TAMSAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER
Olimpiyat sorularında sıkça karşılaştığımız tamsayı soruları için hangi çözüm yollarını
kullanabiliriz. Bu yazıda bunları derlemeye çalıştım.
1. MODÜLER ARİTMETİKTEN FAYDALANILIR
Örnek: 10x+12y=15 denklemini sağlayan kaç farklı (x,y) tamsayı çifti vardır?
Çözüm: 10x+12y=15 (mod12) ise 10x=3(mod12) olup (10,12)=2 fakat 2 bölmez 3
olduğundan bu denklemin çözümü yoktur.
Örnek: 2x+3y=1000 eşitliğini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: 2x+3y=1000 (mod3)
X=2(mod3) olup x=3k+2 dir. Diğer taraftan 2x<1000 olup x<500 dür.
3k+2<500 ise k<166 yani k=0,1,2,…165 dir. O halde çözüm kümesi 166 elemanlıdır.
Örnek: 208 ile sona eren ve 209 a bölünen en küçük pozitif tamsayının rakamları toplamı
kaçtır?
Çözüm: ….208=209.k
 1000n+208=11.19.k  1000n+208=11.19.k(mod11)  10n+10=0(mod11) 
n=10mod11)
1000n+208=11.19.k(mod19)  12n+18=0(mod19)  n=8(mod19)
Yani n=10(mod11) ve n=8(mod19) denkliklerini ortak çözeceğiz.
n=10(mod11) ise n=11k+10 bu eşitliği ikinci denklemde yerine yazalım.
11k+10=8(mod19)  11k=-2(mod19)  k=5(mod19)  k=19t+5 
n=11k+10=11(19t+5)+10
1
n=209t+65 yani en küçük n sayımız 65 olup istenen sayımız 65208 olur. Bu sayının rakamları
toplamı da ,
6+5+2+0+8=21 olur.
Örnek: 5x2+4y2=27 denkleminin tamsayılar da kaç (x,y) çözümü vardır?
Çözüm: 5x2+4y2=27(mod4)  x2=3(mod4) olur. Oysa mod4 te tam kareler 0 veya 1 dir. O
halde çözüm yoktur.
Örnek: (x+m)2+(x+2m)2+(x+3m)2+(x+4m)2=2009 denkleminin tamsayılar kümesinde
çözümlerini bulunuz.
Çözüm: Açıp düzenlersek; 4x2+20mx+30m2=2009(mod4)  2m2=1(mod4) Bu denkliğin
çözümü olmadığı için denkleminde tamsayılar da çözümü yoktur.
Örnek: x7-x=42y denklemini sağlayan kaç (x,y) tamsayı çifti vardır?
Çözüm: x7-x=42y(mod2)  x7=x(mod2)
X7=x(mod3)
X7=x(mod7) (fermat teoreminden) olduğundan ;
X7=x(mod42)  x7=x+42k  42k=42y  k=y olup sonsuz tane çözüm vardır.
Örnek: 6(x!+3)=y2+5 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) tam sayı çifti vardır?
Çözüm: 6(x!+3)=y2+5 (mod5)  x  5 için 3=y2 (mod5) olur. Ancak tam kareler mod5 te
0,1,4 olabilir yani bu şart altında çözüm yoktur o halde x<5 olur.
X=0 ve x=1 durumlarında 6.4=y2+5  y2=19 çözüm yoktur.
2
X=2  6.5=y2+5  y2=25  y=5 veya y=-5 olup çözümler (2,5) ve (2,-5) olur.
X=3  6. 9=y2+5  y2=49  y=7 veya y=-7 olup çözümler (3,7) ve (3,-7) olur.
X=4  6.27=y2+5  y2=157 olup çözüm yoktur.
O halde toplam dört çözüm vardır.
Örnek: y2=4x2+2 denkleminin tamsayılar kümesinde kaç (x,y) çözüm takımı vardır?
Çözüm: y2=4x2+2 (mod4) ise y2=2(mod4) olup bu imkansızdır. Yani çözüm yoktur.
Örnek: Bir karayolu üzerinde bir noktadan başlanarak yol kenarlarına 111’er metre arayla
palmiye ağacı dikiliyor. Daha sonra aynı noktadan başlanarak , 78’er metre arayla çam ağacı
dikiliyor. Herhangi iki ağacın arasındaki mesafe aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a)42
b)51
c)37
d)6
e) Hiçbiri
Çözüm: 111x-78y=k ise (111,78)=3 olduğundan 3/k olmalıdır. O halde 37 olamaz.
Örnek: x5-y2=4 denkleminin tamsayılarda kaç çözümü vardır?
Çözüm: x11=x(mod11) olduğundan x10={0,1} (mod11) olmalıdır. O halde
x5={0,1,-1} (mod11) elde edilir.
x5-4=y2 için x5-4={-4,-3,-5}={7,8,6}(mod11) dir.
y2={0,1,4,9,5,3} (mod11) olup bu eşitlik sağlanamaz. Çözüm yoktur.
Örnek: Kaç n doğal sayısı için 4 sayısı n2+2 toplamını böler?
Çözüm: n2+2=0(mod4) olmasını istiyoruz. n2=2(mod2) olur ancak bu imkansız olduğu için bu
şartı sağlayan n doğal sayısı yoktur.
3
Örnek: 121x+100y=10 denkleminin 1000 den küçük kaç tane pozitif x tamsayı değeri için y
tamsayı çözümü vardır?
Çözüm 1: 121x+100y=10 (mod100) ise 21x=10(mod100) ise 5.21x=50(mod100) ise
x=10(mod100)
X=10+100k olup k=0,1,…,9 yan 10 tane değer alabilir.(mod değerini seçerken birini
sıfırlamalı)
Çözüm2: 121x+100y=10
121=100.1+21
100=21.4+16
21=16.1+5
16=3.5+1
5=1.5+0 ise (121,100)=1 ise
1=16-3.5
1=16-3.(21-16)=4.16-3.21
1=4.(100-21.4)-3.21=4.100-19.21
1=4.100-19(121-100)=23.100-19.121
10=230.100-190.121
X=-190+100t ise t=2,3,…11 olup 10 tane değer alabilir.
Örnek: Bir mağaza tanesi 29 ve 33 lira olan iki çeşit oyuncaktan 2490 liralık sipariş veriyor.
Her birinden kaçar tane sipariş verildiğini bulunuz.
4
Çözüm: 29x+33y=2490 (mod29)
4y=25=-4(mod29)
Y=-1=28(mod29) olup y=28 , x=54 bulunur.Ayrıca y=28+29=57 ise x=21 elde edilir.
Başka bir çözüm yoktur.(y=28+2.29=86 için x negatiftir)
Örnek: 5x+17y=23 denkleminin tamsayılarda çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: 5x+17y=23 (mod5) ise 2y=3(mod5) ise y=4(mod5) y=5k+4
5x+85k+68=23 ise 5x=-45-85k ise x=-9-17k olup (-17k-9,5k+4) şeklinde çözümler
bulunur.
Örnek: 5x+8y=1001 eşitliğini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: 5x+8y=1001(mod5) ise 3y=1(mod5) ise y=2(mod5) ayrıca 8y<1001 ise y  125
Y=5k+2 ise k=0,1,2,…24 olabilir. Yani 25 tane çözüm vardır.
2.yol: 8=5.1+3
5=3.1+2
3=2.1+1
2=1.2+0 ise (8,5)=1
1=3-2=3-(5-3)=2.3-5
1=2(8-5)-5=2.8-3.5
1001=2002.8-3003.5 olup x=-3003+8t ve y=2002-5.t ise y nin pozitif olması için t=….
0,1,2,..,400
X in pozitif olması için t=376,377,…. Olabilir. Her ikisinde ortak olan t ler:376,377,…,400
olarak bulunur ki bunların da sayısı 25 tanedir.
5
Örnek: Hem iki hem üç ardışık pozitif tamsayının toplamı olarak yazılabilen sayılara tombul
sayılar diyelim. Örneğin 99=49+50=32+33+34 olduğundan tombul sayıdır. Buna göre 2008
den küçük kaç tane tombul sayı vardır?
Çözüm: Bu şartları sağlayan sayı x olsun. x=a+a+1 =b+b+1+b+2 olup ,
x=1(mod2) ve x=0(mod3) olur.
x=2k+1 ise 2k+1=0(mod3) ise k=1(mod3) ise k=3n+1 ise x=6n+3 olup n=1,2,3,..,334
olacağından 334 tane çözüm vardır.
Örnek: 3n-1=13k denklemini sağlayan 100 den küçük kaç tane n pozitif tam sayısı vardır?
Çözüm: 3n-1=13k ise 3n=1(mod13) ise 31=3, 32=9, 33=1 olduğundan n=3t olmalıdır.Yani
n=3,6,9,..,99 olup 33 tanedir.
Örnek: x2-3y2=17 denkleminin tamsayılar kümesinde kaç tane çözümü vardır?
Çözüm: x2-3y2=17 (mod3) ise x2=2(mod3) bulunur. Ancak bu imkansızdır yani çözüm
kümesi boş kümedir.
Örnek: 5x2-4y2=2007 denkleminin kaç tane tamsayı çözümü vardır?
Çözüm: 5x2-4y2=2007 (mod5) ise y2=2 (mod5) bu ise mümkün olmadığından çözüm kümesi
boş kümedir.
Örnek: x3+y4=22003 denkleminin pozitif tamsayılar da kaç tane çözümü vardır?
6
Çözüm: mod 13 te inceleme yapalım. Tam küpler 0,1,8,12,5 olabilir, dördüncü kuvvetler
0,1,3,9 olabilir.
22003=7(mod13) olduğundan {0,1,8,12,5}+{0,1,3,9}=7 yi sağlayacak iki değer bulunamadığı
için çözüm yoktur.
Örnek: x2+2y2+98z2=777….7 (2009 tane 7) denkleminin tamsayılar kümesinde kaç tane
(x,y,z) çözümü vardır?
Çözüm: x2+2y2+98z2=777….7 (mod7) ise x2+2y2=0(mod7) mod7 de tam kareler 0,1,4,2 dir.
{0,1,2,4}+{0,2,4}=0(mod7) olması ancak 0+0 ile mümkündür. O halde x=7k , y=7m bulunur.
Bunları denklemde yerine yazıp her iki tarafı 7 ile bölelim.
7k2+2.7m2+14z2=111…..1 (mod7) ise 2009 tane 1 var ve 6 nın katları kadar 1 varsa bu sayı 7
ile bölünür oysa 2009 sayısı 6 nın katı değil o halde 7 ye tam bölünemez oysa sol taraf 7 ye
tam bölünüyor o halde çözüm yoktur.
Örnek: 3x+4y=5z denklemini sağlayan kaç tane (x,y,z) pozitif tamsayı üçlüsü vardır?
Çözüm: 3x+4y=5z (mod3) ise 1=(-1)z (mod3) ise z=2k
3x+4y=25k ise 3x=(5k-2y).(5k+2y) ise 5k-2y=3a ve 5k+2y=3b ise 2.5k=3a+3b olur. Burada a ve
b ikisi de sıfırdan büyük olursa 2.5k=0(mod3) oluki bu mümkün değil o halde ikisinden biri 0
olmak zorundaki küçük olan yani a=0 olur.
5k-2y=1 elde ettik. 5k-2y=1(mod3) için (-1)k-(-1)y=1(mod3) olması ancak k tek ve y çift sayı
olmak şartı ile sağlanır. k=1 ,y=2 için bu eşitlik sağlanır. y>2 ise 5k-2y=1 (mod8) ise 50=1(mod8) doğru olmadığından y=2 olmak zorundadır. Bu durumda z=2k=2.1=2 olur. O
halde (2,2,2) bu denklemin tek çözümüdür.
Örnek: z2=(x2-1).(y2-1)+101 denklemini sağlayan kaç tane (x,y,z) tamsayı üçlüsü vardır?
7
Çözüm: Soruyu mod8 de inceleyelim. Mod8 de tam kareler 0,1,4 olabilir.
z2=(x2-1).(y2-1)+101 (mod8)
z2=(x2-1).(y2-1)+101 ={6,0,3}.{6,0,3}+5(mod8)
={6,5,2} (mod8) elde edilir ki tam karelerde bunlar mümkün değildir.
Denklemin çözümü yoktur.
Örnek: 3n+81=m2 denklemini sağlayan kaç tane (m,n) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: 3n+81=m2 (mod4)  (-1)n+1=m2(mod4) olup tam kareler 0 veya 1 olabilir. O halde
n tek sayıdır.
n=2k+1 olsun. 32k.3+81=m2  9k.3+81 =m2 (mod5)  (-1)k .3+1=m2(mod5)
