CHỈNH HỢP
I.
Tóm tắt lí thuyết:
Định nghĩa
Cho tập A gồm 𝑛 phần tử (𝑛 ≥ 1). Kết quả lấy 𝑘 phần tử khác nhau từ 𝑛 phần tử của tập
hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập 𝒌 của n
phần tử đã cho.
Ví dụ 𝟏: Xét tập hợp gồm 5 học sinh A,B,C,D,E. Ta chọn ra 3 học sinh sắp xếp trên 3 cái
ghế theo thứ tự ABC. Khi đó, ta được một chỉnh hợp chập 𝟑 của 𝟓 học sinh đã cho.
Số các chỉnh hợp
Như vậy, trong ví dụ 1 ở trên, làm sao để ta tính số cách để chọn ra 3 học sinh và sắp xếp
theo thứ tự trên 3 cái ghế? Ta thực hiện tiến hành như sau:
- Chọn một học sinh vào ghế thứ nhất: 5 cách chọn.
- Chọn một học sinh trong 4 học sinh còn lại vào ghế thứ hai: 4 cách chọn.
- Chọn một học sinh trong 3 học sinh còn lại vào ghế cuối cùng: 3 cách chọn.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
5.4.3 = 60 (cách).
Ở đây, ta sử dụng quy tắc nhân vì đây là một quá trình thực hiện theo 3 bước. Từ đây, ta
có thể khái quát được công thức tính số chỉnh hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử Ta gọi số chỉnh
hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử là 𝐴 𝑛𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) thì ta có:
𝐴
𝑘
= 𝑛 (𝑛 − 1) … (𝑛 − 𝑘 + 1).
𝑛
Chứng minh:
Để giúp cho người đọc có cái nhìn dễ hiểu hơn về chứng minh, không mất tính tổng quát,
ta xét tập hợp gồm 𝑛 học sinh, ta cần phải tính số cách để xếp 𝑘 học sinh bất kỳ vào hàng
ghế gồm 𝑘 chỗ theo một thứ tự bất kỳ. Thực hiện các bước như phần giải ví dụ 1, chỉ cần
thay 5 bởi 𝑛 và thay 3 bởi 𝑘, như vậy ta cần thực hiện 𝑘 bước để được số cách chọn là:
𝑛(𝑛 − 1) … (𝑛 − 𝑘 + 1) (cách).
Vậy công thức đã được chứng minh.
Lưu ý: Ta có thể viết lại công thức tính chỉnh hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử theo công thức:
𝐴
𝑘
𝑛!
=
,1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
𝑛 (𝑛 − 𝑘 )!
với quy ước 0! = 1.
II.
Một số dạng toán:
Dạng 1. Dạng toán đếm
1.
Đếm cách lập số tự nhiên
Bài tập ví dụ 𝟏: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập
hợp A= 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9?
Phân tích: Đề bài yêu cầu ta phải tìm những số tự nhiên có 𝑘 chữ số đôi một khác nhau
được lập từ tập hợp A. Do với mỗi cách chọn 6 số bất kỳ trong tập hợp A, với mỗi cách
sắp xếp thứ tự ta được một số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán. Như vậy, số các số tự nhiên
thỏa mãn yêu cầu bài toán là số chỉnh hợp chập 6 của 9 phần tử của A.
Lời giải: Số cách chọn là:
𝐴 69 = 60480 (cách).
Vậy có 60480 số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
Bài tập ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, có 4 chữ số phân biệt mà trong
biểu diễn không có các chữ số 8, 9?
Phân tích: Khác với ví dụ 1, ở ví dụ 2 ta thấy có sự hiện hiện của chữ số 0, và ta nên biết
rằng chứ số 0 không được nằm ở vị trí đầu tiên! Tại sao thế? Vì khi đó số được tạo thành
từ 4 chữ số không phải là số có 4 chữ số. Tiếp theo, ta thấy rằng một số tự nhiên nếu chia
hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Như vậy với những nhận xét trên, ta suy nghĩ
đến việc chia ra hai trường hợp chính: chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 (đừng quên việc các số
ấy không chứa các chữ số 8, 9). Ta có lời giải như sau:
Lời giải: Xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0. Lúc này do các chữ số là phân biệt nên ta có 𝐴37 cách
chọn và sắp xếp 3 chữ số trong 7 chữ số còn lại để lập thành số thỏa mãn.
Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5, lúc này chữ số 0 có thể đứng đầu hoặc không. Xét
trường hợp tổng quát: chọn và sắp xếp 3 trong 7 chữ số còn lại có 𝐴37 cách. Trong các cách
chọn này, có một số trường hợp chữ số 0 đứng đầu, cụ thể là có 𝐴26 số mà chữ số 0 đứng
đầu (đếm cách chọn và sắp xếp 2 trong 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 6, 7). Như vậy trong trường hợp
này ta có 𝐴37 − 𝐴26 số.
Như vậy ta có 𝐴37 + (𝐴37 − 𝐴26 ) = 390 số thỏa mãn.
2.
Đếm các đối tượng hình học
Bài tập ví dụ 3: Cho đa giác 2022 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vector (khác vector-không) thỏa
mãn điểm đầu và điểm cuối của các vector được chọn trong 2022 đỉnh của đa giác.
Phân tích: Có thể nhận ra những gì ta cần làm là đếm số cách chọn 2 trong số 2022 cạnh
của đa giác. Tuy nhiên cần để ý ở đây là do vector có tính chỉ hướng, tức là với hai điểm
phân biệt ta có 2 vector có điểm đầu và điểm cuối là 2 điểm đó. Như vậy ta có lời giải sau:
Lời giải: Số vector cần tìm bằng với số cách chọn và sắp xếp 2 trong số 2022 đỉnh của đa
giác, tức là chỉnh hợp chập 2 của 2022: 𝐴22022 = 4086462 (vector).
3.
Đếm số cách chọn, sắp xếp người và đồ vật
Bài tập ví dụ 𝟒: Một nhóm học sinh gồm 6 nam và 6 nữ. Có hai hàng ghế đối diện nhau,
mỗi hàng ghế có 6 cái ghế.
a) Tìm số cách xếp nhóm học sinh đó vào hai hàng ghế đó.
b) Tìm số cách xếp nhóm học sinh đó vào hai hàng ghế sao cho nam ngồi đối diện nữ.
Giải:
a) Ở câu này, ta chỉ cần xếp 6 học sinh trong 12 học sinh vô một hàng ghế, hàng ghế còn
lại chỉ cần xếp 6 học sinh còn lại vào là được. Ở đây, không quan trọng xếp vô hàng ghế
nào trước.
- Số cách xếp 6 học sinh vô hàng ghế đầu tiên là chỉnh hợp chập 6 của 12 phần tử do mỗi
6
cách chọn thứ tự cũng là một cách xếp. Vậy ta có số cách chọn là: 𝐴 12
cách.
- Tương tự, số cách xếp 6 học sinh vô hàng ghế còn lại là: 𝐴 66 cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là:
6
𝐴 12
+ 𝐴 66 = 666000 (cách).
b) Ở câu này có phần khó hơn, vì khi đã chọn 6 học sinh vô một hàng ghế thì hàng ghế còn
lại bị ràng buộc bởi giới tính của 6 học sinh đã chọn trước đó. Như vậy, ta phải giải quyết
mối ràng buộc giới tính này trước.
- Lấy một hàng ghế bất kỳ, ta quy định cho mỗi ghế một giới tính bất kỳ. Số cách chọn là:
26 cách.
- Khi này, hàng ghế cũng được quy định giới tính theo hàng ghế đầu tiên. Như vậy, ta chỉ
cần xếp 6 học sinh nam vô 6 ghế được quy định giới tính nam, 6 học sinh nữ vô 6 ghế
được quy định giới tính nữ. Số cách chọn là: 𝐴 66 . 𝐴 66 (cách).
Như vậy, số cách xếp thỏa yêu cầu là:
26 . 𝐴 66 . 𝐴 66 (cách).
