Tema 4: Leyes de la desintegración
1.
Ley exponencial
1.1.
Constante de desintegración y ley exponencial
El proceso de la desintegración es de naturaleza estadı́stica:
Imposible predecir el momento de la desintegración.
Hipótesis: constante de desintegración
dP
=λ
dt
[T −1 ]
dP = λdt probabilidad de desintegración entre t y t + dt.
λ es independiente de la edad y número de átomos:
Muestra con N (t) átomos radiactivos:
Número de átomos desintegrados entre t y t + dt:
−dN = N (t)λdt
Ecuación diferencial para N (t):
dN
= −λN (t)
dt
Solución:
Z N (t)
Z t
dN
N (t)
dN
= −λdt =⇒
= −λ dt =⇒ ln
= −λdt
N
N (0)
N (0) N
0
Ley exponencial:
N (t) = N (0)e−λt
1.2.
Un modo de desintegración
A→B
NA (t) = NA (0)e−λt
NB (t) = NB (0) + NA (0) − NA (0)e−λt
Concentración asintótica: lı́m NB (t) = NA (0) + NB (0).
t→∞
1
1.3.
Dos modos de desintegración:
λ
a
X −→
A
λb
X −→ B
λa , λb =
Número
Número
Número
ctes. de desintegración parciales.
de núcleos desintegrados del modo a = λa N dt
de núcleos desintegrados del modo b = λb N dt
total de núcleos desintegrados en dt:
dN = −λa N dt − λb N dt = −(λa + λb )N dt = −λN dt
Ley de desintegración total:
N (t) = N (0)e−λt ,
λ = λa + λb
Una fracción λλa se desintegra vı́a el modo a
Una fracción λλb se desintegra vı́a el modo b
=⇒ Número de núcleos hijos:
λa
N (0) 1 − e−λt
λ
λb
NB (t) = NB (0) + N (0) 1 − e−λt
λ
Concentraciones asintóticas:
NA (t) = NA (0) +
λa
N (0)
t→∞
λ
λb
lı́m NB (t) = NB (0) + N (0)
t→∞
λ
lı́m NA (t) = NA (0) +
(1)
(2)
(3)
1.4.
Periodo de semidesintegración o semivida
(half-life), T , t1/2
Tiempo en que N se reduce a la mitad:
1
1
N (T ) = N (0) =⇒ N (0)e−λT = N (0)
2
2
1
−λT
e
= =⇒ λT = ln 2
2
T =
ln 2
0,693
=
λ
λ
2
1.5.
Vida media
(mean lifetime, mean life, lifetime), τ
Tiempo medio que sobrevive un núcleo antes de desintegrarse (media aritmética):
−dN = λN (0)e−λt dt =
= número de núcleos desintegrados entre t y t + dt
=número de núcleos con vida entre t y t + dt
−tdN
= tiempos de vida de todos los núcleos con vida entre t y t + dt
R∞
− 0 tdN = suma de los tiempos de vida de todos los núcleos
Vida media: dividiendo por el número total de núcleos
τ =−
Z
∞
0
τ=
te
−λt
1
N (0)
1
dt = − te−λt
λ
Z
∞
0
∞
0
tdN = λ
1
+
λ
Z
∞
0
Z
∞
0
te−λt dt
e−λt dt = −
1
λ
Relación con el periodo: T = τ ln 2 = 0,693τ < τ
2.
2.1.
Actividad
Definición de actividad
Número de desintegraciones por segundo
A(t) =
dN
= λN (t)
dt
Actividad en t = 0:
A(0) = λN (0)
Ley de decaimiento exponencial para la actividad:
A(t) = λN (0)e−λt = A(0)e−λt
Midiendo A(t) se puede determinar λ.
Unidades:
Becquerel (SI): 1Bq = 1 desintegración/s
Curio (histórico):
1 Ci = 3,7 × 1010 Bq = Actividad de 1 gr de
3
226
Ra
1 −λt
e
λ2
∞
0
=
1
λ2
Ejemplo Se tienen 30 MBq de 24
11 Na (T = 15 h). Determinar la constante de desintegración
λ y la actividad después de 2.5 d.
