f ( A) = [ f (α ), f ( β ) ] ● Αν A = (α , β ] τότε f ( A) = ( lim+ f ( x), f ( β )] ) x →α ►Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γν. φθίνουσα με πεδίο ορισμού A , τότε το σύνολο τιμών f ( A) είναι: 94 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ( ● Αν A = (α , β ) τότε f ( A) = lim− f ( x), lim+ f ( x) x→β x →α ● Αν A = [α , β ] τότε f ( A) = [ f ( β ), f (α ) ] ● Αν A = (α , β ] τότε f ( A) = [ f ( β ), lim+ f ( x)) ) Συνέχεια x →α Γενικά η εικόνα f ( ∆ ) ενός διαστήματος ∆ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Αν η f είναι σταθερή και συνεχής τότε το σύνολο τιμών της είναι μονοσύνολο. Π.χ. Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της f ( x) = ln x στο διάστημα (0, e) Λύση: Είναι f ↑ στο (0, e) , lim+ f ( x) = lim+ ln x = −∞ και f (= e) ln= e 1 . Άρα το x →0 σύνολο τιμών είναι το f x →0 ( ( 0, e ) ) = ( −∞,1) 1 στο διάστημα (0,9] x 1 Λύση: Είναι f ↓ στο (0,9] , lim+ f ( x) = lim+ = +∞ και f (9) = x →0 x →0 x 1 σύνολο τιμών είναι το f ( (0,9] = ) , +∞ . 3 Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της f ( x) = 1 1 = . Άρα το 9 3 ΓΓ/94. Έστω f ( x) = x + ln x − 2 . Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία. Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ) Δείξτε ότι η f έχει ακριβώς μία ρίζα. Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση f ( x) = α έχει ακριβώς μία ρίζα για κάθε α ∈ . ΓΓ/95. Έστω f ( x)= 1 − ln x . x Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία. Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ) Δείξτε ότι η f έχει ακριβώς μία ρίζα. Δ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα ακριβώς ξ ∈ ( 0,1 ] ώστε 2ξ ln ξ = 2 − 3ξ . ΓΓ/96. Έστω f ( x=) 2 x − 1 . x Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία. ∗ Β) Δείξτε ότι η f έχει ακριβώς δύο ρίζες στο . Γ) Δείξτε ότι η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο (0,1) . Δ) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση f ( x) = α έχει ρίζα στο (0,1) . ΓΓ/97. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµx + 1 = 1 έχει στο 0, π x 2 95 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ακριβώς μια ρίζα. ΓΓ/98. Aν f , g : [ 0,1] → [ 0,1] συνεχείς να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ [ 0,1] ώστε f ( f ( ξ ) ) + g ( g ( ξ ) ) =2ξ . ΓΓ/99.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ln x + e x−1 − 1 . Α) Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της Γ) Να λυθεί η εξίσωση ln x e + e x = e. Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση f ( x) = −2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο ( 0,1) , ενώ η f ( x) = 1 δεν έχει ρίζα στο ( 0,1) . ΓΓ/100. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο ( 0, +∞ ) , lim f ( x)= δ ∈ x →+∞ και lim+ f ( x) = γ ∈ , δείξτε ότι υπάρχει μοναδικός x0 > 0 ώστε: x →0 1. f ( x0 ) + e x0 +1 + ln x0 = (Με σύνολο τιμών) f ( x) − 2 = 5 και η C f τέμνει x →1 x −1 τον άξονα yy′ στο Α(0, 2) . Δείξτε ότι η ευθεία ε : = y 2 x + 1 και η C f έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. ΓΓ/101. Έστω f : [ 0,1] → συνεχής , lim ΓΓ/102.Αν f συνεχής στο και xf ( x) + = 2 f ( x) + 3 x 2 + 1 για κάθε x ∈ ( 0,1) δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ ( 0,1) ώστε 4 f ( x0 ) = 7 x0 . f ( x) ΓΓ/103. Aν f συνεχής και lim = 4 και για κάθε x ∈ ισχύει: x→1 x − 1 4ηµ ( x − 2 ) ≤ ( x − 2 ) f ( x) ≤ x 2 − 4 και g ( x) = x 2 − x + 1 δείξτε ότι οι C f και Cg τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο Μ ( x0 , y0 ) με x0 ∈ (1, 2 ) . ΓΓ/104. Αν f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ( 0,1) , f ( x) − 3 = 3 και ισχύει: 2ηµ( x − 1) ≤ ( x − 1) f ( x) ≤ x 2 − 1 για κάθε x →0 x x ∈ : Α) Βρείτε το σύνολο τιμών g ( (0,1) ) αν g ( x) = f ( x) − ln x − 3 . lim+ Β) Αν h( x) = e f ( x ) −3 να αποδείξετε ότι η Ch τέμνει τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων σε σημείο Μ ( x0 , f ( x0 ) ) με x0 ∈ (0,1) . ΓΓ/105. Δείξτε ότι η εξίσωση 2ln x + π = π π μία ρίζα στο − , . 2 2 96 2 2004 − eεϕx έχει ακριβώς Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΓ/106. Αν Συνέχεια f συνεχής στο [0, +∞) και lim f ( x) = +∞ , αποδείξτε ότι η x →+∞ εξίσωση f ( x) + ln x = 1 έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα. (Με σύνολο τιμών) Πρόταση: Αν lim f ( x) = −∞ και lim f ( x) = +∞ ή αντίστροφα τότε: x →α + x →β− f ( (α, β) ) = . Απόδειξη: Αρκεί για κάθε γ ∈ να υπάρχει x0 ∈ (α, β) ώστε f ( x0 ) = γ . Πράγματι αφού lim+ f ( x) = −∞ θα υπάρχει δ ∈ (α, β) κοντά στο α ώστε: x →α f (δ) < γ . Όμοια υπάρχει ε κοντά στο β ώστε f (ε) > γ , οπότε με Θ.Ε.Τ. στο [δ,ε] υπάρχει x0 ∈ (δ, ε) ⊂ (α, β) ώστε f ( x0 ) = γ . ΓΓ/107.A) Δείξτε ότι η εξίσωση x101 − x99 − x71 + x56 − x11 + 5 =0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο . . B) Όμοια για κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού. (Με σύνολο τιμών) ΓΓ/108. Έστω f :[0,1] → συνεχής ώστε για κάθε x ∈ να ισχύει: x 2 + x − 2 + ηµ(1 − x) ≤ ( x − 1) f ( x) ≤ x 2 − 1 . Α) Βρείτε το f (1) . Β) Δείξτε ότι η εξίσωση ( x + 2) f ( x) = 7 x + 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). ΓΓ/109. Aν lim x→1 f : → περιττή και συνεχής στο x0 = 1 και ισχύει: f ( x) + 2 = 3 : Α) Βρείτε το f (1) . ( x − 1) 2 f ( x) − 3 . x→−1 x 2 + 2 x + 1 x + 2 ,x < 0 Εξετάστε αν είναι 1-1 η f ( x) = 3 x + 2 , x ≥ 0 Γ) Βρείτε το lim στο x0 = −1. (αλλαγή μεταβλητής). ΓΓ/110. Β) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής Σταθερό πρόσημο Πρόταση: ► Αν f συνεχής στο [ α, β] και δεν μηδενίζεται σε αυτό τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο. Έτσι αν σε ένα σημείο η f είναι θετική, τότε θα είναι θετική σε όλο το διάστημα, ενώ αν είναι αρνητική σε ένα σημείο θα είναι αρνητική σε όλο το διάστημα. ►Αν ρ1 , ρ2 διαδοχικές ρίζες της συνάρτησης f , τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( ρ1 , ρ2 ) (αφού στο ( ρ1 , ρ2 ) η f δεν έχει ρίζες). 97 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΠΑΡ.Γ1. Αν f 2 ( x) = g 2 ( x) αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι f ( x) = g ( x) ή f ( x) = − g ( x) . Πράγματι μπορεί για παράδειγμα να είναι g ( x) , x ≤ α οπότε έχω f 2 ( x) = g 2 ( x) ενώ προφανώς δεν είναι f ( x) = − g ( x) , x > α f ( x) = g ( x) ή f ( x) = − g ( x) . Επίσης αν f ( x) = g ( x) δεν συμπεραίνω κατανάγκην ότι f ( x) = g ( x) ή f ( x) = − g ( x) . Όμοια αν f ( x) ⋅ g ( x) = 0 δεν συμπεραίνουμε κατ’ ανάγκην ότι f ( x) = 0 ή g ( x) = 0 . ΓΓ/111. Aν g συνεχής στο [ α, β] και για κάθε x ∈ [ α, β] είναι g ( x) ≠ 0 , δείξτε ότι η συνάρτηση = f ( x) g ( x) ( 2 x − α − β ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( α, β ) . ΓΓ/112.Αν f , g συνεχείς στο [ α, β] και g ( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ (α, β) , f ( ξ) 1 1 + δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) ώστε: = g ( ξ) ξ − α ξ − β ΓΓ/113. Αν f συνεχής στο [0,5] και x 2 + f 2 ( x) = 5 x για κάθε x ∈ ( 0,5 ) να δείξετε ότι η f δεν έχει ρίζες στο ( 0,5 ) και να βρεθεί ο τύπος της f αν f (1) = −2 . ΓΓ/114. Α) Aν για κάθε x ∈ [−2, 2] η f είναι συνεχής και ισχύει x + f ( x) = 4 , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (−2, 2) , και να βρεθούν οι δυνατοί τύποι της f . Β) Βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f αν για κάθε x ∈ ισχύει: [ f ( x) − ηµx ] ⋅ f ( x) − x 2 − 2 = 0 και f (0) = 2 . 2 2 ΓΓ/115. Αν f συνεχής στο και f 2 ( x) + 4 x = x 2 + 4 για κάθε x ∈ βρείτε τους δυνατούς τύπους της f . (H f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (−∞, 2) καθώς και στο (2, +∞) . Προκύπτουν 4 τύποι ) ΓΓ/116. Αν f συνεχής στο και [ f ( x) − 1][ f ( x) − 2] = 0 για κάθε x ∈ βρείτε τους δυνατούς τύπους της f . ΓΓ/117. Βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις f : → για τις οποίες ισχύει: f 2 ( x) − 2 f ( x)ηµx = 1 , για κάθε x ∈ . (Δημιουργείστε ταυτότητα) ΓΓ/118.Αν f συνεχής στο [α, β] και x1 , x2 ∈ [α, β] , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ [α, β] ώστε 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) = 5 f (ξ) . (Υπόδειξη: με min. και max.) 98 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/119. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1 , x2 , x3 ∈ [α, β] , δείξτε ότι υπάρχει ξ ∈ [α, β] τέτοιο ώστε: (Υπόδ. : με minimum και 6f= (ξ) f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 3 f ( x3 ) . maximum ). ΓΓ/120. Έστω f : → συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε η C f τέμνει τον άξονα x′x σε ένα ακριβώς σημείο. Αν f (2) = −3 και f (4) = 2 να f ( x + 2) f ( x) δείξετε ότι η εξίσωση f ( x + 1) + έχει μία τουλάχιστον = x−3 x −1 λύση στο διάστημα (1,3) . ΓΓ/121. Aν f συνεχής στο , f ( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ και f (α) − 1) x3 + αx 2 + 1 ( Α) Βρείτε το lim f (1/ 2) = −2004 x →+∞ f (α ) x 2 + x − 1 (Υπόδειξη: Αφού f ( x) ≠ 0 η f διατηρεί πρόσημο στο άρα είναι αρνητική ) Β) Δείξτε ότι η εξίσωση αf ( x ) = 2 xf ( α ) έχει μία τουλάχιστον λύση στο Γ) Δείξτε ότι η εξίσωση 2 f ( x) = f (α) − 2004 έχει μια ( 0,α ) . 1 τουλάχιστον λύση στο διάστημα , α . (χρησιμοποίησε το ότι −2004 = f (1/ 2) ) 2 Γενικές ασκήσεις στη συνέχεια συνάρτησης ΓΓ/122. Έστω οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το . Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f g είναι 1-1. A. Nα δείξετε ότι η g είναι «1-1» . ( ) Β. Δείξτε ότι η εξίσωση: g f ( x) + x3 −= x g ( f ( x) + 2 x − 1) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα. (3ο θέμα Πανελλαδικών 2002) ΓΓ/123. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ώστε για κάθε x ≠ 0 να 1 ισχύει: xf ( x) + ηµx= x 2 ηµ . Α) Βρείτε τον τύπο της f για κάθε x ∈ . x Β) Να δείξετε ότι lim f ( x) = 1. x →+∞ Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( x) − ρίζα. x 0 έχει μια τουλάχιστον θετική = 2x + 1 ΓΓ/124. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [−1,8] ώστε f (−1) + f (2) < 7 < f (8) + f (−1) . Αποδείξτε ότι υπάρχουν διαφορετικά 7. x1 , x2 ∈ (−1,8) με x1 + 3 x2 = 5 ώστε f ( x1 ) + f ( x2 ) = 99 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια (Θεωρήστε h( x) = f (5 − 3 x) + f ( x) − 7 και Bolzano στο πεδίο ορισμού της) ΓΓ/125. Aν f :[0,1] → συνεχής ώστε 2 f ( x) ≤ f (0) + f (1) για κάθε Α) Δείξτε ότι f (0) = f (1) . x ∈ [0,1] : Β) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ [0,1] ώστε 2x0 f ( x02 ) = f ( x0 ) . ΓΓ/126. Δίνεται η συνεχής στο f ( x ) − x + ηµ ( x − 1) ότι: lim =2 . συνάρτηση f για την οποία ισχύει x2 − 1 A) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνάει από το σημείο M (1,1) . x→1 B) Να βρείτε το lim x→1 3 f ( x) − 2 −1 x2 − 1 . ΓΓ/127. Αν Δίνεται η συνάρτηση f με = f ( x ) 2ln x +1 + 3. 1− x Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να μελετήσετε την f −1 ως προς τη συνέχεια. Δ) Να βρείτε τα όρια: lim f ( x ) και lim f ( x ) . x→−1 x→1 ΓΓ/128. Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν: i) f ( x ) ≠ 0 για κάθε x ∈ . ii) Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο Α ( 2, −1) και iii) ρ1 =−1 και ρ2 =5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης g ( x ) = 0 . Να αποδείξετε ότι: Α) η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο . f ( 3) ⋅ x 4 + 2 x 2 + 1 Β) g ( x ) < 0 για κάθε x ∈ ( −1,5 ) . Γ) lim = −∞ . x→−∞ g ( 2 ) ⋅ x3 + 5 ΓΓ/129. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [ −3,3] ισχύει 3 x 2 + 4 f 2 ( x ) = 27 για κάθε x ∈ [ −3,3] . Α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f ( x ) = 0 . για την οποία Β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα ( −3,3) . Γ) Αν f (1) = 6 βρείτε τον τύπο της f και το όριο lim x→0 100 f ( x) − x 3 3 2 . Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/130. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [ 0, +∞ ) → για την οποία 2 x ισχύει: x 2 + 2 x + 9 ≤ 3 + xf ( x ) ≤ x8ηµ + + 3 για κάθε x > 0 . x 3 Να βρείτε: 2 x2 + 2x + 9 − 3 Α) Το όριο: lim . Β) Το όριο: lim x 7 ηµ . x→0 x→0 x x Γ) Το όριο: lim f ( x ) . Δ) Το f ( 0 ) . x→0 f (3) ⋅ x 4 − x 3 + x 2 − 1 Ε) Αν η f δεν έχει ρίζες στο [0, +∞) βρείτε το: lim . x→+∞ f (2) ⋅ x 3 + x 2 − 2 x + 1 ΓΓ/131. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : → f 2 ( x ) =α 2 x + 2α x + 1 για κάθε x ∈ , α ∈ ∗ . για την οποία ισχύει Α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο . Β) Αν f ( 0 ) = −2 να βρείτε τον τύπο της f . Γ) Να υπολογίσετε το όριο: lim x→+∞ Δ) Να υπολογίσετε το όριο: lim 2 f ( x ) − 3x 3⋅ 2 + 4 ⋅3 2 f ( x ) − 3x x x , α<2 . , α > 3. 3 ⋅ 2 x + 4 ⋅ 3x ΓΓ/132. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : + → για την οποία ισχύει: x 4 + 1 ≤ 4 f ( x ) ≤ x 4 + 2 για κάθε x ∈ (0, +∞) . 1 1 1 3 Α) Να αποδείξετε ότι: ≤ f ( 0 ) ≤ και ≤ f (1) ≤ . 2 4 4 2 1 Β) Να βρείτε το όριο: lim x 4 f . x→0 x 1 x 5 f + 4ηµ3 x x Γ) Να βρείτε το όριο: lim . x→0 2 x 2 + 3ηµx Δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ ( 0,1) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) − ξ = 0 . x→−∞ 2 x + κηµx , x<0 2 − x x ΓΓ/133. Αν f ( x ) = λ ,x = 0 συνεχής συνάρτηση: 8 x 2 + x + 16 − 3 x, x > 0 Α) Να βρείτε τα κ, λ . 101 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια Β) Να υπολογίσετε το όριο: lim f ( x ) . x→+∞ Γ) Να υπολογίσετε το όριο: lim f ( x ) . x→−∞ Δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση= f ( x ) 2ln ( 8 x + 1) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 0,1) . ΓΓ/134. x2 − 5x + 6 , x ∈ ( −∞,0 ) ∪ ( 0, 2 ) 3 2 4( x − 2x ) Αν f ( x ) = συνάρτηση και 1 x κ + , x ∈ ( 2, +∞ ) 2 2 4 x − ( ) g : − {0,1} → για την οποία ισχύει: lim ηµx ⋅ g ( x ) + 2 x = 5 και τέλος 3x g ( x + 3= ) g ( x ) + f ( x ) για κάθε x ∈ , να βρείτε: Α) Το κ αν υπάρχει το lim f ( x ) . Β) Το όριο lim f ( x ) . x→0 Γ) Το όριο lim g ( x ) . x→0 x →2 Δ) Το όριο lim g ( x ) . x→3 x→0 ΓΓ/135. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : → για την οποία 1 ισχύουν οι συνθήκες: 3ηµx − 2 xf ( x ) ≤ x 2 , για κάθε x ∈ και 2 2 4 f ( x ) + 3 f ( x + 1)= 2 x − 2013 , για κάθε x ∈ . Α) Να βρείτε το όριο lim f ( x ) . Β) Να βρείτε το f (1) . x→0 Γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( x )= x − 1 σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x0 ∈ ( 0,1) . ΓΓ/136.Αν f , g : → συνεχείς και περιοδικές συναρτήσεις με Τ περίοδο Τ, να αποδείξετε ότι υπάρχουν x1 , x2 ∈ [ 0, Τ] με x1 − x2 = ώστε: 2 f ( x1 ) g ( x2 ) = f ( x2 ) g ( x1 ) . x3 ⋅ 2 x + 3 ⋅ 2 x − 4 ΓΓ/137. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( x ) = . 2x Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Β) Να βρείτε το όριο lim f ( x ) . Γ) Να βρείτε το όριο lim f ( x ) . x→−∞ x→+∞ Δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x ) = κ έχει μία ακριβώς ρίζα στο για κάθε κ ∈ . 102 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/138. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση xf ( x) + συνx − 1 + x 2 ηµ f : → για την οποία ισχύει: 1 = 0 για κάθε x ≠ 0 . x A) Bρείτε τον τύπο της f . Β) Βρείτε το όριο lim f ( x) . x→+∞ Γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) = 0 έχει τουλάχιστον μια θετική ρίζα. ( f (π) > 0 αφού 1 π 1 π < ⇔ ημ < ημ ⇔ ... ) π 6 π 6 ΓΓ/139. Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f για την f ( x) − 5 = 4 και για κάθε x ∈ (0,1) : x→0 x 2 2ηµ( x − 1) + 10( x − 1) ≤ ( x − 1) f ( x) ≤ 8 x 2 − 14 x + 6 . οποία ισχύουν: lim A) Υπολογίστε τα όρια: lim+ f ( x) και lim− f ( x) . x→0 x→1 Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της h( x) = f ( x) − ln x − 4 , x ∈ (0,1) . Γ) Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της g ( x) = e f ( x )−4 τέμνει την ευθεία y = x σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη x0 ∈ ( 0,1) . Δ) Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης xeλ+4 = e f ( x ) στο διάστημα ( 0,1) για κάθε λ ∈ . ΓΓ/140. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: f (0) ⋅ x 4 − 5 x 3 + 2 2 f ( x) − 1 =2 xf ( x) και για κάθε x ∈ και lim 3 = +∞ . x→+∞ x − 2 x 2 − x + 3 A) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g= ( x) f ( x) − x διατηρεί σταθερό πρόσημο στο . Β) Να βρεθεί το f (0) . Γ) Να βρεθεί ο τύπος της f Δ) Να βρεθεί το όριο: lim f ( x) . x→−∞ ΓΓ/141. Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ −2, 2] συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(−2,6) και Β(2,1) . Α) Βρείτε το είδος της μονοτονίας της f . Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της f . Γ) Βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f ( x) = κ , με κ ∈ . 103 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια Δ) Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικός ξ ∈ ( −2, 2 ) ώστε: 9 ( f (ξ) )= 4 f (−1) + 3 f (0) + 2 f (1) . ΓΓ/142. Δίνεται η συνάρτηση f : (0,1] → με f ( x)= 1 − ln x . x Α) Εξετάστε την f ως προς τη μονοτονία. Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα ακριβώς x0 ∈ (0,1] ώστε: 2 x0 ln x0= 2 − 3 x0 . Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση x eα + ln x x =− x + 1 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( 0,1) για κάθε θετικό αριθμό α . e − x+1 − x − 2 , x ≤ 1 ΓΓ/143. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = . , x > 1 ln x + x − 3 A) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Β) Να βρείτε τα σύνολα τιμών f ( (−∞,1]) , f ( (1, +∞) ) και δείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο ρίζες. f (α) + 2 f (β) + 2 Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση + = 0 έχει τουλάχιστον μία x −1 x−2 ρίζα στο διάστημα (1, 2 ) για κάθε α, β ∈ − {1} . Δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( x) = λ , για τις διάφορες τιμές του λ ∈ . ΓΓ/144. Έστω συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → με f ( x) = 1 − x + 1. x Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της. Β) Δείξτε ότι υπάρχει η αντίστροφή της και είναι γνησίως φθίνουσα. f −1 ( x) − x f −1 ( x) − x −1 Γ) Αν η f συνεχής βρείτε όρια: lim και lim . x→+∞ x + f −1 ( x ) x→−∞ x + f −1 ( x ) ψ ΓΓ/145. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει: 0 ≤ f ( x) ≤ 1 για κάθε x ∈ [ 0,1] να δειχθεί ότι η C f τέμνει τις διαγώνιες τετραγώνου του διπλανού σχήματος. ΓΓ/146. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι: f ( f ( x) ) − f ( x) = 2 και f (1) = 3 . 104 Α(1,1) Γ ψ= -χ+1 του ψ=χ Ο Β Κ. Αδαμόπουλος χ Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια f (1) x 5 + 2 x 3 − 3 Α) Να υπολογίσετε το όριο: lim . x→−∞ f (3) x 4 + 4 x + 2 Β) Αν lim f ( x) = 8 να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από σημείο με x→0 τεταγμένη e+ 2 . Γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης = h( x) xf ( x) + 30συν(πx) , τέμνει τον άξονα x′x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (1,5 ) . Δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ [1,5] τέτοιο, ώστε: 9 f ( x0 ) = 3 f (2) + 2 f (4) + 4 f (5) . ΓΓ/147. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι f (0) > 0 και f (4) > 0 . Αν τα x1 = −3 και x2 = 3 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f ( x) = 0 και lim f (2) f ( x) + 5 x 4 + x 2 − 17 = −∞ , τότε: x→+∞ Α) Να βρείτε το πρόσημο της f στο διάστημα ( −3,3) . Β) Να υπολογίσετε το όριο lim f ( x) . x→+∞ Γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x′x τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη μεγαλύτερη του 4. ΓΓ/148. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [1,3] με f (1) + 2 f (2) + f (3) = 0. Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ( x) = f ( x) + f ( x + 1) . Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ [1, 2] τέτοιο, ώστε: f (ξ + 1) = − f ( ξ) . f (1) . Γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ [1,3] τέτοιο, ώστε: f ( x0 ) = − 3 ΓΓ/149. Έστω συνάρτηση f : → συνεχής ώστε να ισχύει: 1 xf ( x= ) 2 x 3ηµ − ηµx + συνx − 1 για κάθε x ≠ 0 . x Α) Δείξτε ότι f (0) = −1 και lim f ( x) = +∞ . x→+∞ Β) Δείξτε ότι η f έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα. 2 f ( x) + 3 f ( x) . Γ) Βρείτε τ6ο όριο: lim f ( x ) x→+∞ 3 − e f ( x) Δ) Δείξτε ότι: lim f ( x) − ln ( e f ( x ) + 1) = 0. x→+∞ 105 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια Eρωτήσεις Θεωρίας (Σωστού – Λάθους) 1. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β ] , η εξίσωση f ( x) = 0 δεν έχει ρίζα στο (α , β ) και υπάρχει ξ ∈ (α , β ) ώστε f (ξ ) < 0 , τότε θα ισχύει f ( x) < 0 για κάθε x ∈ (α , β ) . 2. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α , β ] , και παίρνει δύο διαφορετικές τιμές f ( x1 ) , f ( x2 ) με x1 , x2 ∈ (α , β ) , τότε παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( x1 ) και f ( x2 ) . 3. Αν για μια συνεχή συνάρτηση f στο , ισχύει f ( x1 ) = 1 και f ( x2 ) = 4 , τότε υπάρχει x0 ∈ ( x1 , x2 ) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = e . 4. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α , β ] , τότε το σύνολο τιμών της είναι f (α ) , f ( β ) . 5. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α , β ] , τότε το σύνολο τιμών της είναι f (α ) , f ( β ) . 6. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α , β ] με f (α ) ≠ f ( β ) , παίρνει μόνο τις τιμές μεταξύ των f (α ) και f ( β ) . 7. Aν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( 0, +∞ ) , τότε το σύνολο ( ) τιμών της είναι το διάστημα lim+ f ( x), lim f ( x) . x →+∞ x →0 8. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α , β ] . Αν η f είναι «1-1» στο [α , β ] , τότε είναι και γνησίως μονότονη στο [α , β ] . 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 με f ( x0 ) ≠ 0 , τότε κοντά στο x0 οι τιμές της f είναι ομόσημες του f ( x0 ) . 10. Αν f συνεχής στο και f ( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ και f (−1) > 0 , τότε f ( x) > 0 για κάθε x ∈ . 11. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα ∆ είναι συνεχής και «1-1» στο ∆ , τότε και η f −1 είναι συνεχής στο f (∆) . 12. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. x +1 , x > 0 είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. 13. H f ( x) = 2 x − 1 , x ≤ 0 106 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια x −1 , x < 1 14.Η συνάρτηση f ( x) = είναι συνεχής στο D f . 2 , x > 1 − x 2 15. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο x0 , τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x0 . 16. Αν οι συναρτήσεις f , g δεν είναι συνεχείς στο σημείο x0 του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x0 . 17. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε και η f 2 είναι συνεχής στο x0 . 18. Αν f συνεχής στο [1, 2] και f (1) = 2 , f (2) = 4 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (1, 2 ) . 19. Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [α , β ] . Αν f (α ) ⋅ f ( β ) > 0 , τότε δεν υπάρχει x0 ∈ (α , β ) τέτοιο ώστε f ( x0 ) = 0 . 20. Αν f συνεχής συνάρτηση στο x0 και g συνεχής στο x0 , τότε η συνάρτηση g f είναι πάντα συνεχής στο x0 . 107 Κ. Αδαμόπουλος Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Παράγωγοι 1 " Όσοι δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν την ουσία και την ομορφιά , τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman Παράγωγος στο x0 2 x − ηµ 2 x , x ≤ 0 f ( x) = 2 , x>0 x + ηµx Α) Να μελετήσετε τη συνέχεια της f στο x0 = 0 Β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 . ΓΔ/01.Δίνεται η συνάρτηση αx 2 + β x + 2 , x ≤ 1 ΓΔ/02.A) Αν f ( x) = 2 να βρείτε τις τιμές των x x , x 1 + > α, β ∈ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 1 . x 2 + αx + 1 , x ≥ 0 στο x0 = 0 . Επίσης βρείτε B) Όμοια για την f ( x) = ,x < 0 2x + β την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Μ ( 0, f (0) ) . x 2 + αx + β , x ∈ (−∞,1] ΓΔ/03.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2 βρείτε , x ∈ (1, +∞ ) x + 3 τους α, β ∈ ώστε να είναι παραγωγίσιμη η f στο x0 = 1 . αx 2 + 2β x + 3 + 6 , x < 1 ΓΔ/04.Αν f ( x) = 2 , να βρεθούν οι α, β ∈ x + ( α + β ) x − 1 , x ≥ 1 ώστε να ορίζεται η εφαπτομένη της C f στο x0 = 1. ΓΔ/05.Αν για κάθε x ∈ ισχύει: 6 x − x 2 + 1 ≤ την παράγωγο της f στο x0 = 3 . f ( x) ≤ x 2 − 6 x + 19 , βρείτε ΓΔ/06. Αν για κάθε x ∈ ισχύει: ηµx − 2 x3 ≤ f ( x) ≤ ηµx + 2 x 2 , βρείτε την παράγωγο της f στο x0 = 0 . Επίσης βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Μ ( 0, f (0) ) . ΓΔ/07.