Sistemas Digitales 1
Ph.D. Edwin Valarezo Añazco
Objetivos
Al finalizar esta sesión el estudiante será capaz de:
• Conocer los sistemas de numeración utilizados en sistemas
digitales.
• Aprender a hacer conversiones de distintas bases.
• Conocer casos especiales de conversiones de bases.
1.1 Sistemas numéricos binarios, Octal y
Hexadecimal
Definición:
( )10
Un sistema de numeración es un conjunto ordenado de
símbolos llamados dígitos con leyes definidas para la
suma y resta.
Base del sistema:
Número de dígitos que tiene el sistema.
• Sistema binario: 2 dígitos
• Sistema octal: 8 dígitos
• Sistema Hexadecimal: 16 dígitos
• Sistema decimal: 10 dígitos
Ejemplos de Sistemas Numéricos
Los números se representan en cualquier sistema de numeración
de dos formas Notación Posicional y Notación Polinomial.
Notación Posicional:
Implica la colocación de dígitos a ambos lados del punto base, por ende
sus posiciones no se pueden alterar
r = Base del Sistema.
a = Los dígitos del set.
n = Número de dígitos en la parte entera
m = Número de dígitos en la parte fraccionaria
𝑎𝑛−1 = Dígito más significativo MSB
𝑎−𝑚 = Dígito menos significativo LSB
Ejemplo: ( 234.12)10 =
Los números se representan en cualquier sistema de numeración
de dos formas Notación Posicional y Notación Polinomial.
Notación Polinomial:
Se expresa como una sumatoria de los dígitos multiplicada por un factor
que es la base elevada a un exponente.
Ejemplo:
( 110.01)2 =
( 217.61)8 =
( 𝐵1𝐴. 𝐹1)16 =
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método de sustitución directa:
Ejemplo:
( 14)10
( 14)10 = ( 1110)2 = ( 16)8 = ( 𝐸)16
Método por Sustitución:
Cualquier base a base 10.
( 𝑁)𝐴 → ( 𝑁)𝐵 ; B=10
Ejemplo:
• Notación polinomial de ( 𝑁)𝐴
• Utilizar aritmética de la base B
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método de sustitución directa:
Ejemplo:
( 14)10
( 14)10 = ( 1110)2 = ( 16)8 = ( 𝐸)16
Método por Sustitución:
Cualquier base a base 10.
( 𝑁)𝐴 → ( 𝑁)𝐵 ; B=10
• Notación polinomial de ( 𝑁)𝐴
• Utilizar aritmética de la base B
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método por Multiplicaciones y Divisiones Sucesivas:
De base 10 a cualquier base.
( 𝑁)𝐴 → ( 𝑁)𝐵 ; A=10
Parte Entera
1. Dividir (N)A para la base B, usando aritmética de la base A.
2. El residuo de la división es el LSB de la respuesta.
3. El cociente se vuelve a dividir para B usando aritmética de la base A y el nuevo
residuo es el siguiente dígito más significativo.
4. Aplicamos divisiones sucesivas hasta que el cociente sea cero.
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método por Multiplicaciones y Divisiones Sucesivas:
Ejemplo
( 249)10 = ( ? )2
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método por Multiplicaciones y Divisiones Sucesivas:
Ejemplo
( 249)10 = ( ? )16
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método por Multiplicaciones y Divisiones Sucesivas:
De base 10 a cualquier base.
( 𝑁)𝐴 → ( 𝑁)𝐵 ; A=10
Parte Fraccionaria
1. Multiplicar ( 𝑁)𝐴 por la base B usando aritmética de la base A.
2. Separamos la parte entera que es el MSB de la respuesta.
3. Repetir las multiplicaciones tantas veces como dígitos fraccionarios deseemos o
hasta que el resultado sea igual a cero.
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método por Multiplicaciones y Divisiones Sucesivas:
Ejemplo
( 249.84)10 = ( 11111001. ? )2
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Método por Multiplicaciones y Divisiones Sucesivas:
Ejemplo
( 249.84)10 = ( ? )2
Método General
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Casos Especiales:
A y B potencias de una misma base.
