UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
División de Ingenierías Campus
Irapuato-Salamanca
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante
máximo
Seminario de proyecto titulación
Guillermo Pantoja Alvarez
Guillermo
Pantoja Alvarez
Seminario de Proyecto de Titulación
Índice
1. Introducción
1.1. Modelo de elemento de esfuerzo . . . . . . . .
1.2. Esfuerzos puros o directos . . . . . . . . . . .
1.3. Esfuerzo cortante de torsión . . . . . . . . . .
1.4. Esfuerzos por flexión . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Principio de superposición . . . . . . . . . . .
1.6. Convención de signos para esfuerzos cortantes
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2
2
3
5
6
8
8
2. Transformación de esfuerzos planos
2.1. Ecuaciones generales de la transformación del esfuerzo plano . . . . .
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11
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3. Esfuerzos principales y cortante máximo
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3.1. Ángulo de planos principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Ángulo de esfuerzo cortante máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3. Ecuaciones de los esfuerzos principales y cortante máximo . . . . . . 13
4. Círculo de Mohr
13
5. Esfuerzo tridimensional
17
6. Ejercicios
6.1. Problema 9-105. Mecánica de sólidos. Russell C. Hibbeler. 8 Ed . .
6.1.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Problema 8.74 Mechanics of materials. Beer, Johnston, John. 6 Ed
6.2.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Problema 8.5.23 Mecánica de Materiales. Gere, Goodno. 7 Ed . . .
6.3.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía
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1. Introducción
Durante los cursos de mecánica de sólidos y diseño mecánico, se introdujo el
término de esfuerzo. Se definió el esfuerzo como la distribución de las fuerzas (o
cargas) externas por todo el cuerpo en el que se aplican, o dicho de otro modo, como
las fuerzas internas asociadas a la acción de dichas fuerzas sobre el cuerpo. También
se mostró que estas fuerzas internas se denominan esfuerzos axiales (o normales); que
pueden ser de compresión o tensión; y cortantes (o de cizalladura) que se relaciona
al desplazamiento sobre planos del cuerpo.
A continuación se presentará un repaso de los temas previos que se consideran necesarios para el desarrollo del análisis de los esfuerzos principales y esfuerzo cortante
máximo.
1.1. Modelo de elemento de esfuerzo
Como se mencionó, el esfuerzo es la distribución de una fuerza externa a lo largo
del cuerpo en el que se aplica. Esta distribución ocasiona la aplicación de nuevas
fuerzas internas sobre las partículas que componen el cuerpo. Para comprender el
análisis de esfuerzos principales es necesario visualizar la forma en que en la teoría
del esfuerzo se aplican estas fuerzas internas sobre el punto de interés, a la cuál se le
asocia un único elemento o partícula del cuerpo.
La figura 1 muestra una representación para el sistema cartesiano de un elemento
del cuerpo que se estudia sobre el cuál se ejercen tanto esfuerzos normales como
cortantes, representados por sus componentes cartesianas. En la parte izquierda de la
figura, se representa el caso tridimensional del modelo, donde el elemento experimenta
tanto esfuerzo axial en las tres direcciones como esfuerzo cortante en los tres planos.
Para ambos modelos, el marco de referencia xyz y xy tienen la misma orientación
que el marco de referencia del cuerpo entero.
Se debe recordar que el modelo tridimensional consta de seis componentes de
esfuerzo axial; dos en cada dirección, con misma dirección y sentido opuesto; y tres
grupos de cuatro componentes de esfuerzo cortante, cada grupo asociado a un plano
específico. Cada grupo tiene la misma magnitud y están orientados de tal forma
que el momento resultante en ese plano es cero. Dadas estas analogías, el análisis
tridimensional de esfuerzos genera un sistema de seis incógnitas (σx , σy , σz , τx y, τx z
y τy z). Cuando tanto los esfuerzos axiales como los cortantes se desarrollan en un
solo plano (denominado el xy), se dice que el sistema está sometido a esfuerzo plano,
en el lado derecho de la figura 1 se muestra el modelo cartesiano del elemento de
esfuerzo plano. Las observaciones realizadas para el modelo tridimensional siguen
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Figura 1: Modelo de elemento de esfuerzo. Izq) Tridimensional; Der) Plano.
siendo válidas, por lo que en un sistema bajo esfuerzo plano se deben de calcular
solamente tres esfuerzos (σx , σy y τx y).
