‫رواﺑﻂ ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫وﺣﯿﺪ ﮐﺮﯾﻤ ﭘﻮر‐ داﻧﺸ ﺪه ﻓﯿﺰﯾ‬
‫‐ داﻧﺸ ﺎه ﺻﻨﻌﺘ ﺷﺮﯾﻒ‬
‫‪ ٣‬ﻣﻬﺮ ‪١٣٩٨‬‬
‫‪ ١‬ﻣﻘﺪﻣﻪ‬
‫در درس ﮔﺬﺷﺘﻪ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎی ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ ﭘﯿﺶ ﺑﺮﻧﺪه ﯾ‬
‫را ﻣﻌﺮﻓ ﮐﺮدﯾﻢ‪ .‬در آن درس ﺑﯿﺸﺘﺮ روی اﯾﻦ ﺗﺎﮐﯿﺪ ﮐﺮدﯾﻢ ﮐﻪ در ﺷﺮاﯾﻂ ﻣﺸﺨﺺ ﺧﺎرﺟ ﮐﺪام ﯾ‬
‫ﻓﺮاﯾﻨﺪ اﺳﺖ‪ .‬دﯾﺪﯾﻢ ﮐﻪ در ﻫﺮ ﻓﺮاﯾﻨﺪی ﭼﻪ ﺑﺮﮔﺸﺖ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﯾﺎ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭼﻪ اﯾﺴﺘﺎوار ﺑﺎﺷﺪ ﯾﺎ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﯾ‬
‫ﻫﺎﺳﺖ ﮐﻪ ﭘﯿﺶ ﺑﺮﻧﺪه دﺳﺘﮕﺎه ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﺑﻪ ﺳﻮی ﺗﻌﺎدل اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ دﯾﺪﯾﻢ ﮐﻪ‪:‬‬
‫‪ n‬وﻗﺘ ﮐﻪ ‪ Q = 0‬اﺳﺖ‪ ،‬اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ‪ ،‬ﻣﻨﻬﺎی اﻧﺘﺮوﭘﯽ ‪ −S‬اﺳﺖ‪،‬‬
‫‪ n‬وﻗﺘ ﮐﻪ ‪ Q = 0‬و ‪ P = const‬اﺳﺖ‪ ،‬اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ اﻧﺘﺎﻟﭙﯽ ‪ H‬اﺳﺖ‪،‬‬
‫‪ n‬وﻗﺘ ﮐﻪ ‪ V = const‬و ‪ T = const‬اﺳﺖ‪ ،‬اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ‪ ،‬اﻧﺮژی ﻫﻠﻤﻬﻮﻟﺘﺰ ‪ F‬اﺳﺖ‪،‬‬
‫‪١‬‬
‫از‬
‫از اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ‬
‫‪ n‬و ﺑﺎﻻﺧﺮه وﻗﺘ ﮐﻪ ‪ T = const‬و ‪ P = const‬اﺳﺖ‪ ،‬اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ‪ ،‬اﻧﺮژی ﮔﯿﺒﺲ ‪ G‬اﺳﺖ‪،‬‬
‫اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ ﺑﺮای ﯾ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﯿﺪروﺳﺘﺎﺗﯿ‬
‫ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﯾﻌﻨ ﺳﯿﺴﺘﻤ ﮐﻪ ﮐﺎری ﮐﻪ روی ﻣﺤﯿﻂ ﺑﯿﺮون اﻧﺠﺎم ﻣ دﻫﺪ ﺑﺎ راﺑﻄﻪ‬
‫‪dW‬‬
‫‪¯ = P dV‬‬
‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎ ﺷﺮوع از ﻗﺎﻧﻮن اول ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫و ﻃ ﮐﺮدن راﻫ ﮐﺎﻣﻼ ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻫﻤﻪ اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ را ﺑﺮای ﻫﺮ ﺳﯿﺴﺘﻢ‬
‫دﯾ ﺮی ﻧﯿﺰ ﺑﺪﺳﺖ آورد‪ .‬ﺣﺘ ﻻزم ﻧﯿﺴﺖ ﮐﻪ اﺳﺘﺪﻻل و ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ را دوﺑﺎره اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪ .‬ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺒﯿﻨﺪ ﮐﺎری ﮐﻪ آن ﺳﯿﺴﺘﻢ روی‬
‫‪ dW‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻫﻤﻪ‬
‫ﻣﺤﯿﻂ ﺧﺎرج اﻧﺠﺎم ﻣ دﻫﺪ از ﭼﻪ راﺑﻄﻪ ای ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ ‪.‬اﮔﺮ اﯾﻦ ﮐﺎر از راﺑﻄﻪ ای ﻣﺜﻞ ‪¯ = JdX‬‬
‫ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ و ﺷﺮاﯾﻂ ﺑﺎﻻ ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻨ ﻫﺎی زﯾﺮ را اﻧﺠﺎم دﻫﺪ ﺗﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺎرﯾﻒ ﺻﺤﯿﺢ ﺑﺮای ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ و ﻗﯿﺪﻫﺎی ﺧﺎرﺟ آﻧﻬﺎ ﺑﺮﺳﺪ‪:‬‬
‫)‪(١‬‬
‫‪P −→ J , V −→ X.‬‬
‫اﻣﺎ ﮐﺎرﮐﺮد اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ ﺑﺴﯿﺎر ﺑﯿﺸﺘﺮ از اﯾﻦ ﻫﺎﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ رواﺑﻂ ﻣﺘﻌﺪدی را ﺑﯿﻦ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺗﺮﻣﻮﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﻫﺎ ﺑﺮای ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺑﻬﺘﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻌﺎدل اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻠ ﻪ ﺑﻪ ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺑﻬﺘﺮ ﻣﺎ از ﮐﻠﯿﻪ ﻓﺮاﯾﻨﺪﻫﺎی ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﺑﺮﻗﺮار ﻣ ﮐﻨﻨﺪ ﮐﻪ ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ از آن‬
