BAB IV
VIBRASI KRISTAL
MATERI :
Getaran (Vibrasi) Kristal
• 4.1.persamaan dispersi untuk kristal
berbasis satu atom.
• 4.2.kecepatan kelompok
(group velocity)
• 4.3 persamaan dispersi untuk kristal
berbasis dua atom.
• 4.4.cabang optik
• 4.5.cabang akustik.
INDIKATOR
• menentukan persamaan dispersi untuk
kristal berbasis satu atom.
• menghitung kecepatan kelompok untuk
sebuah gelombang.
• menentukan frekuensi/energi untuk cabang
optik.
• menentukan frekuensi /energi untuk
cabang akustik.
TIK :
Menentukan frequensi Gelombang elastik dalam bentuk
(sebagai fungsi ) Vektor gelombang (k) ,
Atau dapat dinyatakan : W = f (k )
VIBRASI KRISTAL
Gelombang Elastik
dan PHONON
MONOATOMI
K
DIATOMIK
Getaran atom dapat disebabkan oleh :
Zat padat yang menyerap energi panas.
Gelombang yang merambat pada kristal.
Dari bab sebelumnya,telah dibahas bahwa kristal
tersusun oleh atom atom yang diam pada posisi di
titik kisi.
Sesungguhnya atom-atom tersebut tidaklah diam,
tetapi bergetar pada posisi kesetimbangnya.
Ditinjau dari panjang gelombang yang
digunakan dan dibandingkan dengan jarak
antar atom dalam kristal,dapat dibedakan
menjadi :
- pendekatan gelombang pendek
- pendekatan gelombang panjang
Disebut pendekatan gelombang pendek
apabila :
• Apabila panjang gelombang yang
digunakan memiliki panjang gelombang
yang lebih kecil dari jarak antar atom.
• Dalam keadaan ini gelombang akan
“melihat” bahwa kristal merupakan
susunan atom atom diskret, sehingga
pendekatan ini sering disebut pendekatan
kisi diskret.
• Sebaliknya , bila diapakai gelombang yang
panjang, gelombangnya lebih besar dari
jarak antar atom,kisi akan “nampak” malar
(kontinue) sebagai suatu media
perambatan gelombang. Oleh karena itu,
pendekatan ini sering disebut sebagai
pendekatan kisi malar.
GELOMBANG ELASTIK
Gelombang
mekanik
regangan pada batang :
du

dx
.............................(1)
tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut:
.....................................................(2)
E
menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada
elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :
......................................(3)
F  A { (x  dx) -  (x)}
 2u
……………………. (4)
 Adx
 A{ ( x  dx )   ( x )}
2
t


dx
x

E
dx
dx
  du 
 E  dx
x  dx 
 d 2u 
……………………. (5)
 E  2 dx
 dx 
Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga diperoleh :
 2u
 2u
Adx 2  E 2 dx.A
t
x
2
 2u
    u
 

2
2
x
 E  t
……………………. (6)
Fonon
Fonon adalah fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem
Fisika.
Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Jadi, Fonon
adalah partikel yang terdapat dalam gelombang elastik.
Contoh : nitrogen vacancy center (NV Center) in diamond,
konfigurasi elektron nya membentuk energi level 'ground
state' dan 'excited state' yang perbedaan energinya sebesar
637 Nm.
Persamaan Gerak
MONOATOMIK
Grafik
Kecepatan Group
GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS SATU ATOM
(MONOATOMIK)
Pembahasan ini kita mulai dengan kasus yang paling
sederhana yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal
akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam
arah 100;110;111
[1 1 1]
[ 1 1 0]
[1 0 0]
Untuk setiap vektor gelombang   terdapat 3 model getaran,
yaitu :1 buah longitudinal
2 buah transversal.

k
Y
ARAH RAMBAT (SB.X)
US (ARAH SIMPANGAN)
X
Z
1 Buah Gelombang Longitudinal
Y
Simpangan
X
Z
Arah Rambat
Simpangan
2 Buah Gelombang
Transversal
s
Jadi : Fs  c U s 1  U s   c U s 1  U s 
Fs  c U s 1  U s-1 - 2Us 
.............. (1)
Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :
Hukum Newton :  F  ma
Hukum Hooke: F  c.x
Dari kedua
persamaan
di atas diperoleh
m a  c.  x
d 2 Us
m 2  c(U s 1  U s-1 - 2Us)
dt
..............(2)
:
Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t),
dinyatakan oleh :
U  e  i t
s
Karena persamaan (2) merupakan turunan hanya terhadap
waktu, maka :
d2U
2
d
s 
dt 2
dt 2
 e  i t    ω 2 e - i t


Jadi :
d 2 Us
2


ω
Us
2
dt
US
Sehingga, persamaan (2) dapat ditulis :