Tam kareler mod5 te 0,1,4 olabilir. O halde k çift sayıdır.
k=2t olsun.
92t.3+81=m2  81.(81t-1.3+1)=m2 ise 81t-1.3+1=x2 olmalıdır.
34t-3=(x-1).(x+1) ise x-1=3a ve x+1=3b taraf tarafa çıkarırsak 2=3b-3a elde edilir ki buda
b=1 , a=0 için mümkündür.
X=2 ise t=1 ise k=2 ise n=5 ise m=18 bulunur. Tek çözüm (18,5) şeklindedir.
Örnek: x ve y tamsayıları için (5,x)=(5,y)=1 olmak üzere x4+y4 toplamını tam kare yapan kaç
(x,y) çözümü vardır?
Çözüm: x4+y4 =a2(mod5) için x4=1(mod5) olmalıdır(Çünkü x sayısı 5 in katı değil)
Bu durumda x4+y4 =2=a2(mod5) olur ki bu mümkün değildir yani (x,y) çözümü yoktur.
8
2.BASİT BÖLÜNEBİLME ÖZELLİKLERİ İLE ÇÖZÜLEBİLEN DENKLEMLER
ade da
e
e
iri
i
9
Çözüm: 11x+13y=4xy ise x(4y-11)=13y ise x=
13 y
ise 4y-11/13y ise
4 y  11
4y-11/4.13y-13.(4y-11)
4y-11/11.13 olup 4y-11=1,11,13,143,-1,-11,-13,-143 değerlerini alabilir. Buradan y=3,6,0,33 bulunur.
Y=3 için x=39 olup (39,3) bir çözümdür.
Y=6 için x=6 olup (6,6) bir çözümdür.
Y=0 için x=0 olup (0,0) bir çözümdür.
Y=-33 için x=3 olup (3,-33) bir çözümdür. Yani toplam 4 çözüm vardır.
Örnek: 3x2-2y2=1998 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) tamsayı çifti vardır?
Çözüm: 3/y  y=3k  3x2-2.9k2=1998  x2-6k2=666  x=6t 
36t2-6k2=666  6t2-k2=111  k=3n  6t2-9n2=111 
2t2-3n2=37 (mod3)
2t2=1(mod3)  t2=2 (mod3) bu ise mümkün olmadığından çözüm yoktur.
Örnek:
23x  8
17 x  41
ve
ifadelerinin her ikisini birden tamsayı yapan kaç tane x tamsayısı
9
6
vardır?
Çözüm: (9,6)=3 olup 3/23x-8 ve 3/17x+41 olmalıdır. Bu durumda 3/23(17x+41)-17(23x-8)
İse 23.41+17.8=0(mod3) olmalıdır. Ancak 2.2+2.2=2=0(mod3) olup bu şartları sağlayan x
tamsayısı yoktur.
10
3.TEKLİK-ÇİFTLİK VE ÇARPANLARINA AYIRARAK ÇÖZÜLEBİLEN
DENKLEMLER
Mümkünse ifadeler çarpanlarına ayrılır. Tek mi? Çift mi? Asal mı? durumları incelenir .
Örnek: x2=210+y2 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) tam sayı ikilisi vardır?
Çözüm: (x-y).(x+y)=210 =1.210
2.105
3.70
5.42
6.35
7.30
10.21
14.15
Ve bunların negatifleri çarpan olarak bulunur ancak x-y=a ve x+y=b ifadeleri toplandığın da
2x=a+b olup çift sayıdır. Oysa yukarıdaki bütün çarpanların toplamı tek sayıdır yani çözüm
yoktur.
Örnek: a3+a2b+ab2+b3=2001 denkleminin tamsayılar kümesinde çözümünün olmadığını
gösteriniz.
Çözüm: (a+b).(a2-ab+b2)+ab(a+b)=2001=1.3.23.29
(a+b)(a2+b2)=1.3.23.29
a2+b2=1 ise a+b=2001 olamaz.
a2+b2=3 tamsayılarda mümkün değildir.
a2+b2=23 tamsayılarda mümkün değildir.
11
a2+b2=29 ise a=2, b=5 olur ancak a+b=69 sağlamaz.
a2+b2=69 ise tamsayılarda mümkün değildir.
a2+b2=87 ise tamsayılarda mümkün değildir.
a2+b2=667 (mod4) ise a2+b2=3 (mod4) olup tamsayılarda mümkün değildir.
a2+b2=2001(mod3) olup tam kareler mod 3 te ya 0 yada 1 dir. Bu durumda,
a2+b2=0(mod3) olduğundan a ve b nin her ikisi de 3’ün katı olmalı.
3/a ve 3/b ise 9/a2 ve 9/b2 olup 9/2001 olmalıdır. Bu ise mümkün olmadığından bu
denklemin tam sayılarda çözümü yoktur.
O halde çözüm yoktur.
Örnek: (x2+1).(y2+1)+2(x-y)(1-xy)-4(1+xy)=0 denkleminin tamsayılarda çözüm kümesini
bulunuz.
Çözüm: x2y2+x2+y2+1+2x-2x2y-2y+2xy2-4-4xy=0 ise
x2y2-2xy+1+x2-2xy+y2+2x-2x2y-2y+2xy2-4=0
(xy-1)2+(x-y)2-2x(xy-1)+2y(xy-1)-4=0
(xy-1)2+(x-y)2-(xy-1).2.(x-y)=4
(xy-1-x+y)2=4 ise [x(y-1)+(y-1)]2=4 ise [(y-1)(x+1)]2=4
(x+1).(y-1)=2 veya -2 bulunur.
(x+1).(y-1)=2 ise x+1=2 , y-1=1 ise (x,y)=(1,2) bir çözümdür.
x+1=1 ,y-1=2 ise (x,y)=(0,3) bir çözümdür.
x+1=-1 , y-1=-2 ise (x,y)=(-2,-1) bir çözümdür.
x+1=-2 , y-1=-1 ise (x,y)=(-3,0) bir çözümdür.
(x+1).(y-1)=-2 ise x+1=-2 y-1=1 ise (x,y)=(-3,2) bir çözümdür.
x+1=2 , y-1=-1 ise (x,y)=(1,0) bir çözümdür.
x+1=1 , y-1=-2 ise (x,y)=(0,-1) bir çözümdür.
12
x+1=-1 , y-1=2 ise (x,y)=(-2,3) bir çözümdür.
Toplam 8 tane çözüm vardır.
Örnek: y2(x2+1)+x2(y2+16)=448 eşitliğini sağlayan kaç tane (x,y) tamsayı çifti vardır?
Çözüm: x2y2+y2+x2y2+16x2+8=448+8
2 x2y2+y2+16x2+8=456 ise y2(2x2+1)+8(2x2+1)=23.3.19  (2x2+1).(y2+8)= 23.3.19 olup 2x2+1
çarpanı tek sayı olduğundan 1,3,19,57 olabilir.
2x2+1=1  x=0  y2+8=456  y2=448  y Z
2x2+1=3  x= 1  y2+8=152  y2=144  y= 12 olup (1,12),(1,-12),(-1,12),(-1,-12) birer
çözümdür.
2x2+1=19  x= 3  y2+8=24  y2=16  y= 4 olup (3,4),(3,-4),(-3,4),(-3,-4) birer çözümdür.
2x2+1=57  x  Z olup çözüm yoktur. Toplam 8 tane çözüm vardır.
6
2
Örnek: x  y 60 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) tamsayı çifti vardır?
6
2
Çözüm: x  y  60
x
3
 y  x3  y   60 ise
x3  y =a ve x3  y =b ise 2x3=a+b=çift sayı olacağından 60 ın iki
çarpanı da çift olmalı(60 çift sayı olduğu için iki çarpanı da tek olamaz)
Bu durumda çarpanlar 2.30,6.10, (-2).(-30) ve (-6).(-10) olur.
x3  y =2
3
ve x  y =30 ise 2x3=32 ise x3=16 olup tamsayılar da çözümü yoktur.
x3  y =6
3
ve x  y =10 ise 2x3=16 ise x3=8 ise x=2 ise y=2 olup (2,2) bir çözümdür.
x3  y =10 ve x3  y =6 ise 2x3=16 ise x3=8 ise x=2 ise y=-2 olup (2,-2) bir çözümdür.
x3  y =-2
3
ve x  y =-30 ise 2x3=-32 ise x3=-16 ise tamsayılar da çözüm yoktur.
13
x3  y =-6
3
ve x  y =-10 ise 2x3=-16 ise x3=-8 ise x=-2 ise y=-2 olup (-2,-2) bir
çözümdür.
x3  y =-10
3
ve x  y =-6 ise 2x3=-16 ise x3=-8 ise x=-2 ise y=2 olup (-2,2) bir çözümdür.
Toplam 4 çözüm vardır.
Örnek: x2(y-1)+y2(x-1)=1 denklemini sağlayan tüm (x,y) tamsayı ikililerini bulunuz.
Çözüm: x2y-x2+y2x-y2-1=0 ise xy(x+y)-(x2+y2)=1 ve x+y=a , xy=b diyelim.
b.a-(a2-2b)=1 ise ab-a2+2b=1 ise b(a+2)-a2+4=1+4
(a+2)(b-a+2)=5 ise a+2=1 ise b-a+2=5 olup a=-1, b=2 ise x+y=-1 xy=2 olup çözüm
yoktur.
a+2=-1 ve b-a+2=-5 ise a=-3 , b=-10 ise x+y=-3 ,xy=-10 ise (x,y)=(2,-5),(-5,2) bulunur.
a+2=5 ve b-a+2=1 ise a=3 , b=2 ise x+y=3 , xy=2 ise (1,2),(2,1) birer çözümdür.
a+2=-5 ve b-a+2=-1 ise a=-7 , b=-10 ise x+y=-7 , xy=-10 çözüm yoktur.
Bu durumda çözümler (2,-5),(-5,2) , (1,2),(2,1) olarak bulunur.
Örnek: 2xy+3y2=24 denkleminin tamsayılar kümesinde kaç tane çözümü vardır?
Çözüm: y çift olmak zorunda olup y=2k olsun.
2.x.2k+3.4k2=24 ise x.k+3k2=6 olup k/6 dır .O halde k=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6 olabilir. Bu k
değerlerinin her biri için x tamsayı şartını sağladığından 8 tane çözüm vardır.
Örnek: x ve y tamsayılar olmak üzere x2+6xy+8y2+3x+6y=2 denkleminin çözümlerini
bulunuz.
14
Çözüm: x2+6xy+8y2+3x+6y=2 ise (x+2y)(x+4y)+3(x+2y)=2 ise
(x+2y)(x+4y+3)=2 ise
x+2y=2 ve x+4y+3=1  x+4y=-2  y=-2 , x=6 olup (6,-2) bir çözümdür.
x+2y=1 ve x+4y+3=2  x+4y=-1  y=-1 , x=3 olup (3,-1) bir çözümdür.
x+2y=-1 ve x+4y+3=-2  x+4y=-5  y=-2 , x=3 olup (3,-2) bir çözümdür.
x+2y=-2 ve x+4y+3=-1  x+4y=-4  y=-1 , x=0 olup (0,-1) bir çözümdür.
Örnek: x2+y2+z2=2xyz denkleminin tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?
Çözüm: x,y,z nin üçü de tek sayı olamaz. Bir tanesi tek ikisi çift veya üçü de çift olmalıdır.
X=2k olsun,
4k2+y2+z2=2.2k.y.z (mod4) ise y2+z2=0(mod4) elde edilir ancak mod4 te kareler 0 ve 1
olacağı için toplamın 0 olması ancak ikisinin de 0 olması ile mümkündür bu da y ve z nin de
çift olması demektir.
Y=2t, z=2m olsun.
4k2+4t2+4m2=2.2k.2t.2m ise k2+t2+m2=4ktm bu ise başlangıç denklemimiz ile aynı yani
benzer şekilde k,t,m çift olmalı .Bu sonsuza kadar sürdürülemeyeceği için (0,0,0) haricinde
çözüm yoktur.
Örnek: x2+615=2y denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tam sayı çifti vardır?
Çözüm: Burada x tek sayıdır. Y nin de tek olduğunu kabul edelim, y=2k+1 olsun,
x2+615=22k.2=4k.2 (mod3) ise x2=2(mod3) olur ki bu mümkün değildir.
O halde y=2k olmalıdır.
x2+615=22k ise 615=(2k-x).(2k+x) ise (2k-x).(2k+x) =3.5.41=1.615 veya 3.205 veya 5.123
veya 41.15
15
2.2k=616 ,208, 128,56 olabilir. 2k=308 tamsayılarda çözümü yoktur, 2k=104 tamsayılarda
çözüm yoktur,
2k=64 ise k=6 ise y=12 ise x=59 çözümdür.
2k =28 tamsayılarda çözüm yoktur.
O halde tek çözüm (59,12) dir.
Örnek: x3+y3=830 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: (x+y).(x2-xy+y2)=830 ifadesinde x ve y tek ise x2-xy+y2 de tek olur ancak 830
ifadesinde tek asal çarpan 2 olup tak sayı olan asal çarpan yoktur. O halde her iki çarpanda
çifttir.
x=2k, y=2m olsun. 8k3+8m3=830 ise k3+m3=829 benzer şekilde k ve m çift olmak zorunda
olduğundan,
t3+n3=1 oluncaya kadar devam eder ve burada t=1, n=0 veya t=0, n=1 elde edilir. Yani
(0,830),(830,0) çözümleri elde edilir.
Örnek:
1 1
1
 
