Generalităţi
Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se
încadrează atât lichidele cât şi gazele.
Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice, studiul
gazelor se face pe larg la termodinamică. Ca urmare, se face referire în
continuare în mod preponderent la lichide.
În cadrul acestui curs se vor studia fluidele omogene şi izotrope.
Un fluid este omogen dacă densitatea sa are aceeaşi valoare în orice
punct din volumul ocupat de fluid.
Un fluid este izotrop dacă îşi păstrează aceleaşi proprietăţi după orice
direcţie care străbate mediul fluid.
Mecanica fluidelor se mai numeşte şi mecanica mediilor continue,
deoarece un fluid umple complet spaţiul în care este pus.
Studiul fluidelor se face la nivel macroscopic, în sensul că o particulă
fluidă conţine un număr considerabil de molecule.
Particula fluidă reprezintă o porţiune de fluid de formă oarecare şi
dimensiuni arbitrar de mici, dar care păstrează proprietăţile de mediu continuu
ale fluidului. De obicei forma particulei este paralelipipedică, fiind adecvată
efectuării unor demonstraţii viitoare.
Se deosebesc următoarele modele de fluid:
-fluid uşor (practic fără greutate): aerul, gazele;
-fluid greu (lichidele, eventual gazele foarte dense);
-fluid ideal – nu are proprietatea de vâscozitate;
-fluid real – fluid vâscos (modelul Newton);
-fluid incompresibil (modelul Pascal).
Forţele care acţionează asupra fluidelor sunt de următoarele tipuri:
-forţe masice exterioare ce acţionează asupra întregii mase de fluid şi
sunt datorate unui câmp de forţe exterioare; de exemplu: câmpul gravitaţional,
câmpuri electrice şi/sau magnetice. Fluidul ce conţine particule ionizate este
utilizat de exemplu la generatoarele magneto-hidro-dinamice.
-forţe masice interioare – sunt de tipul acţiune-reacţiune, se exercită
între două particule învecinate din fluid şi se anihilează reciproc;
-forţe de presiune exterioare – se exercită pe suprafaţa exterioară a
fluidului şi sunt, în general, forţe de compresiune. Sunt de tipul forţelor de
legătură din mecanica clasică.
-forţe de presiune interioare – se exercită de o parte şi de cealaltă a unei
suprafeţe oarecare ce străbate fluidul (sunt orientate după aceeaşi direcţie şi de
sensuri opuse şi deci se anihilează reciproc).
7
Condiţia de echilibru a unui volum de fluid este:


 Fm +  Fp = 0 ,
condiţie ce se menţine şi în cazul în cazul în care fluidul se deplasează cu
viteză constantă (mişcarea uniformă).
Ecuaţia de mişcare pentru fluidul ideal este:



F
+
F
=
m

a
m  p
,
valabilă în cazul unei mişcări uniform variate.
Corespunde principiului al doilea al mecanicii.
Presiunea într-un punct din mediul fluid este o mărime scalară.
Cu alte cuvinte, din orice direcţie ne apropiem de punctul respectiv,
vom regăsi în locul respectiv aceeaşi valoare a presiunii.
Transmisiile hidraulice şi pneumatice fac legătura între maşinile de
forţă şi maşinile de lucru.
Se deosebesc sisteme de acţionare şi comandă, respectiv sisteme de
reglare, hidrostatice şi pneumostatice.
Transmisiile hidraulice şi pneumatice fac parte din structura maşinilor
unelte, a autovehiculelor, a aeronavelor, a navelor, roboţilor industriali.
Combinaţiile transmisiilor hidraulice şi pneumatice, a celor electrice şi
mecanice se regăsesc în cadrul unor sisteme complexe foarte productibile şi
fiabile din industria construcţiilor, cea minieră, petrolieră, chimică,
siderurgică.
Utilizând convertoare electrohidraulice, transmisiile hidraulice şi
pneumatice pot fi conduse utilizînd automate programabile sau calculatoare de
proces.
Aceste transmisii sunt folosite acolo unde gabaritul, respectiv greutatea
sunt minime, iar fiabilitatea solicitată este foarte ridicată.
8
Proprietăţile fluidelor
Se deosebesc proprietăţile fizice comune lichidelor şi gazelor, denumite
proprietăţi generale şi proprietăţile fizice specifice lichidelor.
Proprietăţile fizice generale ale fluidelor
1. Densitatea 
Pentru un fluid neomogen, densitatea este limita raportului dintre masa
de fluid din jurul punctului considerat şi volumul de fluid corespunzător atunci
când acest volum tinde către 0, adică:
m dm
=
V →0 V
dV
lim
Pentru un lichid omogen:
=
m  kg 
V  m3 
Inversul densităţii este volumul specific:
v=
1

utilizat de obicei în procesele termodinamice ale aburului.
Densitatea unui fluid variază cu temperatura după formula:
 =
unde:
0
1 + t 
 0 = densitatea la 0C
 = densitatea la temperatura 
 t = coeficientul de dilatare în volum al fluidului.
Daca  creşte      0 sau, urmând un alt raţionament, daca 
creşte  volumul V creşte, m=ct.   scade.
Densitatea lichidelor este, practic, constantă la variaţia de presiune.
Cu alte cuvinte, lichidele pot fi considerate incompresibile.
Densitatea gazelor este foarte variabilă la modificarea presiunii şi deci
gazele sunt foarte compresibile.
Pentru calculele la care este suficientă o precizie de două zecimale, se
poate considera că valoarea densităţii apei în intervalul de temperaturi uzuale
0-20C este:
9
 H O = 1000
2
kg
m3
2. Greutatea specifică 
Pentru un fluid neomogen, greutatea specifică este limita raportului
dintre greutatea de fluid din jurul punctului considerat şi volumul
corespunzător, atunci când volumul tinde către 0.
G dG
=
v →0 V
dV
 = lim
Pentru un fluid omogen:
 =
G N
,
V  m3 
unde  reprezintă greutatea unităţii de volum.
m g
m
=  rezultă:
Considerând:  =
şi
V
V
Deoarece g = 9,81 m/s2 , rezultă
 H O = 9810
2
3. Compresibilitatea izotermă
V
= − p
Este caracterizată de formula:
V
10
 = g.
N
.
m3
Dacă se produce o creştere de presiune în exteriorul volumului de fluid
considerat, p>0, atunci se constată o micşorare a volumului de fluid, V<0
şi invers, dacă p<0  V>0.
Formula anterioară arată că variaţia relativă a volumului de fluid este
direct proporţională cu variaţia de presiune, prin intermediul coeficientului de
compresibilitate izotermă .
Dacă la o creştere a presiunii din jurul fluidului de exemplu, are loc o
comprimare rapidă a acestuia, acest fapt se realizează la o temperatură
constantă şi de aceea compresibilitatea este considerată izotermă.
Se poate deduce expresia coeficientului :
 =−
1 V
V p
Pentru un volum infinitezimal se scrie expresia coeficientului funcţie de
diferenţialele volumului şi presiunii:
 =−
1 dV

V dp
Coeficientul de elasticitate al fluidului  este dat de:
=
1

= −V
dp
dV
Se exprimă în continuare sub altă formă coeficientul , pentru a
demonstra că în cazul transmiterii de unde în interiorul unui lichid, acesta nu
mai poate fi considerat incompresibil, lucru ce se face în mod uzual.
Pentru a demonstra acest lucru se porneşte de la considerentul că masa
de fluid luată în discuţie este constantă.
 dm = 0  d (V ) = 0 
dV + Vd = 0
  dV = −Vd 
dp

V

=

=


d
dV d
Viteza sunetului într-un mediu fluid este:
−
c=
dp

1
=
=

d
d
dp
11
Rezultă că pentru fenomenul de transmitere de unde sonore în lichid,
acesta nu mai poate fi considerat incompresibil.
Se demonstrează prin reducere la absurd:
Dacă  = ct
d
= 0  c → ,

dp
ceea ce este practic imposibil, deoarece sunetul se transmite totuşi cu viteză
finită prin lichid.
Se deduce deci că pentru fenomenul transmiterii de unde sonore într-un
lichid, acesta trebuie considerat compresibil. În această situaţie viteza
sunetului ce se transmite prin lichid va avea o valoare finită.
Se defineşte numărul lui Mach:
Ma =
V
,
c
unde:
V - viteza fluidului sau a corpului care evoluează în mediul fluid,
c - viteza sunetului în mediul respectiv.
Se obţine:
- pentru curgerea subsonică Ma  1 (V  c )
- pentru curgerea supersonică Ma  1 (V  c ) ,
deci de exemplu, corpul se deplasează prin mediul fluid cu o viteză mai mare
decât viteza sunetului.
4. Dilatarea termică
Variaţia relativă a volumului de fluid este direct proporţională cu
variaţia de temperatură:
V
=  t  T ,
V0
unde V0 reprezintă volumul iniţial de fluid.
Se observă, de exemplu, că la o creştere a temperaturii, are loc o
creştere a volumului de fluid considerat.
Relaţia se poate prelucra sub forma:
V1 − V0
=  t   T
V0
sau prin aducere la acelaşi numitor şi gruparea termenilor:
V1 = V0 (1 + tt  T )
unde Vf reprezintă volumul final de fluid.
12
5. Adeziunea la suprafeţe solide
Se constată experimental că un strat de fluid din imediata apropiere a
unei suprafeţe solide rămâne în repaus împreună cu suprafaţa, eventual
execută acelaşi tip de mişcare odată cu suprafaţa. Se spune că stratul de fluid
aderă la suprafaţa solidă.
Grosimea acestui strat de fluid este  1100 dintr-un milimetru.
Se observă din figura precedentă că straturile de fluid superioare
stratului aderent încep să se mişte, viteza acestora crescând treptat, pe măsura
depărtării de corpul solid.
6. Vâscozitatea
 m2 
Se deosebesc vâscozitatea cinematică    şi vâscozitatea dinamică
 s 
N s
kg 
  2  ; 
.
 m   m  s 
Mărimea vâscozităţii semnifică intensitatea frecării ce se produce la
curgerea fluidului. Odata cu scăderea temperaturii, vâscozitatea lichidelor
creşte, iar a gazelor scade.
Între cele două vâscozităţi există relaţia:
 =  
Se disting două tipuri de fluide :
-fluide ideale (fără vâscozitate). Nu există frecări şi nici pierderi de
energie în cazul curgerii acestora.
13
-fluide reale (au proprietatea de vâscozitate). Cu ajutorul vâscozităţii se
pot determina eforturile tangentiale, fortele de frecare şi pierderile de energie.
Calculul efortului tangenţial τ
Formula efortului tangenţial a fost dedusă cu ajutorul experienţei lui
Newton.
În cadrul experienţei se consideră două plăci plane, solide: cea de jos în
repaus iar cea de sus în mişcare rectilinie uniformă, conform figurii:
Placa superioară ce se găseşte în mişcare rectilinie şi uniformă cu viteza
U antrenează în mişcare uniformă cu aceeaşi viteză primul strat de fluid de sub
placă, datorită proprietăţii de adeziune.
Acesta, prin intermediul eforturilor tangenţiale  , antrenează succesiv
la rândul lui următoarele straturi inferioare, a căror viteză descreşte însă liniar,
pe măsura apropierii de placa de bază fixă.
Stratul inferior de fluid aderă la placa fixă şi rămâne deci în repaus.
S-a constatat că efortul tangenţial  este o funcţie de variaţia de viteze
dintre straturi estimată cu ajutorul derivatei şi este proporţional cu vâscozitatea
dinamică a fluidului, η :
 =
du
u

dy
y
Aproximarea diferenţialelor cu ajutorul diferenţelor se face în cazul în
care distanţa h se poate considera suficient de mică.
14
La contactul dintre două straturi învecinate, efortul se poate exprima cu:
 =
du
dy
În cazul experienţei, considerând h mic, rezultă:
U
  ,
h
unde U este viteza părţii mobile.
Se poate determina în continuare forţa de frecare ce apare la curgerea
fluidului cu relaţia:
Ff =   A
A fiind suprafaţa unei plăci aflată în contact cu fluidul.
7. Conductibilitatea termică
Este proprietatea fluidului de a transmite căldură.
Interesează de obicei determinarea temperaturii unui anumit strat din
interiorul unui mediu fluid prin care se transmite căldură.
Transmiterea de căldură poate fi caracterizată de fluxul termic q a cărui
sens, de la placa mai caldă spre placa mai rece este precizat în figura
următoare:
Pentru determinarea temperaturii , corespunzătoare unui strat situat la
distanţa y de placa de bază care are temperatura cea mai mică, θ’ , se face
asemănarea triunghiurilor dreptunghice din figură:
Se obţine:
 − | y
=
 || −  | h

15
 =  (y)
Fluxul termic de la placa superioară la cea inferioară este dată de

formula lui Fourier :  q = −kq 
.
h
Semnul minus arată că fluxul termic se transmite în sens invers axei Oy.
k q reprezintă coeficientul de conductibilitate termică.
8. Difuzia masică
Difuzia masică este proprietatea unui fluid de a se răspândi în interiorul
uni alt fluid, proces datorat agitatiei termice moleculare.
Se pune problema determinării concentraţiei fluidului F1 ce difuzează
într-o anumită zonă ocupată de fluidul F2.
În cazul unui vas umplut parţial cu alcool de exemplu, deasupra căruia
se găseşte aer, se poate determina concentraţia alcoolului difuzat în aer, la o
anumită distanţă de suprafaţa liberă a alcoolului.
În vecinătatea suprafeţei libere a alcoolului din vas vaporii de alcool au
o concentraţie de saturaţie, ce reprezintă de fapt concentraţia maximă a
vaporilor de alcool.
La distanţa maximă de suprafaţa liberă a lichidului concentraţia are
valoarea minimă C .
Se doreşte determinarea concentraţiei vaporilor de alcool în aer într-un
strat oarecare, orizontal, figurat pe desen cu linie întreruptă.
16
Făcând asemănarea triunghiurilor dreptunghice din figură, rezultă:
C − C h − y
=
 C = C( y )
CS − C
h
Fluxul masic  m este dat de legea lui Fick:
m = k m 
C
h
şi se transmite în sensul pozitiv al axei Oy, adică din zona cu concentraţie de
alcool mai mare spre zona cu concentraţie minimă.
km reprezintă coeficientul de difuzie masică.
Aplicaţii la proprietatea de densitate
1. Să se calculeze densitatea metanului la temperatura de 20°C şi
presiunea de 780 mm Hg.
Rezolvare
Masa moleculară a metanului (CH4) este M = 12+4=16 kg/kmol.
Volumul unui kmol de metan la presiunea p0 corespunzătoare unei
înălţimi coloană de mercur de 760 mm şi temperatura t0 = 0°C (T0= 273°K)
este V0 = 22,4 m3/kmol.
Ca urmare densitatea metanului în condiţiile precedente este:
M
16
0 =
=
= 0,714kg / m3
V0 22,4
Deoarece masa de gaz luată în considerare rămâne constantă, se poate
aplica formula de transformare a stării gazului:
p
p
= 0
T 0T0
Se obţine astfel densitatea corespunzătoare stării finale:
p T0
780 273
=
0 =
0,714 = 0,683kg / m3
p0 T
760 273 + 20
2. Să se calculeze densitatea apei aflată la presiunea de 200 atm.
Rezolvare
Se utilizează formula coeficientului de elasticitate al fluidului:
17
=
dp
d
unde ε este modulul de elasticitate al apei, a cărui valoare se consideră
constantă şi egală cu 1,96*109 N/m2.
Se separă variabilele şi rezultă:
d  dp
=


Această ecuaţie se integrează între starea iniţială corespunzătoare
presiunii de 1 atm şi starea finală.
Rezultă:

p − p0
ln 1 = 1
0

de unde se obţine densitatea în starea finală:
p1 − p0
p1 − p0
1

sau 1 = 0e 
=e
0
p − p0
Deoarece termenul 1
este foarte mic, se poate utiliza dezvoltarea

în serie pentru funcţia exponenţială şi rezultă:
2
1
p1 − p0 1  p1 − p0 
p1 − p0
=1+
+ 
+
...

