Corrente Alternada
10ª Edição – Novembro 2016
Engº José Roberto Pereira
APRESENTAÇÃO
Este trabalho é o resultado de muitos dias (e noites) de pesquisa, estudo,
planejamento, organização, redação, desenho, compilação, cálculos, etc., e foi
elaborado sem finalidade comercial ou sequer para obtenção de qualquer espécie de
remuneração ou lucro financeiro.
Seu objetivo é, unicamente, divulgar e propagar o seu conteúdo entre o maior
número possível de pessoas, de modo a fomentar o saber e estimular o
conhecimento. Espero assim que, de alguma forma, ele seja uma forma de
contribuição para o aprimoramento e a elevação do espírito humano, e da evolução
da nossa espécie.
Por esta razão, o seu conteúdo não está protegido por qualquer tipo de patente ou
“copyright”, sendo a sua cópia, distribuição e divulgação não apenas permitida,
mas também (e principalmente) estimulada, no todo ou em parte, em qualquer tipo
de mídia, seja ela física, eletrônica ou qualquer outra que, futuramente, possa
surgir, desde que não seja vendida ou comercializada de qualquer forma e que a
fonte seja devidamente citada.
Acredito que, com este pequeno legado, estarei contribuindo, mesmo que
humildemente, para fazer deste nosso mundo um lugar melhor para se viver.
Serão muito bem-vindas quaisquer colaborações apontando eventuais erros ou
sugerindo melhorias para este trabalho, que poderão ser enviadas para o e-mail do
autor, indicado no rodapé.
Rio de Janeiro, março de 2011.
José Roberto Pereira
“A principal meta da educação é criar homens que sejam capazes de fazer coisas
novas, não simplesmente repetir o que outras gerações já fizeram. Homens que
sejam criadores, inventores, descobridores. A segunda meta da educação é formar
mentes que estejam em condições de criticar, verificar e não aceitar tudo que a
elas se propõe.”
(Jean Piaget)
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Advertência
Para a perfeita compreensão do conteúdo deste trabalho é necessário o conhecimento prévio
de alguns conceitos básicos de matemática, cujo domínio é fundamental para o
acompanhamento e a resolução dos exercícios propostos. Listamos abaixo os principais
conceitos considerados pré-requisitos:
- Quatro Operações Aritméticas Fundamentais: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão
- Números Decimais e Operações com Números Decimais
- Frações e Operações com Frações
- Razões e Proporções – Regra de Três
- Porcentagem
- Potenciação
- Radiciação
- Sistemas de Medidas – Múltiplos e Submúltiplos
- Notação Científica (Potência de 10)
- Equações do Primeiro Grau
- Sistemas de Equações do Primeiro Grau
- Noções de Cálculo Vetorial
- Trigonometria
- Números Complexos (Forma Polar e Retangular)
- Operações com Números Complexos
- Logaritmos
- Resolução de Triângulos Retângulos (Teorema de Pitágoras)
Os conteúdos acima podem ser obtidos na bibliografia sugerida no final deste trabalho.
Recomandamos enfaticamente o seu estudo, conhecimento e domínio.
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – A Corrente Alternada
04
CAPÍTULO 2 – Vetores e Quantidades Complexas
14
CAPÍTULO 3 – Reatância e Impedância
19
CAPÍTULO 4 – Circuitos de C.A. Monofásicos Ideais
22
CAPÍTULO 5 – Circuitos Monofásicos de C.A.
27
CAPÍTULO 6 – Ressonância
52
CAPÍTULO 7 – Filtros Passivos
58
CAPÍTULO 8 – Sistemas Polifásicos
71
CAPÍTULO 9 – Harmônicas
84
BIBLIOGRAFIA
87
ÍNDICE
88
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CAPÍTULO 1
A CORRENTE ALTERNADA
1.1 - Produção de uma tensão alternada senoidal
No capítulo 13 da Apostila de Eletricidade I, estudamos a f.e.m. induzida num condutor que se
movimenta num campo magnético, conforme a figura abaixo:
N
Emáx
α
S
Vimos também que o seu valor instantâneo é dada pela expressão
e = β . L . v . sen α
onde:
e = valor instantâneo da f.e.m. induzida no condutor, em Volts (V)
β = densidade do fluxo magnético, em Teslas (T)
L = comprimento da parte do condutor submetida ao campo magnético, em Metros (m)
v = velocidade com que o condutor atravessa o campo, em (m/s)
sen α = seno do ângulo entre a direção do movimento do condutor e a direção do campo
Esse valor será zero quando α = 0º ou α = 180º, uma vez que sen 0º = sen 180º = 0.
Por outro lado, esse valor será máximo quando α = 90º, resultando em sen 90º = 1.
Nesta condição, podemos dizer que
e = β . L . v = Emáx
A equação da f.e.m. instantânea pode então ser escrita como:
e = Emáx . sen α
Esta f.e.m. pode assim ser representada por um vetor girante ou fasor, cujo raio ou amplitude é
igual ao valor de pico ou valor máximo dessa f.e.m. e que gira no sentido anti-horário com
velocidade angular ω.
e = Emáx . sen ωt
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A projeção de Emáx (ou Vmáx) no eixo vertical é uma função do seno do ângulo, reproduzindo,
portanto, a tensão senoidal v(t) ou v(α), dependendo do domínio. Isso é mostrado na figura
abaixo:
Analisemos agora o caso de uma espira móvel, da figura abaixo, que roda com velocidade
constante, no sentido indicado pela seta F, num campo magnético uniforme:
Na posição indicada na figura, os condutores AB e CD se deslocam perpendicularmente com as
linhas de força do campo, as quais têm o sentido H.
Aplicando-se aos dois condutores uma das regras da mão esquerda antes mencionadas,
observar-se-à que o sentido das f.e.m. nos mencionados condutores é respectivamente (e) e
(e1). Estas duas f.e.m., embora de sentido oposto, somam seus efeitos no circuito da própria
espira. Nestas condições, nos bornes da mesma existe no instante considerado a diferença de
potencial igual a 2e.
Na posição indicada na mesma figura, os dois condutores se deslocam perpendicularmente às
linhas de força do campo (α = 90o) e por isso a f.e.m. que neles se gera é máxima, pois é
máximo o número de linhas de fôrça cortadas pelos condutores, por cada unidade de
comprimento percorrido.
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O valor da f.e.m. vai decrescendo sucessivamente até reduzir-se a zero quando, depois de uma
rotação de 90°, a espira alcança o plano YY, onde os condutores deslocam-se paralelamente
com as linhas de fôrça do campo (α = 0o), sem cortar nenhuma delas.
Deste instante em diante, a f.e.m. induzida volta a crescer mas o seu sentido, em relação aos
bornes da espira, fica invertido, pois o condutor AB irá deslocar-se no sentido em que antes
deslocava-se o condutor CD e vice-versa.
No instante em que a bobina passa pela posição que alcança depois de meia volta, a f.e.m.
nela induzida adquire um valor igual, mas em sentido contrário ao alcançado com a espira na
posição indicada na figura anterior.
Desta posição em diante a f.e.m. induzida na espira volta a diminuir para anular-se, outra vez
mais, quando a espira passa pelo plano YY.
O fenômeno processa-se conforme está indicado na figura abaixo, na qual está representado o
diagrama de variação da f.e.m., constituído tomando-se como abcissas os ângulos de rotação e
como ordenadas os valores que a f.e.m. adquire quando passa por cada uma das posições
definidas pelas abcissas. Consideram-se positivas as f.e.m. dirigidas num sentido, prefixado
arbitràriamente, e negativas as dirigidas no sentido contrário.
O processo se repete identicamente em cada volta e se a espira estiver ligada a um circuito
fechado, a f.e.m. nela induzida lança neste uma corrente que sofre variações análogas às da
f.e.m. que a produz. As f.e.m. e as correntes dêste tipo são chamadas f.e.m. e correntes
alternadas.
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1.2 - Análise gráfica e matemática da função seno
Uma função periódica senoidal genérica pode ser representada graficamente de duas formas:
no domínio temporal (em função do tempo) ou no domínio angular (função do ângulo), como
mostra a figura abaixo:
v(t)
v(α)
α = ωt
No caso dessa função expressar o comportamento de uma tensão elétrica, a amplitude máxima
que esta tensão senoidal pode atingir é denominada tensão de pico (Vp), ou tensão máxima
(Vmáx) e a amplitude total entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada tensão
pico a pico (Vpp), sendo:
Vpp = 2 . Vp = 2 . Vmáx
O tempo que a função necessita para completar um ciclo é chamado de período (T) e o
número de vezes que o ciclo se repete por segundo é chamado de freqüência (f), sendo a
relação entre eles a seguinte:
f=
onde:
7
1
T
[T] =s
segundo
[ f ] = Hz ou c/s
Hertz ou ciclos / segundo
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Matematicamente, os gráficos de uma tensão senoidal nos domínios temporal e angular podem
ser representados, respectivamente, por:
v = Vp . sen ωt
onde:
v = Vp . sen α
ou
v(t) = v(α) = valor da tensão no instante t ou para o ângulo α
Vp = Valor de pico ou valor máximo da tensão (em Volts)
ω = velocidade angular ou freqüência angular (em rd/s)
α = ângulo (em rd)
A freqüência angular ou velocidade angular, representada pela letra grega ω (ômega) ,
corresponde ao valor do ângulo α do sinal em função do tempo. Das expressões matemáticas
anteriores, tiramos a relação: α = ωt.
Comparando os gráficos dos domínios temporal e angular, notamos que quando α = 2π, tem-se
que t = T. Assim, é válida a relação ωT = 2π. Portanto, a freqüência angular ω pode ser
calculada por:
ω=
2π
T
ou
ω = 2π.f
1.3 - Fase inicial
Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seu ciclo no instante t=0. neste
caso, dizemos que o sinal possui uma fase inicial θ0.
Assim sendo, a expressão para representar o sinal senoidal deve incluir esta fase inicial:
v = Vp . sen (ωt + θ0)
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado,
θ0 é positivo.
Se o sinal inicia o seu ciclo atrasado,
θ0 é negativo, como mostra a figura ao lado:
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1.4 – Offset
Offset é o deslocamento vertical de uma onda senoidal, ou o nível C.C. que está somado a uma
onda alternada. Pode ser positivo ou negativo. Corresponde a um deslocamento vertical do eixo
de simetria da senóide.
A figura abaixo, à esquerda, mostra uma tensão senoidal com amplitude de 4 Vpp e offset = 0.
A figura da direita exemplifica outra tensão senoidal de mesma amplitude (4 Vpp), porém com
um offset positivo de 1 volt.
Neste caso, a expressão completa da tensão exemplificada na figura da direita com offset
positivo de 1V ficaria como abaixo:
v = Vp . sen (ωt + θ0) + 1
v
v
3V
2V
2V
1V
1V
0
t
-1V
0
t
-1V
-2V
Offset = 0
Offset = 1V
1.4 - Valores Médio e Eficaz de uma f.e.m. Senoidal
O valor médio de uma função periódica geral é dado pela integral abaixo:
T
Ymed =
∫
1
T
y(t) dt
0
Para uma função senoidal, podemos escrever:
2π
Ymed =
9
1
2π
∫
Ymax sen (ωt) d(ωt)
0
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9
Substituindo-se o termo genérico “Y” pela tensão, uma vez que esta é uma função senoidal, e
integrando para os dois semiciclos, uma vez que a senóide foi retificada em meia onda (o valor
médio não é mais igual a zero), temos que:
2π
Vmed =
∫
1
2π
Vmax sen (ωt) d(ωt)
0
Resolvendo a integral, temos:
Vmax
2π
Vmed =
. (cos 0 – cos 2π)
Sendo cos 0 = 1 e cos 2π = 1, podemos então escrever:
Vmax
2π
Vmax
. (1 – 1) =
2π
Vmed =
.0 = 0
Desta forma, verificamos que o valor médio de uma função senoidal com zero de offset é igual a
zero, o que faz sentido, uma vez que o semiciclo positivo é igual ao semiciclo negativo.
No entanto, sabemos que uma corrente alternada circulando numa resistência produz trabalho,
sob a forma de calor, o que nos leva a deduzir que existe um valor responsável pela realização
deste trabalho.
Este valor é chamado de Valor Eficaz e é obtido calculando-se a raiz quadrada da média dos
quadrados dos valores instantâneos (eleva-se ao quadrado para converter o semiciclo negativo
em positivo e assim calcular a média).
Por esta razão, este valor também é chamado de
Valor RMS (de ROOT – MEAN – SQUARE).
A sua fórmula geral está indicada abaixo:
T
∫
1
T
Yef =
y2 (t) dt
0
Para uma função senoidal, podemos escrever:
2π
Vef =
1
2π
∫
(Vmax sen ωt)2 d(ωt)
0
Resolvendo a integral, temos:
Vef =
10
Vmáx
√2
ou
Vef = 0,707 Vmáx
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Podemos também calcular o valor eficaz de forma mais simples, utilizando o método gráfico.
O quadrado de uma senóide é outra senóide, porém, com todos os valores instantâneos
positivos. A figura abaixo mostra uma tensão senoidal com valor de pico igual a “vp”.
v
vp 2
vp2
2
vp
t
2
Elevando-se essa tensão ao quadrado, obtemos a senóide com valor de pico igual a “vp ”.
2
O seu valor médio será, então, igual a “vp / 2”.
O valor eficaz será a raiz quadrada desse valor médio:
vef =
vp2
2
vef =
vp
√2
vef = 0,707 vp
O valor eficaz de uma tensão ou corrente é definido como o valor que ela deveria ter, se fosse
constante (como uma C.C. constante) para produzir uma certa quantidade de calor num
determinado tempo, ou seja, é o valor responsável pela dissipação de potência.
Quando dizemos que uma corrente alternada tem, por exemplo, o valor eficaz de 1A, isto quer
dizer que ela é capaz de produzir tanto calor por segundo quanto uma corrente contínua
constante de 1A.
Em geral, quando se fala de uma tensão ou corrente alternada, faz-se referência ao seu valor
eficaz, e os medidores indicam comumente valores eficazes. Assim, salvo observação em
contrário, sempre que nos referirmos a um valor de tensão ou corrente alternada, estaremos
nos referindo ao seu valor eficaz.
