BCJ0204 Fenômenos Mecânicos
CINEMÁTICA VETORIAL
Alysson Fábio Ferrari
alysson.ferrari@ufabc.edu.br
BCJ0204 – Fenômenos Mecânicos
CINEMÁTICA (1D)
Para descrever o movimento de uma formiga num varal
esticado, bastava uma régua e um cronômetro... isto porque
este movimento está restrito a uma única dimensão.
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CINEMÁTICA (CASO GERAL)
Para descrever um movimento mais geral, precisamos utilizar
uma ferramenta um pouco mais elaborada.
Desenhamos um segmento
de reta orientado que começa
na origem escolhida e termina
na posição do corpo.
z
0
y
x
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Escolhemos um ponto do espaço como
origem, e escolhemos três direções
mutuamente ortogonais como eixos
x, y e z. (Em outras palavras:
escolhemos um referencial)
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CINEMÁTICA (CASO GERAL)
A posição do corpo (em relação à origem escolhida) é representada por um
segmento de reta orientado, ou seja, uma entidade geométrica caracterizada
por um
● módulo (o comprimento do segmento de reta)
● uma direção (a direção do segmento de linha)
● um sentido (a orientação do segmento, no caso, apontando da origem para o
passáro)
z
Uma grandeza que possui módulo,
direção e sentido é por definição um
vetor.
0
y
x
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Portanto, para descrever movimentos
num caso geral, precisamos usar
vetores.
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CINEMÁTICA (CASO GERAL)
Conforme o tempo passa e o objeto se move, o vetor que o
representa muda.
z
0
y
x
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CINEMÁTICA (CASO GERAL)
Conforme o tempo passa e o objeto se move, o vetor que o
representa muda.
z
0
y
x
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CINEMÁTICA (CASO GERAL)
Conforme o tempo passa e o objeto se move, o vetor que o
representa muda.
z
0
y
x
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O movimento de um corpo pode ser
descrito por um vetor que muda
conforme o tempo passa, ou seja, um
vetor que é função do tempo t.
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CINEMÁTICA (CASO GERAL)
Note: a escolha da referencial é absolutamente livre. O vetor r(t) dá a posição
do corpo, num dado instante, em relação ao referencial O.
Nada nos impede de escolher o referencial O'. No mesmo instante, a posição do
mesmo corpo será representada pelo vetor r'(t), que é claramente distinto de r(t).
Esta ambiguidade não traz nenhum problema. Podemos escolher
qualquer referencial para tratar o problema, os resultados físicos não
podem depender desta escolha. Voltaremos a discutir este ponto mais
adiante...
z
O
r(t)
O' z
r'(t)
0
y
x
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0
x
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y
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VETORES
É suposto que o estudante já tenha familiaridade com as propriedades e
operações básicas sobre vetores. Vamos apenas relembrar alguns conceitos
fundamentais.
Vetores podem ser livremente
transportados de um lugar
para outro (eles são
caracterizados por módulo,
direção e sentido, não por
uma origem em particular)
...é igual a este...
...mas é diferente destes...
este vetor...
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VETORES
Graficamente, vetores são representados por setas. Quando representamos o
vetor por uma letra, temos que indicar de alguma forma que se trata de um
vetor.
Existem várias formas tradicionais de fazer isso...
A
A
A
~
O módulo do vetor é representado de uma das seguintes formas
|A|
|A|
A
~
Em alguns livros, o módulo é também chamado de norma de um vetor.
z
r(t)
O vetor posição é tradicionalmente
representado pela letra r.
Como trata-se de um vetor que muda com o
tempo, vamos representá-lo como uma
função de t: r(t)
0
x
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y
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VETORES
Vetores são úteis porque além de poder intuitivamente representá-los
graficamente como setas, podemos fazer operações sobre vetores como soma
e subtração.
SOMA DE VETORES
Regra do Paralelogramo:
os dois vetores começam do
mesmo ponto, forma-se um
paralelogramo e a diagonal
deste representa o vetor
soma.
A
B
A
B
B
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A
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Forma alternativa:
colocam-se os vetores em
sequencia, e o vetor soma
começa na “cauda” do