 ω2 mU  c U
U
 2U
s
s 1
s 1
s

Solusi : U  e  i t dapat ditulis sebagai berikut :
s
2π
- i t
U  e- it  e- i2πt  e λ
s

ikx

iksa
e
U e
s
Secara lengkap, Us dapat ditulis sebagai berikut :
Us  Ue  iksa
Karena itu :
U
U
s 1
 U.e
 ik(s  1)a
 U.e  iksa .e  ika
 U e  ika .......... .......... .......... .......... ... ( 5 )
s 1
s
Persamaan (5) dan (3) dapat ditulis :
 ω 2 mU
 c (U e ika  U e  ika  2U )
s
s
s
s
 ω 2 m  c (e ika  e  ika  2) .......... ......... (6)
Karena :
e  i θ  cos θ  i sin θ
maka
: e ika  e  ika  2cos ka
Sehingga persamaan (6) menjadi :
ω2m  c 2 cos ka  2
ω2 
ω
2c
1  cos ka 
m
2c
1  cos ka 
m
1
2
…………(7)
Solusi persamaan (7) menjadi:
2c 
1 
2
2
ω   2sin
ka 
m
2 
ω  2
c
m
sin
1
ka
2
A
…………..(8)
Persamaan (8)
Persamaan dispersi
Menyatakan hubungan antara frekuensi sudut ω
terhadap vektor gelombang k 
ω  f (k )
Persamaan (8) merupakan Persamaan Dispersi. Persamaan (8)
menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (ω) terhadap vektor
gelombang (k). ω = f(k)
Bila dinyatakan dengan grafik
Daerah Brillovin I
Sin π/2 = sin 90o → max = 1
/2
Sin
= sin 45o = ½ √2
2
/3 = sin 30o = ½
Sin
2
Bila dinyatakan dengan grafik, maka:
.
KECEPATAN GROUP
/KECEPATAN KELOMPOK (Vg)
dω
v 
g dk
Gradien atau arah
1 
d c
 2
sin ka 
dk  m 2 
ka
c a
2
cos
2
m2
………………(9)
Pada saat ka = 
2π
a  π  λ  2a
λ
π
c
v a
cos  0
g
m 2
Artinya tidak ada gradien /kemiringan
π
Pada saat ka 
2
2π
π
a   λ  4a
λ
2
c
c
π
v  a cos  0,74a
g
m
m 4
Artinya ada gradien /kemiringan
Persamaan Gerak
diATOMIK
Grafik
Kecepatan Group
VIBRASI KRISTAL DIATOMIK
Persamaan gerak : F = m.a = c. Δx
Untuk
m1 → m1
m1
d 2U s
= c {( Vs- Us)+( Vs-1-Us)
dt 2
d 2U s = c { V + V - 2 U }.........(1)
s
s-1
s
dt 2
Untuk
d 2U s
= c {( Us+1- Vs)+( Us-Vs)
m2 → m2
2
m2
dt
d 2U s = c { U
s+1 + Us - 2 Vs}.........(2)
2
dt
PERSAMAAN GERAK
a
M2
M1
M1
d2U

M2
 
s c V U  V
U
Untuk m 1  m 1
s
s
s

1
s
dt 2
m
Untuk
m
m
d2U
1
2
dt
 m
d2V
2
dt 2

s cV V
 2U
s
s
1
s

2
d2V
2
dt 2

s cU

s  c U
s 1
s 1
V
 U  2V
s
s

s

.................... (1)
 U s  V s 
 ............................ (2)
Solusinya :
U
s
Ue
i ksa  ωt




dU
dt

s  U i(- ω( e i  ksa  ωt
d2U
dt
V Ve
s
U
s 1
V
s 1

s   U ω 2 e i  ksa  ωt




i  ksa  ωt 
i  ksa  ωt   ika
Ue
e
.............. (3)
i  ksa  ωt   ika
Ve
e
Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh :
i ksa ωt  i ksa ωt
i ksa ωt
i ksa ωt 
2
 m Uω e
 cVe
 Ve
 2Ue

1


 m ω 2 U  cV 1  e - ika   2cU .............................. (4)
1


 m ω 2 V  cU 1  e ika  - 2cV ................................... (5)
2


Determinan dari persamaan (4) dan (5)
2c  m1ω 2
(c)(1  eika ) U
(c)(1  eika )
2c-m2ω2
2c  m1ω 2
(c)(1  e ika )
(c)(1  e ika )
2c-m2ω2
V
0
=0
{(2c  m1ω 2 )(2c  m 2 ω 2 )} - {(  c)(1  e ika ) (  c)(1  e  ika )}  0
(m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2-c2(2+ eika+ e-ika)=0
(m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2+2c2(1- cos ka)=0
Rumus abc:
2
2
2c(m
m
)
{2c(m
m
)}
4(m
m
)(2c
)(1  cos ka)