Dissemos anteriormente que o valor médio de uma onda senoidal com offset zero é igual a
zero. Existe, no entanto, uma forma de se calcular o valor médio de uma função senoidal
evitando que o mesmo seja zero. Isso é feito considerando somente um semi-ciclo, uma vez
que o valor médio da onda completa é zero. O valor médio é dado pela fórmula abaixo:
π
Vmed =
11
1
π
∫
0
Vmax sen (ωt) d(ωt)
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Resolvendo a integral, temos:
Vmed =
Vmax
π
. (cos 0 – cos π)
Sendo cos 0 = 1 e cos π = – 1, podemos então escrever:
Vmed =
Vmax
π
. (1 + 1) =
2Vmax
π
Então:
Vm =
2.Vmáx
π
ou
Vm ≅ 0,636 Vmáx
Um gráfico mostrando os valores de uma tensão
senoidal com tensão de offset = 0 pode ser
visualizado abaixo:
V
Vp
Vef = 0,707 Vp
Vm = 0,636 Vp
T
0
t
Vpp
- Vp
v = Vmáx . sen (ωt + θ0) + offset
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Vp = Vmáx = Tensão de pico (ou tensão máxima)
Vef = Tensão eficaz
Vm = Tensão média
v = Tensão instantânea
Vpp = Tensão pico-a-pico ( Vpp = 2.Vp )
ω = 2 . π . f (rd/s)
T = Período (segundos)
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CAPÍTULO 2
VETORES E QUANTIDADES COMPLEXAS
Quando expressamos, por exemplo, o comprimento, a massa ou o volume de um corpo, Um
único número ou valor, chamado “Módulo”, acompanhado da sua unidade, é suficiente para
definirmos perfeita e completamente a sua grandeza ou magnitude, como por exemplo: 2
metros, 3,5 quilogramas, 5 litros e assim por diante. Grandezas desse tipo são chamadas
ESCALARES.
Por outro lado, existem outras grandezas que, para serem perfeitamente definidas, é preciso
conhecer não apenas o seu valor numérico ou módulo, mas também a sua direção, o seu
sentido e o seu ponto de aplicação. Essas grandezas são chamadas VETORIAIS.
Por exemplo, se desejamos saber o que acontece com um corpo submetido a uma força, é
necessário que se conheça não somente a sua intensidade (módulo), mas também a sua
direção, o seu sentido e o ponto onde foi aplicada. Analogamente, não podemos dizer que dois
automóveis possuem a mesma velocidade simplesmente porque os seus velocímetros têm as
mesmas leituras, porque os seus movimentos podem ter direções diferentes.
As grandezas vetoriais são representadas graficamente por segmentos de reta orientados,
chamados VETORES. O comprimento do segmento de reta representa o módulo da grandeza.
A posição do segmento, em si, representa a direção e a seta em uma das suas extremidades
representa o sentido. Isso significa que, para cada direção, dois sentidos são possíveis,
dependendo da extremidade onde a seta se encontra.
Os vetores são, normalmente, referidos a uma referência, que pode ser um sistema de
coordenadas cartesianas. No nosso caso particular para estudo das correntes alternadas, esse
sistema possui apenas dois eixos, chamados aqui de eixo das grandezas reais e eixo das
grandezas imaginárias (ou reativas).
Quando diversos vetores interagem sobre um corpo, a sua resultante é representada por um
único vetor, equivalente à soma vetorial dos vetores em questão. A soma vetorial,
diferentemente da soma algébrica, que utiliza apenas os módulos, visto que todos se encontram
em um mesmo eixo, leva também em conta os seus ângulos, decompondo cada vetor em suas
projeções nos eixos cartesianos e, só então, somando suas componentes reais e reativas entre
si, obtendo, então, o vetor resultante.
A figura abaixo demonstra a soma de dois vetores V1 e V2.
y
Onde:
V1x = V1 cos φ1
V 1 + V2
V1y + V2y
V1
V1y
V2y
V1y = V1 sen φ1
V2
φ1
φ2
V1x
14
V2x
V1x + V2x
x
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2.1 – Representação vetorial de ondas senoidais
Como visto na página 5, uma senóide é produzida pela projeção vertical de um vetor girante,
também chamado de FASOR. No entanto, não é muito conveniente a combinação de várias
ondas senoidais para a resolução de circuitos de C.A. É mais prático a utilização de vetores, ou
fasores, para a representação das grandezas senoidais que variam com o tempo.
Apesar da vantagem da solução gráfica que os fasores podem proporcionar, aliada à aplicação
de relações trigonométricas, é ainda mais prática a sua utilização em Coordenadas Polares
e/ou em Cordenadas Retangulares.
2.2 – Coordenadas Polares
Um vetor pode ser expresso pelo seu módulo e pelo ângulo (argumento) que forma com um
eixo de referência. Definido deste modo, dizemos que está na FORMA POLAR.
Na figura anterior, admitindo que o valor V2 seja o módulo e φ2 o ângulo do vetor V2, este pode
ser expressado, na forma polar, como:
V2 = V2 | φ2
Importante salientar que a simbologia empregada acima não significa uma divisão, mas apenas
representa o módulo e o argumento (ângulo) do vetor na forma polar.
2.3 – Coordenadas Retangulares
Um vetor também pode ser representado como um número complexo, pelas suas projeções
(componentes horizontal e vertical) num sistema de coordenadas retangulares (eixos
cartesianos), onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical a parte imaginária,
como mostra a figura da página anterior.
Para representar uma grandeza complexa sem o auxílio do gráfico, fazemos uso do operador
“j”, que é o equivalente ao operador “i” da matemática (√-1) quando estudamos números
complexos. Como em eletricidade a letra “i” é utilizada para representar a intensidade de
corrente, utilizamos a letra “j” em seu lugar para evitar confusões.
Observemos a figura abaixo:
–A
A
Nela, temos o vetor A sobre o eixo horizontal, à direita do eixo vertical. À esquerda deste eixo,
temos o vetor –A, de mesmo módulo, porém defasado de 180° do outro vetor ou, em outras
palavras, multiplicado por (–1). E se desejássemos que o vetor se deslocasse apenas 90°?
Sabemos que –1 é o mesmo que √-1 x √-1 e que multiplicar um número por –1 significa
deslocá-lo em 180°. Então podemos dizer que multiplicar um vetor por √-1 ou “j” é o mesmo
que deslocá-lo em 90° no sentido anti-horário, visto que multiplicá-lo duas vezes por esse valor
equivale a 180°. Assim, multiplicar um vetor por ( – j ) é o mesmo que girá-lo de 90° no sentido
horário.
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Dessa forma, a representação do vetor V1 da página 12 na forma retangular (também chamada
de binômia, complexa ou cartesiana) ficaria como abaixo:
V1 = V1x + j V1y
ou
V1 = V1 cos φ1 + j V1 sen φ1
2.4 – Conversão da Forma Retangular em Polar
As componentes do vetor, em um sistema de coordenadas retangulares, formam, com o próprio
vetor, um triângulo retângulo, no qual o vetor é a hipotenusa e as suas componentes horizontal
e vertical, os catetos. Então, com relação ao seu módulo, aplicando o Teorema de Pitágoras,
podemos dizer que:
|V1| =
√ V1x2 + V1y2
Da trigonometria, podemos calcular o seu argumento.
φ1 = arctg
V1y
V1x
pois tg φ1 =
V1y
V1x
2.5 – Conversão da Forma Polar em Retangular
Para transformar da Forma Polar para a Retangular utilizamos a trigonometria:
V1x = V1 cos φ1
V1y = V1 sen φ1
2.6 – Operações com vetores na Forma Retangular
A soma, a subtração, a multiplicação e a divisão de vetores nesta forma seguem às regras da
álgebra.
Para somar ou subtrair, opera-se de forma independente as partes real e imaginária, como no
exemplo abaixo:
20 + j 35
-2 + j 5
-3 – j 8
15 + j 32
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Para multiplicar vetores na Forma Retangular, multiplica-se membro a membro.
(2 + j 4) (3 – j 5) = 6 – j 10 + j12 – j2 20 = 26 + j 2
(Como j2 = -1, - j2 = 1)
A divisão de dois vetores na Forma Retangular é determinada pela aplicação do princípio da
racionalização do denominador, isto é, multiplicando os termos da divisão pelo conjugado do
denominador.
Exemplo: Dividir (36 + j 12) por (8 – j 4)
36 + j 12
=
8–j4
=
240 + j 240
80
36 + j 12
x
8–j4
8+j4
8+j4
=
288 + j 144 + j 96 + j2 48
64 – j2 16
=
= 3+j3
2.7 – Operações com vetores na Forma Polar
Não é possível somar ou subtrair grandezas vetoriais na Forma Polar. Para essas operações
deve-se converter, antes, para a Forma Retangular, fazer a operação e converter o resultado
para a Forma Polar.
Para multiplicar, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos.
3 | 15° x 7 | 20° = 21 | 35°
Para dividir, divide-se os módulos e subtrai-se os argumentos.
65 | 48° ÷ 13 | 15° = 5 | 33°
Exercícios propostos:
1 ) Converter os números abaixo para a forma polar:
a) N1 = 30 – j 15
R: 33,54 | -26,57°
e) N5 = 10
R: 10 | 0°
b) N2 = 12 + j 20
R: 23,32 | 59°
f) N6 = -45
R: 45 | - 180°
c) N3 = 60 – j 40
R: 72,11 | -33,69°
g) N7 = j 82
R: 82 | 90°
d) N4 = 6 – j 13
R: 14,32 | -65,22°
h) N8 = - j 17 R: 17 | -90°
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2) Converter os números abaixo para a forma retangular:
a) N1 = 75 | 60°
R: 37,5 + j 64,95
e) 75 | 0°
R: 75 + j 0
b) N2 = 28 | -45°
R: 19,8 – j 19,8
f) 127 | 90°
R: 0 + j 127
c) N3 = 15 | 33°
R: 12,58 + j 8,17
g) 220 | -90°
R: 0 – j 220
d) N4 = 59 | -28°
R: 52,09 – j 27,7
h) 29,5 | 30°
R: 25,55 + j 14,75
3) Efetuar as operações abaixo, deixando as respostas nas formas polar e cartesiana.
a) 75 | 60° + 28 | -45°
R: 72,95 | 38,2°
= 57,3 + j 45,15
b) 84 | -25° – 39 | -60°
R: 56,66 | 1,75°
= 56,63 – j 1,73
c) (30 – j 15) / (12 + j 10)
R: 2,15 | -66,37° = 0,86 – j 1,97
d) 59 | -28° x (25 – j 30)
R: 19,95 | -78,2° = 4,08 – j 19,53
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CAPÍTULO 3
REATÂNCIA E IMPEDÂNCIA
3.1 - Reatância Indutiva
Segundo a Lei de Lenz (Apostila de Eletricidade I – Capítulo 13), a f.e.m. de auto-indução
oferece uma oposição às variações de corrente. Esta oposição tem o nome de REATÂNCIA
INDUTIVA (XL) e num circuito de C.A., é dada pela fórmula
XL = 2.π.f.L
ou
XL = ω.L
XL = reatância indutiva em Ohms (Ω)
f = freqüência em Hertz (Hz)
L = coeficiente de auto-indutância em Henrys (H)
ω = freqüência angular da corrente (rd/s)
3.2 - Reatância Capacitiva
Por sua vez, um capacitor se opõe às variações de tensão e neste caso, esta oposição chamase REATÂNCIA CAPACITIVA (XC), que num circuito de C.A. é dada pela expressão
XC =
1
2.π.f.C
ou
XC =
1
ω.C
XC = reatância capacitiva em Ohms (Ω)
f = freqüência em Hertz (Hz)
C = capacitância em Farads (F)
ω = freqüência angular da corrente (rd/s)
3.3 - Impedância ( Z )
Esta grandeza é o conjunto de todos os fatores que devem ser vencidos pela f.e.m. aplicada ao
circuito de corrente alternada, para que se possa estabelecer uma corrente elétrica.
Compreende, portanto, a resistência efetiva do circuito e as reatâncias indutiva e capacitiva. Em
outros termos, a impedância é a soma vetorial das reatâncias com a resistência, como pode ser
melhor compreendido na figura abaixo:
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XL
Z
XL - XC
R
XC
Em conseqüência do exposto, é fácil concluir que a Lei de Ohm, quando aplicada a circuitos de
C.A., passa a ter o seguinte enunciado:
"A INTENSIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA É DIRETAMENTE PROPORCIONAL À
FORÇA ELETROMOTRIZ E INVERSAMENTE PROPORCIONAL À IMPEDÂNCIA."
I=
V
Z
Z = impedância em Ohms (Ω)
V = tensão em Volts (V)
I = corrente em Ampères (A)
Obs.: As equações para o cálculo das reatâncias indutiva e capacitiva só são válidas para
correntes alternadas senoidais.
3.4 - Potência em C.A.
A energia aplicada por segundo a um circuito de corrente alternada (potência do circuito) é
destinada a vencer as três dificuldades normalmente presentes no mesmo: a resistência efetiva,
a reatância indutiva e a reatância capacitiva.
A parte destinada a vencer a resistência efetiva do circuito é denominada POTÊNCIA REAL,
POTÊNCIA ATIVA ou POTÊNCIA ÚTIL (P) do circuito. É expressa em WATTS. Esta potência
corresponde à energia elétrica que está realizando trabalho elétrico, ou sendo transformada em
calor, em cada segundo, e costuma ser chamada também de POTÊNCIA EFETIVA.
A parcela gasta para sobrepujar a reatância do circuito é denominada POTÊNCIA REATIVA
(Q), sendo expressa em VOLT-AMPÈRE REATIVO (VAr).
A soma vetorial das potências real e reativa é igual ao produto da tensão aplicada ao circuito
pela intensidade da corrente no mesmo. Este produto é conhecido como POTÊNCIA
APARENTE ou POTÊNCIA TOTAL (S) do circuito, e corresponde, como dissemos no início
deste item, à energia aplicada por segundo ao circuito. A potência aparente é dada em VOLTAMPÈRE (VA).
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O cálculo da potência em C.A. é feito com as mesmas equações estudadas em C.C.,
observados apenas os seguintes fatos:
-
a potência aparente refere-se à energia gasta por segundo para vencer a dificuldade
total do circuito; para calculá-la devemos considerar a impedância (Z) e a tensão total
aplicada ao circuito (V)
S=V.I
-
=
I2 . Z = V2 / Z
VOLT-AMPÈRE (VA)
a potência real é a energia gasta por segundo para vencer apenas a resistência efetiva.
No seu cálculo é considerada simplesmente a resistência efetiva (R) e a tensão ER:
P = VR . I = I2 . R = VR2 / R
-
WATTS (W)
a potência reativa é a energia gasta por segundo unicamente para vencer a reatância do
circuito. Para calculá-la, consideramos a reatância (X) e a parcela da tensão destinada a
vencê-la (VX):
Q = VX . I = I2 . X = VX2 / X VOLT-AMPÈRE REATIVO (Var)
3.5 - Fator de Potência
Como vimos, a potência em WATTS (POTÊNCIA REAL) é apenas uma percentagem da
POTÊNCIA APARENTE.
A relação entre a potência real e a potência aparente é denominada FATOR DE POTÊNCIA do
circuito:
Fator de Potência = cos φ =
P
S
O fator de potência do circuito é igual a 1 quando a única dificuldade no circuito é a resistência
efetiva.
Quando há reatância de qualquer espécie, o fator de potência é um número igual ou menor do
que 1. É muito comum se referir ao fator de potência como “cosseno fi” , pois ele exprime o
valor do cosseno do ângulo “φ” formado por P e S.
Triângulo das Potências
S = Potência Aparente (VA)
P = Potência Ativa (W)
S
Q
Q
Q = Potência Reativa (VAr)
φ
P
P = S cos φ
Posteriormente, veremos este assunto com mais detalhes.
