ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ
МИНИСТРЛІГІ
«СЕМЕЙ ҚАЛАСЫНЫҢ ШӘКӘРІМ АТЫНДАҒЫ УНИВЕРСИТЕТІ»
КОММЕРЦИЯЛЫҚ ЕМЕС АКЦИОНЕРЛІК ҚОҒАМЫ
МЕКТЕПТЕ ОҚЫТУ САПАСЫН ЖОҒАРЫЛАТУДА МАТЕМАТИКА МЕН
ИНФОРМАТИКАНЫҢ ПӘНАРАЛЫҚ БАЙЛАНЫСЫНЫҢ ҚОЛДАНЫСЫ
(10-11 СЫНЫПТАР НЕГІЗІНДЕ)
әдістемелік құрал
Семей, 2021 ж
Құрастырған: Қасымова Ляззат Бақытбекқызы
Жетекші: Сагитова Шуга Галиакпаровна
Әдістемелік құралда 10-11 сыныптарға арналған математика және
информатика пәндерінің пәнаралық байланысын қолдану арқылы
тақырыптарды бекітудің тиімді әдістері ұсынылған. Тақырыптар бойынша
әртүрлі есептер жинақталып, оларды шешудің жолдары қарастырылған.
Әдістемелік нұсқаулық математика пәні мұғалімдеріне арналған.
МАЗМҰНЫ
1. КІРІСПЕ
2. НЕГІЗГІ БӨЛІМ
2.1 Тригонометриялық теңдеулер
2.2 Туынды және туындыны қолдану
2.3 Алғашқы функция, анықталмаған интеграл
2.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер
3. ҚОРЫТЫНДЫ
4. ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
КІРІСПЕ
Негізгі орта білім беру және орта білім берудің мемлекеттік жалпыға
міндетті стандарты 2007 жылғы 27 шілдедегі Қазақстан Республикасының
«Білім туралы» Заңының 5-бабы, 5-1) тармақшасына және 56- бабына сәйкес
әзірленген және білім берудің мазмұнын, оқу жүктемесінің ең жоғары
көлемін, білім алушылардың дайындық деңгейін және оқу мерзіміне
қойылатын талаптарды айқындайды.
Негізгі орта білім беру және орта білім берудің мақсаты кең ауқымды
дағдыларды дамыту негізінде білім алушылардың жоғары оқу орындарында
білімін жалғастыруы және кәсіби өзін-өзі анықтауы үшін академиялық
дайындығын қамтамасыз етуге қолайлы білім беру кеңістігін жасау болып
табылады:
1) білімді функционалдықпен және шығармашылықпен қолдану;
2) сын тұрғысынан ойлау;
3) зерттеу жұмыстарын жүргізу;
4) ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолдану;
5) коммуникацияның түрлі тәсілдерін қолдану;
6) топта және жеке жұмыс жасау білігі;
7) мәселелерді шешу және шешім қабылдау.
Білімді ұрпақ- рухина дүниесі бай, білімі мен біліктілігі жоғары,
ақпараттық қоғамда ғылым мен техниканың жетістіктерін игерген, талап
талғамы жоғары, адамгершілігі биік парасатты тұлға болуы тиіс. Осы
мақсатта мектеп мұғалімдері де теориялық білімдерімен қатар әдістемелік
шеберлігі де жоғары, жаңа педагогикалық технологиялармен қаруланған,
заманның сұранысына лайықты құзыретті маман болуы керек.
10-11 сыныптарға арналған «Мектепте оқыту сапасын жоғарылатуда
математика мен информатиканың пәнаралық байланысының қолданысы»
әдістемелік құралы аталған пәндердің өзара байланысын ықпалдастыра
отырып осы сыныптардағы кейбір тақырыптарын бекітуге, қорытындылауға
арналған әртүрлі есептер жинақталып, оларды шешудің оңтайлы әдістемесі
көрсетілген.
Әдістемелік құралдың негізгі мақсаты – оқушыларға алгебра пәні
бойынша «Тригонометриялық теңдеулер», «Туынды және туындыны
қолдану», «Алғашқы функция, интеграл», «Көрсеткіштік және логарифмдік
функциялар», «Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер» тараулары
бойынша тапсырмалар ұсыну арқылы олардың ойлау қабілеті мен
шығармашылық белсенділігінің дамуына ықпал ету, есептерді шығару
дағдысын жетілдіре түсуге, аталған тараулардағы алған білімдерін бекітуге
көмектесу болып табылады. Әдістемелік құралда тақырыптың қысқаша
түсіндірмелері және білімге қызықтыратын «Мысалдар» мен үйренуді
жеңілдететін «Білімді нығайту», оқушылардың қаншалықты түсінгендігін
тексеру үшін «Енді менің кезегім», білімін тексеру үшін «Тақырыптық
тесттер» және «Білгенге маржан» атты бөлімшелер келтірілген. Сонымен
қатар, аталған бөлімдердің әрқайсысына QR код енгізілген. Осылайша
оқушылардың ІТ ( цифрлық) құзыреттілігін дамытуға да көмегін тигізеді
және мұғалімнің тапсырмаларды ұсынуда жұмысын жеңілдетеді. Бұл
әдістемелік құрал пән мұғалімдеріне көмекші құрал болады деп болжануда.
2. НЕГІЗГІ БӨЛІМ
2.1 Тригонометриялық теңдеулер
ТҮСІНДІРМЕ
Негізгі тригонометриялық теңдеулер және олардың шешілуі:
1.cos x = a түрінде берілген теңдеу:
x=± arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
Ескерту: егер cos x >1 немесе cos x < -1 болса, теңдеудің шешуі жоқ.
