½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
½È©
Vg Ú\ ½È© ½Â
Vg
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
½È© Vg
˜!½È© Vg
Ú\
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
˜!½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Ú\
~1.
f (x)3[a, b]þ š K ë Y § ¦ ± ‚y = f (x), †‚x = a, x = b±9x¶Œ
¤ ->F/ ¡È.
½È© Vg
˜!½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Ú\
~1.
f (x)3[a, b]þ š K ë Y § ¦ ± ‚y = f (x), †‚x = a, x = b±9x¶Œ
¤ ->F/ ¡È.
y
y = f (x)
o
y
a
b
y = f (x)
x
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(1) ©•µ 3[a, b]¥ \©:xi , ÷v
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(1) ©•µ 3[a, b]¥ \©:xi , ÷v
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
P4xi = xi − xi−1 , ? ˜:ξi ∈ [xi−1 , xi ],
± «m[xi−1 , xi ] •., f (ξi ) •p
Ý/
Œ±CqO“ 5
/->F/0,
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(1) ©•µ 3[a, b]¥ \©:xi , ÷v
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
P4xi = xi − xi−1 , ? ˜:ξi ∈ [xi−1 , xi ],
± «m[xi−1 , xi ] •., f (ξi ) •p
Ý/
Œ±CqO“ 5
/->F/0,
y = f (x)
y
f (ξi )
o
a = xo
x1
x2
xi−1 ξi xi
xn−1 x = b
n
x
½È© Vg
(2) Cq¦Úµ
->F/
n
X
u
sn =
f (ξi )4xi ,
i=1
Vg Ú\ ½È© ½Â
¡ÈCq
½È© Vg
(2) Cq¦Úµ
->F/
n
X
u
sn =
f (ξi )4xi ,
Vg Ú\ ½È© ½Â
¡ÈCq
i=1
(3)
4•µ w,, r«m[a, b]©
[, þ¡¤¦Ñ ¡ÈŠÒ
Cu¡È
/ý¢Š0, •d·‚‡ 4•.
½È© Vg
(2) Cq¦Úµ
->F/
n
X
u
sn =
f (ξi )4xi ,
Vg Ú\ ½È© ½Â
¡ÈCq
i=1
(3)
4•µ w,, r«m[a, b]©
[, þ¡¤¦Ñ ¡ÈŠÒ
Cu¡È
/ý¢Š0, •d·‚‡ 4•.
- λ = max {4xi }§K
1≤i≤n
n
X
lim sn = lim
f (ξi )4xi
λ→0
λ→0
Ò´‡¦ ¡È.
i=1
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
~2.
˜ÔNŠC„†‚$ħ®•„
Ýv(t)´žmt ëY¼ê§¦lž•t =
a ž•t = b, ÔN¤²L ´§.
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
~2.
˜ÔNŠC„†‚$ħ®•„
Ýv(t)´žmt ëY¼ê§¦lž•t =
a ž•t = b, ÔN¤²L ´§.
(1) ©•µ 3[a, b]¥ \©:ti , ÷v
a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b,
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
~2.
˜ÔNŠC„†‚$ħ®•„
Ýv(t)´žmt ëY¼ê§¦lž•t =
a ž•t = b, ÔN¤²L ´§.
(1) ©•µ 3[a, b]¥ \©:ti , ÷v
a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b,
P «m[ti−1 , ti ]
•Ý•4ti = ti − ti−1 .
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(2) Cq¦Úµ ? ˜:ξi ∈ [ti−1 , ti ], K
3žmm…[ti−1 , ti ]p§ÔNŒCq/wŠ
!„†‚$Ä, Ù„Ý•v(ξi ),
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(2) Cq¦Úµ ? ˜:ξi ∈ [ti−1 , ti ], K
3žmm…[ti−1 , ti ]p§ÔNŒCq/wŠ
!„†‚$Ä, Ù„Ý•v(ξi ), ¤±ÔN3
žmm…[a, b]rL ´§Cq u
n
X
sn =
v(ξi )4ti ,
i=1
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(2) Cq¦Úµ ? ˜:ξi ∈ [ti−1 , ti ], K
3žmm…[ti−1 , ti ]p§ÔNŒCq/wŠ
!„†‚$Ä, Ù„Ý•v(ξi ), ¤±ÔN3
žmm…[a, b]rL ´§Cq u
n
X
sn =
v(ξi )4ti ,
i=1
(3)
4•µ - λ = max {4ti },
1≤i≤n
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(2) Cq¦Úµ ? ˜:ξi ∈ [ti−1 , ti ], K
3žmm…[ti−1 , ti ]p§ÔNŒCq/wŠ
!„†‚$Ä, Ù„Ý•v(ξi ), ¤±ÔN3
žmm…[a, b]rL ´§Cq u
n
X
sn =
v(ξi )4ti ,
i=1
(3)
4•µ - λ = max {4ti }, K
s = lim sn = lim
λ→0
λ→0
1≤i≤n
n
X
v(ξi )4ti
i=1
½È© Vg
!½È© ½Â
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
!½È© ½Â
f (x)´ ½ Â 3[a, b]þ
k . ¼ ê,
3[a, b]¥?¿ \n ‡©:µ
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
!½È© ½Â
f (x)´ ½ Â 3[a, b]þ
k . ¼ ê,
3[a, b]¥?¿ \n ‡©:µ
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
3z‡
«m[xi−1 , xi ]þ?
˜0:ξi ,
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
!½È© ½Â
f (x)´ ½ Â 3[a, b]þ
k . ¼ ê,
3[a, b]¥?¿ \n ‡©:µ
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
3z‡ «m[xi−1 , xi ]þ? ˜0:ξi , Š
¼êŠf (ξi )† «m•Ý ¦Èf (ξi )∆xi ,
¿ŠÑÚ
n
X
f (ξi )4xi .
i=1
½È© Vg
- λ = max 4xi .
1≤i≤n
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
- λ = max 4xi . XJ4•
1≤i≤n
n
X
lim
f (ξi )4xi
λ→0
•3§
i=1
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
- λ = max 4xi . XJ4•
1≤i≤n
n
X
lim
f (ξi )4xi
λ→0
i=1
•3§…4•Š†©•:xi ±9ξi
'§
À
Ã
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
- λ = max 4xi . XJ4•
1≤i≤n
n
X
lim
f (ξi )4xi
λ→0
i=1
•3§…4•Š†©•:xi ±9ξi À Ã
'§K¡¼êf (x) 3«m[a, b]þŒÈ,
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
- λ = max 4xi . XJ4•
1≤i≤n
n
X
lim
f (ξi )4xi
λ→0
i=1
•3§…4•Š†©•:xi ±9ξi À Ã
'§K¡¼êf (x) 3«m[a, b]þŒÈ, d
4•Š¡•¼êf (x)3«m[a, b]þ ½È
©§
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
- λ = max 4xi . XJ4•
1≤i≤n
n
X
lim
f (ξi )4xi
λ→0
i=1
•3§…4•Š†©•:xi ±9ξi À Ã
'§K¡¼êf (x) 3«m[a, b]þŒÈ, d
4•Š¡•¼êf (x)3«m[a, b]þ ½È
©§P•
Z
b
f (x)dx.
a
½È© Vg
Úª
n
X
i=1
¡•RiemannÚ,
f (ξi )4xi
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
Úª
n
X
Vg Ú\ ½È© ½Â
f (ξi )4xi
i=1
¡•RiemannÚ, u´
Z b
n
X
f (x)dx = lim
f (ξi )∆xi .
a
λ→0
i=1
½È© Vg
Úª
n
X
Vg Ú\ ½È© ½Â
f (ξi )4xi
i=1
¡•RiemannÚ, u´
Z b
n
X
f (x)dx = lim
f (ξi )∆xi .
a
λ→0
i=1
Ù ¥[a, b]¡ •È © « m, a, b© O ¡ •È
©
e • Ú þ •§f (x)¡ • È ¼
ê§f (x)dx¡• ÈLˆª§x¡•È©C
þ.
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
5µ1. ••Bå„, 5½:
Z a
Z b
f (x)dx = −
f (x)dx.
b
a
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
5µ1. ••Bå„, 5½:
Z a
Z b
f (x)dx = −
f (x)dx.
b
¿dd
a
Z
a
f (x)dx = 0.
a
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
5µ1. ••Bå„, 5½:
Z a
Z b
f (x)dx = −
f (x)dx.
b
¿dd
a
Z
a
f (x)dx = 0.
a
2. ½È© Š†È©Cþ¤^ ÎÒÃ
', =
Z b
Z b
Z b
S=
f (x)dx =
f (t)dt =
f (θ)dθ.
a
a
a
½È© Vg
naŒÈ¼êµ
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
naŒÈ¼êµ
1. ef ∈ C[a, b], Kf ∈ R[a, b].
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
naŒÈ¼êµ
1. ef ∈ C[a, b], Kf ∈ R[a, b].
2. ef 3[a, b]þk., …•kk•‡mä:,
Kf ∈ R[a, b].
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
naŒÈ¼êµ
1. ef ∈ C[a, b], Kf ∈ R[a, b].
2. ef 3[a, b]þk., …•kk•‡mä:,
Kf ∈ R[a, b].
3. ef 3[a, b]þüNk., Kf ∈ R[a, b].
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
naŒÈ¼êµ
1. ef ∈ C[a, b], Kf ∈ R[a, b].
2. ef 3[a, b]þk., …•kk•‡mä:,
Kf ∈ R[a, b].
3. ef 3[a, b]þüNk., Kf ∈ R[a, b].
y²Ñ.
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
~3. d½È© ½Â§
Z b
n
X
kdx = lim
k∆xi
a
λ→0
i=1
= lim k(b − a) = k(b − a).
λ→0
½È© Vg
Z 1
~4. OŽ
x2 dx.
0
Vg Ú\ ½È© ½Â
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Z 1
~4. OŽ
x2 dx.
0
)µò[0, 1]?1n
mà:ξi = ni ,
©,éz‡
i
«m[ i−1
n , n ],
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Z 1
~4. OŽ
x2 dx.
0
)µò[0, 1]?1n ©,éz‡
mà:ξi = ni , K
Z 1
n
X
1 i 2
2
x dx = lim
( )
n→+∞
n
n
0
i=1
i
«m[ i−1
n , n ],
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Z 1
~4. OŽ
x2 dx.
0
i
)µò[0, 1]?1n ©,éz‡ «m[ i−1
n , n ],
mà:ξi = ni , K
Z 1
n
n
X
1 i 2
1 X 2
2
x dx = lim
( ) = lim 3
i
n→+∞
n→+∞ n
n
n
0
i=1
i=1
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Z 1
~4. OŽ
x2 dx.
0
i
)µò[0, 1]?1n ©,éz‡ «m[ i−1
n , n ],
mà:ξi = ni , K
Z 1
n
n
X
1 i 2
1 X 2
2
x dx = lim
( ) = lim 3
i
n→+∞
n→+∞ n
n
n
0
i=1
i=1
=
(n + 1)(2n + 1)
n→+∞
6n2
lim
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Z 1
~4. OŽ
x2 dx.
0
i
)µò[0, 1]?1n ©,éz‡ «m[ i−1
n , n ],
mà:ξi = ni , K
Z 1
n
n
X
1 i 2
1 X 2
2
x dx = lim
( ) = lim 3
i
n→+∞
n→+∞ n
n
n
0
i=1
i=1
=
(n + 1)(2n + 1) 1
= .
n→+∞
6n2
3
lim
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
Z 1
~4. OŽ
x2 dx.
0
i
)µò[0, 1]?1n ©,éz‡ «m[ i−1
n , n ],
mà:ξi = ni , K
Z 1
n
n
X
1 i 2
1 X 2
2
x dx = lim
( ) = lim 3
i
n→+∞
n→+∞ n
n
n
0
i=1
i=1
=
XJ
(n + 1)(2n + 1) 1
= .
n→+∞
6n2
3
lim
†à:ξi =
i−1
n ,
(JƒÓ.
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
~5. y²Diriclet¼ê
(
1, x ∈ Q
D(x) =
3[0, 1]þØŒÈ.
0, x ∈
/Q
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
~5. y²Diriclet¼ê
(
1, x ∈ Q
D(x) =
3[0, 1]þØŒÈ.
0, x ∈
/Q
y²µduknêÚÃnê3¢ê•þ
È—5, Ïdé[0, 1]Š?Û©•, 3z‡ «
m[xi , xi+1 ] ¥˜½´QkknêqkÃnê.
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
~5. y²Diriclet¼ê
(
1, x ∈ Q
D(x) =
3[0, 1]þØŒÈ.
0, x ∈
/Q
y²µduknêÚÃnê3¢ê•þ
È—5, Ïdé[0, 1]Š?Û©•, 3z‡ «
m[xi , xi+1 ] ¥˜½´QkknêqkÃnê.
u´,
òξi Ü •knêž,
n
n
X
X
D(ξi )∆xi = lim
1 · ∆xi = 1
lim
λ→0
i=1
λ→0
i=1
½È© Vg
òξi
lim
λ→0
Vg Ú\ ½È© ½Â
Ü •Ãnêž, Kk
n
X
i=1
D(ξi )∆xi = lim
λ→0
n
X
i=1
0 · ∆xi = 0
½È© Vg
òξi
lim
λ→0
Vg Ú\ ½È© ½Â
Ü •Ãnêž, Kk
n
X
D(ξi )∆xi = lim
i=1
¤±¦+ü‡Úª
ƒÓ,
λ→0
n
X
0 · ∆xi = 0
i=1
4•Ñ•3,
4•Ø
½È© Vg
òξi
lim
λ→0
Vg Ú\ ½È© ½Â
Ü •Ãnêž, Kk
n
X
i=1
D(ξi )∆xi = lim
λ→0
n
X
0 · ∆xi = 0
i=1
¤±¦+ü‡Úª 4•Ñ•3, 4•Ø
ƒÓ,
¤ ±Dirichlet¼ ê 3[0, 1]þ ´ Ø Œ È
.
½È© Vg
Vg Ú\ ½È© ½Â
(µ½È© ½Âµ
Z
b
f (x)dx = lim
a
λ→0
n
X
i=1
f (ξi )∆xi .
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
½È© Ä
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5Ÿ£þ¤
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5Ÿ1 (‚55Ÿ)
e f, g 3 [a, b] þÑŒÈ, Ké?Û~
ê k1 , k2 , k1 f + k2 g 3[a, b]þ•ŒÈ, …
Z b
(k1 f (x) + k2 g(x))dx
aZ
Z b
b
= k1
f (x)dx + k2
g(x)dx.
a
a
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5Ÿ1 (‚55Ÿ)
e f, g 3 [a, b] þÑŒÈ, Ké?Û~
ê k1 , k2 , k1 f + k2 g 3[a, b]þ•ŒÈ, …
Z b
(k1 f (x) + k2 g(x))dx
aZ
Z b
b
= k1
f (x)dx + k2
g(x)dx.
a
a
½È© Ä
y² µ é[a, b]
5Ÿ£þ¤
?¿˜‡©•T :
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
Ú?¿:ξi ∈ [xi−1 , xi ],
½È© Ä
y² µ é[a, b]
5Ÿ£þ¤
?¿˜‡©•T :
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
Ú?¿:ξi ∈ [xi−1 , xi ], ¤á ª
n
X
[k1 f (ξi ) + k2 g(ξi )]∆xi
i=1
= k1
n
X
i=1
f (ξi )∆xi + k2
n
X
i=1
g(ξi )∆xi
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
-λ = max (∆xi ) → 0,
1≤i≤n
n
X
lim
[k1 f (ξi ) + k2 g(ξi )]∆xi
λ→0
i=1
= k1 lim
λ→0
n
X
i=1
f (ξi )∆xi + k2 lim
λ→0
n
X
i=1
g(ξi )∆xi
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
-λ = max (∆xi ) → 0,
1≤i≤n
n
X
lim
[k1 f (ξi ) + k2 g(ξi )]∆xi
λ→0
i=1
n
X
n
X
= k1 lim
f (ξi )∆xi + k2 lim
g(ξi )∆xi
λ→0
λ→0
i=1
Z b
Z b i=1
g(x)dx
= k1
f (x)dx + k2
a
a
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
-λ = max (∆xi ) → 0,
1≤i≤n
n
X
lim
[k1 f (ξi ) + k2 g(ξi )]∆xi
λ→0
i=1
n
X
n
X
= k1 lim
f (ξi )∆xi + k2 lim
g(ξi )∆xi
λ→0
λ→0
i=1
Z b
Z b i=1
g(x)dx
= k1
f (x)dx + k2
a
a
d½Â, k1 f (x) + k2 g(x)3[a, b]þŒÈ,
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
-λ = max (∆xi ) → 0,
1≤i≤n
n
X
lim
[k1 f (ξi ) + k2 g(ξi )]∆xi
λ→0
i=1
n
X
n
X
= k1 lim
f (ξi )∆xi + k2 lim
g(ξi )∆xi
λ→0
λ→0
i=1
Z b
Z b i=1
g(x)dx
= k1
f (x)dx + k2
a
a
d½Â, k1 f (x) + k2 g(x)3[a, b]þŒÈ, …
Z
b
Z
[k1 f (x) + k2 g(x)]dx = k1
a
b
Z
f (x)dx + k2
a
b
g(x)dx.
a
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
íØ
ef (x)3[a, b]þŒÈ, g(x)•3k•‡:þ
†f (x)
ŠØƒÓ§Kg(x)3[a, b]þ•Œ
È, ¿…kZ b
Z b
f (x)dx =
a
g(x)dx.
a
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
íØ
ef (x)3[a, b]þŒÈ, g(x)•3k•‡:þ
†f (x)
ŠØƒÓ§Kg(x)3[a, b]þ•Œ
È, ¿…kZ b
Z b
f (x)dx =
a
g(x)dx.
a
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
íØ
ef (x)3[a, b]þŒÈ, g(x)•3k•‡:þ
†f (x)
ŠØƒÓ§Kg(x)3[a, b]þ•Œ
È, ¿…kZ b
Z b
f (x)dx =
a
y²µ
g(x)dx.
a
h(x) = f (x) − g(x),
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
íØ
ef (x)3[a, b]þŒÈ, g(x)•3k•‡:þ
†f (x)
ŠØƒÓ§Kg(x)3[a, b]þ•Œ
È, ¿…kZ b
Z b
f (x)dx =
a
g(x)dx.
a
y ² µ h(x) = f (x) − g(x), Kh(x) •k
k•‡mä:, ¤±h(x) ŒÈ,
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
íØ
ef (x)3[a, b]þŒÈ, g(x)•3k•‡:þ
†f (x)
ŠØƒÓ§Kg(x)3[a, b]þ•Œ
È, ¿…kZ b
Z b
f (x)dx =
a
g(x)dx.
a
y ² µ h(x) = f (x) − g(x), Kh(x) •k
k•‡mä:, ¤±h(x) ŒÈ, …´•ÙÈ
©•0.
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
íØ
ef (x)3[a, b]þŒÈ, g(x)•3k•‡:þ
†f (x)
ŠØƒÓ§Kg(x)3[a, b]þ•Œ
È, ¿…kZ b
Z b
f (x)dx =
a
g(x)dx.
a
y ² µ h(x) = f (x) − g(x), Kh(x) •k
k•‡mä:, ¤±h(x) ŒÈ, …´•ÙÈ
©•0. 2ŠâÈ© ‚55Ÿ• , (ؤ
á.
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
ùÒ´`, e3k•‡:þUC˜‡ŒÈ¼
ê ¼êŠ, QØK•ÙŒÈ5, •ØK•
ÙÈ©Š.
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5Ÿ2£È©«m Œ\5¤
ef (x)3,˜‡4«mþŒÈ§
Kf (x)3T«m ?Ûf«mþ•ŒÈ, ¿
…éT«mþ ?¿n:a, b, c Ñk
Z c
Z b
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
a
a
c
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5Ÿ2£È©«m Œ\5¤
ef (x)3,˜‡4«mþŒÈ§
Kf (x)3T«m ?Ûf«mþ•ŒÈ, ¿
…éT«mþ ?¿n:a, b, c Ñk
Z c
Z b
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
a
a
c
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5Ÿ2£È©«m Œ\5¤
ef (x)3,˜‡4«mþŒÈ§
Kf (x)3T«m ?Ûf«mþ•ŒÈ, ¿
…éT«mþ ?¿n:a, b, c Ñk
Z c
Z b
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
a
y²Ñ.
a
c
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5µ du5½
Z b
Z
f (x)dx = −
a
b
a
f (x)dx,
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
5µ du5½
Z b
Z
f (x)dx = −
a
ØJy², c´[a, b] ƒ
¼êf (x) ŒÈ5•,
mŒ\5•,¤á.
a
f (x)dx,
b
˜:ž, •‡
±, ½È© «
½È© Ä
5Ÿ3 (
5Ÿ£þ¤
S5)
ef (x), g(x)3[a, b]þÑŒÈ, …f (x) ≤ g(x),
K
Z b
Z b
f (x)dx ≤
a
g(x)dx.
a
½È© Ä
5Ÿ3 (
5Ÿ£þ¤
S5)
ef (x), g(x)3[a, b]þÑŒÈ, …f (x) ≤ g(x),
K
Z b
Z b
f (x)dx ≤
a
g(x)dx.
a
½È© Ä
5Ÿ3 (
5Ÿ£þ¤
S5)
ef (x), g(x)3[a, b]þÑŒÈ, …f (x) ≤ g(x),
K
Z b
Z b
f (x)dx ≤
a
g(x)dx.
a
y ² µ · ‚ • ‡ y ² é[a, b]þ
êf (x), ¤á Z b
f (x)dx ≥ 0.
a
šK¼
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
du3[a, b]þf (x) ≥ 0, Ïdé[a, b]
˜‡©•
?¿
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
Ú?¿:ξi ∈ [xi−1 , xi ], k
n
P
i=1
f (ξi )∆xi ≥ 0.
½È© Ä
5Ÿ£þ¤
du3[a, b]þf (x) ≥ 0, Ïdé[a, b]
˜‡©•
?¿
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
Ú?¿:ξi ∈ [xi−1 , xi ], k
n
P
f (ξi )∆xi ≥ 0.
i=1
K
Z
b
f (x)dx = lim
a
λ→0
n
X
i=1
f (ξi )∆xi ≥ 0.
½È© Ä
~1. y²0 ≤
Z
0
1
5Ÿ£þ¤
x3
1
√
dx ≤ .
4
1 + x2
½È© Ä
~1. y²0 ≤
Z
0
1
5Ÿ£þ¤
x3
1
√
dx ≤ .
4
1 + x2
y²µÏ•
x3
0≤√
≤ x3 ,
2
1+x
x ∈ [0, 1],
½È© Ä
~1. y²0 ≤
1
Z
0
5Ÿ£þ¤
x3
1
√
dx ≤ .
4
1 + x2
y²µÏ•
x3
0≤√
≤ x3 ,
2
1+x
d5Ÿ3
Z 1
Z
0=
0dx ≤
0
0
1
x ∈ [0, 1],
x3
√
dx ≤
1 + x2
Z
0
1
1
x3 dx = .
4
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
½È© Ä
5Ÿ£e¤
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ4 (ýéŒÈ5)
f (x)3[a, b]þŒÈ, K|f (x)|3[a, b]þŒÈ,
…
Z b
Z b
|f (x)|dx.
f (x)dx ≤
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ4 (ýéŒÈ5)
f (x)3[a, b]þŒÈ, K|f (x)|3[a, b]þŒÈ,
…
Z b
Z b
|f (x)|dx.
f (x)dx ≤
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
y ² µ •‰ÑØ
ª
y ².
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
y ² µ •‰ÑØ
¿x ∈ [a, b], ¤á
ª
y ². Ï • é ?
−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|,
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
y ² µ •‰ÑØ
¿x ∈ [a, b], ¤á
ª
y ². Ï • é ?
−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|,
d5Ÿ3
Z b
Z b
Z b
−
|f (x)|dx ≤
f (x)dx ≤
|f (x)|dx,
a
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
y ² µ •‰ÑØ
¿x ∈ [a, b], ¤á
y ². Ï • é ?
ª
−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|,
d5Ÿ3
Z b
Z b
Z b
−
|f (x)|dx ≤
f (x)dx ≤
|f (x)|dx,
a
a
a
=
Z
b
Z
f (x)dx ≤
a
b
|f (x)|dx.
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5¿: _·Kؤá.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5¿: _·Kؤá. ~X¼ê
1, x ∈ [0, 1] •knê,
f (x) =
−1, x ∈ [0, 1] •Ãnê
3[0, 1] þØŒÈ,
|f | ≡ 1, w,ŒÈ.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ5( Š½n)
f (x)3[a, b]þŒÈ,
…m ≤ f (x) ≤ M, x ∈ [a, b], K
Z b
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ5( Š½n)
f (x)3[a, b]þŒÈ,
…m ≤ f (x) ≤ M, x ∈ [a, b], K
Z b
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ5( Š½n)
f (x)3[a, b]þŒÈ,
…m ≤ f (x) ≤ M, x ∈ [a, b], K
Z b
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
y²Ñ.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~2. y²Ø
ª
Z 2
2
x2 −x
√
≤
e
dx ≤ 2e2 .
4
e
0
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~2. y²Ø
ª
Z 2
2
x2 −x
√
≤
e
dx ≤ 2e2 .
4
e
0
y²µ
2
f (x) = ex
−x
.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~2. y²Ø
ª
Z 2
2
x2 −x
√
≤
e
dx ≤ 2e2 .
4
e
0
y²µ
2
f (x) = ex
−x
. d
f 0 (x) = (2x − 1)ex
x = 12 .
2
−x
=0
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~2. y²Ø
ª
Z 2
2
x2 −x
√
≤
e
dx ≤ 2e2 .
4
e
0
y²µ
2
f (x) = ex
−x
. d
f 0 (x) = (2x − 1)ex
2
−x
=0
x = 12 . q
f (0) = 1,
1
1
,
f( ) = √
4
2
e
f (2) = e2 ,
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
¤±
1
√
≤ f (x) ≤ e2 ,
4
e
x ∈ [0, 2].
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
¤±
1
√
≤ f (x) ≤ e2 ,
4
e
x ∈ [0, 2].
d5Ÿ5
2
√
=
4
e
Z
0
2
Z 2
1
x2 −x
√
dx
≤
e
dx
4
e
0
Z 2
≤
e2 dx = 2e2 .
0
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ6 (È©¥Š½n)
f (x)3[a, b]þëY, g(x) 3[a, b]þŒÈ,
g(x)3[a, b] þØCÒ, K•3ξ ∈ [a, b], ¦
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = f (ξ)
g(x)dx.
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ6 (È©¥Š½n)
f (x)3[a, b]þëY, g(x) 3[a, b]þŒÈ,
g(x)3[a, b] þØCÒ, K•3ξ ∈ [a, b], ¦
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = f (ξ)
g(x)dx.
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
5Ÿ6 (È©¥Š½n)
f (x)3[a, b]þëY, g(x) 3[a, b]þŒÈ,
g(x)3[a, b] þØCÒ, K•3ξ ∈ [a, b], ¦
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = f (ξ)
g(x)dx.
a
a
y² µ Ï•g(x)3[a, b] þØCÒ, Ø”
g(x) ≥ 0,
x ∈ [a, b].
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
-M Úm©O•f (x)3[a, b] þ
Š§
•ŒŠÚ•
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
-M Úm©O•f (x)3[a, b] þ
Š§u´k
•ŒŠÚ•
mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x).
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
-M Úm©O•f (x)3[a, b] þ
Š§u´k
•ŒŠÚ•
mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x).
d5Ÿ1Ú5Ÿ3,
Z b
Z b
Z b
m
g(x)dx ≤
f (x)g(x)dx ≤ M
g(x)dx
a
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
Z b
Z b
g(x)dxÑ ´ ~ ê,
f (x)g(x)dxÚ
du
a
a
Ï 7k,‡η ∈ [m, M ], ¦
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = η
g(x)dx.
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
Z b
Z b
g(x)dxÑ ´ ~ ê,
f (x)g(x)dxÚ
du
a
a
Ï 7k,‡η ∈ [m, M ], ¦
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = η
g(x)dx.
a
a
Ï•f (x)3[a, b]þëY, Kd4«mþëY
¼ê 0Š½n, dž7•3,‡ξ ∈ [a, b],
¦ f (ξ) = η,
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
Z b
Z b
g(x)dxÑ ´ ~ ê,
f (x)g(x)dxÚ
du
a
a
Ï 7k,‡η ∈ [m, M ], ¦
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = η
g(x)dx.
a
a
Ï•f (x)3[a, b]þëY, Kd4«mþëY
¼ê 0Š½n, dž7•3,‡ξ ∈ [a, b],
¦ f (ξ) = η, =k
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = f (ξ)
g(x)dx.
a
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
F A O / § ef (x)3 « m[a, b]þ ë Y §
g(x) ≡ 1 ž§È©¥Š½n (ØÒC
¤
Z
b
f (x)dx = f (ξ)(b − a).
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
ÙAۿ›©²(µ
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
ÙAۿ›©²(µ f (x) ≥ 0ž§þª
†>L«d-‚f (x) Ú†‚x = a, x = b ±
9x¶Œ¤ ->F/ ¡È§
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
ÙAۿ›©²(µ f (x) ≥ 0ž§þª
†>L«d-‚f (x) Ú†‚x = a, x = b ±
9x¶Œ¤ ->F/ ¡È§§˜½ u
±[a, b]•.!,‡f (ξ)•p Ý/¡È.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
ÙAۿ›©²(µ f (x) ≥ 0ž§þª
†>L«d-‚f (x) Ú†‚x = a, x = b ±
9x¶Œ¤ ->F/ ¡È§§˜½ u
±[a, b]•.!,‡f (ξ)•p Ý/¡È.
y
y = f (x)
O
a
x1
x2
b
x
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
y
y = f (x)
O
¡
a
1
b−a
•f (x)3[a, b]þ
²þŠ í2.
x2
x1
Z
b
x
b
f (x)dx
a
²þŠ§§´k•‡ê
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~3. y² lim
n→+∞
Z
n
n+1
e−x dx = 0.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~3. y² lim
n→+∞
Z
n+1
e−x dx = 0.
n
y²µÏ•e−x 3[n, n + 1]þëY§ dÈ©
¥Š½n§•3ξn ∈ [n, n + 1]§¦
Z n+1
e−x dx = e−ξn (n + 1 − n) = e−ξn .
n
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~3. y² lim
n→+∞
Z
n+1
e−x dx = 0.
n
y²µÏ•e−x 3[n, n + 1]þëY§ dÈ©
¥Š½n§•3ξn ∈ [n, n + 1]§¦
Z n+1
e−x dx = e−ξn (n + 1 − n) = e−ξn .
n
n → +∞ž§kξn → +∞,
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~3. y² lim
n→+∞
Z
n+1
e−x dx = 0.
n
y²µÏ•e−x 3[n, n + 1]þëY§ dÈ©
¥Š½n§•3ξn ∈ [n, n + 1]§¦
Z n+1
e−x dx = e−ξn (n + 1 − n) = e−ξn .
n
n → +∞ž§kξn → +∞, ¤±
Z n+1
lim
e−x dx = lim e−ξn = 0.
n→+∞
n
n→+∞
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
½È©
AÛ¿Â:
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
½È©
AÛ¿Â:
Z b
f (x)dx u
a
d-‚y = f (x)††‚x = a, x = b±9x¶
Œ¤ ˆ¬ã/¡È “êÚ.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
½È©
AÛ¿Â:
Z b
f (x)dx u
a
d-‚y = f (x)††‚x = a, x = b±9x¶
Œ¤ ˆ¬ã/¡È “êÚ.
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
Z
b
f (x)dx = A1 − A2 + A3 − A4 + A5 .
Figure:
a
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~4. |^½È©
©
AÛ¿ÂOŽe
½È
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~4. |^½È© AÛ¿ÂOŽe
©
Z 1
1
(1)
xdx = ;
2
0
½È
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
~4. |^½È© AÛ¿ÂOŽe
©
Z 1
1
(1)
xdx = ;
2
0
Z 1p
π
(2)
1 − x2 dx = .
4
0
½È
½È© Ä 5Ÿ£e¤ AÛ¿Â
(µ1. ½È© 5Ÿµ
‚55Ÿ
È©«m Œ\5
S5
ýéŒÈ5
Š½n
È©¥Š½n
2. ½È© AÛ¿Â
Newton-Leibnizúª
Newton-Leibnizúª
Newton-Leibnizúª
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
Newton-Leibnizúª
3C„†‚$Ä ¯K¥§
XJÔN±„Ýv(t)Š†‚$ħ@oÔN
lž•t = a ž•t = b¤²L ´§•
Z b
s=
v(t)dt.
a
Newton-Leibnizúª
3C„†‚$Ä ¯K¥§
XJÔN±„Ýv(t)Š†‚$ħ@oÔN
lž•t = a ž•t = b¤²L ´§•
Z b
s=
v(t)dt.
a
,˜•¡§XJÔN ´§¼ê•S(t)§
@oÔNlž•t = a ž•t = b¤²L
´§•
s = S(b) − S(a).
Newton-Leibnizúª
3C„†‚$Ä ¯K¥§
XJÔN±„Ýv(t)Š†‚$ħ@oÔN
lž•t = a ž•t = b¤²L ´§•
Z b
s=
v(t)dt.
a
,˜•¡§XJÔN ´§¼ê•S(t)§
@oÔNlž•t = a ž•t = b¤²L
´§•
s = S(b) − S(a).
¤± Z
b
v(t)dt = S(b)−S(a),
a
S 0 (t) = v(t).
Newton-Leibnizúª
¼ê ½Â
¼êf (x)3«mIþk½Â, e•3Iþ
Œ‡¼êF (x), ¦ ∀x ∈ I, Ñk
F 0 (x) = f (x) ½ dF (x) = f (x)dx,
Newton-Leibnizúª
¼ê ½Â
¼êf (x)3«mIþk½Â, e•3Iþ
Œ‡¼êF (x), ¦ ∀x ∈ I, Ñk
F 0 (x) = f (x) ½ dF (x) = f (x)dx,
Newton-Leibnizúª
¼ê ½Â
¼êf (x)3«mIþk½Â, e•3Iþ
Œ‡¼êF (x), ¦ ∀x ∈ I, Ñk
F 0 (x) = f (x) ½ dF (x) = f (x)dx,
K¡F (x)´f (x)3«mIþ ˜‡
¼ê.
Newton-Leibnizúª
5µ
¼êØ•˜.
Newton-Leibnizúª
5µ
¼êØ•˜. eF ´f 3«mIþ ˜
‡ ¼ê, KF + CÑ´f 3«mIþ
¼ê, Ù¥C•?Û~ê.
Newton-Leibnizúª
5µ
¼êØ•˜. eF ´f 3«mIþ ˜
‡ ¼ê, KF + CÑ´f 3«mIþ
¼ê, Ù¥C•?Û~ê.
f 3«mIþ ?Ûü‡ ¼êm= ˜
‡~ê.
Newton-Leibnizúª
5µ
¼êØ•˜. eF ´f 3«mIþ ˜
‡ ¼ê, KF + CÑ´f 3«mIþ
¼ê, Ù¥C•?Û~ê.
f 3«mIþ ?Ûü‡ ¼êm= ˜
‡~ê.
{F + C}C∈R ´f
N ¼ê.
Newton-Leibnizúª
Newton-Leibnizúª
ef (x)3[a, b]þŒÈ,
…F (x)´f (x)3[a, b]þ ˜‡ ¼ê, K
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
Newton-Leibnizúª
y²µ? [a, b] ˜|©:µ
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
Newton-Leibnizúª
y²µ? [a, b] ˜|©:µ
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
KdLagrange¥Š½n
n
P
F (b) − F (a) = (F (xi ) − F (xi−1 ))
=
Ù¥ξi ∈
i=1
n
P
F 0 (ξi )∆xi =
i=1
(xi−1 , xi ).
n
P
i=1
f (ξi )∆xi ,
Newton-Leibnizúª
y²µ? [a, b] ˜|©:µ
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
KdLagrange¥Š½n
n
P
F (b) − F (a) = (F (xi ) − F (xi−1 ))
=
Ù¥ξi ∈
i=1
n
P
F 0 (ξi )∆xi =
i=1
(xi−1 , xi ).
n
P
f (ξi )∆xi ,
i=1
-λ = max 4xi .
1≤i≤n
Newton-Leibnizúª
y²µ? [a, b] ˜|©:µ
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
KdLagrange¥Š½n
n
P
F (b) − F (a) = (F (xi ) − F (xi−1 ))
=
Ù¥ξi ∈
i=1
n
P
F 0 (ξi )∆xi =
i=1
(xi−1 , xi ).
n
P
f (ξi )∆xi ,
i=1
-λ = max 4xi . Ï
1≤i≤n
•f (x)3[a, b]þŒÈ§¤±
Z b
n
X
f (x)dx = lim
f (ξi )∆xi = F (b)−F (a).
a
λ→0
i=1
Newton-Leibnizúª
•
A ^ • B § · ‚ Ï ~ rNewtonLeibnizúª ¤Xe/ªµ
Z b
b
f (x)dx = F (x) .
a
a
Newton-Leibnizúª
5µ1!Newton-Leibnitzúª Ôn)º
Z T2
Z T2
S(T2 ) − S(T1 ) =
v(t)dt =
S 0 (t)dt.
T1
T1
Newton-Leibnizúª
5µ1!Newton-Leibnitzúª Ôn)º
Z T2
Z T2
S(T2 ) − S(T1 ) =
v(t)dt =
S 0 (t)dt.
T1
2!Newton-Leibnitzúª •†
)û ½È© OŽ¯K.
T1
Š^Ò´
Newton-Leibnizúª
5µ1!Newton-Leibnitzúª Ôn)º
Z T2
Z T2
S(T2 ) − S(T1 ) =
v(t)dt =
S 0 (t)dt.
T1
2!Newton-Leibnitzúª •†
)û ½È© OŽ¯K.
T1
Š^Ò´
3! d È © 5 Ÿ •, Newton-Leibnitzú ª
éa > b œ/Ó ¤á.
Newton-Leibnizúª
Z 1
~1. ¦
x3 dx.
0
Newton-Leibnizúª
Z 1
~1. ¦
x3 dx.
0
)µÏ•F (x) = 14 x4 ´x3
˜‡
¼ê,
Newton-Leibnizúª
Z 1
~1. ¦
x3 dx.
0
)µÏ•F (x) = 14 x4 ´x3 ˜‡ ¼ê, u
´dNewton - Leibniz úª,
Z 1
1
1
1 4
1
3
x dx = x = − 0 = .
4 0 4
4
0
Newton-Leibnizúª
Z π
2
~2. ¦
(ex + cos x)dx.
0
Newton-Leibnizúª
Z π
2
~2. ¦
(ex + cos x)dx.
0
)µ
Z π
Z
2
(ex + cos x)dx =
0
0
π
2
ex dx +
Z
π
2
cos xdx
0
Newton-Leibnizúª
Z π
2
~2. ¦
(ex + cos x)dx.
0
)µ
Z π
Z
2
(ex + cos x)dx =
0
π
2
ex dx +
Z
0
= e
x
cos xdx
0
π
2
0
+ sin x
π
2
π
2
0
Newton-Leibnizúª
Z π
2
~2. ¦
(ex + cos x)dx.
0
)µ
Z π
Z
2
(ex + cos x)dx =
0
π
2
ex dx +
Z
0
= e
π
2
cos xdx
0
π
2
x
0
π
2
+ sin x
π
2
0
= (e − 1) + (1 − 0)
Newton-Leibnizúª
Z π
2
~2. ¦
(ex + cos x)dx.
0
)µ
Z π
Z
2
(ex + cos x)dx =
0
π
2
ex dx +
Z
0
= e
π
2
cos xdx
0
π
2
x
0
π
2
+ sin x
π
2
0
π
= (e − 1) + (1 − 0) = e 2 .
Newton-Leibnizúª
(
~3.
f (x)
Z 3
¦
f (x)dx.
0
=
x,
0 ≤ x ≤ 1,
ex , 1 < x ≤ 3,
Newton-Leibnizúª
(
~3.
f (x)
=
x,
0 ≤ x ≤ 1,
ex , 1 < x ≤ 3,
Z 3
¦
f (x)dx.
0
)µZ
3
Z
f (x)dx =
0
1
Z
f (x)dx
f (x)dx +
0
3
1
Newton-Leibnizúª
(
~3.
f (x)
=
0 ≤ x ≤ 1,
x,
ex , 1 < x ≤ 3,
Z 3
¦
f (x)dx.
0
)µZ
3
Z
1
Z
f (x)dx =
0
3
f (x)dx
f (x)dx +
1
Z 1
Z 3
=
xdx +
ex dx
0
0
1
Newton-Leibnizúª
(
~3.
f (x)
=
0 ≤ x ≤ 1,
x,
ex , 1 < x ≤ 3,
Z 3
¦
f (x)dx.
0
)µZ
3
Z
1
Z
f (x)dx =
0
3
f (x)dx
f (x)dx +
1
Z 1
Z 3
=
xdx +
ex dx
0
=
0
x2 1
2
0
1
+ ex
3
1
Newton-Leibnizúª
(
~3.
f (x)
=
0 ≤ x ≤ 1,
x,
ex , 1 < x ≤ 3,
Z 3
¦
f (x)dx.
0
)µZ
3
Z
1
Z
3
f (x)dx =
0
f (x)dx
f (x)dx +
1
Z 1
Z 3
=
xdx +
ex dx
0
=
0
x2 1
2
0
1
+ ex
3
=
1
1
+ e3 − e.
2
Newton-Leibnizúª
1
~4. OŽ lim ( n+1
+
n→∞
1
n+2
+ ··· +
1
2n ).
Newton-Leibnizúª
1
~4. OŽ lim ( n+1
+
n→∞
): òÚªU
1
n+1
=
1
n
1
n+2
+ ··· +
¤
1
+ n+2
+ ··· +
1
1+ n1
+
1
1+ n2
1
2n ).
1
2n
+ ··· +
1
1+ n
n
.
Newton-Leibnizúª
1
~4. OŽ lim ( n+1
+
n→∞
): òÚªU
1
n+1
=
1
n
1
n+2
+ ··· +
¤
1
+ n+2
+ ··· +
1
1+ n1
+
1
1+ n2
1
2n ).
1
2n
+ ··· +
1
1+ n
n
Œ±wÑ, ùƒ u3[0, 1] ¥é¼ê
1
f (x) = 1+x
Š∆xi = n1
å©• ,
¿3 «m[xi−1 , xi ]þòξi •xi = ni
n
X
f (ξi ) · ∆xi .
i=1
.
Úµ
Newton-Leibnizúª
u´
1
1
1
lim
+
+ ··· +
n→∞ n + 1
n+2
2n
n
X 1
· ∆xi
= lim
λ→0
1
+
ξ
i
i=1
Newton-Leibnizúª
u´
1
1
1
lim
+
+ ··· +
n→∞ n + 1
n+2
2n
n
X 1
· ∆xi
= lim
λ→0
1
+
ξ
i
i=1
Z 1
dx
=
0 1+x
Newton-Leibnizúª
u´
1
1
1
lim
+
+ ··· +
n→∞ n + 1
n+2
2n
n
X 1
· ∆xi
= lim
λ→0
1
+
ξ
i
i=1
Z 1
1
dx
=
= ln (1 + x)
0
0 1+x
Newton-Leibnizúª
u´
1
1
1
lim
+
+ ··· +
n→∞ n + 1
n+2
2n
n
X 1
· ∆xi
= lim
λ→0
1
+
ξ
i
i=1
Z 1
1
dx
=
= ln (1 + x) = ln 2.
0
0 1+x
Newton-Leibnizúª
•Œ±w¤: 3[1, 2] ¥é¼êf (x) =
Š∆xi = n1
å©• , ¿3 «m
[xi−1 , xi ]þòξi •xi = 1 + ni Úµ
n
X
i=1
f (ξi ) · ∆xi .
1
x
Newton-Leibnizúª
•Œ±w¤: 3[1, 2] ¥é¼êf (x) =
Š∆xi = n1
å©• , ¿3 «m
[xi−1 , xi ]þòξi •xi = 1 + ni Úµ
n
X
1
x
f (ξi ) · ∆xi .
u´ 1
1
1
+
+ ··· +
lim
n→∞ n + 1
n+2
2n
1
1
1
1
= lim
+
+ ··· +
n→∞ n
1 + nn
1 + n1 1 + n2
i=1
Newton-Leibnizúª
•Œ±w¤: 3[1, 2] ¥é¼êf (x) =
Š∆xi = n1
å©• , ¿3 «m
[xi−1 , xi ]þòξi •xi = 1 + ni Úµ
n
X
1
x
f (ξi ) · ∆xi .
u´ 1
1
1
+
+ ··· +
lim
n→∞ n + 1
n+2
2n
1
1
1
1
= lim
+
+ ··· +
n→∞ n
1 + nn
1 + n1 1 + n2
n
X
1
= lim
· ∆xi
λ→0
ξ
i
i=1
i=1
Newton-Leibnizúª
•Œ±w¤: 3[1, 2] ¥é¼êf (x) =
Š∆xi = n1
å©• , ¿3 «m
[xi−1 , xi ]þòξi •xi = 1 + ni Úµ
n
X
1
x
f (ξi ) · ∆xi .
u´ 1
1
1
+
+ ··· +
lim
n→∞ n + 1
n+2
2n
1
1
1
1
= lim
+
+ ··· +
n→∞ n
1 + nn
1 + n1 1 + n2
Z
n
2
X
1
dx
= lim
· ∆xi =
λ→0
ξ
1 x
i=1 i
i=1
Newton-Leibnizúª
•Œ±w¤: 3[1, 2] ¥é¼êf (x) =
Š∆xi = n1
å©• , ¿3 «m
[xi−1 , xi ]þòξi •xi = 1 + ni Úµ
n
X
1
x
f (ξi ) · ∆xi .
u´ 1
1
1
+
+ ··· +
lim
n→∞ n + 1
n+2
2n
1
1
1
1
= lim
+
+ ··· +
n→∞ n
1 + nn
1 + n1 1 + n2
Z
n
2
X
2
1
dx
= lim
· ∆xi =
= ln x = ln 2.
λ→0
1
ξ
x
i
1
i=1
i=1
Newton-Leibnizúª
1
~5. OŽ lim n[ (n+1)
2 +
n→∞
1
(n+2)2
+ ··· +
1
4n2 ].
Newton-Leibnizúª
1
~5. OŽ lim n[ (n+1)
2 +
n→∞
1
(n+2)2
+ ··· +
1
4n2 ].
)µòÚªU ¤
1
1
1
+
+ ··· + 2
n
(n + 1)2 (n + 2)2
4n
1
1
1
1
=
+
+ ... +
,
n (1 + n1 )2 (1 + n2 )2
(1 + nn )2
Newton-Leibnizúª
1
~5. OŽ lim n[ (n+1)
2 +
n→∞
1
(n+2)2
+ ··· +
1
4n2 ].
)µòÚªU ¤
1
1
1
+
+ ··· + 2
n
(n + 1)2 (n + 2)2
4n
1
1
1
1
=
+
+ ... +
,
n (1 + n1 )2 (1 + n2 )2
(1 + nn )2
aqu~4§ f (x) = x12 , ò[1, 2]©•n
°§∆xi = n1 , ξi = 1 + ni ,
Newton-Leibnizúª
u´
1
1
1
lim n
+
+
·
·
·
+
n→∞
(n + 1)2 (n + 2)2
4n2
n
X
1
= lim
2 · ∆xi
λ→0
ξ
i=1 i
Newton-Leibnizúª
u´
1
1
1
lim n
+
+
·
·
·
+
n→∞
(n + 1)2 (n + 2)2
4n2
Z 2
n
X
1
1
· ∆xi =
= lim
dx
2
2
λ→0
ξ
x
1
i=1 i
Newton-Leibnizúª
u´
1
1
1
lim n
+
+ ··· + 2
n→∞
(n + 1)2 (n + 2)2
4n
Z
n
2
2
X
1
1
1
1
· ∆xi =
= lim
dx
=
−
=
.
2
2
λ→0
ξ
x
x
2
1
1
i=1 i
Newton-Leibnizúª
(µ1.
¼ê
2. Newton-Leibnizúª
ؽȩ ½Â
ؽȩ ½Â
ؽȩ
½Â
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
ؽȩ ½Â
¼ê
½Âµ
½Â
e3,‡«mIþ, ¼êF (x)Úf (x)¤á'
X
F 0 (x) = f (x), x ∈ I,
½ d/,
d(F (x)) = f (x)dx,
K¡F (x)¡•f (x)3«mIþ
ê(antiderivative).
˜‡ ¼
ؽȩ ½Â
5µ
¼êØ•˜.
ؽȩ ½Â
5µ
¼êØ•˜.
f 3«mIþ ?Ûü‡ ¼êm= ˜
‡~ê.
ؽȩ ½Â
5µ
¼êØ•˜.
f 3«mIþ ?Ûü‡ ¼êm= ˜
‡~ê.
{F + C}C∈R ´f
N ¼ê.
ؽȩ ½Â
˜!ؽȩ ½Â
ؽȩ ½Â
˜!ؽȩ ½Â
½Â(ؽȩ)
¼êf (x)£3«mIþ¤
¼ê N¡•
ù‡¼ê£3«mIþ¤ ؽȩ,
ؽȩ ½Â
˜!ؽȩ ½Â
½Â(ؽȩ)
¼êf (x)£3«mIþ¤
¼ê N¡•
ù‡¼ê£3«mIþ¤ ؽȩ,
ؽȩ ½Â
˜!ؽȩ ½Â
½Â(ؽȩ)
¼êf (x)£3«mIþ¤
¼ê N¡•
ù‡¼ê£3«mIþ¤ ؽȩ, PŠ
Z
f (x)dx,
ؽȩ ½Â
˜!ؽȩ ½Â
½Â(ؽȩ)
¼êf (x)£3«mIþ¤
¼ê N¡•
ù‡¼ê£3«mIþ¤ ؽȩ, PŠ
Z
f (x)dx,
Z
Ù¥ •È©Ò, f (x)• ȼê, x•È
©Cþ.
ؽȩ ½Â
˜!ؽȩ ½Â
½Â(ؽȩ)
¼êf (x)£3«mIþ¤
¼ê N¡•
ù‡¼ê£3«mIþ¤ ؽȩ, PŠ
Z
f (x)dx,
Z
Ù¥ •È©Ò, f (x)• ȼê, x•È
©Cþ.
F ؽȩ†
¼ê´
N†‡N
'X.
ؽȩ ½Â
쥵
1
eF (x)´f (x)
¼ê, Ké?¿~
êC, F (x) + C•´f (x)
¼ê;
ؽȩ ½Â
쥵
1
2
eF (x)´f (x)
¼ê, Ké?¿~
êC, F (x) + C•´f (x)
¼ê;
eF (x), G(x)Ñ´f (x)
¼ê, K•3
~êC, ¦ G(x) = F (x) + C.
ؽȩ ½Â
쥵
1
2
eF (x)´f (x)
¼ê, Ké?¿~
êC, F (x) + C•´f (x)
¼ê;
eF (x), G(x)Ñ´f (x)
¼ê, K•3
~êC, ¦ G(x) = F (x) + C.
u´, eF (x)´f (x)3«mIþ ˜‡ ¼
ê, K
Z
f (x)dx = F (x) + C (C •?¿~ê).
ؽȩ ½Â
Ä È©L
x
x
Z
d(e ) = e dx
dx
d (ln x) =
x
Z
ex dx = ex + C
dx
= ln x + C
Z x
1
d (xα ) = αxα−1 dx
xα dx =
xα+1 + C
α+1
Z
d (sin x) = cos xdx
cos xdx = sin x + C
Z
d (cos x) = − sin xdx
sin xdx = − cos x + C
ؽȩ ½Â
Z
2
d (tan x) = sec xdx
2
Z
d (cot x) = − csc xdx
sec2 xdx = tan x + C
csc2 xdx = − cot x + C
Z
d (secx) = tan x sec xdx
tan x sec xdx = sec x + C
Z
d (csc x) = − cot x csc xdx
dx
1 − x2
dx
d (arctan x) =
1 + x2
d (arcsin x) = √
cot x csc xdx = − csc x + C
Z
dx
= arcsin x + C
2
1
−
x
Z
dx
= arctan x + C
1 + x2
√
ؽȩ ½Â
Z
~1. OŽ x2 dx.
ؽȩ ½Â
Z
~1. OŽ x2 dx.
Z
1
x2 dx = x3 + C.
3
ؽȩ ½Â
Z
~1. OŽ x2 dx.
Z
1
x2 dx = x3 + C.
3
Z
~2. OŽ sin 2xdx.
ؽȩ ½Â
Z
~1. OŽ x2 dx.
Z
1
x2 dx = x3 + C.
3
Z
~2. OŽ sin 2xdx.
Z
1
sin 2xdx = − cos 2x + C.
2
ؽȩ ½Â
Z
~3. OŽ e5x dx.
ؽȩ ½Â
Z
~3. OŽ e5x dx.
Z
1
e5x dx = e5x + C.
5
ؽȩ ½Â
Z
~3. OŽ e5x dx.
Z
Z
~4. OŽ
1
e5x dx = e5x + C.
5
1
dx.
1 + 4x2
ؽȩ ½Â
Z
~3. OŽ e5x dx.
Z
Z
~4. OŽ
Z
1
e5x dx = e5x + C.
5
1
dx.
1 + 4x2
1
1
dx
=
arctan 2x + C.
1 + 4x2
2
ؽȩ ½Â
!ؽȩ ‚55Ÿ
ؽȩ ½Â
!ؽȩ ‚55Ÿ
½n(ؽȩ ‚55Ÿ)
e¼êf (x)Úg(x)
¼êÑ•3, Ké?
¿~êaÚb§¼êaf (x) + bg(x)
¼ê
••3, …
Z
[af (x) + bg(x)]dx
Z
Z
= a f (x)dx + b g(x)dx.
ؽȩ ½Â
!ؽȩ ‚55Ÿ
½n(ؽȩ ‚55Ÿ)
e¼êf (x)Úg(x)
¼êÑ•3, Ké?
¿~êaÚb§¼êaf (x) + bg(x)
¼ê
••3, …
Z
[af (x) + bg(x)]dx
Z
Z
= a f (x)dx + b g(x)dx.
ؽȩ ½Â
!ؽȩ ‚55Ÿ
½n(ؽȩ ‚55Ÿ)
e¼êf (x)Úg(x)
¼êÑ•3, Ké?
¿~êaÚb§¼êaf (x) + bg(x)
¼ê
••3, …
Z
[af (x) + bg(x)]dx
Z
Z
= a f (x)dx + b g(x)dx.
y²Ñ.
ؽȩ ½Â
Z
x
~5. OŽ sin2 dx.
2
ؽȩ ½Â
Z
x
~5. OŽ sin2 dx.
2
Z
Z
1 − cos x
x
dx
sin2 dx =
2
2
1
= (x − sin x) + C.
2
ؽȩ ½Â
Z
~6. OŽ
dx
.
cos2 x sin2 x
ؽȩ ½Â
Z
dx
~6. OŽ
.
cos2 x sin2 x
Z
Z
cos2 x + sin2 x
dx
=
dx
cos2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
ؽȩ ½Â
Z
dx
~6. OŽ
.
cos2 x sin2 x
Z
Z
cos2 x + sin2 x
dx
=
dx
2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
cos
Z
Z
=
sec2 xdx +
csc2 xdx
ؽȩ ½Â
Z
dx
~6. OŽ
.
cos2 x sin2 x
Z
Z
cos2 x + sin2 x
dx
=
dx
2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
cos
Z
Z
=
sec2 xdx +
csc2 xdx
= tan x − cot x + C.
ؽȩ ½Â
Z
dx
~6. OŽ
.
cos2 x sin2 x
Z
Z
cos2 x + sin2 x
dx
=
dx
2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
cos
Z
Z
=
sec2 xdx +
csc2 xdx
= tan x − cot x + C.
½
Z
dx
=
cos2 x sin2 x
Z
4dx
sin2 2x
ؽȩ ½Â
Z
dx
~6. OŽ
.
cos2 x sin2 x
Z
Z
cos2 x + sin2 x
dx
=
dx
2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
cos
Z
Z
=
sec2 xdx +
csc2 xdx
= tan x − cot x + C.
½
Z
dx
=
cos2 x sin2 x
Z
4dx
= −2 cot 2x+C.
sin2 2x
ؽȩ ½Â
Z 1
√
1
~7. OŽ
x+ √
+ 1 √ + 1 dx.
3
x
x2
ؽȩ ½Â
Z 1
√
1
~7. OŽ
x+ √
+ 1 √ + 1 dx.
3
x
x2
Z 1
√
1
x+ √
+ 1 √ + 1 dx
3
2
x
x
Z
1
7
2
1
= (2 + x 2 + x− 6 + x− 3 + x− 2 )dx
ؽȩ ½Â
Z 1
√
1
~7. OŽ
x+ √
+ 1 √ + 1 dx.
3
x
x2
Z 1
√
1
x+ √
+ 1 √ + 1 dx
3
2
x
x
Z
1
7
2
1
= (2 + x 2 + x− 6 + x− 3 + x− 2 )dx
1
1
1
2 3
= 2x + x 2 − 6x− 6 + 3x 3 + 2x 2 + C.
3
ؽȩ ½Â
Z
~8. OŽ
x4
dx.
1 + x2
ؽȩ ½Â
Z
~8. OŽ
Z
x4
dx.
1 + x2
x4
dx =
1 + x2
Z 1 dx
x −1+
1 + x2
2
ؽȩ ½Â
Z
~8. OŽ
Z
x4
dx.
1 + x2
x4
dx =
1 + x2
Z 1 dx
x −1+
1 + x2
2
x3
=
− x + arctan x + C.
3
ؽȩ ½Â
n!ؽȩ AÛ¿Â
ؽȩ ½Â
n!ؽȩ AÛ¿Â
F (x)´f (x) ˜‡ ¼ê§3xoy²¡þ
¼êy = F (x) ã/•˜^-‚§ù^‚¡•f (x) ˜^È©-‚.
ؽȩ ½Â
n!ؽȩ AÛ¿Â
F (x)´f (x) ˜‡ ¼ê§3xoy²¡þ
¼êy = F (x) ã/•˜^-‚§ù^‚¡•f (x) ˜^È©-‚.
ϕؽȩ
Z
´
¼ê
N§¤±
f (x)dx3AÛþ
L«˜xÈ©-‚xy = F (x) + C§Ùã
/Œ±d-‚y = F (x)÷y¶••þe²1
£Ä
.
ؽȩ ½Â
y
y = F (x) + C
O
x
ؽȩ ½Â
du
(F (x) + C)0 = F 0 (x) = f (x),
Ïd§?¿˜^È©-‚3î‹I•x ?
ƒ‚
ÇÑ uf (x)§•Ò´`È©‚x3î‹I•x ? ƒ‚´pƒ²1 .
ؽȩ ½Â
du
(F (x) + C)0 = F 0 (x) = f (x),
Ïd§?¿˜^È©-‚3î‹I•x ?
ƒ‚
ÇÑ uf (x)§•Ò´`È©‚x3î‹I•x ? ƒ‚´pƒ²1 .
ؽȩ ½Â
~9. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ ux2 , ¿ … - ‚ ² L
:(3, 2), ¦T-‚ •§.
ؽȩ ½Â
~9. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ ux2 , ¿ … - ‚ ² L
:(3, 2), ¦T-‚ •§.
)µÄkk Z
x3
2
+ C.
y = x dx =
3
ؽȩ ½Â
~9. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ ux2 , ¿ … - ‚ ² L
:(3, 2), ¦T-‚ •§.
)µÄkk Z
x3
2
+ C.
y = x dx =
3
ù´xy²¡þ ˜x-‚§§‚3î‹I
ƒÓ :þƒ‚Ñ´ƒp²1 .
ؽȩ ½Â
~9. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ ux2 , ¿ … - ‚ ² L
:(3, 2), ¦T-‚ •§.
)µÄkk Z
x3
2
+ C.
y = x dx =
3
ù´xy²¡þ ˜x-‚§§‚3î‹I
ƒÓ :þƒ‚Ñ´ƒp²1 .
Ï•-‚²L:(3, 2)§Œ C = −7,
ؽȩ ½Â
~9. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ ux2 , ¿ … - ‚ ² L
:(3, 2), ¦T-‚ •§.
)µÄkk Z
x3
2
+ C.
y = x dx =
3
ù´xy²¡þ ˜x-‚§§‚3î‹I
ƒÓ :þƒ‚Ñ´ƒp²1 .
Ï•-‚²L:(3, 2)§Œ C = −7, ¤±
x3
y=
− 7.
3
ؽȩ ½Â
~10. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ u2x, ¿ … - ‚ ² L
:(1, 2), ¦T-‚ •§.
ؽȩ ½Â
~10. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ u2x, ¿ … - ‚ ² L
:(1, 2), ¦T-‚ •§.
Z
)µÄkk
y = 2xdx = x2 + C.
ؽȩ ½Â
~10. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ u2x, ¿ … - ‚ ² L
:(1, 2), ¦T-‚ •§.
Z
)µÄkk
y = 2xdx = x2 + C.
Ï•¤¦-‚²L:(1, 2)§Œ
C = 1,
ؽȩ ½Â
~10. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ u2x, ¿ … - ‚ ² L
:(1, 2), ¦T-‚ •§.
Z
)µÄkk
y = 2xdx = x2 + C.
Ï•¤¦-‚²L:(1, 2)§Œ
±y = x2 + 1.
C = 1, ¤
ؽȩ ½Â
~10. ®•-‚y = f (x)3?¿˜:(x, f (x))
? ƒ ‚ Ç Ñ u2x, ¿ … - ‚ ² L
:(1, 2), ¦T-‚ •§.
Z
)µÄkk
y = 2xdx = x2 + C.
Ï•¤¦-‚²L:(1, 2)§Œ
±y = x2 + 1.
C = 1, ¤
ؽȩ ½Â
(µ1. ؽȩ ½Â
2. ؽȩ
‚55Ÿ
3. ؽȩ
AÛ¿Â
Cþ•È©
Cþ•È©
Cþ•È©
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
Cþ•È©
¯Kµ
¼êŸožÿ•3º
Cþ•È©
¯Kµ
¼êŸožÿ•3º
½n1
f (x)3«m[a, b]þŒÈ§Š¼ê
Z x
F (x) =
f (t)dt, x ∈ [a, b],
a
Cþ•È©
¯Kµ
¼êŸožÿ•3º
½n1
f (x)3«m[a, b]þŒÈ§Š¼ê
Z x
F (x) =
f (t)dt, x ∈ [a, b],
a
Cþ•È©
¯Kµ
¼êŸožÿ•3º
½n1
f (x)3«m[a, b]þŒÈ§Š¼ê
Z x
F (x) =
f (t)dt, x ∈ [a, b],
a
K
(1) F (x)´[a, b]þ ëY¼ê;
Cþ•È©
¯Kµ
¼êŸožÿ•3º
½n1
f (x)3«m[a, b]þŒÈ§Š¼ê
Z x
F (x) =
f (t)dt, x ∈ [a, b],
a
K
(1) F (x)´[a, b]þ ëY¼ê;
(2) ef (x)3[a, b]þëY, KF (x)3«
m[a, b]þŒ , …k
F 0 (x) = f (x).
Cþ•È©
y ² µ (1) d½È©«m
¥Š½n,
Œ\5ÚÈ©
F (x + ∆x) − F (x)
Z x+∆x
Z x
=
f (t)dt −
f (t)dt
a
a
Cþ•È©
y ² µ (1) d½È©«m
¥Š½n,
Œ\5ÚÈ©
F (x + ∆x) − F (x)
Z x+∆x
Z x
=
f (t)dt −
f (t)dt
a
a
Z x+∆x
=
f (t)dt
x
Cþ•È©
y ² µ (1) d½È©«m
¥Š½n,
Œ\5ÚÈ©
F (x + ∆x) − F (x)
Z x+∆x
Z x
=
f (t)dt −
f (t)dt
a
a
Z x+∆x
=
f (t)dt
x
= η · 4x (η ∈ [m, M ])
Cþ•È©
y ² µ (1) d½È©«m
¥Š½n,
Œ\5ÚÈ©
F (x + ∆x) − F (x)
Z x+∆x
Z x
=
f (t)dt −
f (t)dt
a
a
Z x+∆x
=
f (t)dt
x
= η · 4x (η ∈ [m, M ])
−→ 0 (4x → 0).
Cþ•È©
y ² µ (1) d½È©«m
¥Š½n,
Œ\5ÚÈ©
F (x + ∆x) − F (x)
Z x+∆x
Z x
=
f (t)dt −
f (t)dt
a
a
Z x+∆x
=
f (t)dt
x
= η · 4x (η ∈ [m, M ])
−→ 0 (4x → 0).
=F (x)´[a, b]þ ëY¼ê.
Cþ•È©
(2) ef (x)3[a, b]þëY, Ó
½n
dÈ©¥Š
F (x + ∆x) − F (x) = f (ξ) · ∆x,
(ξ3x†x + ∆xƒm),
Cþ•È©
(2) ef (x)3[a, b]þëY, Ó
½n
dÈ©¥Š
F (x + ∆x) − F (x) = f (ξ) · ∆x,
(ξ3x†x + ∆xƒm),
∆x → 0žkξ → x§Ï
f (ξ) → f (x)§
Cþ•È©
(2) ef (x)3[a, b]þëY, Ó
½n
dÈ©¥Š
F (x + ∆x) − F (x) = f (ξ) · ∆x,
(ξ3x†x + ∆xƒm),
∆x → 0žkξ → x§Ï f (ξ) → f (x)§
u´
F (x + ∆x) − F (x)
F 0 (x) = lim
4x→0
∆x
= lim f (ξ) = f (x).
4x→0
Cþ•È©
5µ1!dŒÈ¼ê£ŒUØëY¤5
ëY¼ê¶
E
Cþ•È©
5µ1!dŒÈ¼ê£ŒUØëY¤5
ëY¼ê¶
2!ëY¼ê
¼ê´˜½•3 ¶
E
Cþ•È©
3!Cþ•È© ¦ úªµ
Z x
0
f (t)dt = f (x).
a
Cþ•È©
3!Cþ•È© ¦ úªµ
Z x
0
f (t)dt = f (x).
a
?˜Ú, ·‚ke¡ •˜„ Cþ•È©
¦ úªµ
Z v(x)
d
f (t)dt = f (v(x))v 0 (x)−f (u(x))u0 (x),
dx u(x)
Ù¥u(x), v(x)Œ .
Cþ•È©
d
~1. ¦
dx
Z
2
x
cos t dt .
t
Cþ•È©
d
~1. ¦
dx
x
Z
2
cos t dt .
t
Z
x
)µ
d
dx
2
cos t cos x
dt =
.
t
x
Cþ•È©
d
~2. ¦
dx
Z
0
2
x
p
2
sin x 1 + t dt .
Cþ•È©
d
~2. ¦
dx
Z
2
x
p
2
sin x 1 + t dt .
0
)µ
Z 2
p
d x
2
sin x 1 + t dt
dx 0
Z x2 p
d
2
sin x
1 + t dt
=
dx
0
Cþ•È©
d
~2. ¦
dx
Z
2
x
p
2
sin x 1 + t dt .
0
)µ
Z 2
p
d x
2
sin x 1 + t dt
dx 0
Z x2 p
d
2
sin x
1 + t dt
=
dx
0
Z x2 p
p
2
= cos x
1 + t dt + sin x · 1 + x4 · 2x
0
Cþ•È©
d
~2. ¦
dx
Z
2
x
p
2
sin x 1 + t dt .
0
)µ
Z 2
p
d x
2
sin x 1 + t dt
dx 0
Z x2 p
d
2
sin x
1 + t dt
=
dx
0
Z x2 p
p
2
= cos x
1 + t dt + sin x · 1 + x4 · 2x
0
Z x2 p
p
= 2x 1 + x4 sin x + cos x
1 + t2 dt.
0
Cþ•È©
~3. ¦4•
R x2
lim+
x→0
0
√
sin tdt
.
x3
Cþ•È©
~3. ¦4•
R x2
lim+
x→0
Z
)µdu
´ 00 –½..
a
0
√
sin tdt
.
x3
a
f (x)d x = 0, Ï d ù ‡ 4 •
Cþ•È©
~3. ¦4•
R x2
lim+
x→0
Z
)µdu
a
0
√
sin tdt
.
x3
a
f (x)d x = 0, Ï d ù ‡ 4 •
´ 00 –½.. dL’Hospital {K,
0
R 2
√
x
√
R x2
0 sin t d t
0 sin td t
lim
= lim+
x→0+
x→0
x3
(x3 )0
Cþ•È©
~3. ¦4•
R x2
lim+
x→0
Z
)µdu
a
0
√
sin tdt
.
x3
a
f (x)d x = 0, Ï d ù ‡ 4 •
´ 00 –½.. dL’Hospital {K,
0
R 2
√
x
√
R x2
0 sin t d t
0 sin td t
lim
= lim+
x→0+
x→0
x3
(x3 )0
2x sin x
= lim+
x→0
3x2
Cþ•È©
~3. ¦4•
R x2
lim+
x→0
Z
)µdu
a
0
√
sin tdt
.
x3
a
f (x)d x = 0, Ï d ù ‡ 4 •
´ 00 –½.. dL’Hospital {K,
0
R 2
√
x
√
R x2
0 sin t d t
0 sin td t
lim
= lim+
x→0+
x→0
x3
(x3 )0
2x sin x 2
= lim+
= .
x→0
3x2
3
Cþ•È©
~4. ¦4•
R1
lim
x→0
−t2
dt
cos x e
.
x2
Cþ•È©
~4. ¦4•
R1
lim
x→0
−t2
dt
cos x e
.
x2
)µÏ•
Z 1
Z
2
lim
e−t dt = − lim
x→0
cos x
x→0
Ïdù‡4•´ 00 –½..
1
cos x
2
e−t dt = 0,
Cþ•È©
~4. ¦4•
R1
lim
x→0
−t2
dt
cos x e
.
x2
)µÏ•
Z 1
Z
2
lim
e−t dt = − lim
x→0
cos x
x→0
cos x
2
e−t dt = 0,
1
Ïdù‡4•´ 00 –½.. dL’Hospital {K,
R1
R cos x −t2
−t2
e
dt
−
e dt
1
lim cos x 2
= lim
x→0
x→0
x
x2
Cþ•È©
~4. ¦4•
R1
lim
x→0
−t2
dt
cos x e
.
x2
)µÏ•
Z 1
Z
2
lim
e−t dt = − lim
x→0
cos x
x→0
cos x
2
e−t dt = 0,
1
Ïdù‡4•´ 00 –½.. dL’Hospital {K,
R1
R cos x −t2
−t2
e
dt
−
e dt
1
lim cos x 2
= lim
x→0
x→0
x
x2
− cos2 x
−e
· (− sin x)
= lim
x→0
2x
Cþ•È©
~4. ¦4•
R1
lim
x→0
−t2
dt
cos x e
.
x2
)µÏ•
Z 1
Z
2
lim
e−t dt = − lim
x→0
cos x
x→0
cos x
2
e−t dt = 0,
1
Ïdù‡4•´ 00 –½.. dL’Hospital {K,
R1
R cos x −t2
−t2
e
dt
−
e dt
1
lim cos x 2
= lim
x→0
x→0
x
x2
− cos2 x
−e
· (− sin x)
1
= lim
= .
x→0
2x
2e
Cþ•È©
~5.
¦f (2).
Z
0
x2 (1+x)
f (t)dt = x, Ù¥f (t)ëY§
Cþ•È©
Z
~5.
¦f (2).
)µ
x2 (1+x)
f (t)dt = x, Ù¥f (t)ëY§
0
ªü>éx¦ §
f (x2 (1 + x)) · (2x + 3x2 ) = 1.
Cþ•È©
Z
~5.
¦f (2).
)µ
x2 (1+x)
f (t)dt = x, Ù¥f (t)ëY§
0
ªü>éx¦ §
f (x2 (1 + x)) · (2x + 3x2 ) = 1.
-x2 (1 + x) = 2 x = 1,
Cþ•È©
Z
~5.
¦f (2).
)µ
x2 (1+x)
f (t)dt = x, Ù¥f (t)ëY§
0
ªü>éx¦ §
f (x2 (1 + x)) · (2x + 3x2 ) = 1.
-x2 (1 + x) = 2 x = 1, u´
f (2) · (2 + 3) = 1,
Cþ•È©
Z
~5.
¦f (2).
)µ
x2 (1+x)
f (t)dt = x, Ù¥f (t)ëY§
0
ªü>éx¦ §
f (x2 (1 + x)) · (2x + 3x2 ) = 1.
-x2 (1 + x) = 2 x = 1, u´
f (2) · (2 + 3) = 1,
¤±f (2) = 15 .
Cþ•È©
~6. f (x)ëY§Áyµef (x)´˜‡ó¼
ê£Û¼ê¤§K Z
x
F (x) =
f (t)dt
0
´˜‡Û¼ê£ó¼ê¤.
Cþ•È©
~6. f (x)ëY§Áyµef (x)´˜‡ó¼
ê£Û¼ê¤§K Z
x
F (x) =
f (t)dt
0
´˜‡Û¼ê£ó¼ê¤.
y²µ
f (x)´˜‡ó¼ê§K
[−F (−x)]0 = F 0 (−x) = f (−x) = f (x) = F 0 (x),
Cþ•È©
~6. f (x)ëY§Áyµef (x)´˜‡ó¼
ê£Û¼ê¤§K Z
x
F (x) =
f (t)dt
0
´˜‡Û¼ê£ó¼ê¤.
y²µ
f (x)´˜‡ó¼ê§K
[−F (−x)]0 = F 0 (−x) = f (−x) = f (x) = F 0 (x),
¤±
−F (−x) = F (x) + C.
Cþ•È©
duC = −F (0) − F (0) = 0,
Cþ•È©
duC = −F (0) − F (0) = 0,
¤±F (−x) = −F (x),
Cþ•È©
duC = −F (0) − F (0) = 0,
¤±F (−x) = −F (x), =F (x)´˜‡Û¼
ê.
Cþ•È©
duC = −F (0) − F (0) = 0,
¤±F (−x) = −F (x), =F (x)´˜‡Û¼
ê.
ÓnŒy§ f (x)´˜‡Û¼êž§
F (x)´˜‡ó¼ê.
Cþ•È©
~7.
f (x)´±T •±Ï ëY¼ê§Á
yµé?¿xk
Z x+T
Z T
f (t)dt =
f (t)dt.
x
0
Cþ•È©
~7.
f (x)´±T •±Ï ëY¼ê§Á
yµé?¿xk
Z x+T
Z T
f (t)dt =
f (t)dt.
x
y²µ-F (x) =
0
Z
x+T
f (t)dt,
x
Cþ•È©
~7.
f (x)´±T •±Ï ëY¼ê§Á
yµé?¿xk
Z x+T
Z T
f (t)dt =
f (t)dt.
x
0
y²µ-F (x) =
x+T
Z
f (t)dt, K
x
Z
x+T
Z
f (t)dt −
F (x) =
0
x
f (t)dt.
0
Cþ•È©
Ï•F 0 (x) = f (x + T ) − f (x) ≡ 0,
Cþ•È©
Ï•F 0 (x) = f (x + T ) − f (x) ≡ 0,
¤±F (x)´~ê§
Cþ•È©
Ï•F 0 (x) = f (x + T ) − f (x) ≡ 0,
¤±F (x)´~ê§ÏdF (x) = F (0),
Cþ•È©
Ï•F 0 (x) = f (x + T ) − f (x) ≡ 0,
¤±F (x)´~ê§ÏdF (x) = F (0), =
Z x+T
Z T
f (t)dt =
f (t)dt.
x
0
Cþ•È©
Ï•F 0 (x) = f (x + T ) − f (x) ≡ 0,
¤±F (x)´~ê§ÏdF (x) = F (0), =
Z x+T
Z T
f (t)dt =
f (t)dt.
x
0
~7`²§±T •±Ï ëY¼ê3?Û˜
‡•Ý•T 4«mþ ½È©Ñƒ .
Cþ•È©
(µ1.
¼ê†Cþ•È©
2. Cþ•È©¦
d
dx
Z
úªµ
v(x)
u(x)
f (t)dt = f (v(x))v 0 (x)−f (u(x))u0 (x),
1˜† È©{
1˜† È©{
ؽȩ
1˜† È©{
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
1˜† È©{
1˜†
È©{, q¡n‡©{µ
1˜† È©{
1˜† È©{, q¡n‡©{µ
f (x) = g(ϕ(x))ϕ0 (x),
½ f (x)dx = g(ϕ(x))dϕ(x),
1˜† È©{
1˜† È©{, q¡n‡©{µ
f (x) = g(ϕ(x))ϕ0 (x),
½ f (x)dx = g(ϕ(x))dϕ(x), K
Z
Z
f (x)dx = g(ϕ(x))dϕ(x) = G(ϕ(x))+C,
1˜† È©{
1˜† È©{, q¡n‡©{µ
f (x) = g(ϕ(x))ϕ0 (x),
½ f (x)dx = g(ϕ(x))dϕ(x), K
Z
Z
f (x)dx = g(ϕ(x))dϕ(x) = G(ϕ(x))+C,
Ù¥, G´ g
Z
˜‡ ¼ê, =
g(u)du = G(u) + C.
1˜† È©{
ù ˜ † { Ä g Ž ´, X Jf (x)
ؽȩØN´¦Ñ, Uòf (x) ”n¤”
g(ϕ(x))ϕ0 (x) /ª, g(u) ؽȩN
´¦Ñ, K·‚¦^n‡©{.
1˜† È©{
n‡©{
Ö /ªXeµ
Z
Z
f (x)dx = g(ϕ(x))ϕ0 (x)dx
Z
= g(ϕ(x))dϕ(x)
(n‡©)
Z
ϕ(x)=u
g(u)du = G(u) + C
u=ϕ(x)
F (ϕ(x)) + C.
(£“)
1˜† È©{
n‡©{
Ö /ªXeµ
Z
Z
f (x)dx = g(ϕ(x))ϕ0 (x)dx
Z
= g(ϕ(x))dϕ(x)
(n‡©)
Z
ϕ(x)=u
g(u)du = G(u) + C
u=ϕ(x)
F (ϕ(x)) + C.
(£“)
š~ÙGù‡L§± §Œ±ŽÑ¥m
CþO†L§§† Àϕ(x)•˜‡#Cþ
$Ž.
1˜† È©{
Z
~1. ¦
dx
.
x−1
1˜† È©{
Z
~1. ¦
Z
dx
.
x−1
dx
=
x−1
Z
d(x − 1)
x−1
1˜† È©{
Z
~1. ¦
Z
dx
.
x−1
dx
=
x−1
Z
d(x − 1)
=
x−1
Z
du
u
1˜† È©{
Z
~1. ¦
Z
dx
.
x−1
dx
=
x−1
Z
d(x − 1)
=
x−1
= ln |u| + C
Z
du
u
1˜† È©{
Z
~1. ¦
Z
dx
.
x−1
dx
=
x−1
Z
d(x − 1)
=
x−1
Z
du
u
= ln |u| + C = ln |x − 1| + C.
1˜† È©{
Z
~2. ¦
dx
.
(x − a)n
1˜† È©{
Z
~2. ¦
Z
dx
.
(x − a)n
dx
=
(x − a)n
Z
d(x − a)
(x − a)n
1˜† È©{
Z
~2. ¦
dx
.
(x − a)n
Z
d(x − a)
dx
=
(x − a)n
(x − a)n

