I ANALISIS DIMENSIONAL
"Matemáticas de las dimensiones de las cantidades’’
Es una técnica mediante la cual se deduce información acerca de un
fenómeno, basándose en la premisa de que este puede escribirse mediante
una ecuación dimensionalmente homogénea entre ciertas variables. El
resultado del A.D. consiste en reducir el número de variables originales que
entran en el fenómeno a un conjunto más pequeño, formado con dichas
variables, que conforman un grupo de parámetros dimensionales.
Un parámetro dimensional se puede considerar como el cociente de dos
fuerzas que actúan en el fenómeno, indicándose, mediante la magnitud relativa
de este cociente, la importancia de una de las fuerzas con respecto a la otra.
Si en un fenómeno dado, ciertas fuerzas resultan mucho mayores que otras,
entonces es posible despreciar, a menudo, el efecto de las fuerzas más
pequeñas, dando lugar a que los parámetros adimensionales se conviertan en
característicos del fenómeno estudiado, recibiendo el nombre de Números
Adimensionales en algunos casos. (Reynolds, Froude, Euler, Mach, Wueber,
etc.).
El análisis dimensional se basa en el Principio de Homogeneidad Dimensional,
que establece que “si una ecuación expresa correctamente una relación
entre variables, debe ser dimensionalmente homogénea, es decir, sus
sumandos deben tener las mismas dimensiones”.
Una variable es dimensional si su valor numérico depende de la escala usada
en su medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido. Una variable
es adimensional cuando su valor numérico es independiente del sistema de
unidades de medida. Ejemplos típicos de cantidades dimensionales son la
longitud, el tiempo, la fuerza, la energía, etc. Los ángulos, la relación entre dos
longitudes, el rendimiento, son ejemplos de cantidades adimensionales.
El Análisis Dimensional permite reducir el número y la complejidad de las
variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado:
Si un fenómeno físico depende de n variables dimensionales, es posible
reducir el problema a sólo k variables adimensionales, donde la reducción n-k
puede ser 1, 2, 3 o 4, dependiendo del número de dimensiones básicas que
intervengan en el fenómeno.
En definitiva, el Análisis Dimensional: (1) Permite un análisis cualitativo,
(2) Muestra la dependencia entre las variables y (3) Simplifica las relaciones
entre variables, mientras que la Teoría de Modelos permitirá extrapolar
resultados entre flujos semejantes.
1.1. UTILIDAD DEL A.D.
Para determinar la forma de ecuaciones físicas a partir de las variables
principales y de sus dimensiones. Para comprobar cualitativamente
ecuaciones. Para determinar las dimensiones de coeficientes empíricos. Para
establecer y realizar experimentos, descubriendo aspectos desconocidos del
problema. Para formular leyes de similitud de considerable importancia en la
investigación experimental.
1.2. DIMENSIONES
Las dimensiones empleadas en la mecánica son: fuerza, masa, longitud y
tiempo, las cuales están relacionadas entre sí por la segunda ley de Newton
sobre el movimiento:
F = Masa ´ Aceleración
donde la masa (inercial) es expresada a partir de esta relación, por lo cual solo
tres de las cuatro dimensiones empleadas son independientes entre sí. Según
la combinación de las dimensiones se puede hablar de dos sistemas de
unidades: Absoluto y Gravitacional.
Sistema
Dimensiones
Unidades
Absoluto
MLT
Kilogramo - metro - segundo
Gravitacional F L T
Newton - metro - segundo
1.3. DIMENSIONES Y CANTIDADES FÍSICAS
Variable
Símbolo
Unidad
MLT
FLT
Fuerza
F
Nw
MLT-2
F
Masa
M
Kg.
M
FL-1T-2
Longitud
L
M
L
L
Tiempo
T
S
T
T
Velocidad lineal
V
m/s
LT
L
Velocidad angular
w
s-1
T-1
T-1
Velocidad del sonido
C
m/s
LT-1
LT-1
Aceleración lineal
A
m/s2
LT-2
LT-2
Aceleración gravedad
G
m/s2
LT-2
LT-2
Gasto o caudal
Q
m3/s
L3T-1
L3T-1
Caudal unitario
Q
m2/s
L2T-1
L2T-1
Presión
P
Pa
ML-1T-2
FL-2
Densidad
r
Kg/m3
ML-3
FL-4T2
Peso específico
G
N/m3
ML-2T-2
FL-3
Viscosidad dinámica
M
Pa.s
ML-1T-1
FL-2T
Viscosidad cinemática V
m2/s
L2T-1
L2T-1
Tensión superficial
S
N/m
MT-2
FL-1
Esfuerzo de corte
t
Pa
ML-1T-2
FL-1
Modulo de elasticidad
E( K)
Pa
ML-1T-2
FL-2
1.4. PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN DEL A.D.
Listar todos los parámetros (m) significativos que influyen en el problema a
estudiar, m es el número de variables.





Seleccionar un conjunto fundamental de dimensiones. FLT o MLT.
Listar todas las variables en función del sistema escogido y clasificarlas
en geométricas, cinemáticas y dinámicas, elaborando la matriz
dimensional.
Encontrar el orden del mayor determinante diferente de cero de la matriz
dimensional. El orden de este determinante es n.
Aplicar uno de los tres métodos de solución.
El A.D. no corrige una mala selección de las variables que influyen en el
fenómeno a estudiar.
1.5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Los métodos de solución aplicables al A.D. se basan en el principio de
homogeneidad dimensional establecido por Fourier en 1822 según el
cual la relación entre un fenómeno y sus variables debe ser la unidad o
una constante adimensional.
Ejemplo 1.1: Supóngase que se quiere estudiar la fuerza
ejercida por una corriente uniforme de fluido sobre un objeto inmerso en él:
Se sabe que esta fuerza, F, depende de la longitud del objeto, L, de la
rugosidad de la superficie, ε,de la velocidad del flujo, v, de la densidad del
fluido, ρ, y de su viscosidad, µ. Esta relación se puede expresar como:
Si, por ejemplo, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán
realizar 105 experimentos para definir adecuadamente esa relación. En
cambio, el Análisis Dimensional va a permitir expresar esa relación como:
Si, como antes, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán
realizar únicamente 102 experimentos para definir adecuadamente esa
relación. Considérese ahora que no se considera la influencia de la rugosidad,
o si el cociente ε/L es el mismo:
y que se tienen dos objetos geométricamente semejantes tal que en el “objeto
prototipo” se tiene un tamaño L y en el “objeto modelo” se tiene un tamaño 2 L.