Solución:
ln 2
0,693
λ=
=
= 1,1088 d−1
1
T
15 × 24
d
Actividad a los 2.5 dı́as:
A(2,5d) = A(0)e−λt = 30 MBq e−1,1088×2,5
= 30 MBq e−2,772 = 1,88 MBq
La actividad NO proporciona información acerca de:
El tipo de radiación emitida
La energı́a de la radiación
Los efectos de la radiación sobre los organismos biológicos.
Sólo indica el número de desintegraciones por segundo
2.2.
Medida de la actividad:
Se determinar el número de desintegraciones |∆N | en un intervalo de tiempo corto ∆t.
A(t) '
∆N
∆t
La anterior aproximación se puede hacer cuando ∆t T
(la actividad no cambia apreciablemente en ∆t)
2.3.
Medida de la constante de desintegración
Midiendo A(t) en función de t:
A(t) = λN0 e−λt
ln A(t) = ln λN0 − λt
pendiente de la recta = −λ
Casos extremos:
T muy grande (226 Ra, T = 1600 a)
T muy pequeño (< 1s)
4
log A(t)
Pendiente= −λ
t
Figura 1: Medida de la actividad
log A(t)
T muy grande
0
0.5
1
t [horas]
1.5
2
Figura 2: Actividad para T grande
log A(t)
T muy pequeño
0
0.5
1
t [horas]
1.5
2
Figura 3: Actividad para T pequeño
5
log(A1(x))
log(A2(x))
log(A(x))
total
log A(t)
64
61
0
5
Cu
Cu
10
15
20
25
t [horas]
30
35
40
Figura 4: Actividad de una mezcla
2.4.
Mezclas
En el caso de una mezcla de dos o más radioisótopos la actividad no sigue un comportamiento
lineal.
Ejemplo:
(
6 mCi de 61 Cu (T = 3,4 h)
3 mCi de 64 Cu (T = 12,7 h)
A1 (t) = A1 (0)e−λ1 t =⇒ ln A1 (t) = ln A1 (0) − λ1 t
A2 (t) = A2 (0)e−λ2 t =⇒ ln A2 (t) = ln A2 (0) − λ2 t
ln[A1 (t) + A2 (t)] no es una recta
Es posible determinar λ del
64
Cu ajustando una recta para t alto
Restándola a la actividad total se obtiene la recta del
61
Cu.
Método aplicable a más de dos isótopos con periodos claramente diferentes.
2.4.1.
Ejemplo.
Una solución contiene 0.10 µCi de
la actividad a la mitad?
198
Au y 0.04 µCi de
6
131
I. ‘?En cuanto tiempo se reduce
0.16
0.14
A(t) [µCi]
0.12
0.1
total
0.08
0.06
198
0.04
0.02
0
131
0
2
Au
I
4
6
8
t [d]
10
12
14
16
Figura 5: Actividad de una mezcla
0,693
= 0,257 d−1
2,7 d
0,693
= 0,0861 d−1
T (131 I) = 8,05 d =⇒ λ2 =
8,05 d
T (198 Au) = 2,7 d =⇒ λ1 =
Actividad en t = 0:
A(0) = A1 (0) + A2 (0) = 0,10 + 0,04 = 0,14 µCi
Actividad en t:
A(t) = A1 (t) + A2 (t) = A1 (0)e−λ1 t + A2 (0)e−λ2 t = 0,07 µCi
Ecuación trascendente:
0,10e−0,257t + 0,04e−0,0861t = 0,07
Solución numérica:
t[d] A(t) [µCi]
0
0.14
8
0.0329
4
0.0641
2
0.0935
3
0.0772
3.5 0.0703
3.75 0.0671
3.62 0.0687
3.56 0.0695
3.53 0.0699
3.52 0.0700
7
2.5.
Actividad especı́fica
Actividad por unidad de masa de la muestra:
"
λN
A
=
AE =
M
M
Bq
,
g
Ci
g
#
Muestra pura:
No de átomos en un mol = NA = 6,02 × 1023 .
Masa de 1 mol: Mmol = Pat (g)
No de átomos por gramo:
6,02 × 1023
NA
N
=
=
M
Mmol
Pat (g)
Actividad especı́fica:
AE =
6,02 × 1023
NA
NA ln 2
λ'
λ=
Pat (g)
A (g)
A (g)T
(Es posible aproximar Pat ' A con la precisión suficiente.)
Ejemplo.