‫ﻧﯿﺰ ﻣ اﻧﺠﺎﻣﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺨﺴﺘﯿﻦ ﮔﺎم‬
‫ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ای از اﯾﻦ رواﺑﻂ ﻣ ﭘﺮدازم ﮐﻪ ﺑﻪ اﻓﺘﺨﺎر ﺟﯿﻤﺰ ﮐﻠﺮک ﻣﺎﮐﺴﻮل‪ ١ ،‬ﻓﯿﺰﯾ ﺪان اﺳ ﺎﺗﻠﻨﺪی‪ ،‬رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫‪١.١‬‬
‫‪٢‬‬
‫رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل‬
‫ﺑﺎزﻫﻢ اﯾﻦ رواﺑﻂ را ﺑﺮای ﯾ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﯿﺪروﺳﺘﺎﺗﯿ‬
‫ﻫﺎی دﻟﺨﻮاه دﯾ ﺮ ﻧﯿﺰ ﺑﻨﻮﯾﺴﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﯾ‬
‫ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ ﺑﺎ اﯾﻦ ﯾﺎدآوری ﮐﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻨ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻫﻤﻪ آﻧﻬﺎ را ﺑﺮای ﺳﯿﺴﺘﻢ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﯿﺪروﺳﺘﺎﺗﯿ‬
‫‪ ،‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎی ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪T dS − P dV‬‬
‫=‬
‫‪dU‬‬
‫‪−SdT − P dV‬‬
‫=‬
‫‪dF‬‬
‫‪James Clerk Maxwell١‬‬
‫‪٢‬‬
‫ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن در رواﺑﻂ زﯾﺮ ﺻﺪق‬
‫)‪(٢‬‬
‫‪= T dS + V dP‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪= −SdT + V dP‬‬
‫‪dG‬‬
‫از اﯾﻦ رواﺑﻂ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺎی ﭘﺎره ای زﯾﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫) ‪( ∂U‬‬
‫‪∂V S‬‬
‫) ‪( ∂F‬‬
‫‪P =−‬‬
‫‪∂V T‬‬
‫) ‪( ∂H‬‬
‫= ‪V‬‬
‫‪∂P S‬‬
‫) ‪( ∂G‬‬
‫= ‪V‬‬
‫‪.‬‬
‫‪∂P T‬‬
‫‪P =−‬‬
‫)‪(٣‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫) ‪( ∂U‬‬
‫‪∂S V‬‬
‫) ‪( ∂F‬‬
‫‪S=−‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫) ‪( ∂H‬‬
‫= ‪T‬‬
‫‪∂S P‬‬
‫) ‪( ∂G‬‬
‫‪S=−‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫= ‪T‬‬
‫اﯾﻦ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﭘﺎره ای ﺑﻪ ﺧﻮدی ﺧﻮد ارزش ﺑﺴﯿﺎری دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﻫﺮ ﮐﺪام از اﯾﻦ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎ ﻣ ﺗﻮان ﺑﻘﯿﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫را ﯾ‬
‫ﺑﻪ ﯾ‬
‫ﺑﺪﺳﺖ آورد‪.‬‬
‫‪ n‬ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬اﻟﻒ‪ :‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﭼ ﻮﻧﻪ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻧﺮژی آزاد ﻫﻠﻤﻬﻮﻟﺘﺰ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از دﻣﺎ و ﺣﺠﻢ‪ ،‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ‪ ،‬اﻧﺮژی‪ ،‬اﻧﺘﺎﻟﭙﯽ و اﻧﺮژی ازاد‬
‫ﮔﯿﺒﺲ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ب‪ :‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﭼ ﻮﻧﻪ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻧﺮژی آزاد ﮔﯿﺒﺲ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از دﻣﺎ و ﻓﺸﺎر ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ‪ ،‬اﻧﺮژی‪ ،‬اﻧﺘﺎﻟﭙﯽ ‪ ،‬اﻧﺘﺮوﭘﯽ و اﻧﺮژی ازاد ﻫﻠﻤﻬﻮﻟﺘﺰ‬
‫را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﺑﻪ ﯾ‬
‫ﻗﻀﯿﻪ اﺳﺎﺳ در رﯾﺎﺿﯿﺎت ﻧﮕﺎه ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮی ﺑﯿﺎن ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﺗﺴﺎوی زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪:‬‬
‫)‪(۴‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ در ﻫﺮ ﻫﻤﺴﺎﯾ‬
‫‪∂2f‬‬
‫‪∂2f‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪∂x∂y‬‬
‫‪∂y∂x‬‬
‫ای ﮐﻪ ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎی ﭼﻬﺎرﮔﺎﻧﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ از ﻗﻀﯿﻪ ﺑﺎﻻ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ و ﺑﻪ رواﺑﻂ زﯾﺮ ﺑﺮﺳﯿﻢ‪:‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫‪= −‬‬
