Задача 1
Найти все такие натуральные числа p, что p и 3p² + 1 – простые.
Задача 2
В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое
число равно 23021377 – 1. Не опечатка ли это?
Задача 3
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие
3.
Задача 4
Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую
прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
Задача 5
Найти все такие натуральные числа p, что p и p² + 2 – простые.
Задача 6
Найти все натуральные числа p, что p, p² + 4 и p² + 6 – простые числа.
Задача 7
Является ли число 49 + 610 + 320 простым?
Задача 8
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Задача 9
Докажите, что если число n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 – простое число.
Задача 10
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых
также является простым числом.
Задача 11
Какое наименьшее натуральное число не является делителем 50!?
Задача 12
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и
разности двух простых чисел.
Задача 13
а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.
б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.
Задача 14
p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p² + 2 – также простое число.
Задача 15
Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух
составных.
Задача 16
Докажите, что при n > 2 числа 2n – 1 и 2n + 1 не могут быть простыми
одновременно.
Задача 17
Докажите, что pp+2 + (p + 2)p ≡ 0 (mod 2p + 2), где p > 2 – простое число.
Задача 18
Может ли разность четвёртых степеней простых чисел быть простым числом?
Задача 19
Пусть p – простое число, отличное от 2 и 5. Доказать, что p4 − 1 делится на
10.
Задача 20
Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами.
Может ли при этом число 5n + 3 быть простым?
Задача 21
Найти все такие натуральные числа p, что p и p6 + 6 – простые.
Задача 22
Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно.
Задача 23
Пусть {pn} – последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...).
а) Докажите, что pn > 2n при n ≥ 5.
б) При каких n будет выполняться неравенство pn > 3n?
Задача 24
Докажите неравенство pn+1 < p1p2...pn (pk – k-е простое число).
Задача 25
Докажите, что числа Ферма fn = 22n + 1 при n > 1 не представимы в виде
суммы двух простых чисел.
Задача 26
Докажите, что pn+1 ≤ 22n + 1, где pn – n-е простое число.
Задача 27
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и
получили степень десятки. Найдите все такие N.
Задача 28
Найдите все простые числа вида PP + 1 (P – натуральное), содержащие не
более 19 цифр.
Задача 29
Докажите, что при простых p > 7 число p4 − 1 делится на 240.
Задача 30
Найдите все такие простые числа p и q , что p + q = (p – q)³.
Задача 1
Найти все такие натуральные числа p, что p и 3p² + 1 – простые.
Подсказка:
Если p нечётно, то 3p² + 1 чётно.
Ответ:
p = 2.
Задача 2
В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое
число равно 23021377 – 1. Не опечатка ли это?
Подсказка:
Какая последняя цифра у числа 23021377 – 1?
Решение:
Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается
цифрой 1. Поэтому разность 23021377 – 1 оканчивается на 0 и,
следовательно, не является простым числом.
Ответ:
Опечатка.
Задача 3
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие
3.
Подсказка:
См. задачу 30377.
Решение:
а) Согласно задаче 30777 число p³ – p = p(p² – 1) делится на 24. Но простое
число p ни на 2, ни на 3 не делится. Поэтому p² – 1 делится на 24.
б) p² – q² = (p – q)(p + q). p – q и p + q – чётные числа, причём их разность
2q не кратна 4. Значит, одно из этих чисел делится на 4.
2q также не кратно 3, значит, p – q и p + q дают разные остатки при
делении на 3. Если бы ни одно из этих чисел не было кратно 3, то сумма
(p – q) + (p + q) = 2p делилась бы на 3. Но это не так.
Поэтому (p – q)(p + q) делится на 2·4·3 = 24.
Задача 4
Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую
прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
Решение:
Если d нечётно, то среди чисел p и q есть чётное, что невозможно. Если d не
делится на 3, то среди чисел p, q и r есть кратное 3, что тоже невозможно.
Задача 5
Найти все такие натуральные числа p, что p и p² + 2 – простые.