1
+

0

2  

După înlocuiri se obţine:
1
200 *101325 − 101325
=1+
= 1,0103
0
1,96 *109
deci variaţia densităţii este de 1%.
Aplicaţie la dilatarea termică
Într-un rezervor cilindric vertical cu diametrul interior d = 10 m se
depozitează 100 tone de petrol cu densitatea ρ = 850 kg/m 3 la temperatura de
0°C. Să se determine oscilaţiile de nivel în rezervor dacă temperatura creşte la
45°C. Se neglijează dilatarea rezervorului şi se consideră că valoarea
coeficientului de dilatare termică a petrolului este βt = 0,00072 grad-1.
Rezolvare
Se determină iniţial volumul petrolului din rezervor la 0°C:
m 100000
V0 = =
= 117,6m3

850
18
Se aplică formula de la dilatarea termică:
V
=  t  T
V0
de unde se deduce variaţia de volum:
V = tV T = tV t = 0,00072 *117,6 * 45 = 3,81m3
Creşterea de nivel în rezervor va fi:
V 4V 4 *3,81
h=
=
=
= 0,0485m
S
D 2  *100
ceea ce semnifică o creştere neglijabilă de nivel.
Aplicaţie la proprietatea de vâscozitate
Se consideră un arbore tronconic ce se roteşte cu viteza unghiulară  în
interiorul unui lagăr. Cunoscând vâscozitatea dinamică η a uleiului lubrifiant
şi valoarea constantă a interstiţiului δ, să se determine momentul total rezistent
produs prin frecare.
19
Rezolvare
Analizând porţiunea tronconică, se constată că τ este variabil cu raza:
du
u
r
xtg
=  =
=
dy



Acest efort tangenţial se menţine constant pe o suprafaţă de forma unei
fâşii circulare de pe suprafaţa laterală a trunchiului de con, de lungime
elementară ds:
dx
tg 
dA = 2rds = 2xtg 
= 2
xdx
cos 
cos 
Forţa elementară devine deci:
xtg 
tg 
 tg 2 2
dF = dA =
2
xdx = 2
x dx

cos 
 cos 
şi momentul elementar:
 tg 2 2
 tg 3 3
dM = dFr = 2
x dxxtg  = 2
x dx
 cos 
 cos 
Momentul rezultant pe suprafaţa laterală este:
h
  tg 3 4
M l =  dM =
h
0
2  cos 
Pe bazele trunchiului de con, aria elementară se scrie sub forma:
dA = 2rdr
şi deci forţa elementară este:
r
 2
dF = dA =  2rdr = 2
r dr


Momentul elementar este:
 3
dM = dFr = 2
r dr

şi deci momentul rezultant pe baza mică este:
R1
  4
M 1 =  dM =
R1
0
2 
iar pe baza mare, prin analogie:
  4
M2 =
R2
2 
Momentul rezistent total este atunci:
  tg 3 4   4   4   tg 3 4
M = M l + M1 + M 2 =
h +
R1 +
R2 =
(
h + R14 + R24 )
2  cos 
2 
2 
2  cos 
20
Proprietăţile fizice specifice lichidelor
1. Tensiunea superficială
Se constată experimental că suprafaţa liberă a unui lichid se găseşte întro stare de tensiune asemănătoare cu a unei membrane elastice întinse.
Forţa care se exercită pe unitatea de lăţime la suprafaţa exterioară a
fluidului este dată de tensiunea superficială .
Ca urmare a acţiunii tensiunii superficiale, la suprafaţa liberă rămâne un
număr minim de particule, cât sunt absolut necesare pentru a forma această
suprafaţă.
Din acest motiv, volume mici de lichid iau forma sferică, (eventual
elipsoidală), ştiut fiind faptul că sfera este corpul geometric cu volum maxim
la suprafaţă exterioară minimă. (O picătură de apă aflată în cădere, picături de
apă pe fundul unui vas cu ulei).
O suprafaţă exterioară a unui volum mic de lichid corespunde unei
energii superficiale minime:
W = A
Se poate deduce diferenţa de presiune dintre zona interioară a fluidului
şi cea exterioară cu ajutorul formulei lui Laplace:
1
1 
p1 − p2 =   +  – pentru elipsoidul din figură.
 R1 R2 
Dacă R1 = R2 = R elipsoidul devine sferă şi se obţine:
2
p1 − p 2 =
R
21
2. Capilaritatea
Eeste o consecinţă a proprietăţilor de adeziune şi tensiune superficială.
Se constată că lichidele cu densitate mică urcă în tuburile capilare ce au
diametrul interior de ordinul zecimilor de milimetri, cu o cotă h faţă de
suprafaţa liberă a lichidului, conform figurii a.
figura a
figura b
Lichidele cu densitate mare coboară în tuburile capilare cu o cotă h,
conform figurii b.
Citirea înălţimilor coloanei de lichid denivelate, h, se face plecând de la
planul suprafeţei libere a lichidului până la planul orizontal tangent la
suprafaţa liberă a lichidului din tubul capilar.
Pentru determinarea cotei h se egalează rezultanta forţelor de tensiune
superficială calculată pe circumferinţa suprafeţei libere, cu greutatea
volumului de lichid ce a urcat în tubul din figura a:
2  r  cos  = m  g =  V  g
2  r   cos =    r 2  h  g
formula lui Jourin : h =
22

2  cos
 rg
3. Absobţia gazelor
Fenomenul de absorbţie a gazelor într-un lichid se produce odată cu
creşterea presiunii sau scăderea temperaturii. Apa, în condiţii normale de
presiune şi temperatură, conţine 2% aer.
4. Degajarea gazelor şi cavitaţia
Degajarea gazelor se produce odată cu scăderea presiunii sau creşterea
temperaturii din jurul mediului lichid. (de exemplu fierberea apei)
Cavitaţia este fenomenul ce se produce la scăderea presiunii până la
nivelul presiunii de vaporizare al lichidului. În aceste condiţii, se formează
cavităţi în interiorul lichidului aflat în curgere, care sunt umplute cu gaze
conţinute anterior în lichid, cavităţi ce se reabsorb odată cu creşterea
ulterioară a presiunii.
Fenomenul este însoţit de procese mecanice (presiuni foarte mari),
chimice (se degajă oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade),
electrice (fulgere în miniatură), ce conduc împreună la distrugerea materialului
metalic.
Distrugerea palelor rotoarelor de pompă cuplate la motoare asincrone
conduce la asimetrii în masa acestora, ce conduc la bătăi în lagăre şi
obligativitatea opririi instalaţiei şi înlocuirea rotorului, cu costuri ridicate
pentru piesă şi manoperă.
În mod similar se poate produce distrugerea palelor rotoarelor de
turbină, în special la turbinele de abur, la ieşirea din ultima treaptă, cea de
joasă presiune, turbine cuplate la generatoare sincrone, cu pagube similare.
Pentru evitarea fenomenului de cavitaţie, se asigură de regulă în amonte
de zona periclitată, o presiune suficient de mare, pentru a nu scădea presiunea
în zona critică până la valoarea presiunii de vaporizare.
Aplicaţie la proprietatea de tensiune superficială
Să se calculeze înălţimea la care urcă lichidul de densitate ρ între două
plăci plane, verticale şi paralele, care se găsesc la distanţa d una de cealaltă. Se
cunoaşte tensiunea superficială a lichidului σ. Cum se modifică această
înălţime dacă plăcile, în număr de patru, se dispun sub forma unui
paralelipiped şi se neglijează efectele de colţ? Se consideră că latura pătratului
orizontal obţinut din secţionarea paralelipipedului este egală cu l.
23
Rezolvare
Se egalează forţa de tensiune superficială ce menţine lichidul ridicat la
înălţimea h între plăci cu greutatea volumului de lichid corespunzătoare
aceleiaşi înălţimi. Calculul se face pe unitatea de lungime de la suprafaţa
lichidului.
Greutatea lichidului ce urcă între plăci datorită tensiunii superficiale
este:
G = mg = Vg = d1hg = dhg
Forţa de tensiune superficială se exercită la contactul dintre lichid şi
plăci, la suprafaţa liberă, pe unitatea de lungime a plăcilor.
Deoarece sunt două plăci se obţine:
F = 21 = 2
Egalând forţele rezultă că:
dhg = 2
de unde se obţine înălţimea h:
2
h=
dg
Pentru cazul al doilea greutatea devine:
G = Vg = l 2 hg
iar forţa de tensiune superficială este:
F = 4l = 4l
Egalând forţele rezultă că:
l 2 hg = 4l
de unde se obţine înălţimea h:
4
h=
l g
şi pentru l = 1 înălţimea devine:
4
h=
g
24
Statica fluidelor
Se consideră că asupra fluidului în repaus acţionează forţele masice
exterioare şi forţele exterioare de presiune.
Pentru o masă infinitezimală de fluid în repaus, ecuaţia vectorială de
echilibru este :
d Fm + d Fp = 0
Ecuaţiile de repaus ale fluidelor
Se consideră o particulă infinitezimală, paralelipipedică, de dimensiuni
dx, dz şi dy şi se figurează toate forţele exterioare ce acţionează asupra
particulei:
Particula este de dimensiuni infinitezimale deoarece în acest mod se
poate considera că presiunea p din origine se regăseşte cu aceeaşi valoare pe
toate cele trei feţe ce conţin originea. În acest mod se poate aplica formula cea
mai simplă de calcul a forţei, ca produsul dintre presiune şi suprafaţa aferentă.
Pe feţele opuse presiunea suferă modificări (de exemplu, pe direcţia Ox
p
dx ).
avem variaţia de presiune
x
Forţa masică infinitezimală este dată de:
25
dFm = f m  dm
unde f m este forţa masică unitară (pentru care masa m = 1):
f m = Xi + Yj + Zk
X, Y şi Z sunt componentele forţei masice unitare (masa este
considerată egală cu unitatea şi atunci fm devine o forţă) după cele trei direcţii
asociate cu versorii i,j şi k.
Diferenţiala masei fluidului din particulă este dată de:
dm =   dV = dxdydz
Se obţine forţa masică infinitezimală, respectiv componentele ei după
cele trei axe:
(
)
dFm = Xi + Yj + Zk   dxdydz
Se obţin componentele forţei masice după cele trei axe:
dFmx = X  dxdydz
dFmy = Y  dxdydz
dFmz = Z  dxdydz
Componenta forţei de presiune după axa OX se deduce făcând bilanţul
forţelor orientate după axa respectivă din figură:
p 
p

dFpx = pdydz −  p + dx dydz = − dxdydz
x 
x

Componentele după axele OY şi OZ se deduc în mod analog.
Se scrie ecuaţia vectorială iniţială după cele trei direcţii făcând
înlocuirile componentelor de forţă şi rezultă:
Ecuaţiile de repaus :
p
1 p
1 p
dxdydz = 0  X −
=0 
= X i
 x
 x
x
1 p
p
1 p
=0 
=Y j
Oy : Y  dxdydz − dxdydz = 0  Y −
 y
y
 y
Ox : X  dxdydz −
1 p
1 p
p
= Z k
=0 
dxdydz = 0  Z −
 z
 z
z
Prin înmulţirea ecuaţiilor cu versorii axelor şi adunarea celor trei
ecuaţii membru cu membru rezultă:
Oz : Z  dxdydz −
26

1  p p
p 
i
+
j
+
k  = Xi + Yj + Xk
  x y
z 
şi utilizând gradientul presiunii se obţine în final ecuaţia vectorială a fluidului:
1

gradp = f m
Aceasta semnifică echilibrul în spaţiul tridimensional al forţelor unitare
de presiune cu forţele masice unitare ce acţionează asupra fluidului din
particula considerată iniţial.
Utilizând proprietăţile de omogenitate şi izotropie ale mediului fluid, se
deduce faptul că ecuaţiile anterioare deduse pentru o particulă de fluid sunt de
fapt valabile pentru întregul fluid aflat în repaus.
Relaţia fundamentală a staticii fluidelor
Se porneşte de la ecuaţia vectorială de echilibru dedusă anterior:
1
gradp = f m

Pentru a putea integra ecuaţia vectorială este necesar să se exprime
forţele masice unitare tot cu ajutorul unui gradient:
f m = − gradU
unde U = potenţialul forţelor masice unitare.
Se obţine prin înlocuire în ecuaţia vectorială:
1

1
gradp + gradU = 0   gradp + gradU dr = 0



Se calculează ca exemplu:
 p p
p 
p
p
p
gradp  dr =  i + j + k  dxi + dy j + dz k = dx + dy + dz = dp 
z 
x
y
z
 x y
(
)
gradp  dr = dp
şi se obţine:

1
dp + dU = 0

- relaţia fundamentală a staticii sub formă
diferenţială, iar prin integrare se obţine:

dp
  + U = ct
- relaţia fundamentală a staticii sub formă
integrală.
27
Se deduc în continuare diversele forme ale relaţiei fundamentale a
staticii fluidelor:
1.Relaţia fundamentală a staticii pentru fluide incompresibile
Pentru fluidele incompresibile  = ct. şi efectuând integrala rezultă:
p
+ U = ct


p + U = ct
2.Transformarea izotermă a gazelor
Relaţia fundamentală în cazul repausului izoterm al fluidelor uşoare se
deduce în condiţia T = ct pentru care pV = ct şi considerând că masa de gaz
nu se schimbă în cursul transformării, m = ct , se obţine:
p
m
= ct


p
= ct

Ecuaţia de transformare a stării gazului faţă de starea iniţială, a cărui
parametri termodinamici sunt notaţi cu indicele 0, este:
p p0
=
 0

p=
p0
p
p d
   dp = 0  d   0  + U = ct
0
0
0 
p0
ln  + U = ct , şi în final:
0
p0
ln  + U = ct
0

3.Transformarea adiabatică a gazelor
pV k = ct
mk
p k = ct , m = ct


p
= ct
k
p0
p
=
ct
dp
=
 k   k −1 d

k
K
0

p0
k −1 d

k


+ U = ct 
k
 0

28
p0
 k   k − 2d + U = ct 
k
0
p0 k

  K −1 + U = ct
K
 0 k −1
4.Transformarea politropă a gazelor
pV n = ct , cu n − exponentul politropic.
Se obţine în mod analog:
p0
 0n

n
  n −1 + U = ct
n −1
Calculul potenţialului forţelor masice unitare
f m = − gradU  gradU = − f
(
)(
m

(gradU )dr = −( f m )dr
)

dU = − X i + Y j + Z k dxi + dy j + dz k = −( Xdx + Ydy + Zdz )
şi se obţine expresia potenţialului forţelor masice unitare:
U = −  ( Xdx + Ydy + Zdz )
Consecinţele relaţiei fundamentale ale repausului fluidelor
1.Suprafeţele echipotenţiale (U = ct ) sunt şi suprafeţe izobare :
p + U = ct

 = ct
2.Suprafeţele echipotenţiale (U = ct ) sunt şi suprafeţe izodense:
 = ct
3.Suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izoterme:
T = ct
4.Două suprafeţe echipotenţiale nu se intersectează.
Prin reducere la absurd, în cazul în care suprafeţele s-ar intersecta, se
deduce că în zona intersecţiei am avea două presiuni, ceea ce este imposibil .
Deci suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează.
29
5.Forţa masică unitară este orientată perpendicular pe suprafaţa
echipotenţială în sensul creşterii presiunii şi scaderii potenţialului.
6.Două lichide nemiscibile au suprafaţa de separaţie echipotenţială.
- pentru primul lichid obţinem: dp = − 1U
dp = −  2U
- pentru al doilea lichid:

( 2 − 1 )dU = 0  dU = 0  U = ct
7.Într-un fluid în repaus, în care forţele masice sunt neglijabile în raport
cu cele de presiune, se consideră că presiunea rămâne constantă în întreg
volumul de fluid considerat.
f
m
= 0 , din f m = − gradU  gradU = 0  U = ct

p = ct
p + U = ct
principiul lui Pascal
Aplicaţii ale principiului lui Pascal
1.Presa hidraulică
Deoarece forţele de presiune sunt foarte mari faţă de forţele masice se
poate considera că presiunea p = ct în toată masa de lichid. Atunci se obţine:
F2 F1
=
S 2 S1