‫‪∂S V‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫=‬
‫‪∂T V‬‬
‫) ‪( ∂V‬‬
‫=‬
‫‪∂S P‬‬
‫‪٣‬‬
‫) ‪( ∂T‬‬
‫‪∂V S‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪∂V T‬‬
‫) ‪( ∂T‬‬
‫‪∂P S‬‬
‫) ‪( ∂V‬‬
‫‪.‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫)‪(۵‬‬
‫‪= −‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪∂P T‬‬
‫اﯾﻦ رواﺑﻂ‪ ،‬رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮﻧﺪ و در اﺳﺘﺨﺮاج ﺑﺴﯿﺎری از ﺧﻮاص ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﻧﻘﺶ اﺳﺎﺳ دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﺑﻪ ﯾﺎدآوردن اﯾﻦ رواﺑﻂ اﯾﻦ‬
‫ﻧﮑﺘﻪ را ﻣ ﺑﺎﯾﺴﺖ در ﻧﻈﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ﮐﻪ اﮔﺮ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب دری ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ ﻧﮕﺎه ﮐﻨﯿﻢ ﻫﻤﻮاره ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﻣﺰدوج ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺜﻞ‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ P, V‬و ﯾﺎ ‪ . T, S‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﻤﯿﺸﻪ ﻣ ﺗﻮان ﻫﺮ ﮐﺪام از اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎ را ﺑﺪون ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﺑﻪ ﺟﺎﯾﯽ ﻧﻮﺷﺖ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﭼﯿﺰی ﮐﻪ ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺘ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ در اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎ وﺟﻮد دارد‪ .‬اﯾﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻫﻢ اﻏﻠﺐ ﺑﺎ ﻣﻼﺣﻈﺎت ﻓﯿﺰﯾ‬
‫و در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﺜﺎل ﻫﺎی ﺧﺎص ﻓﯿﺰﯾ‬
‫ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺸﺨﯿﺺ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺑﻪ ﻫﻤﺎن راﺑﻄﻪ اول ﻧﮕﺎه ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬در ﻃﺮف ﭼﭗ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻮم اﺳﺖ ﮐﻪ وﻗﺘ ﮐﻪ اﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﺎه ﻣ دارﯾﻢ و ﺣﺠﻢ را زﯾﺎد ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪،‬‬
‫ﺣﺘﻤﺎ ﺑﺎﯾﺪ دﻣﺎ را ﮐﻢ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻃﺮف ﭼﭗ ﯾ‬
‫ﮐﻤﯿﺖ ﻣﻨﻔ اﺳﺖ‪ ،.‬ﯾﻌﻨ‬
‫)‪(۶‬‬
‫) ‪( ∂T‬‬
‫‪≤ 0.‬‬
‫‪∂V S‬‬
‫در ﻃﺮف راﺳﺖ‪ ،‬اﮔﺮ ﺣﺠﻢ را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﺎه دارﯾﻢ و اﻧﺘﺮوﭘﯽ را زﯾﺎد ﮐﻨﯿﻢ ﯾﻌﻨ اﯾﻨﮑﻪ ﺑﯽ ﻧﻈﻤ و ﺟﻨﺐ و ﺟﻮش و در ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻣﺎ را زﯾﺎد ﮐﺮده اﯾﻢ‪.‬‬
‫اﻣﺎ اﮔﺮ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺎز ﻧﮕﺎه ﮐﻨﯿﻢ اﯾﻦ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨﺎﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﺸﺎر زﯾﺎد ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﺸﺘﻖ ﻣﻮﺟﻮد در ﻃﺮف راﺳﺖ ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪،‬‬
‫)‪(٧‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫‪≥0‬‬
‫‪∂S V‬‬
‫و در ﻧﺘﯿﺠﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻣ ﺑﺎﯾﺴﺖ ﺑﺎ ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻨﻔ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دوم ﻣﺎﮐﺴﻮل ﺗﻮﺟﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ :‬در ﻃﺮف ﭼﭗ‪ ،‬اﮔﺮ دﻣﺎ را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﺎه دارﯾﻢ و ﺣﺠﻢ را زﯾﺎد ﮐﻨﯿﻢ ﻣﺴﻠﻤﺎ اﻧﺘﺮوﭘﯽ را اﻓﺰاﯾﺶ داده اﯾﻢ‬
‫)‬
‫(‬
‫ﯾ دﻟﯿﻞ اش اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ آﻧﺘﺮوﭘﯽ ﻓﺰوﻧﻮر اﺳﺖ ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫)‪(٨‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫‪≥0‬‬
