Zadanie 1_1_(≥2021) (szeregowe i równoległe)
Obliczyć zastępczą rezystancję między zaciskami AB, AC i BC (patrz rysunek). Przyjąć 𝑅1 = 4 Ω, 𝑅2 =
13 Ω, 𝑅3 = 5 Ω, 𝑅4 = 7 Ω, 𝑅5 =
R1
R2
R3
3 Ω, 𝑅6 = 6 Ω.
B
Rozwiązanie
𝑅23 = 𝑅2 + 𝑅3 = 13 + 5 = 18 Ω,
𝑅 ⋅𝑅
3⋅6
𝑅56 = 𝑅5 ||𝑅6 = 𝑅 5+𝑅6 = 3+6 = 2 Ω,
5
C
R4
6
R1
Obliczenie 𝑅𝐴𝐵 :
R23
B
A
R56
𝑅456 = 𝑅4 + 𝑅56 = 7 + 2 = 9 Ω,
𝑅 ⋅𝑅
18⋅9
𝑅23456 = 𝑅23 ||𝑅456 = 𝑅 23+𝑅456 = 18+9 = 6 Ω,
23
R6
R5
A
456
R4
𝑅𝐴𝐵 = 𝑅1 + 𝑅23456 = 4 + 6 = 10 Ω,
C
Obliczenie 𝑅𝐴𝐶 :
𝑅23564
𝑅2356 = 𝑅23 + 𝑅56 = 18 + 2 = 20 Ω,
𝑅
⋅𝑅
20⋅7
140
= 𝑅2356 ||𝑅4 = 𝑅 2356+𝑅4 = 20+7 = 27 ≅ 5,19 Ω,
2356
4
𝑅𝐴𝐶 = 𝑅1 + 𝑅23564 = 4 +
140
27
=
248
27
≅ 9,19 Ω
Obliczenie 𝑅𝐵𝐶 :
𝑅234 = 𝑅23 + 𝑅4 = 18 + 7 = 25 Ω,
𝑅
⋅𝑅
25⋅2
50
𝑅𝐵𝐶 = 𝑅234 ||𝑅56 = 𝑅 234+𝑅56 = 25+2 = 27 ≅ 1,85 Ω
234
Zadanie 2_1_(≥2021)
56
R
(szeregowe i równoległe,
symetria obwodu)
R
Obliczyć
zastępczą
rezystancję
między
zaciskami 0 i 4 (patrz rysunek). Przyjąć 𝑅 = 5 Ω.
R
R
2
R
3
1
R
Rozwiązanie
Odp.
𝑅04 = 𝑅 + 2𝑅||2𝑅 = 2𝑅 = 10 Ω,
𝑅04 = 𝑅 + 𝑅||𝑅 + 𝑅 ||𝑅 = 2𝑅 = 10 Ω.
0
4
Zadanie 3_1_(≥2021) (szeregowe i równoległe, rekurencja)
2
Obliczyć zastępczą rezystancję między zaciskami 0 i 4 (patrz rysunek). Przyjąć 𝑅 = 1+√5 ≅ 618 mΩ.
R
R
R
R
R
0
R
4
R
R
R
R
R
Rozwiązanie
𝑅 + 𝑅||𝑅𝑥 = 𝑅04 = 𝑅𝑥
𝑅⋅𝑅
𝑅 + 𝑅+𝑅𝑥 = 𝑅𝑥
𝑥
𝑅04 = 𝑅𝑥 =
1+√5
2
𝑅 =1Ω
Odp.
