MAQUINAS DE FLUIDOS, TURBOMÁQUINAS, CLASIFICACIÓN, VISIÓN ESPACIAL Y CLASIFICACIÓN SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO TURBOMÁQUINAS 1) DEFINICIONES Las turbomáquinas se caracterizan por el hecho que el intercambio de trabajo entre paredes sólidas móviles y fluido esta relacionado con un campo de velocidad. Las paredes sólidas móviles tiene un movimiento rotatorio uniforme alrededor de un eje fijo y el fluido se encuentra en flujo permanente. Se define como “hidráulicas” las turbomáquinas en que el volumen especifico del fluido no varia o varia en medida despreciable durante su recorrido al interior de la maquina (como en el caso de los ventiladores). Se definen como “térmicas” las turbomáquinas en que hay variación apreciable del volumen especifico del fluido. Las turbomáquinas se reparten en dos categorías. a) Turbomáquinas operativas, en las cuales las paredes sólidas móviles ceden trabajo al fluido. b) Turbomáquinas motrices, en las cuales el fluido cede trabajo a las paredes sólidas móviles. Las turbomáquinas hidráulicas operativas están integradas por las turbobombas y por los ventiladores; Las turbomáquinas hidráulicas motrices están integradas por las turbinas hidráulicas (Pelton, Francis y Kaplan) Las turbomáquinas térmicas operativas están integradas por los compresores centrífugos y los compresores axiales; las turbomáquinas térmicas motrices están integradas por las turbinas de vapor y las de gas 2) MAS PRECISIONES SOBRE MÁQUINAS DE FLUIDOS Máquina → Transformador de Energía Máquinas de Fluido (No todas las que necesitan algún fluido) (En casi todas se necesita algún fluido) O bien suministra o bien absorbe la energía de un fluido Fresa Neumática, turbina, bomba de Membrana de gasolina de auto. 3) MAS SOBRE CLASIFICACIÓN DE MÁQUINAS DE FLUIDO No funciona clasificarlas de líquido o de gas vapor. No funciona Alternativas y Rotativas (No considera el Principio básico de transmisión de Energía) Tres CRITERIOS para CLASIFICAR MAS UNO = CUATRO 1.- Principio de Funcionamiento. 2.- Compresibilidad del fluido. 3.- El sentido de transmisión de la energía 4.- DIRECCIÓN DEL FLUJO EN EL RODETE Según Principio de Funcionamiento 1. Desplazamiento Positivo: Bombas, máquinas de vapor, membranas, rotativos. 2. Turbomáquina. PRINCIPIO DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO (ALCANCE) Una cantidad determinada, retenida en su paso, experimenta una variación de presión gracias a la variación de volumen del órgano de retención (Alternativas, Rotativas, Membrana) (Rotoestática) 4) MAS SOBRE LA DEFINICIÓN DE TURBOMÁQUINAS Intercambio Energético.- Debido a la variación del momento cinético del fluido. Al pasar por los conductos de un órgano que se mueve con movimiento rotacional, dotado de Alabes (Rotor) Corriente continua de Fluido (Por ello MÁQUINAS DE FLUJO) FLOXO (Por ello MÁQUINA DE CORRIENTE) TURBOMÁQUINA ES AQUELLA MÁQUINA DE FUNCIONAMIENTO SE BASA EN LA ECUACIÓN DE EULER. W V1 U 1 V2 U 2 W U1 V1t U 2 V2t FLUJO CUYO J Y u1 c1u u 2 .c 2u Kg W Y Energía intercambiada fluido - rotor por unidad de masa que ingresa en los alabes o atraviesa el rotor 5) MAS SOBRE LA CLASIFICACIÓN COMPRESIBILIDAD DEL FLUIDO DE TURBOMÁQUINAS Puede o no despreciarse ΔP → Hecho de gran influencia en el diseño Ventilador turbomáquina Hidráulica no Térmica Limite entre Ventilador y turbo compresor es convencional 6) VISIÓN ESPACIAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRAULICAS SEGÚN 7) CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRAÚLICAS SEGÚN DIRECCIÓN DEL FLUJO EN EL ROTOR EJES DE REFERENCIA Y PLANOS DE REFERENCIA Rodete o Rotor, en el que tiene lugar el intercambio energético, órgano principal. Consta de alabes que divide el espacio total en conductos iguales por donde circula el fluido de trabajo Estudiemos la dirección del Flujo: En un conducto entre alabes en reposo: Recorre una trayectoria absoluta 1-2 determinada por la forma del conducto. En un conducto entre alabes que se mueve con movimiento de traslación ( U ): - El movimiento del fluido con relación al conducto seguirá siendo el mismo : 1-2 TRAYECTORIA RELATIVA. - En su movimiento absoluto con relación a unos ejes fijos tendrá TRAYECTORIA ABSOLUTA 1-2’ fig 1.2 a) Fluido circulando por n enrejado en reposo (línea de corriente absoluta 1-2) o en movimiento (línea de corriente relativa 1-2; absoluta 1-2´). b) composición de velocidades Si : V : Velocidad Absoluta V r : Velocidad Relativa U : Velocidad de Arrastre V V rU (*) Según mecánica racional ⃗ =𝒘 ⃗ 𝒄 ⃗⃗⃗ + 𝒖 En el caso de una turbomáquina el movimiento del rodete y por lo tanto el del conducto formado por los alabes consecutivos no es un movimiento de traslación sino de rotación; la velocidad de cada punto del alabe ( U ), si el rotor gira a n rps es U .d .n m . s El conducto formado por los alabes no siempre es plano o desarrollable en un plano. La ecuación vectorial se cumple en cada punto del conducto. El estudio del movimiento del Fluido se simplifica escogiendo un sistema de coordenadas cilíndricas: r ; a (radio y eje); se mide a partir de un plano axial fijo con signo positivo en el sentido de giro. O equivalentemente eligiendo un sistema de coordenadas cartesianas intrínseco ( i , j , k ), que en cada punto tenga las dirección del radio, de la tangente del círculo normal al eje de la turbo máquina que pasa por dicho punto y de la paralela al eje de la turbomáquina que pasa por dicho punto. j Esta orientada en la dirección de la velocidad Absoluta de un punto del rodete U. fig 1.3 a) Triedro intrínseco de una TM (de una TF en el caso de la figura); b) Coordenadas cilíndricas La velocidad absoluta V de una partícula de fluido tendrá en general tres componentes: V V ra V t V a Vra i Vt j Va k cr i cu j ca k Asi mismo la velocidad relativa Vr V rra V rt V ra w wr wu wa Vrra i Vrt j Vra k Mientras que la velocidad del alabe en cada punto será igual a U U j Formulando escalarmente la ecuación vectorial (*) tenemos que, por se nula la U en i y k cr wr Vra Vrra cu wu u Vt Vrt U ca wa Va Vra (**) En cada punto del rodete a) i y j determinan un plano trasversal al eje de la máquina. b) i y k determinan un plano axial, también denominado meridional, porque en el se representan en su verdadera forma los meridianos de las superficies de revolución cuyo eje es el eje de la máquina. c) j y k determinan una superficie cilíndrica (en realidad el plano tangente de la misma) Desarrollable. Proyectando la Velocidad absoluta sobre un plano meridional ( i , k ) se obtiene vectorialmente s Vm i Vra k Va s : Vector unitario que tiene siempre la dirección meridiana de la superficie de corriente. Lo mismo con la velocidad relativa Vrm Vrra Vra A los componentes Vm y V rm se los denomina componentes meridionales verificandose en virtud de la ecuación (**) que Vm Vrm AHORA BIEN, SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO EN EL RODETE DE LA TURBOMÁQUINA HIDRÁULICA d) Radiales e) Axiales f) Diagonales (Semiaxiales o de Flujo mixto) (d) Tangenciales) fig 1.4 .- Superficie de corriente; a) de una TM radial; b) de una TM axial; c) de una TM diagonal cónica; d) de una TM diagonal. En las Turbomáquinas Radiales Todas las partículas del fluido recorren el rodete en una trayectoria situada en un plano trasversal al eje de la turbomáquina La velocidad absoluta y relativa en todo punto del rotor carece de componente axial. V i Vra j Vt Vr i Vrra j Vrt Va 0 Vra 0 (*3) Por lo tanto la componente meridional coincide con la componente radial Vra Vm En las Turbomáquinas Axiales Todas las partículas del fluido recorren en el rodete una trayectoria situada en un cilindro coaxial con el eje de la turbomáquina La velocidad absoluta y relativa en todo punto del rotor carece de componente radial. V j Vt k Va Vr j Vrt k Vra Vra 0 Vrra 0 (*3) Por lo tanto la componente meridional coincide con la componente axial Va Vm En las Turbomáquinas Diagonales Todas las partículas del fluido recorren el rodete en una trayectoria situada en una superficie cónica o en una superficie cualquiera de revolución NO DESARROLLABLE. V i Vra j Vt k Va s Vm j Vt Claro siendo s Vn i Vra k Va (*4) 7.2. CORTES O PLANOS MERIDIONALES EN TURBINAS RADIAL, AXIAL Y DIAGONAL fig 1.5 .- Corte meridional del rodete; a) de una TM radial; b) de una TM axial; c) de una TM diagonal Las superficies de revolución que limitan el volumen activo en el rodete son: Dos planos en las Turbomáquinas Radiales (en la figura ligeramente cónicas) Dos cilindros en las Axiales Dos superficies de revolución cualquiera en las diagonales 7.3. Las Superficies de Revolución que limitan el rodete ordenan el flujo, de manera que considerando una familia de superficies inscritas entre estas dos; una partícula que entra en una de esta familia de superficies de revolución en el rodete se mueve en el sin salir de la misma Asi la particula que entra en 1 en un plano sale en 2 punto situado en el mismo plano (?), pero (claro) no en el plano del dibujo. La que entra en 1’ evoluciona en un plano distinto del anterior pero sin salir de el y análogamente. Esto no se cumple en la realidad rigurosamente pero constituye una muy buena aproximación de la realidad VINIENDO A SER COMO UN POSTULADO EN EL DISEÑO DE LAS TURBOMÁQUINAS QUE:ç “TODA PARTICULA EN EL RODETE SE MUEVE DE MANERA QUE NO SALE DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN DETERMINADA: PLANO, CILINDRO U OTRA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN CUALQUIERA SEGÚN LOS CASOS (SE MUEVE CON DOS GRADOS DE LIBERTAD)” 7.4. PLANOS DE REPRESENTACIÓN Los más frecuentes son: 1. LOS CORTES MERIDIONALES (utilizado en los tres tipos de máquinas) 2. LOS CORTES TRASVERSALES (utilizado en los tres tipos de máquinas) 3. EL DESARROLLO CILÍDRICO (usado en las Axiales) fig 1.6 .- Planos de representación; a) plano meridional o alzado (1-2 línea de corriente relativa proyectada circularmente); b) plano transversal o planta ( en las TM radiales, como la de la figura, el triángulo de velocidades se encuentra en este plano) 7.5. PLANTA O CORTE TRASVERSAL Logra la representación de las líneas de corriente Relativa (y de los alabes ya que las líneas de corriente relativas sigue el contorno de los alabes). A. EN LAS RADIALES: Las Líneas de corriente aparecen indeformadas ya que como confirmamos en (*3) dichas líneas se encuentran en un plano trasversal a i , j B. EN LAS AXIALES: Según la ecuación (*4) las líneas de corriente en su proyección trasversal se proyectan en un arco de circulo porque son hélices cilíndricas. Pero siendo el cilindro una superficie desarrollable, en el desarrollo de un cilindro en que se mueve una partícula la línea de corriente aparece también indeformada. Se conservan los angulos (REPRESENTACIÓN CONFORME) C. EN LAS DIAGONALES: Las Líneas de corriente se ven proyectadas ortogonalmete. En estas máquinas como se vera, los alabes son alabeados con doble curvatura en el espacio; no bastando un solo corte transversal, se requiere diversos cortes transversales que se proyectan luego sobre un mismo plano según el método cartográfico de las curvas de nivel que se explicará fig 1.7 .- Representación de una TM axial (B axial en la figura); a) Corte meridional; b) Corte transversal; c) desarrollo cilíndrico (los triángulos de velocidad aparecen indeformables en el el plano j t , k 7.6. PLANTA O CORTE TRASVERSAL Logra la representación de las líneas de corriente Relativa (y de los alabes ya que las líneas de corriente relativas sigue el contorno de los alabes). A. EN LAS RADIALES: Las Líneas de corriente aparecen indeformadas ya que como confirmamos en (*3) dichas líneas se encuentran en un plano trasversal a i , j B. EN LAS AXIALES: Según la ecuación (*4) las líneas de corriente en su proyección trasversal se proyectan en un arco de circulo porque son hélices cilíndricas. Pero siendo el cilindro una superficie desarrollable, en el desarrollo de un cilindro en que se mueve una partícula la línea de corriente aparece también indeformada. Se conservan los angulos (REPRESENTACIÓN CONFORME) C. EN LAS DIAGONALES: Las Líneas de corriente se ven proyectadas ortogonalmete. En estas máquinas como se vera, los alabes son alabeados con doble curvatura en el espacio; no bastando un solo corte transversal, se requiere diversos cortes transversales que se proyectan luego sobre un mismo plano según el método cartográfico de las curvas de nivel que se explicará 7.7. ALZADO O CORTE MERDIONAL (Corte pon un plano que contiene el eje de a Turbomáquina) En este corte los “meridianos” de las superficies de revolución se representan en su verdadera forma a) En las Radiales: La línea de corriente (1-2) se representa por una recta perpendicular al eje de la máquina. b) En las Axiales: Por dos rectas paralelas al eje y equidistante del mismo c) En la Diagonal: Por una recta inclinada o por una curva cualquiera Para representar las líneas de corriente de esta forma o utilizando la: PROYECCIÓN CIRCULAR…haz de planos Meridianos de la superficie de revolución donde se mueven las partículas (Plano normal, cilindro coaxial, superficie de revolución cualquiera) 8) EVOLUCIÓN HISTÓRICA 9) APLICACIONES GENERALES DEDUCCION DE LAS ECUACIONES GENERALES DE LAS TURBOMAQUINAS 1. ECUACIONES GENERALES DE BALANCE ENERGÉTICO: En la figura de al lado, hemos representado esquemáticamente una genérica turbomáquina. S1 Representación Esquemática de una Turbomáquina S2 S1 representa una genérica sección que precede las paredes móviles según el sentido del flujo, mientras S2 representa una genérica sección después de las paredes móviles. Consideramos el sistema termodinámico cerrado formado por el fluido que en el instante “t” se encuentra entre las secciones S1 y S2. Escribimos la ecuación del primer principio para el sistema con referencia al intervalo de tiempo "t t dt" : dQ dW * dU dEc dEp “ dQ ”: Es el calor neto que ha cruzado la frontera del sistema y tiene el signo positivo si es calor que ha ingresado el sistema mientras tiene signo negativo si es calor que ha salido del sistema. “ dW * ”: Expresa el balance del intercambio de trabajo entre el sistema y el sistema exterior y tiene el signo positivo si es trabajo que el sistema ha cedido mientras tiene el signo negativo si es trabajo que el sistema ha recibido. Resulta dW * F V dt siendo F la genérica fuerza que se ejerce sobre la frontera del sistema y V la velocidad de su punto de aplicación. “ dU ” : es la variación de energía interna. “ dEc ” : es la variación de energía cinética. “ dEp ”: es la variación de energía potencial. Consideramos la configuración del sistema al instante “t” y al instante “t dt” . S1 S1 Instante “t” Instante “t + dt” S2 S2 Ahora vamos a expresar dU , dEc , dEp Para esto dividimos el sistema en partes, como lo indicado en las figuras de al lado. S1 S1 B A Z1 B dmA Instante “t” dmC S2 Z2 C S2 Instante “t + dt” Por ser el flujo permanente las condiciones de la parte “B” al instante “t” y al instante “t + dt” son idénticas. Por la ecuación de continuidad resulta: dm A dmC . Indicamos simplemente con “dm” el valor común de " dm A " " dmC " .Ahora podemos escribir (U ) t U A U B (U ) t dt U B U C dU (U ) t dt (U ) t U B U C U A U B U C U A Indicamos con “ u1 ” la energía interna específica en la sección S1 y con “ u 2 ” la energía interna específica en la sección S 2 . Tenemos: U A dm.u1 , U B dm.u 2 , entonces: dU dm.u2 dm.u1 dm(u2 u1 ) Asimismo resulta: dEc ( Ec) C ( Ec) A dEp ( Ep) C ( Ep) A Indicamos con “ V1 ” la velocidad media en la sección S1 , y con “ V2 ” en la sección S 2 . Tenemos: ( Ec) A 1 2 dm.V1 2 , ( Ec) C 1 2 dm.V2 , 2 entonces: V dEc dm. 2 2 V1 2 2 Indicamos con “ Z1 ” la altura con respecto a un nivel de referencia del baricentro de la sección S1 y con “ Z2 ” la del baricentro de las sección S 2 . Tenemos: ( Ep) A dm.g.Z1 , ( Ep) C dm.g.Z 2 entonces: dEp dm.g.