‫‪∂S V‬‬
‫در ﻃﺮف راﺳﺖ اﮔﺮ ﺣﺠﻢ را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﺎه دارﯾﻢ و دﻣﺎ را زﯾﺎد ﮐﻨﯿﻢ ﻣﺴﻠﻤﺎ ﻓﺸﺎر زﯾﺎد ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﯾﻌﻨ‬
‫)‪(٩‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫‪≥0‬‬
‫‪∂S V‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻋﻼﻣﺖ راﺑﻄﻪ دوم ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪۴‬‬
‫ﺣﺎل ﺑﻪ راﺑﻄﻪ ﺳﻮم ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻧﮕﺎه ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ :‬؟؟؟؟؟؟ آﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﺎه دارﯾﻢ و ﻓﺸﺎر را زﯾﺎد ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﻣ ﺑﺎﯾﺴﺖ دﻣﺎ را ﮐﻢ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫ﻃﺮف ﭼﭗ ﻣﻨﻔ اﺳﺖ‪،‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫‪≥0‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫)‪(١٠‬‬
‫ﭘﺲ ﻋﻼﻣﺖ ﺗﺴﺎوی در دوﻣﯿﻦ راﺑﻄﻪ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫و ﺳﺮاﻧﺠﺎم راﺑﻄﻪ ﭼﻬﺎرم را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﯾ‬
‫راه اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ دﯾﺎﮔﺮام ‪ P T‬ﺑﺮای آب ﻧﮕﺎه ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ در دﻣﺎی ﺛﺎﺑﺖ اﮔﺮ ﻓﺸﺎر‬
‫را زﯾﺎد ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﺑﺨﺎر ﺑﻪ ﻣﺎﯾﻊ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی ﮐﻢ ﺗﺮ ﺷﺪن آﻧﺘﺮوﭘﯽ آن اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫)‪(١١‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪≤ 0.‬‬
‫‪∂P T‬‬
‫از ﻃﺮﻓ ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ در ﻓﺸﺎر ﺛﺎﺑﺖ‪ ،‬اﮔﺮ دﻣﺎی ﮔﺎز را زﯾﺎد ﮐﻨﯿﻢ ﺣﺠﻢ آن زﯾﺎد ﻣ ﺷﻮد ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫)‪(١٢‬‬
‫) ‪( ∂V‬‬
‫‪≥ 0,‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻋﻼﻣﺖ راﺑﻄﻪ ﭼﻬﺎرم ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻣﻨﻔ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﻠﻢ اﺳﺖ ﮐﻪ رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل از ﻧﻈﺮ ﺗﺌﻮرﯾ‬
‫اﻫﻤﯿﺖ زﯾﺎدی دارﻧﺪ زﯾﺮا رواﺑﻂ ﻣﺘﻌﺪدی را ﺑﯿﻦ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﺑﺮﻗﺮار ﻣ ﮐﻨﻨﺪ ﮐﻪ‬
‫اﺻﻼ واﺿ و ﺑﺪﯾﻬ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ از ﻧﻈﺮ ﺗﺠﺮﺑﯽ ﻧﯿﺰ اﯾﻦ رواﺑﻂ ﻣﻬﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ زﯾﺮا ﺑﯿﻦ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﺮاﺣﺘ در آزﻣﺎﯾﺸ ﺎه ﻗﺎﺑﻞ اﻧﺪازه ﮔﯿﺮی اﻧﺪ و‬
‫ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﭼﻨﯿﻦ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ راﺑﻄﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل راﺑﻄﻪ دوم ﻣﺎﮐﺴﻮل را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻃﺮف راﺳﺖ اﯾﻦ ﻋﺒﺎرت ﮐﻤﯿﺘ اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫)‬
‫(‬
‫ﺑﺮاﺣﺘ در آزﻣﺎﯾﺸ ﺎه ﻗﺎﺑﻞ اﻧﺪازه ﮔﯿﺮی اﺳﺖ‪ .‬ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺣﺠﻢ ﮔﺎز را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﺎه دارﯾﻢ آن را در ﯾ ﻣﺤﻔﻈﻪ درﺑﺴﺘﻪ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ‬
‫اﻓﺰاﯾﺶ دﻣﺎ‪ ،‬اﻓﺰاﯾﺶ ﻓﺸﺎر را ﺑﺴﻨﺠﯿﻢ‪ .‬آﻧﻮﻗﺖ اﯾﻦ ﮐﻤﯿﺖ‪ ،‬ﻃﺮف ﭼﭗ را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻣ دﻫﺪ‪ ،‬ﯾﻌﻨ ﺗﻐﯿﯿﺮات آﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ در دﻣﺎی ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻪ‬
‫ﺷﺎﯾﺪ راه ﺳﺎده ای ﺑﺮای اﻧﺪازه ﮔﯿﺮی اش وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﻃﺮﯾﻖ راﺑﻄﻪ ﭼﻬﺎرم ﻧﯿﺰ ﭼﻨﯿﻦ ﺧﺎﺻﯿﺘ دارد‪ .‬اﻣﺎ راﺑﻄﻪ ﻫﺎی اول و ﺳﻮم از اﯾﻦ‬