Решение:
См. задачу 30394.
Ответ:
p = 3.
Задача 6
Найти все натуральные числа p, что p, p² + 4 и p² + 6 – простые числа.
Подсказка:
Если p не делится на 5, то либо p² + 4, либо p² + 6 делится на 5.
Ответ:
p = 5.
Задача 7
Является ли число 49 + 610 + 320 простым?
Подсказка:
Это число – полный квадрат.
Решение:
49 + 610 + 320 = (29)2 + 2·29·310 + (310)2 = (29 + 310)2.
Ответ:
Не является.
Задача 8
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Подсказка:
Такие числа имеют разную чётность.
Ответ:
2 и 19.
Задача 9
Докажите, что если число n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 – простое число.
Решение:
Пусть n + 1 – составное число. Если p – некоторый его простой делитель,
то p ≤ n. Значит, n! делится на p, а n! + 1 не делится. Противоречие.
Задача 10
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых
также является простым числом.
Решение:
Можно считать, что p > q. Так как p5 – q5 делится на p – q, и частное
заведомо больше 1, то p – q = 1. Следовательно, р = 3, q = 2.
Действительно, число 35 – 25 = 211 – простое.
Ответ:
{3, 2}.
Задача 11
Какое наименьшее натуральное число не является делителем 50!?
Подсказка:
n! не делится ни на какое простое число, большее n.
Решение:
Простое число 53 не входит в разложение на простые множители числа 50!,
поэтому 50! не делится на 53. С другой стороны ясно, что 50! делится на
3·17 = 51 и на 4·13 = 52.
Ответ:
53.
Задача 12
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и
разности двух простых чисел.
Решение:
Указанное простое число p нечётно, поэтому в сумме и разности участвуют
числа разной чётности. Итак, p = q + 2 = r – 2. Отсюда видно, что числа дают
разные остатки при делении на 3, значит, одно из них кратно 3, а так как оно
простое, то равно 3.
Ответ:
5.
Задача 13
а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.
б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.
Подсказка:
Рассмотрите остатки от деления на 3. Одно из этих чисел делится на 3.
Ответ:
p = 3.
Задача 14
p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p² + 2 – также простое число.
Подсказка:
Рассмотрите остатки от деления на 3.
Решение:
Если число p делится на 3 и больше 3, то оно не простое.
Пусть p не делится на 3 и больше 1. Тогда p² даёт остаток 1 от деления на 3,
то есть p² + 2 делится на 3. Поскольку p² + 2 > 3, то это число – составное.
Остаётся единственная возможность p = 3. При этом p³ + 2 = 29.
Задача 15
Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух
составных.
Решение:
Докажем, что любое простое число p > 11 представляется в виде суммы
двух составных. Поскольку любое такое число нечётно, то число p – 9 чётно
и, следовательно, составное. Поэтому p = (p – 9) + 9 – искомое
представление.
С другой стороны, непосредственно проверяется, что числа 2, 3, 5, 7 и 11 не
представимы в виде суммы двух составных.
Задача 16
Докажите, что при n > 2 числа 2n – 1 и 2n + 1 не могут быть простыми
одновременно.
Решение:
Первый способ. При нечётном n 2n + 1 делится на 2 + 1 = 3, а при
чётном n = 2m 2n – 1 = 4m – 1 делится на 4 – 1 = 3.
Второй способ. Из трёх последовательных чисел 2n – 1, 2n, 2n + 1 одно
делится на 3. Но 2n на 3 не делится. Значит, одно из двух оставшихся чисел
кратно 3.
Задача 17
Докажите, что pp+2 + (p + 2)p ≡ 0 (mod 2p + 2), где p > 2 – простое число.
Решение:
p + 2 ≡ – p (mod 2p + 2), поэтому pp+2 + (p + 2)p ≡ pp+2 – pp = pp(p – 1)(p + 1) ≡ 0
(mod 2p + 2), поскольку число p – 1 чётно.
