‫ﻤوﻀوع ﻨﻤوذﺠﻲ ﻟﺘﺤﻀﯿر اﻤﺘﺤﺎن ﺸﮭﺎدة اﻟﺒﻜﺎﻟورﯿﺎ‬
‫ﻣرﻓق ﺑﺎﻟﺣل اﻟﻧﻣوذﺟﻲ‬
‫الشعبت ‪ :‬الرياضياث‬
‫الهادة ‪ :‬رياضياث‬
‫التمرين األول‪ 5(:‬نقاط)‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ /I‬علما أن‪ 0 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪:‬‬
‫فإن‬
‫معدوم‬
‫غٌر‬
‫طبٌعً‬
‫عدد‬
‫كل‬
‫أجل‬
‫من‬
‫أنه‬
‫أثبت‬
‫‪،‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ /II‬لتكن ‪ f‬الدالة المعرفة على ‪ 0; ‬بـ‪ f  x   x  2 :‬ولٌكن ‪  C ‬تمثٌلها البٌانً فً‬
‫‪x‬‬
‫المستوى المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪ ( ، o ; i , j‬وحدة الطول هً ‪) 2cm‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ /0‬لتكن ‪ h‬الدالة المعرفة على المجال ‪ 0; ‬بـ‪h  x   x3  1  2ln x :‬‬
‫أ( أدرس اتجاه تغٌر الدالة ‪ h‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫ب( أحسب ‪ h 1‬ثم استنتج إشارة ‪ h  x ‬من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪. 0; ‬‬
‫‪ /2‬أ( أحسب نهاٌة الدالة ‪ f‬عندما ‪ٌ x‬ؤول إلى ‪ 0‬وعندما ‪ٌ x‬ؤول إلى ‪. ‬‬
‫ب( عٌن ‪ f ‬الدالة المشتقة للدالة ‪ f‬و انشئ جدول تغٌراتها‪.‬‬
‫‪ /3‬أ( بٌن أن المستقٌم ‪   ‬ذا المعادلة ‪ y  x‬مستقٌم مقارب مائل للمنحنى ‪.  C ‬‬
‫ب( أدرس وضعٌة المنحنى ‪  C ‬بالنسبة للمستقٌم ‪.   ‬‬
‫ج( أرسم كل من المنحنى ‪  C ‬والمستقٌم ‪   ‬فً المعلم السابق‪.‬‬
‫التمرين الثاني‪ 5( :‬نقاط)‬
‫‪ /0‬حل فً مجموعة األعداد المركبة ‪ C‬المعادلة ‪. z  2 z  2  0‬‬
‫‪ /2‬لتكن النقط ‪ M ، L ، K‬التً لواحقها على الترتٌب‪zM  i 3 ، zL  1  i ، zK  1  i :‬‬
‫علم هذه النقاط فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪(،  o ; u , v ‬الوحدة هً ‪.) 4cm‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ /3‬أ( تحقق أن ‪ z N‬الحقة النقطة ‪ N‬نظٌرة النقطة ‪ M‬بالنسبة للنقطة ‪ L‬هً‪3  2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪‬‬
‫ب( نعتبر الدوران ‪ r‬الذي مركزه ‪ O‬وزاوٌته‬
‫‪2‬‬
‫عٌن الالحقتٌن ‪ z A‬و ‪ zC‬للنقطتٌن ‪ A‬و ‪ B‬على الترتٌب‪.‬‬
‫ج( نعتبر االنسحاب ‪ ، t‬الحقة شعاعه ‪ 2i‬حٌث‪ t  M   D :‬و ‪ t  N   B‬عٌن الالحقتٌن ‪ zD‬و‬
‫حٌث‪ r  M   A :‬و ‪r  N   B‬‬
‫‪ z B‬للنقطتٌن ‪ D‬و ‪ B‬على الترتٌب‪.‬‬
‫‪ /4‬أ( بٌن أن النقطة ‪ K‬منتصف القطعة المستقٌمة ‪  DB ‬هً منتصف القطعة المستقٌمة ‪.  AC ‬‬
‫‪zC  zK‬‬
‫ب( بٌن أن‪ i :‬‬
‫‪zB  zK‬‬
‫اﻟﻣﻔﺗﺷﯾﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺑﯾداﻏوﺟﯾﺎ‬