Es evidente que el caso de esfuerzo plano resulta más sencillo de resolver y comprender. El modelo tridimensional, además de ser más laborioso, su aplicación en
sistemas reales se limita a casos muy específicos, y la mayoría de los sistemas mecánicos pueden representarse cono el modelo de esfuerzo plano. Por esta razón la
teoría de esfuerzos principales y cortante máximo se desarrollará mediante el modelo
de esfuerzo plano. En secciones posteriores se volverá al modelo tridimensional para
casos especiales del tema.
1.2. Esfuerzos puros o directos
Se volverán a presentar las formulas para el cálculo del esfuerzo axial y cortante
directo. La figura 2 muestra estos esfuerzos sobre el elemento cúbico.
El esfuerzo axial, de compresión y tensión, y está dado por
σ=
F
A
(1)
donde F es la componente de un par de fuerzas externas que ocasionan una tensión
o compresión sobre el cuerpo; cuando su efecto es de tensión, su valor es positivo, y
negativo cuando es de compresión. El valor A es el área de la sección transversal del
cuerpo, normal a a la fuerza F y que contiene a elemento de esfuerzo que se estudiará.
La ecuación 1, por el principio de Saint-Venant, es valida para regiones del cuerpo
alejadas de la zona de aplicación de la fuerza, sin importar la forma en que esta se
aplica sobre el cuerpo.
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Figura 2: Los tres esfuerzos directos: Tensión(izq.), Compresión (centro) y Cortante(der.).
El esfuerzo cortante simple, o promedio, al igual que el axial simple, asume una
distribución uniforme del la fuerza en el cuerpo, y su ecuación es
τ=
V
As
(2)
donde V se conoce como fuerza de cizalladura, y As es el área de la sección transversal
del cuerpo, paralela a la fuerza de cizalladura o cortante, en el área de interés. La
figura 3 muestra un caso de cortante puro, nótese como la fuerza V no corresponde
a la fuerza externa, sino a la reacción interna del cuerpo a la carga. Para este caso,
la fuerza cortante V corresponde a la mitad de la fuerza F aplicada al cuerpo.
Figura 3: Caso típico de cortante puro.
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1.3. Esfuerzo cortante de torsión
La figura 4 ilustra el caso cuando una barra circular se encuentra sometida a
torsión debido a la acción de dos momentos en sus extremos.La ecuación del esfuerzo
de torsión está dada por
Tr
τ=
(3)
J
donde T es el torque de los momentos en los extremos de la barra, r es la distancia
del punto de interés al centro de la barra, y J es el momento polar de inercia de la
sección circular de la barra.
Figura 4: Barra sometida a torsión.
Como se ve en la figura 4, el esfuerzo cortante alcanza su máximo valor en la
superficie de la barra, es decir r = D/2 = c. Si denominamos a la división del
momento polar J sobre el radio de la barra c como el Módulo de sección polar Zp ,
definido como
J
(4)
Zp =
c
el esfuerzo cortante máximo de la barra puede definirse como
τmáx =
T
Zp
(5)
El uso del módulo de sección polar para el cálculo del esfuerzo máximo de torsión
resulta conveniente cuando se analizan secciones transversales no circulares. Formulas
para el calculo de Zp para diversas secciones transversales pueden encontrarse en la
literatura.
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1.4. Esfuerzos por flexión
Cuando un cuerpo se somete a flexión, como es el caso de vigas, se determino
que dentro del cuerpo se desarrollan tanto esfuerzos axiales, tanto a compresión y
tensión, como cortantes. La figura 5 muestra el esquema que se utilizo para mostrar
la distribución del esfuerzo axial del momento de flexión.
