(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Limites e Continuidade
Análise Matemática I
Função
Definição
Chama-se função real de domı́nio D ⊆ R a toda a correspondência
f : D ⊆ R → R que satisfaz:
∀x ∈ D, ∃1 y ∈ R : y = f (x)
O conjunto f (D) = {f (x) : x ∈ D} designa-se por contradomı́nio de f .
A f (x) dá-se o nome de expressão analı́tica da função f .
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Cálculo de domı́nios
denominadores não nulos
argumentos de logaritmos estritamente positivos
argumentos de raizes de ı́ndice par não negativos
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Funções Limitadas
Seja f : D ⊆ R → R. Diz-se que:
f é majorada se f (D) é um conjunto majorado
f é minorada se f (D) é um conjunto minorado
f é limitada se f (D) é um conjunto majorado e minorado
Chama-se:
supremo de f ao supremo de f (D), quando existe
ı́nfimo de f ao ı́nfimo de f (D), quando existe
máximo de f ao máximo de f (D), quando existe
mı́nimo de f ao mı́nimo de f (D), quando existe
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Funções Monótonas
Uma função f : D ⊆ R → R diz-se:
crescente se
x < y =⇒ f (x) ≤ f (y), ∀x, y ∈ D
estritamente crescente se
x < y =⇒ f (x) < f (y), ∀x, y ∈ D
decrescente se
x < y =⇒ f (x) ≥ f (y), ∀x, y ∈ D
estritamente decrescente se
x < y =⇒ f (x) > f (y), ∀x, y ∈ D
A monotonia é fundamental para a resolução de inequações.
Exemplo
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Outras Propriedades
Zeros de uma Função
{x ∈ D : f (x) = 0}
Paridade de Funções
Uma função f : D ⊆ R → R diz-se:
par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D
ı́mpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D
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Função Injectiva
Definição
Uma função f de domı́nio D ⊆ R diz-se injectiva se satisfaz:
∀x, y ∈ D, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)
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Função Sobrejectiva
Definição
Uma função f : D → B diz-se sobrejectiva se satisfaz:
∀y ∈ B, ∃x ∈ D : y = f (x)
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Função Bijectiva
Definição
Uma função f : D → B diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva ou
seja, se satisfaz:
∀y ∈ B, ∃1 x ∈ D : y = f (x)
Uma função é invertı́vel se e só se é bijectiva.
f :D→B
f −1 : B → D
x 7→ f (x)
y 7→ f −1 (y)
y = f (x) ⇔ x = f −1 (y)
Exemplo
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Função Seno
f :R→R
x 7→ sen(x)
Df = R;
f (D) = [−1, 1]
Não é injectiva, nem sobrejectiva.
Restrições de injectividade:. . . , [− 23 π, − π2 ], [− π2 , π2 ], [ π2 , 32 π] . . .
Restrição principal do seno:
f : [− π2 , π2 ] → [−1, 1]
x 7→ sen(x)
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Função Arcoseno
f −1 : [−1, 1] → [− π2 , π2 ]
x 7→ arcsen(x)
∀y ∈ [− π2 , π2 ], x ∈ [−1, 1] :
x = sen(y) ⇔ y = arcsen(x)
Exemplos
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Função Coseno
f :R→R
x 7→ cos(x)
Df = R;
f (D) = [−1, 1]
Não é injectiva, nem sobrejectiva.
Restrições de injectividade:. . . , [−π, 0], [0, π], [π, 2π] . . .
Restrição principal do coseno:
f : [0, π] → [−1, 1]
x 7→ cos(x)
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Função Arcocoseno
f −1 : [−1, 1] → [0, π]
x 7→ arccos(x)
∀y ∈ [0, π], x ∈ [−1, 1] :
x = cos(y) ⇔ y = arccos(x)
Exemplos
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Função Tangente
f :R→R
x 7→ tg(x)
Df = R\
π
2
+ kπ, k ∈ Z ;
f (D) = R
Não é injectiva.
Restrições de injectividade:. . . , ] − 23 π, − π2 [, ] − π2 , π2 [, ] π2 , 32 π[. . .
Restrição principal da tangente:
f :] − π2 , π2 [→ R
x 7→ tg(x)
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Função Arcotangente
f −1 : R →] − π2 , π2 [
x 7→ arctg(x)
∀y ∈] − π2 , π2 [, x ∈ R :
x = tg(y) ⇔ y = arctg(x)
Exemplos
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Função Cotangente
f :R→R
x 7→ cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
Df = R\ {kπ, k ∈ Z};
f (D) = R
Não é injectiva.
Restrições de injectividade:. . . , ] − π, 0[, ]0, π[, ]π, 2π[. . .
Restrição principal da cotangente:
f :]0, π[→ R
x 7→ cotg(x)
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Função Arcocotangente
f −1 : R →]0, π[
x 7→ arccotg(x)
∀y ∈]0, π[, x ∈ R :
x = cotg(y) ⇔ y = arccotg(x)
Exemplos
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Limites e Continuidade
Nota: Calcula-se limites em pontos aderentes ao domı́nio. Analisa-se a
continuidade em pontos do domı́nio.
