Domande Teoria Elettrotecnica Leggi di Kirchhoff delle tensioni e delle correnti e teorema fondamentale dell’elettrotecnica Per risolvere un circuito elettrico, cioè trovare per ogni bipolo tensione e corrente, occorrono altre relazioni oltre i legami costitutivi. Per questo scopo sono state elaborate due leggi molto importanti. Legge di Kirchhoff delle correnti: questa legge nasce dalla legge di conservazione della carica elettrica per una superficie chiusa, e afferma che la somma algebrica delle correnti per un nodo, cioè un punto di connessione di due o più bipoli, è nulla. Questo significa quindi che possiamo scegliere una convenzione, per esempio correnti entranti positive, e scrivere la somma delle correnti, prendendole con segno negativo se uscenti dal nodo. Legge di Kirchhoff delle tensioni: definita una maglia come una linea chiusa costituita da lati della rete, la somma algebrica delle tensioni misurate secondo un verso di percorrenza lungo una maglia è nulla. Un anello è un tipo particolare di maglia, che non contiene al suo interno alcun lato. A questo punto, abbiamo ulteriori relazioni tra le grandezze incognite del circuito, ma abbiamo bisogno di dimostrare che queste siano sufficienti a risolvere il circuito. Fortunatamente questo è garantito dal teorema fondamentale dell’elettrotecnica, che dice che: Dato un circuito elettrico costituito da n nodi, m maglie, l lati è sempre possibile trovare 2l relazioni linearmente indipendenti che ci consentono di risolvere il circuito: l dalle relazioni costitutive, n-1 dalla legge ai nodi, l-n+1 dalla legge delle tensioni agli anelli. Si enuncino e dimostrino i teoremi di Thevenin e Norton Teorema di Thevenin: data una rete lineare π collegata da una coppia morsetti ad un generico bipolo B, risolvere questa rete è equivalente a risolvere una rete con il bipolo B e un generatore di tensione VRS0, detta tensione a vuoto, misurata staccando il carico e calcolando la tensione ai morsetti, in serie ad una rete π0 ottenuta da quella iniziale spegnendo tutti i generatori. Teorema di Norton: il teorema di Norton è il duale del teorema di Thevenin e afferma che: data una rete lineare π collegata da una coppia morsetti ad un generico bipolo B, risolvere questa rete è equivalente a risolvere una rete con il bipolo B e un generatore di corrente pari alla corrente di corto circuito Icc, ottenuta cortocircuitando il carico e misurando la corrente transitante, disposto in parallelo ad una rete π0 ottenuta da quella iniziale spegnendo tutti i generatori. Potenze nei sistemi trifase, inserzione di Aaron e rifasamento Per quanto riguarda le potenze in un circuito trifase, si introducono gli stessi parametri introdotti per un circuito monofase in corrente alternata sinusoidale, quindi la potenza attiva, reattiva e complessa. Si può dimostrare partendo dall’espressione della potenza istantanea che la potenza attiva totale che entra nella sezione degli utilizzatori è pari alla somma delle potenze attive di ogni carico, e la stessa cosa vale per le potenze reattive e complesse. Nel caso particolare di una terna di tensioni simmetriche e carico equilibrato, questo significa che la potenza attiva totale entrante nella sezione degli utilizzatori è uguale a 3 volte la potenza attiva di un singolo carico, e la stessa cosa vale per le potenze reattiva e complessa. Sembrerebbe quindi che per calcolare la potenza attiva totale entrante nella sezione degli utilizzatori avremmo bisogno di 3 wattmetri, uno per ogni fase, ma in realtà non è così perché dobbiamo considerare una relazione ulteriore. Infatti dobbiamo ricordare che vale la legge di Kirchhoff delle correnti per un centro stella, il che ci permette di esprimere una corrente in funzione delle altre due. In questo modo possiamo calcolare la potenza attiva entrante utilizzando due tensioni concatenate e due correnti, il che ci permette di utilizzare due soli wattmetri. Questo è quello che si chiama inserzione di Aaron. Nel caso in cui il contributo di potenza reattiva entrante nella sezione degli utilizzatori sia troppo alto, il che equivale ad un trasferimento di energia poco efficace, possiamo operare un rifasamento, inserendo prima del carico una batteria di condensatori collegati a stella o a triangolo, in modo da ridurre il contributo reattivo e aumentare il fattore di potenza fino al valore di 0.9. Potenza in regime alternato, teorema di Tellegen e corollario di Boucherot Per quanto riguarda le potenze in regime alternato il discorso è più complicato del caso stazionario, perché vengono introdotte diverse potenze. - - Potenza attiva: rappresenta la potenza effettivamente utilizzabile e corrisponde alla potenza media della potenza istantanea nel periodo. P = VIcosϕ Potenza reattiva: a differenza della potenza attiva non ha alcun significato fisico, e rappresenta semplicemente il contributo alla potenza totale di induttori e condensatori, che immagazzinano energia nei rispettivi campi. Q = VIsinϕ Potenza apparente: rappresenta il massimo della potenza istantanea rispetto alla potenza media, cioè la potenza attiva. A = VI Potenza Complessa: si tratta di un numero complesso che riassume in se il contributo di potenza attiva e reattiva di un carico. V = P + jQ = VI Il teorema di Tellegen è un importante teorema che afferma che presa su tutti i lati la stessa convenzione, se valgono le leggi di Kirchhoff delle tensioni e delle correnti, allora la somma dei prodotti vjij estesa a tutti i lati, è nulla. Dal teorema di Tellegen per un circuito in regime alternato sinusoidale si può ricavare un importante corollario. Infatti, considerando che sui circuiti di questo tipo, vale la legge di Kirchhoff delle tensioni e anche la legge di Kircchoff per i coniugati dei fasori delle correnti, allora la somma estesa a tutti i lati della rete della potenza complessa corrispondente è nulla, il che significa che la somma delle potenze attive e reattive erogate dai generatori sono uguali alla somma aritmetica delle potenza attive e alla somma algebrica delle potenze reattive assorbite dai bipoli. Questa importante conseguenza si chiama corollario di Boucherot e ci permette di risolvere un circuito partendo da un carico di cui sappiamo la potenza complessa, facendo bilanci progressivi di potenze. Definizioni di auto e mutua induttanza e formula per il calcolo dell’energia immagazzinata L’induttanza è una proprietà dei circuiti elettrici per cui la corrente che li attraversa induce una forza elettromotrice che per la legge di Faraday-Lenz è proporzionale alla variazione di flusso magnetico concatenato al circuito. Il rapporto tra il flusso concatenato e la corrente che genera tale flusso è un parametro fisso, detto autoinduttanza se riferito al flusso e corrente sullo stesso circuito e mutua induttanza ad un flusso su un circuito generato da una corrente che circola in un altro circuito. Grazie ai parametri appena introdotti possiamo quantificare l’energia immagazzinata nel campo magnetico in funzione delle correnti che attraversano gli avvolgimenti. Nella legge compaiono due contributi sempre positivi, che non dipendono dal verso delle correnti essendo esse al quadrato, e un contributo, quello mutuo, che può essere negativo o positivo. Infatti, se le correnti sono concordi, verrà generato un contributo mutuo positivo, che aumenta l’energia immagazzinata, altrimenti nasce un contributo negativo, che diminuisce l’energia immagazzinata. Per questo motivo si usa il metodo dei morsetti corrispondenti, che consiste nello scegliere positivo il verso delle correnti che secondo la regola del cavatappi danno origine a flusso concorde. Modello del trasformatore e identificazione dei parametri dalle prove Il trasformatore è una macchina statica che opera in regime sinusoidale e permette di trasformare i parametri della potenza, alzando o abbassando la tensione di un rapporto fisso, con una corrispondente crescita o diminuzione della corrente. Partendo dal modello di trasformatore ideale, si possono poi introdurre le non idealità introducendo nuovi parametri. Esistono diversi modelli di trasformatore non ideale, di cui ne vediamo uno Analizziamo i parametri: - - - R0: si tratta di una resistenza posta in parallelo al primo avvolgimento che serve a quantificare le perdite a causa delle correnti parassite, che generano perdite per effetto Joule che riscaldano il nucleo ferroso, e a causa del fenomeno di isteresi magnetica, che fa si che ogni volta che viene invertita la tensione, e quindi il flusso, si perda dell’energia. L0: si tratta di un induttore posto in parallelo al primo avvolgimento che serve ad eliminare l’idealità della permeabilità del ferro infinita, e quantificare la corrente di magnetizzazione che viene richiesta in più per compensare la caduta di tensione magnetica dovuta al materiale ferroso Lcc: si tratta di un induttore posto in serie al secondo avvolgimento che serve a quantificare i flussi dispersi nell’aria. In realtà per modellizzare questo fenomeno si considerano due - induttori, uno in serie al primo avvolgimento e uno al secondo, ma per semplicità si può poi trasferire un parametro dal primario al secondario. Rcc: si tratta di una resistenza posta in serie al secondo avvolgimento che serve a quantificare le perdite per effetto Joule degli avvolgimenti. Come il precedente parametro, si definiscono due parametri per i due avvolgimenti, ma si effettua poi un trasferimento in modo da semplificare il modello. Per poter trovare i valori dei parametri analizzati, e ricavare informazioni sul trasformatore analizzato, si usano due prove: - - Prova a vuoto: consiste nell’alimentare un avvolgimento alla tensione nominale, e lasciare l’altro senza carico, in genere noi alimentiamo il primario. Questa prova permette di trovare i parametri in parallelo al primo avvolgimento e di determinare il rapporto di trasformazione. Prova di corto circuito: consiste nell’alimentare un avvolgimento ad una tensione Vc in modo che l’altro sia percorso da corrente nominale, noi in genere facciamo in modo che il secondo avvolgimento sia percorso da corrente nominale. Questo permette di ricavare i parametri degli avvolgimenti e le perdite negli avvolgimenti.