哈特利高中數學
數列與遞迴關係
1
§數列與遞迴關係
主題 1：數列的意義
1.數列的定義：將一些實數依序排成一列，形如 a1，a2，……，an，……，即形成一數列，以
符號〈an〉表示。其中 a1 稱為第一項（首項）
，a2 稱為第二項，……，以此類推，an 稱為第 n
項，又稱為一般項。
重要範例：數列的意義
1.寫出下列四數列的前五項﹕(1)3  2n﹒(2) 
n
 ﹒(3)(  2)n  1﹒(4)1  n2﹒
n 1
【解答】
隨堂練習.寫出下列各數列的前五項：
(1) (  1)n (2n  3)
【解答】﹒
2.依下列各數列 an 之規則, 求下列各數列之一般式﹒
(1)5, 8, 11, 14, 17,  ﹒
1 1
4 2
(2) , ,1, 2, 4, ﹒
(3) 1﹐ 1﹐1﹐ 1﹐1﹐ 1,…﹒
(4) 2﹐ 2﹐2﹐ 2﹐2,…﹒
【解答】
(2) 
n 1

3n
(3) 2n  1﹒
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數列與遞迴關係
3.將自然數用括弧分組如下（第 n 組有 n 個數）﹕(1)﹐(2 , 3)﹐(4 , 5 , 6)﹐(7 , 8 , 9 , 10)﹐…
(1)第 100 個括弧的第 100 個數是____________﹒
(2)100 是第 m 個括弧的第 n 個數﹐則數對(m , n)為____________﹒
【解答】
隨堂練習.有一數對序列如下﹕(1﹐1)﹐(2﹐1)﹐(1﹐2)﹐(3﹐1)﹐(2﹐2)﹐(1﹐3)﹐(4﹐1)﹐
(3﹐2)﹐(2﹐3)﹐(1﹐4)﹐…﹐則﹕(1) (12﹐21)為第幾項﹖ (2)第 101 項為何﹖
【解答】(1) 517 (2) (5﹐10)﹒
2
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3
主題 2：等差數列
1 等差數列：一數列若後項減前項的差為固定數，則稱此數列為等差數列，此固定數稱為其
公差。※  an  為等差（算術）數列【 A.P 】
2.設數列 {a n } 成等差，公差為 d 則：
(1) d  a n  a n 1  a n 1  a n  2    a 2  a1 。
(3) a n  a1  (n  1)  d  a k  (n  k )  d 。
(4) a, b, c為A.P  2b  a  c
(5)在 [a, b] 間插入 n 個數使其成為等差數列則： d 
ba
n 1
重要範例：等差數列
1.已知等差數列 an 中 a2  30﹐a6  14﹐求 a22 及一般項 an
【解答】
隨堂練習.（
）有一等差數列﹐第 10 項是 23﹐第 25 項是 22﹐則下列何者為負﹖
(1)首項 (2)公差 (3)第 17 項 (4)第 18 項 (5)第 19 項﹒
【解答】(2)(4)(5)﹒
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2.一等差數列各項皆為正數﹐若前三項的和是 21﹐且積是 280﹐求此數列的第 15 項﹒
【解答】
3.在 118 和 15 之間插入六個數﹐使這八個數成等差數列﹐則下列何者是此六數之一﹖
(1)  4 (2) 32 (3) 42 (4) 81 (5) 99﹒
【解答】
隨堂練習.在 13 和 20 兩數之間插入k個數﹐使這k  2 個數成等差數列﹒若a4   4﹐
求 k 之值﹒
【解答】10﹒
4
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5
4.如圖是某年三月的月曆﹐其中黑線所圍的 4 天的日期和為 84﹐
問該年的四月 1 日是星期幾﹖
【解答】
隨堂練習.某年二月有四天是星期三﹐而且這四天日期的數字和為 50﹐問：
(1)該年二月的第一個星期三是幾日？(2)該年的元旦是星期幾？
【解答】(1) 二月 2 日 (2) 星期六﹒
5.設自然數m  n，若一等差數列的第m項為a，第n項為b，則第m  n項為
【解答】
隨堂練習.有一等差數列 an ，已知am  n2，an  m2，m  n，則am  n 
【解答】 mn﹒
。
。
