BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Dạng 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc một chiều
Bài 1: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất
X
2
3
4
6
7
P
0,1
0,2
0,3
0,2
0,2
a) Tìm Mod(X), E(X), Var(X),  ( X ) .
b) Tìm kì vọng và phương sai của Y  5X  Var(X) .
c) Tính P(2  X  4) , P(3  X  5) , P(4  X  5) , P( X  E(X)  2) .
d) Tìm hàm mật độ và hàm phân phối của X.
e) Tìm Med(X).
Bài 2: Theo dõi hiệu quả kinh doanh của một công ti qua nhiều năm, các chuyên gia thiết lập
bảng phân phối xác suất của lãi suất đầu tư của công ti như sau:
X(%)
9
10
11
12
13
14
15
P
0,08 0,12
0,2
0,3
0,18
0,1
0,02
a) Khả năng đầu tư vào công ti đó để đạt lãi suất ít nhất 11% là bao nhiêu?
b) Tìm mức lãi suất nhiều khả năng nhất và mức lãi suất trung bình khi đầu tư vào công ti đó.
c) Tìm mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ti đó.
Bài 3: Giả sử X và Y (đơn vị: ngàn đồng) là hai biến ngẫu nhiên độc lập chỉ lợi nhuận thu được
trên 1 triệu đồng vốn đầu tư vào hai dự án. Dưới đây là bảng phân phối xác suất tương ứng của
hai biến ngẫu nhiên
X
-200
-100
100
300
Y
-200
-100
200
400
P
0,2
0,1
0,2
0,5
P
0,3
0,2
0,1
0,4
a) Dựa trên hai tiêu chí ưu tiên là lợi nhuận và độ rủi ro, nếu bạn là nhà đầu tư, bạn nên chọn dự
án nào?
b) Nếu đầu tư vào mỗi dự án 100 triệu đồng thì tổng lợi nhuận kỳ vọng thu được từ hai dự án là
bao nhiêu?
c) Nên đầu tư đồng thời vào hai dự án theo tỉ lệ nào để có độ rủi ro thấp nhất?
Bài 4: Có 2 hộp sản phẩm. Hộp 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Hộp 2 có 7 chính phẩm và 4
phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 sản phẩm để kiểm tra. Lập bảng phân phối xác suất của số phế
phẩm lấy được.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm để kiểm tra. Tìm số phế phẩm
nhiều khả năng nhất có được trong 3 sản phẩm lấy ra. Tìm xác suất sai lệch giữa số phế phẩm lấy
ra và kì vọng của nó không vượt quá 1,5.
c) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp 1 và 1 sản phẩm từ hộp 2. Gọi Y là số chính phẩm lấy
được. Lập bảng phân phối xác suất của Y.
Bài 5: Trong một hộp có 4 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Một người lấy từng phiếu
(không hoàn lại) cho tới khi nào lấy được phiếu trúng thì ngưng. Lập bảng phân phối xác suất
cho số lần lấy phiếu?
15
Bài 6: Hộp có 10 bóng đèn gồm 5 bóng loại 100W, 3 bóng loại 60W, 2 bóng loại 30W. Lấy
ngẫu nhiên 2 bóng. Gọi Y là tổng số W của hai bóng này. Tìm kì vọng của Y.
Bài 7: Một hộp có 4 bi đỏ, 6 bi vàng, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp nếu được mỗi bi đỏ
thì được 1 điểm, mỗi bi xanh bớt đi 1 điểm, được bi vàng được 0 điểm. Gọi X là tổng số điểm có
được khi lấy 3 bi. Lập bảng phân phối xác suất của tổng số điểm có được khi lấy 3 bi.