primeiro vetor, e termina
na “cabeça” do segundo.
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VETORES
Vetores são úteis porque além de poder intuitivamente representá-los
A segunda
soma é fazer
mais operações
adequada para
graficamente
como regra
setas,de
podemos
sobresomar-se
vetores como soma
vários vetores:
e subtração.
SOMA DE VETORES
C
A
B
B B
A
A
C
Regra do Paralelogramo:
os dois vetores começam
do mesmo ponto, forma-se
um paralelogramo e a
diagonal deste representa o
vetor soma.
D=A+B+C
B
B
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A
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A
Forma alternativa:
colocam-se os vetores em
sequencia, e o vetor soma
começa na “cauda” do
primeiro vetor, e termina
na “cabeça” do segundo.
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VETORES
A soma de vetores tem muitas propriedades idênticas à soma de números
reais.
A+B=B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM NÚMERO (ESCALAR)
Dado o vetor A, o vetor aA, onde a é um número real, é um vetor com
a mesma direção que A, com módulo igual a |a| |A|, e com o mesmo
sentido de A se a> 0 e com o sentido oposto se a<0.
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VETORES
Com esta definição de multiplicação, dado um vetor A sabemos quem é -A:
-A = (-1) A
A
-A
Então, por exemplo,
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A – A = A + (-A) = 0
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VETORES
Podemos também subtrair dois vetores: A – B = A + (-B)
A
B
A
-B
-B
A
A
A-B
B
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VETORES
É importante saber que não precisamos necessariamente fazer desenhos para
operar com vetores, todas as operações entre vetores podem ser feitas de
forma puramente algébrica.
y
A
A
Ax ^i
AY
^
J
A = Ax ^i + Ay ^j
^
i
x
Ax
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AY ^j
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Vetores unitários: vetores
apontando na direção dos eixos x, y
e z, com módulo 1 (ou seja, uma
unidade de comprimento).
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VETORES
É importante saber que não precisamos necessariamente fazer desenhos para
operar com vetores, todas as operações entre vetores podem ser feitas de
forma puramente algébrica.
A = Ax ^i + Ay ^j
aA = aAx ^i + aAy
^j
B = Bx ^i + By ^j
C = A + B = Ax ^i + Ay ^j + Bx ^i + By ^j
= (Ax + Bx) ^i + (Ay + By) ^j
O módulo do vetor também pode ser calculado algebricamente, usando
Pitágoras:
∣A∣= A x  A y
2
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2
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VETOR VELOCIDADE
Dado um movimento geral como na figura, queremos encontrar a
grandeza que representa a velocidade com que o objeto se
desloca.
z
0
y
x
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VETOR VELOCIDADE
Considere um segmento da trajetória do corpo.
Escolha um instante de tempo t: neste instante, o
corpo é localizado pelo vetor r(t)
v
r(t)
Δr(t)
z
r(t+Δt)
y
Após um intervalo de tempo Δt,
o corpo encontra-se localizado
no ponto r(t+Δt).
A diferença r(t+Δt) - r(t) é o
deslocamento do corpo
durante o intervalo de tempo Δt,
representado por Δr(t).
x
A velocidade média do corpo durante o
intervalo considerado é, por definição:
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 r r t t −r t 
=
v =
t
t
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VETOR VELOCIDADE
v
r(t)
Note: o vetor velocidade
média está na mesma direção
que o vetor deslocamento
Δr.
Δr(t)
z
r(t+Δt)
y
x
A velocidade média do corpo durante o
intervalo considerado é, por definição:
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 r r t t −r t 
=
v =
t
t
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VETOR VELOCIDADE
Para obter a velocidade instantânea a partir da velocidade média,
vamos considerar o limite em que Δt → 0.
Vamos observar o que acontece com a direção do deslocamento Δr
(e consequentemente, da velocidade média).
Reta tangente à
trajetória no
ponto r(t)
r(t)
z
)
t
Δ 3
+
r(t
t 2)
Δ
+
r(t
t 1)
Δ
+
t
(
r
y
x
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Conforme Δt → 0, a direção de Δr
tende à direção da reta
tangente à trajetória do corpo
no ponto r(t).
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VETOR VELOCIDADE
Definimos o vetor velocidade instantânea no instante t da
seguinte forma:
r t  t − r t 
 r
= lim
v = lim
t
 t 0  t
 t 0
v
r(t)
z
)
t
D 3
+
r(t
t 2)
D
+
r(t
t 1)
D
+
r(t
y
x
