LATIHAN BERBENTUK KBAT/HOTS G16 2016
DIFFERENTIATION
PEMBEZAAN
1. A multinational company plans to organize a car race as a strategy to promote their cars.
Sebuah syarikat multinasional bercadang untuk menganjurkan satu perlumbaan kereta sebagai
salah satu strategi untuk mempromosikan kereta mereka.
Diagram 1 shows the track planned for the race.
Rajah 1 menunjukkan trek yang dicadangkan untuk perlumbaan itu.
•
Point 𝐵
Titik 𝐵
•
Point 𝐴
Titik 𝐴
Diagram 1
Rajah 1
The track can be modelled as
Trek itu boleh dimodelkan sebagai
3
𝑦 = 𝑥 4 − 22𝑥 3 + 105𝑥 2 − 150𝑥 + 100
2
where 𝑥 and 𝑦 are the horizontal and vertical distances respectively from a fixed point 𝑂, and both
have a unit of 100 m.
yang mana 𝑥 dan 𝑦 ialah masing-masing jarak melintang dan menegak dari satu titik tetap 𝑂,
dan kedua-duanya mempunyai unit 100 m.
The committee of safety measure disagrees with the track because accident is most likely to
happen at points 𝐴 and 𝐵.
Jawatankuasa aturan keselamatan tidak bersetuju dengan trek tersebut kerana kemalangan
berkemungkinan besar akan berlaku pada titik-titik 𝐴 dan 𝐵.
(a) Point 𝐴 is called a turning point where the track has a dangerous turn with a property that
Titik 𝐴 dipanggil sebagai titik pusingan yang mana trek itu mempunyai belokan yang
berbahaya dengan sifat
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
Show that the coordinate of 𝐴 is (1, 34.5).
Tunjukkan bahawa koordinat bagi 𝐴 ialah (1, 34.5).
[4 marks]
[4 markah]
(b) Point 𝐵 is called an inflexion point where the track has a sudden change in direction with the
properties that
Titik 𝐵 dipanggil sebagai titik lengkok balas yang mana trek itu mempunyai perubahan arah
yang mengejut dengan sifat-sifat
𝑑𝑦
𝑑2 𝑦
=0
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
Find the coordinate of 𝐵.
Cari koordinat bagi titik 𝐵.
[5 marks]
[5 markah]
2. A company distributing ice receives many complaints on the size of the ice which is too big to fit
into average glass. Therefore, the company decides to re-design the shape of the ice to be a
hollow right cylinder as shown in Diagram 2.
Sebuah syarikat yang mengedarkan ais menerima banyak aduan mengenai saiz ais yang terlalu
besar untuk dimuatkan ke dalam kebanyakan gelas. Oleh itu, syarikat itu bercadang untuk
mereka semula bentuk ais sebagai satu silinder tegak yang berongga seperti yang ditunjukkan
dalam Rajah 2.
𝑥 cm
3 cm
Diagram 2
Rajah 2
Each ice is fixed to have height of 3 cm and volume of 15 cm3.
Setiap ais ditetapkan supaya mempunyai tinggi 3 cm dan isipadu 15 cm3.
(a) If the total surface area of the ice (including the inner surface) is 𝐴 cm2 and the thickness of
the ice is 𝑥 cm, show that
Jika jumlah luas permukaan bagi ais (termasuk permukaan dalaman) ialah 𝐴 cm2 dan
ketebalan ais itu ialah 𝑥 cm, tunjukkan bahawa
30
𝐴 = 10 +
𝑥
[4 marks]
[4 markah]
The total surface area of the ice determines the rate of melting of the ice, thus the suitable value of
the thickness is needed to ensure that the ice will not melt too fast at room temperature. One of the
designers suggests to set the thickness to be 0.5 cm.