Se va a igualar el número de Reynolds entre el modelo y el prototipo
(suponiendo que se utiliza el mismo fluido):
Si se ensaya el modelo en esas condiciones, al ser iguales los números de
Reynolds, la expresión anterior nos dice que también será igual la agrupación
de variables del lado izquierdo:
1.5.1. Método de Rayleigh.
Si una expresión es de la forma x = a + b + c + d +... + n será necesario
que todas y cada una de las variables tengan las mismas dimensiones.
Si se tiene un conjunto de variables que representan un fenómeno dado
y si todas o algunas de ellas, tienen dimensiones diferentes, una función
que las relacione debe ser un producto de estas variables elevadas a
determinadas potencias, de forma que se cumpla el principio de
homogeneidad.
Ejemplo 1.2
Se sabe que la velocidad de salida de un fluido por un orificio practicado
en la pared de un tanque, que contiene un fluido cualquiera, es una
función de: la altura del fluido dentro del tanque y de la aceleración de la
gravedad. Determinar la forma de la ecuación para la velocidad.
V = F (g,H)
Sistema MLT
[V] = [L T -1] [g] = [L T-2] [H] = [L]
Según Rayleigh V= C g b H a
LT-1 = C [L]a [L T - 2] b
Se debe cumplir que la suma de los exponentes de las dimensiones de
la derecha sea iguales a la suma de los exponentes respectivos de la
izquierda.
Para L
1 = a + b Þ a = 1-b
Para T
- 1 = - 2b Þ a = ½ y b = ½
Por lo tanto
\ V = C g½ H½
Cuando se aplica la ecuación de la energía o de Bernoulli se obtiene:
, por lo tanto C debe tender como mínimo a Cv
, sin
tener en cuenta el fluido dentro del tanque y las características del
orificio (diámetro y forma).
Ejemplo 1.3
Del problema anterior se obtiene que el caudal de salida será:
, donde C no es una constante sino que varía con la carga
y el tamaño del orificio y de las propiedades del fluido ( r , m ) .
Determinar por A.D de que parámetro depende C.
1. Q = F( A,h,g,m ,r )
2. Sistema FLT
3. Unidades [Q] = L3 T-1 , [A] = L2 , [H] = L , [g] = LT-2
[m ] = FL-2T , [r ] = FL-4T2
4. Q = C m a r b Ac Hd ge
\ L3T-1 = ( FL-2T) a ( FL-4T2) b ( L2) ( L) d ( LT-2) c
para F
0=a+b
para L
3 = -2a - 4b + 2c + d + e
para T
1 = a + b –2e -1 = a-a-2e
Al resolver para b, c, y e en función de a y d
b = -a
\
Para obtener la ecuación original, se multiplica y se divide por
Þ
Por lo tanto
en el cual, el valor de los exponentes a, d y la constante C1, deben ser
obtenidos experimentalmente.
Otra forma de analizar el problema sería cuando se asuma que el
exponente d tienda a
, (d=1/2).
1.5.2. Inconvenientes Método de Rayleigh.
Según el problema anterior, parece que en el análisis dimensional solo
se pueden escribir tres ecuaciones ya que únicamente existen tres
dimensiones fundamentales independientes MLT o FLT. Además, en
este caso, serían posibles otras nueve soluciones del problema de igual
validez en término de: a, b; a, c; a, e; b, c; b, d; b, e; c, d; c, e y d.
Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema
de más de tres incógnitas, pero no limita la utilidad del A.D para obtener
la forma de los términos de una ecuación.
1.5.3. Método de Buckimgham
El método de A.D de Rayleigh fue mejorado por Buckingham con una amplía
generalización que se conoce como el teorema P.
1.5.3.1 Teorema P.
Si un proceso físico satisface el Principio de Homogeneidad Dimensional y
relaciona n variables dimensionales, se puede describir mediante una relación
entre solo k variables adimensionales. La reducción j=n-k es igual al máximo
número de variables que NO pueden formar un grupo adimensional entre ellas,
y es siempre menor o igual que el número de dimensiones que describen estas
variables.
Para encontrar la reducción j, se seleccionan j variables que no puedan formar
un parámetro adimensional.
Cada parámetro adimensional deseado estará formado por el producto de
potencias de estas j variables con una variable adicional a la que se le asigna
un exponente conveniente no nulo (habitualmente 1). Todos los grupos
adimensionales así determinados son independientes.
Este proceso se puede sistematizar en los pasos siguientes:
1) Se hace una lista de las n variables relacionadas con el problema estudiado
y de sus dimensiones.
2) Se determina la reducción j. Para ello, se elige inicialmente igual al número
de dimensiones diferentes que aparecen en el problema y se buscan j variables
que NO puedan formar un grupo adimensional; si no se encuentran, se reduce j
en una unidad y se buscan de nuevo.
3) Se selecciona un grupo de j variables que NO puedan formar un grupo
adimensional que tengan bastante generalidad (que incluyan todas las
dimensiones implicadas).
4) Se añade una variable diferente de las j variables elegidas y se forma un
producto de potencias; a continuación se determinan los exponentes que hacen
que el grupo sea adimensional. Se repite este paso con el resto de variables.
Ejemplo: Supóngase que se quiere estudiar la fuerza ejercida por una
corriente uniforme de fluido sobre un objeto inmerso en él. Se sabe que esta
fuerza, F, depende de la longitud del objeto, L, de la rugosidad de la superficie,
ε,de la velocidad del flujo, v, de la densidad del fluido, ρ, y de su viscosidad, µ.
Esta relación se puede expresar como:
1) Lista de variables y sus dimensiones:
Fuerza
F
M L T-2
Longitud
L
L
Rugosidad
ε
L
Velocidad
v
L T-1
Densidad
ρ
M L-3
Visc. Dinámica
µ
M L-1 T-1
n=6
2) En las variables nos aparecen las dimensiones M, L y T, por lo que se van a
buscar j = 3 variables que NO puedan formar grupo adimensional; por ejemplo,
L, v y ρ no forman grupo adimensional, luego j = 3.
3) Se elige a ρ, v y L como variables repetitivas.
4) Se forman productos de potencias de las variables repetitivas con el resto de
variables:
Por tanto la relación anterior se puede expresar de la siguiente manera:
Para obtener los grupos adimensionales, además del Teorema Π, se puede
aplicar el “Método del producto de potencias, que consiste en expresar la
función estudiada como un producto de potencias de las variables de las que
depende y aplicar el Principio de Homogeneidad Dimensional:
Ejemplo: Se va a resolver el ejemplo anterior con el método del producto
de potencias:
Dimensionalmente:
Ejemplo 1.4
La fuerza de arrastre que actúa sobre un cuerpo (esfera) que se mueve por un
fluido de viscosidad m y densidad r, es una función del diámetro y de la
velocidad del objeto con relación al fluido. Determinar la forma de la ecuación
de esta fuerza.
