Producto vectorial:
Si se conocen las componentes de los vectores se calcula
desarrollando el determinante y el resultado es un vector.
Ecuación vectorial de la recta
(necesitamos un vector director y un punto)
𝐿 = 𝑋 ∈ ℝ : 𝑋 = 𝑡𝑣⃗ + 𝑤, 𝑡 ∈ ℝ
R𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐞𝐧 ℝ𝟐
𝑋 = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑥, 𝑦)
𝑡 = 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑣⃗ = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑣 , 𝑣 )
El vector resultante del producto
vectorial es perpendicular a los dos
vectores que lo generan.
Se utiliza también para calcular el vector
Normal a un plano
𝑢 × 𝑣⃗ =
𝑤 = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 (𝑤 , 𝑤 )
Relación entre rectas:
Rectas paralelas:
Sus vectores directores son múltiplos (Fácil de identificar)
𝑦
𝑧
− 𝑧
𝑦
𝚤⃗ −
𝑥
𝑧
− 𝑧
cos 90° = 0
𝑢. 𝑣 = 0
𝚥⃗ +
𝑥
𝑦
𝑢 × 𝑣⃗ = 𝑢 . 𝑣⃗ sin 𝜃
sin 0° = 0
Vectores paralelos
Rectas perpendiculares: el producto escalar
de sus vectores directores es igual a cero
𝑢. 𝑣⃗ = 𝑢 . 𝑣⃗ . cos 𝜃
𝑥
−𝑗
𝑦
𝑦
𝑘
𝑧
𝑧
− 𝑦
*el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo
*no es conmutativo / al conmutarlo cambia el signo de
las coordenadas (sentido opuesto)
Módulo del producto vectorial:
𝑢 = 𝑘 𝑣⃗
Su producto vectorial es igual a cero (Sirve para comprobar)
𝑢 × 𝑣⃗ = 0
𝚤⃗
𝑢 × 𝑣⃗ = 𝑥
𝑥
Vectores perpendiculares
𝑢 × 𝑣⃗ = 0
sin 90° = 1
𝑢 × 𝑣⃗ = 𝑢 . 𝑣⃗
𝑥
𝑘
Origen y extremo del vector
director que fue trasladado
y
2
-2
2
12
x
𝑃4 = 𝜆 −2,3 + 2,2 = 12, −13
𝑃5 = 𝜆 −2,3 + 2,2 = 2, −1
𝑃4 = −2𝜆, 3𝜆 + 2,2 = 12, −13
𝑃5 = −2𝜆, 3𝜆 + 2,2 = 2, −1
𝑃4 = (−2𝜆 + 2, 3𝜆 + 2) = 12, −13
𝑃5 = (−2𝜆 + 2, 3𝜆 + 2) = 2, −1
−2𝜆 + 2 = 12
−2𝜆 + 2 = 2
𝜆 = −5
-13
𝜆𝜇⃗ + 𝑝 = 𝑥, 𝑦
2 + 3𝜆 = −13
𝜆 = −5
Tiene solución:
SI pertenece
𝜆=0
2 + 3𝜆 = −1
𝜆 = −1
No tiene solución:
No pertenece
Origen y extremo del vector
director que fue trasladado
z
Análisis de la ecuación vectorial
𝜆 −1,1,1 + 3, −3, −3 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
−𝜆, 𝜆, 𝜆 + 3, −3, −3 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
−𝜆 + 3, 𝜆 − 3, 𝜆 − 3 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
−𝜆 + 3 = x
-1
1
-1
-2
y
-3
2
3
x
𝜆−3=y
𝜆−3=z
En este caso todos los puntos que pertenecen
a la recta tienen coordenadas “y” y “z”
iguales. X tiene igual valor y signo contrario.