(Z 2 Z1 ) Ahora vamos a expresar dW * . Para esto consideramos el sistema al instante “t” y dividimos su frontera en partes, o sea las superficies S1 y S2, la superficie S3 en contacto con las paredes sólidas fijas, y la superficie S 4 en contacto con las paredes sólidas móviles. S3 S1 S4 S3 S3 S3 S2 Tenemos: dW * F V dt F V dt F V dt F V dt S1 S2 S3 F V dt S4 Indicamos con “P1 ” la presión en la sección S1 . Resulta: F V dt P1 S1V1 dt P1 (dV ) A S1 S1 V2.dt S2 A C P2.S2 P1 S1 V1.dt Indicamos con “P2 ” la presión de la sección S 2 . Resulta: F V dt ( P2 S 2V2 dt ) P2 (dV ) C S2 V 0 siendo la superficie S 3 , solidaria con las , debido a que resulta F V dt 0 S3 paredes sólidas “fijas”. F V dt Balance del trabajo intercambiado entre el fluido y las paredes sólidas S4 móviles. F V dt dW Si resulta dW 0 quiere decir que el fluido ha Pongamos: S4 cedido trabajo a las paredes sólidas móviles. Si resulta dW 0 quiere decir que el fluido ha recibido trabajo a las paredes sólidas móviles. Entonces: dW * P1 (dV ) A P2 (dV ) C dW Volvemos ahora a la ecuación del primer principio: dQ dW * dU dEc dEp Tenemos: dQ P1 dV A P2 dV C dW dmu 2 u1 dm V dQ dW dmu u P dV P dV dm 2 2 2 1 2 C 1 A V 2 2 V12 dm.g ( Z 2 Z1 ) 2 V12 dm.g.( Z 2 Z1 ) 2 dV C dV A V22 V12 dQ dW u 2 u1 P2 P1 g.Z 2 Z1 dm dm dm dm 2 dQ Representa el calor intercambiado por cada unidad de masa que atraviesa la sección S1 dm (o la sección S 2 ). Pongamos: dW dm dQ q dm Representa el trabajo intercambiado entre fluido y paredes sólidas móviles por cada unidad de masa que atraviesa la sección S1 (a la sección S 2 ) Pongamos: dV C dm dW w dm Es el volumen específico “v 2 ” en la sección S 2 . (dV ) A Es el volumen específico “v 1 ” en la sección S1 . dm Entonces q w u 2 u1 P2 .v2 P1 .v2 V q w u 2 P2 .v2 u1 P1 .v2 V12 g.Z 2 Z1 2 2 2 V 2 2 V12 g.Z 2 Z1 2 u2 P2 .v2 h2 (entalpía especifica en la sección S 2 ) u1 P1.v1 h1 (entalpía especifica en la sección S1 ) Al final tenemos V q w h h 2 2 2 1 V12 g.Z 2 Z1 2 La relación que acabamos de escribir ha sido deducida a partir de un sistema termodinámico cerrado, pero ahora podemos considerarla como referida a un sistema abierto cuya frontera esta individualizada por las secciones S1 y S 2 y por la “piel” del fluido entre S1 y S 2 . Claramente “q” va a ser el calor que cruza la frontera del sistema abierto y “w” va a ser el trabajo intercambiado a lo largo de la frontera del sistema abierto con exclusión de las secciones S1 y S 2 . Hagamos referencia el caso representado en la figura a lado donde tenemos el sistema abierto que acabamos de definir. q1 qr2 S1 qr1 qr cojinete S2 La línea de rayas indica la frontera del sistema abierto. Con “q r ” hemos indicado el calor de rozamiento que se produce en el cojinete ( “q r1 ” es calor por unidad de masa que ingresa al sistema) q q1 qr1 q1 qr1 qr 2 qr 2 (q1 qr 2 ) qr q w (q1 qr 2 ) qr w (q1 qr 2 ) (w qr ) V V1 (q1 q r 2 ) ( w q r ) (h2 h1 ) 2 g.( Z 2 Z 1 ) 2 2 Ahora (q1 qr 2 ) figura a lado y 2 representa el calor neto que cruza la frontera indicado en la ( w qr ) representa el trabajo intercambiado a lo largo de dicha frontera (con exclusión de las secciones S1 y S 2 ) q1 qr2 qr1 qr S1 w - qr S2 Entonces podemos concluir que la relación: V V1 q w (h2 h1 ) 2 g.( Z 2 Z1 ) 2 2 2 Vale para cualquier frontera que contenga las secciones S1 y S 2 . Siendo “q” el calor neto intercambiado a lo largo de la frontera y “w” el trabajo intercambiado a lo largo de la frontera con exclusión de las secciones S1 y S 2 . Para todas las fronteras el término a la derecha es el mismo, entonces para todas resulta el mismo valor de (q - w) aunque con general resulta un distinto valor de “q” y un distinto valor de “w” AHORA VAMOS A ELABORAR UNA SEGUNDA ECUACIÓN DE BALANCE ENERGÉTICO EQUIVALENTE A LA PRIMERA. Para esto volvemos a considerar el sistema termodinámico cerrado con el cual hemos empezado. Consideramos el sistema al instante “t” . El sistema claramente no se encuentra en un estado de equilibrio, pero si puede ser descompuesto en fracciones elementales (como esquematizado en la figura a lado) cada una de la cual se encuentra en un estado de equilibrio. S1 S2 A B C D Supongamos de haber descompuesto el sistema de tal manera que todas las fracciones tengan la misma masa “dm” igual a la masa que en el intervalo de tiempo "t t dt" atraviesa la sección S1 (o S 2 ). En este intervalo de tiempo cada fracción sufre una transformación cuasi-estática. Para la genérica fracción podemos escribir. 𝒅𝒎(𝑻𝒅𝒔) = (𝒅𝑸´ + 𝒅𝑸´𝒓 ) = 𝒅𝒎(𝒅𝒉 − 𝒗𝒅𝑷) (𝒅𝑸´ + 𝒅𝑸´𝒓 ) es el calor total que la fracción ha recibido o cedido, siendo dQ´ la parte intercambiada con el sistema exterior y dQ r ´ la parte correspondiente al calor de rozamiento. En el mismo intervalo de tiempo todo el sistema ha intercambiado con el sistema exterior el calor dQ y se ha producido en todo el sistema el calor de rozamiento dQr . Claramente resulta: dQ dQ´ , dQ r dQr ´ , Siendo las sumatorias relativas a todas las fracciones en que el sistema ha sido descompuesto. Entonces: dQ dQr dQ´ dQr ´ (dQ´dQr ´) dm (dh v.dP) dm dh v.dP Primero vamos a expresar: dh .Haga referencia a la figuras de a lado. Tenemos: S1 (dq) A (hA ) t dt (hA ) t . S2 A B C D Por ser el flujo, permanente resulta: (h A ) t dt = (h B ) t Instante “t” S1 Entonces: S2 (dh) A (h B ) t - (h A ) t A B C D Asimismo resulta: (dh) B (h B ) t dt (h B ) t (h C ) t - (h B ) t Instante “t+dt” (dh) C (h C ) t dt (h C ) t (h D ) t - (h C ) t (dh) D (h D ) t dt (h D ) t (h D ) t - (h B ) t dh (dh) A (dh) B (dh) C (dh) D (hB ) t (h A ) t (hC ) t (hB ) t (hD ) t (hC ) t (hD ) t dt (hD ) t dh (hD ) t dt (hA ) t h2 h1 Vamos ahora a expresar v.dP Se referencias a las figuras a lado. Tenemos: S1 S2 Instante “t” A B C D haga (v.dP) A va .( PA ) t dt ( PA ) t va ( Pb Pa ) P (v.dP) B vb .( PB ) t dt ( PB ) t vb ( Pc Pb ) a b c (v.dP) C vc .( PC ) t dt ( PC ) t vc ( Pd Pc ) d e (v.dP) D vd .( PD ) t dt ( PD ) t vd ( Pe Pd ) v Entonces: v.dP (v.dP) A A (v.dP) B (v.dP) C (v.dP) D S1 B Instante “t+dt” C D S2 va ( Pb Pa ) vb ( Pc Pb ) vc ( Pd Pc ) vd ( Pe Pd ) Recordamos que estamos trabajando en términos infinitesimales, podemos escribir: 2 v.dP v.dP 1 Al final resulta: 2 dQ dQr dm.(h2 h1 ) v.dP 1 2 dQ dQr (h2 h1 ) v.dP dm dm 1 dQ q : Calor que el sistema intercambia con el sistema exterior por cada unidad de masa dm que atraviesa la sección S1 (o S 2 ) dQr q r : Calor de rozamiento que se produce en el seno del fluido por cada unidad de dm masa que atraviesa la sección S1 (o S 2 ). [Seno del fluido se entiende como el interior del fluido y este rozamiento es producido por la tracción entre el fluido y por los partes sólidas móviles que estén en el seno del fluido] Pongamos: q r wr , siendo wr el valor absoluto del trabajo de rozamiento (recordamos que siempre es qr > 0). Entonces tenemos: 2 2 q wr (h2 h1 ) v.dP q (h2 h1 ) v.dP wr 1 1 Substituyendo esta expresión de “q” en la ecuación: V V1 q w (h2 h1 ) 2 g.( Z 2 Z1 ) 2 2 2 Resulta: h h 2 v.dP w w h h V2 V1 g.Z Z 1 2 1 2 1 1 r 2 2 2 2 V V2 v.dP 1 g.( Z 1 Z 2 ) w wr 2 1 2 2 2 2 Vamos a precisar bien el sentido del término v.dP . Consideramos una genérica sección 1 “S” del conducto recorrido por el fluido. En correspondencia de esta sección el fluido tendrá que tener un volumen especifico v y una presión P que vamos a representar mediante un punto en el plano P – v. Repetimos ahora la misma operación para todas las secciones del conducto que se encuentran entre S1 y S 2 y obtendremos una grafica en el plano P – v. P v P 1 2 El v.dP es igual al área achurada tomada con signo + o con signo – 1 según sea: P2 P1 o P2 P1 2 v La ecuación que hemos elaborado ha sido deducida a partir de un sistema termodinámico cerrado, pero ahora podemos considerarla como referida a un sistema abierto cuya frontera esta individualizada por las secciones S1 y S2 y por la “piel” del fluido entre S1 y S2. Claramente w va a ser el trabajo intercambiado a lo largo de la frontera del sistema abierto con exclusión de las secciones S1 y S2, y wr va a ser el trabajo de rozamiento producido al interior de la frontera. En la ecuación no aparece en forma explicita el calor intercambiado entre el sistema y el sistema exterior, pero este calor si esta presente y se manifiesta indirectamente a través del volumen especifico “v” wr En la figura a lado hemos S1 representado el sistema abierto cuya frontera esta individualizada por las secciones S1 y S2 y por la “piel” del fluido entre S1 y S2. wr 2 1 w1 w2 Podemos escribir: S2 V V2 v.dP 1 g.( Z 1 Z 2 ) 2 1 2 2 w1 wr 1 2 w1 : es el trabajo intercambiado en la frontera. wr 1 : es el trabajo de rozamiento producido al interior de la frontera. w w w 1 r 2 Además ponemos: 2 , siendo cojinete. Entonces podemos escribir: w1 w2 wr 2 ; wr 2 el trabajo de rozamiento producido en el w1 wr 1 w2 wr 2 wr 1 Substituyendo en la ecuación anterior, resulta: w2 wr 1 wr 2 V V2 v.dP 1 g.( Z 1 Z 2 ) 2 1 2 2 2 Con referencia al a frontera indicada en la figura a lado resulta que w2 es el trabajo intercambiado en correspondencia de esta frontera y rozamiento producido al interior de esta frontera. w r 1 wr 2 es todo el trabajo de wr S1 wr 2 1 wr S2 Entonces la ecuación: V V2 w wr v.dP 1 g.( Z 1 Z 2 ) 2 1 2 2 2 Puede ser generalizada a cualquier frontera que contenga S1 y S 2 , Siendo “w” el trabajo intercambiado en correspondencia de la frontera considerada (con exclusiones de S1 y S 2 ) y wr todo el trabajo de rozamiento producido al interior de la frontera. El Término a la derecha es el mismo para todas las fronteras que contienen S1 y S 2 , entonces para todas resulta el mismo valor de: w wr S1 aunque en general resulta el S2 mismo valor de w y un distinto valor de wr En síntesis podemos afirmar que para todas las fronteras como las indicadas en la figura de a lado, tenemos el mismo valor de ( q w) y el mismo valor de: w wr . El valor de ( q w) resulta por la siguiente ecuación: V2 V1 g.( Z 2 Z1 ) 2 2 q w (h2 h1 ) 2 El valor de w wr resulta por la siguiente ecuación: V V2 w wr v.dP 1 g.( Z 1 Z 2 ) 2 1 2 2 2 2. ECUACIÓN DE BALANCE ENERGÉTICO EN EL MOVIMIENTO RELATIVO: Tenemos que llegar primero a una relación básica de mecánica analítica. Consideramos el movimiento de una masa puntiforme “m” con respecto a una referencia inercial fija y a una referencia en movimiento rotatorio uniforme alrededor de uno de sus ejes el cual esta fijo con respecto a la referencia inercial. z m y x Tenemos: a ar at ac a = aceleración absoluta. a r : aceleración relativa. a t : aceleración de arrastre a c : aceleración de Coriolis. Ahora podemos escribir: a r a a t a c m. a r m. a m. a t m. a c m. a r R m. a t m. a c R( m. a ) Es la resultante de todas las fuerzas que se ejercen sobre la masa “m” Indicamos con V r la velocidad relativa. Tenemos: m. a r .V r .dt R .V r .dt m. a t .V r .dt m. a c .V r .dt Analizamos separadamente cada uno de los términos de esta relación: m. a c .V r .dt Por ser a c 2. V r resultada: a c .V r 2. V r .V r 0 entonces: m. a c .V r .dt 0 m. a r .V r .dt Tenemos: 2 d (V .V ) d (Vr ) dV r r r a r .V r .dt .V r .dt (d V r ).V r dt 2 2 Entonces: 2 d (Vr ) 1 2 m. a r .V r .dt m. d .m.Vr 2 2 Poniendo: 1 mVr2 E r (energía cinética relativa), resulta al final 2 m. a r .V r .dt d ( E r ) m. a t .V r .dt Con referencia a la figura a lado consideramos el vector r r perpendicular el eje de rotación y que m va desde el eje de rotación hasta la posición ocupada por la masa puntiforme; indicamos con “r” la magnitud de r . Tenemos: a t 2 .r a t 2 .r. r a t .V r .dt .r. .V r .dt . r 2 r r a t 2 .r. r r Ahora: r .V r .dt , representa la componente del desplazamiento relativo V r .dt r según la recta orientada individualizada por r y cuyo versor es r , por lo tanto resulta: r r .V r .dt dr . Entonces podemos escribir: r a t .V r .dt 2 .r.dr Indicamos con Vt la magnitud de la velocidad de arrastre: Tenemos: 2 d (Vt ) Vt .r Vt .r d (Vt ) 2 .r.dr .r.dr 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d (Vt ) d (Vt ) 1 2 a . V . dt m . a t .V r .dt m. d .m.Vt t r 2 2 2 Ponemos 1 mVt 2 Et . “Et” representa la “energía cinética arrastre”, o sea la energía 2 cinética que tendría la masa si en el instante considerado estuviese solidaria con la referencia móvil. Al final resulta: m. a t .V r .dt d ( Et ) R .V r .dt Indicamos con V la velocidad absoluta y con V t la velocidad de arrastre. Tenemos: V V r V t V r V V t Ahora podemos escribir: R .V r .dt R .(V V t ).dt R .V .dt R .V t .dt dV d (V .V ) d (V 2 ) R .V .dt m. a .V .dt m. .V .dt m.(d V ).V m. m dt 2 2 1 R .V .dt d .m.V 2 2 Ponemos: 1 .m.V 2 E (Energía cinética absoluta). 2 Al final resulta: R .Vr .dt d E R .Vt .dt En base a los resultados logrados, la relación inicial se expresa como sigue: d ( E r ) d E d ( Et ) R .Vt .dt R .Vt .dt El término representa el trabajo que haría la resultante R si su punto de aplicación se desplazara siguiendo, no la masa “m” sino el punto del espacio móvil individualizado por la masa “m”. Pasamos ahora a considerar un sistema de masas puntiformes, por ejemplo “n” masas puntiformes. Por cada una de estas masas podemos escribir la relación anterior. Tenemos: d ( E r )1 d E 1 d ( Et )1 ( R .Vt .dt )1 d ( E r ) 2 d E 2 d ( Et ) 2 ( R .Vt .dt ) 2 d ( E r ) n d E n d ( Et ) n ( R .Vt .dt ) n Vamos ahora a sumar todas estas relaciones. Tenemos: d ( E r )1 d ( E r ) 2 d ( E r ) n d E 1 d E 2 d E n d ( E t )1 d ( E t ) 2 d ( E t ) n ( R .Vt .dt )1 ( R .Vt .dt ) 2 ( R .Vt .dt ) n Luego: d ( E r )1 ( E r ) 2 ( E r ) n d E 1 E 2 E n d ( Et )1 ( Et ) 2 ( Et ) n n ( R .Vt .dt ) 1 Pongamos: ( Er )1 ( Er ) 2 ( Er ) n ( Er ) T : Energía cinética relativa total. ( E )1 ( E ) 2 ( E ) n ( E ) T : Energía cinética (absoluta) total ( Et )1 ( Et ) 2 ( Et ) n ( Et ) T : Energía cinética de arrastre total En conclusión resulta la siguiente relación: n d ( E r ) T d E T d ( Et ) T ( R .Vt .dt ) 1 Ahora vamos a aplicar la relación encontrada al caso de una turbomáquina , se haga referencia a la figura a lado: Los álabes móviles están fijados a la periferia de “rueda” que se mueve con movimiento rotatorio uniforme alrededor de un eje fijo. Entonces los una álabe álabes móviles y la rueda individualizan un “espacio” en movimiento rotatorio uniforme alrededor del eje de la maquina. En figura está indicada la “superficie media de flujo”, que es la superficie que divide el caudal en dos partes iguales. Cuando se trata el movimiento relativo se consideran dos secciones S1 y S2, ubicadas respectivamente a la entrada y a la salida de los álabes móviles. rueda Superficie media de Flujo Consideramos ahora la masa de fluido que en el instante "t" se encuentra entre las secciones S1 y S2, y seguimos esta misma masa en el intervalo de tiempo "t t dt" . Dicha masa puede ser esquematizada, como un sistema de partículas a las que se puede aplicar la relación que hemos elaborado. S S1 Analizamos separadamente cada término de la relación. ( R .Vt .dt ) 2 Consideramos una genérica partícula del sistema. Indicamos con: F g : la fuerza de gravedad que se ejerce sobre la partícula. R int : la resultante de las fuerzas internas que se ejercen sobre la partícula. F c : la fuerza