1+√5
𝑅04 = 2 𝑅 = 1 Ω
**********************************************************************************
Podsumowanie:
Połączenie szeregowe
1
R1
R2
Rn
2
1
Rn-3
Rn-1
R
Rn-2
R =  Ri
2
Połączenie równoległe
1
1
G1 G2 G3
2
... Gn
G
G = Gi
2
Zamiana trójkąta w gwiazdę i gwiazdy w trójkąt (opis rezystancyjny; ujęcie oryginalne)
z
z
Rz *
Ry
Rx
Δ
Rz
Δ
Ry*
Δ
Rx *
y
x
trójkąt
𝑎Ω2Δ ≝
y
x
gwiazda
𝑅𝑥Δ ⋅𝑅𝑦Δ ⋅𝑅𝑧Δ
𝑅𝑥Δ +𝑅𝑦Δ +𝑅𝑧Δ
=
Π𝑅 Δ
i
Σ 𝑅Δ
𝑎Ω2∗ ≝ 𝑅𝑥∗ 𝑅𝑦∗ + 𝑅𝑥∗ 𝑅𝑧∗ + 𝑅𝑦∗ 𝑅𝑧∗
to atrybuty omowe odpowiednio trójkąta i gwiazdy.
Warunek konieczny równoważności struktur trójkąta i gwiazdy:
𝒂𝛀𝚫𝟐 = 𝒂𝛀𝟐∗ ≝ 𝒂𝛀𝟐
Warunek dostateczny równoważności struktur trójkąta i gwiazdy:
dla każdego 𝛼 ∈ {𝑥 , 𝑦, 𝑧}
𝑎Ω2 = 𝑅𝛼∗ 𝑅𝛼Δ ,
czyli
𝑅𝛼Δ =
𝑎Ω2
𝑅𝛼∗
i
𝑅𝛼∗ =
𝑎Ω2
𝑅𝛼Δ
.
Ta sama zamiana w ujęciu przewodnościowym (simensowym)
z
z
Gz*
Gy
Gx
Δ
Gz
Δ
Gy *
Δ
Gx *
y
x
y
x
trójkąt
gwiazda
𝑎SΔ2 ≝ 𝐺𝑥Δ 𝐺𝑦∗ + 𝐺𝑥Δ 𝐺𝑧Δ + 𝐺𝑦Δ 𝐺𝑧Δ
𝐺𝑥∗ ⋅𝐺𝑦∗ ⋅𝐺𝑧∗
𝑎S∗2 ≝=
i
𝐺𝑥∗ +𝐺𝑦∗ +𝐺𝑧∗
Π𝐺 ∗
=
Σ 𝐺∗
to atrybuty omowe odpowiednio trójkąta i gwiazdy.
Warunek konieczny równoważności struktur trójkąta i gwiazdy:
𝒂𝐒𝚫𝟐 = 𝒂𝐒∗𝟐 ≝ 𝒂𝐒𝟐
Warunek dostateczny równoważności struktur trójkąta i gwiazdy:
dla każdego 𝛼 ∈ {𝑥 , 𝑦, 𝑧}
𝑎S 2 = 𝐺𝛼∗ 𝐺𝛼Δ ,
𝐺𝛼Δ =
czyli
𝑎S2
𝐺𝛼∗
i
𝐺𝛼∗ =
𝑎S2
𝐺𝛼Δ
.
Warto zauważyć jeszcze, że
𝑎SΔ2 ⋅𝑎Ω2Δ = 1 = 𝑎S∗2 ⋅𝑎Ω2∗ , 𝐺𝛼Δ 𝑅𝛼Δ = 1 = 𝐺𝛼∗ 𝑅𝛼∗
oraz, że jednostką dla 𝒂𝐒𝟐 jest simens do kwadratu (𝐒𝟐 ), a jednostką dla 𝒂𝛀𝟐 jest om
do kwadratu (𝛀𝟐 ).
R
Przykład zastosowania
R
Obliczyć zastępczą rezystancję
zaciskami 0 i 4 (patrz rysunek).