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6.設 a﹐b﹐c 均為整數﹐1  a﹐b﹐c  9﹐已知 a﹐b﹐c 成等差數列﹐且 0.a  0.4b  1.2c ﹐則
序組(a , b , c)=____________﹒
【解答】
7.設 an 是一個有 51 項的等差數列﹐已知其和 S  0﹐且 a41  0﹐則下列何者為正數？
(1) a1  a51 (2) a11  a41 (3) a10 (4) a26 (5) d﹒
【解答】
隨堂練習.（
）已知一等差數列共有 59 項﹐滿足公差d  0﹐且a29  a30  a31  0﹐選出
58
正確的選項：(1)a59  0 (2)a1  0 (3)a30  0 (4)  ak  0
(5)a18  a19  a20  0﹒
k 1
【解答】(1)(2)(3)﹒
隨堂練習.（
）有一個 51 項的等差數列a1﹐a2﹐a3﹐…﹐a51﹐其和為 0﹐且a31  31﹐則
下列選項中哪些正確？ (1) a1  a51  0 (2) a2  a50  0 (3) a3  a49  0 (4) a1  0
(5) a21  21﹒
【解答】(1)(4)﹒
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主題 3：等比數列
1 等比數列：一數列若後項除以前項的比為固定數，則稱此數列為等比數列，此固定數稱為
其公比。※  a n  為等比（幾何）數列【 G.P 】
2.設數列 {a n } 成等比，公比為 r ：
(1) r 
an
a
a
 n 1    2 。
a n 1 a n  2
a1
(2) a n  a1  r n 1  a k  r n k 。
(3) a, b, c為G.P  b 2  a  c 。
(4)在 [a, b] 間插入 n 個數使其成為等比差數列則： r n 1 
(5) a, b  0 ，
b
a
2ab
ab
 ab 
【等號成立則 a  b 】
2
ab
重要範例：等比數列
1.已知 24﹐12﹐6﹐…﹐
3
是一個等比數列﹐
64
求(1)首項 a 及公比 r﹒ (2)第五項的值﹒ (3)
3
是第幾項﹖
64
【解答】
隨堂練習.等比數列x，3x  3，4x  4，…，求第 4 項為
64
【解答】 ﹒
15
（不可以x表示）
。
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2.已知 2 ﹐4﹐ 8 2 ﹐32﹐…是一個等比數列﹐則下列何者正確﹖
(1)公比為 2 (2)第 5 項為 32 2 (3)第 8 項超過 1000 (4)第 8 項超過 2000
(5)第 9 項超過 5000﹒
【解答】
3.在 4 與 64 之間插入 a﹐b﹐c 三個正數﹐使 4﹐a﹐b 成等比數列﹐b﹐c﹐64 亦成等比數列﹐
且 a﹐b﹐c 成等差數列﹐求序組(a,b,c)﹒
【解答】
隨堂練習.設a，b，c  N，1  a  b  c  9，且 0. a ，0.0 b ，0.00 c ，…成等比數列，
則(1) (a，b，c) 
。(2)該數列之第四項為
【解答】(1) (2，4，8) (2) 0.00 17 ﹒
。
（寫成循環小數）
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4.已知三個數為等比數列﹐且三個數之和為 42﹐其平方和為 756﹐求此三數﹒
【解答】
隨堂練習.設三正整數成一等比數列，其和為 52，倒數和為
13
，則這三正數中最大者為
36
【解答】36﹒
5.三角形三邊長成 G.P.，公比 r，試證：
【解答】
5 1
5 1
。
r
2
2
。
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6.已知 1﹐a﹐b﹐15 四數中﹐前三數成等比數列﹐後三數成等差數列﹐求 a﹐b 的值﹒
【解答】
隨堂練習.設三正數成等比數列，其和為 39。若此三數依次減去 1、2、12 後，則成等差數列，
求此三數。
【解答】4，10，25﹒
a
x
7.設 a﹐b﹐c 成等比﹐而 a﹐x﹐b 成等差﹐且 b﹐y﹐c 成等差﹐則 
(1) 2 (2)
5
2
(3) 3 (4)
5
3
c