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d r
v =
dt
O módulo do vetor velocidade
dá uma idéia de quão
rapidamente o corpo se
desloca.
Para descobrir |v|, é preciso
efetivamente calcular o vetor
velocidade.
Mas a direção da velocidade é
obrigatoriamente tangente
à trajetória do corpo, em
qualquer situação.
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VETOR VELOCIDADE
Dado um movimento geral, portanto, é fácil desenhar pelo menos a
direção do vetor velocidade em qualquer ponto da trajetória.
z
0
y
x
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VETOR ACELERAÇÃO
Em geral, o vetor velocidade não é constante durante o movimento.
Podemos nos interessar, portanto, numa grandeza que mede a
variação da velocidade com o passar do tempo.
z
Esta grandeza é a aceleração.
0
x
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y
Se num movimento, o vetor velocidade não
é constante, quer dizer que este movimento é
acelerado, e deve existir um vetor
aceleração diferente de zero.
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VETOR ACELERAÇÃO
Considere um segmento da trajetória do corpo.
Escolha um instante de tempo t: neste instante, o corpo é localizado pelo
vetor r(t), e seu vetor velocidade é tangencial à trajetória neste ponto.
v(t)
Δv(t)
z
r(t)
Δ
+
t
(
r
t)
v(t+Δt)
y
x
v(t+Δt)
A aceleração média do corpo
durante o intervalo considerado é,
por definição:
v(t)
Δv(t)
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Após um intervalo de tempo Δt, o
corpo encontra-se localizado no
ponto r(t+Δt), e o vetor velocidade
instantânea também mudou para
v(t+Δt).
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 v v t t −v t 
a =
=
t
t
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VETOR ACELERAÇÃO
Diminuindo o valor de Δt, o vetor Δv claramente diminui de módulo e vai
mudando sua direção.
Δv(t)
z
r(t)
r(t+
Δt)
v(t)
v(t+Δt)
y
O módulo do vetor aceleração não
pode ser diretamente percebido da
figura, deve ser obtido a partir do
cálculo do limite abaixo:
 v
a = lim
 t 0  t
x
v(t)
v(t+Δt)
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No limite em que Δt → 0, o vetor
aceleração instantânea vai ter
sua direção dada aproximadamente
pela linha pontilhada.
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Δv(t)
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VETOR ACELERAÇÃO
Tomando o limite Δt → 0, encontramos o vetor aceleração instantânea,
que informa sobre a variação do vetor velocidade no instante considerado.
v(t)
z
r(t)
a(t)
 v
a = lim
 t 0  t
d v
a =
dt
y
x
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Ao contrário do vetor velocidade,
cuja direção pode ser facilmente
encontrada em qualquer trajetória,
no caso do vetor aceleração a
situação é um pouco mais
complicada...
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VETOR ACELERAÇÃO
Seja qual for a direção do vetor aceleração, sempre podemos dividi-lo em
duas partes: uma componente que é perpendicular à velocidade (aceleração
centrípeta ac), e uma componente que está na mesma direção que a
velocidade (aceleração tangencial at).
Pode acontecer que em dada situação que uma das componentes é nula (ou
seja, aceleração totalmente centrípeta ou totalmente tangencial), mas no
caso mais geral ambas estarão presentes, como na figura.
v(t)
a(t)
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VETOR ACELERAÇÃO
Seja qual for a direção do vetor aceleração, sempre podemos dividi-lo em
duas partes: uma componente que é perpendicular à velocidade (aceleração
centrípeta ac), e uma componente que está na mesma direção que a
velocidade (aceleração tangencial at).
Pode acontecer que em dada situação que uma das componentes é nula (ou
seja, aceleração totalmente centrípeta ou totalmente tangencial), mas no
caso mais geral ambas estarão presentes, como na figura.
O que podemos dizer sobre o
papel de cada componente do
vetor aceleração?
at(t)
ac(t)
v(t)
a(t)
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VETOR ACELERAÇÃO (TANGENCIAL)
Consideremos a aceleração tangencial at, ou seja, a componente da
aceleração que está na mesma direção do vetor velocidade.
A que mudança de velocidade tal aceleração está associada?
at
v
A aceleração média é dada por:
 v
a =
t
Supomos um Δt muito pequeno, de tal modo que a aceleração tangencial
seja praticamente constante durante este Δt. Portanto:
at ≈ at =
 v
t
 v ≈ at  t
at  t
v
vf
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O vetor velocidade
muda de módulo,
não de direção!