Figura 5: Distribución del esfuerzo axial en una viga a flexión
En el esquema se destacan tres regiones presentes en todo cuerpo a flexión: de
compresión, de tensión y el eje neutro. Así mismo, el esfuerzo axial está dado por
My
(6)
I
donde M es el momento flexor, y la distancia del punto de interés e I es el primer
momento de inercia de la sección transversal del cuerpo, normal al plano de flexión y
colineal a la distancia y. Al igual que con el esfuerzo de torsión, se puede determinar
un Módulo de sección Z como
I
(7)
Z=
c
donde c es la distancia del punto o plano más alejado del eje neutro. De tal forma
que el esfuerzo axial máximo está definido por
σ=
M
(8)
Z
Que ocurre en el punto más alejado del eje neutro. Al igual que con el caso de
torsión pura, el uso del módulo de sección facilita el cálculo del esfuerzo máximo para
secciones transversales con forma más compleja. Si el cuerpo se somete a flexión en
dos planos (xy y xz), los esfuerzos axiales que producen estarán en la misma dirección
x, cuya resultante se obtiene mediante
σmáx =
σx = −
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Mz y My z
+
Iz
Iy
6
(9)
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El esfuerzo cortante por flexión se determinó como
τ=
VQ
Ib
(10)
donde V es la fuerza cortante producto de la carga o momento, b es el ancho de la
sección transversal a la altura y del punto de interés y Q está definido por
Q = Ap y
(11)
donde Ap es el área transversal arriba de la altura del punto de interés respecto al
eje neutro y y es la distancia entre el centroide de esta área y el eje neutro. La figura
6 muestra la distribución del esfuerzo cortante en una barra cuadrada. Para esta
y otros tipo de secciones, el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en el eje neutro. A
Figura 6: Distribución del esfuerzo cortante en una viga a flexión
continuación se muestran algunas formulas simplificadas para el calculo del esfuerzo
cortante maximo a flexión pura para algunas secciones transversales.
Rectangular
τmáx = 3V /2A
(12)
Círculo
τmáx = 4V /2A
(13)
τmáx ≃ V /th
(14)
Perfil I
donde t: espesor del alma h: altura del alma, con un error del 0.15.
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1.5. Principio de superposición
Todas las formulas que se han presentado para los distintos tipos de flexión son
válidas unicamente cuando el cuerpo que se estudia está sometido unicamente a
un tipo de esfuerzo. Sin embargo cuando se tiene más de un tipo de esfuerzo, axial
directo y flexión por ejemplo, se puede utilizar el principio de superposición, pudiendo
obtenerse el esfuerzo axial máximo neto como
σx = ±
Mc F
±
I
A
(15)
1.6. Convención de signos para esfuerzos cortantes
Volviendo al modelo de esfuerzo plano de la figura 1, ya se definió una convención
de signos para los esfuerzos axiales, pero no para los cortantes. Para el esfuerzo cortante, se determina que un esfuerzo es positivo si ocasiona un par en sentido horario
en el elemento, y negativo si es antihorario. Esta convención resulta opuesta a lo que
se emplea al analizar momentos, por lo que se debe tener especial cuidado cuando
se desarrolle el análisis de esfuerzos para cuerpos sobre los que actúan momentos,
ya que aunque estos pares se consideren positivos, no necesariamente los esfuerzos
cortantes que producen.
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2. Transformación de esfuerzos planos
La transformación de esfuerzos, o rotación del elemento de esfuerzo es el punto
de partida para el desarrollo de la teoría de esfuerzos principales y cortante máximo.
Suponga que tiene un elemento sometido a esfuerzo plano, como el de la figura 1,
y se rebana como muestra la figura 7, resultando en un triángulo recto con la cara
del corte a una inclinación θ respecto la cara vertical del elemento.
Figura 7: Corte del elemento de esfuerzo.
Si se traza un eje normal a la cara del corte, denominado x′ y uno tangencial a la
cara del corte llamado y ′ ; por propiedades trigonométricas notaremos que estos dos
ejes corresponden a rotar los ejes x y y del marco de referencia el ángulo θ. Si el lado
del corte tiene un área ∆A, las caras horizontal y vertical tienen un área ∆Asenθ y
∆A cos θ, como se muestra en la figura 8
Figura 8: Ejes de esfuerzo rotados (x′ y y ′ ).
Debido a que todas las fuerzas del cubo están en equilibrio, sobre la cara del
corte se debe de ejercer tanto un esfuerzo normal σx′ como un esfuerzo tangencial
τx′ y′ , como se muestra en la figura 9.
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Figura 9: Esfuerzos sobre el elemento cortado.
Otra forma en que se desarrolla la transformación de esfuerzos planos es considerar que ele elemento de esfuerzo se gira un ángulo θ respecto al eje x, como se muestra
en la figura 10, sin embargo por ambas formas se llega a las mismas ecuaciones que
se verán a continuación.
Figura 10: Esfuerzos del elemento rebanado.