P4 y P5 no cumplen con éste criterio, entonces
NO pertenecen.(Cálculos que lo comprueban
en la siguiente página)
𝑥, 𝑦, 𝑧 =, 𝑃 + 𝜆𝜇⃗
𝑃4 = 3,4,0 = (3, −3, −3) + 𝜆(−1,1,1)
𝑃5 =
𝑃4 = 3,4,0 = (3 − 𝜆, −3 + 𝜆, −3 + 𝜆)
3−𝜆 =3
𝜆=0
−3 + 𝜆 = 4
𝜆=7
𝑃5 =
2 2 2
, ,
= (3, −3, −3) + 𝜆(−1,1,1)
3 3 3
2 2 2
, ,
= (3 − 𝜆, −3 + 𝜆, −3 + 𝜆)
3 3 3
2
2
−3
+
𝜆
=
3−𝜆 =
3
3
NO pertenece
𝜆=
7
3
𝜆=
NO pertenece
11
3
𝜇⃗ = 𝑄 − 𝑃⃗
𝜇⃗ = −1, −3 − 1, −4
El vector director se puede
obtener restando los dos puntos
𝑥, 𝑦 = 𝜆𝜇⃗ + 𝑝
𝜇⃗ = −2,1
𝑥, 𝑦 = 𝜆 −2,1 + 1, −4
Rectas paralelas tienen el mismo vector
director (iguales o múltiplos)
y
7
6
5
4
Rectas perpendiculares tienen vectores
directores perpendiculares (A,B)→(-B,A)
(se invierten las coordenadas y se le
cambia a una de ellas el signo)
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5
x
Obtener la Ecuación vectorial de la recta
a partir de la implícita
Ecuación Implícita
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Despejar x
𝑥=
−𝑏𝑦 + 𝑐
𝑎
−𝑏𝑦 + 𝑐
𝑥, 𝑦 =
,𝑦
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥, 𝑦 = − 𝑦 + , 𝑦 + 0
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥, 𝑦 = − 𝑦, 𝑦 + , 0
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥, 𝑦 = 𝑦 − , 1 + , 0
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥, 𝑦 = 𝑎 𝑦 − , 1 + , 0
𝑎
𝑎
𝑥, 𝑦 = 𝑦 −𝑏, 𝑎 + 𝑐, 0
Puede ser
cualquier
letra como 𝜆
Parámetro: 𝑡 = 𝑦
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Ecuación vectorial
𝑿 = 𝒕 −𝒃, 𝒂 + 𝒄, 𝟎
Puede ser cualquier punto que
pertenezca a la recta
Ecuación vectorial
𝑋 = 𝑡𝑣⃗ + 𝑤
(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝑣 , 𝑣 ) + (𝑤 , 𝑤 )
Distributiva por “t”
(𝑥, 𝑦) = (𝑡𝑣 , 𝑡𝑣 ) + (𝑤 , 𝑤 )
Suma de vectores
(𝑥, 𝑦) = (𝑡𝑣 + 𝑤 , 𝑡𝑣 + 𝑤 )
Separación de términos:
𝑥 = 𝑡𝑣 + 𝑤
𝑦 = 𝑡𝑣 + 𝑤
Ecuación Paramétrica
(no olvidar el corchete)
𝑦−𝑤
𝑥−𝑤
=
𝑣
𝑣
𝑣 𝑥−𝑤
Al despejar “t” de
cada una e igualar:
Ecuación Continua
Producto cruzado
=𝑣 𝑦−𝑤
Distributiva
𝑣 𝑥−𝑣 𝑤 =𝑣 𝑦−𝑣 𝑤
𝑣 𝑥−𝑣 𝑦 =𝑣 𝑤 −𝑣 𝑤
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Ecuación Implícita
Coordenadas del vector normal
(perpendicular a L)
𝑁 = 𝑎, 𝑏 = (𝑣 , −𝑣 )
Opuesto e inverso del 𝑣⃗
R𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐞𝐧 ℝ𝟑
Ecuación vectorial de la recta 𝐿 = 𝑋 ∈ ℝ : 𝑋 = 𝑡𝑣⃗ + 𝑤, 𝑡 ∈ ℝ
(necesitamos un vector director y un punto)
𝑋 = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑡 = 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
Para ir de la ecuación continua a la vectorial:
𝑦−𝑤
𝑥−𝑤
𝑧−𝑤
=
=
𝑣
𝑣
𝑣
𝑣⃗ = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑣 , 𝑣 , 𝑣 )
𝑤 = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 (𝑤 , 𝑤 , 𝑤 )
𝑋 = 𝑡𝑣⃗ + 𝑤
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡(𝑣 , 𝑣 , 𝑣 ) + (𝑤 , 𝑤 , 𝑤 ) Ecuación vectorial
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡(𝑣 , 𝑣 , 𝑣 ) + (𝑤 , 𝑤 , 𝑤 )
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑡𝑣 , 𝑡𝑣 , 𝑡𝑣 ) + (𝑤 , 𝑤 , 𝑤 )
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑡𝑣 + 𝑤 , 𝑡𝑣 + 𝑤 , 𝑡𝑣 + 𝑤 )
𝑥 = 𝑡𝑣 + 𝑤
𝑦 = 𝑡𝑣 + 𝑤
𝑧 = 𝑡𝑣 + 𝑤
Ecuación Paramétrica
(no olvidar el corchete)
𝑦−𝑤
𝑥−𝑤
𝑧−𝑤
=
=
𝑣
𝑣
𝑣
Al despejar “t” de
cada una e igualar:
Ecuación Continua
Para verificar si un punto pertenece a una recta conviene
usar la ecuación paramétrica.