de contacto externa que se ejerce sobre la partícula (o sea la fuerza ejercida por cuerpos que no pertenecen al sistema de partículas). Tenemos: R F g R int F c Entonces: R .Vt .dt ( F g R int F c ).V t .dt F g .V t .dt R int .V t .dt F c .V t .dt ( R .Vt .dt ) ( F g .V t .dt R int .Vt .dt F c .V t .dt ) ( R .Vt .dt ) ( F g .Vt .dt ) ( R int .Vt .dt ) ( F c .Vt .dt ) Analizamos ahora cada una de estas sumatorias: F g .Vt .dt El fluido tiene una distribución simétrica con respecto al eje de rotación. Para dos partículas A y B en posición simétrica resulta: ( F g ) A ( F g ) B ; (Vt ) A (Vt ) B ; Eje de Rotación ( F g .Vt .dt ) A ( F g .Vt .dt ) B Vt (A) Entonces: Fg (B) Vt ( F g .Vt .dt ) A ( F g .Vt .dt ) B 0 Fg Por la simetría de la cual hemos hablado la sumatoria: F g .Vt .dt puede ser ordenada por cuplas de partículas en posición simétrica, entonces resulta: F g .Vt .dt 0 ( R int .Vt .dt ) Las fuerzas internas son fuerzas de contacto que de dos en dos son una opuesta a la otra e individualizan el mismo punto del espacio móvil, o sea la misma V t . Rint Vt Con referencia a la figura de a lado tenemos: Tenemos: ( Fint ) A ( Fint ) B , entonces: (Fint )A (Fint )B ( Fint ) A .Vt .dt ( Fint ) B .Vt .dt ( Fint ) A .Vt .dt ( Fint ) B .Vt .dt 0 La sumatoria ( R int .Vt .dt ) puede ser ordenada por cuplas de fuerzas internas como lo que acabamos de analizar, entonces resulta: ( R ( F int .Vt .dt ) 0 c .Vt .dt ) S1 Consideramos primero las fuerzas que las paredes sólidas fijas ejercen sobre el fluido. Estas fuerzas son las ejercidas por las paredes fijas externa entre S1 y S2, como indicado en la figura a lado: Cada fuerza puede ser descompuesta según una componente perpendicular y una componente tangencial a la pared; S2 Pared fija externa Claramente la componente tangencial corresponde a la; fuerza de Rozamiento La componente perpendicular a la pared resulta perpendicular Vt a V t (mirar la figura a lado) y por lo tanto no contribuye al valor de: ( F c .Vt .dt ) En lo referente a la componente tangencial tenemos la siguiente consideración: entre los álabes móviles y la pared fija externa hay un espacio libre en el cual el fluido no sufre desviaciones apreciables por la acción de los álabes y su movimiento es ligeramente helicoidal, así que las fuerzas de rozamiento resultan aproximadamente perpendiculares a V t y por lo tanto no contribuyen al valor de: ( F c .Vt .dt ) . De todas maneras el aporte de estas fuerzas de rozamiento resultaría en todo caso despreciable. En conclusión la pared fija no contribuye al valor de: ( F c .Vt .dt ) . Vamos ahora a considerar las fuerzas que el fluido no perteneciente al sistema ejerce sobre éste. Estas fuerzas son las que se ejercen en correspondencia de las secciones S 1 y S2. Con buena aproximación podemos decir que también estas fuerzas son perpendiculares a V t y por lo tanto no contribuyen al valor de: ( F c .Vt .dt ) A esta altura la ( F c .Vt .dt ) esta integrada únicamente por lo que se refiere a las fuerzas que los álabes móviles ejercen sobre el fluido. Como ya sabemos, la “piel” del fluido está adherente a la superficie de los álabes móviles, entonces la velocidad relativa de sus puntos es cero y por la relación: V V r V t , resulta V V t Ahora podemos escribir: ( F c . Vt .dt ) ( F c . V .dt ) dW dW: es el trabajo que el fluido ha intercambiado con los álabes móviles. En conclusión tenemos: ( R .Vt .dt ) dW d ( E ) T , d ( E r ) T , d ( Et ) T Se haga referencia a las figuras siguientes en que ha presentado el sistema al instante “t” y al instante “t + dt”. “B” “C” S2 dm S1 S2 S1 “A” “B” dm Instante “t” Instante “t+dt” Con razonamiento similar a lo que se ha utilizado para deducir la primera ecuación de balance energético, se llega a los resultados siguientes: d ( E )T EC E A d ( E t ) T ( E t ) C ( Et ) A d ( Er ) T ( Er ) C ( Er ) A Ahora podemos escribir: 1 1 d ( E ) T .dm.V22 .dm.V12 2 2 V1 y V2 son respectivamente la velocidad absoluta media en la sección S1 y en la sección S2, mientras “dm” es la masa que en el intervalo de tiempo: “t t + dt” atraviesa la sección S1 (o S2). Para expresar (Et)C, podemos hacer referencia a un valor medio de la velocidad de arrastre y para esto consideraremos la velocidad de arrastre en el punto “2” en que la superficie media de flujo se interseca con la sección S2, indicamos con U2 la velocidad de arrastre en dicho punto; claramente resulta: U 2 .r2 y ( Et ) C 1 2 .dm.U 2 2 “C” S2 Superficie media de flujo 2 r2 Asimismo para (Et)A Hacemos referencia a la velocidad de arrastre en el punto “l” en que la superficie media de flujo de interseca con la sección S1; indicamos con U1 la velocidad de arrastre en dicho punto; claramente resulta: “A” U1 .r1 y S1 1 1 2 ( Et ) A .dm.U 1 2 r1 Entonces resulta: d Et T 1 1 2 2 .dm.U 2 .dm.U 1 2 2 Las velocidades U1 y U2 se definen como “velocidades periféricas”. Para expresar (Er)C Podemos hacer referencia a un valor medio de la velocidad relativa y para esto se consideran las velocidades V2 (correspondiente a V2) y U 2 que permiten construir el triángulo de velocidad que individualiza la velocidad relativa (Vr ) 2 y luego su magnitud (Vr)2. V2 (Vr )2 U2 1 2 Entonces podemos escribir: ( E r ) C .dm.Vr 2 2 Asimismo para expresar (Er)A Se consideran las velocidades V1 y U 1 , que permiten individualizar la velocidad relativa (Vr)1 y escribir: 1 2 ( E r ) A .dm.Vr 1 2 Entonces resulta: d E r T 1 1 2 2 .dm.Vr 2 .dm.Vr 1 2 2 Volvemos ahora a la relación con que hemos empezado: d ( E r ) T d E T d ( Et ) T ( R .Vt .dt ) Sustituyendo a cada término la respectiva expresión que se ha elaborado, tenemos: 1 1 1 1 1 1 2 2 dmVr 2 dmVr 1 dmV22 dmV12 dm U 22 dm U 12 dW 2 2 2 2 2 2 Vr 22 Vr 12 2 V22 V12 U 22 U12 dW 2 2 dm dW : Representa el trabajo intercambiado entre el fuido y los álabes móviles por cada unidad de dm masa que atraviesa la sección S1 (o S2), entonces tenemos: dW w dm Ahora podemos escribir: Vr 22 Vr 12 2 V22 V22 U 12 U 22 w 2 2 En fin tenemos la ecuación de balance energético en el movimiento relativo. w Vr 22 Vr 12 2 V12 V22 U 12 U 22 2 2 La relación que acabamos de escribir ha sido deducida a partir de un sistema de partículas, pero ahora podemos considerarla como referida a un volumen de control individualizado por las secciones S1 y S2, y por la “piel” del fluido en tres S1 y S2. Consideramos ahora la ecuación: V22 V12 q w h2 h1 g Z 2 Z1 2 y pensémosla aplicada al volumen de control que hemos definido para el movimiento relativo. Podemos escribir: V22 V12 q h2 h1 g.Z 2 Z1 w 2 V Vr 1 V12 V22 U12 U 22 V 2 V12 q h2 h1 2 g.Z 2 Z1 r 2 2 2 2 2 2 2 Al final resulta: q h2 h1 Vr 22 Vr 12 2 U12 U 22 g Z 2 Z1 2 De igual manera, con respecto al mismo volumen de control, podemos escribir: V V2 w wr v.dP 1 g.( Z 1 Z 2 ) 2 1 2 2 2 2 (Vr ) 22 (Vr )12 V12 V22 U 12 U 22 V12 V22 wr v.dP g.( Z1 Z 2 ) 2 2 2 2 1 Al final resulta: 2 vdP 1 Vr 12 Vr 22 2 U 22 U 12 g.Z1 Z 2 wr 0 2 4. ECUACIÓN DE EULER Se haga referencia a la figura a lado: (a) S1 S2 (b) Superficie media de flujo Consideramos un volumen de control individualizado por la superficie (b), la superficie (a) pegada a la parte periférica de los álabes móviles, y en fin las secciones S1 y S2 ubicadas respectivamente a la entrada y a la salida de los álabes móviles. La ecuación de Euler que vamos a introducir establece una relación entre trabajo intercambiado y campo de velocidad. La parte de fluido que fluye en el espacio libre entre la periferia de los alabes y la pared fija externa no esta sujeta a la acción de los álabes móviles y por esto dejamos fuera del volumen de control. Consideramos ahora la ecuación del momento de la cantidad movimiento para el volumen de control que hemos definido: r V .dQ M r V .dQM M ext S2 S1 Para definir r y M ext tomamos como polo un punto genérico del eje de rotación. Con referencia a la sección “S2” resulta: r V r2 V2 Y con referencia a la sección “S1” resulta: r V r1 V1 Entonces podemos escribir: r2 V2 dQM r1 V1 dQM M ext S2 S1 dQ dQM QM´ : Este es el caudal másico que atraviesa los alabes móviles y M S2 S1 resulta distinto del caudal de la maquina. ( r2 V2 r1 V1 ).QM´ r Fext .( r2 V2 r1 V1 ).QM´ . r Fext ( . r2 V2 . r1 V1 ).QM´ . r Fext (V2 . r2 V1 . r1 ).QM´ Fext . r (V2 .U 2 V1 .U1 ).Q Fext .Vt ´ M (V2 .U 2 V1 .U1 ).QM´ .dt Fext .Vt .dt QM´ dt dm´ : Esta es la masa que en el tiempo “dt” ingresa a los álabes móviles (o sale de los mismos). (V1 .U1 V2 .U 2 ).dm´ Fext .Vt .dt Con rozamiento similar a lo que se ha hecho en antecedente demostración se llega a la conclusión que: F ext .Vt .dt dW siendo “dW” el trabajo intercambiado entre fluido y álabes móviles. (V1 .U 1 V2 .U 2 ).dm´ dW (V1 .U 1 V2 .U 2 ) dW We dm´ Tenemos al final la ecuación de Euler: We (V1 .U 1 V2 .U 2 ) Subrayamos que “We” (trabajo de Euler) es el trabajo intercambiado por cada unidad de masa que ingresa en los álabes. 5. RESUMEN DE LAS ECUACIONES GENERALES (A) V q w h h V12 g.Z 2 Z1 2 2 2 2 1 V V2 1 g .( Z 1 Z 2 ) (B) w wr 2 1 2 (C) (D) w Vr 22 Vr 12 2 q h2 h1 (E) 2 1 dP (F) 2 dP Vr 22 Vr 12 2 2 1 v V12 V22 U 12 U 22 2 2 Vr 12 Vr 22 2 U12 U 22 g Z 2 Z1 2 U 22 U 12 g.Z1 Z 2 wr 0 2 We V1 .U 1 V2 .U 2 Las ecuaciones (A) y (B) son validas para cualquier frontera que contenga S1 y S 2 . Las ecuaciones (C), (D) y (E) son validas para la frontera individualizada por S1 y S 2 y por la “piel” del fluido entre S1 y S 2 Es costumbre utilizar las ecuaciones antecedentes en otra forma obtenida dividiendo todos los términos por “g” Pongamos: q q; g w w; g wr g wr ; We W e; g h h g Claramente q , w , wr , W e , h , son magnitudes referidas a la unidad de peso. Entonces tenemos: V 2gV Z 2 2 (A’) q w h2 h1 2 1 2 Z1 V V2 1 ( Z1 Z 2 ) ; g (B’) w w r 2g v 1 2 (C’) w Vr 22 Vr 12 2g (D’) q h2 h1 (E’) 2 dP 1 (F’) W e 2 dP 2 V12 V22 U 12 U 22 2g 2g Vr 22 Vr 12 2g Vr 12 Vr 22 2g U 12 U 22 Z 2 Z1 2g U 22 U12 Z1 Z 2 wr 0 2g 1 (V1 .U 1 V2 .U 2 ) g Los términos de estas ecuaciones tienen la dimensión de una longitud. En el caso de turbomáquinas hidráulicas ( = constante) las ecuaciones (B’) y (E’) toman la siguiente forma w wr P1 P2 P1 P2 V V2 1 ( Z1 Z 2 ) 2g Vr 12 Vr 22 2g 2 2 U 22 U 12 Z 1 Z 2 w r 0 2g TURBOBOMBAS 1. ECUACIONES FUNDAMENTALES (En adelante utilizaremos el término “bomba” para indicar la turbobomba). A) w w r Vr 22 Vr 12 B) w C) P1 P2 2g P1 P2 D) w e V1 V2 ( Z1 Z 2 ) 2g 2 2 V12 V22 U 12 U 22 2g 2g Vr 12 Vr 22 2g U 22 U 12 Z 1 Z 2 w r 0 2g 1 (V1 .U 1 V2 .U 2 ) g Con respecto a la ecuación A) podemos escribir: w P1 P2 w V V2 1 ( Z1 Z 2 ) w r 2g 2 P2 P1 2 V V1 2 ( Z 2 Z1 ) w r 2g 2 2 Por ser la bomba una máquina operativa resulta w 0 , así que w w Entonces: A´ ) w P2 P1 V V1 2 ( Z 2 Z1 ) w r 2g 2 2 Con respecto a la ecuación B) podemos escribir: w Vr 12 Vr 22 2g B´ ) w V22 V12 U 22 U 12 2g 2g Vr 12 Vr 22 2g V22 V12 U 22 U 12 2g 2g Con respecto a la ecuación C) podemos escribir: U 22 U 12 P P1 Vr 2 Vr 1 wr 2 Z 1 Z 2 C´ ) 2g 2g 2 2 Con respecto a la ecuación D) podemos escribir: we 1 (V2 .U 2 V1 .U 1 ) g D´ ) w e 1 (V2 .U 2 V1 .U 1 ) g NOTA: En adelante cuando utilizamos la ecuación A´) sin especificar la frontera se sobrentiende que está formada por las secciones S1, S2, y por la “piel” del fluido entre S1 y S2. 2. ALTURA ÚTIL Y CAUDAL DE LA BOMBA: La altura útil de una bomba está definida en base a las “prestaciones requeridas”. De hecho nosotros entregamos a la bomba, en correspondencia a la brida de entrada, una corriente fluida que tiene una velocidad Ve una presión Pe y una altura Ze. Lo que queremos es que la bomba nos entregue en correspondencia de la brida de salida, una corriente fluida que tenga una velocidad Vs, una presión Ps y una altura Zs. En base a estas prestaciones requeridas se define el salto energético útil, o sea la Brida de salida Ps Vs Ps Vs Brida de entrada Zs Ze “ALTURA ÚTIL (H)” H Ps Pe V Ve s (Z s Z e ) ; 2g 2 2 (m) V Ve Generalmente los términos s y (Z s Z e ) son despreciables 2g 2 2 Así que podemos escribir: H Ps Pe EL CAUDAL DE LA BOMBA (Q) está definido como el volumen de fluido que en la unidad de tiempo atraviesa la brida de entrada (o de salida) de la bomba. 3. COMPARACIÓN ENTRE EL PROCESO IDEAL Y EL PROCESO REAL Tenemos: w Ps Pe Vs Ve (Z s Z e ) w r 2g 2 2 w id Ps Pe Vs Ve (Z s Z e ) 2g 2 2 w w Entonces: id wr H wr 4. ESQUEMA A BLOQUE DE UNA BOMBA MONO-ETAPA Se haga referencia al esquema a bloque que sigue: Conducto de Alimentación Impulsor Difusor Voluta Conducto de Salida Brida de entrada Brida de salida Tenemos: La brida de entrada: representa el primer “límite de batería” de la bomba. El conducto de alimentación: es un conducto fijo que guía el fluido a la sección de entrada del impulsor. Impulsor: es el órgano móvil cuyos álabes trasmiten energía al fluido variando su energía cinética y su energía de presión. Diffusor: es un órgano fijo que tiene la función de trasformar en energía de presión parte de la energía cinética que tiene el fluido a la salida del impulsor. Voluta: es un conducto en forma de “caracol” que tiene la función de recibir el fluido que sale del difusor para guiarlo hasta el conducto de salida. La voluta se caracteriza por tener caudal variable a lo largo de su eje. Conducto de salida: es un conducto fijo que guía el fluido hasta la brida de salida de la bomba. Brida de salida: representa el segundo “límite de batería” de la bomba 5. GRAFICA DE LA “ENERGÍA ÚTIL” A LO LARGO DE UNA BOMBA MONOETAPA EN EL CASO IDEAL. CONSIDERAMOS LA EXPRESIÓN DE LA ALTURA ÚTIL: H Ps Pe Vs Ve (Z s Z e ) 2g 2 2 Podemos escribir esta expresión en otra forma: Ps Vs 2 Pe Ve 2 H Z s Z e 2g 2g P V2 El termino Z representa la “ENERGÍA ÚTIL” del fluido 2g ASÍ QUE LA ALTURA ÚTIL PUEDE SER DEFINIDA COMO DIFERENCIA ENTRE LA ENERGÍA ÚTIL EN LA SECCIÓN DE SALIDA Y LA SECCIÓN DE ENTRADA. VAMOS A VER CÓMO VARÍA LA ENERGÍA ÚTIL DEL FLUIDO A LO LARGO DE LA BOMBA EN EL CASO IDEAL. V2 2g H 2 V2 2g Vs 2g Ps P 2 Ve 2g Pe P Impulsor Difusor Voluta Zs Ze Por no haber rozamiento la energía útil no varía en el conducto de alimentación, en el diffusor, en la voluta y en el conducto de salida. De hecho en base a la ecuación de balance energético: w P2 P1 V2 V1 ( Z 2 Z1 ) w r 2g 2 2 Por ser en esas partes w 0 y además w r 0 por hipótesis tenemos: P2 P1 V2 V1 ( Z 2 Z1 ) 0 ; o sea 2g 2 2 P2 V2 2 P1 V1 2 Z 2 Z 1 0 , entonces: 2g 2g P2 2 2 V2 P V Z 2 1 1 Z1 Constante 2g 2g El incremento de energía útil se cumple en el impulsor y es igual a la altura útil. A través del impulsor sube la energía cinética y la energía de presión. En el difusor se cumple la trasformación de parte de la energía cinética en energía de presión. En la voluta se tiene un pequeño aumento de presión que resulta apreciable solamente en el caso de bombas con pequeña altura útil. 6. GRÁFICA DE LA “ENERGÍA ÚTIL” A LO LARGO DE UNA BOMBA MONOETAPA EN EL CASO REAL Consideramos la ecuación de balance energético: P2 V2 2 P1 V1 2 w Z 2 Z 1 w r 2g 2g Consideramos ahora una genérica sección 1 y una genérica sección 2 entre las cuales no hay paredes móviles. Tenemos w 0 , así resulta: 2 P2 V2 2 P1 V1 2 P1 V1 Z 2 Z 1 w r Z1 2 g 2 g 2 g Como la sección 2 sigue la sección 1 según el sentido del flujo, podemos afirmar que en las partes de la bomba donde no ha paredes móviles la energía útil baja según el sentido del flujo y su disminución es igual al trabajo de rozamiento que se produce entre las dos secciones consideradas. V2 2g 2 V 2g H imp 2 Vs 2g H Ps 2 P P Ve 2g Pe Impulsor Difusor Voluta Zs Ze Claramente para el caso real y para el caso ideal la altura útil tiene que ser la misma siendo única la prestación requerida. Por la gráfica se puede apreciar como en el caso real la variación de energía útil en el impulsor (Himp) es mayor que la altura útil de la bomba. LA DIFERENCIA (HIMP – H) ES IGUAL AL TRABAJO DE ROZAMIENTO QUE HAY ANTES Y DESPUÉS DEL IMPULSOR. De hecho indicando con 1 la sección de ingreso del impulsor y 2 como la sección de salida del mismo, tenemos: P1 V1 2 Pe Ve 2 wr Z Z 1 e 2g 2g e ,1 P2 V2 2 Ps Vs 2 wr Z Z 2 s 2, s 2g 2g Pe Ve 2 P2 V2 2 P1 V1 2 Ps Vs 2 wr Z Z Z Z 2 1 s e 2 g 2 g 2 g 2 g H imp H wr e ,1 wr 2,s w r e ,1 2, s MARCAMOS QUE LA DIFERENCIA (HIMP – H) NO ES IGUAL A “TODO” EL TRABAJO DE ROZAMIENTO SINO A LA SUMA DE LOS TRABAJOS DE ROZAMIENTO QUE HAY ANTES Y DESPUÉS DEL IMPULSOR. En el siguiente diagrama vamos a comparar la curva real y la curva ideal de la energía útil a lo largo de la bomba. 