SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen
MET 29104
Matematikk for økonomer
Institutt for Samfunnsøkonomi
Utlevering:
16.12.2019
Kl. 09:00
Innlevering:
16.12.2019
Kl. 13:00
For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
Oppgave 1 (Vekttall 7+2 for bonusspørsmål)
a)
i) f ( x)  3x5  2 x 2  7  f '( x)  15x 4  4 x 3
ii) f ( x)  x 2e x  f '( x)  2 xe x  x 2e x  (2 x  x 2 )e x
iii) f ( x) 
x 5
1 ( x  3)  ( x  5) 1
8
 f '( x) 

2
x3
( x  3)
( x  3)2
b)
x2  2 x  2

|  2( x  1)
x 1
2
2( x 2  2)  ( x  1)( x  2)
200  100(1.023) x
1.023  2
x
2x  4  x  x  2
2
i)
2
x2  x  2  0
ii)
1  1  8
2
1  3
x
2
x  2  x  1
x
c)
Løs ulikhetene:
i)
3x 2  5  43
3x 2  48
x 2  16
x 2  16  0
( x  4)( x  4)  0
__  4 ______ 4 _____ x-linje
_ _ 0 _____________ x  4
_ _ _ _ _ _ _ 0 _____ x  4
___0_ _ _ _ _0 _____ ( x  4)( x  4)
x  4  x  4
2
ln1.023x  2
x ln1.023  ln 2
ln 2
x
ln1.023
x  30.48
|:100
ii)
x2  2 x  2

x 1
2
2
x 2 x2

0
x 1
2
2( x 2  2) ( x  1)( x  2)

0
2( x  1)
2( x  1)
2 x2  4 x2  x  2

0
2( x  1) 2( x  1)
x2  x  2
0
2( x  1)
( x  1)( x  2)
0
2( x  1)
____  2 ___  1________1_____ x-linje
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0_____ x  1
_ _ _ 0 ____________________ x  2
_ _ _ _ _ _ _x_______________ x  1
( x  1)( x  2)
_ _ _ 0 ____x_ _ _ _ _ _ 0_____
2( x  1)
x  2  1  x  1
d)
(Bonus. Denne kan sløyfes, men gir opptil 2 vekttall ekstra):
du
x 2 1
2
xe
dx u  x 2  1 
 2 x  du  2 xdx

dx
i)
x 1
u
u
x
 2 xe dx   e du  e  C  e
2
2
 ( x  ln x)dx
u'  x u 
1
2
2
1 2
x
2
1
C
v  ln x  v ' 
1
x
2
1
1
1
1

1

ii)  ( x  ln x)dx   x 2 ln x    ( x 2  )dx   x 2 ln x    xdx
x
2
1 1 2
2
1 1 2
1
2
2
2
2
1 
1
1
3
1
1
  x 2 ln x  x 2   22 ln 2  1   ln1    2 ln 2 
4 1 2
4
4
2
2
Oppgave 2 (Vekttall 4)
f ( x) 
x2  x  6
x 1
a)
x2  x  6
1  1  24
1 5
f ( x)  0 
 0  x2  x  6  0  x 
x
x 1
2
2
x  2  x  3
3
f '( x) 
b)
(2 x  1)( x  1)  ( x 2  x  6) 1 2 x 2  2 x  x  1  x 2  x  6 x 2  2 x  5


