Equações Diferenciais Aplicadas - Djairo Guedes de Figueiredo & Aloisio Freiria Neves

INSTITUTONACIONALDE MATEMÁTICA PURAE APLICADA Equações Diferenciais Aplicadas Djairo Guedesde Figueiredo UNIVERSITÁRIA MATEMÁTICA COLEÇÃO Aloisio Freiria Neves Figueiredo,DjairoGuedesde Neves,Aloisio Freiria EquaçõesDiferenciaisAplicadas.Rio deJaneiro, Instituto deMatemática PuraeAplicada, CNPq,1997. 301pp. (ColeçãoMatemáticaUniversitária) Bibliografia. 1,Equações Diferenciais. 2.AnáliseMatemática. 1.Título. II. Série. CDD-515-3 eBook processadocom ScanTailor: htips://github.com/4lex4/scantailor-advanced COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA Equações Diferenciais Aplicadas Djairo Guedesde Figueiredo Aloisio Freiria Neves impa INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURAE APLICADA Copyright(c),1997by Djairo GuedesdeFigueiredoeAloisioFreiria Neves Direitosreservados,1997peloConselhoNacionaldeDesenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq Av. W-3 Norte, Brasília, DF Impresso no Brasil / Printed in Brazil capa:RodolfoCapetoe Noni Geiger ColeçãoMatemáticaUniversitária ComissãoEditorial: Elon LagesLima(editor) Jonas Gomes Paulo Sad Títulos Publicados: Análise Real, Volume 1 (TerceiraEdição)- Elon LagesLima EDP: Um CursoIntrodutório - Valérialório Curso de Álgebra, Volume 1 - AbramoHefez Introdução às Curvas Algébricas Planas- Israel Vainsencher - ÁlgebraLinear (SegundaEdição)- Elon LagesLima 6. EquaçõesDiferenciaisAplicadas- Djairo G. deFigueiredoe AloisioFreiria Neves Diagramação,Composiçãoe Fotolito Digital: GRAFTEX Comunicação Visual Rio de Janeiro, RJ e-mail:home@graftex.com.br web:http://www.graftex.com.br Distribuição: SBM, SociedadeBrasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 22460-320,Rio de Janeiro, RJ e-mail;sbm@impa.br ISBN 85-7028-014-9 Conteúdo Prólogo Capítulo 1:OTeorema Fundamental doCálculo 1 Capítulo 2: Equações Diferenciais de Primeira Ordem 6 2.1. EquaçõesDiferenciais Lineares de Primeira Ordem 6 2.2. EquaçõesSeparáveis 11 2.3. A Dinâmica de uma Populaçãoe Noçõesde Estabilidade ....... 18 2.4. Exercícios 23 2.5. Aplicações 28 2.5.1. Resfriamentode um corpo. 28 2.5.3. Por que uma cordaenroladanum postesustentaum barco? .... 32 2.5.2 Diluição desoluções 2.5.4 A tractriz 2.5.5 2.5.6 O 2.5.7 A catenária 30 35 39 espelhoparabólico 43 As curvas deperseguição 44 Capítulo 3: Propriedades GeraisdasEquações 48 3.1. InterpretaçãoGeométricada equaçãoy' = f(x, 3.2. Existência, Unicidade e DependênciaContínua. y) 48 51 3.3. CamposVetoriais e Formas Diferenciais. 65 3.4.1. Um métodopráticode integração 79 3.4 EquaçõesExatas 74 3.4.2. Existência dB Fatorintegrante 80 3.5. Família da Curvas Planas 84 3.5.1. Envoltória 87 8.5.2. Trajetórias ortogonais 90 Capítulo4: EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem 93 4.1. EquaçõesLineares de SegundaOrdem 93 4.2.1. Método de variação dos parâmatros 99 4.2.2. Equações Lineares com coeficientes constantes homogêneas 4.2. Obtençãode Soluções 99 .... 101 4.2.3. Métodode reduçãoda ordemda equaçãodiferencial . ........ 4.2.4. Métododos coeficientesa determinar ..................... 105 107 4.2.5. A equaçãodeEuler-Cauchy 110 4.2.7. Métodode Frobenius 113 4.2.6. Métododas séries de potências 112 4.3. Exercícios 114 4.4.1 120 4.4. A Dinâmica de uma partícula Queda livre de corpos 119 4.4.2. Queda de corposconsiderandoa resistênciado ar 122 4.4.4. Movimentoem planosinclinados 129 4.4.6 Movimento deum foguete 133 4.5 O Oscilador Harmônico 4.4.3. Movimentode projéteis 4.4.5. Velocidadede escape 126 130 4.4.7. Energia cinéticae potencial 136 4.5.1 Osciladorharmônico simples 141 4.5.2. Osciladorharmônicoamortecido 4.5.3. Oscilador forçado 4.5.4. Comentários sobrea energiado osciladorharmônico 4.6. Campos Centraisde Forças 4.6.1. Movimentocentral comforça atrativa proporcional 137 144 147 153 154 à distância ao centro 162 proporcionalao quadradoda distância ao centro ........... 165 4.6.2. Movimentocentral comforça atrativa inversamente 4.6.3. Lei da GravitaçãoUniversal 4.6.4. Leis de Kepler 4.6.5. A Lei da GravitaçãoUniversal e as Leis de Kepler 167 169 170 4.6.6. A equaçãodasórbitasdosplanetasna TeoriaGeral da Relatividade174 4.6.7. Satélites artificiais da Terra Capítulo 5:Transformada deLaplace 5.1. Definiçãoda Transformadade Laplace 5.2. Propriedadesda Transformadade Laplace 176 180 182 185 6.3. Produto de Transformadase Convolução 191 5.4. 195 5.3.1. Obtençãode umasoluçãoparticular de umaequaçãonão homogênea 193 Exercícios 5.5. Aplicações 5.5.1. Funções descontínuas 197 197 5.5.2. Funçõesimpulso 5.5.3. Comportamentoda derivada Capítulo 6: Sistemas Autônomos no Plano 6.1. Consequênciasdo Teoremade Existência e Unicidade 6.2. Pontosde equilíbrio ou singularidades 6.2.1. O sistema linear 6.2.2. O sistema não linear 6.3. O Teoremade Poincaré-Bendixon 199 203 206 207 209 213 219 222 6.3.1. Consequências doTeoreamdePoincaré-Bendixon.......... 229 6.5. Exercícios 242 6.4. Usandoo softwareMathematica 233 6.6. Aplicações 6.6.1. O pêndulo 244 244 6.6.2. O modelopredador-presa 257 Capítulo 7: Sistemas deEquações Diferenciais 7.1. SistemasLineares de EquaçõesDiferenciais 7.1.1. Definiçõese propriedades 7.1.2. Sistemascomcoeficientesconstantes 7.1.3. Exponencial de matrizes 7.2. EquaçãoAdjunta e a Alternativa de Fredholm 7.3. Linearização, Estabilidade e Funçõesde Liapunov 7.4.Exercícios Referências Bibliográficas Índice 265 265 267 271 276 285 289 298 302 303 Prólogo Pergunta; Diz-se que todo livro tem uma mensagem. Qual foi a motivaçãoparaescrevero texto“EquaçõesDiferenciaisAplicadas”? Resposta: A granderelevânciada Matemáticajaz no fato de que, além de sua vida própria comociência, com suas teorias e seus problemas,ela tem a característicaímpar de poderpenetrar,comouma arma importantee, àsvezes,imprescindívelemmuitosoutrosramos do conhecimentohumano. Não devemosesqueceressefato, quando realizamosnossotrabalho, comoprofessorou comopesquisador.Ao ensinar Matemáticapara alunos de outras áreasé essencialmotivar, mostrando-lhesa importância do que estãoaprendendopara os problemasdesuasespecialidades. AosalunosdeMatemática,é educativo mostrar-lhesuma Matemáticarica de aplicações,contar-lhesqueas raízesdetantasteoriasmatemáticasestãoemproblemasdanatureza, Através dessasraízes, veio a força que propulsionouo notávelcrescimentode grandeparte da Matemáticano passado.Ninguém ignora 0 trabalhode Newton,Leibniz e outrosna criaçãoe desenvolvimentodo Cálculo, pari passu com a Mecânica e outros ramos da Física. Mais recentemente,identificam-se características análogas nos trabalhos de Poincarée Hilbert. EquaçõesDiferenciais é um dos ramosda Matemática que, a nosso ver, não deve ser estudado esquecendoessas raízes. Pergunta: Para quetipo de alunoso livro sedestinae comoeleesta organizado? Resposta: O textoé acessívela alunos de graduaçãoda áreade ciências exatas, que tenham feito um curso de um ano de Cálculo. Algumas seçõespodemser omitidas num primeiro curso. Por exemplo,0 teoremade Existênciae Unicidadede Picard é apresentadona maneira moderna,pois cremosque, mesmopara alunos iniciantes,essa atitude é instrutiva. Entretanto, a demonstraçãopoderiaeventual mente ser considerada muito abstrata para grande parte dos alunos, e consequentementeomitida. Num primeirocursoa ênfasedeveestar nastécnicasde obtençãode soluções.Portantoocursodevesercentradonoscapítulos2,4e 5,onde essastécnicassãodesenvolvidas.A força dessastécnicasé sentidano estudodas aplicações.Essas aplicaçõespodemser escolhidasentre aquelasapresentadasnessesmesmoscapítulos. Sugerimosiniciar no capítulo2,comentaro TeoremadeExistênciaeUnicidadedocapítulo 3, desenvolveros capítulos 4 e 5, e finalizar comsistemasautonômos no plano,estudando,por exemplo,as técnicasdeobtençãode soluções dos Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes, secções6.2.1 e MA O livro está organizadoda seguinteforma: as primeiras secções,de cada capítulo,são destinadasà parte teórica e à descriçãodosvários métodosde obtençãode soluções;segue-sea secçãode exercícios;e posteriormenteestão as aplicações. O texto apresentaos conceitos matemáticosde maneiracuidadosae é bastanterico em aplicações. Contém mais aplicaçõesdo que normalmente se estuda nos cursos tradicionais,dando ao leitor e ao professora possibilidadede escolha de acordocomos interessesda turma. Alguns conceitossãoapresentados,primeiramente,de maneiraintrodutória, e posteriormente,noscapítulossubsequentes,sãoreapresentadoscommais profundidadee deforma mais completa.Por exemplo, o conceitode estabilidadeé introduzido na secção2.3, e complementadoposteriormentenos capítulos6 e 7. Num cursomais especializado,cujosalunosjá cumprirama sequência dos cursos de Cálculo, pode e deve-se complementar o curso, com enfase mais teórica, estudandoos capítulos 3, 6 e 7, e as aplicações correspondentes. Pergunta:As secções dolivrosobrealgunsramosdaFísica estãomais longasdo que normalmentese encontra num livro de Matemática. Não seria melhor remetero leitor para livros de Física? Resposta: Essas secçõesforam precisamenteas que nos deram mais trabalho para escrever, pois, não somos especialistas dessas áreas. Mas cromosque o esforçovaleu, dado osobjetivosque temosem mente. O livro tambémse destina ao professordos cursos de equaçõesdiferenciais. O tempo que ele dispõe para preparação do curso não é suficienteparaestudarvárioslivros de Física e de outroscamposdo conhecimentohumano. Ele poderá fazer isso, num segundoestágio, apóster tomadogosto!As nossassecçõesdevotadasàs aplicaçõesdão aqueleprofessor,na linguagemcoma qual eleestáhabituado,oselementosbásicosdessasoutras áreas. Isso permitirá que ele fale, sem receio,à seusalunos sobreessasaplicações. Pergunta; O texto é então completamentediferente dos outros de EquaçõesDiferenciais? Resposta: Não. Grande parte dos livros de Equações Diferenciais tem aplicações,mas, em geral, apresentadasmuito concisamente,o que impossibilitao aluno de apreciar realmenteo papel das equações diferenciaisnos problemas.Mas é claro que há bons livros dentrodo espírito do nossotexto. Os livros de G.F. Simmons,M. Braun, entre outros,influenciarambastantenossotrabalho.Cremosqueninguém podeter a pretensãode ser original no assuntoapresentadoaqui. Alguns problemasvêmdopróprioNewton! A originalidadenessetipo de trabalho reside tão somentena arrumaçãodos assuntos,na escolha dos problemase no estilo próprio de comentaros resultados. Aliás, procuramos enfatizar, em todo o texto, a atitude, extremamente importante,de interpretaros resultadosobtidos.Julgamos queisso é essencial. E importanteresolverequações.Mas é igualmenteimportante interpretar as soluçõesobtidas. Pergunta: Então, não sedevedar um cursodeEquaçõesDiferenciais comum enfoqueexclusivamentematemático? Resposta: Aqui, devemosseparar os níveis e os objetivosdoscursos, Cremos que,num primeiro curso, a nível de graduação,uma grande atençãodeve ser dispensadaàs aplicações,independentementeda futura especializaçãodo aluno, Matemática, Física ou Engenharia. EquaçõesDiferenciais foram criadas para resolverproblemasde outras ciências,e ainda hoje muita pesquisase faz, inspirada em problemasprovenientesdessasciências. Comoesquecerisso? Também nãoestamosdefendendoque,nesseprimeirocursode EquaçõesDiferenciais, à Matemáticaseja deixadaem segundoplano, E essencial ter as duascoisasemigualdadedecondições.Umajustifica evaloriza a outra. Em cursos mais avançadosde EquaçõesDiferenciais, a Matemática fica necessariamente mais sofisticada, e então as questões puramentematemáticasrequeremtratamentoelaboradoe chegama dominar a cena. Pergunta: Bom, mas se o aluno vai ser pesquisadornessasEquações Diferenciais sofisticadas,qual foi a utilidade daqueleprimeiro curso meioaplicado? Resposta: Via deregra, o pesquisadoré um professor.E sendoprofessor,ele deveestarpreparadopara ensinara alunosde outrasáreas. Sentimosque,tem havido uma tendênciacrescentede retirar os problemasde aplicaçãodos cursosde EquaçõesDiferenciais (e de outros cursos de Matemática). Isso não é bom. Os nossoscolegasde outras áreas reclamam e criticam essa orientação. E o que é mais grave, começama desenvolverdentrode seusprópriosdepartamentosa Matemáticade quenecessitam.retirandoassimdosDepartamentosde Matemáticauma de suas funçõesprecípuas. Pergunta: Então, quer dizer que aquelesalunos de Matemática que não se destinamao magistériopodemprescindirdessecurso? Resposta: Não. Nossa opinião é que o pesquisadorem EquaçõesDiferenciaisqueconheceas aplicaçõespode,ocasionalmente,usar essas aplicaçõescomouma espéciede farol para orientá-lo. Quantas vezes um resultadogeral e abstrato não é descobertoapós análise de um exemploprovenientedas aplicações? Porgunta: Vocês, então, creem que todo matemático deve saber aplicações? Como vocêsposicionamo matemáticopuro dentro dessa concepção? Resposta: Matemática é uma ciência muito extensa. Obviamente, há outras áreas, além das Equações Diferenciais. E observe,que, mesmodentro destas, há várias linhas diferentes. Algumas delas muito distanciadas das aplicações. Tanto essas, como outros ramos da Matemática,devemse desenvolverpelosseus própriosproblemas e motivações.O desenvolvimentoda Matemática é marcadopelas necessidades e problemas vindos de outras ciências, mas não é determi- nadosomentepor isso. E é bomque assim o seja,pois as necessidades mudam com o tempo,e quanto mais rica for a Matemática, melhor poderáela ajudaro homem,E assimhá tambémmuitocampoparaa pesquisamatemáticaindependentedas aplicaçõesimediatas. Podese pensarno conhecimentomatemáticocomouma contano banco,As reservaspodemser usadasquandose fizeremnecessárias.E issojá aconteceunopassadocomvários ramosda Matemática,desenvolvidos independentementede necessidadeimediata, e que posteriormente: foram usadosde modoessencialem outras ciências. Campinas, 15 dejaneiro de 1997 Djairo Guedesde Figueiredo Aloisio de Freiria Neves 1 O Teorema Fundamental do Cálculo Este éocapítulodasrecordações.Recordaraquitemo objetivodemostrar ao leitor que a essênciados problemasbásicosda teoria clássica das EquaçõesDiferenciais Ordinárias já está no Cálculo Diferencial e Integral. Antes de explicitar essesproblemas,antepõe-sea questão de dizer o que os autores entendempor teoria clássica; e quem fala em clássicotem modernoem mentee deveexplicar. O estudo das equaçõesdiferenciais ordinárias começacom os próprios criadores do Cálculo, Newton e Leibniz, no final do século XVII, motivados por problemas físicos. A preocupaçãodominante desdeaquela épocaaté meadosdo séculoXIX era a obtençãode soluçõesdas equaçõesem forma explícita. Inicialmente, procurava-se expressaras soluçõesem termosde funçõeselementares;comoveremosno próximo capítulo, um dos métodosmais usadosera procurar reduzir o problemade obtençãoda soluçãoao cálculo de primitivas, esseprocessosendochamadode quadratura. Obviamente,o desejo de obterexplicitamenteas soluçõesdeuma equaçãodiferencialé bastantenaturale razoável.Entretanto, logoseverificouqueonúmerode equaçõesquepodiamser resolvidasemtermosdefunçõeselementares era muito pequeno,atémesmocoma introduçãode novasfunções como,por exemplo,as funçõeselípticas e outras funçõesrepresenta das por integrais. Essa constataçãogeroua buscade novosmétodos e surgiu assim, no século XIX, o uso das séries de funções. Aliás, esse métodosurge dentro do estudo das equaçõesdiferenciais par ciais, em cuja resoluçãoaparecemequaçõesdiferenciais ordinárias, O rigor que a Análise ganhava no decorrerdo século XIX começou O TeoremaFundamental do Cálculo Cap. 1 a pôr em dúvida certos métodos onde as operaçõescom séries eram feitas um tanto descuidadamente.Os teoremasde existênciae unicidadede soluçãosurgemnessafase. A importânciadessesteoremas resideemque,sabendo-sea priori da existênciade solução,sua busca através de processosinformais se torna justificável e promissor, uma vez quea “solução”assimobtidapodeser verificadaa posteriori.Os teoremasde existênciae unicidade marcam,por assim dizer, o início da fasemoderna,que realmentese definecomPoincaré,no final do século XIX. Agora, a atitude é bem diversa; há grande interesse nas questõesqualitativas que sãobastante importantes por seu intrínseco significadofísico. Toma-sea atitude de retirar das equaçõesdiferen- ciaisinformaçõessobreocomportamento desuassoluções,semaquela preocupaçãode escrevê-lasexplicitamente. Deveficar claro para o leitor que a teoria qualitativa não eliminou o interesse e a importância de se ter informaçõesquantitativas sobreas soluções. Este último tipo de informaçõesnão podeser obtido,comoenfatizamosacima,buscandoas expressõesdas soluções em forma explícita, mas podeser conseguidopelo uso de métodosde aproximação.E isso é todoum ramodegrandeinteresseatual,constituindo um dosramos da Análise Numérica. O que se procuraaí são funçõesqueestão“próximas”da soluçãodoproblema.Nas aplicações à Física e às Engenharias isso é tão bom quanto a soluçãopropriamentedita, desdeque o problemagozede uma certaestabilidadecom relaçãoa perturbaçõesdos dados,o que, via de regra, ocorrenessas aplicações. Vamosrecordarjuntos. O problemabásicodo Cálculo Integral é à determinaçãodo valor da integral definida ∫ b f(x) dx (1.1) a de uma função fila, b|IR, Se bem nos lembramos,o conceitode integral está ligado à ideia de área do seguintemodo: se f for uma funçãocontinua não negativa,então a expressão(1.1) é a área da regiãoE doplanocompreendida entreo eixo-x,o gráficoda funçãof e as retas x = a e x=b, Veja a figura 1,1, Cap. 1 O TeoremaFundamentaldo Cálculo Pensemosum pouco.À determinaçãodessaárea,e conseguentementeo valorda integraldefinidaem(1.1),podeser feita atravésde um processode aproximaçãoda mesmapor regiõespoligonaisobtidas tomando-selinhas poligonais com vértices no gráfico de f. Esse é essencialmenteo processojá usado na antiguidade por Arquimedes (287-212A.C.). Esse é tambémo processo,hoje utilizado, quandose introduzcomrigor e elegânciaa chamadaintegralde Riemann. Comovemos,nas observaçõesacimanão apareceua ideia de derivada. E não é de surpreenderque tal não tenha ocorrido.De fato, o conceitodederivadade uma funçãoé algobemdiverso:umafunção fila, b] -»R é derivávelnum pontoc E (a, b) seo limite limf(x)—f(c) a x -> c x- c existir, e nessecasotal limite é chamadoa derivada de f no ponto c, e é designado porf'(c). A beleza,a forçae a utilidade do Cálculoestãono fato de que essesdois conceitos,o deintegral e o de derivada,aparentementetão diversos,acham-seintimamenteligados. IssoéoconteúdodoTeorema Fundamental do Cálculo, quepassaremosa expor. Parte I. Seja f: (a,b) > R umafunçãocontínua.A funçãoFla, b| R definidapela expressão X F(x) = ∫ f a é derivável e F'(x) = f(x) para todo x ∈ (a, b). (1,2) 4º O TeoremaFundamental do Cálculo Cap.1 Observequea funçãoF definidapor(1.2)é umasoluçãoda equaçãodiferencial O =f(x). d dx (1.3) As soluçõesdessa equaçãodiferencial são chamadas as primitivas de f. Alguns textosusam tambémas terminologiasanti-derivadae integral indefinida e designamas primitivas pelosímbolo frios dx. ObserveaindaqueF(x) definidaem(1.2)é umaprimitiva especial:ela tema propriedade queF(a) = O.AssimF é umasoluçãodoproblema de valor inicial {y(a) = 0 (1.4 dy =f(x) dx Será que F é a única soluçãodo problema de valor inicial acima? A respostaé sim. De fato, se G fosseoutra solução,entãoF — G teria derivada0, e consequentemente F — G = const. Mas comoF— G é Oem x = a, segue-sequeF = G. Pedimosaoleitor para apreciaro ensinamentodado pelo Cálculo e relembradoacima: o problemade valor inicial (1.4) tem uma e somenteuma solução. Isso constitui um dos teoremasde existênciae unicidade mais simples e dos mais básicosemMatemática. Lembreque estamossupondof contínua em 14,b| e queporsoluçãode(1.4)entendemos umafunçãocontínuaem la, b| e derivávelem(a,b). Antes de prosseguir,façamosuma outra pergunta. Vimos que a função| é umasoluçãodaequaçãodiferencial(1.3);vemos,ainda,que qualquer função da forma F(x) +c, onde c é uma constante arbitrária, é também solução de (1,9), Será que a expressão u(x) = F(x) +c (1.5) onde c é uma constante arbitrária, engloba todas as soluçõesde (1.3) isto é, (1.5) 6 a soluçãogeral de (1.3)? A respostaé sim. De fato, seja G(x) umaoutra soluçãode (1,9),então,z(x) = Fix) +G(a) = G(x), é Cap. 1 O TeoremaFundamental do Cálculo umasoluçãodo problemadevalor inicial dz — =0, dx z(a)=0. Peloque se viu acima, segue-se que z(x) sequentemente, = 0 para todox e, con- G(x) = F(x) + G(a). Resumindo,o Cálculo nos diz que a coleçãodas primitivas de f é dada por F(x) +c ondeF é definidaem (1.2). A Parte I do TeoremaFundamental do Cálculo liga os conceitos de integrale derivada,e a Parte II, a seguir,faz essaconexãoemoutra direção. Parte II. Dadas uma função contínua f:la,b) > R e uma de suas primitivas G, então b / f(x) dx = G(b) —G(a). (1.6) Observeque, comoconsequênciadisso,o cálculo da integral definida de f se reduz à determinaçãode uma primitiva de f. Observe também que, em virtude da expressãogeral das primitivas ser da forma (x) +c, (1.6)independeda particular primitiva usada. Assim, o problemado cálculode uma área se reduzao problemadecalcular a soluçãode uma equaçãodiferencial. Toda aquela parte do Cálculo chamada de Cálculo de Primitivas é nada mais nada menosque a determinaçãodesoluçõesda equaçãodiferencial(1.3)paradiferentes funçõesf. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Este capítulo é dedicado a Newton, Leibniz e à família Bernoulli! Trata-se de uma homenagemjusta, pois os problemasmatemáticos apresentadosaqui foram formuladose resolvidospor eles, no século XVIII. Em termos atuais, a matemática desenvolvida é muito simples: cálculode primitivas. Tratamos apenasdois tipos de equações: na secção2.1, as equaçõeslineares de primeira ordem, e na secção 2.2, as equaçõesseparáveis. Em todos os problemasapresentados, procuraremosobter a soluçãodo problemaem forma explícita. Como: já observamos, anteriormente, tal desiderato só é atingível, em virtude da natureza simplesdasequações.Enfatizamoso aspecto,extremamenteimportante,da interpretaçãodas soluçõesobtidase de seu significadodentrodocontextodoproblemaemestudo.A propósito,retiramos as seguintesobservaçõesde R. Hooke e D, Shaffer,em “Math and Aftermath”, Walker & Co., Westinghouse Books, 1975: “Muito se fala sobreproblemas,em cursos de Matemática. Muito poucose diz sobre a origem dessesproblemase do que fazer com as respostas”, Parece-nosimportante, contar essa parte omitida da história. lsso é particularmenteimportantepara aquelesque desejamser matemáticos,poisexplicaporqueo computadornãoosvai deixardesempregados.E tambémimportantepara aquelesquevão para as outras ciênciasexatas,pois explicaporqueo computadornão lhes retirará o privilégio(ou o dever)de estudarbastantematemática. 241. Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem A forma geral das equações diferenciais ordinárias lineares de pri- Seção2.1 EquaçõesDiferenciaisLinearesde PrimeiraOrdem meira ordemé a seguinte x=p(t)x+ q(t) (2,1) onde p:(a,b) -> R e q:(a,b) -> R sãofunçõesreais contínuasdefini das emum intervaloaberto(a, b). Uma funçãox: (a,b) >R é uma soluçãode(2.1)seelafor diferenciávele satisfizerà equação.Usamos a notaçãox = dx/dt paradesignara derivadadex comrelaçãoh sua variável independentet. No estudo da equação(2.1) aparecemdom problemasbásicos:(1)obtera soluçãogeralda equação(2.1),isto é, uma expressãoqueenglobetodassuas soluções;(11)obtera soluçãodo problemade valor inicial ( x = p(t)x+ q(t) x(to) = Xo (2,2) onde to € (a,b) e xo são os dados iniciais. Como veremosabaixo 0 problema (i) é solúvel: pode-sedeterminar a soluçãogeral de (2.1), E veremostambém que o problema de valor inicial tem uma e so» menteuma solução.Advertimos ao leitor que equaçõesnão lineares, em geral, não possuemuma soluçãogeral, e para elas a existência e unicidade de soluçãodo problema de valor inicial é uma questão delicada;voltaremosa esseponto. O tipo mais simples da equação(2.1)é a equaçãodo crescimento exponencial x=kx, k= constante, (2.3) queapareceemmuitas aplicações.A funçãox(t) =ek*é uma solução de (2.3), bem comoqualquer de seus múltiplos ce*t, onde c é uma constantearbitrária. Afirmamos que a soluçãogeral de (2.3)é ce"! De fato, dada uma solução qualquer x(t) de (2.3), diferenciandoa expressãox(t)e "te usandoa equação(2.3),obtemos: E dt (te *=xett- x(t)e H=0 York t=c,ousejax(t) = cet oquemostraquex(t)e Para resolvero problemade valor inicial X = EX xito) = Xo 7 H Equações Diferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2 usamos o fato de (2.3) ter solução geral, e, consequentemente a even- tual soluçãodesseproblemade valor inicial deveser da forma ce*t: utilizando-se o valor inicial, determinamos a constante c:; x(to)= cefto= xo e assim a soluçãodo problemaé dada por x(t) = xoe8tt-to) Observeque as soluçõessãofunçõesdefinidaspara todo t E R. A equação(2.1)com q(t) = 0, chamadade equaçãolinear homogênea,e o problemade valor inicial correspondente R=nitx x(to) = xo (2.4) podemser estudadosde maneira análoga. A soluçãodo problemade valor inicial homogêneo (2.4)é dadapor: “ pís)ds mi) = Ko dra! os) (2.5) Usaremos a notação “ pís)ds Tít,to) = e“to (2.6) como objetivode simplificar nossasexpressões.Observeque para a função|, as seguintespropriedadessãoverdadeiras: Títo,to)= 1; T(t,to) =Títo,t)”" “e Tt, to)T(to,s)=T(t,s). (2.7) A resoluçãodo problemade valor inicial (2.2), no caso geral, é feita atravésdo uso de um fator integrante u(t). Para determiná-lo, multipliquemosa equaçãopor u(t) ult)tx —plt)x) = ult)g(t) Seção2.1 EquaçõesDiferenciaisLinearesde PrimeiraOrdom e busquemosu(t) de tal modoque o primeiro membroseja a derivada do produtode u por x, isto é, (e— (th)=Se (105) =px +u% Portanto,temosformalmenteque px=—up(tx => q=—p(t) >S(tny)=p(t) dt 5 mu=-— | pís) ds Determinamosassimum fator integranteu(t), tomandouma particular primitiva de p: -[* pís)a to ut)=e hoPDE af plas Tr +) + Logo (T(to, tel) =T(to t)a(t). Integrando essas expressõesde to a t, obtemos t T(tost)x(t) —x(to) =/ Títoss)a(s) as. to Multiplicandoambososladospor T(t, to), e usandoas propriedades (2.7), obtemosa seguinte expressãopara a soluçãodo problemade valor inicial (2.2): ET) = Tt, to)ão+ | t to T(t,s)q(s) ds. (2,8) Essa fórmula é chamadade fórmula de variaçãodas constantes.E, semdúvida, uma forma elegantee muito útil de escrevera soluçãodo problemalinear de valor inicial (2.2). O que fizemosacimafoi, admitindoque uma soluçãoexiste,pro vamosque ela tem necessariamenteuma certa forma, Acontece,po rém, que isso é muito bom, pois tudo que temosa fazer, para cata 9 IO EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 belecera existência,é simplesmenteverificarquea expressãoobtida é, de fato,soluçãoda equaçãodiferencial. Observeque a condiçãode p e q seremcontínuasem (a, b) garantea existênciae a diferenciabilidade das expressõesacima. Outra observaçãoimportante, é que todas as soluçõesdas equaçõeslineares estãodefinidasno mesmointervalodedefiniçãodas funçõesp e q, o quenão ocorre,em geral, com as equaçõesnão lineares comoveremosna próxima secção. Observe que em particular, quando o coeficiente(p(t) umaconstanteigual a k, temosque k) é T(t, to)=etttrto) e portantoa soluçãodoproblemadevalor inicial ( x=kx+q(t) x(to)=xo é dada pela fórmula de variaçãodas constantesna seguinteforma: x(t) = et | tolxs +f + et sa(s) ds. to É fácil provar quedadasduas soluçõesquaisquerx1(t) e x2(t), de (2.1),entãox(t) = x1(t) = xo(t) é uma soluçãoda equaçãohomogêneaassociadax = p(t)x. Consequentemente, todasas soluções da equaçãolinear não homogênea(2.1) são obtidassomandouma soluçãoparticular dessaequaçãocom a soluçãogeral da equaçãohomogêneaassociada.Na fórmulade variaçãodasconstantesacima,o termo integral t [er Jto “a(s) ds é uma soluçãoparticular da equação(2.1). Assim podemosevitar o cáleulodessaintegralsepudermosdeterminarumasoluçãoparticular poralgumoutrométodo.Por exemplo,quandoq(t) = doé constante, é fácil ver que xp(t) do/k é uma soluçãoparticular de X% = Kx + Go. (2.9) Seção2.» Portanto, EquaçõesSeparáveis x(t) = cet — E 0 é a soluçãogeral de (2.9), onde c é uma constante arbitrária. Tal constantepodeser determinadausando o dadoinicial x(to) = xo. O métododos coeficientesa determinar nos permite determinar soluçõesparticulares de x = kx + q(t), para algumas funçõesq(t), Quandoq(t) = costou sent,podemosdeterminarumasoluçãoparticular comocombinaçãolinear dessasfunçõessent e cost. Discutiremosessemétodo,commaisdetalhes,quandoestudarmosequações lineares de segundaordem. 2.2. EquaçõesSeparáveis Equaçõesdiferenciaisda forma a] =) g(y)Z0, (2.10) ondey' = d/dx denotaa derivada da funçãoy em relaçãoà variável independentex, sãochamadasde separáveis.Faz-sea hipóteseque f e g sejamfunçõescontínuasemintervalosabertosf:(a,b) —»IR, g: (cd) >R. A equação(2.10)podeser escritana forma gly)y”=f(x). (2.11) À nomenclaturaseparávelprovémdo modode escrever(2.11)usando formasdiferenciais:g(u)dy = f(x)dx. VejaCapítulo3 ondeformalizamosessaforma do problema. Uma funçãouy:(x, B) — R de classeC! é uma soluçãode(2.10) se (x,B) C (a,b), ull(la,B)) C (c,d), g(ulx)) £ Oe satisfaz(2.10) para todox E (w,B). A equação(2.10)não é linear. Para essas, comodissemosno parágrafoanterior, as soluçõesnão estãonecessa riamentedefinidaspara todox ondeo segundomembroestádefinido, Se y(x) é uma soluçãoe G é uma primitiva de g, 6º = q, obtemos usandoa Regra da Cadeia e (2.11): d dxSUB) ftx) | Equações Diferenciaisde PrimeiraOrdem e daí Cap. 2 G(u(x)) = F(x) +C (2.12) ondeF é umaprimitiva de f. A constanteC podeserdeterminadausandoofato quenum ponto xo€ (x,B),ulxo)= Yo E (c,d)estádado; então, C —G(y(xo)) - Fixo). A expressão(2.12)podeser escritana forma G(y(x))—G(yo)=F(x)—Flxo) ou equivalentemente, / ulx) y0 g(u) dy =| x x0 f(x) dx. (2,13) O quesefeznoparágrafofoi, supondoconhecidaumasoluçãode(2.10), mostrar que ela satisfaz a relação (2.12). O interessante, porém, é usar essarelaçãopara obtersoluções.Isso épossível,masénecessário ter um certocuidado. De fato, o seguinteraciocínioseria considerado precipitação:comoG' = ge g 0, segue-seque6 é monótona, e daí a inversaG | existe;logoobteríamossoluçõesna formay(x) = G !(F(x)4+C) paraconstantesC arbitrárias. Comotodaprecipitação tem uma certalógica,o raciocínioacima não estátão mal. O queestá corretoé o seguinte: Dada a relação G(y) = F(x) +C e dado(xo,Yo) satisfazendoessarelação,comoG'(yo) = g(vo) 0,0 FooremadasFunçõesImplícitasnosasseguraqueexisteumintervalo aberto(ox,3) contendoxo e uma funçãode classeCl, y: (x,B) > R que satisfaz a relação(2.12)e, portanto, se trata de uma soluçãoda equação(2,1). Na maior parte das aplicações,f e q são funçõescontínuas em todo o E e q tem zeros isolados Yj,W2,.... Então, o raciocínio anterior nos mostraque atravésde qualquer ponto (xo,Vo) do plano xy, com Vo É Un, passa uma e somente uma solução vy(x). Isso é um teoremade existênciae unicidade, Não nos foi informadonada sobre o campodedefiniçãodessasolução;vamosver todauma variedadede possibilidades nos exemplos,exercíciose aplicaçõesque virão a seguir. Soção 2.2 Equações Separávels Exemplo1:1”= a Dai uy” — x, o que implica y? = x? + C. Fazendo variar C obtemos soluçõesda equação,em geral mais de uma para cadavalor de ( Por exemplo,se C = O temos quatro soluções: yj(x) = x,x > O; y2(x) xx >0 vuslx)=xx<0O vslx)=-x,x<o, Observequeas soluçõesy(x) não podempassarpela reta y =O no plano(x,y). Para €C> 0, digamos€ = 1,temosduassoluções: uilx)=+vx2+1, “valx)=-vx2+1, -oo<x<oo —oo<x< 00. Se C ——| temosquatro soluções: vilx)=+vxº—1, val) =—-yxº—1, x>1 uslx)=+vx2—1, yslx) x>1 x<—] =—/x2—1, x<-—1. Nesteexemplo(a, b) = (—oco, oo)ehá casosemque(«, B)— (—oco,0), (+00,—1),etc. Atravésde cadaponto (xo,Vo), Yo É Opassauma e somenteuma soluçãoy(x); algumas se estendempara todox, outras estãoapenasdefinidas em uma semi-reta. Assim, a soluçãodo problemade valorinicial yy' = x, u(3) = 2, é obtidacalculandoC da expressão | v=x4+0C522=340C5 C=-5 e determinandoqual das 4 soluçõespara essevalor de C passa pelo ponto(3,2);logoa soluçãoé ulx)=+vx2—5, x>v5. O gráfico abaixo apresentaas soluçõesexplicitadasacima, o hachu rado no eixo dos x é para mostrar que não há soluçõespassandopor na |4 EquaçõesDiferenciais de PrimeiraOrdem Cap.2 x? Exemplo 2: y' = vDaí yZy' = x?2, queimplicay? = x)+4+C. Para C = Oháduassoluções: Wilx) =x, parax > 0,euzlx) =x, parax < 0. Para€ > 0,digamos ( —|, temosduassoluções: ui (my= Vx3 +1, x<—l: valx)=Vx+1, x>-1. E analogamentepara € < O. Olhe a figura e veja o que acontececom a derivadada curva superiorno pontox = —1.A soluçãodoproblema de valor inicial yu! x, u(2) = —3é obtida de modo análogo ao Exemplo1 ” ul) = /x3=35, x< 35. Seção 2 4 Equações Separáveis Ay Ge 2 O CI r / PQ ===< 1 ad a, | » 1 2 Bo x Figura2.2 Exemplo 3: y' = —2xu. Nesteexemplo,g(y) = 1/y e assimdevemosretirar y = Odocampo dedefiniçãode g; entretanto,verifica-se,porinspeção,quey(x) = 0, x € R, é soluçãodaequação,a qual nãoapareceriapeloprocedimento acima. Escrevendoa equaçãona forma e integrando,obtemos ênly|=—x2+ €. Assim para cadavalor de € € R obtemosduas soluções yilx) =e Sd da e y2(x) = —x?+C , asquaisseachamdefinidasparatodox. No gráficonãoháquehachu rar nada, pois por cada ponto do plano passa uma e somenteuma solução. 6 EquaçõesDiferenciais dePrimeiraOrdem << : ga E TZ Cap.2 L RR. * Figura2.3 Exemplo 4: y' = 2e“x. Daí evy' = 2x, que implica e” = x? + C. Portanto para C = O há duas soluções:vyi(x) = 2ênx, x > 0; vzlx) = 2ln|x|, x < 0. Para C > 0 há apenasuma soluçãoy(x) = fn(xº +C),x E R. Para C < Ohá duassoluções:yi(x) = In(x + C),x > |C|!2 vz(x) = &n(x?+ C), x < —|C|!/2. Exemplo 5. ul , neção E é Equações Separáveis Pondo na forma Z2uy=—senx, obtemos y? = cosx+C. Vose pois que C não é arbitrária: €C< —l]não produz nenhuma solução, € =—l implica quex = 2kr, k = 0,+1,... e nestecaso Wtx)— O; não se tem solução,pois, para nós, soluçãodeve ser uma funçãodefinidanumintervaloaberto.Para C > 1há duassoluções: yilx)=+vcosx+C e vzlx)=-—vcosx+C, ambasdefinidaspara todox. Para C = 1 há infinitas soluçõespois devemosevitarospontosx = (2k + 1)7 ondey(x) = O;assimpara cada k, temosduas soluções vkelx)=vcosx+1 e vilx)=-—vcosx+1, ambasdefinidasno intervalo (2k + l)x < x < (2k+ 3J)7. Para |< C<1,também há infinitas soluçõesagoradefinidasemsubintervalos dos intervalos da sentençaanterior. Por exemplo,a solução do problemadevalor inicial 2yy' — —senx, u(0) = /3/2 é ulx)='cosx+ 1/2, —2n/3<x< 27/3. Trace gráficos comofizemos nos exemplos anteriores e estude outros problemasde valor inicial. Observação : As derivadasde ulx) = vcosx+ nospontosx = (2k+-1jr sãoiguaisa zero.Portantoajustaposiçãodas funçõesuk(x) definidasnosváriosintervalos((2k + 1)r, (2k + 3)n) produzumafunçãodiferenciávelemtodaa retaquesatisfazà equação uy” = —senx. Esse é exemplode uma equaçãodiferencialsingular. Observeque para a equação(2.11)poderíamosdefinir soluçãosem suporqueg(y) 4 O. Tambémno Exemplo1 vy(x)= x, paratodox, é soluçãode yy” = x. Já no Exemplo 2, não podemosrigorosamente dizer que é solução de y“y' v(x)=x 3 +] x* para todo x, pois y'(—1) não existe, La EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem 2.3. Cap. 2 Dinâmica de uma População e Noções de Estabilidade Utilizando as técnicasdesenvolvidasnas duas secçõesanteriorespodemosanalisar alguns modeloscriados para descrevera variaçãode uma populaçãocomo tempo.Aproveitaremosessaanálisepara introduzir osconceitosdeestabilidadee instabilidade. Os modelosquevamosanalisar sãobastantesimples. Eles têm o objetivodemotivare exemplificarosconceitos,e não deseremrepresentativosdo caso real, onde os fenômenosbiológicose sociológicos, que regemo crescimentode uma populaçãosão numerosose complexos. Existe na literatura uma grandevariedadede modelos,cadaum visando levar em conta a influência de alguns dessesfenômenosna evoluçãodapopulação.Osmodelosserãoobtidosfornecendoa taxade crescimentoda população.À taxade crescimento de umapopulação p(t), num instantet, é definidapor p(t)/p(t). O modelomalthusiano Um dosmodelosmais simplesé aqueleemquese supõequea taxa de crescimentoé constanteigual a À. Assim temosa seguinteequação que rege o crescimento da população neste caso: 8 =Ap; (2.14) Um modelodessa natureza parecerazoável para descrevera população de micro-organismosque se reproduzempor mitose, e para a aplicabilidadeem intervalosdelimitadosdetempo,pois a soluçãode (2.14), p(t)=plto)e"tm apresentaum crescimentoexponencialse À » 0, impossível de ser mantidopara sempre.A aplicaçãodessemodeloa populaçõeshumanas, por TR. Malthus em 1798, gerou uma acirrada controvérsia no começodo séculoXIX. Malthus afirmavaque a populaçãomundial crescia em razão geométrica(confira Exercício 5 abaixo), enquanto os meiosde sobrevivênciacresciamapenasem razão aritmética;consequentemente,a populaçãotenderia a ser controladapor fome,miséria, epidemias, vícios, etc. Ão leitor interessado recomendamos o Número 3 do Volume 231 (Setembro1974)da revistaScientificAmerican,dedicadoà população nação € 4 Dinâmica de uma População e Noções de Estabilidade Humana O mudetode Verhulst —a logística A constanteÀ na equação(2.14)é a chamadataxade crescimento da população,seu valor é a diferençaentre a taxa de natalidade À, e a taxa de mortalidade Am: À = An — Am. Uma análise crítica do modelo anterior focaliza imediatamentea hipótesede À ser constante; von hipotesenão parecerazoável pois ela não leva em conta que o crescimentoda populaçãoaciona automaticamentecertos mecanis- mosdecontrolevisandoreduzir a taxadecrescimento.Essa situação tomsidoobservadaentrevários tipos depopulação;a superpopulação altera o funcionamentofisiológicode certas espéciesmudando seus habitos sexuais e seu comportamentocoletivo. O modelo proposto por Verhulst consisteem supor que a taxa de crescimentodecresce linearmentecoma população:À = a— bp, ae b constantespositivas. Observequeesseainda não é um modeloideal pois não leva emconta quea taxadeproduçãodenovosmembrosdaespéciedependedaidade dos pais, isto é, que os novos membros não contribuem de imediato parao aumentoda espécie.Existem modeloslevandoessesfatoresem consideração,osquais conduzema equaçõesdiferenciaiscomretardamentoe a equaçõesintegro-diferenciais.Observamosainda queuma distribuiçãoespacialda populaçãopodeser consideradae isso conduz n equaçõesdiferenciaisparciais. VoltemosaomodelodeVerhulst, que se traduz na equaçãodiferencial separável p= [a —ppp, (2.15) conhecidanaliteraturacomoa equaçãodeVerhulst-Pearl.Essaequaçãofoi consideradapor Verhulst em 1834para estudar as populações da França e da Bélgica, e mais recentemente,em 1920,por Pearl e Reedno estudoda populaçãodos Estados Unidos da América. Inicialmenteobservamosque as funçõesconstantesp(t) Ó e p(t) à > Poo são soluçõesda equação(2.15);a notaçãop.. fenrá justificada logo mais abaixo. Para integrar (2.15), usamos a decomposição ] pl(a-bp) | ap b ala-bp) 1! 2O EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2 para escrever a equação (2.15) na forma p cais aaabpseaque &&* ala , que integradaproduz ] ] qtntpl —qinla —bpl|=t+C, Daí e,sep(to)=Po; C- constante. Ip]=la— bpJe“t. es€ a pol=la—bpole ato e sa i Se po Z 0e Po / +, obteremos p Po a—bp a—bpo eUlt—to), (2.16) Agora observequeas soluçõesde(2.15),comvaloresiniciais po £ 0 epo é a/b não podemcortar as retasp = 0 ep = a/b. Essa conclusão,dequesoluçõesdeequaçãoda formap' — f(p) nãopodem secruzar,é conseqiiênciadiretadoteoremadeexistênciaeunicidade, queseráestudadonopróximocapítulo.Logo,parapo Z 0epo £ a/b, podemosretirar os valores absolutosde (2.16)e daí explicitar p: p(t) = | bpo+(a—bpojmEmBM= to" apo Análise da solução 2.17 sm Se 1 —s +00,entãop(t) > Ppso.Esse valor ps; = a/b é chamado de populaçãolimite e é o valor assintóticoda população,qualquer quesejaa populaçãoinicial po >»O, Se po >Poo, à populaçãop(t) decresceexponencialmente tendendopara px. Se0O<po <Po,a populaçãocrescetendendotambémpara Pp. ; nestecaso,o gráficode p(L) estáentreas retasp = 0 e p = pso, tendoa formade um Se a curva é chamadade logística. Ela tem um pontode inflexão quando pl = 44, pois derivando(2.15)temos pola-bpjp-bpp=(a-Zbp)p; 21 —- so quer dizer que até atingir o valor pss/2, a populaçãocrescecom derivadapositivae a partir daí o crescimentosedá mais lentamente, a/b Figura2.5 Definição 2.1. Uma equaçãoda forma ondea funçãof dependesomentedex enãodavariávelindependente t, é chamadade equaçãoautônoma. Os dois modeloscitados,equações(2.14)e (2.15),são exemplos de equaçõesautônomas. À primeira propriedadeimportante dessas equaçõesé que,sex(t) é soluçãode(2.18),entãoy(t) = x(t+c), onde Ccé uma constante,tambémé soluçãode (2.18). Consegientemente, supondoquetemosexistênciae unicidadedesoluçãopara o problema de= Ti) x(to)= xo (2.19) podemosafirmar que x(t) é soluçãode (2.19)se,e somentese,y(t) x(t + to) é solução de oo, x(0) = Xo (2.20) Portanto, para equações autônomas, podemos considerar somente condiçõesiniciais onde to = 0. P? EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 Definição 2.2. Se X é um zerode f, isto é, f(x) = 0, entãox(t) = X é soluçãode (2.18)e é chamadade soluçãodeequilíbrio ou estacionária e o pontoX é chamadodeponto de equilíbrio ou singularidade. Por exemplox = 0e x = a/b sãopontosdeequilíbriode(2.15). Definição 2.3. Um ponto de equilíbrio X é estável,se dado e > 0, existe ô > 0,tal quepara|xo—X|< 6,a soluçãodoproblemadevalorinicial de=Tx) x(0)=xo é tal que|x(t) —x| < €paratodot>0. Um ponto de equilíbrio X é assintoticamenteestável,sefor estável e seexistir > Otal que lim x(t) = x quando|xo—X| <n. t—oo Um ponto de equilíbrio que não é estávelé chamadode instável. Por exemplo,x = a/b é um pontode equilíbrio assintoticamente estávelde(2.15),e x = Oé um pontodeequilíbrioinstável. Teorema 2.1.Seja X umpontodeequilíbrio de (2.18)comf declasseC!. Então,f(x) < OimplicaqueX éassintoticamente estável,e f(x) >0 implica queX é instável. Demonstração : À idéia é analisar a variaçãode x(t) —X: d (x(t)—x)?=2(x(t) —x)x=2(x(t) —x)f(x(t)) dt queé igual a, usando-seo TeoremadoValor Médio: 2(x(t) —5[f(x(t)) —f(50)] =2(x(t) x)?F'(E(t)) onde&(t) é um valor entrex(t) e x. Agora se f(x) < O,então,pela continuidade de f' existemmn > 0e 6 > Otais quef(x) < —n < 0 para|x =X| < 6. Logo,separaalgumto, a soluçãox(t) de(2.18)é tal que|x(to)- Xx|< 6, segue-se que a(t) := (x(t) — x)? é decrescentepara t>to. Além disso, temos d t EpAUS na(t) para t>to. Seção2.4 Exercicios Logoa(t)<ce Nºo queimplicaquex(t) tendea X quandot Quando f(x) > 0, faz-se um raciocínio análogo. 24. pi +00, Exercícios ft. Obtenha as soluçõesde po +y uy Hi g= +” d) vy —2xy =x, |-1* O v=1+9(1+y), 1+x2' e) y—tgt =cost. 2. Paraas equaçõesanterioresdeterminea soluçãodoproblemade valorinicialcomy(0) = 1. Digaosdomíniosdedefiniçãodassoluções. 3. Inventen problemasdosdois tipos acimae resolva-os.E aconselhávelnão decidir,a priori, o valor den. 4. Analise os seguintesmodelosde crescimentode uma população, determinandoospontosdeequilíbrioe estudandosua estabilidade: 1. p'=Ap A (Gompertz, 1825). 2. p'=APÉCP! (Smith, 1963). 3. p'=AplI — (2) 9), 5. p' =p(A-ap+be””?), (Goel,Maitra, Montroll, 1971). (Ayala,Gilpin,Ehrenfeld,1973). 5. Suponha que a cada mês uma populaçãoaumenta na razão k, isto é, no primeiro mês é po, no segundo kpo, no terceiro k?po, etc. Mostre que a populaçãop(t) satisfaz uma equaçãodiferencialdotipo (2,14),e determineÀ comofunçãode k. 6. Analise os seguintesmodelosdeVolterra (referência:V. Volterra, “Populationgrowth,equilibria,and extinction..”. Editado por EM. Scudoe J.R. Ziegler,Springer-Verlag,1978). 1)Seja p = p(t) a populaçãoe £ o coeficientede mortalidade,cp co númerode mortospor unidade de tempo. Supõe-seque o númerode machosé «p e o númerode fêmeasé Pp, e que « e [3são constantes (O)númerode encontrosentre os dois sexosnuma unidadede tempoé “4 Equações Diferenciais de Primeira Ordem : Cap. 2 q proporcionala «p-Bp = app”. Seo nascimentode m novosmembros da populaçãocorrespondea n encontros,o númerodenascimentospor unidadede tempoé kafpp“. Essas hipótesesconduzemà equação diferencial 1 A 2m 4 4 ! A + e ne Tn p'=-ep+kafp— =(—e+Ap)p. Mostre, que nessemodelo,a populaçãopode“explodir”(tendera infinito)num intervalo detempofinito. Para corrigir essaimpropriedade, Volterra propõea seguintemodificação: 1) O númerode nascimentospor unidade de tempoé kagp27'—mPP =pp— -—HPup, consequentemente a equaçãodiferencialserá p'=(-e+Ap—up?p. Suponha que as constantes£, A e 4 são tais que a equaçãopodeser escrita como p'=-ulp —oJlp —BJp. / 7. As equaçõesdotipo v'=f(x,y), ondef(x,y) satisfaz f(A,At) = f(1,t) (2.21) são chamadasde homogêneas.A nomenclaturahomogêneaé usada commaisdeum sentido,já a utilizamosnestecapítulono estudodas equaçõeslineares. Aqui o termoestásendoutilizadocomo seguinte sentido:umafunçãoé dita homogêneadegraun, quandof(A, At) =AP 1,t). Para as equaçõeshomogêneas, temosqueo lado direito f(x,y) podeserescritocomofunçãoda razãoy/x à ; os y)=h(5). y x | À a) Demonatre isso, e mostre em seguida que a mudança da variável de- pendente2— W/x transforma a equaçãohomogêneaem uma equação de variáveis separáveis. Seção2.4 Exercicios b) Mostre que a equação y' o YX x2—y? é homogêneae que possui, para cada pontodo plano (xo,Yo) com do é |xo, umaúnicasoluçãoy(x) satisfazendou(xo) = Vo. 4 Mostre que utilizando mudanças de coordenadasconvenientes, podemostransformar equaçõesdo tipo flax+ bit+ci) g(azx + bat + ca) vm equaçõeshomogêneasou de variáveis separáveis. (Sugestão:Quandoayjbz+bj;az Ouseu=x+uaet=s+P,caso contrário, basta u = ax + bit.) Hesolva co BRA a +=nm57' O) pe 9. Seja C!(a,b) o espaçovetorialdasfunçõesuy:(a,b) > R quesão diferenciáveis.Mostre queas soluçõesdey' + p(x)Jy = q(x), ondep “ «|sãofunçõescontínuasem (a, b), formaumavariedadelinear em C!a,b). to. A funçãodefinidapor Erf(x) — à És =|, e 0 dt é chamada de função erro. Mostre que ela é crescentee calcule os limitesde Erf(x) quandox — oo. então (Sugestão:Se Ic = fo etdt, (1)? =[foedx] [foe”dy]=Jocxio,cf1“Jdxdy, usecoordenadaspolares.) Mostre que e vn Erf(x) ho! ZO EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 é a soluçãodey' —2xy = 1,y(0) = 1, 11. (Equaçãode Bernoulli). A equaçãoabaixo y'+Pl)y =Q(x)y” ondeP(x) e Q(x) sãofunçõescontínuasdex em um intervalo(a,b) en € Z, é conhecidacomoa equaçãodeBernoulli. Sen £0en =, a equaçãonão é linear, mas podeser transformadaem uma equação linear mediantea mudançada variável dependentez = y!”. Demonstreisso,e resolvaosproblemasdevalorinicial 2 y'+ly =(cosx)y” v'+x?y=5y4 yt1)=1 yl—l)=—2 12. Mostre que a equação (cosy)y'+ 2x seny = —2x podesertransformadaemuma equaçãolinear. (Sugestão:Z = seny). 13. À equação y'+Plx)y+Qlx)y”=f(x) é conhecidacomoa equaçãodeRicatti. (2.22) a) Mostrequesey1(x) eyz(x) sãosoluções daequação(2.22),então, a funçãoz(x) = yz(x) —uy(x) é soluçãoda equaçãodeBernoulli zZ'+(P+2y2 Q)z — Qz? = Ú, b) Sabendoquey(x) = x é umasoluçãoda equaçãodeRicatti y +xºy —x2y?