黃鐵礦
鎵
晶體結構
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第２章
2.1 七種晶系與十四種晶格
晶體結構
2.3 金屬晶體
2.1.1
單位晶胞
2.3.1 體心立方晶(BCC)
2.1.2
布拉維斯晶格
2.3.2 面心立方晶(FCC)
2.2 晶體的點、方向和平面
2.2.1 點座標
2.3.3 六方最密晶(HCP)
2.3.4 面心立方晶與六方最密晶
之差異
2.2.2 晶體方向
2.2.3 晶體平面
2.4 多形體與同素異形體
2.2.4
2.5 晶體的繞射分析
六方晶體之平面與方向
2.5.1
X-光繞射分析
2.5.2 電子束繞射分析
2.6 非晶體結構材料
Keywords

晶格與單位晶包

金屬結構: BCC、FCC、HCP

米勒指標

X光繞射
2.1 七種晶系與十四種晶格
晶格 &單位晶胞
晶格 (lattice)
一種特定格點重複的排列在無限延伸
的範圍內，每個格點與鄰近的格點之
周圍環境均相同。
單位晶胞 (unit cell)
表現一個晶體系統所有
特徵的最小單元體
七種晶系與十四種晶格之單位晶胞
- 布拉維斯晶格
120o
2.3 金屬晶體
體心立方
面心立方
六方最密堆積
體心立方(Body Center Cubic, BCC)結晶構造
單位晶包內的原子數＝1+8*1/8=2
BCC
 晶格常數a和原子半徑R之間的關係:
 若假設BCC單位晶格中的原子是球狀的，
則可使用下列式子計算原子堆積因子 (APF)
4
2×3𝜋𝑅3
APF of BCC=
4𝑅 3
3
=0.68
面心立方(Face Center Cubic, FCC)結晶構造
單位晶包內的原子數＝8*1/8+6*1/2=4
FCC

APF=0.74
室溫下，FCC金屬之a與R
六方最密堆積(Hexagonal Closed-Packed, HCP)結晶構造
動畫


c  4 / 6 a  1.633a  3.266r
APF=0.74
為什麼c/a≠1.633?
2.2 晶體的點、方向和平面
Why matters?