y
(5) 4﹒
【解答】
隨堂練習.（
）設a﹐b為相異正數﹐若a﹐x﹐y﹐b成A.P.﹐a﹐u﹐v﹐b成G.P.（u﹐ v   ）
﹐
則下列哪些選項必成立﹖ (1) x + y = a + b (2) uv = ab (3) a > x > y > b (4) a < x < y < b
(5) a > u > v > b﹒
【解答】(1)(2)﹒
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8.假設實數 a1﹐a2﹐a3﹐a4 是一個等差數列﹐且滿足 0 < a1 < 2 及 a3 = 4﹒
若定義 bn = 2a ﹐則以下哪些選項是對的？ (1) b1﹐b2﹐b3﹐b4 是一個等比數列
(2) b1 < b2 (3) b2 > 4 (4) b4 > 32 (5) b2 × b4 = 256﹒
【解答】
n
1
1
9.瓶內裝滿酒精﹐用去 後用水加滿﹐第二次又用 後再用水加滿﹐連續五次﹐則最後瓶內
4
4
之酒精含量為____________%﹒
（取近似值至第二位小數）
【解答】
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12
隨堂練習.設△ABC是邊長 1 的「直立」正三角形﹐取三邊中點並兩兩連線﹐將△ABC四等分﹐
得到三個「直立」正三角形和一個「倒立」正三角形（如圖(2)之陰影區）
﹒將「倒立」正三
角形移走﹐再將剩下的三個「直立」正三角形﹐依照前述步驟分割﹐並移去「倒立」正三角
形﹐則第 4 次移走「倒立」正三角形之後﹐總共移走的面積為____________﹒
A
B
A
C
圖(1)
【解答】
175
3﹒
1024
B
C
圖(2)
圖(3)
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主題 3：遞迴數列
1.遞迴數列的定義：
一般而言，若一數列的某項，可以根據前面的項以及某種規則而推得，這樣的數列就稱為遞
迴數列。而一開始給定的值稱為初始值。
a1＝a
。
2.等差數列的遞迴定義式： 
an＝an－1＋d，n  2，d 為常數
a a  0）
a1＝（
3.等比數列的遞迴定義式： 
。
a
＝
ra
，
n

2
，
r
為常數，
r

0
n
n
－
1

a  a
的方式來定義一數列 {a n }，此種定義方式稱為
4.遞迴定義式：我們可利用  1
a n 1  f (a n ), n  N
遞迴定義式。
5.遞迴關係的內容包含兩部分：
(1)初始條件：
(2)遞迴關係式：
6.遞迴關係式： an ＝ ran 1  d 的一般項求法：
設 a, r, d 均為常數﹐數列〈an〉滿足
 a1  a

 an  ran 1  d， n  2， n 為整數
若 r ＝ 1 時﹐ an ＝ ran 1  d ，即數列〈an〉為以 a 為首項﹐d 為公差的等差數列﹐
故其一般項 an ＝ a ＋ (n － 1) d ，若 d ＝ 0 時， an ＝ ran 1
即數列〈an〉為以 a 為首項，r 為公比的等比數列﹐故其一般項 an ＝ ar
若 r  1，d  0 時， an ran 1  d ，依此遞迴關係可以推得
an ＝ ran 1  d
n
－
ran 1 ＝ r 2 an  2  rd
r 2 an  2 ＝ r 3 an 3  r 2 d

r n  2 a2 ＝ r n 1a1  r n  2 d
累加並消項之後可以得到 an ＝ r
n－1
2
a1 ＋ d (1 ＋ r ＋ r ＋ …＋ r
n
－
2
)
1
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7. an  an 1  (n  1) 2 及 an ＝ nan 1 的一般項 an 求法
 a1  
已知數列〈an〉滿足： 
2
 an  an 1  (n  1) ， n  2， n 為整數
2
利用遞迴關係 an ＝ an 1 ＋(n－1) 可以推得
a2  a1  12
a3  a2  22
a4  a3  32

an  an 1  (n  1) 2
經累加並消項之後得
n(n  1)(2n  1)
6
8.遞迴關係 an  nan 1 的一般項求法：
an  a1  [12  22    (n  1) 2 ] =  
 a  
已知數列〈an〉滿足：  1
 an  nan 1， n  2， n 為整數
利用遞迴關係 an  nan 1 可以推得
a2  2a1
a3  3a2
a4  4a3