2. sin x = a түрінде берілген теңдеу:
𝑥 = (−1)𝑛 arcsin 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
Ескерту: егер sin x >1 немесе sin x < -1 болса, теңдеудің шешуі жоқ.
3. tg x = a түрінде берілген теңдеу:
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4. ctg x = a түрінде берілген теңдеу:
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
МЫСАЛДАР
1-мысал: Теңдеуді шешіңіз: cos 𝑥 = −
Шешуі: cos 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝑥=±
2𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
2-мысал: Теңдеуді шешіңіз: sin 𝑥 =
Шешуі: sin 𝑥 =
√3
2
√3
2
1
2
𝑥 = (−1)𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥 = (−1)𝑛
√3
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
3-мысал: Теңдеуді шешіңіз: 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + sin 𝑥 = 0
Шешуі: sin x (sin x + 1) = 0
1. sin x =0, x=𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2. sin 𝑥 = −1,
𝜋
𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
Жауабы: 𝑥 = {− + 2𝜋𝑛; 𝜋𝑛} 𝑛𝜖𝑍
2
4-мысал: Теңдеуді шешіңіз: 𝑡𝑔2𝑥(1 − 𝑡𝑔𝑥) = 0
Шешуі: 𝑡𝑔2𝑥(1 − 𝑡𝑔𝑥) = 0
1. 𝑡𝑔2𝑥 = 0, 2𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝑥=
2. 𝑡𝑔𝑥 = 1,
𝜋𝑛
2
, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
𝜋
𝜋𝑛
4
2
Жауабы: 𝑥 = { + 𝜋𝑛;
} 𝑛𝜖𝑍
5-мысал: Теңдеуді шешіңіз: 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 − 1 = 0
Шешуі: 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 − 1 = 0
(𝑐𝑡𝑔𝑥 − 1)(𝑐𝑡𝑔𝑥 + 1) = 0
𝜋
1. 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 1, 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
4
𝜋
2. 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = −1, 𝑥 = − + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
𝜋
𝜋
4
4
Жауабы: 𝑥 = { + 𝜋𝑛; − + 𝜋𝑘} 𝑛, 𝑘𝜖𝑍
ЕНДІ МЕНІҢ КЕЗЕГІМ
Теңдеулерді шешіңіз:
1. cos 𝑥 =
√2
2
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. 𝑡𝑔𝑥 + √3 = 0
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + √2 = 0
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 2.5
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5. 2 cos 𝑥 + √3 = 0
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
6. 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 = 1.5
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1
7. 𝑡𝑔 𝑥 = 0
4
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8. 2𝑡𝑔3𝑥 = 0
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
9. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
𝑠𝑖𝑛2𝑥
10.
𝑠𝑖𝑛𝑥
=0
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
π
π
π
Жауаптары:± + 2πn, n ∈ Z; − + πn, nϵZ; (−1)k+1 + πk, kϵZ; arctg2.5 +
4
πn, nϵZ; ±
πn
3
π
3
π
k
(−1)
12
π
2
2
5π
6
+ 2πn, nϵZ;
, nϵZ; x = + πn, nϵZ;
4
+
πk
2
, kϵZ; x = πn, nϵZ; x =
+ πn, nϵZ
БІЛГЕНГЕ МАРЖАН
Тригонометриялық теңдеулерді шешудің дербес жағдайлары:
sin x =-1
𝜋
𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
tg x =-1
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
sin x =0
tg x =0
sin x =1
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
cos x =-1
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
ctg x =-1
cos x =0
𝑥=
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
ctg x =0
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
3𝜋
𝑥=
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
cos x = 1
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
tg x=1
ctg x =1
БІЛІМДІ НЫҒАЙТУ
1. Есептеңдер:
𝑥
а) 𝑠𝑖𝑛 (− ) =
4
√2
2
𝑥
Шешуі: 𝑠𝑖𝑛 (− ) =
4
√2
2
𝑥
→ −𝑠𝑖𝑛 ( ) =
4
√2
2
𝑥
√2
= (−1)n arcsin (− ) + πn, nϵZ
4
2
𝑥
√2
= (−1)n+1 arcsin ( ) + πn, nϵZ
4
2
𝑥
4
π
= (−1)n+1 +πn, nϵZ; 𝑥 = (−1)𝑛+1 𝜋 + 4𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
𝑥
𝜋
b) 𝑐𝑜𝑠 ( − ) = −
3
6
𝑥
𝜋
3
6
√3
2
Шешуі: − = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (−
𝑥
3
𝜋
5𝜋
6
6
− =±
𝑥=
𝑥
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍;
3
√3
)
2
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
5𝜋
6
6
= ±
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋 5𝜋
±
+ 6𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
2
3𝜋
c) 𝑠𝑖𝑛2 (
4
− 2𝑥) = 1
Шешуі: дәрежені төмендету формуласын қолданамыз:
1−𝑐𝑜𝑠(
3𝜋
−4𝑥)
2
2
cos (4𝑥 −
3𝜋
= 1; cos (
2
− 4𝑥) = −1
3𝜋
) = −1
2
4𝑥 −
3𝜋
= 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
4𝑥 =
5𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍;
2
𝑥=
5𝜋 𝜋𝑛
+
, 𝑛𝜖𝑍
8
2
Жаңа айнымалы енгізу әдісі арқылы тригонометриялық теңдеулерді шешу:
1. 2tg x – ctg x -1=0
π
Шешуі: А.о x ≠ πn; x ≠ + πk
2
2𝑡𝑔𝑥 −
1
−1=0
𝑡𝑔𝑥
2𝑡𝑔2 𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 − 1 = 0
𝑡𝑔𝑥 = 𝑡 деп белгілеу енгіземіз
1
2𝑡 2 − 𝑡 − 1 = 0; 𝑡1 = − ; 𝑡2 = 1
2
1) tgx= -
1
2
1
1
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (− ) + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍;
2
2) 𝑡𝑔𝑥 = 1;
𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
2
𝜋
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
1
𝜋
2
4
Жауабы: 𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2. 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥
Шешуі: (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥
2 − 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
2 − 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥;
𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2 = 0
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑡; 𝑡 ∈ [−1; 1] деп белгілеу енгізейік
𝑡 2 + 𝑡 − 2 = 0;
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1
𝑡1 = 1; 𝑡2 = −2 [−1; 1] аралығына тиісті емес
2𝑥 =
𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍;
2
𝑥=
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
𝜋
Жауабы: + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
