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Matemática III
RECTAS Y PLANOS
Ecuaciones de la recta
Para determinar una recta, bastan dos puntos o un punto y un vector paralelo a la recta
denominado vector director.
Sean P0 ( x0 , y0 , z 0 ) y P1 ( x1 , y1 , z1 ) dos puntos pertenecientes a la recta, el vector director

será a  P0 P1  ( x1  x0 , y1  y0 , z1  z 0 )  (a1 , a2 , a3 )
Si se considera además, un punto genérico P( x, y, z ) perteneciente a la recta


Como P0 P y a son paralelos P0 P  a. con   R
a) Ecuación vectorial

Partiendo de P0 P  a. con   R


P  P0  a.  P  P0  a.
( x, y, z)  ( x0 , y0 , z 0 )  (a1 , a2 , a3 ).

( x  x0 , y  y0 , z  z 0 )  (a1 , a2 , a3 ).r  r0  P0 P  Sean los vectores
y

r  OP
r0  OP0 .
  
r  r0  a. con .  R Ecuación vectorial de la recta

P  P0  a.

r  r0  P0 P 
O bien,
1
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En función de las componentes
x, y, z   x0 , y0 , z0   (a1 , a2 , a3 ).
con .  R .
b) Ecuaciones paramétricas
A partir de la ecuación vectorial en función de las componentes, se pueden obtener las
ecuaciones paramétricas:
x, y, z   x0 , y0 , z0   (a1 , a2 , a3 ). 
 x, y, z   x0  a1 . , y0  a2 . , z 0  a3 .  

 x  x0  a1 .

 y  y 0  a 2 . Ecuaciones paramétricas de la recta
 z  z  a .
0
3

c) Ecuación simétrica o canónica
Partiendo de las ecuaciones paramétricas:
x  x0 

a1 
x  x0 y  y 0 z  z 0
y  y0 


y  y 0  a 2 .   

a1
a2
a3
a2 
z  z0 
z  z 0  a.3    
a3 
x  x0  a1 .   
d) Ecuaciones implícitas
De la ecuación simétrica se obtienen las ecuaciones implícitas:
x  x0 y  y 0

a 2 ( x  x0 )  a1 ( y  y 0 ) a 2 .x  a 2 .x0  a1 . y  a1 . y 0 
a1
a2
a 2 .x  a1 . y  a1 . y0  a2 .x0  0 a 2 .x  (a1 ). y  a1 . y0  a2 .x0   0 
 A.x  B. y  C  0 (1)
x  x0 z  z 0

a 3 ( x  x0 ) a1 ( z  z 0 )  a 3 .x  a3 .x0 a1 .z  a1 .z 0 
a1
a3
2
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a 3 .x  a1 .z  a1 .z 0  a3 .x0  0 a 3 .x  (a1 ).z  a1 .z 0  a3 .x0   0 
 A'.x  B'.z  C '  0 (2)
De (1) y (2):
 A.x  B. y  C  0

 A'.x  B'.z  C '  0
Ejemplos:
1. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por (2; -1; 8) y (5; 6; -3).
P0 (2,1,8) ; P1 (5,6,3)

; a  P0 P1  (3,7,11)
a) Ecuación vectorial:
x, y, z   x0 , y0 , z0   (a1 , a2 , a3 ).  x, y, z   (2,1,8)  (3,7,11).
b) Ecuaciones paramétricas:
 x  2  3.
x, y, z   (2,1,8)  (3,7,11).   y  1  7.
 z  8  11.

c) Ecuación simétrica:
 x  2  3.

 y  1  7.
 z  8  11.

x2 
3 
y  1
x  2 y 1 z  8
y  1  7.   



7 
3
7
 11
z 8
z  8  11.   
 11 
x  2  3.   
d) Ecuaciones implícitas:
x  2 y 1 z  8


3
7
 11
x  2 y 1

 7.( x  2)  3.( y  1)  7 x  14  3 y  3 
3
7
 7 x  14  3 y  3  0  7 x  3 y  17  0
x  2 z 8

 11.( x  2)  3.( z  8)  11x  22  3z  24 
3
 11
3
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 11x  22  3z  24  0  11x  3z  46  0
Luego
 7 x  3 y  17  0

 11x  3z  46  0
2. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por (-1; 1) y es paralela al vector  2iˆ  3 ˆj
 



a || v  a  k.v para algún k. Sea entonces a  (2,3)