denklemini sağlayan kaç tane pozitif tamsayı ikilisi vardır?
x y 1999
Çözüm: 1999x+1999y=xy ise 1999x+1999y-xy-19992=-19992
x(1999-y)-1999(1999-y)=-19992 ise (1999-y)(x-1999)=-19992
(y-1999)(x-1999)=19992 olup pozitif tamsayılarda 2+1=3 tane çözümü vardır.
2.yol:
1 1
1
 
ise 1999x+1999y=xy 1999/x veya 1999/y dir.
x y 1999
Simetriden dolayı y=1999k alabiliriz.
1999x+1999.1999k=1999k.x ise x+1999k=k.x ise x(k-1)=1999k ise x 
1999k
elde edilir.
k 1
Buradan,
16
x
1999k  1999  1999
1999
olup x  1999 
bulunur. Bu durumda k=2000,2 ve x=2000,3998
k 1
k 1
ve y=3998000, 3998 olabilir. Denklem simetrik olduğu için;
(2000,3998000),(3998,3998),(3998000,2000) birer çözümdür.
Örnek: (xy-7)2=x2+y2 denkleminin doğal sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: x2y2-14xy+49=(x+y)2-2xy ve x+y=a , xy=b olsun.
b2-14b+49=a2-2b ise b2-12b+49-a2=0 ise (b-6)2-a2+13=0 elde edilir. Buradan da ,
a2-(b-6)2=13 ise (a-b+6)(a+b-6)=13 olup ;
a-b+6=1 a+b-6=13 ise a-b=-5 a+b=19 ise a=7 , b=12 ise x+y=7 xy=12 ise (4,3),(3,4) birer
çözümdür.
a-b+6=13 a+b-6=1 ise a-b=7 a+b=7 ise a=7 , b=0 bulunur. x+y=7 x.y=0 ise (7,0),(0,7)
birer çözümdür.
a-b+6=-1 a+b-6=-13 ise a-b=-7 a+b=-7 ise a=-7 olurki doğal sayılarda x+y=-7 çözüm
olamaz.
a-b+6=-13 a+b-6=-1 ise a-b=-19 a+b=5 ise a=-7 ,x+y=-7 doğal sayılarda çözüm olamaz.
Yani doğal sayılarda 4 tane çözüm vardır.
Örnek: x,y,z sayıları asal ise x2+y3=z4 denkleminin kaç tane (x,y,z) çözümü vardır?
Çözüm: Bu asal sayıların üçü de tek olamaz.
Z=2 ise x2+y3=16 için asal sayılarda çözüm yoktur.
X=2 ise 4+y3=z4 (mod3) alırsak 1+{1,2}={1} (mod3) olduğundan çözüm yoktur.(veya y3=(z22).(z2+2)=y.y2 ise 4=y2-y bulunur ki pozitif tamsayılarda çözüm yoktur)
Y=2 ise x2+8=z4(mod3) ise 1+2=1(mod3) imkansız olduğundan çözüm yoktur.(veya 8=(z2x)(z2+x) =2.4
İse z2=3 olup tamsayılarda çözüm yoktur.)
O halde denklemin çözümü yoktur.
17
4.BÜYÜKLÜK-KÜÇÜKLÜK DURUMLARINI İNCELEMEK VE SINIRLAMAK
Bazı sorularda değişkenlerde değiştirilerek belli bir sınırlama yapılarak çözüme ulaşılır.
Bazen büyüklük küçüklük durumları da soru çözümüne önemli katkılar sağlar.
Örnek: n pozitif tamsayısı için n3+7n-133 ifadesi pozitif bir tamsayının küpü oluyorsa , n
sayısına iyi sayı diyelim. Tüm iyi sayıların toplamını bulunuz.
Çözüm: n3+7n-133=m3
n=m olabilir. Bu durumda 7n=133 olup n=19 bulunur.
m>n olabilir. Bu durumda m  n  1 olur. O halde n3+7n-133  n3+3n2+3n+1
3n2-4n+134  0 olup  <0 olduğundan çözüm yoktur.
m<n olabilir. Bu durumda m  n  1 olabilir.
n3+7n-133  n3-3n2+3n-1 ise 3n2+4n-132  0
(3n+22).(n-6)  0 bulunur. O halde n=1,2,3,4,5,6 olabilir. Ancak n=1,2,3,4 için m3<0
olduğundan n=5 ve n=6 olabilir.
n=5 ise m3=125+35-133=27 olup m=3 bulunur.
n=6 ise m3=216+42-133=125 ise m=5 bulunur.
O halde iyi sayılar n=19,5,6 olarak bulunur, bunların toplamı da 30 olur.
Örnek: x3-y3=xy+61 denkleminin pozitif tamsayılar da kaç tane kökü vardır?
Çözüm: (x-y).(x2+xy+y2)=xy+61 ifadesinde x-y=a ve xy=b dönüşümü yapalım.
X2+y2=(x-y)2+2xy ise a.(a2+3b)=b+61 ise a3+3ab=b+61 ve pozitif tamsayılarda çalıştığımız için
3ab>b olup a3<61 olmalıdır. O halde a=1,2,3 olabilir.
a=1 ise b=30 olup x-y=1 ve xy=30 yani (6,5) bir çözümdür.
a=2 ise b=
53
olup tamsayılar da çözümü yoktur.
5
18
a=3 ise b=
17
olup tamsayılar da çözümü yoktur.
4
O halde tek çözüm (6,5) bulunur.
Örnek: y bir asal sayı ve z sayısı 3 ve y’ye tam bölünmeyen bir pozitif tamsayı ise x3-y3=z2
denkleminin kaç tane (x,y,z) pozitif tamsayı çözümü vardır?
Çözüm: (x-y).(x2+xy+y2)=z2
(x,y)=1 veya y asal sayı olduğundan x=y.k şeklindedir. Ancak x=y.k ise y/x ve y/y olduğundan
y/z olurki bu verilerle çelişir. O halde(x,y)=1 dir.
(x,y)=1 ise (x-y,xy)=1 dir.
x-y=a ve xy=b olsun. (a,b)=1 dir.
Z2=a(a2+3b) olup a sayısı 3’ün katı değilse (a, a2+3b)=1 olur. 3’ün katı ise (a, a2+3b)=3 olur.
Ancak o zaman 3/z olur ki bu da verilerle çelişir. O halde (a, a2+3b)=1 olmak zorundadır. Bu
ise aralarında asal iki sayının çarpımının tam kare olması demektir. Bu ise ancak iki çarpanın
da tam kare olması ile mümkündür.
a=x-y=t2
a2+3b=x2+xy+y2=p2 olmalı oysa bu ikinci denklem x,y pozitif tamsayıları için tam kare
olamaz. O halde pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
Örnek: 5x2+4y2=61 denkleminin tamsayılarda kaç çözümü vardır?
Çözüm: 5x2+4y2=61(mod4)
X2=1(mod4) ise x=1(mod4) veya x=3(mod4) olur. O halde x=4k+1 veya x=4k+3 elde edilir.
Ayrıca x2,y2  0 olduğundan 5x2  61 ise x2  12 ise x  3 olup x=1 veya x=3 veya x=-1 veya
x=-3 olur.
X=1veya -1 ise y  Z olup çözüm yoktur.
X=3 veya -3 ise y=2 veya -2 olur. O halde çözümler (3,2),(3,-2),(-3,2),(-3,-2) olup 4 tanedir.
19
Örnek: 6x2+5y2=230 denkleminin tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?
Çözüm: 6x2+5y2=230 (mod5)
X2=0(mod5) x=0(mod5) ise x=5k bulunur.
Ayrıca x2,y2  0 olduğundan 6x2  230 ise x2  38 olup x  6 bulunur. O halde x=-5,0,5
olabilir.
X=0 ise y2=46 ise y  Z
X=-5 veya 5 ise y2=16 olup y=4 veya -4 bulunur. Yani (-5,-4),(-5,4),(5,-4),(5,4) birer
çözümdür.
Örnek: 2xy-y=2007 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı çifti vardır?
Çözüm: 2xy=2007+y=çift sayı ise y tek sayıdır.
X=1 ise y negatif tamsayı olacağından çözüm yoktur.
X=2 ise 2.210>2007+10 olduğundan y<10 bulunur. O halde y=1,3,5,7,9 olabilir.
Y=1 ise x=1004 olup (1004,1) bir çözümdür.
Y=3 ise 2.x3=2010 ise x3=1005 olup tamsayılarda çözüm yoktur.
Y=5 ise x5=1006 olup tamsayılarda çözüm yoktur.
Y=7 ise x7=1007 olup tamsayılarda çözüm yoktur.
Y=9 ise x9=1008 olup tamsayılarda çözüm yoktur.
O halde tek çözüm (1004,1) çözümüdür.
Örnek: 2x.(4-x)=2x+4 denkleminin kaç tane tamsayı çözümü vardır?
Çözüm: 2 x 
2x  4
 0 olduğundan x sayısı -2 ile 4 arasındaki değerleri alabilir. Yani x=4 x
1,0,1,2,3 olabilir.
20
Bu değerleri yerine koyarsak x=0,1,2 sağlar . O halde 3 tane çözüm vardır.
Örnek: xy+1=y(x+1) eşitliğini sağlayan kaç tane (x,y)pozitif tam sayı çifti vardır?
Çözüm: x=1 ise 2=y.2 den y=1 olup (1,1) bir çözümdür.
X=2 ise 2y+1=3y (mod3) alalım. 2y=2(mod3) ise 2y-1=1(mod3) olup y=1+2k bulunur. O halde
(2,1) bir çözümdür. y=3 ün de bir çözüm olduğu görülür. (2,3) çözümdür.y>4 ise 2y+1>3y
olduğundan başka çözüm yoktur.
X=3 ise 3y+1=4y (mod4) ise (-1)y=3(mod4) ise y tek sayıdır. Y=1 ise eşitlik sağlanır. Y>1 ise
3y+1>4y olacağından (3,1) dışında başka çözüm yoktur.
X=4 ise 4y+1=5y ise y=1 eşitliği sağlar yani (4,1) bir çözümdür. y>1 için 4y+1>5y olacağından
başka çözüm yoktur.
Bu şekilde y=1 için bütün x değerlerinin eşitliği sağladığı zaten görülüyor. Y>1 için ise
sağlayan başka değer yoktur. Ancak y=1 için sonsuz sayıda çözüm vardır.
Örnek: 10(m+n)=mn denkleminin pozitif tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?
Çözüm: 10m+10n-mn=0 ise m(10-n)+10n-100=-100 ise (10-n).(m-10)=-100 ise (n-10).(m10)=100=22.52
Olup pozitif tam bölen sayısı 3.3=9 tanedir. (burada negatif çarpanların şartları sağlamadığı
mutlaka görülmelidir, çözüm sayısını doğrudan 9 diyemeyiz)
Örnek: 4m(m+1)=n(n+1) eşitliğini sağlayan kaç tane (m,n) pozitif tamsayı çifti vardır?
Çözüm: 4m2+4m=n2+n eşitliğinde;
n=2m ise 4m2+4m=4m2+2m olup m=0 bulunur ancak pozitif tamsayılar da çözüm yoktur.
n>2m ise n  2m  1 için 4m2+4m  (2m+1)2+2m+1=4m2+4m+1+2m+1 ise 2m+2  0 olup pozitif
tamsayılar kümesinde çözüm yoktur.
21
n<2m ise n  2m  1 olup 4m2+4m  (2m-1)2+2m-1=4m2-4m+1+2m-1 ise 6m  0 bulunur
ancak pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
O halde çözüm kümesi boş kümedir.
2.yol: 4m2+4m=n2+n ise 4m2+4m+1=n2+n+1 eşitliğinde sol taraf tam karedir. Ancak sağ
tarafta n pozitif tamsayıları için n2<n2+n+1<n2+2n+1=(n+1)2 olup tam kare olamaz. O halde
çözüm kümesi boş kümedir.
Örnek: 2xy-3y=194 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı çifti vardır?
Çözüm: x=1 ise çözüm yoktur. x>1 ise , 2.2y=194+3y ise y>6 için 2.xy>194+3y olur. Ayrıca y
nin çift olduğu da açık olduğundan y=2,4,6 için çözüm var mı diye bakalım.