= 1 determineas demaissoluções. c) Sabendo que y(x) = x? é uma solução da equaçãode Ricatti y ! determine as demais soluções, =" +2x—x (2.283) Exercicios E! Seção2.4 t4. Mostre que se Vj e y2zsão soluções da equação (2.22), então sua soluçãogeral é dada por v—yr=cly—yo)el Slvi-ual (Sugestão:Usea partea) doexercícioacimaparaz = y —y/ eZ = | — 4», obtendoequaçõessemelhantesa (2.23).Divida-aspor Z e Z respectivamente.Subtraia as equaçõesobtidas,etc.). 18. Obtenhaa soluçãogeralde U —utex—uyí cos x =-- ] cos X sabendoquey; = 1/cos xe yz = —1/cosx sãosoluções. 16. Se Vi, Vz, Y3 € Us são soluções da equação de Ricatti (2.22), mostreque sua razão anarmônicaé constante: Yi U3 Yi —U4 ,. U2—U3 : Y2— Us Nota: A transformaçãode Moebius po TOb cy +d =€ c = const. (2.24) dedo levaa equaçãode Ricatti (2.22)em outra equaçãode Ricatti em z. As soluçõesZ;, i = 1,2,3,4, dessa nova equaçãosatisfazem a relação (2.24)com a mesma constante c. 17. A equação v=xf(p)+go(p), p=y (2.25) é conhecidacomoa equaçãode d'Alembert-Lagrange. Suponha que f,g:R — R sãofunçõesderiváveis. a) Se po = f(po) para algumpo € R, mostrequey = pox + g(po) é soluçãoda equação. bh) Sep 4 f(p), paratodop, derivea equaçãocomrelaçãox e obtenha a equaçãolinear dx dp flip) (gt) — p-ftp) p-—f(p) (2.26) 20 EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 A soluçãode(2.25)éexpressana formaparamétrica(x(p), u(p)), onde x(p) é a soluçãode (2.26)e y(p) é dado por (2.25). c) Use esse método para resolver as equações: v=p(eP+1)-—1 v=xpº+1. d) A equação(2.25)comf(p) = p é chamadaa equaçãode Clairaut. Mostre que além das soluçõesy — cx + g(c), (2.25) tem a solução x=—g'(p),u= g(p)—pg'(p). 2.5. Aplicações 2.5.1 Resfriamento de um corpo Consideremosum modelosimplificado para o fenômenoda variação de temperaturanum corpopor perda de calor para o meio ambiente, fazendo as seguintes hipóteses: (i) a temperatura | é a mesmaem todo o corpoe dependeapenasdo tempo t, (ii) a temperaturaTy do meio ambienteé constantecomo tempoe é a mesmaem todo o meio ambiente, (111) o fluxo de calor atravésdas paredesdo corpo,dadopor dT/dt é proporcionalà diferençaentreas temperaturasdocorpoe do meio ambiente: di Er UR (2.27) ondek é uma constantepositiva que dependede propriedadesfísicas do corpo. O sinal — em (2.27)se explica pelo fato que o calor flui da fontequentepara fonte fria, e assim se T > I,, entãoT decresce.Se | ly, então dT/dt crescee o corpoestá se aquecendo,ao invés de se resfriar. Abrindo um parêntesis: este modelofoi consideradopor Newton,estudandoo casode uma bola demetalaquecida,e é por isso que(1) acimaé chamadodelei do resfriamentodeNewton.Um modelomaiscorretoseria obtidousandoa lei deNewtonpara “elementos próximos”dentrodo corpoe escreveruma equaçãodiferencialparcial paraa temperaturaT(t,x) queagoradependeriatambémdopontox no corpo;a equaçãoobtida 01 ; 92T ot Ox Seção2,5 Aplicações é conhecidacomoequaçãodo calor que,apóso trabalho de Fourier nos 1810's,recebeuum tratamento extensivo. A equação(2.27)aparece nestesegundomodelocomouma condiçãodefronteira,cf. por exemplo,H.8. Carslaw,J.C. Jaeger “Conductionof Heat in Solids”,Oxford Press (1959). Conhecendo-sea temperatura T(0) = To obtemosa soluçãodo problema,pelosmétodosda secção2.1: T(t) = (To—Taje + Ta. (2.28) Façamosas seguintesconsideraçõesqualitativas: (1)olhando a equação (2.27)vemos que T(t) decrescemonotonicamentecom t enquanto | >»Is, crescemonotonicamenteenquanto T < Ta, e é constante casoTo = Ta. (1) olhandoa expressão(2.28)da solução,isso é confirmadoe se conclui ainda mais que T(t) tendemonotonicamentepara |4 quando t > +oo. À temperatura T, é chamada de temperatura de equilíbrio. Vamos complicar ligeiramente o nossomodelo. Suponhamosagora que a temperatura Ty do meio ambientevaria com o tempoao receber(ouceder)calordocorpo.As demaishipótesesdo modeloanterior sãomantidas.Para deduzira equaçãonecessitamos demaisuma lei da calorimetria, a conservaçãoda quantidadede calor. Sejam m e Ma, respectivamente, as massas do corpo e do meio ambiente. Designemospor € e CaOscaloresespecíficosdocorpoe domeioambiente; o calor específicode um corpoé definido comosendoa quantidadede calor (em calorias) necessáriapara elevar de 1ºC a massa de lgdo corpo. À lei da conservaçãoda quantidade de calor pode ser então expressapor me(To—1) = MaCalTa —Tao) (2.29) ondeT(t) e Ta(t) designamas temperaturasdocorpoe do meioam» biente,respectivamente,e To = T(0), Tao = Ta(0). Usando em(2,27) a expressãodeTá retiradade(2.29)obtemos Y e +k(1 + A)T = k(Ta0+ ATo) (2.90) ondeÀ (mc)/(macla). À equação(2.30)coma condiçãoinicial H(0)= To podeser resolvidaexplicitamente,pelosmétodosda secção 29 JO EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem 2.1, T(t) = ho ” Tao, Cap. 2 k(1 HAJt Tao | Alo | (2.31) I+A I+A A expressão(2.31)nos informa que a temperaturado corpodecresce monotonicamente (ou cresce monotonicamente), se lo > Iwo (ou se To < Tao) para o valor Tao + Alo I+FAÃ o Malala,0 + meio maca me que é uma temperatura,T, obtida através de uma média ponderada de sentido óbvio; essa temperatura é chamada de temperatura de equilíbrio. Mostre que Ta(t) — T quandot > oo, o quejustifica o nomede temperaturade equilíbrio. Problema 1. Um corpoa 100ºCé postonumasala,ondea temperatura ambientesemantémconstantemente a 25ºC.Após 5 minutosa temperatura do corpo caiu para 90ºC. Decorrido quanto tempoestará o corpoa 90ºC? Problema2. Um corpoa 100ºCépostonumasaladetemperaturadesconhecida,masque é mantida constante.Sabendoque após 10minutos o corpoestáa 90ºC e após20minutosa 82ºC,calculea temperatura na sala. Problema 3. Um corpoa 100ºCé postonum reservatóriocomáguaa 50ºC.Supõe-sequetodoo calorcedidopelocorpoé absorvidoe mantido pela água. Sabendo-seque após 10 minutos a temperatura do corpoé 80ºCe a da águaé 60ºC,calcule(i) depoisdequantotempoa temperaturada águaserá/5ºC, (ii) a temperaturade equilíbrio. Problema 4, Qual deveser a temperaturada águapara queum corpoa 100º€nelaimersovenhaa umatemperaturade30ºC emmeiahora? Sabe-seque o corpoé de ferro (calorespecífico0,113calg”! (ºC)! e tem massade 500g,enquantoque a água (calor específico1) tem massa4000g,Assumak= 0,05, 2.5.2 Diluiçãode soluções Um reservatório,contendoV litros de água pura, começaa receber uma soluçãode água salgada(c kg de sal por litro de solução)a uma Seção 2.5 Aplicações razão constantede a litros/segundo. Um mecanismode agitaçãono reservatóriomantém homogêneaa soluçãoque vai sendo formada, Simultaneamenteaoprocessodeinjeçãodeáguasalgada,começa-sea retirar doreservatórioa soluçãoformada,na razãodea litros/segundo, Determinea quantidadede sal no reservatórionum instante futuro. Seja x(t) a quantidadede sal em kg presenteno reservatório num tempot. Portanto a concentraçãode sal na soluçãoé x/V kpg/t.. Pode-seportantoescrever dx HE = Cc— 1 x (2.32) que é uma equaçãodo tipo estudadona secção2.1. Como x(0) = 0, podemosescreverexplicitamentea soluçãode (2.32) x(t) = cV(I —et M, (2.33) 9quemostraquea concentraçãox(t)/V desal no reservatóriotendea c quandot > co. Comoem2.5.1há umamarchapara um equilíbrio entrea soluçãosalina injetadae a soluçãono reservatório.Issonãoé surpresa pois a matemáticaé a mesma. Vamos complicar ligeiramente nossoproblema. Suponha que a solução salina saindo do primeiro reservatório cai em um segundo reservatório,contendoinicialmente V litros de água pura. Suponha queo segundoreservatóriotenha tambémum mecanismode agitação paramanterhomogêneaa soluçãoformada,e quetambémdelehaja uma vazão de a litros/segundo. A quantidadede sal no segundoreservatório,varia de acordocoma equação dy dra y x de onde se obtém, usando (2.33), dy a om 1 —e" et, a dec TyGL 12ge(1 Usando os métodosda secção2.1 obtemos u(t)=cV- CV +t)evt, o que mostra que a concentração salina no segundo reervatório tambémcrescemonotonicamentepara c. 11 S2 EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 Problema . Estude o primeiroproblemade diluiçãoacima,fazendoa modificaçãoque a soluçãosalina sai do reservatório na razão de b litros/segundo. Supondo b > a, determine o momentoem que haveráno reservatórioa maiorquantidadedesal. Supondoqueb < a, determinea lei de variação de concentraçãode sal como tempo. 2.5.3 Por que uma corda simplesmente enrolada num poste sustenta um barco? Consideremosuma corda em contactocomuma superfície cilíndrica vertical decoeficientedeatrito estáticoEt.Suponhamosqueo contacto se dê em todo um setor AB de ângulo « (em geral, x > 360º, mas para efeitoda nossafigurasupomos« < 180º)e quehá umaforçaTo aplicadaa uma das extremidadesda corda,comoindicadona figura. O problemaé saber qual a força T; que deve ser exercida na outra extremidadepara mantero equilíbrio. to | =T(o—58),|F2] =T(0+58)+uJF3], |F3| =N(0)r40 Figure2.6 Inicialmente vamos estudar o equilíbrio de um trecho CD da corda. Designemospor T(0) a tensãono pontoda cordacorrespondenteaoânguloOmedidoa partir deOA no sentidoantihorário,e por N(0) a reaçãoda superfíciesobrea corda. Não vamospor empalavras o que se lê direto da figura. À força H;,tangenteao círculo é a uisÃo noponto€ ++0 22.A forçaF; é a somadatensãoemD & 0+ 8 da forçade atrito; miraAO pequenopodemossupor queessa oca Seção 2.5 Aplicações de atrito tenhaintensidadeuN(0)rÃAO,ondeN(0)rÃO é a reaçãototal da superfícieao longodo trechoCD de comprimentoTÃO. O trecho CD estandoem equilíbrio, temos F + F>+ F3 = 0. Projetando essa equaçãosobrea direçãoF3 e sobrea direçãoortogonaltemos: N(0)rA0 —T (o — ) es], (o + 2) É(o T sen ) Z sen= —uN(9)rAOsen— = Ú (2.34) cosE + uN(9)rÃO cosa. 2 2 —T(o AO — 2) AO cosTE O (2.35) Dividindoessasequaçõespor AO e passandoaolimite quandoAO — O obtemos TN(0)— T(0) = 0 (2.36) de ondeobtemos dT — (0) + urN(0) = 0, do aT par T pes ag” HI =D, (2.37) cujasolução é T(0) — ce Hº, Usando dadoinicial T(0) —Toobtemos T(9) = To gorê, Logo | = Toe "%. Assim, quanto maior « menor será a força necessáriaa aplicar na outra extremidade.Portanto,se a cordafizer várias voltas no poste, a força T, pode ser tão pequena que 0 próprio peso do resto da cordajogada sobreo solo basta para man ter o equilíbrio. Exemplo 1. Suponhaquea cordadá duas voltascompletasem tornodo poste,cujo coeficientede atrito é 0,4. Supondoque a força Toé 1000 N (N=newton),calcule1, paraquehaja equilíbrio. Resolução: Tj = 1000€2417= 6,56N, JM EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 Consideremosa seguir o casoem que a corda está enrolada em um cilindro horizontalde raio r. Comono exemploanterior,consideramosquehá um atrito entre a cordae o cilindro, e agoravamoslevar em contao pesoda corda;seja w o pesoda cordapor unidade de comprimento. Neste caso,comopodemosver das expressõesobtidasmais adiante, uma massa m pode ser mantida suspensagraças ao atrito da cordae a um pequenopedaçode corda. Figura2.7 O raciocíniopara obtençãodas equaçõesde equilíbrioprocedecomo acima: em (2.34)apareceo termo adicional —wr(A0) senO e em (2.35) —wr(A0) cos0. Portanto,as equaçõescorrespondentes a (2.36)e (2.37)são: TN(0) =T(0) - wrsenO = 0 Eu de ondese obtém y dT do (2.38) + urN(0) —wrcos0 =, (2.39) Hui = wurícosO—sen O). (2.40) Seção2.5 Aplicações Pelo métododa secção2.1 obtemosa soluçãogeral de (2.40) T(0) (UT Rucos0+(1— u?)senB]+ Ce Hº | +p? (2.41) onde €Cpodeser determinadausando-seo dadoinicial T(0) = To: C = Ta Z2UWT (2.42) * I+u? Problema 1. DetermineT(71)sabendoqueapósopontoA há umpedaço decordadecomprimentoº deondependeumamassam. Resposta: NestecasoTo= wl + mg. Logo TER = 2WWwT cia 2uWwT ru +|wl+ mg gra, 1+qu Problema 2 . No problemaanteriorsuponhaque u — 0,4,r = 0,5m, (= lImma=lOkgew = 20N/m. Qual será o comprimentoº; de corda que deve ficar pendentedo lado B para que o sistema se mantenhaem equilíbrio comapenasmeia volta da corda. Resposta: tl, — 1,26m. Problema 3. Suponhaque um corpode massam = 50kg deveser mantidosuspensopor uma corda (500gpor metro)enrolada em uma poliade20cmderaio. Determineo comprimentomínimodecordaque deveser utilizada para que o equilíbrio seja mantidopor um pequeno pedaçode corda suspensa. Suponha que o trecho da corda entre o corpoe o seu primeiro contactocom a polia é 2m, e que o coeficiente deatrito é yu = 0,4. 2.5.4 Atractriz A tractriz é a curva no plano (x,y) que tem a propriedadeque o segmentoda tangentedelimitadopelo pontode tangênciae peloeixo dos x é constante. Essa curva tem a seguinte descrição mecânica: 35 Só Cap. 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem cial separável ! É Roo y (2.43) y = asenO [e —U “ay =a [ SE 46 =a [ sen O do senO e dai uma primitiva seria atntgs O 2 +acos0 e voltandoà variável y, usando-se O tg O= 2tg 5/(] O tg" 5). Seção2.5 Aplicações a primitiva procuradaseria: sraRace atne si y + va? —y2. Portanto,a soluçãode(2.43)seriadadaimplicitamentepor a—/aq? —y? U +yq2—-y?=-x+c ondea constantepodeser calculadalembrandoque,para x = Ô,temse uy —a; daí c = O. Observequese olharmosy comoa variávelindependentee x comodependentea equaçãoda tractriz x(y) na forma explícita é io di - ata E = EA. y A tractriz apareceem Geometria Diferencial: considere a superfíciederevoluçãogeradapelarotaçãodessacurvaemtornodoeixox; essasuperfícieé chamadaapseudoesfera,e é um casointeressante de uma superfície que tem curvatura gaussiana negativa constante em todosos pontos,comexceçãodos pontosno plano x = O. A pseudoesferaservepara dar um modelode uma geometrianão euclidiana; se sobre a pseudoesferaconsideramosas geodésicascomo as retas daquela geometria,teremosum modelode uma geometriaondenão valeo quintopostuladodeEuclides.A únicadeficiênciadestemodelo é queas retas não sãoinfinitas emambasas direções.Recomendamos ao leitor interessadoo artigo de Manfredo P. do Carmo “Geometrias não-euclidianas”,publicadono Noticiário da SociedadeBrasileira de Matemática,Número Especial de 1979.Do mesmoautor,o livro “Eles mentosde Geometria Diferencial”, publicado pelo IMPA, suprirá o que o leitor necessitapara provar que a pseudoesferatem curvatura paussiananegativa constante. À tractriz tambémtemuma aplicaçãomecânicanochamadopivol deSchiele(cf. Reddick-Miller “AdvancedMathematicsfor Engineera”, John Wiley (1960). O problemaé determinar a forma de uma ponta deeixovertical quedevegirar sobrerolamentosde modoquea reação S/ JO EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2 vertical V dos rolamentosseja constanteem todos os pontos de superfíciede contacto.Além disso,deseja-sequeo desgasteda pontado eixo a cadaaltura seja uniforme. Cy +X Figura2.9 Para deduzir a equaçãoda curva da secçãolongitudinal da ponta do eixo,observamoso seguinte: (1) Designandopor N a reaçãodosrolamentossobreo eixoemcada ponto de superfície lateral, e por W o pesodo eixo, temos que o somatóriodasprojeçõesverticaisdeN deveseriguala W; comosequer que a projeçãovertical de N seja constanteemtodosos pontostemos: V=W/A (2.44) ondeÀ é a projeçãohorizontal na superfícielateral da ponta do eixo. (11) A hipótesede desgasteuniformesignificaque o desgasteé constante com y. A Mecânica nos diz que o desgasteé proporcional ao trabalho da forçade atrito uN numa rotaçãocompletado eixo. Logo inyuN = const. (2.45) JH Por outro lado, da semelhançade triângulos, temos N PQ Voy e daí usando as informaçõescontidas em (2.44)e (2.45) concluimos que PQ deveser constante. Logo, pelo que se viu acima, a curva da a pontado eixotem a forma de uma pseudoesfera. Problema . Mostre que a equaçãoda tractriz tambémpodeser escrita como a x=—Vqa2 —y?— acosh! y ondecosh”! é a funçãoinversa do co-senohiperbólico. 2.5.5 A catenária O problemaque agora consideramosé o da determinaçãoda forma tomadapor um caboflexívele inextensível,suspensoem doispontos A e B, e sujeito a seu próprio peso. Flexível significa que a tensão no caboé sempreno sentidoda tangente. Esse problemafoi proposto pela primeira vez por Leonardo da Vinci, e resolvidoincorretamente por Galileu, que “mostrou”ser uma parábola a curva ocupadapelo cabo. De fato, o que Galileu resolveufoi o problemada pontepênsil; a forma de um cabosempesosuportandouma carga uniformemente distribuida horizontalmente. Em 1690, James Bernoulli chamou a atençãosobre esse problema, e um ano depoisela era resolvidopor Leibniz, Huyghens e Johann Bernoulli, irmão de James. Foi Leibniz quedeu o nomede catenáriaà curva ocupadapelocabo.Uma nota do folcloreda Matemática: a fasedosurgimentodoCálculo e início doestudodasequaçõesdiferenciaisfoimarcadoportremendaspolêmicase constantesdesafiosentre Newton, Leibniz e osirmãos Bernoulli. Para seter uma idéia disso,vamostranscreverum trechodeumacartaque, anosdepois,Johann Bernoulli feza um amigo,cheiodesatisfaçãopor terresolvidooproblemadacatenáriaantesdeseuirmão.“Osesforços de meu irmão não tiveram sucesso;eu fui mais feliz, pois tive a habil dade(digoissosempresunção,porquedeveriaeuescondera verdade?) deresolvero problemaereduzí-loà retificaçãoda parábola, E verdade que isso me fez trabalhar durante toda uma noite. Isso representou 40 EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 muito naquelesdias e para minha poucaidadee experiência,mas na manhã seguinte, transbordando de alegria, corri até meu irmão, que ainda estavalutando miseravelmentecom o nó górdio sem chegara lugar nenhum, sempre pensandocomoGalileu que a catenária era uma parábola. Pare! Pare! disse-lhe eu, não se torture mais tentandoprovara identidadedeuma catenáriae deuma parábola,pois issoéinteiramentefalso. A parábolaservena construçãoda catenária mas as duas curvas são tão diferentesque uma é algébricae a outra transcendente”. *U Figura2.410 Consideremosum sistema de coordenadascartesianascom origemno pontomais baixo da curva e eixo 1 coincidentecoma vertical. Vamosconsideraro equilíbriodotrechoOP docabo:H+ T+ V=0, onde H é a tensãodo caboem seu ponto mais baixo,T é a tensãono pontoP = (x,y) e Vé o pesodo trechoOP do cabo,V = ws, w é o pesopor unidade de comprimentoe s é o comprimentodo arco OP. Projetandoessaequaçãodeequilíbriosobreosdoiseixosobtemos e dai —H+ Tcos0 =0 (2.46) —V+Tsen0O =0 (2.47) W tgO= —s. g H 2.48 (2.48) Observeque w e H sãoconstantes:seja w/H = c = constante. ObservetambémquetgO = y”.Logo,derivando(2.48)obtemos u HH ds ' dx Seção2.5 Aplicações 41 Poroutrolado,comods/dx = V 1+ (dy/dx)2, concluimosquey deve satisfazer à equaçãodiferencial uy"=c4/1+ (u')2. (2.49) A integraçãode (2.49)é conseguidado seguintemodo: introdusindo a variável p = uy”,obtemosa equaçãoseparável de primeira ordem (2.50) [ater] Uma primitiva de p = cotg O 1 sp p'=cvlI+p2. +Pp 1+p? se conseguecom a mudança de variável Ps dO = —intg ” senO 2 e voltandopara a variável p, temosuma das primitivas procuradas: —In(vp2+1—»p). Logo,as soluçõesde (2.50)são da forma —In(v3/p?+1—-p) = cx+ const. Comop(0) = vy'(0)= 0,essaconstantedeveserzero.Logo (y)2+1—-y'=e*, (2.51) Lembrando(eusando!)aspropriedadesdasfunçõeshiperbólicas,concluimosque as soluçõesde (2.51)são da forma ulx) =c *] cosh(cx)+ const. Comoy(0) = 0, conclui-sequeessaconstanteé -c procuradade (2.49)é u(x) = c Hceosh(cx) — 1). !. Logoa solução (2.52) Conclusão : Um caboflexívele inextensível,suspensoem dois pontos e sujeito a seu próprio peso,toma a forma do gráficode um co-seno hiperbólico.Essa curva é a catenária. 42 EquaçõesDiferenciais dePrimeiraOrdem Cap.2 Atenção. À solução (2.52) envolve o valor de H que, apesar de ser constante,não é um dosdadosdo problemainicial. Será interessante escreveressa soluçãoem termos de outros parâmetrosgeométricos, comopor exemplo: a — afastamentohorizontal entre os dois pontosextremos Ae B do cabo d —flexada catenária t = comprimentodocabo. Vamosconsideraro casoemqueÀ e B têma mesmaaltura, através de alguns problemas. +y A Sail a | -a/2 | a/2 Figura2.11 Problema 1. Suponhamosqueo cabotenhacomprimentoº e queestá suspensoempostesÀ e B de mesmaaltura e a uma distânciaa um do outro, Qual é a flexa d da catenária? (9)1] Resolução, De (2.48) e (2.51) temos que senh(S2) = Ss. Desta equação,obtém-sec. Usando esse valor de c, obtemosde (2.52), d=ç" Observação . Dasduasrelaçõesna resoluçãoacimaobtemos Seção2.5 Aplicações 4) Problema 2. Suponhamosque o cabotenha comprimento( e que está suspensoempostesÀ e B demesmaaltura, demodoqueo ângulodo cabocoma horizontal nos pontosÀ e B seja 45º. Calcule a flexa d e a distância dospostes. Problema 3. Suponha que nas condiçõesde 2.5.5)acima, o caboestá sujeitoa açãodoventoquesuporemosser representadapor uma força horizontal (h Newtons por metro da projeçãovertical do cabo), noplanodocabo.Deduzaa equaçãoda curvadocabo. Problema 4. Suponhaquenas condiçõesde 2.5.5)acima,o cabosuporta um estrado de peso W que supomosuniformementedistribuido ao longoda projeçãohorizontal do cabo. Deduza a equaçãoda curva do cabonoscasosseguintes:(1)w = 0,(11) w £ 0. [Ocaso(1)corresponde à pontepênsil]. 2.5.6 Espelho parabólico O problemaconsisteem determinar a forma de um refletor tal que todososraios por elerefletidose provenientesde uma fonteluminosa pontualsaemparalelosa umadireçãofixadaR. Sabemosda GeometriaElementar queum parabolóidederevolução(1.e.a superfíciegeradapela revoluçãode uma parábolaemtorno de seu eixo)tem essa propriedade;basta colocara fonte luminosa no focoda parábola geradora. O que nos propomosagora demonstraré queo parabolóideé a única superfíciecomessapropriedade.No nosso raciocínio, a seguir, demonstramos não somenteessa unicidade, como tambémesseresultado de existênciadadopela geometria. Figura2.12 44 EquaçõesDiferenciais dePrimeiraOrdem Cap.2 Suponhamosque a fonte luminosa esteja localizada na origem e que a direção R seja o eixo-x. Designemospor y(x) a função que descrevea secçãolongitudinal do refletor. Na figura representamos um raio luminosoemanandodeOe serefletindono pontoP dorefletor; sendoN a reta normal à curva no ponto P, a lei da reflexãoda Ótica Geométricanos diz que o ângulo de incidência 1é igual ao ângulode reflexão r. Temos, então, as seguintes relações d O -te(90-r) e E =te(18021), dx x de ondese obtém Vo 2W E I=NPP ou seja uly)*+2xy'—y=0. (2.53) A expressão(2.53)correspondea um par de equaçõesdiferenciais: V=-- x y + da (3) y +1 (2.54) que tambémpodemser escritascomo uy +x=+vyx2+y, (2.55) Para resolver(2.55)introduzimosa variáveldependentez = z(x), tal que z? =x? +vy”,e assim (2.55)se torna zz = +z. Logo Z= dbx+c,e daí y? = +2xc+ c? que correspondema equaçõesde parábolascomeixo coincidentecom o eixox. O sinal + correspondea uma parábola com concavidade voltadaparaadireitaevértice(—5,0). O sinal —corresponde auma parábolacomconcavidadevoltada para a esquerdae vértice (5,0). 2.5.7 As curvas de perseguição Consideremoso seguinte problemasurgido na perseguiçãode um rato Seção2.5 Aplicações 45 por um gato. O rato se encontravapacificamentena origemcomendo seuqueijo,quandoum gatofamintolocalizadono pontoG = (a,0) o descobree parte em sua direção.Instantaneamente,o rato pressente o seu inimigo e toma a decisãode fugir ao longodo eixo-y no sentido positivo,e o faz comvelocidadeconstantev. A estratégiado gato é correr sempre na direção em que se encontra o rato, e o faz com velocidadeconstantew. O problema é determinar a curva descrita pelogato;emparticular,determinarcondiçõesnosparâmetrosa, y e w para que o gato encontre o rato. Após um tempo t, o gato se encontra no ponto P = (x,y) e o rato no ponto Q = (0,vt). Podemoscalcular o tempot que o gato gastou para chegarem P: é o quocientedo comprimentodo arco PG por w, isto é 1 t=—/ 0. a (x)|2 dx. V( + ly'(x)|2 G=(a,0) (2.56) X Figura2.13 Por outro lado, da geometriada figura, temos OQ =vy-uy'x e comoOQ = vt, obtemosde (2.56)e (2.57)a equação 2 t+lvo)Pax=y-vx (2.57) 46 EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap.2 Derivandocomrelaçãoa x obtemos e] + [y'(x)]2= xy” c=viw. (2.58) Para integrar (2.58)introduzimos a variável p = y' e assim obtemos a equaçãoseparável xp =evl+p?. (2.59) Como vimos em 2.5.5, bi é umaprimitiva de p*+41 —p) 1/V1 + p2. Logo,a soluçãode (2.59)é —tn(Vp?+1 —-p)=cinx+ const onde consideramosx > O. Logo, usando a condiçãoinicial p(a) = y'(a) = 0,temos Vp?2+1]-p=(a/x)º. (2.60) == (9 Daí obtemos a qual integrada,usandoa condiçãoinicial y(a) —O,dá vio) =5] ] (9 c4+Tla + ] c—1 (DS ix CL (2.61) o uíx) 1 /x? (atra) l/a = (S-atna), Emi, (2.62) Análise da solução Se col, isto é, v>w, o gatojamais alcança o rato. Sec < 1, isto 6, vo w, os segundosdo rato estão contadose são precisamente aco/(0” — vº), supondoque as velocidadesv e w estão dadas em unidades de comprimento por segundo; o encontro fatídico dar-se-á Seção2.5 Aplicações 4/ no pontodeordenadaavw/(w? —v?) sobreo eixodosy. Proveesses fatose analise a curva de perseguiçãonos vários casos. Problema1 Um barco localizadona origemse propõea atravessar um rio repre- sentadona figurapelafaixa O < y < b. Sabendoquea velocidadeda agua é ve que a do barco é w e sabendoque o barco aponta sempre para o ponto(0,b), pergunta-seque relaçãodevehaver entrev e w para queo barcoconsigaatravessaro rio. Determinetambéma curva descritapelobarco em cadacaso,isto é, atravesseou não. AV E” P=(%,1) Figura2.14 Sugestão : Usandoa representaçãoparamétrica(x(t),u(t)) da curva onde t designa o tempo, temos as seguintes equações obtidas expressandoas componentesda velocidadedo barco: XxX = v — wcos0, y = wsen 0, ondeX = e . Use a relaçãob —-y =x tg Opara obter y E b—uy cx? +(b—y)? : É= 94H, Problema 2. Um contratorpedeirolocalizaum submarinoa umadis: tânciade 10km. Nesseinstanteo submarinosubmergee parteem umcursoretilíneo,masdedireçãodesconhecida docontratorpedeiro A velocidadedocontratorpedeiroé 3 vezesa dosubmarino, Quecurso devetomar o contratorpedeiropara algum tempodepoisestar exata mentesobreo submarino? 3 Propriedades Gerais das Equações Reconhecida a impossibilidadederesolveramaiorpartedasequações, emformaexplícita,põe-sea questãodesaberseoproblemasobestudo tem solução.Chegamosassim às questõesde existênciade soluçãode um problema,sem aquela preocupaçãode exibir a solução. O resultadocentralnessadireçãoé o teoremadePicard,Teorema3.1,secção 3.2, que fala sobre a existênciade soluçãopara o problemade valor inicial: v=f(xy), ulxo)=vo. A demonstraçãousa o princípio da contração e exibe uma vestimenta moderna para o métododas aproximaçõessucessivas,já conhecido e usado com sucessopelos matemáticosdo século passado. Neste capítulo,tambémdedicamosespecialatençãoaos aspectosgeométricos ligados às equaçõesdiferenciais. Visando um estudo adequado dasequações exatas,bemcomofuturasaplicações, dedicamosa secção 4.3 ao estudode camposvetoriais e formas diferenciais. Como o leitor verá, há vantagensinegáveisem usar formasdiferenciaispara tratar as equaçõesexatas. Por essarazão,desenvolvemos também naquelasecçãoo estudodasformasdiferenciais,o quetranquilizará o leitor mais exigente,mostrando-lheque é fácil formalizar uma linha de procedimentosupostamenteimprecisa. 3.1. — Interpretação Geométricada Equaçãoy' =f(x,y) A formaexplicita geral da equaçãodiferencial ordinária de primeira ordem é yo= f(x,y) (3.1) Seção3.1 Interpretação Geométrica daEquaçãoy' =f(x,y) 49 onde OQ) -—s R é uma funçãoreal definidanum aberto€) do plano (x,4). Uma soluçãode (3.1)é uma função diferenciávely = p(x) defimidaem um intervaloabertoI e tal que (x,p(x)) ceO, p'(x) =f(x,b(x)), paratodo xe€el, paratodo x€El. (3.2) (3.3) Um dosproblemasbásicosno estudoda equaçãodiferencial(3.1) o à determinaçãode suas soluções;essefoi o tipo de questãoqueestudamosem todoo Capítulo 2 para diferentestipos de equações.Entretanto a obtençãode soluçõesde (8.1)na forma fechada,isto é, numa formaexplícitaem termosde funçõeselementares,é um problema impossívelde resoluçãopara o casogeral de equações(3.1). O leitor deveter observadoqueequaçõesdiferenciaisdeaspectomuito simples apresentaramdificuldadestécnicasapreciáveisemsuaresolução.Em verdade,a maior parte das equaçõesnão podeser resolvida explicitamente. Em muitosproblemasdeaplicaçãonãosefaz necessáriosabera expressãoalgébricadas soluçõesda equaçãodiferencial. Basta saber propriedadesdessassoluções,comopor exemplo,seu comportamento quandox tendeparaalgumvalorpré-estabelecido. Comissoemvista, à interessantee importante estudar as propriedadesgeométricasda família das soluçõesda equaçãodiferencial. Este é o outro problema básicono estudo das equaçõesdiferenciais, que pertenceà chamada teoriaqualitativa. Um terceiroproblemade importância no estudode (3.1)é a teoria da existênciae unicidadedesoluçãodoproblemadevalor inicial. O problemade valor inicial consisteno seguinte:dadas a equaçãodiferencial e um ponto (xo, Yo) E €), determinar um intervalo aberto | contendoxo e uma funçãodiferenciávelp:I — R tais que as relações (3.2) e (3.3) acima se verificam e, além disso, b(xo) =vVo, que é a chamadacondiçãoinicial. (4.4) 5O PropriedadesGeraisdas Equações |" Cap.3 o ty , U| Vo| Figura3.1 Para melhor compreenderesses problemasno caso geral (3.1) é importantever o significadogeométricoda equaçãodiferencial. A funçãof atribuea cadapontodeO umnúmero,f(x, W);a equaçãodiferencialdiz quea soluçãoquepassarporessepontodeveter inclinação igual a essenúmero: tgO=f(x,y) ondeOé o ânguloda tangenteT à soluçãocomo eixox. Essa interpretaçãopodesetornar ainda mais geométricaseimaginarmososeguinte.Em cadapontodeO damosumvetorV' (x,y) = (1,f(x,y)) quedeterminaa tangenteT. Assim, temosum campovetorial definidoemO. As soluçõesde (3.1)sãoas curvascujosvetores tangentes em cada ponto (x,y) são v( x,U). Essas curvassãochamadastambémde curvas integrais. *y 51 Na visualizaçãodo campovetorial descritono parágrafoanterior é útil conheceras isóclinas. Uma curva y = W(x) é uma isóclinase f(x, ip(x)) = cte. Assim o campo vetorial v é constante ao longo das isóclinas. Exemplo . Considerea equação y =1-xº—y”, As isóclinassãoos círculos centradosna origem. Vê-se assim que em todosos pontosde x? + y? = 1 o campovetorial v é paralelo ao eixo-x e iguala (1,0). Já nospontosdocírculox? + y? = 2 o campovetorial teminclinaçãode —45ºe é igual a (1,—1). 3.2. Existência, Unicidade e Dependência Continua Nestasecçãodemonstramos um teoremaquedácondiçõessuficientes paraa existênciae unicidadedesoluçãodoproblemadevalor inicial. [Umresultado dessa natureza é importante para podermosafirmar que,mediantecertascondições,a região está cobertapor curvasinteprais. Teorema 3.1(Existência eUnicidade.) Seja f:O —sRuma funçãocontínua definida num aberto O do plano (x,y). Suponhamos que a derivada parcial com relação à segunda variável, fy;:O — R, seja contínua também.Então,para cada(xo,Uo)€ O, existemumintervaloaberto1 contendo xo e uma única função diferenciável p:I —> R com (x,p(x)) € O, para todox E 1,que é soluçãodo problemade valor inicial (P.VI.) y'=f(x,y) Ylxo)=vo. (3.5) (3.6) O primeiropassona demonstraçãodesteteoremaé a transformaçãodoproblemadevalor inicial no problemaderesoluçãodeuma equaçãointegral, o que se faz no lema a seguir. Lema3.2. Seja f:O — R umafunçãocontínua num abertoO doplano (x,y). Então, uma função diferenciávelp:1 —+R é uma soluçãodo problema de valor inicial (3.5)(3.6) se e somentese for uma solução PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3 da equaçãointegral vlw)=vo+ | 0 fis,uls)jds, xcl. (3.7) Demonstração : 1) Se p é soluçãodo problema de valor inicial, (3.5)(3.6), então,pelo Teorema Fundamental do Cálculo, p é soluçãoda equaçãointegral (3.7). 2)Reciprocamente,se &: 1— R é uma função contínua queé soluçãoda equaçãointegral (3.7),então,peloTeorema Fundamentaldo Cálculo, bpé diferenciávele é tambémsoluçãodo problemade valor inicial (3.5)-(3.6). B Concentremo-nospois na resolução da equaçãointegral (3.7). Dado (x9,Uo) € €), tomemosa e b positivostais que o retângulo B=B(a,b,xo,yo) =(xy): |x-xo|saely—vol<b) (3.8) estejacontidoem O. Como f é contínua e B é compacto(i.e.,fechado e limitado),temosquef é limitadaem B; seja e Ji o intervalofechado I[xo—qa,xo+ al. Seja C o conjuntode todas as funçõescontínuas g: Ja — R tais que g(xo) = vo e lglx) = yol<b; graficamente, queremos em C as funções continuas cujos gráficos passempelo ponto (xo,Vo) e que estejam contidos no retângulo B, Seção3.2 Existência, Unicidade e Dependência Contínua 5 xo-a E xpta x Figura3.3 DefinimosemC a seguintemétrica(distância): d(g1,92) =maxl|gi(x) —ga(x)| :x E Ja; (3.9) é fácil verificar que (3.9) é, de fato, uma métrica, isto é, tem-se as propriedades: d(g1,92)z20,e d(g1,9g2)=0seesóse g/=92 d(g1,92)= d(g2,91) d(g1,g2)<d(g1, 93)+ d(g3,g2). Portanto, C é um espaçométrico.Pode-se,então,falar em sucessãode Cauchy:(gn) édeCauchysedadoe > Oexistirno tal qued(gn, Om)< e para n, mz2no9.Uma sucessão(gn) convergepara g E C se dado e > 0 existirno tal qued(gn,9) < E, paran2no. Diz-sequeum espaçométricoC écompletosetodasucessãodeCauchyé convergente paraalgumelementodeC. O espaçométricoC definidono parágradoanterior é completo,o queseprovasimplesmente observandoquea convergência na métrica d é a convergência uniformedefunçõese lembrandoqueo limite uni forme de funçõescontínuas é uma função contínua,veja Teorema4, pag. 298, E.L. Lima, “Curso de Análise”, vol. 1, Projeto Euclides, 1976. Voltemosà consideraçãoda equaçãointegral(3.7), Consideremos 54 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3 a funçãoO definidaemC e quea caday € É associaa função g(x)=vo +f O fls,u(s))ds. Observe que g(x) é uma função contínua para x € Ja, que g(xo) = Vo e que |9(x)—yol</ F(s,uls)|ds <M|x—xol<Ma<b e consequentemente g E C. LogoD:C > C. À equaçãointegral (3.7)podeser escritana formafuncional y=O(y). Portanto,as soluçõesde (3.7)sãoos pontosfixosde D. A idéia agora é usar o Teoremado Ponto Fixo de Banach, conhecidotambémcomo o Princípio da Contração: “SejaC umespaçométricocompleto.SuponhaqueD:C > C é uma contração, istoé,existeumaconstante O<k< 1,tal que d(D(gi),D(gz))<kd(gr,92). para todos91,92€ C. Então,existeume somente um g E C tal que g =D(g). Ao leitor interessadona demonstraçãodoTeoremado Ponto Fixo de Banachsugerimoso livro de C.S. Hônig, “Aplicaçõesda Topologia à Análise”,Cap. II, ProjetoEuclides,1976. A fim de aplicar esteteoremaao problemaque estamosestudando, resta apenasverificar se O é uma contração.Para tal, escrevemos [Digi)lx)—D(gz)(x)]= / tr(s, g1(s)) — f(s,g2(s)lds|. (3.10) Para estimaro integrandono segundomembrode (3.10),usamoso seguinteresultado Lema33, Seja EO —sE umafunçãocontínua definida em um aberto OQ do plano (x,y) e tal quea derivadaparcial f,:O — R sejatambém Seção3,2 Existência, Unicidade e Dependência Continua. 5º contínua. Dado um subconjunto limitado O, C Oo C OQ,existeuma constanteK > Otal que f(x,y) —f(x,vz)|<K[yy —vz] para todos (x,U1), (3.11) (x, U2) É Oo. Demonstração : Seja ô<dist(00,090), onde dO representaa fronteira de O, e designemospor Os = ((x,y) € O: dist((x,y),Oo) < 6/21 uma(6/2)-vizinhançadeOo. Dados(x,y1), (x,y2) € Do com|yy= y2| < ôtemosqueosegmento|x,Ay +(1—A)ya],O<A<1,estácontido em Os. Aplicamos o teoremado valor médio foe, u7)—fbe, uz)=fylx,Ely —2) ur>yz onde é está no segmentodescritoacima. Usando (3.12) M, =max(|fy(x,y)| : (x,y)E Os), obtemosde(3.12) Flo,ui) —fix,y2)|<Mi ya —val que é válida para (x,y1), (x,y2) € Oo com lyy — vy2|< 6. Para os pontoscom|yj —y2|>ô,a estimativaabaixoseverifica 2M f(x,y) —fls uz)|<2M< ou —ua, ondeM é o max|f(x,y)| para (x,y) € Oo. Logo,paraobter(3.11)bastatomarK —max(M1,2M/6). » Voltemosà estimativade (3.10).Usando o Lema 3.3, obtemos |D(gi)(x)—D(g2)(x)|<K / Xo e daí 918) —g2(s)Jds| <Ka a(g1, 92) d(D(g1),D(g2))<Kad(gr,92). Concluimos que D é uma contraçãose Ka < 1. Logo basta tomar a<1/K. Eo Teorema 3.1fica demonstradocom| = (xo-d, xo l Ul e Comentáriossobreo valorde Q, raiodo intervalo|, Acabamos de mostra a existência de uma soluçãodo P.V.I. (3.5)(3,6) num intervalo| 56 PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 (xo 4,xo + q). Se bemqueà dependeda funçãof e da distânciado ponto (xo,Yo) à fronteira 90 de OQ,o seguinteresultadoé de grande importância: Lema3.4. SeKk € O é compacto,então um mesmoà pode ser escolhido de modoa servirpara todasas condiçõesiniciais (xo,Uo) E K. Demonstração : Considereumaó-vizinhançaKs deK tal que KEK Ch CO + H, entãopodemosescolhera e b tais que o retânguloB estejacontidoem À.sparatodosospontos(xo,Uo)€ K. Portantobastatomar M =max(|f(x,y)| : (x,y)€ Ks) e à satisfazendo a<mimin a Nº K onde E é a constantedada peloLema 3.3 comOo = Ks. Comentários sobre a necessidade das hipóteses do Teorema 3.1 . A mera hipóteseda continuidadede f garantea existência,masnão a unicidadede soluçãodo problemade valor inicial (3.5)-(3.6);a demonstraçãodaexistênciacomapenasa continuidadedef usaaschamadas poligonaisde Euler ou o teoremade pontofixode Schauder.Para se Seção3.2 Existência, Unicidade e Dependência Continua. 5/ ter unicidade é necessárioassumir alguma hipóteseadicional à continuidade de f; veja o Exemplo 1, a seguir. Um estudo completodas questõesapenasmencionadasacimapodeservistonolivro deJ. Hale, “Ordinary Differential Equations”,Wiley-Interscience,1969. Exemplo 1. Considereo problemade valor inicial v' =|y|!2 vy(0)=0. (3.14) Nesteexemplo, f(x,y) = |y|!/2 que é contínuaemtodooplano(x,y). A funçãoy(x) = Oésoluçãodesteproblemadevalorinicial (3.14).En- tretanto,há outra solução,a qual o leitor podeobterusandoo método das equaçõesseparáveise considerandoos casosy > ey < O;essa outra soluçãoé y(x)= xt, x>0 —3x2, £< bl Umapergunta paraprosseguir.O Teorema 3.1estabelecea existêncialocal de solução.A perguntanatural é se a soluçãoobtidanaqueleteorema podeser estendidaa um intervalo de definiçãomaior, e nestecaso até onde. Antes de enunciar resultados sobreessa questão,vejamos alguns exemplos. Exemplo 2. Considereo problemade valor inicial v=y ulij=1. (3.15) Nesteexemplo,f(x,y) = y2 e fylx,y) = 2y sãocontínuasemtodoo plano(x,y). O Teorema3.1nosdiz queexisteumaesóumasoluçãodo problemadevalor inicial (3.15)definidaemum intervalo (1-a, 1a). Será que podeser estendidapara todox? A respostaé não, pois q soluçãode(3.15)é ] Vo) => cujo domínio de definição é (00,2). Entretanto se a condição inicial em (3.15) for substituida por y(0) = O, a solução é y(x) = O definida para todo x. 5H PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 Exemplos. y =e “,y(0) = 0. Asoluçãoy = En(x+1) está para x > —1. definida Exemplo 4. y' = —A cos+, y (+) = O. A solução y = senÉ1 está definida para x > 0. Teorema 3.5.Mesmashipótesesdo Teorema3.1. Todasoluçãodo PV. (3.5)-(3.6)podeserestendidaa um intervalo maximal,o qual éaberto. Para demonstrarmosesseteoremaprecisamosdo seguinteresultado: Lema3.6. Sejam pi(x) e bz(x) soluçõesdo P.VI. (3.5)-(3.6)definidas, respectivamente, em intervalosabertos1, e 1, contendoxo. Então by e >coincidemem ly N Is. Demonstração : Temos que 1:= subconjuntoJ de I definidopor | NI J=(xel:pi(x) é um intervalo aberto. O = pa(x)) é obviamente fechado em 1 e também não vazio, pois xo € J. Além disso,J é abertoem I, pelaaplicaçãodoTeorema3.1. LogoJ = 1,onde usamoso fato de um intervalo ser um conjuntoconexo. a Demonstração doTeorema 3.5: Considereo conjuntode todasas soluções Db;do PV. (3.5)-(3.6)definidas em intervalos abertos 1; contendoxo. A seguir,seja| = Ul; e definaumafunção4: | —»IRdoseguintemodo: dadox € I, comox E I; para algum1,defina p(x) = pilx). A função«pestábemdefinidaemvirtudedoLema3.6.Além disso,q) é soluçãodoPV. (3.5)-(3.6),porqueb; o é, e | é aberto.Usaremosa notação| — (w.,w4). Afirmamosque I é maximal,isto é, não existe um intervalo contendopropriamenteI onde o P.V.I. (3.5)-(3.6)tenha solução p. De fato, se houvesse um tal intervalo, este conteria uma das extremidades,digamosw, . Então, pelo Teorema3.1, a solução de yo= f(x,y) Ulm) = plwa) Seção3.2 Existência, Unicidade e Dependência Continua. 59 existiria num intervalo (w, —q,w, +a). Observeque o fato de p ser soluçãodefinidaemw, implicaqueoponto(w, b(w.,)) pertenceao aberto(0). Daí podermosaplicar o Teorema3.1. Concluimosque a função4 definidanointervaloI = (Ww,;w++ q) por plx) para xe(w.,w,) b(x) para xe lwpsw,+a) Da é soluçãoP.V.I. (3.5)-(3.6).Isso é, porémimpossívelpois 1foi a união detodososintervalos abertoscontendoxo, ondeo P.V.I. (3.5)(3.6)tem solução,e I contémI propriamente. B Relação entreafronteira O() easolução(Pdefinida noseuintervalo maximal.A perguntaquemotivaesseitemé: Qual o comportamento de (x, p(x)), quando x se aproxima dos extremos do intervalo maximal [ = (w.,w.). No Exemplo 2 acima, O = Rº,1I = (-00,2) e p(x) — +oo, quandox — 27. No Exemplo4, O é o semiplano x > 0,1 = (0,00) e a soluçãop(x) tendepara o segmento—I<y<1, doeixoy. O quevamosmostraré que(x, p(x)) tendepara a fronteira de O, no sentidoque a soluçãosai de qualquer compactocontidoem OQ. Teorema 3.7. Se b(x) ésoluçãodo P.VI. (3.5)(3.6)comintervalomaximal I= (w.,ws4), então (x, p(x)) > 90 quando x > w. (o mesmo valepara x > w), istoé,dado K C O compacto, existeT < w, tal que(x, b(x)) É Kparax E (T,ws). Demonstração : 1)Se w, = +00,dadoK compactoem€), tome T= sup (x,y)JEk e portanto (x, p(x)) É K sex >»7. X DO PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3 *y Figura3.5 2) Sew, < +oo, dadoK C € temospeloLema 3.4 que o raio q podeserescolhidoo mesmoparatodasas condiçõesiniciais emK. Se (x1,p(x1)) E K, então &pestá definidaem (xy —q,xy + q). Tome T=w,-— q, temos que (x,p(x)) É K sex € (T,w,), porque se xi E (T,w4) e (xy, Pp(x1))€ À, temosque (x) estaria definida em (xi—-q,x,3+a). E como X+4>7PT+AmW,, teríamosumacontradição aofatode | ser maximal. Observação : Este teoremaé importantepara determinarmosse as soluções deumadeterminada equaçãosãoglobalmente definidas,isto é, w, = +oo. Quando(Qcontémo semiplanox>2xo e w+ < +oo, temosqueo Teorema 3.7implicaque|p(x)| — +ooquandox - w,. Dizemosnessecasoque temosum “blowup” para x finito. Consequentemente, se conseguirmos mostrarque |p(x)| fica limitado, entãotemosobrigatoriamenteque p é globalmentedefinida. A observação importantenessesentidoé: Se P'(x) é limitada,então p(x)| não podetendera infinitopara x em intervalosfinitos. No ixemplo 4 acima temos Wy'(x) o cos: é limitada para x>xo > 0, portantotodasas soluçõescomylx9) = Yo possuemintervalosmaximais com w, oo, O seguinteresultadoé de muita utilidade nas aplicações: Teorema 36. Suponhamosque Dsecjaafaixa (x,y): a< x< b] Seção3.2 Existência, Unicidade e Dependência Continua 61 e que f:O —sR seja uma função contínua. Suponhamosque a derivadaparcial fy:O — R sejacontínuae limitada. Então para cada (xo,Vo) € O, existeumaúnicafunçãodiferenciável&: (a,b) > R que é soluçãodoproblemade valor inicial (3.5)(3.6). Demonstração : Basta mostrarquepara cadae > Odado,a soluçãodo problemadevalorinicial (3.5)(3.6)estádefinidaem (a + e,b —€), Sejam K, = maxi|f(x,yo) : a + exx<b — eje Kz = supllfy(x,y)| : (x,y) € O!. Então,peloteoremadovalor médio, f(x, u)|<f(x, vo)|+|f(x,y)—f(x,vo)|<K1 + Kay —vo] e daí, usando (3.7) obtemos ju(x) —vo|<K3 +ko [ Isso implica (vejaLema 3.9 a seguir) Xo uls) —yo] ds. ju(x) —vo|<KseK2X-Xolcconst (3.16) (3.17) o que mostra que wy(x)não tende a infinito. Logo, o intervalo de definiçãoda solução(3.5)-(3.6)é (a + e,b — e). Como E é arbitrário obtemoso resultado. a Lema3.9 (Lema de Gronwall). Sejam «&,p e d funçõescontínuasdefinidas em um intervalo (a,b), tais que B>0 e d+ / Então pe E (3.18) B(s Pe (3.19) Em particularse«(x)= K = const,temos ' ô(x)<K ela Demonstração : Seja d : (3.20) 62 PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 Então w'(x) = B(x)ó(x). E daí, usando(3.18), w'(x)<PB(x)a(x) +Blx)w(x) que podeser escrita como [ww (x)e7 2] <p(x)o(x)e PD ondeB'(x) = B(x). Daí sesegue vofijeBic f B(s)o(s)e PISds, Xo efinalmente ô(x)<a(x) a | Xo B(s)a(sje BlSds, o queimplica(3.19).A verificaçãode (3.20)é imediatautilizando B(s)ed, Pludu + S (e). ora ai O resultado abaixo foi estabelecidodiretamenteno Capítulo 2. Enunciamô-lo,emseparado,poiseleétambémválidonocasodesistemas. E nessecasoa demonstraçãomais simplesé atravésdoTeorema 3.8. Corolário 3.10. Se f(x,y) = alx)y + B(x) onde a e B são funções contínuasem (a, b), entãoas soluçõesde (3.5)estãodefinidas emtodo o intervalo(a,b). Além da questãode existênciae unicidadede soluçãodo P.V.I. (4,5)45.6),paraquea teoriatenhasentidofisicamente,é precisomostrar que as soluçõesdependemcontinuamenteda condiçãoinicial. Vamosestabeleceressapropriedadede modoprecisono próximoteorema. Teorema 3.11.(DependênciaContínua). Mesmashipótesesdo Teorema 3.1, Se rep são soluçõesde (3.5)definidas em [xo,x1],entãoexiste K >Otal que 0) = pal)sipi(xo) =palxo)jeS o) Existência, Unicidade e Dependência Contínua 69 Seção3.2 para todo x E [X0, X1). Demonstração : Dadasas soluçõespy(x) e Pp2(x)de (3.5),definidasno intervalo fechado |xo,x1|, podemostomar O, comono Lema 3.83,e de modoque O, contenhaos gráficos de pj e Ppz. Seja K a constante dada pelo Lema 3.8. ty Xv Como pi (x)—p5(x)= f(x,pilx)) —f(x,ba(x)) segue-se,por integração,que: Pilx) —pa(x)= qrlxo)=dalxo)+[ Portanto, pelo Lema 3.3 XxX Xo [f(s,Pils)) —f(s, Ppa(s))] ds. |bi(x)—da(x)|<|bi(xo) —pa(xo)|+ / Xo Klbi(s))—Pa(s)|ds, de onde, usando a desigualdade de Gronwall (Lema 3.9), obtém-se: Ibi (x)—da(x)|<|pi(xo) —dalxo)JeK 0) Observação : Considereuma soluçãoPo(x) dePV. (3.5)-(3.6),definida num intervalo compacto|xo,X1|,podemosconcluir peloteoremaacima que, para uma sequênciade condiçõesiniciais y, convergindopara Vo = Polxo), as soluçõescorrespondentes Pp (x), que satisfazem (14.5) 64 Propriedades GeraisdasEquações Cap.3 e Pnlxo) = Yyntambém estão definidas nesse intervalo |xo,x1] para n grande, e pn — Po uniformemente em |xo,x1). Para isto, basta considerarOo comouma ô-vizinhança do gráficode po, ((x,Polx)):x E Ixo,x1])s= Oo, e n suficientementegrandetal que ô [Un—Vol <eKIxixol' Nessascircunstâncias,a soluçãoPpn(x)vai permanecerem Og,para Xe Ixo, X1). Sistemas . SejamO um abertodeR”, ] um intervalo de Ref: Jx O > R” uma funçãocontínua tal queas derivadasparciais f,, comrelação às n últimas variáveis são contínuas. Explicitando as variáveis escrevemos f(t, uy)ondey = (Y1,... ,Un). À equação dy 1 = + ,= 1=f(t,y), U= fit,y) SA] (3.21) é um modo compacto de escrever o sistema dy: e = fi(t Ut... oUn) )* a vá us Uma soluçãode (3.21)é uma função diferenciávelp: 1 > O definida em um intervaloabertoI C J tal que p(t) =f(t, P(t)), paratodo tel. (O)problemade valor inicial consiste em, dados bo €EDeto E )J, determinara solução Ppde (3.21)tal que p(to) = do. Um resultado de existênciae unicidadeanálogoao Teorema3.1 é válido neste caso, à demonstraçãosendo formalmente a mesma. Os resultados de extensãodas soluçõestêm formasanálogase demonstrações semelhantes.Deixamosao leitor a tarefadepercorrerosresultadosanteniores para o caso de uma equaçãoe verificar que as demonstrações sãoválidasparaos sistemas(3,21). Utilizaremosos resultadosmencionadosacimanos Capítulos6 e 7 O leitor interessadonum exemplo,poderáver o Exemplo 1 da Secção 6.2. Seção 3.3 3.3. CamposVetoriaise Formas Diferenciais Campos Vetoriais e Formas Diferenciais Um campovetorial F é uma aplicaçãoF:O — Rº de um abertoO do espaçoRº nele próprio. Geometricamente, imaginamosque a cada ponto (x, y,Z) de O está ligado um vetor F(x,uy,z). Exemplo 1. Campo gravitacional geradopor uma massa m colocada na origem. Neste casoO = Rº — (0,0,0), e pela Lei da Gravitação Universal de Newton F(x,U;2) = (- Gmx 73 , Gmy 73 , =) o 1): (3.28) onder? =x? +y? + 2z2,eG é a constantede gravitaçãocujo valor é 6,67 x 107!!'N.m?