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VETOR ACELERAÇÃO (TANGENCIAL)
A aceleração tangencial at está associada exclusivamente a uma mudança de
módulo do vetor velocidade.
at  t
v
vf
Em outras palavras: se o módulo do vetor velocidade é constante durante o
movimento, a componente tangencial da aceleração é nula.
Em contrapartida, se existe componente tangencial da aceleração,
necessariamente o módulo do vetor velocidade está variando com o tempo.
at  t
v
vf
Se at está no mesmo sentido de v,
então o módulo de v está aumentando.
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v
vf
at  t
Se at está no sentido oposto de v, então
o módulo de v está diminuindo.
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VETOR ACELERAÇÃO (CENTRÍPETA)
Consideremos agora a aceleração centrípeta ac, ou seja, a componente da
aceleração que é perpendicular ao vetor velocidade.
A que mudança de velocidade tal aceleração está associada?
ac
v
Vamos mostrar que ac não está associada a nenhuma mudança no módulo
do vetor velocidade.
Antes de mais nada, note: se o módulo do vetor velocidade |v| é constante,
então o produto escalar vv é também constante.
Calculando a derivada do produto escalar vv,
( )
( ) ( )
d
d
d
d
( ⃗v • ⃗v )= ⃗v • ⃗v + ⃗v • ⃗v =2 ⃗v • ⃗v =2 ⃗a • ⃗v
dt
dt
dt
dt
Se a for perpendicular a v (que é o caso da aceleração centrípeta), temos
d
( ⃗v • ⃗v )=2 ⃗a c • ⃗v =0
dt
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⃗v • ⃗v =constante
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∣v∣=constante
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VETOR ACELERAÇÃO (CENTRÍPETA)
Em suma: a aceleração centrípeta ac está associada unicamente à mudança
da direção do vetor velocidade.
ac
v
Se ac é nula, então a direção do vetor velocidade não muda.
Em contrapartida, se há mudança na direção do vetor velocidade,
necessariamente a componente centrípeta ac da aceleração não pode ser
nula.
Vamos considerar um caso particular muito interessante: um movimento
circular com módulo de velocidade constante.
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VETOR ACELERAÇÃO (CENTRÍPETA)
Seja um movimento que se dá sobre um círculo, e que possui velocidade
com módulo constante.
Como a direção do vetor velocidade muda constantemente, o movimento é
acelerado, e em particular, só existe aceleração centrípeta, justamente
porque |v| é constante.
Após um certo intervalo de tempo Δt,
temos uma nova posição e uma nova
velocidade.
r(t)
v(t)
Dq
Podemos identificar dois triângulos
semelhantes na figura (por quê?):
r(t)
r(t+Dt)
v(t+Dt)
Δq
r(t+Dt)
Δr(t)
v(t+Δt)
Δq
v(t)
Δv(t)
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VETOR ACELERAÇÃO (CENTRÍPETA)
Para triângulos semelhantes, a razão entre lados correspondentes é a
mesma...
∣ r ∣ ∣ v∣
=
∣r ∣
∣v∣
r(t)
Δr(t)
Δq
Lembrando que o tempo Dt é muito pequeno, podemos
usar as aproximações:
r(t+Δt)
v(t+Δt)
Δq
v(t)
 r
v ≈
⇒  r ≈v  t
t
 v
a c ≈
⇒  v ≈a c  t
t
Ou seja:
Δv(t)
∣v∣ t ∣a c∣ t
=
∣r ∣
∣v∣
2
∣v∣
∣ac∣=
∣r ∣
Embora tenhamos considerado em particular o caso de movimento circular
uniforme, não é difícil perceber que em qualquer movimento circular, o
módulo da aceleração centrípeta responsável pela mudança na direção
do vetor velocidade tem o módulo dado pela expressão acima.
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BCJ0204 – Fenômenos Mecânicos
VETOR ACELERAÇÃO
Resumo da história: a direção do vetor aceleração não pode ser tão
simplesmente encontrada apenas desenhando-se a trajetória do corpo em
questão.
Seja qual for a direção do vetor aceleração, contudo, sempre podemos
dividi-lo em duas partes com características bastante distintas: a
componente perpendicular à velocidade (aceleração centrípeta ac) e a
componente na direção da a velocidade (aceleração tangencial at).
Componente centrípeta:
associada à mudança
na direção da velocidade.
Componente tangencial:
associada à mudança do
módulo da velocidade.
at(t)
ac(t)
v(t)
a(t)
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MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
Discutimos anteriormente, no caso unidimensional, algumas fórmulas
válidas para um movimento com aceleração constante.
Queremos fazer o mesmo agora para o caso geral de um movimento com
vetor aceleração constante.
Partimos de um “ansatz”, que vamos provar ser válido:
1 2
r t =r 0 v 0 t a t
2
Primeiro: o que acontece em t = 0?
r0 corresponde ao vetor posição no
instante inicial.
r 0=r 0
Segundo: derivando o ansatz em relação a t:


d
d
1
 r t   = r 0v 0 t a t 2 =v 0a t
dt
dt
2
v t =v 0 a t
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v 0=v 0
v0 corresponde ao vetor
velocidade no instante
inicial.
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MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
Terceiro: derivando novamente o ansatz em relação a t:
d
d
 v t   =  v 0a t =a
dt
dt
a t =a
O vetor aceleração como função de tempo a(t) acaba sendo igual ao vetor
constante a, ou seja, o movimento tem realmente aceleração constante.
Fica para o estudante perceber que qualquer outra potência de t ou função de t
que aparecesse na expressão inicial de r(t) faria com que a(t) não fosse
constante no tempo.
Então a expressão proposta realmente descreve o caso mais geral de um
movimento com aceleração constante:
1 2
r t =r 0 v 0 t a t
2
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v t =v 0 a t
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MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
Vamos escrever a expressão de r(t) em termos dos vetores unitários.
v 0=v 0x iv 0 y jv 0z k
r 0 =x 0 i  y 0 j z 0 k
a =a x ia y ja z k
1 2
r t =r 0 v 0 t a t
2
= x 0 i  y 0 jz 0 k   v 0x i v 0 y j v 0z k  t 

 
1
2



a
i
a
ja
k
t

x
y
z 
2
 

1
1
1
= x 0 v 0x t  a x t 2 i  y 0 v 0 y t  a y t 2 j z 0 v 0z t  a z t 2 k
2
2
2
INDEPENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS
nas direções x, y e z
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BCJ0204 – Fenômenos Mecânicos
EXEMPLO 1: QUEDA LIVRE
Seja um certo objeto que está a uma altura h do chão. Em dado instante do tempo, ele é
largado e começa a cair sob a ação única da gravidade.
Sabemos, e justificaremos mais tarde, que qualquer corpo largado próximo à
superfície da terra sente uma aceleração em direção ao chão, devido a
gravidade, de módulo g = 9.8m/s2.
Começamos escolhendo um referencial.
Escolhemos t = 0 como o instante em que o corpo
é largado.
y
Como o movimento tem aceleração constante.
1 2
r t =r 0 v 0 t a t
2
a
Devido a esta escolha de referencial:
h
x
r 0=0× ih j0× k
v 0= 0
a =−g j
Juntando tudo:
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1 2

r t =h j− g t j
2
BCJ0204 – Fenômenos Mecânicos
EXEMPLO 1: QUEDA LIVRE
Ou seja: o movimento se dá totalmente ao longo da direção y, sendo que
x(t) = z(t) = 0.
Na prática, o movimento pode ser descrito como unidimensional
1 2
y t =h− g t
2
y
Sabendo a solução do problema, eu quero ser
capaz de responder a perguntas físicas sobre o
problema. Por exemplo:
a
h
x
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EXEMPLO 1: QUEDA LIVRE
Ou seja: o movimento se dá totalmente ao longo da direção y, sendo que
x(t) = z(t) = 0.
Na prática, o movimento pode ser descrito como unidimensional
1 2
y t =h− g t
2
y
Sabendo a solução do problema, eu quero ser
capaz de responder a perguntas físicas sobre o
problema. Por exemplo:
a
Em que instante o corpo toca o chão?
2
1
y t f =h− g  t f  =0
2
h
tf=
Qual sua velocidade ao tocar o chão?
x
v t f =−  2 h g j
d
v t = y t =−g t
dt
v t f =−g t f =−g
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

