Коммерциялық емес
акционерлік қоғам
ҒҰМАРБЕК ДАУКЕЕВ
АТЫНДАҒЫ АЛМАТЫ
ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ
БАЙЛАНЫС
УНИВЕРСИТЕТІ
Математика және
математикалық үлгілеу
кафедрасы
Математикалық физика теңдеулері
6В07111 – «Ғарыштық техника және технологиялар»,
6В07112 – «Ғарыштық инженерия»
білім беру бағдарламалары студенттері үшін есептік-сызба жұмыстарды
орындау бойынша әдістемелік нұсқаулар және тапсырмалар
Алматы 2021
1
ҚҰРАСТЫРУШЫ: А.Қ.Искакова. Математикалық физика теңдеулері.
6В07111 – «Ғарыштық техника және технологиялар», 6В07112 – «Ғарыштық
инженерия» білім беру бағдарламалары студенттері үшін есептік-сызба
жұмыстарды орындау бойынша әдістемелік нұсқаулар және тапсырмалар. Алматы: Ғ.Даукеев атындағы АЭжБУ, 2021. – 36 б.
«Математикалық физика теңдеулері» пәні 6В07111 - «Ғарыштық
техника және технологиялар», 6В07111 - «Ғарыштық инженерия» білім беру
бағдарламалары студенттері үшін тандау бойынша оқитын пән болып
табылады. Пәнді оқуда студенттер екі есептік-сызба жұмысын орындау керек.
Әдістемелік нұсқауда есептік-сызба жұмыстарына тапсырмалар және орындау
мысалдары келтірілген. Қажетті оқулықтардың тізімі берілген.
Кесте – 16, ил. – 3, әдеб. көрсеткіші – 8 атау.
Пікір беруші:
«Ғұмарбек Дәукеев атындағы Алматы энергетика және байланыс
университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2021 ж. баспа
жоспары бойынша басылады.
© «Ғұмарбек Дәукеев атындағы Алматы энергетика және байланыс
университеті» КЕАҚ, 2021 ж.
2
Кіріспе
Жаратылыстану және техникалық ғылымдардың көптеген салаларында
математикалық модельдердің үнемі өсіп келе жатқан рөлі қазіргі инженерден
математиканың бірқатар арнайы бөлімдерін білуді талап етеді.
Математикалық физика теңдеулері осы бөлімдердің бірі болады.
Әдістемелік
нұсқау
"Векторлық
аналіз
элементтері"
және
"Математикалық физика теңдеулері" бөлімдері бойынша "Математикалық
физика теңдеулері" пәнінің екі есептік–сызба жұмыстары бойынша
тапсырмаларды қамтиды. Әр бөлім бойынша теориялық сұрақтар,
тапсырмалар және типтік нұсқаны шешудің мысалдары келтірілген.
Есепті шығару алдында сәйкес теориялық материалмен танысып,
берілген мысалды қарастырған жөн. Есептік-сызба жұмысы қолымен анық
жазылып жұқа дәптерінде орындалады. Әр есепте оның атауы, берілгені,
орындау бойынша түсіндірме, қажет болса графикалық тұрғызулар және
жауабы немесе қорытындысы болу керек. Тапсырмалардың шешімдері толық
болуы тиiс.
Әр студенттің жеке нұсқасы оқу тобының тізімі бойынша анықталады.
№1 есептік-сызба жұмысы. Векторлық аналіз элементтері
Теориялық сұрақтар
1. Скаляр аргументтің векторлық функциясы. Скаляр өріс.
2. Тұрақты бағытты вектордың туындысы.
3. Скаляр өрістін градиенті.
4. Векторлық өріс. Беттен өтетін вектор өрісінің ағыны.
5. Векторлық өріс және оның дивергенциясы (таралымы).
