MEDIDA Y PROBABILIDAD
Miguel Ángel García Álvarez
Contenido
1
Prólogo
Notación y terminología
15
CAPÍTULO 1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
Desarrollo histórico
1.1. La integral de Riemann
1.2. Teoría de la medida de Borel
1.3. Teoría de la medida de Lebesgue
1.4. La integral de Lebesgue
1.5. La medida de Lebesgue en R2
19
22
32
36
44
47
CAPÍTULO 2. MEDIDA DE LEBESGUE
2.1. Álgebras, -álgebras y borelianos
2.2.
-álgebra de Borel en Rn
2.3. Funciones …nitamente aditivas y -aditivas
2.4. La medida de Lebesgue en R
53
53
58
64
67
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
3.1. Estudio de las discontinuidades de una función de variación acotada
3.2. Parte continua y parte de saltos de una función de variación acotada
75
81
90
CAPÍTULO 4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
4.1. La integral de Riemann-Stieltjes
4.2. Criterio de Cauchy
4.3. Funciones de variación acotada e integrabilidad de las funciones continuas
4.4. Fórmula de integración por partes
4.5. Integración de funciones discontinuas
99
99
100
113
119
122
CAPÍTULO 5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
5.1. Introducción
5.2. Medidas sobre álgebras y -álgebras
5.3. Construcción de medidas
5.4. Teorema de clases monótonas
5.5. Unicidad de la extensión de una medida
5.6. Medidas con signo
129
129
134
139
146
149
152
CAPÍTULO 6. MEDIDAS EN (R; B (R))
159
iii
iv
CONTENIDO
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Medidas
Medidas
Medidas
Medidas
y funciones no decrecientes
y funciones no decrecientes que crecen únicamente mediante saltos
y funciones no decrecientes continuas
con signo y funciones de variación acotada
161
170
172
173
CAPÍTULO 7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
Primera parte
7.1. Introducción
7.2. Funciones medibles
7.3. Funciones medibles con valores en R
n
7.4. Funciones medibles con valores en R
7.5. La integral de funciones medibles simples no negativas
7.6. La integral de funciones medibles no negativas
7.7. Funciones integrables
179
179
190
191
197
200
203
208
CAPÍTULO 8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
Segunda parte
8.1. Integrabilidad uniforme
8.2. Teorema de Radon-Nikodym
8.3. Producto de espacios de medida
8.4. Proyección de medidas
215
215
223
227
236
CAPÍTULO 9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
9.1. Propiedades de la integral de Lebesgue Stieltjes
9.2. Fórmula de integración por partes
9.3. Fórmula de cambio de variable
243
247
257
258
CAPÍTULO 10. CONVERGENCIA
10.1. Introducción
10.2. Convergencia casi en todas partes
10.3. Convergencia en medida
10.4. Convergencia débil
10.5. Convergencia en distribución
263
263
266
268
277
286
CAPÍTULO 11. ESPACIOS Lp
11.1. Espacios Lp
11.2. Convergencia en Lp
11.3. Densidad de las funciones simples en Lp
291
291
296
305
CAPÍTULO 12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Desarrollo histórico
12.1. Origen del Cálculo de Probabilidades
12.2. Jacques Bernoulli
12.3. Teorema de de Moivre-Laplace
12.4. El Cálculo de Probabilidades durante la segunda mitad del siglo XIX
12.5. El Cálculo de Probabilidades durante los primeros 30 años del siglo XX
307
309
316
323
325
326
CONTENIDO
12.6. La axiomática
12.7. Acerca de la propiedad de -aditividad de la función de probabilidad
v
336
339
CAPÍTULO 13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE
LA PROBABILIDAD
13.1. Espacios de Probabilidad
13.2. Variables Aleatorias
13.3. Independencia de variables aleatorias
13.4. Funciones de distribución
13.5. Funciones de distribución conjuntas
343
343
350
352
354
359
CAPÍTULO 14. Esperanza y leyes de los grandes números
14.1. Esperanza de una variable aleatoria
14.2. Varianza y covarianza
14.3. Desigualdad de Chebyshev
14.4. Léy débil de los grandes números
14.5. Ley fuerte de los grandes números
367
367
371
376
377
381
CAPÍTULO 15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
15.1. Introducción
15.2. Funciones de distribución como medidas
15.3. Regularidad de las medidas …nitas sobre los borelianos de Rn
15.4. Sucesiones de variables aleatorias independientes
15.5. Sucesiones de variables aleatorias con distribuciones …nito dimensionales
conocidas
15.6. Teorema de Kolmogorov
389
389
393
401
403
APÉNDICES
A.1. Teorema de Heine Borel
A.2. Conjuntos compactos
A.3. Caracterización de los conjuntos compactos
A.4. Espacios vectoriales normados
A.5. Convergencia uniforme
A.6. Los racionales diádicos
415
415
420
427
429
434
437
Referencias para la parte de historia
443
Referencias para la formulación moderna
447
Índice
449
409
410
Prólogo
El Cálculo Estocástico se encuentra actualmente en el centro de la Teoría de los Procesos
Estocásticos, la cual, a su vez, forma parte de la Teoría de la Probabilidad. Esta última se
encuentra bastante desarrollada, aunque, en su formulación moderna, aún no cumple 100
años. Tuvo un impulso enorme durante los primeros 33 años del siglo XX al vincularse con
la Teoría de la Medida, la cual surgió y se desarrolló ampliamente también durante el mismo
periodo. Esta última tuvo su origen en el Cálculo Diferencial e Integral, el cual tiene una
historia más antigua.
El origen de la Teoría de la Probabilidad se encuentra en el Cálculo de Probabilidades, el
cual surgió con las soluciones que dieron Blaise Pascal, Pierre Fermat y Christiaan Huygens
a algunos problemas relacionados con juegos de dados; Pascal y Fermat en el año 1654 ([33])
y Huygens en el año 1657 ([49]). Algunos años más tarde (1713) se publicó el trabajo de
Jacques Bernoulli ([4]) en el cual estableció una relación matemática entre la probabilidad de
un evento y la frecuencia relativa con la cual ocurre, relación conocida ahora como Teorema
de Bernoulli. Fue el primero de los llamados teoremas límite del Cálculo de Probabilidades.
El segundo de estos teoremas lo demostró Abraham de Moivre en el año 1733 ([28]) y en el
estableció lo que años más tarde, en una formulación más general, se llamaría el Teorema
Central del Límite. Los teoremas de Bernoulli y de de Moivre marcaron la pauta para
el desarrollo del Cálculo de Probabilidades durante un periodo de aproximadamente 200
años. Fue entre …nales del siglo XIX y principios del siglo XX cuando los teoremas límite
fueron formulados en toda su generalidad. Todos ellos se re…eren al comportamiento en el
límite de determinadas relaciones que se obtienen de una sucesión de variables aleatorias
independientes.
Resulta curioso que haya surgido un Cálculo de Probabilidades en la época en que iba
formándose una concepción mecanicista y determinista del mundo, aunque también fue una
época en la cual se derrumbaron viejos paradigmas al cuestionarse el pensamiento y las ideas
que estaban establecidas como verdades eternas. Era una época revolucionaria en la cual
mucha gente decía “no”a lo que se presentaba como la única realidad posible. En 1654 se
había iniciado ya la revolución cientí…ca del Renacimiento con las publicaciones de algunas
de las obras que serían los fundamentos de la ciencia moderna: Sobre las revoluciones de
los cuerpos celestes (1543), de Nicolás Copérnico, donde, en contraposición a la concepción
1
2
PRÓLOGO
aritotélica, planteó que es la Tierra la que se mueve alrededor del Sol; Novum Organum o
Indicaciones relativas a la interpretación de la naturaleza (1620), de Francis Bacon, donde
crítica los fundamentos de la …losofía aristotélica; Discurso del Método, para dirigir bien la
razón y buscar la verdad en las ciencias (1637), de René Descartes, obra en la cual pone en
primer plano la duda y la razón y Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos
nuevas ciencias (1638), de Galileo Galilei, una de las obras en las cuales se funda el método
cientí…co y la Física moderna. Todo esto en forma paralela al cuestionamiento del sistema
social imperante.
Los …lósofos de la antigua Grecia habían tratado el tema del azar. Aristóteles lo trató explicitamente. Consideraba que hay causas accidentales, dentro de las cuales se encuentran tychē
(
) y autómaton (
o
o ), las cuales se presentan en cierto tipo de acontecimientos.
Tychē puede traducirse como suerte, restringiendo su signi…cado a un encadenamiento de
sucesos, relacionados con una persona o grupo de personas, los cuales llevan a una situación
no planeada como objetivo por esa persona o grupo. Autómaton podría traducirse como casualidad, entendiendo ésta como una combinación de circunstancias que no se pueden prever
y que llevan a un resultado no intencionado. Decía Aristóteles: “... puesto que vemos que
unos eventos suceden de la misma manera siempre, otros, en la mayoría de los casos, es claro
que en ninguno de ellos se dice que tychē sea su causa, ni que ocurren por tychē, ni en lo
que ocurre por necesidad y siempre, ni en lo que sucede la mayoría de las veces. Pero dado
que hay eventos que son opuestos a éstos y de los que todos dicen que existen por tychē, es
claro que la tychē y el autómaton existen, pues sabemos que tales eventos se dan por tychē
y que por tychē son tales.”([1], p. 35). En otro texto decía: “es claro que no hay ciencia del
accidente. Pues toda ciencia es de lo que o se da siempre o habitualmente. De lo contrario,
¿cómo se podría enseñar a otro? Es preciso, en efecto, que esté de…nido o por el siempre o
el habitalmente.”([2], p. 102).
Una idea más de Aristóteles refutada, surgió la ciencia del azar. Lo que en una época parecía
que no podía ser, fue, cuando el pensamiento se abrió a nuevas posibilidades.
Pero llevó tiempo y esfuerzo de mucha gente para que la ciencia del azar ocupara un lugar
dentro de la Matemática. De hecho, a principios del siglo XX, el Cálculo de Probabilidades
era considerado como parte de la Física, no de la Matemática. Así lo dejó ver David Hilbert
en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, donde expresó: “Pienso que en cualquier lugar en donde se presenten ideas matemáticas, sea en Filosofía, sea en Geometría,
sea en Física, se plantea el problema de la discusión de los principios fundamentales, base
de esas ideas, y del establecimiento de un sistema simple y completo de axiomas... Las
investigaciones sobre los principios fundamentales de la geometría nos conducen a plantear
este problema: Tratar con base en ese modelo las ramas de la Física donde las Matemáticas juegan actualmente un papel preponderante; esas ramas de la ciencia son, antes que
cualesquiera otras, el Cálculo de Probabilidades y la Mecánica”.([48])
Incluso, a pesar del desarrollo del Cálculo de Probabilidades, por lo menos hasta mediados
del siglo XIX el azar parecía un concepto que en algún momento perdería importancia pues,
para los pensadores de la época, sólo era producto de nuestra ignorancia. Pierre Simon
PRÓLOGO
3
Laplace formuló esta idea de manera muy clara, en un artículo publicado en el año 1814,
al a…rmar que “todos los acontecimientos, aun aquellos que por su insigni…cancia parecen
no depender de las grandes leyes de la naturaleza, constituyen una sucesión tan necesaria
como las revoluciones del Sol. Ignorando los vínculos que los ligan al sistema entero del
universo, se los ha hecho depender de causas …nales o del azar, según que ocurrieran y se
sucedieran con regularidad o sin orden aparente; pero esas causas imaginarias han retrocedido
gradualmente con los límites de nuestros conocimientos y desaparecen por completo frente a
la sana …losofía que no ve en ellas más que la expresión de nuestra ignorancia respecto de las
verdaderas causas ... una inteligencia que en un determinado instante pudiera conocer todas
las fuerzas que impulsan la naturaleza y la respectiva posición de los seres que la componen
y que, además tuviera la su…ciente amplitud para someter esos datos al análisis, incluiría
en una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo y del más ligero
átomo; nada le sería incierto y tanto el pasado como el futuro estarían en su presencia.”
([56], p. 2-3)
Sin embargo, con los avances cientí…cos de la segunda mitad del siglo XIX, la concepción determinista mecanicista comenzó a resquebrajarse y un nuevo paradigma comenzó a gestarse,
el cual se a…anzaría plenamente durante el siglo XX. Durante la segunda mitad del siglo XIX
surgió la Mecánica Estadística con los trabajos de Krönig , Clausius , Maxwell y Boltzmann,
donde el Cálculo de probabilidades se constituyó como la herramienta fundamental para el
estudio de sistemas con muchas partículas. Además, fue en ese periodo cuando surgió la
teoría de Mendel sobre la herencia y la teoría de Darwin sobre la evolución de las especies,
la primera fundada en un modelo probabilístico y la segunda planteando que el surgimiento
de nuevas especies se realiza al azar. Más aún, los estudios de datos, los cuales eran tratados
con métodos probabilísticos, crecieron a un ritmo acelerado con los trabajos de Bienaymé,
Quetelet y Galton, entre otros. La nueva irrupción del azar en el pensamiento cientí…co cambió el paradigma; de ser pensado únicamente como un producto de nuestra ignorancia, pasó
a conceptualizarse como algo objetivo. En 1896, Poincaré expresó claramente este cambio:
“... en la teoría cinética de los gases, se encuentran las conocidas leyes de Mariotte y de
Gay-Lussac, gracias a la hipótesis de que las velocidades de las moléculas gaseosas varían
irregularmente, es decir, al azar. Las leyes observables serían mucho menos simples, dirían
los físicos, si las velocidades estuvieran arregladas por alguna ley elemental simple, si las
moléculas estuvieran, como se dice, organizadas, si obedecieran a alguna disciplina. Es
gracias al azar, es decir, gracias a nuestra ignorancia, que podemos concluir; y entonces,
si la palabra azar es simplemente un sinónimo de ignorancia, ¿qué querría decir eso? ¿Se
traduciría entonces como sigue? Me pide usted que le prediga los fenómenos que van a producirse. Si, por desgracia, conociera las leyes de esos fenómenos, podría lograrlo únicamente
mediante cálculos inextricables y debería renunciar a responderle; pero, como tengo la suerte
de ignorarlas, le voy a responder en seguida. Y, lo más extraordinario, es que mi respuesta
será correcta. Se requiere entonces que el azar sea más que el nombre que le damos a nuestra
ignorancia.”([75], p. 2-3)
A …nales del siglo XIX el Cáculo de Probabilidades y el Cálculo Diferencial e Integral éran
dos áreas del conocimiento un tanto independientes. La segunda era utilizada por la primera
4
PRÓLOGO
para resolver algunos problemas de probabilidad, así como en otro tipo de problemas se
utilizaba el Cálculo Combinatorio. Pero las investigaciones que se llevaban a cabo en uno y
otro lado parecían muy alejadas unas de otras; por el lado del Cálculo de Probabilidades se
trabajaba principalmente en el estudio de las sucesiones de variables aleatorias independientes (teoremas límite), concepto que ni siquiera existía en el Cálculo Diferencial e Integral.
Por el lado de este último las investigaciones estaban orientadas a resolver el problema que
había planteado Bernhard Riemann en un artículo publicado en el año 1854 ([77]), el cual
consistía en caracterizar a las funciones que son integrables de acuerdo con la de…nición que
él mismo dio en su artículo; problema que, a su vez, tenía como objetivo el determinar las
condiciones para que una función se pueda expresar como una serie trigonométrica; algo
muy alejado del Cálculo de Probabilidades. Nadie imaginaba que pudiera haber un vículo
estrecho entra ambas áreas.
Pero las cosas fueron cambiando y tomaron un rumbo inesperado. Las investigaciones alrededor del problema planteado por Riemann condujeron a caracterizar a las funciones integrables
en términos de un concepto que surgió en el transcurso de esas investigaciones, el de conjunto
de contenido cero: una función acotada f : [a; b] ! R es Riemann integrable si y sólo si, dada
cualquier " > 0, el conjunto de puntos en los cuales la oscilación de la función es mayor que
" tiene contenido cero. Para aclarar lo que dice este resultado, demos las correspondientes
de…niciones: Si f : [a; b] ! R es una función acotada, x 2 (a; b) y [a1 ; b1 ] ; [a2 ; b2 ] ; : : : es
una T
sucesión de intervalos cerrados encajados que contienen a x como punto interior y tales
nf ff (x) : x 2 [an ; bn ]g]
que 1
n=1 [an ; bn ] = fxg, el límite l mn!1 [sup ff (x) : x 2 [an ; bn ]g
existe y es independiente de la sucesión particular de intervalos encajados con las propiedades dadas antes; a ese límite se le llama la oscilación de la función f en el punto x. Si
A es un subconjunto de R, se dice que A tiene contenido cero si, dada cualquier " > 0,
existe un número …nito de intervalos abiertos cuya unión contiene al conjunto A y tales
que la suma de sus longitudes es menor que ". Una vez surgido este concepto y dada su
importancia en la teoría de integración se desarrolló una Teoría del Contenido, mediante la
cual se extiende el concepto de longitud a una familia bastante grande de subconjuntos de
R. Esta caracterización jugó un papel muy importante en el desarrollo posterior de la teoría
de integración; además, echó por tierra algunas ideas que se tenían y signi…có un giro fundamental en las investigaciones que se venían realizando. Antes de esta caracterización de la
integrabilidad en términos del concepto de contenido cero se pensaba que el que una función
fuera integrable tenía que ver con el tamaño topológico del conjunto de sus discontinuidades,
o, planteándolo de una manera más general, se pensaba que tenía que ver con propiedades
topológicas del conjunto de sus discontinuidades. Especi…camente, la caracterización de las
funciones integrables intentó hacerse con base en dos conceptos topológicos: el de conjunto
denso en ninguna parte y el de conjunto de primera especie. Recordemos que se dice que un
conjunto A de números reales es denso en ninguna parte si dado cualquier intervalo abierto
no vacío I, existe un intervalo abierto no vacío J contenido en I tal que J
Ac . Esto es
equivalente a decir que la cerradura de A no tiene puntos interiores. Por otra parte, si denotamos por A(1) al conjunto de puntos de acumulación de A, por A(2) al conjunto de puntos
de acumulación de A(1) , etcétera. Al conjunto A(n) se le llama el enésimo conjunto derivado
de A. Se dice que A es de primera especie si A(n) es …nito para alguna n. Hacia 1873 era
PRÓLOGO
5
ya bien conocido que un conjunto acotado de primera especie es denso en ninguna parte, sin
embargo, se pensaba que los conjuntos de primera especie agotaban las posibilidades de los
conjuntos densos en ninguna parte, es decir se pensaba que un conjunto es denso en ninguna
parte si y sólo si es de primera especie. La confusión terminó cuando se inventaron métodos
para construir conjuntos densos en ninguna parte, con lo cual se encontraron ejemplos de
conjuntos densos en ninguna parte que no son de primera especie. El concepto de contenido
cero no es topológico, se deriva del concepto de longitud; sin embargo, se tiene la siguiente
relación: todo conjunto acotado de primera especie tiene contenido cero y a su vez todo
conjunto acotado de contenido cero es denso en ninguna parte.
La Teoría del Contenido fue desarrollada principalmente por Camille Jordan alrededor del
año 1890. De lo que se trataba era de de…nir la longitud de cualquier subconjunto de R y
el área de cualquier subconjunto de R2 . Jordan dio un método para lograr esto de…niendo
el contenido interior de un conjunto (acercándonos por adentro a lo que podría entenderse
por área del conjunto, mediante uniones …nitas de intervalos, en el caso de R, y por uniones
…nitas de rectángulos, en el caso de R2 ) y el contenido exterior de un conjunto (acercándonos
al área que se quiere de…nir mediante uniones …nitas de intervalos que cubran al conjunto, en
el caso de R, y mediante uniones …nitas de rectángulos que cubran al conjunto, en el caso de
R2 ). El contenido (longitud o área) de un conjunto estará bien de…nida cuando su contenido
interior coincida con su contenido exterior. La familia de conjuntos cuyo contenido está
bien de…nido no incluye a todos los subconjuntos de R o de R2 , según sea el caso, pero es
bastante grande, tiene la misma cardinalidad que la familia de todos los subconjuntos de R o
de R2 , según sea el caso. La función Contenido tiene la propiedad siguiente: Si se tiene una
familia …nita de conjuntos ajenos por parejas y cuyo contenido está bien de…nido, entonces
el contenido de la unión también está bien de…nido y es igual a la suma de los contenidos
de los conjuntos de la familia. A esta propiedad la llamaremos la propiedad de la aditividad
…nita.
Años más tarde, buscando resolver un problema que no tenía nada que ver con la Teoría
de Integración, ni mucho menos con el Cálculo de Probabilidades, Émile Borel de…nió el
concepto de medida cero: Si A es un subconjunto de R, se dice que A tiene medida cero
si, dada cualquier " > 0, existe un número …nito o in…nito numerable de intervalos abiertos
cuya unión contiene al conjunto A y tales que la suma de sus longitudes es menor que ".
Una vez de…nido este concepto, Borel se planteó el problema de desarrollar una teoría de
la medida mediante la cual se pudiera extender el concepto de longitud a una familia más
grande de subconjuntos de R que la familia a la que se llegaba con el concepto de contenido.
Borel no logró su objetivo, pero sí lo hizo Henri Lebesgue, quien desarrolló lo que ahora se
llama la Teoría de la Medida de Lebesgue, mediante la cual se asigna una medida (longitud)
a cada elemento de una familia de subconjuntos de los números reales, la cual es más grande
que la familia a la que se llega con el concepto de contenido. Esta medida tiene la propiedad
siguiente: Si (An )n2N es una sucesión de subconjuntos de R a cada uno de los cuales se les
puede asignar una medida y esos conjuntos son ajenos por parejas, entonces la unión de ellos
también tiene asignada una medida, la cual es igual a la suma de las medidas de cada uno de
6
PRÓLOGO
los conjuntos de la sucesión. A esta propiedad la llamaremos la propiedad de la aditividad
numerable o -aditividad.
¿Qué vínculo podía tener lo anterior con el Cálculo de Probabilidades?
Por el lado del Cálculo de Probabilidades, una de las propiedades básicas con la que se
contaba para calcular probabilidades es la que formula Henri Poincaré en un libro publicado
en el año 1896: “cuando un evento puede producirse de dos maneras diferentes, de tal forma
que esas dos maneras no puedan ocurrir simultáneamente, la probabilidad de ocurrencia de
este evento es igual a la suma de la probabilidad de que se produzca de la primer manera y de
la probabilidad de que se produzca de la segunda manera.”De aquí se sigue inmediatamente
que si un evento puede producirse de n maneras diferentes, de tal forma que cualesquiera
dos de esas maneras no puedan ocurrir simultáneamente, la probabilidad de ocurrencia de
este evento es igual a la suma p1 + p2 +
+ pn , donde, para k 2 f1; 2; : : : ; ng, pk es la
probabilidad de que se produzca de la k-ésima manera. ¡Es la aditividad …nita! Se van
acercando las ideas.
¿Qué se podía decir (estamos ubicándonos a …nales del siglo XIX) si un evento puede producirse de una in…nidad numerable de maneras diferentes, de tal forma que cualesquiera
dos de esas maneras no puedan ocurrir simultáneamente? Hacía muchos años que Jacques
Bernoulli había dado una respuesta a esta pregunta, en su libro publicado en el año 1713. No
lo hizo para el problema general que estamos planteando, sino para un problema particular
donde se presentaba esta situación. La respuesta, para el problema particular
P1que planteó
Bernoulli, es simple: la probabilidad de ocurrencia de tal evento es la serie k=1 pk , donde
para k 2 N, pk es la probabilidad de que el evento se produzca de la k-ésima manera. ¡Es
la -aditividad! Estamos más cerca. Sin embargo, aún muy lejos ya que una propiedad que
se presenta en un caso particular no puede ser trasladada mecanicamente a una situación
general. Todavía había un camino por recorrer. Además, lo anterior parece simplemente
una analogía; en el caso del contenido de Jordan o de la medida de Lebesgue lo que tenemos
son subconjuntos de R (o de R2 ), mientras que en el caso de la probabilidad lo que tenemos
son eventos. Tienen propiedades similares, pero estamos tratando con dos tipos de objetos.
Sin embargo la historia no …nalizó con lo que hizo Lebesgue ni el Cálculo de Probabilidades
se estancó en el estado en que se encontraba a …nales del siglo XIX. Lebesgue continuó con
sus investigaciones y se le fue uniendo más gente. Después de que Lebesgue desarrolló su
teoría de integración en R, se extendió al caso de Rn sin mucha di…cultad. ¿Y si tuviéramos
un espacio de dimensión in…nita? Parece di…cil y ¿nos serviría para algo?, bueno, tal vez no
se trate de que sirva para algo. Pero regresemos a lo que ocurrió... Bueno, mejor dejemos la
historia aquí por el momento, la continuaremos más adelante. Veamos el …nal, bueno, no el
…nal …nal, sólo el …nal de esta parte. Hacia 1930 se tenía ya desarrollada una Teoría General
de la Medida, la cual incluye la de…nición y el estudio de medidas de…nidas sobre una familia
de subconjuntos de un conjunto cualquiera (sí, cualquiera) y se contaba con un método para
construir esas medidas. La propiedad básica de cualquier medida es la -aditividad.
PRÓLOGO
7
¿Y qué pasó por el lado del Cálculo de Probabilidades? Antes de responder esta pregunta,
adelantémonos un poco. Mediante un razonamiento lógico, podríamos acercar más el Cálculo
de Probabilidades a la Teoría de la Medida, salvando uno de los obstáculos planteados antes.
Un problema de probabilidad lo podemos plantear en términos de lo que se denomina un
experimento aleatorio, el cual se de…ne como un proceso cualquiera que conduzca a un
resultado, pero con la característica de que ese resultado no está únicamente determinado,
puede ser uno cualquiera de un conjunto de posibles resultados. ¿Conjunto?, Sí, conjunto.
Por …n los conjuntos en el Cálculo de Probabilidades. Al conjunto de posibles resultados
de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral y se le suele denotar por la
letra . Ahora bien, ¿qué es un evento?, podríamos de…nirlo como una proposición (en
el sentido de la Lógica, es decir una aseveración que se hace la cual únicamente puede ser
verdadera o falsa) relativa al resultado del experimento aleatorio que estemos considerando.
Si realizamos el experimento podremos decir si esa proposición es verdadera o falsa (para esa
realización); utilizando la terminología del Cálculo de Probabilidades, cuando la proposición
resulte verdadera diremos que el evento ocurre y cuando es falsa diremos que no ocurre.
Dado un evento cualquiera, hay un conjunto de posibles resultados del experimento para
los cuales la proposición que de…ne al evento resulta verdadera y para cualquier posible
resultado que no esté en ese conjunto la proposición resulta falsa. De esta forma podemos
identi…car al evento en consideración con ese conjunto, el cual es un subconjunto del espacio
muestral. Ah!, entonces la probabilidad es una función que está de…nida sobre una familia
de subconjuntos de un conjunto; como una medida. Salvado un obstáculo, ya no estamos
tratando con dos tipos de objetos. Queda entonces un único punto que salvar para poder
identi…car una función de probabilidad con una medida. ¿Es -aditiva cualquier función de
probabilidad?
Volvamos a la historia. Casi inmediatamente después de publicado el trabajo de Lebesgue, la
naciente Teoría de la Medida comenzó a utilizarse en algunos problemas de probabilidad, por
ejemplo para calcular un tipo de probabilidades llamadas geométricas, las cuales consisten
en considerar la elección al azar de un punto en una determinada región del plano y calcular
la probabilidad de que el punto seleccionado pertenezca a un subconjunto dado de esa región.
La probabilidad buscada se calculaba simplemente dividiendo el área del subconjunto dado
entre el área de la región (la cual obviamente tendría que ser positiva). Con la teoría de
Lebesgue ese problema podía ser resuelto para una familia más grande de subconjuntos de
la región donde se selecciona el punto. En ese caso la función de probabilidad resulta ser
aditiva ya que está de…nida mediante la medida de Lebesgue en el plano. Pero, se trataba
únicamente de un tipo de problemas de probabilidad.
En el año 1909 Borel publicó un artículo donde trató un tipo de problemas que denominó de
probabilidades numerables. Para no tener que dar nuevas de…niciones, podemos plantear un
ejemplo del tipo de problemas que Borel estudió en ese artículo. Supongamos que se lanza
un dado una in…nidad de veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número 6 se obtenga una
in…nidad de veces? Si se asume que la función de probabilidad es -aditiva, la respuesta
es que esa probabilidad es igual a 1. Borel llegó a este resultado pero planteándolo en
otros términos, sin asumir que la función de probabilidad es -aditiva; escribió Borel: “es
8
PRÓLOGO
claro que no se puede buscar aquí la probabilidad de que el caso favorable se produzca una
in…nidad de veces en n ensayos y enseguida hacer crecer n inde…nidamente; por lo tanto se
razonará como sigue: eligiendo un número …jo m, se buscará la probabilidad de que el caso
favorable se produzca más de m veces en n ensayos y se calculará el límite hacia el cual
tiende esta probabilidad cuando n aumenta inde…nidamente; omito aquí el sencillo cálculo,
cuyo resultado es el siguiente: este límite es la unidad cualquiera que sea el número …jo
m; eso signi…ca que se puede apostar con ventaja una cantidad tan grande como se quiera
contra 1 franco a que el número de casos favorables será superior a un número …jo dado
cualquiera m; es precisamente la signi…cación de este enunciado: la probabilidad P (A1 ) es
igual a uno” (en nuestro ejemplo A1 es la obtención del número 6 una in…nidad de veces).
Aunque pareciera que sí, Borel no a…rmó que P (A1 ) = 1, o, si se quiere, lo a…rmó pero
solamente como un enunciado con una interpretación particular. Y había una razón para
que Borel no escribiera P (A1 ) = 1 sin necesidad de dar una determinada interpretación.
La razón era que Borel había mostrado que una función de probabilidad no siempre es aditiva. Esto lo hizo dando el siguiente ejemplo: “Supongamos, por ejemplo, que existe
una manera de elegir de entre la colección in…nita de números enteros, uno de ellos al azar,
de manera que cada uno de ellos tenga la misma probabilidad, esta probabilidad deberá
entonces ser nula, pero su suma debe ser igual a 1”. ¡Ups!, efectivamente no hay -aditividad.
¡Qué complicación!, tan bien que íbamos. Alguien podría argumentar que no hay ningún
problema pues el experimento aleatorio que planteó Borel es irrealizable, ¿cómo elegir al
azar un número entero? La aceptación de ese argumento nos metería en problemas ya que
en el Cálculo de Probabilidades nos encontramos con muchos experimentos de ese tipo; son
experimentos pensados. Serían serios los problemas pues un experimento de importancia
básica en el Cálculo de Probabilidades consiste en la elección al azar de un número real en el
intervalo [0; 1], imposible de realizar, pero no de modelar matemáticamente, con una función
de probabilidad -aditiva. Cabe mencionar aquí que el problema de la imposibilidad de
efectivamente realizar un experimento aleatorio no crea ningún problema en la formulación
moderna de la Teoría de la Probabilidad ya que esta formulación consiste en de…nir y estudiar
un sistema matemático formal, con reglas muy precisas que no tienen nada que ver con la
realización de experimentos; dentro de ese sistema, todo es Matemática. La utilización de
ese cuerpo teórico formal para modelar fenómenos que se presentan en la realidad es un
problema aparte.
Pero sigamos con la historia. Se fueron planteando problemas de probabilidad cada vez
más complejos, ya no únicamente con sucesiones de variables aleatorias independientes. Un
problema de gran importancia que se resolvió fue el de construir un modelo matemático
(probabilístico) para el llamado movimiento browniano, el cual consiste en el movimiento de
un grano de polen que se coloca sobre agua. Las posibles trayectorias que sigue el grano
de polen sobre el agua son funciones continuas de…nidas en el intervalo de tiempo en que
se observa el movimiento, el cual podríamos asumir que es el intervalo [0; 1) y podríamos
imaginar que el recipiente de agua es in…nito, de manera que cada posible trayectoria que
sigue el grano de polen es una función continua f : [0; 1) ! R2 ; así que el conjunto de
posibles trayectorias es un espacio vectorial de dimensión dimensión. Fue Norbert Wiener
quien, en el año 1923, construyó ese modelo. Para ello utilizó los resultados que había
PRÓLOGO
9
obtenido John Daniell, quien entre los años 1918 y 1920, desarrolló una teoría general de
integración la cual permitía de…nir la integral para funciones que dependen de una in…nidad
de variables. El método de Daniell conduce a una de…nición de integral la cual tiene las
mismas propiedades que la integral que de…nió Lebesgue, en particular en lo que se re…ere
a poder integrar, bajo determinadas condiciones, el límite de una sucesión de funciones
como el límite de las integrales de las funciones de la sucesión, propiedad que equivale
a la -aditividad de una medida. Teníamos nuevamente la -aditividad de la función de
probabilidad, pero todavía para un caso particular, aunque esta vez de mucha importancia.
El ejemplo de Borel, de una función de probabilidad que no es -aditiva, medio se olvidó,
tal vez por todos los resultados que se iban obteniendo en la Teoría de la Medida, dándole
así mucha fuerza. En el año 1925 se publicó un libro de Paul Lévy titulado Calcul des
Probabilités, donde asume que toda función de probabilidad es -aditiva. Sin embargo aún
quedaban algunos obstáculos que salvar para una aceptación general de esta propiedad.
El problema central era el siguiente: A una variable aleatoria se le asocia una función no
decreciente denominada su función de distribución y, desde el año 1913, August Radon
había demostrado que, a partir de una función de ese tipo, se puede construir una medida
utilizando el método de Lebesgue; a una familia …nita formada por n variables aleatorias se le
asocia también una función de n variables denominada su función de distribución conjunta y,
utilizando el método que Constantin Carathéodory había publicado en el año 1914, también,
a partir de una función de distribución conjunta, se podía construir una medida. El problema
que quedaba por resolver era como construir una medida asociada a una in…nidad, numerable
o no numerable, de variables aleatorias. Este problema lo resolvió, utilizando el método de
Carathéodory, Andrei Nikolayevich Kolmogorov en el año 1933. De esta manera la fusión
del Cálculo de Probabilidades con la Teoría de la Medida quedaba consumada. El sistema
matemático formal que surgió con las investigaciones realizadas entre los años 1900 y 1933,
las cuales culminaron con la publicación del trabajo de Kolmogorov, es lo que propiamente
podemos llamar ahora la Teoría de la Probabilidad.
¿Y qué hacer con el ejemplo de Borel? Hubo una polémica al respecto que se dio mediante
la publicación de varios artículos. La conclusión para quienes optaron por aceptar la aditividad como propiedad de cualquier función de probabilidad, fue simplemente que ese
ejemplo queda fuera del cuerpo teórico que se desarrolló.
Además de lo interesante y maravilloso de esta historia, tenemos aquí un ejemplo de entrelazamiento, y en algún momento prácticamente una fusión, entre dos áreas del conocimiento
que parecían independientes una de la otra. Una inventada para tratar con sistemas deterministas, como el movimiento de los cuerpos celestes; otra inventada para tratar con procesos
que evolucionan al azar.
Analizando la historia, tanto de la Teoría de Integración como del Cálculo de Probabilidades,
hay algunos aspectos que merecen ser resaltados:
1. El desarrollo se va dando gracias a que cada uno de los que fueron contribuyendo tuvieron
una mirada crítica hacía lo que estaba ya hecho. Algunos ejemplos: Cuando Fourier a…rmó
10
PRÓLOGO
que toda función se puede expresar como una serie trigonométrica, algunos tomaron el resultado cautelosamente y se pusieron a investigar sobre el tema, Cauchy se dio cuenta que
una de las cosas que es necesario de…nir con precisión es el concepto de integral, pero lo hizo
únicamente para las funciones continuas; después, él mismo y otros que le siguieron buscaron
de…nir la integral para el caso de funciones discontinuas; la integral se de…nía dependiendo
del tipo de discontinuidades. Más adelante, Riemann, con una posición crítica hacia lo que se
venía haciendo, cambió el enfoque al de…nir la integral de una única manera, independientemente de como sea la función; se abocó entonces al problema de caracterizar a las funciones
que son integrables. Borel introdujo el concepto de medida cero e intentó desarrollar una
Teoría de la Medida, sin embargo, su planteamiento fue limitado. Lebesgue, mirando el
trabajo de Borel criticamente, planteó otro camino que resultó mucho más fructífero. Vemos
entonces que es un pensamiento crítico el que va produciendo el desarrollo.
2. En el recuento histórico de los párrafos anteriores quedan muchísimos nombres sin mencionar. Tanto del lado del Cálculo de Probabilidades como del Análisis Matemático, los
avances que se hicieron fueron producto del trabajo de mucha gente, lo cual muestra que la
matemática es un producto social y que se desarrolla en zigzag, buscando a veces en una
dirección sin encontrar resultados su…cientemente satisfactorios, dejando preguntas abiertas
que en un momento dado no pudieron responderse y que la tenacidad de quienes continuaron
permitieron irlas respondiendo, no necesariamente en la forma en que fueron inicialmente
formuladas. Se trata de un trabajo colectivo que va creando una historia de suspenso, porque
en cada momento no se sabe cómo se llegará a la solución de un determinado problema ni qué
nuevos elementos se irán introduciendo para abordarlo. No se sabe tampoco si surgirá una
nueva teoría, que tal vez lo englobe o lo descarte; todo esto en un proceso que no tiene …n,
porque nunca estará todo dicho, aún cuando la historia pudiera continuar inde…nidamente.
3. La formulación que se dio a la Teoría de la Probabilidad es axiomática, es decir, se
de…nió un sistema formal de axiomas, con los cuales se ha desarrollado un cuerpo teórico
puramente matemático, independiente de los procesos o fenómenos reales que posibilitaron
su surgimiento. ¿Independiente realmente? La respuesta es dialéctica, sí y no.
Sí, porque efectivamente el cuerpo teórico que se va creando tiene su propia dinámica interna; es válido, por ejemplo, inventar de…niciones con los elementos de ese cuerpo teórico y
construir una teoría con resultados relativos a lo de…nido, la cual quedaría dentro del cuerpo
teórico general; y esto aún cuando lo de…nido o los resultados que se demuestren no tengan
vínculo alguno con algún fenómeno o proceso real.
No, porque lo que ocurre en el desarrollo histórico es que, en general, son los fenómenos reales
los que motivan el interés en estudiar un determinado problema. Son los fenómenos reales los
que direccionan el desarrollo teórico. A su vez, el cuerpo teórico que se forma a partir de los
axiomas es utilizado para resolver algún nuevo problema real. En un contexto más general,
el conocimiento va formando un entramado complejo con vínculos entre diferentes áreas,
incluyendo lo social. Una investigación cientí…ca, de cualquier área, tiene la posibilidad, por
su naturaleza de producción, de tener efectos en otras áreas del saber, dentro de cualquiera
de sus ramas, las cuales, todas juntas, conforman el entramado simbólico humano.
PRÓLOGO
11
Por otra parte, como lo mencionamos antes, el cuerpo teórico que conforma la Teoría de la
Probabilidad es puramente matemático, basado en un sistema de axiomas, el cual incluye la
propiedad de -aditividad de la función de probabilidad, de manera que viéndolo retrospectivamente, la pregunta ¿es -aditiva cualquier función de probabilidad?, planteada en uno de
los párrafos anteriores, está mal formulada, o, si se quiere, tiene una respuesta trivial: cualquier función de probabilidad es -aditiva si el sistema de axiomas incluye esa propiedad;
de otra forma, no necesariamente se tiene la -aditividad. En otras palabras, podríamos
de…nir un sistema axiomático en el cual una función de probabilidad tuviera como propiedad
necesaria el ser …nitamente aditiva; pudiendo ser -aditiva o no serlo. El cuerpo teórico
que se desarrollara a partir de ese sistema axiomático conformaría una teoría matemática
más, con el mismo status que cualquier otra. El incluir a la -aditividad como propiedad
de cualquier función de probabilidad tiene la justi…cación que se fue dando históricamente,
pero …nalmente es, en sí, arbitraria.
Tal vez alguien podría preguntarse, bueno, pero en un fenómeno aleatorio real, ¿la función de
probabilidad es o no es -aditiva? Nuestro punto de vista es que, parafraseando a Jacques
Lacan, un fenómeno aleatorio real no habla, así que no cuenta con un sistema simbólico.
La función de probabilidad es una invención humana, la cual forma parte de todo el simbolismo con el que los humanos tratamos de entender a la naturaleza; pero ese simbolismo
es únicamente eso, un simbolismo que no forma parte de la naturaleza en sí misma.
4. Hay un aspecto que no desarrollamos en este libro; es el que se re…ere al vínculo que
hay entre el avance cientí…co y las necesidades del sistema dominante. En ocasiones suele
pensarse que el quehacer de un matemático es un acto solipsista, signado de la más absoluta
neutralidad, dejándose arti…ciosamente de lado que dicho acto es un acto humano y como
tal se encuentra inmerso en un marco conceptual, y atravesado por la cultura y la ideología.
También se cae frecuentemente en el reduccionismo de pensar que es un acto que tiene
garantía de ser "sin consecuencias", haciendo entonces a un lado la importancia vital del
desarrollo de las ciencias para bien o para mal de la humanidad. Siempre están presentes
el mundo real, los problemas sociales y los intereses de determinados grupos, que parecen
estar por fuera del quehacer cientí…co, pero que en realidad no lo están totalmente. Hay una
responsabilidad del hombre o mujer de ciencia, incluido el matemático o la matemática, de
re‡exionar sobre lo que atañe a la investigación cientí…ca, abriendo canales de comunicación
con todo el abanico del desarrollo cientí…co y social, en pos de alcanzar una visión más
completa, insertos en un marco histórico especí…co. Es incluso así como sería más fructífero
ese pensamiento crítico que ha sido desde siempre el impulsor de los pasos cruciales del
desarrollo a lo largo de la historia de la humanidad. Ese maravilloso pensamiento crítico que
pone sobre el tapete los saberes de los que nos precedieron para que pueda darse lugar a los
grandes hitos signi…cativos del salto cualitativo del saber.
Volviendo nuevamente a la parte histórica de los temas que se tratan en este libro y recapitulando lo mencionado con anterioridad, durante los primeros 33 años del siglo XX el Cálculo
de Probabilidades se desarrolló enormemente; puede decirse que durante esos años culminó
un periodo de desarrollo y comenzó uno nuevo. Paralelamente a la conclusión del estudio
de las sucesiones de variables aleatorias independientes se comenzaron a formular problemas
12
PRÓLOGO
que involucraban una in…nidad de variables aleatorias las cuales dependían unas de otras de
diferentes maneras, iniciándose así el estudio de los procesos estocásticos. Este estudio se
hizo ya sobre nuevas bases, con una formulación de la Teoría de la Probabilidad basada en
la Teoría General de la Medida.
En este libro se expone la formulación moderna de la Teoría General de la Medida y de la
Teoría de Integración con respecto a una medida, para pasar después a la formulación de
la Teoría de la Probabilidad basándonos en la Teoría de la Medida. Está pensado como el
primero de dos libros, en el segundo de los cuales el objetivo es formular las bases del Cálculo
Estocástico mediante la de…nición de lo que se denomina una integral estocástica y el estudio
de sus propiedades.
La intención es lograr una exposición de los diferentes temas de tal manera que el libro sea
accesible a estudiantes de licenciatura, sin dejar de lado el rigor matemático que se requiere
en cada uno de ellos.
El libro consta de 15 capítulos.
En el primero se expone de manera detallada la historia del desarrollo de la Teoría de
Integración hasta llegar a la formulación de Lebesgue.
En el segundo se hace una exposición formal de cómo se construye la medida de Lebesgue
en R.
En el tercero se trata el tema de las funciones de variación acotada.
En el cuarto se de…ne y se demuestran las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes,
la cual fue de gran importancia para generalizar el trabajo de Lebesgue y llegar a formular
una Teoría General de la Medida y de la Integral.
En el quinto de desarrolla formalmente la Teoría General de la Medida.
En el sexto se trata el tema de la construcción de medidas a partir de funciones de variación
acotada.
En el séptimo se expone la primera parte de la Teoría General de Integración con respecto
a una medida.
En el octavo se expone la segunda parte de la Teoría General de Integración con respecto a
una medida.
En el noveno se trata nuevamente el tema de la integral de Stieltjes, pero viéndola como la
integral con respecto a la medida generada por una función de variación acotada.
En el décimo se de…nen y estudian diferentes tipos de convergencia de funciones; tema central
ya que, por ejemplo, la integral estocástica se de…ne utilizando la convergencia en el espacio
de funciones de cuadrado integrable.
PRÓLOGO
13
En el décimo primero se estudian los espacios Lp .
En el décimo segundo se expone de manera detallada la historia del desarrollo de la Teoría
de Probabilidad hasta llegar a su formulación axiomática.
En el décimo tercero se desarrolla la Teoría de la Probabilidad, considerando a ésta como
una medida; se de…nen los conceptos básicos y se estudian sus propiedades; en particular, se
muestra cómo se genera una medida a partir de una función de distribución conjunta.
En el décimo cuarto se estudia el concepto de Esperanza y las leyes de los grandes números.
En el décimo quinto se trata el tema de la construcción de espacios de probabilidad, concluyendo el capítulo con la demostración del teorema de Kolmogorov, el cual permite construir un espacio de probabilidad para una familia cualquiera de variables aleatorias.
En el Apéndice se desarrollan algunos temas de Análisis que se utilizan en el texto: el
teorema de Heine-Borel, compacidad en espacios métricos, caracterización de los conjuntos compactos, espacios vectoriales normados, convergencia uniforme y la aproximación de
funciones continuas mediante polinomios.
Miguel Ángel García Álvarez
Diciembre de 2018
e-mail: magaz@unam.mx
Notación y terminología
A[B
A\B
Sn
k=1 Ak
Tn
k=1 Ak
Unión de los conjuntos A y B.
Intersección de los conjuntos A y B.
Unión de los conjuntos A1 ; : : : ; An .
Intersección de los conjuntos A1 ; : : : ; An .
(An )n2N
S1
k=1 Ak
T1
k=1 Ak
Sucesión de los conjuntos A1 ; A2 ; : : : .
A
B
Producto cartesiano de los conjuntos A y B.
A
B
El conjunto A está contenido en el conjunto B.
A
B
El conjunto A contiene al conjunto B.
Ac
B A
Unión de los conjuntos de la sucesión (An )n2N .
Intersección de los conjuntos de la sucesión (An )n2N .
Complemento del conjunto A.
B \ Ac .
;
Conjunto vacío.
N
Conjunto de los números naturales, sin incluir el cero.
Z
Conjunto de los números enteros.
Q
Conjunto de los números racionales.
R
Conjunto de los números reales.
R
R [ f 1; 1g .
Z+
Conjunto de los números enteros no negativos.
R+
Conjunto de los números reales no negativos.
fn; : : : ; mg
Conjunto de números enteros entre n y m inclusive.
fn; n + 1 : : :g Conjunto de números enteros mayores o iguales a n.
15
16
NOTACIÓN Y TERMINOLOGíA
m n(a; b)
Mínimo entre a y b.
max(a; b)
x^y
Máximo entre a y b.
m n(x; y).
x_y
max(x; y).
nf A
Ín…mo del conjunto A.
sup A
Supremo del conjunto A.
(xn )n2N
Sucesión de los números x1 ; x2 ; : : : .
x
x tiende al valor .
f : A 7! B función de…nida sobre el conjunto A, con valores en el conjunto B.
g f
Composición de las funciones f y g.
IA
Función indicadora del conjunto A (igual a 1 sobre A y 0 sobre Ac ).
f (x+)
Límite de la función f cuando la variable tiende a x por la derecha.
f (x )
Límite de la función f cuando la variable tiende a x por la izquierda.
ln x
Logaritmo natural de x.
jxj
Valor absoluto del número real x.
[[x]]
Mayor entero menor o igual a x.
x+
max(x; 0).
x
max( x; 0).
(a; b)
Intervalo abierto fx 2 R ja < x < bg.
Intervalo cerrado fx 2 R ja
[a; b]
k=1
xk
k=1
xk
k=1
xk
P1
Qn
n
k
bg.
Intervalo semiabierto fx 2 R ja < x
(a; b]
[a; b)
Pn
x
Intervalo semiabierto fx 2 R ja
bg.
x < bg.
Suma de los números x1 ; : : : ; xn .
P
l mn 1 nk=1 xk
Producto de los números x1 ; : : : ; xn .
Combinaciones de n elementos tomados de k en k ( k!(nn! k)! ).
NOTACIÓN Y TERMINOLOGíA
17
Diremos que una sucesión de números reales (xn )n2N es no decreciente (resp. no creciente)
si xn xn+1 (resp, xn xn+1 ) para cualquier n 2 N.
Diremos que una sucesión de números reales (xn )n2N es creciente (resp. decreciente) si
xn < xn+1 (resp, xn > xn+1 ) para cualquier n 2 N.
Diremos que una sucesión de funciones (fn )n2N , de R en R, es no decreciente (resp. no
creciente) si f (x)
f (y) (resp, f (x)
f (y)) para cualquier pareja x; y 2 R tales que
x y.
Diremos que una sucesión de funciones (fn )n2N , de R en R, es creciente (resp. decreciente)
si f (x) < f (y) (resp, f (x) > f (y)) para cualquier pareja x; y 2 R tales que x < y.
Diremos que una sucesión de conjuntos (An )n2N es creciente (resp. decreciente) si An
(resp, An An+1 ) para cualquier n 2 N.
An+1
CAPÍTULO 1
MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
Desarrollo histórico
El Cálculo Diferencial e Integral fue inventado por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz
a …nales del siglo XVII. En su trabajo de…nieron el concepto de derivada de una función y
geometricamente la interpretaban como la pendiente de la tangente a su grá…ca. La integral
de una función la vieron como la operación inversa de la derivada y geometricamente la
interpetaban como el área de la región delimitada, en el intervalo de integración, por la
grá…ca de la función y el eje horizontal.
A medida que la teoría se fue desarrollando se plantearon problemas cada vez más complejos, los cuales hicieron ver la necesidad de de…nir los conceptos con mayor precisión y de
demostrar resultados con métodos analíticos, en lugar de algunos métodos geométricos que
se utilizaban. En particular, la manera en que se trataba con la integral de una función llevó
a cuestionamientos acerca de la validez de algunas propiedades que se asumían como válidas.
De particular importancia fue el trabajo de Jean-Baptiste Joseph Fourier, publicado en el
año 1822 bajo el título T héorie analytique de la chaleur ([35]). A…rmó ahí que una función
arbitraria f , de…nida y acotada en el intervalo [ L; L], puede representarse mediante una
serie trigonométrica de la forma:
f (x) = 21 a0 +
P1
n=1
an cos nLx + bn sen nLx .
La demostración de Fourier de esta a…rmación consiste básicamente en tratar el desarrollo
anterior como una ecuación para la cual tendrían que encontrarse los coe…cientes a0 , an y
bn (n 2 N) que la hacen válida. Para esto, integrando entre L y L ambos lados de la
expresión, se obtiene:
RL
f (x)dx = 2a0 L.
L
Así que a0 =
1
2L
RL
L
f (x)dx.
Ahora, multiplicando por cos nLx ambos lados de la expresión e integrando, se obtiene:
RL
f (x) cos nLx dx = an L.
L
19
20
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
Así que an =
1
L
RL
f (x) cos nLx dx.
RL
f (x)sen nLx dx.
L
DESARROLLO HISTÓRICO
Finalmente, multiplicando por sen nLx ambos lados de la expresión e integrando, se obtiene:
RL
f (x)sen nLx dx = bn L.
L
Así que bn =
1
L
L
Fourier argumentaba que las integrales que de…nen los coe…cientes a0 , an y bn están bien
de…nidas pues cada una puede obtenerse mediante el cálculo del área bajo la grá…ca de la
función correspondiente.
Cabe mencionar que por función arbitraria Fourier no se refería a lo que actualmente se
entiende por una función como cualquier correspondencia de un conjunto en otro; sin embargo
dentro de las funciones que consideraba incluía no únicamente a las funciones continuas.
Además de la necesidad de clari…car el concepto de función, la demostración de Fourier
planteaba los siguientes tres problemas:
(i) De…niendo los coe…cientes
an y bn como lo hacía Fourier,
P1
1
¿la serie 2 a0 + n=1 an cos nLx + bn sen nLx converge a f (x)?
(ii) ¿Para qué funciones f , las integrales que de…nen los coe…cientes an y bn (n 2 N)
están de…nidas?
(iii) ¿Se puede integrar término a término una serie de funciones?
En el año 1823 se publicó el libro de Augustin-Louis Cauchy titulado Résumé des leçons
données à l’École Royale Politechnique sur le calcul in…nitésimal ([17]), en el cual trató el
problema de la de…nición de la integral, primero para las funciones continuas y después para
funciones con discontinuidades.
En ese trabajo, Cauchy de…nió el concepto de continuidad básicamente como se conoce
actualmente:
Una función de…nida en un intervalo es continua si para cada x en el intervalo el valor
numérico de la diferencia f (x + ) f (x) decrece inde…nidamente con .
Más adelante formuló la de…nición analítica de la integral de una función continua, demostrando
su existencia:
Sea f una función continua en el intervalo [a; b], entonces las sumas:
S=
Pn
k=1
f (xk 1 ) (xk
xk 1 ),
correspondientes a particiones P = fa = x0 <
< xn = bg tienden a un límite cuando
los elementos xk xk 1 se hacen in…nitamente pequeños; a ese límite se le llama la integral
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
21
Rb
de…nida de f y seP
le denota por a f (x)dx. Se obtiene el mismo límite si se consideran sumas
de la forma S = nk=1 f [xk 1 + k (xk xk 1 )] (xk xk 1 ), donde k 2 [0; 1].
Rx
Demostró además que si f es una función continua y F (x) = a f (y)dy, entonces F 0 (x0 ) =
f (x0 ) para cualquier x0 2 (a; b).
La integral así de…nida es conocida actualmente como la integral de Riemann y no como la
integral de Cauchy. La razón de esto parece justa pues es el trabajo de Riemann, publicado
en el año 1867, el que dió la pauta para desarrollar una Teoría de Integración, la cual a su
vez llevaría más tarde a una Teoría del Contenido y …nalmente a la moderna Teoría de la
Medida.
En trabajos posteriores, Cauchy consideró funciones discontinuas haciendo la aclaración
siguiente:
“es necesario observar que las funciones discontinuas introducidas en el Cálculo dejan de ser
continuas únicamente para algunos valores de las variables”
Para este tipo de funciones discontinuas extendió el concepto de integral de la siguiente
manera:
Si una función es continua en un intervalo [a; b], excepto en un punto c, en una vecindad del
cual f puede ser acotada o no, se puede de…nir la integral de f como el límite:
lm
h
0
Z
a
c h
f (x)dx +
Z
b
f (x)dx ,
c h
cuando éste existe.
En 1829, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet conjeturó que el método de Cauchy para
de…nir la integral de funciones discontinuas se puede extender a todas las funciones que
tengan la siguiente propiedad:
Suponiendo que f está de…nida en un intervalo [a; b], dadas dos cantidades arbitrarias u y
v en ese intervalo, es posible encontrar otras dos cantidades r y s entre u y v tales que la
función f es continua en el intervalo [r; s].
Es decir, utilizando la terminología moderna, el conjunto de puntos donde la función es
discontinua debe ser denso en ninguna parte. Recordemos que se dice que un conjunto A
de números reales es denso en ninguna parte si dado cualquier intervalo abierto no vacío I,
existe un intervalo abierto no vacío J contenido en I tal que J Ac . Esto es equivalente a
decir que la cerradura de A no tiene puntos interiores, o bien que A no es denso en ningún
intervalo abierto no vacío.
22
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
1.1. La integral de Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann, en un artículo titulado Sur la possibilité de représenter
une fonction par une série trigonométrique ([77]), el cual fue elaborado en 1854 pero publicado en 1867, cambió el enfoque para atacar el problema de la integración de funciones.
Cauchy y quienes le siguieron buscaban extender la de…nición de la integral a funciones tan
discontinuas como fuera posible, pero no partiendo de una de…nición general sino dando una
de…nición distinta dependiendo del tipo de funciones que se querían integrar. En cambio,
Riemann planteó una de…nición general de la integral para cualquier función y se abocó al
problema de caracterizar a las funciones para las cuales esa integral está de…nida.
Planteaba Riemann:
¿Qué se debe entender por
Rb
a
f (x)dx?
Consideremos una partición x0 ; x1 ; : : : ; xn del intervalo [a; b] y de…namos k = xk
independientemente de como se elijan las cantidades "k 2 [0; 1], las sumas
Pn
k=1 k f (xk 1 + "k k )
tienden a un límite cuando todas
R b las cantidades
valor de la integral de…nida a f (x)dx.
k
xk 1 . Si,
tienden a cero, a ese límite se le llama el
Decía Riemann:
“Busquemos ahora la extensión y el límite de la de…nición precedente y
hagámonos esta pregunta: ¿En qué casos una función es susceptible de
integración?, ¿en qué casos no lo es?”
Estableció dos criterios, ambos basados en el concepto de oscilación de una función en un
intervalo.
Definición 1.1. Sea f : [a; b] ! R una función acotada. La diferencia:
sup ff (x) : x 2 [a; b]g
nf ff (x) : x 2 [a; b]g
es llamada la oscilación de f en el intervalo [a; b].
Criterio R1
Sea Dk la oscilación de f en el intervalo [xk 1 ; xk ], entonces:
P
f es integrable si y sólo si l m k !0 k Dk
k
= 0.
1.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
23
Criterio R2
Dada > 0 y una partición P , sea (P; ) la suma de las longitudes de los subintervalos de
la partición en los cuales la oscilación de la función es mayor que , entonces:
f es integrable si y sólo si l mkP k!0 (P; ) = 0 para cualquier
> 0,
donde kP k es la norma de P .
Este criterio se sigue del criterio R1 y las siguientes desigualdades:
P
(P; )
D (P; ) + (b a) .
k Dk k
donde Dk es la oscilación de f en el intervalo [xk 1 ; xk ] y D la oscilación de f en el intervalo
[a; b].
El criterio R2 permitió a Riemann dar un ejemplo de una función integrable con un conjunto
denso de discontinuidades:
Sea M =
(x) =
1 3 5
; ; ;:::
2 2 2
y, para x 2 [0; 1), de…namos:
si x 2 M
m(x) si x 2
=M
0
x
donde m(x) es el número entero más cercano a x.
Riemann de…nió entonces la función f : [0; 1] ! R de la siguiente manera:
P
(kx)
f (x) = 1
k=1 k2
Se puede demostrar que esta función es discontinua en todos todos los puntos x de la forma
m
x = 2n
, donde m y n son dos números naturales tales que m y 2n son primos entre sí.
Además f satisface el criterio R2 de Riemann y, por lo tanto, es integrable.
Un ejemplo similar, pero más fácil de tratar, es el siguiente:
Consideremos la función f : [0; 1] ! R de…nida por:
f (x) =
si x = m
con m; n 2 N y primos entre sí
n
0 en otro caso
1
n
Esta función es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. En efecto, la
discontinuidad en un número racional x se sigue del hecho de que nos podemos acercar
a x mediante números irracionales, en los cuales f toma el valor 0. Para demostrar la
contuidad en un número irracional, primero observemos que dada " > 0, únicamente existe
un número …nito de puntos x para los cuales se tiene f (x) ", de manera que si x0 es un
número irracional en el intervalo [0; 1], podemos tomar una vecindad de x0 que no contenga
24
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
a ninguno de los puntos en donde f es mayor o igual a ". Para cualquier x en esa vecindad
se tiene f (x) f (x0 ) < ".
Por otra parte, f satisface el criterio R2 de Riemann y, por lo tanto, es integrable. En efecto,
dada > 0 y " > 0, sea A = fx1 , x2 , : : :, xM g el conjunto de puntos en los cuales f es mayor
"
o igual que y de…namos = 3M
. Si P es una partición de norma menor que , hay a lo
más 2M subintervalos de P que contienen algún punto de A; en el resto de los subintervalos
de P la oscilación de f es menor que , de manera que si (P; ) es la suma de las longitudes
de los subintervalos de P en los cuales la oscilación de la función es mayor que , se tiene
(P; ) 2M < ", así que l mkP k!0 (P; ) = 0.
Hermann Hankel, discípulo de Riemann, introdujo en 1870 ([43]) el concepto de oscilación
de una función en un punto y reformuló el criterio de Riemann en los siguientes términos:
Sea f : [a; b] ! R una función acotada y x 2 (a; b). Sea (In )n2N
una sucesión de intervalos cerrados
encajados que contengan a x como
T1
punto interior y tales que n=1 In = fxg; denotemos por On a la oscilación de f en el intervalo In ; entonces el límite l mn 1 On existe y
es independiente de la sucesión particular de intervalos encajados con
las propiedades dadas antes. A ese límite se le llama la oscilación de la
función f en el punto x.
Demostró entonces, erróneamente, que una función es integrable si y sólo si para cualquier
" > 0 el conjunto de puntos donde la oscilación de la función es mayor que " es denso en
ninguna parte.
Durante varios años prevaleció la búsqueda de la caracterización de las funciones integrables
en base a la pequeñez topológica del conjunto de sus discontinuidades y, en esa búsqueda, se
puede observar la confusión que existía respecto a los diferentes conceptos de pequeñez que
podían de…nirse.
Alrededor del año 1873 tal confusión radicaba básicamente en la idea de que un conjunto es
denso en ninguna parte si y sólo si es de primera especie.
Recordemos que si A R, se denota por A(1) al conjunto de puntos de acumulación de A,
por A(2) al conjunto de puntos de acumulación de A(1) , etc... Al conjunto A(n) se le llama
el enésimo conjunto derivado de A. Se dice que un conjunto A R es de primera especie si
A(n) es …nito para alguna n.
En 1873 era ya bien conocido que un conjunto acotado de primera especie es denso en
ninguna parte: si un conjunto es denso en algún intervalo, entonces el conjunto de sus
puntos de acumulación también lo es; de manera que ese conjunto no puede ser de primera
especie.
1.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
25
Sin embargo, se pensaba que los conjuntos de primera especie agotaban las posibilidades de
los conjuntos densos en ninguna parte. La confusión terminó cuando se inventaron métodos
para construir conjuntos densos en ninguna parte.
Paul du Bois Reymond dio en 1883 ([30]) un ejemplo de un conjunto denso en ninguna parte
que no es de primera especie:
Sea In una sucesión de intervalos ajenos cuyos puntos extremos convergen al punto P .
S
En el interior de In de…namos un conjunto Qn de orden n y sea Q = 1
n=1 Qn .
Q es un conjunto denso en ninguna parte pues cada conjunto Qn lo es y éstos se encuentran
en intervalos ajenos.
Por otra parte, P 2 Q(n) para toda n, por lo tanto, Q no es de primera especie.
Otro método de construcción de conjuntos densos en ninguna parte fue desarrollado de
manera independiente por Henry John Stephen Smith en 1875 ([84]), Vito Volterra en 1881
([92], [93]) y Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor durante el periodo 1879-1884 ([11],
[12], [13], [14], [15]). Este método es el que se utiliza actualmente para de…nir el conjunto
de Cantor, el cual es un ejemplo de un conjunto denso en ninguna parte que no es de primera
especie.
De…namos:
F0 = [0; 1],
F1 = [0; 31 ] [ [ 32 ; 1],
F2 = [0; 19 ] [ [ 92 ; 13 ] [ [ 32 ; 79 ] [ [ 89 ; 1],
..
.
En general, si ya tenemos de…nido el conjunto Fn , éste consta de una unión de 2n intervalos
cerrados ajenos. El conjunto Fn+1 se construye entonces partiendo cada uno de esos intervalos
en 3 intervalos de la misma longitud y eliminando el intervalo central abierto.
T
F = 1
n=1 Fn es llamado el conjunto de Cantor y tiene las siguientes propiedades:
Es un conjunto denso en ninguna parte
F = F (n) para toda n, por lo tanto, no es de primera especie.
Durante ese periodo emergió una nueva clase de conjuntos, los de contenido cero:
Definición 1.2. Se dice que un conjunto tiene contenido cero si, para cualquier " > 0, existe
una familia …nita de intervalos abiertos cuya unión cubre al conjunto y tales que la suma de
sus longitudes es menor que ".
26
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
Se pudo demostrar además que esta nueva clase de conjuntos se ubica entre las otras dos
que hemos mencionado, es decir, todo conjunto acotado de primera especie tiene contenido
cero y a su vez todo conjunto de contenido cero es denso en ninguna parte.
Una demostración de la primera de estas contenciones puede basarse en
el hecho de que si B es un conjunto acotado tal que el conjunto de sus
puntos de acumulación tiene contenido cero entonces B también tiene
contenido cero. En efecto, sea C el conjunto de puntos de acumulación
de B; entonces, dada " > 0, existe una colección …nita de intervalos
abiertos cuya unión cubre a C y tales que la suma de sus longitudes es
menor que 2" ; el conjunto de puntos de B que no son cubiertos por la
unión de esos intervalos es …nito, pues si fuera in…nito, siendo además
acotado, tendría por lo menos un punto de acumulación, el cual obviamente no estaría en C, lo cual es una contradicción. Tal conjunto …nito
puede ser cubierto por una colección …nita de intervalos abiertos tales
que la suma de sus longitudes es menor que 2" .
Para demostrar la segunda contención, sea B un conjunto denso en
algún intervalo [a; b] con a < b; entonces, dada cualquier colección …nita
de intervalos abiertos cuya unión cubra a B, redefínanse los intervalos
de tal manera que se tengan intervalos ajenos con la misma unión; de
esta forma resulta fácil mostrar que el conjunto de puntos del intervalo
[a; b] que no son cubiertos por la unión de esos intervalos es …nito, pues
de otra manera existiría un intervalo no vacío (c; d), contenido en [a; b],
el cual no tendría puntos en común con la unión de tales intervalos;
pero, como B es denso en [a; b], el intervalo (c; d) contendría puntos
de B, lo cual es una contradicción. Se concluye entonces que dada
cualquier colección …nita de intervalos abiertos cuya unión cubra a B,
la suma de las longitudes de esos intervalos es mayor o igual a b a, de
manera que B no puede tener contenido cero.
El conjunto de Cantor, además de ser denso en ninguna parte, tiene contenido cero y, como ya
se mencionó, no es de primera especie. Además, con el mismo método con el que se construye
el conjunto de Cantor, se pudieron construir conjuntos compactos, densos en ninguna parte,
que no son de primera especie y, además, que no tienen contenido cero. Por ejemplo, divídase
el intervalo [0; 1] en 3 intervalos de la misma longitud, elimínese el interior del subintervalo
central y llámese F1 a la unión de los subintervalos cerrados que restan; divídase cada uno de
los 2 subintervalos que forman F1 en 32 intervalos de la misma longitud, elimínese el interior
del subintervalo central, llámese F2 a la unión de los subintervalos cerrados que restan;
júntese cada grupo de subintervalos contiguos en un solo intervalo, divídase cada uno de los
22 subintervalos que se forman en 33 intervalos de la misma longitud y elimínese el interior
del subintervalo central; continuando con este proceso inde…nidamente, la intersección F de
los conjuntos F1 ; F2 ; : : : resulta ser un conjunto compacto, denso en ninguna parte y que no
tiene contenido cero.
1.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
27
Para probar que F es denso en ninguna parte, obsérvese que cada uno de los 2n intervalos
ajenos que forman Fn tiene longitud igual a:
1 32 1
32 2
13 1
3 2
1 3n 1
3n 2
=
1 3 1 32 1
2n 3
33
3n 1
3n
<
1
.
2n
Supongamos que F es denso en algún intervalo (a; b) con 0 a < b 1, entonces, como F
es cerrado, se tiene [a; b] F y, por lo tanto, [a; b] Fn para cualquier n. Así que, como Fn
es la unión de 2n intervalos ajenos, se tiene [a; b] I, donde I es alguno de los 2n intervalos
ajenos que componen Fn . De manera que b a l(I) < 21n . Como esto pasa para cualquier
n 2 N, se concluye que b a = 0, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, F es denso en
ninguna parte.
Ahora bien, al dividir cada uno de los 2n intervalos ajenos que forman Fn en 3n+1 subintervalos de la misma longitud y eliminar el subintervalo central, la suma de las longitudes de
los intervalos que se eliminan está dada por:
1
2n 3n+1
13 1
3 2
1 32 1
32 2
1 3n 1
3n 2
=
1 3 1 32 1
3n+1 3
33
3n 1
3n
<
1
.
3n+1
De manera que si S es la suma de las longitudes de todos los intervalos abiertos ajenos que
componen F c , se tiene:
S<
1
3
+
1
32
+
= 21 .
Sea I1 ; I2 ; : : : ; In una colección …nita de intervalos abiertos cuya unión cubre F , entonces esos
intervalos, junto con los intervalos abiertos
ajenos que componen F c , forman una cubierta
Pn
del intervalo [0; 1]: Por lo tanto S + j=1 l(Ij ) 1, así que:
Pn
1 S > 12 .
j=1 l(Ij )
Se concluye entonces que F no puede tener contenido cero.
El ejemplo de Du Bois Reymond aún no era su…ciente para aclarar la diferencia entre los
3 tipos de conjuntos, pues el conjunto que él de…nió es de contenido cero. En efecto, cada
conjunto Qn tiene contenido cero por ser de primera especie y al cubrir el punto P con
cualquier intervalo abierto quedan cubiertos todos los conjuntos Qn a partir de una cierta n.
Todo lo anterior permitió exhibir funciones no integrables cuyo conjunto de discontinuidades
sea denso en ninguna parte:
El conjunto de discontinuidades de la función indicadora de un conjunto F , denso en ninguna
parte, es el conjunto F . En efecto, sea F un conjunto denso en ninguna parte y sea f : [0; 1] !
R su función indicadora.
Si x0 2 F c , existe entonces un intervalo abierto I tal que x0 2 I
f (x) = 0 para cualquier x 2 I. Por lo tanto, f es continua en x0 .
F c , de manera que
28
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
Si x0 2 F , entonces, como F es denso en ninguna parte, para cualquier intervalo abierto I
que contenga a x0 , se tiene I \ F c 6= , de manera que existe y 2 I tal que f (y) = 0. Por lo
tanto, f no es continua en x0 .
Finalmente, la función indicadora de un conjunto F , denso en ninguna parte, que no tiene
contenido cero, no es integrable.
En efecto, sea F [0; 1] un conjunto denso en ninguna parte que no tiene contenido cero y
sea f : [0; 1] ! R la función indicadora de F . Consideremos una partición fx0 ; x1 ; : : : ; xn g
del intervalo [0; 1].
Como F es denso en ninguna parte, cada subintervalo de la partición contiene una intervalo
que no contiene puntos de F , de manera que, cualquiera que sea la partición, se puede
elegir
Pn en cada subintervalo [xk 1 ; xk ] un punto k que no pertenece a F y entonces la suma
xk 1 ) es igual a cero.
k=1 f ( k ) (xk
Por otra parte, como F no tiene contenido cero, existe "0 > 0 tal que, dada cualquier
colección …nita de intervalos abiertos I1 ; I2 ; : : : ; Im cuya unión contenga a F , la suma de las
longitudes de esos intervalos es mayor o igual que "0 . Si en lugar de intervalos abiertos,
consideramos una colección …nita de intervalos cerrados I1 ; I2 ; : : : ; Im cuya unión contenga a
F , entonces, dada cualquier > 0, podemos cubrir los extremos de esos intervalos con 2m
intervalos abiertos J1 ; J2 ; : : : ; J2m tales que la suma de sus longitudes es menor que . Por lo
tanto, como el interior de los intervalos I1 ; I2 ; : : : ; Im junto con los intervalos J1 ; J2 ; : : : ; J2m
cubren a F , la suma de sus longitudes es mayor o igual que "0 . Se tiene entonces:
P2m
Pm
.
"0
k=1 l (Jk ) > "0
k=1 l (Ik )
P
"0 .
Como esto es válido para cualquier > 0, se concluye que m
k=1 l (Ik )
Dada cualquier partición fx0 ; x1 ; : : : ; xn g del intervalo [0; 1], consideremos los subintervalos
[xk 1 ; xk ] que contengan por lo menos un elemento de F . En cada uno de esos subintervalos
tomemos un punto k que
Ppertenece a F y en el resto tomemos un punto k que no pertenece
a F . Entonces la suma nk=1 f ( k ) (xk xk 1 ) es mayor o igual que "0 .
Así que eligiendo los puntos
Pn
xk 1 )
k=1 f ( k ) (xk
k
de la primera manera obtenemos una suma
igual a cero y eligiendo los puntos
Pn
xk 1 )
k=1 f ( k ) (xk
k
de la segunda manera obtenemos una suma
mayor o igualque "0 .
Por lo tanto, f no es integrable.
Por otro lado, Riemann había mostrado la existencia de funciones cuyas discontinuidades
forman un conjunto denso pero que son integrables. Se podía concluir, …nalmente, que:
1.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
29
no es el tamaño topológico del conjunto de discontinuidades
lo que determina que una función sea o no sea integrable.
Fue en ese momento cuando se pudo ya establecer con toda claridad la condición para que
una función sea integrable. Axel Harnack demostró en 1881 ([44]) que:
Una función es integrable si y sólo si, para cualquier > 0, el
conjunto de puntos donde la oscilación de la función es mayor
que tiene contenido cero.
La demostración es como sigue:
Sea f : [a; b] ! R una función acotada. Obsérvese primero que si P es
una partición del intervalo [a; b] y, para > 0 dada, x es un punto en
donde la oscilación de f es mayor que entonces o bien x pertenece al
interior de uno de los subintervalos de P en donde la oscilación de f es
mayor que , o bien x es un elemento de la partición P . Sea entonces
A( ) el conjunto de puntos x 2 [a; b] donde la oscilación de f es mayor
que .
Si f es Riemann integrable, satisface el criterio R2 , así que, dada " > 0,
existe > 0 tal que si P es una partición de norma menor que ,
entonces (P; ) < 2" ; tomemos entonces una partición particular P de
norma menor que e intervalos abiertos I1 ; I2 ; : : : ; In cuya unión cubra
los puntos de la partición P y tales que la suma de sus longitudes sea
menor que 2" . De esta manera, A( ) queda cubierto por una colección
…nita de intervalos abiertos tales que la suma de sus longitudes es menor
que ", así que A( ) tiene contenido cero.
Supongamos ahora que A( ) tiene contenido cero para cualquier > 0
y sea
> 0 …ja. Dada " > 0, existen entonces intervalos abiertos
no vacíos, Ik (k = 1; 2; : : : ; n), de extremos ck ; dk P
2 [a; b]; tales que
dk ck+1 para k = 1; 2; : : : ; n 1, A( ) [nk=1 Ik y nk=1 [dk ck ] < ".
Dado un intervalo I de la forma [a; c1 ], [dk ; ck+1 ] (k = 1; 2; : : : ; n 1)
o [dn ; b], si la oscilación de f en I es mayor que 2 , se parte I en dos
subintervalos de la misma longitud; si, en ninguno de los subintervalos
que se forman, la oscilación de f sigue siendo mayor que 2 , termina el
proceso; si no, se parte en dos subintervalos de la misma longitud cada
subintervalo en donde la oscilación de f sea mayor que 2 :
30
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
Continuando con este proceso, en un número …nito de pasos se tiene
partido I de tal manera que en cada subintervalo de la partición la oscilación de f es menor o igual a 2 . De esta manera se tiene una partición del intervalo [a; b] formada por todos los extremos de los intervalos
Ik (k = 1; 2; ; : : : ; n) y por todos los extremos de los subintervalos que
conforman cada uno de los intervalos I del tipo descrito arriba.
De…namos entonces 1 como la más pequeña de las longitudes de los
subintervalos de esta partición y = m nf 1 ; n" g. Dada una partición
P de norma menor que ; si la oscilación de f es mayor que 4 en
un subintervalo de P; entonces ese subintervalo intersecta alguno de
los intervalos Ik (k = 1; 2; ; : : : ; n), por lo tanto, se tiene (P; 4 ) <
" + 2n n" = 3": Así que, por el criterio R2 , f es integrable.
El concepto de contenido cero se convertiría desde ese momento en uno clave para la teoría
de la integración. Surgiría más adelante en conexión con la teoría de integrales dobles sobre
una región E del plano, cuya frontera requiere tener contenido cero para que la integral
pueda ser de…nida.
En ese momento se tuvieron entonces las bases para desarrollar una teoría del contenido,
lo cual fue llevado a cabo por Otto Stolz ([88], [89]), Axel Harnack ([45], [46]), Giuseppe
Peano ([74]) y, sobre todo, por Marie Ennemond Camille Jordan ([50]). Todo esto durante
el periodo que va de 1883 a 1892:
Las de…niciones y propiedades se establecieron en ese periodo tanto para el caso de subconjuntos de los reales como para subconjuntos del plano, siendo similares en los dos casos.
También surgieron en este periodo los conceptosRde integral
superior e inferior de una función,
R
las cuales serán denotadas en lo que sigue por e respectivamente.
Sea A un conjunto acotado de números reales y [a; b] un intervalo que lo contenga. Para cada
partición P del intervalo [a; b] sea S(P; A) la suma de los subintervalos de P que contienen
puntos de A y S(P; A) la suma de los subintervalos de P contenidos en A. Se de…ne entonces
el contenido exterior de A, ce (A), y el contenido interior de A, ci (A) mediante las
relaciones:
ce (A) = nf S(P; A) : P es partición del intervalo [a; b] .
ci (A) = nf fS(P; A) : P es partición del intervalo [a; b]g.
Se dice entonces que A es Jordan-medible si ce (A) = ci (A) y, en este caso, a esta cantidad
común se le llama el contenido de A y se le denota por c(A).
Evidentemente todo conjunto de contenido cero es Jordan-medible. También todo intervalo
acotado es Jordan-medible y su contenido es igual a su longitud.
1.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
31
Consideremos un intervalo [a; b], entonces la familia de subconjuntos de [a; b] que son Jordanmedibles es cerrada bajo complementos y uniones …nitas. Además, si A1 , A2 , . . . ,An es
una familia …nita de subconjuntos de [a; b] que son Jordan-medibles y ajenos por parejas,
entonces:
S
P
c ( nk=1 Ak ) = nk=1 c (Ak ).
Se observó también durante ese periodo que la teoría del contenido está íntimamente relacionada con la teoría de integración de Riemann, no únicamente porque la caracterización
de la integrabilidad de una función se establece con base en el concepto de contenido cero
o porque para integrar sobre una región del plano se requiere que la frontera de ésta tenga
contenido cero. La relación resulta bastante más profunda, a tal grado que puede decirse
que constituyen en realidad la misma teoría, formulada por un lado para los conjuntos y por
el otro para las funciones. Por ejemplo, se tienen los siguientes resultados:
Proposición 1.1. Sea A un subconjunto del intervalo [a; b] e IA su función indicadora,
entonces:
Rb
I (x)dx = ce (A),
a A
Rb
IA (x)dx = ci (A).
a
Corolario 1.1. A es Jordan-medible si y sólo si IA es Riemann integrable. Además, en
ese caso, se tiene:
Rb
I (x)dx = c(A).
a A
Proposición 1.2. Sea f : [a; b] ! R una función acotada no negativa y E la región en R2
acotada por el eje x y la grá…ca de f entre a y b, entonces
R b f es Riemann integrable si y sólo
si E es Jordan medible. Además, en ese caso, se tiene a f (x)dx = c(E).
Proposición 1.3. Sea f : E ! R una función acotada de…nida sobre un subconjunto acotado de R o de R2 Jordan medible. Para cada partición
E1 ; E2 ; : : : ; En
Pn P de E en n conjuntos P
n
f
)
=
Jordan medibles ajenos, de…namos S(P; f ) =
M
c(E
)
y
S(P;
j
j
j=1 mj c(Ej ),
j=1
donde, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, Mj = sup ff (x) : x 2 Ej g y mj = nf ff (x) : x 2 Ej g,
entonces:
R
f (x)dx = l mkP k!0 S(P; f ),
E
R
E f (x)dx = l mkP k!0 S(P; f ),
donde kP k = max fC(Ej ) : j 2 f1; 2; : : : ; ngg.
32
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
En particular, f es Riemann integrable sobre E si y sólo si el límite de las sumatorias
P
n
j=1 f ( j )c(Ej ), donde, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, j 2 Ej , existe cuando kP k tiende a 0
y es independiente de los puntos j 2 Ej que se tomen. Además, en ese caso, se tiene:
R
E
f (x)dx = l mkP k!0
Pn
j=1
f ( j )c(Ej ).
1.2. Teoría de la medida de Borel
En 1894-1895, Félix Édouard Justin Émile Borel ([5], [6]) dio las bases para un nuevo avance
al introducir el concepto de medida cero:
Definición 1.3. Se dice que un conjunto tiene medida cero si para cualquier " > 0 existe
una colección numerable de intervalos abiertos fIn g cuya unión cubre al conjunto y tales que
la suma de sus longitudes es menor que ".
Curiosamente, el concepto de medida cero no lo introdujo Borel con relación a la teoría de
integración. Al introducir ese concepto, Borel estaba atacando un problema de continuación
analítica de una función de variable compleja:
Considérese la función de variable compleja
f (z) =
P1
An
n=1 z an ,
P
donde A1 ; A2 ; : : : son números complejos tales que la serie 1
n=1 jAn j converge y a1 ; a2 ; : : :
son puntos en el plano complejo que están sobre una curva cerrada C formando un conjunto
denso en esa curva.
P
An
Se puede ver inmediatamente que si z 2
= C entonces la serie 1
n=1 z an converge pues la
distancia de z a C es positiva. Consideremos dos puntos P y Q, el primero al interior de
la región que forma C y el segundo al exterior de la misma; el problema que se planteó
Borel P
consiste entonces en encontrar un arco circular que una P con Q sobre el cual la
An
serie 1
n=1 z an converja absoluta y uniformemente. Esto llevó a Borel a la necesidad de
demostrar que existen puntos z sobre C para los cuales la serie en consideración converge.
Para simpli…car el razonamiento, consideremos el mismo problema pero con funciones de
variable real.
1.2. TEORíA DE LA MEDIDA DE BOREL
Sea fa1 ; a2 ; : : :g un conjunto numerable y denso en el intervalo [a; b]
y (An )n 1 una sucesión de números
Para cada x 2 [a; b]
P1 reales.
An
fa1 ; a2 ; : : :g consideremos la serie n=1 x an . Aparentemente tal serie
no converge para ninguno de esos puntos x pues el conjunto fa1 ; a2 ; : : :g
es denso en [a; b] y entonces dado cualquier punto x 2 [a; b] hay puntos
an tan cerca de x como se quiera. Sin embargo,
a Borel,
p
P1 siguiendo
se puede mostrar que, asumiendo que la serie n=1 jAn j converge,
existe una in…nidad no numerable de puntos x 2 [a; b] para
p los cuales
la serie converge. En efecto, para cada n 2 N, sea unP= jAn j. Sea
l
ahora l la longitud del intervalo [a; b] y N 2 N tal que 1
n=N +1 un < 2 :
Para cada n > N sea P
In un intervalo abierto con centro en an y radio
un . Se tiene entonces 1
n=N +1 l(In ) < l, donde l(In ) es la longitud del
intervalo In . Como los puntos a1 ; a2 ; : : : ; aN forman un conjunto …nito,
se pueden cubrir con
Pintervalos abiertos I1 ; I2 ; : : : ; In , respectivamente,
de tal manera que 1
n=1 l(In ) < l. Si x no pertenece a ninguno de los
intervalos IN +1 ; IN +2 ; : : : entonces jx ai j > 0 para i 2 f1; 2; : : : ; N g y
jx ai j ui para i 2 fN + 1; N + 2; : : :g. Por lo tanto:
P1
PN
P1
An
An
An
=
+
n=1 x an
n=1 x an
n=N +1 x an
p
PN
P1
An
jAn j < 1.
n=1 x an +
n=N +1
Lo único que resta probar es que existe una in…nidad de puntos x 2 [a; b]
que no pertenecen a ninguno de los intervalos IN +1 ; IN +2 ; : : :. Para esto,
Borel demostró el resultado, ahora clásico, que asegura que todo intervalo cerrado y acotado es compacto. De manera más especí…ca, Borel
demostró, básicamente como se hace actualmente, que si un intervalo
cerrado y acotado es cubierto por una in…nidad numerable de intervalos abiertos, entonces existe una colección …nita de esos intervalos que
también lo cubren.
Con base en ese resultado, si los intervalos
P I1 ; I2 ; : : : cubrieran al intervalo [a; b], necesariamente se tendría 1
l, lo cual es una
n=1 l(In )
contradicción. Más aún, si únicamente hubiera una colección numerable de puntos x 2 [a; b] que no pertenecen a ninguno de los intervalos
I1 ; I2 ; : : :., estos puntos podrían ser cubiertos por una nueva colección
numerable de intervalos abiertos de tal manera que la suma de sus
longitudes, sumadas con las longitudes de los intervalos I1 ; I2 ; : : :, siga
siendo menor que l, lo cual no es posible.
33
34
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
Todavía siguiendo a Borel, se puede decir aún más, pues cambiando l
por una " > 0 arbitraria en el razonamiento anterior sePmuestra que
An
el conjunto de puntos x 2 [a; b] para los cuales la serie 1
n=1 x an no
converge absolutamente pueden ser cubiertos por una colección numerable de intervalos abiertos de tal manera que la suma de sus longitudes
sea menor que ". Es decir, utilizando el concepto que introdujo
Borel,
P
An
el conjunto de puntos x 2 [a; b] para los cuales la serie 1
n=1 x an no
converge absolutamente tiene medida cero.
Además de introducir el concepto de medida cero al resolver el problema que se planteó, la
demostración de Borel contiene un resultado que sería clave para que más adelante Lebesgue.
pudiera de…nir el concepto de medida. Ese resultado se puede enunciar de la siguiente
manera:
Sea I un intervalo cerrado y acotado y (Ij )j2N una sucesión de intervalos abiertos tales que
S1
I
j=1 Ij , entonces:
l (I)
P1
j=1
l (Ij ).
El resultado parece trivial ya que al evaluar la suma de las longitudes de los intervalos Ij ,
si dos de ellos se traslapan, podría haber una parte de I cuya longitud se está sumando dos
veces; si no se traslapan, al sumar las longitudes de los dos intervalos, esa suma es por lo
menos igual a la suma de las longitudes de las partes de I que se encuentran dentro de esos
intervalos. Sin embargo, al tratar de formalizar esta idea se llega nuevamente al problema
inicial.
Si el conjunto de intervalos abiertos cuya unión cubre I fuera …nito, el resultado se puede
demostrar fácilmente. En efecto, supongamos que el intervalo acotado I = [a; b] está contenido en la unión de los intervalos no vacíos Ij = (aj ; bj ), con j 2 f1; 2; : : : ; mg. Si alguno
de esos intervalos tiene longitud in…nita, el resultado es trivial, así que podemos suponer que
todos los intervalos Ij son …nitos. Sea D = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g el conjunto que se obtiene al
ordenar, del menor al mayor, los puntos a; b; a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; : : : ; am ; bm .
(k)
Para k 2 f1; 2; : : : ; ng de…namos I (k) = (xk 1 ; xk ) e I
= [xk 1 ; xk ]; además, para j 2
f1; 2; : : : ; mg, denotemos por I j al intervalo [aj ; bj ]. Entonces: 1) los intervalos I (1) ; I (2) ; : : : ; I (n)
(j)
son ajenos por parejas; 2) el intervalo I, así como cada uno de los intervalos I , con
j 2 f1; 2; : : : ; mg, es la unión de algunos de los intervalos I k , con k f1; 2; : : : ; ng.
n (k)
o
Sean D el conjunto de superíndices de los intervalos de la familia I : k 2 f1; 2; : : : ; ng
Sm
(k)
cuya unión es igual a I. Como I
, con k 2 D, está contenido
j=1 Ij , cada intervalo I
en algún rectángulo I j (j 2 f1; 2; : : : ; mg). Además:
l (I) =
P
fk2Dg
l I
(k)
.
1.2. TEORíA DE LA MEDIDA DE BOREL
35
Para
n (k) cada j 2of1; 2; : : : ; mg, sea Dj el conjunto de superíndices de los intervalos de la familia
I : k 2 D que están contenidos en I j . Obviamente se tiene:
l (Ij ) = l I j
P
fk2Dj g
l I
(k)
.
(k)
Y como cada intervalo I , con k 2 D, está contenido en algún rectángulo I j (j 2 f1; 2; : : : ; mg),
se tiene:
P
Pm
Pm P
(k)
(k)
= l (I).
fk2Dg l I
j=1 l (Ij )
j=1
fk2Dj g l I
Regresando al problema inicial, sea I un intervalo cerrado y acotado e (Ij )j2N una sucesión
S1
de intervalos abiertos tales que I
j=1 Ij . Para demostrar el resultado enunciado, Borel
demostró que existe una colección …nita de los intervalos Ij cuya unión también contiene a
I. Su razonamiento, ahora clásico, fue el siguiente:
Sea
B = fx 2 [a; b] : el intervalo [a; x] está contenido en la unión de un número …nito
de intervalos de la familia fIj : j 2 Ngg.
B es un conjunto no vacío, ya que a 2 B, y está acotado por b; por lo tanto B tiene un
supremo, que denotaremos por x0 .
Como a 2 B y b es cota superior de B se tiene a
x0
b.
Como x0 2 [a; b], hay un intervalo Ij0 = (aj0 ; bj0 ) al cual pertenece x0 . Siendo x0 el supremo
de B, existe x 2 B tal que x 2 (aj0 ; x0 ]. Como x 2 B, hay una colección …nita de intervalos
de la familia fIj : j 2 Ng cuya unión cubre al intervalo [a; x]. Entonces agregándole a esa
colección el intervalo Ij0 (si no está ya incluido), obtenemos una colección …nita de intervalos
de la familia fIj : j 2 Ng cuya unión cubre al intervalo [a; x0 ]; así que x0 2 B.
Sea Ij0 ; Ij1 ; Ij2 ; : : : ; Ijm una colección …nita de intervalos cuya unión cubre el intervalo [a; x0 ].
Si se tuviera x0 < b, entonces, si c = m n (bj0 ; b), se tendría x0 < c b. Tomando cualquier
y 2 (x0 ; c) se tendría x0 < y < bj0 , así que la unión de los intervalos Ij0 ; Ij1 ; Ij2 ; : : : ; Ijm
también cubriría al intervalo [a; y]. Como (x0 ; c) [a; b], se tendría y 2 [a; b] y, por lo tanto,
y 2 B, lo cual no es posible ya que x0 < y y x0 es el supremo de B. Por lo tanto, x0 = b y,
entonces, el intervalo [a; b] está contenido en la unión de un número …nito de intervalos de
la familia fIj : j 2 Ng.
Más adelante, en un libro publicado en 1898 ([7]), Borel retomó el concepto de conjunto de
medida cero. para desarrollar una teoría de la medida. Para esto, in‡uenciado en parte por el
trabajo de Jules Joseph Drach, siguió el método axiomático. Para Borel la idea fundamental
consistía en de…nir los elementos nuevos que se introducen con ayuda de sus propiedades
esenciales, es decir, aquellas que son estrictamente indispensables para los razonamientos
36
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
que siguen. En el caso de la medida, las propiedades esenciales que planteó Borel son las
siguientes:
(i) La medida de la unión de una colección numerable de conjuntos ajenos es igual a
la suma de sus medidas.
(ii) La medida de la diferencia de dos conjuntos de medida …nita A y B, con A B,
es igual a la diferencia de sus medidas m(B) m(A).
(iii) La medida de un conjunto nunca es negativa.
Llamaba entonces conjuntos medibles a todos aquellos conjuntos a los cuales se les pueda
asignar una medida en base a las propiedades mencionadas, tomando como punto de partida
que la medida de un intervalo es su longitud.
Borel no vio relación entre su concepto de medida y el de integral. Más aún, aclaraba que
el problema que él estaba investigando era totalmente diferente del resuelto por Jordan.
Además, consideraba la de…nición que hacía Jordan de los conjuntos medibles (con contenido) como más general que la que él daba pues, por ejemplo, con base en la de…nición de
Jordan, cualquier subconjunto del conjunto de Cantor es medible, de manera que, teniendo
el conjunto de Cantor la misma cardinalidad que los números reales, la familia de conjuntos Jordan medibles tiene una cardinalidad mayor que la de los reales. Por otra parte, se
puede mostrar que la familia de conjuntos medibles que de…ne Borel tiene únicamente la
cardinalidad de los números reales.
1.3. Teoría de la medida de Lebesgue
El paso siguiente en el desarrollo de la Teoría de la Medida, así como el último paso hacia
la caracterización de las funciones Riemann-integrables lo dió Henri Léon Lebesgue en 1902
([57])
Para la caracterización de las funciones Riemann integrables, Lebesgue primero demostró
una forma ligeramente distinta del resultado de Harnack:
Si, dada
> 0, B( ) denota al conjunto de puntos en donde la oscilación de
la función f es mayor o igual que , entonces f es integrable si y sólo si para
cualquier > 0, B( ) tiene contenido cero.
Mostró además que, para cualquier
siendo acotado, es compacto.
> 0, B( ) es un conjunto cerrado, de manera que,
Las demostraciones de estos resultados son como sigue:
Sea A( ) el conjunto de puntos en donde la oscilación de f es mayor que , entonces:
A( )
B( )
A( 2 )
1.3. TEORíA DE LA MEDIDA DE LEBESGUE
37
Así que si f es integrable entonces A( 2 ) tiene contenido cero y, por lo tanto, B( ) también.
Inversamente, si B( ) tiene contenido cero para cualquier > 0, entonces A( ) también.
Para probar que B( ) es un conjunto cerrado, sea x un punto de acumulación de B( ),
entonces toda vecindad de x contiene puntos de B( ), es decir, puntos en donde la oscilación
de f es mayor o igual que . Por lo tanto, la oscilación de f en x es también mayor o igual
que , así que x pertenece a B( ).
Lebesgue observó entonces
que si D es el conjunto de puntos en donde la función es disconS1
tinua, se tiene D = n=1 B( n1 ). Entonces, si f es Riemann integrable, B( n1 ) tiene contenido
cero para cualquier n 2 N, así que D tiene medida cero. Por otra parte, si D tiene medida
cero, entonces B( n1 ) tiene medida cero para cualquier n 2 N, de manera que, siendo estos
conjuntos compactos, también tienen contenido cero; …nalmente, dada > 0 arbitraria y
B( n1 ), así que B( ) tiene contenido cero. Se tiene así la siguiente
n > 1 se tiene B( )
caracterización de las funciones Riemann integrables:
Una función acotada f : [a; b] 7! R es Riemann integrable si y
sólo si el conjunto de puntos donde la función es discontinua
tiene medida cero.
Lebesgue desarrolló su teoría de la integral en su tesis doctoral titulada Integrale, longueur,
aire ([57]). Más tarde la expuso en su libro Leçons sur l’intégration et la recherche des
fonctions primitives ([58]).
Para de…nir la integral, primero desarrolló su teoría de la medida de conjuntos, pero el
interés de Lebesgue estaba centrado en la de…nición de la integral ya que había analizado
antes que las propiedades de la integral con la que se trabaje juegan un papel muy importante
en algunos resultados acerca de la teoría de funciones; en particular en su libro dedica un
capítulo al vínculo entre la integral y la búsqueda de la primitiva de una función, es decir,
una función tal que su derivada sea la función dada. Se planteó entonces el encontrar una
de…nición de la integral con mejores propiedades que las integrales conocidas, en particular
la integral de Riemann. Se propuso así asignar a cualquier
R b función acotada f , de…nida en un
intervalo …nito (a; b), un número real, denotado por a f (x) dx, al cual llamaba la integral
de f en el intervalo (a; b). Planteó que esta integral debe tener las siguientes propiedades:
(i) Para cualesquiera a; b; h 2 R, se tiene:
Rb
R b+h
f (x) dx = a+h f (x h) dx.
a
(ii) Para cualesquiera a; b; c 2 R, se tiene:
Rb
Rc
Ra
(iii) a f (x) dx + a f (x) dx + c f (x) dx = 0.
Rb
Rb
Rb
(iv) a [f (x) + ' (x)] dx = a f (x) dx + a ' (x) dx.
Rb
(v) Si f es no negativa y a < b, entonces a f (x) dx es no negativa.
R1
(vi) 0 1dx = 1.
38
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
(vii) Si una sucesión de funciones (fn )n2N es no decreciente y converge a la función f , enRb
Rb
tonces la sucesión de integrales a fn (x) dx
converge a la integral a f (x) dx.
n2N
En seguida hizo algunas observaciones importantes acerca de estas propiedades que planteó
para la integral:
“La signi…cación, la necesidad y las consecuencias de las cinco primeras
condiciones de este problema de integración son más o menos evidentes;
no nos extenderemos acerca de ellas. La condición 6 tiene un lugar
aparte. No tiene ni el mismo carácter de simplicidad que las cinco
primeras, ni el mismo carácter de necesidad. Además, mientras que es
fácil construir números que satisfagan a cualesquiera cuatro de las cinco
primeras condiciones, sin satisfacer a las cinco, lo cual muestra que esas
cinco condiciones son independientes, no se sabe si las seis condiciones
del problema de integración son independientes o no.”En una nota a
pie de página, agrega: “La respuesta a esta pregunta importa poco para
las aplicaciones, pero presenta interés desde el punto de vista de los
principios. Si se demostrara que esta sexta condición es independiente
de las otras cinco, cabría buscar reemplazarla por una sexta más simple
y sobre todo buscar si, entre los sistemas de números que satisfacen
solamente a las cinco primeras condiciones, no hay algunos tan útiles
como el que va a ser estudiado.”
Años más tarde, Stefan Banach demostraría que la sexta condición que plantea Lebesgue es
independiente de las primeras cinco ([3]).
Aclaraba Lebesgue que la de…nición de la integral que daba es descriptiva, es decir que la
ha de…nido mediante las propiedades características que tiene. Se propuso entonces dar una
de…nición constructiva equivalente a la descriptiva; es decir, enunciar las operaciones que
se requieren realizar para de…nir la integral de una función acotada de tal manera que se
satisfagan las seis condiciones de la de…nición descriptiva.
En seguida mostró Lebesgue que para dar una de…nición constructiva de la integral de
cualquier función acotada, basta con hacerlo para las funciones que únicamente toman como
valores 0 y 1 y, para una función f de este tipo, el problema de integración se traduce en
asignar un número al conjunto de números reales x 2 (a; b) tales que f (x) = 1; de manera
que entonces se planteó Lebesgue el problema de la medida, de conjuntos el cual consiste
en asignar a cada conjunto acotado de números reales E, un número no negativo, m (E), al
cual llamará la medida de E, debiéndose satisfacer las siguientes propiedades:
(i) Si E es un conjunto acotado y a 2 R, entonces m(E + a) = m(E).
(ii) Si E1 ; E2 ; : : : es una familia …nita o in…nita numerable de una sucesión de conjuntos,
S
ajenos por parejas y contenidos en un conjunto acotado, entonces m( En ) =
n
P
m(E
).
n
n
1.3. TEORíA DE LA MEDIDA DE LEBESGUE
39
(iii) m([0; 1]) = 1.
Aunque Lebesgue planteó el problema de asignar una medida a cualquier conjunto acotado
de números reales, en realidad, como se ve más adelante en su razonamiento, lo que hizo
fue encontrar una familia de conjuntos acotados de números reales a los cuales se les pueda
asignar una medida de tal forma que se satisfagan las 3 propiedades mencionadas. Para
esto, suponiendo que E es un elemento de esa familia, analizó las condiciones que debe
satisfacer la medida de E para que se satisfagan las 3 propiedades; más aún, lo que hace
es encontrar los conjuntos E para los cuales su medida queda únicamente determinada por
esas 3 propiedades. Pero, para lograr esto, lo que hizo Lebesgue fue iniciar su razonamiento
asumiendo que el problema de la medida tiene solución, es decir que se puede asignar una
medida no negativa a cada subconjunto acotado de números reales. Después restringirá la
familia de conjuntos medibles a aquellos cuya medida se pueda determinar de manera única.
Luego de hacer esto viene el proceso inverso: partir de una de…nición de conjunto medible,
al cual le asocia una medida, y mostrar que la familia de conjuntos así de…nida satisface las
3 propiedades que enunció.
Las condiciones sobre la medida implican que si x 2 R, entonces m (fxg) = 0.
En efecto, en primer lugar, si A y B son conjuntos acotados y A
B, entonces, como
B = A[ (B A), se tiene m (B) = m (A)+m (B A), así que m (B A) = m (B) m (A) y
m (A) m (B). Además, si m es cualquier número entero, la medida del intervalo [m; m + 1]
debe ser igual a 1. Ahora, si x es cualquier número real, tomemos el único número entero
m tal que x 2 [m; m + 1); dada " > 0, tomemos n 2 N tal que n1 < " y consideremos los
intervalos m; m + n1 , m; m + n2 , . . . , m; m + nn . Cada uno de estos intervamos tiene la
misma medida y la suma de sus medidas es menor o igual a 1, así que la medida de cada
uno de ellos es menor o igual a n1 . Además, como x pertenece a alguno de esos intervalos, se
tiene m (fxg) n1 < ". Siendo " arbitrario, se concluye que m (fxg) = 0.
También, la medida de un intervalo acotado [a; b] debe de ser igual a su longitud.
En efecto, el razonamiento anterior nos lleva a que, si n 2 N, la medida de un intervalo de
es
longitud n1 es igual a n1 . Así que si n; m 2 N, la medida de un intervalo de longitud m
n
m
igual a n . De aquí se sigue que la medida de un intervalo con extremos racionales es igual
a su longitud. Ahora, el caso a = b ya está tratado, así que tomemos a < b y dado " > 0,
tomemos c = m n "; 14 (b a) y cuatro números racionales, r, s, u y v tales que:
a
c<r <a<u<a+c<b
c < v < b < s < b + c.
Entonces:
b
b
a 2"
a + 2".
b
a
2c < v
u = m ([u; v])
m ([a; b])
Siendo " arbitrario, se concluye que m ([a; b]) = b
a.
m ([r; s]) = s
r<b
a + 2c
40
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
Para de…nir la medida de cualquier conjunto acotado, Lebesgue hizo el siguiente razonamiento:
Si E es un conjunto acotado e I1 ; I2 ; : : : es una colección …nita o in…nita numerable de
intervalos,
ajenos por parejas, tales que E
[n In , entonces se debe de tener m(E)
P
n l(In ); de…nió entonces la medida exterior de E, me (E), como el ín…mo de esas sumas,
es decir:
P
S
me (E) = nf f n l(In ) : I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos por parejas y E
n In g.
Aquí hay un detalle que no aclaraba Lebesgue: como el problema que plantea es asignar una
medida a cada conjunto acotado, se tendría que asumir que el conjunto [n In es acotado.
Esto puede hacerse sin causar algún problema; en efecto si [a; b] es un intervalo tal que
E [a; b], entonces:
P
nf f n l(In ) : I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos por parejas y E Un In g
P
= nf f n l(In \ [a; b]) : I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos por parejas y E Un In g.
Ahora bien, como se tiene que m ([a; b]) = m (E) + m ([a; b]
m (E) = m ([a; b])
m ([a; b]
E)
m ([a; b])
me ([a; b]
E), entonces:
E) = l ([a; b])
me ([a; b]
E).
Se sigue que la cantidad:
l ([a; b])
me ([a; b]
E)
es una cota inferior para la medida de E, la cual de…ne como la medida interior de E y la
denota por mi (E).
Lebesgue no demostró que la cantidad l ([a; b]) me ([a; b] E) es la misma cualquiera que
sea el intervalo [a; b], conteniendo E, que se tome; sin embargo esto es cierto, así que la
medida interior queda bien de…nida. En efecto:
Si [a1 ; b1 ] y [a2 ; b2 ] son intervalos que contienen a E, su intersección [a; b] también lo contiene,
así que para mostrar que tomando [a1 ; b1 ] se obtiene el mismo resultado que tomando [a2 ; b2 ],
basta con demostrar que tomando [a; b] se obtiene el mismo resultado que tomando cualquiera
de los dos. Tomemos entonces dos intervalos, [a; b] y [c; d], tales que E
[a; b]
[c; d] y,
para cada colección …nita
S o in…nita numerable de intervalos I1 ; I2 ; : : :, ajenos por parejas,
tales que [c; d] E
n In , de…namos:
Jn = In \ [a; b],
Kn = In \ [c; a),
Ln = In \ (b; d].
Se tiene entonces lo siguiente:
1.3. TEORíA DE LA MEDIDA DE LEBESGUE
41
Los intervalos
J1 ; K1 ; L1 ; J2 ; K2 ; L2 ; : : : son ajenos por parejas y la unión de todos ellos es
S
igual a ( n In ) \ [c; d].
S
[a; b] E
n Jn .
S
[c; d] [a; b] = n (Kn [ Jn ).
Así que:
P
S
me ([c; d] E) = nf f n l(In ) : I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos y [c; d] E
n In g
P
S
= nf f n l(In \ [c; d]) : I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos y [c; d] E
n In g
P
P
= f nf n l(In \ [a; b]) + n l(In \ [c; a)) + l(In \ (b; d]) :
S
I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos y [c; d] E
n In g
P
= nf f n l(In \ [a; b]) + l([c; d]) l([a; b]) :
S
I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos y [c; d] E
n In g
S
P
= l([c; d]) l([a; b]) + nf f n l(Jn ) : J1 ; J2 ; : : : son intervalos ajenos y [a; b] E
n Jn g
= l([c; d])
l([a; b]) + me ([a; b]
E).
Así que:
l([a; b])
me ([a; b]
E) = l([c; d])
me ([c; d]
E).
Como ya lo mencionamos, Lebesgue hizo lo anterior asumiendo que es posible asignarle una
medida a todo conjunto acotado E, sin embargo las de…niciones de medida exterior e interior
son independientes de esta consideración y pueden darse para cualquier conjunto. Mostró
entonces que se tienen las siguientes relaciones para cualquier conjunto acotado E:
ci (E)
mi (E)
me (E)
ce (E).
Además, como se mostró arriba, de ser posible asignar una medida m(E) al conjunto E,
se debe de tener mi (E)
m(E)
me (E). Por lo tanto, la medida asignada a E será
única cuando sus medidas interior y exterior coincidan. De aquí que Lebesgue estableció la
siguiente de…nición:
Definición 1.4. Se dice que un conjunto acotado E es medible si mi (E) = me (E).
Aclaraba Lebesgue que es únicamente para estos conjuntos que se estudiará el problema de
la medida, aclarando no saber siquiera si existen conjuntos que no sean medibles. Pero si
existen tales conjuntos, decía que el desarrollo posterior que él hace no es su…ciente para
a…rmar ni que el problema de la medida es posible ni que es imposible para tales conjuntos.
42
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
Este comentario de Lebesgue es importante pues lo que él hizo fue encontrar cotas más …nas
que las que daba Jordan para la medida de un conjunto, lo cual automáticamente amplía la
familia de conjuntos a los cuales se les puede asignar una medida de manera única. En efecto,
la condición ci (E) = ce (E) permite asignar a E una única medida y esa condición implica
mi (E) = me (E). Pero se puede cumplir la condición mi (E) = me (E), lo cual permite asignar
una única medida a E, sin que se tenga ci (E) = ce (E). Sin embargo, no se puede asegurar
que no sea posible asignarle una medida a conjuntos para los cuales mi (E) < me (E). En caso
de que esto fuera posible, tal vez no sería de manera única (de hecho se sabe actualmente que
es posible ampliar la familia de conjuntos medibles conservando las propiedades i y iii que
pide Lebesgue a la medida, pero tal extensión no es única), o tal vez se puedan encontrar
cotas aún más …nas que las que da Lebesgue para la medida de un conjunto y se pueda
de…nir una medida con propiedades adicionales a las que propone Lebesgue.
Mostró Lebesgue que se tiene la siguiente propiedad:
Si E1 ; E2 ; : : : es una colección …nita o in…nita numerable de conjuntos medibles, entonces la
unión de ellos, así como su intersección, es medible.
Además demostró que la familia de los conjuntos medibles satisface las 3 condiciones que
planteó para la medida de los conjuntos y demostró
T también que si (En )n2N es una sucesión
decreciente de conjuntos medibles, entonces m ( 1
n=1 En ) = l mn!1 m (En ).
Finalmente observó Lebesgue que, debido a la relación:
ci (E)
mi (E)
me (E)
ce (E).
cualquier conjunto Jordan medible es también Lebesgue medible y, dado que los intervalos
son medibles y la familia de conjuntos medibles tiene las propiedades enunciadas arriba, todo
conjunto medible de acuerdo a la de…nición de Borel es también Lebesgue medible. De esta
forma la teoría de la medida de Lebesgue resulta más general tanto que la de Jordan como
de la de Borel y las engloba a ambas.
Años más tarde, en 1914 ([16]), Constantin Carathéodory expresó la condición de medibilidad de un conjunto sin introducir el concepto de medida interior. De acuerdo con la de…nición de Carathéodory y restringiéndonos a los conjuntos acotados, como hace Lebesgue, un
conjunto acotado de números reales E es medible si y sólo si se tiene:
me (A) = me (A \ E) + me (A \ E c ).
para cualquier conjunto acotado de números reales A.
Obsérvese que, de acuerdo con la de…nición de Lebesgue, para que un conjunto acotado sea
medible se requiere que si [a; b] es un intervalo que contiene a E, entonces:
l([a; b])
me ([a; b]
E) = mi (E) = me (E).
1.3. TEORíA DE LA MEDIDA DE LEBESGUE
43
Así que la condición de medibilidad de E puede darse de la siguiente forma:
l([a; b]) = me (E) + me ([a; b]
E).
De manera que, si se cumple la condición de medibilidad de Carathéodory, entonces se
cumple la condición de medibilidad de Lebesgue.
Por otra parte, se puede demostrar que la medida exterior satisface las siguientes propiedades:
Si A y B son conjuntos acotados tales que A
B, entonces me (A)
me (B).
Si A1 ; A2 ; : : : es una colección …nita o in…nita numerable de conjuntos acotados cuya unión
es un conjunto acotado, entonces:
S
m e ( n An )
Así que, en particular, la desigualdad me (A)
cualquier par de conjuntos acotados E y A.
P
n
me (An ).
me (A \ E) + me (A \ E c ) se cumple para
Sea ahora un conjunto acotado E, medible de acuerdo con la de…nición de Lebesgue, A un
conjunto acotado cualquiera, [a; b] un intervalo tal que A[E [a; b] e I1 ; I2 ; : : : una colección
…nita o in…nita numerable de intervalos, ajenos por parejas, tales que A Un In [a; b].
De la condición l([a; b]) = me (E) + me ([a; b] E), se sigue que [a; b] E es Lebesgue medible.
c
c
Así que, tanto los conjuntos I1 \ E; I2 S
\ E; : : : como los conjuntos
S I1 \ E c; I2 \ E ; : : :, son
c
Lebesgue medibles. Además, A \ E
n (In \ E ), así que:
n (In \ E) y A \ E
P
P
S
me (A \ E) me ( n (In \ E))
n m (In \ E),
n me (In \ E) =
S
P
P
c
c
me (A \ E c ) me ( n (In \ E c ))
n me (In \ E ) =
n m (In \ E ).
Por lo tanto:
P
P
c
me (A \ E) + me (A \ E c )
n m (In \ E) +
n m (In \ E )
P
P
P
= n [m (In \ E) + m (In \ E c )] = n m (In ) = n l(In ).
Así que:
me (A \ E) + me (A \ E c )
= me (A).
P
nf f n l(In ) : I1 ; I2 ; : : : son intervalos ajenos y A
S
n In g
Por lo tanto, E satisface la condición de medibilidad de Carathéodory.
Más adelante expondremos de manera detallada la formulación moderna de la teoría de la
medida Lebesgue, utilizando como condición de medibilidad la de Carathéodory por ser más
fácil de manejar. Además, no será necesario restringirnos a los conjuntos acotados.
44
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
1.4. La integral de Lebesgue
La formulación de Riemann del problema de la integral de una función condujo al surgimiento
del concepto de contenido y a mostrar cómo se encuentra estrechamente vinculado al de
integral, siendo prácticamente dos conceptos equivalentes en el sentido de que con cualquiera
de ellos se puede introducir y desarrollar el otro.
Cuando más tarde Borel introdujo el concepto de medida cero y Lebesgue desarrolló una
teoría de la medida, más general tanto que la de Jordan como la que había desarrollado Borel,
fue posible para el mismo Lebesgue desarrollar una teoría de integración, ahora siguiendo
un proceso inverso, es decir, partiendo del concepto de medida para llegar al de integral.
Al igual que la teoría de la medida resultó ser más general que la teoría del contenido, la
teoría de la integral desarrollada por Lebesgue resultó ser más general que la teoría de la
integral de Riemann.
Es necesario remarcar que Lebesgue desarrolló su teoría de la medida con el objetivo de resolver el problema de la integral que se había planteado. El mismo título del libro que publicó
(Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives) deja ver claramente que su
interés principal era el del concepto de integral. En su libro hizo un estudio del desarrollo del
concepto de integral y de las de…niciones que diferentes autores habían propuesto, haciendo
énfasis en las condiciones para que una función sea integrable. Aclaraba el por qué de su
interés de no limitarse al estudio de las funciones para las cuales se puede dar una de…nición
simple de la integral:
“si se quisiera limitarse siempre a la consideración de esas buenas funciones, habría que renunciar a la resolución de muchos problemas con
enunciados simples planteados desde hace mucho tiempo. Es para la
resolución de esos problemas, y no por amor a las complicaciones, que
he introducido en este libro una de…nición de la integral más general
que la de Riemann y que la incluye como caso particular.”
Una vez de…nida la integral, Lebesgue se aboca a estudiar sus propiedades y a utilizarla
para profundizar en el estudio de la teoría de funciones: “Como aplicación de la de…nición
de la integral, estudié la búsqueda de funciones primitivas y la recti…cación de curvas. A
esas dos aplicaciones hubiera querido agregar otra muy importante: el estudio del desarrollo
trigonométrico de las funciones; pero en mi curso, no pude dar a ese tema más que indicaciones tan incompletas que he juzgado inútil reproducirlas aquí.”Con relación a su de…nición
de integral agregó:
1.4. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
45
“Aquellos que me leerán con empeño, lamentando tal vez que las cosas
no sean más simples, pienso que estarán de acuerdo conmigo en que esta
de…nición es necesaria y natural. Me atrevo a decir que es, en un cierto
sentido, más simple que la de Riemann, tan fácil de asimilar como ella
y que únicamente los hábitos adquiridos anteriormente pueden hacerla
parecer más complicada.”
La de…nición de Lebesgue de la integral tuvo su motivación directa en la relación que existe
entre la integral de Riemann y la teoría del contenido.
Recordando que si f : [a; b] ! R es una función acotada no negativa y E la región en R2
acotada por el eje x y la grá…ca de f entre a Ry b, entonces f es Riemann integrable si y sólo si
b
E es Jordan medible y, en ese caso, se tiene a f (x)dx = c(E), Lebesgue observó que cuando
Rb
el conjunto E es (Lebesgue) medible se puede de…nir la integral de f como a f (x)dx = m(E).
Automáticamente, esta de…nición resulta ser una extensión de la integral de Riemann pues
si E es Jordan medible también es Lebesgue medible, pero hay conjuntos Lebesgue medibles
que no son Jordan medibles. Una vez formulada esta de…nición geométrica de la integral,
Lebesgue se planteó el problema de caracterizar a las funciones integrables y de llegar a la
de…nición de la integral por la vía analítica. El primer problema lo resolvió demostrando el
siguiente resultado:
Sea f : [a; b] ! R una función acotada no negativa, entonces el conjunto
E = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] y y 2 [0; f (x)]g
es medible si y sólo si el conjunto fx 2 [a; b] : f (x) > g es medible para cualquier
2 R.
De aquí que si f : [a; b] ! R es una función acotada, la de…na como medible si el conjunto
fx 2 [a; b] : f (x) > g es medible para cualquier 2 R.
Se demuestra fácilmente que la suma, el producto y otras operaciones entre funciones medibles resulta ser medible. Demostró Lebesgue una propiedad más cuya importancia resaltaba:
el límite de una sucesión convergente de funciones medibles es una función medible.
El segundo problema lo resolvió Lebesgue aproximando la integral de una función medible
considerando particiones cada vez más …nas del intervalo donde toma valores la función, en
lugar de hacerlo, como se hace para de…nir la integral de Riemann, mediante particiones
cada vez más …nas del intervalo donde está de…nida la función. Ésta es una de las ideas
originales de Lebesgue en su de…nición de integral. De manera especí…ca, el razonamiento
de Lebesgue es como sigue:
Sea f : [a; b] ! R una función medible, ` = nf ff (x) : x 2 [a; b]g, L = sup ff (x) : x 2 [a; b]g
y, dada " > 0, consideremos una partición del intervalo [`; L], ` = `0 < `1 <
< `n = L, de
norma menor que ". De…namos las funciones ' : [a; b] ! R y : [a; b] ! R de la siguiente
manera:
46
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
' (x) =
Pn
1
i=0 `i Ify2[a;b]:`i f (y)<`i+1 g
(x) = `0 Ify2[a;b]:f (y)=`0 g (x) +
Pn
DESARROLLO HISTÓRICO
(x) + `n Ify2[a;b]:f (y)=`n g (x),
1
i=0 `i+1 Ify2[a;b]:`i <f (y) `i+1 g
(x).
Para cualquier x 2 [a; b], se tiene:
' (x)
(x)
f (x)
' (x) =
(x),
Pn 1
i=0
(`i+1
`i ) Ify2[a;b]:`i <f (y)<`i+1 g (x) < "
Pn
1
i=0 Ify2[a;b]:`i <f (y)<`i+1 g
(x)
".
Denotemos por a la medida de Lebesgue en el intervalo [a; b] y de…namos:
P
= ni=01 `i (fy 2 [a; b] : `i f (y) < `i+1 g) + `n (fy 2 [a; b] : f (y) = `n g)
P
P
= ni=01 `i (fy 2 [a; b] : `i < f (y) < `i+1 g) + ni=0 `i (fy 2 [a; b] : f (y) = `i g),
P
= `0 (fy 2 [a; b] : f (y) = `0 g) + ni=01 `i+1 (fy 2 [a; b] : `i < f (y) `i+1 g)
P
P
= ni=01 `i+1 (fy 2 [a; b] : `i < f (y) < `i+1 g) + ni=0 `i (fy 2 [a; b] : f (y) = `i g).
Observemos que se tiene:
P
0
= ni=01 (`i+1 `i ) (fy 2 [a; b] : `i < f (y) < `i+1 g)
P
< " ni=01 (fy 2 [a; b] : `i < f (y) < `i+1 g) " (b a).
Tomemos ahora una sucesión decreciente ("m )m2N que converja a cero.
Para cada m 2 N, de…namos las funciones 'm : [a; b] ! R y m : [a; b] ! R, así como los
números reales m y m , como antes, tomando " = "m . Tomemos
las particiones del intern
o
(m+1) (m+1)
(m+1)
valo [`; L] de tal forma que, para cualquier m 2 N, la partición `0
; `1
;
< `nm+1 ,
n
o
(m) (m)
(m)
correspondiente a "m+1 , es un re…namiento de la partición `0 ; `1 ;
< `nm correspondiente a "m . Se tiene entonces que la sucesión de funciones ('m )m2N es creciente, mientras
que la sucesión ( m )m2N es decreciente, así que ambas convergen puntualmente. También,
la sucesión ( m )m2N es creciente y la sucesión ( m )m2N es decreciente, así que ambas son
convergentes.
Además, como 'm (x)
f (x)
'm (x)
"m para cualquier m 2 N y
m (x) y
m (x)
cualquier x 2 [a; b], las sucesiones ('m )m2N y ( m )m2N convergen uniformemente a la función
f.
También, como 0
< "m (b a), las sucesiones ( m )m2N y (
m
R bm
mismo valor. La integral a f (x) dx se de…ne como este límite común.
m )m2N
convergen al
Falta demostrar que se obtiene el mismo valor de la integral para cualquier sucesión decreciente ("m )m2N que converja a cero, lo cual hace Lebesgue de la siguiente manera:
1.5. LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R2
47
Consideremos otra sucesión ("0m )m2N que converja a cero.
Para la sucesión ("m )m2N inicial, tenemos una sucesión de particiones (Pm )m2N del intervalo
[`; L], y para la sucesión ("0m )m2N , tenemos una sucesión de particiones (Pm0 )m2N del intervalo
[`; L]. Para cada m 2 N, de…namos:
Pm00 = Pm [ Pm0 .
Se tiene entonces, para cualquier m 2 N:
m
00
m
00
m
m,
0
m
00
m
00
m
0
m.
De la primeras desigualdades, se sigue que las sucesiones (
mismo valor que las sucesiones ( m )m2N y ( m )m2N .
00
m )m2N
y(
00
m )m2N
convergen al
De las segundas desigualdades, se sigue que las sucesiones (
mismo valor que las sucesiones ( 0m )m2N y ( 0m )m2N .
00
m )m2N
y(
00
m )m2N
convergen al
Así que, las sucesiones (
( 0m )m2N y ( 0m )m2N .
Obsérvese que si E
m )m2N
y (
[a; b], entonces
m )m2N
Rb
a
convergen al mismo valor que las sucesiones
IE (x) dx =
(E).
Una vez de…nida la integral de una función medible, se demuestran fácilmente las 5 primeras
propiedades que Lebesgue planteó como propiedades que debe tener la integral.
La sexta propiedad es un corolario del siguiente resultado que demostró Lebesgue, el cual es
ahora conocido como el teorema de la convergencia uniformemente acotada:
Si una sucesión de funciones medibles (fn )n2N , de…nidas sobre un intervalo [a; b], converge
a una función f y existe M 2 R tal que jfn (x)j M para cualquier x 2 [a; b] y cualquier
n 2 N, entonces:
l mn
1
Rb
a
fn (x) dx =
Rb
a
f (x) dx.
1.5. La medida de Lebesgue en R2
Como puede verse, en la caracterización de las funciones integrables, Lebesgue hacía referencia a conjuntos medibles en R2 . En su libro, Lebesgue planteó que éstos se pueden de…nir
de manera similar a como lo hacía en el caso de los conjuntos medibles en R. Para ello se
requiere extender a R2 el resultado de Borel que asegura que si un intervalo cerrado y acotado
es cubierto por una in…nidad numerable de intervalos abiertos, entonces existe una colección
…nita de esos intervalos que también lo cubren y, una vez hecho esto, extender también la
propiedad básica que permite de…nir la medibilidad con el método de Lebesgue, a saber,
48
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
DESARROLLO HISTÓRICO
que si I es un intervalo cerrado y acotado y (Ij )j2N una sucesión de intervalos abiertos tales
S1
P1
que I
j=1 Ij , entonces l (I)
j=1 l (Ij ). El resultado de Borel lo demostró Lebesgue
utilizando un resultado de Peano que a…rma que se puede cubrir todo R2 mediante una curva
continua. La demostración ahora clásica del resultado de Borel es como sigue:
Proposición 1.4. Sea R = [a; b] [c; d] un rectángulo acotado en R2 y una sucesión R(j) =
S1 (j)
(j) (j)
(j) (j)
a1 ; b1
a2 ; b2 (con j 2 N) de rectángulos no vacíos en R2 tales que R
j=1 R ,
entonces existe un número …nito de rectángulos de la familia
contiene a R.
R(j) : j 2 N
cuya unión
Demostración
Supongamos que no existe un número …nito de rectángulos de la familia R(j) : j 2 N cuya
unión contenga a R.
Denotemos por c1 al punto medio del intervalo [a1 ; b1 ] y por c2 al punto medio del intervalo
[a2 ; b2 ].
Consideremos los rectángulos [a1 ; c1 ] [a2 ; c2 ], [a1 ; c1 ] [c2 ; b2 ], [c1 ; b1 ] [a2 ; c2 ] y [c1 ; b1 ]
[c2 ; b2 ], cuya unión es R. Como no existe un número …nito de rectángulos de la familia
R(j) : j 2 N cuya unión contenga a R, por lo menos uno de esos 4 rectángulos tiene la
misma propiedad. Denotemos por R1 a cualquiera de los 4 rectángulos para el cual no existe
un número …nito de rectángulos de la familia R(j) : j 2 N cuya unión lo contenga.
Sea R1 = a(1) ; b(1)
c(1) ; d(1) .
Repitamos el procedimiento, partiendo ahora R1 en cuatro rectángulos y denotemos por R2
a cualquiera de los 4 rectángulos para el cual no existe un número …nito de rectángulos de
la familia R(j) : j 2 N cuya unión lo contenga.
Sea R2 = a(2) ; b(2)
c(2) ; d(2) .
Continuando con este procedimiento, obtenemos una sucesión de rectangulos encajados
(Rk )k2N para cada uno de los cuales no existe un número …nito de rectángulos de la familia R(j) : j 2 N cuya unión lo contenga.
Denotemos por L a la longitud de la diagonal del rectángulo R y por Lk a la longitud de la
diagonal del rectángulo Rk . Por la manera en que los construimos, se tiene:
Lk =
1
L.
2k
Como los rectángulos Rk son cerrados y están encajados, su intersección es no vacía. Además,
como la longitud de su diagonal tiende a cero, la intersección es un único punto x0 = (a0 ; b0 ),
el cual pertenece a R ya que R es cerrado.
Sea R(j0 ) un intervalo de la familia R(j) : j 2 N al cual pertenezca x0 y sea Br (x0 ) una
bola abierta, de radio r y centro x0 , contenida en R(j0 ) . Tomemos k0 2 N tal que Lk0 < r;
1.5. LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R2
49
entonces, como x 2 Rk0 , la distancia de cualquier punto de Rk0 a x0 es menor que r. Por lo
tanto, Rk0 Br (x0 ) R(j0 ) , lo cual es una contradicción.
Con este resultado la otra parte ya es simple:
Definición 1.5. Si R = I1 I2 es un rectángulo en R2 , denotaremos por a (R) al área de
R, es decir al producto l (I1 ) l (I2 ), donde l (I) es la longitud del intervalo I.
Lema 1.1. Sea R = [a1 ; b1 ] [an2 ; b2 ] un rectángulo acotado en R2 y una colección …nita de reco
(j) (j)
(j) (j)
tángulos abiertos no vacíos R(j) = a1 ; b1
a2 ; b2 : m 2 N y j 2 f1; 2; : : : ; mg
Sm
(j)
tales que R
j=1 R , entonces:
Pm
(j)
.
a (R)
j=1 a R
Demostración
Si alguno de los rectángulos R(j) no está acotado, el resultado es inmediato, así que asumiremos que todos los rectángulo R(j) están acotados. Para
h cada ji 2 hf1; 2; : : : i; mg, denotemos
(j)
(j) (j)
(j) (j)
(j)
a2 ; b2 .
por R a la cerradura de R , es decir al rectángulo a1 ; b1
(1)
(1)
(m)
(m)
Para cada i 2 f1; 2g, los puntos ai ; bi ; ai ; bi ; : : : ; ai ; bi constituyen una partición de
(1)
(1)
(1)
(1)
un intervalo [ci ; di ]. Para i = 1 (resp. i = 2), denotemos por x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn1 (resp.
(2)
(2)
(2)
(2)
x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn2 ) los elementos de esa partición, ordenados del menor al mayor y, para
(1)
(1)
(2)
(2)
k1 2 f1; 2; : : : ; n1 g y k2 2 f1; 2; : : : ; n2 g, de…namos Rk1 ;k2 = xk1 1 ; xk1
xk2 1 ; xk2 y deh
i h
i
(1)
(1)
(2)
(2)
notemos por Rk1 ;k2 a la cerradura de Rk1 ;k2 , es decir al rectángulo xk1 1 ; xk1
x k 2 1 ; xk2 .