R
między
R
2
R
3
1
R
Rozwiązanie
R
0
4
3R
R
R
R
2
R
3
R
1
R
2
R
1
0
3R
3R
R
4
2
𝑎Ω = 𝑅 ⋅ 𝑅 + 𝑅 ⋅ 𝑅 + 𝑅 ⋅ 𝑅 = 3𝑅 2
0
4
3R
3R
R
R
1
R
2
3R
3R
0,75R
0,75R
2
1
R
0,75R+0,75R=1,5R;
0
4
1,5R||3R=R;
0
4
R+R=2R
Zadanie 4_1_(≥2021) ( → Y)
Znaleźć, poprzez przekształcenia struktury, opór zastępczy dwójnika z poniższego rysunku.
Odp. R12=2R
Rozwiązanie.
Przerysujmy obwód tak, by uwypuklić strukturę trójkąta ABC.
Następnie skorzystajmy z możliwości zamiany trójkąta w gwiazdę.
Obliczamy atrybut omowy przekształcenia:
𝑅3 1 2
𝑎Ω2 =
= 𝑅
3𝑅 3
Obliczamy, iż:
𝑎Ω2
𝑅
𝑅𝐴 =
= = 𝑅𝐵 = 𝑅𝐶
𝑅
3
Połączenie szeregowe RB , R i RC , R pozwala nam nieco jeszcze
uprościć układ:
RB + R =
4
4
R , RC + R = R .
3
3
Wykorzystujemy zależności na
równoległe i szeregowe połączenie
rezystorów i otrzymujemy:
4 4
R R
3 3 = 16 R 2  3 = 2 R
4
4
8R 3
R+ R 9
3
3
Ostatecznie
R12=2R .
Zadanie 5_1_(≥2021) ( →Y)
Znaleźć, poprzez przekształcenia struktury,
opór zastępczy dwójnika z poniższego rysunku.
Odp.: R12=2R
Rozwiązanie
Zaczynamy od przerysowania
i oznaczenia trójkąta ABC.
obwodu
Zamieniamy trójkąt ABC na gwiazdę oraz wyliczamy opory RA,
RB i RC.
Atrybut omowy przekształcenia wynosi:
𝑎Ω2 =
(4𝑅)3
3⋅4𝑅
1
3
= ⋅ (4𝑅)2.
Zatem
𝑅𝐴 =
𝑎Ω2
4𝑅
4
3
= ⋅ 𝑅 = 𝑅𝐵 = 𝑅𝐶 .
Oporniki RA i 4R oraz 4R i RC są połączone szeregowo,
więc :
4R + RA = 4R +
16
4
R,
R=
3
3
4R + RC =
16
R.
3
Ciąg dalszy sprowadza się tylko do
skorzystania ze wzorów na połączenie
szeregowe i równoległe i wyliczenia oporu
zastępczego całego obwodu.
16 16
R R
256 2 3
8
3
3
=
R 
= R
16
16
9
32
R
3
R+ R
3
3
4
8
12
R+ R = R
3
3
3
12
R  4R
48R 2 3
3
=

= 2R
12
3
24
R
R + 4R
3
Zadanie 6_1_(≥2021) ( →Y)
Znaleźć, poprzez przekształcenia struktury, opór zastępczy dwójnika z poniższego rysunku.
Przyjąć k=7/4.
Odp.: R12=2R
Rozwiązanie
Wyróżnijmy dwa „trójkąty”: ABC i CDE i dokonajmy
ich
zamiany na równoważne połączenia gwiazdowe. Wymaga to
obliczenia RA ,RB, RC , Rc, Rd oraz Re.
Zauważamy,
że
atrybuty omowe obu trójkątów (tj. ACB i CDE) są identyczne
i wynoszą:
𝑎Ω2 =
Natychmiast mamy
𝑅𝐴 =
𝑎Ω2
𝑘𝑅
=
𝑘𝑅
3
(𝑘𝑅)3
3⋅𝑘𝑅
1
= 3 ⋅ (𝑘𝑅)2 .