6. Вектор-функцияның қисық сызықты интегралы.
7. Векторлық өрістің циркуляциясы (шыр айналасы). Вектор өрісінің
нүктедегі циркуляциясын есептеу.
8. Векторлық өрістің роторы (құйыны).
9. Стокс теоремасы мен формуласы.
10. Потенциалды векторлық өріс. Соленоидалды өріс. Гармониялық
өріс.
Тапсырмалар
функциясы және
1-тапсырма.
берілген. Осы функцияны
нүктесінде
бойынша туындысын есептеңіз.
№
1.1
1.2
u (M )
x2 y + y2 z + z 2 x
5xy 3 z 2
нүктелері
векторының бағыты
M1
M2
(1,-1,2)
(2,1,-1)
(3,4,-1)
(4,-3,0)
3
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
(
ln x 2 + y 2 + z 2
)
z  e x + y +z
ln (xy + yz + xz )
2
2
2
1+ x2 + y2 + z2
x 2 y + xz 2 − 2
xe y + ye x − z 2
3xy 2 + z 2 − xyz
5x 2 yz + xy 2 z + yz 2
x
2
x + y2 + z2
y 2 z − 2 xyz + z 2
x 2 + y 2 + z 2 − 2 xyz
(
)
ln 1 + x + y 2 + z 2
x + 2 y − 4z − 5
2
2
2
(
)
ln x 3 + y 3 + z + 1
x − 2y + e
x
x 4 − 3xyz
3x 2 y 3 z
e xy+ z
x yz
(x
2
2
+ y2 + z2
(x + y )z
)
3
x y + y z − 3z
10
2
x + y2 + z2 +1
2
2
(-1,2,1)
(0,0,0)
(-2,3,-1)
(1,1,1)
(3,1,-1)
(3,-4,2)
(2,1,-3)
(3,2,1)
(1,1,1)
(3,0,-2)
(1,2,2)
(1,1,1)
(2,-1,3)
(4,1,3)
(3,-1,4)
(9,-3,9)
(1,2,2)
(-3,2,-1)
(3,1,-1)
(1,-1,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
(1,3,0)
(-4,-5,0)
(2,2,-4)
(-2,-3,1)
(-5,0,2)
(3,1,4)
(1,2,-1)
(-2,1,4)
(5,-1,4)
(3,-5,1)
(-3,-2,6)
(-4,1,3)
(2,3,4)
(1,0,-3)
(5,-2,0)
(2,4,-3)
(1,-1,-1)
(0,-1,3)
(1,5,0)
(0,-2,-1)
(3,7,-2)
(12,-5,0)
(-1,2,-2)
(2,0,1)
2-тапсырма.
функциясының
нүктесіндегі ең үлкен өзгерісінің бағыты мен шамасын табыңыз.
№
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
u ( x, y , z )
xyz + 3xy − 5 yz
2
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
2
(0,1,-2)
(2,0,2)
(1,-1,0)
(3,0,1)
(-1,0,3)
(2,1,0)
(0,1,1)
(0,-2,1)
x yz − 2 xyz + 3xy z
2
2
2
2 x 2 y 2 z − xyz 3 + x 2 yz 2
x 2 ( y + z ) − yz 2 + 2 xyz
(xy − yz )z 2 + xy 2 z
2 xy 2 − 3xyz + 2 xz 2
( y + z )xyz − (x + y − z )yz 2
3xyz 2 − 4 xy 2 z + x 2 y 2
4
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
− x 2 y + 2 xyz − 3xz 2
xyz − z + 2xy
3
(0,1,2)
(-1,0,1)
(1,2,0)
(-3,1,0)
(1,0,4)
(0,-1,2)
(-1,0,1)
(2,1,0)
(0,1,1)
(-1,1,0)
(2,1,0)
(-1,0,1)
(0,2,-1)
(1,2,0)
(1,1,1)
(-2,0,1)
(1,-1,0)
2
zx( y − x ) − 2 xyz + z 3
(
)
x y 2 + z 2 + 3xyz − z 3
( y + z )x − 2xy 2 + xyz
xy(z − y ) − 2 x 3 + 3xy 2
(x + y )zx 2 + 2xy 2 z − xyz 2
xy 2 − z + xyz(z − x )
(x + y )z 2 + x(y 2 + z 2 )
2
x − yz _ xyz − xz 2
x3 y + y3 z + z 3 x
xy 2 + yz 2 − zx 2
xyz − x 2 y − 2xy 2
(x − z )y 2 + ( y − x)z 2
xy 2 z + x 2 yz + xyz 2
(x − yz)x 2 − 2xyz 2
(x + y )z 2 + ( y + z )x 2
3-тапсырма. (р) жазықтығының бірінші октантта орналасқан бөлігі
арқылы өтетін
векторлық өрістің ағынын есептеу керек (жазықтықтың
нормалі Oz өсімен сүйір бұрыш жасайды).
a(M )
№