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2.1. Ecuaciones generales de la transformación del esfuerzo
plano
Como se dijo, pese a que el elemento de esfuerzo fue rebanado, se debe de conservar la condición de equilibrio, tanto en las fuerzas normales como en las de cortante.
A partir de la figura 9, la sumatoria de fuerzas en la dirección x′ resulta
σx′ ∆A − (τxy ∆A sen θ) cos θ − (σy ∆A sen θ) sen θ
−(τxy ∆A cos θ) sen θ − (σx ∆A cos θ) cos θ = 0
(16)
σx′ = σx cos2 θ + σy sin2 θ + τxy (2 cos θ sen θ)
(17)
despejando σx′
Para la dirección y ′
τx′ y′ + (τxy ∆A sen θ) sen θ − (σy ∆A sen θ) cos θ
−(τxy ∆A cos θ) cos θ − (σx ∆A cos θ) sen θ = 0
(18)
τx′ y′ = (σx − σy ) sen θ cos θ + τxy (cos2 θ sen2 θ)
(19)
despejando τx′ y′
Utilizando las identidades trigonométricas de ángulos dobles, se obtiene
σx′ =
σx + σy σx − σy
+
cos 2θ + τxy sen 2θ
2
2
(20)
σx − σy
sen 2θ + τxy cos 2θ
(21)
2
Como se dijo antes, estas ecuaciones también son válidas para la consideración
del elemento rotado de la figura 10, donde el esfuerzo axial en la dirección y ′ puede
obtenerse sustituyendo el angulo θ por θ + π/2 en la ecuación de σx′
τ x′ y ′ = −
σy′ =
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σx + σy σx − σy
−
cos 2θ − τxy sen 2θ
2
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(22)
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3. Esfuerzos principales y cortante máximo
Las ecuaciones 20 y 21 permiten obtener los valores de esfuerzo para cualquier
plano inclinado respecto al eje x del cuerpo. Visto de otra forma, el valor de los
esfuerzo σx′ y τx′ y′ , conocidos los valores de σx , σy y τxy , son función del ángulo θ. Si
se deriva, iguala a cero cualquiera de las dos ecuaciones y se despeja θ, el valor de θ
obtenido corresponderá a un valor crítico de σx′ o τx′ y′ , según sea el caso.
3.1. Ángulo de planos principales
El ángulos que corresponde al valor crítico de σx′ se denomina ángulo de planos
principales, y se obtiene al derivar la ecuación 20 e igualarla a cero
dσx′
σx − σy
=
(2 sen 2θ) + 2τxy cos 2θ = 0
dθ
2
tan 2θp =
2τxy
σx − σy
(23)
(24)
El valor θp se conoce como ángulo de planos principales, y corresponde a la inclinación
del elemento rotado, respecto al original, en el que el esfuerzo normal alcanza su valor
crítico. Notese que si se sustituye el valor de θp en la ecuación 21, esta se hace cero,
lo que implica que en el plano de esfuerzos principales el esfuerzo cortante es cero.
Puesto que tan θ = tan(θ +π), existe otro esfuerzo normal máximo a 90 grados de σx′ ,
que corresponde a esfuerzo normal en la dirección y ′ del elemento rotado θp radianes.
3.2. Ángulo de esfuerzo cortante máximo
El ángulo de inclinación donde se observa el esfuerzo cortante transformado crítico
se obtiene de igual forma que el esfuerzo normal crítico
tan 2θs = −
σx − σy
2τxy
(25)
al igual que con el ángulo de esfuerzo principales, existe un segundo angulo que
corresponde a esfuerzo cortante del lado del elemento rotado θs radianes que hace
esquina con el lado del ángulo calculado. Si se sustituye θs en (20), el resultado es la
media de los esfuerzos σx y y σy . Puesto que tan 2θs es la inversa negativa de tan 2θp ,
por lo tanto, el elemento rotado de esfuerzo cortante máximo estará rotado 45 grados
del elemento rotado de esfuerzos principales.
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3.3. Ecuaciones de los esfuerzos principales y cortante máximo
Al sustituir θp en (20) se obtiene la siguiente ecuación simplificada mediante el
método del triangulo
s
2
σx + σy
σx + σy
2
(26)
±
+ τxy
σ1,2 =
2
2
la ecuación 26 es la ecuación de esfuerzos principales, donde la raíz positiva corresponde al esfuerzo axial máximo y la negativa al mínimo, el esfuerzo máximo siempre
se desarrolla en el eje x′ del elemento rotado θp radianes y el mínimo al eje y ′ .
