Domande Teoria Elettrotecnica
Leggi di Kirchhoff delle tensioni e delle correnti e teorema fondamentale dell’elettrotecnica
Per risolvere un circuito elettrico, cioè trovare per ogni bipolo tensione e corrente, occorrono altre
relazioni oltre i legami costitutivi. Per questo scopo sono state elaborate due leggi molto importanti.
Legge di Kirchhoff delle correnti: questa legge nasce dalla legge di conservazione della carica
elettrica per una superficie chiusa, e afferma che la somma algebrica delle correnti per un nodo, cioè
un punto di connessione di due o più bipoli, è nulla. Questo significa quindi che possiamo scegliere
una convenzione, per esempio correnti entranti positive, e scrivere la somma delle correnti,
prendendole con segno negativo se uscenti dal nodo.
Legge di Kirchhoff delle tensioni: definita una maglia come una linea chiusa costituita da lati della
rete, la somma algebrica delle tensioni misurate secondo un verso di percorrenza lungo una maglia è
nulla. Un anello è un tipo particolare di maglia, che non contiene al suo interno alcun lato.
A questo punto, abbiamo ulteriori relazioni tra le grandezze incognite del circuito, ma abbiamo
bisogno di dimostrare che queste siano sufficienti a risolvere il circuito. Fortunatamente questo è
garantito dal teorema fondamentale dell’elettrotecnica, che dice che:
Dato un circuito elettrico costituito da n nodi, m maglie, l lati è sempre possibile trovare 2l relazioni
linearmente indipendenti che ci consentono di risolvere il circuito: l dalle relazioni costitutive, n-1
dalla legge ai nodi, l-n+1 dalla legge delle tensioni agli anelli.
Si enuncino e dimostrino i teoremi di Thevenin e Norton
Teorema di Thevenin: data una rete lineare π collegata da una coppia morsetti ad un generico bipolo
B, risolvere questa rete è equivalente a risolvere una rete con il bipolo B e un generatore di tensione
VRS0, detta tensione a vuoto, misurata staccando il carico e calcolando la tensione ai morsetti, in serie
ad una rete π0 ottenuta da quella iniziale spegnendo tutti i generatori.
Teorema di Norton: il teorema di Norton è il duale del teorema di Thevenin e afferma che: data una
rete lineare π collegata da una coppia morsetti ad un generico bipolo B, risolvere questa rete è
equivalente a risolvere una rete con il bipolo B e un generatore di corrente pari alla corrente di
corto circuito Icc, ottenuta cortocircuitando il carico e misurando la corrente transitante, disposto in
parallelo ad una rete π0 ottenuta da quella iniziale spegnendo tutti i generatori.
Potenze nei sistemi trifase, inserzione di Aaron e rifasamento
Per quanto riguarda le potenze in un circuito trifase, si introducono gli stessi parametri introdotti per
un circuito monofase in corrente alternata sinusoidale, quindi la potenza attiva, reattiva e
complessa. Si può dimostrare partendo dall’espressione della potenza istantanea che la potenza
attiva totale che entra nella sezione degli utilizzatori è pari alla somma delle potenze attive di ogni
carico, e la stessa cosa vale per le potenze reattive e complesse. Nel caso particolare di una terna di
tensioni simmetriche e carico equilibrato, questo significa che la potenza attiva totale entrante nella
sezione degli utilizzatori è uguale a 3 volte la potenza attiva di un singolo carico, e la stessa cosa vale
per le potenze reattiva e complessa. Sembrerebbe quindi che per calcolare la potenza attiva totale
entrante nella sezione degli utilizzatori avremmo bisogno di 3 wattmetri, uno per ogni fase, ma in
realtà non è così perché dobbiamo considerare una relazione ulteriore. Infatti dobbiamo ricordare
che vale la legge di Kirchhoff delle correnti per un centro stella, il che ci permette di esprimere una
corrente in funzione delle altre due. In questo modo possiamo calcolare la potenza attiva entrante
utilizzando due tensioni concatenate e due correnti, il che ci permette di utilizzare due soli
wattmetri. Questo è quello che si chiama inserzione di Aaron.
Nel caso in cui il contributo di potenza reattiva entrante nella sezione degli utilizzatori sia troppo
alto, il che equivale ad un trasferimento di energia poco efficace, possiamo operare un rifasamento,
inserendo prima del carico una batteria di condensatori collegati a stella o a triangolo, in modo da
ridurre il contributo reattivo e aumentare il fattore di potenza fino al valore di 0.9.
Potenza in regime alternato, teorema di Tellegen e corollario di Boucherot
Per quanto riguarda le potenze in regime alternato il discorso è più complicato del caso stazionario,
perché vengono introdotte diverse potenze.