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
(р)
xi + yj + zk
x + y + z =1
yj + zk
x + y + z =1
2 xi + yj + zk
x + y + z =1
xi + 3 yj + 2 zk
2 xi + 3 yj
x + y + z =1
xi + yj + zk
x + 2 y + 2z = 2
xi + 2 yj + zk
x + 2 y + 2z = 2
yj + 3zk
x + 2 y + 2z = 2
xi + yj + zk
6x + 3 y + 2z = 6
2 xi + yj + zk
6x + 3 y + 2z = 6
3 xi + 2 zk
2 xi + 3 yj + zk
6x + 3 y + 2z = 6
2 x + 6 y + 3z = 6
xi + 3 yj − zk
2 x + 6 y + 3z = 6
− 2 xi + yj + 4 zk
2 x + 6 y + 3z = 6
xi − yj + 6 zk
3x + 2 y + 6 z = 6
x + y + z =1
5
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
2 xi + 5 yj + 5zk
3x + 2 y + 6 z = 6
xi + yj + zk
4x + y + 2z = 2
2 xi + yj − 2 zk
4x + y + 2z = 2
xi + yj + 2 zk
4x + y + 2z = 2
− xi + yj + 12zk
4x + y + 2z = 2
xi + 3 yj + 8zk
2x + 4 y + z = 2
xi − yj + 6 zk
2x + 4 y + z = 2
xi + 2 yj + 5zk
2x + 4 y + z = 2
xi + 4 yj + 5zk
2x + 4 y + z = 2
xi + yj + zk
2x + 3y + z = 1
4-тапсырма. Остроградский-Гаусс формуласының көмегімен (р)
жазықтығы мен координаттар жазықтықтары қиылысуы нәтижесінде пайда
болған пирамиданың сыртқы беті арқылы өтетін
векторлық өрісінің
ағынын есептеу керек.
№
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
a(M )
(x + cos zy)i + 2 yj + (3z − e x )k
(2x + e y )i − (y + x z ) j + (4z + xy)k
(x − e zy )i + (x z+1 + 2 y ) j − (z + x)k
(3x − sin y 2 )i + (2 y − z x ) j + (z − tgx)k
(2x + cos yz )i − ( y − tgz) j + 2zk
(x − arcsin y )i + (2 y + sin z ) j − (z + e x )k
(4x + sin y z )i − (2 y − ctgxz) j − (z + xy)k
(2x − ln yz )i + ( y + cos x) j − (2z + x y )k
(x + tgy)i + (2 y + e x ) j − (z − ln x)k
(3x − e yz )i − (2 y + cos z ) j + (z − sin y )k
(2x + ln( y + 1))i + (2 y − cos z x ) j + (3 − 2z )k
(thz + x)i − (sin x + y ) j + (2z − y )k
(ln yz + 2x)i + (cos z + y ) j + (y x − z )k
(3x − ln y )i + (e x − 2 y ) j + (z − x ln y )k
(tgz − x)i + (e xz + 3 y ) j + (sin x − z )k
(x + ye z )i + (x ln x − y ) j + (2z + e x )k
(arcsin y − 2x)i + (3 y + sin z ) j + (z + 1)k
(e yz + 3x)i − (2 y + cos zx) j + (tgx + z )k
(x − y ln z )i − (3sin x − 2 y ) j + (e x − z )k
(ye z − 2x)i + (3 y − sin z ) j + (tgxy + z )k
(e z + x)i − (x ln z − 2 y ) j + (z − sin x)k
6
(р)
x + y + 2z = 4
x + 2y + z = 6
2x + 3y + z = 6
− x + 2 y + 3z = 6
x + 2 y + 2z = 4
x + y + z =1
− x + y + 3z = 3
3x + y + z = 6
2x + y + z = 4
x − y + 2z = 4
− 2x + 3y + z = 6
x + y − z =1
x + 2 y − 3z = 6
2x − y − z = 4
x + y − 2z = 2
− x + y + 2z = 3
x + y + 3z = 6
3x − 2 y + z = 6
2x + 2 y − z = 4
− 3x + 2 y − z = 6
2x − 2 y + z = 4
4.22
4.23
4.24
4.25
(ln z + 2x)i + (e x − y ) j + (tgy + z )k
(e y + 2x)i − (x ln z + 2 y ) j + (z + x cos y )k
(arctgy + 3x)i − (2 y + e x ) j + (z − tgx)k
(2 x − y ln z )i + (2 y − e x ) j + (z − cos x)k
x + 2y + z = 4
x − 2 y + 3z = 6
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
a(M )
№