( 𝑁)𝐴 → ( 𝑁)𝐵 ; B = 𝐴𝑛 / A = 𝐵𝑛
Caso 1: B = 𝐴𝑛
1. Formamos grupos de “n” dígitos a partir del punto.
2. Cada dígito se sustituye por el correspondiente
dígito en base B.
1.2 Conversión de Sistemas Numéricos
Casos Especiales:
A y B potencias de una misma base.
( 𝑁)𝐴 → ( 𝑁)𝐵 ; B = 𝐴𝑛 / A = 𝐵𝑛
Caso 2: A = 𝐵𝑛
1. Remplazar cada dígito ( 𝑁)𝐴 por sus “n” dígitos
equivalentes en base B.
Método General en Potencias de la Misma Base
B = 𝐴𝑛 / A = 𝐵𝑛
Método General en Potencias de la Misma Base
B = 𝐴𝑛 / A = 𝐵𝑛
Ejemplo:
( 45.4)8 = (? )16
( 25.8)16 = (? )8
1.3 Sumas y Restas de Números en Diferentes Bases
Operaciones Aritméticas:
Suma Binaria
1
+
1
___
2
2
___
10
Si es mayor a la
base resto la base
1.3 Sumas y Restas de Números en Diferentes Bases
1.3 Sumas y Restas de Números en Diferentes Bases
Operaciones Aritméticas:
Resta Binaria
• Si el minuendo tiene menor valor que el sustraendo, sumo la base y resto
uno en el siguiente termino
-
1 +2
1.3 Sumas y Restas de Números en Diferentes Bases
Operaciones Aritméticas:
1.4 Representación de Números Negativos
Bit de signo:
• El más significativo
frecuencia).
• 0=+ / 1=-
(cambia
con
menor
0
• Invertimos los bits (not) y sumamos uno
1.5 Complementos de Números
Complemento a 2
Método 1:
• De derecha a izquierda escribo igual los números binarios hasta
encontrar el primer “1”, éste queda igual e invertimos el resto.
1.5 Complementos de Números
Complemento a 2
Método 2:
• Invertimos todo el número (Complemento a uno).
• Sumamos “1” al LSB.
1.5 Complementos de Números
Complemento a 2 (números negativos)
• Números positivos: ( 0, … … … )2𝑐𝑛𝑠
Magnitud binaria del número (n-1)
• Números negativos: ( 1, … … … )
Complemento a “2” del número (n-1)
n número de dígitos incluido el bit de signo.
0
1. Llevo la cantidad a binario.
2. Agrego ceros hasta que la cantidad llegue a
n-1.
3. Si la cantidad es negativa obtengo el
complemento a 2.
1.5 Complementos de Números
1.5 Operaciones con Complementos
Cuando no me tengo información de la dimensión n (número de
bits):
• 1 bit de signo
• M número bits del digito con mas bits.
• 1 bit de seguridad
1.5 Operaciones con Complementos
+
1.5 Operaciones con Complementos
1.5 Operaciones con Complementos
+
1.6 Códigos binarios de números decimales,
código Gray, códigos alfanuméricos, códigos de
detección de error en la transmisión y
almacenamiento de datos
Definición:
• Conjunto de símbolos que representan información.
Códigos Binarios:
• Los símbolos a utilizar son dígitos binarios.
Código BCD (Decimal codificado en binario):
2𝑛 = Número de combinaciones
n= Número de dígitos del código.
1 byte => 8 bits
1 word => 2 byte = 16 bits
1 nibble => 4 bits
• Cada dígito decimal se representa por su equivalente en 4 dígitos binarios.
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Código NBCD (BCD natural o simplemente BCD):
• Los dígitos decimales se representan por sus correspondientes en base dos.
Operaciones:
EL método directo consiste en convertir los códigos a un sistema numérico y
entonces realizar la operación.
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Convertir el número decimal: 9673 a BCD
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Suma en BCD:
1. Realizar la suma binaria normalmente.
2. Si la suma de los 4 bits es menor o igual a 9, es un número BCD válido.
3. Si la suma de los 4 bits es mayor a 9 o si se genera un carry fuera del grupo
de los 4 bits, es un resultado inválido.