/kg?. A expressão(3.23)nos diz queuma massa unitária colocadano ponto(x,y, Z)tem sobreela uma forçadeatração dirigida para a origem e inversamenteproporcionalao quadradoda distância dessepontoà origem. Exemplo 2. Campocentraldeintensidadediretamenteproporcionalà distância ao centro de atração. Suponhamosque o centro de atração seja a origem. Então F(x,y,Z) = (—kz,—ky,—kz), k= const. Exemplo 3. O campodeterminado pelaequação diferencialy”= f(x,y) Fix,uy)= (1;TFlx,0)). Exemplo4. Seja V(x,14,Z) uma função escalar V:O — R definida em um abertoO do espaço(x,y,Zz). Se V for diferenciável,entãoo gradientedeV grad V = (Ve Vy, Vez) é um campovetorial. Usa-setambéma notaçãoVV para representar o gradiente. Vx, Vy e V, designamas derivadasparciais de V com relaçãoa x, y e z, respectivamente. Definição . Um campoF:O — |" échamadocampo gradienteseexistir uma funçãodiferenciávelV:OQ)-— IR tal quegradV = É O campo escalar V é chamadoum potenetaldo campoF, e diz-se tambémque 65 6O PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 H deriva de um potencial. [Vê-seque um mesmoF pode ter vários potenciais,masdois potenciaisde um mesmocampodiferempor uma constante]. Condição Necessária paraumcampoF sergradiente.SuponhamosqueF seja um campogradientee que F seja de classeC! (isto é, as componentes P(x,y,Z), Q(x,y,Z) e R(x,y,2z)deF sãofunçõescontinuamente dife- renciáveis).Temos,pois,queexisteV(x,y,z)talque e V, = R. Como F é diferenciável,temos Vxy = U)> Vyx= Va = kk; mos Vyz= Qu: Oz; V«.= P,V, = Q Vas = Pã Voy = Ry. Daí, usandoo fato que as 22º derivadasde V sãocontínuasobtePy = 0x, Pr=Ry. Q= Ry (3.24) quedevesersatisfeitaemtodosospontos(x,1, Z)deO. Então,(3.24) éumacondiçãonecessáriaparaÉ = (P,(Q,R) serumcampogradiente. Será ela suficiente? A respostaé não, em geral; isso se vê no Exemplo 5 adiante,usando o resultado a seguir, Chama-secampofechado àqueleque satisfaça à relação(3.24). Nesta nomenclatura,o que estabelecemosacima foi o fato que todo campogradienteé fechado,e o que perguntamosfoi se todo campofechadoseria gradiente; e o que veremosé que não. Antes de prosseguir,a condição(3.24)expressao fato do rotacional de F ser zero. Lembre que o rotacionaldo campovetorial | (P,Q,R) é um campovetorial definidoassim otEs | SK 2 2]=TR-Q+T(P-R)+K(Q—Pg PP onde E i Y (0, 10)e O Kesão a basecanônicade Rº, isto é, T k = [1.001 (0,0,1), Obviamente, o determinante acima é Seção3.3 CamposVetoriaise FormasDiferenciais 0/ apenasformal: é uma regra mnemônicapara lembrar a expressãodo rotacional. Proposição 3.12. Seja EO — Rº um campogradientecontínuoem O € Rº cujopotencialé V. Seja a(t) = (x(t),u(t),z(t)), t E [a,b] um caminho diferenciávelem O. Então, a integral de linha de HFao longodo caminho « dependeapenasdospontosinicial efinal de x: | F=Ve(d) u(b), 2(b)) — Vila),va),(a) (3.25) Demonstração : Por definição [r=[ b (Fit), v(t),z(t)),(x(t),u(t),z(t)) dt (3.26) onde(, ) designaoprodutoescalardevetoresdoRº. Logo,usandoo fato que F é um campogradiente,vemosque o integrandode (3.26)é Vet), vlt),z(t))x(t) +Volt), v(t),z(t))y(t)+ d +Velx(t),u(t), z(t))z'(t)Eag VbXlt),Ult),z(t)O. (3:27) Consequentemente, (3.25)se obtémde (3.26)e (3.27),usandoo TeoremaFundamentaldo Cálculo. a Corolário 3.13.Se FO — Rº é um campogradientecontínuoemO C Rº então [ P=0 (3.28) para qualquer caminhofechado« em O. Observação . Camposde vetoresaparecemem Mecânica,comopor exemplo,os camposde força. Se F for um campode força, então n integral (3.26)é definidacomosendoo trabalhoda força F aolongodo caminho«. Observequealí seestáintegrandoapenasa componente de F sobrea tangenteà curva: a componente de F, normala &, não trabalha. Um campo de força fechadoé chamadode conservativo. Decorreda Proposição3.15a seguir e da Proposição3.12que todo campoconservativode forças em um domínio simplesmenteconexo 6H PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3 (vejadefiniçãoabaixo)é umcampogradienteequeo trabalhoaolongo de um caminhodependeapenasde seus pontosinicial e final. Exemplo 5. Seja O — ((x,y): pf <x py O campovetorial FO — Rº definidopor y F(x,y)= < p5),ondeO < py < pa. = ro) (3.29) satisfazà condição(3.24).Por outrolado,considereocaminhofechado a(t) = (rcost,r sent), t E [0,27]er fixadoentrep, e pz. Logo,para o campovetorial (3.29),o produtoescalar (3.27)é Tsent 2: (—rsent)+ e daí [r AX —T cost 3 Tcost =—] =-—-27. Portanto,segue-sedo Corolário3.13que F nãoégradiente. À noçãointuitiva de conjunto simplesmenteconexoé a de um conjunto que não contém “buracos”. No exemplo5 acima O não é simplesmenteconexo. Definição . Um conjunto O C R? é simplesmenteconexose qualquer funçãocontínuay definida no circulo unitário yo); x +y=050, pode ser estendida continuamente ao disco, isto é, existe Y contínua Yliouy);x +y<D)>40, tal que Yix,y) = Yy(x,u) se x +y?=1. Na classe dos abertos simplesmente conexos,a condição (3.24), necessária para um campo F ser gradiente, é também suficiente. De- monstraremos esseresultadoapenaspara o casodecamposvetoriais planos.Antes,porém,estabeleçamos o seguinteresultado,o qual é a recíprocado Corolário 3.13, Proposição 3.14.Seja FO =IR“um campovetorialcontínuoem O C WE,tal que (3.28)se verifica. Então F égradiente. Seção3,3 CamposVetoriaise FormasDiferenciais 69 Demonstração : Fixe um ponto (xo,U0,Z0) € O. Dado (x,y,z) € () existemcaminhos «(t) = (x(t),uy(t), z(t)), O<t<1,em O e tais que x(0) = XO0; u(O) expressão = Vo; z(0) = Z0, x(1) = X, u(l) = U, z(1) Voswz)= | F =2z À (3.30) AX define univocamenteV pois, por hipótese,a integral de linha no segundomembrode (3.30)independede «, dependendoapenasdospontos inicial e final de «. Para mostrar que V é um potencial para F, tome um caminho « que chegaem (x,y,Z) paralelamenteao eixo x, istoé, o segmento ligando(x —h,y,Z) a (x,u,Z) pertencea «. Logo de (3.30)obtemos: Víx,y,z)— V(x—h,y,z) =/ x—h P dx. Dividindo por h e passandoaolimite quandoh > 0, obtemosV, = P. RaciocínioanálogoparaprovarV, = Q e V, =R. a Proposição 3.15.Seja O um abertosimplesmenteconexonoplano. Seja FO > Rº um campovetorialdiferenciávelfechado.Então F égradiente. Demonstração: Basta mostrar quea condição(3.24)implica (3.28).Sem perda de generalidadepodemossupor que x é um caminho fechado simples (isto é, sem intersecções):seja D o aberto delimitado por «. À hipótesede « ser simplesmenteconexoimplica que a fronteira de D é «. O teoremadodivergentenosdiz que [= [ av-a) ondediv(—-QO,P) = —Q,+ Py. Portanto,usandoa condição(3.24) obtém-se(3.28). a Métodopráticoparaobtenção dopotencial . Suponhaque F = (PQ) (0) Rº seja um campodiferenciávelnum domínio simplesmenteconexo OQ,e satisfazendoà relação Pyulx,y)= Quix,y), (x,y) € O, (9,24) /O PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 Pela Proposição3.15,sabe-seque existe um potencial V(x,y) para F. Como determiná-lo? logo Em primeirolugar,observamos queV deveser tal queVy = P; Víx,y) = [ Pre ulax+ g(y) (3,91) onde o primeiro termo no segundomembrode (3.31)é qualquer primitivadeP comrelaçãoa x, e g é umafunçãoquedeterminaremosde modoa atenderà outrarelação:V, = Q. Paraisso,derivando (3.31), obtemos e daí Voley) =[Ped g'(y)—ley) g'(y) —| Poly) ds. (3.32) Exemplo 6. Seja F(x,y) = (e”,xe” + 2y) um campovetorial definido emtodoo R2. É imediatoverificarqueestecamposatisfazà condição (3.24); e comoestá definido em um domínio simplesmente conexo, temos que ele possue um potencial, V(x,y). obtemos Víx,y) = [y e daí Logo, como V, = e”, dx+g(y) = e?x +g(y) Vulx,u)=ex + g'(y). ComoV, = xe” + 2y, obtemosqueg'(y) = 2y. Portanto,podemos tomar g(y) = y?. Concluímosque um potencialpara F é Víx,y) = e!x +y?. Comomotivaçãopara o estudodeFormasDiferenciais,observamosque as equaçõesseparáveis, SAULO) g(y)' estudadasnoCapítulo2, e as equaçõesda forma Ni uly +M(x,y) =0 Seção3.3 CamposVetoriaise FormasDiferenciais que serãoestudadasainda nestecapítulo, sãoem geral apresentadas como g(y)dy= f(x)dx M(x,uy)dx+ N(x,y)dy (3.39) =0. (3.34) Essas formas evidenciamcertas peculiaridadesdessasequações e tornam mais automáticosalguns procedimentosde integração.Há, pois, uma vantagem em estudá-las. Entretanto, põe-se imediatamente a questãode saber o que realmente significam as expressões (3.33) e (3.34), uma vez que elas não são equaçõesdiferenciais no sentidoqueatéaquitemsidoconsiderado.Formalmente,a coisafunciona se olharmos dy/dx comoo quocientedas expressõesdy e dx. Um espírito matemáticoaceitaráo formalismo,e tirará vantagens dosprocedimentosformais se entendero seu sentido corretoe sentir quetodoselespodemserjustificados. E é isso quepretendemosfazer nesta secção. Formas lineares emR?. Umaformalinear emRº?é uma função(:R? R tal que tlax + bB) = alla) + bl(B) (3.35) onde a e b são números reais e « e B são vetores de R?. Um vetor « = (x1,x2) deRº podeser escritocomo xa=wetazez onde ey=(1,0), ee =(0,1). (3.36) De (3.35)e (3.36)decorreentãoque uma forma linear º fica determinada se conhecermos((e1) e f(e>),pois tax) = osf(ey) + aot(es). (3.37) Definamosduas formas lineares especiaise!] e e? pelas relações | eau o | e(e)=0 1 ui e (ea) = (3.98) eMesj=1. À expressãoq) e! +a>e2,onde a, e az são números reais dados,define umaformalinear: aquelatal que (aje! + qe”) (e1) = 01, (are! + qe”)(e>) as. 7] PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3 4vemos,reciprocamente,quequalquer forma linear ( é dessaforma, isto é, = are! + ae”, onde ay=tt(ey)ea,= (e). (3.39) O conjuntodas formas linearesé, então,um espaçovetorial de dimensão2, chamadoo espaçodual de R? e designadopor (R?)*. Os elementosde (R?)* sãochamadosde covetores.Os covetorese! e e? formamumabasede (R?)*. Formasdiferenciais emR? . Seja O um aberto de R?. Uma forma diferencial é uma funçãow: O > (R?)*. Usando (3.39)podemosescrever ue = wi(x,y)e! + w>(x,y)e? (3.40). onde as funçõesw;:O — R são as componentesda forma w. Uma formaé declasseC”, r inteiro >0,se as componentes foremfunções diferenciáveisaté a ordem r. |O que introduzimos aqui foi o conceito de forma diferencial de grau 1, ou 1-forma. Pode-sedefinir formas diferenciaisde grau > 1,mas para nossospropósitosas 1-formassão suficientes. Por uma questãode economiade linguagem,chamamos essas1-formassimplesmentedeformas].Se « = (x1, «2) é um vetor de Rº, então,decorrede (3.40)que [o(x,ulla = wr(x, uy) + wa(x,y)az. (3.41) Exemplos deformas. (1)Forma constanteé aquelaem que as componentes são constantes. (ii) dx:O > (R?)* é a formaconstantecujascomponentesw e «ww; são 1 e 0, respectivamente:dx = 1.e!+0.e? = e!. Assim, se a (1,0%) é um vetordeRº, então(dx)(«) = «q. (ii) dy:O > (R?)*éa formaconstante:dy = 0-e!+1.e?= e?, Assim (dy)(a) = «2. Decorredos exemplos(ii) e (iii) acima e de (3.40)que qualquer formadiferencialw podeserexpressacomo qv = wy dx +w2 dy. (3.42) Por definição,somam-seformasdefinidas em um mesmoaberto () somando-seas respectivascomponentes.E, também,multiplica-se Seção3.3 CamposVetorlais e FormasDiferenciais 73 umaformaw: O > (R?)* porumafunçãof: O — R multiplicando-se as componentes de w por f. Definição . Dada uma funçãodiferenciávelf:O — R define-sesua diferencial df: O — (R?)* comosendoa forma diferencial cujas comof,€ 3,of Assim ponentessão 5, of of (df)(x,y)= => (x, y )dx+— bey)dy Ox Oy (3.43) ou mais compactamente df = fe dx + ty dy. (3.44) É imediatoverificar-seda definiçãoque d(f + 9g)= df+dg d(fg) = fd o o Õ, des df = const. df = Oimplicaf = const,seO for conexo. (ed) Definições . Uma forma diferencial w:0 > (R?)* é exata se existir O — R tal que w = df. Comparecoma definiçãode campo gradiente; uma forma é exata se e só se o campovetorial associado (wi(x,uU),w2(x,y)) for um campogradiente.Uma formadiferencial é fechadase dw1/dy = dw2/0x; portanto,uma formadiferencialé fechadase e só se o campovetorial associadoé fechado. Decorredas definiçõese observaçõesanterioresque 1.Se O for simplesmente conexo,umaformadiferencialw:O > (R?)* é exatasee só seela for fechada. Definição . Dada uma formadiferencialw:O > (R?)* de classeCº e umcaminhodiferenciável «: |a,b] > O, define-se a integraldew ao longo de x por [w=[ a b “q wla(t)la'(t) dt onde o integrando da segundaintegral tem o sentidoexplicitadoem (3.41)acima. [Portanto,a integral de w aolongode « é igual a integral do campo vetorial (wy(x,U), w2(x,U)), associado a w, ao longo de «| [4 PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 Portanto,decorredas Proposições3,12e 3.14que . . !. Um forma diferencial w:O ) s , — (IR“)* é exata se, e só se, ds D=l para todosos caminhosfechados« contidosem OQ, Voltaàsequações (3.33)e (3.34).Em primeiro lugar, escrevendoa equação (3.33) como flx)dx —glyldy=0 vê-seque o primeiro membroé uma diferencialexata. De fato, ela podeser escrita como dF=0, onde Fly) = | Hoddx— [ o(ujay, e,portanto,assoluçõesy(x) de(3.33)sãodadaspor Flx,y(x))= emconsequência de (3.45)acima. Quanto à equação(3.34): M(x, y)jdx + N(x,y)dy =0 casoo primeiromembrosejauma diferencialexata,entãoela sereduz a dF=0, onde Fr=Mefl,=N, e daí F(x,u(x)) =. Caso a diferencial em (3.34)não seja exata,procura-seum fator integranteu(x,uy),isto é, umafunçãotal que uM dx + u N dy seja uma diferencialexata. Vamosestudar as equaçõesdo tipo (3.34) commaisdetalhesna próximasecção. J.4. EquaçõesExatas Nesta secçãoconsideramosequaçõesdiferenciaisda forma Nx uy +M(x,y) =0, (3.46) ondeM,N:t) -»IRsãofunçõesdefinidasemum abertoconexoO do plano(x,14).SupondoqueM e N sãofunçõesdeclasseC! eN(x,y) £ Seção3.4 EquaçõesExatas Oparatodo(x,y) € O, essaequaçãose reduzaotipo y' = f(x,y), para a qual já temosuma teoria de existênciae unicidade de solução do problemade valor inicial. De fato, nós a utilizaremos no decorrer destasecção. Dizemosquea equação(3.46)éexataseo campovetorial(M, N) deriva de um potencialV(x,y), isto é, V« = Me V, = N. Assim, a equação(3.46) pode ser escrita como Vulx,u)y' +Valx,y) = 0. (3.47) Logo,sey(x) for umasoluçãode (3.46),obtemosde(3.47): +Vls ul) =o0, d ou seja,u(x) é soluçãoda equaçãoalgébrica Vix,vylx))=, (3.48) onde c é uma constante,a qual pode ser obtida se utilizarmos um ponto(xo,Yo) por ondea soluçãoy(x) passe;assimc — V(xo,UVo). Issoquerdizerqueosgráficosdesoluçõesda equação(3.46),traçados noplano(x,y), estãocontidosnascurvasdeníveldafunçãoV(x, uy). Observeque a equação(3.46)podeser exata sem que M e N sejam de classe C!, Entretanto, se M e N forem de classe C! num domínio simplesmenteconexo,a condiçãopara (3.46)ser exataé que My = Nx, comovimos na secção3.3. Uma funçãoV(x,y) tal que(3.48)severificaparaassoluçõesy(x) da equação(3.46)é chamadauma integral primeira para a equação (3.46). O queprovamosacimafoi quese(3.46)for exata,entãoelapossue uma integral primeira. Consequentemente,um métodode obtenção de soluções de equações exatas é descobrir uma integral primeira Voy). Exemplo 1. Considerea equação (x? +4y)y' +(2xy + 1) =0. (3.49) NestecasoN(x,y) = x? +4y e M(x,y) = 2xy + 1. LogoNy = My e consequentemente(3.49)é exata. Basta pois determinar o potencial 75 76 PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 de (M, N): Vix,y) = [xy + Ddx+ g(y) =xºy +x+g(y) e daí xX+4y=V,=x+9'(y)> g(y)=2y”. Logo V(x,y) = x2y + x + 2y?. Portanto,as soluçõesy(x) de (3.49) satisfazema xuy+x+2y2=C, ondeC é umaconstantearbitrária. Exercício 1 . 1)Integre as equações (x2+Ny'+2xy-x2=0 xy +y=0. ii) Estudeos oitoproblemasdevalor inicial para as equaçõesacima: v(0)=,uy(D)D=1],yl-)=ley(-|)=-1. Exercício 2. Resolva as equações 2 (er s)u+u-o y (cosx sec?y)y' —(senxtgy + 1) =0 (x+2yº)y' +(y—2x))=0. Observação . À equação xy —y=0 (3.50) nãoé exata, Entretanto,as soluçõesy(x) destaequaçãosatisfazem à relaçãoy/x = c, o quepodeser verificadodiretamente.E também imediatoque V(x,y) = y/x é um potencialdo campo(—y/x2,1/x). A equaçãocorrespondente a estecampoé Fars u U 5 X x =), (3.51) Seção3.4 EquaçõesExatas 7/7 Vê-seque a equação(3.51)é resultadoda multiplicaçãode (3.50)pelo fator 1/x2. Este é um exemplo em que uma equação não exata é transformadaem uma equaçãoexatapela multiplicaçãopor um certo fator. Quão geral é essasituação?A questãoé, então,a existênciade umfator integrantepara a equação(3.46),isto é, uma função(x,y) tal que uNy+uM=O0 seja uma equaçãoexata,isto é, exista uma funçãoV(x,uy) tal que Ve = EM e Y4 = uN. No caso em que M e N sejam de classe C!, entãoumafunção(x,y) declasseC! seráum fatorintegrante (lembreO é simplesmenteconexo)se (uM)y =(UN) ou seja 1 (No (3.592) Muy)=My—No (2.58) Observe que (3.53) é uma equaçãodiferencial parcial, pois envolve derivadasparciaisde u(x,1y).Sua soluçãonemsempreéfácil. Entretanto, tudo quenecessitamosé uma soluçãoparticular de (3.53)e não sua soluçãogeral. Em muitas situações,esseproblema é bem mais simples,comoveremosnos quatro exemplosa seguir. Exemplo 2. Suponhaque (My — Nx)/N seja uma funçãog(x) de x apenas. Então, podemosdeterminar um fator integrante u(x) que é funçãodex somente;defato,decorrede (3.53)que 4 é soluçãode Idu My—Nk u dx No isto é, u = eS!X)ondeG(x) = [ g(x) dx. Considereo exemplo (xy =x)y' +y=o0. Temos, então, M(x,uy) = uy,N(x,1) x2y —xe My—Nx 1-(2xy-1) N X*y —x 2 76 PropriedadesGeraisdas Equações Logo Cap.3 1d. de ondeobtemos udx x u(x) = x? Exemplo 3. Se (My —Ny)/M for uma funçãof(y) dey apenas,então (3.46)temum fator integrantequeé funçãodey somente.Nestecaso, u(y)=e-FIv)onde F(y)=[ f(y)dy. Exercício 3. Ache os fatores integrantesdas equaçõesabaixoe realize as integrações: (3x2 —y?)y'—2xy =0 (xº—xy)y' + (xy—1)=0. Exemplo4. Se My —Nx Ny —Mx for uma funçãoh de z = xy, então (3.46)tem um fator integrante | quedependede z : u(x,u) = fl(Z). E fácil ver que io] = eHtz) onde H(z) = fz) dz. Exercício 4. Encontre o fator integrante de (3xy! +x)y' +y=o. Exemplo 5. Se M(x,uy) e N(x,y]) sãofunçõeshomogêneas de mesmo grau, então 1/(Mx + Ny) é um fator integrante para (3.46). Lembre queM é homogênea degraup se M(Ax,Ay) =APM(x,y) há para qualaquerx e y reaise À >»O. Derivando(*) comrelaçãoa À e depoisfazendoÀ — 1obtemos PM (x,y)= xMalx,y) +uMy(x,y). Seção3.4 EquaçõesExatas A seguirverifiquequeo campo(M/(Mx + Ny), N/(Mx + Ny)) é fechado.O leitor podeindagar do processoqueconduziu à descoberta dessefatorintegrante.Vejaa continuaçãodoExemplo5maisadiante. 3.4.1Um métodopráticode integraçãode equações(3.46) O conhecimentodediferenciaisdealgumasfunçõespodeserexplorado para integrar equaçõesdo tipo (3.46). Comecemospropondoao leitor queverifiqueas seguintesexpressõespara as diferenciaisde algumas ' funções (1) d(xº) = axº—!dx (1) d(xy) = xdy +vydx ... vdx-—-xd (iii) a(2)x) =1 *0u “(iv) d(x2+vy?) =2xdx+2ydy (w)d(tnã) =udxxdy . (vi) d(arctg %1 =) UAE—RAY DO Vejamosalguns exemplos. Exemplo 1.À equação udx + (xy —x)dy = O podeser escrita como xy dy —(xdy —ydx) = 0 que dividida por x? dá viy- xdy — ydx 5 — =0. Usando 1)e iii) temos (8) e daí obtemosa integral primeira a(7)=0 79 DO PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3 Exemplo 2. À equação vdx+(1+yê-x)dy =0 podeser escrita como vdx-xdyu+(I+yi)dy =0 quedivididapor y? produz ydx —xdy +y ?dy+dy=o. y2 (5) val) ras Usando-se 1)e iii) obtemos e portantoas soluçõessãodadaspor sa -—--+y=e. UU uy Exercícios . Integre, comonos exemplosacima, as equações udx —(x + xy )dy = 0 (yu+ +x*y?)dx—xdy =O xdx+udy = Vx2 +uy? dx (x—u)dx+ (x +u)dy =0. 34.2 Existênciado Fator Integrante Mostraremosquese M e N foremdeclasseC! emO ese N(xo,Uo) + O num ponto (xo,Vo) € O, então existe um fator integrante numa vizinhançade(xo,Vo). De fato, em virtude da continuidadede N(x,y), existe uma vizinhança (o de (xo, yo) onde N £ O. Logo a equação(3.46) pode ser escrita como (x,y) € Oo. (3.54) Seção3.4 EquaçõesExatas 81 Pelo Teoremade Existência e Unicidade de soluçãodo problema de valor inicial, a equação(3.54)comcondiçãoinicial ulxo)= E, (2.55) onde£,é tal que (xo,€) € Oo, temuma soluçãoúnica U=q(x,E) (2.56) ondeexplicitamosna soluçãoa sua dependênciada condiçãoinicial €. Suponhamosinicialmente que a equação(3.46) tenha em uma vizinhança de (xo,yo) uma integral primeira u(x,y), tal que Uy(xo,Vo) £ O. Seja co = u(xo,Vo). Assim, para c numavizinhança de co, tem-seque uma soluçãoP(x, E) de (3.54)comu(xo, E) = c é tal queu(x, P(x, €)) = c. Logo Uxlx,d(x,E))+uylx,dlx,E) (x, E)=0. (3.57) Mix,p(x,E) + Nx, dlx,E))b'(x,E) =O (3.58) E como concluimosque us M uy N numa vizinhança de (x9,4o). Daí se segue que u Logo, u = uy/N Uy n N M. | (3.59) . é um fator integrante, pois (3.57) é obtida de (3.58) multiplicando-a por pu.E (3,57)é uma equaçãoexatacomodefinimos acima. B2 PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 ge É X0 Xv Figura3.7 À seguir, provamos que a equação(3.46)sempre possue(localmente)uma integral primeira. De (3.56)se segueque €,= Plxo,€) (3.60) a qual derivadacomrelaçãoa É nosdá dep ” de 00»8) =1, |A bemdaverdade,nestepontoestamosutilizandoofatoquea solução de um certo P.V.l. é diferenciável com relação ao dado inicial. A demonstraçãodessefato fogeum poucoao caráterelementardenosso estudo.O leitor insatisfeitopodeconsultar,porexemplo,J. Sotomayor, Lições de EquaçõesDiferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, 1979.) Dai, concluímos,que usandoo Teoremadas Funções Implícitas, que É,podeserexplicitadana equação(3.56): E =p(x,y) (3.61) y =pix,b(x,y))) (3.62) o queé válidonumavizinhançade (xo,Vo). De (3.56)e (3.61) para todo[x,1) numavizinhançade (xo,Vo). Logoderivando(3.62) com relação a 1 obtemos dpdp õE dy (3.63) Seção3.4 EquaçõesExatas oqueimplicapy(xo, Vo) £ O.Logo(x,y) éumaintegralprimeirada equação(3.46).Observequeo gráficodasoluçãob(x, E) estácontido na curvadenível ip(x,y) = é. Comentário . O que acabamosde mostrar foi a existêncialocal de um fator integrante. Observe entretanto que a expressãodo fator integrante, u = 1py/N, não é útil, em geral, para efetivamentese obter o fator integrante, pois ela envolve,via (3.56) e (3.61), a resolução ' da equaçãodiferencial(3.46).Ora, a utilidadedo fator integranteé precisamentepara resolveressaequação.Portanto,emborasaibamos que as equações(3.46)têm um fator integrante,o métododo fator integranteé de aplicaçãorestrita, pois,emgeral, não conhecemosquem ele é. O métododo fator integranteé útil nos casosdos Exemplos2, 3 e 4 da secção3.4 acima. Já no casodo Exemplo 5, da referida secção, o métodode reduçãoa uma equaçãoseparávelé bemmais natural. Exemplo 5 (Continuação).A equação(3.46),no casode M e N serem funçõeshomogêneasdo mesmograu, pode ser transformada numa equaçãoseparávele, então,integrada explicitamente,veja Exercício 7 do Capítulo 2. Basta introduzir uma novavariável dependentez =y/x. Daí y' = xz' + z, quesubstituídoem (3.46)dá, apósusar a homogeneidade: N(1,z)(xz +27)+ M(1,z) =0 ou seja Mile +INtLa? Tx O N(1,2z) / ] o eia, Supomosquexo M(xo, Yo) +YoNíxo,Uo) £ 0 e xo > 0. Integrando (3.64)e voltando à variável uy: F(1) » ink =E (3.65) ondeF(z) é umaprimitivada funçãocoeficiente dez”em(3.64).Logo, a função no primeiro membrode (3.65)é uma integral primeira de 89 H4 PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 (3.46). Pelo que vimos antes,então,o fator integrante procuradoé H(x,y) , = RE N dy (=) àx 1 N(T,y/x) Nou) M(T,y/x)+(y/x)N(,y/x) de ondese segue,em vista da homogeneidade,que ] x ] (x,y) = Mx + Ny como queríamos provar. 3.5. FamíliasdeCurvasPlanas As soluçõesy das equaçõesexatas Níx,u)y' + M(x,y) = 0 (3.66) foram obtidasna forma implícita VIR = E, (3.67) onde c é uma constantearbitrária. Para cadavalor de c temosuma curvanoplano(x,y). Por exemplo, as soluções deyy' + x = 0 são dadas na forma Zsyi=e, assimparacadavalor dec > Otemosum círculoderaio ,/c centrado na origem. Observe,pois, que,para um mesmoc, podemoster mais de umasoluçãoy(x) dadapor(3.67).A expressãodefineumafamília de curvas a um parâmetro. Em geral, uma família de curvas a um parâmetroé definida por TX, UA) =D (3.68) onde EO) =xA > R é uma função diferenciável,O é um aberto do plano (x,y) e À é um intervalo da reta. Poe-se a seguinte questão: dada uma família de curvas (3.68) a um parâmetro, existe uma equaçãodiferencial para a qual essa família representesuas soluções? Iniciemoscomo estudode exemplos. Seção3.5 FamíliasdeCurvasPlanas 85 Exemplo 1. Família de retas paralelas a uma reta dada: fix,uy,A)=uyu-mx-A=0 (3.69) onde mestá dado, AE A =R, (x,y) € O = Rº. Derivando (3.69) comrelaçãoa x obtemos y'=m e é essaa equaçãocuja família de soluçõesé dada por (3.69). Exemplo 2. Família de parábolas o) E )(2x +! fixy,AN)=uy—-ZX]-A=Õ0; + ondex,y,A € R. Derivandocomrelaçãoa x obtemos y'—4)x=0. EliminandoÀ entre(3.70)e (3.71)obtemos (3.70) (3.71) (2x2+1Wy' —4xy=0 que é a equaçãocujas soluçõessão dadaspor (3.70). Exemplo 3. Família de círculos de raio 1 centradosno eixo-x x=A+cost, vy=sent, que podeser escrita implicitamentecomo O<t<27r, fls,y,A)=(x-A)2+y?-1=0. (3.72) Derivandocomrelaçãoa x, obtemos 2(x-N) +2yy' =0. Eliminando À entre (3.72)e (3.73),temos v(1+y?)-1=0. (3.78) (3.74) “omonos casosanteriores,as curvas(3.72)sãosoluçõesde(3.74).Entretantonestecaso,há soluçõesque nãoestãoincorporadasem(3.72): de fato y(x) = Te y(x) = —1são outras duas soluçõesde (3.74). A terminologia clássica é a seguinte: as soluções(3.72)são chamadas regularese y(x) = Te vy(x] | são chamadassoluçõessingulares. Observe que essas duas últimas soluçõessão as envoltóriasda DO PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 família de círculos; logo mais, definiremos envoltória e voltaremos a esta discussão. Exemplo 4. Família arbitrária deretasda formay = Ax + g(A),A > 0. Neste caso fixuy,A)=y—Ax—g(A)=0 (3:75) ondesupomosque g éumafunçãodeclasseC?. Derivandocomrelação ax: uy-A=0. (3.76) Eliminandoentre(3.75)e (3.76)obtemos y—xy'—g(y') =0. (3.77) A equação(3.77)é conhecidacomoequaçãode Clairaut. Como nos casosanteriores,as curvas(3.75)são soluçõesde (3.77).Entretanto há uma outra: a curva dada em coordenadasparamétricaspor x=-g9 (A), v=-Ag'(A)+glA). (3.78) Para verificar essa assertivabasta provar que dy/dx = A. Como veremos mais adiante, a curva (3.78) é a envoltória da família (3.75). Exemplo 5. Família de Círculos fix y, A) =(x=21)º+y*-N2=0. (3.79) Derivandocomrelação a x obtemos 2(x—21)+2yy' = 0. (3.80) EliminandoÀ entre(3.79)e (3.80)temos 3uy” (uy)?—2xyy!444" —2 = 0. Como antes,as curvas (3.79)são oiço voltória da família (3.79)dada por y? = (3.81) de (3.81),bem comoa enx. Métodoutilizadonos exemplosacima Dada a família de curvas(3.68),derivamosf comrelaçãoa x, e formamoso sistema flx,y,A)=0 FAX y, A) =0 (3.82) Seção3.5 Famílias deCurvas Planas 87 de ondeeliminamosÀ. Usando o Teoremadas FunçõesImplícitas vê-seque a condição Talk,D,A) EO (3.83) possibilitaa explicitaçãodeÀ em(3.68):À = p(x,y); substituindo-se essa expressãode À em (3.82)obtemosa equaçãodiferencial procurada, Exercício1. Obtenha as equaçõesdiferenciais correspondentesàs famílias de curvas: (1) y=Ae”* (11)y=Ax+sen(A+1) Gi) E +to=] 2 (1v) Família de todas as retas passando pelo ponto (a,b) (v) Família detodasas retas cujosegmentocompreendidoentre os dois eixosé sempreigual a 1. 3.5.1Envoltóriade umafamíliade curvas Seja dada uma família de curvas C, dada por (3.68);supomosque, para cada À, a curva correspondentetem tangente,o que quer dizer que o vetor normal [io UA), ERA] ED (3.84) paratodos(x,y, A) tais que f(x,y,A) = 0. Define-seuma envoltória da família (3.68)comosendoumacurvaemcoordenadasparamétricas (x(A),u(A)) talque f(x(A),u(A),A) = 0 X(A)felx(A),VÍA),A) +U(A)fylxlA),U(A),A) =O (3.85) (3.86) ondex = dx/dA. A condição(3.85)diz que para cada À, o ponto (x(A),y(A)) pertenceà curva C» da família (3.68).A condição(3.86) diz quenaquelepontoa envoltóriaea curvaC, têma mesmaretatangente.A seguintecondiçãoé suficientepara a existênciadeenvoltória da família (3.68) Eetdy = fufaxÉ O. (3.87) BO PropriedadesGeraisdas Equações Cap.3 De fato, considere o sistema T(x,y,A) = O Estou, AT = 3.88 es) A condição(3.87)nos garanteatravésdo Teoremadas FunçõesImplícitas que existeuma solução(x(A),u(A)) dessesistema. Logoesses x(A) eu(A) satisfazem(3.85),quederivadacomrelaçãoa À produz WA)felx(A), UlA),A)+ HUM)fybelA), VÍA),A)+falxiA),VÍA),A) =0. (3.89) Em virtudede(3.88)o últimotermode (3.89)é zeroe portanto(3.89) implica(3.86),o que mostraque (x(A),u(A)) é uma envoltóriada família C No Determinaçãode envoltóriasde algumasfamíliasde curvas 1. A família do Exemplo 3: fixyAM)=(x-A)2+yê-1=0 fale,y,A) =—2x— A) =). EliminandoÀnessesistemaobtemosy? = 1,oquemostraquey(x) = levyl(x) = —l sãoduasenvoltórias. 2. À família do Exemplo 4: fo,uy,A)=y—Ax—g(A) =0 falx,y,A)=—-x—g'(A)=0. Logo, à curva em coordenadasparamétricas, x=-g9(A), v=-Ag'(A)+g(A), é uma envoltória. A família do Exemplo 5: fixuyA)=(x=2A)2+y2-A2=0 falx,vd) m=d(x— 2A)- 21 =0. Eliminando À no sistema acima obtemosy? = 1x2, Logo as retas V=x/V3ey =-x/ V3 são envoltórias. 4. Generalização doExemplo 4. Sejam g:A > Rº ev: A > Rº funções diferenciáveis,com|V(A)|= 1 para todoÀ € A. Considerea família deretasg(A)+ tv(A): x=gi(A)+tvilA), onde “Rm (91, 92) Ev u=ogz(A)+tvalA), (3.90). = (vi, V2). Se vi(A) £ 0, essa família pode ser escrita na forma (3.75). De fato, eliminado t em (3.90), obtemos lu—ga(A)lvi(A) =[x—gi(A)lva(A) e daí valA) x+ “wma? == va(A) gi(A). vi(A) ga(A) - (3.91) AgoraÀ podeserexplicitadoemvz(A)/vi(A) = cse viv5 —vv £0, oquedecorrede|v(A)|2= 1.Daí (3.91)seescreve naforma(3.75). O problema pode ser tratado sem reduzir ao Exemplo 4 do seguinte modo: provaremos,inicialmente, que a família (3.90)tem uma envoltóriasee sóseexistiremfunçõesdiferenciáveisP(A) exb(A)tais que 9(1) + (NV (A) +(A)V(A) =0. De fato,se «(A) = (x(A),y(A)) for uma envoltória,temos (3.99) a(A)=g(A)+t(AJVÍA) e daí (A) =g(A) +t(A)v(A)+t(A)V'(A) e como«x(A) = a(A)v(A] para algum a(A), (issoé a condiçãode que as retas tangentesà envoltóriae à curva C» sãoas mesmas),obtemos a expressão (3.92) com P(A) = t(A) ep(A) = t(A) — a(A). Por outro lado, se (3.92)se verifica, considerea curva a(A) = g(A) + P(AJv(A) e provemosque ela é uma envoltória. Basta calcular o” e usar (3.92) para mostrar que (A) = (q(A) -ap(A)Jv(A). DO PropriedadesGeraisdas Equações 3.5.2. Cap.3 Trajetóriasortogonais Duas curvasdadaspor y = p(x) ey — p(x) quese interseccionamno ponto(xo,Vo) são ortogonaisse suas retas tangentesnaqueleponto são perpendiculares,isto é, b'(xolp'(xo) =—1, (3.98) onde supomosque 1)”e Pp”não se anulam. Se as curvas são dadas emcoordenadas paramétricas, istoé, a(t) = (ay(t), «z(t)) e B(t) (Bi(t), Ba(t)) sãoas curvas,então(3.93)tomaa forma oi (to)Bi(to)+ as(to)B5(to) = 0. Duas famílias de curvas f(x, y,A) =) e g(x,y, E) = À) sãomutuamente ortogonais secada A-curva é ortogonal a toda u-curva que ela intersecciona. Dada uma família de curvas f(x, y,A) =0 (3.94) um modo de obter uma outra família a ela ortogonal é o seguinte. Pelos métodosanteriores,obtenhainicialmente a equaçãodiferencial paraa qual essascurvassãosoluções: FRUU)=0 (3.95) A seguir defina a função Gt Up) =F (ui) (3.96) e obtenhaas soluçõesda equaçãodiferencial: G(x,y,uy”) =0. (3.97) Essas soluçõesconstituemuma família de curvas gix,uy,H)=O (3.98) Seção3.5.2 Trajetórias ortogonais 91 queé ortogonalà família f. De fato,seuy= p(x) é uma u-curvaentão ] (66079) o o que quer dizer que se y = (x) é a A-curvaque passapeloponto (x, P(x)), então ou seja (3.93)está satisfeita. Exemplo 6. Considerea família de círculos * py-y =, (3.99) À equaçãodiferencial cujas soluçõessão dadaspor (3.99)é uy +x=0. Para obter a família ortogonala (3.99)considerea equação —V= ] y +x=0 cujas soluçõessão y = ux. Portanto, as retas através da origem formamuma família ortogonalà família de círculos (3.99). Exemplo 7. Considerea família de parábolas v—-2Ax]-A=0. À equaçãodiferencial correspondenteé (2x2+ WDy' —4xy = 0. Para obter a família ortogonala (3.100)considerea equação ] —(2x* +Dy —4xy =0, cujas soluçõessão 2yº = x*— (nlx| = + Essa é a família ortogonal a (3,100), (3.100) PropriodadesGeraisdas Equações Cap. 3 Exercício2, Determine familias ortogonais às seguintes famílias de curvas (D) y=Ax" (1) x = xy" = À MD uy = in(Ax). Exercício 3. (a) Mostre que a expressão X 2 y 2 SFA" BIA | a>b>o0 define: (i) uma família de elipsescofocais(i.e.,todasas elipsestêm os mesmosfocos)se À > —b?; (ii) uma família de hipérbolescofocaisse a? <A<—b2 (O que ocorrese À < —a2?) (b) Mostre que a equaçãodiferencial correspondentea essasfamílias de curvas é: E ds x -y-a2+b? XU uy E ] ga O. (c) Observandoque a equaçãodiferencial é invariante pela mudançadey' por —1/y', concluaque a família de curvas para À > —a? é auto-ortogonal(sentidoóbvio!). (d) Mostre que a família (1)é ortogonalà família (ii). Exercício 4. Uma família de curvas (3.98)interseccionandouma outra família (3.94)comum ângulofixo O é chamadadefamília isogonal com(3.94).Se (3.95)é a equaçãodiferencial correspondenteà família (3.94)mostreque a equaçãodiferencial correspondentea (3.98)é P (uu VU —tg O 1 E y't 5) =(9, 4 Equações Diferenciais de Segunda Ordem As equaçõesordinárias, emparticular, as equaçõesde segundaordem nasceramjuntos com a Mecânica. Visando formular problemas relovantes,desenvolveremos nas aplicaçõesum poucoda dinâmicade umapartícula,doosciladorharmônicoedoscamposcentraisdeforças. Assim,paranós,a soluçãodeumproblemanãoé apenasumafórmula ou uma função,mas antes,algopleno de significadoe de informações sobreo fenômenoqueestamosconsiderando.Por outrolado,para uma análise adequadade problemasaplicadosé imprescindívelter um conhecimentomatemáticoadequadopara estudá-los. Desenvolvemos essa matemáticanas duas primeiras secçõese dedicamosas demais às aplicações.É animador sentir que problemasrelevantese difíceis recebemum tratamento simples e completocomas ferramentasmatemáticasaqui introduzidas. SegundoA. Engel, a matemáticadeve ser ensinada comouma ciência fundamental, que fornece os meios indispensáveisde raciocinar e técnicaspara tratar como mundoreal: “o mundofísico e o mundo criado pelo homem”. 41. Equações Linearesde SegundaOrdem Sejamp,q,f:(a,b) — R funçõescontínuasdefinidasnum intervalo aberto (a, b), o qual em muitos problemasé a semireta t > Oou toda a reta —-o0< t < oo. Consideremosa equaçãolinear de 2º ordem x(t)+plt)xlt) + q(t)x(t) =f(t) ou mais compactamente, como escreveremos quase sempre; KA px +qu f, (4,1) (4,9) 94 EquaçõesDiferenciais deSegundaOrdem Cap.4 Nesta secçãovamos estudar as questõesrelativas à soluçãogeral de (4.1)e à soluçãodoproblemadevalor inicial para(4.1)comdados X(to) = xo, X(to)= vo (4.3) ondeto € (a,b) e xoevosãovaloresdados. Inicialmente, temos o seguinte resultado de existência e unicidade Teorema 4.1. Se p, qe f sãofunçõescontínuasem (a,b), entãoo problema de valor inicial (4.1)-(4.3)tem uma, e somenteuma, solução definidaemtodoo intervalo(a,b). Demonstração : A idéia é transformar a equaçãonum sistema pela introduçãodasvariáveis xt) =x(t) Logo, obtemoso sistema o com a condiçãoinicial xalt)=x(t). = X9 X2= —qx)—pxz+f x1(0)=xo x2( Ô) = Vo. A conclusãose seguedosresultadosda secção3.2. | Concentremos,agora,nossaatençãona equaçãohomogênea x px+ qx = 0. (4.4) Na literatura antiga a equação(4.4),associadaà equação(4.1),tinha o nomepitorescode “equaçãosem segundomembro”). Pelo teoremaacima os problemasde valor inicial para (4.4)comcada um dosconjuntosde dadosiniciais abaixotêmuma única solução: Xito)=1 x(to)=0 (4.5) Xto)=0 xíto) = (4.6) onde to € ta,b). Seja Pyla,b) >R a soluçãodo P.V.I. (4.4)-(4.5) eseja pula, b) -»KRa solução do PV, (4,4)(4.6). E fácil ver que Seção4,1 EquaçõesLinearesde SegundaOrdem “qualquerfunçãoda forma p(t) = cxpailt)+ azpalt) (4.7) ondea1 e a2 sãoconstantesarbitrárias, é soluçãoda equaçãodiferencial (4.4)”;1ssoé precisamentea linearidadeda equação(4.4)implicandoquequalquercombinaçãolinear desuas soluçõesé tambémsua solução,propriedadeessaconhecidacomooprincípio da superposição noslivrosaplicados. À recíprocada assertivaentre aspas acima é tambémválida: “Qualquer soluçãode (4.4) é da forma (4.7)para xy e «2 escolhidos convenientemente”. Prova.Seja p uma soluçãode (4.4),e tome«x;— p(to) e «z = bp(to). Então é fácil ver quea função )b— Pp —«pj — «azdbz é soluçãode (4.4) eablto) = 0 emb(to)= 0. Logo,peloTeorema4.1 acimaip(t) = 0,0 que demonstrara asserçãoacima. Conclusão . (4.7)é uma soluçãogeral de (4.4). O usodo artigouma na conclusãoacimaindica quepodemexistir soluçõesemoutraforma. Para estudaressaquestão,vamosintroduzir a noçãode independêncialinear. Definição 4.1, (1)Duas funçõesby, bz: (a,b) > R são linearmente dependentes (abreviadamente f.d.) seexisteumaconstantek tal que po(t) kit), para todot E (a,b). (1) Duas funções(bj e Pz) são linearmenteindependentes(L.1i.)se a condição cpilt) +azpa(t) =0, paratodo te(a,b), (4.8) implicar que j — «> = O. [Obviamente,funçõesbj e bz são ii. se elas nãoforemEd., Optamospor enunciara definição(ii) poisela se estendenaturalmentepara o casode mais de duas funções). Exemplos : 1)As funçõessenx e cosx sãoL.i.. 2)As funçõese e elx, a bafo l.i 3) As funções af e xe” são Li.. 4) As funções dj e f2, soluções, respectivamente,dos P.V.I. (4.4)-(4.5)e (4.4)-(4.6)são l.i. A noçãode dependência(ou independência)para funçõesdiferenciáveispodeser ligada como determinanteWronskiano, 9! 96 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4 Definição . Dadas duas funçõesdiferenciáveis pr, pa:(a,b) determinante WiqWa, dal(t)= pilt) dalt) di(t) alt) > R,o (4.9) é chamadoo WronskianodasfunçõesPb;e Pa. Proposição 4.2. Sejam by, bz: (a,b) > R duas funçõesdiferenciáveis, cujo Wronskianoé diferentede zero em um ponto to € (a,b). Então, Die bz são Li.. Demonstração : Suponhamos,por contradição,quep, e p>sejamt.d.. Então, existem constantes x; «2 pelo menos uma delas diferente de zero,tais que osdbilt)+ azbalt) =0, Vte(a,b). (4.10) Daí, derivando, obtemos ocrpilt)+ozbalt)=0Vte(a,b). (4.11) Em particular, para t = to temos o sistema a dilto) +azpalto)=O oypilto)+ azbalto)= O cujodeterminante é precisamente WI, bal(to), o qual é diferente de zero por hipótese. Consequentemente«j — «z = O,o que é uma contradição. E E a recíprocada Proposição4.2? É falsa comomostra o exemplo a seguir Exemplo5.As funçõesPy(t) = té e ba(t) = |t|º sãoL.i.;vê-seimediatamentequeseuWronskianoé zero. Entretanto,a recíproca(e,emverdade,algomais forte)é válida se nos restringirmos à classedas soluçõesda equação(4.4). Temoso seguinte resultado, Seção4.1 EquaçõesLinearesdeSegundaOrdem Teorema 4.3. Sejam Pp,e bz soluçõesde (4.4). Então, elas são Li. see somenteseseu Wronskiano édiferentedezeroem um ponto to € (a,b). Além disso,se oWronskianofor diferentedezeroemumpontoto, então eleédiferentedezeroemtodososdemaispontosde (a, Db). Demonstração: Da parte“see sóse”,emvirtude da Proposição4.2,resta provarquese f1 e f2 sãosoluçõesl.i. de (4.4),entãoo Wronskiano é diferentede zeroem um ponto to € (a, b). Vamosprovar um pouco mais: que o Wronskiano é diferente de zero em todos os pontos de (a,b). Fixeto € (a,b) e provemosqueWl|b4,Pal(to) O.Supondo, por contradição,que isso não ocorra,concluímosque o sistema apito) + azpo(to) = () orpi(to) | = ( axobo(to) tem solução(x1, «2) não trivial (i.e. pelomenosum dos w'sé £ 0). Formemosa funçãoP(t) = a«ypy(t)+ azdbalt)a qual é soluçãode (4.4),e,comoP(to) = dlto) = 0, o teoremadeexistênciae unicidade [Teorema4.1]implicaquep(t) = Opara todo tE (a, b). Issoacarreta queP1 e bz sejamt.d., o queé uma contradição. A última asserçãodo teoremase prova assim. Se o Wronskiano é diferentede zero,num ponto,então bj e bz são L.1.,e o quefizemos acima foi mostrar que isso implica que o Wronskiano seja diferente de zeroem todosos pontos. E A última parte do Teorema4.3 podetambémser provadausando a fórmula deAbel-Liouville,dadano Teorema4.4abaixo. Teorema 4.4.Sejam bi, pa: (a,b) > R duassoluçõesde(4.4).Então Wit) = Wíto)e — Ji, Pís)as (4.12) ondeto € (a, b), e estamosusandoa notaçãoW(t) = Widbs,dal(t). Demonstração : Derivando a expressão Pd Prlt) pilt) alt) o(t) 4 98 EquaçõesDiferenciais deSegundaOrdem obtemos Witt)= Cap.4 dalt)da(t) [+ pa(t)Hg] Pitt) alt) Pit) alt) Usando as propriedadesde determinantese o fato que fi1,e fi2,satisfazemà equação(4.4),obtemos Wet)= —-p(UWIt), (4.13) que é uma equaçãolinear de 1º ordem, estudadana secção2.1. A soluçãode(4.13)é dadapelaexpressão(4.12),ondeto podesertomado comoqualquerpontoem (a,b). ] A fórmula (4.12) diz diretamenteque uma das alternativas ocorre: (1) W(t)=0,(i) W(t) 0,paratodot E (a,b). Vejamos agora o que é que o conceitode independêncialinear podefazerpela questãode soluçãogeral. Temoso seguinteresultado. Teorema 4.5. Sejam by, ipa:(a,b) — R duas soluçõesti. de (4.4). Então,qualquersolução de(4.4)é da forma p= «py + apo (4.14) com &1e X2 constantesescolhidas convenientemente. Demonstração : Fixe to € (a,b) e considereo sistema ae ypilto)+anpalto)= blto) arbi(to)+azba(to)= píto). Como o determinantedessesistema é o Wronskiano de 1) e 12 em to, 0 qualé diferentede0, [pois1 e 12 são.i.] concluímosque«7 e x estãounivocamentedeterminados.Agoraconsiderea função o(t) = onp(t)+ azpa(t), a qual é soluçãode (4.4)e comoo(to) = d(to) e ó(to) = dlto), O teoremade existênciae unicidade [Teorema4.1] nos diz que o = Qd. a Importância doTeorema 4.5.. Em virtude desseresultado,vemosque se determinamosumparqualquer1),e 12, desoluçõest.i. de(4.4)então a soluçãogeral de (4,4)estáobtida e é dada por (4.14), Seção4.2 Obtençãode Soluções Consideremosagoraa equaçãonão homogênea(4.1). A seguinte observaçãoé deverificaçãoimediata: “Sex1(t) ex2(t) sãosoluçõesde (4.1),entãoxi (t) —x2(t) é soluçãode(4.4). Issonospermiteafirmar que, se conhecermosuma soluçãoparticular, xp(t), de (4.1)então uma soluçãogeral de (4.1)é dada por x(t) = empi(t)+axpalt)+xplt) onde «| e «>são constantes arbitrárias e 1p1,12 é um par de soluções ti. de (4.4). | interessanteobservarqueseconhecermosuma soluçãogeralde (4,4),entãohá um modoautomáticodedeterminaruma soluçãoparticular de(4.1).Trata-se dométododevariaçãodosparâmetros,quenos textosantigos era chamadoparadoxalmentede “métodode variação dasconstantes”.Na próximasecçãoestudaremosessemétodo. 4.2. Obtençãode Soluções 4.2.1Métodode Variaçãodos Parâmetros Suponhamosqueseconheçaumpar,bj ez, desoluções(.1.de(4.4). O métodoconsisteem buscar funções«y(t) e «z(t) tais que a função x(t)= os(t)pi(t) +aolt)pa(t) (4.15) seja soluçãode (4.1). Derivando (4.15)obtemos x= emp + apa + dpi + apo (4.16) onde omitimos a explícita dependênciaem t para simplificar a notação. Ora, estamoscomdois graus de liberdadena nossabusca;então, nãohá mal emperderum,impondoa condição mp + ázpo =0 (4.17) cuja razoabilidade o leitor descobriráapós alguma meditação. Logo (4.16)se torna | | x mpy + «gba (4.18) +dmpy+doba. (4.19) quederivadanosdá Ro ocnpydao 00 Equações Diferenciaisde SegundaOrdem Cap. 4 Como queremosque x(t) seja soluçãode (4,1), levamos(4.15),(4.18) e (4.19)à equação(4,1) e usandoo fato que 1j e 1)>são soluçõesde (4.4)obtemos nbr + dnpo =f. (4.20) Agora resolvemoso sistema (4.17), (4.20) para obter à, e &2 &y=—fiba/W e àz=tfibi/W (4.21) onde W designao Wronskiano de 1bye 1b2.De (4.21)obteremos«x e X2. Ju S Exemplo . Considere a equação Àl iz É o 64h) x —5x+ 6x= et. (4.292) É fácilverqueby(t) = et ew>(t)= et sãosoluções (.i. de Xx—5x+ 6x = 0. (4.23) (Na próxima secçãoestudaremosmétodosde obtençãode soluçõesde equaçõesdiferenciais lineares homogêneas).O Wronskiano de 1; e b2 é w = e^2t e^3t [ 2e^2t3e^3t Rh e^5t J Logo a1 = -e^te^3t / e^5t = -e^-t e dai a o(t)=e"* &2 = e^t e^2t / e^5t = e^-2t at)= 1 —5€ a Concluímospoisqueuma soluçãoparticular de(4.22) xp(t) 16 =e 1 se ] 2to3t — e. Portanto, uma soluçãogeral de (4.22)é x(t) m ae?! 1 | aq2e3t+ 3º (4.24) Seção4.2 ObtençãodeSoluções Observeque se tivéssemosescolhidooutras primitivas de a1 e a2 digamos o(t) =et+2 egtt] = Rs 3 entãoa soluçãogeral de (4.22)obtida seria ] x(t) = qe?! + age! + 5º toBe 4. SP a qual é equivalentea (4.24). Comentáriosalgébricos Tudo que vamos dizer a seguir é mera roupagempara o que se de- monstrounestasecção.Designemospor C'[a, b], ondej é inteiro >0, o espaçovetorial(real)dasfunçõesp: (a,b) > R de classeC). A equaçãodiferencial(4.1)defineum operadorem C2[a,b] comosesegue: L:C?[a, b]> Cº[a,b] dr Lp) = 4" +py +qd ondep,q:(a,b) — R são funçõescontínuas. O princípio da superposiçãopodeser expressona assertivade que L é um operadorlinear. O núcleoN(L) de L é por definição N(L) ={fiE C²[a,b]:Lfi =0}. Vimosacimaqueo núcleoN(L) é um subespaçovetorialdedimensão 2. A imagemR(L) deL é pordefinição R(D)=(fe Cºla,b]:Ib E C?la,b]eLp =f). Segue-sedo Teorema4.1 que R(L) = Cº[a,b], ou seja o operador | é sobrejetivo. Como N(L) tem dimensão2, o operador L não tem inverso.Vimos acimaquea imageminversaL”!(f) de um elemento f e Cºa,b] é uma variedade linear da forma Xp + N(L) onde xy é qualquerelementodeL”!(f). 4.2.2 Equações lineares homogêneas de 2º ordemcom coeficientes constantes 101 02 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4 Segue-sedo Teorema4.1 que as soluçõesde (4.25)são funções definidasem toda a reta. O métodode resoluçãoconsisteem buscar soluçõesde (4.25)na forma x(t) = e! (4.26) ondeÀ é um parâmetroa determinar.Se quisermosque x(t), dada por (4.26),seja solução de (4.25), nada há de mais razoável do que levá-laà equação(4.25): Net +pret +qe t=0 ou seja A +PpA+q=0, (4.27) que é conhecidacomoa equaçãocaracterísticaou equaçãoauxiliar da equação(4.25). Portanto,seescolhermosÀ igual as soluçõesde (4.27),as funçõese?! correspondentes sãosoluçõesde(4.25). 2 Há três casosa considerar,dependendodosinal dodiscriminante: p*=, Caso1: p² - 4q distintas: > 0. Neste caso, (4.27)tem duas raízes reais e l1 =(p/2)² -p/2 - c e l2 o consequentemente x+(t) me At e xa(t) = e! (4.28) são soluçõesde (4.25). Um cálculo fácil mostra que o Wronskiano dessas duas soluções é igual a (A>— AyJe!A1+A2)tq qual é diferente de O, Portanto, as soluções x1 e x>dadas em (4.28) são L.i.. CasoII: A; p²7 - 4q = 0. Nestecaso,(4.27)nosdá apenasum valor de es p Seção4.2 ObtençãodeSoluções e assim obtemosapenasuma solução xi(t)=ePt/2 (4.29) através desse processo. Como determinar uma outra solução x»(t), de modoqueo par x1,X2seja£.i.? A ideiaé usaro métododereduçãoda ordemda equaçãoqueconsiste no seguinte:conhecidauma soluçãox1(t) de (4.25),busca-seoutra soluçãona forma HE) = UE it). Substituindo essex na equação(4.25)obtemos uk + px + qx] + ix; + úlpx, +2x1) — O de ondese segue,fazendoi = v, que v+ (p+2E)v-o. X1 É fácil ver que, para a solução x; dada em (4.29), o termo entre parêntesisé zero. Logo v=0 5 v=c>S u=e+c. Portanto,qualquerfunçãoda forma (ct + c')xy(t), ondec e c” são constantes, é soluçãode(4.25).Tomando-se c = 1, c” = 0, obtemos uma segundasoluçãopara (4.25): xa(t)=te Pt/2 (4.30) Um cálculo simples mostra que o Wronskiano das soluçõesx1 e x2, dadasem(4.29)e (4.30)respectivamente,é iguala eP*, e consequentementeessassoluçõessãoL.i.. Casolll: p?