Y=2 için 2x2=200 ise x2=100 ise x=10 olup (10,2) bir çözümdür.
y=4 için 2x4=206 ise x4=103 tamsayılarda çözüm yoktur.
y=6 için 2x6=212 ise x6=106 tamsayılarda çözüm yoktur.
O halde denklemin tek çözümü vardır.
Örnek:
3x  5 x
 y denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
3 x 1  5 x 1
Çözüm: 3.(3x-1+5x-1)< 3x + 5x <5.(3x-1+5x-1)
İse 3x + 5x=4(3x-1+5x-1) ise 3x-1=5x-1 ise x=1 olmalıdır. Bu durumda y=4 olur. Yani tek çözüm
(1,4) bulunur.
22
5.TAM KARE-TAM KÜP SORULARI
Genel olarak modüler aritmetik ve çarpanlara ayırmadan yararlanılır. Ayrıca çarpanların
aralarında asal olup olmadığına dikkat edilmelidir,eğer aralarında asal ise çarpanların her
biri tam kare sorularında tam kare ,
veya tam küp sorularında tam küp olmalıdır.
Örnek: a2+b=b1999 denklemini sağlayan kaç tane (a,b) tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: a2=b.(b1998-1) olup b>1 için (b,b1998-1)=1 olduğundan b ve b1998-1 sayıları ayrı ayrı
tam kare olmalıdır. Ancak b1998 zaten tam kare olduğu için b1998-1 sayısı tam kare olamaz. O
halde b=1 için a=0 yani (0,1) bir çözümdür. b=0 için a=0 yani (0,0) bir çözümdür. b=-1 ise
a=0 yani (0,-1) bir çözümdür. b<-1 ise a2<0 olacağından çözüm yoktur. O halde denklemin
(0,1),(0,0),(0,-1) olmak üzere üç çözümü vardır.
Örnek: x3+y3=(x+y)2 denkleminin çözümü olan (x,y) tamsayı ikililerini bulunuz.
Çözüm: x=-y için sonsuz tane çözüm vardır.
2
2
x  y ise (x+y)(x -xy+y )=(x+y)
2
ise x2-xy+y2-x-y=0 Her iki tarafı 2 ile genişletip
düzenleyelim,
(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2 olup -1<x,y<3 olmak zorundadır. Bu durumda çözümler ,
(0,0),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2) olup 6 tanedir.
Örnek: m,n pozitif tamsayılar olmak üzere 2001m2+m=2002n2+n eşitliğ sağlandığına göre
m-n sayısının tam kare olduğunu gösteriniz.
İspat: 2001m2+m-2001n2-n=n2
2001(m-n).(m+n)+m-n=n2
23
(2001m+2001n+1).(m-n)=n2
P asal sayısı için p/m-n ise p/n2 olup p/n olur. O halde p/m-n ve p/n ise p/m elde edilir. Bu
durumda
p/2001m+2001n olacağından p sayısı 2001m+2001n+1 sayısını bölemez. O halde (m-n,
2001m+2001n+1)=1
olup bu ifadeler ayrı ayrı tam karedir. Yani m-n=x2 ,2001m+2001n+1=y2 şeklindedir.
Örnek: n2+2009n sayısı tam kare olacak şekilde en büyük n pozitif tamsayısı kaçtır?
Çözüm: n(n+2009)=x2 olup (n,n+2009)=1 ise n=a2, n+2009=b2 olup b2-a2=2009 olur.
b-a=1 ve b+a=2009 için b=1005 ve a=1004 bulunur. En büyük n değeri n=10042 bulunur.
(n,n+2009)=1 olmazsa elde edilecek n sayısı küçülür. n=7k olsa;
X=7m olur. 7k(7k+7.287)=49m2 ise k(k+287)=m2 olup (k,k+87)=1 ise k=t2 ve k+287=r2 iser2t2=287
r-t=1 , r+t=287 olup r=144, t=143 bulunur. O halde k=1432 ise n=7.1432<10042 olur.
2.yol:n2+2009n=(n+k)2=n2+2nk+k2
k2
n
ise 2k<2009 ise k<1005 ise k en fazla 1004 olabileceğinden n=10042
2009  2k
bulunur.
Örnek: Aşağıdaki sayılardan hangisi tam kare olamaz?
a)3n2-3n+3
b) 4n2+4n+4 c) 5n2-5n-5 d) 7n2-7n+7 e) 11n2+11n-11
Çözüm: 3(n2-n+1)=x2 ise 3/n2-n+1 olmalı. n2-n+1=0(mod3) olmalı ki n=2 bunu sağlar.
4(n2+n+1) =x2 ise n2+n+1 ifadesi tam kare olmalı çünkü 4 zaten tam karedir.
Ancak n2< n2+n+1<(n+1)2= n2+2n+1 olduğundan ardışık iki tam kare arasında başka bir tam
kare olamayacağından çözüm yoktur.
24
Örnek: Negatif olmayan tamsayılar kümesinde x3+2y3=4z3 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
Çözüm: x in çift olması gerektiği açık. x=2k olsun.
8k3+2y3=4z3 ise 4k3+y3=2z3 ise y çift sayıdır. Y=2m olsun.
4k3+8m3=2z3 ise 2k3+4m3=z3 ise z çift olmak zorunda. Z=2n olsun.
2k3+4m3=8n3 ise k3+2m3=4n3 olup tekrar başa döndük bu işlem sonsuz defa yapılabileceği
için fermatın sonsuza indirgeme metodu gereği bu denklemin tek çözümü (0,0,0) olur.
Örnek: c pozitif tamsayı olmak üzere 1 ile 100 arasında c2+5c+6 formunda kaç tane tam kare
sayı vardır?
Çözüm: (c+2)2< c2+5c+6<(c+3)2 olduğundan çözüm yoktur.
Örnek: 11 tane 1 ile başlayan 20 basamaklı bir sayının tam kare olamayacağını ispatlayınız.
Çözüm: 11…1a1a2…a9
109.111…1+ a1a2…a9=A olsun,
109.111…1  A  109.111….1+109
109.
1
1
1
.9999…9=109. .(1011-1)  A  109. (1011-1)+109
9
9
9
1020-109  9A  1020 -109+9.109
(1010-1)2<1020-109  9A  1020 +8.109<(1010+1)2 olduğundan 9A=(1010)2 olabilir. Ancak;
9A=1020 (mod9) ise 0=1(mod9) olur ki bu da A sayısının tam kare olamayacağını gösterir.
25
Örnek: n4+n3+1 ifadesi tam kare olacak şekilde tüm n pozitif tamsayıları nı bulunuz.
Çözüm: n4+n3+1 ifadesi tam kare ise (n2+1)2 olabilir. Bu durum da ,
n4+n3+1=n4+2n2+1 olup n2(n-2)=0 yani n=0 ve n=2 ancak pozitif tamsayılarda tek çözüm n=2
bulunur.
(Burada (n2+n+1)2> n4+n3+1 olduğuna dikkat edilmelidir.)
Örnek: 2006 sayısının 10 tane tek tamsayının kareleri toplamı şeklinde yazılamayacağını
gösteriniz.
Çözüm: Tek tamsayıların kareleri mod8 de daima 1 dir. O halde 10 tanesinin toplamı 10
olur.2006=10(mod8) olmalı. Ancak 6=2(mod8) olacağından çözüm yoktur.
Örnek: 3k2+3k-4 ve 7k2-3k+1 sayılarının toplamını tam kare yapan k doğal sayılarını
bulunuz.
Çözüm: 10k2-3=x2(mod10) ise 7=x2(mod 10) Bu ise mümkün değil çünkü mod 10 da hiçbir
sayının karesi 7 yapmaz.
Örnek: 1+5n+6n sayısının pozitif n tamsayıları için tam kare olamayacağını gösteriniz.
Çözüm: 1+5n+6n =x2 (mod5) ise 2=x2(mod5) olur ki bu mümkün değildir. O halde çözüm
yoktur.
Örnek: n+20 ve n-21 sayılarını aynı anda tam kare yapan n doğal sayılarını bulunuz.
26
Çözüm: n+20=a2 ve n-21=b2 ise a2-b2=41 olup a-b=1 ve a+b=41 den a=21 ve b=20 bulunur.
O halde n=421 bulunur.
Örnek: 1!.2!.3!.....9! sayısının kaç tane pozitif tam kare böleni vardır?
Çözüm: 1!.2!.3!.....9! =230.313.55.73=(22)15.(32)6.(52)2.(72)1.(3.5.7)
Sadece karelileri alırız. Pozitif tam bölen sayısı 16.7.3.2=672
Örnek: 1!+2!+3!+…+n! Sayısını tam kare yapan tüm pozitif n tamsayılarını bulunuz.
Çözüm: n  5 için;
A=1!+2!+3!+…+n! =3=x2(mod5) bu ise mümkün değil. O halde n=1,2,3,4 için bakalım.
n=1 ise A=1 olup tam karedir.
n=2 ise A=3 olup tam kare olmaz.
n=3 ise A=9 olup tam karedir.
n=4 ise A=33 olup tam kare değildir.
Örnek: 13p+1 sayısını tam kare yapan p asal sayılarını bulunuz.
Çözüm: 13p=(x-1)(x+1)=1.13p ise x=2 olup 3=13p çözüm yoktur.
13.p ise x=14 ise p=15 asal değil.
p.13 ise x=12 ise p=11 sağlar.
Negatif çarpanlar sağlamaz o halde tek çözüm p=11 elde edilir.
Örnek: Ardışık 17 tane pozitif tam sayının toplamı bir tam kare olduğuna göre bu sayıların
toplamı en az kaçtır?
27
Çözüm: x-8,x-7,….,x+7,x+8 olup toplamı 17x olur. 17x=y2 ise x en az 17 olur. O halde sayılar,
9,10,…,25 olup toplamları289 olur.
Örnek: n!+5 sayısını tam küp yapan n pozitif tamsayılarını bulunuz.
Çözüm: n!+5=0(mod5) olup işimize yaramaz çünkü mod ile olamayacakları bulmalıyız.
3
n  7 için n!+5=5=x (mod7) bu ise mümkün değildir. Bir tam sayının küpü mod 7 de 0,1,6
olabilir.
n=1,2,3,4,6 sağlamaz sadece n=5 için 125=x3 sağlanır.
Örnek: x,x+3,x+6,x+9,x+12 sayılarının toplamını tam küp yapan en küçük pozitif x tamsayısı
kaçtır?
Çözüm: 5x+30=y3 ise 5(x+6)=y3 ise 5/y3 ise 125/y3 olmalıdır.O halde x=19 bulunur.
Örnek: a,b tamsayı olmak üzere,
n2=a+b , n3=a2+b2 eşitliklerini sağlayan , negatif olmayan tüm n tamsayılarını bulunuz.
Çözüm: (a-b)2  0 olup , a2+b2  2ab dir. Her iki tarafa a2+b2 ekleyelim, 2(a2+b2)  (a+b)2
2n3  n4 olup n  2 bulunur.
n=0,1,2 olabilir.
n=0 ise a=b=0,
n=1 ise a=1,b=0
n=2 ise a=2, b=2 seçilebilir.
28
Örnek: 1,2,3,4,….,500 dizisinde tam kare veya tam küp olmayan kaç tane sayı vardır?
Çözüm: tam kare olanlar: 222=484, 232=529 olduğundan 22 tanedir.
Tam küp olanlar: 73=343 , 83=512 olduğundan 7 tanedir.
Hem tam kare hem tam küp olanlar: 26=64 , 36=729 olduğundan 2 tanedir.
O halde tam kare veya tam küp olan 22+7-2=27 sayı vardır. Olmayan 500-27=473 tanedir.
Örnek: 2 katı tam kare, 3 katı tam küp, 5 katı 5. Kuvvet olan kaç tam sayı bulunabilir?
Çözüm: Bu ayı A olsun. 2 katı tam kare ise A sayısı 2 çarpanına, 3 katı tam küp ise 3
çarpanına, 5 katı 5. Kuvvetten ise 5 çarpanına sahiptir.
O halde, A=2a.3b.5c şeklindedir.
