Département de mathématiques et de statistique de la Faculté
des Arts et des Sciences de l’Université de Montréal.
TP 7
ACT 2243
Investissements
M. Anouar El-otmani
Hiver 2022
Exercice 1 : 9.1
• Énoncé de l’exercice :
Quel doit être le bêta d’un portefeuille avec
— E(rP ) = 18%
— rf = 6%
— E(rM ) = 14%
Réponse : .
On sait que
⇣ ⌘
E rP
=
rf +
18
=
6+
()
TP 7 : ACT 2243
p
=
p
=
h ⇣
⌘
E
r
P
M
P (14
rf
i
6)
12
8
1.5
page 1
Anouar El-otmani
Exercice 2 : 9.2
• Énoncé de l’exercice :
Le prix du marché d’un titre est de 50$. Son taux de rendement attendu est de 14%. Le taux sans
risque est de 6% et la prime de risque de marché est de 8,5%. Quel sera le prix de marché du titre
si son coefficient de corrélation avec le portefeuille de marché double (et toutes les autres variables
restent inchangées) ? Supposons que l’action est censée verser un dividende constant à perpétuité.
Réponse : .
Si le coefficient de corrélation du titre avec le portefeuille de marché o double (toutes les autres variables
telles que les variances étant inchangées), alors le bêta, et donc la prime de risque, doublera également. La
prime de risque actuelle est : 14 -6 = 8%
La nouvelle prime de risque serait de 16% et le nouveau taux d’actualisation du titre serait de : 16 + 6 =
22%
Si l’action verse un dividende perpétuel constant, nous savons d’après les données d’origine que le dividende (D) doit satisfaire l’équation de la valeur actuelle d’une perpétuité :
Prix
=
Dividende
Taux d’actualisation
Ainsi
50
=
D
0.14
Alors
D
=
50 ⇥ 0.14
=
7.00 $
Au nouveau taux d’actualisation de 22%, l’action vaudrait :
risque boursier a fait baisser sa valeur de 36,36%.
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7$
0.22
=
31.82$
L’augmentation du
Anouar El-otmani
Exercice 3 : 9.3
• Énoncé de l’exercice :
Les éléments suivants sont-ils vrais ou faux ? Expliquer.
a) Les actions avec un bêta de zéro o↵rent un taux de rendement attendu de zéro.
b) Le CAPM implique que les investisseurs exigent un rendement plus élevé pour détenir des
titres très volatils.
c) Vous pouvez construire un portefeuille avec un bêta de 0,75 en investissant 0,75 du budget
d’investissement dans des bons du Trésor et le reste dans le portefeuille de marché.
Réponse : .
a) Faux.
= 0 implique E(r) = rf non nul.
b) Faux. Les investisseurs n’exigent une prime de risque que pour supporter un risque systématique
non diversifiable ou de marché. La volatilité totale inclut le risque diversifiable.
c) Faux. Votre portefeuille doit être investi à 75 % dans le portefeuille de marché et à 25 % dans les
bons du Trésor. Puis :
= (0, 75 ⇥ 1) + (0, 25 ⇥ 0) = 0, 75
p
TP 7 : ACT 2243
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Anouar El-otmani
Exercice 4 : 9.8
• Énoncé de l’exercice :
Vous êtes consultant auprès d’une grande entreprise manufacturière qui envisage un projet dont les
flux de trésorerie nets après impôt suivants (en millions de dollars) :
La version bêta du projet est de 1,8.
a) En supposant que rf = 8% et E (rM ) = 16%, quelle est la valeur actualisée nette du projet ?
b) Quelle est l’estimation bêta la plus élevée possible pour le projet avant que sa NPV ne devienne négative ?
Réponse : .
a) .
Le taux d’actualisation approprié pour le projet est :
⇣ ⌘
E rP
h ⇣
⌘
i
E rM
rf
h
i
= 8 + 1.8 ⇥ 16 8
= rf +
P
= 22.4 %
En utilisant ce taux d’actualisation :
N PV
=
40 +
10
X
t=1
=
15
1.224t
h
i
40 + 15 ⇥ Facteur de rente(22, 4%, 10ans)
= 18.09 $
b) .
