UNSAdA Matemática III RECTAS Y PLANOS Ecuaciones de la recta Para determinar una recta, bastan dos puntos o un punto y un vector paralelo a la recta denominado vector director. Sean P0 ( x0 , y0 , z 0 ) y P1 ( x1 , y1 , z1 ) dos puntos pertenecientes a la recta, el vector director será a P0 P1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z 0 ) (a1 , a2 , a3 ) Si se considera además, un punto genérico P( x, y, z ) perteneciente a la recta Como P0 P y a son paralelos P0 P a. con R a) Ecuación vectorial Partiendo de P0 P a. con R P P0 a. P P0 a. ( x, y, z) ( x0 , y0 , z 0 ) (a1 , a2 , a3 ). ( x x0 , y y0 , z z 0 ) (a1 , a2 , a3 ).r r0 P0 P Sean los vectores y r OP r0 OP0 . r r0 a. con . R Ecuación vectorial de la recta P P0 a. r r0 P0 P O bien, 1 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III En función de las componentes x, y, z x0 , y0 , z0 (a1 , a2 , a3 ). con . R . b) Ecuaciones paramétricas A partir de la ecuación vectorial en función de las componentes, se pueden obtener las ecuaciones paramétricas: x, y, z x0 , y0 , z0 (a1 , a2 , a3 ). x, y, z x0 a1 . , y0 a2 . , z 0 a3 . x x0 a1 . y y 0 a 2 . Ecuaciones paramétricas de la recta z z a . 0 3 c) Ecuación simétrica o canónica Partiendo de las ecuaciones paramétricas: x x0 a1 x x0 y y 0 z z 0 y y0 y y 0 a 2 . a1 a2 a3 a2 z z0 z z 0 a.3 a3 x x0 a1 . d) Ecuaciones implícitas De la ecuación simétrica se obtienen las ecuaciones implícitas: x x0 y y 0 a 2 ( x x0 ) a1 ( y y 0 ) a 2 .x a 2 .x0 a1 . y a1 . y 0 a1 a2 a 2 .x a1 . y a1 . y0 a2 .x0 0 a 2 .x (a1 ). y a1 . y0 a2 .x0 0 A.x B. y C 0 (1) x x0 z z 0 a 3 ( x x0 ) a1 ( z z 0 ) a 3 .x a3 .x0 a1 .z a1 .z 0 a1 a3 2 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III a 3 .x a1 .z a1 .z 0 a3 .x0 0 a 3 .x (a1 ).z a1 .z 0 a3 .x0 0 A'.x B'.z C ' 0 (2) De (1) y (2): A.x B. y C 0 A'.x B'.z C ' 0 Ejemplos: 1. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por (2; -1; 8) y (5; 6; -3). P0 (2,1,8) ; P1 (5,6,3) ; a P0 P1 (3,7,11) a) Ecuación vectorial: x, y, z x0 , y0 , z0 (a1 , a2 , a3 ). x, y, z (2,1,8) (3,7,11). b) Ecuaciones paramétricas: x 2 3. x, y, z (2,1,8) (3,7,11). y 1 7. z 8 11. c) Ecuación simétrica: x 2 3. y 1 7. z 8 11. x2 3 y 1 x 2 y 1 z 8 y 1 7. 7 3 7 11 z 8 z 8 11. 11 x 2 3. d) Ecuaciones implícitas: x 2 y 1 z 8 3 7 11 x 2 y 1 7.( x 2) 3.( y 1) 7 x 14 3 y 3 3 7 7 x 14 3 y 3 0 7 x 3 y 17 0 x 2 z 8 11.( x 2) 3.( z 8) 11x 22 3z 24 3 11 3 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III 11x 22 3z 24 0 11x 3z 46 0 Luego 7 x 3 y 17 0 11x 3z 46 0 2. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por (-1; 1) y es paralela al vector 2iˆ 3 ˆj a || v a k.v para algún k. Sea entonces a (2,3) ; a (2,3) v (2,3) y P0 (1,1) a) Ecuación vectorial: x, y x0 , y0 (a1 , a2 ). x, y (1,1) (2,3). b) Ecuaciones paramétricas: x, y (1,1) (2,3). x 1 2 y 1 3 c) Ecuación simétrica: x 1 2 y 1 3 x 1 2 x 1 y 1 y 1 2 3 y 1 3 3 x 1 2 d) Ecuación implícita: x 1 y 1 3.( x 1) 2.( y 1) 3x 3 2 y 2 2 3 3 x 3 2 y 2 0 3x 2 y 1 0 3. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por (-1; 1) y es normal al vector 2iˆ 3 ˆj v (2,3) 2 a v a.v 0 a1 .v1 a2 .v2 0 2a1 3a2 0 a2 a1 3 Sea entonces a (3,2) P0 (1,1) ; a (3,2) 4 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III a) Ecuación vectorial: x, y x0 , y0 (a1 , a2 ). x, y (1,1) (3,2). b) Ecuaciones paramétricas: x, y (1,1) (3,2). x 1 3 y 1 2 c) Ecuación simétrica: x 1 3 y 1 2 x 1 3 x 1 y 1 y 1 3 2 y 1 2 2 x 1 3 d) Ecuación implícita: x 1 y 1 2.( x 1) 3.( y 1) 2 x 2 3 y 3 3 2 2x 2 3 y 3 0 2x 3 y 1 0 Rectas paralelas y perpendiculares. Ángulo entre dos rectas Para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares y para determinar el ángulo entre dos rectas, se utilizan los vectores directores de las mismas. Sean las rectas r1 x, y, z x1 , y1 , z1 (a1 , a2 , a3 ).1 r2 x, y, z x2 , y 2 , z 2 (b1 , b2 , b3 ).2 donde a (a1 , a2 , a3 ) y b (b1 , b2 , b3 ) son sus respectivos vectores directores. Entonces: r1 || r2 a || b a k.b para algún k r1 r2 a b a.b 0 El ángulo entre r1 y r2 es igual al ángulo entre a y b a .b a .b a3 .b3 cos a; b 1 1 2 2 a .b 5 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III Ejemplos: 1. Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares: x 1 31 a) r1 y 2 21 z 1 1 r2 x, y, z 1,3,2 (6,4,2).2 ; El vector director de r1 es a (3,2,1) y el de r2 es b (6,4,2) Como a b) r1 1 .b resulta a || b . 2 r1 || r2 x 1 y 2 z 1 3 2 r2 x, y, z 0,2,1 (1,0,3).2 ; El vector director de r1 es a (3,2,1) y el de r2 es b (1,0,3) a.b 3.(1) 2.0 1.3 0 a b r1 r2 2. Hallar el ángulo que forman las rectas: r1 x, y, z 1,3,2 (2,1,1).1 y r2 x, y, z 1,2,1 (1,0,1).2 El vector director de r1 es a (2,1,1) y el de r2 es b (1,0,1) a .b a .b a3 .b3 cos a; b 1 1 2 2 a .b 2.1 (1).0 1.1 2 (1) 1 . 1 0 1 2 2 2 2 2 2 3 12 3 2 a;b arccos 3 30 2 6 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III Ecuaciones del plano Para determinar un plano, bastan tres puntos no alineados o un punto y un vector ortogonal al plano denominado vector normal. Sean P0 ( x0 , y0 , z 0 ) un punto que pertenece al plano y n (n1 , n2 , n3 ) un vector normal al plano. Consideremos además un punto genérico P( x, y, z ) perteneciente al plano. El vector P0 P ( x x0 , y y0 , z z 0 ) y n (n1 , n2 , n3 ) resultan ortogonales, i. e. n P0 P n..P0 P 0 n1 .( x x0 ) n2 .( y y0 ) n3 .( z z 0 ) 0 n1 .x n1 .x0 n2 . y n2 . y0 n3 .z n3 z 0 0 n1 .x n2 . y n3 .z (n1 .x0 n2 . y0 n3 z 0 ) 0 a.x b. y c.z d 0 Ecuación general o ecuación cartesiana del plano. Observación En la ecuación los coeficientes a, b y c son las componentes de un vector normal al plano. 7 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III Para obtener la ecuación de un plano dados tres puntos no alineados P0 ( x0 , y0 , z 0 ) , P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) , se considera un punto genérico P( x, y, z ) y se determinan tres vectores que pertenezcan al plano que tengan el mismo origen, por ejemplo P0 P1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z 0 ) P0 P ( x x0 , y y0 , z z 0 ) , y P0 P2 ( x2 x0 , y 2 y0 , z 2 z 0 ) . Como dichos vectores son coplanares, el producto mixto de los mismos es 0. x x0 y y0 z z0 x1 x 0 y1 y 0 z1 z 0 0 x2 x 0 y2 y0 z2 z0 Resolviendo se obtiene la ecuación del plano. Ejemplos: 1. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P0 (4,1,3) y es normal a n (2,8,5) 2.( x 4) 8.( y 1) 5.( z 3) 0 2 x 8 y 5z 15 0 2.x 8 8. y 8 5.z 15 0 O bien, 2𝑥 + 8𝑦 − 5𝑧 + 𝑑 = 0 y se evalúa la ecuación en P0 para obtener d 2.4 + 8(−1) − 5.3 + 𝑑 = 0 ⇒ −15 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = 15 Luego, la ecuación del plano es 2𝑥 + 8𝑦 − 5𝑧 + 15 = 0 2. Hallar la ecuación del plano determinado por P0 (1,1,1) , P1 (2,1,1) y P2 (1,0,1) : x 1 y 1 2 1 11 11 0 11 0 1 z 1 11 x 1 y 1 z 1 1 0 2 1 2 0 0 4.( y 1) ( z 1) 2.( x 1) 0 4 y 4 z 1 2x 2 0 2 x 4 y z 1 0 8 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III Planos paralelos y perpendiculares. Ángulo entre dos planos Para determinar si dos planos son paralelos o perpendiculares y para determinar el ángulo entre dos planos, se utilizan vectores normales a los mismos. Sean los planos 2 y sus respectivos vectores normales a (a1 , a2 , a3 ) y 1 y b (b1 , b2 , b3 ) . Entonces: 1 || 2 a || b a k.b para algún k 1 2 a b a.b 0 El ángulo entre 1 y 2 es igual al ángulo entre a y b a .b a .b a3 .b3 cos a; b 1 1 2 2 a .b Ejemplos: 2 2x 6 y 2z 1 0 1. 1 .x 3 y z 5 0 a (1,3,1) y b (2,6,2) son vectores normales a 1 y 2 respectivamente Como a 1 .b resulta a || b . 2 1 || 2 2. 1 5x 3 y 11z 2 0 2 .x 2 y z 1 0 a (5,3,11) y b (1,2,1) son vectores normales a 1 y 2 respectivamente Como a..b 5.1 3.2 (11).1 0 resulta a b . 1 2 3. Hallar el ángulo entre 1 2 x 3 y z 1 0 y 2 .x y z 3 0 a (2,3,1) y b (1,1,1) son vectores normales a 1 y 2 respectivamente cos a; b 2.1 3.1 (1).1 2 2 32 (1) 2 . 12 12 12 4 42 a; b arccos 4 51 53'13' ' 42 9 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III Intersección de planos Si dos planos no son paralelos, se intersecan en una recta. Para hallar la ecuación de la recta de intersección teniendo las ecuaciones cartesianas de los planos, se plantea con ellas un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, que es compatible indeterminado. Se expresan las soluciones de dicho sistema en función de una de las incógnitas, generalmente z , y luego se reemplaza z por obteniéndose así las ecuaciones paramétricas de dicha recta. Ejemplo: Hallar la intersección de 1 2x y z 2 0 y 2 .x 2 y 2 z 1 0 2x y z 2 x 2 y 2 z 1 3 4 4 3 z ; y z ; z zR 5 5 5 5 3 4 x 5 5 4 3 Las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección son: y 5 5 z x Resolviendo este sistema : Intersección de recta y plano Sean la recta r y el plano , cuyas ecuaciones son: x x0 a1 . r y y 0 a 2 . z z a . 0 3 a.x b. y c.z d 0 Para hallar la intersección entre r y , planteamos el sistema formado por la ecuación general del plano y las ecuaciones paramétricas de la recta: a.x b. y c.z d 0 x x0 a1 . y y 0 a 2 . z z 0 a3 . Se reemplaza x , y y z de las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano y resulta una ecuación con una incógnita a.( x0 a1 . ) b.( y0 a2 . ) c.