2 Vs 2g H Ps 2 Ve 2g Pe Impulsor Difusor Voluta Zs Ze 7. ESQUEMA A BLOQUE DE UNA BOMBA MULTI-ETAPAS EN SERIE Se define como etapa al conjunto formado por el conducto de alimentación el impulsor y el difusor. QS Conducto de Alimentación Impulsor Difusor QS ETAPA Decimos que una bomba está formada por más etapas en serie cuando el caudal de cada etapa (QS) es igual al caudal (Q) de la bomba. Antes de la primera etapa tenemos la brida de entrada, mientras después de la última etapa tenemos la voluta, el conducto de salida y la brida de salida. Brida de entrada Brida de salida 1ra Etapa 2da. Etapa m Etapa Voluta Conducto de Salida Por razones económicas las etapas se hacen igual entre sí. En primera aproximación podemos considerar como despreciable la pérdida de carga en la voluta y en el conducto de salida, entonces la altura útil de la bomba resulta repartida en partes iguales entre las varias etapas. DEFINIMOS LA ALTURA ÚTIL DE ETAPA (HS) COMO H S H SIENDO “m” EL m NÚMERO DE ETAPAS. 8. ESQUEMA A BLOQUE DE UNA BOMBA FORMADA POR DOS LINEAS EN PARALELO UNA LÍNEA está formada por una o más etapas en serie iguales entre sí. 1ra Etapa 2da. Etapa m Etapa LINEA En el esquema a bloque que sigue está representando una bomba formada POR DOS LÍNEAS EN PARALELO. Brida de entrada 1ra. Etapa Q Brida de salida Voluta Conducto de Salida Q 2da. Etapa Las dos líneas se hacen entre sí iguales. El caudal de cada línea es la mitad del de la bomba. DESPRECIANDO TODAVÍA LA PÉRDIDA DE CARGA EN LA VOLUTA Y EN EL CONDUCTO DE SALIDA, TENEMOS QUE LA ALTURA ÚTIL DE CADA LÍNEA ES IGUAL A LA ALTURA ÚTIL DE LA BOMBA H SIENDO AHORA “m” m EL NÚMERO DE ETAPAS DE UNA LÍNEA. CLARAMENTE PARA EL CAUDAL DE Q ETAPA TENEMOS QS 2 ENTONCES LA ALTURA ÚTIL DE ETAPA RESULTA H S 9. RENDIMIENTOS 9.1 RENDIMIENTO VOLUMÉTRICO: Qs Debido a que la presión a la salida del impulsor es mayor que la entrada del mismo, parte del fluido regresa desde la salida hasta la entrada del impulsor a través del espacio libre que hay ente los álabes y las paredes internas de la caja. ENTONCES SE PRODUCE UN CADAL DE RECIRCULACIÓN (Qr ) QUE SE SOBREPONE AL CAUDAL DE ETAPA (QS ) . EL CAUDAL QUE ATRAVIESA LOS ÁLABES MÓVILES ES IGUAL A (QS Qr ) . Se define cono RENDIMIENTO VOLUMÉTRICO Qr Qs ( v ) al cociente: v QS QS Qr El rendimiento volumétrico permite relacionar entre sí w y w e La energía que los álabes móviles ceden al fluido en la unidad de tiempo puede ser expresada como Qs w y como (Qs Qr ) we , entonces podemos escribir: Qs w (Qs Qr ) we we Qs w (Qs Qr ) we v w 9.2 RENDIMIENTO HIDRÁULICO: Se define como rendimiento hidráulico ( i ) al conciente: i Hs H we m we (m) es el número de etapas en serie. 9.3 RENDIMIENTO ORGÁNICO: Se define como el conciente entre la energía cedida al fluido en la unidad de tiempo y la energía que en la unidad de tiempo el motor cede al eje de la bomba en correspondencia de la brida de conexión (potencia la eje N) m Qs w .m.l N (l) es le número de líneas, (m) es el número de etapas de una línea. EL RENDIMIENTO ORGÁNICO TOMA EN CUENTA DOS CLASES DE PÉRDIDAS, O SEA: a) Las pérdidas relacionadas con el trabajo de rendimiento entres superficies sólidas en movimiento relativo. b) Las pérdidas por tener en agitación el fluido que llena las cavidades de la bomba y no participa del flujo general. 9.4 RENDIMIENTO TOTAL: Se define como el cociente entre la energía “útil” cedida al fluido en la unidad de tiempo y la potencia del eje (n). T .Q.H N 9.5 RELACIÓN ENTRE LOS RENDIMIENTOS: Tenemos: T Entonces: .Q.H .Qs .l w m m Hs w m Hs we v m i v m T i v m PARA BOMBAS QUE NO SEAN MUY PEQUEÑAS TENEMOS LOS SIGUIENTES VALORES PARA LOS RENDIMIENTOS: v 0,88 0,96 m 0,92 0,96 i 0,80 0,95 T 0,65 0,88 Los valores más elevados son para las bombas grandes Para bombas muy pequeñas (diámetro del impulsor menor que 150 mm) el hasta 0,4 0,5 10. PARAMETROS DE FORMA DEL IMPULSOR T puede bajar o b2 p Se haga referencia a la figura al lado. n La línea (m,n,o,p) representa la intersección de un plano pasando por eje con la superficie de revolución descrita por el contorno del álabe en su rotación alrededor del eje. Se define los siguientes parámetros de forma: b1 D1 D2 m Superficie media de flujo b1 1 D1 b2 2 D2 D1 D2 11. PARAMETROS DE FORMA DEL CAMPO DE VELOCIDAD A LA ENTRADA A LA SALIDA DEL IMPULSOR 2 Aparte casos particulares, GENERALMENTE LA VELOCIDAD V1 RESULTA SER PERPENDICULAR A 1 LA VELOCIDAD U 1 Y ASÍ SERÁ PARA NOSOTROS EN ADELANTE. Entonces en el punto “1” el triangulo de velocidades se presenta como indicado en la figura de a lado. U1 1 V1 Y su forma individualizada por el parámetro 1 1 1 90 (V r )1 V1 U1 El triángulo de velocidad en el punto “2” está genéricamente representado en la figura de a lado Su forma queda individualizada por los siguientes parámetros: U2 2 2 (V r ) 2 V 2 2t U2 2 V2 m U2 V2 m V2 V2t Ahora podemos escribir: tan 2 V2m V2 m V2 m 2 U 2 V2t U 2 2U 2 U 2 (1 2 ) 1 2 tan 2 V2 m 2U 2 2 V2t 2U 2 2 Entre los parámetros de forma hay una relación debida a la ecuación de continuidad. De hecho tenemos: V1D1b1 V2mD2 b2 1 n 60 1 2 D1 D12 1 2 D1 D2 3 1 2 n 60 1U1 D12 D2 D22 2 1 b1 b 2U 2 D22 2 D1 D2 1 D13 1 2 D23 2 1 3 1 1 2 2 En la figura que sigue tenemos un ejemplo de triángulo de velocidades y perfil del álabe para un IMPULSOR PLANO – CENTRIFUGO 2 (Este tipo de impulsor se caracteriza por ser V1 y V2 perpendiculares al eje de rotación) 2 U1 U2 V2 1 1 2 (V r )1 V1 1 (V r ) 2 El perfil del álabe en el punto “1” se hace tangente a la dirección de la velocidad relativa (Vr )1 para que no haya choque entre fluido y álabe. 12. EXPRESIÓN DEL TRABAJO DE EULER Por ser 1 90 , entonces cos 1 0 , resulta: we 1 1 U 2 V2 U 2V2 cos 2 g g we U 2 V2 t g 13. LAS VELOCIDADES “V2m” y “V1” En base a la ecuación de Euler resulta que el trabajo cedido al fluido está relacionado con la componente V2t , mientras que no tiene ninguna relación con la componente V2m. Esto quiere decir que no se tiene particular interés en variar la componente normal de la velocidad absoluta a lo largo del impulsor y por lo tanto generalmente se tiene V2 m V1 . Estas velocidades están relacionadas con el caudal y sus valores no pueden ser demasiado altos, porque aumentarían las pérdidas de carga, ni demasiados bajos porque las secciones transversales resultarían demasiado grandes. En el diseño de las bombas se hace de tal manera que los valores de V1 y V2 m sean de unos m/s y esos valores varían poco de bomba a bomba. 14. GRADO DE REACCIÓN 14.1 Definición: Escribimos la ecuación de balance energético para el impulsor: w P2 P1 V2 V1 ( Z 2 Z1 ) w r 2g 2 2 imp Las secciones S1 y S2 están ubicadas respectivamente a la entrada y a la salida del impulsor. Generalmente resulta Z2 = Z1 así que podemos escribir: w P2 P1 V V1 2 wr 2g 2 2 imp Entonces el trabajo cedido al fluido se reparte en el impulsor entre una variación de energía de presión, una variación de energía cinética y trabajo de rozamiento. Se define como “grado de reacción” ( r ) el cociente entre la variación de la energía de presión y el trabajo cedido al fluido en el impulsor, o sea: r P2 P1 w 14.2 Expresiones Generales del grado de reacción: Tenemos: P2 P1 (V V1 ) w 2 wr 2g 2 r 1 imp (V2 V1 ) wr 2g 1 imp w (V2 V1 ) wr r w 2 2 2 2 2g w 2 imp w wr Despreciando el término imp resulta: r 1 w V2 m V1 2 2 2g w V22 V12 V22m V22t V12 ADEMÁS TENEMOS Por ser: (V2 V1 ) resulta: V22 V12 V22t Ahora podemos escribir: V22t V2 V1 2g w 2g w 2 2 V22t V22t V V 2t V UV we 2U 2 2 g 2 2t 2g g V Entonces resulta: V2 t V 2U 2 r 1 Por la relación Tenemos: we V2t U 2V2t H s g i gH s 1 i U 2 V2 t gH s 1 , Entonces tenemos otra expresión del grado de reacción: 2U 2 2 i U 22 1 gH s 2 i r 1 V 2 U2 14.3 Expresión del grado de reacción en función de los parámetros de forma del impulsor y del campo de velocidad: Tenemos: r 1 (V2 V1 ) 2 2g w 2 wr imp w wr EL TERMINO imp PUEDE SER CONSIDERADO COMO DESPRECIABLE ( wr w imp NO REPRESENTA TODO EL TRABAJO DE ROZAMIENTO SINO SOLAMENTE EL QUE SE PRODUCE EN EL IMPULSOR) Entonces podemos escribir: r 1 (V2 V1 ) 2 2 1 2g w (V22 V12 ) 2 g we v V22 V12 V22m V22t V12 22U 22 22U 22 12U 12 2 2 2 2 U1 2 V V 2 2 1 2 U 2 22 22 12 2 U 22 U2 2 2 we 2 1 U 2V2t 1 2U 22 g g V22 V12 2 g we 2 2 22 12 2 U 22 22 22 12 2 g g 2 2U 22 ( 22 22 12 2 ) r 1 V 2 2 15. LA FORMA MAS CONVENIENTE PARA EL TRIANGULO DE VELOCIDADES A LA SALIDA DEL IMPULSOR Pongamos la siguiente pregunta. ¿Cuál sería la forma más conveniente del triángulo de velocidades a la salida del impulsor para realizar una determinada (hs)? De hecho tenemos: H s i we i U 2V2t g Y podemos obtener el mismo valor de “hs” con infinitas cumplas de valores de u2 y v2t. en particular el mismo valor de “hs” se puede obtener con un alto valor de u2 y un bajo valor de v2t ó al revés con un bajo de u2 y un alto valor de v2t , como decir con dos triángulos de velocidad de forma muy distinta. U2 (V r ) 2 2 2 V2 U2 2 2 V2 (V r ) 2 Alabe Como se puede apreciar los dos triángulos de velocidades tienen valores muy distintos del ángulo 2 . Para contestar la pregunta vamos primero individualizar la relación que hay entre U2 y la forma del triángulo de velocidades. U2 2 2 (V r ) 2 Tenemos: U 2V2t gH s i y V2t U 2 U 2V2t U 22 U 22 V2 m V2 V2t V2 m tg 2 V2 m gH s U2 tg 2 i V2 m gH s U2 0 tg 2 i 2 1 V2 m 1 V2 m gH s U2 2 tg 2 4 tg 2 i Como ya se ha dicho, la velocidad V2 m no está relacionada con el trabajo cedido al fluido y su valor se fija independientemente de éste, entonces podemos considerarla como una constante en la relación encontrada. Además por estar considerando una determinada ( H s ), tenemos que considerar esta como una constante. En conclusión la relación entre U 2 y forma del triángulo de velocidades se reduce a la relación entre U 2 y 2 . VEAMOS ENTONCES COMO VARÍA U 2 EN FUNCIÓN DE 2 . U2 U2 2 90 2 90 U2 2 90 álabe álabe Alabe CONSIDERAMOS PRIMERO el campo de valores: 0 2 2 en el cual resulta tg 2 0 . Al ser 2 0 , tg 2 0 tenemos: Al variar de 2 desde 0 hasta 2 U2 . sube el valor de tg 2 y baja el de U 2 hasta que por 2 2 resulta: U 2 gH s i CONSIDERAMOS AHORA el campo de valores 2 2 en que resulta Podemos escribir: tg 2 0 . 2 1 V2 m gH s V2 m 1 U2 2 4 tg 2 i 2 tg 2 Por 2 tenemos tg 2 0 , en consecuencia por 2 cerca de el término gH s i 2 1 V2 m resulta despreciable con respecto a y podemos escribir: 4 tg 2 2 2 1 V2 m V 1 lim U 2 2m 0 2 4 tg 2 2 tg 2 En conclusión por 2 que varía desde 0º hasta 180º resulta que U 2 varía desde hasta cero. Ahora para individualizar el campo de valores más convenientes para 2 tenemos que analizar como varían los varios rendimientos en función de 2 . ANALIZAMOS PRIMERO CÓMO VARÍA EL RENDIMIENTO ORGÁNICO. Por bajos valores de 2 tenemos altos valores de U 2 lo que provoca altas pérdidas por rozamiento, entonces bajo rendimiento orgánico. Al revés por altos valores de 2 tenemos bajos valores de U 2 , entonces alto rendimiento orgánico. EN CONCLUSIÓN EL RENDIMIENTO ORGÁNICO SUBE AL AUMENTAR 2 , COMO REPRESENTADO EN LAS FIGURAS A CONTINUACIÓN o U2 gH i 2 2 2 ANALIZAMOS AHORA CÓMO VARÍA EL RENDIMIENTO VOLUMÉTRICO EN FUNCIÓN DE 2 . PARA ESTO TENEMOS QUE ANALIZAR PRIMERO CÓMO VARÍA EL GRADO DE REACCIÓN EN FUNCIÓN DE 2 . 1 gH Al bajar el valor de 2 sube el valor de U 2 y por la relación r 1 s 2 i aumenta el valor de r . V 2 resulta que U2 Por 2 0 , tenemos que U 2 , entonces r 1 Por 2 2 , tenemos que U 22 gH s i , entonces r 1 v 2 0.5 gH s v resulta 2i En correspondencia del valor de 2 por el cual tenemos U 2 En conclusión tenemos que para el álabe hacia atrás 2 radial 2 r 1 1 0 resulta r 0.5 , para el álabe 2 resulta r 0.5 y para el álabe hacia delante 2 resulta r 0.5 . 2 2 U2 1 0.5 2 2 Ahora con respecto al rendimiento volumétrico tenemos la consideración que sigue. Por ser V2m const . El caudal de etapa no varía al variar 2 . Por otro lado al bajar 2 aumenta r claramente aumenta el caudal de recirculación, entonces disminuye el rendimiento volumétrico tenemos la conclusión que sigue al bajar 2 baja el rendimiento volumétrico, como representado en la figura siguiente. Volumétrico o 2 VAMOS AHORA A ANALIZAR CÓMO VARÍA EL RENDIMIENTO HIDRÁULICO EN FUNCIÓN DE 2 . Por bajos valores de 2 el perfil de los álabes se presenta como en la figura a lado. Como se puede apreciar el movimiento relativo del fluido entre álabe y álabe (marcamos que se trata de movimiento hacia presiones mayores) se cumple con pequeñas divergencias, entonces no hay separación de la vena fluida y las pérdidas en el impulsor son bajas. Además por bajos valores de 2 tenemos altos valores de r , entonces la tarea del difusor va a ser liviana y también en éste las pérdidas de carga resultarán bajas. En conclusión por bajos valores de 2 tenemos altos valores del rendimiento hidráulico. Al revés por altos valores de 2 el perfil de los álabes se presenta como en la figura de a lado. Como se puede apreciar en este caso el movimiento relativo entre álabe y álabe se cumple con fuerte divergencia, entonces se produce la separación de la vena fluida y las pérdidas son altas. Además por altos valores de 2 Tenemos bajos valores de r , entonces la tarea del difusor va a ser pesada y también en éste la pérdida de carga resultará alta. i En conclusión por altos valores de 2 tenemos bajos valores de rendimiento hidráulico. Al final podemos, afirmar que el rendimiento hidráulico baja al subir 2 , como representando en la figura a lado. 2 AHORA VAMOS A CONTESTAR LA PREGUNTA ¿CUÁL ES EL CAMPO DE VALORES DE 2 MÁS CONVENIENTE? Lo que a nosotros interesa es lograr el más alto valor del rendimiento total T mvi y esto se obtiene con bajos valores de 2 debido a que prevalece el efecto del mayor rendimiento hidráulico sobre el menor rendimiento orgánico y el menor rendimiento volumétrico. En conclusión al máximo rendimiento total se encuentra por 2 generalmente por 2 15 25 2 (álabe hacia atrás) y 16. BOMBAS GEOMETRICAMENTE SIMILES QUE OPERAN CON CAMPOS DE VELOCIDAD SIMILES 16.1. DEFINICIONES Dos bombas se definen Geométricamente símiles cuando al calcular el cociente entre dos cualesquiera longitudes correspondientes de las dos bombas se encuentra siempre el mismo valor “ ” que llamamos “relación de similitud geométrica”. Dos bombas operan con campos de velocidades símiles cuando al calcular el cociente entre las magnitudes de dos cualesquiera vectores velocidad (absoluta, relativa, de arrastre) correspondientes a los dos campos se encuentra siempre el mismo valor. Se admite que dos bombas geométricamente símiles tienen iguales rendimientos (volumétrico, hidráulico y orgánico) 16.2. CONDICIÓN BAJO LA CUAL DOS BOMBAS GEOMÉTRICAMENTE SÍMILES OPERAN CON CAMPOS DE VELOCIDADES SÍMILES Tenemos la bomba 1 y la 2 geométricamente símiles. Consideramos dos secciones correspondientes de las dos bombas y sea “ A1 ” el área de la sección de la bomba 1 y “ A2 ” el área de la sección de la bomba 2. Sea “ Q1 ” el caudal de la bomba 1 y “ Q2 ” el de la bomba 2. Sea “ n1 ”, el número de revoluciones por minuto de la bomba 1 y “ n 2 ” el de la bomba 2 Tenemos: Q1 A (V ) 1 1 m Q2 A2 (V2 ) m (V1 ) m Es la componente normal de la velocidad en la sección del área A1 (V2 ) m Es la componente normal de la velocidad en la sección de área A2 . Resulta: Q1 A (V ) (V ) 1 1 m 2 1 m Q2 A2 (V2 ) m (V2 ) m Sea (Vt )1 Sea (Vt ) 2 la del punto correspondiente a la bomba 2. la velocidad de arrastre de un punto de la bomba 1 Por la similitud de los campos de velocidades podemos escribir: (V1 ) m (Vt )1 1r1 n1 , (V2 ) m (Vt )1 2 r2 n2 Entonces: (V t ) 2 (V t )1 2 Q1 n 2 1 Q2 n2 r1 1 1 r2 2 Al final resulta: Q1 n 3 1 Q2 n2 La relación que acabamos de escribir expresa la condición bajo la cual dos bombas geométricamente símiles operan con campos de velocidades símiles. 