Көпмүшеге жіктеу әдісі арқылы шешу:
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 0
Шешуі: (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥) + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛
2𝑠𝑖𝑛
𝑥+𝑦
2
𝑐𝑜𝑠
𝑥−𝑦
2
формуласын қолданамыз
𝑥 + 3𝑥
𝑥 − 3𝑥
𝑐𝑜𝑠
+ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0;
2
2
2𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0
𝑠𝑖𝑛2𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1) = 0
𝜋
1) 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0;
2𝑥 = 𝜋𝑛; 𝑥 = 𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
1
1
2) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = − ; 𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
2
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍;
3
𝑥=±
𝜋
2𝜋
2
3
Жауабы: 𝑥 = 𝑛, 𝑛𝜖𝑍; 𝑥 = ±
2𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
3
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
Қосымша бұрыш енгізу әдісі арқылы тригонометриялық теңдеулерді шешу:
𝑐𝑜𝑠6𝑥 + 𝑠𝑖𝑛6𝑥 = √2
Шешуі:
1
√2
𝑐𝑜𝑠6𝑥 +
1
√6
𝑠𝑖𝑛6𝑥 = 1
𝜋
𝜋
𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠6𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛6𝑥 = 1;
4
4
𝜋
𝜋
+ 6𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍;
4
2
Жауабы: 𝑥 =
𝜋
24
𝑥=
𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( + 6𝑥) = 1
4
𝜋 𝜋
+ 𝑛, 𝑛𝜖𝑍
24 3
𝜋
+ 𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
ТАҚЫРЫПТЫҚ ТЕСТ
𝜋
1
1. Теңдеуді шеш: 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − ) = −
4
2
A) ±
B)
2𝜋
3
11𝜋
12
C)±
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
11𝜋
12
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
2𝜋
4
3
D) ±
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
E) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
2. Теңдеуді шеш: 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝜋
A) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
B) ± + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
𝜋
𝜋
2
3
C) + 𝜋𝑘; ± + 2𝜋𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
D)𝜋 + 2𝜋𝑘; ± + 2𝜋𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
3
𝜋
𝜋
2
3
E) + 2𝜋𝑘;
+ 2𝜋𝑛; 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
3. Теңдеуді шеш: 3cos𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0
A)𝜋 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
B) + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
C) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
D)2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
E)𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍
4. Теңдеуді шеш: sin 5𝑥𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0
𝜋
A) + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
𝜋
B) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
𝜋
2
4
C) + 𝜋𝑛;
𝜋
𝜋𝑛
4
2
𝜋
𝜋𝑛
4
2
D) +
E) +
;
;
𝜋
2
𝜋
2
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
+ 𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍
5. Теңдеуді шеш: 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
𝜋
A) + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
B) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
C)шешімі жоқ
𝜋
D) + 𝜋𝑘; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4 + 𝜋𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
4
𝜋
E) + 2𝜋𝑘; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4 + 𝜋𝑛; 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
4
6. Теңдеуді шеш: 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 2𝜋𝑛;
𝜋
2
+ 𝜋𝑘, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
B) 𝜋 + 2𝜋𝑛;
C)𝜋 + 2𝜋𝑛;
𝜋
4
𝜋
2
+ 𝜋𝑘, 𝑛, 𝑘𝜖𝑍
+ 2𝜋𝑘, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
D) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
2
E)𝜋 + 2𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍
7. Теңдеуді шеш: sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = √2
𝜋
A) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
𝜋
B) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
C) + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
𝜋
D)- + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
E) -
𝜋
4
+ 2𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍
8. Теңдеуді шеш: 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0
A) 𝜋 + 2𝜋𝑛;
𝜋
2
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
B) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
C)𝜋𝑛; ± + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
D)2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
𝜋
2
4
E) + 𝜋𝑛;
+
𝜋𝑛
2
; 𝑛𝜖𝑍
9. Теңдеуді шеш: 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0
𝜋
A) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
B) ± + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
𝜋
C) + 𝜋𝑘; 𝑘𝜖𝑍
2
𝜋
D)𝜋 + 2𝜋𝑘; ± + 2𝜋𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
3
𝜋
𝜋
2
3
E) + 2𝜋𝑘;
+ 2𝜋𝑛; 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
10. Теңдеуді шеш: 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + √3 = 0
𝜋
A) + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
B) ±
5𝜋
12
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
𝜋
2
12
C) + 𝜋𝑘; ±
D)𝜋 + 2𝜋𝑘; ±
E)
𝜋
3
+ 2𝜋𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
5𝜋
3
+ 2𝜋𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
+ 2𝜋𝑛; 𝑘, 𝑛𝜖𝑍
Жауаптары: 1D; 2 C; 3 B; 4 E; 5D; 6 C; 7 A; 8 E; 9 B; 10 B
2.2 Туынды және туындыны қолдану
ТҮСІНДІРМЕ
∆𝑥 нөлге ұмтылғанда функция өсімшесінің аргументтің өсімшесіне қатынасы
ұмтылатын сан f функциясының х0 нүктесіндегі туындысы деп аталады.
∆f f(x0 + ∆x) − f(x0 )
=
∆x
∆x
Берілген f функциясының туындысын табу дифференциалдау деп аталады.