Calcular la actividad especı́fica del
226
Ra en Bq/g y Ci/g.
T = 1600 a = 5,046 × 1010 s
Actividad especı́fica:
AE =
2.6.
6,02 × 1023 × 0,693
= 3,7 × 1010 Bq/g = 1 Ci/g
226g × 5,046 × 1010 s
Actividad especı́fica en Ci/g
AE (226 Ra) =
NA ln 2
= 1 Ci/g
226 g × 1600 a
Actividad de otro isótopo A X expresada en Ci/g:
AE (A X) =
AE (A X) =
NA ln 2
226 1600 a
NA ln 2
=
A (g)T
A
T 226 g × 1600 a
226 1600 a
Ci/g
A
T
8
Ejemplo Calcular la actividad especı́fica del 14 C.
Datos: T = 5730 a.
226 1600
Ci/g = 4,51 Ci/g
AE =
14 5370
3.
3.1.
Series radiactivas
Caso de una cadena radiactiva
A −→ B −→ C −→ D −→ · · ·
Condición inicial:
NA (0) = N0
NB (0) = NC (0) = ND (0) = · · · = 0
Núcleo padre:
dNA (t) = −λA NA (t)dt =⇒ NA (t) = N0 e−λA t
Núcleo hijo:
dNB = λA NA dt − λB NB dt =⇒
dNB
= λA NA − λB NB
dt
dNB
+ λB NB = λA N0 e−λA t
dt
Probamos una solucion:
NB = αe−λA t + βe−λB t
dNB
= −αλA e−λA t − βλB e−λB t
dt
Queda la ecuación:
−αλA e−λA t − βλB e−λB t + λB αe−λA t + λB βe−λB t = λA N0 e−λA t
α(λB − λA )e−λA t = λA N0 e−λA t
λA
N0
λB − λ A
El valor de β se obtiene imponiendo NB (0) = 0.
α=
NB (0) = α + β =⇒ β = −α
λA
N0 e−λA t − e−λB t
λB − λ A
λA λB
Actividad: AB (t) = λB NB =
N0 e−λA t − e−λB t
λB − λ A
Solución: NB (t) =
9
3.2.
Ecuaciones de Bateman
Caso general de una cadena
X1 −→ X2 −→ X3 −→ · · ·
Actividad del miembro n-ésimo de la cadena:
An (t) = N0
n
X
cni e−λi t
i=1
cni =
=
λ1 λ2 · · · λ n
(λ1 − λi ) · · · (λi−1 − λi )(λi+1 − λi ) · · · (λn − λi )
n
Y
λk
k=1
n
Y
k=1
(λk − λi )
(k6=i)
3.3.
Equilibrios
Estudiaremos la cadena A −→ B −→ C.
3.3.1.
Equilibrio secular
Caso λA λB (TA TB ):
Ejemplo:
238
U
4,5 × 109 a 234
24 d 234
→ Th
→ Pa
Actividad del hijo:
λA λB
N0 e−λA t − e−λB t
λB − λ A
λA λB
'
N0 e−λA t 1 − e−(λB −λA )t
λB
' λA N0 e−λA t 1 − e−λB t
AB (t) =
= AA (t) 1 − e−λB t
Para t suficientemente grande e−λB t ' 0
=⇒ Equilibrio secular
AB (t)
−→ 1
AA (t)
=⇒
AB (t) ∼ AA (t)
10
=⇒
λ B NB ∼ λA NA
1.2
AA (t)
1
Equilibrio secular
A(t)
0.8
0.6
0.4
AB (t)
0.2
0
T
t
Figura 6: Equilibrio secular
Concentración asintótica:
3.3.2.
NB
λA
∼
NA
λB
Equilibrio secular aproximado
Caso λA λB (TA TB ),
B
pero λBλ−λ
> 1, “apreciablemente”
A
Ejemplo:
132
Te (78h) −→ 132 I (2.28h) −→
Equilibrio en ∼ 12h.
132
Xe
h
i
λA λB
N0 e−λA t 1 − e−(λB −λA )t
λB − λ A
h
i
λB
AA (t) 1 − e−(λB −λA )t
=
λB − λ A
AB (t)
λB
lı́m
=
> 1 =⇒
t→∞ AA (t)
λB − λ A
λB
AB (t) ∼
AA (t) > AA (t)
λB − λ A
AB (t) =
11
1.2
132
Te
1
A(t)
0.8
Equilibrio secular aproximado
0.6
0.4
132
I
0.2
0
0
5
10
15
20
25
t [horas]
30
35
40
Figura 7: Equilibrio secular aproximado
3.3.3.