Bài tập vận dụng dạng toán 1
Bài tập 1: Một lớp học có 30 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh để làm
lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó kỷ luật, lớp phó phong trào. Hỏi giáo viên có bao
nhiêu cách chọn thỏa mãn yêu cầu trên? (Đáp án: 657720 cách)
Bài tập 2: Cho đa giác có 30 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ không sao cho có
điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của đa giác? (Đáp án: 870 vectơ)
Bài tập 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số khác nhau? (Đáp án: 68880 số)
Bài tập 4: Cho tập hợp 𝐴 = 0; 1; 2; 3; 4; 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ
số khác nhau và lớn hơn 350? (Đáp án: 43 số)
Bài tập 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau
nằm trong khoảng (300; 500)? (Đáp án: 24 số)
Dạng 2. Các bài toán về công thức tổ hợp (rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức
tổ hợp)
Các bài toán liên quan trực tiếp đến các kí hiệu tổ hợp, chỉnh hợp học sinh nhuần nhuyễn
trong việc biến đổi biểu thức cũng như nhớ rõ các công thức tổ hợp. Ở đây ta nhắc lại cách
tính các kí hiệu tổ hợp cơ bản:
𝐶𝑛𝑘 =
𝑛!
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
𝑛!
, 𝐴 𝑛𝑘 = (𝑛−𝑘)! , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.
Ngoài ta ta có thể sử dụng một số “công cụ” khác trong việc chứng minh các đẳng thức
bằng nhị thức Newton hoặc nguyên lý quy nạp toán học. Hãy đến với một số ví dụ để
hiểu hơn cách vận dụng các công thức trên vào các bài toán cụ thể!
𝑘+1
𝑛
Bài tập ví dụ 1: Chứng minh rằng 𝐶𝑛+1
= 𝐶𝑘𝑛 + 𝐶𝑘+1
, ∀𝑘, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑘 ≤ 𝑛.
Giải: Ta có:
𝑛
𝐶𝑘𝑛 + 𝐶𝑘+1
=
𝑛!
𝑛!
𝑛!(𝑘+1)
𝑛!(𝑛−𝑘)
+ (𝑘+1)!(𝑛−𝑘−1)! = (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)! + (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)! =
𝑘!(𝑛−𝑘)!
𝑛!(𝑛+1)
(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!
𝑛!(𝑘+1+𝑛−𝑘)
(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!
=
(𝑛+1)!
𝑘+1
= (𝑘+1)!(𝑛−𝑘)! = 𝐶𝑛+1
, ∀𝑘, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑘 ≤ 𝑛.
Bài tập ví dụ 2: Chứng minh rằng 𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1.
Giải:
Cách 1: Áp dụng nhị thức Newton ta có:
2𝑛 = (1 + 1)𝑛 = 𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1.
Cách 2: Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Rõ ràng công thức đã cho đúng với 𝑛 = 1.
Giả sử đẳng thức cần chứng minh đúng đến 𝑛 ≥ 1, nghĩa là
𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛 .
Ta sẽ chỉ ra rằng nó đúng với 𝑛 + 1. Thật vậy, sử dụng đẳng thức Pascal (bài tập ví dụ 1)
𝑘+1
𝑘
ta có 𝐶𝑛+1
= 𝐶𝑛𝑘 + 𝐶𝑛+1
, suy ra:
0
𝑛
𝑛+1
1
𝐶𝑛+1
+ 𝐶𝑛+1
+ ⋯ + 𝐶𝑛+1
+ 𝐶𝑛+1
= 𝐶𝑛0 + (𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 ) + (𝐶1𝑛 + 𝐶2𝑛 ) + ⋯ +
(𝐶𝑛𝑛−1 + 𝐶𝑛𝑛 ) + 𝐶𝑛𝑛 = 2(𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 ) = 2𝑛+1 .
Bài tập ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a.
b.
𝑆1 = 𝐶𝑛1 + 2𝐶 2𝑛 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑛−1 + 𝑛𝐶𝑛𝑛 = 𝑛2𝑛−1 .
𝑘−2
𝑆2 = 1.2. 𝐶𝑛2 + 2.3. 𝐶𝑛3 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛𝑛 = (𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛−2
= (𝑛 − 1)𝑛2𝑛−2 .
Giải:
a.
𝑘−1
Sử dụng đẳng thức 𝑘𝐶𝑛𝑘 = 𝑛𝐶𝑛−1
, khi đó ta có:
0
𝑛−1
1
𝑆1 = 𝐶𝑛1 + 2𝐶𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝐶𝑛𝑛 = 𝑛𝐶𝑛−1
+ 𝑛𝐶𝑛−1
+ ⋯ + 𝑛𝐶𝑛−1
= 𝑛(1 + 1)𝑛−1 = 𝑛2𝑛−1 .
b.