各個不同的方向上具有不同的物理性質，如力學性
質（硬度、彈性模量等等）、熱學性質（熱膨脹係
數、導熱係數等等）、電學性質（介電常數、電阻
率等等）光學性質（吸收係數、折射率等等）。
點座標
•
利用直角坐標系之x、y與z 軸說明立方單位晶胞的原子位
置
晶體方向 (米勒指標)
（a）平移座標法
步驟
方向B
方向C
方向D
方向起點設為座標原點
(1)
𝟏
[-1,1,− 𝟐]
[-1,1,−𝟏]
[-1,1,𝟎]
(3)取最小整
數
[-2, 2, -1]
[-1, 1, -1]
[-1, 1, 0]
(4)去除逗號
[𝟐𝟐𝟏]
[𝟏1𝟏]
[𝟏10]
(2)求向量
找出米勒指標的步驟
z
從立方晶胞的表面找出方向指數
(1,1/2,1)
y
決定點和原點的座標
x
點和原點座標相減
動畫
是否為整數?
(1, 1/2, 1)－(0, 0, 0)
= (1, 1/2, 1)
(0,0,0)
2×(1, 1/2, 1)
= (2, 1, 2)
方向指數為 [212]
否
使用倍數關係，
將它們變為整數
是
是否有任何負方向的向量
是
負指數上有bar
否
表示在中括號裡不用符號（－ ）
立方單位晶胞中的方向
立方單位晶胞中的方向
1
[112]÷ 𝟐
[112]
[
𝟏𝟏
𝟏
𝟐𝟐
1
]
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
動畫
1
[110]
[100]
[𝟑2𝟏]÷ 𝟑
𝟐
𝟑
z
-1
[𝟏 𝟐𝟑 𝟏𝟑 ]
x
z
[𝟏10]
-1 O
y
x
1
y
−
[𝟑2𝟏]
o
𝟏
𝟑
*在使用晶體方向上，需注意以下幾點：
(1) 正方向與負方向可視為相同;[1 0 0]等同[100]，它們代表
相同直線，方向相反。
(2) 將方向指標乘以某一正數後，表示的方向不變。例如[100]
與[2 0 0]是相同的。
(3) 因晶體對稱而等效的一組方向（equivalent direction)， 可
以將這些等效方向歸於同一方向(family of directions) 。每
一方向上，原子間的距離都相同，此方向稱為結晶等效
(crystallographically equivalent)，並以〈 u v w 〉來表
示， u v w 三個指數可互換，且正負可交換。
 例2.2
試列出（1）立方晶體的方向族<100>所有的等效方向。
（2）正方晶體的[100]和[010]兩個方向是否等效？
解
（3）正方晶體的[100]和[001]兩個方向是否等效？
(1)由於立方晶體的三個軸都相等，所以方向族<100>所有的等
(2)由於正方晶體的三個軸之關係為(a=b≠c)，所以
(3)由於正方晶體的三個軸之關係為(a=b≠c)，所以[100]和
效方向有六個：
[100],[100] ,[010] ,[010] ,[001] ,[001]。
[001]並非等效方向。
[100]和[010]是等效方向。
（註）常將[100], [100]視為相等，所以只有3個等效方向
晶體平面 (平面米勒指標)
•
晶體平面是定義一晶體中不同平面。
•
平面在沿著三個軸的方向有三個截距 x、y、z，取這些
截距的倒數，這個三個數的最簡單整數比。就可以表
示為平面。
z
晶體平面=(111)
y
x
晶體平面
例2.3: 試寫出上圖平面 A 與平面 E 之米勒指標。
步驟
平面A
平面E
x=1, y=1, z=∞
x=1, y=1, z=1
(2)截距之倒數
1,1,0
1,1,1
(3)取最小整數
1,1,0
1,1,1
(4)括弧表示
(110)
(111)
(1)取截距
求出立方結晶面的米勒指數之步驟
動畫
選擇一個不通過原點的平面
決定在x軸、y軸、z軸上的截距
求各截距的倒數
分數?
負指數上有bar
是
乘於整數，
變為最簡單整數
小括弧括起來且數字中間沒有逗點。
米勒指數表示法一般寫成(hkl)，
h、k、l 分別代表結晶面x 軸、y 軸、z 軸之米勒指數值
＊在使用晶體平面時上，需注意以下幾點：
(1)平面與其負平面是相等的，例如（ 𝟏10）與（𝟏𝟏0）是相等的。
(2)晶體中所有平行之晶面，都有相同的平面指標。
(3)因晶體對稱之故而等效的一組平面，稱為平面族(family of
planes)，以大括號（{ }）來表示這些平面的集合。
六方晶體結構的結晶面與方向
•
此指數使用 (hkil)，稱為米勒-布拉斐指數。
•
使用的軸為a1、a2、a3 及 c 軸
•
而在晶體面上的截距為 a1、a2 、a3 和 c ，而對應的指數
為 h、k、i和 l。
+c
動畫
+a3
-a1
-a2
+a1
+a2
-c
-a3
HCP 單位晶胞的結晶面指數
基面：
截距 a1 = ∞，a2 = ∞，
a3 = ∞，c = 1
(hkil) = (0001)
稜柱面(ABCD)
截距：a1 = ＋1，a2 = ∞，
a3 = －1 ，c = ∞
(hkil) = (1010)
＊在使用晶體平面時上，需注意以下幾點：
(3)將一平面指標乘上某數後所得到的面，例如：(001)成為(002)。
(a)對於整體晶體而言，(001)與(002)是相同的。
(b)對於單位晶胞而言，為了區分不同層面，(002)不被簡化成
(001)。
 例2.4
(1)如果是立方晶體，試分別列出平面族{110}與{111}的等效平面
(2)若是非立方晶體，則(1)之等效關係是否依然成立?
解
(1)如果是立方晶體，則平面族{110}之等效平面有六個，
(2)對於非立方晶體而言，表之等效關係是不成立的。
平面族{111}之等效平面有四個，如表所示。
平面族
等效
平面
平面A
{110}
平面E
{111}