Equilibrio transitorio
<
>
Caso λA ∼ λB (TA ∼ TB )
Ejemplo:
234
U (2,45 × 105 a) −→
230
Th (8 × 104 a)
h
i
λA λB
N0 e−λA t − e−λB t
λB − λ A
i
h
λA λB
=
N0 e−λA t 1 − e−(λB −λA )t
λB − λ A
AB (t) =
Inicialmente AB crece hasta un máximo en el tiempo
dAB
= 0 =⇒ −λA e−λA t + λB e−λB t = 0
dt
λB
λB
=⇒
= e(λB −λA )t =⇒ ln
= (λB − λA )t
λA
λA
=⇒ Actividad máxima en un tiempo tmax =
Valor maximo de AB :
ln(λB /λA )
λB − λ A
AB (tmax ) =
λB AA (tmax )
λB −λA
=
λB AA (tmax )
λB −λA
= AA (tmax )
12
h
1 − e− ln(λB /λA )
1−
λA
λB
i
Total
A(t)
234
U
230
Th
t
Figura 8: Equilibrio transitorio
En el equilibrio:
λB
AB (t)
∼
AA (t)
λB − λ A
13
3.3.4.
Ejemplo
Se tienen 10 GBq de 90 Sr. ¿Cuanto tiempo transcurre hasta que la actividad total es de 17.5
GBq?
90
29,12a 90
Sr −→
64h
Y −→ 90 Zr
Equilibrio secular para t 64h.
Actividad asintótica:
A(t) = AA (t) + AB (t) ' 2AA (t) ' 20 GBq
se sobrepasa el valor que piden.
Atotal = 17,5 GBq =⇒ AB = 7,5 GBq.
Usando la expresión
AB (t) = AA 1 − e−λB t
hay que resolver la ecuación
7,5 = 10 1 − e−λB t
0,75 = 1 − e−λB t
1
e−λB t = 0,25 =
4
λB t = ln 4 = 2 ln 2
t=
2 ln 2
= 2TB = 128 h
λB
14
A(t)
No equilibrio
Total
t
Figura 9: No equilibrio
3.3.5.
No equilibrio
Caso λA > λB (TA < TB )
La actividad del hijo crece hasta un máximo y luego se desintegra según su constante de
desintegración.
(λB t < λA t =⇒ e−λA t < e−λB t )
λA λB
N0 e−λA t − e−λB t
λB − λ A
λA λB
=
N0 e−λB t − e−λA t
λA − λ B
λA λB
=
N0 e−λB t 1 − e−(λA −λB )t
λA − λ B
AB (t) =
(λA − λB )t 1 =⇒
AB (t) ∼
λA λB
N0 e−λB t
λA − λ B
15
3.3.6.
Ejemplo
191
76 Os
(15.4 d) −→ 191m
Ir (4.94s) −→ 191
77
77 Ir
191
Se dispone de 1 mCi de Os.
a) ¿Cuántos gramos de 191 Os hay en t = 0?
b) ¿Cuántos mCi de 191m Ir hay en t = 25d?
c) ¿Cuantos átomos de 191m Ir se desintegran entre t = 100s y t = 102s?
d) ¿Cuántos átomos de 191m Ir se desintegran entre t = 30s y t = 4d?
Solución.
a) Actividad especı́fica del
AE =
191
Os.
226 1600 × 365d
Ci/g = 4,49 × 104 Ci/g
191
15,4d
por tanto la masa de la muestra es
M=
1 mCi
= 2,23 × 10−8 g
4,49 × 104 Ci/g
b) TA TB =⇒ equilibrio secular en unos segundos.
AB =
i
i
h
h
λB
AA 1 − e−(λB −λA )t ' 1 − e−λB t
λB − λ A
Las actividades difieren en un 1 % cuando:
e−λB t = 0,01 =⇒ eλB t = 100 =⇒ λB t = ln 100 =⇒
2 ln 10
2 ln 10
=
TB = 6,64TB = 33 s
t =
λB
ln 2
=⇒ para t = 25d:
AIr = AOs
!