30
F2 = F1 
S2
S1
Se aplică conservarea momentului forţelor faţă de articulaţia 0:
F (a + b) = F1  b

F1 = F 
a+b
b

F2 = F 
a + b S2
  F
b S1
2.Amplificatorul hidraulic de presiune
Se consideră că forţa transmisă prin bara rigidă, orizontală, ce leagă
pistoanele din cei doi cilindri de diametre interioare diferite este constantă:
F = ct

p2  S 2 = p1  S1

p 2 = p1 
S1
 p1
S2
S-a obţinut astfel o presiune mult mai mare p2 faţă de presiunea p1.
Repausul fluidelor în câmpul gravitaţional
p + U = ct
fm = X i + Y j + Z k = −gk
U =  − ( Xdx + Ydy + Zdz ) = -gz + ct
S-a considerat că X = Y = 0
deoarece nu există atracţie pe
orizontală în câmpul gravitaţional.
p + U = ct
U = gz + ct
31

p + gz = ct
Deoarece g =  
p
p + z = ct sau + z = ct

Interpretarea energetică a relaţiei fundamentale:
p
+ z = ct

g = 

p
+ z = ct
g
p
 Vg + z  mg = ct
g

p
 mg + z  mg = ct
g
m = V


pV + mgz = ct
Suma dintre energia de presiune si cea potenţială rămâne constantă.
Principiul vaselor comunicante:
p + z = ct
p = p at = ct

z = ct
Se constată deci că în cazul în care pe suprafeţele libere ale lichidului
din cele două vase comunicante acţionează aceeaşi presiune, lichidul se ridică
la acelaşi nivel în fiecare vas.
Calculul presiunii în interiorul unui lichid în repaus :
p + z = ct
pM + z N = p N + z N
p M = p N +  (z N − z M ) = p N +   h
p M = pat +   h
p M = pat + gh
32
Repartiţia de presiuni pe pereţii solizi ai unui rezervor
Deoarece presiunea creşte liniar cu adâncimea conform ultimei relaţii,
se obţine o repartiţie triunghiulară de presiuni cu unghiul la vârf α dat de:
tg =
h
=
h
Repartiţia de presiuni pentru trei lichide nemiscibile (ce nu se amestecă)
se obţine ţinând cont că lichidul cu greutate specifică mai mare se lasă la
fundul vasului iar cel cu greutate specifică mai mică se ridică la suprafaţă.
Unghiul la vârf creşte cu adâncimea, deci odată cu creşterea greutăţii
specifice a lichidului respectiv.
Presiunea la baza rezervorului se obţine ca sumă a presiunilor data de
cele trei coloane de lichid suprapuse (suma segmentelor de la bază din dreapta
desenului).
Repausul relativ al fluidelor în câmpul gravitaţional
Un fluid se găseşte în repaus relativ, dacă se află în repaus faţă de un
sistem de referinţă mobil, aflat în mişcare uniform variată faţă de un alt sistem
de referinţă fix.
Exemple: - lichidul dintr-un camion aflat în mişcare uniform accelerată.
- lichidul dintr-un vas aflat în mişcare circulară uniformă.
Pentru a analiza situaţia ne putem situa pe sistemul de referinţă fix
(pământ) pentru care se aplică principiul al II-lea al dinamicii (lichidul se
mişcă o dată cu vehiculul respectiv) sau ne situăm pe observatorul mobil unde
apare forţa de inerţie si pentru care:
33
F =0
:
Fm + F p + Fi = 0

Fi = −ma

Fm + F p = ma
Considerăm că observatorul se găseşte pe sistemul mobil, deci se ia în
considerare forţa de inerţie, pentru care ecuaţia vectorială de echilibru este :
1

gradp = f m + fi
Se obţine în mod analog cu repaosul absolut relaţia fundamentală a
repausului relativ:
p + U T = ct
unde UT este potenţialul total al forţelor masice unitare şi al forţelor unitare de
inerţie şi este dat de:
UT = U + U i
Pentru a efectua calculele într-o situaţie practică concretă se determină
iniţial expresia potenţialului total şi apoi prin înlocuirea acestuia în relaţia
fundamentală a repaosului relativ se poate obţine repartiţia de presiuni pe
pereţii solizi cu care fluidul se află în contact, respectiv zona solicitată la
presiune maximă, deci cea care poate ceda prima la solicitări.
Analiza mişcării de translaţie a unui rezervor umplut parţial cu lichid
Problema se rezolvă în două etape:
1.Determinarea ecuaţiei suprafeţei libere:
Se porneşte de la relaţia fundamentală a repaosului relativ:
p + U T = ct
şi se determină expresia potenţialului total cunoscând componentele forţei
masice unitare şi ale forţei unitare de inerţie:
U T = −  ( X + X i )dx + (Y + Yi )dy + (Z + Z i )dz
34
X i = −a
X =0
fm =
fi =
Y =0
Yi = 0
Zi = 0
Z = −g
Prin înlocuire rezultă:
U T = −  (−adx − gdz ) = ax + gz + ct
Deoarece pe suprafaţa liberă a lichidului presiunea este constantă şi
egală cu cea atmosferică:
p = p at = ct
se deduce prin înlocuire în relaţia fundamentală a repaosului relativ că:
U T = ct
Cu alte cuvinte, suprafaţa liberă a lichidului este o suprafaţă de potenţial
total constant.
Se deduce ca urmare ecuaţia suprafeţei libere a lichidului utilizând
faptul că punctul A se găseşte pe această suprafaţă:
b
+ gh0 = C
2
a
ab
b
b

z
=
−
x
+
+ h0
A
,
h
ax
+
gz
=
a
+
gh


Pentru

0
0 
g
2g
2
2

ax + gz = C
a
Aceasta este de fapt ecuaţia unei drepte cu pantă negativă ce corespunde
suprafeţei libere a lichidului din desenul prezentat anterior.
2.Repartiţia de presiuni în interiorul lichidului şi pe pereţii solizi
Prin înlocuirea formei finale a potenţialului total în formula presiunii se
obţine:
p +  (ax + gz ) = C2
Punând din nou condiţia ca punctual A să se găsească pe suprafaţa
liberă, la presiunea atmosferică, se obţine:
 ab
 ab


p at +   + gh0  = C 2  p = p at +  
+ gh0  −  (ax + gz )
 2
 2


adică presiunea în interiorul lichidului şi pe pereţii solizi interiori este o
funcţie liniară de două variabile spaţiale, p = p(x, z ) .
Punând condiţiile necesare pentru fiecare parte a suprafeţei solide cu
care lichidul vine în contact, se obţine în final repartiţia de presiuni pe pereţii
rezervorului:
35
Se observă că zonele cele mai solicitate sunt cele corespunzătoare
muchiilor ce trec prin origine şi extremitatea jos dreapta. Se vor lua măsurile
adecvate pentru a spori rezistenţa rezervorului în zonele respective.
Acţiunea fluidelor în repaus asupra suprafeţelor solide
Prin analogie cu mecanica clasică se poate considera că acţiunea
fluidului poate fi caracterizată de o forţă rezultantă şi un moment rezultant ce
formează împreună un torsor.
Se consideră iniţial forţa cu care acţionează fluidul asupra unui element
de suprafaţă infinitezimal:
dFp = − p  ndS
deci pe acea suprafaţă infinitezimală pe care presiunea p se poate considera
constantă. Forţa totală pe întreaga suprafaţă este atunci:
Fp = −  p  ndS
S
iar momentul corespunzător tuturor forţelor de presiune este:
36
M =  r  ( − p  ndS )
M =  n  rpdS

S
S
Acţiunea fluidelor în repaus asupra suprafeţelor plane
Pe o suprafaţă plană, normala n are aceeaşi orientare constantă şi ca
urmare:
Fp = −n  pdS
S
iar momentul tuturor forţelor devine:
M = n   rpdS
S
Pentru determinarea vectorului de poziţie corespunzător punctului de
aplicaţie al rezultantei ( rC ) , (C − centrul de presiune
) se aplică:
Teorema lui Varignon:
Momentul rezultantei este egal cu suma momentelor tuturor forţelor ce
acţionează asupra fluidului considerat.
M = rC  Fp


M = rC   −n  pdS  = n  rC  pdS
S
 S


Se egalează cele două expresii ale momentului şi rezultă:
rC =
 rpdS
S
 pdS
S
ce reprezintă expresia vectorului de poziţie sub formă generală.
Pentru a putea obţine în continuare formule simplificate se
particularizează forma suprafeţei pe care acţionează fluidul.
37
Acţiunea fluidelor uşoare în repaus asupra suprafeţelor plane
În cazul fluidelor uşoare se poate considera că presiunea în întreg mediu
fluid este constantă şi ca urmare şi presiunea poate ieşi în faţa integralei:
p = ct Fp = −n  pdS
S
 Fp
= −np  dS  Fp = −np  S

F p = pS
S
Forţa cu care acţionează un fluid uşor asupra unei suprafeţe solide plane
este deci egală cu produsul dintre presiunea fluidului uşor şi aria suprafeţei
solide pe care acţionează acesta.
Pentru determinarea vectorului de poziţie al centrului de presiune,
punctul de aplicaţie al forţei rezultante rezultă:
-din
rC =
 rpdS
S
 pdS
şi cu p = ct 
rC =
 rpdS
S
 pdS

S
S

rC = rG
rC =
 rdS
S
 dS
=
rG  S
S

S
C G
Centrul de presiune coincide deci cu centrul de greutate al suprafeţei pe
care acţionează fluidul uşor.
Deoarece s-au dedus atât modulul forţei de presiune cât şi punctul de
aplicaţie al acesteia, problema se consideră rezolvată.
Acţiunea fluidelor grele în repaus asupra suprafeţelor plane
38
Deoarece p at acţionează totodată sub suprafaţa solidă, se ia în
considerare numai efectul presiunii date de lichid (suprapresiunea).
pabs = pat + h , suprapresiunea este: p = h
Fp = −n   hdS = −n  y sin   dS  Fp = −n sin   ydS
S
S
S
 ydS -este momentul static al suprafeţei S faţă de axa Ox .
S
 ydS = y
G
S
S
Fp = −n sin   ydS

Fp = −n SyG sin 

Fp = −n hG S
S
Modulul forţei de presiune este deci Fp = γhGS , unde:
hG este distanţa de la planul suprafeţei libere a lichidului până la centrul
de greutate al suprafeţei udate de lichid (sau adâncimea centrului de greutate
al suprafeţei udate). S este aria suprafeţei udate de lichid.
Se determină în continuare coordonatele punctului de aplicaţie al forţei.
rC =
 r  hdS
S
  hdS
S
=
  r y sin   dS
S
  y sin   dS
=
 r y  dS
S
S
 y  dS

rC =
 ry  dS
S
yG  S
S
Se determină separat coordonatele carteziene ale centrului de presiune
notat cu C .
xG =
 xydS
S
yG  S
=
I xy
yG  S
unde Ixy este momentul de inerţie centrifugal al suprafeţei S faţă de sistemul
de axe.
 y dS
2
yG =
S
yG  S
=
Ix
yG S
unde Ix este momentul de inerţie centrifugal al suprafeţei S faţă de axa Ox .
39
Pentru a putea exprima momentul de inertie cu formule cunoscute, se
trece de la sistemul de axe xOy la sistemul x'Gy' aplicând teoremele lui
Steiner. Se obţine:
I xy = xG  yG  S + I x ' y '
I x = yG2  S + I x'
xC = xG +
Ix' y'
yG  S
I
yC = yG + x '
yG  S
sunt coordonatele centrului de presiune C ,
unde se aplică forţa rezultantă Fp .
Aplicaţie:
Acţiunea apei asupra suprafeţei solide plane verticale şi dreptunghiulare
a unei stavile.
Metoda I
Forţa de presiune se poate calcula cu ajutorul presiunii medii cu care
lichidul acţionează asupra stavilei:
h + 0
Fp = pm  S =
bh ,
2
h 2 b
Fp =
2
Coordonata verticală a centrului de presiune se determină cu ajutorul
diagramei triunghiulare de suprapresiuni din desenul anterior ce are rezultanta
situată la două treimi din adâncime faţă de suprafaţa liberă a lichidului şi
evident la o treime de bază:
yC =
2h
3
40
Metoda a II-a:
Se aplică formule deduse în curs şi rezultă:
h 2 b
F p = hG  S , F p =
2
xC = 0 ,
bh3
I
h
h h 2h
yC = yG + x ' = + 12 = + =
yG  S 2 h bh 2 6 3
2
Acţiunea fluidelor în repaus asupra suprafeţelor curbe deschise
Deoarece curbura unei suprafeţe poate sa fie oarecare în spaţiu, este de
preferat să se determine separat componentele dupa cele 3 axe ale forţei de
presiune şi să se determine ulterior rezultanta .
Acţiunea fluidelor uşoare în repaus asupra suprafeţelor curbe deschise
Componentele forţei elementare sunt:
dFpx = dFp  i = − p  n  idS
n  i = 11 cos  
dF px = − pdS cos  sau
dF px = − pS yOz Rezultă forţele:
F px = −  pdS yOz
S yOz

F py = −  pdS xOz
S xOz
F pz = −  pdS xOy
S xOy
Vectorii de poziţie se calculează în mod similar cu cazul suprafeţei
plane, cu precizarea că integralele se efectuează pe proiecţiile suprafeţei curbe
deschise în cele 3 plane de coordonate x, y şi z.
41
p = ct
F px = −  pdS yOz
F px = pS yOz
F py = pS xOz
S yOz
F pz = pS xOy
S yOz este de exemplu aria proiecţiei suprafeţei curbe udate în planul
yOz .
Acţiunea fluidelor grele în repaus asupra suprafeţelor curbe deschise
În mod similar cu procedeul aplicat în cazul acţiunii lichidelor asupra
suprafeţelor plane se deduc expresiile componentelor de forţă după cele trei
direcţii ale sistemului triortogonal:
Fx =   zG'  S yOz
Fy =   zG''  S xOz
Fz = V ,
rC''' = rG
zG' este adâncimea centrului de greutate a suprafeţei curbe udate în
planul yOz iar V este volumul cuprins între suprafaţa curbă udată şi
unde
proiecţia ei în planul suprafeţei libere a lichidului (planul xoy).
Componentele orizontale de forţă acţionează în proiecţiile centrului de
greutate al suprafeţei udate în planele verticale.
Componenta verticală de forţă orientată după axa Oz acţionează în
centrul de greutate al volumului de lichid V.
42
Acţiunea fluidelor în repaus asupra suprafeţelor curbe închise
Corpurile măginite în mod firesc de suprafeţe curbe închise pot fi
cufundate parţial sau total în lichid. Se analizează în continuare cazurile
cufundării complete a unui corp într-un fluid uşor, respectiv greu.
Acţiunea fluidelor uşoare în repaus asupra suprafeţelor curbe închise
Rezultanta forţelor de presiune dată de fluidul uşor este nulă. (exemplu:
o minge aflată pe o suprafata plană în interiorul unui gaz rămâne în repaus).
Aceasta este totuşi o aproximaţie inginerească deoarece pe verticală
asupra mingii acţionează o forţă verticală extrem de mică, datorită faptului că
mingea dislocuieşte un anumit volum de gaz.
Acţiunea fluidelor grele în repaus asupra suprafeţelor curbe închise
Principiul lui Arhimede
Forţele ce acţionează asupra corpului sferic cufundat în lichid sunt:
Fz1 = V1
Fz 2 = V2 =  (V + V1 )
iar rezultanta lor este:
Fz = Fz1 − Fz 2 = −V
Fz = −V
din care rezultă principiul lui Arhimede:
“Un corp cufundat într-un lichid este împins de jos în sus cu o forţă
egală cu greutatea volumului de lichid dislocuit.”
43
Se poate face demonstraţia matematic şi în următorul mod, plecând de
la formula generală a forţei de presiune:
Fp = −  npdS
p = p at + z
Fp = −  npdS
S
S
p p
p
i + j + k =k
x y
z
Fp = −  npdS  Fp = − k  dV  Fp = − Vk
gradp =
S
V
şi deci modulul forţei de presiune ce acţionează asupra corpului cufundat în
lichid este:
F p = −V
Semnul minus semnifică faptul că forţa acţionează în sens invers axei
verticale, deci are tendinţa de a scoate corpul din lichid.
Se observă că din ambele demonstraţii s-a obţinut aceeaşi formulă
pentru forţa verticală cu care lichidul acţionează asupra corpului solid.
44
Cinematica fluidelor
Se ocupă cu studiul mişcării fluidelor fără a ţine seama de forţele şi
transformările energetice care apar. Se intenţionează determinarea
componentelor vitezei vectoriale V şi ale acceleraţiei vectoriale precum şi
traiectoriile parcurse de particulele fluide.
Mişcarea se caracterizează sintetic prin spectrul hidrodinamic sau
aerodinamic al curgerii.
Se consideră că mărimile sunt funcţii continue şi derivabile în timp şi
spaţiu şi se aplică elemente de teoria câmpului. Formulele sunt valabile atât
pentru fluidele ideale cât şi pentru fluidele reale.
Metode de studiu în cinematică
1.Metoda Lagrange
În metoda Lagrange se urmăreşte fiecare particulă pe traseul străbătut
de aceasta, iar mişcarea întregului fluid este caracterizată prin ansamblul
traiectoriilor parcurse de particulele fluide.
Pentru o particulă, traiectoria este caracterizată de:
x = x ( x0 , y0 , z0 , t )
y = y ( x0 , y0 , z0 , t ) ,
z = z ( x0 , y0 , z0 , t )
în care x0 , y0 şi z 0 sunt coordonatele iniţiale ale particulei la momentul t0 iar t
este variabila temporală.
Considerăm că fluidul este format din n particule deci un ansamblu de
n ecuaţii de acest tip caracterizează mişcarea fluidului.
Din ecuaţiile traiectoriilor se deduc componentele vitezei vectoriale
V = V ( u , v, w )
Componentele de viteză după cele trei direcţii ale sistemului de axe
triortogonal sunt:
u=
x
y
z
v
=
w
=
,
,
t
t
t
(
)
Componentele acceleraţiei vectoriale a = a ax , a y , az sunt:
45
u  2 x
ax = = 2
t t
v  2 y
ay = = 2
t t
w  2 z
az =
= 2
t t
2.Metoda Euler
În cadrul acestei metode se determină componentele de viteză în puncte
fixe din spaţiu în care se pot plasa aparate de măsură.
u, v şi w sunt funcţii de 4 variabile, trei spaţiale şi una temporală:
u = u ( x, y , z , t )
v = v ( x, y , z , t )
w = w ( x, y , z , t )
Din componentele de viteză se deduc traiectoriile utilizând următoarele
ecuaţii:
u=
dy
dx
dz
v
w
=
=
,
,
dt
dt
dt
Componentele acceleraţiei se deduc derivând componentele de viteză:
ax =
dw
du
dv
, ay =
, az =
dt
dt
dt
Pentru a efectua derivatele totale ale componentelor de viteză se
calculează mai întâi diferenţialele acestora:
u
u
u
u
dt + dx + dy + dz
t
x
y
z
du u u dx u dy u dz
ax = = +
+
+
dt t x dt y dt z dt
du u
u u
u
ax = = + u + v + w
dt t
x
y
dz
dv v v v
v
a
=
=
+
u
+
v
+
w

