Econ 310 Formulas
∑𝑁
𝑖=1 𝑥𝑖
𝜇=
𝑁
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
𝑥̅ =
𝑁
2
𝜎 =
∑𝑖̇=1(𝑥𝑖 − 𝜇)2
𝑁
𝑛
2
𝑠 =
∑𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑛−1
𝑛
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2
1
2
𝑠 =
[∑ 𝑥𝑖 −
]
n−1
𝑛
2
𝑖=1
𝜎 = √𝜎 2
𝑠 = √𝑠 2
1−
1
𝑘2
𝐿𝑃 = (𝑛 + 1)
𝑠𝑥𝑦
𝑃
100
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )(𝑦𝑖 − 𝑦̅)
=
𝑛−1
𝑛
𝑠𝑥𝑦
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖
1
=
[∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
]
𝑛−1
𝑛
𝑖=1
𝑟=
𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥 𝑠𝑦
𝜌=
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥 𝜎𝑦
𝑃(𝐴 | 𝐵) =
𝑃(𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵)
𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 𝑜𝑟 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵)
𝑃(𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵) = 𝑃(𝐴 | 𝐵) × 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵) = 𝑃(𝐵 | 𝐴) × 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴 | 𝐵) =
𝑃(𝐵 | 𝐴) × 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
𝐸(𝑋) = 𝜇 = ∑ 𝑥𝑃(𝑥)
𝑎𝑙𝑙 𝑥
𝑉(𝑋) = 𝜎 2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] = ∑ (𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥) = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝐸(𝑋)2
𝑎𝑙𝑙 𝑥
𝜎 = √𝜎 2
𝐸(𝑐) = 𝑐
𝐸(𝑋 + 𝑐) = 𝐸(𝑋) + 𝑐
𝐸(𝑐𝑋) = 𝑐𝐸(𝑋)
𝑉(𝑐) = 0
𝑉(𝑋 + 𝑐) = 𝑉(𝑋)
𝑉(𝑐𝑋) = 𝑐 2 𝑉(𝑋)
𝑃(𝑥) = ∑ 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑦
𝑃(𝑦) = ∑ 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑥
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 𝜎𝑥𝑦 = ∑ ∑ (𝑥 − 𝜇𝑥 )(𝑦 − 𝜇𝑦 )𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇𝑥 )(𝑦 − 𝜇𝑦 )]
𝑥
𝑦
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 𝜎𝑥𝑦 = ∑ ∑ 𝑥𝑦𝑃(𝑥, 𝑦) − 𝜇𝑥 𝜇𝑦 = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)
𝑥
𝑦
𝜌=
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
𝜎𝑥 𝜎𝑦
𝐸(𝑋 + 𝑌) = ∑ ∑ (𝑥 + 𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌)
𝑥
𝑦
𝑉(𝑋 + 𝑌) = ∑ ∑ (𝑥 + 𝑦 − 𝜇𝑥+𝑦 )2 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
𝑥
𝑦
𝐸(𝑌|𝑋) = 𝜇𝑦|𝑥 = ∑ 𝑦𝑃(𝑦|𝑥)
𝑦
𝑃(𝑥) =
𝑛!
𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
𝜇 = 𝑛𝑝
𝜎 2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
𝜎 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝)
𝑒 −𝜇 𝜇 𝑥
𝑥!