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CAPÍTULO 4
CIRCUITOS DE C.A. MONOFÁSICOS IDEAIS
4.1 - Circuito Puramente Resistivo
Trata-se de um circuito como a figura abaixo, em que a única dificuldade a ser vencida pela
tensão aplicada é a resistência efetiva, e, portanto, Z = R
I
V~
VR
R
Convém esclarecer que “R” não é apenas a resistência de um resistor, e sim A RESISTÊNCIA
EQUIVALENTE DE TODOS OS ELEMENTOS QUE CONSTITUEM O CIRCUITO.
A intensidade da corrente fornecida pela fonte é
I=V/Z = V/R
A tensão VR e a intensidade da corrente atingem valores correspondentes ao mesmo tempo:
VR
Quando isto ocorre com duas grandezas, dizemos que estão EM FASE. Em outras palavras, a
tensão VR e a intensidade da corrente no circuito atingem seus valores máximos, mínimos e
quaisquer outros valores no mesmo instante.
Como as duas grandezas VR e I são senoidais e estão em fase, podemos representá-las
vetorialmente conforme a figura abaixo:
I
22
VR
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22
Toda a energia aplicada a este circuito é usada para vencer apenas sua resistência. Assim,
podemos concluir que:
Potência reativa = 0
Potência real = Potência aparente
Como vimos, o circuito que está sendo considerado não apresenta reatância, e a potência
reativa é nula.
O fator de potência do circuito é igual a 1 ou 100%; isto porque toda a energia aplicada ao
circuito está sendo gasta para vencer sua resistência. Também pela expressão abaixo
chegamos à mesma conclusão:
Fator de potência = P / S = 1
4.2 - Circuito Puramente Indutivo
I
V~
VL
L
Neste circuito, a única dificuldade apresentada para o estabelecimento de uma corrente elétrica
é a reatância indutiva. Desta forma, podemos escrever que:
Z = XL = 2.π.f.L = ω.L
XL simboliza a reatância total do circuito; é a reatância oferecida pela auto-indutância
equivalente do circuito.
A intensidade da corrente no circuito é:
I = V / Z = V / XL = V / 2.π.f.L
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Estudamos que a indutância no circuito se opõe às variações da corrente, ou seja, retarda seu
crescimento e sua queda; vimos também que a f.e.m. de auto-indução (f.c.e.m.) é máxima
quando I é igual a zero, e vice-versa. Portanto, VL e I estão sempre defasadas de 90 graus
elétricos, o que pode ser representado como mostra a figura:
Neste caso, dizemos que I está atrasada 90° em relação a VL.
Vetorialmente, podemos representar estas duas grandezas do seguinte modo:
VL
φ = ângulo de defasagem
φ
I
A energia aplicada ao circuito tem a exclusiva finalidade de vencer a reatância indutiva, donde
concluímos que:
Potência reativa = Potência aparente
Potência real = 0
As potências aparente e reativa podem ser calculadas com qualquer das expressões abaixo:
Q = S = V . I = VL . I = I2 . Z = I2 . XL = V2 / Z = VL2 / XL
O fator de potência do circuito é zero, porque não está sendo gasta energia para vencer
resistência. Chega-se à mesma conclusão pela expressão abaixo:
Fator de potência = P / S = 0 / S = 0
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4.3 - Circuito Puramente Capacitivo
I
V~
VC
C
Neste caso, o único obstáculo ao estabelecimento de uma corrente no circuito é a reatância
capacitiva. Assim, podemos escrever que:
Z = XC =
1
2.π.f.C
XC simboliza a reatância capacitiva total do circuito, isto é, a reatância oferecida pela
capacitância equivalente do circuito.
A intensidade da corrente no circuito é
I = V / Z = V / XC = V.2.π.f.C
Sabemos que a d.d.p. entre as placas de um capacitor é zero quando a corrente de carga é
máxima, e vice-versa. Neste circuito, VC e I não atingem valores correspondentes ao mesmo
tempo, como mostra a figura abaixo:
25
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25
Dizemos então que VC e I estão DEFASADAS de 90 graus elétricos; como os valores de I se
antecipam aos valores de VC, afirmamos que I está adiantada de 90 graus elétricos em relação
a VC.
Como estas duas grandezas são senoidais e estão defasadas de 90°, podemos representá-las
vetorialmente de acordo com a figura
I
φ
VC
φ = ângulo de defasagem
Toda a energia aplicada a este circuito é usada para vencer sua reatância capacitiva.
Concluímos que:
Potência real = 0
Potência reativa = Potência aparente
As potências aparente e reativa podem ser calculadas com qualquer das expressões abaixo:
Q = S = V . I = VC . I = I2 . Z = I2 . XC = V2 / Z = VC2 / XC
O fator de potência do circuito é zero, pois não há gasto de energia para vencer resistência, ou,
como mostra a expressão abaixo:
Fator de potência = P / S = 0 / S = 0
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CAPÍTULO 5
CIRCUITOS MONOFÁSICOS DE C.A.
5.1 - Circuito R-L em Série
i
vR
R
vL
L
v~
Na prática, diferentemente do indutor ideal, visto em 3.2, um indutor real apresenta indutância e
resistência elétrica (devido à resistividade do fio do indutor). Portanto, a corrente elétrica, ao
percorrer um indutor, encontra dois tipos de oposição: a reatância indutiva e a resistência
ôhmica do fio. O circuito equivalente de um indutor real é um indutor ideal em série com a sua
resistência ôhmica interna, como na figura acima.
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito R-L série, a corrente continua atrasada
em relação à tensão, só que de um ângulo menor que 90° pois, enquanto a indutância tende a
defasá-la em 90°, a resistência tende a mantê-la em fase com a tensão.
A figura acima mostra um circuito R-L em série, no qual R e L simbolizam, respectivamente, a
resistência equivalente de todas as resistências em série com o indutor (inclusive a resistência
ôhmica do fio do indutor) e a auto-indutância equivalente do circuito. A impedância do circuito é
a soma vetorial de R e XL.
A intensidade de corrente fornecida pelo gerador é a mesma que circula pelo resistor e pelo
indutor e sua fórmula pode ser expressa por:
i=v/Z
A tensão aplicada ao circuito pelo gerador (v) é a soma vetorial das tensões no resistor (vR)e no
indutor (vL), como mostra o diagrama abaixo:
vL
v
φ = arctg
vL
vR
φ
vR
i
O valor de φ depende da razão entre vR e vL, ou da razão entre R e XL (as razões são iguais).
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Pelo diagrama fasorial, vê-se que a corrente (i) está em fase com (vR) mas no indutor está
atrasada de 90° em relação à tensão (vL). Como tensão e corrente num resistor estão sempre
em fase, (vR) e (i) estão representadas no mesmo eixo.
A tensão (v) do gerador é a soma vetorial de (vL) com (vR), resultando numa defasagem φ
menor que 90° em relação à corrente. A figura abaixo mostra a representação das formas de
ondas de um circuito RL série:
V
VL
VR
i
φ
5.1.1 - Impedância Indutiva (ZL)
A oposição total que um circuito R-L oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e
de XL e é chamada de Impedância Indutiva. O seu valor é o da soma vetorial de R + XL. A
figura abaixo facilita essa compreensão:
ZL
XL
φ
R
Podemos dizer, então, que:
ZL = R + j XL
Na forma polar, o seu módulo será:
|ZL| = √ R2 + XL2
28
E o seu ângulo de fase será igual a:
φ = arctg
XL
R
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Exemplos:
1 – Uma bobina, quando ligada a uma fonte CC de 10V, consome uma corrente de 100mA e,
quando ligada a uma fonte CA de 10Vrms / 500Hz, consome uma corrente de 20mA. Calcular:
a) A resistência da bobina
b) A reatância e a indutância da bobina
c) A impedância complexa da bobina
d) O diagrama fasorial do circuito (considerando a corrente como referência de fase nula)
Resolução:
a) Quando a bobina é ligada à fonte CC, só existe o efeito da sua resistência ôhmica. Portanto:
R = V / I = 10V / 100 x 10-3A
R = 100 Ω
b) Quando a bobina é ligada à fonte de CA, além da resistência ôhmica há o efeito da reatância
indutiva. Então, o módulo da impedância será:
ZL = v / i = 10V / 20 x 10-3A = 500 Ω
Como ZL2 = R2 + XL2, temos que: XL2 = ZL2 – R2 ou XL = √ ZL2 – R2
XL2 = √ 5002 – 1002
XL = 2.π.f.L
XL = 490 Ω
Logo,
L =
XL
2πf
L = 490 / 2 x 3,14 x 500
L = 156 mH
c) ZL = R + j XL
ZL = 100 + j 490
d) A tensão estará em fase com a impedância total e a corrente estará em fase com a resistência.
Então, o ângulo de fase entre a tensão e a corrente será dado por:
XL
φ = arctg
= arctg 490 / 100 = arctg 4,9
φ = 78,5°
R
vL
v
|vL| = v sen φ = 10 sen 78,5° = 10 x 0,978 = 9,78 V
|vR| = v cos φ = 10 cos 78,5° = 10 x 0,199 = 1,99 V
78,5°
vR
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i
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R = 30 Ω
2 – Dado o circuito a seguir, determinar:
a) A impedância do circuito e o valor de L
b) A corrente no circuito
v = 110 90° Vrms
60 Hz
c) O diagrama fasorial
~
XL = 40 Ω
Resolução:
a)
Na forma cartesiana: Z = 30 + j 40 Ω
Na forma polar:
|Z| = √ R2 + XL2 = √ 302 + 402 = 50 Ω (Módulo)
Fase:
φ = arctg 40 / 30 = 53°
Portanto:
Z = 50 53° Ω
Pela reatância indutiva, calcula-se L:
XL = 2 π f L
L = XL / 2 π f
L = 40 / 2 π .60
L = 106 mH
b) A corrente no circuito será:
i=
v
ZL
i=
110 90°
50 53°
= 2,2 37° Arms
c) Uma vez que, pelo enunciado, a tensão está a 90°, o seu vetor deverá ficar nesta direção
(vertical). A corrente, 53° atrasada em relação à tensão, ou seja, a 90 – 53 = 37º. vR está em fase
com a corrente e vL adiantado de 90° em relação a vR, ou seja 90 + 37 = 127°
Cálculo de |vL| e |vR|:
|vL| = XL x i = 40 |90° x 2,2 |37° = 88 |127° V
|vR| = R x i = 30 | 0° x 2,2 |37° = 66 |37° V
37° + 53° + 37° = 127°
V = 110V
VL = 88V
I = 2,2 A
37°
VR = 66V
53°
37°
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Obs.: Se tomássemos a corrente como referência (φ = 0°), o diagrama ficaria como abaixo (o
mesmo diagrama, rotacionado de 37° no sentido horário):
VL = 88V
V = 110V
37°
53°
VR = 66V
I = 2,2 A
5.2 – Potência em Circuitos Indutivos
Consideremos o circuito R-L série da figura abaixo:
i
vR
R
vL
L
v~
A sua representação fasorial ficaria como a figura abaixo:
v
vL
φ
vR
Multiplicando-se as tensões por (i), obtemos as potências:
Q
S
φ
P
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P = vR . i = Potência Ativa ou Potência Real ou Potência Útil => Watt (W)
Q = vL . i = Potência Reativa => Volt-Ampère Reativo (VAr)
S = v . i = Potência Aparente ou Potência Total => Volt-Ampère (VA)
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
S2 = P2 . Q2
ou
S = √ P2 + Q2
A relação entre a potência real P e a potência aparente S é chamada FATOR DE POTÊNCIA
(FP), cuja expressão é mostrada abaixo:
Fator de potência =
Como
S=v.i
temos:
P
S
= cos φ
P = S . cos φ
donde
P = v . i . cos φ
- É comum chamar o fator de potência de ”cosseno fi”, devido à sua expressão.
- O fator de potência dá uma medida do aproveitamento da energia fornecida à carga pelo
gerador.
- Se a carga é puramente resistiva, não há potência reativa e, portanto, S = P, ou seja, FP = 1.
Neste caso, a carga aproveita toda a energia fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito
Joule).
- Se a carga é puramente indutiva (ou reativa), não há potência ativa e, portanto, S = Q, ou seja,
FP = 0. Neste caso, a carga não aproveita nenhuma energia fornecida pelo gerador (não dissipa
potência).
2
2
2
- Em um circuito R-L, há potência ativa e reativa e, portanto, S = P + Q , ou seja, 0 ≤ FP ≤ 1.
Neste caso, a carga aproveita uma parte da energia fornecida pelo gerador, ou seja, somente a
parte resistiva dissipa potência. Neste tipo de circuito, como a corrente está atrasada em
relação à tensão, dizemos que o circuito apresenta FATOR DE POTÊNCIA ATRASADO.
- O fator de potência de um circuito deve ser mantido o mais próximo de 1 quanto possível. Um
fator de potência baixo significa que o gerador e as linhas de transmissão estão fornecendo
energia maior do que aquela que está sendo efetivamente aproveitada pela carga. Em outras
palavras, é necessário um superdimensionamento tanto do gerador quanto das linhas de
transmissão, implicando em maior custo e maior perda de energia, pois são necessárias maior
corrente e maior potência aparente para a obtenção de uma determinada potência real..
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Por esta razão, a legislação vigente permite que as concessionárias de energia elétrica
obriguem, sob pena de multa, que os consumidores mantenham o fator de potência de suas
unidades consumidoras acima de 0,92.
Como, na maioria das instalações industriais, as maiores cargas são predominantemente
indutivas (transformadores, motores, reatores de lâmpadas fluorescentes, etc.), é necessário
corrigir o fator de potência para o nível exigido pela concessionária.
Isto é conseguido instalando-se capacitores, que corrigem o fator de potência, adequando-o às
exigências da legislação. A fim de facilitar o cálculo da correção, os capacitores especialmente
construídos para essa finalidade são especificados em KVAr.
5.3 – Circuito R-L em Paralelo
Para análise deste tipo de circuito, consideraremos o indutor como ideal.
No circuito R-L em paralelo, a tensão do gerador (v), é a mesma do resistor (vR) e do indutor
(vL). No entanto, a corrente fornecida pelo gerador (i) é igual à soma vetorial das correntes no
resistor (iR) e no indutor (iL). A corrente no resistor (iR) está em fase com a tensão (v), assim
como a corrente no indutor (iL) está atrasada de 90° em relação à tensão, como mostra a figura
abaixo:
iR
v = v R = vL
φ
i
v
~
iR
R
XL
iL
iL
i
A representação senoidal do circuito está mostrada na figura abaixo:
i
V
iR
iL
φ
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5.3.1 – Impedância num Circuito R-L Paralelo
Existem diversas formas para se calcular a impedância em um circuito R-L paralelo. A mais
simples, no entanto, é através da tensão e da corrente totais no circuito.