Fa = f(D,V,r ,m ,) Þ F(Fa,D,V,r ,m ,) = 0
Sistema gravitacional FLT
Dimensiones variables
[Fa] = F, [D] = L, [V] = LT-1,
[r ] = FL-4T2 , [m ] = FL-2T
Matriz dimensional
D
V
r
m
Fa
F
0
0
1
1
1
L
1
1
-4
-2
0
T
0
-1
2
1
0
Al analizar el determinante de las tres últimas variables se observa que su valor
es igual a cero. Pero cuando se conforma como:
V r
m
0
1
1
1
-4 -2 = -1 (1-2) + 1 (2-4) = 1-2 = -1 ¹ 0
-1 2
1
Por lo tanto n =3. m = 5 y (m-n) = 2
Número variables = 5
Números de grupos p = 2 Fi (p 1,p 2) =0
Variables geométricas: D
Variables Cinemáticas: V
Variables dinámicas: r, m, Fa
Se asumen como variables repetidas: D, V, r y adicionales m y Fa.
\ p 1 = DaVbr cm , p 2 = DdVer fFa
Para p 1: F0 L0 T0 = (L)a (LT-1)b(FL-4T2)c(FL-2 T)
para F 0 = c + 1 Þ c = -1
para L 0 = a + b + 4 -2 Þ a= -1
para T 0 = -b -2 + 1 = -b -1 Þ b = -1
De donde
p 1 = D-1V-1r -1m
ó
Para: p 2: F0 L0 T0 = (L)d (L T-1)e (F L-4 T2)f (F)
para F 0 = f + 1 Þ f = -1
para L 0 = d + e + 4 Þ d = -2
para T 0 = - e -2 Þ e = -2
De donde p 2 = D-2V-2r -1Fa ó
Según Buckingham: F1(p 1,p 2) = 0
De esta función se despeja la variable objetivo
, en la cual:
1.6 NORMALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSTITUCIÓN
En los apartados anteriores se analizó como el análisis dimensional permite
reducir el número de variables implicadas en un determinado fenómeno físico,
relacionándolas de forma que aparezcan agrupadas en forma adimensional.
Según este método, no es preciso conocer las ecuaciones gobernantes del
fenómeno, pero requiere que se conozcan todas las variables que influyan en
él, pues la introducción de cualquier variable extraña o la omisión de una
variable importante puede invalidar el análisis, apareciendo grupos
adimensionales irrelevantes y prescindiendo de grupos importantes.
El análisis inspeccional consiste en la aplicación del análisis dimensional a las
ecuaciones de constitución de Mecánica de Fluidos. De esta forma, se pone de
manifiesto la relación existente entre los distintos términos y su importancia
relativa según las características del flujo. Al aplicar las ecuaciones de
constitución a un caso particular, existirán términos que podrán ser
despreciados, simplificándose la resolución de las mismas. El análisis
inspeccional analiza la magnitud de cada término en las ecuaciones de
constitución; para ello, se sustituye cada una de las variables por otras
variables normalizadas, adimensionalizadas con valores típicos de cada una de
las variables implicadas.
Por un lado, ya se sabe que la adimensionalización de las ecuaciones permite
reducir el número de variables implicadas. Por otro, si dos flujos poseen la
misma geometría relativa, las mismas condiciones de contorno e iniciales
adimensionales, la solución adimensional de las ecuaciones es la misma, y se
dice que los flujos son dinámicamente semejantes.
1.6.1 Normalización de las ecuaciones
Las variables normalizadas que se van a introducir en las ecuaciones de
constitución son las siguientes, siendo las variables típicas las que llevan el
subíndice 0:
Longitudes: longitud característica = L0
Tiempos: tiempo característico = t0
Densidades: densidad característica = ƒÏ0
Densidades: densidad característica = ρ0
Presiones: presión característica = p0
Temperaturas: temperatura característica = T0
Operador Nabla: longitud características = L0
Operador Nabla2: longitud características = L0
Para adimensionalizar los gradientes, se distinguirá entre los gradientes de
velocidad, que se obtendrán de la siguiente forma:
siendo δp0 un variación típica de presión. Esto se debe a que, en general, las
variaciones de velocidad pueden ser del mismo orden de magnitud que la
velocidad misma, mientras que las variaciones de presión (densidad,
temperatura) serán pequeñas en comparación con su valor absoluto.
Si los valores típicos de las variables han sido correctamente elegidos, todos
los términos normalizados (con superíndice *) deben ser de orden unidad. Por
tanto, la relación entre los coeficientes de dos términos cualesquiera
proporciona su magnitud relativa.
A continuación se van a normalizar las ecuaciones de constitución que
gobiernan el flujo de un fluido newtoniano.
A) Ecuación de continuidad.
B) Ecuación de cantidad de movimiento.
Normalizando, se obtiene la siguiente expresión:
C) Ecuación de la energía (para un gas ideal).
siendo Φ la función de disipación viscosa, dada por la expresión:
donde eij es un término genérico del tensor isotrópico, que aparece en la
descomposición del tensor gradiente de velocidades de deformación, que
se obtiene según la expresión:
Normalizando la ecuación se obtiene la siguiente expresión:
1.6.2 Comparación de los términos
Una vez normalizadas las ecuaciones de constitución, en cada una de ellas
se van a comparar los coeficientes de los distintos términos.
A) Ecuación de continuidad.
i. Relación entre el término de variación local de densidad y el término
convectivo.
A este parámetro se le denomina número de STROUHAL, y representa el
cociente entre el tiempo que una partícula fluida tarda en recorrer la
distancia típica con la velocidad típica, y el tiempo (o frecuencia) típico del
flujo.
Como ilustración, considérese el movimiento en las proximidades de un ala
de avión que posee un movimiento oscilatorio de frecuencia 1/t0 (Figura 1).
Si el valor del número de Strouhal es muy grande, una partícula fluida
permanece mucho tiempo en presencia del fenómeno oscilatorio, con lo que
el flujo sería no estacionario. En cambio, si el número de Strouhal es muy
pequeño, las oscilaciones no afectan a la partícula, pues está permanece
poco tiempo en contacto con el fenómeno; entonces el flujo puede
considerarse estacionario.
ii. Relación entre el término convectivo y el de la divergencia de la
velocidad.
Este cociente representa una relación de compresibilidad, de forma que si
su valor es pequeño, puede considerarse que el flujo es incompresible.
B) Ecuación de cantidad de movimiento.
i. Relación entre el término de aceleración local y el término de aceleración
convectiva.
Se obtiene de nuevo el número de Strouhal, pudiéndose hacer las mismas
consideraciones que en el caso anterior respecto al carácter temporal del
flujo.
ii. Relación entre el término del gradiente de presión y el término
convectivo.