經累積並消項之後得
an  (2  3  4   n)a1 = a1  n !
14
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15
重要範例：遞迴關係
1.設數列 an 滿足 a1  1 且 an 
4  an 1
﹐n  2﹐求出 a2﹐a3 之值﹐並推測 an（以 n 表示）
﹒
3  an 1
【解答】
隨堂練習.數列<an>滿足a1 = 4， an 1 
1
，n為正整數，則下列哪些選項的值也是 4？
1  an
(A)a2016 (B)a2017 (C)a2018 (D)a2019 (E)a2020 。
【解答】(B)(E)﹒
2.（
真？ (1) a2 
【解答】
1
﹐ n 為正整數﹐由此可推得下列何者為
an
1
n 1
1
(5) an 
﹒
100
n
）設數列 an 中滿足 a1  2 且 an  1  2 
3
2
(2) a3 
4
3
(3) a4 
5
4
(4) a100
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3.平面上有 2 條平行的直線，另有 n 條通過這兩平行線外的一固定點 P，最多將平面分割成
an 個區域，求：(1).an 的遞迴關係式。
(2).若要將平面至少分成 100 個區域，需要幾條直線？
【解答】
1

a

1

2
隨堂練習.設數列  an  的遞迴關係式為 
，則：
2an 1
 an 
( n  2)
2  an 1

1
(1)令 bn  ，寫出  bn  的遞迴關係式。
an
(2)由  bn  的遞迴關係式，求出 bn 的一般項，並進一步得到 an 的一般項表示法。
b1  2

【解答】(1) 
1
bn  bn 1  2 ( n  2)
(2) bn 
n3
2
， an 
﹒
2
n3
a1  3
﹐求一般項 an﹒
an  2an 1  0（ n 是正整數且 n  2）
4. 數列 an 的遞迴關係式為 
【解答】
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a1  3
﹐求：(1)a4﹒
an  2an 1  1（ n 是正整數且 n  2）
隨堂練習.數列an的遞迴關係式為 
(2)若an  2an  1  1 可化成an  p  2(an  1  p)﹐則p的值為何﹖(3)一般項an﹒
【解答】(1) 17 (2)1 (3) 2n  1﹒
5.已知數列  an  滿足 a1  2, an 1  p  an  q, p, q 為正整數，且 a2  8, a4  80 ，則數對 ( p, q )  ？
【解答】
1
隨堂練習.設a1  1，對任意正整數n，an  1  an  3 恆成立，我們可將它化成
2
1
an  1    (an  )的等比形式，則 
，從而再求出an 
。
2
1
【解答】  6，an  6  5( )n  1﹒
2
6.如圖﹐將所有的正整數依序排列：第一列為 1﹐第二列為 2﹐
3﹐第三列為 4﹐5﹐6﹐以此類推﹒設 an 為第 n 列中最右邊的數字﹒
(1)寫出數列 an 的遞迴關係式﹒
(2)求 a7﹒
1
2
4
7
3
5
8
9
…
【解答】
6
10
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18
隨堂練習.某學校儀隊的校慶表演隊伍，排成如圖的三角形。
其中第一列為編號 1 號的同學，第二列由左至右的編號依序
為 2 , 3 , 4 ，第三列依序為 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ，依此類推。其中，
後一列均較前一列多 2 個同學。設 an 為各列各中央同學的編號。
則 a10 
。
【解答】91﹒
7.用正三角形地磚依照如下的規律拼成若干圖形﹐求
(1)第 5 個圖案有多少塊地磚﹖
(2)第 n 個圖案有 an 塊地磚﹐寫下數列 an 的遞迴關係式並求其一般式﹒
(3)若有 100 個正三角形地磚可拼成第 n 個圖形﹐則 n 的最大值為何﹖
第 1個
第 2個
第 3個
【解答】
隨堂練習.據說畢達哥拉斯研究過這樣的問題﹕下圖中的黑點分別落在正五邊形的頂點或邊
上﹐第 1 圖有 5 個黑點﹐第 2 圖共有 12 個黑點﹐第 3 圖則有 22 個黑點﹒設 an 為第 n 圖中黑
點的總數﹐即 a1  5﹐a2  12﹐a3  22﹒
第1圖
第2圖
第3圖
(1)寫出數列 an 的遞迴關係式﹒
(2)求 a5﹒
a1  5
(2)51﹒
an  an 1  (3n  1)（ n  2）
【解答】(1) 
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19
隨堂練習.電影《全面啟動》中「盜夢者」利用潛意識進入別人夢境竊取商業機密。其中提到
不同層次夢境中的時間比例，一般的夢境中的時間換算關係為：每層夢境的 5 分鐘 = 下一層
夢境中的 1 小時。
（現實與第一層夢境的換算關係也是 5 分鐘：1 小時）
(1) 若在第三層夢境中度過 12 小時相當於現實中的多少秒？（單選題）
(A)
1
144
(B)
1
12
(C)
5
12
(D) 5 (E) 25。
(2) 請以遞迴關係式表示現實中 5 分鐘等於第 n 層夢境中的多少分鐘？（非選擇題）
(3) 主角在第 5 層的夢中曾經待過 50 年，試問他在現實中究竟睡著了多久？（每年以 365 天
計算）
（非選擇題）
。
t0  5
【解答】(1) (E) (2) 
(3) 105.6（分鐘）
﹒
tn  12tn 1（單位為分鐘，且n  1）
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20
主題 4：數學歸納法
1 數學歸納法原理：設 P1 , P2 , , Pn , 表與自然數 n 有關之一系列命題，若其滿足下列兩點：
(1) P1 為真。
(2)對任意 k ，假設 Pk 成立，可推得 Pk 1 亦成立。
則對所有的自然數 n ， Pn 恆成立。
2.數學歸納法原理之二：設 Pm , Pm 1 , , Pn , 表與自然數 n 有關之一系列命題，若其滿足下列
兩點：
(1) Pm 為真。
(2)對任意 k  m ，假設 Pk 成立，可推得 Pk 1 亦成立。
則對所有的自然數 n  m ， Pn 恆成立。
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數列與遞迴關係
重要範例：數學歸納法
試利用數學歸納法證明：13  23  33  …  n3 
n 2 (n  1) 2
，n  N。
4
【解答】
隨堂練習.用數學歸納法證明﹕ 1  2  2  3  3  4    n(n  1) 
n(n  1)(n  2)
3
對所有的正整數 n 都成立﹒
1(1  1)(1  2)
解
﹐原式成立﹒
(1)當 n  1 時﹐ 1  2  2 
3
(2)設 n  k 時原式成立﹐即 1  2  2  3  3  4    k (k  1) 
k (k  1)(k  2)
﹒
3
則當 n  k  1 時﹐
左式  1  2  2  3  3  4  …  k(k  1)  (k  1)(k  2)