‫‪2010/2011‬‬
‫‪ ،‬ثم استنتج طبٌعة الرباعً ‪. ABCD‬‬
‫‪1/5‬‬
‫‪Educationindz.com‬‬
‫التمرين الثالث‪ 5( :‬نقاط)‬
‫الفضاء منسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪.  o ; i , j , k ‬‬
‫نعتبر النقاط ‪ A 1;1;0 ‬و ‪ B 1;2;1‬و ‪C  3;  1;2‬‬
‫‪ /0‬أ( أثبت أن النقاط ‪ B ، A‬و ‪ C‬تشكل مستوٌا‪.‬‬
‫ب( بٌن أن المستوي ‪  ABC ‬معادلته الدٌكارتٌة هً‪. 2 x  y  z  3  0 :‬‬
‫‪ /2‬نعتبر المستوٌٌن ‪  P ‬و ‪  Q ‬معادلتٌهما على الترتٌب ‪ x  2 y  z  4  0‬و‬
‫‪. 2x  3 y  2z  5  0‬‬
‫أثبت أن المستوٌٌن ‪  P ‬و ‪ٌ  Q ‬تقطعان وفق مستقٌم ‪ٌ  D ‬طلب كتابة تمثٌال وسٌطٌا له‪.‬‬
‫‪ /3‬عٌن تقاطع المستوٌات الثالثة ‪  P  ،  ABC ‬و ‪.  Q ‬‬
‫‪ /4‬أوجد المسافة بٌن النقطة ‪ A‬و المستقٌم ‪.  D ‬‬
‫التمرين الرابع‪ 5( :‬نقاط)‬
‫‪ /0‬أ|( عٌن مجموعة الثنائٌات ‪  x; y ‬من ‪ Z²‬حلول المعادلة‪ E  : 8x  5 y  3 :‬‬
‫ب( لٌكن ‪ m‬عددا صحٌحا بحٌث توجد ثنائٌة ‪  p; q ‬من األعداد الصحٌحة تحقق‪m  8 p  1 :‬‬
‫و ‪ ، m  5q  4‬بٌن أن الثنائٌة ‪  p; q ‬هً حل للمعادلة ‪ ،  E ‬واستنتج أن‪m  9 40 :‬‬
‫ج( عٌن أصغر عدد طبٌعً ‪ m‬أكبر من ‪. 2000‬‬
‫‪ /2‬لٌكن ‪ n‬عددا طبٌعٌا‪.‬‬
‫‪3k‬‬
‫أ( أثبت أنه من أجل عدد طبٌعً ‪ k‬لدٌنا‪. 2  17 :‬‬
‫ب( ما هو باقً القسمة اإلقلٌدٌة للعدد ‪ 22009‬على ‪ 7‬؟‬
‫‪ /3‬لٌكن ‪ a‬و ‪ b‬عددان طبٌعٌان أقل من أو ٌساوي ‪ 9‬مع ‪ ، a  0‬ونعتبر العدد ‪N‬‬
‫حٌث‪. N  a 103  b :‬علما أنه فً النظام العشري العدد ‪ٌ N‬كتب ‪. N  a00b‬‬
‫نرٌد تعٌٌن من ضمن هذه األعداد الطبٌعٌة ‪ N‬تلك التً تقبل القسمة على ‪. 7‬‬
‫أ( تحقق من أن‪. 103  1 7 :‬‬
‫ب( استنتج األعداد الطبٌعٌة ‪ N‬التً تقبل القسمة على ‪ 7‬فً الحالة ‪ a  2 7‬و ‪. b  2 7‬‬
‫اﻟﻣﻔﺗﺷﯾﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺑﯾداﻏوﺟﯾﺎ‬
‫‪2010/2011‬‬
‫‪2/5‬‬
‫‪Educationindz.com‬‬
‫وزارة الجربيت الوطىيت‬
‫الهفجشيت العاهت لمبيداغوجيا‬
‫‪ŕƔũƏƅŕƄŗƅŔŘŧŕƎŮƉŕţśƈŔũƔŲţśƅƓŠŨƏƈƊƅŔŵƏŲƏƈƅŔ¿ţ‬‬
‫الشعبت ‪ :‬الرياضياث‬
‫الهادة ‪ :‬رياضياث‬
‫التمرين األول(‪ 15‬نقاط)‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ - I‬لٌكن ‪ x  1‬و ‪ n‬طبٌعً لدٌنا‪ 1  x  xn :‬ومنه ‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ln x ln x‬‬
‫‪ 0  n ‬ومنه ‪ 0‬‬
‫‪ 0; ‬نستنتج أن‪:‬‬
‫‪ 0,5 ...................... lim‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ /0 II‬أ( دراسة إتجاه تغٌر الدالة ‪ h‬على المجال ‪ 0,5 .......................... 0; ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ h‬قابلة لالشتقاق على ‪ 0; ‬ولدٌنا‪ h  x   3x 2  :‬وهً موجبة تماما‬