Por la construcción de los rectángulos Rk1 ;k2 , el rectángulo R, así como cada uno de los
(j)
rectángulos R , con j 2 f1; 2; : : : ; mg, es la unión de algunos de los rectángulos Rk1 ;k2 .
Además, cualquier par de rectángulos Rk1 ;k2 son ajenos.
Sean R1 ; R2 ; : : : ; Rt los rectángulos de la familia
Rk1 ;k2 : k1 2 f1; 2; : : : ; n1 g y k2 2 f1; 2; : : : ; n2 g ,
cuya unión es igual a R.
Sm
(j)
Como R
j=1 R , cada rectángulo Ri (i 2 f1; 2; : : : ; tg) está contenido en algún rectángulo R
(j)
(j 2 f1; 2; : : : ; mg). Además:
P
a (R) = ti=1 a (Ri ).
Para cada j 2 f1; 2; : : : ; mg, sea Dj el conjunto de índices de los rectángulos de la familia
(j)
fR1 ; R2 ; : : : ; Rt g que están contenidos en R . Obviamente se tiene:
50
1. MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE
a R(j) = a R
(j)
P
fi2Dj g
DESARROLLO HISTÓRICO
a (Ri ).
Y como cada rectángulo Ri (i 2 f1; 2; : : : ; tg) está contenido en algún rectángulo R
f1; 2; : : : ; mg), se tiene:
Pm P
Pt
Pm
(j)
j=1
fi2Dj g a (Ri )
i=1 a (Ri ) = a (R).
j=1 a R
(j)
(j 2
Proposición 1.5. Sea R = [a1 ; b1 ] [a2 ; b2 ] un rectángulo acotado en R2 y una sucesión
(j) (j)
(j) (j)
R(j) = a1 ; b1
a2 ; b2
(con j 2 N) de rectángulos no vacíos en R2 tales que R
S1 (j)
j=1 R , entonces:
P1
(j)
a (R)
.
j=1 a R
Demostración
Por el teorema de Borel, existe una colección …nita, R(j1 ) ; R(j2 ) ; : : : ; R(jm ) , tal que:
Sm (j1 )
.
R
i=1 R
Así que, por el lema anterior:
P1
Pm
(j)
(ji )
.
a
R
a (R)
j=1 a R
i=1
Proposición 1.6. Sea R un rectángulo …nito de cualquier tipoSy R1 ; R2 ; : : : una familia
…nita o in…nita numerable de rectángulos abiertos tales que R
j Rj , entonces:
P
a(R)
j a(Rj ).
Demostración
Sea R = I
De…namos:
J, a y b los extremos del intervalo I, c y d los extremos del intervalo J.
L1 = f(a; y) : y 2 [c; d]g,
L2 = f(b; y) : y 2 [c; d]g,
L3 = f(x; c) : x 2 [a; b]g,
L4 = f(x; d) : x 2 [a; b]g.
Dada " > 0, para k 2 f1; 2; 3; 4g, sea R(k) un rectángulo abiertos que contengan a Lk y de
área igual a 4" . Entonces la unión de los rectángulos R(1) ; R(2) ; R(3) ; R(4) ; R1 ; R2 ; : : : contiene
al rectángulo R = [a; b] [c; d]. Por el teorema de Borel, existe entonces una colección …nita
de esos rectángulos cuya unión contiene a R, así que:
1.5. LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R2
a(R) = a(R)
P
j
51
a(Rj ) + ".
Como esta relación es válida para cualquier " > 0, se puede concluir que a(R)
P
j
a(Rj ).
Con base en lo anterior, la de…nición de los conjuntos medibles en R2 y la demostración de
sus propiedades, puede hacerse siguiendo paso a paso el razonamiento de Lebesgue para el
caso de los conjuntos medibles en R.
CAPÍTULO 2
MEDIDA DE LEBESGUE
2.1. Álgebras, -álgebras y borelianos
Una vez desarrollada la teoría iniciada por Borel y Lebesgue, se volvieron básicos los conceptos de álgebra y -álgebra de subconjuntos de un conjunto dado, ya que la familia de
conjuntos para los cuales se pudo de…nir una medida, si bien no siempre está formada por
todos los subconjuntos del conjunto, constituye una -álgebra.
Definición 2.1 (álgebra). Sea F un conjunto. Se dice que una familia A de subconjuntos
de F es un álgebra si se satisfacen las siguientes condiciones:
(i) F 2 A.
(ii) Si A 2 A entonces Ac 2 A.
(iii) Si A1 ; : : : ; An es cualquier familia …nita de elementos de A, entonces
n
S
k=1
Ak 2 A.
Definición 2.2 ( -álgebra). Sea F un conjunto. Se dice que una familia = de subconjuntos
de F es una -álgebra si es un álgebra y dada cualquier colección in…nita numerable de
1
S
elementos de =, A1 ; A2 ; : : :, entonces
Ak 2 =.
k=1
Definición 2.3. Llamaremos espacio medible a una pareja (F; =), donde F es un conjunto
y = una -álgebra de subconjuntos de F.
Si F es un conjunto arbitrario, se pueden de…nir distintas -álgebras de subconjuntos de F.
Por ejemplo, la familia = = f;, Fg constituye una -álgebra de subconjuntos de F. También
la familia formada por todos los subconjuntos de F constituye una -álgebra de subconjuntos
de F. Si A1 ; A2 ; : : : ; An son subconjuntos de F, T = f1; 2; : : : ; ng, U = fi1 ; : : : ; ik g
T y
T U = fj1 ; : : : ; jn k g, de…namos:
BU = Ai1 \
U = fBU : U
\ Aik \ Acj1 \
\ Acjm k ,
T g.
53
54
2. MEDIDA DE LEBESGUE
Entonces, la familia A formada por el conjunto vacío y las uniones de elementos de U
constituye una -álgebra de subconjuntos de F.
Los anteriores son ejemplos sencillos y, podría decirse, arti…ciales. En general vamos a
trabajar con conjuntos F que son in…nitos y con -álgebras que están formadas por una
in…nidad de subconjuntos de F.
La necesidad de introducir el concepto de -álgebra proviene de que, en general, para de…nir
una medida se sigue un procedimiento similar al que siguió Lebesgue para de…nir lo que
podríamos llamar la longitud de un subconjunto de los números reales. Partió de que la
longitud de un intervalo de extremos a y b está de…nida como la diferencia b a y se planteó
entonces el problema de extender el concepto de longitud a todos los subconjuntos de los
números reales. A lo que llegó es que es posible realizar esa extensión hasta abarcar una
determinada familia de subconjuntos. Mostró también que la familia de conjuntos hasta
donde es posible llevar su proceso de extensión, si bien no necesariamente está formada
por todos los subconjuntos de R, es una familia bastante grande ya que es cerrada bajo
complementos y uniones e interserciones numerables; es decir, constituye lo que estamos
de…niendo como -álgebra. En general, el procedimiento de Lebesgue es el que se sigue para
de…nir una medida: se comienza por asignar una medida a cada conjunto de una determinada
familia y después se realiza el proceso de extensión. Con este camino siempre se llega a de…nir
la medida sobre una familia de conjuntos que forma una -álgebra.
Definición 2.4 (Intersección de -álgebras). Dado un conjunto F y una familia arbitraria de -álgebras de subconjuntos de F, se de…ne la intersección de esas -álgebras como
la familia de conjuntos que pertenecen a todas ellas.
Se puede ver fácilmente que la intersección de -álgebras de subconjuntos de F es también
una -álgebra y, dada una colección arbitraria B de subconjuntos de F, siempre existe por
lo menos una -álgebra que contiene a todos los elementos de B, a saber, la formada por
todos los subconjuntos de F. Se puede de…nir entonces una -álgebra como la intersección
de todas las -álgebras de subconjuntos de F que contienen a todos los elementos de B.
Definición 2.5 ( álgebra generada por una familia de conjuntos). Dada una colección A de subconjuntos de un conjunto F, se de…ne la -álgebra generada por A como la
intersección de todas las -álgebras que contienen a todos los conjuntos de A. Denotaremos
por (A) a esta -álgebra.
Evidentemente la -álgebra generada por A es la más pequeña -álgebra de subconjuntos
de F que contiene a todos los elementos de A.
Una -álgebra de particular importancia es la de los conjuntos borelianos en R y, de manera
más general, en Rn .
Los conjuntos borelianos deben su nombre a Émile Borel quien los introdujo para caracterizar
a los subconjuntos de R a los cuales se les puede asignar una longitud.
2.1. ÁLGEBRAS,
-ÁLGEBRAS Y BORELIANOS
55
La idea fundamental consiste en que se puede asignar una longitud a todos los subconjuntos
de R que se puedan obtener a partir de los intervalos mediante las operaciones conjuntistas de
unión numerable y diferencia. La de…nición moderna se basa en la generación de -álgebras
de acuerdo con la de…nición anterior.
Cabe mencionar que Borel era constructivista, de manera que únicamente aceptaba de…niciones de elementos para los cuales se pudiera decir, explicitamente, como se construían. La
siguiente de…nición de los conjuntos borelianos, obviamente, no es la de Borel, ya que no se
dice en ella cómo se construye cada conjunto boreliano.
Definición 2.6 ( -álgebra de Borel en R). La -álgebra de Borel en R, la cual será
denotada por B (R), es la -álgebra de subconjuntos de R generada por la familia de todos
los intervalos de números reales. A los elementos de esa -álgebra los llamaremos borelianos
de R.
Las siguientes propiedades pueden ser probada fácilmente, para ello sólo hay que demostrar
que, a partir de cada una de las familias que se dan, se puede obtener un intervalo de cualquier
tipo utilizando las operaciones de complemento y de uniones o intersecciones numerables.
Ejercicio 2.1. Demuestra que la -álgebra de los conjuntos borelianos de R está generada
por cualquiera de las siguientes familias de conjuntos.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Los
Los
Los
Los
Los
Los
intervalos
intervalos
intervalos
intervalos
intervalos
intervalos
de
de
de
de
de
de
la
la
la
la
la
la
forma
forma
forma
forma
forma
forma
( 1; x], donde x 2 R.
( 1; x), donde x 2 R.
(a; b], donde a; b 2 R.
[a; b), donde a; b 2 R.
(a; b), donde a; b 2 R.
[a; b], donde a; b 2 R.
Ejercicio 2.2. Muestra que no todo boreliano de R es una unión numerable de intervalos
o el complemento de una unión numerable de intervalos.
Sugerencia: Denotemos por C al conjunto de números racionales contenidos en el intervalo
( 1; 0) y por D al conjunto de números racionales contenidos en el intervalo [0; 1).
De…namos:
A = (( 1; 0)
C) [ D
Demuestra lo siguiente:
1. A es un conjunto boreliano de R.
2. A \ ( 1; 0) y Ac \ [0; 1) son conjuntos no numerables que no contienen ningún
intervalo de longitud positiva.
3. A no es una unión numerable de intervalos ni el complemento de una unión numerable
de intervalos.
56
2. MEDIDA DE LEBESGUE
Definición 2.7. Cuando los extremos de un intervalo sean números reales, diremos que el
intervalo es …nito (esto equivale a decir que el intervalo es un conjunto acotado).
Conviene considerar desde este momento al conjunto de números reales extendidos, el cual
consiste del conjunto de números reales y dos elementos especiales, 1 y 1, con los cuales
operaremos bajo las siguientes convenciones:
Si c 2 R, entonces:
1 < c < 1,
1=
c
1,
c + 1 = 1,
c (1) = 1 si c > 0,
1 si c < 0,
c (1) =
(0) (1) = (0) ( 1) = 0,
c
1
=
c
1
= 0,
(1) (1) = 1 + 1 = 1,
1
1e
1
1
no están de…nidos.
R denotará al conjunto R [ f 1; 1g.
Tomando en consideración las convenciones anteriores, las propiedades usuales de conmutatividad y asociatividad de las operaciones de suma y producto entre números reales siguen
siendo válidas, cuando estén de…nidas, sobre R .
El conjunto de números reales R también será denotado por ( 1; 1). El conjunto de
+
números reales no negativos será denotado por [0; 1) ; o por R+ , y R denotará al conjunto
R+ [ f1g.
n
R denotará al conjunto (x1 ; : : : ; xn ) : xk 2 R para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng . Cuando
n
estén bien de…nidas, consideraremos sobre R las operaciones usuales de…nidas en Rn .
n
Denotaremos por R a la familia de subconjuntos de R de la forma I1 I2
In , donde,
para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, Ik es ya sea un intervalo de la forma ( 1; x], con x 2 R, o
bien Ik = R.
Si F es un conjunto cualquiera y f y g son dos funciones con valores en R, de…nidas sobre
F, vamos a considerar a la suma de f y g como la función h : F !R de…nida de la siguiente
manera:
2.1. ÁLGEBRAS,
h (x) =
-ÁLGEBRAS Y BORELIANOS
57
f (x) + g (x) si f (x) + g (x) está de…nida
1
si f (x) + g (x) no está de…nida
Esta convención se traslada a la resta de dos funciones ya que f
g = f + ( g).
Definición 2.8 ( -álgebra de Borel en R). La -álgebra de Borel en R, la cual será
denotada por B R , es la -álgebra de subconjuntos de R generada por la familia de intervalos de la forma ( 1; x], donde x 2 R. A los elementos de esa -álgebra los llamaremos
borelianos de R.
Ejercicio 2.3. Los conjuntos f1g, f 1g y f 1; 1g son borelianos de R.
Proposición 2.1. La -álgebra de Borel en R está formada los borelianos de R y los conjuntos de la forma B [ f1g, B [ f 1g y B [ f 1; 1g, donde B es un boreliano de
R.
Demostración
Sea H la familia de conjuntos formada los borelianos de R y los conjuntos de la forma
B [ f1g, B [ f 1g y B [ f 1; 1g, donde B es un boreliano de R.
Todos los elementos de H son borelianos de R y H es una -álgebra que contiene a todos los
intervalos de la forma ( 1; x], donde x 2 R.
Proposición 2.2. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de intervalos de
la forma [ 1; x], donde x 2 R.
Demostración
Para cualquier x 2 R, se tiene:
[ 1; x] = ( 1; x] [ f 1g 2 B R .
Sea J la familia de intervalos en R de la forma [ 1; x], donde x 2 R. Entonces:
T
f 1g = 1
(J),
n=1 [ 1; n] 2
( 1; 1] = R
f 1g 2
(J).
Finalmente, si x 2 R, entonces:
( 1; x] = [ 1; x]
f 1g 2
(J).
Corolario 2.1. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de intervalos de
la forma [ 1; x], donde x 2 R.
Proposición 2.3. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de intervalos de
la forma [ 1; x), donde x 2 R.
58
2. MEDIDA DE LEBESGUE
Demostración
Sea I la familia de intervalos en R de la forma [ 1; x), donde x 2 R, y J la familia de
intervalos en R de la forma [ 1; x], donde x 2 R. Entonces, para cualquier x 2 R, se tiene:
S
1; x n1 2 (J),
[ 1; x) = 1
n=1
T
[ 1; x] = 1
1; x + n1 2 (I).
n=1
Así que
(I) =
(J) = B R .
2.2.
-álgebra de Borel en Rn
Definición 2.9. Por una celda en Rn se entenderá un conjunto de la forma I1
donde I1 ;
; In son intervalos en R.
In ,
Obviamente, si R = I1
In entonces R es un conjunto acotado si y sólo si los intervalos
I1 ;
; In son …nitos. De la misma manera, R es un conjunto abierto (resp. cerrado) si y
sólo si los intervalos I1 ;
; In son abiertos (resp. cerrados).
Denotaremos por R a la familia de celdas en Rn .
Definición 2.10 ( -álgebra de Borel en Rn ). La -álgebra de Borel en Rn , la cual será
denotada por B (Rn ), es la -álgebra de subconjuntos de Rn generada por R. A los elementos
de esa -álgebra los llamaremos borelianos de Rn .
Proposición 2.4. La -álgebra generada por la familia de celdas de Rn de la forma ( 1; x1 ]
( 1; x2 ]
( 1; xn ], donde (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn , contiene a todos los subconjuntos de
Rn de la forma B1 B2 : : : Bn , donde B1 ; : : : ; Bn son borelianos de R.
Demostración
Sea H la -álgebra de subconjuntos de Rn generada por la familia de celdas de Rn de la
forma ( 1; x1 ] ( 1; x2 ]
( 1; xn ], donde (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
Sea (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn y U
(m)
sucesión de intervalos Jk
m2N
( 1; xk ] si k 2
=U
R
si k 2 U
Jk =
(m)
Jk
=
Se tiene:
( 1; xk ] si k 2
=U
( 1; m] si k 2 U
f1; 2; : : : ; ng. Para cada k 2 f1; 2; : : : ; ng, de…namos la
y el intervalos Jk de la siguiente manera:
2.2.
J1
J2
Así que J1
Jn =
J2
S1
m=1
(m)
J1
-ÁLGEBRA DE BOREL EN Rn
(m)
J2
59
(m)
Jn .
Jn 2 H.
De…namos G = f( 1; x] : x 2 Rg [ fRg.
Por lo anterior, I1
In 2 H, para cualquier celda I1
cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng.
In donde Ik 2 G para
La familia de conjuntos B 2 B (R) tales que I1
In 1 B 2 H, para cualquier celda
n 1
I1
In 1 2 R
tal que Ik 2 G para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; n 1g, forma una álgebra que contiene a los intervalos de la familia f( 1; x] : x 2 Rg; por lo tanto, contiene
a todos los borelianos de R.
De la misma manera, si Bn es un boreliano de R cualquiera, entonces la familia de conjuntos
B 2 B (R) tales que I1
In 2 B Bn 2 H, para cualquier celda I1
In 2 de
n 2
R
tal que Ik 2 G para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; n 2g, forma una -álgebra que contiene
a los intervalos de la familia f( 1; x] : x 2 Rg; por lo tanto, contiene a todos los borelianos
de R.
Continuando con este procedimiento, se obtiene que los conjuntos de la forma I B2 : : : Bn ,
donde I 2 G y B2 ; : : : ; Bn son borelianos cualesquiera de R, pertenecen a H.
Finalmente, si B2 ; : : : ; Bn son borelianos cualesquiera de R, entonces la familia de conjuntos
B 2 B (R) tales que B B2 : : : Bn 2 H, forma una -álgebra que contiene a los intervalos
de la familia f( 1; x] : x 2 Rg; por lo tanto, contiene a todos los borelianos de R.
Así que, H contiene a todos los subconjuntos de Rn de la forma B1
B1 ; : : : ; Bn son borelianos de R.
B2
:::
Bn , donde
En particular, H contiene a cualquier celda en Rn , así que contiene a todos los borelianos de
Rn .
Finalmente, como H
B (Rn ), entonces H = B (Rn ).
Corolario 2.2. La -álgebra de Borel en Rn está generada por la familia de celdas de Rn
de la forma ( 1; x1 ] ( 1; x2 ]
( 1; xn ], donde (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
Corolario 2.3. La -álgebra de Borel en Rn está generada por la familia de subconjuntos
de Rn de la forma B1 B2 : : : Bn , donde B1 ; : : : ; Bn son borelianos de R.
Proposición 2.5. La -álgebra de Borel en Rn está generada por cualquiera de las siguientes
familias de conjuntos:
(i) D1 : Las celdas de Rn de la forma
( 1; x1 ) ( 1; x2 )
( 1; xn ),
donde (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
(ii) D2 : Las celdas de Rn de la forma
60
2. MEDIDA DE LEBESGUE
(a1 ; b1 ] (a2 ; b2 ]
(an ; bn ],
donde (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 Rn .
(iii) D3 : Las celdas de Rn de la forma
(a1 ; b1 ) (a2 ; b2 )
(an ; bn ),
donde (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 Rn .
(iv) D4 : Las celdas de Rn de la forma
[a1 ; b1 ) [a2 ; b2 )
[an ; bn ),
donde (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 Rn .
(v) D5 : Las celdas de Rn de la forma
[a1 ; b1 ] [a2 ; b2 ]
[an ; bn ],
donde (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 Rn .
Demostración
Denotemos por D a la familia de celdas de Rn de la forma:
( 1; x1 ]
( 1; x2 ]
( 1; xn ],
donde (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
a) Sea ( 1; x1 ]
( 1; x1 ]
T
= 1
m=1
( 1; x2 ]
( 1; x2 ]
1; x1 +
( 1; xn ]
1
m
Así que, B (Rn ) =
( 1; xn ] 2 D, entonces:
(D)
1; x2 +
1
m
1; xn +
1
m
2
(D1 ).
(D1 ).
Además, todo elemento de D1 es un boreliano de Rn .
Por lo tanto,
(D1 ) = B (Rn ).
b) Sea ( 1; x1 ]
( 1; x1 ]
( 1; x2 ]
( 1; x2 ]
Así que, B (Rn ) =
(D)
( 1; xn ] 2 D, entonces:
S
( 1; xn ] = 1
( m; x2 ]
m=1 ( m; x1 ]
( m; xn ] 2
(D2 ).
(D2 ).
Además, todo elemento de D2 es un boreliano de Rn .
Por lo tanto,
c) Sea (a1 ; b1 ]
(D2 ) = B (Rn ).
(an ; bn ] 2 D2 una celda no vacía, entonces:
T
1
a2 ; b2 + m1
an ; bn +
(an ; bn ] = 1
m=1 a1 ; b1 + m
(a2 ; b2 ]
(a1 ; b1 ] (a2 ; b2 ]
Así que, B (Rn ) =
(D2 )
(D3 ).
Además, todo elemento de D3 es un boreliano de Rn .
1
m
2
(D3 ).
2.2.
Por lo tanto,
61
(D3 ) = B (Rn ).
d) Sea (a1 ; b1 )
(a1 ; b1 )
(D4 ).
-ÁLGEBRA DE BOREL EN Rn
(a2 ; b2 )
(a2 ; b2 )
Así que, B (Rn ) =
(an ; bn ) 2 D3 una celda no vacía, entonces:
S
1
(an ; bn ) = 1
a2 + m1 ; b2
m=1 a1 + m ; b1
(D3 )
an +
1
;b
m n
2
(D4 ).
Además, todo elemento de D4 es un boreliano de Rn .
Por lo tanto,
(D4 ) = B (Rn ).
e) Sea [a1 ; b1 )
[an ; bn ) 2 D4 una celda no vacía, entonces:
S
1
a2 ; b2 m1
an ; bn
[an ; bn ) = 1
m=1 a1 ; b1
m
[a2 ; b2 )
[a1 ; b1 ) [a2 ; b2 )
Así que, B (Rn ) =
(D4 )
1
m
2
(D5 ).
(D5 ).
Además, todo elemento de D5 es un boreliano de Rn .
Por lo tanto,
(D5 ) = B (Rn ).
Proposición 2.6. La -álgebra de Borel en Rn está generada por la familia de subconjuntos
abiertos de Rn .
Demostración
Sea G un subconjunto abierto no vacío de Rn , entonces, para cada x 2 G existe una bola
abierta B de centro x y radio s > 0 contenida en G.
Sea r un número racional positivo menor que s y y = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) un elemento de la bola
1
abierta de centro x y radio 2n
r tal que, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, yk es un número
racional.
Obviamente x pertenece a la bola abierta de centro y y radio
B.
1
r,
2n
la cual está contenida en
De…namos:
C = y1
1
r; y1
2n
+
1
r
2n
y2
1
r; y2
2n
+
1
r
2n
yn
1
r; yn
2n
+
1
r
2n
.
La distancia entre dos elementos cualesquiera de C es menor que la distancia entre los puntos
1
1
1
1
1
1
y1 2n
r; y2 2n
r; : : : ; yn 2n
r y y1 + 2n
r; y2 + 2n
r; : : : ; yn + 2n
r , la cual es igual a p1n r.
1
Como x pertenece a la bola abierta de centro y y radio 2n
r, si x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ), entonces
1
jxk yk j < 2n r para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, así que x 2 C. Por lo tanto, si z 2 C,
entonces:
62
d (z; x) <
Así que C
2. MEDIDA DE LEBESGUE
p1 r
n
B
r < s.
G.
Denotemos por C al conjunto de celdas en Rn de la forma (r1 ; s1 ) (r2 ; s2 )
(rn ; sn ),
donde r1 ; s1 ; r2 ; s2 ; : : : ; rn ; sn son números racionales. C es entonces un conjunto numerable
y, por lo anterior, para cada x 2 G existe C 2 C tal que x 2 C y C G.
Por lo tanto, G se puede expresar como la unión de una colección …nita o in…nita numerable
de conjuntos en C, cada uno de los cuales un boreliano de Rn . Así que G es un boreliano de
Rn .
Finalmente, la familia de subconjuntos abiertos de Rn contiene a las celdas en Rn de la forma
( 1; x1 ) ( 1; x2 )
( 1; xn ), donde (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn , las cuales generan a la
-álgebra de Borel en Rn . Así que también la familia de subconjuntos abiertos de Rn genera
a la -álgebra de Borel en Rn .
n
Definición 2.11 ( -álgebra de Borel en Rn ). La -álgebra de Borel en R , la cual será
n
n
denotada por B R , es la -álgebra de subconjuntos de R generada por R. A los elementos
n
de esa -álgebra los llamaremos borelianos de R .
Proposición 2.7. Si B1 ; : : : ; Bn son borelianos de R, entonces B1
n
boreliano de R .
B2
:::
Bn es un
Demostración
De…namos H = ( 1; x] : x 2 R [ R
n
La familia de conjuntos B 2 B R tales que I1
In 1 B 2 B R , para cualquier
familia de intervalos I1
In 1 tales que Ik 2 H para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; n 1g,
forma una -álgebra que contiene a los intervalos de la familia ( 1; x] : x 2 R ; por lo
tanto, contiene a todos los borelianos de R.
De la misma manera, si Bn es un boreliano de R cualquiera, entonces la familia de conjuntos
n
B 2 B R tales que I1
In 2 B Bn 2 B R , para cualquier familia de intervalos
I1
In 2 tales que Ik 2 H para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; n 2g, forma una -álgebra
que contiene a los intervalos de la familia ( 1; x] : x 2 R ; por lo tanto, contiene a todos
los borelianos de R.
Continuando con este procedimiento, se obtiene que los conjuntos de la forma I B2 : : : Bn ,
n
donde I 2 H y B2 ; : : : ; Bn son borelianos cualesquiera de R, son borelianos de R .
Finalmente, si B2 ; : : : ; Bn son borelianos cualesquiera de R, entonces la familia de conjuntos
n
B 2 B R tales que B B2 : : : Bn 2 B R , forma una -álgebra que contiene a los
intervalos de la familia ( 1; x] : x 2 R ; por lo tanto, contiene a todos los borelianos de
R.
2.2.
-ÁLGEBRA DE BOREL EN Rn
63
n
Corolario 2.4. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de conjuntos de
la forma B1 B2 : : : Bn , donde B1 ; : : : ; Bn son borelianos de R.
n
Proposición 2.8. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de subconjuntos
n
In , donde, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, Ik es ya sea un
de R de la forma I1 I2
intervalo de la forma [ 1; x], con x 2 R, o bien Ik = R.
Demostración
n
0
Denotemos por R a la familia de subconjuntos de R de la forma I1 I2
In , donde,
para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, Ik es ya sea un intervalo de la forma [ 1; x], con x 2 R, o
bien Ik = R.
Sean R = I1 I2
In 2 R una celda no vacía y U
f1; 2; : : : ; ng tal que Ik 6= R si
k 2 U e Ik = R si k 2
= U . Para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, k 2 U y m 2 N, de…namos:
[ 1; xj ] si j 2 U e Ij = ( 1; xj ]
R
si j 2
=U
8
< [ 1; xj ] si j 2 U , j 6= k e Ij = ( 1; xj ]
f 1g
si j = k
Bjk =
:
R
si j 2
=U
8
si j 2 U , j 6= k e Ij = ( 1; xj ]
< [ 1; xj ]
(m)
[ 1; m] si j = k
Bjk =
:
R
si j 2
=U
Aj =
Rk = B1k
B2k
Entonces:
T
(m)
Rk = 1
m=1 B1k
Bnk
(m)
(m)
Bnk 2
B2k
0
R .
Así que:
R = A1
A2
An
S
k2U
Rk 2
0
R .
n
Corolario 2.5. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de subconjuntos
n
de R de la forma [ 1; x1 ]
[ 1; xn ], donde xk 2 R para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng.
n
Proposición 2.9. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de subconjuntos
n
de R de la forma I1 I2
In , donde, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, Ik es ya sea un
intervalo de la forma [ 1; x), con x 2 R, o bien Ik = R.
64
2. MEDIDA DE LEBESGUE
Demostración
n
0
Denotemos por R a la familia de subconjuntos de R de la forma I1 I2
In , donde,
para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, Ik es ya sea un intervalo de la forma [ 1; x], con x 2 R,
n
00
o bien Ik = R, y por R a la familia de subconjuntos de R de la forma I1 I2
In ,
donde, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, Ik es ya sea un intervalo de la forma [ 1; x), con
x 2 R, o bien Ik = R.
0
Sean R = I1 I2
In 2 R y U
f1; 2; : : : ; ng tal que Ij 6= R si j 2 U e Ij = R si
j2
= U . Para cada k 2 f1; 2; : : : ; ng y m 2 N, de…namos:
Jkm =
R
1; xk +
Entonces:
T
(m)
R= 1
m=1 J1
1
m
(m)
J2
si Ik = [ 1; xk ] y k 2 U
si j 2
=U
(m)
Jn
2
00
R
.
00
Sean R = I1 I2
In 2 R y U
f1; 2; : : : ; ng tal que Ij 6= R si j 2 U e Ij = R si
j2
= U . Para cada k 2 f1; 2; : : : ; ng y m 2 N, de…namos:
Jkm =
R
1
m
1; xk
Entonces:
S
(m)
R= 1
m=1 J1
(m)
J2
si Ik = [ 1; xk ) y k 2 U
si j 2
=U
(m)
Jn
2
0
R .
2.3. Funciones …nitamente aditivas y -aditivas
Corolario 2.6. La -álgebra de Borel en R está generada por la familia de intervalos de
la forma [ 1; x), donde x 2 R.
Definición 2.12 (Función …nitamente aditiva sobre un álgebra). Sea F un conjunto
y A un álgebra de subconjuntos de F. Se dice que una función no negativa : A 7! R es
…nitamente aditiva si dada cualquier familia …nita, A1 ; : : : ; An , de elementos de A tal que
n
S
P
Ai \ Aj = ; para i 6= j, entonces ( Ak ) = nk=1 (Ak ).
k=1
Obsérvese que, si A es un álgebra de subconjuntos de F, para probar que una función
: A 7! R es …nitamente aditiva, basta con demostrar que si A y B son dos conjuntos ajenos
del álgebra, entonces (A [ B) = (A) + (B). Teniendo esta propiedad, la aditividad …nita
se prueba con un razonamiento de inducción.
2.3. FUNCIONES FINITAMENTE ADITIVAS Y
-ADITIVAS
65
Definición 2.13 (Función -aditiva sobre un álgebra). Sea F un conjunto y A un
álgebra de subconjuntos de F. Se dice que una función no negativa : A 7! R es -aditiva si
es …nitamente aditiva y dada cualquier familia in…nita numerable, A1 ; A2 ; : : :, de elementos
1
1
S
S
P
de A tal que Ai \ Aj = ; para i 6= j y
Ak 2 A, entonces
Ak = 1
k=1 (Ak ).
k=1
k=1
Definición 2.14 (Función -aditiva sobre una -álgebra). Sea F un conjunto y =
una -álgebra de subconjuntos de F. Se dice que una función no negativa : = 7! R es
-aditiva si es …nitamente aditiva y dada cualquier familia in…nita numerable, A1 ; A2 ; : : :,
1
S
P
de elementos de = tal que Ai \ Aj = ;, entonces
Ak = 1
k=1 (Ak ).
k=1
Proposición 2.10. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y
una función no negativa …nitamente aditiva, entonces:
:A!R
(i) Si A; B 2 A y A B, entoncesS (A)
(B).
Pn
n
(ii) Si A1 ; : : : ; An 2 A, entonces ( k=1 Ak )
k=1 (Ak ).
Demostración
Sean A; B 2 A tales que A B, entonces B = A[(B
Por lo tanto, (A)
(B), ya que es no negativa.
A), así que (B) = (A)+ (B
A).
Sean ahora A1 ; : : : ; An 2 A y de…namos A0 = ;, entonces:
Sn
S
( nk=1 Ak ) =
=
Pn
k=1
k=1
Sk
1
j=0
Ak
Ak
Aj
Sk
1
j=0
Pn
k=1
Aj
(Ak ).
Corolario 2.7. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y
función no negativa …nitamente aditiva, entonces:
Si A; B 2 A, A
(B
A) = (B)
B y
(A) < 1, entonces:
(A).
Para cualquier pareja A; B 2 A tal que
(A [ B) =
: A ! R una
(A) + (B)
(A) < 1 o
(B) < 1, se tiene:
(A \ B).
Proposición 2.11. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y
: A !
R una función no negativa …nitamente aditiva, entonces, para cualquier colección …nita
A1 ; A2 ; : : : ; An de elementos de A, se tiene:
S
P
P
P ( nk=1 Ak ) = nk=1 P (Ak )
fi;j2f1;:::;ng;:i6=jg P (Ai \ Aj )
P
+ fi;j;k2f1;:::;ng;:i6=j;j6=k;i6=kg P (Ai \ Aj \ Ak ) : : : + ( 1)n+1 P (A1 \ A2 : : : \ An ).
66
2. MEDIDA DE LEBESGUE
Demostración
La demostración se hará por inducción sobre el número de eventos n. Para n = 2 ya se
tiene el resultado. Supongamos ahora que la propiedad es válida para el caso de cualesquiera
m 1 eventos y sean A1 ; : : : Am m eventos cualesquiera. Se tiene entonces:
m 1
P ([m
k=1 Ak ) = P ([k=1 Ak ) + P (Am )
1
P (Am \ f[m
k=1 Ak g)
1
1
= P ([m
P ([m
k=1 Ak ) + P (Am )
k=1 Ak \ Am )
P 1
P
= m
k=1 P (Ak )
fi;j2f1;:::m 1g;i6=jg P (Ai \ Aj )
P
+ fi;j;k2f1;:::m 1g;i6=j;j6=k;i6=kg P (Ai \ Aj \ Ak ) : : :
Pm 1
+( 1)m P (A1 \ A2 : : : \ Am 1 ) + P (Am )
k=1 P (Ak \ An )
P
+ fi;j2f1;:::m 1g;i6=jg P ((Ai \ Am ) \ (Aj \ Am ))
P
fi;j;k2f1;:::m 1g;i6=j;j6=k;i6=kg P ((Ai \ Am ) \ (Aj \ Am ) \ (Ak \ Am ))
+ : : : ( 1)m P ((A1 \ Am ) \ (A2 \ Am ) : : : \ (Am 1 \ Am ))
P
P
P
(A
)
= m
k
fi;j2f1;:::mg;i6=jg P (Ai \ Aj )
k=1
P
+ fi;j;k2f1;:::mg;i6=j;j6=k;i6=kg P (Ai \ Aj \ Ak ) : : : + ( 1)m+1 P (A1 \ : : : \ Am ).
Por lo tanto, la propiedad es válida para m eventos cualesquiera.
Así que, por el principio de inducción matemática, la propiedad es válida para cualquier
n 2 N.
Teorema 2.1. Sea F un conjunto, = una
función no negativa -aditiva. Entonces:
-álgebra de subconjuntos de F y
: = ! R
(i) Para cualquier
sucesión creciente (An )n2N , de elementos de =, se tiene:
S1
( n=1 An ) = l mn!1 (An ).
(ii) Para cualquier sucesión decreciente (An )n2N , de elementos de =, tales que (AN ) <
1 para
T alguna N 2 N, se tiene:
( 1
n=1 An ) = l mn 1 (An ).
Demostración
1. Sea (An )n2N sucesión creciente de elementos de =.
Si S(An ) = 1 para alguna n 2 N, entonces l mn
( 1
n=1 An ) = l mn 1 (An ).
1
(An ) = 1 y
S
( 1
n=1 An ) = 1; así que
2.4. LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R
67
Supongamos ahora que (An ) < 1 para cualquier n 2 N. De…namos B1 = A1 y, para cada
n 2 f2; 3; : : :g, Bn =SAn An S
1 . Entonces los conjuntos B1 ; B2 ; : : : pertenecen a =, son
1
ajenos por parejas y 1
A
=
n=1 n
n=1 Bn . Así que:
S
S
P1
Pn
( 1
( 1
n=1 An ) =
n=1 Bn ) =
n=1 (Bn ) = l mn 1
k=1 (Bk )
P
P
= (B1 ) + l mn 1 nk=2 (Ak Ak 1 ) = (B1 ) + l mn 1 nk=2 [ (Ak )
(Ak 1 )]
= (B1 ) + l mn
1
(An )
(A1 ) = l mn
1
(An ).
2. Sea (An )n2N sucesión decreciente de elementos de = tales que (AN ) < 1 para alguna
N 2 N.
Para cada k 2 S
fN + 1; N + 2; : : :g, T
de…namos Bk = AN Ak . Entonces la sucesión (BN +n )n2N
1
es creciente y 1
B
=
A
N
n=N +1 n
n=N +1 An , así que:
S1
T1
T
A
=
(A
)
A
)
=
( 1
n
N
n
n=N +1 Bn
n=N +1
n=1
= (AN )
l mn
1
(BN +n ) = (AN )
= l mn!1 (AN +n ) = l mn
1
l mn
1
(AN
AN +n )
(An ).
2.4. La medida de Lebesgue en R
En esta sección expondremos la formulación moderna de la teoría de la medida de Lebesgue
en R, de manera que todos los conjuntos con los que trataremos serán subconjuntos de los
números reales.
La medida de Lebesgue se de…ne mediante un proceso de extensión partiendo de que la
medida de un intervalo es su longitud. Se de…ne la medida exterior de cualquier subconjunto
de R acercándonos a ese conjunto mediante uniones numerables de intervalos abiertos que
contienen al conjunto. No se de…ne una medida interior, como lo hizo Lebesgue, ya que la
caracterización que hizo Carathéodory de los conjuntos medibles es más cómoda de trabajar
y requiere únicamente contar con una medida exterior
Definición 2.15. Diremos que una colección …nita o in…nita
S numerable de intervalos abiertos …nitos I1 ; I2 ; : : : es una cubierta del conjunto A si A
n In .
El resultado siguiente, cuya demostración es muy simple gracias al teorema de Heine-Borel,
es fundamental para demostrar que la medida de Lebesgue de un intervalo es igual a su
longitud. De esta forma, lo que obtenemos es una extensión a todos los conjuntos medibles
del concepto de longitud.
Lema 2.1. Sea I un intervalo …nito de cualquier tipo (i.e. abierto, semiabierto, etc.) e
I1 ; I2 ; : : : una cubierta de I, entonces:
68
l(I)
2. MEDIDA DE LEBESGUE
P
j
l(Ij ).
Demostración
Sean a y b los extremos del intervalo I y, dada " > 0, sean Ia e Ib intervalos abiertos
que contengan a a y b respectivamente y tales que l(Ia ) = l(Ib ) = 2" . Entonces los intervalos
Ia ; Ib ; I1 ; I2 ; : : : forman una cubierta del intervalo [a; b]. Por el teorema de Heine-Borel, existe
entonces una subcubierta …nita. Sea L la suma de las longitudes de los intervalos de dicha
cubierta …nita, entonces:
P
l(I) = b a L
j l(Ij ) + ".
P
Se tiene entonces que l(I)
j l(Ij )+" para cualquier " > 0, de lo cual se sigue el resultado.
Definición 2.16. Se de…ne la medida exterior, me (A), de un conjunto A, mediante la
relación:
o
nP
l(I
)
:
I
;
I
;
:
:
:
es
cubierta
de
A
.
me (A) = nf
j
1 2
j
Proposición 2.12. Si A y B son dos conjuntos tales que A
me (A)
B entonces:
me (B).
Proposición 2.13. La medida exterior de un intervalo es igual a su longitud.
Demostración
Consideremos primero un intervalo …nito I. Por el lema 2.1 se tiene l(I)
Dada " > 0 sea J un intervalo abierto tal que J
cubierta de I, así que se tiene:
me (I)
me (I).
I y l(J) < l(I) + ". Como J
I , J es
l(J) < l(I) + ".
Es decir, me (I) < l(I) + " para cualquier " > 0. Por lo tanto, me (I)
l(I).
Si el intervalo I es in…nito, dado cualquier > 0 existe un intervalo …nito J contenido en I
y de longitud . Por lo tanto, me (I) me (J) = l(J) = . Así que me (I) = 1.
Ahora viene la propiedad que caracteriza a una medida exterior.
Proposición 2.14. Si A1 ; A2 ; : : : es una colección …nita o in…nita numerable de conjuntos,
entonces:
S
P
m e ( n An )
n me (An ).
2.4. LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R
69
Demostración
Si me (An ) = 1 para alguna n el resultado es trivial.
Supongamos entonces que me (An ) < 1 para
P toda n. Dada " > 0,"para cada conjunto An sea
In;1 ; In;2 ; : : : una cubierta de A
Sn tal que m l(In;m ) < me (An ) + 2n . La familia de intervalos
In;m forman una cubierta de n An , así que:
S
P P
P
P
"
m e ( n An )
n
m l(In;m )
n me (An ) + 2n
n me (An ) + ".
S
P
Es decir, me ( n An )
n me (An ) + " para cualquier " > 0. Por lo tanto:
S
P
m e ( n An )
n me (An ).
Definición 2.17. La propiedad enunciada en la última proposición es llamada la propiedad
de -subaditividad de la medida exterior.
Como decíamos, seguimos ahora el método de Carathéodory para de…nir la medibilidad de
un conjunto.
Definición 2.18. Se dice que un conjunto E es Lebesgue medible si:
me (A) = me (A \ E) + me (A \ E c )
para cualquier conjunto A. Además, en ese caso, se de…ne la medida de E, m(E), como la
medida exterior de E.
Obsérvese que, por la -subaditividad de la medida exterior, se tiene:
me (A)
me (A \ E) + me (A \ E c )
para cualquier par de conjuntos E y A, de manera que para demostrar la medibilidad de un
conjunto E únicamente es necesario probar la otra desigualdad.
Ahora se trata de demostrar que la familia de conjuntos medibles forma una -álgebra de
subconjuntos de R y que la función que asigna a cada conjunto medible su medida es aditiva. Comenzamos demostrando primero que forma un álgebra y que la función medida
es …nitamente aditiva.
Proposición 2.15. La familia de conjuntos Lebesgue medibles forma un álgebra de subconjuntos de R.
Demostración
Que R es medible, así como que el complemento de un conjunto medible es medible, son
resultados obvios.
70
2. MEDIDA DE LEBESGUE
Sean E1 y E2 dos conjuntos medibles y A cualquier conjunto. Se tiene entonces:
me (A \ (E1 [ E2 )) + me (A \ (E1 [ E2 )c )
= me ((A \ E1 ) [ (A \ E1c \ E2 )) + me (A \ E1c \ E2c )
me (A \ E1 ) + me (A \ E1c \ E2 ) + me (A \ E1c \ E2c )
= me (A \ E1 ) + me (A \ E1c ) = me (A).
Así que, E1 [ E2 es medible.
Proposición 2.16. Sea E1 ; E2 ; : : : ; En cualquier colección …nita de conjuntos Lebesgue medibles, ajenos por parejas, entonces:
P
S
me A \ ( nj=1 Ej ) = nj=1 me (A \ Ej )
para cualquier conjunto A.
Demostración
Para n = 1 la igualdad es obvia.
Supongamos ahora que la igualdad es válida para n = k y sea E1 ; E2 ; : : : ; Ek+1 una colección
…nita de k + 1 conjuntos medibles, ajenos por parejas, entonces, como Ek+1 es Lebesgue
medible, se tiene:
Sk+1
Sk+1
S
c
me A \ ( k+1
j=1 Ej ) = me A \ ( j=1 Ej ) \ Ek+1 + me A \ ( j=1 Ej ) \ Ek+1
S
= me (A \ Ek+1 ) + me A \ ( kj=1 Ej )
= me (A \ Ek+1 ) +
Pk
j=1
me (A \ Ej ) =
Pk+1
j=1
me (A \ Ej ).
Corolario 2.8. La función que asigna a cada conjunto Lebesgue medible E su medida,
m(E), es una función …nitamente aditiva.
Proposición 2.17. La familia de conjuntos Lebesgue medibles forma una -álgebra de subconjuntos de R.
Demostración
Sea E1 ; E2 ; : : : una colección in…nita numerable de conjuntos Lebesgue medibles, ajenos por
parejas. Como la familia de conjuntos S
Lebesgue medibles forma un álgebra de subconjuntos
de R, para cada n 2 N el conjunto nj=1 Ej es Lebesgue medible, así que, utilizando la
proposición 5.5 y la -subaditividad de la medida exterior, se tiene, para cualquier conjunto
A:
2.4. LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R
71
S
S
me (A) = me A \ ( nj=1 Ej ) + me A \ ( nj=1 Ej )c
=
Pn
j=1
Pn
S
me (A \ Ej ) + me A \ ( nj=1 Ej )c
S1
c
m
(A
\
E
)
+
m
A
\
(
e
j
e
j=1
j=1 Ej ) .
Tomando límite cuando n
me (A)
P1
j=1
1, se obtiene:
S
c
me (A \ Ej ) + me A \ ( 1
j=1 Ej )
S
S1
c
me A \ ( 1
j=1 Ej ) + me A \ ( j=1 Ej ) .
Por lo tanto,
S1
j=1
Ej es Lebesgue medible.
Proposición 2.18. La función que asigna a cada conjunto Lebesgue medible E su medida,
m(E), es una función -aditiva.
Demostración
Sea E1 ; E2 ; : : : una colección in…nita numerable de conjuntos Lebesgue
por
Pajenos
S medibles,
1
m(E
E
)
parejas. Por la -subaditividad de la medida exterior, se tiene m( 1
j ).
j=1
j=1 j
Por otra parte, por la aditividad …nita de la función que asigna a cada conjunto Lebesgue
medible su medida, se tiene, para cualquier n 2 N:
P
S
S
m( nj=1 Ej ) = nj=1 m(Ej ),
m( 1
j=1 Ej )
así que tomando límite cuando n
P1
S
m( 1
j=1 m(Ej )
j=1 Ej )
1, se tiene:
El resultado siguiente, cuya demostración es muy simple, es importante ya que hace ver que
la familia de conjuntos medibles no está formada únicamente por los conjuntos borelianos de
R. Es la parte que la faltó considerar a Borel cuando desarrollo su teoría de la medida, ya
que quedándonos únicamente con la medida de los borelianos, la medida no resulta ser una
generalización del contenido de Jordan. La familia de conjuntos Jordan-medibles (aquellos
cuyo contenido interior coincide con su contenido exterior) contiene a todos los conjuntos de
contenido cero; por ejemplo, el conjunto de Cantor es Jordan-medible ya que su contenido
es cero; por lo tanto, todo subconjunto del conjunto de Cantor es Jordan-medible. Como el
conjunto de Cantor tiene la misma cardinalidad que el conjunto de números reales, resulta
enconces que la cardinalidad de la familia de conjuntos que son Jordan-medibles coincide
con la cardinalidad de la familia formada por todos los subconjuntos de R. La familia de los
conjuntos borelianos, en cambio, tiene la misma cardinalidad que R.
72
2. MEDIDA DE LEBESGUE
Ejercicio 2.4. Demuestra que todo conjunto de medida exterior cero es Lebesgue medible.
Proposición 2.19. Todo intervalo es Lebesgue medible.
Demostración
Como la familia de conjuntos Lebesgue medibles forma una -álgebra de subconjuntos de R
y los conjuntos formados por un punto son Lebesgue medibles, es su…ciente con probar que
los intervalos de la forma [a; 1) son Lebesgue medibles.
Sea E un intervalo de la forma [a; 1), A cualquier conjunto e I1 ; I2 ; : : : una cubierta de A,
entonces, para cada In , los conjuntos In \ E e In \ E c son intervalos y se tiene:
S
S
me (A \ E) me (( n In ) \ E) = me ( n (In \ E))
P
P
n me (In \ E) =
n l(In \ E)
S
S
me (A \ E c ) me (( n In ) \ E c ) = me ( n (In \ E c ))
P
P
c
c
n l(In \ E ).
n me (In \ E ) =
Así que:
me (A \ E) + me (A \ E c )
P
n
l(In \ E) +
P
n
l(In \ E c ) =
P
n
l(In ).
Finalmente, como lo anterior es válido para cualquier cubierta de A, se puede concluir que:
me (A \ E) + me (A \ E c )
me (A).
Ejercicio 2.5. Demuestra que todo conjunto boreliano es Lebesgue medible.
El resultado siguiente muestra que la familia de los conjuntos medibles, si bien es más grande
que la familia de los conjuntos borelianos, está formada por los conjuntos que di…eren de
un boreliano únicamente por un conjunto de medida cero. Es decir, no hay algún conjunto
medible que no se obtenga de un boreliano ya sea quitándole o agregándole un conjunto de
medida cero.
Proposición 2.20. Dado cualquier conjunto Lebesgue medible E existe un boreliano B y un
conjunto C de medida cero tales que E = B [ C y B \ C = ;.
Demostración
Consideremos primero el caso de un conjunto Lebesgue medible E contenido en un intervalo
…nito (a; b) y de…namos F = (a; b) E.
La idea es cubrir F con un boreliano A tal que m(A
acercamos a E por dentro mediante (a; b) A.
Dada " > 0, sea I1 ; I2 ; : : : una cubierta de F tal que:
F ) = 0, después de lo cual nos
2.4. LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R
73
P
l(Ij ) < m(F ) + ".
S
A(") = j Ij es entonces un boreliano tal que:
P
m(A(") F ) = m(A(") ) m(F )
m(F ) < ".
j l(Ij )
j
Es decir, dada " > 0 existe un boreliano A(") tal que A(")
Sea entonces A(n)
que:
m(A(n)
F) <
1
n
Se tiene entonces m
T1
j=1
A(j)
F ) < ".
una sucesión decreciente de borelianos que contengan a F y tales
n2N
para cualquier n 2 N.
m
F y m(A(")
F
T1
j=1
A(j)
F
m(A(n)
F) <
1
n
para cualquier n 2 N, así que:
= 0.
Por lo tanto, A = (a; b) \
De…namos B = (a; b)
T1
j=1
A(j) es un boreliano tal que A
F y m(A
F ) = 0.
A, entonces B es boreliano y se tiene:
B = (E [ F ) \ Ac = (E \ Ac ) [ (F \ Ac ) = E \ Ac ,
E \ A = ((a; b)
F) \ A = A
Así que, de…niendo C = A
F.
F , se tiene E = B [ C, B \ C = ; y m(C) = 0.
Tomemos ahora un conjunto Lebesgue medible E arbitrario y, para cada k 2 N, de…namos
Ek = E \ ( k; k).
Sea Bk un boreliano y CS
medida cero tales que Ek = Bk [ Ck y Bk \ Ck = ;,
k un conjunto de
S1
B
y
D
=
entonces tomando B = 1
k=1 k
k=1 Ck , se tiene que B es boreliano, D tiene medida
cero y E = B [ D.
Finalmente, de…namos C = D
B \ C = ;.
B, entonces C tiene medida cero y se tiene E = B [ C y
Como corolario, se tiene el siguiente resultado:
Teorema 2.2. La -álgebra de los conjuntos Lebesgue medibles es la -álgebra generada por
los intervalos y los conjuntos de medida exterior cero.
Obsérvese que la familia de los conjuntos de medida exterior cero coindice con la familia de
los conjuntos de medida cero de acuerdo con la de…nición de Borel: Un conjunto tiene
74
2. MEDIDA DE LEBESGUE
medida cero si para cualquier " > 0 existe un conjunto …nito o in…nito numerable
de intervalos abiertos, cuya unión contiene al conjunto dado, y tales que la suma
de sus longitudes es menor que ". Así que los resultados anteriores pueden condensarse
en el siguiente:
Teorema 2.3. Existe una medida de…nida sobre la -álgebra de subconjuntos de R generada
por los intervalos y los conjuntos de medida cero tal que la medida de cualquier intervalo es
igual a su longitud.
El siguiente resultado muestra lo cerca que estaba Borel de la teoría de la medida de Lebesgue.
Bastaba con agregar a los borelianos los subconjuntos de los borelianos de medida cero y
generar una -álgebra con esos conjuntos.
Proposición 2.21. Todo conjunto de medida exterior cero está contenido en un conjunto
boreliano de medida exterior cero.
Demostración
: : una colección
Sea A un conjunto de medida exterior cero. Para cada n 2 N, S
sea I1n ; I2n : P
1
n
n
I
y
…nita o in…nita numerable
de
intervalos
abiertos
tales
que
A
k=1 l(Ik ) < n .
k=1 k
T
S
1
De…namos Bn = k=1 Ikn y B = n=1 Bn . Entonces, B 2 B (R), tiene medida exterior cero
y A B.
Definición 2.19. Denotaremos por L (R) a la -álgebra formada por los conjuntos Lebesgue
medibles en R y por a la medida de Lebesgue sobre L (R).
Obsérvese que la -álgebra de subconjuntos de R generada por L (R) y los conjuntos f1g
y f 1g, la cual denotaremos por L R , está formada por los conjuntos Lebesgue medibles
en R y los conjuntos de la forma B [ f1g, B [ f 1g y B [ f 1; 1g, donde B 2 L (R).
Así que podemos extender la medida de Lebesgue a L R de…niendo (f 1; 1g) = 0.
CAPÍTULO 3
FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Previamente al trabajo de Lebesgue, Thomas Joannes Stieltjes había extendido el concepto
de integral en una dirección distinta a la de Lebesgue. En el año 1894 publicó un artículo titulado Recherches sur les fractions continues ([87]), donde planteó el problema de determinar
el límite, si existe, de una fracción continua de la forma:
1
a1 z+
a2 z+
1
1
1
a3 z+ :::
donde (an )n2N es una sucesión de números reales positivos y z un número real o un número
complejo.
En el desarrollo que realizó Stieltjes en su artículo, obtuvo una expresión que lo llevó a
introducir el concepto de momento de una función monótona creciente y al problema de la
determinación de esa función a partir de sus momentos. Para ello, decía que una distribución
de masa sobre la parte positiva de una recta de origen O representa una función creciente
de la distancia x al origen. Agregaba que, inversamente, una función creciente, de…nida
sobre la parte positiva de la recta, se puede imaginar como representando una distribución
de masa. Dada una función creciente , de…nida en un intervalo [a; b] sobre la parte positiva
de una recta, consideraba una partición fx0 ; x1 ; : : : ; xnP
g del intervalo [a; b], tomaba un punto
n
en
cada
subintervalo
[x
;
x
],
consideraba
la
suma
(xi 1 )) y de…nía el
i 1
i
i
i=1 i ( (xi )
momento de como el límite de esa suma cuando las longitudes de los subintervalos de la
partición tienden a cero (para k 2 N, el momento de orden k de sería el límite de las sumas
P
n
k
(xi 1 ))). Generalizando esta idea, consideró una función continua f ,
i=1 i ( (xi )
de…nida sobre el intervalo [a; b], y de…nió la integral de f con respecto a en el intervalo [a; b],
Rb
P
denotada por a f (u) d (u), como el límite de las sumas ni=1 f ( i ) ( (xi )
(xi 1 )). De
esta forma surgió lo que ahora se conoce como la integral de Riemann-Stieltjes.
La integral de Stieltjes jugó un papel central para el desarrollo de una teoría general de la
medida ya que permitió visualizar el problema de la integración de funciones en un contexto
más amplio. Después que Lebesgue desarrolló su teoría de integración para funciones de R
en R, basándose en la teoría de la medida en R, que él mismo desarrolló, la extensión al
caso de funciones de Rn en R, basada en el concepto de medida de Lebesgue en Rn , fue
75
76
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
relativamente simple. De hecho el mismo Lebesgue lo había hecho ya para el caso de R2 .
Sin embargo, la medida de Lebesgue en R se construye con base en el concepto de longitud
de un intervalo; de ahí se puede pasar a de…nir la medida de un producto cartesiano de n
intervalos I1 I2
In como el producto de las longitudes de cada uno de esos intervalos.
En cambio, la integral de Stieltjes hacía ver que el concepto de medida de un intervalo
puede ser más amplio y no restringirse a de…nirla como la longitud de ese intervalo. Con el
trabajo de Stieltjes pudo verse que la medida de un intervalo [a; b] puede de…nirse también
como la diferencia (b)
(a), donde
es una función creciente (con las adecuaciones
correspondientes para el caso en que no es continua).
La integral de Stieltjes se vincula con otro concepto de importancia central, el de función de
variación acotada. En su libro Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives
(1904), Lebesgue atribuye la invención de este concepto a Jordan. En ese libro, Lebesgue
dedicó un capítulo al estudio de las funciones de variación acotada, aunque no motivado por
el trabajo de Stieltjes, el cual ni siquiera menciona. La motivación de Lebesgue provenía
del estudio que hacía de la recti…cación de curvas, es decir de la medida de la longitud de
una curva,
y también del hecho de que, si f : [a; b] ! R, es integrable, entonces la función
Rx
x ! a f (y) dy, de…nida sobre [a; b], es de variación acotada.
La relación entre la integral de Stieltjes y las funciones de variación acotada proviene de
que una función g : [a; b] ! R es de variación acotada si y sólo si se puede expresar como
la diferencia de dos funciones no decrecientes, resultado que Lebesgue demostró en el libro
citado. De aquí que la integral de Stieltjes se pueda extender al caso en que es de variación
acotada.
Además de los resultados y aplicaciones de las funciones de variación acotada que se hicieron
previamente, el trabajo que las puso en el centro de la teoría de integración y que vinculó
estrechamente la integral de Stieltjes con las funciones de variación acotada, fue un artículo
de Frédéric Riesz del año 1909, titulado Sur les opérations fonctionnelles linéaires ([80]), en
el cual demostró el ahora llamado teorema de representación de Riesz:
Si A es una funcional lineal de…nida sobre el conjunto C de funciones
continuas f : [a; b] ! R y si A es continua considerando la norma de la
convergencia uniforme en C, entonces existe
R b una función de variación
acotada g : [a; b] ! R tal que A (f ) = a f dg para cualquier función
f 2 C.
En lo que respecta a la Teoría de la Medida, la importancia de las funciones de variación
acotada radica en el hecho de que cualquier medida (con signo, es decir que puede tomar
valores positivos y negativos) sobre los conjuntos borelianos de R tal que los intervalos acotados tienen medida …nita se puede considerar como generada por una función de…nida sobre
R y que es de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto. Esto lo desarrollaremos
en el capítulo 4 de este libro.
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
77
En esta sección vamos a exponer la de…nición y las propiedades básicas de una función de
variación acotada de…nida sobre un intervalo compacto. En la sección siguiente haremos un
estudio más …no en lo que respecta a su parte continua y su parte de saltos.
Definición 3.1. Dada una funciónPg : [a; b] ! R y una partición P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g del
intervalo [a; b], de…namos Vg (P ) = nk=1 jg(xk ) g(xk 1 )j.
Diremos que g es de variación acotada en [a; b] si:
Vg [a; b] = sup fVg (P ) : P es una partición de [a; b]g < 1.
Las funciones de variación acotada tienen algunas propiedades las cuales hacen que se pueda
trabajar fácilmente con ellas. Una de esas propiedades es que toda función g : R ! R
tal que, restringida a cualquier intervalo compacto, es de de variación acotada, se puede
expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes; de manera que, estudiando las
propiedades de las funciones no decrecientes, podemos obtener las de las que, restringidas
a un intervalo compacto, son de variación acotada. Una función no decreciente es fácil de
tratar ya que el conjunto de sus discontinuidades es a lo más in…nito numerable y todas sus
discontinuidades son saltos. Además, las propiedades que nos van a interesar de una función
no decreciente no se alteran si, en cada punto de discontinuidad, la sustituimos por su límite
por la derecha o su límite por la izquierda; así que podemos asumir que la función es continua
por la derecha para cualquier x 2 R, o bien continua por la izquierda para cualquier x 2 R.
Si g es continua por la derecha, la función que asigna a cada intervalo de la forma (a; b] el
valor g(b) g(a) se puede extender a una medida de…nida sobre los conjuntos borelianos.De
la misma manera, si g es continua por la izquierda, la función que asigna a cada intervalo
de la forma [a; b) el valor g(b) g(a) se puede extender a una medida de…nida sobre los
conjuntos borelianos. De esta forma, hablar de funciones no decrecientes es equivalente a
hablar de medidas de…nidas sobre los borelianos.
Pasemos entonces a demostrar los resultados que nos permiten probar las propiedades mencionadas. Como veremos, el teorema de Heine Borel juega un papel central en el desarrollo
de la teoría.
Proposición 3.1. Si g : [a; b] ! R es de variación acotada, entonces está acotada.
Demostración
Dado cualquier punto x 2 [a; b], consideremos la partición P = fa; x; bg; se tiene entonces:
jf (x)j
jf (a)j
jf (x)
f (a)j
jf (x)
f (a)j + jf (b)
f (x)j = Vg (P )
Vg [a; b].
Así que:
jf (x)j
jf (a)j + Vg [a; b].
Proposición 3.2. Sea g : [a; b] ! R y c 2 [a; b], entonces Vg [a; b] = Vg [a; c] + Vg [c; b].
78
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Demostración
Si P1 es una partición de [a; c] y P2 es una partición de [c; b], entonces P = P1 [ P2 es una
partición de [a; b] y se tiene:
Vg (P1 ) + Vg (P2 ) = Vg (P )
Vg [a; b].
Por lo tanto:
Vg [a; c] + Vg [c; b]
Vg [a; b].
Para probar la otra desigualdad, sea P una partición de [a; b] y P0 = P [ fcg, entonces:
P1 = P0 \ [a; c] es una partición de [a; c],
P2 = P0 \ [c; b] es una partición de [c; b],
y se tiene:
Vg (P0 ) = Vg (P1 ) + Vg (P2 )
Vg [a; c] + Vg [c; b].
Por otra parte, si c 2 P , entonces Vg (P ) = Vg (P0 ), mientras que si c 2
= P , entonces c 2
(xk ; xk+1 ), donde xk y xk+1 son dos puntos consecutivos de P , así que:
jg(xk+1 )
g(xk )j
jg(xk+1 )
g(c)j + jg (c)
g(xk )j.
Por lo tanto, en cualquier caso:
Vg (P )
Vg (P0 )
Vg [a; c] + Vg [c; b].
Así que:
Vg [a; b]
Vg [a; c] + Vg [c; b].
Corolario 3.1. Sea g : [a; b] ! R y c 2 [a; b], entonces g es de variación acotada en el
intervalo [a; b] si y sólo si es de variación acotada en cada uno de los intervalos [a; c] y [c; b].
Corolario 3.2. Sea g : [a; b] ! R y [c; d]
[a; b], entonces Vg [c; d]
Vg [a; b].
Teorema 3.1. El conjunto de funciones de variación acotada, de…nidas en un mismo intervalo [a; b], forma un espacio vectorial.
Demostración
Obviamente, si g es de variación acotada y c 2 R, entonces cg es de variación acotada.
Sean f y g funciones de variación acotada en el intervalo [a; b] y P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g cualquier
partición de [a; b]. Se tiene:
P
P
Vf +g (P ) = ni=1 j(f + g)(xi ) (f + g)(xi 1 )j = ni=1 j[f (xi ) f (xi 1 )] + [g(xi ) g(xi 1 )]j
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Pn
i=1
jf (xi )
f (xi 1 )j +
Pn
i=1
jg(xi )
g(xi 1 )j
79
Vf [a; b] + Vg [a; b].
Así que, tomando supremos:
Vf +g [a; b]
Vf [a; b] + Vg [a; b] < 1.
Por lo tanto f + g es de variación acotada en [a; b].
Proposición 3.3. Si g : [a; b] ! R es de variación acotada, entonces g 2 también lo es.
Sea M = sup fjg(x)j j x 2 [a; b]g y P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g cualquier partición del intervalo
[a; b], entonces:
P
P
Vg2 (P ) = nk=1 jg 2 (xk ) g 2 (xk 1 )j = nk=1 jg(xk ) + g(xk 1 )j jg(xk ) g(xk 1 )j
P
2M nk=1 jg(xk ) g(xk 1 )j = 2M Vg (P ) 2M Vg [a; b].
Por lo tanto:
Vg2 [a; b]
2M Vg [a; b] < 1.
Así que g 2 es de variación acotada.
Corolario 3.3. Si f : [a; b] ! R y g : [a; b] ! R son funciones de variación acotada,
entonces f g también lo es.
Demostración
fg =
1
2
(f + g)2
f2
g2 .
Proposición 3.4. Si g : [a; b] ! R es una función monótona, entonces es de variación
acotada.
Demostración
Si P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g es cualquier partición de [a; b], entonces:
P
Vg (P ) = nk=1 jg(xk ) g(xk 1 )j = jg (b) g (a)j.
Así que:
Vg [a; b] = jg (b)
g (a)j < 1.
Corolario 3.4. Si g1 : [a; b] ! R y g2 : [a; b] ! R son funciones no decrecientes, entonces
g1 g2 es de variación acotada.
80
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Corolario 3.5. Si g1 : R ! R y g2 : R ! R son funciones no decrecientes, entonces g1
es de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
g2
Teorema 3.2. Si g : R ! R es una función de variación acotada sobre cualquier intervalo
compacto, entonces se puede expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes.
Demostración
La idea de la demostración consiste en de…nir una función V , no decreciente, tal que V
también sea no decreciente.
g
Hay un problemita que es necesario salvar para poder de…nir la función V ; se trata de que
estamos tomando una función g de…nida sobre todo R de la cual únicamente sabemos que
es de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
Si a 2 R, de…namos V : [a; 1) ! R como V (x) = Vg [a; x] y tomemos x; y 2 [a; 1) tales
que x < y; entonces se tiene:
Vg [a; y] = Vg [a; x] + Vg [x; y]
Así que:
V (y)
V (x) = Vg [x; y]
0
Por lo tanto, V es una función no decreciente.
Además, como Vg [x; y]
V (y)
g (y)
Así que V
V (x)
g (y)
:g (x), entonces V (y)
V (x)
g (y)
:g (x); por lo tanto:
:g (x)
g es no decreciente sobre el intervalo [a; 1).
Pero, como decíamos, g está de…nida sobre todo R; así que es necesario hacer algunos ajustes
en la de…nición de V con el objeto de tenerla de…nida sobre todo R. Para esto, podemos
tomar un número real arbitrario a0 y primero de…nir V sobre el intervalo ( 1; a0 ] y después
sobre el intervalo [a0 ; 1).
Sobre ( 1; a0 ] podemos de…nir V (x) = Vg [x; a0 ] (el signo
es para que V sea no decreciente); mientras que sobre [a0 ; 1) podemos de…nir V (x) = Vg [a0 ; x]. La función V así
de…nida toma valores menores o iguales a cero sobre ( 1; a0 ] y valores mayores o iguales
a cero sobre [a0 ; 1) (en 0 toma el valor 0); así que es una función no decreciente de…nida
sobre todo R.
Por comodidad vamos a tomar a0 = 0.
De…namos entonces la función V : R ! R de la siguiente manera:
3.1. ESTUDIO DE LAS DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
V (x) =
Si x < y, se tiene:
8
<
81
Vg [x; 0] si x 2 ( 1; 0)
: 0
Vg [0; x]
si x = 0
si x 2 (0; 1)
V (y) = V (x) + Vg [x; y].
Así que:
V (y)
V (x) = Vg [x; y]
0.
Por lo tanto:
V (y)
V (x).
Así que V es una función no decreciente.
Además:
jg (y)
Vg [x; y]
g (x)j
g (y)
g (x).
Por lo tanto:
V (y)
V (x)
g (y)
g (x).
V (x)
g (x).
Así que:
V (y)
g (y)
Es decir, V
g es una función no decreciente.
De…niendo h1 = V y h2 = V
g = h1
g, se tiene:
h2 .
Combinando los dos últimos resultados, se tiene el siguiente:
Teorema 3.3. Una función g : R ! R es de variación acotada sobre cualquier intervalo
compacto si y sólo si se puede expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes.
3.1. Estudio de las discontinuidades de una función de variación acotada
A continuación vamos a estudiar las funciones g : R ! R que son de variación acotada sobre
cualquier intervalo compacto. En particular vamos a analizar el conjunto de discontinuidades
de una función de ese tipo. Como toda función de variación acotada sobre cualquier intervalo
82
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
compacto se puede expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes, trataremos
primero el caso de una función no decreciente.
Primero veremos algunas propiedades elementales:
Sea f : R ! R una función no decreciente. Por ser monótona, f tiene límites por la derecha
y por la izquierda en todo punto x 2 R; en efecto, sea x0 2 R, entonces:
f (x)
f (x0 ) para cualquier x > x0 .
f (x)
f (x0 ) para cualquier x < x0 .
Así que el conjunto ff (x) : x > x0 g está acotado por abajo y el conjunto ff (x) : x < x0 g
está acotado por arriba. Por lo tanto:
f (x0 +) = l mx!x0 + f (x) = nf ff (x) : x > x0 g 2 R
f (x0 ) = l mx!x0 f (x) = sup ff (x) : x < x0 g 2 R
Por lo anterior, f no tiene discontinuidades oscilatorias; es decir, todas sus discontinuidades
son de salto.
Además, si a y b son dos números reales tales que a < b, entonces:
1. Si t 2 (a; b), f es discontinua en t si y sólo si f (t+) > f (t ); en ese caso, f tiene un salto
en t de magnitud f (t+) f (t ).
2. Si t 2 [a; b), f es discontinua por la derecha en t si y sólo si f (t+) > f (t); en ese caso,
f tiene un salto por la derecha en t de magnitud f (t+) f (t).
3.Si t 2 (a; b], f es discontinua por la izquierda en t si y sólo si f (t) > f (t ); en ese caso,
f tiene un salto por la izquierda en t de magnitud f (t) f (t ).
Por otra parte:
i) La función f i : R ! R de…nida por f i (x) = f (x ) es no decreciente y continua por la
izquierda. Además, f i (x+) = f (x+) y f i (x+) f i (x) = f (x+) f (x ) para cualquier
x 2 R.
ii) La función f d : R ! R de…nida por f d (x) = f (x+) es no decreciente y continua por la
derecha. Además, f d (x ) = f (x ) y f d (x) f d (x ) = f (x+) f (x ) para cualquier
x 2 R.
En efecto:
i) Si x < y, f (x )
f (y ), así que f i es no decreciente.
Dado x 2 R y " > 0, existe
> 0 tal que f (x )
f (y) < " para cualquier y 2 (x
; x).
3.1. ESTUDIO DE LAS DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
Dado z 2 (x
que:
f (x )
; x), tomemos y 2 (x
f (z )
f (x )
; z), entonces y 2 (x
; x) y f (y)
83
f (z ) , así
f (y) < ".
Por lo tanto f i es continua por la izquierda.
Para cualquier x 2 R se tiene f (x)
f i (x+).
f (x ), es decir f (x)
f i (x), así que f (x+)
Dado x 2 R y " > 0, tomemos > 0 tal que f i (y) f i (x+) < " para cualquier y 2 (x; x + ).
Si y 2 (x; x + ), entonces y > x, así que f (y )
tanto:
0
f (x+)
f i (x+)
f i (y)
f (x+), es decir, f i (y)
f (x+), por lo
f i (x+) < ".
Como esto es válido para cualquier " > 0, se tiene f i (x+) = f (x+).
Por lo tanto, f i (x+) f i (x) = f (x+)
que f i (x+) = f (x+).
f (x ) para cualquier x 2 R, de lo cual se sigue
El inciso ii se demuestra de manera similar.
Además, tenemos el siguiente resultado:
Proposición 3.5. Sea f : R ! R una función no decreciente.
x1 ; x2 ; : : : ; xk 2 (a; b) y x1 < x2 <
< xk , entonces:
f (b)
f (a)
f (a+)
f (a) +
Demostración
Xk
j=1
[f (xj +)
f (xj )] + f (b)
Si a < b, k 2 N,
f (b )
Este resultado es fácil de visualizar, pero vamos a demostrarlo analiticamente:
De…namos x0 = a y xk+1 = b y, para cada j 2 f0; 1; 2; : : : ; kg, sea yj 2 (xj ; xj+1 ); entonces:
Xk
f (a+) f (a) +
[f (xj +) f (xj )] + f (b) f (b )
j=1
f (a+)
= f (a+)
f (a+)
= f (b)
f (a) +
Xk
j=1
f (a) + f (yk )
f (a) + f (b )
f (a)
[f (yj )
f (yj 1 )] + f (b)
f (y0 ) + f (b)
f (a+) + f (b)
f (b )
f (b )
f (b )
84
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Proposición 3.6. Toda función no decreciente f : R ! R tiene a lo más un conjunto
numerable de discontinuidades.
Demostración
Sean m; n 2 N y de…namos:
Am;n = x 2 ( m; m) : f (x+)
f (x ) >
1
n
Am = fx 2 ( m; m) : f (x+) 6= f (x )g
A = fx 2 R : f (x+) 6= f (x )g
Sea M 2 N tal que
M
n
> f (m)
f ( m).
Si k 2 N, x1 ; x2 ; : : : ; xk 2 Am;n y x1 < x2 <
Xk
f (m) f ( m)
[f (xk +) f (xk )]
< xk , entonces:
j=1
Así que:
Xk
k
<
n
j=1
[f (xj +)
f (xj )] <
M
n
Por lo tanto, k < M ; así que Am;n es un conjunto …nito.
Además:
[1
Am =
Am;n
n=1
Por lo tanto, Am es un conjunto a lo más in…nito numerable.
Finalmente:
[1
A=
Am
m=1
Así que, también A es un conjunto a lo más in…nito numerable.
Corolario 3.6. Una función de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto tiene
a lo más un conjunto numerable de discontinuidades.
Ahora podemos extender la proposición 3.5, abarcando todas las discontinuidades de una
función no decreciente.
Proposición 3.7. Sea f : R ! R una función no decreciente, a y b dos números reales
tales que a < b y D(a;b) el conjunto de puntos del intervalo (a; b) donde f es discontinua;
entonces:
3.1. ESTUDIO DE LAS DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
f (b)
f (a)
P
f (a) + fy2D(a;b) g [f (y+)
f (a+)
Demostración
f (y )] + f (b)
85
f (b )
Si D(a;b) es vacío, el resultado es trivial, mientras que si D(a;b) es un conjunto no vacío …nito,
el resultado ya se demostró previamente. Así que únicamente resta probarlo para el caso en
que D(a;b) es un conjunto in…nito numerable.
Sea D(a;b) = fy1 ; y2 ; : : :g
Por la proposición 3.5, para cada n 2 N, se tiene:
Xn
f (b) f (a) f (a+) f (a) +
[f (yj +) f (yj )] + f (b)
j=1
f (b )
Tomando límites, obtenemos:
f (b)
fa
f (a+)
f (a) +
P
fy2D(a;b) g [f (y+)
f (y )] + f (b)
f (b )
Corolario 3.7. Sea f : R ! R una función no decreciente, a y b dos números reales tales
d
el conjunto de puntos del intervalo [a; b) donde f es discontinua por la
que a < b y D[a;b)
derecha; entonces:
Pn
o [f (y+)
f (b) f (a)
f (y)] + f (b) f (b )
y2Dd
[a;b)
Lema 3.1. Demostración
f (b)
=
f (a)
f (a+)
f (a+)
f (a) +
Pn
o
d
y2D[a;b)
f (a) +
P
fy2D(a;b) g [f (y+)
P
fy2D(a;b) g [f (y+)
[f (y+)
f (y)] + f (b)
f (y)] + f (b)
f (y )] + f (b)
f (b )
f (b )
f (b )
Corolario 3.8. Sea f : R ! R una función no decreciente, a y b dos números reales tales
i
que a < b y D(a;b]
el conjunto de puntos del intervalo (a; b] donde f es discontinua por la
izquierda; entonces:
P
f (b) f (a) f (a+) f (a) + ny2Di o [f (y) f (y )]
(a;b]
Demostración
f (b)
f (a)
f (a+)
= f (a+)
f (a+)
f (a) +
P
fy2D(a;b) g [f (y+)
P
fy2D(a;b) g [f (y)
P
f (a) + ny2Di o [f (y)
f (a) +
(a;b]
f (y )] + f (b)
f (y )]
f (y )] + f (b)
f (b )
f (b )
86
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Ahora vamos a a…nar el resultado del teorema 3.2. Queremos demostrar que si g : R ! R
es una función de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto, entonces se puede
expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes, f1 : R ! R y f2 : R ! R,
las cuales no tienen discontinuidades en común del mismo lado.La idea es que al tomar la
diferencia de dos funciones no decrecientes, si éstas tienen una discontinuidad por la derecha
en un mismo punto t, entonces, si le quitamos a ambas, en ese punto, la magnitud del más
pequeño de los dos saltos por la derecha, una de las dos funciones que se obtienen es continua
por la derecha en ese punto. De la misma manera, si éstas tienen una discontinuidad por la
izquierda en un mismo punto t, entonces, si le quitamos a ambas, en ese punto, la magnitud
del más pequeño de los dos saltos por la izquierda, una de las dos funciones que se obtienen
es continua por la izquierda en ese punto. De esta forma, las nuevas funciones no tienen
discontinuidades en común del mismo lado y la diferencia entre ellas es igual a la diferencia
entre las dos funciones originales.
Como vamos a tener que tratar con el conjunto de discontinuidades de una función no
decreciente, el cual puede ser in…nito numerable, vamos a requerir de algunos resultados que
nos permitan tratar con toda generalidad el problema mencionado.
El siguiente lema es un resultado de Teoría de la Medida, pero como ese tema no lo hemos
tratado, vamos a hacer la demostración de manera directa.
Lema 3.2. Sea F = fx1 ; x2 ; : : :g un conjunto in…nito numerable y (zn )n2N una sucesión de
números reales no negativos. Para cada n 2 N, de…namos m (xn ) = zn y, para cualquier
subconjunto A de F, de…namos:
P
(A) = fx2Ag m (x).
Entonces
es una función no negativa y -aditiva, con valores en R, de…nida sobre la
-álgebra formada por todos los subconjuntos de F.
Demostración
Obviamente
Agreguemos a
es no negativa y
(;) = 0.
un elemento arbitrario, el cual denotaremos por x0 , y de…namos m (x0 ) = 0.
Sea A1 ; A2 ; : : : una colección in…nita numerable de subconjuntos de tales
S que Ai \ Aj = ;
para i 6= j. Denotemos por xs1 ; xs2 ; : : : a los elementos de la unión 1
i=1 Ai y para cada
i 2 N, denotemos por xi;1 ; xi;2 ; : : : a los elementos de Ai . Si A es vacío o un conjunto …nito
y r es el número de sus elementos, de…namos xsk = x0 para cualquier k 2 fr + 1; r + 2; : : :g
y, para cada i 2 N, si Ai es vacío o un conjunto …nito y ri es el número de sus elementos,
de…namos xi;j = x0 para cualquier j 2 fri + 1; ri + 2; : : :g.
Para cada terna i; j; k 2 N, de…namos:
3.1. ESTUDIO DE LAS DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
87
mij = m (xi;j ),
mk = m (xsk ).
Entonces:
P
(Ai ) = 1
j=1 mij ,
S
P1
( 1
A
)
=
i
i=1
k=1 mk .
Por otra parte, la sucesión (mk )k2N contiene a todos los elementos mij tales que xi;j 2 Ai ;
así que, para cualquier pareja n; m 2 N, se tiene:
Pn
i=1
Pm
j=1
P1
xij
k=1
Así que:
P1
1=1
(Ai ) =
P1
i=1
P1
mk .
j=1
mij
P1
k=1
mk =
S
( 1
i=1 Ai ).
Además, la sucesión doble (mij )i;j2N contiene a todos los elementos mk tales que
S
x sk 2 1
i=1 Ai ;
en consecuencia, dado N 2 N, existen n; m 2 N tales que:
Así que:
Pn
Pm
PN
P1
P1
PN
k=1
k=1
mk
mk
i=1
i=1
j=1
j=1
Por lo tanto:
S
P1
A
)
=
( 1
i
i=1
k=1 mk
mij .
mij =
P1
1=1
P1
1=1
(Ai ).
(Ai ).
Podemos concluir entonces que:
S
P1
( 1
A
)
=
i
i=1
1=1 (Ai ).
Esta relación incluye la propiedad de la aditividad …nita ya que, si A1 ; : : : ; An es una colección
…nita de subconjuntos de F, ajenos por parejas, podemos de…nir Ak = ; para cualquier
k 2 fn + 1; n + 2; : : :g. Entonces, (Ak ) = 0 para cualquier k 2 fn + 1; n + 2; : : :g, así que:
S
S
P1
Pn
( ni=1 Ai ) = ( 1
i=1 Ai ) =
1=1 (Ai ) =
1=1 (Ai ).
Corolario 3.9. Sea fx1 ; x2 ; : : :g un conjunto in…nito numerable de números reales y (zn )n2N
una sucesión de números reales no negativos. Para cada subconjunto A de R, de…namos:
88
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
(A) =
P
fj2N:xj 2Ag zj .
Entonces
es una función no negativa y -aditiva, con valores en R, de…nida sobre la
-álgebra formada por todos los subconjuntos de R.
Los siguientes dos resultados se siguen inmediatamente de la proposición 2.1.
Ejercicio
3.1. Sea (qn )n2N una sucesión de números reales no negativos tales que la serie
P1
q
converge.
Si (An )n2N es una sucesión creciente de subconjuntos de N, entonces:
n=1 n
P
P
q
=
l
m
1 A
j
n
1
fj2An g qj .
j2[
f n=1 n g
Ejercicio
3.2. Sea (qn )n2N una sucesión de números reales no negativos tales que la serie
P1
n=1 qn converge. Si (An )n2N es una sucesión decreciente de subconjuntos de N, entonces:
P
P
q
=
l
m
1
j
n
1
fj2An g qj .
fj2\n=1 An g
Teorema 3.4. Si g : R ! R es una función de variación acotada sobre cualquier intervalo
compacto, entonces se puede expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes,
f1 : R ! R y f2 : R ! R, las cuales no tienen discontinuidades en común del mismo lado.
Demostración
De…namos la función V : R ! R como en la proposición 3.2, entonces h1 = V y h2 = V
son no decrecientes y g = h1 h2 .
g
Sea D = fd1 ; d2 ; : : :g el conjunto de puntos donde tanto h1 como h2 son discontinuas y
de…namos:
P
P
f1 (x) = h1 (x)
m
n
(h
(z+)
h
(z)
;
h
(z+)
h
(z))
h2 (z ) ; h1 (
2
2
1
1
fz2D:z<xg
fz2D:z xg m n (h2 (z)
P
P
f2 (x) = h2 (x)
h2 (z) ; h1 (z+) h1 (z))
h2 (z ) ; h1 (
fz2D:z<xg m n (h2 (z+)
fz2D:z xg m n (h2 (z)
Entonces:
f1
f2 = h1
h2 = g.
Si x < y, se tiene:
f1 (y)
P
f1 (x) = h1 (y)
P
m n (h2 (z+) h2 (z) ; h1 (z+) h1 (z))
h2 (z ) ; h1 (z)
fz2D:x<z yg m n (h2 (z)
P
P
h1 (x)
h1 (z)]
h1 (z )]
fz2D:x z<yg [h1 (z+)
fz2D:x<z yg [h1 (z)
P
h1 (x)
h1 (z )] h1 (x+) + h1 (x) h1 (y) + h1 (y ).
fz2D:x<z<yg [h1 (z+)
fz2D:x z<yg
h1 (y)
= h1 (y)
h1 (x)
Pero, por el lema ??:
h1 (z
3.1. ESTUDIO DE LAS DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
Por lo tanto:
P
f1 (y)
0.
h1 (y)
h1 (x)
fz2D:x<z<yg
f1 (x)
De la misma manera, f2 (y)
[h1 (z+)
f2 (x)
h1 (z )]
h1 (x+)
h1 (x) + h1 (y)
89
h1 (y ).
0:
Así que tanto f1 como f2 son no decrecientes.
Mostremos ahora que f1 y f2 no tienen discontinuidades en común del mismo lado.
Sea x 2 D y (xn )n2N una sucesión decreciente que tienda a x, entonces, por el corolario 3.2:
f1 (x+) = l mn 1 f1 (xn ) = h1 (x+)
P
P
l mn!1 fz2D:z<xn g m n (h2 (z+) h2 (z) ; h1 (z+) h1 (z)) l mn 1 fz2D:z xn g m n (h2 (z) h2 (z ) ;
PT
PT
1
1
= h1 (x+)
m n (h2 (z+) h2 (z) ; h1 (z+) h1 (z))
m n (h2 (z) h2 (z
fz2D:z<xn g
fz2D:z xn g
n=1
= h1 (x+)
Así que:
f1 (x+)
n=1
P
fz2D:z xg
m n (h2 (z+)
f1 (x) = h1 (x+)
h2 (z) ; h1 (z+)
h1 (z))
P
fz2D:z xg
m n (h2 (z)
h2 (z ) ; h1 (z)
h1 (x)
m n (h2 (x+)
h2 (x) ; h1 (x+)
h1 (x))
h2 (x)
m n (h2 (x+)
h2 (x) ; h1 (x+)
h1 (x))
h1 (x)
(h2 (x+)
si h1 (x+)
h2 (x)) si h1 (x+)
h1 (x) h2 (x+)
h1 (x) > h2 (x+)
h2 (x)
h2 (x)
h2 (x)
(h1 (x+)
h1 (x)) si h1 (x+)
si h1 (x+)
h1 (x) h2 (x+)
h1 (x) > h2 (x+)
h2 (x)
h2 (x)
De la misma manera:
f2 (x+)
f2 (x) = h2 (x+)
Por lo tanto:
f1 (x+) f1 (x) =
0
h1 (x+)
f2 (x+) f2 (x) =
h2 (x+)
0
Así que, f1 y f2 no tienen discontinuidades en común por la derecha.
Sea x 2 D y (xn )n2N una sucesión creciente que tienda a x, entonces, por el corolario 3.1:
f1 (x ) = l mn 1 f1 (xn ) = h1 (x ).
P
P
l mn!1 fz2D:z<xn g m n (h2 (z+) h2 (z) ; h1 (z+) h1 (z)) l mn 1 fz2D:z xn g m n (h2 (z) h2 (z ) ;
PS
PS
1
1
= h1 (x )
m n (h2 (z+) h2 (z) ; h1 (z+) h1 (z))
m n (h2 (z) h2 (z
fz2D:z<xn g
fz2D:z xn g
n=1
= h1 (x )
P
fz2D:z<xg
n=1
m n (h2 (z+)
h2 (z) ; h1 (z+)
h1 (z))
P
fz2D:z<xg
m n (h2 (z)
h2 (z ) ; h1 (z)
90
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Así que:
f1 (x)
f1 (x ) = h1 (x)
h1 (x )
m n (h2 (z)
h2 (z ) ; h1 (z)
h1 (z ))
h2 (x )
m n (h2 (z)
h2 (z ) ; h1 (z)
h1 (z ))
h1 (x )
(h2 (z)
si h1 (z)
h2 (z )) si h1 (z)
h1 (z ) h2 (z)
h1 (z ) > h2 (z)
h2 (z )
h2 (z )
h2 (x )
(h1 (z)
h1 (z )) si h1 (z)
si h1 (z)
h1 (z ) h2 (z)
h1 (z ) > h2 (z)
h2 (z )
h2 (z )
De la misma manera:
f2 (x)
f2 (x ) = h2 (x)
Por lo tanto:
f1 (x) f1 (x ) =
0
h1 (x)
f2 (x+) f2 (x) =
h2 (x)
0
Por lo tanto, f1 y f2 no tienen discontinuidades en común por la izquierda.
Obsérvese que, si f es una función no decreciente y continua, entonces f1 + f y f2 + f
satisfacen también el enunciado de la proposición.
Corolario 3.10. Si g : R ! R es una función continua por la derecha y de variación
acotada sobre cualquier intervalo compacto, entonces se puede expresar como la diferencia
de dos funciones no decrecientes continuas por la derecha.
Corolario 3.11. Si g : R ! R es una función continua por la izquierda y de variación
acotada sobre cualquier intervalo compacto, entonces se puede expresar como la diferencia
de dos funciones no decrecientes continuas por la izquierda.
Corolario 3.12. Si g : R ! R es una función continua y de variación acotada sobre
cualquier intervalo compacto, entonces se puede expresar como la diferencia de dos funciones
no decrecientes continuas.
3.2. Parte continua y parte de saltos de una función de variación acotada
Como el conjunto de discontinuidades de una función no decreciente es a lo más in…nito
numerable, la función se puede descomponer en una función no decreciente que crece únicamente mediante saltos y una función no decreciente continua. Más adelante demostraremos
este resultado. Primero vamos a demostrar que una función no decreciente se puede expresar
como la suma de función no decreciente, continua por la derecha y que crece únicamente
mediante saltos y una función no decreciente continua por la izquierda.
Teorema 3.5. Sea f : R ! R una función no decreciente, D = fd1 ; d2 ; : : :g el conjunto de
puntos donde f es discontinua y de…namos f d : R ! R de la siguiente manera:
P
f (0 )
f (y )] si x 2 ( 1; 0)
fy2D:x<y<0g [f (y)
d
P
f (x) =
f (0) + fy2D:0<y xg [f (y) f (y )]
si x 2 [0; 1)
3.2. PARTE CONTINUA Y PARTE DE SALTOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
91
Entonces f d es no decreciente, continua por la derecha, crece únicamente mediante saltos y
f d (x) f d (x ) = f (x) f (x ) para cualquier x 2 R.
Además, la función h = f f d es no decreciente, continua por la izquierda y h (x+) h (x) =
f (x+) f (x) para cualquier x 2 R.
Demostración
Si x < z < 0, se tiene:
P
f d (z) f d (x) = fy2D:x<y<0g [f (y)
P
= fy2D:x<y zg [f (y) f (y )].
f (y )]
x < z, se tiene:
P
f d (z) f d (x) = fy2D:0<y zg [f (y)
P
= fy2D:x<y zg [f (y) f (y )].
P
fy2D:z<y<0g
[f (y)
f (y )]
[f (y)
f (y )]
Si 0
f (y )]
P
fy2D:0<y xg
Si x < 0
f d (0)
f d (x) = f (0)
f (0 ) +
P
fy2D:x<y<0g
[f (y)
f (y )].
Así que, para cualquier parera (x; z) de números reales tales que x < z se tiene:
P
f d (z) f d (x) = fy2D:x<y zg [f (y) f (y )] 0
Así que f d es una función no decreciente.
Sea x 2 R y (xn )n2N una sucesión decreciente que tienda a x.
Si x
0, se tiene:
P
f d (x+) = l mn 1 f d (xn ) = f (0) + l mn 1 fy2D:0<y xn g [f (y) f (y )]
P
P
= f (0) + T1 fy2D:0<y xn g [f (y) f (y )] = f (0) + fy2D:0<y xg [f (y)
f d (x).
f (y )] =
n=1
Si x < 0, se tiene:
P
f d (x+) = l mn 1 f d (xn ) = f (0) l mn 1 fy2D:xn <y<0g [f (y) f (y )]
PS
P
1
= f (0)
[f (y) f (y )] = f (0)
fy2D:x<y<0g [f (y)
fy2D:xn <y<0g
f d (x).
n=1
Por lo tanto, f d es continua por la derecha.
f (y )] =
92
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Sea x 2 R y (xn )n2N una sucesión creciente que tienda a x.
Si x
0, se tiene:
f d (x ) = l mn
P
= f (0) + S1
1
f d (xn ) = f (0) + l mn
fy2D:0<y xn g
n=1
f d (x)
f d (x ) =
= f (x)
f (x ).
[f (y)
P
fy2D:0<y xg
1
P
fy2D:0<y xn g
f (y )] = f (0) +
[f (y)
f (y )]
P
[f (y)
f (y )]
P
fy2D:0<y<xg
fy2D:0<y<xg
[f (y)
[f (y)
f (y )].
f (y )]
Si x < 0, se tiene:
f d (x ) = l mn
PT
1
= f (0)
1
f d (xn ) = f (0)
fy2D:xn <y<0g
n=1
f d (x)
f d (x ) =
= f (x)
f (x ).
[f (y)
P
fy2D:x y<0g
l mn
1
P
fy2D:xn <y<0g
f (y )] = f (0)
[f (y)
f (y )]
P
[f (y)
f (y )]
P
fy2D:x y<0g
fy2D:x<y<0g
[f (y)
[f (y)
f (y )].
f (y )]
Así que el conjunto de discontinuidades por la izquierda de f d coincide con el conjunto de
discontinuidades por la izquierda de f .
En particular, se tiene:
P
f d (z) f d (x) = fy2D:x<y
reales tales que x < z.
zg
f d (y)
f d (y ) para cualquier parera (x; z) de números
Así que f d crece únicamente mediante saltos.
Por otra parte:
Si x < z < 0, se tiene:
h (z) h (x) = f (z) f (x)
Si 0
f d (z)
f d (x) = f (z) f (x)
f d (z)
f d (x) = f (z) f (x)
f d (0)
f d (x) = f (0) f (x)
x < z, se tiene:
h (z) h (x) = f (z) f (x)
Si x < 0
h (z) h (x) = f (0) f (x)
P
fy2D:x<y zg
P
fy2D:x<y zg
P
fy2D:x<y 0g
[f (y)
f (y )].
[f (y)
f (y )].
[f (y)
f (y )].
Así que, para cualquier parera (x; z) de números reales tales que x < z se tiene:
P
h (z) h (x) = fy2D:x<y zg [f (y) f (y )] 0.
3.2. PARTE CONTINUA Y PARTE DE SALTOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
93
Por lo tanto, h es una función no decreciente.
h (x)
h (x ) = f (x)
f (x )
f d (x)
f d (x ) = 0.
Así que h es continua por la izquierda.
Además:
h (x+)
h (x) = f (x+)
f (x)
f d (x+)
f d (x) = f (x+)
f (x).
Por el corolario 3.15 h = f i + f c , donde f i es una función no decreciente, continua por la
izquierda, que crece únicamente mediante saltos y tal que f i (x+) f i (x) = h (x+) h (x)
para cualquier x 2 R, y f c es una función no decreciente y continua.
Se tiene entonces:
f i (x+)
f i (x) = h (x+)
h (x) = f (x+)
f (x),
f = f d + f i + f c.
Corolario 3.13. Toda función no decreciente f : R ! R se puede expresar como la suma
de dos funciones no decrecientes, f1 y f2 ; la primera, continua por la derecha y la segunda,
continua por la izquierda y tales que, para cualquier x 2 R, f1 (x) f1 (x ) = f (x) f (x )
y f2 (x+) f2 (x) = f (x+) f (x).
Corolario 3.14. Sea f : R ! R una función no decreciente y continua por la derecha,
entonces f se puede expresar como la suma de una función f d no decreciente, continua por
la derecha, que crece únicamente mediante saltos y tal que f d (x) f d (x ) = f (x) f (x )
para cualquier x 2 R, y una función f c no decreciente y continua.
Demostración
Sea D = fd1 ; d2 ; : : :g el conjunto de puntos donde f es discontinua y de…namos f d : R ! R
de la siguiente manera:
P
f
(0
)
[f (y) f (y )] si x 2 ( 1; 0)
P fy2D:x<y<0g
f d (x) =
f (0) + fy2D:0<y xg [f (y) f (y )]
si x 2 [0; 1)
Por el teorema 3.5, f d es no decreciente, continua por la derecha, crece únicamente mediante
saltos y f d (x) f d (x ) = f (x) f (x ) para cualquier x 2 R.
Además, la función f c = f
f d es no decreciente y continua por la izquierda.
Finalmente, como f y f d son continuas por la derecha, f c también lo es.
Por lo tanto, f c es continua.
94
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Corolario 3.15. Sea f : R ! R una función no decreciente y continua por la izquierda,
entonces f se puede expresar como la suma de una función f i no decreciente, continua por
la izquierda, que crece únicamente mediante saltos y tal que f i (x+) f i (x) = f (x+) f (x)
para cualquier x 2 R, y una función f c no decreciente y continua.
Demostración
De…namos h : R ! R de la siguiente manera:
h (x) = f (x+).
Por su de…nición, h es no decreciente y continua por la derecha. Además h (x ) = f (x)
para cualquier x 2 R.
Expresemos h como la suma de una función f d no decreciente, continua por la derecha, que
crece únicamente mediante saltos y tal que f d (x) f d (x ) = h (x) h (x ) para cualquier
x 2 R, y una función f c no decreciente y continua.
Para cualquier x 2 R se tiene:
h (x) = f d (x) + f c (x).
Así que:
f (x) = h (x ) = f d (x ) + f c (x).
Entonces, si f i : R ! R se de…ne por f i (x) = f d (x ), se tiene f = f i + f c .
Por su de…nición, f i es no decreciente y continua por la izquierda.
Además, f i (x+)
f i (x) = f d (x)
f d (x ) para cualquier x 2 R.
Como f d crece únicamente mediante saltos, si (x; z) es una pareja de números reales tales
que x < z, se tiene:
P
f d (z) f d (x) = fy2D:x<y zg f d (y) f d (y ) .
Así que:
P
fy2D:x y<zg
=
P
[f i (y+)
fy2D:x<y zg
= f d (z)
= f d (z )
f i (y)] =
f d (y)
f d (x)
f d (y )
f d (z)
f d (x ) = f i (z)
P
fy2D:x y<zg
f d (z)
f d (y)
f d (y )
f d (z ) + f d (x)
f d (z ) + f d (x)
f i (x).
Por lo tanto, f i crece únicamente mediante saltos.
f d (x )
f d (x )
3.2. PARTE CONTINUA Y PARTE DE SALTOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
95
Finalmente, para cualquier x 2 R, se tiene:
f i (x+)
f i (x) = f d (x)
f d (x ) = h (x)
h (x ) = f (x+)
f (x).
Ahora extendemos los tres resultados anteriores a las funciones de variación acotada.
Teorema 3.6. Toda función de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto g :
R ! R se puede expresar como la suma de dos funciones de variación acotada sobre cualquier
intervalo compacto, g1 y g2 ; la primera, continua por la derecha y la segunda, continua por
la izquierda y tales que, para cualquier x 2 R,
g1 (x)
g (x ) y g2 (x+)
g1 (x ) = g (x)
g2 (x) = g (x+)
g (x).
Demostración
Sean f1 : R ! R y f2 : R ! R, no decrecientes y continuas por la derecha tales que g =
f1 f2 .
Sean f1d , f1i , f2d y f2i funciones no decrecientes tales que f1 = f1d + f1i , f2 = f2d + f2i , f1d y
f2d son continuas por la derecha, f1i y f2i son continuas por la izquierda, y tales que, para
cualquier x 2 R, f1d (x) f1d (x ) = f1 (x) f1 (x ), f1i (x+) f1i (x) = f1 (x+) f1 (x),
f2d (x) f2d (x ) = f2 (x) f2 (x ), f2i (x+) f2 (x) = f2 (x+) f2 (x).
De…namos g1 = f1d
f2d y g2 = f1i
f2i
Entonces:
g1 y g2 son de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto; g1 es continua por la
derecha y g2 es continua por la izquierda.
Además:
f2 = f1d + f1i
g = f1
g1 (x)
f2d + f2i = f1d
g1 (x ) = f1d (x)
= f1d (x)
f1d (x )
f2d (x)
= g (x)
g (x )
g2 (x+)
g2 (x) = f1i (x+)
= f1i (x+)
= g (x+)
f1i (x)
g (x)
f2d (x)
f2d + (f1i
f1d (x )
f2d (x )
f2d (x ) = f1 (x)
f2i (x+)
(f2i (x+)
(f1i (x)
f2i ) = g1 + g2
f1 (x )
(f2 (x)
f2 (x ))
(f2 (x+)
f2 (x))
f2i (x))
f2i (x)) = f1 (x+)
f1 (x)
96
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Teorema 3.7. Sea g : R ! R una función continua por la derecha y de variación acotada
sobre cualquier intervalo compacto, entonces g se puede expresar como la suma de dos funciones de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto, g d y g c ; la primera, continua
por la derecha, que crece o decrece únicamente mediante saltos y tal que:
g d (x)
g d (x ) = g (x)
g (x )
para cualquier x 2 R, y la segunda, continua.
Demostración
Sean f1 : R ! R y f2 : R ! R, no decrecientes y continuas por la derecha tales que g =
f1 f2 .
Por el teorema 3.14, se tiene:
f1 = f1d + f1c ,
f1d (x ) = f1 (x) f1 (x ) para cualquier x 2 R,
P
f1d (z) f1d (x) = fy2D:x<y zg f1d (y) f1d (y ) para cualquier pareja (x; z) de números
reales tales que x < z,
f1d (x)
f2 = f2d + f2c ,
f2d (x ) = f2 (x) f2 (x ), para cualquier x 2 R.
P
f2d (z) f2d (x) = fy2D:x<y zg f2d (y) f2d (y ) , para cualquier parera (x; z) de números
reales tales que x < z,
f2d (x)
donde f1c y f2c son funciones no decrecientes continuas y f1d y f2d son funciones no decrecientes,
continuas por la derechas y que crecen únicamente mediante saltos.
Así que:
g = f1d + f1c
f2d + f2c = f1d
f2d + (f1c
f2c ).
De…namos:
g d = f1d
f2d ,
g c = f1c
f2c .
g d es continua por la derecha y de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
g c es continua y de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
Para cualquier x 2 R, se tiene:
g d (x)
g d (x ) = f1d (x)
f1d (x )
f2d (x)
f2d (x )
3.2. PARTE CONTINUA Y PARTE DE SALTOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIACIÓN ACOTADA
= f1 (x)
= g (x)
f1 (x )
[f2 (x)
f2 (x )] = f1 (x)
f2 (x)
[f1 (x )
97
f2 (x )]
g (x ).
Como g d = f1d f2d , g d puede crecer en un intervalo [x; z], donde x < z, únicamente si
f1d crece en el intervalo [x; z]. Además, f1d crece únicamente mediante saltos. Si f1d crece
mediante un salto f1d (y) f1d (y ), entonces g d crece mediante la diferencia de los saltos
f1d (y) f1d (y ) y f2d (y) f2d (y ), cuando esta diferencia es positiva. Además, se tiene:
f1d (y) f1d (y )
f2d (y)
f2d (y ) = f1d (y) f2d (y)
f1d (y )
f2d (y ) = g d (y) g d (y ).
Por lo tanto, g d crece en el intervalo [x; z] únicamente mediante los saltos g d (y)
que sean positivos, donde y 2 (x; z].
g d (y )
De la misma manera, g d decrece en el intervalo [x; z] únicamente mediante los saltos g d (y)
g d (y ) que sean negativos, donde y 2 (x; z].
Para cualquier parera (x; z) de números reales tales que x < z, se tiene:
f2d (z) f2d (x)
g d (z) g d (x) = f1d (z) f1d (x)
P
P
d
= fy2D:x<y zg f1d (y) f1d (y )
fy2D:x<y zg f2 (y)
P
= fy2D:x<y zg f1d (y) f2d (y)
f1d (y ) f2d (y )
P
= fy2D:x<y zg g d (y) g d (y ) .
f2d (y )
Corolario 3.16. Sea g : R ! R una función continua por la izquierda y de variación
acotada sobre cualquier intervalo compacto, entonces g se puede expresar como la suma de
dos funciones de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto, g i y g c ; la primera,
continua por la izquierda, que crece o decrece únicamente mediante saltos y tal que:
g i (x+)
g i (x) = g (x+)
g (x)
para cualquier x 2 R, y la segunda, continua.
A continuación exponemos el resultado general de descomposición de una función no decreciente en su parte continua y su parte de saltos. Ésta última puede descoponerse en una
parte de saltos por la derecha más una parte de saltos por la izquierda.
Teorema 3.8. Sea f : R ! R una función no decreciente, entonces f se puede expresar
como la suma de tres funciones no decrecientes, f d , f i y f c ; la primera, continua por la
derecha, que crece únicamente mediante saltos y tal que f d (x) f d (x ) = f (x) f (x )
para cualquier x 2 R, la segunda, continua por la izquierda, que crece únicamente mediante
saltos y tal que f i (x+) f i (x) = f (x+) f (x) para cualquier x 2 R, y la tercera, continua.
98
3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Demostración
Sea D = fd1 ; d2 ; : : :g el conjunto de puntos donde f es discontinua y de…namos f d : R ! R
de la siguiente manera:
P
f
(0
)
[f (y) f (y )] si x 2 ( 1; 0)
P fy2D:x<y<0g
f d (x) =
f (0) + fy2D:0<y xg [f (y) f (y )]
si x 2 [0; 1)
Por el teorema 3.5, se tiene:
f d es una función no decreciente, continua por la derecha, crece únicamente mediante saltos
y f d (x) f d (x ) = f (x) f (x ) para cualquier x 2 R.
Además, la función h = f f d es no decreciente, continua por la izquierda y h (x+) h (x) =
f (x+) f (x) para cualquier x 2 R.
Por el corolario 3.15 h = f i + f c , donde f i es una función no decreciente, continua por la
izquierda, que crece únicamente mediante saltos y tal que f i (x+) f i (x) = h (x+) h (x)
para cualquier x 2 R, y f c es una función no decreciente y continua.
Se tiene entonces:
f i (x+)
f i (x) = h (x+)
f = f d + h = f d + f i + f c.
h (x) = f (x+)
f (x),
CAPÍTULO 4
LA INTEGRAL DE STIELTJES
4.1. La integral de Riemann-Stieltjes
Rb
Así como se de…ne la integral de Riemann, a f (x)dx, de una función acotada f : [a; b] !
R, puede de…nirse la integral de una función f con respecto a una función g. Como lo
mencionamos en la introducciuón de este capítulo, este problema fue abordado y resuelto
por Stieltjes a …nales del siglo XIX.
Para la de…nición general no es necesario restringirse al caso de una función g de variación
acotada. La integral de Stieltjes puede estar bien de…nida aún para el caso de una función
g que no es de variación acotada. La necesidad de integrar con respecto a una función g de
variación acotada surge si queremos que todas las funciones continuas sean integrables con
respecto a g, propiedad que únicamente se tiene cuando g es de variación acotada.
Por otra parte, si queremos generar una medida a partir de una función g, también es
necesario que ésta sea de variación acotada.
La de…nición y las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes son similares a las de la
integral de Riemann. Ésta última resulta más simple ya que la función con respecto a la
cual se integra es creciente y continua.
Definición 4.1. Sean f : [a; b] ! R y g : [a; b] ! R dos funciones acotadas y P =
fx0 ; x1 ; : : : ; xn g una particion del intervalo [a; b]. Una suma de Riemann-Stieltjes S(P; f; g)
de
Pnf con respecto a g, correspondiente a la particion P , es una suma de la forma S(P; f; g) =
g(xk 1 )], donde k 2 [xk 1 ; xk ] para k 2 f1; 2; : : : ; ng.
k=1 f ( k ) [g(xk )
Definición 4.2. Se dice que f es integrable con respecto a g en el intervalo [a; b] si existe
un numero real I tal que para cualquier " > 0 existe una particion P" del intervalo [a; b] tal
que jS(P; f; g) Ij < " para cualquier particion P que sea un re…namiento de P" y cualquier
suma de Riemann-Stieltjes S(P; f; g) de f con respecto a g, correspondiente a la particion
P . Al numero
R b real I de esta de…nición se le llama la integral de f con respecto a g y se le
denota por a f dg.
99
100
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
4.2. Criterio de Cauchy
Definición 4.3. Se dice que la pareja de funciones acotadas f : [a; b] ! R y g : [a; b] ! R
satisface el criterio de Cauchy si para cada " > 0 existe una partición P" del intervalo
[a; b] tal que si P y P 0 son dos re…namientos de P" y S(P; f; g), S(P 0 ; f; g) son sumas de
Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, entonces:
jS(P; f; g)
S(P 0 ; f; g)j < "
Teorema 4.1. Una función f es integrable con respecto a g en el intervalo [a; b] si y sólo si
la pareja f; g satisface el criterio de Cauchy.
Demostración
Si f es integrable con respecto a g, claramente se satisface el criterio de Cauchy. Para el
inverso, de…namos inductivamente una sucesión de particiones fQn g tal que Q0 = fa; bg y,
para n 1, Qn Qn 1 y si P; Q Qn entonces jS(P; f; g) S(Q; f; g)j < n1 para cualquier
par de sumas de Riemann-Stieltjes S(P; f; g) y S(Q; f; g).
Para cada n consideremos entonces cualquier suma de Riemann-Stieltjes S(Qn ; f; g). La
sucesión fS(Qn ; f; g) : n 2 Ng claramente es de Cauchy y por lo tanto converge.
Sea I = l mn
toda n N .
Si P
1
S(Qn ; f; g) y, dada " > 0, sea N tal que
QN , se tiene jS(P; f; g)
jS(P; f; g)
Ij
jS(P; f; g)
S(QN ; f; g)j <
1
,
N
1
N
<
"
2
y jS(Qn ; f; g)
Ij <
"
2
para
por lo tanto:
S(QN ; f; g)j + jS(QN ; f; g)
Ij <
1
N
+
"
2
< ".
Se concluye entonces que f es integrable con respecto a g.
Proposición 4.1. Si f es integrable con respecto a g, entonces f y g no tienen discontinuidades en común del mismo lado.
Demostración
Supongamos que f no es continua por la izquierda en c 2 (a; b]. Existe entonces M > 0 tal
que para cualquier > 0 existe y 2 (c
; c) tal que jf (c) f (y)j > M .
Dada " > 0, sea P" una partición del intervalo [a; b] tal que jS(P; f; g) S(P 0 ; f; g)j < M "
para todo par de re…namientos P y P 0 de P" . Si el punto c no forma parte de la partición
P" se le puede agregar y la nueva partición sigue teniendo la misma propiedad que P" , de
manera que podemos siempre elegir P " de tal manera que contenga al punto c.
Sea d el punto de P " que se encuentre inmediatamente a la izquierda de c. Entonces,
si x 2 (d; c) de…namos las particiones P = Q = P" [ fxg y consideremos dos sumas de
Riemann-Stieltjes S(P; f; g) y S(Q; f; g) de la siguiente manera:
4.2. CRITERIO DE CAUCHY
101
En el subintervalo [x; c], al de…nir la suma S(P; f; g) elijamos el punto c como punto intermedio, mientras que al de…nir la suma S(Q; f; g) elijamos un punto tal que jf (c) f ( )j > M .
En los otros subintervalos de la partición elijamos el mismo punto intermedio para de…nir
cualquiera de las dos sumas de Riemann-Stieltjes S(P; f; g) y S(Q; f; g). Se tiene entonces:
j[f (c)
f ( )] [g(c)
Por lo tanto, jg(c)
g(x)]j = jS(P; f; g)
S(Q; f; g)j < M ".
g(x)j < ".
Se puede concluir entonces que g es continua por la izquierda en c.
De la misma manera, se tiene que si f no es continua por la derecha en c 2 [a; b), entonces
g sí lo es.
Teorema 4.2. Si g es de variación acotada, entonces toda función continua es integrable
con respecto a g.
Demostración
Sea g : [a; b] ! R de variación acotada y f : [a; b] ! R continua.
Si g es constante en el intervalo [a; b], el resultado es trivial.
Supongamos que g no es constante en el intervalo [a; b] y de…namos v = Vg [a; b].
Como f es uniformemente continua en [a; b], dada " > 0 existe
"
.
y jx yj < , entonces jf (x) f (y)j < 2v
> 0 tal que si x; y 2 [a; b]
Sea P" una partición de [a; b] de norma menor que , P un re…namiento de P" y S(P; f; g),
S(P" ; f; g) sumas de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g.
P
Si P" = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g, P = fy0 ; y1 ; : : : ; ym g y S(P; f; g) = m
g (yj 1 )],
j=1 f ( j ) [g (yj )
entonces, por ser P un re…namiento de P" , S(P" ; f; g) puede escribirse en la forma:
P
S(P" ; f; g) = m
g (yj 1 )],
j=1 f ( j ) [g (yj )
donde j no necesariamente pertenece al intervalo [yj 1 ; yj ], pero de tal manera que, para
cada j 2 f1; 2; : : : ; mg, j y j pertenecen a un mismo intervalo de la forma [xk 1 ; xk ]. Se
tiene entonces:
Pm
jS(P; f; g) S(P" ; f; g)j =
f ( j ) [g (yj ) g (yj 1 )]
j=1 f ( j )
<
"
2v
Pm
j=1
[g (yj )
g (yj 1 )]
"
V [a; b]
2v g
= 2" .
Si P 0 es otro re…namiento de P" y S(P 0 ; f; g) es una suma de Riemann-Stieltjes de f con
respecto a g, se tiene:
102
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
jS(P; f; g)
S(P 0 ; f; g)j
jS(P; f; g)
S(P" ; f; g)j + jS(P 0 ; f; g)
S(P" ; f; g)j < ".
Así que la pareja f; g satisface el criterio de Cauchy y, por lo tanto, f es integrable con
respecto a g.
Teorema 4.3. Si f1 : [a; b] ! R y f2 : [a; b] ! R son integrables con respecto a g : [a; b] ! R
y 1 ; 2 2 R, entonces 1 f1 + 2 f2 es integrable con respecto a g y:
Rb
Rb
Rb
( 1 f1 + 2 f2 ) dg = 1 a f1 dg + 2 a f2 dg.
a
Demostración
Si f : [a; b] ! R es integrable con respecto a g, se prueba inmediatamente que si
2
Rb
Rb
R, entonces f es integrable con respecto a g y que a f dg =
f dg. Así que, para
a
demostrar
la
proposición,
basta
con
demostrar
que
f
+
f
es
integrable
con respecto a g y
1
2
Rb
Rb
Rb
que a (f1 + f2 ) dg = a f1 dg + a f2 dg.
(1)
Dada " > 0 sea P"
S(P; f1 ; g)
Rb
a
(2)
(resp. P" ) una partición del intervalo [a; b] tal que:
f1 dg < 21 " (resp. S(P; f2 ; g)
Rb
a
f2 dg < 21 ")
(1)
(2)
para cualquier particion P que sea un re…namiento de P" (resp. P" ) y cualquier suma de
Riemann-Stieltjes S(P; f1 ; g) (resp. S(P; f2 ; g)) de f1 (resp. f2 ) con respecto a g, correspondiente a la partición P .
(1)
(2)
De…namos P" = P" [ P" y sean P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g un re…namiento de P" y:
P
S(P; f1 + f2 ; g) = nk=1 [f1 ( k ) + f2 ( k )] [g(xk ) g(xk 1 )]
una suma de Riemann-Stieltjes de f1 + f2 con respecto a g, correspondiente a la partición
(1)
(2)
P . Entonces P es un re…namiento de P" y de P" ,
P
P
S(P; f1 ; g) = nk=1 f1 ( k ) [g(xk ) g(xk 1 )] (resp. S(P; f2 ; g) = nk=1 f2 ( k ) [g(xk ) g(xk 1 )]
es una suma de Riemann-Stieltjes de f1 (resp. f2 ) con respecto a g, correspondiente a la
partición P , y se tiene:
Rb
Rb
Rb
Rb
S(P; f1 + f2 ; g)
f
dg
f
dg
=
S(P;
f
;
g)
+
S(P;
f
;
g)
f
dg
f dg
1
2
1
2
1
a
a
a
a 2
S(P; f1 ; g)
Rb
a
f1 dg + S(P; f2 ; g)
Rb
a
f2 dg < ".
Por lo tanto, f1 + f2 es integrable con respecto a g y
Rb
a
(f1 + f2 ) dg =
Rb
a
f1 dg +
Rb
a
f2 dg.
4.2. CRITERIO DE CAUCHY
103
Teorema 4.4. Si f : [a; b] ! R es integrable con respecto a g1 : [a; b] ! R y con respecto a
g2 : [a; b] ! R y 1 ; 2 2 R, entonces f es integrable con respecto a 1 g1 + 2 g2 y:
Rb
Rb
Rb
f d ( 1 g1 + 2 g2 ) = 1 a f dg1 + 2 a f dg2 .
a
Demostración
Si f : [a; b] ! R es integrable con respecto a g, se prueba inmediatamente que si 2 R,
Rb
Rb
entonces f es integrable con respecto a g y que a f d ( g) =
f dg. Así que, para
a
demostrar
la
proposición,
basta
con
demostrar
que
f
es
integrable
con
respecto a g1 + g2 y
Rb
Rb
Rb
que a f d (g1 + g2 ) = a f dg1 + a f dg2 .
(1)
Dada " > 0 sea P"
S(P; f; g1 )
Rb
a
(2)
(resp. P" ) una partición del intervalo [a; b] tal que:
f dg1 < 21 " (resp. S(P; f; g2 )
Rb
a
f dg2 < 21 ")
(1)
(2)
para cualquier partición P que sea un re…namiento de P" (resp. P" ) y cualquier suma de
Riemann-Stieltjes S(P; f; g1 ) (resp. S(P; f; g2 )) de f con respecto a g1 (resp. g2 ), correspondiente a la partición P .
(1)
(2)
De…namos P" = P" [ P" y sean P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g un re…namiento de P" y:
P
S(P; f; g1 + g2 ) = nk=1 f ( k ) [(g1 + g2 ) (xk ) (g1 + g2 ) (xk 1 )]
una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g1 + g2 , correspondiente a la partición
(1)
(2)
P . Entonces P es un re…namiento de P" y de P" ,
P
P
S(P; f; g1 ) = nk=1 f ( k ) [g1 (xk ) g1 (xk 1 )] (resp. S(P; f; g2 ) = nk=1 f ( k ) [g2 (xk ) g2 (xk 1 )]
es una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g1 (resp. g2 ), correspondiente a la
partición P , y se tiene:
Rb
Rb
Rb
Rb
S(P; f; g1 + g2 )
f
dg
f
dg
=
S(P;
f;
g
)
+
S(P;
f;
g
)
f
dg
f dg2
1
2
1
2
1
a
a
a
a
S(P; f; g1 )
Rb
a
f dg1 + S(P; f; g2 )
Rb
a
f dg2 < ".
Por lo tanto, f es integrable con respecto a g1 + g2 y
Rb
a
f d (g1 + g2 ) =
Rb
a
f dg1 +
Rb
a
f dg2 .
Teorema 4.5. Sean f : [a; b] ! R y g : [a; b] ! R funciones acotadas y c 2 [a; b], entonces
f es integrable con respecto a g en el intervalo [a; b] si y sólo si es integrable con respecto a
g en cada uno de los intervalos [a; c] y [c; b]. En ese caso se tiene:
Rb
Rc
Rb
f dg = a f dg + c f dg.
a
104
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
Demostración
Si c 2 fa; bg, el resultado es inmediato, así que resta únicamente probar la proposición
cuando c 2 (a; b).
Supongamos primero que f es integrable con respecto a g en el intervalo [a; b].
Dada " > 0 sea P" = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g una partición del intervalo [a; b] tal que:
jS(P; f; g)
S(P 0 ; f; g)j < "
para cualquier par de particiones P y P 0 que sean re…namientos de P" y cualquier suma de
Riemann-Stieltjes S(P; f; g) (resp. S(P 0 ; f; g)) de f con respecto a g, correspondiente a la
partición P (resp. P 0 ).
(1)
De…namos P"
(1)
(2)
= fx0 ; x1 ; : : : ; xj ; cg y P"
(1)
= fc; xj+1 ; : : : ; xn g.
(1)
(2)
(1)
Sean P1 y P2 dos re…namientos de P" , P (2) un re…namiento de P" , S(P1 ; f; g) una
(1)
suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, correspondiente a la particion P1 ,
(1)
S(P2 ; f; g) una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, correspondiente a la
(1)
particion P2 y S(P (2) ; f; g) una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, corres(1)
(1)
pondiente a la particion P (2) . Entonces P1 [ P (2) y P2 [ P (2) son re…namientos de P" ,
(1)
S(P1 ; f; g)+S(P (2) ; f; g) es una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, correspon(1)
(1)
diente a la particion P1 [P (2) y S(P2 ; f; g)+S(P (2) ; f; g) es una suma de Riemann-Stieltjes
(1)
de f con respecto a g, correspondiente a la particion P2 [ P (2) . Por lo tanto:
(1)
S(P1 ; f; g)
(1)
S(P2 ; f; g)
(1)
= S(P1 ; f; g) + S(P (2) ; f; g)
(1)
S(P2 ; f; g)
S(P (2) ; f; g) < ".
Así que, por el criterio de Cauchy, f es integrable con respecto a g en el intervalo [a; c].
De manera análoga se demuestra que f es integrable con respecto a g en el intervalo [c; b].
Inversamente, supongamos que f es integrable con respecto a g en cada uno de los intervalos
[a; c] y [c; b].
(1)
Dada " > 0 sea P"
(1)
S(P1 ; f; g)
= fx0 ; x1 ; : : : ; cg una partición del intervalo [a; c] tal que:
(1)
S(P2 ; f; g) < 12 "
(1)
(1)
(1)
para cualquier par de particiones P1 y P2 que sean re…namientos de P" y cualquier suma
(1)
(1)
de Riemann-Stieltjes S(P1 ; f; g) (resp. S(P2 ; f; g)) de f con respecto a g, correspondiente
(1)
(1)
a la partición P1 (resp. P2 ).
4.2. CRITERIO DE CAUCHY
(2)
Sea también P"
(2)
105
= fc; y1 ; : : : ; yn g una partición del intervalo [c; b] tal que:
(2)
S(P2 ; f; g) < 12 "
S(P1 ; f; g)
(2)
(2)
(2)
para cualquier par de particiones P1 y P2 que sean re…namientos de P" y cualquier suma
(2)
(2)
de Riemann-Stieltjes S(P1 ; f; g) (resp. S(P2 ; f; g)) de f con respecto a g, correspondiente
(2)
(2)
a la partición P1 (resp. P2 ).
(1)
(2)
De…namos P" = P" [ P" y sean P y P 0 dos re…namientos de P" y S(P; f; g) (resp.
S(P 0 ; f; g)) una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, correspondiente a la
(1)
(1)
particion P (resp. P 0 ). Entonces P1 = P \ [a; c] y P2 = P 0 \ [a; c] son re…namientos de
(1)
(2)
(2)
(2)
P" y P1 = P \ [c; b] y P2 = P 0 \ [c; b] son re…namientos de P" . Además, S(P; f; g) y
S(P 0 ; f; g)) se pueden expresar de la siguiente manera:
(1)
(2)
S(P; f; g) = S(P1 ; f; g) + S(P1 ; f; g),
(1)
(2)
S(P 0 ; f; g) = S(P2 ; f; g) + S(P2 ; f; g),
(1)
(2)
donde S(P1 ; f; g) (resp. S(P1 ; f; g)) es una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto
(1)
(2)
(1)
(2)
a g, correspondiente a la partición P1 (resp. P1 ), y S(P2 ; f; g) (resp. S(P2 ; f; g)) es
(1)
una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, correspondiente a la partición P2
(2)
(resp. P2 ).
Por lo tanto:
jS(P; f; g)
(1)
(1)
(2)
S(P 0 ; f; g)j = S(P1 ; f; g) + S(P1 ; f; g)
S(P1 ; f; g)
(1)
(2)
(1)
S(P2 ; f; g)
(2)
S(P2 ; f; g)
(2)
S(P2 ; f; g) < ".
S(P2 ; f; g) + S(P1 ; f; g)
Así que, por el criterio de Cauchy, f es integrable con respecto a g en el intervalo [a; b].
Finalmente, si f es integrable con respecto a g en cada uno de los intervalos [a; c] y [c; b],
(1)
(2)
dada " > 0, sea P" (resp. P" ) una partición del intervalo [a; c] (resp. [c; b]) tal que
Rc
Rb
S P (1) ; f; g
f dg < 21 " (resp. S(P (2) ; f; g)
f dg < 21 ") para cualquier partición
a
c
(1)
(2)
P (1) (resp. P (2) ) que sea un re…namiento de P" (resp. P" ) y cualquier suma de RiemannStieltjes S P (1) ; f; g (resp. S(P (2) ; f; g)) de f con respecto a g correspondiente a la partición
P (1) (resp. P (2) ).
(1)
(2)
De…namos P" = P" [P" y sean P un re…namiento de P" y S(P; f; g) una suma de RiemannStieltjes de f con respecto a g correspondiente a la partición P . Entonces P (1) = P \ [a; c]
(1)
(2)
(resp. P (2) = P \ [c; b]) es un re…namiento de P" (resp. P" ) y S(P; f; g) se puede expresar
de la siguiente manera:
106
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
S(P; f; g) = S(P (1) ; f; g) + S(P (2) ; f; g),
donde S(P (1) ; f; g) (resp. S(P (2) ; f; g)) es una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto
a g, correspondiente a la partición P (1) (resp. P (2) ).
Por lo tanto:
S(P; f; g)
Rc
a
f dg
S(P (1) ; f; g)
Rc
a
Rb
c
f dg = S(P (1) ; f; g) + S(P (2) ; f; g)
f dg + S(P (2) ; f; g)
Así que:
Rb
Rc
Rb
f
dg
=
f
dg
+
f dg
a
a
c
Rb
c
f dg < ".
Rc
a
f dg
Rb
c
f dg
Proposición 4.2. Si f : [a; b] ! R es una función no negativa e integrable con respecto a
Rb
una función no decreciente g : [a; b] ! R, entonces a f dg 0:
Demostración
Supongamos que
Rb
a
f dg < 0 y sea " 2 0;
Rb
a
f dg .
Rb
f dg < " para cualquier
Sea P" una partición del intervalo [a; b] tal que S(P; f; g)
a
particion P que sea un re…namiento de P" y cualquier suma de Riemann-Stieltjes S(P; f; g)
de f con respecto a g, correspondiente a la particion P .
Como f es no negativa y g es no decreciente, S(P; f; g)
S(P; f; g)
Rb
a
f dg = S(P; f; g)
Rb
a
f dg < " <
Rb
a
0, así que:
f dg =
Por lo tanto, S(P; f; g) < 0, lo cual es una contradicción.
Rb
a
f dg.
Corolario 4.1. Si f1 : [a; b] ! R y f2 : [a; b] ! R son dos funciones integrables con
Rb
Rb
respecto a una función no decreciente g : [a; b] ! R y f1 f2 , entonces a f1 dg
f dg.
a 2
Proposición 4.3. Si f : [a; b] ! R es integrable con respecto a una función no decreciente
g : [a; b] ! R, entonces jf j es integrable con respecto a g y:
Rb
a
f dg
Rb
a
jf j dg.
Demostración
Dada " > 0, sea P" una partición del intervalo [a; b] tal que si P y P 0 son dos re…namientos
de P" y S(P; f; g), S(P 0 ; f; g) son sumas de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, entonces
jS(P; f; g) S(P 0 ; f; g)j < 12 ".
4.2. CRITERIO DE CAUCHY
107
Sean P un re…namiento de P" y:
P
S(P; jf j ; g) = nk=1 jf ( k )j [g(xk ) g(xk 1 )],
P
S(P" ; jf j ; g) = m
g(zk 1 )],
k=1 jf ( k )j [g(zk )
dos sumas de Riemann-Stieltjes de jf j con respecto a g.