( z 0 a3 . ) d 0 10 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III Si la solución es única la recta y el plano se intersecan en un punto, cuyas coordenadas se obtienen reemplazando este valor de en las ecuaciones paramétricas de la recta. Si existen infinitas soluciones, la intersección es la propia recta: la recta está incluida en el plano. Si no existe solución, la recta y el plano no se intersecan: la recta es paralela al plano. Ejemplos: Hallar la intersección entre: 1. .x y z 7 r x 1 4 x 1 y 3 z 2 y 3 2 4 2 3 z 2 3 x 1 y 3 z 2 4 2 3 x 1 4 r y 3 2 z 2 3 x y z 7 x 1 4 (1 4 ) (3 2 ) (2 3 ) 7 y 3 2 z 2 3 5 2 7 5 5 1 Las coordenadas del punto de intersección son: x 1 4 x 1 4.1 x 5 y 3 2 y 3 2.1 y 1 z 2 3 z 2 3.1 z 1 r (5,1,1) r x, y, z 1,0,2 (1,1,1). 2. 2.x y 3z 5 x 1 r x, y, z 1,0,2 (1,1,1). r y z 2 11 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III 2 x y 3 z 5 x 1 2.(1 ) ( ) 3.(2 ) 5 y z 2 0. 8 5 0. 3 La ecuación no tiene solución: r || r x 1 r y 1 z 2 3 3. .x 2 y z 1 0 x 2 y z 1 0 x 1 (1 ) 2.(1 ) (2 3 ) 1 0 0. 0 y 1 z 2 3 puede tomar cualquier valor. La ecuación tiene infinitas soluciones: la recta está incluida en el plano. r r EJERCICIOS RESUELTOS 1. La ecuación de un plano que pasa por el punto P(2, -3, 4) y es perpendicular a la recta de ecuación (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4, 2, −5) + (−1, 2, 3)𝑡 El vector director de la recta es (-1, 2, 3) es paralelo a la recta y además, en este caso, perpendicular al plano. Luego, siendo P(2, -3, 4) y n = (-1, 2, 3), la ecuación del plano será (−1, 2, 3). (𝑥 − 2, 𝑦 + 3, 𝑧 − 4) = 0 −𝑥 + 2 + 2𝑦 + 6 + 3𝑧 − 12 = 0 −𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4 O bien −𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 𝑑 = 0 En P(2, -3, 4) −2 − 6 + 12 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = −4 12 Lic. Claudia Graciela Federici UNSAdA Matemática III −𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 2. La ecuación de un plano que contiene a las rectas r y s, siendo 𝑥 =3−𝑡 𝑥−1 𝑦+4 𝑧−4 𝑟 ≡ { 𝑦 = −2𝑡 y 𝑠 ≡ 2 = 3 = − 2 𝑧 = 2+𝑡 Si el plano contiene a las rectas, los puntos P(3, 0, 2) y Q(1, -4, 4) , y los vectores directores (-1, -2, 1) y (2, 3, -2) pertenecen al plano. Para hallar el vector normal al plano se realiza el producto vectorial entre los vectores directores, i.e. (-1, -2, 1) x (2, 3, -2) = (1, 0, 1) Luego, siendo P(3, 0, 2) y n = (1, 0, 1), la ecuación del plano será (1, 0, 1). (𝑥 − 3, 𝑦, 𝑧 − 2) = 0 𝑥−3+𝑧−2 = 0 𝑥+𝑧=5 Observación: Se podría haber utilizado el punto Q y se hubiese llegado al mismo resultado. 3. La ecuación de un plano paralelo al plano de ecuación 5x – 3y + z = 4 y que contiene a la recta de ecuación (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 0, −3) + (−5, 3, −1)𝑡 El vector normal al plano es el mismo que el vector normal al plano 5x – 3y + z = 4, n = (5, -3, 1) Y el punto a utilizar será el punto de la recta que está contenida en el plano, es decir P(2, 0, -3) Luego, (5, −3, 1). (𝑥 − 2, 𝑦, 𝑧 + 3) = 0 5𝑥 − 10 − 3𝑦 + 𝑧 + 3 = 0 5𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 7 13 Lic. Claudia Graciela Federici