k (k  1)(k  2)
(k  1)(k  2)(k  3)
 (k  1)(k  2) 
 右式﹒
3
3
故由數學歸納法得知﹕對於所有的正整數 n﹐
1  2  2  3  3  4    n(n  1) 
n(n  1)(n  2)
恆成立﹒
3
2.若 n 為自然數，則 10n  1  9n  10 恆可被 81 整除，試證之。
21
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【解答】
數列與遞迴關係
22
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數列與遞迴關係
2n  1
3n  1
隨堂練習.n  N，證明：3  5
2
是 17 的倍數。
3
4
解 (1)當 n  1 時，原式 3  5  2  391  17  23 是 17 的倍數
(2)設 n  k 時，原式是 17 的倍數，即 3  52k  1  23k  1  17t，t  N
則 n  k  1 時，原式 3  52k  3  23k  4  25(3  52k  1)  8(23k  1)
 25(17t  23k  1)  8(23k  1)  17(25t)  17(23k  1)為 17 的倍數
(3)由數學歸納法原理 ∴ 原式恆成立 ﹒
設 n 是正整數 an  5n  2  4n  9﹐an 恆為正整數 P 的倍數﹐則
(1)請推測此正整數 P 的最大值﹖
(2)以數學歸納法證明﹕an 恆為你找的這個最大自然數 P 的倍數﹒
【解答】
隨堂練習.對任一正整數n﹐42n  1  3n  2 恆為某一質數p的倍數﹐(1)試推測此質數p﹒
(2)請用數學歸納法證明你的推測是正確的﹒
解 (1)當 n  1 時﹐42  1  31  2  91﹒又當 n  2 時﹐422  1  32  2  1105﹒
因為 91 和 1105 的最大公因數為 13﹐所以我們猜測此質數為 13﹒
(2)當 n  1 時﹐42  1  31  2  91﹐是 13 的倍數﹒
設 n  k 時猜測正確﹐即 42k  1  3k  2 為 13 的倍數﹐因此
ak  42k  1  3k  2  13q﹐其中 q 是一個正整數﹒
當 n  k  1 時﹐
ak  1  42(k  1)  1  3(k  1)  2  1642k  1  33k  2  16(42k  1  3k  2)  133k  2
 1613q  133k  2  13(16q  3k  2)
也是 13 的倍數﹒
故由數學歸納法可知﹕對於所有的正整數 n﹐42n  1  3n  2 恆為質數 13 的倍數﹒
23
哈特利高中數學
數列與遞迴關係
1 1
1 2n
4.試證：對所有正整數 n  2，有 1    …  
。
2 3
n n 1
【解答】
隨堂練習.n  N，試以數學歸納法證明：1 
1
1
1