( x  1)2
( x  1)2
( x  1)2
2  16
2
Siden denne ikke har noen løsning har telleren alltid samme fortegn. Her er den alltid
positiv. (Dette kan man for eksempel se ved at x=0 gjør at telleren er 5). Siden
nevneren også er positiv har vi at f '( x)  0 i hele definisjonsområdet og dermed er
f ( x) alltid voksende.
x2  2x  5  0  x 
c)
Loddrett asymptote:
x 1  0 
x  1
Skrå asymptote:
x2  x  6
4
f ( x) 
 ( x 2  x  6) : ( x  1)  x  2 
x 1
x 1
2
( x  x )
 2x  6
(  2 x  2)
4
y  x2
d)
4
Oppgave 3 (Vekttall 3) (Utregningene skal vises. Det er ikke nok å vise til tastetrykkene på
kalkulatoren)
a)
(1  r )n r
1.02420  0.024
K  K0
 2700000
 171565.43
(1  r )n  1
1.02420  1
b)
Renter første tilbakebetaling: 2700000  0.024  64800
Avdrag første tilbakebetaling: 171565.43  64800.00  106765.43
c)
Rett etter den 5. tilbakebetalingen gjenstår 15 tilbakebetalinger etter den opprinnelige
planen med rente 2.4%, den første om ett år. Nåverdien av dette er:
1.02415  1
R  171565.43
 2139926.80
1.02415  0.024
Rente 2.7% gir fast årlig tilbakebetaling:
(1  r )n r
1.02715  0.027
K  K0
 2139926.80
 175387.23
(1  r )n  1
1.02715  1
Oppgave 4 (Vekttall 6)
p  100  2 x  y
q  90  2 x  3 y
a)
I ( x, y)  px  qy  (100  2 x  y) x  (90  2 x  3 y) y
 100 x  2 x 2  xy  90 y  2 xy  3 y 2  2 x 2  3xy  3 y 2  100 x  90 y
b)
I : I x '( x, y )  0
II : I y '( x, y )  0
I : 4 x  3 y  100  0
II : 3x  6 y  90  0
|  (2)
I : 8 x  6 y  200  0
II : 3x  6 y  90  0
I  II : 5 x  110  0  x  22
I : I : 4  22  3 y  100  0  y  4
( x, y )  (22, 4)
5
c)
A  I ''xx ( x, y )  4
B  I ''xy ( x, y )  3
C  I '' yy ( x, y )  6
AC  B 2  (4)(6)  (3) 2  15  0
A  4  0
Dermed er ( x, y)  (22, 4) et maksimumspunkt for inntekten.
d)
I (22, 4)  2  222  3  22  4  3  42  100  22  90  4  1280
x  2 y  28
e)
F ( x, y )  I ( x, y )   ( x  2 y  28)  2 x 2  3xy  3 y 2  100 x  90 y   x  2 y  28
I : Fx '( x, y )  0
II : Fy '( x, y )  0
III : x  2 y  28
I : 4 x  3 y  100    0 |  ( 2)
II : 3x  6 y  90  2  0
I :8 x  6 y  200  2  0
II : 3x  6 y  90  2  0
I  II : 5 x  110  0  x  22
III : 22  2 y  28  y  3
( x, y )  (22,3)
f)
I (22,3)  2  222  3  22  3  3  32  100  22  90  3  1277
Oppgave 5 (Vekttall 3)
a)
f ( x)  g ( x)
x 2  3x  4   x  4
x2  4x  0
x( x  4)  0
x  0; f (0)  g (0)  4
x  4; f (4)  g (4)  0
( x, y )  (4, 0)  ( x, y )  (0, 4)
6
b)
.
c)
0
 1

A   g ( x)  f ( x)dx    x  4  ( x  3 x  4)dx    x  4 xdx)   x 3  2 x 2 
 3
 4
4
4
4
0
0
0
2
2
64
64 96 32
 1

 0     (4)3  2  (4) 2     32   

3
3
3
3
 3

Oppgave 6 (Vekttall 2)
2x  y  z  7
 x  3 y  z  20
x  2 y  2z  1
 2 1 1 7 
 2 1 1 7 
 2 1 1 7 
A   1 3 1 20  
  0 1 3 21 
  0 1 3 21
(2)  (3) (2)
(2) (3):5 (3)
(1)  2(3) (3)
 1 2 2 1 
 0 5 5 5 
0 0 4 20 
(3) : 4 z  20  z  5
(2) : y  3  5  21  y  6
(1) : 2 x  6  5  7  x  3
( x, y, z )  (3, 6,5)
7