Z = v
i
Exemplo:
1 - Calcular a impedância total de um circuito constituído de um resistor de 200 Ω em paralelo
com um indutor de 1,06 H ligados a uma fonte de 400V x 60Hz.
iR = v / R = 400 / 200 = 2A
XL = 2 π f L = 2 x 3,14 x 60 x 1,06 = 400 Ω
iL = v / XL = 400 / 400 = 1A
|i| = √ iR2 + iL2
= √ 22 + 1 2
= √ 5 = 2,24 A
φ = arc tg iL / iR = arc tg -1 / 2
φ = - 26,6°
Z = v / i = 400 | 0° / 2,24 | -26,6º
Z = 179 26,6° Ω
2 – Dado o circuito ao lado, calcular:
a) A expressão da corrente total
b) A impedância total
c) O diagrama fasorial
i
v = 110 0° Vrms
60 Hz
~
iR
R = 60 Ω
XL = 80 Ω
iL
iR = 110 / 60 = 1,83 A
iL = 110 / 80 = 1,37 A
|i| = √ 1,832 + 1,372
iR
1,83 A
|i| ≈ 2,3 A
φ = arc tg iL / iR = arc tg -1,37 / 1,83
v
110 V
φ = -37°
φ ≈ - 37°
i = 2,3 - 37º A
Z = v / i = 110 | 0° / 2,29 | -37°
Z = 48 37° Ω
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iL
1,37 A
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i
2,3 A
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5.4 – Circuito R-C em Série
i
v~
i
vR
vC
vR
φ
R
φ = – arctg
C
vC
vC
vR
v
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito R-C série, a corrente fica adiantada em
relação a ela, só que de um ângulo menor que 90°, pois enquanto a capacitância tende a
defasá-la em 90°, a resistência tende a colocá-la em fase com a tensão. Pelo diagrama fasorial,
representado acima, vê-se que a corrente i (que é a mesma no resistor e no capacitor) está
adiantada em relação à tensão vC. Como a tensão e a corrente num resistor estão sempre em
fase, vR e i estão representadas no mesmo eixo.
A figura abaixo mostra as formas de onda de um circuito R-C série:
v
vR
vC
i
φ
5.4.1 – Impedância Capacitiva (ZC)
A oposição total que um circuito R-C oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e
de XC, e é chamada de impedância capacitiva. O seu valor é a soma vetorial de R + XC. A
figura abaixo facilita essa compreensão:
R
φ
XC
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Z
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Podemos dizer, então, que:
ZC = R – j XC
Na forma polar, o seu módulo será:
E o seu ângulo de fase será igual a:
|ZC| = √ R2 + XC2
φ = – arctg
XC
R
5.5 – Potência em Circuitos Capacitivos
Consideremos o circuito R-C série da figura abaixo:
i
v~
vR
vC
R
C
A sua representação fasorial ficaria como a figura abaixo:
vR
φ
vC
v
Multiplicando-se as tensões pela corrente i, obtemos as potências:
P
φ
Q
S
P = vR . i = Potência Ativa ou Potência Real ou Potência Útil => Watt (W)
Q = vC . i = Potência Reativa => Volt-Ampère Reativo (VAr)
S = v . i = Potência Aparente ou Potência Total => Volt-Ampère (VA)
Como, num circuito R-C série, a corrente está adiantada em relação à tensão, dizemos que o
circuito apresenta FATOR DE POTÊNCIA ADIANTADO.
36
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36
5.6 – Circuito R-C Paralelo
No circuito R-C em paralelo, a tensão do gerador (v), é a mesma do resistor (vR) e do capacitor
(vC). No entanto, a corrente fornecida pelo gerador (i) é igual à soma vetorial das correntes no
resistor (iR) e no capacitor (iC). A corrente no resistor (iR) está em fase com a tensão (v), assim
como a corrente no capacitor (iC) está adiantada de 90° em relação à tensão, como mostra a
figura abaixo:
i
v
~
i
iC
R
iR
iC
XC
φ
iR
v = vR = vC
A figura abaixo mostra as formas de onda de um circuito R-C paralelo:
i
iC
iR
v
φ
5.6.1 – Impedância num Circuito R-C Paralelo
Da mesma forma que no circuito R-L paralelo, a maneira mais simples de calcular é através da
tensão e da corrente totais no circuito.
Z =
37
v
i
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37
Exemplo:
1 - Calcular a impedância total de um circuito constituído de um resistor de 100 Ω em paralelo
com um capacitor de 2 µF, ligados a uma fonte de 120V x 994Hz.
iR = v / R = 120 / 100 = 1,2A
XC = 1 / 2 π f C = 1 / 2 x 3,14 x 994 x 2 x 10-6 = 80 Ω
iC = v / XC = 120 / 80 = 1,5 A
|i| = √ iR2 + iC2
= √ 1,22 + 1,52
φ = arc tg iC / iR = arc tg 1,5 / 1,2
= √ 3,69 = 1,92 A
=> φ = 51,34°
Z = v / i = 120 | 0° / 1,92 | 51,34°
Z = 62,4 -51,34° Ω
5.7 – Circuito R-L-C Série
i
R
vR
v
~
vL
L
vC
C
Neste tipo de circuito, três situações podem ocorrer:
vL
vL
v
vL – vC
i
vL
φ
i
φ
vR
vR = v
vL – vC
v
vC
vC
i
vC
vL > vC
vL < vC
vL = vC
XL > XC
XL < XC
XL = XC
porque
38
vR
porque
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porque
38
No primeiro caso, o circuito se comporta como um circuito indutivo (R-L); no segundo, torna-se
capacitivo e no último caso, apresenta praticamente as características de um circuito puramente
resistivo.
Os diagramas fasoriais das impedâncias, nos três casos, ficam como mostrado abaixo:
XL
XL
Z
XL – XC
R
φ
Z=R
φ
XC
XL
XL – XC
R
Z
XC
XC
5.8 – Circuito R-L-C em Paralelo
i
v
~
iR
R
iC
C
iL
L
Neste circuito vigoram as mesmas características gerais já estudadas nos circuitos paralelos:
- A tensão aplicada ao circuito é igual à tensão entre os terminais de cada braço do circuito;
- A intensidade da corrente total fornecida pela fonte é igual à soma vetorial das correntes nos
diversos braços em paralelo;
- O inverso da impedância total é igual à soma vetorial dos inversos das impedâncias dos
diversos braços em paralelo;
- A corrente no resistor está em fase com a tensão;
- A corrente no indutor está atrasada de 90° em relação à tensão;
- A corrente no capacitor está adiantada de 90° em relação à tensão.
Portanto, as correntes iC e iL estão defasadas de 180° entre si, sendo que a sua soma vetorial é
a diferença entre os seus módulos, com fase igual à da corrente com maior módulo.
39
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A figura abaixo mostra o diagrama fasorial das correntes de um circuito R-L-C paralelo:
IC
i
IC – I L
φ
iR
IL
v
Caso o módulo de iC seja maior que o de iL, o circuito comportar-se-á como capacitivo. No caso
contrário (iL > iC), o seu comportamento será indutivo. A partir deste ponto, a sua resolução
será praticamente idêntica à dos circuitos R-L e R-C paralelos, dependendo do seu
comportamento predominante.
Exemplo:
1) Dado o circuito abaixo, calcular a corrente em cada braço, a corrente total, a impedância do
circuito e o diagrama fasorial das correntes.
v = 20 0° V
i
R = 1 kΩ
v
XL = 200 Ω
~
iR
R
iC
C
iL
L
XC = 500 Ω
Calculando os módulos das correntes:
| iR | = 20 / 1000 = 0,02A
| iC | = 20 / 500 = 0,04A
| iL | = 20 / 200 = 0,1A
iC
A corrente reativa total será igual a:
φ
iR
iC – iL = 0,04 – 0,1 = – 0,06A
O diagrama fasorial ficará como ao lado:
O ângulo φ será igual a:
iC – i L
i
φ = arctg (iC – iL) / iR = arctg (– 0,06 / 0,02) = arctg (– 3)
φ = – 71,56°
40
iL
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40
O módulo da corrente total será:
| i | = √ 0,022 + 0,062
| i | = 0,063 A
A impedância total do circuito será igual a:
Z = 20 | 0° / 0,063 | -71,56° = 316,2 | 71,56° Ω
Respostas:
iR = 0,02 0° A
iC = 0,04 90° A
iL = 0,1 – 90° A
i = 0,063 – 71,56° A
Z = 316,2 71,56° Ω
5.9 – Circuitos R-L-C Mistos
Uma vez que aos circuitos de corrente alternada se aplicam as mesmas regras para os circuitos
de corrente contínua, temos que o inverso da impedância total é igual à soma dos inversos das
impedâncias nos diversos braços do circuito:
1
Zt
=
1
Z1
1
+
Z2
+
1
Z3
+ ...
Ou, se trabalharmos com apenas duas impedâncias em paralelo de cada vez:
Zt =
Z1 . Z2
Z1 + Z2
A figura abaixo representa as impedâncias dos diversos braços de um circuito misto. A
impedância de cada braço é a impedância resultante de cada circuito série.
v
41
~
Z1
Z2
Z3
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41
i1
i
i2
i3
10 Ω
40 Ω
v = 100 |0° Vrms
60 Hz
~
Z1
Z2
53 mH
Z3
80 µF
50 µF
30 mH
Neste caso, a forma mais simples de resolução é a que calcula as correntes nos diversos
braços (que são circuitos série) na forma cartesiana ou retangular, e então somá-las,
calculando, assim, a corrente total, ainda na forma retangular.
Feito isso, converte-se a corrente total para a forma polar e calcula-se a impedância total
dividindo-se a tensão pela corrente.
Exemplo:
No circuito da figura acima, calcular a corrente e a impedância totais.
a) Cálculo de Z1:
XL1 = 2 π . 60 . 53 . 10-3 = 20 Ω
Z12 = 402 + 202
Z1 = 44,7 Ω
φ = arctg 20 / 40 = 26,56°
i1 = v / Z1 = 100 | 0° / 44,7 | 26,56° = 2,24 | –26,56° A
Como o circuito é indutivo, a corrente está atrasada, então, o seu ângulo é negativo.
Convertendo para a forma retangular:
i1 = 2,24 cos (–26,56°) + j 2,24 sen (–26,56°) = 2 – j 1 A
b) Cálculo de Z2:
Z2 = XC2 = 1 / 2 π . 60 . 50 . 10-6 = 53,05 | –90° Ω
i2 = 100 | 0° V / 53,05 | –90° Ω = 1,88 | 90° A
Como o circuito é puramente capacitivo, a corrente está adiantada de 90°. Então, o seu ângulo será:
φ = 90°
Temos então, que i2 = 0 + j 1,88 A
42
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42
c) Cálculo de Z3:
XC3 = 1 / 2 π . 60 . 80 . 10-6 = 33,15 Ω
XL3 = 2 π . 60 . 30 . 10-3 = 11,3 Ω
X3 = 11,3 – 33,15 = – 21,85 Ω (A impedância equivalente do braço 3 é capacitiva)
Z32 = 102 + 21,852
Z3 = 24 Ω
φ = arctg –21,85 / 10 = – 65,4°
i3 = 100 | 0° / 24 | –65,4° = 4,17 | 65,4° A
Como o circuito é capacitivo, a corrente está adiantada, então, o seu ângulo é positivo.
i3 = 4,17 cos (65,4°) + j 4,17 sen (65,4°) = 1,74 + j 3,79A
Somando-se as três correntes, temos:
i1 = 2
–j1A
i2 = 0
+ j 1,88 A
i3 = 1,74 + j 3,79A
i = 3,74 + j 4,67 A
i = 3,74 + j 4,67 A
Z=
ou
i = 5,98 | 51,3° A
100 | 0°
5,98 | 51,3°
Z = 16,7 | - 51,3° A
Ou na forma retangular:
Z = 16,7 cos (-51,3°) + 16,7 sen (-51,3°)
Z = 10,43 – j 13,03 Ω
43
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43
Graficamente, podemos representar o diagrama fasorial da seguinte forma:
iX
4,67
i = 5,98A
i3
3,79
1,88
i2
51,3°
2
1,74
–1
iR
3,74
i1
– iX
Uma outra forma de se calcular circuitos em paralelo é através da sua admitância (Y), que é o
inverso da impedância (Z), assim como a condutância (G) é o inverso da resistência (R) e a
susceptância (B) é o inverso da reatância (X). Todas as três são medidas em “Siemens”.
Admitâncias, condutâncias ou susceptâncias em paralelo, se somam.
Assim, o exemplo anterior pode ser resolvido da seguinte forma:
a) Cálculo da admitância do braço 1:
Z1 = 40 + j20
Y1 =
Y1 =
44
1
=
40 + j20
40
2000
–
j20
2000
1
40 + j20
x
40 – j20
40 – j20
=
40 – j20
2
2
40 + 20
=
40 – j20
2000
= 0,02 – j0,01 Siemens
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44
b) Cálculo da admitância do braço 2:
Z2 = – j53,05
Y2 =
1
1
=
– j53,05
– j53,05
x
j53,05
j53,05
=
j53,05
2814,3
= j0,0189 Siemens
c) Cálculo da admitância do braço 3:
Z3 = 10 – j21,85
Y3 =
Y3 =
1
10 – j21,85
10
577,4
1
=
10 – j21,85
j21,85
+
577,4
x
10 + j21,85
10 + j21,85
=
10 + j21,85
102 + 21,852
10 + j21,85
=
577,4
= 0,0173 + j0,0378 Siemens
A admitância total será a soma das três admitâncias
Y = 0,02 – j0,01 + j0,0189 + 0,0173 + j0,0378
Y = 0,0374 + j0,0466 Siemens
A impedância total será então o seu inverso.
1
1
Z=
=
x
0,0374 + j0,0466
0,0374 + j0,0466
Z=
0,0373
0,00357
–
j0,0466
0,00357
φ = arctg –13,03 / 10,43 = arctg –1,249
0,0374 – j0,0466
0,0374 – j0,0466
=
0,00357
Z = 10,43 – j13,03 Ω
φ = – 51,3°
|Z2| = 10,432 + 13,032
Z = 16,7 | –51,3° Ω
i = v / Z = 100 | 0° / 16,7 | – 51,3°
i = 5,98 | 51,3° A
45
0,0374 – j0,0466
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45
Este método (da soma das admitâncias) é particulrmente interessante para se resolver circuitos
mais complexos, nos quais o método das correntes não pode ser aplicado, como no circuito
abaixo, no qual foi introduzida uma reatância em série com o circuito do exemplo anterior:
L1 = 90 mH
10 Ω
40 Ω
v = 100 Vrms
60 Hz
~
80 µF
53 mH
XL1 = 2 π . 60 . 90 . 10-3
50 µF
Circuito
Anterior
30 mH
XL1 = 33,93 Ω
Substituindo-se agora os três braços paralelos (no interior da linha pontilhada) pelo seu circuito
equivalente, o circuito pode, então, ser redesenhado da seguinte forma:
33,93 Ω
10,43 Ω
v = 100 Vrms
60 Hz
~
– 13,03 Ω
O circuito, agora, se tornou um R-L-C série e a sua impedância total será então igual a:
Z = 10,43 – j13,03 + j33,93
Z = 10,43 + 20,9 Ω
φ = arctg 20,9 / 10,43 = arctg – 0,888
φ = 63,48°
|Z|2 = 10,432 + 20,92
Z = 23,36 | 63,48° Ω
i = v / Z = 100 | 0° / 23,36 | 63,48°
i = 4,28 | – 63,48° A
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5.10 - Correção do Fator de Potência
Como dissemos anteriormente, o fator de potência exprime o grau de aproveitamento da
energia fornecida à carga pelo gerador. Um fator de potência muito baixo significa que o
gerador está fornecendo uma energia muito superior àquela que está sendo aproveitada pela
carga. Por esta razão, as concessionárias de energia elétrica aplicam multa nos consumidores
que estiverem com o fator de potência abaixo de 0,92.