Задача 18
Может ли разность четвёртых степеней простых чисел быть простым числом?
Решение:
Пусть p и q – простые числа, причём p > q. Тогда p4 – q4 = (p² – q²)(p² + q²) = (p
– q)(p + q)(p² + q²). Каждый из полученных множителей – натуральное число,
причём p + q > 1 и p² + q² > 1. Следовательно, рассматриваемая разность
является произведением хотя бы двух натуральных чисел, больших единицы,
то есть является составным числом.
Ответ:
Не может.
Задача 19
Пусть p – простое число, отличное от 2 и 5. Доказать, что p4 − 1 делится на
10.
Решение:
См. решение задачи 79525.
Задача 20
Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами.
Может ли при этом число 5n + 3 быть простым?
Решение:
Если 2n + 1 = k², 3n + 1 = m², то 5n + 3 = 4(2n + 1) – (3n + 1) = 4k² – m² = (2k +
m)(2k – m).
Докажем, что 2k – m ≠ 1. Действительно, в противном случае 5n + 3 = 2m +
1 и (m – 1)² = m² – (2m + 1) + 2 = (3n + 1) – (5n + 3) + 2 = – 2n < 0, что
невозможно).
Ответ:
Не может.
Задача 21
Найти все такие натуральные числа p, что p и p6 + 6 – простые.
Решение:
Если p не делится на 7, то по малой теореме Ферма p6 + 6 ≡ 0 (mod 7), а 76 +
6 ≡ 26 + 1 = 65 ≡ 0 (mod 5).
Ответ:
Нет решений.
Задача 22
Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно.
Решение:
Пусть p1 = 3, p2 = 7, ..., pn – все такие простые числа. Рассмотрим число N =
4p2...pn + 3. Оно не делится ни на одно из чисел p1, p2, ..., pn, но содержит
простой делитель вида 4k + 3. Противоречие.
Задача 23
Пусть {pn} – последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...).
а) Докажите, что pn > 2n при n ≥ 5.
б) При каких n будет выполняться неравенство pn > 3n?
Решение:
а) Поскольку все простые числа, кроме 2, нечётны, то pn ≥ p5 + 2(n – 5) = 2n +
1 при n ≥ 5.
б) Все простые числа, начиная с 7, имеют вид 6n + 1 или 6n +
5. Поскольку p12 = 37 = 6·6 + 1, то p12+2n ≥ 6(6 + n) + 1 > 3(12 + 2n), а
p12+2n+1 ≥ 6(6 + n) + 5 > 3(12 + 2n + 1).
При n < 12, как легко проверить, неравенство не выполнено.
Ответ:
б) При n ≥ 12.
Задача 24
Докажите неравенство pn+1 < p1p2...pn (pk – k-е простое число).
Подсказка:
Рассмотрите число p1p2...pn – 1.
Задача 25
Докажите, что числа Ферма fn = 22n + 1 при n > 1 не представимы в виде
суммы двух простых чисел.
Решение:
Число Ферма нечётно, поэтому единственное возможное представление –
это 22n + 1 = (22n – 1) + 2. Но число 22n – 1 – не простое (например, оно
кратно 3).
Задача 26
Докажите, что pn+1 ≤ 22n + 1, где pn – n-е простое число.
Решение:
Согласно задаче 10508 число 22n – 1 имеет n различных простых делителей,
причём все они отличны от 2. Поэтому pn+1 ≤ 22n – 1 при n > 0.
Задача 27
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и
получили степень десятки. Найдите все такие N.
Решение:
Пусть m – наибольший делитель числа N, меньший, чем N. Тогда n =
mp, где p – наименьший простой делитель числа N. Имеем
m(p + 1) = N + m = 10k. Число в правой части не делится на 3, поэтому p >
2. Отсюда следует, что N нечётно, а тогда и m нечётно. Поскольку
10k делится на m, m = 5s.
Если m = 1, то N = p = 10k – 1, что невозможно, так как 10k – 1 делится на
9, то есть не является простым. Значит, s ≥ 1, число N кратно 5, и потому p ≤
5.