y
dt t
x y
z
dw w w w
w
az =
= +u +v + w
dt t
x
y
z
du =
46
Calculul acceleraţiei vectoriale
Se înmulţesc componentele a x , a y , a z cu versorii i , j , k şi se adună:
a = ax i + a y j + az k =
w   u v
w   u v
w 
 u v
=  i + j + k +u i + j + k + v i + j + k +
t
t   x x
x   y y
y 
 t
w 
 u v
+w  i + j + k 
z
z 
 z
Înlocuind parantezele ca derivate parţiale ale vitezei vectoriale se
obţine:
V
V
V
V
+u
+v +w
t
x
y
z ,
V V dx V dy V dz dV
a=
+
+
+
=
t x dt y dt z dt dt
a=
unde viteza vectorială apare ca funcţie de x, y, z şi t.
V
Primul termen din acceleraţia vectorială, t , apare în cazul unei
mişcări nepermanente şi reprezintă variaţia vitezei vectoriale în timp în
anumite puncte fixe din spaţiu iar următorii 3 termeni reprezintă variaţia
vitezei vectoriale la deplasarea în spaţiu.
Primul termen reprezintă acceleraţia instantanee, iar ultimii 3 reprezintă
acceleraţia convectivă.
Acceleraţia obţinută anterior corespunde unei mişcări nepermanente şi
neuniforme.
dV
Dacă mişcarea este permanentă, atunci dt = 0 .
Dacă mişcarea este uniformă, atunci derivatele parţiale în raport cu una
sau mai multe variabile spaţiale sunt nule.
Mişcarea cea mai simplă, permanentă şi uniformă corespunde la a=0.
Noţiuni generale de cinematică
Curentul de fluid reprezintă o masă de fluid aflată în mişcare.
Linia de curent reprezintă înfăşurătoarea vectorilor viteză care se găsesc
la un moment dat cu originea pe curba respectivă. Altfel spus, linia de curent
este curba la care vectorii viteză corespunzători particulelor fluide sunt
tangenţi la curbă în punctele în care se găsesc particulele respective.
47
Ecuaţiile liniilor de curent
Considerând că vectorul viteză V este paralel cu diferenţiala vectorului
de poziţie se obţin :
V || dr , V ( u, v, w )
dr ( dx, dy , dz )
dx dy dz
= =
u v w ,
egalităţi ce reprezintă ecuaţiile linilor de curent.
Doua linii de curent nu se intersectează niciodată. Daca s-ar intersecta,
în punctul respectiv particula fluidă ar avea două viteze, fiecare viteză
tangentă la linia de curent corespunzătoare, ceea ce este fals.
Liniile de curent umplu complet spaţiul în care evoluează fluidul.
Traiectoria reprezintă drumul parcurs de particula fluidă în mişcare.
Ecuaţiile traiectoriei se deduc plecând de la:
dr = V ( r , t ) dt 
dr
= dt
V
În mişcarea permanentă traiectoria coincide cu linia de curent.
Secţiunea vie reprezintă secţiunea străbătută de particulele de fluid în
mişcare, perpendiculară pe liniile de curent corespunzătoare.
A = R 2
A = bh
Perimetrul udat reprezintă lungimea conturului solid cu care fluidul se
găseşte în contact în cadrul secţiunii vii:
P = 2R
P = b + 2h
Raza hidraulică este raportul dintre secţiunea vie şi perimetrul udat.
A R 2 R
Rh = =
=
P 2R 2
Rh =
48
bh
2h + b
Debitul volumic
suprafaţă curbă deschisă:
(Q)
reprezintă fluxul vectorului viteză printr-o
Q =  VndS
S
Q =  Vn dS , unde
S
Vn = V 1cos  = Vn
Dacă viteza este constantă în orice punct al suprafeţei
de sub integrală şi debitul volumic devine:
S , atunci Vn iese
Q = Vn S  Q = VS
unde V reprezintă viteza medie a fluidului în secţiunea transversală S.
În cazul unui circuit deschis debitul volumic se poate determina ca
raportul dintre volumul de lichid scurs şi timpul corespunzător.
3
V m   l 
Q=
 
t  s  ,  s 
În mod analog se determină debitul masic:
Qm =
m
t
 kg 
s
 
precum şi debitul de greutate:
QG =
G N 
t  s 
Circulaţia vitezei de-a lungul unei curbe deschise
AB
este:
B
B
A
A
 =  Vds =  Vt ds
49
Vârtejul este dat de:
i
j k
1
1   
 = rotV =
2
2 x y z
u v w
În legătură cu vârtejul se poate enunţa teorema lui Helmholtz:
Fluxul vectorului vârtej printr-o suprafaţă curbă închisă este constant.
Acest lucru se exprimă matematic prin:
 ndS = ct
S
iar pentru o suprafaţă infinitezimală se obţine:
dS = ct
Un vârtej nu se poate închide în interiorul fluidului.
Daca s-ar închide în interiorul fluidului dS → 0   → 
 V →  , ceea ce este practic imposibil.
Un vârtej se închide pe o suprafaţă solidă cu care se învecinează un
fluid sau se închide în el însuşi (vârtejuri toroidale).
Din punct de vedere practic este bine ca în situaţia în care te prinde un
vârtej dintr-un râu, să încerci să ieşi cât mai repede din el. În caz contrar
vârtejul te învârteşte din ce în ce mai repede şi te trage la o adâncime din ce în
ce mai mare.
În cazul tornadelor produse în atmosferă viteza maximă a vârtejului
apare din păcate tocmai la nivelul solului, deoarece pe sol se închide vârtejul
respectiv şi din această cauză tocmai la acest nivel forţa distrugătoare este
maximă.
50
Ecuaţia de continuitate
Ecuaţia de continuitate reprezintă principiul conservării cantităţii de
fluid aflată în curgere. Prin cantitate se poate înţelege volum, masă, greutate.
Ecuaţia de continuitate se obţine făcând un bilanţ al maselor.
Diferenţa dintre masa de fluid intrată şi cea ieşită dintr-un volum de
fluid este egală cu variaţia de masă din interior datorată variaţiei de densitate
în timp.
Ecuaţia de continuitate în cazul tridimensional:
Această particulă, de dimensiuni dx,dy şi dz este infinitezimală, astfel
încât  si V pot fi considerate constante în raport cu dy de exemplu.
Se face bilanţul maselor:
Variaţia de masă după direcţia axei Ox este:
u 

dmx = udxdydt −  u +
dx  dydzdt

x


Se deduc:
51
u
dxdydzdt
x
v
dmy = −
dxdydzdt
y
w
dmz = −
dxdydzdt
z
dmx = −

Se deduce variaţia totală de masă:

 u v w 
dm = dmx + dmy + dmz = − 
+
+
 dxdydzdt

x

y

z


Masa iniţială din particulă este:
dmi = dxdydz
iar masa finală:
 

dm f =   +
dt dxdydz

t


Se deduce a doua expresie a variaţiei de masă:

 

dm = dm f − dmi =   + dt dxdydz − dxdydz
t 


dm =
dxdydzdt
t
Prin egalarea celor două forme ale variaţiei de masă şi simplificare cu
produsul diferenţialelor se obţine ecuaţia de continuitate sub forma:
  u  v  w
+
+
+
=0
t
x
y
z

+ divV = 0
t
sau:

= 0  div V = 0
În cazul unei mişcări permanente
t
Pentru un fluid incompresibil  = ct
 divV = 0 sau:
52
u v w
+ +
=0
x y z
ce reprezintă forma extinsă a ecuaţiei ce conţine variaţiile de viteză.
Acest rezultat se extinde la nivelul întregului volum de fluid, având în
vedere proprietăţile de omogenitate şi de izotropie ale fluidului.
Ecuaţia de continuitate în cazul tubului de curent:
Diferenţa dintre masa intrată şi cea ieşită din tub este:





V
ndS
−

V
ndS
dt
=

V
dS
−

V
dS
 1 1 1  2 2 2
  1 n1 1  2 n 2 2  dt
S

S

S2
S2
1

1

Se determină iniţial variaţia de masă din interiorul particulei de fluid.
În interior avem masa iniţială din volumul V:
mi =  dV ,
V
iar masa finală este:
 

m f =    + dt dV
t 
V
Diferenţa dintre masa finală şi cea iniţială este:
m f − mi =  ( +
V

dt )dV −  dV
t
V
  
=   dV dt
 V t

Făcând bilanţul maselor, cu alte cuvinte egalând cele două forme ale
variaţiei de masă, rezultă:



  
  dV dt =    1Vn1 dS1 −   2Vn 2 dS 2 dt
 t

S

S2
V

1

şi prin simplificare cu dt rezultă:
53

V t dV = S 1Vn1 dS1 − S  2Vn2 dS 2
1
2
Dacă mişcarea este permanentă:

=0
t

Qm =   1Vn1 dS1 =   2V n 2 dS 2 = ct
S1
S2
Dacă fluidul este incompresibil:
1 =  2 = ct 
Qv =  Vn1 dS1 =  Vn 2 dS 2 = ct
S1
S2
Ecuaţia de continuitate pentru tubul de curent elementar
Diferenţa dintre masa intrată şi cea ieşită este:
VS 
VS

VSdt −  VS +
ds dt = −
dsdt

s

s


Masa iniţială şi cea finală din tubul respectiv sunt:
mi = ( Sds )
S 

m f =  S +
dt ds
t


 S 
dt  ds
 m = m f − mi = 
 t

Din bilanţul maselor, rezultă:
sau
S
VS
dsdt = −
dsdt
t
s
S VS
+
=0 ,
t
s
ce reprezintă forma generală a ecuaţiei de continuitate.
54
Dacă tubul este nedeformabil:
 VS
S
=0  S +
=0
t
t
s
Dacă mişcarea este permanentă:

=0
t
VS
= 0  VS = ct
t
 Qm = 1V1 S1 =  2V2 S 2 = ct

adică debitul masic este constant.
 = ct
Dacă fluidul este incompresibil:

Q = V1 S 1 = V 2 S 2 = ct
adică debitul volumic este constant.
Această formă finală a ecuaţiei de continuitate reprezintă o formulă
foarte des utilizată de ingineri la calculul debitului volumic Q, în special în
situaţia când fluidul circulă printr-un circuit închis.
Se poate face observaţia că, de exemplu, când secţiunea de curgere se
micşorează, viteza fluidului trebuie să crească astfel încât să se transporte
acelaşi debit volumic.
55
Dinamica fluidelor
Se ocupă cu studiul mişcării fluidelor, ţinând cont de forţele şi
transformările energetice care apar.
Dinamica fluidelor ideale
Se analizează iniţial mişcarea fluidelor ideale la care nu există frecări şi
pierderi de energie.
Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor ideale
Se consideră un volum oarecare de fluid aflat în mişcare uniform
variată. Se figurează toate forţele ce acţionează asupra unui volum delimitat de
fluid, de dimensiuni infinitezimale şi se aplică principiul al II-lea al dinamicii.
Ecuaţia vectorială de mişcare (principiul al II-lea) este:
dFm + dFp = dma
În mod analog cu calculul efectuat la deducerea ecuaţiilor staticii
fluidelor se determină expresiile forţei masice elementare şi ale forţei
elementare de presiune şi apoi ale componentelor lor.
56
(
)
dFm = f m  dm = f m   dV = Xi + Yj + Zk  dxdydz
dFmx = Xdxdydz
dFmy = Ydxdydz
dFmz = Zdxdydz
În mod analog cu calculul efectuat la ecuaţiile staticii se obţine:
p 
p

dF px = pdydz −  p + dx dydz = − dxdydz
x 
x

dm = dV = dxdydz
Din calculul efectuat la cinematică se utilizează expresiei componentei
de acceleraţie după axa Ox:
ax =
du
dt
Făcând înlocuirile în ecuaţia vectorială de mişcare se obţine ecuaţia
corespunzătoare axei Ox:
Xdxdydz −
p
du
dxdydz = dxdydz
x
dt
Prin împărţire la produsul diferenţialelor rezultă:
X − 
du p
=
dt x

du 1 p
+
=X
dt  x
dv 1 p
+
=Y
dt  y
dw 1 p
+
=Z
dt  z
prin împărţire la ρ:
- ecuaţia corespunzătoare axei Ox
- ecuaţia corespunzătoare axei Oy
- ecuaţia corespunzătoare axei Oz
Primul termen reprezintă forţa unitară instantanee de inerţie, al doilea
forţa unitară de presiune, iar membrul drept forţa masică unitară.
Aplicând formulele de la cinematică pentru derivatele totale ale
componentelor de viteză rezultă sistemul de ecuaţii de mişcare sub formă
extinsă:
57
u
u
u
u 1 p
+u +v +w +
=X
t
x
y
z  x
v
v
v
v 1 p
+u +v + w +
=Y
t
x
y
z  y
w
w
w
w 1 p
+u
+v
+w +
=Z
t
x
y
z  z

Sistemul are 4 necunoscute: u, v, w şi p  se completează sistemul cu
ecuaţia de continuitate.
  u  v  w
+
+
+
=0
t
x
y
z
Dacă şi densitatea este o necunoscută, atunci se completează sistemul
cu ecuaţia de stare a gazelor:  =  ( p, T )  5 ecuaţii cu 5 necunoscute.
Sistemul se rezolvă exact în cazuri particulare de mişcare  formule
analitice.
În general, sistemul se rezolvă cu metode numerice, alegând o reţea în
care se precizează valorile iniţiale şi/sau la limită.
Valorile iniţiale u 0 , v 0 , w0 si p 0 se precizează în cazul unei mişcări
nepermanente.
O condiţie la limită pentru fluidele ideale este că viteza tangenţială a
fluidului la suprafaţa solidă este diferită de zero, datorită absenţei frecărilor.
Componenta normală a vitezei la suprafaţa solidă este însă nulă
deoarece fluidul nu poate intra şi nici ieşi din solid.
Ecuaţia vectorială se obţine înmulţind fiecare ecuaţie din sistemul
anterior cu versorul corespunzător axei respective şi adunând în final membru
cu membru se obţine:
du
dv
dw
1  p
p
p 
i + j + k +  i + j + k  = Xi + Yj + Zk
dt
dt
dt
  x
y
z 

dV 1
+ gradp = f m
dt 
ecuaţia vectorială de mişcare.
58
Relaţia lui Bernoulli
Această relaţie se obţine efectuând integrarea ecuaţiilor de mişcare a
fluidelor ideale pe o linie de curent.
Se porneşte de la sistemul de ecuaţii de mişcare ale fluidelor ideale:
u
u
u
u 1 p
+u
+v +w +
=X
t
x
y
z  x
v
v
v
v 1 p
+u +v +w +
=Y
t
x
y
z  y
w
w
w
w 1 p
+u
+v
+w
+
=Z
t
x
y
z  z
Se pun următoarele trei condiţii:
1.Mişcarea este permanentă:
u v w
= =
=0
t t t
2.Mişcarea se efectuează pe o linie de curent:
dx dy dz
= =
u
v w
3.Pentru a exprima membrul drept al fiecărei ecuaţii sub forma unei
derivate, în scopul integrării sistemului de ecuaţii, se pune condiţia ca forţele
masice să derive dintr-un potenţial.
f m = − gradU

