MASTER MODELAREA ŞI SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE MOBILE
TEORIA GRAFURILOR
CU APLICATII IN MODELAREA SRUCTURILOR MOBILE
(TGAMSM)
Şl.dr.ing. Ileana DUGĂEŞESCU
Motto
,,Azi teoria grafurilor a devenit o disciplinã majorã, desi nu-si gãseste locul
într-o clasificare dogmatica a capitolelor matematicii.
Folosirea teoriei grafurilor în domenii variate, de la chimie la economie, de la
studiul retelelor electrice la critica textelor si la politicã, îi dau azi un prestigiu de
care cel ce clasificã stinţele trebuie sã ţinã seama.,,
Grigore C. Moisil
• Lanţul cinematic iniţial este format din elemente cinematice legate între ele prin cuple cinematice
inferioare ( de clasa a V-a). Acesta nu are în componenţa sa cuple suprapuse sau lanţuri cinematice
pasive.
• Numărul total al elementelor cinematice (n) reprezintă suma tuturor elementelor cinematice care intră
în alcătuirea lanţul cinematic. Aceste elemente pot fi binare (n2), ternare (n3), cvaternare (n4),
pentalatere (n5) etc.
n = n2 + n3 + n4 +  + nm
• Conform teoriei grafurilor suma gradelor fiecărui vârf este egal cu dublul muchiilor. Vârfurile pot fi
binare, ternare, cuaternare etc. Ştiind că un element binar se leagă de alte elemente prin două cuple
cinematice, unul ternar se leagă prin trei cuple cinematice, se poate scrie relaţia:
2n2 + 3n3 + 4n4 +  + mnm = 2c
• O legătură se numește binară, ternară sau legătură cuaternară dacă are două, trei sau patru cuple
(articulaţii).
• n2 – elemente binare,
• n3 – elemente ternare,
• n4 – elemente cuaternare.
SINTEZA STRUCTURALĂ
• Obiectivul sintezei structurale este obţinerea unui sistem mecanic.
• Pentru lanţurile cinematice cu gradul de mobilitate nul se cunosc relaţiile:
m = 2 N + M

c = 3N + M
Sistem de două ecuații cu două necunoscute (m și c).
Formula de calcul a gradului de mobilitate funcție de gradul de libertate este:
M = L −3
Formula de calcul a numărului total de elemente cinematice este:
n = m +1
Formula de calcul a rangului elementului cinematic este:
Notații:
m - numărul elementelor mobile,
c - numărul cuplelor cinematice,
N – numărul contururilor independente,
M - gradul de mobilitate
n
r=
2
• Etapele sintezei structurale sunt:
1. Se stabilește gradul de libertate (L);
2. Se stabilește numărul contururilor independente (N);
3. Se calculează gradul de mobilitate (M);
4. Se calculează numărul total de elemente cinematice (n);
5. Se calculează numărul total de cuple cinematice (c);
6. Se calculează numărul elementor cinematice mobile (m);
7. Se calculează rangul elementului cinematic (r);
8. Se scrie un sistem de două ecuații:
- Dacă sistemul este format din două ecuații și sunt două necunoscute atunci este static determinat
și se pot afla valorile celor două necunoscute.
- Dacă sistemul este format din două ecuații și sunt trei necunoscute atunci este static
nedeterminat. Pentru a se rezolva un astfel de sistem se dă o valoare uneia dintre necunoscute. În
acest caz se va stabili o valoare pentru termenul n2 funcție de valoarea rangului r calculat anterior.
- Dacă sistemul este format din două ecuații și sunt patru necunoscute atunci este static
nedeterminat. Pentru a se rezolva un astfel de sistem se dau valori pentru două necunoscute. În
acest caz se va stabili o valoare pentru termenii n2 și n3 funcție de valoarea rangului r calculat
anterior.