x 2 i − xy 2 j + z 2 k




xyi + yzj + xzj + xzk



xy 2 i + yz 2 j − x 2 k

 
xzi + zj + yzk



xyi + xyzj − xk



yzi − z 2 j + xyzk



y 2 i − xyj + z 2 k



xzi − xyzj + x 2 zk



xyi − y 2 zj − xzk

 
xzi − yj − zyk



y 2 i − xy 2 j + z 2 k




xyi − xy 2 j − xy 2 j + z 2 k


(x + y )i + yzj + xzk
(0,1,-2)
(2,0,3)
(1,-2,0)
(3,0,1)
(-1,0,3)
(2,1,-1)
(-2,1,1)
(0,1,1)
(0,-2,1)
(0,1,2)
(-1,2,1)
(1,-1,1)
(2,1,0)
(4,0,1)
(-3,0,2)
(1,0,4)
(0,-1,4)
(2,2,2)
(4,1,-3)
(-4,1,0)
(3,0,1)
(1,3,0)
(1,-2,1)
(0,0,1)
(1,1,-2)
xyi − ( y + z ) j + xzk
xi − zyj + x 2 zk
(x + y )i + yzj − x k
2
− 2 x + y + 3z = 6
векторлық
нүктесіндегі ең үлкен тығыздығын табу
5-тапсырма.
өрісі циркуляциясының
керек.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
x − y + 3z = 3
2
xzi − yj + yzk
xyi − xj + yzk
(x + y )i + xyzj − xk
(x − y )i + yzj − yk
( y − z )i − z 2 j + xyzk
yzi − z 2 j + (x + y )zk
z 2 i − xzj + z 2 k
xyi + (x − z ) j + ( y − x )k
xzi + (x − y ) j + x 2 zk
7
6-тапсырма. Стокс формуласының көмегімен (р) жазықтығының
координаттар жазықтығымен қиылысуы нәтижесінде пайда болған үшбұрыш
контуры бойынша өтетін
векторлық өрісінің циркуляциясын есептеңіз
(оң бағыт жазықтықтың сыртқы нормалі бойынша). Сызбасын салыңыз.
a(M )
№
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
(р)
(2x − 3 y )i + (x + 4 y ) j − 6zk
x + 2y − z = 2
3xi − y 2 zj + yz 2 k
x − y + 3z = 3
(4x + z )i + (2z − y ) j + (3x + 2 y )k
x − 2y + z = 4
− x 2 yi + xy 2 j + 3z 2 k
(3 y − 2 z ) j
x + 2y + z = 2
− 3x yi + 3xy j + z k
x + 2y − z = 2
2
2
x + y − 2z = 4
3
(2 y − x)i + (2x + 5 y ) j + (4 y − 3z )k
x− y+z =2
− x zi + 3 yj + xz k
2x − y + 2z = 4
2
2
(5x + 2 y )i + (2x + 3 y ) j + (z + 2 y )k
4 x 2 yi − 4 xy 2 j + (5z + 3)k
(x − 3z )i + 4 yj + (2 x + z )k
2x − 3 y + 2z = 6
x 2 zi + 3 yj − xz 2 k
x + 2y + z = 2
x − y − z =1
2x + y + z = 4
(x − 3 y )i + (2x − y ) j + 4zk
x + 3y − z = 3
− 3x 2 yi + 3xy 2 j + 2 zk
2 x + y + 3z = 6
(4x − 1)i + (2 y + z ) j(5 y − z )k
(x + 2 y )i + (2x + y ) j + (2 y + z )k
(x − 2z )i + 3 yj + (2x + 3z )k
(3x + 5)i + ( y − 2z ) j + (2 y + z )k
3 yi + (2 y + 3z ) j + (3 y − 2 z )k
(2x − 3z )i + 5 yj + (x + 2z )k
(5x − 3)i + (2 y − 3z ) j + (3 y + 2 z )k
(x − 2 y )i + (3 y + 2z ) j + (2 y − 5z )k
(x + 2z )i + ( y + 4z ) j + (4 y − 3z )k
(x + 4z )i + ( y + 2z ) j + (4x + 3z )k
(x − 2 y )i + (3z + 2 y ) j + (3 y − 4z )k
4x + y + 2z = 4
x − 2y + z = 4
x − 2 y + 3z = 6
− 2x + y + 2z = 4
x − 2 y − 2z = 2
x − y + 2z = 2
x + 2y + z = 6
x + y − 2z = 4
x + 2 y − 3z = 6
− 2x + y + z = 4
x + y + 3z = 3
7-тапсырма. Берілген a ( M ) = P ( М ) i + Q ( М ) j + R ( М ) k векторлық
өрісі соленоидалды, потенциалды немесе гармониялық болатынын анықтаныз.
a(M )
№
7.1
7.2
( −  )xi + ( −  )yj + ( −  )zk
x 2 yi − 2 xy 2 j + 2 xyzk
8
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.18
7.17
7.19
7.20
7.21
7.22
7.23
7.24
7.25
( yz − 2x)i + (xz + 2 y ) j + xyk
(x
2
)
(
)
− z 2 i − 3xyj + y 2 + z 2 k
2 xyzi − y( yz + 1) j + zk
(2 x − 3 y )i + 2 xyj − z 2 k
(x
2
) (
) (
)
− y2 i + y2 − z 2 j + z 2 − x2 k