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Potenza attiva: rappresenta la potenza effettivamente utilizzabile e corrisponde alla potenza
media della potenza istantanea nel periodo. P = VIcosϕ
Potenza reattiva: a differenza della potenza attiva non ha alcun significato fisico, e
rappresenta semplicemente il contributo alla potenza totale di induttori e condensatori, che
immagazzinano energia nei rispettivi campi. Q = VIsinϕ
Potenza apparente: rappresenta il massimo della potenza istantanea rispetto alla potenza
media, cioè la potenza attiva. A = VI
Potenza Complessa: si tratta di un numero complesso che riassume in se il contributo di
potenza attiva e reattiva di un carico. V = P + jQ = VI
Il teorema di Tellegen è un importante teorema che afferma che presa su tutti i lati la stessa
convenzione, se valgono le leggi di Kirchhoff delle tensioni e delle correnti, allora la somma dei
prodotti vjij estesa a tutti i lati, è nulla. Dal teorema di Tellegen per un circuito in regime alternato
sinusoidale si può ricavare un importante corollario. Infatti, considerando che sui circuiti di questo
tipo, vale la legge di Kirchhoff delle tensioni e anche la legge di Kircchoff per i coniugati dei fasori
delle correnti, allora la somma estesa a tutti i lati della rete della potenza complessa corrispondente
è nulla, il che significa che la somma delle potenze attive e reattive erogate dai generatori sono
uguali alla somma aritmetica delle potenza attive e alla somma algebrica delle potenze reattive
assorbite dai bipoli. Questa importante conseguenza si chiama corollario di Boucherot e ci permette
di risolvere un circuito partendo da un carico di cui sappiamo la potenza complessa, facendo bilanci
progressivi di potenze.
Definizioni di auto e mutua induttanza e formula per il calcolo dell’energia immagazzinata
L’induttanza è una proprietà dei circuiti elettrici per cui la corrente che li attraversa induce una forza
elettromotrice che per la legge di Faraday-Lenz è proporzionale alla variazione di flusso magnetico
concatenato al circuito. Il rapporto tra il flusso concatenato e la corrente che genera tale flusso è un
parametro fisso, detto autoinduttanza se riferito al flusso e corrente sullo stesso circuito e mutua
induttanza ad un flusso su un circuito generato da una corrente che circola in un altro circuito.
Grazie ai parametri appena introdotti possiamo quantificare l’energia immagazzinata nel campo
magnetico in funzione delle correnti che attraversano gli avvolgimenti. Nella legge compaiono due
contributi sempre positivi, che non dipendono dal verso delle correnti essendo esse al quadrato, e
un contributo, quello mutuo, che può essere negativo o positivo. Infatti, se le correnti sono concordi,
verrà generato un contributo mutuo positivo, che aumenta l’energia immagazzinata, altrimenti
nasce un contributo negativo, che diminuisce l’energia immagazzinata. Per questo motivo si usa il
metodo dei morsetti corrispondenti, che consiste nello scegliere positivo il verso delle correnti che
secondo la regola del cavatappi danno origine a flusso concorde.
Modello del trasformatore e identificazione dei parametri dalle prove
Il trasformatore è una macchina statica che opera in regime sinusoidale e permette di trasformare i
parametri della potenza, alzando o abbassando la tensione di un rapporto fisso, con una
corrispondente crescita o diminuzione della corrente. Partendo dal modello di trasformatore ideale,
si possono poi introdurre le non idealità introducendo nuovi parametri. Esistono diversi modelli di
trasformatore non ideale, di cui ne vediamo uno
Analizziamo i parametri:
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R0: si tratta di una resistenza posta in parallelo al primo avvolgimento che serve a
quantificare le perdite a causa delle correnti parassite, che generano perdite per effetto
Joule che riscaldano il nucleo ferroso, e a causa del fenomeno di isteresi magnetica, che fa si
che ogni volta che viene invertita la tensione, e quindi il flusso, si perda dell’energia.
L0: si tratta di un induttore posto in parallelo al primo avvolgimento che serve ad eliminare
l’idealità della permeabilità del ferro infinita, e quantificare la corrente di magnetizzazione
che viene richiesta in più per compensare la caduta di tensione magnetica dovuta al
materiale ferroso
Lcc: si tratta di un induttore posto in serie al secondo avvolgimento che serve a quantificare i
flussi dispersi nell’aria. In realtà per modellizzare questo fenomeno si considerano due
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induttori, uno in serie al primo avvolgimento e uno al secondo, ma per semplicità si può poi
trasferire un parametro dal primario al secondario.
Rcc: si tratta di una resistenza posta in serie al secondo avvolgimento che serve a quantificare
le perdite per effetto Joule degli avvolgimenti. Come il precedente parametro, si definiscono
due parametri per i due avvolgimenti, ma si effettua poi un trasferimento in modo da
semplificare il modello.
Per poter trovare i valori dei parametri analizzati, e ricavare informazioni sul trasformatore
analizzato, si usano due prove:
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Prova a vuoto: consiste nell’alimentare un avvolgimento alla tensione nominale, e lasciare
l’altro senza carico, in genere noi alimentiamo il primario. Questa prova permette di trovare
i parametri in parallelo al primo avvolgimento e di determinare il rapporto di
trasformazione.
Prova di corto circuito: consiste nell’alimentare un avvolgimento ad una tensione Vc in modo
che l’altro sia percorso da corrente nominale, noi in genere facciamo in modo che il secondo
avvolgimento sia percorso da corrente nominale. Questo permette di ricavare i parametri
degli avvolgimenti e le perdite negli avvolgimenti.