• Numărul total al elementelor cinematice (n) reprezintă suma tuturor elementelor binare (n2), ternare (n3),
cvaternare (n4) etc. ce alcătuiesc lanţul cinematic.
n = n2 + n3 + n4 +  + nm
• Un element binar se leagă de alte elemente prin două cuple cinematice. De asemenea un element ternar
se leagă prin trei cuple cinematice, deci se poate scrie relaţia:
2n2 + 3n3 + 4n4 +  + mnm = 2c
• Numărul total al elementelor cinematice (n) reprezintă suma tuturor elementelor binare (n2), ternare (n3), cvaternare
(n4) etc. ce alcătuiesc lanţul cinematic. n = n2 + n3 + n4 +  + nm
• Un element binar se leagă de alte elemente prin două cuple cinematice. De asemenea un element ternar se leagă prin
trei cuple cinematice, deci se poate scrie relaţia: 2n2 + 3n3 + 4n4 +  + mnm = 2c
• Se obţine sistemul:
n2 + n3 + n4 = 8
2n2 + 3n3 + 4n 4 = 20
Caz I: Deoarece r = 4 se pune condiţia: n2  4.
Caz II: Se alege n2 = 5.
Caz III: Se alege n2 = 6.
Se alege n2 = 4.
EXEMPLE
DE LANȚURI CINEMATICE
In figura alaturată este prezentat un lanț
cinematic format din cinci elemente binare
(1,5,7,8), două elemente ternare (2,4) și un
element cuaternar.
2
I
1
4
III
7
8
6
• n2 – elemente binare, n2 = 5;
II
5
• n3 – elemente ternare, n3 = 2;
• n4 – elemente cuaternare, n4 = 1.
3
4
3
III
2
2
7
I
1
II
6
5
8
Lanțurile cinematice sunt formate din:
- patru elemente cinematice binare;
- patru elemente cinematice ternare.
1
II
7
I
6
III
8
5
4
4
3
III
5
2
In figura alaturată este prezentat un lanț
cinematic format din 4 elemente ternare (1,2,5,6)
și 4 elemente binare (3,4,7,8)
II
7
1
6
I
8
3
4
III
2
7
I
1
5
II
8
6
In figura alaturată este prezentat un lanț
cinematic format din 4 elemente ternare (2,5,7,8)
și 4 elemente binare (1,3,4,6)
3
2
I
7
1
4
II
III
8
6
4
3
I
II
7
2
5
8
1
III
6
5
Lanțurile cinematice prezentate în partea stângă
sunt formate din:
- cinci elemente cinematice binare;
- două elemente cinematice ternare;
- un element cinematic cuaternar.
EXEMPLE
DE GRAFURI ANALIZATE
STRUCTURA 1
Modelul structural Watt
Graf asociat modelului structural Watt
Graf asociat modelului structural Watt
- Număr de noduri (vârfuri): 6
- Număr de muchii: 7
Nod (vârf)
Matrice de adiacenţă
1
2
3
4
5
6
Grad
1
0
1
0
1
0
0
2
2
1
0
1
0
0
0
2
3
0
1
0
1
1
0
4
1
0
1
0
0
5
0
0
1
0
6
0
0
0
Grad 2
2
3
1
2
3
4
5
6
Vecini
2,4
1,3
2,4,5
1,3,6
3,6
4,5
Grad
2
2
3
3
2
2
Muchie
A
B
C
D
E
F
G
Noduri legate
1-2
2-3
3-4
1-4
3-5
5-6
4-6
Matrice de incidenţă
A B
C
D E
F
G
Grad
1
1
0
0
1
0
0
0
2
3
2
1
1
0
0
0
0
0
2
1
3
3
0
1
1
0
1
0
0
3
0
1
2
4
0
0
1
1
0
0
1
3
1
1
0
2
5
0
0
0
0
1
1
0
2
3
2
2
6
0
0
0
0
0
1
1
2
TABELUL CUPLELOR