; a  (2,3)

v  (2,3) y
P0 (1,1)
a) Ecuación vectorial:
x, y   x0 , y0   (a1 , a2 ).  x, y   (1,1)  (2,3).
b) Ecuaciones paramétricas:
x, y   (1,1)  (2,3).  
x  1  2
 y  1  3
c) Ecuación simétrica:
 x  1  2

 y  1  3
x  1
 2   x 1  y 1
y 1 
2
3

y  1  3   
3 
x  1  2   
d) Ecuación implícita:
x 1 y 1

 3.( x  1)  2.( y  1)  3x  3  2 y  2 
2
3
 3 x  3  2 y  2  0  3x  2 y  1  0
3. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por (-1; 1) y es normal al vector  2iˆ  3 ˆj

v  (2,3)
 
2

a  v  a.v  0  a1 .v1  a2 .v2  0  2a1  3a2  0  a2  a1
3

Sea entonces a  (3,2)
P0 (1,1)

; a  (3,2)
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a) Ecuación vectorial:
x, y   x0 , y0   (a1 , a2 ).  x, y   (1,1)  (3,2).
b) Ecuaciones paramétricas:
x, y   (1,1)  (3,2).  
x  1  3
 y  1  2
c) Ecuación simétrica:
 x  1  3

 y  1  2
x  1
3   x 1  y 1
y 1 
3
2

y  1  2   
2 
x  1  3   
d) Ecuación implícita:
x 1 y 1

 2.( x  1)  3.( y  1)  2 x  2  3 y  3 
3
2
 2x  2  3 y  3  0  2x  3 y  1  0
Rectas paralelas y perpendiculares. Ángulo entre dos rectas
Para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares y para determinar el ángulo entre
dos rectas, se utilizan los vectores directores de las mismas.
Sean las rectas
r1  x, y, z   x1 , y1 , z1   (a1 , a2 , a3 ).1
r2  x, y, z   x2 , y 2 , z 2   (b1 , b2 , b3 ).2


donde a  (a1 , a2 , a3 ) y b  (b1 , b2 , b3 ) son sus respectivos vectores directores.
Entonces:


 

r1 || r2  a || b  a  k.b para algún k
 

r1  r2  a  b  a.b  0

El ángulo entre r1 y r2 es igual al ángulo entre a y b



  a .b  a .b  a3 .b3
cos a; b  1 1 2 2
a .b
 
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Ejemplos:
1. Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares:
 x  1  31

a) r1   y  2  21
 z  1 
1

r2  x, y, z   1,3,2  (6,4,2).2
;


El vector director de r1 es a  (3,2,1) y el de r2 es b  (6,4,2)

Como a 
b) r1 
 
1 
.b resulta a || b .
2

r1 || r2
x 1 y  2

 z 1
3
2
r2  x, y, z   0,2,1  (1,0,3).2
;


El vector director de r1 es a  (3,2,1) y el de r2 es b  (1,0,3)
 

a.b  3.(1)  2.0  1.3  0  a  b

r1  r2
2. Hallar el ángulo que forman las rectas:
r1  x, y, z   1,3,2  (2,1,1).1
y
r2  x, y, z   1,2,1  (1,0,1).2


El vector director de r1 es a  (2,1,1) y el de r2 es b  (1,0,1)
  a .b  a .b  a3 .b3
cos a; b  1 1 2 2

a .b
 
2.1  (1).0  1.1
2  (1)  1 . 1  0  1
2
2
2
2
2
2

3
12

3
2
a;b   arccos 


3
  30 

 2 
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Ecuaciones del plano
Para determinar un plano, bastan tres puntos no alineados o un punto y un vector ortogonal al
plano denominado vector normal.
Sean P0 ( x0 , y0 , z 0 ) un punto que pertenece al plano y n  (n1 , n2 , n3 ) un vector normal al
plano.
Consideremos además un punto genérico P( x, y, z ) perteneciente al plano.
El vector P0 P  ( x  x0 , y  y0 , z  z 0 ) y n  (n1 , n2 , n3 ) resultan ortogonales, i. e.
n  P0 P  n..P0 P  0 
 n1 .( x  x0 )  n2 .( y  y0 )  n3 .( z  z 0 )  0 
 n1 .x  n1 .x0  n2 . y  n2 . y0  n3 .z  n3 z 0  0 
 n1 .x  n2 . y  n3 .z  (n1 .x0  n2 . y0  n3 z 0 )  0 
 a.x  b. y  c.z  d  0 Ecuación general o ecuación cartesiana del plano.
Observación
En la ecuación los coeficientes a, b y c son las componentes de un vector normal al plano.
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Para obtener la ecuación de un plano  dados tres puntos no alineados P0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) , se considera un punto genérico P( x, y, z ) y se determinan
tres vectores que pertenezcan al plano  que tengan el mismo origen, por ejemplo
P0 P1  ( x1  x0 , y1  y0 , z1  z 0 )
P0 P  ( x  x0 , y  y0 , z  z 0 ) ,
y
P0 P2  ( x2  x0 , y 2  y0 , z 2  z 0 ) .
Como dichos vectores son coplanares, el producto mixto de los mismos es 0.
x x0
y  y0
z  z0
x1  x 0
y1  y 0
z1  z 0  0
x2  x 0
y2  y0
z2  z0
Resolviendo se obtiene la ecuación del plano.
Ejemplos:
1. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P0 (4,1,3) y es normal a