2A tam kare ise a+1,b,c=0(mod2)
3A tam küp ise a,b+1,c=0(mod3)
5A beşinci kuvvet ise: a,b,c+1=0(mod5)
Şartları sağlanmalıdır. Bu durumda ;
a=0 (mod5) , a=0(mod3) , a=1(mod2)
ilk iki denklikten a=15k gelir. Üçüncü denklikte yerine yazarsak: 15k=1(mod2) olup
k=1(mod2) olur.
O halde k=2t+1 olup a=15(2t+1)=30t+15 elde edilir yani a nın en küçük değeri 15 olur.
Benzer şekilde b=20 , c=24 bulunur. O halde A=215.320.524.n30 (n doğal sayı) formatından
sonsuz tane sayı üretilebilir.
Örnek: Öyle bir n tamsayısı bulunuz ki
n
n
n
tam kare, tam küp, 5. Kuvvet olsun.
2
3
5
29
Çözüm: n sayısı 2,3,5 çarpanına sahiptir.
n=2a.3b.5c ise a-1,b,c sayıları 2 nin katı, a,b-1,c sayıları 3 ün katı, a,b,c-1 sayıları 5 in katı
olmalıdır.
Bu durumda a=15, b=10 , c=6 en küçük pozitif değerleri bulunur.
n=215.310.56.k30 (k doğal sayı) şeklinde sonsuz tane sayı bulunabilir.
Örnek: x2+(x+1)2=y4+(y+1)4 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: x2+x2+2x+1=y4+y4+4y3+6y2+4y+1 olup 2 ile sadeleştirirsek,
X2+x=y4+2y3+3y2+2y her iki tarafa 1 ekleyelim.
X2+x+1=y4+2y3+3y2+2y +1
x2+x+1=(y2+y+1)2 olup sağ taraf tam karedir. Şimdi sol tarafa bakalım.
x2<x2+x+1<x2+2x+1=(x+1)2 ancak ardışık iki tam kare arasında başka tam kare
olamayacağından pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
Örnek: n pozitif tamsayı olmak üzere , 2+2 28n 2  1 =m denklemini sağlayan m
tamsayılarından kaç tanesi tam kare değildir?
Çözüm: 2+2 28n 2  1 =m olduğundan 2/m dir. m=2k olsun,
2 28n 2  1 =2k-2 ise 28n2+1=(k-1)2=k2-2k+1 ise 28n2=k(k-2) elde edilir. Sol taraf çift
olduğundan sağ taraf ta çift olmalıdır. Bu da k nın çift olması ile mümkündür. k=2x olsun.
28n2=2x(2x-2) ise 7n2=x(x-1) ve (x,x-1)=1 olduğundan x=7a2, x-1=b2 veya x=a2, x-1=7b2
olabilir.
X=7a2 ise x-1=7a2-1=b2(mod7) alırsak b2=6(mod7) olur ki bu mümkün değildir.
O halde x=a2 x-1=7b2=a2-1 olup şartları sağlar. O halde x=a2 olup k=2a2 ise m=2.2a2=(2a)2
elde edilir ki bu da şartları sağlayan bütün m değerlerinin tam kare olduğunu gösterir.
30
Örnek: x3+3 = 4y(y+1) denklemini sağlayan kaç tane (x,y) tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: x3+4=4y2+4y+1=(2y+1)2 ise x3=(2y+1-2)(2y+1+2)=(2y-1)(2y+3) şimdi bunların
ebobunu kontrol edelim.
(2y-1,2y+3)=(2y-1,4)=1 o halde bunlar ayrı ayrı tam küp olmalıdır.
a3=2y+3 ve b3=2y-1 ise a3-b3=4 ancak iki küp farkı 4 yapamaz. O halde çözüm yoktur.
Örnek: n2-19n+89 sayısı tam kare olacak şekilde kaç tane pozitif n tamsayısı vardır?
Çözüm: A=n2-19n+89 olsun (n-10)2=n2-20n+100=n2-19n+89+(11-n) ifadesi n>11 için bu
ifade A sayısından daha küçüktür. (n-10)2<A ,n>11
(n-9)2=n2-18n+81=n2-19n+89+(n-8) ifadesi n>8 için A dan daha büyük olur. A<(n-9)2 elde
edilir.
(n-10)2 <A<(n-9)2 bu durumda A tam kare olamaz o halde n  11 durumlarını inceleriz.
n=11 için A=121-209+89= 1 olup tam karedir.
n=10 ise A=-1 tam kare değildir.
n=9 ise A= 8 tam kare değildir.
n=8 ise A= 1 tam karedir.
n=7 ise A=2, n=6 ise A=11, n=5 ise A=19 , n=4 ise A=29, n=3 ise A=41 , n=2 ise A=55 , n=1
ise A=71 olup tam kare değildir. O halde iki tane çözüm vardır.
Örnek: 6x2+2y2=z2 denklemini sağlayan kaç tane (x,y,z) pozitif tamsayı üçlüsü vardır?
Çözüm: z=2k olmalıdır. 6x2+2y2=4k2 ise 3x2+y2=2k2 olmalıdır. 3x2+y2=2k2 (mod3)***
Y2=2k2(mod3) olup y2=k2=0 ancak bu denkliği sağlar. O halde y=3t ,k=3m şeklindedir.
3x2+9t2=2.9m2 ise x2+3t2=6m2 ise x=3s ise 9s2+3t2=6m2 ise 3s2+t2=2m2 olup tekrar ***
denklemini elde ettik . Yani aynı işlemleri yaparak yine aynı denklemi elde edeceğiz ve bu
31
sonsuza kadar devam edemeyeceği için fermatın sonsuza indirgeme metodu gereği tek
çözüm (0,0,0) dır ancak soru pozitif tamsayılarda sorulduğu için çözüm yoktur.
Örnek: x3+113=y3 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: x3+113=y3 (mod11) ise x3=y3 (mod11) Burada hemen x ile y eşittir diyemeyiz ancak
03=0, 13=1, 23=8, 33=5 ,43=9 , 53=4 , 63=7, 73=2, 83=6 , 93=3 , 103=10 olup her biri farklı
olduğu için
x=y (mod11)diyebiliriz. x=y bu denklemi sağlamaz. x=y+11k ise;
y3+3y211k+3y121k2+113.k3=y3 ise 33ky2+363yk2+113.k3=0 pozitif tamsayılarda bu
denklemin çözümü yoktur. O halde çözüm kümesi boş kümedir.
Örnek: x3=y3+y eşitliğini sağlayan tüm (x,y) tamsayılarını bulunuz.
Çözüm: x3=y(y2+1) ve (y,y2+1)=1 olduğundan bunlar ayrı ayrı tam küp’tür.
Y2+1=a3 ve y=b3 ise ise y2=b6 olup tam küptür. Hem y2 hem de y2+1 ifadesi sadece y=0
için tam küp olabilir. Y=0 ise x=0 olacağından tek çözüm (0,0) bulunur.
Örnek: m,n<100 olmak üzere 2m2=3n3 eşitliğini sağlayan kaç tane (m,n) pozitif tamsayı
ikilisi vardır?
Çözüm: 3/m olmalıdır. m=3k alalım 2.9k2=3n3 ise 6k2=n3 ise 6/n olacağından n=6.t ise
6k2=63.t3
İse k2=36t3 ise 6/k ise k=6p ise 36p2=36t3 ise p2=t3 elde edilir.Buradan da p=a3 , t=a2
alınırsa,
m=3k=18p=18a3 ve n=6t=6a2 elde edilir . Burada 18a3<100 olduğundan a=1 dolayısıyla
m=18, n=6 elde edilir.Tek çözüm (18,6) bulunur.
32
6.DİSKİRMİNANT KULLANARAK ÇÖZÜLEBİLEN DENKLEMLER
Bilinmeyenlerden birini değişken diğerini sabit kabul ederek ikinci dereceden denklem elde
edersek diskirminantın tam kare olması gerekir. Bulunan değerler yerine koyularak kontrol
edilir.
Örnek: n2+3n+5=121m denklemini sağlayan kaç tane (n,m) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: n2+3n+5-121m=0 ise  =9-4.1.(5-121m) olup tam kare olmalıdır.
2
 =4.121.m-11=11(11m-1) ifadesinin tam kare olması için 11m-1=11.k olmalı ,
11m-1=11.k2(mod11) ise -1=0(mod11) mümkün olmadığından çözüm yoktur.
Örnek: x3-y3=xy+61 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: Aynı soruyu daha önce sınırlayarak çözmüştük . Şimdi biraz daha farklı bakalım.
x3=y3+xy+61 olup pozitif tamsayılarda çalıştığımız için x>y olmak zorundadır.
x=y+d olsun. y3+3y2d+3yd2+d3=y3+y2+dy+61 ise
(3d-1)y2+(3d2-d)y+d3-61=0 ifadesinde pozitif tamsayılarda çalıştığımız için ilk iki terim pozitif
olduğundan
d3-61<0 olmalıdır.
Buda d=1,2,3 olabileceğini gösterir.
d=1 ise 2y2+2y-60=0 ise y2+y-30=0 olup (y+6).(y-5)=0 dan y=-6 ve y=5 bulunur. Ancak
pozitif tamsayılarda çalıştığımız için y=5 olur. X=y+d=5+1=6 bulunur. (6,5) bir çözümdür.
d=2 ise 5y2+10y-53=0   =100+4.5.53=1160 tam kare olmadığından tamsayılar da çözüm
yoktur.
d=3 ise 8y2+24y-34=0  4y2+12y-17=0   =144+4.4.17=416 tam kare olmadığından
tamsayılar da çözüm yoktur.
O halde tek çözüm var ve (5,6) dır.
33
Örnek: x3+9xy+127=y3 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) tamsayı çifti vardır?
Çözüm: y=x+d olsun.
x3+9x2+9x d+127=x3+3x2d+3xd2+d3  (9-3d)x2+(9d-3d2)x+127-d3=0
2 2
3
2
2
3
 =(9d-3d ) -4(9-3d)(127-d )=d (9-3d) -4.(9-3d)(127-d )
=(9-3d)[d2(9-3d)-4(127-d3)] ayrıca   0 olması gerektiğinden d=3,4,5 olabilir.
d=3 ise  =0 olur. d=3 değerini (9-3d)x2+(9d-3d2)x+127-d3=0 denkleminde yerine koyalım.
100=0 olup çözüm yoktur.
d=4 ise y=x+4 olur. (9-3d)x2+(9d-3d2)x+127-d3=0 olduğundan;
-3x2-12x+63=0 ise x2+4x-21=0 ise (x+7)(x-3)=0 ise x=-7 ve x=3 olup (-7,-3) ve (3,7) birer
çözümdür.
d=5 ise y=x+5 olur. (9-3d)x2+(9d-3d2)x+127-d3=0 olduğundan;
-6x2-30x+2=0  3x2+15x-1=0   =225+4.1.3=237 tam kare olmadığından çözüm yoktur.
O halde (-7,-3),(3,7) olacak şekilde iki çözüm vardır.
Örnek: n2-19n+99 sayısı tam kare olacak şekilde tüm n pozitif tam sayıların toplamını
bulunuz.
Çözüm: n2-19n+99 =x2  n2-19n+99 -x2 =0
2
2
2
 =361-4(99-x )=4x -35=y olmalı.
(2x-y)(2x+y)=35 olup;
2x-y=1 ve 2x+y=35 ise x=9 ve y=17 olur. (2x-y nin 1,-1,35 yada -35 olması n nin değerini
değiştirmez)
n2-19n+99 -x2 =0 olduğundan n2-19n+99 -81 =0 ise n2-19n+18 =0 ise (n-18)(n-1)=0 dan n=1
ve n=18 bulunur.
2x-y=5 ve 2x+y=7 ise x=3 ve y=1 bulunur.(2x-y nin 5,-5,7,-7 olması n nin değerini
değiştirmez)
34
n2-19n+99 -x2 =0 olduğundan n2-19n+99 -9=0 ise n2-19n+90 =0 ise (n-9)(n-10)=0 olup n=9
ve n=10 bulunur.
O halde n={1,9,10,18} bulunur.
7.SİMETRİYİ KULLANARAK ÇÖZÜLEBİLEN DENKLEMLER
Simetrik denklemlerle ilgili sorularda x  y  z..... kabul ederek işlem yaparız.
Örnek:
1 1 1 1
  