‫ﻫﻢ ﺟﺎﻟﺐ ﺗﺮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای آﻧﮑﻪ ﻃﺮف ﭼﭗ ﭼﻨﯿﻦ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎﯾﯽ را اﻧﺪازه ﮔﯿﺮی ﮐﻨﯿﻢ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺑﻪ ﺻﻮرت اﯾﺴﺘﺎوار ﺗﺤﺖ ﯾ‬
‫ﺗﺤﻮل ﺑﯽ‬
‫در رو ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ ‪ T dS = d̄Q‬اﻧﺘﺮوﭘﯽ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ و ﻣﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺮاﺣﺘ ﻃﺮف ﭼﭗ اﯾﻦ رواﺑﻂ را در‬
‫آزﻣﺎﯾﺸ ﺎه ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻃﺮف ﻫﺎی راﺳﺖ ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬
‫‪۵‬‬
‫رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﺑﻪ ﻣﺎ اﺟﺎزه ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد زﯾﺎدی راﺑﻄﻪ ﻣﻔﯿﺪ ﺑﯿﻦ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫ﺗﻮان ﺑﺮای ﻫﺮ ﮐﺪام از ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ در درس ﮔﺬﺷﺘﻪ ﻣﻌﺮﻓ ﮐﺮدﯾﻢ ﯾ‬
‫‪٣‬‬
‫و ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﺳ ﺗﺮﻣﻮدﯾﻨﺎﻣﯿ‬
‫‪ ٢‬ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣ‬
‫دﺳﺘﻪ رواﺑﻂ ﺑﺪﺳﺖ ﺑﯿﺎورﯾﻢ‪ .‬ﻧﺨﺴﺖ از آﻧﺘﺮوﭘﯽ ﺷﺮوع ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫رواﺑﻂ اﻧﺘﺮوﭘﯽ‬
‫در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ رواﺑﻂ اﻧﺘﺮوﭘﯽ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ ﮐﻪ اﻟﺒﺘﻪ اﺻﻄﻼح رواﺑﻂ ‪ T dS‬ﺑﺮای آﻧﻬﺎ راﯾﺞ ﺗﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻘﻄﻪ آﻏﺎز اﯾﻦ رواﺑﻂ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣ‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫( )‬
‫)‬
‫داﻧﯿﻢ اﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ﺳﻪ ﺟﻔﺖ ﻣﺘﻐﯿﺮ ‪ T, P ، T, V‬و ﯾﺎ ‪ V, P‬ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪ .‬در ﻫﺮ ﻣﻮرد ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻪ ﯾ راﺑﻄﻪ ﻣﻔﯿﺪ دﺳﺖ ﭘﯿﺪا‬
‫ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ اﯾﻦ ﮐﺎر را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮای ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ دﯾ ﺮی اﻧﺠﺎم داد‪ ،‬وﻟ اﻫﻤﯿﺖ رواﺑﻂ اﻧﺘﺮوﭘﯽ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ ﺳﻨﺠﺶ ﭘﺬﯾﺮﺗﺮی‬
‫در آزﻣﺎﯾﺸ ﺎه ﻣﺮﺗﺒﻂ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ رواﺑﻂ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺷﺮح ﻣ دﻫﯿﻢ‪:‬‬
‫‪ n‬راﺑﻄﻪ اول آﻧﺘﺮوﭘﯽ‬
‫اﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ﺣﺠﻢ و دﻣﺎ در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ و ﺑﻼﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪dT +‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂T‬‬
‫‪∂V T‬‬
‫)‪(١٣‬‬
‫= ‪dS‬‬
‫ﺑﺎ ﺿﺮب ﮐﺮدن ﻃﺮﻓﯿﻦ در ‪ T‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪dT + T‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫‪∂V T‬‬
‫)‪(١۴‬‬
‫‪T dS = T‬‬
‫ﺣﺎل از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻇﺮﻓﯿﺖ ﮔﺮﻣﺎﯾﯽ در ﺣﺠﻢ ﺛﺎﺑﺖ‪ ،‬ﯾﻌﻨ‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪= CV‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫وﯾ‬
‫‪T‬‬
‫از رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﯾﻌﻨ‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫=‬
‫‪T‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺑﻪ اوﻟﯿﻦ راﺑﻄﻪ اﻧﺘﺮوﭘﯽ ﻣ رﺳﯿﻢ‪.‬‬
‫)‪(١۵‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫‪T dS = CV dT + T‬‬
‫‪Response Function٢‬‬
‫‪۶‬‬
‫‪ n‬راﺑﻄﻪ دوم اﻧﺘﺮوﭘﯽ‬