Sustituir x. y. z respectivamente
Despejar el parámetro de cada ecuación
Si t da igual para todas pertenece
Si t da diferente no pertenece
1) Ordenar la
ecuación implícita:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
2) Identificar el
vector Normal:
𝑁 = 𝑎, 𝑏
3) Establecer el
vector director:
𝑢 = −𝑏, 𝑎 ó
𝑢 = 𝑏, −𝑎
4) Identificar o
calcular un
punto de la
recta:
𝑋 ∈ ℝ : 𝑋 = 𝜆𝑢 + 𝑃
𝑖 2𝑥 + 𝑦 = 1
𝑖𝑖 2𝑥 − 3𝑦 = 5
𝑖𝑖𝑖 0𝑥 + 𝑦 = −2
𝑖𝑣) 𝑥 + 0𝑦 =3
𝑁 = 0,1
𝑁 = 1,0
𝑁 = 2,1
𝑁 = 2, −3
𝑢 = −1,2
𝑢 = 3,2
𝑢 = −1,0
𝑢 = 0,1
Dar un valor cualquiera
a “y” y calcular “x”
𝑃 = 1, −2
𝑃 = 3,1
Dar un valor cualquiera
a “x” y calcular “y”
𝑖 𝑦 = −2 𝟑 + 1
𝑦 = −5
𝑃 = 3, −5
𝑋 = 𝜆 −1,2 + (3, −5)
𝑖𝑖 2𝑥 − 3 −𝟏 = 5
𝑥=1
𝑃 = 1, −1
𝑋 = 𝜆 3,2 + (1, −1)
X →Cualquier número
y=-2 (función constante)
𝑋 = 𝜆 −1,0 + (1, −2)
x = 3(Constante)
y→ Cualquier número
𝑋 = 𝜆 0,1 + (3,1)
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 𝐶 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 𝐶 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0
2−3 + 𝐶 = 0
-1 + 𝐶 = 0
𝐶 =1
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
0𝑥 − 2𝑦 + 𝐶 = 0
−2𝑦 + 6 = 0
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
-1𝑥 + 0𝑦 + 𝐶 = 0
0𝑥 − 2𝑦 + 𝐶 = 0
-2(3) + 𝐶 = 0
-6 + 𝐶 = 0
𝐶 =6
-𝑥 + 0𝑦 + 𝐶 = 0
-2 + 𝐶 = 0
𝐶 =2
−𝑥 + 2 = 0
z
x
y
4
El vector director se puede
obtener restando los dos puntos
z
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆𝜇⃗ + 𝑝
3
Cualquiera de los dos puntos
2
𝜇⃗ = 𝑄 − 𝑃
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
y
𝜇⃗ = −1, 3,1 − −2,3,4
-3
2
3
x
𝜇⃗ = 1,0, −3
La coordenada y=0 en el vector director
indica que el plano es paralelo al plano (x,z)
𝑥, 𝑦 = 𝜆 1,0, −3 + −2,3,4
El vector director está sobre el eje z: (0,0,1)
Al graficarlas son una misma recta