Le taux de rentabilité interne (IRR) du projet est de 35,73%. Rappelez-vous de votre cours d’introduction à la finance que la NPV est positive si le IRR > le taux d’actualisation (ou, de manière
équivalente, le taux de rendement minimal).
La valeur la plus élevée que le bêta peut prendre avant que le taux critique ne dépasse le IRR est
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Anouar El-otmani
déterminée par :
⇣ ⌘
E rP
=
rf +
35.73
=
8+
()
TP 7 : ACT 2243
p
=
p
=
P
h ⇣
⌘
E rM
P (16
rf
i
8)
27.73
8
3.47
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Anouar El-otmani
Exercice 5 : 9.9
• Énoncé de l’exercice :
Considérez le tableau suivant, qui donne le rendement attendu d’un analyste en valeurs mobilières
sur deux actions dans deux scénarios particuliers pour le taux de rendement sur le marché :
a) Quels sont les bêtas des deux actions ?
b) Quel est le taux de rendement attendu de chaque action si les deux scénarios de rendement
du marché sont également probables ?
c) Si le taux des bons du Trésor est de 6 % et que le rendement du marché est également susceptible d’être de 5 % ou de 25 %, dessinez le SML pour cette économie.
d) Tracez les deux titres sur le graphique SML. Quels sont les alphas de chacun ?
e) Quel taux de rendement minimal devrait être utilisé par la direction de l’entreprise agressive
pour un projet présentant les caractéristiques de risque du titre de l’entreprise défensive ?
Réponse : .
a) Appelez le titre agressif A et le titre défensif D. Le bêta est la sensibilité du rendement de l’action
au rendement du marché, c’est-à-dire la variation du rendement de l’action par variation unitaire
du rendement du marché. Par conséquent, nous calculons le bêta de chaque action en calculant la
di↵érence de rendement entre les deux scénarios divisée par la di↵érence de rendement du marché :
A
2 38
5 25
= 2.00
D
=
A
D
=
6 12
5 25
= 0.30
b) Les deux scénarios étant également probables, le rendement attendu est une moyenne des deux
résultats possibles :
⇣ ⌘
h
i
E rA
= 0.5 ⇥ 2 + 38
= 18 %
⇣ ⌘
E rD
h
i
= 0.5 ⇥ 6 + 12
= 9%
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Anouar El-otmani
c) Le SML est déterminé par le rendement attendu par le marché de 0, 5(25 + 5)) = 15%, avec un bêta
de 1, et le rendement des bons du Trésor de 6 % avec un bêta de zéro. Voir le graphique suivant.
L’équation pour la ligne du marché de la sécurité est :
E(r)
=
6 + (15 6)
d) Sur la base de son risque, l’action agressive a un rendement attendu requis de :
⇣ ⌘
E rA
h
= 6 + 2 ⇥ 15
6
i
= 24 %
La prévision de rendement attendu de l’analyste n’est que de 18 %. Ainsi l’alpha du titre est :
↵A = rendement réellement attendu
= 18 %
=
rendement requis (compte tenu du risque)
24 %
6%
De même, le rendement requis pour le stock défensif est :
⇣ ⌘
h
E rD
= 6 + 0.3 ⇥ 15
i
6
= 8.7 %
La prévision de l’analyste du rendement attendu pour D est de 9%, et par conséquent, le titre a un
alpha positif :
↵A = rendement réellement attendu
= 9%
rendement requis (compte tenu du risque)
8.7 %
= 0.3 %
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Anouar El-otmani
Les points de chaque stock sont tracés sur le graphique comme indiqué ci-dessus.
e) Le taux de rendement minimal est déterminé par le bêta du projet (0,3) et non par le bêta de l’entreprise. Le taux d’actualisation correct est de 8,7 %, le juste taux de rendement pour l’action D.