A este parámetro se le denomina número de EULER. A partir de él se
define un gran número de coeficientes adimensionales de presión o de
fuerza. Por ejemplo, si se multiplican el numerador y el denominador por
una superficie
(L20), se obtiene un coeficiente de fuerza:
Si el número de Euler es constante o posee una variación conocida para un
flujo y una geometría dadas, se puede predecir la potencia requerida para
producir el flujo, la potencia extraída del flujo, o la fuerza ejercida por o
sobre el contorno.
Un ejemplo de aplicación de este número lo constituye el llamado número
de cavitación, en el que la diferencia de presión considerada es la que
existe entre la presión del flujo y la presión de vapor del fluido:
Por ejemplo, el funcionamiento de un Venturi (Figura 2) es el correcto
mientras no se alcance un número de cavitación determinado, a partir del
cual, la presencia de las burbujas modifica la sección en la garganta, y se
obtendrían
medidas erróneas.
También tiene su aplicación en el caso de bombas centrífugas, en las
cuales, la altura de elevación en un determinado punto de funcionamiento
permanece constante aunque se modifique el valor de este parámetro,
hasta que se alcanza un valor crítico CaC a partir del cual la altura de
elevación disminuye (Figura 3).
Si el flujo es estacionario y los efectos viscosos son poco importantes, los
términos que se están considerando poseen el mismo orden de magnitud,
. Dividiendo por p0 y suponiendo que el fluido es un gas
perfecto:
Al cociente entre la velocidad del flujo y la celeridad del sonido en el fluido
se le denomina número de MACH que, como se aprecia, está relacionado
con la compresibilidad del flujo.
iii. Relación entre el término convectivo y el viscoso.
Este parámetro es el número de REYNOLDS, y representa la relación entre
las fuerzas de inercia y las viscosas. Si es pequeño, las fuerzas viscosas
serán superiores a las fuerzas de inercia y serán capaces de amortiguar las
posibles perturbaciones, lo cual no será posible a números de Reynolds
mayores (Figura 4). Si es muy grande, se podrán despreciar los efectos
viscosos de las ecuaciones, obteniéndose las ecuaciones de Euler.
iv. Relación entre el término convectivo y el término gravitatorio.
A este parámetro se le denomina número de FROUDE, y proporciona la
relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitatorias. Se aplica en
flujos en los que existe una superficie libre, como por ejemplo para evaluar
la resistencia al avance de un barco debido al oleaje (Figura 5).
También determina la naturaleza del flujo en canales abiertos (Figura 6),
donde se utiliza la siguiente definición del número de Froude:
siendo y0 la profundidad típica. El número de Froude representa la relación
entre la velocidad del flujo y la velocidad de propagación de perturbaciones
en la superficie libre, y permite clasificar el flujo en subcrítico (Fr<1) y
supercrítico
(Fr>1).
v. Comparación de coeficientes en convección libre (Figura 7).
En flujos con convección libre, la dependencia de
la densidad con la temperatura es determinante, y
es conveniente modificar la ecuación de cantidad
de movimiento para tener en cuenta los efectos de
flotabilidad. Si las variaciones de velocidad son
debidas a la diferencia de temperatura entre los
distintos puntos,
el movimiento será muy lento, y el gradiente de
presión se puede expresar de la siguiente forma:
g=pMρ∇
siendo ρ M la densidad del fluido evaluada a la
temperatura media del fluido, TM.
Introduciendo el gradiente de presión en la
ecuación de cantidad de movimiento:
desarrollando la densidad en serie de Taylor en torno al valor ρM, la ecuación
se puede escribir de la siguiente forma:
siendo βM el coeficiente de expansión volumétrica, evaluado a la
temperatura TM.
Normalizando la ecuacion se obtiene la siguiente expresion:
Comparando el término de diferencia de temperatura y el término
convectivo, se obtendrá la relación entre las fuerzas de flotabilidad y las de
inercia:
siendo Gr el denominado número de GRASHOF:
El significado físico del número de Grashof se puede interpretar de la
siguiente forma: la diferencia de presión entre dos puntos separados una
distancia vertical L es δ g ρ L , y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli,
se puede apreciar que dicha diferencia de presión es equivalente a una
velocidad típica v siendo v2 del orden de magnitud de (δρ/ ρ) gL ; por tanto:
y el número de Grashof puede ser interpretado como el cuadrado del
número de Reynolds del flujo resultante.
C) Ecuación de la energía.
i. Relación entre el término de variación local y el término de variación
convectiva.
Se obtiene de nuevo el número de Strouhal.
ii. Relación entre el término de la presión y el convectivo.
Si se considera que la presion tipica es la presion dinamica tipica,
, y que siendo el flujo compresible,
expresion se puede expresar: de forma que
la anterior
volviendo a aparecer el número de Mach relacionado con la compresibilidad
del flujo.
iii. Relación entre el término convectivo y el de conducción de calor.
En la mayor parte de las aplicaciones en aeronáutica y turbomaquinaria,
esta relación es muy grande, pudiéndose despreciar el término de
conducción de calor.
iv. Relación entre el término de disipación viscosa y el término de
conducción de calor.
A este grupo adimensional se le denomina número de BRINKMAN, y
representa la relación entre el calor generado por disipación viscosa y el
calor transmitido por conducción. Generalmente este número es muy
pequeño, y se puede despreciar el calor generado por disipación viscosa. El
calor generado por disipación viscosa puede ser importante en algunos
casos, como por
ejemplo:
- Flujo de un lubricante entre superficies móviles (Figura 8).
- Proceso de extrusión de plásticos.
- Flujo de gases en la capa límite de cuerpos con velocidades hipersónicas;
en ese caso,
y por tanto:
siendo
el número de PRANDTL, que también se puede expresar como relación
entre la viscosidad cinemática
y la difusividad térmica
, y da una medida de la eficiencia del fluido como
conductor de cantidad de movimiento y de calor. Siendo el número de
Prandtl ligeramente inferior a la unidad para la mayoría de los gases, el
número de Brinkman no es despreciable, con lo que tampoco lo es la
disipación viscosa.
Por último, se van a volver a escribir las ecuaciones normalizadas,
dividiendo en cada una de ellas cada término por el correspondiente
coeficiente del término convectivo.
A) Ecuación de continuidad.
B) Ecuación de cantidad de movimiento.
C) Ecuación de la energía.
Así se pone de manifiesto que si en dos flujos geométricamente semejantes
los distintos números adimensionales que aparecen son iguales, ambos
flujos son descritos por las mismas ecuaciones diferenciales. Si además, las
condiciones iniciales y de contorno adimensionales son las mismas, las
soluciones dimensionales de las ecuaciones son las mismas, siendo los
flujos completamente semejantes.