Αν για κάθε x ∈ ισχύει: ηµx ≤ f ( x) ≤ x 2 + x , βρείτε την παράγωγο της f στο x0 = 0 . Επίσης βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Μ ( 0, f (0) ) . Κ. Αδαμόπουλος 108 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΔ/08.Αν η συνάρτηση Παράγωγοι 1 f είναι συνεχής στο x0 = 0 και ισχύει: f ( x)ηµx − x 2 ≤ x 4 για κάθε x ∈ , να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 . ΓΔ/09.Αν f : → με x 2 + 3 x ≤ f ( x) ≤ 2 x 2 − x + 4 για κάθε x ∈ , να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 και να βρείτε την f ′(2) . ΓΔ/10.Αν για κάθε x ∈ ισχύει: f ( x) − xηµx ≤ x 3 , βρείτε την παράγωγο της f στο x0 = 0 . x 2 + αx + β , x < 0 ΓΔ/11. Aν f ( x) = , βρείτε τα α , β ∈ ώστε να ηµ x + 1 , x ≥ 0 ορίζεται η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ ( 0, f (0) ) και βρείτε την εξίσωσή της. Παράγωγος και όρια ΓΔ/12.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε x ∈ ισχύει: 6ηµx ⋅ ηµ3 x ≤ xf ( x) ≤ ηµ 2 3 x + 9ηµ 2 x : Α) Βρείτε το f (0) . Β) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και βρείτε την f ′(0) . f ( x) − ηµx Γ) Υπολογίστε το όριο lim . x→0 x+4 −2 f ( x) − x + 3 7 ΓΔ/13. Αν f : → συνεχής με lim = , να βρείτε: x→1 x2 − 1 8 Α) Το f (1) και Β) Το f ′(1) αφού αποδείξετε ότι η f είναι παρ-μη στο 1. f ( x) − x 2 ΓΔ/14. Αν f : → συνεχής με lim = −1 , να βρείτε: x →2 x−2 Α) Το f (2) και Β) Το f ′(2) αφού αποδείξετε ότι η f είναι παρ-μη στο 2. f (2 x) − 4 x + 12 (να θέσετε u = 2 x ) Γ) Να υπολογίσετε το όριο: lim x→1 x2 − 1 ΓΔ/15. Αν f : → παραγωγίσιμη στο 3 και η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ ( 3, f (3) ) είναι η (ε) : y = x − 12 να αποδείξετε ότι: 3 f ( x) − xf (3) ( Προσθαφαιρέστε το 3 f (3) ) lim = 3 − f (3) . x→3 x−3 Κ. Αδαμόπουλος 109 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΔ/16.Η συνάρτηση Παράγωγοι 1 f : → , συνεχής στο x0 = 0 και ικανοποιεί τη f ( x) = 5 . Να δειχθεί ότι η f παραγωγίζεται στο x0 = 0 και να x→0 ηµ 2 x βρεθεί το f ′(0). σχέση lim ΓΔ/17.Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: f ( x) + x − 7 x Α) Βρείτε το f (0) . = 2. x→0 x2 − 2x Β) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και βρείτε το f ′(0) . f ( x) + ηµx Γ) Υπολογίστε το όριο: lim . x→0 x+4 −2 2 lim ΓΔ/18.Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση f : → για την οποία f ( x) − x + 1 7 Α) Βρείτε το f (3) . = . x→3 x−3 4 Β) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 3 και βρείτε το f ′(3) . Γ) Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο -3 και βρείτε το f ′(−3) . f ( x) − 3x ΓΔ/19.Αν συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 = 2 και lim = 5, x →2 x−2 να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 και να υπολογίσετε το 2 f ( x) − 3 5 x + 6 . όριο: lim x →2 x−2 Συνέχεια και παράγωγος ισχύει: lim ΓΔ/20. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 = 0 και ισχύει 1 π xf ( x) ≤ x − ηµx για κάθε x ∈ − ,0 ∪ 0, , να αποδείξετε ότι η 2 2 συνάρτηση g ( x) = xf ( x) είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 και g ′(0) = 0 . ΓΔ/21. Αν η συνάρτηση συνάρτηση g ( x= ) ( f είναι συνεχής στο 1, αποδείξτε ότι η ) x 2 + 3 − 2 f ( x) είναι παραγωγίσιμη στο 1. ΓΔ/22.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 2 , να δείξτε ότι η συνάρτηση g ( x= ) ( x 2 + 5 − 3) f ( x) είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 2 . ΓΔ/23.Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 =1 η 3x 2 , x ≥ 1 . Είναι η f συνεχής στο x0 = 1 ; συνάρτηση f ( x) = x + 2 , x < 1 Κ. Αδαμόπουλος 110 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 Ορίζεται η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(1,3) ; ΓΔ/24.Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και για κάθε x ∈ ℜ ισχύει 3 x 2 − 5 x 4 ≤ xf ( x) ≤ 3 x 2 + 5 x 4 . Υπολογίστε τα f (0) , f ′(0) και την εξίσωση της εφαπτομένης στο Μ ( 0, f (0) ) . ΓΔ/25.Αν p ( x) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο σημείο x0 = 3 και = f ( x) p( x) x − 3 , να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 3 αν και μόνο αν p (3) = 0 . Παράγωγος από συναρτησιακή σχέση (με χρήση του εναλλακτικού ορισμού). ΓΔ/26. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει για κάθε x 2 1 δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και x ∈ : f 3 ( x) + 2 f ( x) =− βρείτε το f ′(1) . ΓΔ/27. Αν f : → για την οποία για κάθε x, y ∈ ισχύει: f ( x + y )= f ( x) + f ( y ) + 4 xy − 2 , και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 με f ′(0) = 3 : Α) Βρείτε το f (0) και Β) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε x0 ∈ και μάλιστα ισχύει: f ′( x= 4 x0 + 3 . 0) ΓΔ/28.Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και για κάθε x, y ∈ ισχύει f ( x + y )= f ( x) + 2 f ( y ) + 3 xy δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0 ∈ . ΓΔ/29.Αν f : → για την οποία για κάθε x, y ∈ ισχύει: f ( x + y )= f ( x) + f ( y ) + 4 xy , και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 με f ′(0) = 4 , να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0 ∈ και μάλιστα ότι ισχύει: f ′( x= 4 x0 + 4 . 0) ( Βρείτε το f (0) και χρησιμοποιήστε τον εναλλακτικό ορισμό για την παράγωγο). ΓΔ/30.Μια συνάρτηση f : → είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 και ισχύει f 3 ( x) − 2 xf 2 ( x) + x 2 f ( x)= x 2 ηµ 2 x για κάθε x ∈ . Να αποδειχθεί ότι f ′(0) = 2 . ΓΔ/31.Για την συνάρτηση f ισχύει: f (2 + h) =1 + 2h + 3h 2 , για κάθε h ∈ . Να βρείτε το f (2) και το f ′(2) . ΓΔ/32. Έστω συνάρτηση lim h→0 f (1 + h) = 2. h f συνεχής στο 1 και τέτοια ώστε A) Βρείτε το f (1) . Β) Βρείτε το f ′(1) Κ. Αδαμόπουλος 111 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/33.Για την συνάρτηση f ισχύει: f (1 + h) =3 − 3h + 3h 2 − h3 , για κάθε h ∈ . Να βρείτε την κλίση της f στο x0 = 1 και την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο M (1, f (1)) . ΓΔ/34. Έστω f : → μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο x0 . f ( x − h) − f ( x ) Α) Να δείξετε ότι lim = − f ′( x) . h→0 h f ( x + h) − f ( x − h) Β) Να δείξετε ότι lim = 2 f ′( x) . h→0 h f ( x + xh ) − f ( x) Γ) Nα δείξετε ότι: lim = xf ′( x) . h→0 h Παράγωγος συνάρτηση ΓΔ/35. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: 1 Α) f ( x) = x5 Β) f ( x) = x3 Γ) f ( x) = 5 x 7 Δ) f ( x) = 3 x x x 1 1 Ε) f ( x) = ΣΤ) f ( x) = 3 Ζ) f ( x) = x 2x x x3 ΓΔ/36. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: 1 x x Δ) f ( x= ) e − ln x + συνx Α) f ( x) = 3 x 2 − 5 x + 2 Β) f ( x) =5 x 2 − 2 x − Γ) f (= x) 4 x3 − ηµx + ln x Ε) f ( x) = 2ηµx + 3 x + ln 2 ΣΤ) f (t= ) 2t + συνt + ln t Ζ) Βρείτε τη 2η παράγωγο των συναρτήσων των Α), Γ) και Δ). ΓΔ/37. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: ( )( ) Α) f ( x) =x 2 + 1 x3 + 1 Β) f ( x) = ηµxσυνx Δ) f ( = x) x ⋅ ηµx ΣΤ) f ( x) = e x συν x Γ) f ( x) = x 2 ln x Ε) f ( x) = x 2 e x −1 ΓΔ/38. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: x 1 + ηµx x2 + 1 x−2 Α) f ( x) = Β) f ( x) = Γ) f ( x) = Δ) f ( x) = x +1 ηµx 1 − ηµx x 2 x 2συνx 1 ex ΣΤ) f ( x) = x Ζ) f ( x) = Η) f ( x) = Ε) f ( x) = ln x e ηµx x Κ. Αδαμόπουλος 112 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/39. Α) Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) f ( x) = e x ε) f (= x) 2 +1 β) f ( x) = ηµ3 x γ) f ( x) = ηµe x στ) f ( x) = συν3 x ex + 1 x2 + 1 ζ) f ( x) = συνx3 θ) f ( x)= ln ηµx η) f ( x) = ln 4 x δ) f = ( x) ι) f ( x) = ( ηµ( x + 1) ) 3 Β) Bρείτε τη 2η παράγωγο των συναρτήσεων: α) f (= x) x 2 ln x + x − 1 x β) f ( x= γ) f ( x) = x και δ) f ( = ) e x ηµx x) x 2 e 2 x + x − 2 e Γ) Βρείτε την 3η παράγωγο των: f ( x) = x 4 − x3 + x 2 − 1 και g ( x) = x e x ΓΔ/40. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: 5 α) f ( x= β) f ( x) = εφx 2 ) ( x + 1) δ) f ( x) = ln x ε) f ( x) = e 2 x−1 ζ) f ( x)= η) f ( x) = eηµx −1 συνx ΓΔ/41. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) f ( x)= x 2 ηµ 2 x β) f ( x= ) ( ) 3 x2 + 1 1 − ηµ 2 x e2 x ε) f ( x) = συνx δ)= f ( x) x ln x 2 + 1 ζ)= f ( x) ln ( ) γ) f ( x) = συν 2 x 1 στ) f ( x) = ηµ x θ) f= ( x) ln x + x ( ) γ) f ( x) = ln 2 x3 στ) f (= x) ln 2 ( ηµx ) η) f ( x) = ηµ ln 2 3 x + 1 . ΓΔ/42.Αν f παραγωγίσιμη συνάρτηση παραγωγίστε τις συναρτήσεις: Α) g= Γ) = g ( x ) xf ( x 2 + x ) ( x ) f ( e x + 1) Β) g= ( x ) f ( x 2ηµx ) ΓΔ/43. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: Α) f ( x) = 3 x 7 Β) f ( x) = − 3 2 x Γ) f ( x) = 3 x 4 Δ) f ( x) = 5 x 6 Μέθοδος: Αν θέλουμε να παραγωγίσουμε μια εκθετική συνάρτηση με μεταβλητή βάση και μεταβλητό εκθέτη τότε κάνουμε το μετασχηματισμό: ′ [ f ( x)]g ( x ) = e g ( x )⋅ln f ( x ) ′ . ( ) ( ) ln x)′ ( ) ( e=)′ e ( x= Επίσης: ( x = )′ ( e =)′ e xx ′ Π.χ.= x ln x ηµx x ln x ηµx⋅ln x x x (ln x + 1) . ηµx⋅ln x 1 (ηµx ⋅ ln= x)′ x ηµx συνx ⋅ ln x + ηµx ⋅ x Κ. Αδαμόπουλος 113 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΔ/44.Αν x ∈ ( 0, +∞ ) παραγωγίστε τις συναρτήσεις: Β) f ( x) = x συνx Α) f ( x) = x 2 x Δ) f ( x) = x Παράγωγοι 1 x Ε) f ( x) = ( x) x Γ) f ( x) = ΣΤ) f ( x) = x 1 x ( ηµx ) x Ζ) f ( x) = x ln x ΓΔ/45.Βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων όπου ορίζονται. x 2 − x, x ≤ 0 Α) f ( x) = 3 x + x, x > 0 x 2 − 3ηµx , x ≤ 0 Β) f ( x) = 2 x − 3x , x > 0 ΓΔ/46.Βρείτε την παράγωγο της 3 x 2 + 6 x − 8 , x ≤ 1 Β) f ( x) = 3 , x >1 4x − 3 ΓΔ/47. Αν f ( x) = x 2 ln x υπολογίστε τις f ′( x) , f ′′( x) και f ′′′( x) . x 2 + 1, x ≤ 0 Α) f ( x) = συνx, x > 0 ΓΔ/48. Αν η συνάρτηση στο [ −2, 2] και lim x →0 f είναι παραγωγίσιμη στο [ −2, 2] , f ′ συνεχής f ′( x) − x + 9 = 0 , δείξτε ότι υπάρχει το f ′′(0) και να x το βρείτε. Μορφές ασκήσεων στις εφαπτόμενες ΓΔ/49.Βρείτε εφ' όσον ορίζεται , την εφαπτομένη της γραφικής 1 + συνx , x ≤ 0 παράστασης f ( x) = 2 στο κοινό της σημείο με τον yy ' . , x > 0 x 2 λ + ΓΔ/50. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f ( x) = x 2 + x + 2 στο σημείο Α ( 0, f (0) ) . ΓΔ/51. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f (= x) 2 x 2 + x ln x στο σημείο Α (1, f (1) ) . ΓΔ/52. Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 0. f ( x= ) x 2 − 4 x που είναι παράλληλη στην ευθεία (δ) : 2 x + y + 3 = ΓΔ/53. Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 0. f ( x) = x − x + 2 που είναι παράλληλη στην ευθεία (α) :11x − y + 3 = 3 ΓΔ/54. Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f= ( x) 2 x + 1 που είναι παράλληλη στην ευθεία (η ) : y= x − 2 . Κ. Αδαμόπουλος 114 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΔ/55. Παράγωγοι 1 Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f ( x) = 1 x 1 που είναι παράλληλη στην ευθεία (δ ) : y = − x + 1. 4 ΓΔ/56. Αν f ( x=) 2 x + 1 + ln x βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της x 2x . C f που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : y = ΓΔ/57. Βρες τα α , β ∈ ώστε στα σημεία Α (1, f (1) ) και Β ( 2, f (2) ) η γραφική παράσταση της f ( x) =x3 + α x 2 + β x + 1 έχει εφαπτόμενες παράλληλες στον άξονα x ' x . ΓΔ/58. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) α + β x 2 , με x ∈ ∗ . Βρείτε τις x τιμές των α και β για τις οποίες η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,5) και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο Α είναι ίσος με 4. ΓΔ/59. Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 0. f ( x) = x3 − x + 1 που είναι κάθετη στην ευθεία (η) : x + 2 y + 1 = ΓΔ/60. Α) Αν f= ( x) 2 x + 1 βρείτε την εφαπτομένη της C f που είναι κάθετη στην (α) : 2 x + y + 7 = 0. Β) Αν f ( x) =2 x + ln x + 1 βρείτε την εφαπτομένη της C f που είναι κάθετη στην (η) : 2 x + y + 7 = 0. ΓΔ/61. Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ln x που είναι κάθετη στην ευθεία (δ ) : x + 3 y + 1 = 0. ) 3x − f ( x= x ΓΔ/62. Ποια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f ( x) = − x 2 + 3 x + 2 σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία π / 4 ; ΓΔ/63. Βρείτε την εφαπτομένη της f ( x) = x 2 + x + 1 που σχηματίζει με τον x′x γωνία 3π/4. ΓΔ/64. Ποια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f ( x) = x − 4 x + 1 σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία 135 ; 3 ΓΔ/65. Α) Βρείτε την εφαπτομένη της f ( x) = x + e x + 1 που σχηματίζει με τον x′x γωνία θ με εϕθ = 2 . Κ. Αδαμόπουλος 115 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 Β) Βρες το α ∈ αν η εφαπτομένη της f ( x= ) x + α x στο Μ (1, f (1) ) σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία π / 4 . 2 ΓΔ/66. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 2 − 3 x + 2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f , ώστε να : α) Σχηματίζει με τον άξονα x′x γωνία 135°. β) Είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : 3 x − y + 1 = 0. y . γ) Είναι κάθετη στην διχοτόμο της γωνίας xΟ δ) Είναι παράλληλη στον άξονα x′x . ΓΔ/67. Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f ( x= ) x 2 − 3 x που διέρχεται από το σημείο Μ (2, −3) . ΓΔ/68. Βρες την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f ( x)= x + e x που διέρχεται από το σημείο Μ ( 3,3) . ΓΔ/69. Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f ( x) =− x 2 + x + 1 που διέρχεται από το σημείο Α(−1, −1) . ΓΔ/70. Αν f= ( x) 2ln x + 1 βρείτε την εφαπτομένη της C f που διέρχεται από το Α(0,1) . ΓΔ/71. Α) Αν f ( x= ) x 2 − x βρείτε την εφαπτομένη της C f που διέρχεται από το Α(1, −4) . 2 Β) Αν f ( x) = + x + 1 βρείτε την εφαπτομένη της C f που διέρχεται από το x Α(1, 4) . ΓΔ/72. Αν f ( x) = 4 x + α και η εφαπτομένη της C f στο Μ (1, f (1) ) είναι x +1 κάθετη στην ευθεία (η) : 4 x + y − 2021 = 0: Α) Βρείτε το α ∈ . Β) Δείξτε ότι δεν υπάρχουν εφαπτόμενες της C f που να διέρχονται από το Α(2, −1) . ΓΔ/73. Αν f ( x) = α e x + x 2 + β : Α) Βρείτε τα α, β ∈ ώστε η ευθεία (ε) : y = x + 2 να εφάπτεται στη C f ′ στο σημείο Α ( 0, f (0) ) . Β) Βρείτε τα όρια lim f ( x) και lim x→−∞ x→−∞ ηµx . f ( x) Κ. Αδαμόπουλος 116 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 Γ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (0,1) ώστε η εφαπτομένη της 0. C f στο Μ ( x0 , f ( x0 ) ) να είναι κάθετη στην (η) : x − 2 y + 2021 = ΓΔ/74. Αν f συνεχής και ισχύει: f 3 ( x) + 4 f ( x) = 4 x για κάθε x ∈ . Α) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο . Β) Δείξτε ότι οι εφαπτόμενες της σχηματίζουν με τον άξονα x′x γωνίες που π ανήκουν στο διάστημα 0, . 4 Γ) Δείξτε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία Α ( 4, f (4) ) και Β ( −4, f (−4) ) είναι παράλληλες. ΓΔ/75. Έστω η συνάρτηση f ( x= ) 1 + 6 x . Να βρείτε: α) Το πεδίο ορισμού της β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της με τετμημένη 4 γ) το σημείο στο οποίο η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τον άξονα y' y δ) τις συντεταγμένες του σημείου της καμπύλης της f στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y = x + 12 . ΓΔ/76.Δείξτε ότι δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x) = x 4 , στα οποία οι εφαπτόμενες της C f να είναι μεταξύ τους παράλληλες . x 2 + αx + β , x ≤ 0 ΓΔ/77.Δίνεται η f ( x) = . συν − > x x 2 1 , 0 A) Να βρεθεί το β ∈ ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 = 0 . Β) Να βρεθεί το α ∈ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 . Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α ( 0, f (0) ) . Δ) Βρείτε την εφαπτομένη της C f που είναι παράλληλη στην (η) : 2 x + y − 1 = 0 στα σημεία της C f με τετμημένη στο (0, π) . f ( x) − 1 Ε) Υπολογίστε το lim . x →0 ηµx ΓΔ/78. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = α με α ∈ . Δείξτε ότι: x Α) Η εφαπτομένη της C f στο τυχαίο σημείο της σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με σταθερό εμβαδόν. Β) Η παραπάνω εφαπτομένη δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη C f . Κ. Αδαμόπουλος 117 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/79.Δείξτε ότι δεν ορίζεται η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης xηµx , x ≤ 0 στο σημείο Ο(0,0) . της συνάρτησης f ( x) = 2 , x > 0 x + x ΓΔ/80.Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης π − πx , x ≥ 1 στο σημείο της Α (1, f (1) ) . της f ( x) = < x , 1 ηµπ x x2 ΓΔ/81.Aν f ( x) = και (ε): y =λx + 1 να δειχθεί ότι για κάθε λ ∈ η 4 C f και η (ε) τέμνονται σε δύο σημεία . Κατόπιν δείξτε ότι οι εφαπτόμενες σε καθένα από τα ζεύγη των κοινών σημείων τέμνονται κάθετα. ηµx + 1 ΓΔ/82.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x , x < 0 . Να βρεθούν: , x≥0 e A) η κλίση της C f στο σημείο A(0, f (0)) . B) η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α. ΓΔ/83. Αν f : → συνάρτηση ώστε για κάθε x ∈ να ισχύει f 2 ( x) + 8 x = 2 x 3 + ( x 2 + 4) f ( x) , να αποδείξετε ότι η ευθεία: (ε) : y =4 x − 1 εφάπτεται στη C f και να βρείτε το σημείο επαφής. ΓΔ/84. Αν f : → συνάρτηση ώστε για κάθε x, y ∈ να ισχύει 1 f ( x) f ( y ) + x 2 + x + α και η ευθεία (ε) : y =2 x + 1 είναι 2 εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ ( 0, f (0) ) : Α) Βρείτε το f (0) . Β) Βρείτε το α ∈ Γ) Βρείτε τον τύπο της f . (Θέτω y = 0 ) Δ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που διέρχεται από το σημείο Α(−1, −7) . Ευθεία εφαπτομένη σε γράφημα Μέθοδος: Για να είναι η ευθεία ε : y = αx + β εφαπτομένη της C f πρέπει = f ( x + y) να υπάρχει x0 ∈ D f ώστε: f ( x0 ) = αx0 + β και f ′ ( x0 ) = α . Η πρώτη σχέση μας εξασφαλίζει ότι η ε και η C f έχουν κοινό σημείο. Η δεύτερη σχέση μας εξασφαλίζει ότι η ε και η εφαπτομένη της C f στο κοινό σημείο ταυτίζονται αφού έχουν την ίδια κλίση. Κ. Αδαμόπουλος 118 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΔ/85. Α) Bρείτε το k ∈ ώστε η ευθεία Παράγωγοι 1 ε : y =− x − 1 να είναι εφαπτομένη του γραφήματος της συνάρτησης: f ( x) = x 2 + x + k . Β) Bρείτε το k ∈ ώστε η ευθεία ε : y = 3 x + k να είναι εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης: f ( x) = x 2 + x − 2 . Γ) Bρείτε το k ∈ ώστε η ευθεία ε : y = 2 x + k να είναι εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης: f ( x) = x 2 − 2 x − k . ΓΔ/86. Α) Bρείτε το k ∈ ώστε η ευθεία ε : y = 3 x + k να είναι εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης: f ( x) = x 2 + x − 2 . Β) Bρείτε το k ∈ ώστε η ευθεία ε : y =x + 2 να είναι εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης: f= ( x) x ln x + k . Γ) Bρείτε το k ∈ ώστε η ευθεία ε : y = 2 x + 1 να είναι εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης: f ( x) = x3 − x + k . Κοινές εφαπτόμενες Μέθοδος: Για να έχουν οι C f και Cg κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο Α ( x0 , y0 ) πρέπει: f ( x0 ) = g ( x0 ) και f ′ ( x0 ) = g ′ ( x0 ) . Η πρώτη σχέση εξασφαλίζει ότι το Α είναι κοινό σημείο των C f , Cg και η δεύτερη σχέση εξασφαλίζει ότι οι εφαπτόμενες των δύο καμπυλών στο Α ταυτίζονται, αφού έχουν κοινό σημείο και τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. ΓΔ/87. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε οι γραφικές 3 x 2 + αx − 4 β και g ( x) = να παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x) = x x −1 διέρχονται από το ίδιο σημείο με θετική τετμημένη στο οποίο να δέχονται κοινή εφαπτομένη με συντελεστή διεύθυνσης 4. ΓΔ/88.Έστω A(1, γ ) το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : f ( x= ) x 3 + αx 2 + βx + 1 και g ( x) = x 2 + x + 2 . Να βρείτε τις τιμές των α, β ∈ για τις οποίες οι C f και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο Α και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης. ΓΔ/89. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x) = x ln x και g ( x) = αx 2 + βx + 1 να Κ. Αδαμόπουλος 119 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο που βρίσκεται στην ευθεία 1. ε: x = ΓΔ/90. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x) = αx 2 + βx + 3 και g ( x= ) x 2 − αx − β να έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο που βρίσκεται στην ευθεία ε : x = −2 . ΓΔ/91. Βρείτε τα α, β∈ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f ( x= ) x 2 + α και g ( x) = −2 x 2 + βx − 1 να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο Α (1, y0 ) . Μέθοδος: Για να βρω την κοινή εφαπτομένη των C f και Cg θεωρώ την εφαπτομένη της C f στο Α ( x1 , f ( x1 ) ) : x1 ) f ′( x1 )( x − x1 ) ⇔ ε : y − f (= ε= : y f ′( x1 ) x + f ( x1 ) − f ′ ( x1 ) x1 και την εφαπτομένη της Cg στο Β ( x2 , g ( x2 ) ) : ε΄ : y − g (= x2 ) g ′( x2 )( x − x2 ) ⇔ ε΄ : = y g ′( x2 ) x + g ( x2 ) − g ′ ( x2 ) x2 και απαιτώ να ταυτίζονται, δηλαδή: f ′ ( x1 ) = g ′ ( x2 ) και f ′ ( x1 ) − f ′ ( x1 ) x1 = g ′ ( x2 ) − g ′ ( x2 ) x2 . ΓΔ/92. Έστω 2x ) x 2 + β και η ευθεία (ε) : y = f (= x) 2 x 2 + αx , g ( x= είναι κοινή εφαπτομένη των C f και Cg . Α) Βρείτε τα α, β ∈ . Β) Βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη. ΓΔ/93. A) Βρείτε την κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f ( x= ) x 2 − 2 x και g ( x) = − x 2 − 5 . (όχι σε κοινό σημείο) B) Όμοια για τις f ( x) = x 2 − x − 2 και g ( x) = x 2 − 5 x + 6 . ΓΔ/94. Αν ) x 2 − (α + 1) x + 3 με α ∈ και f ( x) =αx 2 − x + 2 και g ( x= οι εφαπτόμενές τους στα Α ( −1, f (−1) ) και Β ( −1, g (−1) ) είναι παράλληλες: Βρείτε το α και τις κοινές εφαπτόμενες των C f και Cg . ΓΔ/95. Αν f , g παραγωγίσιμες συναρτήσεις και ισχύει: f ( x= 0 αποδείξτε ότι οι C f , Cg έχουν κοινή ) ( x + 5) g ( x ) και g ( −4 ) = εφαπτομένη. (Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι f ( −4 ) = g ( −4 ) ) Κ. Αδαμόπουλος 120 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΔ/96. Αν f ( x) =αx + x − 1 και g ( x)= Παράγωγοι 1 2 x 2 + (4α + β) x + α , βρείτε x τα α, β ∈ ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(1,1) να εφάπτεται της Cg . ΓΔ/97.Αν f παραγωγίσιμη και για κάθε x ∈ ( 0, +∞ ) ισχύει η σχέση: x3 + f 3 ( x) = xf ( x) να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ε ) : y = 1 − x είναι εφαπτομένη της C f . (Υπόδειξη: Πρέπει να υπάρχει x0 ∈ ( 0, +∞ ) ώστε f ( x0 ) = 1 − xo και f ′ ( x0 ) = −1 ) ΓΔ/98. Έστω f , g συναρτήσεις με f ( x=) g − 12 . Αν η ευθεία x 2 x εφάπτεται της Cg στο x0 = −1 να βρείτε την εφαπτομένη της ( η) : y = C f στο x1 = 1 . ΓΔ/99. Aν f ( x) =x 2 − ln x + 2 να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ ( ρ, f (ρ) ) με ρ ∈ (1, 2) στο οποίο η εφαπτομένη της C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΓΔ/100. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται τμήματα των γραφικών παραστάσεων δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f , g : → . Η ευθεία (ε) εφάπτεται της C f στο Α και της Cg στο Β. Α) Βρείτε τα σημεία Α και Β. Β) Βρείτε τα f ′(2) και g ′(4) Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ϕ( x) = ( f f ) ( x) στο σημείο της Γ ( 2, ϕ(2) ) . Δ) Βρείτε την εφαπτομένη του γραφήματος της συνάρτησης h= ( x) f ( x) ⋅ g ( x 2 ) στο σημείο της ∆ ( 2, h(2) ) . x2 ΓΔ/101. Aν f ( x=) e − να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 2 σημείο Μ ( ρ, f (ρ) ) με ρ ∈ (1, 2 ) στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία (η) : x + 2 y − 1 = 0 x Κ. Αδαμόπουλος 121 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/102. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες και η ευθεία y = x είναι εφαπτομένη της C f στο Ο ( 0, f (0) ) : f ( x) − ηµ3 x . Α) Βρείτε το όριο lim x →0 ηµx Β) Αν g : → και g ( x) − 2 f ( x) − x ≤ x 4 για κάθε x ∈ δείξτε ότι ορίζεται η εφαπτομένη της Cg στο Α ( 0, g (0) ) και βρείτε την εξίσωσή της. ΓΔ/103.Αν g παραγωγίσιμη συνάρτηση και g (0)= e − 1 να βρεθεί η x εφαπτόμενη της συνάρτησης f ( x)= (1 + g ( x) ) στο σημείο της Α ( 0, f (0) ) . f ( x) − 3x + 2 ΓΔ/104.Αν f συνεχής στο α ∈ και xlim = 0 , να →α x−α αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = 3 x − 2 είναι εφαπτομένη της C f στο Μ ( α, f (α ) ) . ΓΔ/105. Δίνονται οι συναρτήσεις 1 και g ( x= ) e− x + 1. x Αν η C f τέμνει την ευθεία y = 1 στο σημείο Α και η Cg τον άξονα y′y στο Β, να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κοινή εφαπτομένη των C f και Cg στα σημεία Α,Β αντίστοιχα. Παραγώγιση και αντίστροφη συνάρτηση. f ( x) = ΓΔ/106. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) ex + x , x ∈ . Α) Δείξτε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f −1 . Β) Αν θεωρήσουμε την f −1 είναι παραγωγίσιμη βρείτε το ( f −1 )′ (1) . (Παραγωγίστε την σχέση f ( f −1 ( x) ) = x ) Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της C f −1 στο σημείο Μ (1, f −1 (1) ) . ΓΔ/107. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) x5 + x3 , x ∈ . Α) Δείξτε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f −1 . Β) Δείξτε ότι η f −1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 . ΓΔ/108. Αν f ( x) = αx 3 + 6 x − 3 και η εφαπτομένη της στο Α ( 2, f (2) ) είναι παράλληλη στην (δ) : 30 x − y − 2010 = 0: Α) Βρείτε το α ∈ . Β) Αποδείξτε ότι η f είναι «1-1» Γ) Αν η f −1 είναι παραγωγίσιμη βρείτε την εφαπτομένη της C f −1 στο Β ( 5, f −1 (5) ) . Κ. Αδαμόπουλος 122 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 Ρυθμός μεταβολής ΓΔ/109. Η θέση ενός κινητού που κινείται στον άξονα x ' x , συναρτήσει του χρόνου t ≥ 0 , δίνεται από τη σχέση x(t ) = t 3 − 6t 2 + 9t − 4 . Α) Ποιες χρονικές στιγμές βρίσκεται στην αρχή των αξόνων; Β) Βρείτε την ταχύτητά του για t = 2 Γ) Βρείτε τις θέσεις του κινητού στις οποίες ηρεμεί Δ) Βρείτε την επιτάχυνσή του για t = 3 . ΓΔ/110. Το μήκος ενός ορθογωνίου αυξάνεται με ρυθμό 5cm / s ενώ το πλάτος του ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s . Να βρεθούν: Α) ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου , και Β) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν το μήκος είναι 2cm και το πλάτος 1cm . ΓΔ/111.Παγοκολώνα έχει σχήμα κύβου. Τη χρονική στιγμή που οι ακμές του κύβου είναι 10cm η κολώνα αρχίζει να λιώνει . Οι ακμές της μειώνονται ανάλογα με σταθερό ρυθμό 0, 03cm / sec . Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού και του όγκου του κύβου. ΓΔ/112.Ο όγκος μιας σφαίρας αυξάνει με ρυθμό 10cm3 / sec . Να βρεθεί η ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η επιφάνεια της αυξάνει με ρυθμό 2cm 2 / sec . ΓΔ/113. Αν Ο ( 0,0 ) Α ( 2 x,0 ) και Β ( 0,e x ) , x > 0 και το x αυξάνει με ρυθμό 2cm / s βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του τριγώνου ΟΑΒ όταν x = 1 . ΓΔ/114.Δύο σημεία Α και Β κινούνται στους άξονες Οχ και Οy αντίστοιχα, με ταχύτητες υΑ = 10m / sec και υB = 5m / sec . Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασής τους κατά τη χρονική στιγμή που το Α απέχει από την αρχή των αξόνων 4m ενώ το Β απέχει από το Ο, 3m . Κ. Αδαμόπουλος 123 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/115. Ένα ποδήλατο βρίσκεται 4km δυτικά από ένα σταυροδρόμι και κινείται προς αυτό με ταχύτητα 9km / h . Την ίδια στιγμή ένα άλλο ποδήλατο βρίσκεται 3km βόρεια από το σταυροδρόμι και απομακρύνεται από αυτό με ταχύτητα 10km / h Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των ποδηλάτων αυτή τη χρονική στιγμή . ΓΔ/116.Μια κλεψύδρα αδειάζει την άμμο σχηματίζοντας κώνο του οποίου η ακτίνα ισούται πάντα με το ύψος του . Η άμμος αδειάζει με ρυθμό 300cm3 / sec . Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ακτίνας του κώνου της άμμου όταν το ύψος του είναι 30cm . ΓΔ/117.Κύλινδρος έχει σταθερό όγκο 100cm3 και η ακτίνα του ελαττώνεται με ρυθμό 2cm / sec . Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του ύψους του όταν η ακτίνα του είναι R = 20cm . ΓΔ/118. Σ' έναν κατακόρυφο τοίχο βρίσκεται στερεωμένη , πλάγια , μια ανεμόσκαλα μήκους 5m . Το κάτω μέρος της σκάλας αρχίζει να γλιστρά με ρυθμό 1m / s . Τη χρονική στιγμή t0 που το κάτω μέρος της σκάλας απέχει από τον τοίχο 3m , να βρείτε: Α) Το ύψος που βρίσκεται το πάνω μέρος της σκάλας Β) Το ρυθμό που πέφτει το πάνω μέρος της σκάλας. Γ) Το ρυθμό που μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζουν η σκάλα, ο τοίχος και το έδαφος , και Δ) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο. ΓΔ/119. Ένας γερανός έλκει οριζόντια ένα βαρύ αντικείμενο που βρίσκεται στο έδαφος , με ένα συρματόσχοινο . Η τροχαλία του γερανού βρίσκεται σε ύψος 3m από το έδαφος .Αν το συρματόσχοινο διέρχεται από την τροχαλία με ρυθμό 20m / min , να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο το σώμα πλησιάζει το γερανό τη στιγμή που απέχει από αυτόν 4m . ΓΔ/120. Ένα μπαλόνι Μ που ανεβαίνει από το έδαφος με ταχύτητα 40m / min , γίνεται αντιληπτό από έναν παρατηρητή Α σε απόσταση 200m από το σημείο απογείωσης Ε . Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ καθώς και το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΜ = d , όταν το μπαλόνι έχει ύψος x = 200m x Α ΓΔ/121.Σώμα Σ ανέρχεται στο διπλανό κεκλιμένο επίπεδο με ταχύτητα 2m / s . Αν ΑΒ = 10 3 m και ΒΓ = 10m βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους ΣΕ . M θ 200m E Γ Σ Α Ε Κ. Αδαμόπουλος 124 Β Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/122. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μήκους της σκιάς ενός ανθρώπου ύψους 1.70m ο οποίος απομακρύνεται με ταχύτητα 0, 4 m / s από μια κολόνα , της οποίας η λάμπα φωτίζει από ύψος 5,10m το έδαφος . ΓΔ/123. Σε μια κωνική δεξαμενή χύνεται νερό με ρυθμό 2π m3 / s . Αν το ύψος της δεξαμενής είναι 10m και το πάνω μέρος της είναι κύκλος ακτίνας 5m , να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής με τον οποίο ανέρχεται η στάθμη του νερού όταν το βάθος του είναι 2m . ΓΔ/124. Σημείο Μ ( x, y) κινείται στην καμπύλη με εξίσωση 3x 2 − y 2 = 12 έτσι που η τεταγμένη του να αυξάνεται με ρυθμό 6 cm / s . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του x όταν x = 4cm . ΓΔ/125. Σημείο Μ ξεκινώντας από το σημείο Ο(0,0) κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ηµx με x ∈ [ 0, π] . Όταν το Μ διέρχεται από το π 1 σημείο Α , η ταχύτητα απομάκρυνσής του από τον άξονα y′y είναι 2 6 2 μον/sec. Βρείτε την ταχύτητα απομάκρυνσης του Μ από τον άξονα x′x τη στιγμή που διέρχεται από το Α. ΓΔ/126. Ένα σημείο Μ ( x, y) κινείται στην καμπύλη y = x2 . Α) Αν τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του είναι 2 cm ο ρυθμός μεταβολής της είναι 1 cm/sec βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του. Αν Ο(0,0) και Α η προβολή του Μ στον x′x : Τη χρονική στιγμή t0 : Β) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΑ. . Γ) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ(t ) = ΜΟΑ ΓΔ/127. Ένα σημείο Μ ( x, y) κινείται στην καμπύλη y= x. Α) Αν τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του είναι 4 cm ο ρυθμός 1 μεταβολής της τεταγμένης του είναι cm/sec βρείτε το ρυθμό μεταβολής 2 της τετμημένης του. Αν Ο(0,0) και Α η προβολή του Μ στον x′x : Τη χρονική στιγμή t0 : Β) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΑ. . Γ) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ(t ) = ΜΟΑ Κ. Αδαμόπουλος 125 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/128. Ένα σημείο Μ ( x, y) κινείται στην καμπύλη 4 , x > 0. x Α) Τη χρονική στιγμή t0 που ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι αντίθετος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του βρείτε τις συντεταγμένες του Μ. Αν Ο(0,0) και Α η προβολή του Μ στον x′x και τη χρονική στιγμή t0 είναι x′ ( t0 ) = 2 cm / s : Β) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΑ. . Γ) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ(t ) = ΜΟΑ x2 ΓΔ/129. Έστω f ( x) = . 4 Α) Βρείτε την εφαπτομένη της C f στο Α ( 6, f (6) ) . y= Β) Ένα σώμα κινείται στη C f . Τη χρονική στιγμή t0 που βρίσκεται στο Α η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό 4 μον/sec. Αυτή τη χρονική στιγμή βρείτε: Α) Το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του. Β) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο Α με τον άξονα x′x . ΓΔ/130. Κινητό σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = e x και Α το σημείο της καμπύλης όπου η κλίση της είναι 1. Καθώς το Μ διέρχεται από το Α η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό 3μον/sec. Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης d = ΟΜ με Ο ( 0,0 ) , τη χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το Α. ΓΔ/131. Ένα σημείο Μ ( x, y) κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x= ) ( x − 1) 2 . Η τετμημένη του είναι θετική και απομακρύνεται από το Ο(0,0) με ρυθμό 2 μον/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο Μ με τον άξονα x ' x όταν αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση x − y +1 = 0 καθώς και η τετμημένη του Μ τη στιγμή εκείνη. ΓΔ/132. Κινητό σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ln x 1 και Α e , σημείο της καμπύλης. Καθώς το Μ διέρχεται από το Α η 2 τετμημένη του x ελαττώνεται με ρυθμό 2 μον/sec. Αυτή τη χρονική στιγμή βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει το ΟΜ με τον άξονα x′x . Κ. Αδαμόπουλος 126 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΔ/133. Σημείο Μ κινείται στην καμπύλη Παράγωγοι 1 y = x 2 , στο 1ο τεταρτημόριο. Η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό 2cm/s. Τη χρονική στιγμή που είναι ΟΜ = 90 , με Ο(0,0) να βρείτε: Α) Το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης. Β) Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου με τις δύο πλευρές του στους άξονες και διαγώνιο ΟΜ. Γ) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ(t ) που σχηματίζει το ΟΜ με τον x′x . Θ.Μ.Τ. και Θ. Rolle. Σχόλιο: Το Θεώρημα Rolle είναι υπαρξιακό. Διαπιστώνει απλά την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα, αλλά δεν μπορεί να προσδιορίσει τον ακριβή αριθμό των ριζών αλλά ούτε και να τις εντοπίσει. Το ίδιο ισχύει και για το Θ.Μ.Τ.. Διαπιστώνει την ύπαρξη ενός σημείου ξ στο διάστημα ( α, β ) με την f (β) − f (α) ιδιότητα: f ′ ( ξ ) = αλλά δεν μπορεί να αποφανθεί αν είναι β−α μοναδικό ούτε μπορεί να το βρει. Τα αντίστροφα των θεωρημάτων Rolle και Θ.Μ.Τ. δεν ισχύουν γενικά. ΓΔ/134.A)Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 2 + x + 3 . Δείξτε ότι για την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο [-2,4] , εφαρμόστε το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [-2,4] και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα. B) Δίνεται συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο [1,3] , για την οποία ισχύει f (3) = 12 και f (1) = 4 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f , στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : 4 x − y + 1 = 0. ΓΔ/135.Α)Δίνεται η συνάρτηση f ( x)= x − x , x ≥ 0 . Δείξτε ότι η f 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Rolle στο διάστημα [0, 4] βρείτε το ξ ∈ (0, 4) για το οποίο ισχύει f '(ξ ) = 0 και να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία. Β) Να βρείτε τα α, β, γ ∈ ώστε να ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle για x<0 αx + 1, στο διάστημα [−1,1] . τη συνάρτηση f ( x) = 2 + β + γ ≥ x x x 2 , 0 Κ. Αδαμόπουλος 127 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 Γ) Να βρείτε τα α, β, γ ∈ ώστε να ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle για x <1 αx + β, στο [0,2]. τη συνάρτηση f ( x) = 2 γ + − ≥ x x x 20 9, 1 ΓΔ/136.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = (α − β) x 3 + (2α + β) x 2 − 3αx με α, β ∈ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ ∈ (0,1) ώστε στο σημείο Α ( ρ, f (ρ) ) , η εφαπτομένη της C f να είναι παράλληλη στον άξονα x′x . ΓΔ/137.Δίνεται η συνάρτηση g με f ( x) = x 2 + e x − 1 . Να δειχτεί ότι υπάρχει ρ ∈ (0,1) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη (ε) της C f στο Α ( ρ, f (ρ) ) να είναι παράλληλη με την ευθεία (η) που διέρχεται από τα σημεία Μ (1,1) και Ν (2,e+ 1) . Βρείτε επίσης την εξίσωση της (ε). Μέθοδος: Αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες τότε έχουν και ίσες παραγώγους. Έτσι έχουμε το δικαίωμα να παραγωγίζουμε μια ισότητα συναρτήσεων. Δηλαδή αν f ( x) = g ( x) τότε f ′( x) = g ′( x) . Το αντίστροφο δεν ισχύει. Αυτό που ισχύει είναι ότι αν δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια παράγωγο τότε διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό. Δηλαδή αν f ′( x) = g ′( x) τότε f= ( x) g ( x) + c . Μέθοδος: Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β) : i) Εφαρμόζω Θ. Bolzano για την f στο [α, β] ή ii) Εφαρμόζω Θ. Rolle για μια παράγουσα της f στο [α, β] ή iii) Βρίσκω το σύνολο τιμών της f στο [α, β] και αποδεικνύω ότι το μηδέν περιλαμβάνεται σε αυτό ή iv) Mε δοκιμές βρίσκω μια προφανή ρίζα της f στο [α, β] . Μέθοδος: Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση f έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα (α, β) : Αποδεικνύω με έναν από τους προηγούμενους τρόπους ότι η συνάρτηση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) και στη συνέχεια αποδεικνύω ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο [α, β] ή δέχομαι ότι έχει δύο διαφορετικές ρίζες x1 < x2 στο [α, β] και εφαρμόζοντας Θ. Rolle για την f στο [ x1 , x2 ] καταλήγω σε άτοπο . Κ. Αδαμόπουλος 128 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 Μέθοδος: Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (α, β) : Προσδιορίζω ένα σημείο γ με α < γ < β με δοκιμές ή χρησιμοποιώντας Θ.Μ.Τ. και στη συνέχεια εργάζομαι στο κάθε διάστημα [α, γ ] και [ γ, β] όπως παραπάνω.. Μέθοδος: Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση f έχει το πολύ δύο ρίζες στο διάστημα (α, β) : Δέχομαι ότι έχει τρεις διαφορετικές ρίζες ρ1 < ρ2 < ρ3 και εφαρμόζοντας το Θεώρημα Rolle στα διαστήματα [ρ1 , ρ2 ] και [ρ2 , ρ3 ] βρίσκω ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες x1 , x2 της f ′ με x1 ∈ [ρ1 , ρ2 ] και x2 ∈ [ρ2 , ρ3 ] . Αν αυτό δεν είναι άτοπο , εφαρμόζοντας πάλι Θ. Rolle για την f ′ στο [ x1 , x2 ] διαπιστώνω ότι η f ′′ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( x1 , x2 ) που αποδεικνύεται άτοπο. ΓΔ/138.Δείξτε ότι η εξίσωση 8 x 3 − 12 x 2 − 6 x + 5 = 0 έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,1) . ΓΔ/139.Δείξτε ότι η εξίσωση x5 − 5 x + 1 =0 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (1, 2 ) . ΓΔ/140.Δείξτε ότι η εξίσωση e x= x + 1 έχει μόνο μία πραγματική ρίζα. ΓΔ/141.Δείξτε ότι η εξίσωση 4 x5 + 3x3 + x − 1 =0 έχει ακριβώς μία πραγματική λύση. ΓΔ/142.Να λυθεί η εξίσωση: xe x − e x + 1 =0 . (Αναζητήστε προφανή λύση) ΓΔ/143.Λύστε την εξίσωση ln x= x − 1. ΓΔ/144.A)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 = xηµx + συνx έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες x1 ∈ (−π, 0) και x2 ∈ (0, π) . x4 B) Δείξτε ότι η συνάρτηση f ( x) = − x − 2 έχει ακριβώς δύο ρίζες, μία 4 στο διάστημα ( −2,0 ) και μία στο ( 0,3) . ΓΔ/145.Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής x 4 + αx 2 + βx + γ = 0 με α > 0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες . Κ. Αδαμόπουλος 129 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/146. Δείξτε ότι η f ( x) = x 4 + x 2 − 8 x − 3 έχει το πολύ δύο ρίζες. ΓΔ/147. Α) Δείξτε ότι η f ( x) = x 4 + x3 + 4 x 2 − 2 x − 6 έχει το πολύ δύο ρίζες . Β) Δείξτε ότι η εξίσωση 2e x − x 2 = αx + β έχει το πολύ τρεις ρίζες . ΓΔ/148. Δείξτε ότι η f ( x) = x3 + 3x − 12 έχει ακριβώς μία ρίζα . ΓΔ/149. Δείξτε ότι η f ( x) = x5 + 3x − 3 έχει ακριβώς μία ρίζα . ΓΔ/150. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f ( x=) x3 + αx + β με α, β ∈ και α > 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο . (Σύνολο τιμών και Θ. Rolle) x+6 x + x+3 4 ορισμένες στο (0,1) . Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (0,1) ώστε οι εφαπτόμενες των C f και Cg στο σημείο με τετμημένη ξ να είναι παράλληλες . Αντιπαραγώγιση. Πρόταση: Αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες τότε έχουν και ίσες παραγώγους. Έτσι έχουμε το δικαίωμα να παραγωγίζουμε μια ισότητα συναρτήσεων. Δηλαδή αν f ( x) = g ( x) τότε f ′( x) = g ′( x) . Το αντίστροφο δεν ισχύει. Αυτό που ισχύει είναι ότι αν δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια παράγωγο τότε διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό. Δηλαδή αν f ′( x) = g ′( x) τότε f= ( x) g ( x) + c . ΓΔ/151.Δίνονται οι συναρτήσεις f= ( x) x 2 ( x − 1) 2 , g= ( x) ΓΔ/152. Βρείτε τις συναρτήσεις f αν: Α) f ′( x) = 3 x 2 + 4 x + 3 και f (1) = 7 Β) f ′( x= ) 2 x + συνx και f (0) = 0 Γ) και f (0) = 1 Δ) f ′( x) = συν 2 x + ηµ3 x και f (0) = 1 2x Ε) f ′( x) = 2 και f (0) = 0 x +1 1 με x > 0 και f (1) = 2 ΣΤ) f ′(= x) 3x 2 + x 1 Ζ) f ′(= x) 4 x3 + − ηµx με x > 0 και f (0) = 2 x 1 με x > −1 και f (0) 1. Η) f ′(= x) 4 x 3 + ηµx − x +1 Κ. Αδαμόπουλος 130 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 1 + e x − 2 x με x > 0 και f (1) e1. x π Ι) f ′( x) = 3ηµ 2 x ⋅ συνx και f = 1. 2 ′( x) 2 x e x + x 2 e x − συνx και f (0) 0 . ΙΑ) f = ΙΒ) f ′( x= ) 2 xηµx + x 2 συνx και f (0) 1. 1 ΙΓ)= f ′( x) e x ln x + και f (1) = −1 x x x xe − e ΙΔ) f ′( x) = και f (1) = e+ 2 . x2 1 − ln x ΙΕ) f ′( x) = και f (1) = 1. x2 2 x − x2 και f (0) = 1 . ΙΣΤ) f ′( x) = ex ΓΔ/153. Στις παρακάτω περιπτώσεις βρείτε συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α και για την οποία, για κάθε x ∈ Α , ισχύει: Α) f ( x) + xf ′( x) = 6 x 5 + 4 x 3 + 2 x και f (1) = 3 Β) ( x + 1) f ′( x) + f ( x) = 3 x 2 − 6 x + 1 και f (1) = 2 Γ) xf ′( x) + f ( x) = 2e 2 x και f (1)= e 2 + 1 Δ) x 2 f ′( x) + 2 xf ( x) = ln x + 1 και f (1) = 0 . Ε) xf ′( x) − f ( x) = x 2 e x και f (1) = e ΣΤ) f ( x) f ′( x) = e 2 x και f (0) = 1 Ζ) x e x f ′( x) + e x f ( x) = συνx − ηµx και f (π) =0 . π π2 2 3 Η) xf ′( x) − f ( x)= x ηµx + x συνx και f = 2 4 Θ) xf ′( x) − 2 f ( x) = x 2 και f (1) = 0 . Ι) Βρείτε την παράγωγο x e x − e x ′ και τη συνάρτηση f για την οποία Θ) f ′( x) = ( ) ισχύει: xf ′( x) + 2 f ( x) = e x και f (1) = 0 . ΓΔ/154. Α) Να βρείτε συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο για την οποία, για κάθε x ∈ , ισχύει: xf ′( x) = 3 x 3 − 4 x 2 + 2 x για κάθε x ∈ και f (1) = 6 Κ. Αδαμόπουλος 131 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 Β) Όμοια για την g : → παραγωγίσιμη στο αν g ( x) + xg ′( x) = 6 x 5 + 4 x 3 + 2 x 3 x 2 + 1, x < 0 2 ΓΔ/155. Αν f ′( x) = και f (1) = βρείτε την f . 3 2 x − 3, x ≥ 0 ∗ ∗ Μέθοδος: Έστω f συνάρτηση που ορίζεται στο [α, β] . Αν θέλω να αποδείξω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) ώστε f ′(ξ) =k με k ∈ , ( x) f ( x) − kx . υποψιάζομαι Θ.Μ.Τ. για την f , ή Θ. Rolle για την g= ΓΔ/156. Αποδείξτε οτι η f ( x) = −4 x 3 + 12 x 2 − 8 x + 1 έχει μια (Υπόδ.: με Θ.Rolle) τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1) . ΓΔ/157.Δείξτε ότι η εξίσωση 4 x3 + 3(α − 1) x 2 + 2βx = α + β με α, β ∈ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1) . ΓΔ/158. Αν 2α + 5β + 10γ = 0 , δείξτε ότι η εξίσωση αx 4 + βx + γ = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1) . ΓΔ/159. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x) = x 6 + 2 x 4 + x 2 − 4 στα οποία να έχουμε παράλληλες εφαπτόμενες. ΓΔ/160. Αν f συνεχής στο [ 0, π] , παραγωγίσιμη στο ( 0, π ) και ισχύει: f (0) − f (π) =π2 , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ ( 0, π ) ώστε f ′ ( x0 ) + 2 x0 = συνx0 . ΓΔ/161. Αν f παραγωγίσιμη στο [1, 2] και f (2) − f (1) = 3 − ln 2 , να 1 αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (1, 2 ) ώστε: f ′(ξ) = 2ξ − . ξ ΓΔ/162.Αν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [0,1] και ισχύει: f= (0) f (1) + e αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (0,1) ώστε f ′( x0 ) + x0 e x0 + e x0 = 0. ΓΔ/163. Αν f : → παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν e2 2 f (1)= e − e και f (2) = , δείξτε ότι η εξίσωση x 2 f ′( x) + x e x − e x = 0 έχει 2 μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (1, 2) . Κ. Αδαμόπουλος 132 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/164. Αν συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, π] και παραγωγίσιμη στο ( 0, π ) , δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( 0, π ) ώστε: f ′(ξ)ηµξ + f (ξ)συνξ =0 . 1 f παραγωγίσιμη στο 0, και f (0) = 0 , να αποδείξετε 2 1 ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ 0, ώστε: (1 − 2ξ ) f ′(ξ= ) 2 f (ξ) . 2 ΓΔ/166. Αν f παραγωγίσιμη στο [0,1] και f (0) = 2 f (1) , να αποδείξετε 2ξ ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( 0,1) ώστε: f ′(ξ) =− 2 f ( ξ) . ξ +1 ΓΔ/167. Αν f : → παραγωγίσιμη στο και f (0) = f π να 2 δειχθεί ότι η εξίσωση f ′( x) = xηµx − συνx έχει μία τουλάχιστον λύση στο π διάστημα 0, . 2 ΓΔ/168. Αν f : → παραγωγίσιμη στο και f (2) = 4 f (4) να δειχθεί ότι η εξίσωση x 2 f ′( x) + x e x − e x = 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (1, 2) . ΓΔ/165. Αν ΓΔ/169. Αν f συνεχής στο [ α, β] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και f ( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ (α, β) , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 1 f ′(ξ) + . ξ ∈ ( α, β ) ώστε: = f ( ξ) α − ξ β − ξ ΓΔ/170. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2] , παραγωγίσιμη στο f ( x0 ) . (1,2) και f (1) = 2 f (2) δείξτε ότι υπάρχει x0 ∈ (1, 2) ώστε f '( x0 ) = − x0 ΓΔ/171. Αν f συνεχής στο [1, 2] , παραγωγίσιμη στο (1, 2 ) . Αν η ˆ τέμνει τη C στα σημεία Α, Β με τετμημένες διχοτόμος της γωνίας xOy f 1,2 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (1, 2 ) ώστε: f ′ ( x0 ) = f ( x0 ) x0 . Κ. Αδαμόπουλος 133 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/172. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1] , παραγωγίσιμη στο ( 0,1) , f (0) = −1 και f (1) = 1, να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ (0,1) ώστε f '( x0 ) [ 2 f ( x0 ) + 1] = 2. 0 και Μέθοδος: Αν έχουμε μια εξίσωση της μορφής: f ′( x) + g ( x) ⋅ f ( x) = θέλουμε να της δώσουμε τη μορφή: (......)′ = 0 ,τότε πολλαπλασιάζουμε με το eG ( x ) όπου G μια παράγουσα της g και έχω: 0 ⇔ f ′( x)eG ( x ) + eG ( x )G′( x) ⋅ f ( x) = f ′( x)eG ( x ) + eG ( x ) g ( x) ⋅ f ( x) = 0⇔ ′ 0. ⇔ f ′( x)eG ( x ) + eG ( x ) f ( x) = 0 ⇔ f ( x) ⋅ eG ( x ) ′ = Π.χ. f ′( x) + συνx ⋅ f ( x)= 0 ⇔ f ′( x) ⋅ eηµx + eηµxσυνx ⋅ f ( x)= 0 ⇔ ( ( ) ) 0 f ( x) ⋅ eηµx ′ = 0. f ′( x) ⋅ eηµx + eηµx ′ ⋅ f ( x) =⇔ ΓΔ/173.Αν f , g παραγωγίσιμες στο και ισχύει: f (α) = f (β) = 0 δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) ώστε: 1 Α) f ′(ξ) + 2 f (ξ) =0 Β) f ′(ξ) + f (ξ) =0 Γ) f ′(ξ) + 2ξf (ξ) =0 2 ξ Δ) f ′(ξ) = ηµξf (ξ) Ε) f ′(ξ) + g ′(ξ) ⋅ f (ξ) =0 . Παρατήρηση: Το γινόμενο f ( x) ⋅ f ′′( x) εμφανίζεται αν παραγωγίσουμε μια από τις f ( x) ⋅ f ′( x) ή Π.χ.: ( f ( x) ⋅ f ′( x) )′ = f ( x) ή f ′( x) f ′( x) . f ( x) f ′( x) ⋅ f ′( x) + f ( x) ⋅ f ′′( x) = [ f ′( x) ] + f ( x) ⋅ f ′′( x) . 2 ΓΔ/174. Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β] , f ′( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ [α, β] και f (α) ⋅ f ′(β)= f (β) ⋅ f ′(α) , δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( α, β ) ώστε: f (ξ) ⋅ f ′′(ξ) > 0 . (Θ.Rolle για την F ( x) = f ( x) ) f ′( x) ΓΔ/175.Α) Δείξτε ότι μεταξύ δύο ριζών της παραγωγίσιμης συνάρτησης f βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζα της f ′ . Β) Βρείτε πόσες ρίζες έχει η παράγωγος της f ( x) = x( x + 1)( x − 2)( x + 3) και σε ποια διαστήματα ανήκουν. ΓΔ/176.Αν f παραγωγίσιμη στο και f ′( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ , να (Με εις άτοπο απαγωγή) αποδείξετε ότι η f είναι 1 − 1. ΓΔ/177. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με τις εξής ιδιότητες α) Είναι συνεχείς στο [α, β] και παραγωγίσιμες στο (α, β) Κ. Αδαμόπουλος 134 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 β) Για κάθε x ∈ [α, β] είναι g ( x) ≠ 0 και για κάθε x ∈ (α, β) g '( x) ≠ 0 γ) f (β) g (α) − f (α) g (β) =0 Δείξτε ότι : f ( x) Α) για τη συνάρτηση F ( x) = εφαρμόζεται το Θ.Rolle στο [α, β] g ( x) f '( x0 ) f ( x0 ) Β) Υπάρχει x0 ∈ (α, β) ώστε (Πανελλήνιες ’91) = g '( x0 ) g ( x0 ) ΓΔ/178.Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) . Έστω ακόμα η = g ( x) e f ( x ) ( x − α)( x − β) . Να δειχθεί ότι υπάρχει α + β − 2ξ . ξ ∈ (α, β) ώστε f ′(ξ) = (ξ − α)(ξ − β) 2 3 7 2 ΓΔ/179.Δίνεται η συνάρτηση f (= x) x − x + 3 x + µ όπου µ 3 2 παράμετρος που διατρέχει το . Αποδείξτε ότι η εξίσωση f ( x) = 0 δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο (1, 2) . (Πανελλήνιες ’93) ΓΔ/180. Αν το σημείο Μ (α, β) ανήκει στον κύκλο C : ( x − 2)2 + y 2 = 1 δείξτε ότι η εξίσωση 3(α − 2) 2 x 2 + 2β2 x − 1 =0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1) . ΓΔ/181. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,1] με συνεχή 1 παράγωγο στο [0,1] και τέτοια ώστε να ισχύουν: = f (1) f (0) + και 2 2 x τότε υπάρχει ένα f ′(0) > 0 . Δείξτε ότι : A) Αν g= ( x) f ( x) − 2 τουλάχιστον σημείο της Cg στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στον x ' x . B) Υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε: f ′( x0 ) = 2 x0 . (Υπόδειξη: με Θ. Bolzano στο [0, x1 ] όπου x1 το σημείο που βρήκατε στο ερώτημα A) . ΓΔ/182.Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και ισχύουν : f (α) = f (β) και f '(α)= f '(β)= 0 να αποδειχθεί ότι η f ′′ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες και η f ′′′ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( α, β ) . ΓΔ/183. Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α , β ] ,και f (β)= f (α) + f ′(α)(β − α) , δείξετε ότι η εξίσωση f ′′( x) = 0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο ( α, β ) . (Θ.Μ.Τ. για την f και Θ. Rolle για την f ′ στο [α , ξ ] ) Κ. Αδαμόπουλος 135 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/184. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,3] και ισχύει: f= (3) f (1) + 2 f ′(1) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (Υπόδειξη : Θ.Μ.Τ. και Rolle) x0 ∈ (1,3) τέτοιο που f ′′( x0 ) = 0 . ΓΔ/185. Aν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,3] και f (1), f (2), f (3) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (1,3) τέτοιο που f ′′( x0 ) = 0 . (2 Θ.Μ.Τ. και Rolle) ΓΔ/186. Έστω α > 0 και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο [−α, α] συνάρτηση ϕ . Αν 2ϕ(0) = ϕ(α) + ϕ(−α) , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (−α, α) τέτοιο που ϕ ''(ξ) =0 . ΓΔ/187. Aν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] α+β ), f (β) είναι διαδοχικοί όροι αριθμ. προόδου , αποδείξτε 2 ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (α, β) τέτοιο που f ′′( x0 ) = 0 . και f (α), f ( ΓΔ/188. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία σημεία της C f συνευθειακά , να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της C f στα οποία οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες και ένα τουλάχιστον ξ ώστε να ισχύει f ′′(ξ) =0 . ΓΔ/189. Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη στο , f (−π) = f ( π ) = π2 και f (0) = 0 , δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( −π, π ) ώστε: (δύο Θ.Rolle για την G ( x) = f ( x) − ηµ x − x 2 στα [ −π , 0] και [0, π ] ) f ′′(ξ)= 2 − ηµξ . ΓΔ/190. Δίνεται συνάρτηση f , συνεχής στο [1,3] , παραγωγίσιμη στο (1,3) , με 3 f (1) = f (3) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ ∈ (1,3) , τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ ( ρ, f (ρ) ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΓΔ/191. Αν f παραγωγίσιμη στο [1, 2] , f (1) = 2 και f (2) = 4 . Δείξετε ότι: Α) Yπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (1, 2 ) ώστε: f (= ξ) 2 ( 3 − ξ ) . (Θ. Bolzano) B) Yπάρχουν ρ1 , ρ2 ∈ (1, 2 ) ώστε: f ′ ( ρ1 ) ⋅ f ′ ( ρ2 ) = 4 . (Θ.Μ.Τ. στα [1, ξ ] , [ξ , 2] ) Κ. Αδαμόπουλος 136 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 ΓΔ/192. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f (10) 9 f (1) . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 ,ξ 2 1,10 ώστε f ξ1 2 f ξ 2 3 . (Το διάστημα έχει πλάτος δ 10 1 9 και έχουμε άθροισμα συντελεστών 1 2 3 , οπότε χωρίζω το 1,10 σε 3 ίσα τμήματα πλάτους 9 : 3 = 3 και παίρνω ένα διάστημα 1, 4 με πλάτος: δ1 1 3 3 και ένα δεύτερο 4,10 με πλάτος δ 2 2 3 6 και μετά Θ.Μ.Τ. σε αυτά) ΓΔ/193. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f (16) 4 f (2) . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ρ1 ,ρ 2 2,16 ώστε 3 f ρ1 4 f ρ 2 2 . (Το διάστημα έχει πλάτος δ 16 2 14 και έχουμε άθροισμα συντελεστών 3 4 7 , οπότε χωρίζω το 2,16 σε 7 ίσα τμήματα πλάτους 14 : 7 = 2 και παίρνω ένα διάστημα 2,8 με πλάτος: δ1 3 2 6 και ένα δεύτερο 8,16 με πλάτος δ 2 4 2 8 και μετά Θ.Μ.Τ.σε αυτά) ΓΔ/194. Α Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,5] με f (1) = f (5) . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ρ1 , ρ2 ∈ (1,5) ώστε 3 f ′(ρ1 ) + f ′(ρ2 ) = 0. ΓΔ/195. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f (15) 8 f (3) . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 ,ξ 2 ,ξ 3 3,15 διαφορετικά ανά δύο ώστε f ξ1 2 f ξ 2 3 f ξ 3 4 . (Το διάστημα έχει πλάτος δ 15 3 12 και έχουμε άθροισμα συντελεστών 1 2 3 6 , οπότε χωρίζω το 3,15 σε 6 ίσα τμήματα πλάτους 12 : 6 = 2 και παίρνω ένα διάστημα 3,5 με πλάτος: δ1 1 2 2 ένα δεύτερο 5,9 με πλάτος δ 2 2 2 4 και ένα τρίτο 9,15 με πλάτος δ3 = 3 ⋅ 2 = 6 και μετά Θ.Μ.Τ.σε αυτά) ΓΔ/196. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] , παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και f (α) = f (β) να αποδειχθεί ότι υπάρχουν x1 , x2 ∈ (α, β) ώστε 2 f ′ ( x1 ) + f ′ ( x2 ) = 0. ΓΔ/197. Αν f ( x + 1) − f ( x) = f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ 0, 2] , και ισχύει: (x 2 ) − x e f ( x ) + 1, για κάθε x ∈ [0,1] :Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( 0, 2 ) ώστε: f ′′(ξ ) = 0 . (2 Θ.Μ.Τ. και Θ.Rolle ) ΓΔ/198. Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με f (α) = f (β) = 0 . Αν γ ∈ ( α, β ) και f ( γ ) < 0 , δείξτε ότι υπάρχει ξ ∈ ( α, β ) ώστε: f ′′(ξ) > 0 . ΓΔ/199. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) . Αν f (α) = 2β και f (β) = 2α , αποδείξτε ότι υπάρχει ένα Κ. Αδαμόπουλος 137 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 1 τουλάχιστον σημείο Α ( ξ, f (ξ) ) της C f στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην ευθεία ε : x − 2 y + 3 = 0. ΓΔ/200. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο ′(0) k , να διάστημα [0,1] και ισχύουν : f= (1) f (0) + k και = f ′(1) f= αποδείξετε ότι υπάρχουν x1 , x2 ∈ (0,1) με x1 ≠ x2 και f ′′( x1 ) = f ′′( x2 ) . (Υπόδειξη: Θ.Μ.Τ. και 2 Rolle) ΓΔ/201. Έστω f συνεχής στο [ α, β] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) . f ( α ) − f ( ξ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( α, β ) ώστε f '(ξ) = . ξ−β ΓΔ/202. Αν f , g παραγωγίσιμες στο [α, β] με α > 0 , f (α) = f (β) = 0 , και f ( x) ⋅ g ( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ [α, β] , δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον f ′(ρ) g ′(ρ) 1 f ( x) ⋅ g ( x) . (Θ. Rolle για την h( x) = ) ρ ∈ (α, β) ώστε + = x f (ρ) g (ρ) ρ ΓΔ/203.Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f (0) = 1 , f (1) = e− 1 και f (2)= e 2 − 8 .Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ ∈ (0, 2) τέτοιο, ώστε f ′′(ρ) − eρ + 6ρ =0 . ΓΔ/204. Aν f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, δ] , α < β < γ < δ και f (β) < f (α) < f (δ) < f ( γ ) , να αποδείξετε ότι: Α) Η συνάρτηση f ′ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( α, δ ) . Β) Η συνάρτηση f ′′ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( α, δ ) . ΓΔ/205. Έστω f δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] . Αν κανένα από τα f (α) , f (β) δεν είναι η μέγιστη ούτε η ελάχιστη τιμή της f στο [ α, β] , δείξτε ότι η f ′′ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( α, β ) . (Αν f (γ ) = m και f (δ ) = M τότε γ , δ εσωτερικά του [α , β ] ......) ΓΔ/206. Έστω f : → παραγωγίσιμη με f (4) = 1 και 1 < f ′( x) < 2 για κάθε x ∈ . Α) Δείξτε ότι : −3 < f (2) < 1 . Β) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (2, 4) ώστε f (ξ) = 1 − ξ . ΓΔ/207. Έστω f : → παραγωγίσιμη με f (1) = 3 και f ′( x) ≤ 1 για κάθε x ∈ . f ( x) + 2 x . x →+∞ x2 + 1 Γ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ [ 2,3] ώστε f (ξ) = 3ξ − 4 . Α) Δείξτε ότι : 4 − x < f ( x) < x + 2 . Β) Βρείτε το lim Κ. Αδαμόπουλος 138 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Θ.Μ.Τ. και μονοτονία παραγώγου. Παράγωγοι 1 ΓΔ/208. Έστω f : → παραγωγίσιμη με συνεχή και γνησίως f (2 x) − f ( x) μονότονη παράγωγο και lim < f ′(1) . x →0 x Δείξτε ότι η f ′ είναι γνησίως αύξουσα και ότι f (2) + f (3) < f (1) + f (4) . ΓΔ/209. (Ανισότητα Jensen) Αν f συνεχής στο [1,5] παραγωγίσιμη στο (1,5) και η f ′ είναι γν. αύξουσα , δείξτε ότι : f (1) + f (5) > f (2) + f (4) . ex − 1 x ΓΔ/210. Να αποδείξετε ότι 1 < < e για κάθε x > 0 . x (Υπόδειξη: Με Θ.Μ.Τ. στο [0, x] για την f (t ) = et και παίρνοντας υπόψη ότι f ′ ↑ ) ΓΔ/211. Να αποδείξετε ότι x < ln( x + 1) < x για κάθε x > 0 . x +1 ΓΔ/212. Να αποδείξετε ότι 1 < ln x + 1 < 1 για κάθε x > 0 . x +1 x x ΓΔ/213. Να αποδείξετε ότι 1 − 1 ≤ ln x ≤ x − 1 για κάθε x ≥ 1. x ΓΔ/214. Να αποδείξετε ότι xσυνx < ηµx < x για κάθε x ∈ (0,π ) . ΓΔ/215. Να δείξετε ότι: 1 < x + 2 − x < 1 για κάθε x > 0 . x+2 x ΓΔ/216. Να αποδείξετε ότι β − α2 < εϕβ − εϕα < β − α2 για κάθε συν α συν β π α, β ∈ 0, με α < β . 2 ΓΔ/217. Να αποδείξετε ότι x < εϕx < x 2 για κάθε x ∈ 0, π . συν x 2 ΓΔ/218. Να αποδείξετε ότι x + 1 < e x < x e x + 1 για κάθε x < 0 . ΓΔ/219. Δείξτε ότι 2 < ln 5 < 2 . 5 3 α α−β 3 β β−α ΓΔ/220. Δείξτε ότι e α < α ⋅β < e β για κάθε 0 < α < β . ΓΔ/221. Σ' έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν ταυτόχρονα . Αποδείξτε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον χρονική στιγμή στη διάρκεια του αγώνα κατά την οποία οι δύο αθλητές είχαν την ίδια ταχύτητα. (Υπόδειξη: Έστω f (t ), g (t ) το διάστημα που έχουν διανύσει οι δύο αθλητές τη χρονική στιγμή t και εφαρμόστε Θ.Rolle για την h= (t ) f (t ) − g (t ) ) . Κ. Αδαμόπουλος 139 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 Eφαρμογές των Παραγώγων (Συνέπειες του Θ.Μ.Τ.) “Τα μαθηματικά σωστά ιδωμένα , κατέχουν όχι μόνο αλήθεια αλλά και εξαιρετική ομορφιά , μια ομορφιά ψυχρή και αυστηρή , όμοια γλυπτού που δεν γοητεύει το αδύνατο μέρος της φύσης μας, χωρίς τις υπέροχες παγίδες της ζωγραφικής και της μουσικής , όμως εξαίσια και καθαρή και ικανή για αυστηρή τελειότητα , τέτοια που μόνο η μέγιστη τέχνη μπορεί να μας προσφέρει .” Bertrand Russel Σταθερή συνάρτηση Μέθοδος: Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο διάστημα Δ: Παίρνω τον τύπο της κάνω τις πράξεις που γίνονται και αποδεικνύω ότι το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της μεταβλητής x . Αποδεικνύω ότι για κάθε x1 , x2 ∈∆ ισχύει: f ( x1 ) = f ( x2 ) . Αν είναι παραγωγίσιμη στο Δ αποδεικνύω ότι f ′( x) = 0 για κάθε x∈∆. ΓE/01. Aν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει: ΓE/02. Aν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → ισχύει: f ′( x) = ηµxf ( x) για κάθε x ∈ : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( x) = f ( x)eσυνx είναι σταθερή. Β) Αν f (0) = 1 βρείτε την f . f ( x) = x 2 f ′( x) για κάθε x > 0 : 1 x Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( x) = f ( x)e είναι σταθερή. Β) Αν f (1) = 1 βρείτε την f . ΓE/03. Έστω μια συνάρτηση f : ( 0, π ) → η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν f ′( x) = σϕx ⋅ f ( x) για κάθε x ∈ ( 0, π ) και π f = 1. 2 f ( x) είναι σταθερή. Α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g ( x) = ηµx Β) Να βρείτε τον τύπο της f . Κ. Αδαμόπουλος 140 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓE/04. Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο και 0 = F ( x) f ( x) + [ f ′( x) ] . Αν για κάθε x ∈ ισχύει f ′′( x) + f ( x) = 2 2 δείξτε ότι η F είναι σταθερή . Βρείτε επίσης τον τύπο της f αν f (0) = 0 και f ′(0) = 0 . ΓE/05. Aν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει: f ′(= x) 2 f (− x) για κάθε x ∈ : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( x)= f 2 ( x) + f 2 (− x) είναι σταθερή. (Στη δοσμένη θέστε όπου x το Β) Αν f (0) = 1 βρείτε την g . ΓE/06. Aν για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις g (0) = −1, f ′( x) = g ( x) , g ′( x) = f ( x) τότε: −x ) f , g ισχύουν: f (0) = 1 , i) Δείξτε ότι η συνάρτηση = h( x) f 2 ( x) − g 2 ( x) είναι σταθερή ii) Δείξτε ότι f ( x) = − g ( x) iii) Βρείτε τις f , g ( f ′( x) = 0 και πολλ. με το e x ) g ( x) ⇔ f ′( x) = − f ( x) ⇔ f ′( x) + f ( x) = ΓE/07. Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση για κάθε x ≠ 0 και f (1) = 1. f αν xf ′( x) = −2 f ( x) (Πολλαπλασιάστε επί x ) ΓE/08. Aν f παραγωγίσιμη, xf ′( x) = 2 f ( x) για κάθε x ≠ 0 και f (1) = 1 , βρείτε την συνάρτηση f . ΓE/09. Aν η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο Α = (−∞,1) ∪ (1, +∞) , f (0) 2 , f (2) 3 και f ( x) + xf ′( x) = f ′( x) + 1 για κάθε x ∈ Α βρείτε τον τύπο της f . ΓE/10. Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : αν ισχύει: f ( x) f ( x) e 2 x x και f (0) 2 . ΓE/11. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f ( x)e x 3 x και η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α 1, f (1) τέμνει τον άξονα x x στο σημείο με τετμημένη 1 e . x 3 2 Βρείτε: Α) Την εξίσωση της εφαπτομένης. ΓE/12. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση Β) Τον τύπο της f . f : για την οποία e2 x 2 x e x ισχύει: f ( x) f ( x) x για κάθε x . Αν η εφαπτομένη της e x2 C f στο σημείο της Α 0, f (0) διέρχεται από το σημείο Β(2, 2) να βρείτε: Α) Την εξίσωση της εφαπτομένης. Β) Τον τύπο της f . Κ. Αδαμόπουλος 141 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓE/13. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση Παράγωγοι 2 f : 0, για την 2 xf ( x) για κάθε x 0 και f (1) 2 . x2 1 f ( x) Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( x) 2 είναι σταθερή στο 0,. x 1 Β) Βρείτε τον τύπο της f . Γ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0, 2 ώστε: 2 f (ξ) eξ 2 . οποία ισχύει: f ( x) Μονοτονία – Ακρότατα. Παρατήρηση: Αν f ′( x) > 0 για κάθε x ∈ ∆ τότε f ↑ στο διάστημα Δ. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Δηλαδή αν f ↑ στο διάστημα Δ αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι f ′( x) > 0 για κάθε x ∈ ∆ , αφού μπορεί να υπάρχουν μεμονωμένα σημεία του Δ όπου η f ′ μηδενίζεται. Π.χ. Ενώ η f ( x) = x3 είναι γνησίως αύξουσα στο η f ′( x) = 3 x 2 δεν είναι θετική για κάθε x ∈ , αφού f ′(0) = 0 . ΓE/14. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: B) f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + 3 Γ) f ( x) = x 2 e x A) f ( x) = x 2 − 4 x + 1 Δ) f ( x) = − x 2 + 2 x Ε) f ( x) = 4 x3 − 3x2 − 6 x + 2 ΣΤ) f ( x) = x ln x Ζ) f ( x) = xe x Η) f ( x) = ηµx − 2 x Θ) f ( x)= x − ln x x2 x2 + 4 Ι) f ( x)= x − 2ηµx , x ∈ [0, π] ΙΑ) f ( x) = ΙΒ) f ( x) = 1− x x 2 2 ΙΓ) f ( x) = x − 6ln x + x + 1 ΙΔ) f ( x) = x + ln x + x + 1 2 ΙΕ) f ( x) =+ 1 ln ( x 2 − 2 x + 2 ) ΙΣΤ) f ( x) = e x −1 − x 2 + 1. 2 Μέθοδος: Αναζητούμε τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης f : Στα σημεία που μηδενίζεται η παράγωγός της, f ′ . Στα σημεία που δεν ορίζεται η f ′ , ενώ η f είναι συνεχής. Στα άκρα κλειστών διαστημάτων του πεδίου ορισμού της f . ΓE/15. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις 1 1 x2 + 2 συναρτήσεις: Α) f ( x) = Β) f ( x)= Γ) f ( x) = x x x x x +1 4 x 3 Ε) f ( x) 2 x 2 ln x 5 x 2 4 x ln x 12 x Δ) f ( x) x Κ. Αδαμόπουλος 142 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ζ) f ( x) = Ι) f ( x) = x +4 x −1 x 3 Παράγωγοι 2 Η) f ( x) = 1 + x 2 e − x Θ) f ( x) = x +1 ex 2 x2 + x + 1 Παρατήρηση: Αν f ′ ( x0 ) = 0 αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο σημείο x0 ακρότατο.. Θα πρέπει η f ′ να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 ή ισοδύναμα η f να αλλάζει είδος μονοτονίας. Π.χ. Αν f ( x) = x3 τότε: f ′( x) = 3 x 2 και f ′(0) = 0 . Παρόλα αυτά η f δεν παρουσιάζει στο x0 = 0 ακρότατο f είναι γνησίως αύξουσα στο . ΓΕ/16. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: x2 Β) f ( x) = x −1 Δ) f ( x) = 3 x 4 − 8 x 3 + 6 x 2 − 12 16 ΣΤ) f ( x= ) x2 + x Α) f ( x) =x − 8 x + 5 4 2 Γ) f = ( x) 3x − x 2 x 2 − 3x + 2 Ε) f ( x) = x2 + 2 Σχόλιο: Κρίσιμα σημεία: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται y κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. C Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι πιθανές 1 θέσεις τοπικών ακροτάτων. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση 1 2 O 3 , x <1 x . Η f είναι συνεχής στο f ( x) = 2 ( x − 2) , x ≥ 1 , x <1 3x 2 . Οι ρίζες και παραγωγίσιμη στο − {1} με f ′( x) = 2( 2) , 1 x − x > της f ′( x) = 0 είναι οι 0 και 2. Eπειδή η f ′ μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι αριθμοί 0, 1 και 2. Όμως, όπως φαίνεται στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων, ενώ το σημείο 0 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου. Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της f. f Κ. Αδαμόπουλος 143 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓE/17. Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων: x2 − 1 , x ≤ 0 Α) f ( x) = 3 x − 1 , x > 0 Β) f ( x) =− x x + x − 2 ΓΕ/18. Βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: ,x < 2 x4 − 2 x2 Β) f ( x) = 2 − x + 6 x − 8 , x ≥ 2 ex ΓΕ/19. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2 . x +1 Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. Β) Να αποδείξετε ότι e x ≥ x 2 + 1 για κάθε x ≥ 0 . − x2 + 3 Α) f ( x) = 2 x + 2x + 3 x<0 x≥0 ΓE/20. Βρείτε τις τιμές του α ∈ για τις οποίες η συνάρτηση f ( x= ) x3 + αx 2 + 3 x − 1 είναι γνησίως αύξουσα στο .Επίσης αποδείξτε ότι η f ( x) = 0 έχει ακριβώς μία λύση στο (0,1) , αν −3 < α < 3 . ΓΕ/21. Α) Να αποδείξετε ότι e x − x ≥ 1 για κάθε x ∈ . Β) Αν f ′( x) > 0 για κάθε x ∈ , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = h( x) 2e f ( x ) − f 2 ( x) είναι γνησίως αύξουσα στο . ΓΕ/22. Αν για τη συνάρτηση g ισχύει ότι (2 − x) g ′( x) < g ( x) για κάθε x ∈ [ 0, 2] να δείξετε ότι g (0) > 0 . ΓΕ/23. Α)Για ποιες τιμές του λ ∈ η f ( x=) x3 + λx 2 + 3x − 2021 είναι γνησίως αύξουσα στο ; 1 + λx 2 είναι γνησίως Β)Για ποιες τιμές του λ ∈ η συνάρτηση f ( x) = 1+ x φθίνουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. ΓΕ/24. Έστω η συνάρτηση f (= x) xe x − 10 . Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία. Β) Αποδείξτε ότι η f ( x) = 0 έχει ακριβώς μία λύση στο (−1,+∞) . Γ) Δείξτε ότι υπάρχουν α, β ∈ με α < −1 < β ώστε να εφαρμόζεται το Θ. Rolle για την f στο [α, β] . ΓΕ/25. Αν για την f ισχύει f ( x) < f ′( x) για κάθε x ≥ 0 . Μελετήστε την μονοτονία της g ( x) = e − x f ( x) , x ≥ 0 . Αν f (0) = α , να αποδειχθεί ότι f ( x) > αe x για κάθε x > 0 . Κ. Αδαμόπουλος 144 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓΕ/26. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1] με 0 < f ( x) < 1 και f ′( x) > 0 για κάθε x ∈ [0,1] , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (= x) e x (1 − x) έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (0,1) . ΓΕ/27. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) x 5 + µ 2 x 3 + 2 x − (µ + 3) όπου η παράμετρος µ διατρέχει το . Α) Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Β) Βρείτε τα lim f ( x) , lim f ( x) και το σύνολο τιμών της f . x→−∞ x→+∞ Γ) Αποδείξτε ότι η f ( x) = 0 έχει ακριβώς μια λύση στο . ΓΕ/28. Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ( ) f (= x) ln x + x και λύστε την ανίσωση ln 2 x 2 − 1 − ln x 2 < 1 − x 2 . Β) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( x)= 2ln x − 2 x + 1 και δείξτε ότι η g (= x) 2 x ln x − x 2 − x είναι γν. φθίνουσα στο (0, +∞) . ΓΕ/29. Αποδείξτε τις ανισότητες: π Β) xσυνx < ηµx για x ∈ 0, 2 Α) ln( x − 1) < x − 2 για x > 2 x2 x Γ) e − 1 > + x για x > 0 . 2 ΓΕ/30. Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f ( x ) = xe και να αποδείξετε ότι x x ≥ e x −1 για κάθε x ∈ ( 0, +∞ ) . ΓΕ/31. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( x)= x − x > 0. 1 x 3ηµx και αποδείξτε ότι: x(2 + συνx) > 3ηµx για κάθε 2 + συνx ΓΕ/32. Α) Αν f ( x) − f ( y ) ≤ x − y για κάθε x, y ∈ και v θετικός ακέραιος, αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση . v (Υπόδειξη: Είναι f ( x) − f ( y ) v −1 ≤ x− y ) x− y ΓΕ/33.Β) Aν f ( x) − f ( y ) + συν (2 x − 2 y ) ≤ 1 για κάθε x, y ∈ , αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση. Κ. Αδαμόπουλος 145 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 Πλήθος ριζών Μέθοδος: Για να βρω το πλήθος των ριζών μιας συνάρτησης f κατασκευάζω πίνακα μονοτονίας της και βρίσκω το σύνολο τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα του πίνακα μονοτονίας. Αν στο σύνολο τιμών ενός διαστήματος μονοτονίας περιλαμβάνεται το μηδέν, τότε η f έχει στο διάστημα αυτό ακριβώς μία ρίζα. Αν δεν περιλαμβάνει το μηδέν τότε η f δεν έχει σ’ αυτό το διάστημα ρίζα. Για να βρω το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( x) = α βρίσκω το σύνολο τιμών της f σε κάθε διάστημα μονοτονίας της. Αν το α περιλαμβάνεται στο σύνολο τιμών της f σε ένα διάστημα, τότε η εξίσωση f ( x) = α έχει στο διάστημα αυτό ακριβώς μία ρίζα. Αν δεν περιλαμβάνεται, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο διάστημα αυτό. x2 ΓΕ/34. Δείξτε ότι η εξίσωση: ln x − 2 + 1 =0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο (0,1) . x2 ΓΕ/35. Να δειχθεί ότι η εξίσωση + ln x = 0 έχει μία ακριβώς λύση 2 1 στο διάστημα ,1 . e ΓΕ/36. Δίνεται η εξίσωση 4 xe −2 x + x + 1 = 0 , x ∈ . Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της στο διάστημα (−1,0) . ΓΕ/37. Η συνάρτηση f : [0,1] → [0,1] είναι συνεχής στο [0,1] και γνησίως φθίνουσα . Δείξτε ότι η εξίσωση f ( x) = x έχει μία ακριβώς ρίζα στο [0,1] . ΓΕ/38. Δείξτε ότι η εξίσωση ηµx = − x + 1 έχει μία μόνο ρίζα στο π διάστημα 0, . 2 ΓΕ/39. Βρείτε το πλήθος των ριζών των συναρτήσεων: , f ( x) = 2 x 3 − 6 x 2 − 18 x − 6 , g ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 12 x + 5 , ΓΕ/40.Αν h( x) = 2 x 3 − 6 x 2 − 18 x − 12 ϕ( x) = 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x + 12 f ( x) = x 2 − 2 x + 2 μελετήστε τη μονοτονία της και βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων: f ( x) = 0 , f ( x) = 1 και f ( x) = 2 . Κ. Αδαμόπουλος 146 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓΕ/41.Αν f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 1 βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων: f ( x) = 0 , f ( x) = 9 και f ( x) = −19 . Παρατήρηση: Για να έχει η εξίσωση f ( x) = α μια τουλάχιστον λύση πρέπει το α να ανήκει στο σύνολο τιμών της f . ΓΕ/42. Βρείτε το πλήθος των ριζών της το πλήθος των ριζών της g ( x) = −16 . g ( x) =x 3 − 12 x + 1 καθώς και ΓΕ/43. Βρείτε το πλήθος των ριζών της h( x) = 2 x3 + 3x 2 − 2 καθώς 3 και το πλήθος των ριζών της h( x) = − . 2 ΓΕ/44. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 4 + (2 − x)4 , x ∈ . Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . Γ) Βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης λx 4 + λ(2 − x) 4 =1, λ ∈ . x2 x ΓΕ/45. Έστω η συνάρτηση f ( x) = e + − x + ln x . 2 Α) Nα εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . Γ) Να δείξετε ότι η f έχει μία ακριβώς ρίζα στο (0,1). ΓΕ/46. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f 3 ( x) + 2 f 2 ( x) + 3 f ( x) =e x − e − x − 2 x για κάθε x ∈ . Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. Β) Να λύσετε την εξίσωση f ( x) = 0 . Γ) Να βρείτε το πρόσημο της f . ΓΕ/47. Αν f : [ −2, 2 ] → συνεχής και x 2 + f 2 ( x) = 4 για κάθε x ∈ [−2, 2] και η C f τέμνει τον άξονα y′y στο σημείο Α(0, 2) : Α) Βρείτε τις ρίζες της f . Β) Δείξτε ότι f ( x) > 0 για κάθε x ∈ (−2, 2) . f ( x) − 2 Γ) Βρείτε τον τύπο της f . Δ) Υπολογίστε το όριο: lim . x → 0 ηµx ⋅ ηµ3 x ΓΕ/48. Λύστε την 3x + 4 x = 5 x με x∈. Μονοτονία με ανώτερες παραγώγους ΓΕ/49. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση: f ( x) = 6e x + x 3 − 3 x 2 − 6 x . Κ. Αδαμόπουλος 147 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓΕ/50. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση: f ( x)= 2e x−1 − x 2 + 3 . ΓΕ/51. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση: f ( x) = 4e x + x 4 + 6 x 2 − 4 x + 1 . ΓΕ/52. Αν f ( x) =( x + 1) ln x − 2( x − 1) μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. x3 x 2 ΓΕ/53. Αν f ( x)= + + x + 1 − e x μελετήστε την ως προς τη 6 2 μονοτονία και τα ακρότατα και λύστε την εξίσωση: f ( x) = 0 . ΓΕ/54. Μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο , ′(1) f= ′′(1) 0 και f ′′′( x) > 0 για κάθε x ∈ − {1} . α) Μελετήστε = f (1) f= τη μονοτονία της f και β) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f ′( x) = 0 και f ( x) = 0 έχουν μοναδική ρίζα. ΓΕ/55. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f ( x)= xe x + x − 2e x + 2 και λύστε την εξίσωση: f ( x) = 0 . ΓΕ/56. Aν f ( x=) x3 ln x − 11 x3 + 3x 2 − 3 x + 1 λύστε την εξίσωση: 6 2 3 f ( x) = 0 . ΓΕ/57. Να λυθεί η εξίσωση 6 x ln x = 2 x + 3x − 6 x + 1 . ΓΕ/58. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις 2 3 2 1− x ex − 1 2ln x h( x ) = συναρτήσεις: f ( x)= x + , , g ( x) = x x ln x ln (1 + e x ) ln x ϕ( x) = , . k ( x) = x x −1 e ΓΕ/59. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] με (0) f= (1) 0 , να αποδείξετε ότι f ′′( x) > 0 για κάθε x ∈ (0,1) και f= f ( x) < 0 για κάθε x ∈ (0,1) . ΓΕ/60.Αν = f ( x) ln ( ) x2 + 1 + x : Α) Δείξτε ότι έχει πεδίο ορισμού το . Β) Δείξτε ότι η f είναι περιττή. Γ) Μελετήστε τη μονοτονία της. Δ) Βρείτε το όριο: lim ( xf ′′( x) ) . x→+∞ Κ. Αδαμόπουλος 148 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Προβλήματα. ΓΕ/61. Nα βρείτε το σημείο Ν της παραβολής Παράγωγοι 2 y = x 2 που απέχει από το σημείο Α(3,0) τη μικρότερη δυνατή απόσταση. Επίσης αποδείξτε ότι η εφαπτομένη της C f στο Ν είναι κάθετη στην ευθεία ΑΝ. ΓΕ/62.Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 120m να βρείτε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν . ΓΕ/63. Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 1600m2 να βρείτε εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο . ΓΕ/64. Να βρείτε το σημείο της παραβολής με εξίσωση τη μικρότερη απόσταση από την ευθεία = y 2 x − 1. y 2 = − x έχει ΓΕ/65. Έστω σημείο Μ ( x, y ) του 1ου τεταρτημόριου της γραφικής παράστασης της f ( x)= 3 − x 2 . Από το Μ φέρνω παράλληλες προς τους άξονες x′x και yy′ που τους τέμνουν στα σημεία Α, Β . Βρείτε το Μ ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΜΒ να είναι μέγιστο. ΓΕ/66.Μια βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π ( x) κάθε μονάδας ενός προϊόντος συναρτήσει του πλήθους x μονάδων παραγωγής x2 σύμφωνα με τον τύπο: Π ( x) = 19500 − . Το κόστος παραγωγής ανά 3 μονάδα προϊόντος είναι 2000 δρχ και επιπλέον η βιομηχανία πληρώνει φόρο 600 δρχ ανά μονάδα προϊόντος . Πόσες μονάδες πρέπει να παράγει η βιομηχανία , ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος . ΓΕ/67. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1 cm. Έστω α cm το μήκος των ίσων πλευρών του και θ η γωνία που σχηματίζουν. Α) Να αποδείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο Ε= (1 + συνθ)ηµθ . (χρησιμοποιήστε Ν. Συνημιτόνων) Β) Βρείτε την τιμή του θ ∈ (0, π) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου να γίνεται μέγιστο. Γ) Αν η γωνία θ αυξάνει με ρυθμό 1 rad/sec να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του μήκους α των ίσων πλευρών τη στιγμή που το τρίγωνο γίνεται ισόπλευρο. Κ. Αδαμόπουλος 149 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓΕ/68.Α) Nα βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της 9 συνάρτησης y = x που απέχει από το σημείο Α ,0 τη μικρότερη 2 δυνατή απόσταση. Β) Nα βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της = y x − 1 που απέχει από το σημείο Α ( 2,0 ) τη μικρότερη δυνατή απόσταση. Γ) Nα βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f ( x= ) e x + 1 που απέχει από το σημείο Α (1,1) τη μικρότερη δυνατή απόσταση. ΓΕ/69. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι εγγεγραμμένο σε τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ=10 cm και ύψους ΑΔ=5 cm. Α) Αποδείξτε ότι το εμβαδόν Ε και η περίμετρος Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x δίνονται από τους τύπους: Ε( x) = 10 x − 2 x 2 και Ρ( x) = 20 − 2 x με x ∈ (0,5) . Β) Έστω ότι το ύψος x του ορθογωνίου αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου για τις οποίες τα μέτρα του ρυθμού μεταβολής του εμβαδού και της περιμέτρου να είναι ίσα. Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση x 4 + Ρ( x) = Ε( x) + 11 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (1, 2) . Δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (2,3) τέτοιο που Ε′(ξ) ( 2Ε(ξ) − 5 ) = 2ξ − 5 (2ο θέμα επαναληπτικών Πανελλαδ. 2007) ΓΕ/70.Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 16cm σε δύο τμήματα και κατασκευάζω με αυτά δύο τετράγωνα . Να βρείτε πως πρέπει να χωριστεί το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα, ώστε το συνολικό εμβαδόν των δύο τετραγώνων να είναι ελάχιστο. ΓΕ/71. Σύρμα μήκους 4 cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη x cm και 4 − x cm. Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε ισόπλευρο τρίγωνο και με το δεύτερο τετράγωνο. Α) Να βρείτε το άθροισμα Ε( x) των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του x . Β) Να βρείτε για ποια τιμή του x το Ε( x) γίνεται ελάχιστο; Αν με το πρώτο κομμάτι σχηματίσουμε κύκλο και με το δεύτερο τετράγωνο: Γ) Βρείτε το άθροισμα S ( x) των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του x . Κ. Αδαμόπουλος 150 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 π x = . 4− x 4 ΓΕ/72.Δοχείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο πλευράς x και είναι ανοικτό από την έδρα που βρίσκεται απέναντι από τη βάση του . Ο όγκος του δοχείου είναι 0,5m3 . α) Αποδείξτε ότι το εμβαδόν της επιφάνειας του δοχείου είναι Δ) Δείξτε ότι το S ( x) γίνεται ελάχιστο όταν 2 E ( x) = x2 + . x β) Υπολογίστε την πλευρά x ώστε το εμβαδόν E ( x) να γίνεται ελάχιστο . ΓΕ/73. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης x cm και όγκο 628 cm3 . To υλικό των βάσεων κοστίζει 4 λεπτά ανά cm 2 ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας 1,25 λεπτά ανά cm 2 . Α) Να εκφράσετε το συνολικό κόστος κατασκευής ενός κουτιού ως συνάρτηση του x . Β) Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm; Γ) Βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού με το λιγότερο κόστος. (Δίνεται ότι 3 31, 25 = 3,15 . Δ) Αν x ∈ [1, 4] βρείτε το μέγιστο κόστος που μπορεί να έχει ένα τέτοιο κουτί. Ε) Αν το κουτί με x = 1 cm είναι γεμάτο νερό και το τρυπήσουμε στο κάτω μέρος ώστε να χάνει νερό με ρυθμό 12π cm3 /sec να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο κατεβαίνει η επιφάνεια του νερού. (Αν h το ύψος του κουτιού ο όγκος του είναι V = πx 2 h , η κυλινδρική επιφάνεια έχει εμβαδόν Ε κυλ =π 2 xh και η ολική επιφάνεια Εολ = 2πxh + 2πx 2 ) ΓΕ/74. Οι κορυφές ενός τριγώνου είναι τα σημεία Α(0,0) , Β( x, συνx) και Γ(ηµ3 x ,0) , με x ∈ (0, π) . Α) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του x . Β) Βρείτε το x για το οποίο το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο καθώς και τη μέγιστη τιμή του. ΓΕ/75. Ένα ναυπηγείο μπορεί να κατασκευάσει μέχρι και 20 πλοία το έτος. Το κόστος κατασκευής x τέτοιων σκαφών σε χιλιάδες ευρώ δίνεται από τη συνάρτηση Κ ( x) = 4 x 2 + 30 ενώ τα έσοδα από την πώλησή τους δίνονται από τη συνάρτηση: Ε( x) = 3 x 2 + 20 x . Α) Βρείτε τη συνάρτηση που δίνει το κέρδος Ρ( x) του ναυπηγείου από τη ναυπήγηση x σκαφών. Β) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους. Κ. Αδαμόπουλος 151 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 Γ) Βρείτε πόσα σκάφη πρέπει να κατασκευάζει το ναυπηγείο ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος. (Θέμα εξετάσεων) ΓΕ/76. Μια βιοτεχνία κατασκευάζει τριγωνικά πλακίδια τέτοια που το άθροισμα της βάσης x και του ύψους υ να είναι σταθερό και ίσο με 50cm . A) Βρείτε το εμβαδόν Ε( x) του πλακιδίου συναρτήσει της βάσης x . Β) Για ποιο x το εμβαδόν γίνεται μέγιστο; Γ) Ποια είναι η μέγιστη τιμή του εμβαδού; (Θέμα εξετάσεων) ΓΕ/77.Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η κάθετη διατομή ενός καναλιού, που θέλουμε να κατασκευάσουμε, η οποία είναι το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = Α∆ = ΒΓ = 2m . Τα τμήματα ∆Κ και ΓΛ είναι ύψη του = θ μεταβάλλεται με 0 < θ < π . τραπεζίου και η γωνία ∆ΑΚ 2 π Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ με 0 < θ < το εμβαδόν της διατομής 2 ΑΒΓ∆ είναι ίσο με Ε(θ) = 4ηµθ(1 + συνθ) . Β) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ για την οποία το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται. Γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική τιμή της γωνίας θ για την οποία 15 2 το εμβαδόν της κάθετης διατομής να ισούται με m . 4 π Δ) Αν γνωρίζετε ότι, για 0 < θ < , το ύψος ∆Κ = υ(t ) αυξάνεται 2 συναρτήσει του χρόνου t με ρυθμό 0,1m / s , ενώ η πλευρά Α∆ παραμένει 2m ,τότε: Δ1) Να αποδείξετε ότι γωνία θ αυξάνεται με αύξοντα ρυθμό. Δ2) Να αποδείξετε ότι την χρονική στιγμή στην οποία το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται, ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ ισούται, αριθμητικά, με τον ρυθμό μεταβολής του ∆Κ . Κ. Αδαμόπουλος 152 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 Θ. Fermat Σχόλιο: Το αντίστροφο του Θ. Fermat δεν ισχύει γενικά. Έτσι αν f ′ ( x0 ) = 0 αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x0 τοπικό ακρότατο. Θα πρέπει επιπλέον η f ′ να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 (δηλαδή η f να αλλάζει είδος μονοτονίας) Π.χ. Αν f ( x) = x3 τότε: f ′( x) = 3 x 2 και f ′(0) = 0 . Παρόλα αυτά η f δεν παρουσιάζει στο x0 = 0 ακρότατο αφού η f ′ διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του x0 = 0 . ΓΕ/78.Βρες τα α , β ∈ ώστε η γραφική παράσταση της f ( x) = x3 + α x 2 − β x + 1 να έχει ακρότατο για x0 = 1 και η εφαπτομένη στο σημείο Μ ( 2, f ( 2 ) ) σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία θ ώστε εϕθ = 13 . ΓΕ/79. Δίνεται η συνάρτηση f ( x=) x 2 + 2α + β που μηδενίζεται στο x x1 = 1 και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x2 = 2 . Α) Βρείτε τα α, β∈ Β) Βρείτε το είδος του ακροτάτου και την τιμή του . ΓΕ/80. Βρείτε τα α, β ∈ ώστε η f ( x) = α ln x + βx 2 − 3 x + 2 να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x1 = 1 και x2 = 2 . Στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές αυτών των ακροτάτων . ΓΕ/81. Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε η συνάρτηση f ( x) = αx 3 + βx 2 − 6 x + 1 να δέχεται τοπικά ακρότατα στα σημεία x = 1 και x = −2 . Μελετήστε κατόπιν τη μονοτονία της συνάρτησης. Μέθοδος: Aν μου δίνουν ανισότητα ( ... ≥ 0 ή ... ≤ 0 ) και μου ζητούν να αποδείξω ισότητα τότε χρησιμοποιώ το Θεώρημα Fermat. H ανισότητα προσδιορίζει τη θέση ενός τοπικού ακροτάτου. Π.χ. Αν ln x + α(1 − x) ≥ 0 για κάθε x ∈ , δείξτε ότι α =1 . 1 − α . Τότε η x δοσμένη γράφεται: f ( x) ≥ 0 ⇔ f ( x) ≥ f (1) για κάθε x ∈ . Άρα η f στο x0 = 1 παρουσιάζει ελάχιστο, είναι παρ-μη και το 1 είναι εσωτερικό σημείο του D f . Άρα με Θ. Fermat θα είναι f ′(1) = 0 ⇔ 1 − α = 0 ⇔ α = 1. Λύση: Έστω f (= (0, +∞) και f ′( x)= x) ln x + α(1 − x) με D= f Κ. Αδαμόπουλος 153 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΕ/82. Αν Παράγωγοι 2 x 2 − 2αx + 2α − 1 ≥ 0 για κάθε x ∈ δείξτε ότι α =1 . (Yπόδειξη: με Θ.Fermat) ΓΕ/83. Αν x 2 + α ln x − 1 ≥ 0 για κάθε x > 0 να δειχθεί ότι α = −2 ΓΕ/84. Αν ( α + 1) e x − 2 x ≥ α + 1 για κάθε x ∈ να βρείτε το α ∈ . ΓΕ/85. A) Αν για κάθε x ∈ ισχύει α x ≥ x + 1 δείξτε ότι α =e . Β) Αν για κάθε x ∈ (0, +∞) ισχύει ln x − αx + α ≤ 0 να βρεθεί το α ∈ . ΓΕ/86. Αν 2ln x ≥ α x − 1 για κάθε x > 0 , να αποδείξετε ότι α =2 . x ΓΕ/87. Αν για κάθε x > 0 ισχύει α x ≥ α + e ln x δείξτε ότι α =e . ΓΕ/88. Αν 0 < α ≠ 1 και για κάθε x > 0 ισχύει α x ≥ x α δείξτε ότι α =e . ν ΓΕ/89. Αν α > 0 και για κάθε x > 0 ισχύει α ≥ αx με ν ∈ ∗ ν δείξτε ότι α =e . x ΓΕ/90. Αν α, β > 0 και α αβ = 1 . x + β x ≥ 2 για κάθε x ∈ , να αποδείξετε ότι ΓΕ/91. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → , για την οποία ισχύει xf ( x) + 2 x ≥ 2ln( x + 1) για κάθε x > −1. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΓΕ/92. Αν α, β, γ θετικοί αριθμοί και για κάθε x ∈ ισχύει : α x + β−2 x + γ x ≥ 3 δείξτε ότι α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου . ΓΕ/93. Αν f , g παραγωγίσιμες στο x0 = α , f (α) = g (α) και f ( x) ≥ g ( x) για κάθε x ∈ , αποδείξτε ότι οι C f και Cg έχουν παράλληλες εφαπτόμενες στα σημεία τους με τετμημένη x0 = α . ΓΕ/94. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = e x − 1 − ln( x + 1) , x > −1 Α) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β) Βρείτε τα σημεία όπου η C f τέμνει τον άξονα x ' x Γ) Αποδείξτε ότι 1 + ln( x + 1) ≤ e x για κάθε x > −1 Δ) βρείτε το σύνολο τιμών της f . Ε) Αν α x ≥ 1 + ln( x + 1) για κάθε x > −1 δείξτε ότι α =e . ΓΕ/95. Αν f ( x) ≥ x 4 + συν x − 1 για κάθε x ∈ και η C f διέρχεται από το Ο(0,0) να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο Ο(0,0) ταυτίζεται με τον άξονα x′x . Κ. Αδαμόπουλος 154 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΕ/96. Βρες τον α > 1 αν log α x ≥ x − 1 για κάθε Παράγωγοι 2 x ∈ ( 0, +∞ ) . (Υπόδειξη: α logα x ≥ α x −1 ⇔ x ≥ α x −1 ) α x + βx ΓΕ/97. Αν f ( x ) = ln με α, β > 0 και α ≠ β και f ( x) ≥ x για 2 κάθε x ∈ να δείξετε ότι αβ = e 2 . ΓΕ/98. Αν f παραγωγίσιμη στο , f (0) = 1 και f ( x) ≤ 2 x για κάθε x ∈ , βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Α ( 0, f (0) ) . ΓΕ/99. H συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο . Αν f ( x) = −3 x 2 + 7 x και η διαφορά g ( x) − f ( x) γίνεται ελάχιστη για x = 1 , τότε : Α) Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες των C f , Cg στα σημεία τους Α (1, f (1) ) και Β (1, g (1) ) είναι παράλληλες. Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο Β , αν g (1) = 4 . ΓΕ/100. Α) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ∈ ισχύει: e f ( x ) + 2 f ( x) = x3 + 2 x , να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατο. Β) Όμοια αν ισχύει: f 2 ( x) − f ( x) = x 3 + x − 3 για κάθε x ∈ . ΓΕ/101. Α) Δείξτε ότι αν για μια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει η συνθήκη f 3 ( x) + 3 f ( x) = x 5 + 3 x + 1 για κάθε x ∈ , τότε η f δεν έχει ακρότατα . Β) Όμοια αν: f 2 ( x) − ln f ( x) = x 3 + x και f ( x) > 0 για κάθε x ∈ . ΓΕ/102. Α) Έστω μια συνάρτηση f : → η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f 3 ( x) + f ( x) = e x − x + 1 για κάθε x ∈ . Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β) Έστω μια συνάρτηση f : (0, +∞) → η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 2 f 3 ( x) + f ( x)= x ln x − 2 x + e για κάθε x ∈ (0, +∞) . Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ΓΕ/103. Aν f (= x) x − e− x : Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία. Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ) Δείξτε ότι η C f τέμνει τον x′x σε ένα ακριβώς σημείο. Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση e x x = 1 + 2012e x έχει μοναδική λύση. Κ. Αδαμόπουλος 155 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓΕ/104. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει η σχέση f 3 ( x) + f ( x) =e − x − 1 , για κάθε x ∈ : Α) Δείξτε ότι η f είναι γν. φθίνουσα στο . Β) Λύστε την εξίσωση f ( ln= x ) f (1 − x ) . ΓΕ/105. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → *+ για την οποία ισχύει f ( x) ⋅ ln f ( x) = e x για κάθε x ∈ .Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία . ΓΕ/106. Aν f ( x)= 4 x3 − 2kx + k − 1 , τότε: Α) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ ( 0,1) ώστε f ( x0 ) = 0 Β) Δείξτε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης f ( x ) = (Θ.Βοlzano) στο διάστημα ( x0 , 2 ) . Γ) Αν k > 1 δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( 0, x0 ) ώστε (Θ.Μ.Τ.) f ′(ξ) < 0 . ( Θ.Rolle) ln x x−2 ΓΕ/107. Αν f μονότονη και παραγωγίσιμη με μονότονη παράγωγο στο , f (5) = 4 , f ′(5) = 0 και η f f παρουσιάζει στο x0 = 3 ακρότατο βρείτε την τιμή του ακροτάτου . (Υπόδειξη: f ( f (3) ) ′ = 0 ⇔ f ′ ( f (3) ) ⋅ f ′(3) = 0 ,αλλά f ′(3) ≠ 0 κ.τ.λ.) ΓΕ/108. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [0,1] και ισχύει f ′( x) > 0 για κάθε x ∈ ( 0,1) . Αν f (0) = 2 και f (1) = 4 να δείξετε ότι: Α) Η ευθεία y = 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη x0 ∈ (0,1) . 1 2 3 4 f + f + f + f 5 5 5 5 Β) Υπάρχει x1 ∈ (0,1) ώστε: f ( x1 ) = 4 (Υπόδειξη: Με ΘΕΤ και ΘΜΕΤ) Γ. Υπάρχει x2 ∈ ( 0,1) , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ ( x2 , f ( x2 ) ) να είναι παράλληλη στην ευθεία (3ο θέμα Πανελλαδικών 2000) y 2 x + 2000 . (Υπόδ.: με Θ.Μ.Τ.) = ΓΕ/109. Για κάθε κ ∈ δίνεται η συνάρτηση x∈. f (= x) 2 x 3 − κx 2 + 10 , Α) Να βρείτε τη τιμή του κ ∈ για την οποία η εφαπτομένη Κ. Αδαμόπουλος 156 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (1, f (1) ) είναι παράλληλη στον άξονα x′x . Β) Για κ =3 . Β1) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β2) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα ( −∞,0 ) . Β3) για κάθε α ∈ (14,15) να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) = α − 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (0,1). ΓΕ/110. Δίνονται οι συναρτήσεις: f , g : → με f ( x)= x ⋅ e1− x και g ( x) = 2ηµx + ( x − 1) 2 . Α) Μελετήστε τις συναρτήσεις ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (Συγκρίνετε τα ακρότατα) Β) Να αποδείξετε ότι: x ⋅ e1− x − 2ηµx ≤ ( x − 1) 2 . ΓΕ/111. Για μια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών , ισχύει ότι: f 3 ( x) + β f 2 ( x) + γ f ( x) = x 3 − 2 x 2 + 6 x − 1 για κάθε x ∈ ,όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β2 < 3γ . α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα . β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα . γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f ( x) = 0 στο ανοικτό διάστημα (0,1) . (3ο θέμα Πανελλαδικών 2001) x +1 ΓΕ/112. Δίνεται η συνάρτηση f= ( x) − ln x . x −1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο πεδίο ορισμού της. γ. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g ( x) = ln x στο σημείο Α ( α,ln α ) με α > 0 και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h( x) = e x στο σημείο Β ( β,eβ ) με β ∈ ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της (4ο θέμα Πανελλαδικών 2006) εξίσωσης f ( x) = 0 . ΓΕ/113. Δίνεται η συνάρτηση f ( x)= x − 1 + 10 − 2 x . Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της. Β) Με τη βοήθεια του πεδίου τιμών βρείτε το διάστημα στο οποίο κινείται το α ∈ , ώστε η εξίσωση: x − 1 + 10 − 2 x = 2α − 6 να έχει μία τουλάχιστον λύση . Κ. Αδαμόπουλος 157 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 2 ΓΕ/114. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f (0) 0 και f ( x) 3 x 2 1 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f ( x) f ( x 1) 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο (2,1) . (Αν g ( x) f ( x) x 3 3 x τότε g ( x) 0 κ.τ.λ. και θεωρούμε h( x) f ( x) f ( x 1) ……) x ln x, x > 0 . f ( x) = = x 0 , 0 A) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0. Β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης ΓΕ/115. Δίνεται η συνάρτηση α x (Λογαριθμούμε την εξίσωση) x = e για όλες τις πραγματικές τιμές του α . Δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: f ′( x + 1) > f ( x + 1) − f ( x) , για κάθε x > 0 . (με Θ.Μ.Τ.) ΓΕ/116. Θεωρούμε τη συνάρτηση (Θέμα Πανελληνίων) f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα και η οποία εφάπτεται του άξονα x′x στο Ο(0,0) . Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f . Β) Είναι η f αντιστρέψιμη; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Γ) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, τα κρίσιμα σημεία της f . Δ) Με δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [−3,−1] είναι ευθύγραμμο τμήμα, να βρείτε την παράγωγό της στο (−3,−1) . Ε) Αν α, β ∈ [−3,1) ∪ (1,6] , να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 7 − f (α) f (β) + 2 + = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (4,6) . x−6 x−4 Κ. Αδαμόπουλος 158 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΕ/117. Δίνεται συνάρτηση Παράγωγοι 2 f παρ/μη στο και συνάρτηση g ( x)= f ( x) + x 2 − 6 που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β) Δείξτε ότι η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο x0 = 0 . Γ) Δείξτε ότι υπάρχουν ρ1 , ρ2 ∈ (−2, 2) τέτοια πού f ′(ρ1 ) + f ′(ρ2 ) = 0. 1 g ( x) − 4 Δ) Υπολογίστε τα όρια: lim , lim και lim g ( x)e g ( x ) x→−∞ g ( x ) x→+∞ x→0 ηµx Ε) Δείξτε ότι η εξίσωση g ( x) + x += 3 f ( x) + x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (3,4). Κ. Αδαμόπουλος 159 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital Κυρτότητα-Σημεία καμπής "Συχνά λέω ότι όταν μπορείς να μετρήσεις αυτό για το οποίο μιλάς και να το εκφράσεις με αριθμούς ξέρεις κάτι γι' αυτό . Αλλά όταν δεν μπορείς να το μετρήσεις , όταν δεν μπορείς να το εκφράσεις με αριθμούς , η γνώση σου είναι πενιχρή και μη ικανοποιητική . Μπορεί να είναι το ξεκίνημα της γνώσης , αλλά έχεις μόλις και μετά βίας προχωρήσει στο στάδιο της επιστήμης ". Lord Kelvin ΓZ/01. A) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 3 − 6 x 2 + x + 1. Βρείτε την f ′′ , να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και βρείτε τα σημεία καμπής της , αν υπάρχουν. B) Όμοια για την: f ( x) =x 4 + 2 x 3 − 12 x 2 + 12 x + 5 . Γ) Όμοια για την: f ( x) = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 5 x − 3 . Δ) Όμοια για την: f ( x) = 6e x + x 3 − 3 x 2 + 13 x − 21. Ε) Όμοια για την: f ( x) = 3 x 5 − 5 x 4 − 10 x 3 + 30 x 2 + 1. ΣΤ) Όμοια για την f ( x) = e x + ( x − 1) 4 ΓZ/02. Μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής τις συναρτήσεις: Α) f ( x)= 4 x 3 − 21x 2 + 24 x − 2 + 6 x 2 ln x Β) = f ( x) ln ( x 2 + 4 ) Γ) f ( x= ) e x ( x2 − 4 x + 5) x2 Δ) f ( x) = x −1 ΣΤ) f ( x) = 6e x + 2 x 3 − 3 x 2 + 5 x − 4 x2 − 2x + 6 , x ≤1 Η) f ( x) = 3 2 x − 9 x + 15 x − 2 , x > 1 x x −4 Ζ) f ( = x) 6 x 2 ln x − 2 x 3 − 3 x 2 x3 + 6 x 2 , x ≤1 Θ) f ( x) = 3 2 x − 9 x + 15 , x > 1 ΓZ/03. Έστω συνάρτηση Ε) f ( x) = 2 f :[1, 6] → Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφ. Παράσταση της παραγώγου f ′ . Προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γν. αύξουσα , γν. φθίνουσα ,κυρτή , κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων και των σημείων καμπής . K. Aδαμόπουλος 160 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓZ/04.Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφ. Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γν. αύξουσα , γν. φθίνουσα ,κυρτή , κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων. Βρείτε επίσης τα σημεία καμπής. ΓZ/05. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f ′ μίας συνάρτησης f . Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f ′ . Προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων της f . Γ) Προσδιορίσετε τα διαστήματα κυρτότητας της f , και τις θέσεις των σημείων καμπής της. ΓZ/06. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f ′ μίας συνάρτησης f . Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f ′ . Προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων της f Γ) Προσδιορίσετε τα διαστήματα κυρτότητας της f , και τις θέσεις των σημείων καμπής της. ΓZ/07. Για ποιες τιμές του α σημείου καμπής στο 2; η f ( x) = α 2 x 3 − 6αx 2 + 5 x − α έχει θέση ΓZ/08. Έστω η συνάρτηση f ( x) = α 2 x 4 − 4αx3 + 6(2α − 1) x 2 − 4 x + 11 με α ∈ . Να βρείτε για ποιες τιμές του α η C f έχει σημείο καμπής στο x0 = 1. ΓZ/09. Βρείτε τις τιμές των α, β ∈ , ώστε η συνάρτηση f ( x) = αx 3 + βx 2 − 36 x + 5 να έχει στο σημείο x0 = 3 τοπικό ακρότατο και 1 1 η γραφική παράσταση της C f να έχει σημείο καμπής το Μ , f . 2 2 K. Aδαμόπουλος 161 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital Παρατήρηση: Αν f ′′( x) > 0 για κάθε x ∈ ∆ τότε η f είναι κυρτή στο διάστημα Δ. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Δηλαδή αν η f είναι κυρτή στο διάστημα Δ αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι f ′′( x) > 0 για κάθε x ∈ ∆ , αφού μπορεί να υπάρχουν μεμονωμένα σημεία του Δ όπου η f ′′ μηδενίζεται. Όμοια αν f κοίλη. Π.χ. Ενώ η f ( x) = ηµx είναι κυρτή στο ( π ,2π ) η f ′′( x) = −ηµx δεν είναι θετική για 3π κάθε x ∈ (π ,2π) , αφού f ′ = 0. 2 2 1 f ( x) = α − x 3 − α + x 2 − 10 x + 7 . Βρείτε το 3 2 3 α ∈ ώστε η C f να έχει σημείο καμπής στο x0 = και στη συνέχεια να 2 μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία , τα τοπικά ακρότατα και τα κοίλα. ΓZ/10. Δίνεται η ΓZ/11. Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x) = x 4 + 2 x 3 − x + 1 στα σημεία καμπής της είναι κάθετες μεταξύ τους . ΓZ/12. Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (= x) 2 x 4 + 4αx 3 + 3 ( 2α 2 − 4α + 5 ) x 2 + αx + 1 , α ∈ δεν έχει σημεία καμπής. ΓZ/13. Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = αx 3 + βx 2 + γx + δ με α ≠ 0 και β2 = 3αγ δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη. ex − 1 ΓZ/14. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f ( x) = είναι κυρτή στα x διαστήματα (−∞,0) και (0, +∞) . (Υπόδειξη : Θέστε g ( x) τον αριθμητή της f '' και μελετήστε τον ξεχωριστά ) ΓZ/15. Έστω η συνάρτηση f ( x) = x 3 − 3αx 2 + 5αx − 3α 2 + 2α 3 + 1 α ∈ . Να αποδειχθεί ότι για κάθε α ∈ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής , το οποίο κινείται σε μια παραβολή. ΓZ/16. Αποδείξτε ότι τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x) = αe x − x 2 , α > 0 , βρίσκονται για κάθε τιμή του α σε μια παραβολή της οποίας και να βρείτε την εξίσωση. K. Aδαμόπουλος 162 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital ΓZ/17. Αν η f : → είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και 3 2 ισχύει: ( f ′( x) ) + ( f ′( x) ) + f ′( x) = e x + x − 1 για κάθε x ∈ , να δείξετε ότι: Α) Υπάρχει ακριβώς ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f με οριζόντια εφαπτομένη . Β) η f είναι κυρτή στο . ΓZ/18. Αν η συνάρτηση f : → είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση: f ( x) + e f ( x ) =1 + x − x 2 − e x για κάθε x ∈ να αποδείξετε ότι : Α) Η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής Β) Η f έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο τοπικού ακροτάτου . Παρατήρηση: Αν f ′′ ( x0 ) = 0 αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο σημείο x0 σημείο καμπής. Θα πρέπει η f ′′ να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 ή ισοδύναμα η f ′ να αλλάζει είδος μονοτονίας. Π.χ. Αν f ( x) = x 4 τότε: f ′′( x) = 12 x 2 και f ′′(0) = 0 . Παρόλα αυτά η f δεν παρουσιάζει στο x0 = 0 σημείο καμπής αφού η f ′′ διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του x0 = 0 . ΓZ/19. Έστω g μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο για την 2 οποία ισχύει ( g (= x) ) 5 g ( x) − e x − α x + 2000 για κάθε x ∈ και 0 < α ≠ 1 . Να αποδείξετε ότι η Cg δεν έχει σημεία καμπής . ΓZ/20.Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f 2 ( x) + xf ( x) = − x 2 + 1 για κάθε x ∈ , να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής. ΓZ/21. Δίνεται η συνάρτηση f θετική και δυο φορές παραγωγίσιμη στο . Αν η g ( x) = ln f ( x) έχει θετική δεύτερη παράγωγο , αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις f και ϕ( x) = eλx f ( x) , λ ∈ είναι κυρτές . ΓZ/22. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f ′′( x) < 0 για κάθε x ∈ , και g ( x) = e − f ( x ) , να αποδείξετε ότι για κάθε x0 ∈ η εφαπτομένη της Cg στο σημείο της Μ ( x0 , g ( x0 ) ) βρίσκεται «κάτω» από την Cg . ΓZ/23. Αν f ( x) = x ln x : A) Δείξτε ότι η f είναι κυρτή στο (0, +∞) . Β) Βρείτε την εφαπτομένη της C f στο Α ( κ, f ( κ) ) με κ > 0 . K. Aδαμόπουλος 163 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital κ ≥ ln κ + 1. x Δ) Αν α, β, γ ∈ (0, +∞) διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αποδείξτε ότι β2β < α α ⋅ γ γ . Γ) Αν κ > 0 δείξτε ότι για κάθε x ∈ (0, +∞) ισχύει: ln x + Σχόλιο: Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη ε της C f σε κάθε σημείο x0 του Δ βρίσκεται κάτω από τη C f . Δηλαδή αν ε : y = αx + β η εφαπτομένη θα ισχύει: f ( x) ≥ αx + β για κάθε x ∈ ∆ . Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη ε της C f σε κάθε σημείο x0 του Δ βρίσκεται πάνω από τη Cf . Δηλαδή αν ε : y = αx + β η εφαπτομένη θα ισχύει: f ( x) ≤ αx + β για κάθε x ∈ ∆ . ΓZ/24. Δίνεται η συνάρτηση f (= x) ln x − x 2 . Α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α (1, f (1) ) . Γ) Να αποδείξετε ότι ln x ≤ x 2 − x για κάθε x ∈ (0, +∞) . ΓZ/25. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) e2 x + x 4 . Α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α ( 0, f (0) ) . Γ) Να αποδείξετε ότι e 2 x ≥ 1 + 2 x − x 4 για κάθε x ∈ . ΓZ/26. Δίνεται η συνάρτηση f ( x= ) ex + x2 . Α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α ( 0, f (0) ) . x2 + 1 . Γ) Υπολογίστε το όριο: lim x 2 x →0 e + x − x − 1 x3 5 ΓZ/27. Αν f ( x) = − + x2 − : 3 3 Α) Μελετήστε την ως προς τη κυρτότητα. Β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο Μ (1, f (1) ) . K. Aδαμόπουλος 164 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital 3 x 10 − 2 x ln x + 2 x − . 3 3 Γ) Μελετήστε την ως προς τη κυρτότητα. Δ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο Μ (1, g (1) ) . E) Δείξτε ότι f ( x) < g ( x) για κάθε x > 1 . ΣΤ) Δείξτε ότι 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x + 5 > 6 x ln x για κάθε x > 1 . Αν g ( x) = ΓZ/28. Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο , να αποδείξετε ότι f ( x) ≤ f ′(α)( x − α) + f (α) για κάθε x ∈ , όπου α τυχαίος πραγματικός αριθμός . Ποια η γεωμετρική σημασία αυτού του συμπεράσματος; (Υπόδειξη: Με την ιδιότητα της εφαπτομένης κοίλης συνάρτησης ή με Θ.Μ.Τ. και μονοτονία παραγώγου) ΓZ/29. Έστω f : → συνάρτηση με την ιδιότητα: ( x 2 + x + 1) f ′′( x) + xe f ( x ) = 0 για κάθε x ∈ . Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής . ΓZ/30. Αν η συνάρτηση f είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο και ′(0) f= ′′(0) 0 και f (3) ( x) > 0 για κάθε x ∈ ∗ , να δείξετε ότι: ισχύουν f= Α) η f είναι γνησίως αύξουσα στο . Β) η f είναι κυρτή στο [0, +∞) και κοίλη στο (−∞,0] . ΓZ/31. Έστω f παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση στο διάστημα ∆ =[1,3] . Δείξτε ότι f (1) + f (3) < 2 f (2) . ΓZ/32. Α) Αν η συνάρτηση (Υπόδειξη: Με δύο Θ.Μ.Τ.) . f είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα [α, β] και f (α) = f (β) , να αποδείξετε ότι f ( x) < f (α) για κάθε (Υπόδειξη: Rolle και μονοτονία) x ∈ (α, β) . Β) Αν α, β > 0 και 0 ≤ x ≤ 1 , δείξτε ότι α xβ1− x ≤ αx + (1 − x)β x (Υπόδ.: Χρησιμοποιείστε το Α για την : f = ( x) α β x 1− x α − α x − (1 − x= ) β β − α x − (1 − x) β ) β ΓZ/33. Α) Mελετήστε ως προς την κυρτότητα την: Β) Αποδείξτε ότι ln f ( x) = ln ( ln x ) x+ y ≥ ln x ⋅ ln y για κάθε x, y ∈ (1, +∞) . 2 (Θεωρούμε ότι x < y υψώνουμε στο τετράγωνο παίρνουμε τα ln και μετά Θ.Μ.Τ.) ΓZ/34. Αν η f κυρτή στο και f (0) = 0 βρείτε το πρόσημο της ( Αν x < 0 με ΘΜΤ στο [ x, 0] υπάρχει x0 ώστε g= ( x) f ( x) − xf ′( x) . f ′( x0 ) = f ( x) , οπότε x < x0 < 0 ⇔ f ′( x) < f ′( x0 ) κτλ και όμοια αν x > 0 ) x K. Aδαμόπουλος 165 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital ΓZ/35. Δίνεται η συνάρτηση f : → δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει ότι f ′′( x) + f ( x) > 2 f ′( x) για κάθε x ∈ . Επίσης η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α ( 0, f (0) ) έχει εξίσωση = y 2x + 5. Α) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g ( x) = e − x f ( x) είναι κυρτή στο . Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο σημείο της Β ( 0, g (0) ) . Γ) Δείξτε ότι f ( x) ≥ e x ⋅ (5 − 3 x) για κάθε x ∈ . Κανόνας De L'Hospital x ln x − 4 x7 + 3x − 4 ΓZ/36. Υπολογίστε τα όρια: Α) lim B) lim x→+∞ x 3 + x − 2 x→1 x 5 + x − 2 2e x − x 2 − 2 x − 2 x4 Γ) lim 2 Β) lim x→0 x + 2συνx − 2 x→0 x3 x − ηµx xηµx − συνx + 1 lim . Ε) Δ) lim x→0 x→0 x2 x2 x e −1− x − 2 2x 2 2 2e − 2 x + ln x ln x ΣΤ) lim Ζ) lim x H) lim 2 x→0 x→+∞ x + x + 1 x→1 e − e 4x ΓZ/37. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: ln( x + 1) ( x 2 + x + 1)ln x Β) lim Α) lim x→+∞ ln( x + 2) x→+∞ e2 x x3 − 5 x 2 + 7 x − 3 Δ) lim x→1 x 2 − 3x + 2 x 3 + x − ηµx Γ) lim x →0 x − ηµx ΓZ/38. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α) lim x→3 x + 1 + x 2 + x − 14 x2 + 7 − 4 e x − e− x − 2 x Β) lim x→0 x − ηµx Γ) 3 x + ln x x→+∞ x + ln x lim ΓZ/39. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: 1 ex Α) lim − x →0 x ηµx 1 x +1 Β) lim − x ln x Γ) xlim x →0 x → 0+ ηµ x Δ) lim+ xσϕx x →0 1 1 − 2 Ε) lim+ x ln x ΣΤ) lim x e Ζ) lim 2 e x x →0 x x →−∞ x →0 ΓZ/40. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β και γ ώστε αe x + βe − x + γx lim = 4. x→0 x − ηµx 3 x K. Aδαμόπουλος 166 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital ΓZ/41. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε να είναι x 3 + αe1− x + βx + 4 . πραγματικός αριθμός το lim x→1 x2 − 2x + 1 ΓZ/42. Βρείτε τα όρια: Α) lim ( x − ln x ) Β) lim ( e x − x ) Γ) lim+ (ηµx ⋅ ln x) Δ) lim[( συνx − 1) ⋅ ln x] + x→0 Ε) lim+ ( x x ) x→0 x→+∞ ( διαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε με το x) ΣΤ) lim+ x ηµx x→0 Θ) lim ( ln x − x 2 + x + 1) x→+∞ x→+∞ Ζ) lim+ x x x→0 Ι) lim ( e 2 x − ln x ) x→+∞ ΓZ/43. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση x→0 Η) lim ( x − e x − e 2 x ) x→+∞ ΙΑ) lim ( ln x − 3x − e 2 x ) x→+∞ f : → που ικανοποιεί τη ηµx σχέση: xf ( x) + e= f ( x)ηµx + e x για κάθε x ∈ . Ασύμπτωτες x3 + 2 x 2 + 1 x3 + 1 ΓZ/44. Βρείτε τις ασύμπτωτες των: f ( x) = 2 , g ( x) = x 2 x3 − 2 3x + 1 x3 + 1 ΓZ/45. Βρείτε τις ασύμπτωτες των : f ( x) = , g ( x) = 2 x x −1 ΓZ/46. A) Βρείτε τις ασύμπτωτες της: f ( x=) 2 x + 12 . x 2 2 3x − 2 x + 1 x + ln x + 3 και h( x) = . B) Όμοια για τις g ( x) = 2 x −1 2x + 1 ΓZ/47. A) Βρείτε τις ασύμπτωτες των : x3 − 2 x + 1 3x 2 + 2 x + 5 2 − 3x 2 , και h( x) = 2 g ( x) = f ( x) = 2 2 x − 3x + 2 x − 4x + 4 x −1 5e x ΓZ/48. Βρείτε τις ασύμπτωτες της : f ( x) = 2 x + 3 + x . 1+ e ΓZ/49. Βρείτε τις ασύμπτωτες των : 3x 2 − 2 1 ,x <0 ,x ≤1 2 x x +1 και f ( x) = 2 h( x ) = 2 x + 2 ,x ≥ 0 x + x ,x >1 x − 1 x 2 + 1 ΓZ/50. Βρείτε τις ασύμπτωτες της : Όμοια για την f ( x) = f ( x) = x2 + 4x + 5 . x2 − 4 x + 3 . K. Aδαμόπουλος 167 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital αx + β x + 3 . Να βρείτε τις τιμές x −1 των α , β ώστε η ευθεία y =− x + 2 να είναι ασύμπτωτη της C f στο +∞ . ΓZ/51. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2 (α − 1) x 2 + βx + 5 ΓZ/52. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = με α, β, γ ∈ . 3x + γ Βρείτε τους α, β, γ , ώστε η γραφ. παράσταση της f να έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις x = −2 και y = 3 . ΓZ/53. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει στο +∞ ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση = y 4 x + 3 , να υπολογίσετε το όριο 2( x + 1) f ( x) − 8 x 2 + 2 x + ηµx . L = lim x→+∞ f ( x ) + x ( f ( x ) + 1) − 4 x 2 + 3 ΓZ/54. Αν η ευθεία ε : = y 2 x + β είναι ασύμπτωτη της γραφικής (α + 1) x 2 − 2αx + 3 στο +∞ να δείξετε ότι α =5 παράστασης της f ( x) = 3x − 2 f ( x) β) (Υπόδειξη: Πρέπει lim και β = −2 . = 2 και lim ( f ( x) − 2 x ) = x →+∞ x →+∞ x ΓZ/55. Αν η ευθεία ε : y = 3x + 4 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f : → στο +∞ , να βρεθούν οι τιμές του α ∈ ώστε αf ( x ) + 6 x = 1. lim x→+∞ xf ( x ) − 3 x 2 + 5 x + 2 ΓZ/56. Η ευθεία (ε) : y =4 x + 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Να βρείτε τα όρια: x 2 f ( x) − 4 x3 f ( x)( x + 1) − 4 x 2 Β) lim . Α) lim x→+∞ xf ( x ) − 2010 x→+∞ 3 x − 2010 ΓZ/57. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β και γ ώστε οι ευθείες με εξισώσεις x = −2 και y= x − 4 να είναι ασύμπτωτες της γραφικής (α − 2) x 3 + βx 2 − γx + 1 . παράστασης της συνάρτησης f ( x) = 2x + γ 2 ΓZ/58. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 2 − αx + 6 . Να βρεθεί το α ∈ x − 4x + 3 ώστε η C f να έχει μια μόνο κατακόρυφη ασύμπτωτη. K. Aδαμόπουλος 168 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital αx + β x + 5 . Να βρεθούν οι τιμές x−2 των α, β ∈ ώστε η C f να έχει ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία με εξίσωση = y 3 x + 2 . Ποιες άλλες ασύμπτωτες έχει η C f ; ΓZ/59. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2 ΓZ/60. Η ευθεία = y 3 x − 7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο −∞ . f ( x) και lim [ f ( x) − 3 x ] . α) Να βρείτε τα όρια: lim x→−∞ x→−∞ x αf ( x ) + 4 x β) Να βρείτε το α ∈ για το οποίο lim = 2. x→−∞ xf ( x ) − 3 x 2 + 3 x ΓZ/61. Μια συνάρτηση f έχει για κάθε x ∈ την ιδιότητα 1 3x . Δείξτε ότι η C f έχει πλάγια 2 x + 3 + 2 < f ( x) < 2 x + 3 + 2 x x +1 ασύμπτωτη. ΓZ/62. Μια συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → έχει για κάθε x ∈ την x ln 2 x ιδιότητα 2 x − 3 + x . Βρείτε τις ≤ f ( x) ≤ 2 x − 3 + e + e− x − 2 x ασύμπτωτες της C f . ΓZ/63. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : → με lim f ( x) = 0 . x→±∞ Αν g ( x)= f ( x) − 2 x + 1 , να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cg . ΓZ/64. Αφού μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την x2 f ( x) = − 3 x + 2ln x , βρείτε το πλήθος των ριζών και τις ασύμπτωτες. 2 ΓZ/65. Δίνεται η συνάρτηση f ( x=) ln 2 x − x ln x + x − 1. Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα . Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f ( x) = 0 . f ( x) Δ) Υπολογίστε το lim . Γ) Εξετάστε αν η f έχει ασύμπτωτες . x→1 ( x − 1) 2 ΓZ/66. Aν f= ( x) ln 2 x − ln x , x ∈ ( 0, +∞ ) , τότε Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και βρείτε τα ακρότατα, το σύνολο τιμών και τον αριθμό των ριζών της. K. Aδαμόπουλος 169 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital − 14 Β) Δείξτε ότι: ln x ≥ ln xe . Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και βρείτε τα σημεία καμπής. Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C f . 2 ΓZ/67. A) Aν η συνάρτηση f έχει συνεχή 2η παράγωγο δείξτε ότι f ( x + h) − 2 f ( x ) + f ( x − h) ισχύει: lim = f ′′( x) . h →0 h2 B) Λύστε την ίδια άσκηση χωρίς να δίνεται ότι η 2η παράγωγος είναι συνεχής. ΓZ/68. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και η f ′′ ′(0) 0 και f ′′(0) ≠ 0 , να είναι συνεχής στο x0 = 0 . Αν = f (0) f= ηµ x 2 + f ( x) αποδείξετε ότι lim x = 1 αν και μόνο αν f ′′(0) = 2 . x→0 (e − 1) f '( x ) (Υπόδειξη: Εφαρμόζουμε De l’Hospital και διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με x ) ΓΖ/69. Έστω οι συναρτήσεις: 1 x για κάθε x ≠ 0 . Αν η ευθεία (ε) : y =2 x + 3 είναι ασύμπτωτη της C f στο +∞ , να βρείτε την ασύμπτωτη της Cg στο +∞ . f , g : → με g= ( x) f ( x) + x + xηµ ΓΖ/70. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ln x x 1 , με x 0, . Η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ e, f (e) είναι παράλληλη στην ευθεία (η) : x y 2018 0 . Α) Να βρείτε τον α . Β) Να βρείτε τα όρια: lim f ( x) και lim f ( x) . x x0 Γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. Δ) Να αποδείξετε ότι: x x e x1 για κάθε x 0 . Ε) Να αποδείξετε ότι: ln x f ( x 1) f ( x) ln( x 1) για κάθε x 0 . ΓZ/71. Aν f συνεχής στο x0 = 0 με f ′(0) = 2 ώστε f (x + = y ) e x f ( y ) + e y f ( x) για κάθε x, y ∈ . f ( x) Α) Δείξτε ότι f (0) = 0 και lim = 2. x →0 x Β) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο . Γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο να αποδείξετε ότι (Παραγωγίστε με x f ′(= x) 2e x + f ( x) για κάθε x ∈ . σταθερό) K. Aδαμόπουλος 170 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Δ) Βρείτε τον τύπο της f . Ε) Βρείτε την ασύμπτωτη της C f στο −∞ . Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital x 2 + x − 1 + ηµx ΓZ/72. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = . Να βρείτε: x +1 Α) Την ασύμπτωτη (ε) της C f στο +∞ . Β) Τα σημεία τομής της (ε) και της C f . ΓZ/73. Αν ) 2 x + e x συνx : f ( x= Α) Δείξτε ότι η ευθεία (ε) : y = 2 x είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο −∞ . Β) Δείξτε ότι οι C f και (ε) έχουν άπειρα κοινά σημεία. Mελέτη συνάρτησης και χάραξη γραφικής παράστασης. ΓZ/74. Να μελετηθoύν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: x 4 3x 2 Α) f ( x) =x − 6 x + 9 x Β) f ( x) Γ) f ( x) x e x 2x 1 4 2 2 x − 2x + 5 x+2 Δ) f ( x) = Ε) f ( x) = ΣΤ) f ( x) x 3 3 x 2 x −1 x−2 x2 x 2 4 3 Η) f ( x) Ζ) f ( x) x 4 x x 1 2 ΓΖ/75. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x + 3 . x −1 Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Γ) Βρείτε τις ασύμπτωτες. Δ) Κάνετε γραφική παράσταση. ηµx Ε) Βρείτε το όριο lim f ( x) 2 . x→+∞ x 2 x 2 , x ≤ 1 ΓΖ/76. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2 . , x >1 x Α) Μελετήστε την f ως προς τη συνέχεια και την παραγωγισιμότητα. Β) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Βρείτε το σύνολο τιμών της. Δ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Ε) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f . 3 2 K. Aδαμόπουλος 171 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΖ/77. Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C f Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital είναι γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [0, β] και Μ 0 ( x0 , y0 ) τυχαίο σημείο του επιπέδου. Α) Βρείτε τον τύπο της απόστασης d ( x) = ( Μ 0 Μ ) του Μ 0 από το τυχαίο σημείο Μ ( x, f ( x) ) της C f με x ∈ [0, β] . Β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [0,β] και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της C f που απέχει από το Μ 0 λιγότερο απ’ ότι τα υπόλοιπα σημεία και ένα τουλάχιστον που απέχει περισσότερο απ’ ότι τα υπόλοιπα σημεία της. Γ) Έστω ότι f ( x) = x3 − 4 x 2 + 4 x + 1 και Β(3, 4) . Γ1) Βρείτε το υποσύνολο του [0,3] στο οποίο εφαρμόζεται το Θ. Rolle για την f και στη συνέχεια βρείτε την τετμημένη ξ του σημείου στο οποίο η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. ( είναι f ( x) = x( x − 2)2 + 1 ) Γ2) Κάνετε μελέτη της f και σχεδιάστε τη γραφική της παράσταση. ΓZ/78. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: f (0) 0 και f ( x) f ( x) e x για κάθε x . Α) Βρείτε τον τύπο της f . Β) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Μελετήστε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C f . Ε) Να σχεδιάσετε τη C f . (Δίνονται: 2 1 0, 4 και 2 0,3 ) e e ΓZ/79. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία 2 2 xf ( x) για κάθε x . ισχύουν: f (3) f (3) 0 και f ( x) x2 1 Α) Βρείτε τον τύπο της f . Β) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Μελετήστε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C f . (Δίνεται: 3 1, 7 ) Ε) Να σχεδιάσετε τη C f . K. Aδαμόπουλος 172 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital ΓZ/80. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύουν: f (e) e 2 και xf ( x) 2 f ( x) x 2 για κάθε x 0, . Α) Βρείτε τον τύπο της f . Β) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Μελετήστε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C f . Ε) Να σχεδιάσετε τη C f . (Δίνονται: 1 3 1 1 0, 2 , 0, 07 , 0, 6 , 0, 2 ) 3 2e 2e e e e x2 ΣΤ) Να βρείτε ο πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x e στο 0, για τις διάφορες τιμές του . 2 1 x ηµ , x≠0 ΓΖ/81. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = . Δείξτε ότι: x 0 , x=0 Α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 και στη συνέχεια ότι η ευθεία y = 0 (ο άξονας x′x ) είναι εφαπτομένη της C f στο Ο(0,0). Β) Ο άξονας x′x έχει άπειρα κοινά σημεία με την C f . Γ) Η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της C f στο +∞ και στο −∞ . 1 1 Δ) Η εξίσωση f ( x) = f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο , π . π x 1 x + x2 f x = 1. Ε) lim x →+∞ x + συνx ΓΖ/82. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διπλανό σχήμα, που έχει 5 άξονα συμμετρίας την ευθεία x = και 2 5 9 διέρχεται από τa σημείa Α , και Β(2,2). 2 4 Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στα x = 1 και x = 4 . 1 1 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: f , , f ′ , . f f′ 1 1 1 Β) Βρείτε τη μονοτονία της και τα όρια: lim και lim . x →1 f ( x ) x →4 f ( x) f K. Aδαμόπουλος 173 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital 1 αν γνωρίζετε ότι είναι κυρτή. f ( x) ΓΖ/83. Δίνεται η συνάρτηση f : → ώστε: f ′( x) = 2x . x +1 x 1 Α) Δείξτε ότι: 2 ≤ . x +1 2 1 Β) Δείξτε ότι: f (β) − f (α) ≤ β − α για κάθε α, β ∈ . 2 Γ) Εξετάστε την f ′ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ) Βρείτε τα σημεία καμπής της f ′ και αποδείξτε ότι δύο από αυτά είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο. Ε) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: = g ( x) 2 f ( x) − x . x ΣΤ) Δείξτε ότι: f ( x) ≤ f (0) + για κάθε x ≥ 0 . 2 Ζ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της f ′ . Η) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f ′ . Γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της Παράγωγοι Ερωτήσεις Θεωρίας (Σωστού – Λάθους) 1. Αν xlim →x 0 f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 − h) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) , τότε lim = f ′( x0 ) → h 0 x − x0 h 2. Αν οι συναρτήσεις f και g δεν είναι παραγωγίσιμες στο x0 τότε και η συνάρτηση f + g δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 . Αν το γινόμενο δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη f ⋅g συνάρτηση στo x0 , τότε οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο x0 . 3. 4. Η εφαπτομένη της C f σε σημείο Α ( x0 , f ( x0 ) ) μπορεί να διαπερνά την Cf . f ′( x) = 0 είναι τα σημεία x0 της C f όπου οι εφαπτόμενες της C f είναι παράλληλες στον άξονα x′x . 5. Οι ρίζες της 6. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε και η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 . K. Aδαμόπουλος 174 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0 του πεδίου f ( x ) − f ( x0 ) είναι πραγματικός αριθμός. ορισμού της, αν το lim x→ x0 x − x0 f ( x ) − f ( x0 ) = ±∞ , τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη 8. Αν ισχύει xlim → x0 x − x0 στο x0 . 7. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 ∈ , τότε ισχύει f ( x0 + h ) − f ( x0 ) lim = f ′ ( x0 ) h→0 h f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) ≠ lim− 10. Αν ισχύει lim+ , τότε η f δεν είναι → x→ x0 x x x − x0 x − x0 0 παραγωγίσιμη στο x0 . e x0 +h − e x0 x 11. Αν f ( x) = e , τότε f ′ ( x0 ) = lim h→0 h 12. Η συνάρτηση f ( x) = x είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. 9. 13. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 , τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ ( x0 , f ( x0 ) ) . H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Μ ( x0 , f ( x0 ) ) , ποτέ δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την Cf. 14. Αν μια ευθεία ( ε ) έχει με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μόνο ένα κοινό σημείο, τότε είναι οπωσδήποτε εφαπτομένη της. 16. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με f ′( x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ∆ . Τότε η γραφική της παράσταση δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. 17. Για μια συνάρτηση f ισχύει f ′( x=) ( x − 2 ) e x . Τότε η C f στο σημείο 15. Μ ( 2, f (2) ) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. 18. Αν η f είναι συνεχής στο x0 , τότε η g με g ( x= ) παραγωγίσιμη στο x0 . ( x − x0 ) f ( x) είναι Οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ) x 2 + 3 , h( x= ) x 2 − 20 στα σημεία τομής τους με την f ( x) = x 2 , g ( x= ευθεία x = x0 , είναι παράλληλες. 19. K. Aδαμόπουλος 175 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x) = αx + β , σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 21. Αν δυο συναρτήσεις τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέχονται κοινή εφαπτομένη. 22. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 , τότε θα είναι συνεχής στο x0 . 20. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 , τότε θα είναι πάντα παραγωγίσιμη στο x0 . 23. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x0 , τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 . 24. 25. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 , τότε δεν είναι συνεχής στο x0 . 26. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 , τότε η f ′ είναι συνεχής στο x0 . 27. Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. 28. Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. 29. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 2, τότε [ f (2)]′ = f ′ ( 2 ) . 30. Η συνάρτηση x ( α )′ =α x x −1 . Αν η συνάρτηση ′ f ( f ( x ) ) = ( f ′ ( x ) )′ . 31. ( f ( x) = α x , α > 0 , είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f είναι παραγωγίσιμη στο , τότε ισχύει ) Αν το άθροισμα f + g δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο x0 , τότε και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο x0 . 32. 