Tugas Personal ke-1
Minggu ke 2
Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar!
1. Berikut pembuktian ekuivalensi logis berdasarkan teorema. Berikan penjelasan dari
masing-masing tahapan pembuktian
(𝑝 ∧ ∼ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ (∼ 𝑞 ∨ 𝑞)
Distributif(a)
≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ ∼ 𝑞 )
Komutatif(b)
≡ 𝑝 ∧ 𝑡
Negasi(c)
≡ 𝑝
Identitas(d)
2. Berikut diberikan beberapa premis dan konklusi. Buktikan validitas argument dengan
memberikan alasan pada setiap tahapan pembuktian.
3.
a. ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑟
Premis
b. 𝑠 ∨ ∼ 𝑞
Premis
c. ∼ 𝑡
Premis
d. 𝑝 → 𝑡
Premis
e. ∼ 𝑝 ∧ 𝑟 →∼ 𝑠
Premis
f. ∴ ∼ 𝑞
Konklusi
Konstruksi sirkuit dari ekspresi Boolean berikut :
a. (𝑃 ∧ 𝑄) ∨ ∼ 𝑅
MATH6162 - Mathematics
b. (𝑃 ∧ ∼ 𝑄) ∨ (∼ 𝑃 ∧ 𝑅)
4. Buktikan kebenaran pernyataan berikut.
a. Untuk setiap bilangan bulat 𝑛, jika 𝑛 bilangan
ganjil maka 3𝑛 + 5 merupakan
bilangan genap. Gunakan metode pembuktian langsung (direct proof)
Jawab:
Jika n bilangan ganjil, maka n = 2k +1 dengan k ∈ 𝑍
3n + 5 = 3n + 5
= 3(2k + 1) + 5
= 6k + 6 + 5
= 6k + 10 + 1
= 2(3k+5) + 1
= 2m + 1
Dengan m=3k+5, menunjukan bahwa bentuk 2m + 1 adalah bilangan ganjil, jadi terbukti
bahwa 3n + 5 merupakan bilangan genap
b. Misalkan 𝑛 ∈ ℕ, Buktikan bahwa 1.2+ 2.3 + 3.2 + ⋯ + 𝑛3 =
𝑛 2 (𝑛+1)2
4
. Gunakan
metode pembuktian Induksi Matematika
i.
Pembuktian P(n) benar untuk n = 1, maka
n3 =
13 =
1
𝑛2 (𝑛+1)2
4
12 (1+1)2
4
4
=4
MATH6162 - Mathematics
1
=1
Terbukti P(n) benar untuk n=1
ii.
Untuk n = k, maka
1.2+2.3 + 3.2 + ⋯ + 𝑘 3 =
𝑘 2 (𝑘+1)2
4
P(n) benar untuk n=k
Akan ditunjukan bahawa P(n) benar untuk n = (k + 1), maka
1.2+2.3 + 3.2 + ⋯ + 𝑘 3 + (𝑘 + 1)3 =
(𝑘+1)2 ((𝑘+1)+1)
2
4
Pembuktian :
𝑘 2(𝑘+1)2
4
+ (𝑘 + 1)3
=
=
=
=
=
=
𝑘 2(𝑘+1)2
4
+ (𝑘 + 1)3
=
(𝑘+1)2((𝑘+1)+1)
2
4
(𝑘+1)2(𝑘+2)2
4
(𝑘 2+2𝑘+1)(𝑘 2+4𝑘+4)
4
𝑘 4 +4𝑘 3+4𝑘 2+2𝑘 3 +8𝑘 2+8𝑘+𝑘 2+4𝑘+4
4
(𝑘 4 +2𝑘 3+𝑘 2 )+4𝑘 3+12𝑘 2 +12𝑘+4
4
𝑘 2 (𝑘+1)2+4(𝑘 3+3𝑘 2+3𝑘+1)
4
𝑘 2 (𝑘+1)2
4
+ (𝑘 + 1)3
Terbukti bahwa P(n) benar untuk n=(k + 1)
jadi, kesimpulannya 1.2+2.3 + 3.2 + ⋯ + 𝑛3 =
𝑛2(𝑛+1)2
4
benar untuk setiap bilangan asli
n
ELANZA KHAELADIEN
2502126996
MATH6162 - Mathematics