(𝑢 + 𝑣)′ = 𝑢′ + 𝑣 ′
(𝑢𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′
(𝐶𝑢)′ = 𝐶𝑢′
𝑢 ′ 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣′
( ) =
𝑣
𝑣2
(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1
y=f(x)
C
x
𝑥𝑛
1
𝑥𝑛
√𝑥
𝑛
√𝑥
y’=f’(x)
0
y=f(x)
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥
1
𝑛𝑥 𝑛−1
𝑛
- 𝑛+1
sin x
cos x
tg x
𝑥
1
ctg x
2 √𝑥
1
arcsinx
𝑛
𝑛 √𝑥 𝑛−1
𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎
arccosx
𝑒𝑥
𝑒𝑥
arctg x
lnx
1
𝑥
arcctg x
𝑎
𝑥
y’=f’(x)
1
𝑥𝑙𝑛𝑎
cos x
-sin x
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1
−
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
1
√1 − 𝑥 2
1
−
√1 − 𝑥 2
1
1 + 𝑥2
1
−
1 + 𝑥2
МЫСАЛДАР
1-мысал: Функцияның туындысын тап: 𝑓(𝑥) = 𝑥(3𝑥 + √3)(3𝑥 − √3) + 3
Шешуі: 𝑓(𝑥) = 𝑥(3𝑥 + √3)(3𝑥 − √3) + 3 = 𝑥(9𝑥 2 − 3) + 3 = 9𝑥 3 − 3𝑥 + 3
𝑓 ′ (𝑥) = (9𝑥 3 − 3𝑥 + 3)′ = (9𝑥 3 )′ − (3𝑥)′ + (3)′ = 9 ∙ (𝑥 3 )′ − 3𝑥 ′ + 0 =
= 9 ∙ 3𝑥 2 − 3 = 27𝑥 2 − 3
2-мысал: Функцияның туындысын тап: f(x) =
Шешуі: 𝑓 ′ (𝑥) = (
=
′
𝑠𝑖𝑛𝑥
) =
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑠𝑖𝑛𝑥)′ (1+𝑐𝑜𝑠𝑥)−𝑠𝑖𝑛𝑥(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)′
(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)2
=
𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥
(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)2
=
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
1
=
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
3-мысал: Функцияның туындысын тап: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 2𝑥
Шешуі: f ′ (x) = (log 2 x + 2x )′ = (log 2 x)′ + (2x )′ =
1
xln2
+ 2x ∙ ln2
4-мысал: Функцияның туындысын тауып, х0 нүктесіндегі мәнін есепте:
𝜋
𝑓 ′ ( ) −?
4
𝑓(𝑥) = 5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥
Шешуі: 𝑓 ′ (𝑥) = (5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥
𝜋
𝜋
𝜋
√2
√2
𝑓 ′ ( ) = 5𝑐𝑜𝑠 − 3𝑠𝑖𝑛 = 5
−3
= √2
4
4
4
2
2
5-мысал: Функцияның туындысын тауып, х0 нүктесіндегі мәнін есепте:
1 + 𝑥 + 𝑥2
𝑓(𝑥) =
1−𝑥
𝑓 ′ (0)−?
1+𝑥+𝑥 2
Шешуі: 𝑓 ′ (𝑥) = (
1−𝑥
′
) =
(1+𝑥+𝑥 2 )′ (1−𝑥)−(1−𝑥)′ (1+𝑥+𝑥 2 )
(1−𝑥 2 )2
(2𝑥 + 1)(1 − 𝑥) − (−1)(1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) −𝑥 2 + 2𝑥 + 2
=
=
(1 − 𝑥)2
(1 − 𝑥)2
𝑓
′ (𝑥)
−02 + 2 ∙ 0 + 2
=
=2
(1 − 0)2
=
ЕНДІ МЕНІҢ КЕЗЕГІМ
Функцияның туындысын тап:
1. 𝑦 = x 3 + 4x − 5
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. 𝑦 = 5𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 2
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1
3. 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. 𝑦 = 𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5. 𝑦 =
3−4𝑥
𝑥2
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
6. 𝑦 = 3𝑙𝑔𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7. 𝑦 = 2𝑥 2 + 20√𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8. 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥
𝑦 ′ (2)−?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
𝑓 ′ (−
9. 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥
2𝜋
3
) −?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
10.𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔3𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5
Жауаптары: 3x 2 + 4;
1; -3√3;
x
− 2x; 3x 2 +
1
2√x
; ctgx −
x
sin2 x
;
4x−6
x3
;
3
xlnx
; 4x +
3
𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥
БІЛГЕНГЕ МАРЖАН
Күрделі функцияның туындысы:
𝑢𝑛
𝑢′ 𝑛𝑢𝑛−1
𝑠𝑖𝑛𝑢
𝑢′ 𝑐𝑜𝑠𝑢
1
𝑢
-
𝑢′
cos u
−𝑢′ sin 𝑢
𝑢2
𝑢′
√𝑢
tgu
𝑢′
𝑐𝑜𝑠 2 𝑢
ctgu
𝑢′
−
𝑠𝑖𝑛2 𝑢
2 √𝑢
𝑢′
𝑛
√𝑢
𝑛
𝑛 √𝑢𝑛−1
𝑎𝑢
𝑢′ 𝑎𝑢 𝑙𝑛𝑎
arcsin u
𝑢′
√1 − 𝑢2
10
√x
𝑒𝑢
𝑢′𝑒
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢
ln u
𝑢
arcos u
𝑢′
𝑢𝑙𝑛𝑎
arctg u
𝑢′
𝑢
arcctg u
−
𝑢′
√1 − 𝑢2
𝑢′
1 + 𝑢2
−
𝑢′
1 + 𝑢2
Жанаманың теңдеуі: 𝑦 = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )
БІЛІМДІ НЫҒАЙТУ
Функцияның туындысын тап:
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4𝑥 + 6
′
Шешуі: 𝒇′ (𝒙) = (√𝑥 2 − 4𝑥 + 6) = (𝑥 2 − 4𝑥 + 6)′
1
2√𝑥 2 −4𝑥+6
=
𝑥−2
√𝑥 2 −4𝑥+6
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛4𝑥
Шешуі:𝑓 ′ (𝑥) = (𝑠𝑖𝑛4𝑥)′ = 4𝑐𝑜𝑠4𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑒 −2𝑥
Шешуі: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 ′ + (𝑒 −2𝑥 )′ = 1 + (−2𝑥)′𝑒
e) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛√1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑛√
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Шешуі: 𝑓 ′ (𝑥) = (− ln(𝑐𝑜𝑠𝑥))′ = −
= 1 − 2𝑒 −2𝑥 ;
= ln(𝑐𝑜𝑠𝑥)−1 = −ln(𝑐𝑜𝑠𝑥)
(𝑐𝑜𝑠𝑥)′
𝑐𝑜𝑠𝑥
−2𝑥
=−
−𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑡𝑔𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥) функциясының графигіне 𝑥0 нүктесінде жүргізілген жанаманың
теңдеуін жаз:
1. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 2 + 1
Шешуі: 𝑥0 = 2;
𝑥0 = 2
𝑓(2) = √2 ∙ 22 + 1 = 3
′
𝑓 ′ (𝑥) = (√2𝑥 2 + 1) =
2𝑥
√2𝑥 2 + 1
𝑓 ′ (2) =
2∙2
√2 ∙ 22 + 1
=
4
3
𝑦 = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )
𝑦 = 𝑓 ′ (2)(𝑥 − 2) + 3
4
𝑦 = (𝑥 − 2) + 3
3
4
1
𝑦= 𝑥+
3
3
4
1
3
3
Жауабы: 𝑦 = 𝑥 +
Функцияның өсу, кему аралығын тап:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 − 1
Шешуі: 𝐷(𝑥) = (−∞; +∞)
𝑓 ′ (𝑥) = (2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 − 1)′ = 6𝑥 2 − 6𝑥 − 12
6𝑥 2 − 6𝑥 − 12 > 0
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥1 = −1; 𝑥2 = 2
+
-1
+
2
-1
(−∞; −1] және [2; +∞) аралығында өседі
[-1;2] аралығында кемиді
ТАҚЫРЫПТЫҚ ТЕСТ
1. Функцияның туындысын тап: 𝑓(𝑥) =
A)
B)
C)
4
2𝑥−1
−4
2𝑥+1
4
(2𝑥+1)2
2𝑥+1
2𝑥−1
−4
D)(2𝑥−1)2
−4𝑥
E)(2𝑥−1)2
2. Функцияның туындысын тап: 𝑔(𝑥) = 2𝑥 4 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 7
A) 8𝑥 3 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
B) 8𝑥 3 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
C)4𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 7
D)8𝑥 3 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 7
E)8𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
3. 𝑥0 нүктесіндегі функцияның туындысын тап: h(x)=√𝑥, 𝑥0 = 9
A)−
1
9
1
B)
3
C)3
D)−
E)
1
6
1
6
4. Функцияның туындысын тап:𝑓(𝑥) =
A)
𝑥 2 −2
𝑥 2 (1+𝑙𝑛𝑥)−2(𝑙𝑛𝑥+2)
(𝑥−2)2
𝑥 2 −𝑥 2 𝑙𝑛𝑥+2𝑙𝑛𝑥
B)
C)
𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑥 2 −2
𝑥 2 −𝑥 2 𝑙𝑛𝑥−2𝑙𝑛𝑥−2𝑥
D)
(𝑥 2 −2)2
𝑥 2 (1−𝑙𝑛𝑥)−2(1+𝑙𝑛𝑥)
(𝑥 2 −2)2
E)3𝑥 2 + 2𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 2 )
5. Функцияның туындысын тап:𝑓(𝑥) = (𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3)6
A) (𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3)5 (6𝑥 4 − 12𝑥 3 + 18)
B) (𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3)5 (24𝑥 3 − 36𝑥 2 )
C)(24𝑥 4 − 36𝑥 3 + 6𝑥)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3)5
D) (24𝑥 3 − 36𝑥 2 + 18𝑥)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3)6
E)6(6𝑥 4 − 12𝑥 3 + 18)(𝑥 4 − 12𝑥 3 + 18)
6. Функцияның туындысын тап:𝑦(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
A) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
B) 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛2 𝑥)
C)𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥)
D)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
E)𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥)
7. Функцияның туындысын тап:𝑓(𝑥) = ln(𝑡𝑔𝑥)
A)
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥
D)
E)
𝑠𝑖𝑛2𝑥
2
B)
C)
𝑥
2x
cos2x
x
cosx
8. y=xlnx функциясының
жанаманың теңдеуін жаз:
графигіне
х0 = 1 нүктесінде жүргізілген
A) 𝑦 = 𝑥 − 1
B) 𝑦 + 𝑥 = 0
C)𝑦 = 2𝑥
D)𝑦 + 2𝑥 = 0
E)𝑦 = 1 − 2𝑥
1
9. Функцияның өсу, кему аралығын тап: 𝑦(𝑥) = 𝑥 3 − 1.5𝑥 2 − 4𝑥
3
A) (−∞; −1] ∪ [4; +∞)аралығында өседі, [−1; 4] аралығында кемиді
B) (−∞; −1] ∪ [0; +∞)аралығында өседі, [−1; 0] аралығында кемиді
C) (−∞; 4] аралығында өседі, [4; +∞) аралығында кемиді
D) (−∞; −1] ∪ [4; +∞)аралығында кемиді , [−1; 4] аралығында өседі
E) (−∞; −1] ∪ [0; +∞)аралығында кемиді, [−1; 0] аралығында өседі
10. Функцияның туындысын тап: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1
A) 2𝑥 + 3
B) 2𝑥 − 3
C)2𝑥 2 + 1
D)𝑥 + 1
E)3𝑥 − 1
Жауаптары: 1D; 2 A; 3 E; 4 D; 5B; 6 B; 7 B; 8 A; 9 A; 10 A
2.3 Алғашқы функция, анықталмаған интеграл
ТҮСІНДІРМЕ
Егер берілген аралықтағы барлық x үшін F’(x)=f(x) болса, онда осы аралықта
F функциясын f функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.
1. ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2. ∫(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1
3. ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
𝑎
МЫСАЛДАР
1-мысал: Алғашқы функцияның жалпы түрін жаз : 𝑓(𝑥) = 9𝑥 2 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥
Шешуі: ∫(9𝑥 2 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥)𝑑𝑥 = 9 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑑𝑥 = 9
𝑥3
3
1
− 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶 =
3
1
3𝑥 3 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶
3
2-мысал: Алғашқы функцияның жалпы түрін жаз : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 ∙ 3𝑥 ∙ 5𝑥
Шешуі: ∫(2𝑥 ∙ 3𝑥 ∙ 5𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 30𝑥 𝑑𝑥 =
30𝑥
𝑙𝑛30
+𝐶
3-мысал: M(a:b) нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияның жалпы түрін
𝜋
жаз: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑥
1
М( ; )
12 2
1
Шешуі: ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝐶
4
1
𝜋
1
Есеп шарты бойынша F(x)=− 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝐶 алғашқы функциясы М ( ; )
4
12 2
нүктесі арқылы өтеді, яғни
1
1
π
= − cos (4 ∙ ) + C
2
4
12
C=
1
5
4
8
Жауабы: F(x)=− 𝑐𝑜𝑠4𝑥 +
ЕНДІ МЕНІҢ КЕЗЕГІМ
5
8
Алғашқы функцияның жалпы түрін жаз :
1. f(x)= 5 − 𝑐𝑜𝑠5𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. 𝑓(𝑥) =
3
7𝑥+1
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. f(x)= 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + cos(−𝑥)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4
1
𝑥
4𝑥 2
5. 𝑓(𝑥) = −
+
1
𝑥3
+3
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
6. f(x)= 𝑥 2 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7. f(x)=
1
2√𝑥+1
+
1
𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8. 𝑓(𝑥) =
3
1
7𝑥+1
+3
√𝑥
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
9. M(a:b) нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияның жалпы түрін жаз:
𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 +
9
𝑥2
𝑀(3; −2)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
10.𝑓(𝑥) =
1
3
𝑀(− ; −2)
√𝑥+1
4
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1
3
1
5
7
6
Жауаптары: 5x − sin5x + C; ln|7x + 1| + C; sin6x + C; 2sinx + C;
1
1
x3
4 ln|x| + − 2 + 3x + C;
− 3cosx + C; √x + 1 + ln|x| + C;
4x 2x
3
3
33
4
9
ln|7𝑥 + 1| + √𝑥 2 + 𝐶; 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 − − 35; 𝐹(𝑥) = 2√𝑥 + 1 − 3
7
2
3
𝑥
БІЛГЕНГЕ МАРЖАН
Интегралды анықтау формуласы:
∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
𝑥 𝑛+1
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1)
𝑛+1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫
= ln|𝑥| + 𝐶
∫
= 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑑𝑥
2𝑥√𝑥
∫
= −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
∫ √𝑥𝑑𝑥 =
+𝐶
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
3
𝑑𝑥
𝑥
𝑎𝑥
𝑥
∫
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
∫ 𝑎 𝑑𝑥 =
+𝐶
𝑎
ln 𝑎
√𝑎2 − 𝑥 2
𝑛
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
∫
𝑑𝑥
1
𝑥
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
+𝐶
𝑥 2 + 𝑎2 𝑎
𝑎
БІЛІМДІ НЫҒАЙТУ
Алғашқы функцияның жалпы түрін жаз :
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −
1
√2𝑥−3
+2
1
1
Шешуі: ∫ (𝑐𝑜𝑠2𝑥 −
+ 2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 − ∫(2𝑥 − 3)−2 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 =
√2𝑥−3
1
1
1 (2𝑥 − 3)−2+1
1
= 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − ∙
+ 2𝑥 + 𝐶 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − √2𝑥 − 3 + 2𝑥 + 𝐶
1
2
2
2
− +1
2
1
Жауабы: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − √2𝑥 − 3 + 2𝑥 + 𝐶
2
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥 5 +𝑥 3 −2