Bài 8: Cơ quan dự báo khí tượng thủy văn chia thời tiết thành các loại “xấu”, “bình thường”,
“tốt” với xác suất tương ứng là 0,25; 0,45; 0,3. Với tình trạng trên thì khả năng nông nghiệp
được mùa tương ứng là 0,2; 0,6; 0,7. Nếu như sản xuất nông nghiệp được mùa thì mức xuất khẩu
lương thực tương ứng với tình trạng trên là 2,5 triệu tấn; 3,3 triệu tấn; 3,8 triệu tấn. Hãy tìm mức
xuất khẩu lương thực có thể hi vọng.
Bài 9: Cho 2 máy, tỉ lệ sản phẩm loại A của hai máy tương ứng là 20%, 30%. Cho mỗi máy sản
xuất lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm sản xuất ra.
b) Tính số sản phẩm loại A tin chắc nhất; phương sai của số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm.
Bài 10: Một xạ thủ bắn liên tục các viên đạn vào một tấm bia cho đến khi nào trúng thì dừng.
Giả sử các lần bắn là hoàn toàn độc lập và xác suất trúng trong mỗi lần bắn đều là 0,4. Hãy lập
bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số viên đạn bắn ra.
Bài 11: Một người bán hàng có hẹn 2 địa điểm để bán mỗi nơi một sản phẩm của một loại. Khả
năng bán được một sản phẩm tại địa điểm thứ nhất là 0,3; tại địa điểm thứ hai là 0,6. Một sản
phẩm được bán tại mỗi nơi loại thượng hạn giá 1000 USD, loại thường giá 500 USD và đồng
khả năng. Lập bảng phân phối xác suất của tổng số tiền bán hàng của người đó.
Bài 12: Sản phẩm của một nhà máy khi sản xuất xong được đóng thành kiện, mỗi kiện 5 sản
phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong mỗi kiện. Cho biết phân phối xác suất của X
X
2
3
4
P
0,3 0,5 0,2
a) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ một kiện ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Tìm phân phối xác suất
của Y các sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm này.
b) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm thì thấy có
1 sản phẩm loại I. Tính xác suất để trong kiện này còn lại 2 sản phẩm loại I.
c) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 3 sản phẩm thì thấy
có 1 sản phẩm loại I. Tìm phân phối xác suất của số sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm còn lại
trong kiện.
Bài 13: Người tổ chức trò chơi bán vé 5 ngàn đồng cho một lượt chơi. Người chơi sẽ được chọn
ngẫu nhiên ra 3 viên bi trong một hộp đựng 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Nếu họ bốc được 3 bi đỏ sẽ
được thưởng 50 ngàn đồng, bốc được 2 bi đỏ được thưởng 20 ngàn đồng, các trường hợp còn lại
sẽ không được nhận thưởng. Hãy tính lợi nhuận trung bình của người tổ chức trò chơi khi bán
được 1 vé.
16
Dạng 2: Biến ngẫu nhiên liên tục một chiều
Bài 1: Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm
mật độ như sau
kx 2 (4  x ),
f ( x)  
0,
0  x  4,
x  [0, 4].
a) Tìm k.
b) Tìm hàm phân phối xác suất của X.
c) Tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên là bao nhiêu?
d) Tìm tỷ lệ côn trùng có tuổi thọ từ 1 đến 3 tháng tuổi?
e) Quan sát ngẫu nhiên 1 côn trùng thuộc loại trên, tính xác suất để côn trùng chết trước khi nó
được 1 tháng tuổi?
f) Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = X2.
Bài 2: Cho biến ngẫu nhiên X có dạng hàm mật độ xác suất như sau
 A sin x, x  (0,  ),
f ( x)  
x  (0,  ).
0,
a) Xác định hằng số A và tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X.

b) Tính xác suất P( X  EX  ) ?
4
Bài 3: Cho biến ngẫu nhiên X có dạng hàm phân phối xác suất như sau
x  0,
0,
 2
x  x
F ( x)  
, 0  x  4,
 20
x  4.
1,
a) Tìm hàm mật độ xác suất và kỳ vọng của X.
b) Tính các xác suất P 1  X  2  , P  1  X  3 ?