 … 
 2 n  1。
2
3
n
解 n  1 時，左 1  2 1  1 成立
1
1
 … 
 2 k  1 成立
設 n  k 時，1 
2
k
1
1
1
 … 

當 n  k  1 時，(1 
)  (2 k  1  1)
2
k
k 1
1
2 k1
 2 k 1  1
k 1

2 k 2  k  1  2(k  1)
k 1
1

2 k 2  k  (2k  1)
k 1

4k 2  4k  4 k 2  4 k  1
k  1(2 k 2  k  2k  1)
 0，
k  1(2 k 2  k  2k  1)
1
1
1
∴ 1
 … 

 2 k  1  1 成立
2
k
k 1
1
1
∴ 由數學歸納法原理知，n  N，1 
 … 
 2 n  1 恆成立﹒
2
n

隨堂練習.n  N，n  4，證明：3n  n3。
解 (1)當 n  4 時，左式 34  81  64  43 右式 ∴ 原式成立
(2)設 n  k（k  4）時，原式成立，即 3k  k3
則 n  k  1 時，左式 3k  1  3(3k)  3(k3)  k3  k3  k3
 k3  k(k2)  k2(k)  k3  4k2  42(k)  k3  3k2  3k  1  (k  1)3 右式
∴ 原式亦成立
(3)由數學歸納法原理 ∴ 原式恆成立﹒
24
哈特利高中數學
數列與遞迴關係
25
哈特利高中數學
數列與遞迴關係
26
a1  2
﹐(1)寫出 a2﹐a3﹒
an  3an1  2（ n  2）
5.設數列 an 的遞迴關係式為 
(2)猜測一般項 an﹒ (3)使用數學歸納法證明你的猜測是正確的﹒
【解答】
隨堂練習.設數列an中若a1  1﹐an  1  2an  1（n為正整數）
﹒(1)試由前五項推測一般項an﹒
(2)利用數學歸納法證明(1)的結果﹒
解 (1) a1  1﹐
a2  2a1  1  3  22  1﹐
a3  2a2  1  7  23  1﹐
a4  2a3  1  15  24  1﹐
a5  2a4  1  31  25  1﹐
推測一般項 an  2n  1（n 為正整數）
﹒
n
(2)由數學歸納法證明 an  2  1
當 n  1 時﹐a1  21  1  1﹐原式成立﹒
設 n  k 時成立﹐即 ak  2k  1﹐
當 n  k  1 時﹐ak  1  2ak  1  2(2k  1)  1  2k  1  1
表示 n  k  1 時﹐原式亦成立﹒
由數學歸納法原理知﹐對於所有的正整數 n﹐原式成立﹒
1
2
6.設數列  an  滿足 a1  ﹐ an 1 
an  4
﹐n 為正整數﹕
an  3
(1)試求 a2､a3､a4 的值﹐並猜測數列  an  一般項的通式﹒
(2)利用數學歸納法證明(1)的猜測是正確的﹒
哈特利高中數學
【解答】
數列與遞迴關係
27
哈特利高中數學
數列與遞迴關係
a1  0