𝑥 2 +1
𝑥 5 +𝑥 3 −2
Шешуі:∫ (
𝑥 2 +1
2
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 3 − 𝑥 2+1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥 2+1 =
𝑥4
4
−
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
Жауабы:
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4
− 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
Шешуі: ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑖𝑛 𝑥
1−2𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
− 2 ∫ 𝑑𝑥 = −𝑐𝑡𝑔𝑥 − 2𝑥 + 𝐶
Жауабы: −𝑐𝑡𝑔𝑥 − 2𝑥 + 𝐶
ТАҚЫРЫПТЫҚ ТЕСТ
1. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз: y(𝑥) = 6(10 + 7𝑥)3
A) 18(10 + 7𝑥)4 + 𝐶
B)
18
7
(10 + 7𝑥)4 + 𝐶
6
C) (10 + 7𝑥)4 + 𝐶
7
3
D) (10 + 7𝑥)4 + 𝐶
14
3
E) (10 + 7𝑥)4 + 𝐶
2
2. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз: y= 𝑒 3𝑥+1 − cos(3𝑥 + 1)
1
A) (𝑒 3𝑥+1 + sin(3𝑥 + 1)) + 𝐶
2
B) 3(𝑒 3𝑥+1 − sin(3𝑥 + 1)) + 𝐶
1
C) (𝑒 3𝑥+1 − sin(3𝑥 + 1)) + 𝐶
3
D)2(𝑒 3𝑥+1 − sin(3𝑥 + 1)) + 𝐶
1
E) (𝑒 3𝑥+1 + sin(3𝑥 + 1)) + 𝐶
3
𝑥
2
5
3𝑥+1
3. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз: y= 7𝑐𝑜𝑠 −
𝑥
A)7𝑠𝑖𝑛 − 2 ln(3𝑥 + 1) + 𝐶
5
7
𝑥
2
5
5
3
B) 𝑠𝑖𝑛 − ln(3𝑥 + 1) + 𝐶
𝑥
2
5
3
C)35𝑠𝑖𝑛 − ln(3𝑥 + 1) + 𝐶
𝑥
D) 35𝑠𝑖𝑛 − 2 ln(3𝑥 + 1) + 𝐶
5
𝑥
2
5
3
E) 7𝑠𝑖𝑛 − ln(3𝑥 + 1) + 𝐶
4. M(2:3) нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияның жалпы түрін
жаз: 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥
3
A) 2𝑥 − 𝑥 2 + 5
2
B) 2𝑥 − 3𝑥 2 + 8
2
C)2𝑥 − 𝑥 2 + 1
3
3
D)2𝑥 − 𝑥 2 − 1
2
E)
2𝑥−3𝑥 2
+1
2
𝜋 √3
)
3 2
нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияның жалпы түрін
5. M( ;
жаз: 𝑓(𝑥) =
1
𝜋
3
𝑐𝑜𝑠 2 (2𝑥− )
𝜋
A) 2𝑡𝑔(2𝑥 − )
3
1
𝜋
B) 𝑡𝑔 (2𝑥 − ) +
2
3
𝜋
C)𝑡𝑔 (2𝑥 − ) −
3
1
𝜋
2
3
√3
4
√3
4
D) 𝑡𝑔(2𝑥 − )
𝜋
E)2𝑡𝑔 (2𝑥 − ) + 1
3
1
𝑥
1
𝑥
3
3
2
2
6. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз:𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝑥
3
2
A) −𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
𝑥
𝑥
3
2
B) 𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
𝑥
𝑥
3
2
𝑥
𝑥
2
3
𝑥
𝑥
3
3
C)−𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 + 𝐶
D)−𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
E)−𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
2
𝑥
𝑥
2
7. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз:𝑓(𝑥) = 𝑥( + )
A) 2𝑥 +
B) 4𝑥 +
C)2𝑥 +
D)2𝑥 −
𝑥3
6
𝑥3
3
𝑥3
2
𝑥3
6
+𝐶
+𝐶
+𝐶
+𝐶
𝑥3
E) 𝑥 +
6
+𝐶
8. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз:𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1−𝑠𝑖𝑛𝑥
A) 𝑥 + 𝐶
B) 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
C)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
D)2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
E)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
9. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз:𝑓(𝑥) =
1
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
B) 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑥
C) 𝑡𝑔 + 𝐶
2
1
𝑥
2
2
D) 𝑐𝑡𝑔 + 𝐶
𝑥
E) 𝑐𝑡𝑔 + 𝐶
2
10. Алғашқы функцияның барлық жалпы түрін жаз:𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥
1
1
6
4
1
1
6
8
1
1
12
8
1
1
12
8
A) 𝑠𝑖𝑛6𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶
B) 𝑠𝑖𝑛6𝑥 − 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶
C) 𝑠𝑖𝑛6𝑥 − 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶
D) 𝑠𝑖𝑛6𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶
1
1
2
2
E) 𝑠𝑖𝑛6𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶
Жауаптары: 1D; 2 C; 3 C; 4 A; 5D; 6 A; 7 A; 8 B; 9 C; 10 D
2.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер
ТҮСІНДІРМЕ
𝑎 𝑥 = 𝑏 көрсеткіштік теңдеудің жалпы түрі.
b санының а негізі бойынша логарифмі деп b саны шығу үшін негіз а
шығарылатын дәреже көрсеткішті атайды.
