政治大學行政管理碩士學程共同必修課
課程名稱：社會科學研究方法（量化分析）
授課老師：黃智聰
授課內容：
簡單線性迴歸模型：非線性模型、
異質變異、自我相關
參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001),
Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons
日期：20011年12月12日
政治大學行政管理碩士學程共同必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析）--黃智聰 1
非線性模型


第一類模型: 變數為非線性的，但未知參數是
線性的。
Y=αLβK γ
lnY=δ+βln(L)+γln(K)
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多項式和互動變數




迴歸模型中的斜率為連續性的變化。
TC=α1+α2Q+α3Q2+α4Q3+e
PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+e
 PIZZA
 AGE = β2 :在某一個所得水準之下，預期比
薩的支出會隨著年齡增加一歲而變動 β2 的量。
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
 PIZZA = β :在某一年齡之下，所得每增加＄
3
Y
1預期比薩支出會增加β3。
例: 隨著一個人年齡的增長，他們對於比薩的
邊際偏好會減少。
這是一個所得的影響決定於年齡的例子
AGE × Y
PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+β4(AGE×Y) +e

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 E(PIZZA)

=β2+β4 Y
 AGE
AGE的影響取決於所得。
 E(PIZZA)

=β3+β4 Age
Y

受到所得影響下預期比薩的支出，則決定
於AGE。
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




下列兩條式子有何不同
Pizza=342.8848***-7.5756***AGE+0.0024***Y
Pizza=161.4654-2.9774AGE+0.0091**Y0.00016**(Y×AGE)
AGE 本身不再是個顯著的解釋因素。
這表示AGE會透過與所得的互動來影響比薩的
支出---也就是它會影響比薩的邊際支出傾向
估計 AGE 的邊際影響
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異質變異（Heteroskedasticity）
yt  1   2 xt  et
E (et )  0
問題:
VAr (et )   2
Cov(ei , e j )  0
Var ( y t )  Var (et )   2
放寬這個假設:Var( yt )  Var(et )   t 2
然後我們稱這樣的情形為異質變異
在使用橫斷面換資料（cross-sectional data）時常
會遇到變異數不同或質變異性，這樣的情形也同
樣會發生在時間序列資料（time-series data）。
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異質變異對最小平方估計式的影響


最小平方估計式仍然是線性且不偏的估計式，
但它不再是最佳線性不偏估計式(BLUE)。
通常以最小平方估計式所計算出的標準誤是不
正確的。使用這些不正確的標準誤會誤導假設
檢定。
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檢測異質變異性




1.殘差圖（Residual Plots）
如果誤差是同質變異的，在殘差裡不應該會有
任何種類的類型（patterns）。
然而，當我們有一個以上的解釋變數時 ，估計
的最小平方函數不容易被畫在一張圖上。
我們可以做的是畫出最小平方殘差相對於各解
釋變數的圖。
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



2. The Goldfeld-Quandt 檢定
H0: homoskedasticity
a. 將樣本分為大小大約相等的兩個子樣本。
若我們相信變異數與 Xt 有關，則應根據Xt 大
小將觀察值分為兩類。
b. 計算每個子樣本的估計誤差變異數 ˆ 12 及 ˆ 2
2
。若兩個樣本之變異數相同的虛無假設不是真
的, 那麼預期 ˆ 12 會很大。
ˆ 22
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



2
2
ˆ
ˆ

/

c. 計算 GQ= 1
2
若 GQ＞Fc (T1-K, T2-K)
拒絕變異數相同的虛無假設
若樣本一分為二, 則T1=T2=T /2。
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經由模型轉換的一般化最小平方
一般化最小平方
yi   0  1 x1   2 x2  et Var (ei )   12
i=1,…,13
(1)
yi   0  1 x1   2 x2  et
i=14,…,26
(2)

Var(ei )   2
2
0
x1
x2 ei

 1
 2

1 1
1
1 1
, for i=1,…13
0
x1
x2 ei

 1
 2

2 2
2
2 2
, for i=14,…,26
yi
yi
Var (
ei
1
)  Var (
ei
2
) 1
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
∴ 估計 LSE (1)(2) 可得到
x1
y
x2
ˆ ˆ 22
2
1 ,
然後計算  j ,  , 
j
j
其中 σj 不是 σ1 就是 σ2 , 決定於選取的那一
半觀察值。
然後應用最小平方在轉換整個變數
Yi   0  1 X 1   2 X 2   i
yi
yi
x1
x2
x1
1  2
1
2
1
x2
2
檢定變異數假設
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自我相關（ Autocorrelation）