Jumlah luas permukaan ais menentukan kadar peleburan ais tersebut, maka nilai yang sesuai
bagi ketebalan adalah perlu untuk memastikan bahawa ais itu tidak akan lebur dengan terlalu
cepat pada suhu bilik. Salah seorang pereka mencadangkan agar ditetapkan ketebalan pada 0.5
cm.
(b) Given that the thickness of the ice decreases at a constant rate of 0.001 cm s-1 at room
temperature, calculate the rate of change of the total surface area of the ice with thickness of
0.5 cm when placed at room temperature.
Diberi bahawa ketebalan ais berkurang pada kadar malar 0.001 cm s-1 pada suhu bilik, kira
kadar perubahan bagi jumlah luas permukaan ais yang berketebalan 0.5 cm apabila
diletakkan pada suhu bilik.
[4 marks]
[4 markah]
The company decides to set the thickness of the ice to be 0.5 cm. A sample of ice is made by the
machines in factory to be tested for its consistency of its size. Unfortunately, almost any ice
produced by the machines has a thickness of 0.503 cm. The company will repair the machines if
the positive difference in total surface area of the ice is more than 0.5 cm2.
Syarikat itu bercadang untuk menetapkan ketebalan ais kepada 0.5 cm. Satu sampel ais dibuat
oleh mesin-mesin di kilang untuk diuji ketekalan saiznya. Malangnya, hampir setiap ais yag
dihasilkan oleh mesin-mesin itu mempunyai ketebalan 0.503 cm. Syarikat itu akan membaiki
mesin-mesin tersebut jika perbezaan positif bagi jumlah luas permukaan ais adalah lebih
daripada 0.5 cm2.
(c) Use differentiation to determine whether the machines will be repaired.
Gunakan pembezaan untuk menentukan sama mesin-mesin itu akan dibaiki.
[2 marks]
[2 markah]
3. In an art class, each student is asked by the teacher to construct a miniature geometrical object by
using a thin aluminium sheet with surface area of 16𝜋 cm2. One of the student, Aiman decides to
make a right cone including its base as shown in Diagram 3.
Dalam satu kelas seni, setiap pelajar diminta oleh guru untuk membina satu objek geometri mini
dengan menggunakan helaian aluminium yang nipis yang mempunyai luas permukaan 16𝜋 cm2.
Salah seorang pelajar, Aiman bercadang untuk membuat satu kon bersudut tegak termasuk
tapaknya seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.
Diagram 3
Rajah 3
Aiman uses the whole aluminium sheet to construct the cone.
Aiman menggunakan keseluruhan helaian aluminium untuk membina kon itu.
(a) If the radius of the cone is 𝑟 cm and the volume of the cone is 𝑉 cm3, show that
Jika jejari kon itu ialah 𝑟 cm dan isipadu kon itu ialah 𝑉 cm3, tunjukkan bahawa
4
16
𝑉 = 𝜋𝑟 2 √ 2 − 2
3
𝑟
[4 marks]
[4 markah]
(b) Hence, show that
Seterusnya, tunjukkan bahawa
𝑑𝑉 16(4 − 𝑟 2 )
=
𝑑𝑟
16
3𝑟 √ 2 − 2
𝑟
[3 marks]
[3 markah]
(c) Hence, determine the minimum volume, in term of 𝜋 and unit cm3, of the cone constructed by
Aiman that can be obtained.
Seterusnya, tentukan isipadu minimum, dalam sebutan 𝜋 dan unit cm3, bagi kon yang dibina
oleh Aiman yang boleh diperoleh.
[3 marks]
[3 markah]
4. In the year 2000, a number of tigers was released into a new forest by a team of zoologists after
being bred in a zoo as a part of a conservation program to increase their population. Over the
years, the population of tigers in the forest is given by
Pada tahun 2000, sebilangan harimau dilepaskan ke dalam sebuah hutan oleh satu kumpulan ahli
zoologi selepas dibiakkan di dalam zoo sebagai sebahagian daripada program pemuliharaan
untuk meningkatkan populasi. Selepas beberapa tahun, populasi harimau di dalam hutan itu
diberi sebagai
80𝑡 + 400
𝑥=
𝑡 + 100
where 𝑡 is the number of years after the year 2000 and 𝑥 is the number of tigers.
yang mana 𝑡 ialah bilangan tahun selepas tahun 2000 dan 𝑥 ialah bilangan harimau.