 U
U
U
Xi + Yj + Zk = − 
i+
j+
y
z
 x

k

Egalând coeficienţii fiecărui versor în parte se obţin sistemele:
59
U
x
U
Y =−
y
U
Z =−
z
X =−
u
u
u 1 p
U
+v
+w +
=−
x
y
z  x
x
v
v
v 1 p
U
u +v +w +
=−
x
y
z  y
y
w
w
w 1 p
U
u
+v
+w
+
=−
x
y
z  z
z
u

Prin înmulţirea ecuaţiilor cu dx,dy şi dz se obţine sistemul:
u
u
u
1 p
U
dx + v dx + w dx +
dx = −
dx
x
y
z
 x
x
v
v
v
1 p
U
u dy + v dy + w dy +
dy = −
dy
x
y
z
 y
y
w
w
w
1 p
U
u
dz + v
dz + w
dz +
dz = −
dz
x
y
z
 z
z
u
Prin prelucrarea celei de-a doua condiţii se obţine sistemul:
u  dy = v  dx
u  dz = w  dz
v  dz = w  dy
şi prin înlocuire în prima ecuaţie din sistemul ecuaţiilor de mişcare:
u
u
u
1 p
U
dx + u dy + u dz +
dx = −
dx
x
y
z
 x
x
 u
u
u  1 p
U


u
dx
+
dy
+
dz
+
dx
=
−
dx
 
  x

x

y

z

x


 u
Se înlocuieşte expresia din paranteză cu diferenţiala componentei
vitezei vectoriale după axa Ox, du.
Se procedează în mod analog cu celelalte ecuaţii şi rezultă în final
sistemul:
60
1 p
U
dx = −
dx
 x
x
1 p
U
v  dv +
dy = −
dy
 y
y
1 p
U
w  dw +
dz = −
dz
 z
z
u  du +

Prin adunarea celor trei ecuaţii membru cu membru se obţine:
1  p
p
p 
u  du + v  dv + w  dw +  dx + dy + dz  =
  x
y
z 
 U
U
U 
−
dx +
dy +
dz 

x

y

z


u2  1
Cum d   = 2u  du = u  du , rezultă:
 2 2
 u 2 + v 2 + w2  1
d
 + ( dp ) = −dU
2

 
Se înlocuieşte expresia din paranteză funcţie de modulul vitezei
vectoriale (vezi figura de mai jos, în care viteza vectorială reprezintă de fapt
diagonala paralelipipedului dreptunghic şi deci valoarea ei se obţine cu
formula corespunzătoare de la geometria în spaţiu).
Ca urmare se obţine relaţia în diferenţiale care ulterior se integrează:
V = V ( u , v, w )
V2 1
d + dp + dU = 0
2 
- pentru fluide incompresibile  = ct
- pentru fluide care se află în câmp gravitaţional U = gz ,   g = 
Prin integrarea ecuaţiei diferenţiale anterioare şi înlocuire se obţine:
61
V2 1
V2 p
+
+ + gz = ct
dp + gz = ct 
2 
2 
şi prin împărţire la acceleraţia gravitaţională g:
V2 1 p 1
1
+
+ gz = ct

2 g g
g
V2 p
+
+ z = ct

2g  g
- relaţia lui Bernoulli
Între punctele (1) şi(2) situate pe o linie de curent, se obţine:
g = ,
V12 p1
V22 p2
+ + z1 = + + z2
2g 
2g 
Interpretare energetică şi reprezentarea grafică a relaţiei:
V2 p
+ + z = ct
2g 
Prin înmulţire cu produsul mg se obţine relaţia energetică:
V2
p
mV 2
mg +
Vg + mgz = ct 
+ pV + mgz = ct
2g
g
2
Concluzie: suma dintre energia cinetică, energia de presiune şi energia
potenţială a fluidului rămâne constantă (pentru un fluid ideal).
-linia energetică
-linia piezometrică
-linia de curent
În cazul fluidelor uşoare, energia potenţială este neglijabilă, deci
termenul ce conţine cota z nu se mai ia în considerare.
62
V2 p
V2
p
+
+ = ct
= ct 

2 
2g  g
V12 p1 V22 p2
+ =
+

2 
2 
Aceasta reprezintă deci relaţia lui Bernoulli pentru fluide uşoare cum
sunt aerul sau diverse gaze.
Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic
Impulsul unui corp cu masa m şi viteza vectorială V este m V , iar
momentul cinetic corespunzător este r  m V .
Impulsul total al unui sistem de corpuri este:
H =  m V
iar momentul cinetic total:
K =  r  m V
Teorema impulsului se scrie sub forma:
d
dH
=  Fe sau
dt
dt
(  m V ) =  F
e
unde membrul drept reprezintă suma forţelor exterioare ce acţionează asupra
fluidului.
Derivata în raport cu timpul a impulsului total este egală cu suma
forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului de corpuri.
Teorema momentului cinetic se scrie sub forma:
d
dK
=  M e sau
dt
dt
(  r  m V ) =  M
e
unde membrul drept reprezintă suma momentelor exterioare ce acţionează
asupra fluidului.
Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total este egală cu
suma momentelor forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului de
corpuri.
Pentru a obţine expresiile acestor teoreme în cazul curgerii fluidelor se
procedează în mod analog pentru un volum de fluid format din particule de
masă elementară dm.
63
Impulsul unei particule fluide este dm V .
- pentru  = ct  impulsul este:  dV  V =   VdV
unde dV reprezintă diferenţiala volumului de fluid iar V este viteza vectorială.
Momentul cinetic al unei particule fluide este:
r  dm V = r  V  dV
Prin analogie cu formulele din mecanica clasică prezentate anterior şi
valabile pentru sisteme de corpuri solide se deduc formulele valabile pentru
fluide.
Impulsul total al întregului volum de fluid este:
 VdV
V
Teorema impulsului devine:
d
VdV =  Fe
dt V
Teorema momentului cinetic devine:
d
r  VdV =  M e
dt V
Pentru a efectua integralele de volum se va considera curgerea unui
fluid cu densitatea constantă şi se va apela la noţiunea de tub de curent
elementar pentru care şi viteza iese în faţa integralei, deoarece în cazul tubului
de curent elementar devine o mărime constantă în orice punct din secţiunea
transversală pe direcţia de curgere.
Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic pentru tubul de
curent elementar
Q (V2 − V1 ) = Fp1 + Fp 2 + Fg + Fe
64
Variaţia forţelor de impuls este egală cu suma forţelor exterioare ce
acţionează asupra volumului de fluid V.
V2 şi V1 - reprezintă viteza de ieşire, respectiv intrare în volumul V de fluid
de control.
Fp1 şi Fp 2 - forţele cu care fluidul îndepărtat acţionează asupra fluidului din
volumul V.
Fg - forţa de greutate a fluidului considerat.
Fe - forţa cu care pereţii solizi acţionează asupra fluidului din volumul V.
Se poate face înlocuirea:
Fe = − R (R este forţa cu care fluidul acţionează asupra pereţilor.)
Teorema momentului cinetic se obţine prin înmulţirea cu vectorul de
poziţie corespunzător a fiecărui termen din teorema impulsului:
 Q ( r2  V2 − r1  V1 ) = rp1  Fp1 + rp 2  Fp 2 + rg  Fg + re  Fe
Din teorema impulsului se deduce modulul forţei Fe sau a lui R şi din
teorema momentului cinetic se determină vectorul de poziţie re.
Cunoscând modulul forţei şi punctul său de aplicaţie, problema se
consideră rezolvată.
EXEMPLE PRACTICE:
Acţiunea apei asupra unui cot de conductă
Se consideră un cot de conductă de unghi  situat în plan orizontal prin
care trece debitul de apă Q, la presiunea constantă p (fluid ideal).
Greutatea Fg este mică şi se neglijează. (este perpendiculară pe planul figurii)
65
Dacă sensul vectorilor coincide cu sensul axelor, atunci vectorii îşi
menţin acelaşi semn în teorema impulsului.
„Se proiectează” teorema impulsului pe cele două axe şi rezultă:
 Q (V2 cos  − V1 ) = Fp1 − Fp 2 cos  − Rx :Ox
 Q ( −V2 sin  ) = Fp 2 sin  − Ry
:Oy
Deoarece cotul este în plan orizontal şi are secţiunea transversală
Q
= ct ; dacă z = ct
S
V=ct
 p1 = p 2 = p
Q = V  S ; Fp = p  S
constantă, atunci V =

p=ct  V2 = V1 = V
 Rx =  QV (1 − cos  ) + Fp (1 − cos  ) = (  QV + Fp ) (1 − cos  )
= ( V 2 S + pS ) (1 − cos  )  0
Ry =  QV sin  + Fp sin  = ( V 2 S + pS ) sin   0

Forţa de impuls cu care apa acţionează asupra cotului de conductă este:
R = R x2 + R y2
În cazul unor valori mari ale parametrilor de curgere, debit şi presiune,
această forţă poate atinge valori foarte mari, de ordinul tonelor forţă şi ca
urmare trebuie luate măsuri practice pentru stabilitatea instalaţiei, de exemplu
ancorarea corespunzătoare a cotului de conductă.
Influenţa formei suprafeţei exterioare a corpurilor
faţă de recepţionarea forţei de impuls
Forţa de impuls iniţială a curentului de apă este: F = QV
1.Forţa de impuls recepţionată este maximă (aproape dublă) în cazul cupei de
turbină Pelton, când avem interesul de a capta cât mai multă energie:
 Q (V2 − V1 ) = − R
(
sau R =  Q V1 − V2
)
Q


Rx =  QV − 2 ( −V cos  ) 
2


=  QV (1 + cos  )
66
Situaţia ideală ar corespunde cazului
 → 0 , cos → 1  Rx → 2  QV
2.Forţa de impuls recepţionată este constantă în cazul plăcii plane verticale:
 Q (V2 − V1 ) = − R
Rx =  ( QV − 0 ) =  QV
Suprafaţa plană captează doar forţa de impuls iniţială a unui jet.
3.Forţa de impuls recepţionată este minimă în cazul corpurilor cu forma
frontală ascuţită (vârful avioanelor de vânătoare, al avionului supersonic
Concorde, al vapoarelor, al maşinilor de curse):
Q


Rx =   QV − 2 V cos  
2


=  QV (1 − cos  )
 →0 
Rx → 0
67
cos → 1 
Dinamica fluidelor reale
Fluidele reale au proprietatea de vâscozitate, care produce frecări şi
pierderi de energie.
Experienţa lui Reynolds
În cadrul acestei experienţe, se vizualizează modul în care curge un
anumit fluid şi în final se clasifică curgerea fluidelor în următoarele regimuri
de curgere: laminar, tranzitoriu, turbulent. Instalaţia cuprinde:
(1)- rezervor de nivel constant (menţine adâncimea apei constantă, astfel
încât viteza cu care intră apa în tubul de sticlă este aproximativ 2 gh şi se
obţine în final un debit şi un regim de curgere constant.
(2)- dispozitiv de alimentare cu orificii multiple
(3)- dispozitiv de preaplin. (evacuează surplusul de debit)
(4)- vas cu colorant
(5)- tub injector (permite accesul coloranţilor în tubul de sticlă)
(6)- tub de sticlă pentru vizualizarea curgerii
(7)- robinet pentru reglarea debitului
(8)- mensură gradată pentru colectarea volumului de apă scursă din
tubul de sticlă într-un anumit timp.
Se procedează după cum urmează.
68
Se deschide robinetul (6) şi se introduce colorant prin acul injector.
La viteze şi debite mici, colorantul are aspectul din prima figură şi
corespunde unui regim laminar.
Particulele de fluid au o singură componentă de viteză.
Fluidul curge în straturi, nu există
schimburi de particule şi de impuls între
straturile de fluid.
Se deschide în continuare robinetul (6)
până se observă oscilaţii aleatorii ale
firului de colorant ca în a doua figură ce
corespunde unui regim tranzitoriu.
Apar pulsaţii de viteză
după alte direcţii decât direcţia
curgerii ce determină schimb de
particule şi impuls între straturi.
La o deschidere şi mai
pronunţată a robinetului (6) se
obţin debite de curgere mari şi
colorantul are aspectul din
figura a treia.
În cadrul acestui regim turbulent,
pulsaţiile de viteză aleatorii au valori
mari, schimbul de impuls este
accentuat şi regimul corespunde unor
pierderi energetice mari.
Acest regim se întâlneşte de
obicei în cazul transportului fluidelor
în conducte deoarece sunt solicitate de
regulă debite mari de fluid.
În cazul experienţei, s-a constatat că viteza medie de curgere prin tubul
de sticlă, diametrul interior al tubului, precum şi vâscozitatea cinematică a
lichidului influenţează evoluţia colorantului.
S-a dedus numărul Reynolds:
V D

Pentru prima figură : Re  2300
Pentru a doua figură : Re  2300
Pentru a treia figură : Re  2300
Re =
69
sute de mii
În cadrul fiecărui regim de curgere se măsoară volumul de apă scurs
într-un anumit timp şi rezultă debitul volumic:
Q =
( debit )
V
t
unde V reprezintă volumul de fluid scurs în mensura
gradată (8).
Q =V
S

 Re =
4Q
 D
( sectiune )
V=
Q
Q
4Q
=
=
2
S  D  D2
4

Re =
4Q D
 D2 
,
V fiind viteza medie din secţiunea transversală curgerii.
Aceasta reprezintă a doua formă a numărului Reynolds.
Regimurile de curgere diferă din punct de vedere optic, cinematic şi
energetic.
- din punct de vedere cinematic, pentru regimul turbulent, viteza
variază conform graficului:
V = V +V '
Pulsaţiile de viteză sunt variabile în timp, alternând valori pozitive sau
negative faţă de valoarea vitezei medii, ca în figura precedentă.
- din punct de vedere energetic, pierderea de energie se poate estima cu
ajutorul pantei hidraulice. Figura din stânga corespunde regimului laminar, cu
pierderi de energie mai mici, ce corespund unei denivelări mai mici între
tuburile piezometrice. Figura din dreapta corespunde regimului turbulent, cu
pierderi de energie mai mari, ce corespund unei denivelări mai mari între
tuburile piezometrice.
La fel, pantele hidraulice au valori diferite:
70
Jl =
hl
l
J t = tg =
ht
 Jl
l
Ultima inegalitate se datorează efectelor de turbulenţă care conduc la
pierderi suplimentare de energie faţă de regimul laminar.
Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în regim laminar
Spre deosebire de fluidul ideal, se consideră că fluidul are proprietatea
de vâscozitate şi calculul următor se efectuează pentru întregul volumul de
fluid aflat în mişcare.
Considerăm că observatorul se situează pe sistemul de referinţă mobil
pentru care se ia în considerare şi forţa de inerţie şi atunci ecuaţia vectorială
este:
Fm + Fi + Fp + F = 0
unde F este forţa datorată eforturilor tangenţiale  ce apar la curgerea unui
fluid real.
Se observă că dacă se înlocuieşte forţa de inerţie în funcţie de masa
fluidului aflat în mişcare şi de acceleraţia acestuia şi produsul respectiv se
trece în membrul drept, se obţine principiul al doilea al dinamicii.
Se determină în continuare expresiile forţelor masice, de inerţie, de
presiune şi de vâscozitate ce acţionează asupra întregului fluid:
dFm = f m dm = f m  dV
Fm =  f m  dV

