Integra
al
BAB IV.
Integral
Perhitung
gan integrral adalah perhitung
gan dasar yang dig
gunakan dalam
kalkulus, untuk berrbagai keperluan. Inttegral ini secara
s
defiinitif digunakan
untuk me
enghitung luas daerrah yang dibatasi o
oleh fungssi y = f(x) dan
sumbu x. Perhatika
an gambar berikut :
y = f (x)
y
f (b)
a
x
b
Gam
mbar 4.1: Ha
ampiran luas daerah diba
awah kurva
Bentuk in
ntegral diattas dapat diartikan
d
sebagai inte
egral fungssi f(x) terhadap
variable x yang die valuasi an
ntara batass bawah x = a dan ba
atas atas x = b
dengan m
menggunakkan:
b
 f ( x)dx
a
IV.1. Metode Trrapesium
m
Pada me
etode trape
esium setia
ap daerah bagian dinyatakan sebagai empat
persegi p
panjang de
engan ting
ggi f(xi) da
an lebar h. Pada ka
aidah ini setiap
bagian diinyatakan sebagai
s
tra
apesium se
eperti gam
mbar beriku
ut :
f(x2)
f(x1)
f(x0)
x0 x1 x2 x3 x4 x5
a
…
f(xn-1
n )
f(xn)
xn- xn- xn
b
Ga
ambar 4.2: Se
egmen luas daerah dibaw
wah kurva
Integral
Luas trapesium ke-i (Li) adalah :
Li 
1
 f xi   f xi 1 .xi
2
(4.1)
atau
Li 
1
 f i  f i 1 .xi
2
Dan luas keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua
bagian trapesium.
 1
I   f ( x)   Li
b
a
(4.2)
i0
sehingga diperoleh :
n 1
b
1
h
I   f ( x )   h  fi  f i 1    f 0  2 f1  2 f 2  ...  2 f n 1  f n 
a
2
i 0 2
(4.3)
dimana:
h = (b - a)/N
Contoh 4.1:
Sebuah kurva yang diputar terhadap sumbu x seperti pada gambar
merupakan fungsi dari f(x) = 1 + (x/2)2 , 0 x 2.Hitung volume dengan
menggunakan metode trapesium untuk N =2, 4 , 8, 16, 32, 64 dan 128.
Penyelesaian:
14
0
0
2
-14
Gambar 4.3: Volume yang terbentuk dari rotasi kurva
Integral
2
I   f ( x)dx
0
Dimana
  x 2 
f ( x)   1    
 2 


Perhitungan untuk N = 2 dan 4 adalah sebagai berikut:
N = 2: h = 2/2 = 1
I;
1
 f (0)  2 f (1)  f (2)   0,5 1  2(1, 5625)  4 
2
 12, 7627
N = 4: h = 2/4 = 0,5
I;
0,5
 f (0)  2 f (0,5)  2 f (1)  2 f (1, 5)  f (2)   11, 9895
2
Hasil perhitungan untuk nilai N berikutnya ditabelkan sebagai berikut:
N
h
Ih
Eh
2
1
12,7627 -1,0341
4
0,5
11,9895 -0,2609
8
0,25
11,7940 -0,0654
16
0,125
11,7949 -0,0163
32
0,0625
11,7326 -0,0040
64
0,03125
11,7296 -0,0010
128 0,015625 11,7298 -0,0002
Nilai exact = 11,7286
IV.2. Metode Simpson 1/3
Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi
trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi
berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik
tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini. Atau dengan kata lain
metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.
Integral
f(xi)
f(xi-1)
f(xi+1)
xi-1
xi
xi+1
Gambar 4.4: Dua buah trapesium dengan pembobot berat di titik tengah
Bila menggunakan trapesium luas bangun di atas adalah :
I
h
h
h
 f i 1  fi    fi  fi 1    f i 1  2 fi  f i 1 
2
2
2
(4.4)
Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan
dengan 2 untuk menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan:
I
h
h
h
 f i 1  2 f i    2 f i  f i 1    f i1  4 fi  fi1 
3
3
3
(4.5)
Perhatikan gambar berikut:
f(x2)
f(x1)
f(xn-1)
f(x0)
x0 x1 x2 x3
a
…
x4 x5
f(xn)
xn-2 xn-1 xn
b
Gambar 4.5: Segmen trapesium dengan pembobot berat di titik tengah
Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi
fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
I
h
h
h
h
 f 0  2 f1    2 f1  f 2    f 2  2 f 3   2 f 3  f 4   ...
3
3
3
3
h
h
  f n 2  2 f n 1    2 f n 1  f n 
3
3
atau dapat dituliskan dengan:
(4.6)
Integral
4∑
2∑
(4.7)
Contoh 4.2:
1
Hitung
2 x
3
dx dengan h=0.1
0
Dengan menggunakan tabel diperoleh :
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
f(x)
0
0,002 0,016 0,054 0,128 0,25 0,432 0,686 1,024 1,458 2
Dan aturan simpson dapat dituliskan dengan :
0,1
0  ( 4)(0,002)  (2)(0,016)  (4)(0,054)  (2)(0,128)  ...  (2)(1,024)  (4)(1,458)  2
3
0,1