De la misma manera, sustituyendo θs en (21) se obtiene
vs
u 2
u
σx + σy
t
2
+ τxy
(27)
τmáx =
2
La ecuación (27) es la ecuación del esfuerzo cortante máximo absoluto, puesto que
no se considera la variación de signo de la raíz, ya que solo indicaría que se esta
calculando el esfuerzo de la cara contigua.
4. Círculo de Mohr
Una forma de visualizar los esfuerzos principales y comprender a que ángulo está
asociado cual esfuerzo, es por medio del circulo de Mohr. El circulo de Mohr es una
analogía gráfica a las ecuaciones desarrolladas para esfuerzos principales y cortantes
máximos. Mott(2006) ofrece una serie de instrucciones para trazar el circulo de Mohr:
1. Efectuar el análisis de esfuerzos para determinar las magnitudes y las direcciones de los esfuerzos normal y cortante que actúan en el punto de interés.
2. Trazar el elemento de esfuerzos en el punto de interés. Los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente perpendiculares se trazan con los esfuerzos
de tensión positivos (proyectadas hacia afuera del elemento. Los esfuerzos de
compresión son negativos) se dirigen hacia el interior de la cara. Observe que
se grafican las resultantes de todos los esfuerzos normales que actúan en las
direcciones elegidas. Se considera que los esfuerzos cortantes son positivos si
tienden a girar el elemento en sentido de las manecillas del reloj y negativos
en caso contrario.
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Observe que en el elemento de esfuerzos ilustrado, σx es positivo, σy es negativo,
τxy es positivo y τyx es negativo. Esta asignación es arbitraria para fines de
ilustración. En general, podría darse cualquier combinación de valores positivos
y negativos.
3. Establecer un sistema coordenado donde el eje horizontal positivo represente
esfuerzos normales positivos (de tensión), y el eje vertical positivo represente
esfuerzos cortantes positivos. Así, el plano formado se llamará plano σ − τ .
4. Graficar puntos en el plano σ − τ correspondientes a los esfuerzos que actúan
sobre las caras del elemento de esfuerzos. Si el elemento se traza en el plano
x − y, los dos puntos a graficar serán σx , τxy y σy , τyx .
5. Trazar la línea que une los dos puntos.
6. La línea que resulta cruza al eje σen el centro del círculo de Mohr, en el promedio de los dos esfuerzos normales aplicados, donde
σprom = (σx + σy )/2
(28)
El centro del círculo de Mohr se indica con O.
√
7. R = a2 + b2 ; a = (σx − σy )/2; b = τx y El punto indicado con O está a una
distancia de σx − a del origen del sistema coordenado. Ahora se puede proceder
a trazar el círculo.
8. Trazar el círculo completo con centro en O y radio R.
9. El punto donde el círculo cruza el eje σ en la derecha indica el valor del esfuerzo
principal máximo, σ1 . Observe que σ1 = σprom + R.
10. El punto donde el círculo cruza el eje σ en la izquierda indica el esfuerzo
principal mínimo, σ2 . Observe que σ2 = σprom − R.
11. Las coordenadas de la parte superior del círculo expresan el esfuerzo cortante
máximo y el esfuerzo normal promedio que actúan sobre el elemento, cuando
tiene el esfuerzo cortante máximo. Observe que τmáx = R.
Nota: Los siguientes pasos sirven para determinar los ángulos de inclinación del
elemento de esfuerzos principales y el elemento con esfuerzo cortante máximo,
en relación con el eje x original. La recta de O que pasa por el primer punto
graficado σ, τxy , representa el eje x original. La recta de O que pasa por el punto
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σy , τyx representa el eje y original. Naturalmente, en el elemento original, esos
ejes están a 90 grados entre sí, no a 180o , lo cual ilustra la propiedad de ángulo
doble del círculo de Mohr. Después de esta observación, se puede continuar con
el desarrollo del proceso.
12. El ángulo 2ϕσ se mide a partir del eje x en el círculo, hacia el eje σ. Observe
que
2ϕ = arctan(b/a)
(29)
También es importante observar la dirección desde el eje x hacia el eje σ (en
sentido de las manecillas del reloj, o en contrasentido a las manecillas del reloj).
Esto es necesario para representar en forma correcta la relación del elemento
de esfuerzo principal con el elemento original de esfuerzos.