denkleminin pozitif tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?
x y 3 xy
Çözüm: x  y olsun ,
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 x  1 2x 2
 
 ise
  
   =
< =
x y xy 3
3 x y xy y y xy
xy
xy y
1 2

ise y<6 ve y>1 olmalıdır.
3 y
1 1 1 1
1
1
  
ise
  ise x=-3 bulunur . Ancak pozitif olmadığı için çözüm
3 x 2 2x
2x
6
Y=2 ise
değildir.
Y=3 ise
1 1 1 1
2
  
olup
 0 olduğundan çözüm yoktur.
3 x 3 3x
3x
Y=4 ise
1 1 1 1
3
1
  
olup

ise x=9 elde edilir. (9,4) bir çözümdür.
3 x 4 4x
4 x 12
Y=5 ise
1 1 1 1
4
2
  
olup

ise x=6 elde edilir.(6,5) bir çözümdür.
3 x 5 5x
5 x 15
O halde simetriden dolayı çözümler (9,4),(4,9),((6,5),(5,6) olmak üzere 4 tanedir.
Örnek: a2+b2+c2+d2=a2b2c2d2 denkleminin pozitif tamsayılarda kaç (a,b,c,d) çözümü vardır.
35
Çözüm: Denklem simetrik olduğu için a  b  c  d alabiliriz.
4a2  a2b2c2d2 ise b2c2d2  4 ise b=2, c=1,d=1 veya b=c=d=1 alabiliriz. Ancak her iki
durumda da a tamsayı olamaz. O halde çözüm yoktur.
Örnek: a3+b3+c3=2001 denklemini sağlayan kaç tane (a,b,c) pozitif tamsayı üçlüsü vardır?
Çözüm: a  b  c olsun. 3a3>2001 ise a3>667 ise a>8
Diğer taraftan b=c=0 alırsak a<13 olur. O halde a=9,10,11,12 olabilir.
a=9 ise b3+c3=1272 ise 2b3  1272 ise 8<b  9 olup b=9 olabilir ancak o halde c3=543 olup
tamsayılar da çözüm yoktur.
a=10 ise b3+c3=1001 olup 2b3  1001 ise 7<b  10 elde edilir.
b=8 ise c3=489 tamsayılar da çözüm yoktur.
b=9 ise c3=272 olup tamsayılar da çözüm yoktur.
b=10 ise c3=1 ise c=1 olup (10,10,1) bir çözümdür.
a=11 ise b3+c3=670 olup benzer şekilde b>6 bulunur. Yani 6<b  11 elde edilir.
b=7 ise c3=327 olup tamsayılarda çözüm yoktur.
b=8 ise c3=158 olup tamsayılarda çözüm yoktur.
a=12 ise b3+c3=273 olup benzer şekilde 5<b  12
b=6 ise c3=57 olup tamsayılarda çözüm yoktur.
b  7 olursa c3 negatif olacağından çözüm yoktur.
O halde çözüm (10,10,1) olup simetriden dolayı
3!
 3 tanedir.
2!
36
Örnek: 5(xy+yz+xz)=4xyz denklemini sağlayan kaç tane (x,y,z) pozitif tamsayı üçlüsü vardır?
Çözüm: x  y  z olsun;
1 1 1 4
4 1 1 1
3
15
   ise    
ise z  <4 ise 1<z<4 elde edilir.
x y z 5
5 x y z
z
4
Z=2 ise ;
1 1 1 4
1 1 3
   ise  
x y 2 5
x y 10
3 1 1
2
20
 

ise y 
ise 2  y  6 elde edilir.
10 x y
y
3
Y=2 ise
1
1
  olup x=-5 tir. Ancak x ,2 den büyük olması gerektiği için çözüm olamaz.
x
5
Y=3 ise
1
1

olup x=-30 dur. Ancak x ,2 den büyük olması gerektiği için çözüm olamaz.
x
30
Y=4 ise
1 1

olup x=20 dir. Bu durumda (20,4,2) bir çözümdür.
x 20
Y=5 ise
1 1

olup x=10 dur. Bu durumda (10,5,2) bir çözümdür.
x 10
Y=6 ise
1 2

olup tamsayılar da çözüm yoktur.
x 15
Z=3 ise;
1 1 7
 
olur.
x y 15
7 1 1
2
30
 

ise 3  y   5
15 x y
y
7
Y=3 ise
1 2

olup tamsayılarda çözüm yoktur.
x 15
Y=4 ise
1 13

olup tamsayılarda çözüm yoktur.
x 60
O halde çözümler (10,5,2) den simetriden dolayı 3!=6 tane , 20,4,2) den simetriden dolayı
3!=6 tane olmak üzere toplam 12 tanedir.
37
Örnek: x2+xy+y2=x2y2 denkleminin tamsayılar kümesinde kaç tane çözümü vardır?
Çözüm: x  y olsun x2+xy+y2-x2y2=0  x2+x.x+x2-x2x2=3x2-x4 ise x4  3x2 bu eşitsizliği x=0
sağlar. X sayısı 0 dan farklı ise x2  3 olup x=-1,1 olabilir. Bu durumda çözümler
(0,0),(1,-1),(-1,1) olmak üzere 3 tanedir.
Örnek:
1 1 1 3
  
x y z 5
denkleminin kaç (x,y,z) pozitif tamsayı çözümü vardır?
Çözüm: x  y  z  1 alabiliriz.
Z=2 ise
3 3

z 5
olup 1  z  5 bulunur.
1 1 1
 
 10x+10y=xy  x(y-10)=10y ise y-10/10y ise y-10/10y-10y+100
x y 10
y-10/100 ise y={11,12,14,15,20,30,35,60,110} ise;
(110,11,2),(60,12,2) , (35,14,2), (30,15,2), (20,20,2) diğerleri x  y şartını sağlamaz.
Z=3 ise
1 1 4
 
ise 15x+15y=4xy ise x(4y-15)=15y ise 4y-15/15y ise
x y 15
4y-15/60y-60y+225 ise 4y-15/225=3.3.5.5 ise 4y-15=1,3,9,5,25,15,45,75,225 olabilir.
Y tamsayı olduğu için y={4,6,5,10,15,60} olabilir.
Y=4 ise x=60 ve (60,4,3) çözümü, y=5 ise x=15 ve (15,5,3) çözümü,
y=6 ise x=10 ve (10,6,3) çözümü bulunur. Diğerleri x  y şartını sağlamaz.
Z=4 ise
1 1 7
 
ise 20x+20y=7xy ise x(7y-20)=20y ise 7y-20/20y
x y 20
7y-20/7.20y-20.7y+20.20 ise
7y-20/400=24.52={1,2,4,8,16,5,25,10,20,40,80,50,100,200,400}
Y={3,4,10,60} elde edilir. Ancak y  z olduğu için y=3 olamaz.
Y=4 ise x=10 olup diğerleri x  y şartını sağlamaz.O halde çözüm (10,4,4) bulunur.
38
Z=5 ise
1 1 2
 
elde edilir. Bunun çözümünü farklı yapalım.
x y 5
x  y olduğu için
2 2

ise y  5 olup y sadece 5 değerini alabilir.
y 5
(5,5,5) çözümü elde edilir.
Bu durumda toplam çözüm sayısı simetriden dolayı;
(110,11,2) için 3!=6 tane ,(60,12,2) için 3!=6 tane , (35,14,2) için 3!=6 tane ,
(30,15,2) için 3!=6 tane , (20,20,2) için
3!
 3 tane , (60,4,3) için 3!=6 tane,
2!
(15,5,3) için 3!=6 tane, (10,6,3) için 3!=6 tane, (10,4,4) için
(5,5,5) için
3!
 3 tane ,
2!
3!
 1 tane olmak üzere 49 tanedir.
3!
8.EBOB-EKOK BAĞLANTILI SORULAR
Burada özellikle p/a2 ise p2/a2 olduğuna dikkat edilmelidir.
Örnek: a,b,x,y tamsayılar olmak üzere 25xa2-5yb2=1680 denklemini sağlayan ve a ve b yi
bölen en büyük tamsayı kaç olabilir?
Çözüm: p/a ve p/b olsun . Bu durumda p2/a2 ve p2/b2 olacağından ;
a2=p2.k ve b2=p2.t olup p2(25.x.k-5.y.t)=24.3.5.7 olduğundan p2=16 ise p=4 bulunur.
Örnek: xy=yx-y denklemini sağlayan kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm: x=y ise xx=x0 =1 olup x=1 elde edilir yani (1,1) bir çözümdür.
y
x-y
x  y ise x =y
denkleminde x>y olmak zorundadır. O zaman x-y>y yani x>2y olmak
zorundadır.
39
(x,y)=d olsun. x=dk , y=dm ve (k,m)=1 olmak zorundadır.
xy=yx-y olduğundan (dk)dm=(dm)d(k-m) ise dm.km=dk-m.mk-m ise d2m-k.km=mk-m elde edilir.
Ancak x>2y olduğundan dk>2dm ise k>2m bulunur. 2m-k negatif olduğu için d2m-k ifadesini
eşitliğin diğer tarafına alalım.
km=mk-m.dk-2m elde edilir. Bu ise ya m=1 yada m/k demektir. Ancak (k,m)=1 olduğunu
biliyoruz o halde m=1 elde edilir.
Buradan k=dk-2 sonucuna ulaşırız.
d=1 ise k=1 olacağından x=1 ve y=1 elde edilir ancak biz farklı (x,y) ler arıyoruz.
d=2 ise k=2k-2 olup k=4 için eşitlik sağlanır. k>4 ise k<2k-2 elde edilir. k=4 ise x=8 ise y=2
olup (8,2) bir çözümdür.
d=3 ise k=3k-2 olup k=3 için eşitlik sağlanır. k>3 ise k<3k-2 elde edilir. k=3 ise x=9 ise y=3
bulunur ve (9,3) bir çözümdür.
d=4 ise k=4k-2 olup k>2 için k<4k-2 olacağından çözüm yoktur.
d>4 için k<dk-2 olup çözüm yoktur. O halde 3 tane çözüm vardır.
Örnek: x,y,z ikişerli olarak kendi aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere
1 1 1
 