15   0,5
3
L
Dibandingkan dengan hasil perhitungan kalkulus, maka kesalahannya
sangat kecil.
IV.3. Metode Simpson 3/8
Metode
Simpson
3/8
diperoleh
dengan
mengintegralkan
formula
interpolasi polinomial orde ketiga. Batas [a, b] dibagi kedalam 3 bagian
dan ditulis dengan:
b
3
I   f ( x )dx  h[ f 0  3
a
8
n 1

i 1
i  3,6,9,...
f1  3
n 3

i  3,6,9
f2  f n ]
dimana:
hn  (b  a ) / n, f i  f (a  ih)
Penggunaan metode Simpson mensyaratkan jumlah selang n harus
kelipatan 3.
Integral
Contoh 4.3:
Dari contoh 4.2, gunakan metode Simpson 3/8.
Penyelesaian:
N = 3:
Interval h = 2/3
3
I  ( 23 )[ f (0)  3 f ( 2 3 )  3 f ( 4 3 )  f ( 8 3 )]
8
3
 ( 23 ) [1  3(1,111) 2  3(1,444) 2  (2) 2 ]
8
 11, 548
N=9
Interval h = 2/9
3
I  ( 92 )[ f (0)  3 f ( 2 9 )  3 f ( 4 9 )  2 f ( 6 9 )  3 f ( 8 9 )  L
8
3 f (16 9 )  f (18 9 )]
3
 ( 23 ) [1  3(1,012) 2  3(1, 049) 2  2(1,111) 2  3 f (1,198)  L
8
3(1,790) 2  (2) 2 ]
 11,723
IV.4. Metode Gauss
Metode integrasi Gauss merupakan metode yang tidak menggunakan
pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan
pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi memiliki banyak
keuntungan karena mempunyai kecepatan yang tinggi hal ini ditunjukkan
dengan jumlah pembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang
relatif kecil mempunyai kesalahan yang sama dengan metode lain dengan
jumlah pembagi yang besar. Metode integrasi Gauss dapat dijelaskan
sebagai berikut:
Integral
Untuk luas daerah ke i, mempunyai luas:
Li 
xi
 f ( x)dx
xi 1
Pertama yang harus dilakukan adalah mengubah range x=[xi-1,xi]=[a,b]
pada integrasi di atas menjadi u=[-1,1] dengan menggunakan:
u
atau
2 x  (b  a)
ba
x
1
b  a u  1 (b  a)
2
2
sehingga bentuk integral dapat dituliskan menjadi:
1
Li   g (u )du
1
dimana:
g (u ) 
1
(b  a) f  12 (b  a)u  12 (b  a) 
2
Dari bentuk ini, dapat diambil sejumlah titik pendekatan yang digunakan
sebagai titik acuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut:
1
n
1
i 1
 g (u )du   Ai g (  i )
untuk menentukan nilai Li dapat digunakan persamaan polinom Legendre:
P0 (u )  1
P1 (u )  u
Pm (u ) 
1
2m  1uPm1 (u)  (m  1) Pm2 (u )
m
Dan untuk menentukan nilai Ai digunakan pembobot sebagai berikut:
Ai 
2

(1   i2 ) Pn' (  i )

2
IV.4.1. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 2 Titik
Metode ini menggunakan formulasi integrasi:
1
 g (u )du  A0 g (  0 )  A1 g (1 )
1
Untuk menghasilkan metode ini diambil n = 2 pada persamaan polinom
Legendre, sehingga diperoleh:
Integral
1
3u 2 1
P2 (u )  4  1u.u  1.1 