‫ﺣﺎل اﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ﻓﺸﺎر و دﻣﺎ در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ و ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪dT +‬‬
‫‪dP‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫‪∂P T‬‬
‫)‪(١۶‬‬
‫= ‪dS‬‬
‫و ﺑﺎ ﺿﺮب ﮐﺮدن ﻃﺮﻓﯿﻦ در دﻣﺎ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﻣ رﺳﯿﻢ‪:‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪dT + T‬‬
‫‪dP‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂T‬‬
‫‪∂P T‬‬
‫)‪(١٧‬‬
‫‪T dS = T‬‬
‫اﯾﻦ ﺑﺎر از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻇﺮﻓﯿﺖ ﮔﺮﻣﺎﯾﯽ در ﻓﺸﺎر ﺛﺎﺑﺖ‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪= CP‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫)‪(١٨‬‬
‫وﯾ‬
‫‪T‬‬
‫دﯾ ﺮ از رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل‬
‫) ‪( ∂V‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪∂P T‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫)‪(١٩‬‬
‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺑﻪ راﺑﻄﻪ دوم اﻧﺘﺮوﭘﯽ ﻣ رﺳﯿﻢ‪.‬‬
‫)‪(٢٠‬‬
‫) ‪( ∂V‬‬
‫‪dP.‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫‪T dS = CP dT − T‬‬
‫‪ n‬راﺑﻄﻪ ﺳﻮم آﻧﺘﺮوﭘﯽ‬
‫ﺣﺎل اﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ﻓﺸﺎر و ﺣﺠﻢ در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ و ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‪(٢١‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪dV +‬‬
‫‪dP‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂P V‬‬
‫= ‪dS‬‬
‫و ﺑﺎ ﺿﺮب ﮐﺮدن ﻃﺮﻓﯿﻦ در دﻣﺎ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﻣ رﺳﯿﻢ‪:‬‬
‫)‪(٢٢‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪dV + T‬‬
‫‪dP‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂P V‬‬
‫‪٧‬‬
‫‪T dS = T‬‬
‫اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﺷ ﻞ ﻓﻌﻠ ﯾ‬
‫راﺑﻄﻪ ﻣﻌﺘﺒﺮاﺳﺖ‪ .‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻪ ﺟﺎی‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫و‬
‫‪∂P V‬‬
‫از رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل اول و ﺳﻮم ﻣﺎﮐﺴﻮل اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‬
‫ﮐﻪ ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎی آﻧﻬﺎ‪:‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫=‬
‫‪∂V P‬‬
‫‪∂T S‬‬
‫و‬
‫) ‪( ∂V‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪,‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪∂T S‬‬
‫و ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﯾﻦ ﻫﺎ در راﺑﻄﻪ )‪ (٢٣‬ﺑﻪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﺮﺳﯿﻢ‪:‬‬
‫)‪(٢٣‬‬
‫) ‪( ∂P‬‬
‫) ‪( ∂V‬‬
‫‪dV − T‬‬
‫‪dP.‬‬
‫‪∂T S‬‬
‫‪∂T S‬‬
‫‪T dS = T‬‬
‫وﻟ اﯾﻦ آن ﭼﯿﺰی ﻧﯿﺴﺖ ﮐﻪ ﻣﺎ راﺑﻄﻪ ﺳﻮم اﻧﺘﺮوﭘﯽ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ ﭼﺮا ﮐﻪ در آن ﻣﺸﺘﻘﺎﺗ از ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎ در اﻧﺘﺮوﭘﯽ ﺛﺎﺑﺖ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﮐﻪ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎﯾﯽ‬
‫ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺮاﺣﺘ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪه و اﻧﺪازه ﮔﯿﺮی ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﺑﺪﺳﺖ آوردن راﺑﻄﻪ ﻣﻔﯿﺪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ زﯾﺮ ﭘﯿﺶ ﻣ روﯾﻢ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺴﺘﮕ ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻌ از‬
‫ﺟﻤﻠﻪ اﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬
‫)‪(٢۴‬‬
‫) ‪S(V, P ) = S(T (V, P ), P‬‬
