CRITICAL JOURNAL REVIEW DOSEN PEMBIMBING: Jonny Haratua Panggabean, M.Si DISUSUN OLEH: KELOMPOK 8 1. Nur Aisyah 2. Nurul Azzahra Harahap 3. Muhammad Kurniallah (4213540009) (4213540008) (4212540010) FISIKA NONDIK B 2021 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2022 Kata Pengantar Puji dan syukur saya panjatkan kepada kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan kesempatan dalam menyelesaikan makalah ini sehingga dapat diselesaikan pada tepat waktu. Saya berterima kasih kepada Bapak Jonny Haratua Panggabean, M.Si. selaku dosen pembimbing mata kuliah Matriks Ruang Vektor. Kami tahu bahwa Critical Journal Review(CJR) ini masih jauh dari kata sempurna baik dalam materi dan pengetikkannya yang merupakan kesalahan dan kekeliruan kami dalam pembuatan Critical Journal Review(CJR) ini disebabkan ketidaktahuan dan ketidaksengajaan kami. Oleh karena itu kami sangat menerima masukkan dan kritik. Kami berharap Critical Journal Review ini dapat bermanfaat bagi kita semua, terutama dalam mata kuliah Matriks Ruang Vektor di Universitas Negeri Medan. Salam Hormat Kelompok 8 1. Jurnal Utama Judul : DEKOMPOSISI QR DENGAN MATRIKS TRANSFORMASI HOUSEHOLDER Nama Jurnal : Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapannya Link : https://jurnal.untan.ac.id/index.php/jbmstr/article/download/53272/75676592499 Vol(no) : 11(02) Pengindeks : Google Scholar DOI : Abstrak Pendahuluan Metode Dekomposisi QR merupakan bentuk pemfaktoran dari suatu matriks A yang berukuran M×N yang nantinya akan diperoleh matriks Q yaitu matriks ortogonal dan R yaitu matriks segitiga atas. Dalam penelitian jurnal ini, agar mendapat dekomposisi QR dari suatu matriks dipakai transformasi Householder. Transformasi ini sendiri mengubah vektor tak nol menjadi vektor yang semua elemennya bernilai nol kecuali untuk elemen pertama dari vektor. Hasil dekomposisi QR dengan transformasi Householder dalam penelitian ini digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan persamaan dalam bentuk matriks Ax=b, dengan A sebagai matriks koefisien, matriks x adalah matriks variabel dan matriks kolom sebagai b matriks konstanta. Transformasi linear didefinisikan sebagai suatu pemetaan dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain. Transformasi linier dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Contoh: Terdapat matriks A€Mm×n (R) dan didefinisikan suatu fungsi T:Rn→Rm sedemikian sehingga T(x) = Ax untuk setiap x€Rn. T adalah transformasi matriks. Satu di antara pemetaan yang memenuhi definisi transformasi matriks yaitu refleksi. Refleksi merupakan pemetaan dari titik asal ke titik bayangan yang jaraknya sama terhadap garis atau bidang tertentu. Pada R2, refleksi dilakukan diantaranya terhadap sumbu-x, sumbu-y, dan garis y=x. Pada R3, refleksi dilakukan terhadap bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Sedangkan pada Rn dapat dipelajari dan dianalisis secara aljabar. Perluasan refleksi di Rn ditemukan oleh Alston Scott Householder pada tahun 1958-an. Matriks perluasan refleksi di Rn tersebut dinamai refleksi Householder. Refleksi Householder memenuhi transformasi linear sehingga dapat disebut sebagai transformasi Householder. Tranformasi linier menyatakan jika T:V→W adalah sebuah fungsi yang memetakan sebuah ruang vektor V ke sebuah ruang vektor W, Hasil dan Pembahasan Kesimpulan Daftar Pustaka maka T disebut sebagai transformasi linear dari V ke W jika dua sifat berikut berlaku untuk semua vektor u dan v pada V dan semua scalar k: • T(u+v) = T(u) + T(v) • T(ku) = kT(u) Perluasan refleksi di Rn disebut sebagai transformasi Householder. Refleksi di Rn yang dilakukan berdasarkan refleksi di R2. Berikut adalah untuk membentuk matriks transformasi Householder yaitu: • Refleksi terhadap sumbu-x • Refleksi terhadap sumbu-y • Refleksi terhadap garis y=x • Refleksi terhadap bidang-xy • Refleksi terhadap bidang-xz • Refleksi terhadap bidang-yz Dekomposisi QR atau dapat disebut dengan faktorisasi QR merupakan bentuk pemfaktoran dari suatu matriks yang berukuran m×n. Dekomposisi QR dari sebuah A€Mm×n (R) matriks adalah faktorisasi dari A=QR dengan Q€Mm×n (R) adalah matriks orthogonal (Q-1 = QT) dan R€Mm×n (R) adalah matriks segitiga atas. Langkahlangkah penerapan transformasi Householder yang dilakukan untuk menentukan dekomposisi QR dari matriks A, yaitu tentukan vektor kolom dari matriks A yang dinamai sebagai vektor b, tentukan vektor u sehingga u dengan e1 adalah basis standar, Bentuk matriks transformasi Householder