yzi + (x − y ) j + z k
2
( y + z )i + (x + z ) j + (x + y )k
3x 2 yi − 2 xy 2 j − 2 xyzk
(x + y )i − 2( y + z ) j + (z − x)k
( yz − 2x)i + (xz + zy) j + xyk
yzi + xzj + xyk
(
)
6 xyi + 3x 2 − 2 y j + zk
(2x − yz )i + (2x − xy) j + yzk
( y − z )i + 3xyzj + (z − x)k
( y − z )i + (x + z ) j + (x 2 − y 2 )k
(x + y )i − 2xzj − 3( y + z )k
z 2 i + (xz + y ) j + x 2 yk
xy(3x − 4 y )i + x 2 (x − 4 y ) j + 3z 2 k
6 x 2 i + 3 cos(3x + 2 z ) j + cos(3 y + 2 z )k
(x + y )i + (z − y ) j + 2(x + z )k
3(x − z )i + (x 2 − y 2 ) j + 3zk
(2x − yz )i + (xz − 2 y ) j + 2xyzk
3x 2 i + 4(x − y ) j + (x − z )k
векторлық өрісінің
8-тапсырма.
параметрлік түрде
берілген L қисығы бойынша жұмысын есептеу керек.
№
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
(x
2
)
x(t )
a(M )
+ 2 i + ( y + 1) j − zk
(x − y )i − (z + x ) j + xyk
− (z + x 2 )i + ( y − 2) j − xyzk
(z 2 − 1)i − (xy − z ) j + x 2 k
(xy + 2)i + ( yz − x) j − z 2 k
− xi + (xyz − 1) j + (z + x )k
(y 2 +1)i − (xy + z ) j − zk
(xyz − 1)i + (x + 2) j − xyk
2
2t
t2
3
2
t2
t
t +1
3
t +1
2 t2
4t
5
9
z (t )
y (t )
t−4
t2
1
2
t2 +1
t −1
3t
4
t2
2
3t − 1
t3
t
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21
8.22
8.23
8.24
8.25
(z − x)i − (y + z 2 ) j − zk
(− y + zx)i + (x + 2) j − z 3 k
(x
) (
t+4
2
t −1
)
+ 1 i − x − z j + xyk
2
2
( yz − 1)i + xyzj − (z − 1)k
(xy − 1)i + xyj + (z 2 + 1)k
z 2 xi − (xy + 1) j − x 2 k
xzi − xyj + (z + 1)k
(z + 2)i + (z − 3) j + xyk
(x + y + z )i − xyj + (z 3 + 1)k
( y − z )i + xzj − (z − 1)k
(z − x)i − (y + z 2 ) j + x 2 k
yzi + (x + yz ) j − y 2 k
xyzi + (x + 1) j − zxk
(z
)
5
3t
t +1
2
t −1
2
t -1
4
t+2
t2
2
t -1
3t − 1
t +1
2
2t
5
2t + 2
2t
t +1
− 4 i − xzj + xy k
2
1
t 2 -1
2
(x − 1)i − xy j + xyzk
( y + zx)i − yzj + (x 2 + 1)k
(x + zy)i + ( y + 1) j − zxk
2
2
t 3 −1
2t 2 − 1
3t
t3
4 t2
2
t3
2
t −1
2t
t2
7
t−2
1
3
3t 2 − 1
t +1
t 2 -1
3t 2
2
3t − 2
2
t2
3
2
t +1
t −1
t2
2
9-тапсырма. a ( M ) векторлық өрісі потенциалды екенін көрсетіп, сол
өрістің потенциалын табу керек.
№
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.16
a(M )
(
)
(3x − 2xy + y )i + (x − x − 3 y − 4 y ) j
(3x − 2xy + y )i + (2xy − x − 3 y ) j
3x 2 e y i + x 3 e y − 1 j
2
2
2
2
2
(2xe
2
2
) (
x2 − y2
(20x
2
− sin x i + sin y − 2 ye x
) (
2
− y2
)j
)
− 21x 2 y + 2 y i + 3 + 2 x − 7 x 3 j
( y − sin x)i + (x − 2 y cos y
2
)j
(5 y + cos x + 6xy )i + (5x + 6x y ) j
(e − cos x)i + (e + sin y ) j
(2x − 3 y + 1)i + (2 − 6xy) j
(x − 2 y )i + (y − 2x) j
(3x + 6x y + 3xy )i + (2x + 3x y ) j
xy i + y(x + y ) j
2(3xy + 2 x )i + 3(2 x y + y ) j
(x − 4xy − 2 y )i + (y − 4xy − 2x ) j
(cos(x + y ) + sin x)i + 2 y cos(x + y ) j
(5xy − x )i + (5x y − y ) j
2
x+ y
2
x+ y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
2
10
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
(
)
xe y i + x 2 ye y + tg 2 y j
2
(y
3
2
) (
)
+ cos x i + 3xy + e y j
(
2
)
e y i + cos y + xe y j
(3x + 4 y )i + (8xy + e ) j
(y + y sec x)i + (2xy + tgx) j
(3x y + 2 y + 3)i + (x + 2x + 3 y ) j
2
2
2
y
2
2
3
2
(sin 2 x − 2 cos(x + y ))i − 2 cos(x + y ) j
y  
1