(a) State the number of tigers released into the forest in the year 2000.
Nyatakan bilangan harimau yang dilepaskan ke dalam hutan itu pada tahun 2000.
[1 mark]
[1 markah]
The zoologists predict that after many decades, the population of the tigers in the forest will
remain the same due to limited food and space.
Ahli-ahli zoologi mengjangkakan bahawa selepas beberapa dekad, populasi harimau di dalam
hutan akan kekal sama disebabkan makanan dan ruang yang terhad.
(b) Calculate the number of tigers in the forest after a very long period of years.
Show your calculation.
Kirakan bilangan harimau di dalam hutan itu selepas tempoh masa tahun yang sangat
panjang.
[2 marks]
[2 markah]
Among the tigers, there are also zebras in the forest. Unfortunately, because the tigers are preying
on them, the population of zebras in the forest starts to decrease over years. By the prey-predator
model, the population of zebras and the population of the tigers are supposed to be related by
Selain harimau, terdapat juga kuda belang di dalam hutan itu. Malangnya, disebabkan harimau
menjadi pemangsa kepada kuda-kuda itu, populasi kuda belang di dalam hutan itu mula
berkurang setelah beberapa tahun. Melalui model mangsa-pemangsa, populasi kuda belang dan
populasi harimau sepatutnya berhubung melalui
𝑑𝑦 𝑑𝑥
×
= −1
𝑑𝑡 𝑑𝑡
where 𝑦 is the number of zebras in the forest.
yang mana 𝑦 ialah bilangan kuda belang di dalam hutan.
(c) Based on observation, the zoologists have found that
Berdasarkan pemerhatian, ahli-ahli zoologi telah mendapati bahawa
1
(𝑡 + 100)3
𝑦 = 900 −
22800
Show that 𝑥 and 𝑦 satisfy the prey-predator model.
Tunjukkan bahawa 𝑥 dan 𝑦 memenuhi model mangsa-pemangsa itu.
[3 marks]
[3 markah]
5. Diagram 5 shows a faucet and a right-cylindrical pail.
Rajah 5 menunjukkan sebuah kepala paip dan baldi berbentuk silinder tegak.
Faucet
Kepala paip
Pail
Baldi
ℎ cm
Diagram 5
Rajah 5
The faucet cannot be tightened properly, so water is leaking out of the faucet at a constant rate of
12𝜋 cm3 s-1. The pail of radius 20 cm is placed beneath it to collect the water, but even the pail
has a hole, thus water is leaking out of the pail at the rate of

10
h cm3 s-1, where ℎ is the height of
the water level in the pail, in cm.
Kepala paip itu tidak boleh diketatkan sepenuhnya, maka air bocor keluar daripada kepala paip
itu pada kadar yang malar iaitu 12𝜋 cm3 s-1. Baldi itu yang berjejari 20 cm diletakkan di
bawahnya untuk mengumpul air, tetapi baldi itu juga mempunyai lubang, maka air bocor keluar
daripada baldi itu pada kadar

10
h cm3 s-1, yang mana ℎ ialah ketinggian aras air di dalam baldi
itu, dalam cm.
(a) By considering the rates of water flowing into and leaking out of the pail, show that
Dengan mempertimbangkan kadar air yang masuk ke dalam dan bocor keluar daripada
baldi, tunjukkan bahawa
𝑑𝑉
1
=
𝜋(120 − ℎ )
𝑑𝑡 10
where 𝑡 is the time in seconds and 𝑉 is the volume of water in the pail, in cm3.
yang mana 𝑡 ialah masa dalam saat dan 𝑉 ialah isipadu air di dalam baldi, dalam cm3.