1
− 1 ·
+ C, n 6= 1,
n − 1 (x − a)n−1
=

ln |x − a| + C,
n = 1.
Z
1˜† È©{
Z
~3. ¦
dx
.
x2 − a2
1˜† È©{
Z
~3. ¦
Z
dx
.
x2 − a2
dx
1
=
x2 − a2
2a
Z 1
1 dx
−
x−a x+a
1˜† È©{
Z
~3. ¦
Z
dx
.
x2 − a2
dx
1
=
x2 − a2
2a
=
Z 1
1 dx
−
x−a x+a
1
x−a
ln
+ C.
2a
x+a
1˜† È©{
Z
~4. ¦ e−2x dx.
1˜† È©{
Z
~4. ¦ e−2x dx.
Z
e
−2x
1
dx = −
2
Z
e−2x (−2x)0 dx
1˜† È©{
Z
~4. ¦ e−2x dx.
Z
e
−2x
1
dx = −
2
Z
e−2x (−2x)0 dx
1
= − e−2x + C.
2
1˜† È©{
Z p
~5. ¦ x 1 + x2 dx.
1˜† È©{
Z p
~5. ¦ x 1 + x2 dx.
Z p
Z p
1
x 1 + x2 dx =
1 + x2 d(1 + x2 )
2
1˜† È©{
Z p
~5. ¦ x 1 + x2 dx.
Z p
Z p
1
x 1 + x2 dx =
1 + x2 d(1 + x2 )
2
3
1
= (1 + x2 ) 2 + C.
3
1˜† È©{
Z p
~5. ¦ x 1 + x2 dx.
Z p
Z p
1
x 1 + x2 dx =
1 + x2 d(1 + x2 )
2
3
1
= (1 + x2 ) 2 + C.
3
Z
dx
~6. ¦
.
x2 + a2
1˜† È©{
Z p
~5. ¦ x 1 + x2 dx.
Z p
Z p
1
x 1 + x2 dx =
1 + x2 d(1 + x2 )
2
3
1
= (1 + x2 ) 2 + C.
3
Z
dx
~6. ¦
.
2 + a2
x
Z
Z
d( xa )
dx
1
=
x2 + a2
a ( xa )2 + 1
1˜† È©{
Z p
~5. ¦ x 1 + x2 dx.
Z p
Z p
1
x 1 + x2 dx =
1 + x2 d(1 + x2 )
2
3
1
= (1 + x2 ) 2 + C.
3
Z
dx
~6. ¦
.
2 + a2
x
Z
Z
d( xa )
dx
1
1
x
=
=
arctan
+C.
x
x2 + a2
a ( a )2 + 1 a
a
1˜† È©{
Z p
~5. ¦ x 1 + x2 dx.
Z p
Z p
1
x 1 + x2 dx =
1 + x2 d(1 + x2 )
2
3
1
= (1 + x2 ) 2 + C.
3
Z
dx
~6. ¦
.
2 + a2
x
Z
Z
d( xa )
dx
1
1
x
=
=
arctan
+C.
x
x2 + a2
a ( a )2 + 1 a
a
Z
dx
x
√
aqŒ
= arcsin + C.
a
a2 − x2
1˜† È©{
Z
~7. ¦ tan xdx.
1˜† È©{
Z
~7. ¦ tan xdx.
Z
Z
tan xdx =
sin x
dx
cos x
1˜† È©{
Z
~7. ¦ tan xdx.
Z
Z
tan xdx =
sin x
dx = −
cos x
Z
d(cos x)
cos x
1˜† È©{
Z
~7. ¦ tan xdx.
Z
Z
sin x
dx = −
tan xdx =
cos x
= − ln |cos x| + C.
Z
d(cos x)
cos x
1˜† È©{
Z
~7. ¦ tan xdx.
Z
Z
Z
sin x
d(cos x)
dx = −
tan xdx =
cos x
cos x
= − ln |cos x| + C.
Z
ÓnŒ µ cot xdx = ln |sin x| + C.
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
Z
Z
sec xdx =
dx
cos x
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
Z
Z
sec xdx =
dx
=
cos x
Z
cos xdx
cos2 x
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
Z
Z
sec xdx =
Z
=
d sin x
1 − sin2 x
dx
=
cos x
Z
cos xdx
cos2 x
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
Z
cos xdx
dx
=
sec xdx =
cos2 x
cos x
Z
d sin x
1 1 + sin x
=
=
ln
+ C.
1 − sin2 x 2 1 − sin x
Z
Z
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
Z
cos xdx
dx
=
sec xdx =
cos2 x
cos x
Z
d sin x
1 1 + sin x
=
=
ln
+ C.
1 − sin2 x 2 1 − sin x
Z
½Z
Z
Z
sec xdx =
sec x(sec x + tan x)
dx
sec x + tan x
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
Z
cos xdx
dx
=
sec xdx =
cos2 x
cos x
Z
d sin x
1 1 + sin x
=
=
ln
+ C.
1 − sin2 x 2 1 − sin x
Z
½Z
Z
Z
sec x(sec x + tan x)
dx
sec x + tan x
Z
d(sec x + tan x)
=
sec x + tan x
sec xdx =
1˜† È©{
Z
~8. ¦ sec xdx.
Z
cos xdx
dx
=
sec xdx =
cos2 x
cos x
Z
d sin x
1 1 + sin x
=
=
ln
+ C.
1 − sin2 x 2 1 − sin x
Z
½Z
Z
Z
sec x(sec x + tan x)
dx
sec x + tan x
Z
d(sec x + tan x)
=
= ln |sec x + tan x| + C.
sec x + tan x
sec xdx =
1˜† È©{
ÓnŒ :
Z
1 1 + cos x
csc xdx = − ln
+C
2 1 − cos x
1˜† È©{
ÓnŒ :
Z
1 1 + cos x
csc xdx = − ln
+C
2 1 − cos x
= ln |csc x − cot x| + C 0 .
1˜† È©{
Z
2
~9. ¦ e3x +ln x dx.
1˜† È©{
Z
2
~9. ¦ Ze3x +ln x dx.
Z
2
2
e3x +ln x dx = e3x xdx
1˜† È©{
Z
2
~9. ¦ Ze3x +ln x dx.
Z
2
2
e3x +ln x dx = e3x xdx
Z
1
2
=
e3x d(3x2 )
6
1˜† È©{
Z
2
~9. ¦ Ze3x +ln x dx.
Z
2
e3x +ln x dx =
Z
1
2
=
e3x d(3x2 ) =
6
2
e3x xdx
1 3x2
e + C.
6
1˜† È©{
Z
2
~9. ¦ Ze3x +ln x dx.
Z
2
e3x +ln x dx =
Z
1
2
=
e3x d(3x2 ) =
6
Z
arctan x
~10. ¦
dx.
1 + x2
2
e3x xdx
1 3x2
e + C.
6
1˜† È©{
Z
2
~9. ¦ Ze3x +ln x dx.
Z
2
2
e3x +ln x dx = e3x xdx
Z
1
1 2
2
=
e3x d(3x2 ) = e3x + C.
6
6
Z
arctan x
~10. ¦
dx.
2
1
+
x
Z
Z
arctan x
dx =
arctan xd(arctan x)
1 + x2
1˜† È©{
Z
2
~9. ¦ Ze3x +ln x dx.
Z
2
2
e3x +ln x dx = e3x xdx
Z
1
1 2
2
=
e3x d(3x2 ) = e3x + C.
6
6
Z
arctan x
~10. ¦
dx.
2
1
+
x
Z
Z
arctan x
dx =
arctan xd(arctan x)
1 + x2
1
= (arctan x)2 + C.
2
1˜† È©{
~11.
Z
|m| =
6 |n|ž§¦ sin mx cos nxdx.
1˜† È©{
~11.
Z
|m| =
6 |n|ž§¦ sin mx cos nxdx.
Z
sin mx cos nxdx
Z
1
=
[sin(m + n)x + sin(m − n)x]dx
2
1˜† È©{
~11.
Z
|m| =
6 |n|ž§¦ sin mx cos nxdx.
Z
sin mx cos nxdx
Z
1
=
[sin(m + n)x + sin(m − n)x]dx
2 1 cos(m + n)x cos(m − n)x
= −
+
+ C.
2
m+n
m−n
1˜† È©{
(µ1˜† È©{£n‡©{¤
1
† È©{
1
ؽȩ
† È©{
1 † È©{
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
1
† È©{
Z
XJؽȩ f (x)dx Ø´† ¦Ñ,
1
† È©{
Z
XJؽȩ f (x)dx Ø´† ¦Ñ,
e·‚-x = ϕ(t), ò ªz•
Z
Z
Z
f (x)dx = f (ϕ(t))dϕ(t) = g(t)dt,
Z
, XJؽȩ g(t)dt N´¦Ñ,
1
† È©{
Z
XJؽȩ f (x)dx Ø´† ¦Ñ,
e·‚-x = ϕ(t), ò ªz•
Z
Z
Z
f (x)dx = f (ϕ(t))dϕ(t) = g(t)dt,
Z
, XJؽȩ g(t)dt N´¦Ñ, K·
‚Òk¤¢ 1
Z
Z
f (x)dx =
Ù¥F ´g
† {µ
g(t)dt = F (t) + C = F (ϕ−1 (x)) + C,
¼ê.
1
Z p
~1. ¦
a2 − x2 dx.
† È©{
1
† È©{
Z p
~1. ¦
a2 − x2 dx.
√
)µdu a2 − x2
·‚kŠC†. •Ä
¤±-x = a sin t§
¼êØ´†
ŠÒ,
Ñ,
1
† È©{
Z p
~1. ¦
a2 − x2 dx.
√
)µdu a2 − x2
¼êØ´†
Ñ,
·‚kŠC†. •Ä
ŠÒ,
¤±-x = a sin t§u´
p
a2 − x2 = a cos t, dx = a cos tdt,
1
ªz•
Z p
a2 − x2 dx
Z
2
= a
cos2 tdt
† È©{
1
† È©{
ªz•
Z p
a2 − x2 dx
Z
Z
a2
2
2
= a
cos tdt =
(1 + cos 2t)dt
2
1
† È©{
ªz•
Z p
a2 − x2 dx
Z
Z
a2
2
2
= a
cos tdt =
(1 + cos 2t)dt
2
a2
sin 2t
=
t+
+C
2
2
1
† È©{
ªz•
Z p
a2 − x2 dx
Z
Z
a2
2
2
= a
cos tdt =
(1 + cos 2t)dt
2
a2
sin 2t
=
t+
+C
2
2
p
1 2
x
= (a arcsin + x a2 − x2 ) + C.
2
a
1
† È©{
ªz•
Z p
a2 − x2 dx
Z
Z
a2
2
2
= a
cos tdt =
(1 + cos 2t)dt
2
a2
sin 2t
=
t+
+C
2
2
p
1 2
x
= (a arcsin + x a2 − x2 ) + C.
2
a
5¿, ùp7Lòt ^x“£.
1
Z
dx
~2. ¦ √
.
x2 − a2
† È©{
1
† È©{
Z
dx
~2. ¦ √
.
x2 − a2
)µ-x
√ = a sec t,
u´ x2 − a2 = a tan t, dx = a tan t sec tdt,
1
† È©{
Z
dx
~2. ¦ √
.
x2 − a2
)µ-x
√ = a sec t,
u´ x2 − a2 = a tan t, dx = a tan t sec tdt,
Z
Z
K
dx
√
=
sec tdt
x 2 − a2
1
† È©{
Z
dx
~2. ¦ √
.
x2 − a2
)µ-x
√ = a sec t,
u´ x2 − a2 = a tan t, dx = a tan t sec tdt,
Z
Z
K
dx
√
=
sec tdt
x 2 − a2
= ln |sec t + tan t| + C
1
† È©{
Z
dx
~2. ¦ √
.
x2 − a2
)µ-x
√ = a sec t,
u´ x2 − a2 = a tan t, dx = a tan t sec tdt,
Z
Z
K
dx
√
=
sec tdt
x 2 − a2
= ln |sec t + tan t| + C
p
= ln |x + x2 − a2 | + C.
1
† È©{
Z
dx
~2. ¦ √
.
x2 − a2
)µ-x
√ = a sec t,
u´ x2 − a2 = a tan t, dx = a tan t sec tdt,
Z
Z
K
dx
√
=
sec tdt
x 2 − a2
= ln |sec t + tan t| + C
p
= ln |x + x2 − a2 | + C.
Ó , -x = a tan t, Œ
Z
p
dx
√
= ln |x + x2 + a2 | + C.
2
2
x +a
1
Z
~3. ¦ x(1 − x)n dx.
† È©{
1
† È©{
Z
~3. ¦ x(1 − x)n dx.
)µ
†.
KŒ±kÐm, 2¦È©,
'
æ
1
† È©{
Z
~3. ¦ x(1 − x)n dx.
)µ KŒ±kÐm, 2¦È©,
†. •d, ·‚ŠCþ“†.
-1 − x = t, u´ dx = −dt,
'
æ
1
† È©{
Z
~3. ¦ x(1 − x)n dx.
)µ KŒ±kÐm, 2¦È©, ' æ
†. •d, ·‚ŠCþ“†.
-1 − x = t, u´ dx = −dt, K
Z
Z
x(1 − x)n dx = (tn+1 − tn )dt
1
† È©{
Z
~3. ¦ x(1 − x)n dx.
)µ KŒ±kÐm, 2¦È©, ' æ
†. •d, ·‚ŠCþ“†.
-1 − x = t, u´ dx = −dt, K
Z
Z
x(1 − x)n dx = (tn+1 − tn )dt
tn+2
tn+1
=
−
+C
n+2 n+1
1
† È©{
Z
~3. ¦ x(1 − x)n dx.
)µ KŒ±kÐm, 2¦È©, ' æ
†. •d, ·‚ŠCþ“†.
-1 − x = t, u´ dx = −dt, K
Z
Z
x(1 − x)n dx = (tn+1 − tn )dt
tn+2
tn+1
=
−
+C
n+2 n+1
(1 − x)n+2 (1 − x)n+1
=
−
+ C.
n+2
n+1
1
† È©{
1 † {
´ÌÄÀJ·
Cþ“
†, XÛÀJ, I‡Šâ¢Sœ¹.
„k˜ ~„ “†. ~X, “†, Šª“
†, n ¼ê“† .
1
Z
~4. ¦
dx
√
.
x2 1 + x2
† È©{
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
Š “†, =-x = 1t ,
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
Š “†, =-x = 1t , Kdx = − t12 dt,
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
Š “†, =-x = 1t , Kdx = − t12 dt, u´
Z
tdt
ª=− √
1 + t2
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
Š “†, =-x = 1t , Kdx = − t12 dt, u´
Z
tdt
ª=− √
1 + t2
Z
1 d(1 + t2 )
√
= =−
2
1 + t2
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
Š “†, =-x = 1t , Kdx = − t12 dt, u´
Z
tdt
ª=− √
1 + t2
Z
p
1 d(1 + t2 )
√
= =−
= − 1 + t2 + C
2
2
1+t
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
Š “†, =-x = 1t , Kdx = − t12 dt, u´
Z
tdt
ª=− √
1 + t2
Z
p
1 d(1 + t2 )
√
= =−
= − 1 + t2 + C
2
2
1+t
r
1
= − 1+ 2 +C
x
1
Z
~4. ¦
† È©{
dx
√
.
x2 1 + x2
ȼê x2 √11+x2 ½Â••x 6= 0. k3
«m(0, +∞)þ•Ä.
Š “†, =-x = 1t , Kdx = − t12 dt, u´
Z
tdt
ª=− √
1 + t2
Z
p
1 d(1 + t2 )
√
= =−
= − 1 + t2 + C
2
2
1+t
r
√
1
1 + x2
= − 1+ 2 +C =−
+ C.
x
x
1
† È©{
•Œ±Šn ¼ê“†µ
-x = tan t, t ∈ (0, π2 ), Kdx = sec2 tdt,
1
† È©{
•Œ±Šn ¼ê“†µ
-x = tan t, t ∈ (0, π2 ), Kdx = sec2 tdt,
Z
sec2 tdt
ª =
tan2 t sec t
1
† È©{
•Œ±Šn ¼ê“†µ
-x = tan t, t ∈ (0, π2 ), Kdx = sec2 tdt,
Z
Z
cos tdt
sec2 tdt
=
ª =
tan2 t sec t
sin2 t
1
† È©{
•Œ±Šn ¼ê“†µ
-x = tan t, t ∈ (0, π2 ), Kdx = sec2 tdt,
Z
Z
cos tdt
sec2 tdt
=
ª =
2
sin2 t
Z tan t sec t
d sin t
=
sin2 t
1
† È©{
•Œ±Šn ¼ê“†µ
-x = tan t, t ∈ (0, π2 ), Kdx = sec2 tdt,
Z
Z
cos tdt
sec2 tdt
=
ª =
2
sin2 t
Z tan t sec t
d sin t
1
=
=−
+C
2
sin t
sin t
1
† È©{
•Œ±Šn ¼ê“†µ
-x = tan t, t ∈ (0, π2 ), Kdx = sec2 tdt,
Z
Z
cos tdt
sec2 tdt
=
ª =
2
sin2 t
Z tan t sec t
d sin t
1
=
=−
+C
2
sin t
sin
t
√
1 + x2
= −
+ C.
x
1
† È©{
•Œ±Šn ¼ê“†µ
-x = tan t, t ∈ (0, π2 ), Kdx = sec2 tdt,
Z
Z
cos tdt
sec2 tdt
=
ª =
2
sin2 t
Z tan t sec t
d sin t
1
=
=−
+C
2
sin t
sin
t
√
1 + x2
= −
+ C.
x
é«m(−∞, 0), ؽȩkƒÓ(J.
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
Š “†, =-x = 1t ,
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
Š “†, =-x = 1t , K
ª=
Z
2
t2
− dt
2
tq
1
+1
t2 + 1
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
Š “†, =-x = 1t , K
ª=
Z
2
t2
− dt
1
2
=−
tq
2
1
+1
t2 + 1
Z
d(t2 + 1)
√
.
(1 + (1 + t2 )) 1 + t2
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
Š “†, =-x = 1t , K
ª=
Z
2-u =
2
t2
− dt
1
2
=−
tq
2
1
+1
t2 + 1
√
1 + t2 ,
Z
d(t2 + 1)
√
.
(1 + (1 + t2 )) 1 + t2
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
Š “†, =-x = 1t , K
ª=
Z
2-u =
2
t2
− dt
1
2
=−
tq
2
1
+1
t2 + 1
√
1 + t2 , K
Z
du
ª = −
1 + u2
Z
d(t2 + 1)
√
.
(1 + (1 + t2 )) 1 + t2
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
Š “†, =-x = 1t , K
ª=
Z
2-u =
2
t2
− dt
1
2
=−
tq
2
1
+1
t2 + 1
√
Z
d(t2 + 1)
√
.
(1 + (1 + t2 )) 1 + t2
1 + t2 , K
Z
du
= − arctan u + C
ª = −
1 + u2
1
Z
~5. ¦È©
† È©{
dx
√
.
(2x2 + 1) x2 + 1
Š “†, =-x = 1t , K
ª=
Z
2-u =
2
t2
− dt
1
2
=−
tq
2
1
+1
t2 + 1
√
Z
d(t2 + 1)
√
.
(1 + (1 + t2 )) 1 + t2
1 + t2 , K
Z
du
= − arctan u + C
ª = −
1 + u2
p
= − arctan 1 + x−2 + C.
1
Z
du
√
~6. ¦ √
u+ 3u
† È©{
1
† È©{
Z
du
√
~6. ¦ √
u+ 3u
√
ŠŠª“†, =- 6 u = x,
1
† È©{
Z
du
√
~6. ¦ √
u+ 3u
√
ŠŠª“†, =- 6 u = x, Kk
Z
Z
du
x3
√
√ =6
dx.
x+1
u+ 3u
1
† È©{
Z
du
√
~6. ¦ √
u+ 3u
√
ŠŠª“†, =- 6 u = x, Kk
Z
Z
du
x3
√
√ =6
dx.
x+1
u+ 3u
2-x + 1 = t,
1
† È©{
Z
du
√
~6. ¦ √
u+ 3u
√
ŠŠª“†, =- 6 u = x, Kk
Z
Z
du
x3
√
√ =6
dx.
x+1
u+ 3u
2-x + 1 = t, Œ)
Z
1
ª = 6 (t2 − 3t + 3 − )dt
t
1
† È©{
Z
du
√
~6. ¦ √
u+ 3u
√
ŠŠª“†, =- 6 u = x, Kk
Z
Z
du
x3
√
√ =6
dx.
x+1
u+ 3u
2-x + 1 = t, Œ)
Z
1
ª = 6 (t2 − 3t + 3 − )dt
t
= 2x3 − 3x2 + 6x − 6 ln |x + 1| + C
1
† È©{
Z
du
√
~6. ¦ √
u+ 3u
√
ŠŠª“†, =- 6 u = x, Kk
Z
Z
du
x3
√
√ =6
dx.
x+1
u+ 3u
2-x + 1 = t, Œ)
Z
1
ª = 6 (t2 − 3t + 3 − )dt
t
= 2x3 − 3x2 + 6x − 6 ln |x + 1| + C
√
√
√
√
= 2 u − 3 3 u + 6 6 u − 6 ln | 6 u + 1| + C.
1
(µ1 † È©{
† È©{
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{
ؽȩ ©ÜÈ©{£þ¤
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{(Integration by Parts)
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{(Integration by Parts)
Šâ¦È¦ úª: (u · v)0 = u0 · v + u · v 0
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{(Integration by Parts)
Šâ¦È¦ úª: (u · v)0 = u0 · v + u · v 0
·‚k:
Z
Z
u · v 0 dx = u · v − u0 · vdx
(1)
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{(Integration by Parts)
Šâ¦È¦ úª: (u · v)0 = u0 · v + u · v 0
·‚k:
Z
Z
u · v 0 dx = u · v − u0 · vdx
(1)
½{
•:
Z
Z
udv = uv −
vdu.
(2)
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{(Integration by Parts)
Šâ¦È¦ úª: (u · v)0 = u0 · v + u · v 0
·‚k:
Z
Z
u · v 0 dx = u · v − u0 · vdx
(1)
½{
•:
Z
Z
udv = uv −
ù‡úªÒ´¤¢
vdu.
©ÜÈ©úª.
(2)
©ÜÈ©{
3Nõœ¹e,È©
Z
uv 0 dx †
J´§ÝŒØƒÓ.
Z
vu0 dx
©ÜÈ©{
Z
~1. ¦ x cos xdx.
©ÜÈ©{
Z
~1. ¦ x cos xdx.
Z
Z
x cos xdx =
xd(sin x)
©ÜÈ©{
Z
~1. ¦ x cos xdx.
Z
Z
x cos xdx = xd(sin x)
Z
= x sin x − sin xdx
©ÜÈ©{
Z
~1. ¦ x cos xdx.
Z
Z
x cos xdx = xd(sin x)
Z
= x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C.
©ÜÈ©{
Z
~1. ¦ x cos xdx.
Z
Z
x cos xdx = xd(sin x)
Z
= x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C.
Z
~2. ¦ ln xdx.
©ÜÈ©{
Z
~1. ¦ x cos xdx.
Z
Z
x cos xdx = xd(sin x)
Z
= x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C.
Z
~2. ¦ ln xdx.
Z
Z
ln xdx = x ln x−
1
x· dx
x
©ÜÈ©{
Z
~1. ¦ x cos xdx.
Z
Z
x cos xdx = xd(sin x)
Z
= x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C.
Z
~2. ¦ ln xdx.
Z
Z
ln xdx = x ln x−
1
x· dx = x ln x−x+C.
x
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{·^a.µ
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{·^a.µ
Z
Z
1) pn (x) sin mxdx, pn (x) cos mxdx,
Z
pn (x)eλx dx,
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{·^a.µ
Z
Z
1) pn (x) sin mxdx, pn (x) cos mxdx,
Z
pn (x)eλx dx,
ùppn (x)´õ‘ª, ·‚À u(x) = pn (x),
©Ü éõ‘ªpn (x) ¦ , l ¦pn (x)˜
g ü$,
ȼêC{ü, ù´¤¢
/ü˜0.
©ÜÈ©{
Z
2)
Z
pn (x) arcsin xdx,
pn (x) arccos xdx,
Z
Z
pn (x) arctan xdx, pn (x) ln xdx,
©ÜÈ©{
Z
2)
Z
pn (x) arcsin xdx,
pn (x) arccos xdx,
Z
Z
pn (x) arctan xdx, pn (x) ln xdx,
3ù«œ/, Àpn (x) = v 0 (x), ¦+©Ü
éA v gê,p, éu ó{z .ù
´¤¢ /,˜0.
©ÜÈ©{
Z
3)
Z
eλx sin αxdx,
Z
sin(ln x)dx,
eλx cos αxdx,
©ÜÈ©{
Z
3)
Z
eλx sin αxdx,
Z
sin(ln x)dx,
eλx cos αxdx,
ùpÃØNoÀu, v, ÑØ´† rÈ©Ï
L{z®ˆ ¦) 8 ,
´æ^¤¢
/Ì‚{0.
©ÜÈ©{
Z
~3. ¦ x arctan xdx.
©ÜÈ©{
Z
~3. ¦ x arctan xdx.
Z
Z
x arctan xdx =
arctan xd
x2 2
©ÜÈ©{
Z
~3. ¦ x arctan xdx.
Z
Z
x2 x arctan xdx = arctan xd
2
Z
x2
1
x2
=
arctan x −
dx
2
2 1 + x2
©ÜÈ©{
Z
~3. ¦ x arctan xdx.
Z
Z
x2 x arctan xdx = arctan xd
2
Z
x2
1
x2
=
arctan x −
dx
2
2 1 + x2
1 + x2
x
=
arctan x − + C.
2
2
©ÜÈ©{
Z
~3. ¦ x arctan xdx.
Z
Z
x2 x arctan xdx = arctan xd
2
Z
x2
1
x2
=
arctan x −
dx
2
2 1 + x2
1 + x2
x
=
arctan x − + C.
2
2
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
Z
Z
2 x
x e dx = x2 d(ex )
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
Z
Z
Z
2 x
2
x
2 x
x e dx = x d(e ) = x e − ex d(x2 )
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
Z
Z
Z
2 x
2
x
2 x
x e dx = x d(e ) = x e − ex d(x2 )
Z
= x2 ex − 2 xex dx.
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
Z
Z
Z
2 x
2
x
2 x
x e dx = x d(e ) = x e − ex d(x2 )
Z
= x2 ex − 2 xex dx.
é•
Z
˜‘„I‡2^˜g©ÜÈ©µ
Z
x
xe dx = xd(ex )
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
Z
Z
Z
2 x
2
x
2 x
x e dx = x d(e ) = x e − ex d(x2 )
Z
= x2 ex − 2 xex dx.
é•
Z
˜‘„I‡2^˜g©ÜÈ©µ
Z
Z
x
x
x
xe dx = xd(e ) = xe − ex dx
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
Z
Z
Z
2 x
2
x
2 x
x e dx = x d(e ) = x e − ex d(x2 )
Z
= x2 ex − 2 xex dx.
é•
Z
˜‘„I‡2^˜g©ÜÈ©µ
Z
Z
x
x
x
xe dx = xd(e ) = xe − ex dx
= xex − ex + C.
©ÜÈ©{
Z
~4. ¦ x2 ex dx.
Z
Z
Z
2 x
2
x
2 x
x e dx = x d(e ) = x e − ex d(x2 )
Z
= x2 ex − 2 xex dx.
é•
Z
˜‘„I‡2^˜g©ÜÈ©µ
Z
Z
x
x
x
xe dx = xd(e ) = xe − ex dx
= xex − ex + C.
u´
Z
x2 ex dx = ex (x2 − 2x + 2) + C.
©ÜÈ©{
Z p
~5. ¦
x2 + a2 dx (a > 0).
©ÜÈ©{
Z p
~5. ¦
x2 + a2 dx (a > 0).
)µÏ•
Z
p
x2 + a2 dx
Z
p
p
2
2
= x x + a − xd( x2 + a2 )
©ÜÈ©{
Z p
~5. ¦
x2 + a2 dx (a > 0).
)µÏ•
Z
p
x2 + a2 dx
Z
p
p
2
2
= x x + a − xd( x2 + a2 )
Z
p
x2
2
2
= x x +a − √
dx
x2 + a2
©ÜÈ©{
Z p
~5. ¦
x2 + a2 dx (a > 0).
)µÏ•
Z
p
x2 + a2 dx
Z
p
p
2
2
= x x + a − xd( x2 + a2 )
Z
p
x2
2
2
= x x +a − √
dx
x2 + a2
Z 2
p
x + a2 − a2
2
2
√
= x x +a −
dx
x2 + a2
©ÜÈ©{
Z p
~5. ¦
x2 + a2 dx (a > 0).
)µÏ•
Z
=
=
=
=
p
x2 + a2 dx
Z
p
2
2
x x +a −
Z
p
2
2
x x +a −
Z
p
x x2 + a2 −
Z
p
2
2
x x +a −
xd(
p
x2 + a2 )
x2
dx
x2 + a2
x2 + a2 − a2
√
dx
x2 + a2
Z
p
a2
2
2
x + a dx + √
dx
x2 + a2
√
©ÜÈ©{
Z p
x2 + a2 dx
Z p
p
p
2
2
= x x +a −
x2 + a2 dx + a2 ln(x + x2 + a2 ),
©ÜÈ©{
Z p
x2 + a2 dx
Z p
p
p
2
2
= x x +a −
x2 + a2 dx + a2 ln(x + x2 + a2 ),
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Z p
=
x2 + a2 dx
p
1 p 2
[x x + a2 + a2 ln(x + x2 + a2 )] + C.
2
©ÜÈ©{
aqŒ
Z p
x2 − a2 dx
p
1 p 2
2
2
= [x x − a − a ln(x + x2 − a2 )] + C
2
(a > 0).
©ÜÈ©{
©ÜÈ©{
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¤
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©ÜÈ©{
Z
arctan ex
~6. ¦
dx.
e2x
©ÜÈ©{
Z
arctan ex
~6. ¦
dx.
e2x
arctan ex
dx
2x
Ze
1
arctan ex d(e−2x )
= −
2
Z
©ÜÈ©{
Z
arctan ex
~6. ¦
dx.
e2x
arctan ex
dx
2x
Ze
1
arctan ex d(e−2x )
= −
2
Z
x
e
dx
1 −2x
arctan ex −
= − e
2
e2x (1 + e2x )
Z
©ÜÈ©{
Z
arctan ex
~6. ¦
dx.
e2x
arctan ex
dx
2x
Ze
1
arctan ex d(e−2x )
= −
2
Z
x
e
dx
1 −2x
arctan ex −
= − e
2
e2x (1 + e2x )
Z
1
1
1 −2x
x
x
arctan e − ( 2x −
)d(e )
= − e
2
e
1 + e2x
Z
©ÜÈ©{
Z
arctan ex
~6. ¦
dx.
e2x
arctan ex
dx
2x
Ze
1
arctan ex d(e−2x )
−
2
Z
x
e
dx
1 −2x
arctan ex −
− e
2
e2x (1 + e2x )
Z
1
1
1 −2x
x
x
arctan e − ( 2x −
)d(e )
− e
2
e
1 + e2x
1
− (e−2x arctan ex + e−x + arctan ex ) + C.
2
Z
=
=
=
=
©ÜÈ©{
Z
xex
~7. ¦ √ x
dx.
e −1
©ÜÈ©{
Z
xex
~7. ¦ √ x
dx.
e −1
Z
xex
√ x
dx =
e −1
Z
xd(ex − 1)
√ x
e −1
©ÜÈ©{
Z
xex
~7. ¦ √ x
dx.
e −1
xex
√ x
dx =
e
−
1
Z
√
= 2 xd ex − 1
Z
Z
xd(ex − 1)
√ x
e −1
©ÜÈ©{
Z
xex
~7. ¦ √ x
dx.
e −1
Z
xex
xd(ex − 1)
√ x
√ x
dx =
e
−
1
e −1
Z
√
= 2 xd ex − 1
Z
i
h √
√
x
x
= 2 x e −1−
e − 1dx .
Z
©ÜÈ©{
2-u =
√
ex − 1, K dx =
2u
u2 +1 du,
©ÜÈ©{
√
2-u = ex − 1, K dx = u22u+1 du, u´
Z
Z
√
u2 du
x
e − 1dx = 2
u2 + 1
©ÜÈ©{
√
2-u = ex − 1, K dx = u22u+1 du, u´
Z
Z
√
u2 du
x
e − 1dx = 2
u2 + 1
= 2(u − arctan u) + C,
©ÜÈ©{
√
2-u = ex − 1, K dx = u22u+1 du, u´
Z
Z
√
u2 du
x
e − 1dx = 2
u2 + 1
= 2(u − arctan u) + C,
܃,
Z
xex
√ x
dx
e
−
1
√
√
= 2x ex − 1 − 4 ex − 1
√
+4 arctan ex − 1 + C.
©ÜÈ©{
√
2-u = ex − 1, K dx = u22u+1 du, u´
Z
Z
√
u2 du
x
e − 1dx = 2
u2 + 1
= 2(u − arctan u) + C,
܃,
Z
xex
√ x
dx
e
−
1
√
√
= 2x ex − 1 − 4 ex − 1
√
+4 arctan ex − 1 + C.
£ùp, ´k©ÜÈ©, 2^1 †
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©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
)µ
u=
√
x, Kdx = 2udu,
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
)µ
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
e x dx = eu · 2udu
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
)µ
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
Z
e x dx = eu · 2udu = 2 ueu du
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
Z
e x dx = eu · 2udu = 2 ueu du
Z
= 2 ud(eu )
)µ
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
Z
e x dx = eu · 2udu = 2 ueu du
Z
Z
= 2 ud(eu ) = 2 ueu − eu du
)µ
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
Z
e x dx = eu · 2udu = 2 ueu du
Z
Z
= 2 ud(eu ) = 2 ueu − eu du
)µ
= 2(ueu − eu ) + C
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
Z
e x dx = eu · 2udu = 2 ueu du
Z
Z
= 2 ud(eu ) = 2 ueu − eu du
)µ
= 2(ueu − eu ) + C = 2eu (u − 1) + C
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
Z
e x dx = eu · 2udu = 2 ueu du
Z
Z
= 2 ud(eu ) = 2 ueu − eu du
)µ
= 2(ueu − eu ) + C = 2eu (u − 1) + C
√ √
= 2e x ( x − 1) + C.
©ÜÈ©{
Z √
~8. ¦ e x dx.
√
u = x, Kdx = 2udu, u´
Z √
Z
Z
e x dx = eu · 2udu = 2 ueu du
Z
Z
= 2 ud(eu ) = 2 ueu − eu du
)µ
= 2(ueu − eu ) + C = 2eu (u − 1) + C
√ √
= 2e x ( x − 1) + C.
£ Kk^1 † {§2©ÜÈ©.¤
©ÜÈ©{
Z
~9. ¦ ex sin xdx.
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Z
~9. ¦ ex sin xdx.
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Z
~9. ¦ ex sin xdx.
Z
x
£ù´1n«œ¹¤
x
e sin xdx = e sin x −
Z
ex cos xdx
©ÜÈ©{
Z
~9. ¦ ex sin xdx.
Z
x
£ù´1n«œ¹¤
x
Z
e sin xdx = e sin x − ex cos xdx
Z
x
x
= e sin x − e cos x − ex sin xdx.
©ÜÈ©{
Z
~9. ¦ ex sin xdx.
Z
x
£ù´1n«œ¹¤
x
Z
e sin xdx = e sin x − ex cos xdx
Z
x
x
= e sin x − e cos x − ex sin xdx.
£5¿, ©ÜÈ©˜g È©vkC{ü, „
´Óa. , 2©ÜÈ©˜g
Z , Ñy Ì
‚, =qÑy
¤‡¦ È©
ex sin xdx.¤
©ÜÈ©{
u´£‘
Z
ex (sin x − cos x)
+ C.
ex sin xdx =
2
©ÜÈ©{
u´£‘
Z
ex (sin x − cos x)
+ C.
ex sin xdx =
2
aq/α
:
Z
ex (sin x + cos x)
x
e cos xdx =
+ C.
2
©ÜÈ©{
Z
~10. ¦ sec3 xdx.
©ÜÈ©{
Z
~10. ¦ sec3 xdx.
Z
sec3 xdx =
Z
sec xd tan x
©ÜÈ©{
Z
~10. ¦ sec3 xdx.
Z
Z
sec3 xdx = sec xd tan x
Z
= sec x tan x − tan2 x sec xdx
©ÜÈ©{
Z
~10. ¦ sec3 xdx.
Z
Z
sec3 xdx = sec xd tan x
Z
= sec x tan x − tan2 x sec xdx
Z
= sec x tan x − (sec3 x − sec x)dx.
©ÜÈ©{
Z
~10. ¦ sec3 xdx.
Z
Z
sec3 xdx = sec xd tan x
Z
= sec x tan x − tan2 x sec xdx
Z
= sec x tan x − (sec3 x − sec x)dx.
ùp•Ñy Ì‚. ÏdŒ) µ
Z
Z
1
sec3 xdx = [sec x tan x + sec xdx].
2
©ÜÈ©{
Z
2Šâ sec xdx È©úª, Œ
Z
sec3 xdx =
1
[sec x tan x
2
+ ln | sec x + tan x|] + C.
©ÜÈ©{
~11. ¦In =
Z
sinn xdx.
©ÜÈ©{
~11. ¦In =
Z
sinn xdx. (4íúª)
©ÜÈ©{
~11. ¦In =
Z
sinn xdx. (4íúª)
)µ´• n = 0, 1ž, k
I0 = x + C,
©ÜÈ©{
~11. ¦In =
Z
sinn xdx. (4íúª)
)µ´• n = 0, 1ž, k
I0 = x + C,
I1 = − cos x + C.
©ÜÈ©{
~11. ¦In =
Z
sinn xdx. (4íúª)
)µ´• n = 0, 1ž, k
I0 = x + C,
I1 = − cos x + C.
n ≥ 2ž, A^©ÜÈ©{, k
Z
In =
sinn−1 xd(− cos x)
©ÜÈ©{
~11. ¦In =
Z
sinn xdx. (4íúª)
)µ´• n = 0, 1ž, k
I0 = x + C,
I1 = − cos x + C.
n ≥ 2ž, A^©ÜÈ©{, k
Z
In =
sinn−1 xd(− cos x)
= − cos x sinn−1
Z x
+(n − 1)
(1 − sin2 x) sinn−2 xdx
©ÜÈ©{
~11. ¦In =
Z
sinn xdx. (4íúª)
)µ´• n = 0, 1ž, k
I0 = x + C,
I1 = − cos x + C.
n ≥ 2ž, A^©ÜÈ©{, k
Z
In =
sinn−1 xd(− cos x)
= − cos x sinn−1
Z x
+(n − 1)
(1 − sin2 x) sinn−2 xdx
= − cos x sinn−1 x + (n − 1)(In−2 − In ).
©ÜÈ©{
£‘
i
1h
n−1
x cos x .
In = (n − 1)In−2 − sin
n
©ÜÈ©{
£‘
i
1h
n−1
x cos x .
In = (n − 1)In−2 − sin
n
nþŒ•
In =