TP 7 : ACT 2243
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Anouar El-otmani
Exercice 6 : 9.10
• Énoncé de l’exercice :
Si le CAPM simple est valide, lesquelles des situations suivantes sont possibles ? Expliquer. Considérez chaque situation indépendamment.
Réponse : .
Pas possible. Le portefeuille A a un bêta plus élevé que le portefeuille B, mais le rendement attendu
du portefeuille A est inférieur au rendement attendu du portefeuille B. Ainsi, ces deux portefeuilles ne
peuvent pas exister en équilibre.
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Anouar El-otmani
Exercice 7 : 9.11
• Énoncé de l’exercice :
Si le CAPM simple est valide, lesquelles des situations suivantes sont possibles ? Expliquer. Considérez chaque situation indépendamment.
Réponse : .
Possible. Si le CAPM est valide, le taux de rendement attendu compense uniquement le risque systématique (de marché), représenté par le bêta, plutôt que l’écart type, qui inclut le risque non systématique.
Ainsi, le taux de rendement inférieur du portefeuille A peut être associé à un écart type plus élevé, tant
que le bêta de A est inférieur à celui de B.
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Exercice 8 : 9.12
• Énoncé de l’exercice :
Si le CAPM simple est valide, lesquelles des situations suivantes sont possibles ? Expliquer. Considérez chaque situation indépendamment.
Réponse : .
Pas possible. Le ratio récompense/variabilité du portefeuille A est meilleur que celui du marché. Ce
scénario est impossible selon le CAPM car le CAPM prédit que le marché est le portefeuille le plus efficace.
À l’aide des chi↵res fournis :
16 10
12
= 0.5
SA =
SM
18 10
24
= 0.33
=
Le portefeuille A o↵re un meilleur compromis risque-rendement que le portefeuille de marché.
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Exercice 9 : 9.17
• Énoncé de l’exercice :
Supposons que le taux d’intérêt sans risque est de 6% et que le taux de rendement attendu sur le
marché est de 16%.
Une action se vend 50 $ aujourd’hui. Elle versera un dividende de 6 $ par action à la fin de l’année.
Son bêta est de 1,2. À quel prix les investisseurs s’attendent-ils à ce que l’action se vende à la fin de
l’année ?
Réponse : .
Le bêta de l’action étant égal à 1.2, son taux de rendement attendu est :
h
6 + 1.2 ⇥ 16
i
6
=
⇣ ⌘
E r
=
=
0.18
=
18 %
D1 + P1 + P0
P0
18 %
6 + P1 + 50
50
()
P1
TP 7 : ACT 2243
=
page 12
53 $
Anouar El-otmani
Exercice 10 : 9.18
• Énoncé de l’exercice :
Supposons que le taux d’intérêt sans risque est de 6% et que le taux de rendement attendu sur le
marché est de 16%.
J’achète une entreprise avec un flux de trésorerie perpétuel prévu de 1 000 $, mais je ne suis pas sûr
de son risque. Si je pense que le bêta de l’entreprise est de 0.5, alors qu’en réalité le bêta est de 1,
combien vais-je o↵rir de plus à l’entreprise qu’elle ne vaut vraiment ?
Réponse : .
La série de paiements de 1 000 $ est une perpétuité. Si bêta est de 0,5, le flux de trésorerie doit être
actualisé au taux :
h
6 + 0.5 ⇥ 16
i
6 = 11 %
PV
1000
0.11
= 9 090.91 $
=
Si, cependant, bêta est égal à 1 , alors l’investissement devrait rapporter 16%, et le prix payé pour
l’entreprise devrait être :
PV
1000
0.16
= 6 250 $
=
La di↵érence, 2 840,91 $ , est le montant que vous paierez en trop si vous supposez à tort que le bêta est
de 0,5 au lieu de 1.
TP 7 : ACT 2243
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Anouar El-otmani
Exercice 11 : 9.19
• Énoncé de l’exercice :
Supposons que le taux d’intérêt sans risque est de 6% et que le taux de rendement attendu sur le
marché est de 16%.
Une action a un taux de rendement attendu de 4 %. Quelle est sa bêta ?