1.6.3. RELACIÓN ENTRE LAS ALTURAS DE DOS BOMBAS GEOMÉTRICAMENTE SÍMILES QUE OPERAN CON CAMPOS DE VELOCIDADES SÍMILES. Tenemos: ( H s )1 i w e 1 ( H s ) 2 i we 2 H 1 ( H ) s1 V2U 2 cos 2 1 (V2 )1 (U 2 )1 (V ) (V ) t 1 t 1 H 2 ( H ) s 2 V2U 2 cos 2 2 (V2 ) 2 (U 2 ) 2 (Vt ) 2 (Vt ) 2 Entonces: H 1 n1 n1 H 2 n2 n2 Al final resulta: n H1 2 1 H2 n2 2 16.4. NÚMERO DE VUELTAS ESPECÍFICO Para dos bombas geométricamente símiles que operan con campos de velocidades símiles, podemos escribir: Q1 n 3 1 Q2 n2 Q1 Q2 2 n 6 1 n2 , n H1 2 1 H2 n2 , H1 H2 2 3 3 n 6 1 n2 2 6 6 H1 n 6 1 4 H 2 n2 n1 2 2 n Q1 2 6 n1 Q2 n2 H1 H2 Q1 Q2 3 1 4 2 H 1 4 Q2 2 3 H 2 4 Q1 12 3 n 1 n2 1 n1 n2 Entonces: n2 Q2 1 2 H 2 4 3 n1 Q1 1 2 H 1 4 3 En conclusión resulta que para dos bombas geométricamente símiles que operan con campo de velocidades símiles la expresión nQ 1 2 H 4 3 tiene el mismo valor que se define como “número de vueltas específico ( ne )”. ne nQ 1 2 H 4 3 En otras palabras si tenemos una serie de bombas geométricamente símiles que operan con campos de velocidades símiles, resulta que todas tienen el mismo valor del número de vueltas específico cuyo valor coincide con el número de revoluciones por minuto de aquella bomba de la serie que tiene caudal unitario y altura unitaria. Se hace notar que “ ne ” no es adimensional. De hecho resulta: nQ 1 H 4 3 2 1 T T 1 L3 L 3 4 2 L 2 L 4 1 T T 12 L 3 4 T 3 2 A veces se utiliza para “ ne ” la expresión: ne 3 nQ 1 3 2 gH 4 3 la cual resulta adimensional. Nosotros en adelante utilizaremos al expresión ne nQ 1 2 en que “ n ” esta expresando en H 4 3 revoluciones por minuto (RPM), “ Q ” en (m3/s) y “H” en (m). 1.6.5. NÚMERO DE VUELTAS ESPECÍFICO DE ETAPA (nS) Está definido en base al caudal de etapa ( Qs ) y a la altura útil de etapa ( H s ): nQs ns H s 1 3 2 4 Una etapa con bajo valor de “ ns ” se define como lenta” mientras con alto de “ ns ” se define como “veloz” 1.6.6. EXPRESIÓN DE “ns” EN FUNCIÓN DE LOS PARÁMETROS DE FORMA DEL IMPULSOR Y DEL CAMPO DE VELOCIDAD. Qs Qs Qr v b2 n 2U 2 D22 2 2 D2 D2 60 D2 b2V2 m D22 1 1 2 1 2n2 2 H s i we i U 2V2t i U 2 2 i D2 2 g g g 60 2 Hs 3 4 3 60 1 nQs 2 3 ns 3 2 n Hs 4 60 60 1 2 i g 2 g 3 4 1 3 4 32 32 34 n D2 2 v 2 2 2 D2 2 n 3 1 2 ( v ) 1 ( i ) 3 2 4 1 2 60 3 3 2 2 g 3 3 4 i 4 n 3 2 D 3 2 1 3 4 2 2 2 3 2 4 1 Al final resulta: ns 188 ( v ) 1 ( i ) 3 2 4 2 2 2 3 2 4 1 En base a esta relación se ve claramente que para aumentar “ ns ” se necesita bajar 2 y aumentar 2 y 2 . Pero hay que considera que “ 2 ” no puede ser aumentado mucho porque aumentarían las pérdidas de carga, entonces se tiene que aumentar mucho 2 considerando además que se encuentra bajo raíz cuadrada. VAMOS AHORA A EXPRESAR “ ns ” SEGÚN LA RELACIÓN EN QUE APAREZCAN LOS ÁNGULOS 2 Y 2 TENEMOS: tg 2 2 , 1 2 tg 2 tg 2 tg 2 2 2 2 2tg 2 2 tg 2 2 tg 2 1 2 2 1 2 tg 2 1 2 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 2 2 2 1 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 1 tg 2 tg 2 2 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 tg 2 1 tg 2 tg 2 2 1 tg 2 1 tg 2 2 tg 2 tg 2 1 tg 2 Por otra parte: 22 2 12 2 2 3 3 2 4 2 2 1 1 2 tg 2 tg 2 1 tg 2 tg 2 1 tg 2 2 2 2 3 22 2 12 tg 2 2 3 2 4 1 3 tg 2 tg 2 1 tg 2 2 tg 2 1 tg 2 1 1 2 2 Al final resulta: ns 188 (v ) 1 (i ) 3 2 4 2 1 tg 2 2 tg 2 1 tg 2 1 2 Como se puede apreciar “ ns ” es mucho más sensible a las variaciones de “ 2 ” y “ 2 ” a que las de “ 2 ”. Entonces lo más conveniente es que 2 tenga en todo caso el valor correspondiente al máximo rendimiento total ( 2 15 25 ) y el valor de “ ns ” se logre mediante “ 2 ” y “ 2 ”. Por otro lado se refuerza que “ 2 ” no varía mucho debido a que para aumentar “ ns ” se necesita aumentar 2 y disminuir 2 , lo que implica que tg 2 2 varía poco. 1 2 17. VARIACION DEL GRADO DE REACCION EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE VUELTAS ESPECÍFICO DE ETAPA. Anteriormente hemos analizado como varía r en función de 2 manteniendo constante “ H s ”. En base a consideraciones sobre los rendimientos hemos concluido que es conveniente que sea 2 2 , lo que implica “ r 0,5 ”. AHORA QUEREMOS ANALIZAR CÓMO VARÍA “ r ” EN FUNCIÓN DE “ H s ” MANTENIENDO CONSTANTE 2 , LUEGO ANALIZAREMOS CÓMO VARÍA r EN FUNCIÓN DE “ ns ”. Consideramos, las dos relaciones: 1 gH s 2 i r 1 V 2 U2 2 gH s 1 V 1 V2 m U 2 2 m 2 tg 2 4 tg 2 i Por lo que se ha comentado anteriormente V2 m puede ser considerado como constante, entonces V 1 V resulta 2 m = constante. Poniendo 2 m C . 2 tg 2 tg 2 Podemos escribir la segunda relación como sigue: U2 C C2 Ahora: (1 r ) gH s i 1 ( gH s ) V 2 U 22 2 ( i ) U 2 1 gH s 2 i V U2 (1 r ) gH s i Igualando expresiones de U 2 resulta: gH s i 1 2 V 2(1 r )12 1 2 C C2 gH s i 1 2 V 2 2(1 r )12 1 V 2 1 2(1 r ) 1 2 C gH s i 1 2 C gH s i 1 Por esta relación tenemos que disminuir “ H s ” aumenta “ r ”, Ahora el pasaje desde bajos valores de “ ns ” hacia altos valores de “ ns ” resulta en general por el efecto combinado de un aumento de “ Qs ” y una disminución de “ H s ” Entonces podemos decir que el aumentar “ n s ” sube el grado de reacción. ( 22 22 12 2 ) V Consideramos ahora la relación: r 1 2 2 Por lo que ya se ha visto al aumentar “ ns ” baja “ 2 ” entonces para que suba “ r ” tiene que bajar mucho ( 2 2 1 ) . 2 2 2 2 Como ya sabemos al aumentar “ ns ” sube 2 pero también sube 1 , por estar ambos relacionados con el caudal, entonces para que (22 22 12 2 ) pueda bajar bastante se necesita que suba “ ”. Al final resulta que al aumentar “ n s ” tiene que aumentar “ ”. 18. VARIACION DE LA VELOCIDAD PERIFERICA “U2” EN FUNCION DEL NUMERO DE VUELTAS ESPECIFICO DE ETAPA. Tenemos: 2 gH s 1 V 1 V2 m U 2 2 m 2 tg 2 4 tg 2 i Como ya hemos visto y dicho, el aumento de “ ns ” esta relacionado con una disminución de “ H s ” lo que implica una disminución de “ U 2 ”. ENTONCES RESULTA QUE “ U 2 ” BAJA AL AUMENTAR “ ns ”. 19. VARIACION DEL RENDIMEINTO VOLUMETRICO NÚMERO DE VUELTAS ESPECÍFICO DE ETAPA. Por la expresión n s nQs H s 1 3 EN FUNCION DEL 2 resulta que las etapas lentas están caracterizadas por un valor 4 relativamente bajo de “ Qs ” y un valor relativamente alto de “ H s ”. El hecho que “ H s ” sea alto quiere decir que el aumento de presión en el impulsor es alto Lo que origina un alto caudal de recirculación que junto con el bajo caudal de etapa causa un bajo rendimiento volumétrico. Las etapas “veloces” por razones opuestas tienen un rendimiento volumétrico alto. EN CONCLUSIÓN AL AUMENTAR “ ns ” EL RENDIMIENTO VOLUMÉTRICO AUMENTA. 20. VARIACION DEL RENDIMIENTO HIDRAULICO EN FUNCION DEL NUMERO DE VUELTAS ESPECIFICO DE ETAPA: En el caso de etapas “lentas” el caudal es menor que en el caso de etapas “veloces”, por lo tanto con igual velocidad normal las secciones transversales son más pequeñas y las pérdidas de carga más grandes. En el caso de etapas “lentas”, 2 es más grande que en el caso de etapas “veloces”, por lo tanto las desviaciones del fluido son más fuertes y más altos son los gradientes trasversales de velocidad, lo que origina más altas pérdidas de carga. En el caso de etapas “lentas” la altura útil es más alta y pueden ocurrir fenómenos de “separación” que provocan pérdidas de carga. EN CONCLUSIÓN TENEMOS QUE EL RENDIMIENTO HIDRÁULICO AUMENTA AL AUMENTAR “ ns ”. 21. VARIACIÓN DEL RENDIMIENTO ORGANICO EN FUNCION DEL NUMERO DE VUELTAS ESPECÍFICO DE ETAPA: En el caso de etapas lentas el salto de presión en el impulsor es más alto que en el caso de etapas veloces y esto genera un empuje axial más alto y más altas pérdidas por rozamiento en los cojinetes. Además las etapas “lentas” tienen un más alto valor de “ U 2 ” lo que provoca más altas pérdidas por rozamiento. EN CONCLUSIÓN LAS ETAPAS VELOCES TIENEN UN RENDIMIENTO ORGÁNICO MAYOR QUE LAS ETAPAS LENTAS. COMO CONCLUSIÓN FINAL TENEMOS QUE EL RENDIMIENTO TOTAL T i v m AUMENTA AL AUMENTAR “ n s ”. 22. CLASIFICACION DE IMPULSORES Y VALORES OPTIMALES DE LOS PARAMETROS DE FORMA. Los impulsores están clasificados en base al valor de “ ns ”. En la tabla que sigue tenemos la clasificación de los impulsores y por cada tipo de impulsor tenemos los valores de los parámetros de forma que permiten obtener un buen diseño y buenas prestaciones de la bomba. Claramente cada fabricante tiene su tabla que diferencia ligeramente de la que presentamos: Tipo 1 ns 2 2 2 impulsor 10 30 Centrífugo 0.15 0.25 0.12 0.18 0.7 0.55 0.28 0.50 0.02 0.08 lento 30 50 0.20 0.30 0.14 0.20 0.6 0.40 0.50 0.65 0.08 0.12 Centrífugo Centrífugo/ 50 80 0.20 0.30 0.20 0.30 0.4 0.30 0.65 0.80 0.12 0.18 Helicocentrífugo Helicocen- 80 150 0.20 0.35 0.20 0.35 0.3 0.20 trífugo o 0.80 1 0.18 0.25 1 0.25 0.30 Hélice lenta 150 300 Hélice 0.25 0.40 0.25 0.40 0.2 0.1 CENTRIFUGO LENTO O PLANO – CENTRIFUGO: En este tipo de impulsor V 1 y V 2 resultan perpendiculares al eje de rotación. CENTRIFUGO: En este tipo de impulsor V 1 no resulta perpendicular al eje de rotación. HELICONCENTRIFUGO, En este tipo de impulsor V 1 y V 2 no resultan perpendiculares al eje de rotación. HELICE En este tipo de impulsor V 1 y V 2 son paralelas al eje de rotación. En base a la tabla tenemos las siguientes formas de triángulos de velocidades a la salida del impulsor según el tipo de impulsor. CENTRIFUGO LENTO CENTRIFUGO LENTO CENTRIFUGO CENTRIFUGO CENTRIFUCO / CENTRIFUCO / HELICOCENTRIFUGO HELICOCENTRIFUGO HELICOCENTRIFUGO / HELICOCENTRIFUGO / HELICE LENTA HELICE LENTA Vr 2 Vr 2 U2 U2 2 2 U2 U2 2 V 2 V2 V2 2 2 V2 V2 r2 Vr 2 U2 U2 2 2 2 2 2 2 V2 V2 Vr 2 Vr 2 2 2 HELICE HELICE 2 2 U2 U2 Vr 2 Vr 2 2 2 V2 V2 U2 U2 Vr 2 Vr 2 2 2 V2 V2 Vr 2 Vr 2 U2 U2 2 2 2 2 V2 V2 U2 U2 2 2 V2 V2 Vr 2 Vr 2 2 2 2 2 2 2 U2 U2 Vr 2 Vr 2 2 2 V2 V2 U2 U2 Vr 2 Vr 2 U2 U2 2 2 Vr 2 Vr 2 2 2 V2 V2 2 2 V2 V2 23. CAVITACIÓN El diseño y la instalación de una turbobomba resultan fuertemente condicionados por el fenómeno de la cavitación. Para describir este fenómeno primero haremos referencia a un experimento muy sencillo. Consideramos un líquido que fluye en un tubo que tenga la forma de un Venturi. Tenemos: P1 V 2 V12 P2 V22 P P V 2 V 2 P P V 2 2 1 2 1 2 1 22 1 1 2g 2g 2g 2g V1 2g D 4 V 2 1 1 1 D2 2 g P2 P1 D 4 V 2 P2 P1 1 1 1 D2 2 g En base esta relación resulta que se puede bajar la presión “ P2 ” mediante una disminución de la presión “ P1 ” manteniendo el caudal constante (para mantener constate V1 ). El experimento justo consiste en observar que pasa al bajar la presión “ P2 ”. Lo que se observa es que cuando la presión “ P2 ” alcanza la presión de saturación del líquido ( PS ) más la de los gases disueltos ( Pg ) entonces se producen gotas de vapor y gas en la sección “2”. Estas gotas se mueven con el fluido hacia presiones mayores hasta que de repente condensan por alta presión produciendo fuertes vibraciones. Tenemos que precisar que las gotas se producen si en el líquido ya hay pequeñas gotas de aire que puedan funcionar como “gérmenes” de evaporación. Si así no es, se pueden alcanzar valores de “ P2 ” mucho menores que Ps Pg sin que se produzcan gotas. Pero hay que decir que en las aplicaciones técnicas siempre hay “gérmenes” de evaporación en el líquido entonces siempre hay producción de gotas donde resulta P Ps Pg . En adelante por simplicidad emplearemos la expresión “tensión de vapor” para indicar Ps Pg y su símbolo será “ PV ”. El fenómeno de formación de las gotas de vapor y gas se indica con el nombre de “cavitación”, justo porque se trata de la formación de cavidades al interior del fluido. AHORA VAMOS A VER CÓMO SE PRODUCE LA CAVITACIÓN EN UNA TURBOBOMBA Y CUÁLES SON SUS EFECTOS. Hagamos referencia a una bomba a hélice que mejor se presta para la descripción del fenómeno. En la figura siguiente hemos representado una sección del álabe de una bomba a hélice. En “1” tenemos el punto de estancamiento en que la velocidad es cero y la presión es máxima. Después del punto “1” la velocidad sube hasta alcanzar su valor máximo en el punto “2” donde la presión resulta mínima. 2 1 Hay que anotar que por la curvatura de la corriente el punto con presión mínima se encuentra justo sobre la superficie del álabe. Después del punto “2” la velocidad baja y la presión sube. Ahora si en el punto “2” la presión alcanza la tensión de vapor, ahí se producen las gotas de vapor. Estas gotas siguen el movimiento del fluido hacia presiones mayores quedando pegadas a la superficie del álabe. De repente por la alta presión de gotas sufre el fulminante colapso condensando sobre la superficie del álabe. La pronta condensación de las gotas origina un conjunto de fenómenos que todavía no han sido analizados exhaustivamente. Lo que se puede decir es que el “aplastamiento” de las gotas produce un terrible martilleo sobre la superficie del álabe y muy fuertes vibraciones. La compresión del las gotas produce un fuerte calentamiento local que en combinación con el martilleo (por el cual se alcanzan presiones locales de centenares de atmósferas) da lugar a fenómenos de erosión y corrosión que en poco tiempo provocan la destrucción del álabe de manera impresionante. Con respecto al movimiento del fluido la cavitación produce una modificación de la configuración de flujo debido a que las gotas varían la densidad del fluido, y esto provoca la caída del rendimiento hidráulico. En una turbobomba claramente es la primera etapa la que está sujeta al riesgo de la cavitación por el hecho que el fluido llega al impulsor con la presión menor. Si no se produce cavitación en la primera etapa, tampoco puede producirse en las etapas siguientes por estar el fluido en condiciones más favorables. Entonces en la fase de diseño y en la fase de instalación de una turbobomba el problema es evitar que se produzca la cavitación en la primera etapa. La zona en que mayormente hay riesgo de cavitación se encuentra en la parte inicial del álabe donde el fluido todavía no ha recibido energía de presión y la curvatura de las líneas de corriente origina fuertes depresiones. Con respecto a la distancia del eje a dicha zona, esta se encuentra en la parte externa donde la velocidad relativa es más alta por ser más alta la velocidad periférica. Cavitación Cavitación 24. NET POSITIVE SUCTION HEAD (NPSH) Y DEPRESIÓN DINÁMICA TOTAL (hdt) Se hace referencia el esquema que sigue: P0 V0 0 P0 y Pe Son presiones absolutas Z Constante Z Pe Ve BOMBA Tenemos: P0 Pe V02 Ve2 Z Y 2g Y Es la pérdida de carga entre la superficie libre del líquido y la brida de entrada de la bomba. Podemos considerar V0 0 y escribir: Ve2 Z Y 2g Pe P0 Indicamos con Pmin la presión mínima al interior de la bomba. Pmin Pe ( Pe Pmin ) Pe (P) i (P)i Es la máxima caída de presión al interior de la bomba. Para que no haya cavitación tiene que ser Pmin PV entonces: Pmin PV Pe (P) i PV Pe (P) i PV Ve2 (P) i PV Z Y 2g P0 P0 PV Ve2 (P) i Z Y 2 g P P El término 0 Z Y V se define como “net positive suction head (NPSH ) ”. Subrayamos que el (NPSH ) está integrado por términos que dependen únicamente de la planta, o sea no dependen de la bomba. El (NPSH ) así definido se indica como “ (NPSH ) disponible” ( NPSH ) d . Ve2 (P)i El término se define como “depresión dinámica total (hdt ) ”. 