0,693
= 1 mCi × exp −
× 25 d = 0,325 mCi
15,4 d
Usando la fórmula exacta se obtiene el mismo resultado
c) Sea DB (t1 , t2 ) = no desintegraciones de átomos de B entre t1 y t2 .
BB (t1 , t2 ) =
Z
t2
t1
AB (t)dt =
Z
t2
t1
λA λB
N0 e−λA t − e−λB t dt
λB − λ A
Para t = 100, 102s se ha alcanzado el equilibrio secular y la actividad del
no habrá disminuido apreciablemente:
BB (t1 , t2 ) '
Z
t2
t1
AA (t)dt ' AA (0)
Z
t2
t1
10
dt
= 1 mCi × 2 s = 3,7 × 10 × 10−3 × 2
= 7,4 × 107 desintegraciones
16
191
Os
d) Entre t = 30d y t = 40d la actividad del Os no es constante, pero hay equilibrio
secular:
NB (t1 , t2 ) =
=
=
=
=
=
Z
t2
t1
AA (t) dt = AA (0)
Z
t2
t1
e−λA t dt
AA (0) −λA t1
e
− e−λA t2
λA
1 mCi −0,045×30
−0,045×40
e
−
e
0,045 d−1
22,2 mCu · d (0,2592 − 0,1653)
22,2 × 10−3 × 3,7 × 1010 s−1 × 24 × 3600 s × 0,0939
6,66 × 1012 desintegraciones
17
4.
Propiedades estadı́sticas de la desintegración
4.1.
Fluctuaciones estadı́sticas
El número de átomos N es una variable discreta (valores enteros).
Hemos supuesto que N 1 y las fluctuaciones estadisticas son poco importantes. =⇒
variación suave exponencial.
Planteamiento: Muestra radiactiva con N0 átomos en t = 0
Transcurre un tiempo t
Queremos calcular
Pn (t) = Probabilidad de que se desintegren n átomos
Hipótesis: todos los átomos son ideńticos e independientes.
4.2.
4.2.1.
Distribución binomial
Procesos de Bernoulli
Observación de los N0 átomos entre 0 y t: proceso de Bernoulli
1. El experimento consiste en N0 pruebas (N0 átomos con cierta probabilidad de desintegrarse)
2. Resultado binario en cada prueba (desintegración sı́ o no).
3. Probabilidad de éxito constante. (probabilidad de desintegrarse igual para todos los
átomos)
4. Las pruebas son independientes entre sı́. (no relación entre desintegraciones de átomos).
4.2.2.
Probabilidad de desintegración individual
Ley exponencial N (t) = N0 e−λt
Número relativo de átomos que quedan en el instante t:
N (t)
= e−λt < 1
N0
=⇒ Interpretación:
Probabilidad de supervivencia
q = e−λt
Probabilidad de desintegración
p = 1 − q = 1 − e−λt
18
4.2.3.
Caso especı́fico
N0 = 10 átomos de
42
K (T = 12,4h) se observan durante t = 3h.
Probabilidad de que un átomo sobreviva sin desintegrarse:
ln 2
q = e− 12,4 h ×3 h = 0,8456101
Probabilidad de desintegracion:
p = 1 − q = 0,1543899
Probabilidad de que 3 atomos dados (ej. 1,3,8) se desintegren:
P (1, 3, 8) = p3 = 0,0036800
Esta probabilidad es independiente de lo que les ocurra a los otros 7 átomos.
Probabilidad de que los otros 7 átomos sobrevivan:
Q(2, 4, 5, 6, 7, 9, 10) = q 7 = 0,3091656
Probabilidad de que los tres átomos se desintegren y el resto sobreviva:
P (1, 3, 8) × Q(2, 4, 5, 6, 7, 9, 10) = p3 q 7 = 0,0011377
Probabilidad de que sólo 3 átomos se desintegren, no importa cual:
10
3
P3 =
!
p3 q 7 = 0,1365275
Nota: Combinaciones sin repeticion de 10 átomos tomados de 3 en 3:
10
3
!
=
10!
10 · 9 · 8
=
3!7!
3!
En efecto: hay 10 opciones de elegir el primero, 9 para el segundo y 8 para el tercero
= 10 × 9 × 8 posibilidades
Como el orden en que se desintegran es irrelevante, se divide por el número de permutaciones
3!