33. Αν για τις f , g ισχύει ότι η f + g δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 , τότε και οι f , g δεν είναι παραγωγίσιμες στο x0 . K. Aδαμόπουλος 176 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital Αν η συνάρτηση f ( g ( x ) ) είναι παραγωγίσιμη, τότε οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες. 34. 35. Για μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει α) αν η f είναι άρτια, τότε η f ′ είναι περιττή β) αν η f είναι περιττή, τότε η f ′ είναι άρτια γ) αν η f είναι περιοδική, τότε η f ′ είναι περιοδική με την ίδια περίοδο. Αν η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ν-οστού βαθμού, τότε η συνάρτηση f ′ είναι επίσης πολυωνυμική ν-1 βαθμού. 36. 37. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο . 38. Σε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός κινητού είναι η επιτάχυνση του. 39. Αν f ( x ) = x 4 , τότε υπάρχουν σημεία της C f με παράλληλες εφαπτόμενες. 40. Αν y = αx + β , τότε ο ρυθμός μεταβολής των τιμών του y εξαρτάται από τις τιμές της μεταβλητής x. 41. Αν f ′( x) = 4 x3 , τότε ισχύει πάντα f ( x) = x 4 . 42. Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [ α, β] , παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και υπάρχει ξ ∈ ( α, β ) τέτοιο ώστε f ′ ( ξ ) =0 , τότε f ( α )= f ( β ) . 43. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] , παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και f ′( x) ≠ 0 για κάθε x ∈ ( α, β ) , τότε f (α) ≠ f (β) . 44. Aν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν υπάρχει κλειστό διάστημα [ α, β] , στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle. 45. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και δεν ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο [ α, β] , τότε δεν υπάρχει εφαπτομένη της C f παράλληλη στον άξονα x′x . Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο [ α, β] , τότε το ίδιο ισχύει και για την f στο [ α, β] . 46. 47. Αν η f ′ έχει δύο ρίζες τότε η f μπορεί να είναι κυρτή. 48. Μια πλάγια ασύμπτωτη της C f ποτέ δεν έχει άλλα κοινά σημεία με τη Cf . K. Aδαμόπουλος 177 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα – Ασύμπτωτες – De L’ Hospital 49. Αν f ′( x=) ( x − 1)2 e x τότε στο x0 = 1 η f έχει τοπικό ακρότατο. 50. Ισχύει: ( f ( x0 ) )′ = f ′ ( x0 ) . ΣΟΥ ΤΟ 'ΠΑ ΓΙΑ ΤΑ ΣΥΝΝΕΦΑ Σου το 'πα για τα σύννεφα σου το 'πα για τα μάτια τα κλαμένα για τα σημάδια που άφησαν τα χέρια μας πάνω στα τραπεζάκια τα βρεμένα Στα φανερά και στα κρυφά σου το 'πα για τα σύννεφα Για σένα και για μένα Σου το 'πα με τα κύματα σου το 'πα με τη σκοτεινή ρουφήχτρα με το σκυλί και με το κλεφτοφάναρο με τον καφέ και με τη χαρτορίχτρα Ψιθυριστά και φωναχτά σου το 'πα με τα κύματα Σου το 'πα μες τη νύχτα Σου το 'πα τα μεσάνυχτα σου το 'πα τη στιγμή που δεν μιλούσες που με το νού μου λίγο μόνο σ' άγγιζα κι άναβε το φουστάνι που φορούσες Από κοντά κι από μακριά σου το 'πα τα μεσάνυχτα Με τ' άστρα που κοιτούσες Οδυσσέας Ελύτης K. Aδαμόπουλος 178 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα 1 Ορισμένο ολοκλήρωμα ΓH/01. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: 0 3 Ι1 =∫ f ( x)dx Ι1 =∫ f ( x)dx Ι1 =∫ f ( x)dx Ι1 =∫ f ( x)dx −1 5 0 5 −1 3 ΓH/02. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: −1 1 3 −3 4 −1 1 0 4 0 −3 −3 Ι1 =∫ f ( x)dx , Ι 2 =∫ f ( x)dx , Ι 3 =∫ f ( x)dx Ι 4 =∫ f ( x)dx , Ι 5 =∫ f ( x)dx , Ι 6 =∫ f ( x)dx ΓH/03. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: π/2 1 ∫ (x Α) 0 2 ∫ Γ) 1 1 2 x3 − 2 x 2 + x + 4 dx x ∫ (2 x Ε) ∫ 0 2 ∫ Δ) (e x + 1 4 + ηµx)dx x 1 ΣΤ) x + 4)dx ∫ x( x + 2) dx 2 −1 0 1 Ζ) ∫ ( x − ηµx + συνx )dx Β) + 2 x + 4)dx 1 2 2 Η) x + dx x −1 ∫ x ⋅ ( x + 3) dx 2 0 ΓH/04. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 1 Α) ∫(x 3 1 − 2 x )dx Β) 2 0 ∫ (2 x − συν x + e 2x )dx 0 Κ. Αδαμόπουλος 179 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) 2 Γ) ∫ 1 3 Ολοκληρώματα 1 1 2x4 + x2 − 1 Δ) dx 2 x −1 x3 − 2 x 2 + 1 dx x ∫ 1 1 − 3x Ε) dx x 1 ∫ ΣΤ) ∫ (2 3 x + e x +1 )dx 0 Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΓH/05.Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 1 Α) 2 ∫ 0 π/2 Γ) ∫ 0 2 Ε) ∫ x +5 0 1 Ζ) ∫ συν5 x ⋅ ηµxdx ∫ x +1 0 1 ΣΤ) x + 2x + 6 2 0 dx 0 ∫ x⋅e ∫ 3x dx x2 + 1 0 1 Θ) Δ) dx 2 e 2 x −3dx 1 π/2 π ηµ(2 x + )dx 4 x ∫ Β) (2 x − 1) dx 5 0 x 2 +1 ∫ Η) dx ( x 2 + 2 x + 2) 4 ⋅ ( x + 1)dx −1 1 Ι) ∫ 0 x +1 dx 2x2 + 4x + 1 ΓH/06.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα Α) 0 ∫ (x −1 0 Γ) ∫ 5x + x + 1 2 ∫ ∫ ln x + 1 dx x ln x e π/ 2 Θ) + 1) ∫ 0 3 +2 Β) dx x 2e x −1 e2 Ζ) 2 2 20 x + 2 −1 1 Ε) π/2 x ∫ ηµ3 x ⋅ συνx dx 0 π Δ) dx ∫ ηµx ⋅ συνx π/2 π/ 2 ΣΤ) dx ηµ x + 1 2 dx ∫ 1 dx 2 ηµ x ⋅ σφx + 1 π/ 4 π /4 H) ∫ εϕ xdx 0 1 ηµx dx (1 + συνx) 2 Ι) ex dx x 2 (1 + e ) −1 ∫ Κ. Αδαμόπουλος 180 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΙΑ) π /2 ∫ Ολοκληρώματα 1 e ln x ∫ x ln x − x + 2 dx 1 ΙΒ) σϕxdx π /6 ΓH/07.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 1 1 Α) Γ) 1 x2 ∫−1 x3 ⋅ e dx ∫ π /4 e Ε) π ∫ ∫ 0 ηµ x 2 2 ∫ Δ) dx 1 ⋅ ln ( x + 1) dx x +1 1 1 ηµ(ln x) dx x 1 π/ 2 Ζ) ∫ e dx 2 x −1 Β) π / 2 1+σφ x e 1 x 1 1− x x ⋅ συν x x e e 0 ∫ ΣΤ) dx 1 e3 x − 2e 2 x + e x Η) dx x e − 1 0 2ηµxσυνx dx 1 + ηµ 2 x ∫ ΓH/08.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 0 1 x +1 Α) dx + 2 x −1 ∫ 1 Γ) ∫ 0 1 Β) 0 0 x+5 dx x2 − x − 2 Δ) ∫ Ζ) ∫ 2 8x + 7 dx 2 2 x + 5 x + 2 −1 ∫ 2 x Ε) dx 2 x + 1 −1 3 ∫ 4x2 + x + 1 dx x+2 ∫ ΣΤ) 0 4x − 5 dx x2 − 1 0 x+2 dx x2 − x x3 + 2 x + 1 Η) dx 2 x x 2 + − −1 ∫ ΓH/09.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα 1 Α) ∫ Β) ∫ x+4 dx 2 x +x Δ) ∫ x2 + 4 dx x−3 ΣΤ) 0 2 Γ) 1 4 Ε) 1 x2 + 1 dx x2 − x − 2 2 ∫ x2 + x dx x2 − 9 ∫ 2x −1 dx 2 x − x − 24 ∫ x+4 dx 2 x2 − 5x + 2 0 6 5 3 1 Κ. Αδαμόπουλος 181 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα 1 2 x3 + x 2 − 1 Η) ∫ 2 dx + − x x 2 1 0 x3 + 3x − 1 Ζ) ∫ 2 dx x x 2 + + −1 1 0 ΓH/10.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα π/ 2 π/ 4 ∫ ηµ5x ⋅ ηµ3xdx ∫ (ηµ3x + συν2 x)dx Β) ∫ (2ηµ5x + 3συν2 x)dx Δ) ∫ ΣΤ) Α) 0 π/ 2 0 π/ 2 Γ) ∫ συνx ⋅ ηµ7 xdx 0 π 0 π/ 2 Ε) ηµ 2x ⋅ συνxdx ∫ συν3 x ⋅ ηµxdx 0 0 Θεωρήστε ως δεδομένους τους τύπους: 2συνασυνβ = συν(α − β) + συν(α + β) 2ηµασυνβ = ηµ(α + β) + ηµ(α − β) 2ηµαηµβ = συν(α − β) − συν(α + β) ΓH/11.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) π/ 2 ∫ ηµ xdx 2 και 0 π π/ 2 ∫ συν 2 0 ηµ 2 x Β) ∫ dx 1 + συν x 0 ∫ Γ) ∫ Ζ) ηµ 4 x ⋅ συνxdx 0 π/ 2 ηµ 2 x − συν 2 x Δ) dx 2 2 ηµ x ⋅ συν x π/ 4 ∫ Ε) 0 ηµ3 x dx 1 + συνx π/ 2 1 ∫ ηµx dx π /6 (Πολ/ζω αριθμ. και παρονομ. με ηµx και μετά ηµ 2 x = 1 − συν 2 x ) π/ 2 ∫ ηµ x ⋅ συν 3 2 ( ηµ3 x = xdx ηµ 2 x ⋅ ηµx και μετά ηµ 2 x = 1 − συν 2 x ) π /6 ΓH/12.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα π/ 2 1 Α) ∫ xe 2x Β) dx ∫ x 2 e x dx ∫ ( x + 1)e x dx Δ) 0 1 Ε) ∫ x ⋅ ηµxdx 0 π/ 2 0 1 Γ) ) π/2 π /3 ΣΤ) 1 − συν 2 x 1 + συν 2 x = , συν 2 x 2 2 ( ηµ 2 x xdx = ∫ x 2 ⋅ συνxdx ∫ x e x ηµ dx 2 0 π/ 4 ΣΤ) 0 0 Κ. Αδαμόπουλος 182 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα 1 e Ζ) 0 ∫ ∫ Η) x ln xdx xe − x dx −1 1 ΓH/13. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π4 2 Α) ∫ (3 x − 4)ln xdx ∫ συν(ln x)dx Β) 1 e Γ) ∫ e 2 x ηµxdx 0 π/ 2 Δ) 0 1 e Ε) ∫ e x ⋅ συνxdx ∫ π ∫ x xσυν dx 3 0 ΣΤ) x3 ⋅ ln 2 xdx 1 0 π/ 4 x2 Ζ) dx 3x e −1 ∫ ∫ Η) e 0 e −1 x dx συν 2 x Θ) ∫ ln xdx Ι) IA) ∫ ln 2 xdx IB) ∫ x 2 ln 2 xdx 1 e 0 e 1 1 ΙΓ) ∫ ln( x + 1)dx . π /3 ∫ ln(συνx)ηµxdx 0 ΓH/14.A) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π Α) ∫e e x ⋅ (συνx − ηµx)dx ∫ (2 x ln x + x)dx Β) π/ 2 1 1 e xe x − e x Γ) dx 2 x −1 ∫ 1 − ln x dx 2 x 1 ∫ Δ) π 3π / 2 συνx + xηµx Ε) dx 2 συν x 0 ∫ ∫ ΣΤ) π/ 2 xσυνx − ηµx dx x2 ΓH/15.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 1 Α) ∫ 0 4 x2 − 2 x dx x e Β) ∫ 1 e x x dx Κ. Αδαμόπουλος 183 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) 2 Γ) ∫ ∫ 0 x+2 dx x2 + x 1 2 Ε) Ολοκληρώματα 1 ∫ 2 dx 10 − x ( 1) −1 Δ) 1 x ln xdx x ) 2 x + 1 dx 0 1 π Ζ) ∫( ΣΤ) 5 3 ∫ xσυνx dx ∫ (2 x − 1)ln 2 xdx Η) 0 2 ΓH/16.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π2 ∫ Α) 0 ln13 ∫ Γ) ln 6 1 π/ 2 ∫ xσυν5xdx Β) (3 + ηµx)3 ⋅ συνxdx 0 e ex ex + 3 συν(ln x) dx x 1 ∫ Δ) dx π2 3x 2 + x + 1 Ε) dx 2 x + 0 ∫ ∫ 2x + 1 dx x 2 − 3x + 2 0 4 2 Ζ) ∫ ηµx dx (1 + 2συνx) 2 ΣΤ) 1 x − 3 dx 3 x x 1 ∫ Η) 3 ΓH/17.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π 2 2 ∫ xσυνx dx Α) ∫ ln 3x dx 2 x 1 Β) 2 0 e Γ) ∫ 1 dx x(1 + ln x) ∫ ln x − 1 dx 2 ln x e e2 Ε) π2 2 e ∫ Δ) 0 ΣΤ) ηµxσυνx dx 1 + ηµ 2 x 2 ∫x⋅ 4 − x 2 dx 0 ΓH/18.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα 4 1 e 2 x − 2e x Α) dx x e + 3 0 ∫ Β) e ln 8 π2 Γ) ∫ x dx 2 ηµ x π4 ∫ ln x dx x Δ) ∫ 1 + e x dx ln 3 Κ. Αδαμόπουλος 184 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) π3 Ε) ∫ 0 Ολοκληρώματα 1 1 x συν ⋅ e − x dx 3 Ζ) ∫ (3 x − 4)10 dx 0 x2 − x + 2 , x < 0 ΓH/19. Αν f ( x) = x : , x ≥ 0 e +1 Α) Εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο x0 = 0 . Β)Υπολογίστε τα: 2 0 2 0 −1 −1 ∫ f ( x ) dx , ∫ f ( x ) dx και ∫ f ( x ) dx . ΓH/20.Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 3 Α) ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx αν 0 e2 Β) αν 1 3 Γ) ∫ f ( x)dx 0 αν f ( x)= 3 x 2 − 2 x − 2 + 1 2 x ln x f ( x) = 2e ,x ≥ e ,x < e e x − ex , x ≤ 1 f ( x) = x ln x , x > 1 α 0 ΓH/21. Βρείτε το α ∈ για το οποίο ισχύει: ∫= 2 x e dx ∫ x 2 e x dx + 9eα x 0 α Όμοια βρείτε το α ∈ + για το οποίο ισχύει: ∫ 3= x 2 e x dx 0 0 α ∫x 3 e x dx + 8eα α ΓH/22.Να βρεθεί η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, +∞ ) 1 + 2 x και η C f διέρχεται από το σημείο Μ(1,0). x2 ΓH/23.Να βρεθεί η συνάρτηση f αν f ''( x) = 3x και= f '(1) 2,= f (0) 3 αν f '( x) = x 2 − ΓH/24.Βρείτε τη συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞) αν η C f διέρχεται από το σημείο Μ (1,1) και η εφαπτομένη της σε 3 οποιοδήποτε σημείο της ( x, f ( x)) έχει κλίση . x ΓH/25.Να βρεθεί η συνάρτηση f αν για κάθε x ∈ (0, +∞) ισχύει 1 1 ( x) f '( x)e f = + 2 και η C f στο σημείο Μ (1, f (1) ) έχει κλίση . 2 x Κ. Αδαμόπουλος 185 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα 1 ΓH/26.Να βρεθεί η συνάρτηση f αν = f (0) 4,= f (1) 0 . f ''( x= ) 6 x − 2 , x ∈ και ΓH/27.Να βρεθεί η συνάρτηση f αν για κάθε x ∈ (1, +∞) ισχύει f ( x) + ( x − 1) ⋅ f '( x) = 2 x − 1 και η C f διέρχεται από το σημείο Μ (2, 2) . ΓH/28. Να βρεθεί η συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο συν x − f ( x) 1 . (0, +∞) με f (π ) = και για κάθε x ∈ (0, +∞) είναι f '( x) = π x ΓH/29.Να βρεθεί η συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 1 + f ( x) . (0, +∞) με f (1) = 1 και για κάθε x ∈ (0, +∞) είναι f '( x) = x ΓH/30.Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (0, +∞) και για κάθε x 2 ⋅ e x + f ( x) . Να βρεθεί ο τύπος αν η C f x ∈ (0, +∞) είναι f '( x) = x διέρχεται από το σημείο Μ (1,e ) . ΓH/31. Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (0, +∞) αν για 3x 2 − f ( x) και f (1) = 1 . κάθε x > 0 ισχύει f ′( x) = x ΓH/32. Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f αν για κάθε 2 x + f ( x)ηµx π π2 2 π π και επίσης f = . x ∈ − , ισχύει: f ′( x) = συνx 16 4 2 2 ΓH/33. Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f αν για κάθε συν 2 x − f ( x)ηµx π π π π και f = . x ∈ − , ισχύει: f ′( x) = συνx 2 2 3 6 ΓH/34. Βρείτε τη συνάρτηση f αν f ′′( x)= 24 x 2 + 6 x + 2 και η γραφική της παράσταση στο σημείο της Α(-1,1) έχει κλίση 2. ΓH/35.Να βρεθεί η συνάρτηση f αν για κάθε x ∈ είναι f ''( x= ) 6 x + 2 και τα σημεία Α (1,1) και Β ( 2,9 ) ανήκουν στη C f . ΓH/36. Να βρείτε τη συνάρτηση f αν f ′′( x= ) 6 x − 4 και η f παρουσιάζει στη θέση x = 1 τοπικό ακρότατο f (1) = 4 . Στη συνέχεια να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f . ΓH/37.Βρείτε τη συνάρτηση f ώστε f 2 ( x) ⋅ f ′( x) = x 2 + 1 , x ≥ 0 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Κ. Αδαμόπουλος 186 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓH/38. Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση Ολοκληρώματα 1 f στο αν 1 , x ∈ και f (0) = 5 . f ′( x 3 + x) = ΓH/39. Βρείτε την συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο αν f ′( x) f ( x= ) e x + x και f (0) = 2 . ΓH/40. Να βρείτε τη συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο ( x) (0, +∞) με f ′( x)e f= 3 x 2 + 2 και η εφαπτομένη της γραφικής της 7 παράστασης στο σημείο M (2, f (2)) να έχει συντ. διεύθυνσης λ = . 6 ΓH/41. Βρείτε τη συνάρτηση f που η 2η παράγωγός της μηδενίζεται στο x = −1 έχει τοπικό μέγιστο το f (−1) =−1 και έχει f ′′′( x) = 2 για κάθε x ∈ . ΓH/42.Βρείτε τη συνάρτηση f αν xf ( x) + x ln x = xf ′( x) + 1 , για κάθε x ∈ (0, +∞) και f (1) = e . (Διαιρώντας με x έχουμε μια συνάρτηση που ισούται με την παράγωγό της) ΓH/43.Βρείτε τη συνάρτηση f αν f ′′(= x) 2 x 2 − x , x ∈ και η γραφική της παράσταση στο Α(1,2) έχει εφαπτομένη παράλληλη στον x ' x. ΓH/44.Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ώστε f ′′( x) = f ( x) για κάθε x ∈ και η εφαπτομένη της C f στο Α ( 0, f (0) ) είναι η (ε) : y =3 x − 1, βρείτε τον τύπο της f . (Προσθέτοντας και στα δύο μέλη το f ′( x) έχουμε μια συνάρτηση ίση με την παράγωγό της) ΓH/45.Αποδείξτε ότι η εξίσωση 10 x 4 − 8 x3 + 3x 2 − 4 x + 1 =0 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (0,1) . ΓH/46. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: =I ∫ (1 + xf ′( x))e f ( x ) dx όπου 1 f 0 παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f (1) = 0 . ΓH/47. Nα βρεθεί η συνάρτηση f ′( x) + f ( x) = 1+ e −x f : → η οποία έχει την ιδιότητα : για κάθε x ∈ και η κλίση της στο x0 = 0 είναι 2. ΓH/48. Να βρείτε συνάρτηση (Υπόδειξη: Πολλαπλασιάστε τη δοσμένη με το e x ) f παραγωγίσιμη στο που να ικανοποιεί τις συνθήκες: f ( x) > 0 για κάθε x ∈ , f (0) = e και f ′( x) = f ( x) για κάθε x ∈ . Κ. Αδαμόπουλος 187 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓH/49. Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f Ολοκληρώματα 1 αν 2 f ( x) + f ′( x) = 1 3 και f (0) = . 2 ΓH/50. Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f : → αν: 1 f ( x= ) e − ∫ xf ( x)dx A) 0 1 f ( x)= x − ∫ e x f ( x)dx 0 1 f ( x= ) e x − ∫ e1− x f ( x)dx Γ) 1 Β) x Δ) ∫ e1− x f ( x= )dx f ( x) + e x 0 0 ΓH/51. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[0, +∞) → για την 1 οποία ισχύει xf ′( x) + f ( x) = 2 x + ∫ t 2 f (t)dt , x ≥ 0 . Αν f (0) = 1 να βρείτε 0 τον τύπο της f . (Να θέσετε x = 0 , κ.τ.λ.) ΓH/52. Έστω μια συνάρτηση f η οποία έχει δεύτερη παράγωγο συνεχή στο [α, β] και f (α) = f (β) . β Αν ∫ xf ′′( x)dx = 0 , να δείξετε ότι η εξίσωση xf ′′( x) + f ′( x) = 0 έχει μια α τουλάχιστον ρίζα στο (α, β). ΓH/53. Ένα σώμα κινείται πάνω σε άξονα και η επιτάχυνσή του κάθε χρονική στιγμή είναι 6t − 4 σε cm / sec 2 .Αν κατά τη χρονική στιγμή t = 2 sec το σώμα βρίσκεται στη θέση 10cm και έχει ταχύτητα 0cm / sec , να βρείτε τη συνάρτηση της θέσης του κινητού κάθε χρονική στιγμή t . ΓH/54.Αν f ( x ) = f ' (1) = π 2 και αηµ(πx) + β να βρεθούν οι τιμές των α, β ∈ αν 2 ∫ f ( x ) dx = 4 . 0 ΓH/55.Έστω η συνάρτηση παράγωγο [1, 2] . Αν ∫ 1 και f ( 2 ) = 2e −2 να βρεθεί f ( x ) + f ′ ( x ) ⋅ e x dx = 1 η τιμή f (1) . ΓH/56.Αν 2 f η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή f ′′ συνεχής στο 1 με 2 να βρεθεί η τιμή ∫ f ( x ) − f ′′ ( x ) ⋅ e dx = x ′ (1) f= f ′= ( 0) f = (1) 0 f ( 0) . 0 Κ. Αδαμόπουλος 188 και Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓH/57.Αν Ολοκληρώματα 1 η συνάρτηση g έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα [ 0, π ] και ισχύει : π ∫ g ( x ) + g ′′ ( x )ηµxdx = 5 και g (π ) = 1 να 0 βρείτε το g ( 0 ) . ΓH/58.Έστω συνάρτηση f με συνεχή τρίτη παράγωγο στο διάστημα Δ. Αν α, β ∈ ∆ με α < β και η C f έχει παράλληλες εφαπτόμενες στα σημεία Α ( α, f ( α ) ) και Β ( β, f ( β ) ) δείξτε ότι : β ∫ xf ′′′ ( x ) dx = βf ′′ (β) − αf ′′ ( α ) . α ΓH/59.Αν 3 ∫ 1 f ′′ συνεχής στο [1, 3] και [( x − 1) f ′′ ( x ) + f ′ ( x )]dx = − 2 1 να βρεθεί η κλίση της f στο x0 = 3 . ΓH/60.Αν f= ( 2 ) g= ( 2) f , g συναρτήσεις με f ′′ και g ′′ συνεχείς στο [ 2, 4] και f= ( 4 ) g= ( 4 ) 0 να δειχθεί ότι: 4 4 2 2 ∫ f ′′ ( x ) ⋅ g ( x ) dx =∫ f ( x ) ⋅ g ′′ ( x ) dx . 1 ΓH/61.Δείξτε ότι ∫ x 1 µ ⋅ (1 − x) dx = v 0 ∫ x v ⋅ (1 − x)µ ⋅ dx , µ, ν ∈ ∗ . 0 α ΓH/62.Αποδείξτε ότι ∫ f ( x) g (α= − x)dx 0 ΓH/63.Αν α ∫ g ( x) f (α − x)dx . 0 α f περιττή, δείξτε ότι ∫ f ( x )dx = 0 όπου f συνεχής στο −α 5 x 2ηµ x [ −α, α ] και στη συνέχεια να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα J = 4 dx . x +1 −5 ∫ ΓH/64.Αν f συνεχής στο με 2 f ( x ) + f ( − x ) = 3 για κάθε x ∈ , να 2 υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = ∫ f ( x ) dx . −2 Κ. Αδαμόπουλος 189 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα 1 ΓH/65.Αν f ( x ) + f ( − x ) = 1994 για κάθε x ∈ και η f είναι συνεχής α dx ∫ f ( x )= στο , δείξτε ότι 1994α . −α ΓH/66.Δείξτε ότι α) β) β β α α α dx ∫ f ( α + β − x ) dx . ∫ f ( x )= α ∫ f ( α − x ) dx =∫ f ( x)dx . 0 ΓH/67.Αν συνεχής συνάρτηση στο f α ∫ ( ) 1 x3 f x 2 dx = 2 0 0 α ∫ xf ( x ) dx ΓH/68. Δείξτε ότι: ∫ x , α > 0. 4ν −1 ( ) f x 2v 0 διάστημα [ 0,1] . ΓH/69.Αποδείξτε ότι α ∫ 1 ∫ 1 dx = xf ( x )dx , αν f συνεχής στο 2v 0 x2 ( α − x ) = dx v 0 την κοινή τιμή των δύο ολοκληρωμάτων. β να αποδείξετε ότι 0 1 ΓH/70.Αν 2 α ∫ x v ( α − x ) dx και υπολογίστε 2 0 f συνεχής στο [ α, β] και c ∈ να αποδείξετε ότι c −α ( x)dx ∫ ∫ f= α f (c − x)dx και στη συνέχεια υπολογίστε το ολοκλήρωμα c −β 2 = I ∫ x 2 (2 − x)7 dx . 1 ΓH/71.Αν f ( x ) = 3αx 2 + 2βx + 1, να βρεθούν τα α, β ∈ αν η f 1 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 = 1 και ∫ f ( x )dx = 5 . 0 ΓH/72.Αν=I π2 ∫ π2 (3 x − 2)ηµ xdx 2 0 και= J υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I + J , I − J , I , J . ∫ (3 x − 2)συν 2 xdx 0 Κ. Αδαμόπουλος 190 να Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα 1 ΓH/73.Η συνάρτηση f : [α, β] → έχει συνεχή παράγωγο στο [α, β] και είναι 1-1 . Αν f ( α ) =β και f ( β ) =α να αποδείξετε ότι: β ∫ ( f ( x) − f −1 ) ( x) dx = 0 . (Υπόδειξη: Θέσε u = f −1 ( x) οπότε x = f (u ) και dx = f ′(u )du ) α ΓH/74. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο [1,10] της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1,8) και Β(10,13). Να δείξετε ότι: 10 13 ∫ f ( x)dx + ∫ f 1 −1 ( x)dx = 122 . 8 ΓH/75. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =x 5 + 2 x 3 − 3 . 0 Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται υπολογίστε το ολοκλήρωμα: Ι = ∫ f −1 ( x)dx . ΓH/76. Αν −3 f «1-1» παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο 1 ∫ και f (1) = 0 και f (0) = 1, να δείξετε ότι: e f = ( x )dx f (β) ∫( ) Α) Β) ∫ 1 ∫ e f ( x ) dx − 1. 0 f : → είναι 1-1 και έχει συνεχή παράγωγο. είναι συνεχής και α, β ∈ f ( ) δείξτε ότι: f −1 ( x )dx = βf (β) − αf (α) − f α β −1 0 ΓH/77.Η συνάρτηση Αν η f −1 x β ∫ f ( x)dx . α f −1 ( x ) dx = βf −1 ( β ) − αf −1 ( α ) − f −1 ( β ) ∫( ) f ( x ) dx . f −1 α α (Υπόδειξη: Θέσε u = f −1 ( x) οπότε x = f (u ) και dx = f ′(u )du ) ΓH/78. Έστω f : [ α, β] → μια γνησίως αύξουσα και με συνεχή παράγωγο συνάρτηση , με α ≥ 0 και f ( x ) ≥ 0 για κάθε x ∈ [ α, β] . Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f −1 είναι συνεχής , να δείξετε ότι β ∫ 2 xf ( x )dx + α f (β) ∫ (f ) −1 2 ( x ) dx = β2 f (β ) − α 2 f ( α ) . f (α) Κ. Αδαμόπουλος 191 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓH/79. Α) Αν f ′′( x) = Ολοκληρώματα 1 8x για κάθε x ∈ και 2 f (1) = f ′(1) : x4 + 1 1 Α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: ∫ f ( x)dx (Κρυφοπαραγοντική 2 φορές) 0 x Β) Βρείτε το c ∈ αν 1 4 x + ln 2 − 31 + c + ∫ t 4 f ′′(t )dt . ∫ f (t )dt= 2 0 x π π 1 . ΓH/80. Δείξτε ότι : π ≤ ≤ dx 5 0 3 + 2ηµ 2 x 3 ∫ ΓH/81. β β−α β−α 1 Δείξτε ότι : β ≤ x dx ≤ α e e e α ∫ 0<α<β . ΓH/82.Αφού μελετήσετε τη συνάρτηση f ( x) = −7συν 2 x − ηµ 2 x , ως προς τα ακρότατα στο διάστημα ολοκλήρωσης , δείξτε ότι : π −7 π ≤ ∫ ( −7συν x − ηµ x ) dx ≤ −π . 2 2 0 2 ( e − 2) x . dx ≤ ln x ln 2 2 e ΓH/83.Αποδείξτε ότι: e ( e − 2 ) ≤ ∫ 10 ΓH/84.Για κάθε x ∈ [0, +∞) να δείξετε ότι ∫ ln ΓH/85. Α) Να αποδείξετε ότι: 10 x + 1dx ≥ 0 ∫ 0 x dx . x+2 x 2 ln x + 2 > x για κάθε x > 1 . 4 Β) Να αποδείξετε ότι: ∫ x 2 ln xdx > 2 . 2 ΓH/86. Αν f ( x= ) x ln x − x + 1, με x > 0 , να βρείτε το σύνολο τιμών 2 της και να δείξετε ότι ∫ x x dx > e− 1. 1 ΓH/87. Δείξτε ότι 4 x ln x > x − 2 για κάθε x > 1 και ∫ x 2 ln xdx > 2 . 2 2 ΓH/88. Α) Δείξτε ότι ln x ≥ 1 − 1 x για κάθε x ∈ (0, +∞) . 2 Β) Δείξτε ότι ∫ x x dx ≥ e− 1 . 1 Κ. Αδαμόπουλος 192 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓH/89. Να δείξετε ότι: Α) 1 Β) e ≤ ∫ e 2 x +1 dx ≤ e 3 0 Ολοκληρώματα 1 π 2 π 1 π ≤∫ dx ≤ 4 0 3ημx + 1 2 x Γ) < ln 2 x 2x x 1 < dt ∫x lnt ln x . ΓH/90. Δίνεται συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση 5 x για x ∈ [ 0,1] . Να f : [ 0,1] → για την οποία ισχύει: f 3 ( x) + 4 f ( x) = αποδείξετε ότι: A) η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f −1 . B) f (0) = 0 και f (1) = 1 Γ) 1 ∫ ( f ( x) + f −1 ( x) ) dx = 1 0 Δ) f ( x) > x για κάθε x∈(0,1) Ε) 1 ∫ 0 1 f ( x)dx > . 2 Κ. Αδαμόπουλος 193 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου ΓΘ/01. Υπολογίστε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφ. παράσταση της f ( x) = x 2 − 3 x + 2 τις ευθείες x = 0 , x = 3 και τον άξονα x′x . ΓΘ/02. Υπολογίστε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφ. παράσταση της f ( x) = x 2 − x − 2 τις ευθείες x = −2 , x = 3 και τον άξονα x′x . ΓΘ/03.Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f με τύπο f ( x ) =− x 2 + x + 2 και τον άξονα x′x . ΓΘ/04. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − x + 2 . Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x′x . ΓΘ/05. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x3 + x 2 − 2 x . Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x′x . ΓΘ/06.Αν f ( x ) = x3 − 2 x 2 − 5 x + 6 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f και τον άξονα x′x . ΓΘ/07.Αν f ( x) = x3 − x 2 + 5 x και g ( x) = 7 x βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f και Cg . Το ίδιο αν f ( x= ) 3 x − x 2 και g ( x= ) x2 − 4x . ΓΘ/08. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x= ) x 3 + x και g ( x= ) x 2 + 3 x . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τη Cg . ΓΘ/09. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) = e x και g ( x) = 1 − x . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , τη Cg και τις ευθείες x = −1 και x = 1 . Κ. Αδαμόπουλος 194 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 ΓΘ/10.Αν f ( x ) =x 4 − 3x 2 − 4 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f και τον άξονα x′x . ΓΘ/11.Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f όπου f ( x ) = xσυνx και τις ευθείες= y 0,= x 0,= x π. ΓΘ/12. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f με τύπο f (= x ) xe x − 2e 2 , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 1 και x = 2 . ΓΘ/13. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f με τύπο f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 2 και x = 3 . ΓΘ/14. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f με τύπο f ( x ) = ln x , τον άξονα x′x και την 1 ευθεία x = . e ΓΘ/15.Αν f ( x=) 1 + ln( x − 1) − 1 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου x −1 που περικλείεται από την C f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 3 , x = 5 . x + k ,x <1 , βρείτε το k ∈ ώστε η f να είναι , x ≥ 1 3 x 1 − συνεχής και υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 2 . 1 − 2x , x < 0 ΓΘ/17.Αν f ( x ) = 2 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που , x ≥ 0 − + x 1 περικλείεται από την C f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = −1 , x = 1 . ΓΘ/16.Αν f ( x ) = 2 x + 4, x ≤ 1 f με τύπο f ( x ) = 2 3 x + 3, x > 1 Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = −1 και x = 2 . ΓΘ/18. Δίνεται η συνάρτηση Κ. Αδαμόπουλος 195 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 − x 2 + 2 , x ≤ 1 ΓΘ/19.Αν f ( x ) = να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που > x , 1 2x −1 περικλείεται από την C f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = −1 , x = 2 . λx ,x <1 ΓΘ/20.