2h
g
2h
=− 2 h g
g
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EXEMPLO 1: QUEDA LIVRE
Dissemos que a escolha do referencial é livre, não influenciando na resposta do
problema. Vamos entender o que exatamente isto quer dizer neste problema em particular.
Considere a mesma situação física. Vamos escolher um referencial diferente para
resolvê-lo.
Como o movimento tem aceleração constante.
1 2
r t =r 0 v 0 t a t
2
x
Devido a esta escolha de referencial:
a
h
y
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r 0 =0
v 0= 0
a =g j
Juntando tudo:
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1 2
r t = g t j
2
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EXEMPLO 1: QUEDA LIVRE
A solução parece diferente do que encontramos antes. Mas vamos ver as conclusões
físicas que podemos tirar desta solução:
O movimento continua sendo efetivamente unidimensional:
x
a
h
y
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1 2
r t = g t j
2
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EXEMPLO 1: QUEDA LIVRE
A solução parece diferente do que encontramos antes. Mas vamos ver as conclusões
físicas que podemos tirar desta solução:
O movimento continua sendo efetivamente unidimensional:
1 2
r t = g t j
2
Em que instante o corpo toca o chão?
x
2
1
y t f = g  t f  =h
2
Qual sua velocidade ao tocar o chão?
a
h
d
y t =g t
dt

2h
v t f =g t f =g
= 2 h g
g
y
v t f =  2 h g j
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v t =

2h
tf=
g
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EXEMPLO 1: QUEDA LIVRE
Em resumo: estudando o mesmo sistema físico, a aparência da solução depende em
geral do referencial escolhido para tratar do problema.
Contudo, qualquer conclusão física, mensurável sobre o movimento do sistema deve
ser a mesma, independente do referencial utilizado.
Nada impede, enfim, de usar
um referencial como o indicado
ao lado.
z
a
y
h
x
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A solução do problema deverá
ser mais complicada (não vai
estar restrita à direção y, por
exemplo, embora a trajetória
continuará sendo uma linha
reta), mas todas as conclusões
físicas obtidas da solução
serão as mesmas.
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
Outro exemplo: um corpo é lançado de uma certa posição inicial, com uma certa
velocidade inicial. Após o lançamento, move-se sob ação unicamente da gravidade.
Escolha de Referencial: tomamos t = 0 como o instante do lançamento.
Escolhemos a origem do referencial como o ponto do lançamento.
Além disso, sempre podemos escolher os eixos coordenados tal que:
● a aceleração está na direção negativa de z
● a velocidade inicial está no plano yz
Usando trigonometria básica, podemos encontrar as
componentes do vetor velocidade inicial nas
direções y e z.
z
a
z
v 0
y
v 0
q
v 0 cos
x
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v 0 sin 
y
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
Como o movimento é de aceleração constante, já conhecemos a solução.
1 2
r t =r 0 v 0 t a t
2
Devido à nossa escolha do referencial:
r 0 =0
v 0=v 0 cos jv 0 sin  k
a =−g k
1 2


r t =  v 0 cos jv 0 sin  k  t− gt k
2
z
v 0
q
v 0 sin 
y
v 0 cos
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

1 2
r t =v 0 cos t j v 0 sin t − g t k
2
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL


1 2 

r t =v 0 cos t j v 0 sin t − g t k
2
Escrevendo em termos das componentes x(t), y(t) e z(t):
y t =v 0 cost
x t =0
1 2
z t =v 0 sin t − g t
2
O movimento está restrito
ao plano yz, ou seja, é um
movimento em duas
dimensões.
z
a
Na direção z, o movimento
é idêntico ao de um corpo
lançado para cima com
certa velocidade inicial
v0 sin(q).
v 0
y
x
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O movimento na direção
y é um movimento
com velocidade
constante.
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
Verificando a solução:
d
d
v y t = y t =  v 0 cos t  =v 0 cos 
dt
dt
d
a y t =  v 0 cos   =0
dt
y t =v 0 cost

z
d
a z t =  v 0 sin −g t  =−g
dt
a
v 0
y
x
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
d
1 2
v z t =
v 0 sin t − g t =v 0 sin −g t
dt
2
1 2
z t =v 0 sin t − g t
2
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
Vamos tentar responder algumas perguntas com a solução que encontramos.
y t =v 0 cost
v y t =v 0 cos 
1 2
z t =v 0 sin t − g t
2
v z t =v 0 sin −g t
Qual o formato da trajetória do corpo?
y
t=
v 0 cos 
z

v 0
y
x
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 
y
1
y
− g
v 0 cos  2 v 0 cos 
z=tg  y−
a
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z=v 0 sin 

2
1
g
2
y
2  v 0 cos 
O projétil se move
sobre um parábola!
z= A y−B y 2
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
Curiosidade histórica: nos tempos da física aristotélica, acreditava-se que uma trajetória só
pudesse ser composta por segmentos de linhas retas e círculos...
Galileu foi o
primeiro a perceber
que, na realidade, a
trajetória é
parabólica.
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
y t =v 0 cost
v y t =v 0 cos 
1 2
z t =v 0 sin t − g t
2
v z t =v 0 sin −g t
Qual a altura máxima atingida?
No ponto de maior altura, a velocidade na direção z deixa de ser positiva, passando a ser
negativa – em outras palavras, neste ponto, vz = 0
v z t max =v 0 sin −g t max =0
v 0 sin 
t max =
g

 
v 0 sin  1 v 0 sin 
z  t max =v 0 sin 
− g
g
2
g
2
2
v
v
= 0 sin 2 − 0 sin 2 
g
2g
v 20
2
z t max =
sin 
2g
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
2
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
1 2
z t =v 0 sin t − g t
2
v z t =v 0 sin −g t
y t =v 0 cost
v y t =v 0 cos 
Qual o alcance (a direção total percorrida pelo corpo na horizontal)?
v 0 sin 
t max =
g
Vamos utilizar o resultado que já obtivemos. Sabemos que
o corpo alcança seu ponto máximo em t = tmax, onde
logo:


v 0 sin  v 20
y t max =v 0 cos 
= sin  cos 
g
g
Por outro lado, da figura é claro que R é igual a exatamente o dobro desta distância:
2
v0
R=2 y t max = ×2 sin cos 
g
Agora, um pouco da bela arte da trigonometria:
sin =sin  cos sin  cos 
R
y t max 
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sin 2 =2sin cos
v 20
R= sin 2 
g
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EXEMPLO 2: LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
y t =v 0 cost
v y t =v 0 cos 
1 2
z t =v 0 sin t − g t
2
v z t =v 0 sin −g t
Qual o alcance (a direção total percorrida pelo corpo na horizontal)?
v 20
R= sin 2 
g
Claramente, quando maior v0, maior o alcance (o que é razoável).
Mas para qual ângulo o alcance é
máximo?
https://www.youtube.com/watch?v=KacTRPL1MtE
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EXEMPLO 3: MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Considere um movimento representado pela seguinte r(t):
r t =R cos t  i R sin  t  j
É fácil ver que |r(t)| é constante:
2
2
2
2
∣
r
t
∣=
R
cos

t
R
sin
 t =R

Isso significa que o movimento
está sobre o círculo de raio
unitário (ou seja: trata-se de um Além disso:
movimento circular)
d

y
v t =
dt
r t =− R sin  t  i  R cos t  j
∣v t ∣=   R sin  t  R cos  t = R
2
2
2
2
2
2
O módulo da velocidade também é constante,
o que significa que o movimento é circular e
uniforme.
x Finalmente, calculando o vetor aceleração,
encontramos um vetor radial, logo perpendicular
à velocidade, como deveria ser...
a t =
d
2
2
v t =− R cost  i − R sint  j
dt
2
=− r t 