V
dFi = −adm = −
dV
 dV
dt
Fi = − 

V
71
dV
 dV
dt
Fp = −  npdS = −  gradpdV
S
V
F =   tdS
S
Pentru a exprima şi forţa totală de vâscozitate sub forma unei integrale
de volum, se determină iniţial, separat, componentele forţei de vâscozitate
după cele 3 direcţii:
Fx =   x dS
 x =
S
du
dn
du
F
=


x

 dn dS
S
du
dS =   n  gradu  dS =   divgradu  dV =   u  dV
dn
S
S
V
V
=
Fx =   u  dV
S

Fy =   v  dV
V
Fz =   w  dV
V
Prin înmulţirea ecuaţiilor cu versorii celor trei axe şi adunarea relaţiilor
membru cu membru se obţine expresia forţei de vâscozitate:
(
)
 F = F x i + F y j + F z k =   ui + vj + wk  dV =   V  dV
V
Introducând cele patru forţe în ecuaţia de mişcare, rezultă:


dV
f

−

−
gradp
+


V
 dV = 0
V  m dt



dV 1

f
−
−
gradp
+

V
 dV = 0
V  m dt 


72
V
dV 1
+ gradp = f m + V
dt 
ce reprezintă ecuaţia vectorială de mişcare a fluidului.
du 1 p
+
= X +   u
dt  x
dv 1 p
+
= Y +   v
dt  y
dw 1 p
+
= Z +   w
dt  z
reprezintă sistemul de ecuaţii de mişcare.
Ultimul termen din fiecare ecuaţie reprezintă forţa unitară de
vâscozitate.
Din acest sistem rezultă relaţia lui Bernoulli pentru un fluid real:
V12 p1
V22 p2
+ + z1 = + + z2 + hr
2g 
2g 
ce se determină în mod similar cu cazul curgerii fluidului ideal şi în care hr
reprezintă pierderea de sarcină hidraulică totală între punctele 1 şi 2.
Integrarea exactă a sistemului de ecuaţii la curgerea unui fluid
între două plăci plane şi orizontale
73
Se consideră mişcarea permanentă şi prin explicitarea celor trei
laplaciani din sistemul precedent se obţine sistemul extins:
  2u  2u  2u 
u
u
u 1 p
u +v +w +
= X +   2 + 2 + 2 
x
y
z  x
y
z 
 x
  2v  2v  2v 
v
v
v 1 p
u +v +w +
= Y +   2 + 2 + 2 
x
y
z  y
y
z 
 x
 2w 2w 2w 
w
w
w 1 p
u
+v
+w +
= Z +   2 + 2 + 2 
x
y
z  z
y
z 
 x
pentru care au dispărut derivatele în raport cu timpul din membrul stâng.
Observând mişcarea plăcilor, se constată că lichidul se deplasează după
direcţia axei Ox , deci:
u0
v=w=0
Din ecuaţia de continuitate
u v w
+ +
= 0 se obţine:
x y z
u
=0
x
Deoarece la deplasarea în direcţia axei Oy particulele situate identic au
aceeaşi componentă u a vitezei, rezultă că:
u
=0
y
La deplasarea particulei după direcţia axei Oz, u se modifică de la + u1
 2u
 0.
pe placa solidă superioară la − u 2 pe placa solidă inferioară 
z 2
Deoarece curgerea are loc în câmpul gravitaţional :
x = y = 0 şi z = − g ,
se obţine sistemul simplificat :
1

1

1

p
 2u
= 2
x
x
p
=0
y
p
= −g
z
74
Din ultima ecuaţie, prin integrare, se obţine repartiţia de presiuni:
p + gz = ct
-
formula pentru presiune.
p
= 0 , din prima ecuaţie:
Considerând situaţia cea mai simplă,
x
 2u
=0

z 2
Prin integrare în raport cu z se obţine:
u
= C1 
z
u = C1 z + C2
Se aplică condiţiile la limită şi se înlocuiesc în expresia componentei de
viteză după direcţia axei Ox, u:
z = 0 ; u = −U 2
z = h ; u = U1
− U 2 = C2
U 1 = C1 h + C2
C1 =
U1 + U 2
h
şi se obţine în final distribuţia de viteze în interiorul fluidului în mişcare:
u=
U1 + U 2
z − U 2 - formula pentru viteză.
h
Cu ajutorul celor două formule se poate caracteriza comportarea
fluidului în mişcare în orice punct din domeniul de curgere aflat între cele
două plăci solide.
75
Pierderi de sarcină hidraulică
Pierderile de sarcină hidraulică reprezintă pierderi de energie ale unităţii
de greutate ale fluidului aflat în curgere. Ele se exprimă ca atare în unităţi de
lungime. Cu ajutorul lor se pot determina şi pierderile de presiune
corespunzătoare.
Aceste pierderi au fost puse în evidenţă în relaţia lui Bernoulli şi pot fi
utilizate în acest mod în calcule inginereşti practice.
Cu toată complexitatea lor, ecuaţiile de mişcare ale fluidelor nu conţin
influenţa pereţilor solizi sau a altor fluide cu care fluidul considerat vine în
contact.
Din acest motiv, formulele utilizate pentru pierderile de sarcină
hidraulică sunt semiempirice. Ele conţin un factor ce reprezintă energia
cinetică specifică a fluidului şi care semnifică contribuţia teoretică la formulă
şi un coeficient ce reprezintă contribuţia experimentală. Formula generală
pentru pierderi este:
V2
hr =  r
2g
Se deosebesc pierderi liniare sau distribuite ce se produc pe o anumită
lungime de traseu de curgere datorită influenţei vâscozităţii, eventual agitaţiei
turbulente şi pierderi locale ce se produc în diverse elemente hidraulice
intercalate pe traseul de curgere.
Pentru o conductă circulară dreaptă, pierderile distribuite se exprimă cu
formula:
l V2
hd = 
D 2g
în care λ este coeficientul pierderilor de sarcină distribuite, l lungimea
interioară a conductei iar D diametrul interior al acesteia.
Pentru un regim de curgere laminar, coeficientul λ este dat de:
64
=
Re
iar pentru regimul turbulent neted:
0,3164
=
Re0,25
Pentru regimuri turbulente mai avansate, λ se determină atât cu ajutorul
numărului Reynolds cât şi cu ajutorul rugozităţii suprafeţei solide cu care
fluidul vine în contact. Rugozitatea este dată de mărimea neuniformităţilor de
la peretele interior al conductei, de exemplu. Pentru determinarea lui λ se pot
utiliza formule obţinute experimental sau diagrame.
76
Pierderile locale se exprimă cu formula:
V2
hl =  l
2g
unde ζl reprezintă coeficientul pierderii locale de sarcină. Valoarea acestuia se
poate lua din fişa produsului respectiv (vană, robinet, etc.).
Deoarece reprezintă nişte pierderi de energie specifice, pierderile de
sarcină totale se obţin însumând pierderile distribuite cu cele locale:
htot = hd +  hli
i
Pierderile se pot exprima şi cu ajutorul debitului utilizând formula de la
ecuaţia de continuitate:
4Q
V=
D 2
Pierderea distribuită devine:
l
hd = 0,0826 5 Q 2
D
iar cea locală devine:
Q2
hl = 0,0826 l 4
D
Căderea de presiune provocată de pierderea distribuită este:
l V2
pd = ghd =  
D 2
iar pierderea locală de presiune este:
V2
pl =  l 
2
Estimând pierderile de sarcină hidraulică totale, se poate determina de
exemplu puterea necesară a unei pompe ce trebuie să funcţioneze într-un
circuit hidraulic.
77
Mişcarea laminară a fluidelor reale în conducte circulare
şi canale
Se prezintă aspecte legate de calculul vitezei şi al debitului de fluid.
În figura din stânga se prezintă distribuţia de viteze a fluidului dintr-o
conductă circulară dreaptă în cazul mişcării fluidului ideal.
Nu există frecări şi ca urmare distribuţia de viteze este constantă.
În figura din dreapta se prezintă distribuţia de viteze a fluidului dintr-o
conductă circulară dreaptă în cazul mişcării laminare a fluidului real.
Particulele de fluid curg în straturi paralele cu axa conductei.
Distribuţia de viteze este parabolică, având un maxim în axul conductei.
Scriind condiţia referitoare la forţele ce acţionează asupra unui fluid în
mişcare (forţe de presiune F p si forţe de frecare F f ) se deduce valoarea
vitezei din axul conductei u max :
u max =
p1 − p 2 2
 r0
4l
în care p1 − p 2 este diferenţa de presiune între punctul 1 situat în amonte şi
punctul 2 situat în aval iar  este vâscozitatea dinamică ce produce frecările.
Dacă  creste  u max scade.
Pentru o rază r oarecare viteza stratului de fluid este: u =
p1 − p 2 2
r
4l
Se observă că variaţia de viteză pe verticală depinde numai de rază si nu
depinde de tipul de fluid.
Viteza medie în secţiunea transversală este: V =
valoare ce se utilizează în relaţia lui Bernoulli.
78
umax p1 − p2 2
=
 r0
2
8 l
Calculul efortului tangenţial se efectuează pornind de la formula lui
Newton:
 =
p − p2
p − p2
du
= 2 1
r = 1
r
dr
4l
2l
Când raza curentă r devine egală cu raza interioară a conductei r0
frecările devin maxime la contactul cu suprafaţa solidă şi ca urmare:
 max =
p1 − p 2
 r0
2l
Pentru calculul debitului corespunzător unei mişcări permanente se
foloseşte ecuaţia de continuitate:
Q = VS =
p1 − p2 2
r0   r02
8l
şi efectuând simplificările necesare se obţine formula finală a debitului
volumic:
Q =
p1 − p 2 4
r0
8l
În cazul unei curgeri cu suprafaţă liberă se obţine o distribuţie
parabolică cu un maxim al vitezei pe suprafaţa liberă, deoarece frecarea cu
stratul de aer superior frânează cel mai puţin lichidul.
79
Teoria stratului limită
Stratul limită este stratul de fluid din imediata vecinătate a unui corp
solid în care se manifestă foarte intens efectul eforturilor tangenţiale şi în care
se produce o variaţie accentuată a vitezei fluidului.
1-zona curentului exterior
2-zona stratului limită
Grosimea stratului limită este dată de distanţa măsurată la suprafaţa
exterioară a corpului solid, perpendiculară pe acesta, până la care viteza diferă
cu 1% faţă de viteza curentului exterior.
Evoluţia distribuţiei de viteze în stratul limită produs de o suprafaţă
deasupra unei plăci plane se produce ca în figură:
Desprinderea stratului limită şi formarea vârtejurilor (cazul unui
cilindru circular drept orizontal).
figura b
figura a
80
Figura a corespunde curgerii fluidului ideal.
Fluidul care vine iniţial cu o energie cinetică spre punctul A, pe măsura
apropierii de acest punct îşi transformă energia cinetică în energie de presiune.
Apoi fluidul alunecă fără frecări pe conturul solid până în B, unde are din nou
o energie cinetică maximă şi energie de presiune nulă. Lucrurile se petrec în
continuare simetric, iar la depărtarea de corp energia de presiune se
transformă din nou în energie cinetică. Fluidul evoluează fără frecări pe contur
astfel încât energia îşi menţine valoarea maximă iniţială.
Figura b corespunde curgerii fluidului real.
Energia cinetică se transformă în energie de presiune către punctul A; se
deplasează fluidul cu frecări până în B, în care viteza scade şi apoi către D,
astfel încât în D nu mai are viteză suficientă pentru a urma conturul solid al
corpului. Fluidul întâlneşte o zonă de presiune ridicată şi ca urmare se produce
desprinderea fluidului de corpul solid.
Ca urmare particula fluidă este împinsă către curentul de fluid exterior.
Acesta reintroduce particula fluidă în stratul limită şi se formează astfel un
vârtej care evoluează către aval, formându-se aşa numitele dâre hidrodinamice
sau aerodinamice (care se mai numesc şi dâre turbionare).
În mod practic, pentru a obţine corpuri cu coeficienţi de rezistenţă la
înaintare mici, se determină experimental repartiţia de presiuni pe suprafaţa
exterioară a corpului, se calculează integrala presiunii pe întreaga suprafaţă şi
se determină în final coeficientul de rezistenţă la înaintare.
Se modelează suprafaţa exterioară, experimental sau prin simulare
numerică cu calculatorul, până la obţinerea coeficientului de rezistenţă la
înaintare minim.
Condiţia de desprindere a stratului limită
Conform figurii anterioare, desprinderea se produce în punctul D,
pentru care distribuţia de viteze devine tangentă la axa verticală Oy,
perpendiculară pe suprafaţa solidă a corpului.
u
Acest lucru se poate exprima matematic sub forma:
|D = 0
y
81
Mişcarea turbulentă a fluidelor reale
Este tipul de mişcare cel mai des întâlnit în practică deoarece cerinţele
actuale de debit şi viteză sunt mari.
Conform prezentării anterioare de la experienţa lui Reynolds, din punct
de vedere optic se observă un transfer de particule între straturile de fluid,
amestec ce devine mai pronunţat odată cu creşterea debitului. Apar diverse
vârtejuri ce evoluează împreună cu fluidul spre aval.
Din punct de vedere cinematic apar pulsaţii de viteză după direcţii
diferite de direcţia curgerii, pulsaţii ce sunt cu atât mai intense cu cât
turbulenţa este mai avansată, respectiv numărul Reynolds mai mare.
Din punct de vedere energetic regimul de curgere turbulent este cel mai
dezavantajos, deoarece pierderile de energie cresc în funcţie de agitaţia
fluidului. Din acest motiv, din punct de vedere practic, cu cât curgerea se
realizează la o viteză mai mică, cu atât pierderile de energie scad.
Componentele vitezei vectoriale şi presiunea se pot exprima în funcţie
de o valoare medie a mărimii respective şi de o pulsaţie, notată cu prim. Astfel
se obţin valorile instantanee ale componentelor de viteză şi presiunii:
u = u + u
v = v + v
w = w + w
p = p + p
Datorită acestor pulsaţii de viteză apare un efort tangenţial suplimentar
ce frânează fluidul, în afara efortului dat de legea lui Newton şi care a fost
exprimat la proprietatea de vâscozitate.
Se obţine un efort total, provocat atât de efectul vâscozităţii cât şi al
pulsaţiilor turbulente:
du
 =  − uv
dy
Termenul −uv este pozitiv deoarece la o tendinţă de deplasare
spontană către axa Ox, u >0, trebuie să vină fluidul dinspre axa Oy de
exemplu, deci v <0.
La micşorarea debitului până la încetarea agitaţiei turbulente, pulsaţiile
u = v = 0 şi atunci se regăseşte doar efortul ce frânează fluidul în cadrul
mişcării laminare.
Un alt efect al pulsaţiilor turbulente este aplatizarea distribuţiei de
viteze într-o conductă. Particulele cu viteză mai mare din straturile centrale
trec în straturile periferice şi le accelerează. Şi invers, particulele mai lente
trec în straturile mai rapide şi le frânează. Lângă peretele conductei, curgerea
se produce totuşi cu viteză mai redusă şi ca urmare se regăseşte totdeauna o
82
zonă periferică de curgere laminară, chiar dacă în zona centrală a conductei
curgerea este turbulentă.
Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în regim turbulent
Ecuaţiile de mişcare se pot obţine utilizând ecuaţiile de la mişcarea
laminară, care se completează cu forţele unitare de turbulenţă, exprimate cu
ajutorul pulsaţiilor turbulente.
Se obţine sistemul:
du 1 p
+
= X +  u + A(u, v, w)
dt  x
dv 1 p
+
= Y +  v + B(u, v, w)
dt  y
dw 1 p
+
= Z +  w + C (u, v, w)
dt  z
unde termenii ce conţin pulsaţiile turbulente se exprimă în funcţie de eforturile
tangenţiale turbulente:
1 