‫‪x‬‬
‫ومنه الدالة ‪ h‬متزاٌدة تماما على ‪. 0; ‬‬
‫‪ 0 ‬ألن دالة المقلوب متناقصة على‬
‫ب( إشارة ‪ h  x ‬على المجال ‪ 0,5 ..... ............................................ 0; ‬‬
‫لدٌنا ‪ h 1  0‬و ‪ h  x   0‬من أجل <‪ ، x  1 0‬و ‪ h  x   0‬من أجل ‪. x  1‬‬
‫‪ /2‬دراسة تغٌرات ‪. f‬‬
‫أ( ‪ lim f  x   ‬باستعمال نتٌجة السؤال ‪ I‬و ‪lim f  x   ‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ 0,5 ......................‬‬
‫‪x  1  2ln x h  x ‬‬
‫ب( من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪ 0; ‬فإن‪ 3 :‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x‬‬
‫وهذا ٌعنً أن إشارة ‪ f   x ‬من إشارة ‪h  x ‬‬
‫جدول تغٌرات ‪ 01 ......................................................................... f‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x  ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‬‫‪‬‬
‫‪f x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0,5 .........................................................‬‬
‫‪ ( /3‬المستقٌم المقارب المائل‬
‫‪ln x‬‬
‫من أجل ‪ x  0‬لدٌنا‪f  x   x  2 :‬‬
‫‪ lim‬نستنتج عندئذ أن ‪   ‬ذا المعادلة‬
‫ومنه‬
‫‪،‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ y  x‬مستقٌم مقارب مائل لـ ‪.  C ‬‬
‫ب( وضعٌة ‪  C ‬بالنسبة لـ ‪ 0,5 .....................................................   ‬‬
‫‪1‬‬
‫من أجل كل ‪ ، x  0‬لدٌنا ‪ f  x   x   ln x  2‬ومنه إشارة الفرق ‪ f  x   x‬من إشارة ‪ ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫ومنه ‪  C  :‬فوق ‪   ‬فً المجال ‪. 0;1‬‬
‫‪  C ‬تحت ‪   ‬فً المجال ‪. 1; ‬‬
‫‪  C ‬و ‪ٌ   ‬تقاطعان عند النقطة التً فاصلتها ‪. 1‬‬
‫اﻟﻣﻔﺗﺷﯾﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺑﯾداﻏوﺟﯾﺎ‬
‫‪2010/2011‬‬
‫‪3/5‬‬
‫‪Educationindz.com‬‬
‫ج( إنشاء كل من ‪  C ‬و ‪ 01 .........................................................   ‬‬
‫التمرين الثاني (‪ 15‬نقاط)‬
‫‪ /0‬للمعادلة ‪  E ‬حالن مترافقان وهما‪ z1  1  i :‬و ‪ 0,75 ......................... z2  1  i‬‬
‫‪ /2‬تعلٌم النقاط ‪ L ، K‬و ‪M‬‬
‫‪ /3‬أ( بما أن ‪ N‬نظٌرة ‪ M‬بالنسبة للنقطة ‪ L‬فإن‪ LN  LM :‬أي ‪ zN  zL   zM  zL‬ومنه‬
‫‪‬‬
‫‪32‬‬
‫ب(‬
‫‪‬‬
‫‪ 0,75 ......................................................‬‬