Como a maioria das cargas em uma indústria é de natureza indutiva (motores,
transformadores), o seu fator de potência costuma ser baixo, sujeitando o consumidor às multas
aplicadas pela concessionária. Isso, no entanto, pode ser evitado, através da correção do fator
de potência, que consiste na instalação de capacitores em paralelo com a carga, de modo a
compensar aquele desvio.
Sabendo que as reatâncias indutiva e capacitiva se opõe e que a reatância resultante é a soma
vetorial daquelas, devemos instalar no circuito capacitores de forma que o novo fator de
potência esteja no valor desejado.
Exemplo:
Suponhamos que em uma conta de energia elétrica, de uma instalação de 220V referente a um
período de 30 dias, os valores medidos sejam:
Energia ativa = 15.840 kWh
Energia reativa = 12.643 kVArh
Observando esta mesma conta, percebemos também que ocorreu uma cobrança de consumo
reativo. O que devemos fazer para, no futuro, evitarmos este tipo de cobrança?
O primeiro passo é calcular as potências:
Sabendo que o período é de 30 dias e que cada dia tem 24 horas, temos um total de 720 horas.
Calculamos as potências dividindo a energia, no período, pelo tempo.
Potência ativa = 15.840 kWh / 720 h = 22 kW
Potência reativa = 12.643 kVArh / 720 = 17,56 kVAr
Potência aparente = √ 222 + 17,562
= √ 484 + 308,35
= √ 792,35 = 28,15 kVA
Fator de potência = 22 / 28,15 = 0,83 => (abaixo de 0,92)
O gráfico das potências ficaria como na figura abaixo:
Q = 17,56 kVAr
S = 28,15 kVA
cos φ = 0,78
φ ≅ 38,6°
P = 22 kW
47
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Como o fator de potência mínimo exigido pela legislação é de 0,92, a cobrança de multa por
consumo reativo se justifica.
Para elevarmos o fator de potência igualando-o a 1, bastaria instalarmos capacitores de correção
no valor de 17,56 kVAr, anulando assim o consumo reativo, como na figura abaixo:
17,56 kVAr
P = 22 kW
-17,56 kVAr
Potência reativa = 17,56 kVAr – 17,56 kVAr = 0
Potência aparente = Potência Ativa = 22kVA
Fator de potência = 1
Entretanto, mais capacitores significam também maior custo, e o que se faz na prática é calcular
um valor de capacitores que elevem o fator de potência até um nível suficiente para evitar-se o
pagamento da cobrança por consumo reativo.
Vamos, neste exemplo, calcular o valor necessário de capacitores para elevar o fator de potência
para 0,94.
Sabendo que a potência ativa é de 22kW, para um fator de potência de 0,94 a potência aparente
será de:
S = 22 / 0,94 = 23,4 kVA
A potência reativa, para este novo valor do cos φ será de:
S2 = P2 + Q2 donde:
Q = √ 23,42 - 222
Q2 = S2 – P2
= √ 548 – 484
ou
=
Q = √ S2 – P2
√ 64
= 8 kVAr
Como a potência reativa atual é de 14,78 kVAr, para obtermos a nova potência reativa calculada,
basta instalarmos capacitores no valor de:
17,56 – 8 = 9,56 kVAr
Temos, então, o valor dos capacitores a serem instalados no circuito, em kVAR.
48
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Se quisermos calcular o valor da sua capacitância, devemos considerar que a potência reativa é
igual a:
Q=
v2
Xc
v2
1
2πfC
=
=>
Q = v2 . 2 . π . f . C
=>
C =
Q
2 π f v2
Considerando a freqüência de 60 Hz, temos que 2 . π . 60 ≅ 377. Assim,
C =
Q
377 v2
Então, se considerarmos uma tensão de 220V, a capacitância do capacitor de 6,78 kVAR será de:
C = 9,56 x 103 / 377 x 2202 =>
C = 523,9 µF
Com isto, evitamos o pagamento da cobrança por consumo reativo e teremos um custo com
capacitores da terça parte do que teríamos para fazer cos φ = 1. O novo gráfico das potências,
após a instalação dos capacitores, ficará como na figura abaixo:
17,56 kVAr
28,15 kVA
8 kVAr
23,4 kVA
cos φ = 0,94
φ ≈ 19,95°
22 kW
9,56 kVAr
Podemos, agora, comparar as correntes circulantes na linha de transmissão antes e depois da
correção do fator de potência:
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49
Antes da correção:
v = 220 V
S = 28,15 kVA
i = S / V = 28.150 / 220 = 127,95 A
Após a correção:
v = 220 V
S = 23,4 kVA
i = S / V = 23.400 / 220 = 106,4A
Constatamos que, para a realização do mesmo trabalho necessitamos, após a correção,
transportar uma corrente mais baixa pela linha de transmissão, permitindo agora, utilizar um
cabo de bitola mais estreita (menor seção transversal). Os transformadores de distribuição de
energia também serão menos sobrecarregados.
Exercícios Propostos:
1) Um amperímetro, um voltímetro e um wattímetro são ligados no circuito de um motor de
indução monofásico e indicam, respectivamente, 10A, 220V e 1.900W. Determinar:
a) o fator de potência do motor;
R: 0,86
b) o ângulo de defasagem;
R: 30,68°
c) a impedância do circuito;
R: 22 Ω
d) a resistência efetiva.
R: 18,92 Ω
2 ) 75% da energia aplicada por segundo a um circuito de C.A. são transformados em calor. O
circuito, que é indutivo, apresenta uma resistência de 10 Ω. Determinar:
a) o fator de potência do circuito;
R: 0,75
b) a impedância do circuito;
R: 13,3 Ω
c) a reatância indutiva do circuito.
R: 8,8 Ω
3) Uma impedância de 4 – j 3 Ω foi ligada a uma fonte de 100V. Determinar os seguintes
elementos do circuito:
a) a resistência efetiva;
R: 4 Ω
b) a reatância;
R: 3 Ω
c) a intensidade da corrente;
R: 20 | 36,87° A
d) o fator de potência;
R: 0,8
e) a potência aparente;
R: 2.000 VA
f) a potência real;
R: 1600 W
g) a potência reativa..
R: 1.200 VAr
50
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50
4) Uma bobina é ligada em série com um motor monofásico para reduzir a tensão aplicada aos
terminais do motor. A tensão aplicada ao conjunto é de 130 | 45° V e a tensão somente no motor
é de 90 | 30° V. Calcular, na forma polar, a d.d.p. nos terminais da bobina. R: 48,96 | 73,4° V
5) Um circuito em série de C.A. contém um resistor, um capacitor e uma bobina que apresenta
tanto resistência quanto indutância. Sabendo que a tensão no resistor é de 40V, no capacitor é de
80V e na bobina é de 60V, determinar a tensão aplicada ao circuito, na forma polar. Sabe-se
ainda que a corrente está atrasada de 45° em relação à tensão entre os terminais da bobina.
R: 90,58 | -24,5° V
6) Um circuito formado por um capacitor de 30 µF e um resistor está ligado a uma linha de 120V
e 60Hz. Qual deve ser o valor da resistência para que a corrente seja de 1 A? R: 81,13 Ω
7) Calcule a indutância de uma bobina cuja resistência é de 500 Ω, se ela drena 10 mA de uma
fonte de 110 V e 60 Hz. R: 29,15 H
8) Calcule o fator de potência do motor de uma máquina de lavar roupa se esta consome 4 A e
420 W de uma linha de 110VCA. R: 0,954
9) Para que um relé opere corretamente, é necessária uma corrente de 100 mA através da sua
bobina. Para que o mesmo funcione em C.C. são necessários 24 V. Se alimentado por uma fonte
de C.A. de 60 Hz são necessários 160V. Qual a capacitância, em série com o relé, que permitirá o
seu funcionamento com uma fonte de 120 V e 60 Hz? R: 6,5 µF
10) Determinar a tensão necessária para produzir uma corrente de 3,5 | 0° A em um circuito C.A.
em série, constituído de 18 Ω de resistência, 9 Ω de reatância indutiva e 22 Ω de reatância
capacitiva. R: 77,7 | -35,8° V
11) Um circuito alimentado por uma tensão de 650V @ 50 Hz possui, em um braço, um resistor
de 30 Ω em série com um indutor de 127,32 mH. O outro braço, em paralelo com o primeiro,
possui um resistor de 5 Ω em série com um capacitor de 265,258 µF. Calcular:
a) a corrente total, na forma polar;
R: 44,8 | 52,9° A
b) a impedância total, na forma polar;
R: 14,5 | -52,9° Ω
c) o fator de potência;
R: 0,6
d) o módulo da potência aparente;
R: 29.120 VA
e) o módulo da potência ativa;
R: 17.472 W
f) o módulo da potência reativa.
R: 23.296 VAr
51
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51
CAPÍTULO 6
RESSONÂNCIA
Quando, em um circuito R-L-C série ou paralelo, ocorre o caso particular no qual a freqüência é
tal que XL = XC, dizemos que o circuito está em ressonância, pois ambas se anulam e o circuito
se comporta como puramente resistivo.
6.1 – Ressonância nos Circuitos em Série
Quando é estabelecida a igualdade entre a reatância indutiva e a reatância capacitiva (caso 3),
caso esse em que as tensões vC e vL são iguais, dizemos que o circuito está em
RESSONÂNCIA.
Esta condição é desejável em diversos circuitos eletrônicos, mas pode trazer conseqüências
desagradáveis, com danos para os elementos de um circuito, quando não é prevista.
Sabemos que a reatância indutiva é diretamente proporcional à freqüência, enquanto que a
reatância capacitiva é função inversa da mesma. Assim, quando alimentamos um circuito com
uma fonte de C.A. e fazemos a freqüência variar desde um valor praticamente nulo até um valor
bem alto, podemos observar o crescimento da reatância indutiva e a queda da reatância
capacitiva. Numa determinada freqüência, as duas grandezas tornam-se iguais e o circuito
apresenta características especiais que correspondem à condição denominada “ressonância”.
A figura abaixo ilustra essa condição.
Z, X, R
Z
XC
XL
R
fr
f
As características de um circuito série na freqüência de ressonância são as seguintes:
a) A impedância do circuito torna-se mínima, ficando reduzida ao valor da resistência;
b) A intensidade da corrente é máxima, como conseqüência do item anterior, e limitada
apenas pelo valor da resistência;
c) O circuito torna-se puramente resistivo;
d) Toda a energia aplicada ao circuito é gasta para vencer a sua resistência;
e) O fator de potência (cos φ) é igual a 1.
52
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52
A freqüência de ressonância de um circuito em série é dada pela equação abaixo:
fo =
1
2 π √ LC
fo = freqüência de ressonância, em HERTZ (Hz)
L = auto-indutância do circuito, em HENRYS (H)
C = capacitância do circuito, em FARADS (F)
Com efeito, se XL = XC, temos:
2 π fo L =
fo =
1
2 π fo C
4 π2 fo2 L C = 1
1
fo =
4 π2 L C
1
2 π √ LC
Observando esta equação, constatamos que a resistência do circuito não influi na sua
freqüência de ressonância, e que esta depende somente do produto LC. Isso significa que
circuitos com valores diferentes de L e de C podem entrar em ressonância na mesma
freqüência, desde que os produtos LC sejam iguais.
Por outro lado, a resistência do circuito influi no que é conhecido como Fator de Mérito ou
FATOR DE QUALIDADE (ou FATOR Q) do circuito ressonante, que é definido como a
relação entre a energia armazenada nas reatâncias e a energia dissipada na resistência do
circuito. Como, na freqüência de ressonância XL = XC, podemos usar apenas uma delas, como
mostrado abaixo:
Q=
I2 XL t
I2 R t
Q=
XL
R
Como, normalmente, a resistência do circuito é constituída, principalmente, pela resistência do
fio da bobina, é comum referenciar-se à resistência da bobina e à sua reatância indutiva.
A variação da corrente num circuito R-L-C série, quando a freqüência da fonte é variada, pode
ser representada graficamente, constituindo o que chamamos de uma CURVA DE
RESSONÂNCIA, e que é mostrada na figura abaixo. Nota-se que, quanto menor a resistência,
maior o fator “Q” e mais estreita (ou mais seletiva) é a curva.
53
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53
i
fr
f
6.2 – Largura de Faixa em um circuito ressonante série
A Largura de Faixa, ou Banda de Passagem (BW – do inglês Band Width) é definida como a
faixa de freqüências na qual a potência dissipada é maior do que a metade da potência
máxima.
2
Como a potência ativa fornecida ao circuito é igual a R.I , quando I = 0,707 Io ou I = Io / √2 , a
potência é igual à metade do valor máximo. Na figura abaixo, f1 e f2 são os pontos de meia
potência, nos quais a corrente I = 0,707 Io.
Io
0,707 Io
BW
f1
fo
f2
f (Hz)
A largura de faixa (BW) será, neste caso, definida como:
BW =
54
fo
Q
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54
6.3 – Ressonância nos Circuitos em Paralelo
Uma vez que este circuito entra em ressonância quando XL = XC, a fórmula para o cálculo da
freqüência de ressonância é idêntica à do circuito R-L-C série.
fo =
1
2 π √ LC
A diferença, neste caso, é que, ao contrário do circuito série, na freqüência de ressonância, o
circuito em paralelo apresenta impedância máxima (Z = R) e corrente mínima. As figuras abaixo
ilustram essas características.
f
fr
fr
f
No circuito ressonante paralelo (também chamado “Circuito Tanque), o Fator de Qualidade é
dado pela equação:
Q =
55
R
XL
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55
6.4 – Oscilação num circuito R-L-C ressonante
Capacitores e indutores são dispositivos de armazenamento de energia. Porém, enquanto o
primeiro armazena-a sob a forma de campo elétrico, o segundo armazena sob a forma de
campo magnético. Isso significa que, no capacitor, a energia é máxima quando a tensão é
máxima e, no indutor, a energia é máxima quando a corrente é máxima.
Em ambos, a corrente é mínima quando a tensão é máxima e vice-versa, ou seja, corrente e
tensão estão defasadas, como já estudamos.
Observemos o circuito abaixo:
1
SW
2
L
V
C
R
Inicialmente, carregamos o capacitor com a tensão V, colocando a chave SW na posição 1. A
2
energia armazenada no capacitor será igual a CV /2, conforme estudado no item 10.3 da
Apostila de Eletricidade I.
Ao passarmos a chave para a posição 2, o capacitor irá se descarregar através do indutor e do
resistor, provocando o surgimento de uma corrente elétrica. Essa corrente, inicialmente baixa
devido à oposição criada pela auto-indutância (Lei de Lenz), irá aumentando gradativamente
até atingir o seu valor máximo. Neste momento, a tensão (e a energia) no capacitor será zero,
tendo este transferido toda a sua energia para o indutor, a qual será máxima.