 2 x − 1 − 2 i −  2 y −  j
x
x  

2
 1 3y  2 y
 2 + 4 i − 3 j
x  x
x
Типтік нүсқаларды шешу
функциясы
және
нүктелері берілген. Осы функцияның
нүктесінде
1-тапсырма.
векторының бағыты бойынша туындысын есептеңіз. Осы
бағыттағы өрістің өзгеру сипатын анықтаңыз.
Шешуі.
скаляр өрісінің
нүктесінде
векторының бағыты бойынша туындысы келесі формула арқылы есептеледі:
,
(1.1)
мұндағы
- дегеніміз
векторының бағыттаушы
косинустары, олар бірлік векторының координаталары болып табылады да
келесі формулалар арқылы есептеледі:
;
;
.
векторының координаталары мен модулін табайық:
,
11
,
онда
векторының бағыттаушы косинустары:
.
функциясының
нүктесіндегі дербес туындыларын
табамыз:
,
,
Оларды (1.1) қойып, аламыз:
.
, сондықтан
скаляр өрісі берілген бағыт бойынша
кеміді.
Жауабы:
және
скаляр өрісі берілген бағыт бойынша
кеміді.
2-тапсырма.
скаляр өрісінің
нүктесіндегі ең үлкен өзгерісінің бағыты мен шамасын табыңыз. Қандай
нүктелерде градиент ОХ осіне перпендикуляр екенін анықтаңыз.
Шешуі. Скаляр өрісінің
нүктесіндегі ең үлкен өзгерісінің
бағыты градиент болып табылады да келесі формула бойынша есептеледі:
.
Дербес туындыларын табамыз:
,
12
(1.2)
,
Онда (1.2) формула бойынша скаляр өрісінің
ең үлкен өзгерісінің бағыты (градиенті):
нүктесіндегі
.
Ал ең үлкен өзгерісінің шамасы градиент модуліне тең:
.
Егер вектор Ох осіне перпендікуляр болса, онда оның х бойынша
координатасы нолге тең, яғни
. Сонда
кеністігіне тиісті
барлық М нүктелері үшін
перпендікуляр Ох осіне болады.
Жауабы: берілген скаляр өрісі үшін
үлкен өзгерісінің бағыты,
өзгерісінің шамасы.
- ең
- ең үлкен
3-тапсырма. Барлық үш координаталық жазықтықтарға проекциялау
әдісімен ағынды есептеу. (р):
жазықтығының координаттық
жазықтықтармен киылысқанда алынатын үшбұрыш арқылы өтетін
векторлық өрістің ағынын есептеу керек (жазықтықтың нормалі Oz өсімен
сүйір бұрыш жасайды). Сызба салыңыз.
Шешуі. Айталық S жазықтығы барлық үш координаталық
жазықтықтарға бірмәнді проекциялансын. Проекцияларды
деп
белгілейміз, онда оның теңдеуінің әр аргумент бойынша бірмәнді шешімі бар.
Егер бұл шешімдер мына функциялар болса
,
онда вектор өрісінің ағыны
келесі формуламен есептеледі:
13
.
Соңғы формуладағы әр қос интегралдың
бағыттаушы косинус таңбасындай алынады.
Мұнда
(1.3)
таңбасы
сәйкесінше
Сызбада S(∆MNP) деп векторлық
өрісінің
ағыны
есептелетін
жазықтықтың бөлігі белгіленген,
мүндағы
- үшбұрыш төбелерінің
координаталары,
- Sтің координаталар жазықтықтарына
проекциялары.
Есеп шарты бойынша нормальдің бағыттаушы косинустарының үшеуде
оң. Себебі
жазықтыққа жүргізілген нормальдің бірлік
векторының координаталары
сондықтан интегралдар плюс таңбаларымен алынады:
14
Жауабы:
.
4-тапсырма. Остроградский-Гаусс формуласының көмегімен, (р):
жазықтығы мен координаттар жазықтықтары қиылысуы
нәтижесінде пайда болған пирамиданың сыртқы беті арқылы өтетін
векторлық өрісінің ағынын есептеу
керек. Сызба сызу керек.
Шешуі. Пирамида түйық кеңістік болғандықтан Остроградский
формуласын қолданамыз:
Сызбада
- нүктелері пирамида
координаталары.
Дербес туындыларды табамыз:
Онда
интеграл
тікбұрышты
ABCO
пирамиданың
көлемі
болғандықтан, элементар математикадан белгілі формуланы қолданып,
аламыз:
15
Жауабы:
.
5-тапсырма.
векторлық
өрісі
циркуляциясының M0(1;1;1) нүктесіндегі ең үлкен тығыздығын табу керек.
Шешуі.
векторлық өрісінің M0(1;1;1) нүктесіндегі ең үлкен
тығыздығы ротор бағытында анықталады және оның модуліне тең:
,
.
Жауабы:
және ең үлкен тығыздығы 2 тең.
6-тапсырма. Стокс формуласының көмегімен
жазықтығының координаттар жазықтығымен қиылысуы нәтижесінде пайда
болған үшбұрыш контуры бойынша өтетін
векторлық өрісінің циркуляциясын есептеңіз (оң бағыт жазықтықтың сыртқы
нормалі бойынша). Сызбасын салыңыз.
Шешуі. Стокс формуласы (векторлық жазылуы):
,
мұнда
және
- екінші текті беттік интеграл,
векторларының скаляр көбейтіндісі.
16
- дегеніміз
Сызбаны
салу
үшін
Р
жазықтығының теңдеуін кесінділік
түрде жазамыз:
.
Р жазықтығы координаталар
осьтерін
нүктелерде киып өтеді.
Енді роторды есептейміз:
Анықтама бойынша
, осыдан
Жауабы: Ц = 9.
7-тапсырма. Берілген векторлық өрісі соленоидалды, потенциалды
немесе гармоникалық болатынын анықтау керек
.
Шешуі.
Егер векторлық
өрісінің әр нүктесінде дивергенция нолге тең
болса
, онда өріс соленоидалды деп аталады.
Егер векторлық
өрісінің әр нүктесінде ротор нолге тең болса
, онда өріс потенциалды деп аталады.
17
Егер өріс соленоидалды
гармониялық өріс деп аталады.
және
потенциалды
болса,
өріс
онда
өріс
соленоидалды
болатының тексереміз:

яғни
өрісі
соленоидалды емес.
Өріс потенциалды болатының тексереміз:
.
Ротор нолге тең, яғни өріс потенциалды.
Жауабы:
өрісі потенциалды, бірақ соленоидалды емес, яғни
берілген өріс гармониялық емес.
8-тапсырма.
векторлық өрісінің параметрлік түрде берілген L
қисығы бойынша жұмысын есептеу керек
,
Шешуі. Векторлық өрісінің параметрлік түрде берілген L қисығы
бойынша А жұмысын екінші текті кисықсызықты интегралды қолданып
есептеәміз:
.
Онда
18
Жауабы:
.
9-тапсырма. a ( M ) векторлық өрісі потенциалды екенін көрсетіп, сол
өрістің потенциалын табу керек
.
Шешуі. Анықтама бойынша векторлық өрісінің әр нүктесінде роторы
нолге тең болса, онда өріс потенциалды. Роторды есептейміз:
.
Роторы нолге тең, яғни берілген өріс потенциалды. Енді
потенциалын келесі формула арқылы табамыз:
Бастапқы
Сонымен,
нүктені
деп таңдаймыз, онда
берілген өрістің потенциалы. Шыны-
мен,
19
№2 есептік-сызба жұмысы. Математикалық физика теңдеулері
Теориялық сұрақтар.
1. Математикалық физика теориясының негізгі ұғымдары: дербес
туындылы дифференциалдық теңдеулер, оның шешімі, сызықтық
дифференциалдық теңдеу, квазисызықтық дифференциалдық теңдеу.
2. Математикалық физика теңдеулеріне келтіретің физикалық есептер:
тербеліс теңдеуі.
3. Математикалық физика теңдеулеріне келтіретің физикалық есептер:
жылу өткізгіштік, Лаплас теңдеулері.
4. Есептердің қойылуы: тербелістің, жылу өткізгіштіктің теңдеулері
үшін.
5. Математикалық физиканың шеттік есептерінің типтері: Дирихле,
Нейман, аралас.
6. Екінші ретті сызықты дербес туындылы теңдеулерді топтастыру:
гиперболалық, параболалық, эллипстік теңдеулер.
7. Теңдеулердің гиперболалық, параболалық, эллипстік болу шарттары
8. Математикалық физика теңдеулерінің характеристикалары.
9. Математикалық физика теңдеулерің канондық түрге келтіру.
10.
Дифференциалдық
теңдеудің
жалпы
шешімін
табу
характеристикалар әдісі
11. Математикалық физика теңдеулерін аналитикалық әдістермен шешу:
Даламбер формуласы.
12. Толқын теңдеуі үшін шеттік есептерді Фурье әдісімен шешу: еркін
тербелісі.
13. Гармониялық функция анықтамасы. Дирихле есебі. Дөнгелек үшін
Лаплас теңдеуіне қойылған Дирихле есебін Фурье әдісімен шешу. Пуассон
интегралы.
14. Жылу өткізгіштік теңдеуі үшін Фурье әдісі.
1 тапсырма. u(x,y,z) функциясы дербес туындылы теңдеуінің шешімі
болатының тексеріңіз.
№
1.1
Теңдеу
u(x,y,z)
1.2
1.3
1.4
20
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
21
1.22
1.23
1.24
1.25
2 тапсырма.
сының градиентін есептеңіз.
нүктесіндегі
функция-
№
2.1
2.2
2.3
2.4
№
(1,-1,2) 2.14
(2,1,-1) 2.15
(-1,2,1) 2.16
(0,0,0) 2.17
2.5
2.18
(2,2,-4)
2.6
(-2,3,1)
(1,1,1)
2.19
(-2,-3,1)
2.7
(1,1,1)
2.20
(-5,0,2)
2.8
2.9
2.10
2.11
(3,0,-2)
(1,2,2)
(1,1,1)
(1,2,2)
2.21
2.22
2.23
2.24
(3,1,4)
(1,2,-1)
(1,5,0)
(0,-2,-1)
2.12
(3,1,-1) 2.25
(-1,2,-2)
2.13
(1,-1,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
(1,3,0)
(-4,-5,0)
3 тапсырма. Теңдеудің сипаттамаларын тауып, теңдеуді канондық
түріне келтіріңіз.
№
3.1
Теңдеу
22
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
23
4 тапсырма. Коши есебін шешіңіз
№
4.1
Коши есебі
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
24
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
5 тапсырма. Сипаттамалар (Даламбер) тәсілімен бастапқы шарттарды
қанағаттандыратың толқындық теңдеуінің
шешімін табыңыз.
№
5.1
Тапсырма
№
5.14
5.2
5.15
5.3
5.16
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.10
5.11
5.12
5.13
5.23
5.24
5.25
25
Тапсырма
6 тапсырма. Бастапқы және шекаралық шарттарды қанағаттандыратың
жылуөткізгіштік теңдеуін Фурье әдісімен
шешіңіз.
№
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
Тапсырма
26
7 тапсырма.
және шек арасында
дөнгелек болғанда
№
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
– полярлық координаталар)
функциясы
мәнін қабылдайтың
Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебін шешіңіз.
Тапсырма
(
№
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
7.21
7.22
7.23
7.24
7.25
Тапсырма
Типтік нүсқаны шешу
1 тапсырма.
теңдеуінің шешімі болатының тексеріңіз
функциясы дербес туындылы
.
Шешуі. Дербес туыдыларын табамыз:
27
Табылған екінші ретті дербес туындыларды берілген теңдеудің сол
жағына койып
аламыз:
Тепе теңдік орнатылмайды:
Жауабы.
болмайды.
функциясы берілген теңдеудің шешімі
2 тапсырма.
нүктесіндегі градиентін есептеңіз.
Шешуі.
функциясының
келесі формула арқылы есептеледі:
функциясының
нүктесіндегі градиенті
.
x,y,z айнымалылары бойынша бірінші ретті дербес туындыларының
нүктесіндегі мәндерін табамыз:
,
,
.
Онда градиент:
.
Жауабы:
.
28
3 тапсырма. Теңдеудің сипаттамаларын тауып, теңдеуді канондық
түріне келтіріңіз
Шешуі. Есеп шарты бойынша
Яғни берілген теңдеу - гиперболалық типті теңдеу. Сипаттамалық