Como P es un re…namiento de P" , cada intervalo [xi 1 ; xi ] está contenido en un intervalo
[zj 1 ; zj ], de…namos entonces i = j si [xi 1 ; xi ] [zj 1 ; zj ]. Entonces:
P
S(P" ; jf j ; g) = nk=1 jf ( k )j [g(xk ) g(xk 1 )].
Si f ( k )
f(
k)
0, tomemos
k
=
k
y
k
=
k.
Si f ( k )
f(
k)
< 0, tomemos
k
=
k
y
k
=
k.
Tomemos:
S(P; f; g) =
0
S (P; f; g) =
Pn
k=1
Pn
f(
k=1
k ) [g(xk )
g(xk 1 )],
f ( k ) [g(xk )
g(xk 1 )].
Entonces se tiene:
P
0
S(P; f; g) S (P; f; g) = j nk=1 [f ( k ) f ( k )] [g(xk ) g(xk 1 )]j
P
P
= nk=1 [f ( k ) f ( k )] [g(xk ) g(xk 1 )] = nk=1 jf ( k ) f ( k )j [g(xk )
Así que:
Pn
k=1 jf ( k )
f(
k )j [g(xk )
g(xk 1 )].
g(xk 1 )] < 12 ".
Por lo tanto:
P
jS(P; jf j ; g) S(P" ; jf j ; g)j = j nk=1 (jf ( k )j jf (
Pn
f ( k )j [g(xk ) g(xk 1 )] < 12 ".
k=1 jf ( k )
k )j) [g(xk )
g(xk 1 )]j
Si P 0 es otro re…namiento de P" y S(P; jf j ; g) es una suma de Riemann-Stieltjes de jf j con
respecto a g, se tiene:
jS(P; jf j ; g)
jS(P; jf j ; g)
S(P 0 ; jf j ; g)j
S(P" ; jf j ; g)j + jS(P 0 ; jf j ; g)
Así que jf j y g satisfacen el criterio de Cauchy.
Por lo tanto, jf j es integrable con respecto a g.
S(P" ; jf j ; g)j < ".
108
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
Finalmente, como jf j
Rb
Rb
jf j dg
f dg,
a
a
Rb
Rb
f dg.
jf
j
dg
a
a
f y jf j
f , entonces:
Por lo tanto:
Rb
Rb
jf
j
dg
f dg .
a
a
El siguiente resultado es importante ya que muestra que la propiedad de que la función
integradora sea de variación acotada se conserva para la integral que se obtiene. Esto hace
que la integral de cualquier función continua con respecto a la función que se obtiene al
integrar esté bien de…nida.
Teorema 4.6. Sean f : [a; b] ! R una función continua y g : [a; b] ! R una función de
variación acotada, entonces la función F : [a; b] ! R de…nida por:
Rt
F (t) = a f dg
es de variación acotada.
Demostración
Sean f1 : [a; b] ! R y f2 : [a; b] ! R dos funciones no decrecientes tales que g = f1 f2 , M =
sup fjf (x)j : x 2 [a; b]g y P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g una partición del intervalo [a; b]. Entonces:
Pn
k=1
=
Rb
a
jF (xk )
jf j df1 +
Así que:
F (xk 1 )j =
Rb
a
jf j df2
Pn
k=1
R xk
M [f1 (b)
xk
1
f dg
Pn
k=1
R xk
xk
f1 (a)] + M [f2 (b)
1
jf j df1 +
f2 (a)].
Pn
k=1
R xk
xk
1
jf j df2
VF [a; b] = sup fVg (P ) : P es una partición de [a; b]g
M [f1 (b)
f1 (a)] + M [f2 (b)
f2 (a)] < 1.
Teorema 4.7. Sean f : [a; b] ! R una función continua y g : [a; b] ! R una función
continua de variación acotada, entonces la función F : [a; b] ! R de…nida por:
Rt
F (t) = a f dg
es continua.
4.2. CRITERIO DE CAUCHY
109
Demostración
Sean f1 : [a; b] ! R y f2 : [a; b] ! R dos funciones continuas no decrecientes tales que
g = f1 f2 , M1 = sup fjf1 (x)j : x 2 [a; b]g + 1, M2 = sup fjf2 (x)j : x 2 [a; b]g + 1 y M =
sup fjf (x)j : x 2 [a; b]g + 1.
Dada " > 0, sea h 2 (0; b
f1 (a + h)
f1 (a) <
1
",
2M1
f2 (a + h)
f2 (a) <
1
",
2M2
f1 (b)
f1 (b
h) <
1
",
2M1
f2 (b)
f2 (b
h) <
1
".
2M2
Entonces:
R a+h
f df1
a
R a+h
a
Rb
b h
Rb
b
f df2
f df1
f df2
h
Así que:
jF (a + h)
jF (b)
F (b
R a+h
a
R a+h
a
Rb
b h
Rb
b h
a) tal que:
jf j df1
M1 [f1 (a + h)
f1 (a)] < 21 ",
jf j df2
M2 [f1 (a + h)
f1 (a)] < 12 ",
jf j df1
M1 [f1 (b)
f1 (b
h)] < 12 ",
jf j df2
M2 [f2 (b)
f2 (b
h)] < 12 ".
F (a)j =
h)j =
R a+h
a
Rb
b h
f df1
f df1
R a+h
a
Rb
b h
f df2
f df2
R a+h
a
Rb
b h
f df1 +
f df1 +
R a+h
a
Rb
b h
f df2 < ",
f df2 < "g.
Por lo tanto, F es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
Si u 2 (a; b), dada " > 0, sea h 2 (0; m n (u
jf1 (x)
f1 (u)j <
1
",
2M
jf2 (x)
f2 (u)j <
1
"
2M
para cualquier x 2 (u
a; b
u)) tal que:
h; u + h).
Entonces:
jF (x)
F (u)j =
R max(x;u)
m n(x;u)
f dg
R max(x;u)
m n(x;u)
jf j df1 +
R max(x;u)
m n(x;u)
jf j df2
110
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
M [f1 (max (x; u))
f1 (m n (x; u))] + M [f2 (max (x; u))
f2 (m n (x; u))] < ".
Así que F es continua en u.
Proposición 4.4. Sean f : [a; b] ! R una función continua y g : [a; b] ! R una función no
decreciente, entonces existe c 2 [a; b] tal que:
Rb
f dg = f (c) [g (b) g (a)].
a
Demostración
Si g es constante, el resultado es inmediato, así que supongamos que g no es constante.
Sea M = sup ff (x) : x 2 [a; b]g y m = nf ff (x) : x 2 [a; b]g, entonces:
Rb
Rb
Rb
mdg
f dg
M dg.
a
a
a
Así que:
m
1
g(b) g(a)
Rb
a
f dg
M.
Como f es continua, existe c 2 [a; b] tal que:
Rb
f (c) = g(b) 1 g(a) a f dg.
Teorema 4.8. Sean f : [a; b] ! R y h : [a; b] ! R dos funciones continuas, g : [a; b] ! R
una función de variación acotada y F : [a; b] ! R de…nida por:
Rt
F (t) = a f dg.
Entonces:
Rb
Rb
hdF = a hf dg.
a
Demostración
Sean f1 : [a; b] ! R y f2 : [a; b] ! R dos funciones no decrecientes tales que g = f1 f2 ,
M = sup fjh (x)j : x 2 [a; b]g+1, c1 = f1 (b) f1 (a)+1, c2 = f2 (b) f2 (a)+1, c = max (c1 ; c2 )
y, dada " > 0, sea > 0 tal que, si x; y 2 [a; b] y jy xj < , entonces:
jf (y)
f (x)j <
jh(y)f (y)
1
".
4cM
h(x)f (x)j <
1
".
4c
Sea P" una partición del intervalo
Pn [a; b] de norma menor que , P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g un re…namiento de P" , S(P; h; F ) = k=1 h( k ) [F (xk ) F (xk 1 )] una suma de Riemann-Stieltjes
(1) (2) (1) (2)
de h con respecto a y, para cada k 2 f1; 2; : : : ng, k ; k ; k ; k 2 [xk 1 ; xk ] tales que:
4.2. CRITERIO DE CAUCHY
R xk
xk
1
R xk
xk
1
R xk
xk
1
R xk
xk
1
f df1 = f
(1)
k
[f1 (xk )
f1 (xk 1 )],
f df2 = f
(2)
k
[f2 (xk )
f2 (xk 1 )],
hf df1 = h(
(1)
k )f
(1)
k
[f1 (xk )
f1 (xk 1 )],
hf df2 = h(
(2)
k )f
(2)
k
[f2 (xk )
f2 (xk 1 )].
111
Entonces:
S(P; h; F )
=
=
Pn
k=1
Pn
k=1
Pn
k=1
=
+
=
+
Pn
k=1
k=1
Pn
k=1
k=1
Pn
k=1
Pn
k=1
+
Pn
k=1
h
a
h( k )
h( k )
h
h( k )
Pn
k=1 h( k ) [F (xk )
hf dg =
R xk
xk
f dg
1
R xk
R xk
xk
R xk
f df1
1
xk
R xk
xk
R xk
f df1
1
xk
hf dg
1
xk
i
hf df1
1
hf df1
1
k=1
+
(f1 (xk )
f1 (xk 1 ))
h( k )f
(2)
k
(f2 (xk )
f2 (xk 1 ))
h( k )f
(1)
k
h(
(1)
k )f
(1)
k
h( k )f
(2)
k
h(
(2)
k )f
(2)
k
(1)
k
h(
(1)
k )f
(1)
k
h( k )f
(2)
k
h(
(2)
k )f
(2)
k
h
i
i
i
Pn
h
h( k )
k=1
h
h(
(1)
k )f
h(
(2)
k )f
(2)
k
+ jh( k )j f
(2)
k
=
1
"
4c
+
<
1
"
2c
1
"
4c
c+
[f1 (b)
1
"
2c
f1 (a)] +
c = ".
f1 (xk 1 )] +
1
"
4c
+
1
"
4c
1
"
4c
[f2 (b)
R xk
k=1
i
i
f1 (xk 1 ))
i
f2 (xk 1 ))
i
f ( k ) [f1 (xk )
Pn
i
hf df2
1
i
f ( k ) [f2 (xk )
1
+ M 4cM
"
f2 (a)]
hf df2
1
xk
(f2 (xk )
f2 (xk 1 )]
(2)
k )f
xk
(2)
k
[f2 (xk )
hf dg
R xk
(f1 (xk )
f1 (xk 1 )]
h(
1
(1)
k
[f1 (xk )
h( k )f ( k )
[f1 (xk )
xk
f2 (xk 1 )]
(1)
k
xk
f df2
1
[f2 (xk )
+ jh( k )j f
k=1
R xk
f1 (xk 1 )]
(1)
k
R xk
f df2
1
[f1 (xk )
(1)
k )f
Pn
xk
h( k )
h(
1
+ M 4cM
"
k=1
R xk
h( k )f ( k )
1
"
4c
Pn
F (xk 1 )]
Pn
(1)
k
h( k )f
h
i
h( k )f
h
h
Pn
Pn
h
h
Pn
k=1
+
h
Rb
[f2 (xk )
f1 (xk 1 )]
f2 (xk 1 )]
f2 (xk 1 )]
112
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
Al igual que la integral de Riemann, la integral de Riemann Stieltjes presenta limitaciones
en cuanto a la convergencia de las integrales de una sucesión convergente de funciones. El
resultado siguiente muestra que el límite y la integral se pueden intercambiar pero la condición de convergencia uniforme que se pide es muy fuerte. Es éste uno de los aspectos en que
la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes, que de…niremos posteriormente,
superan a la integral de Riemann y a la de Riemann-Stieltjes, respectivamente.
Teorema 4.9. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones fn : [a; b] ! R, integrables con respecto a una función no decreciente g : [a; b] ! R, y supongamos que (fn )n2N converge
uniformemente a la función f : [a; b] ! R. Entonces, f es integrable con respecto a g y:
Rb
Rb
f dg = l mn 1 a fn dg.
a
Demostración
Dada " > 0, sea N 2 N tal que:
jfn (x)
f (x)j <
1
"
2[g(b) g(a)]+1
para cualquier número natural n
N y cualquier x 2 [a; b], y sea P" una partición del
intervalo [a; b] tal que si P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g y P 0 son dos re…namientos de P" y S(P; fN ; g),
S(P 0 ; fN ; g) son sumas de Riemann-Stieltjes de f N con respecto a g, entonces:
S(P 0 ; fN ; g)j < 2[g(b) 1g(a)]+1 ".
P
P
Sean S(P; f; g) = nk=1 f ( k ) [g(xk ) g(xk 1 )] y S(P 0 ; f; g) = m
k=1 f ( k ) [g(yk )
dos sumas de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g y de…namos:
jS(P; fN ; g)
g(yk 1 )]
M = sup fjfN (x) f (x)j : x 2 [a; b]g,
P
S(P; fN ; g) = nk=1 fN ( k ) [g(xk ) g(xk 1 )],
P
S(P 0 ; fN ; g) = m
g(yk 1 )].
k=1 fN ( k ) [g(yk )
Se tiene entonces:
P
Pn
jS(P; f; g) S(P; fN ; g)j = j nk=1 f ( k ) [g(xk ) g(xk 1 )]
g(xk 1 )]j
k=1 fN ( k ) [g(xk )
P
g(b) g(a)
M nk=1 jg(xk ) g(xk 1 )j 2[g(b)
".
g(a)]+1
P
Pm
jS(P 0 ; fN ; g) S(P 0 ; f; g)j = j m
g(yk 1 )]
g(yk 1 )]j
k=1 fN ( k ) [g(yk )
k=1 f ( k ) [g(yk )
P
g(b) g(a)
M m
g(yk 1 )j 2[g(b)
".
k=1 jg(yk )
g(a)]+1
Por lo tanto:
4.3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA E INTEGRABILIDAD DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
113
jS(P; f; g)
<
S(P 0 ; f; g)j
jS(P; f; g)
S(P; fN ; g)j + jS(P; fN ; g)
g(b) g(a)
"
2[g(b) g(a)]+1
+
1
"
2[g(b) g(a)]+1
+
S(P 0 ; fN ; g)j + jS(P 0 ; fN ; g)
g(b) g(a)
"
2[g(b) g(a)]+1
S(P 0 ; f; g)j
= ".
Así que f y g satisfacen el criterio de Cauchy, de lo cual se sigue que f es integrable con
respecto a g.
Finalmente, para cualquier n N , se tiene:
Rb
Rb
Rb
Rb
f dg
f dg = a (fn f ) dg
jfn
a
a
a n
f j dg
g(b) g(a)
"
2[g(b) g(a)]+1
".
Por lo tanto:
Rb
Rb
l mn 1 a fn dg = a f dg.
Corolario 4.2. Sean g : [a; b] ! R una función de variación acotada y (fn )n2N una sucesión
de funciones continuas fn : [a; b] ! R que converge uniformemente a la función f : [a; b] !
R. Entonces:
Rb
Rb
f dg = l mn 1 a fn dg.
a
Demostración
Sean g1 : [a; b] ! R y g2 : [a; b] ! R dos funciones no decrecientes tales que g = g1
la proposición 4.9, se tiene:
Rb
Rb
f dg1 = l mn 1 a fn dg1 ,
a
Rb
Rb
f dg2 = l mn 1 a fn dg2 .
a
Así que:
Rb
Rb
f
dg
=
f dg1
a
a
Rb
a
f dg2 = l mn!1
Rb
a
fn dg1
l mn!1
Rb
a
fn dg2 = l mn
1
Rb
a
g2 . Por
fn dg.
4.3. Funciones de variación acotada e integrabilidad de las funciones continuas
Lo siguiente tiene como objetivo demostrar que si g : [a; b] ! R no es de variación acotada,
entonces existe una función continua f : [a; b] ! R tal que f no es integrable con respecto a
g, lo cual tiene como corolario que si toda función continua f : [a; b] ! R es integrable con
respecto a una función g : [a; b] ! R, entonces g es de variación acotada.
Definición 4.4. Diremos que una función g : [a; b] ! R es de variación acotada en un
punto x0 2 (a; b) si existe > 0 tal que [x0
; x0 + ] [a; b] y g es de variación acotada
114
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
en [x0
; x0 + ]. Diremos que g es de variación acotada en a (resp. b) si existe > 0 tal
que [a; a + ] [a; b] (resp. [b
; b] [a; b]) y g es de variación acotada en [a; a + ] (resp.
[b
; b]).
Diremos que g es localmente de variación acotada en [a; b] si es de variación acotada en cada
punto x0 2 [a; b].
Teorema 4.10. Una función g : [a; b] ! R es de variación acotada en [a; b] si y sólo si es
localmente de variación acotada en [a; b].
Demostración
Si g es de variación acotada y x0 2 (a; b), tomando cualquier > 0 tal que [x0
; x0 + ]
[a; b], g es de variación acotada en [x0
; x0 + ]; de la misma manera, tomando cualquier
> 0 tal que [a; a + ] [a; b] (resp. [b
; b] [a; b]), g es de variación acotada en [a; a + ]
(resp. [b
; b]). Así que g es localmente de variación acotada.
Supongamos ahora que g es localmente de variación acotada en [a; b].
Para cada x 2 (a; b), sea x > 0 tal que [x
[a; b] y g es de variación acotada
x; x + x]
en [x
;
x
+
].
Sea
también
>
0
(resp.
>
0)
tal
que [a; a + a ]
[a; b] (resp.
x
x
a
b
[b
[a; b]) y g es de variación acotada en [a; a + a ] (resp. [b
b ; b]
b ; b]).
Tomando
> 0 arbitraria, la colección de intervalos
(a
a ),
;a +
(b
b; b
+ ) y (x
x; x
+
x ),
para cada x 2 (a; b), constituye una cubierta de [a; b] con intervalos abiertos; por el teorema de Heine-Borel existe entonces una subcubierta …nita (a
; a + a ), (b
b ; b + ),
(x1
x1 ; x1 + x1 ), (x2
x2 ; x2 + x2 ), . . . , (xn
xn ; xn + xn ). Tomando a, b y los extremos de los intervalos de esta subcubierta …nita (excepto a
y b + ) formamos una partición P = fa = y0 < y1 <
< ym = bg de [a; b]. Obviamente cada subintervalo (yk 1 ; yk ),
con k 2 f1; 2; : : : ; ng, está contenido en algún intervalo de la subcubierta …nita, por lo tanto,
g es de variación acotada en cada uno de los intervalos [yk 1 ; yk ] y, entonces, es de variación
acotada en [a; b].
Proposición 4.5. Sea g : [a; b] ! R una función acotada que no es de variación acotada
en [a; b]. Entonces existe w 2 [a; b] para el cual se cumple alguna de las dos condiciones
siguientes:
a) Existe una sucesión decreciente (yn )n2f0;1;:::g de números reales en [a; b] tal que:
i) y0 = b.
ii) l mn 1 yn = w.
P
iii) 1
n=1 jg (yn 1 )
g (yn )j = 1.
4.3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA E INTEGRABILIDAD DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
115
b) Existe una sucesión creciente (xn )n2f0;1;:::g de números reales en [a; b] tal que:
i) x0 = a.
ii) l mn 1 xn = w.
P
iii) 1
g (xn 1 )j = 1.
n=1 jg (xn )
Demostración
Como g no es de variación acotada en [a; b], existe w 2 [a; b] tal que g no es de variación
acotada en w.
Si w = a, entonces, dada cualquier
Si w = b, entonces dada cualquier
2 (0; b
2 (0; b
a], g no es de variación acotada en [a; a + ].
a], g no es de variación acotada en [b
Si w 2 (a; b) y existe 0 2 (0; w a] tal que g es de variación acotada en [w
dada cualquier 2 (0; b w], g no es de variación acotada en [w; w + ].
0 ; w],
Si w 2 (a; b) y existe 0 2 (0; b w] tal que g es de variación acotada en [w; w +
dada cualquier 2 (0; w a], g no es de variación acotada en [w
; w].
0 ],
; b].
entonces
entonces
Los cuatro casos anteriores se pueden reducir a los dos siguientes:
1) w 2 [a; b) y dada cualquier
2 (0; b
2) w 2 (a; b] y dada cualquier
2 (0; w
w], g no es de variación acotada en [w; w + ].
a], g no es de variación acotada en [w
; w].
En el primer caso se cumple la condición a de la proposición; en el segundo se cumple la
condición b. Las demostraciones de estas dos aseveraciones son similares; demostremos la
segunda.
Supongamos entonces que w 2 (a; b] y que dada cualquier
acotada en [w
; w].
2 (0; w
a], g no es de variación
Vamos a demostrar primero que existe una sucesión creciente (zn )n2f0;1;:::g de números reales
en [a; b] tal que:
i) z0 = a.
ii) l mn
1 zn
= w.
iii) Para cada n 2 f0; 1; : : :g, existe una partición Pn del intervalo [zn ; zn+1 ] tal que Vg (Pn ) >
1.
De…namos M = sup fjg (x)j : x 2 [a; b]g y z0 = a.
Paso 0. Como g no es de variación acotada en [z0 ; w], existe una partición:
116
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
Q0 = fz0 = u0;0 < u0;1 <
< u0;m0 = wg
tal que:
Vg (Q0 ) > 2M + 1 y w
De…namos z1 = u0;m0
Si Vg (P0 )
u0;m0
1
1
< 21 .
y llamemos P0 a la partición Q0 restringida al intervalo [z0 ; z1 ].
1, se tendría:
Vg (Q0 ) = Vg (P0 ) + jg (w)
1 + 2M ,
g (z1 )j
lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, Vg (P0 ) > 1.
Paso 1. Como g no es de variación acotada en [z1 ; w], existe una partición:
Q1 = fz1 = u1;0 < u1;1 <
< u1;m1 = wg
tal que:
Vg (Q1 ) > 2M + 1 y w
De…namos z2 = u1;m1
Si Vg (P1 )
u1;m1
1
1
<
1
.
22
y llamemos P1 a la partición Q1 restringida al intervalo [z1 ; z2 ].
1, se tendría:
Vg (Q1 ) = Vg (P1 ) + jg (w)
g (z2 )j
1 + 2M ,
lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, Vg (P1 ) > 1.
Continuando con este procedimiento hasta el paso k, tendremos de…nido el conjunto
fz0 ; z1 ; : : : ; zk+1 g
de tal forma que:
a = z0 < z1 <
< zk+1 < w,
Para j 2 f1; 2; : : : ; k + 1g, w
zj <
1
,
2j
Para cada j 2 f0; 1; 2; : : : ; kg, existe una partición Pj del intervalo [zj ; zj+1 ] tal que Vg (Pj ) >
1,
Paso k + 1. Como g no es de variación acotada en [zk+1 ; w], existe una partición:
Qk+1 = zk+1 = uk+1;0 < uk+1;1 <
< uk+1;mk+1 = w
4.3. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA E INTEGRABILIDAD DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
117
tal que:
Vg (Qk+1 ) > 2M + 1 y w
uk+1;mk+1
De…namos zk+2 = uk+1;mk+1
[zk+1 ; zk+2 ].
Si Vg (Pk+1 )
1
1
<
1
.
2k+2
y llamemos Pk+1 a la partición Qk+1 restringida al intervalo
1, se tendría:
Vg (Qk+1 ) = Vg (Pk+1 ) + jg (w)
g (zk+2 )j
1 + 2M ,
lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, Vg (Pk+1 ) > 1.
Por el principio de inducción matemática, para cada n 2 f0; 1; : : :g, existe zn+1 2 [a; b] tal
que:
a = z0 < z1 <
w
zn+1 <
< zn+1 < w,
1
,
2n+1
Existe una partición Pn del intervalo [zn ; zn+1 ] tal que Vg (Pn ) > 1.
Los puntos de la unión [1
n=0 Pn , ordenados en forma creciente, constituyen una sucesión
(xn )n2f0;1;:::g de números reales en [a; b] tal que x0 = a, l mn 1 xn = w y:
P
P1
g (xn 1 )j = 1
n=0 Vg (Pn ) = 1.
n=1 jg (xn )
P
Lema 4.1. Sea (an )n2N una sucesión de números reales no negativos tales que 1
n=1 an =
1. Entonces existe
una
sucesión
no
creciente
(c
)
de
números
reales
positivos
tales
que
n
n2N
P1
l mn!1 cn = 0 y n=1 cn an = 1.
Demostración
Para cada n 2 N, de…namos sn =
Pn
k=1
ak .
Sea aN el primer elemento positivo de la sucesión (an )n2N , entonces, para k 2 f1; : : : ; N g
de…namos ck = a1N y, para k 2 fN + 1; N + 2; : : :g, ck = s1k .
P
También, para cada n 2 N, de…namos tn = nk=1 ck ak .
Si n; m 2 N y n > m, se tiene:
P
Pn
tn tm = nk=m+1 ck ak
k=m+1 cn ak = cn (sn
sm ) = 1
sm
.
sn
Como l mn 1 sn = 1, …jando m podemos tomar n su…cientemente grande de tal manera
que sn > 2sm , en cuyo caso se tiene:
118
tn
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
tm
1
sm
sn
> 12 .
En otras palabras, dado m 2 N, existe n 2 N tal que n > m y tn
tm > 21 .
Por lo tanto, la sucesión no decreciente (tn )n2N no es de Cauchy, así que no converge y
entonces:
P1
n=1 cn an = l mn 1 tn = 1.
Teorema 4.11. Sea g : [a; b] ! R una función acotada que no es de variación acotada en
[a; b]. Entonces existe una función continua f : [a; b] ! R la cual no es Riemann-Stieltjes
integrable con respecto a g.
Demostración
Sabemos que existe w 2 [a; b] para el cual se cumple alguna de las dos condiciones de la
proposición anterior; supongamos que se cumple la segunda (así que w 2 (a; b]) y consideremos una sucesión creciente (xn )n2f0;1;:::g de números reales en [a; b] tal que x0 = a,
P
g (xn 1 )j = 1.
l mn!1 xn = w y 1
n=1 jg (xn )
Consideremos también una sucesión no creciente (cn )n2N de números reales positivos tales
que l mn 1 cn = 0 y:
P1
g (xn 1 )j = 1.
n=1 cn jg (xn )
De…namos f : [a; b] ! R de la siguiente manera:
1
, f (x) = a0 x + b0 , de tal manera que:
Para x 2 a; x0 +x
2
f (a) = 0,
1
f ( x0 +x
)=
2
c1
c1
si g (x1 )
si g (x1 )
Para cada k 2 N y x 2
f ( xk
1 +xk
2
)=
f ( xk +x2 k+1 ) =
xk
g (x0 ) 0
g (x0 ) < 0
1 +xk
2
ck
si g (xk )
ck si g (xk )
; xk +x2 k+1 , f (x) = ak x + bk , de tal manera que:
g (xk 1 ) 0
g (xk 1 ) < 0
ck+1
si g (xk+1 )
ck+1 si g (xk+1 )
g (xk ) 0
g (xk ) < 0
Para x 2 [w; b], f (x) = 0.
Dada una partición P = fv0 ; v1 ; : : : ; vN g de [a; b] y M > 0, de…namos:
r = max fj 2 f0; 1; 2; : : : ; N g : vj < wg,
4.4. FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES
s = m{n fj 2 f1; 2; : : :g : xj > vr g,
P
S = rj=1 f (vj 1 ) [g (vj ) g (vj 1 )] + f (vr ) [g (xs )
PkM
kM 2 N tal que
n=s+1 cn
jg (xn )
g (vr )],
g (xn 1 )j > M
S,
P 0 = fv0 ; : : : ; vr ; xs ; : : : ; xkM ; w; vr+1 ; : : : ; vN g,
P
S (P 0 ; f; g) = rj=1 f (vj 1 ) [g (vj ) g (vj 1 )] + f (vr ) [g (xs )
+
PkM
j=s+1
f(
xj
1 +xj
2
+f (w) [g (vr+1 )
) [g (xj )
g (w)] +
donde una sumatoria
Entonces:
Pi2
g (xj 1 )] + f (w) [g (w)
PN
j=i1
1
j=r+1
f (vj ) [g (vj+1 )
119
g (vr )]
g (xkM )]
g (vj )]
se toma igual a cero cuando i2 < i1 .
a) P 0 es un re…namiento de P .
b) S (P 0 ; f; g) es una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, correspondiente a la
particion P 0 .
PM
cj jg (xj ) g (xj 1 )j > M .
c) S (P 0 ; f; g) = S + kj=s+1
Por lo tanto, no existe I 2 R tal que para cualquier " > 0 existe una particion P del intervalo
[a; b] tal que jS(P 0 ; f; g) Ij < " para cualquier particion P 0 que sea un re…namiento de P
y cualquier suma de Riemann-Stieltjes S(P 0 ; f; g) de f con respecto a g, correspondiente a
la particion P 0 . Así que f no es integrable con respecto a g.
Corolario 4.3. Si toda función continua f : [a; b] ! R es integrable con respecto a la
función acotada g : [a; b] ! R, entonces g es de variación acotada.
4.4. Fórmula de integración por partes
La fórmula de integración por partes es importante no únicamente como fórmula técnica que
permite expresar la integral de una función f con respecto a g en términos de la integral
de g con respecto a f . Una parte muy importante del resultado es que si una función
f es integrable con respecto a una función g, entonces g es integrable con respecto a f .
Esto permite a…rmar, por ejemplo, que toda función de variación acotada es integrable con
respecto a cualquier función continua.
Teorema 4.12. Sean f : [a; b] ! R y g : [a; b] ! R dos funciones acotadas y supongamos
que f es integrable con respecto a g, entonces g es integrable con respecto a f y, además, se
tiene:
120
Rb
a
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
gdf = g(b)f (b)
Rb
g(a)f (a)
a
Demostración
f dg.
Rb
Dada " > 0, sea P" una partición del intervalo [a; b] tal que S(P; f; g)
f dg < "
a
para cualquier partición P que sea un re…namiento de P" y cualquier suma de RiemannStieltjes S(P; f; g) de f con respecto a g, correspondiente a la particion P . Sea entonces
P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g un re…namiento de P" y consideremos ahora una suma de RiemannStieltjes S(P; g; f ) de g con respecto a f , correspondiente a la particion P :
P
S(P; g; f ) = nk=1 g( k ) [f (xk ) f (xk 1 )],
la cual tambien puede escribirse en la forma siguiente
P
S(P; g; f ) = nk=1 g( k ) [f (xk ) f (xk 1 )]
P
= nk=11 f (xk ) g( k ) g( k+1 ) + f (xn )g( n ) f (x0 )g( 1 )
P
= nk=11 f (xk ) g( k ) g(xk ) + g(xk ) g( k+1 ) + f (xn )g( n ) f (x0 )g( 1 )
P
= nk=11 f (xk ) [g( k ) g(xk )] + f (xk ) g(xk ) g( k+1 ) + f (xn )g( n ) f (x0 )g( 1 )
= f (xn )g(xn ) f (x0 )g(x0 ) f (x0 ) [g( 1 )
Pn 1
g( k )] + f (xk ) g(
k=1 f (xk ) [g(xk )
= f (xn )g(xn )
f (x0 )g(x0 )
donde P 0 = fa = x0
1
g(x0 )]
k+1 )
g(xk )
S(P 0 ; f; g) = f (b)g(b)
x1
x2
2
xn
f (a)g(a)
1
Como P 0 es un re…namiento de P" , se tiene S(P 0 ; f; g)
S(P; g; f )
h
f (b)g(b)
f (a)g(a)
Rb
a
f dg
i
< ".
f (xn ) [g(xn )
n
Rb
a
g( n )]
S(P 0 ; f; g),
xn = bg.
f dg < "; es decir:
Por lo tanto g es integrable con respecto a f y:
Rb
Rb
gdf = f (b)g(b) f (a)g(a)
f dg.
a
a
Corolario 4.4. Si f : [a; b] ! R es continua, entonces toda función de variación acotada
es integrable con respecto a f .
El siguiente resultado es el equivalente al Teorema Fundamental del Cálculo que se demuestra para la integral de Riemann. Además, muestra que el espacio vectorial formado por las
funciones de variación acotada en un intervalo cerrado y acotado es cerrado bajo la composición de cualquier elemento de ese espacio con una función de clase C 1 . Esto extiende
algunas propiedades que se demostraron en la segunda sección de este capítulo. Por ejemplo,
4.4. FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES
121
se demostró que si g : [a; b] ! R es de variación acotada, entonces g 2 también lo es. Con base
en el siguiente teorema podemos a…rmar que, si g es continua, hay muchas otras funciones
de g que siguen siendo de variación acotada: la composición de cualquier función de clase C 1
con g.
Teorema 4.13. Sea g : [a; b] ! R una función continua de variación acotada y F : R ! R
una función de clase C 1 , entonces F g es de variación acotada y:
Rt
F (g (t)) = F (g (a)) + a F 0 (g (s))dg (s)
para cualquier t 2 [a; b].
Demostración
Se tiene:
Rt 0
g (s) dg (s) = g (t)
a
g (a).
Supongamos que:
Rt k
1
g (s) dg (s) = k+1
g k+1 (t)
a
1
g k+1
k+1
(a)
para cualquier t 2 [a; b], donde k 2 f0; 1; 2; : : :g.
Entonces:
g k+1 (t) = g k+1 (a) + (k + 1)
para cualquier t 2 [a; b].
Rt
a
g k (s) dg (s)
En particular, g k+1 es continua y de variación acotada. Así que, por la fórmula de integración
por partes, se tiene, para cualquier t 2 [a; b]:
Rt
Rt
g k+2 (t) = g k+1 (t) g (t) = g k+1 (a) g (a) + a g k+1 (s) dg (s) + a g (s) dg k+1 (s)
Rt
Rt
= g k+2 (a) + a g k+1 (s) dg (s) + (k + 1) a g (s) g k (s) dg (s)
Rt
= g k+2 (a) + (k + 2) a g k+1 (s) dg (s).
Así que, por el principio de inducción matemática:
Rt n
1
1
g (s) dg (s) = n+1
g n+1 (t) n+1
g n+1 (a)
a
para cualquier n 2 f0; 1; 2; : : :g y cualquier t 2 [a; b].
Por lo tanto:
g n (t) = g n (a) + n
Rt
0
gn
1
(s) dg (s)
para cualquier n 2 N y cualquier t 2 [a; b].
122
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
P
Sea p : R ! R un polinomio dado por p (x) = nk=0 ak xk , donde n 2 N. Entonces, por la
linealidad de la integral:
i
Rt k 1
Pn
Pn h k
k
(s) dg (s)
p(g (t)) = k=0 ak g (t) = a0 + k=1 ak g (a) + k 0 g
= p(g (a)) +
Rt
a
p0 (g (s))dg (s).
Sea M = sup fjg (x)j : x 2 [a; b]g.
Tomemos dos números reales c y d de tal forma que c < M y d > M , y de…namos las
funciones Fc : R ! R, Fd : R ! R y G : R ! R de la siguiente manera:
h
i
F ( M)
(c+M )F 0 ( M )+2F ( M )
Fc (x) = (c+M
+
(x
+
M
)
(x c)2 ,
)2
(c+M )3
Fd (x) =
h
F (M )
(d M )2
8
F (x)
>
>
< c
F (x)
G(x) =
Fd (x)
>
>
: 0
+
(d M )F 0 (M )+2F (M )
(d M )3
(x
si x 2 [c; M )
si x 2 [ M; M ]
si x 2 (M; d]
en otro caso
i
M ) (x
d)2 ,
G es de clase C 1 y nula fuera del intervalo (c; d), así que existe una sucesión (pn )n2N de
polinomios pn : R ! R tales que (pn )n2N y (p0n )n2N convergen uniformente a G y G0 , respectivamente, en el intervalo (c; d).
Además, G (x) = F (x) y G0 (x) = F 0 (x) para cualquier x 2 [ M; M ].
Para cada n 2 N, se tiene:
Rt
pn (g (t)) = pn (g (a)) + a p0n (g (s))dg (s).
Así que, tomando límites cuando n
1, se obtiene:
Rt
F (g (t)) = F (g (a)) + a F 0 (g (s))dg (s)
para cualquier t 2 [a; b].
4.5. Integración de funciones discontinuas
No únicamente las funciones continuas son integrables con respecto a una función de variación
acotada.
Ejemplo 4.1. Si g : [a; b] ! R es una función escalonada, fx0 ; x1 ; : : : ; xn g es una partición
del intervalo [a; b] tal que, para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ng, la función g es igual a una
4.5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DISCONTINUAS
123
constante cj en el intervalo (xj 1 ; xj ) y f : [a; b] ! R es una función acotada y continua en
fx0 ; x1 ; : : : ; xn g, entonces f y g son integrables, una con respecto a la otra, y se tiene:
Rb
P
gdf = nj=1 cj [f (xj ) f (xj 1 )],
a
Rb
a
f dg = f (a) [g(a+)
g(a)] +
Pn
1
j=1
f (xj ) [g(xj +)
g(xj )] + f (b) [g(b)
g(b )].
En efecto, como f es continua en fx0 ; x1 ; : : : ; xn g, si x 2 fx0 ; x1 ; : : : ; xn g y h = Ifxg , entonces
Rb
h es integrable con respecto a f y a hdf = 0. También, si hj = I(xj 1 ;xj ) , donde j 2
Rb
f1; 2; : : : ; ng, entonces hj es integrable con respecto a f y a hj df = f (xj ) f (xj 1 ).
P
P
Por otra parte, g = nj=1 g (xj ) Ifxj g + nj=1 cj I(xj 1 ;xj ) , así que g es integrable con respecto
a f y se tiene:
Rb
P
gdf = nj=1 cj [f (xj ) f (xj 1 )],
a
Rb
= f (b)g(b)
Rb
f (a)g(a)
gdf
a
Pn
f (a)g(a)
j=1 cj [f (xj )
= f (a) (c1
g(a)) +
a
f dg = f (b)g(b)
= f (b)g(b)
= f (a) [g(a+)
Pn
j=1 cj f (xj )
f (a)g(a)
Pn
1
j=1
g(a)] +
f (xj ) (cj+1
Pn
1
j=1
+
f (xj 1 )]
Pn
1
j=0 cj+1 f (xj )
cj ) + f (b) (g(b)
f (xj ) [g(xj +)
cn )
g(xj )] + f (b) [g(b)
g(b )].
Proposición 4.6. Si g : [a; b] ! R es una función no decreciente, continua por la derecha
y que crece únicamente mediante saltos y f : [a; b] ! R es una función acotada y continua
por la izquierda
donde g es discontinua, entonces f es integrable con respecto
R ben los puntos
P
a g y se tiene a f dg = fx2Dg f (x) [g(x) g(x )], donde D es el conjunto de puntos en el
intervalo (a; b] donde g es discontinua.
Demostración
Si g es constante, el resultado es trivial ya que si g = c, entonces
Supongamos entonces que g no es constante.
Rb
a
f dg = 0.
Sea D = fx1 ; x2 ; : : :g el conjunto de puntos en el intervalo (a; b] donde g es discontinua y M
una cota positiva se jf j.
P
Como fx2Dg [g (x) g (x )] f (b) f (a), existe N 2 N tal que:
P1
"
g (xj )] < 4M
.
j=N +1 [g (xj )
Sean z1 ; z2 ; : : : ; zN los elementos del conjunto fx1 ; x2 ; : : : ; xN g, ordenados del menor al mayor
y de…namos x0 = a.
124
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
Para j 2 f1; 2; : : : ; N g, tomemos h 2 (0; m n fzj
jf (y)
zj
1
: j 2 f1; 2; : : : ; N gg) tal que:
"
2[g(b) g(a)]
f (zj )j <
para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; N g y y 2 [zj
h; zj ].
Sea P" = fx0 ; z1 h; z1 ; z2 h; z2 ; : : : ; zN h; zN ; bg = fy0 ; y1 ; : : : ; ym g ; P = fu0 ; u1 ; : : : ; un g
un re…namiento de P" y, para cada j 2 f1; 2; : : : ; N g, yj el elemento de P más cercano a zj
por la izquierda. Como g crece únicamente mediante saltos, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, se
tiene:
P
g (uj ) g (uj 1 ) = fx2D:x2(a;b]g [g(x) g(x )].
De…namos:
H = f[uj 1 ; uj ] : j 2 f1; 2; : : : ; ngg f[yj ; zj ] : j 2 f1; 2; : : : ; ngg.
P
Sea S (P; f; g) = nj=1 f ( j ) [g (uj ) g (uj 1 )] una suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, correspondiente a la particion P .
Entonces:
S (P; f; g) =
Por lo tanto:
S(P; f; g)
P
P
fj2f1;2;:::;ng:[uj
P
fx2Dg
fj2f1;2;:::;ng:[uj
+
=
+
+
+
1 ;uj ]2Hg
j=1 f ( j ) [g (zj )
fj2f1;2;:::;ng:[uj
P1
j=N +1
PN
j=1
PN
j=1
=
f (x) [g(x)
PN
P
P
fj2f1;2;:::;ng:[uj
j=N +1
PN
P1
g (uj 1 )]
j=N +1
f (zj ) [g(zj )
P
fx2D:x2(uj
PN
j=1
f ( j ) [g (zj )
1 ;uj ]g
f (xj ) [g(xj )
g(zj )]
[g(x)
g(x )]
g(xj )]
[g(x)
g(x )] +
g(zj )]
1 ;uj ]2Hg
f (xj ) [g(xj )
g (uj 1 )] +
f ( j)
g (yj )].
g(x )]
j=1
f ( j)
fx2D:x2(yj ;zj )g
f (zj ) [g(zj )
P
P1
1 ;uj ]2Hg
f ( j ) [g (uj )
f ( j ) [g (uj )
g (yj )]
f (xj ) [g(xj )
f ( j)
1 ;uj ]2Hg
P
g(xj )]
fx2D:x2(uj
PN
1 ;uj ]g
j=1
f ( j ) [g(zj )
[g(x)
g(x )]
g(zj )]
g(xj )]
4.5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DISCONTINUAS
+
PN
j=1
M
+M
f ( j)
P
fx2D:x2(yj ;zj )g
fj2f1;2;:::;ng:[uj
PN P
2M
P
j=1
P1
fx2D:x2(yj ;zj )g
j=N +1
"
+
< 2M 4M
1 ;uj ]2Hg
"
2
[g (xj )
[g(x)
P
g(x )] +
fx2D:x2(uj
[g(x)
1 ;uj ]g
g(x )] +
g (xj )] +
PN
j=1
[g(x)
"
2[g(b) g(a)]
"
2[g(b) g(a)]
[g (b)
f ( j)
f (zj ) [g(zj )
g(x )] + M
PN
j=1
[g(zj )
P1
j=N +1
125
g(zj )]
[g (xj )
g (xj )]
g(zj )]
g (a)]
= ".
De manera similar, se demuestra el siguiente resultado:
Proposición 4.7. Si g : [a; b] ! R es una función no decreciente, continua por la izquierda
y que crece únicamente mediante saltos y f : [a; b] ! R es una función acotada y continua
por la derecha
donde g es discontinua, entonces f es integrable con respecto a
R ben los puntos
P
g y se tiene a f dg = fx2Dg f (x) [g(x+) g(x)], donde D es el conjunto de puntos en el
intervalo [a; b) donde g es discontinua.
Corolario 4.5. Si f1 : [a; b] ! R es una función no decreciente y continua por la derecha
y f2 : [a; b] ! R es una función no decreciente y continua por la izquierda, entonces f1 y f2
son integrables una con respecto a la otra.
Demostración
Por los corolarios 3.14 y 3.15, f1 = f1d + f1c y f2 = f2i + f2c , donde f1c y f2c son funciones no
decrecientes y continuas, f1d es una función no decreciente, continua por la derecha, que crece
únicamente mediante saltos, y f2i es una función no decreciente, continua por la izquierda,
que crece únicamente mediante saltos.
Por la proposición 4.6, f2i + f2c es integrable con respecto a f1d y, por el corolario 4.4, es
integrable con respecto a f1c , así que f2 es integrable con respecto a f1 .
Finalmente, por el teorema 4.12, f1 es integrable con respecto a f2 .
Proposición 4.8. Si g1 : [a; b] ! R y g2 : [a; b] ! R son funciones de variación acotada, sin
discontinuidades en común del mismo lado, entonces g1 y g2 son integrables una con respecto
a la otra.
Demostración
Por el teorema 3.4, g1 = f1 h1 y g2 = f2 h2 , donde cada una de las parejas f1 ; h1 y
f1 ; h1 está formada por funciones no decrecientes que no tienen discontinuidades en común
del mismo lado.
Por la proposición 3.8, se tiene:
126
4. LA INTEGRAL DE STIELTJES
f1 = f1d + f1i + f1c ,
h1 = hd1 + hi1 + hc1 ,
f2 = f2d + f2i + f2c ,
h2 = hd2 + hi2 + hc2 ,
donde:
f1d , hd1 , f2d y hd2 son funciones no decrecientes, continuas por la derecha y que crecen únicamente mediante saltos.
f1i , hi1 , f2i y hi2 son funciones no decrecientes, continuas por la izquierda y quecrecen únicamente mediante saltos.
f1c , hc1 , f2c y hc2 son funciones no decrecientes y continuas.
Así que:
g1 = f1d
hd1 + (f1i
hi1 ) + (f1c
hc1 ),
g2 = f2d
hd2 + (f2i
hi2 ) + (f2c
hc2 ).
Por la proposición 4.6, f1i y hi1 son integrables con respecto a f2d y hd2 .
Por el corolario 4.7, f1d y hd1 son integrables con respecto a f2i y hi2 .
Por el corolario 4.4, f1d y hd1 son integrables con respecto a f2c y hc2 , y f1i y hi1 son integrables
con respecto a f2c y hc2 .
Por el teorema 4.2, f1c y hc1 son integrables con respecto a f2d , hd2 , f2i , hi2 , f2c y hc2 .
Además:
Para cualquier x 2 R, se tiene:
f2d (x)
f2d (x ) > 0 ) hd2 (x)
hd2 (x ) = 0,
hd2 (x)
hd2 (x ) > 0 ) f2d (x)
f2d (x ) = 0,
f2i (x+)
f2i (x) > 0 ) hi2 (x+)
hi2 (x+)
hi2 (x) > 0 ) f2i (x)
hi2 (x) = 0,
f2i (x ) = 0.
Así que:
f2d (x)
) g2 (x)
f2d (x ) > 0 ) (f2
h2 ) (x)
g2 (x ) > 0 ) g1 (x)
(f2
h2 ) (x ) > 0
g1 (x ) = 0 ) f1 (x)
f1 (x ) = 0 y h1 (x)
h1 (x ) = 0
4.5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DISCONTINUAS
f1d
hd1 (x ) = 0
) f1d
hd1 (x)
hd2 (x)
hd2 (x ) > 0 ) (f2
) g2 (x)
) f1d
f2i (x+)
(f1i
(f1i
g1 (x ) = 0 ) f1 (x)
h2 ) (x+)
f1 (x ) = 0 y h1 (x)
(f2
h1 (x ) = 0
h2 ) (x) > 0
g1 (x) = 0 ) f1 (x+)
h2 ) (x+)
g2 (x) < 0 ) g1 (x+)
hi1 ) (x+)
h2 ) (x ) < 0
f1 (x) = 0 y h1 (x+)
h1 (x) = 0
f1 (x) = 0 y h1 (x+)
h1 (x) = 0
hi1 ) (x) = 0
hi2 (x) > 0 ) (f2
) g2 (x+)
(f2
hd1 (x ) = 0
g2 (x) > 0 ) g1 (x+)
hi1 ) (x+)
hi2 (x+)
) (f1i
f1d
f2i (x) > 0 ) (f2
) g2 (x+)
) (f1i
h2 ) (x)
g2 (x ) < 0 ) g1 (x)
hd1 (x)
127
(f2
h2 ) (x) < 0
g1 (x) = 0 ) f1 (x+)
hi1 ) (x) = 0.
Así que, por la proposición 4.6, f1d hd1 es integrable con respecto a f2d y hd2 , y, por la
proposición 4.7, f1i hi1 es integrable con respecto a f2i y hi2 .
Por lo tanto, f1d hd1 + (f1i hi1 ) + (f1c hc1 ) es integrable con respecto a f2d , hd2 , f2i , hi2 ,
f2c y hc2 . Así que g1 es integrable con respecto a g2 . Finalmente, por el teorema 4.12, g2 es
integrable con respecto a g1 .
CAPÍTULO 5
TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
5.1. Introducción
La teoría de la medida y de la integración desarrollada por Lebesgue en su tesis doctoral
causó un gran impacto, e inmediatamente después de su publicación, el mismo Lebesgue y
otros investigadores comenzaron a uitilizarla en diferentes áreas, al mismo tiempo que se
daban nuevos resultados, ampliando la teoría, y se generalizaban los conceptos de…nidos por
Lebesgue.
En 1905 Giuseppe Vitali ([91]) demostró que no es posible asignar una
medida a todo conjunto acotado de números reales de tal manera que se
satisfagan las condiciones que pide Lebesgue. Este resultado planteaba
una disyuntiva, o bien se aceptan como razonables las condiciones de
Lebesgue y entonces se restringe la familia de conjuntos a los cuales
se les puede asignar una medida, o bien se buscan condiciones menos
restrictivas para la medida de tal manera que pueda de…nirse para cualquier conjunto acotado de números reales. Se realizaron varios estudios
al respecto, pero …nalmente el medio matemático optó por mantener
las condiciones de Lebesgue, aunque modi…cadas de tal manera que se
pudiera eliminar la invarianza bajo traslaciones. Una cosa interesante
del resultado de Vitali es que para demostrar la existencia de conjuntos
que no son Lebesgue medibles, utiliza el axioma de elección. Sin la utilización de este axioma y sin agregar algún otro postulado a los axiomas
de la matemática, no es posible demostrar la existencia de subconjuntos
de números reales que no sean Lebesgue medibles, aunque tampoco es
posible demostrar que todos los subconjuntos de números reales lo son
([85], [71]).
Después de que Lebesgue desarrolló su teoría de integración en R, se extendió al caso de Rn
sin mucha di…cultad. Ya en su libro de 1904, Lebesgue había esbozado el caso de R2 y en
1910 desarrolló el caso general multidimensional.
129
130
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
En 1913, Johann Karl August Radon ([76]) mostró que se puede desarrollar una teoría
general en la cual quedan incluidas la integral de Lebesgue en Rn y la integral de Stieltjes.
Fue a partir de este trabajo que Fréchet logró desarrollar una formulación aún más general,
de la cual surgiría la teoría general de la medida.
Radon introdujo el concepto de funcional aditiva sobre una familia de subconjuntos de Rn .
Una familia T , sobre la cual se de…niría una funcional aditiva, debía tener las siguientes
propiedades:
1. T contiene a todas las celdas acotadas de la forma [a1 ; b1 )
[a2 ; b2 )
2. Si E1 y E2 pertenecen a T , entonces E1 \ E2 = E1 \ E2 y E1
a T.
[an ; bn ).
E2 también ´pertenecen
3. Si (En )n2N es una sucesión de elementos de T , ajenos por parejas, entonces la unión de
ellos también pertenece a T .
Obsérvese que si T es una familia con estas propiedades, entonces Rn pertenece a T . En
efecto, Rn es la unión de todas las celdas de la forma [m1 ; m1 + 1) [m2 ; m2 + 1)
[mn ; mn + 1), donde m1 ; m2 ; : : : ; mn son números enteros. Así que T constituye lo que ahora
se conoce como -álgebra. Además, por la primera propiedad, T contiene a los conjuntos
borelianos de Rn .
Radon de…nió entonces una funcional aditiva como una función f : T ! R con la propiedad
de que, si (En )n2N es una sucesión de elementos de T , ajenos por parejas, entonces:
S1
P1
S
f( 1
n=1 f ( n=1 En ).
n=1 En ) =
Aún no se trataba de la de…nición general de una medida ya que Radon se restringió a
familias de subconjuntos de Rn que contienen a los conjuntos borelianos.
El concepto de funcional aditiva lo tomó Radon de un artículo de Lebesgue del año 1910
titulado L’intégration des fonctions discontinues ([60]), quien lo introdujo en el contexto
del estudio del problema de determinar bajo que condiciones una
R x función F : [a; b] ! R es
una integral inde…nida, es decir una función de la forma x ! a f (y) dy, donde f es una
función medible e integrable. Dentro de este estudio, Lebesgue tuvo la idea de considerar
una
R integral inde…nida como una función F que asigna a cada conjunto medible E la integral
f (P ) dP , donde f es una función medible e integrable y P representa un elemento de Rn .
E
Demostró entonces que, para una función así
de…nida, siP
(En )n2N es una sucesión de conjuntos
S1
medibles, ajenos por parejas, entonces F ( n=1 En ) = 1
n=1 F (En ). A una función con esta
propiedad, Lebesgue la denominó aditiva.
Siguiendo un procedimiento similar al de Lebesgue, Radon mostró que una función de…nida
sobre el conjunto de celdas se puede extender, bajo determinadas condiciones, a una función
aditiva.
Para el caso de Rn , La función inicial puede estar de…nida por:
5.1. INTRODUCCIÓN
f ([a1 ; b1 )
[a2 ; b2 )
[an ; bn )) =
Qn
k=1
(bk
131
ak )
Para el caso particular de R, la función inicial puede estar de…nida por:
f ([a; b)) = G (b)
G (a),
donde G es una función de variación acotada continua por la izquierda.
Finalmente, también siguiendo un procedimiento similar al de Lebesgue, Radon desarrolló
una teoría de integración para las funcionales aditivas.
Con base en el trabajo de Radon, Maurice René Fréchet extendió la teoría de la medida
de Lebesgue a espacios abstractos en un artículo de 1915 titulado Sur l’integrale d’une
fonctionnelle ètendue a un ensemble abstrait ([37]). Comenzó este artículo diciendo:
“M.
R J. Radon publicó recientemente (1913) una de…nición de la integral
F (P ) dh (P ) de una función F (P ) de un punto P del espacio de
n dimensiones con respecto a una función de P , h (P ), de variación
acotada. Esta de…nición resulta de una especie de fusiòn de la integral
de Lebesgue y de la integral de Stieltjes. La de…nición de M. J. Radon
se reduce a la de M. Lebesgue cuando h es una función lineal y a la de
Stieltjes cuando F es una función continua. Por cierto, la integral de
Radon
puede tambièn escribirse:
R
F (P ) df (e),
E
donde f (e) es una función aditiva del subconjunto variable e de E.
Pero es bajo esta forma lo que me parece ser la gran ventaja de la
de…nición de M. J. Radon, ventaja que no parece que él haya notado.
M. J. Radon tenía como meta realizar un progreso en la teoría de funciones, uni…cando las de…niciones de Stieltjes y de M. Lebesgue. Pero,
de hecho, se nota que, con algunas ligeras modi…caciones, la de…nición
y las propiedades de la integral de M. Radon se extienden mucho màs
allá del Cálculo integral clàsico, son casi inmediatamente aplicables al
dominio in…nitamente más vasto del Cálculo Funcional.”
Recordemos que Fréchet es uno de los precursores del Análisis Funcional. En 1906 presentó su tesis doctoral bajo el tìtulo Sur quelques
points du calcul fonctionnelle ([36]), donde de…nió el concepto de
métrica para un conjunto cualquiera. En su tesis doctoral y en trabajos
posteriores desarrolló la teoría de los espacios métricos y en particular
los espacios de funciones donde se puede de…nir una métrica, por ejemplo el conjunto de las funciones de cuadrado integrable con la métrica
1
Rb
2
de…nida por d (f; g) = a [f (x) g (x)]2 dx .
132
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
En su artículo de 1915, Fréchet remarcaba que un conjunto es un conjunto abstracto cuando no conocemos la naturaleza de sus elementos o,
lo que es lo mismo, cuando la naturaleza de sus elementos no interviene
en los razonamientos que nos proponemos hacer sobre ese conjunto.
De…nió una familia aditiva de conjuntos como una familia de conjuntos
cerrada bajo diferencias y uniones …nitas o in…nito numerables.
Obsérvese que una familia aditiva es cerrada bajo intersecciones …nitas o in…nito numerables.
En efecto, si E1 ; E2 ; : : : es una colección …nita o in…nita numerable de elementos de la familia
y E es su unión, entonces:
T
S
En ).
n En = E
n (E
La única condición que hace falta para tener una -álgebra es que el
conjunto total sea parte de la familia.
En seguida de…nió básicamente lo que después se llamaría una medida
(incluyendo el caso de las medidas con signo):
Si = es una familia aditiva y f es una función con valores reales, de…nida
sobre =, se dice que f es aditiva si dada cualquier colección …nita o
in…nita numerable, E1 ; E2 ; : : :, de elementos de =, ajenos por parejas,
entonces:
P
S
f ( n En ) = n f (En ).
Si E1 ; E2 ; : : : es una familia in…nita numerable cualquiera, formada por elementos de = ajenos
por parejas, sean F1 ; F2 ; : : : los elementos de esa familia tales que f aplicada a cualquiera de
ellos es un número real no negativo, y sean G1 ; G2 ; : : : los elementos de esa familia tales que
f aplicada a cualquiera de ellos es un número real negativo. Se tiene entonces:
P
S
f ( n Fn ) = n f (Fn ).
S
P
P
f ( n Gn ) = n f (Gn ) =
n jf (Gn )j.
P
P
Así que las series n f (Fn ) y n jf (Gn )j son convergentes.
P
P
Por lo tanto, la serie n jf (En )j es convergente; es decir, la serie n f (En ) es absolutamente
convergente.
Finalmente, Fréchet de…nió la integral con respecto a una funciòn aditiva utilizando el método de Darboux, el cual consiste en de…nir la
integral superior y la integral inferior.
En su artículo de 1923, al cual le siguió uno de 1924, Fréchet desarrolló
aún más su teoría iniciada en 1915, quedando así ya establecido lo
esencial de lo que posteriormente se llamaría la teoría de la medida y
la teoría de integración con respecto a una medida.
5.1. INTRODUCCIÓN
133
Previamente, en el año 1914, Constantin Carathéodory, en un artículo titulado Über das
lineare Mass von Punktmengen - eine Verallgemeinerung des Längenbegri¤s (Sobre la medida lineal de los conjuntos de puntos- una generalización del concepto de longitud) ([16]),
estableció un método para de…nir una medida a partir de una medida exterior en Rn , el cual,
prácticamente sin modi…caciòn, se puede utilizar para de…nir una medida a partir de una
medida exterior de…nida sobre los subconjuntos de un conjunto cualquiera.
Una medida exterior me es una función de…nida sobre todos los subconjuntos de un conjunto F , la cual satisface las siguientes propiedades:
me (;) = 0,
Si AS B, entonces
P1me (A) me (B),
1
me ( n=1 An )
n=1 me (An ),
Teniendo una medida exterior, se dice que un conjunto E
F es
medible si satisface la siguiente propiedad:
me (A) = me (A \ E) + me (A \ E c )
para cualquier conjunto A F .
El método de Carathéodory es el que quedó como estándar para de…nir una medida.
Podría decirse que el ciclo de investigación alrededor de los conceptos de medida y de integral
con respecto a una medida, así como de sus propiedades básicas, se cerró con el trabajo de
Otton Nikodym de 1930 ([73]), donde prácticamente expuso la formulación moderna de la
teoría de la medida y de la teoría de la integración con respecto a una medida.
El camino seguido para llegar a esta formulación siguió …elmente la metodología de Lebesgue.
Recordemos en síntesis como se dió el proceso: El problema central
que trató Lebesgue fue el de la integración de funciones; así venía la
historia desde que Cauchy formuló la de…nición de la integral para
las funciones continuas; después vino el trabajo de Riemann, el cual
marcó el camino posterior, siempre en la línea de resolver el problema
de la integración de funciones. En las investigaciones alrededor de las
condiciones para que una función sea Riemann-integrable surgió el concepto de contenido de un conjunto, lo cual fue ampliamente desarrollado por Jordan, mostrando que la teoría de integración se encuentra
estrechamente vinculada con la teoría del contenido. Siguiendo este
camino, Lebesgue encontró que, generalizando la teoría del contenido,
para tener una familia más grande de subconjuntos de R a los cuales
cuales se les puede asignar una medida, se obtiene también una generalización de la integral de Riemann, ampliando así la familia de funciones
integrables.
Sin embargo, lo anterior es únicamente parte de la historia. No hay que olvidar que el objetivo de Lebesgue era resolver el problema de la integración de funciones. Para ello, se planteó
134
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
el problema de encontrar una de…nición de la integral, la cual cumpliera determinadas condiciones (las 6 que mencionamos en el capítulo 1). Planteado de esta manera, algunos vieron
el problema como uno de Análisis Funcional. Esta línea fue desarrollada por Frédéric Riesz
([78], [79], [80]), y, sobre todo, por Perci John Daniell en 4 artículos publicados entre 1918
y 1920 ([21], [22], [23], [24]), donde el problema de la integral lo planteó como un problema
de extensión de una funcional lineal, por ejemplo la extensión de la funcional que asigna a
cada función continua en un intervalo su integral (de Riemann) en ese intervalo. Con este
enfoque logró de…nir el concepto de integral en espacios de dimensión in…nita sin necesidad
de construir una medida. En particular, su método fue utilizado por Norbert Wiener para
construir un modelo matemático del movimiento browniano, aunque actualmente la manera
usual de construir ese modelo es utilizando la teoría de la medida.
En este libro seguiremos el primer enfoque, así que a continuación expondremos la formulación moderna de la Teoría de la Medida.
5.2. Medidas sobre álgebras y -álgebras
Si analizamos la medida de…nida por Lebesgue, podemos ver que lo que obtuvo fue una
función no negativa y -aditiva de…nida sobre una -álgebra de subconjuntos de R. Esta
idea queda recogida en la siguiente de…nición, con el agregado de que la medida del vacío
es cero, propiedad que tiene la medida de Lebesgue y cualquier función no negativa y
-aditiva de…nida sobre una -álgebra de subconjuntos de un conjunto dado para la cual
exista un elemento E de la -álgebra tal que (E) < 1. En otras palabras, la condición
(;) = 0 es únicamente para excluir como medida a una función que asigne a todo elemento
de la -álgebra el valor 1.
Definición 5.1. Sea F un conjunto y = una -álgebra de subconjuntos de F. Se dice que
una función no negativa : = 7! R es una medida si es -aditiva y (;) = 0.
Definición 5.2. Llamaremos espacio de medida a una terna (F; =; ) donde F es un conjunto, = una -álgebra de subconjuntos de F y : = 7! R una medida.
Definición 5.3. Sea (F; =; ) un espacio de medida. Diremos que es …nita si (F) < 1.
Diremos que Ses -…nita si existe una colección in…nita numerable de conjuntos Ek 2 =
tales que F = 1
(Ek ) < 1 para cualquier k.
k=1 Ek y
S
Si es -…nita, los conjuntos Ek 2 = tales que F = 1
(Ek ) < 1 para cualquier
k=1 Ek y
k, pueden escogerse
de tal forma que sean ajenos por parejas. En efecto, los conjuntos
Sk 1
0
Ek0 = Ek
E
(Ek0 ) < 1 para cualquier k, y
j=1 j son ajenos por parejas, Ek 2 = y
S1
F = k=1 Ek0 . También pueden elegirse los conjuntos Ek de tal forma que la sucesión S
(Ek )k2N
sea creciente. En efecto, si se tiene una sucesión de conjuntos Ek 2 = tales que F = 1
E
Skk=1 k
0
y (Ek ) < 1 para cualquier k, entonces, de…niendo, para cualquier k 2 N, Ek = j=1 Ej ,
0
la sucesión Ek k2N es creciente y tiene la misma propiedad.
5.2. MEDIDAS SOBRE ÁLGEBRAS Y
-ÁLGEBRAS
135
En general, una medida se obtiene de…niéndola primero para una familia de subconjuntos de
un conjunto que no necesariamente forma una -álgebra; después se extiende a una familia
más grande siguiendo el método de Lebesgue. Lo más común es buscar de…nirla sobre un
álgebra de subconjuntos de un conjunto y después extenderla a la -álgebra generada por
esa álgebra.
En el caso de la medida de Lebesgue, se puede ver que la propiedad básica que permite la
extensión de la medida de…nida sobre los intervalos es el lema 2.1. En el caso general, la
propiedad básica que permite extender una medida sobre un álgebra es la -subaditividad
de esa medida.
Definición 5.4. Sea F un conjunto y A un álgebra de subconjuntos de F. Se dice que
una función no negativa
: A 7! R es -subaditiva, o que satisface la propiedad de la
subaditividad
S numerable, si dada cualquier colección in…nita A1 ; A2 ; : : : de elementos de A
tales que 1
n=1 An 2 A, entonces:
P1
S
( 1
n=1 (An ).
n=1 An )
Definición 5.5. Sea F un conjunto y A un álgebra de subconjuntos de F. Diremos que una
función no negativa : A 7! R es una quasi medida si es …nitamente aditiva, -subaditiva
y (;) = 0.
Como lo mencionamos antes, la condición de -subaditividad de una quasi medida de…nida
sobre un álgebra A es la propiedad básica que se tiene que demostrar para poder extender
esa medida a la -álgebra generada por A. Para ese …n los siguientes dos resultados son
útiles pues dan condiciones equivalentes de tal propiedad.
Teorema 5.1. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y : A ! R una función no negativa y …nitamente aditiva, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:
(i) es -subaditiva.
(ii) es -aditiva.
(iii) Para cualquier
colección in…nitaSA1 ; A2 ; : : : de elementos de A tales que A1
S
A
2
A, se tiene ( 1
::: y 1
n=1 n
n=1 An ) = l mn 1 (An ).
A2
Demostración
i () ii
Supongamos que es -subaditiva ySsea A1 ; A2 ; : : : una colección numerable de elementos
de A, ajenos por parejas y tales que j Aj 2 A. Se tiene:
S
Pn
S
P1
( j Aj )
k=1 (Aj ) para cualquier n 2 N, así que ( j Aj )
k=1 (Aj ).
Por lo tanto,
es -aditiva.
Supongamos ahora
A1 ; A2 ; : : : una colección
numerable
de elementos
S que es -aditiva y sea S
S
S
n 1
de A tales que j Aj 2 A. Sea Bn = An
j=1 Aj , entonces
j Aj =
j Bj , así que:
136
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
S
S
P
( j Aj ) = ( j Bj ) = 1
k=1 (Bj )
ii =) iii
P1
k=1
(Aj ).
Supongamos que S es -aditiva y sea A1 ; A2 ; : : : una colección de elementos de A tales que
A1 A2 : : : y 1
n=1 An 2 A.
Si (Ak ) = 1 para alguna k 2 N, el resultado es inmediato. Supongamos entonces que
(Ak ) < 1 para cualquier k 2 N. Se tiene entonces:
S1
A1 ) [ (A3 A2 ) [
.
n=1 An = A1 [ (A2
Así que:
S
P1
( 1
n=1 An ) =
k=1 (Ak
= l mn
1
(An ),
Ak 1 ) = l mn
1
Pn
k=1
(Ak
Ak 1 )
donde A0 = ;.
iii =) i
S
Sea A1 ; A2 ; : : : una colección numerable de elementos de A tales que j Aj 2 A. Para cada
S
S
S
n 2 N, de…namos Bn = nj=1 Aj , entonces B1 B2 : : : y j Aj = j Bj , así que:
P
S
S
P
( j Aj ) = ( j Bj ) = l mn!1 (Bn ) l mn 1 nj=1 (Aj ) = 1
k=1 (Aj ).
En la siguiente proposición, la función es …nita para cualquier elemento del álgebra A; de
ahí que se tengan algunas propiedades adicionales a las de la proposición anterior.
Teorema 5.2. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y : A ! R una función no negativa y …nitamente aditiva, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:
(i) es -subaditiva.
(ii) es -aditiva.
S
(iii) Para cualquierS
sucesión creciente (An )n2N , de elementos de A tales que 1
n=1 An 2
A, se tiene ( 1
A
)
=
l
m
(A
).
n 1
n
n=1 n
T
(iv) Para cualquier T
sucesión decreciente (An )n2N , de elementos de A tales que 1
n=1 An 2
A, se tiene ( 1
A
)
=
l
m
(A
).
n 1
n
n=1 n
T
(v) Para cualquier sucesión decreciente (An )n2N , de elementos de A tales que 1
n=1 An =
;, se tiene l mn!1 (An ) = 0.
Demostración
La equivalencia de i, ii y iii ya se demostró para cualquier función
función …nitamente aditiva.
: A ! R+ [ f1g
5.2. MEDIDAS SOBRE ÁLGEBRAS Y
-ÁLGEBRAS
137
iii =) iv es inmediato tomando complementos.
iv =) v es inmediato pues v es un caso particular de iv.
v =) ii
Sea
numerable
de elementos de A, ajenos por
S A1 ; A2 ; : : : una colección
S1
Sn
T1 parejas y tales que
B2 : : : y n=1 Bn = ;.
j Aj 2 A. Sea Bn =
j=1 Aj
j=1 Aj , entonces B1
Por lo tanto, l mn
S
( 1
j=1 Aj ) = l mn
1
1
(Bn ) = 0, así que:
S
( nj=1 Aj ) = l mn
1
Pn
k=1
(Aj ) =
P1
k=1
(Aj ).
Teorema 5.3. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y : A ! R una
quasi medida. Entonces, para cualquier sucesión
T1 decreciente (An )n2N , de elementos de A,
tales que (AN ) < 1 para alguna N 2 N y n=1 An 2 A, se tiene:
T
( 1
n=1 An ) = l mn 1 (An ).
Demostración
Sea (An )n2N
T1 sucesión decreciente de elementos de A tales que
N 2 N y n=1 An 2 A.
(AN ) < 1 para alguna
Para cada k 2 fN + 1; N + 2; : : :g, de…namos Bk = AN Ak . Entonces la sucesión (BN +n )n2N
es creciente y:
T1
S1
n=N +1 An 2 A.
n=N +1 Bn = AN
Así que:
T
( 1
n=1 An ) =
= (AN )
l mn
T1
n=N +1
1
(AN
An = (AN )
S1
n=N +1
Bn
AN +n ) = (AN ) = l mn!1 (AN +n ) = l mn
1
(An ).
Como corolario, se tiene el siguiente resultado:
Teorema 5.4. Sea (F; =; ) un espacio de medida. Entonces:
(i) es -subaditiva.
S
(ii) Para cualquier sucesión creciente (An )n2N , de elementos de =, se tiene ( 1
n=1 An ) =
l mn 1 (An ).
(iii) Para cualquier sucesión decrecienteT(An )n2N , de elementos de = tales que (AN ) <
1 para alguna N 2 N, se tiene ( 1
n=1 An ) = l mn 1 (An ).
Las propiedades ii y iii del teorema anterior dan la idea de que una medida es continua en un
cierto sentido, aunque rigurosamente, para poder hablar de la continuidad de una medida se
138
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
requiere que en el dominio donde está de…nida, en este caso una -álgebra de subconjuntos de
un conjunto, se tenga de…nida una topología que nos permita hablar de vecindades y límites
en ese dominio. No la tenemos de…nida; sin embargo, podemos de…nir lo que entendemos
por el límite de una sucesión de conjuntos, cuando existe, basándonos en conceptos similares
a los de límite superior e inferior de una sucesión de números reales.
Definición 5.6. Si E es un conjunto y (An )n2N una sucesión de subconjuntos de E, de…nimos:
S
T1
l m nf n 1 An = 1
n=1
m=n Am ,
T
S1
l m supn 1 An = 1
n=1
m=n Am ,
Si l m supn
de l m nf n
An = l m nf n!1 An , se dice que la sucesión (An )n2N converge y al valor común
A
1 n y l m supn 1 An se le denota por l mn!1 An .
1
Obsérvese que el límite inferior de una sucesión (An )n2N de subconjuntos de un conjunto E
es el conjunto formado por todos los elementos x 2 E tales que existe N 2 N tal que x 2 An
para cualquier n N .
Por su parte, el límite superior de una sucesión (An )n2N de subconjuntos de un conjunto E
es el conjunto formado por todos los elementos x 2 E tales que x 2 An para una in…nidad
de números naturales n.
S1
Obsérvese también que si la sucesión (An )n2N es creciente, entonces
T1 l mn!1 An = n=1 An ;
mientras que si (An )n2N es decreciente, entonces l mn!1 An = n=1 An .
Teorema 5.5. Sea (F; =; ) un espacio de medida. Supongamos que es …nita y sea (An )n2N
una sucesión de elementos de = tal que l m supn 1 An = l m nf n 1 An , entonces la sucesión
( (An ))n2N es convergente y:
(l mn
1
An ) = l mn
1
(An ).
Demostración
De…namos A = l m An .
S
T1
Para cada n 2 N de…namos Bn = 1
m=n Am y Cn =
m=n Am . Entonces, la sucesión (Bn )n2N
es decreciente y la sucesión (Cn )n2N es creciente. Además:
S
T1
S
(l mn 1 An ) = (l m nf n 1 An ) = ( 1
( 1
n=1
m=n Am ) =
n=1 Cn ) = l mn 1 (Cn ),
T
S1
T
(l mn 1 An ) = (l m supn 1 An ) = ( 1
( 1
n=1
m=n Am ) =
n=1 Bn ) = l mn 1 (Bn ).
Por otra parte, para cualquier n 2 N, Bn
(Cn )
(An )
Por lo tanto:
An y Cn
(Bn ) para cualquier n 2 N.
An , así que:
5.3. CONSTRUCCIÓN DE MEDIDAS
(l mn
l mn
1
1
An ) = l mn
(Bn ) =
Así que, l m nf n
1
(Cn )
1
(l mn
1
l m nf n
1
(An )
139
l m supn
1
(An )
An ).
(An ) = l m supn
1
(An ) =
(l mn
1
An ).
Por lo tanto, la sucesión ( (An ))n2N es convergente y:
l mn
1
(An ) =
(l mn
1
An ).
5.3. Construcción de medidas
En esta sección F será un conjunto cualquiera …jo, A un álgebra de subconjuntos de F y 0
una quasi medida sobre A. Todos los conjuntos con los que trataremos serán subconjuntos
de F.
Vamos a ver cómo, siguiendo el método de Lebesgue, se puede extender una quasi medida,
de…nida sobre un álgebra A de subconjuntos de un conjunto F, a la -álgebra, (A), generada
por el álgebra. Primero de…niremos la medida exterior de cualquier subconjunto de F;
después de…niremos la medibilidad de un conjunto utilizando el criterio de Carathéodory.
Una vez hecho esto, mostraremos que la familia de conjuntos medibles forma una -álgebra,
la cual contiene a los elementos de A y a los conjuntos de medida exterior cero. La medida
de un conjunto medible la de…niremos como su medida exterior y mostraremos que la medida
así de…nida, restringida a A, coincide con 0 .
Definición 5.7. Diremos que una colección …nita oSin…nita numerable A1 ; A2 ; : : : de elementos de A es una cubierta del conjunto A si A
n An .
Definición 5.8. Se de…ne la medida exterior, e (A), de un conjunto A, mediante la relación
nP
o
e (A) = nf
j 0 (Aj ) : A1 ; A2 ; : : : es cubierta de A .
Proposición 5.1. Si A y B son dos conjuntos tales que A
Gracias a la -subaditividad de
0
B entonces
e (A)
e (B).
se tiene el siguiente resultado:
Proposición 5.2. Si A 2 A entonces
e (A)
=
0 (A).
Demostración
Sea A
S 2 A y A1 ; A2 ; : : : una cubierta de A, entonces An \ A 2 A para cualquier n 2 N y
A = n (An \ A); así que, como 0 es -subaditiva:
P
P
0 (A)
n 0 (An \ A)
n 0 (An )
Por lo tanto, como esto ocurre para cualquier cubierta de A,
0 (A)
e (A).
140
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
Por otra parte, como A es una cubierta de él mismo, se tiene
e (A)
0 (A).
Proposición 5.3. Si (An )n2N es una sucesión de conjuntos, entonces:
S1
P1
e ( n=1 An )
n=1 e (An ).
Demostración
Si
e (An )
= 1 para alguna n el resultado es trivial.
Supongamos entonces que e (An ) < 1 para
P toda n. Dada " > 0, "para cada conjunto An sea
An1 ; An2 ; : : : una cubierta de ASn tal que m 0 (Anm ) < e (An ) + 2n . La familia de conjuntos
Anm forman una cubierta de n An , así que:
S
P P
P
P
"
e ( n An )
e (An ) + 2n
n
m 0 (Anm )
n
n e (An ) + ";
P
S
es decir, e ( n An )
n e (An ) + " para cualquier " > 0. Por lo tanto:
S
P
e ( n An )
n e (An ).
Definición 5.9. Diremos que un conjunto E es medible si e (A) = e (A \ E) + e (A \ E c )
para cualquier conjunto A. Además, en este caso, se de…ne la medida de E, (E), como la
medida exterior de E.
Obsérvese que, por la -subaditividad de la medida exterior, se tiene:
e (A)
e (A
\ E) +
e (A
\ E c)
para cualquier par de conjuntos E y A, de manera que para demostrar la medibilidad de un
conjunto E únicamente es necesario probar la otra desigualdad.
Proposición 5.4. La familia de conjuntos medibles forma un álgebra de subconjuntos de F.
Demostración
Que el conjunto F es medible, así como que el complemento de un conjunto medible es
medible, son resultados obvios.
Sean E1 y E2 dos conjuntos medibles y A cualquier conjunto. Se tiene entonces:
e
=
=
(A \ (E1 [ E2 )) +
e
e
(A \ (E1 [ E2 )c )
((A \ E1 ) [ (A \ E1c \ E2 )) +
e
(A \ E1c \ E2c )
e
(A \ E1c \ E2c )
e (A
\ E1 ) +
e (A
\ E1c \ E2 ) +
e (A
\ E1 ) +
e (A
\ E1c ) =
e (A).
5.3. CONSTRUCCIÓN DE MEDIDAS
141
Así que, E1 [ E2 es medible.
Proposición 5.5. La función que asigna a cada conjunto medible E su medida, (E), es
una función …nitamente aditiva.
Demostración
Sean E1 y E2 dos conjuntos medibles ajenos, entonces, como E1 [ E2 es medible, se tiene:
(E1 [ E2 )) =
=
((E1 [ E2 )) \ E1 ) + ((E1 [ E2 ) \ E1c )
(E1 ) + (E2 ).
Proposición 5.6. La familia de conjuntos medibles forma una -álgebra de subconjuntos
de F.
Demostración
Sea E1 ; E2 ; : : : una colección in…nita numerable de conjuntos medibles ajenos por parejas y
A cualquier subconjunto de F.
Demostremos que
e
P
S
A \ ( nj=1 Ej ) = nj=1
e (A
\ Ej ) para cualquier n 2 N.
Para n = 1 la igualdad es obvia.
Supongamos ahora que la igualdad es válida para n = k, entonces, como Ek+1 es medible,
se tiene:
Sk+1
Sk+1
Sk+1
c
e A \ ( j=1 Ej ) = e A \ ( j=1 Ej ) \ Ek+1 + e A \ ( j=1 Ej ) \ Ek+1
=
=
e
(A \ Ek+1 ) +
Pk+1
j=1
e (A
e
\ Ej ).
S
A \ ( kj=1 Ej ) =
e
(A \ Ek+1 ) +
Pk
j=1
e (A
\ Ej )
Por lo tanto, la igualdad es válida para n = k + 1, así que, por el principio de inducción, lo
es para cualquier n 2 N.
Ahora bien, como la familia de
S conjuntos medibles forma un álgebra de subconjuntos de F,
para cada n 2 N el conjunto nj=1 Ej es medible, así que:
e (A)
=
Pn
=
j=1
e
S
A \ ( nj=1 Ej ) +
e (A
\ Ej ) +
e
e
S
A \ ( nj=1 Ej )c
S
A \ ( nj=1 Ej )c
142
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
Pn
j=1
e (A
\ Ej ) +
e
S
c
A\( 1
j=1 Ej ) .
Tomando límite cuando n
obtiene entonces:
P1
e (A)
j=1 e (A \ Ej ) +
e
S
A\( 1
j=1 Ej ) +
Por lo tanto,
S1
j=1
e
1 y utilizando la
e
-subaditividad de la medida exterior,se
S
c
A\( 1
j=1 Ej )
S
c
A\( 1
j=1 Ej ) .
Ej es medible.
Proposición 5.7. La función que asigna a cada conjunto medible E su medida, (E), es
una función -aditiva.
Demostración
Sea E1 ; E2 ; : : : una colección in…nita numerable de conjuntos
ajenos por parejas.
P1
S medibles
E
)
Por la -subaditividad de la medida exterior, se tiene ( 1
j=1 (Ej ). Por otra
j=1 j
parte, por la aditividad …nita de la función que asigna a cada conjunto medible su medida,
se tiene, para cualquier n 2 N:
P
S
S
( nj=1 Ej ) = nj=1 (Ej ).
( 1
j=1 Ej )
Así que tomando límite cuando n
P1
S
( 1
j=1 (Ej ).
j=1 Ej )
1, se Aiene:
Si denotamos por M a la familia de los conjuntos medibles, sabemos ya que M forma una
-álgebra de subconjuntos de F. Además, la función : M 7! R es no negativa, -aditiva y
(;) = 0. Así que es un a medida de…nida sobre una -álgegra de subconjuntos de F. Lo
que resta probar es que es una extensión de 0 . Vamos a demostrar que efectivamente esto
es así y veremos que M es más grande que la -álgebra generada por A. Esto es análogo
a lo que ocurre con la medida de Lebesgue, la cual está de…nida no únicamente sobre los
subconjuntos borelianos de R, sino también sobre todos los conjuntos de medida cero.
Proposición 5.8. Todo conjunto de medida exterior cero es medible.
Demostración
Sea E un conjunto de medida exterior cero y A cualquier conjunto, entonces A \ E tiene
medida exterior cero, así que:
e (A)
e (A
\ E c) =
e (A
\ E c) +
e (A
\ E).
5.3. CONSTRUCCIÓN DE MEDIDAS
143
Proposición 5.9. Todo elemento de A es medible.
Demostración
Sea E 2 A, A cualquier conjunto y A1 ; A2 ; : : : una cubierta de A, entonces, para cada An ,
los conjuntos An \ E y An \ E c pertenecen a A y se tiene:
S
S
e (A \ E)
e (( n An ) \ E) = e ( n (An \ E))
P
P
n e (An \ E) =
n 0 (An \ E),
S
S
c
c
c
e (A \ E )
e (( n An ) \ E ) = e ( n (An \ E ))
P
P
c
c
n e (An \ E ) =
n 0 (An \ E ).
Así que:
e (A
\ E) +
e (A
\ E c)
P
n
0 (An
\ E) +
P
n
0 (An
\ E c) =
P
n
0 (An ).
Finalmente, como lo anterior es válido para cualquier cubierta de A, se puede concluir que:
e (A
\ E) +
e (A
\ E c)
e (A).
Proposición 5.10. Todo elemento de (A) es medible.
Demostración
El resultado es inmediato pues la familia de conjuntos medibles forma una -álgebra que
contiene a los elementos de A.
Los resultados anteriores pueden condensarse en el siguiente:
Teorema 5.6 (Teorema de extensión de Carathéodory). Sea F un conjunto, A un álgebra
de subconjuntos de F y 0 : A 7! R+ [ f1g una quasi medida. Entonces existe una medida
: = 7! R+ [ f1g tal que (A) = 0 (A) para cualquier A 2 A, donde = es una -álgebra
que contiene a (A) y a los conjuntos de medida exterior cero.
Definición 5.10. Si F es un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y 0 : A 7!
R[f1g una quasi medida, a la medida : = 7! R+ [f1g del teorema anterior la llamaremos
la medida generada por la quasi medida 0 .
Ahora veremos que la familia de conjuntos medibles =, si bien es más grande que la álgebra generada por A, en general no es más grande que la -álgebra generada por A y los
subconjuntos de F que tienen medida exterior cero.
144
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
Obsérvese que si un conjunto B
F tiene medida exterior cero, entonces, dada cualquier
" >S
0 existe una
P1colección in…nita numerable, A1 ; A2 : : :, de elementos de A tales que
1
B
A
y
k=1 k
k=1 0 (Ak ) < ".
Proposición 5.11. Dado cualquier conjunto medible E, de medida …nita, existe B 2 (A)
y un conjunto C, de medida exterior cero, tales que E = B [ C y B \ C = ;.
Demostración
Sea E un conjunto medible de medida …nita y, dada " > 0, sea A1 ; A2 ; : : : una cubierta de
E tal que:
P
j (Aj ) < (E) + ".
S
A" = j Aj es entonces un elemento (A) tal que:
P
(E) < ".
(A" E) = (A" )
(E)
j (Aj )
Es decir, dada " > 0 existe A" 2 (A) tal que A"
E y (A"
E) < ".
Sea entonces (Bn )n2N una sucesión decreciente de elementos de (A), que contengan a E,
T1
tales que (An E) < n1 para cualquier n 2 N. Se tiene entonces
E
j=1 Aj
T
1
(An E) < n1 para cualquier n 2 N, así que
E = 0.
j=1 Aj
Por lo tanto, existe A 2 (A) tal que A
E y (A
E) = 0.
Sea entonces D 2 (A) tal que D E c y (D E c ) = 0. Entonces B = Dc es un elemento
de (A) tal que B E y (E B) = (E B c ) = (E \ B) = (B E c ) = 0, de manera
que B 2 (A), F = E B es un conjunto de medida exterior cero y se tiene E = B [ F .
Finalmente, de…namos C = F B, entonces C tiene medida exterior cero y se tiene E = B[C
y B \ C = ;.
Corolario 5.1. Si es -…nita, entonces, dado cualquier conjunto medible E existe B 2
(A) y un conjunto C, de medida exterior cero, tales que E = B [ C y B \ C = ;.
Demostración
Sea (Fk )k2N una sucesión creciente de conjuntos medibles tales que F =
para cualquier k 2 N.
S1
k=1
Fk y (Fk ) < 1
Para cada k 2 N, de…namos Ek = E \ Fk .
Sea Bk 2 (A) y Ck un conjunto
de medidaSexterior cero tales que Ek = Bk [Ck y Bk \Ck = ;,
S
1
entonces tomando B = 1
B
k=1 k y D =
k=1 Ck , se tiene que B 2 (A), D tiene medida
exterior cero y E = B [ D.
5.3. CONSTRUCCIÓN DE MEDIDAS
145
Finalmente, de…namos C = D B, entonces C tiene medida exterior cero y se tiene E = B[C
y B \ C = ;.
Corolario 5.2. Si
es -…nita, la -álgebra de los conjuntos medibles es la
generada por A y los conjuntos de medida exterior cero.
-álgebra
Proposición 5.12. Todo conjunto de medida exterior cero está contenido en un conjunto
B 2 (A) de medida exterior cero.
Demostración
Sea A un conjunto de medida exterior cero. ParaScada n 2PN, sea fAnk g una colección
1
1
1
n
n
in…nita
de elementos
de A tales que A
k=1 Ak y
k=1 0 (Ak ) < n . De…namos
Snumerable
T
1
1
Bn = k=1 Ank y B = n=1 Bn . Entonces, B 2 (A), tiene medida exterior cero y A B.
Definición 5.11. Sea F un conjunto, = una -álgebra de subconjuntos de F y una medida
sobre =. Diremos que = es completa con respecto a si contiene a todos los subconjuntos
de los conjuntos de medida igual a cero.
Si una -álgebra =0 no es completa con respecto a una medida , se puede completar. En
efecto, sea H la familia de conjuntos B 2 =0 tales que (B) = 0, entonces la familia = de
conjuntos de la forma A [ E, donde A 2 =0 y E es un subconjunto de un conjunto B 2 H,
forma una -álgebra de subconjuntos de F .
La prueba de que F 2 = y que = es cerrada bajo uniones numerables es inmediata. Para
probar que = es cerrada bajo complementos, sea C = A [ E 2 =, donde A 2 =0 y E es un
subconjunto de un conjunto B 2 H. Entonces:
C c = (A [ E)c = Ac \ E c = Ac \ [E c \ (B [ B c )]
= Ac \ [(E c \ B) [ B c ] = (Ac \ B c ) [ (Ac \ E c \ B).
Así que C c 2 =.
Obsérvese que = es la -álgebra generada por =0 y los subconjuntos de conjuntos B 2 =0
de medida cero.
Extendamos a = de…niendo
junto de un conjunto B 2 H.
Sea C 2 = tal que
Así que:
Como
(A) =
Sea ahora D
a .
(A [ E) =
(A) para cualesquiera A 2 =0 y E un subcon-
(C) = 0, entonces C = A [ E, en donde A 2 =0 y E
(A [ E) =
B, con B 2 H.
(C) = 0, entonces A 2 H.
C, entonces D
A [ B, así que D 2 =. Es decir, = es completa con respecto
146
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
Lo anterior también muestra que si C 2 = y (C) = 0, entonces C A [ B, con A; B 2 H.
Por lo tanto, todo conjunto C 2 = de medida cero está contenido en un conjunto G 2 =0 de
medida cero.
Retomando el enunciado del teorema 5.6, la medida restringida a (A) sigue siendo una
medida. La proposición 5.12 muestra entonces que si completamos (A) con respecto a ,
obtenemos la -álgebra generada por A y los conjuntos de medida exterior cero, es decir,
recuperamos la medida de…nida sobre =.
5.4. Teorema de clases monótonas
Es muy frecuente encontrar un problema del siguiente tipo: Se tiene un conjunto F, un
álgebra A de subconjuntos de F y la -álgebra (A) generada por A y se quiere demostrar
que una cierta propiedad es válida para todo elemento de (A). Un método para resolver
este problema consiste en demostrar que la familia H de subconjuntos de F que tienen la
propiedad deseada es una -álgebra que contiene a todos los elementos de A, de manera que
entonces contiene a la -álgebra generada por A. Sin embargo, en ocasiones puede resultar
sumamente complicado demostrar que efectivamente H forma una -álgebra, sobre todo la
demostración de que H es cerrada bajo uniones o intersecciones …nitas. Para salvar esta
di…cultad, se tienen, afortunadamente, los resultados que se exponen en esta sección, los
cuales son conocidos como teoremas de clases monótonas, cuyo origen se deben al trabajo
de Dynkin.
Definición 5.12. Sea F un conjunto y G una familia de subconjuntos de F. Diremos que:
(i) G es cerrada bajo complementos si Ac 2 G para cualquier A 2 G.
(ii) G es cerrada bajo diferencias propias si B A 2 G para cualquier pareja A; B 2 G
tal que A B.
S
(iii) G es cerrada bajo uniones (resp. intersecciones) …nitas si nj=1 Aj 2 G (resp.
Tn
de G.
j=1 Aj 2 G) para cualquier colección …nita A1 ; A2 ; : : : ; An de elementos
S
(iv) G es cerrada bajo uniones (resp. intersecciones) monótonas si 1
A
2
G (resp.
j=1 j
T1
j=1 Aj 2 G) para cualquier sucesión creciente (resp. decreciente) (An )n2N , de
elementos de G.
Definición 5.13. Sea F un conjunto y M una familia de subconjuntos de F. Se dice que
M es una clase monótona si es cerrada bajo uniones e intersecciones monótonas.
Definición 5.14. Dado un conjunto F y una familia arbitraria de clases monótonas de
subconjuntos de F, se de…ne la intersección de esas clases monótonas como la familia de
conjuntos que pertenecen a todas ellas.
Se puede ver fácilmente que la intersección de clases monótonas, de subconjuntos de un
conjunto F, forma una clase monótona.
5.4. TEOREMA DE CLASES MONÓTONAS
147
Definición 5.15. Dada una colección A de subconjuntos de un conjunto F, se de…ne la clase
monótona generada por A como la intersección de todas las clases monótonas que contienen
a todos los elementos de A y se le denota por M(A).
Obsérvese que la de…nición anterior es consistente pues dada cualquier colección A de subconjuntos de un conjunto F existe por lo menos una clase monótona que contiene a todos
los conjuntos de A, a saber, la clase monótona formada por todos los subconjuntos de F.
Obsérvese también que la clase monótona generada por una familia A de subconjuntos de
un conjunto F es la más pequeña clase monótona de subconjuntos de F que contiene a todos
los elementos de A.
Teorema 5.7. Sea F un conjunto y A un álgebra de subconjuntos de F, entonces la clase
monótona generada por A sigue siendo un álgebra.
Demostración
Para demostrar que M(A) es cerrada bajo complementos, sea:
C = fA 2 M(A) : Ac 2 M(A)g.
C es entonces una clase monótona. En efecto, si A1 A2
es una sucesión de
S elementos de
c
C entonces,
para
cualquier
n
2
N,
se
tiene
A
2
M(A)
y
A
2
M(A),
así
que
n S
n
n An 2 M(A)
T c
S
c
y ( n An ) = n An 2 M(A), por lo tanto, n An 2 C. De la misma manera se demuestra
que C es cerrada bajo intersecciones monótonas.
Obviamente C contiene a A, de manera que entonces se puede concluir que C contiene a
M(A), lo cual prueba que M(A) es cerrada bajo complementos.
Para demostrar que M(A) es cerrada bajo intersecciones …nitas, sea:
C1 = fA 2 M(A) : A \ B 2 M(A) para cualquier B 2 Ag.
C1 es entonces una clase monótona. En efecto, si A1 A2
es una sucesión de elementos
de C1Sentonces, para cualquier
n
2
N
y
B
2
A,
se
tiene
A
2
M(A)
y An \S
B 2 M(A), así
n
S
S
que n An 2 M(A) y ( n An ) \ B = n (An \ B) 2 M(A), por lo tanto, n An 2 C1 . De
la misma manera se demuestra que C1 es cerrada bajo intersecciones monótonas.
Obviamente C1 contiene a A, de manera que entonces se puede concluir que C1 contiene a
M(A), es decir, para cualquier A 2 M(A) y B 2 A, se tiene A \ B 2 M(A).
Sea ahora:
C2 = fA 2 M(A) : A \ B 2 M(A) para cualquier B 2 M(A)g.
C2 es entonces una clase monótona. En efecto, si A1 A2
es una sucesión de elementos
de C2 entonces, para cualquier n 2 N y B 2 M(A), se tiene An 2 M(A) y An \ B 2 M(A),
148
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
S
S
S
S
así que n An 2 M(A) y ( n An ) \ B = n (An \ B) 2 M(A), por lo tanto, n An 2 C2 .
De la misma manera se demuestra que C2 es cerrada bajo intersecciones monótonas.
Como C1 contiene a M(A) se tiene que C2 contiene a A, de manera que entonces se puede
concluir que C2 contiene a M(A), es decir, para cualesquiera A; B 2 M(A), se tiene A \ B 2
M(A).
Corolario 5.3 (Teorema de clases monótonas para álgebras). Sea F un conjunto y A un
álgebra de subconjuntos de F, entonces (A) = M(A).
El teorema 5.7 puede ser insu…ciente pues en ocasiones únicamente se puede demostrar
inmediatamente que la propiedad que se quiere probar como válida para cualquier elemento
de una -álgebra se cumple para una familia de conjuntos que la generan y que es cerrada
sólo bajo intersecciones …nitas (por ejemplo, la familia formada por todos los intervalos de
números reales).
Definición 5.16. Sea F un conjunto y P una familia de subconjuntos de F. Se dice que P
es un -sistema si es cerrada bajo intersecciones …nitas.
Definición 5.17. Sea F un conjunto y D una familia de subconjuntos de F. Se dice que D
es un d-sistema si F 2 D y es cerrada bajo diferencias propias y uniones monótonas.
Definición 5.18. Dado un conjunto F y una familia arbitraria de d-sistemas de subconjuntos
de F, se de…ne la intersección de esos d-sistemas como la familia de conjuntos que pertenecen
a todas ellas.
Se puede ver fácilmente que la intersección de d-sistemas, de subconjuntos de un conjunto
F, forma un d-sistema.
Definición 5.19. Dada una colección G de subconjuntos de un conjunto F, se de…ne el dsistema generado por G como la intersección de todos los d-sistemas que contienen a todos
los elementos de G y se le denota por d(G).
Obsérvese que la de…nición anterior es consistente pues dada cualquier colección P de subconjuntos de un conjunto F existe por lo menos un d-sistema que contiene a todos los conjuntos
de P, a saber, el d-sistema formada por todos los subconjuntos de F.
Obsérvese también que el d-sistema generado por una familia P de subconjuntos de un
conjunto F es el más pequeño d-sistema de subconjuntos de F que contiene a todos los
elementos de P.
Teorema 5.8. Sea F un conjunto y P un
d-sistema generado por P es un -sistema.
Demostración
Sea:
-sistema de subconjuntos de F, entonces el
5.5. UNICIDAD DE LA EXTENSIÓN DE UNA MEDIDA
149
C1 = fA 2 d(P) : A \ B 2 d(P) para cualquier B 2 Pg.
C1 es entonces un d-sistema. En efecto, si A1
A2
es una sucesión de elementos de C1
entonces,
para cualquier
n 2 NS
y B 2 P, se tiene An 2 d(P) y A
S
S
Sn \ B 2 d(P), así que
A
2
d(P)
y
(
A
)
\
B
=
(A
\
B)
2
d(P),
por
lo
tanto,
n
n n
n n
n
n An 2 C1 . Sean ahora
A; C 2 C1 tales que A
C, entonces A; C; A \ B; C \ B 2 d(P) y A \ B
C \ B para
cualquier B 2 P, así que C A 2 d(P) y (C A) \ B = C \ B A \ B 2 d(P), por lo
tanto, C A 2 C1 . Finalmente, es obvio que F 2 C1 .
Obviamente C1 contiene a P, de manera que entonces se puede concluir que C1 contiene a
d(P), es decir, para cualquier A 2 d(P) y B 2 P, se tiene A \ B 2 d(P).
Sea ahora:
C2 = fA 2 d(P) : A \ B 2 d(P) para cualquier B 2 d(P)g.
C2 es entonces un d-sistema. En efecto, si A1
A2
es una sucesión de elementos de C2
entonces,
para cualquier
n 2 N ySB 2 d(P), se tiene An 2 d(P) y S
An \ B 2 d(P), así que
S
S
(A
\
B)
2
d(P),
por
lo
tanto,
A
)
\
B
=
A
2
d(P)
y
(
n
n An 2 C2 . Sean ahora
n
n n
n n
A; C 2 C2 tales que A
C, entonces A; C; A \ B; C \ B 2 d(P) y A \ B
C \ B para
cualquier B 2 d(P), así que C A 2 d(P) y (C A) \ B = C \ B A \ B 2 d(P), por lo
tanto, C A 2 C2 . Finalmente, es obvio que 2 C2 .
Como C1 contiene a d(P), se tiene que C2 contiene a P, de manera que entonces se puede
concluir que C2 contiene a d(P), es decir, para cualesquiera A; B 2 d(P), se tiene A \ B 2
d(P).
Corolario 5.4 (Teorema de clases monótonas para pi sistemas). Sea F un conjunto y P
un -sistema de subconjuntos de F, entonces d(P) = (P).
5.5. Unicidad de la extensión de una medida
Teorema 5.9. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y 1 y 2 dos medidas
de…nidas sobre (A), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 A . Supongamos
además
S1
que existe una sucesión creciente (Fn )n2N de elementos de (A) tal que n=1 Fn = F y, para
cualquier n 2 N, 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 y 1 (A \ Fn ) = 2 (A \ Fn ) para cualquier A 2 A.
Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (A).
Demostración
Para cada n 2 N, de…namos:
Hn = fA 2 (A) :
1 (A
\ Fn ) =
2 (A
\ Fn )g.
Por hipótesis, A 2 Hn para cualquier A 2 A.
150
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
Si (Am )m2N es una sucesión creciente de elementos de Hn , entonces:
S1
S1
1 (( m=1 Am ) \ Fn ) = 1 ( m=1 (Am \ Fn )) = l mn 1 1 (Am \ Fn )
S
S1
= l mn 1 2 (Am \ Fn ) = 2 ( 1
m=1 (Am \ Fn )) = 2 (( m=1 Am ) \ Fn ).
S
Así que 1
m=1 Am 2 Hn .
Si (Am )m2N es una sucesión decreciente de elementos de Hn , entonces:
T1
T1
1 (( m=1 Am ) \ Fn ) = 1 ( m=1 (Am \ Fn )) = l mn 1 1 (Am \ Fn )
T
T1
= l mn 1 2 (Am \ Fn ) = 2 ( 1
m=1 (Am \ Fn )) = 2 (( m=1 Am ) \ Fn ).
T
Así que 1
m=1 Am 2 Hn .
Hn es entonces una clase monótona que contiene a los elementos de A, así que Hn contiene
a (A) = M(A).
Finalmente, si A 2 (A), se tiene:
1
(A) = l mn
1
1
(A \ Fn ) = l mn
1
2
(A \ Fn ) =
2
(A).
Corolario 5.5. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y 1 y 2 dos medidas
…nitas de…nidas sobre (A), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 A. Entonces
1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (A).
Corolario 5.6. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas de…nidas sobre (A), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 A. Supongamos
además que existe una sucesión (Fn )n2N de elementos de (A), ajenos por parejas, tal que
S
1
n=1 Fn = F y, para cualquier n 2 N, 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 y 1 (A \ Fn ) = 2 (A \ Fn )
para cualquier A 2 A. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (A).
Corolario 5.7. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas de…nidas sobre (A), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier
S1A 2 A . Supongamos
además que existe una sucesión (Fn )n2N de elementos de A tal que n=1 Fn = F y 1 (Fn ) =
2 (Fn ) < 1 para cualquier n 2 N. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (A).
Demostración
S
Para cada n 2 N, de…namos En = nk=1 Fk , entonces P
En 2 A, así que 1 (A\Fn ) = 2 (A\Fn )
n
para
cualquier
A
2
A.
Además
(E
)
=
(E
)
n
n
1
2
k=1 2 (Fn ) < 1 para cualquier n 2 N
S1
S1
y n=1 En = n=1 Fn = F. Así que, por la proposición anterior, 1 (A) = 2 (A) para
cualquier A 2 (A).
Teorema 5.10. Sea F un conjunto, P un -sistema de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas de…nidas sobre (P), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 P. Supongamos
5.5. UNICIDAD DE LA EXTENSIÓN DE UNA MEDIDA
151
S1
además que existe una sucesión creciente (Fn )n2N de elementos de (P) tales que n=1 Fn =
F y, para cualquier n 2 N, 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 y 1 (A \ Fn ) = 2 (A \ Fn ) para cualquier
A 2 P. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (P).
Demostración
Para cada n 2 N, de…namos:
Hn = fA 2 (P) :
1 (A
\ Fn ) =
2 (A
\ Fn )g.
Obviamente, F 2 Hn y, por hipótesis, A 2 Hn para cualquier A 2 P.
Si A; B 2 Hn y A
1 ((B
=
2 (B
B, entonces:
A) \ Fn ) =
\ Fn )
Así que B
1 (B
2 (A
\ Fn
\ Fn ) =
A \ Fn ) =
2 (B
\ Fn
1 (B
\ Fn )
A \ Fn ) =
1 (A
2 ((B
\ Fn )
A) \ Fn ).
A 2 Hn .
Si (Am )m2N es una sucesión creciente de elementos de Hn , entonces:
S1
S1
1 (( m=1 Am ) \ Fn ) = 1 ( m=1 (Am \ Fn )) = l mn 1 1 (Am \ Fn ).
S1
S
= l mn 1 2 (Am \ Fn ) = 2 ( 1
m=1 (Am \ Fn )) = 2 (( m=1 Am ) \ Fn )
S
Así que 1
m=1 Am 2 Hn .
Hn es entonces un d-sistema que contiene a los elementos de P, así que Hn contiene a
(P) = d(P).
Finalmente, si A 2 (P), se tiene:
1
(A) = l mn
1
1
(A \ Fn ) = l mn
1
2
(A \ Fn ) =
2
(A).
Corolario 5.8. Sea F un conjunto, P un -sistema de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas …nitas de…nidas sobre (P), tales que 1 (F) = 2 (F) y 1 (A) = 2 (A) para cualquier
A 2 P. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (P).
Corolario 5.9. Sea F un conjunto, P un -sistema de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas de…nidas sobre (P), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 P. Supongamos
además
que existe una sucesión (Fn )n2N de elementos de (P), ajenos por parejas, tal que
S1
F
n=1 n = F y, para cualquier n 2 N, 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 y 1 (A \ Fn ) = 2 (A \ Fn )
para cualquier A 2 P. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (P).
Corolario 5.10. Sea F un conjunto, P un -sistema de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas de…nidas sobre (P), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier
S A 2 P. Supongamos
además que existe una sucesión (Fn )n2N de elementos de P tales que 1
n=1 Fn = F y 1 (Fn ) =
2 (Fn ) < 1 , para cualquier n 2 N. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (P).
152
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
Demostración
Para cada n 2 N, de…namos En =
Sn
k=1
Fk :
Por la proposición 2.11, se tiene 1 (En ) = 2 (En ).
Pn
Además, 1 (En ) = 2 (En )
k=1 2 (Fn ) < 1 para cualquier n 2 N y:
S1
S1
n=1 En =
n=1 Fn = F.
Si A 2 P, nuevamente por proposición 2.11, se tiene:
Sn
Sn
1 (A \ En ) = 1 (A \ ( k=1 Fk )) = 1 ( k=1 (A \ Fk ))
S
S
= 2 ( nk=1 (A \ Fk )) = 2 (A \ ( nk=1 Fk )) = 2 (A \ En ).
Así que, por la proposición anterior,
1 (A)
=
2 (A)
para cualquier A 2 (P).
5.6. Medidas con signo
Definición 5.20. Se dice que una función : = 7! R [ f 1; 1g es -aditiva si toma
a lo más uno de los valores +1 y 1, y, dada cualquier familia numerable, A1 ; A2 ; : : :, de
1
S
P
elementos de = tal que Ai \ Aj = ; para i 6= j, entonces
Ak = 1
k=1 (Ak ), donde
la serie
P1
k=1
(Ak ) converge absolutamente cuando
Definición 5.21. e dice que
las siguientes condiciones
1
S
k=1
k=1
Ak
2 R.
: = 7! R [ f 1; 1g es una medida con signo si se cumplen
(i) (;) = 0.
(ii) es -aditiva.
Definición 5.22. Sea una medida con signo y A 2 =. Se dice que A es un conjunto
positivo (resp. negativo) con respecto a si (E)
0 (resp. (E)
0) para cualquier
conjunto medible E A.
Proposición 5.13. La unión de una colección …nita o in…nita numerable de conjuntos positivos es un conjunto positivo.
Demostración
S
Sea fAn g una colección …nita o in…nita numerable de conjuntos positivos, A = n An , E un
conjunto medible contenido en ASy En0 = E \ An \ Ac1 \
\ Acn 1 . Entonces los conjuntos
En0 son ajenos por parejas, E = n En0 y, como En0
An , (En0 ) 0; así que (E) 0.
5.6. MEDIDAS CON SIGNO
153
Teorema 5.11. Sea una medida con signo y E un conjunto medible tal que 0 < (E) < 1.
Entonces existe un conjunto positivo A
E tal que 0 < (A) < 1 y C = E A es un
conjunto negativo.
Demostración
La idea consiste en irle quitando al conjunto E conjuntos medibles de medida negativa hasta
legar a un conjunto con la propiedad deseada.
Obsérvese que si B es un subconjunto de E de medida menor o igual a 0, entonces, como
E = B [ (E B), se tiene 0 < (E B) < 1.
Por otra parte, E no contiene subconjuntos de medida 1 pues si B fuera un subconjunto
medible de E de medida 1, se tendría E = B [ (E B), con (E B) < 1, así que
(E) = 1.
E tampoco contiene subconjuntos de medida 1 pues si B fuera un subconjunto medible de
E de medida 1, se tendría E = B [ (E B), con (E B) > 1, así que (E) = 1.
Ahora obsérvese que dada " > 0, existe un conjunto medible B
E tal que (B)
0y
E B no contiene ningún subconjunto de medida menor que ". En efecto, si no existe
un conjunto medible B1
E tal que (B1 ) < ", tomemos B = ;; en otro caso, si no
existe un conjunto medible B2
E B1 tal que (B2 ) < ", tomemos B = B1 ; en otro
caso, si no existe un conjunto medible B3
E B1 [ B2 tal que (B3 ) < ", tomemos
B = B1 [ B2 . Continuando con este procedimiento, se llega, en un número …nito de pasos, a
la obtención de un conjunto B con la propiedad deseada, pues si el procedimiento continuara
inde…nidamente obtendríamos una colección in…nita de conjuntos medibles contenidos en E,
ajenos por parejas, cuya unión sería un subconjunto medible de E de medida 1.
Tomemos entonces un conjunto medible B1
E tal que (B1 )
0 y E B1 no contiene
ningún subconjunto de medida menor que 1. Inductivamente podemos obtener una colección in…nita B1 ; B2 ; : : : de conjuntos medibles contenidos en E, ajenos por parejas y tales
que E [nk=1 Bk no contiene ningún subconjunto de medida menor que n1 . De…niendo
B = [1
0 y A = E B no contiene ningún subconjunto medible
k=1 Bk , se tiene que (B)
de medida negativa, es decir, es un conjunto positivo tal que 0 < (A) < 1.
Hemos demostrado hasta aquí que existe un conjunto positivo A
Sea A1 un conjunto positivo cualquiera tal que A1
E tal que 0 < (A) < 1.
E y 0 < (A1 ) < 1.
Demostremos ahora que dada " > 0, existe un conjunto positivo A E tal que 0 < (A) < 1
y E A no contiene ningún conjunto positivo de medida mayor que ". En efecto, si no
existe un conjunto positivo A2
E A1 tal que (A2 ) > 1, tomemos A = A1 ; en otro
caso, si no existe un conjunto positivo A3
E A1 [ A2 tal que (A3 ) > 1, tomemos
A = A1 [ A2 ; en otro caso, si no existe un conjunto positivo A4 E A1 [ A2 [ A3 tal que
(A3 ) > 1, tomemos A = A1 [ A2 [ A3 . Continuando con este procedimiento, se llega, en un
número …nito de pasos, a la obtención de un conjunto A con la propiedad deseada, pues si el
154
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
procedimiento continuara inde…nidamente obtendríamos una colección in…nita de conjuntos
medibles contenidos en E, ajenos por parejas, cuya unión sería un subconjunto medible de
E de medida 1.
Tomemos entonces un conjunto positivo A1
E tal que 0 < (A1 ) < 1 y E A1 no
contiene ningún conjunto positivo de medida mayor que 1. Inductivamente podemos obtener
una colección in…nita A1 ; A2 ; : : : de conjuntos medibles contenidos en E, ajenos por parejas y
tales que E [nk=1 Bk no contiene ningún subconjunto de medida menor que n1 . De…niendo
0 y A = E B no contiene ningún subconjunto medible
B = [1
k=1 Bk , se tiene que (B)
de medida negativa, es decir, es un conjunto positivo tal que 0 < (A) < 1.
Si E es un conjunto positivo, de…nimos A = E y termina la demostración. En otro caso,
existe un conjunto medible B E tal que (B) < 0. Sea n1 el más pequeño entero positivo
para el cual existe un conjunto medible B E tal que (B) < n11 , B1 un conjunto medible
con esa propiedad y E1 = E B1 . Entonces se tiene 0 < (E1 ) < 1.
Si E1 es un conjunto positivo, de…nimos A = E1 y termina la demostración. En otro caso,
existe un conjunto medible B E1 tal que (B) < 0. Sea n2 el más pequeño entero positivo
para el cual existe un conjunto medible B E1 tal que (B) < n12 , B2 un conjunto medible
con esa propiedad y E2 = E1 B2 . Entonces se tiene 0 < (E2 ) < 1.
Continuando con este proceso, o bien se llega al resultado deseado en un número …nito de
pasos, o bien se obtiene una sucesión de enteros positivos (nk ) y sucesión (Bk ) de subconjuntos
1
para cualquier
medibles de E tales que, para cualquier k 2 N, (Bk ) < n1k y (B)
nk 1
S1
Sk
subconjunto medible B E
j=1 Bj . Entonces
j=1 Bj . En este último caso, sea A = E
se tiene 0 < (A) < 1.
Obsérvese ahora que necesariamente se tiene nk nk+1 . Además, cada término nk se repite,
a lo más, un número …nito de veces pues de otra manera la unión de los correspondientes
conjuntos Bk sería un conjunto medible de E de medida 1. Por lo tanto, l mk 1 nk = 1.
Sk
Finalmente, como A E
j=1 Bj para cualquier k 2 N, entonces, dado cualquier subcon1
junto medible B A se tiene (B)
para cualquier k 2 N. Por lo tanto, tomando
nk 1
límite cuando k
1, se tiene (B) 0, así que A es un conjunto positivo.
Teorema 5.12 (Teorema de descomposición de Hahn). Sea una medida con signo.
Entonces existe un conjunto positivo A y un conjunto negativo B tales que A \ B = ; y
F = A [ B.
Demostración
La idea consiste en lo siguiente:
Si no toma el valor +1, se trata de encontrar un conjunto positivo de medida máxima.
El complemento de ese conjunto es entonces, necesariamente, un conjunto negativo.
5.6. MEDIDAS CON SIGNO
155
Si no toma el valor 1, se trata de encontrar un conjunto negativo de medida mínima.
El complemento de ese conjunto es entonces, necesariamente, un conjunto positivo.
Supongamos que
Sea
no toma el valor +1.
= sup f (A) : A es un conjunto positivo con respecto a g.
Como el conjunto vacío es positivo, se tiene
0.
Sea fAn g una sucesión de conjuntos positivos tales que
y B = Ac .
= l mn
1
(An ) y sean A =
S
n
An
A es un conjunto positivo por ser la unión numerable de conjuntos positivos.
Por ser A un conjunto positivo, se tiene
(A). Por otra parte, A An A para cualquier
n, así que (A An ) 0. Así que, (A) = v(An ) + (A An ) v(An ) para cualquier n.
Por lo tanto, tomando límite cuando n ! 1, se tiene (A)
. Se concluye entonces que
= (A), así que < 1.
Para probar que B es un conjunto negativo, supongamos que existe un conjunto medible
E
B tal que (E) > 0, entonces, por la proposición 5.11, existe un conjunto positivo
D E tal que (D) > 0. Por lo tanto, A [ D es un conjunto positivo y como A y D son
ajenos, se tiene
(A [ D) = (A) + (D) = + (D) > , lo cual es una contradicción.
Definición 5.23. Sea una medida con signo. Entonces una pareja de conjuntos medibles
(A; B) tales que A es positivo, B es negativo, A \ B = ; y F = A [ B, es llamada una
descomposición de Hahn para .
Teorema 5.13. Sea : (F; =) 7! R [ f 1; 1g una medida con signo, entonces existen dos
medidas + y
sobre (F; =) con las siguientes propiedades:
(i) Por lo menos una de las dos medidas, + y , es …nita.
(ii) = +
(iii) Existen dos conjuntos A; B 2 = tales que A \ B = ;, F = A [ B y
+
(B) = 0:
Además, las medidas
+
y
, con estas propiedades, son únicas.
Demostración
Sea (A; B) una descomposición de Hahn para .
Para cada E 2 = de…namos:
+
(E) = (E \ A),
(E) =
(E \ B).
(A) =
156
+
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
y
son entonces medidas sobre (F; =) tales que:
+
(A) =
(B) = 0 y
+
(E) =
(E) para cualquier E 2 =.
(E)
Como toma a lo más uno de los valores +1 y
+
y , es …nita.
1, por lo menos una de las dos medidas,
Para la unicidad, supongamos que +
y +
son dos parejas de medidas sobre
1; 1
2; 2
(F; =) que satisfacen las propiedades 1, 2 y 3, y sean A1 ; B1 ; A2 ; B2 2 = tales que:
A1 \ B1 = ;, F = A1 [ B1 y
1
(A1 ) =
+
1
(B1 ) = 0,
A2 \ B2 = ;, F = A2 [ B2 y
2
(A2 ) =
+
2
(B2 ) = 0.
Se tiene entonces:
(A1 \ B2 ) =
+
1
(A1 \ B2 )
1
(A1 \ B2 ) =
(A1 \ B2 ) =
+
2
(A1 \ B2 )
2
(A1 \ B2 ) =
2
(A1 \ B2 )
0,
(A2 \ B1 ) =
+
1
(A2 \ B1 )
1
(A2 \ B2 ) =
1
(A2 \ B2 )
0,
(A2 \ B1 ) =
+
2
(A2 \ B1 )
2
(A2 \ B1 ) =
Así que,
+
1
+
2
(A1 \ B2 )
0,
(A2 \ B1 )
0.
(A1 \ B2 ) = (A2 \ B1 ) = 0.
Por lo tanto:
+
1
(A1 \ B2 ) =
1
(A1 \ B2 ) = 0,
+
2
(A1 \ B2 ) =
2
(A1 \ B2 ) = 0,
+
1
(A2 \ B1 ) =
1
(A2 \ B1 ) = 0,
+
2
(A2 \ B1 ) =
2
(A2 \ B1 ) = 0.
Entonces:
Si C 2 = y C
A1 , se tiene:
(C \ A2 ) =
+
1
(C \ A2 ) =
+
1
(C \ A2 ) +
+
1
(C \ B2 ) =
+
1
(C),
(C \ A2 ) =
+
2
(C \ A2 ) =
+
2
(C \ A2 ) +
+
2
(C \ B2 ) =
+
2
(C).
Por lo tanto:
+
1
+
2
(C) =
Así que
Además:
+
1
(C).
y
+
2
son iguales sobre A1 .
5.6. MEDIDAS CON SIGNO
+
2
+
2
(B1 ) =
+
1
Así que,
(B1 \ A2 ) +
+
2
y
+
1
Por lo tanto,
Si D 2 = y D
+
2
157
(B1 \ B2 ) = 0.
son iguales sobre B1 .
y
+
2
son iguales sobre F, es decir,
+
1
=
+
2.
B1 , se tiene:
(D \ B2 ) =
1
(D \ B2 ) =
1
(D \ B2 )
1
(D \ A2 ) =
1
(D),
(D \ B2 ) =
2
(D \ B2 ) =
2
(D \ B2 )
2
(D \ A2 ) =
2
(D).
Por lo tanto:
1
(D) =
Así que
(D).
2
1
y
2
son iguales sobre B1 .
Además:
2
(A1 ) =
Así que,
2
1
y
Por lo tanto,
(A1 \ A2 ) +
2
1
2
(A1 \ B2 ) = 0.
son iguales sobre A1 .
y
2
son iguales sobre F, es decir,
Corolario 5.11. Sea
1
=
2
.
: (F; =) 7! R [ f 1; 1g una medida con signo, Entonces:
(i) Para cualquier
sucesión creciente (An )n2N de elementos de =, se tiene:
S
A
)
( 1
n=1 n = l mn 1 (An ).
(ii) Para cualquier sucesión decreciente (An )n2N de elementos de =, tales que (A1 ) <
1, se T
tiene:
( 1
n=1 An ) = l mn!1 (An ).
Demostración
Sean
+
y
dos medidas sobre (R; B (R)) tales que:
1. Por lo menos una de las dos medidas,
2.
=
+
y
, es …nita.
+
3. Existen dos conjuntos A; B 2 = tales que A \ B = ;, F = A [ B y
i) Se tiene:
S
+
( 1
n=1 An ) = l mn!1
S
( 1
n=1 An ) = l mn!1
+
(An )
(An )
(A) =
+
(B) = 0:
158
5. TEORÍA GENERAL DE LA MEDIDA
S1
+
+
Como
por
lo
menos
una
de
las
dos
medidas,
y
,
es
…nita,
se
tiene
que
(
n=1 An ) y
S1
( n=1 An ) no pueden ser ambas 1. Así que:
S
S
S
+
+
( 1
( 1
( 1
(An )
(An )) = l mn 1 (An )
n=1 An ) =
n=1 An )
n=1 An ) = l mn 1 (
ii) Como por lo menos una de las dos medidas,
(A1 ) < 1. Así que:
T
+
+
( 1
(An ) < 1.
n=1 An ) = l mn!1
T
( 1
(An ) < 1.
n=1 An ) = l mn!1
Por lo tanto:
T
( 1
n=1 An ) =
+
T
( 1
n=1 An )
+
T
( 1
n=1 An ) = l mn
y
1
, es …nita, se tiene
(
+
(An )
+
(A1 ) < 1 y
(An )) = l mn
1
(An ).
Los siguientes resultados se demuestran de forma idéntica a la realizada en el caso de las
medidas.
Proposición 5.14. Sea F un conjunto, A un álgebra de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas con signo de…nidas sobre (A), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 A .
Supongamos
además que existe una sucesión creciente (Fn )n2N de elementos de (A) tal
S1
que n=1 Fn = F y, para cualquier n 2 N, 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 y 1 (A \ Fn ) = 2 (A \ Fn )
para cualquier A 2 A. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (A).
Proposición 5.15. Sea F un conjunto, P un -sistema de subconjuntos de F y 1 y 2 dos
medidas con signo de…nidas sobre (P), tales que 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 P.
Supongamos
además que existe una sucesión creciente (Fn )n2N de elementos de (P) tal
S1
que n=1 Fn = F y, para cualquier n 2 N, 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 y 1 (A \ Fn ) = 2 (A \ Fn )
para cualquier A 2 P. Entonces 1 (A) = 2 (A) para cualquier A 2 (P).
CAPÍTULO 6
MEDIDAS EN (R; B (R))
La de…nición de la integral de Riemann-Stieltjes de una función f con respecto a una función
g, ambas de…nidas en un intervalo [a; b], sugiere que se podría obtener una medida, sobre
los borelianos de [a; b], partiendo de que la medida de un intervalo de extremos x1 y x2 ,
ambos en el intervalo [a; b], puede de…nirse como la diferencia g (x2 ) g (x1 ). En general, esa
diferencia podría ser positiva o negativa, de manera que estaríamos generando una medida
con signo a partir de la función g. Como una medida con signo se puede expresar como
la diferencia de dos medidas, podemos analizar primero bajo que condiciones una función
h : [a; b] ! R genera una medida partiendo, como se indicó antes, de que la medida de un
intervalo es la diferencia de los valores de h en sus extremos.
En primer lugar, es evidente que, para que la medida de los intervalos así de…nida sea no
negativa, se requiere que h sea una función no decreciente. De manera que, dada una función
g, para que se pueda generar una medida partiendo de que la medida de un intervalo es la
diferencia de los valores de g en sus extremos, se requiere que g sea de variación acotada.
Tomemos entonces una función h : [a; b] ! R no decreciente y supongamos que podemos
de…nir una medida h , sobre los borelianos de [a; b], tal que la medida de un intervalo es la
diferencia de los valores de h en sus extremos.
Si h ((c; d)) = h(d) h(c) para cualquier intervalo (c; d) contenido en (a; b), entonces, dado
uno de esos intervalos, si ((cn ; dn ))n2N es una suceción creciente de intervalos cuya unión
es el intervalo (c; d), se tiene h(d) h(c) = h ((c; d)) = l mn 1 h ((cn ; dn )) = l mn 1
(h(dn ) h(cn )), así que h tiene que ser continua por la derecha en c y continua por la
izquierda en d. Siendo esto válido para cualquier intervalo (c; d) contenido en [a; b], h tiene
que ser continua en el intervalo (a; b). En este caso, la medida de un intervalo, de cualquier
tipo, de extremos c y d, con c; d 2 (a; b), es igual a h(d) h(c).
De la misma manera:
Si h ([c; d]) = h(d) h(c) para cualquier intervalo [c; d] contenido en (a; b), entonces h tiene
que ser continua en el intervalo (a; b) y la medida de un intervalo, de cualquier tipo, de
extremos c y d, con c; d 2 (a; b), es igual a h(d) h(c).
159
160
6. MEDIDAS EN (R;
(R))
Si h ([c; d)) = h(d) h(c) para cualquier intervalo [c; d) contenido en (a; b), entonces h tiene
que ser continua por la izquierda en el intervalo (a; b).
Si h ((c; d]) = h(d) h(c) para cualquier intervalo (c; d] contenido en (a; b), entonces h tiene
que ser continua por la derecha en el intervalo (a; b).
Vamos a demostrar que, en cualquiera de estos cuatro casos, se puede generar la medida h .
Basta con demostrarlo para los dos últimos casos ya que cualquiera de ellos contiene, como
casos particulares, a los dos primeros.
El método para generar la medida h será el que expusimos en la sección 5.3 del capítulo
anterior. Es decir, de…niendo primero una quasi medida sobre el álgebra generada por los
intervalos de la forma [c; d) para el caso de una función no decreciente continua por la
izquierda o por los intervalos de la forma (c; d] para el caso de una función no decreciente
continua por la derecha.
Vamos a tratar un caso más general, el de una función F : R 7! R no decreciente, para la
cual demostraremos que existe una única medida F , de…nida sobre los conjuntos borelianos
de R, tal que, para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b, se tiene:
F
((a; b]) = F (b+)
F (a+),
F
([a; b)) = F (b )
F (a ).
o equivalentemente:
Una medida con esta propiedad es …nita sobre los intervalos acotados.
Demostraremos entonces el resultado inverso, es decir, que dada cualquier medida sobre
los conjuntos borelianos de R, tal que los intervalos acotados tienen medida …nita, existe una
función no decreciente F : R 7! R tal que, para cualquier pareja de números reales, a y b,
tales que a < b, se tiene:
((a; b]) = F (b+)
F (a+),
([a; b)) = F (b )
F (a ).
Una función no decreciente F con esta propiedad no es única ya que, por ejemplo, si c 2 R,
la función F + c es no decreciente y cumple con la misma propiedad. Sin embargo, lo
que se puede probar es que si F1 y F2 son dos funciones no decrecientes que satisfacen esta
propiedad, entonces las funciones x ! (F1 F2 ) (x+) y x ! (F1 F2 ) (x ), de…nidas sobre
R, son constantes.
Si nos restringimos a las funciones no decrecientes y continuas por la derecha o a las no
decrecientes y continuas por la izquierda, entonces, dadas dos funciones F1 y F2 que satisfacen
dicha propiedad, existe c 2 R tal que F2 F1 = c.
6.1. MEDIDAS Y FUNCIONES NO DECRECIENTES
161
Por lo tanto, si identi…camos a las funciones no decrecientes continuas por la derecha (resp.
continuas por la izquierda) cuya diferencia es constante, podemos a…rmar que hay una correspondencia uno a uno entre las funciones no decrecientes continuas por la derecha (resp.
continuas por la izquierda) y las medidas de…nidas sobre los conjuntos borelianos de R tal
que los intervalos acotados tienen medida …nita. De manera más especí…ca, si F1 : R 7! R
y F2 : R 7! R son dos funciones no decrecientes continuas por la derecha (resp. continuas
por la izquierda), diremos que son equivalentes si existe c 2 R tal que F2 F1 = c. Denotemos por M al conjunto de medidas, de…nidas sobre los conjuntos borelianos de R, tal
que los intervalos acotados tienen medida …nita, y por C + (resp. C ) al conjunto de clases
de equivalencia en las cuales queda partido el conjunto de funciones no decrecientes continuas por la derecha (resp. continuas por la izquierda) bajo la relación de equivalencia así
de…nida. Entonces, existe una función biyectiva H : C + ! M (resp. H : C ! M) tal que
si X = H (X), entonces, para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b, se
tiene:
X
((a; b]) = F (b)
F (a) (resp.
X
([a; b)) = F (b)
F (a))
para cualquier función F 2 X.
En otras palabras, toda función no decreciente continua por la derecha (resp. continua por
la izquierda) representa una única medida, de…nida sobre los conjuntos borelianos de R, tal
que los intervalos acotados tienen medida …nita. Inversamente, toda medida de…nida sobre
los conjuntos borelianos de R tal que los intervalos acotados tienen medida …nita representa
una única (módulo la relación de equivalencia de…nida) función no decreciente continua por
la derecha (resp. continua por la izquierda).
6.1. Medidas y funciones no decrecientes
Sea F : R 7! R una función no decreciente y continua por la derecha y de…namos:
F (1) = l mx
1
F ( 1) = l mx!