Aplicación del teorema de Buckingham:
Fuerza de arrastre de una esfera: La resistencia al avance de una esfera
en un determinado fluido depende de la geometría y del flujo. La geometría
viene determinada por el diámetro de la esfera y por la rugosidad
superficial, y los parámetros del flujo más importantes son: velocidad de la
esfera, y densidad y viscosidad del fluido. A partir de estas consideraciones:
DETERMINE:
1. Parámetros adimensionales que intervienen en el flujo.
2. A partir de la gráfica CD=CD(Re), los valores de la fuerza de arrastre
para
una esfera lisa de 45 mm de diámetro, cuando se mueve en aire a
velocidades de 0,001, 1, 10 y 100 m/s.
DATOS: Esfera: lisa, diámetro:= 45 mm
Aire: densidad = 1,204 kg/m3; viscosidad = 18,1 10-6 kg/ms
Coeficiente de arrastre para esferas lisas:
RESOLUCIÓN:
Las variables que intervienen son:
Fuerza de arrastre:
=MLT-2
Diámetro de la esfera:
Rugosidad de la esfera:
Velocidad de la esfera:
1
Densidad del fluido:
3
Viscosidad del fluido:
1T-1
FD
[FD]
D
ε
U
[D] = L
[ε] = L
[U] = LT-
ρ
[ρ] = ML-
µ
[µ] = ML-
Es decir hay 6 variables y 3 dimensiones, con lo que por el Teorema de
Buckingham, hay tres parámetros adimensionales π1, π2 y π3 de tal forma
que:
(1) PARAMETROS ADIMENSIONALES: Por el método de Buckingham:
Obteniéndose los siguientes valores: a=-1; b=-2; c=-2; d=-1, e=-1; f=-1; g=0;
h=0; i=-1; con lo que los parámetros adimensionales son:
El parámetro adimensional π1; puede rescribirse como:
obteniendo el número adimensional, que determina la fuerza de arrastre en
cualquier geometría: el coeficiente de arrastre: CD:
siendo A el área frontal del objeto1.
El inverso del parámetro adimensional π2 es el número de Reynolds:
El parámetro adimensional π3, es la rugosidad relativa:
Con todo, se obtiene, que existe una funcion que relaciona los tres numeros
adimensionales:
tambien se puede expresar que el
coeficiente de arrastre depende del numero de Reynolds, y de la rugosidad
relativa2:
(2) FUERZA DE ARRASTRE: En el caso de esferas lisas, se tiene que el
coeficiente de arrastre solo depende del Reynolds:
, que es la
gráfica que se suministra en el enunciado. A Re muy bajos (Re<1), se
puede obtener analíticamente3 que
Con los datos numéricos: D=45mm; ν=(18,1 10-6 kg/ms) / (1,204 kg/m3) =
15,033 10-6 m2/s; la fuerza de arrastre de la esfera lisa de 45 mm de
diámetro, para distintas velocidades es:
1 En el caso del flujo sobre un perfil aerodinámico, el área es el producto de la cuerda por
la envergadura. En el caso de flujo sobre una carena de un barco, el área es la superficie
mojada de la carena.
2 En el problema no hemos considerado los efectos de la compresibilidad, si el flujo se
desarrolla a Ma>0,3; el coeficiente de arrastre, también depende del número de Mach.
3 Es la ecuación de STOKES, que se obtiene resolviendo, en coordenadas esféricas, las
ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde la velocidad tangencial es nula,
no asi la radial y la meridional. La ecuación coincide con los resultados
experimentales a Re<0,1; a Re = 1, se obtiene un error del 10% (CD = 26,4)
II PARÁMETROS ADIMENSIONALES MÁS COMUNES
En la mecánica de fluidos existen varios números o parámetros que son
característicos del flujo del fluido y de las propiedades que este posea.
Siguiendo la tradición cada parámetro recibe el nombre de algún científico o
ingeniero destacado, generalmente aquel que utilizó por primera vez el
parámetro en consideración.
2.1 NÚMERO DE REYNOLDS (R)
En 1880 Osborne Reynolds, estudió la transición entre el flujo laminar y
turbulento a través de un tubo. Reynolds pudo descubrir que el parámetro:
2.1
Donde:
: Velocidad media del fluido.
D
: Longitud característica.
r
: Densidad del fluido.
M
,v
: Viscosidad dinámica y cinemática respectivamente.
Constituye un criterio mediante el cual, se puede determinar el estado de un
flujo.
Reynolds encontró que el flujo turbulento siempre pasaba a ser laminar,
cuando al disminuir la velocidad se hacía que R valiera menos de 2000. Este
índice es el número "critico inferior de Reynolds". Para tuberías convencionales
el flujo cambiará de laminar a turbulento cuando R se encuentra en el rango de
3000 a 4000.
El significado físico de R se puede establecer más claramente cuando se
escribe en la forma:
Donde:
(Presión dinámica)´ (área) = fuerza de inercia
(Esfuerzo viscoso) ´ (área) = fuerza viscosa
\ R = Fuerzas inerciales /Fuerzas viscosas
De acuerdo con esta relación de fuerzas el número de Reynolds es el
parámetro adimensional de mayor importancia en los problemas con dominio
de la viscosidad.
2.2. NÚMERO DE FROUDE (F)
William Froude junto con su hijo Robert Edmundo, estableció que el parámetro:
2.2
Donde:
: Velocidad media del flujo.
L
: Longitud característica.
g
: Aceleración de la gravedad.
Resultaba significativo para los fluidos que presentaban una superficie libre, o
sea en aquellos en los cuales la gravedad jugaba un papel primordial. Froude
encontró que cuanto menor era este número mayor era la importancia de la
gravedad y viceversa. Según este criterio los flujos en canales se podrían
clasificar, para características permanentes, en:
- Flujos subcríticos: F < 1
- Flujos críticos: F = 1
- Flujos supercríticos: F > 1
El significado físico se establece al elevar al cuadrado el número de Froude:
Donde:
(Presión dinámica)´ (área) = fuerza de inercia
= fuerza de gravedad
\ F = Fuerzas de inercia / fuerzas gravitacionales
2.3 NÚMERO DE EULER (E)
Este número es también denominado coeficiente o parámetro de Cavitación, el
cual está representado como:
2.3
Donde:
DP
: Presión local - Presión corriente.
r , V : Propiedades del flujo.
Su significado físico se obtiene al multiplicar y dividir por un área
Este número es de gran importancia cuando se estudian las pérdidas de
energía en una conducción con base en la diferencia de presiones entre dos
puntos determinados.
2.4 NÚMERO DE MACH (M)
En el año de 1870, el físico Ernest Mach, introdujo el parámetro:
2.4
Donde:
V : Velocidad flujo.
c
: Velocidad de propagación del sonido en el fluido.