‫از اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪:‬‬
‫)‪(٢۵‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S ) ( ∂T‬‬
‫) ‪( ∂T‬‬
‫‪=T‬‬
‫‪= CP‬‬
‫‪.‬‬
‫‪∂V P‬‬
‫‪∂T P ∂V P‬‬
‫‪∂V P‬‬
‫‪T‬‬
‫ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ ﻣ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬
‫)‪(٢۶‬‬
‫) ‪S(V, P ) = S(T (V, P ), V‬‬
‫و از آﻧﺠﺎ‬
‫)‪(٢٧‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫) ‪( ∂S ) ( ∂T‬‬
‫) ‪( ∂T‬‬
‫‪=T‬‬
‫‪= CV‬‬
‫‪.‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪∂T‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪∂P V‬‬
‫‪T‬‬
‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﯾﻦ دو راﺑﻄﻪ در راﺑﻄﻪ )‪ (٢٣‬ﺑﻪ راﺑﻄﻪ ﺳﻮم اﻧﺘﺮوﭘﯽ‪ ،‬آﻧﻄﻮر ﮐﻪ دﻟﺨﻮاه ﻣﺎﺳﺖ ﻣ رﺳﯿﻢ‪ ،‬ﯾﻌﻨ‬
‫)‪(٢٨‬‬
‫) ‪( ∂T‬‬
‫) ‪( ∂T‬‬
‫‪+ CV‬‬
‫‪.‬‬
‫‪∂V P‬‬
‫‪∂P V‬‬
‫‪٨‬‬
‫‪T dS = CP‬‬
‫رواﺑﻂ اﻧﺮژی‬
‫‪۴‬‬
‫در اﯾﻦ ﻣﻮرد ﻫﻢ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ اﻧﺮژی داﺧﻠ را ﯾ‬
‫ﺑﺎر ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از دﻣﺎ و ﺣﺠﻢ‪ ،‬ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از دﻣﺎ و ﻓﺸﺎر و دﺳﺖ اﺧﺮ ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬
‫ﺗﺎﺑﻌ از ﺣﺠﻢ و ﻓﺸﺎر در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ و ﺑﺒﯿﻨﯿﻢ ﭼﻪ ﻧﻮع رواﺑﻄ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬دﻗﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﺳﻢ ﮔﺬاری اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎ ﭼﻨﺪان ﻣﻌﻤﻮل ﻧﯿﺴﺖ و ﻧﯿﺎزی‬
‫ﺑﻪ ﺣﻔﻆ ﮐﺮدن اﯾﻦ رواﺑﻂ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮای ﻧﻈﻢ درﺳﻨﺎﻣﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎ اﺳﻤ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬در واﻗ ﺧﻮدِ ﺷﻤﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ ﺑﺮاﺣﺘ رواﺑﻂ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ‬
‫ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻠ را ﮐﻪ دوﺳﺖ دارﯾﺪ ﺑﺪﺳﺖ ﺑﯿﺎورﯾﺪ و اﮔﺮ ﺧﻮاﺳﺘﯿﺪ اﺳﻤ ﻧﯿﺰ روی آﻧﻬﺎ ﺑ ﺬارﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ n‬راﺑﻄﻪ اول اﻧﺮژی‬
‫ﻃﺒﯿﻌ ﺗﺮﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﺷﺮوع اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ از راﺑﻄﻪ اﺻﻠ‬
‫‪ dU = T dS − P dV‬ﺷﺮوع ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫)‪(٢٩‬‬
‫‪dV − P dV.‬‬
‫‪T‬‬
‫اﻣﺎ ﻣ داﻧﯿﻢ ‪= CV‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂V‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪dT + T‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂T‬‬
‫(‬
‫‪dU = T‬‬
‫‪ T‬و از رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻫﻢ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫)‪(٣٠‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪∂T‬‬
‫)‬
‫(‬
‫=‬
‫‪T‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂V‬‬
‫(‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ دو راﺑﻄﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫]‬
‫‪− P dV.‬‬
‫)‪(٣١‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪∂T‬‬
‫(‬
‫[‬
‫‪dU = CV dT + T‬‬
‫‪ n‬راﺑﻄﻪ دوم اﻧﺮژی‬
‫ﺑﺎزﻫﻢ از راﺑﻄﻪ اﺻﻠ‬
‫‪ dU = T dS − P dV‬ﺷﺮوع ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫)‪(٣٢‬‬
‫‪dP − P dV.‬‬
‫‪T‬‬
‫اﻣﺎ ﻣ داﻧﯿﻢ ‪= CP‬‬
‫) ‪( ∂S‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂P‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪dT + T‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂T‬‬