[2 marks]
[2 markah]
(b) Hence, show that
Seterusnya, tunjukkan bahawa
𝑑ℎ
1
=
(120 − ℎ)
𝑑𝑡 4000
[3 marks]
[3 markah]
(c) Hence or otherwise, find the rate of change of the height, in cm s -1, of the water level at the
instant when the volume of water in the pail is 40𝜋 cm3 s-1.
Seterusnya atau jika tidak, cari kadar perubahan ketinggian, dalam cm s-1, bagi aras air pada
masa ketika isipadu air di dalam baldi itu ialah 40𝜋 cm3 s-1.
[3 marks]
[3 markah]
INTEGRATION
PENGAMIRAN
1. Diagram 1 shows an inscription stone found in Egypt and its related measures.
Rajah 1 menunjukkan satu batu bersurat yang dijumpai di Mesir dan ukuran-ukurannya yang
berkaitan.
Diagram 1
Rajah 1
The upper curve of the stone can be modelled as a quadratic function.
Lengkung atas bagi batu itu boleh dimodelkan sebagai satu fungsi kuadratik.
Calculate the surface area, in cm2, of the stone.
Kira luas permukaan, dalam cm², bagi batu itu.
[6 marks]
[6 markah]
2. Diagram 2 shows a golden ring which can be seen as a solid of revolution formed by revolving
the shaded region 𝑅 by 360° about the 𝑥-axis.
Rajah 2 menunjukkan sebentuk cincin emas yang boleh dilihat sebagai pepejal kisaran yang
dibentuk dengan mengkisarkan rantau berlorek 𝑅 sebanyak 360° pada paksi-𝑥.
Diagram 2
Rajah 2
It is given that 1 cm3 of the gold has mass of 19.4 g and the price for 1 g of gold is RM163.65.
Diberi bahawa 1 cm3 emas itu mempunyai jisim 19.4 g dan harga bagi 1 g emas ialah
RM163.65.
[Use 𝜋 = 3.142]
[Guna 𝜋 = 3.142]
Calculate
Kira
(a) the volume, in cm3, of the ring,
isipadu, dalam cm3, bagi cincin itu,
[5 marks]
[5 markah]
(b) the mass, in g, of the ring,
jisim, dalam g, bagi cincin itu,
[1 mark]
[1 markah]
(c) the total price, in RM, of the ring which is solely based on the mass of the gold.
jumlah harga, dalam RM, bagi cincin itu yang hanya berdasarkan jisim emas sahaja.
[1 mark]
[1 markah]
3. A mothball is a chemical used to repel pests in home. A university student is doing an experiment
on how long a mothball from brand 𝑋 will completely evaporate. The mothball has original shape
of a perfect sphere with radius of 3 cm.
Ubat gegat ialah sejenis bahan kimia yang digunakan untuk menghalau serangga-serangga
perosak. Seorang pelajar universiti sedang menjalankan kajian tentang berapa lama sejenis ubat
gegat daripada jenama 𝑋 akan tersejat dengan sepenuhnya. Ubat gegat itu mempunyai bentuk
yang asal iaitu sfera sempurna yang berjejari 3 cm.
The following are the observations obtained from the experiment:
Yang berikut merupakan pemerhatian-pemerhatian yang diperoleh daripada kajian itu:
I
While evaporating, the mothball remains its shape as a perfect sphere.
Ketika mencair, ubat gegal itu kekal bentuknya sebagai sfera sempurna.
II
The evaporation follows the law
Penyejatan mengikut undang-undang
𝑑𝑉
𝑆2
=−
𝑑𝑡
144
where 𝑉 is the current volume of the mothball in cm3, 𝑆 is the current surface area of
the mothball in cm2 and 𝑡 is the time in days.
yang mana 𝑉 ialah isipadu semasa bagi ubat gegat itu dalam cm3, 𝑆 ialah luas
permukaan semasa bagi ubat gegat itu dalam cm2 dan 𝑡 ialah masa dalam hari.