F (x),
1
F (x).
Si a; b 2 R [ f 1; 1g y a < b, de…namos (a; bj de la siguiente manera:
(a; bj =
(a; b] si b 2 R
(a; b) si b = 1
Sea I la familia de los intervalos de este tipo, agregando al vacío como parte de la familia.
De…namos
F
(;) = 0 y, para cada intervalo I = (a; bj 2 I;
F
(I) = F (b)
F (a).
162
6. MEDIDAS EN (R;
(R))
Se podría tener F (1) = 1 y F ( 1) = 1, lo cual no sería problema para la de…nición
de F (( 1; 1)) pues, con las convenciones que hemos hecho, se tendría F (( 1; 1)) =
1 ( 1) = 1 + 1 = 1.
El resultado central que se requiere demostrar para poder extender
conjuntos borelianos en R es el siguiente:
F
a la -álgebra de los
Sea (a; bj
S12 I y (a1 ; b1 j ; (a2 ; b2 j ; : : : una colección in…nita de intervalos en I tales que
(a; bj
k=1 (ak ; bk j. Entonces:
F (b)
P1
F (a)
k=1
[F (bk )
F (ak )].
Lema 6.1. Sea I = (a; bj 2 I y a(1) ; b(1) ; a(2) ; b(2) ; : : : ; a(m) ; b(m) , una colección …nita de
S
(j) (j)
, entonces:
intervalos en I, ajenos por parejas, tal que I = m
j=1 a ; b
Pm
a(j) ; b(j) .
F (I) =
j=1 F
Demostración
Como los intervalos a(1) ; b(1) ; a(2) ; b(2) ; : : : ; a(m) ; b(m) son ajenos por parejas y su unión
es (a; bj, podemos ordenarlos para obtener una colección de intervalos ajenos por parejas,
x(1) ; y (1) ; x(2) ; y (2) ; : : : ; x(m) ; y (m) , de tal forma que:
a = x(1) < y (1) = x(2) < y (2) = x(2) <
Así que:
Pm
j=1
a(j) ; b(j)
F
= F (b)
F (a) =
=
F
Pm
j=1
(I)
F
= x(m) < y (m) = b
y (j) ; z (j)
=
Pm
j=1
F y (j)
F x(j)
Lema 6.2. Sea I = (a; bj 2 I y I (1) = a(1) ; b(1) , : : : , I (m) = a(m) ; b(m) una colección …nita
Sm (j)
de intervalos en I tales que I
j=1 I , entonces:
Pm
(j)
.
F (I)
j=1 F I
Demostración
Los puntos a; b; a(1) ; b(1) ; : : : ; a(m) ; b(m) constituyen una partición de un intervalo (c; dj que
contiene al intervalo (a; bj.
Esta partición parte cada intervalo I (j) , con j 2 f1; 2; : : : ; mg, en subintervalos ajenos por
(j)
(j)
parejas, I1 ; : : : ; Inj . Así que:
F
I (j) =
Pnj
k=1
(j)
F
Ik
.
6.1. MEDIDAS Y FUNCIONES NO DECRECIENTES
163
La partición de…nida antes también parte el intervalo I en subintervalos ajenos por parejas,
I1 ; : : : ; In . Así que:
Pn
F (I) =
k=1 F (Ik ).
Sm (j)
Por otra parte, como I
j=1 I , cada intervalo Ik , con k 2 f1; 2; : : : ; ng, coincide con un
(j)
intervalo Ik0 para alguna j 2 f1; 2; : : : ; mg y alguna k 0 2 f1; 2; : : : ; nj g, por lo tanto:
F
(I) =
Pn
F
k=1
Pm Pnj
(Ik )
(j)
k=1
j=1
F
Ik
=
Pm
j=1
F
I (j) .
Lema 6.3. Sean I1 ; : : : ; Ik y I (1) ; : : : ; I (m) dos colecciones …nitas de intervalos
tales que
S en I S
(j)
I1 ; : : : ; Ik son ajenos por parejas, I (1) ; : : : ; I (m) son ajenos por parejas y ki=1 Ii = m
j=1 I ,
entonces:
Pm
Pk
(j)
.
j=1 F I
i=1 F (Ii ) =
Demostración
(j)
Para cada i 2 f1; : : : ; kg y j 2 f1; : : : ; mg, de…namos Ii = Ii \ I (j) . Entonces, como
S
Sm (j)
Sm (j)
Sk
(j)
y I (j) = ki=1 Ii , así que:
j=1 Ii
j=1 I , se tiene Ii =
i=1 Ii =
F
F
(Ii ) =
Pm
(j)
I (j) =
Ii
F
j=1
Pk
,
(j)
i=1
.
Ii
F
Por lo tanto:
Pk Pm
Pk
j=1
i=1
i=1 F (Ii ) =
=
Pm Pk
j=1
i=1
(j)
F
Ii
=
(j)
F
Pm
Ii
j=1
F
I (j) .
Teorema 6.1. Sea S
(a; bj 2 I y (a1 ; b1 j ; (a2 ; b2 j ; : : : una colección in…nita de intervalos en
1
I tales que (a; bj
k=1 (ak ; bk j. Entonces:
P1
F (b) F (a)
F (ak )].
k=1 [F (bk )
Demostración
Tomemos " > 0 y
> 0, arbitrarios.
Como F es continua por la derecha, para cada cada k 2 N, existe
F (dk )
donde:
F (bk ) <
"
,
2k
k
> 0 tal que:
164
6. MEDIDAS EN (R;
dk =
bk +
bk
k
(R))
si bk 2 R
si bk = 1
De…namos:
c =
d =
a+
1
si a 2 R
si a = 1
b si b 2 R
1
si b = 1
Entonces:
lm
!0
[F (d )
F (c )] = F (b)
F (a).
S1
(ak ; bk j
Además:
(c ; d j
[c ; d ]
(a; bj
k=1
S1
k=1
(ak ; dk ).
Así que, por el teorema de Heine-Borel, existe una colección …nita, (ak1 ; dk1 ) ; : : : ; (akm ; dkm ),
tal que:
Sm
[c ; d ]
j=1 akj ; dkj
Por lo tanto:
(c ; d j
[c ; d ]
Así que:
F (d ) F (c )
P1
k=1 [F (bk )
Sm
j=1
akj ; dkj
Sm
j=1
akj ; dkj .
Pm
P1
F (ak )]
F dkj
F ak j
k=1 [F (dk )
P
P1
"
F (ak )] + 1
F (ak )] + ".
k=1 2k =
k=1 [F (bk )
j=1
Y, como " > 0 es arbitraria:
P1
F (d ) F (c )
k=1 [F (bk )
F (ak )].
Finalmente, tomando límites cuando ! 0, se obtiene:
P1
F (b) F (a)
F (ak )].
k=1 [F (bk )
Teorema 6.2. Si F : R 7! R es una función no decreciente y continua por la derecha, existe
una única medida F , de…nida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que:
F
((a; b]) = F (b)
F (a),
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
6.1. MEDIDAS Y FUNCIONES NO DECRECIENTES
Además,
F
165
F (x ) para cualquier x 2 R.
(fxg) = F (x)
Demostración
Sea A la familia formada por los conjuntos de la forma
intervalos en I, ajenos por parejas.
S
P
Para cada A = nj=1 Ij 2 A, de…namos F (A) = nj=1
Por los lemas anteriores,
F
Sn
j=1 Ij
donde n 2 N y I1 ; : : : ; In son
F (Ij ).
está bien de…nida.
Obviamente F (I) = F (I) para cualquier I 2 I, A es un álgebra de subconjuntos de R y
la función F : A 7! R es no negativa y …nitamente aditiva.
Sea A1 ; A2 ; : : : una colección
S1 in…nita numerable de elementos de A, ajenos por parejas, no
vacíos y tales que A = i=1 Ai 2 A.
Como para cada i 2 N, Ai 2 A, Ai es una unión …nita de intervalos en I ajenos por parejas.
Además, como A 2 A, A también es una unión …nita de intervalos en I ajenos por parejas.
S i
S
(j)
y, para cada i 2 N, Ai = m
Sean A = m
k=1 I(i;k) . Entonces:
j=1 I
S1 Smi
S
Sm (j)
=A= 1
i=1
k=1 I(i;k)
i=1 Ai =
j=1 I
Tenemos dos colecciones de intervalos, por un lado la familia I(i;k) : i 2 N; k 2 f1; : : : ; mi g
y por el otro la familia I (j) : j 2 f1; : : : ; mg . Tanto los intervalos de la primera familia
como los de la segunda son ajenos por parejas y A es igual tanto a la unión de los intervalos
de la primera familia como de la segunda. Por otra parte, una pareja de intervalos, uno de
la primera familia y otro de la segunda, podrían no ser ajenos.
La idea ahora es partir cada intervalo I (j) en intervalos ajenos por parejas, utilizando los
intervalos I(i;k) . Para esto, de…namos, para cada j 2 f1; : : : ; mg, i 2 N y k 2 f1; : : : ; mi g:
(j)
I(i;k) = I(i;k) \ I (j)
n
o
(j)
Entonces, los intervalos de la familia I(i;k) : j 2 f1; : : : ; mg ; i 2 N; k 2 f1; : : : ; mi g son
ajenos por parejas y:
S
(j)
I(i;k) = m
j=1 I(i;k) para cualesquiera i 2 N y k 2 f1; : : : ; mi g.
I (j) =
S1 Smi
i=1
(j)
k=1 I(i;k)
para cualquier j 2 f1; : : : ; mg.
Además, por el teorema 6.1, se tiene:
F
I (j)
Así que:
P1 Pmi
i=1
k=1
(j)
F
I(i;k) para cualquier j 2 f1; : : : ; mg.
166
F
=
=
6. MEDIDAS EN (R;
(A) =
Pm
j=1
P1 Pmi Pm
i=1
P1
i=1
k=1
F
Pm P1 Pmi
I (j)
F
j=1
(j)
j=1
F
I(i;k) =
(Ai )
Además, P
como
n
(A)
F
i=1
P1
F (A)
i=1
F
F
i=1
k=1
P1 Pmi
i=1
k=1
(R))
(j)
F
I(i;k)
F
I(i;k)
Sn
es …nitamente aditiva y A
i=1 Ai para cualquier n 2 N, se tiene
(Ai ) para cualquier n 2 N, así que:
(Ai ).
P
Por lo tanto, F (A) = 1
i=1 F (Ai ), así que F es -aditiva y entonces puede ser extendida
a una medida F de…nida sobre la -álgebra generada por A, es decir, los borelianos de R.
F
Si 1 y 2 son dos medidas sobre los borelianos de R tales que 1 ((a; b]) = 2 ((a; b]) =
F (b) F (a) para cualquier pareja de S
números reales, a y b, tales que a < b, de…namos, para
cada n 2 N, Fn = ( n; n]; entonces 1
n=1 Fn = R y 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 para cualquier
n 2 N. Así que, por el teorema de clases monótonas para -sistemas, 1 (A) = 2 (A) para
cualquier conjunto boreliano de R.
Para la última parte, sea x 2 R, entonces:
T
1
fxg = 1
;x .
n=1 x
n
Así que:
F
(fxg) = l mn
1
F
x
1
;x
n
= F (x)
l mn
1
F x
1
n
= F (x)
F (x ).
Corolario 6.1. Si F : R 7! R es una función no decreciente y continua por la izquierda,
existe una única medida F , de…nida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que:
F
([a; b)) = F (b)
F (a),
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
Además,
F
(fxg) = F (x+)
F (x) para cualquier x 2 R.
Demostración
De…namos F d : R ! R de la siguiente manera:
F d (x) = F (x+).
Entonces, F d es no decreciente y continua por la derecha; además, F d (x) F d (x ) =
F (x+) F (x) para cualquier x 2 R, lo cual implica que, si a y b son números reales tales
que a < b, entonces:
6.1. MEDIDAS Y FUNCIONES NO DECRECIENTES
F d (b )
F d (a ) = F (a+)
= F (a+)
= F (b)
Sea
F
F,
F (a)
F (a+)
F (a)
F d (a)
167
F (b+) + F (b) + F d (b)
F (b+) + F (b) + F (b+)
F (a).
la una única medida, de…nida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que:
((a; b]) = F d (b)
F d (a),
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
Sean a; b 2 R tales que a < b, (an )n2N una sucesión creciente que converja a a y (bn )n2N una
sucesión creciente, de números reales mayores que a, que converja a b; entonces:
F
([a; b)) = l mn
= F d (b )
1
F
((an ; bn ]) = l mn!1 F d (bn )
F d (a ) = F (b)
l mn
1
F d (an )
F (a).
Si 1 y 2 son dos medidas sobre los borelianos de R tales que 1 ([a; b)) = 2 ([a; b)) =
F (b) F (a) para cualquier pareja de S
números reales, a y b, tales que a < b, de…namos, para
cada n 2 N, Fn = [ n; n); entonces 1
n=1 Fn = R y 1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 para cualquier
n 2 N. Así que, por el teorema de clases monótonas para -sistemas, 1 (A) = 2 (A) para
cualquier conjunto boreliano de R.
Para la última parte, sea x 2 R, entonces:
T
1
fxg = 1
n=1 x; x + n .
Así que:
F
(fxg) = l mn
1
F
x; x +
1
n
= l mn!1 F x +
1
n
F (x) = F (x+)
F (x).
Sea F : R 7! R una función no decreciente, entonces:
La función F (d) : R ! R de…nida por F (d) (x) = F (x+) es no decreciente y continua por la
derecha, y F (d) (x ) = F (x ) para cualquier x 2 R.
La función F (i) : R ! R de…nida por F (i) (x) = F (x ) es no decreciente y continua por la
izquierda, y F (i) (x+) = F (x+) para cualquier x 2 R.
Así que, de acuerdo con los resultados anteriores, podemos generar 2 medidas sobre los
conjuntos borelianos de R, F (d) y F (i) , tales que, para cualquier pareja de números reales,
a y b, tales que a < b, se tiene:
F (d)
((a; b]) = F (d) (b)
F (d) (a),
F (i)
([a; b)) = F (i) (b)
F (i) (a).
168
6. MEDIDAS EN (R;
(R))
En realidad, estas 2 medidas son una sola. En efecto, si a y b son números reales tales que
a < b, se tiene:
Fi
((a; b]) = l mn!1
= F (i) (b+)
1
F d (a) =
= F (d) (b)
Así que
l mn
Fi
=
a + n1 ; b +
Fi
1
n
= l mn
F (i) (a+) = F (b+)
F (d)
1
F (i) b +
1
n
F (i) a +
1
n
F (a+)
((a; b]).
F (d) .
Así que, los 2 resultados anteriores se reducen a un único resultado:
Teorema 6.3. Si F : R 7! R es una función no decreciente, existe una única medida
de…nida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que:
(i)
(ii)
(iii)
((a; b]) = F (b+)
F ([a; b)) = F (b )
F (fxg) = F (x+)
para cualquier x
a < b.
F
F,
F (a+),
F (a ),
F (x ),
2 R y cualquier pareja de números reales, a y b, tales que
Definición 6.1. Si F : R 7! R es una función no decreciente, la medida
anterior será llamada la medida generada por F .
F
del teorema
Ahora mostraremos que cualquier medida sobre los borelianos de R, tal que los intervalos
acotados tienen medida …nita, se puede generar a partir de una función no decreciente ya
sea continua por la derecha o continua por la izquierda.
Teorema 6.4. Dada cualquier medida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que los
intervalos acotados tienen medida …nita, existe una función no decreciente y continua por
la derecha F d : R 7! R tal que ((a; b]) = F d (b) F d (a) para cualquier pareja de números
reales, a y b, tales que a < b. Además, si F1 y F2 son dos funciones con esta propiedad,
entonces F1 F2 es constante.
Demostración
De…namos la función F d : R ! R de la siguiente manera:
d
F (x) =
8
<
: 0
((x; 0]) si x 2 ( 1; 0)
((0; x])
si x = 0
si x 2 (0; 1)
F d es no decreciente y continua por la derecha y se tiene
cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
((a; b]) = F d (b)
F d (a) para
6.1. MEDIDAS Y FUNCIONES NO DECRECIENTES
169
Si F1 : R 7! R y F2 : R 7! R son dos funciones que satisfacen el enunciado del teorema, se
tiene F1 (b) F1 (a) = F2 (b) F2 (a) para cualquier pareja de números reales a y b tales que
a < b, lo cual implica que (F1 F2 ) (b) = (F1 F2 ) (a); es decir, F1 F2 es constante.
Corolario 6.2. Para cualquier medida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que los
intervalos acotados tienen medida …nita, existe una función no decreciente y continua por la
izquierda F i : R 7! R tal que ([a; b)) = F i (b) F i (a) para cualquier pareja de números
reales, a y b, tales que a < b. Además, si F1 y F2 son dos funciones con esta propiedad,
entonces F1 F2 es constante.
Demostración
Sea F d una función no decreciente y continua por la derecha F d : R 7! R tal que
F d (b) F d (a) para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
((a; b]) =
De…namos F i : R ! R de la siguiente manera:
F i (x) = F d (x ).
Entonces, F i es no decreciente y continua por la izquierda.
Sean a; b 2 R tales que a < b, (an )n2N una sucesión creciente que converja a a y (bn )n2N una
sucesión creciente, de números reales mayores que a, que converja a b; entonces:
([a; b)) = l mn
= F d (b )
1
((an ; bn ]) = l mn
F d (a ) = F i (b)
1
F d (bn )
l mn
1
F d (bn )
F i (a).
Si F1 : R 7! R y F2 : R 7! R son dos funciones que satisfacen el enunciado del teorema, se
tiene F1 (b) F1 (a) = F2 (b) F2 (a) para cualquier pareja de números reales a y b tales que
a < b, lo cual implica que (F1 F2 ) (b) = (F1 F2 ) (a); es decir, F1 F2 es constante.
Como antes, los 2 resultados anteriores se reducen a un único resultado:
Teorema 6.5. Dada cualquier medida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que los
intervalos acotados tienen medida …nita, existe una función no decreciente F : R 7! R tal
que la medida generada por F es . Es decir, se tiene:
(i)
(ii)
(iii)
((a; b]) = F (b+)
([a; b)) = F (b )
(fxg) = F (x+)
para cualquier x
a < b.
F (a+),
F (a ),
F (x ),
2 R y cualquier pareja de números reales, a y b, tales que
170
6. MEDIDAS EN (R;
(R))
Además, si F1 y F2 son dos funciones no decrecientes con estas propiedades, entonces las
funciones x ! (F1 F2 ) (x+) y x ! (F1 F2 ) (x ), de…nidas sobre R, son constantes.
Corolario 6.3. Si es una medida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que los intervalos acotados tienen medida …nita, el conjunto fx 2 R : (fxg) > 0g es a lo más in…nito
numerable.
Se tiene el siguiente resultado que es más general:
Proposición 6.1. Si es una medida -…nita sobre los conjuntos borelianos de R, el conjunto fx 2 R : (fxg) > 0g es a lo más in…nito numerable.
Demostración
Sea E1 ; E2 ; : : : una colección in…nita numerable de conjuntos borelianos de R tal que
R y (En ) < 1 para cualquier n 2 N.
S1
n=1
En =
Para cada pareja n; m 2 N, de…namos:
(m)
En
= x 2 En :
Como
(fxg) >
1
m
.
(m)
(En ) < 1, En
fx 2 En :
es un conjunto …nito para cualquier m 2 N. Además:
S
(m)
(fxg) > 0g = 1
m=1 En .
Así que el conjunto fx 2 En :
(fxg) > 0g es a lo más in…nito numerable.
S
(fxg) > 0g. Así que el conjunto
Finalmente, fx 2 R : (fxg) > 0g = 1
n=1 fx 2 En :
fx 2 R : (fxg) > 0g es a lo más in…nito numerable.
6.2. Medidas y funciones no decrecientes que crecen únicamente mediante
saltos
Como vimos en el capítulo 2, toda función no decreciente se puede expresar como la suma de
dos funciones no decrecientes, una que crece únicamente mediante saltos y la otra continua.
Por otra parte, una medida sobre los conjuntos borelianos de R, tal que los intervalos acotados tienen medida …nita, podemos generarla ya sea mediante una función no decreciente y
continua por la derecha, o bien mediante una no decreciente y continua por la izquierda. Se
hizo costumbre elegir la función continua por la derecha para representar a la medida, pero
bien podría elegirse la que es continua por la izquierda.
Tomemos una función F : R 7! R, no decreciente y continua por la derecha. F se puede expresar entonces como la suma de una función F c , continua, y una función F d , no decreciente,
continua por la derecha, que crece únicamente mediante saltos y tal que F d (x) F d (x ) =
6.2. MEDIDAS Y FUNCIONES NO DECRECIENTES QUE CRECEN ÚNICAMENTE MEDIANTE SALTOS
171
F (x)
F d:
d
F (x ) para cualquier x 2 R. Además, tenemos la de…nición explícita de la función
F (x) =
P
F (0 )
[F (y) F (y )] si x 2 ( 1; 0)
P fy2D:x<y<0g
F (0) + fy2D:0<y xg [F (y) F (y )]
si x 2 [0; 1)
Donde D es el conjunto de puntos donde F es discontinua, el cual es a lo más in…nito
numerable y lo supondremos no vacío.
Si F c es constante, la medida que genera es nula sobre los borelianos. En este caso, la medida
generada por F es la generada por F d . Si denotamos por F d a la medida generada por F d ,
recordemos que se tienen las siguientes relaciones:
P
F d (z) F d (x) = fy2D:x<y zg F d (y) F d (y ) para cualquier parera (x; z) de números
reales tales que x < z.
Fd
((a; b]) = F d (b)
F d (a) para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
Fd
(fxg) = F d (x)
F d (x ) para cualquier x 2 R; en particular,
Fd
(fxg) = 0 si x 2
= D.
Así que, si a < b:
((a; b]) = F d (b) F d (a) =
y2(a;b] F d (fyg)
PF d
P
fy2D:a<y bg
F d (y)
F d (y ) =
P
fy2D:a<y bg
Fd
(fyg) =
Por otra parte, si D es …nito, sea B un conjunto in…nito numerable contenido en R D,
de…namos E = D [ B y denotemos por y1 ; y2 ; : : : a los elementos de E. Obviamente se tiene:
P
F d ((a; b]) =
fy2E:a<y bg F d (fyg)
Para cada subconjunto A de R, de…namos:
P
(A) = fy2A\Eg F d (fyg)
Por el Corolario 3.9,
subconjuntos de R.
es una medida de…nida sobre la
Además, por el teorema de Clases Monótonas,
conjuntos borelianos de R.
y
Fd
-álgebra formada por todos los
coinciden sobre la -álgebra de los
Resumiento, si F : R 7! R es una función no decreciente, no constante, continua por la
derecha y que crece únicamente mediante saltos, entonces existe un conjunto …nito o in…nito
numerable E tal que F (fyg) > 0 para cualquier y 2 E y, si B es un subconjunto boreliano
de R, entonces:
P
F (B) =
fy2B\Eg F (fyg)
172
6. MEDIDAS EN (R;
(R))
En este caso, F puede extenderse a una medida de…nida sobre la -álgebra formada por
todos los subconjuntos de R.
Como podemos ver, la medida
c
F (E ) = 0.
F
se concentra en los elementos de E; en otras palabras,
Una medida de este tipo, para la cual existe un conjunto de números reales, …nito o in…nito
numerable, E tal que F (fyg) > 0 para cualquier y 2 E y (E c ) = 0 es llamada medida
discreta. Esto no implica que los elementos de E estén separados topológicamente en R; es
decir, no necesariamente ocurre que para cada y 2 E existe un intervalo abierto que contiene
a y y que no contiene a ningún otro elemento de E. Incluso el conjunto E puede ser denso en
R; por ejemplo, sea Q = fr1 ; r2 ; : : :g el conjunto formado por todos los números racionales
y, para cada subconjunto A de R, de…namos:
P
(A) = fn2N:rn 2Ag 21n
Entonces es una medida discreta concentrada en Q. Una función no decreciente y continua
por la derecha F : R 7! R que genera tal medida está dada por:
P
F (x) = fn2N:rn xg 21n
Esta función F crece únicamente mediante saltos y Q es el conjunto de puntos donde es
discontinua.
6.3. Medidas y funciones no decrecientes continuas
Consideremos ahora una función F : R 7! R, no decreciente, no constante y que no tiene
discontinuidades.
En este caso, la medida F de cualquier intervalo acotado, con extremos a y b, es igual a
F (b) F (a) y F (fxg) = 0 para cualquier x 2 R. Además, como F es no constante, existen
a; b 2 R tales que a < b y F (b) F (a) > 0.
Por ser F continua, este caso parece más simple que el anterior, donde F es una función que
crece únicamente mediante saltos. Sin embargo, en realidad el caso en que F es continua,
en general, es más complicado. Esto se puede analizar desde diferentes puntos de vista; por
ejemplo, las funciones continuas no siempre son tan "bonitas" como uno las imagina. Las que
uno dibuja habitualmente son funciones que no únicamente son continuas, sino que además
son derivables en casi todo punto. Pero sabemos que hay funciones continuas f : [0; 1] 7! R
que no son derivables en ningún punto x 2 [0; 1]; de hecho, en un sentido, existen muchas
más funciones de este tipo que las que son derivables en algún punto (cf. Bachman G. &
Narici L., Functional Analysis, Sección 6.3, Ed. Academic Press, 1966).
El problema de determinar las propiedades que debe tener una función F , no decreciente y
continua, para que la medida F que genera sea más fácil de trabajar lo trató Lebesgue en
6.4. MEDIDAS CON SIGNO Y FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
173
su libro de 1904. Ahí no estudió únicamente el problema de la integración de funciones, sino
también el de la búsqueda de primitivas de una función (i.e. dada una función f , encontrar
una función cuya derivada sea f ), el cual abordó introduciendo el concepto de integral
inde…nida: Si f : [a; b] ! R es una función
medible e integrable, la función F : [a; b] ! R
Rx
de…nida mediante la relación F (x) = a f (y) dy + K, donde K es una constante, es llamada
una integral inde…nida de f . Demostró entonces que si F es una integral inde…nida de
f , entonces F es continua, de variación acotada y F 0 (x) = f (x) excepto a lo más en un
conjunto de medida cero. Probó además que existen funciones continuas y no decrecientes
que no son integrales inde…nidas de ninguna otra función (ver la introducción al capítulo 5).
Poco tiempo después, Vitali y el mismo Lebesgue demostraron que el concepto de integral
inde…nida coincide con el de función absolutamente continua: Una
Pn función F : [a; b] ! R
es absolutamente continua si, dada " > 0, existe > 0 tal que k=1 jF (bk ) F (ak )j < "
para cualquier colección …nita de
(a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ), . . . , (an ; bn ), contenidos en [a; b],
Pintervalos
n
ajenos por parejas y tales que k=1 (bk ak ) < (cf. Royden, H.L., Real Analysis, second
edition, cap. 5, sección 4, Ed. Macmillan, 1968). Estas ideas y resultados condujeron a
uno de los teoremas más importantes de la teoría de integración de Lebesgue, el de RadonNikodym (ver capítulo 6).
Resumiento, si F : R 7! R es una función no decreciente, no constante y continua, diremos
que F es absolutamente continua, con respecto a la medida de Lebesgue, si existe una función
f : R 7! R, no negativa e integrable tal que:
Rx
F (x) = 1 f (y) dy
La medida F que genera una tal función está dada por:
R
F (B) = B f (y) dy
para cualquier subconjunto boreliano B de R.
Una medida de este tipo no puede extenderse a una medida de…nida sobre todos los subconjuntos de R.
Una función no decreciente, no constante y continua F : R !
7 R que no sea absolutamente
continua, es llamada singular. Las medidas generadas por las funciones singulares son las
más di…ciles de tratar.
6.4. Medidas con signo y funciones de variación acotada
Teorema 6.6. Si g : R 7! R es una función de variación acotada sobre cualquier intervalo
compacto la cual se puede expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes, una
de las cuales, por lo menos, genera una medida …nita sobre los conjuntos borelianos de R,
entonces existe una única medida con signo g sobre los conjuntos borelianos de R tal que:
(i)
g
((a; b]) = g (b+)
g (a+),
174
6. MEDIDAS EN (R;
(ii)
(iii)
(R))
([a; b)) = g (b ) g (a ),
g (x ),
g (fxg) = g (x+)
para cualquier x 2 R y cualquier pareja de números reales, a y b, tales que
a < b.
g
Demostración
Sea g : R ! R una función de variación acotada que satisface las condiciones del enunciado
y sean f1 : R ! R y f2 : R ! R dos funciones no decrecientes tales que g = f1 f2 y, por
lo menos una de ellas, genera una medida …nita sobre los conjuntos borelianos de R.
Sean f1 y f2 la medidas sobre los conjuntos borelianos de R generadas por f1 y f2 , respectivamente. Entonces:
f1
((a; b]) = f1 (b+)
f1 (a+),
f1
([a; b)) = f1 (b )
f1 (a ),
f2
((a; b]) = f2 (b+)
f2 (a+),
f2
([a; b)) = f2 (b )
f2 (a ),
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
Además,
f1
(fxg) = f1 (x+) f1 (x ) y
f2
(fxg) = f2 (x+) f2 (x ) para cualquier x 2 R.
De…namos para cada E 2 B (R):
g
(E) =
f1
(E)
f2
(E).
Si x 2 R y a y b son dos números reales tales que a < b, se tiene:
g
((a; b]) = g (b+)
g (a+),
g
([a; b)) = g (b )
g (a ),
g
(fxg) = g (x+)
g (x ).
Además g es una medida con signo ya que si A1 ; A2 ; : : :son elementos de B (R) tales que
Ai \ Aj = ; para i 6= j, entonces:
g
1
S
Ak
=
k=1
=
P1
k=1
f1
f1
f2
1
S
Ak
f2
k=1
(Ak ) =
P1
k=1
1
S
Ak
k=1
g (Ak ).
=
P1
k=1
f1 (Ak )
f2 (Ak )
6.4. MEDIDAS CON SIGNO Y FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Si
g
1
S
y
Ak
g1
2 R, entonces, como por lo menos una de las dos medidas
Ak
k=1
1
S
k=1
g2
1
S
Ak
k=1
son …nitas, así que las series
P1
k=1
g1 (Ak )
convergentes. Finalmente, se tiene:
P1
P1
P1
P1
g (Ak ) =
g1 (Ak )
g2 (Ak
g1 (Ak ) +
k=1
k=1
k=1
k=1
P1
Así que la serie k=1 (Ak ) es absolutamente convergente.
Sean
1
y
2
y
g1
175
y
P1
k=1
g2 (Ak )
g2
es …nita,
g2 (Ak )
son
.
son dos medidas con signo sobre los borelianos de R tales que:
1
((a; b]) = g (b+)
g (a+),
2
((a; b]) = g (b+)
g (a+),
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
S
De…namos, para cada n 2 N, Fn = ( n; n]; entonces 1
n=1 Fn = R, y, para cualquier n 2 N,
1 (Fn ) = 2 (Fn ) < 1 y 1 (Fn \ (a; b]) = 2 (Fn \ (a; b]) cualquier pareja de números reales,
a y b, tales que a < b. Así que, por el teorema de clases monótonas para -sistemas,
1 (A) = 2 (A) para cualquier conjunto boreliano de R.
Definición 6.2. Si g : R 7! R es una función de variación acotada sobre cualquier intervalo
compacto la cual se puede expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes, una
de las cuales, por lo menos, genera una medida …nita sobre los conjuntos borelianos de R,
la medida g del teorema anterior será llamada la medida generada por g.
Teorema 6.7. Para cualquier medida con signo sobre los conjuntos borelianos de R, tal
que los intervalos acotados tienen medida …nita, existe una función de variación acotada
sobre cualquier intervalo compacto g : R 7! R la cual se puede expresar como la diferencia
de dos funciones no decrecientes, una de las cuales, por lo menos, genera una medida …nita
sobre los conjuntos borelianos de R, y tal que:
(i)
(ii)
(iii)
((a; b]) = g (b+) g (a+),
([a; b)) = g (b ) g (a ),
(fxg) = g (x+) g (x ),
para cualquier x 2 R y cualquier pareja de números reales, a y b, tales que
a < b.
Además, si g1 : R 7! R y g2 : R 7! R son dos funciones con estas propiedades, entonces las
funciones x ! (g1 g2 ) (x+) y x ! (g1 g2 ) (x ) son constantes.
Demostración
Sea una medida con signo de…nida sobre los conjuntos borelianos de R. Existen entonces
dos medidas + y
sobre (R; B (R)) con las siguientes propiedades:
176
6. MEDIDAS EN (R;
+
1. Por lo menos una de las dos medidas,
2.
=
+
y
(R))
, es …nita.
.
3. Existen dos conjuntos A; B 2 = tales que A \ B = ;, F = A [ B y
(A) =
+
(B) = 0.
Supongamos que los intervalos acotados tienen medida …nita, entonces + y
tienen
la misma propiedad. Así que existen dos funciones no decrecientes F + : R 7! R y F :
R 7! R, tales que:
+
((a; b]) = F
+
(b+)
F
+
(a+),
+
([a; b)) = F
+
(b )
F
+
(a ),
((a; b]) = F
(b+)
F
(a+),
([a; b)) = F
(b )
F
(a ),
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
Si de…nimos g = F +
compacto y se tiene:
((a; b]) =
= g (b+)
([a; b)) =
= g (b )
+
F , entonces g es de variación acotada sobre cualquier intervalo
((a; b])
((a; b]) = (F
+
F ) (b+)
(F
+
(a )
F ) (a+)
([a; b)) = (F
+
F ) (b )
(F
+
(a )
F ) (a )
g (a+),
+
([a; b))
g (a ),
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b.
Además, como la función g d : R ! R de…nida por g d = g (x+) es continua por la derecha,
y la función g d : R ! R de…nida por g i = g (x ) es continua por la izquierda, se tiene:
(fxg) = l mn
= g (x+)
1
x
1
;x
n
g d (x ) = g (x+)
= l mn
1
g (x+)
gd x
1
n
g (x ),
para cualquier x 2 R.
Si g1 y g2 son dos funciones de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto con
estas propiedades, entonces g1 (b+) g1 (a+) = g2 (b+) g2 (a+) para cualquier pareja de
números reales a y b tales que a < b, lo cual implica que (g1 g2 ) (b+) = (g1 g2 ) (a+). Así
que (g1 g2 ) (x+) es constante.
6.4. MEDIDAS CON SIGNO Y FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
177
También se tiene g1 (b ) g1 (a ) = g2 (b ) g2 (a ) para cualquier pareja de números
reales a y b tales que a < b, lo cual implica que (g1 g2 ) (b ) = (g1 g2 ) (a ). Así que
(g1 g2 ) (x ) es constante.
CAPÍTULO 7
TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
Primera parte
7.1. Introducción
Como lo mencionamos con anterioridad, en el surgimiento y desarrollo de la Teoría de la
Medida, el problema central que se abordó no fue el de la medida de conjuntos en sí mismo,
sino el de la integración de funciones. Tanto Lebesgue como quienes le siguieron buscaron
resolver problemas que tenían que ver con la de…nición y las propiedades de la integral.
Después que Lebesgue formuló su de…nición de integral, él mismo y otros autores fueron
aportando más ideas y resultados, los cuales iban conformando el cuerpo de una teoría para
la cual también se iban encontrando aplicaciones.
Uno de los grandes promotores de la teoría de integración de Lebesgue fue Pierre Joseph Louis
Fatou, quien en el año 1906 obtuvo su doctorado con una tesis titulada Séries trigonométriques
et séries de Taylor ([32]), donde utilizó la teoría de Lebesgue para el estudio de la integral
de Poisson de una función discontinua en la frontera de la región donde está de…nida y para
tratar problemas relativos al desarrollo de una función en serie trigonométrica. En este trabajo demostró el resultado conocido ahora como Lema de Fatou (el cual se demostrará más
adelante). Además de aportar los resultados originales que se encuentran en su tesis, Fatou
contribuyó de manera importante al desarrollo de la teoría de integración por la in‡uencia
que tuvo su trabajo en el mismo Lebesgue y sobre todo en F. Riesz, quien en un artículo de
1949, titulado Lévolution de la notion d’integrale depuis Lebesgue ([82]) dijo:
179
180
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
“Si no me equivoco, es el libro de Lebesgue sobre las series trigonométricas, dentro de la Colección Borel, el que llamó mi atención sobre la
noción de integral; después, para penetrar en los detalles, estudié también su Tesis y su libro sobre la integración. Sin embargo, la idea y
el coraje para tratar de aplicar esta noción a los problemas de los que
yo me ocupaba, me vinieron leyendo, en 1906, la excelente Memoria de
Fatou, impresa en las Acta Mathematica y que el autor presentaba también como Tesis. Fue en particular un teorema muy simple, llamado
generalmente lema de Fatou y que asegura, en el lenguaje actual, la
semicontiuidad inferior de la operación funcional lineal que constituye
la integración, el que me ayudó a demostrar, en febrero de 1907, algunas semanas después de la lectura de la Tesis, el teorema descubierto
también, de manera independiente y simultáneamente, por Ernest Fischer y que se cita con el nombre de nosotros dos. El teorema sirvió,
en primer lugar, de boleto permanente de ida y vuelta entre los dos
espacios con una in…nidad de dimensiones cuyo interés se liga con la
teoría de las ecuaciones integrales, a saber, el espacio con una in…nidad
de coordenadas de Hilbert y el conjunto L2 de las funciones medibles y
de cuadrado integrable, dos espacios que, por cierto, actualmente se
tratan, con Von Neumann, como dos realizaciones de una noción más
general, a saber, el espacio abstracto de Hilbert. Fue quizás la primera
aplicación de la teoría de Lebesgue, después, bien entendido, de las que
fueron hechas por él mismo y por Fatou, la que atrajo el interés de
los matemáticos y que daba luz sobre la importancia de su noción de
integral.”
Otro de los grandes promotores de la nueva teoría de integración fue precisamente el autor
de la frase del párrafo anterior, Frédéric Riesz, quien aplicó la nueva teoría de integración de
Lebesgue al Análisis Funcional.
Uno de los resultados más importantes de Lebesgue es el que se re…ere a la segunda parte del
título de su libro. Recordemos que el libro de Lebesgue de 1904 tiene como título Leçons sur
l’intégration et la recherche des fonctions primitives. Hasta el momento, en este texto, hemos
hablado de la medida e integral de Lebesgue y hemos dejado de lado el tema de la búsqueda
de funciones primitivas, es decir, dada una función f , determinar, si existe, una función cuya
derivada sea f . Las investigaciones alrededor de este problema culminaron con un artículo
de Otto Nikodym, publicado en 1930 con el título Sur une généralisation des intégrales de M.
J. Radon ([73]), en el cual demostró el ahora llamado teorema de Radon-Nikodym, resultado
que permitió de…nir de manera general un concepto de importancia central en la teoría de
los procesos estocásticos, el de Esperanza Condicional.
El tema de la búsqueda de funciones primitivas lo abordó Lebesgue con el estudio de las
integrales inde…nidas:
7.1. INTRODUCCIÓN
181
Si f : [a; b] ! R es una función medible e integrable,
la función F :
Rx
[a; b] ! R de…nida mediante la relación F (x) = a f (y) dy + K, donde
K es una constante, era llamada por Lebesgue una integral inde…nida
de f .
Lebesgue demostró que las integrales inde…nidas tienen las siguientes
tres propiedades:
(i) Son funciones continuas.
(ii) Son de variación acotada.
(iii) Tienen como derivada a la función de la cual es una integral
inde…nida, excepto a lo más en los puntos de un conjunto de
medida cero.
El estudio que hizo Lebesgue sobre este tema en su libro fue incompleto, se dieron más tarde
resultados de otros autores que fueron completando el cuadro. Sin embargo, al …nal del
libro Lebesgue introdujo una propiedad que sería clave para tratar el problema de la relación
entre la integral y la derivada; propiedad que, además, llevaría a uno de los resultados más
importantes de su teoría de integración, el cual, a su vez, sería una de las bases para el
estudio de los procesos estocásticos, tema que trataremos más adelante.
Después de una serie de razonamientos, concluía Lebesgue:
“Queda así demostrado que toda función de variación acotada f (x)
tiene una derivada …nita excepto para los valores de x de un conjunto
de medida cero [resultado importante en sí mismo]. El razonamiento
de la página 122, tal como acaba de ser completado, muestra también
que esta derivada es integrable en el conjunto de puntos donde es …nita,
pero su función primitiva no necesariamente es f (x), como lo muestra
el ejemplo de la función (x) de la página 55. El teorema que acaba
de ser demostrado es por consiguiente diferente del que concierne a
la derivación de las integrales inde…nidas; en otros términos, existen
funciones continuas de variación acotada, (x) por ejemplo, que no
son integrales inde…nidas.”
El ejemplo al que se refería Lebesgue es el siguiente:
Sea C el conjunto de Cantor, entonces cada x 2 C se puede expresar como una serie:
x=
a1
3
+
a2
32
+
a3
33
,
+
donde ak 2 f0; 2g para cualquier k 2 N.
Para cada x =
(x) =
1
2
a1
2
+
a1
3
+
a2
32
+
a2
22
+
a3
23
+
a3
33
+
.
2 C, de…namos:
182
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
es no decreciente ya que si x; y 2 C y x < y, entonces, si, en los desarrollos en base 3 de x
y y, el m-simo es el primero que es distinto, ese término tiene que ser 0 para x y 2 para y ;
así que, si a1 ; a2 ; : : : ; am 1 son los m 1términos de los desarrollos de x y y, se tiene:
P
ak
m 1
(x) = 12 a21 + a222 + a233 +
+ a2m
+ 21 1
1
k=m+1 2k ,
P
bk
m 1
+ 21m + 12 1
(y) = 12 a21 + a222 + a233 +
+ a2m
1
k=m+1 2k .
Por lo tanto:
(x)
=
1
2
a1
2
(y)
1
2
a1
2
+
a2
22
+
+
a2
22
+
a3
23
+
1
2
a1
2
+
a2
22
+
a3
23
+
+
a3
23
+
am
2m
+
am
2m
1
1
+
+
am
2m
1
1
+
P1
1
2
P1
2
k=m+1 2k
1
k=m+1 2k
1
1
+
=
1
2m
a1
2
1
2
+
a2
22
+
a3
23
+
+
am
2m
1
1
+
1
,
2m
(x).
Así que, las discontinuidades de únicamente pueden ser de saltos; pero al ser suprayectiva
como función de C en el intervalo [0; 1], no puede tener saltos. Por lo tanto, es continua.
Para de…nir en todo el intervalo [0; 1], falta de…nirla en los intervalos abiertos que se
suprimen del intervalo [0; 1] para formar C.
Los desarrollos en base 3 de los extremos de un intervalo que se suprime en el n-simo paso
coinciden hasta el término n 1, y el término siguiente del extremo izquierdo del intervalo
es cero, mientras que el del extremo derecho es 2. Así que, si (c; d) es uno de los intervalos
que se suprimen en el paso n, se tiene:
c = 0:a1 a2
an 1 0222
d = 0:a1 a2
an 1 2000
Así que:
(c) =
=
1
2
a1
2
(d) =
1
2
a1
2
+
+
a2
22
+
1
2
a1
2
+
a2
22
+
+
a2
22
+
+
an
2n
an
2n
1
1
+
+
an
2n
1
1
+
1
2
1
,
2n
1
1
+
2
2n
P1
2
k=n+1 2k
=
1
2
a1
2
=
+
a2
22
1
2
+
a1
2
+
a2
22
+
+
an
2n
1
2
+
+
an
2n
1
1
+
1
2n+1
1
2
1
.
2n
Por lo tanto, (c) = (d).
De…namos (x) = (c) para cualquier x 2 (c; d).
es entonces una función continua y no decreciente, de…nida sobre el intervalo [0; 1] y con
valores en el mismo intervalo.
Sean (c1 ; d1 ) ; (c2 ; d2 ) ; : : : los intervalos que se suprimen para formar el conjunto de Cantor,
entonces:
7.1. INTRODUCCIÓN
183
S
[0; 1] = C [ ( 1
k=1 (ck ; dk )).
Supongamos que es una integral inde…nida de una función medible e integrable f : [0; 1] !
R, entonces existe una constante K 2 R tal que:
Rx
(x) = 0 f (y) dy + K,
para cualquier x 2 [0; 1].
es derivable y su derivada es cero en cualquier punto del conjunto D =
cual tiene medida de Lebesgue 1.
S1
k=1
(ck ; dk ), el
Por otra parte, al ser una integral inde…nida de f , su derivada es f , excepto a lo más en
los puntos de un conjunto de medida cero.
Sean:
A = fx 2 (0; 1) :
0
(x) existe y
0
B = fx 2 (0; 1) :
0
(x) no existe o ( 0 (x) existe y
(x) 6= f (x)g,
0
(x) = f (x) )g.
A tiene entonces medida de Lebesgue cero y B, que es el complemento de A en el intervalo
(0; 1), tiene medida de Lebesgue 1.
Por lo tanto, B \ D tiene medida de Lebesgue 1. Además:
B \ D = fx 2 D :
0
(x) = f (x)g.
Así que f (x) = 0 para cualquier x 2 B \ D.
Por lo tanto f = 0 excepto a lo más en un conjunto de medida de Lebesgue cero.
Se tiene entonces:
Rx
f (y) dy = 0 para cualquier x 2 [0; 1].
0
tendría entonces que ser constante, pero no lo es, lo cual es una contradicción.
Por lo tanto,
no es una integral inde…nida.
Al …nal de su libro, Lebesgue agregó una nota después de que a…rma que existen funciones continuas de variación acotada que no son integrales inde…nidas. Lo que a…rma, sin
demostración, en esa nota es de una importancia central para el desarrollo de un tema que
conduciría al teorema de Radon-Nykodim, del cual hablaremos más adelante y lo expondremos formalmente en este capítulo.
La nota de Lebesgue dice:
184
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
“Para que una función sea integral inde…nida, se requiere además que
su variación total en una in…nidad numerable de intervalos de longitud
total `, tienda hacia cero con `.”
En otras palabras, para que F : [a; b] ! R sea una integral inde…nida se requiere que, si
(a1 ; b1 ) ; (a2 ; b2 ) ; (a3 ; b3 ) ; : : : son intervalos contenidos en [a; b], ajenos por parejas, entonces:
P1
l mP1
F (ak )j = 0.
k=1 jF (bk )
k=1 (bk ak )!0
P
Es decir, dada " > 0, existe > 0 tal que 1
F (ak )j < " para cualquier
sucesión
k=1 jF (bk )
P1
de intervalos ajenos por parejas ((ak ; bk ))k2N contenidos en [a; b] y tales que k=1 (bk ak ) <
.
Esta propiedad es equivalente a la siguiente:
P
Dada " > 0, existe > 0 tal que nk=1 jF (bk ) F (ak )j < " para cualquier colección …nita
de
Pnintervalos (a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ), . . . , (an ; bn ), contenidos en [a; b], ajenos por parejas y tales que
ak ) < .
k=1 (bk
En efecto, supongamos
P1 que se tiene la primera propiedad y, dada " > 0, tomemos 2
(0; b a) tal que k=1 jF (bk ) F (ak )j < "Ppara cualquier sucesión de intervalos ajenos
ak ) < . Entonces, dada cualquier
([ak ; bk ])k2N contenidos en [a; b] y tales que 1
k=1 (bk
colección …nita de intervalos
(a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ), . . . , (an ; bn ), contenidos en [a; b], ajenos por
P
parejas y tales que nk=1 (bk ak ) < , podemos agregar a esa familia una colección in…nita
numerables de intervalos (an+1 ; bn+1 ), (an+2 ; bn+2 ), . . . , contenidos en [a;
ajenos por paPb],
1
ak ) <
rejas,
sin
puntos
en
común
con
los
primeros
n
intervalos
y
tales
que
k=n+1 (bk
P1
Pn
ak ); así que k=1 (bk ak ) < y entonces:
k=1 (bk
P1
Pn
F (ak )j < ".
jF
(b
)
F
(a
)j
k
k
k=1 jF (bk )
k=1
Inversamente,
supongamos que se tiene la segunda propiedad y, dada " > 0, tomemos > 0
P
tal que nk=1 jF (bk ) F (ak )j < 21 " para cualquier colección …nita dePintervalos (a1 ; b1 ),
(a2 ; b2 ), . . . , (an ; bn ), contenidos en [a; b], ajenos por parejas y tales que nk=1 (bk ak ) < .
Consideremos
P1 una sucesión de intervalos ajenos por parejas ((ak ; bk ))k2N contenidos en [a; b] y
tales que k=1 (bk ak ) < ; entonces, para cualquier n 2 N, losP
intervalos (a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ),
. . . , (anP
; bn ) están contenidos en [a; b], son ajenos por parejas y nk=1 (bk ak ) < ; por lo
tanto, nk=1 jF (bk ) F (ak )j < 21 ". Así que:
P1
P
F (ak )j = l mn 1 nk=1 jF (bk ) F (ak )j 12 " < ".
k=1 jF (bk )
La segunda propiedad es la de…nición moderna de una función absolutamente continua. Así
que, lo que a…rmó Lebesgue es que, para que una función de variación acotada sea una
integral inde…nida se requiere que sea absolutamente continua. Agregó, en la misma nota,
también sin demostración, que esta condición no únicamente es necesaria para que una
función sea una integral inde…nida, sino que también es su…ciente.
7.1. INTRODUCCIÓN
185
En 1905, Giuseppe Vitali publicó una demostración de la a…rmación de Lebesgue en un
artículo titulado Sulle funzioni integrali ([90]), extendiendo el resultado al caso multidimensional. Fue Vitali quien dio el nombre de continuidad absoluta a la propiedad enunciada
por Lebesgue. Más tarde, en 1907, Lebesgue publicó su propia demostración en un artículo
titulado Sur la recherche des fonctions primitives par l’intégration ([59]).
En resumen, los resultados de Lebesgue y Vitali, para el caso unidimensional, son los siguientes:
(i) Una función es una integral inde…nida si y sólo si es absolutamente continua.
(ii) Toda integral inde…nida es de variación acotada.
(iii) Si F : [a; b] ! R es una integral inde…nida de la función f ,
0
entonces existe un conjunto A de medida cero tal que F (x)
0
existe para cualquier x 2
= A y F (x) = f (x).
(iv) No toda función de variación acotada continua es una integral
inde…nida. Existen funciones de variación acotadas continuas,
no constantes, cuya derivada es cero excepto a lo más en un
conjunto de medida de Lebesgue cero, así que tales funciones
no son integrales inde…nidas.
En 1910 Lebesgue publicó un artículo, titulado L’intégration des fonctions discontinues
([60]), donde profundizó el estudio de las integrales inde…nidas. En ese artículo analizó
las integrales de…nidas para el caso multidimensional, planteando un nuevo enfoque (al parecer, in‡uenciado por un trabajo de Vitali, de 1907-1908, sobre el mismo tema), el cual sería
retomado por Johann Radon, en el año 1913, en un artículo que, como ya lo mencionamos
en la introducción del capítulo 5, sentó las bases para desarrollar una teoría general de la
medida.
En ese mismo artículo de 1910, Lebesgue demostró el ahora conocido como el teorema de la
convergencia dominada, el cual a…rma que si (fn )n2N es una sucesión de funciones medibles
tales l mn 1 fn existe excepto a lo más en un conjunto de medida cero, y jfn j g, donde
g es una función medible cuya integral es …nita, entonces:
R
l mn
1
fn (y) dy = l mn!1
R
fn (y) dy.
El cambio de enfoque de Lebesgue para tratar el tema de las integrales de…nidas consistió
en considerarlas como funciones de…nidas sobre los conjuntos medibles. Especi…camente,
consideró unaRintegral inde…nida como una función F que asigna a cada conjunto medible
E la integral E f (P ) dP , donde f es una función medible e integrable y P representa un
elemento de Rn . Demostró entonces que una función así de…nida tiene las siguientes dos
propiedades:
(i) Si (En )n2N es una sucesión de conjuntos medibles tales que l mn 1 m (En ) = 0,
donde m es la medida de Lebesgue en Rn , entonces l mn 1 F (En ) = 0.
186
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
(ii) Si (En )S
de conjuntos medibles, ajenos por parejas, entonces:
n2N es una sucesión
P1
1
F ( n=1 En ) = n=1 F (En ).
En el artículo de Lebesgue, una función que satisface la propiedad 2 es llamada aditiva.
En 1913, Johann Radon ([76]) dio un nuevo paso importante alrededor de este problema
al plantearlo de una manera más general. Radon retomó el concepto de función aditiva
de…nida sobre una familia de subconjuntos de Rn , el cual había sido de…nido por Lebesgue
en su artículo de 1910, pero el problema de las integrales de…nidas lo planteó como un
problema de la relación entre dos funcionales aditivas de acuerdo con la siguiente de…nición:
Sean b y f dos funcionales aditivas de…nidas las familias de subconjuntos de Rn , Tb y Tf , respectivamente. Se dice que f es de base b si b
es no negativa y si, para cualquier conjunto E 2 Tb \ Tf , la relación
b (E) = 0 implica que f (E) = 0.
Bajo una condición adicional mostró que si f es de base b, entonces
Tf Tb y demostró el siguiente resultado:
Si la funcional aditiva f es de base b, entonces Rexiste una función ,
integrable con respecto a b, tal que f (E) = E db para cualquier
conjunto E 2 Tf .
Otton Nikodym, en su artículo de 1930 ([73]), retomó el trabajo de
Radon y obtuvo un resultado general, ahora conocido como el teorema
de Radon-Nikodym.
Nikodym hacía referencia en su artículo a la formulación general que
hizo Fréchet de la teoría de la medida de Lebesgue, pero modi…có un
poco la terminología. Consideraba una familia no vacía H de subconjuntos de un conjunto H, la cual es cerrada bajo uniones numerables
y complementos (en particular H pertenece a la familia); es decir, lo
que ahora se denomina -álgebra de subconjuntos de H. Una medida
la de…nió entonces como una función (con valores reales), no negativa, de…nida sobre H, la cual es “perfectamente aditiva”, es decir,
si E
; E2 ; : : : sonPelementos de la familia, ajenos por parejas, entonces
S11
( n=1 En) = 1
es -aditiva, en la terminología
n=1 (En); es decir,
moderna. En otras palabras, Nikodym trabajaba con medidas tal y
como las hemos de…nido en el capítulo 4 ( (;) = 0 se sigue de la
-aditividad).
7.1. INTRODUCCIÓN
187
Dada una medida sobre H, de…nió la -distancia entre dos elementos
E y F de H de la siguiente manera:
jjE; F jj = (E F ) + (F E).
Si es una función con valores reales de…nida sobre H, llamaba a
-continua si para cualquier sucesión (En )n2N de elementos de H tales
que:
l mn 1 jjEn ; Ejj = 0,
donde E 2 H, se tiene l mn 1 (En ) = (E).
Después de que desarrolló la teoría de integración con respecto a una
medida , demostró el resultado central de su artículo:
Si es perfectamente aditiva, entonces las 4 condiciones siguientes son
equivalentes:
(i) es -continua.
(ii) Para cualquier conjunto E 2 H, si (E) 6= 0 entonces (E) >
0.
(iii) Si (En )n2N es una sucesión de elementos de H tales que
l mn 1 (En ) = 0, entonces l mn 1 (En ) = 0.
(iv) RExiste una función -integrable f : H ! R tal que (E) =
f d , para cualquier conjunto E 2 H.
E
Con este trabajo de Nikodym quedó formulada la teoría de la medida como se le conoce
actualmente y quedaron establecidos los resultados básicos de la teoría de integración con
respecto a una medida, los cuales expondremos en este capítulo.
Pero antes de esa exposición es necesario mencionar que previamente al trabajo de Nikodym,
la solución al problema de la integración de funciones, visto como uno de Análisis Funcional,
había sido ya formulada de manera completa por Percy John Daniell en sus 4 artículos
publicados entre 1918 y 1920 ([21], [22], [23], [24]).
En su primer artículo, A general form of the integral ([21]), publicado en 1918, decía Daniell:
“La idea de una integral ha sido extendida por Radon (1913), Young (1914), Riesz (1914)
y otros a la integración con respecto a una función de variación acotada. Estas teorías están basadas sobre las propiedades fundamentales de los conjuntos de puntos en un espacio
con un número …nito de dimensiones. En este artículo se desarrolla una teoría que es independiente de la naturaleza de sus elementos. Pueden ser puntos en un espacio de una
in…nidad numerable de dimensiones, o curvas en general, o clases de eventos que conciernen
a la teoría. Se sigue que, aunque muchas de las demostraciones que se dan [en este artículo]
son meras traducciones a otro lenguaje de métodos ya clásicos (particularmente los debidos
a Young), aquí y ahí, donde las demostraciones previas se basan en la teoría de conjuntos de
puntos, nuevos métodos han sido desarrollados.”Mencionaba también que Fréchet consideró
una integral general, pero decía que no trató completamente los teoremas de existencia.
Para de…nir la integral, asumía que hay una clase inicial T0 de funciones acotadas con valores
reales, de…nidas sobre un conjunto H, la cual tiene las siguientes propiedades:
188
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
1. Si f 2 T0 y c es una constante, entonces cf 2 T0 .
2.Si f1 ; f2 2 T0 , entonces f1 + f2 , max (f1 ; f2 ) y m n (f1 ; f2 ) pertenecen a T0 .
Consideraba entonces funciones U de…nidas sobre T0 (las denominaba funcionales), las cuales
pueden tener algunas de las siguientes propiedades:
(A) U (f1 + f2 ) = U (f1 ) + U (f2 ).
(C) U (cf ) = cU (f ), donde c es una constante.
(L) Si (fn )n2N es una sucesión decreciente de funciones tales que l mn
cualquier p, entonces l mn!1 U (fn ) = 0.
1
fn (p) = 0 para
(M) Existe una funcional M , de…nida sobre las funciones no negativas de T0 , tal que si
'
, entonces M (') M ( ), y jU (f )j M (jf j).
(P) Si f es no negativa, entonces U (f )
0.
Denominaba I-integral a una funcional I que satisfaga (A), (C), (L) y (P) y S-integral a
una funcional que satisfaga (A), (C), (L) y (M). Mencionaba que una I-integral puede ser
llamada una integral positiva y que una S-integral es una integral de Stieltjes generalizada.
Como ejemplo mencionaba que si T0 es el conjunto de funciones continuas de…nidas sobre un
intervalo (a; b), entonces la integral de Riemann es una I-integral y la integral de Stieltjes es
una S-integral.
De…nió la clase T1 como la familia de funciones que son límite de una sucesión no decreciente
(fn )n2N de elementos de T0 .
Si f 2 T1 y f = l mn
sumable.
1
fn , de…ne I (f ) = l mn
1
I (fn ). Si I (f ) < 1 se dirá que f es
Si f es cualquier función con valores reales, de…nida sobre H, se de…ne:
I (f ) = nf fI (') 2 T1 : ' 2 T1 y '
I (f ) =
f g,
I ( f ).
Si I (f ) = I (f ) < 1 se dirá que f es sumable y se de…ne I (f ) = I (f ).
Si S es una S- integral, demostró que las funcionales I2 = I1 S e I = I1 + I2 son Iintegrales y se dice que una función f con valores reales, de…nida sobre H, es sumable (S)
si es I-sumable. En este caso, se de…ne S (f ) = I1 (f ) I2 (f ).
Demostró entonces los siguientes resultados:
(i) I, de…nida sobre T1 , es una I-integral.
7.1. INTRODUCCIÓN
189
(ii) Si f es el límite de una sucesión no decreciente (fn )n2N de elementos de T1 , entonces
f 2 T1 e I (f ) = l mn 1 I (fn ).
(iii) I, de…nida sobre el conjunto de funciones sumables, es una I-integral.
(iv) Si f es el límite de una sucesión no decreciente (fn )n2N de funciones sumables y:
l mn!1 I (fn ) < 1,
entonces f es sumable e I (f ) = l mn 1 I (fn ).
(v) Si f es el límite de una sucesión (fn )n2N de funciones sumables y existe una función
sumable ' tal que jfn j ' para cualquier n 2 N, entonces f es sumable e I (f ) =
l mn!1 I (fn ).
(vi) S, de…nida sobre el conjunto de funciones (S) sumables, es una S-integral.
(vii) Si f es el límite de una sucesión no decreciente (fn )n2N de funciones (S) sumables
y l mn 1 (I1 + I2 ) (fn ) < 1, entonces f es (S) sumable y S (f ) = l mn 1 S (fn ).
(viii) Si f es el límite de una sucesión (fn )n2N de funciones (S) sumables y existe una
función (S) sumable ' tal que jfn j
' para cualquier n 2 N, entonces f es (S)
sumable y S (f ) = l mn 1 S (fn ).
Como puede verse, Daniell realizó un proceso de extensión de una funcional lineal, de…nida
sobre un conjunto de funciones T0 , a una funcional lineal de…nida sobre un conjunto de
funciones que es cerrado bajo el paso a límites y la funcional extendida es tal que, bajo
determinadas condiciones, la funcional de un límite de funciones es igual al límite de la
sucesión formada por la aplicación de la funcional a cada una de las funciones.
Es lo mismo que había realizado Lebesgue, pero el resultado de Daniell no se restringe a
funciones de…nidas sobre Rn ; incluye el caso en que las funciones a integrar estén de…nidas
sobre un espacio de dimensión in…nita. El teorema de Carathéodory permitió hacer lo mismo
siguiendo el enfoque de Lebesgue, basando la de…nición de la integral en la existencia de una
medida. De hecho, el resultado de Carathéodory permite realizar también un proceso de
extensión, pero no de una funcional, sino de una función de…nida sobre conjuntos, para así
llegar a la construcción de una medida. La aplicación del teorema de Carathéodory a la
construcción de medidas en espacios de dimension in…nita tardó algunos años, básicamente
se dio con el resultado de Kolmogorov del año 1933.
En el año 1920, Daniell publicó su segundo artículo sobre el tema de la integral, bajo el título
Integrals in an in…nity number of dimensions ([22]). En ese trabajo dio algunos ejemplos
de integrales de funciones de…nidas sobre espacios de dimensión in…nita. En el mismo año
publicó otros dos artículos, uno titulado Functions of limited variation in an in…nite number
of dimensions ([23]) y el otro Further properties of the general integral ([24]), en los cuales
continuó desarrollando su teoría de integración.
El trabajo de Daniell tuvo una gran in‡uencia, siendo su principal aplicación la que hizo
Norbert Wiener, entre 1921 y 1923 ([96], [97], [98], [99], [102]) al construir un modelo
matemático para el movimiento browniano, no basándose en la teoría de la medida que se
estaba desarrollando, sino utilizando el teorema de extensión de Daniell. Algunos años más
tarde, al completarse el desarrollo de la teoría de la medida y de la teoría de integración
con respecto a una medida, el método de Daniell fue reemplazado por el de Carathéodory.
190
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
Sin embargo, no está dicha la última palabra; recientemente se ha retomado el método de
Daniell, en particular en el Cálculo Estocástico.
A continuamos expondremos la formulación moderna de la teoría de integración con respecto
a una medida.
7.2. Funciones medibles
En lo que resta de este capítulo, (F; =) será un espacio medible …jo y a los conjuntos E 2 =
los llamaremos conjuntos medibles.
Recordemos que Lebesgue demostró que si f : [a; b] ! R es una función acotada no negativa,
entonces el conjunto:
E = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] y y 2 [0; f (x)]g,
es medible si y sólo si el conjunto fx 2 [a; b] : f (x) > g es medible para cualquier
2 R.
De este resultado surgió la de…nición que dio de función medible: Una función acotada
f : [a; b] ! R es medible si el conjunto fx 2 [a; b] : f (x) > g es medible para cualquier
2 R.
Si de…nimos H = fB 2 B (R) : f 1 (B) 2 B ([a; b])g, se puede ver fácilmente que H es una
-algebra de subconjuntos de R; además, si f es medible (de acuerdo con la de…nición de
Lebesgue) H contiene a todos los intervalos de la forma ( ; 1). Por lo tanto, contiene
contiene a la -álgebra generada por esos intervalos, es decir los borelianos. Así que H =
B (R). De manera que una función f : [a; b] ! R es medible si y sólo si f 1 (B) 2 B ([a; b])
para cualquier B 2 B (R).
Lo anterior motiva que en un caso general se de…na la medibilidad de una función de la
siguiente manera:
Definición 7.1. Sea (E; E) un espacio medible. Diremos que una función f : F ! E es
medible si f 1 (B) 2 = para cualquier B 2 E.
Ahora mostramos que para que una función f : F ! E sea medible basta con que f 1 (B) 2 =
para cualquier elemento B de una familia de conjuntos que genere la -álgebra E.
Proposición 7.1. Sean (F; =) y (E; E) dos espacios medibles y A una familia de subconjuntos de E tal que E = (A). Entonces una función f : F ! E es medible si y sólo si
f 1 (B) 2 = para cualquier B 2 A.
Demostración
La familia fB E : f 1 (B) 2 =g es una -álgebra de subconjuntos de E la cual contiene a
A, por lo tanto contiene a (A).
7.3. FUNCIONES MEDIBLES CON VALORES EN R
191
Proposición 7.2. Sean (E; E) y (G; G) dos espacios medibles y f : F ! E, g : E ! G dos
funciones medibles, entonces g f es medible.
Demostración
Sea B 2 G, entonces g 1 (B) 2 E, así que:
(g f )
1
(B) = (f
1
g 1 ) (B) = f
1
(g 1 (B)) 2 =.
7.3. Funciones medibles con valores en R
La medibilidad de una función f : F ! R (resp. f : F ! R) será entendida considerando
sobre R (resp. R) la -álgebra de los conjuntos borelianos en R (resp. R).
La proposición 2.1 implica el siguiente resultado:
Teorema 7.1. Una función f : F ! R es medible si y sólo si se cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
fx 2 F : f (x) y]g 2 = para cualquier y 2 R.
fx 2 F : f (x) < yg 2 = para cualquier y 2 R.
fx 2 F : f (x) 2 (a; b]g 2 = para cualesquiera a; b 2 R.
fx 2 F : f (x) 2 [a; b)g 2 = para cualesquiera a; b 2 R.
fx 2 F : f (x) 2 (a; b)g 2 = para cualesquiera a; b 2 R.
fx 2 F : f (x) 2 [a; b]g 2 = para cualesquiera a; b 2 R.
De la misma manera, los resultados del capítulo 2, acerca de los generadores de la -álgebra
de Borel en R, implican el siguiente resultado:
Teorema 7.2. Una función f : F ! R es medible si y sólo si se cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
fx 2 F : f (x) 2 ( 1; y]g 2 = para cualquier y 2 R.
fx 2 F : f (x) y]g 2 = para cualquier y 2 R.
fx 2 F : f (x) < yg 2 = para cualquier y 2 R.
fx 2 F : f (x) y]g 2 = para cualquier y 2 R.
fx 2 F : f (x) < yg 2 = para cualquier y 2 R.
Obsérvese que si una función f : F ! R es medible, entonces los conjuntos fx 2 F : f (x) = 1g
y fx 2 F : f (x) = 1g son medibles. Así que también el conjunto fx 2 F : f (x) 2 Rg es
medible.
P
Proposición 7.3. Toda función ' : F ! R de la forma ' = m
k=1 bk IEk , donde m 2 N,
b1 ; : : : ; bm son números reales y E1 ; : : : ; Em son conjuntos medibles, es medible.
192
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
Demostración
Sea E = [m
k=1 Ek , T = f1; : : : ; mg y, si A = fi1 ; : : : ; ik g
de…namos:
EA = E \ Ei1 \
cA =
bi1 +
0
\ Eik \ Ejc1 \
T y T
A = fj1 ; : : : ; jm k g,
\ Ejcm k ,
+ bik si A 6= ;
si A = ;
Entonces EA es medible para cualquier A
T, E =
subconjuntos distintos de T , EA y EB son ajenos.
S
fA T g
EA , y, si A y B son dos
Además, si x 2 EA y A = fi1 ; : : : ; ik g, '(x) = bi1 +
+ bik = cA , por lo tanto ' =
P
c
I
,
de
lo
cual
se
sigue
inmediatamente
que
'
es
medible.
A T A EA
Definición
7.2. Diremos que una función medible ' : F ! R es simple si tiene la forma
P
b
I
'= m
k=1 k Ek , donde b1 ; : : : ; bm son números reales y E1 ; : : : ; Em son conjuntos medibles.
El resultado siguiente es la base para la de…nición de la integral de una función medible no
negativa y también para demostrar algunas de las propiedades de las funciones medibles, así
como de sus integrales.
Teorema 7.3. Sea f : F ! R una función medible no negativa, entonces existe una sucesión
no decreciente de funciones simples no negativas 'n : F ! R tales que l mn 1 'n (x) = f (x)
para cualquier x 2 F.
Demostración
Para cada n 2 N, de…namos:
( P
'n (x) =
n
n2n m 1
(x)
m=1 2n Ify2F: m2n 1 f (y)< 2m
ng
si f (x) < n
si f (x) n
Si f (x) = 1, entonces 'n (x) = n para cualquier n 2 N, así que 'n (x)
l mn 1 'n (x) = 1 = f (x).
'n+1 (x) y
Si f (x) < n para alguna n 2 N, sea m el único número natural tal que m2n 1
f (x) < 2mn .
Entonces, como 'n (x) = m2n 1 , se tiene f (x) 21n < 'n (x) f (x), así que l mn 1 'n (x) =
f (x).
1)
2m 2
1
1
Ahora bien, como 2(m
f (x) < 22m
f (x) < 2m
o bien 2m
n+1 , se tiene que 2n+1
2n+1
2n+1
2n+1
2m 2
f (x) < 22m
= m2n 1 = 'n (x) mientras que
n+1 . En el primer caso, se tiene 'n+1 (x) = 2n+1
2m 1
2m 2
en el segundo, se tiene 'n+1 (x) = 2n+1 > 2n+1 = 'n (x). Así que, en cualquier caso,
'n (x) 'n+1 (x).
7.3. FUNCIONES MEDIBLES CON VALORES EN R
193
Así que, 'n es una sucesión no decreciente de funciones simples no negativas tales que
l mn!1 'n (x) = f (x) para cualquier x 2 F.
Teorema 7.4. Sea f : F ! R una función medible, entonces existe una sucesión de funciones simples 'n tales que l mn 1 'n (x) = f (x) para cualquier x 2 F y j'n j
jf j para
cualquier n 2 N.
Demostración
Se tiene:
f + = max (f; 0),
f = max ( f; 0),
f + y f son funciones medibles no negativas, las cuales no pueden tomar el valor 1 en el
mismo punto.
Así que si f'n gn2N y f n gn2N son sucesiones no decrecientes de funciones simples no negativas
tales que l mn 1 'n (x) = f + (x) y l mn 1 n (x) = f (x) para cualquier x 2 F, entonces
+
'n
n es una función simple para cualquier n 2 N y l mn 1 ['n (x)
n (x)] = f (x)
+
f (x) = f (x) para cualquier x 2 F. Además, como 'n
f y n
f para cualquier
n 2 N, entonces j'n
'n + n = jf j para cualquier n 2 N.
nj
Pm
Si ' =
k=1 bk IGk es una función simple entonces el conjunto de los valores que toma
es …nito. Sea fa1 ; : : : ; an g el conjunto formado por todos los distintos posibles valores no
nulos de ' y, para k 2 f1; : : : ; ng, sea EP
k = fx 2 F : '(x) = ak g, entonces los conjuntos
E1 ; : : : ; En son ajenos por parejas y ' = nk=1 ak IEk . Esta última sumatoria será llamada
la representación canónica de '.
Ahora demostraremos las propiedades básicas de las funciones medibles con valores en R.
Proposición 7.4. Sea g1 : F ! R, g2 : F ! R , : : : una sucesión de funciones medibles,
entonces:
(i) Para cualquier n 2 N, las funciones m n fg1 ; : : : ; gn g y max fg1 ; : : : ; gn g son medibles.
(ii) Las funciones nf fg1 ; g2 ; : : :g y sup fg1 ; g2 ; : : :g son medibles.
Demostración
Para cualquier y 2 F, se tiene:
fx 2 F : m n fg1 ; : : : ; gn g (x)
yg =
fx 2 F : max fg1 ; : : : ; gn g (x)
yg =
Tn
k=1
Tn
k=1
fx 2 F : gk (x)
yg 2 =,
fx 2 F : gk (x)
yg 2 =,
194
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
T1
fx 2 F : nf fg1 ; g2 ; : : :g (x)
yg =
fx 2 F : sup fg1 ; g2 ; : : :g (x)
yg =
de lo cual se sigue el resultado.
k=1
T1
PRIMERA PARTE
fx 2 F : gk (x)
yg 2 =,
fx 2 F : gk (x)
yg 2 =,
k=1
Corolario 7.1. Sea f1 : F ! R, f2 : F ! R , : : : una sucesión de funciones medibles,
entonces las funciones l m nf fn y l m sup fn son medibles.
Demostración
La sucesión gn = nf ffj : j
l m nf n
1
fn = l mn
Así que l m nf n
1
1
ng es no decreciente y:
gn = sup fgn : n 2 Ng.
fn es medible.
La sucesión hn = sup ffj : j
l m sup fn = l mn
1
ng es no creciente y:
hn = nf fhn : n 2 Ng.
Así que l m sup fn es medible.
Corolario 7.2. Sea g1 : F ! R, g2 : F ! R , : : : una sucesión de funciones medibles tales
que l mn 1 gn (x) existe para cualquier x 2 F, entonces la función g : F ! R de…nida por
g(x) = l mn!1 gn (x) es medible.
Lema 7.1. Si una función f : F ! R es medible, entonces f + y f
son medibles.
Demostración
La función idénticamente cero es medible, así que entonces f + = max ff; 0g, es medible.
Para cualquier y 2 R, se tiene fx 2 F : [ f ] (x) yg = fx 2 F : f (x)
f es medible. Por lo tanto, f = max f f; 0g es medible.
yg, así que la función
Proposición 7.5. Sean f : F ! R y g : F ! R dos funciones medibles y c 2 R. Entonces
las funciones f + c, cf y f g son medibles.
Demostración
Sean 'n , n , n y n sucesiones no decrecientes de funciones simples no negativas tales que
l mn!1 'n (x) = f + (x), l mn 1 n (x) = f (x), l mn 1 n (x) = g + (x) y l mn 1 n (x) =
g (x), respectivamente, para cualquier x 2 F.
Las funciones 'n
n
+ c, c'n
c
n
y 'n
n
+
n
n
'n
n
n n
son simples y se tiene:
7.3. FUNCIONES MEDIBLES CON VALORES EN R
l mn
1
[c'n
l mn
['n
c
1
= l mn
n
n ] (x)
['n
1
n
195
+ c] (x) = f (x) + c,
= cf (x),
+
['n
n
'n
n
n n ] (x)
n
n ] (x) [ n
n ] (x)
= [f g] (x).
Así que f + c, cf y f g son medibles.
El siguiente resultado básicamente expresa que la suma de dos funciones medibles es medible.
Sin embargo hay que formularlo bien pues al tratarse de funciones con valores en R, la suma
de las dos funciones podría no estar de…nida en algunos puntos.
Proposición 7.6. Sean f : F ! R y g : F ! R dos funciones medibles y h : F ! R una
función tal que h (x) = f (x) + g (x) en todos los puntos x 2 F para los cuales f (x) + g (x)
esté de…nida y h es constante en el conjunto de puntos x 2 F para los cuales f (x) + g (x)
no esté de…nida. Entonces h es medible.
Demostración
Sean 'n , n , n y n sucesiones no decrecientes de funciones simples no negativas tales que
l mn!1 'n (x) = f + (x), l mn 1 n (x) = f (x), l mn 1 n (x) = g + (x) y l mn 1 n (x) =
g (x), respectivamente, para cualquier x 2 F.
Denotemos por
al conjunto de puntos x 2 F para los cuales f (x) + g(x) no está de…nida.
es medible, las funciones 'n
l mn
1
= l mn
['n
1
n
['n
Así que hI
c
+
n
n
+
n
+
n
n
son simples y, para cualquier x 2
c
, se tiene:
n ] (x)
n
n ] (x)
= f (x) + g (x) = h (x).
es medible.
Sea 2 R el valor constante que toma h en el conjunto de puntos x 2 F para los cuales
f (x) + g (x) no está de…nida.
Si B es un boreliano de R, se tiene:
h
1
(B) =
(hI c ) 1 (B)
(hI c ) 1 [
si
si
2
=B
2B
Así que h es medible.
Recordemos que en el capítulo 2 establecimos la convención de considerar a la suma de dos
funciones f : F ! R y g : F ! R como la función h : F !R de…nida de la siguiente manera:
196
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
h (x) =
f (x) + g (x) si f (x) + g (x) está de…nida
1
si f (x) + g (x) no está de…nida
PRIMERA PARTE
Así que, de acuerdo con la proposición anterior se tiene el siguiente resultado:
Corolario 7.3. Si f : F ! R y g : F ! R son dos funciones medibles, entonces f + g es
medible.
Teorema 7.5. Supongamos que el espacio de medida (F; =; ) es completo y sean f : F ! R
una función medible y g : F ! R una función tal que g = f excepto a lo más en un conjunto
de medida cero, entonces g es medible.
Demostración
Sea E = fx 2 F : g(x) = f (x)g, entonces, para cualquier y 2 R, se tiene.
fx 2 F : g(x)
yg
= (fx 2 F : g(x)
yg \ E) [ (fx 2 F : g(x)
yg \ E c )
= (fx 2 F : f (x)
yg \ E) [ fx 2 E c : g(x)
yg.
El conjunto fx 2 E c : g(x) yg está contenido en un conjunto de medida cero, por lo tanto
es medible. Así que fx 2 F : g(x) yg es medible.
En general, cuando se tiene un espacio de medida (F; =; ), los conjuntos de medida cero son
considerados pequeños al grado de que pueden ser despreciados. De esta forma, dos funciones
medibles que sean iguales excepto en un conjunto de medida cero son esencialmente la misma
función. Esta idea puede formalizarse de…niendo una relación de equivalencia dentro del
conjunto de las funciones medibles:
Definición 7.3. Diremos que dos funciones medibles son equivalentes si el conjunto de
puntos donde son distintas tiene medida cero.
Se veri…ca inmediatamente que la relación así de…nida es efectivamente una relación de
equivalencia, de manera que, mediante ella, el conjunto de las funciones medibles queda
partido en clases de equivalencia, cada una de las cuales está formada por funciones medibles
que son iguales excepto en un conjunto de medida cero.
Si f es una función medible, denotaremos por [f ] a la clase equivalencia que contiene a f .
Proposición 7.7. Sea (F; =0 ; ) un espacio de medida y = la completación de =0 con respecto a . Si f : F 7! R es una función =-medible no negativa, entonces existe un conjunto B 2 =0 de medida cero y una función : F 7! R, =0 -medible no negativa, tal que
f = IB c + f IB .
7.4. FUNCIONES MEDIBLES CON VALORES EN R
n
197
Demostración
Para cada n 2 N, sea:
( P n
'n (x) =
n
n2 1 m
m=0 2n Ify2R: 2m
n
n
Ann2 = fy 2 F : f (y)
m
2n
Am
n = y 2 F :
(x)
f (y)< m+1
2n g
si f (x) < n
si f (x) n
ng,
f (y) <
m+1
2n
, para m 2 f0; : : : ; n2n
1g.
Entonces:
Sn2n 1 m
m=0 An = fy 2 F : f (y) < ng.
Para n 2 N y m 2 f0; : : : ; n2n g, sean Bnm 2 =0 y Cnm un conjunto de medida cero tales que
Am
B m [ C m y B m \ Cnm = ;. Entonces existe un conjunto B 2 =0 de medida cero tal
n =
P n 1m
S1 n Sn2nn m n
m + nIB n2n es
B y, para cada n 2 N, la función n = n2
que n=1 m=0 Cn
m=0 2n IBn
n
=0 -medible y:
P n 1m 1
'n = n2
I m + nIAnn2n
m=0
2n An
P n 1m 1
P n 1m 1
= n2
I m + nIBnn2n + n2
I m + nICnn2n .
m=0
m=0
2n B n
2n Cn
Para cualquier n 2 N, si y 2 B c , entonces y 2 Bnm para alguna m 2 f0; : : : ; n2n g. Por lo
tanto, n (y) = 'n (y).
Así que
n IB c
= 'n IB c y entonces
n
converge sobre B c .
Sea:
(y) =
Entonces
l mn
0
1
n
(y) si y 2 B c
si y 2 B
es =0 -medible y
= f sobre B c . Por lo tanto:
f = f IB c + f IB = IB c + f IB .
7.4. Funciones medibles con valores en R
n
n
La medibilidad de una función f : F ! Rn (resp. f : F ! R ) será entendida considerando
n
n
sobre Rn (resp. R ) la -álgebra de los conjuntos borelianos en Rn (resp. R ).
Dada una función f : F ! Rn , podemos de…nir, para cada k 2 f1; 2; : : : ; ng, una función
fk : F ! R la cual asocia a cada x 2 F, la k-ésima coordenada de la imagen de x bajo f , de
198
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
manera que f se puede escribir como (f1 ; f2 ; : : : ; fn ). Las funciones f1 ; f2 ; : : : ; fn de…nidas
de esta manera será llamadas las componentes de la función f .
Obviamente, si partimos de n funciones cualesquiera, f1 ; f2 ; : : : ; fn , de F en R, podemos
de…nir la función (f1 ; f2 ; : : : ; fn ) : F ! Rn mediante la relación:
(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) (x) = (f1 (x) ; f2 (x) ; : : : ; fn (x)).
Las componentes de esta función así de…nida son f1 ; f2 ; : : : ; fn .
n
De manera similar, podemos de…nir las componentes de una función f : F ! R .
Proposición 7.8. Sea f : F ! Rn y f1 ; f2 ; : : : ; fn las componentes de f . Entonces f es
medible si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes propiedades:
T
(i) Tnk=1 fx 2 F : fk (x) yk ]g 2 = para cualquier vector (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 Rn .
(ii) Tnk=1 fx 2 F : fk (x) < yk ]g 2 = para cualquier vector (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 Rn .
(iii) nk=1 fx 2 F : f (x) 2 (ak ; bk ]g 2 =
n
Tn para cualesquiera (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 R .
(iv) k=1 fx 2 F : f (x) 2 [ak ; bk )g 2 =
n
Tn para cualesquiera (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 R .
(v) k=1 fx 2 F : f (x) 2 (ak ; bk )g 2 =
n
Tn para cualesquiera (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 R .
(vi) k=1 fx 2 F : f (x) 2 [ak ; bk ]g 2 =
para cualesquiera (a1 ; a2 ; : : : ; an ) ; (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2 Rn .
Teorema 7.6. Sea f : F ! Rn y f1 ; f2 ; : : : ; fn las componentes de f . Entonces f es medible
si y sólo si f1 ; f2 ; : : : ; fn son medibles.
Demostración
Supongamos que f1 ; f2 ; : : : ; fn son medibles, entonces, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng,
fx 2 F : fk (x) yk ]g 2 = para cualquier yk 2 R. Por lo tanto:
Tn
yk ]g 2 = para cualquier vector (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 Rn .
k=1 fx 2 F : fk (x)
Inversamente, supongamos que f es medible y sean k 2 f1; 2; : : : ; ng y yk 2 R. Para cada
j 2 f1; 2; : : : ; ng, de…namos:
Ij =
( 1; yk ] si j = k
R
si j 6= k
Entonces:
fx 2 F : fk (x)
yk ]g =
Tn
j=1
fx 2 F : fj (x) 2 Ij g 2 =.
n
Proposición 7.9. Sea f : F ! R y f1 ; f2 ; : : : ; fn las componentes de f . Entonces f es
medible si y sólo si:
7.4. FUNCIONES MEDIBLES CON VALORES EN R
Tn
k=1
fx 2 F : fk (x)
n
199
yk ]g 2 =
n
para cualquier vector (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 R .
n
Teorema 7.7. Sea f : F ! R y f1 ; f2 ; : : : ; fn las componentes de f . Entonces f es medible
si y sólo si f1 ; f2 ; : : : ; fn son medibles.
Demostración
Supongamos que f1 ; f2 ; : : : ; fn son medibles, entonces, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng,
fx 2 F : fk (x) yk ]g 2 = para cualquier yk 2 R. Por lo tanto:
Tn
n
yk ]g 2 = para cualquier vector (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 R .
k=1 fx 2 F : fk (x)
Inversamente, supongamos que f es medible y sean k 2 f1; 2; : : : ; ng y yk 2 R. Para cada
j 2 f1; 2; : : : ; ng, de…namos:
Ij =
[ 1; yk ] si j = k
R
si j 6= k
Entonces:
fx 2 F : fk (x)
yk ]g =
Tn
j=1
fx 2 F : fj (x) 2 Ij g 2 =.
Teorema 7.8. Toda función continua f : Rn 7! Rm es medible.
Demostración
Sea H = fB
Rn : f
1
(B) 2 =g.
H es una -álgebra de subconjuntos de F la cual contiene a los conjuntos abiertos ya que f
es continua. Por lo tanto, H contiene a la -álgebra generada por los conjuntos abiertos de
Rn , es decir, contiene a los borelianos de Rn ya que B (Rn ) está generada por los conjuntos
abiertos.
Por lo tanto, f es medible.
Corolario 7.4. Sea f : F ! R una función medible, entonces las funciones g = f1 Ifx2F:f (x)6=0g
y h = jf j , donde
0, son medibles.
El siguiente resultado permite realizar el vínculo entre la teoría de la medida y la teoría
de integración con un enfoque geométrico. Cuando uno quiere calcular el área de la región
comprendida bajo la grá…ca de una función no negativa, se integra tal función . En otras
palabras, la integral de Riemann de una función no negativa corresponde al área bajo la
grá…ca de esa función. Lo mismo ocurre con la integral de…nida por H. Lebesgue. Para que
este resultado adquiera sentido se requiere que, dada una función boreliana no negativa, la
200
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
región comprendida bajo la grá…ca de la función sea un conjunto al cual se le puede asignar
área, es decir, que sea Lebesgue medible. Como se muestra a continuación, tal región es un
conjunto boreliano de R2 .
Proposición 7.10. Sea g : Rn 7! R cualquier función boreliana no negativa. Entonces la
función h : Rn+1 7! R de…nida por h(x; y) = I[0;g(x)) (y), donde x 2 Rn y y 2 R, es boreliana.
Demostración
Para cada m 2 N, sea:
( P m
m2 k 1
k=0 2m I[ k2m1
'm (x) =
1
g< 2km ]
si g(x) < m
si g(x) m
De acuerdo con la demostración de la proposición anterior, 'm es una sucesión no decreciente
de funciones no negativas tales que l mm 1 'm (x) = g(x) para cualquier x 2 Rn . Por lo
tanto:
f(x; y) 2 Rn+1 : 0
m
m2
= [1
m=1 [k=0
k 1
2m
n+1
y < g(x)g = [1
:0
m=1 f(x; y) 2 R
g<
k
2m
0; k2m1
y < 'm (x)g
.
Así que el conjunto f(x; y) 2 Rn+1 : h(x; y) = 1g es boreliano.
Corolario 7.5. Sea g : Rn 7! R una función boreliana no negativa. Entonces los siguientes
conjuntos son borelianos de Rn+1 :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
f(x1 ; : : : ; xn ; y) 2 Rn+1
f(x1 ; : : : ; xn ; y) 2 Rn+1
f(x1 ; : : : ; xn ; y) 2 Rn+1
f(x1 ; : : : ; xn ; y) 2 Rn+1
f(x1 ; : : : ; xn ; y) 2 Rn+1
: 0 < y < g(x1 ; : : : ; xn )g,
: 0 y < g(x1 ; : : : ; xn )g,
: 0 < y g(x1 ; : : : ; xn )g,
: 0 y g(x1 ; : : : ; xn )g,
: g(x) > 0 y 0 y g(x1 ; : : : ; xn )g.
7.5. La integral de funciones medibles simples no negativas
En seguida se desarrolla la formulación moderna de la teoría de integración de Lebesgue para
el caso de un espacio de medida (F; =; ) cualquiera. La idea es de…nir primero la integral
para las funciones simples no negativas, después para cualquier función medible no negativa
y …nalmente para cualquier función medible.
Como una función simple puede tener varias representaciones, es necesario hacer ver que se
puede obtener la integral de la función teniendo cualquiera de sus representaciones.
Definición 7.4. Si ' es una función simple
no negativa con representación canónica ' =
R
P
n
k=1 ak IEk , se de…ne la integral de ', F 'd , de la siguiente manera:
7.5. LA INTEGRAL DE FUNCIONES MEDIBLES SIMPLES NO NEGATIVAS
R
'd =
F
201
Pn
ak m (Ek ).
P
Lema 7.2. Sea ' = m
donde los conjuntos F1 ; : : : ; Fm
j=1 bj IFj una función simple no negativa,
P
Pn
son ajenos por parejas, con representación canónica ' = k=1 ak IEk , entonces m
j=1 bj m (Fj ) =
Pn
k=1 ak m (Ek ).
k=1
Demostración
Para k 2 f1; : : : ; ng, se tiene Ek = [fj2f1;:::;mg:bj =ak g Fj , así que:
Pn
Pn
P
k=1 ak m (Ek ) =
k=1 ak
fj2f1;:::;mg:bj =ak g m (Fj )
P P
P
= nk=1 fj2f1;:::;mg:bj =ak g bj m (Fj ) = m
j=1 bj m (Fj ).
P
simple, donde los coe…cientes b1 ; : : : ; bm
Proposición 7.11. Sea ' = m
j=1 bj IFj una función P
P
son no negativos, con representación canónica ' = nk=1 ak IEk , entonces m
j=1 bj m (Fj ) =
Pn
k=1 ak m (Ek ).
Demostración
P
Los términos de la sumatoria m
j=1 bj IFj en los cuales bj = 0 pueden eliminarse, así que
podemos asumir que b1 ; : : : ; bm son números reales positivos.
Sea F = [m
j=1 Fm , T = f1; : : : ; mg y, si A = fi1 ; : : : ; ik g
de…namos:
FA = F \ Fi1 \
cA = bi1 +
\ Fik \ Fjc1 \
T y T
A = fj1 ; : : : ; jm k g,
\ Fjcm k ,
+ bik .
Entonces F = [A T FA , Fi = [fA T :i2Ag FA y, si A y B son dos subconjuntos distintos de T ,
FA y FB son ajenos. Por lo tanto:
P
m (Fj ) = fA T :j2Ag m (FA ).
Así que:
Pm
Pm
P
j=1 bj m (Fj ) =
j=1 bj
fA T :j2Ag m (FA )
P P
P
P
= m
j=1
fA T :j2Ag bj m (FA ) =
A T
j2A bj m (FA )
P
= A T cA m (FA ).
Además,
si x 2 FA y A = fi1 ; : : : ; ik g, '(x) = bi1 +
P
c
I
A
FA .
A T
Así que se tiene:
+ bik = cA , por lo tanto ' =
202
Pm
j=1 bj IFj
Pm
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
=
P
j=1 bj m (Fj )
cA IFA ,
A T
=
PRIMERA PARTE
P
cA m (FA ).
P
Pn
P
= m
j=1 bj IFj , se tiene
i=1 ai IEi =
A
A T
P
Pero como ni=1 ai IEi
anterior:
Pm
P
j=1 bj m (Fj ) =
A
T
cA m (FA ) =
Corolario 7.6. Sea ' =
son no negativos, entonces:
R
P
'd = m
j=1 bj m (Fj ).
F
Pm
Pn
j=1 bj IFj
k=1
T
cA IEA , así que, por el lema
ak m (Ek ).
una función simple, donde los coe…cientes b1 ; : : : ; bm
Proposición 7.12. Sean ' y dos funciones simples no negativas, entonces:
R
R
R
(i) F [a' + b ] d = a F 'd + b F d para cualesquiera números reales a y b no
negativos.
R
R
(ii) Si '
, entonces F 'd
d .
F
Demostración
P
P
i. Sean nk=1 ak IEk y m
k=1 bk IFk las representaciones canónicas de ' y , respectivamente.
Entonces:
P
P
a' + b = nk=1 aak IEk + m
k=1 bbk IFk ..
Así que:
R
P
P
[a' + b ] d = nk=1 aak m (Ek ) + m
k=1 bbk m (Fk )
F
R
R
= a F 'd + b F d .
ii. Si '
, entonces
R
R
R
d = F 'd + F [
F
Por lo tanto:
R
R
R
d
'd = F [
F
F
' es una función simple no negativa y
='+(
'), así que:
'] d .
'] d
0.
Teorema 7.9. Sea 'R una función simple no negativa. Entonces, la función m : = ! R,
de…nida por m(E) = E 'd , es una medida.
Demostración
Obviamente, m es no negativa y, por la proposición anterior, es …nitamente aditiva.
7.6. LA INTEGRAL DE FUNCIONES MEDIBLES NO NEGATIVAS
203
P
Sea nk=1 ak IEk la representación canónica de ', An una sucesión creciente de conjuntos
medibles y A = [1
n=1 An . Entonces:
R
P
'd = nk=1 ak m (An \ Ek ),
An
R
P
'd = nk=1 ak m (A \ Ek ).
A
Así que:
R
P
l mn 1 m(An ) = l mn!1 An 'd = l mn!1 nk=1 ak m (An \ Ek )
P
P
= nk=1 ak l mn 1 m (An \ Ek ) = nk=1 ak m (A \ Ek )
R
= A 'd = m(A).
7.6. La integral de funciones medibles no negativas
Para de…nir la integral de una función medible no negativa podríamos utilizar el hecho de que
se puede aproximar, por abajo, mediante una sucesión no decreciente de funciones simples no
negativas y de…niendo entonces la integral de la función como el límite de las integrales de las
funciones simples que aproximan a la función. Con este método, sería necesario demostrar
que el valor que se obtiene es el mismo para cualquier sucesión de funciones simples no
negativas cuyo límite sea la función medible dada. La siguiente de…nición evita tener que
hacer eso y es más cómoda de trabajar.
R
Definición 7.5. Si f es una función medible no negativa, se de…ne la integral de f , F f d ,
de la siguiente manera:
R
R
'd : ' es simple y 0 ' f .
f
d
=
sup
F
F
Definición 7.6. Si f es una función medible no negativa y E es un conjunto medible, se
de…ne:
R
R
f
d
=
I fd .
E
F E
Podemos demostrar inmediatamente el primero de los teoremas de convergencia de la integral, los cuales muestran claramente, para el caso de funciones de…nidas sobre R, la superioridad de la integral de Lebesgue con respecto a la integral de Riemann
Teorema 7.10 (Teorema de la convergencia monótona). Sea fn una sucesión no decreciente de funciones medibles no negativas, entonces:
R
R
l mn 1 fn d = l mn!1 F fn d .
F
204
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
Demostración
Sea f = l mn 1 fn y ' una función simple no negativa tal que '
f , 2 (0; 1) y An =
fx 2 F:fn (x)
'(x)g. Entonces, la sucesión
An es creciente y [An = F. Además, la
R
función m : = ! R, de…nida por m(E) = E 'd , es una medida, así que:
R
R
l mn 1 An 'd = F 'd .
R
R
R
Por otra parte,
'd
f d
f d para cualquier n 2 N, así que:
An
An n
F n
R
R
R
'd
=
l
m
'd
l
m
f d .
n!1
n
1
F
An
F n
Haciendo tender a 1, se obtiene entonces:
R
R
'd
l
m
f d .
n
1
F
F n
Por lo tanto:
R
fd
l mn
F
1
R
F
fn d .
Proposición 7.13. Sean f y g dos funciones medibles no negativas, entonces:
R
R
[af
+
bg]
d
=
a
f
d
+
b
gd para cualesquiera números reales a y b no
F
F
F
negativos.
R
R
(ii) Si f g entonces F f d
gd .
F
R
R
(iii) RSi f g sobre un conjunto E 2 =, entonces E f d
gd .
E
(iv) F f d = 0 si y sólo si fx 2 F : f (x) > 0g = 0.
(i)
R
Demostración
Para la primera, sean 'n y n dos sucesiones no decrecientes de funciones simples no negativas
tales que l mn!1 'n (x) = f (x) y l mn 1 n (x) = g (x) para cualquier x 2 F.
Para cada n 2 N, se tiene:
R
R
R
[a'
+
b
]
d
=
a
'
d
+
b
n
n
n
F
F
F
nd
.
Así que, por el teorema de la convergencia monótona, se tiene:
R
R
R
[af
+
bg]
d
=
a
f
d
+
b
f d .
F
F
F n
La segunda propiedad es inmediata de la de…nición.
Para la tercera propiedad, si f
g sobre un conjunto E 2 =, entonces f IE
el resultado se sigue de la segunda propiedad.
R
Para la cuarta propiedad supongamos que F f d = 0.
gIE , así que
7.6. LA INTEGRAL DE FUNCIONES MEDIBLES NO NEGATIVAS
205
Para cada n 2 N, sea En = x 2 F : f (x) > n1 , entonces, para cualquier n 2 N, se tiene:
R
R
1
f
d
fd
(En ).
n
F
En
R
Si (En ) fuera positiva, se tendría F f d > 0, por lo tanto (En ) = 0.
Finalmente,
([1
n=1 En ) = l mn
fx 2 F : f (x) > 0g =
1
(En ) = 0.
Inversamente, supongamos que fx 2 F : f (x) > 0g = 0 y sea ' una
R función medible simple
tal
R que 0 ' f , entonces ' = 0 casi en todas partes, así que F 'd = 0; por lo tanto,
f d = 0.
F
Teorema 7.11. Sea f Runa función medible no negativa. Entonces, la función m : = ! R,
de…nida por m(E) = E f d , es una medida. Además, si h es una función medible no
negativa, entonces:
R
R
hdm = F hf d .
F
Demostración
Obviamente, m es no negativa y, por el inciso 1 de la proposición anterior, es …nitamente
aditiva.
Sea An una sucesión monótona no decreciente de conjuntos medibles y A = [1
n=1 An . Entonces, la sucesión de funciones (IAn f )n2N es no decreciente y l mn 1 IAn = IA f , así que,
por el teorema de la convergenc…a monótona:
R
R
R
R
m(A) = A f d = F IA f d = l mn!1 F IAn f d = l mn!1 An f d = l mn 1 m(An ).
P
Si ' := nj=1 bj IFj es una función simple no negativa, entonces:
R
'dm =
F
Pn
j=1 bj m IFj =
Pn
j=1 bj
R
fd =
Fj
R
Fj
Pn
j=1 IFj f d =
R
F
'f d .
Sea ('n )n2N una sucesión no decreciente de funciones simples no negativas 'n : F ! R
tales que l mn 1 'n (x) = h (x) para cualquier x 2 F. Entonces, aplicando el teorema de la
convergencia monótona, se tiene:
R
R
R
R
R
hdm
=
l
m
'
dm
=
l
m
'
f
d
=
l
m
'
f
d
=
hf d .
n
1
n
1
n
1
n
n
n
F
F
F
F
F
Teorema 7.12 (Lema de Fatou). Sea ffn gn2N una sucesión de funciones medibles no
negativas. Entonces:
R
R
l m nf n 1 fn d
l m nf n 1 F fn d
F
206
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
Demostración
La sucesión gn = nf ffj : j ng es no decreciente y l m nf n
el teorema de la convergencia monótona:
R
R
l m nf n 1 fn d = l mn 1 F gn d .
F
Por otra parte, gn fj para cualquier j
R
R
g d
nf F fj d : j n .
F n
Por lo tanto:
R
l m nf n 1 fn d = l mn
F
R
l mn 1 nf F fj d : j
1
R
F
1
fn = l mn!1 gn , así que, por
n, así que:
gn d
n = l m nf n
1
R
F
fn d .
Llamaremos sucesión doble de números reales a cualquier función x : N
sucesión de este tipo será denotada por (xnm )n;m2N , donde xnm = x (n; m).
N ! R. Una
Diremos que una sucesión doble, (xnm )n;m2N , converge si existe L 2 R tal que, para cualquier
" > 0 existe N 2 N tal que jxnm Lj < " para toda pareja de números naturales n y m
mayores o iguales a N .
Sea (xnm )n;m2N una sucesión doble. Considerando esta sucesión en R, independientemente de
su convergencia o no convergencia, …jando n 2 N, la sucesión (sup fxij : i n; j mg)m2N es
no creciente, así que el límite l mm 1 sup fxij : i n; j mg existe. Además, si n1; n2 2 N
y n1 < n2 , entonces sup fxij : i n1 ; j mg sup fxij : i n2 ; j mg, así que:
l mm
1
sup fxij : i
n1 ; j
mg
l mm
1
sup fxij : i
Por lo tanto, la sucesión (l mm 1 sup fxij : i n; j
límite l mn!1 l mm 1 sup fxij : i n; j mg existe.
n2 ; j
mg.
mg)n2N es no creciente, así que el
De la misma manera, …jando n 2 N, la sucesión ( nf fxij : i n; j mg)m2N es no decreciente, así que el límite l mm 1 nf fxij : i n; j mg existe. Además, si n1; n2 2 N y
n1 < n2 , entonces nf fxij : i n1 ; j mg
nf fxij : i n2 ; j mg, así que:
l mm
1
nf fxij : i
n1 ; j
mg
l mm
1
nf fxij : i
n2 ; j
mg.
Por lo tanto, la sucesión (l mm 1 nf fxij : i n; j mg)n2N es no decreciente, así que el
límite l mn!1 l mm 1 nf fxij : i n; j mg existe.
Proposición 7.14. Una sucesión doble (xnm )n;m2N converge a 0 si y sólo si:
l mn
1
l mm
1
sup fjxij j : i
n; j
mg = 0.
7.6. LA INTEGRAL DE FUNCIONES MEDIBLES NO NEGATIVAS
207
Demostración
Supongamos que la sucesión doble (xnm )n;m2N converge a 0. Entonces, dada " > 0, sea
N 2 N tal que jxnm j < " para toda pareja de números naturales n y m mayores o iguales
a N . Entonces, …jando n N , se tiene l mm 1 sup fjxij j : i n; j mg "; por lo tanto
l mn 1 l mm 1 sup fjxij j : i n; j mg
". Como esto se cumple cualquiera que sea
" > 0, se tiene l mn 1 l mm 1 sup fjxij j : i n; j mg = 0.
Inversamente, supongamos que l mn 1 l mm!1 sup fjxij j : i n; j mg = 0. Entonces,
dada " > 0, existe N1 2 N tal que l mm 1 sup fjxij j : i n; j mg < " para cualquier
n N1 ; así que, existe N2 tal que sup fjxij j : i N1 ; j mg < " para cualquier m N2 .
Por lo tanto, sup fjxij j : i N1 ; j N2 g < " y, entonces, jxij j < " para cualquier i y j
mayores o iguales que N = max fN1 ; N2 g. Así que la sucesión doble (xnm )n;m2N converge a
0.
Proposición 7.15 (Lema de Fatou para sucesiones dobles). Sea ffnm gn;m2N una sucesión doble de funciones medibles no negativas. Entonces:
R
l mn 1 l mm 1 nf ffij : i n; j mg d
F
R
l mn 1 l mm 1 nf F fij d : i n; j m .
Demostración
Fijando n 2 N, la sucesión ( nf ffij : i n; j mg)m2N es no decreciente y la sucesión
(l mm 1 nf fxij : i n; j mg)n2N también es no decreciente, así que, por el teorema de
la convergencia monótona:
R
l mn 1 l mm 1 nf ffij : i n; j mg d
F
R
= l mn 1 F l mm!1 nf ffij : i n; j mg d
R
= l mn 1 l mm 1 F nf ffij : i n; j mg d .
Por otra parte, nf ffij : i n; j mg frs para cualesquiera r
R
R
nf ffij : i n; j mg d
f d ,
F
F rs
para cualesquiera r
R
nf ffij : i n; j
F
nys
mg d
m, por lo tanto:
R
nf F fij d : i
n; j
nys
m, así que:
m .
Teorema 7.13. Si f es una función medible no negativa tal que
…nita casi en todas partes.
R
F
f d < 1, entonces f es
208
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
Demostración
Sea
= fx 2 F : f (x) = 1 g, entonces
R
F
fI d
R
F
f d < 1.
Supongamos ( ) > 0 y de…namos, para cada n 2 N,
(
n si x 2
'n (x) =
0 si x 2
=
R
f I ; así que F f I d
RPara cada n 2 N, 'n es una función simple tal que 0 R'n
' d = n ( ) para cualquier n 2 N. Por lo tanto F f I d = 1, lo cual es una
F n
contradicción.
7.7. Funciones integrables
Definición
7.7. Se dice que una función medible f es integrable sobre un conjunto E 2 =
R
si E jf j d < 1.
Proposición 7.16. Si f es una función integrable sobre F, entonces f es …nita casi en todas
partes.
Demostración
El resultado es un corolario de la proposición 7.13
Proposición 7.17. Una función medible f es integrable sobre un conjunto medible E si y
sólo si f + y f son integrables sobre E.
Demostración
Se tiene f + jf j y f
jf j, así que si f es una función medible integrable sobre E, entonces
+
f y f son también integrables sobre E.
R
R
R
Inversamente, si f + y f son integrables sobre E, entonces E jf j d = E f + d + E f d ,
así que f es también integrable sobre E.
Definición 7.8. Si f unaR función medible e integrable sobre un conjunto medible E, se
de…ne su integral sobre E, E f d , de la siguiente manera:
R
R +
R
f
d
=
f
d
f d .
E
E
E
Proposición 7.18. Sean f y g dos funciones medibles e integrables sobre un conjunto medible E, entonces:
7.7. FUNCIONES INTEGRABLES
209
(i) Para
R cualquier número real c, la función cf es integrable sobre E y
c E fd .
R
R
(ii) Si
f
g
sobre
E,
entonces
f
d
gd .
E
E
R
R
(iii) E f d
jf j d
E
R
E
cf d
=
Demostración
1. jcf j
jcj jf j, así que
Si c < 0, se tiene:
R
E
jcf j d < 1.
(cf )+ = jcj f y (cf ) = jcj f + , así que:
R
R
R
cf d = E jcj f d
jcj f + d
E
E
R
R
R
R
= c E f d + c E f +d = c E f d + E f +d
R
= c E fd .
Si c
0, se tiene:
(cf )+ = cf + y (af ) = cf , así que:
R +
R
R
R
+
f d
cf
d
=
cf
d
cf
d
=
c
E
E
E
E
R
= c E fd .
2. Si f
R
gd
E
g sobre E, entonces g
R
R
f d = E (g f ) d
E
Por lo tanto:
R
R
f
d
gd .
E
E
R
R
4. E f d = E f + d
R
E
R
E
f d
0 sobre E, así que:
f
0.
f d
R
E
f +d +
R
E
f d =
R
E
jf j d .
Proposición 7.19. Sean f y g dos funciones medibles e integrables sobre un conjunto medible E y h : F ! R una función medible tal que h (x) = f (x) + g (x) en todos los puntos
x 2 E para los cuales f (x) + g (x) esté de…nida, entonces h es integrable sobre E y:
R
R
R
hd = E f d + E gd .
E
Demostración
Sea
= fx 2 E : f (x) + g (x) está de…nidag.
Como f y g son integrables sobre E,
(E
) = 0, así que:
210
R
E
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
jf j IE
d =
Por otra parte:
R
E
jhI j = jf I + gI j
jgj IE
d =
R
E
jhj IE
jf I j + jgI j, así que
Además:
(f I + gI )+
d = 0.
R
E
jhj I d < 1.
(f I + gI ) = f I + gI = (f I )+
= (f I )+ + (gI )+
PRIMERA PARTE
(f I ) + (gI )+
(gI )
(f I ) + (gI ) .
Así que:
(f I + gI )+ + (f I ) + (gI ) = (f I + gI ) + (f I )+ + (gI )+ .
Por lo tanto:
R
R
R
(f I + gI )+ d + E (f I ) d + E (gI ) d
E
R
R
R
= E (f I + gI ) d + E (f I )+ d + E (gI )+ d .
De lo cual se sigue:
R
R
R
R
+
hI
d
=
(f
I
+
gI
)
d
=
(f
I
+
gI
)
d
(f I + gI ) d
E
E
E
E
R
R
R
R
= E (f I )+ d + E (gI )+ d
(f I ) d
(gI ) d
E
E
R
R
R
R
+
(gI
)
d
(gI ) d
(f
I
)
d
+
= E (f I )+ d
E
E
E
R
R
= E f I d + E gI d .
Un razonamiento de inducción permite demostrar el siguiente corolario:
Corolario 7.7. Sean f1 ; : : : ; fn n funciones medibles e integrables sobre un conjunto
medible
P
E, a1 ; : : : ; an números reales y h : F ! RP
una función medible tal que h (x) = nk=1 ak fk (x)
en todos los puntos x 2 E para los cuales nk=1 ak fk (x) esté de…nida, entonces h es integrable
sobre E y:
R
R
P
hd = nk=1 ak E fk d ..
E
Proposición 7.20. Sean f y g dos funciones medibles e integrables, entonces:
R
(i) Si
R E gd R 0 para cualquier E 2 =, entonces fx 2 F : g (x) < 0g = 0.
(ii) RE f d
RE gd para cualquier E 2 =, entonces fx 2 F : f (x) > g (x)g = 0.
(iii) E f d = E gd para cualquier E 2 =, entonces fx 2 F : f (x) 6= g (x)g = 0.
7.7. FUNCIONES INTEGRABLES
211
Demostración
R
Supongamos que E gd
0 para cualquier E 2 = y, para cada n 2 N, sea En =
1
x 2 F : g (x) < n , entonces, para cualquier n 2 N, se tiene:
R
1
0
gd
(En ).
n
En
Así que
(En ) = 0.
Finalmente,
([1
n=1 En ) = l mn
fx 2 F : g (x) < 0g =
1
(En ) = 0.
Las otras dos a…rmaciones se siguen como corolario de la primera.
Pasemos ahora a demostrar el segundo de los teoremas de convergencia de la integral.
Teorema 7.14. Sea g una función no negativa, integrable sobre un conjunto medible E y
(fn )n2N una sucesión de funciones medibles tales que jfn j g y f = l mn 1 fn existe excepto
a lo más en un conjunto de medida cero, entonces:
R
l mn!1 E jfn f j d = 0.
Demostración
Para cada n 2 N, sea hn = 2g jfn f j, entonces, por el lema de Fatou, se tiene:
R
R
2 E gd = E l mn 1 hn d
R
R
R
l m nf n 1 E hn d = 2 E gd
l m supn 1 E jfn f j d .
Así que:
l m supn
1
R
E
jfn
f j d = 0.
Corolario 7.8 (Teorema de la convergencia dominada). Sea g una función no negativa, integrable sobre un conjunto medible E, y ffn gn2N una sucesión de funciones medibles
tales que jfn j
g y l mn 1 fn existe excepto a lo más en un conjunto de medida cero,
entonces:
R
R
l mn 1 fn d = l mn!1 E fn d .
E
Demostración
Sea f = l mn 1 fn . Entonces:
R
R
f
d
l
m
f d = l mn
n
1
E
E n
1
R
(fn
E
f) d
l mn!1
R
E
jfn
f j d = 0.
212
7. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
PRIMERA PARTE
Proposición 7.21. Sea g una función no negativa, integrable y ffnm gn;m2N una sucesión
doble de funciones medibles tales que jfnm j g y queRconverge a 0 excepto a lo más en un
conjunto de medida cero, entonces la sucesión doble F jfnm j d n;m2N converge a 0.
Demostración
Como ffnm gn;m2N converge a 0 excepto a lo más en un conjunto de medida cero, entonces:
l mn
1
l mm
1
sup fjfij j : i
n; j
mg = 0,
excepto a lo más en un conjunto de medida cero. Por lo tanto, si de…nimos, para cada pareja
n; m 2 N, hnm = 2g jfnm j, se tiene:
l mn
1
l mm
= l mn
= 2g
1
1
l mm
l mn
1
nf fhij : i
1
nf f2g
l mm
1
n; j
mg
jfij j : i
n; j
mg
sup fjfij j : i
n; j
mg = 2g.
Entonces, por el lema de Fatou, se tiene:
R
R
2 E gd = F l mn!1 l mm 1 nf fhij : i n; j mg d
R
l mn 1 l mm 1 nf F hij d : i n; j m ,
R
l mn 1 l mm 1 nf F (2g jfnm j) d : i n; j m
R
R
= 2 E gd
l mn 1 l mm 1 sup F jfnm j d : i n; j
m .
Así que:
R
jfnm j d : i n; j
R
Por lo tanto, la sucesión doble F jfnm j d
l mn
1
l mm
1
sup
F
m = 0.
n;m2N
converge a 0.
Teorema
7.15. Sea f una función medible no negativa, m : = ! R de…nida por m(E) =
R
f d y h una función medible e integrable con respecto a m, entonces hf es integrable con
E
respecto a y se tiene:
R
R
hdm = F hf d .
F
Demostración
Se tiene:
R +
R +
h
dm
=
h fd ,
F
F
R
R
h dm = F h f d .
F
7.7. FUNCIONES INTEGRABLES
213
Así que h+ f y h f son integrables con respecto a . Por lo tanto jhf j = h+ f + h f es
integrable con respecto a .
Además:
R
R
hdm = F h+ dm
F
R
F
h dm =
R
F
h+ f d
R
F
h fd =
R
F
hf d .
CAPÍTULO 8
TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
Segunda parte
8.1. Integrabilidad uniforme
En esta sección asumiremos que la medida
es …nita.
Proposición 8.1. Si f es una función medible no negativa, entonces:
R
R1
fd = 0
(fy 2 F : f (y) > xg) dx.
F
Demostración
Consideremos
primero una función simple no negativa ' con representación canónica ' =
Pm
j=1 bj IEj .
En este caso, se tiene:
R1
R1P
(fy
2
F
:
'
(y)
>
xg)
dx
=
fj2f1;:::;mg:bj >xg (Ej ) dx
0
0
R 1 Pm
Pm R 1
= 0
j=1 0 I[0;bj ) (x) (Ej ) dx
j=1 I[0;bj ) (x) (Ej ) dx =
R
P
= m
b
(E
)
=
'd .
j
j
j=1
F
Consideremos ahora una sucesión no decreciente ('n )n2N de funciones simples no negativas
tales que l mn 1 'n (x) = f (x) para cualquier x 2 F y, para n 2 N y x 2 [0; 1), de…namos
gn (x) = (fy 2 F : 'n (y) > xg).
La sucesión (gn )n2N es no decreciente y l mn 1 gn (x) = (fy 2 F : f (y) > xg) para cualquier x 2 [0; 1), así que, por el teorema de la convergencia monótona, se tiene:
R1
R1
(fy 2 F : f (y) > xg) dx = 0 l mn 1 (fy 2 F : 'n (y) > xg) dx
0
R1
R
R
= l mn 1 0
(fy 2 F : 'n (y) > xg) dx = l mn 1 F 'n d = F f d .
215
216
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
Teorema 8.1. Si f es una función integrable, entonces la serie:
P1
kg)
k=1 (fy 2 F : jf (y)j
converge.
Demostración
R1
R1
(fy 2 F : jf (y)j > xg) dx = l mn 1 0 I[0;n) (x) (fy 2 F : jf (y)j > xg) dx
0
R 1 Pn
= l mn 1 0
k=1 I[k 1;k) (x) (fy 2 F : jf (y)j > xg) dx
P R1
= l mn 1 nk=1 0 I[k 1;k) (x) (fy 2 F : jf (y)j > xg) dx.
I[k
1;k)
(x) (fy 2 F : jf (y)j
kg)
I[k
1;k)
(x) (fy 2 F : jf (y)j > xg).
Así que:
P R1
Pn
kg) = nk=1 0 I[k 1;k) (x) (fy 2 F : jf (y)j
k=1 (fy 2 F : jf (y)j
Pn R 1
k=1 0 I[k 1;k) (x) (fy 2 F : jf (y)j > xg) dx.
kg) dx
Por lo tanto, tomando límites, se obtiene:
R1
R
P1
(fy
2
F
:
jf
(y)j
kg)
(fy
2
F
:
jf
(y)j
>
xg)
dx
=
jf j d .
k=1
0
F
Corolario 8.1. Si f es una función integrable, entonces
lm
1
[jf j > ] = 0.
Demostración
lm
1
[jf j > ] = l mk
1
(fy 2 F : jf (y)j
kg) = 0.
Teorema 8.2. Si es …nita, una función medible f es integrable si y sólo si:
R
l m 1 [jf j> ] jf j d = 0.
Demostración
Supongamos primero que f es integrable. Para cada n 2 N, de…namos:
fn =
jf j si jf j n
0 en otro caso
Se tiene l mn 1 fn = f c.s y jfn j
convergencia dominada, se tiene:
jf j para cualquier n 2 N, así que, por el teorema de la
8.1. INTEGRABILIDAD UNIFORME
R
jf j d = l mn!1
F
R
f d = l mn
F n
Por lo tanto:
R
l mn 1 [jf j>n] jf j d = l mn
1
R
1
F
R
[jf j n]
jf j d
217
jf j d
R
[jf j n]
jf j d
= 0.
R
Dada " > 0, sea N 2 N tal que [jf j>n] jf j d < " para cualquier n N , entonces, si
N,
se tiene:
R
R
jf
j
d
jf j d < ".
[jf j> ]
[jf j>N ]
R
Así que, l m 1 [jf j> ] jf j d = 0.
R
Supongamos ahora que l m 1 [jf j> ] jf j d = 0. Entonces, tomando
> 0 tal que
R
jf j d < 1, se tiene:
[jf j> ]
R
R
R
jf j d = [jf j ] jf j d + [jf j> ] jf j d
([jf j
]) + 1 < 1.
F
Teorema
8.3. Una función medible f es integrable si y sólo si dada " > 0 existe
R
que A jf j d < " para cualquier conjunto A 2 = tal que (A) < .
> 0 tal
Demostración
R
Dada " > 0, tomemos > 0 tal que [jf j> ] jf j d <
conjunto A 2 = tal que (A) < , se tiene:
R
R
R
jf
j
d
=
I
jf
j
d
+
I jf j d
A
A
fjf j
g
fjf j> g A
R
R
I
d
+
jf j d
A
fjf j
g
fjf j> g
R
R
I d + fjf j> g jf j d
F A
R
=
(A) + fjf j> g jf j d < ".
"
2
y
=
"
2
. Entonces, para cualquier
Definición 8.1 (Integrabilidad uniforme). Se dice que una familia H de funciones medibles es uniformemente integrable si:
nR
o
l m 1 sup [jf j> ] jf j d : f 2 H = 0.
Teorema 8.4. RUna familia H de funciones medibles es uniformemente integrable si y sólo
Rsi el conjunto F jf j d : f 2 H está acotado y, dada cualquier " > 0, existe > 0 tal que
jf j d < " para cualesquiera f 2 H y A 2 = tal que (A)
.
A
Demostración
Supongamos primero que la familia H es uniformemente integrable.
218
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
R
Sea > 0 tal que [jf j> ] jf j d < 1 para cualquier f 2 H, se tiene entonces:
R
R
R
jf j d = [jf j ] jf j d + [jf j> ] jf j d
(F) + 1.
F
R
Así que el conjunto F jf j d : f 2 H está acotado.
R
Dada " > 0, sea > 0 tal que [jf j> ] jf j d < 2" para cualquier f 2 H, de…namos = 2" y
consideremos un conjunto A 2 = tal que (A)
. Se tiene entonces:
R
R
R
jf j d
I jf j d + [jf j> ] jf j d
(A) + 2" < ".
A
[jf j
] A
R
Inversamente, supongamos Rque el conjunto F jf j d : f 2 H está acotado y, dada cualquier
" > 0, existe > 0 tal que A jf j d < " para cualesquiera f 2 H y A 2 = tal que (A)
.
R
Dada " > 0, sea > 0 tal que ARjf j d < 2" para cualesquiera f 2 H y A 2 = tal que
(A)
. De…namos 0 = 1 sup F jf j d : f 2 H y tomemos f 2 H y
0 . Se tiene
entonces:
R
([jf j > ]) 1 F jf j d
.
Por lo tanto:
R
jf j d < 2" .
[jf j> ]
Así que:
nR
o
sup [jf j> ] jf j d : f 2 H < ".
Es decir:
lm
1 sup
nR
[jf j>
o
jf
j
d
:
f
2
H
= 0.
]
Proposición 8.2. Sea f una función medible e integrable,
ff : 2 g una familia de funciones medibles tales que jf j
entonces la familia ff : 2 g es uniformemente integrable.
Demostración
Para cualquier
R
jf j d
[jf j> ]
Así que:
lm
1
sup
nR
2 , se tiene:
R
jf j d
[jf j> ]
[jf j>
jf j d :
]
R
2
[jf j> ]
o
jf j d .
lm
1
R
[jf j> ]
jf j d = 0.
un conjunto cualquiera y
f para cualquier 2 ,
8.1. INTEGRABILIDAD UNIFORME
219
Ahora viene el tercer teorema de convergencia de la integral. Es una generalización del
teorema de la convergencia dominada ya que, de acuerdo con la proposición anterior, éste es
un caso particular del siguiente resultado.
Teorema 8.5. Sea ffn gn2N una familia uniformemente integrable de funciones medibles tal
que f = l mn!1 fn existe excepto a lo más en un conjunto de medida cero, entonces f es
integrable y:
R
l mn 1 F jfn f j d = 0.
Demostración
R
Sea > 0 tal que [jfn j> ] jfn j d < 1 para cualquier n 2 N. Entonces:
R
R
R
jf j d = [jf j ] jfn j d + [jf j> ] jfn j d
F n
([jfn j
]) + 1
(F) + 1.
Por lo tanto, por el lema de Fatou, se tiene:
R
R
R
jf
j
d
=
l
m
jf
j
d
l
m
nf
jf j d
n
n
1
F
F
F n
(F) + 1 < 1.
Así que f es integrable.
Para cada
( )
fn
f(
)
> 0, de…namos:
=
fn si jfn j
0 en otro caso
=
f si jf j
0 en otro caso
Sea C = fx 2 F : l mn!1 fn (x) = f (x)g.
( )
Si x 2 C es tal que jf (x)j < , entonces l mn 1 fn (x) = f ( ) (x). Así que, si ([jf j = ]) =
( )
( )
0, entonces l mn 1 fn = f ( ) c.s y, como fn
f( )
2 , se tiene, por el teorema de la
convergencia dominada:
R
( )
l mn 1 F fn
f ( ) d = 0.
Por otra parte:
R
( )
fn
f( ) d
F
=
R
[jfn j
;jf j
]
jfn
fj d +
R
[jfn j
;jf j> ]
jfn j d +
R
[jfn j> ;jf j
]
jf j d .
220
R
F
+
+
+
+
=
+
+
=
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
jfn
R
fj d =
[jfn j> ;jf j
R
R
R
R
[jfn j
;jf j
[jfn j
;jf j>
R
( )
[jfn j> ;jf j
R
( )
F
]
)
fj d +
[jfn j> ;jf j> ]
R
[jfn j
jfn
;jf j> ]
jf j d
;jf j
]
jf j d
;jf j> ]
jf j d
;jf j> ]
SEGUNDA PARTE
jfn
fj d
fj d
d
R
jfn j d +
f(
fn
)
jf j d +
]
;jf j>
[jfn j
jfn
f(
fn
fj d +
jfn
R
]
fj d .
R
jf
j
d
+
n
]
[jfn j
R
jf j d + [jfn j>
] n
R
jf
j
d
+
n
]
[jfn j>
[jfn j> ;jf j>
F
;jf j
[jfn j
jfn
]
[jfn j> ;jf j
R
R
]
R
d +
[jfn j> ;jf j> ]
R
R
jf j d
[jfn j> ;jf j> ]
[jf j> ]
jfn j d
jf j d +
R
[jfn j> ]
jfn j d .
R
R
Dada " > 0, sea 0 tal que [jf j> ] jf j d < " y [jfn j> ] jfn j d < ", para cualquier
entonces:
R
R
( )
jf
fj d
fn
f ( ) d + 2",
F n
F
para cualquier
0.
Sea
([jf j = ]) = 0, entonces:
l mn
0
1
R
F
tal que
jfn
fj d
0,
2".
Así que, como " > 0 es arbitraria, se tiene:
R
l mn 1 F jfn f j d = 0.
Corolario 8.2 (Teorema de la convergencia uniformemente integrable). Sea ffn gn2N
una familia uniformemente integrable de funciones medibles tales que l mn!1 fn existe excepto a lo más en un conjunto de medida cero, entonces f = l mn 1 fn es integrable y:
R
R
l mn 1 fn d = l mn!1 F fn d .
F
Tenemos un inverso del teorema 8.5:
Teorema 8.6. Sean
R (fn )n2N una sucesión de funciones integrables y f una función medible
tales que l mn!1 F jfn f j d = 0. Entonces la familia ffn : n 2 Ng es uniformemente
integrable.
8.1. INTEGRABILIDAD UNIFORME
221
Demostración
R
Sea N 2 N tal que F jfN f j d < 1, entonces:
R
R
R
jf
j
d
jf
f
j
d
+
jf j d < 1.
N
F
F
F N
Así que f es integrable.
R
Dada " > 0, sea N 2 N tal que F jfn f j d < 2" para cualquier n > N , se tiene entonces,
para cualquier n 2 N:
R
R
R
jf j d
jf j d + F jfn f j d
F n
F
R
R
R
< F jf j d + max F jf1 f j d ; : : : ; F jfN f j d ; 2" .
R
Así que el conjunto F jfn j d : n 2 N está acotado.
R
R
R
Tomemos ahora > 0 tal que max A jf j d ; A jf1 j d ; : : : ; A jfN j d < 2" para cualquier
conjunto A 2 = tal que (A) < . Entonces, si (A) < y n > N , se tiene:
R
R
R
jf
j
d
jf
j
d
+
jf
f j d < ".
n
A
A
F n
Teorema 8.7. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones integrables no negativas
R tal que
Rf = l mn 1 fn existe excepto aRlo más en un conjunto de medida cero y l mn!1 F fn d =
f d < 1. Entonces l mn 1 F jfn f j d = 0.
F
Demostración
La sucesión fm n (fn ; f )gn2N está acotada por f y converge puntualmente a f excepto a lo
más en un conjunto Rde medida cero, asíR que, por el teorema de la convergencia dominada,
se tiene que l mn 1 F m n (fn ; f ) d = F f d . Por lo tanto:
R
R
l mn 1 F max (fn ; f ) d = l mn 1 F [fn + f m n (fn ; f )] d
R
R
R
R
= l mn 1 F fn d + F f d
l mn 1 F m n (fn ; f ) d = F f d .
Así que:
R
l mn 1 F jfn
f j d = l mn
1
R
F
[max (fn ; f )
m n (fn ; f )] d = 0.
Corolario 8.3. Sea ffn gn2N una sucesión de funciones integrables no negativas
R tal que
Rf = l mn 1 fn existe excepto a lo más en un conjunto de medida cero y l mn!1 F fn d =
f d < 1. Entonces la familia ffn : n 2 Ng es uniformemente integrable.
F
Combinando los teoremas 8.5, 8.6, y 8.7 y el corolario 8.2, se tiene el siguiente resultado:
222
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
Teorema 8.8. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones integrables tales que f = l mn 1 fn
existe excepto a lo más en un conjunto de medida cero, entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes:
(i) La familia
R ffn : n 2 Ng es uniformemente integrable.
(ii) l mn 1 RF jfn f j d R = 0
(iii) l mn!1 F jfn j d = F jf j d < 1
Demostración
Si la familia
R ffn : n 2 Ng es uniformemente integrable, entonces, por el teorema 8.5, se tiene
l mn 1 F jfn f j d = 0. Así que la primera condición implica la segunda.