1
2
1
2
1
2
2
(12) =
2(m1 m 2 )
Persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik)
(ω1
)2
1
1 2
4
1
1
2 ka
) 
sin ( )
=c(  )+c ( 
2
m1 m2
m1 m2
m1 m2
Persamaan cabang akustik (bunyi)
(ω1
)2
1
1 2
4
1
1
2 ka
) 
sin ( )
=c(  )-c ( 
2
m1 m2
m1 m2
m1 m2
2c
m1
Bila m1‹ m2 →
›
2c
m2
ωop={2c()}1/2
Cabang optik √(2c/m1)
Daerah
terlarang(tidak ada
energi yang dilalui)
√(2c/m2)
Cabang
akustik
-π/2a
-π/a
2c
Bila m1 › m2 →
m1
‹
0
π/2a
2c
m2
Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang
artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran
π/a
Grafik ω terhadap k pada vibrasi kristal diatomik
Cabang
optik
ωop={2c()}1/2
√(2c/m1)
√(2c/m2)
Daerah
terlarang(tidak
ada energi
yang dilalui)
Cabang
akustik
-π/a
-π/2a
0
π/2a
π/a
k
Bila m1 › m2 maka
Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap
energi selalu menghasilkan getaran.
ω untuk vibrasi kristal diatomik
1 1
(1,2)  C   C
 m1 m2 
2
2
1 1
4
2  ka 
sin  
  
2
 m1 m2  mm
1 2
Untuk cabang optik

2






1
1
1
1
2
2

 1  C     C    

cos ka
 m m
m1 m2  mm
mm

1
2

1 2
1 2




1
2




Untuk cabang akustik

2






1
1
1
1
2
2


cos ka
2  C    C    

 m m
m1 m2  mm
mm


1
2
1
2
1 2




1
2




1
2
1
2
KECEPATAN GROUP
Untuk cabang optik
1
Vg1 
k
1
2

2
2

   1 1   1 1 
2
2
Vg1 
C     C    

cos ka 

k   m1 m2   m1 m2  m1m2 m1m2
 



1
1  2

2
2



1 1
a
2
2
  1 1 


Vg1  
C sin ka  C     C    
cos ka 

2mm
mm
 
1 2
1 2
1 2
  m1 m2   m1 m2  mm


1
1
2
 1 1 

2
2
   

coska
mm
 m1 m2  mm

1 2
1 2
2
Untuk cabang akustik
Vg 2 
2
k

2


   1
1 
1 
2
2
 1
cos ka 
Vg 2 
C 

  C  
 

m1 m2 
m1 m2  m1m2 m1m2
k






1

2






1
1
1
1
2
2


 C  m  m   C  m  m   m m  m m cos ka  
 1
 
2 
2 
1 2
1 2
aC sin ka    1
Vg 2  

2
2m1m2  

 1

1
2
2
  

cos ka 
 
m
m
m
m
m
m
  1

2 
1 2
1 2
1
2
2












1
2
1
2
ANIMASI PHONON
LATIHAN SOAL :
1.Jelaskan persamaan dispersi untuk kristal
berbasis satu dan dua atom.
2.Hitung kecepatan kelompok untuk sebuah
gelombang pada kristal monoatomik dan
diatomik.
3.Tentukan frekuensi/energi untuk cabang optik.
4.Tentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.
Latihan soal
1.Sebuah gelombang elastis merambat didalam
krital monoatomik satu dimensi
dengan konstanta kisi sebesar 2 A0.
Tentukan :
a. w (k) dan kecepatan group (vg ) pada energi :
1 eV dan 0,8.10-18 Joule
b. Batas nilai k dan panjang gelombang ( λ )max yang
membatasi daerah Brillouin-I
c. Buatlah grafik sebagai fungsi (k), untuk kasus diatas.
Latihan soal :
2.a.Jelaskan tentang konsep vibrasi kristal,
b.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari
kristal monoatomik
c.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari
kristal di atomik.
3. Turunkan kecepatan group untuk kristal di
atomik untuk cabang
a. optik
b. akustik
Test Unit I :
Selasa : 7 April 2009
Materi : Bab I – III
Test Unit II :
Selasa 02 Juni 2009
Materi : Bab IV- VI
Test Unit III :
Di jadwal Tentamen
Materi : Bab : VII - X
TUGAS TIAP KELOMPOK DIKUMPULKAN : PADA SAAT TU-I
A. Print-Out Tugas Kelompok 1-3:
Soal di Kittel (bab I)
Buku b’wien ( Modul 1-2 )
Semua latihan soal ( selama kuliah )
B. Print-Out Tugas Kelompok 4-6:
Soal di Kittel (bab 2)
Buku b’wien ( Modul 3-4 )
Semua latihan soal ( selama kuliah )
C. Print-Out Tugas Kelompok 7-10:
Soal di Kittel (bab 3)
Buku b’wien ( Modul 5-6 )
Semua latihan soal ( selama kuliah )