x y z
denklemini sağlayan kaç tane (x,y,z) tamsayı üçlüsü vardır?
Çözüm: (x,y)=1 , (x,z)=1 , (y,z)=1
(x+y)z=xy ise z 
xy
olup (x,y)=1 ise (xy,x+y)=1 olacağından çözüm yoktur.
x y
Not: Sadece (x,y,z)=1 olsaydı aynı soruyu şöyle çözerdik,
z
xy
dk .dm
ise (x,y)=d ise x=dk , y=dm ve (k,m)=1 olurdu. Bu durumda z 
ve
x y
d (k  m)
z
dk .m
ifadesi elde edilirdi. (k,m)=1 olduğundan (km,k+m)=1 olur ki bu durumda k+m/d
(k  m)
olmalıdır. Yani d=(k+m).t olmalıdır . Buradan da z=t.k.m elde edilir. O halde sonsuz çözüm
vardır.
40
Örnek olarak x=6k , y=6m seçelim z 
6k .m
6=(k+m).t olsun t=1 seçersek k+m=6
(k  m)
olacağından k=5, m=1 alalım ancak burada k ile m nin ve (x,y,z) nin aralarında asal
olmasına dikkat edelim.
Bu durumda x=30 , y=6 ,z=5 bulunur. Bunları denklemde yerine koyduğumuzda sağladığını
görebiliriz. Bu şekilde sonsuz tane çözüm bulabiliriz.
9.ASAL SAYI İLE İLGİLİ SORULAR
Çift olan asal sayının sadece 2 olması, asal sayıların 3k+1,3k-1,6k+1,6k-1 …olması gibi
özellikler kullanılarak çözümler yapılır.
Örnek: (p2+1).(q2+1)=n2+1 denklemini sağlayan bir n doğal sayısı için kaç tane (p,q) asal sayı
ikilisi vardır?
Çözüm: p2q2+p2+q2=n2 p ve q asal sayıları tek ise kareleri mod4 te 1 dir.
1+1+1=n2(mod4) bu ise mümkün değildir. O halde bu sayılardan biri 2 dir. Denklem simetrik
olduğu için p=2 olsun.
5q2+4=n2 ise 5q2=(n-2)(n+2) olup n-2=1,5,q
n-2=1 ise n=3 olup n+2=5q2 ise 5=5q2 elde edilir ancak q asal sayı olduğu için çözüm yoktur.
n-2=5 ise n=7 ise n+2=q2 ise 9=q2 ise q=3 olup (2,3) bir çözümdür.
n-2=q ise n+2=5q olacağından 4q=4 ise q=1 olup çözüm yoktur.
O halde denklem simetrik olduğundan (2,3),(3,2) olmak üzere iki çözüm vardır.
41
Örnek: p+1=2x2 ve p2+1=2y2 denklemlerini sağlayan x,y tamsayı olacak şekilde kaç farklı p
asal sayısı vardır?
Çözüm: p>y>x>1 alabiliriz. p2-p=p(p-1)=2(y-x)(y+x) elde edilir. Burada p asal sayısı 2
olamayacağı için 2/p-1 dir.
p>y ve p>x olup 2p>x+y dir. ayrıca p>y>y-x olduğundan p asal sayısı çarpan olarak x-y nin
içinde bulunamaz. O halde x+y nin bir çarpanı ve p nin yanına p-1 den en küçük 2 asal
çarpanı bile gelse x+y den büyük olacağına göre p=x+y olmak zorundadır. O halde p-1=2(yx) olur.
p=x+y
p=2y-2x+1 ise y-3x+1=0 ise y=3x-1 elde edilir. O halde p=x+y=4x-1 bulunur.
P+1=2x2 ise 4x-1+1=2x2 ise 2x2=4x ise x=0 veya x=2 olup x=0 şartları sağlamaz x=2 ise
p=7 elde edilir.
Tek çözüm vardır.
10.DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ
Genelde yok etme , yerine koyma , birini diğerine benzetme gibi yöntemlerle çözülür.
Örnek: xy-2zw=3 ve xz+yw=1 denklem sistemini sağlayan kaç tane (x,y,z,w) tamsayı
dörtlüsü vardır?
Çözüm: (xy-2zw)2=9 ve 2(xz+yw)2 =1 olup taraf tarafa toplanırsa;
(xy)2-4xyzww+4(zw)2+2(xz)2+4xyzw+2(yw)2=11
X2 y2+4z2w2+2x2z2+2y2w2=11
X2 y2+4z2w2+2x2z2+2y2w2=11
X2(y2+2z2)+2w2(2z2+y2)=11
(x2+2w2)(y2+2z2)=11 ise
42
1.durum: x2+2w2=1 ve y2+2z2=11 ise x=1,-1, w=0 ve z=1,-1 ,y=3,-3 çözümleri
vardır.Bunları denklemde yerlerine koyalım.
xy-2zw=3 ve xz+yw=1 ise x=1 ,w=0,z=1, y=3 ise (1,3,1,0),(-1,-3,-1,0) birer çözümdür.
(burada w=0 olmasından dolayı 2.denklemden xz=1 eşitliği iyi kullanılmalıdır)
2.durum: x2+2w2=11 ve y2+2z2=1 denklemler simetrik olduğu için y=1,-1 , z=0 , x=3,-3
W=-1,1 elde edilir. Bunları denklemde yerine yazarsak, z=0 ise yw=1 (y,w)=(1,1) veya (-1,-1)
bulunur.
Y=1,w=1,z=0 ise (3,1,0,1),
Y=-1,w=-1,z=0 ise (-3,-1,0,-1) ifadeleri de birer çözüm olup toplam 4 tane çözüm vardır.
Örnek: x2+y-z=100 ve x+y2-z=124 denklem sistemini sağlayan kaç tane (x,y,z)tamsayı
üçlüsü vardır?
Çözüm: x+y2-x2-y=24 ise (x-y)-(x-y)(x+y)=24 ise (x-y)(1-x-y)=24=1.24,2.12,3.8,4.6, 24.1,
12.2, 8.3, 6.4, ve bunların negatifleri.
x-y=a ve 1-x-y=b ise 1-2y=a+b olacağından çarpanların toplamı tek sayı olmalı.
x-y=1 ve 1-x-y=24 ise 1-2y=25 ise x=-11 , y=-12 ise z=9 olup (-11,-12,9) bir çözümdür.
-1.(-24) için 1-2y=-25
y=13 , x=12 ise z=57 olup (12,13,57) bir çözümdür.
24.1 için 1-2y=25 ise y=-12, x=12 ise z=32 olup (12,-12,32) bir çözümdür.
-24.(-1) için 1-2y=-25 ise y=13 , x=-11 z= 34 olup (-11,13,34) bir çözümdür.
2.12,4.6 ile oluşturulan çarpanlar olamaz çünkü toplamları çift sayıdır.
O halde 8.3 incelenir.
3.8 için 1-2y=11 ise y=-5, x=-2 ise z= -101 olup (-2,-5,-101) bir çözümdür.
8.3 için 1-2y=11 y=-5, x=3 ,z=-96 olup (3,-5,-96) bir çözümdür.
43
-8.(-3) için 1-2y=-11 ise y=6 , x=-2 ise z=90 olup (-2,6,-90) bir çözümdür.
-3.(-8) için 1-2y=-11 y=6 , x=3 ise z=-85 olup (3,6,-85) bir çözümdür.
Toplam 8 çözüm vardır.
Örnek: x3-3xy-y3=1 ve y3+3yz+z3=1 denklem sistemini sağlayan kaç tane (x,y,z) tamsayı
üçlüsü vardır?
Çözüm: 1.yol: x=y+d seçelim,
y3+3y2d+3yd2+d3-3y2-3yd-y3=1 ise (3d-3)y2+(3d2-3d)y+d3-1=0
2
2
3
3
2
3
 = 9d (d-1) -4.3(d-1).(d -1)=(d-1)(9d -9d -12d +12)
=(d-1).(-3d3-9d2+12)=(d-1).(-3)(d3+3d-4)
=(d-1)2(-3)(d2+d+4) olup d=1 için 0 diğer durumlarda negatif olur ki o zaman tam kare
olamaz. O halde d=1 olmalıdır.
X=y+1 elde edilir.
İkinci denklemde y=d-z seçelim.
d3-3d2z+3dz2-z3+3zd-3z2+z3-1=0 ise d3-3d2z+3dz2+3zd-3z2-1=0
(3d-3)z2+(3d-3d2)z+d3-1=0
3
2
ise  = 9d2(1-d)2-4.3(d-1)(d3-1)
3
3
2
3
2
 = (d-1)(9d -9d -12d +12) =(d-1).(-3d -9d +12)=(d-1)(-3)(d +3d -4)
=(d-1)2(-3)(d2+d+4) ifadesi d=1 hariç negatif olup tam kare olamaz yani d=1 olup y=1-z
dir.
Bu durumda y=a dersek çözümler (a+1,a,1-a) şeklindedir ki bu da tamsayılarda sonsuz
çözümdür.
2.yol: x3-3xy-y3=1 ve y3+3yz+z3=1
(x-y).(x2+xy+y2)-3xy-1=0 ise x-y=a ve xy=b diyelim.
44
a.(a2+3b)-3b-1=0 ise a3+3ab-3b-1=0 ise (a-1)(a2+a+1)+3b(a-1)=0
(a-1)( a2+a+1+3b)=0 ise a=1 bir çözümdür yani x-y=1 ise x=y+1 elde edilir ki bu bizi sonsuz
çözüme götürebileceği için denklemin ikinci kısmını yani a2+a+1+3b=0 durumunu
incelemeye gerek yoktur. Ancak biz burada bilgilerimizi pekiştirmek için bu durumu da
inceleyeceğiz.
a2+a+1+3b=0 ise x2-2xy+y2+x-y+3xy+1=0 ise x2+xy+y2+x-y+1=0 elde edilir. Şimdi her iki
tarafı 2 ile çarpalım 2x2+2xy+2y2+2x-2 y+2=0 ve düzenleyelim,
(x+y)2+(x+1)2+(y-1)2=0 ise (-1,1) elde edilir.
y3+3yz+z3=1 ise (y+z).(y2-yz+z2)+3yz-1=0
y+z=a ve yz=b diyelim.
a(a2-3b)+3b-1=0 ise a3-3ab+3b-1=0 ise (a-1)( a2+a+1)-3b(a-1)=0
(a-1)( a2+a+1-3b)=0 ise a=1 veya a2 +a+1-3b=0 olmalıdır.
a=1 ise y+z=1 ise z=1-y olur. O halde y=u dersek (x,y,z) çözümleri (u+1,u,1-u) şeklinde
sonsuz çözüm vardır. Ancak bilgilerimizin pekişmesi amacıyla denklemin ikinci kısmını
inceleyelim.
a2 +a+1-3b=0
düzenlersek;
ise y2+2yz+z2+y+z+1-3yz=0 ise y2+z2+y+z+1-yz=0 her iki tarafı 2 ile çarpıp
(z-y)2+(z+1)2+(y+1)2=0 ise çözüm (-1,-1) şeklindedir. O halde (x,y)=-1,1) ve (y,z)=(-1,-1)
olup (x,y,z) çözümü yoktur.
Sonuç olarak sonsuz tane çözüm vardır.
Örnek: zx=y2x , 2z=2.4x , x+y+z=16 denklem sistemini sağlayan kaç tane (x,y,z) negatif
olmayan tamsayı üçlüsü vardır?
Çözüm: x=0 ise z=1 ve y=15 olup (0,15,1) bir çözümdür.
x  0 ise z=y2 elde edilir. 2z=22x+1 olup z=2x+1 olur. ve z  16 , z=y2 olduğundan z=9
olmalıdır. Bu durumda y=3 ve x=4 elde edilir yani çözümler (0,15,1) ve (4,3,9) olarak
bulunur.
45
Çözüm2: x=0 ise z=1 ve y=1 =
x  0 ise z=y2 e
y2 1
+y+y2=16
2
up (,1
de edilir. z=2
2 2x+1
Ö1 bir çö ümdür.
lup z=2x+1 ve 2y=2x+1
ise 3y2+2y-33=0 ise (y+11
ur. O ha
0-3)ise y=3
se x=4, z=9
eÖr : 2x+3
va dır?
=18 ve
= xy>x+y denklem sistemini sa la an ka
Çözüm: 2x+3
=18 (=3)se 2x=2 m
6k+2+
se y=
61-2k buu u.
y=1 5
xy>x+y
du undan
6k2-1 0
+1<0
eÖr : x2+3
va dır?
Çözüm: x2+
k+1 (
2
se
-30
k
1-2k)
1
+<0
6
ise
3) x=1 ise3)
x=3
ve2+y x ifa eleri ta
y=a2 ve y2+3
2
ka e
O halde y=
2x 1
3
ıla
2
da
<x2+
+1
a
şekilde ka
up 29 tanedir.
tane (,y)
p
itif tamsa
ı ikili
=b sun,
x+y+  0 urdu
ki p
itif tamsa ıla da
2 2
duğu da , >x
(+2)+3
eçelim.
itif ta sa
tane (,y)
tamsa ı çifti
1
<0 ise k=1,2,3,..,29
6
a
2
x2+
+3y 2+b
=a2 ifa esinde hem (+2)2  x2+
2
a nı daa lanama . Sa lansa 2dı
+4x
+4
+4
P
ulunur.
se
-6k2+181k+61>k+62
+1+61 -2
se -15)2 -225+
de ;
y<(+2)2
se 2x+1< 0(m
bu
ldu u
yhem de (+2
2 2
y+4
 x +y +3
)2  y2+3 eşitsi
+3
lup,
likleri
mümkün değildir. Denklem imetrik
dan2+3
x
3)se x=1
2
=(+1
=x2+
3)
ise x=3
x+
abilir.
+1 ve y=2k+1 bu unur.
2
2
2
+
=4k
+ k+1+ k+3=4
+13
+4
up (2<4 2+12k+9+k-5
+3)
<(k+4) 2 la a ında
k>için
= 4 2+1
k+4
ifa esi
ta
a e
ama . O ha de k=0,1,2,3,4,4 için k
tr
k=0
ise (,1;)a lar,
46
ed
k=1 ise x=4 ve y=3 olup y2+3x=9+12=21 olup pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
k=2 ise x=7 ve y=5 olup y2+3x=25+21=46 olup pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
k=3 ise x=10 ve y=7 olup y2+3x=49+30=79 olup pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
k=4 ise x=13 ve y=9 olup y2+3x=81+39=120 olup pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
k=5 ise x=16 ve y=11 olup y2+3x=121+48=169 olup tam karedir. (16,11) ikilisi bir
çözümdür.
O halde denklem sisteminin pozitif tam sayılarda (1,1), (16,11) olmak üzere iki tane çözümü
vardır.
11.ÖZEL SORU ÇEŞİTLERİ
Örnek: x ve y negatif olmayan tamsayılar olmak üzere 8x+15y şeklinde yazılamayan en
büyük n tamsayısı kaçtır?
Çözüm: 8(15-1)+15.(-1)=97 dir.
Örnek: Biri 3 diğeri 11 ‘e bölünebilen iki bileşik pozitif tamsayının toplamı şeklinde
yazılamayan en büyük tamsayı kaçtır?
Çözüm: 3x+11y şeklinde ancak bileşik sayı olduğu için x ve y 2 veya 2 den daha büyük
olmalı.
X=a+2 ,y=b+2 alırsak 3a+11b+28 olur. 3a+11b =3.(11-1)+11.(-1)=30-11=19 ise 19+28=47
bulunur.
47
Örnek: 2x+3y=c denklemini sağlayan 1000 tane (x,y) pozitif tamsayı çiftinin olması için c
yerine yazılabilecek kaç tane pozitif tamsayı vardır?
Çözüm: 2x+3y=c(mod2)
C=0 ise y=0 ise y=2k olup 1000 tane çözümün olması için y={2,4,6,….,2000} olur.
X=1 ise c=6002
X=2 ise c=6004
X=3 ise c=6006 olup başka çözüm yoktur. X=4 için c= 6008 i alırsak y=2002 ,x=1 de
sağlayacağından çözüm sayısı 1000 den fazla olur.
C=1 ise y=1 (mod2) ise y={1,3,5,…,1999} olur.
X=1 ise c=5999
X=2 ise c=6001
X=3 ise c=6003 olup başka çözüm yoktur.
O halde c yerine {5999,6001,6002,6003,6004,6006} sayıları yazılabilir.
Örnek:
x y z
   3 denkleminin doğal sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
y z x
Çözüm: Aritmetik Ortalama  Geometrik ortalama
Eşitlik durumu bütün elemanların eşit olması ile mümkündür.
x y z
 