𝑘−2
Sử dụng đẳng thức (𝑘 − 1)𝑘𝐶𝑛𝑘 = (𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛−1
, khi đó ta có:
0
1
𝑆2 = 1.2. 𝐶𝑛2 + 2.3. 𝐶𝑛3 + ⋯ + (𝑛 − 1). 𝑛. 𝐶𝑛𝑛 = (𝑛 − 1). 𝑛. 𝐶𝑛−2
+ (𝑛 − 1). 𝑛. 𝐶𝑛−2
+
𝑛−2
𝑛−2
⋯ + (𝑛 − 1). 𝑛. 𝐶𝑛−2 = (𝑛 − 1)𝑛2 .
Bài tập vận dụng dạng toán 2
𝑘
𝑘+1
Bài tập 1: Chứng minh rằng: 𝐶𝑘𝑘 + 𝐶𝑘+1
+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛+1
, với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.
Bài tập 2: Áp dụng hết quả ở bài tập 1, hãy rút gọn các biểu thức sau:
a.
b.
c.
𝐴𝑛 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛;
𝑆𝑛 = 1.2 + 2.3 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1);
𝑇𝑛 = 1.2.3 + 2.3.4 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2).
(Đáp án: 𝐴𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
, 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)
6
, 𝑇𝑛 =
𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)
24
)
Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình liên quan kí hiệu chỉnh hợp
Các bài toán giải phương trình, bất phương trình liên quan đến kí hiệu chỉnh hợp nói riêng
hay các kí hiệu tổ hợp, hoán vị nói chung đòi hỏi người làm vận dụng kĩ năng giải phương
trình, bất phương trình đại số đã được học. Nhìn chung, các bài toán liên quan đòi hỏi người
làm nhớ các công thức tính chỉnh hợp và có kĩ năng biến đổi đại số thuần thục. Ngoài ra
có một lưu ý cần nhớ về điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình đề bài đó
là: để biểu thức 𝐴𝑘𝑛 xác định thì ta phải có và k, n là các số nguyên không âm và 𝑛 ≥ 𝑘.
Hãy đi qua vài ví dụ để hiểu hơn về dạng toán này!
Bài tập ví dụ 1: Tìm các số nguyên dương n thỏa mãn:
a.
b.
𝐴3𝑛 + 5𝐴2𝑛 < 21𝑛.
𝐴4𝑛+4
(𝑛+2)!
15
< (𝑛−1)!.
Giải:
a.
Điều kiện: 𝑛 ≥ 3. Áp dụng công thức tính chỉnh hợp, ta có:
𝑛!
𝑛!
𝐴3𝑛 + 5𝐴2𝑛 < 21𝑛 ⟺ (𝑛−3)! + 5. (𝑛−2)! < 21𝑛 ⟺ 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) + 5𝑛(𝑛 − 1) <
21𝑛 ⟺ 𝑛3 + 2𝑛2 − 24𝑛 < 0 ⟺ 𝑛(𝑛 − 4)(𝑛 + 6) < 0.
Do n nguyên dương nên bất phương trình trên tương đương:
𝑛(𝑛 − 4) < 0 ⟺ 0 < 𝑛 < 4.
Vì n nguyên dương và 𝑛 ≥ 3 nên suy ra 𝑛 = 3.
Điều kiện: 𝑛 ≥ 2. Áp dụng công thức tính chỉnh hợp, ta có:
b.
(𝑛+4)!
𝑛!(𝑛+2)!
15
< (𝑛−1)! ⟺
(𝑛+4)!(𝑛−1)!
𝑛!(𝑛+2)!
< 15 ⟺
(𝑛+2)!.(𝑛+3).(𝑛+4).(𝑛−1)!
(𝑛−1)!.𝑛.(𝑛+2)!
< 15 ⟺
(𝑛+3)(𝑛+4)
𝑛
<
15 ⟺ (𝑛 + 3)(𝑛 + 4) < 15𝑛 ⟺ 𝑛2 − 8𝑛 + 12 < 0 ⟺ 2 < 𝑛 < 6.
Vì n nguyên dương và 𝑛 ≥ 2 nên từ bất phương trình trên suy ra 𝑛 ∈ {3, 4, 5}.
2𝐴𝑦𝑥 + 5𝐶𝑦𝑥 = 90
Bài tập ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: { 𝑥
.