(a) If 𝑟 is the current radius of the mothball in cm, by using chain rule, show that
Jika 𝑟 ialah jejari semasa bagi ubat gegat itu dalam cm, dengan menggunakan petua rantai,
tunjukkan bahawa
𝑑𝑟
𝜋𝑟 2
=−
𝑑𝑡
36
[3 marks]
[3 markah]
The equation in 3(a) can be interpreted to obtain a new equation
Persamaan dalam 3(a) boleh ditafsrikan untuk mendapatkan persamaan baru
𝑑𝑡
36
=− 2
𝑑𝑟
𝜋𝑟
(b) By using integration, show that
Dengan menggunakan pengamiran, tunjukkan bahawa
12(3 − 𝑟)
𝑡=
𝜋𝑟
[3 marks]
[3 markah]
(c) Hence, determine the time in days such that the volume of the mothball reduces to 0.036𝜋
cm3.
Seterusnya, tentukan masa dalam hari yang mana isipadu ubat gegat itu berkurang kepada
0.036𝜋 cm3.
[3 marks]
[3 markah]
TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
FUNGSI TRIGONOMETRI
1. The equation
Persamaan
4𝑥 3 − 3𝑥 =
1
2
can be solved by using trigonometric function.
boleh diselesaikan dengan menggunakan fungsi trigonometri.
(a) By using trigonometric formulae and considering 3𝜃 as (2𝜃 + 𝜃), prove that
Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri dan menganggap 3𝜃 sebagai (2𝜃 + 𝜃),
buktikan bahawa
cos 3𝜃 = 4 cos3 𝜃 − 3 cos 𝜃
𝑘𝑜𝑠 3𝜃 = 4 𝑘𝑜𝑠 3 𝜃 − 3 𝑘𝑜𝑠 𝜃
[5 marks]
[5 markah]
(b) By substituting 𝑥 = cos 𝜃 where 0° ≤ 𝜃 ≤ 360° and using part 1(a), find all values of 𝑥 such
that
Dengan menggantikan 𝑥 = 𝑘𝑜𝑠 𝜃 yang mana 0° ≤ 𝜃 ≤ 360° dan menggunakan bahagian
1(a), cari kesemua nilai 𝑥 yang mana
1
4𝑥 3 − 3𝑥 =
2
Give the answers in three decimal places.
Beri jawapan-jawapan dalam tiga tempat perpuluhan.
[4 marks]
[4 markah]
2. A theodolite is an instrument to measure angle in surveying. Diagram 2 shows the position of a
theodolite, a man and a lamp post tied to a rope during a learning session to use the instrument.
Teodolit merupakan satu alatan untuk mengukur sudut dalam peninjauan. Rajah 2 menunjukkan
kedudukan sebuah teodolit, seorang lelaki dan sebatang tiang lampu yang diikat kepada sebatang
tiang semasa sesi pembelajaran untuk menggunakan alatan tersebut.
Rope
Tali
𝑞m
Lamp post
Tiang lampu
Theodolite
Teodolit
Man
Lelaki
𝜃
𝜃
𝑟m
𝑝m
Diagram 2
Rajah 2
(a) Show that
Tunjukkan bahawa
𝑝+𝑞
cos 𝜃 = √
2𝑞
𝑝+𝑞
𝑘𝑜𝑠 𝜃 = √
2𝑞
[3 marks]
[3 markah]
(b) Hence or otherwise, express
Seterusnya atau jika tidak, ungkapkan
(i)
sin 𝜃,
(ii)
tan 𝜃,
(iii)
the height, in m, of the man
ketinggian, dalam m, bagi lelaki itu
in terms of 𝑝, 𝑞 and/or 𝑟.
dalam sebutan 𝑝, 𝑞 dan/atau 𝑟.
[6 marks]
[6 markah]