A(u, v, w) = [ (−uu) + (−vu) + (−wu)]
 x
y
z
1 


B(u, v, w) = [ (−uv) + (−vv) + (−wv)]
 x
y
z
1 


C (u, v, w) = [ (−uw) + (−vw) + (−ww)]
 x
y
z
Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii anterior sunt necesare 7 ecuaţii
deoarece sistemul conţine 7 necunoscute, trei componente de viteză, trei
pulsaţii de viteză şi presiunea.
Se poate completa sistemul se ecuaţii de mişcare cu ecuaţia de
continuitate scrisă pentru un fluid compresibil sau incompresibil, după caz.
Pentru pulsaţiile de viteză se pot folosi teorii semiempirice sau se pot
utiliza formule statistice.
Se pot preciza totodată diverse conditii iniţiale, în cazul în care mişcarea
fluidului este nepermanentă, sau condiţii la limită pentru cazuri concrete de
curgere. Pentru cazuri generale de curgere, sistemul se integrează numeric.
83
Mişcările efluente ale fluidelor
Se produc în cazul curgerii unui fluid dintr-un anumit recipient printr-un
dispozitiv, într-un alt spaţiu ocupat de un alt fluid.
Se deosebesc: curgeri prin orificii, prin ajutaje, prin injectoare şi peste
deversoare.
Ajutajele sunt dispozitive care se montează în zona de evacuare a
fluidelor pentru creşterea debitului.
Injectoarele realizează jeturi de fluid cu energie cinetică mare.
Deversoarele evacuează fluidul prin partea superioară a unei incinte.
Problemele care se pun la curgerea prin orificii sunt de obicei
determinarea vitezei şi al debitului evacuat.
Se va calcula separat, în final, considerând mişcarea nepermanentă,
timpul de golire al unui rezervor.
1.Curgerea fluidelor prin orficii mici, în pereţi subţiri, sub sarcină
constantă.
Se aplică relaţia lui Bernoulli între punctele (1) şi (2) pentru un fluid
real. Deoarece fluidul este real apar pierderi de energie.
Se calculează pierderile locale de sarcină hidraulică la ieşirea prin
orificiu în funcţie de coeficientul de pierdere locală de sarcină  cu formula:
V22
he =  
2g
Prin înlocuire în relaţia lui Bernoulli se obţine:
V12 p1
V22 p2
+ + z1 =
+ + z2 + he
2g 
2g 
84
z1 = h
S 1 este mare
 V1 =
Q = ct = V1S1

p1
V22 patm
V22
+h=
+
+

2g 
2g
Q
S1
este mică 
V12  0
V22 p1 − patm
=
+h
 (1 +  )
2g

 p1 − patm
 p1 − patm


1
V
V
=
=


2

g
+
h
+
h
2
g




 2
 2
1+   
 


în care  este coeficientul de viteză.
 p1 − patm

V
=
2
g
+
h


- pentru fluidul ideal  = 1  2
 

- pentru rezervor deschis p1 = p atm  V2 = 2 gh
- în cazul unui gaz h = 0  V2 = 2 g
V2 = 2
p1 − patm


p1 − patm

Debitul volumic se obţine utilizând ecuaţia de continuitate:
Q = V2  S2 = V2  Ac = V2  A 
Ac
A
Ac
=  numit coeficientul de strangulare al secţiunii.
Se face notaţia:
A
Se face notaţia
  =  , coeficientul de debit al orificiului şi rezultă:
 p − p atm

Q = A  2 g  1
+ h 



85
Cu cât presiunea gazului din rezervor situat deasupra lichidului p1 este
mai mare, eventual adâncimea lichidului din rezervor h este mai mare, cu atât
se evacuează din rezervor un debit mai mare de lichid.
În funcţie de modul de prelucrare al orificiului, coeficientul de debit se
poate mări şi ca urmare debitul evacuat creşte.
2.Curgerea fluidelor prin orificii mari, în pereţi subţiri, sub sarcină
constantă
Deoarece viteza unui strat de fluid oarecare orizontal evacuat prin
orificiul mare este funcţie de variabila z, se calculează iniţial debitul
infinitezimal evacuat şi apoi debitul total prin integrare, după cum urmează:
dS = b(z ) dz
dQ = V  dS
dQ =  2 gz  b(z )  dz
Q =   2 gz  b(z )  dz =  
H2
H2
H1
H1
2 gz  b(z )  dz
- pentru un orificiu dreptunghiular:
b(z ) = B = ct
şi integrala se poate calcula după cum urmează:
H2
1
2
Q = B 2 g  z dz
H1
3
2
 Q = 3 B 2 g ( H 2 − H 1 ) 2
86
Calculul timpului de golire al unui rezervor
Deoarece
mişcarea
este
nepermanentă, mărimile se schimbă în
timp.
Se egalează volumul infinitezimal
scurs din rezervor în intervalul de timp dt
cu volumul ce dispare din rezervor prin
coborârea suprafeţei libere cu dz:
dV = Qdt = − A(z ) dz
A0 2 gz dt = − A(z )  dz
1
A(z )
dt = −
 dz
A0 2 g z

T

o
dt = −
1
A0

2g
o
A(z )
H
z
 dz  T =
1
A0

2g
H
0
A(z )
z
 dz
- pentru un rezervor cilindric :
d 02
D 2
A(z ) =
A0 =
= ct
4
4
4 D 2
 T =  2 g d 2 4
0
1
1 2 D 
 
T
=

 g  d0 

H
0
−
1
2
z dz
2
H
Deci timpul total de golire a rezervorului cilindric, plin iniţial până la
înălţimea H, este:
1 D
T =  
0  d0 
2
2H
g
Prin comparaţie, radicalul reprezintă în mecanica clasică timpul de
cădere al unui corp de la înălţimea H.
87
APLICAŢII LA TIMPUL DE GOLIRE AL REZERVOARELOR
1. Se consideră rezervorul din figură, plin cu lichid până la cota H.
Secţiunea rezervorului este mult mai mare ca secţiunea s a orificiului de
golire, presupus mic. Coeficientul de debit al orificiului este μ. Să se calculeze
timpul de golire al rezervorului.
Rezolvare
La momentul t0 = 0 cota lichidului este z = H şi viteza de coborâre a
unei particule de lichid de pe suprafaţa liberă este foarte mică deoarece
suprafaţa liberă este foarte mare.
La momentul t, nivelul lichidului a coborât la cota z şi viteza pe
suprafaţa liberă este V2<<V3 din orificiul inferior.
Aplicând relaţia lui Bernoulli între punctele 2 şi 3, sau direct formula lui
Toricelli rezultă:
V3 = 2 gz
şi este variabilă în timp.
În intervalul de timp în care V3 = 2 gz  ct. nivelul a coborât cu dz, deci
volumul evacuat este volumul unui cilindru infinitezimal:
dV = − S ( z )dz
88
Acelaşi volum se poate exprima prin debitul evacuat:
dV = Qdt = S 2 gzdt
Se obţine:
S 2 gzdt = − S ( z )dz
S ( z )dz
respectiv: dt = −
S 2 gz
şi integrând, similar cu cazul general prezentat anterior, rezultă timpul de
golire:
H S ( z ) dz
1
T=
S 2 g 0
z
În particular, pentru rezervor cilindric cu diametrul D şi orificiu circular
cu diametrul d, se obţine:
D 2
H
1
4 dz = 1 ( D ) 2 2 H
T=
2 0
d
 d
g
z
 2g
4
formulă obţinută şi în cazul general anterior.
2.1. Să se calculeze timpul de golire al vasului tronconic din figură, de
raze R1 şi R2 şi unghiul α ştiind că orificiul inferior are diametrul d şi
coeficientul de debit μ.
89
Rezolvare
Se egalează volumul de lichid scurs prin orificiul inferior într-un
interval infinitezimal de timp dt cu volumul evacuat din vas, corespunzător
unei scăderi a cotei suprafeţei libere cu dz:
d 2
dV = 
2 gzdt = −R 2 dz
4
Semnul minus apare deoarece pe măsură ce timpul creşte, adică dt este
pozitiv, z scade, deci dz este negativ.
Deoarece şi raza curentă este o variabilă, se exprimă şi R în funcţie de z:
R − R1
tg  =
z
de unde:
R = ztg  + R1
Prin înlocuire rezultă:
d2

2 gzdt = −( ztg  + R1 ) 2 dz
4
Se separă variabilele:
4
( ztg  + R1 ) 2
dt = −
dz
 2 gd 2
z
Ţinând cont că la t = 0, z = H şi la t = T, z = 0 se integrează şi rezultă:
2
2
2
0 z tg  + 2 zR tg  + R
4
1
1
T =−
dz
 2 gd 2 H
z
şi în final timpul de golire este:
T=
1
4 2 1 52 2
2 23
2
2
(
H
tg

+
H
R
tg

+
R
H
)
1
1
2
3
 gd 5
sau dând factor comun din paranteză:
T=
4
d 2
2H 1 2 2
2
( H tg  + HR1tg + R12 )
g 5
3
90
2.2. Aceeaşi problemă pentru vasul tronconic de mai jos.
Rezolvare
Din egalarea celor două volume se obţine:
d 2
dV = 
2 gzdt = −R 2 dz
4
Din figură se poate determina raza oarecare R:
R −R
tg  = 1
, R = R1 − ztg 
z
şi prin introducere în ecuaţia iniţială şi simplificare cu π se obţine:
d2

2 gzdt = −( R1 − ztg ) 2 dz
4
Se separă variabilele:
4
( R1 − ztg ) 2
dt = −
dz
 2 gd 2
z
şi prin integrare de la t = 0 la timpul final de golire T rezultă:
2 2 0 R12 − 2 R1 ztg  + z 2tg 2
T =−
 gd 2 H
z
91
1
3
2 2
4
2 52 2
2
2
2
T=
(2 R1 H − R1H tg  + H tg )
3
5
 gd 2
T=
4
d 2
2H 2 2
1
( R1 − R1Htg + H 2tg 2 )
g
3
5
2.3. Aceeaşi problemă pentru vasul conic de mai jos.
Rezolvare
Din egalarea celor două volume se obţine:
d 2
dV = 
2 gzdt = −R 2 dz
4
Din figură se poate determina raza oarecare R:
R = ztg 
şi prin introducere în ecuaţia iniţială şi simplificare cu π se obţine:
d2

2 gzdt = − z 2tg 2dz
4
Se separă variabilele:
4tg 2 z 2
dt = −
dz
 2 gd 2 z
şi prin integrare de la t = 0 la timpul final de golire T rezultă:
92
2 2 tg  2 0 32
T =−
(
) z dz
 g d H
T=
4 2 tg  2 52
(
) H
5 g d
T=
4
5
2 H Htg 2
(
)
g
d
2.4. Aceeaşi problemă pentru vasul sferic de mai jos.
Rezolvare
Din egalarea celor două volume se obţine:
d 2
dV = 
2 gzdt = −R 2 dz
4
Pentru z   0, R1  raza curentă variabilă este R şi se deduce din:
R 2 = R12 − ( R1 − z ) 2 = 2 R1 z − z 2
Pentru z   R1 , 2 R1  raza R se deduce din:
R 2 = R12 − ( z − R1 ) 2 = 2 R1 z − z 2
Se obţine prin înlocuire şi simplificare cu π:
93
d2

2
g
zdt = −(2 R1 z − z 2 )dz
2
Se separă variabilele:
2 2 2R1 z − z 2
dt = − 2
dz
d g
z
şi prin integrare de la t = 0 la timpul final de golire T rezultă:
1
3
2 2 0
2
T =− 2
(2 R1 z − z 2 )dz

2
R
d g 1
2
T=
d 2
T=
3
2 4
2 52
2
( R1 z − z )
g 3
5
R1
0
2
=
d 2
5
2 8 2 52 8 2 52
64
(
R1 −
R1 ) =
R1 2
2
g 3
5
15 d g
64 R1 R1 2
( )
15 g d
3. Să se determine unghiul la vârf al unui vas conic de înălţime H 1 şi
caracteristicile orificiului inferior de evacuare μ1 şi d1 astfel încât să se
golească în acelaşi timp cu un vas cilindric de înălţime H2 şi diametru interior
D2, cu caracteristicile orificiului inferior μ2 şi d2, ştiind că vasele au acelaşi
volum.
Rezolvare
Egalând timpii de golire ai celor două vase, se obţine ecuaţia în α:
4 2 tg 2 52 1 2 D2 2 12
(
) H1 =
( ) H2
51 g d1
2 g d2
Din egalitatea volumelor rezultă:
H13tg 2 D2 2
R 2 H1 D2 2
=
H 2 sau
=
H2
3
4
3
4
Din sistemul format de cele două ecuaţii, prin împărţire membru cu
membru şi prelucrarea rezultatului, rezultă:
1
1
3 2 d 22
3
d
2
2
sau H1 = H 2 ( 2 )2 ( 2 ) 4
H1 = H 2
2
51 d1
51d1
iar α rezultă din ecuaţia iniţială sub forma:
D 3H 2
 = arctg
H1 4 H1
94
Mişcarea permanentă în conducte sub presiune
Conductele sunt sisteme hidraulice ce asigură transportul sub presiune
al fluidului între două puncte cu sarcini energetice diferite.
Se deosebesc:
1.Conducte scurte la care pierderile de sarcină hidraulică sunt date de
suma dintre pierderile distribuite şi cele locale de pe parcurs.
2.Conducte lungi la care pierderile de sarcină hidraulică sunt date doar
de pierderile distribuite, corectate prin adaos cu un procent de până la 5% dacă
au mai multe elemente hidraulice montate pe traseu.
Exemple de conducte lungi: magistralele de petrol şi gaze, conductele
de alimentare cu apă ale localităţilor.
Problemele care se pun la calculul conductelor sunt:
1.determinarea diametrului interior – problemă de dimensionare - când
se cunosc pierderile de sarcină hidraulică, natura pereţilor conductei, lungimea
ei, precum şi debitul necesar la consumator.
2.determinarea debitului - problemă de alimentare - când se cunosc
celelalte mărimi menţionate anterior.
3.determinarea pierderii de sarcină – problemă energetică – când se
cunosc celelalte mărimi menţionate anterior.
Calculul conductelor scurte
În cazul mişcării permanente pierderea de sarcină totală este:
htot = hdistribuit +  hei
i
sau
Q2
l
2
htot = 0.0826 5 Q + 0.0826 4
D
D

i
şi dând factor comun:
Q2  l

htot = 0.0826 4   +   li  m
D  D i

95
li
,
1.determinarea diametrului (D)
- se dau diverse valori diametrului interior al conductei şi rezultă
valorile pierderii de sarcină cu care se trasează graficul următor:
- pentru
pierderea de
sarcină din cazul concret
considerat se alege în final
din grafic
Ds tan dard  Di
2.determinarea debitului (Q)
Pentru o curgere în regim laminar valoarea coeficientului pierderii de
sarcină liniară sau distribuită este:
=
64
Re
iar valoarea numărului Reynolds:
Re =
V D

(0 )
- se alege valoarea lui Q la iteraţia 0, Q şi rezultă:
(0)
( 0)
4Q (0)
64
( 0) Q
( 0) V  D
( 0)
V
=
S
=
D
2
Re =

 =
Re
(0)
()
 Q1 ,
adică debitul la iteraţia 1, şi se urmează acelaşi procedeu până când diferenţa
dintre două valori succesive ale debitului volumic Q este mai mică în modul
decât o valoare ε aleasă în funcţie de precizia dorită:
Q (n ) − Q (n −1)    Q = Q (n ) ,
adică se alege ca debit final debitul de la iteraţia n.
3.determinarea pierderilor de sarcină totală:
Cu ajutorul lui Q 
V → Re    htot
96
APLICAŢIE
Conducta tip sifon:
Se aplică relaţia lui Bernoulli între A şi B:
VA2 p A
VB2 pB
+ + zA =
+ + zB + htot
2g 
2g 
Parametrii hidrodinamici sunt daţi de: p A = p B = p atm
Deoarece S A este mare 
VA
este mică 
Q
V
=
, A
SA
VA2
2 g este neglijabil.
 z A = htot  H = htot
Se înlocuieşte pierderea de sarcină totală cu suma dintre pierderea
liniară şi cele locale şi rezultă:
V2 l
V2
V2
V2
H =
+ i
+ c
+ e
2g D
2g
2g
2g
V2  l


+

+

+


i
c
e=H

2g  D

de unde se deduce expresia vitezei de curgere pe traseu:
V=
2 gH

l
+ i +  c +  e
D
şi deci debitul sifonat din rezervorul A în rezervorul B este:
 D2
Q =V  S  Q =V 
4
97
Calculul conductelor lungi
Analogia electro-hidraulică
Calculul efectuat cu ajutorul unor mărimi electrice şi hidraulice prezintă
o anumită similaritate.
- circuitul serie
electric
I = ct
U = U i
 circuitul serie
hidraulic
I =  Ii
i
hd =  hd i
i
i
- circuitul paralel
electric
Q = ct
 circuitul paralel
U = ct
hidraulic
Q =  Qi
i
hd = ct
Conducte lungi montate în serie:
Aplicând relaţia lui Bernoulli între punctele A şi B se obţine:
VA2 p A
VB2 pB
+ + zA =
+ + zB +  hdi
2g 
2g 
i
Termenii cinetici sunt neglijabili pe suprafaţa liberă a rezervoarelor,
presiunile în A şi B sunt egale cu presiunea atmosferică. Din suma pierderilor
de sarcină din membrul drept rămân doar pierderile distribuite şi efectuând
reducerile necesare rezultă:
H = hd
adică energia potenţială a lichidului din rezervorul A faţă de rezervorul B se
consumă pe pierderile distribuite produse pe reţeaua de conducte în serie.
Explicitând pierderile pe fiecare tronson se obţine:
l1 V12
l2 V22
H = 1
+ 2
+
D1 2 g
D2 2 g
98
ln Vn2
+ n
Dn 2 g
H este dat şi atunci se poate obţine în final debitul de fluid :
Vi =