Inicia-se, então, o processo inverso, de transferência da energia do indutor para o capacitor e
assim sucessivamente, entrando o circuito em oscilação, na sua freqüência de ressonância.
Caso não existissem resistências que dissipassem essa energia (circuito L-C ideal), essa
oscilação permaneceria indefinidamente, o que não ocorre na prática.
Dependendo do valor da resistência, o circuito se comportará de acordo com um dos regimes
abaixo:
Sub-amortecimento
R2 <
56
4L
C
Amortecimento crítico
R2 =
4L
C
Amortecimento
super-crítico
R2 >
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4L
C
56
No regime sub-amortecido, a amplitude dessas oscilações decresce exponencialmente, como
mostra a figura abaixo:
O circuito se comporta de forma análoga ao de um sistema formado por massa & mola,
estudado na Física (Movimento Harmônico Simples – MHS).
Exercícios Propostos:
1) Um circuito série alimentado por uma tensão de 120 VCA é composto por um resistor de 10 Ω,
um indutor de 0,5 mH e um capacitor de 0,022 µF. Calcular:
a) a freqüência de ressonância;
R: 47,987 kHz
b) a freqüência de corte inferior;
R: 46,3955 kHz
c) a freqüência de corte superior;
R: 49,5785 kHz
d) a corrente na freqüência de ressonância. R: 12 A
2) Calcular o valor do resistor de um circuito série no qual: L = 0,1 mH e C = 33 nF, para que a
largura de faixa seja de 27 kHz quando em ressonância. R: 16,964 Ω
3) Um circuito contém um resistor de 3,3 kΩ, um indutor de 1 mH e um capacitor de 0,01 µF,
todos em paralelo. Sabendo que a sua tensão de alimentação é de 66V, calcular:
a) a freqüência de ressonância;
R: 50.329 Hz
b) a freqüência de corte inferior;
R: 47.917,5 Hz
c) a freqüência de corte superior;
R: 52.740,5 Hz
d) a corrente na freqüência de ressonância. R: 20 mA
57
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CAPÍTULO 7
FILTROS PASSIVOS
Filtros são circuitos que permitem a passagem de apenas determinadas freqüências. Eles
podem ser classificados em ativos e passivos.
Filtros passivos são aqueles formados apenas por componentes passivos, como resistores,
capacitores e indutores, e filtros ativos são os que incorporam componentes ativos, como
transistores, FETs, amplificadores operacionais, etc.
Neste capítulo abordaremos apenas os primeiros. Os filtros ativos são assunto da cadeira de
eletrônica e nela estudados.
Pelo fato de utilizarem apenas componentes passivos, uma das suas principais características é
terem o ganho de tensão (Av) sempre igual ou menor do que 1 (0dB), uma vez que não
possuem componentes ativos capazes de amplificar o sinal.
Com relação ao seu comportamento em função da freqüência, os filtros podem ser classificados
em:
- Filtro Passa-Baixas
- Filtro Passa-Altas
- Filtro Passa-Faixa
- Filtro Rejeita-Faixa
7.1 – O Decibel (dB)
Sabemos, da Física, que o bel (ou seu submúltiplo mais conhecido, o decibel) é uma medida de
intensidade sonora e está ligado diretamente ao nosso sentido da audição. Esta, por sua vez,
apresenta um comportamento não linear, no que diz respeito à sua sensibilidade. Ao contrário,
o seu comportamento obedece a uma curva logarítmica.
Por exemplo, se uma potência sonora de 1W provoca uma certa sensação de intensidade em
uma pessoa, para que ela tenha a sensação do dobro da intensidade não basta dobrarmos a
potência para 2W. Para que se provoque a sensação do dobro da potência é preciso multiplicála por 10, ou seja, 10W. Para dobrá-la novamente, a nova potência deverá ser de 100W. Essa
variação corresponde a uma escala logarítmica, que pode ser vista na figura abaixo:
10.000
1.000
100
10
1
58
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58
O Bel é utilizado para relacionar grandezas de mesma natureza. A essa relação damos o nome
de “Ganho”, que representaremos pela letra “A”. Como se trata de uma relação, ele pode ser
menor, igual ou maior do que 1. Quando temos [A > 1], dizemos que houve uma amplificação e
quando [A < 1], dizemos que houve uma atenuação.
Se considerarmos um quadripolo no qual é injetada uma determinada potência P1 na sua
entrada e obtida uma potência P2 na sua saída, podemos afirmar que o ganho de potência
desse quadripolo será igual a:
Ap =
P2
P1
P1
P2
Podemos utilizar o bel (B) para relacionar dois níveis de potência P1 e P2 através da expressão
abaixo:
Ap = log
P2
P1
[B]
O bel (B), no entanto, é muito grande para ser utilizado na medição dos fenômenos elétricos.
Por esta razão, utiliza-se o seu submúltiplo decibel (dB), ficando a expressão do ganho:
Ap = 10 log
P2
P1
[dB]
Logo, caso P2 = 100.P1, teremos um ganho de potência (ou amplificação) de 20dB. Por outro
lado, se P2 = 0,01.P1, o ganho será Ap = - 20dB, ou seja, a potência foi atenuada em 20dB.
Se, ao invés das potências, relacionarmos as tensões de saída (V2) e de entrada (V1), sabendo
que a potência é uma função do quadrado da tensão, a expressão do ganho de tensão (Av)
ficará assim:
Av = 20 log
V2
V1
[dB]
É comum, particularmente na área de telecomunicações, utilizar-se o padrão de 1dBm, que é a
potência de 1mW dissipada sobre uma impedância de 600Ω.
59
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59
7.2 – Filtro Passa-Baixas
Um filtro passa-baixas ideal teria sua curva de resposta de freqüência como a da figura abaixo:
Ap
1
0
f
fc
Para freqüências abaixo da freqüência de corte (fc), o ganho é igual a 1, ou seja, a potência de
saída é igual à potência de entrada. Para freqüências acima da freqüência de corte, o ganho é
zero, isto é, a potência de saída (P2) é nula.
Na prática, porém, não é possível construir-se um filtro passivo de modo que a sua resposta de
freqüência possua um corte tão abrupto.
7.2.1 – Filtro Passa-Baixas com Circuito R-L
Sabendo que a reatância indutiva aumenta com a freqüência, um filtro passa-baixas pode ser
implementado utilizando um indutor em série com um resistor, formando um divisor de tensão
variável com a freqüência, como mostra a figura abaixo:
L
R
Vi
Vo
Nas freqüências baixas, a reatância indutiva é baixa (XL << R), fazendo com que a tensão no
resistor (Vo) seja alta em relação à queda de tensão no indutor.
No caso das freqüências altas, a reatância indutiva aumenta (XL >> R), aumentando a queda
de tensão no indutor e reduzindo a tensão no resistor (Vo).
Neste circuito, a tensão de saída Vo (tensão no resistor) em função da tensão da entrada (Vi) é
igual a:
Vo = Vi .
R
R + jXL
Pela expresão, constatamos que a tensão de saída é inversamente proporcional à freqüência,
ou seja: quanto maior a freqüência, menor a tensão de saída.
Por definição, a freqüência de corte de um filtro (também chamada de freqüência de meia
potência) é aquela onde a potência de saída é a metade da potência de entrada, ou a potência
de entrada seja o dobro da potência de saída ou seja: Pi = 2.Po. Neste ponto, a potência no
resistor será igual à potência no indutor e, da mesma forma, a tensão no resistor será igual à
tensão no indutor. Isso ocorrerá na freqüência em que XL = R, ou quando o ângulo de fase φ for
igual a 45°.
60
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60
Então, igualando ambas, temos:
2.π.fc.L = R
fc =
=>
R
2.π.L
Como o ângulo é de 45°, a tensão no resistor será igual a tensão de entrada multiplicada pelo
cosseno de 45°, ou 0,707.
Vo =
Vi √ 2
2
ou
Vo = 0,707.Vi
O ganho de potência em dB será:
Ap = 10 log
Po
2.Po
=>
1
Ap = 10 log 2
Ap = – 3 dB
O ganho de tensão em dB será igual a:
Av = 20 log
0,707.Vi
Vi
=>
Ap = 20 log 0,707
Av = – 3 dB
Assim, concluimos que:
Na freqüência de corte, tanto o ganho de tensão
quanto o ganho de potência são iguais a –3 dB
Podemos, agora, traçar a curva de resposta de freqüência do filtro passa-baixas:
fc
61
f
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61
7.2.2 – Filtro Passa-Baixas com Circuito R-C
A figura abaixo mostra um filtro passa-baixas com circuito R-C. Como o anterior, é um divisor de
tensão variável com a freqüência. Neste caso, para freqüências baixas, a reatância capacitiva é
alta (XC >> R), fazendo com que a tensão no capacitor seja alta em relação à queda no resistor.
R
Vi
Vo
C
No caso das freqüências altas, a reatância capacitiva diminui (XC << R), aumentando a queda
de tensão no resistor e reduzindo a tensão no capacitor (Vo).
Neste circuito, a tensão de saída Vo (tensão no capacitor) em função da tensão da entrada (Vi)
é igual a:
Vo = Vi .
– j XC
R – j XC
Analogamente ao circuito anterior, a freqüência de corte se dará no ponto onde R = XC. Então:
R=
1
2.π.fc.C
Logo:
fc =
1
2.π.R.C
Da mesma forma que no circuito R-L, na freqüência de corte teremos:
Vo =
Vi √ 2
ou
Vo = 0,707.Vi
2
Os ganhos de tensão e de potência em dB na freqüência de corte também serão iguais a -3dB
e a curva de resposta de freqüência será idêntica à do filtro passa-baixas com circuito R-L.
62
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62
7.3 – Filtro Passa-Altas
Um filtro passa-altas ideal teria sua curva de resposta de freqüência como a da figura abaixo:
Ap
1
0
f
fc
Para freqüências acima da freqüência de corte (fc), o ganho é igual a 1, ou seja, a potência de
saída é igual à potência de entrada. Para freqüências abaixo da freqüência de corte, o ganho é
zero, isto é, a potência de saída (P2) é nula.
Na prática, da mesma forma que o filtro passa-baixas, não é possível construir-se um filtro de
modo que a sua resposta de freqüência possua um corte tão abrupto.
7.3.1 – Filtro Passa-Altas com Circuito R-L
Sabendo que a reatância indutiva aumenta com a freqüência, um filtro passa-altas pode ser
implementado utilizando um indutor em série com um resistor, formando um divisor de tensão
variável com a freqüência, como mostra a figura abaixo:
R
Vi
L
Vo
Nas freqüências baixas, a reatância indutiva é baixa (XL << R), fazendo com que a tensão no
indutor (Vo) seja pequena em relação à queda de tensão no resistor.
No caso das freqüências altas, a reatância indutiva aumenta (XL >> R), aumentando a tensão
no indutor (Vo) e reduzindo a tensão no resistor.
Neste circuito, a tensão de saída Vo (tensão no indutor) em função da tensão da entrada (Vi) é
igual a:
Vo = Vi .
jXL
R + jXL
Sabendo que na freqüência de corte XL = R, temos:
2.π.fc.L = R
63
=>
fc =
R
2.π.L
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63
Da mesma forma que nos circuitos anteriores, na freqüência de corte teremos:
Vo =
Vi √ 2
ou
2
Vo = 0,707.Vi
Os ganhos de tensão e de potência em dB na freqüência de corte também serão iguais a -3dB
e a curva de resposta de freqüência será a da figura abaixo:
f
fc
7.3.2 – Filtro Passa-Altas com Circuito R-C
A figura abaixo mostra um filtro passa-altas com circuito R-C. Como o anterior, é um divisor de
tensão variável com a freqüência. Neste caso, para freqüências baixas, a reatância capacitiva é
alta (XC >> R), fazendo com que a tensão no resistor (Vo) seja baixa em relação à queda no
capacitor.
C
Vi
R
Vo
No caso das freqüências altas, a reatância capacitiva diminui (XC << R), reduzindo a queda de
tensão no capacitor e aumentando a tensão no resistor (Vo).
Neste circuito, a tensão de saída Vo (tensão no resistor) em função da tensão da entrada (Vi) é
igual a:
Vo = Vi .
64
R
R – jXC
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64
Pela expressão, constatamos que a tensão de saída é diretamente proporcional à freqüência,
ou seja: quanto maior a freqüência, menor a tensão de saída.
Analogamente aos circuitos anteriores, a freqüência de corte se dará no ponto onde R = XC.
Então:
R=
1
2.π.fc.C
1
2.π.R.C
fc =
Logo:
Também da mesma forma que nos circuitos anteriores, na freqüência de corte teremos:
Vo =
Vi √ 2
ou
2
Vo = 0,707.Vi
Os ganhos de tensão e de potência em dB na freqüência de corte também serão iguais a -3dB
e a curva de resposta de freqüência será idêntida à do filtro passa-altas com circuito R-L.
7.4 – Filtro Passa-Faixa com circuito R-C
Este filtro, também chamado de “Filtro Passa-Banda”, tem, como característica, uma curva de
resposta de freqüência que é mostrada na figura abaixo:
AV
fci
fcs
f
Como pode ser visto, ele deixa passar apenas uma faixa de freqüências, situada entre a
freqüência de corte inferior (fci) e a freqüência de corte superior (fcs). O seu circuito é a
combinação de um filtro passa-altas em série com um filtro passa-baixas, como mostra a figura
abaixo:
C1
Vi
R2
R1
Passa-Altas
65
C2
Vo
Passa-Baixas
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65
As freqüências de corte inferior e superior são dadas pelas seguintes expressões:
fci =
1
2.π.R1.C1
fcs =
1
2.π.R2.C2
Observe que a freqüência de corte do filtro passa-altas (fci) deve ser mais baixa do que a do
filtro passa-baixas (fcs).
7.5 – Filtro passa-faixa com circuito L-C
Devido à característica de resposta de freqüência dos circuitos L-C, é possível implementar-se
filtros passa-faixa tanto com o circuito em série, como com o paralelo, como mostram as figuras
abaixo:
L
C
Vi
R
R
Vo
Passa-faixa com L-C série
C
Vi
L
Vo
Passa-faixa com L-C paralelo
As freqüências de corte inferior e superior dependerão da largura de faixa dos circuitos.
7.6 – Filtro Rejeita-Faixa com circuito L-C
Este filtro, também chamado de “Filtro Rejeita-Banda”, tem, como característica, uma curva de
resposta de freqüência que é mostrada na figura abaixo:
AV
1
0,707
0
66
fci
fcs
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f
66
Como pode ser visto, ele bloqueia uma faixa de freqüências, situada entre a freqüência de corte
inferior e a freqüência de corte superior. O seu circuito é a combinação de um filtro passa-altas
em paralelo com um filtro passa-baixas, como mostra a figura abaixo:
L
Vi
C
R1
Vo
R2
R1 em conjunto com C formam o filtro passa-altas, enquanto que R2 juntamente com L formam
o filtro passa-baixas.