—4q <0. conjugadas: Neste caso,(4.27)tem duas raízes complexas M=-utivel=-u-iv, ondeu=p/2, v- Logo, pela observaçãoabaixo xilt)=emMtet e xalt)m e Me iV ] 5V49 - na, (4.41) 1 104 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap. 4 sãosoluções(,i. de(4,25),poisseuWronskianoéiguala 2iv e2HtZL 0. lim virtude da linearidadeda equação(4.25),temosque palt) ] 5 Dalt) ] pal) = 5 - x2(t)|]= € Ht cosvt (4.32) lt) + xo(t)]= e Hsenvt (4.88) são também soluçõesda equação(4.25). Para escreveros últimos termosdas expressões(4.32)e (4.33)usamosa fórmula de Euler: e'º = cos0+isend, DER. O Wronskiano das duas soluçõespy e bz dadas em (4.32) e (4.33), respectivamente,é igual a ve “Ht Z 0, o que implica serem b, e bz A Observação . O aparecimentode números complexosa essas alturas dá o que pensar. Em primeiro lugar, pelo modo de conduzir nossa apresentaçãoaté estepontoficou implícito que estávamostrabalhando apenas como números reais, e, de fato, era isso que tínhamos em mente. Entretanto, podemostratar de modo análogoequaçõesdife- renciaislinearescomcoeficientes complexos, p, q:(a,b) > C, efalar de soluçõescomplexasp:(a,b) — €C,onde C designa o corpo dos númeroscomplexos.Lembramosque, se br(t) e br(t) designamas partesreal e imagináriade &, então,p é diferenciávelse e só se Pr e pyo são.AssimquandodizemosqueeMte'Yt é soluçãodaequação (4.25)acima [p, q reais], o que queremosdizer é que suas partes real v imaginária são soluçõesde (4.25),e isso seria outro modo, essencialmenteidênticoao que se fez, de obter (4.32)e (4.33). Exemplo1. Xx—4x =0. Fazendox =eM obtemosA? —4 = 0,edaíA; =2e Az = —2. Logo at) e etexo(t) = e?! sãosoluçõesda equação.SeuWronskiano é igual 4,e logoxye xz sãosoluçõesL.i.. ] Exemplo 2. Xx+2x+x=0. Fazendo x— €*!, obtemos Nº +2A+1=0, n Za » a q Ô 9 SJ a AR 13 4 Seção4,2 ObtençãodeSoluções quetemumaraiz duplaÀ = —1.Logoxy(t) = e texa(t) = te “são duassoluçõesl.i., poisseuWronskianoé 0. Exemplo 3. Xx—2x + 59x=0. Fazendox —e2t,obtemos N2-2A+5=0, cujassoluçõessãoAy = 1+2ie Az = 1—2i. Logo xi(t) = e! cos2t to x2 = e! sen2t sãosoluçõest.i. da equação,poisseuWronskianoé £ 0. (Recomendamosaoleitor nãotentar decoraras fórmulas e expressões deduzidas nos casos 1, II, III acima e, a cada problema, aplicar o métodoensinado,comofizemosnos exemplosacima. Eventualmente, coma prática alguns dos passosdo métodoserãorealizados mentalmente). | 4.2.3 Métodode reduçãoda ordemda equaçãodiferencial Dadaumasoluçãofi1: (a, b) > R da equaçãodiferencial x+pl(t)x+ qlt)x =0 (4.34) ondep,q:(a,b) > R sãofunçõescontínuas,o métododereduçãoda ordemconsistemem buscar uma segundasoluçãona forma palt) = u(t)pr(t) (4.35) onde u(t) é uma função a determinar. Substituindo-sex por bz na equação(4.34)obtemos,comv = 1, que V + (» ad2) bi w= 0 (4,96) que é uma equaçãodiferencial linear de 1º ordem do tipo estudado no Capítulo2, ondeestamossupondoquePi(t) 4 O;casonãoo seja, teremosquequebrar a equaçãoemvárias. Resolvendo(4.36)obtem vit) se py 1nd constante, 10! 106 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4 onde P(t) é uma primitiva de p(t), Como U= v, temos É ut) | pio| = PIt) dt, e assim uma segunda solução seria ba(t) = pat) / ] Pi(t) 2 e Pig. (4.87) À importância do métodode redução da ordem reside em que muitas vezesobtemosuma primeira soluçãopor um outro métodoe aí se põea questãode conseguiroutra solução:issojá ocorreuno estudo das equaçõescom coeficientesconstantesfeito em 4.2.2 acima. As vezestambém,uma primeira soluçãosalta aosolhos(observadores!) e o métododereduçãoda ordemnos dá a outra. Vejamosum exemplo: Exemplo 4. À equação | 1-PFipemeltiisTtn=d, Agte tl é conhecidacomoa equaçãodeLegendre,ondeÀ é um parâmetro;para cada valor fixado de À se tem uma equaçãodiferente. Consideremos a equaçãopara À = 1: T-pa-Tilde=0 0 «[<ta1. (4.38) Vê-sequea funçãopit) = t é soluçãode (4.38). Determinemos outra soluçãona forma Ga(t) = ut. Substituindo-sex por bz em (4.35) obtemos,com v = ú, que 2 2t Comoa equação(4.39)não faz sentidopara t = Ô,vamosconsiderá-la separadamente para —] <t<0e0<t< 1. Obtemosde(4.39)que V(t) = Dai: Ult) / PT C 1 Ls en te(1—+2) fatia ] ] Seção 4.2 Obtençãode Soluções ou seja u(t) = ] ] “4"72 Mo: |+t Logo uma segundasoluçãode (4.38)seria t 1++ funçãoqueestábemdefinidaemtodoo intervaloaberto(—1,1). 4.2.4 Métododos coeficientesa determinar Em 4.2.1estudamoso métodode variação dos parâmetros,que pode ser utilizado para determinar uma soluçãoparticular das equações linearesna sua forma geral (4.1).Agora, explicaremosum outro processoque se aplica somentepara equaçõeslineares com coeficientes constantes x+ px+ qx = f(t) p,q = constantes. (4.40) e aindaparacertostiposdefunçõesf(t). A vantagemdessemétodoé não envolverintegraçõese, portanto, é de fácil utilização. O método consisteem determinara soluçãoparticular xp(t) de (4.40),a partir do tipo da função f(t), comcoeficientesb; a seremdeterminados, conformeveremosabaixo. As justificativas estão apresentadasnos exercícios. TOO=06+ qtde Gt” xp(t) =bo+bit+---+ bat”(5) EE ==" Xp(t) = be (x) f(t) = cosPt ou sen Pt Xplt) bj cos [31 | b> sen pi (4) TO 108 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4 f(t) = (ao+ at ++»:+ant")e**cosBt ou f(t) = (ao+ at +---+ ant")e“*senBt Xp(t) = (bo + bit + --- + bnt")e “cos Bt+ (cotcit+---+cnt")e“!sen Bt (x) (*) Se algum termo dessaexpressãode xp for soluçãoda equaçãohomogêneaassociadaa (4.40),propõe-setxp(t) para soluçãoparticu- lar de (4.40).Casoalgumtermode txp(t) sejasoluçãoda equação pranto txplt). associadaa (4.40),então a soluçãoparticular buscadaé Observação : Ostiposdefunçõesf(t) aosquaisométodoseaplicapode ser aumentado comoconsequência doseguintefato: “Sexp e Xpsão soluçõesparticulares, respectivamente,das equações x+rpx+qx=filt) e Xx+px+ qx=fa(t) entãoC1Xp+ czXpé soluçãoparticularde x+px+ qx = cyfi(t) + cafa(t). A aplicaçãodo métodoconsisteem levar a expressãoem (x) na equação(4.40),identificar os coeficientesdas respectivaspotências, exponenciais,senos ou co-senos,obtendo-sesistemas algébricosde onde se determinam os coeficientes b's e c's, daí o nome deste método. Exemplo 1. ConsidereX + x = cost. Comocost e sent sãosoluçõesda equaçãohomogêneaassociada.O métodosugerea soluçãoparticular da forma Xp(t) = bitcost + batsent. Substituindo xp(t) na equaçãoobtemos —bysent +2b>cost = cost logobj — 0,b> — 1/2 e a soluçãoparticular é Xptt) ; tsent, «e. Seção 4.2 Obtençãode Soluções Exemplo2. Vamos alterar o segundo membro da equação acima para LcosL, sto é, Xx+x = tcost. (4.41) Nessecasoo métodosugerea soluçãoparticular na forma Xp(t) = t(bo + bit) cost + t(co + cit) sent. As constantesbo, by, Co, Cy devem ser calculadas substituindo-se Xplt) na equação. Podemos também usar a observação acima para calcularumasoluçãoparticular de (4.41).Escrevemos tot=t— E go ta ta = et + ce! 2 z z e procuramos a soluçãoparticularx, (t) comosomadesoluções particularesdasequações | xtx=-et Ta 2 E e xtx=-e", (4.492) Z As equações (4.42)sãoconjugadas,e portantose x,1(t) é soluçãode umadelasseuconjugado x)(t) é soluçãodaoutra. Vamosresolvera primeira equaçãode (4.42). A função e't*é uma soluçãoda equaçãohomogêneaassociada,portantoo métododoscoeficientesa determinar sugere Xp(t)=t(bo+brt)e!. Substituindo x, (t)naprimeiraequação de(4.42)obtemos [2by +2boi +4by itjeit =se“, e portanto temos que bo xya(t) j ebjy = Fi. t (ss) Isto é, EN é uma soluçãoda primeira equaçãode (4.42).Segue-seque a solução particular de (4,41) é (2 Xp(t) = xg(t)+x)(4)= 2Re(x)(t)) qSos t+7 sen 110 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 4.2.5 A equação de Euler-Cauchy À equação t2x + atx + bx = f(t), a,b = constantes, é conhecidacomo equaçãode Euler-Cauchy. Vamos mostrar como obter duas soluçõest.i. da equaçãohomogêneaassociada tx +atx+bx=0. (4.43) Devemosconsiderarseparadamente oscasost > 0et < O.Tratemos apenaso casot > 0. PrimeiroMétodo A idéia do métodode resoluçãoé tentar soluçõesde (4.43)na forma x(t) = t?, ondeÀ é um parâmetroa determinar.Substituindoessex na equação(4.43)obtemos PMMA am! ruÉ=Oo de ondeobtemosa equaçãodo 2º grau para À: M+(a-NA+b=0. (4.44) Há poistrêscasosa considerar,deacordocomosinaldodiscriminante. Casol: (4,44) (a—1)?—4b > 0. ess Há duas soluçõesreais e distintasde df er a a—l e nantm AY" pilt)=t" e são duas soluçõesL.i. de (4,43), Casoll: (a 1)º-4b = 0, 2 dalt)=t" Nestecaso,obtemos apenasumvalor de À, e, consequentemente, uma só soluçãode (4.43): A a= | ; » Pilt) = plata Seção4.2 ObtençãodeSoluções Para obter uma segunda solução, neste caso, usamos o métodode reduçãoda ordem da equação:procuremosessa segundasoluçãona formap> — up. Comojá fizemosessetipo deraciocíniovárias vezes, vamosescreverdiretoa expressãode bz(t), usando(4.37): pa(t)= aa [ po lipade =cana, Casolt: (a-1)2-4b < 0, complexasconjugadas: M=u+tv, Neste caso, (4.44)tem duas raízes A=u-tiy, onde A Po e assim ia po a— 2 , dit) =tH" e balt)=tM0"" são duas soluções!.i. de (4.43). Usando o fato que t” = eivênt ea fórmuladeEuler obtemosduasoutrassoluçõest.i., agoraenvolvendo apenasnúmerosreais: pilt)=t" cos(vint) e dalt) = tt sen(vênt). SegundoMétodoIntroduzimos uma nova variável independentes por e* = t (lembramosque estamosconsiderandoa equação(4.43)para t > 0) e definimosy:I — R pelaexpressão u(s)=x(eº) e daí obtemos v'(s)=x(e'Je"e y(s) =x(e*)e?* +x(e*)es. Substituindo-seem (4.43)obtemos y"+(a-ly +by=o0 que é uma equaçãolinear de 2º ordemcomcoeficientesconstantes.O procedimentoem4.2.2acimaproduzparesdesoluçõesf.i. emcadaum 11 [12 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 dostrês casos.Voltando à variável t chegamosàs mesmasexpressões obtidasno primeiro métodoacima. 4.2.6 Métododas séries de potências Se os coeficientesp(t) e q(t), bem comoo segundomembrof(t) da equação x+ p(t)x + q(t)x = f(t) (4.45) sãofunçõesanalíticas (isto é, sãoiguais às suas respectivassériesde Taylor) emum intervalo (to — p, to + p), entãopode-seprovar que as soluçõesde(4.45)sãotambémfunçõesanalíticasno mesmointervalo (to— p,to+ p). [Cf.,por exemplo,o livro de Coddington-Levinson“An Introduction to Ordinary Differential Equations”,Tata McGraw Hill Publishing Co. (1955)].Neste caso,o métododas séries de potências funcionabempara a obtençãoda solução:(1)escrevem-seas sériesde Taylor de p, q e f, centradasem to, por exemplo P(t) = =2. Put o n tal”, Po ] as E io TO) (to), (11) usa-seuma expressãoanálogapara x(t) x(t)=>anlt—to)”, n=0 ondeoscoeficientesxn devemser determinadosnoprocesso,(iii) essas quatro sériesdepotênciassãolevadasà equação(4.45),e os coeficientes das correspondentespotênciasde t em cadalado da equaçãosão igualados,obtendo-seassim um sistema (infinito) de equaçõeslineares algébricaspara os coeficientesx, . Esse sistemaé entãoresolvido recursivamente.Obtém-seas soluçõesxn, N>2 emtermosdexo e x1. Nota.Nas aplicaçõesé muitocomumpoderescrever(4.45)na forma pilt)x + palt)x+ pa(t)x = f(t) (4.46) ondepi(t),i =1,2,3, sãopolinômios.Nestecaso,a série depotências de x(t) deve ser substituida diretamente em (4.46). Ao leitor: dados o objetivodestetrabalho e a dimensãoque para ele decidimos,não vamosdetalhar mais esse método;um tratamento mais longo pode ser visto nos livros comuns de equaçõesdiferenciais ordinárias. Seção 4.2 Obtençãode Soluções 4.2.7 Métodode Frobenius Considereuma equaçãoda forma (t-to)2x+(t—to)p(t)x+a(t)x=O (4.47) ondep e q sãofunçõesanalíticasnumavizinhançade to. O pontoto é chamadoumpontosingular regularpara a equação(4.47). Exemplos |) to=—l e to = 1 sãopontossingularesregularespara a equação de Lependre (1-t)k—-2tx+AMA+I)x=0. De fato, to = —1 é um ponto singular regular pois a equação de Legendrepodeser postana forma(4.47)comto = —1,p(t) = (1 -t)eg(t)=A(A+ N(t+ 1)/(1 —t). Um raciocínioanálogo para to = 1 e para os demaispontosnos exemplosabaixo. 2) to = 0 é um ponto singular regular para a equaçãode EulerCauchy. 9) to=1leto=—l de Chebyshev: sãopontossingularesregularespara a equação 1—-t)kx—tx+Ax=0. 4) to = Oé pontosingularregularpara a equaçãodeBessel: Ex par (== O. 5) to = Oé ponto singular regular para a equaçãode Laguerre: tx+ (1 —-t)jx+Ax=0. Observação . (Oleitor deve imaginar que o fato das equaçõesacima terem nome é indicaçãode que há algo especial sobre elas. E, de fato há. Essas equaçõesaparecemem problemasdas equaçõesdiferenciais parciais da Física Matemática, e apresentaminteressantes propriedadesdo pontode vista matemático.Pesquise! 4 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4 O métodode Frobenius para a resoluçãode (4.47)consiste em tentar soluçõesna forma de uma série de potênciasgeneralizada OO Mit] = €*>. EE n=Q ondea é um númeroreal a determinar. Recomendamosao leitor procurar detalhesemlivros quedediquemmaior espaçoa essasquestões. O livro de G.F. Simmons “Differential Equations, With Applications and Historical Notes”,McGraw Hill Book Company(1972),contém dois capítulos excelentessobreo assunto. 4.3. Exercícios 1. Determine uma soluçãogeral para as seguintesequações a) X— ax + 6x = O b) Xx—4x+4=0 c) X+ 2%+ 9x= O 2. Sejaf(t) umpolinômiodegraun. Mostrequeseq 0,entãoexiste uma soluçãoparticular de (4.40)na forma de um polinômio Q(t) de graun. Sep Z0e q = 0, entãohá uma soluçãoparticularna forma tQ(t). Sep = q = 0,entãot?Q(t) éumasoluçãoparticularde(4.40). 3. Obtenha soluçõesparticulares das equações: Xx+2Xx+Ikx=t+4, R+Xx=2H41. 4. Sejaf(t) = P(t)Je*!,ondeP(t) é umpolinômiodegraun. Mostre que,caso«2 + «p + q £ 0, existeuma soluçãoparticular de (4.40)na formaQ(t)e*t ondeQ(t) éumpolinômio degraun. Caso«+p £0 eo +ap+ q = 0,há umasolução particularde(4.40)na forma te Q(t). Caso 2x +p = «2 + «p + q = 0, então há uma solução particularna format?e*Q(t). 5. Obtenhasoluçõesparticularesdas equações: t+2x+x=tet, x+2X+x=2te. Beção4.3 Exercícios 115 o Seja f(t) = cosBt ou f(t) = senBt. Mostre que, sep É O ou q 4 5º, entãoa equação(4.40)tem uma soluçãona forma xp(t)=AcosBt+BsenPt. MostrequeA = (q— B2)/A e B=>pPB/Aonde A=(q—p>+pp”, nocasodef(t) = cosBt. ObtenhaÀ e B no casodef(t) = senBt. +.Sejaf(t) = cosBt ouf(t) = senBt. Mostreque,sep = 0e q = Pº, então(4,40)temuma soluçãoparticularna forma xp(t) = t(A cosBt + B senBt). MostrequeÀ = —1/2fBe B = 0 no casodef(t) = senBt. ObtenhaA e 1 nocasodef(t) = cosPt. 4. Obtenhasoluçõesparticularesde Xx=2x+4x=3cos2t, X+4x=sen3t, X+9x = 5sent. 9. Obtenha soluçõesparticulares de vtx+2x=tsent, X+2x+x=etcost, kK—5x+6x = et sen2t. 10. Determinea soluçãogeral das equações X+x=sect, Xx+2x+x= ein, x+3x+2x=1/(1+e*), %x4+3x+2x=1/(1 + sent). 1. Verifiquequepilt) = 1+t e qGpa(t) = e! sãosoluções º.i. da equaçãohomogêneaassociadaà equação R-T+H0ktx=te +t>0, e determinesua soluçãogeral. 12. Mostrequea soluçãodoproblemadevalorinicial Ed x= fit), x(0) =xo, EO) = vo [16 EquaçõesDiferenciais de SegundaOrdem é dada por «o)= [ t 0 Cap.4 sen(t—s)f(s)ds + xocost + vosent. 13. Obtenhauma fórmula para a soluçãogeral de x —5x + 6x = g(t). 14. Sep e q sãoconstantespositivase f: (0,00) — R é uma função contínua,mostreque,para quaisquersoluçõesbi(t) e bz(t) de Xx+px+ qx = f(t), tem-se lim [pi(t) —da(t)]= 0. t—>+oo 15. Mostrequeby(t) = t? sent é soluçãodoPV. tax—4tk+(t+6)x=0 0) = 4/0) = O, A funçãoba(t) = Oé outrasolução.Comente à luzdoTeorema 4.1. 16. As funçõesLi. dilt) = t?e dalt) = t? parat € (—1,1) são soluçõesde alguma equaçãodiferencial do tipo (4.1)? E a restrição delas a (0,1)? Em caso afirmativo determinea equaçãodiferencial, da qual elas são soluções. 17. Mostreque as funçõespi(t) = te ba(t) = te!, definidasemtoda a retasãosoluçõesde tx—t(t+2)x+(t+2)x=0. Calcule o Wrosnkiano dessassoluções.Comenteo fato delese anular para +— O,à luz do Teorema4.1. 18. Mostrequea mudançadevariávelv = x/x transformaa equação x +plt)x +q(t)x =0 (*) Seção4.3 Exercícios 117 numa equaçãode Ricatti v+ xo(t) + oalt)v + ao(t)v? =], (mm) |, reciprocamente, a mudançadevariávelx = v/(x2v) leva (**) em (9) 19. Use o exercícioanterior para transformar a equaçãolinear tk—-x—tx=0 sm umaequaçãode Ricatti. Encontreuma soluçãodessaequaçãode Hicattie a seguirobtenhauma soluçãogeralda equaçãooriginal. 20, Determineduassoluçõesº.1.decadaumadasequações x— f(t)x+ [f(t)— 1]x=0 x— tf(t)x + f(t)x = 0. Podedeixar uma das soluçõesem termos de uma primitiva F(t) de Ht), (A primeira soluçãosalta aos olhos!). $1. Verifiqueque bi(t) = t”!/2 sent é soluçãoda equaçãode Bessel de ordem 1/2: 1 tHE+TE+ [-5)x=0 t>o0. Determineuma segundasolução>, tal que py, p> são Lii.. 22.Sejampy, pa:(a,b) > R soluçõesL.i. de x+p(t)x + q(t)x =0 comPi(t) £0, t E (a,b). Mostre(porderivaçãodireta)que d (2) dtldi/ Wida,bz] dr Usea fórmuladeAbel para obteruma expressãopara >, e compare com(4.37). 23. Suponha que o Wronskiano de duas soluçõesda equaçãodiferen cial x +pltx +qlt)x = O 118 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 é iguala 1,e quePy(t)= t* é umasolução.Determine a solução geral de x+p(t)x+a(t)x= t. 24. Verifiqueque py(t) = t é soluçãoda equação tx+2tx—2x=0 +t>0 e determineuma segundasoluçãodessaequação. 25. Considerea equação tx— (t+ N)x+ Nx=0 ondeN éuminteiro>0.Mostrequepy(t) = e!é umasoluçãoeque uma segundasoluçãopodeser expressana forma ba(t)= etftNetar, Mostre que p> é um polinômio de grau N, o qual é precisamentea reduzidadeordemN dasériedeTaylordee!. 26. (EquaçãodeLegendre).Determineduassoluçõest.i. de (1-t)x-2x+AMA+I)x=0 —I<t<l. Use séries de potênciascentradasem t = O. Mostre que quandoÀ é inteiro >0, uma dessassoluçõesé um polinômio. O conjunto desses polinômiosdeLegendretêm uma série depropriedadesinteressantes e importantes. Eles aparecem,por exemplo,no estudo do problema da temperaturade equilíbriodeuma esfera. 27. (Equaçãode Hermite). Determine duas soluçõest.i. da equação X —ZtX+ 2Ax.=O. Mostrequese À é inteiro 20, uma das soluçõesé um polinômio.Esses polinômiossão chamadospolinômios deHermite e aparecem,por exemplo,noestudoda equaçãodeSchrüdingerda MecânicaQuântica, Seção 4.4 44. A Dinâmica deumaPartícula 11! A Dinâmicade umaPartícula Na presentesecçãoprocuraremosestabelecer osprincípiosbásicosda MecânicaNewtoniana. Do mesmomodoque a GeometriaEuclidiana tom suas noçõesprimeiras e seus axiomas,a Mecânicatambémos deveter para sua formalizaçãoe funcionamentocomociênciadedutiva, Essasnoçõesprimitivaseessesaxiomas(nocaso,leisfísicas)são escolhidosvisandoseobterum modelomatemáticoadequadoe repre- sentativo dos fenômenos reais. Assim, deve-se definir os conceitos de partícula, massa, corpos rígidos, eventos,sistemas referenciais, tempo, repouso,movimento,força. Para não fugirmos demasiadamenteao objetivodo presentetexto,admitiremosque o leitor já estudou essascoisas,ou, em casocontrário,que ele assumirá a atitude de atribuir-lhes o sentidoqueo bomsensolhe indique, levandoem conta queelas aparecemno dia a dia. Ao leitor interessadorecomendamosa excelenteintroduçãodo Capítulo 1 do livro “PrincípiosdeMecânica” de JL. Synge e B.A. Griffith, McGraw-Hill, 1965,especialmenteas páginasde 3 a 17. Vamos, inicialmente, introduzir as grandezas cinemáticas. Consideremoso movimentode uma partícula no espaçoRº. Designemos por Xtt)= (x(t),ult),z(t)) o vetor posição da partícula no instante t. O vetor velocidadeé a derivada X(t)=(x(t),u(t),2(t)) dovetorposição.Define-seo vetoraceleraçãocomosendoa derivada do vetor velocidade. X(t)=(x(t),y(t),2(t)) Suponhamos que a partícula tenha massa m e que seu movimentoseja causadopor um campode forçasem Rº, designadopor HA)= (filx,y,z), f2(x,0,2Z), fa(x,U,2Z)). A segundalei de Newtonestabelecea conexãoentre a aceleração da partícula e a forçaque produz o movimento: mX= F (4.48) 120 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4 onde F e X são calculadosno mesmoponto (x,y, Z). Essa lei podeser apresentadaemuma formaum poucomaisgeral: d (mX)=F dt no (4.49) , ondesesupõequea massapossavariar comotempo.A expressãomX é conhecidacomoa quantidadede movimento.A formulação(4.49) será particularmenteútil no estudode foguetes,cuja massadecresce pelo consumodos combustíveis. A primeira lei de Newton diz que, sem a ação de forças, uma partícula não pode mudar seu estado de repousoou de movimento. Mais precisamente,se a partícula estiver em repouso,ela assim permanecerá, e se ela estiver em movimento ela continuará em movimentolinear comvelocidadeconstante.A primeira lei é consequência imediata da segunda,pois se F — O,entãointegrando(4.48)obtemos X(t) = € = vetorconstante.Logo,seno instantet = 0, o corpoestá em repouso(X(0) = 0), entãoX(t) = Opara todot. Se no instante t=0,X(0)=C0, então X(t) = Ct+ X(0), ou sejaa trajetória da partícula é retilínea, comvelocidadeconstante. À terceiralei deNewton, conhecidatambémcomoa lei da açãoe reação,diz que,quandoduaspartículas exercemforçasentresi, essas forçassão iguais em módulo,têm a direçãoda reta que une as duas partículas e são de sentidosopostos. A seguir discutimosalguns exemplosde aplicaçãoem Mecânica. 44.1 Queda livre de corpos Consideremoso problemado movimentovertical de um corposoba açãoda gravidade. O modelomatemático, que estudaremos, a seguir, para essecomplexofenômenofaz as seguintesdrásticas simplificações:(i) considerao corpocomouma partícula de massa m, (ii) despreza à resistênciado ar, (iii) supõeque o movimentoé regido pela segundalei de Newton e que a única força atuante é a da gravidade. A posiçãoda partícula será referida a um eixo-x com origem no solo e orientado para cima: 121 Figura4.1 numinstantet digamosquea posiçãodapartículasejax(t). Pela2º lei de Newtontemos mx = -mg. (4.50) x(t) =—gt+c, (4.51) Integrando(4.50)obtemos ondea constantec podeserdeterminada fazendo-se t = O:c —x(0), uu soja, C é a velocidadeinicial (i.e.,no instante t = 0), que designaremosporvo. Assim (4.51)nosdá X(t)=—gt +vo. (4.59) Integrando mais uma vez, obtemos ] AE) = =59€ a Sm a SP onde a constante cy pode ser determinada fazendo-se t = O; se designarmos a posição inicial da partícula por xo, obteremos RL) = ] dp + vot + xo. (4.53) Com o auxílio das expressões(4.52)e (4.53)poderemosresolveruma seriede problemaspopularesnoscursosdeMecânica. Damosa seguir uma amostragemdessesproblemase deixamosno leitor a tarefa do resolvê-los,Use q =981cm/s*,e nãoconsiderea resistênciadoar (1)Quanto tempogasta um corpoabandonadoa uma altura de 100m para chegarao solo? Qual é a velocidadede impactono solo? 122 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 (11)De uma altura de 200 m, arremessa-separa cima um corpocom velocidadede 5 m/s. Qual é a altura máxima atingida pelo corpo? (Quantotempose passaaté atingir essaaltura? Quantotempoaté o corpopassar pelo ponto de onde foi arremessado?E para chegarao solo? (11)Mostre que e. 29(x— xo) = vo—V”, ondex = x(t), v = v(t) = x(t). Daí concluaa lei de Torricelli: um corpo, caindo de uma altura h, atinge o solo com uma velocidadev dada pela fórmula v=2gh. 4.4.2. Queda de corpos considerando a resistência do ar Considereo modeloanterior modificadopela introdução da hipótese de que há uma outra força agindo sobreo corpo,devida à resistência do ar. Essa força, sempre oposta ao movimento, é suposta ser uma funçãoapenasdavelocidadex(t). [Vejaoscomentáriosna Observação abaixo]. Vamos considerardois problemas: (1)o casoem que a força resistiva dependelinearmente da velocidade;(ii) o casoem que essa dependênciaé quadrática. (1)Pela segundalei deNewtontemos mk =—mg —kXx (4.54) onde k é uma constantepositiva. Convença-sedo sinal — na força resistiva: se o corpoestá subindo X > Ôe consequentementea força é dirigida para baixo; raciocínio análogo se o corpo estiver caindo. Fazendov = x, escrevemos(4.54)como E vV+t—v=-g m (4.55) queé umaequaçãolinear dotipo estudadona secção2.1. Chamandose voà velocidadeinicial, a soluçãode(4.55)é mg v(t)=voe *t —= (1ent. (4.56) Seção4.4 A Dinâmica deumaPartícula A expressão (4.56)nosmostraquequantot + 00,v(t) > —“2io valor absolutodessa velocidadeé chamadode velocidadelimite e é designadaporvos= mg/k. Issoquerdizerque,dentrodestemodelo, um corpo caindo verticalmente com velocidade inicial vo = O, terá sua velocidadesempreinferior a Vooe tenderápara essevalor quando [5 00, À existênciadessavelocidadelimite tambémpodia ter sido concluídada observaçãoda equação(4.54)semresolvê-la. A expressão(4.56)e a da velocidadelimite mostram que corpos mus pesadostendema cair mais rapidamenteque corposmais leves com a mesmaforma; isso decorre também do fato do coeficientek dependerapenasdaformaedasdimensõesdocorpo.A equação(4.56) podeserescritamais compactamente como v(t)=(vo+voo)e mvo t— (4.57) v lembrandoquev = X, integramos(4.57)para obter = +ma x(t)=xo +(vo+Voo) (1 et)e ) voct. (4.58) (11)Consideremosagorao casoem que a força resistiva depende quadraticamenteda velocidade.Aqui há que separar os casosdomovimentoascendentee do movimentodescendente.Para o primeiro censo, a segundalei de Newton fornece e no segundocaso, mk=—mg—kx” (4.59) mk=—mg+kx? (4.60) ondek é uma constantepositiva. Neste segundocasohá uma velocidadelimite dada por Voo = +4/ mg — k (4,61) o que se lê da equação(4,60), Nas expressõesalgébricasabaixousa mos a grandeza vs; também no caso do movimento ascendente apesar de, neste caso, ela não ter significado físico. Para integrar (4.59) 6 IZ4 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 (4.60), fazemos x= v; | V O | vV=-g9A4 K m k m 3 V” (4.62) = (4.63) que sãoequaçõesseparáveis;deixamosao leitor a verificaçãode que TE = Ya e f (a vV—v 2kt DOsymera "tv k er), m Vo—Voo |eee] à mo Ivo vo suar. Vos —VoÉ Voo; são respectivamenteas soluçõesde (4.62)e (4.63). ed (4.64) 4.65 Observequeno movimentodescendentevo<0e consequentemente v< O. Discuta ovalor absolutoem (4.65),considerandoos casos—vo < Voo e —vo> Voo-.Finalmente,paraobterx(t) integra-se(4.64)no casodo movimentoascendente.No casodo movimento descendente,devemos, primeiramente,explicitar v em (4.65). Para obter fórmulas semelhantes às de Torricelli, é conveniente usar o fato que v — dv md v. Esta expressãosubstituida em (4.62) e (4.63) produz equaçõesseparáveismais facilmenteintegráveisque(4.62)e (4.63)e,integradas, fornecemv(x). Observação . Em geral, no problemade deslocamentos de um corpo no ar, a força resistiva, que designaremospor R, dependeda velocidade de um modo muito mais complexo. Em verdade, não há uma expressãosimples(linear ou quadrática,por exemplo)que descrevaa variaçãodessaforça para todosos valores de v. A lei de variação da força resistiva com a velocidadepodeser determinadapraticamente num túnelaerodinâmico:o corpoaí colocadoestáfixadoa um dispositivo que permitemedir a força provocadapelo ar fluindo no túnel a várias velocidades. Para baixas velocidades (alguns centímetros por Seção4,4 A Dinâmica deumaPartícula 125 segundo)a força resistiva é devida à viscosidadedo ar, ou seja, ao atrito do ar com o corpo; neste caso,o movimento do ar é laminar, e a experiênciamostraque a força R é proporcionalà velocidade. Figura4.2 Para velocidadesmaiores (entre 1 e 20 m/s), forma-se na parte traseira do corpo uma região “morta”, onde o ar permanecejunto no corpo;em verdade o ar que aí permanecefica em movimentode rotação,tanto mais intenso quanto maior for a velocidadedo ar no túnel. Neste casoa diferençade pressõesentrea frente do corpoe sua partede trás é proporcionalao quadradoda velocidade,e assim a forçaR é proporcionalaoquadradoda velocidade. Figura4.3 Para velocidadesainda maiores, começama ocorrer fenômenos de intensa turbulência na região morta, e o modocomo R depende da velocidadeé ainda mais complexo.A experiênciamostra que para movimentossubsônicos(isto é, comvelocidadesinferiores à velocidade do som, 340 m/s), a seguinte fórmula empírica é adequada 2 R s— f(N), (4.00) onde S é a área da secçãodo corpotransversal ao movimento,p e a densidade do ar, v a velocidade do ar (no caso do túnel aerodinâmico: Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4 no casode um corpose deslocandoem ar parado, seria a velocidade docorpo)e N é o númerode Reynolds;N = “4º “onde d é o diâmetro transversal do corpo e 1]é o coeficientede viscosidade. A forma a funçãof é determinadaexperimentalmente,Até a velocidadedo som, a força resistiva é praticamenteproporcionalao quadradoda velocidade. Para velocidadessupersônicas,a força R tem uma representaçãosemelhanteà (4.66),mas f é uma funçãodo númerode Mach, que é definidocomosendoa relaçãoentre a velocidadedo corpoe a velocidadedo som. À forma de f podeser vista em livros deAerodinâmica. No problema do paraquedistaas velocidadessão baixas e podemos considerar que a resistência do ar é proporcional à velocidade. Use o conhecimentoadquirido em 4.4.2e resolvaos seguintesproblemas. Exercício 1. Um paraquedistacaindolivrementedeuma grandealtura, antesde abrir o paraquedas,tem sua velocidadelimite igual a 58 m/s. Suponhaquea massadoparaquedistaedoparaquedasé 100kg. Ache a constantek da resistênciado ar. Acheasvelocidades e distâncias percorridascomofunçãodo tempo. Quais são a velocidadee o espaço percorridoapós 30 segundos? Exercício 2. Suponha que o paraquedista do exercícioacima abre o paraquedasquando sua velocidadeé praticamente 58 m/s, e que o paraquedasé concebidopara que a velocidadede chegadano soloseja 5 m/s. Qual é o novo valor de k? Ache as velocidadese distâncias percorridas como função do tempo após a abertura do paraquedas; escrevaessesvalorespara t = 1,2,3,4 e 5 segundos.Qual seráuma altura razoávelpara abrir oparaquedaselhe dar uma chegadasegura ao solo? Se ele abrir o paraquedas a 300 m, em quanto tempo ele chegaráao solo? 4.4.3 Movimento de projéteis O modeloque a seguir descreveremosé dosmais simples que se consideraem balística. Vamosconsideraro movimentode uma partícula de massam num plano (x,y) perpendicularao solo. Suponha que no instante t — Oela sai da origemcomuma velocidadelinear vo e num ângulo « coma horizontal. O ângulo « é chamadoo ângulo de tiro. seção4.4 A Dinâmica deumaPartícula Façamosa hipótesesimplificadoradequenãoháresistênciadoar “que à únicaforçaatuandona partículaé da gravidade.Designando por ixit),y(t)) o vetor posição da partícula, temos, de acordo com a segunda lei de Newton que fig = my — —mg. (4.67) ti vetorvelocidadeinicial é dada por X(0)= (x(0),w(0))= (vocos«,vosen«). Lopointegrando(4.67)obtemos x(t) = vocosa -—vlt)=-—gt+vosena. (4.68) Integrando(4.68)e usando o fato que a posiçãoinicial da partícula é (0,0), obtemos x(t) = (vocosot ] Bt) e —59€ + (vosen&)t. (4.69) [ns expressões(4.68)e (4.69)podemosretirar uma série de informaçõessobreo problema. Por exemplo: 1) À trajetória é uma parábola: U = (tg x)x — a, 2vêcos?& (4,70) 40)A alturae a distânciahorizontalmáximasatingidaspelocorpoano [28 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 respectivamente Piá 2 va sen” Ó 2 X e 20 V Qua Z Õ =—senzZa. g (4.71) (ni) A duraçãodotrajetodocorpoatécolidircomo soloé T = 2vosen a g (1v)Variando-se « e mantendo vo constante, a distância horizontal máxima que podeser atingida é 2 Dasx =—O a quecorrespondea um ângulo« = 45º. Isso decorretrivialmenteda segundaexpressãoem(4.71). Umproblema: Qual é a regiãodoplano (x, uy)constituídapor pontosque podemser atingidos por projéteispartindo da origemcomvelocidade Vo ? Resolução:O ângulodetiro « varia entre0e7r. Para cada« temosuma parábola (4.70). A envoltória dessafamília de curvas é determinada pelométodoexplicadoem 3.4.2: fíx,y, a) =Y— (tga)x + = —— 2vGcos?x =) (4.72) gx? 0. (4.73) falx,y, É) = —(sec?a)x + sec?atg à Ee 0 Eliminando « entre (4.72)e (4.73)obtemos É Vo 9 U=> —5 29 2 2 (4.74) queéchamadaparáboladesegurança.Acimadessaparábolanenhum pontopodeser atingido comprojéteisde velocidadeinicial vo. Todos nação4.4 A Dinâmica deumaPartloula 129 vopontosda regiãoentreessaparábolaeoeixo-xpodemseratingidos. De Into,escreva(4.70)como X2 Cow 2V6 X2 a-xtgarty+2,=0 2v6 (4.75) » observequedadosx, Yy,essacondiçãoé precisamenteo fatododiscriminantede(4.75)ter duassoluçõestg x. Logocadapontoda região podoser atingidousando-sedois ângulos de tiro. Observação . Um modelomais real do movimentode projéteis deve levar em contaa resistênciado ar. Se designarmospor R a força resistiva,as equações(4.67)sãosubstituídaspor mx = —RcosO mi = —Rsen0—mg ondeO é o ângulo da tangenteà trajetória (x(t),y(t)) como eixo+». A forçaR dependeda velocidadee as considerações feitasno caso 142 acima são pertinentes. O problema se torna mais complexo,cf. Hynge-Griffith,op. cit. p. 133. Parábola de Segurança , 444 Movimentosem planos inclinados Consideremoso movimentode um corpodescendoum plano inclinado soba açãoda gravidadeesujeitoa uma forçaresistivadevidanoatrito 130 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 eU «A , mg Figura4.6 Tem-setrês forças atuando no corpo: a gravidade,a reaçãonormal N do plano inclinado e a força de atrito R. Pela segundalei de Newton: mx = —-mgsen«x + R mú = —-mgcos a + N. Como não há movimentona direçãoy, basta considerar a primeira equação.Há dois casosinteressantesa considerar: R = —ux e R = —ux?. Deixamos ao leitor as integrações,em tudo análogasao caso 11)de 4.4.2. 4.4.5 Velocidade de escape A Lei da GravitaçãoUniversalde Newtonestabeleceque duas partículas de massa m e m” colocadasa uma distância d uma da outra se atraem mutuamente,e as forças de atração têm intensidade Gmm'/d”, ondeG é a constantede gravitaçãouniversal. As forças atuam ao longo da reta que une as duas partículas, de acordocom a lei da açãoe reação. AU PA F LR > O X Figura4.7 A Dinâmica deumaPartícula 191 Seção4.4 v =vetorunitário da direçãoOA F = mm y ! F'=—emmy, / “o estudoda força gravitacional da Terra sobrecorposfora dela, podemossuporquetodaa massaM da Terra estáconcentradaemseu centro,e entãopodemostratar o problema comoo da atração entre dumapartículas. O problema da força gravitacional da Terra sobre vm corpoemseuinterior é maiscomplexoe aí nãosepodemodelá-lo tentandoa Terra comouma partícula. +constante G tem o valor de 6,67 x 10º unidade CGS. Portanto, “o forçasgravitacionaisentre pequenasmassassãoinsignificantes,o que talvezseja uma boa coisa!Assim, despreza-sea atraçãogravitatonalmútua doscorposna superfícieda Terra, em presençada força vravitacionalexercidapelaTerra sobreeles. Vamosconsiderar o problema do deslocamentovertical de uma partícula demassam e sujeita apenasà forçagravitacionalda Terra. Esseseriaum modelosuper-simplificadoda ascençãode um foguete, pois desprezaa resistência do ar e a variação de massa do foguete, fatoresquedesempenham umpapelessencialnofenômeno.O modelo &mais realista para um estágiomais adiantadodofenômeno,quando 4 foguetejá saiu da atmosferaejá liberou vários de seus tanquesde combustíveis. “entro da Terra v * <——* 0 SuperfíciedaTerra Figura 4.8 > 192 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 Usando a segundalei de Newton, podemosescrever ] GmM m% = 3 (4.76) X onde M é amassa da Terra. Por outro lado, quando x = R, a aceleração do corpoé —g, e portanto o GmM mg= —3 (4.77) Umparêntesis : Quando x está próximo de R podemossupor GM/x? constantee igual a g. E foi isso que fizemosnos problemasde quedas decorposestudadosanteriormente,poisaquelesfenômenossepassam numa regiãomuito próxima da superfícieda Terra. De fato, supondo quea Terra é esférica(vejamais adianteoscomentáriossobrea forma da Terra)comraio R = 6368km, vemosquepara x = R + 100km: GM GMDZ = So, 64682 *— 63682 o quemostraquenuma altura de 100km a variaçãoda gravidadenão ultrapassa de 3%. Voltemosàs equações(4.76)e (4.77)e escrevamos E; (4.78) Chamandov(t) = x(t) econsiderandoseparadamente osmovimentos de ascençãoe queda,podemosconsiderarv comofunçãodex e, então: dv dvdx vt dt dxdt dx: Logo (4.78)se escrevecomo dv “gr vV— =—>- dx x2 que é uma equaçãoseparávelfacilmenteintegrável: v2 gR? — = >—+ €. 2 x + (4.80) Seção4.4 A Dinâmica deumaPartícula 133 Supondoque para x = R temosv = vo (no casode movimentoascendente)ou v = —vo(no caso de movimento descendente)obtemoso valor da constantee daí v(x) = + + 2gR (: X - 1) (4.81) ondeo sinal + correspondea movimentoascendente,e o sinal — o movimentodescendente. A expressão(4.81)nos diz uma série de coisasinteressantespara o casodo movimentoascendente: (1)A velocidade decresce com a altura (11)Se vá>29R, a velocidadenunca se anula, e portanto o corpocontinua em ascençãopara sempre.A velocidadeinicial vo = 2g9R é chamadaa velocidadede escape.Usando-seg = 9,8Im/s? e R = 6368km,obtemosvo = 11,170km/s = 40240km/h, que é a velocidadede escapesem considerara resistênciado ar. À expressão(4.81)tambémnos fornecea velocidadede impacto (semresistência do ar) de um corpo abandonadoa uma grande distância,d, da Terra. Para isso,use(4.81)comx = d+Rev(x]) = 0e obtenha = = —4/29R - (a 29R2 d+R Assimse d for muito grandecomparadocomoraio R da Terra, a velocidadedeimpactoépraticamenteigual (emvalor absoluto)à velocidade deescapecalculadaacima. 4.4.6 Movimento de um foguete Um fogueteé lançadoverticalmenteda superfícieda Terra comvelocidadeinicial v(0) = O. O movimentose devea ejeçãopara baixodos gasesdeigniçãocomvelocidadeV. Vamosinicialmenteconsiderarum modelodesseproblemacomas hipótesesde quenãohá resistênciado ar e de que a única força externa atuante no fogueteé a gravidade. Referimoso movimentoa um eixo-x vertical dirigido para cima com origem na superfície da Terra; seja m(t) a massa do foguete, x(t) 194 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 e v(t) sua posiçãoe a velocidadeao instante t. Para equacionaro problema,utilizamos a 2º lei de Newton, que diz que a variação da quantidade de movimentoé igual a força atuante. A quantidadede movimentoé a soma da quantidade de movimentodo foguetecom a quantidadede movimentodosgasesde ignição, Vamos considerar a massa m(t) escrita comoa soma m(t) = m(t+ 6t) + Im(t) —m(t + 6t)), ondem(t) —m(t + dt) é a massaconsumidana formade gasesno intervalodetempoIt, t+ót| ea massarestantem(t-+ót), é a massado foguetenesseintervalo. Essa massa,m(t + ót) do foguete,é mantida constantedurante todo esseintervalo de tempo,portanto a variação da quantidadede movimentodo foguete,no intervalo, é m(t + ót)vit+ dt) —-m(t+ ót)v(t). (4.82) A massarelativaaocombustívelm(t) —m(t + dt), é consumidaintegralmentena forma de gasesno intervalo de tempoôt, e a velocidade relativa à Terra dessesgasesé v + Y, portanto a variação da quantidade de movimento dos gases,nesse intervalo, é O(v(t+ ót) + Vit + 6t)) —(m(t) —m(t+ dt))(vít) + V(t)). (4.82”) Segue-seque a quantidadede movimentoé a soma(4.82)+ (4.82). Dividindo essa soma por ôt e passando ao limite quando ôt > 0, obtemos: m(t) dv nto E dt dm Poem, dt (vit) + V(t)). Colocandou = v + V, obtemospela2º lei deNewton, -mg =mvy+ um, (4.83) que é a equaçãodo movimento(vertical, ascendente)de um foguete sem resistência do ar. Se levarmos em conta a resistência do ar teremos —mg—kv = mv +um (4.84) - TT —kv? = my + um. (4.85) ou beção4.4 A Dinâmica deumaParticula As equações(4.83)e (4.84)podemser integradas explicitamente.Já (4.85)requermétodosda Análise Numérica para sua resoluçãoaprosimada, Problema 1. Suponhaque o combustíveldo fogueteé consumidoem uma razãoconstanteb kg/s, durante um tempoT. Suponhamosque a velocidadeu deexpulsãodosgasessejaconstante.Seja mo a massa imetaldo foguete(inclue obviamenteo combustível)e consideremoso vnsode não resistênciado ar. Quais são as expressõesde v(t) e x(t)? Hesolução . A massa m é dada por m(t) = mo — bt, para O<t<T., “ubetituindo-se em (4.83) obtemos —(mo—bt)g = (mo—bt)Jv—bu deondeobtemosusandov(0) = O: vt)=-gt—-uln [ - s Mo ) » Oxt<T. (4.86) integrando(4.86)e usandox(0) = 0, obtemos dt) [ =—59t 2) em ( |—-—= t ) ut — u(t ——— —— 0<t<T. (4.87) (4. De (4,86)e (4.87)pode-seretirar várias conclusões:(1)velocidadee posiçãodo fogueteao final da ignição,(ii) possibilidadedo foguete escapardo campogravitacionalda Terra (i.e.,v(T) deveser maior que a velocidadedo escape). Problema 2. Mesmascondiçõesdoproblemaanteriore supondoagora uma forçaresistiva linear. Hesolução . À equação(4.84)se torna “(mo = btJjg — kv = (mo — bt)v — bu queé uma equaçãolinear de primeiraordem(cf. secção2.1),a qual podeser integrdaexplicitamente. Exercício| Um foguetede massa M, contendouma massa m de com bustivel cai sobrea Terra a partir de uma grandealtura h. Suponha 136 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 queelequeimao combustívelna razãode k unidadesde massapor segundoe que ejeta para baixoos gasesde igniçãocomuma velocidade u relativa ao foguete.Ache a velocidadee o espaçopercorridoao final da ignição. Qual é a velocidadede impacto? Desprezea resistência do ar. 4.4.7 EnergiaCinéticae Potencial Na secção3.3 definimoscamposde forçase introduzimos a noçãode ' trabalhodeum campoaolongodeum caminho,bemcomoa noçãode campoconservativo.Suponhamosagoraqueuma partícula de massa “ m semovimentasoba açãode um campode força F:O — Rº definido em um abertoO de Rº. Seja X(t) o vetorposiçãoda partículanum instante t. Definimos a energia cinética da partícula no instante t comosendo Ea= mv, v=|X|, (4.88) ondev designaa velocidadeescalarda partícula. Derivando (4.88)comrelaçãoa t obtemos Es nO =OMF) (4.89) ondeutilizamos a 2 lei de Newton para escrevera última relação,e (, ) designao produtoescalaremRº. Por extenso,teríamos d|1 Ec=ET mb 242) ondeX = (x,y,z)eF = mkx+múy+mzz=fix +ou +tai, = (frTta,f3): Integrando (4.89) com relação a t do tempo inicial to até ty, obtemos: Eclt;) —Eclto)-|[ ty to (FX) dt. (4.90) À expressãono22ºmembrode (4.90)é o trabalhodo campoaolongoda trajetória da partícula do instante to ao instante tj. A relação(4.90) diz entãoquea variaçãoda energiacinéticaemum certointervalode tempo é igual ao trabalho da força durante esse tempo. Esse fato é conhecidocomoa equivalênciada energiacinéticae do trabalho. Seção 4.5 O Oscilador Harmônico Suponhamosagoraque o campode forças F sejaconservativo.Então, segue-sede (4.90)que Ec(ti)—Eclto)= V(X(ti))—V(X(to)) (4.91) onde V é um potencial de F. Agora definimosa energiapotencial do campoF como U(X) =—V(X). (4.92) Logode (4.91)e (4.92)obtemos: Ec(ti)+U(X(t1))—Ec(to)+U(X(to)) odaí seseguequea energiatotal definidapor E(t) = Ec(t) + U(X(t)) oconstante.Esseé oPrincípio da Conservação da Energia,queentão diz quea energiatotal da partícula é constantenum campoconservaLVvo, 4,5. O Oscilador Harmônico () osciladorharmônicoé o modelomatemáticopara o movimentoretilineo de uma partícula sujeita a uma força atratora para a origeme commagnitudeiguala ummúltiplok (constantepositiva)dadistância à origem: x e» -kx e 0 x £€——a -kx > X Figura4.9 Designandopor m a massada partícula, a 2€ lei de Newton nos da mx = —kx ou seja mk +kx =0, (4.93) que é a equaçãodo oscilador harmônicosimples. Se no osciladorhouvera presençade uma forçaresistiva proporcional à velocidade,a 2º lei de Newton nos dá mX = —kx — ux, onde | é uma constantepositiva, ou seja mã +ux +kx = 0, que é a equaçãodo oscilador harmônicoamortecido, (4.904) 138 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 Finalmente, suponhamosque há uma força externa atuandona partícula, força essa que independe da posição e da velocidadeda partícula, mas que pode variar com o tempo. Neste caso, a lei de Newtonnosdá: mk = —kx—ux + F(t), ou seja mx + ux + kx = F(t), (4.95) que é a equaçãodo oscilador harmônicoamortecidoeforçado. Antes de descrevermosa matemáticadas equações(4.93),(4.94) e (4.95)acima,cremosque seja convenientediscutir alguns exemplos de fenômenosfísicos ondemovimentosharmônicosocorrem. Exemplo1. (Vibrações de molas.) Consideremosuma mola helicoidal (idealmentesemmassa)fixadaem uma das extremidadese pendendo verticalmente,comoindica a figura A abaixo. Suponhamosque se fixa um corpode massa m em sua extremidadelivre. A mola então se distende passando a uma nova posição de equilíbrio, figura B. Nestanovaposição,o equilíbriosedevea quea forçainternada mola contrabalançao peso do corpo. A força interna é dada pela lei de Hooke: “Seuma mola for distendidaou comprimidade um compri- mentod, entãoa forçainternatem magnitudekd e é dirigidaem sentidoopostoà deformação; k > Oé a constanteda mola”.Usandoa lei de Hooke obtemos mg = kd. 4 (4.96) X O x | Figura 4.10 m ak(d-x) a - mo beção4.5 O Oscilador Harmônico Suponhamosque agoradeslocamosa massaaté a posiçãox < O sobreo eixo x, veja figura C. Nessa posição,as duas forças atuando na molasão:o peso—mge a forçainternada molak(d —x), queé dadapelalei de Hooke. Se x > O,as forçassão —-mge —k(x —d). Em qualquer caso,usando-sea 2º lei de Newton para o movimento da massa m, obtemos mk =-—-mg+k(d —x), a qual,juntamentecoma lei deHooke(4.96),diz quex(t) satisfazà squação(4.93),mostrandoqueoosciladorharmônicosimplesdescreve 4 movimentoda massa m ligada à mola. Suponhamos,a seguir,queomovimentoda massam sedêemum meioAuidoquelhe opõeumaforçaresistiva proporcionalà velocidade. Então,a lei de Newton diz que mk =-—-mg+k(d—x) —ux andeq éumaconstantepositivacomsignificadofísico,cf. secção4.4.2. ni e de(4.96),obtemosquex(t) satisfaz à equação(4.94),mostrando queagorasetemum movimentoharmônicoamortecido.Este termode amortecimentoéaltamentedesejávelemalgunsaparelhosmecânicos. or exemplo,nasbalançasdealta sensibilidadedeseja-seumarápida vntabilizaçãodos pratos, e isso se conseguepela introdução de dispositivos,chamados amortecedores,cujo comportamentomatemático obedece à descriçãoacima. Comentáriossobre a lei de Hooke Hibliografia: I.S. Sokolnikoff, “Mathematical Theory of Elasticity”, MeGraw Hill Book Company Inc. (1946). Em 1676,Robert Hooke publicousua lei na forma de um anagrama: “ceiiinosssttuv”.Dois anos depois ele deu a solução: “ut tensio sic vis”. No séculoXVIII, possivelmente,todo mundoentendeu.Comohoje em dia não se ouve Latim, nem aos domingos,faz-se necessáriouma terceira forma da lei de Hooke: “a extensãoé proporcionalà força”.A lei de Hooke fax parte da Teoria da Elasticidade e é de grande interesseno estudoda resistênciados materiais. As experiênciasmostramque ela se aplica para o caso de pequenasdeformaçõesdo material, o que ocorredentro do seu regime elástico. Considere uma barra fina de metal duúctil 139 140 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 de comprimento( e áreada secçãotransversaligual a A; submetida a forçasde tração variáveis, H,obtém-secorrespondenteselongações d. Designandopor o = F/A o esforço(“stress”)e por e = d/£ a deformaçãopor unidade de comprimento(“strain”), as experiências conduzemao gráficoabaixoondeo trechoOP é praticamentelinear te Y Figura 4.11 comequaçãoo = Ee, ondeE é o módulode Young. No gráfico,o pontoP é chamadoo limite deproporcionalidadee o pontoY é o limite elástico.O limite elásticoquer dizer quedeformações até essevalor nãosãopermanentes,isto é, retirada a forçadetração,a barra volta ao seucomprimentoinicial. Além dessepontoa barra sedistendecom poucoounenhumaumentodatração. O pontoU correspondeaoponto deruptura da barra, ovalor de o correspondenteé a cargaderuptura. Além da carga de ruptura, o material ou quebra ou sofre um escoamentofazendoum estrangulamentoda secçãotransversal em algum ponto. Para que o leitor tenha uma idéia da ordem de grandeza de esforçose deformações,damosos seguintesdadospara o casode uma barradeaçocommódulodeYoungiguala 21x 10!