1
n
h
i
(n − 1)In−2 − sinn−1 x cos x , n ≥ 2,
x + C,


 − cos x + C,
n = 0,
n = 1.
©ÜÈ©{
Ä È©L(*¿)
Z
1.
(
α
x dx =
1
α+1
α+1 x
+ C, α 6= −1,
ln |a| + C,
α = −1;
Z
ln xdx = x(ln x − 1) + C;
2.
Z
3.
ax
a dx =
+ C,
ln a
x
AO/
Z
ex dx = ex + C;
©ÜÈ©{
Z
sin xdx = − cos x + C,
4.
Z
cos xdx = sin x + C;
Z
tan xdx = − ln |cos x| + C,
5.
Z
cot xdx = ln |sin x| + C;
Z
sec xdx = ln |sec x + tan x| + C,
6.
Z
csc xdx = ln |csc x − cot x| + C;
©ÜÈ©{
Z
7.
shxdx = chx + C,
Z
chxdx = shx + C;
x2
1
x−a
dx
ln
=
+ C;
2
−a
2a
x+a
x2
1
dx
x
= arctan + C;
2
+a
a
a
Z
8.
Z
9.
Z
dx
x
= arcsin + C;
a
a2 − x2
Z
p
dx
11. √
= ln |x + x2 ± a2 | + C;
x2 ± a2
10.
√
©ÜÈ©{
12.
Z p
a2 − x2 dx
1 p
a2
x
= x a 2 − x2 +
arcsin + C;
2
2
a
Z p
13.
x2 ± a2 dx
p
1 p 2
2
2
2
2
=
x x ± a ± a ln |x + x ± a | + C.
2
Z
14.
Z
ex (sin x − cos x)
+ C,
2
ex (sin x + cos x)
ex cos xdx =
+ C.
2
ex sin xdx =
©ÜÈ©{
(µ©ÜÈ©{
Z
Z
udv = uv − vdu
kn¼ê
ؽȩ
kn¼ê
ؽȩ
kn¼ê ؽȩ£þ¤
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
kn¼ê
·‚• , Ð ¼ê
ê, ´, Ð ¼ê
¼ê.
ؽȩ
êE,´Ð ¼
¼ê™7E,´Ð
kn¼ê
ؽȩ
·‚• , Ð ¼ê
êE,´Ð ¼
ê, ´, Ð ¼ê
¼ê™7E,´Ð
¼ê. éù
¼ê, § ؽȩÃ{
^Ù• Ð ¼ê5L«. ·‚Ï~¡ƒ
•”ÈØÑ5”.
kn¼ê
ؽȩ
·‚• , Ð ¼ê
êE,´Ð ¼
ê, ´, Ð ¼ê
¼ê™7E,´Ð
¼ê. éù
¼ê, § ؽȩÃ{
^Ù• Ð ¼ê5L«. ·‚Ï~¡ƒ
•”ÈØÑ5”. ~Xµ
Z
Z
sin x
2
dx,
ex dx
x
ÑØ´Ð
¼ê.
kn¼ê
ؽȩ
·‚• , Ð ¼ê
êE,´Ð ¼
ê, ´, Ð ¼ê
¼ê™7E,´Ð
¼ê. éù
¼ê, § ؽȩÃ{
^Ù• Ð ¼ê5L«. ·‚Ï~¡ƒ
•”ÈØÑ5”. ~Xµ
Z
Z
sin x
2
dx,
ex dx
x
ÑØ´Ð ¼ê.
´kn¼ê
˜½´Ð ¼ê, =Œ±ÈÑ5.
¼ê
kn¼ê
ؽȩ
·‚• , Ð ¼ê
êE,´Ð ¼
ê, ´, Ð ¼ê
¼ê™7E,´Ð
¼ê. éù
¼ê, § ؽȩÃ{
^Ù• Ð ¼ê5L«. ·‚Ï~¡ƒ
•”ÈØÑ5”. ~Xµ
Z
Z
sin x
2
dx,
ex dx
x
ÑØ´Ð ¼ê.
´kn¼ê
˜½´Ð ¼ê, =Œ±ÈÑ5.
éùa¼ê?ØÙؽȩ.
¼ê
!̇
kn¼ê
ؽȩ
˜!kn¼ê ؽȩ
kn¼ê
ؽȩ
˜!kn¼ê ؽȩ
(˜). kn¼êµ
pm (x)
R(x) =
, ùp pm (x), qn (x)Ñ´õ‘ª.
qn (x)
em < n, K¡R(x) •ý©ª.
kn¼ê
ؽȩ
˜!kn¼ê ؽȩ
(˜). kn¼êµ
pm (x)
R(x) =
, ùp pm (x), qn (x)Ñ´õ‘ª.
qn (x)
em < n, K¡R(x) •ý©ª.
w,, ˜‡kn¼êoŒ±z•˜‡õ‘ª
Úý©ª Ú.
kn¼ê
ؽȩ
˜!kn¼ê ؽȩ
(˜). kn¼êµ
pm (x)
R(x) =
, ùp pm (x), qn (x)Ñ´õ‘ª.
qn (x)
em < n, K¡R(x) •ý©ª.
w,, ˜‡kn¼êoŒ±z•˜‡õ‘ª
Úý©ª Ú. Ïd, kn¼ê ؽȩ
8(•ý©ª ؽȩ.
kn¼ê
ؽȩ
˜!kn¼ê ؽȩ
(˜). kn¼êµ
pm (x)
R(x) =
, ùp pm (x), qn (x)Ñ´õ‘ª.
qn (x)
em < n, K¡R(x) •ý©ª.
w,, ˜‡kn¼êoŒ±z•˜‡õ‘ª
Úý©ª Ú. Ïd, kn¼ê ؽȩ
8(•ý©ª ؽȩ.
e¡Äk•Äý©ª ©).
kn¼ê
ؽȩ
( ). Ü©©ª½n
(x)
R(x) = pqmn (x)
•ý©ª, Ù©1qn (x) k
©)
qn (x)
= b0 (x − a)α · · · (x − b)β
·(x2 + px + q)µ · · · (x2 + rx + s)γ ,
Ù¥b0 , a, · · · , b, p · · · q, · · · , r, s•¢ê,
…p2 − 4q < 0, · · · , r2 − 4s < 0,
α, · · · , β, µ, · · · , γ´
ê,
kn¼ê
ؽȩ
KR(x)Œ©)•
R(x)
A1
A2
Aα
=
+
+
·
·
·
+
+ ···
x − a (x − a)2
(x − a)α
B1
Bβ
B2
+
+
·
·
·
+
+
x − b (x − b)2
(x − b)β
K1 x + L1
Kµ x + Lµ
+ 2
+ ··· + 2
+ ···
x + px + q
(x + px + q)µ
M1 x + N1
Mγ x + Nγ
+ 2
+ ··· + 2
,
x + rx + s
(x + rx + s)γ
Ù¥Ai , · · · , Bi , Ki , · · · , Li , Mi , Ni Ñ´¢
ê,… •˜(½.
kn¼ê
ؽȩ
Šâù‡½n,ý©ªoŒ±z•e
©ªƒ˜½Ù|ܵ
A
,
(x − a)k
Ax + B
,
(x2 + px + q)k
üa
p2 − 4q < 0.
kn¼ê
ؽȩ
Šâù‡½n,ý©ªoŒ±z•e
©ªƒ˜½Ù|ܵ
A
,
(x − a)k
1˜a©ª
ª.
Ax + B
,
(x2 + px + q)k
üa
p2 − 4q < 0.
©1´˜gϪ9Ù˜
/
kn¼ê
ؽȩ
Šâù‡½n,ý©ªoŒ±z•e
©ªƒ˜½Ù|ܵ
A
,
(x − a)k
Ax + B
,
(x2 + px + q)k
üa
p2 − 4q < 0.
1˜a©ª ©1´˜gϪ9Ù˜ /
Z
ª.
dx
k = 1ž,
= ln |x − a| + C,
x−a
kn¼ê
ؽȩ
Šâù‡½n,ý©ªoŒ±z•e
©ªƒ˜½Ù|ܵ
A
,
(x − a)k
Ax + B
,
(x2 + px + q)k
üa
p2 − 4q < 0.
1˜a©ª ©1´˜gϪ9Ù˜ /
Z
ª.
dx
k = 1ž,
= ln |x − a| + C,
x−a
Z
dx
(x − a)1−k
k ≥ 2ž,
=
+ C.
(x − a)k
1−k
kn¼ê
1 a©ª©1•ØŒ
œ¹.
ؽȩ
gϪ9٘
kn¼ê
ؽȩ
1 a©ª©1•ØŒ
gϪ9٘
2
œ¹. Ï•p − 4q < 0, ¤±² •,
p2
p 2
2
x + px + q = (x + ) + q − .
2
4
kn¼ê
ؽȩ
1 a©ª©1•ØŒ
gϪ9٘
2
œ¹. Ï•p − 4q < 0, ¤±² •,
p2
p 2
2
x + px + q = (x + ) + q − .
2
4
p2
p
2
-a = q − 4 , 2Š† u = x + 2 ,
kn¼ê
ؽȩ
1 a©ª©1•ØŒ
gϪ9٘
2
œ¹. Ï•p − 4q < 0, ¤±² •,
p2
p 2
2
x + px + q = (x + ) + q − .
2
4
p2
p
2
-a = q − 4 , 2Š† u = x + 2 ,
Z
(Ax + B)dx
2
k
Z(x + px + q)
Z
u
Ap
du
du + (B −
)
.
= A
2
2
k
2
(a + u )
2
(a + u2 )k
kn¼ê
ؽȩ
1 a©ª©1•ØŒ
gϪ9٘
2
œ¹. Ï•p − 4q < 0, ¤±² •,
p2
p 2
2
x + px + q = (x + ) + q − .
2
4
p2
p
2
-a = q − 4 , 2Š† u = x + 2 ,
Z
(Ax + B)dx
2
k
Z(x + px + q)
Z
u
Ap
du
du + (B −
)
.
= A
2
2
k
2
(a + u )
2
(a + u2 )k
þªm¡1˜‘È©éN´¦, 1
4í•{5¦.
‘Œ^
kn¼ê
ؽȩ
1 a©ª©1•ØŒ
gϪ9٘
2
œ¹. Ï•p − 4q < 0, ¤±² •,
p2
p 2
2
x + px + q = (x + ) + q − .
2
4
p2
p
2
-a = q − 4 , 2Š† u = x + 2 ,
Z
(Ax + B)dx
2
k
Z(x + px + q)
Z
u
Ap
du
du + (B −
)
.
= A
2
2
k
2
(a + u )
2
(a + u2 )k
þªm¡1˜‘È©éN´¦, 1 ‘Œ^
4í•{5¦.
–d, kn¼ê ؽȩ¯KÑ)û .
kn¼ê
kn¼êXÛ©)º
ؽȩ
kn¼ê
ؽȩ
kn¼êXÛ©)º
Ä •{´–½Xê{, Ï~' †. Äk
´õ‘ª Ϫ©)kž' (J, Ùg,
Ü©©ª½n' æ†, OŽþŒ.
kn¼ê
ؽȩ
kn¼êXÛ©)º
Ä •{´–½Xê{, Ï~' †. Äk
´õ‘ª Ϫ©)kž' (J, Ùg,
Ü©©ª½n' æ†, OŽþŒ. kž
é Ü· •{ÒŒ±{zOŽ, Ø7Õ
Yuù‡©)½n.
Zkn¼ê ؽȩ
(x + 1)dx
~1. OŽØ½È©
.
x2 − 4x + 3
Zkn¼ê ؽȩ
(x + 1)dx
~1. OŽØ½È©
.
x2 − 4x + 3
)µÏ•x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3),
Zkn¼ê ؽȩ
(x + 1)dx
~1. OŽØ½È©
.
x2 − 4x + 3
)µÏ•x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), Œ
A
B
x+1
=
+
,
x2 − 4x + 3 x − 1 x − 3
Zkn¼ê ؽȩ
(x + 1)dx
~1. OŽØ½È©
.
x2 − 4x + 3
)µÏ•x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), Œ
A
B
x+1
=
+
,
x2 − 4x + 3 x − 1 x − 3
m>Ï©, ,
' ©f
x + 1 = A(x − 3) + B(x − 1).
Zkn¼ê ؽȩ
(x + 1)dx
~1. OŽØ½È©
.
x2 − 4x + 3
)µÏ•x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), Œ
A
B
x+1
=
+
,
x2 − 4x + 3 x − 1 x − 3
m>Ï©, ,
' ©f
x + 1 = A(x − 3) + B(x − 1).
•(½A†B,Œkü«•{:
(1)©O-x = 1Úx = 3¶(2)'
Xê.
Zkn¼ê ؽȩ
(x + 1)dx
~1. OŽØ½È©
.
x2 − 4x + 3
)µÏ•x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), Œ
A
B
x+1
=
+
,
x2 − 4x + 3 x − 1 x − 3
m>Ï©, ,
' ©f
x + 1 = A(x − 3) + B(x − 1).
•(½A†B,Œkü«•{:
(1)©O-x = 1Úx = 3¶(2)'
Ó Œ A = −1, B = 2.
Xê.
kn¼ê
ؽȩ
Ïd,
x+1
−1
2
=
+
.
x2 − 4x + 3 x − 1 x − 3
kn¼ê
ؽȩ
Ïd,
x+1
−1
2
=
+
.
x2 − 4x + 3 x − 1 x − 3
u´
Z
x+1
dx =
x2 − 4x + 3
Z −1
2
+
dx
x−1 x−3
kn¼ê
ؽȩ
Ïd,
x+1
−1
2
=
+
.
x2 − 4x + 3 x − 1 x − 3
u´
Z
−1
2
+
dx
x−1 x−3
(x − 3)2
= ln
+ C.
|x − 1|
x+1
dx =
x2 − 4x + 3
Z kn¼ê
Z
~2. OŽØ½È©
ؽȩ
(2x + 3)dx
.
x3 + x2 − 2x
kn¼ê
Z
~2. OŽØ½È©
ؽȩ
(2x + 3)dx
.
x3 + x2 − 2x
)µÏ•x3 + x2 − 2x = x(x − 1)(x + 2),
kn¼ê
ؽȩ
Z
~2. OŽØ½È©
(2x + 3)dx
.
x3 + x2 − 2x
)µÏ•x3 + x2 − 2x = x(x − 1)(x + 2), Œ
2x + 3
A
B
C
=
+
+
,
x3 + x2 − 2x
x x−1 x+2
kn¼ê
ؽȩ
Z
~2. OŽØ½È©
(2x + 3)dx
.
x3 + x2 − 2x
)µÏ•x3 + x2 − 2x = x(x − 1)(x + 2), Œ
2x + 3
A
B
C
=
+
+
,
x3 + x2 − 2x
x x−1 x+2
m>Ï©, ,
' ©f
2x+3 = A(x−1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x−1).
kn¼ê
ؽȩ
Z
~2. OŽØ½È©
(2x + 3)dx
.
x3 + x2 − 2x
)µÏ•x3 + x2 − 2x = x(x − 1)(x + 2), Œ
2x + 3
A
B
C
=
+
+
,
x3 + x2 − 2x
x x−1 x+2
m>Ï©, ,
' ©f
2x+3 = A(x−1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x−1).
©Oòx = 0, 1, −2“\þª§
A = − 32 , B = 53 , C = − 16 .
kn¼ê
ؽȩ
u´
2x + 3
3
5
1
=
−
+
−
,
x3 + x2 − 2x
2x 3(x − 1) 6(x + 2)
kn¼ê
ؽȩ
u´
2x + 3
3
5
1
=
−
+
−
,
x3 + x2 − 2x
2x 3(x − 1) 6(x + 2)
Z
(2x + 3)dx
xZ3 + x2 − 2x
Z
Z
3 dx 5
1
dx
dx
= −
+
−
2
x
3 x−1 6 x+2
kn¼ê
ؽȩ
u´
2x + 3
3
5
1
=
−
+
−
,
x3 + x2 − 2x
2x 3(x − 1) 6(x + 2)
Z
(2x + 3)dx
xZ3 + x2 − 2x
Z
Z
3 dx 5
1
dx
dx
= −
+
−
2
x
3 x−1 6 x+2
3
5
1
= − ln |x| + ln |x − 1| − ln |x + 2| + C.
2
3
6
kn¼ê
~3. OŽÈ©
Z
ؽȩ
x−2
dx.
x2 − x + 1
kn¼ê
~3. OŽÈ©
Z
ؽȩ
x−2
dx.
x2 − x + 1
)µÏ•
1
3
1
3
x − 2 = (2x − 1) − = (x2 − x + 1)0 − ,
2
2
2
2
kn¼ê
~3. OŽÈ©
Z
ؽȩ
x−2
dx.
x2 − x + 1
)µÏ•
1
3
1
3
x − 2 = (2x − 1) − = (x2 − x + 1)0 − ,
2
2
2
2
Z
x−2
¤±
dx
2
x
−
x
+
1
Z
Z
1
2x − 1
3
1
=
−
dx
2
2
2
x −x+1 2
x −x+1
kn¼ê
~3. OŽÈ©
Z
ؽȩ
x−2
dx.
x2 − x + 1
)µÏ•
1
3
1
3
x − 2 = (2x − 1) − = (x2 − x + 1)0 − ,
2
2
2
2
Z
x−2
¤±
dx
2
x
−
x
+
1
Z
Z
1
2x − 1
3
1
=
−
dx
2
2
2
x −x+1 2
x −x+1
Z
Z
1
d(x2 − x + 1) 3
dx
√
=
−
2
x2 − x + 1
2
(x − 12 )2 + ( 23 )2
kn¼ê
~3. OŽÈ©
Z
ؽȩ
x−2
dx.
x2 − x + 1
)µÏ•
1
3
1
3
x − 2 = (2x − 1) − = (x2 − x + 1)0 − ,
2
2
2
2
Z
x−2
¤±
dx
2
x
−
x
+
1
Z
Z
1
2x − 1
3
1
=
−
dx
2
2
2
x −x+1 2
x −x+1
Z
Z
1
d(x2 − x + 1) 3
dx
√
=
−
2
x2 − x + 1
2
(x − 12 )2 + ( 23 )2
√
1
2x − 1
=
ln |x2 − x + 1| − 3 arctan √
+ C.
2
3
kn¼ê
ؽȩ
kn¼ê
ؽȩ
kn¼ê ؽȩ£e¤
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
kn¼ê
ؽȩ
!Œz•kn¼ê ؽȩ
kn¼ê
ؽȩ
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£˜¤. {üÃn¼ê
kn¼ê
ؽȩ
!Œz•kn¼ê ؽȩ
£˜¤. {üÃn¼ê
Z r
n ax + b
1. /X R x,
dx
cx + d
ؽȩ
kn¼ê
ؽȩ
!Œz•kn¼ê ؽȩ
£˜¤. {üÃn¼ê
Z r
n ax + b
1. /X R x,
dx ؽȩ
cx + d
r
n ax + b
){: ‰“†t =
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cx + d
ê È©.
kn¼ê
~4. OŽÈ©
Z
1
x
r
ؽȩ
x+1
dx.
x−1
kn¼ê
~4. OŽÈ©
r
Z
1
x
r
ؽȩ
x+1
dx.
x−1
x+1
= t,
x−1
t2 + 1
4tdt
Kx = 2
, dx = − 2
,
t −1
(t − 1)2
)µ-
kn¼ê
~4. OŽÈ©
r
Z
1
x
r
ؽȩ
x+1
dx.
x−1
x+1
= t,
x−1
t2 + 1
4tdt
Kx = 2
, dx = − 2
, “\
t −1
(t − 1)2
Z r
Z
1 x+1
4t2 dt
dx = −
.
x x−1
(t2 + 1)(t2 − 1)
)µ-
kn¼ê
rt2 w¤ N, ¿† *
ؽȩ
=Œ
1
1 4t2
= −2 2
+
.
− 2
(t + 1)(t2 − 1)
t + 1 t2 − 1
Ïd,
Z
−
4t2 dt
1+t
= ln
− 2 arctan t + C
2
2
(t + 1)(t − 1)
1−t
kn¼ê
rt2 w¤ N, ¿† *
ؽȩ
=Œ
1
1 4t2
= −2 2
+
.
− 2
(t + 1)(t2 − 1)
t + 1 t2 − 1
Ïd,
Z
−
4t2 dt
1+t
= ln
− 2 arctan t + C
2
2
(t + 1)(t − 1)
1−t
p
r
(x + 1)/(x − 1)
x+1
p
= ln
− 2 arctan
+ C.
x−1
1 − (x + 1)/(x − 1)
1+
kn¼ê
ؽȩ
Z
p
2. /X R(x, ax2 + bx + c)dx
©.
ؽÈ
kn¼ê
ؽȩ
Z
p
2. /X R(x, ax2 + bx + c)dx
©.
ùp, a > 0ž, b2 − 4ac 6= 0,
a < 0ž, b2 − 4ac > 0,
ؽÈ
kn¼ê
ؽȩ
Z
p
2. /X R(x, ax2 + bx + c)dx
ؽÈ
©.
ùp, a > 0ž, b2 − 4ac 6= 0,
a < 0ž, b2 − 4ac > 0, dž, ·‚oŒ±
•µ
b 2 4ac − b2
2
ax + bx + c = a (x + ) +
,
2a
4a2
kn¼ê
ؽȩ
Z
p
2. /X R(x, ax2 + bx + c)dx
ؽÈ
©.
ùp, a > 0ž, b2 − 4ac 6= 0,
a < 0ž, b2 − 4ac > 0, dž, ·‚oŒ±
•µ
b 2 4ac − b2
2
ax + bx + c = a (x + ) +
,
2a
4a2
-u = x +
b
2a ,
kn¼ê
ؽȩ
Z
p
2. /X R(x, ax2 + bx + c)dx
ؽÈ
©.
ùp, a > 0ž, b2 − 4ac 6= 0,
a < 0ž, b2 − 4ac > 0, dž, ·‚oŒ±
•µ
b 2 4ac − b2
2
ax + bx + c = a (x + ) +
,
2a
4a2
-u = x +
b
2a ,
K
kn¼ê
ؽȩ
2
2
2
a > 0ž,
pax + bx + c = a(u ± k ),
|b2 − 4ac|
Ù¥k =
.
2a
kn¼ê
ؽȩ
2
2
2
a > 0ž,
pax + bx + c = a(u ± k ),
|b2 − 4ac|
Ù¥k =
.
2a
2
2
2
a < 0ž,
√ ax + bx + c = (−a)(k − u ),
b2 − 4ac
Ù¥k =
.
−2a
kn¼ê
ؽȩ
2
2
2
a > 0ž,
pax + bx + c = a(u ± k ),
|b2 − 4ac|
Ù¥k =
.
2a
2
2
2
a < 0ž,
√ ax + bx + c = (−a)(k − u ),
b2 − 4ac
Ù¥k =
.
−2a
A^1 † {, ·‚ÑŒ±r¦‚z•n
¼êknª ؽȩ¯K.
kn¼ê
~5. OŽÈ©
Z
√
ؽȩ
x2 dx
.
x2 + 2x + 5
kn¼ê
ؽȩ
x2 dx
.
~5. OŽÈ©
x2 + 2x + 5
)µ-x + 1 = 2 tan t, Kdx = 2 sec2 tdt,
Z
√
kn¼ê
ؽȩ
x2 dx
.
~5. OŽÈ©
x2 + 2x + 5
)µ-x + 1 = 2 tan t, Kdx = 2 sec2 tdt,
Z
x2 dx
√
x2 + 2x + 5
Z
(2 tan t − 1)2 · 2 sec2 tdt
=
2 sec t
Z
√
kn¼ê
ؽȩ
x2 dx
.
~5. OŽÈ©
x2 + 2x + 5
)µ-x + 1 = 2 tan t, Kdx = 2 sec2 tdt,
Z
x2 dx
√
x2 + 2x + 5
Z
(2 tan t − 1)2 · 2 sec2 tdt
=
2 secZt
Z
= 4 sec3 tdt − 3 sec tdt − 4 sec t
Z
√
kn¼ê
ؽȩ
x2 dx
.
~5. OŽÈ©
x2 + 2x + 5
)µ-x + 1 = 2 tan t, Kdx = 2 sec2 tdt,
Z
x2 dx
√
x2 + 2x + 5
Z
(2 tan t − 1)2 · 2 sec2 tdt
=
2 secZt
Z
= 4 sec3 tdt − 3 sec tdt − 4 sec t
Z
√
= 2 sec t tan t − ln | sec t + tan t| − 4 sec t + C.
2^x “£=Œ.
kn¼ê
£ ¤. n
¼êknª
ؽȩ
Z
R(sin x, cos x)dx.
kn¼ê
£ ¤. n
¼êknª
ؽȩ
Z
R(sin x, cos x)dx.
Ä •{: n
UҠ
x
2t
tan = t, sin x =
,
2
1 + t2
2
1 − t2
,
dx
=
dt,
cos x =
1 + t2
1 + t2
kn¼ê
£ ¤. n
ؽȩ
¼êknª
Z
R(sin x, cos x)dx.
Ä •{: n
UҠ
x
2t
tan = t, sin x =
,
2
1 + t2
2
1 − t2
,
dx
=
dt,
cos x =
1 + t2
1 + t2
u´, n ¼êknª È©=z•
Z
Z
R(sin x, cos x)dx =
R
2t 1 − t2
,
1 + t2 1 + t2
ù´kn¼ê ؽȩ.
2
dt,
1 + t2
kn¼ê
Z
~6. ¦
ؽȩ
dx
.
sin x(1 + cos x)
kn¼ê
Z
~6. ¦
ؽȩ
dx
.
sin x(1 + cos x)
)µ•{˜µŠ UC†tan x2 = t,
ؽȩ•
Z
1
1
1
1
(t + )dt = t2 + ln |t| + C
2
t
4
2
kn¼ê
Z
~6. ¦
ؽȩ
dx
.
sin x(1 + cos x)
)µ•{˜µŠ UC†tan x2 = t,
ؽȩ•
Z
1
1
1
1
(t + )dt = t2 + ln |t| + C
2
t
4
2
1
x
1
x
= tan2 ( ) + ln | tan | + C.
4
2
2
2
kn¼ê
•{
µ
Z
ؽȩ
dx
sin x(1 + cos x)
Z
sin xdx
=
sin2 x(1 + cos x)
kn¼ê
•{
µ
Z
ؽȩ
dx
sin x(1 + cos x)
Z
sin xdx
=
sin2 x(1 + cos x)
Z
d cos x
= −
(1 − cos2 x)(1 + cos x)
kn¼ê
•{
µ
Z
ؽȩ
dx
sin x(1 + cos x)
Z
sin xdx
=
sin2 x(1 + cos x)
Z
d cos x
= −
(1 − cos2 x)(1 + cos x)
1
1
1 − cos x
=
+ ln
+ C.
2(1 + cos x) 4
1 + cos x
kn¼ê
ؽȩ
ȼê´
sin2 x,
cos2 x,
sin x cos x
knªž, Ï~æ^C†
t = tan x.
kn¼ê
Z
~7. ¦È©
ؽȩ
dx
.
cos2 x sin2 x
kn¼ê
Z
~7. ¦È©
ؽȩ
dx
.
cos2 x sin2 x
)µ•{˜µ-t = tan x,
kn¼ê
Z
~7. ¦È©
ؽȩ
dx
.
cos2 x sin2 x
)µ•{˜µ-t = tan x,
Z
Z
dx
d tan x
=
tan2 x cos2 x
cos2 x sin2 x
kn¼ê
Z
~7. ¦È©
ؽȩ
dx
.
cos2 x sin2 x
)µ•{˜µ-t = tan x,
Z
Z
dx
d tan x
=
tan2 x cos2 x
cos2 x sin2 x
Z
1 + t2
=
dt
t2
kn¼ê
Z
~7. ¦È©
ؽȩ
dx
.
cos2 x sin2 x
)µ•{˜µ-t = tan x,
Z
Z
dx
d tan x
=
tan2 x cos2 x
cos2 x sin2 x
Z
1 + t2
=
dt
t2
1
= − + t + C = tan x − cot x + C.
t
kn¼ê
•{
ؽȩ
µ
Z
dx
cos2 x sin2 x
Z
cos2 x + sin2 x
=
dx
cos2 x sin2 x
kn¼ê
•{
ؽȩ
µ
Z
dx
cos2 x sin2 x
Z
cos2 x + sin2 x
=
dx
2 x sin2 x
cos
Z
Z
=
sec2 xdx + csc2 xdx
kn¼ê
•{
ؽȩ
µ
Z
dx
cos2 x sin2 x
Z
cos2 x + sin2 x
=
dx
2 x sin2 x
cos
Z
Z
=
sec2 xdx + csc2 xdx
= tan x − cot x + C.
kn¼ê
•{nµ
Z
dx
2
Z cos2 x sin x
4dx
=
sin2 2x
ؽȩ
kn¼ê
ؽȩ
•{nµ
Z
dx
2
Z cos2 x sin x
4dx
= −2 cot 2x + C.
=
sin2 2x
kn¼ê
ؽȩ
(µ1. kn¼ê ؽȩ
2. Œz•kn¼ê
ؽȩ
½È©
† È©{
½È©
½È©
† È©{
† È©{£þ¤
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
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† È©{
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¼
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é
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_$Ž, ¿Øo´éN , ù
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½È©
† È©{
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^Newton–Leibnizúª.
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† È©{.
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† È©{
†
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aquؽȩ
† È©{.
½È©
† È©{
†
{·‚•k½È©
½n
¼êf (x)3I þëY, a, b ∈ I, ¼êg(x)
3[α, β] þëYŒ‡, …÷v
g(α) = a,
g(β) = b,
g([α, β]) ⊂ I,
aquؽȩ
† È©{.
½È©
† È©{
†
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¼êf (x)3I þëY, a, b ∈ I, ¼êg(x)
3[α, β] þëYŒ‡, …÷v
g(α) = a,
g(β) = b,
g([α, β]) ⊂ I,
aquؽȩ
† È©{.
½È©
† È©{
†
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¼êf (x)3I þëY, a, b ∈ I, ¼êg(x)
3[α, β] þëYŒ‡, …÷v
g(α) = a,
Kk Z
g(β) = b,
b
Z
β
f (x)dx =
a
g([α, β]) ⊂ I,
α
f (g(t))g 0 (t)dt.
½È©
† È©{
y ² µ Ï •f (x) 3I þ ë Y, ¤ ± 7 k
¼ ê.
½È©
† È©{
y ² µ Ï •f (x) 3I þ ë Y, ¤ ± 7 k
¼ ê.
F (x) •f (x) 3Iþ ˜ ‡
¼ê, dEÜ¼ê¦ {K, Œ•F (g(t))
´f (g(t))g 0 (t) 3[α, β] þ ˜ ‡ ¼ ê.
½È©
† È©{
y ² µ Ï •f (x) 3I þ ë Y, ¤ ± 7 k
¼ ê.
F (x) •f (x) 3Iþ ˜ ‡
¼ê, dEÜ¼ê¦ {K, Œ•F (g(t))
´f (g(t))g 0 (t) 3[α, β] þ ˜ ‡ ¼ ê.
UNewton-Leibniz úª, Kk
Z β
f (g(t))g 0 (t)dt = F (g(β)) − F (g(α))
α
Z b
= F (b) − F (a) =
f (x)dx.
a
½È©
† È©{
5µ 3½È©Z † {¥, þe•7L‰
β
ƒA UC, =
f (g(t))g 0 (t)dt þ(e)•
α
7L† 5 þ(e)•ƒéA. ؇¦¼
êg(t)´üN , •Ø‡¦§k‡¼ê, •
‡÷v^‡g([α, β]) ⊂ I, ù'ؽȩ
† {‡¦‡$.
½È©
~1.
¦È©
Z
0
ap
† È©{
a2 − x2 dx
(a > 0).
½È©
~1.
¦È©
Z
0
ap
† È©{
a2 − x2 dx
(a > 0).
)µlAÛþéN´• , ù‡È©L«
2
Œ»•a
o©ƒ˜ ¡È, = πa4 .
½È©
~1.
¦È©
Z
0
ap
† È©{
a2 − x2 dx
(a > 0).
)µlAÛþéN´• , ù‡È©L«
2
Œ»•a
o©ƒ˜ ¡È, = πa4 .
e¡, ·‚^† {5¦). •
KŠÒ,
-x = a sin t, dx = a cos tdt, t ∈ [0, π2 ],
½È©
~1.
¦È©
Z
0
ap
† È©{
a2 − x2 dx
(a > 0).
)µlAÛþéN´• , ù‡È©L«
2
Œ»•a
o©ƒ˜ ¡È, = πa4 .
e¡, ·‚^† {5¦). •
KŠÒ,
-x = a sin t, dx = a cos tdt, t ∈ [0, π2 ],
Z ap
K
a2 − x2 dx
Z0 π
2
a2 cos2 tdt
=
0
½È©
~1.
¦È©
Z
0
ap
† È©{
a2 − x2 dx
(a > 0).
)µlAÛþéN´• , ù‡È©L«
2
Œ»•a
o©ƒ˜ ¡È, = πa4 .
e¡, ·‚^† {5¦). •
KŠÒ,
-x = a sin t, dx = a cos tdt, t ∈ [0, π2 ],
Z ap
K
a2 − x2 dx
Z0 π
2 Z π2
2
a
a2 cos2 tdt =
=
(1 + cos 2t)dt
2
0
0
½È©
~1.
¦È©
Z
0
ap
† È©{
a2 − x2 dx
(a > 0).
)µlAÛþéN´• , ù‡È©L«
2
Œ»•a
o©ƒ˜ ¡È, = πa4 .
e¡, ·‚^† {5¦). •
KŠÒ,
-x = a sin t, dx = a cos tdt, t ∈ [0, π2 ],
Z ap
K
a2 − x2 dx
Z0 π
2 Z π2
2
a
a2 cos2 tdt =
=
(1 + cos 2t)dt
2
0
0
π
2
a
sin 2t 2
=
(t +
)
0
2
2
½È©
~1.
¦È©
Z
0
ap
† È©{
a2 − x2 dx
(a > 0).
)µlAÛþéN´• , ù‡È©L«
2
Œ»•a
o©ƒ˜ ¡È, = πa4 .
e¡, ·‚^† {5¦). •
KŠÒ,
-x = a sin t, dx = a cos tdt, t ∈ [0, π2 ],
Z ap
K
a2 − x2 dx
Z0 π
2 Z π2
2
a
a2 cos2 tdt =
=
(1 + cos 2t)dt
2
0
0
π
2
a
sin 2t 2
πa2
=
(t +
) =
.
0
2
2
4
½È©
† È©{
bX·‚ÀJt ‰Œ´[0, 2π + π2 ], K(Ø
E,¤áµ
Z ap
a2 − x2 dx
0
Z 5π
2
=
a2 cos t| cos t|dt
0
½È©
† È©{
bX·‚ÀJt ‰Œ´[0, 2π + π2 ], K(Ø
E,¤áµ
Z ap
a2 − x2 dx
0
Z 5π
2
=
a2 cos t| cos t|dt
0
Z π Z 5π Z 3π 2
2
a2 2
=
+
−
(1 + cos 2t)dt
3π
π
2
0
2
2
½È©
† È©{
bX·‚ÀJt ‰Œ´[0, 2π + π2 ], K(Ø
E,¤áµ
Z ap
a2 − x2 dx
0
Z 5π
2
=
a2 cos t| cos t|dt
0
Z π Z 5π Z 3π 2
2
a2 2
=
+
−
(1 + cos 2t)dt
3π
π
2
0
2
2
πa2
=
.
4
½È©
† È©{
ù‡~fL², ¦+¤‰ C†Ø´˜˜é
A, ¿…[0, a] ¥ :ØŽ˜g C†×L,
¿…g(t) ®² Ñ[0, a] ‰Œ, ~X,
√ KŠ, •‡C†x = g(t) Ø Ñf (x) =
a2 − x2 ëY‰Œ, † {Ò´k
.
½È©
† È©{
ù‡~fL², ¦+¤‰ C†Ø´˜˜é
A, ¿…[0, a] ¥ :ØŽ˜g C†×L,
¿…g(t) ®² Ñ[0, a] ‰Œ, ~X,
√ KŠ, •‡C†x = g(t) Ø Ñf (x) =
a2 − x2 ëY‰Œ, † {Ò´k
.
e¡ ~K, •Ð/`² ½È©† {
Š^µkžÿ, =¦^ؽȩ † {
•{, ¼ê•™7/¦ Ñ50, ¦^
½È© † {, Œ±ò/¦ØÑ50 Ü
©-ž, l ŽÑ½È© Š.
½È©
~2. OŽI =
Z
0
1
† È©{
ln(1 + x)
dx.
1 + x2
½È©
Z
1
† È©{
ln(1 + x)
dx.
2
1
+
x
0
)µŠC†x = tan t, Kdx = sec2 tdt.
~2. OŽI =
½È©
Z
1
† È©{
ln(1 + x)
dx.
2
1
+
x
0
)µŠC†x = tan t, Kdx = sec2 tdt. u´
~2. OŽI =
Z
π
4
ln(1 + tan t)dt
I =
0
½È©
Z
† È©{
1
ln(1 + x)
dx.
2
1
+
x
0
)µŠC†x = tan t, Kdx = sec2 tdt. u´
~2. OŽI =
Z
π
4
Z
ln(1 + tan t)dt =
I =
0
π
4
ln
0
sin t + cos t
dt
cos t
½È©
Z
† È©{
1
ln(1 + x)
dx.
2
1
+
x
0
)µŠC†x = tan t, Kdx = sec2 tdt. u´
~2. OŽI =
Z
π
4
I =
Z0 π
4
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0
Z
π
4
ln(1 + tan t)dt =
ln
0
√
2 cos π4 − t
ln
dt
cos t
sin t + cos t
dt
cos t
½È©
Z
† È©{
1
ln(1 + x)
dx.
2
1
+
x
0
)µŠC†x = tan t, Kdx = sec2 tdt. u´
~2. OŽI =
Z
π
4
Z
π
4
sin t + cos t
ln(1 + tan t)dt =
ln
dt
cos t
0
Z0 π √
4
2 cos π4 − t
=
ln
dt
cos
t
0
Z π √
Z π
π
4
4
=
ln 2d t +
ln cos
− t dt
4
0 Z π
0
4
−
ln cos tdt.
I =
0
½È©
† È©{
éþª1 ‡È©ŠCþ“†u = π4 − t
Z 0
Z π
π
4
ln cos
− t dt =
ln cos u(−du)
π
4
0
4
½È©
† È©{
éþª1 ‡È©ŠCþ“†u = π4 − t
Z 0
Z π
π
4
ln cos
− t dt =
ln cos u(−du)
π
4
0
Z4π
4
=
ln cos udu.
0
½È©
† È©{
éþª1 ‡È©ŠCþ“†u = π4 − t
Z 0
Z π
π
4
ln cos
− t dt =
ln cos u(−du)
π
4
0
Z4π
4
=
ln cos udu.
0
Ïd
Z
I=
0
π
4
√
π
ln 2dt = ln 2.
8
½È©
Z
~3. OŽ
0
π
2
† È©{
sin3 x cos4 xdx.
½È©
Z
~3. OŽ
π
2
† È©{
sin3 x cos4 xdx.
0
Z
π
2
sin3 x cos4 xdx
0
Z
= −
0
π
2
(1 − cos2 x) cos4 xd(cos x)
½È©
Z
~3. OŽ
π
2
† È©{
sin3 x cos4 xdx.
0
Z
π
2
sin3 x cos4 xdx
0
Z
π
2
= −
Z0 0
= −
1
(1 − cos2 x) cos4 xd(cos x)
(1 − t2 )t4 dt
½È©
Z
~3. OŽ
π
2
† È©{
sin3 x cos4 xdx.
0
Z
π
2
sin3 x cos4 xdx
0
Z
π
2
(1 − cos2 x) cos4 xd(cos x)
Z0 0
Z 1
= −
(1 − t2 )t4 dt =
(t4 − t6 )dt
= −
1
0
½È©
Z
~3. OŽ
π
2
† È©{
sin3 x cos4 xdx.
0
Z
π
2
sin3 x cos4 xdx
0
Z
π
2
(1 − cos2 x) cos4 xd(cos x)
Z0 0
Z 1
2
= −
(1 − t2 )t4 dt =
(t4 − t6 )dt = .
35
1
0
= −
½È©
Z
~4. OŽ
0
2
√
† È©{
x
dx.
1 + x2
½È©
Z
~4. OŽ
0
Z
0
2
2
√
† È©{
x
dx.
1 + x2
x
1
√
dx =
2
1 + x2
Z
0
2
1
(1 + x2 )− 2 d(1 + x2 )
½È©
Z
~4. OŽ
0
Z
0
2
2
√
† È©{
x
dx.
1 + x2
x
1
√
dx =
2
1 + x2
Z
2
1
(1 + x2 )− 2 d(1 + x2 )
0
1
= (1 + x2 ) 2
2
0
½È©
Z
~4. OŽ
0
Z
0
2
2
√
† È©{
x
dx.
1 + x2
x
1
√
dx =
2
1 + x2
Z
2
1
(1 + x2 )− 2 d(1 + x2 )
0
1
= (1 + x2 ) 2
2
=
0
√
5 − 1.
½È©
Z
~5. OŽ
1
2
dx
.
x(1 + x4 )
† È©{
½È©
Z
~5. OŽ
1
Z
1
2
2
† È©{
dx
.
x(1 + x4 )
dx
=
x(1 + x4 )
Z
1
2
dx4
4x4 (1 + x4 )
½È©
Z
~5. OŽ
1
Z
1
2
2
† È©{
dx
.
x(1 + x4 )
2
dx4
4
4
1 4x (1 + x )
Z
1 16 dt
=
4 1 t(1 + t)
dx
=
x(1 + x4 )
Z
½È©
Z
~5. OŽ
1
Z
1
2
2
† È©{
dx
.
x(1 + x4 )
2
dx4
4
4
1 4x (1 + x )
Z
1 16 dt
=
4 1 t(1 + t)
Z
1 16 1
1 −
=
dt
4 1
t 1+t
dx
=
x(1 + x4 )
Z
½È©
Z
~5. OŽ
1
Z
1
2
2
† È©{
dx
.
x(1 + x4 )
2
dx4
4
4
1 4x (1 + x )
Z
1 16 dt
=
4 1 t(1 + t)
Z
1 16 1
1 −
=
dt
4 1
t 1+t
16
1
t =
ln
4
1+t 1
dx
=
x(1 + x4 )
Z
½È©
Z
~5. OŽ
1
Z
1
2
2
† È©{
dx
.
x(1 + x4 )
2
dx4
4
4
1 4x (1 + x )
Z
1 16 dt
=
4 1 t(1 + t)
Z
1 16 1
1 −
=
dt
4 1
t 1+t
16
1
1 32
t =
ln
= ln .
4
1+t 1
4 17
dx
=
x(1 + x4 )
Z
½È©
Z
~6. OŽ
1
ln 2
√
dx
.
ex − 1
† È©{
½È©
Z
~6. OŽ
1
ln 2
√
† È©{
dx
.
ex − 1
√
)µ -u = ex − 1§
2u
Kx = ln(1 + u2 ), dx = 1+u
2 du§
½È©
Z
~6. OŽ
1
ln 2
√
† È©{
dx
.
ex − 1
√
)µ -u = ex − 1§
2u
Kx = ln(1 + u2 ), dx = 1+u
2 du§
Z 1
dx
√ x
e −1
ln 2
Z √e−1
2u
=
du
2)
u(1
+
u
1
½È©
Z
~6. OŽ
1
ln 2
√
† È©{
dx
.
ex − 1
√
)µ -u = ex − 1§
2u
Kx = ln(1 + u2 ), dx = 1+u
2 du§
Z 1
dx
√ x
e −1
ln 2
Z √e−1
Z √e−1
du
2u
=
2
=
du
1 + u2
u(1 + u2 )
1
1
½È©
Z
~6. OŽ
1
√
ln 2
† È©{
dx
.
ex − 1
√
)µ -u = ex − 1§
2u
Kx = ln(1 + u2 ), dx = 1+u
2 du§
Z 1
dx
√ x
e −1
ln 2
Z √e−1
Z √e−1
du
2u
=
2
=
du
1 + u2
u(1 + u2 )
1
1
√
e−1
= 2 arctan u
1
½È©
Z
~6. OŽ
1
ln 2
√
† È©{
dx
.
ex − 1
√
)µ -u = ex − 1§
2u
Kx = ln(1 + u2 ), dx = 1+u
2 du§
Z 1
dx
√ x
e −1
ln 2
Z √e−1
Z √e−1
du
2u
=
2
=
du
1 + u2
u(1 + u2 )
1
1
√
e−1
√
π
= 2 arctan u
= 2 arctan e − 1 − .
1
2
½È©
† È©{
½È©
½È©
† È©{
† È©{£e¤
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
½È©
Z
~7. OŽ
0
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
Z
0
π
2
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
sin2 x
dx =
sin x + cos x
π
2
Z
0
cos2 t
dt
sin t + cos t
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
Z π
2
sin2 x
cos2 t
dx =
dt
0 sin x + cos x
0 sin t + cos t
Z π
1 2 sin2 x + cos2 x
=
dx
2 0 sin x + cos x
Z
π
2
π
2
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
Z π
2
sin2 x
cos2 t
dx =
dt
0 sin x + cos x
0 sin t + cos t
Z π
Z π
1 2 sin2 x + cos2 x
1 2
dx
=
dx =
2 0 sin x + cos x
2 0 sin x + cos x
Z
π
2
π
2
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
Z π
2
sin2 x
cos2 t
dx =
dt
0 sin x + cos x
0 sin t + cos t
Z π
Z π
1 2 sin2 x + cos2 x
1 2
dx
=
dx =
2 0 sin x + cos x
2 0 sin x + cos x
Z π
2
dx
1
= √
π
2 2 0 sin(x + 4 )
Z
π
2
π
2
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
Z π
2
sin2 x
cos2 t
dx =
dt
0 sin x + cos x
0 sin t + cos t
Z π
Z π
1 2 sin2 x + cos2 x
1 2
dx
=
dx =
2 0 sin x + cos x
2 0 sin x + cos x
Z π
Z 3π
2
4
dx
1
1
1
= √
dx
π = √
2 2 0 sin(x + 4 )
2 2 π4 sin x
Z
π
2
π
2
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
Z π
2
sin2 x
cos2 t
dx =
dt
0 sin x + cos x
0 sin t + cos t
Z π
Z π
1 2 sin2 x + cos2 x
1 2
dx
=
dx =
2 0 sin x + cos x
2 0 sin x + cos x
Z π
Z 3π
2
4
dx
1
1
1
= √
dx
π = √
2 2 0 sin(x + 4 )
2 2 π4 sin x
3π
1 h 1 − cos x i 4
= √ ln
sin x
π
2 2
Z
π
2
4
½È©
Z
~7. OŽ
0
)µ -t =
π
2
† È©{
sin2 x
dx.
sin x + cos x
− x§
Z π
2
sin2 x
cos2 t
dx =
dt
0 sin x + cos x
0 sin t + cos t
Z π
Z π
1 2 sin2 x + cos2 x
1 2
dx
=
dx =
2 0 sin x + cos x
2 0 sin x + cos x
Z π
Z 3π
2
4
dx
1
1
1
= √
dx
π = √
2 2 0 sin(x + 4 )
2 2 π4 sin x
3π
√
1 h 1 − cos x i 4
1
= √ ln
= √ ln(1 + 2).
sin x
π
2 2
2
4
Z
π
2
π
2
½È©
~8.
(n´
Z
Áyµ
ê).
0
π
2
n
† È©{
Z
sin xdx =
0
π
2
cosn xdx
½È©
~8.
(n´
Z
Áyµ
π
2
n
Z
sin xdx =
0
ê).
y²µ-x =
π
2
† È©{
− t,
0
π
2
cosn xdx
½È©
~8.
(n´
Z
Áyµ
ê).
0
π
2
n
† È©{
Z
sin xdx =
π
2
cosn xdx
0
y²µ-x = π2 − t, K
Z 0
Z π
2
π
sinn xdx =
sinn ( − t) · (−dt)
π
2
0
2
½È©
~8.
(n´
Z
Áyµ
ê).
0
π
2
n
† È©{
Z
sin xdx =
π
2
cosn xdx
0
y²µ-x = π2 − t, K
Z 0
Z π
2
π
sinn xdx =
sinn ( − t) · (−dt)
π
2
0
2
Z 0
= −
cosn tdt
π
2
½È©
~8.
(n´
Z
Áyµ
ê).
π
2
† È©{
Z
n
sin xdx =
0
π
2
cosn xdx
0
y²µ-x = π2 − t, K
Z 0
Z π
2
π
sinn xdx =
sinn ( − t) · (−dt)
π
2
0
2
Z 0
Z π
2
n
cosn xdx.
= −
cos tdt =
π
2
0
½È©
† È©{
•˜„/§Œ±y²
Z
Z π
2
f (sin x)dx =
0
0
π
2
f (cos x)dx.
½È©
† È©{
•˜„/§Œ±y²
Z
Z π
2
f (sin x)dx =
0
Z
π
2
π
2
f (cos x)dx.
0
Z
f (sin x, cos x)dx =
0
π
2
f (cos x, sin x)dx
0
½È©
~9.
† È©{
f (x)3é¡«m[−a, a]þëY, y²:
(1) ef (x)´ó¼ê, K
Z a
Z
f (x)dx = 2
−a
0
a
f (x)dx.
½È©
~9.
† È©{
f (x)3é¡«m[−a, a]þëY, y²:
(1) ef (x)´ó¼ê, K
Z a
Z
f (x)dx = 2
−a
a
f (x)dx.
0
(2) ef (x)´Û¼ê, K
Z a
f (x)dx = 0.
−a
½È©
y²µdu
Z a
Z
f (x)dx =
−a
† È©{
0
−a
Z
f (x)dx +
a
f (x)dx ,
0
½È©
† È©{
y²µdu
Z a
Z 0
Z a
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−a Z
−a
0
0
éÈ©
f (x)dx ŠCþ“†x = −t,
−a
½È©
† È©{
y²µdu
Z a
Z 0
Z a
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−a Z
−a
0
0
éÈ©
f (x)dx ŠCþ“†x = −t,
−a
Z 0
Z 0
f (−t)dt
f (x)dx = −
−a
a
½È©
† È©{
y²µdu
Z a
Z 0
Z a
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−a Z
−a
0
0
éÈ©
f (x)dx ŠCþ“†x = −t,
−a
Z 0
Z 0
f (−t)dt
f (x)dx = −
−a
Z aa
=
f (−t)dt
0
½È©
† È©{
y²µdu
Z a
Z 0
Z a
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−a Z
−a
0
0
éÈ©
f (x)dx ŠCþ“†x = −t,
−a
Z 0
Z 0
f (−t)dt
f (x)dx = −
−a
Z aa
Z a
=
f (−t)dt =
f (−x)dx
0
0
½È©
† È©{
y²µdu
Z a
Z 0
Z a
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−a Z
−a
0
0
éÈ©
f (x)dx ŠCþ“†x = −t,
−a
Z 0
Z 0
f (−t)dt
f (x)dx = −
−a
Z aa
Z a
=
f (−t)dt =
f (−x)dx
0
0
Z a
Z a
l
f (x)dx =
[f (−x) + f (x)]dx.
−a
0
½È©
† È©{
y²µdu
Z a
Z 0
Z a
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−a Z
−a
0
0
éÈ©
f (x)dx ŠCþ“†x = −t,
−a
Z 0
Z 0
f (−t)dt
f (x)dx = −
−a
Z aa
Z a
=
f (−t)dt =
f (−x)dx
0
0
Z a
Z a
l
f (x)dx =
[f (−x) + f (x)]dx.
ddá
−a
(Ø.
0
½È©
† È©{
~†Cþ•½È©¥ ~7Ñ´äkAÏ
AÛA5 ¼ê È©§©O¡•é¡5
Ú±Ï5·K§o(Xeµ
½È©
† È©{
~†Cþ•½È©¥ ~7Ñ´äkAÏ
AÛA5 ¼ê È©§©O¡•é¡5
Ú±Ï5·K§o(Xeµ
é¡5
f (x)3é¡«m[−a, a]þëY,
(1)Zef (x)´ó¼ê,
Z K¤
a
a
á
f (x)dx = 2
f (x)dx.
Z a
(2) ef (x)´Û¼ê,K¤á
f (x)dx = 0.
−a
0
−a
½È©
† È©{
±Ï5
f (x) ´±T •±Ï ëY¼ê, Ké?
¿a, ¤á
Z a+T
Z T
f (x)dx =
f (x)dx.
a
0
½È©
† È©{
±Ï5
f (x) ´±T •±Ï ëY¼ê, Ké?
¿a, ¤á
Z a+T
Z T
f (x)dx =
f (x)dx.
a
0
½È©
† È©{
±Ï5
f (x) ´±T •±Ï ëY¼ê, Ké?
¿a, ¤á
Z a+T
Z T
f (x)dx =
f (x)dx.
a
|©/¦^ù
J.
0
•{,
å
¯Œõ
½È©
~10. ¦È©
Z
1
−1
† È©{
sin3 x p
+ 1 − x2 dx.
1 + x2
½È©
1
† È©{
sin3 x p
~10. ¦È©
+ 1 − x2 dx.
2
1
+
x
−1
p
sin3 x
)µPf (x) =
1 − x2 ,
,
g(x)
=
2
1+x
´•f (x)•Û¼ê, g(x)•ó¼ê,
Z
½È©
1
† È©{
sin3 x p
~10. ¦È©
+ 1 − x2 dx.
2
1
+
x
−1
p
sin3 x
)µPf (x) =
1 − x2 ,
,
g(x)
=
2
1+x
´•f (x)•Û¼ê, g(x)•ó¼ê, Kd½
È©‚55Ÿ9é¡5½nŒ•
Z
1
sin3 x p
2
+ 1 − x dx
2
−1 1 + x
Z 1
Z 1
=
f (x)dx +
g(x)dx
Z
−1
−1
½È©
1
† È©{
sin3 x p
~10. ¦È©
+ 1 − x2 dx.
2
1
+
x
−1
p
sin3 x
)µPf (x) =
1 − x2 ,
,
g(x)
=
2
1+x
´•f (x)•Û¼ê, g(x)•ó¼ê, Kd½
È©‚55Ÿ9é¡5½nŒ•
Z
1
sin3 x p
2
+ 1 − x dx
2
−1 1 + x
Z
Z 1
Z 1
=
f (x)dx +
g(x)dx = 0 + 2
Z
−1
−1
0
1p
1 − x2 dx
½È©
1
† È©{
sin3 x p
~10. ¦È©
+ 1 − x2 dx.
2
1
+
x
−1
p
sin3 x
)µPf (x) =
1 − x2 ,
,
g(x)
=
2
1+x
´•f (x)•Û¼ê, g(x)•ó¼ê, Kd½
È©‚55Ÿ9é¡5½nŒ•
Z
1
sin3 x p
2
+ 1 − x dx
2
−1 1 + x
Z
Z 1
Z 1
=
f (x)dx +
g(x)dx = 0 + 2
Z
−1
−1
p
2
= x 1 − x + arcsin x
0
1
0
1p
1 − x2 dx
½È©
1
† È©{
sin3 x p
~10. ¦È©
+ 1 − x2 dx.
2
1
+
x
−1
p
sin3 x
)µPf (x) =
1 − x2 ,
,
g(x)
=
2
1+x
´•f (x)•Û¼ê, g(x)•ó¼ê, Kd½
È©‚55Ÿ9é¡5½nŒ•
Z
1
sin3 x p
2
+ 1 − x dx
2
−1 1 + x
Z
Z 1
Z 1
=
f (x)dx +
g(x)dx = 0 + 2
Z
−1
−1
p
2
= x 1 − x + arcsin x
0
1
0
π
= .
2
1p
1 − x2 dx
½È©
~11. ¦È©
1
† È©{
x2 + sin x
√
dx.
2
1
+
1
−
x
−1
Z
½È©
~11. ¦È©
)µ
Z
1
† È©{
1
x2 + sin x
√
dx.
2
1
+
1
−
x
−1
Z
x2 + sin x
√
dx
2
1
+
1
−
x
−1
Z 1
Z 1
x2
sin x
√
√
=
dx +
dx
1 − x2
1 − x2
−1 1 +
−1 1 +
½È©
~11. ¦È©
)µ
Z
1
† È©{
1
x2 + sin x
√
dx.
2
1
+
1
−
x
−1
Z
x2 + sin x
√
dx
2
1
+
1
−
x
−1
Z 1
Z 1
x2
sin x
√
√
=
dx +
dx
1 − x2
1 − x2
−1 1 +
−1 1 +
Z 1
x2
√
= 2
dx + 0
1 − x2
0 1+
½È©
Ù¥,
1
† È©{
x2
√
dx
1√
− x2
0 1+
Z 1 2
x (1 − 1 − x2 )
=
dx
2
x
0
Z
½È©
Ù¥,
1
† È©{
x2
√
dx
1√
− x2
0 1+
Z 1 2
x (1 − 1 − x2 )
=
dx
2
x
Z0 1
p
=
(1 − 1 − x2 )dx
Z
0
½È©
Ù¥,
1
† È©{
x2
√
dx
1√
− x2
0 1+
Z 1 2
x (1 − 1 − x2 )
=
dx
2
x
Z0 1
p
=
(1 − 1 − x2 )dx
Z0 1
Z 1p
=
dx −
1 − x2 dx
Z
0
0
½È©
Ù¥,
1
† È©{
x2
√
dx
1√
− x2
0 1+
Z 1 2
x (1 − 1 − x2 )
=
dx
2
x
Z0 1
p
=
(1 − 1 − x2 )dx
Z0 1
Z 1p
π
=
dx −
1 − x2 dx = 1 − .
4
0
0
Z 1 2
x + sin x
π
√
¤±§
dx = 2 − .
2
1 − x2
−1 1 +
Z
½È©
Z
~12. y²µ
ê.
π
† È©{
3π
sin2n−1 xdx = 0, ùpn •
½È©
Z
~12. y²µ
ê.
† È©{
3π
sin2n−1 xdx = 0, ùpn •
π
y²µŠâ±Ï5§
Z
Z 3π
sin2n−1 xdx =
π
π
−π
sin2n−1 xdx,
½È©
Z
~12. y²µ
ê.
† È©{
3π
sin2n−1 xdx = 0, ùpn •
π
y²µŠâ±Ï5§
Z
Z 3π
sin2n−1 xdx =
π
π
sin2n−1 xdx,
−π
2dþ¡ é¡5•È©•0.
½È©
~13.
Z
† È©{
f (x)3[0, 1]þëY§Áy:
Z
π
π π
f (sin x)dx.
xf (sin x)dx =
2
0
0
Z π
x sin x
¿|^ù‡(JOŽ
dx.
2
0 1 + cos x
½È©
~13.
Z
† È©{
f (x)3[0, 1]þëY§Áy:
Z
π
π π
f (sin x)dx.
xf (sin x)dx =
2
0
0
Z π
x sin x
¿|^ù‡(JOŽ
dx.
2
0 1 + cos x
y²µ-x = π − t,
½È©
~13.
Z
† È©{
f (x)3[0, 1]þëY§Áy:
Z
π
π π
f (sin x)dx.
xf (sin x)dx =
2
0
0
Z π
x sin x
¿|^ù‡(JOŽ
dx.
2
0 1 + cos x
y²µ-x = π − t, K
½È©
Z
† È©{
π
xf (sin x)dx
0
Z
0
(π − t)f (sin(π − t)) · (−dt)
=
π
½È©
Z
† È©{
π
xf (sin x)dx
0
Z
0
(π − t)f (sin(π − t)) · (−dt)
=
Zπ π
(π − t)f (sin(t))dt
=
0
½È©
Z
† È©{
π
xf (sin x)dx
0
Z
0
(π − t)f (sin(π − t)) · (−dt)
=
Zπ π
(π − t)f (sin(t))dt
Z π
π
= π
f (sin t)dt −
tf (sin t)dt
=
0Z
0
0
½È©
Z
† È©{
π
xf (sin x)dx
0
Z
0
(π − t)f (sin(π − t)) · (−dt)
=
Zπ π
(π − t)f (sin(t))dt
Z π
π
= π
f (sin t)dt −
tf (sin t)dt
Z0 π
Z0 π
= π
f (sin x)dx −
xf (sin x)dx,
=
0Z
0
0
½È©
¤±
Z
0
π
π
xf (sin x)dx =
2
† È©{
Z
π
f (sin x)dx.
0
½È©
¤±
Z
π
0
π
xf (sin x)dx =
2
Z
π
0
† È©{
Z
π
f (sin x)dx.
0
π
x sin x
dx
=
1 + cos2 x
2
Z
0
π
sin x
dx
1 + cos2 x
½È©
¤±
Z
π
0
π
xf (sin x)dx =
2
Z
π
f (sin x)dx.
0
Z
π π sin x
x sin x
dx =
dx
1 + cos2 x
2 0 1 + cos2 x
0 Z
π π
1
= −
d(cos x)
2 0 1 + cos2 x
Z
π
† È©{
½È©
¤±
Z
π
0
π
xf (sin x)dx =
2
Z
π
f (sin x)dx.
0
Z
π π sin x
x sin x
dx =
dx
1 + cos2 x
2 0 1 + cos2 x
0 Z
π π
1
= −
d(cos x)
2 0 1 + cos2 x
π
π
π2
= − arctan(cos x) = .
0
2
4
Z
π
† È©{
½È©
Ó „Œ±¦
Z π
x sin x
dx
2
0 1 + cos x
† È©{
½È©
Ó „Œ±¦
Z π
x sin x
dx
2
0 1 + cos x
Z π
x sin3 x
dx
2
0 1 + cos x
† È©{
½È©
† È©{
Ó „Œ±¦
Z π
x sin x
dx
2
0 1 + cos x
Z π
x sin3 x
dx
2
0 1 + cos x
Z π
x sin2n x
dx
2n
2n
0 sin x + cos x
½È©
(µ1. ½È© †
† È©{
È©{
2. |^é¡5!±Ï5OŽ½È©
½È©
©ÜÈ©{
½È©
©ÜÈ©{
½È© ©ÜÈ©{
åû£ÀHŒÆêÆÆ
¤
½È©
½È©
©ÜÈ©{
©ÜÈ©(integration by parts)úª
u(x), v(x)3[a, b]þkëY
ê§K
k©ÜÈ©úª
Z b
Z b
b
u(x)dv(x) = u(x)v(x) −
v(x)du(x).
a
a
a
½È©
©ÜÈ©{
y²µ
Z
b
Z
u(x)dv(x) =
a
a
b
u(x)v 0 (x)dx
½È©
©ÜÈ©{
y²µ
Z
b
Z
u(x)dv(x) =
Za b
=
a
b
u(x)v 0 (x)dx
a
[(u(x)v(x))0 − u0 (x)v(x)]dx
½È©
©ÜÈ©{
y²µ
Z
b
Z
u(x)dv(x) =
b
u(x)v 0 (x)dx
a
Za b
[(u(x)v(x))0 − u0 (x)v(x)]dx
a
Z b
b
= u(x)v(x) −
v(x)u0 (x)dx
=
a
a
½È©
©ÜÈ©{
y²µ
Z
b
Z
u(x)dv(x) =
b
u(x)v 0 (x)dx
a
Za b
[(u(x)v(x))0 − u0 (x)v(x)]dx
a
Z b
b
= u(x)v(x) −
v(x)u0 (x)dx
a
a
Z
b
b
= u(x)v(x) −
v(x)du(x).
=
a
a
½È©
Z e
~1. OŽ
x2 ln xdx.
1
©ÜÈ©{
½È©
©ÜÈ©{
Z e
~1. OŽ
x2 ln xdx.
1
)µd©ÜÈ©úª
Z e
Z
1 e
2
x ln xdx =
ln xd(x3 )
3 1
1
½È©
©ÜÈ©{
Z e
~1. OŽ
x2 ln xdx.
1
)µd©ÜÈ©úª
Z e
Z
1 e
2
x ln xdx =
ln xd(x3 )
3 1
1
Z
e
1 3
1 e 2
= x ln x −
x dx
3
3 1
1
½È©
©ÜÈ©{
Z e
~1. OŽ
x2 ln xdx.
1
)µd©ÜÈ©úª
Z e
Z
1 e
2
x ln xdx =
ln xd(x3 )
3 1
1
Z
e
1 3
1 e 2
= x ln x −
x dx
3
3 1
1
e
1 3 1 3
= e − x
3
9 1
½È©
©ÜÈ©{
Z e
~1. OŽ
x2 ln xdx.
1
)µd©ÜÈ©úª
Z e
Z
1 e
2
x ln xdx =
ln xd(x3 )
3 1
1
Z
e
1 3
1 e 2
= x ln x −
x dx
3
3 1
1
e
1 3 1 3
= e − x
3
9 1
1
= (2e3 + 1).
9
½È©
©ÜÈ©{
Z 1
~2. OŽ
x ln(1 + x)dx.
0
½È©
©ÜÈ©{
Z 1
~2. OŽ
x ln(1 + x)dx.
0
)µd©ÜÈ©úª
Z 1
Z
1 1
x ln(1 + x)dx =
ln(1 + x)d(x2 )
2 0
0
½È©
©ÜÈ©{
Z 1
~2. OŽ
x ln(1 + x)dx.
0
)µd©ÜÈ©úª
Z 1
Z
1 1
x ln(1 + x)dx =
ln(1 + x)d(x2 )
2 0
0
Z 1 2
1
1
1
x
= x2 ln(1 + x) −
dx
2
2
1
+
x
0
0
½È©
©ÜÈ©{
Z 1
~2. OŽ
x ln(1 + x)dx.
0
)µd©ÜÈ©úª
Z 1
Z
1 1
x ln(1 + x)dx =
ln(1 + x)d(x2 )
2 0
0
Z 1 2
1
1
1
x
= x2 ln(1 + x) −
dx
2
2
1
+
x
0
Z 1 h0
1
1
1 i
= ln 2 −
x−1+
dx
2
2 0
1+x
½È©
©ÜÈ©{
Z 1
~2. OŽ
x ln(1 + x)dx.
0
)µd©ÜÈ©úª
Z 1
Z
1 1
x ln(1 + x)dx =
ln(1 + x)d(x2 )
2 0
0
Z 1 2
1
1
1
x
= x2 ln(1 + x) −
dx
2
2
1
+
x
0
Z 1 h0
1
1
1 i
= ln 2 −
x−1+
dx
2
2 0
1+x
i1
1
1h1 2
= ln 2 −
x − x + ln(1 + x)
0
2
2 2
½È©
©ÜÈ©{
Z 1
~2. OŽ
x ln(1 + x)dx.
0
)µd©ÜÈ©úª
Z 1
Z
1 1
x ln(1 + x)dx =
ln(1 + x)d(x2 )
2 0
0
Z 1 2
1
1
1
x
= x2 ln(1 + x) −
dx
2
2
1
+
x
0
Z 1 h0
1
1
1 i
= ln 2 −
x−1+
dx
2
2 0
1+x
i1 1
1
1h1 2
= ln 2 −
x − x + ln(1 + x) = .
0
2
2 2
4
½È©
Z
~3. OŽ
0
1
©ÜÈ©{
xex
dx.
(1 + x)2
½È©
Z
~3. OŽ
0
)µ Z
1
1
©ÜÈ©{
xex
dx.
(1 + x)2
xex
dx
2
(1
+
x)
0
Z 1
1 = −
xex d
1+x
0
½È©
Z
~3. OŽ
0
)µ Z
1
1
©ÜÈ©{
xex
dx.
(1 + x)2
xex
dx
2
(1
+
x)
0
Z 1
1 = −
xex d
1+x
0
Z 1
1
xex 1
= −
+
(ex + xex )dx
1+x 0
0 1+x
½È©
Z
~3. OŽ
0
)µ Z
1
1
©ÜÈ©{
xex
dx.
(1 + x)2
xex
dx
2
(1
+
x)
0
Z 1
1 = −
xex d
1+x
0
Z 1
1
xex 1
= −
+
(ex + xex )dx
1+x 0
0 1+x
Z 1
e
= − +
ex dx
2
0
½È©
Z
~3. OŽ
0
)µ Z
1
1
©ÜÈ©{
xex
dx.
(1 + x)2
xex
dx
2
(1
+
x)
0
Z 1
1 = −
xex d
1+x
0
Z 1
1
xex 1
= −
+
(ex + xex )dx
1+x 0
0 1+x
Z 1
e
e
e
= − +
ex dx = − + e − 1 = − 1.
2
2
2
0
½È©
~4. OŽIn =
Z
0
π
2
©ÜÈ©{
cosn xdx.
½È©
~4. OŽIn =
π
2
Z
©ÜÈ©{
cosn xdx.
0
)µw,
π
2
Z
I0 =
0
Z
I1 =
0
π
2
cos0 xdx =
π
,
2
cos1 xdx = 1,
½È©
©ÜÈ©{
éun ≥ 2, Kk
In
Z π
2
=
0
cosn xdx =
Z
0
π
2
cosn−1 x · cos xdx
½È©
©ÜÈ©{
éun ≥ 2, Kk
In
Z π
2
π
2
cosn−1 x · cos xdx
0
0
Z π
π
2
2
= cosn−1 x sin x +(n − 1) sin2 x cosn−2 xdx
=
cosn xdx =
Z
0
0
½È©
©ÜÈ©{
éun ≥ 2, Kk
In
Z π
2
π
2
cosn−1 x · cos xdx
0
0
Z π
π
2
2
= cosn−1 x sin x +(n − 1) sin2 x cosn−2 xdx
0
0
Z π
2
= (n − 1)
(1 − cos2 x) cosn−2 xdx
=
cosn xdx =
Z
0
½È©
©ÜÈ©{
éun ≥ 2, Kk
In
Z π
2
π
2
cosn−1 x · cos xdx
0
0
Z π
π
2
2
= cosn−1 x sin x +(n − 1) sin2 x cosn−2 xdx
0
0
Z π
2
= (n − 1)
(1 − cos2 x) cosn−2 xdx
=
cosn xdx =
Z
0
= (n − 1)(In−2 − In ),
½È©
u´
©ÜÈ©{
4í'X n − 1
In =
In−2 .
n
½È©
u´
©ÜÈ©{
4í'X n − 1
In =
In−2 .
n
Ïd

(n − 1)!!