Valores comunes de c
C
Velocidad (m/s)
Aire
340
Agua
1460
Acero
5000
Este número es fundamental para caracterizar los efectos de compresibilidad
en un flujo ó cuando las variaciones de densidad, debidas a la presión, son de
gran importancia en los flujos de alta velocidad.
La velocidad de propagación del sonido en un fluido se puede encontrar
mediante las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para flujo
permanente en un conducto con cambios bruscos de velocidad, presión y
densidad; además el módulo de elasticidad volumétrico de un fluido (K) esta
relacionado con la velocidad del sonido:
.
De esta forma el número de Mach también es de importancia en los problemas
con predominio de la elasticidad. Su significado se observa al elevar el número
al cuadrado, es decir,
=
Este número permite clasificar los flujos en:
Subsónico M < 1
Sónico M = 1
Supersónico M > 1
Cuando se tiene un fluido incompresible, K es infinita y por lo tanto M = 0; para
M » 0.3 los efectos de compresibilidad son despreciables.
2.5 NÚMERO DE WEBER (W)
Este número es el parámetro adimensional de semejanza en los problemas con
predominio de la tensión superficial y viceversa. Este parámetro está definido
como:
2.5
Donde:
s = tensión superficial
El número de Weber raramente se emplea en la derivación de las ecuaciones
de movimiento; también se requiere la presencia de superficies libres, pero
cuando se trata de cuerpos de grandes dimensiones, como buques, su efecto
es muy pequeño. Además en aquellos casos en que las fuerzas de tensión
superficial gobiernan el movimiento, ondas capilares en pequeños canales ó
movimiento capilar en suelos, no tienen importancia en los problemas de
ingeniería hidráulica.
Su importancia aparece en el estudio de interfaces gas - liquido, ó liquido liquido ó cuando estas se encuentran en contacto con una frontera sólida,
además afecta la descarga de orificios y vertederos con cargas muy pequeñas.
Su significado físico aparece cuando se multiplica y divide por L.
2.6 NÚMERO DE STANTON (St)
Convención forzada: un fluido que fluye a través de un conducto cerrado a una
cierta velocidad promedio V donde existe una diferencia de temperatura entre
el fluido y la pared del tubo.
Variable
Símbolo
Dimensión
Diámetro tubo
D
L
Densidad fluido
r
M/L³
Viscosidad fluido
m
M/LT
Capacidad calorífica
Cp
*Q/MT°
Conductividad térmica
k
Q/TLT°
Velocidad
V
L/T
Coeficiente transformación calor h
Q/TL²T°
*Q: calor T°: temperatura
Al analizar el método de Buckinghan de agrupamiento de variables, se
encontró que el número requerido de variables adimensionales es tres. Se
escoge como grupo principal r, m, Cp, V y se producen los siguientes grupos P
.
Re
Pr
St
Donde:
2.6
2.7 NÚMERO DE CAUCHY (Ca)
El número de Euler admite otras variantes de acuerdo con el tipo de flujo que
se trate. Si es compresible, la densidad depende de los cambios de presión de
acuerdo con la ley dada por
siendo el cuadrado de la velocidad del sonido
que para el modelo sería
se puede escribir entonces que Pe/r e = Ce², o bien P/r =C² de manera que
sustituyendo en el número de Euler de define otro número importante en los
fenómenos de compresibilidad, que recibe el nombre de número de Cauchy.
2.9
donde Ev es módulo de elasticidad volumétrica.
2.8 NÚMERO DE BOUSINEQ (B)
El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo se representa por una
relación de las fuerzas de la inercia a las fuerzas de gravedad
2.11
2.9 NÚMERO DE STROUHAL
Para números de Reynolds grandes (60 < Re < 5000) las ondas en el flujo se
incrementan en amplitud y se enrollan en torbellinos. El remolino tras el cilindro
no está establemente fijado pero es alternamente formado y separado de un
lado a otro. Este fenómeno se conoce momo calle turbulenta y es caracterizado
por una formación periódica de torbellino.
Karman ha presentado teóricamente que el modelo de formación de torbellinos
es estable s i la relación de la separación h a la longitud L es h/L=0.28.
Mediciones confirman esta relación en la parte inicial del flujo; y al aumentar la
distancia al espaciamiento de h tiende a incrementar.
En particular interés son las medidas de la frecuencia del torbellino esparcido,
los cuales son expresados en términos de un parámetro adimensional conocido
como número de Struhal:
donde:
D
: Diámetro del cilindro.
N
: Frecuencia.
En el fenómeno anteriormente mencionado ocurre un proceso de mezcla
completo sin producción permanente de vórtices (torbellinos).
Mediciones indican que el rango permanece en la frecuencia N es función del
número de Reynolds.
2.20
El tamaño de la estabilidad detrás de un cuerpo sumergido en el flujo,
generalmente es un factor adverso en tanto que representa la dispersión de
gran cantidad de energía, y por esta razón se busca siempre estabilizar la
forma de los cuerpos para reproducir el gradiente adverso de la presión o
retardar el punto de separación mediante el rizado artificial de la superficie.
2.16 ECUACIÓN GENERAL DEL ESCURRIMIENTO DE UN FLUIDO
Considerando un escurrimiento que se efectúa en un conducto de cualquier
forma definido por:


L : Una de sus dimensiones lineales característica
L1,...,L2,...,Li: Las otras dimensiones lineales con respecto a la primera.
El fluido desde el punto de vista de su movimiento, estará definido por las
siguientes propiedades físicas:



Su masa especifica r, medida de su inercia o resistencia a las fuerzas
que tienden a modificar su movimiento.
Su viscosidad absoluta m, medida de su fricción interna.
Su tensión superficial s.
Para cualquier tiempo su estado estará definido por la velocidad del sonido c
en el fluido. Si el escurrimiento está afectado por el peso del fluido,
naturalmente dependerá de la intensidad de la gravedad g.
La experiencia demuestra que para un conducto tal y con un fluido así definido,
existe una relación entre la velocidad del fluido o su gasto másico con la
diferencia de presiones D P medida entre dos puntos de posición definida por
Lp.
Encontrar por análisis dimensional la relación entre estas variables y la
importancia que puedan tener en el escurrimiento las otras características.
Función variables: F(L,L1,L2,.Li,r ,m ,s ,c,g,V,D P) = 0
Variables geométricas: L, L1, L2,...Lp
Variables Cinemáticas: V, c, g.