ºN/m?: (1)O esforço correspondenteao limite de proporcionalidadeé 175x 10ºN/m?. (ii) O esforçocorrespondenteao limite elásticoé 210 x 10ºN/m?. (iii) A cargaderuptura é da ordemde 350 x 10ºN/m?. (iv) A deformação causadapor um esforçode 85 x 10ºN/m? é 0.0004em/m. Exemplo 2 . (PênduloSimples.)O pêndulosimples consistede uma partícula de massam fixada na extremidadeinferior de um fio inextensívelUidenlmente semmassa)de comprimentoº, cuja extremidade superiorestá fixada. Supõe-seque o movimentose dê em um plano vertical, Demignamos por Oo ângulo do fio coma vertical. Beção4.5 O Oscilador Harmônico Usando a lei de Newton temos: mx=-—IsenO e my =mg-— Tcos0, deondese obtém,eliminandoT : Xcos0 —ij senO= —gsenO. Como + EsenDey = tcos0, obtemos X t(sen0)0? +L(cos0)ô e y=-tf(cos0)62 —f(sen0)Ó; voltandoà equaçãoacimaobtidada lei deNewtontemos t0+gsenO =, queo na equaçãodopêndulo. Observeque setrata deuma equaçãonão Hnenr,a qual será estudadaem detalhemais adiante. No momento “amosconsideraro casodas pequenasoscilaçõesdopênduloo quenos permitefazeruma aproximaçãosenO » 0, e a equaçãodopêndulose torna tô+99=0, a qual é do tipo (4.93).Temosassimum movimentoharmônicosimplon, > Ô x 9 | A m vu m 9 Figura4.12 45.1 Oscilador HarmônicoSimples Escrevemosa equação(4.99)na forma t+Hwlx=0 (4.97) sude w” = k/m. A soluçãogeral da equação(4.97)é dada por x(t) = Cycos vt +Co sen wl (4,9H) 141 142 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 onde cj e cp são constantesarbitrárias que podemser determinadas sabendo-sea posição inicial da partícula, x(0) = xo, e sua velocidade inicial, x(0) = vo. Assim de (4.98)temoscy = xo. Derivando (4.98) e fazendot = Oobtemosczw = vo. Logo (4.98)podeser escritocomo Vo x(t) = xocoswt + q Senwt. (4.99) Agora definimosas constantesÀ e «ppelasexpressões A =+ aa 2 (CO), cosdp= —º e sen = O (4.100) coma restriçãoO<p < 271.Usando(4.100)em(4.99)obtemos x(t) = A cos(wt—p). (4.101) Portanto, temos um movimentooscilatório em torno da posiçãocentral x = O. O afastamentomáximo da posiçãocentral, A, chama-se amplitude. O períododa funçãoco-senoem (4.101),T = 271/w,é o período do movimento,o qual significa o temponecessáriopara uma oscilaçãocompleta.O inversodoperíodoéafregiiênciaf = w/27, que significa o número de oscilaçõespor segundo.O ângulo & é chamado o ângulo defase. Designandopor v(t) a velocidadex(t), obtemosderivando(4.101) vit) = —Aw sen(wt —q). (4.102) Observeque a velocidadeé zero quando a partícula estiver nas posiçõesmaisdistantesde x = O. E, também,a velocidadeé máxima (em valor absoluto)quandoa partículapassapelaposiçãocentral. Pense na molae no pêndulo. Observequea amplitudeA podeser superiora |xo|,seà partícula, ao invésde sor simplesmenteabandonadana posiçãoinicial x = xo, dermos uma velocidadeinicial. 143 ) », Se a ” Pal o 4, Figura4.13 t mmentários sobre o pêndulosimples e a aceleraçãoda gravidade Poloqueacabamosde fazer,vemosque o períododas oscilaçõesdeum pondulosimplesé E =. t g Eotafórmulamostraqueoperíodoindependedaamplitude:essefato tmobservadopor Galileu, e é denominadoo isocronismodas pequenas oscilações.A fórmula tambémnos dá um modode calcular a aceleraçãog da gravidade,bastandopara isso medir o períodoT de sscilaçãodopêndulo.Assim foramfeitasas primeirasdeterminações do 1, desde a épocade Newton. Com o passar do tempo o método tmnperfeiçoado:(i) construçãode pênduloscujo atrito no pontode suspensãoé praticamente desprezível. (ii) Kater em 1817mostrou quesepodiausar umpênduloreversívelformadodeumabarra sólida quepossuedoispontosdearticulaçãoA, e Az coma propriedadeque suspensonum (A) ou noutro (Az) o pêndulotemmesmoperíododas pequenasoscilações.Ele entãoprovouque o períododessepêndulo reversívelé igual ao períodode um pêndulo simplesde comprimento igual à distância de Ay e A>. Esse métododá boa precisãoe era o mais usadoaté meadosdesteséculo,quando,o desenvolvimentodetécnicas aticase o empregode raios laser para mediçõesde tempopermitiu o uso do fenômenoda queda livre de corposatravésda fórmula (4,51) danocção4.4.1. (ii) Para contrabalançareventuaisvibraçõesdoeixo desuspensãousa-sedois pêndulosreversíveisoscilandoemdireções opostas. A determinaçãoda gravidade em vários pontos da Terra 144 EquaçõesDiferenciais deSegundaOrdem Cap.4 servepara,emprimeiraaproximaçãomostrara suanãoesfericidade, através da fórmula R=4|- GM g onde G é a constantede gravitaçãouniversal, M é a massada Terra; a fórmula acima se segueda equação(4.77)da secção4.4.5. Medições mostramque o valor de g no polo é 9,8322m/s” e no equadoré 9,7804m/s?; na prática utiliza-se o valor médio de 9,81m/s2. Newton utilizando essaidéia mostrouque o raio equatorial é 231/230 vezeso raio polar. Em 1720,Jacques Cassini chegoua um resultado oposto àquele de Newton. Para decidir a questão, a Academia de Ciências da França enviouexpediçõesà Lapônia e ao Peru coordenadas por Maupertius. As medidasrealizadas mostraram que, de fato, a Terra é achatadanos polos.Voltaire elogiouo trabalho de Maupertius, chamando-ode“achatadordospolose deCassini”. [Cf M. Line, “MathematicalThought fromAncient to Modern Times”,Oxford University Press,New York (1972)].A questãoda formada Terra é um problemacomplicado,em primeiraaproximaçãopode-sesuporqueé um elipsóide achatado. Entretanto, em maior precisão, sua forma é de um corpodiverso,chamado geóide. 4.5.2 Oscllador Harmônico Amortecido Escrevemosa equação(4,94)na forma t+ Ivx+ wêx=0 (4.103) onde 2v u/me q” k/m. (Comovimos na secção4.2.2, as soluçõesde(4,109)apresentamcomportamentos diversosdependendo das raízes da equaçãocaracterísticaA? + 2yA + w? = 0, ou seja, do sinal do discriminante VW 4k uv -4Skm Ave— 4 —(E a 4 me m m . Amortecimento forte: |” » 4km,ou sejav > w. Nestecasoa soluçãogeral de (4,103)€ Jef. nocção4.2.2]: x(t) e eye! | Co€ = +Vv2-qw2, (4.104) Beção4,5 O OsclladorHarmônico 145 andeasconstantesc4e cz podemser determinadasemtermosda velovidadeinicial e da posiçãoinicial. Não escreveremosessasexpressões poisnãocremosqueelasnosdigamnadainteressante.Comov > w, temos que lim x(t) = 0. t— 00 4 velocidadeemum instantet é dadapor v(t) = x(t) e daí vt) =e“Te(t—-v)et— cost+v)e 9, mostrando que ela se anula, no máximo, em um único valor de t, o qualé dadopelasoluçãode gift las co(L = v) cit —+) iso implicaqueX(t) seanula,nomáximo,emumvalordet. Assim, temosa possibilidadedostrêsgráficosabaixo.O movimentosechama uperiódico. A x 0 o E ao ni e então t X Xo | —— t Figura 4,14 > 146 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 ii. Amortecimento crítico: |“ — 4km, ou seja v soluçãogeral de (4.103)é x(t) = ee =w. Neste caso q +cat). (4.105) Nestecaso,C1= X0€C2= Votvxo. Aqui tambémtemosquex(t) — 0 quandot > oo. À expressão(4.105)nosdiz quex podeseanular para, no máximo,um valor de t. A velocidadenum instante t é dada por v(t) = e(cz —vc) —covt), e comono casoanterior ela podese anular em,no máximo,um ponto. Logo,osgráficospara x(t) têmo mesmoaspectodo casoanterior. iii. Amortecimento oscilatório: |? < 4km, ou sejav < w. Neste caso,à soluçãogeral de (4.103)é x(t) =eeycostt +cosentt], L=+Vw2-—v2. (4.106) Definimos as constantesÀ e & comono casodo osciladorharmônico simples A=+ ci+c, cosP = a sen Pp- Obtemos x(t)=Ae" cos(tt —d). (4.107) As constantesÀ e P podemser determinadasem termosda posição xo é da velocidadeinicial vo. Temos tambémque x(t) — O quando t —+ 00, Neste caso, entretanto, o movimento é oscilatório, mas a amplitude(Ae “9 desuasoscilaçõesdecresceexponencialmente.Vêsequex(t) seanulanospontosty tais quelty—p — (2k—1)5. Calcule a velocidadev(t) evejaqueela nãoseanulaprecisamenteempontos te múltiplos (defasadosde 4 /() de 71,ao contrário do que aconteceno movimento harmônico simples. 147 454 Oscilador Forçado “amostratar apenaso caso em que a força externa é periódica tipo “seno. O procedimentoé análogono casode um seno. À equação 4 1053) se torna x+2x +w?x=Eocoswot (4.108) sudo Zv = u/m, w? = k/m, wo > 0 e Eo > 0 são constantesdadas, Para escrevermosa soluçãogeral de (4.108)necessitamosde wmasoluçãoparticular dessaequação.Vamosconsiderardoiscasos. mol. (vV£Oew £ wo). Usandoo métododoscoeficientes a determinar(cf. secção4.2.4,poder-se-iatambémusar o métodode variaçãodosparâmetros),obtemosuma soluçãoparticularde (4.108) na forma Xp(t) = Ccoswot + S senwot, C = (w*—v)EA”!, E. ande (4.109) 2vwoEoAT!, A = (q? wo)? +4v2wg. (4,110) omo fizemosna passagemda expressão(4.99)para (4.101),a solução 148 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 particular (4.109)podeser escrita como Xp(t)=Aycos(wot —Pi) onde (4.111) Aj=+VC2+82=A""2E,, cosby =C/A; e (4.112) senby = S/Ajs. Logo,a soluçãogeralde(4.108)é Kit) = xaLE)+ 005ht) (4.113) onde xp é a expressão dada em (4.111) e xn(t) é uma das expressões dadasem(4.104),(4.105)ou (4.106),dependendodosvaloresdev e w, Assim o movimentoda partícula no osciladorforçadoé a superposição de um movimentoperiódicode período 271/woe de um movimento aperiódicodado por (4.104),(4.105)ou (4.106).Vê-se, de (4.113),que quandot > +oo,x(t) — xp(t), isto é, a parteaperiódicaxn(t) tem um efeitonegligenciável,e o movimentoé essencialmenteperiódicoe descritopela expressão(4.111).A parte xn(t) é chamadatransiente. Casoll. (v=0ew wo). Nestecasoa equação(4.108)setorna x+w?x=Eocos Wot. (4.114) Procedendo-secomono CasoI (aliás, o quelá sefez éválido nestecaso poisw £ wo implica A 0, e assimnãohá querepetir os cálculos), obtemosuma soluçãoparticularde(4.114): Xp(t) — Ay cos(Wot — 1) onde À| ué ) — q] = "Es, cos PD] = sgn(W — Wo), sen Consequentemente,um poucode trigonometrianos dá Xplt) Eo ———s CO8Wot. (WU— WG PD] e 5À beção4.5 O OsciladorHarmônico 149 omo cosWwté solução da equaçãohomogêneaassociadaa (4.114), podemosescolhera seguintesoluçãoparticular de (4.114): Lodt] =— E: Es (cosWot —coswt). (4.115) Lopo,a soluçãogeralde(4.114)é obtidausando-se(4.101)e (4.115) x(t])= A cos(wt—|) + Eo 5 (cosWot—coswt). w2—wo (4.116) Asnim,nestecaso,o movimentoé a superposiçãode dois movimentos: | Movimentolivre: A cos(wt—q), correspondendoaocasoemquenão ha forçaexterna (Eo = 0), que é um movimentoharmônico simples, periódicocom frequência w. A frequência w é chamadafregiiência mutural. (ii) Movimentoforçado: Eo(coswot —coswt)/(w? — w5), vorrespondendo ao osciladorharmônico x+wx=E 40] =D) Ea =, wot (4.117) Análise do movimentoforçado | Se w/wo for um númeroracionalentãoa funçãoy(t) = cosWotvom (Ut é periódica. De fato, seja p/q a fraçãoirredutível, que é igual 4 «w/o. O períodofundamental de coswot é 277/Wo,e daí 271q/Wo tambémé um período. Do mesmomodo,271p/wé um períodode vom «Ut.Logo,27q/Wo = 277p/Wé o períodofundamentaldey(t). “15e w/wo nãofor racional,entãoy(t) nãoéperiódica,masé quaseperiódica,um conceitointroduzido por Harald Bohr. Uma boa reIl»rônciapara esseassuntoé o livro “AlmostPeriodicFunctions”do próprioBohr,publicadopelaChelseaPub. Co. (1947). | Usandouma identidadetrigonométrica,queo leitor facilmentedescobriráqual é, temos: Xplt)=— 2Eo ———+ sen w2 —q (0 —wo)t 2 (0 +wo)t sen — 2 . (4,11M) de«wu for“praticamente”igual a wo temosquea frequênciadoprimeiro seno em (4,118) é muito menor que o do segundo seno, Designamos 150 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem por A(t) = 2Eo Cap.4 w2—wg . e Ss n (uv — wo)t ua e 2 a amplitude (variável) do movimentodescritopor (4.117). Essa amplitude tem um longo período quando comparadocom o período do segundoseno.Daí ela ser chamadodeamplitudede lentavariaçãoe à função (wo+ wo)t sen 2 se diz que é modulada por essa amplitude. O fenômenodescritopor (4.117)comw — wo (i.e. w perto de wo) é chamadode batimento. A nomenclaturabatimentovem de Acústica: cada nota musical tem uma frequênciaprópria; quandouma nota básicae a nota correspondente do instrumento musical são tocadas simultaneamente, haverá batimentocaso suas frequênciasdefiram ligeiramente. Afinar o instrumentosignificaajustá-lodemodoa evitarbatimentos. 2E, | Io?- oo;| co? —5% | , p E - AN E ha A b ( por 21 [0-0] a ZE,; sem(0+00)tsen(0 - Oo)t [007 —qo | Figura4.16 Casoll, (v=0, w = wo). Neste caso coswt e senwt são soluçõesda equaçãohomogêneaassociadaa Xx+w?x = Eo coswt. (4.119) Portanto,umasoluçãoparticulardeveserdeterminadana forma Xplt) = 1(C coswt + Ssen mt), seção4,5 O OsciladorHarmônico 151 Substituindo-se em (4.119) obtemos E Mid) = a t senwt. (4.120) Lopo,de (4.101)e (4.120)se obtéma soluçãogeral de (4.119): Ê x(t) = A cos(wt—bp)+ O teoswt. 2W “ont, Omovimentoé a superposiçãode um movimentoharmônico simples e de um movimentooscilatório de amplitude crescente 151/40] tendendopara infinito. Esse fenômenosechamaressonância Comentários sobre a ressonância "Ora, Jericó estavacuidadosamentedefendidacombarricadascontra os israelitas; ninguém saía, nem entrava. Então Javé disse a Josué, “Agora eu ponho Jericó e seu rei em vossas mãos. Todos vós combatentes,valentes guerreiros, marchareis em torno da cidade e fareis o circuito uma vez, repetindo-odurante seis dias. E sete sacerdoteslevarão sete trombetas diante da arca. Ao sétimo dia, contornareisa cidadesetevezes,e os sacerdotestocarãosuas trombetas. Quandoa buzina de carneirotocare quandoouvirdeso somdas trombotas,todo o povo deverá dar um forte grito de guerra, e os muros da cidade ruirão imediatamente;então o povo poderá invadir a cidade,cada homemseguindodiretamenteem frente” (Tradução livre 152 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 doCapítulo 6, Versículosde 1 a 5 doLivro deJosué, “TheJerusalem Bible”, Doubleday,New York (1971)). 2) O fenômenoda ressonânciadesempenhaum papel importante no projetode sistemasmecânicosnos quais há forçasvibratórias, pois as grandesamplitudes previstas em (4.120)podemocasionaruma ruptura do sistema. À pontede Broughton, na Inglaterra, ruiu em 1831 quandouma colunade soldadosmarchandoem cadênciasobreela provocouuma forçaperiódicade grandeamplitude e frequênciaigual a frequência natural da ponte; ressonânciaentão ocorreu. Hoje em dia, quandopassamsobrepontes,os soldadossabiamentequebrama cadência. Ressonânciatambém foi responsávelpelo colapsoda ponte Tacoma nos Estados Unidos em 1940. Aqui a força externa apareceucomo consequência da má aerodinâmicada ponte. 3) Frequência de Ressonância. Estudamos agora o osciladorforçado (4.108)com forças variáveis Ego cosWot. As amplitudes das soluções xp(t)sãodadaspor E A(wWo) = —===== Vu? —w5)2+4v2w E fácil determinarqueo máximode A(wo) ocorrequandoWo = Wy dadopor quandoO < V<-5 para ela a amplitude Wr é chamadaa fregiiênciade ressonânciae RUdale Eo Zvvw?—y? é máxima. Quantomenorv maior será A(w,). (4.121) No limite (v = 0) teremos A (w,) = oo, que é a ressonância pura estudada acima. Entretanto nos problemaspráticosv 0, podendoser pequenoe nesse caso A(w,) é dado por (4.121). Observe a importância da fórmula | (4.121): se tivermos um modode diminuir v, a amplitude A(w,) será | aumentada. | Beção4.5 454 O OsciladorHarmônico 1! Comentários sobre a energia do oscilador harmônico Suponhamos,inicialmente,o caso do osciladorharmônicosimples. Vamosescolherx = O comoo nível de potencial zero. Definimos a energiapotencial Es(x) no ponto x comosendoo trabalho necessário para levar a massa m da posiçãoOaté a posiçãox: Ep(x) = / ' 0 ] ks dá = 5x. (4.122) Hbservequeessetrabalhoérealizadocontraocampo—kxresponsável pelo movimento do oscilador; no caso da mola, E, seria o trabalho necessário paradistendê-laou comprimí-laatéa posiçãox. Define-se a energiacinéticapela expressão Eclx)= me. (4.123) Assima energiatotal será E(x) = Es(x) + Eclx) = a + mê. (4.124) Calculandoa derivada de E comrelaçãoa t obtemos = = (kx + mãx)x (4.125) queé igual a zero uma vez que x satisfaz à equaçãodo oscilador harmônico simples. Consequentemente, a energia total é constante, tendo-seassim conservaçãoda energia. Suponhamosa seguirqueo movimentosejaamortecido.Então de (4.125) obtemos dt dt — —ux? W , aa v que quer dizer que a energia do osciladorharmônico decresce.A quedada energia do instante to a ty é dadapor Elto) —E(ty) -| ti to ux? a [ x(t1) x (to) ux dx, queé portanto igual ao trabalho da força resistiva. Assim, a energia do oscilador é consumida para vencer a força resistiva. No casode 154 EquaçõesDiferenciais deSegundaOrdem Cap.4 sistemasonde a força resistiva correspondea uma força de atrito, a energiado osciladoré transformada aospoucosem energiatérmica, Finalmente, se tivermos um oscilador forçado, a expressão (4.125) se torna dE a AE uxº + F(t)x. Agora a variaçãoda energiadependetambémda forçaexterna,e ela é igual aotrabalhodaforçaux—F(t). Portanto,seF(t) > ux, a energia do osciladoraumenta: a força externaestátransferindo energiapara o oscilador. 4.6. Campos Centrais de Forças Um campodeforçasF emRº écentralseemcadapontoX = (x,u,Z) « Rº ondeele está definidoF apontapara um pontofixo, chamadoo centrodo movimento.Escolhendoa origem (0,0,0) para centrodo movimento,um campocentral podeser escritocomo F(X) = f(X)X (4.126) ondef é uma funçãoescalardefinida nos mesmospontosX de campo dedefiniçãode F. Antecipandoas aplicações,é importantesuporque F'não está definidona origem. Os resultadosseguintesexibemas conexõesentre camposcentrais € camposconservativos.Paraadefiniçãodecampoconservativo, confira a secção3.8. Proposição 4.6. Seja F um campoconservativo, e V umpotencialde -. Então, F é central see só seV dependeapenasde |X|=vx2+y2+22. É nestecaso,existeuma função real de variável real, q, tal que F(X)=g(|X|)X. (4.127) Demonstração : (i) Suponhaque F é central. Queremosprovarque V é constante sobre as esferas |X| = To = constante. Seja a(t) um Beção4.6 CamposCentraisdeForças saminho com |a(t)| = ro. Então CVladt) =(VV(a(t)), &(t))=(Fla(t)),&(t)). Usando(4.126)obtemos d o ato A à de? qeVolt) =flo(t))(out), ó(t))=5f(0(t)) lot) queé zeropois|«(t)| = ro. LogoV(X) = const.quando|X| = ro. 1) SupondoqueV dependeapenasde r = |X|,temos oV dVOr dx drox dVx drr' quejuntamente com duas outras expressõesanálogaspara 0V/0y e 1V/dz nos diz que ] FX) =VV(IX)= x“ tIXDX, uusejaF é central. 1) Finalmente,observamosque (4.127)se verifica com g()=V(1)/r. Proposição 4.7. Seja F um campocentral contínuo,cuja magnitudeF depende apenasde|X],istoé, F(X)= g(|X|)X. Então, F é conservativo. Wemonstração : Basta exibir um potencialV para F. Seja G(r) uma primitivadafunçãorg(r). Então à umpotencialde F, pois oV e XIX VOX) =G(X]) dr x - XIg(IXD==g(|X|)x. Espressõesanálogaspara9V/dy e dV/0z implicamqueF é conserva tivo. nu 155 156 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap.4 À seguir mostramosque, no estudodo movimentode partículas em camposcentrais, nada se perde em nos restringirmos ao plano, É comum usar-se a expressãoórbita para designar a trajetória da partícula. Proposição 4.8. Suponha que uma partícula de massa m estejaem movimentosoba açãode um campocentralF. Então,sua órbitaestá contida num plano. Demonstração : À 2€ lei deNewtonnosdiz que mX = F=f(X)X. Tomandoo produtovetorial dessaequaçãopor X obtemos mXxX=0 (4.128) pois X x X = 0. A expressão(4.128)podeser escrita como EX XxX)=0 > XxX=C= vetorconstante. (4.129) Finalmente, tomando o produto escalar da segunda equação em (4.129)comX obtemos(X, C) = Opois(X, X x X) = 0. Logo cix(t)+coult)+caz(t) = 0 ondeC = (c1,c2,c3)e X(t) = (x(t),u(t),z(t)). PortantoX(t), para todot, estánum planopassandopela origeme perpendicularaovetor C, caso€ £ O. Se € = O teremosque trabalhar um poucomais. Fazendor = |X|temosTT= (X, X). Logo,parar £ Otemos AX XIX dt r (XXXX, r2 Tê e usando a identidade vetorial obtemos Portanto X/r XDY-VDX=(XxY dX dtr (XxX)xX 73 XX xZ CxX qo =vetor constante,ou seja X(t) está sobre uma reta, Seção4.6 CamposCentraisde Forças Em virtude da Proposição4.8, passamosa consideraras forças » o movimentono plano (x,y). Considere uma partícula de massa m sedeslocando no planosoba açãode um campoF. SejaX(t) = s(t),uy(t)) o vetor posiçãoda partícula no instante t. Define-seo momentoangular (ou momentoda quantidade de movimento)com relaçãoà origempela expressão h = m(xy —yX). | A (4.130) Proposição 4.9 (Lei da Conservação do MomentoAngular no MovimentoCentral.). “Suponha queumapartícula demassamestá emmovimentosoba ação deum campodeforças F = (f1,f>2).Então, o momentoangular h é constantesee só seo campofor central. Hemonstração : Derivando a expressãodo momento angular h com relaçãoa t, obtemos: “ A h = m(xiy—yX) queimplica,atravésda 2º lei deNewton,a expressão . a) h = xfz —yfy 4 qual é zero se e só se F = (fy,f>) for paralelo ao vetor X = (x,y), iWto é,seo campoF for central. m No estudo dos movimentos centrais, é bastante útil o uso das mmordenadas polares =— Tcos0 e y =TsenôO. (4.131) A orbita (x(t),u(t)) de um partícula é então determinadapor '+/1),0(t)). Temosas seguintesrelações,ondev? = x2 + y?: t+ tcos0-rÔsenO, y=TsenO+trôcosO, v2=+2+r20” (4.132) %= ?cos0 —2rÔ senO — Tôsen O — rTÓ?Z cosO y = f'sen O + 2t0 cosO + rÔ cosO — rÓ? sen O. (4.133) (4.134) 158 Equações Diferenciais deSegunda Ordem Cap.4 As expressões(4.132)nos dão a seguinteforma para o momento angular: h = 2mr?6. (4.135) Logo, a Proposição4.9 nos diz que r26 = constante =h. (4.136) A expressão(4.136)implica que Ôtemum sinal definido,ou seja, O(t) é umafunçãoestritamente monotônica aolongoda órbita. O(t) não seria estritamentemonotônicase h = 0, e nessecasoa trajetória da partícula seria ao longo de uma reta passandopelo centro do movimento; esse caso não é interessante, e portanto suporemos sempre que h * O. Assim,a áreaentrea curvae doisraiospartindoda origem paraospontosXo = (T(to),O(to))e X = (r(t), O(t)) é dadapor Figura4.18 A derivadadeA(t) comrelaçãoa t échamadavelocidade areolar. Segue-sede (4.137)e (4.136) À(t) =7º6= const., o que demonatrao seguinteresultado: (4.138) beção4.6 CamposCentraisdeForças 1! Proposição 4.10. (SegundaLeide Kepler.)Se F é um campo central de forças,entãoosraiosvetoresligandoocentrodomovimentoàpartícula vurrem áreas iguais em temposiguais. Fórmula deBinet. De acordocom a 2º lei de Newton, as equaçõesdo movimentode uma partícula de massam num campocentralF(X) podemser escritascomo mx = Pcos0O mnde e my = PsenO, (4.139) P=P(X)=HX)X|, prota FX) = f(X)X = f(X)(r cos0,Tsen 0). Hecorrede(4.133)e (4.134)que icos0+HysenO=+t—rÔ? e XsenB—icos0 = —276—rÔ (4.140) o daí obtemosas duas seguintesequações,equivalentesa (4.139): t— r6? = - e 210+710=0, (4.141) quesão,pois,as equaçõesdo movimentoemcoordenadaspolares.A 4º equaçãoem (4.141)é equivalente a (4.136),e portanto não será necessárianas considerações que se seguem.Já observamos(e usamos)acima o fato que (4.136)implica que O(t) seja estritamentemonotônica;isso implica que podemosobter t comofunção de 0, consequentemente 7 comofunçãode O;usamosa notaçãor(0) para designarr(t(0)). Portanto,podemoscalcularas seguintesderivadas, usandoa regra da cadeia: d /1 r + o F Tirando o valor de f na última expressãoem (4.142)e levando-oem (4,141) obtemos: dº ) do?À r LD ro mh?' (4.143) conhecidacomo a fórmula de Binet, que é a equaçãodiferencial de todasas órbitas 1— r(0) de uma partícula de massa m num campo 160 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 centralF = (P(r) cos0, P(r) sen0). Conhecendo-se osvaloresde r, 0, Tedemt=O0: r(0)=10%£0,0(0)=01, H0)=v e 0(0)=vo/10o%0 Figura4.19 podemoscalcularosvaloresiniciais de 1/r comofunçãode Oe o momentoangular h: ] (01) — ] tro d ei /1 ss =— de (+) lo=o, Vr Veto , h = TAV am 4.144 os quais, juntamente com a equação(4.143)determinam univocamente a equaçãoda órbita com esses dados iniciais. Tal assertiva decorredo teoremade existênciae unicidade, uma vez que se suponha queP(r, 0) sejaumafunçãode classeC! der e 0. (ue informaçõespodemosretirar da equação(4.143),antes de resolvê-la?Sem especificarainda a função P = P(r,0), que podemos dizer sobrea geometriadas órbitas? Supondoque P dependaapenas de 1, muito podemosdizer, e isso faremos a seguir. Para tal vamos obterumaequaçãodiferencialdeprimeira ordem“quaseequivalente” a (4.145), Inicialmente, observamosque a Proposição 4.7 implica que F sejaconservativo;seja V f Pinar Seção4.6 Campos Centraisde Forças umpotencialpara F. Logo,tem-seque a energiatotal aolongodeuma órbita é constante[cf. secção4.4.7]: ] E es mv? + V = constante, deondeseseguea equaçãoabaixo,utilizando (4.132),(4.136)e(4.142): ão (5)| tio Eng. do lr r2 mhz? 2 (4.145) A quaseequivalênciadas equações(4.143)e (4.145)quer dizer o seguinte: (1)todasoluçãor(t) de (4.143)é soluçãode (4.145);(ii) se tt) for uma soluçãonão constantede (4.145),entãoela é soluçãode 14,143).A parte (1)é o próprio Princípio da Conservaçãoda Enerin, e para provar (ii) derive(4.145)comrelaçãoa O. Observeque 4 expressãodessaderivadaimplica (4.143)se r(t) não for constante. oncentremos nossa atençãona equação (4.145). Holinimosápsidedeuma órbitacomosendoum pontodemáximoou domínimoda funçãor(0). Logo+= Onumápside,e daí e de(4.145) sesegueque 1 7= HME-V) (4.146) numápsidedeuma órbitar(0). Em geral,ou sejapara V arbitrário, não se pode afirmar que (4.146)tenha uma solução; lembre que V dependede r. Entretanto, caso(4.146)tenha soluções,vamosprovar que há no máximoduas. Para ver isso,seja 1; uma soluçãode 4.146), e seja07um pontotal queT(01)= 74. [Atenção:podehaver varios O nessas condições). Da forma de (4.143)segue-seque essa orbitaé simétricaem O comrelaçãoà reta OA ligandoa origemao apaidoAy = (04,71). Suponhaagoraquehaja outra solução12de 4146), e que Az = (02,72) seja o ápside seguinte a Ay. Então, o sruumentoanterior nos mostra que a órbita toda podeser obtida a partiedo seu conhecimentoentre essesdois ápsides,bastandousar a timetriaobservadaacima, Veja a figura (a), onde 3 = 0, -0,,ea Huura (a) com | = 21n7/3 e seis ápsides, 162 EquaçõesDiferenciais deSegunda Ordem Cap.4 (a) (b) (c) Figura4.20 Observequea órbitapodenãoserfechada,dependendo de02—0; não ser comensurávelcom7t.De qualquer modo,a órbita é tangente aocírculointerno|X| = rj e aocírculoexterno|X| = r2, vejafigura (a). No casodehaverduassoluçõespara (4.146)a órbitaé limitada. No casode haver uma única solução,a órbita é ilimitada, figuras (b) e (c). Caso (4.146)não tenha solução,isso quer dizer que a órbita espirala em torno de O;observeque, casoh = 0, a órbita é uma reta atravésdocentro,e portantonãohá ápsides. Os resultadosobtidosaté aqui sãoválidosemgeral. Não seutilizounenhumaformaespecialdasfunçõesf e gem(4.126)e(4.127),respectivamente.Agora vamosconsiderarosdoiscasosespeciaisseguintes: força atrativa central proporcionalà distância à origem;e força atrativa central inversamenteproporcionalao quadradoda distância à origem, 4.6.1 Movimentocentralcom força atrativaproporcionalà distânciaao centro A hipóteseé que |F|= k|X|. [Essaé a versãobidimensionaldomovi- Seção4.6 CamposCentraisdeForças mentoharmônicosimples).O campoF é então F(X) = —KkX. (4.147) Aplicandoa 2º lei deNewtontemos a mX =-kX mx + kx = O > my +ky =0 cujas soluçõessão x(t) = As cos(wt—1), u(t) = Azcos(wt —pa), (4.148) Veja a equação(4.101)da secção4.5.1. Portanto, o movimentoé uma composiçãoretangular de dois movimentosharmônicosde mesmo períodoT = 217,7. E qualé a trajetóriada partículanoplano (x,y)? De (4.148)obtemosas expressões X A, = cos wt cos pj + sen wtsen P1, y =—= cosWtcos2 + senwt senPz A) queconduzem a: X sentp>—py)coswt = Ar senDz — aq sem dr sen(p>—py)sen wt = = cosDz +Em cosP1. Elevando essasexpressõesno quadradoe somandoobtemos x? 2xy A? cs ADE y? 2 cosp +AZ = sen” À onde| = p> —py, que é a equaçãode uma elípse. (4.149) 10) 164 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 Figura4.21 Observação . Que aconteceriana composiçãoretangular de dois movi» mentosharmônicosde períodosdiferentes? xa WI x =0, U-+ W5U = | W1 É W2. (4.150) A respostaé que a curva (x(t),u(t)) não seria mais uma elípse;€ mais ainda, poderiaser uma curva compontosduplos e não necessariamentefechada.No casoemqueosperíodosTj e [>fossemcomens suráveis, 1.€.,11/T; = número racional, então a curva seria fechada, mas poderia dar várias voltas em torno da origem. O que faz com que ela seja fechadaé que T,/T5 = p/q implica que ql = pl é um períodocomumpara as soluçõesx(t) e uy(t)de (4.150). Essas curvas são chamadasde curvas de Lissajous, e desempenhamum papel importante em Acústica. É interessantevê-las na tela de um osciloscópio. No caso de 1j/T> ser um número irracional, a curva (x(t), u(t)) nãoé fechada. Exemplo, (Uj = «0, W2> = 2w. Considerecondiçõesiniciais que dê Beção4.6 CamposCentraisde Forças 4»seguintessoluçõespara (4.150): x(t) = senwt vult)=sen(2wt+ q). Abnixo,traçamosas curvas de Lissajous para três valores de q: Figura4.22 462 Movimentocentral com força atrativainversamenteproporcional ao quadradoda distância ao centro Hense cao,a hipóteseé que P(r)= ni r (4.151) uude| > Oé uma constante.Logo, a fórmula de Binet se torna: d? /1 Ea (+) de ] u = Ri (4.152) “ qual é uma equaçãodo tipo do oscilador harmônico. Sua solução seral é ] l —se idad- +Acos(0 —09) (4.155) ro my ade A e Oosãoconstantesde integração,quepodemser obtidasem termosde To,Vr € Vo. Veja parte 4.6.7 desta secção. 1 166 EquaçõesDiferenciais deSegundaOrdem Cap.4 Cônicasemcoordenadas polares. À equação T t TEERSE” t>0, ez0 (4.154) representauma elípse(se e < 1),uma parábola(se e = 1) ou uma hipérbole (se e > 1). A origem é um foco da cônica. eé a excen tricidade. 2º é o comprimentoda cordafocal. A diretriz é a reta perpendicularao eixopolar que tem a propriedadeque r/d = e. Veja a figura abaixo. Deixamosao leitor a verificaçãodas asserçõesacima, Vo Eixo Polar Figura4.23 Constante deintegração À emtermosda er Aidéia é utilizar a equação (4.145). Paratal,lembramos que—V(r) é umaprimitivadeP(r): Vire - fe) | É=: [E = dr=—-. (4.155) Usando (4.153) e (4.155) em (4.145) obtemos A? - ZE % Wu? mh? - mZh?' Logo,voltandoa (4.153)temos: ] : A À ap / 2Emh? pe. e cos(O do) (4.156) Heção4.6 CamposCentraisdeForças A expressão(4.156)nos diz então que a órbita da partícula é uma pônica: Elípsese E < O, parábolaseE = O, hipérbolese E > 0. E diz mais: o centro do movimento é um foco da cônica e — 2 =— 24 = corda focal. 2Emhz / 1+ a — e — excentricidade da órbita, (4.157) (4.158) “5 éa coordenadaangular dopontoda órbitamais próximodocentro. Fase pontoé chamadoperigeuseo corpono centroé a Terra eperiélio nocasodo Sol]. Vê-sequea órbitatem doisápsidesdiametralmente “postosno caso da órbita elíptica, e apenas um no caso de órbitas parabólicase hiperbólicas. No casoda órbita elíptica os dois ápsides “ão08pontosdaórbitamaispróximoe maisafastadodocentro.[Esse pontomais afastadoé chamadoapogeuno casoda Terra e deafélio no vaso do Sol). 463 Lei da GravitaçãoUniversal “a secção4.4.5, enunciamosa Lei da Gravitação Universal. Talvez wmdos primeiros argumentosde Newton para defendersua Lei da HravitaçãoUniversal tenhasurgidono estudodomovimentoda Lua vmtornoda Terra. Supondoque a órbita da Lua sejaum círculode mo R comcentrona Terra, temosque sua aceleraçãocentrípetaé 4772 R v= de | é seu períodode rotaçãoem torno da Terra. Usando R = 14,000km = 60x [raiodeTerra]e T = 27,3 dias,obtém-se y = x 10m/s? = (1/602)x [aceleraçãoda gravidadena superfície da Terra]. Deacordocoma Lei da GravitaçãoUniversal, o campodasforças pravitacionaisgeradaspor um corpocelesteé um campocentraldo Hpoestudadoem 4.6.2acima. Decorreportantoque as órbitasdos planetasem seu movimentoem torno do Sol sãoelípses;cl. nmLois 16 168 EquaçõesDiferenciais deSegundaOrdem Cap.4 de Kepler, mais adiante. Observeentretantoquehá duas hipóteses tacitamenteadmitidas: (1)Supõe-seque o Sol estejafixo. A rigor, não só o planeta em estudo se move,mas tambémo Sol. Assim, o problemamatemáticoé mais complexoe setemo chamadoProblemadeDois Corpos.Veja a parte li) da secção4.6.5. (11)Desprezam-seas forças gravitacionais dos outrosplanetas sobre o planeta em estudo. Tendo em vista a magnitude da força gravitacional do Sol não há prejuizo em esquecera existênciados outros planetasquandoseestudaa maior parte dosplanetas. É nessamaior parte estãoVênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. O planeta Urano descobertopor Herschel em 1781pôs a teoria kepleriana em crise; sua órbita não se comportavacomo as dos demais planetas. Em 1845,Le Verrier e Adams atribuiram as irregularidades na órbita de Urano à presençade um oitavoplaneta. E foram mais longe,calcularam sua posição.Assim, sabendoondeprocurar essenovoplaneta, 0 astrônomoGalle do Observatóriode Berlim o localizou em 1846,com um desviode menosde 1º com relação à posiçãoprevista. Esse planeta foi denominadoNetuno. A história não ficou aí, Power em 1905 determinouque as irregularidades da órbita de Urano não eram caus sadasapenaspor Netuno: deviahaveroutrocorpocelesteatuandopor perto!Em 1930,Plutãofoi descoberto, usando-setécnicasfotográficas sofisticadas.Comoo leitor vê, os problemasdos movimentoscelestes não são simples. A rigor deve-seestudar o movimentode um corpo levandoem conta a açãogravitacional de vários outros corpos. Esse é o chamadoProblema dos n corpos,que não recebeuainda um tratamentomatemáticocompleto,apesarde haver uma vasta literatura comresultados profundos. E o planeta Mercúrio? Sua proximidade ao Sol e a grande excentricidadede sua órbita (0,2056;a excentricidadeda órbita da Terra é 0,017e as dos demais planetas é dessa mesmaordem)fazemde Mercúrio um casointeressante. A linha de ápsidesgiraemtornodoSol,cercade 10'40”porséculo.Os 10”dessa rotaçãosedevema atraçãodeoutrosplanetas,masos40” nãorece bem explicação dentro da teoria newtoniana da gravitação. Verrier e outros tentaram uma explicação semelhante Aquela que foi utilizada na descobertade Netuno; no século passadochegou-semesmoa deno Beção4.6 CamposCentraisdeForças minar de Vulcano um planeta interior que provocariaessa alteração na órbita de Mercúrio. Mas os astrônomosembaldeprocuraram por vasecorpoceleste.Em 1915,Einstein mostrouque sua Teoria Geral daRelatividade explicavaumarotaçãode43”na linha deápsidesde Mercúrio. E assim a anomalia de órbita de Mercúrio passou a ser umaimportantecomprovaçãoda Teoria Geral da Relatividade. Veja 4 secção4.6.6. Entretanto, recentementeuma outra teoria, baseada nofatoque o Sol não é esférico,foi lançadavisandoexplicar a irreguinridadeda órbita de Mercúrio. O leitor há de convir que esta teoria temtambémsua lógica, em virtude da enormemassado Sol, da prosimidadede Mercúrio e do fato que na teoria desenvolvidaos corpos luramconsideradoscomopontosmateriais. Grande número dos cometasconhecidostêm órbitas elípticas alongadas(i.e., excentricidadeperto de 1). O mais famosodelesé v cometaHalley, cuja excentricidadeé 0,967e tem um períodode 76 anos.Ele foi descobertoem 1682pelo artrônomoinglês Halley. Sua visitaem 1910geroupânicoem muitas partesdo mundo. Já em 1986 sumvisita foi tranquila. 464 Leis de Kepler Aopublicar,em1543,seufamosotrabalho“DeRevolutionibusOrbium Evelestium”lançandoa teoriaheliocêntrica,Copérnicoiniciavauma novafasena História da Ciência. É difícil, hoje,fazer-seuma idéia do quesignificounaquela épocadesafiar a teoria milenar de Ptolomeu, entrandoem conflito frontal com a teologiacristã e com arraigados princípiosdeordem,estéticae simplicidadematemáticadoUniverso. Asidéiaslançadaspor Copérnicogerminarame encontraramemGalou eKepler osseusgrandesseguidores.OstrabalhosdeGalileusão 4 inícioda Mecânica,quenas mãosde Newtonrecebeua admirável inrmalizaçãoque conhecemos.Mas é em Kepler que a Astronomia tomsua segundarevolução. Kepler foi assistentede Tycho Brahe noobservatóriode Praga, e quandoestefaleceu,aqueleassumiu sua posição.Kepler ficoudepossedelongastabelascontendoobservações astronômicassobrea órbita de Marte. Em 1609,elepublicousua “AsironomiaNova”,noqual estarreceua todosdefendendoa teoriadeque asórbitas dosplanetasemtornodoSol não sãocírculos. E alémdisso, suasegundalei implicaquea velocidadedosplanetasnãoé constante, 10 170 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap. Novamente, a idéia de um universo harmonioso e estéticono conceit( gregofoi desafiada. E isso desagradoua muitos. Em 1619,quand Kepler publicouseusegundotrabalhosobrea teoriaplanetária,ele denominou“Harmonia do Universo” e procurou mostrar em sua te ria a perfeiçãoda obrade Deus.As três leis queKepler enuncioue seustrabalhos são as seguintes. Primeira lei. Cadaplanetasemoveemumaórbitaelíptica,tendoo S em um dos focos. Segunda lei. O raio vetorligandoo Sol a um dadoplanetavarre áre iguais em temposiguais. Terceira lei. A razãoentreo quadradodoperíododeum planetae o cubo do semi-eixomaior de sua órbita é a mesmapara todosos planetas. Muito setemdiscutidosobreo processodeinvestigaçãocientífica de Kepler. É difícil imaginar comona enormemassade dadosem sua frente, alguns deles com erros justificáveis em uma época de instrumentos poucoprecisos,ele tenha visto claramenteuma elípse. Observe que, na órbita de Marte, o semi-eixo menor é apenas 0,5% mais curto que o semi-eixomaior,ou seja “quase”um círculo. Mas 0 fato é que Kepler não somenteviu que a órbita era uma elípse coma tambémenunciouas outras duas leis. Newton anosdepoisescreveu! “KeplerknewyeOrb to benot circularbut oval,& guestit to beElliptical”. É possívelque ele tenha usado um processode “retrodução”, interagindo entre deduçãoe indução. De todos os modos seus tra balhosexibemmais de 800páginasdecálculosondeelecomprovasua teoria em basedas observações. As três leis de Kepler foram demonstradasrigorosamentepor Newtonem 1665utilizandosuamecânicae a Lei de GravitaçãoUni: versal; faremosessademonstraçãoem 1)abaixo. Na parte ii) abaixo, mostraremosqueasleis deKeplerimplicama Lei da GravitaçãoUni versal. 4.6.5 A Lei da Gravitação Universal e as Leis de Kepler |. A LeidaGravitação Implica asLeisdeKepler.1)À primeira Lei de Kepler Beção4.6 CamposCentraisdeForças 171 decorreimediatamentedoquefizemosem4.6.2,umavezqueo movimentodosplanetassendoperiódico,as órbitastêmqueserelípses.2) A segundalei é o conteúdoda Proposição4.10. Vê-se que a segunda ii decorresimplesmentede seter um movimentocentral. 3) Para demonstrara terceira lei, observamosque a velocidaeareolar definida vm(4.137)e (4.138) é a q A = 5h (= constante). | daí se segueque o períododo movimentoé Área daelípse T= À ab 2rab =—"— = 5h Afélio h 4.159 sam Periélio a DÊ ed, draBDDa dé q—b'=c;e=at=+. Figura4.24 Paraa elípse,podemosprovar facilmenteque £ = b?/a. Usando esse calorde £em (4.157)obtemos h=bvu/am »daí se segue: > T=2mu T2 as "2m!/2q3/2 =47 my !. (4.160) (4.161) Agora,no caso do campo gravitacional do Sol, temos 4= GmM (4,169) 172 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. ondem é a massado planeta,M é a massado Sol e G é a constan da gravitação.Logo se seguede (4.161)que LE a GM: ii. As leisdeKeplerimplicam a LeidaGravitação Universal.A segunda1 de Kepler implica que o momentoangular h seja constante. Logo, Proposição4.9 nos diz que o campode forças é central, cujo centro, Sol, está num dosfocosda elípse: Y (1 +ecos6). &s | Ágora, usamosa fórmula deBinet e a expressãode i acimapara obter a expressãoda força: mhº[(ás? d? (+) /1 + I =P!gs— 1 ent mhá (4.164) Portanto (4.164)nos diz que o campoé atrativo e inversamentepro porcional ao quadrado da distância. Observe que m é a massa do planeta. Resta, pois,provar que h2 L = constantepara todosos planetas. (4.165) Paraisso,usando(4.159)[aqualéválidaemvista da2º lei deKepler! et = b?/a escrevemos: T? o 4mºb? o 4m2l a ah? hn quejuntamente coma terceira lei de Kepler nos dá (4.165). ill.AsleisdeKeplerconsiderando o movimento doSol. Sejam Xs(t] e Xp! as trajetórias do Sol e de um dado planeta, respectivamente,em um sistema fixo de referências. 17 Designemos porX ovetorXp —Xget = |X].Usandoa 2º lei de Newton: msXs = Gmsmp 73 E Ha (4.166) “ubtraindoas equaçõesem (4.166)obtemos mpX = — X (4.167) » somando-as temos msXs + mpXp = 0 => msXs + mpXp = Ct+ C' (4.168) sndeCe C' sãovetoresconstantes.A segundaexpressãoem (4.168) nosdiz que o movimentodo centrode massado sistema Sol-planeta Ac = msXs+ mpXp ms + mp * linear uniforme. A equação(4.167)nos diz que as duas primeiras pis deKepler ficaminalteradas,enquantoa terceirafica modificada mumo sesegue: E 4? a G(ms+mp)' (4.169) “omparando (4.169)com (4.163)vemos,porém, que mesmo a terceira wi+aproximadamente verdadeiraemvirtudedems sermuitomaior memp. Para o leitor ter uma idéia das ordensde grandezas: massa do Sol = 300.000 x massa da Terra massadeJúpiter = 320 x massada Terra. 174 Equações Diferenciais deSegunda Ordem Cap.4 4.6.6 A equação das órbitas dos planetas na Teoria Geral da Relatividade À equaçãodo movimentodos planetas (equações(4.152))foi obtida em4.6.2usandoa Lei da GravitaçãoUniversal e as leis da Mecânica newtoniana.Nateoria darelatividadeaequaçãocorrespondente, cha» madaequaçãode Schwarschild é a seguinte: d? /1 Do LL ondeestamossupondom = 1,e 3 ipano c=3x 108m/s = velocidadeda luz. À equação(4.170)sendonãolinear, suaresoluçãoédifícil. Entretanto, podemosobterumasoluçãoaproximadado seguintemodo.Uma primeira aproximaçãoseria obtidafazendo« = O,e aí a soluçãoé aquela obtidana parte 4.6.2 I-== [1+ecos(0 —89)]. (4.171) Uma segundaaproximaçãoserá obtida,levando-seessevalor de 1/1 ao 2º membrode (4.170): [eee dg (1 1 La (5) += — — 8 — uau + 1+ecos(8 —Bo)? ] . (4.172) . | A solução da equação d? TR é exatamente: ] r ué X— h4 /1 (5) oi e? 1º ou E [1+ ecos(0— 90)J2 1 | + — | +eBsen(0—-09) —-e“ cos2(0—09) |. (4.173) 2 6 Logo a soluçãode (4.172)é obtida somando-seos segundosmembros de (4,171)e (4.173). Assim, a expressãono 2º membrode (4.173) representa(aproximadamente) a perturbaçãointroduzidapela teoria da relatividadena órbita elíptica. Vamosanalisá-la. O primeiro termo representasimplesmenteuma translação de 1/r e seu efeito lação4.6 CamposCentraisdeForças +pequeno. O terceiro termo é periódico e pequeno,quando comparadocomo segundotermo,pois este,apesarde oscilatóriotambém, temamplitude crescente:e? é bem menor que e0. Portanto, despresundoo 12e 3º termosno 2ê2membro de (4.173),obtemosa equação aproximada)da órbita 1 «eu? ns a [1+ ecos(9—09)]+ a Osen(O—00) odaí ] AX E ne (1+ elcos(0 —09)+ 20 sen(0—00)]h. (4.174) Hnalmente,vamosà última aproximação:chamando Au = , lnzemoscoskO= 1 e senkO= k0. Lembreque« é da ordemde c”*. E daía equação(4.174)seescrevecomo Ai a + ecos(0—do—k0)), 4quemostraqueem cadainstantea coordenadaangulardoperiélio +Oo+ kO. Logo a órbita do planetapodeser consideradacomouma slipsecuja linha de ápsidesgira, e sua variaçãopor períodoé AO = Ink. Daí Ali 2a 6ru? PE ea h2 h2c? (4.175) s lembrandoque £ = h?/u obtemos 67TUL AQ=——= q ct 67 c2a(l-e2) c = velocidade da luz. Exemplo . CalculemosAO no casode Mercúrio, onde a=0,38/u.a. e= 0,205 (1 unidade astronômica 1,49 x 10!“m] 175 176 EquaçõesDiferenciais deSegundaOrdem Cap.4 e lembramosque u = GM, onde G=6,673x10! Nm?kg? M =1,99x 10ººkg. Fazendooscálculosobtemos:AO = 0, 1036segundosporperíodo.Daí levandoemcontaqueesseperíodo(períododerotaçãodeMercúrio e tornodoSol) é 88dias,obtemosquea linha deápsidesdaqueleplane avança43 segundospor século. Confira secção4.6.8. 4.6.7 Satélitesartificiaisda Terra Consideramosagora o problema da órbita de um satélite artifici lançadode um foguetea uma distânciaTodo centroda Terra e co velocidadevofazendoum ângulo3 comoraio vetorqueuneo foguete como centroda Terra. | 0 asilhadás Terra To 0 B Satélite Figura4.26 O modeloapresentadoabaixoé obviamenteuma simplificação do fenômeno,pois nele satélitesjamais caem. [Sabe-seque a forma não esféricada Terra torna imprecisaa admissãode que a Terra seja um ponto material]. Vamos supor que o problema é um movimento central,cujocentroé a Terra e a forçacentralsobreo satéliteé dada pela lei da gravitaçãode Newton. Assim a equaçãoda órbita é dada por (4.156),ondefazemos| = GmM = mgR?!*) (Para provar essa relação,basta usar a lei da gravitaçãouniversal para um corpo nú superficieda Terra:emM mg.) sendom a massado satélite e M a massa da Terra, e Ré o seu raio: | - gRº n2 [1 +ecos(0 — 06)] (4.176) 177 ondea excentricidadee da órbita é dada por 2Eh? e=/ Foi! (4.177) À partir dosdadosiniciais, To,Voe 3, podemoscalcular as constantes he E: flas= TovVa;, onde Vo — Vo sen E 1 Essa Z RE To cf. (4.144) z (4.178) (4.179) Usando-se(4.178),(4.179)e os conhecimentosadquiridos na parte 1.6.2podemostirar uma sériede conclusõessobrea órbita do satélite. | Naturezada órbita : rová<29gRº=> órbitaelíptica rovo=29Rº? =>órbitaparabólica rovo>29R?=>órbita hiperbólica. (4.180) (4.181) (4.182) | claroque,no casoda órbita elíptica, ela podesê-lopor poucotempo, poisa Terra não é um ponto e o satélite podecolidir com ela! Para quetal não aconteçadevemoster que Tr> R, para todo r da órbita. Hedimosao leitor para deduzir, ao concluir a leitura desta secção,a relaçãoentre vo, To € P para que o satélite não colida com a Terra. tonclue-se de (4.181)que, caso o satélite seja lançado de um ponto próximoda superfície(tro= R), a velocidadedeescapeé vo = 29R. Il.Excentricidade da órbita. De (4.177), (4.178) e (4.179) obtemos . 2 —| Tov2 O Es — é [+ ToVaV o Tr A 4.183 À | undevr = vocos3. Observequev5 = vá+v?. Segue-se de(4.188) quea órbitaserácircular(e = 0) se rov5=gR?e v,=0. (4104) Assim um satélite terá uma órbita circular seelefor lançado perpernidi pularmenteaoraio vetorqueligaofogueteaocentrodaTerra [[5 0) 178 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4 e sea velocidadeinicial vo satisfizerà relação tovo= gRº. (4.185) jii.Ápsides . De (4.176)obtemos: 1 R2 ] a 9 (1+ecosdo) > cosdo= 5 Es —| “rh gR2 (4.186 Para obter senOo, derivamos (4.176)comrelação a Oe usamos (4.142): ToVegVr sendo = — egRE (4.187 Decorrede (4.185),(4.186)e (4.187)que,caso 3 = 0, cos0o= 1 sendo =0, cos0o=—l se Tovô> gR?, = Do= sendo = 0, se TovO< gR?, + En = (4.188) (4.189) À expressão(4.188)implica que no casode órbitas parabólicase hiperbólicas, o ponto de lançamento é o perigeu. E (4,188)e (4.189) dizem que no caso de órbitas elípticas o ponto de lançamentoé um ápside,podendoser o perigeu ou o apogeu.De fato, se estivermosnq casodeórbitaelípticacom8 = 0 eTovg> gRº,a equaçãodessaórbita será E E 2dia' +(a cos o TO ToVG gR ] R (4.190) edaí sevêqueomáximodeTrocorrequandoO = 7 e omínimoquando O = 0. Se estivermosno casode órbita elíptica com 3 = 0 e Tová< gRº, a equaçãodessaórbitaserá 1º gR? —— Ã ne (1- Tovô GR? Rê) coso (4.191) edaí sevêqueo máximoder ocorrequandoO = 0 e o mínimoquando O = 74,Nestesegundocaso,a distânciamínima do satéliteao centro da Terra é Ima gR? (2 Tin dn 1d Favo eo). Seção4.6 CamposCentraisdeForças 1/7 Logo o satélite ficará em órbita sem atingir a superfície da Terra obviamenteessaé uma situaçãoaltamenteidealizada,poisestamos desprezandoo atrito do satélite coma atmosfera]se ] gR?2 TovÊ , 29Rº ->55([2-—5 >———. RO róvs gR? > Vo Tolro +R) iw Períodos. Usando (4.159)e as expressõesdos semi-eixosa e b da elipseemfunçãode t e e, obtemos E 2mb? “(1-e23/2n' Como€= h?