2g Subrayamos que (hdt ) está integrado por términos que dependen únicamente de la bomba. De hecho Ve depende del diámetro de la brida de entrada de la bomba y (P)i es la caída de presión al interior de la bomba. ENTONCES PARA QUE NO HAYA CAVITACIÓN TIENE QUE SER. ( NPSH ) (hdt ) En el caso en que el líquido sea saturado tenemos P0 PV , entonces resulta: ( NPSH ) d Z Y 25. ANÁLISIS DE LA PRESIÓN DINÁMICA TOTAL (hdt ) Vamos a expresar (hdt ) en función de las características intrínsecas de la bomba. Tenemos: Ve2 (P) i hdt 2g Descomponemos el término (P) i (P) i ´ (P) i en dos términos según sigue: (P) i ´´ Siendo (P)i ´ la caída de presión que se cumple entre la brida de entrada a la bomba y la sección de entrada al impulsor Y (P)i ´´ la caída de presión que se cumple entre la sección de entrada al impulsor y el punto del álabe en que hay presión mínima. Punto de mínima presión Analizamos ahora el término: 2 Ve2 (P) i ´ 2g Pe 1 Ve Por la simplicidad hagamos referencia a la superficie media del flujo. Si el flujo fuera ideal resultaría (despreciando las variaciones de altura): Pe P1 Ve2 P1 V12 2g 2g Pe (P) i ´ V12 Ve2 2g 2g Entonces: Ve2 (P) i ´ Ve2 V12 Ve2 V12 2g 2g 2g 2g 2g En la realidad como hay pérdidas por rozamiento resulta: Ve2 (P) i ´ V12 2g 2g Siendo “ ” un número adimensional que depende de la forma del conducto y de la “forma” de la corriente fluida. Analizamos ahora el término (P) i ´´ Como el punto “2” está bien cerca del punto “1” podemos despreciar las variaciones de altura. En el movimiento relativo (fórmula “C” del acápite 1) de un flujo ideal entre una genérica sección “1” y una genérica sección “2” tenemos: P1 (Vr )12 P2 (Vr ) 22 2g 2g (Vr ) 2 A1 ´ (Vr )1 A2 P1 P2 (Vr ) 22 (Vr )12 (Vr ) 22 (Vr )12 1 2 2g 2g ( V ) r 1 2g Entonces: (Vr )12 ´ 1 2g 2 P1 P2 P1 P2 Ahora por analogía podemos escribir (P) i ´´ (Vr )12 ´´ 2g (Vr )12 2g Siendo “ ” un coeficiente adimensional que depende de la forma del impulsor y además de la forma de la corriente fluida al tomar en cuenta las pérdidas de carga. EN CONCLUSIÓN RESULTA: V12 (Vr )12 hdt 2g 2g 26. NUMERO CARACTERÍSTICO DE SUCCIÓN Tenemos: Qs Qr Qs v Qs .D1b1V1 .D12 v b1 V1 U1 D1 U1 Qs v D12 11U1 n 60U 1 60 2 U 12 2 U1 D1 D1 D1 2 2 60 n n Qs v 11 60 2 U 13 60 2 U 13 1 1 2 n2 n2 V12 (Vr )12 1 hdt V12 (Vr )12 2g 2g 2g 2 1 hdt V12 V12 U 12 21g hdt U U 2 1 2 1 1 2g 1 2 g hdt 2 U1 12 12 2 g hdt 2 1 11 2 v n 2 1 Qs 60 2 3 3 2 hdt V12 U 12 21g U12 hdt 2g 2 1 Qs 2 v 12 1 60 Q 2 n. s 3 hdt 4 1 1 11 2 1 2 g hdt 4 n 2 1 3 1 2 3 4 2 g 4 1 v 11 2 12 3 4 2 3 60 1 Como se puede apreciar el segundo miembro de esta expresión está integrado únicamente por parámetros de forma geométrica de la etapa, por parámetros de forma de campo de velocidad y por v , entonces tiene igual valor para etapas geométricamente símiles que operan con campos de velocidades símiles. En conclusión podemos afirmar que para etapas geométricamente símiles que operan con campos de velocidades símiles la expresión: Q 2 n. s 3 hdt 4 1 TIENE IGUAL VALOR. Dicha expresión se define como “número característico de succión” y se pone: Qs 12 n. 3 hdt 4 Sp 27. MEDICIÓN DE (hdt) Supongamos de haber elaborado el diseño de una etapa y de haber construido el modelo para estudiar su comportamiento real. El modelo puede ser utilizado para individualizar la (hdt) de la etapa. Para esto es suficiente tener un dispositivo como el indicado en la figura siguiente, en el cual la altura “z” puede ser variada. Z MODELO El modelo opera con campo de velocidades símiles a la de la etapa. Ahora se hace bajar “Z” por lo que baja el ( NPSH ) d , hasta alcanzar la condición en que empieza la cavitación (señalada por fenómenos de vibraciones). En esta condición la (hdt) del modelo es igual al ( NPSH ) d que puede ser medida muy fácilmente. Como conocemos la (hdt) del modelo podemos calcular la (hdt) de la bomba mediante la relación: Q 12 Q 12 s n. s 3 n. 3 hdt 4 mod elo hdt 4 bomba 28. INDICE CARACTERÍSTICO DE CAVITACIÓN Se define como “índice característico de cavitación ( S I ) la expresión: Qs 2 1 S I n. ( NPSH ) d 3 4 La condición ( NPSH ) (hdt ) para que no haya cavitación, puede ser expresada en la siguiente forma equivalente: SP SI 29. VALORES APROXIMADOS DEL NÚMERO CARACTERÍSTICO DE SECCIÓN PARA EL DISEÑO DE LA BOMBA Como veremos en el próximo capítulo para hacer el diseño de una bomba se necesita conocer el valor de S p , pero este no puede ser conocido si la bomba todavía no está. Para salir de este círculo vicioso se han elaborado gráficas y tablas para proporcionar valores aproximados del número característico de succión en función del número de vueltas específico de etapa, o función del caudal y del tipo de bomba, o simplemente en función de datos generales de la bomba. Estos valores aproximados de S p se indican con el símbolo S . Siguen dos gráficas y una tabla que proporcionan los valores de los S . S 150 Bomba s Bom b 100 as pe queñ d e g ra d es dim ension es as 50 50 100 150 200 250 ns S 150 gas s trifu uga cen s lice ntrif a e b c o m a he c i l s bo e a h b bas bom bom 100 50 0.01 0.1 1 10 s 3 Qs m Bombas centrífugas con alto número de etapas y muy bien acabadas. S = 150 - 180 Bombas centrífugas con caudal ni alto ni bajo, y bien acabadas. S = 120 - 150 Pequeñas bombas centrífugas con impulsor bien diseñado S = 80 - 120 Pequeñas bombas centrífugas de tipo corrientes y con impulsor sin mucho cuidado. S = 50 - 70 Bombas a hélice. S = 110 - 140 NOTA: Los valores de S que aparecen en las gráficas y en la tabla están referidos a las condiciones de diseño de la bomba. 30. VARIACIÓN DE (hdt) EN FUNCIÓN DE (ns) Tenemos: nQ 12 hdt s S 4 3 En base a las gráficas vemos que al aumentar “ ns ” baja S El aumento de “ ns ” generalmente resulta por un aumento de “ Qs ” además que por una disminución de “ H s ”. Entonces podemos concluir que al aumentar “ ns ” la “hdt” sube bastante por el doble efecto de la disminución de S y el aumento de “ Qs ”. La relación antecede puede ser puesta en otra forma en que aparece explícitamente “ ns ”, o sea: ns nQs H s 1 3 2 nQs 1 2 n s H s 3 4 n hdt H s s S , 4 4 3 Por ejemplo por H s = 6m; ns = 300 S = 130 resulta: 300 hdt 6 130 4 3 18.3 m . Entonces tiene que ser ( NPSH ) d 18.3 m 31. COMO SE UTILIZA S Tenemos la siguiente pregunta ¿Cuál debería ser el ( NPSH ) d para una etapa diseñada por un caudal “ Q1 ”, una altura útil “ H 1 ” y un número de RPM “ n1 ”? Primero calculamos el número de vueltas específico: ns nQ1 H 1 1 3 2 Entonces mediante la gráfica individualizamos el valor de S , luego 4 n Q 12 Calculamos hdt 1 1 S 4 3 Al final escogemos: ( NPSH ) d hdt Tenemos ahora la siguiente pregunta ¿Cuál debería ser el valor “ n1 ” RPM para una etapa cuyo caudal de diseño es “ Q1 ”, cuya altura útil de diseño es “ H 1 ” y para la cual tenemos un prefijado ( NPSH ) d ? Primero escogemos hdt ( NPSH ) d entonces fijamos un valor de S según intuición, luego calculamos: hdt 4 S 3 n1 Q1 1 2 Ahora tenemos que comprobar la exactitud del valor de S que hemos escogido. Para esto calculamos ns n1 Q1 1 H 1 4 3 2 y mediante la gráfica determinamos el correspondiente valor de S que compramos con lo que hemos escogido. Si los dos valores concuerdan entonces el “ n1 ” calculado es correcto y sino concuerda tenemos que repetir todo el cálculo escogiendo otro valor de S . ESPECIFICACION DEL PROCESO PARA EL DISEÑO BASICO 1 ANÁLISIS DEL CIRCUITO HIDRÁULICO DE LA BOMBA Generalmente el circuito hidráulico de la bomba está formado por un contenedor inicial y un contenedor final, conectadas por una tubería en que se encuentra la bomba que justo bombea el fluido del contenedor inicial hasta el contenedor final. Pf , V f P0 ,V0 Ps ,Vs Pe ,Ve Z0 Valvula de regulación Zf BOMBA Ze Zs En cada contenedor el fluido presenta una superficie libre sobre la cual se ejerce una presión. Sea “Q” el caudal de diseño del circuito hidráulico. Del contenedor inicial sale el caudal “Q” e ingresa al mismo, un igual caudal proveniente de otro circuito, entonces la superficie libre del contenedor inicial se queda fija. Al contenedor final ingresa el caudal “Q” y del mismo sale un igual caudal que alimenta otro circuito hidráulico así que la superficie libre del contenedor final queda fija. La superficie libre del primer contenedor representa la sección inicial (0) del circuito hidráulico mientras la del segundo contenedor representa la sección final (f). Generalmente resulta Z f Z 0 y Pf P0 . La bomba siempre está ubicada bien cerca del contenedor inicial para tener el más alto NPSH d . De hecho tenemos: NPSH d P0 Z0 Y Pv Y claramente NPSH d resulta aún más alto como menor es Y o sea como más corta es la tubería antes de la bomba. Por la misma razón dicha tubería se hace la más rectilínea posible para evitar demasiados codos que causan pérdidas localizadas y se evita poner en esa tubería accesorios que provocan pérdidas. Para tener un valor aún más bajo de Y , se fija un bajo valor de velocidad alrededor de 1 m/s para el cálculo del diámetro de la tubería antes de la bomba. Mientras el diámetro de la tubería después de la bomba se calcula en base a una velocidad alrededor de 2 m/s y no mayor de 3 m/s para evitar vibraciones en la tubería. 2 CALCULO DE LA ALTURA UTIL Consideramos la ecuación general de balance energético: w wr P1 P2 V V2 1 ( Z1 Z 2 ) 2g 2 2 Aplicamos esta ecuación entre la sección “0” y la brida de entrada de la bomba. Así tenemos w = 0, cuando se aplica la ecuación general de balance a una tubería el símbolo w r se sustituye con el símbolo Y . Entonces: P0 Pe V0 Ve ( Z 0 Z e ) Y 0 ,e 2g 2 2 P0 V0 2 Pe Ve 2 Y 0 ,e Z Z 0 e 2g 2g Por ser V0 0 tenemos: Pe Ve 2 P0 Z 0 Y 0,e Z e 2g Pongamos: Pe Ve 2 He Z e 2 g Entonces: P H e 0 Z 0 Y 0,e Y 0,e Representa la pérdida de carga que hay entre la superficie del contenedor y la brida de entrada de la bomba. Claramente Y 0,e , es la suma de las pérdidas distribuidas y de las pérdidas localizadas. Aplicamos ahora la ecuación general de balance energético entre la brida de salida de la bomba y la sección “f”. Tenemos: Ps Pf Vs V f 2 2 2g (Z s Z f ) Y s, f 2 Ps Vs 2 Pf V f Z s Zf 2 g 2 g Y s, f Por ser V f 0 tenemos: Ps Vs 2 Pf Z s Zf 2 g Y s , f Pongamos: Ps Vs 2 Hs Z s 2 g Entonces: Pf H s Zf Y s , f Y s , f Representa la pérdida de carga que hay entre la brida de salida de la bomba y la superficie libre del contenedor. Claramente Y s , f es la suma de las pérdidas distribuidas y de las pérdidas localizadas. Para la altura útil tenemos: Ps Vs 2 Pe Ve 2 H Z s Z e 2g 2g Entonces al final resulta: H Hs He La altura útil puede ser también expresada en la siguiente forma: Pf H H s H e Zf Pf P0 H Z f P Y s , f 0 Z 0 Y 0,e Z f Z 0 Y 0,e Y s , f Z 0 Es la diferencia de nivel entre la superficie libre del contenedor final y la del contenedor inicial. Pongamos Z f Z 0 Z f , 0 Y 0 ,e Y s, f Es la pérdida de carga que hay entre la superficie libre del contenedor inicial y la del contenedor final, con exclusión de la bomba. Pongamos: Y 0 ,e Y s , f Y 0, f . Al final resulta: Pf P0 Z f ,0 Y 0, f H Pf Z f ,0 P0 BOMBA 3 CALCULO DE (NPSH) Tenemos: ( NPSH ) d P0 Z Y 0,e Pv “Z” es la diferencia de nivel entre la superficie libre del contenedor y el baricentro de la brida de entrada de la bomba. En base de especificación de proceso las dimensiones de la bomba no son todavía conocidas así que no se conoce la posición del baricentro de la brida de entrada pero que sí puede ser ubicada con buena aproximación en base a la experiencia ya adquirida. Para determinar “ Pv ” generalmente se desprecia el aporte debido a los gases disueltos y se considera solamente la presión de saturación del líquido la cual depende de su temperatura. P0 Z BOMBA 4 DATOS DE ESPECIFICACIÓN: Tenemos los siguientes datos de especificación para el diseño básico de la bomba: Q, H, ( NPSH ) d , , n* Siendo n * el número de RPM del motor que arrastra la bomba, “ ” se necesita para calcular la potencia requerida al eje de la bomba. TURBOBOMBAS DISEÑO BASICO 1.0. VALORES LIMITES DE “ns” En base a la tabla de los parámetros de forma resulta para “ns” un valor mínimo igual a 10 y un valor máximo igual a 300. La razón de estos límites es que para n s 10 y ns 300 la forma del impulsor no sería buena y por lo tanto el rendimiento resultaría bajo. Generalmente no se utilizan valores de “ns” por debajo de 15. 2.0. CALCULO DE “ne” y “ns” En base a los datos específicos y tomando n = n* calculamos: ne n Q H 1 2 3 4 Si sale 15 ne 300 resulta una bomba mono – etapa, entonces ne ns . 3.0. CALCULO DE NÚMERO DE ETAPAS Si resulta n ne 15 tomamos ns 15 y calculamos “Hs” (claramente Q5 = Q): Q 1 Hs 2 3 15 4 Q 12 H s n 15 4 3 Luego calculamos el número de dos etapas: m : H m.H s m H Hs Claramente el número de etapas tiene que ser un número entero, entonces se escoge el H número entero (que indicamos todavía como m) directamente superior a Hs Ahora podemos calcular el valor definitivo de la altura útil de etapa (que indicamos todavía con Hs): .H s 4.0. H m y de n s Qs Hs 1 2 3 4 CÁLCULO DEL NÚMERO DE BOMBAS EN PARALELO: Si resulta ne 300 tomamos ns 300 y calculamos “Qs” (claramente Hs = H): n Qs Hs 1 2 3 300 4 300H 3 4 s Qs n 2 Luego calculamos el número de bombas en paralelo (l): Q l.Qs l Q Qs Claramente el número de bombas en paralelo tiene que ser un número entero, entonces se Q escoge el número entero (que indicamos todavía con l) directamente superior a : Qs Ahora podemos calcular el valor definitivo del caudal de etapa (que indicamos todavía con Qs) 1 Q 2 Q Qs y de ns s 3 l H 4 Cuando se habla de bombas en paralelo se sobreentiende que en lugar de dos bombas en paralelo se puede tener una bomba con dos líneas y se adoptará la solución económicamente más conveniente. 5.0. VERIFICACIÓN DE “n” En base al valor de “ns” tenemos el valor de S , en entonces calculamos: n.Qs 12 hdt S 4 3 Para que no haya cavitación tiene que resultar: hdt NPSH d Si está satisfecha esta condición quiere decir que el valor de “n” ( = n*) es correcto. Si (hdt) resulta mucho menor que NPSH d hay que considerar la conveniencia de poner un multiplicador entre motor y bomba para tener un valor de “n” mas alto, por lo que la bomba resultará más pequeña. Si resulta hdt NPSH d se tiene que poner un reductor entre motor y bomba para tener un valor de “n” más bajo y consiguientemente un valor más bajo de (hdt). Si por una razón u otra vamos a escoger un valor de n n*, luego tenemos que repetir todos los cálculos antecedentes utilizando el nuevo valor de “n”. 6.0. FORMULAS BÁSICAS 6.1. Ecuación de continuidad Qs Qs Qr Qs 6.2. v 2 60 D2 b2V2m D22 b2 n 2U 2 D22 2 2 D2 D2 60 v 2 2 D23 n Ecuación de Euler H s i . we i . U 2V2t 2n2 2 i 2 U 22 i 2 D2 g g g 60 2 U 2V2t 2 2 2 2n2 2 H s i . we i . i U 2 i D2 g g g 60 2 H s i n 2 D22 2 60 g 2 6.3. Relación entre parámetros de forma: 1 3 1 1 2 2 7.0. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA SOLUCIÓN: Primero consideramos las dos relaciones: 1) Qs 2 60 v 2 2 D23 n i 2 2 n D2 2 2) H s 60 g 2 Las incógnitas son 2 , 2 , D2 , 2 , tenemos dos ecuaciones y cuatro incógnitas, entonces tenemos que escoger los valores de dos incógnitas. En base al valor de “ns” escogemos los valores de “ 2 ” y “ 2 ” en los intervalos de valores indicados por la tabla de los parámetros de forma. Mediante la ecuación 1) calculamos “D2” luego mediante la ecuación 2) calculamos 2 , cuyo valor tiene que estar en el intervalo indicado por la tabla, y si así no resulta tenemos que escoger otros valores de “ 2 ” y “ 2 ” todavía en los mismos intervalos de antes, hasta alcanzar un valor correcto de 2. Como segunda etapa vamos a verificar el valor de “ns” mediante la relación: ns 188 ( v ) 1 ( i ) 3 2 4 2 2 2 3 2 4 1 Como tercera etapa vamos a escoger los valores de “ ” y “ 1 ” en la tabla de los parámetros de forma, luego calculamos el valor de “ 1 ”, en base a la relación: 1 3 1 1 2 2 Como cuarta etapa calculamos el valor de: ( 22 22 12 2 ) r 1 V 2 2 Cómo última etapa calculamos: b2 2 D2 D1 D2 b1 1 D1 U2 U1 n D2 60 n 60 D1 V2 m 2 .U 2 V2t 2 .U 2 V2 V22m V22t 1 V1 1U1 tan 2 2 1 2 tan 2 2 2 2 Para el impulsor tipo hélice tenemos 1 o sea D2 = D1 por lo tanto la superficie media de flujo es cilíndrica. Consigue que también la superficie fija que rodea el impulsor es cilíndrica. Con referencia a la figura b1 = b2. Por no variar la sección de pasaje tenemos V2 m V1 Además tenemos U2 = U1. Los triángulos de velocidad a la entrada y a la salida del impulsor se presentan como indicado Como se puede apreciar resulta 2 1 . En el diseño del impulsor tipo hélice hay que tomar en cuenta que b1 y b2 ya no son pequeños con respecto a D1 y D2. Esto quiere decir que la velocidad periférica varía bastante a lo largo del borde del álabe, por lo tanto el triángulo de velocidad en correspondencia de la superficie media de flujo no es representativa de los triángulos de velocidades a lo largo de todo el borde al álabe. b1 b2 1 D1 D2 U 2 U1 2 V2 m Vr 1 V2 V1 Vr 2 En conclusión el diseño del impulsor tipo hélice requiere más cálculos para aportar los ajustes relacionados con la variación de la velocidad periférica a lo largo del borde del álabe Estos cálculos están fuera del alcance del presente curso, por lo tanto los omitimos. 8.0. CONSTRUCCIÓN DE LA LÍNEA MEDIANA DEL ALABE DEL IMPULSOR. Primero tenemos que definr que es la línea mediana de un álabe. Se haga referencia a un perfil alar. La línea mediana es la que une los centros de los círculos inscritos en el perfil. 98 Vamos entonces a presentar un procedimiento pasa la construcción de la línea mediana del álabe de una bomba plano-centrífuga (el procedimiento puede aplicarse con unas modificaciones también a las bombas centrífugas y helicocentrífugas). Una vez que se tenga la línea mediana, se adoptará un perfil cuya línea mediana es justo la que se ha determinado. 8.1 Determinación del ángulo constructivo (β2c) a la salida del álabe. El ángulo constructivo “β2c” se define como el ángulo formado por la tangente a la línea mediana del álabe en su punto extremo y la tangente a la circunferencia de diámetro “D2”. Línea mediana de 2c álabe Se podría pensar que “β2c” coincide con el ángulo “β2” entre U 2 y Vr 2 pero no es así por el fenómeno que vamos a describir. Imaginemos que el fluido sea ideal, o sea sin rozamiento. En el contenedor inicial por ser V 0 la circulación de una partícula fluida es nula y por el teorema de Thomson se queda nula en su movimiento absoluto a través de la bomba. Esto quiere decir que el atravesar el impulsor la partícula no puede asumir un movimiento rotatorio absoluto, entonces su orientación no varía con respecto a una referencia inercial. Como consecuencia resulta que en el movimiento relativo a través del impulsor, la partícula además de la velocidad de traslación, tiene una velocidad angular de igual magnitud y sentido opuesto con respecto a la velocidad angular del impulsor. 99 Instante “t1” “t2” En conclusión podemos decir que el campo de velocidad relativo en el impulsor resulta por la suma de dos campos de velocidad, o sea un campo de velocidad de traslación (el relacionado con el caudal relativo) y un campo de velocidad rotativo que toma la forma de una corriente circulatoria. V r2 Campo de velocidades relativo DE TRASLACIÓN Campo de velocidades relativo DE ROTACIÓN Las líneas de corriente del campo de velocidad relativo de traslación tienen la misma forma de la línea mediana del álabe. Para explicar el origen del campo de velocidad relativo de rotación hemos considerado un fluido ideal. El hecho que el fluido sea real no quiere decir que el fenómeno descrito no se produce, sino que no se produce con la intensidad con que se produciría en el caso ideal. Vamos ahora a considerar la velocidad relativa resultante a la salida del impulsor. Claramente dicha velocidad tiene que coincidir con la velocidad relativa Vr 2 ya calculada. Como se puede apreciar tiene que ser β2c > β2, precisamos que el triángulo de velocidad que estamos considerando se refiere a valores medios de las velocidades entre dos álabes. 100 U2 2c 2 V r2 l V r2 V2 Vrt 2 La corriente circulatoria en el movimiento relativo se produce por existir un “espacio libre” entre dos álabes, pero si imaginamos una bomba con número de álabes infinito, es decir con una distancia infinitesimal entre dos álabes, dicha corriente no se puede producir y el fluido sale del impulsor con una velocidad relativa que tiene la misma dirección de la tangente al punto extremo del álabe. En otras palabras para un número de álabes infinito resulta β2c = β2. Y además Vr 2 tiene la misma magnitud en todos los puntos de la sección de salida. Claramente como más grande es el espacio entre dos álabes, más intensa resultará la corriente circulatoria y más grande resultará la diferencia entre β2c y β2. Ahora vamos a presentar un método para el cálculo de β2c. El problema consiste en calcular Vrt 2 . Stodola propuso un método aproximado que da resultados que la experiencia confirma como buenos. El ángulo β2c calculado según este método resulta en general algo mayor que el ángulo β2c que se necesitaría, entonces es un valor prudencial. Se haga referencia la figura siguiente: Vrt 2 2 U2 2c V r2 V r2 V 2 m l V2 B A 2c d La línea de trazos indica un cilindro inscrito entre las líneas medianas de dos álabes de tal manera que un punto de tangencia está a la extremidad de una de las dos líneas medianas. Imaginamos que este cilindro tenga con respecto al impulsor un movimiento rotatorio con velocidad angular “ω” igual a la del impulsor. C 101 Stodola propuso considerar Vrt 2 igual a la velocidad periférica (relativa) del cilindro, o sea Vrt 2 ω d . Ahora podemos escribir: 2 d ABsenβ 2c πD2 senβ 2c , siendo Z el número de álabes. Z Entonces: Vrt 2 ωπD2 senβ 2c πU 2 senβ 2c 2Z Z En base al triángulo de velocidades resulta: V2t U 2 Vrt 2 V2m πU 2 V U2 senβ 2c 2m tgβ 2c Z tgβ 2c V2 t V π 1 1 senβ 2c 2m U2 Z U 2 tgβ 2c Ψ2 1 π senβ 2c 2 Z tgβ 2c Los valores de Ψ 2 y 2 son los que ya se han calculado. Esta ecuación se resuelve por tanteo dando valores de β2c y comprobando que cumplen con la relación. Como se puede apreciar, por Z = ∞ resulta: Ψ2 1 2 tgβ 2c tgβ 2c 2 1Ψ 2 Entonces: β2c = β2. 8.2 Comprobación del ángulo (β2c) en base al campo de velocidad a la salida del impulsor. Supongamos que se haya escogido de una manera el ángulo β2c y se haya determinado la velocidad relativa punto por punto a la salida del impulsor entre dos álabes. Dividimos el área de circunferencia entre dos álabes en “p” partes iguales y suficientemente pequeñas de tal manera que se pueda considerar constante la velocidad relativa en cada parte. Consideramos genérica la parte “i” y tomamos la velocidad relativa en su punto mediano como representante de la velocidad relativa en dicha parte. U2 2i Vr2 i V 2 mi V 2i 102 Sea ∆l la longitud común de cada parte. El peso de fluido que en la unidad de tiempo sale de “i” es: γ .b2 .l .V2mi El trabajo por unidad de peso que sale de “i” es: U 2 U 2 Vr2i cosβ 2i g El trabajo cedido en la unidad de tiempo al fluido que sale de “i” es: U 2 U 2 Vr2i cosβ 2i γ .b2 .l .V2 mi g El trabajo cedido en la unidad de tiempo al fluido que sale de las “p” partes es: p 1 U 2 U 2 Vr2i cosβ 2i γ .b2 .l .V2 mi g El trabajo cedido en la unidad de tiempo al fluido que sale del impulsor es: Z .b2 γ .l g p U 2 U 2 Vr2i cosβ 2i V2mi 1 El peso de fluido que en la unidad de tiempo sale del impulsor es: γ .Q El trabajo cedido en la unidad de peso que sale del impulsor es: γ .b2 .l Z g .γ .Q U2 1 gV2 m p p U 2 1 Z .b2 .l .p 1 g Q p U 2 Vr2i cosβ 2i V2mi 1 p U 2 p U 2 U 2 Vr2i cosβ 2i V2mi 1 Vr2i cosβ 2i V2 mi 1 Claramente tiene que ser: U 2V 2 t U2 1 g gV2 m p p U 2 Vr2i cos β 2i V2 mi 1 Siendo V2t el término ya calculado. Entonces: V2 t 1 1 V2 m p p U 2 Vr2i cos β 2i V2 mi 1 Ahora podemos escribir: p p U 2 Vr2i cosβ 2i V2mi U 2 .V2mi Vr2i .V2mi cosβ 2i 1 1 p U p 2 .V2 mi 1 V r2i .V2 mi cos 1 p p 1 1 β 2i U 2 V2mi Vr2i .V2mi cosβ 2i Entonces V2 t 1 V2 m * 1 U2 p p 1 V2 mi 1 V2 m * 1 p p V r2i .V2 mi cos β 2i 1 103 Por ser: 1 p p V 2 mi V2 m 1 Tenemos: V2 t 1 1 U2 * V2 m p p V r2i .V2 mi cos β 2i 1 Por ser: V2mi Vr2i senβ 2i Al final resulta: V 2t U 2 1 V2 m 1 * p p V r2i 2 senβ 2i .cosβ 2i 1 Consideramos ahora el triángulo de velocidades a la salida, construido en base a U 2 ,V2m , 2c y tenemos: U2 2c V 2m V 2t' V2 t U 2 | V2 m . Ahora podemos calcular: tgβ 2c V2t V2t V2t | V 1 1 U 2 2m U 2 * tgβ 2c V2 m p 1 1 * V2 m p V2t p V r2i 2 senβ 2i .cosβ 2i 1 p 1 Vr2i 2 senβ 2i .cosβ 2i V2 m tgβ 2c En el caso en que se pueda considerar β2i = constante = β2c resulta: V2t senβ 2c .cos β 2c 1 * V2 m p p 1 Vr2i 2 V2 m tgβ 2c • En conclusión, el antecedente triángulo de velocidades tiene que ser modificado en base al V2t para obtener el triángulo de velocidades que es representativo del trabajo cedido al fluido. 104 V2t 2 U2 2c V 2m El triangulo de velocidades así obtenido tiene que coincidir con el ya calculado y si no resulta así quiere decir que el β2c escogido no es correcto, entonces se tiene que modificar. Como se puede apreciar, el origen del V2t está en la distribución no uniforme de la velocidad relativa a la salida del impulsor. De hecho si la distribución de la velocidad relativa fuera uniforme resultaría: 1 p p V r2i 2 Vr2 2 . Entonces: 1 V2t Vr2 .senβ 2c * Vr2 .cosβ 2c V2m V2m V Vr2 .cosβ 2c 2m 0 tgβ 2c tgβ 2c El triángulo de velocidades representativo del trabajo cedido al fluido puede ser individualizado directamente en base a U 2 V2m y a la V2t calculada con la fórmula ya elaborada. Ahora vamos ayer como se determina el campo de velocidad a la salida del impulsor. Primero tenemos que elaborar la ecuación de Bernoulli para el movimiento relativo. Consideramos la ecuación de balance energético para el movimiento relativo en el caso de fluido ideal: U 22 U 12 P2 P1 Vr 2 Vr 1 Z 2 Z1 2g 2g 2 2 Dicha ecuación puede ser también escrita para un filete fluido en el movimiento relativo y en este caso los términos de la ecuación están referidos a dos puntos de la línea de corriente mediana del filete, o sea a dos puntos de una misma línea de corriente en el movimiento relativo. Entonces: P1 Vr 1 2 U 12 P2 Vr 2 U2 Z2 2 2g 2g 2g 2 Z1 2g Luego, de esto se concluye que para cualquier punto de una misma línea de corriente (en este caso la línea de corriente mediana del filete): P Vr 2 Z U2 C Constante 2g 2g Consideramos ahora un punto genérico (A) a la entrada del impulsor. Tenemos: PA VrA 2 2g ZA U A2 C 2g UA V rA VA 105 Por ser: VrA 2 U A 2 VA 2 , Resulta: 2 PA V A Z C 2g A Lo que acabamos de escribir es la ecuaci6n de Bernoulli para el movimiento absoluto y por ser el flujo irrotacional resulta que “C” tiene el mismo valor para todas las líneas de corrientes, entonces en la ecuación: P 2 Vr U2 Z 2g 2g C C es una constante de campo. Consideramos ahora una partícula de masa “dm” que recorre una línea de corriente en el movimiento relativo. n r Hagamos referencia a una bomba plano – centrífuga en la cual las líneas de corriente en el movimiento relativo se encuentran en planos perpendiculares al eje de rotación. Tenemos: a a r at a c dF a r at a c dm Sea n el versor de la normal principal orientada hacia la parte externa a la curvatura de la línea de corriente y sea “r” el radio de curvatura. Podemos escribir: dF n a r n a t n a c n dm Desarrollamos separadamente los varios términos de la relación que acabamos de escribir. Tenemos: 106 P PdA P dn . dA g . dm . n n dF dF . n n dm dm dm dF P dV n * g .n dm n dm dF 1 P n * g .n dm n g . n g cos ; cos g . n g dZ Z dn n Z n dF 1 P Z P n * g gZ dm n n n dF P n g Z dm n a r n a rn ar n 2 Vr n r Vr 2 U2 R r U a t n cos R dR dR R cos dn dn n R dR ω U 2 R ω 2 R 2 R R n R n R ω 2 R 2 1 ω2 R ω2 R 2 n 2 n 2 n dn at n at n U 2 n 2 Vr ω Vamos ahora a analizar el término a c n . Tenemos: ac n 2ωxV r n 107 El vector ω x V r por ser perpendicular a ω , se encuentra en el plano del movimiento y por ser perpendicular a V r , tiene la misma dirección de la normal principal. Además, como se puede apreciar por la figura anterior ω x V r tiene el mismo sentido del versor n , entonces: a c n 2ωVr Volviendo ahora a la relación inicial podemos escribir: 2 Vr P U 2 g Z 2 n r n V V Vr r r n r Vr 2 V 2 U 2 P 2ωVr r 2ωVr g Z 2 r n n 2 2 P U V g r 2ωVr g Z g n n 2 g n 2 g 2 Vr Vr V2 U2 P g C 2ωVr g Z r n r n 2 g 2 g n Por ser “C” una constante de campo resulta: C 0 n Y al final tenemos: Vr Vr 2ωVr 0 n r 2 Vr Vr Vr 2ω n r La ecuación diferencial que acabamos de escribir puede ser integrada fácilmente en e1 caso en que la línea mediana del álabe sea un arco da circunferencia y el número de álabes sea suficientemente alto de tal manera que también las líneas de corriente puedan ser consideradas como arcos de circunferencia, resultando además β2i = β2c. Sea R el radio de curvatura de cada línea de corriente (igual al. del álabe). Claramente en este caso R es una constante. Vamos entonces a integrar la ecuación diferencial a lo largo de la línea AB la cual es perpendicular a las varias líneas de corrientes. Tenemos: dVr Vr dVr V dVr 2ωR Vr dVr dn 2ω 2ω r dn R 2ωR Vr R dn R dn R Vr dVr dn Vr 2ωR R VrA dVr Vr 2ωR n dn R nA Por ser nA = 0 podemos escribir: 108 Vr VrA dVr 1 Vr 2ωR R n dn lnVr 2ωR VrrA V n R 0 lnVr 2ωR lnVrA 2ωR n R Vr 2ωR n VrA 2ωR R ln Vr 2ωR VrA 2ωR .e n Vr 2ωR e n R VrA 2ωR R Vamos ahora a determinar VrA en base a la ecuación de continuidad. Tenemos: nB nB Q 1 Q Vr b2 dn b2 Vr dn nV Z nV b2 Z 0 0 nB nB V dn 2ωR dn V rA r 0 nB 2ωR 0 2ωRnB VrA 2ωR Re Entonces: e n R 0 r n R dn 0 nB V dn nB B n 2ωRnB VrA 2ωR Re R 0 R 2ωRnB VrA 2ωRR 1 e nB R nB Q 2ωRnB VrA 2ωR R 1 e R nV Z .b2 Q 1 VrA 2ωR 2ωRnB n nV Z .b2 R 1 e B R Q 2ωRnB n Z .b2 VrA 2ωR V nB R 1 e R Más adelante enseñaremos como en base a β2c y β1c se construye la línea mediana del álabe que tiene la forma de un arco de circunferencia, la que permite individualizar a “R”. Escogido el número de alabes, queda individualizado “nB” entonces se puede calcular VrA y la distribución de velocidades a lo largo de la línea AB. Al escoger el número de álabes hay que tener cui dado que no resulte una Vr A negativa por prevalecer la velocidad del movimiento rotacional sobre la velocidad de transporte. Para calcular las velocidades en los puntos del arco CB se puede utilizar el siguiente procedimiento. Primero se prolonga la