Bài 4: Giả sử khối lượng (đơn vị: kg) của một con vịt 8 tháng tuổi là một biến ngẫu nhiên liên
tục có hàm mật độ xác suất
 3  x 2  1

, x  1,3
f  x    20
.
0,
x  1,3

Tính xác suất một con vịt 8 tháng tuổi có khối lượng cao hơn khối lượng trung bình.
Bài 5: Theo một công trình nghiên cứu, tuổi thọ con người là một biến ngẫu nhiên liên tục có
hàm mật độ xác suất
Cx 2 100  x  2 , x  0,100
f  x  
.
x   0,100
0,
a) Xác định hằng số C.
b) Xác suất một người có tuổi thọ lớn hơn 50 tuổi.
c) Xác suất một người có tuổi thọ lớn hơn 70 tuổi, biết rằng hiện nay người đó 50 tuổi.
17
Dạng 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
Bài 1: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất đồng thời
Y
1
2
3
4
X
3
0,05
0,15
0,1
0,2
4
0,02
0,06 0,04 0,08
5
0,03
0,09 0,06 0,12
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và của Y.
b) Xét tính độc lập của X và Y.
c) Tính E(XY).
Bài 2: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất đồng thời
Y
-1
0
1
2
X
1
0,1
0
0,1
0
2
0
0,2
0,3
0,1
3
0,08
0,02
0
0,1
a) Tính P(X  2, Y  1) , P(X  2, Y  2) .
b) Tính P(X  Y  2) , P(X  Y  1) .
c) Tính P(X  1| Y  0) .
Bài 3: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau
5
X
1
3
Y
3
4
P
0,6
0,4
P
0,5
0,2
0,3
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính P(X<Y).
Bài 4: Một lô hàng có 4 sản phẩm loại A, 5 sản phẩm loại B và 6 sản phẩm loại C. Người ta
chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X và Y lần lượt là số sản phẩm loại A và số sản
phẩm loại B trong số 2 sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
Bài 5: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X: số lỗi vẽ màu, Y: số lỗi đúc của một loại
sản phẩm nhựa của một công ty như sau
Y
X
0
1
2
3
0
0,59
0,06 0,02 0,01
1
0,1
0,05 0,04 0,01
2
0,06
0,05 0,01
0
a) Hai biến ngẫu nhiên X và Y có độc lập không?
b) Tìm xác suất để tổng số các lỗi vẽ màu và lỗi đúc vượt quá 4.
c) Nếu ta biết trên sản phẩm có 2 lỗi vẽ màu thì xác suất để không có lỗi đúc là bao nhiêu?
18
Bài 6: Một hộp có 3 bi đỏ, 2 bi vàng, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp. Gọi X là số bi đỏ, Y
là số bi vàng có được trong 2 bi lấy ra.
a) Tìm bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính P  (X, Y)  A  với A  ( x, y ) | x  y  1 .
c) Tìm các phân phối biên của X, của Y.
d) Tìm phân phối có điều kiện của X với điều kiện Y = 1, tính E(X|Y=1).
e) Giả sử lấy được 1 bi đỏ thì được 10 điểm, 1 bi vàng thì được 8 điểm, 1 bi xanh thì được 6
điểm. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số điểm đạt được khi lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp.
Bài 7: Cho 2 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 5 bi trắng và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu
nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ngẫu nhiên ra 1 bi.
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của số bi đỏ lấy ra được từ hộp 1 (để bỏ vào hộp 2) và
số bi đỏ lấy ra được từ hộp 2.
b) Nếu 2 bi lấy ra từ hộp 1 đều là bi đỏ thì trung bình mỗi lần ta lấy được bao nhiêu bi đỏ từ hộp
2?