TABELUL NODURILOR
A(1,2)
1-A,D
B(2,3)
2-A,B
C(3,4)
D(1,4)
3-B,C,E
TABELUL ELEMENTELOR
TABELUL MUCHIILOR
1-A,D
A(1,2)
2-A,B
E(3,5)
F(5,6)
G(4,6)
4-C,D,G
C(3,4)
3-B,C,E
5-E,F
6-F,G
6-F,G
D(1,4)
E(3,5)
4-C,D,G
5-E,F
B(2,3)
F(5,6)
G(4,6)
Graf asociat modelului structural Watt
STRUCTURA 2
Model structural
Lanţ cinematic Stephenson
n=5
i=7
Graf asociat modelului structural
Graf asociat modelului structural Stephenson
- Număr de noduri (vârfuri): 6
- Număr de muchii: 7
Nod (vârf)
Matrice de adiacenţă
1
2
3
4
5
6
Grad
1
0
1
0
1
0
1
3
2
1
0
1
0
0
0
2
3
0
1
0
1
1
0
4
1
0
1
0
0
5
0
0
1
0
6
1
0
0
Grad 3
2
3
1
2
3
4
5
6
Vecini
2,4,6
1,3
2,4,5
1,3
3,6
1,5
Grad
3
2
3
2
2
2
Muchie
A
B
C
D
E
F
G
Noduri legate
1-2
2-3
3-4
1-4
3-5
5-6
1-6
Matrice de incidenţă
A B
C
D E
F
G
Grad
1
1
0
0
1
0
0
1
3
3
2
1
1
0
0
0
0
0
2
0
2
3
0
1
1
0
1
0
0
3
0
1
2
4
0
0
1
1
0
0
0
2
0
1
0
2
5
0
0
0
0
1
1
0
2
2
2
2
6
0
0
0
0
0
1
1
2
TABELUL CUPLELOR
TABELUL NODURILOR
A(1,2)
1-A,D,G
B(2,3)
2-A,B
TABELUL ELEMENTELOR
C(3,4)
D(1,4)
1-A,D,G
3-B,C,E
2-A,B
3-B,C,E
A(1,2)
4-C,D
E(3,5)
F(5,6)
B(2,3)
C(3,4)
4-C,D
5-E,F
D(1,4)
E(3,5)
5-E,F
G(1,6)
TABELUL MUCHIILOR
6-F,G
6-F,G
F(5,6)
G(1,6)
Graf asociat modelului structural Stephenson
BIBLIOGRAFIE
1. Berge C.: Teoria grafurilor şi aplicaţiile ei (traducere din limba franceză), Ed. Tehnică, Bucureşti, 1969.
2. Comănescu, Adr., Comănescu, D., Dugăeşescu I., Boureci, A., Bazele modelării
mecanismelor, Editura
Politehnica Press, Bucureşti, 2010;
3. Dobrjanskyj L., Freudenstein F.: Some applications of Graph Theory to the Structural Analysis of Mechanisms. In:
Journal of Engineering for Industry, 89, Series B, ASME 1967, pp 153 -158.
4. G. Chartrand, L. Lesniak, Graphs and Digraphs, 3rd Ed., Chapman and Hall, London, 1996.
5. Manolescu, N.I., Teoria mecanismelor si a maşinilor (Note de curs), 4 volume, Litografia Institutului de Cai Ferate,
București, 1955-1956,
6. Mirescu P., Roşu Al.: Teoria grafurilor, Editura militară, Bucureşti, 1968.
7. Ore O.: Theory of Graphs, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 38, Providence R.I.,
1962.
8. Pelecudi, Chr., Bazele analizei mecanismelor, Editura Academiei Republicii Socialiste Romania,1967
9. Tempea, I.: Contribuţii la sinteza structurală a lanţurilor şi mecanismelor plane cu ajutorul teoriei grafurilor. In:
Buletinul Acad. Militare Bucureşti, 1, 1973, 121-158.
10. Tomescu, I.: Probleme de combinatorică şi teoria grafurilor, E. D. P. Bucureşti, 1981.
11. Sergiu Corlat, Andrei Corlat, Grafuri. Noțiuni, algoritmi, implementări
12. *** http://www.seap.usv.ro/~valeriul/lupu/GRAFURI_NEORIENTATE.pdf