‫‪z N   zm  2 z L  2  i‬‬
‫‪‬‬
‫) ; ‪r (O‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫حٌث‪ r  M   A :‬أي ‪ z A  azM  b‬أي ‪. z A  e 2 i 3  i i 3  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ٌ r  N   C‬عنً ‪ zC  azN‬ومنه ‪3  2  2  3  2i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪zC  e 2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 0,75 ..........‬‬
‫ج( لدٌنا ‪ٌ t  M   D‬عنً ‪ zD  zM  b‬ومنه ‪ zD  i 2  3‬و ‪ٌ t  N   B‬عنً ‪ zB  zN  b‬ومنه‬
‫‪zB  2  i 3‬‬
‫‪ 2  0,5 ....................................................................‬‬
‫‪z A  zC‬‬
‫‪z  zB‬‬
‫‪ D‬ومنه ‪ K‬منتصف ‪  BD ‬و ‪ 1  i  zK‬‬
‫‪ /4‬أ( لدٌنا ‪ 1  i  zK‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  0,5 .......................................................................  AC ‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪z z‬‬
‫‪‬‬
‫ب( واضح أن‪ C K  i  e 2 :‬ومنه نستنتج أن‪ KB  KC :‬و ‪ MB; KC ‬وهذا ٌعنً أن‬
‫‪2‬‬
‫‪zB  zK‬‬
‫الرباعً ‪ ABCD‬مربع ‪ 0,75 ...............................................................‬‬
‫ومنه ‪ K‬منتصف‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫التمرين الثالث‪ 15(:‬نقاط)‬
‫‪ /0‬أ( لدٌنا ‪ AB‬و ‪ AC‬غٌر مرتبطٌن خطٌا‪ ،‬ومنه النقاط ‪ B ، A‬و ‪ C‬لٌست فً استقامٌة‬
‫‪ 0,75 .......................................................................................‬‬
‫ب( المعادلة الدٌكارتٌة للمستوي ‪ ABC  :‬‬
‫ٌكفً التأكد من أن إحداثٌات النقاط ‪ B ، A‬و ‪ C‬تحقق المعادلة ‪ 0,75 .... 2 x  y  z  3  0‬‬
‫‪ /2‬دراسة التقاطع‪ :‬الشعاع ‪ n 1;2; 1‬هو شعاع ناظمً للمستوي ‪ ،  P ‬كذلك ‪ n  2;3;  2 ‬شعاع‬
‫ناظمً للمستوي ‪  Q ‬واضح أن الشعاعٌن ‪ n‬و ‪ n‬لٌسا مرتبطٌن خطٌا فالمستوٌٌن ‪  P ‬و ‪ Q ‬‬
‫متقاطعان فً مستقٌم ‪.  D ‬‬
‫‪ x  2y  z  4  0‬‬
‫بحل الجملة‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬نجد الجملة‬
‫) ‪(t  IR‬‬
‫‪x  2  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  3‬‬
‫‪z  t‬‬
‫‪‬‬
‫وهو التمثٌل الوسٌطً للمستقٌم‬
‫‪  D ‬تقاطع المستوٌٌن ‪  P ‬و ‪1,5 ...........................................  Q ‬‬
‫‪ /3‬إن تقاطع المستوٌات الثالثة ‪  P  ،  ABC ‬و ‪  Q ‬هو تقاطع ‪  ABC ‬والمستقٌم ‪  D ‬إذن‪ ،‬نبحث‬
‫عن نقطة ‪ M‬تنتمً إلى التقاطع المطلوب إحداثٌاتها تحقق الجملة‪:‬‬
‫بحل هذه الجملة نجد التقاطع فً نقطة وحٌدة ‪E‬‬