‫‪ T‬و از رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻫﻢ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫)‪(٣٣‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂T‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪=−‬‬
‫‪T‬‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ دو راﺑﻄﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫‪٩‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂P‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪dU = T‬‬
‫)‬
‫)‪(٣۴‬‬
‫‪dP − P dV.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂T‬‬
‫(‬
‫‪dU = CP dT − T‬‬
‫اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﻫﺮ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه ﮐﻪ ﻣ داﻧﯿﻢ اﯾﻦ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮ از ﻫﻢ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ از اﯾﻦ راﺑﻄﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ‬
‫‪:‬‬
‫)‬
‫)‪(٣۵‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪dP.‬‬
‫‪T‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪dT +‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂T‬‬
‫(‬
‫= ‪dV‬‬
‫اﮔﺮ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ را ﺑﺎ راﺑﻄﻪ ﻗﺒﻠ ﺗﺮﮐﯿﺐ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬
‫(‬
‫] )‬
‫(‬
‫] )‬
‫[‬
‫) ‪[ ( ∂V‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪dU = CP − P‬‬
‫‪−T‬‬
‫‪dT +‬‬
‫‪dP.‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫‪∂P T‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫)‪(٣۶‬‬
‫ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ ﻧﺸﺎن داده اﯾﻢ‪:‬‬
‫)‪(٣٧‬‬
‫(‬
‫] )‬
‫[‬
‫‪∂V‬‬
‫‪= CP − P‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫) ‪( ∂U‬‬
‫‪∂T‬‬
‫‪V‬‬
‫و‬
‫)‪(٣٨‬‬
‫] ) ‪( ∂V‬‬
‫‪∂T P‬‬
‫) ‪[ ( ∂V‬‬
‫‪−T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪∂P‬‬
‫) ‪( ∂U‬‬
‫=‬
‫‪T‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪ n‬راﺑﻄﻪ ﺳﻮم اﻧﺮژی‬
‫ﮐﺎر ﺑﺪﯾﻬ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮای رﻋﺎﯾﺖ ﯾ ﻨﻮاﺧﺘ در درﺳﻨﺎﻣﻪ ﺳﻮﻣﯿﻦ راﺑﻄﻪ اﻧﺮژی را‬
‫ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﺑﺎﯾﺪ ﻫﻤﻪ ﻣﺮاﺣﻞ ﺑﺮای ﺧﻮاﻧﻨﺪه روﺷﻦ و ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﻪ ﯾ‬
‫ﻫﻢ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪.‬‬
‫‪ n‬راﺑﻄﻪ ﺳﻮم اﻧﺮژی‬
‫ﯾﺎزﻫﻢ از راﺑﻄﻪ اﺻﻠ‬
‫‪ dU = T dS − P dV‬ﺷﺮوع ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻦ ﺑﺎر اﻧﺘﺮوﭘﯽ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ﻓﺸﺎر و ﺣﺠﻢ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫)‪(٣٩‬‬
‫‪dV − P dV.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂V‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪dP + T‬‬
‫‪V‬‬
‫‪١٠‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂P‬‬
‫(‬
‫‪dU = T‬‬
‫از رواﺑﻂ ﻣﺎﮐﺴﻮل ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫)‪(۴٠‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂P‬‬
‫‪∂T‬‬
‫)‬
‫(‬
‫=‬
‫‪P‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂V‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂T‬‬
‫‪,‬‬
‫‪P‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪=−‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂P‬‬
‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫)‪(۴١‬‬
‫) ‪[ ( ∂P‬‬
‫]‬
‫‪dP + T‬‬
‫‪− P dV‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫‪ ............................‬اداﻣﻪ دارد‬
‫‪١١‬‬
‫)‬
‫‪P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂T‬‬
‫(‬
‫‪dU = −T‬‬
‫(‬