H Irrationale functies
1. Irrationale vergelijkingen
Een irrationale vergelijking is een vergelijking waar een onbekende onder een
vierkantswortel staat. Om een irrationale vergelijking op te lossen, moeten we rekening
houden met :
-
vb.1
het domein van de functie
de bestaansvoorwaarden de vergelijking
x² − 4 = 5
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
vb. 2
169 − x ² − x − 7 = 0
* Grafische oplossing :
y = 169 − x²
H Irrationale functies
169 − x ² = x + 7
y = x+7
1
* Algebraïsche oplossing :
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………
…………..……………………………………………………………………………………
…....…………………………………………………………………………………………
…………………..…………………………………………………………………………….
vb.2
5x + 6 − x − 2 = 0
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
H Irrationale functies
2
2. Oefeningen : Los op in R :
x ² + 16 = 5
3x + 7 = 6
21 − 4 x − x ² = 3
5x − 1 + x = 4
x + 4 + 2x + 1 = 3
3 x + 4 −1 = 1− x
2x + 5 − 4x + 3 = 2x + 2
6 + 2 x = 2 − 3x + 3
3. Verloop van functies : bepaal domein, beeld, nulpunten, tekenverloop, stijgen en
dalen. Gebruik je GRM om de grafiek te schetsen.
f ( x) = 4 − x ²
…………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
H Irrationale functies
3
f ( x) = x ² + 4
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
3x ² + 4 y ² = 4
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
H Irrationale functies
4
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
…………..…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
4. Oefening: bepaal van de volgende functies domein, nulwaarden, tekenverloop en
stijgen en dalen.
f ( x) = 4 x − 3
f ( x) = 2 − 1 − 3x
f ( x) =
x² − 2 x
x x −1
f ( x) = ( x − 1)² + 9
H Irrationale functies
5
5. functies samenstellen
Stel : f ( x) = x + 3
g ( x) = 2 x
Dan is :
f (2) = 2 + 3 = 5
g ( f (2)) = g (5) = 10
g (2) = 2.2 = 4
f ( g (2)) = f (4) = 7
We noteren :
(g  f )( x) = g ( f (x ))
= g (x + 3)
( f  g )(x ) = f (g (x ))
= f ( 2 x)
= (2 x) + 3
= 2( x + 3)
= 2x + 6
Schematisch :
g  f : ………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..
f  g : ………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Vb.1
f ( x) = 2 x − 4
Bepaal : (g  f )(x ) en
g ( x) =
1
x+2
2
( f  g )(x )
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Vb2
f (x ) = x ²
Bepaal : (g  f )(x ) en
g (x ) = x
( f  g )(x )
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
H Irrationale functies
6
6. Oefening: geef het voorschrift van g  f en van f  g
f ( x) = x + 2
g ( x) = x − 4
f ( x) = 2 x
g ( x) = sin x
f ( x) = x ²
g ( x) = x − 4
1
x+3
g ( x) = x ²
f ( x) =
H Irrationale functies
7
7. Inverse functies
De inverse functie of omgekeerde functie is steeds een spiegeling rond de 1ste bissectrice;
dit is : y = x.
stel : f (x ) = x ²
De grafiek van deze functie is een parabool. Willen we de omgekeerde functie bepalen,
dan worden de x-waarden de y-waarden en omgekeerd.
f
f (x)
−1
(x )
x -1
0
1
2
3
x
1
0
1
4
9
y 1
0
1
4
9
y
-1
0
1
2
3
We zien duidelijk dat f −1 GEEN functie is, want voor een x-waarde zijn er twee ywaarden.
Als we deze functie zouden beperken tot + dan heeft de functie f wel een omgekeerde :
H Irrationale functies
8
De omgekeerde relatie van een functie is opnieuw een functie als geen twee verschillende
x-waarden van dom f hetzelfde beeld hebben. Zo”n functie noemen we een omkeerbare
functie en zijn omgekeerde relatie de inverse functie.
Voorschrift van een omgekeerde functie :
Vb. f ( x) = 3x − 2
f = ……………………………………………………………..
f
−1
= …………………………………………………………….
…………………………………………………………….
DUS :
-
schrijf het voorschrift van f op
verwissel de rollen van x en y
probeer op te lossen naar y = ….
8. Onderzoek aan de hand van hun grafiek of de volgende functies omkeerbaar zijn.
Zo ja, zoek dan het voorschrift van de inverse functie.
f ( x) = 3 x − 2
f ( x ) = −2
f ( x) = 3 x ² − 4
f ( x) = ( x − 1)² − 4
f ( x) = 3 − 2 x
f ( x) = 1 + x ²
f ( x) =
x +1
x−2
H Irrationale functies
9
9. Oefeningen
•
gegeven : f ( x) = x − 1 en g ( x) = x + 1 :
a) zoek de voorschriften van de functies :
domein en nulwaarden.
b) zijn deze functies even of oneven?
•
f + g , f − g; f .g , f / g en bepaal hun
Stellen f en g dezelfde functie voor? Motiveer je antwoord.
f ( x) =
x−2
x +1
H Irrationale functies
g ( x) =
x−2
x +1
10