,
n´Ûê,
n!!
In =

(n − 1)!! π


· ,
n´óê
n!!
2
½È©
u´
©ÜÈ©{
4í'X n − 1
In =
In−2 .
n
Ïd

(n − 1)!!



,
n´Ûê,
n!!
In =

(n − 1)!! π


· ,
n´óê
n!!
2
Z π
2
þ¡ úª•·^u
sinn xdx,
Z π
Z π0
2
2
Ï•
sinn xdx =
cosn xdx.
0
0
½È©
Z
~5. OŽ
π
x
cos8 dx.
2
−π
©ÜÈ©{
½È©
Z
~5. OŽ
©ÜÈ©{
π
x
cos8 dx.
2
−π
)µ
Z
Z π
2
x
cos8 dx x=2t 2
cos8 tdt
2
− π2
−π
Z π
2
7!! π
35π
=4
cos8 tdt = 4 ·
· =
.
8!!
2
64
0
π
½È©
©ÜÈ©{
~6.y²µ
Z 10 −x
1
e
1
1
<
dx
<
−
.
10
3e10
x
+
20
20
30e
0
½È©
©ÜÈ©{
~6.y²µ
Z 10 −x
1
e
1
1
<
dx
<
−
.
10
3e10
x
+
20
20
30e
0
e−x
y²µ-f (x) =
,
x + 20
½È©
©ÜÈ©{
~6.y²µ
Z 10 −x
1
e
1
1
<
dx
<
−
.
10
3e10
x
+
20
20
30e
0
e−x
y²µ-f (x) =
,K
x + 20
e−x (x + 21)
0
f (x) = −
< 0, (x ∈ [0, 10]),
(x + 20)2
½È©
©ÜÈ©{
~6.y²µ
Z 10 −x
1
e
1
1
<
dx
<
−
.
10
3e10
x
+
20
20
30e
0
e−x
y²µ-f (x) =
,K
x + 20
e−x (x + 21)
0
f (x) = −
< 0, (x ∈ [0, 10]),
(x + 20)2
1
min f (x) = f (10) =
.
0≤x≤10
30e10
½È©
©ÜÈ©{
~6.y²µ
Z 10 −x
1
e
1
1
<
dx
<
−
.
10
3e10
x
+
20
20
30e
0
e−x
y²µ-f (x) =
,K
x + 20
e−x (x + 21)
0
f (x) = −
< 0, (x ∈ [0, 10]),
(x + 20)2
1
min f (x) = f (10) =
.
10
0≤x≤10
30e
Z 10 −x
Z 10
e
1
¤±
dx >
f (10)dx = 10 .
x + 20
3e
0
0
½È©
©ÜÈ©{
2|^©ÜÈ©
Z 10 −x
e
dx
x + 20
0
e−x 10 Z 10
e−x
= −
dx
−
x + 20 0
(x + 20)2
0
½È©
©ÜÈ©{
2|^©ÜÈ©
Z 10 −x
e
dx
x + 20
0
e−x 10 Z 10
e−x
= −
dx
−
x + 20 0
(x + 20)2
0
e−x 10
1
1
< −
−
.
=
x + 20 0
20 30e10
½È©
©ÜÈ©{
(µ½È© ©ÜÈ©{
^½È©¦­‚l
˜!‡{
˜!‡{
e˜‡þQ§§÷v
˜!‡{
e˜‡þQ§§÷v
Q†«m[a, b]k'¶
˜!‡{
e˜‡þQ§§÷v
Q†«m[a, b]k'¶
Q'u«m[a, b]äkŒ\5§=ò«
m[a, b] ©¤n ‡f«mž, ƒA/
òQ ©)n ‡Ü©þƒÚ.
XJ3ŒÈ¼êf (x)§¦3[a, b] ¥?
¿˜‡«m[x, x + dx] þ§¤¦þQÜ
©þ
∆Q ≈ f (x)dx,
Ø
´dxpá§
XJ3ŒÈ¼êf (x)§¦3[a, b] ¥?
¿˜‡«m[x, x + dx] þ§¤¦þQÜ
©þ
∆Q ≈ f (x)dx,
Ø ´dxpá§K¤¦þÈ©
Lˆª
Z
b
Q=
f (x)dx.
a
ù«{¡‡{§Ù¥f (x)dx¡¤¦
þQ‡§PdQ, =
dQ = f (x)dx.
ù«{¡‡{§Ù¥f (x)dx¡¤¦
þQ‡§PdQ, =
dQ = f (x)dx.
5µ1. ‡¦^‡{¦þQ, KQ7L´“ê
Œ\.
ù«{¡‡{§Ù¥f (x)dx¡¤¦
þQ‡§PdQ, =
dQ = f (x)dx.
5µ1. ‡¦^‡{¦þQ, KQ7L´“ê
Œ\.
2. ‡{' ´‰Ñ4Q(x)CqLˆ
ª,
7LyѴ4xpá
.
!l
!l
²¡­‚Cëꐧ
x = ϕ(t),
t ∈ [α, β],
y = ψ(t),
Ù¥¼êϕ, ψ3[α, β]þäkëYê.
!l
²¡­‚Cëꐧ
x = ϕ(t),
t ∈ [α, β],
y = ψ(t),
Ù¥¼êϕ, ψ3[α, β]þäkëYê.
é«m[α, β]ŠXey©µ
α = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = β,
u´Bù^­‚þ^gün + 1‡:
P0 , P1 , · · · , Pn ,
Ù¥ Pi = (ϕ(ti ), ψ(ti )).
^Pi−1 Pi L«ë:Pi−1 , Pi †‚ã
Ý,
u´Bù^­‚þ^gün + 1‡:
P0 , P1 , · · · , Pn ,
Ù¥ Pi = (ϕ(ti ), ψ(ti )).
^Pi−1 Pi L«ë:Pi−1 , Pi †‚ã
Ý, @oƒAò‚݃ڌ±L«
n
X
Pi−1 Pi .
i=1
u´Bù^­‚þ^gün + 1‡:
P0 , P1 , · · · , Pn ,
Ù¥ Pi = (ϕ(ti ), ψ(ti )).
^Pi−1 Pi L«ë:Pi−1 , Pi †‚ã
Ý, @oƒAò‚݃ڌ±L«
n
X
Pi−1 Pi .
i=1
e λ = max (∆ti ) → 0 ž, 4
1≤i≤n
n
P
lim
Pi−1 Pi 3,
4Š†«m[α, β]
λ→0 i=1
y©Ã', K¡ù^­‚´Œ¦,
¿òd4Š
s = lim
λ→0
n
X
i=1
¡T^­‚l.
Pi−1 Pi .
¿òd4Š
s = lim
λ→0
n
X
Pi−1 Pi .
i=1
¡T^­‚l.
w,,
∆sq
i = Pi−1 Pi
= [ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 )]2 + [ψ(ti ) − ψ(ti−1 )]2 .
Ϗϕ(t) Úψ(t) Œ, ¤±é?¿
i = 1, 2, · · · , n, k
ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (ti−1 )∆ti + o(∆ti ),
ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ 0 (ti−1 )∆ti + o(∆ti ),
Ù¥∆ti = ti − ti−1 .
Ϗϕ(t) Úψ(t) Œ, ¤±é?¿
i = 1, 2, · · · , n, k
ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (ti−1 )∆ti + o(∆ti ),
ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ 0 (ti−1 )∆ti + o(∆ti ),
Ù¥∆ti = ti − ti−1 . Šâت
p
p
| (A + a)2 + (B + b)2 − A2 + B 2 | ≤ |a|+|b|
Ϗϕ(t) Úψ(t) Œ, ¤±é?¿
i = 1, 2, · · · , n, k
ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (ti−1 )∆ti + o(∆ti ),
ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ 0 (ti−1 )∆ti + o(∆ti ),
Ù¥∆ti = ti − ti−1 . Šâت
p
p
| (A + a)2 + (B + b)2 − A2 + B 2 | ≤ |a|+|b|
∆si =
p
ϕ02 (ti−1 ) + ψ 02 (ti−1 )∆ti + o(∆ti ).
2dϕ0 (t) Úψ 0 (t)ëY§
n
X
s = lim
Pi−1 Pi
λ→0
= lim
λ→0
Z
i=1
n p
X
ϕ02 (ti−1 ) + ψ 02 (ti−1 )∆ti
i=1
β
=
α
p
ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt.
2dϕ0 (t) Úψ 0 (t)ëY§
n
X
s = lim
Pi−1 Pi
λ→0
= lim
λ→0
Z
i=1
n p
X
ϕ02 (ti−1 ) + ψ 02 (ti−1 )∆ti
i=1
β
p
ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt.
=
α
=s =
Z
β
α
p
ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt.
¤±l‡©
p
p
ds = ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt = dx2 + dy 2 .
F ^Ӑ{§Œ˜m­‚


 x = x(t),
t ∈ [α, β]
y = y(t),

 z = z(t),
l‡©
ds =
p
p
dx2 + dy 2 + dz 2 = [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt,
F ^Ӑ{§Œ˜m­‚


 x = x(t),
t ∈ [α, β]
y = y(t),

 z = z(t),
l‡©
ds =
p
p
dx2 + dy 2 + dz 2 = [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt,
l
Z
s=
β
α
p
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt.
~1. ¦^ӂ
x = t − sin t
˜ÿl.
y = 1 − cos t
~1. ¦^ӂ
x = t − sin t
˜ÿl.
y = 1 − cos t
~1. ¦^ӂ
): Z
s =
0
2π
x = t − sin t
˜ÿl.
y = 1 − cos t
q
(1 − cos t)2 + sin2 tdt
~1. ¦^ӂ
): Z
s =
2π
x = t − sin t
˜ÿl.
y = 1 − cos t
q
(1 − cos t)2 + sin2 tdt
0
√ Z 2π √
= 2
1 − cos tdt
0
~1. ¦^ӂ
): Z
s =
2π
x = t − sin t
˜ÿl.
y = 1 − cos t
q
(1 − cos t)2 + sin2 tdt
0
Z 2π
√ Z 2π √
t
= 2
1 − cos tdt = 2
sin dt
2
0
0
~1. ¦^ӂ
): Z
s =
2π
x = t − sin t
˜ÿl.
y = 1 − cos t
q
(1 − cos t)2 + sin2 tdt
0
Z 2π
√ Z 2π √
t
= 2
1 − cos tdt = 2
sin dt = 8.
2
0
0


 x = a cos t
~2. ¦ Îڂ y = a sin t 1˜


z = bt
(0 ≤ t ≤ 2π)Ý.


 x = a cos t
~2. ¦ Îڂ y = a sin t 1˜


z = bt
(0 ≤ t ≤ 2π)Ý.
)µ
Z 2π p
s =
a2 (− sin t)2 + a2 (cos t)2 + b2 dt
0


 x = a cos t
~2. ¦ Îڂ y = a sin t 1˜


z = bt
(0 ≤ t ≤ 2π)Ý.
)µ
Z 2π p
s =
a2 (− sin t)2 + a2 (cos t)2 + b2 dt
Z0 2π p
=
a2 + b2 dt
0


 x = a cos t
~2. ¦ Îڂ y = a sin t 1˜


z = bt
(0 ≤ t ≤ 2π)Ý.
)µ
Z 2π p
s =
a2 (− sin t)2 + a2 (cos t)2 + b2 dt
Z0 2π p
=
a2 + b2 dt
0
Z 2π
p
a2 + b2
dt
=
0


 x = a cos t
~2. ¦ Îڂ y = a sin t 1˜


z = bt
(0 ≤ t ≤ 2π)Ý.
)µ
Z 2π p
s =
a2 (− sin t)2 + a2 (cos t)2 + b2 dt
Z0 2π p
=
a2 + b2 dt
0
Z 2π
p
p
2
2
a +b
dt = 2π a2 + b2 .
=
0
y3IJ¡1w­‚ü‡AϜ/µ
y3IJ¡1w­‚ü‡AϜ/µ
£1¤e­‚k†‹I§y = f (x),
a ≤ x ≤ b§Ù¥f (x) këYê§KÙl
Z bp

s=
1 + f 02 (x)dx,
a
y3IJ¡1w­‚ü‡AϜ/µ
£1¤e­‚k†‹I§y = f (x),
a ≤ x ≤ b§Ù¥f (x) këYê§KÙl
Z bp

s=
1 + f 02 (x)dx,
a
£2¤e­‚k4‹I§r = r(θ),
(α ≤ θ ≤ β), Ù¥¼êr(θ)3[α, β]þäkë
Yê, KÙl
Z βp
s=
[r(θ)]2 + [r0 (θ)]2 dθ.
α
~3. ¦Œ
l.
y=
√
R2 − x2 (−R ≤ x ≤ R)
~3. ¦Œ
l.
y=
√
R2 − x2 (−R ≤ x ≤ R)
):
Z
R
s =
−R
p
1 + y 02 dx =
Z
R
r
1+
−R
x2
dx
R 2 − x2
~3. ¦Œ
l.
y=
√
R2 − x2 (−R ≤ x ≤ R)
):
Z
R
p
1 + y 02 dx =
−R
Z Rr
R2
= 2
dx
R 2 − x2
0
s =
Z
R
r
1+
−R
x2
dx
R 2 − x2
~3. ¦Œ
l.
y=
√
R2 − x2 (−R ≤ x ≤ R)
):
R
R
r
x2
1 + y 02 dx =
1+ 2
dx
2
R
−
x
−R
−R
Z Rr
Z R
2
d( Rx )
R
p
= 2
dx = 2R
R 2 − x2
1 − ( Rx )2
0
0
Z
s =
p
Z
~3. ¦Œ
l.
y=
√
R2 − x2 (−R ≤ x ≤ R)
):
R
R
r
x2
1 + y 02 dx =
1+ 2
dx
2
R
−
x
−R
−R
Z Rr
Z R
2
d( Rx )
R
p
= 2
dx = 2R
R 2 − x2
1 − ( Rx )2
0
0
x R
= 2R arcsin
R 0
Z
s =
p
Z
~3. ¦Œ
l.
y=
√
R2 − x2 (−R ≤ x ≤ R)
):
R
R
r
x2
1 + y 02 dx =
1+ 2
dx
2
R
−
x
−R
−R
Z Rr
Z R
2
d( Rx )
R
p
= 2
dx = 2R
R 2 − x2
1 − ( Rx )2
0
0
x R
= 2R arcsin
= πR.
R 0
Z
s =
p
Z
~4. ¦­‚y =
x√
Z
π
2
cos tdtl.
~4. ¦­‚y =
x√
Z
cos tdtl.
π
2
): dcos t ≥ 0Œ− π2 ≤ t ≤ π2 , K
x ∈ [− π2 , π2 ],
~4. ¦­‚y =
x√
Z
cos tdtl.
π
2
): dcos t ≥ 0Œ− π2 ≤ t ≤ π2 , K
x ∈ [− π2 , π2 ], u´
Z πp
2
1 + y 02 dx
s =
− π2
~4. ¦­‚y =
x√
Z
cos tdtl.
π
2
): dcos t ≥ 0Œ− π2 ≤ t ≤ π2 , K
x ∈ [− π2 , π2 ], u´
Z π
Z πp
2 √
2
1 + cos xdx
1 + y 02 dx =
s =
− π2
− π2
~4. ¦­‚y =
x√
Z
cos tdtl.
π
2
): dcos t ≥ 0Œ− π2 ≤ t ≤ π2 , K
x ∈ [− π2 , π2 ], u´
Z π
Z πp
2 √
2
1 + cos xdx
1 + y 02 dx =
s =
− π2
− π2
Z
π
2
=
− π2
r
x
2 cos2 dx
2
~4. ¦­‚y =
x√
Z
cos tdtl.
π
2
): dcos t ≥ 0Œ− π2 ≤ t ≤ π2 , K
x ∈ [− π2 , π2 ], u´
Z π
Z πp
2 √
2
1 + cos xdx
1 + y 02 dx =
s =
− π2
− π2
Z
π
2
=
− π2
r
√
x
x
2 cos2 dx = 2 2 sin
2
2
π
2
− π2
~4. ¦­‚y =
x√
Z
cos tdtl.
π
2
): dcos t ≥ 0Œ− π2 ≤ t ≤ π2 , K
x ∈ [− π2 , π2 ], u´
Z π
Z πp
2 √
2
1 + cos xdx
1 + y 02 dx =
s =
− π2
− π2
Z
π
2
=
− π2
r
√
x
x
2 cos2 dx = 2 2 sin
2
2
π
2
− π2
= 4.
~5. ¦Archimedesڂr = aθ1˜
(0 ≤ θ ≤ 2π)l.
~5. ¦Archimedesڂr = aθ1˜
(0 ≤ θ ≤ 2π)l.
):
Z
s =
0
2π
p
[r(θ)]2 + [r0 (θ)]2 dθ
~5. ¦Archimedesڂr = aθ1˜
(0 ≤ θ ≤ 2π)l.
):
2π
Z
p
[r(θ)]2 + [r0 (θ)]2 dθ
s =
0
Z
= a
0
2π
p
1 + θ2 dθ
~5. ¦Archimedesڂr = aθ1˜
(0 ≤ θ ≤ 2π)l.
):
2π
Z
p
[r(θ)]2 + [r0 (θ)]2 dθ
s =
0
Z
2π
p
= a
1 + θ2 dθ
0
hθ p
i
p
1
2
2
= a
1 + θ + ln(θ + 1 + θ )
2
2
2π
0
~5. ¦Archimedesڂr = aθ1˜
(0 ≤ θ ≤ 2π)l.
):
2π
Z
p
[r(θ)]2 + [r0 (θ)]2 dθ
s =
0
Z
2π
p
= a
1 + θ2 dθ
0
hθ p
i 2π
p
1
2
2
= a
1 + θ + ln(θ + 1 + θ )
0 2
2
p
a p 2
=
2π 4π + 1 + ln(2π + 4π 2 + 1) .
2
~5. ¦Archimedesڂr = aθ1˜
(0 ≤ θ ≤ 2π)l.
):
2π
Z
p
[r(θ)]2 + [r0 (θ)]2 dθ
s =
0
Z
2π
p
= a
1 + θ2 dθ
0
hθ p
i 2π
p
1
2
2
= a
1 + θ + ln(θ + 1 + θ )
0 2
2
p
a p 2
=
2π 4π + 1 + ln(2π + 4π 2 + 1) .
2
(µ1. ‡{
2. ½È©¦­‚l
½È©¦¡È
½È©¦¡È
^½È©¦²¡ã/
¡È
½È©¦¡È
˜. †
‹Ie
¡È
½È©¦¡È
˜. †
‹Ie
¡È
(˜) Xe㤫, dëY-‚y = f (x)†
x = a, x = c9x¶¤Œ¤ ²¡ã/¡È•
Z c
A=
|f (x)|dx.
(1)
a
½È©¦¡È
˜. †
‹Ie
¡È
(˜) Xe㤫, dëY-‚y = f (x)†
x = a, x = c9x¶¤Œ¤ ²¡ã/¡È•
Z c
A=
|f (x)|dx.
(1)
a
½È©¦¡È
( ) •˜„/, Xe㤫, dü^ëY‚y = f (x), y = g(x), †ü†‚x = a,
x = b¤.½ ²¡ã/ ¡È•
Z b
A=
|f (x) − g(x)|dx.
(2)
a
y
y = f (x)
dA
y = g (x)
a
O
x x+dx
b
x
½È©¦¡È
~1. ¦-‚y = x2 , y 2 = x¤Œ¤ã/
È.
¡
½È©¦¡È
~1. ¦-‚y = x2 , y 2 = x¤Œ¤ã/
È.
)µk¦Ñü^-‚
:(0, 0), (1, 1),
¡
½È©¦¡È
~1. ¦-‚y = x2 , y 2 = x¤Œ¤ã/
È.
¡
)µk¦Ñü^-‚
:(0, 0), (1, 1), u´
Z 1
h2 3 1 i 1 1
√
2
= .
A=
( x − x )dx = x 2 − x3
0
3
3
3
0
½È©¦¡È
(n) a q /, X e ã ¤ «, d ü ^ ë Y ‚x = ϕ(y), x = ψ(y), †ü†‚y = c, y =
d¤.½ ²¡ã/ ¡È•
Z d
A=
|ϕ(y) − ψ(y)|dy.
(3)
c
½È©¦¡È
~2. ¦d Ô‚y 2 = x††‚x − 2y − 3 = 0
¤Œ¤ ²¡ã/ ¡È.
½È©¦¡È
~2. ¦d Ô‚y 2 = x††‚x − 2y − 3 = 0
¤Œ¤ ²¡ã/ ¡È.
)µ k¦Ñ :P (1, −1)ÚQ(9, 3).
½È©¦¡È
~2. ¦d Ô‚y 2 = x††‚x − 2y − 3 = 0
¤Œ¤ ²¡ã/ ¡È.
)µ k¦Ñ :P (1, −1)ÚQ(9, 3).
Z
A=
0
1 √
√ x − (− x) dx +
Z
1
9 √
x−3
x−
dx
2
½È©¦¡È
~2. ¦d Ô‚y 2 = x††‚x − 2y − 3 = 0
¤Œ¤ ²¡ã/ ¡È.
)µ k¦Ñ :P (1, −1)ÚQ(9, 3).
Z
A=
0
1 √
√ x − (− x) dx +
4 28
32
=
+
= .
3
3
3
Z
1
9 √
x−3
x−
dx
2
½È©¦¡È
~2. ¦d Ô‚y 2 = x††‚x − 2y − 3 = 0
¤Œ¤ ²¡ã/ ¡È.
)µ k¦Ñ :P (1, −1)ÚQ(9, 3).
Z
A=
0
1 √
√ x − (− x) dx +
4 28
32
=
+
= .
3
3
3
Z
1
9 √
x−3
x−
dx
2
,) µ -‚•y ¼ê, K
Z 3
32
A=
(2y + 3 − y 2 )dy = .
3
−1
½È©¦¡È
. ëꕧL«
-‚¤Œã/
¡È
½È©¦¡È
. ëꕧL«
-‚¤Œã/
¡È
-‚Cdëꕧ
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ [α, β],
‰Ñ, 3[α, β] þy(t) ëY, x(t) këY
…x0 (t) 6= 0.
ê,
½È©¦¡È
. ëꕧL«
-‚¤Œã/
¡È
-‚Cdëꕧ
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ [α, β],
‰Ñ, 3[α, β] þy(t) ëY, x(t) këY ê,
…x0 (t) 6= 0. Kdúª(1) Œ , d-‚C9†
‚x = a, x = bÚx¶¤Œ¤ ã/ ¡È•
½È©¦¡È
. ëꕧL«
-‚¤Œã/
¡È
-‚Cdëꕧ
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ [α, β],
‰Ñ, 3[α, β] þy(t) ëY, x(t) këY ê,
…x0 (t) 6= 0. Kdúª(1) Œ , d-‚C9†
‚x = a, x = bÚx¶¤Œ¤ ã/ ¡È•
Z β
A=
|y(t)x0 (t)|dt.
(4)
α
Ù¥a = x(α), b = x(β).
½È©¦¡È
~3. ¦d{‚x = a(t−sin t), y = a(1−cos t),
t ∈ [0, 2π]†x¶Œ¤ ã/¡È.
½È©¦¡È
~3. ¦d{‚x = a(t−sin t), y = a(1−cos t),
t ∈ [0, 2π]†x¶Œ¤ ã/¡È.
½È©¦¡È
~3. ¦d{‚x = a(t−sin t), y = a(1−cos t),
t ∈ [0, 2π]†x¶Œ¤ ã/¡È.
)µ
S = a
2
Z
0
2π
(1 − cos t)2 d t
½È©¦¡È
~3. ¦d{‚x = a(t−sin t), y = a(1−cos t),
t ∈ [0, 2π]†x¶Œ¤ ã/¡È.
)µ
Z
2π
(1 − cos t)2 d t
Z0 2π 1 + cos 2t
2
= a
1 − 2 cos t +
dt
2
0
S = a
2
½È©¦¡È
~3. ¦d{‚x = a(t−sin t), y = a(1−cos t),
t ∈ [0, 2π]†x¶Œ¤ ã/¡È.
)µ
Z
2π
(1 − cos t)2 d t
Z0 2π 1 + cos 2t
2
= a
1 − 2 cos t +
d t = 3πa2
2
0
S = a
2
½È©¦¡È
~4. ¦ý
x2 y 2
+
= 1 ¡È.
a2 b2
½È©¦¡È
~4. ¦ý
x2 y 2
+
= 1 ¡È.
a2 b2
) µ |^é¡5, •¦1˜–•
È.
@˜¬¡
½È©¦¡È
~4. ¦ý
x2 y 2
+
= 1 ¡È.
a2 b2
) µ |^é¡5, •¦1˜–•
¤ëꕧ/ª
È. òý
x = a cos t,
y = b sin t,
@˜¬¡
½È©¦¡È
x2 y 2
+
= 1 ¡È.
a2 b2
~4. ¦ý
) µ |^é¡5, •¦1˜–•
¤ëꕧ/ª
È. òý
x = a cos t,
y = b sin t,
K x l0 C
S
= ab
4
Z
a ž, t l π2 C 0, ¤±
0
0
π
2
Z
sin t (cos t) d t = ab
π
2
@˜¬¡
0
sin2 td t =
π
ab,
4
½È©¦¡È
x2 y 2
+
= 1 ¡È.
a2 b2
~4. ¦ý
) µ |^é¡5, •¦1˜–•
¤ëꕧ/ª
È. òý
x = a cos t,
y = b sin t,
K x l0 C
S
= ab
4
=
Z
@˜¬¡
a ž, t l π2 C 0, ¤±
0
0
π
2
Z
sin t (cos t) d t = ab
π
2
S = πab.
0
sin2 td t =
π
ab,
4
½È©¦¡È
n. 4‹I•§L«
-‚¤Œã/
¡È
½È©¦¡È
n. 4‹I•§L«
-‚¤Œã/
¡È
Xã, r = r(θ), θ ∈ [α, β], β − α ≤ 2π,•ë
Y¼ê, ·‚5¦dü^4»θ = α,
θ = β†r = r(θ)Œ¤ ã/ ¡È.
½È©¦¡È
•d, æ^©• gŽ. ·‚ò[α, β]?1©
•µ T : α = θ0 < θ1 < θ2 < · · · < θn = β.
½È©¦¡È
•d, æ^©• gŽ. ·‚ò[α, β]?1©
•µ T : α = θ0 < θ1 < θ2 < · · · < θn = β.
u´, n v Œž, ã/ ©•¤n ‡Cq
÷/, u´ã/ ¡ÈCq•
n
1X 2
r (ξi )4θi ,
S≈
2 i=1
Ù¥ξi ∈ [θi−1 , θi ], i = 1, 2, · · · , n.
½È©¦¡È
•d, æ^©• gŽ. ·‚ò[α, β]?1©
•µ T : α = θ0 < θ1 < θ2 < · · · < θn = β.
u´, n v Œž, ã/ ©•¤n ‡Cq
÷/, u´ã/ ¡ÈCq•
n
1X 2
r (ξi )4θi ,
S≈
2 i=1
Ù¥ξi ∈ [θi−1 , θi ], i = 1, 2, · · · , n. durëY,
ÏdŒÈ, u´¡È´
Z β
n
X
1
1
r2 (θ)dθ.
A=
lim
r2 (ξi )4θi =
2 kT k→0 i=1
2 α
½È©¦¡È
5µ ‚.«•Ü© ¡Èúª•
Z
1 β 2
S=
|r1 (θ) − r22 (θ)|dθ.
2 α
½È©¦¡È
5µ ‚.«•Ü© ¡Èúª•
Z
1 β 2
S=
|r1 (θ) − r22 (θ)|dθ.
2 α
~5. ¦dVÝ‚r2 = a2 cos 2θ ¤Œ¤
¡È.
ã/
½È©¦¡È
5µ ‚.«•Ü© ¡Èúª•
Z
1 β 2
S=
|r1 (θ) − r22 (θ)|dθ.
2 α
~5. ¦dVÝ‚r2 = a2 cos 2θ ¤Œ¤
¡È.
ã/
) µ Šâé¡5, k¦Ñ1˜–•
2¦±4,
¡È,
½È©¦¡È
5µ ‚.«•Ü© ¡Èúª•
Z
1 β 2
S=
|r1 (θ) − r22 (θ)|dθ.
2 α
~5. ¦dVÝ‚r2 = a2 cos 2θ ¤Œ¤
¡È.
ã/
) µ Šâé¡5, k¦Ñ1˜–• ¡È,
2¦±4, =
Z π
1 4 2
S =4·
a cos 2θdθ = a2 .
2 0
½È©¦¡È
~6. ¦d%9‚r = a(1 + cos θ) ¤Œ¤
/ ¡È.
ã
½È©¦¡È
~6. ¦d%9‚r = a(1 + cos θ) ¤Œ¤
/ ¡È.
ã
½È©¦¡È
)µ Xã, Šâé¡5, k
Z
1 π
A = 2·
[a(1 + cos θ)]2 dθ
2 0
½È©¦¡È
)µ Xã, Šâé¡5, k
Z
1 π
A = 2·
[a(1 + cos θ)]2 dθ
2
Z π0
= a2
(1 + 2 cos θ + cos2 θ)dθ
0
½È©¦¡È
)µ Xã, Šâé¡5, k
Z
1 π
A = 2·
[a(1 + cos θ)]2 dθ
2
Z π0
= a2
(1 + 2 cos θ + cos2 θ)dθ
Z0 π 1
3
2
= a
+ 2 cos θ + cos 2θ dθ
2
2
0
½È©¦¡È
)µ Xã, Šâé¡5, k
Z
1 π
A = 2·
[a(1 + cos θ)]2 dθ
2
Z π0
= a2
(1 + 2 cos θ + cos2 θ)dθ
Z0 π 1
3
2
= a
+ 2 cos θ + cos 2θ dθ
2
2
h 30
iπ 3
1
2
= a
θ + 2 sin θ + sin 2θ
= πa2 .
0
2
4
2
½È©¦¡È
(µ½È©¦²¡ã/
†
¡È
‹Ie ¡È
ëꕧL«
4‹I•§L«
-‚¤Œã/ ¡È
-‚¤Œã/ ¡È
½È©¦NÈ
½È©¦NÈ
^½È©¦äk, AÏ/G
AÛN NÈ
½È©¦NÈ
˜. ®•²1
¡¡È
AÛN
NÈ
½È©¦NÈ
˜. ®•²1
¡¡È
AÛN
NÈ
n‘˜m¥ ˜‡AÛNΩ Y3²¡x =
a Úx = b ƒm, eéu?¿x ∈ [a, b] , Lx :
…†x ¶R† ²¡†TAÛNƒ , ¡
¡Èw,´x ¼ê, P•A(x),¡ƒ•Ω
¡¡È¼ê. b½A(x) ´®• , …
´[a, b] þ ëY¼ê, K·‚Œ±^½È©
y
OŽÑ§ NÈ.
y = f (x)
O
a
x
b
x
½È©¦NÈ
é«m[a, b] Šy©:
T : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
½È©¦NÈ
é«m[a, b] Šy©:
T : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
P « m • Ý •4xi = xi − xi−1 , 3 z
‡ «mþ ˜:ξi ∈ [xi−1 , xi ], ^.¡È
•A(ξi ), p•4xi ÎNNÈCq“OY3
²¡x = xi−1 Úx = xi ƒm @¬ AÛN
NÈ,
½È©¦NÈ
@où
ÎNNȃÚ
n
X
A(ξi )∆xi
i=1
Ò´
‡AÛNNÈ Cq.
½È©¦NÈ
@où
ÎNNȃÚ
n
X
A(ξi )∆xi
i=1
Ò´ ‡AÛNNÈ Cq.
-kT k = max(4xi ) → 0 ž,
i
V = lim
kT k→0
n
X
i=1
ùÒ´¤‡¦
Z
b
A(ξi )∆xi =
A(x)d x, (1)
a
AÛN NÈ.
½È©¦NÈ
~1. X㧠kŒ»•R
ÏLÙ. †» †.¡ ¤
§¦
AÛN NÈ.
ÎN§
α ²¡¤
½È©¦NÈ
~1. X㧠kŒ»•R
ÏLÙ. †» †.¡ ¤
§¦
AÛN NÈ.
ÎN§
α ²¡¤
½È©¦NÈ
)µ Xã§ïá‹IX§K
A(x) =
1
· y · y tan α
2
½È©¦NÈ
)µ Xã§ïá‹IX§K
1
· y · y tan α
2
p
1p 2
2
=
R − x · R2 − x2 tan α
2
A(x) =
½È©¦NÈ
)µ Xã§ïá‹IX§K
1
· y · y tan α
2
p
1p 2
2
=
R − x · R2 − x2 tan α
2
1
= (R2 − x2 ) tan α.
2
A(x) =
½È©¦NÈ
)µ Xã§ïá‹IX§K
1
· y · y tan α
2
p
1p 2
2
=
R − x · R2 − x2 tan α
2
1
= (R2 − x2 ) tan α.
2
Z R
Z R
1
V =
A(x)dx = tan α
(R2 − x2 )dx
2
−R
−R
A(x) =
½È©¦NÈ
)µ Xã§ïá‹IX§K
1
· y · y tan α
2
p
1p 2
2
=
R − x · R2 − x2 tan α
2
1
= (R2 − x2 ) tan α.
2
Z R
Z R
1
V =
A(x)dx = tan α
(R2 − x2 )dx
2
−R
−R
R
1
= tan α(R2 x − x3 )
0
3
A(x) =
½È©¦NÈ
)µ Xã§ïá‹IX§K
1
· y · y tan α
2
p
1p 2
2
=
R − x · R2 − x2 tan α
2
1
= (R2 − x2 ) tan α.
2
Z R
Z R
1
V =
A(x)dx = tan α
(R2 − x2 )dx
2
−R
−R
R
1
2
= tan α(R2 x − x3 ) = R3 tan α.
0
3
3
A(x) =
½È©¦NÈ
x2 y 2 z 2
~2. ¦dý¥¡ 2 + 2 + 2 = 1¤ŒáN
a
b
c
NÈ.
½È©¦NÈ
x2 y 2 z 2
~2. ¦dý¥¡ 2 + 2 + 2 = 1¤ŒáN
a
b
c
NÈ.
)µ´•†z¶R† ²¡†ý¥¡
2
´˜‡ý , Ù¡È•πab(1 − zc2 ),
‚
½È©¦NÈ
x2 y 2 z 2
~2. ¦dý¥¡ 2 + 2 + 2 = 1¤ŒáN
a
b
c
NÈ.
)µ´•†z¶R† ²¡†ý¥¡
2
´˜‡ý , Ù¡È•πab(1 − zc2 ), K
Z c
z2
4
V =
πab(1 − 2 )dz = πabc.
c
3
−c
‚
½È©¦NÈ
. ^=NNÈ
½È©¦NÈ
. ^=NNÈ
f ´[a, b] þ
ëY¼ê, ‰½²¡ã/
D : 0 ≤ y ≤ |f (x)|, a ≤ x ≤ b.
½È©¦NÈ
. ^=NNÈ
f ´[a, b] þ
ëY¼ê, ‰½²¡ã/
D : 0 ≤ y ≤ |f (x)|, a ≤ x ≤ b.
Ω ´dD 7x ¶^=˜±¤
^=N.
½È©¦NÈ
K´•
¡¡È¼ê•
A(x) = π[f (x)]2 , x ∈ [a, b],
½È©¦NÈ
K´•
¡¡È¼ê•
A(x) = π[f (x)]2 , x ∈ [a, b],
Kdúª(1)•, T^=NNÈ•
Z b
V =π
f 2 (x)dx.
a
½È©¦NÈ
K´•
¡¡È¼ê•
A(x) = π[f (x)]2 , x ∈ [a, b],
Kdúª(1)•, T^=NNÈ•
Z b
V =π
f 2 (x)dx.
a
x = x(t),
3ëꕧ
t ∈ [T1 , T2 ]e§^=
y = y(t),
N NÈ•
Z T2
V =π
y 2 (t)|x0 (t)|dt.
T1
½È©¦NÈ
~3. ¦ý
áN
NÈ.
x2 y 2
+
≤ 17x¶^=˜±¤
a2 b2
½È©¦NÈ
~3. ¦ý
áN
NÈ.
x2 y 2
+
≤ 17x¶^=˜±¤
a2 b2
)µòTAÛNÀ•dx¶Ú-‚
p
y = b 1 − ( xa )2 ¤Œ¤ ã/7x¶^=˜
±¤ §
½È©¦NÈ
~3. ¦ý
áN
NÈ.
x2 y 2
+
≤ 17x¶^=˜±¤
a2 b2
)µòTAÛNÀ•dx¶Ú-‚
p
y = b 1 − ( xa )2 ¤Œ¤ ã/7x¶^=˜
±¤ §
Z a x 2
4
2
V =π
b 1 − ( ) dx = πab2 .
a
3
−a
½È©¦NÈ
~3. ¦ý
áN
NÈ.
x2 y 2
+
≤ 17x¶^=˜±¤
a2 b2
)µòTAÛNÀ•dx¶Ú-‚
p
y = b 1 − ( xa )2 ¤Œ¤ ã/7x¶^=˜
±¤ §
Z a x 2
4
2
V =π
b 1 − ( ) dx = πab2 .
a
3
−a
2
2
2
A O / § ¥ Nx + y + z ≤ R2 N È
• 43 πR3 .
½È©¦NÈ
~4. ò •(x − a)2 + y 2 ≤ R2
(0 < R ≤ a)7y¶^=§¦¤ ^=N
È.
N
½È©¦NÈ
~4. ò •(x − a)2 + y 2 ≤ R2
(0 < R ≤ a)7y¶^=§¦¤ ^=N
È.
N
½È©¦NÈ
)µ
A(y)
= πx22 − πx21
½È©¦NÈ
)µ
A(y)
= πx22 − πx21
p
p
= π[(a + R2 − y 2 )2 − (a − R2 − y 2 )2 ]
½È©¦NÈ
)µ
A(y)
= πx22 − πx21
p
p
= π[(a + R2 − y 2 )2 − (a − R2 − y 2 )2 ]
p
= 4aπ R2 − y 2 .
½È©¦NÈ
)µ
A(y)
= πx22 − πx21
p
p
= π[(a + R2 − y 2 )2 − (a − R2 − y 2 )2 ]
p
= 4aπ R2 − y 2 .
Z
R
V =
Z
R
A(y)dy = 4aπ
−R
−R
p
R2 − y 2 dy
½È©¦NÈ
)µ
A(y)
= πx22 − πx21
p
p
= π[(a + R2 − y 2 )2 − (a − R2 − y 2 )2 ]
p
= 4aπ R2 − y 2 .
Z
R
V =
Z
R
A(y)dy = 4aπ
−R
−R
1
= 4aπ · πR2 = 2aπ 2 R2 .
2
p
R2 − y 2 dy
½È©¦NÈ
~5. ¦^Ó‚ x = t − sin t,
y = 1 − cos t
˜ÿ7x¶^=˜±¤
^=N
NÈ.
½È©¦NÈ
~5. ¦^Ó‚ x = t − sin t,
y = 1 − cos t
˜ÿ7x¶^=˜±¤
^=N
NÈ.
)µò^Ó‚ ëꕧ“\¦^=NNÈ
úª
Z T2
V = π
y 2 (t)|x0 (t)|dt
T1
½È©¦NÈ
~5. ¦^Ó‚ x = t − sin t,
y = 1 − cos t
˜ÿ7x¶^=˜±¤
^=N
NÈ.
)µò^Ó‚ ëꕧ“\¦^=NNÈ
úª
Z T2
V = π
y 2 (t)|x0 (t)|dt
T
Z 12π
= π
(1 − cos t)3 dt = 5π 2 a3 .
0
½È©¦NÈ
~6. f (x), g(x) 3[a, b] þëY,…
g(x) < f (x) < m (~ê), ¦-‚y = g(x),
y = f (x), x = a, x = b ¤Œã/7†‚
y = m ^= ¤ ^=NNÈ.
½È©¦NÈ
~6. f (x), g(x) 3[a, b] þëY,…
g(x) < f (x) < m (~ê), ¦-‚y = g(x),
y = f (x), x = a, x = b ¤Œã/7†‚
y = m ^= ¤ ^=NNÈ.
)µdK¿, ¿Šâ(1) Œ•, ¤¦NÈ•
Z b
V =
π[(m − g(x))2 − (m − f (x))2 ]dx
a
½È©¦NÈ
~6. f (x), g(x) 3[a, b] þëY,…
g(x) < f (x) < m (~ê), ¦-‚y = g(x),
y = f (x), x = a, x = b ¤Œã/7†‚
y = m ^= ¤ ^=NNÈ.
)µdK¿, ¿Šâ(1) Œ•, ¤¦NÈ•
Z b
V =
π[(m − g(x))2 − (m − f (x))2 ]dx
a
Z b
= π
[2m − f (x) − g(x)][f (x) − g(x)]dx.
a
½È©¦NÈ
(µ1. ®•²1 ¡¡È AÛN NÈ
2. ^=NNÈ
½È©¦ý¡È
½È©¦ý¡È
^½È©¦^=­¡ý¡È
½È©¦ý¡È
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ [T1 , T2 ]
(½²¡þ˜ã1w­‚, y(t) ≥ 0, §7x
¶^=˜±˜‡^=­¡.
½È©¦ý¡È
é«m[T1 , T2 ] Šy©µ
T : T1 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = T2 ,
d d ­ ‚ þ ^ g ü n + 1‡
:P0 , P1 , · · · , Pn , Ù¥
Pi = (x(ti ), y(ti )).
½È©¦ý¡È
K²¡x = x(ti ) r^=Nƒ¤n ¬, Y
3x = x(ti−1 ) Úx = x(ti ) ƒm­¡ŒCq
u ý¡, PÙý¡È∆Si , K
∆Si = π[y(ti−1 ) + y(ti )] · Pi−1 Pi .
½È©¦ý¡È
K²¡x = x(ti ) r^=Nƒ¤n ¬, Y
3x = x(ti−1 ) Úx = x(ti ) ƒm­¡ŒCq
u ý¡, PÙý¡È∆Si , K
∆Si = π[y(ti−1 ) + y(ti )] · Pi−1 Pi .
ekT k = max {∆ti } → 0 ž, 4
1≤i≤n
lim
kT k→0
3,
n
X
i=1
∆Si = π lim
λ→0
n
X
[y(ti−1 ) + y(ti )] · Pi−1 Pi
i=1
4Š†«m[T1 , T2 ]y©Ã',
½È©¦ý¡È
K¡4Š
S=
lim
n
X
kT k→0
= π lim
∆Si
i=1
n
P
kT k→0 i=1
[y(ti−1 ) + y(ti )] · Pi−1 Pi
T㭂7x¶^=˜±¤^=­
¡¡È.
½È©¦ý¡È
5¿
Pi−1 Pi =
p
(x(ti ) − x(ti−1 ))2 + (y(ti ) − y(ti−1 ))2 .
½È©¦ý¡È
5¿
Pi−1 Pi =
p
(x(ti ) − x(ti−1 ))2 + (y(ti ) − y(ti−1 ))2 .
†¦­‚ݞ?ؘ, Œ±
Z T2
q
S = 2π
y(t) [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 d t .
T1
½È©¦ý¡È
éu†‹I§y = f (x)3«m[a, b]þ(
½˜^­‚, Ù7x¶^=˜±¤^=N
ý¡Èµ
Z b
p
S = 2π
|f (x)| 1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
½È©¦ý¡È
~1. ¦¥¡x2 + y 2 + z 2 = r2 L¡È.
½È©¦ý¡È
~1. ¦¥¡x2 + y 2 + z 2 = r2 L¡È.
√
)µT¥¡d­‚y = r2 − x2
(−r ≤ x ≤ r) 7x¶^=˜± §
½È©¦ý¡È
~1. ¦¥¡x2 + y 2 + z 2 = r2 L¡È.
√
)µT¥¡d­‚y = r2 − x2
(−r ≤ x ≤ r) 7x¶^=˜± §
Z r p
A = 2π
y 1 + y 02 dx
−r
½È©¦ý¡È
~1. ¦¥¡x2 + y 2 + z 2 = r2 L¡È.
√
)µT¥¡d­‚y = r2 − x2
(−r ≤ x ≤ r) 7x¶^=˜± §
Z r p
A = 2π
y 1 + y 02 dx
−r
r
Z rp
x2
2
2
= 2π
r −x 1+ 2
dx
r − x2
−r
½È©¦ý¡È
~1. ¦¥¡x2 + y 2 + z 2 = r2 L¡È.
√
)µT¥¡d­‚y = r2 − x2
(−r ≤ x ≤ r) 7x¶^=˜± §
Z r p
A = 2π
y 1 + y 02 dx
−r
r
Z rp
x2
2
2
= 2π
r −x 1+ 2
dx
r − x2
−r
Z r
= 2πr
dx = 4πr2 .
−r
½È©¦ý¡È
~2. ¦^ӂ
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t)
˜ÿ7x¶^=˜±¤^=Ný¡È.
½È©¦ý¡È
~2. ¦^ӂ
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t)
˜ÿ7x¶^=˜±¤^=Ný¡È.
): ò^ӂëꐧ“\¦^=­¡¡
Èúª
S = 2πa
2
Z
0
2π
q
(1 − cos t) (1 − cos t)2 + sin2 tdt
½È©¦ý¡È
~2. ¦^ӂ
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t)
˜ÿ7x¶^=˜±¤^=Ný¡È.
): ò^ӂëꐧ“\¦^=­¡¡
Èúª
Z
2π
q
(1 − cos t) (1 − cos t)2 + sin2 tdt
0
Z 2π
√
√
2
= 2 2πa
(1 − cos t) 1 − cos tdt
S = 2πa
2
0
½È©¦ý¡È
~2. ¦^ӂ
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t)
˜ÿ7x¶^=˜±¤^=Ný¡È.
): ò^ӂëꐧ“\¦^=­¡¡
Èúª
Z
2π
q
(1 − cos t) (1 − cos t)2 + sin2 tdt
0
Z 2π
√
√
2
= 2 2πa
(1 − cos t) 1 − cos tdt
Z 2π0
t
64
2
3 t
= 16πa
sin d
= πa2 .
2
2
3
0
S = 2πa
2
½È©¦ý¡È
(µ^=­¡ý¡È
½È©ÔnA^
½È©ÔnA^
½È©ÔnA^
½È©ÔnA^
˜. ¦Ÿþ
½È©ÔnA^
˜. ¦Ÿþ
k˜[•, ݏl, ˜3Ox¶þ, e—Ý
´þ!, Kٗݏ~ê, Pρ, l , [
•Ÿþuρl.
½È©ÔnA^
˜. ¦Ÿþ
k˜[•, ݏl, ˜3Ox¶þ, e—Ý
´þ!, Kٗݏ~ê, Pρ, l , [
•Ÿþuρl.
y3b½—ݼêρ = ρ(x) ´«m[a, b] þ
ëY¼ê, ·‚‡¦[•Ÿþ.
½È©ÔnA^
˜. ¦Ÿþ
k˜[•, ݏl, ˜3Ox¶þ, e—Ý
´þ!, Kٗݏ~ê, Pρ, l , [
•Ÿþuρl.
y3b½—ݼêρ = ρ(x) ´«m[a, b] þ
ëY¼ê, ·‚‡¦[•Ÿþ.
d, ^‡{. 3«m[a, b] þ?«
m[x, x + dx], Ùþ[•—ÝCqρ(x), l
Tã[•Ÿþ
Z b
dm = ρ(x)dx, Ïd, m =
ρ(x)dx.
a
½È©ÔnA^
~1. k ˜ Š [ • § À Ù x¶ þ «
m[0, 4]§•þ?˜:x?‚—ݏ
√
ρ(x) = (1 + x)kg/m, ¦[•Ÿþ.
½È©ÔnA^
~1. k ˜ Š [ • § À Ù x¶ þ «
m[0, 4]§•þ?˜:x?‚—ݏ
√
ρ(x) = (1 + x)kg/m, ¦[•Ÿþ.
)µ
Z
m =
4
ρ(x)dx
0
½È©ÔnA^
~1. k ˜ Š [ • § À Ù x¶ þ «
m[0, 4]§•þ?˜:x?‚—ݏ
√
ρ(x) = (1 + x)kg/m, ¦[•Ÿþ.
)µ
Z
4
m =
ρ(x)dx
Z0 4
=
(1 +
0
√
x)dx
½È©ÔnA^
~1. k ˜ Š [ • § À Ù x¶ þ «
m[0, 4]§•þ?˜:x?‚—ݏ
√
ρ(x) = (1 + x)kg/m, ¦[•Ÿþ.
)µ
Z
4
m =
ρ(x)dx
Z0 4
=
(1 +
√
x)dx
h 0 2 3 i 4 28
= x + x2
=
(kg).
0
3
3
½È©ÔnA^
. ¦9þ
½È©ÔnA^
. ¦9þ
~2. ®30◦ –200◦ §Ý‰ŒS§c'
9N
c(t) = (442.26 + 0.5964t) J/(kg·◦ ),
y ò § Ý 20◦ c10kg\ 9 100◦ § ¦ ¤
I9þQ.
½È©ÔnA^
)µ
dQ = c(t) · 10dt = 10c(t)dt,
½È©ÔnA^
)µ
dQ = c(t) · 10dt = 10c(t)dt,
Z
100
Q =
Z
100
10c(t)dt =
20
(4422.6 + 5.964t)dt
20
½È©ÔnA^
)µ
dQ = c(t) · 10dt = 10c(t)dt,
Z
100
Q =
Z
100
10c(t)dt =
20
(4422.6 + 5.964t)dt
20
= (4422.6t + 2.982t2 )
100
= 382435.2(J).
20
½È©ÔnA^
n. —N·Øå
½È©ÔnA^
n. —N·Øå
~3. ˜¹€F/§Ùþ.6m§
e.2m§p10m. ¦Y÷–¹€º÷
ž§¹€¤ÉØåP .
½È©ÔnA^
n. —N·Øå
~3. ˜¹€F/§Ùþ.6m§
e.2m§p10m. ¦Y÷–¹€º÷
ž§¹€¤ÉØåP .
)µXeãïá‹IX
½È©ÔnA^
BC§y = 3 − 15 x.
½È©ÔnA^
BC§y = 3 − 15 x. 㥇£ÒKÜ
©¤¡È
1
dA = 2(3 − x)dx,
5
½È©ÔnA^
BC§y = 3 − 15 x. 㥇£ÒKÜ
©¤¡È
1
dA = 2(3 − x)dx,
5
u´Øå
1
dP = ρgx · dA = 2ρgx(3 − x)dx.
5
½È©ÔnA^
BC§y = 3 − 15 x. 㥇£ÒKÜ
©¤¡È
1
dA = 2(3 − x)dx,
5
u´Øå
1
dP = ρgx · dA = 2ρgx(3 − x)dx.
5
Ïd
Z 10
1
P =
2ρgx(3 − x)dx
5
0
½È©ÔnA^
BC§y = 3 − 15 x. 㥇£ÒKÜ
©¤¡È
1
dA = 2(3 − x)dx,
5
u´Øå
1
dP = ρgx · dA = 2ρgx(3 − x)dx.
5
Ïd
Z 10
h
2 3 i10
1
2
P =
2ρgx(3 − x)dx = ρg 3x − x
15 0
5
0
½È©ÔnA^
BC§y = 3 − 15 x. 㥇£ÒKÜ
©¤¡È
1
dA = 2(3 − x)dx,
5
u´Øå
1
dP = ρgx · dA = 2ρgx(3 − x)dx.
5
Ïd
Z 10
h
2 3 i10
1
2
P =
2ρgx(3 − x)dx = ρg 3x − x
15 0
5
0
500
=
ρg.
3
½È©ÔnA^
o. ‰õ¯K
½È©ÔnA^
o. ‰õ¯K
~4. ˜ I/Y³, ³Œ»3’, ³2’,
³¥÷ Y, Á¦òܳYÄѳ ¤
I‰õ.
½È©ÔnA^
o. ‰õ¯K
~4. ˜ I/Y³, ³Œ»3’, ³2’,
³¥÷ Y, Á¦òܳYÄѳ ¤
I‰õ.
)µXeãïá‹IX
½È©ÔnA^
)µAO§x = 32 y.
½È©ÔnA^
)µAO§x = 32 y. 㥇£ÒKÜ
©¤Nȏ
dV = πx2 dy,
½È©ÔnA^
)µAO§x = 32 y. 㥇£ÒKÜ
©¤Nȏ
dV = πx2 dy,
u´õ‡
dW = (2 − y)ρgdV = ρgπx2 (2 − y)dy.
½È©ÔnA^
)µAO§x = 32 y. 㥇£ÒKÜ
©¤Nȏ
dV = πx2 dy,
u´õ‡
dW = (2 − y)ρgdV = ρgπx2 (2 − y)dy.
Ïd
Z
2
ρgπx2 (2 − y)dy
0
Z 2
9
(2y 2 − y 3 )dy = 3ρgπ.
= ρgπ
4
0
W =
½È©ÔnA^
Ê. 6þ
½È©ÔnA^
Ê. 6þ
~5. òÉ+w¤˜‡ Î/+f§§
¡ Œ » Rcm, É + ¥ É 6 ² 1
u É + ¥ % ¶ § å l ¥ % ¶r? 6 „
v(r) = k(R2 − r2 ) (k > 0). ¦ü žm
SÉ+¥É6þ.
½È©ÔnA^
Ê. 6þ
~5. òÉ+w¤˜‡ Î/+f§§
¡ Œ » Rcm, É + ¥ É 6 ² 1
u É + ¥ % ¶ § å l ¥ % ¶r? 6 „
v(r) = k(R2 − r2 ) (k > 0). ¦ü žm
SÉ+¥É6þ.
): éuÉ+ ¡‡(˜‡
ٌ»‰Œ´[r, r + dr]§
‚¡)§
½È©ÔnA^
Ê. 6þ
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SÉ+¥É6þ.
): éuÉ+ ¡‡(˜‡ ‚¡)§
ٌ»‰Œ´[r, r + dr]§Ù¡ÈCq
dS = 2πrdr,
½È©ÔnA^
3T ‚¡?6„CqwŠØC§Ï
ü žmSÏLT ‚¡É6þ
dQ = v(r) · 2πrdr.
½È©ÔnA^
3T ‚¡?6„CqwŠØC§Ï
ü žmSÏLT ‚¡É6þ
dQ = v(r) · 2πrdr.
Ïd
Z
R
2πrv(r)dr
Z R
1
= 2kπ
(R2 r − r3 )dr = kπR4 (cm3 ).
2
0
Q=
0
½È©ÔnA^
(µ½È©ÔnA^
Ÿþ
9þ
—N·Øå
‰õ
6þ
‡~È©
‡~È©
‡~È©£þ¤
‡~È©
˜!¯KJÑ
‡~È©
˜!¯KJÑ
Z b
é½È©
f (x)dx
›µ
ó§kü^ā
a
(1) [a, b]´k4«m;
(2) f (x)´[a, b]þk.¼ê.
ùÈ©¡~ÂÈ©.
‡~È©
˜!¯KJÑ
Z b
é½È©
f (x)dx
›µ
ó§kü^ā
a
(1) [a, b]´k4«m;
(2) f (x)´[a, b]þk.¼ê.
ùÈ©¡~ÂÈ©.
Šâ¢S¯KI‡, ‡â»½È©ù
ü^­‡›.
‡~È©
~1. ¦­‚y = x12 , x¶±9x = 1m>¤
Œ¤m­>F/¡È.
‡~È©
~1. ¦­‚y = x12 , x¶±9x = 1m>¤
Œ¤m­>F/¡È.
~2. ¦­‚y = √1x , x¶,y¶±9x = 1¤Œ
¤m­>F/¡È.
‡~È©
!á«mþÈ©
‡~È©
!á«mþÈ©
á«mÈ©kn«/ª:
Z +∞
Z a
f (x)dx,
f (x)dx,
a
−∞
Z
+∞
f (x)dx.
−∞
‡~È©
!á«mþÈ©
á«mÈ©kn«/ª:
Z +∞
Z a
f (x)dx,
f (x)dx,
Z
f (x)dx.
−∞
a
´du/ªþk
Z a
f (x)dx x=−t
−∞
+∞
−∞
Z
−
Z
−a
f (−t)dt
+∞
+∞
=
f (−t)dt
−a
‡~È©
9
Z
+∞
+∞
Z
f (x)dx =
−∞
Z
a
f (x)dx+
a
f (x)dx
−∞
‡~È©
9
Z
+∞
+∞
Z
f (x)dx =
−∞
a
f (x)dx+
f (x)dx
−∞
a
Ïde¡?Ø=Ò
m.
Z
+∞
Z
f (x)dx/ª5Ð
a
‡~È©
½Â
¼êf (x)3[a, +∞)k½Â§ 3?¿k
«m[a, b] ⊂ [a, +∞) þŒÈ§
‡~È©
½Â
¼êf (x)3[a, +∞)k½Â§ 3?¿k
«m[a, b] ⊂ [a, +∞) þŒÈ§
‡~È©
½Â
¼êf (x)3[a, +∞)k½Â§ 3?¿k
«m[a, b] ⊂ [a, +∞) þŒÈ§e4
Z b
lim
f (x)dx
b→+∞
3§
a
‡~È©
½Â
¼êf (x)3[a, +∞)k½Â§ 3?¿k
«m[a, b] ⊂ [a, +∞) þŒÈ§e4
Z b
lim
f (x)dx
b→+∞ Z
a +∞
f (x)dxÂñ £½
3§K¡‡~È©
a
¡f (x) 3[a, +∞) þŒÈ¤§
‡~È©
½Â
¼êf (x)3[a, +∞)k½Â§ 3?¿k
«m[a, b] ⊂ [a, +∞) þŒÈ§e4
Z b
lim
f (x)dx
b→+∞ Z
a +∞
f (x)dxÂñ £½
3§K¡‡~È©
a
¡f (x) 3[a, +∞) þŒÈ¤§ÙÈ©Š
Z +∞
Z b
f (x)dx = lim
f (x)dx.
a
b→+∞
a
‡~È©
Z
ÄK¡‡~È©
a
+∞
f (x)dxuÑ.
‡~È©
+∞
Z
ÄK¡‡~È©
f (x)dxuÑ.
a
Z
a
I é‡~È©
Z
+∞
f (x)dx†
−∞
aq/‰ÑñÑ5½Â.
f (x)dxŒ
−∞
‡~È©
I XJf (x)3?Ûk«mþьÈ, K
‡é,‡c, áȩ
Z
Z
c
+∞
f (x)dxÚ
−∞
Z
+∞
K
f (x)dxÑÂñ,
c
f (x)dxÒÂñ,
−∞
‡~È©
I XJf (x)3?Ûk«mþьÈ, K
‡é,‡c, áȩ
Z
Z
c
+∞
f (x)dxÚ
−∞
Z
+∞
K
f (x)dxÑÂñ,
c
f (x)dxÒÂñ,
È©Š
−∞
Z
+∞
Z
c
f (x)dx =
−∞
†cÀÃ'.
Z
f (x)dx +
−∞
+∞
f (x)dx
c
‡~È©
Aۿµ
‡~È©
Aۿµ
+∞
Z
f (x) ≥ 0ž§
f (x)dxÂñL«d†‚
a
x = a, y = 0 †fZ(x) Œ¤Ã«Œ¦¡
+∞
ȧ١ÈÒ´
f (x)dx.
a
‡~È©
Z
+∞
~3. ¦
−∞
dx
.
1 + x2
‡~È©
Z
+∞
~3. ¦
−∞
dx
.
1 + x2
)µ
Z
+∞
−∞
dx
=
1 + x2
Z
0
+∞
dx
+
1 + x2
Z
0
dx
2
−∞ 1 + x
‡~È©
Z
+∞
~3. ¦
−∞
dx
.
1 + x2
)µ
Z +∞
Z 0
dx
dx
dx
=
+
2
2
1 + x2
−∞ 1 + x
0
−∞ 1 + x
Z 0
Z b
dx
dx
= lim
+
lim
a→−∞ a 1 + x2
b→+∞ 0 1 + x2
Z
+∞
‡~È©
Z
+∞
~3. ¦
−∞
dx
.
1 + x2
)µ
Z +∞
Z 0
dx
dx
dx
=
+
2
2
1 + x2
−∞ 1 + x
0
−∞ 1 + x
Z 0
Z b
dx
dx
= lim
+
lim
a→−∞ a 1 + x2
b→+∞ 0 1 + x2
= lim arctan b + lim (− arctan a)
Z
+∞
b→+∞
a→−∞
‡~È©
Z
+∞
~3. ¦
−∞
dx
.
1 + x2
)µ
Z +∞
Z 0
dx
dx
dx
=
+
2
2
1 + x2
−∞ 1 + x
0
−∞ 1 + x
Z 0
Z b
dx
dx
= lim
+
lim
a→−∞ a 1 + x2
b→+∞ 0 1 + x2
= lim arctan b + lim (− arctan a)
Z
+∞
b→+∞
π π
=
+ = π.
2 2
a→−∞
‡~È©
{BOŽ, Œ±òNewton-Leibnizúªí
22ÂÈ©œ¹µ
‡~È©
{BOŽ, Œ±òNewton-Leibnizúªí
22ÂÈ©œ¹µ
XJF ´f 3[a, +∞)þ¼ê, K
Z +∞
f (x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)
a
+∞
.
a
‡~È©
{BOŽ, Œ±òNewton-Leibnizúªí
22ÂÈ©œ¹µ
XJF ´f 3[a, +∞)þ¼ê, K
Z +∞
f (x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)
+∞
.
a
a
Ù¥
F (+∞) = lim F (x).
x→+∞
‡~È©
Z
~4. ?Øp-È©
1
+∞
1
dx ñÑ5(p ∈ R).
xp
‡~È©
Z
+∞
~4. ?Øp-È©
1
): p 6= 1ž§
Z +∞
1
x−p+1
dx =
p
x
1−p
1
1
dx ñÑ5(p ∈ R).
xp
+∞
1
‡~È©
Z
+∞
~4. ?Øp-È©
1
): p 6= 1ž§
Z +∞
1
x−p+1
dx =
p
x
1−p
1
1
dx ñÑ5(p ∈ R).
xp
(
+∞
=
1
1
p−1 ,
p > 1,
+∞, p < 1.
‡~È©
Z
+∞
~4. ?Øp-È©
1
): p 6= 1ž§
Z +∞
1
x−p+1
dx =
p
x
1−p
1
p = 1ž§
Z +∞
1
1
dx ñÑ5(p ∈ R).
xp
(
+∞
=
1
1
dx = ln x
x
+∞
1
1
p−1 ,
p > 1,
+∞, p < 1.
‡~È©
Z
+∞
~4. ?Øp-È©
1
): p 6= 1ž§
Z +∞
1
x−p+1
dx =
p
x
1−p
1
p = 1ž§
Z +∞
1
1
dx ñÑ5(p ∈ R).
xp
(
+∞
=
1
1
dx = ln x
x
1
p−1 ,
p > 1,
+∞, p < 1.
+∞
= +∞.
1
‡~È©
Z
Ïd§p > 1ž§‡~È©
1
u
¶
p−1
1
+∞
1
dxÂñ
xp
‡~È©
+∞
Z
Ïd§p > 1ž§‡~È©
1
1
u
¶
p−1
Z
p ≤ 1ž§‡~È©
1
+∞
1
dxÂñ
xp
1
dxuÑ.
xp
‡~È©
Ó, ©ÜÈ©úªŒí22ÂÈ©
œ¹, =
‡~È©
Ó, ©ÜÈ©úªŒí22ÂÈ©
œ¹, =
u, v ∈ C 1 [a, +∞), K
Z
+∞
+∞
u(x)dv(x) = u(x)v(x)
a
a
Z
−
+∞
v(x)du(x).
a
ª¿Â´: XJþªmàªfk¿
Â, K†àÈ©Âñ, umàŠ.
‡~È©
Z
~5. ¦
0
+∞
xe−px dx (p > 0).
‡~È©
Z
+∞
xe−px dx (p > 0).
~5. ¦
0
)µA^©ÜÈ©{§
Z +∞
xe−px dx
0
=
x −px − e
p
+∞
0
1
+
p
Z
0
+∞
e−px dx
‡~È©
Z
+∞
xe−px dx (p > 0).
~5. ¦
0
)µA^©ÜÈ©{§
Z +∞
xe−px dx
0
x −px +∞ 1
+
= − e
0
p
p
1
+∞
= 0 + − 2 e−px
0
p
Z
0
+∞
e−px dx
‡~È©
Z
+∞
xe−px dx (p > 0).
~5. ¦
0
)µA^©ÜÈ©{§
Z +∞
xe−px dx
0
x −px +∞ 1
+
= − e
0
p
p
1
+∞
= 0 + − 2 e−px
0
p
1
= 2.
p
Z
0
+∞
e−px dx
‡~È©
Z
~6. ¦
0
+∞
e−x sin xdx.
‡~È©
Z
+∞
e−x sin xdx.
~6. ¦
0
)µA^©ÜÈ©{§
Z +∞
e−x sin xdx
0
−x
= −e
Z
+∞
sin x
+
0
0
+∞
e−x cos xdx
‡~È©
Z
+∞
e−x sin xdx.
~6. ¦
0
)µA^©ÜÈ©{§
Z +∞
e−x sin xdx
0
−x
= −e
Z
+∞
sin x
= 0−e
e−x cos xdx
+
0
−x
+∞
0
+∞
cos x
0
Z
−
0
+∞
e−x sin xdx
‡~È©
Z
+∞
e−x sin xdx.
~6. ¦
0
)µA^©ÜÈ©{§
Z +∞
e−x sin xdx
0
Z
+∞
−x
= −e
sin x
= 0−e
Z
= 1−
0
e−x cos xdx
+
0
−x
+∞
0
+∞
cos x
0
Z
−
0
+∞
e−x sin xdx,
+∞
e−x sin xdx
‡~È©
¤±
Z
0
+∞
1
e−x sin xdx = .
2
‡~È©
‡~È©
‡~È©£e¤
‡~È©
n!Ã.¼êÈ©
‡~È©
n!Ã.¼êÈ©
¦¼êÃ.:¡Û:§dÈ©«m
Œ\5§·‚b½f (x)3[a, b]þk˜‡Û
:"
‡~È©
œ/ 1: ¼êf (x)3[a, b)þk½Â,
x = bf (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a,
¼ê3[a, b − η]þ~ŒÈ.
‡~È©
œ/ 1: ¼êf (x)3[a, b)þk½Â,
x = bf (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a,
¼ê3[a, b − η]þ~ŒÈ. XJ4
Z b−η
lim+
f (x)dx,
η→0
Z
3§K¡È©
a
b
f (x)dx喤
a
‡~È©
œ/ 1: ¼êf (x)3[a, b)þk½Â,
x = bf (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a,
¼ê3[a, b − η]þ~ŒÈ. XJ4
Z b−η
lim+
f (x)dx,
η→0
Z
a
b
f (x)dxÂñ§ÙÈ©Š
3§K¡È©
a
Z b−η
Z b