= 𝑅𝐵 = 𝑅𝐶 = 𝑅𝑐 = 𝑅𝐷 = 𝑅𝐸
Lokalizujemy połączenia szeregowe i obliczamy:
RC + Rc =
2
kR
3
Zauważamy
równoległe
wyliczamy:
RB + kR + RE =
5
kR .
3
kolejno połączenie
i szeregowe,
więc
2
5
kR  kR
10k 2 R 2 3
10
3
3
=

= kR ,
2
5
9
7
kR
21
kR + kR
3
3
(na rysunku powyżej dolne RC to Rc)
1
1
10
24
24 7
kR + kR + kR =
kR =   R = 2R ,
3
3
21
21
21 4
bo k=7/4.
Zadanie 7_1_(≥2021) (opór zastępczy, upraszczanie struktury; gwiazda→ trójkąt)
Obliczyć, metodą upraszczania struktury, rezystancję
R3=1
zastępczą R obwodu przedstawionego na rysunku.
35
(Odp. : 𝑅 = 11 = 3, (18) [Ω].)
R2=5
R4=2
R
Rozwiązanie.
R1=4
W pierwszym ruchu w analizowanej strukturze zastąpimy
połączenia szeregowe {R2, R3} i {R6, R7} ich opornościami
R5=2
zastępczymi R23=6  i R67=10 , a następnie, wobec tego, że nie
R7=8
zauważamy
ani
dalszych
R6=2
połączeń szeregowych, ani
równoległych, żeby cokolwiek
R4=2
dalej uprościć, musimy skorzystać z przekształceń „gwiazda –
G4=0,5 S
R23=6
trójkąt” lub „trójkat – gwiazda”.
R
G1=0,25 S
Decydujemy się na zamianę „gwiazdy” {R1, R4, R5}
R1=4
(widocznej na rysunku obok) w „trójkąt” {R23, R35, R25} („trójkąt”
ten jest wrysowany na czerwono na rysunku poniżej po lewej).
R5=2
Wyznaczamy omowy atrybut gwiazdy (równy omowemu
R67=10
G5=0,5 S
atrybutowi równoważnego trójkąta):
𝑎Ω2 = 𝑅1 𝑅4 + 𝑅1 𝑅5 + 𝑅4 𝑅5 = 8 + 8 + 4 = 20 [Ω2 ].
Zatem (porównaj sytuacje na rysunkach po lewej nieco powyżej
oraz poniżej):
𝑅14 =
R23=6
𝑎Ω2
𝑅5
=
20
2
= 10 [Ω] , 𝑅51 =
𝑎Ω2
𝑅4
=
20
2
= 10 [Ω] ,
𝑅45 =
𝑎Ω2
𝑅1
=
20
4
= 5 [Ω]
[R14, R45, R51]= 10,5,10  .
Powyższe wyniki wpisano na rysunku obok.
G14=0,1S
R14=10
R
G45=0,2S
R45=5
G51=0,1S
R51=10
Dzięki przekształceniu *→ pojawiły się rezystory
połączone równolegle. Przy oznaczeniach z kolejnego
rysunku wyliczamy:
R67=10
[G14,23 , G51,67 ] = [ R123 + G14 , R167 + G51 ] =
G14,23=4/15 S
R14,23=15/4
[ 16 + 101 , 101 + 101 ]S = [ 154 , 15 ]S,
G45=0,2S
R45=5
[R123 , R345 ] = [ , ]  .
5
3
5
3
Z kolei pojawiło się połączenie szeregowe.
Przy oznaczeniach z następnego rysunku
wyliczamy:
R
G51,67=0,2S
R51,67=5
R51,67,14,23 = R51,67 + R14,23 = (5 + 154 )  = 354  ,
G51,67,14,23 = 354 S .
Teraz pojawiło się połączenie równoległe, dla którego uproszczenia są następujące, przy
oznaczeniach z poniższego rysunku:
,
G = G51,67,14,23 + G45 = ( 354 + 15 )S= 11
35 S
𝑅=
35
11
= 3, (18) [Ω].