‫اﻟﻣﻔﺗﺷﯾﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺑﯾداﻏوﺟﯾﺎ‬
‫‪2010/2011‬‬
‫‪x  2  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x  y  z  3  0‬‬
‫إحداثٌاتها ‪ 01 ............  2;3;4 ‬‬
‫‪4/5‬‬
‫‪Educationindz.com‬‬
‫‪ /4‬المسافة بٌن النقطة ‪ A‬و المستقٌم ‪ :  D ‬لتكن النقطة ‪ H‬المسقط العمودي للنقطة ‪ A‬على المستقٌم‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  D ‬لدٌنا ‪ AH  y  1‬و ‪ u  0 ‬شعاع توجٌه المستقٌم ‪.  D ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ z ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 3‬‬
‫إن‪ AH :‬و ‪ u‬متعامدان إذن ‪ AH .u  0‬ومنه ‪. H   ;3; ‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪34‬‬
‫نحسب عندئذ ‪ AH‬نجد‬
‫‪ AH ‬وهً المسافة بٌن النقطة ‪ A‬والمستقٌم ‪ 01 .........  D ‬‬
‫‪2‬‬
‫التمرين الرابع‪ 15( :‬نقاط)‬
‫‪ /0‬أ( واضح أن الثنائٌة ‪ 1;1‬هً حل خاص للمعادلة ‪ ،  E ‬عندئذ نجد ‪ x  5k  1‬و ‪ y  8k  1‬حٌث‬
‫‪ k‬عدد صحٌح ‪ 01 ........................................................................‬‬
‫ب( من المعطٌات فإن األعداد الصحٌحة ‪ m‬و ‪ p‬و ‪ q‬تحقق العالقة ‪ 8 p  m  1‬و ‪5q  m  4‬‬
‫وهذا ٌعنً أن‪ 8 p  5q  3 :‬ومنه الثنائٌة ‪  p; q ‬حل للمعادلة ‪  E ‬وبالتالً ٌوجد عدد صحٌح ‪ k‬حٌث‬
‫‪ p  5k  1‬ومنه ‪ m  8 p  1‬أي ‪ m  85k  1  1  40k  9‬وهذا ٌعنً أن‪ 01 .... m  9 40 :‬‬
‫ج( نضع ‪ 40k  9  2000‬أي ‪ k  49,775‬ومنه ٌجب أن ٌكون ‪ k  50‬وهذا ٌعطً القٌمة المطلوبة لـ‬
‫‪ m‬وهً ‪ 0,5 ......................................................... m  2009‬‬
‫‪ /2‬أ( لدٌنا ‪ 23  8‬أي ‪ 23  17‬ومنه ‪ 0,5 ..................................... 23k  17‬‬
‫ب ‪ ( 22009  23669  22  1 47‬ومنه ‪ 0,5 .................................... 22009  47‬‬
‫‪ /3‬أ( واضح أن ‪ 103  17‬ألن ( ‪ 0,5 ...................... ) 103  1  1001  7 143‬‬
‫ب( من النتٌجة السابقة فإن‪ a  103  a 7 :‬إذن ‪ a 103  b  a  b 7‬ولدٌنا ‪N  a 103  b‬‬
‫أٌضا ‪ٌ N‬قبل القسمة على ‪ 7‬إذا وفقط إذا كان ‪a  b 7‬‬
‫توجد سبع حاالت للدراسة قٌم ‪ N‬من أجل ‪ a  2 7‬و ‪ ، b  2 7‬من أجل هذه الحالة ٌكون لدٌنا ‪ a  2‬أو‬
‫‪ a  9‬و ‪ b  2‬أو ‪b  9‬‬
‫أربعة قٌم ممكنة للعدد الطبٌعً ‪ N‬وهً‪ 01 ..................... 2002;2009;9002;9009 :‬‬
‫اﻟﻣﻔﺗﺷﯾﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺑﯾداﻏوﺟﯾﺎ‬
‫‪2010/2011‬‬
‫‪5/5‬‬
‫‪Educationindz.com‬‬