Seja a ∈ D̄ mas a ∈
/D
lim f (x) =
x→a
lim f (x) = b
x→a
x 6= a
lim f (x) não existe
x→a
f (a− ) = lim f (x) =
x→a−
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
lim f (x) = b
x→a
x<a
Limites e Continuidade
Seja a ∈ D (logo a ∈ D)
lim f (x) não existe
x→a
lim f (x) = b
x→a
x 6= a
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
lim f (x) = b
x→a
Limites e Continuidade
Definição
Seja f : D ⊆ R → R e a ∈ D. Diz-se que f é continua em a se existir
lim f (x).
x→a
Nota: Por consequência, se existir lim f (x) = f (a).
x→a
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Limite segundo Cauchy
Definição
Seja f : D ⊆ R → R e a ∈ D. Diz-se que f tende para b quando x tende
para a ou que f tem limite b em a e escreve-se lim f (x) = b se:
x→a
∀δ > 0, ∃ > 0, x ∈ D ∩ V (a) ⇒ f (x) ∈ Vδ (b)
∀δ > 0, ∃ > 0, x ∈ D ∧ |x − a| < ⇒ |f (x) − b| < δ
Exemplo
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Limite segundo Heine
Teorema
Seja f : D ⊆ R → R e a ∈ D. Temos lim f (x) = b se e só se para
x→a
qualquer sucessão (xn ) de elementos de D a convergir para a, a sucessão
(f (xn )) converge para b.
Exemplos
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Propriedades
Se f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R têm limite no ponto a e se a é
aderente a Df ∩ Dg então:
lim [(f + g)(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [(f − g)(x)] = lim f (x) − lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [(f.g)(x)] = lim f (x). lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
f
(x) = x→a
Se lim g(x) 6= 0 então, lim
x→a
x→a
g
lim g(x)
x→a
Se f e g são contı́nuas em a ∈ Df ∩ Dg então f + g, f − g e f.g são
contı́nuas em a e se g(a) 6= 0 então fg também é contı́nua em a.
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Propriedades
Cálculo de Limites
Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R duas funções. Suponhamos
que lim g(x) = b e lim f (x) = c. Então, se a é aderente a Df ◦g ,
x→a
x→b
lim (f ◦ g)(x) = c.
x→a
Funções Contı́nuas
Sejam f e g funções e a ∈ R. Se g é contı́nua no ponto a e f é contı́nua
no ponto g(a), então f ◦ g é contı́nua no ponto a.
Exemplo
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Propriedades de Cálculo de Limites
Teorema
Sejam f, g e h três funções cujos domı́nios contenham uma vizinhança V
de a ∈ Df ∩ Dg ∩ Dh e suponhamos que:
∀x ∈ V, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).
Se lim f (x) = b e lim h(x) = b, então existe lim g(x) e é igual a b.
x→a
x→a
x→a
Corolário
Seja f uma função limitada numa vizinhança do ponto a. Suponhamos
que a ∈ Dg e que lim g(x) = 0. Então
x→a
lim (f.g)(x) = 0.
x→a
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Limites Associados ao Cálculo de Assı́mptotas
Assı́mptotas Horizontais
Seja f : D ⊆ R → R e suponhamos que D não é majorado.
lim f (x) = b ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, x >
x→+∞
1
⇒ |f (x) − b| < δ
ε
Suponhamos agora que D não é minorado.
1
lim f (x) = b ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, x < − ⇒ |f (x) − b| < δ
x→−∞
ε
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Limites Associados ao Cálculo de Assı́mptotas
Assı́mptotas Verticais
Seja f : D ⊆ R → R e a ∈ D. Diz-se que:
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, |x − a| < ε ⇒ f (x) >
x→a
1
δ
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, |x − a| < ε ⇒ f (x) < −
x→a
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
1
δ
Limites Associados ao Cálculo de Assı́mptotas
Inexistência de Assı́mptotas
Seja f : D ⊆ R → R e suponhamos que D não é majorado nem minorado.
Diz-se que:
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, x >
x→+∞
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, x >
x→+∞
1
1
⇒ f (x) >
ε
δ
1
1
⇒ f (x) < −
ε
δ
1
1
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, x < − ⇒ f (x) >
x→−∞
ε
δ
1
1
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀δ > 0, ∃ε > 0, ∀x ∈ D, x < − ⇒ f (x) < −
x→−∞
ε
δ
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Prolongamento por Continuidade
Definição
Sejam f, f¯ : R → R duas funções. Diz-se que f¯ é um prolongamento de f
se:
Df ⊂ Df¯
∀x ∈ Df , f¯(x) = f (x)
Teorema
Seja f : D ⊂ R → R e a ∈ (R \ D) ∩ D. A função f é prolongável por
continuidade ao ponto a se e só se existir lim f (x).
x→a
Exemplo
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Descontinuidade Removı́vel
Definição
Seja f : D ⊂ R → R uma função descontı́nua em a ∈ D. Diz-se que f
tem uma descontinuidade removı́vel no ponto a se existir uma função g,
contı́nua em a, que apenas difere de f em a.
Exemplo
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Teorema de Bolzano ou do Valor Intermédio
Teorema
Seja f uma função contı́nua num intervalo I e a, b ∈ I, com f (a) 6= f (b).
Para todo o número k estritamente compreendido entre f (a) e f (b), existe
c estritamente compreendido entre a e b tal que f (c) = k.
Corolário
Se f é continua num intervalo I e a, b são pontos de I tais que
f (a).f (b) < 0 então f tem pelo menos um zero entre a e b.
Exemplo
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)
Teorema de Weierstrass
Teorema
A imagem de um conjunto fechado e limitado por uma função contı́nua é
um conjunto fechado e limitado.
Teorema
Toda a função contı́nua num conjunto fechado e limitado tem um máximo
e um mı́nimo nesse conjunto.
(AMATI 2021/22 - 1o Semestre)