橫斷面資料（Cross-section data）:隨機樣本
誤差項彼此間互不相關。
時間序列資料（Time-series data）: 相鄰發生的
誤差是有可能會彼此相關。
當相鄰發生的誤差項互為相關時，
稱為自
我相關（autocorrelation）。
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yt   0  1 xt ,1   2 xt , 2  et
E (et )  0
but if
例:
Cov(et , es )  0
Cov(et , es )  0
Var(et )   2
for t≠ s
自我相關
for t≠ s
ln( At )   0  1 ln( Pt )  lt
yt   0  1 xt  et
yˆt  6.111  0.971xt
(0.169) (0.111)
R2=0.706
(SE)
從課本的表和圖中可知:負的殘差值傾向於跟隨負的
殘差值，而正的殘差值則傾向於跟隨正的殘差值。
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一階自我迴歸誤差

一階自我迴歸模型 AR(1)
et  et 1   t E ( t )  0 Var( t )   2
Cov ( t , s )  0
for t≠ s
若ρ
由前一期帶到下一期的影響越大，衝擊擴散
的速度也越慢。
AR(1) 誤差的統計性質
∞ , as t
∞
(1)-1＜ρ＜1，若  ＞1 Then et will
(2)E(et )=0
2

2
2

e
也是同質變異的，因為σ
Var
(
e
)



(3)
t
e
t
e
1  2
不隨時間而改變。
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
(4) Cov(e , e )   2  k
t
t k
e
因為
＜1
∴
k＞0
Cov(et , et k )  0
As t
∞
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對最小平方估計式的影響



一個具有自我相關的方程式，若是忽略或沒有
察覺到這一點，就會發生下列情形：
最小平方估計式仍然是線性不偏估計式，但它
不再是最佳的。
最小平方估計式的標準誤不再是正確的
使
用這些標準誤會誤導假設檢定。
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
一般化最小平方（GLS）會比最小平方提供給
我們一個更窄、可透露多資訊的信賴區間。
Yt   0  1 X t e t
et  et 1  Vt
Yt   0  1 X t  et 1  Vt
et 1  Yt 1   0  1 X t 1
et 1  Yt 1   0  1 X t 1
Yt  Yt1   0 (1   )  1 ( X t  X t 1 )  Vt
Yt*   0 X t*,1  1 X t*, 2  Vt
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


只計算 (T-1)個變數，忽略第一個觀察值≠>
不偏
估計 ρ
轉換第一個觀察值
Y1*  (1   2 )Y1
Yt*  Yt  Yt 1
*
X 11
 (1   2 )
X 12*  (1   2 ) X 1
X t*1  1  
X t*2  X t  X t 1
先估 Yt   0  1 X t  et eˆ  Yˆ  b  b X eˆt  eˆt 1  Vˆt
t
t
0
1 t
然後重新估計 β0,β1 => Yt   0  1 X 在考慮
AR下。
t
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自我相關的檢定


Durbin Watson 檢定
et  et 1  Vt
d  2(1  ˆ )
The Bound Test
H0: ρ= 0，H1:ρ> 0
dLc < d < dUc
若 d < dLc 拒絕 H0: ρ= 0 ，接受 H1:ρ> 0
若 d > dUc 無法拒絕 H0: ρ= 0
若 dLc < d < dUc 這個檢定是不具決定性的。
T=34 (觀察值個數) K=2(參數個數)
β0、β1
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Lagrange 乘數檢定
(Lagrange Mulitipler Test)
Yt   0  1 X 1  eˆt 1  Vt




H0: ρ= 0 ， H1:ρ≠0
若 DW 檢定與 LM 檢定不一致時？
DW 檢定導致型I錯誤。
LM 檢定導致型II錯誤。
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注意:
1.Yt=β0+β1X1+ρet-1+νt，但 t=1,……,T
e0=?
(1)設定 e0=0
(2)忽略 e0
2.DW 檢定在有限樣本的情況下較精確。
LM 檢定適用在近似於大樣本的情況下。
3.若其中一個解釋變數為延遲變數Yt-1，則不適合
用DW檢定。但LW檢定仍然可以用在這種情形之
下。
4.在越多時間延遲的情況下，更適合用LM檢定。

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用AR(1)誤差做預測


YT+1=β0+β1XT+1+eT+1
YT+1=β0+β1XT+1+ρeT+νT+1
YˆT 1  ˆ 0  ˆ1 X T 1  ˆ e~T
e~T  YT  ˆ 0  ˆ1 X T
yˆ T h   0 + ˆ1 X T h  ˆ h e~T
若我們假設 XT+h=value
則我們就可以預測 h 期!
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