n  (2,8,5)
2.( x  4)  8.( y  1)  5.( z  3)  0 
2 x  8 y  5z  15  0
 2.x  8  8. y  8  5.z  15  0 
O bien, 2𝑥 + 8𝑦 − 5𝑧 + 𝑑 = 0 y se evalúa la ecuación en P0 para obtener d
2.4 + 8(−1) − 5.3 + 𝑑 = 0 ⇒ −15 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = 15
Luego, la ecuación del plano es
2𝑥 + 8𝑦 − 5𝑧 + 15 = 0
2. Hallar la ecuación del plano determinado por P0 (1,1,1) , P1 (2,1,1) y P2 (1,0,1) :
x 1
y 1
2 1
11 11  0 
11 0 1
z 1
11
x 1 y 1 z 1
1
0
2
1
2 0
0
 4.( y  1)  ( z  1)  2.( x  1)  0  4 y  4  z  1  2x  2  0 
 2 x  4 y  z  1  0
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Planos paralelos y perpendiculares. Ángulo entre dos planos
Para determinar si dos planos son paralelos o perpendiculares y para determinar el ángulo entre
dos planos, se utilizan vectores normales a los mismos.
Sean los planos

 2 y sus respectivos vectores normales a  (a1 , a2 , a3 ) y
1 y

b  (b1 , b2 , b3 ) . Entonces:
 



 1 ||  2  a || b  a  k.b para algún k

 1   2  a  b  a.b  0

El ángulo entre  1 y  2 es igual al ángulo entre a y b





  a .b  a .b  a3 .b3
cos a; b  1 1 2 2
a .b
 
Ejemplos:
 2  2x  6 y  2z  1  0
1.  1  .x  3 y  z  5  0


a  (1,3,1) y b  (2,6,2) son vectores normales a  1 y  2 respectivamente

Como a 
 
1 
.b resulta a || b .
2

 1 ||  2
2.  1  5x  3 y  11z  2  0
 2  .x  2 y  z  1  0


a  (5,3,11) y b  (1,2,1) son vectores normales a  1 y  2 respectivamente
 


Como a..b  5.1  3.2  (11).1  0 resulta a  b .

1   2
3. Hallar el ángulo entre  1  2 x  3 y  z  1  0 y  2  .x  y  z  3  0


a  (2,3,1) y b  (1,1,1) son vectores normales a  1 y  2 respectivamente
 
 
cos a; b 
2.1  3.1  (1).1
2 2  32  (1) 2 . 12  12  12

4
42
a; b   arccos 


4 
  51 53'13' '
 42 
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Intersección de planos
Si dos planos no son paralelos, se intersecan en una recta. Para hallar la ecuación de la recta de
intersección teniendo las ecuaciones cartesianas de los planos, se plantea con ellas un sistema
de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, que es compatible indeterminado. Se expresan
las soluciones de dicho sistema en función de una de las incógnitas, generalmente z , y luego
se reemplaza z por  obteniéndose así las ecuaciones paramétricas de dicha recta.
Ejemplo:
Hallar la intersección de
 1  2x  y  z  2  0
y
 2  .x  2 y  2 z  1  0
 2x  y  z  2

 x  2 y  2 z  1
3 4
4 3
 z ; y   z ; z  zR
5 5
5 5
3 4

x  5  5 

4 3
Las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección son:  y   
5 5

z



x
Resolviendo este sistema :
Intersección de recta y plano
Sean la recta r y el plano  , cuyas ecuaciones son:
 x  x0  a1 .

r   y  y 0  a 2 .
 z  z  a .
0
3

  a.x  b. y  c.z  d  0
Para hallar la intersección entre r y  , planteamos el sistema formado por la ecuación
general del plano y las ecuaciones paramétricas de la recta:
a.x  b. y  c.z  d  0

x  x0  a1 .