,
G51,67,14,23=4/35 S
R51,67,14,23=35/4
G45=0,2S
R45=5
R
Zadanie 8_1_(≥2021) (opór zastępczy, upraszczanie struktury; trójkąt → gwiazda)
Obliczyć, metodą upraszczania struktury, rezystanG6=1/5 S
cję zastępczą R obwodu przedstawionego na rysunku.
R6=5
(Odp.: R=
1473
923
 1,596 .)
G3=1/3 S
R3=3
G1=1/6 S
R1=6
G5=1/5 S
R5=5
G2=1/2 S
G4=1/3 S
Rozwiązanie.
R2=2
R4=3
Nie zauważamy ani połączeń szeregowych, ani
równoległych, więc żeby cokolwiek uprościć, musimy
skorzystać z przekształceń „gwiazda – trójkąt” lub „trójkąt –
R
gwiazda”.
Decydujemy się na zamianę „trójkąta” {R1, R2, R6} w „gwiazdę” {R*12, R*26, R*61} (patrz rysunek
niżej)1.
Do przekształcenia „trójkąt – gwiazda” (→*) można wykorzystać proste wzory podane
przed zadaniem 4.
Wspomniany „trójkąt” przerysowano, a na jego tle
R*16=30/13
kolorem różowym wrysowano zastępującą go
„gwiazdę”.
W naszym przypadku mamy (oznaczenia
R*26=10/13
pokazano na rysunku obok):
G6=1/5 S
a) omowy atrybut trójkąta i równoważnej mu
R6=5
gwiazdy wynosi:
R*12=12/13
𝑅1 𝑅2 𝑅6
6⋅2⋅5
60
𝑎Ω2 = 𝑅 +𝑅
= 6+2+5 = 13 [Ω2 ],
+𝑅
G1=1/6 S
R1=6
1
2
6
b) opory równoważnej gwiazdy wyniosą
60
G2=1/2 S
R2=2
𝑎Ω2
13
= [5,6,2]
[𝑅6 ,𝑅1 ,𝑅2 ]
1
⋅ [12, 10, 30]Ω .
13
[𝑅∗12 , 𝑅∗26 , 𝑅∗16 ] =
=
Uwzględnijmy wyznaczoną ”gwiazdę” w analizowanym schemacie. Pokazano to na kolejnym rysunku.
Dzięki przekształceniu →* pojawiły się rezystory połączone szeregowo {R3, R*26} i {R5, R*16}, dające
49
95
opory zastępcze2 odpowiednio R236= 13
 i R156= 13
 . Te opory są z kolei połączone równolegle i dają
1
To co pokazano na obrazku poniżej nie przypomina trójkąta, ale daje się przerysować tak, by bardzo
trójkąt przypominało.
2
Od tego miejsca, dla lepszego zrozumienia tekstu, Czytelnik powinien samodzielnie zilustrować sobie
opisywane przekształcenia, rysując kolejne schematy
4655
wypadkowy opór R12356= 1872
 . Opory R12356
i R*12 są połączone szeregowo i dają zastępczą
491
rezystancję R12356*= 144
.
Wreszcie rezystor zastępczy R12356* jest
połączony równolegle z rezystorem R4, dając
poszukiwany opór wypadkowy R= 1473
≅
923
1,596 Ω .
Warto zauważyć, że wszystkie
przeprowadzone tu przekształcenia były tak
dobrane, by w wyniku uproszczeń nie
wyeliminować zacisków, z punktu widzenia
których wyznaczamy oporność zastępczą
(w tym zadaniu są to jednocześnie zaciski
opornika R4). Dlaczego to jest istotne?
R*16=30/13 
R*26=10/13 
R*12=12/13 
G3=1/3 S
R3=3
G4=1/3 S
R4=3
R
G5=1/5 S
R5=5