Variables dinámicas: r ,m ,s ,D P
Matriz dimensional sistema FLT
L
L1
L2
V
c
g
r
m
s
DP
F
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
L
1
1
1
1
1
1
-4
-2
-1
-2
T
0
0
0
-1
-1
-2
2
1
0
0
Número de variables, para L1 y L2: m = 10
Características de la matriz (r , m , s ): n = 3
Número grupos: p i = 7
Variables repetitivas: L, V ,r
Método de solución: Hudsaker- Rightmire
[L] = L, [T] = LV-1, [F] = r V2L2
p 1 = L1/L, p 2 = L2/L, p 3 = c/V, p 4 = gL/V2
p 5 = m /r VL p 6 = s /r V2L, p 7 = D P/r V2
Función resultante:
Al invertir los parámetros p 3, p 4, p 5, p 6, y al igual que la raíz cuadrada de p
se obtiene:
En donde:
Número de Mach
Número de Reynolds
= Número de Froude
Número de Weber
Número de Euler
Despejando el coeficiente de presión se obtiene:
Donde el valor de f3 debe ser determinado analítica o experimentalmente.
4
Consideraciones
Para flujo en tuberías (conducto lleno), la acción de la gravedad no influye en la
caída de presiones (D P), por lo tanto se puede eliminar el parámetro F. Para
diámetros comerciales (D ³ 1 cm.) la tensión superficial no tiene efecto alguno y
por lo tanto no es necesario considerar el número de Weber. Para el flujo
permanente de un líquido incompresible, a temperatura constante la
compresibilidad no es importante, eliminándose el parámetro M.
Se concluye entonces que:
Para tuberías la longitud característica es su diámetro, es decir L = D; L1 es la
altura proyectada por las rugosidades (e) en la pared del tubo, L2 es la longitud
entre las cuales se determina la caída de presiones, L 3 el espaciamiento de la
rugosidad f , L4 es un factor de forma (m) que depende del aspecto de las
rugosidades, por lo tanto:
Es razonable suponer que la caída de presión en la tubería varíe linealmente
con la longitud, es decir, duplicando la longitud del tubo se duplica la caída
presión, de manera que se tiene:
Al emplear el peso específico del fluido (g) la expresión toma la forma:
La caída de presión por unidad de peso en una longitud dada y sin variación de
diámetro, se conoce como la pérdida de carga o energía disipada por fricción o
longitud hf ó sea:
.
Para el cálculo de flujo en tuberías se emplea generalmente la ecuación de
Darcy-Weisbach, expresada como:
2.22
En la cual el término f es llamado factor fricción y es el factor adimensional
necesario para que la ecuación produzca el valor correcto de las pérdidas, por
lo tanto no debe ser un valor constante sino que depende de las variables
agrupadas en la función 5 (f5), por lo tanto:
Función que incluye las características geométricas de la conducción y las
propiedades del flujo y esa relación se debe comprobar experimentalmente.
En 1839 Hagen obtuvo experimentalmente, trabajando en tubos circulares y
fluidos viscosos, que la caída de presión variaba linealmente con la viscosidad,
la longitud y el gasto e inversamente proporcional a la cuarta potencia del
diámetro, es decir:
2.23
donde la rugosidad del tubo no afectaba esta caída de presión .En 1840
Poiseuille obtuvo la misma expresión y en 1856 Weidemann la dedujo
analíticamente.
Al confrontar esta ecuación con la propuesta por Darcy-Weisbach se deduce
que el factor de fricción es solamente función del número de Reynolds, ó sea:
2.24
Como se vio anteriormente, Reynolds pudo clasificar experimentalmente los
flujos, según la relación existente entre la viscosidad, la velocidad y el diámetro
de la tubería en Laminares (R<200) y Turbulentos (R>4000).
En 1933 H. Blasius fue el primero en obtener correlaciones para los resultados
experimentales de flujo turbulento en tubos lisos. Sus resultados los presentó
mediante una fórmula empírica válida para número de Reynolds del orden de
cien mil:
2.25
Nuevamente, la rugosidad de la tubería no afecta el factor de fricción.
En los años 1932 - 1933, J. Nikuradse comprobó la validez de la expresión e /D
(rugosidad relativa) en sus experimentos con tubos de rugosidad artificial
lograda con granos de arena. Para esto utilizó tres diámetros de tubos en
cuyos interiores pegó granos de arena de tamaño (e ) prácticamente constante.
Los experimentos demostraron que para ciertos valores de e /D, los valores
correspondientes a f vs R quedaban incluidos en una sola curva sin importar el
diámetro real del tubo. No se pudieron variar los valores de f y m pero se
comprobó la validez de la ecuación:
Las teorías modernas para flujo viscoso incompresible y permanente han
relacionado los esfuerzos cortantes producidos en las paredes de los tubos con
el factor de fricción y la velocidad promedia, según la rugosidad del tubo. Para
tubos lisos se obtuvo la expresión:
La cual según los experimentos realizados por Nikuradse, en la misma
categoría de tubos, se transforma en:
ó
2.26
Para tubos rugosos con flujo completamente desarrollados, las teorías
modernas, expresan el factor de fricción como:
La misma que según las experiencias de Nikuradse, se expresa como:
ó
2.27
Estas ecuaciones fueron deducidas por Von Karman en 1930.
Cuando se aplicaron estas expresiones a tuberías comerciales, se encontraron
diferencias con los experimentos de Nikuradse, lo mismo que una zona en la
cual no eran válidas las ecuaciones (zona transición liso - rugoso). Estas
diferencias se observan en la Figura 2.1.
Estas diferencias se han explicado a partir de los conceptos de subcapa ó la
película laminar y a la no uniformidad de las rugosidades artificiales en tamaño
y distribución.
º
FIGURA 2.1 Diagrama de Colobrook.
En 1938 C. Colebrook ideó una fórmula semiempírica para la transición entre
flujo liso y de completa turbulencia en tuberías comerciales, como:
2.28
º
Actualmente se acepta que el parámetro
así:
9.33 ³
clasifica los flujos turbulentos
³ 200
Liso Transición Rugoso
En 1944, L. F. Moody construyó una de las cartas más útiles para determinar el
factor de fricción en tubos comerciales nuevos, Figura 2.2. La carta expresa el
factor de fricción como función de la rugosidad relativa (e /D) y del número de
Reynolds.
Los valores de la rugosidad absoluta se determinan mediante la fórmula de
Colebrook luego de que se han calculado experimentalmente f y R.
La carta de Moody se emplea para el agua una temperatura constante a (15°C
- 60°F) y para el aire a presión atmosférica estándar a la misma temperatura.
FIGURA 2.2 Diagrama de Moody.
Se debe tener en cuenta que todos los valores de (e /D) corresponden a tubos
nuevos, en condiciones relativamente buenas, pero para períodos
relativamente largos de servicio, se hacen presentes los efectos de la corrosión
y en las paredes de los tubos se depositan loa elementos de cal y herrumbre.
Esta formación de depósitos incrementa de modo apreciable la rugosidad en la
pared y disminuye el diámetro de la tubería.