13. El ángulo desde el eje x del círculo hacia la recta vertical que pasa por τmax
define a 2ϕτ . Por la geometría del círculo, se puede ver que
2ϕτ = 90o − 2ϕσ
(30)
Otras combinaciones de los esfuerzos iniciales causarán distintas relaciones entre 2ϕσ y 2ϕτ . Se debe usar la geometría específica del círculo que se tenga
cada vez.
De nuevo es importante observar la dirección desde el eje x hacia el ejeτmax para
orientar el elemento con esfuerzo cortante máximo. También se debe notar que
el eje σ y el eje τmax siempre están a 90o entre sí en el círculo, y en consecuencia
a 45o entre sí en el elemento real.
14. El paso final en el uso del círculo de Mohr es trazar los elementos de esfuerzo
que resultan, en su orientación correcta respecto al elemento original, como se
ve en la figura 11.
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Figura 11: Circulo de Mohr.
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5. Esfuerzo tridimensional
Para el caso de esfuerzo tridimensional, es necesario encontrar los tres esfuerzos
principales mediante la ecuación
2
2
2
)σ
− τzx
− τyz
σ 3 − (σx + σy + σz )σ 2 + (σx σy + σx σz + σy σz − τxy
2
2
2
−(σx σy σz + 2τxy τyz τzx − σx τyz
− σy τzx
− σz τxy
)=0
(31)
los esfuerzos se ordenan tal que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , de los tres círculos de Mohr generados
se verían de forma similar a la figura 12. En la figura 12, hay tres esfuerzos cortantes
Figura 12: Círculos de Mohr para esfuerzo tridimensional.
máximos asociados a los tres círculos de Mohr, definidos por
τ1/2 =
σ1 − σ2
2
σ2 − σ3
2
σ1 − σ3
τ1/3 =
2
si se ordenaron como se indicó.
τ2/3 =
donde τmax = τ1/3
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(32)
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6. Ejercicios
6.1. Problema 9-105. Mecánica de sólidos. Russell C. Hibbeler. 8 Ed
El puntal de madera está sometido a las cargas mostradas en la figura. Determine
los esfuerzos principales que actúan en el punto C y especifique la orientación del
elemento en ese punto. El puntal se sostiene mediante un perno (pasador) en B y
por medio de un soporte liso en A.
Figura 13: Ejercicio 1.
6.1.1. Solución
RA =
50 ∗ 0.8 + 50 ∗ 0.6 + 40 ∗ 0.4 + 40 ∗ 0.2
= 90 N
1
vc = 50 − 94 = 44N
Mc = 50 ∗ 0.2 + 44 ∗ 0.3 = 23.2N*m
bh3
0.025 ∗ 0.13
=
= 2.0833(10−6 ) m4
12
12
0.12
h h
= 3.1225(10−5 ) m3
Q = Ap y = b ∗ ∗ = 0.025 ∗
2 4
8
23.2 ∗ 0
0
MC F
+ =
+
=0
σx =
−6
I
A
2.0833(10 ) 0.025 ∗ 0.1
I=
τxy =
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3 ∗ 44
3V
=
= 26.4 kPa
2A
2 ∗ 0.025 ∗ 0.1
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(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
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σ1,2
σx + σy
=
±
2
s
σx + σy
2
2
2 = ±26.4 kPa
+ τxy
τmax = τxy = 26.4 kPa
(42)
(43)
6.1.2. Resultados
σ1,2
σx + σy
=
±
2
s
σx + σy
2
2
2 = ±26.4 kPa
+ τxy
τmax = τxy = 26.4 kPa
(44)
(45)
6.2. Problema 8.74 Mechanics of materials. Beer, Johnston,
John. 6 Ed
Three forces are applied to a 4-in.-diameter plate that is attached to the solid 1.8in. diameter shaft AB. At point H, determine (a) the principal stresses and principal
planes, (b) the maximum shearing stress.
Figura 14: Ejercicio 2.