f (x)dx = lim+
f (x)dx.
a
η→0
a
‡~È©
œ/ 1: ¼êf (x)3[a, b)þk½Â,
x = bf (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a,
¼ê3[a, b − η]þ~ŒÈ. XJ4
Z b−η
lim+
f (x)dx,
η→0
Z
a
b
f (x)dxÂñ§ÙÈ©Š
3§K¡È©
a
Z b−η
Z b

f (x)dx = lim+
f (x)dx.
η→0
a
Z
ÄK§¡È©
a
b
f (x)dxuÑ.
a
‡~È©
œ/ 2: ¼êf (x)3(a, b]þk½Â, x = a
f (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a, ¼ê
3[a + η, b]þ~ŒÈ.
‡~È©
œ/ 2: ¼êf (x)3(a, b]þk½Â, x = a
f (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a, ¼ê
3[a + η, b]þ~ŒÈ. XJ4
Z b
lim+
f (x)dx,
η→0
a+η
Z
3§K¡È©
b
f (x)dx喤
a
‡~È©
œ/ 2: ¼êf (x)3(a, b]þk½Â, x = a
f (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a, ¼ê
3[a + η, b]þ~ŒÈ. XJ4
Z b
lim+
f (x)dx,
η→0
a+η
Z
b
3§K¡È©
f (x)dxÂñ§ÙÈ©Š
a
Z b
Z b

f (x)dx.
f (x)dx = lim+
a
η→0
a+η
‡~È©
œ/ 2: ¼êf (x)3(a, b]þk½Â, x = a
f (x)Û:§ é?Û0 < η < b − a, ¼ê
3[a + η, b]þ~ŒÈ. XJ4
Z b
lim+
f (x)dx,
η→0
a+η
Z
b
3§K¡È©
f (x)dxÂñ§ÙÈ©Š
a
Z b
Z b

f (x)dx.
f (x)dx = lim+
η→0
a+η
a
Z b
ÄK§¡È©
f (x)dxuÑ.
a
‡~È©
œ /3: ec´Û:, =f (x)3x = cNCÃ
., KI‡©OÄ
Z c
Z b
f (x)dx Ú
f (x)dx.
a
c
XJùü‡È©ÑÂñ,
K¡È©
Z b
f (x)dxÂñ,
a
‡~È©
œ /3: ec´Û:, =f (x)3x = cNCÃ
., KI‡©OÄ
Z c
Z b
f (x)dx Ú
f (x)dx.
a
c
XJùü‡È©ÑÂñ,
K¡È©
Z b
f (x)dxÂñ, ¿½Â
a
Z
b
Z
f (x)dx =
a
c
Z
f (x)dx +
a
b
f (x)dx.
c
‡~È©
½È©
b
Z
f (x)dxÂñdu4
a
Z
lim
η→0+
c−η
f (x)dx Ú
a
þÕá/Âñ.
Z
b
lim
η→0+
f (x)dx
c+η
‡~È©
Z
~7. ¦
0
1
√
dx
.
1 − x2
‡~È©
Z
~7. ¦
0
1
√
dx
.
1 − x2
)µ3x = 1?§È¼êÃ.§K
Z 1
1−η
dx
π
√
= lim+ arcsin x
= .
η→0
2
1 − x2
0
0
‡~È©
Z
~7. ¦
0
1
√
dx
.
1 − x2
)µ3x = 1?§È¼êÃ.§K
Z 1
1−η
dx
π
√
= lim+ arcsin x
= .
η→0
2
1 − x2
0
0
ӌOŽ
Z
0
a
√
dx
π
= .
2
a2 − x 2
‡~È©
Ó, †{Œí22ÂÈ©œ¹, =
‡~È©
Ó, †{Œí22ÂÈ©œ¹, =
¼êf (x)3[a, b)ëY, ¼êx = ϕ(t)
3[α, β) þkëYê, XJϕ0 (t) > 0,
ϕ((α, β)) ⊂ (a, b), ϕ(α) = a, ϕ(β − 0) = b, @
o
Z β
Z b
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
a
α
‡~È©
~8. ?ØeÈ©ñÑ5
Z 1
Z b
dx
dx
(1)
,
(2)
, (a < b).
p
p
0 x
a (x − a)
‡~È©
~8. ?ØeÈ©ñÑ5
Z 1
Z b
dx
dx
(1)
,
(2)
, (a < b).
p
p
0 x
a (x − a)
): (1)p 6= 1ž§
Z 1
1
x−p+1
dx = lim+
p
η→0 1 − p
0 x
1
η
‡~È©
~8. ?ØeÈ©ñÑ5
Z 1
Z b
dx
dx
(1)
,
(2)
, (a < b).
p
p
0 x
a (x − a)
): (1)p 6= 1ž§
Z 1
1
x−p+1
dx = lim+
p
η→0 1 − p
0 x
1
η
1 − η 1−p
= lim+
η→0
1−p
‡~È©
~8. ?ØeÈ©ñÑ5
Z 1
Z b
dx
dx
(1)
,
(2)
, (a < b).
p
p
0 x
a (x − a)
): (1)p 6= 1ž§
Z 1
1
1
x−p+1
1 − η 1−p
dx = lim+
= lim+
p
η→0 1 − p η
η→0
1−p
0 x

 +∞, p > 1
1
=
, p<1

1−p
‡~È©
p = 1ž§
Z 1
1
dx = lim+ ln x
p
η→0
x
0
1
η
‡~È©
p = 1ž§
Z 1
1
dx = lim+ ln x
p
η→0
x
0
1
η
= − lim+ ln η = +∞
η→0
‡~È©
p = 1ž§
Z 1
1
dx = lim+ ln x
p
η→0
x
0
1
η
= − lim+ ln η = +∞
η→0
Ïd§p < 1ž§‡~È©
Z
1
1
dx
Âñu
¶
p
x
1
−
p
0
‡~È©
p = 1ž§
Z 1
1
dx = lim+ ln x
p
η→0
x
0
1
η
= − lim+ ln η = +∞
η→0
Ïd§p < 1ž§‡~È©
Z
1
1
dx
Âñu
¶
p
x
1
−
p
0
Z
p ≥ 1 ž§‡~È©
0
1
dx
uÑ.
xp
‡~È©
(2) -t = x − a§K
Z b−a
Z b
dt
dx
=
p
tp
0
a (x − a)
‡~È©
(2) -t = x − a§K
Z b−a
Z b
dt
dx
=
p
tp
0
a (x − a)
d(1)§p < 1ž§‡~È©
Z b
(b − a)1−p
dx
Âñu
¶
p
1−p
a (b − a)
‡~È©
(2) -t = x − a§K
Z b−a
Z b
dt
dx
=
p
tp
0
a (x − a)
d(1)§p < 1ž§‡~È©
Z b
(b − a)1−p
dx
Âñu
¶
p
1−p
a (b − a)
Z
p ≥ 1ž§‡~È©
uÑ.
a
b
dx
(x − a)p
‡~È©
Z
1
1
ex
dxñÑ5.
~9. ?ØÈ©
2
x
−1
‡~È©
Z
1
1
ex
dxñÑ5.
~9. ?ØÈ©
2
x
−1
): x = 0´È¼ê˜Û:§ù˜:
3È©«mSÜ§Ï ·‚òÈ©©)
Z
1
1
ex
dx =
2
−1 x
Z
0
1
ex
dx+
2
−1 x
1
Z
0
1
ex
dx.
x2
‡~È©
²OŽ
Z
0
−1
1
x
e
x
dx = (−
2
1 0
ex )
−1
1
= ,
e
‡~È©
²OŽ
1
x
e
0
Z
−1
1
Z
0
x
dx = (−
2
1 0
ex )
1
1
ex
x)
dx
=
(−
e
x2
−1
1
= ,
e
1
= +∞,
0
‡~È©
²OŽ
1
x
e
0
Z
−1
Z
¤±
Z
1
0
1
1 x
e
−1
x2
x
dx = (−
2
1 0
ex )
1
1
ex
x)
dx
=
(−
e
x2
dxuÑ.
−1
1
= ,
e
1
= +∞,
0
‡~È©
~10. OŽI =
Z
π
2
ln(sin x)dx.
0
‡~È©
~10. OŽI =
Z
π
2
ln(sin x)dx.
0
): ŠCþ“†x = 2t §K
Z
I =
0
π
2
Z
ln(sin x)dx = 2
0
π
4
ln(sin 2t)dt
‡~È©
~10. OŽI =
Z
π
2
ln(sin x)dx.
0
): ŠCþ“†x = 2t §K
π
2
Z
I =
Z
ln(sin x)dx = 2
0
0
Z
= 2
0
π
4
ln(2 sin t cos t)dt
π
4
ln(sin 2t)dt
‡~È©
~10. OŽI =
π
2
Z
ln(sin x)dx.
0
): ŠCþ“†x = 2t §K
π
2
Z
I =
Z
ln(sin x)dx = 2
0
π
4
ln(sin 2t)dt
0
Z
= 2
π
4
ln(2 sin t cos t)dt
0
π
=
ln 2 + 2
2
π
4
Z
0
π
4
Z
ln(sin t) dt + 2
0
ln(cos t) dt.
‡~È©
é
˜È©Š“†t =
π
ln 2 + 2
I=
2
Z
0
π
4
π
2
− u §K
π
4
Z
ln(sin t)dt − 2
π
2
ln(sin t)dt
‡~È©
é
˜È©Š“†t =
π
2
− u §K
Z π
Z π
4
4
π
ln 2 + 2
ln(sin t)dt − 2
ln(sin t)dt
I=
π
2
0
2
π
=
ln 2 + 2I,
2
‡~È©
é
˜È©Š“†t =
π
2
− u §K
Z π
Z π
4
4
π
ln 2 + 2
ln(sin t)dt − 2
ln(sin t)dt
I=
π
2
0
2
π
=
ln 2 + 2I,
2
u´
π
I = − ln 2.
2
‡~È©
(µ‡~È©
á«mþÈ©
Ã.¼êÈ©
‡©•§ Vg
‡©•§ Vg
‡©•§ Vg
‡©•§ Vg
˜. ¯K JÑ
‡©•§ Vg
˜. ¯K JÑ
~1 ®•˜-‚ÏL:(1, 2), …T-‚þ
?¿˜:M (x, y)?ƒ‚
Ç uT:î
‹I ü , ¦d-‚ •§.
‡©•§ Vg
˜. ¯K JÑ
~1 ®•˜-‚ÏL:(1, 2), …T-‚þ
?¿˜:M (x, y)?ƒ‚
Ç uT:î
‹I ü , ¦d-‚ •§.
)
¤¦-‚•§•y = y(x),
‡©•§ Vg
˜. ¯K JÑ
~1 ®•˜-‚ÏL:(1, 2), …T-‚þ
?¿˜:M (x, y)?ƒ‚
Ç uT:î
‹I ü , ¦d-‚ •§.
)
¤¦-‚•§•y = y(x), d
Aۿ•¼êy(x)A÷v'Xª
dy
= 2x,
dx
ê
(1)
‡©•§ Vg
˜. ¯K JÑ
~1 ®•˜-‚ÏL:(1, 2), …T-‚þ
?¿˜:M (x, y)?ƒ‚
Ç uT:î
‹I ü , ¦d-‚ •§.
)
¤¦-‚•§•y = y(x), d
Aۿ•¼êy(x)A÷v'Xª
dy
= 2x,
dx
d , y(x)„÷v^‡
y(1) = 2.
ê
(1)
(2)
‡©•§ Vg
˜. ¯K JÑ
~1 ®•˜-‚ÏL:(1, 2), …T-‚þ
?¿˜:M (x, y)?ƒ‚
Ç uT:î
‹I ü , ¦d-‚ •§.
)
¤¦-‚•§•y = y(x), d ê
Aۿ•¼êy(x)A÷v'Xª
dy
= 2x,
(1)
dx
d , y(x)„÷v^‡
y(1) = 2.
(2)
l(1),(2)¥¦Ñ¼êy(x), =Œ -‚•§.
‡©•§ Vg
. ‡©•§
½Â
‡©•§ Vg
. ‡©•§
½Â
½Â
r˜‡¹kgCþ!™•þ¼ê9™•¼
ê
ꣽ‡©¤
ª¡•‡©•§.
‡©•§ Vg
. ‡©•§
½Â
½Â
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ê
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ª¡•‡©•§.
‡©•§ Vg
. ‡©•§
½Â
½Â
r˜‡¹kgCþ!™•þ¼ê9™•¼
ê
ꣽ‡©¤
ª¡•‡©•§.
‡©•§¥¤¹™•¼ê
ê •p
ê¡•‡©•§
.
‡©•§ Vg
~Xµ
‡©•§ Vg
~Xµ
y 0 = xy;
‡©•§ Vg
~Xµ
y 0 = xy;
y 00 + 2y 0 − 3y = ex ;
‡©•§ Vg
~Xµ
y 0 = xy;
y 00 + 2y 0 − 3y = ex ;
(t2 + x)dt + xdx = 0.
‡©•§ Vg
~Xµ
y 0 = xy;
y 00 + 2y 0 − 3y = ex ;
(t2 + x)dt + xdx = 0.
n ‡©•§ ˜„/ª•
F (x, y, y 0 , y 0 , · · · , y (n) ) = 0.
‡©•§ Vg
n. ‡©•§
)
‡©•§ Vg
n. ‡©•§
)
½Â
¼êy = y(x)3«mIþk½Â, e
x ∈ I ž,
F (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), · · · , y (n) (x)) ≡ 0,
‡©•§ Vg
n. ‡©•§
)
½Â
¼êy = y(x)3«mIþk½Â, e
x ∈ I ž,
F (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), · · · , y (n) (x)) ≡ 0,
‡©•§ Vg
n. ‡©•§
)
½Â
¼êy = y(x)3«mIþk½Â, e
x ∈ I ž,
F (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), · · · , y (n) (x)) ≡ 0,
K¡y = y(x)•‡©•§
F (x, y, y 0 , y 00 , · · · , y (n) ) = 0
˜‡).
‡©•§ Vg
‡©•§ ) ©a:
‡©•§ Vg
‡©•§ ) ©a:
Ï):
‡©•§ Vg
‡©•§ ) ©a:
Ï ): ‡©•§ )¥¹kƒpÕá ?
¿~ê, …ƒpÕá ?¿~ê ‡ê†
•§
êƒÓ.
‡©•§ Vg
‡©•§ ) ©a:
Ï ): ‡©•§ )¥¹kƒpÕá ?
¿~ê, …ƒpÕá ?¿~ê ‡ê†
•§
êƒÓ.
A):
‡©•§ Vg
‡©•§ ) ©a:
Ï ): ‡©•§ )¥¹kƒpÕá ?
¿~ê, …ƒpÕá ?¿~ê ‡ê†
•§
êƒÓ.
A ): 3Ï)¥, ?¿~ê (½Š
).
‡©•§ Vg
~Xµ
‡©•§ Vg
~Xµ
3~1¥,
y1 = x2 ,
y2 = x2 + 1,
Ñ´‡©•§
y3 = x2 + C
dy
= 2x ),
dx
‡©•§ Vg
~Xµ
3~1¥,
y1 = x2 ,
y2 = x2 + 1,
y3 = x2 + C
dy
= 2x ),
dx
Ù¥y1 = x2 Úy2 = x2 + 1´A),
Ñ´‡©•§
‡©•§ Vg
~Xµ
3~1¥,
y1 = x2 ,
y2 = x2 + 1,
y3 = x2 + C
dy
= 2x ),
dx
Ù¥y1 = x2 Úy2 = x2 + 1´A),
Ñ´‡©•§
y3 = x2 + C´Ï).
‡©•§ Vg
y1 = ex , y2 = e−x , y3 = C1 ex + C2 e−x
Úy4 = C1 ex + C2 e3+x Ñ´‡©•§
y 00 − y = 0
),
‡©•§ Vg
y1 = ex , y2 = e−x , y3 = C1 ex + C2 e−x
Úy4 = C1 ex + C2 e3+x Ñ´‡©•§
y 00 − y = 0
), Ù¥y3 ´Ï),
‡©•§ Vg
y1 = ex , y2 = e−x , y3 = C1 ex + C2 e−x
Úy4 = C1 ex + C2 e3+x Ñ´‡©•§
y 00 − y = 0
), Ù¥y3 ´Ï),
y4 = C1 ex + C2 e3+x = (C1 + C2 e3 )ex
= Cex
Ø´Ï).
‡©•§ Vg
½Â
¡N\^‡
y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 ,
y 00 (x0 ) = y2 , · · · , y (n−1) (x0 ) = yn−1
•n ‡©•§F (x, y, y 0 , y 00 , · · · , y (n) ) = 0
Щ^‡.
‡©•§ Vg
¡¯K


0 00
(n)

F
(x,
y,
y
,
y
,
·
·
·
,
y
)=0


y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , y 00 (x0 ) = y2 , · · · ,




y (n−1) (x0 ) = yn−1
•…Ü£Cauchy¤¯K½ÐŠ¯K.
‡©•§ Vg
~2
y ¼ êy = C1 cos 2x + C2 sin 2x
(C1 , C2 •?¿~ê)•‡©•§
d2 y
+ 4y = 0
dx2
Ï),
(3)
‡©•§ Vg
~2
y ¼ êy = C1 cos 2x + C2 sin 2x
(C1 , C2 •?¿~ê)•‡©•§
d2 y
+ 4y = 0
dx2
Ï), ¿¦ÐŠ¯K
 2
d y
+ 4y = 0,
dx2

y(0) = 3, y 0 (0) = −2
).
(3)
(4)
‡©•§ Vg
) ‡ y˜‡¼ê´‡©•§ Ï), Ä
k y§´•§ ), , u )¥¤¹Õ
á ?¿~ê‡ê´Ä†•§
êƒÓ.
‡©•§ Vg
) ‡ y˜‡¼ê´‡©•§ Ï), Ä
k y§´•§ ), , u )¥¤¹Õ
á ?¿~ê‡ê´Ä†•§
êƒÓ.
d y = C1 cos 2x + C2 sin 2x
dy
= −2C1 sin 2x + 2C2 cos 2x,
dx
‡©•§ Vg
) ‡ y˜‡¼ê´‡©•§ Ï), Ä
k y§´•§ ), , u )¥¤¹Õ
á ?¿~ê‡ê´Ä†•§
êƒÓ.
d y = C1 cos 2x + C2 sin 2x
dy
= −2C1 sin 2x + 2C2 cos 2x,
dx
d2 y
= −4C1 cos 2x − 4C2 sin 2x,
dx2
‡©•§ Vg
2
d y
òy9 dx
2 “\‡©•§(3)
d2 y
+ 4y = −4C1 cos 2x − 4C2 sin 2x
dx2
+4(C1 cos 2x + C2 sin 2x)
≡ 0,
‡©•§ Vg
2
d y
òy9 dx
2 “\‡©•§(3)
d2 y
+ 4y = −4C1 cos 2x − 4C2 sin 2x
dx2
+4(C1 cos 2x + C2 sin 2x)
≡ 0,
Ï dy = C1 cos 2x + C2 sin 2x• ‡ © •
§(3) ),
‡©•§ Vg
2
d y
òy9 dx
2 “\‡©•§(3)
d2 y
+ 4y = −4C1 cos 2x − 4C2 sin 2x
dx2
+4(C1 cos 2x + C2 sin 2x)
≡ 0,
Ï dy = C1 cos 2x + C2 sin 2x• ‡ © •
§(3) ), qy¥ ¹ k ü ‡ ƒ p Õ á ?
¿~êC1 †C2 , (3)•
‡©•§,
‡©•§ Vg
2
d y
òy9 dx
2 “\‡©•§(3)
d2 y
+ 4y = −4C1 cos 2x − 4C2 sin 2x
dx2
+4(C1 cos 2x + C2 sin 2x)
≡ 0,
Ï dy = C1 cos 2x + C2 sin 2x• ‡ © •
§(3) ), qy¥ ¹ k ü ‡ ƒ p Õ á ?
¿~êC1 †C2 , (3)•
‡©•§, ¤±
y = C1 cos 2x + C2 sin 2x
••§(3) Ï).
‡©•§ Vg
2dЩ^‡y(0) = 3, y 0 (0) = −2
y(0) = (C1 cos 2x + C2 sin 2x)|x=0
= C1 = 3,
‡©•§ Vg
2dЩ^‡y(0) = 3, y 0 (0) = −2
y(0) = (C1 cos 2x + C2 sin 2x)|x=0
= C1 = 3,
y 0 (0) = (−2C1 sin 2x + 2C2 cos 2x)|x=0
= 2C2 = −2,
=C1 = 3, C2 = −1,
‡©•§ Vg
2dЩ^‡y(0) = 3, y 0 (0) = −2
y(0) = (C1 cos 2x + C2 sin 2x)|x=0
= C1 = 3,
y 0 (0) = (−2C1 sin 2x + 2C2 cos 2x)|x=0
= 2C2 = −2,
=C1 = 3, C2 = −1, u´ÐŠ¯K(4)
•
y = 3 cos 2x − sin 2x.
)
‡©•§ Vg
~3 ¦±y = Cearcsin x •Ï)
Ù¥C•?¿~ê.
‡©•§,
‡©•§ Vg
~3 ¦±y = Cearcsin x •Ï)
Ù¥C•?¿~ê.
)
y 0 = Cearcsin x √
1
,
1 − x2
‡©•§,
‡©•§ Vg
~3 ¦±y = Cearcsin x •Ï)
Ù¥C•?¿~ê.
)
y 0 = Cearcsin x √
1
,
1 − x2
ž ~êC,
y0 = y √
1
,
1 − x2
‡©•§,
‡©•§ Vg
~3 ¦±y = Cearcsin x •Ï)
Ù¥C•?¿~ê.
)
y 0 = Cearcsin x √
1
,
1 − x2
ž ~êC,
y0 = y √
√
= y 0 1 − x2 − y = 0.
1
,
1 − x2
‡©•§,
‡©•§ Vg
√
w,, òy = Cearcsin x “\y 0 1 − x2 −y = 0 ¥,
ª¤á.
‡©•§ Vg
√
w,, òy = Cearcsin x “\y 0 1 − x2 −y = 0 ¥,
ª¤á. …•§
ê†?¿~ê ‡êƒ
, d•§ÎÜK¿.
‡©•§ Vg
(µ1. ‡©•§ ½Â
2. ‡©•§ )£Ï)ÚA)¤
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Œ©lCþ
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Œ©lCþ
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Œ©lCþ
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˜ ‡©•§
˜. Œ©lCþ
Œ©lCþ
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‡©•§
˜ ‡©•§
˜. Œ©lCþ
Œ©lCþ
‡©•§
‡©•§
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dy
= f (x) · g(y)
dx
• § ¡ •Œ
Œ©lCþ
¥f (x), g(x)´ëY¼ê.
(1)
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˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
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ªm>Œ±©)¤ü‡¼ê ¦
È, Ù¥˜‡•´x ¼êf (x), ,˜‡•
´y ¼êg(y).
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
A ::
ªm>Œ±©)¤ü‡¼ê ¦
È, Ù¥˜‡•´x ¼êf (x), ,˜‡•
´y ¼êg(y).
){ : ©lCþ{
˜ ‡©•§
(i) b g(y) 6= 0, K
dy
= f (x)dx,
g(y)
Œ©lCþ
‡©•§
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
(i) b g(y) 6= 0, K
dy
= f (x)dx,
g(y)
Z
ü>È© Z
dy
= f (x)dx.
g(y)
‡©•§
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
(i) b g(y) 6= 0, K
dy
= f (x)dx,
g(y)
Z
ü>È© Z
dy
= f (x)dx.
g(y)
=
G(y) = F (x) + C,
C•?¿~ê.
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
(i) b g(y) 6= 0, K
dy
= f (x)dx,
g(y)
Z
ü>È© Z
dy
= f (x)dx.
g(y)
=
G(y) = F (x) + C,
C•?¿~ê.
(ii) eg(y0 ) = 0,
Ky = y0 •´•§(1) )§¡•~ê).
˜ ‡©•§
~1 ¦‡©•§
dy
= 2xy
dx
Œ©lCþ
Ï).
‡©•§
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
= 2xy Ï).
dx
) ù´˜‡Œ©lCþ ‡©•§, ©l
Cþ
dy
= 2xdx,
y
~1 ¦‡©•§
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
= 2xy Ï).
dx
) ù´˜‡Œ©lCþ ‡©•§, ©l
Cþ
dy
= 2xdx,
y
Z
Z
dy
ü>È©
= 2xdx
y
~1 ¦‡©•§
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
= 2xy Ï).
dx
) ù´˜‡Œ©lCþ ‡©•§, ©l
Cþ
dy
= 2xdx,
y
Z
Z
dy
ü>È©
= 2xdx
y
~1 ¦‡©•§
ln |y| = x2 + C1 ,
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
= 2xy Ï).
dx
) ù´˜‡Œ©lCþ ‡©•§, ©l
Cþ
dy
= 2xdx,
y
Z
Z
dy
ü>È©
= 2xdx
y
~1 ¦‡©•§
ln |y| = x2 + C1 ,
= Ï):
2
y = Cex , Ù¥C = ±eC1 .
˜ ‡©•§
~2 ¦•§
Œ©lCþ
dy
+ xy 2 = 0 Ï).
dx
‡©•§
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
+ xy 2 = 0 Ï).
dx
): ù´˜‡Œ©lCþ •§, ©lCþ
~2 ¦•§
dy
= xdx,
−y 2
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
+ xy 2 = 0 Ï).
dx
): ù´˜‡Œ©lCþ •§, ©lCþ
~2 ¦•§
ü>È©
dy
= xdx,
−y 2
Z
Z
dy
= xdx
−y 2
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
+ xy 2 = 0 Ï).
dx
): ù´˜‡Œ©lCþ •§, ©lCþ
~2 ¦•§
ü>È©
dy
= xdx,
−y 2
Z
Z
dy
= xdx
−y 2
1 1 2
= x + C,
y
2
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
‡©•§
dy
+ xy 2 = 0 Ï).
dx
): ù´˜‡Œ©lCþ •§, ©lCþ
~2 ¦•§
ü>È©
dy
= xdx,
−y 2
Z
Z
dy
= xdx
−y 2
1 1 2
= x + C, =
y
2
Ï) y =
1 2
2x
1
.
+C
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
~3 ¦‡©•§y 0 = 1 + x + y 2 + xy 2
‡©•§
Ï).
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
~3 ¦‡©•§y 0 = 1 + x + y 2 + xy 2
)
•§C/• y 0 = (1 + x)(1 + y 2 ),
‡©•§
Ï).
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
~3 ¦‡©•§y 0 = 1 + x + y 2 + xy 2
‡©•§
Ï).
)
•§C/• y 0 = (1 + x)(1 + y 2 ), ù´˜
‡Œ©lCþ ‡©•§, ©lCþ
dy
= (1 + x)dx,
1 + y2
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
~3 ¦‡©•§y 0 = 1 + x + y 2 + xy 2
‡©•§
Ï).
)
•§C/• y 0 = (1 + x)(1 + y 2 ), ù´˜
‡Œ©lCþ ‡©•§, ©lCþ
dy
= (1 + x)dx,
1 + y2
ü>È©
x2
arctan y = x +
+ C,
2
˜ ‡©•§
Œ©lCþ
~3 ¦‡©•§y 0 = 1 + x + y 2 + xy 2
‡©•§
Ï).
)
•§C/• y 0 = (1 + x)(1 + y 2 ), ù´˜
‡Œ©lCþ ‡©•§, ©lCþ
dy
= (1 + x)dx,
1 + y2
ü>È©
x2
arctan y = x +
+ C, = Ï)
2
x2
y = tan(x +
+ C).
2
˜ ‡©•§
Œ©lCþ

1
 dy =
~4 ¦ÐŠ¯K dx (x − y)2

y(2) = 0
‡©•§
).
˜ ‡©•§
Œ©lCþ

1
 dy =
~4 ¦ÐŠ¯K dx (x − y)2

y(2) = 0
) -u = x − y, K
du
dy
= 1− .
dx
dx
‡©•§
).
˜ ‡©•§
Œ©lCþ

1
 dy =
~4 ¦ÐŠ¯K dx (x − y)2

y(2) = 0
) -u = x − y, K
§C•
‡©•§
).
du
dy
= 1 − . u´
dx
dx
du u2 − 1
=
,
dx
u2
•
˜ ‡©•§
Œ©lCþ

1
 dy =
~4 ¦ÐŠ¯K dx (x − y)2

y(2) = 0
) -u = x − y, K
§C•
‡©•§
).
du
dy
= 1 − . u´
dx
dx
du u2 − 1
=
,
dx
u2
ù´˜‡Œ©lCþ ‡©•§.
•
˜ ‡©•§
©lCþ
u2
du = dx,
u2 − 1
Œ©lCþ
‡©•§
˜ ‡©•§
©lCþ
ü>È©
Œ©lCþ
u2
du = dx,
u2 − 1
1
u−1
u + ln
= x + C1 ,
2
u+1
‡©•§
˜ ‡©•§
©lCþ
ü>È©
Œ©lCþ
‡©•§
u2
du = dx,
u2 − 1
1
u−1
u + ln
= x + C1 ,
2
u+1
òu = x − y“£, =
Ï)
x−y−1
= Ce2y .
x−y+1
˜ ‡©•§
©lCþ
ü>È©
Œ©lCþ
‡©•§
u2
du = dx,
u2 − 1
1
u−1
u + ln
= x + C1 ,
2
u+1
òu = x − y“£, =
dЩ^‡y(2) = 0,
Ï)
x−y−1
= Ce2y .
x−y+1
C = 1/3.
˜ ‡©•§
©lCþ
ü>È©
Œ©lCþ
‡©•§
u2
du = dx,
u2 − 1
1
u−1
u + ln
= x + C1 ,
2
u+1
òu = x − y“£, =
dЩ^‡y(2) = 0,
¤¦A)•
Ï)
x−y−1
= Ce2y .
x−y+1
C = 1/3.
x − y − 1 1 2y
= e .
x−y+1 3
˜ ‡©•§
!·‚̇ÆS
‡©•§
Œ©lCþ ‡©•§
dy
= f (x) · g(y)
dx
9Ù){.
Œ©lCþ
˜ ‡©•§
àg•§
˜ ‡©•§
˜
àg•§
‡©•§£¥¤
˜ ‡©•§
. àg•§
àg•§
˜ ‡©•§
àg•§
. àg•§
e t 6= 0ž, k
f (tx, ty) = f (x, y)
dy
K•§
= f (x, y)•à
àg • § .
dx
(1)
˜ ‡©•§
àg•§
. àg•§
e t 6= 0ž, k
f (tx, ty) = f (x, y)
dy
K•§
= f (x, y)•à
àg • § .
dx
dž, 3ð ª(1)¥-t = x1 ,
y
y
f (x, y) = f (1, ) = ϕ( ),
x
x
(1)
˜ ‡©•§
àg•§
. àg•§
e t 6= 0ž, k
f (tx, ty) = f (x, y)
dy
K•§
= f (x, y)•à
àg • § .
dx
dž, 3ð ª(1)¥-t = x1 ,
y
y
f (x, y) = f (1, ) = ϕ( ),
x
x
Ï àg•§ /ª•
dy
y
= ϕ( ).
dx
x
(1)
(2)
˜ ‡©•§
~Xµ
àg•§
˜ ‡©•§
~Xµ
y2
dy
=
;
dx xy − x2
àg•§
˜ ‡©•§
~Xµ
y2
dy
=
;
dx xy − x2
àg•§
y
xy 0 −y = x tan .
x
˜ ‡©•§
~Xµ
y2
dy
=
;
dx xy − x2
àg•§
y
xy 0 −y = x tan .
x
) { : ÏLCþ“†=z•Œ©lCþ
•§.
˜ ‡©•§
~Xµ
y2
dy
=
;
dx xy − x2
àg•§
y
xy 0 −y = x tan .
x
) { : ÏLCþ“†=z•Œ©lCþ
•§.
y
dy
du
-u = , Kdy = ux
= x + u,
x
dx
dx
˜ ‡©•§
~Xµ
y2
dy
=
;
dx xy − x2
àg•§
y
xy 0 −y = x tan .
x
) { : ÏLCþ“†=z•Œ©lCþ
•§.
y
dy
du
-u = , Kdy = ux
= x + u,
x
dx
dx
dy
y
u´àg•§
= ϕ( ) =z•
dx
x
du
u+x
= ϕ(u),
dx
˜ ‡©•§
~Xµ
y2
dy
=
;
dx xy − x2
àg•§
y
xy 0 −y = x tan .
x
) { : ÏLCþ“†=z•Œ©lCþ
•§.
y
dy
du
-u = , Kdy = ux
= x + u,
x
dx
dx
dy
y
u´àg•§
= ϕ( ) =z•
dx
x
du
u+x
= ϕ(u),
dx
du
=
x
= ϕ(u) − u,
dx
˜ ‡©•§
~Xµ
y2
dy
=
;
dx xy − x2
àg•§
y
xy 0 −y = x tan .
x
) { : ÏLCþ“†=z•Œ©lCþ
•§.
y
dy
du
-u = , Kdy = ux
= x + u,
x
dx
dx
dy
y
u´àg•§
= ϕ( ) =z•
dx
x
du
u+x
= ϕ(u),
dx
du
=
x
= ϕ(u) − u,
dx
ù´˜‡Œ©lCþ ‡©•§.
˜ ‡©•§
~5 ¦•§y 2 + x2
dy
dy
= xy
dx
dx
àg•§
Ï).
˜ ‡©•§
~5 ¦•§y 2 + x2
)
àg•§
dy
dy
= xy
dx
dx
•§C/•
( xy )2
dy
y2
=
= y
,
dx xy − x2
−
1
x
Ï).
˜ ‡©•§
~5 ¦•§y 2 + x2
)
àg•§
dy
dy
= xy
dx
dx
•§C/•
( xy )2
dy
y2
=
= y
,
dx xy − x2
−
1
x
ù´˜‡àg•§.
Ï).
˜ ‡©•§
~5 ¦•§y 2 + x2
)
dy
dy
= xy
dx
dx
àg•§
Ï).
•§C/•
( xy )2
dy
y2
=
= y
,
dx xy − x2
−
1
x
ù´˜‡àg•§.
y
dy
du
-u = , Ky = ux,
=u+x ,
x
dx
dx
˜ ‡©•§
~5 ¦•§y 2 + x2
)
dy
dy
= xy
dx
dx
àg•§
Ï).
•§C/•
( xy )2
dy
y2
=
= y
,
dx xy − x2
−
1
x
ù´˜‡àg•§.
y
dy
du
-u = , Ky = ux,
=u+x ,
x
dx
dx
“\ •§,
du
u2
u+x
=
,
dx u − 1
˜ ‡©•§
~5 ¦•§y 2 + x2
)
dy
dy
= xy
dx
dx
àg•§
Ï).
•§C/•
( xy )2
dy
y2
=
= y
,
dx xy − x2
−
1
x
ù´˜‡àg•§.
y
dy
du
-u = , Ky = ux,
=u+x ,
x
dx
dx
“\ •§,
du
u2
u+x
=
,
dx u − 1
du
u
=
x
=
,
dx u − 1
˜ ‡©•§
©lCþ
àg•§
1
1
(1 − )du = dx,
u
x
˜ ‡©•§
©lCþ
È©
àg•§
1
1
(1 − )du = dx,
u
x
u − ln |u| = ln |x| + C1 .
˜ ‡©•§
©lCþ
È©
àg•§
1
1
(1 − )du = dx,
u
x
u − ln |u| = ln |x| + C1 .
=
u − C1 = ln |ux|,
ux = ±e−C1 eu .
˜ ‡©•§
©lCþ
È©
àg•§
1
1
(1 − )du = dx,
u
x
u − ln |u| = ln |x| + C1 .
=
u − C1 = ln |ux|, ux = ±e−C1 eu .
y
òu = “\,
•§ Ï)•
x
y
y = Ce x ,
Ù¥C = ±e−C1 •?¿~ê.
˜ ‡©•§
àg•§
•Ä‡©•§
dy
a1 x + b1 y + c1
=f
,
dx
a2 x + b2 y + c2
Ù¥ai , bi , ci (i = 1, 2)Ñ´~ê.
˜ ‡©•§
àg•§
•Ä‡©•§
dy
a1 x + b1 y + c1
=f
,
dx
a2 x + b2 y + c2
Ù¥ai , bi , ci (i = 1, 2)Ñ´~ê.
ec1 = c2 = 0, K•§•àg•§.
˜ ‡©•§
àg•§
•Ä‡©•§
dy
a1 x + b1 y + c1
=f
,
dx
a2 x + b2 y + c2
Ù¥ai , bi , ci (i = 1, 2)Ñ´~ê.
ec1 = c2 = 0, K•§•àg•§.
ÄKØ•àg•§,
g•§.
Œ±ÏLC†z•à
˜ ‡©•§
(1)
a1 b 1
6= 0ž,
a2 b 2
àg•§
˜ ‡©•§
(1)
àg•§
a1 b 1
6= 0ž, ¦Ñ•§|
a2 b 2
a2 x + b2 y + c2 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0
)x = hÚy = k.
˜ ‡©•§
(1)
àg•§
a1 b 1
6= 0ž, ¦Ñ•§|
a2 b 2
a2 x + b2 y + c2 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0
)x = hÚy = k.
-u = x − h, v = y − k,
˜ ‡©•§
(1)
àg•§
a1 b 1
6= 0ž, ¦Ñ•§|
a2 b 2
a2 x + b2 y + c2 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0
)x = hÚy = k.
-u = x − h, v = y − k, K •§z•
a1 u + b 1 v
dv
=f
,
du
a2 u + b 2 v
ù´˜‡àg•§.
˜ ‡©•§
(2)
a1 b 1
a2 b 2
= 0ž,
àg•§
˜ ‡©•§
(2)
a1 b 1
a2 b 2
= 0ž,
λ=
àg•§
a1
b1
= ,
a2
b2
˜ ‡©•§
àg•§
a1
b1
a1 b 1
= ,K
= 0ž, λ =
a2 b 2
a2
b2
•§z•
dy
λ(a2 x + b2 y) + c1
=f
,
dx
a2 x + b2 y + c2
(2)
˜ ‡©•§
àg•§
a1
b1
a1 b 1
= ,K
= 0ž, λ =
a2 b 2
a2
b2
•§z•
dy
λ(a2 x + b2 y) + c1
=f
,
dx
a2 x + b2 y + c2
(2)
-v = a2 x + b2 y,
˜ ‡©•§
àg•§
a1
b1
a1 b 1
= ,K
= 0ž, λ =
a2 b 2
a2
b2
•§z•
dy
λ(a2 x + b2 y) + c1
=f
,
dx
a2 x + b2 y + c2
(2)
-v = a2 x + b2 y, K
dv
= a2 + b2 f
dx
λv + c1
v + c2
˜ ‡©•§
àg•§
a1
b1
a1 b 1
= ,K
= 0ž, λ =
a2 b 2
a2
b2
•§z•
dy
λ(a2 x + b2 y) + c1
=f
,
dx
a2 x + b2 y + c2
(2)
-v = a2 x + b2 y, K
dv
= a2 + b2 f
dx
λv + c1
v + c2
ù´˜‡Œ©lCþ ‡©•§.
˜ ‡©•§
àg•§
2
y+2
dy
=2
~6 ¦•§
dx
x+y−1
Ï).
˜ ‡©•§
àg•§
2
y+2
dy
=2
~6 ¦•§
dx
x+y−1
) du
Ï).
0 1
= −1 6= 0, ¤±•§|
1 1
(
k + 2 = 0,
h+k−1=0
k)h = 3, k = −2.
˜ ‡©•§
-u = x − 3, v = y + 2,
àg•§
˜ ‡©•§
àg•§
-u = x − 3, v = y + 2, “\ •§
2
v 2
v
dv
u
=2
=2
,
du
u+v
1 + uv
˜ ‡©•§
àg•§
-u = x − 3, v = y + 2, “\ •§
2
v 2
v
dv
u
=2
=2
,
du
u+v
1 + uv
v
2-t = , =v = tu,
u
t 2
dt
t+u
=2
,
du
1+t
˜ ‡©•§
àg•§
-u = x − 3, v = y + 2, “\ •§
2
v 2
v
dv
u
=2
=2
,
du
u+v
1 + uv
v
2-t = , =v = tu,
u
t 2
dt
t+u
=2
,
du
1+t
©lCþ
(1 + t)2
1
dt
=
−
du,
t(1 + t2 )
u
˜ ‡©•§
àg•§
ü>È©
ln |t| + 2 arctan t = − ln |u| + C1 ,
˜ ‡©•§
àg•§
ü>È©
ln |t| + 2 arctan t = − ln |u| + C1 ,
u´
v
v = tu = ±ec1 · e−2 arctan t = Ce−2 arctan u ,
Ù¥C = ±ec1 •?¿~ê.
˜ ‡©•§
àg•§
ü>È©
ln |t| + 2 arctan t = − ln |u| + C1 ,
u´
v
v = tu = ±ec1 · e−2 arctan t = Ce−2 arctan u ,
Ù¥C = ±ec1 •?¿~ê.
ru = x − 3, v = y + 2“\,
•§
)•
y+2
y = Ce−2 arctan x−3 − 2.
Ï
˜ ‡©•§
àg•§
!·‚ÆS
£1¤àg‡©•§µ
y
dy
= ϕ( )
dx
x
£2¤Œz•àg•§ ‡©•§µ
dy
a1 x + b1 y + c1
=f
dx
a2 x + b2 y + c2
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
˜ ‡©•§
˜
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
‡©•§£e¤
˜ ‡©•§
n. ˜
‚5‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
˜ ‡©•§
n. ˜
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
‚5‡©•§
e˜ ‡©•§¥'u™•¼ê9Ù
ê´˜gª, K¡§•˜
˜ ‚5‡©•§.
˜ ‡©•§
n. ˜
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
‚5‡©•§
e˜ ‡©•§¥'u™•¼ê9Ù
ê´˜gª, K¡§•˜
˜ ‚5‡©•§.
˜ ‚5‡©•§
˜„/ª•
dy
+ p(x)y = q(x),
dx
Ù¥p(x), q(x)•ëY¼ê.
(1)
˜ ‡©•§
3(1)¥, XJq(x) = 0, K
dy
+ p(x)y = 0.
dx
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
{ü
•§
(2)
˜ ‡©•§
3(1)¥, XJq(x) = 0, K
dy
+ p(x)y = 0.
dx
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
{ü
•§
(2)
¡(2)• †(1)é A ˜ ‚ 5 à g • §,
¡(1)•˜
˜ ‚5šàg•§.
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
éu˜ ‚5àg•§(2), w,´˜‡
Œ©lCþ •§, ©lCþ=Œ¦ ÙÏ
)•
R
− p(x)dx
y = Ce
.
(3)
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
éu˜ ‚5àg•§(2), w,´˜‡
Œ©lCþ •§, ©lCþ=Œ¦ ÙÏ
)•
R
− p(x)dx
y = Ce
.
(3)
éu˜ ‚5šàg•§(1), |^~
~ê
C´ {, ¦ÙÏ)úª.
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
éu˜ ‚5àg•§(2), w,´˜‡
Œ©lCþ •§, ©lCþ=Œ¦ ÙÏ
)•
R
− p(x)dx
y = Ce
.
(3)
éu˜ ‚5šàg•§(1), |^~
~ê
C´ {, ¦ÙÏ)úª.
-y = C(x)e
R
− p(x)dx
, “\•§(1),
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
éu˜ ‚5àg•§(2), w,´˜‡
Œ©lCþ •§, ©lCþ=Œ¦ ÙÏ
)•
R
− p(x)dx
y = Ce
.
(3)
éu˜ ‚5šàg•§(1), |^~
~ê
C´ {, ¦ÙÏ)úª.
-y = C(x)e
R
− p(x)dx
, “\•§(1),
C 0 (x) = q(x)e
R
p(x)dx
,
˜ ‡©•§
Z
C(x) =
q(x)e
R
p(x)dx
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dx + C.
˜ ‡©•§
Z
C(x) =
q(x)e
R
p(x)dx
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dx + C.
l šàg•§(1) Ï)•
Z
R
R
y = e− p(x)dx
q(x)e p(x)dx dx + C . (4)
˜ ‡©•§
~7 ¦•§
dy
y+x
=
dx
x
Ï).
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
˜ ‡©•§
~7 ¦•§
dy
y+x
=
dx
x
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
) ò•§z•
dy 1
− y=1
dx x
(5)
˜ ‡©•§
~7 ¦•§
dy
y+x
=
dx
x
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
) ò•§z•
dy 1
− y=1
dx x
ù´˜‡‚5šàg•§, éA
•
dy 1
− y = 0,
dx x
(5)
àg•§
˜ ‡©•§
~7 ¦•§
dy
y+x
=
dx
x
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
) ò•§z•
dy 1
− y=1
dx x
ù´˜‡‚5šàg•§, éA
•
dy 1
− y = 0,
dx x
^©lCþ{
§ Ï)•
y = Cx.
(5)
àg•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
òàg•§Ï)y = Cx¥?¿~êC†
¤¼êC(x), y = C(x) · x• šàg•
§(5) ).
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
òàg•§Ï)y = Cx¥?¿~êC†
¤¼êC(x), y = C(x) · x• šàg•
§(5) ).
òy = C(x)x“\(5)
1
C(x) + C 0 (x) · x − C(x) · x = 1,
x
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
òàg•§Ï)y = Cx¥?¿~êC†
¤¼êC(x), y = C(x) · x• šàg•
§(5) ).
òy = C(x)x“\(5)
1
C(x) + C 0 (x) · x − C(x) · x = 1,
x
1
=
C 0 (x) = ,
x
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
òàg•§Ï)y = Cx¥?¿~êC†
¤¼êC(x), y = C(x) · x• šàg•
§(5) ).
òy = C(x)x“\(5)
1
C(x) + C 0 (x) · x − C(x) · x = 1,
x
1
=
C 0 (x) = ,
x
u´
C(x) = ln |x| + C,
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
òàg•§Ï)y = Cx¥?¿~êC†
¤¼êC(x), y = C(x) · x• šàg•
§(5) ).
òy = C(x)x“\(5)
1
C(x) + C 0 (x) · x − C(x) · x = 1,
x
1
=
C 0 (x) = ,
x
u´
C(x) = ln |x| + C,
¤±(5) Ï)•
y = x(ln |x| + C).
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
K•Œ±† |^úª£4¤:
y = e
h
R
− − x1 dx
Z
e
R
− x1 dx
dx + C
i
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
K•Œ±† |^úª£4¤:
y = e
h
R
− − x1 dx
Z
e
R
− x1 dx
dx + C
hZ
i
ln x
−lnx
e
= e
dx + C
i
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
K•Œ±† |^úª£4¤:
y = e
h
R
− − x1 dx
Z
e
R
− x1 dx
dx + C
hZ
i
ln x
−lnx
e
= e
dx + C
hZ 1
i
= x
dx + C
x
i
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
K•Œ±† |^úª£4¤:
y = e
h
R
− − x1 dx
Z
e
R
− x1 dx
dx + C
hZ
i
ln x
−lnx
e
= e
dx + C
hZ 1
i
= x
dx + C
x
= x(ln |x| + C).
i
˜ ‡©•§
~8 ¦•§
dy
y
=
dx 2x − y 2
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
˜ ‡©•§
~8 ¦•§
)
dy
y
=
dx 2x − y 2
•§éy
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
óØ´‚5•§,
˜ ‡©•§
~8 ¦•§
)
¤
dy
y
=
dx 2x − y 2
•§éy
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
óØ´‚5•§, ò§U
dx 2x − y 2
2
=
= x − y,
dy
y
y
˜ ‡©•§
~8 ¦•§
)
¤
dy
y
=
dx 2x − y 2
•§éy
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
óØ´‚5•§, ò§U
dx 2x − y 2
2
=
= x − y,
dy
y
y
K þ ª • ±x• ™ • ¼ ê
¥p(y) = − y2 , q(y) = −y,
‚ 5 • §, Ù
˜ ‡©•§
dÏ)úª
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
•§ Ï)
hZ
i
R
R
− p(y)dy
p(y)dy
x = e
q(y)e
+C
˜ ‡©•§
dÏ)úª
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
•§ Ï)
hZ
i
R
R
− p(y)dy
p(y)dy
x = e
q(y)e
+C
hZ
i
R −2
R
− y2 dy
y
= e
−ye
dy + C
˜ ‡©•§
dÏ)úª
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
•§ Ï)
hZ
i
R
R
− p(y)dy
p(y)dy
x = e
q(y)e
+C
hZ
i
R −2
R
− y2 dy
y
= e
−ye
dy + C
= y 2 [C − ln |y|].
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§

k
~9 ¦)Њ¯K  dν
+ ν = g,
dt m
ν(0) = 0.
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§

k
~9 ¦)Њ¯K  dν
+ ν = g,
dt m
ν(0) = 0.
) ù´˜ ‚5šàg•§,
k
Ù¥p(t) = m
,q(t) = g,
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§

k
~9 ¦)Њ¯K  dν
+ ν = g,
dt m
ν(0) = 0.
) ù´˜ ‚5šàg•§,
k
Ù¥p(t) = m
,q(t) = g, |^Ï)úª
Z
i
R k h
R k
− m dt
dt
ν(t) = e
ge m + C
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§

k
~9 ¦)Њ¯K  dν
+ ν = g,
dt m
ν(0) = 0.
) ù´˜ ‚5šàg•§,
k
Ù¥p(t) = m
,q(t) = g, |^Ï)úª
Z
i
R k h
R k
− m dt
dt
ν(t) = e
ge m + C
h Z kt
i
− kt
= e m g e m dt + C
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§

k
~9 ¦)Њ¯K  dν
+ ν = g,
dt m
ν(0) = 0.
) ù´˜ ‚5šàg•§,
k
Ù¥p(t) = m
,q(t) = g, |^Ï)úª
Z
i
R k h
R k
− m dt
dt
ν(t) = e
ge m + C
h Z kt
i
− kt
= e m g e m dt + C
h mg kt
i
− kt
m
m
= e
e +C
k
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§