construcción del álabe que pasa B por el punto B, como indicado en la figura de a lado. Luego trazamos la línea mediana entre los dos álabes utilizando el mismo procedimiento para construir el álabe. Entonces consideramos los segmentos C 109 perpendiculares a la línea mediana, entre los dos álabes. Por cada uno de estos segmentos calculamos la distribución de velocidades como ya se ha hecho por el segmento AB. De esta manera podemos individualizar la velocidad en los puntos en que los segmentos cruzan el arco CB. Por lo que necesitamos se tiene que trazar los segmentos de tal manera que pasen por los puntos intermedios de cada parte (todos entre sí iguales) en que se ha dividido previamente el orco CB. A esta altura podernos calcular: 1 p p V r2i 2 Y luego: 1 V2t U 2 senβ 2C .cos β 2C 1 * V2 m p p V r2i 2 1 Si el “V2t” así calculado no coincide con el calculado anteriormente, se tiene que cambiar el “β2c” calculado anteriormente hasta alcanzar la igualdad entre los dos”V2C”. Este método de comprobación del “β2c” puede también aplicarse al caso en que al álabe está formado por dos arcos de circunferencia, siendo “R” el radio de curvatura del segundo arco. 8.3 Determinación del ángulo constructivo (β1c) a la entrada al álabe. Los álabes ejercen sobre el fluido un momento que tiene el mismo sentido de la variación del momento de la cantidad de movimiento, entonces tiene el mismo sentido de la velocidad angular. ω El fluido reacciona sobre los álabes con un momento contrario y esto implica que la presión sobre la parte convexa del á1abe sea mayor que sobre la parte cóncava. Ahora el fluido que llega al impulsor viene “aspirado” por la parte cóncava del álabe donde la presión es menor y esto provoca una desviación de la velocidad V como indicado en la figura de a lado. Como se puede apreciar resulta β1c < β1. Generalmente la diferencia entre β1 y β1c es pequeña y se considera como despreciable. U 1 V r A V1 asume igual a unos grados, o se 110 U1 1c V1 V r 1 8.4 Construcción de la línea mediana del álabe según un arco de circunferencia. Trazamos el genérico OA y a partir de “A” trazamos la semirecta que forma el ángulo β2c con AO. A 2 c 1c C r2 r1 B O (c) A partir de “O” trazamos la semirrecta que forma del ángulo (β2c + β1c) con OA, individualizando el punto “E”. A partir de “A” trazamos la semirrecta que pasa por “E” individualizando el punto “B”. A partir de “B” trazamos la semirrecta que forma el ángulo “β1c” con BO. El radio OC individualiza una circunferencia sobre la cual se encuentra el centro de cada arco de circunferencia que representa la línea mediana de un álabe. A parte trazamos lo circunferencia de radio “r2”, la de radio “r1” y la de radio OC consideramos un genérico punto “E1” sobre la circunferencia de radio “r1”. 111 C1 1c r2 E1 O r1 Trazamos la semirrecta que parte de “E1” y forma el ángulo “β1c” con E1O. El punto “C1” es el centro del arco de circunferencia que representa la línea mediana del álabe que parte de “E1”. 8.5 Construcción de la línea mediana del álabe según dos arcos de circunferencia. Esta línea mediana se construye como sigue: Sobre la circunferencia de radio “r” indicamos los puntos iniciales de todas les líneas medianas. (B1, B2,…, Bn). Consideramos dos genéricos puntos consecutivos, por ejemplo B1 y B2. B3 B2 B1 B2 r1 B4 B5 B3 O B4 B5 B6 r2 Trazamos la recta (a) que pasa por B1 y forma el ángulo β1c con B1O. Trazamos la circunferencia (C) con centro en “O” y tangente a la recta (a). Trazamos la recta (b) que pasa por B2 y es tangente a la circunferencia (C). Queda individualizado el punto F1 como intersección de la recta (a) con la recta (b). C1 C2 B2 B3 F1 F2 O (b) B1 1c (a) (C) (d) 112 Con centro en F1 trazamos el arco de circunferencia B1C1 que individualiza la primera parte de la línea mediana que parte de B1. Queda individualizado el ángulo (φ) que la recta (b) forma con el segmento C1O. Trazarnos la recta (d) que pasa por el B3 y es tangente a la circunferencia (C). Queda individualizado el punto F2 como intersección de la recta (b) con la recta (d). Con centro en F2 trazamos el arco de circunferencia que individualiza la primera parte de la línea mediana que parte de B2 y así siguiendo. Ahora vamos ver cómo se construyó la segunda parte de la línea mediana. Por lo que se ha hecho quedan individualizados e1 ángulo (φ) y la circunferencia (e) con centro en “O” y pasante por C1, C2,... etc. Entonces, consideremos los elementos siguientes: la circunferencia de radio “r2”, la circunferencia “e”, el ‘éngulo β2c y el ángulo φ. Hagamos referencia al método dé construcción del álabe según un arco de circunferencia. Al considerar el ángulo φ como si fuera el ángulo β1c y la circunferencia (e) como si fuera la circunferencia de radio “r1”, podemos construir los arcos de circunferencias que parten de C1, C2,... etc., y completar así las líneas medianas de los alabes. 8.6 Forma de la línea mediana del álabe de un impulsor tipo hélice. De una manera puramente indicativa y con referencia a la superficie media de flujo vamos a representar la línea mediana del álabe de un impulsor tipo hélice. 2 1 U 2 U1 Vr V r 2 2 r2 1 r1 9. NUMERO DE ALABES DEL IMPULSOR CENTRIFUGO Tenemos la siguiente consideración general: un alto número de álabes origina una alta pérdida de carga por el gran número de capas límites, mientras si el número de álabes es bajo el fluido no resulta bien conducido y puede producirse el fenómeno de la separación (por moverse el fluido hacia presiones mayores) que también origina altas pérdidas. El número de álabes de un impulsor centrífugo puede calcularse en base al valor optimal del cociente entre la suma de la longitud de todas las líneas medianas y la longitud de la circunferencia mediana del impulsor (FFLEIDERER). 113 r2 m r2 rm r1 rm r2 r1 r1 Sea “L” la longitud de la línea mediana de un álabe. La suma de las longitudes de todas las líneas medianas es Z L . Con referencia a la figura podemos escribir: L r2 r1 sen m Poniendo: m 1C 2C Tenemos: 2 r2 r1 2C sen 1C 2 Sea “ rm ” el radio medio del impulsor, la longitud de la circunferencia mediana del impulsor es: L r2 r1 r r1 r2 r1 2C sen 1C 2 1 K' r2 r1 C m 2 2 2 Entonces: Z .L Z Cm Z K' r2 r1 sen 1C 2C K D2 D1 sen 1C 2C r2 r1 2 D2 D1 2 La experiencia indica que podemos toma K = 6.5 así que resulta: Z 6.5 9.0. D2 D1 sen 1C 2C D2 D1 2 EL DIFUSOR LIBRE (SIN ALABES) El difusor libre está formado por dos superficies planas entre sí paralelas y perpendiculares al eje de rotación. 114 b2 ' Difusor Libre DIFUSOR LIBRE Impulsor Q D2 IMPULSOR D3 (2' ) D2 ' (2) La distancia entre las dos superficies ( b2 ' ) se hace 1 - 2 mm mayor que b2 para evitar que a la salida del impulsor el fluido choque contra el borde de las paredes fijas. La sección (2’) está muy cerca de la sección (2), entonces podemos considerar D2’= D2. Qr La componente tangencial de la velocidad a la entrada del difusor es igual a la componente tang encial de la velocidad absoluta a la salida del impulsor, o sea V2t ' V2t . La componente normal de la velocidad a la entrada del difusor es distinta de la componente normal de la velocidad absoluta a la salida del impulsor debido a que no hay el caudal de recirculación y además es b2 ' b2 Tenemos: Q Q V2 m ' D2 ' b2 ' D2b2 ' V2 ' V2t V '2 m 2 2 1 2 Vamos a ver ahora cómo varían la componente normal y la componente tangencial de la velocidad entre las secciones (2’) y (3). Consideramos una genérica sección individualizada por el diámetro “D” siendo D2 ' D D3 Para la componente normal de la velocidad tenemos: Vm Q Db2 ' Para la componente tangencial Podemos aplicar la ecuación de Euler entre la sección (2’) y la sección considerada. Tenemos: Vt .U V2t .U 2, w e Ahora we 0 por no haber paredes móviles que intercambian trabajo, entonces: 115 Vt .U V2t .U 2, 0 Vt Vt V2t ' D D V2 t ' 2 0 2 2 D2 D Vamos a ver ahora que tipo de trayectoria recorre una partícula a lo largo del difusor libre. Tenemos: Vm Q D 1 Q tg const Vt Db2 ' D2 V2t ' D2b2 'V2t ' Entonces podemos decir que la trayectoria de la partícula está caracterizada por ser constante el ángulo que la tangente a la trayectoria forma con la perpendicular al radio (R), o sea la trayectoria es una espiral logarítmica. V Vm RD 2 Vamos ahora a expresar la velocidad en la genérica sección entre (2’) y (3). Tenemos: 2 2 Q2 Q2 D22 2 D2 2 D2 V V Vt 2 2 V2t ' 2 2 2 V2t ' 2 D D D b2 '2 D2 b2 '2 D 2 2 2 m 2 2 2 2 D22 2 D2 2 2 D2 2 D2 V V2 m ' 2 V2t ' 2 V2 m ' V2t ' V2 ' 2 D D D2 D 2 V V2 ' 2 V ' D2 V ' D D2 2 D3 D2 2 D V V3 La velocidad a la salida del difusor tiene que ser más o menos igual a la velocidad antes del impulsor. Supongamos V3 3 m / s . A la salida del impulsor puede resultar V2 ' 30 m / s . En base a estos datos tenemos: 30 D3 D2 10 D2 3 Si fuera D2 30 cm resultaría: D3 10 0.3 3 m 116 Como se puede apreciar el diámetro de salida del difusor sería increíblemente grande. Este tipo de difusor se puede adoptar solamente en el caso en que V2 ' sea pequeño, y tiene la V3 VOLUTA ventaja de no ser afectado por variar la dirección de la velocidad absoluta a la salida del impulsor cuando varía el caudal de la bomba. trayectoria D3 D2 ' El fluido que sale del difusor libre viene recogido por la voluta. 10.0. EL DIFUSOR CON ALABES Para tener un diámetro de salida del difusor razonable, se adopta el difusor con álabe cuyo principio de funcionamiento es como sigue. Los álabes del difusor ejercen sobre el fluido un momento que se opone al momento de la cantidad de movimiento que se va bajando desde la entrada hasta la salida del difusor. ALABE Claramente, para que se produzca dicho momento, los álabes tienen que tener menor curvatura que la espiral logarítmica. Si la línea del álabe coincidiese con la del espiral logarítmica el momento resultaría nulo y el difusor se compartiría como un difusor libre. ALABE ESPIRAL LOGARITMICA Cuando más la línea del álabe se aparte del espiral logarítmica, más grande resulta el momento y más fuerte la disminución del momento de la cantidad de movimiento. Con el difusor libre el momento de la cantidad de movimiento a la salida es igual a la entrada, por lo tanto resulta: V3t D3 D V V2t 2 D3 D2 2t 2 2 V3t 117 Con el difusor con álabes el momento de la cantidad de movimiento a la salida es menor que a la entrada, o sea: V3t D3 ' D V V2t 2 D3 ' D2 2t D3 ' D3 2 2 V3t Entonces para reducir la componente tangencial de la velocidad desde el valor V2t Hasta el valor V3t con el difusor con álabes se necesita un diámetro de salida menor que con el difusor libre. Vamos a analizar ahora el difusor con álabe delgada, o sea cuyo espesor es despreciable. Hagamos la hipótesis que las trayectorias de las partículas tengan la misma forma de los álabes. En la sección de entrada la tangente a la línea del álabe tiene que tener la misma dirección de la velocidad Vt para que no haya choque entre fluido y álabe. Supongamos de haber dibujado la línea mediana del álabe si precisar punto final. Para determinar el punto final del álabe, o sea el diámetro de salida del difusor, se procede por tanteo como sigue: V3t ' V3m ' V3 ' D3 ' Se escoge un diámetro D3 ' y se calcula V2 m ' Q D3 ' b2 ' La tangente del álabe individualiza la dirección de la velocidad V3 ' entonces se puede determinar V3t ' y V3 m ' ; si la magnitud de V3 ' es igual al valor que queremos alcanzar, entonces D3 ' es el diámetro de salida del difusor. Si la magnitud de V3 ' no es la que queremos, tenemos que escoger otro diámetro y repetir el cálculo. En el caso que se quiera la velocidad de salida del difusor ( V3 ) sea radial el diámetro de salida ( D3 ) se calcula mediante la relación: 118 D3 Q Q D 2 b2 'V3 b2 ' D2 V3 D3 V2 m ' D2 V3 Vamos ahora a ver los inconvenientes del difusor con álabe delgado. En el difusor al fluido se mueve hacia presiones mayores, entonces podría producirse el fenómeno de la separación con consiguiente caída del rendimiento hidráulico. Para que no haya separación, la divergencia entre los álabes tiene que ser pequeña, y esto con los álabes delgados se logra adoptando un gran número de álabes, lo que implica una fuerte pérdida de carga distribuida por el gran número de capas límites. De una manera u otra el álabe delgado provoca una fuerte pérdida de carga. Para obtener una pequeña divergencia con un número de álabes no grande se adopta el álabe con espesor creciente hacia la salida. Esta solución requiere un diámetro de salida del difusor más grande. Si es constante el ancho del difusor según el eje de la bomba, entonces resulta: V3 l1 V2 ' l2 Para el difusor que desemboca en la voluta tenemos una pérdida de carga localizada por ensanchamiento brusco de la sección de salida, lo que provoca la formación de remolinos como indicado en la figura. En el diseño del difusor hay que evitar las curvaturas muy fuertes porque causan fuertes gradientes transversales de velocidad, entonces pérdidas de carga por rozamiento. Vamos ahora a ver cómo varía la forma del difusor en relación al tipo de bomba. En el caso de bomba centrífuga mono etapa el fluido tiene que salir del difusor teniendo todavía un componente tangencial de la velocidad para ingresar correctamente en la voluta, entonces el difusor tendrá una forma como indicado en la figura antecedente. Este tipo de difusor se encuentra también en la última etapa de una bomba multi-etapas porque allí el difusor desemboca en la voluta. En el caso de bomba centrífuga multi-etapas el fluido tiene que salir del difusor según una dirección radial de manera que pueda llegar a la etapa siguiente moviéndose según trayectorias contenidas en planos que pasan por el eje. Entonces el difusor tendrá la forma como indicada en la figura que sigue. 119 Como se puede apreciar a la salida del difusor tenemos una fuerte curvatura. Cuando se quiere evitar dicha curvatura, se acepta una componente tangencial de la velocidad a la salida del difusor (como si este desembocara en una voluta), pero en el conducto que sigue se ponen álabes que enderezan la corriente sin cambiar la magnitud de la velocidad. Este tipo de álabes a menudo se encuentran también en el caso de salida radial para tener la seguridad que el fluido llegue correctamente a la etapa siguiente. Consideramos ahora las bombas hélico-centrífugas. En el caso este la bomba tiene la forma de un tubo con ensanchamiento y el difusor desemboca directamente en el conducto de salida, o sea no hay la voluta. b3 V3 D3 Claramente la velocidad V3 a la salida del difusor estará en un plano pasante por el eje. El diámetro “D3” se calcula según la relación: D3 Q b3V3 Consideramos ahora el caso de una bomba a hélice. La bomba tiene forma tubular y el difusor desemboca directamente en el conducto de salida. 120 1 DIF 2 V r DIFUSOR U2 V3 DIF V2 Por ser la sección transversal constante resulta: V1 V2 m V3 A la salida del difusor la componente tangencial de la velocidad tiene que ser nula, entonces V3 Tiene la dirección axial. 11.0. LA VOLUTA La voluta recoge el fluido que sale del difusor de una bomba centrífuga mono-etapa o del último difusor de una bomba centrífuga multi-etapa. La sección transversal de la voluta aumenta según el sentido del flujo a medida que aumenta el caudal recogido. Al término de la voluta tenemos el conducto de salida y la brida de salida. El diseño de la voluta resulta bastante complejo cuando se toman en cuenta los efectos de las pérdidas de carga y no viene desarrollado por estar fuera del alcance del presente curso. CONDUCTO DE SALIDA Brida de Salida ω IMP DIF 121