Probabilidad de que se desintegren n ≤ 10 átomos:
Pn =
10
n
!
pn q 10−n
Ejemplos:
P6 =
10
6
!
p6 q 4 = 0,0014542 = 0,14542 %
P0 =
10
0
!
p0 q 10 = 0,18693973 = 18,693973 %
19
4.2.4.
Caso general con N0 átomos:
Pn =
N0
n
!
pn q N0 −n
Suma de todas las probabilidades:
N0
X
Pn = 1
n=0
Demostración:
N0
X
n=0
Pn =
N0
X
n=0
N0
n
!
pn q N0 −n = (p + q)N0 = 1N0 = 1
Ejemplo: Si inicialmente hay 100 átomos de 42 K, la probabilidad de que ninguno se desintegre en 3h es
!
100
P0 =
p0 q 100 = q 100 = 5,212141 × 10−8
0
Mucho menor que la obtenida para N0 = 10.
20
4.2.5.
Valor medio del número de desintegraciones
µ = n=
N0
X
nPn =
n=0
X
n
N0
n
!
pn q N0 −n
= N0 p = N0 1 − e−λt = N0 − N (t)
Demostración:
f (x) ≡
N0
X
n=0
N0
X
n
Pn x =
X
N0
n
n
!
pn q N0 −n xn = (q + px)N0
N0
X
df
df
n−1
=
(1) =
Pn nx
=⇒
nPn = µ0000
dx
dx
n=0
n=0
df
df
= N0 p(q + px)N0 −1 =⇒
(1) = N0 p(q + p)N0 −1 = N0 p
dx
dx
4.2.6.
Varianza y desviación tı́pica:
Parámetro que da información acerca de las fluctuaciones estadı́sticas del proceso de desintegración.
σ2 =
N0
X
n0
σ =
q
(n − µ)2 Pn = N0 pq
N0 pq
21
4.3.
Distribución de Poisson
Pn =
(N0 p)n −N0 p
e
n!
Propiedades:
1. Buena aproximación de la distribución binomial para
N0 n y p 1
2. Normalización:
3. Media: µ =
P
4. Varianza: σ =
Demostración:
P
pn = 1
npn = N0 p
qP
(n − µ)2 pn =
√
µ
1. Binomial:
pn =
N0
n
!
=
N0
n
!
pn q N0 −n
Nn
N0 (N0 − 1) · · · (N0 − n + 1)
' 0
n!
n!
q N0 −n = (1 − p)N0 −n = e(N0 −n) ln(1−p) ' e−N0 p
(ln(1 + x) = x + O(x2 ))
!
N0n n −N0 p (N0 p)n −N0 p
N0
pn q N0 −n '
p e
=
e
n
n!
n!
2. Normalización:
∞
X
pn =
n=0
∞
X
µn −µ
e = eµ e−µ = 1
n!
n=0
3. Media:
Sea f (x) ≡
P
n
pn xn =⇒
(µx)n −µ
e = eµx e−µ = eµ(x−1)
n!
X
f 0 (x) =
npn xn−1 =⇒
f (x) =
X
f 0 (1) =
X
npn = µeµ(x−1)
22
x=1
=µ
4. Varianza:
f 00 (x) =
X
n
00
f (1) =
X
n
σ
2
=
X
n
σ =
√
n(n − 1)pn xn−2 =⇒
(n2 − n)pn = µ2 eµ(x−1)
n2 p n − µ 2 =
µ
23
X
n
x=1
npn = µ
= µ2
4.3.1.
Aproximación a la distribución de Poisson con la fórmula de Stirling
Aproximación de Stirling para n 1:
√
n! ∼ 2π(n + 1)n+1/2 e−(n+1)
Ejemplo:
10!
19!
39!
59!
=
=
=
=
3,629 × 106 ' 3,598 × 106
1,216 × 1017 ' 1,211 × 1017
2,040 × 1046 ' 2,036 × 1046
1,387 × 1080 ' 1,385 × 1080
Distribución de Poison:
µ −µ
µn e−µ
e '√
n!
2πe−(n+1) (n + 1)n+1/2
n
en+1−µ
µ
q
=
n+1
2π(n + 1)
Pn =
24