Dạng 4: Bài tập về hàm của một biến ngẫu nhiên
Bài 1: Cho X là một biến ngẫu nhiên có bảng phân phối như sau
X
1
2
3
4
5
P
0.3
0.1
0.1
0.2
0.3
a) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y  2 X  1.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của Y theo hai cách.
Bài 2: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất
X
-1
0
1
2
P
0,2
0,1
0,3
0,4
2
a) Lập bảng phân phối xác suất của Y  X  X  2 .
b) Tính E(Y).
Bài 3: Có 2 hộp sản phẩm. Hộp 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Hộp 2 có 7 chính phẩm và 4
phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm của hộp 1 để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Lập bảng
phân phối xác suất của X.
b) Giả sử lấy mỗi chính phẩm thì được 8 điểm và lấy mỗi phế phẩm thì được 5 điểm. Gọi Y là số
điểm tổng cộng khi lấy 3 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của Y.
Dạng 5: Bài tập về hàm của hai biến ngẫu nhiên
Bài 1: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau
X
-1
0
1
2
Y
-1
1
P
0,1
0,3
0,4
0,2
P
0,4
0,6
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X-2Y.
b) Tính P(2,1  X  2Y  3, 6) .
Bài 2: Một lô hàng gồm có 2 hộp thuốc. Hộp I có 10 lọ thuốc, trong đó có 2 lọ thuốc loại A. Hộp
II có 10 lọ thuốc, trong đó có 4 lọ thuốc loại A. Chủ lô hàng bán ra 3 lọ thuốc bằng cách chọn
ngẫu nhiên ra 1 lọ thuốc của lô I và 2 lọ thuốc của lô II.
19
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số lọ thuốc loại A được bán ra.
b) Giả sử chủ lô hàng sẽ lời 5 ngàn đồng khi bán 1 lọ thuốc loại A, lời 3 ngàn đồng khi bán 1 lọ
thuốc còn lại. Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số tiền lời của chủ lô
hàng.
Bài 3: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau
2
X
-1
0
1
2
Y
0
1
P
0,2
0,3
0,3
0,2
P
0,2
0,3
0,5
Hãy lập bảng phân phối xác suất của
a) Z = X 2  Y 2 .
b) W = 2X  3Y  4 .
Bài 4: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên X và Y
Y
-1
0
1
X
1
0,1 0,15 0,05
2
0,3
0,2
0,2
Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
a) Z  2X  Y  5 .
b) Z  X 2  Y 2 .
Bài 5: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên X và Y
Y
-1
0
1
X
1
0,12
0,2
0,08
2
0,18
0,3
0,12
a) Chứng minh rằng X và Y độc lập.
b) Lập bảng phân phối xác suất của Z  XY . Từ đó kiểm tra biểu thức E(Z)  E(X).E(Y) .
Bài 6: Một nhân viên cửa hàng nhận về 2 lô sản phẩm. Lô thứ nhất có 6 sản phẩm loại A và 4
sản phẩm loại B. Lô thứ hai có 5 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Nhân viên này lấy ngẫu
nhiên 3 sản phẩm từ lô thứ nhất và 2 sản phẩm từ lô thứ 2. Hãy lập bảng phân phối xác suất cho
số sản phẩm loại A trong 5 sản phẩm lấy ra.
Bài 7: Có 3 hộp bi: Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ. Hộp 2 có 6 bi xanh, 2 bi đỏ. Hộp 3 có 4 bi xanh
và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 1 bi và từ hộp 2 ra 2 bi rồi bỏ vào hộp 3. Sau đó, lấy từ
hộp 3 ra 4 bi.
a) Gọi X là tổng số bi xanh lấy ra từ hộp 1 và hộp 2 bỏ vào hộp 3. Lập bảng phân phối xác suất
cho X.
b) Tính xác suất để 4 bi lấy ra từ hộp 3 đều có màu xanh.
c) Tính xác suất để 4 bi lấy ra từ hộp 3 đều có hai màu.
20