R
Si l mn 1 F jfn f j d = 0, entonces, por el teorema 8.6, la familia ffn : n 2 Ng es uniformemente integrable. Así que la segunda condición implica la primera.
R
R
Si l mn!1 F jfn j d = F jf j d < 1, entonces, por el teorema 8.7, se tiene:
R
l mn 1 F jfn f j d = 0.
Así que la tercera condición implica la segunda.
Si a familia ffn : n 2 Ng es uniformemente integrable, entonces la familia fjfn j : n 2 Ng
también es uniformemente integrable, así que, por el corolario 8.2, se tiene:
R
R
l mn!1 F jfn j d = F jf j d < 1.
Por lo tanto, la primera condición implica la tercera.
Corolario 8.4. Sea ffn gn2N una sucesión de funciones integrables no negativas tales que
f = l mn 1 fn existe excepto a lo más en un conjunto de medida cero, entonces las siguientes
tres condiciones son equivalentes:
(i) La familia
R ffn : n 2 Ng es uniformemente integrable.
(ii) l mn 1 RF jfn f j Rd = 0
(iii) l mn!1 F fn d = F f d < 1
Teorema 8.9. Sea H una familia de funciones medibles uniformemente integrable. Entonces
la familia:
n
+
G = f : F !R : Existe una sucesión (fn )n2N de funciones en H tales que
l mn!1 fn = f excepto a lo más en un conjunto de medida cerog
es uniformemente integrable.
8.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM
223
Demostración
Primero observemos que si A 2 =, entonces la familia de funciones H0 = ff IA : f 2 Hg es
uniformemente integrable.
R
Sea M una cota del conjunto F jf j d : f 2 H .
Sea f 2 G y (fn )n2N una sucesión de funciones en H tales que l mn!1 fn = f excepto a
lo más en
R un conjunto de medida cero, entonces,
R por la proposición 8.5, f es integrable y:
l mn 1 F jfn f j d = 0. Sea N 2 N tal que F jfN f j d < 1. Entonces:
R
R
R
jf j d
jf
f j d + F jfN j d < 1 + M .
F
F N
R
Así que la familia F jf j d : f 2 G está acotada.
R
Ahora, dada cualquier " > 0, sea > 0 tal que A jf j d < 12 " para cualesquiera f 2 H y
A 2 = tal que (A)
.
Si f 2 G, sea A 2 = tal que (A)
y (fn )n2N una sucesión de funciones en H tales que
l mn!1 fn = f excepto a lo más en un conjunto de medida cero, entonces l mn!1 fn IA = f IA
excepto a lo más en un conjunto de medida cero, así que, por la proposición 8.5:
R
R
l mn 1 A jfn f j d = l mn 1 F jfn IA f IA j d = 0.
R
Sea N 2 N tal que A jfN f j d < 12 ".
Entonces:
R
R
jf j d
jf
A
A N
fj d +
R
A
jfN j d < 21 " + 12 " = ".
Así que, por la proposición 8.4, G es uniformemente integrable.
8.2. Teorema de Radon-Nikodym
Dadas dos medidas y , ambas de…nidas
R sobre =, ¿bajo que condiciones existe una función
medible no negativa f tal que (E) = E f d para cualquier E 2 =? En esta sección se dará
respuesta a esta pregunta.
Dada una función medible f : F ! R, la familia de conjuntos medibles B = [f
],
con 2 R, es creciente en el sentido de que si < entonces B
B . Cabe entonces
preguntarse si, dada una familia creciente de conjuntos medibles fB g 2R , existe una función
] para cualquier 2 R.
medible f : F ! R tal que B = [f
Para de…nir tal función, dado un punto x 2 F, se debe de tener f (x)
tal que x 2 B , así que:
para cualquier
224
f (x)
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
nf f 2 R : x 2 B g.
Además, si f (x) < nf f 2 R : x 2 B g, entonces podría existir tal que x 2
= B y f (x) <
< nf f 2 R : x 2 B g. En este caso se tendría f (x)
, pero x 2
= B , así que B 6=
[f
].
La de…nición natural de f es entonces f (x) = nf f 2 R : x 2 B g, aunque con esta de…nición f podría no ser medible. El siguiente lema precisa el resultado que se tiene en este
sentido.
Lema 8.1. Sea D un conjunto numerable de números reales y fB g 2D una familia de
conjuntos medibles tales que si
<
entonces B
B . Entonces existe una función
medible f : F ! R tal que [f < ] B
[f
] para cualquier 2 D.
Demostración
Para cada x 2 F, sea f (x) = nf f 2 D : x 2 B g. Inmediatamente se tiene la contención
B
[f
] para cualquier 2 D.
Ahora bien, si
es cualquier número
<
tal que
S real y f (x) < , entonces existe
B
.
Por
otra
parte,
si
x
2
B
para
alguna
2 D y x 2 B , así que [f < ]
f 2D: < g
S
[f < ]. Por lo
2 D con
< , entonces f (x)
< , así que f 2D: < g B
S
tanto, [f < ] = f 2D: < g B , lo cual muestra que f es medible y que [f < ] B para
cualquier 2 D.
Definición 8.2. Sean y dos medidas. Se dice que es absolutamente continua con
respecto a , lo cual será denotado por
, si (E) = 0 para cualquier conjunto medible
E tal que (E) = 0.
Si es una
R medida y f una función medible no negativa, entonces : = ! R de…nida por
(E) = E f d es una medida absolutamente continua con respecto a .
Teorema 8.10 (Radon-Nikodym). Sean y dos medidas. Supongamos que es …nita
y que es absolutamente continua
con respecto a , entonces existe una función medible no
R
negativa f tal que (E) = E f d para cualquier conjunto medible E.
Demostración
Para cada número racional de…namos la medida con signo
=v
y sea (A ; B ) una
descomposición de Hahn para . Para = 0 tomemos A0 = X y B0 = ;.
Sea < entonces, como B
B = B \ A , se tiene B
B
A yB
B
B .
Por lo tanto, (B
B ) 0 y (B
B ) 0, es decir, v(B
B )
(B
B ) 0
y v(B
B )
(B
B ) 0, así que
(B
B ) v(B
B )
(B
B ), de
lo cual se sigue (B
B ) = 0.
8.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM
S
Sea F = f ; 2Q: < g (B
B ). Entonces (F ) = 0 y B
pareja de racionales y tales que < .
225
F
B
F para cualquier
F y A0 = (B 0 )c para cualquier número racional . Entonces A y
De…namos B 0 = B
B di…eren de A0 y B 0 , respectivamente, por un conjunto de medida igual a cero, el cual
también tiene medida igual a cero ya que es absolutamente continua con respecto a .
Esto implica que, para cada racional, la pareja (A0 y B 0 ) es también una descomposición
de Hahn para . Obsérvese, además, que se sigue teniendo A00 = X y B00 = ;.
Para simpli…car la notación, se puede asumir que esta nueva descomposición de Hahn es la
que se toma inicialmente. De esta forma, la familia fB g 2Q es creciente.
Por el lema 8.1 existe una función medible f : F ! R tal que, para cualquier número racional
, [f < ] B
[f
].
Como B0 = ;, [f < 0] = ;, así que f es no negativa.
Sean ; 2 Q con < , entonces
y E = E \ (B
B ), entonces:
(8.1)
(E )
sobre B
f
Z
fd
B = B \ A , así que, si E 2 =
(E ).
E
Por otra parte, como E
B \ A , se tiene
(E )
(E )
(E ) 0 y (E )
(E ) 0. Así que:
(8.2)
(E )
(E )
0 y
(E )
0, es decir,
(E ).
Combinando las desigualdades 8.1 y 8.2, se obtiene:
(8.3)
(E )
(
) (E )
Z
fd
(E ) + (
) (E ).
E
En particular, si, para cada N 2 N, consideramos los conjuntos B0 ; B 1 ; B 2 ; : : : y, para cada
N
k 2 f0; 1; 2; : : :g, de…nimos Ek = E \ B k+1
N
(8.4)
(Ek )
1
(Ek )
N
Z
Ek
N
B k , aplicando 8.3 para cada k, se tiene:
N
fd
(Ek ) +
1
(Ek ).
N
De manera que, como los conjuntos Ek son ajenos por parejas, sumando sobre k cada término
de la desigualdad 8.4, se obtiene:
226
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
(8.5)
(
1
[
1
Ek )
k=0
Z
1 [
( Ek )
N k=0
S1
S1
k=0
SEGUNDA PARTE
fd
(
Ek
1
[
Ek ) +
k=0
1 [
( Ek ).
N k=0
1
Sea ahora E1 = E
k .
k=0 B N
S1
Como [f < 1]
k , se tiene f = 1 sobre E1 . Por otra parte, para cualquier k 2
k=0 B N
f0; 1; 2; : : :g, se tiene E1 A k , así que (E1 ) Nk (E1 ) 0, es decir, (E1 ) Nk (E1 ).
N
Por lo tanto, si (E1 ) > 0, entonces (E1 ) = 1. Por otra parte, si (E1 ) = 0, entonces
(E1 ) = 0 ya que es absolutamente continua con respecto a . Por lo tanto, en cualquier
caso se tiene:
(8.6)
(E1 ) =
Z
fd .
E1
S
S
conjuntos
E1 y 1
Finalmente, como ES= E1 [ [ R1
k=0 Ek son ajenos,
k=0 Ek ] y los
R
R
S1 se tiene
S
E
)
y
f
d
=
f
d
+
f
d
.
Además,
(
(E) = (E1 ) + ( 1
1
k=0 Ek )
k=0 k
E
E1
k=0 Ek
(E). Así que, combinando 8.5 y 8.6, se obtiene:
(E)
Siendo
Z
1
(E)
N
fd
(E) +
E
…nita y N 2 N arbitraria, se concluye (E) =
R
E
1
(E).
N
fd .
Corolario 8.5. Sean y dos medidas. Supongamos que es -…nita y que es absolutamente continua
con respecto a , entonces existe una función medible no negativa f tal
R
que (E) = E f d para cualquier conjunto medible E.
Demostración
Sea fEk gS
k2N una colección in…nita numerable de conjuntos, ajenos por parejas, Ek 2 = tales
que F = 1
(Ek ) < 1 para cualquier k.
k=1 Ek y
Para cada k 2 N, sean
(E) =
k
(E) = (E \ Ek ).
y
k
: = 7! R y
k
es …nita.
k
: = 7! R de…nidas por:
(E \ Ek ),
k
k
k
son medidas y
Además, si E 2 = y
k (E)
= 0, entonces
(E \ Ek ), así que
k
(E) = (E \ Ek ) = 0.
8.3. PRODUCTO DE ESPACIOS DE MEDIDA
227
Por lo tanto, k es absolutamente continua
R con respecto a k . Así que existe una función
medible no negativa fk tal que k (E) = E fk d k para cualquier conjunto medible E.
c
c
Como
k (Ek ) = 0, podemos rede…nir fk de tal forma que sea nula sobre Ek , así que k (E) =
R
f d .
E k
P
Sea f = 1
k=1 fk , entonces f es una función medible no negativa y, para cualquier conjunto
medible E, se tiene:
P
P1
(E) = 1
k=1 (E \ Ek ) =
k=1 k (E)
R P1
R
P R
= 1
k=1 E fk d = E
k=1 fk d = E f d .
8.3. Producto de espacios de medida
En esta sección, (F1 ; =1 ;
1)
y (F2 ; =2 ;
2)
serán dos espacios de medida cualesquiera.
Definición 8.3. Por un rectángulo medible en F1 F2 se entenderá un conjunto de la forma
A B, donde A 2 =1 y B 2 =2 . La -álgebra generada por los rectángulos medibles en F1 F2
será llamada la -álgebra producto de =1 y =2 y será denotada por =1 =2 .
S
Sea A la familia de conjuntos de la forma nj=1 Rj en donde n 2 N y R1 ; : : : ; Rn son rectángulos medibles en F1 F2 , ajenos por parejas. Obviamente A es un álgebra de subconjuntos
de F1 F2 y la -álgebra generada por A es =1 =2 .
Si R = A
B es un rectángulo medible en F1
(R) = 1 (A) 2 (B).
S
(j)
2 A, de…namos:
Si E = m
j=1 R
Pm
(j)
.
0 (E) =
j=1 0 R
F2 , de…namos:
0
Evidentemente, la función
0
: A 7! R [ f1g es …nitamente aditiva y
0
(;) = 0.
Proposición 8.3. Sea R = A B un rectángulo medible en F1 F2 y Ri = Ai Bi una
colección
S in…nita numerable de rectángulos medibles en F1 F2 , ajenos por parejas, tal que
R= 1
k=1 Ri , entonces:
P1
0 (R) =
i=1 0 (Ri ).
Demostración
Para cada x 2 A, se tiene:
S
B = fi:x2Ai g Bi .
228
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
Por lo tanto:
P
2 (B) =
fi:x2Ai g
2
(Bi ) =
Así que:
2
(B) IA =
P1
i=1
2
P1
2
i=1
(Bi ) IAi (x).
(Bi ) IAi .
Integrando, se obtiene:
R
R P1
2 (B) 1 (A) = F1 2 (B) IA d 1 = F1
i=1 2 (Bi ) IAi d
P1
P R
= 1
i=1 2 (Bi ) 1 (Ai ).
i=1 F1 2 (Bi ) IAi d 1 =
Teorema 8.11.
0
SEGUNDA PARTE
1
es una quasi medida.
Demostración
Sea E1 ; ES
2 ; : : : una colección in…nita numerable de elementos de A, ajenos por parejas, tal
que E = 1
i=1 Ei 2 A.
S
Por un lado, como E = 1
i=1 Ei , E es una unión in…nita numerable de rectángulos medibles
Rk en F1 F2 , ajenos por parejas.
Por otro lado, como E 2 A, E es una unión …nita de rectángulos medibles en F1
por parejas.
S
(j)
Sea E = m
j=1 R .
(j)
Para cada j 2 f1; : : : ; mg y k 2 N, de…namos Rk = Rk \ R(j) . Entonces, como
S
Sm
S1
(j)
(j)
(j)
= 1
k=1 Rk , así que:
j=1 Rk y R
k=1 Rk , se tiene Rk =
0
=
(E) =
Pm
P1 Pm
k=1
0
j=1
j=1
R(j) =
(j)
0
Rk
=
Pm P1
j=1
P1
k=1
k=1
0
F2 , ajenos
Sm
j=1
R(j) =
(j)
0
(Rk ) =
Rk
P1
i=1
0
(Ei ).
De acuerdo con el teorema 5.6, la quasi medida 0 puede extenderse a una medida de…nida sobre la -álgebra (=1 =2 ) generada por A y los conjuntos de medida exterior cero de…nidos
por 0 . Denotaremos a esa medida por 1
2 y la llamaremos la medida producto de 1 y
.
2
Si E 2 =1
=2 de…namos, para cada x 2 F1 :
Ex = fy 2 F2 : (x; y) 2 Eg,
8.3. PRODUCTO DE ESPACIOS DE MEDIDA
229
y, para cada y 2 F2 :
E y = fx 2 F1 : (x; y) 2 Eg.
Proposición 8.4. Ex 2 =2 para cualquier E 2 =1
= 2 y x 2 F1 .
Demostración
Sea H = fE 2 =1
=2 : Ex 2 =2 para cualquier x 2 F1 g.
H es una -álgebra que contiene a los rectángulos medibles en F1
a =1 =2 .
Corolario 8.6. E y 2 =1 para cualquier E 2 =1
= 2 y y 2 F2 .
Si E 2 =1 =2 , de…namos las funciones 'E : F1 7! R [ f1g y
siguiente manera:
'E (x) =
2
(Ex ),
(y) =
1
(E y ).
E
F2 , así que H contiene
: F2 7! R [ f1g, de la
E
Proposición 8.5. Supongamos
R que 1 y R2 son -…nitas, entonces 'E y
para cualquier E 2 =1 =2 y F1 'E d 1 = F2 E d 2 .
Demostración
n
o
n
o
(1)
(2)
Sea Fn
(resp. Fn
n2N
por parejas y tales que
1
n2N
(1)
Fn
(1)
< 1 (resp.
(2)
2
Fn
(2)
< 1) para cualquier n 2 N y
(1)
=2 , denotemos por E nm al conjunto E \ Fn
Fijemos n; m 2 N y de…namos:
n
H = E 2 =1 =2 : 'E nm y
son medibles
) una familia de subconjuntos de F1 (resp. F2 ), ajenos
1
F1 = [1
n=1 Fn (resp. F2 = [n=1 Fn ).
Si E 2 =1
E
E nm
son medibles y
R
(2)
Fm
'
d
F1 E nm
1
=
.
R
F2
E nm d
o
2 .
Vamos a demostrar que H es una clase monótona que contiene al álgebra A que genera
=1 = 2 .
Si E = A
B es un rectángulo medible en F1
(
(2)
(1)
si x 2 A \ Fn
2 B \ Fm
'E nm (x) =
0
en otro caso
F2 , entonces:
230
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
E nm
(y) =
(
(1)
0
Así que 'E nm y
R
'
d 1=
F1 E nm
R
F2
Ed 2
Así que
R
=
1
(2)
A \ Fn
1
E nm
si y 2 B \ Fm
en otro caso
son medible. Además:
(2)
(1)
B \ Fm
2
1
(1)
A \ Fn
'
d
F1 E nm
1
SEGUNDA PARTE
=
R
(2)
2
F2
A \ Fn
B \ Fm
.
E nm d 2 .
Por lo tanto, H contiene a cualquier rectángulo medible en F1
F2 .
Sea E1 ; : : : ; Ek una colección …nita de conjuntos en H,ajenos por parejas y sea E = [kj=1 En ,
entonces:
P
'E nm = kj=1 'Ejnm ,
E nm
=
Pk
Ejnm .
j=1
Así que E 2 H.
S
Por lo tanto, H contiene a la familia de conjuntos de la forma nj=1 Rj en donde n 2 N y
R1 ; : : : ; Rn son rectángulos medibles en F1 F2 , ajenos por parejas. Es decir, A H.
Sea fEk gk2N una sucesión no decreciente de elementos de H y sea E = [1
k=1 Ek , entonces:
'E nm = l mk
E nm
= l mk
1
'Eknm ,
1
Eknm .
Así que, por el teorema de la convergencia monótona, E 2 H.
Sea fEk gk2N una sucesión no creciente de elementos de H y sea E = \1
k=1 Ek , entonces:
'E nm = l mk
E nm
= l mk
1
'Eknm ,
1
Eknm .
Así que, por el teorema de la convergencia dominada, E 2 H.
Utilizando el teorema de clases monótonas, concluímos entonces que H = =1
1
nm
Ahora, si E 2 =1 =2 , entonces E = [1
, así que:
n=1 [m=1 E
P
P1
'E = 1
n=1
m=1 'E nm ,
=2 .
8.3. PRODUCTO DE ESPACIOS DE MEDIDA
E
=
P1 P1
n=1
m=1
Así que, 'E y
R
d 2.
F2 E
231
E nm .
son medibles y, por el teorema de la convergencia monótona,
E
Proposición 8.6. Supongamos que 1 y
R
R
1
2 (E) = F1 'E d 1 = F2 E d 2 ,
para cualquier E 2 =1
2
R
F1
'E d
1
=
son -…nitas, entonces:
=2 .
Demostración
La función : =1 =2 7! R [ f1g de…nida por:
R
(E) = F1 'E d 1
es una medida.
En efecto, obviamente (;) = 0 y si (En )n2N es una sucesión de elementos de =1 =2 , ajenos
por parejas, de…namos E = [1
n=1 En . Entonces, para
S1cualquier x 2 F1 , los elementos de la
sucesión ((En )x )n2N son ajenos por parejas y Ex = n=1 (En )x . Así que:
P1
P
'E (x) = 2 (Ex ) = 1
n=1 'En (x).
n=1 2 ((En )x ) =
Por lo tanto:
R
(E) = F1 'E d
1
=
Además:
Si R = A
R P1
F1
n=1
'En d
1
=
P1 R
n=1
B es un rectángulo medible en F1
F1
'En d
1
=
P1
n=1
(En ).
F2 , entonces:
Rx = B para cualquier x 2 A y Rx = ; para cualquier x 2
= A.
Así que:
'R =
2
(B) IA .
Por lo tanto:
R
(R) = F1 'R d
1
=
2
(B)
1
(A) =
1
2
(R).
Así que y 1
2 coinciden sobre la familia de rectángulos medibles en F1
forman un -sistema de subconjuntos de F1 F2 .
F2 , los cuales
Por último, como 1 y 2 son -…nitas, existen una sucesión no decreciente (An )n2N de
elementos de =1 y una sucesión no decreciente (Bn )n2N de elementos de =2 tales que:
232
F1 =
F2 =
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
S1
n=1
S1
n=1
An y
1
(An ) < 1 para cualquier n 2 N,
Bn y
2
(Bn ) < 1 para cualquier n 2 N.
SEGUNDA PARTE
Así
S1 que, la sucesión de rectángulos medibles (An Bn )n2N es no decreciente, F1 F2 =
Bn y 1
Bn ) < 1 para cualquier n 2 N. Por lo tanto, también se
2 (An
n=1 An
tiene (An Bn ) < 1 para cualquier n 2 N.
Por el teorema de clases monótonas para -sistemas, se concluye entonces que y 1
2
coinciden sobre =1 =2 , que es, por de…nición, la -álgebra generada por los rectángulos
medibles en F1 F2 .
Como 1
2 es una medida completa, la completación de
es la restricción a =1 =2 de 1
2.
Sabemos que todo conjunto de medida
de medida 1
2 cero.
1
es
1
2.
En otras palabras,
cero está contenido en un conjunto B 2 =1 =2
2
Sabemos también que si f : F1 F2 7! R es una función (=1 =2 ) -medible no negativa,
entonces existe un conjunto B 2 =1 =2 de medida 1
: F1 F2 7!
2 cero y una función
R, =1 =2 -medible no negativa, tales que f = IB c + f IB .
Sea C 2 (=1 =2 ) de medida 1
tal que C B. Entonces:
R
R
R
B (y) d 2 (y) d 1 (x) = F1
F1
F2 x
Así que si de…nimos: E1 = fx 2 F1 :
Si x 2
= E1 , entonces
2
2
cero y tomemos B 2 =1
F2
2
=2 de medida
1
2
cero
IB d = 0.
(Bx ) > 0g, entonces E1 2 =1 y
(Bx ) = 0. Además, Cx
Por lo tanto, para casi toda x, Cx 2 =1 y
2
Bx , así que Cx 2 =2 y
1
(E1 ) = 0.
2
(Cx ) = 0.
(Cx ) = 0.
De la misma manera, para casi toda y, C y 2 =2 y
1
(C y ) = 0.
Si f : F1 F2 7! R[ f1g es una función =1 =2 -medible no negativa, de…namos, para
cada x 2 F1 , la función fx : F2 7! R[ f1g, de la siguiente manera:
fx (y) = f (x; y)
y, para cada y 2 F2 , la función f y : F1 7! R[ f1g, de la siguiente manera:
f y (x) = f (x; y).
Proposición 8.7. Para cualquier función =1 =2 -medible no negativa, f : F1
R[ f1g, y cualquier x 2 F1 , la función fx es =2 -medible.
F2 7!
8.3. PRODUCTO DE ESPACIOS DE MEDIDA
233
Demostración
1
Sea B un conjunto boreliano en R[ f1g y E = f
(B). Entonces:
fx 1 (B) = fy 2 F2 : f (x; y) 2 Bg = fy 2 F2 : (x; y) 2 Eg = Ex .
Corolario 8.7. Para cualquier función =1 =2 -medible no negativa, f : F1 F2 7! R[ f1g,
y cualquier y 2 F2 , la función f y es =1 -medible.
Proposición
8.8. RSupongamos que 1 y 2 son -…nitas, entonces las funciones x 7!
R
f
d
(y)
y
y
7! F1 f y d 1 (x) son medibles para cualquier función no negativa =1 =2 2
F2 x
medible, f : F1 F2 7! R[ f1g, y:
R
F1
R
F2
fx d
2
(y) d
1
(x) =
Demostración
R
R
F2
F1
f yd
1
(x) d
2
Si f = IE , con E 2 =1 =2 , entonces las funciones x 7!
R
y 7! F1 f y d 1 (x) = 1 (E y ) = E (y) son medibles y:
R
F1
R
F2
R
F1
R
F2
R
F1
R
F2
fx d
2
(y) d
1
(x) =
f yd
1
(x) d
2
(y) =
R
F1
R
'E d
F2
R
(y) =
1
=
1
2
(E) =
Ed 2
=
1
2
(E) =
R
R
F1 F2
F2
fx d
F1 F2
R
fd (
2
2 ).
1
(y) =
2
(Ex ) = 'E (x) y
fd (
1
2 ),
fd (
1
2 ).
F 1 F2
Pm
Si f es una función medible simple no negativa,
digamos
R
Pfm = k=1 bk IEk , donde b1 ; : : : ; bm 2
R y E1 ; : : : ; Em 2 =1 =2 , entonces F2 fx d 2 (y) = k=1 bk 2 ((Ek )x ), así que la función
R
x 7! F2 fx d 2 (y) es medible. Además:
=
Pm
fx d
2
R
F1
k=1 bk
(y) d
'Ek d
1
1
(x) =
=
Pm
R
F1
P
( m
k=1 bk
k=1 bk 1
De la misma manera, se tiene
R
F2
2
R
2
((Ek )x )) d
(Ek ) =
f yd
F1
1
R
F1 F2
(x) d
2
1
(x)
fd (
(y) =
2 ).
1
R
F1 F2
fd (
1
2 ).
Si f es cualquier medible, sea ('n )n2N una sucesión no decreciente de funciones medibles
simples no negativas tal que f = l mn 1 'n . Entonces:
R
R
R
f d 2 (y) = F2 l mn 1 ('n )x d 2 (y) = l mn 1 F2 ('n )x d 2 (y).
F2 x
R
Así que la función x 7! F2 fx d 2 (y) es medible. Además:
R
F1
R
F2
fx d
2
(y) d
1
(x) =
R
F1
l mn
1
R
F2
('n )x d
2
(y) d
1
(x)
234
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
= l mn
1
= l mn
1
R
R
R
F1
F1
F2
('n )x d
' d(
F2 n
2
(y) d
2)
1
De la misma manera, se tiene
R
=
R
1
(x)
F1 F2
F2
R
SEGUNDA PARTE
F1
fd (
f yd
2 ).
1
(x) d
1
2
R
(y) =
F 1 F2
fd (
1
2 ).
Teorema 8.12 (Teorema de Tonelli). Supongamos que 1 y 2 son medidas completas
y -…nitas. Sea f : F1 F2 7! R[ f1g una función (=1 =2 ) -medible no negativa y
de…namos C1 = fx 2 F1 : fx es =2 -medibleg, C2 = fy 2 F2 : f y es =1 -medibleg. Entonces:
(i) C1c y C2c tienen medida cero.
R
R
(ii) Las funciones x ! IC1 (x) F2 fx d 2 y y ! IC2 (y) F1 f y d
R
R
R
R
(iii) C1 F2 fx d 2 (y) d 1 (x) = C2 F1 f y d 1 (x) d 2 (y)
R
= F1 F2 f d ( 1
2) .
1
son medibles.
Demostración
: F1 F2 7! R una función =1 =2 -medible no negativa y B 2 =1
2 ) cero tales que f = IB c + f IB .
Sean
( 1
De…namos E1 = fx 2 F1 :
1
2
=2 de medida
(Bx ) > 0g. Entonces E1 2 =1 y:
(E1 ) = 0.
Si x 2
= E1 , entonces
=2 -medible y .
Así que E1c
2
(Bx ) = 0. Así que fx =
C1 y entonces C1c
x
para casi toda y 2 F2 . Por lo tanto, fx es
E1 . Así que C1c 2 =1 y
1
(C1c ) = 0.
También, como E1c C1 , entonces C1 = E1c [ (C1 \ E1 ), así que, para cualquier x 2 C1 , se
tiene:
R
R
R
f d 2 = IE1c (x) F2 fx d 2 + IC1 \E1 (x) F2 fx d 2
F2 x
R
R
= IE1c (x) F2 x d 2 + IC1 \E1 (x) F2 fx d 2 .
R
R
Por lo tanto, IC1 (x) F2 fx d 2 = IE1c (x) F2 x d 2 para casi toda x 2 F1 . Así que la función
R
x ! IC1 (x) F2 fx d 2 es medible y:
R
C1
=
=
R
R
R
F2
fx d
I c (x)
F1 E1
F1 F2
d(
2
(y) d
R
1
F2
1
(x) =
xd 2
2)
=
R
(y) d
R
F1 F2
F1
1
IC1 (x)
(x) =
fd (
1
R
R
F2
F1
2)
fx d
R
.
F2
2
(y) d
xd 2
1
(x)
(y) d
1
(x)
8.3. PRODUCTO DE ESPACIOS DE MEDIDA
235
De la misma manera, si de…nimos E2 = fy 2 F2 : 1 (B y ) > 0g,
R seytiene E2 2 =2 , R 2 (Ey2 ) = 0,
c
c
c
E2
C2 , C2 2 =2 y 2 (C2 ) = 0, la función y ! IC2 (y) F1 f d 1 = IE2c (y) F1 d 1 es
medible y:
R
R
R
R
f y d 1 (x) d 2 (y) = F2 IC2 (y) F1 f y d 1 (x) d 2 (y)
C2
F1
=
=
R
R
F2
IE2c (x)
F1 F2
d(
R
y
F1
1
d
1
2)
=
(x) d
R
2
F1 F 2
(y) =
fd (
1
R
R
F2
2)
y
F1
d
1
(x) d
2
(y)
.
Teorema 8.13 (Teorema de Fubini). Supongamos que 1 y 2 son medidas completas y …nitas, sea f : F1 F2 7! R[ f 1; 1g una función =1 =2 -medible (o (=1 =2 ) -medible) e
integrable y de…namos C1 = fx 2 F1 : fx es 2 -integrableg, C2 = fy 2 F2 : f y es 1 -integrableg.
Entonces:
(i) C1c y C2c tienen medida cero.
R
R
(ii) Las funciones x ! IC1 (x) F2 fx d 2 y y ! IC2 (y) F1 f y d
R
R
R
R
(iii) C1 F2 fx d 2 (y) d 1 (x) = C2 F1 f y d 1 (x) d 2 (y)
R
= F1 F2 f d ( 1
2) .
1
son integrables.
Demostración
Como f es integrable, entonces f + es también integrable, así que:
R
R
R
+
f
(x;
y)
d
(y)
d
(x)
=
f +d ( 1
2
1
2 ) < 1.
F1
F2
F1 F2
R
f + (x; y) d 2 (y) < 1 para casi toda x 2 F1 .
R
De la misma manera, F2 f (x; y) d 2 (y) < 1 para casi toda x 2 F1 .
Por lo tanto,
F2
Por lo tanto, fx es
Además:
R
R
f + (x; y) d
C1
F2
R
C1
R
f (x; y) d
F2
2 -integrable
para casi toda x 2 F1 .
2
(y) d
1
(x) =
2
(y) d
1
(x) =
Así que la función:
R
x ! IC1 (x) F2 fx d 2
R
= IC1 (x) F2 f + (x; y) d
2
(y)
R
R
F1
F1
IC1 (x)
R
R
R
F2
F2
F2
f + (x; y) d
2
(y) d
1
(x) < 1,
f (x; y) d
2
(y) d
1
(x) < 1.
f (x; y) d
2
(y)
236
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
es integrable.
Por último:
R
R
f d
F2 x
C1
=
=
R
R
C1
F1
R
2
d
1
f + (x; y) d
F2
f +d (
F2
1
2
2)
(y) d
R
F1
1
(x)
R
C1
f: d (
F2
1
R
F2
f (x; y) d
2) =
R
F1 F2
2
(y) d
f :d (
1
1
(x)
2)
.
8.4. Proyección de medidas
Teorema 8.14. Sean (G; G) un espacio medible y h : (F; =; ) 7! (G; G) una función medible.
Entonces la función : G 7! R de…nida por (B) = (fy 2 F : h (y) 2 Bg) es una medida.
Demostración
Obviamente es no negativa y (;) = 0. Para demostrar que es -aditiva, sea B1 ; B2 ; : : :
una familia numerable de elementos de G tal que Bi \Bj = ; para i 6= j, entonces, de…niendo,
para cada i 2 N, Ai = fy 2 F : h (y) 2 Bi g, los conjuntos A1 ; A2 ; : : : son ajenos por parejas,
así que:
1
S
Bi
=
i=1
y 2 F : h (y) 2
Definición 8.4. A la medida
de bajo la función h.
1
S
i=1
Bi
=
1
S
i=1
Ai
=
P1
i=1
(Ai ) =
P1
i=1
(Bi ).
de…nida como en el teorema anterior se le llama la proyección
Teorema 8.15. Sea h : (F; =; ) 7! (G; G) una función medible. Entonces si : G 7! R es
la proyección de bajo h y f : G 7! R es una función medible no negativa, se tiene:
R
R
f d = F f hd .
G
Demostración
Consideremos P
primero una función simple no negativa ' : G 7! R, con representación
canónica ' = m
j=1 bj IEj .
Entonces:
P
P
' h= m
h= m
j=1 bj IEj
j=1 bj Ih 1 (Ej ) ,
R
R
Pm
Pm
1
'd
=
b
(E
)
=
b
(h
(E
))
=
' hd .
j
j
j
j
j=1
j=1
G
F
8.4. PROYECCIÓN DE MEDIDAS
237
Consideremos ahora una sucesión no decreciente ('n )n2N de funciones simples no negativas
tales que l mn 1 'n (y) = f (y) para cualquier y 2 G. Entonces, para cualquier n 2 N la
función 'n h es no negativa, la sucesión ('n h)n2N es no decreciente y l mn 1 'n h (x) =
f h (x) para cualquier x 2 F.; así que:
R
R
R
R
f d = l mn 1 G 'n d = l mn 1 F 'n hd = F f hd .
G
Corolario 8.8. Sea h : (F; =; ) 7! (G; G) una función medible. Entonces si
la proyección de bajo h y f : G 7! R es una función integrable, se tiene:
R
R
f d = F f hd .
G
: G 7! R es
Demostración
Por la proposición anterior, se tiene:
R +
R
f
hd = G f + d < 1,
F
R
R
f
hd = G f d < 1.
F
Así que:
R
R
f d = G f +d
G
R
G
f d =
R
F
f + hd
R
F
f
hd =
R
F
f
hd .
A continuación vamos a presentar un caso particular de los resultados anteriores y que
es de especial importancia ya que muestra que, para cualquier cualquier medida , sobre
(R; B (R)), que asigne un valor …nito a cualquier conjunto boreliano acotado, existe una
función c que proyecta la medida de Lebesgue en , lo cual tiene como corolario que las
integrales con respecto a se pueden expresar como integrales con respecto a la medida de
Lebesgue.
Sea 0 una medida, no idénticamente cero, sobre (R; B (R)) tal que los intervalos acotados
tienen medida …nita y sea F 0 : R 7! R una función no decreciente y continua por la derecha
tal que 0 ((a; b]) = F 0 (b) F 0 (a) para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que
a < b.
F 0 puede ser constante en uno o más intervalosde la forma [a0 ; b0 ), donde a0 ; b0 2 R, tales
que F 0 (x) < F 0 (a0 ) para cualquier x < a0 y F 0 (x) > F 0 (a0 ) para cualquier x > b0 .
El conjunto de intervalos de este tipo es a lo más in…nito numerable, así que los podemos
denotar por I1 = [a1 ; b1 ) ; I2 = [a2 ; b2 ) ; : : :. También puede ser constante en un intervalo
I0 = (a0 ; b0 ), donde a0 = 1 y b0 2 R, tal que F 0 (x) > F 0 (b0 ) para cualquier x > b0 ,
o en un intervalo I1 = [a1 ; b1 ), donde a1 2 R y b1 = 1, tal que F 0 (x) < F 0 (a1 ) para
cualquier x < a0 . Denotaremos por H a la familia formada por todos los intervalos de los
tipos mencionados y por K a la unión de todos ellos. También, denotaremos por sk al valor
que toma F 0 en el intervalo Ik .
238
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
F 0 puede ser continua en uno o varios puntos que no pertenecen a K. Denotaremos por C
a ese conjunto de puntos.
F 0 puede ser discontinua en uno o varios puntos que no pertenecen a K, los cuales forman
un conjunto a lo más in…nito numerable. Denotaremos por D a ese conjunto de puntos.
Obviamente los conjuntos K, C y D son ajenos por parejas y su unión en R.
Sean m = l mx! 1 F 0 (x) y M = l mx 1 F 0 (x) y de…namos la función c : (m; M ) 7! R
mediante la relación c(t) = nf fx 2 R : F 0 (x) > tg.
Evidentemente, c es una función no decreciente y, para cualquier intervalo Ik 2 H, no
existe t 2 (m; M ) tal que c (t) 2 (ak ; bk ). Además, considerando a c como función de
((m; M ) ; B ((m; M ))) en (R; B (R)), c es medible ya que es no decreciente.
Se tienen las siguientes 5 situaciones:
1. Si x0 2 Ik 2 H, donde k 2
= f0; 1g, se tiene:
c(sk ) = ak y c(sk ) = bk . Por lo tanto:
fy 2 (m; M ) : c (y)
x0 g = fy 2 (m; M ) : c (y)
ak g = (m; sk ),
fy 2 (m; M ) : c (y) > x0 g = fy 2 (m; M ) : c (y)
bk g = [sk ; M ).
2. Si x0 2 ( 1; b0 ) 2 H, entonces s0 = m 2 R y c(s0 +) = b0 . Por lo tanto:
fy 2 (m; M ) : c (y)
x0 g = ;,
fy 2 (m; M ) : c (y) > x0 g = fy 2 (m; M ) : c (y)
b0 g = (m; M ).
3. Si x0 2 [a1 ; 1) 2 H, entonces s1 = M 2 R y c(s1 ) = a1 . Por lo tanto:
fy 2 (m; M ) : c (y)
x0 g = fy 2 (m; M ) : c (y)
a1 g = (m; M ),
fy 2 (m; M ) : c (y) > x0 g = ;.
4. Si x0 2 C y F 0 (x0 ) = t0 , entonces c (t0 ) = x0 , c (t) < x0 para cualquier t < t0 y c (t) > x0
para cualquier t > t0 . Por lo tanto:
fy 2 (m; M ) : c (y)
x0 g = (m; t0 ],
fy 2 (m; M ) : c (y) > x0 g = (t0 ; M ).
5. Si x0 2 D, sea t1 = F 0 (x0 ) y t2 = F 0 (x0 ); entonces c (t) = x0 para cualquier t 2 [t1 ; t2 ],
c (t) < x0 para cualquier t < t1 y c (t) > x0 para cualquier t > t2 . Por lo tanto:
fy 2 (m; M ) : c (y)
x0 g = (m; t2 ],
fy 2 (m; M ) : c (y) > x0 g = (t2 ; M ).
8.4. PROYECCIÓN DE MEDIDAS
239
Teorema 1. Sean 0 una medida sobre (R; B (R)) tal que los intervalos acotados tienen
medida …nita, F 0 : R 7! R una función no decreciente y continua por la derecha tal que
F 0 (a) para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b,
0 ((a; b]) = F 0 (b)
m = l mx! 1 F 0 (x), M = l mx 1 F 0 (x), la medida de Lebesgue en el intervalo (m; M )
y c : (m; M ) 7! R de…nida por c(t) = nf fx 2 R : F 0 (x) > tg. Entonces, considerando a c
como función de ((m; M ) ; B ((m; M ))) en (R; B (R)), la proyección de bajo c es 0 .
Demostración
Sea
la proyección de
(B) =
(c
1
bajo c, es decir:
(B)) para cualquier conjunto B 2 B (R).
En particular:
((a; b]) = (fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) para cualquier pareja de números reales, a y b,
tales que a < b.
Sean a; b 2 R tales que a < b. Tenemos entonces varias posibilidades:
1. a y b pertenecen a algún intervalo I 2 H.
En este caso, si J es el interior de I, no existe t 2 (m; M ) tal que c (t) 2 J. Entonces, como
(a; b] J, se tiene:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = ;.
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = 0 = F 0 (b)
F 0 (a) =
0
((a; b]).
2. a pertenece a algún intervalo Ik 2 H y b 2 C.
En este caso, k 6= 1, ya que b > a, y fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; t0 ], donde t0 = F 0 (b).
Si k 6= 0, fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = [sk ; M ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = [sk ; t0 ].
Si k = 0, fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (m; M ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (sk ; t0 ].
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = t0
sk = F 0 (b)
F 0 (a) =
0
((a; b]).
3. a pertenece a algún intervalo Ik y b 2 D.
En este caso, k 6= 1, ya que b > a, y fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; t2 ], donde t2 = F 0 (b).
240
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
Si k 6= 0, fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = [sk ; M ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = [sk ; t2 ].
Si k = 0, fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (m; M ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (sk ; t2 ].
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = t2
sk = F 0 (b)
F 0 (a) =
0
((a; b]).
4. a 2 C y b pertenece a algún intervalo Ik .
En este caso, k 6= 0, ya que a < b, y fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (t0 ; M ), donde t0 = F 0 (a).
Si k 6= 1, fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; sk ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t0 ; sk ).
Si k = 1, fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; M ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t0 ; sk ).
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = sk
t0 = F 0 (b)
F 0 (a) =
0
((a; b]).
F 0 (a) =
0
((a; b]).
5. a; b 2 C.
En este caso:
fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (t1 ; M ), donde t1 = F 0 (a),
fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; t2 ], donde t2 = F 0 (b).
Así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t1 ; t2 ].
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = t2
t1 = F 0 (b)
6. a 2 C y b 2 D.
En este caso:
fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (t0 ; M ), donde t0 = F 0 (x0 ),
fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; t2 ], donde t2 = F 0 (b).
8.4. PROYECCIÓN DE MEDIDAS
241
Así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t0 ; t2 ].
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = t2
t0 = F 0 (b)
F 0 (a) =
0
((a; b]).
7. a 2 D y b pertenece a algún intervalo Ik .
En este caso, k 6= 0 ya que a < b, y fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (t2 ; M ), donde t2 = F 0 (a).
Si k 6= 1, fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; sk ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t2 ; sk ).
Si k = 1, fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; M ), así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t2 ; sk ).
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = sk
t2 = F 0 (b)
F 0 (a) =
0
((a; b]).
F 0 (a) =
0
((a; b]).
8. a 2 D y b 2 C.
En este caso:
fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (t2 ; M ), donde t2 = F 0 (a),
fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; t0 ], donde t0 = F 0 (b).
Así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t2 ; t0 ].
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g) = t0
t2 = F 0 (b)
9. a; b 2 D.
En este caso:
fy 2 (m; M ) : c (y) > ag = (t2 ; M ), donde t2 = F 0 (a),
fy 2 (m; M ) : c (y)
bg = (m; t02 ], donde t02 = F 0 (b).
Así que:
fy 2 (m; M ) : c (y) 2 (a; b]g = (t2 ; t02 ].
242
8. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN
SEGUNDA PARTE
Por lo tanto:
((a; b]) =
(fy 2 R : c (y) 2 (a; b]g) = t02
Así que, en cualquier caso,
y b, tales que a < b.
((a; b]) =
0
t2 = F 0 (b)
F 0 (a) =
0
((a; b]).
((a; b]) para cualquier pareja de números reales, a
Aplicando el teorema de clases monótonas, concluimos que
conjunto B 2 B (R).
(B) =
0
(B) para cualquier
Corolario 8.9. Sean una medida sobre (R; B (R)) tal que los intervalos acotados tienen
medida …nita, F : R 7! R una función no decreciente y continua por la derecha tal que
((a; b]) = F (b) F (a) para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b,
m = l mx! 1 F (x), M = l mx 1 F (x), la medida de Lebesgue en el intervalo (m; M ) y
c : (m; M ) 7! R de…nida por c(t) = nf fx 2 R : F (x) > tg. Entonces, si f : (R; B (R) ; ) 7!
R; B R es una función medible, no negativa o integrable, se tiene:
R
RM
f d = m (f c) d .
R
CAPÍTULO 9
LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
La integral de Lebesgue-Stieltjes es la que se se obtiene al considerar la integral con respecto
a una medida generada por una función de variación acotada de…nida sobre los borelianos
de R. Así que tiene las propiedades de la integral expuestas en el capítulo 6. Además, es
una de las componentes de la integral estocástica, cuya de…nición y estudio es el objetivo de
este trabajo. De aquí la importancia de estudiar con detalle las propiedades particulares de
una integral de este tipo.
Para los …nes que requerimos en el estudio de la integración estocástica, una función de
variación acotada será una función del tiempo; es por eso que en este capítulo vamos a
considerar funciones no decrecientes o de variación acotada de…nidas sobre R+ .
Sea F : R ! R una función no decreciente. De acuerdo con el teorema 6.3, F genera
una medida F de…nida sobre B (R). Completemos el espacio de medida (R; B (R) ; F ) y
denotemos por BF (R) a la -álgebra de los borelianos completada.
Definición 9.1. Si f : (R; BF (R) ; F ) ! R es una función medibleR e integrable, diremos
que f es Lebesgue-Stieltjes integrable con respecto a F y a la integral R f d F la llamaremos
la
de f con respecto a F . Si B 2 BF (R), denotaremos por
R integral de Lebesgue-Stieltjes
R
f d F a la integral R IB f d F .
B
Obviamente, la integral de Lebesgue-Stieltjes tiene las propiedades de cualquier integral con
respecto a una medida, las cuales fueron expuestas y demostradas en este capítulo 6.
Si F : [a; b] ! R es una función no decreciente, la vamos a considerar extendida a todo R,
de…niendo F (x) = F (a) para cualquier x < a y F (x) = F (b) para cualquier x > b.
Si f : [a; b] ! R es una función acotada y F : [a; b] ! R una función no decreciente, la
función f podría integrarse con respecto a F en dos sentidos. Por un lado, f podría ser
integrable con respecto a F como integral de Riemann-Stieltjes (Capítulo 3). Por otro lado,
f podría ser integrable con respecto a F como integral de Lebesgue (Capítulo 6), para lo
cual bastaría que f fuera BF (R)-medible ya que es acotada.
243
244
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
Para evitar cualquier confusión, en lo sucesivo, cuando nos re…ramos a la integral de RiemannStieltjes de una función f : [a; b] ! R con respecto a una función g : [a; b] ! R, utilizaremos
Rb
la notación (RS) a f dg.
Vamos a mostrar que la integral de Lebesgue-Stieltjes es una extensión de la integral de
Riemann-Stieltjes. Para ello, probaremos que si f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a F , entonces
también esRLebesgue-Stieltjes integrable con respecto a F y que se tiene
R
b
la igualdad [a;b] f d F = (RS) a f dF . Además, mostraremos que la integral de LebesgueStieltjes extiende la familia de funciones integrables, para lo cual daremos ejemplos de funciones que son Lebesgue-Stieltjes integrables pero no Riemann-Stieltjes integrables. Como
caso particular, tomando F (x) = x para cualquier x 2 [a; b], tendremos que la integral de
Lebesgue es una extensión de la integral de Riemann.
Teorema 9.1. Si F es no decreciente y continua y f es Riemann-Stieltjes integrable con
respecto a F en el intervalo [a; b], entonces f es medible e integrable y:
R
Rb
f
d
=
(RS)
f dF .
F
[a;b]
a
Demostración
Como f y F no tienen discontinuidades en común, f es *integrable con respecto a F .
Sea P1 ; P2 ; : : : una sucesión de particiones del intervalo [a; b] tales que, para cualquier n 2 N,
Pn+1 es un re…namiento de Pn y la norma de Pn tiende a cero cuando n tiende a in…nito.
n
o
(n)
(n)
(n)
Sea Pn = x0 ; x1 ;
; xmn y de…namos:
(n)
Mi
(n)
mi
(n)
(n)
io
n
(n)
(n)
, para i 2 f1; 2; : : : ; mn g,
= sup f (x) : x 2 xi 1 ; xi
io
n
(n)
(n)
, para i 2 f1; 2; : : : ; mn g,
= nf f (x) : x 2 xi 1 ; xi
= f (a) Ifag +
= f (a) Ifag +
Pmn
i=1
Pmn
i=1
(n)
Mi I
(n)
(n)
1 ;xi
xi
(n)
mi I
(n)
(n)
1 ;xi
xi
i,
i.
Como f es *integrable con respecto a F , se tiene:
i
P n (n) h
Pmn (n) h
(n)
(n)
(n)
l mn 1 m
M
F
x
F
x
=
l
m
F xi
n!1
i
i
i 1
i=1
i=1 mi
= (RS)
Rb
a
(n)
1
F xi
i
f dF .
Obviamente, (n) y (n) son funciones medibles para cualquier n 2 N y están acotadas por
(n)
la misma constante ya que f es acotada. Además, la sucesión de funciones
es
n2N
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
(n)
decreciente y la sucesión
es creciente; así que
n2N
son también medibles y acotadas. Además:
R
Pmn (n) h
(n)
(n)
F xi
d F = f (a) F (fag) + i=1 Mi
[a;b]
=
R
Pmn
(n)
[a;b]
=
h
(n)
i=1 Mi
d
Pmn
F
(n)
i=1 mi
(n)
F
= f (a)
h
F
F
(n)
xi 1
(fag) +
(n)
F xi
i
(n)
i=1 mi
i
(n)
xi 1
i
(n)
1
i
(n)
y
= l mn!1
(n)
,
Pmn
(n)
1
F xi
(n)
f
(n)
xi
F
= l mn!1
245
h
(n)
F xi
F xi
,
para cualquier n 2 N, de lo cual se sigue que
f
.
Por el teorema de la convergencia dominada, se tiene:
R
R
d F = l mn 1 [a;b] (n) d F
[a;b]
i
Rb
P n (n) h
(n)
(n)
= (RS) a f dF
F
x
F
x
M
= l mn 1 m
i 1
i
i
i=1
R
[a;b]
d
= l mn
Así que,
F
F
= l mn
1
Pmn
R
1
(n)
i=1 Mi
[a;b]
(
fx 2 [a; b] :
R
(n)
[a;b]
h
(x)
(n)
F xi
)d
d
F
F
(n)
1
F xi
i
= 0. Por lo tanto:
= (RS)
Rb
a
f dF .
(x) > 0g = 0.
Por lo tanto, = f = excepto a lo más en un los puntos de un conjunto de medida F
cero. Así que f es medible y, como está acotada y F ([a; b]) < 1, es integrable y se tiene:
R
R
R
d F = [a;b] f d F = [a;b] d F .
[a;b]
Se concluye entonces que:
R
Rb
f d F = (RS) a f dF .
[a;b]
Corolario 9.1. Si F es no decreciente y f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a
F en el intervalo [a; b], entonces f es medible e integrable y:
R
Rb
f d F = (RS) a f dF .
[a;b]
246
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
Demostración
Como f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a F , no tienen discontinuidades en
común del mismo lado.
Expresemos F como la suma F d + F i + F c , donde F d es una función no decreciente, continua
por la derecha, que crece únicamente mediante saltos y tal que F d (x) F d (x ) = F (x)
F (x ) para cualquier x 2 R, F i es una función no decreciente, continua por la izquierda,
que crece únicamente mediante saltos y tal que F i (x+) F i (x) = F (x+) F (x) para
cualquier x 2 R, y F c es una función no decreciente y continua.
Obsérvese que F = F d + F i + F c y que, si D = fx1 ; x2 ; : : :g es el conjunto donde
F es discontinua, entonces F (A) > 0 para cualquier subconjunto A
D y F d (Dc ) =
c
Dc y F (B) = 0,
F i (D ) = 0, así que la familia de conjuntos B 2 B (R) tales que B
c
coincide con la familia de conjuntos B 2 B (R) tales que B
D y F c (B) = 0. Por lo
tanto, la -álgebra completada BF (R) coincide con la -álgebra completada BF c (R).
Como F d es una función no decreciente, continua por la derecha y crece únicamente mediante
saltos y f es una función acotada y continua por la izquierda en los puntos donde F d es
discontinua,
entonces, por la proposición 4.6, f es integrable con respecto a F d y se tiene
Rb
P
d
(RS) a f dF = fx2Dg f (x) F d (x) F d (x ) :
De la misma manera, como F i es una función no decreciente, continua por la izquierda y
crece únicamente mediante saltos y f es una función acotada y continua por la derecha en
los puntos donde F d es discontinua,
entonces, por la proposición 4.7, f es integrable con
Rb
P
d
i
respecto a F y se tiene (RS) a f dF = fx2Dg f (x) [F i (x+) F i (x)] :
Además, como f es integrable con respecto a F d , con respecto a F i y con respecto a F ,
también es integrable con respecto a F c . Así que, por la proposición anterior, f es BF (R)medible y F c -integrable, y se tiene:
R
Rb
f
d
=
(RS)
f dF c .
c
F
[a;b]
a
Además, como f está acotada, es F d -integrable F i -integrable y y se tiene:
R
P
P
f d F d = fx2Dg f (x) F d (fxg) = fx2Dg f (x) F d (x) F d (x ) ,
[a;b]
R
P
P
f d F i = fx2Dg f (x) F i (fxg) = fx2Dg f (x) [F i (x+) F i (x)].
[a;b]
Por lo tanto:
R
R
f d F = [a;b] f d
[a;b]
= (RS)
Rb
a
Fd
f dF d + (RS)
+
R
Rb
a
[a;b]
fd
Fi
+
R
f dF i + (RS)
[a;b]
Rb
a
fd
Fc
f dF c = (RS)
Rb
a
f dF .
9.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
247
9.1. Propiedades de la integral de Lebesgue Stieltjes
Ejemplos de funciones Lebesgue-Stieltjes integrables que no son Riemann-Stieltjes integrables, con respecto a una función no decreciente, hay muchos. Por ejemplo, toda función
de variación acotada f : (R; B ([a; b])) ! R es medible ya que se puede expresar como la diferencia de dos funciones no decrecientes, así que, cualquiera que sea la función no decreciente
F , f es Lebesgue-Stieltjes integrable con respecto a F . En cambio, para que f sea RiemannStieltjes integrable con respecto a F se requiere que f y F no tengan discontinuidades en
común del mismo lado. Otro ejemplo se obtiene si de…nimos f = IB , donde B 2 B ([a; b]).
Una función de este tipo es Lebesgue-Stieltjes integrable con respecto a cualquier función F
no decreciente y su integral está dada por F (B). Por otra parte, si B es el conjunto de
números racionales en el intervalo [a; b], entonces IB no es Riemann-Stieltjes integrable con
respecto a cualquier función no constante F no decreciente y continua.
Por otra parte, si la función F no es de variación acotada, no genera una medida F sobre
(R; B ([a; b])), así que la integral de Lebesgue-Stieltjes, con respecto a F , de cualquier función
acotada f : [a; b] ! R no está de…nida, pero f podría ser Riemann-Stieltjes integrable con
respecto a F . Tal es el caso si F es una función continua que no es de variación acotada y
f una función de variación acotada.
Restringiéndonos a funciones F que son de variación acotada, se tienen algunos resultados
interesantes. Uno es una extensión de uno de los ejemplos anteriores: Toda función de
variación acotada f : [a; b] ! R es Lebesgue-Stieltjes integrable con respecto a cualquier
función de variación acotada F : [a; b] ! R.
Por otra parte, algunos de los resultados que obtuvimos para la integral de Riemann-Stieltjes
podemos ahora formularlos de una manera más general.
Nos vamos a restringir a considerar la integral de Lebesgue-Stieltjes de una función f con
respecto a una función no decreciente F para el caso de funciones no decrecientes y continuas
por la derecha de…nidas sobre el intervalo [0; 1), el cual, como ya lo mencionamos con
anterioridad, también lo denotamos por R+ . Sin embargo, para evitar nuevos enunciados,
si F : [0; 1) ! R es una función no decreciente, la vamos a considerar extendida a todo R,
de…niendo F (x) = F (0) para cualquier x < 0. Así que la medida F generada por F la
consideraremos de…nida sobre el espacio (R; BF (R)) de…nido al inicio de la sección anterior.
Teorema 9.2. Sea F : [0; 1) ! R una función no decreciente continua por la derecha
y f : R ! R una función integrable con respecto a F sobre cualquier conjunto boreliano
acotado, entonces la función H : [0; 1) ! R de…nida por:
R
H (t) = [0;t] f d F
es continua por la derecha.
Además, si F es continua, entonces H es continua.
248
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
Demostración
Primero observemos que, como
R
R
f d F = (0;t] f d F .
[0;t]
(f0g) = 0, se tiene:
F
Sea u 2 [0; 1) y (un )n2N una sucesión decreciente de números reales tal que l mn
Entonces:
I(u;un ] jf j
l mn
1
jf j y l mn
jH (un )
l mn
1
R
1 I(u;un ]
F
un = u.
jf j = 0. Así que, por el teorema de la convergencia dominada:
H (u)j = l mn
jf j d
(u;un ]
1
= l mn
1
1
R
R
(u;un ]
fd
I
R (u;un ]
F
jf j d
F
= 0.
Por lo tanto, H es continua por la derecha en u.
Si F es continua, sea u 2 (0; 1) y (un )n2N una sucesión creciente de números reales positivos
tal que l mn 1 un = u. Entonces:
I(un ;u] jf j
jf j y l mn
dominada:
l mn
1
jH (u)
l mn
1
R
1 I(un ;u]
jf j = Ifug jf j. Así que, por el teorema de la convergencia
H (un )j = l mn
(un ;u]
jf j d
F
=
R
I
R fug
1
R
(un ;u]
jf j d
F
fd
=
F
F
(fug) jf j (u) = 0.
Por lo tanto, H es continua por la izquierda en u.
Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación acotada sobre cualquier
intervalo compacto y f : R ! R una función acotada sobre los conjuntos acotados. Entonces,
0
0
si F1 : [0; 1) ! R, F2 : [0; 1) ! R, F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R son funciones no
0
0
decrecientes continuas por la derecha tales que g = F1 F2 = F1 F2 , de…namos:
0
G1 = F1 + F2 ,
0
G2 = F1 + F2 .
Entonces, para cualquier intervalo (a; b], se tiene:
G1
((a; b]) =
G2
((a; b]).
Así
R que, GR1 (B) =
f d G1 = B f d G2 .
B
Por lo tanto:
G2
(B) para cualquier conjunto acotado B 2 B (R) y, entonces,
9.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
R
fd
B
R
F1
fd
B
F2
=
R
fd
B
R
0
F1
B
fd
249
F2 .
0
La situación es distinta cuando f no es acotada ya que si F : [0; 1) ! R es cualquier
función no decreciente continua por la derecha, G1 = F1 + F y G2 = F2 + F entonces G1
y G2 son funciones
continuas
y g = G1 G2 . Así que, para
R no decrecientes
R
R por la derecha
R
tener la igualdad B f d F1
f
d
=
f
d
f
d
F2
G1
G2 , por lo menos f tendría que
B
B
B
ser integrable, sobre B, con respecto a F .
Consideremos, como ejemplo, el caso siguiente:
Sean g : [0; 1) ! R, F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R de…nidas de la siguiente manera:
si s 2 ( 1; 1)
si s 2 [1; 1)
0
g (s) =
s 1
s2
F1 (s) =
0
1
1
s2
F2 (s) =
0
1
1
s
si s 2 ( 1; 1)
si s 2 [1; 1)
si s 2 ( 1; 1)
si s 2 [1; 1)
Entonces g : [0; 1) ! R es una función continua, de variación acotada sobre cualquier
intervalo compacto, F1 y F2 son funciones no decrecientes continuas y g = F1 F2 .
De…namos f : R ! R de la siguiente manera:
8
< 0 si s 2 ( 1; 1)
k
f (s) =
2 2 si s 2 n 2k1 1 ; n 21k , donde k 2 N y n 2 f2; 3; : : :g
:
0 si s 2 N
f es entonces una función escalonada la cual tiende a in…nito, cuando k tiende a in…nito, en
cada intervalo (n; n + 1), donde n 2 N.
Para cualquier n 2 N, se tiene:
R n+1
P1 k 1
2
f
(s)
ds
=
k=1 2
2k 1
n
=
P1
R n+1
n
R n+1
n
1
k
=
fd
F1
=
fd
F2
=
k=1
22
1
p1
2
1
p
2
R n+1
n
R n+1
n
=
1
2k
=
p1 ,
2 1
2
f
s3
(s) ds
1
f
s2
(s) ds
2
R n+1
n
R n+1
n
P1
k=1
k
2 2 21k
f (s) ds =
f (s) ds =
p2 ,
2 1
p1 .
2 1
250
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
Si F : [0; 1) ! R es cualquier función no decreciente continua por la derecha, entonces:
g = (F1 + F )
(F2 + F ).
De…namos F : [0; 1) ! R de tal forma que:
1.
n
F
1
2k
1
1
2k
;n
=
1
k
1
23
para cualesquiera k 2 N y n 2 f2; 3; : : :g.
2.
F
(( 1; 1)) = 0 y
F
(fng) = 0 para cualquier n 2 N.
1
2k
3. La medida total de cada intervalo n
ese intervalo.
1
;n
1
2k
queda repartida uniformemente en
Se tiene, para cualquier n 2 N:
F
((n; n + 1]) =
Así que:
P1
k=1
1
1
23
k
1
1
23
=
1
1
1
23
=
1
1
23
1
=
1
p
.
3
2 1
F (s) = 0 para cualquier s 2 [0; 1).
F (s) =
n 1
p
+
3
2 1
Pk
1 1
j=1 j
23
+
s
1
1
23
k
(n
1
2k 1
1
2k
)
=
1
p
2
3
2 1
k 1
3
2
k 1
3
2
1 + 23
k
s
n
1
2k
1
9.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
para cualesquiera k 2 N, n 2 f2; 3; : : :g y s 2 n
F (n) =
n 1
p
3
2 1
1
2k
1
;n
1
2k
251
.
para cualquier n 2 N.
Para cualquier n 2 N, se tiene:
R n+1
n
fd
Así que:
R n+1
fd
n
F
=
P1
(F1 +F )
k
22
k=1
=
k
23
R n+1
n
=
P1
fd
k=1
k
2 6 = 1.
(F2 +F )
= 1.
Definición 9.2. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación
acotada sobre cualquier intervalo compacto. Si f : R ! R es una función acotada sobre
los conjuntos acotados y B 2 B (R) es un conjunto acotado, de…nimos la integral de f con
respecto a g, sobre el conjunto B, de la siguiente manera:
R
R
R
f dg = B f d F1
f d F2 ,
B
B
donde F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R es cualquier par de funciones no decrecientes
continuas por la derecha tales que g = F1 F2 .
Rb
Si
a
y
b
son
dos
números
reales
tales
que
a
<
b,
también
denotaremos
por
f dg a la integral
a
R
f dg. De igual forma, si F : [0; 1) ! R es una función no decreciente continua por
(a;b]
Rb
Rb
R
la derecha, también denotaremos por a f d F , o por a f dF , a la integral (a;b] f d F y por
R
R
f dF a la integral B f d F .
B
252
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
R
0
La integral B f dg está bien de…nida ya que, como lo mencionamos antes, si F1 : [0; 1) ! R
0
y F2 : [0; 1) ! R es otro par de funciones no decrecientes continuas por la derecha tales
0
0
que g = F1 F2 entonces:
R
R
R
R
f d F1
f d F2 = B f d F 0
fd F0.
B
B
B
1
2
R
R
Por otra parte, la notación B f dF para la integral B f d F es consistente con la de…nición
anterior ya que si g es no decreciente, entonces, de acuerdo con la de…nición 9.2, se tiene:
R
R
f dg = B f d g .
B
El siguiente resultado es inmediato:
Proposición 9.1. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación
acotada sobre cualquier intervalo compacto, f : R ! R y h : R ! R dos funciones acotadas
sobre los conjuntos acotados, a; b 2 R y B 2 B (R) un conjunto acotado, entonces:
R
R
R
(af
+
bh)
dg
=
a
f
dg
+
b
hdg.
B
B
B
Proposición 9.2. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación
acotada sobre cualquier intervalo compacto, y h : R ! R una función acotada sobre los
conjuntos acotados. Si (fn )n2N es una sucesión de funciones medibles tales que jfn j jhj y
f es una función medible tal que f = l mn 1 fn excepto a lo más en un conjunto de medida
cero, entonces f y fn , para cualquier n 2 N, son funciones acotadas sobre los conjuntos
acotados, y se tiene:
R
R
f dg = l mn 1 B fn dg
B
para cualquier conjunto acotado B 2 B (R).
Demostración
Sean F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes continuas por la
derecha, tales que g = F1 F2 :
Se tiene jf j
jhj, así que, f y fn , para cualquier n 2 N, y cualquier conjunto acotado
B 2 B (R), se tiene:
Así que f y fn , para cualquier n 2 N, son funciones acotadas sobre los conjuntos acotados.
Además, por el teorema de la convergencia dominada, se tiene:
R
R
R
R
R
f
dg
=
f
d
f
d
=
l
m
f
d
l
m
f d
n
1
n
n
1
F
F
F
1
2
1
B
B
B
B
B n
R
R
R
= l mn 1 B fn d F1
f d F2 = l mn!1 B fn dg.
B n
F2
9.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
253
Teorema 9.3. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación acotada
sobre cualquier intervalo compacto, y f : R ! R una función acotada sobre los conjuntos
acotados, entonces la función G : [0; 1) ! R de…nida por:
R
G (t) = [0;t] f dg
es continua por la derecha y de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
Además, si g es continua, entonces G es continua.
Demostración
Sean F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes continuas por la
derecha, tales que g = F1 F2 :
Sea t 2 (0; 1) y P = fx0 ; x1 ; : : : ; xn g una partición del intervalo [0; t]. Entonces:
Pn
k=1
Pn
jG(xk )
k=1
Así que:
R
(xk
G(xk 1 )j =
1 ;xk ]
jf j d
F1
+
Pn
R
k=1
Pn
k=1
R
(xk
(xk
1 ;xk ]
1 ;xk ]
fd
jf j d
F1
F2
R
=
VG [a; b] = sup fVG (P ) : P es una partición de [a; b]g
(xk
R
1 ;xk ]
(0;t]
R
fd
jf j d
F2
F1
jf j d
(0;t]
+
F1
R
(0;t]
+
R
jf j d
(0;t]
F2 .
jf j d
F2
< 1.
Así que G es de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
Por otra parte, se tiene:
R
R
R
f dg = [0;t] f d F1
fd
[0;t]
[0;t]
F2 .
Además, si g es continua, podemos tomar F1 y F2 continuas.
Así que, por el teorema 9.2, G es continua por la derecha y, si g es continua, G también lo
es.
En el capítulo 3 estudiamos la parte continua y la parte de saltos de una función no decreciente, así como de una función de variación acotada, de…nida sobre R. Ahora estamos
trabajando con ese mismo tipo de funciones, pero de…nidas sobre R+ . En este caso la de…nición de la parte continua y de la parte de saltos de la función es más simple, así que las
vamos a de…nir directamente.
Si F : [0; 1) ! R es una función no decreciente continua por la derecha, la función F d :
[0; 1) ! R de…nida por:
P
F d (t) = s2[0;t] [F (s) F (s )],
254
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
entonces F es no decreciente y continua por la derecha.
Además, la función F c = F
F d es no decreciente y continua.
Así que, si g : [0; 1) ! R es una función continua por la derecha, de variación acotada sobre
cualquier intervalo compacto, entonces la …unción g d : [0; 1) ! R de…nida por:
P
g d (t) = s2[0;t] [g (s) g (s )]
es continua por la derecha y de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto y la
función g c = g g d es continua y de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
Además, si F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R son dos funciones no decrecientes continuas
por la derecha tales que g = F1 F2 , entonces:
g d = F1d
F2d ,
g c = F1c
F2c .
Definición 9.3. Si h : [0; 1) ! R es una función continua por la derecha, no decreciente o
de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto, las funciones hd y hc serán llamadas
la parte discreta y la parte continua, respectivamente, de h.
Proposición 9.3. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación
acotada sobre cualquier intervalo compacto, y f : R ! R una función acotada sobre los
conjuntos acotados, entonces la serie:
P
g (s )]
s2[0;t] f (s) [g (s)
es absolutamente convergente para cualquier t 2 [0; 1).
Demostración
Sean F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes continuas por la
derecha, tales que g = F1 F2 :
Como f es integrable con respecto a F1d y con respecto a
acotados, las series:
Rt
P
F1 (s )] = 0 jf j d F1d ,
s2[0;t] jf (s)j [F1 (s)
P
s2[0;t]
jf (s)j [F2 (s)
F2 (s )] =
Rt
0
jf j d
F2d
sobre los conjuntos borelianos
F2d ,
son convergentes para cualquier t 2 [0; 1).
Además:
P
s2[0;t] jf (s)j jg (s)
g (s )j =
P
s2[0;t]
jf (s)j jF1 (s)
F1 (s )
[F2 (s)
F2 (s )]j
9.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
P
s2[0;t]
jf (s)j jF1 (s)
F1 (s )j +
para cualquier t 2 [0; 1).
P
jf (s)j jF2 (s)
s2[0;t]
255
F2 (s )j < 1
Teorema 9.4. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación acotada
sobre cualquier intervalo compacto, y f : R ! R una función acotada sobre los conjuntos
acotados, entonces:
Rt
Rt
P
f dg = 0 f dg c + s2[0;t] f (s) [g (s) g (s )]
0
para cualquier t 2 [0; 1).
Demostración
Sean F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes continuas por la
derecha, tales que g = F1 F2 :
Entonces:
Rt
Rt
f dg = 0 f dF1
0
=
=
=
=
=
Rt
0
Rt
0
Rt
0
Rt
0
Rt
0
f dF1c
Rt
0
f dg c +
f dg c +
f dg c +
f dg c +
Rt
Rt
0
f dF2c +
f dF1d
0
f dF2 =
P
s2[0;t]
P
s2[0;t]
P
s2[0;t]
Rt
0
Rt
0
Rt
0
f dF1c +
Rt
f dF1d
0
f dF2d
Rt
0
0
f dF2d
f (s) [F1 (s)
F1 (s )]
f (s) fF1 (s)
F2 (s)
f (s) [g (s)
Rt
f dF1d
P
s2[0;t]
f dF2c +
Rt
f (s) [F2 (s)
[F1 (s )
0
f dF2d
F2 (s )]
F2 (s )]g
g (s )].
Sean g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto, F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes
continuas por la derecha, tales que g = F1 F2 , f : R ! RR una función acotada sobre los
t
conjuntos acotados, y G : [0; 1) ! R de…nida por G (t) = 0 f dg. Se tiene entonces:
G (t) =
=
Rt
0
Rt
0
f +d
f dg =
F1
+
Rt
0
Rt
0
fd
f d
F1
F2
Rt
0
fd
Rt
0
F2
f d
=
F1
Rt
0
+
f +d
Rt
0
F1
f +d
F2
Rt
0
.
f d
F1
Rt
De…namos G1 [0; 1) ! R y G2 : [0; 1) ! R de la siguiente manera:
Rt
Rt
G1 (t) = 0 f + d F1 + 0 f d F2 ,
0
f +d
F2
Rt
0
f d
F2
256
G2 (t) =
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
Rt
0
f d
F1
+
Rt
0
f +d
F2 .
Entonces G1 y G2 son funciones no decrecientes continuas por la derecha y G = G1
G2 .
Así que, si B 2 B (R) es un conjunto acotado y h : R ! R es una función acotada sobre los
conjuntos acotados, se tiene:
R
R
R
hdG = B hd G1
hd G2 .
B
B
Teorema 9.5. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación acotada
sobre cualquier intervalo compacto, f : R ! RR una función acotada sobre los conjuntos
t
acotados y G : [0; 1) ! R de…nida por G (t) = 0 f dg: Si h : R ! R es una función acotada
sobre los conjuntos acotados, entonces:
R
R
hdG
=
hf dg
B
B
para cualquier conjunto acotado B 2 B (R).
Demostración
Sean F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes continuas por la
derecha, tales que g = F1 F2 :
De…namos G1 : [0; 1) ! R, G2 : [0; 1) ! R y las medidas
de la siguiente manera:
Rt
Rt
G1 (t) = 0 f + d F1 + 0 f d F2 ,
Rt
Rt
G2 (t) = 0 f d F1 + 0 f + d F2 ,
R +
+
1 (B) = B f d F1 ,
R +
+
2 (B) = B f d F2 ,
R
1 (B) = B f d F1 ,
R
2 (B) = B f d F2 .
+
1,
+
2,
1
y
2
, sobre B (R),
Entonces G1 y G2 son funciones no decrecientes continuas por la derecha y G = G1
Además:
R
R
R
R
R
R
R
hd 1
hd +
hdG = B hd G1
hd G2 = B hd +
2
1 + B hd 2
B
B
B
B
R
R
R + + R
R
+
= Bh d 1
h d +
h d 2
h+ d 1
1 + Bh d 2
B
B
B
R
R + + R
+ Bh d 1
h d 2 + Bh d +
2
B
R
R
R
R
R +
= B h+ f + d F1
h f + d F1 + B h+ f d F2
h f d F2
h f d
B
B
B
F1
G2 .
9.2. FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES
+
=
+
=
=
R
B
R
R
R
F1
h+ f + d
B
B
R
h f d
B
B
h+ f d
h+ f d
hf d
R
F1
F2
F1
R
F1
R
R
+
R
B
B
F2
h+ f d
B
B
B
h+ f + d
hf d
F2
F2
F1
=
R
B
B
R
B
R
F1
h f +d
h fd
+
R
R
B
h f +d
F2
h f +d
B
F1
h f d
F2
h+ f d
F2
hf dg.
+
R
+
B
R
h f d
B
h fd
R
F1
B
257
h+ f + d
F2
F2
9.2. Fórmula de integración por partes
Teorema 9.6. Sean F : [0; 1) ! R y G : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes
continuas por la derecha, entonces:
Rt
Rt
P
F (t) G (t) = F (0) G (0) + 0 F dG + 0 GdF
F (s )] [G (s) G (s )]
s2[0;t] [F (s)
para cualquier t 2 [0; 1).
Demostración
2
2
Sea la medida producto F
G , de…nida sobre (R ; B (R )), t 2 (0; 1) y Ct = [0; t] [0; t].
Entonces, aplicando el teorema de Fubini, se tiene:
[F (t)
=
=
=
=
R
R
R
F (0)] [G (t)
(f(u; v) 2 R2 : 0
R
[0;t]
[0;v)
u<v
dF (u) dG (v) +
[0;t]
[F (v )
[0;t]
F (v ) dG (v)
Así que:
G (0)] =
R
(Ct )
tg) + (f(u; v) 2 R2 : 0
[0;t]
F (0)] dG (v) +
R
R
[0;t]
F (0) [G (t)
[0;u]
v
u
tg)
dG (v) dF (u)
[G (u)
G (0)] dF (u)
R
G (0)] + [0;t] G (u) dF (u)
G (0) [F (t)
F (0)].
Rt
Rt
F (t) G (t) = F (0) G (0) + 0 F (v ) dG (v) + 0 G (u) dF (u)
Rt
Rt
Rt
= F (0) G (0) + 0 F (v) dG (v) + 0 G (u) dF (u)
[F (v) F (v )] dG (v)
0
Rt
Rt
P
= F (0) G (0) + 0 F dG + 0 GdF
F (v )] [G (v) G (v )].
v2[0;t] [F (v)
Teorema 9.7. Sean g : [0; 1) ! R y h : [0; 1) ! R dos funciones continua por la derecha,
de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto, entonces:
258
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
g (t) h (t) = g (0) h (0) +
Rt
gdh +
0
para cualquier t 2 [0; 1).
Rt
0
hdg
P
s2[0;t]
[g (s)
g (s )] [h (s)
h (s )]
Demostración
Sean F1 : [0; 1) ! R, F2 : [0; 1) ! R, G1 : [0; 1) ! R y G2 : [0; 1) ! R funciones no
decrecientes continuas por la derecha, tales que g = F1 F2 y h = G1 G2 . Entonces, para
cualesquiera s; t 2 [0; 1), se tiene:
Rt
Rt
Rt
Rt
Rt
Rt
Rt
gdh = 0 gdG1
gdG2 = 0 F1 dG1
F dG1
F dG2 + 0 F2 dG2 ,
0
0
0 2
0 1
Rt
Rt
Rt
Rt
Rt
Rt
Rt
hdg
=
hdF
hdF
=
G
dF
G
dF
G
dF
+
G2 dF2 ,
1
2
1
1
2
1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
[g (s)
g (s )] [h (s)
h (s )]
= [F1 (s)
F2 (s)
F1 (s ) + F2 (s )] [G1 (s)
= [F1 (s)
F1 (s )] [G1 (s)
G1 (s )] + [F2 (s)
F2 (s )] [G2 (s)
G2 (s )]
[F1 (s)
F1 (s )] [G2 (s)
G2 (s )]
F2 (s )] [G1 (s)
G1 (s )].
[F2 (s)
G2 (s)
G1 (s ) + G2 (s )]
Así que:
g (t) h (t) = [F1 (t)
F2 (t)] [G1 (t)
G2 (t)]
= F1 (t) G1 (t) + F2 (t) G2 (t) F1 (t) G2 (t) F2 (t) G1 (t)
Rt
Rt
P
F1 (s )] [G1 (s)
= F1 (0) G1 (0) + 0 F1 dG1 + 0 G1 dF1
s2[0;t] [F1 (s)
+F2 (0) G1 (0) +
0
Rt
F1 (0) G2 (0)
0
Rt
F2 (0) G1 (0)
= g (0) h (0) +
Rt
0
Rt
0
F2 dG2 +
F1 dG2
F2 dG1
gdh +
Rt
0
Rt
0
Rt
0
Rt
0
hdg
G2 dF2
G2 dF1 +
G1 dF2 +
P
s2[0;t]
P
s2[0;t]
P
s2[0;t]
P
s2[0;t]
[g (s)
G1 (s )]
[F2 (s)
F2 (s )] [G2 (s)
G2 (s )]
[F1 (s)
F1 (s )] [G2 (s)
G2 (s )]
[F2 (s)
F2 (s )] [G1 (s)
G1 (s )]
g (s )] [h (s)
h (s )].
9.3. Fórmula de cambio de variable
Teorema 9.8. Sea g : [0; 1) ! R una función continua por la derecha, de variación acotada
sobre cualquier intervalo compacto, y F : R ! R una función de clase C 1 , entonces F g
es de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto y:
Rt
P
F (g (t)) = F (g (0)) + 0 F 0 (g (s))dg c (s) + s2[0;t] [F (g (s)) F (g (s ))]
9.3. FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLE
259
para cualquier t 2 [0; 1).
Demostración
Para cualquier t 2 [0; 1) ;se tiene:
Rt
Rt
P
g (t) = g (0) + 0 dg (s) = g (0) + 0 dg c (s) + s2[0;t] [g (s)
g (s )].
Supongamos que:
g k (t) = g k (0) + k
Rt
0
gk
1
(s) dg c (s) +
P
s2[0;t]
g k (s)
g k (s )
para cualquier t 2 [0; 1), donde k 2 N.
Entonces, utilizando la fórmula de integración por partes:
Rt
Rt
P
k
g k+1 (t) = g k+1 (0) + 0 g k dg + 0 gdg k
g k (s ) [g (s)
s2[0;t] g (s)
= g k+1 (0) +
+k
Rt
0
Rt
g k dg c +
0
g k dg c +
P
s2[0;t]
P
s2[0;t]
g k (s) [g (s)
g (s) g k (s)
g (s )]
g k (s )
P
g k (s)
s2[0;t]
Rt
Rt
P
= g k+1 (0) + 0 g k dg c + k 0 g k dg c + s2[0;t] g k (s) [g (s)
P
+ s2[0;t] g k (s) g k (s ) g (s )
+
P
s2[0;t]
[g (s)
= g k+1 (0) + (k + 1)
+
P
s2[0;t]
[g (s)
+
s2[0;t]
[g (s)
g (s )]
Rt
Rt
g k dg c
n
hP
k 1 j
k
k
g (s )] g (s) +
j=0 g (s) g
= g k+1 (0) + (k + 1)
P
g k (s ) [g (s)
P
k
k
c
g (s )]
g
dg
+
s2[0;t] g (s) [g (s)
0
i
hP
k 1 j
k 1 j
g
(s)
g
(s
)
g (s )
g (s )]
j=0
= g k+1 (0) + (k + 1)
0
Rt
g k dg c
h
P
g (s )] g k (s) + kj=01 g j (s) g k
= g k+1 (0) + (k + 1)
1 j
i
o
(s ) g (s )
0
Rt
= g k+1 (0) + (k + 1) 0 g k dg c
P
P
+ s2[0;t] [g (s) g (s )] kj=0 g j (s) g k
Rt
0
g k dg c +
para cualquier t 2 [0; 1).
P
s2[0;t]
j
g (s )]
j
i
(s )
(s )
g k+1 (s)
g k+1 (s )
g (s )]
260
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
Así que, por el principio de inducción matemática:
Rt
P
g n (t) = g n (0) + n 0 g n 1 (s) dg c (s) + s2[0;t] [g n (s)
g n (s )]
para cualquier n 2 N y cualquier t 2 [0; 1).
P
Sea p : R ! R un polinomio dado por p (x) = nk=0 ak xk , donde n 2 N. Entonces, por la
linealidad de la integral:
P
p(g (t)) = nk=0 ak g k (t)
o
n
Rt
P
P
= a0 + nk=1 ak g k (0) + k 0 g k 1 (s) dg c (s) + s2[0;t] g k (s) g k (s )
Pn
ak g k (t)
P Rt
P
= a0 + nk=1 ak g k (0) + nk=1 0 kak g k
=
k=0
= p(g (0)) +
Rt
0
p0 (g (s))dg c (s) +
P
1
s2[0;t]
(s) dg c (s) +
[p(g (s))
Pn
k=1
P
s2[0;t]
ak g k (s)
ak g k (s )
p(g (s ))].
Sea M = sup fmax (jg (s)j ; jg (s )j) : s 2 [0; t]g, tomemos c > M y de…namos las funciones
G1 : R ! R, G2 : R ! R y G : R ! R de la siguiente manera:
h
i
F ( M)
(M c)F 0 ( M )+2F ( M )
G1 (s) = (M c)2 +
(s + M ) (s + c)2 ,
(M c)3
G2 (s) =
h
F (M )
(c M )2
+
8
G (x)
>
>
< 1
F (x)
G(x) =
G2 (x)
>
>
: 0
(c M )F 0 (M )+2F (M )
(c M )3
si x 2 [ c; M )
si x 2 [ M; M ]
si x 2 (M; c]
en otro caso
(s
i
M ) (s
c)2 ,
Entonces:
G1 ( c) = 0, G1 ( M ) = F ( M ), G01 ( c) = 0, G01 ( M ) = F 0 ( M ),
G2 (c) = 0, G2 (M ) = F (M ), G02 (c) = 0, G02 (M ) = F 0 (M ),
G (x) = F (x) y G0 (x) = F 0 (x) para cualquier x 2 [ M; M ].
Además, G es de clase C 1 y nula fuera del intervalo ( c; c), así que existe una sucesión
(pn )n2N de polinomios pn : R ! R tales que (pn )n2N y (p0n )n2N convergen uniformente a G y
G0 , respectivamente, en el intervalo ( c; c).
Para cada n 2 N, se tiene:
Rt
P
pn (g (t)) = pn (g (0)) + 0 p0n (g (s))dg c (s) + s2[0;t] [pn (g (s))
pn (g (s ))].
9.3. FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLE
261
En particular, pn g es de variación acotada sobre cualquier intervalo compacto.
Restringidas al intervalo [ M; M ], p0n g está acotada para cualquier n 2 N. Sea entonces
C 2 R tal que jp0n gj C para cualquier n 2 N.
Si F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R son dos funciones no decrecientes continuas tales que
g c = F1 F2 , entonces F1 y F2 restringidas al intervalo [0; t] son medidas …nitas, así que,
para cualquier n 2 N, p0n g es integrable con respecto a F1 y F2 . Por lo tanto, aplicando
el teorema de la convergencia dominada:
Rt
Rt
l mn 1 0 p0n (g (s))dg c (s) = 0 F 0 (g (s))dg c (s).
(n)
(n)
Para cada n 2 N, sean F1 : [0; 1) ! R y F2 : [0; 1) ! R dos funciones no decrecientes
(n)
(n)
continuas por la derecha tales que pn g = F1
F2 .
h
i P
h
i
P
(n)
(n)
(n)
(n)
Las series s2[0;t] F1 (s) F1 (s ) y s2[0;t] F2 (s) F2 (s ) son absolutamente
convergentes ya que sus términos son no negativos y:
h
i
P
(n)
(n)
(n)
(n)
F
(s)
F
(s
)
F1 (t) F1 (0),
1
1
s2[0;t]
P
s2[0;t]
h
(n)
F2 (s)
Así que la serie:
i
(n)
F2 (s )
(n)
F2 (t)
(n)
F2 (0).
nh
(n)
pn (g (s )] = s2[0;t] F1 (s)
s2[0;t] [pn (g (s)
absolutamente convergente ya que:
h
i h
i
(n)
(n)
(n)
(n)
F1 (s) F1 (s )
F2 (s) F2 (s )
P
h
P
(n)
F1 (s)
i h
(n)
(n)
F1 (s ) + F2 (s)
(n)
F1
i
(s )
h
(n)
F2
(s)
(n)
F2
io
(s ) es
i
(n)
F2 (s ) .
P
(0)
(0)
También la serie s2[0;t] jg (s) g (s )j es convergente ya que si F1 : [0; 1) ! R y F2 :
[0; 1) ! R son dos funciones no decrecientes continuas por la derecha tales que g = F1 F2 ,
entonces:
P
P
g (s )j = s2[0;t] jF1 (s) F1 (s ) [F2 (s) F2 (s )]j
s2[0;t] jg (s)
P
P
F1 (s )j+ s2[0;t] jF2 (s) F2 (s )j F1 (t) F1 (0)+F2 (t) F2 (0) < 1.
s2[0;t] jF1 (s)
Además, como, para cualquier n 2 N, pn y F son funciones continuas en el intervalo [ c; c]
y derivables con derivada continua en el intervalo ( c; c), para cualquier s 2 [0; t] tal que
g (s ) 6= g (s), se tiene:
(pn
F ) (g (s))
(pn
F ) (g (s )) = (p0n
F 0)
(n)
s
[g (s))
g (s )]
262
9. LA INTEGRAL DE LEBESGUE STIELTJES
donde
(n)
s
2 (m n (g (s) ; g (s )) ; max (g (s) ; g (s ))).
Por lo tanto:
P
F ) (g (s))
s2[0;t] [(pn
P
s2[0;t]
(n)
s
F 0)
(p0n
(pn
jg (s)
F ) (g (s ))] =
g (s )j.
P
s2[0;t]
(p0n
F 0)
(n)
s
[g (s)
g (s )]
Como la sucesión (p0n F 0 )n2N converge uniformemente a cero, dada " > 0 existe N 2 N tal
1
que j(p0n F 0 ) (x)j < P
" para cualquier x 2 ( c; c) y n N , así que:
s2[0;t]
P
s2[0;t]
(p0n
F 0)
para cualquier n
(n)
s
jg(s) g(s )j
jg (s))
g (s )j < "
N.
Por lo tanto:
P
l mn 1 s2[0;t] [(pn
F ) (g (s))
(pn
F ) (g (s ))] = 0.
Así que, tomando límites cuando n
1 en la expresión:
Rt 0
P
pn (g (t)) = pn (g (0)) + 0 pn (g (s))dg c (s) + s2[0;t] [pn (g (s))
pn (g (s ))],
se obtiene:
F (g (t)) = F (g (0)) +
Rt
0
F 0 (g (s))dg c (s) +
para cualquier t 2 [0; 1).
P
s2[0;t]
[F (g (s))
F (g (s ))]
CAPÍTULO 10
CONVERGENCIA
10.1. Introducción
En este capítulo analizaremos diferentes tipos de convergencia de una sucesión de funciones
medibles de…nidas sobre un espacio de medida (F; =; ) y con valores en R.
En todo el capítulo, (F; =; ) será un espacio de medida completo. La medibilidad de una
función f : F ! R (resp. f : F ! R) será entendida considerando sobre R (resp. R) la
-álgebra de los conjuntos borelianos en R (resp. R).
Desde los inicios del Cálculo Diferencial e Integral se planteó el problema de expresar una
función como una serie de funciones simples (recordemos, por ejemplo, el desarrollo de una
función en serie de Taylor). Más adelante, se planteó el problema de expresar una función
como una serie trigonométrica. En particular, recordemos que Fourier, en el año 1822, a…rmó
que una función arbitraria f , de…nida y acotada en el intervalo [ L; L], puede representarse
mediante la siguiente serie trigonométrica:
f (x) = 12 a0 +
donde a0 =
an =
1
L
bn =
1
L
RL
L
RL
L
1
2L
RL
L
P1
n=1
an cos nLx + bn sen nLx ,
f (x)dx y, para cada n 2 N:
f (x) cos nLx dx,
f (x)sen nLx dx.
Esta a…rmación de Fourier condujo a investigar a fondo cuándo la serie:
1
a
2 0
+
P1
n=1
an cos nLx + bn sen nLx ,
con los valores de los coe…cientes dados por Fourier, converge efectivamente a la función f .
Las investigaciones alrededor del problema de la convergencia de una serie de funciones
condujeron a la necesidad de profundizar, en general, en el problema de la convergencia de
263
264
10. CONVERGENCIA
una sucesión de funciones. Surgió en este proceso la de…nición de la convergencia uniforme;
esto a raíz de que Cauchy a…rmaba que si los términos de una serie son funciones continuas
y la serie converge, entonces la función a la cual converge es continua. N. H. Abel hizo
ver que esta a…rmación no es válida en general y Weierstrass, introduciendo el concepto de
convergencia uniforme, demostró que la a…rmación de Cauchy es válida si la convergencia de
la serie es uniforme.
Otro problema relacionado con las series de funciones era el determinar bajo que condiciones
se puede integrar término a término una serie convergente de funciones para obtener la
integral de la función a la cual converge.
Al desarrollar Lebesgue su teoría de integración, uno de los aspectos centrales de su planteamiento fue el obtener una de…nición de integral con la propiedad de que si se tiene una
sucesión convergente de funciones integrables, la función límite sea integrable y su integral
sea igual al límite de la sucesión formada por las integrales de las funciones que componen
la sucesión dada. Como vimos en el capítulo anterior, la integral que de…nió satisface esta
propiedad bajo condiciones bastante generales.
La integral que de…nió Lebesgue tiene la característica de que al modi…car los valores de
una función integrable en los puntos de un conjunto de medida cero, la función sigue siendo
integrable y la integral de la función modi…cada es igual a la integral de la función original.
Es decir, para …nes de la integración de funciones, los conjuntos de medida cero son despreciables. En particular, en lo que respecta a la convergencia de una sucesión de funciones,
esto lleva a que no es necesario tratar con sucesiones de funciones que converjan en todos los
puntos, puede uno limitarse a la convergencia fuera de un conjunto de medida cero. Surgió
así el concepto de convergencia casi en todas partes.
De esta forma, en el desarrollo de la teoría de integración, incluyendo los trabajos anteriores
al de Lebesgue, se fueron encontrando diferentes tipos de convergencia de una sucesión de
funciones.
Un tipo de convergencia que surgió en este contexto es la convergencia en medida. Dentro
de la teoría de integración la idea surgió del problema de la integración término a término de
una serie de funciones, buscando condiciones menos restrictivas que la convergencia uniforme
de la serie para asegurar que se puede integrar término a término una serie convergente de
funciones para obtener la integral de la función a la cual converge. Sin de…nirla explicitamente, este tipo de convergencia se encuentra formulada en un artículo de L. Kronecker
del año 1878, obviamente sin referirse al concepto de medida, que aún no se había formulado, sino al de contenido. La de…nición explícita fue dada en el año 1909 por F. Riesz
en un artículo titulado Sur les suites des fonctions mesurables ([81]), donde, entre otras
cosas, demostró que si una sucesión de funciones medibles converge en medida a una función
medible, entonces existe una subsucesión que converge casi en todas partes.
Sin embargo, la convergencia en medida tiene una historia más antigua; sin de…nirse explicitamente, era utilizada en el CálculoTeoría de Probabilidades desde la publicación del teorema
10.1. INTRODUCCIÓN
265
de Bernoulli en el año 1713 ([4]), el cual establece la convergencia, que hoy se denomina en
medida, de una determinada sucesión de variables aleatorias. Este resultado de Bernoulli
marcó la pauta para el desarrollo del CálculoTeoría de Probabilidades hasta principios del
siglo XX, cuando se llegó a la formulación general de los llamados teoremas límite, entre los
cuales se encuentra la ley débil de los grandes números, la cual es una generalización del
resultado de Bernoulli.
También en el contexto de la Teoría de la Probabilidad surgió otro tipo de convergencia
llamada en distribución, la cual proviene del teorema que demostró de Moivre en el año 1733
([28]) y que en su forma general se le conoce como Teorema Central del Límite.
En 1906, Hilbert
el espacio l2 , el cual está formado por las sucesiones (xn )n2N tales
P1 introdujo
2
que la serie n=1 xn es convergente, y de…nió la distancia entre dos elementos x = (xn )n2N
y y = (yn )n2N de l2 de la siguiente manera:
d (x; y) =
P1
n=1 (xn
yn )2
1
2
.
En 1907 ([78]), Riesz demostró que existe un isomor…smo entre el espacio l2 y el espacio de
funciones medibles f : [a; b] ! R tales que f 2 es integrable. Previamente, en el año 1906,
Hilbert había introducido el concepto de funciones ortogonales:
dos funciones continuas f y g,
Rb
de…nidas sobre el intervalo [a; b], son ortogonales si a f (x) g (x) dx = 0; un sistema ortogonal
es una familia de funciones ortogonales por parejas y tales que la integral del cuadrado de
cada una de ellas es igual a 1 (actualmente, cuando se agrega la segunda condición, se le
llama sistema ortonormal).
Riesz estableció el isomor…smo mencionado con el siguiente resultado:
Sea ('k )k2N un conjunto ortogonal de funciones y (ck )k2N una sucesión de números reales,
entonces, existe una función medible f , de cuadrado integrable, tal que
Rb
P
2
ck = a f (x) 'k (x) dx para cualquier k 2 N si y sólo si la serie 1
k=1 ck converge.
En el mismo año, Ernst Fischer ([34]) demostró que el conjunto de funciones medibles de
1
Rb
2
cuadrado integrable es completo con la métrica dada por d (f; g) = a (f (x) g (x))2 dx .
Más tarde Riesz daría su propia demostración de este resultado. El concepto de espacio
métrico había sido introducido por Fréchet en 1906 en su tesis doctoral ([36]).
También en 1907 ([79]), Riesz demostró que si U es una función lineal y continua, de…nida
sobre el conjunto de funciones medibles de cuadrado Rintegrable, entonces existe una función
b
medible g, de cuadrado integrable, tal que U (f ) = a f (x) g (x) dx para cualquier función
f medible de cuadrado integrable. El mismo resultado fue demostrado en el mismo año, de
manera independiente, por Maurice Fréchet.
266
10. CONVERGENCIA
Unos años después, en 1909 ([81]), Riesz de…nió el espacio Lp ([a; b]), para p 2 (1; 1), como
Rb
el conjunto de funciones f : [a; b] ! R tales que a jf (x)jp dx < 1 (identi…cando aquellas
que son iguales excepto en un conjunto de medida cero) y demostró que dicho espacio es
1
Rb
p
completo con la métrica dada por d (f; g) = a jf (x) g (x)jp dx . Surgió así otro tipo
de convergencia de una sucesión de funciones medibles: la convergencia en Lp .
10.2. Convergencia casi en todas partes
Definición 10.1. Diremos que una sucesión de funciones medibles ffn gn2N converge casi
en todas partes a una función medible f si l mn 1 fn = f excepto a lo más en un conjunto
c:t:p:
de medida cero. Si éste es el caso, se escribirá fn ! f .
Las siguientes propiedades se siguen inmediatamente de las correspondientes propiedades
para las sucesiones de números reales:
(i) Si una sucesión (fn )n2N converge casi en todas partes a f , entonces cualquier subsucesión de (fn )n2N también converge casi en todas partes a f .
c:t:p:
c:t:p:
(ii) Si ffn g es una sucesión de funciones medibles tal que fn ! f y fn ! g, entonces
f = g casi en todas partes.
c:t:p:
(iii) Si c es una constante y (fn )n2N una sucesión de funciones medibles tal que fn ! f ,
c:t:p:
entonces cfn ! cf .
c:t:p:
(iv) Si (fn )n2N y (gn )n2N son dos sucesiones de funciones medibles tales que fn ! f y
c:t:p:
c:t:p:
c:t:p:
gn ! g, entonces fn + gn ! f + g y fn gn ! f g.
Los resultados que siguen, con relación a la convergencia casi en todas partes, se entienden
mejor si se tienen en mente los siguientes conceptos:
Dada una sucesión A1 ; A2 ; : : : de subconjuntos de un conjunto , se de…ne el límite inferior
(l m nf) y el límite superior (l m sup) de esa sucesión de la siguiente manera:
l m nf An =
l m sup An =
S1 T1
n=1
m=n
T1 S1
n=1
m=n
Am ,
Am .
Obsérvese que l m nf An está formado por todos los elementos x 2 F para los cuales existe
n 2 N tal que x 2 Am para cualquier m
n, mientras que l m sup An está formado por
todos los elementos x 2 F que pertenecen a una in…nidad de conjuntos de la sucesión. Así
que se tiene siempre l m nf An l m sup An .
Si l m nf An = l m sup An , se dice que la sucesión (An )n2N converge y al valor común de
l m nf An y l m sup An se le llama l m An .
10.2. CONVERGENCIA CASI EN TODAS PARTES
Por ejemplo, si (An )n2N es una sucesión creciente (resp. decreciente) de subconjuntos de
1
entonces converge y l m An = [1
n=1 An (resp. l m An = \n=1 An ).
Teorema 10.1. Supongamos que
267
,
es …nita y sea (fn )n2N una sucesión de funciones medi-
c:t:p:
bles. Entonces fn ! 0 si y sólo si para cualquier " > 0, se tiene:
(l m sup fy 2 F : jfn (y)j > "g) = 0.
Demostración
Supongamos primero que l mn 1 fn = 0 casi en todas partes. Entonces existe un conjunto
E0
F de medida 0 tal que si x 2 E0c entonces l mn 1 fn (x) = 0. Así que, dado x 2
c
" para cualquier n
N; esto signi…ca que x 2
E
T01y " > 0, existe N tal que jfn (x)j
"g.
n=N fy 2 F : jfn (y)j
Dicho de otra forma, si x 2 E0c , entonces, dada cualquier " > 0:
T1
S
"g].
x2 1
m=1 [ n=m fy 2 F : jfn (y)j
Así que:
S1 T1
E0c
m=1 [ n=m fx 2 F : jfn (x)j
"g].
Por lo tanto:
S1
T
[
( 1
n=m fy 2 F : jfn (y)j > "g]) = 0.
m=1
Inversamente, supongamos que, para cualquier " > 0, se tiene:
S1
T
[
( 1
n=m fy 2 F : jfn (y)j > "g]) = 0.
m=1
Para cada r 2 N, sea:
T
S1
Br = 1
m=1
n=m y 2 F : jfn (y)j >
1
r
.
Se tiene (Br ) = 0 para cualquier r 2 N y la sucesión de eventos B1 ; B2 ; : : : es creciente, así
que:
S
( 1
r=1 Br ) = l mr 1 (Br ) = 0.
Pero, Brc = x 2 F : Existe N (x) tal que jfn (x)j 1r para cualquier n N (x) . De manera
T
1
c
que si x 2 1
para
r=1 Br , entonces para cualquier r 2 N existe N (x) tal que jfn (x)j
r
1
cualquier n
N (x). En particular, dada " > 0 sea r 2 N tal que r < " y N (x) tal que
jfn (x)j 1r para cualquier n N (x), entonces jfn (x)j < " para cualquier n N (x), lo cual
signi…ca que l mn 1 fn (x) = 0. Es decir:
T1
c
[l mn 1 fn = 0].
r=1 Br
268
10. CONVERGENCIA
S
T
c
Sea E0 = 1
(E0 ) = 0 y si x 2 E0c = 1
r=1 Br . Entonces
r=1 Br , entonces l mn
Así que l mn!1 fn = 0 casi en todas partes.
Corolario 10.1. Supongamos que
1
fn (x) = 0.
es …nita y sea (fn )n2N una sucesión de funciones
c:t:p:
medibles. Entonces fn ! f si y sólo si para cualquier " > 0, se tiene:
(l m sup fy 2 F : jfn (y)
f (y)j > "g) = 0.
TeoremaP10.2 (Lema de Borel-Cantelli). Sea E1 ; E2 ; : : : una sucesión de conjuntos medibles
tales que 1
n=1 (En ) < 1, entonces:
(l m sup En ) = 0.
Demostración
Sea B = l m sup En .
Para T
cada m 2 N, sea Bm =
B= 1
m=1 Bm , así que:
T
(B) = [ 1
m=1 Bm ] = l mm
S1
n=m
1
[
En . Entonces la sucesión de eventos Bm es decreciente y
S1
n=m
En ]
l mm
1
P1
n=m
(En ) = 0.
Corolario 10.2. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones medibles tales que:
P1
n=1 [jfn j > "] < 1 para cualquier " > 0.
c:t:p:
Entonces fn ! 0.
Demostración
Dada " > 0, sea A(") = l m sup fy 2 F : jfn (y)j > "g.
Por la proposición 10.2, [A(")] = 0 para cualquier " > 0. Así que el resultado se sigue
aplicando el corolario 10.1.
Corolario 10.3. Sea f una función medible y (fn )n2N una sucesión de funciones medibles
P
c:t:p:
tales que 1
f j > "] < 1 para cualquier " > 0. Entonces fn ! f .
n=1 [jfn
10.3. Convergencia en medida
Definición 10.2. Diremos que una sucesión de funciones medibles (fn )n2N converge en
medida si existe una función medible f tal que:
l mn
1
(fy 2 F : jfn (y)
f (y)j > "g) = 0
10.3. CONVERGENCIA EN MEDIDA
269
para cualquier " > 0. Si éste es el caso, se escribirá fn ! f .
Obviamente si una sucesión (fn )n2N converge en medida a f , entonces cualquier subsucesión
de (fn )n2N también converge en medida a f .
Proposición 10.1. Sea ffn g una sucesión de funciones medibles tal que fn ! f y fn ! g,
entonces f = g casi en todas partes.
Demostración
Como jf
[jf
jfn
f j + jfn
gj, entonces:
[jfn
f j + jfn
gj > "].
gj
gj > "]
Además, para cualquier " > 0, se tiene:
[jfn
f j + jfn
gj > "]
jfn
fj >
"
2
+
jfn
[ jfn
gj >
"
2
.
Por lo tanto:
[jf
jfn
gj > "]
fj >
"
2
"
2
gj >
.
Así que, tomando límites, se obtiene [jf gj > "] = 0 para cualquier " > 0.
S
Finalmente, [jf gj > 0] = 1
gj > n1 , así que:
n=1 jf
P1
jf gj > n1 = 0.
[jf gj > 0]
n=1
Proposición 10.2. Sea c una constante y (fn )n2N una sucesión de funciones medibles tal
que fn ! f , entonces cfn ! cf .
Demostración
l mn
1
cf j > "] = l mn
[jcfn
1
h
jfn
fj >
"
jcj
i
= 0.
Proposición 10.3. Sean (fn )n2N y (gn )n2N dos sucesiones de funciones medibles tales que
fn ! f y gn ! g, entonces fn + gn ! f + g.
Demostración
Como jfn
[jfn
f + gn
f + gn
gj
gj > "]
jfn
f j + jgn
jfn
fj >
Así que:
l mn
1
[jfn + gn
f
gj > "]
"
2
gj, se tiene:
[ jgn
gj >
"
2
.
270
l mn
10. CONVERGENCIA
jfn
1
fj >
"
2
+ l mn
jgn
1
"
2
gj >
= 0.
Proposición 10.4. Sean f una función medible, (fn )n2N una sucesión de funciones medibles
tales que fn ! f y g : R ! R una función uniformemente continua, entonces g fn ! g f .
Demostración
Como g es uniformemente continua en R, dada " > 0 existe
para cualesquiera u; v 2 R tales que jv uj < . Así que:
jg fn (x)
> 0 tal que jg (u)
g (v)j < "
g f (x)j < "
para cualquier x 2 F tal que jfn (x)
f (x)j < .
Por lo tanto:
l m supn
1
l m supn
l m supn
l mn
1
(fy 2 F : jg fn (y)
g f (y)j > "g)
1
(fy 2 F : jg fn (y)
1
(fy 2 F : jfn (y)
y 2 F : jfn (y)
g f (y)j
f (y)j
f (y)j >
1
2
"g)
g)
= 0.
Así que g fn ! g f .
Corolario 10.4. Sean f una función medible, (fn )n2N una sucesión de funciones medibles
tales que fn ! f y g : R ! R una función continua nula fuera de un intervalo [a; b],
entonces g fn ! g f .
Demostración
Como g es uniformemente continua en [a; b] y nula fuera de ese intervalo, es uniformemente
continua en R.
Teorema 10.3. Supongamos que es …nita y sean f una función medible, (fn )n2N una
sucesión de funciones medibles tal que fn ! f y g : R ! R una función continua, entonces
g fn ! g f .
Demostración
P
Como 1
k=0 [k
[jf j > M ]
jf j < k + 1] = (F) < 1, entonces dada > 0 existe M tal que:
P
[jf j M ] = 1
jf j < k + 1] < 21 .
k=M P [k
10.3. CONVERGENCIA EN MEDIDA
También, como fn ! f , existe N tal que, si n
fj > M] <
[jfn
1
2
271
N , entonces:
.
Sea Dn = fy 2 F : jf (y)j
M g \ fy 2 F : jfn (y)
f (y)j
M g.
Entonces:
Dnc = fy 2 F : jf (y)j > M g [ fy 2 F : jfn (y)
f (y)j > M g.
Así que:
(Dnc ) < .
Si y 2 Dn , entonces:
jfn (y)j
jfn (y)
f (y)j + jf (y)j
2M .
De…namos:
8
si juj < 2M
< g(u)
(M )
g(2M )
si u 2M
g (u) =
: g( 2M ) si u
2M
g (M ) es uniformemente continua en R, así que, dada " > 0 existe
g (M ) (u)
> 0 tal que:
g (M ) (v) < "
para cualesquiera u; v 2 R tales que jv
uj < .
Así que:
g (M ) fn (x)
g (M ) f (x) < "
para cualquier x 2 F tal que jfn (x)
Por lo tanto, si n
N , se tiene:
(fy 2 F : jg fn (y)
=
f (x)j < .
g f (y)j > "g)
g f (y)j > "g)+ (Dnc \ fy 2 F : jg fn (y)
(Dn \ fy 2 F : jg fn (y)
Dn \ y 2 F : g (M ) fn (y)
y 2 F : g (M ) fn (y)
(fy 2 F : jfn (y)
y 2 F : jfn (y)
g (M ) f (y)
g (M ) f (y)
f (y)j
f (y)j >
g) + (Dnc )
1
2
+ .
"
"
+ (Dnc )
+ (Dnc )
g f (y)j > "g)
272
10. CONVERGENCIA
Así que:
l m supn
l mn
1
(fy 2 F : jg fn (y)
y 2 F : jfn (y)
1
g f (y)j > "g)
f (y)j >
1
2
Como lo anterior es válido para cualquier
l mn
1
(fy 2 F : jg fn (y)
+
= .
> 0, se concluye que:
g f (y)j > "g) = 0.
Por lo tanto, g fn ! g f .
Corolario 10.5. Supongamos que es …nita y sean f y g dos funciones medibles, y (fn )n2N
y (gn )n2N dos sucesiones de funciones medibles tales que fn ! f y gn ! g, entonces
fn gn ! f g.
Demostración
Como fn gn = 14 [(fn + gn )2
fn gn ! 41 [(f + g)2
(f
(fn
gn )2 ], entonces:
g)2 ] = f g.
Teorema 10.4. Supongamos que
es …nita y sea (fn )n2N una sucesión de funciones medibles
c:t:p:
tal que fn ! 0, entonces fn ! 0.
Demostración
S
Sea Bm (") = 1
n=m fy 2 F : jfn (y)j > "g, entonces la sucesión de eventos B1 ("); B2 ("); : : : es
decreciente, así que:
T
l mm 1 [Bm (")] = ( 1
m=1 Bm (")) = 0.
Pero [jfm j > "]
l mm
1
Bm ("). Por lo tanto:
[jfm j > "]
l mm
1
[Bm (")] = 0.
Corolario 10.6. Supongamos que
es …nita y sea (fn )n2N una sucesión de funciones
c:t:p:
medibles tal que fn ! f , entonces fn ! f .
Si no es …nita, el corolario anterior no es válido en general. En efecto consideremos el
ejemplo siguiente:
Ejemplo 10.1. Sea F = R,
la medida de Lebesgue sobre R y (fn )n2N la sucesión de
de…nidas por fn = I(n;n+1) para cualquier n 2 N. Entonces la sucesión (fn (x))n2N converge
a 0 para cualquier x 2 R, pero dada " 2 (0; 1), se tiene:
10.3. CONVERGENCIA EN MEDIDA
273
(fy 2 R : jfn (y)j > "g) = 1
para cualquier n 2 N.
Así que (fn )n2N no converge en medida a la función identicamente cero. Más aún, (fn )n2N
no converge en medida. En efecto, supongamos que (fn )n2N converge en medida a la función
medible f , entonces existe una subsucesión que converge casi en todas partes, así que f es la
función identicamente cero.
Como se muestra en el siguiente ejemplo, el inverso del corolario 10.6 no es válido en general.
Ejemplo 10.2. Sea F = (0; 1],
la medida de Lebesgue sobre F e (In )n2N la sucesión
de intervalos J1 = (0; 1], J2 = (0; 21 ], J3 = ( 21 ; 21 ], J4 = (0; 212 ], J5 = ( 212 ; 222 ], J6 =
( 222 ; 232 ], J7 = ( 232 ; 242 ], . . . ; es decir, para n 2 f0; 1; 2; : : :g y j 2 f0; 1; 2; : : : ; 2n 1g,
]. Para cada n 2 N, de…namos fn = IJn ; es decir, para n 2 f0; 1; 2; : : :g y
J2n +j = ( 2jn ; j+1
2n
j 2 f0; 1; 2; : : : ; 2n 1g, f2n +j = I( jn ; j+1
.
n ]
2
2
Si x 2 F y n 2 f0; 1; 2; : : :g, entonces existe un único elemento j0 2 f0; 1; 2; : : : ; 2n 1g tal
], así que f2n +j0 (x) = 1 y f2n +j (x) = 0 para cualquier j 2 f0; 1; 2; : : : ; 2n 1g
que x 2 ( 2jn ; j+1
2n
fj0 g. Por lo tanto, fn (x) = 1 para una in…nidad de valores de n y fn (x) = 0 para una in…nidad de valores de n. Así que la sucesión (fn (x))n2N no converge para ninguna x 2 F.
Sin embargo, para cualquier n 2 f0; 1; 2; : : :g y j 2 f0; 1; 2; : : : ; 2n 1g, f2n +j toma únicamente los valores 0 y 1, y (fy 2 F : f2n +j (y) = 1g) = 21n . Así que l mn 1 [jfn j > "] = 0
para cualquier " > 0. Por lo tanto, fn ! 0.
De la de…nición de convergencia en medida podemos ver que, en un sentido, las funciones fn ,
para n su…cientemente grande, están cercanas a la función límite f . En efecto, si fn ! f ,
dada cualquier " > 0, por pequeña que sea, y dada > 0, por pequeña que sea, existe N 2 N
tal que:
(fy 2 F : jfn (y)
para cualquier n
f (y)j > "g) <
N.
Es decir, denotando por An al conjunto fy 2 F : jfn (y) f (y)j > "g, entonces, para cualquier
n N , jfn (y) f (y)j " para cualquier y 2 Acn y (An ) < .
Lo anterior podría dar la idea de que, fuera de un conjunto de medida pequeña, se tiene
convergencia uniforme de la sucesión (fn )n2N . Sin embargo, esto no es así ya que el conjunto
de medida pequeña (An ) no es …jo, depende de n. Esto se ve claro en el ejemplo 10.2 ya que,
dada " 2 (0; 1) y > 0, digamos = 2n10 , con n0 grande para asegurar que es pequeña, se
tiene que, para n 2n0 +1 , (An ) < , pero:
A2n0 +1 = I(
0
; 1 ]
2n0 +1 2n0 +1
,
274
10. CONVERGENCIA
A2n0 +1 +1 = I(
A2n0 +2
1
1
; 2 ]
2n0 +1 2n0 +1
= I( 2n0 +1
2n0 +1
A2n0 +2 = I(
1 2n0 +1
; n +1 ]
2 0
0
; 1 ]
2n0 +2 2n0 +2
A2n0 +2 +1 = I(
,
,
,
1
; 2 ]
2n0 +2 2n0 +2
,
:::
A2n0 +3
1
= I( 2n0 +2
2n0 +2
1 2n0 +2
; n +1 ]
2 0
,
:::
Se tiene la convergencia uniforme fuera de un conjunto …jo de medida pequeña, pero únicamente para alguna subsucesión de (fn )n2N , lo cual demostramos más adelante.
Definición 10.3. Diremos que una sucesión de funciones medibles (fn )n2N es de Cauchy en
medida si, para cualquier " > 0 y cualquier > 0 existe N 2 N tal que:
(fy 2 F : jfn (y)
fm (y)j > "g) <
para cualquier par de números naturales n y m mayores o iguales a N .
Teorema 10.5. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones medibles que converge en medida,
entonces (fn )n2N es de Cauchy en medida.
Demostración
Sea f el límite ne medida de la sucesión (fn )n2N .
Dadas " > 0 y
jfn :
> 0, sea N 2 N tal que:
f j > 21 " <
1
2
para cualquier número natural n
N.
Entonces, si n y m son dos números naturales mayores o iguales que N , se tiene:
[jfn :
fm j > "]
jfn :
f j > 21 " +
jfm :
f j > 12 " < .
Por lo tanto, (fn )n2N es de Cauchy en medida.
Teorema 10.6. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones medibles y supongamos que (fn )n2N
es de Cauchy en medida, entonces (fn )n2N contiene una subsucesión (fnk )k2N que converge
casi en todas partes a una función medible f y tal que, dada > 0, existe un conjunto medible
A tal que (A) < y la sucesión (fnk )k2N converge uniformemente a f sobre Ac .
10.3. CONVERGENCIA EN MEDIDA
275
Demostración
Para cada k 2 N, de…namos "k =
(fy 2 F : jfn (y)
k
=
fm (y)j > "k g) <
k
1
.
2k
Sabemos que existe Nk 2 N tal que:
para cualquier par de números naturales n y m mayores o iguales a Nk .
Existe entonces una sucesión creciente de números naturales (mk )k2N tal que:
fmk+1 :
Sea B =
P1
k=1
fmk >
T1
j=1
fmk+1 :
1
2k
S1
i=j
<
1
2k
para cualquier k 2 N.
fmi+1 :
fmk >
1
2k
fmi >
1
2i
, entonces, como:
< 1,
por el lema de Borel-Cantelli, se tiene que (B) = 0.
S
Para cada j 2 N, de…namos Bj = 1
fmi >
i=j fmi+1 :
Para cualquier i 2 N tal que i
fmi+1 (y) :
fmi (y)
1
2i
.
j, se tiene:
1
2i
para cualquier y 2 Bjc .
P
1
Dada " > 0, sea i0 2 N tal que i0 N y 1
i=i0 2i < ". Entonces, si r > s
Pr 1
fmi (y)
jfmr (y) : fms (y)j
i=s fmi+1 (y) :
Pr 1 1
P1 1
<
i
i=s 2
i=i0 2i < "
i0 , se tiene:
para cualquier y 2 Bjc .
Así que la sucesión (fmk )k2N es uniformemente de Cauchy en Bjc . Por lo tanto, converge
uniformemente en Bjc .
S
T1
Si y 2 B c = 1
fmi
j=1
i=j fmi+1 :
la sucesión (fmk (y))k2N es convergente.
1
2i
, entonces existe j 2 N tal que y 2 Bjc , así que
c:t:p:
Sea f (y) = l mk!1 fmk (y) :Entonces fmk ! f ya que
(B) = 0.
Además, para cualquier j 2 N, (fmk )k2N converge uniformemente a f en Bjc .
Finalmente, como l mj
1
(Bj ) = 0, dada
> 0, existe N 2 N tal que
(BN ) < .
276
10. CONVERGENCIA
Corolario 10.7. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones medibles que converge en medida,
entonces (fn )n2N contiene una subsucesión (fnk )k2N que converge casi en todas partes a una
función medible f y tal que, dada > 0, existe un conjunto medible A tal que (A) < y la
sucesión (fnk )k2N converge uniformemente a f sobre Ac .
Teorema 10.7. Supongamos que es …nita y sea (fn )n2N una sucesión de funciones medibles, de Cauchy en medida, entonces (fn )n2N converge en medida..
Demostración
Sea (fmk )k2N una subsucesión que converge casi en todas partes a la función f , entonces
fmk ! f .
Dadas " > 0 y
> 0, sea N 2 N tal que:
jfn :
fm j > 21 " <
1
2
,
jfmk :
f j > 12 " <
1
2
,
para cualquier terna de números naturales, n, m y k, mayores o iguales que N .
Sean n y k números naturales mayores o iguales que N , entonces:
[jfn :
f j > "]
fmk j > 12 " +
jfn :
jfmk :
f j > 21 " < .
Por lo tanto fn ! f .
Si es …nita y (fn )n2N es una sucesión de funciones medibles que converge casi en todas
partes a la función medible f , entonces se tiene convergencia uniforme, fuera de un conjunto
…jo de medida pequeña, para toda la sucesión (fn )n2N :
Teorema 10.8. Si es …nita y (fn )n2N es una sucesión de funciones medibles que converge
casi en todas a la función medible f , entonces, dada > 0, existe un conjunto medible A tal
que (A) < y la sucesión (fn )n2N converge uniformemente a f sobre Ac .
Demostración
Para cualquier " > 0, se tiene:
(l m sup fy 2 F : jfn (y)
f (y)j > "g) = 0.
Para cada i 2 N, sea B (i) =
T1
j=1
(i)
Para cada j 2 N, de…namos Bj =
Como l mj
(i)
1
Bj
= 0, dada
S1
k=j
S1
k=j
jfk :
fj >
1
2i
jfk :
fj >
1
2i
B (i) = 0.
, entonces
.
> 0, existe Ni 2 N tal que
(i)
BNi <
2i
.
10.4. CONVERGENCIA DÉBIL
De…namos B =
S1
i=1
(i)
BNi , entonces
Para cualquier k 2 N tal que k
jfk (y) :
f (y)j
(B) < .
Ni , se tiene:
1
2i
(i)
c
Bc.
para cualquier y 2 BNi
Dada " > 0, sea i 2 N tal que
jfk (y) :
277
1
2i
< ". Entonces, para cualquier k
Ni , se tiene:
f (y)j < "
para cualquier y 2 B c .
Por lo tanto, (fn )n2N converge uniformemente en B c .
Teorema 10.9. Sean g una función no negativa e integrable, f una función medible y (fn )n2N
una sucesión de funciones
medibles tales que jfn j
g para cualquier n 2 N y fn ! f ,
R
entonces l mn 1 F jfn f j d = 0.
Demostración
Para cada n 2 N, de…namos:
R
sn = F jfn f j d .
Se tiene entonces:
R
sn = F jfn f j d
R
jf j d +
F n
R
jf j d
F
Así que la sucesión (sn )n2N está acotada.
2
R
F
gd < 1.
Sea (snk )k2N una subsucesión convergente. Como fn ! f , existe una subsucesión snkj
de (snk )k2N tal que fnkj
j2N
c:t:p:
! f . Por el teorema de la convergencia dominada, la sucesión
snkj
converge a cero, así que (snk )k2N converge a cero. Por lo tanto, la sucesión (sn )n2N
j2N
converge a cero.
10.4. Convergencia débil
En esta sección asumiremos que la medida
es …nita.
Si f : F ! R es una función medible denotaremos por f la proyección de
otras palabras, f es la medida sobre los borelianos de R de…nida por:
bajo f . En
278
f
10. CONVERGENCIA
(B) =
(fy 2 F : f (y) 2 Bg).
Como sabemos, está medida queda únicamente determinada por sus valores en los intervalos
de la forma ( 1; x], donde x 2 R.
Definición 10.4. Diremos que una sucesión ( n )n2N de medidas …nitas, de…nidas sobre
(R; B (R)), converge débilmente a la medida …nita , de…nida sobre (R; B (R)), si se cumplen
las siguientes dos condiciones:
(i) l mn
(ii) l mn
1
1
(R) = (R).
((
1; x]) = (( 1; x]) para todo elemento x 2 R tal que
n
n
Si éste es el caso, se escribirá
(fxg) = 0.
d
n
! .
Obsérvese que se tiene:
(fxg) = (( 1; x])
Así que,
(( 1; x)).
(fxg) = 0 si y sólo si
(( 1; x)) = (( 1; x]).
Además:
(( 1; x)) = l m"!0+ (( 1; x
"]).
Así que, (fxg) = 0 si y sólo si la función x ! (( 1; x]), de…nida sobre R, es continua
por la izquierda. Esta función siempre es continua por la derecha, así que:
(fxg) = 0 si y sólo si la función x ! (( 1; x]), de…nida sobre R, es continua.
Además, como
es …nita, el conjunto fx 2 R : (fxg) > 0g es a lo más in…nito numerable.
Definición 10.5. Si es una medida sobre (R; B (R)), diremos que x 2 R es punto de
continuidad de si (fxg) = 0. 1 y 1 serán considerados puntos de continuidad de P .
Si I es un intervalo en R, diremos que I es un intervalo de continuidad de si sus extremos
son puntos de continuidad de .
Definición 10.6. Diremos que una función g : R 7! R se anula en el in…nito si dada cualquier " > 0 existe un conjunto compacto K R tal que jg(x)j < " para cualquier x 2
= K.
Definición 10.7. Diremos que una función g : R 7! R tiene soporte compacto si existe un
conjunto compacto K R tal que g(x) = 0 para cualquier x 2
= K.
Proposición 10.5. Sea (
0
, entonces = 0 .
n )n2N
una sucesión de medidas …nitas tales que
d
n
!
y
d
n
!
Demostración
Si x es un número real tal que (fxg) = 0 y 0 (fxg) = 0, entonces (( 1; x]) = 0 (( 1; x]).
Pero como los conjuntos fx 2 R : (fxg) > 0g y fx 2 R : 0 (fxg) > 0g son a lo más in…nito
10.4. CONVERGENCIA DÉBIL
279
numerables, el conjunto fx 2 R : (fxg) = 0 y 0 (fxg) =g es denso en R. Así que, siendo
continuas por la derecha las funciones x ! (( 1; x]) y x ! 0 (( 1; x]), se sigue que
(( 1; x]) = 0 (( 1; x]) para cualquier x 2 R. Por lo tanto (B) = 0 (B) para cualquier
conjunto boreliano de R.
Proposición 10.6. Sea una medida …nita sobre (R; B (R)) y x 2 R un punto de continuidad de . Entonces, dada " > 0, existe un intervalo de continuidad de , …nito, (a; b),
tal que x 2 (a; b) y [(a; b)] < ".
Demostración
Como el conjunto fx 2 R : (fxg) > 0g es a lo más in…nito numerable, el conjunto de puntos
de continuidad de es denso en R.
Sea (an )n2N una sucesión creciente de puntos de continuidad de
y (bn )n2N una sucesión decreciente de puntos de continuidad de
Entonces:
l mn
1
tal que l mn
tal que l mn
an = x,
1 bn = x.
1
[(an ; bn )] = [\1
n=1 (an ; bn )] = P (fxg) = 0,
de lo cual se sigue el resultado.
Teorema 10.10. Si ( n )n2N es una sucesión de medidas …nitas sobre (R; B (R)) tales que
l mn 1 n (R) = (R), donde es una medida …nita sobre (R; B (R)), entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
d
n
! .
l mn 1 n (I) = (I) para todo intervalo de continuidad, I, de .
l mn 1 n (I) = (I) para todo intervalo de continuidad, I, de , abierto y …nito.
l mn 1 R n (I) = (I)
R para todo intervalo de continuidad, I, de , …nito.
l mn 1 R gd n = R gd para cualquier función continua g : R 7! R que se anula
en el in…nito.
R
R
(vi) l mn 1 R gd n = R gd para cualquier función continua g : R 7! R con soporte
compacto.
R
R
(vii) l mn 1 R gd n = R gd para cualquier función g : R 7! R continua y acotada.
Demostración
Vamos a demostrar primero que i, ii y iii son equivalentes.
i ) ii
Sea x 2 R un punto de continuidad de y, dada " > 0, sea (a; b) un intervalo de continuidad
de , …nito, tal que x 2 (a; b) y [(a; b)] < ". Entonces:
l m supn
1
n
(fxg)
l m supn
1
n
[(a; b]]
280
10. CONVERGENCIA
= l mn
1
[( 1; b]]
n
= [( 1; b]]
l mn
n
1
[( 1; a]]
[( 1; a]] = [(a; b]] = [(a; b)] < ".
Por lo tanto, l mn
1
n
(fxg) = 0.
Así que, l mn 1 n (I) = (I) para todo intervalo de continuidad, I, de
I = ( 1; x), donde x 2 R.
de la forma
Además, como l mn 1 n (R) = (R), entonces l mn 1 n (I) = (I) para todo intervalo
de continuidad, I, de de la forma I = (x; 1) o I = [x; 1), donde x 2 R.
Finalmente, si I es un intervalo de continuidad de , …nito, con extremos a y b, entonces:
l mn
1
n
(I) = l mn
= [( 1; b]]
1
n
[( 1; b]]
l mn
1
n
[( 1; a]]
[( 1; a]] = [(a; b]] = (I).
ii ) iii es inmediato ya que iii es un caso particular de ii.
iii ) i
Sea C el conjunto de puntos de continuidad de , x 2 C.
Dada " > 0, sea b 2 C tal que b > jxj,
que:
j
n
(( b; x))
(( b; x))j < ",
j
n
(( b; b))
(( b; b))j < ",
j
n
(R)
N.
Entonces, para n
N , se tiene:
n
=j
[( 1; x)]
n
((b; 1)) < ", y sea N 2 N tal
(R)j < ",
para cualquier n
j
(( 1; b)) < " y
[( 1; x)]j
[( 1; b)] +
n
[( 1; b)]
[( b; x)]
n
[( 1; b)] + [( 1; b)] + j
n
(R)
n
n
[( b; x)]
[( b; b)] + [( 1; b)] + j
n
[( b; x)]j
[( b; x)]j
[( b; x)]
[( b; x)]j
j
n
(R)
(R)j + (R)
=j
n
(R)
(R)j + [( 1; b)] + [( b; b)] + [(b; 1)]
+ [( 1; b)]
n
n
[( b; b)] + j
[( b; b)] + [( 1; b)] + j
n
[( b; x)]
[( b; x)]j
n
[( b; x)]
[( b; x)]j
10.4. CONVERGENCIA DÉBIL
j
n
(R)
(R)j + j
+j
n
[( b; b)]
n
[( b; x)]
281
[( b; x)]j
[( b; b)]j + 2 [( 1; b)] + [(b; 1)]
< 6".
Así que:
l mn
1
n
(( 1; x)) = (( 1; x)).