y  y 0  a 2 .


z  z 0  a3 .
Se reemplaza x , y y z de las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano y resulta una
ecuación con una incógnita 
a.( x0  a1 . )  b.( y0  a2 . )  c.( z 0  a3 . )  d  0
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


Matemática III
Si la solución es única la recta y el plano se intersecan en un punto, cuyas coordenadas
se obtienen reemplazando este valor de  en las ecuaciones paramétricas de la recta.
Si existen infinitas soluciones, la intersección es la propia recta: la recta está incluida
en el plano.
Si no existe solución, la recta y el plano no se intersecan: la recta es paralela al plano.
Ejemplos:
Hallar la intersección entre:
1.   .x  y  z  7
r 
 x  1  4
x 1 y  3 z  2



    y  3  2
4
2
3
 z  2  3

x 1 y  3 z  2


4
2
3

 x  1  4

r   y  3  2
 z  2  3

x  y  z  7
 x  1  4

(1  4 )  (3  2 )  (2  3 )  7 

 y  3  2

 z  2  3
 5  2  7  5  5    1
Las coordenadas del punto de intersección son:
x  1  4  x  1  4.1  x  5
y  3  2  y  3  2.1  y  1
z  2  3  z  2  3.1  z  1

r    (5,1,1)
r  x, y, z   1,0,2  (1,1,1).
2.   2.x  y  3z  5
x  1 

r  x, y, z   1,0,2  (1,1,1).  r   y  
z  2  

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Matemática III
2 x  y  3 z  5
 x  1 

2.(1   )  ( )  3.(2   )  5 

y  

 z  2  
 0.  8  5  0.  3
La ecuación no tiene solución: r || 
r   

 x  1 

r   y  1 
 z  2  3

3.   .x  2 y  z  1  0
x  2 y  z  1  0
 x  1 

 (1   )  2.(1   )  (2  3 )  1  0  0.  0

y

1



 z  2  3
 puede tomar cualquier valor. La ecuación tiene infinitas soluciones: la recta está
incluida en el plano.

r   r
EJERCICIOS RESUELTOS
1. La ecuación de un plano que pasa por el punto P(2, -3, 4) y es perpendicular
a la recta de ecuación (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4, 2, −5) + (−1, 2, 3)𝑡
El vector director de la recta es (-1, 2, 3) es paralelo a la recta y además, en
este caso, perpendicular al plano.
Luego, siendo P(2, -3, 4) y n = (-1, 2, 3), la ecuación del plano será
(−1, 2, 3). (𝑥 − 2, 𝑦 + 3, 𝑧 − 4) = 0
−𝑥 + 2 + 2𝑦 + 6 + 3𝑧 − 12 = 0
−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4
O bien −𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 𝑑 = 0
En P(2, -3, 4)
−2 − 6 + 12 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = −4
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Lic. Claudia Graciela Federici
UNSAdA
Matemática III
−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0
2. La ecuación de un plano que contiene a las rectas r y s, siendo
𝑥 =3−𝑡
𝑥−1
𝑦+4
𝑧−4
𝑟 ≡ { 𝑦 = −2𝑡 y 𝑠 ≡ 2 = 3 = − 2
𝑧 = 2+𝑡
Si el plano contiene a las rectas, los puntos P(3, 0, 2) y Q(1, -4, 4) , y los
vectores directores (-1, -2, 1) y (2, 3, -2) pertenecen al plano.
Para hallar el vector normal al plano se realiza el producto vectorial entre los
vectores directores, i.e.
(-1, -2, 1) x (2, 3, -2) = (1, 0, 1)
Luego, siendo P(3, 0, 2) y n = (1, 0, 1), la ecuación del plano será
(1, 0, 1). (𝑥 − 3, 𝑦, 𝑧 − 2) = 0
𝑥−3+𝑧−2 = 0
𝑥+𝑧=5
Observación: Se podría haber utilizado el punto Q y se hubiese llegado al
mismo resultado.
3. La ecuación de un plano paralelo al plano de ecuación 5x – 3y + z = 4 y que
contiene a la recta de ecuación (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 0, −3) + (−5, 3, −1)𝑡
El vector normal al plano es el mismo que el vector normal al plano
5x – 3y + z = 4, n = (5, -3, 1)
Y el punto a utilizar será el punto de la recta que está contenida en el plano,
es decir P(2, 0, -3)
Luego,
(5, −3, 1). (𝑥 − 2, 𝑦, 𝑧 + 3) = 0
5𝑥 − 10 − 3𝑦 + 𝑧 + 3 = 0
5𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 7
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