k
~9 ¦)Њ¯K  dν
+ ν = g,
dt m
ν(0) = 0.
) ù´˜ ‚5šàg•§,
k
Ù¥p(t) = m
,q(t) = g, |^Ï)úª
Z
i
R k h
R k
− m dt
dt
ν(t) = e
ge m + C
h Z kt
i
− kt
= e m g e m dt + C
h mg kt
i mg
kt
− kt
m
m
= e
e +C =
+ Ce− m .
k
k
˜ ‡©•§
dν(0) = 0•
C=−
mg
,
k
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dν(0) = 0•
C=−
mg
,
k
u´ÐŠ¯K )•
k
mg
ν(t) =
(1 − e− m t ).
k
˜ ‡©•§
o. Ëã| (Bernoulli)•
•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
o. Ëã| (Bernoulli)•
•§
dy
+ p(x)y = q(x)y n
dx
(n 6= 0, 1)
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
o. Ëã| (Bernoulli)•
•§
dy
+ p(x)y = q(x)y n (n 6= 0, 1)
dx
•§ü>رy n , K•§C/•
y −n
dy
+ p(x)y 1−n = q(x).
dx
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
o. Ëã| (Bernoulli)•
•§
dy
+ p(x)y = q(x)y n (n 6= 0, 1)
dx
•§ü>رy n , K•§C/•
dy
+ p(x)y 1−n = q(x).
dx
dz
dy
- z = y 1−n , K
= (1 − n)y −n ,
dx
dx
y −n
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
•§=z•
dz
+ (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x),
dx
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
•§=z•
dz
+ (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x),
dx
ù´±z•™•¼ê
•§.
˜
‚5šàg‡©
˜ ‡©•§
~10 ¦•§
dy 1
+ y = x2 y 3
dx x
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
Ï).
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dy 1
+ y = x2 y 3 Ï).
dx x
) ù´n = 3 Bernouli•§,
~10 ¦•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dy 1
+ y = x2 y 3 Ï).
dx x
) ù´n = 3 Bernouli•§, -z = y −2 ,
~10 ¦•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dy 1
+ y = x2 y 3 Ï).
dx x
) ù´n = 3 Bernouli•§, -z = y −2 ,
•§C¤
dz 2
− z = −2x2 ,
dx x
~10 ¦•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dy 1
+ y = x2 y 3 Ï).
dx x
) ù´n = 3 Bernouli•§, -z = y −2 ,
•§C¤
dz 2
− z = −2x2 ,
dx x
dÏ)úª
Z
i
R 2 h
R
2 − x2 dx
dx
x
z = e
−2x e
dx + C
~10 ¦•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dy 1
+ y = x2 y 3 Ï).
dx x
) ù´n = 3 Bernouli•§, -z = y −2 ,
•§C¤
dz 2
− z = −2x2 ,
dx x
dÏ)úª
Z
i
R 2 h
R
2 − x2 dx
dx
x
z = e
−2x e
dx + C
hZ
i
1
2
2
= x
−2x · 2 dx + C
x
~10 ¦•§
˜ ‡©•§
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
dy 1
+ y = x2 y 3 Ï).
dx x
) ù´n = 3 Bernouli•§, -z = y −2 ,
•§C¤
dz 2
− z = −2x2 ,
dx x
dÏ)úª
Z
i
R 2 h
R
2 − x2 dx
dx
x
z = e
−2x e
dx + C
hZ
i
1
2
2
= x
−2x · 2 dx + C
x
2
= x (C − 2x).
~10 ¦•§
˜ ‡©•§
l
•§ Ï)•
1
= x2 (C − 2x),
2
y
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
˜ ‡©•§
l
•§ Ï)•
1
= x2 (C − 2x),
2
y
½
x2 y 2 (C − 2x) = 1.
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
˜ ‡©•§
(µ1. Œ©lCþ
‡©•§¶
2. àg•§¶
3. ˜
˜ ‚5‡©•§ Ëã|(Bernoulli)•§
‚5‡©•§¶
4. Ëã|(Bernoulli)•§
Ο
p
‡©•§
Ο
Ο
p
p
‡©•§
‡©•§
Ο
˜. y (n) = f (x).
.
p
‡©•§
‡©•§
Ο
˜. y (n) = f (x).
.
p
‡©•§
‡©•§
•§C/•
dy (n−1)
= f (x),
dx
Ο
˜. y (n) = f (x).
.
p
‡©•§
‡©•§
•§C/•
dy (n−1)
= f (x),
dx
† È©
y (n−1) =
Z
f (x)dx + C.
Ο
˜. y (n) = f (x).
.
p
‡©•§
‡©•§
•§C/•
dy (n−1)
= f (x),
dx
† È©
y (n−1) =
Ïd
Z
f (x)dx + C.
•§•‡ÏLngÈ©ÒŒ¦ÑÏ).
Ο
p
‡©•§
~1 ¦•§y 000 = e2x − cos x
Ï).
Ο
p
‡©•§
~1 ¦•§y 000 = e2x − cos x
) é •§È©ng
Ï).
Ο
p
‡©•§
~1 ¦•§y 000 = e2x − cos x
Ï).
) é •§È©ng
Z
1
y 00 =
(e2x − cos x)dx = e2x − sin x + C1 ,
2
Ο
p
‡©•§
~1 ¦•§y 000 = e2x − cos x
Ï).
) é •§È©ng
Z
1
y 00 =
(e2x − cos x)dx = e2x − sin x + C1 ,
2
Z 1 2x
0
y =
e − sin x + C1 dx
2
1
= e2x + cos x + C1 x + C2 ,
4
Ο
p
‡©•§
Z 1 2x
y =
e + cos x + C1 x + C2 dx
4
Ο
p
‡©•§
Z 1 2x
y =
e + cos x + C1 x + C2 dx
4
C1
1
= e2x + sin x + x2 + C2 x + C3 ,
8
2
Ο
p
‡©•§
Z 1 2x
y =
e + cos x + C1 x + C2 dx
4
C1
1
= e2x + sin x + x2 + C2 x + C3 ,
8
2
ùÒ´
•§ Ï).
Ο
p
‡©•§
1
~2 ¦•§y 000 − y 00 = 0 Ï).
x
Ο
p
‡©•§
1
~2 ¦•§y 000 − y 00 = 0 Ï).
x
) -u = y 00 , K •§z•
Ο
p
‡©•§
1
~2 ¦•§y 000 − y 00 = 0 Ï).
x
) -u = y 00 , K •§z•
du u
= ,
dx x
Ο
p
‡©•§
1
~2 ¦•§y 000 − y 00 = 0 Ï).
x
) -u = y 00 , K •§z•
du u
= ,
dx x
ù´˜‡Œ©lCþ •§.
Ο
p
‡©•§
1
~2 ¦•§y 000 − y 00 = 0 Ï).
x
) -u = y 00 , K •§z•
du u
= ,
dx x
ù´˜‡Œ©lCþ •§. d©lCþ{
u = C1 x,
Ο
p
‡©•§
1
~2 ¦•§y 000 − y 00 = 0 Ï).
x
) -u = y 00 , K •§z•
du u
= ,
dx x
ù´˜‡Œ©lCþ •§. d©lCþ{
u = C1 x,
= y 00 = C1 x.
Ο
p
‡©•§
1
~2 ¦•§y 000 − y 00 = 0 Ï).
x
) -u = y 00 , K •§z•
du u
= ,
dx x
ù´˜‡Œ©lCþ •§. d©lCþ{
u = C1 x,
= y 00 = C1 x. ügÈ©
•§
1
y = C1 x3 + C2 x + C3 .
6
Ï)•:
Ο
. y 00 = f (x, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
Ο
. y 00 = f (x, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
A: : Øw¹™•¼ê y
Ο
. y 00 = f (x, y 0 ).
.
p
‡©•§
A: : Øw¹™•¼ê y
- y 0 = z,
‡©•§
Ο
. y 00 = f (x, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
A: : Øw¹™•¼ê y
- y 0 = z, Ky 00 = z 0 =
dz
,
dx
Ο
. y 00 = f (x, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
A: : Øw¹™•¼ê y
- y 0 = z, Ky 00 = z 0 =
dz
,
dx
dz
= f (x, z),
dx
ù´˜‡˜ ‡©•§.
•§C•
Ο
p
2xy 0
~3 ¦•§y =
1 + x2
00
‡©•§
Ï).
Ο
p
2xy 0
~3 ¦•§y =
1 + x2
00
‡©•§
Ï).
) ù´˜‡Øw¹™•¼êy
•§.
Ο
p
2xy 0
~3 ¦•§y =
1 + x2
00
‡©•§
Ï).
) ù´˜‡Øw¹™•¼êy
dz
-y 0 = z, Ky 00 =
,
dx
•§.
Ο
p
2xy 0
~3 ¦•§y =
1 + x2
00
‡©•§
Ï).
) ù´˜‡Øw¹™•¼êy •§.
dz
-y 0 = z, Ky 00 =
, •§z•
dx
dz
2xz
=
,
dx 1 + x2
Ο
p
2xy 0
~3 ¦•§y =
1 + x2
00
‡©•§
Ï).
) ù´˜‡Øw¹™•¼êy •§.
dz
-y 0 = z, Ky 00 =
, •§z•
dx
dz
2xz
=
,
dx 1 + x2
©lCþ
dz
2x
=
dx,
z
1 + x2
Ο
p
‡©•§
È©
ln |z| = ln(1 + x2 ) + C,
Ο
p
‡©•§
È©
ln |z| = ln(1 + x2 ) + C,
=
z = C1 (1 + x2 ) (C1 = ±eC ),
Ο
p
‡©•§
È©
ln |z| = ln(1 + x2 ) + C,
=
z = C1 (1 + x2 ) (C1 = ±eC ),
u´
y 0 = C1 (1 + x2 ),
Ο
p
‡©•§
È©
ln |z| = ln(1 + x2 ) + C,
=
z = C1 (1 + x2 ) (C1 = ±eC ),
u´
y 0 = C1 (1 + x2 ),
È©
•§ Ï)•
1 3
y = C1 x + x + C2 .
3
Ο
n. y 00 = f (y, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
Ο
n. y 00 = f (y, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
A: : Øw¹gCþ x
Ο
n. y 00 = f (y, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
A: : Øw¹gCþ x
- z = z(y) = y 0 , K
y 00 =
dz
dz dy
dz
=
·
=z ,
dx dy dx
dy
Ο
n. y 00 = f (y, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
A: : Øw¹gCþ x
- z = z(y) = y 0 , K
y 00 =
dz
dz dy
dz
=
·
=z ,
dx dy dx
dy
•§C•
z
dz
= f (y, z),
dy
Ο
n. y 00 = f (y, y 0 ).
.
p
‡©•§
‡©•§
A: : Øw¹gCþ x
- z = z(y) = y 0 , K
y 00 =
dz
dz dy
dz
=
·
=z ,
dx dy dx
dy
•§C•
z
dz
= f (y, z),
dy
ù´˜‡±y•gCþ, z•™•¼ê
‡©•§.
˜
Ο
p
‡©•§
1 + y 02
~4 ¦•§ y =
2y
(
y(0) = 1
÷v^‡
).
0
y (0) = 0
00
Ο
p
‡©•§
1 + y 02
~4 ¦•§ y =
2y
(
y(0) = 1
÷v^‡
).
0
y (0) = 0
00
)
ù‡•§Øw¹gCþx.
Ο
p
‡©•§
1 + y 02
~4 ¦•§ y =
2y
(
y(0) = 1
÷v^‡
).
0
y (0) = 0
00
ù‡•§Øw¹gCþx. -y 0 = z(y),
dz
K y 00 = z ,
dy
)
Ο
p
‡©•§
1 + y 02
~4 ¦•§ y =
2y
(
y(0) = 1
÷v^‡
).
0
y (0) = 0
00
ù‡•§Øw¹gCþx. -y 0 = z(y),
dz
K y 00 = z , “\ •§
dy
)
dz
1 + z2
z
=
,
dy
2y
Ο
©lCþ
p
‡©•§
2z
1
dz
=
dy,
1 + z2
y
Ο
©lCþ
p
‡©•§
2z
1
dz
=
dy,
1 + z2
y
È©
ln(1 + z 2 ) = ln |y| + C,
Ο
©lCþ
p
‡©•§
2z
1
dz
=
dy,
1 + z2
y
È©
ln(1 + z 2 ) = ln |y| + C,
z{
1 + z 2 = C1 y
(C1 = ±eC ).
Ο
©lCþ
p
‡©•§
2z
1
dz
=
dy,
1 + z2
y
È©
ln(1 + z 2 ) = ln |y| + C,
z{
1 + z 2 = C1 y
(C1 = ±eC ).
òЩ^‡y(0) = 1, y 0 (0) = 0“\þªŒ
C1 = 1.
Ο
p
‡©•§
1 + z 2 = y,
Ο
p
‡©•§
1 + z 2 = y,
K
p
dy
= z = ± y − 1,
dx
Ο
p
‡©•§
1 + z 2 = y,
K
p
dy
= z = ± y − 1,
dx
©lCþ
√
dy
= ±dx,
y−1
Ο
p
‡©•§
1 + z 2 = y,
K
p
dy
= z = ± y − 1,
dx
©lCþ
√
dy
= ±dx,
y−1
È©
p
2 y − 1 = ±x + C2 ,
Ο
p
‡©•§
1 + z 2 = y,
K
p
dy
= z = ± y − 1,
dx
©lCþ
√
dy
= ±dx,
y−1
È©
p
2 y − 1 = ±x + C2 ,
2dЩ^‡y(0) = 1,
C2 = 0.
Ο
p
‡©•§
¤¦)•
p
2 y − 1 = ±x,
Ο
p
‡©•§
¤¦)•
p
2 y − 1 = ±x,
=
1
y = x2 + 1.
4
Ο
(µŒü
p
p
‡©•§
‡©•§
y (n) = f (x). ‡©•§¶
y 00 = f (x, y 0 ). ‡©•§¶
y 00 = f (y, y 0 ).
‡©•§¶
‚5‡©•§) (
‚5‡©•§) (
‚5‡©•§) (
‚5‡©•§) (
en ‡©•§¥'u™•¼êy9Ùˆ
êy 0 , y 00 , · · · , y (n) Ñ´˜g , K¡§•n
5‡©•§.
‚
‚5‡©•§) (
en ‡©•§¥'u™•¼êy9Ùˆ
êy 0 , y 00 , · · · , y (n) Ñ´˜g , K¡§•n
5‡©•§.
‚
n ‚5‡©•§ ˜„/ª•
a0 (x)y (n) +a1 (x)y (n−1) +· · ·+an−1 (x)y 0 +an (x)y = f (x).
‚5‡©•§) (
en ‡©•§¥'u™•¼êy9Ùˆ
êy 0 , y 00 , · · · , y (n) Ñ´˜g , K¡§•n
5‡©•§.
‚
n ‚5‡©•§ ˜„/ª•
a0 (x)y (n) +a1 (x)y (n−1) +· · ·+an−1 (x)y 0 +an (x)y = f (x).
¼êf (x)¡••§ gd ‘.
‚5‡©•§) (
en ‡©•§¥'u™•¼êy9Ùˆ
êy 0 , y 00 , · · · , y (n) Ñ´˜g , K¡§•n
5‡©•§.
‚
n ‚5‡©•§ ˜„/ª•
a0 (x)y (n) +a1 (x)y (n−1) +· · ·+an−1 (x)y 0 +an (x)y = f (x).
¼êf (x)¡••§ gd ‘.
ef (x) = 0, K¡•n ‚ 5àg ‡©• §
‚5‡©•§) (
en ‡©•§¥'u™•¼êy9Ùˆ
êy 0 , y 00 , · · · , y (n) Ñ´˜g , K¡§•n
5‡©•§.
‚
n ‚5‡©•§ ˜„/ª•
a0 (x)y (n) +a1 (x)y (n−1) +· · ·+an−1 (x)y 0 +an (x)y = f (x).
¼êf (x)¡••§ gd ‘.
ef (x) = 0, K¡•n ‚ 5àg ‡©• §
ef (x) 6= 0, K¡•n ‚ 5šà g‡ ©•§
‚5‡©•§) (
e¡Ì‡?Ø
‚5àg‡©•§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = 0
9
(1)
‚5šàg‡©•§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f (x)
(2)
‚5‡©•§) (
e¡Ì‡?Ø
‚5àg‡©•§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = 0
9
(1)
‚5šàg‡©•§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f (x)
k'½nén ‚5•§ƒA¤á.
(2)
‚5‡©•§) (
‚5‡©•§)
(
‚5‡©•§) (
‚5‡©•§)
(
½n1
(i) XJy1 (x), y2 (x)•
‚5àg•
§(1) ü‡), KC1 y1 (x) + C2 y2 (x)E
•(1) ),Ù¥C1 , C2 •ü‡~ê.
‚5‡©•§) (
‚5‡©•§)
(
½n1
(i) XJy1 (x), y2 (x)•
‚5àg•
§(1) ü‡), KC1 y1 (x) + C2 y2 (x)E
•(1) ),Ù¥C1 , C2 •ü‡~ê.
‚5‡©•§) (
‚5‡©•§)
(
½n1
(i) XJy1 (x), y2 (x)•
‚5àg•
§(1) ü‡), KC1 y1 (x) + C2 y2 (x)E
•(1) ),Ù¥C1 , C2 •ü‡~ê.
(ii) XJy1 (x), y2 (x)•
‚5šàg•
§(2) ü‡), Ky1 (x) − y2 (x)•éA à
g•§(1) ).
‚5‡©•§) (
y ² (i) d uy1 (x), y2 (x)•(1)
±y1 (x), y2 (x)÷v•§(1),
), ¤
‚5‡©•§) (
y ² (i) d uy1 (x), y2 (x)•(1)
±y1 (x), y2 (x)÷v•§(1), =k
), ¤
a0 (x)y100 + a1 (x)y10 + a2 (x)y1 ≡ 0,
a0 (x)y200 + a1 (x)y20 + a2 (x)y2 ≡ 0,
‚5‡©•§) (
l
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))
‚5‡©•§) (
l
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))
= C1 (a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x)
+a2 (x)y1 (x))
+C2 (a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x)
+a2 (x)y2 (x))
‚5‡©•§) (
l
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))
= C1 (a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x)
+a2 (x)y1 (x))
+C2 (a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x)
+a2 (x)y2 (x))
≡ 0.
‚5‡©•§) (
l
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x))
= C1 (a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x)
+a2 (x)y1 (x))
+C2 (a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x)
+a2 (x)y2 (x))
≡ 0.
C1 y1 (x) + C2 y2 (x)•(1) ).
‚5‡©•§) (
(ii) d uy1 (x), y2 (x)• • §(2)
±y1 (x), y2 (x)÷v•§(2),
)§¤
‚5‡©•§) (
(ii) d uy1 (x), y2 (x)• • §(2)
±y1 (x), y2 (x)÷v•§(2), =k
)§¤
a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a2 (x)y1 (x) ≡ f (x),
a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x) + a2 (x)y2 (x) ≡ f (x),
‚5‡©•§) (
(ii) d uy1 (x), y2 (x)• • §(2)
±y1 (x), y2 (x)÷v•§(2), =k
)§¤
a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a2 (x)y1 (x) ≡ f (x),
a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x) + a2 (x)y2 (x) ≡ f (x),
üªƒ~
a0 (x)(y1 (x) − y2 (x))00 + a1 (x)(y1 (x) − y2 (x))0
+ a2 (x)(y1 (x) − y2 (x)) ≡ 0
‚5‡©•§) (
(ii) d uy1 (x), y2 (x)• • §(2)
±y1 (x), y2 (x)÷v•§(2), =k
)§¤
a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a2 (x)y1 (x) ≡ f (x),
a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x) + a2 (x)y2 (x) ≡ f (x),
üªƒ~
a0 (x)(y1 (x) − y2 (x))00 + a1 (x)(y1 (x) − y2 (x))0
+ a2 (x)(y1 (x) − y2 (x)) ≡ 0
y1 (x) − y2 (x)•éAàg•§(1) ).
‚5‡©•§) (
¯K:
C1 y1 (x) + C2 y2 (x)˜½´(1) Ï)í?
‚5‡©•§) (
½Â
éu½Â3«mIþ m‡¼
êy1 (x), y2 (x), · · · , ym (x),e•3m‡Ø •
" ~êk1 , k2 , · · · , km , ¦ x ∈ Iž, k
k1 y1 (x) + k2 y2 (x) + · · · + km ym (x) ≡ 0
‚5‡©•§) (
½Â
éu½Â3«mIþ m‡¼
êy1 (x), y2 (x), · · · , ym (x),e•3m‡Ø •
" ~êk1 , k2 , · · · , km , ¦ x ∈ Iž, k
k1 y1 (x) + k2 y2 (x) + · · · + km ym (x) ≡ 0
‚5‡©•§) (
½Â
éu½Â3«mIþ m‡¼
êy1 (x), y2 (x), · · · , ym (x),e•3m‡Ø •
" ~êk1 , k2 , · · · , km , ¦ x ∈ Iž, k
k1 y1 (x) + k2 y2 (x) + · · · + km ym (x) ≡ 0
K¡¼êy1 (x), y2 (x), · · · , ym (x)3«mIþ‚
‚
5ƒ',
‚5‡©•§) (
½Â
éu½Â3«mIþ m‡¼
êy1 (x), y2 (x), · · · , ym (x),e•3m‡Ø •
" ~êk1 , k2 , · · · , km , ¦ x ∈ Iž, k
k1 y1 (x) + k2 y2 (x) + · · · + km ym (x) ≡ 0
K¡¼êy1 (x), y2 (x), · · · , ym (x)3«mIþ‚
‚
5ƒ ', ÄKÒ¡y1 (x), y2 (x), · · · , ym (x)3
«mI þ‚
‚5 Ã ' .
‚5‡©•§) (
~ X µsin 2x†cos 2x3(−∞, +∞)þ ‚ 5
Ã'¶
‚5‡©•§) (
~ X µsin 2x†cos 2x3(−∞, +∞)þ ‚ 5
Ã'¶
e3x †ex 3(−∞, +∞)þ‚5Ã'.
‚5‡©•§) (
~ X µsin 2x†cos 2x3(−∞, +∞)þ ‚ 5
Ã'¶
e3x †ex 3(−∞, +∞)þ‚5Ã'.
AO/:
d ½  Œ • § ü ‡ ¼ êy1 (x)Úy2 (x)3
y1 (x)
« mIþ ‚ 5 ƒ '
¿‡^‡´
y2 (x)
y (x) 2
3Iþð u~ê.
½
y1 (x)
‚5‡©•§) (
½n2
y1 (x), y2 (x)•
‚5àg•§(1) ü
‡‚5Ã' ), K(1) Ï)•
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x),
Ù¥C1 , C2 •ü‡?¿~ê.
‚5‡©•§) (
y² d½n1(i)•,
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)•àg•§(1) ),
‚5‡©•§) (
y² d½n1(i)•,
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)•àg•§(1) ),
qduy1 (x), y2 (x) ‚5Ã',
¤±y1 (x) 6= ky2 (x)(k•~ê),
‚5‡©•§) (
y² d½n1(i)•,
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)•àg•§(1) ),
qduy1 (x), y2 (x) ‚5Ã',
¤±y1 (x) 6= ky2 (x)(k•~ê),
ùžC1 y1 (x) + C2 y2 (x)¥ ü‡~êC1 , C2
،ܿ, ´ƒpÕá ,
‚5‡©•§) (
y² d½n1(i)•,
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)•àg•§(1) ),
qduy1 (x), y2 (x) ‚5Ã',
¤±y1 (x) 6= ky2 (x)(k•~ê),
ùžC1 y1 (x) + C2 y2 (x)¥ ü‡~êC1 , C2
،ܿ, ´ƒpÕá ,
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)•(1) Ï).
‚5‡©•§) (
½n3
y ∗ (x)•
‚5šàg•§(2) ˜‡
A), y1 (x), y2 (x)•éA àg•§(1) ü
‡‚5Ã' ),
‚5‡©•§) (
½n3
y ∗ (x)•
‚5šàg•§(2) ˜‡
A), y1 (x), y2 (x)•éA àg•§(1) ü
‡‚5Ã' ),
‚5‡©•§) (
½n3
y ∗ (x)•
‚5šàg•§(2) ˜‡
A), y1 (x), y2 (x)•éA àg•§(1) ü
‡‚5Ã' ), K(2) Ï)•
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x),
Ù¥C1 , C2 •ü‡?¿~ê.
‚5‡©•§) (
y² duy ∗ (x) •(2) ), y1 (x), y2 (x)
•(1) ),
‚5‡©•§) (
y² duy ∗ (x) •(2) ), y1 (x), y2 (x)
ª¤á
•(1) ), e
00
0
a0 (x)y ∗ (x) + a1 (x)y ∗ (x) + a2 (x)y ∗ (x) = f (x),
a0 (x)yi00 (x) + a1 (x)yi0 (x) + a2 (x)yi (x) = 0
(i = 1, 2),
‚5‡©•§) (
l k
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))
‚5‡©•§) (
l k
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))
= C1 (a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a2 (x)y1 (x))
+C2 (a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x) + a2 (x)y2 (x))
00
0
+a0 (x)y ∗ (x) + a1 (x)y ∗ (x) + a2 (x)y ∗ (x)
‚5‡©•§) (
l k
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))
= C1 (a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a2 (x)y1 (x))
+C2 (a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x) + a2 (x)y2 (x))
00
0
+a0 (x)y ∗ (x) + a1 (x)y ∗ (x) + a2 (x)y ∗ (x)
= C1 · 0 + C2 · 0 + f (x)
‚5‡©•§) (
l k
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))
= C1 (a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a2 (x)y1 (x))
+C2 (a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x) + a2 (x)y2 (x))
00
0
+a0 (x)y ∗ (x) + a1 (x)y ∗ (x) + a2 (x)y ∗ (x)
= C1 · 0 + C2 · 0 + f (x) = f (x).
‚5‡©•§) (
l k
a0 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))00
+a1 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))0
+a2 (x)(C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x))
= C1 (a0 (x)y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a2 (x)y1 (x))
+C2 (a0 (x)y200 (x) + a1 (x)y20 (x) + a2 (x)y2 (x))
00
0
+a0 (x)y ∗ (x) + a1 (x)y ∗ (x) + a2 (x)y ∗ (x)
= C1 · 0 + C2 · 0 + f (x) = f (x).
= C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x)•(2) ).
‚5‡©•§) (
qduy1 (x), y2 (x)‚5Ã', C1 , C2 •ü‡
Õá ?¿~ê,
‚5‡©•§) (
qduy1 (x), y2 (x)‚5Ã', C1 , C2 •ü‡
Õá ?¿~ê, Ï
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y ∗ (x)
•(2) Ï).
‚5‡©•§) (
½n4£‚5•§A) U\ n¤
y1 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f1 (x) ˜‡A),
y2 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f2 (x) ˜‡A),
‚5‡©•§) (
½n4£‚5•§A) U\ n¤
y1 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f1 (x) ˜‡A),
y2 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f2 (x) ˜‡A),
‚5‡©•§) (
½n4£‚5•§A) U\ n¤
y1 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f1 (x) ˜‡A),
y2 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f2 (x) ˜‡A),
Ky1 (x) + y2 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f1 (x) + f2 (x)
˜‡A).
‚5‡©•§) (
½n4£‚5•§A) U\ n¤
y1 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f1 (x) ˜‡A),
y2 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f2 (x) ˜‡A),
Ky1 (x) + y2 (x)••§
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f1 (x) + f2 (x)
˜‡A).
y²Ñ.
‚5‡©•§) (
~1 ®•,
‚5šàg‡©•§
n‡)•
x + e−x + 1, e−x + 1, 1 − x,
¦T•§ Ï).
‚5‡©•§) (
~1 ®•,
‚5šàg‡©•§
n‡)•
x + e−x + 1, e−x + 1, 1 − x,
¦T•§ Ï).
) d½n1(ii)•: x, e−x + x•éA
àg•§ ü‡).
‚5‡©•§) (
~1 ®•,
‚5šàg‡©•§
n‡)•
x + e−x + 1, e−x + 1, 1 − x,
¦T•§ Ï).
) d½n1(ii)•: x, e−x + x•éA
àg•§ ü‡). x†e−x + xؤ'~,
x†e−x + x ‚5Ã'.
‚5‡©•§) (
~1 ®•,
‚5šàg‡©•§
n‡)•
x + e−x + 1, e−x + 1, 1 − x,
¦T•§ Ï).
) d½n1(ii)•: x, e−x + x•éA
àg•§ ü‡). x†e−x + xؤ'~,
x†e−x + x ‚5Ã'.
d½n3•¤¦ Ï)•
y = C1 x+C2 (e−x +x)+1−x = C10 x+C20 e−x +1.
‚5‡©•§) (
~1 ®•,
‚5šàg‡©•§
n‡)•
x + e−x + 1, e−x + 1, 1 − x,
¦T•§ Ï).
) d½n1(ii)•: x, e−x + x•éA
àg•§ ü‡). x†e−x + xؤ'~,
x†e−x + x ‚5Ã'.
d½n3•¤¦ Ï)•
y = C1 x+C2 (e−x +x)+1−x = C10 x+C20 e−x +1.
Ù¥C1 = C1 +C2 −1, C1 , C2 •?¿~ê.
‚5‡©•§) (
~2 ®••§x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0
A)•y1 = x3 , ¦T•§ Ï).
˜‡
‚5‡©•§) (
~2 ®••§x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0
A)•y1 = x3 , ¦T•§ Ï).
˜‡
) ù´˜‡
‚5àg•§, d½n2,
•‡¦Ñ†y1 ‚5Ã' ,˜A)y2 , BŒ
•§ Ï).
‚5‡©•§) (
~2 ®••§x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0
A)•y1 = x3 , ¦T•§ Ï).
˜‡
) ù´˜‡
‚5àg•§, d½n2,
•‡¦Ñ†y1 ‚5Ã' ,˜A)y2 , BŒ
•§ Ï). Ï•y1 , y2 ‚5Ã',
y2
3
y1 6=~ê, ¤±Œ y2 = u(x)y1 = u(x) · x ,
Ù¥u(x)´˜‡A½ ¼ê.
‚5‡©•§) (
~2 ®••§x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0
A)•y1 = x3 , ¦T•§ Ï).
˜‡
) ù´˜‡
‚5àg•§, d½n2,
•‡¦Ñ†y1 ‚5Ã' ,˜A)y2 , BŒ
•§ Ï). Ï•y1 , y2 ‚5Ã',
y2
3
y1 6=~ê, ¤±Œ y2 = u(x)y1 = u(x) · x ,
Ù¥u(x)´˜‡A½ ¼ê. òy2 , y20 , y200 “
\•§
x2 (6xu + 6x2 u0 + x3 u00 ) − 4x(3x2 u + x3 u0 ) + 6ux3 = 0,
‚5‡©•§) (
= xu00 + 2u0 = 0.
‚5‡©•§) (
= xu00 + 2u0 = 0.
ù´AÏa.
ÙÏ)•u = −
•§,
C1
+ C2 ,
x
‚5‡©•§) (
= xu00 + 2u0 = 0.
ù´AÏa.
•§,
C1
+ C2 ,
x
1
Ù˜‡A)u = , B
x
ÙÏ)•u = −
•§ Ï)•
y = C1 x3 + C2 x2 .
‚5‡©•§) (
(µ
‚5‡©•§)
(
~Xê‚5àg‡©§
~Xê‚5àg‡©§
~Xê‚5àg‡©§
~Xê‚5àg‡©§
§
ay 00 + by 0 + cy = 0
(1)
~ X ê ‚ 5 à g  §, Ù
¡ 
¥a, b, c~ê.
~Xê‚5àg‡©§
§
ay 00 + by 0 + cy = 0
(1)
~ X ê ‚ 5 à g  §, Ù
¡ 
¥a, b, c~ê.
y = erx ´§(1)),
~Xê‚5àg‡©§
§
ay 00 + by 0 + cy = 0
(1)
~ X ê ‚ 5 à g  §, Ù
¡ 
¥a, b, c~ê.
y = erx ´§(1)),
òy = erx , y 0 = rerx , y 00 = r2 erx “\(1)
(ar2 + br + c)erx = 0,
~Xê‚5àg‡©§
§
ay 00 + by 0 + cy = 0
(1)
~ X ê ‚ 5 à g  §, Ù
¡ 
¥a, b, c~ê.
y = erx ´§(1)),
òy = erx , y 0 = rerx , y 00 = r2 erx “\(1)
(ar2 + br + c)erx = 0,
duerx 6= 0, ar2 + br + c = 0.
(2)
~Xê‚5àg‡©§
§
ay 00 + by 0 + cy = 0
(1)
~ X ê ‚ 5 à g  §, Ù
¡ 
¥a, b, c~ê.
y = erx ´§(1)),
òy = erx , y 0 = rerx , y 00 = r2 erx “\(1)
(ar2 + br + c)erx = 0,
duerx 6= 0, ar2 + br + c = 0.
¡d§‡©§(1)A
A  §,
(2)
~Xê‚5àg‡©§
§
ay 00 + by 0 + cy = 0
(1)
~ X ê ‚ 5 à g  §, Ù
¡ 
¥a, b, c~ê.
y = erx ´§(1)),
òy = erx , y 0 = rerx , y 00 = r2 erx “\(1)
(ar2 + br + c)erx = 0,
duerx 6= 0, ar2 + br + c = 0.
(2)
¡d§‡©§(1)A
A  §, ي
¡(1)A
A Š .
~Xê‚5àg‡©§
(1)
∆ = b2 − 4ac > 0, A  § k ü ‡
Ø ¢ Š r1 Ú r2
~Xê‚5àg‡©§
(1)
∆ = b2 − 4ac > 0, A  § k ü ‡
Ø ¢ Š r1 Ú r2
§(1)kü‡‚5Ã'A)
y1 = er1 x , y2 = er2 x ,
~Xê‚5àg‡©§
(1)
∆ = b2 − 4ac > 0, A  § k ü ‡
Ø ¢ Š r1 Ú r2
§(1)kü‡‚5Ã'A)
y1 = er1 x , y2 = er2 x ,
Ïd(1)Ï)
y = C1 er1 x + C2 er2 x .
~Xê‚5àg‡©§
(2) ∆ = b2 − 4ac = 0, A  § k ü ‡ ƒ
¢ Š r1 = r2 = r
~Xê‚5àg‡©§
(2) ∆ = b2 − 4ac = 0, A  § k ü ‡ ƒ
¢ Š r1 = r2 = r
§(1)k˜‡A)y1 = erx ,
IéÑ,˜‡†y1 ‚5Ã'A)y2 .
~Xê‚5àg‡©§
(2) ∆ = b2 − 4ac = 0, A  § k ü ‡ ƒ
¢ Š r1 = r2 = r
§(1)k˜‡A)y1 = erx ,
IéÑ,˜‡†y1 ‚5Ã'A)y2 .
Œy2 = u(x)y1 , òٓ\§(1),
~Xê‚5àg‡©§
(2) ∆ = b2 − 4ac = 0, A  § k ü ‡ ƒ
¢ Š r1 = r2 = r
§(1)k˜‡A)y1 = erx ,
IéÑ,˜‡†y1 ‚5Ã'A)y2 .
Œy2 = u(x)y1 , òٓ\§(1),
Œu(x) = x.
~Xê‚5àg‡©§
(2) ∆ = b2 − 4ac = 0, A  § k ü ‡ ƒ
¢ Š r1 = r2 = r
§(1)k˜‡A)y1 = erx ,
IéÑ,˜‡†y1 ‚5Ã'A)y2 .
Œy2 = u(x)y1 , òٓ\§(1),
Œu(x) = x.
Ïd(1) Ï)
y = (C1 + C2 x)erx .
~Xê‚5àg‡©§
(3)
∆ = b2 − 4ac < 0, A  § k ˜ é
Ý EŠ r1 = α + iβÚ
Úr2 = α − iβ
~Xê‚5àg‡©§
(3)
∆ = b2 − 4ac < 0, A  § k ˜ é
Ý EŠ r1 = α + iβÚ
Úr2 = α − iβ
§(1)kü‡‚5Ã'E/ªA)
y1 = e(α+iβ)x ,
y2 = e(α−iβ)x .
~Xê‚5àg‡©§
(3)
∆ = b2 − 4ac < 0, A  § k ˜ é
Ý EŠ r1 = α + iβÚ
Úr2 = α − iβ
§(1)kü‡‚5Ã'E/ªA)
y1 = e(α+iβ)x ,
y2 = e(α−iβ)x .
|^Eulerúª, Œ
y1 + y2
y1 =
= eαx cos βx,
2
~Xê‚5àg‡©§
(3)
∆ = b2 − 4ac < 0, A  § k ˜ é
Ý EŠ r1 = α + iβÚ
Úr2 = α − iβ
§(1)kü‡‚5Ã'E/ªA)
y1 = e(α+iβ)x ,
y2 = e(α−iβ)x .
|^Eulerúª, Œ
y1 + y2
y1 =
= eαx cos βx,
2
y2 =
y1 − y2
= eαx sin βx,
2i
~Xê‚5àg‡©§
(3)
∆ = b2 − 4ac < 0, A  § k ˜ é
Ý EŠ r1 = α + iβÚ
Úr2 = α − iβ
§(1)kü‡‚5Ã'E/ªA)
y1 = e(α+iβ)x ,
y2 = e(α−iβ)x .
|^Eulerúª, Œ
y1 + y2
y1 =
= eαx cos βx,
2
y1 − y2
= eαx sin βx,
2i
´‡©§(1)ü‡‚5Ã'A).
y2 =
~Xê‚5àg‡©§
Ïd(1)Ï)
y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx).
~Xê‚5àg‡©§
I ¦~Xê‚5àg‡©§
ay 00 + by 0 + cy = 0 Ï)Ú½Xe:
~Xê‚5àg‡©§
I ¦~Xê‚5àg‡©§
ay 00 + by 0 + cy = 0 Ï)Ú½Xe:
(i) ѐ§éAA§ar2 + br + c = 0;
~Xê‚5àg‡©§
I ¦~Xê‚5àg‡©§
ay 00 + by 0 + cy = 0 Ï)Ú½Xe:
(i) ѐ§éAA§ar2 + br + c = 0;
(ii) ¦ÑAŠ;
~Xê‚5àg‡©§
I ¦~Xê‚5àg‡©§
ay 00 + by 0 + cy = 0 Ï)Ú½Xe:
(i) ѐ§éAA§ar2 + br + c = 0;
(ii) ¦ÑAŠ;
(iii) ŠâAŠØӜ/, ѐ§Ï).
~Xê‚5àg‡©§
I ¦~Xê‚5àg‡©§
ay 00 + by 0 + cy = 0 Ï)Ú½Xe:
(i) ѐ§éAA§ar2 + br + c = 0;
(ii) ¦ÑAŠ;
(iii) ŠâAŠØӜ/, ѐ§Ï).
AŠœ¹
Ï)Lˆª
r1 6= r2
y = C1 er1 x + C2 er2 x
r1 = r2
y = (C1 + C2 x)erx
r1,2 = α ± iβ y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx)
~Xê‚5àg‡©§
~3 ¦e§Ï):
(1) y 00 − y 0 − 6y = 0;
(2) y 00 + 2y 0 + y = 0;
(3) y 00 + 2y 0 + 5y = 0,
~Xê‚5àg‡©§
~3 ¦e§Ï):
(1) y 00 − y 0 − 6y = 0;
(2) y 00 + 2y 0 + y = 0;
(3) y 00 + 2y 0 + 5y = 0,
) (1)A§r2 − r − 6 = 0,
~Xê‚5àg‡©§
~3 ¦e§Ï):
(1) y 00 − y 0 − 6y = 0;
(2) y 00 + 2y 0 + y = 0;
(3) y 00 + 2y 0 + 5y = 0,
) (1)A§r2 − r − 6 = 0,
AŠr1 = 3, r2 = −2,
~Xê‚5àg‡©§
~3 ¦e§Ï):
(1) y 00 − y 0 − 6y = 0;
(2) y 00 + 2y 0 + y = 0;
(3) y 00 + 2y 0 + 5y = 0,
) (1)A§r2 − r − 6 = 0,
AŠr1 = 3, r2 = −2, ¤¦Ï)
y = C1 e3x + C2 e−2x .
~Xê‚5àg‡©§
(2)A§r2 + 2r + 1 = 0,
~Xê‚5àg‡©§
(2)A§r2 + 2r + 1 = 0,
AŠr1 = r2 = −1,
~Xê‚5àg‡©§
(2)A§r2 + 2r + 1 = 0,
AŠr1 = r2 = −1, ¤¦Ï)
y = (C1 + C2 x)e−x .
~Xê‚5àg‡©§
(2)A§r2 + 2r + 1 = 0,
AŠr1 = r2 = −1, ¤¦Ï)
y = (C1 + C2 x)e−x .
(3)A§r2 + 2r + 5 = 0,
~Xê‚5àg‡©§
(2)A§r2 + 2r + 1 = 0,
AŠr1 = r2 = −1, ¤¦Ï)
y = (C1 + C2 x)e−x .
(3)A§r2 + 2r + 5 = 0,
AŠr1,2 = −1 ± 2i,
~Xê‚5àg‡©§
(2)A§r2 + 2r + 1 = 0,
AŠr1 = r2 = −1, ¤¦Ï)
y = (C1 + C2 x)e−x .
(3)A§r2 + 2r + 5 = 0,
AŠr1,2 = −1 ± 2i, ¤¦Ï)
y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x).
~Xê‚5àg‡©§
þã{Œí2n‚5~Xêàg‡©
§.
~Xê‚5àg‡©§
þã{Œí2n‚5~Xêàg‡©
§.
n‚5~Xêàg‡©§:
a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = 0
~Xê‚5àg‡©§
þã{Œí2n‚5~Xêàg‡©
§.
n‚5~Xêàg‡©§:
a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = 0
A§: a0 rn + a1 rn−1 + · · · + an−1 r + an = 0
~Xê‚5àg‡©§
þã{Œí2n‚5~Xêàg‡©
§.
n‚5~Xêàg‡©§:
a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = 0
A§: a0 rn + a1 rn−1 + · · · + an−1 r + an = 0
A§Š
Ï)¥éA‘
e´k­Šr
(C0 + C1 x + · · · + Ck−1 xk−1 )erx
e´ k ­Ý
eαx [(C0 + C1 x + · · · + Ck−1 xk−1 ) cos βx
EŠ α ± iβ
+ (D0 + D1 x + · · · + Dk−1 xk−1 ) sin βx]
~Xê‚5àg‡©§
~4 ¦§y (5) + 2y (4) − 16y 0 − 32y = 0Ï).
~Xê‚5àg‡©§
~4 ¦§y (5) + 2y (4) − 16y 0 − 32y = 0Ï).
) A§
r5 + 2r4 − 16r − 32 = 0,
~Xê‚5àg‡©§
~4 ¦§y (5) + 2y (4) − 16y 0 − 32y = 0Ï).
) A§
r5 + 2r4 − 16r − 32 = 0,
=
(r − 2)(r + 2)2 (r2 + 4) = 0,
~Xê‚5àg‡©§
~4 ¦§y (5) + 2y (4) − 16y 0 − 32y = 0Ï).
) A§
r5 + 2r4 − 16r − 32 = 0,
=
(r − 2)(r + 2)2 (r2 + 4) = 0,
AŠ
r1 = 2, r2 = r3 = −2, r4,5 = ±2i,
~Xê‚5àg‡©§
~4 ¦§y (5) + 2y (4) − 16y 0 − 32y = 0Ï).
) A§
r5 + 2r4 − 16r − 32 = 0,
=
(r − 2)(r + 2)2 (r2 + 4) = 0,
AŠ
r1 = 2, r2 = r3 = −2, r4,5 = ±2i,
¤¦Ï)
y = C1 e2x
~Xê‚5àg‡©§
~4 ¦§y (5) + 2y (4) − 16y 0 − 32y = 0Ï).
) A§
r5 + 2r4 − 16r − 32 = 0,
=
(r − 2)(r + 2)2 (r2 + 4) = 0,
AŠ
r1 = 2, r2 = r3 = −2, r4,5 = ±2i,
¤¦Ï)
y = C1 e2x +(C2 +C3 x)e−2x
~Xê‚5àg‡©§
~4 ¦§y (5) + 2y (4) − 16y 0 − 32y = 0Ï).
) A§
r5 + 2r4 − 16r − 32 = 0,
=
(r − 2)(r + 2)2 (r2 + 4) = 0,
AŠ
r1 = 2, r2 = r3 = −2, r4,5 = ±2i,
¤¦Ï)
y = C1 e2x +(C2 +C3 x)e−2x +C4 cos 2x+C5 sin 2x.
~Xê‚5àg‡©§
(µ1. ‚5àg‡©§){
úª{
~êC´{
2. n ‚5àg‡©§){
~Xê‚5šàg‡©•§
~Xê‚5šàg‡©•§
~Xê
‚5šàg‡©•§£þ¤
~Xê‚5šàg‡©•§
•§
ay 00 + by 0 + cy = f (x)
¡•
~ Xê‚ 5š àg •§, Ù¥
a, b, c•~ê.
(1)
~Xê‚5šàg‡©•§
•§
ay 00 + by 0 + cy = f (x)
(1)
¡•
~ Xê‚ 5š àg •§, Ù¥
a, b, c•~ê.
•§
ay 00 + by 0 + cy = 0
••§(2)¤éA àg•§.
(2)
~Xê‚5šàg‡©•§
(1) – ½X ê{
) ) g d ‘ f (x)•
• A « A Ï / ª ž , (1)
A)y∗ ¦{
~Xê‚5šàg‡©•§
(1) – ½X ê{
) ) g d ‘ f (x)•
• A « A Ï / ª ž , (1)
A)y∗ ¦{
(I) f (x) = Pm (x)eαx ,
Ù¥Pm (x)´x mgõ‘ª.
~Xê‚5šàg‡©•§
(1) – ½X ê{
) ) g d ‘ f (x)•
• A « A Ï / ª ž , (1)
A)y∗ ¦{
(I) f (x) = Pm (x)eαx ,
Ù¥Pm (x)´x mgõ‘ª.
Œ y ∗ = Q(x)eαx , Ù¥Q(x)´–½
Ի.
õ
~Xê‚5šàg‡©•§
(1) – ½X ê{
) ) g d ‘ f (x)•
• A « A Ï / ª ž , (1)
A)y∗ ¦{
(I) f (x) = Pm (x)eαx ,
Ù¥Pm (x)´x mgõ‘ª.
Œ y ∗ = Q(x)eαx , Ù¥Q(x)´–½
0
00
‘ª. òy ∗ , y ∗ , y ∗ “\•§(1),
õ
~Xê‚5šàg‡©•§
(1) – ½X ê{
) ) g d ‘ f (x)•
• A « A Ï / ª ž , (1)
A)y∗ ¦{
(I) f (x) = Pm (x)eαx ,
Ù¥Pm (x)´x mgõ‘ª.
Œ y ∗ = Q(x)eαx , Ù¥Q(x)´–½
0
00
‘ª. òy ∗ , y ∗ , y ∗ “\•§(1), Œ
õ
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c 6= 0, =αØ ´ à g •
§(2) A Šž,
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c 6= 0, =αØ ´ à g •
§(2) A Šž,
Q(x) = Qm (x)
= A0 xm + A1 xm−1 + · · · + Am−1 x + Am .
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c = 0, 2aα + b 6= 0, =α´
àg•§(2) üA Šž,
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c = 0, 2aα + b 6= 0, =α´
àg•§(2) üA Šž, k
aQ00 (x) + (2aα + b)Q0 (x) = Pm (x).
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c = 0, 2aα + b 6= 0, =α´
àg•§(2) üA Šž, k
aQ00 (x) + (2aα + b)Q0 (x) = Pm (x).
Q(x) = xQm (x)
= x(A0 xm + A1 xm−1 + · · · + Am−1 x + Am ).
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c = 0, 2aα + b = 0, =α´
àg•§(2)
-A Šž,
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c = 0, 2aα + b = 0, =α´
àg•§(2)
-A Šž, k
aQ00 (x) = Pm (x).
~Xê‚5šàg‡©•§
aQ00 (x)+(2aα+b)Q0 (x)+(aα2 +bα+c)Q(x) = Pm (x).
aα2 + bα + c = 0, 2aα + b = 0, =α´
àg•§(2)
-A Šž, k
aQ00 (x) = Pm (x).
Q(x) = x2 Qm (x)
= x2 (A0 xm + A1 xm−1 + · · · + Am−1 x + Am ).
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay + by 0 + cy = Pm (x)eαx A)y ∗ äk/
ª
00
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay + by 0 + cy = Pm (x)eαx A)y ∗ äk/
y ∗ = xk Qm (x)eαx ,
ª
00
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay + by 0 + cy = Pm (x)eαx A)y ∗ äk/
y ∗ = xk Qm (x)eαx ,
ª
Ù¥Qm (x)´†Pm (x)Óg õ‘ª,
00
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay + by 0 + cy = Pm (x)eαx A)y ∗ äk/
y ∗ = xk Qm (x)eαx ,
ª
Ù¥Qm (x)´†Pm (x)Óg õ‘ª,
00
kU
UαØ
Ø´ A Š, ´ ü A
Š, • g 0, 1, 2.
Š½
-A
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay + by 0 + cy = Pm (x)eαx A)y ∗ äk/
y ∗ = xk Qm (x)eαx ,
ª
Ù¥Qm (x)´†Pm (x)Óg õ‘ª,
00
kU
UαØ
Ø´ A Š, ´ ü A Š ½ - A
Š, • g 0, 1, 2.
α
k
Š
Ø´A Š
0
üA Š
1
-A Š
2
~Xê‚5šàg‡©•§
~1 ¦•§y 00 + 2y 0 − 3y = 3x + 4
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~1 ¦•§y 00 + 2y 0 − 3y = 3x + 4
) A •§r2 + 2r − 3 = 0,
A Šr1 = 1, r2 = −3.
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~1 ¦•§y 00 + 2y 0 − 3y = 3x + 4
) A •§r2 + 2r − 3 = 0,
A Šr1 = 1, r2 = −3.
f (x) = 3x + 4 = (3x + 4)e0x ,
0Ø´A Š,
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~1 ¦•§y 00 + 2y 0 − 3y = 3x + 4
) A •§r2 + 2r − 3 = 0,
A Šr1 = 1, r2 = −3.
f (x) = 3x + 4 = (3x + 4)e0x ,
0Ø´A Š,
¤± A)•
y ∗ = A0 x + A1 .
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
0
00
ò y ∗ , y ∗ = A0 , y ∗ = 0 “\
•§,
2A0 − 3(A0 x + A1 ) = 3x + 4,
~Xê‚5šàg‡©•§
0
00
ò y ∗ , y ∗ = A0 , y ∗ = 0 “\
•§,
2A0 − 3(A0 x + A1 ) = 3x + 4,
'
ªü>x Óg˜
(
−3A0 = 3,
Xê,
2A0 − 3A1 = 4,
~Xê‚5šàg‡©•§
0
00
ò y ∗ , y ∗ = A0 , y ∗ = 0 “\
•§,
2A0 − 3(A0 x + A1 ) = 3x + 4,
'
ªü>x Óg˜
(
−3A0 = 3,
Xê,
2A0 − 3A1 = 4,
) A0 = −1, A1 = −2,
~Xê‚5šàg‡©•§
0
00
ò y ∗ , y ∗ = A0 , y ∗ = 0 “\
•§,
2A0 − 3(A0 x + A1 ) = 3x + 4,
'
ªü>x Óg˜
(
−3A0 = 3,
Xê,
2A0 − 3A1 = 4,
) A0 = −1, A1 = −2, u´¤¦A)•
y ∗ = −x − 2.
~Xê‚5šàg‡©•§
~2 ¦•§y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~2 ¦•§y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex
) A •§r2 − 3r + 2 = 0,
A Šr1 = 1, r2 = 2.
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~2 ¦•§y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex
) A •§r2 − 3r + 2 = 0,
A Šr1 = 1, r2 = 2.
f (x) = 3xex = P1 (x)e1x ,
α = 1•üA Š,
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~2 ¦•§y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex
) A •§r2 − 3r + 2 = 0,
A Šr1 = 1, r2 = 2.
f (x) = 3xex = P1 (x)e1x ,
α = 1•üA Š,
¤±Œ A)•y ∗ = x(Ax + B)ex .
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~2 ¦•§y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex
A).
) A •§r2 − 3r + 2 = 0,
A Šr1 = 1, r2 = 2.
f (x) = 3xex = P1 (x)e1x ,
α = 1•üA Š,
¤±Œ A)•y ∗ = x(Ax + B)ex .
“\
•§
[Ax2 + (4A + B)x + 2A + 2B]ex
− 3[Ax2 + (2A + B)x + B]ex + 2x(Ax + B)ex
=3xex
~Xê‚5šàg‡©•§
z{
−2Ax + (2A − B) = 3x,
~Xê‚5šàg‡©•§
z{
−2Ax + (2A − B) = 3x,
' Xê
3
A = − , B = −3,
2
~Xê‚5šàg‡©•§
z{
−2Ax + (2A − B) = 3x,
3
A = − , B = −3,
2
•§ A)•
' Xê
y ∗ = x(
1
−3
x − 3)ex = −3x( x + 1)ex .
2
2
~Xê‚5šàg‡©•§
~3
f (x)•ëY¼ê,
…÷v•§
Z
x
f (x) = e
¦f (x).
2x
−
(x − t)f (t)dt,
0
~Xê‚5šàg‡©•§
~3
f (x)•ëY¼ê,
…÷v•§
Z
x
f (x) = e
2x
¦f (x).
)
f (x) = e
−
(x − t)f (t)dt,
0
2x
Z
−x
x
Z
f (t)dt +
0
x
tf (t)dt,
0
(3)
~Xê‚5šàg‡©•§
~3
f (x)•ëY¼ê,
…÷v•§
Z
x
f (x) = e
2x
¦f (x).
)
2x
x
Z
−x
2x
Z
−
Z
f (t)dt +
0
f (x) = 2e
(x − t)f (t)dt,
0
f (x) = e
0
−
x
tf (t)dt,
(3)
0
x
f (t)dt − xf (x) + xf (x), (4)
0
~Xê‚5šàg‡©•§
~3
f (x)•ëY¼ê,
…÷v•§
Z
x
f (x) = e
2x
¦f (x).
)
2x
x
Z
−x
2x
Z
−
Z
f (t)dt +
0
f (x) = 2e
(x − t)f (t)dt,
0
f (x) = e
0
−
x
tf (t)dt,
(3)
0
x
f (t)dt − xf (x) + xf (x), (4)
0
f 00 (x) = 4e2x − f (x)
(5)
~Xê‚5šàg‡©•§
~3
f (x)•ëY¼ê,
…÷v•§
Z
x
f (x) = e
2x
¦f (x).
)
2x
x
Z
−x
2x
Z
−
Z
f (t)dt +
0
f (x) = 2e
(x − t)f (t)dt,
0
f (x) = e
0
−
x
tf (t)dt,
(3)
0
x
f (t)dt − xf (x) + xf (x), (4)
0
d(3), (4)
f 00 (x) = 4e2x − f (x)
f (0) = 1, f 0 (0) = 2.
(5)
~Xê‚5šàg‡©•§
¤¦¼êy = f (x)=•e
):
(
y 00 + y = 4e2x
Њ¯K
y(0) =1, y 0 (0) = 2
(6)
~Xê‚5šàg‡©•§
¤¦¼êy = f (x)=•e
):
(
y 00 + y = 4e2x
Њ¯K
y(0) =1, y 0 (0) = 2
†•§(6)éA àg•§ Ï)•
Y = C1 cos x + C2 sin x.
(6)
~Xê‚5šàg‡©•§
¤¦¼êy = f (x)=•e
):
(
y 00 + y = 4e2x
Њ¯K
y(0) =1, y 0 (0) = 2
†•§(6)éA àg•§ Ï)•
Y = C1 cos x + C2 sin x.
•§(6) A)•y ∗ = Ae2x ,
(6)
~Xê‚5šàg‡©•§
¤¦¼êy = f (x)=•e
):
(
y 00 + y = 4e2x
Њ¯K
y(0) =1, y 0 (0) = 2
†•§(6)éA àg•§ Ï)•
Y = C1 cos x + C2 sin x.
•§(6) A)•y ∗ = Ae2x ,
“\(6) A = 4/5.
(6)
~Xê‚5šàg‡©•§
¤¦¼êy = f (x)=•e
):
(
y 00 + y = 4e2x
Њ¯K
y(0) =1, y 0 (0) = 2
†•§(6)éA àg•§ Ï)•
Y = C1 cos x + C2 sin x.
•§(6) A)•y ∗ = Ae2x ,
“\(6) A = 4/5.
•§(6) Ï)•
4
y = C1 cos x + C2 sin x + e2x .
5
(6)
~Xê‚5šàg‡©•§
dЊ^‡y(0) = 1,
C1 = 1/5;
~Xê‚5šàg‡©•§
dЊ^‡y(0) = 1,
dЊ^‡y 0 (0) = 2,
C1 = 1/5;
C2 = 2/5,
~Xê‚5šàg‡©•§
dЊ^‡y(0) = 1,
dЊ^‡y 0 (0) = 2,
l ¤¦¼ê•
y=
C1 = 1/5;
C2 = 2/5,
1
2
4
cos x + sin x + e2x .
5
5
5
~Xê‚5šàg‡©•§
!·‚ÆS
‡©•§
ay 00 + by 0 + cy = f (x)
Ù¥ f (x) = Pm (x)eαx ž
){
~Xê‚5šàg‡©•§
~Xê‚5šàg‡©•§
~Xê
‚5šàg‡©•§£e¤
~Xê‚5šàg‡©•§
(II) ay 00 + by 0 + cy = f (x)
Ù¥f (x) = eαx [Pm (x) cos βx + Pn (x) sin βx],
Pm (x)ÚPn (x)©O´x
mgÚngõ‘ª.
~Xê‚5šàg‡©•§
|^Eulerúª, Œ
e(α+iβ)x + e(α−iβ)x
f (x) = Pm (x)
2
(α+iβ)x
e
− e(α−iβ)x
+Pn (x)
2i
~Xê‚5šàg‡©•§
|^Eulerúª, Œ
e(α+iβ)x + e(α−iβ)x
f (x) = Pm (x)
2
(α+iβ)x
e
− e(α−iβ)x
+Pn (x)
2i
Pm (x) − iPn (x) (α+iβ)x
=
e
2
Pm (x) + iPn (x) (α−iβ)x
+
e
2
~Xê‚5šàg‡©•§
|^Eulerúª, Œ
e(α+iβ)x + e(α−iβ)x
f (x) = Pm (x)
2
(α+iβ)x
e
− e(α−iβ)x
+Pn (x)
2i
Pm (x) − iPn (x) (α+iβ)x
=
e
2
Pm (x) + iPn (x) (α−iβ)x
+
e
2
= Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x ,
~Xê‚5šàg‡©•§
|^Eulerúª, Œ
e(α+iβ)x + e(α−iβ)x
f (x) = Pm (x)
2
(α+iβ)x
e
− e(α−iβ)x
+Pn (x)
2i
Pm (x) − iPn (x) (α+iβ)x
=
e
2
Pm (x) + iPn (x) (α−iβ)x
+
e
2
= Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x ,
Ù¥l = max {m, n},
~Xê‚5šàg‡©•§
(i) ‡©•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x
A)äk/ª
~Xê‚5šàg‡©•§
(i) ‡©•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x
A)äk/ª
y1∗ = xk Ql (x)e(α+iβ)x ,
kUα + iβ´Ä´A Š•g 0½1
~Xê‚5šàg‡©•§
(i) ‡©•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x
A)äk/ª
y1∗ = xk Ql (x)e(α+iβ)x ,
kUα + iβ´Ä´A Š•g 0½1
(ii) 釩•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α−iβ)x ,
~Xê‚5šàg‡©•§
(i) ‡©•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x
A)äk/ª
y1∗ = xk Ql (x)e(α+iβ)x ,
kUα + iβ´Ä´A Š•g 0½1
(ii) 釩•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α−iβ)x ,
du
Pl (x)e(α−iβ)x = Pl (x)e(α+iβ)x ,
~Xê‚5šàg‡©•§
(i) ‡©•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x
A)äk/ª
y1∗ = xk Ql (x)e(α+iβ)x ,
kUα + iβ´Ä´A Š•g 0½1
(ii) 釩•§ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α−iβ)x ,
du
Pl (x)e(α−iβ)x = Pl (x)e(α+iβ)x ,
¤±y2∗ = y1∗ = xk Ql (x)e(α−iβ)x ´ÙA).
~Xê‚5šàg‡©•§
Šâ) U\ n, ‡©•§
ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x
~Xê‚5šàg‡©•§
Šâ) U\ n, ‡©•§
ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x
A)•
∗
y = y1∗ + y2∗
~Xê‚5šàg‡©•§
Šâ) U\ n, ‡©•§
ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x
A)•
∗
y = y1∗ + y2∗
= xk Ql (x)e(α+iβ)x + xk Ql (x)e(α−iβ)x
~Xê‚5šàg‡©•§
Šâ) U\ n, ‡©•§
ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x
A)•
∗
y = y1∗ + y2∗
= xk Ql (x)e(α+iβ)x + xk Ql (x)e(α−iβ)x
= xk eαx [(Ql (x) + Ql (x)) cos βx
+i(Ql (x) − Ql (x)) sin βx]
~Xê‚5šàg‡©•§
Šâ) U\ n, ‡©•§
ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x
A)•
∗
y = y1∗ + y2∗
= xk Ql (x)e(α+iβ)x + xk Ql (x)e(α−iβ)x
= xk eαx [(Ql (x) + Ql (x)) cos βx
+i(Ql (x) − Ql (x)) sin βx]
(1)
(2)
= xk eαx [Rl (x) cos βx + Rl (x) sin βx],
~Xê‚5šàg‡©•§
Šâ) U\ n, ‡©•§
ay 00 + by 0 + cy = Pl (x)e(α+iβ)x + Pl (x)e(α−iβ)x
A)•
∗
y = y1∗ + y2∗
= xk Ql (x)e(α+iβ)x + xk Ql (x)e(α−iβ)x
= xk eαx [(Ql (x) + Ql (x)) cos βx
+i(Ql (x) − Ql (x)) sin βx]
(1)
(2)
= xk eαx [Rl (x) cos βx + Rl (x) sin βx],
(1)
(2)
Ù¥Rl (x), Rl (x)Ñ´lg¢Xêõ‘ª,
l = max {m, n}, kUα + iβ´Ä´A Š•
g 0½1.
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay 00 +by 0 +cy = eαx [Pm (x) cos βx+Pn (x) sin βx]
A)y ∗ äk/ª
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay 00 +by 0 +cy = eαx [Pm (x) cos βx+Pn (x) sin βx]
A)y ∗ äk/ª
(1)
(2)
y ∗ = xk eαx [Rl (x) cos βx + Rl (x) sin βx],
~Xê‚5šàg‡©•§
nþ?Ø, ·‚
±e(Ø:
~Xê‚5šàg‡©•§
ay 00 +by 0 +cy = eαx [Pm (x) cos βx+Pn (x) sin βx]
A)y ∗ äk/ª
(1)
(2)
y ∗ = xk eαx [Rl (x) cos βx + Rl (x) sin βx],
(1)
(2)
Ù¥Rl (x), Rl (x)Ñ
Ñ´lg
g¢ X ê õ ‘ ª,
l = max {m, n}, kU
Uα + iβ´
´Ä ´ A Š •
g 0½
½1.
~Xê‚5šàg‡©•§
~4 ¦•§ y 00 − 5y 0 + 6y = 3 cos 4x
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~4 ¦•§ y 00 − 5y 0 + 6y = 3 cos 4x
) A •§•r2 − 5r + 6 = 0,
A Šr1 = 2, r2 = 3.
A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~4 ¦•§ y 00 − 5y 0 + 6y = 3 cos 4x
A).
) A •§•r2 − 5r + 6 = 0,
A Šr1 = 2, r2 = 3. gd‘•
(1)
(2)
3 cos 4x = e0x [P0 (x) cos 4x+P0 (x) sin 4x],
~Xê‚5šàg‡©•§
~4 ¦•§ y 00 − 5y 0 + 6y = 3 cos 4x
A).
) A •§•r2 − 5r + 6 = 0,
A Šr1 = 2, r2 = 3. gd‘•
(1)
(2)
3 cos 4x = e0x [P0 (x) cos 4x+P0 (x) sin 4x],
du0 ± 4iØ´A
Š,
~Xê‚5šàg‡©•§
~4 ¦•§ y 00 − 5y 0 + 6y = 3 cos 4x
A).
) A •§•r2 − 5r + 6 = 0,
A Šr1 = 2, r2 = 3. gd‘•
(1)
(2)
3 cos 4x = e0x [P0 (x) cos 4x+P0 (x) sin 4x],
du0 ± 4iØ´A
)•
(1)
Š,
Œ
•§
(2)
A
y ∗ = x0 e0x [R0 (x) cos 4x + R0 (x) sin 4x]
= A cos 4x + B sin 4x.
~Xê‚5šàg‡©•§
òÙ“\ •§
10A + 20B = −3,
20A − 10B = 0.
~Xê‚5šàg‡©•§
òÙ“\ •§
10A + 20B = −3,
)ƒ
20A − 10B = 0.
A = −3/50, B = −3/25.
~Xê‚5šàg‡©•§
òÙ“\ •§
10A + 20B = −3,
20A − 10B = 0.
)ƒ A = −3/50, B = −3/25.
˜‡A)•
−
3
3
cos 4x −
sin 4x.
50
25
•§
~Xê‚5šàg‡©•§
~5 ¦•§ y 00 − 3y 0 + 2y = 2e−x cos 2x
˜‡A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~5 ¦•§ y 00 − 3y 0 + 2y = 2e−x cos 2x
˜‡A).
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2.
~Xê‚5šàg‡©•§
~5 ¦•§ y 00 − 3y 0 + 2y = 2e−x cos 2x
˜‡A).
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2. gd‘•
(1)
(2)
2e−x cos 2x = e−1x [P0 (x) cos 2x + P0 (x) sin 2x],
~Xê‚5šàg‡©•§
~5 ¦•§ y 00 − 3y 0 + 2y = 2e−x cos 2x
˜‡A).
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2. gd‘•
(1)
(2)
2e−x cos 2x = e−1x [P0 (x) cos 2x + P0 (x) sin 2x],
du−1 ± 2iØ´A Š,
)•
Œ
•§
A
~Xê‚5šàg‡©•§
~5 ¦•§ y 00 − 3y 0 + 2y = 2e−x cos 2x
˜‡A).
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2. gd‘•
(1)
(2)
2e−x cos 2x = e−1x [P0 (x) cos 2x + P0 (x) sin 2x],
du−1 ± 2iØ´A Š,
)•
(1)
Œ
•§
(2)
A
y ∗ = x0 e−x [R0 (x) cos 2x + R0 (x) sin 2x]
= e−x (A cos 2x + B sin 2x).
~Xê‚5šàg‡©•§
òÙ“\ •§
(
2A − 10B = 2,
10A + 2B = 0,
~Xê‚5šàg‡©•§
òÙ“\ •§
(
2A − 10B = 2,
10A + 2B = 0,
)ƒ
A = 1/26, B = −5/26.
~Xê‚5šàg‡©•§
òÙ“\ •§
(
2A − 10B = 2,
10A + 2B = 0,
)ƒ A = 1/26, B = −5/26.
˜‡A)•
y ∗ = e−x (
•§
1
5
cos 2x −
sin 2x).
26
26
~Xê‚5šàg‡©•§
~6 ¦•§
y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex + 2e−x cos 2x
Ï).
~Xê‚5šàg‡©•§
~6 ¦•§
y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex + 2e−x cos 2x
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2.
Ï).
~Xê‚5šàg‡©•§
~6 ¦•§
y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex + 2e−x cos 2x
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2.
¤±éAàg•§ Ï)•
Y = C1 ex + C2 e2x .
Ï).
~Xê‚5šàg‡©•§
~6 ¦•§
y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex + 2e−x cos 2x
Ï).
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2.
¤±éAàg•§ Ï)•
Y = C1 ex + C2 e2x .
du1´˜-A Š,
•§y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex A)/ª•
y1∗ = xex (A1 x + B1 ),
~Xê‚5šàg‡©•§
~6 ¦•§
y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex + 2e−x cos 2x
Ï).
) A •§•r2 − 3r + 2 = 0,
A Š•r1 = 1, r2 = 2.
¤±éAàg•§ Ï)•
Y = C1 ex + C2 e2x .
du1´˜-A Š,
•§y 00 − 3y 0 + 2y = 3xex A)/ª•
y1∗ = xex (A1 x + B1 ),
“\
•§
y1∗ = −3xex ( 21 x + 1).
~Xê‚5šàg‡©•§
q•§y 00 − 3y 0 + 2y = 2e−x cos 2x A)•
y2∗ = e−x (
1
5
cos 2x −
sin 2x).
26
26
~Xê‚5šàg‡©•§
q•§y 00 − 3y 0 + 2y = 2e−x cos 2x A)•
y2∗ = e−x (
Šâ)
1
5
cos 2x −
sin 2x).
26
26
U\ n,
•§
A)•
1
1
5
y ∗ = −3xex ( x+1)+e−x ( cos 2x− sin 2x).
2
26
26
~Xê‚5šàg‡©•§
¤±
•§ Ï)•
y = Y + y∗
1
= C1 ex + C2 e2x − 3xex ( x + 1)
2
5
1
sin 2x).
+ e−x ( cos 2x −
26
26
~Xê‚5šàg‡©•§
(2) ~ êC ´{£
阄
gd‘ f (x)¤
~Xê‚5šàg‡©•§
(2) ~ êC ´{£
阄
gd‘ f (x)¤
•§
ay 00 + by 0 + cy = f (x)
¤éA
(1)
àg•§
ay 00 + by 0 + cy = 0
(2)
Ï)•
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x),
Ù¥y1 (x), y2 (x)•àg•§(2)
' ).
ü‡‚5Ã
~Xê‚5šàg‡©•§
ò(2)¥ ?¿~êC1 ÚC2 ©O†¤–½¼
êC1 (x)ÚC2 (x),
~Xê‚5šàg‡©•§
ò(2)¥ ?¿~êC1 ÚC2 ©O†¤–½¼
êC1 (x)ÚC2 (x),
{ÀJC1 (x)ÚC2 (x), ¦
y ∗ = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)
•(1) A).
(3)
~Xê‚5šàg‡©•§
éC1 (x), C2 (x)N\^‡
C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) = 0
~Xê‚5šàg‡©•§
éC1 (x), C2 (x)N\^‡
C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) = 0
Œ
C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) = f (x)/a.
~Xê‚5šàg‡©•§
éC1 (x), C2 (x)N\^‡
C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) = 0
Œ
C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) = f (x)/a.
éáþüªŒ
−f (x)y2 (x)/a
,
y1 (x)y20 (x) − y10 (x)y2 (x)
f (x)y1 (x)/a
.
C20 (x) =
y1 (x)y20 (x) − y10 (x)y2 (x)
C10 (x) =
~Xê‚5šàg‡©•§
éC1 (x), C2 (x)N\^‡
C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) = 0
Œ
C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) = f (x)/a.
éáþüªŒ
−f (x)y2 (x)/a
,
y1 (x)y20 (x) − y10 (x)y2 (x)
f (x)y1 (x)/a
.
C20 (x) =
y1 (x)y20 (x) − y10 (x)y2 (x)
C10 (x) =
ddŒ) C1 (x), C2 (x)§u´
(1) A).
~Xê‚5šàg‡©•§
~7 ¦•§ y 00 − 2y 0 + y = ex /x
).
˜‡A
~Xê‚5šàg‡©•§
~7 ¦•§ y 00 − 2y 0 + y = ex /x
).
) A •§•r2 − 2r + 1 = 0,
A Š•r1 = r2 = 1.
˜‡A
~Xê‚5šàg‡©•§
~7 ¦•§ y 00 − 2y 0 + y = ex /x
).
) A •§•r2 − 2r + 1 = 0,
A Š•r1 = r2 = 1.
¤±éAàg•§ Ï)•
Y = (C1 + C2 x)ex .
˜‡A
~Xê‚5šàg‡©•§
~7 ¦•§ y 00 − 2y 0 + y = ex /x
).
˜‡A
) A •§•r2 − 2r + 1 = 0,
A Š•r1 = r2 = 1.
¤±éAàg•§ Ï)•
Y = (C1 + C2 x)ex .
•§ A)•
∗
y = C1 (x)ex + C2 (x)xex , Kk
(
C10 (x)ex + C20 (x)xex = 0,
C10 (x)ex + C20 (x)(x + 1)ex = ex /x.
~Xê‚5šàg‡©•§
)ƒ
C10 (x) = −1, C20 (x) = 1/x.
~Xê‚5šàg‡©•§
)ƒ
Œ
C10 (x) = −1, C20 (x) = 1/x.
C1 (x) = −x, C2 (x) = ln |x|.
~Xê‚5šàg‡©•§
)ƒ C10 (x) = −1, C20 (x) = 1/x.
Œ C1 (x) = −x, C2 (x) = ln |x|.
¤¦A)•
y ∗ = −xex + (ln |x|)xex = xex (ln |x| − 1).
~Xê‚5šàg‡©•§
(µ1. –½Xê{
f (x) = Pm (x)eαx
f (x) = eαx [Pm (x) cos βx + Pn (x) sin βx]
2. ~êC´{
Euler£î.¤•§
Euler£î.¤•§
Euler£î.¤•§
Euler£î.¤•§
/X
xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + · · · + an−1 xy 0 + an y = f (x)
(1)
• § ¡ •n î . (Euler)•
• §, Ù
¥ai (i = 1, 2, · · · , n)•~ê. ù´˜‡n
CXê ‚5‡©•§.
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xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + · · · + an−1 xy 0 + an y = f (x)
(1)
• § ¡ •n î . (Euler)•
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A : : ˆ‘™•¼ê ê
fgCþ •gêƒÓ.
ꆦÈÏ
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(1)
• § ¡ •n î . (Euler)•
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A : : ˆ‘™•¼ê ê
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ꆦÈÏ
){ : ÏLCþ“†z•~Xꇩ•§.
Euler£î.¤•§
˜.
Euler•§
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˜.
Euler•§
x2 y 00 + a1 xy 0 + a2 y = f (x)
(2)
Euler£î.¤•§
˜.
Euler•§
x2 y 00 + a1 xy 0 + a2 y = f (x)
-x = et , =t = ln x,
(2)
Euler£î.¤•§
˜.
Euler•§
x2 y 00 + a1 xy 0 + a2 y = f (x)
-x = et , =t = ln x, K
y0 =
dy dt
1 dy
dy
=
=
,
dx
dt dx x dt
(2)
Euler£î.¤•§
˜.
Euler•§
x2 y 00 + a1 xy 0 + a2 y = f (x)
(2)
-x = et , =t = ln x, K
y0 =
dy dt
1 dy
dy
=
=
,
dx
dt dx x dt
1 dy 1 d dy 1 dy 1 d2 y
= − 2 + 2 2,
y =− 2 +
x dt x dx dt
x dt x dt
00
Euler£î.¤•§
“\•§(2), u´•§(2)z•
dy
d2 y
+
(a
−
1)
+ a2 y = f (et ),
1
2
dt
dt
Euler£î.¤•§
“\•§(2), u´•§(2)z•
dy
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+
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−
1)
+ a2 y = f (et ),
1
2
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‚5~Xꇩ•§.
Euler£î.¤•§
~1 ¦•§ x2 y 00 − xy 0 + y = 2 ln x
Ï).
Euler£î.¤•§
~1 ¦•§ x2 y 00 − xy 0 + y = 2 ln x
) -t = ln x,
1 dy 00
1 dy
1 d2 y
0
Ky =
,y =− 2
+
,
x dt
x dt x2 dt2
Ï).
Euler£î.¤•§
~1 ¦•§ x2 y 00 − xy 0 + y = 2 ln x
Ï).
) -t = ln x,
1 dy 00
1 dy
1 d2 y
0
Ky =
,y =− 2
+
,
x dt
x dt x2 dt2
•§z•
d2 y
dy
−
2
+ y = 2t
dt2
dt
(3)
Euler£î.¤•§
~1 ¦•§ x2 y 00 − xy 0 + y = 2 ln x
Ï).
) -t = ln x,
1 dy 00
1 dy
1 d2 y
0
Ky =
,y =− 2
+
,
x dt
x dt x2 dt2
•§z•
d2 y
dy
−
2
+ y = 2t
dt2
dt
A •§•r2 − 2r + 1 = 0,
A Š•r1 = r2 = 1.
(3)
Euler£î.¤•§
Ï•α = 0Ø´A Š,
)•y ∗ = A0 t + A1 ,
Œ
•§(3)
A
Euler£î.¤•§
Ï•α = 0Ø´A Š, Œ •§(3) A
)•y ∗ = A0 t + A1 , “\(3), ' XêŒ)
A0 = 2, A1 = 4, y ∗ = 2t + 4.
Euler£î.¤•§
Ï•α = 0Ø´A Š, Œ •§(3) A
)•y ∗ = A0 t + A1 , “\(3), ' XêŒ)
A0 = 2, A1 = 4, y ∗ = 2t + 4. ¤±•
§(3) Ï)•
y = (C1 + C2 t)et + 2t + 4,
Euler£î.¤•§
Ï•α = 0Ø´A Š, Œ •§(3) A
)•y ∗ = A0 t + A1 , “\(3), ' XêŒ)
A0 = 2, A1 = 4, y ∗ = 2t + 4. ¤±•
§(3) Ï)•
y = (C1 + C2 t)et + 2t + 4,
òt = ln x“\þª,
•§
Ï)•
y = x(C1 + C2 ln x) + 2 ln x + 4.
Euler£î.¤•§
. n Euler•§
Euler£î.¤•§
. n Euler•§
-x = et , =t = ln x,
Euler£î.¤•§
. n Euler•§
-x = et , =t = ln x, -ŽfD =
d
,
dt
Euler£î.¤•§
. n Euler•§
-x = et , =t = ln x, -ŽfD =
xy 0 =
dy
= Dy,
dt
d
,K
dt
Euler£î.¤•§
. n Euler•§
-x = et , =t = ln x, -ŽfD =
xy 0 =
dy
= Dy,
dt
d2 y dy
xy = 2 −
= D(D − 1)y,
dt
dt
2 00
d
,K
dt
······
Euler£î.¤•§
. n Euler•§
-x = et , =t = ln x, -ŽfD =
xy 0 =
dy
= Dy,
dt
d2 y dy
xy = 2 −
= D(D − 1)y,
dt
dt
2 00
d
,K
dt
······
xk y (k) = D(D − 1)(D − 2) · · · (D − k − 1)y
Euler£î.¤•§
“ \n Euler• §(1)
n ~Xê‚5•§,
±t• g C þ
Euler£î.¤•§
“ \n Euler• §(1)
n ~Xê‚5•§,
ÙA
†¤
±t• g C þ
•§•Ir(1)†>¹xk y (k)
ˆ‘
r(r−1)(r−2) · · · (r−k+1) (k = 1, 2, · · · , n),
¿r• ˜‘¥
•"=Œ.
y†¤1, •
-
‡ªf
Euler£î.¤•§
~2 ¦•§x3 y 000 + x2 y 00 − 4xy 0 = 0 Ï).
Euler£î.¤•§
~2 ¦•§x3 y 000 + x2 y 00 − 4xy 0 = 0 Ï).
) -t = ln x, K •§Œz•
D(D − 1)(D − 2)y + D(D − 1)y − 4Dy = 0.
(4)
Euler£î.¤•§
~2 ¦•§x3 y 000 + x2 y 00 − 4xy 0 = 0 Ï).
) -t = ln x, K •§Œz•
D(D − 1)(D − 2)y + D(D − 1)y − 4Dy = 0.
(4)
A •§•
r(r − 1)(r − 2) + r(r − 1) − 4r = 0,
Euler£î.¤•§
~2 ¦•§x3 y 000 + x2 y 00 − 4xy 0 = 0 Ï).
) -t = ln x, K •§Œz•
D(D − 1)(D − 2)y + D(D − 1)y − 4Dy = 0.
(4)
A •§•
r(r − 1)(r − 2) + r(r − 1) − 4r = 0,
=r(r2 − 2r − 3) = 0,
ÙA Š•r1 = 0, r2 = −1, r3 = 3.
Euler£î.¤•§
(4) Ï)•
y = C1 + C2 e−t + C3 e3t ,
Euler£î.¤•§
(4) Ï)•
y = C1 + C2 e−t + C3 e3t ,
òt = ln x“\þª=
y = C1 +
•§
C2
+ C3 x3 .
x
Ï)•
Euler£î.¤•§
(µî.•§
î.•§
x2 y 00 + a1 xy 0 + a2 y = f (x)
n î.•§
xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + · · · + an−1 xy 0 + an y = f (x)
˜~Xê‚5‡©§|
˜~Xê‚5‡©§|
˜~Xê‚5‡©§|
){Þ~
˜~Xê‚5‡©§|
˜‡©§|˜„/ª´