Réponse : .
Utilisation du SML :
⇣ ⌘
E rP
=
rf +
4
=
6+
()
TP 7 : ACT 2243
p
=
p
=
P
h ⇣
⌘
E rM
P (16
rf
i
6)
2
10
0.2
page 14
Anouar El-otmani
Exercice 12 : 9.20
• Énoncé de l’exercice :
Deux conseillers en placement comparent les performances. L’un affichait un taux de rendement
moyen de 19% et l’autre un taux de rendement de 16%. Cependant, le bêta du premier investisseur
était de 1.5, alors que celui du deuxième investisseur était de 1.
a) Pouvez-vous dire quel investisseur a été le meilleur sélectionneur d’actions individuelles (en
dehors de la question des mouvements généraux du marché) ?
b) Si le taux des bons du Trésor était de 6% et que le rendement du marché au cours de la période
était de 14 %, quel investisseur serait considéré comme le meilleur sélectionneur d’actions ?
c) Et si le taux des bons du Trésor était de 3 % et que le rendement du marché était de 15 % ?
Réponse : .
— r1
— r2
— 1
— 2
=
=
=
=
19 %
16 %
1.5
1
a) Pour déterminer quel investisseur a été le meilleur sélectionneur d’actions individuelles, nous examinons le rendement anormal, qui est l’alpha ex-post ; c’est-à-dire que le rendement anormal correspond à la di↵érence entre le rendement réel et celui prévu par le SML. Sans information sur les
paramètres de cette équation (taux sans risque et taux de rendement du marché), nous ne pouvons
pas déterminer quel investisseur était le plus précis.
b) Si rf = 6% et rM = 14%, alors (en utilisant la notation alpha pour le rendement anormal) :
↵1 = 19
⇣
⌘
6 + 1.5 ⇥ (14 6)
= 19 18
= 1%
↵2 = 16
⇣
⌘
6 + 1 ⇥ (14 6)
= 16 14
= 2%
Ici, le deuxième investisseur a le rendement anormal le plus élevé et semble donc être le meilleur
sélectionneur d’actions. En faisant de meilleures prévisions, le deuxième investisseur semble avoir
orienté son portefeuille vers des actions sous-évaluées.
c) Si rf = 3% et rM = 15%, alors (en utilisant la notation alpha pour le rendement anormal) :
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Anouar El-otmani
↵1 = 19
⇣
⌘
3 + 1.5 ⇥ (15 3)
= 19 21
=
2%
↵2 = 16
⇣
⌘
3 + 1 ⇥ (15 3)
= 16 14
= 1%
Ici, non seulement le deuxième investisseur semble être le meilleur sélectionneur d’actions, mais les
prédictions du premier investisseur semblent sans valeur (ou pire).
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Exercice 13 : 9.23
• Énoncé de l’exercice :
a) Un fonds commun de placement avec un bêta de 0.8 a un taux de rendement attendu de 14%.
Si rf = 5% et que vous anticipez un taux de rendement du portefeuille de marché de 15 %,
devriez-vous investir dans ce fonds ? Quel est l’alpha du fonds ?
b) Quel portefeuille passif composé d’un portefeuille indiciel et d’un compte du marché monétaire aurait le même bêta que le fonds ? Montrez que la di↵érence entre le taux de rendement
attendu de ce portefeuille passif et celui du fonds est égale à l’alpha de la partie (a).
Réponse : .
a)
⇣ ⌘
E rP
= rf +
P
h ⇣
⌘
E rM
rf
i
= 5 + 0.8 ⇥ (15 5)
= 13 %
↵ = 14 13
= 1%
Vous devriez investir dans ce fonds car l’alpha est positif.
b) Le portefeuille passif avec le même bêta que le fonds doit être investi à 80% dans le portefeuille
indiciel et à 20% dans le compte du marché monétaire. Pour ce portefeuille :
⇣ ⌘
E rP
= 0.8 ⇥ 15 % + 0.2 ⇥ 5 %
= 13 %
14 %
13 %
= 1%
= ↵
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