2
2
2
Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah
1
dan 1  1
0  
3
3

1 jadi diperoleh:
3
Nilai A0 dan A1 dapat dicari dengan:
A0 
2
1
1

 1   (3)
3

dan
A1 
2
1
1

 1   (3)
3

Sehingga model dari integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan 2 titik
dapat dituliskan dengan:
1

1

 g (u )du  g  
 1 
1 
  g 

3
 3
Contoh 4.4:
1
I   x 2dx
Hitung integral :
0
Pertama yang harus dilakukan adalah menghitung u, dengan:
u
dan
2 x  (b  a ) 2 x  1

 2x  1
(b  a )
1
x
1
(u  1)
2
Dengan demikian diperoleh fungsi g(u):
2
1 1
1

g (u )   (u  1)  u  12
2 2
8

Integral
Dengan menggunakan integrasi kuadratur gauss pendekatan 2 titik
diperoleh :
2
 1 
 1  1 1
 1 1

I  g 
 1  
1
g
  8
3
3

 3

 8 3 
 0.311004  0.022329
 0.33333
2
IV.4.2. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
Metode ini menggunakan formulasi integrasi:
1
 g (u )du  A0 g ( 0 )  A1 g (1 )  A2 g (  2 )
1
Untuk menentukan nilai m0, m2 dan m2 digunakan persamaan polinom
Legendre dengan n=3:
1
5.u.P2 (u )  2 P1 (u ) 
3
1 1
 1 5

 5u. (3u 2  1)  2u    u (3u 2  1)  2u 
3 2
 3 2

1 15
9  1
  u 3  u   u 5u 2  3
3 2
2  2
P3 (u ) 

Diperoleh :  0  0 , 1  
3
5
dan  2 

3
5
Nilai A0, A 1 dan A2 dapat diperoleh dengan:
P3' (u ) 
A0 
15 2 3
u 
2
2
2
(1).  P (0) 
A12 
'
3
2
2
3

 '
 1    P3
5


2
 3
 
 2
 
3
5
2
2


8
9
2
10 5


2
2
18 9
 
   3
5
Integral
Sehingga diperoleh model integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan
tiga titik adalah sebagai berikut:
1
5 
8
 g (u )du  9 g 0  9 g  

1
3  5  3 
 g
5  9  5 
Contoh 4.5:
Hitung integral
1
I   e x dx
0
Terlebih dahulu dilakukan pengubahan range:
u
2 x  (b  a ) 2 x  1

 2x  1
(b  a )
1
dan
x
1
(u  1)
2
Sehingga diperoleh :
 1 u 1  1 1 u 1
1
g (u )  (1  0) e 2
  e2
2

 2
Dengan menggunakan integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan tiga
titik diperoleh:


 
8
5
5
g (0)  g  35  g 35
9
8
8
 0.732765  0.310916  0.6746
 1.718281
I
Dibandingkan dengan hasil analitik dengan pendekatan 10-6, diperoleh
1.718282, hasil di atas merupakan hasil yang cukup baik.
Catatan:
Meskipun dalam beberapa hal integrasi kuadratur Gauss menunjukkan
hasil yang lebih baik dari pada metode integrasi Simpson, tetapi dalam
penerapannya metode integrasi Simpson lebih banyak digunakan dengan
dasar pertimbangan kemudahan.
Integral
Tugas:

1. Hitung integral :
sin( x )
dx dengan menggunakan integral Reimann,
x
0

trapezoida dan Simpson. Bandingkan hasilnya dengan jumlah
pembagi (N) yang sama, ambil N=10, 20, 50, 100, 500 dan 1000. Lalu
gambarkan hubungan N dan Luas yang dihasilkan.
2. Dengan menggunakan integral kuadratur Gauss dengan 2 titik
1
e
pendekatan dan 3 titik pendekatan, hitung:
  x  0. 5  / 2
dx
0
Bandingkan hasilnya bila menggunakan integrasi Simpson dengan
N=20 dan N=50.
3. Evaluasi integral dari data tabulasi berikut dengan menggunaka aturan
trapesium dan simpson 1/3:
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f(x)
1
7
4
3
5
9