Queda entonces demostrado que i, ii y iii son equivalentes.
Ahora vamos a demostrar que iii, iv, v y vi son equivalentes.
iii ) iv
Sea x 2 R un punto de continuidad de .
Dada " > 0, sea (a; b) un intervalo de continuidad de , …nito, tal que x 2 (a; b) y [(a; b)] < ".
Se tiene:
l mn
1
n
((a; b)) = ((a; b)).
Así que existe N 2 N tal que:
n
(fxg)
n
((a; b)) < ((a; b)) + " < 2"
para cualquier n
Por lo tanto, l mn
N.
1
n
(fxg) = 0.
Así que, si I es un intervalo de continuidad, I, de , …nito, con extremos c y d, entonces:
l mn
1
n
(I) = l mn
1
n
((c; d)) = ((c; d)) = (I).
iv ) v
Sea g : R 7! R una función continua que se anula en el in…nito y, dada " > 0, sea [ a; a]
un intervalo de continuidad de tal que jg (x)j < " para cualquier x 2
= [ a; a]. Se tiene
entonces:
R
jgj d n " n ([ a; a]c ) " (R),
[ a;a]c
R
jgj d
" ([ a; a]c ) " (R).
[ a;a]c
Como g es uniformemente continua sobre el intervalo [ a; a], existe una partición de [ a; a]
en intervalos ajenos, I1 ; : : : ; Ir , todos intervalos de continuidad de , en cada uno de los
cuales la oscilación de g es menor que ".
282
10. CONVERGENCIA
Para cada j 2 f1; : : : ; rg tomemos xj 2 Ij , y de…namos T (x) = g (xj ) para cualquier x 2 Ij .
Se tiene entonces:
Ra
Ra
Ra
gd
Td
jg T j d
" ([ a; a]) " (R),
a
a
a
Ra
a
gd
Ra
n
a
Td
Ra
n
a
jg
Tjd
"
n
([ a; a])
n
"
n
(R).
Por otra parte, como l mn 1 n (Ij ) = (Ij ) para cualquier j 2 f1; : : : ; rg, se tiene:
Ra
Ra
P
P
l mn 1 a T d n = l mn 1 nj=1 xj n (Ij ) = nj=1 xj (Ij ) = a T d .
Así que, existe N 2 N tal que
Ra
Td
a
Ra
n
Por lo tanto, para cualquier n N , se tiene:
Ra
R
R
R
gd n + [ a;a]c gd n
gd n
gd =
a
R
R
+
R
[ a;a]c
Ra
a
jgj d
Td
n
Así que, l mn
n
+
Ra
a
1
R
[ a;a]c
Td
R
gd
R
jgj d +
+
Ra
n
a
R
R
gd
gd
Ra
a
gd
Ra
a
n
Td
< " para cualquier n
Td
a
Ra
a
Ra
a
gd
Td
R
[ a;a]c
N.
gd
n
< 5" ( (R) + 1).
= 0.
v ) vi es inmediato ya que toda función continua con soporte compacto se anula en el
in…nito.
vi ) iii
Sea (a; b) un intervalo de continuidad de , abierto y …nito.
Dada " > 0, sea > 0 tal que < 21 (b a), a
, a+ , b
continuidad de y [(a
; a + )] + [(b
; b + )] < ".
Sea g1 : R 7! R la función de…nida como sigue:
8
1
si x 2 [a; b]
>
>
<
1
1
(a x) si x 2 (a
; a)
g1 (x) =
1
1
(x
b)
si
x
2
(b;
b
+
)
>
>
: 0
en otro caso
y b+
g1 es no negativa, continua, tiene soporte compacto y está acotada por 1.
Se tiene entonces:
R
R
l mn 1 R g1 d n = R g1 d .
son puntos de
10.4. CONVERGENCIA DÉBIL
283
Así que, dada " > 0, existe N1 2 N tal que:
R
R
g d n < R g1 d + "
R 1
para cualquier n
N1 .
Además, se tiene:
R
R b+
g
d
=
g1 d
1
n
R
a
R
gd =
R 1
R b+
a
n
g1 d
Rb
a
g1 d
[(a
= [(a; b)] + [(a
n
=
n
[(a; b)],
; b + )]
; a + )] + [(b
; b + )] < [(a; b)] + ".
Así que, para n N1 , se tiene:
R
R
g
d
<
g d +"
n [(a; b)]
1
n
R
R 1
[(a
; b + )] + " < [(a; b)] + 2".
De…namos ahora g2 : R 7! R de la siguiente manera:
8
1
si x 2 [a + ; b
]
>
>
< 1
(x a) si x 2 (a; a + )
g2 (x) =
1
(b x) si x 2 (b
; b)
>
>
: 0
en otro caso
g2 es no negativa, continua, tiene soporte compacto y está acotada por 1.
Se tiene entonces:
R
R
l mn 1 R g2 d n = R g1 d .
Así que, dada " > 0, existe N2 2 N tal que:
R
R
g d n > R g2 d
"
R 2
para cualquier n
Además, se tiene:
R
Rb
g
d
=
gd
2
n
R
a 2
R
Rb
g d = a g2 d
R 2
= [(a; b)]
[(a
Así que, para n
N2 .
n
n
Rb
a+
[(a; b)]
g2 d = [(a + ; b
; a + )]
N2 , se tiene:
[(b
)]
; b + )] > [(a; b)]
".
284
n
10. CONVERGENCIA
R
[(a; b)]
gd
R 2
[(a + ; b
n
)]
>
2" <
Así que, l mn
1
n
R
g2 d
"
" > [(a; b)]
Por lo tanto, para n
[(a; b)]
R
2".
max fN1 ; N2 g, se tiene:
[(a; b)] < [(a; b)] + 2".
n
[(a; b)] = [(a; b)].
Queda entonces demostrado que iii, iv, v y vi son equivalentes.
Siendo equivalentes i, ii y iii, hasta aquí tenemos demostrado que i, ii, iii, iv, v y vi son
equivalentes.
Para completar la demostración vamos a probar que vii se sigue de ii y que vi se sigue de
vii.
ii ) vii
Sea g : R 7! R una función continua y acotada y M una cota de jgj.
Como el conjunto de puntos de continuidad de
l mx
1
[( 1; x)] = l mx
1
es denso en R y:
[(x; 1)] = 0,
dada " > 0, existe a > 0, punto de continuidad de , tal que:
[( 1; a]] + [[a; 1)] < ".
Como se tiene:
l mn
l mn
1
n
[( 1; a]] = [( 1; a]],
1
n
[[a; 1)] = [[a; 1)],
existe N1 2 N tal que:
n
[( 1; a]] +
para cualquier n
n
[[a; 1)] < [( 1; a]] + [[a; 1)] + " < 2"
N1 .
También, como se tiene:
l mn
1
n
(R) = (R),
existe una constante K tal que
(R) < K y
n
(R) < K para cualquier n 2 N.
10.4. CONVERGENCIA DÉBIL
285
Como g es uniformemente continua sobre el intervalo [ a; a], existe una partición de [ a; a]
en intervalos ajenos, I1 ; : : : ; Ir , todos intervalos de continuidad de , en cada uno de los
cuales la oscilación de g es menor que ".
Para cada j 2 f1; : : : ; rg tomemos xj 2 Ij , y de…namos T (x) = g (xj ) para cualquier x 2 Ij .
Se tiene entonces, para cualquier n N1 :
Ra
Ra
Ra
gd
Td
jg T j d < " ([ a; a])
a
a
a
Ra
a
"
R
R
gd
n
a
1
Ra
n
Td
a
Ra
n
a
(R) < "K,
gd +
R1
a
R
gd
a
1
jg
Tjd
R1
jgj d +
a
M ( [( 1; a]] + [[a; 1)]) < "M ,
a
1
gd
M(
n
n
+
R1
a
gd
n
[( 1; a]] +
n
R
a
1
jgj d
n
<"
n
+
" (R) < "K,
([ a; a])
n
jgj d
R1
a
jgj d
n
[[a; 1)]) < 2"M ,
Por otra parte, como l mn 1 n (Ij ) = (Ij ) para cualquier j 2 f1; : : : ; rg, se tiene:
Ra
Ra
P
P
l mn 1 a T d n = l mn 1 nj=1 xj n (Ij ) = nj=1 xj (Ij ) = a T d .
Ra
Así que, existe N2 2 N tal que
a
Por lo tanto, para cualquier n
R
R
gd n
gd
R
R
Ra
gd
a
Ra
gd
a
+
Ra
n
n
gd
a
Así que, l mn
Ra
gd
a
Ra
Ra
a
1
+
R
Ra
n
a
< " para cualquier n
Td
a
1
gd
Ra
n
R1
a
gd
Ra
n
R
a
1
gd +
+ 3"M < 3" + 3"M = 3 (M + 1) ".
n
R
R
gd
n
a
Td
+
Td
gd
Td
a
+
n
R
N2 .
max fN1 ; N2 g, se tiene:
Td
a
R
+
Td
R1
a
gd
= 0.
vii ) vi es inmediato ya que toda función continua con soporte compacto es acotada.
286
10. CONVERGENCIA
10.5. Convergencia en distribución
En esta sección asumiremos que la medida
es …nita.
Definición 10.8. Sean (fn )n2N una sucesión de funciones medibles fn : F ! R y f : F ! R
una función medible . Diremos que la sucesión (fn )n2N converge en distribución a f si
d
fn
!
f.
D
Se éste es el caso, escribiremos fn ! f .
Teorema 10.11. Sean (fn )n2N una sucesión de funciones medibles y f : F ! R una función
D
medible tales que fn ! f , entonces fn ! f .
Demostración
Se tiene
(F) y
(R) =
n
(F), así que l mn
(R) =
1
n
(R) = (R).
Para " > 0, n 2 N y t 2 R, se tiene:
(( 1; t
"]) =
fy 2 F : f (y)
t
"g
fy 2 F : f (y)
t
" y jf (y)
fn (y)j > "g
+ fy 2 F : f (y)
t
" y jf (y)
fn (y)j
fy 2 F : f (y)
t
" y jf (y)
fn (y)j > "g
+ fy 2 F : f (y)
t
" y f (y)
=
=
=
"
"g
fn (y)
f (y) + "g
fy 2 F : jf (y)
fn (y)j > "g + fy 2 F : fn (y)
fy 2 F : jf (y)
fn (y)j > "g +
n
tg
(( 1; t]).
Así que:
(( 1; t
fy 2 F : jf (y)
"])
fn (y)j > "g
n
(( 1; t]).
Además:
n
(( 1; t]) =
fy 2 F : fn (y)
tg
fy 2 F : f (y)
t y jf (y)
fn (y)j > "g
+ fy 2 F : f (y)
t y jf (y)
fn (y)j
fy 2 F : f (y)
t y jf (y)
fn (y)j > "g
=
=
+ fy 2 F : f (y)
=
t y fn (y)
"
f (y)
"g
fn (y) + "g
fy 2 F : jf (y)
fn (y)j > "g + fy 2 F : f (y)
fy 2 F : jf (y)
fn (y)j > "g + (( 1; t + "]).
t + "g
10.5. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN
287
Por lo tanto:
(( 1; t
fy 2 F : jf (y)
"])
fy 2 F : jf (y)
"])
l m inf n
l m inf n!1
Así que l mn
n
1
(( 1; t])
1 y utilizando el hecho de que fn ! f , se obtiene:
1
n
(( 1; t])
Ahora, si t es un punto tal que
obtiene:
(( 1; t])
n
fn (y)j > "g + (( 1; t + "]).
Tomando límites cuando n
(( 1; t
fn (y)j > "g
n
l m supn
1
n
(( 1; t])
(( 1; t + "]).
(ftg) = 0, entonces, tomando límites cuando " ! 0, se
(( 1; t])
l m supn
1
(( 1; t]) = (( 1; t]), es decir,
n
(( 1; t])
n
! .
(( 1; t]).
d
Como se muestra en el siguiente ejemplo, el inverso del resultado anterior no es válido en
general.
Ejemplo 10.3. Sea F = (0; 1] y la medida de Lebesgue sobre F. Para cada n 2 f0; 1; 2; : : :g,
de…namos fn : F ! R de la siguiente manera:
fn (y) =
2y 1 si n = 0 o si n es impar
1 2y si n es par
Para n 2 f0; 1; 3; 5; : : :g y t 2 R, se tiene:
fy 2 F : fn (y)
tg =
y2F:y
1
2
Para n 2 f2; 4; 6; : : :g y t 2 R, se tiene:
fy 2 F : fn (y)
=
tg =
y2F:y
1
2
si t < 1
(1 + t) si t 2 [ 1; 1)
(1 + t) =
:
1
si t 1
1
2
(1
8
< 0
si t < 1
(1 + t) si t 2 [ 1; 1)
:
1
si t 1
1
2
Así que:
f0 (( 1; t]) =
8
< 0
si t < 1
(1 + t) si t 2 [ 1; 1)
:
1
si t 1
1
2
8
< 0
8
< 0
1
t) =
:
1
1
2
(1
si t < 1
t) si t 2 [ 1; 1)
si t 1
288
10. CONVERGENCIA
fn (( 1; t]) =
Por lo tanto,
8
< 0
si t < 1
(1 + t) si t 2 [ 1; 1)
:
1
si t 1
1
2
d
!
fn
f0 .
Por otra parte, jf2n
fy 2 F : jf2n (y)
y2F:y>
=
f0 j = 2 jf0 j para cualquier n 2 N, así que, dada " 2 (0; 1), se tiene:
f0 (y)j > "g =
1
2
+
"
4
y 2 F : jf0 (y)j >
y2F:y<
+
1
2
"
4
=1
"
2
"
.
2
Por lo tanto:
l mn
fy 2 F : jf2n
1
f0 j > "g = 1
"
2
> 0.
Así que la sucesión (fn )n2N no converge a f0 en medida.
Además, para cualquier n 2 N, f2n 1 (y) = f0 (y) para cualquier y 2 F. Por lo tanto, la
sucesión (f2n 1 )n2N converge en medida a f0.
Ahora bien, si la sucesión (fn )n2N convergiera en medida a una función medible g : F ! R,
entonces la sucesión (f2n 1 )n2N convergería en medida a g. Así que se tendría f0 = g casi
en todas partes. Pero entonces se tendría que la sucesión (fn )n2N converge en medida a f0 ,
lo cual es falso.
Podemos concluir entonces que la sucesión (fn )n2N no converge en medida.
Se tiene el siguiente resultado parcial:
Teorema 10.12. Sean (fn )n2N una sucesión de funciones medibles fn : F ! R. Supongamos
d
que
fn
!
0,
donde
0
es una medida …nita concentrada en cero. Entonces fn ! 0.
Demostración
La hipótesis nos dice que:
l mn
1
fn
(( 1; x]) =
0
si x < 0
(f0g)
si x > 0
0
Además, para cualquier " > 0, se tiene:
(fy 2 F : jfn (y)j > "g) =
(fy 2 F : fn (y) > "g) + (fy 2 F : fn (y) <
(fy 2 F : fn (y) > "g) + (fy 2 F : fn (y)
=
fn
(R)
fn
(( 1; "]) +
Así que, l m supn
1
fn
(( 1; "]).
(fy 2 F : jfn (y)j > "g)
"g)
"g)
10.5. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN
l mn
=
0
1
fn
(R)
0
(R)
l mn
1
fn
(( 1; "]) + l mn
1
fn
289
(( 1; "])
(f0g) = 0.
Por lo tanto, fn ! 0.
Corolario 10.8. Sean (fn )n2N y (fn0 )n2N dos sucesiones de funciones medibles. Supongamos
D
D
D
D
que fn ! 0 y fn0 ! 0, entonces fn + fn0 ! 0 y .fn fn0 ! 0.
Demostración
D
D
d
d
Como fn ! 0 y fn0 ! 0, se tiene que fn ! 0 y fn0 ! 0 , donde 0 es una medida
…nita concentrada en cero. Así que, fn ! 0 y fn0 ! 0. Por lo tanto, fn + fn0 ! 0 y
D
D
.fn fn0 ! 0, lo cual implica que fn + fn0 ! 0 y .fn fn0 ! 0.
CAPÍTULO 11
ESPACIOS Lp
11.1. Espacios Lp
Para
p 2 (0; 1), denotaremos por Lp al conjunto de funciones medibles f tales que
R
p
jf j d < 1. También, denotaremos por L1 al conjunto de funciones medibles y acoF
tadas excepto a lo más en un conjunto de medida cero.
Obsérvese que si f 2 Lp , entonces f es …nita casi en todas partes.
Para p 2 (0; 1], el conjunto de clases de equivalencia en las cuales queda partido Lp , mediante la relación de equivalencia de…nida por la igualdad casi en todas partes, será denotado
por Lp .
Cada elemento de Lp es un conjunto de funciones con la propiedad de que cualquier par de
ellas son iguales casi en todas partes.
Si f : F !R, la notación f 2 Lp signi…cará que la clase de equivalencia de la cual forma
parte f , pertenece a Lp , de manera que cualquier propiedad que se demuestre para f será
en realidad una propiedad de la clase de equivalencia de la cual forma parte.
Si f 2 L1 , diremos que M 2 R es cota esencial de f si jf j
M casi en todas partes.
Además, de…nimos el supremo esencial de f , sup es (f ), de la siguiente manera:
sup es (f ) = nf fM 2 R : M es cota esencial de f g
Obsérvese que si f 2 L1 , entonces jf j sup es (f ) casi en todas partes. Además, no hay
ningún número real M menor que sup es (f ) y tal que jf j
M casi en todas partes. Es
decir, si jf j M casi en todas partes, entonces sup es (f ) M .
Si p 2 [1; 1) y f 2 Lp , de…nimos jjf jjp =
R
jf jp d
F
Si f 2 L1 , de…nimos jjf jj1 = sup es (jf j).
Obsérvese que se tienen las siguientes relaciones:
291
1
p
.
11. ESPACIOS Lp
292
Si p 2 (0; 1], entonces y < y p si y 2 (0; 1) y y > y p si y 2 (1; 1).
Si p 2 (1; 1), entonces y > y p si y 2 (0; 1) y y < y p si y 2 (1; 1).
Para cualquier p 2 (0; 1), la función y 7! y p es creciente en el intervalo [0; 1).
Si r > p > 0, entonces y r < y p para cualquier y 2 (0; 1) y y r > y p para cualquier y 2 (1; 1).
También y p < 1 + y r para cualquier y 2 [0; 1).
Lema 11.1. Sean a; b 2 R y p 2 [0; 1), entonces:
ja + bjp
2p (jajp + jbjp ).
Demostración
ja + bjp
(jaj + jbj)p
(2 max fjaj ; jbjg)p = 2p max fjajp ; jbjp g
2p (jajp + jbjp ).
Proposición 11.1. Para cualquier p 2 (0; 1], Lp es un espacio vectorial sobre R.
Demostración
Si c 2 R, es inmediato que si f 2 Lp , entonces cf 2 Lp .
Supongamos que f; g 2 Lp , entonces, si p 2 [0; 1), por el lema anterior, se tiene:
R
R
R
jf + gjp d
2p F jf jp d + F jgjp d < 1.
F
Así que f + g 2 Lp .
Si f; g 2 L1 , entonces, f y g son medibles y acotadas excepto a lo más en un conjunto de
medida cero; por lo tanto, f + g tiene la misma propiedad, así que f + g 2 L1 .
Por lo tanto, en cualquier caso, Lp es un espacio vectorial sobre R.
Lema 11.2. Sea t 2 (0; 1) [ (1; 1) y
t < t + (1
2 (0; 1), entonces:
).
Demostración
Para t 2 (0; 1), de…namos f (t) = t + (1
)
t .
Se tiene f 0 (t) =
1 t 1 para cualquier t 2 (0; 1). Así que f 0 (t)
0 para t 2 (0; 1]
0
y f (t) 0 para t 2 [1; 1). Por lo tanto, f es decreciente en el intervalo (0; 1] y creciente
en el intervalo [1; 1). Se concluye entonces que, para cualquier t 2 (0; 1) [ (1; 1), f (t) >
f (1) = 0, es decir, t + (1
)>t .
11.1. ESPACIOS Lp
Corolario 11.1. Sean p; q 2 (1; 1) tales que
1
p
p
q
1
q
+
1
p
+
1
q
=1y ;
293
2 [0; 1). Entonces:
:
La iguadad se cumple si y sólo si
p
=
q
.
Demostración
p
q
Aplicando el lema anterior con t =
q
p
<
p
q
1
p
= p1 , se tiene:
y
+ 1q .
Así que:
<
p
1
p
+
q
p
1
q
=
<
p
1
p
+
1
q
q (1
1
q
).
Por lo tanto:
<
1
p
p
1
q
+
q
.
Teorema 11.1 (Desigualdad de Hölder). Sean p; q 2 [1; 1] tales que
y g 2 Lq , entonces f g 2 L1 y:
jjf gjj1
1
p
+
1
q
= 1, f 2 Lp
jjf jjp jjgjjq .
Demostración
Si p; q 2 (1; 1), de…namos
f
g
jjf jjp jjgjjq
=
1
p
p
Integrando, se obtiene:
R
1
1
jf gj d
+
jjf jj jjgjj
p
F
p
q
1
q
+
1
q
=
q
=
jf j
jjf jjp
y
p
1 jf j
p (jjf jj )p
p
=
+
jgj
.
jjgjjq
Entonces:
q
1 jgj
.
q (jjgjj )q
q
= 1.
Si f 2 L1 y g 2 L1 , entonces:
R
R
jf
gj
d
sup
es
(f
)
jf j d = jjf jj1 jjgjj1 .
F
F
Teorema 11.2 (Desigualdad de Minkowski). Sea p 2 [1; 1] y f; g 2 Lp , entonces:
jjf + gjjp
jjf jjp + jjgjjp .
Demostración
Para p = 1 se tiene:
11. ESPACIOS Lp
294
jf + gj
jf j + jgj.
Así que:
R
jf + gj d
F
R
F
R
F
q
= (f + g)p .
jf j d +
Si p 2 (1; 1), se tiene:
(f + g)p
1 q
= (f + g)pq
Así que (f + g)p
1
jgj d .
2 Lq .
Por lo tanto:
(f + g)p
R
1
q
=
jf + gjp d =
F
R
1
q
jf + gjp d
F
jf + gjp
F
jjf jjp (f + g)p
= jjf jjp + jjgjjp
R
1
q
1
= jjf + gjjp
jf + gj d
+ jjgjjp (f + g)p
jjf + gjjp
p
q
1
R
p
q
,
jf j jf + gjp
F
q
1
d +
R
F
jgj jf + gjp
1
d
.
Por lo tanto:
jjf + gjjp
jjf jjp + jjgjjp
1
p
jjf + gjjp
1
q
.
Así que:
jjf + gjjp
1
p
1
= jjf + gjjp
Si p = 1, se tiene jf + gj
jjf + gjj1 = sup es (f + g)
1
q
jjf jjp + jjgjjp
jf j + jgj
1
p
.
sup es (f ) + sup es (g) casi en todas partes, así que:
sup es (f ) + sup es (g) = jjf jj1 + jjgjj1 .
Corolario 11.2. Para cualquier p 2 [1; 1], la función jjjjp , de…nida sobre Lp , es una
norma.
Obsérvese que sobre Lp , la función jjjjp no es una norma, pero es únicamente una propiedad
de la norma la que no se cumple, a saber, que si jjf jjp = 0 entonces f = 0. Si jjf jjp = 0,
únicamente se puede a…rmar que f = 0 casi en todas partes.
1
R
Si p 2 (0; 1), la función f 7! F jf jp d p no es una norma. Ni siquiera lo es la función
1
P
x 7! ( nk=1 jxk jp ) p , de…nida sobre Rn . Por ejemplo, en R2 , si x = (1; 0) y y = (0; 1), se tiene:
11.1. ESPACIOS Lp
Pn
1
2
2
k=1 jxk + yk j
Pn
k=1
1
2
1
2
jxk j 2
Pn
295
= 4,
= 1,
2
k=1 jyk j
= 1.
Así que:
Pn
1
2
k=1 jxk + yk j
2
>
Pn
1
2
2
k=1 jxk j
+
Pn
1
2
k=1 jxk + yk j
2
.
Por lo tanto, no se satisface la desigualdad del triángulo.
R
Si p 2 (0; 1) y f 2 Lp , de…nimos jjf jjp = F jf jp d .
Lema 11.3. Sean a; b 2 [0; 1) y p 2 (0; 1), entonces:
(a + b)p
ap + b p .
Demostración
Si ab = 0, o a = b, la desigualdad es obvia.
Supongamos a; b 2 (0; 1).
De…namos f : [0; 1) 7! R de la siguiente manera:
f (t) = 1 + tp
(1 + t)p .
p
Entonces, como (1 + t)1
f 0 (t) = ptp
1
p (1 + t)p
> t1
1
p
para cualquier t > 0,
>0
para cualquier t > 0.
Así que f es creciente en el intervalo (0; 1) y, siendo continua en el intervalo [0; 1), se tiene:
f (t)
f (0) = 0.
Es decir:
(1 + t)p
1 + tp
para cualquier t > 0.
Por lo tanto:
(a + b)p = ap 1 +
b p
a
ap 1 +
b p
a
= ap + b p .
11. ESPACIOS Lp
296
Teorema 11.3. Para cualquier p 2 (0; 1), la función jjjjp , de…nida sobre Lp , es una norma.
Demostración
R
jjf + gjjp = F jf + gjp d
= jjf jjp + jjgjjp .
R
(jf j + jgj)p d
F
R
jf jp d +
F
R
F
jgjp d
Proposición 11.2. Supongamos que la medida es …nita, entonces, para cualquier r 2
(0; 1], si f 2 Lr , entonces f 2 Lp para cualquier p 2 (0; r).
Demostración
Para r 2 (0; 1), se tiene y p < 1 + y r para cualquier x 2 [0; 1) y cualquier p 2 (0; r), así
que:
R
R
jf jp d
(F) + F jf jr d .
F
Si f 2 L1 , se tiene jf j jjf jj1 < 1 casi en todas partes. Así que
R
jf jp d
jjf jjp1 (F) < 1 para cualquier p 2 (0; 1).
F
Si
no es …nita, el resultado anterior podría no ser válido. Por ejemplo, si F = [1; 1), =
es la -álgebra formada por los conjuntos Lebesgue medibles y es la medida de Lebesgue,
de…namos f : [1; 1) 7! R mediante la relación f (x) = x1 . Entonces f 2 L2 , pero f 2
= L1 .
Proposición 11.3. Supongamos que existe una colección in…nita numerable de conjuntos
ajenos An de medida …nita y positiva. Entonces, la dimensión de Lp es in…nita.
Demostración
Obviamente las funciones IAn pertenecen a Lp y son linealmente independientes.
11.2. Convergencia en Lp
Definición 11.1. Para p 2 (0; 1], se dice que una sucesión (fn )n2N de funciones medibles
converge en Lp a la función medible f si f; fn 2 Lp para cualquier n 2 N y
l mn
1
jjfn
f jjp = 0.
Lp
Si éste es el caso, se escribirá fn ! f .
11.2. CONVERGENCIA EN Lp
297
La convergencia en Lp tiene las propiedades comunes a la convergencia en cualquier espacio
vectorial normado. En particular, si X es un espacio vectorial normado, sobre R, con norma
kk, se tiene lo siguiente:
(i) Si (xn )n2N es una sucesión que converge x, entonces cualquier subsucesión de
(xn )n2N también converge a x.
(ii) Si (xn )n2N es una sucesión de elementos de X tales que xn ! x y xn ! y,
entonces x = y.
(iii) Si c 2 R y (xn )n2N es una sucesión de elementos de X tales que xn ! x, entonces
cxn ! cx.
(iv) Si (xn )n2N y (yn )n2N son dos sucesiones de elementos de X tales que xn ! x y
yn ! y, entonces xn + yn ! x + y.
P1
(v) Si (xn )n2N es una sucesión de elementos de X tales
Pnque la serie n=1 kxn k converge,
entonces la sucesión (yn )n2N de…nida por yn = k=1 xk es de Cauchy. P
(vi) Si para cualquier sucesión (xn )n2N de elementos P
de X tales que la serie 1
n=1 kxn k
n
converge, la sucesión (yn )n2N , de…nida por yn = k=1 yk , converge. Entonces X es
completo.
Teorema 11.4. Para cualquier p 2 (0; 1], Lp , con la norma jjjjp es un espacio normado
completo.
Demostración
Sea (fn )n2N una sucesión de funciones en Lp tales que la serie
P
cada n 2 N, de…namos hn = nk=1 fk .
De…namos:
P1
P1
fk (x) si
k=1 jfk (x)j < 1
k=1
f (x) =
0
en otro caso
P
y, para cada n 2 N, gn = nk=1 jfk j.
P1
n=1
jjfn jjp converge y, para
Para cada x 2 F, (gn (x))n2N es una sucesión no decreciente. Sea g (x) = l mn
Por el lema de Fatou, se tiene:
1
R p
R p
p
g
d
l
m
g d
n
1
F
F n
P
= l mn 1 jj nk=1 jfk jjjp l mn
1
p
1
para p 2 [1; 1).
R p
R
g d
l mn 1 F gnp d = l mn
F
P
l mn 1 nk=1 jjfk jjp < 1
para p 2 (0; 1).
Pn
k=1
1
jjfk jjp < 1
P
jj nk=1 jfk jjjp
1
gn (x).
11. ESPACIOS Lp
298
Así que, para cualquier p 2 (0; 1), g 2 Lp .
Además:
P
j nk=1 fk j
Así que jf j
Pn
k=1
jfk j
g.
g. En particular f 2 Lp .
Por otra parte:
P
p
j nk=1 fk f j
P
p
(j nk=1 fk j + jf j)
(2g)p .
Así que, por el teorema de la convergencia dominada:
R P
R
P
p
p
l mn 1 F j nk=1 fk f j = F l mn 1 j nk=1 fk f j = 0.
Si p = 1, se tiene:
P
jf j = l mn 1 j nk=1 fk j
P
= 1
k=1 jjfk jj1 < 1
l mn
1
Pn
k=1
jfk j
l mn
1
Pn
k=1
jjfk jj1
casi en todas partes.
Así que f 2 L1 .
P
Dada " > 0, tomemos N 2 N tal que 1
k=N jjfk jj1 < ". Entonces, para cualquier n
tiene:
Pm
Pm
Pn
f
(x)
l
m
f
j
=
l
m
jf
k
m
1
k
m
1
k=n+1 jfk (x)j
k=n+1
k=1
P1
k=n+1 jjfk jjp
N , se
casi en todas partes.
Así que:
P
jj nk=1 fk
f jj1
P1
k=n+1
jjfk jj1 < ".
Por lo tanto, en cualquier caso, la sucesión (hn )n2N converge en Lp . Así que Lp es completo.
Lp
Teorema 11.5. Sea p 2 (0; 1] y (fn )n2N una sucesión de funciones medibles tal que fn !
f , entonces fn ! f .
Demostración
Sea p 2 (0; 1).
Para cualquier " > 0, se tiene:
11.2. CONVERGENCIA EN Lp
R
jf
F n
R
f jp d =
[jfn :
f j > "]
jfn
fjfn f j>"g
R
f jp d +
jf
f j>"g n
fjfn
f jp d
"p [jfn :
R
f jp d
jfn
fjfn f j "g
299
f j > "].
Así que:
1
"p
Por lo tanto, l mn
1
R
jfn
F
[jfn :
f jp d .
f j > "] = 0 para cualquier " > 0.
L1
Supongamos que fn ! f , entonces l mn
jfn : f j kfn : f k1 casi en todas partes.
1
kfn :
f k1 = 0 y, para cualquier n 2 N,
Dada " > 0, sea N tal que kfn : f k1 < " para cualquier n N . Entonces , para cualquier
n N , jfn : f j kfn : f k1 < " casi en todas partes. Así que [jfn : f j > "] = 0 para
cualquier n N . Por lo tanto, l mn 1 [jfn : f j > "] = 0 para cualquier " > 0.
Como se muestra en el siguiente ejemplo, el inverso del resultado anterior no es válido en
general.
Ejemplo 11.1. Sea F = (0; 1],
f0; 1; 2; : : :g y j 2 f0; 1; 2; : : : ; 2n
la medida de Lebesgue sobre F, p 2 (0; 1) y, para n 2
1
1g, f2n +j = (2n ) p I( jn ; j+1
.
n ]
2
Para cualquier n n
2 f0; 1; 2; : : :g y j 2 f0; 1;o2; : : : ; 2n
1
p
0 y (2n ) , y
y 2 F : f2n +j (y) = (2n )
1
p
=
2
1g, f2n +j toma únicamente los valores
1
.
2n
Así que l mn
1
[jfn j > "] = 0 para
cualquier " > 0. Por lo tanto, fn ! 0.
Por otra parte, para cualquier n 2 f0; 1; 2; : : :g, se tiene:
R
F
=
jf2n+1
R
R
R
f2n jp d =
1
(
1
; 1 ]
2n+1 2n
(2n+1 ) p I(0;
1
2n
(2n ) p I(0;
1
2n+1
(2n+1 ) p I(0;
(2n ) p I(0;
p
1
]
2n
= 21 .
d =
R
(2n ) p I(0;
1
]
2n
d
p
1
]
2n
d
p
1
F
p
1
1
]
2n+1
1
1
]
2n+1
1
1
; 21n ]
( n+1
2
= 2n
1
F
(2n ) p I(
1
; 1 ]
2n+1 2n
d
Así que la sucesión (fn )n2N no es de Cauchy en Lp y, por lo tanto, no converge en Lp .
Para p = 1 tomemos f2n +j = I(
j j+1
;
]
2n 2n
, entonces, como se mostró en el ejemplo 10.2 , se
tiene fn ! 0. Por otra parte, para cualquier n 2 f0; 1; 2; : : :g, se tiene:
jjf2n+1
f2n jj1 = 1.
11. ESPACIOS Lp
300
Así que la sucesión (fn )n2N no es de Cauchy en L1 y, por lo tanto, no converge en L1 .
Teorema 11.6. Sean p 2 (0; 1), ffn gn2N una sucesión en Lp y f una función medible. Si
es una medida …nita, las siguientes propiedades son equivalentes:
(i) fn ! f y la familia fjfn jp : n 2 Ng es uniformemente integrable.
Lp
(ii) ii) f 2 Lp y fn ! f .
R
R
(iii) iii) f 2 Lp , fn ! f y l mn 1 F jfn jp d = F jf jp d .
Demostración
i ) ii
Por la proposición 10.6 existe una subsucesión (fnk )k2N tal que fnk
proposición 8.5, jf jp es integrable.
c:t:p:
! f . Así que, por la
Por otra parte:
jfn
f jp
2p (jfn jp + jf jp ).
f jp gn2N también es uniformemente integrable.
Así que la familia fjfn
Para cada > 0, se tiene:
R
R
R
jf
f jp d = fjfn f jp > g jfn f jp d + fjfn
F n
R
jf
f jp d +
(F).
fjfn f jp > g n
h
p
Pero, l mn 1 [jfn f j > ] = l mn 1 jfn
es uniformemente integrable, así que:
R
R
l mn 1 F jfn f jp d
l mn 1 fjfn f jp > g jfn
f jp
g
fj >
ii ) iii
Para todo espacio vectorial normado (X; jjjj), se tiene:
jjyjjj
jjx
yjj.
Así que, si una sucesión (xn )n2N converge a x, entonces:
jjjxn jj
jjxjjj
Por lo tanto:
jjxn
xjj.
1
p
i
f jp d +
Así que, como > 0 es arbitraria, se tiene:
R
l mn 1 F jfn f jp d = 0.
jjjxjj
f jp d
jfn
= 0 y la familia fjfn
(F) =
(F).
f jp gn2N
11.2. CONVERGENCIA EN Lp
l mn
1
(jjjxn jj
jjxjjj)
l mn
1
jjxn
301
xjj = 0.
Se concluye entonces que:
l mn
1
jjxn jj = jjxjj.
Lp
Si f 2 Lp y fn ! f , entonces:
1
1
R
R
l mn 1 F jfn jp d p = F jf jp d p si p 2 [1; 1),
R
R
l mn 1 F jfn jp d = F jf jp d si p 2 (0; 1).
Así que, en cualquier caso:
R
R
l mn 1 F jfn jp d = F jf jp d .
iii ) i
Para
> 0 y x 2 R, de…namos:
8
>
jxjp
>
>
1
>
>
<
x (2 ) p
1
1
p
(2 ) p
f (x) =
1
>
x + (2 ) p
>
1
1
>
p
>
(2 ) p
>
:
0
si x > 0 y
si x < 0 y
si jxj
f es una función continua, así que f
Además, f (x)
Se tiene jf fn j
R
l mn 1 F jf fn
jxjp y 0
yf
f
1
p
si jxj
1
1
p
< jxj < (2 ) p
1
1
p
1
< jxj < (2 ) p
(2 ) p
fn ! f
f.
para cualquier x 2 R.
f (x)
fn ! f
f , así que, por la proposición 10.9:
f j d = 0.
Por lo tanto:
R
R
l mn 1 F f fn d = F f
fd .
Se tiene:
l m nf n
1
Así que:
R
jfn jp d
R
fy2F:jfn (y)jp 2 g
R
p
jf
j
d
l
m
f
n
1
n
fy2F:jfn (y)j 2 g
F
R
f f d = fy2F:jf (y)jp g jf jp d .
fy2F:jf (y)jp
g
l m nf n
R
1
R
fy2F:jfn (y)jp 2 g
p
f
fn d =
fn d =
R
F
f
R
F
f
fd
fn d .
11. ESPACIOS Lp
302
Además, por hipótesis:
R
R
l mn 1 F jfn jp d = F jf jp d .
Por lo tanto:
R
l m supn 1 fy2F:jfn (y)jp >2 g jfn jp d = l m supn
= l mn 1
R
jf jp d
F
R
jf jp d
F n
R
l m nf n
1
R
1
fy2F:jfn (y)jp 2 g
R
jf jp d
F n
jfn jp d
R
fy2F:jfn (y)jp 2 g
jfn jp d
R
jf jp d = fy2F:jf (y)jp > g jf jp d .
R
Dada " > 0, tomemos 0 tal que fy2F:jf (y)jp > g jf jp d < ". Entonces:
0
nR
o
l mn 1 sup fy2F:jfj (y)jp >2 g jfj jp d : j n
fy2F:jf (y)jp
g
0
= l m supn
1
R
p
fy2F:jfn (y)j >2
0
jf jp d
g n
Así que existe N 2 N tal que:
nR
sup fy2F:jfj (y)jp >2 g jfj jp d : j
0
para cualquier n
N.
R
fy2F:jf (y)jp >
0g
jf jp d < ".
o
n <"
Para cada j 2 f1; 2; : : : ; N 1g tomemos
R
p
fy2F:jfj (y)jp >2 j g jfj j d < "
j
tal que:
De…niendo = max 2 0 ; 2 1 ; : : : ; 2 N 1 , se tiene:
o
nR
sup fy2F:jfj (y)jp > g jfj jp d : j 2 N < "
Por lo tanto:
nR
l m 1 sup fy2F:jfj (y)jp >
o
p
jf
j
d
:
j
2
N
= 0.
g j
Así que la familia fjfn jp : n 2 Ng es uniformemente integrable.
Proposición 11.4. Supongamos que la medida es …nita, entonces, para cualquier r 2
Lr
Lp
(0; 1], si fn ! f , entonces fn ! f para cualquier p 2 (0; r].
11.2. CONVERGENCIA EN Lp
303
Demostración
L1
Si fn ! f , entonces l mn 1 sup es fjfn f jg = 0. Así que, dado " > 0, existe N tal que
sup es fjfn f jgR < " para cualquier n
N . Por consiguiente, jfn f j < " casi en todas
p
p
partes. Así que F jfn f j d
" (F) para cualquier n N y p 2 (0; 1). Por lo tanto:
R
l mn 1 F jfn f jp d = 0.
Si r 2 (0; 1) y fn
integrable.
Lr
! f , entonces fn
! f y la familia fjfn jr gn2N es uniformemente
Además, jyjp 1 + jyjr para cualquier y 2 R y cualquier p 2 (0; r]. Por lo tanto, para
se tiene:
R
R
R
r
p
(1
+
jf
j
)
d
2
jf jr d .
d
jf
j
r
p
n
n
f1+jfn j > g
fjfn jr >
1g n
fjfn j > g
> 2,
Así que:
lm
1
nR
sup
2l m
1
p
fjfn j >
sup
nR
jf jp d : n 2 N
g n
r
fjfn j >
o
o
r
jf
j
d
:
n
2
N
= 0.
n
1g
Por lo tanto, la familia fjfn jp gn2N es uniformemente integrable.
Lp
Finalmente, como también se tiene fn ! f , entonces f 2 Lp y fn ! f .
Como se muestra en el siguiente ejemplo, en general, para p 2 (0; 1), la convergencia en Lp
no implica convergencia casi en todas partes.
Ejemplo 11.2. Consideremos la sucesión de funciones (fn )n2N del ejemplo 10.2. Para cualquier p 2 (0; 1), n 2 f0; 1; 2; : : :g y j 2 f0; 1; 2; : : : ; 2n 1g, se tiene:
R
jf n jp d =
F 2 +j
Así que, fn
converge.
Lp
R
p
F
I(
j j+1
;
]
2n 2n
d =
1
.
2n
! 0, pero, como vimos, para cualquier x 2 F, la sucesión (fn (x))n2N no
Proposición 11.5. Sea (fn )n2N una sucesión de funciones medibles tal que fn
c:t:p
tonces fn ! f .
Demostración
Para cada n 2 N, de…namos:
cn = jjfn
f jj1 .
L1
! f , en-
11. ESPACIOS Lp
304
Por la de…nición de la norma jjjj1 , para cada n 2 N existe un conjunto An 2 = tal que
(An ) = 0 y:
jfn (x)
f (x)j
cn
para cualquier x 2
= An .
S
De…namos A = 1
n=1 An , entonces
jfn (x)
f (x)j
(A) = 0 y:
cn
para cualquier x 2
= A y cualquier n 2 N.
L1
Como fn ! f , la sucesión (cn )n2N converge a cero. Así que, para cualquier x 2
= A, se tiene:
l m supn
1
jfn (x)
Por lo tanto, l mn
f (x)j
1
jfn (x)
l mn
1 cn
= 0.
c:t:p
f (x)j. Así que fn ! f .
Como se muestra en el siguiente ejemplo, en general, para p 2 (0; 1], la convergencia casi
en todas partes no implica la convergencia en Lp .
Ejemplo 11.3. Sea F = (0; 1], la medida de Lebesgue sobre F y p 2 (0; 1). Para cada
n 2 N, de…namos fn : F ! R de la siguiente manera:
1
fn (x) =
(2n ) p si x 2 0; 21n
0
en otro caso
Para cualquier x 2 F se tiene l mn!1 fn (x) = 0.
Por otra parte, para cualquier n 2 N, se tiene:
R
R
R
p
p
jf
f
j
d
f
j
d
=
1
1 jfn+1
n+1
n
n
F
(
; n]
(
2n+1 2
1
; 1 ]
2n+1 2n
jfn jp d = 2n
1
2n
1
2n+1
= 12 .
Así que la sucesión (fn )n2N no es de Cauchy en Lp y, por lo tanto, no converge en Lp .
Si p = 1 tomemos:
fn (x) =
1 si x 2 0; 21n
0 en otro caso
Para cualquier x 2 F se tiene l mn!1 fn (x) = 0.
Por otra parte, para cualquier n 2 N, se tiene:
jjfn+1
fn jj1 = 1.
Así que la sucesión (fn )n2N no es de Cauchy en L1 y, por lo tanto, no converge en L1 .
11.3. DENSIDAD DE LAS FUNCIONES SIMPLES EN Lp
305
11.3. Densidad de las funciones simples en Lp
Lema 11.4. Sea p 2 (0; 1). Una función simple no negativa ' pertenece a Lp si sólo si '
es nula fuera de un conjunto de medida …nita.
Demostración
Sea ' una función simple no negativa con representación canónica ' =
tonces, para p 2 (0; 1), se tiene:
R p
Pn
p
'
d
=
k=1 ak (Ek ).
F
S
P
Así que ' 2 Lp si y sólo si ( nk=1 Ek ) = nk=1 (Ek ) < 1.
Pn
k=1
ak IEk . En-
Además:
fx 2 F : '(x) > 0g =
Sn
k=1 IEk .
Por lo tanto, ' 2 Lp si y sólo si
(fx 2 F : '(x) > 0g) < 1.
Teorema 11.7. Sea p 2 (0; 1). El conjunto de las funciones simples nulas fuera de un
conjunto de medida …nita es denso en Lp .
Demostración
Sea f 2 Lp y ('n )n2N y ( n )n2N dos sucesiones no decrecientes de funciones simples no
negativas tales que l mn!1 'n (x) = f + (x) y l mn 1 n (x) = f (x) para cualquier x 2 F.
Sea A = fy 2: jf (y)j < 1g. Entonces, para cualquier n 2 N, 'n IA y n IA siguen siendo
simples.
Para cualquier n 2 N se tiene 'n IA f + y n IA f , así que 'n IA 2 Lp y
lo tanto, 'n IA y n IA son nulas fuera de un conjunto de medida …nita.
Además, como
(Ac ) = 0, l mn!1 'n IA = f + y l mn
Para cada n 2 N de…namos sn = 'n IA
l mn
l mn
1
1
sn = f +
Además:
jsn j = j'n IA
n IA j
'n +
n
= jf j
Así que:
jf
sn jp
Entonces:
f = f casi en todas partes. Así que:
sn jp = 0 casi en todas partes.
jf
n IA .
1
2p (jf jp + jsn jp )
2p+1 jf jp .
n IA
=f
n IA
2 Lp . Por
casi en todas partes.
306
11. ESPACIOS Lp
Por lo tanto, aplicando el teorema de la convergencia dominada, se tiene:
R
l mn 1 F jf sn jp d = 0.
Así que la sucesión (sn )n2N converge a f en Lp .
CAPÍTULO 12
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Desarrollo histórico
El Cálculo de Probabilidades tuvo su origen en el estudio de algunos problemas relacionados
con juegos de dados. La di…cultad y al mismo tiempo lo interesante de estos juegos consiste
en que al lanzar uno o varios dados, de la manera usual en que esto se realiza, el resultado
que se obtiene no está únicamente determinado, sino que es uno de un conjunto de posibles
resultados. La teoría se fue desarrollando con la solución de problemas cada vez más complejos y de diversa índole, no únicamente en el ámbito de los juegos con dados, sino abarcando
incluso fenómenos naturales.
En situaciones como la del lanzamiento de varios dados, donde existen diferentes posibles
resultados, el resultado es únicamente uno de ellos, pero, a priori, no se sabe cuál; de ahí
que podemos hacer aseveraciones acerca del resultado que obtendremos, las cuales tienen
la característica de que pueden resultar ser verdaderas o falsas una vez que observamos
el resultado obtenido. Por ejemplo, al lanzar tres dados, la aseveración " la suma de los
números que muestran las caras superiores de los dados, una vez lanzados, es mayor que
10" puede resultar verdadera o falsa cuando se realiza el lanzamiento. A cada una de esas
aseveraciones que se pueden hacer acerca del resultado que se obtiene se le llama un evento;
cuando la aseveración resulta ser verdadera, decimos que el evento ocurre; cuando resulta
falsa, decimos que no ocurre.
Considerando que un evento puede ocurrir o no ocurrir, lo que se busca es asignar un número
real no negativo a cada evento, el cual indique que tanto se puede esperar que el evento
ocurra. A ese número se le llama la probabilidad del evento. De esta forma, la probabilidad
la podemos ver como una función no negativa de…nida sobre la familia de eventos, a la cual
llamaremos función de probabilidad.
Para …nes de aplicar el Cálculo de Probabilidades se introduce el concepto de experimento
aleatorio, donde un experimento se considera como cualquier proceso que conduzca a un
resultado. Algunos experimentos pueden consistir simplemente en la observación de un determinado fenómeno natural y en ir anotando algunas de las características que observamos;
307
308
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
por ejemplo, la medición día con día del crecimiento de una planta. En otros experimentos están involucradas acciones nuestras, además de la observación, como en el caso del
lanzamiento de un dado.
Un experimento consta de dos partes, por un lado tenemos la descripción del proceso que
estamos considerando, especi…cando las condiciones bajo las cuales se realiza, y por otro lado
tenemos lo que consideramos como su resultado.
Se dice que un experimento es aleatorio cuando al realizarse, bajo las
condiciones que se indiquen, su resultado puede ser cualquiera de un
conjunto de resultados posibles. Cabe aclarar que la posibilidad de distintos resultados puede provenir de que las condiciones que se especi…can para la realización del experimento incluyen cierta arbitrariedad.
En la formulación moderna, para modelar matematicamente un experimento aleatorio se
busca construir un espacio de medida ( ; =; P ), donde , llamado el espacio muestral del
experimento, es el conjunto de sus posibles resultados, = es una -álgebra de subconjuntos de
, los cuales representan a los eventos, y la medida P , de…nida sobre =, tiene la característica
de asignarle a el valor 1. Cada elemento de = es entonces un subconjunto del total de
posibles resultados del experimento aleatorio en consideración y lo que nos interesa obtener
es la probabilidad de que ocurra alguno de los posibles resultados que pertenecen a ese
subconjunto. En general, la medida P se construye mediante un proceso de extensión: se
comienza por asignar probabilidades a algunos eventos y después, utilizando las propiedades
de P , se busca extenderla hasta abarcar el mayor número posible de subconjuntos de . De
esta forma, el modelo matemático para el estudio del experimento consta de 3 elementos,
el primero es el conjunto , el segundo una familia de subconjuntos de y el tercero una
medida, que llamaremos medida de probabilidad, la cual asocia a cada elemento A de = un
número real que designa la probabilidad de que ocurra alguno de los posibles resultados que
pertenecen a A.
Este modelo se fue construyendo durante los primeros 33 años del siglo XX, buscando axiomatizar el Cálculo de Probabilidades. Durante esos 33 años se estableció y consolidó su
vínculo con la Teoría de la Medida, la cual surgió en los primeros años del siglo con los
trabajos de Émile Borel y Henri Lebesgue. Es con su formulación axiomática que podemos
hablar de una teoría matemática de la probabilidad, ya que de esta forma se tiene un cuerpo
teórico, independiente de los problemas reales especí…cos que se tratan con el Cálculo de
Probabilidades.
La identi…cación de una función de probabilidad con una medida no surgió de manera automática como algo general aplicable a cualquier fenómeno aleatorio, sino que requirió de
un proceso, que llevó varios años, en el cual se mostró que es una alternativa adecuada.
En el centro de este proceso se encuentra el planteamiento de problemas donde se trata de
calcular probabilidades de eventos cuya ocurrencia o no ocurrencia depende de una in…nidad
de observaciones y la aceptación de la -aditividad como una propiedad de cualquier función
de probabilidad, la cual permite atacar ese tipo de problemas.
12.1. ORIGEN DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
309
12.1. Origen del Cálculo de Probabilidades
Los juegos donde se utilizan dados o algo similar se inventaron hace miles de años; el dado
más antiguo que se conoce fue encontrado en Irak y tiene una antigüedad de alrededor de 5
mil años. El astragalo, también conocido como tali o taba, es un precursor del dado. Se trata
de un hueso del pie de un animal, el cual presenta cuatro caras, cada una con un nombre que
más tarde se convirtió en un número. Las más utilizadas son las del carnero. Los juegos con
tabas son tan antiguos como los juegos con dados; se han encontrado tabas en las tumbas de
los faraones egipcios. Incluso hoy en día hay lugares, incluyendo algunas regiones de México,
donde se juega con una taba.
En la antigua Grecia y en Roma se volvió muy popular un juego que consistía en lanzar 4
tabas; en las caras de cada una de ellas estaban marcados los números 1, 3, 4 y 6, respectivamente. Las diferentes combinaciones tenían diferentes valores, siendo considerada la más
alta la que consiste en 4 números distintos, la cual era llamada Venus.
Los aztecas y otros pueblos originarios de América utilizaban algo que puede considerarse
equivalente a los dados; se trata de unos granos rojos parecidos al frijol, cada uno de los cuales
se pintaba de un lado. Esos granos son semillas de un árbol que era conocido como tzité
y a los granos mismos se les llamaba tzité. Actualmente se les conoce como colorines. Los
granos eran utilizados para …nes adivinatorios y para jugar un juego que llamaban patolli,
el cual se jugaba sobre un tablero en forma de cruz diagonal, dividida en 52 casillas y se
utilizaban 5 colorines marcados cada uno de un lado. Cada jugador colocaba una apuesta
(había quienes apostaban incluso su persona y si perdían quedaban sometidos a la condición
de esclavos). Ganaba el juego quien lograra primero recorrer las 52 casillas, avanzando según
el número de caras marcadas que se obtienen al lanzar los 5 colorines.
Durante la Edad media los juegos con dados se extendieron por toda Europa y se fue
adquiriendo un conocimiento empírico acerca de ellos. Fue en esa época cuando se acuñó el
término azar, el cual es de origen árabe y surgió a …nes del siglo XI. En una de las caras de
los dados que se utilizaban para jugar, estaba dibujada una ‡or, representando un resultado
desfavorable para quien lo obtenía. La expresión árabe es az-zahr, la cual signi…ca la ‡or.
Por extensión se llamaba también az-zahr al dado y también se entendía por az-zahr el lanzar
los dados.
La experiencia fue indicando que algunas combinaciones que se obtenían al lanzar los dados
eran menos frecuentes que otras y quienes jugaban las conocían. Sin embargo, hasta la Edad
Media, nadie intentó desarrollar una teoría matemática de los juegos con dados. No fue sino
hasta el Renacimiento cuando se comenzó a teorizar acerca de ese tema.
El primer estudio sistemático de problemas relacionados con el lanzamiento de varios dados
y los diferentes resultados que pueden obtenerse lo realizó Gerolamo Cardano (1501-1576),
en su libro Liber de ludo aleae (Libro de los juegos de azar), sin embargo su trabajo tuvo
poca in‡uencia, pues si bien fue escrito en 1564, se publicó en 1663. Para ese entonces Blaise
Pascal (1623-1662), Pierre de Fermat (1601-1665) y Christiaan Huygens (1629-1695) ([33],
310
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
[49]) habían ya resuelto algunos problemas de probabilidad, los cuales se consideran como
los que sirvieron de base para desarrollar el Cálculo de Probabilidades.
Uno de los primeros problemas matemáticos que se planteó al considerar los juegos con dados
fue el de determinar cuántos resultados distintos pueden obtenerse al lanzar n dados. La
primera solución correcta conocida de este problema se encuentra en un poema titulado “De
Vetula” y escrito por Richard de Fournival (1200-1250). Ahí se a…rma que 3 dados pueden
caer en un total de 216 caminos ([65]).
La primera referencia conocida a una relación entre las diferentes posibilidades de ocurrencia
de un evento y la frecuencia con que éste se observa, se encuentra en los comentarios a una
publicación de “La Divina Comedia” que en el año 1477 hizo Benvenuto d’Imola (13201388). Dice ahí: “Concerniente a estos lanzamientos (de dados) debe observarse que los
dados son cuadrados y cualquier cara puede caer, así que un número que pueda aparecer en
más caminos debe ocurrir más frecuentemente, como en el siguiente ejemplo: con tres dados,
tres es el más pequeño número que puede obtenerse y sólo se obtiene con tres ases; cuatro
puede obtenerse sólo en un camino, con un dos y dos ases”([65]).
Fue en el año 1654 cuando se plantearon algunos problemas cuyas soluciones condujeron
al establecimiento de reglas generales para calcular probabilidades. Pareciera, por la referencias que hay, que en esa época los juegos con dados eran muy populares y se conocían
algunas reglas que permitían a los jugadores conocer, de manera aproximada y siempre con
incertidumbre, que posibilidades tenían de ganar al realizar una apuesta. Antoine Gombaud
(1607-1684), conocido como el chevalier de Méré, jugó un papel importante para que se desarrollara un Cálculo de Probabilidades, no por aportaciones que hubiera hecho, sino porque
fue él quien, en el año 1654, le planteó a Pascal dos problemas que, al ser resueltos de manera independiente por Pascal y Fermat en el mismo año, y por Huygens 3 años más tarde,
marcaron la pauta para poder dar solución a una diversidad de problemas de probabilidad,
lo cual condujo a una formulación general de las reglas que se requerían para el desarrollo
de un Cálculo de Probabilidades.
Era del conocimiento del Chevalier de Méré que al lanzar un dado 4 veces consecutivas, había
más posibilidades de obtener el número 6 por lo menos en uno de los lanzamientos que no
obtener ninguno: sin embargo tenía duda acerca de cuántos lanzamientos de un par de dados
se requieren para que haya más posibilidades de obtener par de seises por lo menos en uno de
los lanzamientos del par de dados, que no obtener ninguno. Pensaba que la solución era tal
vez 24 lanzamientos ya que argumentaba: Al lanzar un dado se tienen 6 posibles resultados
y en ese caso se requieren 4 lanzamientos para apostar, con ventaja, que se obtiene el número
6 por lo menos en una ocasión; al lanzar un par de dados se tienen 36 posibles resultados y
como 6 es a 4 como 36 a 24, entonces se requieren 24 lanzamientos del par de dados para
apostar, con ventaja, que se obtiene par de seises por lo menos en una ocasión.
Al tener duda acerca de este resultado, le planteó el problema a Pascal, quien encontró que
se requieren no 24, sino 25 lanzamientos del par de dados para que sea más favorable obtener
12.1. ORIGEN DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
311
por lo menos un par de seises que no obtener ninguno. Pascal a su vez le planteó el problema
a Fermat, quien, sin conocer el método empleado por Pascal, llegó a la misma conclusión.
Se desconocen los métodos que utilizaron Pascal y Fermat para resolver el problema de los
dados planteado por de Mére; sin embargo, en una carta dirigida a Pascal, Fermat desarrolló
la solución de un problema con dados y de ahí podría inferirse que el método utilizado por
Fermat para resolver el problema del lanzamiento de un par de dados fue como sigue:
Si trato de hacer un par de seises en n lanzamientos de un par de dados y, después que el
dinero está en juego, convenimos en que no haré el primer lanzamiento, entonces es necesario
1
que saque del juego 36
del total, el cual denotaremos por A. Si después de eso, convenimos
1
en que no haré el segundo lanzamiento, entonces debo sacar 36
de lo restante, es decir de
1
35
35
A 36 A = 36 A, con lo cual se obtiene 1296 A; y si después de eso convenimos en que no haré
1
35
35
el tercer lanzamiento, entonces debo sacar 36
de lo restante, es decir de 36
A 1296
A = 1225
A,
1296
1225
A; si todavía se conviene en que no haga el cuarto lanzamiento
con lo cual se obtiene 46656
1
1225
1225
debo sacar 36
de lo restante, es decir de 1296
A 46656
A = 42875
A, con lo cual se obtiene
46656
42875
A. Este proceso continuaría hasta que la suma de lo que le corresponde al jugador,
1679616
desde el primer paso hasta el último, sea mayor que 12 A.
Como puede verse, así planteada, la solución de Fermat parece demasiado laboriosa, con
números demasiado grandes; sin embargo, se puede simpli…car el proceso de una manera
que parece obvia, pero se desconoce si Fermat lo hizo. En efecto, el razonamiento anterior
se´puede escribir de la siguiente manera:
Si trato de hacer un par de seises en n lanzamientos de un par de dados y, después que el
dinero está en juego, convenimos en que no haré el primer lanzamiento, entonces es necesario
1
que saque del juego 36
del total, el cual denotaremos por A. Si después de eso, convenimos
1
en que no haré el segundo lanzamiento, entonces debo sacar 36
de lo restante, es decir de
1
35
A 36
A = 35
A,
con
lo
cual
se
obtiene
A;
y
si
después
de
eso
convenimos
en que no haré
36
(36)2
el tercer lanzamiento, entonces debo sacar
con lo cual se obtiene
debo sacar
1
36
(35)2
A.
(36)3
1
36
de lo restante, es decir de
35
A
36
35
A
(36)2
de lo restante, es decir de
(35)2
A
(36)2
(35)2
A
(36)3
=
(35)3
A,
(36)3
con lo cual se obtiene
(35)
A.
(36)4
De aquí ya puede verse que, en el n-simo paso, le corresponde al jugador
lo tanto, la no realización de los n lanzamientos le vale al jugador la suma:
+
35
A
(36)2
+
(35)2
A
(36)3
+
(35)3
A
(36)4
(35)2
A,
(36)2
si todavía se conviene en que no haga el cuarto lanzamiento
3
1
A
36
=
+
+
(35)n 1
A
(36)n
=
1
36
(35)n
(36)n+1
1 35
36
A= 1
Así que se trata de obtener el más pequeño valor de n para el cual 1
1
, cuya solución es n = 25.
2
35 n
36
(35)n 1
.
(36)n
Por
A
35 n
36
sea mayor que
312
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Las soluciones de Huygens a los problemas resueltos por Pascal y Fermat las expuso en su
libro De ratiociniis in ludo aleae (Del razonamiento en los juegos de azar), publicado en el
año 1657. En ese libro encontramos la primera teorización del Cálculo de Probabilidades.
Huygens tomó como punto de partida la siguiente hipótesis, la cual es básicamente una
de…nición:
En un juego, la posibilidad que se tiene de ganar alguna cosa tiene un valor
tal que, si se pose ese valor, se puede uno procurar la misma posibilidad en
un juego equitativo.
Por un juego equitativo, Huygens entendía un juego que no va en detrimento de ninguno
de los jugadores. Incluye el caso de un juego entre un número cualquiera de jugadores en
el cual, o bien todos los jugadores tienen la misma posibilidad de ganar cierta cantidad, o
bien cada uno de los jugadores tiene la misma posibilidad de ganar cierta cantidad que de
perderla.
De su hipótesis, Huygens dedujo tres proposiciones, de las cuales, las dos primeras son un
caso particular de la siguiente:
Proposición 12.1. Tener iguales posibilidades de obtener a1 , a2 , a3 , . . . , an tiene un valor
de a1 +a2 +an3 + +an .
Demostración
Llamemos P a quien tiene iguales posibilidades de obtener a1 , a2 , a3 , . . . , an . Consideremos
entonces un juego entre P y otros n 1 jugadores, que llamaremos Q2 , Q3 , Q4 , . . . , Qn , en
el cual los n tienen las mismas posibilidades de ganar y cada uno apuesta a1 +a2 +an3 + +an .
Quien gane se lleva todas las apuestas, es decir, a1 + a2 + a3 +
+ an . Evidentemente, éste
es un juego equitativo. Si, además, para cada k 2 f2; 3; : : : ; ng, P acuerda con Qk que, si
alguno de los dos gana el juego, el ganador le dará al otro la cantidad ak . Cada uno de estos
acuerdos es equitativo y no va en detrimento de ninguno de los otros jugadores; así que el
juego continúa siendo equitativo. Si P gana el juego, una vez que entrega lo acordado con
cada uno de los otros jugadores, obtiene a1 :Si el juego lo gana Qk , P obtiene ak . Así que P
tiene iguales posibilidades de obtener a1 , a2 , a3 , . . . , an , en un juego equitativo.
Proposición 12.2. Tener r posibilidades de obtener a y s posibilidades de obtener b, las
posibilidades siendo equivalentes, tiene un valor de ra+sb
.
r+s
Demostración
Llamemos P a quien tiene r posibilidades de obtener a y s posibilidades de obtener b.
Consideremos entonces un juego entre P y otros r + s 1 jugadores, en el cual los r + s
tienen las mismas posibilidades de ganar y cada uno apuesta ra+sb
. Quien gane se lleva todas
r+s
las apuestas, es decir, ra + sb. Evidentemente, éste es un juego equitativo. Supongamos,
además, que P acuerda con cada uno de s jugadores que, si alguno de los dos gana el juego,
12.1. ORIGEN DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
313
el ganador le dará al otro la cantidad b; llamaremos a este conjunto de s jugadores, el grupo
1. Finalmente, supongamos también que, con cada uno del resto de los jugadores, P acuerda
que, si alguno de los dos gana el juego, el ganador le dará al otro la cantidad a; llamaremos
a este conjunto de r 1 jugadores, el grupo 2. Cada uno de estos acuerdos es equitativo
y no va en detrimento de ninguno de los otros jugadores; así que el juego continúa siendo
equitativo. Si P gana el juego, una vez que entrega lo acordado con cada uno de los otros
jugadores, obtiene a. Si el juego lo gana algún jugador del grupo 1, P obtiene b, mientras
que si lo gana alguno del grupo 2, obtiene a. Como los r + s jugadores tienen las mismas
posibilidades de ganar, P tiene entonces r posibilidades de obtener a y s posibilidades de
obtener b, en un juego equitativo.
Podemos ver que la hipótesis de Huygens es básicamente la de…nición del concepto de esperanza de lo que se obtiene sobre lo que está en juego; es decir, la esperanza de una variable
aleatoria de…nida como lo que obtiene el jugador.
La solución que dio Huygens al problema planteado por el Chevalier de Méré, concerniente
al lanzamiento de un par de dados, es la siguiente:
Llamemos A a la cantidad que está en juego. Quien juega a un solo lanzamiento tiene 1
posibilidad de obtener A y 35 posibilidades de no obtener nada, así que el valor que tiene
1
este juego para ese jugador es 36
A.
Quien juega a dos lanzamientos, en su primer lanzamiento tiene 1 posibilidad de obtener A
1
y 35 posibilidades de obtener 36
A (por el primer paso), así que el valor que tiene este juego
1
A)
A+35( 36
71
para ese jugador es
= (36)
2 A.
36
Quien a cuatro lanzamientos, obtiene A si sale par de seises en alguno de los primeros dos
71
lanzamientos, si no, por el segundo paso, obtiene (36)
2 A; pero, también por el segundo paso,
hay 71 posibilidades de obtener par de seises en alguno de los dos primeros lanzamientos y
(36)2 71 = 1225 posibilidades de no obtenerlo; por lo tanto, el valor que tiene este juego
para ese jugador es
71A+1225
71
A
(36)2
2
(36)
=
178991
A.
(36)4
Quien a ocho lanzamientos, obtiene A si obtiene par de seises en alguno de los primeros
cuatro lanzamientos, si no, por el paso anterior, obtiene 178991
A; pero, también por el paso
(36)4
anterior, hay 178991 posibilidades de obtener par de seises en alguno de los cuatro primeros
lanzamientos y (36)4 178991 = 1500625 posibilidades de no obtenerlo; por lo tanto, el valor
que tiene este juego para ese jugador es
178991A+1500625
(36)4
178991
A
(36)4
=
569234516831
A.
(36)8
Quien juega a 16 lanzamientos, obtiene A si sale par de seises en alguno de los primeros
ocho lanzamientos; si no, por el paso anterior, obtiene 569234516831
A; ; pero, también por el
(36)8
314
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
paso anterior, hay 569234516831 posibilidades de obtener par de seises en alguno de los ocho
primeros lanzamientos y
(36)8
569234516831 = 2251875390625
posibilidades de no obtenerlo; por lo tanto, el valor que tiene este juego para ese jugador es
igual a
569234516831A+2251875390625
569234516831
A
(36)8
(36)8
=
2887718335043904546501311
A.
(36)16
Quien juega a 24 lanzamientos, obtiene A si sale par de seises en alguno de los primeros ocho
lanzamientos; si no, por el paso anterior, obtiene 2887718335043904546501311
A;
(36)16
pero, por el paso previo al anterior, hay 569234516831 posibilidades de obtener par de seises
en alguno de los ocho primeros lanzamientos y
(36)8
569234516831 = 2251875390625
posibilidades de no obtenerlo; por lo tanto, el valor que tiene este juego para ese jugador es
igual a
569234516831A+2251875390625
2887718335043904546501311
A
(36)16
(36)8
=
11033126465283976852912127963392284191
A.
(36)24
Quien juega a 25 lanzamientos, obtiene A si sale par de seises en su primer lanzamiento; si
no, por el paso anterior, obtiene
11033126465283976852912127963392284191
A;
(36)24
por lo tanto, el valor que tiene este juego para ese jugador es igual a
A+35
11033126465283976852912127963392284191
A
(36)24
36
=
408611683992293747092011689842522621501
A.
(36)25
Ahora bien:
11033126465283976852912127963392284191
(36)24
408611683992293747092011689842522621501
(36)25
0:491 4
0:5055
Por lo tanto, quien juega a 24 lanzamientos tiene más posibilidades de perder que de ganar,
mientras que quien juega a 25 lanzamientos tiene más posibilidades de ganar que de perder.
Huygens resolvió el problema del lanzamiento de un par de dados como se describió arriba,
con los números que aparecen en los numeradores, sin buscar alguna simpli…cación; incluso,
únicamente escribe los cocientes hasta el caso de quien juega a 4 lanzamientos y después sólo
describe los pasos siguientes; pero llega a la misma conclusión que Pascal y Fermat; a saber,
12.1. ORIGEN DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
315
que se requieren por lo menos 25 lanzamientos para tener más posibilidades de ganar que de
perder.
Más allá de los cálculos que realiza Huygens, los cuales pueden simpli…carse, podemos observar que en sus soluciones utiliza valores condicionales de un juego, lo cual, en terminología
moderna, corresponden a esperanzas condicionales.
El otro problema que el Chevalier de Méré planteó a Pascal es el siguiente:
¿Cómo deben repartirse las apuestas en un juego que se interrumpe? Por ejemplo, suponiendo
que dos jugadores, A y B, apuestan 32 pesos cada uno en un juego que consiste de partidas
consecutivas, en cada una de las cuales cada jugador tiene la misma posibilidad de ganarla,
de tal manera que quien gane una partida acumula un punto y el juego es ganado por quien
obtenga primero cuatro puntos, ¿cómo deben de repartirse las apuestas en caso de que el
juego se interrumpa cuando el jugador A ha ganado dos puntos y B un punto?
Este problema fue el que más interés provocó debido a que pocos lograron encontrar la
solución correcta. La solución que dieron Pascal, Fermat y Huygens consistió en encontrar
la probabilidad que cada jugador tiene de ganar el juego, partiendo de la situación en la cual
se interrumpe. La solución de Fermat fue básicamente la siguiente:
Al jugador A le faltan 2 partidas para ganar y al jugador B, 3 partidas, entonces el juego
termina en a lo más 4 partidas adicionales. Denotando por la letra a el que A gane una
partida y por la letra b el que gane B, los posibles resultados de 4 partidas son los siguientes:
(a; a; a; a); (a; a; a; b); (a; a; b; a); (a; a; b; b); (a; b; a; a); (a; b; a; b); (a; b; b; a); (b; a; a; a);
(b; a; a; b); (b; a; b; a); (b; b; a; a); (b; b; b; b); (b; b; b; a); (b; b; a; b); (a; b; b; b); (b; a; b; b)
donde, por ejemplo, (b; b; a; b) signi…ca que A gana sólo la tercera partida y B las otras 3.
De estos 16 posibles resultados, hay 11 que hacen ganar al jugador A, a saber, (a; a; a; a),
(a; a; a; b), (a; a; b; a), (a; a; b; b), (a; b; a; a), (a; b; a; b), (a; b; b; a), (b; a; a; a), (b; a; a; b), (b; a; b; a)
y (b; b; a; a). Los 5 restantes, (b; b; b; b), (b; b; b; a), (b; b; a; b), (a; b; b; b) y (b; a; b; b), hacen ganar al jugador B. Por lo tanto, las apuestas se deben repartir en la proporción 11 : 5.
Podemos observar que en la solución de Fermat parece haber un problema, pues, para contar
los casos en que gana cada jugador, considera que se juegan las 4 partidas y en algunos de
esos casos el juego se termina antes de llegar a la cuarta. En realidad eso no representa
problema ya que, por ejemplo, si A gana las dos primeras partidas (de las 4), en cuyo caso se
acabaría ahí el juego, lo que hace Fermat es descomponer ese caso, es decir (a; a) en 4 casos,
a saber, (a; a; a; a), (a; a; a; b), (a; a; b; a) y (a; a; b; b); el caso (a; a) tiene 1 posibilidad de 4;
los cuatro casos juntos (a; a; a; a), (a; a; a; b), (a; a; b; a) y (a; b; a; a) tienen 4 posibilidades
de 16; así que las proporciones son ambas iguales a 41 . Algo similar puede argumentarse
en las otras situaciones. El caso (a; b; a) se descompone en (a; b; a; a) y (a; b; a; b); el caso
(b; a; a) se descompone en (b; a; a; a) y (b; a; a; b); el caso (b; b; b) se descompone en (b; b; b; b)
316
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
y (b; b; b; a). El objetivo de esas descomposiciones es, como lo decía Fermat, "hacer todos los
azares iguales", es decir, en lenguaje moderno, todos los casos igualmente probables.
La solución de Fermat al problema de la división de apuestas deja ver que Fermat utilizaba
ya lo que más tarde se llamaría la de…nición clásica de probabilidad, la cual se puede aplicar
siempre que los posibles resultados se puedan considerar equiprobables:
P (A) =
# de posibles resultados que producen la ocurrencia de A
# total de posibles resultados
12.2. Jacques Bernoulli
En el año 1713 se publicó un libro de Jacques Bernoulli (1654-1705), titulado Ars Conjectandi
(El arte de conjeturar) ([4]). En ese libro, Bernoulli sentó las bases para el desarrollo
posterior del Cálculo de Probabilidades. Formuló métodos generales para resolver problemas
de probabilidad, dando así una formulación teórica más sólida que la de Huygens. Esto
además de enfrentar el problema de probar que la frecuencia relativa con la que se presenta
un evento se aproxima a la probabilidad del mismo a medida que el número de observaciones
se hace más grande; en esta búsqueda demostró el primero de los teoremas límite del Cálculo
de Probabilidades, el cual daría la pauta para una investigación que se prolongó por más de
200 años, hasta llegar a una formulación general que culminaría hacia el año 1930.
Bernoulli comenzó su libro con un análisis de los problemas resueltos por Huygens en su
obra De ratiociniis in ludo aleae. Para esto tomó como base la hipótesis de Huygens, a la
cual consideró como el principio fundamental del arte de conjeturar. Con respecto
al problema planteado por el Chevalier de Méré, concerniente al lanzamiento de un par de
dados, Bernoulli planteó el uso de letras, en lugar de números, con el objeto de obtener una
solución general de ese problema:
Consideremos el lanzamiento de uno o muchos dados, llamemos b al número de casos en los
cuales, en cada lanzamiento, se obtiene éxito en lo que se propone, c al número de casos en
los cuales no se obtiene éxito y a = b + c. Si P juega a ganar en un lanzamiento, tiene a c
casos en los cuales tiene éxito, obteniendo entonces el total en juego, el cual considera igual
a 1 para simpli…car; en cualquiera de los otros c casos, no obtiene nada, de manera que el
valor del juego para P es igual a a a c . Si juega a dos lanzamientos, en el primero tiene a c
casos en los cuales obtiene 1 = aa y c casos en los cuales regresa a la situación precedente; así
(a c) a +c a
c
2
2
a
a
que el valor del juego para P es igual a
= a a2c . Si juega a tres lanzamientos, en
a
2
el primero tiene a c casos en los cuales obtiene 1 = aa2 y c casos en los cuales regresa a la
2
2
(a c) a +c a
c2
a2
a2
situación precedente; así que el valor del juego para P es igual a
an n
general, si juega a n lanzamientos, el valor del juego para P es igual a a anc .
=
a 3 c3
.
a3
En
Bernoulli agregó otro método para resolver este problema: Si P juega a obtener éxito en el
primer lanzamiento, el valor del juego es igual a a a c = ab . Si juega a obtener éxito en el
segundo lanzamiento, fallando en el primero, tiene c casos en los cuales regresa a la situación
12.2. JACQUES BERNOULLI
317
cb
del inicio; así que el valor del juego es igual a aa = abc2 . Si juega a obtener éxito en el tercer
lanzamiento, fallando en los dos primeros, tiene c casos en los cuales regresa a la situación
precedente; así que el valor del juego es igual a
éxito en el k-ésimo lanzamiento, fallando en los k
c bc2
a
a
c bc2
a
a
2
= bca3 . En general, si juega a obtener
1 primeros, el valor del juego es igual a
k 1
= bcak . Por lo tanto, si juega a obtener éxito en por lo menos uno de n lanzamientos,
el valor del juego es la suma de los n casos particulares descritos antes; es decir:
b
a
+
bc
a2
+
bc2
a3
+
+
bcn
an
1
=
b
a
bcn 1 c
an a
1 ac
=
a n cn
an
Bernoulli agregó un tercer método: El lanzamiento de un dado n veces es equivalente a
lanzar una vez n dados. Consideremos entonces n dados, cada uno con a caras, de las cuales
hay c en las que no se obtiene éxito. El número de casos que se pueden obtener al lanzar los
n dados es igual a an , de los cuales hay cn casos en que no se obtiene éxito con ninguno de
ellos; así que hay an cn casos en los cuales se obtiene éxito por lo menos con uno de los
dados, en cuyo caso P obtiene 1, y cn casos en los cuales obtiene 0; por lo tanto, el valor del
n
n
juego es igual a a anc .
En el tercer método de Bernoulli, aunque, al igual que Huygens, utiliza esperanzas, se puede
ver claramente la de…nición clásica de probabilidad, además de que resuelve el problema de
la manera más simple, razonando sobre los casos en que no se obtiene éxito. Este hecho
muestra que no siempre la solución más simple es la primera que se ocurre e incluso puede
no ser evidente; ni Pascal, ni Fermat, ni Huygens encontraron esta forma simple de resolver
el problema planteado. Lo inmediato o simple de una solución a un problema requiere, a
veces, de ensayos de solución y de maduración de determinados conceptos.
En el segundo método vemos el uso de la propiedad de la aditividad …nita de la función de
probabilidad.
Huygens consideró otro problema con dados, el cual, al ser generalizado por Bernoulli,
adquiriría una importancia central en el desarrollo del Cálculo de Probabilidades:
¿Cuántos dados se requieren lanzar para que sea más favorable obtener por lo menos dos
seises?
Con relación a este problema, Bernoulli encontró que la probabilidad de obtener exactamente
k 5 n k
k seises en n lanzamientos de un dado es igual a nk 16
. Este resultado es de
6
fundamental importancia en su trabajo pues con él se puede calcular la probabilidad de
obtener una frecuencia de seises igual a nk en n lanzamientos de un dado y de aquí encontrar
una relación entre la frecuencia de ocurrencia de un evento y su probabilidad, para obtener
lo que se llama el Teorema de Bernoulli.
Otro problema de gran importancia que planteó y resolvió Huygens en su libro es el siguiente:
Dos jugadores, P y Q, juegan a lanzar alternadamente un par de dados. El juego comienza
lanzando P el par de dados, con la condición de que si obtiene una suma igual a 6, gana el
318
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
juego; en caso contrario, el juego continúa lanzando Q el par de dados, con la condición de
que si obtiene una suma igual a 7, gana el juego; en caso contrario el juego continúa lanzando
P el par de dados bajo las condiciones iniciales. ¿Cuáles son las respectivas probabilidades
que cada jugador tiene de ganar el juego?
La importancia de ese problema radica en que se re…ere a un experimento el cual admite una
in…nidad de posibles resultados, rebasando el marco de la de…nición clásica de probabilidad.
La solución de Huygens fue como sigue:
Sea x el valor del juego para Q y a el total de las apuestas. El valor del juego para P es
entonces a x. Sea además y el valor del juego para Q cuando sea su turno de lanzar los
dados. Al iniciarse el juego, Q tiene 5 posibilidades de obtener 0 (cuando P obtiene una
suma igual a 6) y 31 posibilidades de obtener y, por lo tanto, x = 31y
. Por otra parte, cada
36
vez que Q tenga el turno para lanzar los dados, tiene 6 posibilidades de obtener a y 30 de
31
obtener x, por lo tanto, y = 6a+30x
. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene x = 61
a,
36
de manera que los valores del juego para P y Q, respectivamente, están en la proporción
30 : 31.
Obsérvese que la solución de Huygens se basa en que si P y Q no ganan el juego en su
primera oportunidad, se vuelve a la situación inicial.
Bernoulli resolvió este problema estableciendo una progresión geométrica para la probabilidad que cada jugador tiene de ganar el juego:
En lugar de dos jugadores, supongamos que hay una in…nidad, cada uno de los cuales tiene
una oportunidad para ganar, lanzando consecutivamente el par de dados, con la condición
de que el primer jugador de orden impar que obtenga 6 puntos, o el primer jugador de orden
par que obtenga 7 puntos, gana el juego. Denotemos por b y c al número de casos favorables
y desfavorables, respectivamente, a la obtención de 6 puntos al lanzar el par de dados; por
e y f al número de casos favorables y desfavorables, respectivamente, a la obtención de 7
puntos y por a al total de casos. Las posibilidades que tiene cada jugador de ganar el juego
están dadas por:
Jugador 1: b casos de un total de a casos.
Jugador 2: ce casos de un total de a2 casos.
Jugador 3: cf b casos de un total de a3 casos.
Jugador 4: cf ce casos de un total de a4 casos.
Jugador 5: cf cf b casos de un total de a5 casos.
..
.
12.2. JACQUES BERNOULLI
319
Si suponemos ahora que todos los jugadores de orden impar son sustituidos por P y todos los jugadores de orden par son sustituidos por Q, las suertes de P y Q están dadas,
respectivamente, por:
b
a
ce
a2
+
cf b
a3
+
+
cf ce
a4
c2 f 2 b
a5
+
+
c2 f 2 ce
a6
c3 f 3 b
a7
+
+
c3 f 3 ce
a8
=
+
1
b
a
cf
a2
=
1
=
ce
a2
cf
a2
ab
a2 cf
=
ce
a2 cf
Por lo tanto, la suerte de P es a la de Q como ab es a ce; es decir, como (36) (5) es a (31) (6);
o, de manera equivalente, como 30 es a 31.
Bernoulli estaba estableciendo entonces que la probabilidad de que un jugador gane el juego
es igual a la suma de las probabilidades de que gane en cada uno de los posibles turnos
que tiene, los cuales son una in…nidad. En otras palabras, está implícita en el resultado la
propiedad de - aditividad de la función de probabilidad.
El método de Bernoulli fue retomado un poco más adelante, en el año 1718, por Abraham
de Moivre en su libro ([29]), sin embargo, aunque aparentemente era conocido, no se utilizó
durante el resto del siglo XVIII y todo el XIX, de manera que la propiedad de -aditividad de
la función de probabilidad quedó relegada en la sistematización de Laplace, la cual perduró
hasta principios del siglo XX.
El poco interés que atrajo el método de Bernoulli puede no haber sido circunstancial, sino
que parece obedecer a la concepción de la probabilidad que está implícita en su formulación
clásica, la cual está basada en la equiprobabilidad de los diferentes resultados de un experimento aleatorio, cuyo número debe entonces ser …nito, de manera que los problemas donde
se realizan repeticiones inde…nidas de experimentos aleatorios únicamente pueden tratarse
mediante aproximaciones a través de sus correspondientes límites. Los problemas considerados arriba, donde el número de casos posibles es in…nito, sin ser de probabilidades continuas,
caen dentro de esta categoría de problemas, que no rebasan el marco clásico. En efecto,
la solución de Bernoulli al problema planteado por Huygens, por ejemplo, puede plantearse
como una distribución límite considerando las probabilidades que cada jugador tiene de ganar en los primeros 2n lanzamientos y haciendo tender luego n a 1. Si llamamos Pn (A) y
Pn (B) a estas probabilidades se obtiene, utilizando la notación mencionada más arriba:
P
P
31 k 1 30 k 1 5
31 n 30 n
) ( 36 ) 36 = 30
1 ( 36
) ( 36 )
Pn (A) = nk=1 p(! 2k 1 ) = nk=1 ( 36
61
P
P
31 k 30 k 1 6
Pn (B) = nk=1 p(! 2k ) = nk=1 ( 36
) ( 36 ) 36 = 31
1 ( 31
)n ( 30
)n
61
36
36
Veremos más adelante que efectivamente, incluso todavía en los 20’s del siglo XX se daba
esa interpretación a la solución de Bernoulli.
Las soluciones de Bernoulli a los problemas resueltos por Huygens representaron un avance
signi…cativo en el camino de dotar al Cálculo de Probabilidades de una teoría que permitiera
ir resolviendo problemas cada vez más complejos. Sin embargo, la aportación central de
320
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Bernoulli la encontramos en la última parte de su libro, donde planteó un problema de
singular importancia, el cual sería la base para el desarrollo posterior de la teoría durante un
periodo de más de 200 años. Fue a partir de ese resultado que el Cálculo de Probabilidades
comenzó a ganarse un lugar importante dentro de la Matemática.
Escribió Bernoulli en su libro:
“Parece que, para hacer una hipótesis correcta sobre un hecho cualquiera, sólo es necesario calcular exactamente el número de casos posibles y, entonces, determinar las veces que puede posiblemente ocurrir
un caso más que otro. Pero aquí, inmediatamente, surge nuestra mayor
di…cultad, porque este procedimiento se puede aplicar únicamente a muy
pocos fenómenos; de hecho, casi exclusivamente a los relacionados con
los juegos de azar ... pero hay otro camino que nos conduce a lo que
buscamos, y nos permite, por lo menos, hallar a posteriori lo que no
podemos determinar a priori, o sea, averiguando a partir de los resultados observados en numerosos casos similares.
Ha de suponerse, a este respecto, que, bajo condiciones similares, la
ocurrencia (o no ocurrencia) de un suceso en el futuro seguirá la misma
pauta que se ha observado para sucesos iguales en el pasado ... Lo que
aún tiene que ser averiguado es si, cuando se aumenta el número de
observaciones, también se sigue aumentando la probabilidad de que la
proporción registrada de casos favorables y desfavorables se aproxime a
la verdadera relación ... Este es el problema que he decidido publicar
aquí, después de haber trabajado sobre él durante veinte años.” ([72])
Obsérvese que, en su razonamiento, Bernoulli supone que en los fenómenos aleatorios existe
una regularidad, a saber, que la frecuencia relativa con la que se observa que ocurre un evento,
se mantiene en el futuro como se observó en el pasado. A esta propiedad la llamaremos
principio de regularidad de la frecuencia relativa con la que ocurre un evento.
El resultado al que hace referencia Bernoulli en su libro es el ahora llamado teorema de
Bernoulli, el cual, utilizando terminología moderna, se puede enunciar como sigue:
Sea E un experimento aleatorio que admite t posibles resultados equiprobables y A un evento relativo a ese experimento, para el cual hay r
resultados que favorecen su ocurrencia. Consideremos un nuevo experimento aleatorio consistente en la repetición inde…nida del experimento
E, de tal manera que cada repetición es independiente de las otras.
Sea Xnt el número de veces que ocurre el evento A en las primeras nt
repeticiones del experimento, entonces:
l mn 1 P Xntnt rt > 1t = 0.
12.2. JACQUES BERNOULLI
321
Sin modi…car lo esencial del razonamiento de Bernoulli para demostrar este resultado, se
puede enunciar de la siguiente manera:
Sea E un experimento aleatorio que admite t posibles resultados equiprobables y A un evento relativo a ese experimento, para el cual hay r
resultados que favorecen su ocurrencia. Consideremos un nuevo experimento aleatorio consistente en la repetición inde…nida del experimento
E, de tal manera que cada repetición es independiente de las otras.
Sean Xn el número de veces que ocurre el evento A en las primeras
n repeticiones del experimento y " un número positivo arbitrario, entonces:
l mn 1 P Xnn rt > " = 0.
El resultado de Bernoulli hizo patente que en el modelo teórico que se estaba desarrollando
se da efectivamente una correspondencia entre las probabilidades y las frecuencias con que
se observan los posibles resultados de un suceso azaroso. Este resultado y otros del mismo
tipo que le siguieron sentaron las bases teóricas para aplicar el Cálculo de Probabilidades al
estudio de datos estadísticos. Muy pronto esta teoría comenzó a aplicarse al tratamiento de
datos como los acumulados en tablas de mortalidad y natalidad.
La idea de la demostración de Bernoulli es la siguiente:
En primer lugar demostró que, para cualquier k 2 f0; 1; 2; : : : ; ng, se tiene:
P [Xn = k] =
n r k sn
k
tn
k
=
n
k
r k
t
s n k
.
t
k
n k
s
Después demostró que los términos tk = nk rt
tienen la propiedad de que crecen
t
r
con k hasta alcanzar su máximo valor cuando (n + 1) t 1
k
(n + 1) rt (si (n + 1) rt
es un número entero, el valor máximo se alcanza en dos valores de k), después de lo cual
decrecen con k.
Finalmente, demostró que, para cualquier " > 0, se tiene la siguiente relación:
l mn
P
fk2N:k2[n rt
1 P
fk2N:k2[0;n rt
k
n k
(nk)( rt ) ( st )
k
n
(n)( rt ) ( st )
n")[(n r
t +n";n]g k
n";n r
t +n"]g
k
=1
Es decir, la suma de los términos que se encuentran alrededor del término máximo (en un
intervalo de radio aproximadamente igual a n") es mucho mayor que la suma de los términos
que están fuera de ese rango, a tal grado que esta última suma es despreciable. Esto se puede
ver claramente con un ejemplo:
Consideremos el caso en que t = 20 y r = 5.
1
Tomando " = 20
, estaremos cerca del límite de la sumatoria tomando n = 1000, en cuyo
caso el término máximo se obtiene cuando k = 250, y se tiene:
322
P
=
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Xn
n
r
t
P300
k=200
" =
1000
k
P
1 k
4
fk2N:k2[250 1000";250+1000"]g
( 34 )1000
k
DESARROLLO HISTÓRICO
n
k
r k
t
s n k
t
= 0:99977.
1
Tomando " = 100
, estaremos cerca del límite de la sumatoria tomando n = 10000, en cuyo
caso el término máximo se obtiene cuando k = 2500, y se tiene:
P
k s n k
" = fk2N:k2[2500 10000";2500+10000"]g nk rt
P Xnn p
t
=
P2600
k=2400
10000
k
1 k
4
( 34 )10000
k
= 0:979 72.
En la siguiente …gura se encuentran gra…cados los valores de los términos tk para el caso
1
" = 20
y n = 1000.
n = 1000, p = 41 , " =
1
20
Así que, como puede verse, el teorema de Bernoulli es un resultado de
Cálculo Combinatorio.
Escrito en términos de probabilidades, el resultado de Bernoulli se puede escribir como sigue:
l mn
P [j Xnn
1 P Xn
[j n
r
t
r
t
j "]
=1
j>"]
Considerando que la suma del numerador y el denominador de la expresión anterior es igual
a 1, se sigue que:
l mn
1
P
Xn
n
r
t
>" =0
12.3. TEOREMA DE DE MOIVRE-LAPLACE
323
12.3. Teorema de de Moivre-Laplace
La publicación del teorema de Bernoulli hizo renacer el interés por el Cálculo de Probabilidades, el cual, después de la publicación del trabajo de Christiaan Huygens, había quedado
relegado, siendo visto únicamente como una curiosidad que tenía que ver exclusivamente con
los juegos de azar.
En la búsqueda de mejorar el resultado de Bernoulli, Abraham de Moivre (1667-1754),
demostró en 1733 un resultado que también sería de gran importancia en el desarrollo del
Cálculo de Probabilidades. En ese año se publicó su artículo titulado Approximatio ad
Summam Terminorum Binomii (a + b)n in Seriem expansi ([28]), en el cual expone un
resultado que conduciría a lo que ahora se conoce como el Teorema Central del Límite. El
artículo fue publicado en latín y circuló en forma privada. En el año 1738 ese artículo fue
incluido en la segunda edición de su libro The Doctrine of Chances ([29]) con el título A
Method of approximating the Sum of the Terms of the Binomial (a + b)n expanded into a
Series, from whence are deduced some practical Rules to estimate the Degree of Assent which
is to be given to Experiments. Con terminología y notación moderna, el resultado de de
Moivre puede enunciarse de la siguiente manera ([42]):
Teorema
de de Moivre. Si d es un número real positivo del orden de
p
n y, para cada n 2 N, Xn es una variable aleatoria con distribución
binomial de parámetros n y p = 12 , entonces, para n grande, se tiene:
R pdn 2y2
p4
P d Xn 12 n d
e
dy.
0
2
p
Tomando d = 12 x n, donde x es un número real positivo, la aproximación
de de Moivrei toma la siguiente forma:
h
R 1 x 2y2
R x 1 z2
Xn 12 n
2
p4
p2
e 2 dz.
P
x
x
e
dy
=
1p
0
0
n
2
2
2
Así que podemos
expresar eliresultado como sigue:
h
Rx 1 2
Xn 12 n
l mn 1 P
x
x = p22 0 e 2 z dz.
1p
n
2
Mencionaba de Moivre que su resultado se puede generalizar facilmente para cualquier valor
de p. Esta generalización fue expuesta por Pierre Simon Laplace (1749-1827) en su libro
Théorie Analytique des Probabilités, publicado en el año 1812 ([54], [55]). En notación
moderna, el resultado de Laplace puede escribirse de la siguiente manera ([42]):
Teorema depde Moivre-Laplace. Si d es un número real positivo
del orden de n y, para cada n 2 N, Xn es una variable aleatoria con
distribución binomial de parámetros n y p, entonces, para n grande, se
tiene:
d
R p2np(1
2
p)
P [ d Xn np d] p2 0
e y dy.
324
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
p
Tomando d = x np (1 p), donde x es un número real positivo, la
aproximación de Laplace toma la siguiente forma:
R px2 y2
Rx 1 2
p2
P
x pXn np
e dy = p22 0 e 2 z dz.
x
0
np(1 p)
Así que podemos expresar el resultado como sigue:
Rx 1 2
l mn 1 P
x pXn np
x = p22 0 e 2 z dz.
np(1 p)
En su libro Laplace realizó una síntesis del estado del Cálculo de Probabilidades en su
época, agregando sus aportaciones. Expuso ahí de manera explícita la de…nición clásica de
probabilidad:
“Se ha visto en la introducción que la probabilidad de un evento es el
cociente del número de casos que le son favorables entre el número de
todos los casos posibles, cuando nada hace pensar que alguno de esos
casos debe ocurrir en lugar de los otros, lo cual los hace, para nosotros,
igualmente posibles. La justa apreciación de esos casos diversos es uno
de los puntos más delicados del Análisis de los azares.”
En seguida enunció y demostró lo que ahora se denomina la propiedad de la aditividad …nita
de la función de probabilidad:
“Si todos los casos no son igualmente posibles, se determinará sus posibilidades respectivas, y entonces la probabilidad del evento será la suma
de las probabilidades de cada caso favorable.”
Después consideró el caso en que se tienen varios eventos independientes y mostró que la
probabilidad de ocurrencia de todos ellos juntos es igual al producto de sus probabilidades.
Finalmente, en cuanto al cálculo de probabilidades de eventos, enunció y demostró lo que se
conoce ahora como la regla del producto:
“Si los eventos simples están relacionados entre ellos de manera que
la suposición de la ocurrencia del primero in‡uye en la probabilidad de
ocurrencia del segundo, se tendrá la probabilidad del evento compuesto,
determinando primero la probabilidad del primer evento y después la
probabilidad de que el segundo ocurra dado que el primer evento ha
ocurrido.”
A pesar de este desarrollo, el azar parecía un concepto que en algún momento perdería
importancia pues, para los pensadores de la época, sólo era producto de nuestra ignorancia.
Laplace mismo formuló esta idea de manera muy clara, en su libro Ensayo …losó…co sobre
las probabilidades, publicado en el año 1814 ([56]). Dice ahí que:
12.4. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DURANTE LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XIX
325
“Todos los acontecimientos, aun aquellos que por su insigni…cancia
parecen no depender de las grandes leyes de la naturaleza, constituyen una sucesión tan necesaria como las revoluciones del Sol. Ignorando los vínculos que los ligan al sistema entero del universo, se los
ha hecho depender de causas …nales o del azar, según que ocurrieran
y se sucedieran con regularidad o sin orden aparente; pero esas causas
imaginarias han retrocedido gradualmente con los límites de nuestros
conocimientos y desaparecen por completo frente a la sana …losofía que
no ve en ellas más que la expresión de nuestra ignorancia respecto de
las verdaderas causas ... una inteligencia que en un determinado instante pudiera conocer todas las fuerzas que impulsan la naturaleza y la
respectiva posición de los seres que la componen y que, además tuviera
la su…ciente amplitud para someter esos datos al análisis, incluiría en
una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo
y del más ligero átomo; nada le sería incierto y tanto el pasado como
el futuro estarían en su presencia.”
12.4. El Cálculo de Probabilidades durante la segunda mitad del siglo XIX
La teoría matemática de la probabilidad continuó desarrollándose y fue surgiendo un nuevo
concepto, de gran importancia, el de variable aleatoria:
Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es aleatorio, depende del resultado del experimento aleatorio en consideración.
Lo que interesa calcular de una variable aleatoria X es la probabilidad
con la que toma cada uno de sus posibles valores o la probabilidad
de que tome valores en un determinado intervalo. A ese conjunto de
probabilidades se le llama la distribución de la variable aleatoria.
Dos cantidades de interés para el estudio de una variable aleatoria son su esperanza y
su varianza. La primera expresa el valor teórico del promedio de los valores que toma la
variable aleatoria cuando el experimento aleatorio correspondiente se repite muchas veces.
La segunda mide la dispersión de los valores que toma la variable aleatoria, es decir, mide
el alejamiento de los valores de la variable aleatoria con respecto a su esperanza.
Si una variable aleatoria X toma valores únicamente en un conjunto …nito o in…nito numerable, su esperanza se de…ne de la siguiente manera:
P
E [X] = x xP [X = x].
La varianza de X se suele denotar por
2
(X) = E (X
E [X])2 .
2
(X) y se de…ne de la siguiente manera:
326
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Continuando con el estudio de los teoremas de Bernoulli y de de Moivre, se obtuvieron
generalizaciones de esos resultados. En particular, la “escuela rusa” hizo grandes aportes a
partir de la segunda mitad del siglo XIX:
En el año 1867, Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) demostró una forma general del
teorema de Bernoulli (Ley débil de los grandes números) ([18]):
Sea X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes e
idénticamente distribuidas, de varianza …nita. Entonces, para cualquier
" > 0, se tiene:
n
l mn 1 P X1 +:::+X
> " = 0,
n
donde es la esperanza común de X1 ; X2 ; : : :.
En el año 1900, Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) demostró una forma general
del teorema de de Moivre (Teorema Central del Límite) ([63]):
Si X1 ; X2 ; : : : es una sucesión de variables aleatorias independientes e
idénticamente
…nito), entonces:
h distribuidas (con itercer momento
R b 1 y2
X1 + +X
n
1
n
p
< b = p2 a e 2 dy,
l mn 1 P a <
n
donde y
X1 ; X2 ; : : :.
2
son la esperanza y varianza común, respectivamente, de
Chebyshev y Lyapunov demostraron estos resultados asumiendo que las variables aleatorias son discretas, es decir, que toman valores únicamente en un conjunto …nito o in…nito
numerable.
Además, durante la segunda mitad del siglo XIX surgió la Mecánica Estadística con los
trabajos de Krönig, Clausius, Maxwell y Boltzmann, donde la Teoría de la Probabilidad
se constituyó como la herramienta fundamental para el estudio de sistemas con muchas
partículas.
También fue en ese periodo cuando surgió la teoría de Mendel sobre la herencia y la teoría
de Darwin sobre la evolución de las especies, la primera fundada en un modelo probabilístico
y la segunda planteando que el surgimiento de nuevas especies se realiza al azar. Más aún,
los estudios de datos crecieron a un ritmo acelerado con los trabajos de Bienaymé, Quetelet
y Galton, entre otros.
De esta forma, a …nales del siglo XIX el azar y la Teoría de la Probabilidad eran ya parte
inseparable del cuerpo cientí…co de la época.
12.5. El Cálculo de Probabilidades durante los primeros 30 años del siglo XX
A pesar del desarrollo que tenía el Cálculo de Probabilidades a …nales del siglo XIX, no
había una de…nición satisfactoria de la probabilidad. Eso es lo que a…rmaba Henri Poincaré
12.5. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DURANTE LOS PRIMEROS 30 AÑOS DEL SIGLO XX 327
(1854-1912) en la primera frase del capítulo I de su libro de probabilidad, publicado en 1896
([75]):
“No se puede dar una de…nición satisfactoria de la probabilidad.”
En su libro, enunció la de…nición clásica de probabilidad:
“La probabilidad de un evento es el cociente de los casos favorables
a un evento y el número total de casos posibles”, aclarando mediante
algunos ejemplos que se debe agregar a dicha de…nición la condición de
que todos los casos sean igualmente probables.
Comentó entonces que:
“La de…nición completa de la probabilidad es una especie de petición
de principio: ¿cómo reconocer que todos los casos son igualmente probables? Aquí, una de…nición matemática no es posible; deberemos, en
cada aplicación, hacer convenciones, decir que consideramos tal y tal
caso como igualmente probables. Esas convenciones no son completamente arbitrarias, pero escapan al espíritu del matemático que no
tendrá más que examinarlas, una vez que son admitidas. Así, todo
problema de probabilidad ofrece dos periodos de estudio: el primero,
metafísico por así decirlo, el cual legitima tal o cual convención; el
segundo, matemático, que aplica a esas convenciones las reglas del cálculo.”
En cuanto al azar, de ser pensado únicamente un producto de nuestra ignorancia pasó a
conceptualizarse como algo objetivo. En el mismo libro, Poincaré expresó claramente este
cambio:
“... en la teoría cinética de los gases, se encuentran las conocidas leyes
de Mariotte y de Gay-Lussac, gracias a la hipótesis de que las velocidades de las moléculas gaseosas varían irregularmente, es decir, al azar.
Las leyes observables serían mucho menos simples, dirían los físicos, si
las velocidades estuvieran arregladas por alguna ley elemental simple,
si las moléculas estuvieran, como se dice, organizadas, si obedecieran a
alguna disciplina.
328
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Es gracias al azar, es decir, gracias a nuestra ignorancia, que podemos
concluir; y entonces, si la palabra azar es simplemente un sinónimo
de ignorancia, ¿qué querría decir eso? ¿Se traduciría entonces como
sigue? Me pide usted que le prediga los fenómenos que van a producirse.
Si, por desgracia, conociera las leyes de esos fenómenos, podría lograrlo
únicamente mediante cálculos inextricables y debería renunciar a responderle; pero, como tengo la suerte de ignorarlas, le voy a responder
en seguida. Y, lo más extraordinario, es que mi respuesta será correcta.
Se requiere entonces que el azar sea más que el nombre que le damos a
nuestra ignorancia.”
Agregó Poincaré en su libro básicamente lo que ya había formulado Laplace como las bases
del Cálculo de Probabilidades.
Decía Poincaré que el Cálculo de Probabilidades tiene como base dos teoremas: el teorema
de las probabilidades totales y el teorema de las probabilidades compuestas.
P (A _ B) = P (A) + P (B)
P (A ^ B).
P (A ^ B) = P (B j A) P (A).
Donde A _ B representa la ocurrencia de alguno de los dos eventos A y B (incluyendo la
ocurrencia de ambos), A ^ B representa la ocurrencia simultánea de los eventos A y B y
P (B j A) es la probabilidad de ocurrencia del evento B dado que el evento A ocurre.
En particular, si A y B no pueden ocurrir simultáneamente, entonces:
P (A _ B) = P (A) + P (B).
De manera más general, si A1 ; A2 ; : : : ; An son eventos tales que ningún par de ellos puede
ocurrir simultánemente, entonces:
P (A1 _ A2 _ : : : _ An ) = P (A1 ) + P (A2 ) +
+ P (An ).
Como lo mencionamos antes, a esta propiedad se le conoce como la propiedad de la
aditividad …nita.
Poincaré recogió en su libro las inquietudes de su época acerca del Cálculo de Probabilidades:
No estaba bien fundamentada.
Esta era una inquietud que había no únicamente en relación a la Probabilidad. En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, David Hilbert (1862-1943) expresó esas inquietudes de la siguiente manera ([48]):
12.5. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DURANTE LOS PRIMEROS 30 AÑOS DEL SIGLO XX 329
“Pienso que en cualquier lugar en donde se presenten ideas matemáticas, sea en Filosofía, sea en Geometría, sea en Física, se plantea el
problema de la discusión de los principios fundamentales, base de esas
ideas, y del establecimiento de un sistema simple y completo de axiomas.”
“Las investigaciones sobre los principios fundamentales de la geometría
nos conducen a plantear este problema: Tratar con base en ese modelo
las ramas de la Física donde las Matemáticas juegan actualmente un papel preponderante; esas ramas de la ciencia son, antes que cualesquiera
otras, el Cálculo de Probabilidades y la Mecánica.”
La invención de la Teoría de la Medida a principios del siglo XX vino a resolver el problema de
la fundamentación del Cálculo de Probabilidades, surgiendo así un cuerpo teórico, puramente
matemático, el cual constituye que ahora podemos llamar la Teoría de la Probabilidad.
Inmediatamente después del surgimiento de la teoría de la medida de Lebesgue, se dio una
relación con el Cálculo de Probabilidades.
En 1904 ([8]), Émile Borel (1871-1956) planteó que la integral clásica (de Riemann) es
insu…ciente para tratar algunos problemas de probabilidad :
Si se sabe que un número x está comprendido entre 0 y 1, ¿cuál es la probabilidad de que x
sea un número racional?
Utilizando la integral de Riemann, el problema no tiene solución.
Utilizando la integral de Lebesgue, la respuesta es 0.
En un inicio la identi…cación de la probabilidad con una medida se hizo únicamente en los
problemas que caían dentro de un esquema geométrico.
En el año 1909, se publicó un articulo de Borel el cual abrió una polémica acerca de las
propiedades que debían pedirse a la función probabilidad en una formulación axiomática.En
ese artículo, titulado Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, decía
Borel ([9]):
330
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
“Se distinguen generalmente, en los problemas de probabilidad, dos categorías principales, dependiendo de que el número de casos posibles
sea …nito o in…nito: la primera categoría constituye lo que se llama las
probabilidades discontinuas, o probabilidades en el dominio del discontinuo, mientras que la segunda categoría comprende las probabilidades
continuas o probabilidades geométricas. Tal clasi…cación aparece como
incompleta cuando se consideran los resultados de la Teoría de Conjuntos; entre la potencia de los conjuntos …nitos y la potencia del continuo se encuentra la potencia de los conjuntos numerables; me propongo
mostrar brevemente el interés respecto a las cuestiones de probabilidad
en cuyo enunciado intervienen tales conjuntos; las llamaré, para abreviar, probabilidades numerables.”
Enunciaremos el teorema de Borel utilizando el concepto de ensayo de
Bernoulli, el cual se de…ne como un experimento aleatorio que admite
únicamente dos posibles resultados: éxito y fracaso.
Teorema de Borel. Consideremos una sucesión in…nita numerable de
ensayos de Bernoulli y sea pn la probabilidad de éxito en el ensayo n.
Denotemos por A1 al evento:
A1 : Se obtiene una in…nidad de éxitos.
Entonces: P
Si la serie 1
n=1 pn es convergente, P (A1 ) = 0.
P
Si los ensayos de Bernoulli son independientes y la serie 1
n=1 pn es
divergente, P (A1 ) = 1.
En su razonamiento, Borel utilizó algunas de las propiedades que son equivalentes a la aditividad; sin embargo él consideraba que la -aditividad no podía considerarse como una
propiedad de cualquier función de probabilidad. Para fundamentar su a…rmación, daba el
siguiente ejemplo:
“Supongamos, por ejemplo, que existe una manera de elegir de entre la
colección in…nita de números enteros, uno de ellos al azar, de manera
que cada uno de ellos tenga la misma probabilidad, esta probabilidad
deberá entonces ser nula, pero su suma debe ser igual a 1.”
El teorema de Borel tiene ahora una formulación más general, conocida como lema de BorelCantelli.
Obsérvese que el teorema de Borel rebasó el marco clásico ya que planteó el cálculo de la
probabilidad de eventos cuya ocurrencia o no ocurrencia depende de los resultados de una
in…ninidad de ensayos de Bernoulli.
El artículo de Borel causó un gran impacto en su época sobre todo por una aplicación de sus
resultados para deducir una propiedad importante de los números reales.
12.5. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DURANTE LOS PRIMEROS 30 AÑOS DEL SIGLO XX 331
Sea q es un número natural mayor que 1 y, dado x 2 (0; 1), expresemos x en la base q:
x=
P1
bj
j=1 q j ,
donde cada bj es un entero no negativo menor que q.
Dado un número b 2 f0; 1; 2; : : : ; q 1g denotemos por fn (b) a la fracción que resulta de
dividir entre n el número de veces que aparece b en los primeros n términos del desarrollo de
x en base q. Cuando l mn 1 fn (b) existe, llamemos a ese límite frecuencia total de b en x.
P1 bj
Se dice que x =
j=1 q j es normal con respecto a la base q si dado cualquier número
b 2 f0; : : : ; q 1g, la frecuencia total de b en x existe y su valor es igual a 1q .
Se dice que x 2 (0; 1) es absolutamente normal si es normal con respecto a cualquier base
q 2 f2; 3; : : :g.
Borel demostró entonces el siguiente resultado:
Para cada j 2 N, seleccionemos al azar un elemento del conjunto f0; : : : ; q 1g y de…namos
P
bj
x como la serie 1
j=1 q j . Entonces, la probabilidad de que x sea normal con respecto a la
base q es igual a 1.
El resultado de Borel puede expresarse en la forma siguiente:
Sea E un experimento aleatorio y A un evento relativo a ese experimento, de probabilidad igual a p. Consideremos un nuevo experimento
aleatorio consistente en la repetición inde…nida del experimento E, de
tal manera que cada repetición es independiente de las otras. Sea Xn el
número de veces que ocurre el evento A en las primeras n repeticiones
del experimento, entonces P l mn 1 Xnn = p = 1.
La forma general de este resultado se conoce como Ley Fuerte de los Grandes Números.
Más tarde, Hausdor¤ formuló y demostró el resultado de Borel,acerca de los números normales, utilizando La Teoría de la Medida:
Sea q es un número natural mayor que 1, entonces la medida del conjunto de puntos en el
intervalo (0; 1) que son normales con respecto a la base q, es igual a 1:
Como corolario se tiene que la medida del conjunto de puntos en el intervalo (0; 1) que son
absolutamente normales es igual a 1.
Sin embargo, hacia el año 1914 todavía no se identi…caba a cualquier función de probabilidad
con una medida pues ni siquiera estaba desarrollada la teoría general de la medida en espacios
abstractos. En ese momento se contaba ya con la teoría de integración de Lebesgue y la
correspondiente teoría de la medida en Rn y eran entonces éstas las únicas medidas que al
332
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
normalizarlas se consideraban probabilidades. Esto es lo que hizo Felix Hausdor¤ en su libro,
publicado en 1914 ([?]). Ahí consideró que si A y B son dos conjuntos medibles de medida
…nita y A B, entonces la medida de A dividida entre la medida de B puede considerarse
como la probabilidad de que un punto que se selecciona en el conjunto B pertenezca al
conjunto A. También en ese libro Hausdor¤ demostró el teorema de Borel sobre los números
normales dentro del marco de la teoría de la medida.
En el libro de Hausdor¤ de 1914 se considera a la probabilidad como un ejemplo y una
aplicación de la teoría de la medida. Hausdor¤ no identi…caba a una probabilidad con
una medida, pero mostró que una medida normalizada tiene todas las propiedades de una
probabilidad.
El libro de Hausdor¤ fue durante mucho tiempo la referencia estándar para la teoría de conjuntos; entonces la conexión entre la probabilidad y la teoría de la medida puede considerarse
como bien establecida en la literatura matemática desde 1914.
Por otra parte, en 1913, Johann Radon había ya desarrollado una teoría general de la medida
en Rn ([76]) y en 1915, con base en el trabajo de Radon, Maurice René Fréchet extendió la
teoría de la medida a espacios abstractos, de…niendo las funcionales aditivas ([36]). De esta
manera, se puede decir que, en ese momento, aunque posteriormente todavía se demostrarían
algunos resultados importantes, ya se contaba con lo básico de una teoría general de la
medida.
Sin embargo, hacia 1915, aunque Frechet ya había desarrollado una teoría de la medida
en espacios abstractos, no podía hacerse una identi…cación automática de una función de
probabilidad con una medida mientras no se resolviera el problema de la existencia de una
medida asociada a cada problema de probabilidad.
En 1914, Carathéodory ([16]) dio un método para construir medidas en Rn vía una medida
exterior y este método puede extenderse al caso de medidas en espacios abstractos. Sin
embargo, la de…nición de medidas en espacios de dimensión in…nita no es un problema que
se haya resuelto inmediatamente después del trabajo de Fréchet sobre la de…nición general
de una medida.
Fue P.J. Daniell quien entre 1918 y 1920 desarrolló una teoría de integración en espacios de
dimensión in…nita ([21], [22], [23], [24]). Daniell no se basó para esto en el resultado de
Carathéodory sino que desarrolló su propio método.
Básicamente el método de Carathéodory para de…nir una medida consiste en partir de una
medida de…nida sobre un álgebra de subconjuntos de un conjunto dado y en extender esta
medida a una -álgebra que contiene a los conjuntos del álgebra de la que se partió. En
cambio, el método de Daniel consiste en partir de una integral. de…nida para una cierta
familia de funciones y en extender esta integral a una familia su…cientemente grande de
funciones. Los dos métodos son equivalentes en el sentido de que una vez teniendo una
medida se puede de…nir una integral e inversamente, una vez teniendo una integral se puede
de…nir una medida.
12.5. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DURANTE LOS PRIMEROS 30 AÑOS DEL SIGLO XX 333
Por otra parte, el estudio de los teoremas límite había puesto en el centro de la atención de
los probabilistas a las variables aleatorias. El estudio de las variables aleatorias condujo a
Richard Edler Von Mises (1883-1953) a identi…car, en el año 1919, una ley de probabilidad con
la función de distribución ([94], [95]). Esta misma identi…cación la hizo Paul Pierre Lévy
(1886-1971) en su libro Calcul des Probabilités, publicado en 1925 ([62]), donde, además,
identi…caba a una función de distribución con una medida sobre R y a una función de
distribución conjunta con una medida sobre Rn . De esta forma, dada una sola variable
aleatoria, se puede asociar a ésta una medida sobre R; dado un número …nito de variables
aleatorias, se puede asociar a esa familia una medida sobre Rn , para alguna n.
Pero, ¿cómo asociarle una medida a una familia in…nita de variables aleatorias?
Algunos resultados parciales consistentes en asociar una medida a una familia in…nita de
variables aleatorias se encuentran en los trabajos de Hugo Dyonizy Steinhaus (1887-1972)
([86]) y de Norbert Wiener (1894-1964) ([96], [97], [98], [99], [100], [101], [102]).
En 1923, Steinhaus consideró una sucesión in…nita de ensayos de Bernoulli, en cada uno de
los cuales la probabilidad de éxito es 21 , y las variables aleatorias, X1 ; X2 ; : : : ; son tales que:
Xj =
1 si hay éxito en el ensayo j
0 si no lo hay
El conjunto de posibles resultados del experimento aleatorio así de…nido consiste entonces
del conjunto de sucesiones de 0’s y 1’s, el cual se puede poner en correspondencia, excepto
por un conjunto numerable, con el intervalo [0; 1].
De…nió la axiomática para el juego de cara o cruz dándole a la función de probabilidad la
propiedad de -aditividad.
Mostró entonces que comenzando por asignar probabilidades a eventos que dependen únicamente de un número …nito de ensayos, las propiedades que dio a la función de probabilidad
permiten de…nirla (extenderla) para todos los subconjuntos Lebesque-medibles y que la medida que se obtiene es precisamente la medida de Lebesgue.
Steinhaus
consideró también el problema de la convergencia de series aleatorias de la forma
P1
n=1 cn , en donde cada cn es un número real y el signo de cn se elige al azar.
Su modelo nuevamente consiste en identi…car una sucesión in…nita de signos como un punto
del intervalo [0; 1] y entonces nuevamente asumiendo que la función de probabilidad es
aditiva, mostró que la función de probabilidad es la medida de Lebesgue sobre los conjuntos Lebesgue-medibles. Con base en esto demostró que la probabilidad de convergencia
de una serie así de…nida necesariamente es 0 ó 1.
En 1924, Norbert. Wiener consideró también el problema de la convergencia de series aleatorias, pero su método fue distinto al de Steinhaus.
334
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Wiener trabajaba con funcionales lineales sobre espacios de funciones y seguía el método de
Daniell para extender tales funcionales:
Sea es el conjunto de todas las sucesiones posibles de signos. Si ' es una función de…nida
sobre cuyos valores dependen únicamente de los primeros n signos para alguna n; Wiener
de…nió I(') como el promedio de los 2n valores que toma ' dependiendo de los primeros n
signos de la sucesión. Demostró entonces que esa funcional así de…nida satisface las propiedades del teorema de extensión de Daniell, de manera que dicha funcional se puede extender
de manera única al conjunto de todas las funciones medibles.
Con el mismo método, entre 1921 y 1923, construyó un modelo matemático para el movimiento browniano, para lo cual de…nió una medida de probabilidad
aditiva sobre el
espacio de las funciones continuas. Es este trabajo el que marcó la pauta para poder de…nir
una medida asociada a cualquier problema de probabilidad.
El movimiento browniano consiste en el movimiento de un grano de polen que se coloca
sobre agua. En el año 1827, al estudiar el proceso de fertilización de las ‡ores de varias
plantas, Robert Brown observó que los granos de polen se movían.
Lo que hizo Wiener fue construir una medida de probabilidad sobre el conjunto de las posibles
trayectorias que puede seguir una de esas partículas colocadas sobre un ‡uido.
Así que, pesar de la objeción de Borel, se volvió cada vez más frecuente asumir como válida
ya sea la propiedad de -aditividad de la función de probabilidad o bien alguna de sus formas
equivalentes.
Para el año 1925 algunos autores aceptaban ya a la -aditividad como una propiedad general
de la función de probabilidad y entonces consideraban a la probabilidad como una medida.
Esto queda claro en el libro de Paul Pierre Lévy de 1925, donde, además, se de…ne a la
probabilidad en forma axiomática.
Un año antes se publicó un artículo de Lévy titulado Les lois de probabilité dans les ensembles
abstraits, en el cual dice ([61]):
Una ley de probabilidad será naturalmente bien de…nida en un conjunto
abstracto E si se conoce la probabilidad de todo subconjunto de E. Esta
probabilidad deberá gozar de las propiedades siguientes:
(i) A dos conjuntos V1 y V2 sin elementos comunes y al conjunto
V constituido por su unión, corresponden números 1 , 2 y
tales que = 1 + 2 .
(ii) Un enunciado análogo es verdadero si se considera una in…nidad numerable de conjuntos V1 ; V2 ; : : :, sin puntos comunes
dos a dos.
(iii) Los valores de son siempre positivos o nulos y al conjunto
E completo corresponde un valor igual a la unidad.
12.5. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DURANTE LOS PRIMEROS 30 AÑOS DEL SIGLO XX 335
Decía Lévy que, utilizando el lenguaje del Cálculo Funcional, es una
funcional aditiva en el sentido de Fréchet (es decir, una medida).
Agregaba después que en la práctica se considera una ley de probabilidad como de…nida
sin que la probabilidad esté de…nida para todos los subconjuntos de E. Cita para esto el
caso en que la probabilidad de un subconjunto del intervalo [0; 1] está dada por su medida de
Lebesgue, en cuyo caso la probabilidad únicamente está de…nida para los conjuntos medibles.
Como puede verse, Lévy formuló aquí la Teoría de la Probabilidad en su forma axiomática moderna. Sin embargo, aunque en ese artículo Lévy formuló un método para construir
medidas en espacios de dimensión in…nita, éste no era lo su…cientemente general.
Sin lugar a dudas, Lévy fue el más grande probabilista del siglo XX. Publicó más de 100
artículos acerca del Cálculo de Probabilidades y los Procesos Estocásticos. Su trabajo lo
sistematizó en 3 libros: 1. El ya mencionado libro de 1925, Calcul des Probabilités, donde,
además de lo que ya dijimos antes, realizó una gran sistematización del Cálculo de Probabilidades e hizo ver toda la fuerza que tiene la función característica para tratar los teoremas
límite. 2. Théorie de l’addition des variables aleatoires, publicado en 1937, el cual contiene
una amplia discusión sobre el concepto de probabilidad y el primer estudio sistemático sobre
las distribuciones in…nitamente divisibles. 3. Processus Stochastiques et Mouvement Brownien, publicado en 1948, donde introdujo los procesos con incrementos independientes e hizo
un estudio minucioso del movimiento browniano, probando resultados que sólo pudieron ser
demostrados formalmente años más tarde, utilizando el Cálculo Estocástico. Se mantuvo
publicando artículos acerca de estos temas hasta 1970, un año antes de su fallecimiento, a
los 85 años de edad.
Paralelamente a lo anterior, el Cálculo de Probabilidades tuvo una gran difusión tanto por
parte de la escuela francesa como de la escuela rusa. En particular, bajo la dirección de
Émile Borel, se publicó una colección de libros acerca del Cálculo de Probabilidades y sus
aplicaciones, la cual consta de 4 tomos: I. Les principes de la théorie des probabilités. II.
Les applications de la théorie des probabilités aux sciences mathématiques et aux sciences
physiques. III. Les applications de la théorie des probabilités aux sciences économiques et aux
sciences biologiques. IV. Applications diverses et conclusion. Esta colección está compuesta
por 19 libros, los cuales fueron publicados entre 1924 y 1939:
Tome III, Fascicule 1. Assurances sur la vie. Calcul des primes, par Henri Galbrun (1924).
Tome I, Fascicule 1. Principes et formules classiques du calcul des probabilités, par Émile
Borel et rédigé par René Lagrange (1925).
Tome II, Fascicule 3. Mécanique statistique classique, par Émile Borel et rédigé par Francis
Perrin, (1925).
Tome II, Fascicule 1. Applications à l’arithmétique et à la théorie des fonctions, par Émile
Borel et rédigé par Paul Dubreil (1926).
336
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Tome II, Fascicule 2. Probabilités géométriques, par Robert Deltheil (1926).
Tome IV, Fascicule 1. Applications au tir, par Jules Haag (1926).
Tome III, Fascicule 2. Assurances sur la vie. Calcul des réserves, par Henri Galbrun (1927).
Tome I, Fascicule 2. Erreurs et moindres carrés, par René Deltheil (1930).
Tome II, Fascicule 4. Applications de la théorie des probabilités à l’astronomie, par Carl V.
L. Charlier (1931).
Tome III, Fascicule 3. Applications de la statistique à la démographie et à la biologie, par
René Risser (1932).
Tome I, Fascicule 4. Les principes de la statistique mathématique, par René Risser et
Claude-Émile Traynard (1933).
Tome III, Fascicule 4. Théorie mathématique de l’assurance invalidité et de l’assurance
nuptialité. Dé…nitions et relations fondamentale, par Henri Galbrun (1933).
Tome III, Fascicule 5. Théorie mathématique de l ’assurance invalidité et de l’assurance
nuptialités. Calcul des primes et des réserves, par Henri Galbrun (1933).
Tome III, Fascicule 6. Théorie mathématique de l’assurance maladie, par Henri Galbrun
(1934).
Tome I, Fascicule 3. Recherches théoriques modernes sur la théorie des probabilités, par
Maurice Fréchet. Premier Livre: Généralités sur les Probabilités. Variables aléatoires (avec
une note de Paul Lévy) (1937).
Tome I, Fascicule 3. Recherches théoriques modernes sur la théorie des probabilités, par
Maurice Fréchet. Deuxième Livre : Méthode des fonctions arbitraires, théorie des événements
en chaîne dans le cas d’un nombre …ni d’états possibles (1938).
Tome IV, Fascicule 2. Applications au jeux de hasard, par Émile Borel et rédigé par Jean
Ville (1938).
Tome II, Fascicule 5. Mécanique statistique quantique, par Francis Perrin, (1939).
Tome IV, Fascicule 3. Valeur pratique et philosophie des probabilités, par Émile Borel
(1939).
12.6. La axiomática
Como lo mencionamos anteriormente, Lévy, en su libro de 1925, asumía como válida la aditividad para cualquier función de probabilidad. Algunos años después, se utilizaba ya
para demostrar formas generales de los teoremas límite.
12.6. LA AXIOMÁTICA
337
En el año 1930, para probar la ley fuerte de los grandes números, Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) ([52]) utilizó la propiedad de -subaditividad de la función de probabilidad, la cual es equivalente a la -aditividad. Además, Kolmogorov utilizó el hecho de
que la unión numerable de eventos de probabilidad cero tiene también probabilidad cero, la
cual también es consecuencia de la -subaditividad.
Sea X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes e
idénticamente distribuidas, de esperanza …nita . Entonces:
P l mn 1 X1 + n +Xn =
= 1.
Sin embargo, la polémica sobre la propiedad de
aditividad de la función de probabilidad
continuaba. Resalta en esta polémica una serie de artículos que publicaron Maurice Fréchet
y Bruno de Finetti en el año 1930 ([25], [26], [27], [40], [41]).
De Finetti consideraba que se llega a contradicciones cuando se admite la extensión del
teorema sobre las probabilidades totales al caso de una sucesión in…nita de eventos mutuamente excluyentes. Como ejemplo consideraba una variable aleatoria X la cual únicamente
puede tomar valores en el conjunto in…nito f"1 ; "2 ; : : :g de tal forma que todos ellos son
igualmente probables. Los eventos [X = "i ] tienen entonces probabilidad cero, pero su unión
tiene probabilidad 1.
Fréchet argumentaba que él ya había señalado, en sus cursos y en una memoria que se
encontraba en prensa, que efectivamente la extensión del teorema sobre las probabilidades
totales al caso de una sucesión in…nita de eventos no es una consecuencia inevitable de los
principios generales admitidos en las bases del Cálculo de Probabilidades. Pero agregaba que
de Finetti únicamente había visto una de las dos alternativas: “si sus ejemplos tienen sentido,
entonces tal extensión no es posible. pero la otra alternativa es que si tal extensión es posible
entonces los ejemplos no tienen sentido.”Fréchet prefería entonces asumir que los ejemplos de
de Fineti no tienen sentido, en particular consideraba, con relación al mencionado ejemplo de
de Fineti, que es imposible suponer que los posibles valores de X son igualmente probables.
Continuaba argumentando que la misma alternativa se presenta en la teoría de la medida
de Lebesgue, donde se tiene que restringir la familia de conjuntos a los cuales se les puede
asignar una medida pues no todos los conjuntos resultan ser medibles. De la misma manera,
en el ejemplo de de Fineti no es posible asignarle una probabilidad a los conjuntos [X = "i ]
de tal manera que todas ellas sean iguales.
De Fineti respondió con nuevas objeciones. Se preguntaba si los eventos que se tienen que
excluir de aquellos a los cuales se asigna una probabilidad no son tan interesantes como
éstos últimos. Para él Fréchet únicamente evitaba formalmente la di…cultad y se seguía
preguntando: ¿Es admisible excluir la concepción de una in…nidad de eventos mutuamente
excluyentes que sean igualmente probables?
Fréchet contraargumentó que las contradicciones a que hace referencia de Fineti son familiares para todos aquellos al corriente en la teoría de la medida. En cuanto al interés que
338
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
pueden tener los conjuntos no medibles responde que en realidad no se presentan en las aplicaciones. En cuanto a la necesidad de excluir algunas medidas como posibles, consideraba,
por ejemplo, que se puede pensar en asignar una medida igual a 1 a toda la recta real, una
medida igual a 12 a toda semirecta, una medida igual a 31 a todos los conjuntos formados por
la unión de una sucesión in…nita de intervalos de longitud , de tal manera que cada par de
ellos esté separado por un intervalo de longitud 2 , etc. En ese caso, toda la recta real sería
la unión de una sucesión de intervalos consecutivos cuyas medidas tendrían que ser nulas, de
manera que su suma no podría ser igual a 1. Por lo tanto, se debe de excluir la concepción
de medidas iguales de esos intervalos o bien se deben de considerar como no medibles.
