Sistemas de
control
Modelos de sistemas físicos
Elementos de
sistemas mecánicos
de traslación
•
•
•
Resorte: Representa la
rigidez del sistema, es la
relación entre la fuerza F
empleada para estirar o
comprimir el resorte y la
deformación resultante x.
𝐹 = 𝑘𝑥
K --1.8
Elementos de
sistemas mecánicos
de traslación
•
Amortiguador: Representa
la fuerza para mover un
objeto en un fluido o en
contra de las fuerzas de
fricción.
Elementos de
sistemas
mecánicos
de traslación
•
•
•
•
La fuerza resistiva o de
amortiguamiento F es
proporcional a la velocidad v del
pistón.
𝐹 = 𝑐𝑣 donde la 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 por lo
tanto:
𝐹 = 𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡
c generalmente 0.01
Elementos de
sistemas mecánicos
de traslación
• Masa: representa la
acción de que
mientras mayor sea la
masa, mayor deberá
ser la fuerza para
producir una
aceleración.
Elementos de
sistemas
mecánicos
de traslación
•
•
La relación entre la fuerza y la
aceleración es la segunda ley de
Newton.
𝐹 = 𝑚𝑎 donde 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 y como
se vio en el anterior entonces 𝑎 =
𝑑
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
•
𝐹=
∴
𝑑2𝑥
𝑚 𝑑𝑡 2
Elementos
de
sistemas
mecánicos
de
rotación
• La entrada no es una fuerza sino un par
de torsión (T) y la salida no es un
desplazamiento lineal sino un
desplazamiento angular (𝜃).
• Resorte torsional: El desplazamiento
angular es proporcional al par aplicado
𝑇 = 𝑘𝜃.
• En un amortiguador rotatorio un disco
gira en un fluido y el par es proporcional
a la velocidad angular 𝑤.
• 𝑇 = 𝑐𝑤 = 𝑐
𝑑𝜃
𝑑𝑡
•
Elementos
de
rotación
•
•
•
Momento de inercia: El momento de
inercia (símbolo I) es una medida de
la inercia rotacional de un cuerpo.
El momento de inercia solo depende de
la geometría del cuerpo y de la posición
del eje de giro; pero no depende de las
fuerzas que intervienen en el
movimiento.
Mientras mayor sea el momento de
inercia I, mayor será el par para producir
una aceleración angular 𝛼.
𝑇 = 𝐼𝛼 =
𝑑𝑤
𝐼 𝑑𝑡
=I
𝑑
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡
=I
𝑑2𝜃
𝑑𝑡 2
Ejemplo
Frecuencia
natural y factor
amortiguamiento
• Si la masa estuviera libre de
amortiguamiento, osciladria con una
frecuencia natural dada por:
• 𝜔𝑛 = 𝑘 𝑚
• Si el sistema esta amortiguado, se
emplea un factor de amortiguamiento
dado por:
• 𝜁=
𝑐
2 𝑚𝑘
• Por lo que la ecuación resulta:
•
𝐹
𝑘
=𝑥
2𝜁 𝑑𝑥
+
𝜔𝑛 𝑑𝑡
+
1 𝑑2 𝑥
𝜔𝑛 2 𝑑𝑡 2
• La fuerza total aplicada a
la masa es la suma de fuerzas
•
𝐹 𝑚𝑎𝑠𝑎 = 𝐹 − 𝑘𝑥 − 𝑐𝑣
•
𝑑𝑥
𝐹 − 𝑘𝑥 − 𝑐
=
𝑑𝑡
• 𝑚𝑎 = 𝐹 − 𝑘𝑥 − 𝑐
• 𝑚
Modelado de sistemas
mecánicos
𝑑2 𝑥
𝑑2 𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐹 − 𝑘𝑥 − 𝑐
• 𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
Geogebra
SolveODE( <b(x)>, <c(x)>, <f(x)>, <Start x>, <Start y>, <Start y'>, <End x>, <Ste
Solves second order ODE .
Example: SolveODE(x^2, 2x, 2x^2 + x, x(A), y(A), 0, 5, 0.1)
solves the second order ODE using previously defined A as a starting point.
Ejercicio
Modelos
de
sistemas
eléctricos
• Los bloques funcionales pasivos son
inductores, capacitores y resistencias.
• Para un inductor, la diferencia de
potencial en sus terminales esta
determinada por:
• 𝑣𝑙 =
𝑑𝑖
𝐿
𝑑𝑡
• La corriente se denomina fuerza contra
electromotriz y esta definida como:
• 𝑖𝑙 =
1
𝐿
𝑣 𝑑𝑡
Modelos de
sistemas eléctricos
• Para un capacitor la diferencia de potencial depende de la razón de
cambio de la carga q entre las placas y queda definido como:
• 𝑣𝑐 =
1
𝐶
𝑖 𝑑𝑡
• Y la corriente como:
• 𝑖𝑐 =
𝑑𝑣
𝐶
𝑑𝑡
• En una resistencia se rige por la ley de ohm:
• 𝑣𝑟 = 𝑅𝑖
Ejemplo
• 𝑣 = 𝑣𝑟 + 𝑣𝑐
• 𝑣 = 𝑖𝑅 + 𝑣𝑐
• 𝑣 = 𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Simulación
𝑣 = 𝑅𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑣𝑐
+ 𝑣𝑐
𝑑𝑡
𝑣−𝑣𝑐
Despejamos la derivada 𝑑𝑡𝑐 = 𝑅𝐶
V0=10;
R=2; %resistencia
C=0.8; %capacidad ;
t=linspace(0,10,1000); %tiempo de simulacion
f=@(t,x) (V0-x)/(R*C); %entrada constante
%f=@(t,x) (t-x)/(R*C); %entrada rampa
%f=@(t,x) (sin(t)-x)/(R*C); %entrada Senoidal
x0=0; %situación inicial
[t,x]=ode45(f,t,x0);
plot(t,x)
grid on
xlabel('t')
ylabel('q');
title('Carga del condensador')
Simulación
• Suponga que k=0.1, c=2 y m = 10kg y se aplica
una fuerza de 1N constante.