5𝐴𝑦 − 2𝐶𝑦𝑥 = 80
Giải: Điều kiện: 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ, 𝑥 ≤ 𝑦. Đặt 𝑎 = 𝐴𝑦𝑥 , 𝑏 = 𝐶𝑦𝑥 , hệ phương trình trở thành:
{
𝐴𝑦𝑥 = 20
Suy ra: { 𝑥
⟺{
𝐶𝑦 = 10
𝑦!
(𝑦−𝑥)!
𝑦!
𝑎 = 20
2𝑎 + 5𝑏 = 90
⟺{
.
𝑏 = 10
5𝑎 − 2𝑏 = 80
= 20
𝑥!(𝑦−𝑥)!
= 10
. Chia 2 vế của phương trình thứ nhất cho phương
trình thứ hai, ta được 𝑥! = 2, suy ra 𝑥 = 2.
𝑦!
Thay vào phương trình (𝑦−𝑥)! = 20 ta được:
𝑦!
(𝑦−2)!
= 20 ⟺ 𝑦(𝑦 − 1) = 20 ⟺ 𝑦 2 − 𝑦 − 20 = 0 ⟺ (𝑦 − 5)(𝑦 + 4) = 0.
Vì y nguyên không âm nên suy ra 𝑦 = 5.
Vậy, nghiệm của hệ phương trình trên là (𝑥, 𝑦) = (2,5).
Bài tập vận dụng dạng toán 3
Bài tập 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn:
a.
b.
5
3
4
𝐶𝑛−1
− 𝐶𝑛−1
< 𝐴2𝑛−2 . (Đáp án: 𝑛 ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10})
4
1
2
6
𝐴22𝑛 − 𝐴2𝑛 < 𝐶𝑛3 + 20. (Đáp án: 𝑛 ∈ {3, 4, 5, 6, 7})
𝑛
Bài tập 2: Tổng của ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng trong dãy số sau:
0
13
1
𝐶23
, 𝐶23
, … , 𝐶23
có giá trị bằng bao nhiêu? (Đáp án: 2451570)
3
𝑥−1
𝑥−3
Bài tập 3: Giải phương trình sau: 𝐴3𝑥 + 2𝐶𝑥+1
− 𝐴𝑥−1
= 3𝑥 2 + 6! + 159. (Đáp án: 𝑥 =
2
12)
III.
Bài tập tổng hợp và nâng cao
Bài tập 1: Cho 5 chữ số khác nhau 1, 2, 3, 4, 6. Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một
khác nhau từ 5 chữ số khác nhau. Tính tổng các số đã lập được. (Đáp án: 21312)
Bài tập 2: Một ca sỹ A sắp có một buổi lưu diễn trong một tuần. A đang muốn tổ chức 7
sự kiện trong một tuần. Mỗi sự kiện được tổ chức trong một buổi, một ngày có ba buổi
sáng, chiều, tối. Biết rằng, ca sỹ A chỉ thực hiện được nhiều nhất hai sự kiện trong một
ngày và nội dung mỗi buổi diễn là không giống nhau. Vậy người tổ chức sự kiện có bao
nhiêu cách để sắp xếp cho ca sỹ A lưu diễn?
Bài tập 3: Ông A hiện đang muốn làm mật khẩu điện thoại iPhone 13. Mật khẩu phải là
những chữ (hoặc số) khác nhau được lập từ 24 chữ cái và 10 chữ số. Một mật khẩu có 𝑎
kí tự được gọi là “mạnh” nếu với 𝑎 kí tự được cho trước, số mật khẩu gồm 𝑎 kí tự được
tạo thành là lớn nhất (trong mật khẩu không có hai kí tự nào trùng nhau). Tìm tất cả giá trị
của 𝑎 để ông A có thể đặt một mật khẩu “mạnh” từ những giá trị 𝑎 đó.
Bài tập 4: Tính tổng 𝑆 =
(Đáp án: 𝑆 =
1
2!2017!
+
1
4!2015!
+
1
6!2013!
+ ⋯+
1
2016!3!
+
1
.
2018!
22018 −1
2019!
)
Bài tập 5: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
1
1
1
2
3
2𝑛+1
0
3
1
𝑆 = 𝐶2𝑛+1
− 𝐶2𝑛+1
+ 𝐶2𝑛+1
+ ⋯−
2𝑛+1
𝐶2𝑛+1
=
1
2022
. (Đáp án: 𝑛 = 1010)