Αν f ( x ) = 1 να βρεθούν τα k , λ∈(0, +∞) αν το + k , x ≥ 1 x εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = −1 , x = 4 ισούται με 6. ΓΘ/21. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις f και g όπου f ( x ) = x 3 και g ( x= ) 7x − 6. ΓΘ/22. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x ) = x 3 + x 2 + 1 και g ( x ) = 2x2 + 4x − 3 . ΓΘ/23.Αν f ( x=) 3x + 1 2 και g ( x ) = 3x να βρεθεί το εμβαδόν E ( λ ) 2x του χωρίου που περικλείεται από την C f και Cg και τις ευθείες x = 1 , x = λ > 1 . Στη συνέχεια να υπολογισθεί το όριο lim E ( λ ) . λ→+∞ ΓΘ/24.Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από C f , Cg 1 καθώς και από την ευθεία x = 2 . x ΓΘ/25.Αν f ( x ) = 2 x να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f και τις ευθείες y = 2 , x = −1. όπου f ( x ) = x3 και g ( x ) = ΓΘ/26. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g ′ ( x ) g ′ ( x ) + 3 x 2 για κάθε x ∈ και= f (1) 1,= g (1) f= με 0 . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f , Cg και ευθείες x = −1 και x = 2 . ΓΘ/27.Αν f ( x ) = ( x + 4) ⋅ e− x να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f τον άξονα x′x και τις ευθείες x = −1 , x = 1 . Κ. Αδαμόπουλος 196 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 ΓΘ/28.Αν f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f τους άξονες x′x , y′y και την εφαπτομένη ( ε ) της C f στο σημείο με M (2, 2) . ΓΘ/29. Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης f = ( x) 2 x − 1 βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , την εφαπτομένη της στο σημείο Α ( 4, f (4) ) και τον άξονα x′x . ΓΘ/30. Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x ) = x 2 − 4 x + 5 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f τον άξονα y′y και την εφαπτομένη ( ε ) της C f στο Μ ( 2, f (2) ) . ΓΘ/31. Αφού κάνετε γραφική παράσταση της f ( x ) = − x 2 + 4 x να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , την εφαπτομένη ( ε ) της C f στο σημείο M (1,3) και τον άξονα x′x . ΓΘ/32. Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x ) = x 2 βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τις εφαπτόμενές της στα σημεία της Α ( −1,1) και Β ( 2, 4 ) . ΓΘ/33. Αφού κάνετε γραφική παράσταση της f ( x ) = − x 2 + 4 x − 3 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f και τις εφαπτόμενες της C f στα σημεία με Α ( 0, −3) και Β ( 3,0 ) . ΓΘ/34.Αν f (= x) 2 x 2 − 8 x να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , τον άξονα y′y και την εφαπτομένη στην κορυφή της παραβολής C f . Κ. Αδαμόπουλος 197 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 ΓΘ/35. Αφού κάνετε γραφική παράσταση των συναρτήσεων f ( x ) = ηµx και g ( x ) = συνx να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f , Cg και τις ευθείες x = 0 και x = π . x 2 ln x , x > 0 ΓΘ/36.Έστω η συνάρτηση f ( x ) = ,x = 0 0 α) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής. β) Να βρεθεί το όριο lim E ( λ ) όπου E ( λ ) είναι το εμβαδόν του χωρίου λ→ 0 που περικλείεται από τη C f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = e και x = λ όπου 0 < λ < 1 . ΓΘ/37.Αν f ( x )= x + 1 2 και E ( λ ) το εμβαδόν του χωρίου που 2x περικλείεται από τη C f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 1 και x = λ με λ > 1 , να υπολογίσετε το lim E ( λ ) . λ→+∞ ΓΘ/38.Αν f ( x ) = x 2 −1 και E ( λ ) το εμβαδόν του χωρίου που x2 περικλείεται από τη C f , και τις ευθείες x = 1 , x = λ με λ > 1 και y = 1 , να υπολογίσετε το lim E ( λ ) . λ→+∞ ΓΘ/39.Αν f ( x ) = x 2 και g ( x ) = αx υπολογίστε την τιμή του α > 0 αν το 9 εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f και Cg είναι τ.μ. 2 ΓΘ/40.Αν f ( x ) = x 2 και g ( x=) 4 x − x 2 να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν οι C f , C g . Στη συνέχεια βρείτε το α ∈ ώστε η ευθεία x = α να χωρίζει το προηγούμενο χωρίο σε δύο ισοδύναμα μέρη . ,x ≤ 0 λ + xe x ΓΘ/41.Αν f ( x ) = 2 − x ln( x + 1) , x > 0 Α) Για ποια τιμή του λ ∈ η f είναι συνεχής; Β) Για την παραπάνω τιμή του λ να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f τον άξονα x′x και τις ευθείες x = −1 και x = 1 . Κ. Αδαμόπουλος 198 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 ΓΘ/42.Αν ϕ ( x ) =x − ln( x + 1) βρείτε το σύνολο τιμών της ϕ και υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f την Cg όπου f ( x) = x , g = ( x) ln( x + 1) και τις ευθείες x = 0 και x = 1 . 1 − x2 ΓΘ/43. Αν f ( x) = , βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη (ε) της C f στο x −∞ , κάνετε γραφική παράσταση και βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , την (ε) και τις ευθείες x = −3 και x = −1. 2 x3 − 9 x 2 + 13 x − 5 ΓΘ/44.Αν f ( x) = να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου 2 x − 3x + 2 που περικλείεται από την C f , την πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +∞ και τις ευθείες x = 3 και x = λ με λ > 3 . Βρείτε επίσης το lim Ε(λ) . λ →+∞ x2 ΓΘ/45.Έστω f ( x) = και x0 είναι η τετμημένη του τοπικού ελαχίστου x +1 της f . Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , την πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +∞ και τις ευθείες x = 3 και x = x0 . ΓΘ/46.Α) Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = ln x βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f την εφαπτομένη της στο σημείο Α ( e,1) και τον άξονα x′x . Β) Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x3 , βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και την εφαπτομένη της στο σημείο Α (1,1) . ΓΘ/47.Αν f παραγωγίσιμη στο με f ′ ( x= ) e x + xe x και η C f διέρχεται από το σημείο Μ (1, e) , τότε : Α) Βρείτε τον τύπο της f Β) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 . ΓΘ/48.Αν f ( x) = e x + x − 1 δείξτε ότι συνάρτηση f αντιστρέφεται και βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f −1 , τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = e . ΓΘ/49.Αν f ( x) = x − 1 + ln x , τότε: A) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται. Κ. Αδαμόπουλος 199 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 Β) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f −1 τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = e . ΓΘ/50.Αν f ( x) = ln 1 − x , τότε: Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία. x Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ) Δείξτε ότι αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της. Δ) Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από την C f −1 τους άξονες x′x , y′y και την ευθεία x = 1 . ΓΘ/51. α ∈ [1, 2] . Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 1 1 με x > 0 και η ευθεία ε: y = με x α Α) Να βρεθεί το εμβαδό Ε ( α ) του χωρίου που περικλείεται από τη C f , την ευθεία ε και τις κατακόρυφες ευθείες x = 1 και x = 2 . Β) Να βρεθεί για ποια τιμή του α , το Ε ( α ) γίνεται ελάχιστο. ΓΘ/52. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =x 3 − 3 x 2 + 3 x , x ∈ . Α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων. Γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f −1 . ΓΘ/53. Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(Ω) του γραμμοσκιασμένου χωρίου του παρακάτω σχήματος. ΓΘ/54.Αν f παραγωγίσιμη στο ώστε να ισχύει: 2 f ( x) + ηµf ( x) = x , για κάθε x ∈ : Α) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. f ( x) Β) Βρείτε την αντίστροφη της f . Γ) Βρείτε το όριο: L = lim . x →+∞ x Κ. Αδαμόπουλος 200 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 Δ) Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , τον άξονα x′x και την ευθεία x = π + 1. ΓΘ/55. Έστω f : → μία συνάρτηση ,η οποία είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση f 3 ( x) + f ( x) = 2 x , για κάθε x ∈ . Α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση f −1 . Β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την C f , τους άξονες x′x και y′y και την ευθεία x = 1 . ΓΘ/56. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 4 x3 + 2 x − 6 , x ∈ . Α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f −1 τους άξονες x′x , y′y και την ευθεία x = −6 . ΓΘ/57. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x e x . Α) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται. Β) Να βρείτε το πρόσημο της f −1 . Γ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται μεταξύ της C f −1 , του άξονα x′x και των ευθειών με εξισώσεις x = 0 και x = e . 2 ΓΘ/58. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: 4 f 3 ( x) + 2 f ( x) − 6 + x = 0 για κάθε x ∈ . Α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τους άξονες x′x , y′y και την ευθεία x = 6 . Oλοκληρώματα Ερωτήσεις Σωστό-Λάθος 1. Αν οι συναρτήσεις F , G είναι παράγουσες των συναρτήσεων f , g σε διάστημα Δ, τότε και η F + G είναι παράγουσα της f + g στο Δ. 2. Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f στο που έχουν παράγουσες τον εαυτό τους . 3. Η συνάρτηση F= ( x) x ln x − x είναι μια παράγουσα της συνάρτησης f ( x) = ln x . Κ. Αδαμόπουλος 201 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 4. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ, έχει μόνο μια παράγουσα στο Δ. 5. Αν F , G είναι δυο παράγουσες μιας συνάρτησης f , τότε αυτές διαφέρουν κατά μια σταθερά c. ln x δεν έχει παράγουσα στο διάστημα [1, +∞) . 6. Η συνάρτηση f ( x) = 2 x +1 7. Αν η συνάρτηση f : → έχει παράγουσα την F , τότε η F είναι παραγωγίσιμη στο . 8. Ισχύει: β ∫ α f ′( x)dx = [ f ( x) ]α . β 9. Αν f , g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, θα ισχύει: β ∫ α f ′( x)g′( x)dx = [ f ( x) g ( x) ]α β 10. Αν f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις, θα ισχύει ο τύπος. β β ′( x)g′( x)dx [ f ′( x)g( x) ] − ∫ f ′′( x)g( x)dx ∫ f= β α α α 11. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, τότε θα ισχύει: β ∫ f ′′( x)dx = [ f ′( x)] β α α 12. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων F ( x= ) e x + c , έχουν εφαπτόμενες παράλληλες σε κάθε σημείο τους με τετμημένη x0 13. Ισχύει: β ∫ α β f ( x)dx ⋅ ∫ g( x)dx = [ f ( x)g( x)]α β α 1 , τότε 14. Αν f ′( x) = g ′( x) 15. Για x < 1 ισχέι: β γ α α β β ∫ α 1 dx ∫α x − = 1 f ′( x)g′( x)dx = [ x ]α . β [ln( x − 1)]α β 16. Αν ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx , τότε β = γ . Κ. Αδαμόπουλος 202 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 17. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με μηδέν στο [ α, β] και ισχύει β ∫ f ( x)dx = 0 , τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές. α t 18. Αν= f (t ) ∫x t x − 2 xdx , τότε ∫x 2 α x 2 − 2 xdx = xf (t ) . α β ∫ xdx β x 19. Ισχύει ότι ∫ x 2 − x dx = α 2 β α ∫(x 2 −x α β β 0 β 0 ) dx 20. Ισχύει: ∫ xf ′( x)dx =βf (β) − ∫ f ( x)dx . 21. Ισχύει: 22. Ισχύει: 23. Ισχύει: α 0. ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = α β β ) g ′( x)dx ∫ f ( x= α α β f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx α ∫ f ( x)dx = 0 α x ′ 24. Ισχύει: ∫ f (t )dt = f ( x) . α 25. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σ’ ένα διάστημα [ α, β] , τότε ισχύει : β β α α x)dx ∫ g ( x)dx ⇔ = f ∫ f (= g στο [ α, β] . 26. Αν η f παραγωγίσιμη στο [ α, β] , με f ′ συνεχή στο [ α, β] , τότε ισχύει β ′ β ∫ f ( x)dx = ∫ f ′( x)dx . α α g ( x) ′ 27. Ισχύει: ∫ f= (t )dt f ( g ( x) ) ⋅ g ′( x) . α Κ. Αδαμόπουλος 203 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 28. Αν f συνεχής και δεν ισχύει f ( x) < 0 για κάθε x ∈ [ α, β] , τότε ισχύει: β ∫ f ( x)dx ≥ 0 . α β ′ 29. Ισχύει: ∫ f (t )dt = f ( x) . α h( x) ′ 30. Ισχύει: = f (t )dt f ( h( x) ) h′( x) + f ( g ( x) ) g ′( x) . g (∫x ) 4 8 31. Ισχύει ∫ cdx = ∫ cdx όπου c σταθερά. 2 6 2 32. Αν A = ∫ f ( x)dx , τότε: 0 α) 2 β) ∫ f (ω)d ω = A 0 0 ∫ f (t )dt = −A γ) 33. Αν α ≥ β , τότε ∫ (e x ∫ ( 3 f (t ) − 4 ) dt =3 A − 4 0 2 β 2 ) + 1 dx ≥ 0 . α 34. Αν f ( x) > 0 , τότε ισχύει: ln 2 ∫ f ( x)dx > 0 . 1 β 35. Η ιδιότητα: ∫= f ( x)dx α γ β α γ ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ισχύει μόνο εφόσον α < γ < β. 36. Αν β ∫ f ( x)dx ≥ 0 τότε f ( x) ≥ 0 για κάθε x ∈ [ α, β] . α 37. Αν η f είναι συνεχής στο [ α, β] , τότε το β ∫ f ( x)dx εκφράζει το εμβαδόν α που περικλείεται μεταξύ της C f , του άξονα x′x και των ευθειών x= α, x = β. Κ. Αδαμόπουλος 204 Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 2 e 1 38. Το ολοκλήρωμα ∫ ln dx παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που x 1 1 περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = ln , τον x άξονα x′x και τις ευθείες = x 1,= x e. 39. Αν f ( x) ≤ g ( x) για κάθε x ∈ [ α, β] , τότε θα ισχύει ότι: β β α α ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx . α ′ x ′ 40. Ισχύει ο τύπος ∫ f (t )dt = − ∫ f (t )dt . x α 41. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ 0,1] και f (0) = f (1) , τότε 1 ∫ f ′( x)dx = 0 . 0 Αυτό ήταν όλο….. Η συνέχεια στο επαναληπτικό φυλλάδιο. Κ. Αδαμόπουλος 205 www.Askisopolis.gr Συναρτήσεις 1 Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x΄x, της γραφικής παράστασης της f. 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 4 y΄y. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν x , x έχει άξονα συμμετρίας τον f A B . 5 6 7 Αν για δύο συναρτήσεις f ,g ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f , τότε ισχύει πάντοτε ότι f g g f . Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι f g και g f , τότε είναι υποχρεωτικά f gg f. Το πεδίο ορισμού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f , για τα οποία το f x ανήκει στο πεδίο ορισμού της g . 8 Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h και ισχύει h 9 g f h g f τότε ορίζεται και η h g f g f . Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0 A , όταν f x f x 0 για κάθε x A . Askisopolis 11 Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν x1 , x 2 Δ με x1 x 2 τέτοια, ώστε f x1 f x 2 . Κάθε συνάρτηση, που είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη. 12 Μια συνάρτηση f: A 10 λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 x 2 , τότε f x1 f x 2 . 13 14 Μία συνάρτηση f : A είναι συνάρτηση 1 − 1 , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1x 2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 x 2 , τότε f x1 f x 2 . Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και 1-1 στο διάστημα αυτό. 15 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. 16 Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f x y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x. 17 Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f 1 και η γραφική παράσταση της f έχει ένα κοινό σημείο Α με την ευθεία y x , τότε το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της f 1 . 18 Αν η συνάρτηση f : Α 19 Αν μια συνάρτηση f : A είναι 1-1, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f 1 ισχύει: f 1 f x x, x A και f f 1 y y, y f A . 20 Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x που διχοτομεί τις γωνίες xΟy και x΄Oy΄. 1 είναι 1-1, τότε ισχύει f f x x, x A . 206 www.Askisopolis.gr 21 Αν ένα σημείο Μ α,β ανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης 22 f, τότε το σημείο Μ΄ β,α ανήκει στη γραφική παράσταση της f 1 . Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη. Η συνάρτηση f x ημx με x έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου. 23 24 25 Αν μια συνάρτηση f : είναι ‘1-1’, τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το [0, 1] και σύνολο τιμών το [2, 3] , τότε ορίζεται η f g με πεδίο ορισμού το [0, 1] και σύνολο τιμών το [2, 3] . Όρια 26 27 lim f x , αν και μόνο αν lim f x lim f x . x x0 x x0 x x 0 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής α, x 0 x 0 ,β και πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f x lim f x x x0 ένας 0. x x0 28 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0 και lim f x 0 τότε lim f x 0 . 29 Αν lim f x 0 τότε f x 0 κοντά στο x0 . x x0 x x0 x x0 Askisopolis 30 Αν lim f x 0 , τότε f x 0 κοντά στο x 0 . 31 Αν οι συναρτήσεις έχουν όριο στο x0 και ισχύει f x g x κοντά στο x0, τότε x x0 lim f x lim g x . x x 0 32 x x 0 Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f, g για τις οποίες υπάρχουν τα όρια lim f x , lim g x x x0 x x0 και f x g x για κάθε x κοντά στο x 0 , ισχύει lim f x lim g x . x x 0 33 x x 0 Αν υπάρχουν το lim f x g x , τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα lim f x και x x0 x x0 lim g x . x x0 Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f : 34 και g : , αν lim f x 0 και x x0 lim g x , τότε lim f x g x 0 . x x0 x x0 35 Αν υπάρχει το όριο της f στο x 0 τότε lim k f x k lim f x εφόσον f x 0 κοντά x x0 στο x 0 με k x x0 και k 2 . 1 . x x0 f x 36 Αν lim f x 0 και f x 0 κοντά στο x 0 , τότε lim 37 Αν lim f x ή , τότε lim 38 Αν lim f x , τότε lim f x . 39 Αν είναι lim f x , τότε f x 0 κοντά στο x 0 . 40 x x0 x xo x xo x x 0 1 0. f x x x 0 x x0 Αν lim f x , τότε f x 0 κοντά στο x 0 . x x0 207 www.Askisopolis.gr 41 42 43 Αν είναι lim f x , τότε lim f x . x x0 x x0 1 lim 2ν 1 για κάθε ν x 0 x Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α, x 0 x 0 ,β . Ισχύει η ισοδυναμία lim f x ( lim f x lim f x ) x x 0 44 Αν α 1 τότε lim α 0 . 45 Αν 0 α 1 , τότε lim α x . x x 0 x x 0 x x x Askisopolis 46 47 48 49 50 51 lim e x x συνx 1 1. x 0 x ημx Ισχύει ότι: lim 1. x x ημx Ισχύει ότι: lim 0. x 0 x Ισχύει ότι: ημx x για κάθε x lim . 1 συνx 0 x 0 x Ισχύει lim Συνέχεια – Θεωρήματα συνέχειας 52 53 54 56 56 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο x 0 , τότε η σύνθεση τους g f είναι συνεχής στο x 0 . Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο α,β και συνεχής στο α,β , τότε η f παίρνει πάντοτε στο α,β μία μέγιστη τιμή. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σε αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x Δ ή είναι αρνητική για κάθε x Δ , δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. H εικόνα f Δ ενός διαστήματος ∆ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Αν η f είναι συνεχής στο α,β με f α 0 και υπάρχει ξ α,β ώστε f ξ 0 , τότε κατ’ ανάγκη f β 0 . 57 58 59 60 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α,β και υπάρχει x 0 α,β τέτοιο ώστε f x 0 0 , τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f α f β 0 . Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα α,β , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα Α, Β , όπου Α lim f x και B lim f x . x α x β 208 www.Askisopolis.gr 61 Αν η f είναι συνεχής στο α,β , τότε η f παίρνει στο α,β μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. 62 63 Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x 0 , τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0 . 64 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 , τότε η f΄ είναι πάντοτε συνεχής στο x 0 . 65 Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x 0 ,τότε η f΄ είναι συνεχής στο x 0 . 66 συνx ημx, x 67 Ισχύει ο τύπος 3x x 3x 1 , για κάθε x 68 Για κάθε x Παράγωγος . 1 . – x / συνx 0 ισχύει: εφx 69 σφx 70 Αν f x ln x για κάθε x 0 , τότε f x 1 , x ημ 2 x 1 . συν 2 x x / ημx 0 . 1 για κάθε x 0 . x Askisopolis 71 ln x 1x , για κάθε 72 Αν f x α x , α 0 , τότε ισχύει α x xα x 1 . 73 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση f g είναι x0 παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει: f g x 0 f x 0 g x 0 . 74 Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο x 0 ισχύει: f g x0 f x0 g x0 f x0 g x0 . 75 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 και g x 0 0 τότε και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει: g f x 0 g x 0 f x 0 g x 0 f . x0 2 g g x0 76 77 78 Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : α,β , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο α,β , αν f α f β , τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξ α,β τέτοιο ώστε f ξ 0 . Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα α,β , στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f x 0 για κάθε x , x 0 x 0 , , είναι σταθερή στο , x 0 x 0 , . 209 www.Askisopolis.gr 79 80 81 82 83 84 Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f,g είναι συνεχείς στο Δ και f x g x για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε ισχύει f x g x για κάθε x Δ . Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f x 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό x του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε f x 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ . Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και f x 0 0 , τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x 0 . Askisopolis 85 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα α,β και σημείο x 0 α,β στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι f x 0 0 . 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 Για κάθε συνάρτηση f : που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f x 0 για κάθε x . Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x΄x . Αν υπάρχει κάποιο σημείο A x 0 ,f x 0 της Cf , του οποίου η απόσταση από τον άξονα x΄x είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της Cf είναι οριζόντια. Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f . Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα α,β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f x 0 στο α, x 0 και f x 0 στο x 0 ,β , τότε το x 0 είναι τοπικό ελάχιστο της f. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f x 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής. Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f x 0 για κάθε x . 210 www.Askisopolis.gr 96 97 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ . Αν η f είναι κυρτή στο Δ , τότε υποχρεωτικά f x 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ . Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα α,β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0 . Αν η f είναι κυρτή στο α, x 0 και κοίλη στο x 0 ,β ή αντιστρόφως, τότε το σημείο A x 0 ,f x 0 είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. 98 99 Askisopolis Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν 2 , η οποία έχει ασύμπτωτη. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : μπορεί να τέμνει μια ασύμπτωτή της. Απαντήσεις Συναρτήσεις 1 Σ 2 Σ 3 Σ 4 Σ 5 Λ 6 Λ 7 Σ 8 Σ 9 Σ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Λ Λ Σ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ 23 24 25 Λ Σ Λ Όρια 2 2 6 7 Λ Σ 2 8 Σ 2 9 Σ 3 0 Σ 3 1 Σ 3 2 Λ 3 3 Λ 3 4 Λ 3 5 Σ 3 6 Σ 3 7 Σ 3 8 Σ 3 9 Λ 4 0 Λ 4 1 Σ 4 2 Λ 4 3 Σ 4 4 Σ 4 5 Σ 48 49 50 51 Λ Λ Σ Σ Συνέχεια – Θεωρήματα συνέχειας 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 Λ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Παράγωγος 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 Λ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Λ 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Λ Λ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Σ 211 4 6 Λ 4 7 Λ Ερχόμαστε από μια σκοτεινή άβυσσο. Καταλήγουμε σε μια σκοτεινή άβυσσο. Το ενδιάμεσο φωτεινό διάστημα το λέμε Ζωή. Ευτύς ως γεννηθούμε, αρχίζει η επιστροφή. Ταυτόχρονα το ξεκίνημα και ο γυρισμός. Κάθε στιγμή πεθαίνουμε. Γι αυτό πολλοί διαλάλησαν:Σκοπός της ζωής είναι ο θάνατος. Μα ευτύς ως γεννηθούμε, αρχίζει κι η προσπάθεια να δημιουργήσουμε, να συνθέσουμε, να κάμουμε την ύλη ζωή. Κάθε στιγμή γεννιούμαστε. Γι αυτό πολλοί διαλάλησαν: Σκοπός της εφήμερης ζωής είναι η αθανασία. Στα πρόσκαιρα ζωντανά σώματα τα δυο τούτα ρέματα παλεύουν: α) ο ανήφορος, προς τη σύνθεση, προς τη ζωή, προς την αθανασία, β) ο κατήφορος, προς την αποσύνθεση, προς την ύλη προς τον θάνατο. Και τα δύο ρέματα πηγάζουν από τα έγκατα της αρχέγονης ουσίας. Στην αρχή η ζωή ξαφνιάζει, σαν παράνομη φαίνεται σαν παρά φύση, σαν εφήμερη αντίδραση στις σκοτεινές αιώνιες πηγές. Μα βαθύτερα νιώθουμε: η Ζωή είναι κι αυτή άναρχη, ακατάλυτη φόρα του Σύμπαντου. Αλλιώς πούθε η περάνθρωπη δύναμη που μας σφεντονίζει από το αγέννητο στο γεννητό και μας γκαρδιώνει – φυτά, ζώα, ανθρώπους – στον αγώνα; Και τα δύο ρέματα είναι άγια. Χρέος μας λοιπόν να συλλάβουμε τ’ όραμα που χωράει κι εναρμονίζει τις δύο τεράστιες τούτες άναρχες, ακατάλυτες ορμές, και με τ’ όραμα τούτο να ρυθμίσουμε το στοχασμό μας και την πράξη. Νίκος Καζαντζάκης (Εισαγωγή στην «Ασκητική») 212