H1 dengan mensubstitusikan vector u pada langkah kedua, hingga sampai perkalian matriks Q dan R tersebut akan menghasilkan matriks A. Sebuah sistem persamaan linear Ax=b, dengan matriks sebagai matriks A koefisien, x adalah matriks variabel dan matriks kolom b sebagai matriks konstanta. Kemudian dekomposisi QR dari suatu matriks A berukuran m×n, yaitu A=QR disubstitusikan pada SPL sehingga menjadi QRx=b. Solusi dari SPL adalah nilai x1, x2,…, xn yang memenuhi SPL tersebut. Dalam penerapan ini dihasilkan x1 = 5,3, x2 = 0,34, x3 = -1,67. Berdasarkan perhitungan yang diperoleh, QRx=b itu memenuhi. • Dekomposisi QR dari suatu matriks A, yaitu A=QR dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi Householder. Matriks R diperoleh dengan R = Hk… H2 H1 A dan Q diperoleh dengan Q = H1T H2T…HkT. • Sistem persamaan linear yang berbentuk Ax=b, kemudian dekomposisi QR dari suatu matriks A disubstitusikan pada SPL sehingga QRx=b, dimisalkan Rx=y dan selesaikan Qy=b yaitu y=QTb, kemudian selesaikan Rx=y, maka dengan mensubstitusikan R dan y diperoleh nilai x1, x2,…, xn yang merupakan solusi dari SPL yang diselesaikan. Sumber terdiri dari buku dan jurnal dari berbagai tahun, baik lebih maupun kurang dari sepuluh tahun terakhir. 2. Jurnal Pendukung Judul : Analisis Kemampuan Pemahaman Matematis pada Mata Kuliah Aljabar Linier Elementer Nama Jurnal : Jurnal Pendidikan Matematika Link : https://j-cup.org/index.php/cendekia/article/download/111/84/ Vol(no) : 3(2) Pengindeks : Google Scholar DOI : Abstrak Pendahuluan Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis ketercapaian setiap indikator yang mengukur kemampuan pemahaman matematis mahasiswa pada mata kuliah Aljabar Linier Elementer. Penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualititatif yang berupaya untuk mendeskripsikan analisis kemampuan pemahaman matematis mahasiswa. Subjek penelitian adalah mahasiswa pendidikan matematika tingkat 2 sebanyak 2 kelas yang berjumlah 33 mahasiswa. Metode pengumpulan data yang digunakan meliputi tes kemampuan pemahaman matematis mahasiswa pada mata kuliah Aljabar Linier Elementer yang meliputi materi sistem persamaan linear, matriks dan determinan. Berdasarkan hasil penelitian disimpulkan bahwa tingkat kemampuan mahasiswa matematika pada mata kuliah Aljabar Linier Elementer adalah sebagai berikut: Terdapat 6 mahasiswa yang mendapat nilai di bawah 50, terdapat 5 mahasiswa yang mendapat nilai antara 51 dan 60, terdapat 9 mahasiswa yang mendapat nilai antara 61 dan 70, terdapat 5 mahasiswa yang mendapat nilai antara 71 dan 80, terdapat 6 mahasiswa yang mendapat nilai antara 81 dan 90 dan terdapat 2 mahasiswa yang mendapat nilai 91 ke atas. Pendidikan berperan penting dalam perkembangan kualitas sumber daya manusia termasuk di dalamnya mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Galuh. Pengembangan kualitas SDM bertujuan untuk meningkatkan kemampuan matematis mahasiswa. Pengembangan ini tidak hanya berguna untuk memperoleh hasil belajar matematika yang tinggi, lebih dari itu sebagai bekal bagi mahasiswa untuk menjalani kehidupan bermasyarakat. Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Galuh berasal dari berbagai macam latar belakang pendidikan, hal ini menjadi salah satu faktor penyebab beberapa mahasiswa merasa kesulitan dalam mengikuti proses pembelajaran dalam mata kuliah Aljabar Linier Elementer. Pemahaman matematis merupakan salah satu tujuan yang diharapkan bisa tercapai dengan baik oleh siswa. Istilah pemahaman berbeda menurut siapa yang memahami sesuatu, apa yang dipahami dan cara Metode Hasil dan Pembahasan atau bagaimana ia memahami hal tersebut (Ansari, 2003). Kemampuan pemahaman adalah salah satu tujuan yang harus dikuasai siswa. Delvin (Oktavien, 2012) menyatakan bahwa pemahaman merupakan unsur penting dalam setiap pembelajaran di semua jenjang pendidikan, baik jenjang pendidikan persekolahan maupun perguruan tinggi. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian deskriptif kualitatif. Sukardi (2008:157) menyatakan bahwa peneitian deskriptif merupakan penelitian yang menggambarkan aturan atau menginterpretasikan objek sesauai dengan apa adanya, dimana peneliti ingin mengungkapkan kemampuan pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Aljabar Linier Elementer. Penelitian kualitaif merupakan penelitian yang digunakan untuk menyelidiki, menemukan, menggambarkan, dan menjelaskan kualitas atau keistimewaan dari pengaruh social yang tidak dapat dijelaskan, diukur atau digambarkan melalui pendekatan kuantitaif (Saryono, 2010: 1). Penelitian kualitatif digunakan untuk mendapatkan analisis data yang mendalam dan bermakna. Subyek penelitian adalah pada mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika sebanyak 2 kelas yang berjumlah 33 mahasiswa. Metode pengumpulan data yang digunakan meliputi: (1) tes kemampuan pemahaman matematis; (2) observasi; (3) wawancara; dan (4) dokumentasi. Penelitian dilaksanakan pada bulan September 2018 sampai November 2018. Tes yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes soal pemahaman matematis yang terdiri atas 5 soal essay. Soal tersebut mencakup indikator pemahaman matematis yaitu: Kemampuan menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu, kemampuan mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah, dan kemampuan mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu. Berdasarkan hasil tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa pemahaman matematis mahasiswa masih kurang dari nilai yang ditentukan yaitu 70. Pada materi sistem persamaan linier yaitu menyelesaikan sistem persamaan linear denganmenggunakan eliminasi Gauss-Jordan, umumnya mahasiswa mengalami kebingungan dalam menentukan operasi baris elementer dan beberapa salah dalam mengerjakan perhitungan operasi baris elementer tersebut, seperti yang harusnya bernilai negatif menjadi bernilai positif, yang harusnya dikalikan kemudian ditambah dengan nilai tertentu tetapi nilai penambahnya keliru. Berdasarkan hasil wawancara, pada umumnya mereka paham bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi GaussJordan, namun dari beberapa mahasiswa yang menjawab salah itu karena mereka merasa tidak yakin atau terburu-buru dalam mengerjakan sehingga jawabannya menjadi keliru. Materi lainnya adalah invers matrik dengan menggunakan adjoin dan determinan Kesimpulan Daftar Pustaka dengan ekspansi kofaktor, beberapa jawaban yang tidak tepat adalah dalam menentukan mariks kofaktor yang berasal dari matriks kofaktor karena mahasiswa kebingungan dalam mencari minor dan kofaktor dari matriks. Berdasarkan analisis dari lembar jawaban mahasiswa, kesalahan dalam mencari minor adalah menghilangkan salah satu baris atau kolom. Sedangkan dalam mencari kofaktor adalah dalam menentukan hasil akhir yang bernilai positif atau negatif karena awalnya sudah salah dalam menentukan minor. Berdasarkan hasil wawancara dengan mahasiswa, mereka merasa sudah benar dalam menghilangkan pasangan baris dan kolomnya tapi karena tidak teliti mengerjakan, ternyata yang dikerjakan kurang tepat. Dari beberapa indikator kemampuan pemahaman matematis yang diukur, nilai tertinggi adalah pada indikator nomor satu mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah dalam menyelesaikan matriks. Sedangkan untuk nilai terendah adalah pada nomor tiga yaitu mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu dalam menyelesaikan invers matriks. Sesuai dengan hasil analisa data, tingkat pemahaman matematis mahasiswa dalam mata kuliah Aljabar Linear Elementer adalah sebagai berikut : Terdapat 6 mahasiswa yang mendapat nilai di bawah 50, terdapat 5 mahasiswa yang mendapat nilai antara 51 dan 60, terdapat 9 mahasiswa yang mendapat nilai antara 61 dan 70, terdapat 5 mahasiswa yang mendapat nilai antara 71 dan 80, terdapat 6 mahasiswa yang mendapat nilai antara 81 dan 90 dan terdapat 2 mahasiswa yang mendapat nilai 91 ke atas. Dari 3 indikator yang diberikan dalam tes kemampuan pemahaman matematis, ada 2 soal yang memenuhi ketercapaian indikator yang diukur sedangkan 3 soal lainnnya belum memenuhi ketercapaian indikator yang diukur. Berdasarkan kesimpulan tersebut, maka saran yang dapat dikemukakan adalah : 1. Interaksi di kelas antara dosen dan mahasiswa maupun mahasiswa dengan mahasiswa harus lebih ditingkatkan, karena dengan hal itu akan membuat pemahaman mahasiswa lebih berkembang. 2. Pengembangan bahan ajar diperlukan agar kemampuan berpikir mahasiswa menjadi lebih baik dan bisa meningkatkan kemampuan pemahaman matematisnya. Sumber terdiri dari buku dan jurnal dari berbagai tahun, baik lebih maupun kurang dari sepuluh tahun terakhir. DAFTAR PUSTAKA Nawaty, W., Noviani, E., & Fran, F. Dekomposisi Qr Dengan Matriks Transformasi Householder. Bimaster: Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapannya, 11(02). Ruswana, A. M. (2019). Analisis kemampuan pemahaman matematis pada mata kuliah aljabar linier elementer. Jurnal Cendekia: Jurnal Pendidikan Matematika, 3(2), 293-299.