dy1


= f1 (x, y1 , y2 , · · · , yn ),


dx



 dy2
= f2 (x, y1 , y2 , · · · , yn ),
dx


·········





 dyn = fn (x, y1 , y2 , · · · , yn ).
dx
˜~Xê‚5‡©§|
XJfi (x, y1 , y2 , · · · , yn )(i = 1, 2, · · · , n)
y1 , y2 , · · · , yn ‚5¼ê, =§|

dy1


= a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + g1 (x),


dx



 dy2
= a21 y1 + a22 y2 + · · · + a2n yn + g2 (x),
dx


·········





 dyn = an1 y1 + an2 y2 + · · · + ann yn + gn (x).
dx
K¡d§|˜
˜ ‚ 5 ‡ ©  § | .
˜~Xê‚5‡©§|
XJgi (x) ≡ 0(i = 1, 2, · · · , n), K¡§|
àg; ÄK¡šàg.
˜~Xê‚5‡©§|
XJgi (x) ≡ 0(i = 1, 2, · · · , n), K¡§|
àg; ÄK¡šàg.
XJXêaij (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , n)
Ñ´~ê, K¡d§|˜
˜ ~ X ê ‚ 5
‡©§|.
˜~Xê‚5‡©§|
˜!ž{))=zp‚5‡
©§
˜~Xê‚5‡©§|
˜!ž{))=zp‚5‡
©§
~1 ¦‡©§|

dy
3

 1 = y1 + 2y2 + x,
dx
2

 dy2 = 4y1 + 3y2
dx
Ï).
˜~Xê‚5‡©§|
) d1˜ª
d2 y1
dy1 dy2 3
=
+2
+
dx2
dx
dx 2
˜~Xê‚5‡©§|
) d1˜ª
d2 y1
dy1 dy2 3 dy1
3
=
+2
+
=
+2(4y
+3y
)+
1
2
dx2
dx
dx 2
dx
2
˜~Xê‚5‡©§|
) d1˜ª
d2 y1
dy1 dy2 3 dy1
3
=
+2
+
=
+2(4y
+3y
)+
1
2
dx2
dx
dx 2
dx
2
dy
3 3
dy1
1
=
+ 8y1 + 3
− y1 − x + .
dx
dx
2
2
˜~Xê‚5‡©§|
) d1˜ª
d2 y1
dy1 dy2 3 dy1
3
=
+2
+
=
+2(4y
+3y
)+
1
2
dx2
dx
dx 2
dx
2
dy
3 3
dy1
1
=
+ 8y1 + 3
− y1 − x + .
dx
dx
2
2
þªn, ±y1 ™¼ê~Xê
‚5šàg§
d2 y1
dy1
3 9
−
4
−
5y
=
− x.
1
dx2
dx
2 2
˜~Xê‚5‡©§|
A§r2 − 4r − 5 = 0,
AŠr1 = −1, r2 = 5.
˜~Xê‚5‡©§|
A§r2 − 4r − 5 = 0,
AŠr1 = −1, r2 = 5.
T§˜‡A)
51
9
x− ,
10
50
˜~Xê‚5‡©§|
A§r2 − 4r − 5 = 0,
AŠr1 = −1, r2 = 5.
T§˜‡A)
51
9
x− ,
10
50
y1 = C1 e−x + C2 e5x +
9
51
x− ,
10
50
˜~Xê‚5‡©§|
A§r2 − 4r − 5 = 0,
AŠr1 = −1, r2 = 5.
T§˜‡A)
51
9
x− ,
10
50
9
51
x− ,
10
50
u´
3 1 dy1
y2 =
− y1 − x
2 dx
2
6
24
= −C1 e−x + 2C2 e5x − x + ,
5
25
y1 = C1 e−x + C2 e5x +
˜~Xê‚5‡©§|
¤±§|Ï)

9
51
−x
5x


y
=
C
e
+
C
e
+
x
−
,
1
2

 1
10
50



y2 = −C1 e−x + 2C2 e5x − 6 x + 24
5
25
˜~Xê‚5‡©§|
~2
¦‡©§|

dy1


= −2y1 + y2 + y3 ,


 dx
dy2
= 2y2 ,

dx



 dy3 = −4y1 + y2 + 3y3
dx
Ï).
˜~Xê‚5‡©§|
) d1nª
d2 y3
dy1 dy2
dy3
=
−4
+
+
3
dx2
dx
dx
dx
˜~Xê‚5‡©§|
) d1nª
d2 y3
dy1 dy2
dy3
=
−4
+
+
3
dx2
dx
dx
dx
= −4(−2y1 + y2 + y3 ) + 2y2 + 3
dy3
dx
(ò1˜!ª“\)
˜~Xê‚5‡©§|
) d1nª
d2 y3
dy1 dy2
dy3
=
−4
+
+
3
dx2
dx
dx
dx
= −4(−2y1 + y2 + y3 ) + 2y2 + 3
dy3
dx
(ò1˜!ª“\)
dy
3
= −2
− y2 − 3y3 − 4y2 − 4y3 + 2y2
dx
dy3
(d1nª)Ñy1 “\)
+3
dx
˜~Xê‚5‡©§|
) d1nª
d2 y3
dy1 dy2
dy3
=
−4
+
+
3
dx2
dx
dx
dx
= −4(−2y1 + y2 + y3 ) + 2y2 + 3
dy3
dx
(ò1˜!ª“\)
dy
3
= −2
− y2 − 3y3 − 4y2 − 4y3 + 2y2
dx
dy3
(d1nª)Ñy1 “\)
+3
dx
dy3
=
+ 2y3 .
dx
˜~Xê‚5‡©§|
ù´˜‡±y3 ™¼ê~Xê‚
5àg§,
˜~Xê‚5‡©§|
ù´˜‡±y3 ™¼ê~Xê‚
5àg§,
A§r2 − r − 2 = 0,
AŠr1 = −1, r2 = 2,
˜~Xê‚5‡©§|
ù´˜‡±y3 ™¼ê~Xê‚
5àg§,
A§r2 − r − 2 = 0,
AŠr1 = −1, r2 = 2, y3 = C1 e−x + C2 e2x ,
˜~Xê‚5‡©§|
ù´˜‡±y3 ™¼ê~Xê‚
5àg§,
A§r2 − r − 2 = 0,
AŠr1 = −1, r2 = 2, y3 = C1 e−x + C2 e2x ,
2
qd dy
dx = 2y2 y2 = C3 e2x ,
˜~Xê‚5‡©§|
òy2 , y3 “\1nª
1 dy3
y1 = − (
− y2 − 3y3 )
4 dx
˜~Xê‚5‡©§|
òy2 , y3 “\1nª
1 dy3
y1 = − (
− y2 − 3y3 )
4 dx
1
= − (−C1 e−x + 2C2 e2x − C3 e2x
4
−3C1 e−x − 3C2 e2x )
˜~Xê‚5‡©§|
òy2 , y3 “\1nª
1 dy3
y1 = − (
− y2 − 3y3 )
4 dx
1
= − (−C1 e−x + 2C2 e2x − C3 e2x
4
−3C1 e−x − 3C2 e2x )
1
1
= C1 e−x + C2 e2x + C3 e2x .
4
4
˜~Xê‚5‡©§|
¤±§Ï)

1
1
−x
2x
2x


y1 = C1 e + 4 C2 e + 4 C3 e ,
y2 = C3 e2x ,


y = C e−x + C e2x .
3
1
2
˜~Xê‚5‡©§|
(µ˜~Xê‚5‡©§|){
ž{
国
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学
大
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国
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λ > 0,
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λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b; (λ + µ)~a = λ~a + µ~a;
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λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b; (λ + µ)~a = λ~a + µ~a;
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λ · ~0 = ~0;
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1 · ~a = ~a,
0 · ~a = ~0,
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λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b; (λ + µ)~a = λ~a + µ~a;
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= 21 (AC − AB) = 12 BC,
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∴ DE//BC, …|DE| = 12 |BC|.
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θ = ∠AOB, 0 ≤ θ ≤ π,
P•(~a, ~b)½(~a ∧ ~b), =(~a, ~b) = θ.
大
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kü‡š"•þ~aÚ~b, ? ˜m˜:O,
−→
−−→
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国
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−−
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−→
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−→
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−→
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~
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W = |F~ | · |S|
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K5½§‚ êþÈ•".
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1
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2
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O
1
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中
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•þ êþȆ•þÈ
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~a · ~b = ~b · ~a ( †Æ);
国
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中
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中
中
λ(~a · ~b) = (λ~a) · ~b ((ÜÆ);
C
2
C
~a · ~b = ~b · ~a ( †Æ);
C
1
中
国
大
学
M
O
O
C
中
•þ êþȆ•þÈ
C
中
O
O
中
国
大
学
M
$Ž5Æ
中
国
大
学
M
C
中
êþÈ
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
C
Æ).
O
~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c (©
中
国
大
学
M
3
C
λ(~a · ~b) = (λ~a) · ~b ((ÜÆ);
大
中
O
O
2
C
~a · ~b = ~b · ~a ( †Æ);
C
1
中
国
大
学
M
O
O
C
中
•þ êþȆ•þÈ
C
中
O
O
中
国
大
学
M
$Ž5Æ
中
国
大
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M
C
中
êþÈ
国
中
•þ9Ù$Ž
国
O
M
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大
O
M
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大
O
M
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大
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M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
中
国
中
国
中
国
中
•þ9Ù$Ž
~2. Á^•þy²{u½n.
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
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大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
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O
中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
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M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
中
国
中
国
中
国
中
•þ9Ù$Ž
~2. Á^•þy²{u½n.
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
y ² µ X ã,Š4ABC9
•þ~a, ~b, ~c,Kk~c = ~a − ~b.
C
C
C
~2. Á^•þy²{u½n.
国
中
•þ9Ù$Ž
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
O
O
中
国
大
学
M
l
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
y ² µ X ã,Š4ABC9
•þ~a, ~b, ~c,Kk~c = ~a − ~b.
C
C
C
~2. Á^•þy²{u½n.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
|~c|2 = ~c · ~c = (~a − ~b) · (~a − ~b)
国
中
•þ9Ù$Ž
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
|~c|2 = ~c · ~c = (~a − ~b) · (~a − ~b)
= ~a · ~a − ~a · ~b − ~b · ~a + ~b · ~b
O
O
O
O
O
中
国
大
学
M
l
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
y ² µ X ã,Š4ABC9
•þ~a, ~b, ~c,Kk~c = ~a − ~b.
C
C
C
~2. Á^•þy²{u½n.
国
中
•þ9Ù$Ž
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
C
O
大
中
国
大
学
M
O
= ~a · ~a + ~b · ~b − 2~a · ~b
学
M
O
O
C
|~c|2 = ~c · ~c = (~a − ~b) · (~a − ~b)
= ~a · ~a − ~a · ~b − ~b · ~a + ~b · ~b
O
O
O
O
O
中
国
大
学
M
l
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
y ² µ X ã,Š4ABC9
•þ~a, ~b, ~c,Kk~c = ~a − ~b.
C
C
C
~2. Á^•þy²{u½n.
国
中
•þ9Ù$Ž
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
中
国
大
学
M
O
C
O
国
大
学
M
O
= ~a · ~a + ~b · ~b − 2~a · ~b
= |~a|2 + |~b|2 − 2|~a| · |~b| cos(~a, ~b).
中
大
学
M
O
O
C
|~c|2 = ~c · ~c = (~a − ~b) · (~a − ~b)
= ~a · ~a − ~a · ~b − ~b · ~a + ~b · ~b
O
O
O
O
O
中
国
大
学
M
l
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
y ² µ X ã,Š4ABC9
•þ~a, ~b, ~c,Kk~c = ~a − ~b.
C
C
C
~2. Á^•þy²{u½n.
国
中
•þ9Ù$Ž
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
~3. ®•~a, ~b, ~cüüR†, …|~a| = 1, |~b| = 2,
|~c| = 3, ¦~u = ~a + ~b +~c •Ý, §†•þ~b
Y .
国
中
•þ9Ù$Ž
C
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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C
中
国
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M
O
O
C
C
O
O
M
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大
中
国
大
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M
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O
C
中
国
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M
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C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
~3. ®•~a, ~b, ~cüüR†, …|~a| = 1, |~b| = 2,
|~c| = 3, ¦~u = ~a + ~b +~c •Ý, §†•þ~b
Y .
): ∵ ~a ⊥ ~b, ~a ⊥ ~c, ~b ⊥ ~c,
国
中
•þ9Ù$Ž
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
~3. ®•~a, ~b, ~cüüR†, …|~a| = 1, |~b| = 2,
|~c| = 3, ¦~u = ~a + ~b +~c •Ý, §†•þ~b
Y .
): ∵ ~a ⊥ ~b, ~a ⊥ ~c, ~b ⊥ ~c,
∴ ~a · ~b = 0, ~a · ~c = 0, ~b · ~c = 0.
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∵ |~u|2 = ~u · ~u = (~a + ~b + ~c) · (~a + ~b + ~c)
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
~3. ®•~a, ~b, ~cüüR†, …|~a| = 1, |~b| = 2,
|~c| = 3, ¦~u = ~a + ~b +~c •Ý, §†•þ~b
Y .
): ∵ ~a ⊥ ~b, ~a ⊥ ~c, ~b ⊥ ~c,
∴ ~a · ~b = 0, ~a · ~c = 0, ~b · ~c = 0.
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
+2~a · ~b + 2~b · ~c + 2~a · ~c
O
O
C
∵ |~u|2 = ~u · ~u = (~a + ~b + ~c) · (~a + ~b + ~c)
= ~a · ~a + ~b · ~b + ~c · ~c
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
~3. ®•~a, ~b, ~cüüR†, …|~a| = 1, |~b| = 2,
|~c| = 3, ¦~u = ~a + ~b +~c •Ý, §†•þ~b
Y .
): ∵ ~a ⊥ ~b, ~a ⊥ ~c, ~b ⊥ ~c,
∴ ~a · ~b = 0, ~a · ~c = 0, ~b · ~c = 0.
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
+2~a · ~b + 2~b · ~c + 2~a · ~c
= ~a · ~a + ~b · ~b + ~c · ~c
大
学
M
O
O
C
∵ |~u|2 = ~u · ~u = (~a + ~b + ~c) · (~a + ~b + ~c)
= ~a · ~a + ~b · ~b + ~c · ~c
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
~3. ®•~a, ~b, ~cüüR†, …|~a| = 1, |~b| = 2,
|~c| = 3, ¦~u = ~a + ~b +~c •Ý, §†•þ~b
Y .
): ∵ ~a ⊥ ~b, ~a ⊥ ~c, ~b ⊥ ~c,
∴ ~a · ~b = 0, ~a · ~c = 0, ~b · ~c = 0.
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
O
C
+2~a · ~b + 2~b · ~c + 2~a · ~c
= ~a · ~a + ~b · ~b + ~c · ~c
= |~a|2 + |~b|2 + |~c|2 = 14.
中
大
学
M
O
O
C
∵ |~u|2 = ~u · ~u = (~a + ~b + ~c) · (~a + ~b + ~c)
= ~a · ~a + ~b · ~b + ~c · ~c
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
~3. ®•~a, ~b, ~cüüR†, …|~a| = 1, |~b| = 2,
|~c| = 3, ¦~u = ~a + ~b +~c •Ý, §†•þ~b
Y .
): ∵ ~a ⊥ ~b, ~a ⊥ ~c, ~b ⊥ ~c,
∴ ~a · ~b = 0, ~a · ~c = 0, ~b · ~c = 0.
国
中
•þ9Ù$Ž
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
中
O
M
学
大
C
O
C
O
14.
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
√
中
国
中
国
中
∴ |~u| =
•þ9Ù$Ž
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
中
中
中
•þ êþȆ•þÈ
中
O
M
学
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
∵ cos(~u, ~b) =
大
C
O
C
O
14.
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
√
中
国
中
国
中
∴ |~u| =
•þ9Ù$Ž
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
~u · ~b
(~a + ~b + ~c) · ~b
~
∵ cos(~u, b) =
=
|~u||~b|
|~u||~b|
中
国
大
学
M
中
C
O
C
O
C
14.
O
√
•þ êþȆ•þÈ
中
中
中
∴ |~u| =
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
~b · ~b
|~u||~b|
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
~u · ~b
(~a + ~b + ~c) · ~b
~
∵ cos(~u, b) =
=
|~u||~b|
|~u||~b|
=
中
C
O
O
C
14.
O
C
√
•þ êþȆ•þÈ
中
中
中
∴ |~u| =
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
~b · ~b
2
|~b|
=
=√ ,
14
|~u||~b| |~u|
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
~u · ~b
(~a + ~b + ~c) · ~b
~
∵ cos(~u, b) =
=
|~u||~b|
|~u||~b|
=
中
C
O
O
C
14.
O
C
√
•þ êþȆ•þÈ
中
中
中
∴ |~u| =
国
中
•þ9Ù$Ž
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
2
∴ (~u, ~b) = arccos √ .
14
C
~b · ~b
2
|~b|
=
=√ ,
14
|~u||~b| |~u|
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
~u · ~b
(~a + ~b + ~c) · ~b
~
∵ cos(~u, b) =
=
|~u||~b|
|~u||~b|
=
中
C
O
O
C
14.
O
C
√
•þ êþȆ•þÈ
中
中
中
∴ |~u| =
国
中
•þ9Ù$Ž
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þÈ ·ÜÈ
中
国
中
国
中
国
中
•þ9Ù$Ž
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
•þ9Ù$Ž(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
•þÈ ·ÜÈ
中
国
中
国
中
国
中
•þ9Ù$Ž
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
中
中
中
•þÈ ·ÜÈ
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
½Â
中
国
中
国
中
•þ9Ù$Ž
(3) •þÈ
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
中
中
中
•þÈ ·ÜÈ
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
½Â
中
国
中
国
中
•þ9Ù$Ž
(3) •þÈ
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
˜‡•þ~c ÷ve
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
中
中
中
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K ~a//~b ⇔ ~a × ~b = ~0;
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~a × ~0 = ~0, ~0 × ~a = ~0;
~a × ~a = ~0;
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K ~a//~b ⇔ ~a × ~b = ~0;
~a ⊥ (~a × ~b), ~b ⊥ (~a × ~b).
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中
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国
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~a × ~0 = ~0, ~0 × ~a = ~0;
~a × ~a = ~0;
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国
大
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M
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~a × ~b = −~b × ~a (‡ †Æ);
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c (© Æ);
(λ~a) × ~b = λ(~a × ~b) = ~a × (λ~b)
O
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国
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M
1
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d~ = 3~a − 4~b, Ù¥|~a| = 1,|~b| = 2, ~a ⊥ ~b, ¦
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d~ = 3~a − 4~b, Ù¥|~a| = 1,|~b| = 2, ~a ⊥ ~b, ¦
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国
中
•þ9Ù$Ž
中
中
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~ + ~n, d~ = m
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d~ = 3~a − 4~b, Ù¥|~a| = 1,|~b| = 2, ~a ⊥ ~b, ¦
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国
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~ + ~n, d~ = m
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d~ = 3~a − 4~b, Ù¥|~a| = 1,|~b| = 2, ~a ⊥ ~b, ¦
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m
~ = (~c + d)
2
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C
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国
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M
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~ − ~n.
~c = m
~ + ~n, d~ = m
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d~ = 3~a − 4~b, Ù¥|~a| = 1,|~b| = 2, ~a ⊥ ~b, ¦
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~ = 1 (4~a − 2~b) = 2~a − ~b,
m
~ = (~c + d)
2
2
1
~ = 1 (−2~a + 6~b) = −~a + 3~b,
~n = (~c − d)
2
2
C
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国
中
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O
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C
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C
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~ × ~n| = |(2~a − ~b) × (−~a + 3~b)|
国
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M
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O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
= | − 2~a × ~a + ~b × ~a + 6~a × ~b − 3~b × ~b|
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
S = |m
~ × ~n| = |(2~a − ~b) × (−~a + 3~b)|
大
C
中
O
O
O
O
C
中
•þÈ ·ÜÈ
C
中
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O
C
中
中
国
大
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M
国
中
•þ9Ù$Ž
= | − 2~a × ~a + ~b × ~a + 6~a × ~b − 3~b × ~b|
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
S = |m
~ × ~n| = |(2~a − ~b) × (−~a + 3~b)|
中
国
大
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M
C
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中
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大
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M
O
O
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= 5|~a × ~b| = 5|~a||~b| sin(~a, ~b)
国
中
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= | − 2~a × ~a + ~b × ~a + 6~a × ~b − 3~b × ~b|
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
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M
S = |m
~ × ~n| = |(2~a − ~b) × (−~a + 3~b)|
中
国
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学
M
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M
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C
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国
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M
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= 5 · 1 · 2 · 1 = 10.
M
O
O
C
= 5|~a × ~b| = 5|~a||~b| sin(~a, ~b)
国
中
•þ9Ù$Ž
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
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中
国
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学
M
C
O
O
中
国
大
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M
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M
C
O
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M
C
O
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中
中
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中
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M
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C
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¡ ~a · (~b × ~c) ••þ ~a, ~b, ~c
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大
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中
国
中
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O
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中
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国
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国
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C
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M
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中
国
大
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M
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O
C
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• [~a ~b ~c], = [~a ~b ~c] = ~a · (~b × ~c).
中
国
大
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M
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国
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国
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∴ [~a~b~c] = ~a · (~b × ~c) = |~b × ~c| · (~a)|~b×~c|
国
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∴ [~a~b~c] = ~a · (~b × ~c) = |~b × ~c| · (~a)|~b×~c|
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国
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= S|~a| cos θ,
国
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•þ9Ù$Ž
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= S|~a| cos θ,
中
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∵ |~b × ~c|3 A Û þ L «
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∴ [~a~b~c] = ~a · (~b × ~c) = |~b × ~c| · (~a)|~b×~c|
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中
国
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M
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∵ |~b × ~c|3 A Û þ L «
±~b, ~c•> ²1o>/ ¡
ÈS,
中
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•þÈ ·ÜÈ
∴ [~a~b~c] = ~a · (~b × ~c) = |~b × ~c| · (~a)|~b×~c|
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中
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国
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中
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Ï• ~a, ~b, ~c•mÃXž, θ•b ,
~a cos θ = h, ¤±·ÜÈ
国
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国
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中
国
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国
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中
国
大
学
M
[~a~b~c] = S|~a| cos θ = Sh = V.
O
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中
国
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国
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中
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中
中
中
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Ï• ~a, ~b, ~c•mÃXž, θ•b ,
~a cos θ = h, ¤±·ÜÈ
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Ón ~a, ~b, ~c•†ÃXž, θ•ð ,
~a cos θ = −h, ¤±·ÜÈ
中
国
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M
[~a~b~c] = S|~a| cos θ = Sh = V.
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国
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中
国
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M
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中
中
中
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~a cos θ = h, ¤±·ÜÈ
国
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N NÈ, ÙÎÒd~a, ~b, ~c¤mÃX„´¤
国
中
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¡⇔ [~a~b~c] = 0;
国
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国
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中
中
中
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中
国
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国
大
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M
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C
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O
O
C
¡⇔ [~a~b~c] = 0;
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中
国
大
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M
中
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中
中
中
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国
中
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国
大
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国
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中
国
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M
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M
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~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b)
= −~a · (~c × ~b) = −~b · (~a × ~c)) = −~c · (~b × ~a),
2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
n•þ~a, ~b, ~cØ ¡⇔ [~a~b~c] 6= 0.
O
C
O
O
C
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C
¡⇔ [~a~b~c] = 0;
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中
国
大
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M
中
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1
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中
中
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国
中
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国
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中
国
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M
O
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M
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C
~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b)
= −~a · (~c × ~b) = −~b · (~a × ~c)) = −~c · (~b × ~a),
½ [~a~b~c] = [~b~c~a] = [~c~a~b]
= −[~a~c~b] = −[~b~a~c] = −[~c~b~a].
2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
n•þ~a, ~b, ~cØ ¡⇔ [~a~b~c] 6= 0.
O
C
O
O
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O
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中
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中
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1
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中
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中
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= −~a · (~c × ~b) = −~b · (~a × ~c)) = −~c · (~b × ~a),
½ [~a~b~c] = [~b~c~a] = [~c~a~b]
= −[~a~c~b] = −[~b~a~c] = −[~c~b~a].
2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
n•þ~a, ~b, ~cØ ¡⇔ [~a~b~c] 6= 0.
O
C
O
O
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O
O
C
¡⇔ [~a~b~c] = 0;
O
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中
国
大
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M
中
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n•þ~a, ~b, ~c
1
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中
中
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国
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中
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~5. ®•~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a = ~0,
y²: ~a, ~b, ~c ¡.
国
中
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C
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中
国
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M
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中
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M
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M
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大
中
国
大
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M
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y²: ~a · (~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a) = ~a · ~0,
O
C
中
国
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M
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中
国
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国
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M
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中
中
中
•þÈ ·ÜÈ
~5. ®•~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a = ~0,
y²: ~a, ~b, ~c ¡.
国
中
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C
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中
国
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M
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国
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M
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中
国
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M
O
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~a · (~a × ~b) + ~a · (~b × ~c) + ~a · (~c × ~a) = 0.
中
国
大
学
M
y²: ~a · (~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a) = ~a · ~0,
O
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中
国
大
学
M
O
O
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中
国
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中
国
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M
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中
中
中
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y²: ~a, ~b, ~c ¡.
国
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~a · (~a × ~b) + ~a · (~b × ~c) + ~a · (~c × ~a) = 0.
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国
大
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M
y²: ~a · (~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a) = ~a · ~0,
O
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中
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中
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~5. ®•~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a = ~0,
y²: ~a, ~b, ~c ¡.
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国
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国
中
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C
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大
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M
y²: ~a · (~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a) = ~a · ~0,
O
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M
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M
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中
中
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~5. ®•~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a = ~0,
y²: ~a, ~b, ~c ¡.
C
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C
∴ ~a · (~b × ~c) = 0,
C
∵ ~a · (~a × ~b) = 0, ~a · (~c × ~a) = 0.
国
中
•þ9Ù$Ž
~a · (~a × ~b) + ~a · (~b × ~c) + ~a · (~c × ~a) = 0.
C
O
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国
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M
y²: ~a · (~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a) = ~a · ~0,
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M
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~5. ®•~a × ~b + ~b × ~c + ~c × ~a = ~0,
y²: ~a, ~b, ~c ¡.
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∴ ~a · (~b × ~c) = 0,
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∵ ~a · (~a × ~b) = 0, ~a · (~c × ~a) = 0.
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

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



x = a + x ,
x = x − a,
K y = b + y0,
½ y 0 = y − b,
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


z = c + z 0 .
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大
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M
O
中
国
大
学
M
O
M
学
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
C
O
;
cos α, cos β, cos γ¡••þ~a••{u.
大
C
中
中
O
O
C
中
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
••
α, β, γ¡••þ~a
国
中
~a • • Œ d T • þ † n
‹I¶ • Y α, β, γ
(Ù¥0 ≤ α ≤ π,
0 ≤ β ≤ π, 0 ≤ γ ≤ π),
½ùn‡
{u
cos α, cos β, cos γ5L«.
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
∵ 4OP M, 4OQM, 4ORM ´
† n /,
中
中
中
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
C
O
O
M
学
ax
,
|~a|
ay
,
|~a|
az
.
|~a|
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M


cos α =




cos β =
∴




 cos γ =
∵ 4OP M, 4OQM, 4ORM ´
† n /,
中
中
中
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
O
M
中
国
大
学
C
O
O
学
M
ax

,
|~a|

 ax = |~a| cos α,
ay
, ⇒
ay = |~a| cos β,
|~a|

 a = |~a| cos γ.
az
z
.
|~a|
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M


cos α =




cos β =
∴




 cos γ =
∵ 4OP M, 4OQM, 4ORM ´
† n /,
中
中
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
M
学
大
国
中
O
O
C
O
O
M
中
国
大
… cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
ax

,
|~a|

 ax = |~a| cos α,
ay
, ⇒
ay = |~a| cos β,
|~a|

 a = |~a| cos γ.
az
z
.
|~a|
学
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M


cos α =




cos β =
∴




 cos γ =
∵ 4OP M, 4OQM, 4ORM ´
† n /,
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
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M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
u1,
中
国
中
国
中
国
中
∵ •þ{cos α, cos β, cos γ}
中
中
中
中
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∴ d••{u¤|¤ •þ´ü •þ,
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
u1,
中
国
中
国
中
国
中
∵ •þ{cos α, cos β, cos γ}
中
中
中
中
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
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中
国
大
学
M
u1,
∴ d••{u¤|¤ •þ´ü •þ,
=
~a◦ = {cos α, cos β, cos γ}.
国
中
C
中
O
O
C
中
中
国
大
学
M
∵ •þ{cos α, cos β, cos γ}
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
国
大
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M
O
O
C
中
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大
学
M
O
O
C
C
O
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
国
中
中
中
中
~1. (1) ®•~a = {2, 3, −1}, ¦Ù••{u
Ú†~aÓ• ü •þ~a◦ ;
(2)®•M1 (1, −2, 3), M2 (4, 2, −1), ¦
−−−→
M1 M2
9••{u.
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
学
M
国
中
中
中
中
~1. (1) ®•~a = {2, 3, −1}, ¦Ù••{u
Ú†~aÓ• ü •þ~a◦ ;
(2)®•M1 (1, −2, 3), M2 (4, 2, −1), ¦
−−−→
M1 M2
9••{u.
p
√
)µ(1) |~a| = 22 + 32 + (−1)2 = 14,
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
3
−1
2
cos α = √ , cos β = √ , cos γ = √ .
14
14
14
国
中
中
中
中
~1. (1) ®•~a = {2, 3, −1}, ¦Ù••{u
Ú†~aÓ• ü •þ~a◦ ;
(2)®•M1 (1, −2, 3), M2 (4, 2, −1), ¦
−−−→
M1 M2
9••{u.
p
√
)µ(1) |~a| = 22 + 32 + (−1)2 = 14,
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
3
−1
2
cos α = √ , cos β = √ , cos γ = √ .
14
14
14
n 2
o
3
−1
∴ ~a◦ = √ , √ , √
.
14 14 14
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
国
中
中
中
中
~1. (1) ®•~a = {2, 3, −1}, ¦Ù••{u
Ú†~aÓ• ü •þ~a◦ ;
(2)®•M1 (1, −2, 3), M2 (4, 2, −1), ¦
−−−→
M1 M2
9••{u.
p
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)µ(1) |~a| = 22 + 32 + (−1)2 = 14,
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
−−−→
(2) M1 M2 = {4 − 1, 2 − (−2), −1 − 3}
= {3, 4, −4},
中
中
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
国
中
中
中
中
−−−→
(2) M1 M2 = {4 − 1, 2 − (−2), −1 − 3}
= {3, 4, −4},
p
√
−−−→
∴ |M1 M2 | = 32 + 42 + (−4)2 = 41,
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
3
4
−4
∴ cos α = √ , cos β = √ , cos γ = √ .
41
41
41
国
中
中
中
中
−−−→
(2) M1 M2 = {4 − 1, 2 − (−2), −1 − 3}
= {3, 4, −4},
p
√
−−−→
∴ |M1 M2 | = 32 + 42 + (−4)2 = 41,
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~2.
•þ~a ü‡••{ucos α =
2
cos β = 3 , q|~a| = 6, ¦•þ~a ‹I.
1
3,
中
中
中
中
中
中
C
O
O
C
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
大
中
中
中
中
): ∵ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
cos α = 13 , cos β = 23 ,
国
中
1
3,
~2.
•þ~a ü‡••{ucos α =
2
cos β = 3 , q|~a| = 6, ¦•þ~a ‹I.
中
中
C
O
C
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
大
中
中
中
中
): ∵ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
cos α = 13 , cos β = 23 ,
p
∴ cos γ = ± 1 − cos2 α − cos2 β = ± 23 .
国
中
1
3,
~2.
•þ~a ü‡••{ucos α =
2
cos β = 3 , q|~a| = 6, ¦•þ~a ‹I.
中
中
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
= 2,
C
1
3
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
C
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
u´ ax = |~a| cos α = 6 ×
O
中
中
): ∵ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
cos α = 13 , cos β = 23 ,
p
∴ cos γ = ± 1 − cos2 α − cos2 β = ± 23 .
国
中
1
3,
~2.
•þ~a ü‡••{ucos α =
2
cos β = 3 , q|~a| = 6, ¦•þ~a ‹I.
中
中
O
中
国
大
学
M
O
O
M
中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
= 4,
C
= 2,
O
C
1
3
2
3
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
ay = |~a| cos β = 6 ×
C
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
u´ ax = |~a| cos α = 6 ×
O
中
中
): ∵ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
cos α = 13 , cos β = 23 ,
p
∴ cos γ = ± 1 − cos2 α − cos2 β = ± 23 .
国
中
1
3,
~2.
•þ~a ü‡••{ucos α =
2
cos β = 3 , q|~a| = 6, ¦•þ~a ‹I.
中
中
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
= 4,
M
C
= 2,
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
1
3
2
3
az = |~a| cos γ = 6 × (± 23 ) = ±4,
大
学
M
O
O
C
ay = |~a| cos β = 6 ×
C
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
u´ ax = |~a| cos α = 6 ×
O
中
中
): ∵ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
cos α = 13 , cos β = 23 ,
p
∴ cos γ = ± 1 − cos2 α − cos2 β = ± 23 .
国
中
1
3,
~2.
•þ~a ü‡••{ucos α =
2
cos β = 3 , q|~a| = 6, ¦•þ~a ‹I.
中
中
O
C
国
中
国
中
大
学
M
O
O
C
O
O
大
学
M
学
大
∴ ~a = {2, 4, 4} ½ ~a = {2, 4, −4}.
国
中
国
大
学
M
O
= 4,
M
C
= 2,
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
1
3
2
3
az = |~a| cos γ = 6 × (± 23 ) = ±4,
中
大
学
M
O
O
C
ay = |~a| cos β = 6 ×
C
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
u´ ax = |~a| cos α = 6 ×
O
中
中
): ∵ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
cos α = 13 , cos β = 23 ,
p
∴ cos γ = ± 1 − cos2 α − cos2 β = ± 23 .
国
中
1
3,
~2.
•þ~a ü‡••{ucos α =
2
cos β = 3 , q|~a| = 6, ¦•þ~a ‹I.
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
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中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
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C
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中
国
大
学
M
‹IL«
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
2. •þ
中
国
中
(µ
1. ˜m† ‹IX
中
中
中
中
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
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C
O
C
O
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
国
O
M
学
大
O
M
学
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C
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C
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C
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C
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国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
O
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‹IL«(þ)
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
1. •þ
•þ$Ž
\~{†ê¦ ‹IL«
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
O
O
~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
1. •þ \~{†ê¦
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
‹IL«
中
‹IL«
中
O
O
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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M
C
O
O
M
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大
中
国
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M
O
O
C
中
国
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M
O
O
C
O
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中
国
大
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M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
=~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
C
‹IL«
C
中
中
1. •þ \~{†ê¦
国
中
•þ$Ž
中
‹IL«
中
O
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C
中
国
大
学
M
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O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
中
国
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M
O
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M
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国
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M
中
国
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学
M
O
O
C
O
O
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C
1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
=~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
C
‹IL«
C
中
中
1. •þ \~{†ê¦
国
中
•þ$Ž
中
‹IL«
中
O
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C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
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M
O
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国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
2
~a ±~b = (ax ±bx )~i+(ay ±by )~j +(az ±bz )~k;
λ~a = λ(ax~i + ay~j + az~k)
= (λax )~i + (λay )~j + (λaz )~k.
C
1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
=~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
C
‹IL«
C
中
中
1. •þ \~{†ê¦
国
中
•þ$Ž
中
‹IL«
中
O
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C
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国
大
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M
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中
国
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M
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中
国
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M
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中
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
O
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学
M
1
O
C
O
O
O
O
C
½
中
2
~a ±~b = (ax ±bx )~i+(ay ±by )~j +(az ±bz )~k;
λ~a = λ(ax~i + ay~j + az~k)
= (λax )~i + (λay )~j + (λaz )~k.
C
1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
=~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
C
‹IL«
C
中
中
1. •þ \~{†ê¦
国
中
•þ$Ž
中
‹IL«
中
O
O
C
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中
国
大
学
M
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C
中
国
大
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M
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大
国
中
O
λ~a = {λax , λay , λaz }.
M
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
2
O
~a ± ~b = {ax ± bx , ay ± by az ± bz };
O
1
学
大
O
C
O
O
O
O
C
½
M
2
~a ±~b = (ax ±bx )~i+(ay ±by )~j +(az ±bz )~k;
λ~a = λ(ax~i + ay~j + az~k)
= (λax )~i + (λay )~j + (λaz )~k.
C
1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
=~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
C
‹IL«
C
中
中
1. •þ \~{†ê¦
国
中
•þ$Ž
国
O
M
学
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C
O
C
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C
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C
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国
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M
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M
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M
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中
国
O
M
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中
国
大
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M
中
中
中
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中
国
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国
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•þ$Ž
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国
大
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国
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M
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中
国
大
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M
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O
C
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中
国
大
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M
C
中
中
中
中
‹IL«
ü‡š"•þ~a//~b ¿‡^‡~b = λ~a,
Œ± ¤
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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M
中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
bx
by
bz
=
=
= λ.
ax
ay
az
O
O
C
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国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
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C
中
国
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M
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C
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国
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M
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C
C
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M
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大
中
国
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M
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M
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C
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中
国
大
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M
中
国
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学
M
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C
中
国
大
学
M
O
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C
~1. ®•~a = {2, −1, −3}, ~b = {2, 1, −4},
¦~a + ~b, ~a − ~b†3~a − 2~b.
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
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C
O
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
C
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国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
): ~a + ~b = {2 + 2, −1 + 1, −3 + (−4)}
= {4, 0, −7};
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~1. ®•~a = {2, −1, −3}, ~b = {2, 1, −4},
¦~a + ~b, ~a − ~b†3~a − 2~b.
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
~a − ~b = {2 − 2, −1 − 1, −3 − (−4)}
= {0, −2, 1};
中
国
大
学
M
): ~a + ~b = {2 + 2, −1 + 1, −3 + (−4)}
= {4, 0, −7};
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~1. ®•~a = {2, −1, −3}, ~b = {2, 1, −4},
¦~a + ~b, ~a − ~b†3~a − 2~b.
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
C
O
C
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
3~a − 2~b = {6, −3, −9} − {4, 2, −8}
= {2, −5, −1}.
O
C
C
~a − ~b = {2 − 2, −1 − 1, −3 − (−4)}
= {0, −2, 1};
中
国
大
学
M
): ~a + ~b = {2 + 2, −1 + 1, −3 + (−4)}
= {4, 0, −7};
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~1. ®•~a = {2, −1, −3}, ~b = {2, 1, −4},
¦~a + ~b, ~a − ~b†3~a − 2~b.
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
~2. kü:M1 (x1 , y1 , z1 )ÚM2 (x2 , y2 , z2 ),
:Còk•‚ãM1 M2 ©¤üÜ©,
1C
‹I.
¦M
CM2 = λ(λ 6= −1), ¦©:C
国
中
•þ$Ž
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
): ©:C ‹I•(x, y, z),
−−→
−−→
Kk
M1 C = λCM2 ,
C
中
中
中
中
‹IL«
~2. kü:M1 (x1 , y1 , z1 )ÚM2 (x2 , y2 , z2 ),
:Còk•‚ãM1 M2 ©¤üÜ©,
1C
‹I.
¦M
CM2 = λ(λ 6= −1), ¦©:C
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
): ©:C ‹I•(x, y, z),
−−→
−−→
Kk
M1 C = λCM2 , =
C
中
中
中
中
‹IL«
~2. kü:M1 (x1 , y1 , z1 )ÚM2 (x2 , y2 , z2 ),
:Còk•‚ãM1 M2 ©¤üÜ©,
1C
‹I.
¦M
CM2 = λ(λ 6= −1), ¦©:C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
{x−x1 , y−y1 , z−z1 } = λ{x2 −x, y2 −y, z2 −z},
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
): ©:C ‹I•(x, y, z),
−−→
−−→
Kk
M1 C = λCM2 , =
C
中
中
中
中
‹IL«
~2. kü:M1 (x1 , y1 , z1 )ÚM2 (x2 , y2 , z2 ),
:Còk•‚ãM1 M2 ©¤üÜ©,
1C
‹I.
¦M
CM2 = λ(λ 6= −1), ¦©:C
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
x−x1 = λ(x2 −x), y−y1 = λ(y2 −y),
z − z1 = λ(z2 − z).
大
学
M
O
O
k
O
C
{x−x1 , y−y1 , z−z1 } = λ{x2 −x, y2 −y, z2 −z},
国
中
•þ$Ž
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
x1 + λx2
y1 + λy2
z1 + λz2
, y=
, z=
.
1+λ
1+λ
1+λ
中
国
大
学
M
C
O
O
‹I•
国
O
M
学
大
C
O
©:C
中
中
中
中
‹IL«
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
x=
中
国
中
)ƒ
•þ$Ž
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
C
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
大
学
M
O
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x1 + x2
y1 + y2
z1 + z2
, y=
, z=
.
2
2
2
C
x=
¥:C
λ = 1ž,
C
中
C
中
O
O
中
国
大
学
M
x1 + λx2
y1 + λy2
z1 + λz2
, y=
, z=
.
1+λ
1+λ
1+λ
AO/,
O
O
‹I•
O
C
O
O
中
国
大
学
M
x=
©:C
‹IL«
C
中
中
)ƒ
国
中
•þ$Ž
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
−→
−→
~3. ®•AB = {−3, 0, 4}, AC = {5, −2, −14},
¦ ©∠BAC ü •þ.
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
−→
−→
~3. ®•AB = {−3, 0, 4}, AC = {5, −2, −14},
¦ ©∠BAC ü •þ.
−→
−→
): |AB| = 5, |AC| = 15,
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
−→
−→
~3. ®•AB = {−3, 0, 4}, AC = {5, −2, −14},
¦ ©∠BAC ü •þ.
−→
−→
): |AB| = 5, |AC| = 15,
−→ ◦ 1 −→ n 3
4o
(AB) = AB = − , 0, ,
5
5
5
国
中
•þ$Ž
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
大
中
国
大
学
O
O
C
−→ ◦
1 −→ n 5
2
14 o
(AC) = AC =
,− ,−
,
15
15 15 15
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
−→
−→
~3. ®•AB = {−3, 0, 4}, AC = {5, −2, −14},
¦ ©∠BAC ü •þ.
−→
−→
): |AB| = 5, |AC| = 15,
−→ ◦ 1 −→ n 3
4o
(AB) = AB = − , 0, ,
5
5
5
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
−→
−→
w,, ±(AB)◦ , (AC)◦ •> !/ é ‚
•þ•
−→ ◦
−→ ◦ n
4
2
2o
~c = (AB) + (AC) = − , − , −
,
15 15 15
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
−→
−→
w,, ±(AB)◦ , (AC)◦ •> !/ é ‚
•þ•
−→ ◦
−→ ◦ n
4
2
2o
~c = (AB) + (AC) = − , − , −
,
15 15 15
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
§²©∠BAC,
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
国
大
学
M
O
O
C
O
中
中
国
大
学
M
O
O
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
•þ•
n
2
~c
1
1 o
◦
~c =
= − √ , −√ , −√ .
|~c|
6
6
6
C
¤¦ ü
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
§²©∠BAC,
C
中
中
中
中
‹IL«
−→
−→
w,, ±(AB)◦ , (AC)◦ •> !/ é ‚
•þ•
−→ ◦
−→ ◦ n
4
2
2o
~c = (AB) + (AC) = − , − , −
,
15 15 15
国
中
•þ$Ž
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
2. êþÈ ‹IL«
中
中
中
中
‹IL«
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
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O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
2. êþÈ ‹IL«
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
K ~a · ~b = (ax~i + ay~j + az~k) · (bx~i + by~j + bz~k)
O
C
O
C
O
O
C
2. êþÈ ‹IL«
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
K ~a · ~b = (ax~i + ay~j + az~k) · (bx~i + by~j + bz~k)
= ax bx~i · ~i + ax by~i · ~j + ax bz~i · ~k
+ay bx~j · ~i + ay by~j · ~j + ay bz~j · ~k
+az bx~k · ~i + az by~k · ~j + az bz~k · ~k
O
C
O
C
O
O
C
2. êþÈ ‹IL«
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
= ax bx + ay by + az bz .
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
K ~a · ~b = (ax~i + ay~j + az~k) · (bx~i + by~j + bz~k)
= ax bx~i · ~i + ax by~i · ~j + ax bz~i · ~k
+ay bx~j · ~i + ay by~j · ~j + ay bz~j · ~k
+az bx~k · ~i + az by~k · ~j + az bz~k · ~k
O
C
O
C
O
O
C
2. êþÈ ‹IL«
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
a · b = ax bx + ay by + az bz .
中
大
学
M
O
=e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz }, K
O
C
O
O
C
= ax bx + ay by + az bz .
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
K ~a · ~b = (ax~i + ay~j + az~k) · (bx~i + by~j + bz~k)
= ax bx~i · ~i + ax by~i · ~j + ax bz~i · ~k
+ay bx~j · ~i + ay by~j · ~j + ay bz~j · ~k
+az bx~k · ~i + az by~k · ~j + az bz~k · ~k
O
C
O
C
O
O
C
2. êþÈ ‹IL«
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
国
中
•þ$Ž
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
‹IL«ª, Œ
中
国
O
M
学
大
O
M
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大
中
国
大
学
M
|^ü•þêþÈ
e-‡(Jµ
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
±
中
C
O
C
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大
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M
O
O
C
中
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M
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M
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大
中
国
大
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M
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O
C
中
国
大
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M
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中
国
大
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M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
e~a = ax i + ay j + az k, ~b = bx i + by j + bz k,
O
C
O
C
±
O
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C
‹IL«ª, Œ
中
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中
中
中
|^ü•þêþÈ
e-‡(Jµ
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中
•þ$Ž
中
C
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大
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M
O
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中
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M
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M
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M
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中
国
大
学
M
O
e~a = ax i + ay j + az k, ~b = bx i + by j + bz k,
K~a ⊥ ~b ⇐⇒ ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz = 0,
O
C
O
C
±
O
O
C
‹IL«ª, Œ
中
‹IL«
中
中
中
|^ü•þêþÈ
e-‡(Jµ
国
中
•þ$Ž
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C
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M
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M
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M
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M
中
国
大
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M
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O
C
中
国
大
学
M
O
e~a = ax i + ay j + az k, ~b = bx i + by j + bz k,
K~a ⊥ ~b ⇐⇒ ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz = 0,
q
√
|~a| = ~a · ~a = a2x + a2y + a2z ,
O
C
O
C
±
O
O
C
‹IL«ª, Œ
中
‹IL«
中
中
中
|^ü•þêþÈ
e-‡(Jµ
国
中
•þ$Ž
中
C
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中
国
大
学
M
O
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中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a · ~b
cos(~a, ~b) =
|~a| · |~b|
ax bx + ay by + az bz
q
=q
.
2
2
2
ax + ay + az · b2x + b2y + b2z
学
大
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
e~a = ax i + ay j + az k, ~b = bx i + by j + bz k,
K~a ⊥ ~b ⇐⇒ ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz = 0,
q
√
|~a| = ~a · ~a = a2x + a2y + a2z ,
O
C
O
C
±
O
O
C
‹IL«ª, Œ
中
国
大
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M
‹IL«
中
中
中
|^ü•þêþÈ
e-‡(Jµ
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
C
中
国
大
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M
O
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M
O
O
C
C
O
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M
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大
中
国
大
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M
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C
中
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大
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M
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O
C
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中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
~4. ®•~a = ~i − ~j + ~k, ~b = 3~i + 2~j − 2~k,
¦ ~a · ~b, cos(~a, ~b).
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
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C
C
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M
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大
中
国
大
学
M
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O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
~4. ®•~a = ~i − ~j + ~k, ~b = 3~i + 2~j − 2~k,
¦ ~a · ~b, cos(~a, ~b).
): ~a = {1, −1, 1},~b = {3, 2, −2},
国
中
•þ$Ž
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
~a · ~b = 1 × 3 + (−1) × 2 + 1 × (−2) = −1;
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
~4. ®•~a = ~i − ~j + ~k, ~b = 3~i + 2~j − 2~k,
¦ ~a · ~b, cos(~a, ~b).
): ~a = {1, −1, 1},~b = {3, 2, −2},
国
中
•þ$Ž
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
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C
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中
国
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学
M
C
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中
国
大
学
M
O
O
C
~a · ~b = 1 × 3 + (−1) × 2 + 1 × (−2) = −1;
~a · ~b
~
cos(~a, b) =
|~a| · |~b|
−1
p
=p
12 + (−1)2 + 12 · 32 + 22 + (−2)2
1
= −√ .
51
O
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
~4. ®•~a = ~i − ~j + ~k, ~b = 3~i + 2~j − 2~k,
¦ ~a · ~b, cos(~a, ~b).
): ~a = {1, −1, 1},~b = {3, 2, −2},
国
中
•þ$Ž
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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中
国
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学
M
C
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国
大
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M
O
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C
~a · ~b = 1 × 3 + (−1) × 2 + 1 × (−2) = −1;
~a · ~b
~
cos(~a, b) =
|~a| · |~b|
−1
p
=p
12 + (−1)2 + 12 · 32 + 22 + (−2)2
1
= −√ .
51
O
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
‹IL«
~4. ®•~a = ~i − ~j + ~k, ~b = 3~i + 2~j − 2~k,
¦ ~a · ~b, cos(~a, ~b).
): ~a = {1, −1, 1},~b = {3, 2, −2},
国
中
•þ$Ž
国
O
M
学
大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
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O
中
国
大
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M
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
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~5. ¦3xoy²¡þ†•þ
~a = −4~i + 3~j + 7~kR† ü •þ.
中
国
O
M
学
大
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M
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大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
C
中
国
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M
O
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C
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国
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M
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大
国
中
中
国
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M
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C
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M
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M
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M
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O
C
中
国
大
学
M
O
): ~a = {−4, 3, 7},
C
中
中
中
中
‹IL«
~5. ¦3xoy²¡þ†•þ
~a = −4~i + 3~j + 7~kR† ü •þ.
国
中
•þ$Ž
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
C
•þ•~b = {x, y, 0},
¤¦ ü
O
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): ~a = {−4, 3, 7},
C
中
中
中
中
‹IL«
~5. ¦3xoy²¡þ†•þ
~a = −4~i + 3~j + 7~kR† ü •þ.
国
中
•þ$Ž
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¤¦ ü •þ•~b = {x, y, 0},
Kk|~b| = 1, ~a · ~b = 0,
O
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): ~a = {−4, 3, 7},
C
中
中
中
中
‹IL«
~5. ¦3xoy²¡þ†•þ
~a = −4~i + 3~j + 7~kR† ü •þ.
国
中
•þ$Ž
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¤¦ ü •þ•~b = {x, y, 0},
Kk|~b| = 1, ~a · ~b = 0,
(p
x2 + y 2 = 1,
l
−4x + 3y = 0.
O
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): ~a = {−4, 3, 7},
C
中
中
中
中
‹IL«
~5. ¦3xoy²¡þ†•þ
~a = −4~i + 3~j + 7~kR† ü •þ.
国
中
•þ$Ž
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
中
国
大
学
M
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¤¦ ü •þ•~b = {x, y, 0},
Kk|~b| = 1, ~a · ~b = 0,