/gR* obtemosusandotambém(4.178) j 34,5 T=a-—ts (1—e2)3/292R1' (4.199) Portanto,seum satéliteestiverem órbita circular,obtemosde (4.185) 0 (4.192) To ME R jr g Exemplo . O períodode um satélitelançadoemórbita circular a uma altura de 483 km é 94 minutos de acordocoma fórmula acima, usando R =6.571km e ro= R+483. O primeirosatéliteartificial,emórbita pola União Soviética em 1957,tinha uma órbita aproximadamente circular a cercade 480 km da superfície da Terra e dava uma volta completaemtornoda Terra a cada96minutos. 5 Transformada de Laplace À transformadade Laplace (Pierre-SimonLaplace (1749-1827)trabalhouemMecânicaCelesteeTeoriadasProbabilidades)é ummétodo importantepara a soluçãode problemasna teoriadasequaçõesdiferenciais. O métodoconsisteem resolver equaçõesdiferenciais como se fossemequaçõesalgébricas. Considerepor exemploa equaçãodiferencial v”+4y'+5y=f(x) escrita na forma D2y+4Dy+5y=f(x) comD = d/dx. Seria ótimose pudéssemosresolveressaequação, comose ela fosseuma equaçãoalgébrica,e escrever f(x) Ulx)= D2+4D+5. Infelizmente,issonãofaz sentido! Entretanto, na simplicidadedesse raciocínio,devehaver algo. Vamos, pois, tomar uma atitude persistentee procurar extrair algo do raciocínio acima. Nosso esforçodeve ser na direção de algebrizar a equaçãodiferencial, de algum modo, E aí que entra a idéia de transformada de Laplace. A transformada podeser entendida comouma “caixa”. No lado esquerdo(veja a figura),a setarepresentaa funçãoqueentra na caixa,e no ladodireito, a seta, no mesmonível, representaa funçãocorrespondenteque sai da caixa, após ser operadaou transformada. A lei matemáticaque regea operação(a transformada de Laplace) será definida na próxima secção, f(x) F(s) af(x)+bg(x) aF(s)+bG(s) f'(x) sF(s)-f(0) f''(x) s²F(s)-sf(0) - f'(0) Figura5.1 Usamosa notaçãoF(s) = L(f(x)) e G(s) = L(g(x)) para denotnrmosas transformadasdasfunçõesf(x) e g(x), respectivamente. Este sistematem três propriedadesextremamenteimportantes, quepassaremosa explicar. i. O sistema é linear, istoé,L(af(x)+bg(x)) = aZ(f(x))+bZ(g(x)). ii. O sistema“destrói”derivadas,isto é, sef (x) entra na caixa,ela saicomosF(s) - f(0). iii. O sistema é inversível, isto é, existe uma outra caixa, denomi- nadaLC, que,seatravessadapelafunçãodesaída,F(s) fornecef(x) devolta, assim LT HF(s)) = f(x). Com relaçãoà aplicaçãoda transformadade Laplace na solução do equaçõesdiferenciais, nós temos dois universos. No universo-x, temosa equaçãodiferencial, v” +4y' +5y = f(x) v no universo-s,depoisde passadapela caixa,temosuma equação algébrica,dada por Y(s) Ho caso em que u(0) — u'(0) F(s) 8244545" = U A idéia agoraé passarY(s) pela caixa£”! para obtera solução dtx), Isso é tudo, no quediz respeitoa idéias. Nossotrabalhosora estudar bem a transformada e mostrar que essas idéias podemser formalizadas. 182 Transformada de Laplace Dl. Cap.5 Definição da Transformada de Laplace Dada uma funçãof(x) definidano intervalo [0,00) definimosa sua TransformadadeLaplace,F(s), por: EL) = f e “Tia de= Mtix)) (5.1) supondoque a integral convirja pelo menos para algum valor de s, Transformamos através do operador £ funções f(x), na variável x, emfunçõesF(s), na variável s. Uma primeira vantagemdessatransformaçãoé que em muitos casosF(s) é mais simplesque f(x), por exemplo Ele" - | DO e*eXdx= 0 lim lim / X09—00 emts—k)xo X0—00 1 —(s—k) Xo 0 1 o s—k' e tida ses >k. (5.2) Alémdisso,a transformadaF(s) émaisregularquef(x). Por exemplo, considere,para C>0, (x) Malk) = Ê Õ se x<c. 1 se XC. É fácil ver que Eltelt) | = e Tes =. (5.9) (5.4) Vamos iniciar nosso estudo analisando dois pontos essenciais, que são: a existênciada Transformada de Laplace e a existênciada inversadessatransformada.Para a existênciada transformadaéprecisoquea integralconvirja,logoa funçãof(x) nãopodecrescermuito rapidamente,por exemploa funçãof(x) — e não possuitransformadade Laplace. Limitar-nos-emosàs funçõesadmissíveis,isto é, funções f(x), contínuas por partes em qualquer intervalo finito do semi eixo positivo [0,00), e que não cresçammais rapidamenteque a funçãoexponencial, quandox — co. Vamossuporentãoquef(x) satisfaça: fíx)l<Me** para 0gx< o, (5.5) Seção5.1 DefiniçãodaTransformada de Laplace onde M e k são constantespositivas. Uma função f(x) é contínua porpartesnumintervalo[a,b],sepudermosdividiro intervalo[a,b] numnúmerofinito desubintervalos,ondef(x) é contínuano interior docadasubintervalo,e f(x) possuilimiteslateraisquandox tende paraas extremidadesdessessubintervalos. de f(x) é uma função admissível,f(x) tem uma transformadade IaplaceF(s),definidaparas > k, poisparaqualquerxo > 0, / Xo 0 e S*f(x)| de<M [ X0 0 elk-s)xdx< s—k (5.6) to é,para funçõesadmissíveisa integral imprópria é absolutamente convergente,e temosa estimativa Fls) < - M (5.7) o de f(x) é uma função admissível,satisfazendo(5.5),sua integral g(x) - [ f(T) dt (5.8) tambémé admissívele satisfaz (5.5)coma mesmaconstantek. Logo 4 transformadade Laplace de g existetambémpara s > k. Com relação à existência da inversa £”!, note primeiramente quesef(x) e g(x) foremcontínuasporpartese diferiremsomentenos pontosdedescontinuidade, temosqueL(f(x)) = L(g(x)), apesarde x) £ g(x). Temoso seguinteresultado: teorema 5.1. Se f(x) e g(x) foremfunçõesadmissíveistais que L(f)ts) = L(g)(s) para s>so, entãof(x) = g(x), excetopossivelmentenospontosde descontinui- dade. Demonstração : Definindoh(x) = f(x) —g(x), temosque L(h)(s) = 0 para ss. Continuaremos ademonstração supondoqueh(x)sejacontínua.Uno Hx) tenha descontinuidades as integrais abaixo devem ser desmem 184 Transformada deLaplace Cap.5 bradas em somasde integrais tomadassobreintervalos onde h(x) é contínua. Logo,paran = 0,1,2,..., segue-seque O= L(h)(so+n) =/ OO 0 E eh) dx = / OO 0 e T*v'(x) dx, ondev(x)= |,E eSoTh(7T)dr. Integrandoporpartesaintegralacima; obtemos OO e TXv(x)o + DD) e“ yix| da =0, 0 Comov(0) = 0,temos,usando(5.7),que / OO 0 E abel Ux = 0, Tresd, ) ss (5.9) Nos pontosondeh(x) é contínuatemosquev(x) é derivávelé v'(x) = e *ºXh(x). Logo se provarmosquev(x) = O, seguir-ses á que h(x) = O. Para mostrarmosque v(x) = 0, faremosa ses guintemudançade variávelem (5.9),x = —int e u(t) = v(—tnt), obtendo-se 1 / t“ult; dt =0, = 01,2, (5.10) 0 O fatoque(5.10)implicaru(t) = 0,éumresultadoclássicodeanálise, Observeque (5.10)implica que / 0 p(tju(t) dt = 0 (5.10 para qualquerpolinômiop(t). Agora utilizamos oTeoremadeAproximaçãodeWeierstrassquediz quequalquerfunçãocontínuau(t) num intervalofechado,digamos[0,1|,podeseraproximadauniformemente por um polinôniop(t) tal que lu(t) -p(t)j< e, paratodo te l0,1). 1 Logo, / u(t)-p(t)P dt / (u(t)2 dt— 2/ afateto des 1 1 1 1 + [ (p(t))*2dt <e. Utilizando-se (5.11) obtemos 1 / (ut 0 paratodo£ > O,o queimplica de< E, 1 / (u(t))Zdt=0 0 econsequentemente u(t) = Oparatodot € [0,1]. a Para o cálculo da inversa da transformada de Laplace, £” | existe umafórmula, chamadaFórmula ComplexadeInversão,quefornecea funçãoadmissívelf(x) atravésdeumaintegralcomplexadatransformadaF(s). Entretanto, na prática o cálculodessaintegral é evitado, poispara os casosmais comunsexistemmétodosmais simples. 5.2. Propriedadesda Transformadade Laplace tm (5.2)calculamosa transformadade Laplaceda funçãoexponencial,L(e) = 1/(s —k), ses > k, portanto fg [=4) =e* s>k. Podemosusar esseprocedimentopara calcular a transformada,e sun inversa, de várias funções elementares. Calcule como exercícion transformadade algumasfunções.Comece,por exemplo,com[[x| c (const),f(x) = x, f(x) = x”, f(x) = sen(wx),f(x) = e** men ws Comrelaçãoa inversa,lembre-sequeconformevimosna seeçãomr terior, a transformada F(s) tem ordem O(1/s), quando s +0 em vista da estimativa (5.7). Considere portanto somentefunções[5] comesta propriedadepara o cálculo de LM F(s))= f(x] 186 Transformada deLaplace Cap. Vamos demonstrar algumas propriedadesda transformada de Laplace que nos ajudarão a determinara transformadade outra funçõese a resolverequaçõesdiferenciais.A primeira propriedade, que decorreda definição(5.1),é que £ é um operadorlinear L(af + bg) = alZ(f) + bZ(9g). Podemosagora efetuar o seguinte cálculo: Observe primeiramen que podemoscolocar no lugar de k em (5.2) um número complex k + iw, e coms > k efetuaras mesmasoperações, obtendo-se (k-+Hiw)x o ] ei |— = a g-k+iw (5.12) o [s—JE ter | Lembrando que elitiw)x— 6kXcoswx + ie'* senwx, e usandoa linearidade de £, obtemosseparandoas partes real e imaginária, as seguintesimportantesfórmulas: L(e** coswx) = o s—k kx L(e** senwx) o= EEE é É RA" (5.13) E ainda por combinaçãolinear dessasduas fórmulas,obtemosa fórmula da inversa pa Ak + B As +B | — ex A cosWxX+ senwx|. w (s—k)2+w2 (5.14) Para resolvermosequaçõesdiferenciaisusandoa transformada de Laplace devemoscalcular transformadasde derivadas.Neste sen tido,já sabemos,veja (5.8),que se f(x) é admissível,entãof(x] tambémé admissívele satisfaz eS*f(x) — O,quandox — 00, se s > k. Portanto, uma simples integração por partes demonstra 0 seguinte teorema: Seção5.2 Propriedades daTransformada deLaplace 1 Teorema 5.2.Se f(x) éderivávelem (0,00),comf'(x) admissível,então C(t)(s) = sL(f)(s) —f(0*!), s>k (5.15) ondef(0t) = lim f(x). x—0+ Podemosaplicar a fórmula (5.15) para obter vários resultados interessantes.Por exemplo: 1. Sef(x) forduasvezesdiferenciável comf” (x) admissível,temos trocando f”porf” em(5.15)que C(t'Ns) =s2 L(f)(s) —sf(0t)—f'(0t) (5.16) +assimsucessivamentepodemosobterpor indução (façacomoexercí vio)umafórmulaparaocálculodatransformadadan-ésimaderivada deumafunçãof(x), semprequef!")(x) foradmissível. » Seg(x)édadapor(5.8),entãoaplicando(5.15)comg(x)obtemos elf(x)) =L(g'(x)) =s£(g(x)) —9(0) =s£/ fr)dr) » portanto bs(/ 1 » ] f(T) ar) E Elio). Se f(x) = x" e** então usando a linearidade de £ e (5.15) obtemos L(nx"-ekx + kxPe) = ne(x" ek) + kL(xTem) = LC(x"KM)portanto temosa seguinte fórmuladerecorrência Lx" 68%)= E Etr e, (5.17) Aplicando(5.17)sucessivamente,e (5.2)temos iss Clxia = og n! E > k, Colocaremosa seguiruma tabela(quedeveser verificadacomo exercício)coma transformadade algumasfunçõesselecionadase alpumas fórmulas gerais. À tabela está dividida em duas partes, a primeira com transformadas de algumas funçõesusuais, é a segunda 188 Transformada deLaplace Função f(x) k x Transformada Llf(x) E gr ex e*Xsen wx e*X cos wx KXsenhwx Tur mto TER o in s>k 8>k 8 s>Kk e*Xcosh wx leão 45 [A cosh wx+ AEBsenh wx] nas 82 *X[Acos wx+AKtBsen wx] 05 ncia N2l,8>k TIM sL(f)(s)—f(0') emf(x) A nr de f(x) | o = Jo elx f(kx) [St(m)dr x"f(x) fi) s2L(f)(s) —sf(0t) —f'(01) Fis —k) EF(E) iF(s)— 1 Jof(t)dr (—1)"A (F(s)) [2 F(t)drselim, +A existe Beção 5.2 Propriedades da Transformada de Laplace Encerremos esta secçãocom exemplosde comousar a tabela e vomaplicaçõesàs equaçõesdiferenciais. Exemplo1.À tabela ou a expressão(5.14),comÀ = 0, B= 1,k = —2 e w = 3, fornece í ] 1 sara) ca a (re) 1 a é Ê sen 3x) Usandoa fórmulada segundaparteda tabela(comn = 1) E (as(F(s)) = —xLo'(F(s)) podemoscalcular, por exemplo (o 3s +6 (s2+45+13)2/ = [+ 3d 1 2ds s2+4s+13 Voo — -xe * sen 3x. 2 Exemplo 2. Como S k (s—-k)2 (s-k) temos,pelalinearidadeda inversa,que 4 S Ted s-k 1 ] ' ] , (557) =" (as) + dc! portanto,atravésda tabelaobtemos Eoi ) = xe + em”, (5.18) Exemplo 3. Considereo problemadevalor inicial v+ry=x, v(0)=1 e v(0)=-—2. Aplicandoa transformadadeLaplace,obtemosumaequaçãoalgébrica em Y(s) = L(y(x)), , sºY(s)-s+2+Y(s) I = 2 8 1! 190 Transformada deLaplace Cap.5 queforneceY(s): ] Ya) ] = 241 [2 +5-2] O trabalho se resumeentão em inverter a transformadapara obtermos a soluçãoy(x). Nesse caso,podemosutilizar o métodode decomposiçãoem fraçõesparciais, e escrevera expressãocomosomade fraçõesmais simples Y(s) ] ” s2(s8241)PE s—2 “2 ] S 3 sg41 s241 e inverterutilizandoasfórmulasda tabelay(x) = x + cosx—3senx, Exemplo 4. Considereo problema v” +4y' +5y=e"cosx, v(0)=2, v(0)=1. (5.19) Aplicando a transformadade Laplace, obtemos 2 S Y-—-2s—-1+4sY-8+5Y S +- &S 3 s+3 = (s+32+7' e portanto EIA E ] E : s+3 s + a EESC 9 . (5.20) . Aqui, tambémusandoo métodode decomposiçãoem fraçõesparciais, mascomum poucomaisdetrabalho,obtemosa decomposição de(5.20) na seguinteforma Y 1 9s + 46 gd s+ “5(s+2)24+1 5(s+3)241 e daí UM] =“e Pcs + 28senx) + ecos x —2senxX). À situação vista nos exemplosacima, nas quais precisamosinverter uma transformada, que está escrita como produto de duas expressõesé muito comum,e nem sempreé de fácil solução. Mesmo Beção5.3 ProdutodeTransformadas e Convolução 19 quandoestamostrabalhando com funçõesracionais, temos que “enfrentar”um trabalhoalgébricomaçante,a fim deobtermosa expressão numamaneira convenientepara a inversão. À pergunta natural é se existeuma maneira alternativa para a obtençãoda inversa nesses vasos.Essa questãoé o pontocentral da próxima secção. 5.3. Produtode Transformadase Convolução Dadasduasfunçõesadmissíveisf(x) e g(x) queremosdeterminar lx) tal que L(h(x)) = L(f(x))Z(g(x)). (5.21) Temosentãoformalmenteque Elndx))= / - [[ onde e*Uf(u)du [o e““g(v) dv e Stu+VIf(u)g(v) dudv Ê 2 R$=((u,v)eR?:u>0ev>0). Fazendoa mudançadevariáveisx=u+v transformadana região e y=u,aregião A=fixyeR?:x>y>o0) queestáhachurada na figura 5.2. AY U=x Figura5.2 R2 é Conseqgientemente a integral dupla acima é igual a c(h(x)) =//. e*fy)glx— y)dxdy uma vez que o determinantedojacobianoda mudançade variáveis é 1. Escrevendoa integral dupla sobreÀ comointegral iterada temos clh(x) =/ es / lulgta —uldy| de Logo h(x) = [ fly)g(x —uy)dy. (5.28) Comonossasfunçõesestãodefinidassomentepara valorespositivos de x, podemosestendê-lasiguais a zero para valores negativosdex, e portanto (5.22)podeser escrita como (x)-[ Fu)g(x —y)dy. Essa integral é conhecidacomoo produto de convoluçãodas funções f(x) e g(x), queé escritoda seguintemaneira: (f +g)(x)= [ f(u)gix—y) dy. (5.28 Portanto,mostramosacimaque Cit+g) =LiTiE o). (5.24) O produtode convoluçãodefinidopor (5.23)satisfaz as seguintespro priedades: 1. Comutativa: fxg=gxf,ie., [tiwste-v)dy =[ oly)ftey)as. —00 2. Associativa: fr(gxh)=(f+g)+rh,e 3. Distributiva: felgth)=feg+tf+h. Beção5.3 Produto de Transformadas e Convolução Devemostambémchamara atenção,quena obtençãoda fórmula (5.24),o pontomais delicadoé passar da integral dupla para integrais iteradas,essa passagemé garantida pela convergênciaabsoluta da transformadade Laplace. Como exemplo, considere novamente (5.20),temos que Y= 2s +9 z ] s+3 (s+2)22+1 (s+2)2+1 (s+3)241 usandoa tabela obtemosque Y(s)=L(e"?M2 cosx +5senx)) +L(e**senx)L(e portantoa transformadainversa u(x) =e“(2cosx+5senx) + (e ** senx) x (e +n soluçãodo problema(5.19),onde (e2* senx) * (€ ** cosx)= / X 0 =e eU [ senue “1XUcos(x —u)du X O e“ senu cos(x—u)du. Se quisermosescrevera respostay(x) emfunçõeselementares, i»mosque calcular a integral, que pode ser feito por integraçãopor partes,ou sevocêtiver acessoa um microcomputadorcomoprograma Mathematica,basta digitar: Integrate[(E"u)Sin[ulCos[x-u],(u,0,x)](Enter) quevocêobteráimediatamenteo resultadoda integral, escritona lyrma 2cos[x]—4sen/x]) 10 E*(coslx|—3 senlx]) > 1.3.1Obtenção de uma solução particular de uma equação não homogênea. Um problema básico para a obtençãoda soluçãogeral de equações [94 Transformada deLaplace Cap.5 lineares,é encontraruma soluçãoparticular da equaçãonão homogênea. No casodeequaçõeslinearescomcoeficientesconstantes como objetivode determinaruma soluçãoparticular, podemostomar condiçõesiniciaisnulas u(O)=v(0) =---.=y"-!Y0) =0. (5.26) Segue-sedo Teoremade Existência e Unicidade, que para cada h(x) contínua,existeumaúnicasoluçãoy(x) doproblema(5.25)-(5.26) pertencentea C”. Usaremos,nesteponto,a notação€ para designaro espaçodas funçõesreais contínuas definidas na reta, y:R > R. A notaçãoC” designao subespaçode C formadopelasfunçõesquepossuemderivadasaté a ordemn, comy!"):.R — R contínua. Isto é, o operadorlinear L: C” — €, dado por: Ly) =yt + any D+...+ay + aoy (5.27) possuiuma inversa G:€ —+ C" que associaa cadafunçãocontínua h(x) a soluçãoy(x) de(5.25)(5.26): Gn) =uy. Aplicando transformadade Laplace em (5.25)com a condição(5.26), obtemosa equação ondep(s)=s”" + an p(s)Z(y)= Z(h) ,s" |... +ao, portanto ] = — L(h). io | Ly) Se g(x) é umafunçãotal que Cale) 2. e)? = ou L E (5) = 98 (5.28) temosque,u(x) = g(x) +h(x), ulx) | olx— ee) de O (5.29) Seção5.3 ProdutodeTransformadas e Convolução 195 é a soluçãoparticular procurada. Mostramosassim que o operador inversoG é dadopelaseguinteformaintegral G(h) = fts E)h(E)dé (5.30) comK(x, E) = g(x —E). A funçãoK(x, E) queaparecenessaintegral é chamadaFunçãodeGreenparao problema (5.25)-(5.26). No casode equaçõesdeprimeira ordem,estudadasno Capítulo 2, a funçãode Green é dada por: K(x,£) = eMtx-E)veja a forma integral(2.9).Nessecaso,a funçãog(x) = e**é a soluçãoda equação homogênea, y” = ky, comy(0) = 1. Aquitambém,usandoo método da transformada de Laplace, vemos facilmenteque g(x), dada por (5.28),é a soluçãode gt) com nl. any!" Da éé + ay + CoU — Õ u(0) =v'(0) =--.=yN-H0) =0,e um"X0)=1. 5.4 Exercícios 1, Para cadauma das funçõesF(s) abaixo,determinef(x) tal que f(x)=L"!(F(s)) LA 2. 3. 2 PAR 1 o Ra )2 s(s—1) 2. Utilizando a transformadade Laplace,determinea soluçãodos seguintesproblemasdevalorinicial: 1. 2. 2%+ =3, Xt+x=e"t 0) =0 x(0)=1 3. Considere uma função racional p(s)/q(s), onde q(s) é um polinômiocomraízes simples q(s)= (s—si)(s—s2)...(s— sn), 196 Transformada deLaplace S1,82,... Cap.À ,8n distintos. a) Mostre que S POa q(s) com =P A feno quit A 8 — 87 | (5.31) S— Sn ;=1,2...,n. q'(si) (Sugestão:Multiplique os dois lados de (5.31)por (s — si), e faça = Si) b) Mostre que ff] e calcule Es) q(s) sá p(si) es 4 q'(sr) c 7) e s d. p(sn) esnx q'(sn) 3 4. Resolva os seguintesproblemasde valor inicial 1 uy"—5y' +6yu=e*, v(0)=1, 3 v' +y=x+1, a. 4 yu +3y=xsenax, vu(0O) =—1. vlm)=r?, v+2v+bfuli)di=x 5. Mostrar que OO 0 sen X v(0)=1. vím)=27. v(0)=1. X dx=-. q z (Sugestão:Mostre que a última fórmula da tabela de transformadas podeser aplicadacoms = 0.) 6. À funçãodefinidapor T(8) = [ Jo e *x dx é chamadade funçãogama. Demonstra-seque a integral converge quandos > O. Beção 5.5 Aplicações 197 1)Mostrequepara k > —] pe o tes (s—-a)kri)/ T(k+1)' esa Sugestão:y = x é a soluçãoda equaçãode Euler de primeira ordem “uy—ky = 0, comy(1) = 1. Tomandoa transformadade Laplace, ibtemosa equaçãodeEuler sY' + (k+1)Y = 0,comY(1) = T(k+1), etc.) 4)Mostreque E 1 =e*Erf(vX]) (s—1)v's inde Erf(x) =(2/Vx) Jpe“ dt. ! Use a transformada de Laplace para mostrar que a soluçãodo problemalinear de valor inicial x=kx+q(t), x(0)=xo +dadapela fórmula de variaçãodas constantes x(t) = e*txo + | 4.5. t 0 eslt-sSga(s)ds. Aplicações 4.5.1Funções Descontínuas Frequentementena análise dofluxo de correnteem circuitoselétricos vuemvibraçõesde sistemasmecânicos,encontramossituaçõesmodeIindaspor equaçõeslineares comcoeficientesconstantese comotermo Inrçantef(x) descontínuo v”+ay”+by=f(x). E comum,por exemplo,funçõesdotipo ] se A<Xx< 27 fix) = (5.32) Ô caso contrário, 198 Transformada deLaplace Cap.+ mostrando que a influência do termo forçante ocorre somentenum intervalo. Quandotrabalhamoscomfunçõesapresentandodescontinuida des do tipo salto, é conveniente, afim de facilitar os cálculos de trans formadas,utilizarmosa funçãouc(x) definidaem (5.3).Com ela po demos,por exemplo,escrevera funçãof(x), definida em (5.32),come f(x)=unlx)—uzalx) e portanto a sua transformadade Laplace se segueimediatamentede (5.4) e Ts S gT2rs S Para funçõesdescontínuasmais gerais, em geral obtidaspoi translaçõesdas funçõesusuais, observamosque a translaçãopars a direita de uma funçãof(x), de uma quantidadec, podeser obtids fazendo g(x)=ueclx)f(x —c). Portanto, através de uma mudança de variável, podemoscalcular sus transformadade Laplace L(uclx)f(x— c)) = eL(f(x)) Logo Ee“ = e“F(s). Fis))=naltia =e), (5.98) Para equaçõesdiferenciaiscomtermoforçantedescontínuos,comopot exemplo v" +4y=f(x), v(0)=0, v(0)=0 comf(x) dadaem (5.32),definimoscomosoluçãouma funçãoy(x|, quesatisfaza equaçãonostrêsintervalosdistintos:(0,7), (71,27) + (211,00), quesatisfaza condiçãoinicial dada,e queu(x) e u'(x) sho contínuas nos pontos de salto x = 7 ex = 27 (note que não pode mospediry” contínua).Podemos, emcadapontodedescontinuidade. ajustar as duasconstantesarbitrárias da soluçãogeralpara obtermos a continuidadedey(x) e y'(x). Mostraremosabaixoque o processo de cálculodessasoluçãoé muito mais fácil usandotransformadade Laplace. Aplicações 199 lação5.5 Aplicandoa transformadadeLaplace aoproblemadevalor inicial sima, obtemos ] TÁ! = qe te). “mo pah k mos | us É (53) = 5 senAM que UR) = ; sen2x x f(x) stoé “! “| U(x)= / —sen(2x—2E)T(E)dê,= f(x) / —sen(2x—2€) dé. o2 o2 “alculandoessaintegral,obtemosa soluçãodoproblema ] u(x) = qtb —cos2x). +52 Funções impulso “ma situação diferente surge quando queremos determinar a resmutade um sistema que recebeum golpe secono instante t = to. Plemos aproximar essasituação,por exemplo,por sistemasdo tipo y + ay+ by =f(t) mude f(t) égrandeduranteum pequenointervalodetempoquecontém », digamosIto,to + €],e nula fora desseintervalo. A integral de f(t), Ito) - | tot-e tO f(t) dt - [ Oo —00 f(t) dt, 'n medidada intensidadedotermoforçante.Num sistemamecânico 9) é o impulso total da forçaf, ou voltagemtotal impostaaocircuito mm casode circuito elétrico. Agorao conceitodeimpulsoinstantâneopodeser entendidocomo mucleem que toda a força é aplicada num determinadoinstante. Intesedepoisdaqueleinstantea forçaézero.Issosugerea introdução 200 Transformada de Laplace Cap. 5 deuma“funçãofictícia”,designadapor ó(t), para expressaressefato no casode um impulso unitário no instante t = 0, “definida”por: S(t)=0,t£0; S0)=+00 (5.34) e / s(t)dt= 1. (5.35) As aspas são mais que justificadas, uma vez que um ente definido por (5.34)pode até ser aceito comouma verdadeira função definida na reta estendidaR U (+oo), mas em nenhuma teoria de integração sensata poderíamoster (5.35)satisfeito. Entretanto, tal função foi introduzidacomsucessopelosfísicos. A propriedaderetirada de(5.35) e frequentemente usadaé a deque (5+f)(s) = (fx 0)(s)= f(s), ou seja, /. meta ó(s— tJf(t) dt =f(s) (5.36) parafunçõesf contínuas.Em particular, /. ó(t)fit)dt = f(0). e (5.37) Dirac (Paul Dirac, Prêmio Nobel em 1933,por trabalhos em MecânicaQuântica) deu um sentidoprecisoa (5.36),introduzindo o que hojechamamosdenúcleosdeDirac (ouregularizadores).Seja q:R > R umafunçãodiferenciáveldesuportecompacto(istoé, q é nula fora de um intervalo fechadolimitado), com q(x) = q(—x), p(x)>0 e /. 00 Dix) dx = 1. Seção 5.5 Aplicações A pá — pu Fi e se se EM Figura 5.3—Gráficos dasfunções Pn(X) À expressão“fictícia”(5.36)é entendidacomoa expressãoverdadeira Jim / Pnls —t)f(t) dt = f(s) (5.38) ondef é umafunçãocontínuae qn(x) := nyp(nx). A seqiiênciapn(x) tema propriedade que lim pn(x) =0, quando x£0 lim pn(x)=-+oo, quando x=0. Assim, o ó podeser visto formalmentecomoum limite da segiiência (pn). Pode-seprovarrigorosamente quedefato(aa Qui) dk = 1, para todonn,e que (5.38)é verdadeiro. Cf., por exemplo,D.G. de Figueiredo,AnálisedeFouriereEquaçõesDiferenciaisParciais,Projeto Euclides, pág. 74. Completantoa informaçãosobreo assunto,lembramosqueapós a Teoria das Distribuições, devida a Laurent Schwartz, o 6 de Dirac foi entendidocomo uma distribuição, e completorigor foi colocado nas questõesondeo ó era usado.Consequentemente, o queera feito sem rigor, mas dava bons resultados nas aplicações,foi finalmente postonoscânonesda Matemática!Ref. L. Schwartz,Meth. de Math. Physiques,Hermann, Paris. 201 202 Transformada deLaplace Cap.E Definimosimpulsounitário num instanteto > Opor dtolt) = d(t— to) = d(to —t). A transformada deLaplacede6+,(t)é definidacomo OO L(dto)(s) — / drolt)e St dt — / ó(to si tie AL —00 Essa expressão,comodissemos,é entendidacomo L(ô+,)(s)= lim / —s N=>00 | o Pnlto—t)e "dt = e*to, Podemosagoraanalisar o comportamentode um sistemasujeito a um impulsoinstantâneo.O problemacomcondiçõesiniciais nulas Xx+2x+2x=26(t—7n), x(0)=0, x(0)=0, representaum sistemasemexcitaçãoaté o instante t = 7, nesseins tante o sistemarecebeum impulso de intensidade2. Queremosan& lisar a influência desseimpulso na soluçãodo problema. Observeque nãopodemosesperarqueexistasoluçãoclássicapara esseproblema, isto é, uma soluçãox(t) possuindoderivadassegundascontínuas Assim, comoestendemoso conceitode função para introduzirmos funçãodelta de Dirac, precisaríamosestendertambémo conceitode solução,para incluirmos problemasdessetipo. A generalizaçãodo conceitode solução,emgeral,é feita emcursosmais avançados.Fh remosaqui apenasuma análise informal. Tomandoa transformadadeLaplaceno problemadevalor inicia! acima, obtemos ] X(s) = E Ma (8) (s+1)2+41E Em seguida,usandoa fórmula de inversão (5.33)e a tabela de trans formadas,determinamosa soluçãox(t) x(t) = Zu (t)e HT P sen(t —71)EE: Ô, 2e t-Dsen(t— 7), t <A t>n1 O sistemaestáemrepousoaté t = 7, nesseinstanteo sistemarecebeu um impulsode intensidade2. A influênciadesseimpulsoé mostrada na Figura 5.4,ondeplotamoso gráficode x(t), Seção5.5 Aplicações 203 Esse gráfico,para t variandono intervalo[0,47],foi geradopelo programa“Mathematica”digitando: “Plot[Ifl[t< Pi,0,2 Expl-(t-Pi)]Sin[(t-Pi)]],(t,0,4Pi))”. 5.5.3 Comportamento da Derivada Suponhaquequeiramosestudaro comportamento da derivadax(t), dasoluçãodeum problemadevalor inicial x''+ax'+ bx = f(t) (5.39) x(0)=xo, x'(0)=yo 4 0.6 | 0.5 | | 04| 0.3 | 0.2 01|: | | | À ÀN 24 6 N 12 Figura5-4 Obviamentepodemosresolvera equaçãoe depoisderivar a soluçãox(t). O quequeremosmostrar aqui, é queusandoa transformada deLaplacepodemosobterx(t) semnecessidade de computarx(t). Paratal transformamoso problema(5.39)num sistema de equações diferenciais. Fazendox'= y obtemosde (5.39) x' y y' = ay — bx+f(t) 0) = {x(0) = X0 (5.40) ColocandoX — Lix)e Y = £(y) e aplicandoa transformada de Laplacenessas duas equações,obtemoso seguinte sistema linear nas 204 Transformada de Laplace incógnitas X e Y: sX— Y = Xo bX+(a+s)Y= Fís) +vo ondeF = £(f). Portanto pela regra de Cramer obtemos Y= sF(s) + syo — bxo s2+as+b quepodeserinvertidaparadeterminarvy(t)= x(t). Considere,por exemplo,o problemaestudadona sub-seccção à terior x+2x+2x=26(t— 7) x(0) = 0, x(0) = 0. Esse sistema está em repouso até o instante t = 7, nesse instante sistema sofreum impulso de intensidade2. Espera-se,portanto,q a derivada, que representa a velocidade,seja igual a 2 no instal! L=7. Para esseexemplotemoso seguintesistemalinear sX—Y =0 2X + (2.+8)Y = 3e e portanto v- 2s eos (s+1)2+1 Como . L(e(2cost —2sent)) = EFTEET temospelafórmulade inversão(5.33)que «(t) = umtZe TPcos(t = 7) — sen(t = 71), Aplicações 205 2| 1.5 | 1 0.5 | 1 4 5 Figura 5-5:Gráfico dex'(t). 6 6 SistemasAutônomos no Plano Este capítulo pertenceà teoria qualitativa das equaçõesdiferenciais Aqui, não se insiste na obtenção de expressões exatas para as soluções dos problemas. A ênfase é, antes em se obter propriedades das soluções,retirando-as através de uma análise das equações,A parte técnicaestá dividida em duas secções.A secção6.1 desenvolve a matemáticaessencialpara o estudode problemasno plano de fase comresultadosde caráterlocal. A secção6.2, estudao teoremade Poincaré-Bendixon, eentranadifícil linha deobtençãodeinformações globais sobreo espaçode configuraçõesde sistemasnão lineares.O texto expõeos conceitos,as idéias envolvidas,e as consequênciasde resultados, sem incluir uma demonstração do teorema de Poincam Bendixon. Propomo-nosestudar nestecapítulo sistemasna forma x' = f(x,y) y'= g(x,y) (6.1) quesãodenominadossistemasautônomos,pois f e g não dependem explicitamentedavariável(tempo)t. As soluções(x(t), u(t)) sãocurvas parametrizadasno planodefases(x,y) denominadasórbitas.| sentido geométricodo sistema (6.1)é o seguinte: (f(x,y), g(x, u), um campovetorialno plano [suporemosque f, g:R⁴ —>R sãofunções declasseC¹ definidasemtodoo plano]e as órbitas sãoas curvas integrais dessecampo,isto é, as curvas que em cadapontosão tangente ao campo. Seção 6.1 41, Consequências doTeorema deExistência e Unicidade 207 Consequências do Teorema de Existência e Unicidade comovimos na secção3.2 devemosolhar os gráficos das soluções x'(t)(x(t),y(t))em -> R³ = {(x,y,t)}:ahipótesedef e gseremdeclasse C¹garanteque,para qualquer(xo,Yo, to) existeumae somenteuma solução (x(t),u(t)) dosistema(6.1),tal que (x(to),ulto)) = (xo,yo), vejaFigura 6.1(a). O sistema (6.1) sendo autônomo,segue-seimediatamente que,caso(x(t),y(t)) seja uma soluçãode (6.1)e t1;seja umnúmerofixado,então(x!(t),y1(t)) = (x(t —ty), ult —t1)) será também soluçãode (6.1).De fato,temos: att)=xt —ti) =flxlt— to),ult—tr)) =flxilt),volt) “umaexpressãosemelhanteparay1(t). Isso mostraque,setransladarmos uma soluçãode (6.1)paralelamenteaoeixot, obtemosainda umasoluçãode(6.1),vejaFigura 6.1(b) Mt t na REd tne cms Xo a dd Vo ep CIORIO) Yo EA Xo »X (x(t),U,(t) e P OÚ éx (a) (b) Ay yo * | P ef Xo Plano de Fases + (c) Figura 6.1 x 208 SistemasAutônomos noPlano Cap: Issomostraqueumareparametrização de (x(t),u(t)) conduzà mesma órbita(curva)no planodefases(x,u) vejaFigura 6.1(c).Podemos portanto considerarcondiçõesiniciais (xo,Vo,to) com to = O. A seguir, provamosque órbitas não se interseccionamno plano de fases Suponhaqueexistemduas órbitas(x1(t),ui(t)) e (xz(t),yz(t)) tais que (x1(t),uilt)) = (x2(t),uz(t)):;peloqueacabamos demostrar vemosque (xt),vlt) = (alt+t— D,uilt+t— 0) A é soluçãode (6.1),e como (x(0), v(t))=(x1(t),un(t)) = (x2(t), vzlt)) me mm concluímosdo teoremade Existência e Unicidade (secção3.2)que (x(t),uy(t)) es (xz(t), va(t)), o que mostra que (xz(t), yz(t)) é uma reparametrização de (x1(t),ui(t)). Observeque os resultadosda secção3.2implicamna seguintealternativa:(1)asórbitas(x(t), y(t)) estãodefinidaspara todosos valoresreais de t, ou (ii) (x(t), y(l! não está definidopara t maior ou igual a um certo w. , e nestecaso (x(t),uy(t)) se torna ilimitado quandot > w,. [Observequemw funçõesf(x,y), g(x,y) estãodefinidaspara todo(x,y) E R?]. Segue se,pois, que casoa curva (x(t),y(t)) seja limitada entãoela estáde finida para todo t. Observe,finalmente,que uma órbita não podese auto-Interseccionartransversalmente,isto é, ela não podeter pontos duplos do tipo: (xo, yo) Figura6.2 Para ver isso, suponhamosque hajam dois valores de t, to e ti tais que (x(to), u(to)) = (x(ty), u(t;)) = (xo,Vo); então,astangentes à curvaem toet1 sãodadaspelocampo(f(x,y), g(x,u)) calculadono mesmoponto (xo,Yo). Vê-se também, neste caso, que a órbita é uma Seção6.2 Pontos de Equilíbrio ou Singularidades curvafechada,pois as funçõesx(t) e y(t) sãoperiódicasde período !| to; de fato, basta usar um argumento semelhante ao que utilizamospara provar que as órbitas não se interseccionam.Neste último “uso,usamostambéma terminologiaórbita periódica. Resumindo: o woremade Existência e Unicidade nos diz queo plano de fases (x, U) »stácobertopor órbitas que não se interseccionam. Nosso objetivo agora é estudar essa decomposiçãodo plano de Wes,que denominaremosespaçode configurações(“phaseportrait”). im geral, essa é uma tarefa difícil. Entretanto, desenvolveremos Wenicaspara fazer um estudo local das órbitas nas vizinhanças de “masingularidade[veja6.2 abaixo],e teremoso teoremade Poinmré-Bendixon que nos dará informaçõesglobaissobreo espaçode wnfigurações. 12. PontosdeEquilíbrio ouSingularidades !'mpapelmuitoimportanteno estudoda geometriadoplanodefase *desempenhado pelassoluçõesconstantes(x(t),u(t)) — (xo,Uo)de 6.1),as quais são precisamenteos zerosdo sistema f(x,y) =0 (6.2) g(x,y) =0. 'ssassoluçõessãochamadaspontosdeequilíbrio,nomenclaturains- prada no seu significado físico, ou singularidades (também pontos singulares),nomenclaturaprovenientede seu sentidogeométrico.Os pontosnão singulares são chamadosregulares. Exemplo1. Considerea equaçãonãolinear de2º ordem E— dx. —À, EnzendoX = y, obtemoso sistema loca y =8xy queé do tipo (6.1)comf(x,y) = y e g(x,y) = 8xuy.Nessecaso f +q são de classeC!, temosexistênciae unicidadede soluçãoe um porema análogo no Teorema 3.7 pode ser aplicado, isto é, as soluções lesse sistema tendem para o bordode O = ((x,y,t) € Rº). Nosso 209 objetivoé estudaroplano defase. As soluçõesdeequilíbrio sãoobtida fazendo fo,uy)=y=0 e g(xy)=8xy=0 portantox(t) = ctee y(t) = Osãoas soluçõesde equilíbrio(todosm pontosdo eixo-x).Para obtermosas outras soluções,vamossuporque x =x(t) possaserinvertida,obtendot = t(x). Portanto,segue-se di sistema,que dy uid O dx e logoy(x) = 4x2+ c. O planodefaseé dotipo N ty N N Ma x e -- a / / / |A % a Soluções deequilíbrio ur Em N x z N x , / > / E X |/ A / N f X Na a A Figura6.3 As órbitasque“moram”nas parábolascujosvérticesestãoabnt» do eixo-x não tocam esse eixo. Portanto, são limitadas, isto é, exist uma constantek tal que lot, ultI<k, Vte(w., ws). Usando a observaçãoque segueaoTeorema3.7,concluímosqueess órbitassãoglobalmentedefinidas,isto é, (wW.,w,) =R. Observação: Quando as soluçõesde um sistema autônomosão ph balmentedefinidas,podemosdefinira função q:R* x Rs Rº lação6.2 PontosdeEquilíbrio ouSingularidades211 por q(P,t)=(x(t),y(t)) ande(x(t),y(t)) é a soluçãode (6.1)tal que (x(0),u(0)) = P. Assodadoa q introduzimos a família de funçõesa um parâmetro p:uRPSR?, tER, andepe(P) — q(P,t). Temos,pelosteoremasde existênciae unicidudee dependênciacontinua em relaçãoàs condiçõesiniciais, que |) pu R? — Rº2é contínua HH) Po = id DO QPus=Progps. Umafamília a um parâmetrosatisfazendoas 3 propriedadesacimaé hamadadefluxoou sistemadinâmico. À seguir vamosestenderos conceitosde estabilidade,introduzi- dosnasecção2.3parasistemasautonômos noplano. ofinição 6.1. Um pontode equilíbrio(ousingularidade)(xo,Vo) é wtávelse, dado E > O, existe ô > O, tal que para qualquer órbita “s(t),uy(t))com dist((x(0), v(0)),(xo,Vo))<5, tenhamos dist((x(t),u(t)), (xo, Uo))<e,paratodo tz0. lisfinição6.2. Um pontode equilíbrio (ou singularidade)(xo,Uo)é msintoticamente estávelseelefor estávele seexistir um > Otal que todaórbita (x(t), u(t)) com dist((x(0),u(0)),(xo,Uo))<n pntão lim (x(t),u(t))= (xo;Vo). t—>-oo (*) Essadefinição simplesmentediz que órbitas “começandoperto” de 9, Vo) permanecemperto,e de fato convergempara o pontodeequibrio. 212 SistemasAutônomosno Plano o | Cap ' / 8 - 'e ' » [ | | N E | va F N A ea x Cc , / / / ; a | | A A , / / ET % Figura6.4 As figuras B e C apresentampontos de equilíbrio assintoticamente estáveis;já o exemploA mostraum pontode equilíbrio somenteestá vel. Na definiçãodesingularidadeassintoticamene estável,grifamos a palavra estávelpara enfatizar quea condição(*), uma característica dessetipo de singularidade,não é suficientepara caracterizá-la. Ha exemplosmostrandoessaeventualidade,cf. L. Cesari “Asymptoti BehaviorandStabilityProblemsin OrdinaryDifferentialEquations”, Springer-Verlag(1959).Uma singularidadequenãoé estável,chama se instável. Vamosagorasuporquea origem(0,0) é umasingularidadeiso lada de (6.1), e fazer um estudo da geometria das órbitas em sua vizinhança.O casodeumasingularidade(xo,Uo)£ (0,0) podeser reduzidoao casode singularidadena origemmediantea mudançade variáveis (x,y) > (x — xo,y —yo). Pela fórmula de Taylor, f e q podemser escritascomo f(x,y) = fx(0,0)x+fy(0,0)y+F(x,y) g(x,y)= 9x(0,0)x+ gy(0,0)y+ G(x,y) (6.4) ondeFe G sãoo(|x| +|y );a notação“o”significao seguinte:h(s) Hoção 6.2 PontosdeEquilíbrioou Singularidades 213 v(s) se h(s)/|s| — O quandos — O. As expressões em (6.3)nos sugeremque o comportamentodas órbitas nas vizinhanças da singu- Inridade(0,0)deveserdeterminado pelapartelineardocampo(f, 9). omo veremosmais adiante isso é “quase”verdade. Portanto, comevemoscomo estudode um sistemalinear comcoeficientesconstantes: Dra (6.4) y = cx+ dy 6.2.1 O sistema linear (6.4). Suponhamosque a origemseja uma singularidadeisolada do sistema(6.4),ou,equivalentemente, ad —bc O.Para facilitar nossas explicações, vamosintroduzir o vetorX e a matriz À: a a o assim (6.4) se escreve como X = AX. (6.5) O sistema (6.5) lembra a equaçãodiferencial x — ax, estudada noCapítulo 2, cuja soluçãogeral foi x(t) = ce**. Ocorre,então,a idéia de tentar soluçõesde (6.4)ou (6.5)na forma tt =” Mt + »OUequivalentemente, X(t) = Ce”. u(t) = cze (6.6) Substituindo-seem (6.4) [se o leitor preferir, ele poderá prosseguir usandovetores e matrizes], obtemos que c4, C2e À devem satisfazer nosistema | (a—Ajcy +bcz =0 ccrtH(d—Ajc (6.7) =0 Comoestamosinteressadosemsoluçõesnãotriviais (C1,C2)[i.e.,cy £ Oou cz É Oou ambos 0], segue-sequeo determinantedosistema deve ser O: a-—A C b d= A O &AM-(a+d)A+(ad—- bc) =0. (6.8) 214 SistemasAutônomosno Plano Cap.6 Às raízes dessa equaçãodo 2º grau são os valorespróprios (ou auto-valores)da matriz A. O polinômio(nocasoum trinômio)em(6.8) é chamadoopolinômio característico.Assim, obtidosos auto-valores deA, voltamos ao sistema (6.7),de ondeobteremoscy e cz e poderemos entãoescreveras soluçõesde (6.4)na forma (6.6). Entretanto, como nossointeresecentralé obterumadescriçãopictóricadasórbitasnas vizinhançasdopontosingular(0,0),vamosreduziro estudode(6.4) àquelede um sistema equivalente,mais simples. A Álgebra Linear nos ensina que,atravésde uma mudançadevariáveis no plano (x, 1| a matriz À podeser levadaa um dostiposabaixo,dependendodosinal do discriminante A=(a-d)*+4bc. Isto éum casoparticular da Forma deJordan, veja opróximocapítulo, A = O O N (6.9) ondeÀ Z u sãoosdoisautovaloresdeÀ supostosreais. A E = O O 4 , s=[3 1]. onde À é o único autovalor (necessariamentereal) de A. A À comoem (6.9. 1 s=[5 8]. ja —b onde« + 12 sãoos autovaloresdeA. (6.9) nã O es á O quese quer dizer comÀ ser levadaem B medianteuma mudançadevariáveisé o seguinte:existeumamatriz nãosingular (Q(a matriz da mudançadevariáveis)tal queB = QAQ”!. Concluímos, pois,quea curvaY(t) = QX(t) é tal que Y=QX=QAX=QAQ !Y = BY, econsequentemente, bastaestudaro sistema(6.4)coma matriz de um dosquatrotiposacima. Issoporque,apósobterasórbitasnessescasos, PontosdeEquilíbrio ouSingularidades215 Ração 6.2 pode-sevoltar às variáveis originais X = Q”!Y e o que aconteceno planodefasesé apenasumadistorsãodasórbitas;distorsãosignifica rotaçãoem torno da origem,reflexãoem torno de uma reta passando pelaorigem,expansãoou compressãoao longode dois eixos. Unso (6.9). O sistema (6.4) se torna x =Ax x(t) = cre! y = uy Ut) = GR, Basta estudar as órbitas no 1º quadrante (nosdemais quadrantes,as órbitas são obtidas por simetria); portanto para c1,Ccz> O, sbtemos: Pass q => p= g>Ã Dai, sem se preocupar com a orientação, no momento,vemos que 4curvasoluçãotemo aspectoindicadonas figurasabaixo a b O<gA<T WA>] /A <0 H/A= Figura6.5 Observe que os casosextremoscy = O ou cz = O dão os semibixoscomoórbitas. Observeque,nos casosa e b, as órbitas, entram na origemao longode uma direçãofixa: quandoO < u/ÀA< | as 216 Sistemas Autônomos noPlano Cap.+ inclinaçõesdastangentesà órbita,Wy/x, tendea +oo,e quando|/À 1essasinclinações, W/X,tendema 0. Consegue-sea orientaçãodas curvas pela análise das soluções na forma paramétrica. Assim: (i) se A,u < O as curvasem a e! tendempara a origemquandot > +oo, e aí dizemosque a origem( um atrator,(ii) se À, u > Oas curvasem a e b se afastamda origem quandot — +oo. Uma análise semelhantese faz quandoÀ e u tóm sinais diferentes. Pondo todas essas observações,juntas, obtemosnm configuraçõesA, Be C abaixo. Usa-se também a expresãonó pars designarum pontonodal. Caso (6.9). O sistema (6.4) se torna x =Ax ER V=Ny x(t) = cye?t u(t)=cre! ss ” = CX e assimas curvassoluçõessãosemi-retascomona figura d acima, o espaçode configuraçõesé comona figura D, abaixo. A q 4 v +» » B | FO. e A y 4 4 A | a ” ç e Y á [a A<u<O u<A<O0 Ponto Nodal (estável) C + A w Ponto Nodal (estável) » A<O<u Ponto de Sela Figura 6.6 Beção 6.2 PontosdeEquilíbrio ouSingularidades Unso (6.97). O sistema (6.4) se torna x=Ax+Uy = V=Ay x(t) = (cj + cat)eMt u(t)=cze!t, Logo,os semi-eixosx > 0 ex < O são curvassoluções,correspondentesa cz = Oe comorientaçãodependendodo sinal de À. Basta vonsideraro casocz > O, o outro se seguindopor simetria. SuponhamosqueÀ < O. Vemosquepara t grandee positivo,x(t) > 0,e «(t) > Oquandot — +oo; além disso, a curva corta o eixo y quando | =—c1/c2,e x(t) — —ooquandot — —oco.Nestecaso,todasas orbitasentram na origem ao longo de uma direçãodeterminada;de Into,y/X = Acz/(Acy+Acat+ca)— O.Assim,obtemosa configuração em E abaixo D Y 4 - E Y s A e Y =“ > Fá mai To V a A=u<O Pontos nodais (estaveis) Figura6.7 Cnso(6.9). O sistema (6.4)se torna xXx = «x — By | y = Bx+ au. Neste caso, é preferível usar coordenadas polares x= Tal, Daí xe fcon0 — rsenO 6, UU=fsenD. y =TsenO +rcos0 Ô 218 Sistemas Autônomos noPlano Cap| de ondese segue t=xcos0 +ysenoO, 6=" !(ycos0—x sen 6). As últimas equaçõesnosdão t=ar e daí nt] ==Toc 0=B O(t) = Bt+ 0, que são as equaçõesparamétricasem coordenadaspolares da órbils que,parat = 0,passapeloponto(To,00).Portanto,a órbitaé: (1)um círculo,se « = 0, (11) uma espirallogarítmicase « 0, e a origem ' um atrator se « < O. Além disso,a espiral é dextrógirase B < 0: sinistrógirase P > 0. a<0,B>0 a«>0,B<o0 G3 1 =) Centro G4 | | EA a ) o a<0,B<o0 dy | N q «>0,B>0 Pontos Espirais Figura6.8 Atenção.Um retornoàsvariáveis(x,u) dosistema(6.4)implicaape nas em uma distorsão das figuras acima. Nas figuras A, B, C, ms órbitas entram na singularidade ao longo de duas direçõesortogonais nas figurascorrespondentesao sistemaoriginal haveráduas direções lação6.2 PontosdeEquilíbrioou Singularidades 219 nãonecessariamenteortogonaisaolongodasquaisasórbitasentrarão wasingularidade.Na figura E continuaráa haveruma direção,não necessariamente um eixocoordenado, aolongoda qual as órbitasenirmmna origem. Na figura F os círculos serãotransformadosem slipses. Podemos,pois, resumir no quadro abaixo as várias possiWlidades dependendo dodiscriminante A=(a-d)? +4bc “dosvaloresrelativos de a, b,ce d: Ã ad —bc >0 <0 >0 >=0 >0 >0 a+d Tipo deSingularidade sela <0 nóestável dd ed nó instável <0 == centro <0 <0 pontoespiralestável <O0 >0 pontoespiralinstável = <0 nó estável = >0 nó instável 142 O sistemanão linear(6.1). las hipótesesfeitas acima, as funçõesf e g podemser escritas na vema (6.3),comFe Gcontínuas eo(|x|+|y|).Chamando a = fx(0,0), vo (4(0,0),c = 9x(0,0)e d = gy(0,0),o sistema(6.1)seescreve uno x = ax+ by + F(x,u) y=cx+ dy + G(x,uy) (6.9) Pulemos,portanto,olhar o sistema(6.9)comouma perturbaçãonão “neardo sistemalinear (6.4).A origem (0,0) é uma singularidadede 4), se supusermosad —bc £ 0, tratar-se-áde uma singularidade ulada e, neste caso, dizemos que a origem é um ponto singular mim Wes,caso ad — be — O, então, a natureza da singularidade depende 220 SistemasAutônomosno Plano Cap 4 fortementeda parte não linear. Nas nossasconsideraçõessuporemm sempreque a origem é um ponto singular simples. Como dissema acima,é de se esperarque a parte linear do sistema(6.9),isto é, o ui tema (6.4), descrevaa geometria das órbitas na vizinhança da origem entretanto isso é aproximadamenteverdade. De fato, todosos fat ou propriedadesdo sistema(6.4)que dependemde desigualdadesen tre a, b, c e d permancerãoinalteradas, cf. quadro acima. Aquelw que são caracterizadaspor igualdadespodemmudar. Mais precina mente,temososresultadosabaixo,cujasdemonstrações o leitor pod; encontrar no livro de E. Coddingtone N. Levinson, “Theoryof Ordi nary Differential Equations”,McGraw-Hill Book Company,New York (1955).Veja tambéma secção7.3 do próximocapítulo. (1)Se a origemfor um atrator para o sistema linear (6.4),ent tambémo será para o sistemanão linear (6.9). (11)Se a origemfor um pontoespiral para o sistemalinear (64 entãotambémo será para o sistemanão linear (6.9). (11i)Se a origemfor um pontode sela para o sistemalinear (64: entãotambémo será para o sistemanão linar (6.9). (1v)Se a origemfor um pontonodal dostipos À, B para o sistem» linear (6.4), entãotambém a origem é ainda um ponto nodal para+ sistemanão linear (6.9). (v) Se a origemfor um centropara o sistemalinear (6.4),então,» origempodeser um centroou um pontoespiral para o sistema(6, (vi) Se a origem for um ponto nodal do tipo D, então a origem podeser um nó ou um ponto espiral para o sistema(6.9). Vamosilustrar (v) e (vi) comexemplos. Exemplo 1. Considereo sistema: X X - V=— y U X in(x2 +y2)1/2 U+ nba rua o qual podeser escrito,em coordenadaspolares,como O ] nro r F, (GIO ) lação6.2 PontosdeEquilíbrioouSingularidades 221 Logor(t) = cet, ondec > Oé umaconstantearbitrária,e daí ] d=-——— Enc—t > 9(t)=k-In(t- Enc) sudek = O(to)+ En(to—&n.c). Issomostraquea origemé umponto »piral para (6.10),cuja parte linear tem a origemcomoum ponto modal, Esemplo2. Considereo sistema Xx=-y-—xyx2+y?, Úu=x—-uyvx?