Resulta aquí claro que para Fréchet la probabilidad era siempre una medida, aún a costa
de tener que excluir algunos experimentos aleatorios que pueden ser de…nidos formalmente,
aunque también resultaba claro para él que ésta es únicamente una alternativa que se puede
elegir, pero que no era aceptada por todos en ese momento. Esta posición resulta todavía
más evidente al argumentar en contra de otra objeción que hace de Fineti en su segundo
artículo. Decía de Fineti que no se debe eludir una di…cultad de principio mediante una
convención y que una vez puesta la de…nición de probabilidad, de una manera conforme a
nuestra intuición, si esta de…nición permite atribuir un valor a la probabilidad de uno de
los eventos clasi…cados como no probabilizables, no se tiene el derecho de excluir ese evento.
Fréchet respondió entonces que la principal di…cultad en el argumento de de Fineti reside en
el hecho de que, hasta ese momento, ninguna de…nición de la probabilidad había obtenido
una adhesión general. Agregaba que si se adopta el punto de vista axiomático, la solución
es inmediata y consiste en poner como postulado el principio de las probabilidades totales
en su forma completa (es decir, la propiedad de aditividad numerable).
Finalmente, en el año 1933, Kolmogorov publicó un artículo titulado Foundations of the Theory of Probability ([53]) en el cual estableció la formulación de la Teoría de la Probabilidad
que prevalece hasta nuestros días. Dice ahí:
“Después de las publicaciones de las investigaciones de Lebesgue, las
analogías entre medida de un conjunto y probabilidad de un evento y
entre la integral de una función y la esperanza matemática de una variable aleatoria se hicieron evidentes. Pero para que la teoría de la
probabilidad pudiera basarse en tales analogías era todavía necesario
hacer las teorías de la medida y de la integración independientes de los
elementos geométricos los cuales estaban en el trasfondo con Lebesgue.
Esto ha sido hecho por Fréchet. Mientras que una concepción de la
teoría de la probabilidad basada sobre el punto de vista general citado
antes se ha dado durante algún tiempo entre ciertos matemáticos, estaba
faltando una exposición completa de todo el sistema, libre de extrañas
complicaciones.”
Estableció entonces como modelo matemático de un fenómeno probabilístico una terna
( ; =; P ), donde es un conjunto, = una
álgebra de subconjuntos y P una medida de
probabilidad de…nida sobre =.
12.7. ACERCA DE LA PROPIEDAD DE
-ADITIVIDAD DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
339
Con este modelo Kolmogorov logró entonces articular los diferentes conceptos de la teoría
de la probabilidad, como el de probabilidad condicional y la independencia de eventos y
de variables aleatorias. Mostró además como los resultados fundamentales de la teoría de
la probabilidad se articulan en un enfoque axiomático, exponiendo, dentro de este nuevo
contexto, las leyes débil y fuerte de los grandes números.
En su monografía, Kolmogorov introdujo el concepto de esperanza condicional, con lo cual
mostró como el enfoque axiomático basado en la Teoría de la Medida aporta a la Teoría de
la Probabilidad poderosas herramientas.
Finalmente, Kolmogorov, utilizando el método de Carathéodory, dio un método general,
además de simple, para construir medidas de probabilidad en espacios de dimensión in…nita:
Dada cualquier familia de variables aleatorias, partiendo de sus distribuciones …nito dimensionales, es posible construir un espacio de probabilidad ( ; =; P ) de tal manera que la medida P restringida a los
eventos que dependen únicamente de un número …nito de las variables aleatorias dadas coincide con la determinada por la distribución
…nito-dimensional correspondiente.
Después del trabajo de Kolmogorov la aceptación de probabilidad como una medida fue
unánime.
12.7. Acerca de la propiedad de -aditividad de la función de probabilidad
El considerar a la probabilidad como una medida ( -aditiva) constituye únicamente una
elección; bien podría elegirse de…nir un espacio de probabilidad como una terna ( ; =; P ),
donde = es un álgebra de subconjuntos de y P una función …nitamente aditiva de…nida
sobre =. Tendríamos así un modelo matemático similar al de la terna de Kolmogorov y
la teoría se podría desarrollar con base en ese modelo. En cualquiera de los dos casos,
con una función de probabilidad -aditiva o con una únicamente …nitamente aditiva, la
teoría que se desarrolle es puramente matemática y los resultados que se obtengan son
válidos, matemáticamente, dentro de esa teoría. En los dos casos se trata únicamente de un
modelo matemático de los fenómenos aleatorios. El fenómeno aleatorio en sí mismo no no
es matemático, ni contiene matemática alguna. En Cambio, el modelo matemático es una
abstracción producto del pensamiento humano; es parte del simbolismo que el ser humano
ha creado para tratar de entender los fenómenos naturales.
El preguntarse si una función de probabilidad es o no -aditiva no tiene sentido, o si se
quiere, es una trivialidad. Si en el modelo que estamos utilizando tomamos a la probabilidad
como -aditiva, entonces lo es; de otra forma, no lo es.
Lo que hizo Kolmogorov no fue demostrar que toda función de probabilidad es -aditiva.
Recapitulemos el proceso:
340
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Primero, a una variable aleatoria se le asocia (de hecho se le identi…ca) con una función
(llamada función de distribución) no decreciente, la cual resulta ser continua por la derecha,
gracias a que se asume que la función de probabilidad es -aditiva; dicho de otra forma,
la -aditividad es parte de los axiomas, de manera se asume a priori como válida. De ahí,
como decíamos, la función de distribución resulta ser continua por la derecha. De ahí que
podamos de…nir una medida ( -adtiva) a partir de esa función de distribución y, de hecho,
se identi…ca a la función de distribución con la medida que genera. De esta forma, asociada
con una variable aleatoria real X se construye una medida sobre los subconjuntos borelianos
de R, la cual representa a la variable aleatoria. Pero, reiteramos, esto puede hacerse gracias
a que de inicio se asume como válida la -aditividad de la función de probabilidad.
Después se trata el caso de un número …nito de variables aleatorias, X1 , X2 , . . . , Xn , a las
cuales se les asocia una función de distribución conjunta, a partir de la cual se puede de…nir
una medida sobre los subconjuntos borelianos de Rn . Nuevamente esto es posible ya que se
asume que la función de probabilidad es -aditiva.
El siguiente paso consiste en considerar una in…nidad (numerable o no numerable) de variables aleatorias y Kolmogorov demostró que, partiendo de que cada subconjunto …nito,
de esa in…nidad de variables aleatorias, tiene asociada una función de distribución y, por lo
tanto, una medida sobre los subconjuntos borelianos de Rn , para alguna n 2 N, es posible
de…nir una medida sobre algún espacio medible, la cual representa a la in…nidad de variables
aleatorias.
Lo que dice entonces el teorema de Kolmogorov es que la propiedad de -aditividad es
consistente en el sentido de que si se asume como valida para el caso …nito, entonces la
-aditividad se puede extender al caso in…nito.
De hecho, el problema de tomar o no la -aditividad para la función de probabilidad es el
mismo que el que se plantea en la teoría de la medida desarrollada por Lebesgue
Recordemos que Lebesgue planteó el problema de encontrar una función m de…nida sobre
todos los subconjuntos acotados de números reales y satisfaciendo las siguientes condiciones:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
m es no negativa.
m es -aditiva.
m([0; 1]) = 1
m es invariante bajo traslaciones.
Lebesgue logró de…nir una función m, única, de…nida sobre una -álgebra de subconjuntos
de R, la cual asigna a cada intervalo su longitud; sin embargo, Vitali demostró que esa
-algebra no está formada por todos los subconjuntos de los números reales.
Stefan Banach y Kazimierz Kuratowski se plantearon en 1929 el problema de encontrar
una función m de…nida sobre todos los subconjuntos el intervalo [0; 1] y satisfaciendo las
siguientes condiciones:
12.7. ACERCA DE LA PROPIEDAD DE
-ADITIVIDAD DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
341
(i) m es no negativa.
(ii) m es -aditiva.
(iii) Si I es un intervalo, entonces m(I) es igual a la longitud de I.
El resultado de Banach y Kuratowski fue que tal problema no tiene solución ([?]). Esto
sorprendió a muchos, por ejemplo a Paul Pierre Lévy quien pensaba que, al quitar a la
medida la condición de ser invariante bajo traslaciones, es posible asignar una medida a
todos los subconjuntos de números reales ([?]).
Alfred Tarski atacó en 1930 el problema de la medida en sentido amplio planteándose el
problema de encontrar una función m de…nida sobre todos los subconjuntos del intervalo
[0; 1] y satisfaciendo las siguientes condiciones:
(i) m es no negativa.
(ii) m es …nitamente aditiva.
(iii) Si I es un intervalo, entonces m(I) es igual a la longitud de I.
Tarski mostró que tal problema, así como el análogo en dos o más dimensiones, sí tiene
solución. Sin embargo, mostró también que la solución no es única ([?]).
El resultado de Tarski se puede extender al caso de una función …nitamente aditiva de…nida
sobre un álgebra:
Sean A y B dos álgebras de subconjuntos de un conjunto tales que A B propiamente,
y P : A 7! [0; 1] una función …nitamente aditiva tal que P ( ) = 1. Entonces existe una
función …nitamente aditiva P : B 7! [0:1], la cual es una extensión de P . Tal extensión no
necesariamente es única. ([?])
Por otra parte, el teorema de Caratheodory permite extender, una quasi medida de probabilidad de…nida sobre un álgebra de subconjuntos de un conjunto a una medida de…nida
sobre la -álgebra generada por el álgebra, y tal extensión es única.
Recordemos que cuando se tiene un fenómeno aleatorio, el proceso para asignar probabilidades a los subconjuntos del espacio muestral consiste en partir de la asignación de probabilidades a una determinada familia de subconjuntos y después en extender la función
de probabilidad a una familia de subconjuntos del espacio muestral tan grande como sea
posible. La -aditividad nos permite realizar esa extensión, de manera única, a una familia
su…cientemente grande de subconjuntos del espacio muestral.
Con base en lo anterior, podemos decir que elegir la -aditividad como propiedad de cualquier
función de probabilidad nos permite de…nir, de manera única, la probabilidad de cada evento,
a costa de que la familia de eventos tal vez no esté formada por todos los subconjuntos del
espacio muestral , mientras que eligiendo únicamente la aditividad …nita, podemos de…nir
la probabilidad de cualquier subconjunto del espacio muestral, pero de diferentes maneras.
342
12. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
DESARROLLO HISTÓRICO
Cabe decir que si = f! 1 ; ! 2 ; : : :g es un conjunto in…nito numerable, =
conjunto potenPel
1
cia de
y P : = 7! [0; 1] es una función …nitamente aditiva tal que k=1 P (f! k g) = 1,
entonces P necesariamente es -aditiva. En efecto; sea A = f! j1 ; ! j2 ; : : :g cualquier subconjunto de in…nito numerable y Ac = f! i1 ; ! i2 ; : : :g. En vista de que
Pn P es no negativa
y …nitamente aditiva, es monótona no P
decreciente, así que P (A)
k=1 P (f! jk g) para
1
toda n 2PN. Por lo tanto, P (A)
jk g). De la misma manera, se obtiene
k=1 P (f!
P1
c
P
(A
)
P
(f!
g).
Además,
como
la
serie
ik
k
k=1 P (f! k g) converge a 1, las dos series
P
P1
y k P (f! ik g) son también convergentes y su suma es igual a 1. Ahora
k=1 P (f! jk g) P
bien, si P (A) > 1
k=1 P (f! jk g), entonces tendríamos:
P
P
1 P ( ) = P (A) + P (Ac ) > 1
k P (f! ik g) = 1
k=1 P (f! jk g) +
P
lo cual es una contradicción. Por lo tanto, podemos concluir que P (A) = 1
k=1 P (f! jk g).
Sea ahora A1 ; A2 ; : : : una colección in…nita numerable de subconjuntos no vacíos de tales
que Ai \ Aj = ; para i 6= j. Si A = [1
= f! k1 ; ! k2 ; : : :g, entonces, como P es no
n=1 An P
n0
negativa y …nitamente aditiva, se tiene P (A)
n=1 P (An ) para toda n0 2 N. Así que:
P1
P (A)
n=1 P (An )
0
Por otro lado, dada N 2 N, existe n0 2 N tal que f! kj : j N g [nn=1
An , así que:
P1
P 0
S 0
PN
P (An )
An ) = nn=1
! kj = P (f! kj : j N g) P ( nn=1
n=1 P (An )
j=1 P
P1
P
P
!
Es decir, N
k
j
n=1 P (An ) para toda N 2 N. Por lo tanto:
j=1
P1
P
! kj
P (A) = 1
n=1 P (An )
j=1 P
P
Así que, P (A) = 1
n=1 P (An ), lo cual prueba la -aditividad.
Por otra parte, debe de observarse que, en general, la -aditividad no es una consecuencia de
la aditividad …nita. Consideremos, por ejemplo, el álgebra A formada por los subconjuntos
de los números naturales que son …nitos o de complemento …nito y de…namos la función
P : A 7! [0; 1] por P (A) = 0 si A es …nito y P (A) = 1 si Ac es …nito. Tal función
es …nitamente aditiva pero no -aditiva. Más aún, por el resultado 12.7, enunciado con
anterioridad, P puede extenderse (no de manera única) a una función …nitamente aditiva
de…nida sobre la familia de todos los subconjuntos de los números naturales. Tal extensión,
la cual está de…nida sobre una -álgebra, resulta entonces ser …nitamente aditiva, pero no
-aditiva.
CAPÍTULO 13
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA
PROBABILIDAD
13.1. Espacios de Probabilidad
Como ya lo mencionamos, la Teoría de la Probabilidad se utiliza para modelar y estudiar
fenómenos aleatorios, los cuales tienen la característica de evolucionar de una manera azaroza
o que, aún no siendo azarozo su desarrollo, su estudio puede realizarse pensándolo como
si lo fuera. Sin embargo, una vez que se formula la Teoría de la Probabilidad en forma
axiomática, los elementos que la componen no requieren de una interpretación práctica.
La teoría matemática puede desarrollarse a partir de los axiomas, sin hacer referencia a
algún fenómeno aleatorio. Se investiga acerca de las propiedades del modelo matemático
y se van introduciendo de…niciones de nuevos conceptos, dentro del modelo, enriqueciendo
así el modelo mismo y demostrando nuevas propiedades. Nos referiremos a este proceso
como el desarrollo formal de la teoría. Los nuevos conceptos que se van introduciendo
provienen en general de problemas que se plantean en el estudio de algún fenómeno natural
y las propiedades que se van encontrando del modelo se utilizan para estudiar el fenómeno
en consideración; sin embargo el desarrollo formal de la teoría se va dando sin aludir a los
problemas que motivan las de…niciones de nuevos conceptos.
En lo que sigue vamos a exponer el desarrollo formal de la Teoría de la Probabilidad, así que
comenzaremos con las de…niciones de los conceptos básicos.
Definición 13.1. Llamaremos espacio de probabilidad a una terna ( ; =; P ), donde es un
conjunto, = una -álgebra de subconjuntos de y P una medida sobre = tal que P ( ) = 1,
a la cual llamaremos medida de probabilidad. A lo llamaremos el espacio muestral, a los
elementos de = eventos y a la medida P de un evento A la probabilidad de A.
Considerando que cualquier espacio de medida se puede completar, asumiremos que cualquier
medida de probabilidad con la que trabajemos es completa.
En el resto de este capítulo asumiremos que tenemos de…nido un espacio de probabilidad
( ; =; P ).
343
344
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Recordemos que, antes de su formulación axiomática, el Cáculo de Probabilidades tenía como
base dos reglas, la de la probabilidad total y la de las probabilidades compuestas. La primera
de ellas queda comprendida en las propiedades de la medida de probabilidad. La segunda, en
cambio, no queda contemplada debido a que había un problema en su formulación: se hablaba
de probabilidades condicionales sin haber de…nido lo que eso signi…caba matemáticamente,
de manera que se utilizaba únicamente cuando las probabilidades condicionales con las que
se trataba tenían un sentido intuitivo. Lo que se hizo entonces fue formular una de…nición,
en lugar de un teorema o una regla.
Definición 13.2 (Probabilidad condicional). Sean A y B dos eventos y supongamos
P (A) > 0, se de…ne la probabilidad condicional de B, dada la ocurrencia de A, P (BjA),
mediante la fórmula:
P (BjA) =
P (A \ B)
.
P (A)
La probabilidad condicional dado un evento A es una nueva medida de probabilidad, la cual
asigna el valor 1 a A y el valor 0 a Ac ; es decir, se trata de una medida de probabilidad
concentrada en A. Se puede decir que al tomar probabilidades condicionales dado un evento
A, el espacio muestral se reduce, convirtiéndose A en un nuevo espacio muestral.
Definición 13.3 (Independencia de eventos). Diremos que los eventos de una familia no
vacía cualquiera fA g, …nita o in…nita, son estocásticamente independientes si dada cualquier
subcolección …nita de ellos, A 1 ; : : : ; A n , donde n 2 N, se tiene:
P (A
1
\
\A
m
) = P (A 1 )
P (A
m
).
Definición 13.4 (Eventos mutuamente excluyentes). Diremos que los eventos de una
familia no vacía cualquiera fA g, …nita o in…nita, son mutuamente excluyentes si cualquier
par de ellos son conjuntos ajenos.
Ahora, algunas propiedades simples:
Proposición 13.1. Si los eventos de una familia no vacía fA g 2 son mutuamente excluyentes y 0 es cualquier subconjunto no vacío de , entonces los eventos de la familia
fA g 2 0 son mutuamente excluyentes.
Proposición 13.2. Si los eventos de una familia no vacía fA g 2 son independientes y
0
es cualquier subconjunto no vacío de , entonces los eventos de la familia fA g 2 0 son
independientes.
Proposición 13.3. Sea fA1 ; ; : : : ; An g una familia de eventos independientes, donde n 2,
y reemplacemos uno de ellos, cualquiera, por su complemento, entonces los eventos de la
nueva familia siguen siendo independientes.
13.1. ESPACIOS DE PROBABILIDAD
345
Demostración
Reordenemos los eventos A1 ; ; : : : ; An de tal manera que el evento que reemplazamos por su
complemento sea An .
Sea fn1 ; : : : ; nk g cualquier subconjunto no vacío del conjunto f1; : : : ; ng, donde los elementos
n1 ; : : : ; nk están ordenados del menor al mayor y k 2. Entonces:
Si n 2
= fn1 ; : : : ; nk g, como los eventos de la familia fA1 ; ; : : : ; An g son independientes, se
tiene:
P An1 \
\ Anj = P (An1 )
P Anj .
Si n 2 fn1 ; : : : ; nk g, entonces nk = n y se tiene:
P An1 \
\ Ank
1
\ Acn
= P An1 \
\ Ank
1
= P An1 \
\ Ank
1
= P (An1 )
P Ank
1
= P (An1 )
P Ank
1
An1 \
\ Ank
P An1 \
P (An1 )
[1
1
\ An
\ Ank
1
\ An
P (Ank 1 ) P (An )
P (An )] = P (An1 )
P Ank
1
P (Acn ).
Así que los eventos de la familia fA1 ; ; : : : ; An 1 ; Acn g son independientes.
Corolario 13.1. Sea fA1 ; ; : : : ; An g una familia de eventos independientes y U un subconjunto del conjunto f1; : : : ; ng Para cada j 2 f1; : : : ; ng, de…namos:
Bj =
Aj si j 2 U
=U
Acj si j 2
Entonces, los eventos de la familia fB1 ; : : : ; Bn g son independientes.
Corolario 13.2. Sean fA g 2 una familia de eventos independientes y T un subconjunto
de . Para cada 2 , de…namos:
B =
A si
Ac si
2T
2
=T
Entonces, los eventos de la familia fB g
2
son independientes.
Teorema 13.1. Dado un evento A de probabilidad positiva, la función que asigna a cada
evento B el número real P (B j A), de acuerdo con la de…nición, es una medida de probabilidad.
346
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Demostración
La función así de…nida es claramente no negativa, además:
P ( j A) =
P (A\ )
P (A)
=
P (A)
P (A)
= 1.
Finalmente, si fBn gn2N es una familia de eventos eventos mutuamente excluyentes, entonces:
P ([1
n=1 Bn j A) =
=
P1
n=1
P (A\Bn )
P (A)
P [A\([1
n=1 Bn )]
P (A)
=
P1
n=1
=
P [[ 1
n=1 (A\Bn )]
P (A)
=
P1
P (A\Bn )
P (A)
n=1
P (Bn j A).
La de…nición de probabilidad condicional implica inmediatamente el siguiente resultado:
Proposición 13.4 (Regla del producto). Sean A1 ; : : : ; An n eventos tales que P (A1 \
: : : \ An 1 ) > 0, entonces:
P (\nk=1 Ak ) = P (An jA1 \ : : : \ An 1 )
P (A2 jA1 )P (A1 ).
Combinando la -aditividad y la regla del producto se obtiene el siguiente resultado:
Proposición 13.5 (Regla de la probabilidad total). Sean B un evento cualquiera y
A1 ; A2 : : : una colección …nita o in…nita
S numerable de eventos de probabilidad positiva, mutuamente excluyentes y tales que P ( n An ) = 1, entonces:
P
P (B) = n P (B j An )P (An ).
El lema de Borel-Cantelli es un resultado básico en la Teoría de la Probabilidad. Lo vamos
a utilizar frecuentemente.
Lema
reales en el intervalo [0; 1] tal que la serie
Qn
P1 13.1. Sea fpn g una sucesión de números
(1
pj ) = 0.
p
es
divergente,
entonces
l
m
n!1
j=1
n=1 n
Por el teorema del valor medio, se tiene, para cada x 2 [0; 1):
ln(1
x) =
x
1
x
, donde
2 (0; 1).
De manera que, para cualquier x 2 [0; 1), ln(1 x)
x, es decir, 1 x
que también es válido para x = 1.
Pn
Q
Q
En particular, nj=1 (1 pj ) < e j=1 pn , así que l mn1 nj=1 (1 pj ) = 0.
e x , resultado
Teorema 13.2 (Lema
P1 de Borel-Cantelli-1a. parte). Sea A1 ; A2 ; : : : una sucesión de
eventos tales que n=1 P (An ) < 1 y sea:
13.1. ESPACIOS DE PROBABILIDAD
A = f! 2
347
: ! 2 An para una in…nidad de valores de ng.
Entonces P (A) = 0.
Demostración
Para T
cada m 2 N, sea Bm =
A= 1
m=1 Bm , así que:
T
P (A) = P [ 1
m=1 Bm ] = l mm
S
Pero, P (Bm ) = P ( 1
n=m An )
Por lo tanto, P (A)
l mm
S1
n=m
An . Entonces la sucesión de eventos Bm es decreciente y
P [Bm ].
P1
n=m P (An ).
P1
1
n=m P (An ) = 0.
1
Teorema 13.3 (Lema de Borel-Cantelli-2a.
parte). Sea A1 ; A2 ; : : : una sucesión de
P1
eventos independientes tales que n=1 P (An ) = 1 y sea:
A = f! 2
: ! 2 An para una in…nidad de valores de ng.
Entonces P (A) = 1.
Demostración
T
c
Para cada
m 2 N, sea Bm = 1
n=m An . Entonces la sucesión de eventos Bm es creciente y
S
1
c
A = m=1 Bm , así que:
S
P (Ac ) = P [ 1
m=1 Bm ] = l mm!1 P [Bm ].
Qm+k
Tm+k c
P (An )] para
Pero, Bm
n=m [1
n=m An para cualquier k 2 N, así que, P (Bm )
cualquier k 2 N. Por lo tanto:
Q
P (Bm ) l mk 1 m+k
P (An )] = 0.
n=m [1
Se concluye entonces que P (A) = 1
P (Ac ) = 1.
13.1.1. Algunos ejemplos de espacios de probabilidad. Cualquier espacio de medida tal que la medida del total es 1 es un espacio de probabilidad, pero conviene explicitar
algunos que son útiles en el desarrollo de la teoría y que nos servirán en algunos ejemplos.
Ejemplo 13.1. Si A R es un conjunto Lebesgue medible y su medida es igual a 1, entonces,
de…niendo = A, = = fB \ A : B R es un conjunto Lebesgue medibleg y P la medida
de Lebesgue restringida a =, entonces ( ; =; P ) es un espacio de probabilidad.
Ejemplo 13.2. Si A
entonces, de…niendo
Rn es un conjunto Lebesgue medible en Rn y su medida es igual a 1,
= A, = = fB \ A : B R es un conjunto Lebesgue medible en Rn g
348
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
y P la medida de Lebesgue en Rn restringida a =, entonces ( ; =; P ) es un espacio de
probabilidad.
Ejemplo 13.3. De acuerdo con los resultados del capítulo 5, si F : R 7! R es una función
no decreciente y continua por la derecha, existe una única medida F de…nida sobre B (R)
tal que F ((a; b]) = F (b) F (a) para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que
a < b. Por construcción, la medida F está de…nida sobre una -álgebra más grande que
B (R), a saber, la -álgebra generada por B (R) y los subconjuntos de R contenidos en algún
conjunto boreliano de medida F cero. Denotaremos a esta -álgebra por B F (R).
Supongamos ahora que:
l mx
1
F (x)
l mx!
Entonces, de…niendo
1
F (x) = 1.
= R, = = B
F
(R) y P =
F,
( ; =; P ) es un espacio de probabilidad.
Ejemplo 13.4. De la misma manera, si F : R 7! R es una función no decreciente y continua por la izquierda, existe una única medida F de…nida sobre B (R) tal que F ([a; b)) =
F (b) F (a) para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a < b. Nuevamente,
denotaremos por B F a la -álgebra generada por B (R) y los subconjuntos de R contenidos
en algún conjunto boreliano de medida F cero.
Así que, si se cumple que:
l mx
1
F (x)
l mx!
Entonces, de…niendo
1
F (x) = 1.
= R, = = B
F
(R) y P =
F,
( ; =; P ) es un espacio de probabilidad.
Ejemplo 13.5. De la proposición 3.2 se sigue que si = f! 1 ; ! 2 ; : : :g es un conjunto
in…nito
P1
numerable y (pn )n2N una sucesión de números reales no negativos tales que n=1 pn = 1, y
para cada n 2 N, de…nimos p (! n ) = pn y, para cualquier subconjunto A de , de…nimos:
P
P (A) = f!2Ag p (!).
Entonces P es una medida de probabilidad de…nida sobre el conjunto potencia de
.
Ejemplo 13.6. Un ejemplo muy simple es el siguiente:
Sea
= f! 1 ; ! 2 ; : : : ; ! N g un conjunto …nito y, p1 ; p2 ; : : : ; pN números reales no negativos
P
tales que N
n=1 pn = 1. Para cada n 2 f1; 2; : : : ; N g, de…namos p (! n ) = pn y, para cualquier
subconjunto A de , de…namos:
P
P (A) = f!2Ag p (!).
Entonces P es una medida de probabilidad de…nida sobre el conjunto potencia de
Ejemplo 13.7. Un caso particular del ejemplo anterior es el siguiente:
Sea F = fx1 ; x2 ; : : : ; xN g un conjunto …nito,
n
= f(y1 ; y2 ; : : : ; yn ) : yj 2 fx1 ; x2 ; : : : ; xN g para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ngg,
.
13.1. ESPACIOS DE PROBABILIDAD
(j)
(j)
349
(j)
donde n 2 N, y, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, p1 ; p2 ; : : : ; pN números reales no negativos
P
(j)
tales que N
k=1 pk = 1. Para cada pareja j 2 f1; 2; : : : ; ng y k 2 f1; 2; : : : ; N g, de…namos
(j)
qj (xk ) = pk . De…namos también pn : n ! R de la siguiente manera:
Q
pn (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) = nj=1 qj (yj ).
Finalmente, para cualquier subconjunto A de
P
P (A) = f!2Ag pn (!).
n,
de…namos:
Entonces P es una medida de probabilidad de…nida sobre el conjunto potencia de
P
La condición f!2 n g pn (!) = 1 que se requiere, se demuestra a continuación.
n.
Lema 13.2. Sea F = fx1 ; x2 ; : : : ; xN g un conjunto …nito,
n
= f(y1 ; y2 ; : : : ; yn ) : yj 2 fx1 ; x2 ; : : : ; xN g para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ngg,
(j)
(j)
(j)
donde n 2 N, y, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, p1 ; p2 ; : : : ; pN números reales no negativos
P
(j)
tales que N
k=1 pk = 1.
Para cada pareja j 2 f1; 2; : : : ; ng y k 2 f1; 2; : : : ; N g, de…namos:
(j)
qj (xk ) = pk .
Finalmente, de…namos pn : n ! R de la siguiente manera:
Q
pn (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) = nj=1 qj (yj ).
Entonces:
P
f!2 n g pn (!) = 1.
Demostración
P
PN
Para cada n 2 N, de…namos S(n) =
f!2 n g pn (!). Entonces, S(1) =
k=1 q1 (xk ) =
PN (1)
PN
PN (n+1)
= 1 y S(n + 1) =
= S(n) para toda
k=1 pk
k=1 qn+1 (xk ) S(n) = S(n)
k=1 pk
n 2 N. Así que, por el principio de inducción matemática, S(n) = 1 para cualquier n 2 N.
Corolario 13.3. Sea n = f(s1 ; s2 ; : : : ; sn ) : sj 2 f0; 1g para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ngg,
donde n 2 N. Sea p 2 [0; 1] y, para cada ! = (s1 ; : : : ; sn ) 2 n , de…namos:
Q
pn (!) = nj=1 [psj + (1 p) (1 sj )].
P
Entonces, f!2 n g pn (!) = 1.
350
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
13.2. Variables Aleatorias
Desde el inicio del Cálculo de Probabilidades se trataba ya con cantidades que podían tomar
diferentes valores, cada uno con una determinada probabilidad. En un principio se referían
a la ganancia que un jugador podía obtener en un juego de azar. Más tarde se trataron otro
tipo de problemas donde también intervenían cantidades que podían tomar distintos valores.
A principios del siglo XX se hablaba simplemente de cantidades o variables. En su libro de
1925, Paul Lévy se refería a esas cantidades como variables eventuales. Markov se refería
a ellas como variables aleatorias. Una vez que se formula axiomaticamente la Teoría de la
Probabilidad, las variables aleatorias quedan identi…cadas con las funciones medibles.
Definición 13.5. Llamaremos variable aleatoria real a cualquier función medible de ( ; =)
en (R; B (R)). Una variable aleatoria con valores en el conjunto de números reales extendido
será una función medible de ( ; =) en R; B R . Un vector aleatorio real será cualquier
función medible de ( ; =) en (Rn ; B (Rn )).
Obviamente, una variable aleatoria real puede considerarse también como una función de
( ; =) en R; B R , y esta función es medible.
n
Dado un conjunto …nito de variables aleatorias, X1 ; X2 ; : : : ; Xn , con valores en R , por la
n
proposición 7.7, la función (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) : ! R de…nida por:
(X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) (!) = (X1 (!) ; X2 (!) ; : : : ; Xn (!))
n
es medible. A una función así de…nida la llamaremos vector aleatorio con valores en R .
También usaremos la notación X para un vector aleatorio (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ).
A menos que se indique otra cosa, una variable aleatoria (resp. vector aleatorio con n
n
componentes) será considerada con valores en R (resp. con valores en R ).
En lo que se re…ere a la convergencia de una sucesión de variables aleatorias, hay algunos
cambios en la terminología. En el contexto de la Teoría de la Probabilidad, la convergencia
casi en todas partes será denominada convergencia casi segura y a la convergencia en
medida la llamaremos convergencia en probabilidad.
Dada una variable aleatoria X :
! R y B 2 B R , la notación [X 2 B] será una
manera abreviada de representar al conjunto f! 2 : X (!) 2 Bg. Si a; b 2 R, las notaciones
[a < X < b], [a X b], [a X < b], [a < X b], [X < b], [X b], [X > a] y [X a] se
entenderán en un sentido similar. Para el caso de un vector aleatorio utilizaremos una
notación análoga.
n
Si (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) es un vector aleatorio con valores en R y B1 ; B2 ; : : : ; Bn T
son conjuntos
borelianos en R, denotaremos por [X1 2 B; X2 2 B2 ; : : : ; Xn 2 Bn ] al conjunto nk=1 [Xk 2 Bn ].
Definición 13.6. Sea X una variable aleatoria con valores en R. La proyección de P bajo
X será denotada por X y la llamaremos la distribución de la variable aleatoria X. Si
13.2. VARIABLES ALEATORIAS
351
(X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) es un vector aleatorio, la proyección de P bajo (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) será denotada por X1 ;X2 ;:::;Xn y la llamaremos la distribución del vector aleatorio (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ).
De acuerdo con la proposición 8.15 y el corolario 8.8, si X es una variable aleatoria con
valores en R, X su distribución y f : R; B R ; X 7! R; B R una función medible,
no negativa o integrable, se tiene:
R
R
f (X) dP = R f d X .
Si X es una variable aleatoria real y la consideramos como una función de ( ; =) en
R; B R , entonces X es una variable aleatoria con valores en el conjunto de números
reales extendido y su distribución X , aunque está de…nida sobre B R , está concentrada
en R ya que X (f 1; 1g) = 0.
n
De la misma manera, si (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) es una vector aleatorio con valores en R , X1 ;X2 ;:::;Xn
n
n
su distribución y f : R ; B R ; X1 ;X2 ;:::;Xn 7! R; B R una función medible, no negativa o integrable, se tiene:
R
R
f (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) dP = R f d X1 ;X2 ;:::;Xn .
De manera general, lo que nos interesa de una variable aleatoria, o de un vector aleatorio,
es su distribución ya que ésta nos da todas las probabilidades de la forma P [X 2 B] (resp.
n
P [(X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) 2 B] , donde B es cualquier conjunto boreliano de R (resp. R ).
Definición 13.7 ( álgebra generada por una familia de funciones). Sea (E; E) un
espacio medible y F un conjunto cualquiera. Dada una colección de funciones:
H = ff : F ! (E; E) :
2 g,
donde es un conjunto de índices cualquiera, se de…ne la -álgebra generada por H como
la más pequeña -álgebra de subconjuntos de F tal que toda función f 2 H es medible.
Denotaremos a esta -álgebra por por (H) o por (ff : 2 g).
Obsérvese que si f : F ! (E; E) es cualquier función, la familia de conjuntos ff 1 (B) : B 2 Eg
es una -álgebra de subconjuntos de F. Sin embargo, si ff : F ! (E; E) : 2 g es una colección de funciones, la familia de conjuntos f 1 (B) : 2 y B 2 E no es, en general, una
-álgebra, pero la -álgebra generada por esa familia de conjuntos es la -álgebra generada
por la familia de funciones ff : F ! (E; E) : 2 g.
Por otra parte, si f1 ; f2 ; : : : ; fn son funciones de F en (R; B (R)) y de…nimos f : F ! R; B R
mediante la relación:
n
f (x) = (f1 (x) ; f2 (x) ; : : : ; fn (x)),
sabemos que si = es una -álgebra de subconjuntos de F, entonces f es =-medible si y sólo
si fk es =-medible para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng. Por lo tanto:
352
f
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
1
(B) : B 2 B R
n
=
(f ) =
(ff1 ; f2 ; : : : ; fn g).
Proposición 13.6. Sean Y1 ; : : : ; Yn n variables aleatorias con valores en R y Z : 7! R
n
7 R tal
una función (Y1 ; : : : ; Yn )-medible. Entonces, existe una función boreliana h : R !
que Z = h (Y1 ; : : : ; Yn ).
Demostración
n
Si Z = IE , donde E 2 (Y1 ; : : : ; Yn ), entonces existe un boreliano B
R tal que Z =
IB (Y1 ; : : : ; Yn ). Por lo tanto, se tiene el resultado para el caso de una función simple Z
(Y1 ; : : : ; Yn )-medible.
Si Z es una variable aleatoria no negativa, sea (Zn )n2N una sucesión no decreciente de
n
funciones simples no negativas tales que Z = l mn 1 Zn y, para cada n 2 N, sea hn : R 7! R
una función boreliana no negativa tal que Zn = hn (Y1 ; : : : ; Yn ).
n
n
Sea D = x 2 R : l mn 1 hn (x) existe . Entonces D es un conjunto boreliano de R y
n
contiene a la imagen de bajo la función (Y1 ; : : : ; Yn ). De…namos la función h : R 7! R de
la siguiente manera:
h (x) =
l mn
0
1
hn (x) si x 2 D
en otro caso
h es entonces una función boreliana y Z = h (Y1 ; : : : ; Yn ).
Corolario 13.4. Sean Y1 ; : : : ; Yn n variables aleatorias con valores en R y Z : 7! R una
función (Y1 ; : : : ; Yn )-medible. Entonces, existe una función boreliana h : Rn 7! R tal que
Z = h (Y1 ; : : : ; Yn ).
13.3. Independencia de variables aleatorias
Definición 13.8 (Independencia de variables aleatorias). Diremos que las variables
aleatorias de una familia no vacía cualquiera fX g, …nita o in…nita, son independientes, si
dada cualquier subcolección …nita de ellas, X 1 ; : : : ; X n y cualquier colección de subconjuntos
borelianos de R, A1 ; : : : ; An , donde n 2 N, se tiene:
P X
1
2 A1 ; : : : ; Xn 2 X
n
=P X
1
2 A1
P X
n
2 An .
Proposición 13.7. n variables aleatorias X1 ; : : : ; Xn , son independientes si y sólo si para
cualquier colección de subconjuntos borelianos de R, A1 ; : : : ; An , se tiene:
P [X1 2 A1 ; : : : ; Xn 2 An ] = P [X1 2 A1 ]
P [Xn 2 An ].
Demostración
Si las n variables aleatorias son independientes, la relación se sigue de la de…nición.
13.3. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS
353
Supongamos ahora que para cualquier colección de subconjuntos borelianos de R, A1 ; : : : ; An ,
se tiene:
P [X1 2 A1 ; : : : ; Xn 2 An ] = P [X1 2 A1 ]
P [Xn 2 An ].
Sean fXi1 ; : : : ; Xik g un subconjunto de la familia fX1 ; : : : ; Xn g y Ai1 ; : : : ; Aik subconjuntos
borelianos de R. Para j 2 f1; : : : ; ng fi1 ; : : : ; ik g, de…namos Aj = R, entonces:
P [Xi1 2 Ai1 ; : : : ; Xik 2 Aik ] = P [X1 2 A1 ; : : : ; Xn 2 An ]
= P [X1 2 A1 ]
P [Xn 2 An ] = P [Xi1 2 Ai1 ]
P [Xik 2 Aik ].
Así que X1 ; : : : ; Xn son independientes.
Corolario 13.5. Las variables aleatorias de una familia in…nita numerable, fX1 ; X2 ; : : :g,
son independientes si y sólo si para cualquier n 2 N y cualquier colección de subconjuntos
borelianos en R, A1 ; : : : ; An , se tiene:
P [X1 2 A1 ; : : : ; Xn 2 An ] = P [X1 2 A1 ]
P [Xn 2 An ].
Teorema 13.4. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias independientes y f1 ; : : : ; fn n funciones borelianas de R en R. Entonces las variables aleatorias f1 (X1 ); : : : ; fn (Xn ) son independientes.
Demostración
Sean A1 ; : : : ; An subconjuntos borelianos de R, entonces f1 1 (A1 ); : : : ; fn 1 (An ) son también
subconjuntos borelianos de R, así que:
P [f1 (X1 ) 2 A1 ; : : : ; fn (Xn ) 2 An ] = P X1 2 f1 1 (A1 ); : : : ; Xn 2 fn 1 (An )
= P X1 2 f1 1 (A1 )
P [Xn 2 fn 1 (An )] = P [f1 (X1 ) 2 A1 ]
P [fn (Xn ) 2 An ].
Teorema 13.5. Sean X1 ; : : : ; Xn ; Xn+1 ; : : : ; Xn+m n + m variables aleatorias independientes
n
m
y f : R 7! R y g : R 7! R dos funciones borelianas. Entonces, las variables aleatorias
f (X1 ; : : : ; Xn ) y g(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) son independientes.
Demostración
Sea G la familia de subconjuntos B
P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 A1
= P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 A1
A2
A2
:::
:::
m
R tales que:
An ; (Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 B]
An ] P [(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 B]
para cualquier colección A1 ; : : : ; An de boreliano de R.
354
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
m
G es entonces un d-sistema que contiene a los borelianos de R de la forma B1 B2 : : : Bn ,
donde B1 ; : : : ; Bn son borelianos de R, así que, por el teorema de clases monótonas para pim
sistemas, G contiene a todos los borelianos de R .
Sea H la familia de subconjuntos A
n
R tales que:
P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 A; (Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 B]
= P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 A] P [(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 B]
m
para cualquier boreliano B de R .
m
H es entonces un d-sistema que contiene a los borelianos de R de la forma A1 A2 : : : An ,
donde A1 ; : : : ; An son borelianos de R, así que, por el teorema de clases monótonas para pin
sistemas, H contiene a todos los borelianos de R .
Por lo tanto:
P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 A; (Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 B]
= P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 A] P [(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 B]
n
m
para cualquier pareja de borelianos A y B de R y R , respectivamente.
Sean C y D subconjuntos borelianos de R, entonces f
n
m
borelianos de R y R , respectivamente. Por lo tanto:
1
(C) y g 1 (D) son subconjuntos
P [f (X1 ; : : : ; Xn ) 2 C; g(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 D]
= P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 f
1
(C); (Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 g 1 (D)]
= P [(X1 ; : : : ; Xn ) 2 f
1
(C)] P [(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 g 1 (D)]
= P [f (X1 ; : : : ; Xn ) 2 C] P [g(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) 2 D].
13.4. Funciones de distribución
Definición 13.9 (Función de distribución). Si X es una variable aleatoria real, la función FX : R 7! R, de…nida por FX (x) = P [X x], es llamada la función de distribución de
X.
Proposición 13.8. Sea X una variable aleatoria real y FX su función de distribución,
entonces:
(i) FX es una función no decreciente y continua por la derecha.
(ii) l mx 1 FX (x) = 1
13.4. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
355
(iii) l mx! 1 FX (x) = 0
(iv) FX (x ) = P [X < x] para cualquier x 2 R.
Demostración
i. Sea (xn )n2N una sucesión decreciente tal que l mn
FX (x+) = l mn
= P [X
1
FX (xn ) = l mn!1 P [X
x] = FX (x).
xn = x, entonces:
T
xn ] = P ( 1
xn ])
n=1 [X
1
ii. Sea (xn ) una sucesión creciente tal que l mn 1 xn = 1, entonces:
S
l mn 1 FX (xn ) = l mn 1 P [X xn ] = P ( 1
xn ])
n=1 [X
= P [ ] = 1.
iii. Sea (xn ) una sucesión decreciente tal que l mn 1 xn = 1, entonces:
T
xn ]) = P [;] = 0.
l mn 1 FX (xn ) = l mn 1 P [X xn ] = P ( 1
n=1 [X
iv. Sea x 2 R y (xn ) una sucesión creciente tal que l mn 1 xn = x, entonces:
S
xn ]) = P [X < x].
FX (x ) = l mn 1 FX (xn ) = l mn!1 P [X xn ] = P ( 1
n=1 [X
Obsérvese que si X es una variable aleatoria real y FX su función de distribución, entonces
X es la medida generada por FX .
Sea X una variable aleatoria real y de…namos:
D = fx 2 R : P [X = x] > 0g,
C = fx 2 R : P [X = x] = 0g,
p = P [X 2 D].
Clasi…caremos a las variables aleatorias de acuerdo al valor de p. Si p = 0, diremos que la
variable aleatoria es continua, si p = 1 diremos que es discreta. Cuando 0 < p < 1, se tiene
P [X 2 D] > 0 y P [X 2 C] > 0, de manera que se puede decir que, en ese caso, la variable
aleatoria tiene una parte discreta (la que corresponde al conjunto D) y una parte continua
(la que corresponde al conjunto C).
Un subconjunto importante del conjunto de variables aleatorias continuas está formado por
las variables aleatorias reales X cuya distribución X es absolutamente continua con respecto
a la medida de Lebesgue restringida a B R . En este caso X se puede extender de manera
única a L R ya que si E 2 L (R), consideremos B 2 B (R) y C 2 L (R), de medida de
Lebesgue cero, tales que E = B [ C; tomemos entonces F 2 B (R) de medida de Lebesgue
356
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
cero tal que C
F . Como X es absolutamente continua con respecto a la medida de
Lebesgue restringida a B R , entonces, X (F ) = 0. Así que podemos extender, de manera
única, X a L R de…niendo X (G) = 0 para cualquier conjunto G 2 L R de medida de
Lebesgue cero. Diremos que una variable aleatoria de este tipo es absolutamente continua.
Definición 13.10. Si X es una variable aleatoria discreta, llamaremos función de densidad
de X, y la denotaremos por fX , a la función fX : R ! [0; 1] de…nida mediante la relación:
fX (x) = P [X = x].
Definición 13.11. Si X es una variable aleatoria absolutamente continua, llamaremos función de densidad de X, y la denotaremos por fX , a cualquier función medible f : (R; L (R)) !
R+ tal que:
R
X (B) = B f d
para cualquier conjunto B 2 L R .
13.4.1. Algunos ejemplos de distribuciones. Cualquier medida de probabilidad sobre R; B R es una distribución de probabilidad, es decir, una distribución de alguna
variable aleatoria. La demostración de esta a…rmación es inmediata, ya que si es una
medida de probabilidad sobre R; B R , entonces podemos tomar como espacio de probabilidad a la terna R; B R , . Entonces la variable aleatoria X : ! R de…nida por
X (!) = ! tiene como distribución a la medida . Sin embargo, es importante explicitar
algunas de ellas, ya sea por su interés histórico o por presentarse con frecuencia en diferentes
problemas. Así que a continuación haremos un listado de algunas distribuciones discretas y
algunas absolutamente continuas, dando el nombre de la distribución y la función de densidad
que la determina.
Distribución Bernoulli con parámetro p, donde p 2 [0; 1].
8
si x = 1
< p
1 p si x = 0
f (x) =
:
0
en otro caso
Distribución binomial con parámetros n y p, donde n 2 N y p 2 [0; 1].
f (x) =
n
x
0
px (1
p)n
x
si x 2 f0; 1; : : : ; ng
en otro caso
Distribución geométrica con parámetro p, donde p 2 [0; 1].
f (x) =
p(1
0
p)x si x 2 f0; 1; : : :g
en otro caso
Distribución binomial negativa con parámetros n y p, donde n 2 N y p 2 [0; 1].
13.4. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
n+x 1
x
f (x) =
pn (1
0
p)x si x 2 f0; 1; : : :g
en otro caso
Distribución Poisson con parámetro , donde
x
f (x) =
0
e
x!
357
es un número real positivo.
si x 2 f0; 1; : : :g
en otro caso
Distribución hipergeométrica con parámetros r, s y n, donde r; s; n 2 N y n
( r s
(x)(n x)
si x 2 f0; 1; : : : ; ng
(r+s
f (x) =
n )
0
en otro caso
r + s.
Distribución uniforme discreta en el conjunto A, donde A es un conjunto …nito de números
reales.
1
N
fX (x) =
si x 2 A
en otro caso
0
donde N es el número de elementos de A.
Distribución uniforme en el conjunto A, donde A es un conjunto Lebesgue medible de medida
positiva.
1
(A)
fX (x) =
si x 2 A
en otro caso
0
Distribución normal con parámetros
p1
2
f (x) =
1
(x
2 2
e
y
2
, donde ;
2Ry
> 0.
)2
Distribución normal estándar.
f (x) =
p1
2
e
1 2
x
2
Distribución exponencial con parámetro , donde
f (x) =
x
e
0
si x > 0
en otro caso
distribución gama con parámetros
x
fX (x) =
donde
0
es un número real positivo.
1e
( )
x
y , donde
y
son números reales positivos.
si x > 0
en otro caso
: (0; 1) ! R es la función gama, la cual está de…nida por:
( )=
R1
0
t
1
e t dt.
358
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Si X es una variable aleatoria real, X su distribución y FX su función de distribución,
entonces, de acuerdo con el teorema 1, si de…nimos cX : (0; 1) 7! R mediante la relación
cX (t) = nf fx 2 R : FX (x) > tg, se tiene:
X
(B) =
cX1 (B)
para cualquier conjunto B 2 B (R), donde
es la medida de Lebesgue en el intervalo (0; 1).
Sea U : ( ; =) ! R; B R una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0; 1), entonces U coincide con la medida de Lebesgue en el intervalo (0; 1) y
(0; 1) = 0. Así que, si f : R; B R ; U !
7
R; B R es una función mediU R
ble, no negativa o integrable, se tiene:
R
R1
R
f (U ) dP = R f d U = 0 f (t) dt.
Por lo tanto, si B 2 B (R), se tiene:
R1
R
cX1 (B) = 0 (IB cX ) (t) dt =
(IB cX ) (U ) dP
X (B) =
R
=
IB (cX (U )) dP = P [cX (U ) 2 B] = cX (U ) (B).
Así que la distribución de cX (U ) coincide con la distribución de X.
Este resultado se puede demostrar directamente sin mucha di…cultad ya que P es una medida
…nita.
De…namos dX : (0; 1) 7! R mediante la relación dX (t) = nf fx 2 R : FX (x)
tg.
Lema 13.3. Sea X una variable aleatoria real. Entonces el conjunto ft 2 (0; 1) : cX (t) 6= dX (t)g
es, a lo más, in…nito numerable.
Demostración
De…namos C como el conjunto de puntos t 2 (0; 1) para los cuales existe un intervalo de
longitud positiva en el cual FX es constante e igual a t.
Si t 2 (0; 1) y t 2 C, entonces dX es discontinua en t, así que C está contenido en el conjunto
de puntos donde dX es discontinua. Por otra parte, al ser dX una función no decreciente,
el conjunto de puntos en los cuales dX es discontinua es …nito o in…nito numerable. Por lo
tanto, C es un conjunto …nito o in…nito numerable.
Si t 2 (0; 1) y t 2
= C, entonces cX (t) = dX (t), así que, si cX (t) 6= dX (t), entonces t 2 C.
Por lo tanto:
ft 2 (0; 1) : cX (t) 6= dX (t)g
lo cual prueba el resultado.
C.
13.5. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTAS
359
Teorema 13.6. Sean X una variable aleatoria real con función de distribución FX y U una
variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0; 1). Entonces la función de
distribución de la variable aleatoria dX (U ) es FX .
Demostración
Como FX es continua por la derecha, se tiene FX (dX (t))
t.
Tomemos z 2 R.
Si dX (U (!))
Si U (!)
z, entonces U (!)
FX (dX (U (!)))
FX (z).
FX (z), entonces dX (U (!)) = nf fs 2 R : FX (s)
U (!)g
z
Por lo tanto, se tiene:
P [dX (U )
z] = P [U
FX (z)] = FX (z).
Corolario 13.6. Sea X una variable aleatoria con función de distribución FX y U una
variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0; 1). Entonces la función de
distribución de la variable aleatoria cX (U ) es FX .
Demostración
Como el conjunto B = ft 2 (0; 1) : cX (t) 6= dX (t)g es, a lo más, in…nito numerable, P [U 2 B] =
0, así que P [cX (U ) = dX (U )] = 1. Por lo tanto:
P [cX (U )
z] = P [dX (U )
z] = FX (z)
para cualquier z 2 R.
13.5. Funciones de distribución conjuntas
Definición 13.12 (Función de distribución conjunta). Sean X1 ; : : : ; Xn n variables
aleatorias reales. La función FX1 ;:::;Xn : Rn 7! R, de…nida por:
FX1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xn ) = P [X1
x1 ; : : : ; Xn
xn ]
será llamada la función de distribución conjunta de X1 ; : : : ; Xn .
Teorema 13.7. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias y sea FX1 ;:::;Xn su función de distribución conjunta, entonces, para cada:
(x1 ; : : : ; xj 1 ; xj+1 ; : : : ; xn ) 2 Rn 1 , se tiene:
360
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
(i) La función x 7! FX1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn ), de…nida sobre R, es no decreciente y continua por la derecha.
(ii) l mx 1 FX1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn )
= FX1 ;;:::;Xj 1 ;Xj+1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xj 1 ; xj+1 ; : : : ; xn ).
(iii) l mx! 1 FX1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn ) = 0.
Demostración
i. Sean x 2 R y (ym )m2N una sucesión monótona decreciente tal que l mn
entonces:
l mm
1
1
ym = x,
FX1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xj 1 ; ym ; xj+1 ; : : : ; xn )
= l mm!1 P [X1 x1 ; : : : ; Xj
T
x1 ; : : : ; Xj 1
=P( 1
m=1 [X1
= P [X1
x1 ; : : : ; Xj
1
xj 1 ; Xj
1
xj 1 ; Xj
xj 1 ; Xj
ym ; Xj+1
ym ; Xj+1
x; Xj+1
xj+1 ; : : : ; Xn
xj+1 ; : : : ; Xn
xj+1 ; : : : ; Xn
xn ]
xn ])
xn ]
= FX1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn ).
ii. Sea (ym )m2N una sucesión creciente tal que l mn
l mm!1 P [X1 x1 ; : : : ; Xj 1 xj 1 ; Xj
S
x1 ; : : : ; Xj 1 xj 1 ; Xj
=P( 1
m=1 [X1
= P [X1
x1 ; : : : ; Xj
= FX1 ;;:::;Xj
1 ;Xj+1 ;:::;Xn
1
1
ym ; Xj+1
ym ; Xj+1
xj 1 ; Xj 2 R; Xj+1
ym = 1, entonces:
xj+1 ; : : : ; Xn
xj+1 ; : : : ; Xn
xj+1 ; : : : ; Xn
xn ]
xn ])
xn ]
(x1 ; : : : ; xj 1 ; xj+1 ; : : : ; xn ).
iii. Sea (ym )m2N una sucesión decreciente tal que l mn
l mm!1 P [X1 x1 ; : : : ; Xj 1 xj 1 ; Xj
T
=P( 1
x1 ; : : : ; Xj 1 xj 1 ; Xj
m=1 [X1
ym ; Xj+1
ym ; Xj+1
1
ym =
1, entonces:
xj+1 ; : : : ; Xn
xj+1 ; : : : ; Xn
xn ]
xn ])
= P [;] = 0.
Las condiciones de la proposición anterior no son su…cientes para que una función F sea una
función de distribución conjunta. En efecto, consideremos, por ejemplo, la siguiente función:
8
si x < 0 ó y < 0
< 0
x
+
y
si x + y < 1; x 0; y 0
F (x; y) =
:
1
si x + y 1; x 0; y 0
Esta función tiene las propiedades siguientes:
13.5. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTAS
361
(i) Para cada y 2 R, la función x 7! F (x; y) es no decreciente y continua por la derecha
y l mx 1 F (x; y) = 0.
(ii) Para cada x 2 R, la función y 7! F (x; y) es no decreciente y continua por la derecha
y l my 1 F (x; y) = 0.
(iii) Las funciones G : R 7! [0; 1] y H : R 7! [0; 1], de…nidas por G(y) = l mx 1 F (x; y)
y H(x) = l my 1 F (x; y), respectivamente, son funciones de distribución en una
variable.
Sin embargo, F no es una función de distribución conjunta de alguna pareja de variables
aleatorias X; Y . En efecto, si lo fuera, se tendría:
P [X
x] = l my
P [Y
y] = l mx
1
1
FX;Y (x; y) =
0 si x < 0
1 si x 0
FX;Y (x; y) =
0 si y < 0
1 si y 0
Así que, P [X = 0] = P [Y = 0] = 1.
Por lo tanto, se tendría P [X = 0; Y = 0] = 1.
Pero, P [X = 0; Y = 0]
F (0; 0) = 0, lo cual es una contradicción.
Una familia de variables aleatorias X1 ; : : : ; Xn puede verse como la función de en Rn que
asigna a cada ! 2
el vector (X1 (!); : : : ; Xn (!)); de esta forma, podemos decir que las
variables aleatorias forman un vector aleatorio (X1 ; : : : ; Xn ).
Recordemos que un rectángulo en Rn es un conjunto de la forma I1
I1 ;
; In son intervalos en R.
In , en donde
Si R = I1
In es un rectángulo en Rn y a1 ; b1 ; : : : ; an ; bn son los extremos de I1 ;
; In ,
respectivamente, los intervalos Ik serán llamados los lados del rectángulo y los puntos del conjunto V(a1 ;b1 ;:::;an ;bn ) = f(x1 ; : : : ; xn ) : xk 2 fak ; bk g para toda kg serán llamados los vértices
del rectángulo.
El rectángulo (a1 ; b1 ]
al conjunto:
(k)
(an ; bn ] será denotado por R(a1 ;b1 ;:::;an ;bn ) y S(a1 ;b1 ;:::;an ;bn ) denotará
f(x1 ;
; xn ) : xi = ai para k índices i y xi = bi para el resto de índicesg.
S
(k)
Obviamente, V(a1 ;b1 ;:::;an ;bn ) = nk=0 S(a1 ;b1 ;:::;an ;bn ) .
Teorema 13.8. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias y (a1 ; b1 ]
de Rn .
Entonces, para cualquier evento A se tiene:
P ([a1 < X1
b1 ;
; an < Xn
bn ] \ A)
(an ; bn ] un rectángulo
362
=
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Pn
k=0 (
Pn
1)k
(k)
(x1 ;
;xn )2S(a
1 ;b1 ;:::;an ;bn )
o
P ([X1
x1 ;
; Xn
xn ] \ A).
Demostración
Para n = 1 se tiene:
b1 ] \ A) = P ([X1
P ([a1 < X1
b1 ] \ A)
P ([X1
a1 ] \ A).
Así que la relación se cumple en este caso.
Supongamos que la relación se cumple para cualquier rectángulo (a1 ; b1 ]
(ak ; bk ] y
cualquier evento A. Entonces, dado cualquier rectángulo (a1 ; b1 ]
(ak+1 ; bk+1 ] y cualquier
evento A se tiene:
P ([a1 < X1
b1 ;
bn+1 ] \ A)
; an+1 < Xn+1
= P ([a1 < X1
b1 ;
; an < Xn
bn ; Xn+1
bn+1 ] \ A)
P ([a1 < X1
b1 ;
; an < Xn
bn ; Xn+1
an+1 ] \ A)
= (P [a1 < X1
b1 ;
; an < Xn
bn ] \ A \ [Xn+1
bn+1 ])
; an < Xn
bn ] \ A \ [Xn+1
an+1 ])
(P [a1 < X1 b1 ;
P
P
= nk=0 ( 1)k n(x ;
Pn
k=0 (
=
Pn+1
k=0 (
1)k
1)k
Pn
;xn )2S(a
(x1 ;
;xn )2S(a
(x1 ;
;xn+1 )2S
P
o
P ([X1
x1 ;
; Xn
xn ] \ A \ [Xn+1
bn+1 ])
o
P ([X1
x1 ;
; Xn
xn ] \ A \ [Xn+1
an+1 ])
(k)
1
1 ;b1 ;:::;an ;bn )
(k)
1 ;b1 ;:::;an ;bn )
P ([X1
(k)
x1 ;
; Xn+1
(a1 ;b1 ;:::;an+1 ;bn+1 )
xn+1 ] \ A).
Así que, por el principio de inducción matemática, la relación se cumple para cualquier
n 2 N, cualquier rectángulo (a1 ; b1 ]
(an ; bn ] y cualquier evento A.
Corolario 13.7. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias y (a1 ; b1 ]
tángulo de Rn . Entonces:
P ([a1 < X1 b1 ;
; an < Xn
P
P
= nk=0 ( 1)k n(x ; ;x )2S (k)
n
1
(an ; bn ] un rec-
bn ])
(a1 ;b1 ;:::;an ;bn )
o
FX1 ;:::;Xn (x1 ;
; xn ).
Corolario 13.8. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias y FX1 ;:::;Xn su función de distribución conjunta, entonces:
Pn
Pn
k
oF
; xn ) 0
(k)
X1 ;:::;Xn (x1 ;
k=0 ( 1)
(x ; ;x )2S
1
n
(a1 ;b1 ;:::;an ;bn )
para cualquier rectángulo (a1 ; b1 ]
(an ; bn ].
13.5. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTAS
363
Para la continuidad por la derecha, se tiene el siguiente resultado, más general que el enunciado en la proposición 13.7:
Teorema 13.9. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias y FX1 ;:::;Xn su función de distribución
conjunta, entonces:
l mm
0
(m)
1 ;
FX1 ;:::;Xn x1 +
; xn +
(m)
n
= FX1 ;:::;Xn (x1 ;
; xn )
; xn ) 2 Rn y cualquier sucesión
para cualquier vector (x1 ;
converja al vector 0 2 Rn y tal que
(m)
1 ;
;
(m)
n
(m)
1 ;
;
(m)
n
que
m2N
sean números reales positivos.
Demostración
(m)
1 ;
Sea
;
(m)
n
m2N
una sucesión que converge al vector 0 2 Rn y tal que
(m)
1 ;
;
(m)
n
son números reales positivos. Entonces, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, se tiene:
l mm
0
(m)
k
= 0.
Así que, para cada k 2 f1; 2; : : : ; ng, existe una subsucesión
(m)
k
(mj )
k
, de la sucesión
j2N
, la cual es decreciente.
m2N
Por lo tanto:
l mm
1
= l mj
= l mj
=P
FX1 ;:::;Xn x1 +
1
1
FX1 ;:::;Xn x1 +
h
P
T1 h
j=1
= P ([X1
(m)
1 ;
X1
X1
x1 +
x1 +
x1 ; : : : ; Xn
= FX1 ;:::;Xn (x1 ;
(mj )
;
1
; xn +
(m)
n
; xn +
(mj )
; : : : ; Xn
1
(mj )
; : : : ; Xn
1
(mj )
n
xn +
xn +
(mj )
n
(mj )
n
xn ])
i
i
; xn ).
Teorema 13.10. n variables aleatorias reales, X1 ; : : : ; Xn , son independientes si y sólo si:
FX1 ;:::;Xn (x1 ;
; xn ) = FX1 (x1 ) FX2 (x2 )
FXn (xn )
para cualquier vector (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
Demostración
Si X1 ; : : : ; Xn , son independientes , la relación
364
13. FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
FX1 ;:::;Xn (x1 ;
; xn ) = FX1 (x1 ) FX2 (x2 )
FXn (xn )
para cualquier vector (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn , se sigue inmediatamente de la de…nición.
Inversamente, supongamos que FX1 ;:::;Xn (x1 ;
cualquier vector (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
De…namos:
8
>
>
<
H1 = A R :
>
>
:
FXn (xn ), para
; xn ) = FX1 (x1 ) FX2 (x2 )
A es boreliano y
P [X1 2 A; X2 x2 ; : : : ; Xn xn ]
= P [X1 2 A] P [X2 x2 ] P [Xn xn ]
para cualquier vector (x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn 1
9
>
>
=
>
>
;
H1 es entonces un d-sistema que contiene a todos los intervalos de la forma ( 1; x], los
cuales forman un -sistema que genera a los borelianos. Con base en el teorema de clases
monótonas se concluye entonces que H1 contiene a todos los borelianos. Es decir:
P [X1 2 A; X2
x2 ; : : : ; Xn
para cualquier boreliano A
xn ] = P [X1 2 A] P [X2
x2 ]
P [Xn
xn ]
R y cualquier vector (x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn 1 .
Sea j 2 f1; 2; : : : ; ng y supongamos que A1 ; A2 ; : : : ; Aj son j conjuntos borelianos de R tales
que:
P [X1 2 A1 ; X2 2 A2 ; : : : ; Xj 2 Aj ; Xj+1
= P [X1 2 A1 ] P [X2 2 A2 ]
xj+1 ; Xj+2
P [Xj 2 Aj ] P [Xj+1
xj+2 ; : : : ; Xn
xj+1 ] P [Xj+2
xn ]
xj+2 ]
P [Xn
xn ]
para cualquier vector (xj+1 ; xj+2 ; : : : ; xn ) 2 Rn j .
De…namos:
8
>
>
>
>
<
H= B R:
>
>
>
>
:
B es boreliano y
P [X1 2 A1 ; X2 2 A2 ; : : : ; Xj 2 Aj ; Xj+1 2 B; Xj+2
= P [X1 2 A1 ] P [X2 2 A2 ]
P [Xj 2 Aj ] P [Xj+1 2 B] P [Xj+2 xj+2 ]
P [Xn
n (j+1)
para cualquier vector (xj+2 ; : : : ; xn ) 2 R
xj+2 ; : : : ; Xn
9
>
>
>
xn ] >
=
>
>
>
>
;
xn ]
H es entonces un d-sistema que contiene a todos los intervalos de la forma ( 1; y], los
cuales forman un -sistema que genera a los borelianos. Con base en el teorema de clases
monótonas, se concluye entonces que H contiene a todos los borelianos. Es decir:
P [X1 2 A1 ; X2 2 A2 ; : : : ; Xj 2 Aj ; Xj+1 2 B; Xj+2
xj+2 ; : : : ; Xn
xn ]
= P [X1 2 A1 ] P [X2 2 A2 ]
P [Xj 2 Aj ] P [Xj+1 2 B] P [Xj+2
para cualquier boreliano B
R y cualquier vector (xj+2 ; : : : ; xn ) 2 Rn
xj+2 ]
P [Xn
(j+1)
.
xn ]
13.5. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTAS
365
Partiendo de que H1 contiene a todos los borelianos de R y aplicando el resultado anterior
n veces, se obtiene que:
P [X1 2 A1 ; X2 2 A2 ; : : : ; Xn 2 An ] = P [X1 2 A1 ] P [X2 2 A2 ]
P [Xn 2 An ]
para cualquier colección A1 ; A2 ; : : : ; An de n conjuntos borelianos de R.
Por lo tanto, X1 ; : : : ; Xn , son independientes.
CAPÍTULO 14
Esperanza y leyes de los grandes números
14.1. Esperanza de una variable aleatoria
Uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad es el de esperanza de una
variable aleatoria. Su importancia es comparable con la del concepto mismo de probabilidad
de un evento. De hecho, el concepto de esperanza y el de probabilidad surgieron en forma
paralela cuando, a mediados del siglo XV II, se inicia el Cálculo de Probabilidades. Fue
Christiaan Huygens quien introdujo este concepto en su libro Du calcul dans les jeux de
hasard, publicado en el año 1657 ([49]). En esa época, Blaise Pascal y Pierre de Fermat
habían resuelto algunos problemas de probabilidad, con métodos que sentarían las bases
para el desarrollo de una nueva disciplina matemática, el Cálculo de Probabilidades. Huygens
resolvió, con sus propios métodos, los problemas que antes habían resuelto Pascal y Fermat
y algunos otros más.
Uno de los aspectos interesantes de la metodología utilizada por Huygens es que en ningún
momento se consideran ahí probabilidades de eventos, todas las soluciones están basadas
en el cálculo de esperanzas, lo cual hacía ver ya que este concepto podía tomarse como
primario, previo incluso al de probabilidad de un evento, y a partir de él desarrollar la nueva
disciplina. La historia no fue de ese modo pues el concepto que prevaleció como primario fue
el de probabilidad. Sin embargo, la historia misma mostraría más adelante que esta dualidad
de importancia, entre el concepto de esperanza y el de probabilidad, que se dio al inicio del
desarrollo de la teoría de la probabilidad como disciplina matemática, tenía fuertes raíces
pues al evolucionar el concepto de probabilidad, hasta fusionarse con el de medida en los
primeros años de este siglo, resultó palpable la estrecha relación entre ambos conceptos, de
tal manera que, efectivamente, cualquiera de los dos puede tomarse como punto de partida,
quedando inmersos uno dentro del otro. Esto último ya no únicamente dentro del contexto
de la teoría de la probabilidad, sino dentro del contexto más amplio de la teoría de la medida,
donde el concepto de probabilidad corresponde al de medida y el de esperanza al de integral.
Definición 14.1. Si X es una variable aleatoria no negativa, de…nimos la esperanza de X,
E [X], de la siguiente manera:
R
E [X] =
XdP .
367
368
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Definición 14.2. Diremos que la variable aleatoria X tiene esperanza …nita si E [jXj] < 1.
En ese caso de…nimos su esperanza de la siguiente manera:
E [X] = E [X + ]
E [X ].
La Esperanza de una variable aleatoria tiene las mismas propiedades que la integral, es decir,
se tiene la linealidad, el teorema de la convergencia monótona, el lema de Fatou, etcétera.
Además, algunas propiedades útiles son las siguientes:
Teorema 14.1. Si X es una variable aleatoria real no negativa, entonces E [f (X)] =
R1
+
+
f (x) dFX (x) para cualquier función boreliana f : R 7! R .
0
Demostración
+
X es una función de…nida sobre con valores en R , así que, de acuerdo con la proposi+
+
ción 8.14, genera una medida X sobre R ;
R
, la cual está de…nida por X (B) =
+
+
P [X 2 B]; además, si f : R 7! R es una función medible, se tiene:
R
R
+ fd
=
f XdP .
X
R
Pero X es la medida generada por la función de distribución de X, así que se tiene:
R
R
+ f dFX =
f XdP .
R
Proposición 14.1. Sea X una variable aleatoria real no negativa, entonces:
R1
E [X] = 0 [1 FX (x)] dx.
Demostración
hR
i R R
R1R
X
1
E [X] = E 0 dx =
I[0;X] (x) dxdP = 0
I[0;X] (x) dP dx
0
=
R1
0
P [X
x] dx =
R1
0
P [X > x] dx =
Corolario 14.1. E [X + ] =
R1
0
R1
0
[1
FX (x)] dx.
P [X > x] dx y E [X ] =
R0
1
P [X < x] dx.
Demostración
R1
R1
E [X + ] = 0 P [X + > x] dx = 0 P [X > x] dx.
R1
R1
R0
E [X ] = 0 P [X > x] dx = 0 P [X < x] dx = 1 P [X < x] dx.
Corolario
14.2. Una variable
aleatoria real X tiene esperanza …nita si y sólo si las inteR1
R0
grales 0 P [X > x] dx y 1 P [X < x] dx convergen.
14.1. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
369
Corolario 14.3. Si X es una variable aleatoria real de esperanza …nita, entonces:
R0
R1
E [X] = 0 P [X > x] dx
P [X < x] dx.
1
Obsérvese que, como FX (x ) = P [X < x] y el conjunto de discontinuidades de FX es a lo
más Rin…nbito numerable,RP [X < x] = FX (x) excepto a lo más en un conjunto numerable, así
0
0
que 1 P [X < x] dx = 1 FX (x)dx. Además, P [X > x] = 1 FX (x), así que entonces se
tiene el siguiente resultado:
Teorema
R 1 14.2. Sea X una variable
R 0 aleatoria real, entonces X tiene esperanza …nita si y
sólo si 0 [1 FX (x)] dx < 1 y 1 FX (x)dx < 1 y, en ese caso, se tiene:
R1
R0
E [X] = 0 [1 FX (x)] dx
F (x)dx.
1 X
R0
R1
Cuando se tiene 0 P [X > x] dx = 1 y 1 P [X < x] dx < 1, se de…ne E [X] = 1,
R1
R0
mientras que cuando 0 P [X > x] dx < 1 y 1 P [X < x] dx = 1, se de…ne E [X] = 1.
Cuando ambas integrales sean divergentes, entonces la esperanza de X no está de…nida.
Proposición 14.2. Sea X una variable aleatoria real no negativa y
no decreciente, continua por la derecha y nula en x = 0, entonces:
R1
E [ (X)] = 0 P [X x] d (x).
: R+ ! R una función
Demostración
R
R R1
E [ (X)] =
(X (!)) dP (!) =
I[0;X(!)] (x) d (x) dP
0
R1 R
R1
= 0
I[0;X(!)] (x) dP d (x) = 0 P [X x] d (x).
Teorema 14.3. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes de esperanza …nita,
entonces XY también tiene esperanza …nita y E [XY ] = E [X] E [Y ].
Demostración
P
'= m
k=1 bk IEk , en donde b1 ; : : : ; bm son números reales y E1 ; : : : ; Em son conjuntos medibles.
Supongamos primero que X y Y son variables aleatorias discretas no negativas.
Sea VX el conjunto de posibles valores de X, entonces:
R1
E [XY ] = 0 P [XY > z] dz
R1P
= 0
x2VX P [XY > z; X = x] dz
R1
P
= fx2VX :x>0g 0 P Y > xz ; X = x dz
R1
P
= fx2VX :x>0g 0 xP [Y > y; X = x] dy
370
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
P
R1
xP [X = x] P [Y > y] dy
R1
P
= fx2VX :x>0g xP [X = x] 0 P [Y > y] dy
=
fx2VX :x>0g
0
= E [X] E [Y ].
Sean ahora X y Y dos variables aleatorias independientes no negativas. De acuerdo con el
teorema 7.3, existen dos sucesiones (Xn )n2N y (Yn )n2N de variables aleatorias discretas no
negativas tales que Xn Xn+1 y Yn Yn+1 para cualquier n 2 N y l mn 1 Xn (!) = X(!)
y l mn 1 Yn (!) = Y (!) para cualquier ! 2 , lo cual implica Xn Yn
Xn+1 Yn+1 para
cualquier n 2 N y l mn 1 (Xn Yn ) (!) = (XY ) (!) para cualquier ! 2 . Además, de
acuerdo con la demostración del teorema, para cada n 2 N, existe una función medible
fn : R 7! R tal que Xn = fn (X) y Yn = fn (Y ), de manera que, por la proposición 13.4, Xn
y Yn son independientes.
De manera que, por el teorema de la convergencia monótona, se tiene:
E [XY ] = l mn
= l mn
1
1
E [Xn Yn ]
E [Xn ] l mn
1
E [Yn ] = E [X] E [Y ].
Finalmente, si X y Y dos variables aleatorias independientes cualesquiera de esperanza …nita,
se tiene:
jXY j = j(X +
X ) (Y +
Y )j
(X + + X ) (Y + + Y ).
Pero, siendo X + + X y Y + + Y variables aleatorias no negativas de esperanza …nita, su
producto también lo es, de manera que XY tiene esperanza …nita.
Además, por la proposición 13.4, X + = max(X; 0) y Y + = max(Y; 0) son independientes y,
de la misma manera, lo son X + y Y , X y Y + y X y Y . Por lo tanto:
E [XY ] = E [(X +
X ) (Y +
= E [X + Y + ] + E [X Y ]
Y )] = E [X + Y + + X Y
E [X + Y ]
= E [X + ] E [Y + ] + E [X ] E [Y ]
= (E [X + ]
E [X ]) (E [Y + ]
X +Y
X Y +]
E [X Y + ]
E [X + ] E [Y ]
E [X ] E [Y + ]
E [Y ]) = E [X] E [Y ].
Un razonamiento de inducción permite demostrar el siguiente corolario:
Corolario
de esperanza …nita,
Q 14.4. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias
Q independientes
Q
entonces nk=1 Xk también tiene esperanza …nita y E [ nk=1 Xk ] = nk=1 E [Xk ].
14.2. VARIANZA Y COVARIANZA
371
14.2. Varianza y covarianza
Definición 14.3 (Varianza). Sea X una variable aleatoria de esperanza …nita. Se de…ne
la varianza de X; V ar(X), mediante la relación:
V ar(X) = E (X
E(X))2 .
A la raíz cuadrada no negativa de la varianza se le llama la desviación estándar de X.
La varianza de una variable aleatoria mide entonces el alejamiento de los valores de X de su
esperanza. También se acostumbra decir que la varianza es una medida de la dispersión de
los valores de la variable aleatoria.
Definición 14.4 (Varianza …nita). Diremos que una variable aleatoria X tiene varianza
…nita si se cumplen las siguientes dos condiciones:
(i) X tiene esperanza …nita.
(ii) (X E [X])2 tiene esperanza …nita.
Proposición 14.3. Una variable aleatoria X tiene varianza …nita si y sólo si X 2 tiene
esperanza …nita.
Demostración
Se tiene X 2 = (X E [X])2 +2XE [X] (E [X])2 , así que si X tiene varianza …nita, entonces
X 2 tiene esperanza …nita.
Supongamos ahora que X 2 tiene esperanza …nita.
Se tiene jXj 1 + X 2 y (X E [X])2 = X 2 2XE [X] (E [X])2 . De manera que tanto X
como (X E [X])2 tienen esperanza …nita. Es decir, X tiene varianza …nita.
Proposición 14.4. Sea X una variable aleatoria de esperanza …nita, entonces:
V ar(X) = E [X 2 ]
(E [X])2 .
Demostración
Si X no tiene varianza …nita entonces X 2 no tiene esperanza …nita, así que se cumple la
igualdad. Si X tiene varianza …nita, entonces X 2 tiene esperanza …nita y se tiene:
V ar(X) = E (X
E(X))2 = E X 2
= E [X 2 ]
2 (E [X])2 + (E [X])2
= E [X 2 ]
(E [X])2 .
2XE(X) + (E [X])2
372
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Proposición 14.5. Sean X y Y dos variables aleatorias de varianza …nita. Entonces, XY
tiene esperanza …nita.
Demostración
Para cualquier par de números reales x y y, se tiene jxyj
1 2
X + 21 Y 2 .
2
1
2
(x2 + y 2 ). Así que, jXY j
Por lo tanto, XY tiene esperanza …nita.
Corolario 14.5. Si X y Y son dos variables aleatorias de varianza …nita y a y b son dos
números reales cualesquiera, entonces aX + bY tiene varianza …nita.
Demostración
(aX + bY )2 = a2 X 2 + 2abXY + b2 Y 2 , así que, por las proposiciones 14.5 y 14.3, aX + bY
tiene varianza …nita.
Definición 14.5 (Covarianza). Sean X y Y dos variables aleatorias de varianza …nita. Se
de…ne la covarianza de X y Y , Cov(X; Y ), mediante la relación:
Cov(X; Y ) = E [(X
E [X]) (Y
E [Y ])] = E [XY ]
E [X] E [Y ].
Proposición 14.6. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes de varianza …nita,
entonces Cov(X; Y ) = 0.
Demostración
El resultado es inmediato pues X y Y son independientes y tienen esperanza …nita, así que
E [XY ] = E [X] E [Y ].
El siguiente ejemplo muestra que la covarianza entre dos variables aleatorias puede ser cero
sin que éstas sean independientes.
Ejemplo 14.1. Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por:
8 1
< 4 si x 2 f 1; 1g
1
si x = 0
f (x) =
2
:
0 en otro caso
y sea Z una variable aleatoria, independiente de X, con distribución uniforme en el conjunto
f 1; 1g. De…namos la variable aleatoria Y de la siguiente manera:
Y =
Z si X = 0
0 en otro caso
Se tiene entonces:
14.2. VARIANZA Y COVARIANZA
373
fY (y) = P [Y = y] = P [Y = y; X = 0] + P [Y = y; X 6= 0]
= P [Z = y; X = 0] + P [Y = y; X 6= 0]
= P [Z = y] P [X = 0] + If0g (y)P [X 6= 0]
8 1
< 4 si y 2 f 1; 1g
1
si y = 0
= 41 If 1;1g (y) + 12 If0g (y) =
: 2
0 en otro caso
fX;Y (x; y) = P [X = x; Y = y]
= P [X = x; Y = y; X = 0] + P [X = x; Y = y; X 6= 0]
= If0g (x)P [Z = y; X = 0] + If0g (y)If
1;1g (x)P
= If0g (x)P [Z = y] P [X = 0] + If0g (y)If
= 41 If0g (x)If
=
1;1g (y)
+ 14 If0g (y)If
[X = x]
1;1g (x)P
[X = x]
1;1g (x)
1
4
si x = 0; y 2 f 1; 1g ó y = 0; x 2 f 1; 1g
0 en otro caso
Así que, por ejemplo, P [X = 1; Y = 1] 6= P [X = 1] P [Y = 1], de manera que X y Y no son
independientes. Por otro lado, E [X] = E [Y ] = E [XY ] = 0, de manera que Cov(X; Y ) = 0.
Proposición 14.7. Sean X y Y dos variables aleatorias de varianza …nita y a y b dos
números reales cualesquiera. Entonces Cov(aX; bY ) = abCov(X; Y ).
Demostración
Cov(aX; bY ) = E [aXbY ]
E [aX] E [bY ] = ab (E [XY ]
E [X] E [Y ])
= abCov(X; Y ).
Teorema 14.4. Sean X; X1 ; : : : ; Xn n+1 variables aleatorias de esperanza …nita. Entonces:
(i) V ar(X) = 0 si y sólo si existe una constante c tal que P [X = c] = 1.
(ii) V ar(aX + b) = a2 V ar(X) para cualesquiera constantes
Pn a y b.
(iii) Si X1 ; : : : ; Xn tienen varianza …nita, entonces
i=1 Xi también tiene varianza
…nita y: P
P
P
V ar( ni=1 Xi ) = ni=1 V ar(Xi ) + 2 fi;j2f1;:::;ng:i<jg Cov(Xi ; Yj ).
Demostración
1. V ar(X) = 0 si y sólo si E (X E(X))2 = 0, lo cual, por la proposición 7.13, ocurre si
y sólo si P (X E(X))2 = 0 = 1, es decir, P [X = E(X)] = 1.
374
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
2. V ar(aX + b) = E (aX aE [X])2 = a2 E (X E [X])2 = a2 V ar(X).
P
3. Que ni=1 Xi tiene varianza …nita se sigue del corolario 14.5 y un razonamiento de inducción. Además:
hP
i
hP
i
P
Pn
2
2
n
V ar( ni=1 Xi ) = E ( ni=1 Xi
E
[X
])
=
E
(
(X
E
[X
]))
i
i
i
i=1
i=1
P
E [Xi ])2 + 2 fi;j2f1;:::;ng:i<jg E [(Xi E [Xi ]) (Xj E [Xj ])]
P
P
= ni=1 V ar(Xi ) + 2 fi;j2f1;:::;ng:i<jg Cov(Xi ; Yj ).
Corolario
Pn 14.6. Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias
Pindependientes
Pn y de varianza …nita,
n
entonces i=1 Xi también tiene varianza …nita y V ar( i=1 Xi ) = i=1 V ar(Xi ).
=
Pn
i=1
E (Xi
Teorema 14.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sean X y Y dos variables aleatorias
cualesquiera, entonces:
p
p
E [jXY j]
E [X 2 ] E [Y 2 ].
p
p
E [X 2 ] E [Y 2 ] si y
Además, si X y Y tienen varianza …nita, entonces jE [XY ]j =
sólo si existen constantes a y b tales que por lo menos una de ellas es distinta de cero y
P [aX + bY = 0] = 1.
Demostración
Si E [X 2 ] = 1 o E [Y 2 ] = 1 la desigualdad es obvia.
Supongamos ahora que E [X 2 ] < 1 y E [Y 2 ] < 1, es decir, que tanto X como Y tienen
varianza …nita.
Sea
Si
1
= (E [Y 2 ]) 2 y
1
= (E [X 2 ]) 2 .
= 0, se tiene E [X 2 ] = 0, de manera que:
P [jXY j = 0]
P [X = 0] = P [X 2 = 0] = 1
Por lo tanto, E [jXY j] = 0. Así que se cumple la desigualdad.
De la misma manera, si
= 0, entonces E [jXY j] = 0. Así que se cumple la desigualdad.
Supongamos ahora que
>0y
Sabemos que
0
E ( jXj
Así que,
jXj
jY j tiene varianza …nita y se tiene:
jY j)2 =
E [jXY j]
> 0.
2
E [X 2 ] +
2
E [Y 2 ]
0. Es decir, E [jXY j]
E [jXY j] = 2
2
2 2
2
E [jXY j].
.
Para
parte, supongamos primero que X y Y tienen varianza …nita y que jE [XY ]j =
p la segunda
p
2
2
E [X ] E [Y ].
14.2. VARIANZA Y COVARIANZA
De…niendo, como antes,
1
= (E [Y 2 ]) 2 y
375
1
= (E [X 2 ]) 2 , se tiene:
Si = 0 y = 0, entonces P [X = 0] = P [Y = 0] = 1. Por lo tanto P [X = 0; Y = 0] = 1.
De manera que, tomando en consideración que P [X = 0; Y = 0] P [X + Y = 0], se tiene
P [X + Y = 0] = 1. Es decir, se tiene el resultado deseado con a = b = 1.
Si
6= 0 ó
6= 0 se tienen los siguientes dos casos:
Si E [XY ] > 0, entonces:
0
E ( X
Y )2 = 2
Así que, E ( X
2 2
2
E [XY ] = 0.
Y )2 = 0, de lo cual se sigue P [ X
Es decir, se tiene el resultado deseado con a =
yb=
Y = 0] = 1.
.
Si E [XY ] < 0, entonces:
0
E ( X + Y )2 = 2
2 2
+2
E [XY ] = 0.
Así que, E ( X + Y )2 = 0, de lo cual se sigue P [ X + Y = 0] = 1.
Es decir, se tiene el resultado deseado con a =
yb= .
Finalmente, supongamos que existen constantes a y b tales que por lo menos una de ellas
es distinta de cero y P [aX + bY = 0] = 1. Supongamos, por ejemplo, que a 6= 0, entonces
P X = ab Y = 1. Así que:
i
h
2
2
2
b
(E [XY ])2 = ab 2 (E [Y 2 ]) = E
E [Y 2 ] = E [X 2 ] E [Y 2 ].
Y
a
Corolario 14.7. Sean X y Y dos variables aleatorias de varianza …nita. Entonces:
p
p
jCov(X; Y )j
V ar(X) V ar(Y ).
Además, la igualdad se cumple si y sólo si existen constantes a, b y c tales que a y b no son
ambas cero y P [aX + bY = c] = 1.
Demostración
Utilizando la proposición 14.5, se tiene:
jCov(X; Y )j = jE [(X E [X]) (Y E [Y ])]j E [jX E [X]j jY E [Y ]j]
q
q
p
p
E (X E [X])2 E (Y E [Y ])2 = V ar(X) V ar(Y ).
Si la igualdad se cumple, entonces se tiene
376
jE [(X
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
E [X]) (Y
q
E [Y ])]j = E (X
2
E [X])
q
E (Y
E [Y ])2 .
De manera que, nuevamente por la proposición 14.5, existen constantes a y b tales que no
son ambas cero y P [a (X E [X]) + b (Y E [Y ]) = 0] = 1. Es decir:
P [aX + bY = c] = 1,
donde c = aE [X] + bE [Y ].
Supongamos ahora que existen constantes a, b y c tales que a y b no son ambas cero y
P [aX + bY = c] = 1. Entonces E [aX + bY
De manera que se tiene:
P [a (X
E [X]) + b (Y
c] = 0, de lo cual se sigue c = E [aX + bY ].
E [Y ]) = 0] = 1.
Así que, por la proposición 14.5, se tiene:
jCov(X; Y )j = jE [(X
E [X]) (Y
E [Y ])]j =
p
p
V ar(X) V ar(Y ).
14.3. Desigualdad de Chebyshev
El gran impulso para el desarrollo de una teoría de la probabilidad, que le haría ganar un
lugar dentro de las matemáticas, proviene de los llamados teoremas límite, los cuales se
re…eren al comportamiento a largo plazo de sucesiones de variables aleatorias. El primero de
estos resultados, que para algunos autores marca verdaderamente el inicio de la historia de
la teoría de la probabilidad, se debe a Jacques Bernoulli, quien dedicó 20 años de su vida a
la búsqueda de una prueba matemática de la relación que existe entre la probabilidad de un
evento y la frecuencia relativa con la que éste ocurre en una serie grande de repeticiones del
correspondiente experimento aleatorio. El resultado, conocido como teorema de Bernoulli,
se publicó en el año 1713, ocho años después de la muerte de su autor.
Puede decirse que, a partir de la publicación del teorema de Bernoulli, el motor de desarrollo
de la teoría de la probabilidad fue la búsqueda de resultados que permitieran mejorar y
generalizar ese teorema. Vendrían después los teoremas de de Moivre y de Poisson, relativos
a la aproximación de una distribución binomial mediante una distribución normal y una
distribución Poisson, respectivamente, los cuales fueron publicados en los años 1730 y 1800,
respectivamente.
Este proceso continuaría desarrollándose y recibiría un gran impulso, entre 1870 y 1900, con
los trabajos de la llamada escuela rusa, representada por Pafnuty Lvovich Chebyshev ([18],
[19], [20]), Andrei Andreyevich Markov ([66], [67], [68], [69]) y Aleksandr Mikhailovich
Lyapunov ([63], [64]), entre otros, los cuales conducirían a la forma general que se dio a los
teoremas límite, entre 1900 y 1930, con la formulación de las leyes de los grandes números
14.4. LÉY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS
377
y el teorema central del límite, tanto en su forma clásica, relativa a la convergencia a la
distribución normal, como en su forma moderna, relativa a la convergencia a cualquier otro
tipo de distribución, sobresaliendo en este periodo los trabajos de Aleksandr Yakovlevich
Khintchine, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, J. W. Lindeberg, William Feller y Paul Pierre
Lévy, entre otros.
Como puede verse, fueron más de 200 años de historia de la teoría de la probabilidad guiada
por el estudio de los teoremas límite.
Proposición 14.8. Sea X cualquier variable aleatoria y " cualquier número real positivo,
entonces:
P [jXj
1
E
"
"]
[jXj].
Demostración
R1
R"
R1
E [jXj] = 0 1 FjXj (x) dx = 0 1 FjXj (x) dx + " 1 FjXj (x) dx
R"
R"
R"
1
F
(x)
dx
=
P
[jXj
>
x]
dx
P [jXj "] dx = "P [jXj "].
jXj
0
0
0
Corolario 14.8. Sea X cualquier variable aleatoria y " cualquier número real positivo,
entonces:
P [jXj
1
E
"2
"]
[X 2 ].
Demostración
"] = P [X 2
P [jXj
"2 ]
1
E
"2
[X 2 ].
Corolario 14.9 (Desigualdad de Chebyshev). Sea X cualquier variable aleatoria de
esperanza …nita y " cualquier número real positivo, entonces:
P [jX
E [X]j
"]
1
V
"2
ar [X].
14.4. Léy débil de los grandes números
Teorema 14.6 (Ley débil de los grandes números de Chebyshev). Sea X1 ; X2 ; : : :
una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas, de varianza
…nita. Entonces:
X1 +:::+Xn
n
donde
P
! ,
es la esperanza común de X1 ; X2 ; : : :.
378
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Demostración
Para cada n 2 N, sea Yn = X1 + n +Xn . Entonces Yn es una variable aleatoria de varianza
…nita y esperanza . De manera que, por la desigualdad de Chebyshev, se tiene:
1
V
"2
j > "]
P [jYn
ar [Yn ] =
2
n"2
,
donde 2 es la varianza común de X1 ; X2 ; : : :. Tomando límites cuando n
entonces el resultado.
1 se tiene
R1
Lema 14.1. Si f : [0; 1) 7! R es una función decreciente y no negativa tal que 0 f (x)dx <
1 y (an ) una sucesión creciente de números reales positivos tal que l mn 1 an = 1, entonces
l mn 1 an f (an ) = 0.
Demostración
La sucesión (sn ), en donde sn =
P
sn = fk2N:k
R an
f (x)dx
0
an g
Rk
k 1
R1
0
P
P
f (k)dx
fk2N:k an g
fk2N:k an g
f (x)dx.
f (k), es no decreciente y se tiene:
Rk
k 1
f (x)dx
Así que (sn ) converge y es, por lo tanto, una sucesión de Cauchy.
Entonces, dada
natural M tal que si n
P " > 0 existe un número
"
"
,
es
decir
f
(k)
<
.
fk2N:am <k an g
2
2
m
M entonces sn
sm <
Sea ahora N tal que an > 2(aM + 1) para cualquier
n > N , se tiene entonces, para n > N ,
P
"
an 2(aM + 1) > 0 y (an aM 1)f (an )
fk2N:aM <k an g f (k) < 2 . Así que:
an f (an ) < 2(an
aM
1)f (an ) < ",
lo cual prueba el resultado.
Proposición 14.9. Si X es una variable aleatoria de esperanza …nita y (an ) una sucesión
creciente de números reales positivos tal que l mn 1 an = 1, entonces:
l mn
1
an P [X > an ] = l mn
1
an P [X <
an ] = 0.
Demostración
Como X tiene esperanza …nita, se tiene:
R1
R1
P
[X
>
x]
dx
=
[1 FX (x)] dx < 1,
0
0
R1
R1
R1
P [X < x] dx
P [X
x] dx = 0 FX ( x) < 1.
0
0
14.4. LÉY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS
Además, las funciones x 7! P [X > x] y x 7! P [X <
el intervalo [0; 1).
379
x] son no negativas y decrecientes en
El resultado se sigue entonces del lema 14.1.
Lema 14.2. Sea X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas, de esperanza …nita y (an ) una sucesión creciente de números reales
positivos tal que l mn 1 an = 1. Para n; k 2 N, de…namos:
Ykn =
Xk si jXk j an
.
0
en otro caso
Entonces, …jando n, las variables aleatorias Y1n ; Y2n ; : : : tienen la misma distribución. Además,si
n
n
n es la esperanza común de Y1 ; Y2 ; : : :, entonces l mn 1 n = .
Demostración
FYkn (x) = P [Ykn
= P [Xk x; jXk j
8
0
>
>
<
P [ an Xk
=
P [ an Xk
>
>
: 1
x] = P [Ykn
an ] + P [Ykn
x; jXk j
an ] + P [Ykn
x; jXk j > an ]
x; jXk j > an ]
si x < an
x]
si
an x < 0
x] + P [jXk j > an ] si 0 x an
si x > an
8
0
si x < an
>
>
<
P [ an Xk x]
si
an x < 0
=
P [Xk x] + P [Xk > an ] si 0 x an
>
>
: 1
si x > an
8
0
si x < an
>
>
<
FXk (x) P [Xk < an ] si
an x < 0
=
F
(x)
+
P
[X
>
a
]
si
0
x an
>
X
k
n
>
: 1 k
si x > a
n
De manera que, …jando n, las variables aleatorias Y1n ; Y2n ; : : : tienen la misma distribución.
Además:
R1
R1
n
1 FY1n (x) dx
FY1n ( x)dx
n = E [Y1 ] = 0
0
Ra
R an
= 0 n 1 FY1n (x) dx
FY1n ( x)dx
0
Ra
R an
= 0 n [1 FX1 (x) P [X1 > an ]] dx
[FX1 ( x) P [X1 < an ]] dx
0
Ra
R an
= 0 n [1 FX1 (x)] dx an P [X1 > an ]
FX1 ( x)dx + an P [X1 < an ]
0
380
=
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
R an
0
[1
R an
FX1 (x)] dx
0
FX1 ( x)dx + an P [X1 <
Así que, utilizando la proposición 14.9, l mn
1
n
an ]
an P [X1 > an ].
= E [X1 ] = .
El siguiente resultado fue demostrado por Aleksandr Yakovlevich Khintchine en el año 1928
([51]):
Teorema 14.7 (Ley débil de los grandes números de Khintchine). Sea X1 ; X2 ; : : : una
sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas, de esperanza
…nita . Entonces:
X1 + +Xn
n
P
! .
Demostración
Sea es el valor común de E [jX1 j], E [jX2 j] ; : : :. Si
entonces que > 0.
Dada
= 0, el resultado es trivial. Supongamos
> 0, de…namos, para n; k 2 N:
"2
n
8
an =
Xk si jXk j an
0
en otro caso
y Ykn =
Por el lema 14.2, …jando n, las variables aleatorias Y1n ; Y2n ; : : : tienen la misma distribución
y si n es la esperanza común de Y1n ; Y2n ; : : :, entonces l mn 1 n = .
Por otra parte, para cualesquiera n; k 2 N, se tiene (Ykn )2
…nita.
Además, jYkn j
E (Ykn )2
2
n
jXk j y jYkn j
an , así que, si
E [an jXk j] = an E [jXk j] =
2
n
a2n , así que Ykn tiene varianza
es la varianza común de Y1n ; Y2n ; : : :, se tiene:
"2
nE
8
n"2
.
8
[jXk j] =
Ahora bien, como l mn 1 n = y l mn 1 an P [X1 > an ] = 0, existe N tal que j
2
y an P [X1 > an ] < 2 para cualquier n > N .
Entonces, para n > N , se tiene:
X1 + +Xn
n
P
P
P
h
h
>"
i
> " + P [Ykn 6= Xk para alguna k
Y1n + +Ynn
n
Y1n + +Ynn
n
n
>
"
2
i
+ P [Ykn 6= Xk para alguna k
Pero, por la desigualdad de Chebyshev, se tiene:
n]
n].
n
j<
"
2
14.5. LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS
P
h
Y1n + +Ynn
n
n
>
Además:
"
2
i
4 2n
n"2
2
381
.
Pn
n
P [Ykn 6= Xk para alguna k n]
k=1 P [Yk 6= Xk ]
P
= nk=1 P [jXk j > an ] = nP [X1 > an ]
=
n
a P
an n
[X1 > an ] = 1 an P [X1 > an ] < 2 .
Así que:
P
X1 + +Xn
n
>"
2
+
2
= ,
lo cual prueba el resultado.
El método utilizado por Khintchine en la proposición anterior es conocido como el método
de truncación. Fue introducido por Markov en el año 1913 con relación a un teorema de
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, el cual generaliza el teorema de de Moivre.
14.5. Ley fuerte de los grandes números
Sea X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas, de varianza …nita y esperanza común . La ley débil de los grandes números
P
establece que X1 + n +Xn ! . En el año 1930 Andrey Nikolaevich Kolmogorov mostró que
este resultado puede mejorarse demostrando que la convergencia a se da no sólo en probabilidad sino también con probabilidad 1, la cual, como ya vimos, es un tipo de convergencia
más fuerte.
Como vimos antes, la demostración de que la sucesión Yn = X1 + n +Xn converge a en probabilidad está basada en la desigualdad de Chebyshev, de la cual se obtiene que P [jYn
j > "]
K
, en donde K es una constante. De la proposición 10.3 puede verse, que P
para demostrar que
n
j > "] <
la sucesión Yn converge a con probabilidad 1 bastaría con demostrar que 1
n=1 P [jYn
1 para cualquier " > 0. Para probar esto no basta con aplicar la desigualdad
P de Cheby1
shev puesto que ésta únicamente establece que P [jYn
j > "] Kn y la serie 1
n=1 n no es
convergente.
El resultado de Kolmogorov tiene su origen en el teorema de Borel, publicado en el año 1909,
el cual se enuncia y demuestra a continuación (la demostración no es la original de Borel,
sino la de Hausdor¤):
Teorema 14.8 (Teorema de Borel). Sea E un experimento aleatorio y A un evento relativo
a ese experimento, de probabilidad igual a p. Consideremos un nuevo experimento aleatorio
consistente en la repetición inde…nida del experimento E, de tal manera que cada repetición
es independiente de las otras. Sea Xn el número de veces que ocurre el evento A en las
c:s:
primeras n repeticiones del experimento, entonces Xnn ! p.
382
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Demostración
Sabemos que Xn tiene distribución binomial de parámetros n y p. Así que:
E [Xn ] = np,
E [Xn2 ] = np + n(n
1)p2 ,
E [Xn3 ] = np + 3n(n
1)p2 + n(n
E [Xn4 ] = np + 7n(n
1)p2 + 6n(n
Por lo tanto:
h
i E X4
4
[ ]
E Xnn p
= n4n
=
1
p (1
n3
p) [3np(1
4
p)
1)(n
E [Xn3 ]
p
n3
6p(1
2)p3 ,
1)(n
+6
2)p3 + n(n
E [Xn2 ] 2
p
n2
p) + 1] <
1)(n
2)(n
3)p4 .
n] 3
4 E[X
p + p4
n
1
4n3
3n
4
+n <
1
.
n2
Sabemos además que si X es cualquier variable aleatoria y " cualquier número real positivo,
entonces P [jXj "] 1" E [jXj], así que:
P
E
Xn
n
p >"
P
La serie 1
n=1 P
el corolario 10.3,
Xn
n
Xn
n
h
( Xn
"4
4
p)
i
<
1
.
n2 "4
p > " es entonces convergente para cualquier " > 0. Así que, por
c:s:
c:s:
p ! 0, es decir, Xnn ! p.
El teorema de Borel equivale a decir que si X1 ; X2 ; : : : es una sucesión de variables aleatorias
c:s:
independientes, todas con distribución Bernoulli de parámetro p, entonces X1 + n +Xn ! p.
El método de Kolmogorov para probar la convergencia con probabilidad 1 de la sucesión
n
Yn = X1 +:::+X
está basado en una desigualdad más general que la de Chebyshev y que él
n
mismo demuestra, por lo cual es llamada la desigualdad de Kolmogorov. Aquí daremos una
versión ligeramente modi…cada de la demostración original.
Teorema 14.9 (Desigualdad de Kolmogorov). Sean X1 ; : : : ; Xn n variables aleatorias
independientes de varianza …nita y " cualquier número real positivo, entonces:
P
max jSj
1 j n
E [Sj ]j > "
1
V
"2
donde, para j 2 f1; : : : ; ng, Sj =
Demostración
ar [Sn ],
Pj
i=1
Xi .
Supongamos primero que E [Xk ] = 0 para cualquier k 2 f1; : : : ; ng. Entonces también se
tiene E [Sk ] = 0 para cualquier k 2 f1; : : : ; ng.
14.5. LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS
Sea A =
Ak =
!2
: max jSk (!)j > "
1 k n
! 2 A : max jSj (!)j
1 j k 1
donde max jSj (!)j
383
y, para k 2 f1; : : : ; ng:
"; jSk (!)j > " ,
0.
1 j 0
S
Entonces, los eventos A1 ; : : : ; An son mutuamente excluyentes y A = nk=1 Ak . Así que:
P
P
P
E [Sn2 IA ] = E [Sn2 nk=1 IAk ] = nk=1 E [Sn2 IAk ] = nk=1 E (Sk + Sn Sk )2 IAk
P
= nk=1 E Sk2 + 2Sk (Sn Sk ) + (Sn Sk )2 IAk
P
P
P
= nk=1 E [Sk2 IAk ] + 2 nk=1 E [Sk (Sn Sk ) IAk ] + nk=1 E (Sn Sk )2 IAk .
Pero, por la proposición 13.5 y el corolario 7.7, Sk IAk y Sn Sk son independientes y tienen
esperanza …nita, de manera que, por la proposición 14.4, se tiene:
Sk )] = E [Sk IAk ] E [Sn
E [Sk IAk (Sn
= E [Sk IAk ] E [Sn
Sk ]
Sk ] = 0.
Por lo tanto:
V ar [Sn ] = E [Sn2 ]
Pn
2
k=1 E [Sk IAk ]
= "2 P
max jSj
1 j n
P
P
E [Sn2 IA ] = nk=1 E [Sk2 IAk ] + nk=1 E (Sn Sk )2 IAk
Pn
Pn
2
2
2
k=1 P (Ak ) = " P (A)
k=1 " E [IAk ] = "
E [Sj ]j > " ,
de lo cual se sigue el resultado.
Para el caso general, sea Yk = Xk E [Xk ] para k 2 f1; : : : ; ng. Entonces, las variables aleatoP
P
rias Y1 ; : : : ; Yn son independientes, tienen varianza …nita, ji=1 Yi = ji=1 (Xi E [Xi ]) y
E [Yj ] = 0 para cualquier j 2 f1; : : : ; ng. De manera que si " es cualquier número real
P
positivo y Sj = ji=1 Xi para cualquier j 2 f1; : : : ; ng, entonces:
P
max jSj
E [Sj ]j > " = P
1 j n
1
V
"2
ar
hP
j
i=1
i
Yi =
1
V
"2
ar [Sn ].
max
1 j n
Pj
i=1
Yi > "
384
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Teorema 14.10 (Ley fuerte de los grandes números (1) de Kolmogorov). Sea
X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes, de varianza …nita, esperanza
P
2
2
n
nula y tales que 1
n=1 n2 < 1, donde n es la varianza de Xn . Entonces:
X1 + +Xn
n
c:s:
! .
Demostración
P
Para cada n 2 N sea Sn = nk=1 Xk y, para cada " > 0, sea:
n
o
A" = ! 2 : Snn(!) > " para una in…nidad de valores de n .
Por la proposición 10.1, para probar el resultado basta con demostrar que P (A" ) = 0 para
cualquier " > 0. Para esto de…namos:
o
n
Bn;" = ! 2 : Skk(!) > " para alguna k 2 N tal que 2n 1 < k 2n .
Evidentemente se tiene:
A" = f! 2
: ! 2 Bn;" para una in…nidad de valores de ng.
De manera que, por el lema de Borel-Cantelli,
para probar que P (A" ) = 0 para cualquier
P
P
(B
)
<
1 para cualquier " > 0. Pero, utilizando
" > 0, basta con demostrar que 1
n;"
n=1
la desigualdad de Kolmogorov, se tiene:
P (Bn;" ) = P
P
max
1
2n
1
"2 22n
<k 2n
2
max
2n 1 <k
2n
Sk
k
jSk j > "2n
V ar [S2n ] =
Así que:
P1
n=1 P (Bn;" )
4
"2
4
"2 22n
>" =P
1
k=1
P1
1
n=1 22n
max
1
<k 2n
jSk j > k"
max jSk j > "2n
P
P2n
2n
1
1 k 2n
2
k.
P2n
k=1
2
k
=
4
"2
P1
k=1
2
k
P
1
fn2N:k 2n g 22n .
Sea ahora n0 el más pequeño número natural tal que k
P
P1
1
1
4
4
.
fn2N:k 2n g 22n =
n=n0 22n = 22n0
k2
Así que:
P1 2 P
k=1
k
fn2N:k
Por lo tanto:
2n g
1
22n
4
P1
k=1
2
k
2
k
< 1.
2n0 , entonces:
14.5. LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS
P1
n=1
P (Bn;" )
4
"2
P1
k=1
P
2
k
1
fn2N:k 2n g 22n
385
< 1.
Corolario 14.10. Sea X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes, de
P
2
2
n
varianza …nita y tales que 1
n=1 n2 < 1, donde n es la varianza de Xn . Entonces:
P
P l mn 1 n1 nk=1 (Xk E [Xk ]) = 0 = 1.
Para el caso en que las variables aleatorias X1 ; X2 ; : : : sean idénticamente distribuidas se
cumple la ley fuerte con la única condición de que la esperanza común de X1 ; X2 ; : : : sea
…nita. La demostración de este resultado se debe también a Kolmogorov y el método de
demostración es el de truncación, el cual fue utilizado en la demostración de la ley débil. Se
requieren además algunos resultados previos, los cuales se exponen a continuación:
Lema 14.3. Sea X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas de esperanza …nita . Para n 2 N, de…namos:
Yn =
Xn si jXn j n
0
en otro caso
Entonces:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
l mn 1 E [Yn ] = .
Yn tiene varianza …nita para cualquier n 2 N.
P1 2n
2
n=1 n2 < 1, en donde n es la varianza de Yn .
P [f! 2 : existe N (!) tal que Yn (!) = Xn (!) para cualquier n
Demostración
1. Se tiene:
8
>
>
<
FY n (x) =
>
>
:
0
P [ n Xn x]
P [jXn j > n] + P [ n
1
Xn
8
0
si x < n
>
>
<
P [ n Xn x]
si
n x<0
=
1 P [x < Xn n] si 0 x n
>
>
: 1
si x > n
si x < n
si
n x<0
x] si 0 x n
si x > n
Así que:
R1
Rn
E [Yn ] = 0 [1 FY n (x)] dx
FY n ( x)dx
0
Rn
Rn
= 0 P [x < Xn n] dx
P [ n Xn
x] dx
0
Rn
Rn
= 0 P [x < X1 n] dx
P [ n X1
x] dx
0
N (!)g] = 1.
386
=
=
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Rn
0
Rn
0
[1
FX1 (x)] dx
[1
FX1 (x)] dx
Rn
0
Rn
0
Rn
P [X1 > n] dx
FX1 ( x)dx
0
FX1 ( x)dx: +
= E X12 I[j
1<jX1 j j]
+
1
22
E X12 I[j
0
P [X1 <
nP [X1 > n] + nP [X1 <
Por lo tanto, utilizando la proposición 14.9, l mn
2. Para cualquier n 2 N, se tiene jYn j
P
P1 1
P1
2
2
n
3. 1
n=1 n2
n=1 n2 E [Yn ] =
n=1
P1 1 Pn
= n=1 n2 j=1 E Xn2 I[j 1<jXn j j]
Rn
1
n] dx
n].
E [Yn ] = E [X1 ] = .
n, así que Yn tiene varianza …nita.
1
E
n2
Xn2 I[jXn j
1<jX1 j j]
n]
+ E X22 I[j
1<jX2 j j]
+:::
= E X12 I[j
1+
1<jX1 j j]
1
22
+ E X22 I[j
+
1<jX2 j j]
1
22
+
1
32
+
+
=
P1
j=1
E Xj2 I[j
1<jXj j j]
P1
1
n=j n2 .
Pero, para cualquier j 2 f2; 3; : : :g, se tiene:
R1 1
P1 1
2
= j 11
.
n=j n2
j
j 1 x2
P1 1
P
1
2.
Además, 1
n=2 n2
n=1 n2 = 1 +
P
1
2
Así que, 1
para cualquier j 2 N.
n=j n2
j
Además, tomando en cuenta que X1 ; X2 ; : : : tienen la misma distribución:
E Xj2 I[j
1<jXj j j]
jE jXj j I[j
1<jXj j j]
= jE jX1 j I[j
1<jX1 j j]
.
Por lo tanto:
P1
P1
P1 1
4
2
j=1 jE jX1 j I[j 1<jX1 j j] j
j=1 E Xj I[j 1<jXj j j]
n=j n2
P
=4 1
j=1 E jX1 j I[j 1<jX1 j j] .
P
Sea ahora Zn = nj=1 jX1 j I[j 1<jX1 j j] , entonces la sucesión de variables aleatorias Z1 ; Z2 ; : : :
es no decreciente y l mn 1 Zn (!) = jX1 (!)j para cualquier ! 2 , así que por el teorema
de la convergencia monótona:
P1
j=1 E jX1 j I[j 1<jX1 j j] = l mn 1 E [Zn ] = E [jX1 j] < 1,
de lo cual se sigue que
P1
2
n
n=1 n2
< 1.
4. P [Yn 6= Xn ] = P [jXn j > n] = P [jX1 j > n].
14.5. LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS
De manera que, utilizando la proposición 8.1:
P1
P1
P1
n=1 P [Yn 6= Xn ] =
n=1 P [jX1 j > n]
n=1 P [jX1 j
387
n] < 1.
Así que, por el lema de Borel-Cantelli, si:
A = f! 2
: Yn (!) 6= Xn (!) para una in…nidad de valores de ng,
entonces P (A) = 0.
Sea ahora:
B = f! 2
: existe N (!) talque Yn (!) = Xn (!) para cualquier n
Entonces, B
Ac , así que, P (B)
N (!)g.
P (A) = 1.
Corolario 14.11. Sea X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes e
idénticamente distribuidas de esperanza …nita. Para n 2 N, de…namos:
Yn =
Xn si jXn j n
.
0
en otro caso
Entonces:
P
!2
: l mn
1
1 n
Demostración
Pn
k=1
[Xk (!)
Yk (!)] = 0
= 1.
Por la parte iv del lema 14.3, si:
B = f! 2
: existe N (!) talque Yn (!) = Xn (!) para cualquier n
N (!)g,
entonces P (B) = 1.
Pero si ! 2 B, entonces existe N (!) tal que Xn (!)
así que:
P
l mn 1 n1 nk=1 [Xk (!) Yk (!)] = 0.
Yn (!) = 0 para cualquier n
Lema 14.4. Sea (xn ) una sucesión
convergente de números reales y sea x = l mn
Pn
1
Entonces la sucesión zn = n k=1 xk es convergente y l mn 1 zn = x.
Demostración
Sea M > 0 tal que jx
xn j
M para cualquier n 2 N.
Dada " > 0, sea m 2 N tal que jx
xn j <
"
2
Entonces, para n > max m; 2mM
, se tiene:
"
para cualquier n
m.
N (!),
1
xn .
388
14. ESPERANZA Y LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS
jzn
=
1
n
xj =
Pm
k=1
mM
n
+
1
n
jxk
Pn
k=1
xk
xj +
(n m)"
2n
"
2
1
n
+
x =
Pn
1
n
k=m+1
"
2
Pn
k=1
jxk
(xk
x)
xj
1
n
Pn
k=1
jxk
xj
= ";
lo cual signi…ca que l mn
1 zn
= x.
Teorema 14.11 (Ley fuerte de los grandes números (2) de Kolmogorov). Sea
X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas,
de esperanza …nita . Entonces:
X1 + +Xn
n
c:s:
! .
Demostración
Para cada n 2 N, sea:
Yn =
Xn si jXn j n
0
en otro caso
Por el lema 14.3, las variables aleatorias Y1 ; Y2 ; : : : tienen esperanza …nita, l mn 1 E [Yn ] =
P
2
2
n
y 1
n=1 n2 < 1, donde n es la varianza de Yn . De manera que, por el lema 14.4 y el corolario
14.10, se tiene:
P
l m n1 nk=1 E [Yk ] =
P
P ! 2 : l mn 1 n1 nk=1 (Yk (!) E [Yk ]) = 0 = 1,
de lo cual se obtiene:
P
!2
: l mn
1
1 n
Pn
k=1
Yk (!) =
Además, por el corolario 14.11:
P
P ! 2 : l mn 1 n1 nk=1 [Xk (!)
de lo cual se obtiene el resultado.
= 1.
Yk (!)] = 0
= 1,
CAPÍTULO 15
CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
15.1. Introducción
La Teoría de la Probabilidad surgió del planteamiento de problemas teóricos, los cuales
provenían de algún problema práctico. El problema de la división de apuestas, por ejemplo,
surgió al buscar determinar cómo deberían de repartirse las apuestas en un juego de azar
que se interrumpe antes de que alguno de los participantes gane el juego de acuerdo con las
reglas establecidas. Sin embargo, como lo mencionamos en el capítulo anterior, una vez que
la Teoría de la Probabilidad se formula en forma axiomática, los elementos que la componen
no requieren de una interpretación práctica. Más aún, en la formulación axiomática, no es
admisible de…nir un concepto en términos de un determinado fenómeno aleatorio, o demostrar
algún teorema utilizando propiedades de un fenómeno aleatorio. Es posible que se utilice
la Teoría de la Probabilidad para modelar algún fenómeno aleatorio y que los conceptos
que se introduzcan o las propiedades que se demuestren provengan de las características
de dicho fenómeno, o que estemos interesados en estudiar las propiedades del fenómeno en
consideración basándonos en el modelo matemático, pero, si bien éste puede ser el caso,
los elementos mismos del fenómeno o sus propiedades no forman parte del cuerpo teórico;
lo que se observa del fenómeno podría motivar introducir algún concepto o buscar algún
resultado dentro del modelo matemático que nos ayude a entender el fenómeno o darnos
una idea de sus propiedades, pero las observaciones mismas no forman parte del modelo.
Por ejemplo, el lanzamiento de un dado n veces consecutivas lo podemos modelar utilizando
como espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de los n lanzamientos,
es decir, al conjunto formado por todas las colecciones ordenadas de n números naturales
que pertenecen al conjunto f1; 2; 3; 4; 5; 6g; la familia de eventos la podemos considerar como
el conjunto potencia de , es decir la familia formada por todos los subconjuntos de ;
…nalmente, como medida de probabilidad podemos tomar la que asigna a cada subconjunto
de
el cociente que resulta de dividir el número de elementos de ese subconjunto entre
6n , el cual es el número de elementos de . Tendríamos así de…nido nuestro espacio de
probabilidad, el cual podemos pensarlo como modelo matemático del lanzamiento de n dados
en forma consecutiva, pero el modelo mismo es una abstracción, no requerimos de referirnos al
lanzamiento del dado para de…nirlo. Podríamos decir: un ejemplo de espacio de probabilidad
es el siguiente: De…namos = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, = como la familia de todos los subconjuntos
389
390
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
de y como medida de probabilidad P
tomemos a la función P : = ! R de…nida, para cada
B 2 =, mediante la relación P (B) = f!2Bg p (!), donde p (!) = 61n para cualquier ! 2 .
El espacio de probabilidad ( ; =; P ) así de…nido está formado por elementos matemáticos
abstractos que se tendrían que tratar como independientes de cualquier fenómeno aleatorio.
Como ya lo mencionamos, en algunos problemas de probabilidad se hace referencia al concepto de experimento aleatorio y se construye un espacio de probabilidad ad hoc para ese
experimento, de manera similar a como lo hicimos con el lanzamiento del dado, pero nuevamente, el espacio de probabilidad que se construye tiene que tratarse como independiente
de cualquier fenómeno aleatorio.
Un caso particular de experimento aleatorio es lo que se conoce como ensayo de Bernoulli, el
cual se de…ne como un experimento aleatorio que admite únicamente dos posibles resultados,
a uno de los cuales se le llama éxito y al otro fracaso. Utilizando este concepto, podemos,
por ejemplo, de…nir algunas variables aleatorias de interés o plantearnos algunos problemas
de probabilidad que historicamente fueron importantes para el desarrollo de la Teoría de la
Probabilidad.
Por, ejemplo, podemos considerar al experimento aleatorio que consiste en la realización
consecutiva de n ensayos de Bernoulli, cada uno de ellos independiente de los demás y tal
que la probabilidad de obtener éxito es igual a un número p 2 [0; 1], el cual es el mismo
para cada uno de los ensayos. Si de…nimos X como el número de éxitos que se obtienen
al realizar los n ensayos, X resulta ser una variable aleatoria con distribución binomial de
parámetros n y p, lo cual podemos mostrar sin necesidad de de…nir formalmente algún espacio
de probabilidad.
Como otro ejemplo, podemos considerar al experimento aleatorio que consiste en la realización consecutiva de una in…nidad de ensayos de Bernoulli, cada uno de ellos independiente
de los demás y tal que la probabilidad de obtener éxito es igual a un número p 2 [0; 1], el
cual es el mismo para cada uno de los ensayos. Si de…nimos Y como el número de fracasos que se obtienen antes de obtener éxito por primera vez al realizar el experimento, X
resulta ser una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p, lo cual, como
en el caso anterior, podemos mostrar sin necesidad de de…nir formalmente algún espacio de
probabilidad.
Como tercer ejemplo, podemos, nuevamente, considerar al experimento aleatorio que consiste
en la realización consecutiva de una in…nidad de ensayos de Bernoulli, cada uno de ellos
independiente de los demás y tal que la probabilidad de obtener éxito es igual a un número p 2
[0; 1], el cual es el mismo para cada uno de los ensayos. Pero esta vez podemos preguntarnos
por la probabilidad de obtener un número …nito de éxitos al realizar el experimento.
En el caso del primer ejemplo, no hay problema para tratarlo sin necesidad de recurrir a la
formulación axiomática que tratamos en el capítulo anterior. Pero, en el segundo ejemplo, y
sobre todo en el tercero, podemos observar un problema si no se recurre a una formulación
matemática (abstracta). El problema consiste en que la realización de una in…nidad de
15.1. INTRODUCCIÓN
391
ensayos de Bernoulli es imposible. En el segundo ejemplo podría argumentarse que no hay
tal problema ya que casi con seguridad se obtendría el primer éxito en un número …nito
de ensayos; sin embargo, sí hay problema, ya que siendo independiente cada ensayo de los
demás, en cualquiera de ellos es posible que el resultado sea fracaso; de manera que es
posible que no podamos determinar el número de fracasos que se obtienen antes de obtener
éxito por primera vez. Podríamos obtener la distribución de X imaginando que es posible
la realización del experimento, pero estaríamos partiendo de algo que es falso. En el tercer
ejemplo es completamente claro que no es posible determinar si se obtiene un número …nito
de éxitos al realizar el experimento ya que para determinarlo es necesario conocer la in…nidad
de resultados que se obtienen, lo cual no es posible.
Lo anterior muestra uno de los problemas a los que se enfrenta uno al no contar con un
modelo matemático abstracto que permita formular los problemas de una manera distinta,
dentro de un marco teórico donde no haya necesidad de realizar experimentos. Esto tiene
relación con el planteamiento de Poincaré cuando, en el año 1896, decía: “No se puede dar
una de…nición satisfactoria de la probabilidad.” y agregaba: “La de…nición completa de la
probabilidad es una especie de petición de principio... deberemos, en cada aplicación, hacer
convenciones.”Obsérvese que Poincaré incluye la frase “en cada aplicación”, lo cual nos dice
que un problema de probabilidad lo pensaba vinculado a un determinado problema práctico.
Es decir, la teoría y la aplicación estaban mezcladas en una sola cosa. Esto ilustra una
de las razones por las cuales el Cálculo de Probabilidades no era considerado en esa época
como una rama de las Matemáticas, sino de la Física, tal como lo expresó Hilbert en el año
1900: “Las investigaciones sobre los principios fundamentales de la geometría nos conducen
a plantear este problema: Tratar con base en ese modelo las ramas de la Física donde las
Matemáticas juegan actualmente un papel preponderante; esas ramas de la ciencia son, antes
que cualesquiera otras, el Cálculo de Probabilidades y la Mecánica.”
Con la formulación axiomática de la Teoría de la Probabilidad, la teoría y las aplicaciones
quedan separadas, aunque entrelazadas de alguna manera. La teoría puede ser desarrollada
independientemente de las aplicaciones que se hagan de ella, sin quedar éstas por fuera
completamente ya que son las aplicaciones las que hacen surgir y alimentan las teorías,
complementándose unas con la otras.
Pasemos a ver de qué manera se resuelve el problema que planteamos en los ejemplos anteriores al formularlos dentro del marco teórico que tenemos desarrollado.
En primer lugar, en lugar de hablar de un ensayo de Bernoulli, lo que se hace es introducir lo
que se conoce como distribución Bernoulli. Para esto se representa un éxito con el número 1 y
un fracaso con el número 0. Entonces decimos que una variable aleatoria X tiene distribución
Bernoulli, con parámetro p 2 [0; 1], si P [X = 1] = p y P [X = 1] = 1 p.
En lugar de considerar al experimento aleatorio que consiste en la realización consecutiva de
n ensayos de Bernoulli, cada uno de ellos independiente de los demás y tal que la probabilidad
de obtener éxito es igual a un número p 2 [0; 1], lo que se hace es construir un espacio de
probabilidad ( ; =; P ) en el cual se puedan de…nir n variables aleatorias independientes, cada
392
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
una con distribución Bernoulli de parámetro p. Este espacio ya lo de…nimos en el capítulo
anterior:
Sea n = f(s1 ; s2 ; : : : ; sn ) : sj 2 f0; 1g para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ngg y, para cada ! =
(s1 ; : : : ; sn ) 2 n y cada subconjunto A de , de…namos:
Q
pn (!) = nj=1 [psj + (1 p) (1 sj )],
P
P (A) = f!2Ag pn (!).
P
Como
f!2 n g pn (!) = 1, P es una medida de probabilidad de…nida sobre el conjunto
potencia de .
De…namos ahora, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, Xj :
n
! R mediante la relación:
Xj ((s1 ; s2 ; : : : ; sn )) = sj .
Entonces, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, dados r1 ; r2 ; : : : ; rk 2 f0; 1g, se tiene:
P
=
Tk
j=1
Qk
[Xj = rj ] =
j=1
P
[prj + (1
P
n :sj =rj para cualquier j2f1;:::;kgg
f(s1 ;s2 ;:::;sn )2
rj )] .
p) (1
f(sk+1 ;:::;sn ):sj 2f0;1g para cualquier j2fk+1;:::;ngg
=
Qk
j=1
[prj + (1
p) (1
rj )].
Qn
j=k+1
[psj + (1
Qn
j=1
p) (1
[psj + (1
p) (1
sj )]
sj )]
Así que, si r 2 f0; 1g, se tiene:
P [Xk = r]
P
= f(s1 ;s2 ;:::;sk
=
P
f(s1 ;s2 ;:::;sk
1 ):sj 2f0;1g
para cualquier j2f1;:::;k 1gg
1 ):sj 2f0;1g para cualquier j2f1;:::;k 1gg
= [pr + (1
p) (1
r)]
= pr + (1
p) (1
r).
P
f(s1 ;s2 ;:::;sk
P [X1 = s1 ; X2 = s2 ; : : : ; Xk
[pr + (1
p) (1
r)]
1 ):sj 2f0;1g para cualquier j2f1;:::;k 1gg
Qk
1
j=1
Qk
1
j=1
1
= sj 1 ; Xk = r]
[prj + (1
p) (1
rj )]
[prj + (1
p) (1
rj )]
Por lo tanto, para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng, Xk tiene distribución Bernoulli con parámetro
p.
Además, para cualquier (s1 ; s2; : : : ; sn ) 2
P
Tn
j=1
[Xj = sj ] =
Qn
j=1
[psj + (1
n,
p) (1
se tiene:
sj )] =
Qn
j=1
P [Xj = sj ].
15.2. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN COMO MEDIDAS
393
Así que las variables aleatorias X1 ; X2 ; : : : ; Xn son independientes.
P
Ahora, si de…nimos X : n ! R mediante la relación X = nj=1 Xj , X tiene distribución
binomial con parámetros n y p.
15.2. Funciones de distribución como medidas
En este capítulo veremos cómo, partiendo de la función de distribución conjunta de un
vector aleatorio (X1 ; : : : ; Xn ) con valores en Rn podemos obtener la medida de probabilidad
X1 ;:::;Xn asociada con el vector aleatorio.
Definición 15.1. Diremos que una función F : R 7! R es una función de distribución …nita
en 1 variable si satisface las siguientes propiedades:
(i) F es una función no decreciente y continua por la derecha.
(ii) l mx 1 FX (x) < 1
(iii) l mx 1 FX (x) = 0
Definición 15.2. Para n 2 f2; 3; : : :g, diremos que una función F : Rn 7! R es una función
de distribución …nita en n variables si satisface las siguientes propiedades:
(i)
Pn
k=0 (
1)k
Pn
(x1 ;
(k)
;xn )2S(a
1 ;b1 ;:::;an ;bn )
o
F (x1 ;
; xn )
0
para cualquier rectángulo (a1 ; b1 ]
(an ; bn ].
(m)
(m)
= F (x1 ;
; xn )
(ii) l mm 0 F x1 + 1 ;
; xn + n
para cualquier vector (x1 ;
n
; xn ) 2 Rn y cualquier sucesión
(m)
1 ;
(m)
1 ;
;
(m)
n
m2N
(m)
n
que converja al vector 0 2 R y tal que
;
sean números reales positivos.
(iii) l mx 1 F (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn ) = 0
para cualquier (x1 ; : : : ; xj 1 ; xj+1 ; : : : ; xn ) 2 Rn 1 .
(iv) Para cada (x1 ; : : : ; xj 1 ; xj+1 ; : : : ; xn ) 2 Rn 1 , el límite
l mx 1 F (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn )
existe y la función G : Rn 1 7! R de…nida por:
G(x1 ; : : : ; xj 1 ; xj+1 ; : : : ; xn ) = l mx 1 F (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn )
es una función de distribución …nita en n 1 variables.
Cuando l m(x1 ; ;xn ) (1;:::;1) F (x1 ;
de distribución en n variables.