теңдеуін жазайық:
немесе
Екі дифференциалдық теңдеу аламыз:
және
Бұлар айнымалылары ажыратылатың дифференциалдық теңдеулер.
Оларды шешеміз:
бұдан
осыдан
Онда
и
- екі сипаттамалар әулетінің теңдеулері. Жаңа
айнымалыларды еңгіземіз
Келесі формулалар арқылы ескі
айнымалылар бойынша алынған дербес туындыларды жаңа айнымалылар
бойынша жазамыз:
.
Онда аламыз:
Жаңа айнымалылар бойынша екінші ретті дербес туындыларын
табамыз:
29
Алынған екінші ретті дербес туындыларды берілген теңдеуге қоямыз:
Бұдан
.
Сонымен аламыз:
Жауабы.
берілген теңдеудің канондық түрі.
30
4 тапсырма. Коши есебін шешіңіз:
Шешуі. Берілген теңдеу – гиперболалық типті, себебі
.
Жаңа
түріне келтіреміз:
айнымалыларды еңгізіп, теңдеуді канондық
Бұл теңдеудің жалпы шешімі:
Бастапқы шарттарды қолданамыз:
Сонда теңдеулер жүйесін аламыз:
.
Жүйенін екінші теңдеуін интегралдаймыз:
Онда
Бұдан
Сонда
31
Сонымен, Коши есебінің шешімі:
Жауабы.
функциясы
шарттарды қанағаттандыратың берілген теңдеудің шешімі.
бастапқы
5 тапсырма. Сипаттамалар (Даламбер) тәсілімен бастапқы шарттарды
қанағаттандыратың толқындық теңдеуінің шешімін табыңыз
.
Шешуі. Сипаттамалар (Даламбер) тәсілімен анықталатың толқындық
теңдеуінің шешімін келесі түрде ідейміз:
Мұнда
Онда
яғни
.
Жауабы.
теңдеуінің шешімі.
- сипаттамалар тәсілімен анықталатың толқындық
6 тапсырма. Бастапқы және шекаралық шарттарды қанағаттандыратың
жылуөткізгіштік теңдеуін Фурье әдісімен шешіңіз
Шешуі. Жылуөткізгіштік теңдеуінің Фурье әдісімен шешуі келесі түрде
ізделінеді:
32
мұндағы
–
берілген
шекаралық
шарттарды
қанағаттандыратың Штурм–Лиувилль есебінің меншікті функциялары;
,
- Штурм–Лиувилль есебінің меншікті
сандары,
– бастапқы шарттар бойынша анықталатың коэффициенттер.
Сонымен
жылуөткізгіштік теңдеуі үшін аралас есебінің
шешімі келесі түрде анықталады:
Бастапқы шартты қолданып, аламыз:
Берілген аралас есебінің Фурье қатарына жіктелуі бастапқы шарттың
Фурье қатарына жіктелуінен айрмашылығы тек келесі көбейткіште екенін
байқаймыз:
Есеп шарты бойынша
сонымен қатар бастапқы шарттын бірінші
қосылғышы үшін
, ал бірінші қосылғышы үшін
болады, онда
есеп шешімі:
Жауабы:
7 тапсырма.
және шек арасында
дөнгелек болғанда
– полярлық координаталар)
функциясы
мәнін қабылдайтын
Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебін шешіңіз.
(
33
Шешуі. Фурье әдісі бойынша шешімін келесі түрде ңздейміз:
,
мұндағы
–
коэффициеттер.
Белгілеу еңгіземіз
аламыз:
шекаралық
шарттар
. Егер
арқылы
анықталатын
болса, онда соңғыдан
.
Яғни
функцияның Фурье қатарына жіктелуі
функцияның Фурье қатарына жіктелуінен
көбейткішінде ғана
айырмашылығы бар.
Сондықтан функцияның ыдырауының тиісті мүшелері бар факторларды
қосу керек
Сондықтан дөнгелектегі
Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебінің
шешімін алу үшін
көбейткішін
функциясының сәйкес
жіктеу мүшелеріне қосу керек. Есептің берілуі бойынша шекаралық шарты:
онда Дирихле есебінің шешімі:
.
Жауабы:
34
Әдебиет
1. Сыздықова З., Ибатов А. Математикалық физика теңдеулері:
математика, техникалық ғылымдар және технологиялар бағытындағы
мамандықтарға арналған оқулық / -Астана: Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ, 2011
–315 б.
http://repository.enu.kz/bitstream/handle/123456789/2826/25.11.2010-1-3-tarau.pdf
2. Бижігітов Т. Математикалық физика әдістері: Оқулық. / -Алматы:
ЖШС РПБК «Дәуір», 2012. – 296 б.
http://rmebrk.kz/bilim/association/bijigitov-matematikalyk-fizika.pdf
3. Токибетов Ж.А., Хайруллин Е.М. Математикалық физика теңдеулері.
ҚазҰТУ, Алматы: 1995. 297 бет.
4. Сахаев Ш.С. Математикалық физика теңдеулері. Оқу құралы.
Алматы: Қазақ университеті. 2007. 270 бет.
5. Орынбасаров М.О., Сахаев Ш. МФТ есептері мен жаттығулар
жинағы. Алматы, «ҚУ» 2009.-230 б.
6. Хасеинов К.А. Математика канондары. –Алматы: MMIV, 2004.
7. Орынбасаров М.О., Оршубеков Н.А. Математикалық физика
теңдеулері. Алматы, «ҚУ» 2009.-320 с.
8. Хасеинов К.А. Инженерлік математиканың есептері мен жаттығулары
(жеке өзіндік тапсырмаларымен). 1-бөлім. – Алматы, «Акбар», - 2009 – 428 б.
35
2021 ж. жиынтық жоспары, реті__
Искакова Ақжолтай Құрмантаевна
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ
6В07111 - «Ғарыштық техника және технологиялар»,
6В07112 - «Ғарыштық инженерия»
білім беру бағдарламалары студенттері үшін есептік-сызба жұмыстарды
орындау бойынша әдістемелік нұсқаулар және тапсырмалар
Редакторы
Стандарттау бойынша маман
Басуға ___.___.___ қол қойылды
Таралымы дана
Көлемі есептік-баспа табақ
Пішімі 60х84 1/16
Баспаханалық қағаз №1
Тапсырыс
. Бағасы
теңге
«Ғұмарбек Дәукеев атындағы Алматы энергетика және байланыс
университеті»
коммерциялық емес акционерлік қоғамының
көшірмелі-көбейткіш бюросы
050013, Алматы, Байтұрсынұлы көшесі, 126/1
36