+y”, (6.11) “qualpodeser escrito,emcoordenadas polares,como 6=1, logo O(t) = t+ 00 er(t) t=—". (t a 1) ee são as equaçõespolares maramétricas da soluçãodo sistemaque,no instantet = O,passapelo vento(ro,do). Essa curvaéumaespiral,e assima origemé umponto »piral para o sistema (6.11). Observeque a origem,para o sistema inearcorespondente a (6.11),é um centro. Esemplo3. Considereo sistema XxX = —Y+ Ú — x+y(x? x(x? o a uy?) sen +12) ZFyZji? sen TRERyITTT: (6.12) “qualpodeser escrito,emcoordenadaspolares,como Dl, r=rÍsen-. T r v>-ne, então,que os círculos r = 1/mn,n= 1,2,..., são órbitas fechadas,Temostambém t > 0, quandor >1 1 ] t <O, quando— <r< o e odiei i 2m 2m—l ] ] t >O, quando ETC alto 1,2, cai im +| 2m' 222 SistemasAutônomos noPlano Cop As órbitas nas regiõesanulares, 1/(n + 1) <r < 1/n, nãosb fechadas,esim espirais,pois O(t) er(t) sãoestritamentemonotônies Alémdisso,elasdevemseaproximardecírculos1/n quandot +» tu umajustificativa dessaasserçãoserá feita na secção6.3. Nestecns a origemé um centropara ambosos sistemas,o linear e o não lines n Par 6.3. n Impar O Teorema de Poincaré-Bendixon Na secão6.2, estudamoso espaçode configurações,ou seja a geon tria das órbitasdo sistema(6.1)nas vizinhançasde uma singular dade. Os resultados lá obtidos foram tipicamente locais, apesard servirem, em vários dos problemaspara se ter uma descriçãolol» dasórbitasno planode fases.Entretanto,em muitosproblemasds aplicações,o meroconhecimentodas singularidadesnão chegapur descrevero espaçodas configurações,e consequentemente não é sul ciente para responder perguntas importantes sobre o comportamen! globaldasórbitas.Em algumasaplicaçõesà mecânicaeà eletricidad: um papel importante é desempenhadopelas soluçõesperiódicasd (6.1),que correspondemno plano de fases a órbitas fechadas. Nom» objetivocentralnesta secçãoé estabelecercritériosque nos perm' tam assegurarque tais órbitas existem. Dado o objetivointrodutor do presentetrabalho, vamos apenas arranhar a superfície de um teoria rica e profundacriada por Henri Poincaré, e que ainda hoje objetode muita pesquisa.Se conseguirmosdar aoleitor uma idéiadu problemasprimeirosdessateoriae desua relevâncianas aplicações Beção6.3 O Teoremade Poincaré-Bendixon acreditamoster atingido nossoobjetivo. Esemplo1. (Um sistemamecânico,cf. J.J. Stoker,Nonlinear Vibratons in MechanicalandElectricalSystems,IntersciencePublishers.) Fonsidereum sistema mecânicoconstituído por um bloco de massa m ligadoa uma mola e repousandosobreum correia ásperaque gira sumvelocidadevo. Figura6.10 Suponhamosque inicialmente (mola não distendida ou comprimida)o bloco se acha na posiçãoE = O. A força de atrito arrasta o blocopara a direita até uma posição máxima e aí o bloco regressa, rumeçandoum movimentooscilatório. O movimentodo blocose deve 4umdesequilíbrioentrea forçadeatrito e a força—kédamola;nosso abjetivoé estudar essefenômenoà luz da mecânicanewtoniana. A lurçadeatrito é umafunçãodavelocidadedoblocorelativaà correia: p(E—vo).Afunção —p(v) emalgunscasostemumaformaalgébrica bemdefinida;entretantomuito se podedizer sobreo problemase conhecermosapenas a sua forma gráfica,juntamente com certas propriecdades. Isso mostraa forçadosmétodosquevamosdescrever.No momento, vamossuporqueo gráficode b(v) sejao seguinte: *0 + Figura 6.11 2253 224 Sistemas Autônomos noPlano Cap. À interpretaçãodográficoé a seguinte:quandoo blocoestápa» rado relativamente à correia, a força de atrito aumenta (i.e. a res sistênciado blocoa se moverpela açãode uma força externa)até atingir um valor máximo,e a partir daí decresce,voltando depoisa crescerquandov aumenta. Pela 2€ lei de Newton, temos mé = —d(É—vo)—kE. (6.13) Mudamosda variávelé para a variávelx: x=€E+ ] 7 Pl-vo), (6.14) o que quer dizer que passamosa contar os deslocamentosa partir da posiçãoondeo blocoestáem equilíbriosoba açãoda forçade atrito e da forçada mola: —p(—vo)—k£ = O. Fazendoa substituiçãoem (6.13) obtemos mx+ &b(x—vo)—P(—vo)+ kx =0, Fazendoa substituição F(x)=lx —vo)—Pl—vo), obtemos: mx+F(x)+kx=0, (6.15) ondea funçãoF temográficoseguinte,casovonãosejamuitogrande. AF(X) | | RS | | h ii X Figura6.12 As soluçõesoscilatóriasde problemasdessetipo são chamadas auto-excitadas.A nomenclaturaauto-excitadase explicapelo fato de que a soluçãoperiódicaé criada pelo próprio sistema, sem a açãode forçasexternas.Observequea existênciade soluçõesperiódicaspara Beção6.3 O Teorema de Poincaré-Bendixon equação(6.15)é um fenômenotipicamentenão linear; nos sistemas mecânicoslineares, a presençade força de atrito implica necessariamenteem amortecimento.E mais, neste caso,só aparecemsoluções periódicassehouverforçasexternasperiódicas,e aí as oscilaçõesnão seriamauto-excitadas. Um modelomecânicodo tipo descrito acima [vi usadopor Rayleigh para explicar as oscilaçõesdas cordasdo violinoquandoarrastadaspeloarco;entretanto,esseéum problemabem maiscomplexo,poisdeveenvolverderivadasparciais,umavezquese tratadeum problemadecordavibrante. Exemplo2. (Triodo). Para não entrar nos detalhesda deduçãoda equação quedevesersatisfeitapelacorrentenumtrechodocircuito[o leitorinteressadopodevê-lanolivro deStoker],vamosconsiderarum modelorepresentadopor um sistemaRLC, ondea quedadevoltagem, Vcp, no resistorsatisfaza umarelaçãodotipo: ] Vco=k(38-1), k>0 Figura6.13 por Como a variação do potencial (voltagem)no indutor, Va p,é dada Meses dl onde I é a corrente por unidade de tempo, e no capacitor, VBc, por Q Vec= "6 ondeQ é a cargae Le C sãoconstantes(respect.indutânciae capacitância), temos, pela 2º lei de Kirchhoff (a soma algébrica das 225 226 SistemasAutônomosno Plano Cap.à diferençasde potencialem uma malha é zero),que I e daí, por derivaçãocomrelaçãoa t, obtemos . x. 0 Li+RT-Di+cI=o. (6.16) À equação(6.16)é conhecidacomoa eguaçãode van der Pol, que fwi quema derivoupelaprimeira vezepara elaobtevea existênciadeuma soluçãoperiódica. Comono Exemplo 1 observeque uma linearização de (6.16),substituindo-apor Li+kI+ GI=0 (6.17) nãoéumaaproximação admissíveldofenômenoreal,umavezqueeste apresentaoscilaçõesauto-excitadas,e as soluçõesde (6.17)crescem exponencialmente.Portanto,nãohá queresistir: a equação(6.16)com todasuanãolinearidadedeveser atacada.Um argumentoheurístico paraexplicarporque(6.16)temsoluçãoperiódicaéoseguinte:quando [ > 1,o coeficientede Í setorna positivo e aí a correnteé amortecida, e quando1 < 1, a correnteé amplificada. ResumodosExemplos1e2. O tipodeequaçãoobtidanessesexemplos é o seguinte u+tf(uji+ku =o0. Nós nospropomosa estudarequaçõesdeum tipo mais geral u+f(lwuju+g(u) =0, (6.18) queé conhecidacomoa equaçãodeLiénard. Esta equaçãoé equivalente noseguintesistemano plano de fases,x = u, y = U: * =) y=—f(x)y —g(x). (6.19) Nossoproblemaé estudar a questãoda existênciade órbitas fe chadas (Le, moluçõesperiódicas)de (6.19),ou, mais geralmente,do Beção6.3 O Teorema dePoincaré-Bendixon 227 sistema(6.1).A respostaa essaquestãoé dadapeloteoremadePoincaré-Bendixon,enunciadoabaixo.Antes, vamosintroduzir os conceitosdeconjuntoslimites. Suponhaquea solução p(t,P) = (x(t),v(t)) de(6.1),comcondiçãoinicial P = (x(0),u(0)), estejadefinidapara todot ER. O conjunto v=y(P)=t(x(t),ult)):te R) é chamadode órbita do sistema (6.1)através do ponto P E R?. Definimosa semi-órbitapositivacomo vi =y"(P) =((dt),v(t)):t>0), vc,analogamentea semi-órbitanegativa. Definição6.3. O conjunto w(P) = w(y) = ((x,y)ER?:Itn > +oota.(x,y)= lim(x(tn),y(tn))) nNn—00 é chamadode conjunto w-limite da órbita que passapor P. Analogamentedefine-seo conjunto «-limite comosendo o(P) = a(y) = ((x,y)ER?:3ty> —oo ta. (x,y)= lim(x(tn), U(tn))). Nn—00 Exemplo 3. Nos sistemas lineares da secção 6.2.1, um ponto de e- quilíbrio assintoticamenteestávelé o conjuntow-limite de qualquer órbita. Exemplo 4. No sistema do Exemplo 3 da secção6.2.2,temos que os círculos 7 = |n comn par são conjuntosw-limite, e para n ímpar são limite. ixemplo 5. O conjunto w-limite não é necessariamente conexo. Na figura6.14temosquew(P) = y(Py) Uv(Pa). 228 SistemasAutônomosno Plano Cap.6 p;º “P, Figura6.14 Exemplo 6. Considereum sistema com3 pontosde equilíbrio, sendo 2 pontosespirais instáveis e 1 ponto de sela, comona figura 6.15. P da Y / x 4 | (+) s es “ v AN (C) —- Figura6.15 Nestecasotemosqueo conjuntoemformadeoito,formadopelas duas órbitase o pontode sela, é o conjunto«ww-limite de todoponto P que está fora de o0. O laço direito de co é o w-limite de todo ponto P que está dentro desselaço, excetoo ponto espiral lá contido, Analogamenteo laçoesquerdo. As letras gregas« e w, respectivamenteprimeira e última letra do alfabetogrego,sugeremo sentido—oco e +oo dosconjuntoslimites. As principais propriedadesdessesconjuntosestãoresumidasno teoremaseguinte,cuja demonstraçãopodeser encontradano livro de Hirsch-Smalo ou Hale citadosno final destasecção. Teorema6,1. Se a semi-órbitapositivay'!(P) é limitada, entãoo conjunto w-limite de P satisfaz: Seção6.3 O Teoremade Poincaré--Bendixon D» w(P)£ZO HW)(P) é compacto di) (P) é conexo iv) w(P) é invariante,istoé,seP E w(P) entãoa soluçãoq(t,P) E w(P) para todot. v) w(P) (P)atrai a soluçãop(t, P), istoé, lim dist. (p(t,P), v(P)) = 0. t—-tHoo Podemosenunciar uma versãoanálogapara o conjunto «-limite. Uma consequênciaimportantedo Teorema6.1 é que se lim (x(t),y(t))=P, t—-too0 entãoP é pontodeequilíbrio. De fato,w(P) = (P) é invariante,o que implicaq(t,P) = P Vt. PortantoP é pontodeequilíbrio. Teorema6.2(Poincaré-Bendixon). Suponha quea semi-órbitay* (P) élimitada e que w(P) não contémuma singularidade (pontode equi- líbrio).Então w(P) é umaórbitafechada. Vale um resultadoanálogopara a(P). Definição6.4. Um ciclo limite é uma órbita fechada(periódica)y contidaem w(P) (ouem «(P)) ondeP É y. Exemplo7. No sistemadoExemplo3 da secção6.2.2oscírculosr = l comn par sãociclosw-limites,e comn ímpar sãociclos«-limites. 6.3.1. Conseqiências do teoremade Poincaré-Bendixon. SejaO umaregião(i.e.,abertoconexo)deR?, suponhaquequalquer solução que encontra (x(to),u(to)) E 0 df) permanece em O, isto é, se paraalgumto, então(x(t),u(t)) E O, Vt > to. Se O não contiversingularidades,entãoela contémnecessariamente uma órbita fechada. A determinaçãode uma regiãoO coma propriedadedescrita acima não é tarefa fácil. Vejamosum exemplofácil, construidopara ilustrar a idéia. 229 230 SistemasAutónomos noPlano Cap.é Exemplo 8. Considerea equação u+(2ue+ul-2u+u=0 (6.20) que é equivalenteao sistema Xx=y vu=-2xX+y-2y-x. (6.921) De (6.21) obtemos d ag0 +U?)=xx+uy=(22 +y?—D)y. AgoraconsidereO = f(x,y) ER? :1<x)+y?< 3), cujafronteira 20 é constituída de dois círculos. No círculo x? + y? = 1 temos d aq0 +ul)=—(xº —Dyê>0. (6.22) d a 0 (6.24) e no círculox? + y? = 3, temos ty?) = =[x"+ 1y*<0, Finalmente, (6.22)e(6.23)implicamqueascondiçõesda consequência do teoremade Poincaré-Bendixonestãosatisfeitas. Logo existeuma órbita fechada em O. Enunciamos a seguir um resultado que garante a existênciade soluçãoperiódicapara a equaçãode Liénard (6.18). Teorema6.3(Levinson-Smith). Suponhaquef épar,gímpar,e g(u) » Oparau > 0. Sejam Suponhaque1) G(u) — o0 quandou > oco,(ii) a funçãoF tem umzeroemu=uo, F(u) <Opara0O<u< uso,F(u) é monotônica crescente para u > uoe F(u) — c0 quandou — oco.Então a equação (6.18)temuma única soluçãoperiódica, queno plano defasesé uma órbitafechadacontendoa origem.Alémdissoessaórbitaéo conjunto w-limitedequalqueroutraórbita y + (0). Seção6.3 O Teoremade Poincaré-Bendixon [A demonstraçãodesseteoremae doTeoremadePoincaré-Bendixon estão nos livros mencionadosnas referências ao final desta secção].Vamosutilizá-lo em alguns exemplos. Exemplo6. Para a equaçãodevan der Pol u+ru(u-NDu+u=o0 temos 3 Ft) =u(G—u) > uo =V3. Critério negativode Bendixon. Seja O uma regiãosimplesmente conexadoplano R?. Suponhaquediv(f, g) = fy+ Jy ésemprepositivo ou semprenegativoem O. Então, o sistema (6.1) não tem solução periódicacontidaemO. A demonstração é fácil e utiliza oteoremade Green: ffte. R + ty) dxdy = / C fdy — gdx (6.24) ondeR designaa regiãolimitada por umacurvafechadasimplesC. Suponhaque exista uma soluçãoperiódicap(t) = (x(t),y(t)) de períodoT; designandopor C a curva correspondentea q temos,pela definiçãoda integraldelinha: z / fdy —gdx = / (fy —gx) dt = 0. Cc 0 (6.25) A hipótesede div(f,g) ter um sinal definidoem O implica numa contradiçãoentre (6.25)e fis +gy)dxdy £ 0. Para ilustrar o grau de sofisticaçãodas técnicas invocadasno estudoglobal do sistema(6.1)vamos enunciarum resultadosobre existênciade singularidades, o qual será demonstradousando o famosoteoremado pontofixo de Brouwer. “SejaK um subconjuntode R" homeomorfoà bola unitária fechadade IR"; então toda função contínua FE: K —s K tem (pelo menos)um ponto fixo xy € K, i.e,, fixo) = xo”.Essoteoremaé um resultadoprofundo,quepossuevárias demonstrações,nenhuma trivial! 232 SistemasAutônomosno Plano Cap.6 Teorema 6.4. Seja K um subconjuntode R? homeomorfoao disco unitário fechado.Suponha que K tema seguintepropriedade:seuma órbitaYyencontrarK num instanteto entãoelapermaneceemK para t>to. Então K contémpelo menosumpontodeequilíbriodo sistema (6.1). Demonstração:À demonstraçãoutiliza a transformaçãode Poincaré: fixadoT > 0, para cadaP € K defina P(P)=q(T,P) temosque é contínua(vejaTeorema3.11),d(K) C K, pelahipótese doteorema,e peloteoremadeBrouwersegue-sequeexisteX E K tal que P(X) = X. O queacabamosde fazervale para qualquerT > 0, Logo,tomandouma sucessão1, > Ocom[, — 0,temosuma sucessão Xn tal que Ma =10]Rasa! (6.26) e portantouma sucessãodesoluçõesperiódicasdeperíodos1. Como a sucessão(X,) está contidano conjunto K, o qual é limitadoefechado(poiséhomeomortfo aodiscounitáriofechado),segue-se queela contémuma subsucessãoconvergente.Mudandoa notação, podemossuporqueXn — Xo. Agora, dadost en, existeum inteiro kn(t) tal que knlt)I<t< kntt)+Um e q(kndt Xn)=Xn (6.27) ondea última igualdadese seguedo fato de que a órbita q(t,Xn]) é periódicadeperíodo1. Estamosagora preparadospara provar que p(t,Xo) = Xo, para “00 < t < oo, ou seja Xo é um ponto singular de (6.1). De fato, temos IP(t,Xo)—Xol<[g(t, Xo)— lt, Xn)]+|g(t,Xn)—Xn]+|Xn—Xol, de ondese segue,usando(6.27) Ip(t,Xo) — Xo|<|g(t,Xo)— p(t, Xn)|+ +lt = kn(t)Ta,Xn)—Xn)+ |[Xn —Xo| e passandoao limite quandonº +00,segue-seo resultado. Seção6.4 Usando o SoftwareMathematica Corolário. Se (6.1)tiver uma órbita fechadaY, entãoexisteuma singularidade na regiãolimitada por Y. ste corolário,juntamente como teoremade Poincaré-Bendixon,implicaquese uma regiãolimitada O de Rº contiveruma semi-órbita, então€Q) contémnecessariamente um pontosingularde(6.1). Ao leitor interessadoem obter mais informações,sugerimosas seguintesreferências: N. Minorsky, “Nonlinear Oscillations”, D. Van Nostrand Co., Inc. (1962). J. Hale, “Ordinary Differential Equations”,Wiley-Interscience(1969). M. Hirsch and S. Smale,“Differential Equations,Dynamical Systems, and Linear Algebra”, Academic Press, (1974). J. Sotomayor,“Liçõesde EquaçõesDiferenciaisOrdinárias”,Projeto Euclides, 1979. 6.4. Usando o Software Mathematica O objetivodestasecçãonãoé ofereceraoleitorum tutorial deutilizaçãodo softwareMathematica,mas mostrar,atravésde alguns exemplos, a facilidade de uso do programa e chamar a sua atençãopara a utilidade de se ter em mãosum “colaborador”, capazde trabalhar numericamente,simbolicamentee graficamentee ainda comprecisão e rapidez. Vamos dar exemplosde utilização dos comandosDSolve e NDSolveutilizados para resolverequaçõesdiferenciais.A seguiranalisaremosa respostadadapeloprograma,e tambémvamosrepresentá-la graficamenteatravésdoscomandosPlot e ParametricPlot. O ComandoDSolve resolveequaçõessimbolicamentee NDSolve resolve numericamente. Por exemplo,para resolver x = ax, com x(0) = b, colocamos DSolvelw'[t|==a”x[t], x[t],t] e obtemosa respostana forma ([xlt] ES CHIN, 234 SistemasAutônomosno Plano Cap.6 Esse comandoDSolvepossui 3 argumentosseparadospor vírgulas. O primeiro é a equação,ou as equações,já quepodemosincluir nesseam gumentoum sistemade equaçõesdiferenciais,inclusiveas condições iniciais, veja os exemplosa seguir.O segundoargumentoé a função incógnitaou asfunçõesincógnitano casodesistemas,e finalmente,d terceiro argumentoé variável independente. Exemplos: 1. DSolvel(x'[t]==a x[t],x[0]==b!, x[t],t] ((x[t] —> 6ES) 2. DSolvelx”[t] +x[t] ==0, x[t], t] Hx[t] —>C[2]Coslt]—C[1Sinlt])) 3. DSolvel(x”[t]+Sin[t] ==0,x[0]==0,x'[0]==1), x[t],t] ((x[t]—>Sin[t]) 4. DSolvel (elt] ==yít), y'[t] ==- Sin[t], x[0] ==0, y[0] == 1),[x[t], y[t]), t]) ((x[t]—>Sinlt],v[t]—>Coslt])) O programa trabalha com listas que são elementos entre chaves. No Exemplo 4 acima o primeiro argumento é uma lista com 4 elementos. As respostas também são dadas em forma de listas. O comando usado para se obter um determinado elemento de uma lista é o colchete duplo. Por exemplo o comando (10,15,20,25)[[2]] produz o segundo elemento da lista, no caso o 15. Um outro comando que usaremos na análise dos nossos exemplos é o %. Coloca-se s = % para designar por s o resultado imediatamente anterior. Vamos Beção6.4 DSolvel Dett] ==yTtJ, vt] ==-Sinlt], [0] == 0, y[0]== 1),[x[t],y[t]),t] [xt] —> Sinlt], ut] —>Coslt]H am% (xlt]—> Sinlt],ylt]—>Cost] sl[1]] (xlt]—>Sinlt], ult] —>Coslt]) s[[17][[1]] xt] —>Sinkt u=s[[1]][[1]][[2]] Sin[t] v =s[[1]][[2]][[2]] Coslt] Plot[u,(t, 0,2Pi|] Usando o Software Mathematica 23! 236 SistemasAutônomosno Plano Cap.6 Plotlv, (t, 0, 2Pi!] 0.5 0.5 Figura6.17 ParametricPlotl(u,v),(t, 0,2Pi!] Figura6.18 Vamos agora analisar uma equação não-linear. Considere, por exemplo, a equação de van der Pol x+ulx— Dx+x=0 com |t = 0.5. Vimos pelo Teorema 6.3 e Exemplo 6 que essa equação possui uma solução periódica e que sua órbita é o conjunto Ww-limite de qualquer outra órbita. Vamos utilizar o Mathematica para determinarmos aproximadamente essa órbita fechada e seu período. Usaremos o comando NDSolve para resolvê-la numericamente, esse comando possui os mesmos argumentos que o DSolve com algumas restrições, Temos que especificar no primeiro argumento condições iniciais que determinam a solução de maneira única e no terceiro ar gumento devemosespecificar o intervalo da variável independente. Seção 6.4 Usando o Software Mathematica X=U y=-x—0.5(xº x(0)=xo —Dy v(O)=0 NDSolvel! w[t] ==ylt], y'[t]== -x[t]- 0.5((x[tD 2 -Dylt], x[0]==3, y10]==0 ) (x,Y) (t, 0, 10]] (|x—>InterpolatingFunction/0., 10.,<>], y —>InterpolatingFunction[0., 10.,<>!) h=% [x —>InterpolatingFunction|0.,10.,<> 1], y —>InterpolatingFunction]0., 10.,<>) ul =h[[1]][[1]][1[2]] InterpolatingFunction|[0,,10.), <>] vl =h[[1]][[2]][12]] InterpolatingFunction|[0,,10,),<>] ParametricPlot[lu tt], vit), /4,0,10]] 23 238 Sistemas Autônomos noPlano Cap.6 Figura6.19 NDSolvel( x'[t]==ylt], yº'[t] == -x[t]-0.5((x[tD” 2 -Dyrt], x[0]==1, y[0]== bo (x,y),(t, 0,10H ((x —>InterpolatingFunctionl(0., 10.),<>], y —>InterpolatingFunction|(0., 10.),<>] k=% [x —>InterpolatingFunction|/(0., 10.),<>], y —>InterpolatingFunctionl(0., 10.:,<>] k[[1])[1] [027] InterpolatingFunction/(0.,10.),<>! uZ=% InterpolatingFunction[(0., 10.) <>] k[ 22] InterpolatingFunction/(0.,10.),<>] v2=% Seção6.4 Usandoo SoftwareMathematica 23 InterpolatingFunction/(0.,10.:,<>] ParametricPlotu2[t], v2[t]!,(t, 0, 10H Figura6.20 Podemos representar graficamente as duas soluções simultâneamente no plano de fase ParametricPlot[[(ul[t],v1[t]),(u2[t],v2[t])), (t,0,10)] Vemos que a solução periódica possui condição inicial xo próximo] de 2. Vamosresolver para Xy = 2. NDSolvel( wIt]==yltJ, vt] == «x[t] -0.5(Gx[t]" 2 «Dyftl, x[0]==2, 240 Sistemas Autônomos noPlano Capé y[0]== b (x, y), ft, 0, 10]] [x —>InterpolatingFunctionl(0., 10.),<>], y —>InterpolatingFunction|(0., 10.),<>]) 1=% ([x —>InterpolatingFunctionl(0.,10.),<>], y —>InterpolatingFunctionl(0., 10.),<>]H u3=1[1]][[1]][127] InterpolatingFunctionl(0.,10.),<>] v3 =I[[1]][[2]][12]] InterpolatingFunction|(0.,10.),<>] ParametricPlotal(u3[t],v3[t]),(t, 0, 10]] Vamos analisar numericamente essegráfico nas vizinhanças do ponto (2,0), Plotamoso gráficodevs(t) Plot[v3[t], (4,0, 10]] Beção6.4 Usandoo SoftwareMathematica 241 Figura6.23 O gráfico de vs3(t)corta o eixo t para t próximo de 6. Vamos ampliar essaregião considerando o gráfico somentepara 6.2<t<6.4 Plot[v83[t], (t,6.2,6.4]] 0.4 0.3 0.2 | 0.1 | 6.95 6.3 6.35 SG4 Figura6.24 A seguirvamoscalcular a raiz dev3(t) commaior precisão,e o pontoem que a solução (us(t), v3(t)) volta a cruzar o eixo-u. Para isso construímos uma lista com valores entre 6.35 e 6.4 e calculamos os valores de us(t) e vs/t) nos valores da lista. Table[6.35+0.01n, (n, 0,5]] 16.35,6.36,6.37,6.38,6.397,64) g=9% 16.35, 6.36,6.37,6.38,6.39,64)] vg] 242 SistemasAutônomosno Plano Cap.€ (0.0596495,0.0388912,0.0184385,—0.00171059, —0.0215587,—0.0411083) u3lg] (2.00153, 2.00202, 2.00231, 2.00239, 2.00227, 2.00196) temos portanto que v3(t) corta o eixo para t entre 6.37 e 6.38 e a solução(us3(t),v3(t)) corta o eixo-u próximoa 2.00239. Ao leitor interessado em obter informações gerais sobre o sof tware Mathematica, sugerimos o livro: T.W. Gray e J. Glynn, “The Beginner's Guide to Mathematica”, Version 2, Addison-Wesley Publ Co. (1992). 6.5. Exercícios 1. Localizeeclassifiqueospontosdeequilíbrio dosseguintessistemas Esboceo plano de faseem torno dospontosde equilíbrio. (Xx=x—5 (X=- (4 THOM (a)4ET adE todPOROD (U=X—U = -4x42 U=2x—4%y k=%- U=35x—2Zy (od* [ =x U=x+Hy—Zxy E of, — X= U=Xx+Y air ge” y=1—x 2. Ache uma integral primeira para o sistema(a) acima,isto é, deter mineumafunçãoV(x,uy)tal queas soluçõesdosistema(a)“moram nascurvasde níveisdeV, V(x(t),u(t)) = c, Vt. (Sugestão:Procure V da forma: V(x,y) = ax? + bxy + cy?). 3. Transforme a equaçãodo osciladorharmônico mx + ux+ kx =0 num sistema no plano de fases (x,y), e estudeos tipos de singular dadesque ocorrem,conectando-ascom as noçõesde amortecimento forte, crítico e oscilatório, Seção6.5 Exercícios 243 4. O sistema = dg AMU sã v? é conhecido como sela do macaco. Mostre que V(x,y) = XX — 3xy? é umaintegral primeira para o sistemae esboceo plano de faseem tornoda origem. 5. Compareosplanosdefasedossistemas e U=-—x ) U=—x". 2 ' ambos temos oRas. tm 6. Se f,g:Rº? > Rº, de classeC!, são tais que (f(x), g(x) =0 VxeR? e x = f(x) temuma órbitafechada,mostrequeg temum zero. t. Mostre que as equaçõesabaixotêm soluçãoperiódica (o) di-(l- ui =Ô (b) u+(u?-2Mutu+senu=0 8. Mostrequeo sistemaabaixotemuma soluçãoperiódica: x=uytxixX+y—-9) y=-x+ylx+y?—9). (Nestecaso,pode-seresolver explicitamenteo sistema e determinar essasolução;use coordenadaspolares). 4. Mostre que o sistema R=>y+xtt/r g=x+ytt/r(B=02+92) temsoluçõesperiódicas,correspondendoaoszerosde f(r). Determino essassoluçõesnoscasosabaixoe discuta a estabilidadedoscielos:(4) tr) = (r= Nro Nr=-3 GD flv) = (r=4) [1º = 8r 415) 244 SistemasAutônomosno Plano Cap.& 10. Determine regiões onde os sistemas abaixo não têm soluções periódicas o Vo U= +y+y” 6.6. 2x —xy"+ y” =x) +y—yx Aplicações 6.6.1 O Pêndulo À equaçãoque representao problemadas oscilaçõesde um pêndulo simpleslivre semamortecimento, deduzidanasecção4.5,éaseguinte m£ô +mg sen6=0, (6.20) ondem é a massafixadana extremidadeinferior do fio de compri mentoº, e O é a coordenadaangular contadaa partir da verticalno sentidoanti-horário, comoindica a figura a seguir: R mgsen 0 > 9 a vy caio x T mgcos6 mg Figura6.25 À equação(6.28)não é linear. Se, por um lado, essefato dificultu a resoluçãoda equação,por outro, foi um notável estímulo para o de senvolvimentode técnicasnão lineares,comoveremosnestecapítulo Uma linearizaçãoda equação(6.28)podeser conseguida,submti tuindo-sesenO por O,o que necesssariamenterestringe sua aplicahi lidade ao casode pequenasoscilaçõesO. A equação(6.28)se torna 0+50=0, (6.920) Beção6.6 Aplicações 245 queé, entãoum modelomatemáticopara representaro fenômenodas pequenasoscilaçõesdopêndulo.A equação(6.29)édotipo dooscilador harmônicosimples estudadona secção4.5. Sua soluçãoé: 9(t) = À cos(wt—db), (6.30) equediz queas oscilaçõessãoperiódicasdeamplitudeA e fregiiência circularw = ,/9/t. [Afregiiênciacircular é umaexpressãobastante usadae representao númerodeoscilaçõesem271unidadesdetempo; lembreque a fregiência, comovimos na secção4.5, é o número de vscilaçõespor unidade de tempo,a qual seria pois w/271]. Assim o períododasoscilaçõesé T= mé l ; (6.31) mostrandoqueo períodoé o mesmo,qualquerqueseja a amplitude. Esse fato é conhecidocomo a lei do isocronismodas pequenasosvilações,supostamentedescobertapor Galileu observandoas oscila(0esdos lustres da catedral de Pisa... A fórmula (6.31)nos diz que o pênduloque bate o segundo,isto é, aquelecujoperíodoé 2 segundos, temcomprimentoaproximadamenteigual a 1 metro. À linearizaçãoimposta à equação(6.28)é muito forte. Seria desejáveltratar o problemaem sua forma não linear original, possibilitandoo estudode grandesoscilaçõese até mesmoo casode pêndulos realizandorotaçõescompletasem torno do pontode suspensão0. E issoé o quefaremosa seguir. começandoemi) abaixocomo estudo dasoscilaçõesdopêndulono planodefasese prosseguindoem11)com 9estudodo períododo pêndulopara grandesoscilações. |) O estudo das oscilações do pêndulo no plano de fases. Mostrare- mos,inicialmente, que o estudoda equação(6.28)do movimentodo pêndulo,que agoraescrevemoscomo: d+ w? senO =0 (6.32) podeser reduzido à consideraçãode uma equaçãodiferencial de 1º ordem: equação(6.34) abaixo. De fato, multiplicando-sea equação 246 Sistemas Autônomos noPlano Cap.6 (6.32)por O obtemos: O 2 o0 > 00+ w“(sen0)0 = de ondese segue | Mendo Ea À 3 qu68) d Bo W a “08O 0, Ja -02(t)—w? cos0(t)= c. 2 q: (6.98) (6.94) onde a constante c pode ser obtida a partir de valores de O e O em um dadoinstanteto. Temos,assim,quetodasolução0(t) de(6.34) é tambémsoluçãode (6.34),comc escolhidoadequadamente.A re cíprocaé quase verdadeira: se O(t) for soluçãode (6.34),então, poi derivação,obtemosa equaçãoem (6.33), a qual implica que O(t) e solução de(6.32)ouO = O. Nesteúltimocaso,segue-se que0(t) 0, = constante,a qual só será soluçãode (6.32)caso O, = ky7r, k 0,+1,.... Observe, entretanto, que para qualquer constante 94, 0(t) — 04 é soluçãode (6.34)comc = —w? cos01. Conclusão as soluçõesnão constantesde (6.32)e (6.34)são as mesmas,e, como já sabemosque as únicas soluçõesconstantesde (6.32)são0(t) = km, k = 0,+1,..., o nossoestudode (6.32)sereduz ao estudode (6.94) As soluçõesconstantescorrespondemao pêndulo parado. Quando | é par, o pênduloestáparado em sua posiçãomais baixa, essaposição é estável. Quandok é ímpar,o pênduloestáparadoem sua posição mais alta e essaposiçãoé instável. Um parêntesis: A equação(6.34) tem um significado físico. Eco lhendoo potencialmgy, ondey éa ordenadada massam, temosque a energiado movimentoé ] Es 5mu 92—mgt cos0, e assim a equação(6.34)expressaa lei da conservaçãoda energia, No planodefases(0,v), a equação(6.32)setransformano sis tema = V ) w* sendb, (6.46) Seção6.6 Aplicações 247 e portanto,a equação(6.34)se torna La —w? cos0=c. 2 (6.36) À primeiraequaçãoem(6.35)seráimportantepara dar o sentidoem quea curvaé percorridaquandot varia. Observemos, inicialmente, que a constante c não pode ser arbitrária. De fato,segue-sede (6.36)que c > —w?, pois de outro modo: svi<w? cosO — w? — w?(cos O— 1)<0 vqueimplicav = 0 e O = ky7,quesãoas soluçõesconstantesde(6.32) já conhecidas. Se —-w?< c< w”, então,segue-sede (6.36)que c —w? cosb<c > cos0>— e a —7 W mostrandoque,para cadacurva soluçãode (6.36),Ovaria num intervalo Zkr — Do<0<2kr + do O<0o= arecos(—=3) LM, Observandoque,nos pontosextremosO = 2km+ 09, a equação(6.36) implicav = 0, concluímosque,nestecaso,as curvassoluçõesde(6.36) shofechadas,tendoo aspectode elípses. Fisicamente,isso correspondeà oscilaçãodopênduloemtornodaposiçãodeequilíbrioestável; 4fenômenopoderiacomeçarcomo deslocamentodopêndulopara uma posiçãoO,0O<O< 7, e aí ser abandonado. Se w? < c, então,segue-sede (6.36)que v nunca se anula, pois wº cos +c>-—-w? + w? = 0. Logo (6.36)representaduas curvas limitadas v(9)=+/2(w? cos9+c) definidaspara -o0o < 0 < oo. Fisicamente,isso corresponderiaa um movimento de rotação da massa em torno do ponto de suspensão, à fenômenopoderiaser originadopor uma grandevelocidadeinicial 248 SistemasAutônomosno Plano Cap.é Finalmente, se c = w”?,então (6.36) nos dá v2 — 4w? cos? : que define duas curvas do tipo senóide,chamadasseparatrizese in dicadas na figura 6.26 com um traço mais forte. Observeque essas curvas passam atravésdas soluçõesconstantesO = (2k + 1)7, o que é uma indicação de que a curva inteira não é soluçãode (6.32). (Po quê?).De fato, mostraremosa seguir que (0) = 240cos 5 —n<0<a defineumasoluçãode(6.32)paratodot. [Umargumentosemelhante é válido para outrosintervalos(2k — l)jx < 6 < (2k+ 1)7, e para v(9) = —2w cos5]. Para ver isso, basta observar que, sendo O 2w cos(0/2),o temponecessário paraa massam ir daposiçãoO=U à posiçãoO = 7 é / Tr do 1 T/2 ot = | o 2Wcos 5 QU Jo sec O dO = +oo. 11) O período do pêndulonas grandesoscilações. Suponhamosquenº instantet = Oo pênduloé deslocadodeum ângulo065,—-x<09 < 0 e aí é abandonado,começando assimo movimento.Logo9(0) = Og 9(0) = O, e consequentementea constantec = —w? cos0o. Assim. (6.34)se escrevecomo 02 ==2w“(cos O — cos0) (6.97) Beção6.6 Aplicações 249 de onde podemosconcluir o seguinte: a) cos0>zcos0o,ou seja Do<0<—00, Db)quando0 = —0,, entãoO = 0, c) o movimentodo pêndulo é periódico comamplitude|909|. A equação (6.37)é separável “ podeser escrita como do V2(cos8 —cosDo) a qual é válida enquantoÔfor > 0, isto é, para 00 < O < —B,. Logo, integrando(6.37) obtemos / 0 ia = pt. o «/2(cos8 —cosDo) (6.38) À expressãono 1º membrode (6.38)é uma integral elíptica. Vamos levá-la a uma forma mais conhecida. Inicialmente usamos a identidade 8 9 cos8 —cosdo — 2 sen? Y —sen?5) e a seguir,introduzindo a variável 0 sen(b sen= definida por 0 = 805) —T<6<5 o obtemosa partir de (6.38): / b o = UA, 0 V | —-k2sen?| À função Elk,d) =/ bp k = |sen do 2 dd 0 V 1 —-k2sen?& (6.39) (6.40) é chamadaa integral elíptica de 1º ordem(formade Legendre).Para calcularo períododopêndulo,usamos(6.39)comt = 1/4e b = 7/2: T=5) T/2 wWlo pisa. vVI-k2sen?b (6.41) À integralem(6.39)nãopodeser escritaemtermosdefunçõeselementares [cf. parteHijabaixo], maspodemoscalculá-laaproximadamente, 250 Sistemas Autônomos noPlano Cap.6 usando o desenvolvimento ] binomial: poirgE ] Jad sen?p + —k VI —kêsen?o 1 2 Fa ds sen?p+ (6.49) 6kº senºp+.. Logo,para obter T integramosa série de potênciasem (6.42): air on/1V. [Ps El TIE pita T=2l2+2 (3) A+T(za) Kires) e daí = AV E oa Pra sen O), (6.44) que é a expressãocorretapara o períododo pêndulo,mostrandosun dependênciada amplitude. Vemos, pois, que mesmo para peque nas oscilações,o isocronismoé apenas aproximado: compare(6.31) e (6.43).Assim, a expressão T= mé f ' ] + 4 sen 2 00 2] (6.44) é uma melhor aproximaçãoque (6.31);o erro percentualentre toma! (6.31)ou (6.44)é I=tg TA 1 2 00 7º =>3 sen?— t onde To o = 274 je. | - que,para Oo= 2º, dá 0,000076147.Esse erro é desprezívelnas medi dascorrentes,massetorna importantenas medidasdeprecisão,como na determinaçãode g. Um tal erro acumuladono decorrerde 1din = 86400segundosdá 6,58 segundos,que é um atrazo inadimissivel para um bom (D... Wi) Integrais e funções elípticas. O leitor que viu a função (6.40) pela primeira vezdeveter se perguntadopor que a chamamelíptica Seção6.6 Aplicações 251 Para satisfazer essacuriosidadevamoscontarum pequenotrechode HistóriadeMatemática.Integraisdotipo (6.40)apareceramdurante o século XVIII em problemas de determinaçãodo comprimentode . algumascurvas. Em particular, no problemade retificaçãoda elípse, lretificaruma curvasignificaessencialmenteacharseucomprimento], daí o nomeque essasintegrais receberam.Vejamosqual é a integral queobtemosno casoda retificaçãoda elípse: x=a sen6 y=-b cos0, 0O<0<27, a>b. CANA Na Figura6.27 O vetor tangenteà elípse em cadapontoé t(0) — (acos0,bsen0) cujomóduloé rE6)| = Va? cos20+ b2sen20= Va? —(a2—b2)sen20, edaí,lembrandoque (a? —b?)/a? = e?,ondee é a excentricidade da elípse,obtemos t(0)| = av —e2sen26. Logo,o comprimentode arco da elípse entre O — De Oé / O O It(0)|dO= a [ e daí, o comprimentoda elípseé 9 O V1 —e2sen26 do, 252 SistemasAutônomos noPlano Cap+ A integral E(k,b) = [ 4 O V1 —k2sen?pdá (6.40 é chamadaintegral elíptica de 2º ordem(forma de Legendre). Integrais dotipo (6.40)e (6.45)foram muito estudadasdurante+ séculoXVIII, particularmente por Legendre. Entretanto, os resulta dosmais profundosforam conseguidosporAbel eJacobi, no começod' séculoXIX. Antes de explicar o que essesdois grandesmatemálivm fizeram, vamos escrever (6.40) e (6.45) na chamada forma de Jacoli usandoa mudançade variável sen Pp= x; assim (6.40)se torna - | dx db V(1—x2)(1—k2x2) (6,40 queéconhecidacomointegralelípticade 1º ordemnaforma deJaco e (6.45)se torna 1(k,x) - | 1—kHeê A1-sg a dx (6.40 conhecidacomointegral elíptica de 2º ordem na forma de Jacobi. & constanteO < k < 1 é 0 móduloda integral elíptica. Quandow limites de integraçãosão & = 7/2 ex = 1,dizemosqueas integra sãocompletas. Abel fez a seguinteobservação:no casoextremok = 0, ambasnº integraiselípticasem(6.45)e (6.46)setornam * 0 — dx 1—x2 . = arcsenx, e o estudoda funçãoinversaarco-senoé bastantefacilitadopelacom sideraçãoda funçãoseno. Assim, ele se propôsa estudar as inversa» de Fj e E,. Introduz-se a função pp= amu queé definidapor p A" do 1 -k?sen* | 259 À seguir se definemas funçõeselípticas: snu =sen(amu), cnu = cos(amu), dnu=V1-k2sniu. I'ma série de propriedadesdas funções elípticas decorre imediatamenteda definição. E o mais fascinante é que as funções elípticas tomo seu “7”. Observeque = 2 o VI dx —x? s que27 é o períododo senoe do cosseno.Agora, seja na / dx 01-51—kK%2?) intão, pode-seprovar quesnu e cnu sãofunçõesperiódicasdeperíodo4K. Abelnão ficouaí. A teoriadasfunçõescomplexasnaquelaépoca tomavaforma nas mãos de Cauchy. Assim, informado da teoria de Unuchy,eleestendeusnu e cnu para valorescomplexosdeu eprovou queelas eram funçõesmeromorfasduplamenteperiódicas. Vários dosresultadosde Abel foram obtidosindependentementepor Jacobi. Na segunda metade do séculoXIX, Weierstrass e Hermite fizeram rontribuiçõesmarcantesà teoriadas funçõeselípticas. A teoriadas funçõeselípticas ocupa hoje um lugar de destaqueem Matemática, »constitueum belo exemplode uma teoria que surgiu de problemas práticos. Em virtude de suas aplicações,as funçõeselípticas estão inbeladasparaváriosvaloresdek e dex. Cf.,porexemplo,E. Jahnke, |. Emde, F. Lósch, “Tablesof Higher Functions”, McGraw Hill Book Vompany,New York (1960). As funções elípticas aparecemem outros problemas aplicados, romopor exemplo,em fenômenosde capilaridade,em problemasde freiosmecânicos,no problemada forma da corda de saltar e no problemadaelástica(a curvaassumidapor um estruturaretilínea sujeita 4 forçascompressivas).Ao leitor interessado,recomendamoso livro deH.W.ReddickeF.H. Miller, “AdvancedMathematicsforEngineers”, John Wiley & Sons, New York (1960). 254 Sistemas Autônomos noPlano Cap+ iv) Pêndulo livre com amortecimento. À equaçãodiferencial para« movimento do pêndulo simples com amortecimento e sem a ação d forçasexternasé: à+uô+w?send =0, (6.41 ondesupomosa forçaresistiva proporcionalà velocidade.Pode-setra tar demodoanálogoocasodeforçaresistivaproporcionalaoquadrnd: da velocidade.A equação(6.47)é equivalenteao sistemano planod: fases: o (6.40 v=-—uv— wº sen0. As singularidadesde (6.48)são (kr,,0), k = 0,+1,+2,.... Vamu determinar a natureza dessassingularidades. Primeiramente,con! deremosa origem;o sistemalinear correspondentea (6.48)é E=Y% vV=-w"0 — pv. Os valoresprópriossãodadospor A —w? e cujo discriminante é e u =0 6 M+y4wê=0 , A = yu —4w. Assim teremos: (1) Seu > 2w, os valoresprópriossãoreais, distintose negativos o que implica que a origem é um pontonodal estávelpara o sistem linear (6.49) e, consequentemente,para o sistema não linear (6 4h também. (ii) Set = 2w,os valoresprópriossãoreais negativoseiguais. Lp a origemé um pontonodal para o sistemalinear (6.49).E nestecnmu podemosapenasafirmar que a origem é um ponto nodal ou espia! para o sistemanão linear (6.48). (ii) Seg < 2w, os valores próprios são complexos com parte rea! negativa. Logo,a origemé um pontoespiral para ambosos sistem» (6.49)e (6.45), Beção6.6 Aplicações 25! Paraestudar as outras singularidades,desenvolvemossenOem série deTaylor na vizinhança de kr: senO= (—1)*(0—kr) + f(0) ondef(0) —o(0 —kr). Logo(6.48)seescrevecomo Ô=v v=—w*(—)*(O —kr) —uv+ T(0) odaí osvaloresprópriossãodadospor “E —A ] -A-s o =0 6 2 e o NM++(-1)'wé=0, cujodiscriminante é A=u-4(—)* w?. Logo,sek for ímpar, o discriminanteé > O,o queimplicaqueosdois nuto-valoressão reais e com sinais diferentes,e teremos então que (kr,0) épontode sela. Se k for par,o pontosingular (k7z,0)temo mesmotipo que (0,0). Vamosdescrevero espaçode configuraçõesno casode u < 2w. Suponhaqueo movimentoseinicia em O= Ocomumacertavelocidade vi > 0. (a) Se essa velocidadev; não for muito grande, o pêndulo sobeaté uma certa amplitude01, ondea velocidadeé zero. Aí ele regressa, vindoatéumaamplitude02 (|92]< 01),ondea velocidade é zero. E assim temosum movimentooscilatórioamortecido.(b) Se o pêndulopartir de A comvelocidadeinicial vz grande,o pêndulosobe e aopassar pela posiçãomais alta (B) ainda tem velocidadepositiva. Assim,o pêndulovem até a posiçãoO = 271,ondechegacomvelocidadepositiva. Caso esta última velocidadeseja grande, repete-seo fenômeno;casoseja pequenateremosa situaçãodescrita em (a). (c) O quedelimita“velocidade grande”de“velocidade pequena”é a velocidadecrítica vc, assim definida: casoao pênduloseja impressaessa velocidadena posiçãomais baixa, ele se aproximará assintoticamente (1,e.,quando | +009) da posiçãomais alta semnunca a atingir. 256 SistemasAutônomosno Plano Cap.é +Uy dn E" —+ 2 —2K a q a da b Y A z =, w 1 1 O a sx Ts 9 = » 19 - a T X a Pêndulo com Amortecimento Figura6.28 v) Sistemas hamiltonianos com um grau de liberdade. Ao estudar movimentodo pêndulolivre sem amortecimento,equação(6.28)ou 1 sistema(6.35),a expressão(6.36) 1 —vº — q? cos O Z desempenhouum papelmuito importante. Essa expressão(6.36),que designamospor H(0,v), chama-sehamiltoniana do sistema(6.4) Observeque (6.35)podese escrevercomo 0=H, v=-He, (6.50) que é um sistemahamiltoniano comum grau de liberdade. Sistemas hamiltonianoscommais graus de liberdadeaparecemna formulação lagrangianada MecânicaClássica. Vamos generalizar, ligeiramente, a situação acima. Dado um sistemaautonômo de= fi) U = q(%, 1), (6.51) uma funçãoH:R? > R declasseC! é uma integralprimeira de(6.51) se as órbitasde (6.51)são curvasde nível de H : H(x,y) = c. Um ponto (x,1/] é crítico para H se HE+H$=0, Beção 6.6 Aplicações Pelo teorema das funções implícitas, as curvas, definidas por Hix,y) = c nos pontos não críticos, são regulares e, consequentemente,soluçõesdosistema(6.51).Observequeuma curvadenível deH podecontervárias órbitas,se contiverpontoscríticos. Um sistema (6.51) é exato se fx+gy=0. (6.52) Proposição. Todo sistemaexatotem uma integralprimeira H com a propriedade |Nestecaso,a integral H chama-sea hamiltoniana do sistema]. Demonstração:A expressão(6.52)diz que o campovetorial (—g,f) é fechado. Logo pela Proposição 3.15 da secção3.3, esse campo é gradiente;sejaH(x,y) seupotencial.Então,temos(6.53). 6.6.2 O Modelo Predador-Presa DuasPopulações de Volterra para a Dinâmica de Sejamx(t) a populaçãode presase y(t) a populaçãode predadores. Suponha que os meios de subsistência para as presas são ilimitadose queseucrescimentonãoteria nenhumfator inibidor,nãofosse a presençados predadores.Logo, casonão houvessepredadores,a populaçãodepresascresceriadeacordocoma lei decrescimentoexponencialx = ax, onde a > Oé uma constante.Entretanto, a presença dospredadoresafetaessecrescimento:supõe-seque a taxa de crescimentoda populaçãox diminue linearmente quando a populaçãoy numenta. Assim, temos x = (a-—by)x, (6.54) onde b > O é uma constante. Por outro lado, supomosque os predadoresse alimentam exclusivamentedas presas, e que sem elas, a espéciedesapareceria. Então, sem presas, a população1 decresceriade acordocom a lei exponencial 1 = —cy,onde c > O é uma constante. Entretanto, a presença de presasmodificaessasituação: supõe-seque a taxa de crescimento da população y aumente linearmente quando a populaçãox aumenta, 258 SistemasAutônomosno Plano Assim temos Cap.6 y =(-c+ dx)y, (6.55) onde d > O é uma constante. Podemosjustificar a introdução dos termos —bxy e +dxy nas equaçõesde crescimentodas populaçõesx e Y do seguinte modo. O número de encontrosentre indivíduos das duas espéciesnum intervalo unitário de tempoé proporcionala xy: digamosque sejaigual a «xy. Esses encontrosresultam negativospara as presas;digamos que a populaçãox diminue de 2; membrospara cada n encontros. Logo,a populaçãox diminuede Bi " axy = bxy membrospor unidade de tempo. De modo análogo,essesencontros resultam benéficospara os predadores;digamosque a população1 aumentade [22membrospara cadan encontros.Logo, a população1 aumentade B2 "da E XXU =d xy membrospor unidade de tempo. O coeficienteb mede a suscepli bilidade da espéciex às açõespredatórias, e o coeficiented medea habilidadepredatória da espécieuy. Vamos estudar as soluções(órbitas)de (6.54)-(6.55)no plano (x,y). Inicialmente vemos que há duas singularidades: (0,0) « (c/d,a/b). Essespontossãoaspopulaçõesdeequilíbrio. E o campo vetorial dadopelossegundosmembrosdas equaçõestem o aspectodn figura abaixo yt a/b gi < PI4S | Y w < TJ A| cs —» c/d > Figura 6.29 - ” X Seção6.6 Aplicações 259 Para determinara naturezadessassingularidades,utilizemos as aproximações lineares.No casode (0,0), o sistemalinear correspondenteé = (IX YU= —cy o quemostraquea origemé um pontode sela. Para a outra singularidade,fazemosa mudançadevariáveis U=X c V=UYU- e obtemos o sistema u=p(u+ O) v=a(v+8)u cuja parte linear é be LU=-—v d ad V=—uU. b (6.56 Segue-sepois, que (c/d,a/b) é um centropara o sistemalinear, e consequentementeseria um centro ou um ponto espiral para o sistemanão linear. Mostraremosmais abaixoque setrata realmentede um centro. As equações(6.56)podemser integradas e conduzemàs expressões ad?u?+ b2cv*= kº quesãoelípsescomcentroem(c/d, a/b). Portanto,emumaprimeira aproximação,as órbitas de (6.54)-(6.55)têm a forma de elípsesna vizinhançadopontosingular (c/d,a/b). Para obter as órbitas do sistema (6.54)-(6.55),vamos escrevê-lo na forma de uma equaçãoseparávelno plano (x,y): E y ta ET x a qual podeser integrada imediatamente altny —by = —cênx + dx + tn K ou seja yte PU = Kx Cedx (6.57) 260 SistemasAutônomos noPlano Cap.6 ondea constanteK podeser obtida emfunçãode dadosiniciais Xo,Vo: K =yox£e"Ure, (6.58) Nem vy,nem x podemser explicitadosem termos de funçõeselementaresna equação(6.57).Para seter umaidéiada curvarepresentada por(6.57),vamosusarummétodográficodevidoaVolterra. Seguimos a apresentação deG.F.Simmons.Introduzimosduasnovasvariáveis z=y"e "ls p=kx elx (6.59) e traçamosseus gráficosnos quadrantes(y,Z) e (x,w) da figura abaixo. z 1º As. a Ê E ac id a / / TA LB; à a » N As " - RE N a ja ET Ea / a B; +0 jaa N U >Ba q 0 Figura6.30 Fazemos as seguintes observações: (1) A funçãoztem ummáximono pontoy = a/be aí Zmaz = (a/be)" (1) A função w tem um mínimo no ponto x = c/d e aí Win K(de/c)º. (Wi) Afirmamos que Win “Zmax- De fato, usando (6.58) obtemos WUminSKXo E Ç dxo o dn =-b o Uoe EMC as (iv) Se a órbita é diferente da soluçãode equilíbrio, uma das des gualdades acima é estrita. Seção6.6 Aplicações 261 À seguinte construçãográfica mostra que a órbita é uma curva fechada: (1) ChamemosdeWa curvaw(x), Zacurvaz(y)eLareta doquadrante(Z,w), isto é, o gráficoda funçãoZ = w. bissetriz (1i) Pelo pontoA; da curvaW traçamosuma paralelaao semi-eixo x até encontrar a reta L, em As. Daí uma paralela ao semi-eixoy atéencontrara curva Z emdoispontosAs e Ag. Às retas paralelas ao semi-eixox passandopor As e Aq interseccionama reta passando por Ay e paralela ao semi-eixoy em dois pontosO; e Q». Esses dois pontossãoospontosextremosda órbitana direçãouy. (ui) Pelo pontoB; da curva Z traçamosuma paralela ao semi-eixoU atéencontrara reta L, em B>. Daí uma paralelaao semi-eixox até encontrar a curva W em dois pontos Bs e Bá. As retas paralelas ao semi-eixoy passandopor B3 e Bg interseccionama reta passandopor B1 e paralela ao semi-eixo x em dois pontos P;, e P>. Esses pontos são os extremosda órbita na direçãox. (iv) Para obter outros pontos da órbita, começamoscom qualquer pontoCj na reta L entre Az e Bs, e procedendocomoem (ii) ou (iii) obtemosquatro pontosda órbita. Conclusão. As populaçõesde predadorese presasoscilam periodicamente. Observe que a curva não é necessariamentesimétrica com relaçãoao eixo x = c/d ou ao eixo y = a/b. Assim o espaçode configuraçõestem o aspectoindicado na figura abaixo y *v Figura6.31 262 SistemasAutônomos noPlano Cap.6 Períodos dos ciclos. Vamos obter esses períodospara situaçõesde pequenasflutuaçõesem torno da singularidade(c/d,a/b). Como vimos acima, os ciclos são aproximadamenteelípses. Vamos,porém, escrevê-lasemcoordenadasparamétricas.As equações(6.56)nosdão: úit+tacu=0 e vV+Hacv=0, que sãoequaçõesdo tipo do osciladorharmônicoestudadasna secção 4.5. Logo,a soluçãoda primeira equaçãopodeser expressacomo u(t) = Lcos(vVact+«) (6.60) onde L e x são constantes. Daí: vit) = Lsen(Vact+ «). (6.61) Logo, o período independeda amplitude L (desdeque ela não sejn “orande”)e é igual a 27 + (6.62) ac que é a lei do isocronismodas pequenasflutuações. Comose vê à períododependeapenasdastaxas de crescimentodas populações.In troduzimos,agora, a noçãode meia-vida de uma espécie,cujo cresci mentoé regidopela lei exponencial.Suponha que as populaçõesx(t) e y(t) sãodadaspor x(t)=xoe'! e vy(t)=vyoe “+. lntão, as meias-vidas ty e tz são definidas como as soluções das equações 2xo=x0e"" e yo/2=uyoe** ou seja (4 tn 2 - q 6 t=—; tn2 C Portanto,o período | do ciclo podeser dada pela expressão | inv tt» vt nd * = 9 06vtto. Seção6.6 Aplicações 265 Populações Médias. As equações(6.54) e (6.55)podemser escritas nas formas abaixo d agTX) a— by d ar! ny) c + dx Integrandoessasequações entredoisvaloresdet, t' e t”, obtemos pn H ) = a(t” —t”) — ) x(t”) 17 t ; 7 ni q” ——e(t”—t) + a Set” —t/ = T obtemos: ]/ u(t) dt, a 1! b T t' x(t) dt. c - | yltdt=> |, x(t)dt=E. s O 0 d (6.63) As expressõesnos primeiros membros de (6.63) são as populações médiasdecadaespécie.Interpretemos(6.63). Inicialmente,temosa lei deconservaçãodaspopulaçõesmédias: essas populaçõesmédiaspermanecemconstantesse os coeficientesde crescimento a das presas, de declínio c dos predadores,de defesab das presase de agressãod dospredadorespermanecemconstantes.A seguir, analisemoso problemadeperturbaçõesdas populaçõesmédias. As expressões(6.63)nos dizemque,mantidosconstantesos coeficientes b e d, uma destruiçãouniformede membrosdas duas espécies beneficiaas presas. De fato, destruir predadoressignifica aumentar c e destruir presassignifica diminuir a. Os resultadosqueacabamosdedescreversãodevidosa Volterra e foram desenvolvidospara explicarum fenômenoobservadopor D'Ancona,relativo à percentagemde peixesde várias espéciescapturados noAdriático, durante e apósa primeira guerra mundial. O fato observadoera que a percentagemde peixespredadoreshavia aumentado durantea guerra. A explicaçãofoi dadaporVolterra, como argumento de que a diminuição da pescano períododa guerra tinha necessariamente que beneficiar os predadores,no sentido de que a população médiadestescresceriamais rapidamenteque a populaçãomédiadas presas. 264 SistemasAutônomosno Plano Um problemasemelhanteocorreno uso de inseticidas, que matam indiscriminadamenteinsetospredadorese insetospresas;e se são estesque causam danos às plantações,o uso do inseticida pode ser negativo. 7 Sistemas de Equações Diferenciais SejamO um abertodeR”, J um intervalodeR e f]x0O>5R” umafunçãocontínua.Designemospor f;(t,x),j denadasdef(t,x), isto é, = 1,...,n, as coor- Tt, x) = (Tilt,x)so. e ofnltyxd), onde x = (x1,...,Xn) € R”. Consideremoso sistema de equações diferenciais ã X5 ' g=-* j dt >TBita, a! ) Jo5 lt o qual podeser escritode modocompactocomo esPE ml, | (7.1) Conforme vimos no final da secção3.2, temos existênciae unicidadelocais de soluçãopara (7.1), se supusermosque as derivadas parciaisdef;(t,x),j = 1,...,n, X1,... , Xn, São contínuas. emrelaçãoàs n últimasvariáveis, Os sistemaslineares que estudaremosa seguir são casosparticularesimportantesde(7.1). 7.1. Sistemas Linearesde Equações Diferenciais A forma geral de um sistemade equaçõesdiferenciaislinearesé a seguinte: x(t) = A(t)x(t) + b(t) (7.2) 266 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7 onde x1(t) x(t) — Xnlt) alt) , A(t) bit) = a Anilt) Anít) Annlt) , bi(t) bn(t) A(t) eb(t) estãodefinidosparat nointervalo1= (a, b) ex(t) denota a derivadaemrelaçãoa t dovetorcolunax(t). Uma funçãox: 1 — R” é uma soluçãodo sistema(7.2)se ela for derivável,e satisfizer o sistema. | Comojá vimosemexemplosanterioresas equaçõeslineares vt) +anoalt)y De)+=.+ (ty) +ao(t)ult) =f(t) podemserconsideradascomocasosparticularesdesistemas.Fazendo x1(t)=v(t),e Xi =%a fa = 43 Xn = —Qn-1Xn—+ —quxz—doxy+ f(t) obtemosum sistemade equaçõesdiferenciaislineares da forma (7.2), onde Ô O ] Ô Ô Õ Õ 0 0 ) ( Ô 0 ] f(t) “o O OS? ca —OaA- A solução desse sistema fornece a solução x(t), cuja primeira componentex,[t] é a soluçãoda equaçãolinear. Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais Os problemasbásicosno estudodesistemaslinearessãoanálogos aosjá estudadosnas equaçõeslineares de primeira e segundaordem, ou seja,obtera soluçãogeral para (7.2)e obtera soluçãodo problema de valor inicial x(t) = Al(t)x(t) + b(t); x(to) = xo € R”. (7.3) Vamossupordurantetodoestecapítulo,que as funçõesa;;(t), 1,) = 1,2,...,n1, quecompõem amatriz A(t),easbi(t), 1=1,...;,n, sãofunçõescontínuasdet num intervalo I. Comessasuposição,temos existênciae unicidadedesoluçãopara (7.3),e aindamais,as soluções estãodefinidasno mesmointervalo I (veja Capítulo 3). Quando b(t) = 0, dizemosque o sistema (7.2)é homogêneo Hit) = Alt). (7.4) QuandoA(t) = A, nãodependedet, dizemosqueo sistema(7.2) tem os coeficientesconstantes x(t) = Ax(t) + b(t). (7.5) Na próxima subsecçãoestudaremosas propriedadesdos sistemas lineares na sua forma geral (7.2). Nas sub-secções7.1.2e 7.1.3 estudaremosos sistemas com coeficientesconstantes(7.5). Para estesúltimos, podemosdesenvolvertécnicaspara a obtençãodesoluções explícitas. 7.1.1 Definiçõese propriedades Estudaremos primeiramente algumas propriedadesimportantes do sistema homogêneo(7.4), e em seguida, deduziremosa Fórmula de Variaçãodas Constantes,queforneceas soluçõesdoproblemadevalor inicial (7.3). Teorema7.1. O conjuntodas soluçõesde (7.4)é um subespaçovetorial doespaçoC(I, R”), dasfunçõescontínuasdefinidasem I, dedimensão A. Demonstração:Já sabemosquetodasas soluçõesde (7.4)estãodefinidas em |, e que a combinaçãolinear de soluçõesé solução,portanto, o conjunto das soluçõesde (7.4) formam um subespaçovetorial de 267 268 Sistemas deEquaçõesDiferenciais Cap.7 C(I,R”). Resta-nosdemonstrarque sua dimensãoén. Para isto, vamos exibir uma base. Seja (e1,... ,en| a base canônica de R”. Para to € I fixado,considere a soluçãox'(t) de(7.4)tal quex!(to) = ei. Vamosmostrarque(x'J”, é umabaseparao conjuntodesoluçõesde (7.4). De fato, D (x) c C(I,R?") é um conjuntolinearmenteindependente,o que decorredofato de(x"(to))ser umabasedeR”. 2) (x!) gerao conjuntode soluções,porquese x(t) é uma solução qualquerde (7.4),temosquex(to) € IR”, e portantopodeser escrito comocombinaçãolinear da base (e1,... en) do R”, isto é, existem escalares &x1,... ,&n, tais que x(to) = «1e1 + --- Qnen. Portantoassoluçõesx(t) e ax! (t) +---+anx"(t), de(7.4)coincidem no pontot = to. Logo,pela unicidade de soluçãodevemoster x(t) = oux!(t) + --- + onx"(t), comoqueríamos provar. In Observeque as equaçõeslineares estudadasno Capítulo 2, são casosparticularesde(7.3)comn = 1. As soluçõesdessasequaçõesforamobtidasatravésdafórmuladevariaçãodasconstantes,veja(2.8). Vamosprocedera seguir de maneira análoga. A idéia é generalizar T(t, to) e mostrar que podemosutilizar aqui as mesmasexpressões obtidaspara o casouni-dimensional. Considerea equaçãodiferencial matricial X(t) = A(t)X(t) (7.6) onde X(t) é uma matrizn x n, X(t) designa a matriz cujas entradas sãoasderivadasdasfunçõesquecompõe X(t). No ladodireitode(7.6) temosa multiplicaçãoda matriz A(t) pelamatriz X(t). Observandoa equação(7.6),vemosque X(t) é uma soluçãoda mesmase, é somentese, suas colunas são soluçõesdo sistema homogêneo(74) Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais Teorema7.2(Abel-Liouville). Se X(t) satisfaz(7.6)e to € 1,então “tr Alsjd detX(t) —detX(toje”to ' . ondetr A(s) designao traçodeA(s), istoé,a somadoselementos da diagonaldeA(s). Em particular,detX(t) oué nulopara todot € 1, ou é semprediferentedezeropara qualquer t E 1. A demonstraçãodesseteoremasegueos seguintespassos,cujos detalhesdeixamosaoleitor.Chamedex !(t),... ,x"(t) ascolunasda matrizX(t), e z(t) = detX(t) = det(x!(t),... ,x"(t)). Então temosque z(t)=det(x!(t),...,x"(t))+--- +det(x ae - e” Ps Ss *a - on”dá Mostreagora,usandoo fatoquex!(t) = A(t)x!(t) e aspropriedades dos determinantes,que de=[tr ALEE O resultadosesegueresolvendoessaequaçãolinear. Definição 7.1. Se X(t) satisfaz(7.6)e det(X(t) £ 0, entãodizemos queX(t) é umaMatriz Fundamental.Se aindamais,X(to) = I, onde I é a matriz identidade,dizemosque X(t) é a Matriz Principal, que é designadapor T(t, to). Exemplo 1. Considerea equação %X=—w?x temosquesenw(t—to) ecosw(t—to) sãosoluções.O sistemalinear correspondenteé U = —tu?2x e sua Matriz Principal cosw(t —to) I(t, à senw(t —to) ta] (UU sen m(t e to) cos wl(t do to) ZÉ 270 Sistemas deEquaçõesDiferenciais Cap.7 Encerraremosessasecçãocomas seguintesimportantespropriedades: Propriedade1) i)Se X(t) é uma matriz fundamentale C é uma matriz constantecomdet €C+ 0, entãoX(t)C tambémé fundamental. ii) Reciprocamente, se X(t) e Y(t) sãomatrizesfundamentais,então existeumamatriz constanteC tal queY(t) = X(tJC. Demonstração:1)Se Y(t) = X(t)C, temosquedetY(t) Y=XC=A(t)XC 0e = A(t)Y portantoY(t) é matriz fundamental. 11)MostraremosprimeiramentecomocalcularE (xX(t) 1, temosque xtyx(t) !=1 para todo t. Portanto, derivando os dois lados, obtemos d xXx!+ xXx (X"") = que nos fornece (X(O) =—X xx, TX) d Considereagora a matriz Z(t) = X!Y. Derivando,temos Z=-X xx Ivy4 xy. ComoX = AX e Y = AY, temossubstituindo que Z=-XAY+X !AY=0 portantoZ =X"!Y é uma matriz constante. m Propriedade 2) Se X(t) é uma matriz fundamental,entãoa Matriz Principal é dada por Tt, to)= X(UX(to)”. Demonstração:Segueda Propriedade1)e da unicidadede soluçãode (7.6), pois mimbassão soluçõese coincidem para Lt= to. ” Seção7.1 SistemasLinearesdeEquaçõesDiferenciais 271 Propriedade 3) Tí(t,to) = T(t,s)T(s,to), em particular T(to,s) = T(s,to)”!. Comparecom(2.7). Demonstração:Tambémseseguedoteoremadeunicidadedesolução, pois se tratam de soluçõesque coincidempara t = s. E Com a definição da Matriz Principal T(t, to), generalizamoso casounidimensionalvisto no Capítulo 2. Podemosprocederda mesma maneira para obtermosas soluçõesdo sistemahomogêneo(7.4)e do sistemanão homogêneo (7.3). ObservequeTí(to,t) é o fator integrante do sistema (7.3),deixamosao leitor completaros detalhesda Propriedade4). Propriedade 4) Dx(t) úita) = Ro. = Tít,to)xo é a solução de (7.4), com ii) À Fórmula de Variaçãodas Constantes, t x(t) = T(t, to)xo+ | T(t,s)b(s) ds to (7.7) fornecea soluçãodoproblemanãohomogêneo (7.3). 7.1.2 Sistemas com coeficientes constantes “onsidereo sistemalinear homogêneocomcoeficientesconstantes &= A, (7.8) ondeÀ é uma matriz n xn comentradas reais constantes, e o sistema nãohomogêneo %= Ax+ b(t). (7.9) O sistema com coeficientesconstantes(7.8), mais simples que podemosconsiderar, é o unidimensional, isto é, n = 1: X(t) = ax(t), com a € IR constante.Vimos que, nessecaso,a soluçãogeral é dada por x(t) = eº!xo. No casode sistemas comcoeficientesconstantes, para obtermosa soluçãogeral, podemospensarem generalizar0 con ceitode exponencial,de modoa incluir exponenciaisde matrizes, e veriicar se a solução geral de (7.8) pode ser escrita como dt) = e2'xo, xoe RP", 272 Sistemasde EquaçõesDiferenciais Cap.7 Na próxima secção,vamosmostrar que isso é possível. Teremospor tanto condiçõesde escreverexplicitamentea solução geral, e tirar importantes conclusõesqualitativas sobresistemas com coeficientes constantes, de ordem n. Antes disso, vamos sentir as dificuldades analisando alguns sistemas particulares. A maioria dos exemplos que vamos considerar são de ordem 2, porém essa técnicapode ser utilizada de maneira análogapara sistemasde qualquer ordem. Exemplo 1. Considere o sistema | Xi =x + 2x, X2= 8x1+ x2 ou na forma matricial Es x = Ax, ti onde a(s Ê | Temos,emvirtude doTeorema7.1,quepara determinara solução geraldessesistema2 x 2,bastadeterminarduassoluçõeslinearmente independentes. Motivadospelocasounidimensional,procuremosumasoluçãona formax(t) = he?t, ondeÀ é um escalare h é um vetor.Substituindo x(t) no sistema,obtemos Ahe?t= Ahe!t. Portanto temos Ah =Ah isto é, À deve ser auto-valor de À e h auto-vetor associadoa À. Calculando os auto-valores e os auto-vetores da matriz À, em contramos, os auto-valores —3 e 5, e respectivamente, os auto-vetores (1,-2)e (1,2), portanto ] a (Det ] (De são as duas soluçõesLI procuradas,e xt) = cyuy +Couo Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais é a soluçãogeral do sistema. Dada uma condiçãoinicial qualquer, podemos determinar as constantes cy e cz, de modo que a solução x(t) satisfaçaessacondiçãoinicial. O casoqueacabamosderesolver,no qual a matriz A possuiautovaloresreais distintos, é o mais simples. Nesse caso,os auto-vetores são linearmente independentes(justifique comoexercício)de modo que as correspondentessoluçõessão tambémreais e LI. Os demais casos,quandoos auto-valoressão complexosou commultiplicidades, devem ser analisados com mais cuidado. Essa análise, comoveremos abaixo, é análoga àquela feita para as equaçõeslineares com coeficientes constantes. Quandoo auto-valorÀ é complexo,o auto-vetorh associadotambém é complexo. Nesse caso x(t) = he?t é uma solução complexa. Substituindona equação,vemosqueas partesreal eimaginária dessa soluçãocomplexasão soluçõesreais do sistema. E além disso, são LI (mostrecomoexercício).Portanto, para cada auto-valor complexo conseguimosduas soluçõesreais LI. ixemplo 2. Considereo sistemaonde a matriz À é 5 2 Temos que u(t)= (É, ) é uma soluçãocomplexa.Suas partes real e imaginária un=( cos t— sen L — cos t Je! uz= ( sen t+cos — sen L t Je são duas soluçõesLI. Observe que, nesse caso,não precisamostrabalhar como outro auto-valor,o conjugadode À (por que?). Finalmente, vejamoso casoem que há multiplicidade. Suponha que temosum auto-valorÀ (real ou complexo)com multiplicidade algébrica ma >|, comoraiz do polinômio característico. Utilizando seesseauto-valor,temosquedeterminar ma soluçõesLI. O casomuito fácil,é quandotemosmaauto-vetores(LN)associadosa À,vejaExem- 274 Sistemasde EquaçõesDiferenciais Cap.7 plo 4 abaixo, pois para cada auto-vetor temosuma soluçãoe o pro blema estáresolvido. O número de auto-vetoresLI associadosa um auto-valor À, isto é, a dimensãodoauto-espaçoassociadoa À, échamadodemultiplicidade geométricade À, e designadapor mg. O problemamais trabalhosoé quandoma > mg. Comopor exemplo: Exemplo 3. x = AX A=(1 1) onde A = 2 éauto-valorcomma = 2 eéfácilverquemg = 1. Utilizando-se desseauto-valore do auto-vetorassociada,obtemosuma solução u = (1) vt e precisamos encontrar uma outra LI com u;, e para isso teremos que utilizar uma outra técnica. Podemos,por exemplo,utilizar a transformada de Laplace. A transformadade Laplace, é uma ótima ferramentapara resolversin temas lineares com coeficientesconstantes,pois ela transforma sin temas de equaçõesdiferenciais,em sistemasalgébricosde equações lineares. Se uz(t) = (x1(t),x2(t)) é soluçãodosistemae sedenotarmos a transformada de x; por X;, obtemos aplicando a transformada, v seguintesistemalinear sX1 — X7 (0) — 3X1 lona X2 sX2 — x2(0) = Xy + X2 ou seja (3—s)Xy—X2= =mM(0) Xt (1 = s)Xp> x2(0). Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais Como queremosdeterminar uma soluçãoUz tal que uj e uz sejam LI, e comou1(0) = (1,1), devemostomaruma condiçãoinicial para u2 tal que (x1(0),x2(0))e (1,1) sejamLI. Por exemplox1(0) = 0 e x2(0) = —1.Resolvendoo sistema,obtemos ] rama X1(s)= X 6-7» E 3—s “isl=o2m Portanto, usando a tabela de transformadas, Capítulo 5, e a fórmula de inversão (5.18),calculamos malt)=te?t xt)=(t— Net. =(11) Assim L us = e uj são Li. e2t É usual noscursosdeCálculoprocuraressasegundasoluçãona forma b at + ualt) = alt) + +) 2t E (7.10) As constantesa, b, c, d sãodeterminadassubstituindo-seno sistema. Exemplo 4. Considereo sistemacuja matriz À é 5 -2 4 A=]l-d 3 2 4 2/5 Os auto-valoressãoAy = Ocomma = 1,e Az =9 comma = 2. Neste caso,a multiplicidade geométricade A>é também2. Então podemos escrevera soluçãogeral,utilizando-seo auto-vetorcorrespondente ao auto-valorAy, eosdoisauto-vetores(LI) corespondentes aoauto-valor A>. Efetuando-seos cálculos,obtemosa soluçãogeral xit) ==Ci 2 1 a + co 0 |2 ] et tc ] É1 ] er Para sintomas não homogêneos(7.9),podemosutilizar a fórmula de variação das constantes, O caso de coeficientes constantes é mais 275 2706 Sistemasde EquaçõesDiferenciais Cap. 7 simples. Nesse caso,o sistema (7.8) é autônomo. Precisamosdeterminar a Matriz Principal somente para to =O, pois Tt, to) ca Tt ne to, 0). DenotandoT(t) = T(t,0), temosa fórmuladevariaçãodasconstantes,no casode coeficientesconstantes x(t) = (to +/ T(t— s)b(s) ds (7.11) Considereo exemplo: Exemplo 5. x(t) = se T) x(t)+ (o). (7.12) Resolvendoo sistema homogêneoassociado,com condiçõesinicias (1,0) e (0,1), encontramosa Matriz Principal sets T(t) = 7 et Sets > Se 3t + l5e —t 1 et 153t, 2€ + 1,-t 5€ Podemosagoraescrevera soluçãode (7.12)utilizando-se de (7.11). 7.1.3. Exponencial de matrizes Consideremoso KR"com seu produto interno e norma usuais, isto é, se; E [Me e = Elis ves Pal É RE então O, 0) = Ea += + Ran e xl] = (x,x). Não vamosdistinguir se o vetor está escritoemlinha ou em coluna,e usamosindistintamenteas duasformas XE (usa 5) X= Xn da maneira que for mais convenienteem cada caso, Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais Designemospor (IN), o espaçode todosos operadoreslineares A:RP —sRP. PFixadauma basedo R”, L(IR”) podeser identificado : é j é 2 como conjuntodas matrizesreaisn x nn,ou aindaR”. Definimosnormade um elementoÀ deL(IR”), pelaexpressão: À [|A||= supAxl = sup ||Ax|). x£0Ibell Ihel=1 (7.13) Para mostrar que essa expressãorealmente define uma norma no conjuntodosoperadores,L(IR”), precisamosmostrar,emprimeiro lugar,que||A|| é finito. Isto decorredofatoquea aplicaçãoR” > R?, x — Ax, écontínuaeque(x;||x||= 1 éumconjunto compacto emR?. Isto tambémpodeser demonstradodiretamentecomosegue.Seja A= a onde a!... a" são as linhas da matriz A, portanto elementosde R”. Como o produtoda matriz A por x é feito multiplicando as linhas da matriz À pelovetorx, temosque AX= (a!,x) (a”,x) Usando a desigualdadede Schwarz temos que |6x, v)|<lhel| y Axl =||((a1,x) 5...,(an,x)| =((a, x)? +-:-+ (an,x)))? portanto <(Iay]2 ++=: +|lanl PP)? IX! Axl (IarlZ ++ xl lanl)? 1 bol vx£0 278 Sistemasde EquaçõesDiferenciais logo Cap.7 2 IAlI<(Ian]2 ++++ +|lanllÊ)?. As demonstrações dasdemaispropriedades necessárias paraque||À || seja uma norma 1. Aloe |All=0& A=0. 2. KkAI=IkIAI, keR 3. IA + Bll<!||A|| + |B]|(desigualdade triangular) sãodeixadaspara oleitor.O espaçoL(IR”) munidoda normadefinida em(7.13)é um espaçonormadocompleto. Além dessaspropriedades,temos,da definiçãode ||A|| (7.13),que IAxI<|AI dl, e daí que Vx, IABII<I/A || ||BII. (7.14) Consideremosagorao problemade valor inicial matricial X(t) = AX(t) (7.15) | X(0) =1 Na secçãoanterior chamamosa solução desseproblema de Matriz Principal, e denotamospor T(t). ComoAX(t) é derivável,podemos provarporinduçãoquea soluçãoT(t) de(7.15),é declasseCW. Temos por (7.15),que T(0)=I e T(0)=AT(0)=A. Derivandoa equação(7.15)e usandoessaigualdade,encontramosque T(0)= AT(0) = A? o namimsucessivamente,podemosmostrar que a derivada n-ésima | tn (O) AM, PorenquantonãosabemosseT(t) podeserdesenvolvidaemsérie de potências.Entretanto,gostaríamosque My) A 2 AN =I+At+= tê +cena RTt”des (7,16) Seção7.1 SistemasLinearesde EquaçõesDiferenciais 279 Para tal, basta provar que a série em (7.16) converge uniformemente. Dada uma matriz À, considere a série x —. i=0 (7.17) lt Observeque a desigualdade(7.14)implica que AI<] AI] e portanto, usando a desigualdadetriangular, obtemospara p > 0, que AM AM+P m! (m +)! MAS APS? IAN “ml (m+p)! Como a série de e!!2Ilé convergenteem R, temosque a série (7.17)é deCauchyemL(R”) e portantoconvergente, poisL(IR”) é completo. Definição 7.2. Dada uma matriz A, a exponencialde À é definidapor At exp(A) =e A =2— Tº i=0 Temosentãoque a igualdade(7.16)é verdadeirae que T(t) e2t Além disso, a convergênciada série em (7.16)é uniforme para t em qualquer intervalo. Logo, pode-sederivar (7.16)termo a termo e obter T(t)—E (A?)“AFA dt 2! AZ 4 o =A IHAt+ qt +... =A ei, Segue-seda Propriedade4) que Wit] ==e“ txo é a soluçãodo problemade valor inicial Xt) = Axfté) x(0) = Xo E R” (7.18) 2B0O SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7 completandoassim a analogia com o caso unidimensional. O problema de efetivamentecomputar a soluçãode (7.18) ainda não está concluído,pois,dadauma matriz A, para calcularmose? atravésde (7.17)precisamosusar todas as potênciasde A. Em casosparticulares, comopor exemplo,quandoÀ é uma matriz diagonal,não é difícil verificar que a exponencialde À tambémé uma matriz diagonal,formadapela exponencialdoselementosda diagonalde A: da O A et O | GR TD ua DB A»... O TOO co Mufgi 0... eMt ... O 0 OQ OD cu Em) us Quandoa matriz A é nilpotente,isto é, quandoexister > 0 e inteiro tal que A” = 0, temosque a série (7.17)se torna uma soma finita, e portanto podemosperfeitamente(se estivermos dispostos) calculartodosostermosdessasoma,obtendoassima sua exponencial, A pergunta natural é se qualquer matriz pode ser escrita em funçãode matrizes para as quais conseguimoscalcular sua exponencial. Isto é possívelusandoa formacanônicade Jordan. Vamosver isso atravésdas seguintespropriedades. Propriedade 1. Se M é uma matriz inversível então eMTAM — MT eAM. ato decorredo fato que (MT'AM)! = MAIM. Propriedade 2. etA+BIt— eAteBtyt Demonstração: (->) OM lados See (A+B)t é — € At A comuta com B. eBt temos derivando ambos aque (A +Bjo MB AçÃteBtp eMBeB! Seção7.1 SistemasLinearesde EquaçõesDiferenciais 28 derivandonovamentee fazendot = O,obtemos (A+B)?= A2+2AB+4B? queimplicaqueAB = BA. (<=) Se A comutacomB é fácil ver queX(t) = eAteBtsatisfaza equação diferencial X(t) = (A + BJX(t) (verifique) coma condição inicial X(0) = I. Então pelaunicidadedesoluçãodevemoster X(t) = e!A+BJte a propriedade estájustificada. D Propriedade 3 (Forma Canônica de Jordan). Existe uma matriz M, demudançadebase,tal que M”! AM estána formadeJordan, isto e, L M”!AM=Diag lAs,...,Af] (7.19) As=MI+R, (7.20) ondecadablocoA;, é daforma jJ=1,...9t onde,A;éumauto-valor deÀ eR;éumamatrizdotipodaFigura7.1. 00 0...00 hoo llo0 010 04 e | o 0 0 2. 10/a. Figura 7.1: Bloco Nilpotente deJordan Para a demonstraçãoda Forma Canônicade Jordan sugerimoso livro de P.R. Halmos, “Finite-Dimensional Vector Spaces”,Van Nostrand Reinhold Company,1958. Observações: 1. Na Forma de Jordan (7.19),o mesmoauto-valor pode se repetir emváriosblocos(7.20),istoé,A; podeseriguala Amcomj Zm. 2. O número É de blocose a ordem de cada um deles dependemda matriz À 282 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7 3. É muitofácil calcularaspotênciasda matriz R;; calculando(R;2 (faça comoexercício),vemosque a “diagonal”de 1'sescorregapara a “diagonal”imediatamenteabaixo;quando calculamos(R;)* a “diagonal? de 1'svai mais para baixo e assim por diante. Com uma matriz de ordem k;, temos que (RB; possui zero em todas as posições, excetona posiçãok;1, quetem1, (a diagonalde 1'sestásaindofora da matriz),finalmente(R;)“i = 0, k; é o índicedenilpotênciadeR;. DaPropriedade 1,acimatemosque MT! e então et M o eiM TAM) , | et —MelM AM Mo] logo para calcularet, bastacalcularelM AM em (7.21). (7.21) é substituir Como (M"! AM)t = DiaglAst,..., Art] é formada por blocos, quandocalculamosas potênciaspara a obtençãoda exponencial,um mm ; bloco não interfere no outro, isto é, para obter elM AMJ podemos calcular separadamentea exponencialde cadablocoAst, e montar n matriz exponencialde (M”! AM)t comessesblocosna diagonal. Temos que Ast EP =E (A;I+R;)t comoA;I comutacomk;, temospelaPropriedade2, que ENT RjDt— (A DtoRt — At oRit RZ Ajt Ee =elIi+Rt+A->DUA4A+-——— 2 po ] t? eNit 21 LÊ eg Portantoa exponencialefM * t =] ) k;—1 tt” (k;—1)! 1 cky—2 1)! (k;—2)! | k;—1 R? mA | (7.28) Da AMIté formadapor blocosdo tipo (7,22) ” * * r f f Seção7.1 SistemasLinearesde EquaçõesDiferenciais 2 na diagonal.Essamatrizé a matrizde e2t na basedeJordan. A relação(7.21)fornecea expressãode e“t, na baseoriginal. E ainda: 1. De (7.22),temosque os auto-valoresda exponenciale"! sãotodos dotipoe*it,comA;auto-valor deA (mudança debasenãoaltera auto- valor). 2. De(7.21),oselementosdee2tsãocombinações linearesdefunções do tipo tte"it, onde i está limitado pelo maior índice de nilpotência, e A; é auto-valor de A. Essa conclusãojustifica a expressão(7.10) utilizada para a determinaçãode soluçãono casode auto-valor com é qod multiplicidade. po |f qual Teorema7.3. Se x é tal queRe(A) < q, isto é, x é um númeroreal maior que a parte real de todos os auto-valores, À, da matriz À, então existeumaconstanteM tal quea soluçãox(t) de x=Ax, satisfaz x(0) =X bet) ]|<Mexo]l. (7.23) tim particular, quando todosos auto-valoresda matriz A, têmparte realnegativa, podemosescolher« < 0,eportanto||x(t)||tendea zero exponencialmente,quando t — oo. Dizemos, nestecaso, que a solução nula de x = Ax é exponencialmente assintoticamenteestável. Demonstração: Como os elementosde et são somas finitas de ex- pressõesdotipot'ie2tex(t) = e2txo, bastaanalisarmosum desses tormos t'etxo] |x]t]" ettAMIxo]| =[t]" elfo)0d teto] ComoRe(A)—« < 0,temosque|t|*elRtM-c)t O,quandot —00 Portantoessaexpressão é limitadaparat € [0,00),logoexisteuma constanteM tal que(7.23)é verdadeira. a Vamos finalizar essa secçãoanalisando a transformada de Ln place da matriz exponencial, L(e”*). No casoescalar, temosque Clem O (s- a)" 284 Sistemasde EquaçõesDiferenciais Cap.7 Analogamente,vamos mostrar que Lle*)=(sSI-A)] s>a>Re(A), A De fato (s1=A)| (7.24) 0 eNterstar=[ -[ 0 0 (sI- AjeMe*tdt seMe-stat—| o O (Ate-star dt Integrando por partes, obtemos (81—A) / SO 0 eterstat = —(eMes") OO t=0 =1. quejustifica (7.24). Comoaplicação,podemosmostrar,por exemplo,quea soluçãodo problema nãohomogêneo“ (2.OVA x= Ax+b(t), x(0) = xo é dadapelafórmuladevariaçãodas constantes x(t) = e“'xo+[ t 0 tbm) dr. De fato, aplicandoa transformadana equaçãonão homogênea,obtemos s£(x) —xo = AL(x) + £(b) portanto (sI— A)L(x) = xo+ £(b) o C(x)=(sI-A)! xo+ (sI— AJT!£(b) — L(e"'xo) + Lle”t +b(t)]. A fórmula de variação das constantes é então obtida invertendo essa expressão, Seção 7.2 7.2. Equação Adjunta e a Alternativa de Fredholm EquaçãoAdjuntae a Alternativade Fredholm SejaA(t) uma matriz,n x n, contínua.O sistemalinear y=-A(t)v(t) ondeA(t)* denotaa matriz transpostada matriz A(t), é chamadode EquaçãoAdjunta de Z= Al (7.25) Podemostambémescrevera EquaçãoAdjunta na forma y =—yvA(t), (7.26) comy designandoum vetor linha. Se X(t) é a Matriz Principal de (7.25),entãoY(t) = X(t) |! é a Matriz Principal de (7.26).Pois, derivandoy = yoX(t) !, obtemos U = —yoX'XX = —yoXT!A =-VA. Temosportantoqueas soluçõesde (7.26)sãodotipo vlt)=voY(t)=Y(t)ty. À questãoquevamosanalisar a seguir é a existênciade soluções periódicaspara sistemas x=Altx+f(t), (7.27) ondeA(t) e f(t) são funçõesT-periódicas. Para o casohomogêneo, f = 0, temos Lema7.1.Se A(t) é T-periódica,entãoossistemashomogêneos (7.25) e (7.26) têm o mesmonúmero de soluçõesT-periódicas linearmente independentes. Demonstração:(7.25)temsoluçãoT-periódicanãotrivial seX([ |xy xo, para algum xo & O, isto é, se a condiçãoinicial xy pertencea Ker|X(T) — 1],e portanto dim Ker[X(T) — 1] é o númerode soluções|-periódicas LI. 286 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7 Analogamente,(7.26) tem solução |-periódica não trivial, se e somente se voX(T)!- 1]=0, vozo e, portanto,o número de soluçõesLI é dimKer[(X(T)!—1)!=dimKer|X(T)!—1). Mas, como XT)-I=—[X(t) !—IX(T) e dt X(T)£O0 conclui-seque essasdimensõescoincidem. Teorema7.4(AlternativadeFredholm). O sistema(7.27)temsolução T-periódica, se e somentese,a condição de ortogonalidade / x 0 ult)f(t)dt =0 está satisfeitapara toda soluçãoT-periódica de (7.26). O integrando u(t)f(t) é o produtousualda matrizlinha y(t) pela matrizcoluna f(t). Demonstração: Uma solução x(t) é T-periódica se e somente se x(T) = x(0) = xo, logo pela fórmula de variaçãodas constantes temos que » x(T) =X(Txo +X(7) / que podeser colocadana forma X(s) !f(s) T ds =xo X(TIT—xo=/ X(s)-'f(s) ds. Õ (7.28) Temos,portanto,que (7.27)tem soluçãoT-periódica,se e somentese (7.28)tem soluçãoxo. Chamando a matriz B = [X(T)”! — 1],e usando o fato que a imagemde um operadorlinear do R”, é igual ao ortogonaldo núcleo do operadoradjunto, isto é, R(B)= Ker(B!) Seção 7.2 Equação Adjunta e a Alternativa de Fredholm temosque (7.28)tem solução,se e somentese E / isto é, 0 X(s) Hs) ds E Ker(B)+, A (30 / 0 X(s) M(s)as) = 0 Vvyo€ Ker(B!) que é equivalentea / T 0 voX(s) '(s) AE= / paratodafunçãoy(s) tal que T 0 uls)f(s)ds =0 y(s)=voX(s)”! comvaX(T)T!—-T] =0. Mas entãoas funçõesy(s) sãoas soluçõesT-periódicasde(7.26)e o teoremaestá provado. E Exemplo. Considerea equação ut+u= ff (t) (7.29) e o sistemacorrespondente o e X2 = —%4 + fi(t) que é do tipo (7.27)com au=a= (30. u=(689). 0 1 O É fácil ver que nesse exemplo a equaçãoadjunta é idêntica à equaçãooriginal YU = Ay, e a matriz principal correspondenteé X(t) =Y(t)! ( cos 1 sen t sen | cos 208 Sistemasde EquaçõesDiferenciais Cap.7 e portantoas soluções, y(t) = Y(t)'yô, da equaçãoadjunta,tem período2k7, k = 1,2,.... Portanto: 1) Se f(t) for periódicade períodoT £ 2k7r,a única soluçãoTperiódicada equaçãoadjunta é a soluçãonula, portantoa condiçãode ortogonalidade é satisfeitae(7.29)temumaúnicasolução| -periódica. 2) Se f(t) for T-periódicadeperíodoT = 2kz para algumk, temos quetodasas soluçõesda equaçãoadjunta sãoT-periódicas,e portanto (7.29)temsoluçãoT-periódicasee somentese ondey(s) é soluçãoda adjunta. Comoy(s) é combinação linear de senos e cosenos,devemoster q / O sensf(s) ds 0 e / x 0 cossf(s) ds =0. Por exemplo,quandoT = 27, fy(t) só podeter freqiências maiores que 1/27. Seudesenvolvimento emsériedeFourier OO =5 — + > [Ancosnt +bnsen nt) n=| devetera,=0eb/ =0. tuando as frequênciascoincidemnão temossoluçãoperiódicae as soluçõessãoilimitadas. Por exemplo,para fi(t) = cost, temos u(t) =cy sen t+ c>cost+ tsen t 3 Seção7.3 Linearização,Estabilidadee Funçõesde Liapunov Figura7.1 7.3. Linearização,Estabilidadee Funções de Liapunov Nesta secçãovamosestudar sistemasautônomosgerais x=f(x), fiRºS5R”. (7.30) onde f édeclasseC!. Suponhaque(7.30)tenhaumpontodeequilíbrio xo. Vamossupor,por simplicidade,que xo = 0, isto é, f(0) = 0,e portanto,x(t) = Oé solução. Definição 7.3.Seja V:O C R” — R umafunçãodeclasseC!, definida numconjuntoO quecontémumabolafechadaBpr(0),comcentrona origem. Dizemos que V é uma Função de Liapunov para a equação (7.30),quando ViO] =D, V(x) >0, sexo, Vix)<0,Vx ondeV:O > R é definidapor Ví(x)= ((gradV)(x), f(x)). (7.31) Alémdisso,dizemosqueV é umafunçãodeLiapunovestrita,quando temosem (PA a desigualdadeestrita, para x / O, 290 SistemasdeEquaçõesDiferenciais que Cap.7 Observeque,sex(t) é soluçãode(7.30),entãotemospor (7.31) d =((grad V)(x(t)), f(x(t))) =V(x(t))<o0, isto é, V é decrescenteao longodas soluçõesde (7.30). ComoV é limitada inferiormente,temosqueexisteo limite V(x(t)) quandot > OO. As funçõesde Liapunov não são fáceisde seremdeterminadas. Em geral, elas estãorelacionadascom a norma do R” ou coma energia do sistema. Neste último caso, as condiçõesV = 0o0uV <0 significam,respectivamente,conservaçãoou dissipaçãode energia. Exemplo 1. Temospor (4.124)quea energiado osciladorharmônico simples mã + kx = O é dadapor À (Um cad 2 Elx] = 5 + kxº). Verifica-sefacilmenteque a E(x(t)) = 0. Issoquerdizerqueo sistema é conservativoe que Viu) =(my), x=y é uma funçãode Liapunov para o osciladorharmônico. Exemplo 2. Considere o sistema linear x = —E—y | y=3x—2u. A função V(x,y)=5b2ty?) é uma função de Liapunov para esse sistema, pois V= xx +uy (x—y)2= yé<o0. . ) (7,99) Seção 7.3 Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov Mostre,comoexercício,quedim Vixit) ult)) =0. —+00 À seguir,vamosutilizar as funçõesdeLiapunov para o estudodo comportamentoassintóticodas soluçõesdo sistema (7.30). Os principais resultadosestãocontidosnos próximostrês teoremas. Teorema 7.5. Se existeuma função de Liapunov para (7.30),entãoa soluçãonula, x(t) = 0,éestável.Se a funçãodeLiapunovfor estrita, entãoa soluçãonula é assintoticamenteestável. Demonstração: Estabilidade. Considere e:> 0e E = min Vix) =D. IIxll=e (7.83) t > 0 porqueV é estritamentepositiva no conjuntocompacto(x : ||x||= e). ComoV é contínuae V(0) = 0,existe6 —ó(e) > Otal que l Ix|l<ô > V(x)< 5 temos,em particular, que é < €. Nessas condições,podemosmostrar que as soluções,comcondiçõesiniciais na bola de raio ô, sãoestáveis, Isto é, Ixoll<6 =>Ilx(t,xo)ll<e, De fato, como Vt>0. (7.34) de (Vix(t,xo))<O temosquea funçãot — V(x(t,xo)) é não crescente.Portanto Víx(t, xo))<V(x(0,x0)) = Vixo)<5 » Vt>0. (7.835) Segue-sedaí quea soluçãox(t, xo) quecomeçardentrodaboladeraio ô, deve permanecerdentro da bola de raio £ para tz0. De fato, caso contrário,existiriat* > Otal que||x(t*,xo)||= e. Entãopor(7.33) teriamosque Ví(x(t*,xo))>L, que contradiz (7.35). Estabilidade Assintótica. Por (7.34),temos,tomando6 = ó(R), que wo] B(R) Ix(t, xo)|| < Ruy ta0 292 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap. 7 isto é,a soluçãopermanecedentrododomínioda funçãodeLiapunov V. Provemosqueessasoluçãotendea zero,quandot — oco,no caso em que V é de Liapunov estrita. Dado e > O,vamosmostrarque existeto —to(£) > 0, tal que lIx(t,to)|l< e, se t>to. Tomeó(€) definidoem(7.34).Se existir to = to(e) > Otal que |Ix(to, xo)||<d(e), temospor (7.34)que Ix(t,x(to,xo))||= |lx(t+to,xo)||< e Vt>0 e o teoremaestariademonstrado.Usamosna última igualdadeo fato de que a equaçãoé autônoma,e portanto x(t+to,xo)=x(t,x(to,x0)). é, Suponhamos,por contradição,que não existisse um tal to, isto ||x(t, xo)||zô(e) para todot>0. Então, a soluçãopermanecedurantetodoo tempona coroacircular s(e)<Ibelt, xo)|IXR, Vt>O. Como V é estritamentenegativa,e a coroaé um conjuntocompacto, temos que Víx(t,xo))<—c, com c>0, Vt>0. Então, integrandoos dois lados de Oa t, obtemos Vit, xo))<Víxo) — €t, Vt>0, que é uma contradição,pois V teria que assumirvaloresnegativos - O comportamentoassintóticode uma soluçãoé determinadopelo conhecimentode seu conjunto w-limite, veja Definição 6.1. Porém, Seção 7.3 Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov esseconjuntolimite, nem sempreé fácil de ser determinado.O próximo teoremaforneceinformaçõesimportantesnessa direção. A informaçãoé obtida utilizando uma função V, que decresceao longo das soluções,mas não é necessariamenteuma funçãode Liapunov. Teorema 7.6 (Princípio de Invariância de La Salle). Se V:R” ss Ré declasseC! tal queV(x)<0, Vx. Então wlxo)CE=(xeR”:V(x)=0), VxoeR”. Demonstração:Basta consideraro casoem que w(xo) £ Pp.Nesse caso,temosqueV(t) = V(x(t,xo)) é decrescente, pois V<O. V(t) é limitadainferiormente.De fato,sey E w(xo), existemty, — 00 tais quex(tn, xo) — uy.Portanto,pela continuidadede V, temosque V(tn) — V(y). Pela monotonicidadede V, temosque V(t) > c = V(y), quando t — oo. Mostramos assim que V é constanteigual a c em w(xo). Agora, comoo conjunto w-limite é invariante, isto é, sey E w(xo), entãox(t,y) E w(xo) para todot, segue-seque Víx(t,y)) = c. LogoV(y) = 0, isto é, y € E, queprovao teorema. Exemplo 3. Considere o sistema do Exemplo 2. Para esse sistema temospor (7.32)que E=((x,y)E R?;V(x,y)=0)=((0,0)), portantooconjuntow-limitedequalquersoluçãoéoconjunto((0,0)-. Vamosconsideraragorao processodelinearizaçãodosistemaem torno deum pontode equilíbrio. Linearizar o sistema(7.30),emtorno do ponto x = Ô,significa consideraro sistemalinear x = Ax, ondea matriz À é a derivada(matrizJacobiana)de f no pontox — 0, À = f'(0). Utilizaremosesseconceitopara analisaro seguinteresultado sobreestabilidadede equaçõesautônomas(7.30). Teorema7.7. Se À = f'(0) possui todosos auto-valoresÀ comparte real negativa,Re(A) < —axcom« > 0, entãoa soluçãonula de(7.30) é assintoticamenteestável.Ademais, essasoluçãoé exponencialmente assintoticamenteestável,isto é,para cada ô > 0, existemconstantes K empositivastais que Ixoll<m => Iix(t)jjgKe!-*xol), t>0. 7! 294 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.1 Demonstração: EstabilidadeAssintótica. Temosquef satisfaz f(x) = Ax+r(x), com lim PER: = Ú, x—0||x|] (7.50) Usaremos agora os resultadosdo exercício8) abaixo. A função V de finida em (7.44)e (7.42)é definida positiva, e Víx) = (Cx,x) + (Cx,x) = (Cf(x),x) + (Cx,f(x)) Usando (7.36)e as propriedadesdo produtointerno, obtemos V(x) =((CA +AtC)x,x) +(Cr(x),x) +(Cx, r(x)) Portanto usando (7.43)e a desigualdadede Schwarz temos,para x + 0,que Irlo)|| V(x)< —||x|JÉ + 2ICl) Ix||É xl Tomando1 suficientementepequenotal que Iell<n > temos rod] dl Sale] | V(x)<— 5belÉ <0, se x%o0, portantopelo Teorema7.5,x = Oé assintoticamenteestável. Estimativa Exponencial. Temos x(t) = f(x) = Ax(t) + tr(x(t)) e dai pelafórmuladevariaçãodas constantes, x(t) = e“'xo + t 0 eNt-sby(x(s)) ds. Comojá temosestabilidade, ||x(s)||permanece pequenoparatods s>0,e comoTo| — Oquandox > 0, existey > Otal que Ilrtxts DD I<yIbxts). Beção 7.3 Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov Portanto,como||e“!|<Me”“!, temos e(o)lI<]le* | ||xoll +/ jets)| Ir(x(s))|| ds Lt Õ t <Me-“Iheoll+ /0 Mye-“(t-5](s)l| ds Multiplicando,ambososlados,por e*!, obtemos eIx(t)|IXMIIxoll +/ Mye“s|bx(s)|| ds. t O Usandoa desigualdadede Gronwall, obtemos epe(t)|<M Io]|eM! o portanto belt) ||<Me! "HM Mxol]. (Comopodemostomar y suficientementepequeno,a estimativa exponencial do Teorema7.7 estájustificada. Hi Utilizaremos a seguir os teoremasprecedentespara fazer uma análise detalhada,da soluçãoda equaçãode Liénard. fxemplo: Considerea equaçãode Liénard x+fix)x+g(x), g(0) =0. (7a) Colocando x = y, podemos olhar essa equação como um sistema no IR , X =U nono (7.38) a temosque (0,0) é solução(ou ponto) de equilíbrio. Vamos estudar a estabilidade desseponto. Multiplicando formalmente(7.37)por X obtemos x + gl) = —f(x)(x)? ar(5092 +669) =—toaa O [1.3 o “2 296 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7 ondeG(x) é primitiva de g(x), DefinindoV:R? > R por V(x,y) = =y? + G(x) (7.39) temosqueV seráuma funçãodeLiapunov,se 1. 2. xg(x) > 0 sex £ 0,emparticular,G(x) > 0 sex £0,e f(x)>0, Vx. De fato,sobessashipótesesV>0 e Viu) =—f(x)y?<0. Com essasduashipótesestemos,peloTeorema7.5,quea solução nula de (7.37)é estável. Observeque V(x,y) podeser zero sem que (x,y) = 0, logo não podemosafirmar nada sobre estabilidade assintótica, usando o Teorema 7.5. Vamos utilizar o Teorema 7.7 para analisar a estabilidade as- sintótica.A matrizJacobianadosistema(7.38),noponto(x,y) = (0,0)é Colocando flO)=be g(0)=c temosque os auto-valoresde A satisfazem A? + bA + c = O. Para essesauto-valoresterem parte real negativa,temosque b e c devem satisfazerumadasduascondições: 3. b* -dec0eb>o0 4. b*-de>0eb> RE>Oo. E portanto,em qualquer um dessesdois casos,o sistema (7.38)e n equaçãoCLT são assintoticamenteestáveis, Seção 7.3 Linearização,Estabilidadee Funções de Liapunov Finalmente, façamosuma análise globaldas soluçõesda equação de Liénard (7.37). 1) As condições1 e 2 garantemque todasas soluçõesde (7.37)estão definidaspara todot>0. De fato se (7.37)possuisseuma soluçãox(t) tal que |x(t)| — oo, quandot — to, então|x(t)| = [u(t)|seriailimitadono intervalo [0,to). Agora,nesseintervaloV(t) := V(x(t)) é limitada(énãocrescente),e usando a condição1 e (7.39)temos Oxu(t)<2V(t), VtelO,to) que é uma contradição. nu) Se, além das condições1 e 2, tivermosque G(x) -[ pidde-s0que g=rdoo, XxX 0 então,todasas soluçõesde (7.37)sãolimitadaspara t>0. NestecasotemosqueV(x,y) — ooquando|(x,U)| — oo.Logo,dado (xo,Vo), existe7tal que Víx,y) > Víxo, Vo), se [(x,U)| > 7. Agorase(x(t),u(t)) éa soluçãode(7.38),comcondiçãoinicial (xo,Vo), comoV<Ô,temosque Vixit),ult))<Víxo,vo),Vt>0, portantodevemoster |(x(t),y(t))|<r, o quejustifica a afirmação. ui) Se, além das condições1 e 2, tivermosque f(x) > 0, Vx, então, todasas soluçõesde(7.37)tendema zero,quandot > 00. De fato,comoV = —y?f(x), temospeloTeorema7.5que W(xo, Vo) Ç (lx, y) e = 0). Agora o conjunto «ww-limite é invariante e o campo de vetores nos pontos (x0,0), xo É V é dado por (0, =g(xo)),veja a Figura 7.2, 298 SistemasdeEquaçõesDiferenciais [4 Cap.7 vo av Figura7.2 portanto 7.4. w(xo, Vo) e ((0, 0)). Exercícios 1. Determine a solução geral de x — A;x, onde a matriz A;j,i ss a=(5 2) 1 -5 6 A=[130 0 01 = 1|,/ 2. 1) Calcule e*it onde A; é dada no exercício anterior. (Utilize n soluçãogeraljá determinada.) ii) Esboceas soluçõesde x = Ayx no plano (coma basecanônica usual). 11)Mostrequeé falsa a desigualdade [letxlI<]hel| t>0,x eR2 3. Usando a fórmula de variaçãodas constantesescrevaa expressão que forneceas soluçõesda seguinteequação: x+x=h(t). A 4. Mostrequee”! comutacoma matriz À, Seção7,4 Exercícios 29! 5. Mostre que eAlt+s) = AtnAÃs “E Sugestão:x(t) = eAtt+S)xo é soluçãodeX = Ax comcondiçãoinicial x(0)= e“Sxo. Usea unicidade. 6. Mostre que (eRep = € —At 7. Considereos seguintessistemaslineares n dimensionais %== AP) (7.40) * = Altjx+ht) (7.41) ondeA(t) e h(t) sãocontínuase periódicasdeperíodop. Mostre que: a. b. Se1 for auto-valor da matriz principal T(p) do sistema (7.40) calculadano períodop, então(7.40)tem soluçãop-periódicanão nula, Se 1 não for auto-valorde T(p), então(7.41)tem soluçãop- periódica. Sugestão:Denotepor x(t, xo) a soluçãode (7.41)comcondiçãoinicial x(0,xo) — xo. Use a fórmula devariaçãodasconstantespara mostrar queexistexo tal quex(P,Xo) = Xo. 8. Seja À uma matriz que possui todos os auto-valoresÀ, comparte realnegativa,Re(A)< 0, a. Mostre que a integral / Ega çAS ds O é convergente, onde(e2s*)t! denotaa matriz transpostade (e1s). b. Se Co | mostre que 0 (eS)t eASds CA+A*C=—I (7.42) (7,43) 300 Sistemas deEquaçõesDiferenciais Cap.7 Sugestão:Integreosdoisladosde d Es — (+ ds ç2s A di Ale" sy gs para s variando de Oa o0. c. Seja C a matriz dadaem(7.42),definaV:R” — R por VIR) =4(0x,%) (7.44) Mostre que c.1) Mostre queV é definidapositiva,isto é, V(0)=0 e V(x)>0, se x%o0. (Lembre-se daigualdade (A'x,x) = (x,Ax)) c.2) Sex(t) é nãonulae satisfazx = Ax, mostreque Víx) = - (Cx(t),x(t))< 0, Vt. 9. Considere as equaçõesdo modelopresa-predador(6.54)e (6.55). Determine uma funçãode Liapunov para essesistema, em torno do ponto de equilíbrio (c/d,a/b). (Sugestão: Procure V da forma Víx,y)= Fix) +G(y).) 10. Esboceo plano de faseda equação Xx+(x+y—-Dx+x=0 chamandoa atençãopara ospontosde equilíbrio, soluçõesperiódicas, orientaçãodas soluções,conjuntos« e w-limites,estabilidadee ins tabilidade,etc. Todas as conclusõesque vocêpuder, não esqueçade justificá-las. 11. Seja X xf(x), ondef:R” — R é declasseCl e f(0) > 0. a. VerifiqueseV(x) = |x|*é umafunçãodeLiapunov. b. Analise a estabilidadedo pontode equilíbrio x = 0. 12. Considere o sistema X= f(x (7,45) Seção7.4 Exercícios 301 onde f: IR" —s |", é um campogradiente, isto é, existe uma função V:R" — R de classeC2 tal que f(x) = —grad V(x). Mostre que: a V=-lgrad V(x)|? b. Sex é um pontodemínimoisoladodeV, entãoX é um pontode equilíbrio assintoticamenteestávelde (7.45). c. Sex é um pontow-limite (x € w(xo)), entãox é um pontode equilíbrio. 13. Considerea equaçãode Liénard x+fix)x+g(x)=0, e G(x) -[ Suponha que fix)z—c, G(x)z-k, X 0 g(s) ds. VYxeR, onde c e k são constantespositivas. Mostre que as soluçõesdessa equaçãoestãodefinidaspara todot>0. Bibliografia Arnold, V.1. - Ordinary Differential Equations, MIR, 1974, Birkhhoff, G. & Rota, G.C. - Ordinary Differential Equations, Blaisdell Publishing, 1062. Braun, M. - Differential Equations and Their Applications, SpringerVerlag, 1975. Coddington,E.A. - An Introduction to Ordinary Differential Equations, Prentice Hall, 1968. Hirsch, M. & Smale, S. - Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press, 1974. Hurewicz, N. - Lectures on Ordinary Differential Equations, Cambridge,1975. Pontryagin, L.S. - Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, 1963. Simmons,G. - Ordinary Differential Equations with Applications and Historical Notes, McGraw-Hill, 1972. Amann, H. - Ordinary Differential Equations, Walter de Gruyter, 1990. Coddington,E. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955. Hale, J. - Ordinary Differential Equations, J. Wesley,1964. Hartman, P. - Ordinary Differential Equations, J. Wesley,1964. Lefachetz,S. - Differential Equations: GeometricTheory,Interscience, 1959, Sotomayor,J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Coleção Projeto Euclides, CNPq, 1979, ÍndiceAlfabético A deperseguição 44 Alternativa deFredholmparaexistência envoltória deumafamília87 famíliaaumparâmetro 84 desoluçãoperiódica286 famíliasortogonais90 C integrais 50 Calorespecífico 29 isóclinas51 Campo: ortogonais90 Central de forças 65, 154 tractriz35 conservativo 67 pseudoesfera 37 divergente de69 fechado 66 gradiente65 gravitacional65 potencial 65 métodopráticoparadeterminação 69 pivotdeSchiele37 D DadosinicaisVer Condiçãoinicial Desigualdade deGronwall61 Determinante Wronskiano 96 funçõeslinearmente independentes 97 rotacional de66 trabalho de67 vetorial identidade deAbel-Liouville97 Diferencialdeumafunção73 Ciclo limite229 Diluiçãodesoluções 30 Condiçãoinicial7,49 E Conjunto: invariante 229 simplesmente conexo68 Q-limite227 tU-limite227 Convolução192 Contração54 Curvas: catenária 39 cônicasemcoordenadas polares166 de Lissajous 164 Energia: cinética136 potencial137 Equaçãocaracterística 102 Equaçãodiferencial: adjunta285 autônoma 21,206 comtermoforçantedescontínuo197 deBernoulli26 de Bessel113 304 ÍndiceAlfabético lunçãode1)78 deChebyshev113 deClairaut28 Forma: | ded'Alembert-Lagrange 27 canônicadeJordan 281 deEuler-Cauchy110 diferencial72 deHermite118 constante72 deLaguerre113 exata73 deLegendre 106,113,118 fechada73 deLiénard226,295 deprimeiraordem49 linear Fórmula: deRicatti26,117 deAbel-Liouville97,269 devanderPol 226,236 deBinet 159 devariáveis separáveis 11 doosciladorharmônico137 devariação dasconstantes 9, 10,271,276 Funções: dopêndulo141,244 143 deLiapunov289 deltadeDirac 200 o pêndulosimplese a aceleração da gravidade elípticas253 erro25 períodonasgrandes oscilações 248 comamortecimento 254 gama169 linearmente independentes 95 exata75 método práticodeintegração 79 homogênea 24 interpretação geométrica 50 lineardeprimeiraordem6 I Impulsoinstantâneo 199 Integral: aolongodeumcaminho67,73 lineardesegunda ordem93 independência decaminho67 equaçãocaracterística102 elíptica249 soluçãogeral95,98 métododevariação dosparâmetros 99 métododoscoeficientesa determinar107 comcoeficientes constantes 101 linearhomogênea 8,94 matricial268 singular17,113 solução49 Espelhoparabólico 43 f Fatorintegrante 8, 77,80 existênciaRO funçãode P 77 primeira75,256 Intervalo maximal58 comportamento da soluçãonosextremos59 L Lei: daconservação domomento angular157 deconservação daquantidade decalor29 dagravitação universal deNewton130,167 asconstantes Cr eg 130,132 deHooke138 comentários sobre139 limitedeproporcionalidade 140 305 ÍndiceAlfabético amplitude 142 pontoderuptura140 amortecida 139,144 deKepler159,169 amortecida e forçada147 deKirchhoff225 1ºdeNewton 120 batimento 150 22deNewton 119 períodofundamental 149 3º deNewton 120 ângulodefase142 doisocronismo daspequenas oscilações 143,245 demolas138 do resfriamentode Newton 28 do pêndulo245 M energia 153 Matriz: exponencial 279 fregiência142 período 142 fundamental 269 P principal269 Planodefase207 Método: dassériesdepotências 112 deFrobenius113 Ponto: deequilíbrio(ousingularidade) 22,209 atrator216 dereduçãodaordem105 assintoticamente estável22,211 devariação dosparâmetros 99 centro218 doscoeficientes adeterminar 107 desela216 gráficode Volterra260 espiral218 Movimento: deprojéteis125 ângulodetiro 126 emplanosinclinados129 estável22,211 nodal216 singularregular113 deequilíbrio258 médias263 O Órbita 206, 227 afélio167 apogeu167 ápside161 deumsatélite176 dosplanetas 168 fechada209 periélio167 modelomalthusiano 18 modelodeVerhulst19 modelopredador-presa deVolterra257 métodográficodeVolterra260 limite20 outrosmodelos 23 períododosciclos262 taxade crescimento18 perigeu167 periódica209 daconservação deenergia137 306 ÍndiceAlfabético dacontração 54 dasuperposição 95 propriodades 267 Solução deinvariância deLaSalle 293 amplitude de 142 Problemadevalorinicial4,7,49 deequilíbrio(ou estacionária) 22,209 ProdutodeConvolução192 assintolicamenteestável22,211 Q estável 22,211 exponencialmente assintoticamente estável 283 Quantidadede movimento120 Quedadecorpos: ta comresistência doar122 comentário sobre124 se velocidade limite123 deumaequaçãodiferencial11,49,64 dependência contínuaem relaçãoaos dadosini- ciais62 geral4,95,98 globalmente definida60 livre 120 R Ressonância151 frequência de 152 intervalo maximal58 T unicidade 58 Ss Tabela: declassificação desingularidades 219 Sistemas: Taxadecrescimento deumapopulação 18 SequênciadeCauchy53 deequações diferenciais 206,265 autônomo 206 detransformadas de Laplace188 Temperatura: calorespecífico 29 lincarização numponto deequilíbrio193 deequilíbrio29 solução64,206,266 leidoresfriamento deNewton28 dinâmico211 hamiltoniano 256 Sistemas dedeequações diferenciais lineares 213, resfriamento deum corpo28,29 Teorema: deAbel-Liouville 97,269 267,271 deexistênciae unicidade(dePicard)51 comcoeficientes constantes 213,267,271 necessidade dashipóteses56 autovalores reaisdistintos 272 dedependência contínua 62 autovalores repetidos 274 deLevinson-Smith 230 autovalores complexos 273 deLa Salle293 exponencial dematrizes 279 dePoincaré-Bendixon 229 estimativa exponencial dassoluções 283 região comórbitaperiódica 229 fórmula devariação das constantes 271, 276 região sem órbita periódica 23] homogêneo 267 identidade deAbel-Liouville 269 matrizfundamental 269 matrizprincipal269 região componto deequilíbrio 232 54 dopontofixodeBanach (princípio dacontração) Fundamental doCálculo3,5 ÍndiceAlfabético Transformação dePoincaré232 Transformada deLaplace: dafunçãoÓ deDirac 202 damatrizexponencial284 definição182 dederivadas187 funçõesadmissíveis 182 funçõesdescontínuas197 funçõesimpulso199 inversa183 produtode 191 propreidades 181,185 Tabela188 V Velocidade: areolar158 deescape133,177 deimpacto133 dosom125 Vetor: aceleração119 posição119 velocidade 119 Vibraçãover Oscilação 307 A Coleção MatemáticaUniversitáriaé umasériede livrosescritos por matemáticos competentes e com grandeexperiênciadidática, a fim de serviremde textospara cursosem níveldegraduaçãonas universidades brasileiras. Os livros da coleção contêm exposiçõesobjetivase bem organizadas,acompanhadasde exercícios selecionados.O número de páginas de cada livro é limitado de forma a facilitar sua leitura peloalunoe suaadoçãopeloprofess Fr. [E uma introduçãoàs Equações DiferenciaisOrdinárias.dirigida a alunosde graduaçãoda áreade Ciências Exatas. Os conceitos matemáticos são introduzidosde maneira cuidadosaseguidosde umgrandenúmerodeaplicações. Às aplicaçõescontemplamduas atitudesextremamente importantes: a resolução das equações diferenciais,mostrandoa força da teoria,e a interpretaçãodetalhadadassoluçõesobtidas. O texto expõeo assuntode maneiragradativa,contémmétodos elementares de obtençãode soluções, tópicos selecionados sobre a teoria básicadas EquaçõesDiferenciais,e técnicasutilizadasna descriçãodo espaçodas configuraçõese no comportamentoassintóticodassoluções. E) INSTITUTODE MATEMÁTICAPURA E AFLICADA

Equações Diferenciais Aplicadas - Djairo Guedes de Figueiredo & Aloisio Freiria Neves

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