Podemos notar que os dois resistores estão em paralelo, assim como o indutor está em paralelo
com o capacitor, podendo o circuito acima ser redesenhado da seguinte maneira:
L
Vi
C
Vo
R1//R2
Observando o circuito, constatamos que o mesmo nada mais é do que um circuito L-C paralelo,
que apresenta impedância máxima na freqüência de ressonância, como visto em 6.3. Assim,
sua freqüência central será dada pela sua freqüência de ressonância, e as freqüências de corte
inferior e superior dependerão da sua largura de faixa.
Analogamente, um circuito rejeita-faixa também pode ser implementado utilizando-se um
circuito L-C série, conforme a figura abaixo:
R
Vi
L
Vo
C
Uma vez que o circuito L-C série apresenta impedância mínima na freqüência de ressonância,
a tensão de saída será mínima nessa condição e as freqüências de corte dependerão, da
mesma forma que o circuito anterior, da largura de faixa.
67
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67
7.7 – Filtro Rejeita-Faixa com circuito R-C
Este filtro é implementado com um tipo de malha chamada de “Duplo T”, como mostra a figura
abaixo:
C
C
R
R
Vi
Vo
R
2
2C
Sua curva de resposta de freqüência assemelha-se à de um circuito sintonizado, no qual a
freqüência na qual se dá a maior rejeição (“ressonância”), é dada por:
fo =
1
2.π.R.C
7.8 – Circuito Integrador
O circuito integrador é um filtro passa-baixas que opera em uma freqüência muito superior à
sua freqüência de corte. Ele é assim chamado porque a forma de onda (função) de saída
representa a integral da onda (função) de entrada.
R
Vi
C
Vo
No caso da tensão de entrada ser uma forma de onda quadrada (função degrau) com
freqüência f >> fc, a saída terá uma forma de onda praticamente triangular (função rampa),
como mostrado na figura abaixo:
68
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68
Vi
Vo
VC
-VC
Considerando o capacitor inicialmente descarregado, aplica-se, no tempo t = t0, uma tensão
positiva na entrada com amplitude Vi = E.
Nesse momento o capacitor começa a se carregar através do resistor R com uma constante de
tempo τ = R.C. Uma vez que a freqüência de operação é muito maior que a freqüência de corte,
ou seja, T << τ, a tensão de entrada muda, em T/2, o seu valor para Vi = -E. O capacitor,
então, que se encontrava carregado com a tensão VC, passa a se descarregar e a se carregar
com uma polaridade inversa até atingir o valor Vo = -VC em t = T. O processo se repete a cãda
semiciclo da tensão de entrada.
Como foi visto no capítulo 14 da Apostila de Eletricidade I, a curva de carga do capacitor não
é linear, mas exponencial. Assim, quanto maior a constante de tempo em relação ao período da
tensão de entrada, mais próxima de uma onda triangular perfeita será a tensão no capacitor
(Vo), embora sua amplitude seja menor.
7.9 – Circuito Diferenciador
O circuito diferenciador é um filtro passa-altas que opera em uma freqüência muito inferior à sua
freqüência de corte. Ele é assim chamado porque a forma de onda (função) de saída representa
a derivada da onda (função) de entrada.
C
Vi
69
R
Vo
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69
No caso da tensão de entrada ser uma forma de onda quadrada (função degrau) com
freqüência f << fc, a saída terá uma forma de onda do tipo pulsante (função impulso), como
mostrado na figura abaixo:
Vi
E
-E
Vo
VR
-VR
O seu funcionamento baseia-se no fato de que um capacitor é praticamente um curto-circuito
para variações muito bruscas de tensão, o que ocorre nos momentos de variação da tensão de
entrada entre –E e E (e vice-versa), fazendo com que essas variações apareçam na saída como
impulsos positivos e negativos.
Durante os períodos em que a tensão de entrada permanece constante (C.C.), ele se comporta
como um circuito aberto.
Como a constante de tempo é muito menor do que o período (τ << T), o capacitor se carrega
rapidamente com a tensão de entrada, levando a tensão no resistor (Vo) a zero.
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CAPÍTULO 8
SISTEMAS POLIFÁSICOS
8.1 - Funcionamento de um alternador monofásico
Vimos, no capítulo 1, como uma tensão alternada senoidal é produzida ao se girar uma espira
em um campo magnético. Para se conseguir tensões elevadas, utilizam-se várias espiras
enroladas girando no campo. O seu comportamento é idêntico ao de diversas espiras unitárias
conectadas em série, somando suas tensões induzidas.
ALTERNADOR é o nome dado à máquina elétrica construída desta forma, destinada a produzir
uma corrente alternada.
A figura abaixo indica esquematicamente a disposição de um alternador monofásico de induzido
rotativo, com dois pólos. O enrolamento induzido possui dois bornes, arbitrariamente
denominados de princípio e fim (P e F).
Para facilitar nosso estudo, consideremos que a f.e.m. do circuito possui seu valor máximo
positivo quando o princípio P do circuito passar em baixo do pólo N, conforme mostra a figura.
A freqüência da tensão ou corrente alternada depende do número de rotações do mesmo, pois
quanto maior o número de voltas que o condutor completar em um determinado tempo, maior o
número de ciclos produzidos nesse tempo.
Também o número de pólos da máquina influi na freqüência. Conforme o número de pólos,
poderão ser completados vários ciclos em cada rotação de máquina. Há a seguinte relação
entre o número de pólos da máquina e o número de ciclos produzidos para cada volta completa
do alternador:
2 pólos – 1 ciclo
4 pólos – 2 ciclos
6 pólos – 3 ciclos
etc.
As observações acima permitem escrever a equação que se segue, com a qual é possível
determinar a freqüência de um alternador:
f = n . p / 120
f = freqüência em Hertz (Hz)
n = número de rotações por minuto (rpm) da máquina
p = quantidade de pólos
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Gerador de 2 pólos
Gerador de 4 pólos
Gerador de 6 pólos
8.2 – Inconvenientes dos sistemas monofásicos
Em muitas aplicações da corrente alternada apresentam-se fortes objeções ao emprego do
sistema monofásico.
Nestes, a potência entregue é pulsante. Mesmo nos sistemas onde o Fator de Potência é igual
a 1 (corrente em fase com a tensão), a potência se anula duas vezes em cada ciclo, como pode
ser visto na figura abaixo.
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Nos sistemas com Fator de Potência menor que 1, onde tensão e corrente encontram-se
defasadas de um ângulo θ, não só a potência é nula quatro vezes, como ainda é negativa duas
vezes, em cada ciclo, como mostram as áreas hachuradas (B) na figura abaixo.
Obs.: como potência negativa entende-se que a rede está devolvendo energia ao gerador.
Tal fato é análogo ao que se passa em um motor a explosão monocilíndrico, no qual o volante
devolve energia ao cilindro durante a parte do ciclo que corresponde à compressão. Num ciclo
completo, tanto o cilindro quanto o gerador entregam à carga mais energia do que recebem de
volta, sendo o seu balanço positivo.
Essa natureza pulsante da energia nos circuitos monofásicos os torna impróprios para muitas
aplicações.
Um circuito polifásico comporta-se como um motor a explosão de muitos cilindros. Assim, a
potência entregue ao volante é praticamente uniforme, posto que um ou mais cilindros estão
produzindo potência enquanto outros estão em período de compressão. O mesmo ocorre com
circuitos polifásicos. Mesmo que a potência de uma fase qualquer seja negativa em alguns
momentos, a potência total é invariável se as cargas estiverem equilibradas. Essa característica
é o que torna os sistemas polifásicos particularmente recomendáveis para cargas de força
motriz (motores elétricos).
A capacidade de potência de um dado motor ou gerador aumenta com o número de fases, o
que é um dado muito importante a ser considerado. A tabela abaixo mostra um comparativo
aproximado das capacidades de potências para uma determinada máquina, com diferentes
números de fases, em porcentagem, atribuindo-se o índice 100 a uma máquina monofásica.
Uma fase
100
Duas fases
140
Três fases
148
Seis fases
148
Corrente contínua
154
As máquinas com três e seis fases apresentam a mesma capacidade porque os mesmos
enrolamentos são usados de igual modo em ambos os casos.
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Uma outra vantagem do sistema trifásico é na transmissão de energia pois, considerando a
tensão constante entre condutores, assim como invariáveis os outros fatores de trabalho, este
necessita de apenas ¾ do peso de cobre necessário a um sistema monofásico de mesma
potência.
8.3 - Funcionamento de um alternador trifásico
Se no espaço livre do induzido colocarmos mais dois circuitos, conforme a figura abaixo,
teremos um alternador com três circuitos induzidos denominado alternador trifásico. O
o
deslocamento geométrico das três fases é de 120 geométricos e os bornes de cada bobina são
chamados de princípio e fim, respectivamente, de cada fase. O exemplo da figura abaixo
mostra um gerador trifásico de dois pólos.
o
Neste caso, as f.e.m. induzidas nos três enrolamentos estão defasadas de 120 , ou seja de 1/3
do período, como na figura abaixo, que mostra a forma de onda e sua representação vetorial,
o
que é feita por meio de três vetores deslocados de 120 entre si:
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Querendo representar as fases do alternador em questão por meio de indutâncias, deve-se
o
colocá-las a 120 uma da outra como indicam as figuras abaixo:
Nos esquemas distinguem-se, com as letras F e P numeradas, o fim e o princípio das várias
fases e indica-se com uma seta o sentido positivo das f.e.m., as quais, por convenção, são
dirigidas, em todas as fases, do fim para o princípio. Entre todos os vários sistemas polifásicos
realizáveis, os que mais encontram aplicação prática são o monofásico, o trifásico e o
hexafásico. O mais difundido de todos, porém, é o trifásico, que constitui o sistema universal
adotado para geração, transmissão à distância e distribuição da energia elétrica em corrente
alternada.
8.4 - Agrupamento dos Circuitos Trifásicos em Estrela
Um sistema trifásico, como todos os circuitos polifásicos, poderia trabalhar com as fases
independentes, isto é, cada fase geradora poderia alimentar um circuito de utilização,
independentemente das outras, como indica a figura abaixo (a). Tal sistema de
aproveitamento não é entretanto usado na prática, pois é preferível usar-se o sistema
agrupado, como em (b). Em primeiro lugar devemos observar que o aproveitamento com as
fases separadas requer 6 condutores e, além disso, examinando a figura (a), pode-se ver que
os três fios ligados com os fins das fases, servem para trazer de volta as correntes I1; I2 e I3;
daí surgir a idéia de que um único condutor poderia transportar as três correntes. Isto é
realizado por meio do sistema indicado na figura (b), que, como se pode ver, possui somente 4
fios em lugar dos 6 indicados na figura (a).
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O sistema assim constituído chama-se sistema trifásico em estrela. O fio comum que liga os
dois centros das estrelas, denominado também fio neutro, recolhe as três correntes das fases
consumidoras para o centro das fases geradoras. O fio neutro é percorrido então por uma
corrente que é a resultante das correntes nas três fases. Nota-se que o agrupamento em estrela
das fases geradoras efetua-se unindo os três fins ou os três princípios das mesmas. Esta
junção é denominada centro da estrela.
8.5 - Tensão de Linha e Tensão de Fase
Chamamos TENSÃO DE FASE (VF) à d.d.p. medida entre cada uma das fases e o fio neutro e
TENSÃO DE LINHA (VL) à d.d.p. medida entre duas fases.
Nos sistemas normais, equilibrados, as tensões de fase, que o gerador possui entre os
princípios e fins das suas fases, são iguais, isto é, V1 = V2 = V3 = VF e defasadas entre si de
120°. Portanto, três voltímetros ligados entre os fios 1; 2 e 3 e o fio neutro medirão três tensões
iguais que são as tensões de fase. Correspondentemente, três voltímetros ligados,
respectivamente entre os fios (1-2); (2-3); (3-1), medirão as tensões concatenadas ou tensões
de linha, que são iguais entre si, mas são maiores que as tensões de fase.
1
VF
VL
VL
120°
VF
120°
60° 60°
VF
90°
2
VL
2
30°
VL
2
3
VL
= VF cos 30°
2
VL = 2 . VF cos 30°
VL = VF . √ 3
VL = 2 . VF √ 3
2
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8.6 - Agrupamento dos Circuitos Trifásicos em Triângulo
O aproveitamento das fases de um sistema trifásico, em circuitos independentes, pode ser
feito com a disposição indicada na figura (a) abaixo, a qual é idêntica à indicada na figura
(a) do agrupamento em estrela, possuindo também seis fios. Agrupando-se as fases,
obtém-se um sistema como o indicado na figura (b), ao qual se chega observando que na
figura (a), os fios a e b transportam as correntes I1 e I3 e podem ser substituídos por um
único fio, que será atravessado pela corrente resultante da diferença geométrica entre I1 e
I3 Analogamente, os fios c e d podem ser substituídos por um único fio, atravessado pela
corrente que resulta da diferença geométrica entre I3 e I2 e os fios e e f podem ser
substituídos por um fio que transportará a corrente resultante da diferença geométrica
entre I2 e I1.
Para substituir os pares de fios por condutores únicos, é necessário agrupar as fases
como indica a figura (b) acima, isto é, une-se o fim da primeira fase F1 com o princípio da
segunda P2, o fim da segunda F2 com o princípio da terceira P3 e o fim da terceira F3 com
o princípio da primeira P1.
As fases geradoras e as consumidoras, agrupadas desta maneira, formam uma malha
triangular, e disso provém o nome de agrupamento em triângulo. Neste sistema de
agrupamento, três voltímetros derivados entre os fios de linha medirão as tensões V1-2; V2-3; e
V3-1, as quais coincidem com as tensões de fase, que em geral são iguais e defasadas entre si
de 120°.
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8.7 - Corrente de Linha e Corrente de Fase
Em um circuito trifásico em triângulo, como não há o condutor neutro, as tensões de linha e de
fase são iguais. Entretanto, a corrente de linha é maior que a corrente de fase:
IL = I F . √ 3
8.8 - Potência Elétrica nos Circuitos Trifásicos
A potência aparente de um sistema trifásico é dada pela soma das potências aparentes das três
fases, sejam estas independentes, agrupadas em estrela ou em triângulo, isto é:
S = VF1 . IF1 + VF2 . If2 + VF3 . IF3
Se o sistema é equilibrado e simétrico, as correntes e as tensões são iguais, logo
S = 3 . VF . IF
Devemos agora expressar a potência deste sistema em função da tensão e da corrente de
linha. Para tal, consideraremos:
8.8.1 – Agrupamento em estrela
Neste sistema, a tensão de fase VF é dada por VF = VL / √ 3 e a corrente de fase IF = IL = I.
Substituindo os valores, teremos:
S = 3 . VL / √ 3 . I
Logo,
S = VL . I . √ 3
Volts-Ampères (VA)
8.8.2 – Agrupamento em triângulo
Neste caso, a tensão de linha e de fase são iguais (VF = VL = V), porém IF = IL / √ 3 .
S = 3 . V . IF
ou substituindo os valores:
S = 3 . V . IL / √ 3
Logo,
S = V . IL . √ 3
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Volts-Ampères (VA)
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Observando as fórmulas da potência nos circuitos em estrela e triângulo, verificamos que
ambas são idênticas.