y z x

3
x y z
 
y z x
3
x y z
x y z
   3 elde edilir ki eşitlik durumu olduğundan ,
. . ise
y z x
y z x
olması ile mümkündür. O halde x=y=z dir. x=y=z=a olacak şekilde sıfırdan farklı
her a doğal sayısı için (a,a,a) bir çözüm olup sonsuz tanedir.
48
Örnek: 3x+5y=c denklemini sağlayan 100 tane (x,y<9 pozitif tamsayı çiftinin olması için , c
yerine yazılabilecek kaç tane pozitif tamsayı vardır?
Çözüm: 3x+5y=c (mod3) ise c=0,1,2 olabilir.
C=0 ise 2y=0(mod3) ise y=0(mod3) olup 100 tane çözüm olması için y={3,6,..,300} olabilir.
Bu durum da
X=1 için c=1503 , x=2 için c=1506 , x=3 için c=1509 , x=4 için c=1512 , x=5 için c=1515
bulunur.
C=1 ise 2y=1(mod3) olup y=2(mod3) elde edilir. Bu durumda y={2,5,8,….,299} bulunur.
X=1 ise c=1498 , x=2 ise c=1501 , x=3 ise c=1504 , x=4 ise c=1507 , x=5 ise c=1510
C=2 ise 2y=2(mod3) olup y=1(mod3) elde edilir. Bu durumda Y={1,4,7,…,298} bulunur.
X=1 ise c=1493, x=2 ise c=1496 , x=3 ise c=1499 , x=4 ise c=1502 , x=5 ise c=1505 olmak
üzere 15 tane çözüm vardır.
Örnek: x+y=x2-xy+y2 denkleminin tamsayılar kümesinde kaç tane çözümü vardır?
Çözüm: x2-xy+y2-x-y=0 tam kare yapmaya çalışalım bunun için her iki tarafı 2 ile çarpalım.
x2+x2-2xy+y2+y2-2x-2y=0 her iki tarafa 2 eklersek,
(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2 elde edilir. Bu durumda x ve y sayıları 2 den büyük ve 0 dan küçük
olamazlar.
Çözümler (0,0),(0,1),(1,0),(2,1),(1,2),(2,2) olup 6 tanedir.
Örnek: 999999.n=111….1 denklemini sağlayan en küçük n pozitif tamsayısını bulunuz.
49
Çözüm: (106-1).n=
1
1
.999…9= (10x-1)
9
9
10x 1
n
x=6k olsun ,
9.106 1
n
10
6
k 1
k2
 1  .  10 6   10 6   ....  1 


6
9. 10  1 
 1 0 6  k  1  1 0 6  k  2  ....  1 


n  
9
106=1(mod9) olduğundan kesir in payında en az 9 terim bulunmalıdır. Yani k=9 dolayısıyla
x=54 olmalıdır.
1054 1
n
olmalıdır.
9.106 1
Örnek: x2+y2+z2+2xyz=1 denklemini sağlayan kaç tane (x,y,z) tamsayı üçlüsü vardır?
Çözüm: x=n, y=-n , z=0 alırsak daima sağlanır o halde sonsuz çözüm vardır.
Örnek: 7n2+7n+7 bir tamsayının dördüncü kuvveti olacak şekilde en küçük n sayısının
rakamları toplamı kaçtır?
Çözüm: 7(n2+n+1)=x4 ise 7/x4 ise 74/x4 olmalı ki buda 73/n2+n+1 olmalıdır.73=343
olduğundan ,
n2+n+1  343 olmalıdır.Bunu sağlayan en küçük n değeri 18 olup rakamları toplamı 9 olur.
50
Örnek: n<14 için n!=a2+b2 denklemini sağlayan kaç tane (a,b) pozitif tamsayı çifti vardır?
Çözüm: a2+b2={0,1}+{0,1}={0,1,2} (mod4) olabilir ancak 3 olamaz. O halde bu sayı içinde
3,7,11,..derecesi tek olacak (derece çift olursa mod4 te 1 olur) şekilde bulunursa elde edilen
3 çarpanının karşılığı bulunmayacak dolayısıyla denklemin çözümü olmayacaktır. Bu
durumda 3!,4!,5! Sayılarında 31, 7!,8!,..,13! Sayılarında 71 çarpanı olacağından çözüm
olamazlar. O halde n=1,2,6 incelenir.
n=1 için pozitif tamsayılarda çözüm yoktur.
n=2 için (1,1) bir çözümdür.
n=6 için; 6!=24.32.5=a2+b2 (mod16) alırsak tam kareler mod16 da 0,1,4,9 olabilir.
a2+b2=0(mod16) olduğundan a=4k ve b=4t diyebiliriz.
16k2+16t2=16.9.5 ise k2+t2=45 ve k,t<7 olacağından denklemin sadece (3,6) (6,3) için
sağlandığını görebiliriz.
O halde çözümler (1,1).(12,24),(24,12) şeklindedir.
Örnek: x-y=x2+xy+y2 denklemini sağlayan kaç negatif olmayan tamsayı çifti vardır?
Çözüm: x2+xy+y2-x+y=0 2 ile genişletelim 2x2+2xy+2y2-2x+2y=0
(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=2 burada y>1 ve x>2 olamayacağı açık. O halde verilen şartlardan
dolayı y=0 olmak zorunda.
Y=0 ise x2+(x-1)2=1 olup x=0 ve x=1 olabilir. O halde çözümler (0,0),(1,0) şeklindedir.
2.yol: x>x-y=x2+xy+y2  3xy yani x  3xy elde edilir. x=0 ise –y=y2 den y=0 yani (0,0) bir
çözümdür.
x>0 ise x  3xy ise 1  3y olup y=0 dır.
y=0 ise x=x2 den x=1 bulunur. Yani (1,0) bir çözümdür.
51
Örnek: x  y  1998 denklemini sağlayan kaç tane (x,y) doğal sayı ikilisi vardır?
Çözüm: x  1998  y her iki tarafın karesini alırsak.
x  1998  y  2 1998 y
elde edilir.Bu durumda 1998y tam kare olmalıdır.
1998=2.33.37 olduğundan y=2.3.37m2=222m2 olmalıdır. O halde eşitliğin sağ tarafı 222 nin
katı olur ki bu da 222/x olmasını gerektirir.x=222n2 seçelim.
x  y  1998

222n 2  222m 2  222.9  n+m=3  (n,m)=(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)
 (x,y)=(222.9,0),(222.4,222),(222,222.4),(0,222.9) çözümleri bulunur.
Kaynaklar:
1.Matematik olimpiyatlarına hazırlık 3(Sayılar Teorisi:Yrd.Doç.Dr.Mustafa Özdemir)
2. Meraklısına Sayılar Teorisine giriş(Ömer Gürlü)
3. Matematik olimpiyat okulu kamp notları.
4. Sayılar Teorisi (Prof.Dr.Fethi Çallıalp)
5. Sayılar Teorisi problemleri(İsmail Naci Cangül-Basri Çelik)
6. U.Antalya Matematik Olimpiyatları Sorular ve Çözümler(Prof.Dr.İlham AliyevYrd.Doç.Dr. Mustafa Özdemir-Dilber Şıhaliyeva)
7. Diyofant denklem çözümleri (Fatih Kürşat Cansu)
Hazırlayan: Bünyamin İNCİ
Denizli Aydem Fen Lisesi
52
53