Si a; b 2 R y a
(a; bj =
; xn ) = 1, diremos simplemente que F es una función
b, entonces de…nimos (a; bj de la siguiente manera:
(a; b] si b 2 R
(a; b) si b = 1
Si F : Rn 7! R es una función de distribución …nita y
394
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
(x1 ; : : : ; xj 1 ; xj+1 ; : : : ; xn ) 2 Rn 1 , de…nimos:
F (x1 ; : : : ; xj 1 ; 1; xj+1 ; : : : ; xn ) = l mx
1
F (x1 ; : : : ; xj 1 ; x; xj+1 ; : : : ; xn ).
F (x1 ; : : : ; xj 1 ; 1; xj+1 ; : : : ; xn ) = 0.
Con estas convenciones, se tiene que:
Pn
Pn
k
oF
(k)
X1 ;:::;Xn (x1 ;
k=0 ( 1)
(x ; ;x )2S
n
1
; xn )
0
(a1 ;b1 ;:::;an ;bn )
para cualquier rectángulo (a1 ; b1 j
(an ; bn j.
n
Definición 15.3. Si F : R 7! R es una función de distribución …nita y R = (a1 ; b1 j
(an ; bn j es un rectángulo en Rn , de…nimos F (R) de la siguiente manera:
Pn
Pn
k
o F (x ;
; xn ).
(k)
1
F (R) =
k=0 ( 1)
(x ; ;x )2S
n
1
(a1 ;b1 ;:::;an ;bn )
n
Lema 15.1. Sea F : R 7! R una función de distribución …nita y R = (a1 ; b1 j
un rectángulo en Rn . Para cada intervalo (ai ; bi j consideremos una partición:
n
o
(i)
(i)
(i)
P i = ai = c 0 < c 1 <
< cmi = bi .
(an ; bn j
Entonces:
(R) =
F
P
F
ji 2f1;:::;mi g
R
(1)
(1)
(n)
(n)
;c ;:::;cjn 1 ;cjn
1 1 j1
cj
.
Demostración
(1)
Las particiones Pi parten el rectángulo R en m1
(n)
(n)
cjn 1 ; cjn y se tiene: (a1 ; b1 j
Denotemos por V
(n)
(1)
mn rectángulos de la forma cj1 1 ; cj1
S
(n)
(1)
(n)
(1)
cjn 1 ; cjn .
(an ; bn j = ji 2f1;:::;mi g cj1 1 ; cj1
(1)
(1)
(1)
(n)
(n)
;c ;:::;cjn 1 ;cjn
1 1 j1
cj
(1)
al conjunto de vértices del rectángulo cj1 1 ; cj1
(n)
cjn 1 ; cjn , por S a la sumatoria:
P
ji 2f1;:::;mi g
2
P
6Pn
4 k=0 ( 1)k 8
<
y por S 0 a la sumatoria:
Pn
Pn
k
(k)
k=0 ( 1)
(x ; ;x )2S
1
Sea (x1 ;
; xn ) 2 V
partición Pi .
n
:
(x1 ;
;xn )2S
(a1 ;b1 ;:::;an ;bn )
o
(k)
(1)
(n)
(n) ;
;c
;c
;:::;c
(c(1)
j1 1 j1
jn 1 jn )
F (x1 ;
(1)
(1)
(n)
(n)
;c ;:::;cjn 1 ;cjn
1 1 j1
cj
9
=
F (x1 ;
3
7
; xn )5,
; xn ).
, entonces cada coordenada xi es un elemento de la
15.2. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN COMO MEDIDAS
(i)
Si xi = cj 2 Pi
fai ; bi g, entonces (x1 ;
(i)
(i)
c j 1 ; cj
395
; xn ) es vértice de un rectángulo cuyo i-ésimo
(i)
(i)
lado es
y también es vértice de un rectángulo cuyo i-ésimo lado es cj ; cj+1 , de
manera que F (x1 ;
; xn ) aparecerá en la sumatoria S dos veces, una con signo positivo y
otra con signo negativo, cancelándose.
Por lo tanto, los únicos términos de la sumatoria S, que no se anulan, son aquellos para
los cuales xi 2 fai ; bi g para toda i 2 f1; : : : ; ng, es decir, (x1 ;
; xn ) 2 Sk para alguna
k 2 f0; : : : ; ng.
Cuando xi = ai , entonces el punto (x1 ;
; xn ) es vértice de un rectángulo cuyo i-ésimo
(i)
lado es ai ; c1 , mientras que cuando xi = bi , entonces el punto (x1 ;
; xn ) es vértice de
(i)
un rectángulo cuyo i-ésimo lado es cmi 1 ; bi . Por lo tanto, si (x1 ;
(x1 ;
; xn ) 2 S
(k)
(1)
(1)
(n)
(n)
;c ;:::;cjn 1 ;cjn
1 1 j1
cj
; xn ) 2 Sk , entonces
para alguna colección (j1 ; : : : ; jn ), así que F (x1 ;
; xn )
aparece en la sumatoria S y en la sumatoria S 0 con el mismo signo. Es decir, S = S 0 .
Proposición 15.1. Sea F : Rn 7! R una función de distribución …nita, R = (a1 ; b1 j
(j) (j)
(j) (j)
an ; bn una colección …nita de
(an ; bn j un rectángulo en Rn y R(j) = a1 ; b1
S
(j)
rectángulos en Rn , ajenos por parejas, tal que R = m
j=1 R , entonces:
Pm
(j)
.
F (R) =
j=1 F R
Demostración
(1)
(1)
(m)
(m)
Para cada i 2 f1; : : : ; ng, los puntos ai ; bi ; : : : ; ai ; bi
intervalo (ai ; bi j.
constituyen una partición del
(j)
(j)
Este conjunto de particiones parte cada rectángulo R(j) en subrectángulos R1 ; : : : ; Rij . Por
el lema anterior, se tiene:
F
R(j) =
Pij
(j)
Además, R =
Rk
F
k=1
Sm Sij
j=1
.
(j)
k=1
Rk .
Así que, nuevamente, por el lema:
F
(R) =
Pm Pij
j=1
k=1
(j)
F
Rk
=
Pm
j=1
F
R(j) .
Corolario 15.1. Sea F : Rn 7! R es una función de distribución …nita, R = (a1 ; b1 j
(j) (j)
(j) (j)
(an ; bn j un rectángulo en Rn y R(j) = a1 ; b1
an ; bn una colección …nita
Sm
(j)
de rectángulos en Rn tal que R
j=1 R , entonces:
396
F
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
Pm
(R)
F
j=1
R(j) .
Demostración
(1)
(1)
(m)
(m)
Para cada i 2 f1; : : : ; ng, los puntos ai ; bi ; ai ; bi ; : : : ; ai ; bi
de un intervalo (ci ; di j.
constituyen una partición
(j)
(j)
Este conjunto de particiones parte cada rectángulo R(j) en subrectángulos R1 ; : : : ; Rij . Por
el lema anterior, se tiene:
F
R(j) =
Pij
(j)
k=1
Rk
F
.
El conjunto de particiones de…nido antes también parte el rectángulo R en subrectángulos
R1 ; : : : ; Ri , así que, nuevamente por el lema, se tiene:
Pi
F (R) =
k=1 F (Rk ).
Sm
(j)
(j)
Por otra parte, como R
j=1 R , cada rectángulo Rk coincide con un rectángulo Rk0
para alguna j y alguna k 0 , por lo tanto:
Pi
F (R) =
k=1 F (Rk )
Pm Pij
j=1
(j)
=
Rk
F
k=1
Pm
j=1
F
R(j) .
Proposición 15.2. Sea F : Rn 7! R una función de distribución …nita y:
R1 ; : : : ; Rk y R(1) ; : : : ; R(m) dos colecciones …nitas de rectángulos en Rn , todos de la forma:
(1)
(1)
(1)
(1)
an ; bn
a1 ; b1
yStales que R1 ; : : : ; Rk son ajenos por parejas, R(1) ; : : : ; R(m) son ajenos por parejas y
m
(j)
j=1 R .
Entonces:
Pk
Pm
i=1 F (Ri ) =
j=1
F
Sk
i=1
Ri =
R(j) .
Demostración
(j)
Para cada i 2 f1; : : : ; kg y j 2 f1; : : : ; mg, de…namos Ri = Ri \ R(j) . Entonces, como
Sk
Sm
Sm
S
(j)
(j)
(j)
y R(j) = ki=1 Ri , así que:
i=1 Ri =
j=1 R , se tiene Ri =
j=1 Ri
F
F
(Ri ) =
Pm
R(j) =
(j)
j=1
Pk
i=1
Ri
F
,
(j)
F
Ri
.
15.2. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN COMO MEDIDAS
Por lo tanto:
Pk
Pk Pm
(R
)
=
i
F
i=1
i=1
j=1
=
Pm Pk
j=1
Pm
=
Pm
=
j=1
P1 Pm
k=1
(j)
(j)
Rk
F
j=1
Ri
F
j=1
Pm P1
R(j)
F
j=1
(j)
Ri
F
i=1
R(j) .
F
(j)
F
k=1
=
397
P1
k=1
Rk
F
(Rk ) =
P1
i=1
F
(Ai ).
Teorema 15.1. Sea F : Rn 7! R una función de distribución …nita, R = (a1 ; b1 j
(i) (i)
(i) (i)
(an ; bn j un rectángulo en Rn y R(i) = a1 ; b1
an ; bn una colección in…nita de
S1 (i)
rectángulos en Rn tal que R
i=1 R , entonces:
P1
(i)
.
F (R)
i=1 F R
Demostración
Para cada i 2 N y cada i > 0, de…namos, para k 2 f1; : : : ; ng:
(
(i)
(i)
bk + i si bk 2 R
dki =
(i)
(i)
bk
si bk = 1
Consideremos el rectángulo:
(i)
(i)
an ; dni ,
R i = a1 ; d1i
el cual contiene a R(i) . Se tiene entonces:
lm
0
i
=lm
=
i
Pn
(R i )
Pn
P8
k
0
<
k=0 ( 1)
k=0 (
F
1)k
Pn
:
(x1 ;
(x1 ;
;xn )2S
1 ;b1 ;:::;an ;bn )
Dada " > 0, existe entonces
F
(R i )
F
R(i) <
Por otra parte, si
ck; =
ak +
1
(a1 ;d1i ;:::;an ;dni ) ;
(k)
;xn )2S(a
i
9
=
(k)
o
F (x1 ;
F (x1 ;
; xn ) =
> 0 tal que:
"
.
2i
> 0, de…namos, para k 2 f1; : : : ; ng:
si ak 2 R
si ak = 1
; xn )
F
R(i) .
398
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
bk si bk 2 R
1
si bk = 1
dk; =
Consideremos el rectángulo:
R = (c1; ; d1; j
(cn; ; dn; j.
Entonces:
lm
0
F
=lm
=
0
Pn
(R )
Pn
k=0 (
1)k
k=0 (
Tomemos
R
1)k
Pn
P(
(x1 ;
(x1 ;
;xn )2S
(k)
(c1;
(k)
;xn )2S(a
1 ;b1 ;:::;an ;)
;d1; ;:::;cn; ;dn;
o
F (x1 ;
)
)
F (x1 ;
; xn ) =
F
; xn )
(R).
> 0 arbitraria, entonces:
[c1; ; d1; ]
S1
[cn; ; dn; ]
(i)
(i)
a1 ; d1
i=1
(i)
(i)
an ; dn
.
Así que, por el teorema de Heine-Borel, existe una colección …nita,
(i )
(i )
(i )
R
[c1; ; d1; ]
Sm
j=1
(i )
(i )
; : : : ; a1 m ; d1 m
an 1 ; dn 1
(i )
(i )
Sm
j=1
(i )
(i )
an j ; dn j =
Así que:
F
(R )
P1
i=1
Pm
j=1
F
F
R(i) +
R
"
2i
=
P1
i=1
ij
P1
Y, como " > 0 es arbitraria:
P1
(i)
.
F (R )
i=1 F R
(i )
(i )
an m ; dn m , tal que:
[cn; ; dn; ]
a1 j ; d1 j
(i )
a1 1 ; d1 1
i=1
F
F
Finalmente, tomando límites cuando
P1
(i)
.
F (R)
i=1 F R
(i )
(i )
a1 j ; d1 j
Sm
j=1
(i )
(i )
an j ; dn j
R ij .
(R i )
R(i) + ".
0, se obtiene:
Teorema 15.2. Sea F : Rn 7! R una función de distribución …nita. Entonces existe una
única medida …nita F , de…nida sobre los conjuntos borelianos de Rn , tal que:
15.2. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN COMO MEDIDAS
F
(( 1; x1 ]
399
( 1; xn ]) = F (x1 ; : : : ; xn )
para cualquier (x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
Demostración
Sea I la familia
(an ; bn j y A la familia de conjuntos
Sn de rectángulos de la forma (a1 ; b1 j
de la forma j=1 Rj en donde n 2 N y R1 ; : : : ; Rn son rectángulos en I, ajenos por parejas.
Para cada rectángulo R = (a1 ; b1 j
(an ; bn j 2 I; de…namos:
Pn
Pn
k
o F (x ;
; xn ).
(k)
1
F (R) =
k=0 ( 1)
(x ; ;x )2S
1
Y, para cada A =
Sn
j=1
n
(a1 ;b1 ;:::;an ;bn )
Rj 2 A, de…namos
F (A)
=
Pn
j=1
F (Rj ).
Por la proposición 15.2, F está bien de…nida. Además, A es un álgebra de subconjuntos de
Rn y la función F : A 7! R es no negativa y …nitamente aditiva, es decir, es una medida
sobre A.
Sea A1 ; AS
2 ; : : : una colección in…nita numerable de elementos de A, ajenos por parejas y tales
que A = 1
i=1 Ai 2 A.
S
Por un lado, como A = 1
i=1 Ai , A es una unión in…nita numerable de rectángulos Rk de la
forma (a1 ; b1 j
(an ; bn j.
Por otro lado, como A 2 A, A es una unión …nita de rectángulos de la forma (a1 ; b1 j
(an ; bn j.
Sea A =
Sn
(j)
j=1
(j)
(j)
R(j) , en donde R(j) = a1 ; b1
(j)
an ; b n .
(j)
Para cada j 2 f1; : : : ; mg y k 2 N, de…namos Rk = Rk \ R(j) . Entonces, como
S
Sm
S1
(j)
(j)
(j)
= 1
j=1 Rk y R
k=1 Rk , así que:
k=1 Rk , se tiene Rk =
F
=
(A) =
Pm
P1 Pm
k=1
F
j=1
j=1
Además, como
Pk
F (A)
i=1
P1
F (A)
i=1
P1
F (A) =
i=1
R(j)
(j)
Rk
F
F
F
Pm P1
j=1
=
P1
k=1
k=1
F
Sn
j=1
R(j) =
(j)
F
(Rk ) =
Rk
P1
i=1
F
(Ai ).
Sk
es …nitamente aditiva y A
i=1 Ai para cualquier k 2 N, se tiene
(Ai ) para cualquier k 2 N, así que:
F
(Ai ) T;
F
(Ai ).
Por lo tanto, F es -aditiva y entonces puede ser extendida de manera única a una medida
n
F de…nida sobre la -álgebra generada por A, es decir, los borelianos de R .
400
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
Definición 15.4. Si F : Rn 7! R es una función distribución …nita, la medida
teorema anterior será llamada la medida generada por F .
F
del
Corolario 15.2. Sea F : Rn 7! R una función de distribución. Entonces existe un espacio
de probabilidad ( ; F; P ) y una familia X1 ; : : : ; Xn de variables aleatorias reales de…nidas
sobre tal que F es la función de distribución conjunta de X1 ; : : : ; Xn .
Demostración
Sea
= Rn , F la -álgebra de los conjuntos borelianos de Rn y P la única medida de
probabilidad F , de…nida sobre los conjuntos borelianos de Rn , tal que
F
(( 1; x1 ]
( 1; xn ]) = F (x1 ; : : : ; xn )
para cualquier (x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn .
Para cada k 2 f1; : : : ; g de…namos Xk :
7! R de la siguiente manera:
Xk (x1 ; : : : ; xn ) = xk .
Entonces:
[Xk
x] = ( 1; x].
Así que Xk es una variable aleatoria.
Además:
P [X1
x1 ; : : : ; Xn
xn ] =
F
(( 1; x1 ]
( 1; xn ])
= F (x1 ; : : : ; xn ).
Así que FX1 ;:::;Xn (x1 ; : : : ; xn ) = F (x1 ; : : : ; xn ).
Si es una medida …nita de…nida sobre los conjuntos borelianos de Rn , la función F : Rn 7! R
de…nida por:
F (x1 ; : : : ; xn ) =
(( 1; x1 ]
( 1; xn ])
es una función de distribución …nita y la medida F que genera sobre los borelianos, por
ser única, coincide con . De esta forma, toda medida …nita de…nida sobre los conjuntos
borelianos de Rn está generada por una función de distribución …nita en n variables.
15.3. REGULARIDAD DE LAS MEDIDAS FINITAS SOBRE LOS BORELIANOS DE Rn
401
15.3. Regularidad de las medidas …nitas sobre los borelianos de Rn
Proposición 15.3. Sea una medida …nita, de…nida sobre los conjuntos borelianos de Rn ,
Entonces, para cualquier rectángulo R = (a1 ; b1 j
(an ; bn j en Rn y " > 0, existe > 0
tal que, si R es el rectángulo (a1 ; d1 )
(an ; dn ), donde:
si bk 2 R
si bk = 1
bk +
bk
dk =
entonces
(R)
(R ) <
(R) + "
Demostración
Sea F : Rn 7! R la función de distribución …nita de…nida por:
(( 1; x1 ]
F (x1 ; : : : ; xn ) =
Para cualquier
> 0 de…namos:
si bk 2 R
si bk = 1
bk +
bk
( )
dk =
( 1; xn ]).
( )
( )
R( ) = a1 ; d1
an ; dn
Se tiene entonces:
lm
0
=lm
=
i
Pn
0
k=0 (
R( )
Pn
k=0 (
1)k
Pn
1)k
P(
(x1 ;
(x1 ;
)
(a1 ;d1 ;:::;an ;dn )
1 ;b1 ;:::;an ;bn )
o
F (x1 ;
)
F (x1 ;
; xn ) =
; xn )
(R).
> 0 tal que:
(R) < ".
Finalmente, como R
(R)
(k)
(k)
;xn )2S(a
Dada " > 0, existe entonces
R(
;xn )2S
(R )
R( ) , se tiene:
R
R(
)
<
(R) + ".
Teorema 15.3. Sea
una medida …nita, de…nida sobre los conjuntos borelianos de Rn ,
Entonces, para cualquier conjunto boreliano B de Rn se tiene:
(B) = nf f (O) : B
O y O es un abierto de Rn g.
402
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
Demostración
Sea F : Rn 7! R la función de distribución …nita de…nida por:
(( 1; x1 ]
F (x1 ; : : : ; xn ) =
( 1; xn ]).
Sea I la familia
(an ; bn j y A la familia de conjuntos
Sn de rectángulos de la forma (a1 ; b1 j
de la forma j=1 Rj en donde n 2 N y R1 ; : : : ; Rn son rectángulos en I, ajenos por parejas.
A es un álgebra de subconjuntos de Rn y la -álgebra generada por A es la -álgebra de
conjuntos borelianos en Rn .
Como
es la medida generada por F , se tiene:
P
S
(B) = nf f i (Ai ) : A1 ; A2 ; : : : 2 A y B
i Ai g.
para cualquier conjunto boreliano B de Rn .
Sea B un conjunto boreliano de Rn . Dada " > 0, consideremos una colección, A1 ; A2 ; : : :, de
elementos de A tal que:
S
B
i Ai ,
P
"
i (Ai ) < (B) + 2 .
Cada Ai es de la forma:
S i
R(i;j) ,
Ai = nj=1
donde ni 2 N y R(i;1) ; : : : ; R(i;ni ) son rectángulos en I ajenos por parejas.
(i;j)
Para cada rectángulo R(i;j) = a1
(i;j)
el rectángulo a1
(i;j)
dk
=
(
(i;j)
bk
bk
Entonces
R
+
(i;j)
(i;j)
(i;j)
(i;j)
(i;j)
an ; dn
; d1
(i;j)
an ; bn
; b1
sea
, donde:
(i;j)
si bk 2 R
(i;j)
si bk = 1
ij
(i;j)
ij
"
.
2i+j+1
R(i;j) +
<
De…namos:
S S i
(i;j)
O" = i nj=1
R ij .
Entonces O" es un abierto de Rn que contiene a B y se tiene:
(O" )
P Pni
i
j=1
R
(i;j)
ij
<
P
i
Pni
j=1
R(i;j) +
Pni
"
j=1 2i+j+1
ij
> 0 tal que, si R
(i;j)
ij
es
15.4. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
P
i
(Ai ) +
P
"
2i+1
i
< (B) + ".
(Ai ) +
403
"
2
Teorema 15.4. Sea
una medida …nita, de…nida sobre los conjuntos borelianos de Rn ,
Entonces, para cualquier conjunto boreliano B de Rn se tiene:
B y K es un compacto de Rn g.
(B) = sup f (K) : K
Demostración
Sean B un S
boreliano de Rn y K1 ; K2 ; : : : una sucesión creciente de conjuntos compactos de
n
Rn tal que 1
i=1 Ki = R .
Dada " > 0, para cada i 2 N, sea Oi un abierto de Rn tal que Ki \ B c
(Ki \ B c ) + 2" . Entonces Ki \ Oic es un compacto de Rn y se tiene:
(Oi ) <
Ki \ (Ki \ B c )c = Ki \ (Kic [ B) = Ki \ B.
Ki \ Oic
Ki \ B
Oi y
Ki \ Oic = (Ki \ B) \ (Ki \ Oic )c
= (Ki \ B) \ (Kic [ Oi ) = Oi \ (Ki \ B)
= (Oi
Ki \ B c ) \ (Ki \ B)
Oi
Ki \ B c .
Así que:
(Oi )
(Ki \ B c ) < 2" .
(Ki \ Oic )
S
Por otra parte, B = 1
i=1 (Ki \ B), así que:
(Ki \ B)
(B) = supi2N (Ki \ B).
Sea N 2 N tal que
en B y se tiene:
(B) <
(B) <
(KN \ B) +
"
2
<
c
(KN \ B) + 2" , entonces KN \ ON
es un compacto contenido
c
(KN \ ON
) + ".
15.4. Sucesiones de variables aleatorias independientes
Para formular los otros dos ejemplos dentro del marco teórico expuesto en el capítulo anterior, requerimos construir un espacio de probabilidad ( ; =; P ) en el cual se pueda de…nir
una in…nidad numerable de variables aleatorias independientes, cada una con distribución
Bernoulli de parámetro p. Vamos a mostrar esta construcción para el caso p = 21 . En el caso
general la construcción es similar, pero requiere de algunos pasos adicionales,
404
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
Primero un resultado que usaremos más adelante:
Teorema 15.5. Sea ( ; A; P ) un espacio de probabilidad y X1 ; X2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias independientes, de…nidas sobre ese espacio, cada una de ellas con distribución
P1 Xk
Bernoulli de parámetro 12 . De…namos X :
7! R mediante la relación X =
k=1 2k .
Entonces, X es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [0; 1].
Demostración
X es el límite de la sucesión no decreciente de variables aleatorias Xn =
es ella misma una variable aleatoria.
Pn
Xk
k=1 2k ,
así que
Obsérvese que si vemos cada sucesión (Xk (!)) como el desarrollo en base 2 de un número
real en el intervalo [0; 1], X(!) es precisamente ese número real.
Si (sn )n2N es una sucesión de 0’s y 1’s, se tiene P [Xk = sk para toda k 2 N] = 0 y si x 2 (0; 1]
es un racional diádico, x tiene exactamente dos desarrollos en base 2, así que P [X 2 x] = 0.
Además, x = 0 tiene únicamente un desarrollo en base 2, así que, también, P [X = 0] = 0.
Por lo tanto, P [X 2 x] = 0 para cualquier racional diádico x 2 [0; 1].
Por otra parte, para cada n 2 N, consideremos un intervalo de la forma j2n1 ; 2jn , con j 2
f1; : : : ; 2n g. Asociada a tal intervalo existe una única colección de 0’s y 1’s, (s1 ; s2 ; : : : ; sn ),
tal que un punto x pertenece al intervalo j2n1 ; 2jn si y sólo si tiene un desarrollo en base 2
de la forma x = 0:s1 s2 : : : sn : : :. Por lo tanto:
P X2
j 1 j
;
2n 2n
= P [X1 = s1 ; X2 = s2 ; : : : ; Xn = sn ] =
Así que, si k 2 f1; : : : ; 2n g, se tiene:
P
P X 2 0; 2kn = kj=1 P X 2 j2n1 ; 2jn
=
Pk
1
j=1 2n
Es decir, si x 2 (0; 1] es un racional diádico, se tiene:
P [X 2 (0; x)] = x.
Combinando este resultado con el anterior, se tiene:
P [X 2 (0; x]] = x
para cualquier racional diádico x 2 (0; 1].
Además, la función FX : [0; 1] ! R, de…nida por:
FX (x) = P [X 2 (0; x]],
es continua por la derecha.
Por lo tanto:
=
1
.
2n
k
.
2n
15.4. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
405
FX (x) = x para cualquier x 2 [0; 1].
Así que X tiene distribución uniforme en el intervalo [0; 1].
En lo que sigue vamos a tomar como espacio de probabilidad a la terna ([0; 1] ; L; P ), donde
P es la medida de Lebesgue en el intervalo [0; 1].
Para cada n 2 N, de…namos:
Bn = f(s1 ; s2 ; : : : ; sn ) : sj 2 f0; 1g para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ngg, donde n 2 N.
Sabemos que cada x 2 [0; 1] tiene un desarrollo en base 2, es decir, se puede expresar de la
siguiente manera:
P
sk
x= 1
k=1 2k ,
donde sk 2 f0; 1g para cualquier k 2 N.
Para los números reales x 2 (0; 1) de la forma x = 2jn , donde n 2 N y j 2 f1; 2; : : : ; 2n 1g,
es decir, para los racionales diádicos, el desarrollo en base 2 no es único. Para cada uno de
estos puntos, elijamos como desarrollo en base 2 a la sucesión s1 ; s2 ; : : : para la cual existe
N 2 N tal que sk = 1 para cualquier k 2 fN + 1; N + 2; : : :g.
Para x = 0, el desarrollo en base 2 es la sucesión (sn )n2N idénticamente cero, mientras que
para x = 1 es la sucesión (sn )n2N idénticamente uno.
De esta forma, el desarrollo en base 2 de un número real x 2 [0; 1] es único y, si x 2 (0; 1],
consiste de una sucesión (sn )n2N tal que sk = 1 para una in…nidad de índices k.
Obsérvese que si (s1 ; s2; : : : ; sn ) 2 Bn y x 2 (0; 1], entonces,
s2; : : : ; sn son los primeros n
Pn ssi1 ; P
n
si
1
términos del desarrollo de x en base 2 si y sólo si x 2
;
i=1 2i
i=1 2i + 2n . Además cada
P
P
n
n
si
si
1
uno de los 2n intervalos de la forma
i=1 2i ;
i=1 2i + 2n , donde (s1 ; s2; : : : ; sn ) 2 Bn , es
alguno de los intervalos de la forma k2n1 ; 2kn , donde k 2 f1; 2; : : : ; 2n g, los cuales constituyen
una partición del intervalo (0; 1].
Teorema 15.6. Para cada n 2 N de…namos Xn : [0; 1] ! R mediante la relación Xn (x) =
sn , donde sn es el n-simo término del desarrollo en base 2 de x. Entonces, las variables
aleatorias de la familia fXn : n 2 Ng son independientes y cada una de ellas tiene distribución Bernoulli con parámetro p = 21 .
Demostración
Si r 2 f0; 1g, se tiene:
P
P [Xn = r] = f(r1 ;r2; :::;rn
=
P
f(r1 ;r2; :::;rn
1 )2Bn
1g
P
1 )2Bn 1 g
Pn
P [X1 = r1 ; X2 = r2 ; : : : ; Xn
1 rk
k=1 2k
+
r
;
2n
Pn
1 rk
k=1 2k
+
r
2n
+
1
2n
1
= rn 1 ; Xn = r]
406
=
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
P
f(r1 ;r2; :::;rn
1 )2Bn 1 g
1
2n
= 21 .
Por lo tanto, para cualquier n 2 N, Xn tiene distribución Bernoulli con parámetro p = 12 .
Además, para cualquier m 2 N y (r1 ; r2; : : : ; rm ) 2 Bm , se tiene:
P
Tm
j=1
[Xj = rj ] = P
Pm
rk Pm rk
k=1 2k ;
k=1 2k
+
1
2m
=
1
2m
=
Qm
j=1
P [Xj = rj ].
Así que las variables aleatorias X1 ; X2 ; : : : ; Xm son independientes.
Por lo tanto, las variables aleatorias de la familia fXn : n 2 Ng son independientes y cada
una de ellas tiene distribución Bernoulli con parámetro p = 12 .
Teorema 15.7. Se puede de…nir, sobre ([0; 1] ; L; P ), una sucesión de variables aleatorias
independientes, cada una de ellas con distribución uniforme en el intervalo (0; 1).
Demostración
Consideremos una sucesión X1 ; X2 ; : : : de variables aleatorias independientes, de…nidas sobre
([0; 1] ; L; P ), cada una de ellas con distribución Bernoulli de parámetro 12 .
De acuerdo con la primera proposición, si (Xnk )k2N es cualquier subsucesión de la sucesión
P
Yk
(Xn )n2N y de…nimos Y : [0; 1] ! R mediante la relación Y = 1
k=1 2k , entonces Y es una
variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0; 1).
Para de…nir una sucesión de variables aleatorias independientes, de…nidas sobre ([0; 1] ; L; P ),
cada una de ellas con distribución uniforme en el intervalo (0; 1), basta con mostrar que existe
una in…nidad numerable de subsucesiones de (Xn )n2N de tal manera que cualquier par de
ellas no tengan elementos en común. Una vez mostrado esto, cada una de esas subsucesiones
genera una distribución uniforme en el intervalo (0; 1).
Existen diferentes maneras de tomar las subsucesiones de (Xn )n2N con la propiedad mencionada. Por ejemplo, si fp1 ; p2 ; : : :g es el conjunto de números primos mayores que 1 y,
para cada n 2 N, de…nimos An = fpn ; p2n ; p3n ; : : :g, entonces los conjuntos An son ajenos
por parejas, así que las subsucesiones Xpk1
; Xpk2
; Xpk3
; : : : cumplen con la
propiedad requerida.
k2N
k2N
k2N
También podemos ordenar los elementos de la sucesión (Xn )n2N de la siguiente manera:
X1 ; X2 ; X4 ; X7 ; X11 ; X16 ; X22 ; : : :
X3 ; X5 ; X8 ; X12 ; X17 ; X23 ; : : :
X6 ; X9 ; X13 ; X18 ; X24 ; : : :
X10 ; X14 ; X19 ; X25 ; : : :
15.4. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
407
X15 ; X20 ; X26 ; : : :
X21 ; X27 ; : : :
X28 ; : : :
..
.
Cada renglón forma una subsucesión de (Xn )n2N y las subsucesiones de dos renglones diferentes no tienen elementos en común.
El n-simo renglón está dado por:
X 1 n(n+1) ; X 1 n(n+1)+n ; X 1 n(n+1)+n+(n+1) ; X 1 n(n+1)+n+(n+1)+(n+2) ;
2
2
2
2
: : : ; X 1 n(n+1)+n+(n+1)+(n+2)+
2
+(n+k 1) ; : : :.
Es decir, el k-ésimo elemento del n-simo renglón está dado por:
X 1 n(n+1)+Pk
1
j=1 (n+j
2
1)
= X 1 n(n+1)+n(k
2
Así que, las sucesiones X1+(k
X6+3(k
1)+ 21 (k 1)(k 2)
1)+ 12 (k 1)(k 2) .
1)+ 12 (k 1)(k 2)
k2N
; X3+2(k
1)+ 12 (k 1)(k 2)
;
k2N
; : : : cumplen con las propiedades requeridas.
k2N
(3)
(2)
(n)
De manera general, si las sucesiones Xk
k2N
; Xk
k2N
; Xk
; : : : son subsucesiones
k2N
de (Xn )n2N tales que cualquier par de ellas no tienen elementos en común, de…namos, para
cada n 2 N:
(n)
P
Xk
Un = 1
k=1 2k .
Entonces, para cada n 2 N, Un tiene distribución uniforme en el intervalo (0; 1).
(2) P
(3)
(1) P
P
Xk
m Xk
m Xk
Para cada m 2 N, las sumas parciales m
k=1 2k ;
k=1 2k ; : : : forman una fak=1 2k ;
milia de variables aleatorias independientes, así que, para cualquier n 2 N y cualquier
(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn , se tiene:
P
Pm
k=1
(1)
Xk
2k
x1 ; : : : ;
Pm
k=1
(n)
Xk
2k
xn = P
Pm
k=1
(1)
Xk
2k
x1
P
Pm
k=1
(n)
Xk
2k
xn .
408
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
Como, para cada j 2 N, la sucesión
Pm
(1)
Xk
k=1 2k
x1 ; : : : ;
P
P1
=
=P
(1)
k=1
P1
Xk
2k
l mm
1
P1
P
Xk
2k
Pm
k=1
x1
(n)
Xk
k=1 2k
x1 ; : : : ;
x1 ; : : : ;
(1)
k=1
(1)
Xk
k=1 2k
es el evento
Pm
P1
(n)
k=1
Pm
(j)
Xk
k=1 2k
es decreciente y la intersección de todos ellos
xn
P1
Xk
2k
es no decreciente, la sucesión de eventos
m2N
m2N
(n)
Xk
k=1 2k
xn ; así que:
x n = l mm
(1)
Xk
2k
x1
P
l mm
P1
k=1
1
(n)
Xk
2k
P
1
P
Pm
k=1
Pm
k=1
(1)
Xk
2k
x1 ; : : : ;
(n)
Xk
2k
Pm
k=1
(n)
Xk
2k
xn
xn
xn .
Así que las variables aleatorias U1 ; U2 ; : : : son independientes.
Teorema 15.8. Sea ( ; L; ) el espacio de probabilidad formado por
= (0; 1), L la álgebra de los conjuntos Lebesgue medibles en el intervalo (0; 1) y la medida de Lebesgue
el intervalo (0; 1). Sea, además, ( n )n2N una sucesión de medidas de probabilidad sobre
(R; B (R)). Existe entonces una sucesión de variables aleatorias reales independientes (Xn )n2N ,
de…nidas sobre ( ; L; ), tales que, para cualquier n 2 N, la distribución de Xn es n .
Demostración
Consideremos una sucesión de variables aleatorias independientes (Un )n2N , de…nidas sobre
( ; B; ), cada una de ellas con distribución uniforme en el intervalo (0; 1).
Para cada n 2 N, de…namos las funciones Fn : R 7! R y cn : (0; 1) 7! R mediante las
siguientes relaciones;
Fn (x) =
n
(( 1; x]),
cn (t) = nf fx 2 R : Fn (x) > tg.
Para cada n 2 N, de…namos Xn = cn (Un ).
Por la proposición ...., la función de distribución de Xn es Fn . Además,
generada por Fn , así que la distribución de Xn es n .
n
es la medida
Finalmente, como las variables aleatorias U1 ; U2 ; : : : son independientes, también lo son
X1 ; X2 ; : : :.
15.5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS CON DISTRIBUCIONES FINITO DIMENSIONALES CONOCIDAS
409
15.5. Sucesiones de variables aleatorias con distribuciones …nito dimensionales
conocidas
Sea ( ; B; ) el espacio de probabilidad formado por
= (0; 1), B la -álgebra de los
conjuntos borelianos del intervalo (0; 1) y la medida de Lebesgue el intervalo (0; 1). Sea
U1 ; U2 ; : : : una sucesión de variables aleatorias independientes, de…nidas sobre ese espacio,
cada una de ellas con distribución uniforme en el intervalo (0; 1).
Sea T = ft1 ; t2 ; : : :g un conjunto in…nito numerable y supongamos que para cada subconjunto
…nito de T , u = fu1 ; : : : ; un g, se tiene una función de distribución conjunta Fu : Rn ! R
de tal forma que si u = fu1 ; : : : ; un g y v = fv1 ; : : : ; vm g son dos subconjuntos …nitos de T
tales que u v, entonces la función de distribución conjunta Fu coincide con la distribución
conjunta marginal que se obtiene de Fv restringiéndola a los elementos de u.
Para cada n 2 N, denotemos por Bn a la -álgebra de Borel en Rn , por Fn a la función de
distribución conjunta Fft1 ;:::;tn g y por n a la medida, de…nida sobre (Rn ; Bn ), generada por
Fn .
Vamos a demostrar que existe una sucesión de variables aleatorias X1 ; X2 ; : : :, de…nidas
sobre ( ; B; ), tal que, para cada n 2 N, la función de distribución conjunta del vector
aleatorio (X1 ; : : : ; Xn ) es Fn y existe una función medible dn : (Rn ; Bn ) 7! R tal que Xn =
dn (Un ; X1 ; : : : ; Xn 1 ).
De…namos:
d1 (t) = nf fs 2 R : F1 (s)
tg,
X1 = d1 (U1 ).
Sabemos que la función de distribución de X1 es F1 .
Supongamos que tenemos de…nidas, sobre ( ; B; ), n 1 variables aleatorias X1 ; : : : ; Xn 1
cuya función de distribución conjunta es Fn 1 y tales que, para cada k 2 f1; : : : ; n 1g,
existe una función medible dk : Rk ; Bk 7! R tal que Xk = dk (Uk ; X1 ; : : : ; Xk 1 ).
Para cada k 2 f1; : : : ; ng, sea Yk la proyección de Rn sobre la k-ésima coordenada.
La función de distribución conjunta de Y1 ; : : : ; Yn es Fn .
De…namos:
Gn (Y1 ; : : : ; Yn 1 ; y) =
n
[Yn
y j Y1 ; : : : ; Yn 1 ].
Si A 2 Bn 1 , se tiene:
P [(Y1 ; : : : ; Yn 1 ) 2 A; Yn y] = E [IA (Y1 ; : : : ; Yn 1 ) Gn (Y1 ; : : : ; Yn 1 ; y)]
R
= A Gn (y1 ; : : : ; yn 1 ; y) dFn 1 (y1 ; : : : ; yn 1 ).
410
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
De…namos:
dn (t; y1 ; : : : ; yn 1 ) = nf fs 2 R : Fn (s; y1 ; : : : ; yn 1 )
tg
Xn = dn (Un ; X1 ; : : : ; Xn 1 ).
Si A 2 Bn 1 , se tiene:
P [(X1 ; : : : ; Xn 1 ) 2 A; Xn
x] = E [IA (X1 ; : : : ; Xn 1 ) ; dn (Un ; X1 ; : : : ; Xn 1 )
x]
= E [IA (X1 ; : : : ; Xn 1 ) ; Un Gn (X1 ; : : : ; Xn 1 ; x)]
R R G (x ;:::;x ;x)
= A 0 n 1 n 1 dFU (u)dFn 1 (x1 ; : : : ; xn 1 )
R
= A Gn (x1 ; : : : ; xn 1 ; x) dFn 1 (x1 ; : : : ; xn 1 )
= P [(Y1 ; : : : ; Yn 1 ) 2 A; Yn
x].
Así que la distribución del vector aleatorio (X1 ; : : : ; Xn ) es la misma que la del vector aleatorio (Y1 ; : : : ; Yn ).
15.6. Teorema de Kolmogorov
En esta sección demostraremos el teorema de Kolmogorov, el cual asegura la existencia de
un espacio de probabilidad asociado a una familia cualquiera de variables aleatorias con
distribuciones …nito dimensionales conocidas.
La idea de la demostración es la siguiente:
Para cada subconjunto …nito, de un conjunto in…nito , se tiene una función de distribución
…nito dimensional, de tal manera que se satisface la condición de consistencia que se formula
en el enunciado del teorema. Se considera entonces el producto cartesiano de tantas copias
de R como elementos tenga , es decir R . Para cada subconjunto …nito u de se expresa R
como el producto cartesiano Ru R u y se genera, sobre Ru , una medida de probabilidad a
partir de la distribución …nito dimensional correspondiente al conjunto u (es decir, se genera
una medida sobre los borelianos de Ru ). De lo que se trata entonces es de obtener una
medida sobre R juntando todas las medidas que se obtienen sobre los conjuntos Ru , donde
u corre sobre todos los subconjuntos …nitos de . Esto se logra de…niendo primero una cuasi
medida sobre el álgebra de subconjuntos de R formada por la familia de todos los conjuntos
que pertenecen a B (Ru ) R u para algún subconjunto …nito u de . Después se aplica el
teorema de extensión de Carathéodory para obtener una medida sobre la -álgebra generada
por esa álgebra.
Teorema 15.9 (Teorema de Kolmogorov). Sea un conjunto in…nito y supongamos que
para cada subconjunto …nito de , u = ft1 ; : : : ; tn g, se tiene una función de distribución
conjunta Fu : Rn ! R de tal forma que si u = ft1 ; : : : ; tn g y v = fs1 ; : : : ; sm g son dos
subconjuntos …nitos de T tales que u v, entonces la función de distribución conjunta Fu
15.6. TEOREMA DE KOLMOGOROV
411
coincide con la distribución conjunta marginal que se obtiene de Fv restringiéndola a las
coordenadas en u. Entonces, existe un espacio de probabilidad ( ; =; P ) y una familia de
variables aleatorias reales fXt gt2T de…nidas sobre tal que si u = ft1 ; : : : ; tn g es cualquier
subconjunto …nito de , entonces la función de distribución conjunta de Xt1 ; : : : ; Xtn es Fu .
Demostración
Denotemos por U a la familia de subconjuntos …nitos de .
Sean
= R = ff :
7! Rgy, para cada u 2 U , Ru = ff : u 7! Rg.
Por de…nición, un elemento ! 2 es una función de en R, sin embargo podemos también
imaginar a ! como un vector el cual tiene una coordenada para cada t 2 .
Por la proposición 15.2, sabemos que, para cada u 2 U , existe una única medida de probabilidad Pu de…nida sobre los conjuntos borelianos de Ru tal que:
Pu (( 1; x1 ]
( 1; xn ]) = Fu (x1 ; : : : ; xn )
para cualquier (x1 ; : : : ; xn ) 2 Ru .
Para cada u = fu1 ; : : : ; un g 2 U , denotemos por u a la función u : 7! Ru de…nida por
v, denotemos por vu a la
u (!) = (!(u1 ); : : : ; !(un )) y, para pareja u; v 2 U tal que u
función vu : Rv 7! Ru de…nida por vu (f ) = fu , donde fu : u 7! R es la restricción de
f : v 7! R a u. Obsérvese que u y vu son simplemente proyecciones sobre un espacio de
menos coordenadas al del dominio.
Sabemos que si u; v 2 U y u v, entonces la función de distribución conjunta Fu coincide con
la distribución conjunta marginal que se obtiene de Fv restringiéndola a las coordenadas de
u. Esto se traduce en la relación Pu (Bu ) = Pv ( vu1 (Bu )) para cualquier conjunto boreliano
Bu de Ru .
Para cada u 2 U , denotemos por Bu a la
de…namos:
=0 = f
u
1
-álgebra de los conjuntos borelianos de Ru y
(Bu ) : u 2 U y Bu 2 Bu g.
Cada elemento de =0 es un subconjunto de , es decir está formado por vectores cada uno
de los cuales tiene una coordenada para cada t 2 ; lo que caracteriza a esos vectores es que
restringiéndonos a las coordenadas que corresponden a los elementos de u, se obtiene un elemento de Bu . También puede pensarse u 1 (Bu ) como Bu R u ; es decir, restringiéndonos
a las coordenadas correspondientes a u, u 1 (Bu ) es Bu , mientras que restringiéndonos a las
coordenadas correspondientes a
u es R u .
Obviamente, 2 =0 y si E 2 =0 entonces E c 2 =0 . Por otra parte, si E = u 1 (Au ) 2 =0 y
F = v 1 (Bv ) 2 =0 , sea w = u [ v, Aw = wu1 (Au ) y Bw = wv1 (Bv ), entonces:
E[F =
w
1
(Aw [ Bw ) 2 =0 .
412
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
Por lo tanto, =0 es un álgebra de subconjuntos de
.
De…namos P : =0 7! [0; 1] de la siguiente manera:
P(
u
1
(Bu )) = Pu (Bu ).
Observemos en primer lugar que P está bien de…nida. En efecto, supongamos que
1
1
1
1
v (Av ), entonces, de…niendo w = u [ v, se tiene
u (Bu ) =
w ( wu (Bu )) y
1
1
1
1
wv (Av ). Por lo tanto:
wu (Bu ) =
w ( wv (Av )), así que
Pu (Bu ) = Pw (
1
wu
(Bu )) = Pw (
1
wv
u
v
1
1
(Bu ) =
(Av ) =
(Av )) = Pv (Av ).
Evidentemente P ( ) = 1.
Mostremos que P es …nitamente aditiva. En efecto, Si E = u 1 (Au ) y F = v 1 (Bv ) son
elementos de =0 , ajenos, sea w = u [ v, Aw = wu1 (Au ) y Bw = wv1 (Bv ), entonces Aw y Bw
son ajenos y E [ F = w 1 (Aw [ Bw ), así que:
P (E [ F ) = Pw (Aw [ Bw ) = Pw (Aw ) + Pw (Bw )
= Pu (Au ) + Pv (Bv ) = P (E) + P (F ).
Mostremos ahora que P es -subaditiva. Para esto, por el teorema 5.2, basta con
T1demostrar
que si tenemos una sucesión decreciente (Ei )i2N , de elementos de =0 , tal que i=1 Ei = ;,
entonces l mi 1 P (Ei ) = 0.
S
Para cada i 2 N, sea vi 2 U y Ai 2 Bvi tales que Ei = vi1 (Ai ), y de…namos ui = ij=1 vj
y Bi = ui1vi (Ai ). Entonces Bi 2 Bui , Ei = ui1 (Bi ) y la sucesión de conjuntos (un )n2N es
creciente.
Supongamos que " = l mi
1
P (Ei ) > 0 .
Por el teorema 15.4, para cada i 2 N, Pui (Bi ) puede ser aproximada por medidas de compactos contenidos en Bi , en particular existe un subconjunto compacto de Rui , contenido en
Bi , tal que:
Pui (Bi )
Pui (Ki ) <
Sea Fi =
1
ui
"
.
2i+1
(Ki ).
T
Obviamente se tiene Fi ETi para cualquier i 2 N, así que si demostramos que 1
i=1 Fi 6= ;,
habremos demostrado que 1
E
=
6
;,
llegando
así
a
una
contradicción.
i=1 i
T
Tj
Para cada j 2 N de…namos Hj = ji=1 Fi . Entonces Hj
i=1 Ei = Ej y se tiene:
P (Ej )
Pj
i=1
P (Hj ) = P (Ej )
P (Ej
Fi )
Pj
i=1
P
Tj
P (Ei
i=1
Fi = P
Fi ) =
Pj
Sj
i=1
i=1
(Ej
[P (Ei )
Fi )
P (Fi )]
15.6. TEOREMA DE KOLMOGOROV
=
Pj
i=1
[Pui (Bi )
Pui (Ki )] <
Así que:
"
2
P (Hj ) > P (Ej )
"
2
Pj
"
i=1 2i+1
413
< 2" .
> 0.
Por lo tanto Hj 6= ; para cualquier j 2 N.
Para cada j 2 N, sea x(j) 2 Hj , entonces x(j) 2 Fi =
(j)
tanto, xui = ui x(j) 2 Ki para i 2 f1; : : : ; jg.
1
ui
(Ki ) para i 2 f1; : : : ; jg. Por lo
(j)
Visto de otra manera, …jando i 2 N se tiene xui 2 Ki para cualquier j 2 fi; i + 1; : : :g.
(j)
En particular, xu1
(m
convergente xu1 1;j
(m
A su vez, xu2 1;j
convergente
(m
j2N
)
j2N
)
es una sucesión en K1 , así que tiene por lo menos una subsucesión
, donde se puede asumir que m1;j > 1.
es una sucesión en K2 , así que tiene por lo menos una subsucesión
j2N
(m2;j )
x u2
,
j2N
donde se puede asumir que m2;j > 2. Además,
)
xu1 1;j , así que, si xu1 = l mj
(m
1
)
xu1 1;j y xu2 = l mj
(m
1
)
xu2 2;j , entonces
(m2;j )
)
u2 u1 (xu2
u2 u1 (xu2 )
=
= x u1 .
Continuando de la misma forma, obtenemos, para cada i 2 N, una sucesión convergente
(m )
(m )
en Ki , de tal manera que, si xui = l mj 1 xui i;j , entonces ui+1 ui (xui+1 ) = xui .
xui i;j
j2N
Hemos obtenido entonces una sucesión (xui )i2N tal que xui 2 Ki para cualquier i 2 N y si
i; j 2 N, con i < j, entonces uj ui (xuj ) = xui .
Hablando informalmente, si pegamos los elementos xui de esta sucesión obtenemos un punto
1
y en R[i=1 ui ; este punto es una función de [1
i=1 ui en R la cual está de…nida por:
y(t) = xui (t) si t 2 ui .
1
Denotando, para cada j 2 N, por (uj ) a la proyección de R[i=1 ui sobre Ruj , este elemento y
así de…nido tiene la siguiente propiedad:
(uj )
(y) = xuj 2 Kj .
T
Para tener de…nido un punto en 1
i=1 Fi únicamente resta completar y de…niendo arbitrariamente las coordenadas que corresponden a
[1
de la
i=1 ui ; por ejemplo de…namos x 2
siguiente manera:
x(t) =
y(t) si t 2 [1
i=1 ui
0
en otro caso
414
15. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS DE PROBABILIDAD
Entonces ui (x) = xui 2 Ki para cualquier i 2 N, así que x 2
i 2 N, es decir:
T
T1
x2 1
i=1 Fi
i=1 Ei .
1
ui
(Ki ) = Fi para cualquier
lo cual establece la contradicción mencionada.
Por lo tanto l mi
1
P (Ei ) = 0, así que P es -subaditiva.
De acuerdo con el teorema de extensión de Carathéodory, existe una única medida de probabilidad P de…nida sobre = = (=0 ) tal que P ( u 1 (Bu )) = Pu (Bu ) para cualquier u 2 U
y Bu 2 Bu .
Para t 2 , sea Xt : 7! R de…nida por Xt (!) = !(t). Entonces [Xt x] = ftg1 (( 1; x]) 2
=0 para cualquier t 2 y x 2 R, así que Xt es =-medible para cualquier t 2 . Además,
para cualquier u = ft1 ; : : : ; tn g 2 U y (x1 ; : : : ; xn ) 2 Ru , se tiene:
P [Xt1
x1 ; : : : ; Xtn
= Pu (( 1; x1 ]
xn ] = P (
u
1
(( 1; x1 ]
( 1; xn ]))
( 1; xn ]) = Fu (x1 ; : : : ; xn ).
Así que Fu es la función de distribución conjunta de Xt1 ; : : : ; Xtn .
APÉNDICES
A.1. Teorema de Heine Borel
En el año 1895, Émile Borel encontró una propiedad de los intervalos cerrados y acotados
en R, la cual generó un concepto muy importante en el Análisis Matemático, el de conjunto
compacto.
Borel estaba atacando un problema de continuación analítica de una función de variable
compleja y, como parte de su razonamiento, demostró un resultado, el cual, simpli…cado
para el caso de un intervalo [a; b] de números reales, se puede enunciar como sigue:
Si I1 ; I2 ; : : : es una familia in…nita numerable de intervalos abiertos tales que la suma de
sus longitudes es menor que la longitud del intervalo [a; b], entonces la unión de todos los
intervalos In no cubre al intervalo [a; b].
Para probar lo anterior, Borel demostró que si la unión de los intervalos In cubriera al
intervalo [a; b], entonces existiría un subcolección …nita In1 ; In2 ; : : : ; Inm , de esos intervalos,
cuya unión cubriría a [a; b] y entonces se tendría:
Pm
P1
b a.
k=1 l (Ink )
n=1 l(In )
Años más tarde, se encontraría un resultado más general, al cual ahora se le conoce como
teorema de Heine-Borel. Su demostración se encuentra un poco más adelante en esta sección.
Definición A.5. Diremos que un subconjunto A de Rn está acotado si existe una bola abierta
tal que A está contenido en ella.
Definición A.6. Llamaremos celda de Rn a un conjunto de la forma I1 I2
In , donde
I1 = [a1 ; b1 ] ; I2 = [a2 ; b2 ] ;
; In = [an ; bn ] son intervalos cerrados y acotados de números
reales tales que, para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ng, aj < bj .
Definición A.7. Si (Cm )m2N es una sucesión de celdas de Rn , diremos que éstas están
anidadas si Ck+1 Ck para cualquier k 2 N.
Proposición A.4. Sea (Cm )m2N una sucesión de celdas anidadas de Rn , entonces \1
m=1 Cm 6=
;.
415
416
APÉNDICES
Demostración
(m)
(m)
(m)
Sea I1
I2
In la celda Cm ; entonces, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, los intervalos
(1)
(2)
(3)
Ij , Ij , Ij , . . . forman una sucesión anidada de intervalos cerrados y acotados; por lo
tanto, existe un número real xj en la intersección de todos ellos. Evidentemente, para
cualquier m 2 N, el vector (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) perternece a la celda Cm .
Teorema A.1. Si K es un subconjunto de Rn , cerrado y acotado, entonces,Spara cualquier
familia in…nita fG : 2 g de subconjuntos abiertos de Rn tales que K
2 G , existe
S
un subconjunto U de , …nito, tal que K
u2U Gu .
Demostración
S
Sea fG : 2 g una familia de subconjuntos abiertos de Rn tales que K
denotemos por U a la familia de todos los subconjuntos …nitos .
S
Supongamos que no existe algún conjunto U 2 U tal que K
u2U Gu .
(1)
(1)
2
G y
(1)
Como K es acotado, existe una celda I1 I2
In que lo contiene, a la cual llamaremos
C1 . Podemos tomarla de tal forma que los intervalos I1 ; I2 ; : : : ; In tengan la misma longitud,
la cual denotaremos por L.
Vamos a construir, inductivamente, una sucesión (Cm )m2f2;3;:::g de celdas tales que, para
cualquier m 2 f2; 3; : : :g:
i) Cm
Cm 1 .
ii) K \ Cm 6= ; y no existe algún conjunto U 2 U tal que K \ Cm
(m)
iii) Si Cm = I1
1
2(m
2)
L.
(m)
I2
(m)
S
u2U
Gu .
(m)
In , entonces, para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ng, l Ij
=
De…niendo C2 = C1 , C2 cumple con las condiciones i ii y iii.
h
i
(k) (k)
Tomemos ahora k 2 f2; 3; : : :g y supongamos que tenemos de…nida una celda Ck = a1 ; b1
h
i
h
i
(k) (k)
(k) (k)
a2 ; b2
an ; bn satisfaciendo las propiedades i ii y iii.
Para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, denotemos por
(k)
cj
h
(k) (k)
aj ; bj
i
al punto medio del intervalo
. De
h
i h
i
(k) (k)
(k) (k)
esta forma, en cada coordenada j tenemos los intervalos aj ; cj y cj ; bj . Tomando en
cada coordenada uno de esos dos intervalos y considerando el producto cartesiano de ellos,
formamos una celda. El total de celdas que podemos formar de esa manera es igual a 2n
y si C = I1 I2
In es cualquiera de esas celdas, se tiene C
Ck y, para cualquier
j 2 f1; 2; : : : ; ng, se tiene:
A.1. TEOREMA DE HEINE BOREL
l (Ij ) = 12 l
h
(k)
(k)
aj ; b j
i
=
1
1
2 2(k
2)
L=
1
2(k
1)
417
L.
S
Sabemos que no existe algún conjunto U 2 U tal que K \ Ck
u2U Gu , así que, por lo
n
menos para una de las 2 celdas queSformamos, llamémosla C, se tiene que no existe algún
n
conjunto U 2 U tal que K \ C
u2U Gu , porque si para cualquiera de las
S 2 celdas se
tuviera la propiedad contraria, existiría un conjunto U 2 U tal que K \ Ck
u2U Gu . Para
esa celda C se tiene K \ C 6= ; ya que de otra forma se tendría K \ C G para cualquier
2 , lo cual contradice la propiedad con la que elegimos a C.
De…namos entonces Ck+1 como una cualquiera de esas celdas C, entre las 2n celdas
que
S
formamos, con la propiedad de que no existe algún conjunto U 2 U tal que K \C
G
u.
u2U
La celda Ck+1 así de…nida satisface entonces las propiedades i, ii y iii.
Así que, por el principio de inducción matemática, para cada m 2 f2; 3; : : :g, queda de…nida
cada una de las celdas Cm satisfaciendo las propiedades i, ii y iii.
Denotemos por L(m) a la longitud común, igual a
que componen la celda Cm .
1
2(m
(m)
2)
L, de cada uno de los intervalos Ij
Por la propiedad i, las celdas de la sucesión (Cm )m2N que hemos construido están anidadas,
así que \1
m=1 Cm 6= ;. Esta intersección es un conjunto formado por un único punto, ya que
si x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) y y = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) pertenecen a esa intersección, entonces, para
(m)
cada j 2 f1; 2; : : : ; ng y cualquier m 2 f2; 3; : : :g, xj y yj pertenecen al intervalo Ij cuya
longitud es igual a L(m) ; así que jyj xj j L(m) = 2(m1 2) L para cualquier m 2 f2; 3; : : :g y,
entonces, xj = yj .
Sea z = (z1 ; z2 ; : : : ; zn ) el único punto en la intersección \1
m=1 Cm .
(m)
(m)
(m)
Para cada m 2 f2; 3; : : :g, tomemos un elemento z (m) = z1 ; z2 ; : : : ; zn
2 K \ Cm ,
entonces tanto z como z (m) pertenecen a la celda Cm , así que, para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ng,
se tiene:
(m)
zj
zj
L(m) .
Por lo tanto:
d z (m) ; z =
p
L(m) n =
r
(m)
z1
1
2(m 2)
2
z1
(m)
+ z2
2
z2
+
p
L n.
Así que la sucesión z (m)
m2f2;3;:::g
converge a z.
(m)
+ zn
2
zn
418
APÉNDICES
Además, z (m) 2 K para cualquier m 2 f2; 3; : : :g, así que, como K es cerrado, z = l mm!1
z (m) 2 K.
S
Por hipótesis, K
2 G , así que, teniendo z 2 K, existe algún conjunto G 0 tal que
z 2 G 0 . Siendo G 0 un conjunto abierto, existe una bola abierta, Br (z), con centro z y un
radio positivo r tal que Br (z) G 0 .
Por otra parte, como z es el centro de la bola Br (z), tomando h = 2pr n , la celda [z1
[z2 h; z2 + h]
[zn h; zn + h] está contenida en Br (z). En efecto, si:
x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 [z1
h; z1 + h]
[z2
h; z2 + h]
[zn
h; z1 + h]
h; zn + h],
entonces, para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, se tiene jxj zj j h, así que:
q
p
d (x; z) = (x1 z1 )2 + (x2 z2 )2 +
+ (xn zn )2 h n = 2r .
Tomemos m0 2 f2; 3; : : :g tal que L(m0 ) =
i
i h
h
(m) (m)
(m) (m)
z 2 Cm0 = a1 ; b1
a2 ; b 2
1
2(m
L < h, entonces, como:
i
h
(m) (m)
an ; bn ,
2)
si y = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) es cualquier elemento de Cm0 se tiene, para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ng:
jyj
zj j
L(m0 ) .
Así que:
d (y; z) =
q
(y1
z1 )2 + (y2
z2 )2 +
+ (yn
zn )2
p
p
L(m0 ) n < h n = 2r .
Por lo tanto, la celda Cm0 está contenida en la bola Br (z), la cual a su vez está contenida
en G 0 . En particular, se tiene K \ Cm0 G 0 .
Hemos llegado a una contradicción ya que construimos la sucesión (Cm )m2f2;3;:::g de tal forma
que,
S para cualquier m 2 f2; 3; : : :g, no existe algún conjunto U 2 U tal que K \ Cm
u2U Gu .
Por lo tanto,Sla hipótesis de la que partimos, a saber, que no existe algún conjunto U 2 U
tal que K
u2U Gu , es falsa.
S
Así que existe algún conjunto U 2 U tal que K
u2U Gu , lo cual prueba el resultado.
Demostraremos ahora el inverso del teorema A.1.
Teorema A.2. Sea K un subconjunto de Rn con la propiedad
Sde que, para cualquier familia
fG : 2 g de subconjuntos abiertos de Rn tales que K
2 G , existe un subconjunto
S
U de , …nito, tal que K
u2U Gu , entonces K es cerrado y acotado.
A.1. TEOREMA DE HEINE BOREL
419
Demostración
Tomemos un elemento cualquiera z 2 Rn . La familia de bolas abiertas fBm (z) : m 2 Ng
forman una cubierta
de K, así que existe un subconjunto
S
S …nito U de números naturales
tales que K
B
(z).
Si
m
=
max
U
,
entonces
m
0
m2U
m2U Bm (z) = Bm0 (z), así que
K Bm0 (z) y, por lo tanto, está acotado.
Para demostar que K es cerrado, tomemos un elemento cualquiera y 2 K c y para cada
m 2 N, denotemos por Gm al complemento de la bola cerrada B 1 (y), de centro y y radio
m
1
.
Se
tiene
entonces:
m
S
m2N Gm =
S
c
m2N B 1 (y) =
m
T
c
m2N B 1 (y)
Así que, como y 2
= K, entonces K
m
S
m2N
= (fyg)c = Rn
fyg.
Gm .
Como los conjuntos
…nito U de números naturales
S
S Gm son abiertos, existe un subconjunto
G
G
.
Si
m
=
max
U
,
entonces
Gm0 .
tales que K
m = Gm0 , así que K
m
0
m2U
m2U
c
c
Por lo tanto, B 1 (y) B 1 (y) = Gm0 K .
m0
m0
Así que, dado y 2 K c , existe una bola abierta de centro y, contenida en K c ; es decir, todos
los puntos de K c son interiores a K c , así que K c es cerrado y, por lo tanto, K es cerrado.
Combinando los teoremas A.1 y A.2, se tiene el siguiente resultado:
Teorema A.3 (Teorema de Heine Borel). Un subconjunto K de Rn es cerrado y acotado si
y sólo si, S
para cualquier familia in…nita fG : 2 g de subconjuntosSabiertos de Rn tales
que K
2 G , existe un subconjunto U de , …nito, tal que K
u2U Gu .
La propiedad que tienen los conjuntos cerrados y acotados en Rn , enunciada en el teorema
de Heine Borel, es llamada compacidad. Es decir decimos que un subconjunto K de Rn es
compactoS
si para cualquier familia in…nita fG : 2 g de subconjuntos S
abiertos de X tales
que K
2 G , existe un conjunto …nito U de , …nito, tal que K
u2U Gu .
En el caso de cualquier espacio métrico, no siempre los conjuntos cerrados y acotados son
compactos. Por ejemplo consideremos el conjunto F = ff : [c; d] 7! R : f es acotadag, donde
c y d son dos números reales tales que c < d; si f 2 F, de…namos kf ks = sup fjf (x)j : x 2 [a; b]g
y si f; g 2 F, de…namos ds (f; g) = kg f ks . Sabemos que (F; ds ) es un espacio métrico
(completo).
Sea (xn )n2N una sucesión de puntos distintos en [c; d] y, para cada n 2 N, de…namos fn :
[c; d] ! R de la siguiente manera:
fn (x) =
1 si x = xn
0 en otro caso
420
APÉNDICES
Se tiene kfn ks = 1 para cualquier n 2 N y ds (fn ; fm ) = 1 para cualquier pareja de números
naturales, m y n, tales que n 6= m.
Evidentemente, el conjunto K = ff1 ; f2 ; : : :g es acotado.
Además, K no tiene puntos de acumulación. En efecto, ninguna de las funciones fn puede
ser punto de acumulación de K, ya que, dada cualquiera de ellas, la bola con centro en esa
función y radio 21 no contiene alguna otra función en K. Ahora, si una función f en F, que
no pertenece a K, fuera punto de acumulación de K, entonces existirían dos funciones fn1 y
fn2 en K tales que:
0 < ds (fn1 ; f ) < 14 ,
0 < ds (fn2 ; f ) < ds (fn1 ; f ).
Por la última desigualdad, se tendría fn1 6= fn2 , así que ds (fn1 ; fn2 ) = 1:
Por otra parte, se tendría:
ds (fn1 ; fn2 )
ds (fn1 ; f ) + ds (f; fn2 ) < 2ds (fn1 ; f ) < 12 ,
llegando así a una contradicción.
Siendo vacío el conjunto de puntos de acumulación de K, podemos concluir que K es cerrado.
Tenemos entonces que el conjunto K es cerrado y acotado.
Ahora bien, consideremos, para cada n 2 N, la bola abierta de radio 41 y centro fn . La
unión de esas bolas contiene a K, pero la unión de cualquier colección …nita de esas bolas
únicamente contiene un número …nito de elementos de K, a saber, los centros de ellas.
Por lo tanto, K es un conjunto cerrado y acotado que no es compacto.
A.2. Conjuntos compactos
En esta sección (X; d) será un espacio métrico.
Definición A.8. Diremos que K X es compacto
S si para cualquier familia in…nita fG : 2 g
de subconjuntos abiertos de X tales que K
tal
2 G , existe un conjunto …nito T
S
que K
2T G .
Definición A.9. Diremos que K X es numerablemente S
compacto si para cualquier familia
fGn : n 2 Ng de subconjuntos
abiertos
de
X
tales
que
K
n2N Gn , existe un conjunto …nito
S
T N tal que K
n2T Gn .
Definición A.10. Diremos que K X es secuencialmente compacto si para toda sucesión
(xn )n2N de elementos de K existe una subsucesión que converge a algún elemento de K.
A.2. CONJUNTOS COMPACTOS
421
Definición A.11. Diremos que una familia de subconjuntos de X, fF : 2 g, tiene la
propiedad
de la intersección …nita si dado cualquier subconjunto …nito T
, se tiene
T
F
=
6
;.
2T
Definición A.12. Diremos que A
X es acotado si existe una bola abierta que lo contiene.
Definición A.13. Diremos que A X es totalmente acotado si para cualquier " > 0, existe
un conjunto …nito de bolas cerradas de radio " cuya unión cubre A.
Obviamente, todo conjunto totalmente acotado es acotado, sin embargo, el inverso no siempre
es verdadero. Por ejemplo, consideremos nuevamente el conjunto:
F = ff : [c; d] 7! R : f es acotadag,
donde c y d son dos números reales tales que c < d; y tomemos en F la norma de la
convergencia uniforme kks .
Consideremos el subconjunto de F formado por las funciones fn (n 2 N) tales que el conjunto
K = ff1 ; f2 ; : : :g es cerrado y acotado pero no compacto.
El conjunto K no es totalmente acotado; en efecto, como kfn ks = 1 para cualquier n 2 N y
ds (fn ; fm ) = 1 para cualquier pareja de números naturales, m y n, tales que n 6= m, entonces
para " = 41 , cualquier bola cerrada de radio " contiene a lo más un elemento de K, ya que si
f y g pertenecen a esa bola y h es su centro, entonces:
d (f; g)
d (f; h) + d (h; g)
1
.
2
Por lo tanto, no existe un conjunto …nito de bolas cerradas de radio " =
K.
1
4
cuya unión cubra
En Rn , si un subconjunto A es acotado, entonces es totalmente acotado. En efecto, siendo A
acotado existe una bola abierta B que lo contiene; por lo tanto, la bola cerrada B también lo
contiene. Ahora bien, siendo la bola cerrada un conjunto compacto, es totalmente acotado;
de manera que entonces A también es totalmente acotado.
La demostración de la proposición A.2 no utiliza propiedades particulares de Rn y se aplica
tanto a los conjuntos compactos como a los numerablemente compactos; así que se tienen
los siguientes resultados:
Proposición A.5. Si K
X es un conjunto compacto, entonces es cerrado y acotado.
Proposición A.6. Si K
y acotado.
X es un conjunto numerablemente compacto, entonces es cerrado
Proposición A.7. Si K
y acotado.
X es un conjunto secuencialmente compacto, entonces es cerrado
422
APÉNDICES
Demostración
Si K no fuera acotado, dada cualquier bola abierta Br (x), de centro x 2 X y radio r 2 (0; 1),
existiría algún elemento de K que no pertenecería a esa bola.
Suponiendo entonces que K no es acotado, de…namos, inductivamente, una sucesión (xi )i2N
de elementos de K y una sucesión (ri )i2N de números reales positivos tales que :
i) xi 2 K
Bri 0 .
i) ri = d xi 1 ; 0 + 1.
donde tomamos x0 = 0.
De…namos r1 = 1 y x1 como cualquiera de los elementos de K que no pertenecen a la bola
Br1 0 . Obviamente, x1 y r1 satisfacen las propiedades i y ii.
Tomemos ahora k 2 N y supongamos que tenemos de…nidos xk
propiedades i y ii.
y rk satisfaciendo las
De…namos rk+1 = d xk ; 0 + 1 y xk+1 como cualquiera de los elementos de K que no
pertenecen a la bola Brk+1 0 . Obviamente, xk+1 y rk+1 satisfacen las propiedades i y
ii.
Así que, por el principio de inducción matemática, quedan de…nidas las sucesiones (xi )i2N y
(ri )i2N satisfaciendo las propiedades i y ii.
Para cualquier j 2 N, se tiene:
d xj+1 ; 0
rj+1 = d xj ; 0 + 1.
Así que, si xj y xj+k son dos elementos cualesquiera de la sucesión (xi )i2N , donde j y k son
números naturales, se tiene:
d xj+k ; 0
d xj+k 1 ; 0 + 1
d xj+k 2 ; 0 + 2
d xj ; 0 + k.
Además:
d xj+k ; 0
d (xj+k ; xj ) + d xj ; 0 .
Así que:
d (xj+k ; xj )
d xj+k ; 0
d xj ; 0
d xj ; 0 + k
d xj ; 0 = k.
Por lo tanto, la distancia entre dos elementos cualesquiera de la sucesión (xi )i2N es mayor o
igual a 1, así que no existe alguna subsucesión convergente de esa sucesión.
Por otra parte, si K no tiene puntos de acumulación, entonces es cerrado.
A.2. CONJUNTOS COMPACTOS
423
Si el conjunto de puntos de acumulación de K es no vacío, sea x cualquiera de esos puntos,
entonces existe una sucesión (xi )i2N de elementos de K que converge a x; por lo tanto cualquier subsucesión de (xi )i2N converge también a x. Pero, por la hipótesis de la proposición,
existe una subsucesión de (xi )i2N que converge a algún elemento que pertenece a K; por lo
tanto x 2 K. Así que, también en este caso, K es un conjunto cerrado.
Proposición A.8. Sea fKn gn2N una familia de subconjuntos
numerablemente compactos
T1
con la propiedad de la intersección …nita, entonces n=1 Kn 6= ;.
Demostración
T
S1
S1
c
c
Supongamos 1
n=1 Kn = ;, entonces
n=1 Kn = X. Así que Kn0
n=1 Kn para cualquier
n0 2 N. Sea n0 2
entonces,
existen n1 : : : ; nm 2 N
Tm como Kn0 es compacto,
Sm
SmN arbitraria,
c c
c
= ;, lo cual es una
tales que Kn0
k=0 Knk = Kn0 \
k=1 Knk
k=1 Knk . Entonces
contradicción.
Proposición A.9. Sea fK g 2 una familia de subconjuntos compactos con la propiedad de
T
la intersección …nita, entonces
2 K 6= ;.
Demostración
T
S
S
c
c
Supongamos
2 K = ;, entonces
2 K = X. Así que K 0
2 K para cualquier
. Sea 0 2
arbitraria, entonces, como K 0 es compacto, existen 1 : : : ; n 2
0 2
c
Sn
Tn
Sn
c
c
= ;, lo cual es una
tales que K 0
k=1 K k
k=0 K k = K 0 \
k=1 K k . Entonces
contradicción.
Proposición A.10. Sea K X cerrado. Supongamos que cualquier familia de subconjuntos
cerrados de K con la propiedad de la intersección …nita tiene una intersección no vacía.
Entonces K es compacto.
Demostración
Sea fG g 2 una familia de subconjuntos abiertos tales que K
los subconjuntos …nitos de .
S
Para cada T 2 S, de…namos ET =
2T G .
S
2
G y S la familia de
Si K \ ETc 6= ; para cualquier T 2 S, entonces la familia de conjuntos cerrados fK \ ETc gT 2S;
c
S
T
c
tiene la propiedad de la intersección …nita. Por lo tanto, K \
=
2 G
2 (K \ ET ) 6=
;, lo cual es una contradicción.
S
Por lo tanto, K \ ETc = ; para algún T 2 S, así que K
2T G para algún T 2 S.
Así que K es compacto.
424
APÉNDICES
Proposición A.11. Sea K X cerrado. Supongamos que cualquier familia numerable de
subconjuntos cerrados de K con la propiedad de la intersección …nita tiene una intersección
no vacía. Entonces K es numerablemente compacto.
Demostración
S1
Sea fGn gn2N una familia
Snde subconjuntos abiertos tales que K
n 2 N, de…namos En = k=1 Gk .
n=1
Gn y, para cada
c
Si K \ Enc 6= ; para cualquier n 2 N, entonces la familia de conjuntos
cerrados
S1
T1 fK \ En gc n2N
c
tiene la propiedad de la intersección …nita. Por lo tanto, K \ ( n=1 Gn ) = n=1 (K \ En ) 6=
;, lo cual es una contradicción.
Sn
Por lo tanto, K \ Enc = ; para alguna n 2 N, así que K
k=1 Gk para alguna n 2 N.
Así que K es numerablemente compacto.
Corolario A.3. Un conjunto cerrado K X es compacto si y sólo si cualquier familia de
subconjuntos cerrados de K con la propiedad de la intersección …nita tiene una intersección
no vacía.
Corolario A.4. Un conjunto cerrado K
X es numerablemente compacto si y sólo si
cualquier familia numerable de subconjuntos cerrados de K con la propiedad de la intersección
…nita tiene una intersección no vacía.
Teorema A.4. Un conjunto K
blemente compacto.
X es secuencialmente compacto si y sólo si es numera-
Demostración
Supongamos que K es secuencialmente compacto y sea fFn gn2N familia de subconjuntos
cerrados de K con la propiedad de la intersección …nita.
T
Para cada n 2 N, de…namos Hn = nk=1 Fk y tomemos xn 2 Hn .
Obsérvese que, para cualquier j 2 N, xn 2 Fj para cualquier n
j.
Como K es secuencialmente compacto, existe una subsucesión convergente, (xnk )k2N , de
(xn )n2N .
Sea x = l mk!1 xnk .
Si j 2 N y k
j, entonces nk
j, así que xnk 2 Fj . Por lo tanto, x 2
Así que K es numerablemente compacto.
T1
k=1
Fk .
Inversamente, supongamos que K es numerablemente compacto y sea (xn )n2N una sucesión
de elementos de K.
A.2. CONJUNTOS COMPACTOS
425
Para cada n 2 N, de…namos Cn = fxn ; xn+1 ; : : :g. Entonces, la familia
T1de conjuntos cerrados
Cn n2N tiene la propiedad de la intersección …nita. Por lo tanto, n=1 Cn 6= ;.
T
1
Sea x 2 1
n=1 Cn , entonces, para cada n 2 N, existe xm 2 Cn tal que d (xm ; x) < n . Podemos
de…nir entonces inductivamente una subsucesión (xnk )k2N de (xn )n2N tal que d (xnk ; x) < n1k
para cualquier k 2 N. Así que (xnk )k2N converge a x.
Por lo tanto, K es secuencialmente compacto.
Proposición A.12. Sea K
X un conjunto secuencialmente
S compacto. Entonces, para
cualquier " > 0, existe un conjunto …nito T K tal que K
x2T B" (x).
Demostración
S
c
6= ; para cualquier
Supongamos que para alguna " > 0 se tiene que K \
x2T B" (x)
conjunto …nito T
K. Sea x1 2 K arbitrario
T y de…namos inductivamente una sucesión
" para
(xn )n2N de elementos de K tal que xk+1 2 kj=1 B"c (xj ), es decir, d (xk+1 ; xj )
cualquier j 2 f1; : : : ; kg. Se tiene entonces d (xn ; xm )
" para cualesquiera n; m 2 N
distintas. Así que no existe ninguna subsucesión convergente de (xn )n2N , lo cual es una
contradicción ya que K es secuencialmente compacto.
Corolario A.5. Si K
X es un conjunto secuencialmente compacto, entonces es totalmente acotado.
Corolario A.6. Sea K X un conjunto secuencialmente compacto. Entonces K contiene
un subconjunto denso numerable.
Demostración
Para cada n 2 N, sea Tn un subconjunto …nito de K tal que K
S
T = 1
n=1 Tn .
Si x 2 K entonces, para cada n 2 N, existe xn 2 Tn
x 2 T , es decir, K = T .
T
S
x2Tn
B 1 (x). De…namos
n
K tal que d (xn ; x) < n1 . Así que
Proposición A.13. Si A X es totalmente acotado y H = fG : 2 g es una familia de
subconjuntos abiertos de X cuya unión cubre A, entonces existe una colección numerable de
conjuntos G 2 H cuya unión sigue cubriendo A.
Demostración
Si A es vacío el resultado es trivial; así que asumiremos que A 6= ;.
Para cada n 2 N, sea Bn un subconjunto …nito de X tal que la unión de las bolas cerradas
de centro cada uno de los puntos de Bn y radio n1 cubre A y sea B = [1
n=1 Bn .
426
APÉNDICES
De…namos:
n
M = (n; y) : n 2 N, y 2 Bn y existe
2
S
o
G .
tal que B 1 (y)
n
Como A
2 tal que x 2 G . Siendo G abierto, existe
2T G , dado x 2 A, existe
una bola Br (x) contenida en G . Tomemos n 2 N tal que n1 < 2r .
S
1 (y), existe y 2 Bn tal que x 2 B 1 (y). Entonces, si z 2 B 1 (y), se
Como A
y2Bn B n
n
n
tiene:
d (z; x)
d (z; y) + d (y; x)
1
n
+
1
n
=
2
n
< r.
Así que z 2 Br (x); por lo tanto:
B 1 (y)
Br (x)
n
G .
Hemos demostrado entonces que, dado x 2 A, existen n 2 N y y 2 Bn tales que (n; y) 2 M
y x 2 B 1 (y).
n
En particular, lo anterior demuestra que el conjunto M es no vacío y, obviamente, es un
conjunto numerable.
Denotemos por (r1 ; s1 ), (r2 ; s2 ), . . . los elementos de M .
Para cada (rk ; sk ) 2 M , tomemos un elemento
elemento por k .
2
tal que B 1 (sk )
rk
G y denotemos ese
Con esta notación, podemos enunciar el resultado anterior de la siguiente manera:
Para cada x 2 A, existe un elemento (rk ; sk ) tal que x 2 B 1 (sk )
rk
Por lo tanto, A
S
k
G k.
G k , lo cual demuestra el resultado
Corolario A.7. Un conjunto K
X es secuencialmente compacto si y sólo si es compacto.
Demostración
Si K es compacto, entonces es numerablemente compacto, así que, por el teorema A.4, es
secuencialmente compacto.
Inversamente, si K es secuencialmente compacto, entonces, por el teorema A.4, es numerablemente compacto. Además, por el corolario A.5, también es totalmente acotado, así que,
por la proposición A.13, si H = fG : 2 g es una familia de subconjuntos abiertos
S de X
cuya unión cubre A, entonces existe un conjunto numerable
tal que K
2 G .
Por loStanto, siendo K numerablemente compacto, existe un conjunto …nito T
tal que
K
2T Gn . Lo cual demuestra que K es compacto.
A.3. CARACTERIZACIÓN DE LOS CONJUNTOS COMPACTOS
427
También como corolario, se tiene el siguiente resultado:
Teorema A.5. Si K es un subconjunto de X, las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) K es compacto.
(ii) K es numerablemente compacto.
(iii) K es secuencialmente compacto.
A.3. Caracterización de los conjuntos compactos
Definición A.14. Diremos que A
X es relativamente compacto si A es compacto.
Por la proposición A.5, el corolario A.7 y el corolario A.5, se tiene el siguiente resultado:
Proposición A.14. Si K
acotado.
X es un conjunto compacto, entonces es cerrado y totalmente
Proposición A.15. Un conjunto B X es totalmente acotado si y sólo si para toda sucesión
(xn )n2N de elementos de B contiene una subsucesión de Cauchy.
Demostración
Supongamos que B es totalmente acotado y sea (yn )n2N una sucesión de elementos de B.
S
Tomemos un conjunto …nito T1
X tal que K
x2T1 B1 (x). Siendo T1 …nito, por
lo menos una de las bolas B1 (x), con x 2 T1 , contiene una in…nidad de elementos de la
sucesión (yn )n2N . Sea B1 (x1 ) una de esas bolas.
S
Tomemos ahora un conjunto …nito T2
X tal que K
x2T2 B 12 (x). Siendo T2 …nito,
por lo menos una de las bolas B 1 (x), con x 2 T2 , es tal que B1 (x1 ) \ B 1 (x) contiene una
2
2
in…nidad de elementos de la sucesión (yn )n2N . Sea B 1 (x2 ) una de esas bolas.
2
o
n
1
Mediante ese proceso podemos de…nir inductivamente una sucesión de bolas B (xn )
n
n2N
T
tales que, para cualquier n 2 N, el conjunto nk=1 B 1 (xk ) contiene una in…nidad de elementos
k
de la sucesión (yn )n2N .
Tomemos yn1 2 B1 (x1 ) y de…namos inductivamente una subsucesión (ynk )k2N tal que, para
T
cualquier k 2 N, ynk 2 kj=1 B 1 (xj ). Se tiene entonces d (ynk ; xj ) < 1j para cualquier
j
j 2 f1; : : : ; kg; así que, …jando j 2 N, se tiene d (ynk ; xj ) <
Por lo tanto, …jando j 2 N, se tiene d (ynk ; ynk ) <
sucesión (ynk )k2N es de Cauchy.
2
j
1
j
para cualquier k
para cualesquiera k; m
j.
j. Así que la
Supongamos
ahora que B no es totalmente acotado. Entonces, existe " > 0 tal que K \
S
c
6= ; para cualquier conjunto …nito T
X (en particular, para cualquier
x2T B" (x)
428
APÉNDICES
conjunto …nito T
K). Sea x1 2 K arbitrario y de…namos inductivamente una sucesión
T
(xn )n2N de elementos de K tal que xk+1 2 kj=1 B"c (xj ), es decir, d (xk+1 ; xj )
" para
cualquier j 2 f1; : : : ; kg. Se tiene entonces d (xn ; xm )
" para cualesquiera n; m 2 N
distintas. Así que no existe ninguna subsucesión de (xn )n2N que sea de Cauchy.
Proposición A.16. Un conjunto B
X es relativamente compacto si y sólo si para toda
sucesión (xn )n2N de elementos de B existe una subsucesión convergente.
Demostración
Si B es relativamente compacto, entonces B es secuencialmente compacto, así que toda
sucesión (yn )n2N de elementos de B contiene una subsucesión convergente (a algún punto de
B).
Inversamente, supongamos que para toda sucesión (xn )n2N de elementos de B existe una
subsucesión convergente y sea (yn )n2N una sucesión de elementos de B.
Para cada n 2 N, sea zn 2 B tal que d (yn ; zn ) < n1 . Tal zn existe pues si yn 2 B podemos
tomar zn = yn y si yn 2
= B entonces yn es punto de acumulación de B.
Sea ahora (znk )k2N una subsucesión convergente de (zn )n2N y z = l mk
como:
d (ynk ; z)
d (ynk ; znk ) + d (znk ; z) < d (znk ; z) +
se tiene z = l mk
1
1 znk .
Entonces,
1
,
nk
ynk .
Además, como B es cerrado, z 2 B.
Por lo tanto, para toda sucesión (yn )n2N de elementos de B existe una subsucesión convergente a algún elemento de B. Es decir, B es secuencialmente compacto y, por lo tanto,
compacto.
Corolario A.8. Si X es completo, entonces un conjunto K
si y sólo si es totalmente acotado.
X es relativamente compacto
Demostración
Supongamos que K es relativamente compacto y tomemos una sucesión (xn )n2N cualquiera
de elementos de K; entonces, por la proposición A.16, existe una subsucesión de (xn )n2N que
es convergente y, por lo tanto, de Cauchy; así que por la proposición A.15, K es totalmente
acotado.
Inversamente, supongamos que K es totalmente acotado y tomemos una sucesión (xn )n2N
cualquiera de elementos de K ; entonces, por la proposición A.15, existe una subsucesión de
A.4. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
429
(xn )n2N que es de Cauchy. Siendo X completo, esa subsucesión es convergente; así que, por
la proposición A.16, K es relativamente compacto.
Corolario A.9. Si X es completo, entonces cualquier conjunto K
mente acotado, es compacto.
X cerrado y total-
Demostración
Si K
X es un conjunto cerrado y totalmente acotado, entonces, por el corolario A.8, es
relativamente compacto; así que K = K es compacto.
Por la proposición A.14 y el corolario A.9 se tiene entonces el siguiente resultado:
Teorema A.6. Si X es completo, un conjunto K
y totalmente acotado.
X es compacto si y sólo si es cerrado
Si X no es completo, es posible que haya subconjuntos cerrrados y totalmente acotados que
no sean compactos. Por ejemplo, tomemos X = Q con la distancia usual entre números
reales; entonces el conjunto A = fx 2 Q : 2 < x2 < 3g es cerrado y totalmente acotado,
pero no compacto.
A.4. Espacios vectoriales normados
Asumimos que el lector está familiarizado con las propiedades básicas de los espacios vectoriales sobre un campo.
Definición A.15. Sea X un espacio vectorial sobre R. Diremos que una función x ! kxk,
de…nida sobre X y con valores en R, es una norma si satisface las siguientes propiedades:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
kxk 0 para cualquier x 2 X.
kxk = 0 si y sólo si x = 0.
k xk = j j kxk para cualesquiera = F y x 2 X.
kx + yk kxk + kyk para cualesquiera x; y 2 X.
Recordemos que a partir de una norma se puede de…nir una métrica de la siguiente manera:
d (x; y) = ky
xk.
Definición A.16. Si X es un espacio vectorial en donde está de…nida una norma, diremos
que X es un espacio vectorial normado.
Definición A.17. Sea X
espacio vectorial de dimensión …nita sobre R y B = fx1 ; : : : ; xn g
Pun
n
una base de X. Si x = k=1 k xk , de…nimos kxk0;B = max fj k j : k 2 f1; : : : ; ngg.
430
APÉNDICES
Se prueba inmediatamente que la función x 7! kxk0;B es una norma sobre X.
Definición A.18. La norma kxk0;B será llamada la norma del máximo en la base B.
Además si kk es cualquier otra norma de…nida sobre X y x =
P
Pn
Pn
kxk = k nk=1 k xk k
j
j
kx
k
kxk
k
k
k=1
0;B
k=1 kxk k.
Pn
k=1
k xk ,
entonces:
Proposición A.17. Sea X un espacio vectorial de dimensión …nita sobre R y B = fx1 ; : : : ; xn g
una base de X. Entonces X es completo con respecto a la norma kxk0;B .
Demostración
Sea (ym )m2N una sucesión de Cauchy con respecto a kk0;B . Si ym =
como
(i)
k
(j)
k
kyi
Pn
k=1
yj k0;B para cualesquiera i; j 2 N, la sucesión
Cauchy para cualquier
k 2 f1; : : : ; ng. Sea
P
de…namos y = nk=1 k xk .
Dada " > 0, sea N tal que kyi
k
= l mm
1
(m)
k ,
(m)
k xk , entonces,
(m)
es de
k
m2N
para k 2 f1; : : : ; ng, y
yj k0;B < " para cualesquiera i; j 2 N mayores o iguales a
(i)
(j)
N . Entonces, también se tiene k
< " para cualesquiera i; j 2 N mayores o iguales
k
a N y cualquier k 2 f1; : : : ; ng. Fijando i N , se tiene, para cualquier k 2 f1; : : : ; ng:
(i)
k
k
= l mj
Por lo tanto:
kyi
yk0;B = max
1
n
(i)
k
(i)
k
(j)
k
k
".
: k 2 f1; : : : ; ng
Así que la sucesión (ym )m2N converge a y.
o
".
Proposición A.18. Sea X un espacio vectorial de dimensión …nita sobre R, B = fx1 ; : : : ; xn g
una base de X y kk una norma de…nida sobre X. Entonces existe una constante positiva c
tal que kxk c kxk0;B para cualquier x 2 X.
Demostración
La demostración se hará por inducción sobre la dimensión de X.
Supongamos que el resultado es válido para cualquier espacio vectorial de dimensión k,
cualquier base de ese espacio y cualquier norma de…nida sobre él.
Sea ahora Y un espacio vectorial de dimensión k + 1, BY = fy1 ; : : : ; yk+1 g una base de Y y
kk una norma de…nida sobre Y .
A.4. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
431
Tomemos cualquier yi 2 BY y sea M el subespacio vectorial generado por A = BY
fyi g.
Por la hipótesis de inducción, sabemos que existe una constante positiva cM tal que kyk
cM kyk0;A para cualquier y 2 M .
Sea (zm )m2N una sucesión de Cauchy, en M , con respecto a la norma kk. Entonces, como
1
kyk0;A
kyk para cualquier y 2 M , (zm )m2N es también una sucesión de Cauchy con
cM
respecto a la norma kk0;A . Sea z el límite de la sucesión con respecto a kk0;A . Entonces,
Pk+1
como kzm zk kzm zk0;A
kyi k para cualquier m 2 N, (zm )m2N también
j=1 kyj k
converge a z con respecto a la norma kk. Así que M es completo y, por lo tanto, es un
subconjunto cerrado de X.
Como los vectores y1 ; : : : ; yk+1 son linealmente independientes, yi 2 M c . Así que existe una
bola abierta de radio i > 0 y centro yi , completamente contenida en M c . Por tanto,
ky yi k
i para cualquier y 2 M .
P
Tomemos y = k+1
j=1 j yj 2 Y .
Si
i
Pk+1
6= 0, entonces yi
kyk =
Pk+1
j=1
j yj
j=1
j
yj 2 M , así que
i
j ij i.
Obviamente también se tiene kyk
j ij
i
cuando
Pk+1
j=1
i
j
i
yj
i.
Por lo tanto:
= 0.
De…namos cY = m n f i : i 2 f1; : : : ; k + 1gg. Entonces cY > 0 y se tiene kyk
cualquier i 2 f1; : : : ; k + 1g. Así que:
kyk
cY max fj i j : f
i
j i j cY para
: i 2 f1; : : : ; k + 1ggg = cY kyk0;BY .
Corolario A.10. Sea X un espacio vectorial de dimensión …nita sobre F y kk1 y kk2 dos
normas de…nidas sobre X. Entonces existen dos constantes positivas a y b tales que
a kxk1
kxk2
b kxk1
para cualquier x 2 X.
Corolario A.11. Sea X un espacio vectorial de dimensión …nita sobre F. Entonces X es
completo con respecto a cualquier norma de…nida sobre él.
Corolario A.12. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces cualquier subespacio de
X de dimensión …nita es cerrado.
Demostración
Todo subespacio vectorial de dimensión …nita es completo. Por lo tanto, es un subconjunto
cerrado de X.
432
APÉNDICES
Proposición A.19. Sea X un espacio vectorial normado de dimensión …nita. Entonces
todo subconjunto de X, cerrado y acotado, es compacto.
Demostración
Sea B = fx1 ; : : : ; xm g una base de X y a; b dos constantes positivas tales que kxk0;B
y kxk b kxk0;B para cualquier x 2 X, en donde kk es la norma en X.
Sea K
X un conjunto cerrado y acotado, M tal que kxk
(yn )n2N una sucesión de elementos en K.
P
Si, para cada n 2 N, yn = m
i=1 ni xi , entonces:
max fj
a kyn k
aM .
Así que, para cada i 2 f1; : : : ; ng, la sucesión (
ni )n2N
Sean
ni j
: i 2 f1; : : : ; ngg = kyn k0;B
(1)
nk 1 k2N
convergente de
una subsucesión convergente de (
(1)
nk 2 k2N
n1 )n2N ,
l mk
1
= b l mk
kynk
1
yk
max fj
l mk
nk i
(2)
nk 2 k2N
una subsucesión
, . . . . Obtenemos de esta forma una subsucesión (ynk )k2N de
= l mk
i
M para cualquier x 2 K y
está acotada.
(yn )n2N tal que, para cualquier i 2 f1; : : : ; ng, la sucesión (
Para i 2 f1; : : : ; ng, sea
a kxk
1
nk i
y de…namos y =
1
b kynk
ij
: i 2 f1; : : : ; ngg = 0.
yk0;B
nk i )k2N
Pm
i=1
es convergente.
i xi .
Entonces:
Por lo tanto, la subsucesión (ynk )k2N es convergente.
Además, como K es cerrado, y 2 K.
K es entonces secuencialmente compacto y, por lo tanto, compacto.
Lema A.2. Sea X un espacio vectorial normado, M un subespacio vectorial cerrado, contenido propiamente en X, y " 2 (0; 1) arbitraria. Entonces existe un vector x" 2 X de norma
1 y tal que kx" xk > 1 " para cualquier x 2 M .
Demostración
Sea y 2 X
M y de…namos:
d = nf fky
xk : x 2 M g.
d es positiva pues si d fuera igual a cero entonces existiría una sucesión de elementos de M
que converge a y, así que, como M es cerrado, se tendría y 2 M .
Ahora bien, como d <
d
,
1 "
existe z 2 M tal que d
ky
zk <
d
.
1 "
A.4. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
De…namos x" =
kx"
=
xk =
1
ky zk
ky
y z
.
ky zk
y z
ky zk
(z + ky
433
Entonces kx" k = 1 y, si x 2 M , se tiene:
x =
1
ky zk
zk x)k
k(y
d
ky zk
z)
>1
ky
zk xk
".
Proposición A.20. Sea X un espacio vectorial normado de dimensión in…nita. Entonces
la bola cerrada de radio 1 y centro 0 no es un conjunto compacto.
Demostración
Sea x1 2 X un vector arbitrario de norma 1. Utilizando el lema A.2, podemos de…nir
inductivamente una sucesión de vectores xn 2 X tales que, para cualquier n 2 N, kxn k = 1 y
ky xn+1 k > 21 para cualquier y en el espacio vectorial generado por fx1 ; : : : ; xn g, el cual es
cerrado por ser de dimensión …nita. En particular, se tiene kxn xm k > 12 para cualesquiera
n; m 2 N distintos.
Supongamos que existe una subsucesión (xnk )k2N convergente. Tal sucesión sería de Cauchy,
así que existiría N tal que xnj xnk < 12 para cualesquiera j; k 2 N mayores que N , lo
cual es imposible.
Por lo tanto, la bola cerrada de radio 1 y centro 0 no es un conjunto secuencialmente
compacto. Así que no es compacto.
Corolario A.13. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces X tiene dimensión …nita
si y sólo si todo subconjunto de X, cerrado y acotado, es compacto.
Definición A.19. Sea X un espacio vectorial normado. Diremos que X es un espacio de
Banach si es completo con respecto a la métrica de…nida por la norma.
Proposición A.21. No existe ningún espacio de Banach con una base in…nita numerable.
Demostración
Sea X un espacio de Banach y supongamos que B = fx1 ; x2 ; : : :g es una base in…nita numerable de X.
Para cada n 2 N, de…namos Bn = fx1 ; : : : ; xn g y denotemos por Xn al espacio vectorial
generado por Bn .
Cada espacio vectorial Xn tiene dimensión …nita, así que es completo. Por lo tanto, Xn es
un subconjunto cerrado de X.
Sea x 2 Xn , > 0, y 2 B Bn y N 2 N tal que
tiene z 2
= Xn y kz yk = N1 kyk < .
1
N
kyk < . Entonces, si z = x +
1
y,
N
se
434
APÉNDICES
Así que cualquier bola con centro x contiene elementos de Xnc . Por lo tanto, el interior de
Xn es vacío.
Xn es entonces un conjunto denso en ninguna parte.
Además, como
S B es una base de X, cualquier x 2 X pertenece a Xn para alguna n 2 N.
Así que X = 1
n=1 Xn .
X es entonces de categoría I, lo cual nos conduce a una contradicción pues todo espacio
métrico completo es de categoría II.
Proposición A.22. Sea X P
un espacio vectorial normado y (xn )n2N una sucesión de ele1
mentos
de
X
tal
que
la
serie
n=1 kxn k converge. Entonces la sucesión (sn )n2N de…nida por
Pn
sn = k=1 xk es de Cauchy.
Demostración
Dada " > 0, sea N tal que
se tiene:
Pm
ksm sn k =
k=n+1 xk
P1
k=n
Pm
kxk k < " para cualquier n
k=n+1
kxk k
P1
k=n+1
N . Entonces, si m > n
N,
kxk k < ".
Proposición A.23. Sea X un espacio vectorial normado.
Supongamos que, para cualquier
P1
kx
sucesión (xn )n2N de
elementos
de
X
tal
que
la
serie
n k converge, la sucesión (sn )n2N
n=1
Pn
de…nida por sn = k=1 xk converge. Entonces X es completo.
Demostración
Sea (xn )n2N una sucesión de Cauchy en X.
De…namos m0 = 0 y, para cada k 2 N, tomemos mk 2 N tal que mk > mk 1 y jjxn xm jj <
1
para cualesquiera n; m mk . Entonces, en particular se tiene xmk+1 xmk < 21k para
2k
P
cualquier k 2 N. Así que la serie 1
xmk+1 xmk converge. Por lo tanto, la sucesión
k=1 P
(sn )n2N de…nida por sn = xmn+1 xm1 = nk=1 xmk+1 xmk converge. Así que la sucesión
(xmn )n2N también converge. Finalmente, tratándose de una sucesión de Cauchy, es su…ciente
la convergencia de una subsucesión para que la sucesión original converja.
A.5. Convergencia uniforme
Definición A.20. Si E es cualquier conjunto, D E y (fn )n2N es una sucesión de funciones
fn : E ! R, diremos que (fn )n2N converge uniformemente a la función f : E ! R, sobre el
conjunto D, si dada cualquier " > 0, existe N 2 N tal que:
A.5. CONVERGENCIA UNIFORME
jfn (x)
435
f (x)j < "
para cualquier n
N y x 2 D.
Un caso que de especial importancia es cuando D es un intervalo Sean a y b dos números
reales tales que a < b y G = ff : [c; d] 7! R : f es acotadag. Si f 2 G, de…nimos:
kf ks = sup fjf (x)j : x 2 [a; b]g.
Proposición A.24. La función que asocia a cada f 2 G el número real kf ks , es una norma
sobre G.
Demostración
Obviamente kf ks es un número real no negativo para cualquier f 2 G.
Si kf ks = 0, entonces sup fjf (x)j : x 2 [a; b]g = 0, así que jf (x)j = 0 para cualquier x 2
[a; b]; es decir, f es idénticamente 0.
Si f y g son elementos de G, entonces:
jf (x) + g (x)j
jf (x)j + jg (x)j
kf ks + kgks , para cualquier x 2 [a; b]; así que:
kf + gks = sup fjf (x) + g (x)j : x 2 [a; b]g
Si f; g 2 G y de…nimos ds (f; g) = kg
kf ks + kgks .
f ks , entonces ds es una métrica sobre G.
Proposición A.25. (G; ds ) es un espacio métrico completo.
Demostración
Sea (fn )n2N una sucesión de Cauchy en G.
Dada " > 0, tomemos N 2 N tal que kfn
n N y m N.
Como kfn
fm ks = sup fjfn (x)
fm ks < " para cualesquiera n; m 2 N tales que
fm (x)j : x 2 [a; b]g, se tiene:
jfn (x) fm (x)j < " para cualquier x 2 [a; b] y cualesquiera n; m 2 N tales que n
m N.
N y
Así que, para cualquier x 2 [a; b], (fn (x))n2N es una una sucesión de Cauchy de números
reales; por lo tanto converge.
De…namos f : [a; b] 7! R de la siguiente manera:
f (x) = l mn!1 fn (x).
436
APÉNDICES
Como la sucesión (fn )n2N es de Cauchy, está acotada, así que existe un número real M tal
que kfn ks M para cualquier n 2 N. Por lo tanto:
jfn (x)j
M para cualquier x 2 [a; b] y cualquier n 2 N.
Así que, jf (x)j
M para cualquier x 2 [a; b]; es decir, f es acotada.
Dada " > 0, tomemos N 2 N tal que kfn
n N y m N . Entonces:
fm ks < " para cualesquiera n; m 2 N tales que
jfn (x) fm (x)j < " para cualquier x 2 [a; b] y cualesquiera n; m 2 N tales que n
m N . O bien:
N y
fm (x) " < fn (x) < fm (x) + " para cualquier x 2 [a; b] y cualesquiera n; m 2 N tales que
n N y m N.
Por lo tanto, tomando límites cuando m tiende a in…nito, se obtiene:
f (x)
"
jfn (x)
fn (x)
f (x)j
f (x) + " para cualquier x 2 [a; b] y cualquier n
" para cualquier x 2 [a; b] y cualquier n
N . Es decir:
N.
Por lo tanto:
kfn
f ks
" para cualquier n
N.
Así que, la sucesión (fn )n2N converge a f en el espacio métrico (F; ds ).
Definición A.21. Diremos que una función f 2 G es lineal por pedazos si existe una
partición fx0 ; x1 ; : : : ; xn g del intervalo [a; b] tal que, para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ng, la
función f es lineal en el intervalo (xj 1 ; xj ).
Proposición A.26. El conjunto L, de funciones continuas y lineales por pedazos en F, es
denso en el conjunto C, de funciones continuas en F.
Demostración
Si f : [a; b] 7! R es una función continua, entonces es uniformemente continua, así que, dada
" > 0, existe > 0 tal que, si x; y 2 [a; b] y jy xj < , entonces jf (y) f (x)j < 12 ".
Consideremos una partición fx0 ; x1 ; : : : ; xn g una partición del intervalo [a; b] tal que xi
xi 1 < para cualquier i 2 f1; 2; : : : ; ng y de…namos la función f" : [a; b] 7! R de la siguiente
manera:
f" (x) =
f (xi 1 ) +
f (x)
f (xi ) f (xi
xi xi 1
Si x 2 (xi 1 ; xi ), se tiene:
1)
(x
xi 1 ) si x 2 (xi 1 ; xi ) para alguna i 2 f1; 2; : : : ; ng
si x 2 fx0 ; x1 ; : : : ; xn g
A.6. LOS RACIONALES DIÁDICOS
jf" (x)
f (xi ) f (xi
xi xi 1
=
jf" (x)
f (x)j
jf (xi )
1)
(x
xi 1 ) + jf (xi 1 )
f (xi 1 )j + jf (xi 1 )
Además, jf" (x)
jf" (x)
f (xi 1 )j + jf (xi 1 )
437
f (x)j
f (x)j = jf (xi )
f (xi 1 )j xxi
xi
xi
1
1
+ jf (xi 1 )
f (x)j
f (x)j < .
f (x)j = 0 para cualquier x 2 fx0 ; x1 ; : : : ; xn g. Así que:
f (x)j < para cualquier x 2 [a; b].
Por lo tanto:
kf"
f ks
".
Se puede concluir entonces que, en particular, la sucesión de funciones f 1
n
converge a
n2N
f en el espacio métrico (F; ds ).
A.6. Los racionales diádicos
Recordemos que los racionales diádicos son los números racionales de la forma 2jn , donde
n 2 f0; 1; : : :g y j es un número entero. Recordemos también que el conjunto de racionales
diádicos en un intervalo (a; b), es denso en [a; b].
Definición A.22. Denotaremos por B al conjunto:
(sk )k2N : sk 2 f0; 1g y sk = 1 para una in…nidad de índices k ,
por Bn al conjunto f(s1 ; s2 ; : : : ; sn ) : sj 2 f0; 1g para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; ngg, donde n 2
N, y, para cada elemento (s1 ; s2 ; : : : ; sn ) 2 Bn , denotaremos por I(s1 ;s2 ;:::;sn ) al intervalo
Pn sk Pn sk
1
k=1 2k ;
k=1 2k + 2n .
Obsérvese que I(s1 ;s2 ;:::;sn )
(0; 1] para cualquier (s1 ; s2 ; : : : ; sn ) 2 Bn . En efecto, para
cualquier (s1 ; s2 ; : : : ; sn ) 2 Bn , se tiene:
Pn sk Pn 1
1
0
k=1 2k
k=1 2k = 1
2n
Proposición A.27. 1. Si (s1 ; s2; : : : sn ) y (r1 ; r2; : : : rn ) son dos elementos de Bn , distintos,
entonces los intervalos I(s1 ;s2 ;:::;sn ) y I(r1 ;r2 ;:::;rn ) son ajenos.
S
2. f(r1 ;r2; :::;rn )2Bn g I(r1 ;r2 ;:::;rn ) = (0; 1].
3. La función f : B ! (0; 1] de…nida por:
P
sk
f (sk )k2N = 1
k=1 2k
es biyectiva.
438
APÉNDICES
4. Para cualquier n 2 N, si (r1 ; r2; : : : ; rn ) 2 Bn , entonces:
f
1
I(s1 ;s2 ;:::;sn ) = (sk )k2N 2 B : sk = rk para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng
Demostración
Cada punto x 2 (0; 1], tiene un desarrollo único en base 2, el cual se obtiene de la siguiente
manera:
Para iniciar el desarrollo, expresamos el intervalo (0; 1] como la unión de los intervalos ajenos
0; 21 y 12 ; 1 . Si x 2 0; 21 , tomamos 0 como primer elemento de su desarrollo, mientras
que si x 2 12 ; 1 , tomamos 1 como primer elemento de su desarrollo.
Para cada n 2 N, expresemos el intervalo (0; 1] como la unión de los intervalos ajenos
n
n
0; 21n ; 21n ; 22n ;
; 2 2n 1 ; 22n . El punto x pertenece a uno y sólo uno de esos intervalos.
Sea 2kn ; k+1
el intervalo al cual pertenece x. Si k + 1 es un número impar, tomamos 0
2n
como n-simo elemento de su desarrollo; si no lo es, tomamos 1 como n-simo elemento de su
desarrollo.
Por la forma en que se de…ne el desarrollo de x, si s1 ; s2; : : : son los términos de su desarrollo,
se tiene:
P si
x= 1
i=1 2i
Hecho el desarrollo de esta manera, ningún punto x 2 (0; 1] tiene un desarrollo 0:s1 s2
para el cual exista N 2 N tal que sk = 0 para cualquier k 2 fN + 1; N + 2; : : :g. En efecto,
si lo hubiera, entonces x pertenecería a un intervalo de la forma 2Nk+1 ; 2k+1
N +1 , donde k + 1 es
un número impar, digamos k + 1 = 2j 1, con j 2 N; así que tendríamos x 2 22jN +12 ; 22jN +11 ;
por lo tanto, o bien x 2 24jN +24 ; 24jN +23 o x 2 24jN +23 ; 24jN +22 ; pero, como término N + 2 del
desarrollo de x es 0, entonces x 2 24jN +24 ; 24jN +23 . Repitiendo el razonamiento, llegaríamos a
que x 2 28jN +38 ; 28jN +37 . Y continuando con este procedimiento llegaríamos a que:
i
i
i
1)+1
1
= j2N1 ; 2jN +i
+ 2N1+i
x 2 2 2(jN +i1) ; 2 (j2N +i
para cualquier i 2 N.
Así que:
T
x2 1
i=1
j 1 j 1
; 2N
2N
+
1
2N +i
=;
lo cual es una contradicción.
Como corolario se tiene que el desarrollo de cualquier número x 2 (0; 1] contiene una in…nidad
de 1’s.
Además, por lo anterior, f es una función suprayectiva de B en el intervalo (0; 1].
A.6. LOS RACIONALES DIÁDICOS
439
Por otra parte, para cualquier n 2 N, si s1 ; s2; : : : sn son los primeros n términos del desarrollo
de x 2 (0; 1], entonces, como el desarrollo de x tiene una in…nidad de 1’s, se tiene:
P
x > ni=1 2sii
Además:
Pn
x
i=1
si
2i
+
P1
1
i=n+1 2i
Por lo tanto:
Pn si Pn
x2
i=1 2i ;
i=1
si
2i
+
Pn
si
i=1 2i
=
+
1
2n
1
2n
Sea ahora (r1 ; r2; : : : rn ) un elemento de Bn , distinto de (s1 ; s2; : : : sn ), y sea y 2 (0; 1] tal que
los primeros n términos de su desarrollo son r1 ; r2; : : : rn .
De…namos:
k0 = m n fk 2 f1; 2; : : : ; ng : rk 6= sk g
Entonces:
Pk0
x2
i=1
Pk0
si
;
2i
ri
i=1 2i ;
y2
Pk0
i=1 2i
si
i=1 2i
Pk0
si
i=1 2i
=
Pk0
si
i=1 2i
Por lo tanto:
Pk0 ri Pk0
i=1 2i ;
i=1
+
ri
i=1 2i
Pk0
ri
i=1 2i
Así que:
Pk0 ri
Pk0
ri
2i
+
ri
i=1 2i ;
Pk0
ri
i=1 2i
2k0
1
2k0
rk0
2k0
+
rk0 sk0
2k0
+
1
2k0
+
1
2k0
i
i
i
sk0
2k0
=
Así que:
Pk0
i
1
=
=
si
2i
+
1
2n
rk0 sk0
2k0
Pk0
si
i=1 2i
8
<
:
En cualquiera de los dos casos
Además:
Pn si Pn
i=1
i=1 2i ;
=
rk0 sk0 Pk0 si
; i=1 2i
2k0
+
Pk0
si
i=1 2i
Pk0 si
i=1 2i
Pk0
ri
i=1 2i ;
Pk0
si
i=1 2i ;
+
Pk0
si
2
i=1 2i + 2k0
i
Pk0 si
1
;
k
i=1 2i
0
2
1
;
2k0
Pk0
Pk0
+
rk0 sk0
2k0
ri
i=1 2i
si
i=1 2i
+
+
1
2k0
1
2k0
i
i
y
i
Pk0
+
1
2k0
i
si rk0
s k0 = 1
si rk0
s k0 =
si
i=1 2i ;
Pk0
si
i=1 2i
+
1
1
2k0
i
son ajenos.
440
APÉNDICES
Pn
ri
i=1 2i ;
Pn
ri
i=1 2i
En efecto:
Pk0 si Pn
si
i=1 2i
i=1 2i
Pk0
si
i=1 2i
=
+
Pk0
si
i=1 2i
+
+
Pn
Pk0
ri
i=1 2i ;
1
2n
<
Pn
1
i=k0 +1 2i
1
1
2n
2k0
si
i=1 2i
+
+
1
2n
=
1
2n
=
+
1
2n
Pk0
ri
i=1 2i
=
Pk0
Pk0
si
i=1 2i
si
i=1 2i
Pk0
si
i=1 2i
+
+
+
1
2k0
+
1
2k0 +1
1
2
i
Pn
si
i=k0 +1 2i
1 1
2n 2
+
+
1
2n
1
2n
1
2k0
Y, haciendo un desarrollo similar:
Pk0 ri
Pk0 ri Pn ri Pn ri
1
1
<
+
i
i
i
n
i=1 2
i=1 2
i=1 2i + 2k0
i=1 2
2
Pn si Pn si
Pn ri Pn
1
Por lo tanto,
i=1 2i ;
i=1 2i + 2n y
i=1 2i ;
i=1
ri
2i
+
1
2n
son ajenos.
Mostremos ahora que f es inyectiva:
Sean (sk )k2N y (rk )k2N dos elementos distintos de B, x =
k0 = m n fk 2 N : rk 6= sk g
Entonces:
Pk0
x2
i=1
y2
si
;
2i
Pk0
ri
i=1 2i ;
Pk0
si
i=1 2i
Pk0
ri
i=1 2i
Y, por lo anterior,
+
+
1
2k0
1
2k0
Pk0
P1
sk
k=1 2k
yy =
P1
rk
k=1 2k ,
y de…namos:
i
i
si
i=1 2i ;
Pk0
si
i=1 2i
+
1
2k0
i
y
Por lo tanto, x 6= y. Así que f es inyectiva.
Pk0
ri
i=1 2i ;
Pk0
ri
i=1 2i
+
1
2k0
i
son ajenos.
Entonces la función f que asocia a cada sucesión (sk )k2N en B el número x =
una biyección de B en el intervalo (0; 1].
Para cada (r1 ; r2; : : : ; rn ) 2 Bn , de…namos:
Br1 ;r2; :::;rn = (sk )k2N 2 B : sk = rk para cualquier k 2 f1; 2; : : : ; ng
S
Entonces, f(r1 ;r2; :::;rn )2Bn g Br1 ;r2; :::;rn = B y, por lo anterior:
Pn ri Pn ri
1
f Br1 ;r2; :::;rn
i=1 2i + 2n
i=1 2i ;
Por lo tanto,
S
f(r1 ;r2; :::;rn )2Bn g
Pn
ri
i=1 2i ;
Pn
ri
i=1 2i
+
1
2n
= (0; 1]
P1
sk
k=1 2k
es
A.6. LOS RACIONALES DIÁDICOS
441
Así que:
f Br1 ;r2; :::;rn =
Pn
ri
i=1 2i ;
Pn
ri
i=1 2i
+
1
2n
Corolario A.14. 1. Si (s1 ; s2; : : : ; sn ) 2 Bn y x 2 (0; 1], entonces,
: : : ; sn son los
Pn s1 ;sis2;P
n
si
1
primeros n términos del desarrollo de x en base 2 si y sólo si x 2
;
i=1 2i
i=1 2i + 2n .
2. Para cada n 2 N y cada intervalo
elemento (s1 ; s2 ; : : : ; sn ) 2 Bn tal que:
I(r1 ;r2 ;:::;rn ) =
k 1 k
;
2n 2n
, donde k 2 f1; 2; : : : ; 2n g, existe un y sólo un
k 1 k
;
2n 2n
n
3. La función fn : Bn ! 20n ; 21n ; 22n ; : : : ; 2 2n 1
P
fn ((s1 ; s2 ; : : : ; sn )) = nk=1 2skk
de…nida por:
establece una relación uno a uno entre Bn y el conjunto
n
0
; 1 ; 2 ; : : : ; 2 2n 1
2 n 2n 2n
.
Referencias para la parte de historia
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[4] Bernoulli, J.; The Art of Conjecturing, Traducción de Sylla, E. D., University Press, 2006. Traducción
de Ars Conjectandi, Basileae, 1713.
[5] Borel, F. E. J. E.; Sur quelques points de la Théorie des Fonctions, C. R. Acad. Sci., t. 118, p. 340-342,
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Sup., 3em. série, t. 12, p. 9-55, 1895. Oeuvres de Émile Borel, Tome I, Centre National de la Recherche
Scienti…que, p. 239-285, 1972.
[7] Borel, F. E. J. E.; Leçons sur la Théorie des Fonctions, Gauthier-Villars, 1898.
[8] Borel, F. E. J. E.; Remarques sur certains questions de Probabilité, Bull. Soc. Math. Fr., T. 32, p. 123128, 1904. Oeuvres de Émile Borel, Tome II, Centre National de la Recherche Scienti…que, p. 985-990,
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[9] Borel, F. E. J. E.; Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, Rendiconti del
Circolo Matematico di Palermo, T. 27, p. 247-270, 1909. Oeuvres de Émile Borel, Tome II, Centre
National de la Recherche Scienti…que, p. 1055-1079, 1972.
[10] Cantelli, F. P.; Sulla probabilità comme limite della frequenza, Rend. Acad. Lincei, Vol. 26, p. 39-45,
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[12] Cantor, G. F. L. P.; Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, Pt. 2, Math. Ann., 17, p.
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[13] Cantor, G. F. L. P.; Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, Pt. 3, Math. Ann., 20, p.
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[14] Cantor, G. F. L. P.; Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, Pt. 4, Math. Ann., 21, p.
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[15] Cantor, G. F. L. P.; Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, Pt. 5, Math. Ann., 23, p.
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447
Índice
Álgebra de conjuntos
de…nición, 53
relativamente compacto
de…nición, 427
propiedades, 428
secuencialmente compacto
de…nición, 420
propiedades, 421, 424, 425
totalmente acotado
de…nición, 421
propiedades, 425, 427
Conjuntos compactos, 420
Conjuntos compactos, numerablemente
compactos y secuencialmente compactos
equivalencia, 427
Construcción de espacios de probabilidad, 389,
393
Construcción de medidas, 139
Construcción de sucesiones de variables aleatorias
con distribuciones …nito dimensionales
conocidas, 409
Construcción de sucesiones de variables aleatorias
independientes, 403
Contenido
de un conjunto, 30
exterior, 30
interior, 30
Convergencia
casi en todas partes, 266
caracterización, 267, 268
de…nición, 266
propiedades, 276
casi segura, 350
débil, 277
caracterización, 279
de…nición, 278
propiedades, 278
en Lp , 296
caracterización, 300
de…nición, 296
propiedades, 297, 298, 302, 303
Abel, N. H., 264
Banach, S., 38, 340
Bernoulli, J., 265, 317
Borel, F. E. J. E., 32–36, 42, 44
Cantor, G. F. L. P., 25
Carathéodory, C., 42, 43, 133, 189
Cauchy, A. L., 20, 21, 133, 264
Clase monótona
de…nición, 146
generada por una familia de conjuntos, 147
Conjunto
acotado
de…nición, 421
compacto, 419
caracterización, 427, 429
de…nición, 420
propiedades, 421, 423, 424, 426, 427, 429
de Cantor, 25
de contenido cero, 30, 31
de…nición, 25
de medida cero, 34, 35
de…nición, 32
de medida cero en los reales, 74
de primera especie, 24
denso en ninguna parte, 21
Jordan medible, 30, 31, 36, 42
Lebesgue medible, 42, 74
de…nición, 41, 69
medible
de…nición, 140
numerablemente compacto
de…nición, 420
propiedades, 421, 423, 424
positivo
de…nición, 152
449
450
ÍNDICE
en distribución, 277, 286
de…nición, 286
propiedades, 286, 288, 289
en medida, 268
de…nición, 268
propiedades, 269, 270, 272, 274–277
en probabilidad, 350
uniforme, 434
de…nición, 434
propiedades, 435
Convergencia de funciones medibles, 263, 291
historia, 263
Covarianza
de…nición, 372
propiedades, 372, 373, 375
Criterio de Cauchy
para la integral de Riemann-Stieltjes, 100
de…nición, 100
Cubierta de un conjunto
de…nición, 67, 139
ejemplos, 347
Espacio vectorial normado, 429
de dimensión …nita
propiedades, 431–433
de…nición, 429
propiedades, 432, 434
Espacios Lp , 291
propiedades, 292, 294, 296
Espacios de probabilidad, 343
Esperanza de una variable aleatoria, 367
de…nición, 367
propiedades, 368–370
Esperanza …nita
de…nición, 368
Evento
de…nición, 307
Eventos mutuamente excluyentes
de…nición, 344
propiedades, 344
Experimento aleatorio, 307
d-sistema
de…nición, 148
generado por una familia de conjuntos, 148
Daniell, P. J., 134, 187, 189, 190
de Moivre, A., 265, 319
Densidad de las funciones simples en Lp , 305
Desigualdad
de Cauchy-Schwarz, 374
de Chebyshev, 377
de Hölder, 293
de Kolmogorov, 382
de Minkowski, 293
Desviación estándar
de…nición, 371
Dirichlet, J. P. G. L., 21
Drach, J. J., 35
du Bois Reymond, P., 25, 27
Fórmula de cambio de variable
para la integral de Lebesgue-Stieltjes, 258
para la integral de Riemann-Stieltjes, 121
Fórmula de integración por partes
para la integral de Lebesgue-Stieltjes, 257
para la integral de Riemann-Stieltjes, 119
Familia
uniformemente integrable
propiedades, 218, 222
Familia uniformemente integrable
de…nición, 217
propiedades, 217, 219, 222
Fatou, P. J. L., 179, 180
Fischer, E., 180, 265
Fourier, J. J., 19, 20, 263
Fréchet, M. R., 131, 132, 186, 265, 332
Función
con soporte compacto
de…nición, 278
de densidad absolutamente continua
de…nición, 356
de densidad discreta
de…nición, 356
de distribución, 354
de…nición, 354
ejemplos, 356
propiedades, 354, 359
de distribución conjunta, 359
como medida en Rn , 393
de…nición, 359
Ensayo de Bernoulli, 330, 333, 390
Espacio
de medida
de…nición, 134
propiedades, 137, 138
medible
de…nición, 53
Espacio de Banach
de…nición, 433
propiedades, 433
Espacio de probabilidad
de…nición, 343
ÍNDICE
propiedades, 359, 362, 363
de distribución …nita en n variables
de…nición, 393
propiedades, 394–397
de variación acotada, 77, 81, 90
como diferencia de dos funciones no
decrecientes, 80, 81, 88
continua por la derecha, 95
continua por la izquierda, 97
de…nición, 77
discontinuidades, 81
en un punto, 113
localmente, 113, 114
propiedades, 77–81, 84, 88, 90, 95, 97, 114,
118, 119, 254
…nitamente aditiva
de…nición, 64
propiedades, 135, 136
integrable, 208
de…nición, 208
propiedades, 208–210, 212, 216, 217, 221
lineal por pedazos
de…nición, 436
propiedades, 436
medible, 45, 47, 190
de…nición, 190
equivalencia, 196
propiedades, 190–196, 198–200, 204, 205, 207
medible no negativa
propiedades, 215
no decreciente
continua por la derecha, 93
continua por la izquierda, 94
parte continua y parte de saltos, 90, 97
parte continua y parte discreta, 254
propiedades, 83–85, 90, 93, 94, 97
nula en el in…nito
de…nición, 278
Riemann-integrable, 22, 23, 29, 31, 32, 36, 37
sigma-aditiva, 65
de…nición, 65
sigma-subaditiva
de…nición, 135
simple, 200
de…nición, 192
propiedades, 201, 202
representación canónica, 193
función de probabilidad
de…nición, 307
Funciones de variación acotada y la integral de
Riemann-Stieltjes
451
historia, 75
Funciones medibles en Rn , 197
Funciones medibles en los reales, 191
Hankel, H., 24
Harnack, H., 30
Hausdor¤, F., 332
Independencia
de eventos
de…nición, 344
propiedades, 344, 345
de variables aleatorias, 352
de…nición, 352
propiedades, 352, 353
Integrabilidad uniforme, 215
Integral
de Lebesgue, 44, 131
de Lebesgue-Stieltjes
de…nición, 243
propiedades, 244, 245, 247, 252, 255, 256
de Riemann, 22
propiedades, 112
de Riemann-Stieltjes, 99, 112
de…nición, 99
para funciones continuas, 101, 113
para funciones discontinuas, 122, 123, 125
propiedades, 100–103, 106, 108, 110, 112,
113, 120
de Stieltjes, 75, 76, 131
de una función medible no negativa, 203
de una función simple, 200
Integral de Riemann-Stieltjes, 99
Integrales de funciones medibles no negativas, 203
Integrales de funciones simples no negativas, 200
Jordan, M. E. C., 30, 36, 42, 76
Kolmogorov, A. N., 189, 338
Kuratowski, K., 340
Lévy, P. P., 341
Lebesgue, H. L., 34, 36–45, 47, 48, 51, 75, 76,
129–131, 133, 134, 179–181, 183, 185, 186,
189, 190, 264
Lema
de Fatou
para sucesiones dobles, 207
propiedades, 205
Lema de Borel-Cantelli, 268
primera parte, 346
segunda parte, 347
452
ÍNDICE
Ley débil de los grandes números, 326
de Chebyshev, 377
de Khintchine, 380
Ley fuerte de los grandes números, 331
de Borel, 381
de Kolmogorov, 383, 388
Leyes de los grandes números, 376
Método de truncación, 381
Medida
completa
de…nición, 145
con signo
de…nición, 152
de Lebesgue, 74
exterior, 40, 41
de…nición, 68, 139
propiedades, 139, 140
…nita
de…nición, 134
generada por una función de distribución …nita
de…nición, 400
generada por una función de variación acotada,
175
generada por una función no decreciente
de…nición, 168
generada por una quasi medida, 143
interior, 40, 41
sigma-…nita
de…nición, 134
sobre una sigma-álgebra
de…nición, 134
uniformemente continua, 224
Medida de Lebesgue en el plano, 47
Medida de Lebesgue en los reales, 53, 67
Medida e integral de Lebesgue
Desarrollo histórico, 19
Medidas con signo, 152
Medidas con signo y funciones de variación
acotada, 173
Medidas en los reales, 159
Medidas sobre álgebras y sigma-álgebras, 134
Medidas y funciones no decrecientes, 161
Nikodym, O., 133, 180, 186, 187
Norma del máximo
de…nición, 430
propiedades, 430
Oscilación de una función
en un intervalo
de…nición, 22
en un punto
de…nición, 24
Peano, G., 30, 48
Pi-sistema
de…nición, 148
Probabilidad condicional
de…nición, 344
propiedades, 345
Problema
de la integral, 37
de la medida, 38, 41
Producto de espacios de medida, 227
Propiedad de la aditividad …nita, 328
Propiedad de la intersección …nita
de…nición, 421
Proyección de medidas, 236
propiedades, 236–238, 242
Punto de continuidad
de una medida
de…nición, 278
Quasi medida
de…nición, 135
propiedades, 137
Radon, J., 332
Radon, J. K. A., 130, 131, 185–187
Regla de la probabilidad total, 346
Regla del producto, 346
Regularidad de las medidas sobre los borelianos
de Rn , 401
Riemann, G. F. B., 21–24, 28, 31, 133
Riesz, F., 76, 134, 179, 180, 187, 264–266
Sigma álgebra de Borel en Rn , 58
Sigma subaditividad
de…nición, 69
Sigma-Álgebra
de Borel
de…nición, 55, 57, 58, 62
generada por una familia de conjuntos, 54
generada por una familia de funciones, 351
Sigma-Álgebra de conjuntos
de…nición, 53
Smith, J. S., 25
Stieltjes, T. J., 75, 131
Stolz, O., 30
Sucesión
convergente de conjuntos
de…nición, 138
de Cauchy en medida
ÍNDICE
de…nición, 274
Suma de Riemann-Stieltjes
de…nición, 99
Tarski, A., 341
Teoría de la medida de Borel, 32
Teoría de la medida de Lebesgue, 36
Teoría de la probabilidad, 307
Teoría general de integración, 179, 215
historia, 179
Teoría general de la medida, 129
historia, 129
Teorema
de clases monótonas, 146
para álgebras, 147, 148
para pi-sistemas, 148, 149
de descomposición de Hahn, 154
de Fubini, 235
de Heine-Borel, 415, 419
de Kolmogorov, 410
de la convergencia dominada, 211
de la convergencia monótona, 203
de la convergencia uniformemente acotada, 47
de la convergencia uniformemente integrable,
220
de Radon-Nikodym, 223
propiedades, 224
de Tonelli, 234
Teorema Central del Límite, 326
Unicidad de la extensión de una medida, 149
Variables aleatorias
de…nición, 350
distribución, 350
Varianza
de…nición, 371
propiedades, 371–374
Varianza …nita
de…nición, 371
Vectores aleatorios
de…nición, 350
distribución, 350
propiedades, 352
Vitali, G., 129, 185
Volterra, V., 25
Weierstrass, 264
Wiener, N., 134, 189
453