𝑃(𝑥) =
𝐸(𝑋) = 𝑉(𝑋) = 𝜇
𝑓(𝑥) =
1
𝑏−𝑎
𝐸(𝑋) =
(𝑎 + 𝑏)
2
(𝑏 − 𝑎)2
𝑉(𝑋) =
12
1
𝑓(𝑥) =
𝜎√2𝜋
𝑒
1 𝑥−𝜇 2
− (
)
2 𝜎
𝐸(𝑋) = 𝜇
𝑉(𝑋) = 𝜎 2
𝑍=
𝑥−𝜇
𝜎
𝜎𝑥̅2 =
𝜎𝑥̅ =
𝜎2
𝑛
𝜎
√𝑛
𝑋̅~𝑁 (𝜇 ,
𝜎𝑥̅ =
𝜎2
)
𝑛
𝜎
𝑁−𝑛
√
√𝑛 𝑁 − 1
𝑃̂ =
𝑃̂~𝑁(𝑝,
𝑋
𝑛
𝑝(1 − 𝑝)
)
𝑛
𝜎𝑃̂ = √𝑝(1 − 𝑝)/𝑛
𝑍=
𝑃̂ − 𝑝
√𝑝(1 − 𝑝)/𝑛
𝜇𝑥̅ −𝑦̅ = 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
𝜎𝑥2 𝜎𝑦2
𝜎𝑥̅ −𝑦̅ = √ +
𝑛𝑥 𝑛𝑦
𝑋̅ − 𝑌̅~𝑁 (𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 ,
𝑋̅ ± 𝑧𝛼/2
𝜎𝑥2 𝜎𝑦2
+ )
𝑛𝑥 𝑛𝑦
𝜎
√𝑛
𝑧𝛼/2 𝜎 2
𝑛=(
)
𝐵
𝑍 =
𝑡 =
𝑋̅ − 𝜇
𝜎/√𝑛
𝑥̅ − 𝜇
𝑠/√𝑛
𝑥̅ ± 𝑡𝛼/2
𝑠
√𝑛
𝑁 [𝑥̅ ± 𝑡𝛼/2
𝑠
√𝑛
]
(𝑛 − 1)𝑠 2
2
~𝜒𝑛−1
𝜎2
(𝑛 − 1)𝑠 2
2
𝜒𝛼/2
(𝑛 − 1)𝑠 2
2
𝜒1−𝛼/2
𝑝̂ ± 𝑧𝛼/2 √𝑝̂ (1 − 𝑝̂ )/𝑛
𝑡=
(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 )
1
√𝑠𝑝2 (
𝑛1
𝑠𝑝2 =
1
+ )
𝑛2
~𝑡𝑛1 +𝑛2 −2
(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22
𝑛1 + 𝑛2 − 2
1
𝑛1
𝑥̅1 − 𝑥̅2 ± 𝑡𝛼/2 √𝑠𝑝2 (
𝑡=
+
1
)
𝑛2
(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 )
𝑠2
𝑠2
√ 1 + 2
𝑛1
𝑛2
(𝑠12 /𝑛1 )2
𝑛1 −1
𝑣 = (𝑠12 /𝑛1 + 𝑠22 /𝑛2 )2/(
+
(𝑠22 /𝑛2 )2
)
𝑛2 −1
𝑠12
𝑠22
√
𝑥̅1 − 𝑥̅2 ± 𝑡𝛼/2 (
+ )
𝑛1
𝑛2
𝐹 =
𝑠12
𝑠22
𝐹1−𝐴, 𝑣1 ,𝑣2 =
t =
1
𝐹𝐴, 𝑣2 ,𝑣1
𝑥̅𝐷 −𝜇𝐷
~𝑡𝑛𝐷 −1
𝑠𝐷 /√𝑛𝐷
(𝑝̂1 − 𝑝̂2 ) − (𝑝1 − 𝑝2 )
𝑧=
√
𝑝1 (1 − 𝑝1 ) 𝑝2 (1 − 𝑝2 )
+
𝑛1
𝑛2
√𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) (
𝑝̂ =
1
1
+ )
𝑛1 𝑛2
𝑥1 + 𝑥2
𝑛1 + 𝑛2
(𝑝̂1 − 𝑝̂2 ) − (𝑝1 − 𝑝2 )
𝑧=
1
1
√𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) ( + )
𝑛1 𝑛2
(𝑝̂1 − 𝑝̂2 ) − (𝑝1 − 𝑝2 )
𝑧=
√
𝑝̂1 (1 − 𝑝̂1 ) 𝑝̂2 (1 − 𝑝̂2 )
+
𝑛1
𝑛2
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 + 𝜀
𝑦̂ = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥
𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥2
𝑏1 =
𝑏0 = 𝑦̅ − 𝑏1 𝑥̅
𝑛
𝑆𝑆𝐸 ≡ ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 )2
𝑖=1
𝑠𝜀2 =
𝑆𝑆𝐸
𝑛−2
𝑆𝑆𝐸
𝑠𝜀 = √
𝑛−2
𝑠𝑏1 =
𝑡=
𝑅2 = 1 −
𝑠𝜀
√(𝑛 − 1)𝑠𝑥2
𝑏1 − 𝛽1
~𝑡𝑛−2
𝑠𝑏1
∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 )2
𝑆𝑆𝐸
=1− 𝑛
∑𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦̅𝑖 )2
𝑆𝑆𝑇