• Añadir 6 (0110) a la suma de 4 bits para evitar los 6 estados inválidos.
• Si resulta un carry cuando se suma el 6, simplemente añada el carry al siguiente grupo
de 4 bits.
Debido a que faltan los correspondientes binarios de los
decimales entre 10 y 15
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Suma en BCD:
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Suma en BCD:
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Suma en BCD:
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Suma en BCD:
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Suma en BCD:
1.6 Códigos Binarios de Números Decimales
Suma en BCD:
1.6 Código Exceso de 3
Código BCD sumando 3 a cada digito
Auto complementario (Complemento a 1)
• Utiliza 4 bits para representar los números decimales
del 0 al 9.
• Deriva su nombre del hecho de que cada
representación decimal en el código Exceso 3 es mayor
que el código BCD por 3.
• Es un código sin pesos.
• Se utiliza en algunas computadoras antiguas
Ejemplo:
1.6 Código Gray
Códigos de Distancia Unitaria
Esta propiedad existe cuando entre un elemento
del código y su consecutivo, sólo cambia 1 bit. Se
basa en la forma en que está construido el código.
Ayudan a eliminar el efecto transicional o de la
transición.
Código Gray, Es un código de distancia unitaria estándar.
Conversión De Binario a Gray:
Colocar un “0” a lado del MSB y de izquierda a derecha
realizar EXOR entre los bits adyacentes.
1.6 Código Gray
Conversión de Gray a Binario:
Método 1:
Desde la izquierda, busco el primer 1 y lo escribo
igual, luego sigo escribiendo unos hasta encontrar
otro 1 y cambio a cero y sigo escribiendo ceros hasta
encontrar otro 1 y así sucesivamente. El “1” actúa
como pivote de cambio de la tendencia.
Método 2:
• Conservo el primer uno
• Operación XOR entre el valor actual y el digito a
convertir (Gray).
1.6 Código Gray
Códigos Binario Vs Gray
Código Gray tiene distancia unitaria
1.6 Código Gray
Convertir código Gray a BCD o XS3?
1011
1.6 Código Gray
Convertir código Gray a BCD o XS3?
Gray
1011
Binario
Decimal
BCD – XS3
1.6 Códigos Alfanuméricos
Sirven para representar “caracteres” usados en la representación
idiomática.
ASCII (American Standar Code for Information Interchange)
• Universalmente aceptado
• Utilizado en la mayoría de las computadoras y otros equipos electrónicos
• La mayoría de los teclados de computadora están estandarizados con el
código ASCII
1.6 Códigos Alfanuméricos
1.6 Códigos Alfanuméricos
1.6 Códigos Alfanuméricos
1.6 Códigos Alfanuméricos
EBDIC ( Extended Binary Decimal Interchange Code) 8 dígitos.
• 128 caracteres adicionales que IBM adopto para uso en sus PCs.
• Debido a la popularidad de la PC, estos caracteres ASCII extendidos se han
utilizado en otras aplicaciones aparte de las PCs y se han convertido en un
estándar no oficial.
• Los caracteres de ASCII Extendido son representados por un código de 8 bits
(de 80 a FF hexadecimal)
EBDIC, contiene caracteres en las siguientes categorías generales
1. Caracteres alfabéticos no ingleses
5. Caracteres para gráficos.
2. Símbolos de moneda no ingleses
6. Caracteres para gráficos de barras.
3. Letras griegas
7. Caracteres sombreados
4. Símbolos matemáticos
1.6 Códigos Alfanuméricos
1.6 Código de Detección de Errores
Se caracteriza por la forma que se construye. Evita errores en las transmisiones
digitales.
Paridad Par:
Paridad Impar:
Un bit de paridad par se agrega de
tal manera que el número de “1”
totales sea par.
Un bit de paridad impar se agrega
de tal manera que el número de
“1” totales sea impar.
1.6 Código de Detección de Errores
Ejemplos de Paridad Par / Impar.
Consultas o Comentarios