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 логарифмдік теңдеудің жалпы түрі
МЫСАЛДАР
3 3𝑥−7
1-мысал: Теңдеуді шешіңдер : ( )
7
3 3𝑥−7
Шешуі: ( )
7
7 7𝑥−3
=( )
3
7 7𝑥−3
=( )
3
3 3𝑥−7
3 −(7𝑥−3)
=( )
( )
7
7
3x-7=-7x+3
10x=10
x=1
Жауабы: 1
2-мысал: Теңдеуді шеш : 2𝑥
Шешуі: 2𝑥
2𝑥
2 −6𝑥−5
2
2 −6𝑥−5
2
= 16√2
1
= 24 ∙ 22
𝑥 2 − 6𝑥 −
5
1
=4+
2
2
𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 0
𝑥1 = −1;
𝑥2 = 7
Жауабы: {-1;7}
2 −6𝑥−5
2
= 16√2
3-мысал: Теңдеуді шеш:
𝑙𝑜𝑔16 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
Шешуі: x> 0
1
1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
4
2
7
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7;
4
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 4
𝑥 = 24 = 16
Жауабы: 16
ЕНДІ МЕНІҢ КЕЗЕГІМ
Теңдеуді шеш:
1. 𝑙𝑜𝑔6 (𝑥 − 1) + 𝑙𝑜𝑔6 (𝑥 + 4) = 2
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. 𝑙𝑔𝑥 ∙ lg(100𝑥) = 8
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. log 2 (x 2 + 4x + 3) = 3
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. 𝑙𝑜𝑔5 (2𝑥 + 3) = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 + 1)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5. 𝑙𝑜𝑔𝑥 (𝑥 2 − 2𝑥 + 2) = 1
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3
6. 7x−2 = √49
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7. 5𝑥
2 −2𝑥−1
= 25
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8. 𝑙𝑜𝑔1 (2𝑥 − 4) = −2
2
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
9. 𝑙𝑜𝑔2 (3 − 𝑥) = 0
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
10.𝑙𝑜𝑔0.3 (5 + 2𝑥) = 1
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2
Жауаптары: 5; {0.0001; 100}; {1; −5}; түбірі жоқ; 2; 2 ; {3; −1}; 4; 2; −2.35
3
БІЛГЕНГЕ МАРЖАН
Логарифм атауын Дж Непер ұсынған. Логарифм ең алдымен 16
ғасырда астрономияның тез дамуымен және ондағы бақылауларды анықтай
түсуге байланысты ашылды. Алғашқы логарифм кестелерін 1614-1619 ж Дж
Непер мен 1620 ж
құрастырған.
Й.Бюрги бір –біріне тәуелсіз және бір мезгілде
БІЛІМДІ НЫҒАЙТУ
Теңдеуді шеш :
a) 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − 3𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 4 = 0
Шешуі: log 3 x = a деп өрнектейміз.
𝑎2 − 3𝑎 − 4 = 0;
(𝑎 − 4)(𝑎 + 1) = 0;
𝑎1 = 4 ≫ 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 4;
𝑎2 = −1 ≫ 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = −1
𝑥 = 34 = 81
𝑥 = 3−1 =
1
Жауабы: { ; 81}
3
b) 6𝑥+1 + 35 ∙ 6𝑥−1 = 71
Шешуі:36 ∙ 6𝑥−1 + 35 ∙ 6𝑥−1 = 71
71 ∙ 6𝑥−1 = 71;
6𝑥−1 = 60
x-1=0
x=1
Жауабы: 1
c) 4𝑥 − 5 ∙ 2𝑥 + 4 = 0
Шешуі:𝑡 = 2𝑥 деп, алмастыру жасаймыз
𝑡 2 − 5𝑡 + 4 = 0
𝑡1 = 1; 𝑡2 = 4
2𝑥 = 1; 𝑥 = 0
2𝑥 = 4;
𝑥=2
Жауабы: 𝟎; 𝟐
𝑎1 = 4; 𝑎2 = −1
1
3
ТАҚЫРЫПТЫҚ ТЕСТ
1. Теңдеуді шеш: 0,25𝑥 =
128
2𝑥−1
A) 8
B) −9
C)9
D)−8
E)−7
𝑥
𝑥
2. Теңдеуді шеш: √3 ∙ √5 = 225
A) 2
B)
1
2
C) 3
D)𝑙𝑜𝑔3 2
E)∅
3. Теңдеуді шеш: 9𝑥 − 2𝑥+0.5 = 2𝑥+3.5 − 32𝑥−1
A)0.5
B) 1
C)1.5
D) −1
E)−1.5
4. Теңдеуді шеш: 34√𝑥 − 4 ∙ 32√𝑥 + 3 = 0
A) 0;
B) ±
1
1
4
1
4
C) ; 1
2
D)1; 3
E)0; 3
5. Теңдеуді шеш: 5𝑥 − 24 =
25
5𝑥
A) −1; 25
B) 2
C)0; 2
D) −1
E)−1; 2.5
6. Теңдеуді шеш: 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 + 2𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 5
A) 3
B) 9
C)27
D)
E)
1
9
1
27
7. Теңдеуді шеш: ln(2𝑥 + 1) ∙ ln(9 − 4𝑥) = 0
A) 1; 2
1 9
B) − ;
2 4
C)0
D)0; 2
E) 2;
9
4
8. Теңдеуді шеш: 𝑙𝑜𝑔2 (9 − 2𝑥 ) = 10lg(3−𝑥)
A) 0
B) 1
C)2
D)
E)
1
3
1
2
9. Теңдеуді шеш: 𝑙𝑜𝑔4 (24𝑥 ) = 2𝑙𝑜𝑔24
A) 0
B) 1
C) 2
D)
1
2
E)−2
10. Теңдеуді шеш: 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 4) + 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 + 14)
A) 5
B) 7
C)9
D)11
E)13
Жауаптары: 1D; 2 E; 3 A; 4 B; 5D; 6 B; 7 D; 8 A; 9 C; 10 B
3. ҚОРЫТЫНДЫ
Әдістемелік құралдың әр бөлімінің тақырыптық тест бөлімінің QR кодтары
төменде келтірілген, бұл арқылы оқушылар тақырыпты қорытындылау тестін
орындай алады
Тригонометриялық теңдеулер
Туынды және туындыны қолдану
Алғашқы функция, анықталмаған интеграл
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер
4. ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Жанасбаева Ұ.Б, Жанасбаев К.Б «Математика», Алматы:2010ж, 127 бет;
2.М.У Ахтаров «Математика», Алматы:2010, 198 бет;
3. Д.Кутасов «Пособие по математике», Москва,480 бет;
4. Н. Көбенқұлұлы «Пәндік энциклопедия», Алматы, 482 бет;
5. «Математика және логика», «Математика және физика», «Репетитор»
журналдары
6. «Заманауи жоғары оқу орындарында ақпараттық кеңістігінде мобильді
технологияларды басқару» Иванченко Д.А. Ресей, 2018 жыл