Если p = 3, то 4·5s = 10k, откуда k = 2, m = 25 и N = 75.
Если же p = 5, то p + 1 = 6, и число 10k делится на 3, что невозможно.
Ответ:
75.
Задача 28
Найдите все простые числа вида PP + 1 (P – натуральное), содержащие не
более 19 цифр.
Решение:
Если P = mq, где q нечётно, то PP + 1 делится на Pm + 1. Осталось
перебрать случаи когда P – степень двойки.
11 + 1 = 2, 2² + 1 = 5, 44 + 1 = 257. 88 + 1 = 224 + 1 делится на 28 + 1. 1616 =
264 > 10·260 = 10·10246 > 1019, то есть содержит больше 19 цифр.
Ответ:
1, 2, 4.
Задача 29
Докажите, что при простых p > 7 число p4 − 1 делится на 240.
Решение:
p4 − 1 = (p² − 1)(p² + 1). В задаче 30378 а) доказано, что p² − 1 делится на 24.
Кроме того, p² + 1 чётно,
а (p² − 1)(p2 + 1) ≡ (p² − 1)(p² – 4) = (p − 2)(p – 1)(p + 1)(p + 2) (mod 5). Из пяти
последовательных чисел p − 2, p – 1, ..., p + 2 одно делится на 5, и это –
не p. Поэтому p4 − 1 делится на 5·2·24 = 240.
Задача 30
Найдите все такие простые числа p и q , что p + q = (p – q)³.
Решение:
Пусть p – q = n, тогда p + q = n³. Отсюда q = ½ (n³ – n) = ½ (n – 1)n(n + 1).
Среди трёх последовательных целых чисел одно делится на 3,
поэтому q делится на 3. Значит, q = 3. Это значение q получается при n =
2. При этом
p = 5.
Ответ:p = 5, q = 3.
Tub sonlar
1. p + q = (p – q)³ tenglik bajariladigan p, q tub sonlarni toping.
2. {pn} – tub sonlar ketma-ketligi. (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...).
a) pn > 2n tengsizlikni isbotlang n ≥ 5n da.
b) Qanday n larda pn > 3n tengsizlik o’rinli bo’ladi?
3. Tengsizlikni isbotlang: pn+1 < p1p2...pn (pk – k-tub son).
4. (p, q) tub sonlar juftliklarini topingki bunda p5 – q5 ham tub son bo’lsin.
5. p ning barcha qiymatlarini toping, bunda p va p6 + 6 tub son bo’lsin.
6. p, q tub sonlarni toping, x2-px+q tenglamaning yechimlai natural son bo’lsin.
7. k dastlabki n ta tub son ko’paytmasi bo’lsa, k+1 ham k-1 ham ham to’la
kvadrat bo’lmasligini isbotlang. n>1.
8. Agar n>2 bo’lsa 2n – 1 va 2n + 1 sonlari bir vaqtda tub son bo'la olmasligini
isbotlang.
9. 49 + 610 + 320 soni tub sonmi?
10. Bir-biridan 17 ga farq qiladigan tub sonlar juftliklarini barchasini toping.
Sonning butun qismi va kasr qismi
Tenglamalarni yeching:
1.  x   x   201
 x 2  3x 
2. 
 1
2


2
3.  x  5 x  6   1
4. x 2  5 x   3  0
5.
 x  1   x  2   x  3  2
 x
 6  2   8  0
3
1
2
7.  x    x   0
4
8
2
8.  x   2 x   8  0
6. 4
9.
x
1
1
1


 x   1  x   1 12
 1 1
 3 2
2 3

11. 2 x   
5 4

x
12. 36  6
13. 20   x   22  {x}  2022
10.  x   
14. x   x    x  0
15. 6   x   11   x
 3x  1
 x

2


17.  x   3   x  9
16. 
18. x   x    x
19. sin x    cos x 
20.
 x  3  x  2 
 2    3 