隨堂練習.數列  an  中﹐ 
﹐(1)寫出a2﹐a3﹐a4﹐a5﹒
1  an
an 1  5  4a ‚ n  1
n

(2)歸納 an 與 n 的關係式﹒(3)證明(2)中所歸納 an 與 n 的關係式正確﹒
解
6
1  a1 1
2 1
1  a2
6 2
3 1
 
 5 
 
﹐ a3 
﹐
5  4a1 5 2  2  1
5  4a2 21 21 7 3  2  1
5
9
12
1  a3
9
3
4
1
1
12 4
5 1


a
4
a4 
 7 
 
 9 
 
﹐ a5 
5  4a3 27 27 9 4  2  1
5  4a4 33 33 11 5  2  1
7
9
1
2
3 1
4
故 a2  ﹐ a3  ﹐ a4   ﹐ a5  ﹒
5
7
9 3
11
n 1
n 1

﹐n  2﹒
(2) an 
n  2  1 2n  1
1  a1 1
2 1
1
  a2 

成立
(3)當 n  2 時﹐ a2 
2 2 1 5
5  4a1 5
k 1
設 n  k 時﹐ ak 
成立
2k  1
k 1
1
1  ak
2k  1  k  (k  1)  1 成立

則當 n  k  1 時﹐ ak 1 
5  4ak 5  4  k  1 2k  3 2(k  1)  1
2k  1
n 1
由數學歸納法知本式 an 
﹐n  2﹐ n   皆成立﹒
2n  1
(1)a1  0﹐ a2 
a  3
（nN）
，
7.已知一數列的遞迴定義式為  1
a n 1  a n  4n  3
(1)試求此數列的一般項 an ？(2)利用數學歸納法證明第(1)題的結果。
【解答】
28
哈特利高中數學
數列與遞迴關係
a1  1
an 1  3an  8 ‚ n 是正整數 ‚
隨堂練習.一數列  an  的遞迴定義式為 
(1)求實數  ﹐使得對任意正整數 n﹐an  1    3(an   )﹒
(2)承第(1)小題﹐對正整數 n﹐試以 n 來表示一般項 an﹒
(3)請以數學歸納法證明﹕對任意正整數 n﹐an 的一般項恆成立﹒
解 (1)令 an  1    3(an   )an  1  3an  2   2    8﹐故得   4﹒
(2)∵an  1  4  3(an  4)﹐∴ an  4  為公比是 3 的數列﹐
則 an  4  (a1  4)  3n  1   3nan  4  3n﹒.
(3)當 n  1 時﹐an  4  3  1 成立﹒
設 n  k 時﹐ak  4  3k 成立
當 n  k  1 時﹐ak  1  3ak  8  3(4  3k)  8  4  3k  1 成立﹒
故由數學歸納法得證﹐本式成立﹒
8.如圖，A 柱中有 n 個大小不同的圓盤由大而小往上堆
疊，若要從 A 柱全部搬移至 B 柱，每次只能搬動一圓盤，
且每次都必須先經中間柱（不可由 A 直接放入 B）且大盤
不可放在小盤之上，設共要搬動 an 次，若 an  1  pan  k，
求數對(p，k) 
。
【解答】
29
哈特利高中數學
數列與遞迴關係
30
隨堂練習. (1)請用若干個「虧格」將下列圖形蓋滿（但所用「虧格」不得重疊，亦不得出格）。
（畫斜線的方格表示缺空）
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(2)做完(1)中各圖後，請仔細地想一想；處理這些問題有沒有一定的準則？
(3)你能否歸納出下列結論：任意每邊 2n 格的正方格棋盤圖，如果其中缺空一格，那麼便可用
若干個「虧格」不重疊地將其蓋滿。
(4)請利用數學歸納法證明(3)的結論。
解 (1)(a)一個虧格。(b)，(c)，(d)五個虧格。(e)二十一個虧格
(2)應由缺空一格的附近著手
(3)每邊 2n 格的正方格棋盤，如果其中缺空一格，則共有 4n  1 格，
4n 1 n  1
可用
4
 4n  2  …  4  1 個虧格不重疊地將其蓋滿
3
可用一個虧格蓋滿
(4)當 n  1 時
當 n  k 時原命題成立，則當 n  k  1 時，每邊 2k  1 格的正方格棋盤圖（其中缺空
一格）
，可先以一個虧格蓋在正中央，並以正中央的縱、橫線平分為四個每邊 2k 格的
正方格棋盤圖（其中均缺空一格）
，如下圖所示，於是可得
k1
k2
4(4
4
 …  4  1)  1  4k  4k  1  …  4  1，
亦即 n  k  1 時，原命題也成立
由，及數學歸納法知，原命題恆成立。