Para tener en cuenta el aumento de la rugosidad con el tiempo, Colebrook y
White establecieron una relación lineal que puede expresarse por:
e = e 0+at
donde:
e
: Altura rugosidad tubos nuevos (m).
0
e
: Altura rugosidad en tubos después de t años (m).
T
: Tiempo en años.
a
: Tasa crecimiento asperezas (m/año).
Tratándose de tuberías para agua, la tasa de crecimiento depende
considerablemente de la calidad del agua y de las condiciones locales.
Según la experiencia inglesa a falta de datos experimentales seguras, el
envejecimiento de los tubos de hierro fundido puede ser estimado para las
condiciones medias, aplicando la expresión:
2.0 Loga = 6.6 - pH
dado a en mm/año
Esta expresión pone en evidencia la importancia del pH del agua en el
fenómeno de la corrosión.
pH
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
a (m/año) 0.00305 0.00203 0.00113 0.00063 0.00038 0.00020 0.00011
Ejemplo 2.1
Un vertedero de borde agudo es una escotadura como una barrera sobre un
canal, para medir la descarga por observación de la altura H. Para una
escotadura triangular en un canal con gran profundidad, mostrar que cuando
los efectos de viscosidad y tensión superficial no son importantes, la descarga
puede ser expresada como
, donde K es una constante que
depende únicamente del ángulo q de la escotadura (K exp » 0.44 tan q /2).
Solución.
Para llegar a la demostración se hará la deducción sobre una estructura (borde
agudo) de ancho B, sobre la cual fluye un líquido con una carga H y
características conocidas
Por lo tanto: P: Altura escotadura.
H: Carga sobre la escotadura.
B: Ancho escotadura, donde B ancho canal.
r , m , s : Características del líquido.
g : Acción de la gravedad.
Para una estructura así definida se tiene:
Q = F (H, B, g, r , m , s , P)
F (H, B, g, Q, r , m , s , P) = 0
8 variables = m
Matriz dimensional
H
B
g
r
m
s
Q
P
M
0
0
0
1
1
1
0
0
L
1
1
1
-3
-1
0
3
1
T
0
0
-2
0
-1
-2
-1
0
r
m
s
1
1
1
-3
-1
0
0
-1
-2
Determinante
= 1*(2 + 0) -1*(6 + 0) + 1*(3 + 0) = -1
Por lo tanto n = 3. Se obtienen cinco grupos p
Variables dependientes: H, g, r
Transformación de variables:
L = H,
T=
,
M = r H3
Por lo tanto:
Por lo tanto
F (H, B, g, Q, r , m , s , P) = F(p 1, p 2, p 3, p 4, p 5)
.
Los grupos p 3 y p 4 se pueden representar así:
Con las transformaciones de Análisis Dimensional:
V, ® (gH) = V2.
De la función obtenida:
.
El término
se puede dar como
que representa el producto área ´
velocidad para una estructura con predominio de la gravedad.
Para una escotadura donde su ancho permanezca constante con la carga de
agua, el caudal será función de la relación
Þ
Ecuación que toma la forma
y que en su forma generalizada cuando se aplica la ecuación de la energía es:
Ecuación Vertederos Rectangulares
Con predominio para agua del término
.
Para cargas altas Rehbock sostuvo que:
escotaduras con ángulo el ancho B permanece constante, pero la relación
puede expresar en términos de la tangente del ángulo.
para
se
que en forma generalizada para vertederos triangulares es:
A. T. Lenz propuso en sus investigaciones para ángulos de 90° y diferentes
fluidos que:
Al parecer no existen en los textos relaciones que involucren el termino p/H en
vertederos triangulares.
Asumiendo, lo que se quiere demostrar, que los efectos de viscosidad y tensión
superficial no son importantes en estos vertederos, se tiene:
Ejemplo 2.2
Por análisis dimensional, derívese una expresión general para el ascenso
capilar de los líquidos en tubos pequeños, si éste depende del diámetro del
tubo, del peso específico y la tensión del líquido. Determínese la forma
funcional final por comparación con la ecuación
donde:
H
: Ascenso capilar.
D
: Diámetro del tubo.
Q
: Ángulo de contacto.
G
: Peso específico.
S
: Tensión superficial.
Sistema: MLT:
El ángulo q no tiene unidades en el sistema MLT por lo cual se considera como
un grupo p 1 independiente. La función inicial se transforma en
Matriz dimensional
Determinante
D
h
g
r
s
M
0
0
0
1
1
L
1
1
1
-3
0
T
0
0
-2
0
-2
g
R
s
0
1
1
1
-3
0
-2
0
-2
= 0 - 1*(- 2 + 0) +1*(0 - 6) = -4 ¹ 0
Número de variables m = 5
Orden determinante n = 3
Número grupos p (m-n) = 2
Variables repetitivas D, g, r
Variables adicionales h, s
Transformación de variables:
L=D
Para un fluido en condiciones constantes de presión y temperatura y un tubo
capilar de diámetro uniforme, la ecuación que se obtiene por equilibrio de
fuerzas es
que
, por lo cual en la ecuación de A.D se puede concluir
.
Ejemplo 2.3
Derívese una expresión para la velocidad terminal de esferas sólidas lisas que
caen a través de fluidos incompresibles, si ésta velocidad depende solamente
del tamaño, de la densidad de la esfera, de la aceleración debida a la
gravedad, de la densidad del fluido y de su viscosidad.
donde:
DT
: Diámetro del tubo.
De
: Diámetro de la esfera.
rf
: Densidad del fluido.
re
: Densidad de la esfera.
m
: Viscosidad del fluido.
Fv
: Fuerza viscosa.
W
: Peso de la esfera.
E
: Empuje.
g
: Aceleración de la gravedad.
Suposiciones:
- DT >> De: para no considerar efectos de pared en el tubo.
- r a =(r e-r f): densidad aparente de la esfera dentro del fluido.
Sistema: MLT
Matriz dimensional
De
g
V
ra
m
M
0
0
0
1
1
L
1
1
1
-3
-1
T
0
-2
-1
0
-1
Determinante
V
ra
m
0
1
1
1
-3
-1
-1
0
-1
= 0 - 1*(- 1 - 1) +1*(0 - 3) = -1 ¹ 0
Número de variables m = 5
Orden determinante n = 3
Número grupos p (m-n) = 2
Variables repetitivas De, g, r a
Variables adicionales V, m
Transformación de variables:
L=De
Cuando se estudia la velocidad de caída de esferas en fluidos a temperatura
constante se asume que la fuerza viscosa ejercida sobre la esfera está dada
por la Ley de Stokes como
fuerzas en el sistema se obtiene:
. Luego de establecer el equilibrio de
Ecuación que comparada con la obtenida por A.D lleva a concluir que
.