Q
li 
2


H
=
0
.
0826

Q


i

5   Q

D
Si
i 
 i
Conducte lungi montate în paralel:
Se aplică relaţia lui Bernoulli între A şi B:
VA2 p A
VB2 pB
+
+ zA =
+
+ zB + hd
2g 
2g 
- în A şi B Q = ct
D = ct  S = ct
 H = hd
 VA = VB = ct
 H = 0.0826 i
li
Di5
Qi5  Qi 
Debitul total prin conducta din afara ramificaţiei este :
n
Q =  Qi
i =1
99
Aplicaţii la calculul conductelor
1. O magistrală pentru transportul uleiului lungă de 20 km este realizată
dintr-o conductă cu diametrul interior de 150 mm. Calculaţi puterea utilă
necesară pentru a transporta un debit de ulei de 80 m3/h, având greutatea
specifică γ = 9712 N/m3 şi vâscozitatea dinamică η = 0,22 Ns/m2. Se consideră
conducta orizontală şi se neglijează termenii cinetici.
Rezolvare
Puterea necesară pentru transportul uleiului este dată de expresia:
P = QH
unde ΔH este energia specifică ce trebuie furnizată unităţii de greutate a
fluidului.
Deoarece uleiul ajunge la aceeaşi cotă de la care este preluat şi termenii
cinetici se neglijează, energia specifică ΔH (exprimată în m coloană de ulei)
reprezintă energia necesară pentru învingerea pierderilor de sarcină distribuite
în lungul conductei.
Se exprimă debitul în unităţi S.I.:
80
Q=
= 0,0222m3 / s
3600
Din ecuaţia de continuitate se obţine:
Q 4Q 4 * 0,0222
V= =
=
= 1,25m / s
S D 2
 * 0,152
Numărul Reynolds este:
VD VD VD 1,25* 0,15*9712
Re =
=
=
=
= 843,75 <2300


g
0,22 *9,81
deci mişcarea este laminară.
Energia specifică necesară se determină cu ajutorul pantei hidraulice:
H = lJ
iar panta hidraulică se obţine din formula lui Poiseuille:
8V 8* 022 *1,25
J=
=
= 0,04
R 2 9712 * 0,0752
în care R reprezintă raza interioară a conductei.
Se obţine astfel:
H = 20000*004 = 800m
înălţime ce trebuie să fie egală cu energia specifică preluată de la pompă.
Putera utilă a pompei va fi atunci:
P = QH = 9712*0,0222*800 = 172485W = 172,48kW
100
Pentru a evita apariţia unor presiuni înalte pe parcurs ( H = 800m ),
este oportun să fracţionăm puterea cerută într-un anumit număr de staţii de
pompare dispuse pe parcurs.
Merită comentat în final că termenul cinetic este neglijabil:
V2
1,252
=
= 0,08m
2 g 2 *9,81
deci aproximaţia iniţială a fost justificată.
2. O conductă de diametru interior de 1 m transportă un debit de 800 l/s
de apă la temperatura de 10°C. Se cer:
a. Pierderea de sarcină liniară pe lungimea de 4 km de conductă.
b. Puterea disipată pe această lungime.
Rezolvare
a. Vâscozitatea dinamică a apei la temperatura indicată este:
 = 1,3*10 −3 Ns / m 2
Viteza medie a apei este:
Q 4Q 4 * 0,8
V= =
=
= 1,02m / s
S D 2  *12
iar numărul Reynolds este:
VD VD 1,02 *1*1000
Re =
=
=
= 7,85*105 >2300
−3


1,3*10
deci regimul de curgere este turbulent avansat.
Pentru acestă valoare se poate folosi relaţia lui Nikuradze pentru
conducte netede, din care se deduce coeficientul pierderilor liniare sau
distribuite:
 = 00032 + 0,221/ Re0,237 = 0,0032 + 0,221/ 248 = 0,0121
Aceeaşi valoare se poate citi şi din diagrama lui Moody.
Panta hidraulică (sau pierderea de sarcină unitară) este:
V 2 0,0121*1,022
J=
=
= 0,00064 = 6,4 *10−4
2 gD
2 *9,81*1
Pierderea de sarcină devine:
H = lJ = 4000 * 6,4 *10−4 = 2,56m
b. Puterea disipată este:
P = QH = 9810*0,8* 2,56 = 20090W = 20,09kW
101
3. Să se determine presiunea p1 necesară în secţiunea amonte a unei
conducte orizontale de lungime l = 90 km şi diametru interior D = 1 m pentru
a transporta un debit volumic Q = 360 m3/h cu vâscozitatea cinematică
ν=1,2*10-4m2/s şi greutatea specifică γ = 8500 N/m3, presiunea p2 în secţiunea
aval fiind de 1 at.
Rezolvare
Viteza medie în conductă se obţine utilizând formula de la ecuaţia de
continuitate pentru debitul volumic:
Q 4Q
4 360
=
=
= 0,127m / s
S D 2  *12 3600
Se calculează numărul Reynolds:
VD 0,127 *1
Re =
=
= 1058,33 <2300
 1,2 *10−4
deci regimul de curgere este laminar şi coeficientul pierderilor liniare de
sarcină hidraulică este:
64
=
Re
Pierderea de sarcină liniară sau distribuită se poate determina cu:
l V2
h=
D 2g
Deoarece conducta este orizontală şi de diametru constant, termenii ce
conţin cota şi viteza din relaţia lui Bernoulli se simplifică şi rezultă căderea de
presiune pe tot tronsonul ca funcţie de pierderea de sarcină liniară:
64 l V 2 32 lV 
p = h = 
=
Re D 2 g g D 2
V=
Prin înlocuirea valorilor numerice se obţine:
32 8500 *90000 * 0,127 *1,2 *10−4
p =
= 12676,7 N / m2 = 0,13at
2
9,81
1
Ca urmare, presiunea necesară în secţiunea amonte este:
p1 = p2 + p = 1 + 0,13 = 1,13at
102
APLICAŢIE COMPLEXĂ
→
→
→
Se consideră un fluid ce curge cu viteza V = (5x-2y) i + (4x-3y) j +
→
(2y-2z) k la presiunea p = - 9x + 3y + 2z .
1. Deduceţi componentele de viteză (u,v,w) după cele trei direcţii ale
sistemului triortogonal.
2. Estimaţi variaţia în spaţiul tridimensional a vitezei vectoriale.
3. Are fluidul o mişcare de rotaţie? Explicaţi.
4. Ce fel de fluid curge, ideal sau real?
5. Se conservă debitul volumic al fluidului incompresibil?
6. Calculaţi valoarea (modulul) vitezei vectoriale şi aflaţi valoarea
vitezei în punctul A(1,1,1) şi în origine.
7. În ce direcţie şi sens variază mai mult presiunea? Explicaţi.
8. Dacă fluidul străbate o conductă ce are direcţia vitezei vectoriale, să
se determine debitul volumic, masic şi de greutate al apei în secţiunea A de
diametru D = 1 m.
9. Ce se întâmplă în punctul B(1,3,0) ?
Răspunsuri.
1. Deoarece V = ui + vj + wk şi observând forma iniţială a vitezei se
obţin:
u = 5x - 2y , v = 4x – 3y , w = 2y – 2z .
2. Deoarece viteza este o mărime vectorială, variaţia ei în spaţiul
tridimensional se determină cu ajutorul operatorului de derivare adecvat:
→
div V =
w
u
v
+
+
= 5 – 3 – 2 = 0.
x
z
y
3. Se utilizează operatorul rotor:
→
i
→

rot V =
x
u
→
j

y
v
→
k
w v →

u w →
v u →
=(
) i+( ) j +(
)k
z
y z
x y
z x
w
103
=[
→
→





(2y-2z)- (4x – 3y)] i +[ (5x – 2y) (2y – 2z)] j +[ (4x – 3y)y
z
z
x
x
→
→
→

(5x-2y)] k = 2 i + 6 k
y
→
rot V  0 , deci fluidul se roteşte.
4. Se determină termenii ce reprezintă forţele unitare de vâscozitate din
sistemul de ecuaţii de mişcare ale fluidelor reale.
Se calculează iniţial forţa unitară de vâscozitate orientată după direcţia
axei Ox:
 2u  2u  2u
u = ( 2 + 2 + 2 ) = 0
x
y
z
În mod analog v = w = 0 .
Se poate considera deci că avem de a face cu curgerea unui fluid ideal.
5. Deoarece fluidul este incompresibil, densitatea lui este constantă. Se
aplică ecuaţia de continuitate câmpului de viteze anterior şi utilizând rezultatul
de la punctul 2, rezultă:
d
+ divV = 0 + 0 = 0
dt
Având în vedere rezultatele finale de la ecuaţia de continuitate, se
consideră că debitul volumic se conservă.
6. Modulul sau valoarea vitezei vectoriale se determină considerând că
viteza corespunde diagonalei unui paralelipiped dreptunghic de laturi u,v şi w.
Utilizînd formula diagonalei paralelipipedului de la geometria în spaţiu
se obţine:
V=
u 2 + v 2 + w2 =
(5 x − 2 y ) 2 + (4 x − 3 y ) 2 + (2 y − 2 z ) 2 =
= 25 x 2 − 20 xy + 4 y 2 + 16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 + 4 y 2 − 8 yz + 4 z 2 =
=
41x 2 + 17 y 2 + 4 z 2 − 44 xy − 8 yz
Valoarea vitezei în punctul A(1,1,1) se obţine înlocuind pe x,y şi z cu
valoarea 1 în expresia anterioară a vitezei:
VA = 41 + 17 + 4 − 44 − 8 = 10 m/s .
Viteza în origine se determină în mod analog şi rezultă:
VO = 0 .
104
7. Variaţia presiunii se determină utilizând operatorul de derivare
corespunzător unui scalar:
→
→
p → p → p
i +
j +
k =-9 i +3 j +2 k
y
x
z
Se deduce că:
p
=-9
x
deci presiunea se modifică mai mult după direcţia axei Ox, scade în sensul
axei, sau, altfel spus, creşte în sens invers axei Ox.
→
grad p =
→
8. Deoarece debitul volumic este constant, conform punctului 5, se
aplică formulele determinate în capitolul de cinematică:
D 2

10 m3/s.
Q = VA SA =
VA =
4
4

10 = 250  10 kg/s.
Qm =  VA SA = 1000
4

10 = 2452,5  10 N/s.
QG =  VA SA = 9810
4
9.Pentru a determina comportarea fluidului se determină viteza şi
presiunea în punctul respectiv:
→
→
→
→
→
→
→
= (5 - 6) i + (4 - 9) j + 6 k = - i -5 j + 6 k
Fluidul circulă în sens invers axelor x şi y şi se îndreaptă în sensul axei
V
B
Oz.
PB = - 9 + 9 + 0 = 0 Pa sau 0 N/m2.
105
Maşini hidraulice
Se deosebesc:
1.Maşini generatoare la care energia mecanică la arbore este
transformată în energie hidraulică (exemple: pompe sau ventilatoare antrenate
de motoare asincrone).
2.Maşini motoare la care energia hidraulică se transformă în energie
electrică (exemple: turbine de apă, abur şi de gaze conectate la generatoare
sincrone).
3.Transformatoare hidraulice ce transformă energia mecanică în energie
hidraulică şi apoi din nou în energie mecanică (exemplu: transmisiile
hidraulice).
Maşinile hidraulice se mai clasifică în:
- turbomaşini la care există o circulaţie continuă de fluid între aspiraţie şi
refulare (ventilatoare şi pompe axiale, diagonale, centrifugale, suflante) şi care
dau debite mari dar realizează diferenţe de presiune între refulare şi aspiraţie
mici.
- maşini volumice: - pompe cu piston, cu roţi dinţate, cu pistonaşe, cu palete
culisante; acestea realizează diferenţe de presiune mari, dar dau debite mici.
Parametrii energetici ce caracterizează funcţionarea unei maşini sunt, în
cazul maşinii generatoare ( de exemplu o pompă sau un ventilator ):
m3 
l 
1.debitul volumic Q ,   sau   , (1 m3 = 103 litri )
s
 s 
Va2 pa
Vr2 pr
+ + zr ) − ( + + za ) , [ m ]
2. sarcina pompei: H p = (
2g 
2g 
3. puterea utilă: Pu = gQH p , [ W ] sau [ kW ]
4. puterea consumată: Pc , [ W ] sau [ kW ]
5. randamentul pompei:  =
Pu
Pc , [ % ] , η < 1
106
Generatorul magneto-hidrodinamic
Funcţionarea de principiu a generatorului magneto-hidrodinamic constă
în utilizarea energiei unui fluid ionizat pentru a obţine energie electrică.
Pentru a obţine un fluid conductor electric, acesta este adus sub formă
de plasmă. Particulele încărcate electric din plasmă ce se deplasează în câmpul
magnetic de intensitate H sunt acţionate de o forţă Lorentz. Direcţia acestei
forţe formează un triedru cu direcţiile câmpului magnetic şi direcţia de
mişcare a plasmei (vezi figura). Se închide astfel circuitul electric prin
rezistenţa R, ce reprezintă consumatorul şi care este conectat la electrozii A şi
B din figură.
Dacă tensiunea măsurată la bornele electrozilor este U iar intensitatea
prin rezistenţă este I, atunci puterea consumată este:
P = UI
iar energia electrică consumată este:
W = UIt
Acest generator are avantaje aparte.
Mediul înconjurător se poluează foarte puţin deoarece combustibilii
folosiţi pentru producerea plasmei ard la temperaturi foarte mari diminuând
reziduurile.
107
Cheltuielile de intreţinere sunt mici deoarece nu există piese în mişcare.
Energia termică a fluidului ce iese din generatorul magnetohidrodinamic este folosită în continuare într-o centrală clasică crescând
randamentul instalaţiei.
Electronii din plasmă care ajung la electrodul K trec prin rezistenţa
electrică a consumatorului şi ajung din nou în plasmă prin electrodul A,
conform figurii:
Particulele încărcate pozitiv urmează traseul invers.
Este prezentată în continuare forma canalului generatorului magnetohidrodinamic străbătut de plasmă ce evoluează în câmpul magnetic de inducţie
B, obţinând un curent de intensitate I.
Generatoarele magneto-hidrodinamice pot fi cuplate cu reactoarele
nucleare de fisiune şi eventual în viitor cu cele de fuziune, deoarece pot utiliza
plasma produsă de acestea.
108
Bibliografie
1. Băran G., Mândrea L. – Culegere de probleme de mecanica fluidelor
şi maşini hidraulice. Partea I., Editura lito-U.P.B., Bucureşti, 1997.
2. Băran G., Mândrea L. – Culegere de probleme de mecanica fluidelor
şi maşini hidraulice. Partea a II-a., Editura lito-U.P.B., Bucureşti,
1998.
3. Florea J., Panaitescu V.- Mecanica fluidelor, E.D.P., 1979.
4. Degrez G., Dick E., Grundmann E. – Course of computational fluid
dynamics. Von Karman Institute for Fluid Dynamics, 1992.
5. Mândrea L., Statie E. -Analiza comportării tridimensionale a
fluidelor cu metoda volumelor finite. Revista Hidrotehnica nr. 2,
1996, pag. 13-16.
6. Mândrea L. - Predicţia numerică a incipienţei cavitaţiei în pompele
centrifuge. Revista Hidrotehnica nr. 8, 1997, pag. 3-7.
7. Mândrea L. - The optimisation of the flows and costs in energetical
plants. Bulletin informatif no.3, PEC 12018/2001.
8. Musa G. – Plasma şi viitorul energeticii. Editura ştiinţifică şi
enciclopedică, Bucureşti, 1979.
109