Para calcularmos a potência real ou potência útil, basta multiplicarmos o valor da potência
aparente pelo fator de potência:
P = V . I . √ 3 . cos φ
Watts (W)
8.9 – Cargas balanceadas e desbalanceadas
Como dissemos anteriormente, o cálculo acima é válido para circuitos equilibrados, ou
balanceados, com impedâncias de cargas iguais nas três fases, no qual as tensões e correntes
de carga são iguais. Assim, num circuito equilibrado em estrela a corrente no neutro é igual a
zero.
Na prática, num sistema composto por um gerador trifásico, nem sempre as cargas por ele
alimentadas são também trifásicas e/ou equilibradas, como por exemplo: lâmpadas, motores
monofásicos, aparelhos eletrodomésticos, etc.
Ao executarmos um projeto de instalação elétrica, devemos procurar distribuir as cargas
monofásicas de maneira equitativa, de modo a manter o sistema tão equilibrado quanto
possível.
8.9.1 – Agrupamento em estrela (gerador e carga) com carga balanceada
Consideremos o circuito abaixo:
IA
A
120 | 0° V
120 | 120° V
C
10Ω
120 | -120° V
B
10Ω
IN
10Ω
IB
IC
As tensões de fase e de linha serão:
VF = 120V
VL = VF √3 = 208V
79
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As correntes de fase, de linha e de neutro serão:
IF = IL = 120 = 12 A
10
Como a carga é resistiva, as correntes estão em fase com suas tensões, porém defasadas de
120º entre si, isto é:
IA = 12 | 0° A
IB = 12 | -120° A = – 6 – j10,39 A
IC = 12 | 120° A = – 6 + j10,39 A
A corrente de neutro será, então:
IN = IA + IB + IC = 12 + (– 6 – j10,39) + (– 6 + j10,39) = 0 A
8.9.2 – Agrupamento em estrela (gerador e carga) com carga desbalanceada
Consideremos o circuito abaixo:
IA
A
120 | 0° V
120 | 120° V
B
IB =
IC =
10
120 | 120°
20
IB
= 12 | 0° A
120 | – 120°
12
12Ω
IC
120 | 0°
IA =
20Ω
120 | -120° V
C
10Ω
IN
= 10 | – 120° A = – 5 – j8,66 A
= 6 | 120° A = – 3 + j5,2 A
IN = 12 + (– 5 – j8,66 A) + (– 3 + j5,2 A) = 4 – j3,46 A = 5,29 | – 40,9º A
obs.: Para cargas desbalanceadas, a corrente de neutro não é igual a zero.
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8.9.3 – Agrupamento em triângulo com carga balanceada
Consideremos o circuito abaixo:
IA
A
380 | 120° V
A
20Ω
380 | 0° V
20Ω
ICA
B
C
IB
C
IAB
20Ω
380 | -120° V
B
IBC
IC
As correntes de fase serão:
IAB =
VAB
ZAB
=
IBC =
VBC
ZBC
=
ICA =
VCA
ZCA
=
380 | 0°
20
= 19 | 0º A
380 | – 120°
20
380 | 120°
20
= 19 | – 120º A = – 9,5 – j16,45 A
= 19 | 120º A = – 9,5 + j16,45 A
As correntes de linha serão:
IA = IAB – ICA = 19 – (– 9,5 + j16,45) = 28,5 – j16,45 A = 32,9 | – 30º A
IB = IBC – IAB = (– 9,5 – j16,45) – 19 = – 28,5 – j16,45 A = 32,9 | – 150º A
IC = ICA – IBC = (– 9,5 + j16,45) – (– 9,5 – j16,45) = j32,9 A = 32,9 | 90º A
No agrupamento em triângulo com carga equilibrada, apesar de não haver corrente de neutro,
uma vez que não existe esse condutor, o somatório das correntes é igual a zero, como
demonstrado abaixo:
IA + IB + IC = 28,5 – j16,45 + (– 28,5 – j16,45) + j32,9
IA + IB + IC = 28,5 – j16,45 – 28,5 – j16,45 + j32,9 = 0
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8.9.4 – Agrupamento em triângulo com carga desbalanceada
Consideremos o circuito abaixo:
IA
A
220 | 120° V
A
25Ω
220 | 0° V
10Ω
ICA
B
C
IB
C
IAB
20Ω
220 | -120° V
B
IBC
IC
As correntes de fase serão:
IAB =
VAB
ZAB
=
IBC =
VBC
ZBC
=
ICA =
VCA
ZCA
=
220 | 0°
10
= 22 | 0º A
220 | – 120°
20
220 | 120°
25
= 11 | – 120º A = – 5,5 – j9,5 A
= 8,8 | 120º A = – 4,4 + j7,6 A
As correntes de linha serão:
IA = IAB – ICA = 22 – (– 4,4 + j7,6) = 26,4 – j7,6 A = 27,47 | – 16º A
IB = IBC – IAB = (– 5,5 – j9,5) – 22 = – 27,5 – j9,5 A = 29,1 | – 161º A
IC = ICA – IBC = (– 4,4 + j7,6) – (– 5,5 – j9,5) = 1,1 + j17,1 A = 17,13 | 86º A
Note-se que, devido ao desbalanceamento da carga, as correntes de linha, além de possuirem
módulos diferentes, não ficam mais defasadas de 120° entre si.
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82
8.9.5 – Agrupamento em estrela (gerador) / triângulo (carga)
Consideremos o circuito abaixo:
IA
A
A
120 | 0° V
ZAC
120 | 120° V
ICA
120 | -120° V
B
C
ZAB
ZBC
C
IB
IAB
B
IBC
IC
Para resolver este agrupamento, transformamos o gerador em estrela em seu equivalente em
triângulo, considerando que VL = VF . √ 3 ou: VL = 120 . √ 3 = 208 V
Assim, o circuito tomará a forma da figura abaixo, sendo VL = 208 V, e o condutor neutro do
gerador ficará desconectado.
IA
A
208 | 120° V
A
ZAC
208 | 0° V
ICA
B
C
IB
208 | -120° V
IAB
ZAB
ZBC
C
B
IBC
IC
A partir deste ponto, sua resolução se dá como já visto anteriormente para o agrupamento em
triângulo com carga balanceada ou desbalanceada, conforme o caso (itens 8.9.3 e 8.9.4).
83
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CAPÍTULO 9
HARMÔNICAS
Até aqui estudamos tensões e correntes alternadas com a forma de onda puramente senoidal.
No entanto, quando o sistema alimenta cargas não lineares, como retificadores, inversores de
freqüência, cargas indutivas com saturação do núcleo e outras, ocorre uma distorção da forma
de onda, seja ela de tensão ou de corrente, deixando de ser uma senóide perfeita.
Por outro lado, quando estudamos o som e suas propriedades, verificamos que o timbre de um
som, que é um dos fatores que diferenciam o som proveniente de de um instrumento, de uma
voz ou de qualquer outra fonte sonora, de outro, depende diretamente da sua forma de onda.
Por exemplo, o som de uma flauta, que é um tubo ressonante, é puramente senoidal, enquanto
que o de uma clarineta ou de um violino têm formas de onda não-senoidais, como mostram as
figuras abaixo.
Forma da onda sonora emitida por um clarinete
Forma da onda sonora emitida por um violino
9.1 – Série de Fourier
Fourier demonstrou que qualquer onda periódica pode ser expressa como sendo a soma de
uma componente em corrente contínua (freqüência zero) e uma série de ondas senoidais (ou
co-senoidais) contendo a freqüência fundamental e freqüências múltiplas da mesma, chamadas
“harmônicas” (ou “harmônicos”). A componente de corrente contínua, responsável pelo offset,
pode não existir.
Essas freqüências múltiplas são denominadas de acordo com a relação da sua freqüência com
a fundamental. Assim, se chamarmos “fo” à freqüência fundamental, suas freqüências múltiplas
serão assim chamadas:
2º harmônico => f = 2.fo
3º harmônico => f = 3.fo
4º harmônico => f = 4.fo
5º harmônico => f = 5 fo
E assim sucessivamente.
84
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84
Nos circuitos de corrente alternada usualmente encontrados, somente aparecem os harmônicos
ímpares. Esses harmônicos, à medida em que vão sendo adicionados, provocam um
“achatamento” da senóide, aproximando-a de uma onda quadrada. A figura abaixo mostra o
efeito da adição somente do terceiro harmônico.
Na verdade, uma onda quadrada é formada pela freqüência fundamental adicionada de TODOS
os harmônicos ímpares (até o infinito). Na figura abaixo mostramos o resultado da adição dos
harmônicos ímpares até o de número 11.
Fundamental
85
3º Harmônico
5º Harmônico
7º Harmônico
9º Harmônico
11º Harmônico
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85
Uma onda dente-de serra é formada pela soma de TODOS os harmônicos (pares e ímpares).
A figura abaixo mostra que a adição apenas do segundo e do terceiro harmônico já provocam a
tendência da onda resultante de assumir aquela forma.
Resultante
Fundamental
86
2º Harmônico
3º Harmônico
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86
Bibliografia:
-
A COURSE IN ELECTRICAL ENGINEERING – Chester L. Dawes (6 vol.)
-
ELECTRIC CIRCUITS – Joseph A. Edminister
-
BASIC ELECTRICITY – Van Valkenburgh, Nooger & Neville, Inc.
-
BASIC ELECTRICITY – U.S. Navy, Bureau of Naval Personnel
-
FUNDAMENTOS DE ELETROTÉCNICA – P. J. Mendes Cavalcanti
-
CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA – Rômulo Oliveira Albuquerque
-
ELETRICIDADE BÁSICA – Milton Gussow
-
TEORIA DA ELETROTÉCNICA – Alfonso Martignoni
-
NOÇÕES DE ELETROTÉCNICA – Senai
-
FÍSICA – Halliday - Resnick
Bibliografia Recomendada de Matemática
-
MATEMÁTICA – Ary Quintella – Coleção Completa (ou quaisquer outros livros de
Matemática do Ensino Fundamental e Médio)
-
MATEMÁTICA – Arlindo Clemente – Volume I
-
MATEMÁTICA COMPLETA – José Ruy Giovanni / José Roberto Bonjorno / José Ruy
Giovanni Jr.
-
MATEMÁTICA – Benigno Barreto Filho / Claudio Xavier da Silva
Sites de Matemática
87
-
http://www.matematicadidatica.com.br/
-
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html
-
http://www.matematica.com.br/site/
-
http://www.brasilescola.com/matematica/
Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 10ª Edição – Novembro 2016
e_mail: jroberto_rio@yahoo.com.br
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ÍNDICE
CAPÍTULO 1 - A CORRENTE ALTERNADA
04
1.1 - Produção de uma tensão alternada senoidal
04
1.2 - Análise gráfica e matemática da função seno
07
1.3 - Fase inicial
08
1.4 - Offset
09
1.4 - Valores Médio e Eficaz de uma f.e.m. Senoidal
09
CAPÍTULO 2 - VETORES E QUANTIDADES COMPLEXAS
14
2.1 - Representação vetorial de ondas senoidais
15
2.2 - Coordenadas Polares
15
2.3 - Coordenadas Retangulares
15
2.4 - Conversão da Forma Retangular em Polar
16
2.5 - Conversão da Forma Polar em Retangular
16
2.6 - Operações com vetores na Forma Retangular
16
2.7 - Operações com vetores na Forma Polar
17
CAPÍTULO 3 - REATÂNCIA E IMPEDÂNCIA
3.1 - Reatância Indutiva
19
3.2 - Reatância Capacitiva
19
3.3 - Impedância ( Z )
19
3.4 - Potência em C.A.
20
3.5 - Fator de Potência
21
CAPÍTULO 4 - CIRCUITOS DE C.A. MONOFÁSICOS IDEAIS
22
4.1 - Circuito Puramente Resistivo
22
4.2 - Circuito Puramente Indutivo
23
4.3 - Circuito Puramente Capacitivo
25
CAPÍTULO 5 - CIRCUITOS MONOFÁSICOS DE C.A.
5.1 - Circuito R-L em Série
27
27
5.1.1 - Impedância Indutiva (ZL)
28
5.2 - Potência em Circuitos Indutivos
31
5.3 - Circuito R-L em Paralelo
33
5.3.1 - Impedância num Circuito R-L Paralelo
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34
88
5.4 - Circuito R-C em Série
5.4.1 - Impedância capacitiva (ZC)
35
5.5 - Potência em Circuitos Capacitivos
36
5.6 - Circuito R-C Paralelo
37
5.6.1 - Impedância num Circuito R-C Paralelo
37
5.7 - Circuito R-L-C Série
38
5.8 - Circuito R-L-C em Paralelo
39
5.9 – Circuitos R-L-C Mistos
41
5.10 - Correção do Fator de Potência
47
CAPÍTULO 6 - RESSONÂNCIA
52
6.1 - Ressonância nos Circuitos em Série
52
6.2 - Largura de Faixa em um circuito ressonante série
54
6.3 - Ressonância nos Circuitos em Paralelo
55
6.4 - Oscilação num circuito R-L-C ressonante
56
CAPÍTULO 7 - FILTROS PASSIVOS
58
7.1 - O Decibel (dB)
58
7.2 - Filtro Passa-Baixas
60
7.2.1 – Filtro Passa-Baixas com Circuito R-L
60
7.2.2 – Filtro Passa-Baixas com Circuito R-C
62
7.3 - Filtro Passa-Altas
89
35
63
7.3.1 – Filtro Passa-Altas com Circuito R-L
63
7.3.2 – Filtro Passa-Altas com Circuito R-C
64
7.4 - Filtro Passa-Faixa com circuito R-C
65
7.5 - Filtro passa-faixa com circuito L-C
66
7.6 - Filtro Rejeita-Faixa com circuito L-C
66
7.7 - Filtro Rejeita-Faixa com circuito R-C
68
7.8 - Circuito Integrador
68
7.9 - Circuito Diferenciador
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CAPÍTULO 8 - SISTEMAS POLIFÁSICOS
71
8.1 - Funcionamento de um Alternador
71
8.2 - Inconvenientes dos sistemas monofásicos
72
8.3 - Funcionamento de um alternador trifásico
74
8.4 - Agrupamento dos Circuitos Trifásicos em Estrela
75
8.5 - Tensão de Linha e Tensão de Fase
76
8.6 - Agrupamento dos Circuitos Trifásicos em Triângulo
77
8.7 - Corrente de Linha e Corrente de Fase
78
8.8 - Potência Elétrica nos Circuitos Trifásicos
78
8.8.1 – Agrupamento em estrela
78
8.8.2 – Agrupamento em triângulo
78
8.9 - Cargas balanceadas e desbalanceadas
79
8.9.1 – Agrupamento em estrela com carga balanceada
79
8.9.2 – Agrupamento em estrela com carga desbalanceada
80
8.9.3 – Agrupamento em triângulo com carga balanceada
81
8.9.4 – Agrupamento em triângulo com carga desbalanceada
82
8.9.5 – Agrupamento estrela (gerador) / triângulo (carga)
83
CAPÍTULO 9 - HARMÔNICAS
9.1 - Série de Fourier
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BIBLIOGRAFIA
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