9 de febrero de 2022
19
Guillermo
Pantoja Alvarez
Seminario de Proyecto de Titulación
6.2.1. Solución
σy =
τyz = −
T = 2.5 ∗ 2 = 5 kips-in
(46)
v = −2.5 kips
(47)
F
12
=− 2
= −4.7157kpsi
A
0.9 ∗ π
σz = 0
T c 4V
5 ∗ 0.9
4 ∗ (−2.5)
+
=−
+
= −5.6764 kpsi
4
J
3A
π/32 ∗ 1.8
3 ∗ π ∗ 0.92
s 2
σy
2 = 6.1465 kpsi
τmax =
+ τyz
2
s 2
σy
σy
2 = 3.7887 kpsi
σ1 =
+
+ τyz
2
2
s 2
σy
σy
2 = −8.5044 kpsi
σ2 =
−
+ τyz
2
2
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
θ1 = 33.7214o
(54)
θ2 = 123.7214o
(55)
6.2.2. Resultados
a)
s
2
σy
σy
2 = 3.7887 kpsi
σ1 =
+
+ τyz
2
2
s 2
σy
σy
2 = −8.5044 kpsi
σ2 =
−
+ τyz
2
2
b)
9 de febrero de 2022
(57)
θ1 = 33.7214o
(58)
θ2 = 123.7214o
(59)
s
τmax =
(56)
σy
2
2
2 = 6.1465 kpsi
+ τyz
20
(60)
Guillermo
Pantoja Alvarez
Seminario de Proyecto de Titulación
6.3. Problema 8.5.23 Mecánica de Materiales. Gere, Goodno.
7 Ed
Determine los esfuerzos máximos de tensión, compresión y cortante que actúan
sobre la sección transversal del tubo en el punto A del soporte de enganche para
bicicletas que se muestra en la figura.
El soporte está hecho de un tubo de acero de 2 in × 2 in con espesor de 1/8 in.
Suponga que el peso de cada una de cuatro bicicletas está distribuido uniformemente
entre los dos brazos del soporte de manera que éste se puede representar como una
viga en voladizo (ABCDEF ) en el plano x − y. El peso global sólo del soporte es
W = 60 lb dirigido a través de C y el peso de cada bicicleta es B = 30 lb.
Figura 15: Ejercicio 3.
6.3.1. Solución
MAz = W ∗ xC + 4 ∗ B ∗ xB = 60 ∗ 17 + 4 ∗ 30 ∗ (17 + 2 + 6 + 6) = 4740 lb-in (61)
Ay = W + 4B = 60 + 4 ∗ 30 = 180 lb
9 de febrero de 2022
21
(62)
Guillermo
Pantoja Alvarez
Seminario de Proyecto de Titulación
Ax = 0
(63)
VA = 180 lb
b4
b4
Ix = Is − Ih =
− h = 0.55175 in2
12 12
7 1
1
Ap = 2
·
+
8 8
4
15
1
7
+ 2 78 · 18
16
4
16
y=
= 0.70417 in
Ap
(64)
(66)
Q = yAp = 0.33008 in3
(68)
(65)
(67)
En la parte superior de la sección A
σx =
MA z c
4740 ∗ 1
=
= 8590.85 psi
I
0.5518
σy = τxy = 0
(69)
(70)
σ1 = σx = 8590.85 psi
(71)
σ2 = 0
(72)
σx
= 4295.425 psi
2
(73)
σx = σy = 0
(74)
τxy =
En el eje neutro, en la sección A
τxy =
180 ∗ 0.33008
VA Q
=
= 53.8368 psi
Ib
0.5518 ∗ 2
σ1 = 53.8368 psi
(75)
(76)
σ2 = −53.8368 psi
(77)
τxy = 53.8368 psi
(78)
6.3.2. Resultados
Los esfuerzos máximos ocurren en la parte superior e inferior de la sección A, y
corresponden a
σ1 = σx = 8590.85 psi
τxy
9 de febrero de 2022
σ2 = 0
σx
= 4295.425 psi
=
2
22
(79)
(80)
(81)
Guillermo
Pantoja Alvarez
Seminario de Proyecto de Titulación
Bibliografía
Mott Robert L. (2006). Diseño de elementos de máquinas . México: Pearson
Education.
Gere, James y Barry J. Goodno (2009 ). Mecánica de materiales . México:
Cengage Learning.
Hibbeler , Russell C. Mecánica de materiales . México: Pearson Education.
Richard G. Budynas , J. Keith Nisbett (2012). Diseño en ingeniería mecánica
de Shigley . México: McGraw Hill/Interamericana.
F. Beer, E. Johnston, J. Dewolf,D. Mazurek. Mechanics of materials (2012).
US: McGraw-Hill.
9 de febrero de 2022
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