（110），（101），（011）， （111），（-111），
（-110），（-101），（0-11） （1-11），（11-1）
FCC、HCP、及BCC晶體結構的比較
•
面心立方晶格和六方緊密堆積晶體都是緊密堆積且原子堆
積因子為APF 0.74
•
面心立方晶格緊密堆積在(111)平面，六方緊密堆積晶體緊
密堆積在(0001)平面
先進的原子力顯微鏡（AFM）針對金試片表面拍攝所得之顯微
照片。在（111）的結晶格子面中可清楚顯示出個別的金原子。
HCP和FCC的結構上的差別
A平面
有a 與b 空孔之A 平面
a空孔
b空孔
另一層 (B平面)
為原子在 A平面
的a空孔
A平面
B平面
a空孔
b空孔
第三平面原子位於B平面的b空孔
第三平面原子位於 B平面的a空孔，
(產生另一個A平面)
產生一新C平面→FCC晶體結構
→HCP晶體結構
A平面
B平面
A平面
B平面
A平面
C平面
Zuvio 10 min.
4. 請問BCC、FCC 與HCP 的最密堆積平面是
哪一個平面? 並計算面積密度。
(面積密度=單位面積的原子數/單位面積)
2.5 晶體的繞射分析
晶體結構分析
•
•
•
•
•
目前對晶體結構的知識主要來自於X 光繞射分析技術
當電子撞擊靶金屬（例如鉬），就會出現X 光
電子n=1靶金屬的外殼會被照射的電子撞擊
電子從高能階下降時，會釋放電子降低能量
繞射用X 光是指波長在0.05 至0.25 nm（0.5 到2.5 Å ）之
電磁波 (原子平面間距只有數個 Å )
X光源
• Kα與Kβ之波長是一種元素特徵
•
對 於 鉬 的 Kα 出 現 的 波 長 為
0.07nm
特性X光
Mo靶X光譜
X光之過濾
布拉格定律
(1913 Bragg 父子的發現)
威廉·亨利·布拉格爵士 威廉·勞倫斯·布拉格爵士
•
•
•
當一個單一波長X 光束入
射到晶體中，水平線表示
米勒指數為(hkl) 之一組平
行結晶面
一旦波長為之入射X光束衝
擊此結晶面產生不同相之
反射光， 就不會出現增強
光束稱為→破壞性干涉
如果所產生的反射光束同
相，則會 有增強光束 ，或
產生建設性干涉→
動畫
X光繞射
建設性干涉
動畫
• 若dhkl 是(hkl) 平面間距，則MP = PN = dhkl sinθ
• 布拉格定律：
2. X 光繞射分析原理與方法
*會發生晶體繞射之晶面 滿足『布拉格定律與選擇率』
nλ＝2dsinθ
1.立方晶體，（d(hkl)）與晶格常數（a）之關係：
dhkl = a/(h2 + k2 + l2)1/2
2.兩繞射晶面（(h1k1l1)）、（(h2k2l2)）之夾角(α):
cosα=
晶體結構的X光繞射分析
2ɵ
動畫
X-Ray Diffraction Pattern-αFe Polycrystal
▲圖.Al粉末之X光之繞射圖形，每一個波峰即相當於一
個反射面
 例2.7
試鑑定 圖2.10 之X光繞射圖是純鋁所獲得的。
(鋁為FCC結構，a =0.4046nm)
 解
因λ＝0.1542 nm-Cu Kα，a =4.046Ao。
dhkl = a/(h2 + k2 + l2)1/2
1.量取圖2.10之繞射角。再藉由式(2.3, n=1)，
獲得平面間距(d)。(列如表2.6)
2.藉由式(2.4a)，可獲得晶格參數(a)，(4.037~4.053Ao)
3.求得之a值(4.037~4.053Ao)與鋁之a =4.046 Ao均在誤差內。
*可以合理認定圖2.10之繞射圖是純鋁繞射所獲得的。
表2.6 例 2.7 之相關數據
繞射面
2θ(O)
(圖2.10)
d(AO)
(式2.3)
a(AO)
(式2.4a)
(111)
(200)
(220)
(311)
38.5
44.8
65.1
78.6
2.339
2.023
1.433
1.217
4.051
4.046
4.053
4.037
2.6 非晶體結構材料
非晶材料
•
非晶材料中的原子是以無序方式鍵結
•
大多數的聚合物、玻璃和某些金屬都屬於非晶
材料
•
在聚合物中，分子間次級鍵結不允許於凝固過
程中形成平行且緊密堆積的鍵結
•
由氧化矽（SiO2）組成的無機玻璃，基礎分子
是四面體的
•
金屬快速冷卻可引起非晶結構（金屬玻璃）
•
金屬玻璃具有較高的強度、更好的腐蝕特性及
磁特性
Definition of Amorphous and Crystalline
Amorphous (非晶)
1.
2.
no long-range order of the positions
of the atoms
have no defined geometrical shape,
easily altered shape
3.
Unsymmetrical
4.
don't have particular melting point
Crystalline (晶體)
1.
is long-range order
2.
is a regular, defined pattern to the
molecular aggregates
3.
Symmetrical
4.
have sharp melting point
2.6 非晶體結構材料
非晶結構雖然組成與晶體結構相同，但是其物理、化學、熱學以
及電學等等各方面的性質都與晶體結構有顯著的不同。
▲圖2.13 二氧化矽的(a)晶體結構以及(b)非晶結構[R&M]
石英玻璃與石英晶體
第2章作業
58
機械材料第一次考試
範圍: 第一、二章(含補充)
時間: 17:10~18:40. 11/2, 2020
地點:
教學大樓618 (甲班)
教學大樓617 (乙班)
59