(p
3

x=± ,
2
2
x + y = 1,
5
⇒
l
4
−4x + 3y = 0. 
y=± .
5
O
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): ~a = {−4, 3, 7},
C
中
中
中
中
‹IL«
~5. ¦3xoy²¡þ†•þ
~a = −4~i + 3~j + 7~kR† ü •þ.
国
中
•þ$Ž
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
中
国
大
学
M
O
C
O
O
M
学
大
国
中
O
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
C
¤¦ ü •þ•~b = {x, y, 0},
Kk|~b| = 1, ~a · ~b = 0,

(p
3

x=± ,
2
2
x + y = 1,
5
⇒
l
4
−4x + 3y = 0. 
y=± .
5
3
4
3
4
∴ ~b = { , , 0}, ½ ~b = {− , − , 0}.
5 5
5 5
M
学
大
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): ~a = {−4, 3, 7},
C
中
中
中
中
‹IL«
~5. ¦3xoy²¡þ†•þ
~a = −4~i + 3~j + 7~kR† ü •þ.
国
中
•þ$Ž
国
中
国
O
M
学
大
O
M
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大
O
M
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大
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M
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C
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C
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C
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中
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大
学
M
C
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大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
‹IL«(e)
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
3. •þÈ ‹IL«
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
~a × ~b = (ax~i + ay~j + az~k) × (bx~i + by~j + bz~k)
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
K
C
3. •þÈ ‹IL«
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
‹IL«
O
中
国
大
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M
C
中
国
大
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M
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M
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国
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M
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中
国
大
学
M
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O
C
+az bx~k × ~i + az by~k × ~j + az bz~k × ~k
O
O
C
~a × ~b = (ax~i + ay~j + az~k) × (bx~i + by~j + bz~k)
= ax bx~i × ~i + ax by~i × ~j + ax bz~i × ~k
+ay bx~j × ~i + ay by~j × ~j + ay bz~j × ~k
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
K
C
3. •þÈ ‹IL«
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
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O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
+az bx~k × ~i + az by~k × ~j + az bz~k × ~k
= (ay bz − az by )~i − (ax bz − az bx )~j
+(ax by − ay bx )~k,
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
~a × ~b = (ax~i + ay~j + az~k) × (bx~i + by~j + bz~k)
= ax bx~i × ~i + ax by~i × ~j + ax bz~i × ~k
+ay bx~j × ~i + ay by~j × ~j + ay bz~j × ~k
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~a = ax~i + ay~j + az~k, ~b = bx~i + by~j + bz~k,
K
C
3. •þÈ ‹IL«
国
中
•þ$Ž
国
O
M
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O
M
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C
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C
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C
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C
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M
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M
C
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国
大
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M
C
O
O
=e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
中
国
O
M
学
大
O
M
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大
中
国
大
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M
中
中
中
中
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中
国
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国
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•þ$Ž
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C
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C
中
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M
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M
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国
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M
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O
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~a × ~b = ax ay az .
bx by bz
中
国
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M
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C
中
O
C
中
O
C
中
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=e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz }, K
国
中
•þ$Ž
国
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国
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M
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C
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C
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C
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国
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M
e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz }•ü‡š
"•þ,
C
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中
国
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M
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中
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中
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中
国
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国
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•þ$Ž
中
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M
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M
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中
中
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e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz }•ü‡š
"•þ, K
ay
az
ax
=
= .
~a//~b ⇐⇒ ~a × ~b = ~0 ⇐⇒
bx
by
bz
国
中
•þ$Ž
C
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国
大
学
M
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M
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中
国
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M
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M
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国
大
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©f•
C
½ƒA
大
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国
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M
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M
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国
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bx , by , bz ¥Ñy"ž,
•",
C
中
中
中
中
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e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz }•ü‡š
"•þ, K
ay
az
ax
=
= .
~a//~b ⇐⇒ ~a × ~b = ~0 ⇐⇒
bx
by
bz
国
中
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M
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国
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M
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M
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M
©f•
C
½ƒA
大
中
国
大
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M
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C
O
C
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M
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国
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bx , by , bz ¥Ñy"ž,
•",
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ay
az
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=
= ,
0
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bz
C
中
中
中
中
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e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz }•ü‡š
"•þ, K
ay
az
ax
=
= .
~a//~b ⇐⇒ ~a × ~b = ~0 ⇐⇒
bx
by
bz
国
中
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国
大
学
M
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国
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M
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M
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az
= .
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bz
中
学
大
国
中
…
C
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O
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中
国
大
学
M
½ƒA
C
M
O
O
C
O
O
ax = 0,
大
学
M
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O
C
中
国
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学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
bx , by , bz ¥Ñy"ž,
•",
ax
ay
az
~X
=
= ,
0
by
bz
C
中
中
中
中
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e ~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz }•ü‡š
"•þ, K
ay
az
ax
=
= .
~a//~b ⇐⇒ ~a × ~b = ~0 ⇐⇒
bx
by
bz
国
中
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国
中
国
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大
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M
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M
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M
中
中
中
中
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中
国
中
国
中
•þ$Ž
~6. ¦±A(2, −2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 1, 2)•
º: n / ¡È.
中
国
大
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M
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国
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国
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中
中
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~6. ¦±A(2, −2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 1, 2)•
º: n / ¡È.
−→ −→
): 4ABC ¡ÈS = 21 AB × AC .
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
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M
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C
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国
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M
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M
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M
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国
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M
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国
大
学
M
C
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中
中
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~6. ¦±A(2, −2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 1, 2)•
º: n / ¡È.
−→ −→
): 4ABC ¡ÈS = 21 AB × AC .
−→
−→
AB = {−3, 2, 1}, AC = {−1, 3, 2},
国
中
•þ$Ž
中
国
大
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M
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O
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国
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M
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中
中
中
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~6. ¦±A(2, −2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 1, 2)•
º: n / ¡È.
−→ −→
): 4ABC ¡ÈS = 21 AB × AC .
−→
−→
AB = {−3, 2, 1}, AC = {−1, 3, 2},
~i ~j ~k
−→ −→
AB × AC = −3 2 1
−1 3 2
= ~i + 5~j − 7~k = {1, 5, −7},
国
中
•þ$Ž
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
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C
中
国
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M
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国
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M
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C
O
O
O
O
M
学
大
C
中
中
中
中
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~6. ¦±A(2, −2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 1, 2)•
º: n / ¡È.
−→ −→
): 4ABC ¡ÈS = 21 AB × AC .
−→
−→
AB = {−3, 2, 1}, AC = {−1, 3, 2},
~i ~j ~k
−→ −→
AB × AC = −3 2 1
−1 3 2
= ~i + 5~j − 7~k = {1, 5, −7},
p
√
1 −→ −→
1
5
2
2
2
S = 2 AB × AC = 2 1 + 5 + (−7) = 2 3.
中
国
大
学
M
国
中
•þ$Ž
国
中
国
O
M
学
大
O
M
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大
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M
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大
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M
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大
C
O
C
O
C
O
C
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C
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中
国
大
学
M
C
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O
中
国
大
学
M
C
O
~7. ¦ÓžR†u•þ~a = {3, 6, 8}Úx¶
ü •þ.
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中
国
大
学
M
C
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中
国
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学
M
中
中
中
中
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国
中
国
中
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C
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C
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中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
~7. ¦ÓžR†u•þ~a = {3, 6, 8}Úx¶
ü •þ.
O
C
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O
中
国
大
学
M
~c = ~a × ~i,
国
O
M
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大
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国
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M
中
中
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国
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):
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C
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中
国
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C
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O
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C
~c = ~a × ~i, K ~c ⊥ ~a, ~c ⊥ ~i.
):
O
C
中
国
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M
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国
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M
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国
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C
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国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
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C
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中
国
大
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M
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国
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M
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O
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M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
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8 = {0, 8, −6},
0
C
~j
6
0
C
~i
~c = ~a × ~i = 3
1
中
国
大
学
M
~c = ~a × ~i, K ~c ⊥ ~a, ~c ⊥ ~i.
):
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
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国
中
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中
中
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C
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国
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大
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M
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C
O
O
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
~i ~j ~k
~c = ~a × ~i = 3 6 8 = {0, 8, −6},
1 0 0
p
|~c| = 02 + 82 + (−6)2 = 10,
O
C
O
中
国
大
学
M
~c = ~a × ~i, K ~c ⊥ ~a, ~c ⊥ ~i.
):
M
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~7. ¦ÓžR†u•þ~a = {3, 6, 8}Úx¶
ü •þ.
国
中
•þ$Ž
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
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C
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中
国
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M
C
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M
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国
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M
C
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中
国
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中
国
大
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∴†~c²1 ü
中
中
中
中
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中
国
中
国
中
•þ$Ž
O
M
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C
O
C
O
C
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中
国
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M
C
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中
国
大
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M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
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4 3
= {0, , − }, (~c ◦ †~cÓ•),
|~c|
5 5
国
O
M
学
大
C
O
C
O
•þkü‡µ
中
国
O
M
学
大
O
M
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大
中
国
大
学
M
∴†~c²1 ü
中
中
中
中
‹IL«
中
国
中
国
中
~c ◦ =
•þ$Ž
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
~c
4 3
= {0, , − }, (~c ◦ †~cÓ•),
|~c|
5 5
O
C
中
O
C
中
O
O
•þkü‡µ
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
~c ◦ =
‹IL«
C
中
O
C
中
∴†~c²1 ü
C
中
国
大
学
M
O
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中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
4 3
½ −~c ◦ = {0, − , }, (−~c ◦ †~c‡•).
5 5
国
中
•þ$Ž
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
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大
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M
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C
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C
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C
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C
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C
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国
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M
C
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M
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M
C
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O
中
国
大
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M
中
中
中
中
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中
国
中
国
中
•þ$Ž
4. ·ÜÈ ‹IL«
中
中
中
中
‹IL«
C
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C
中
国
大
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M
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C
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国
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M
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C
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M
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~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
~c = {cx , cy , cz },
O
C
O
C
O
O
C
4. ·ÜÈ ‹IL«
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
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C
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C
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国
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M
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M
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M
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国
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M
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国
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M
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中
国
大
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M
O
~a = {ax , ay , az }, ~b = {bx , by , bz },
~c = {cx , cy , cz }, K
~i ~j ~k
~b × ~c = bx by bz
cx cy c z
O
C
O
C
O
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C
4. ·ÜÈ ‹IL«
国
中
•þ$Ž
中
中
中
中
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C
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中
国
大
学
M
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国
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学
M
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中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
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M0 M = {x−x0 , y−y0 , z−z0 }, ~n = {A, B, C},
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中
:(0, 0, 0),
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M
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•§• x = 0.
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O
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C
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0(x − 0) + 0(y − 0) + 1(z − 0) = 0,
中
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中
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q ∵ xoy¡L
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国
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国
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M
中
国
大
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M
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中
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C
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O
C
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中
国
大
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M
Ax + By + Cz + (−Ax0 − By0 − Cz0 ) = 0,
O
C
中
国
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国
大
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M
中
国
大
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M
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C
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中
中
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M
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国
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大
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M
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大
(2)
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O
C
-(−Ax0 − By0 − Cz0 ) = D, Kk
中
国
大
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M
Ax + By + Cz + (−Ax0 − By0 − Cz0 ) = 0,
O
C
中
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国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
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C
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C
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国
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中
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中
国
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国
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‡ƒ, A, B, CØ •"ž, K(2)ª˜½L
«˜‡²¡.
¯¢þ, •§(2) ˜|)(x0 , y0 , z0 ),
Kk
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.
(3)
C
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国
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M
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M
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A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0,
国
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中
‡ƒ, A, B, CØ •"ž, K(2)ª˜½L
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中
中
中
~3. ²¡π1 L:M1 (1, 1, 1), M2 (0, 1, −1)…
†²¡π2 : x + y + z = 0R†, ¦²¡π1
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国
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国
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中
中
~3. ²¡π1 L:M1 (1, 1, 1), M2 (0, 1, −1)…
†²¡π2 : x + y + z = 0R†, ¦²¡π1
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国
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M
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²¡π1 •§•Ax + By + Cz + D = 0,
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†²¡π2 : x + y + z = 0R†, ¦²¡π1
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中
国
大
国
中
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中
国
大
学
M
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M
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∵ :M1 ÚM2 3²¡π1 þ,
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π2 {•þ•~n2 = {1, 1, 1}.
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国
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M
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中
国
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M
): (•{1)
²¡π1 •§•Ax + By + Cz + D = 0,
国
中
中
中
中
~3. ²¡π1 L:M1 (1, 1, 1), M2 (0, 1, −1)…
†²¡π2 : x + y + z = 0R†, ¦²¡π1
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国
中
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中
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中
国
中
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中
∵ π1 ⊥ π2 , ∴ ~n1 ⊥ ~n2 ,
中
中
中
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大
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学
大
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O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
∴ ~n1 · ~n2 = 0, =A + B + C = 0,
中
国
中
国
中
国
中
∵ π1 ⊥ π2 , ∴ ~n1 ⊥ ~n2 ,
中
中
中
中
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
O
O
O
中
国
大
学
M
∴ ~n1 · ~n2 = 0, =A + B + C = 0,
∴ D = 0, B = C, A = −2C.
C
中
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
国
中
C
中
C
中
∵ π1 ⊥ π2 , ∴ ~n1 ⊥ ~n2 ,
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
∴ D = 0, B = C, A = −2C.
C
中
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
C
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
•§•−2Cx + Cy + Cz = 0,
中
O
中
国
大
学
M
∴ ~n1 · ~n2 = 0, =A + B + C = 0,
²¡π1
国
中
C
中
C
中
∵ π1 ⊥ π2 , ∴ ~n1 ⊥ ~n2 ,
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
∴ D = 0, B = C, A = −2C.
C
中
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
∴ ~n1 · ~n2 = 0, =A + B + C = 0,
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
²¡π1 •§•−2Cx + Cy + Cz = 0,
= 2x − y − z = 0.
国
中
C
中
C
中
∵ π1 ⊥ π2 , ∴ ~n1 ⊥ ~n2 ,
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
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O
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(•{2)
²¡π1 {•þ•~n1 = {A, B, C},
π2 {•þ•~n2 = {1, 1, 1},
中
中
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
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M
O
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C
C
O
O
M
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大
中
国
大
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M
O
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C
中
国
大
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M
O
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C
O
O
中
国
大
学
M
国
中
中
中
中
(•{2)
²¡π1 {•þ•~n1 = {A, B, C},
π2 {•þ•~n2 = {1, 1, 1},
−−−→
M1 M2 = {−1, 0, −2},
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
国
中
中
中
中
(•{2)
²¡π1 {•þ•~n1 = {A, B, C},
π2 {•þ•~n2 = {1, 1, 1},
−−−→
M1 M2 = {−1, 0, −2},
−−−→
Ï• ~n1 ⊥ ~n2 , ~n1 ⊥ M1 M2 ,
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
O
M
大
国
中
国
大
= {−2, 1, 1},
中
O
中
国
大
学
M
~j ~k
1 1
0 −2
学
C
O
~i
1
−1
学
M
O
C
大
学
M
O
O
~n1
−−−→
= ~n2 × M1 M2 =
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Œ
国
中
中
中
中
(•{2)
²¡π1 {•þ•~n1 = {A, B, C},
π2 {•þ•~n2 = {1, 1, 1},
−−−→
M1 M2 = {−1, 0, −2},
−−−→
Ï• ~n1 ⊥ ~n2 , ~n1 ⊥ M1 M2 ,
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
½:•M1 (1, 1, 1)“\:{ª,
²¡π1 •§:
中
中
中
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
−2(x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = 0,
中
国
中
国
中
国
中
½:•M1 (1, 1, 1)“\:{ª,
²¡π1 •§:
中
中
中
中
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
−2(x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = 0,
=
2x − y − z = 0.
国
中
C
中
O
O
C
中
中
国
大
学
M
½:•M1 (1, 1, 1)“\:{ª,
²¡π1 •§:
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
•§
O
C
O
C
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡
•By + Cz = 0,
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
国
中
C
中
C
O
C
O
C
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡ •§
•By + Cz = 0, Ù{•þ•~n1 = {0, B, C},
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
学
M
O
O
C
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0 {•þ•
~n2 = {5, −4, −2}.
大
C
中
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡ •§
•By + Cz = 0, Ù{•þ•~n1 = {0, B, C},
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0 {•þ•
~n2 = {5, −4, −2}.
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡ •§
•By + Cz = 0, Ù{•þ•~n1 = {0, B, C},
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∵ ~n1 ⊥ ~n2 ,
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0 {•þ•
~n2 = {5, −4, −2}.
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡ •§
•By + Cz = 0, Ù{•þ•~n1 = {0, B, C},
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
∴ ~n1 · ~n2 = −4B − 2C = 0,
O
C
C
C
∵ ~n1 ⊥ ~n2 ,
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0 {•þ•
~n2 = {5, −4, −2}.
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡ •§
•By + Cz = 0, Ù{•þ•~n1 = {0, B, C},
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∴ ~n1 · ~n2 = −4B − 2C = 0, =C = −2B.
C
∵ ~n1 ⊥ ~n2 ,
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0 {•þ•
~n2 = {5, −4, −2}.
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡ •§
•By + Cz = 0, Ù{•þ•~n1 = {0, B, C},
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
学
大
中
国
大
学
M
∴ By − 2Bz = 0,
M
O
O
C
∴ ~n1 · ~n2 = −4B − 2C = 0, =C = −2B.
C
∵ ~n1 ⊥ ~n2 ,
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0 {•þ•
~n2 = {5, −4, −2}.
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
): (•{1) ¤¦²¡ •§
•By + Cz = 0, Ù{•þ•~n1 = {0, B, C},
C
O
O
中
国
大
学
M
O
M
中
国
大
学
M
学
大
国
中
大
学
M
∴ By − 2Bz = 0,
=¤¦²¡ •§•y − 2z = 0.
O
C
O
O
O
O
C
∴ ~n1 · ~n2 = −4B − 2C = 0, =C = −2B.
C
∵ ~n1 ⊥ ~n2 ,
国
中
中
中
中
~4. ¦ÏLox¶…R†u²¡
5x − 4y − 2z + 3 = 0 ²¡•§.
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
¤¦²¡ •§
中
国
中
国
中
(•{2)
{•þ•~n1 ,
中
中
中
中
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0
{•þ•~n2 = {5, −4, −2}.
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
¤¦²¡ •§
中
国
中
国
中
(•{2)
{•þ•~n1 ,
中
中
中
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
{•þ•~n1 ,
中
¤¦²¡ •§
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0
{•þ•~n2 = {5, −4, −2}.
∵ ~n1 ⊥ ~i, ~n1 ⊥ ~n2 ,
国
中
中
中
中
(•{2)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
{•þ•~n1 ,
中
¤¦²¡ •§
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0
{•þ•~n2 = {5, −4, −2}.
∵ ~n1 ⊥ ~i, ~n1 ⊥ ~n2 , ~i ~j ~k
∴ Œ ~n1 = ~n2 × ~i = 5 −4 −2
1 0 0
= {0, −2, 4},
国
中
中
中
中
(•{2)
中
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
国
大
学
M
O
O
O
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
¤¦²¡
M
O
O
O
M
大
学
O
C
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
½:•(0, 0, 0), “\:{ª,
•§:
C
{•þ•~n1 ,
中
¤¦²¡ •§
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0
{•þ•~n2 = {5, −4, −2}.
∵ ~n1 ⊥ ~i, ~n1 ⊥ ~n2 , ~i ~j ~k
∴ Œ ~n1 = ~n2 × ~i = 5 −4 −2
1 0 0
= {0, −2, 4},
国
中
中
中
中
(•{2)
中
O
O
C
C
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
½:•(0, 0, 0), “\:{ª, ¤¦²¡
•§: 0(x − 0) − 2(y − 0) + (z − 0) = 0,
大
学
O
C
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
{•þ•~n1 ,
中
国
大
学
M
¤¦²¡ •§
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0
{•þ•~n2 = {5, −4, −2}.
∵ ~n1 ⊥ ~i, ~n1 ⊥ ~n2 , ~i ~j ~k
∴ Œ ~n1 = ~n2 × ~i = 5 −4 −2
1 0 0
= {0, −2, 4},
国
中
中
中
中
(•{2)
中
C
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
½:•(0, 0, 0), “\:{ª, ¤¦²¡
•§: 0(x − 0) − 2(y − 0) + (z − 0) = 0,
=
y − 2z = 0.
学
大
O
C
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
{•þ•~n1 ,
中
¤¦²¡ •§
²¡5x − 4y − 2z + 3 = 0
{•þ•~n2 = {5, −4, −2}.
∵ ~n1 ⊥ ~i, ~n1 ⊥ ~n2 , ~i ~j ~k
∴ Œ ~n1 = ~n2 × ~i = 5 −4 −2
1 0 0
= {0, −2, 4},
国
中
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中
中
(•{2)
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中
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中
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C
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Cc + D = 0,
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Ax + By + Cz + D = 0,
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+ + = 1.
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+ + = 1.
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A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
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 z = z + nt.
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 x = x0 + lt,
y = y0 + mt,

 z = z + nt.
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中
中
中
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国
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大
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中
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(2) r:•ª•§z•˜„•§. ò:•ª
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y − y0
z − z0
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˜:(x0 , y0 , z0 ),
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C
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‡ƒ, •Œò˜„•§z•:•ª•§.
国
中
†‚•§
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国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
国
大
学
M
O
O
C
~n2 = {A2 , B2 , C2 }.
大
中
国
大
学
M
O
O
C
~n1 = {A1 , B1 , C1 },
C
中
•••þ•~a = ~n1 × ~n2 , Ù¥
中
国
大
学
M
O
˜:(x0 , y0 , z0 ),
中
†‚
中
国
大
学
M
O
中
国
大
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M
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中
国
大
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M
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O
C
中
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C
中
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C
中
‡ƒ, •Œò˜„•§z•:•ª•§.
国
中
†‚•§
国
O
M
学
大
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M
学
大
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M
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大
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~5. ^:•ª•§9ëꕧL«†‚
x + y + z + 2 = 0,
2x − y + 3z + 4 = 0.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
†‚•§
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
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M
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C
中
国
大
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M
O
O
C
中
O
中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
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C
˜:M0 (x0 , y0 , z0 ),
M
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大
O
C
中
国
大
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M
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C
O
O
中
国
大
学
M
): (•{1)
k¦†‚þ
C
中
中
中
~5. ^:•ª•§9ëꕧL«†‚
x + y + z + 2 = 0,
2x − y + 3z + 4 = 0.
国
中
†‚•§
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
˜:M0 (x0 , y0 , z0 ),
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
): (•{1)
k¦†‚þ
-z0 = 0,
C
中
中
中
~5. ^:•ª•§9ëꕧL«†‚
x + y + z + 2 = 0,
2x − y + 3z + 4 = 0.
国
中
†‚•§
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
O
中
国
大
学
M
˜:M0 (x0 , y0 , z0 ),
“\ •§| , x0 = −2, y0 = 0,
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
): (•{1)
k¦†‚þ
-z0 = 0,
C
中
中
中
~5. ^:•ª•§9ëꕧL«†‚
x + y + z + 2 = 0,
2x − y + 3z + 4 = 0.
国
中
†‚•§
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
=:M0 (−2, 0, 0)3†‚þ.
中
O
C
O
O
C
O
O
M
学
O
中
国
大
学
M
˜:M0 (x0 , y0 , z0 ),
“\ •§| , x0 = −2, y0 = 0,
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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中
国
大
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M
): (•{1)
k¦†‚þ
-z0 = 0,
C
中
中
中
~5. ^:•ª•§9ëꕧL«†‚
x + y + z + 2 = 0,
2x − y + 3z + 4 = 0.
国
中
†‚•§
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
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C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
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O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
†‚•§
2éц‚ •••þ~a.
中
中
中
中
C
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中
国
大
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M
O
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中
国
大
学
M
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C
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M
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大
中
国
大
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M
O
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C
中
国
大
学
M
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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‚†ùü²¡ {•þ
~n1 = {1, 1, 1}Ú~n2 = {2, −1, 3}ÑR†.
C
2éц‚ •••þ~a.
国
中
†‚•§
中
中
中
中
C
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O
中
国
大
学
M
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中
国
大
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M
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O
O
M
学
大
国
中
国
中
O
中
国
大
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M
学
M
O
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1
3
大
学
M
O
O
C
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~a = ~n1 × ~n2 = 1 1
2 −1
大
O
C
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
duü²¡
‚†ùü²¡ {•þ
~n1 = {1, 1, 1}Ú~n2 = {2, −1, 3}ÑR†.
C
2éц‚ •••þ~a.
国
中
†‚•§
中
中
中
中
C
O
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中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
国
中
O
中
国
大
学
M
M
O
O
C
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1
3
学
M
学
大
O
C
O
O
中
国
大
学
M
~i ~j
~a = ~n1 × ~n2 = 1 1
2 −1
= {4, −1, −3},
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
duü²¡
‚†ùü²¡ {•þ
~n1 = {1, 1, 1}Ú~n2 = {2, −1, 3}ÑR†.
C
2éц‚ •••þ~a.
国
中
†‚•§
中
中
中
中
C
O
C
O
O
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
C
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1
3
O
M
学
大
国
中
国
大
学
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y
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.
4
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中
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M
学
中
国
大
M
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大
学
∴ †‚
O
C
O
O
中
国
大
学
M
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~a = ~n1 × ~n2 = 1 1
2 −1
= {4, −1, −3},
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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‚†ùü²¡ {•þ
~n1 = {1, 1, 1}Ú~n2 = {2, −1, 3}ÑR†.
C
2éц‚ •••þ~a.
国
中
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国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
(•{2)
x+y+z+2=0
¥
•§|
2x − y + 3z + 4 = 0.
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
yÚx,
中
国
中
国
中
©Ož
中
中
中
中
†‚•§
C
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国
中
中
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M
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大
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M
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中
国
大
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M
C
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M
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大
中
国
大
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M
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C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
©Ož yÚx,
3x + 4z + 6 = 0,
3y − z = 0.
C
中
中
中
中
(•{2)
x+y+z+2=0
¥
•§|
2x − y + 3z + 4 = 0.
国
中
†‚•§
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
©Ož yÚx,
z = − 34 (x + 2),
3x + 4z + 6 = 0,
=
z = 3y.
3y − z = 0.
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
(•{2)
x+y+z+2=0
¥
•§|
2x − y + 3z + 4 = 0.
国
中
†‚•§
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
C
O
O
C
:•ª•§
x+2
= 3y = z.
− 43
中
C
O
O
M
学
大
ª, B
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
©Ož yÚx,
z = − 34 (x + 2),
3x + 4z + 6 = 0,
=
z = 3y.
3y − z = 0.
¤ë
C
中
中
中
中
(•{2)
x+y+z+2=0
¥
•§|
2x − y + 3z + 4 = 0.
国
中
†‚•§
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
y
z
x+2
=
=
.
4
−1 −3
中
国
中
国
中
=
中
中
中
中
†‚•§
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ëꕧ:
中
O
M
学
C
O
O
中
国
大
学
M
†‚
大
C
O
C
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-þª'Š•t,
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
y
z
x+2
=
=
.
4
−1 −3
中
国
中
国
中
=
中
中
中
中
†‚•§
O
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
-þª'Š•t, †‚ ëꕧ:


 x = −2 + 4t,
y = −t,

 z = −3t.
大
C
中
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
y
z
x+2
=
=
.
4
−1 −3
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
=
国
中
†‚•§
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(•{3)
3†‚þ ü:M0 (−2, 0, 0)
ÚM1 (0, − 21 , − 23 ),
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
†‚•§
O
O
C
中
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
(•{3)
3†‚þ ü:M0 (−2, 0, 0)
ÚM1 (0, − 21 , − 23 ),
−−−→
K†‚ •••þ•M0 M1 = {2, − 21 , − 32 }.
国
中
†‚•§
O
O
C
中
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
(•{3)
3†‚þ ü:M0 (−2, 0, 0)
ÚM1 (0, − 21 , − 23 ),
−−−→
K†‚ •••þ•M0 M1 = {2, − 21 , − 32 }.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
x+2
y
z
= 1 = 3,
2
−2
−2
大
学
M
O
O
C
∴ †‚ :•ª•§
国
中
†‚•§
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
x+2
y
z
=
=
.
4
−1 −3
中
国
中
国
中
=
中
中
中
中
†‚•§
O
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国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
中
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
O
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
x+2
y
z
=
=
.
4
−1 −3
-þª'Š•t, †‚ ëꕧ:


 x = −2 + 4t,
y = −t,

 z = −3t.
中
国
大
学
M
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
=
国
中
†‚•§
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
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大
O
M
学
大
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M
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M
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大
C
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C
O
C
O
C
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C
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中
国
大
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M
C
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国
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M
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中
国
大
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M
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中
国
大
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M
中
中
中
中
†‚•§
4. †‚ •þª•§
国
O
M
学
大
O
M
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大
O
M
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大
O
M
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大
C
O
C
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C
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C
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中
国
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M
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中
国
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M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
4. †‚ •þª•§


 x = x0 + lt
3†‚ ëꕧ y = y0 + mt ¥,

 z = z + nt
0
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
†‚•§
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
eP~r = {x, y, z}, ~r0 = {x0 , y0 , z0 },
~a = {l, m, n}, Kk
大
C
中
O
中
国
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
4. †‚ •þª•§


 x = x0 + lt
3†‚ ëꕧ y = y0 + mt ¥,

 z = z + nt
0
国
中
†‚•§
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
(4)
学
M
O
O
~r = ~r0 + ~at,
学
中
国
大
学
M
C
C
C
eP~r = {x, y, z}, ~r0 = {x0 , y0 , z0 },
~a = {l, m, n}, Kk
大
C
中
O
中
国
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
4. †‚ •þª•§


 x = x0 + lt
3†‚ ëꕧ y = y0 + mt ¥,

 z = z + nt
0
国
中
†‚•§
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
O
学
大
国
中
中
国
大
学
•§(4) ¡•†‚ •þª•§.
M
O
O
(4)
M
O
O
~r = ~r0 + ~at,
M
学
C
C
C
eP~r = {x, y, z}, ~r0 = {x0 , y0 , z0 },
~a = {l, m, n}, Kk
大
C
中
O
中
国
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
4. †‚ •þª•§
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
 x = x0 + lt
3†‚ ëꕧ y = y0 + mt ¥,

 z = z + nt
0
国
中
†‚•§
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
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M
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C
O
C
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C
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C
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M
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中
中
中
中
†‚•§
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国
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M
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M
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中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
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5. †‚ ü:ª•§
中
中
中
中
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C
C
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中
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C
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国
中
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中
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C
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国
大
学
M
) Ï•†‚L:M1 , M2 , ¤±Œ
−−−→
M1 M2 = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
O
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中
国
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M
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国
中
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中
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大
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M1 M2 = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
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国
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M1 M2 = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
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中
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中
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¡•ü†‚ Y
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国
大
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C
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C
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中
国
大
学
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大
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|~a1 | · |~a2 |
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.
2
2
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中
国
大
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国
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M
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国
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0
): Ï•~a1 = {4, 0, −4}, ~a2 = {−3, −3, 0},
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国
大
学
M
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国
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M
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| − 12 + 0 + 0|
p
= p
42 + 02 + (−4)2 · (−3)2 + (−3)2 + 02
1
= ,
2
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中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
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M
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O
C
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国
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M
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−3 −3
0
): Ï•~a1 = {4, 0, −4}, ~a2 = {−3, −3, 0},
¤± cos θ
| − 12 + 0 + 0|
p
= p
42 + 02 + (−4)2 · (−3)2 + (−3)2 + 02
1
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2
π
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3
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国
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学
M
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国
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M
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M
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ü²¡•π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
大
C
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国
大
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国
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M
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M
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O
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ü²¡•π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
大
C
C
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国
大
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M
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国
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M
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M
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大
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国
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O
C
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O
O
O
C
{•þ©O•
~n1 = {A1 , B1 , C1 },
C
ü²¡•π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
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O
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国
大
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国
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C
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(~n1 , ~n2 )½(−~n1 , ~n2 ) = π − (~n1 , ~n2 )
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2
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|~n1 | · |~n2 |
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cos θ = | cos(~n1 , ~n2 )|, K
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国
大
学
M
O
O
C
§‚ Y θA´
(~n1 , ~n2 )½(−~n1 , ~n2 ) = π − (~n1 , ~n2 )
üö¥ b ,
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
dü•þ²1ÚR† ¿‡^‡, Œ
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
A‡Ä ¯K
中
国
中
国
中
k'²¡Ú†‚
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
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O
C
中
国
大
学
M
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O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0;
大
C
中
中
C
O
O
²¡π1 ⊥ π2
C
1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
dü•þ²1ÚR† ¿‡^‡, Œ
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
O
中
国
大
学
M
⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0;
O
C
O
O
C
中
中
C
O
O
²¡π1 ⊥ π2
中
国
大
学
M
1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
dü•þ²1ÚR† ¿‡^‡, Œ
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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M
大
中
国
大
学
C
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C1
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=
.
A2
B2
C2
学
M
O
O
⇐⇒
C
²¡π1 //π2
2
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
国
O
M
学
大
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M
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大
C
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C
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
~2. ¦ü²¡x − y + 2z + 3 = 0†
2x + y + z − 5 = 0 Y .
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
A‡Ä ¯K
中
国
中
国
中
k'²¡Ú†‚
C
O
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M
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大
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中
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M
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C
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国
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M
O
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C
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中
国
大
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M
C
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O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
): ~n1 = {1, −1, 2}, ~n2 = {2, 1, 1},
大
C
中
中
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. ¦ü²¡x − y + 2z + 3 = 0†
2x + y + z − 5 = 0 Y .
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
): ~n1 = {1, −1, 2}, ~n2 = {2, 1, 1},
cos θ
C
中
中
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. ¦ü²¡x − y + 2z + 3 = 0†
2x + y + z − 5 = 0 Y .
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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O
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
1
|2 − 1 + 2|
√
= ,
= p
2
12 + (−1)2 + 22 · 22 + 12 + 12
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
): ~n1 = {1, −1, 2}, ~n2 = {2, 1, 1},
cos θ
C
中
中
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. ¦ü²¡x − y + 2z + 3 = 0†
2x + y + z − 5 = 0 Y .
C
中
国
大
学
M
O
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C
国
中
国
中
大
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M
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M
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大
学
M
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大
O
O
C
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√
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= p
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中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
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3. †‚†²¡
中
中
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中
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M
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国
大
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M
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ÝK†‚ Y ϕ(0 ≤ ϕ < π2 ), ¡•†‚
†²¡ Y .
中
国
大
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M
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中
国
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学
M
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国
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3. †‚†²¡
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
†‚†²¡R†ž,
5½†‚†²¡
C
中
†‚†²¡ØR†ž, †‚†§3²¡þ
ÝK†‚ Y ϕ(0 ≤ ϕ < π2 ), ¡•†‚
†²¡ Y .
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
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Y
中
国
大
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M
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国
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M
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C
3. †‚†²¡
国
中
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中
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M
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k'²¡Ú†‚
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C
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C
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C
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C
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M
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大
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M
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国
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~a = {l, m, n},
国
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C
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中
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k'²¡Ú†‚
†‚ •••þ•
~a = {l, m, n},
中
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大
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~n = {A, B, C},
中
国
大
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国
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A‡Ä ¯K
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k'²¡Ú†‚
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C
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~n = {A, B, C},
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
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C
†‚ •••þ•
~a = {l, m, n},
C
中
国
大
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M
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国
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C
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大
中
国
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C
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国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
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C
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国
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~n = {A, B, C},
中
国
大
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M
中
国
大
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M
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~a = {l, m, n},
C
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国
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中
国
大
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M
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C
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C
K ϕ = | π2 − (~a, ~n)|.
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
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C
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国
大
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国
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²¡ {•þ•
~n = {A, B, C},
中
国
大
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M
中
国
大
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~a = {l, m, n},
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中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
学
M
|Al + Bm + Cn|
√
.
l2 + m2 + n2 · A2 + B 2 + C 2
国
sin ϕ = √
中
大
学
M
O
O
C
sin ϕ = | cos(~a, ~n)|, =
C
K ϕ = | π2 − (~a, ~n)|.
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
国
大
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M
O
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中
国
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M
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中
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大
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C
中
国
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M
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C
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M
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大
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M
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M
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x − x0
y − y0
z − z0
=
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l
m
n
²¡π : Ax + By + Cz + D = 0.
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国
中
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中
中
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国
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M
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M
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y − y0
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y − y0
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m
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国
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国
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中
国
大
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M
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C
大
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M
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⇐⇒
C
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1
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
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M
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国
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C
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(
Al + Bm + Cn = 0,
⇐⇒
Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0.
O
C
O
中
国
大
学
M
˜'XXeµ
C
1
O
C
中
国
大
学
M
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国
大
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M
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C
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中
x − x0
y − y0
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,
l
m
n
²¡π : Ax + By + Cz + D = 0.
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国
中
A‡Ä ¯K
中
中
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国
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M
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国
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国
大
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国
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k'²¡Ú†‚
国
O
M
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大
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M
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大
C
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C
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中
国
大
学
M
C
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O
中
国
大
学
M
Al + Bm + Cn = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.
中
国
C
O
中
国
大
学
M
C
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L3πþ (
中
中
中
中
A‡Ä ¯K
中
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M
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大
C
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国
O
M
学
大
中
国
大
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M
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国
中
k'²¡Ú†‚
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M
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大
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M
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大
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C
O
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
Al + Bm + Cn = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.
中
国
C
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中
国
大
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C
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中
中
中
中
A‡Ä ¯K
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O
M
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大
C
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3
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国
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大
中
国
大
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国
中
k'²¡Ú†‚
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O
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Al + Bm + Cn = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.
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中
国
大
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国
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M
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x+3 y+4 z
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国
中
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O
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C
): †‚L1
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国
大
学
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国
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学
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C
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˜'X.
x+3 y+4 z
(1) †‚L1 :
=
=
−2
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3
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国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
C
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
{•þ•~n1 = {4, −2, −2}.
C
²¡π1
•••þ•~a1 = {−2, −7, 3},
C
): †‚L1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~3. (½e ˆ|•§¤L« †‚†²
¡
˜'X.
x+3 y+4 z
(1) †‚L1 :
=
=
−2
−7
3
Ú²¡ π1 : 4x − 2y − 2z − 3 = 0.
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∵ ~a1 · ~n1 = 0,
C
{•þ•~n1 = {4, −2, −2}.
国
²¡π1
•••þ•~a1 = {−2, −7, 3},
中
): †‚L1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~3. (½e ˆ|•§¤L« †‚†²
¡
˜'X.
x+3 y+4 z
(1) †‚L1 :
=
=
−2
−7
3
Ú²¡ π1 : 4x − 2y − 2z − 3 = 0.
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
C
中
中
C
O
O
•••þ•~a1 = {−2, −7, 3},
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∵ ~a1 · ~n1 = 0, ∴ ~a1 ⊥ ~n1 .
C
{•þ•~n1 = {4, −2, −2}.
中
²¡π1
中
国
大
学
M
): †‚L1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~3. (½e ˆ|•§¤L« †‚†²
¡
˜'X.
x+3 y+4 z
(1) †‚L1 :
=
=
−2
−7
3
Ú²¡ π1 : 4x − 2y − 2z − 3 = 0.
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
C
中
中
C
O
O
•••þ•~a1 = {−2, −7, 3},
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
学
M
qÏ•†‚L1 þ :M (−3, −4, 0) 6∈ π1 ,
O
C
O
C
O
O
O
O
C
∵ ~a1 · ~n1 = 0, ∴ ~a1 ⊥ ~n1 .
C
{•þ•~n1 = {4, −2, −2}.
O
²¡π1
中
国
大
学
M
): †‚L1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~3. (½e ˆ|•§¤L« †‚†²
¡
˜'X.
x+3 y+4 z
(1) †‚L1 :
=
=
−2
−7
3
Ú²¡ π1 : 4x − 2y − 2z − 3 = 0.
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
学
大
国
中
O
C
O
C
O
O
C
O
O
学
M
qÏ•†‚L1 þ :M (−3, −4, 0) 6∈ π1 ,
¤±†‚L1 //²¡π1 .
C
{•þ•~n1 = {4, −2, −2}.
∵ ~a1 · ~n1 = 0, ∴ ~a1 ⊥ ~n1 .
大
C
中
中
C
O
O
•••þ•~a1 = {−2, −7, 3},
O
²¡π1
中
国
大
学
M
): †‚L1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~3. (½e ˆ|•§¤L« †‚†²
¡
˜'X.
x+3 y+4 z
(1) †‚L1 :
=
=
−2
−7
3
Ú²¡ π1 : 4x − 2y − 2z − 3 = 0.
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
O
C
O
O
C
O
O
•••þ•~a2 = {3, 2, 1},
C
中
国
大
学
M
): †‚L2
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
{•þ•~n2 = {1, 3, −9}.
O
C
O
O
C
O
•••þ•~a2 = {3, 2, 1},
C
²¡π2
O
中
国
大
学
M
): †‚L2
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
{•þ•~n2 = {1, 3, −9}.
O
C
O
O
C
O
•••þ•~a2 = {3, 2, 1},
中
国
大
学
M
²¡π2
O
中
国
大
学
M
): †‚L2
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∵ ~a2 · ~n2 = 0,
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
{•þ•~n2 = {1, 3, −9}.
O
C
O
O
C
O
•••þ•~a2 = {3, 2, 1},
中
国
大
学
M
²¡π2
O
中
国
大
学
M
): †‚L2
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∵ ~a2 · ~n2 = 0, ∴ ~a2 ⊥ ~n2 .
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
{•þ•~n2 = {1, 3, −9}.
O
C
O
O
C
O
•••þ•~a2 = {3, 2, 1},
中
国
大
学
M
²¡π2
O
中
国
大
学
M
): †‚L2
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
q ∵ †‚L2 þ :M (−2, 1, −3)
÷v²¡π2 •§,
C
∵ ~a2 · ~n2 = 0, ∴ ~a2 ⊥ ~n2 .
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
{•þ•~n2 = {1, 3, −9}.
O
C
O
O
C
O
•••þ•~a2 = {3, 2, 1},
中
国
大
学
M
²¡π2
O
中
国
大
学
M
): †‚L2
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
学
M
O
O
C
O
O
M
学
国
大
∴ :M 3²¡π2 þ,
中
大
学
M
O
O
C
q ∵ †‚L2 þ :M (−2, 1, −3)
÷v²¡π2 •§,
C
∵ ~a2 · ~n2 = 0, ∴ ~a2 ⊥ ~n2 .
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+2 y−1 z+3
=
=
3
2
1
Ú²¡ π2 : x + 3y − 9z − 28 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
{•þ•~n2 = {1, 3, −9}.
O
C
O
O
C
O
•••þ•~a2 = {3, 2, 1},
中
国
大
学
M
²¡π2
O
中
国
大
学
M
): †‚L2
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) †‚L2 :
学
M
O
O
C
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
国
中
国
大
∴ :M 3²¡π2 þ, =†‚L2 3²¡π2 þ.
中
大
学
M
O
O
C
q ∵ †‚L2 þ :M (−2, 1, −3)
÷v²¡π2 •§,
C
∵ ~a2 · ~n2 = 0, ∴ ~a2 ⊥ ~n2 .
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+3 y−2 z−1
=
=
4
2
−3
Ú²¡ π3 : 8x + 4y − 6z − 11 = 0.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) †‚L3 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+3 y−2 z−1
=
=
4
2
−3
Ú²¡ π3 : 8x + 4y − 6z − 11 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
•••þ•~a3 = {4, 2, −3},
C
)µ†‚L3
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) †‚L3 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+3 y−2 z−1
=
=
4
2
−3
Ú²¡ π3 : 8x + 4y − 6z − 11 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
{•þ•~n3 = {8, 4, −6}.
C
²¡π3
•••þ•~a3 = {4, 2, −3},
C
)µ†‚L3
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) †‚L3 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+3 y−2 z−1
=
=
4
2
−3
Ú²¡ π3 : 8x + 4y − 6z − 11 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∵ ~a3 //~n3 ,
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
{•þ•~n3 = {8, 4, −6}.
国
²¡π3
•••þ•~a3 = {4, 2, −3},
中
)µ†‚L3
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) †‚L3 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
中
中
x+3 y−2 z−1
=
=
4
2
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Ú²¡ π3 : 8x + 4y − 6z − 11 = 0.
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
M
学
大
国
中
中
国
大
学
∴ †‚L3 ⊥²¡π3 .
大
O
C
C
O
C
M
O
O
C
O
O
M
O
{•þ•~n3 = {8, 4, −6}.
∵ ~a3 //~n3 ,
学
O
C
O
O
•••þ•~a3 = {4, 2, −3},
O
²¡π3
中
国
大
学
M
)µ†‚L3
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) †‚L3 :
国
中
A‡Ä ¯K
中
中
k'²¡Ú†‚
国
中
国
中
国
中
国
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M
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大
O
M
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大
O
M
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大
C
O
C
O
C
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C
O
C
O
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
中
中
中
中
国
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M
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M
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大
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M
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大
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M
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大
C
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C
O
C
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C
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中
国
大
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M
C
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k'²¡Ú†‚
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C
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C
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C
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C
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国
大
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M
C
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M
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中
中
中
中
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M
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国
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大
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国
大
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中
国
中
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中
中
中
国
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M
学
大
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M
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大
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中
国
大
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M
C
O
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国
大
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M
P0 (x0 , y0 , z0 )´²¡Ax+By +Cz +D = 0
˜:, ¦P0 ù‡²¡ åld.
中
国
O
M
学
大
C
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中
国
O
M
学
大
中
国
大
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1. : ²¡
中
国
中
. ål
中
中
中
中
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C
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中
国
大
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M
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大
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国
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C
): 3²¡þ?
中
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大
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˜:, ¦P0 ù‡²¡ åld.
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国
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中
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˜:P1 (x1 , y1 , z1 ),
−−→
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C
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中
国
大
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˜:, ¦P0 ù‡²¡ åld.
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中
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
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(2) e Al + Bm + Cn = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0,
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(2) e Al + Bm + Cn = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0,
K†‚†²¡²1, …:(x0 , y0 , z0 )Ø3²
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(3) e Al + Bm + Cn = 0,
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(2) e Al + Bm + Cn = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0,
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(2) e Al + Bm + Cn = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0,
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

 x = 1 − t,
~5. ¦†‚ y = 2 + t,

 z = 3 − 2t.
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 x = 1 − t,
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 z = 3 − 2t.
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 2x + y − z − 5 = 0.
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 x = 1 − t,
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 z = 3 − 2t.
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 z = 3 − 2t.
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 z = −5.
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 x = −3,
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 z = −5.
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A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
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x+y−z−1=0
x−y+z+1=0
3²¡π : x + 2y − z + 5 = 0þ ÝK†
‚L1 •§.
中
国
中
国
中
国
中
~7. ¦†‚L :
中
中
中
中
中
中
中
C
C
O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
L†‚L ²¡å•§•
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
):
中
中
x+y−z−1=0
x−y+z+1=0
3²¡π : x + 2y − z + 5 = 0þ ÝK†
‚L1 •§.
~7. ¦†‚L :
国
中
中
中
中
C
O
O
C
O
中
国
大
学
M
L†‚L ²¡å•§•
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
):
中
国
大
学
M
中
x+y−z−1=0
x−y+z+1=0
3²¡π : x + 2y − z + 5 = 0þ ÝK†
‚L1 •§.
~7. ¦†‚L :
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
λ(x + y − z − 1) + µ(x − y + z + 1) = 0,
国
中
中
中
中
C
O
O
C
O
中
国
大
学
M
L†‚L ²¡å•§•
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
):
中
国
大
学
M
中
x+y−z−1=0
x−y+z+1=0
3²¡π : x + 2y − z + 5 = 0þ ÝK†
‚L1 •§.
~7. ¦†‚L :
λ(x + y − z − 1) + µ(x − y + z + 1) = 0,
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
=
(λ+µ)x+(λ−µ)y +(µ−λ)z +(−λ+µ) = 0,
国
中
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
3²¡å¥†²¡πR† ²¡•π1 , K
²¡π†²¡π1
‚=•ÝK†‚L1 .
中
中
中
中
国
中
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
dπ ⊥ π1 ,
中
国
中
3²¡å¥†²¡πR† ²¡•π1 , K
²¡π†²¡π1
‚=•ÝK†‚L1 .
中
中
中
中
中
C
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
dπ ⊥ π1 ,
(λ + µ) · 1 + (λ − µ) · 2 + (µ − λ) · (−1) = 0,
国
中
中
中
中
3²¡å¥†²¡πR† ²¡•π1 , K
²¡π†²¡π1
‚=•ÝK†‚L1 .
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
µ = 2λ,
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
l
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
dπ ⊥ π1 ,
(λ + µ) · 1 + (λ − µ) · 2 + (µ − λ) · (−1) = 0,
国
中
中
中
中
3²¡å¥†²¡πR† ²¡•π1 , K
²¡π†²¡π1
‚=•ÝK†‚L1 .
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
•§•3x − y + z + 1 = 0.
C
²¡π1
中
国
大
学
M
µ = 2λ,
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
l
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
dπ ⊥ π1 ,
(λ + µ) · 1 + (λ − µ) · 2 + (µ − λ) · (−1) = 0,
国
中
中
中
中
3²¡å¥†²¡πR† ²¡•π1 , K
²¡π†²¡π1
‚=•ÝK†‚L1 .
中
C
O
大
学
M
O
O
C
国
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∴ ÝK†‚L1 •§•
3x − y + z + 1 = 0,
x + 2y − z + 5 = 0.
C
•§•3x − y + z + 1 = 0.
中
²¡π1
中
国
大
学
M
µ = 2λ,
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
l
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
dπ ⊥ π1 ,
(λ + µ) · 1 + (λ − µ) · 2 + (µ − λ) · (−1) = 0,
国
中
中
中
中
3²¡å¥†²¡πR† ²¡•π1 , K
²¡π†²¡π1
‚=•ÝK†‚L1 .
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
†®•²
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
²¡•§.
中
国
中
国
中
国
中
(
x + 5y + z = 0
~8. ¦L†‚
x−z+4=0
¡x − 4y − 8z + 12 = 0 ¤45◦
中
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
²¡•§.
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
¤¦²¡ •§•
O
C
†®•²
O
C
O
O
中
国
大
学
M
):
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
(x + 5y + z) + λ(x − z + 4) = 0,
国
中
中
中
中
(
x + 5y + z = 0
~8. ¦L†‚
x−z+4=0
¡x − 4y − 8z + 12 = 0 ¤45◦
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
²¡•§.
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
¤¦²¡ •§•
O
C
†®•²
O
C
O
O
中
国
大
学
M
):
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ù{•þ•~n1 = {1 + λ, 5, 1 − λ},
C
(x + 5y + z) + λ(x − z + 4) = 0,
国
中
中
中
中
(
x + 5y + z = 0
~8. ¦L†‚
x−z+4=0
¡x − 4y − 8z + 12 = 0 ¤45◦
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
²¡•§.
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
¤¦²¡ •§•
O
C
†®•²
O
C
O
O
中
国
大
学
M
):
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ù{•þ•~n1 = {1 + λ, 5, 1 − λ},
®•²¡ {•þ•~n2 = {1, −4, −8},
C
(x + 5y + z) + λ(x − z + 4) = 0,
国
中
中
中
中
(
x + 5y + z = 0
~8. ¦L†‚
x−z+4=0
¡x − 4y − 8z + 12 = 0 ¤45◦
中
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1×(1+λ)−4×5−8×(1−λ)
√
(1+λ)2 +52 +(1−λ)2 · 1+(−4)2 +(−8)2
C
,k
cos 45◦ = ± √
国
中
中
中
中
•K
中
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
“-”),
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
u"ž
大
中
国
大
学
M
O
O
C
(©fŒu"ž “+”, ©f
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1×(1+λ)−4×5−8×(1−λ)
√
(1+λ)2 +52 +(1−λ)2 · 1+(−4)2 +(−8)2
C
,k
cos 45◦ = ± √
国
中
中
中
中
•K
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
C
“-”),
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
(©fŒu"ž “+”, ©f u"ž
λ−3
1
=
±√
=√ .
2
2λ2 + 27
大
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1×(1+λ)−4×5−8×(1−λ)
√
(1+λ)2 +52 +(1−λ)2 · 1+(−4)2 +(−8)2
C
,k
cos 45◦ = ± √
国
中
中
中
中
•K
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
C
“-”),
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
(©fŒu"ž “+”, ©f u"ž
λ−3
1
=
±√
=√ .
2
2λ2 + 27
3
dd) λ = − ,
4
大
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1×(1+λ)−4×5−8×(1−λ)
√
(1+λ)2 +52 +(1−λ)2 · 1+(−4)2 +(−8)2
C
,k
cos 45◦ = ± √
国
中
中
中
中
•K
中
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
(©fŒu"ž “+”, ©f u"ž “-”),
λ−3
1
=
±√
=√ .
2
2λ2 + 27
3
dd) λ = − , ¤¦²¡•§•
4
3
(x + 5y + z) − (x − z + 4) = 0,
4
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1×(1+λ)−4×5−8×(1−λ)
√
(1+λ)2 +52 +(1−λ)2 · 1+(−4)2 +(−8)2
C
,k
cos 45◦ = ± √
国
中
中
中
中
•K
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(©fŒu"ž “+”, ©f u"ž “-”),
λ−3
1
=
±√
=√ .
2
2λ2 + 27
3
dd) λ = − , ¤¦²¡•§•
4
3
(x + 5y + z) − (x − z + 4) = 0,
4
=
x + 20y + 7z − 12 = 0.
学
大
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1×(1+λ)−4×5−8×(1−λ)
√
(1+λ)2 +52 +(1−λ)2 · 1+(−4)2 +(−8)2
C
,k
cos 45◦ = ± √
国
中
中
中
中
•K
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
Ê. ˜mü†‚
˜'X
中
中
中
中
中
C
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
O
C
C
˜'X
k†‚
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
,
L1 :
l1
m1
n1
y − y2
z − z2
x − x2
=
=
,
L2 :
l2
m2
n2
国
中
中
中
中
Ê. ˜mü†‚
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
O
C
C
˜'X
k†‚
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
,
L1 :
l1
m1
n1
y − y2
z − z2
x − x2
=
=
,
L2 :
l2
m2
n2
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
:M1 (x1 , y1 , z1 ) ∈ L1 , :M2 (x2 , y2 , z2 ) ∈ L2 .
国
中
中
中
中
Ê. ˜mü†‚
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
O
C
C
˜'X
k†‚
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
,
L1 :
l1
m1
n1
y − y2
z − z2
x − x2
=
=
,
L2 :
l2
m2
n2
C
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
中
国
中
M
•••þ.
学
O
O
M
•••þ,
大
学
~a2 = {l2 , m2 , n2 }•L2
大
学
M
O
O
~a1 = {l1 , m1 , n1 }•L1
大
C
C
:M1 (x1 , y1 , z1 ) ∈ L1 , :M2 (x2 , y2 , z2 ) ∈ L2 .
国
中
中
中
中
Ê. ˜mü†‚
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1
L1 //L2
中
中
中
中
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2
中
中
中
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
中
国
中
国
中
1
中
中
中
中
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
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O
l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
中
O
M
学
大
C
O
中
国
大
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M
C
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L1 ⊥ L2
国
O
M
学
大
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L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
中
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O
M
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大
中
国
大
学
M
2
中
国
中
1
中
中
中
中
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
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中
国
大
学
M
C
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中
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大
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M
C
O
O
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
国
O
M
学
大
C
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中
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大
学
M
C
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l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
中
国
O
M
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大
C
O
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
中
国
O
M
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大
中
国
大
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M
2
中
国
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1
中
中
中
中
中
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大
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M
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大
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M
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C
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C
O
C
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M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
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中
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大
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M
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中
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C
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C
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大
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M
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C
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M
l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
O
2
国
中
中
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L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
中
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M
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C
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M
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M
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大
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M
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C
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大
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M
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中
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大
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M
¡
C
L1 †L2
O
C
O
C
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大
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M
3
l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
O
2
国
中
中
中
中
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
中
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M
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C
中
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C
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大
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中
中
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大
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C
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大
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M
3
l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
−−−→
L1 †L2 ¡⇔ •þ~a1 , ~a2 , M1 M2 ¡
O
2
国
中
中
中
中
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
中
国
大
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M
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中
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C
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中
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大
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M
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M
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大
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C
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大
学
M
3
l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
−−−→
L1 †L2 ¡⇔ •þ~a1 , ~a2 , M1 M2 ¡
−−−→
⇔ [M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] = 0;
O
2
国
中
中
中
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L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
中
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大
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M
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C
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M
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大
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M
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大
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M
L1 †L2 É¡
4
O
C
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C
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大
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M
3
l1
m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
−−−→
L1 †L2 ¡⇔ •þ~a1 , ~a2 , M1 M2 ¡
−−−→
⇔ [M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] = 0;
O
2
国
中
中
中
中
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
中
国
大
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M
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C
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大
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M
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M
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大
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M
O
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大
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M
3
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m1
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=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
−−−→
L1 †L2 ¡⇔ •þ~a1 , ~a2 , M1 M2 ¡
−−−→
⇔ [M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] = 0;
−−−→
L1 †L2 É¡⇔[M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] 6= 0;
O
2
国
中
中
中
中
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
国
大
学
M
O
O
C
中
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M
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O
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C
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大
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M
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M
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大
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M
L1 †L2 ƒ
大
学
M
5
O
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中
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大
学
M
O
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国
大
学
M
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m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
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−−−→
L1 †L2 ¡⇔ •þ~a1 , ~a2 , M1 M2 ¡
−−−→
⇔ [M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] = 0;
−−−→
L1 †L2 É¡⇔[M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] 6= 0;
O
2
国
中
中
中
中
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
O
O
C
中
国
大
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M
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C
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国
大
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M
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大
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中
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C
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国
大
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M
C
O
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大
学
M
L1 †L2 ƒ ⇔ L1 †L2
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中
大
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M
5
O
C
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中
国
大
学
M
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4
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中
国
大
学
M
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l1
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n1
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= ;
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L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
−−−→
L1 †L2 ¡⇔ •þ~a1 , ~a2 , M1 M2 ¡
−−−→
⇔ [M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] = 0;
−−−→
L1 †L2 É¡⇔[M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] 6= 0;
O
2
国
中
中
中
中
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
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中
国
大
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M
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中
C
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中
国
大
学
M
C
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国
大
学
M
L1 †L2 ƒ ⇔ L1 †L2 ¡…L1 ز1
−−−→
uL2 ⇔ [M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] = 0 … ~a1 × ~a2 6= ~0.
中
大
学
M
5
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
4
O
C
O
中
国
大
学
M
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m1
n1
=
= ;
l2
m2
n2
L1 ⊥ L2 ⇔ ~a1 ⊥ ~a2
⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0;
−−−→
L1 †L2 ¡⇔ •þ~a1 , ~a2 , M1 M2 ¡
−−−→
⇔ [M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] = 0;
−−−→
L1 †L2 É¡⇔[M1 M2 , ~a1 , ~a2 ] 6= 0;
O
2
国
中
中
中
中
L1 //L2 ⇔ ~a1 //~a2 ⇔
1
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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中
C
中
中
国
大
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M
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M
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M
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M
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国
大
学
M
国
中
中
中
中
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z
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= =
1
2 3
x−1 y−2 z−3
=
=
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2
1
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¦†‚L •§.
O
O
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中
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大
学
M
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国
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M
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国
大
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M
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国
中
中
中
中
~9. †‚LL:A(1, 1, 1)…
x y
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= =
1
2 3
x−1 y−2 z−3
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中
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M
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M
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M
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O
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国
大
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M
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国
中
中
中
中
~9. †‚LL:A(1, 1, 1)…
x y
z
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= =
1
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x−1 y−2 z−3
=
=
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M
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国
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M
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=
=
,
l
m
n
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C
中
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中
国
大
学
M
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国
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M
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中
国
大
学
M
):
国
中
中
中
中
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z
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= =
1
2 3
x−1 y−2 z−3
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=
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1
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中
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C
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M
C
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M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
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0 1 2
⇒ 2 1 4 = 2l + 4m − 2n = 0,
l m n
中
国
中
国
中
国
中
L†L2
中
中
中
中
国
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M
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M
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国
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M
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国
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M
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0 1 2
⇒ 2 1 4 = 2l + 4m − 2n = 0,
l m n
中
国
O
M
学
大
C
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l = 0, n = 2m.
中
国
O
M
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大
中
国
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M
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中
国
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L†L2
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中
中
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中
中
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C
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中
国
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M
O
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C
中
国
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M
C
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国
大
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M
O
O
C
O
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M
学
大
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国
大
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M
O
O
C
l = 0, n = 2m. L •§•
x−1 y−1 z−1
=
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,
0
m
2m
O
C
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国
大
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M
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M
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C
O
O
中
国
大
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M
)
国
中
¡
0 1 2
⇒ 2 1 4 = 2l + 4m − 2n = 0,
l m n
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中
中
中
中
C
C
O
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M
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中
中
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M
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O
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国
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M
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大
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M
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O
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l = 0, n = 2m. L •§•
x−1 y−1 z−1
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,
0
m
2m
x−1 y−1 z−1
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0
1
2
大
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M
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国
大
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M
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O
C
O
O
中
国
大
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M
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国
中
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0 1 2
⇒ 2 1 4 = 2l + 4m − 2n = 0,
l m n
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M
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1. Y
4. L†‚ ²¡å
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˜. ¥¡
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C
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国
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
 x = x0 − t,
y = y0 ,

 z = z + t.
0
中
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国
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
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

 x0 = x + t,
 x = x0 − t,
⇒
y0 = y,
y = y0 ,


 z = z − t.
 z = z + t.
0
0
国
中
¥¡†Î¡
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



 x0 = x + t,
 x = x0 − t,
⇒
y0 = y,
y = y0 ,


 z = z − t.
 z = z + t.
0
0
“\O‚•§,
国
中
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国
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



 x0 = x + t,
 x = x0 − t,
⇒
y0 = y,
y = y0 ,


 z = z − t.
 z = z + t.
0
0
“\O‚•§,
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(∗)
2
2
2
2(x + t) + 2y + (z − t) = 2.
(∗∗)
国
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O
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ž t,
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



 x0 = x + t,
 x = x0 − t,
⇒
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y = y0 ,


 z = z − t.
 z = z + t.
0
0
“\O‚•§,
(x + t)2 + y 2 + (z − t)2 = 1,
(∗)
2
2
2
2(x + t) + 2y + (z − t) = 2.
(∗∗)
国
中
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O
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中
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大
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中
中
中
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



 x0 = x + t,
 x = x0 − t,
⇒
y0 = y,
y = y0 ,


 z = z − t.
 z = z + t.
0
0
“\O‚•§,
(x + t)2 + y 2 + (z − t)2 = 1,
(∗)
2
2
2
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中
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国
中
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F (x, y, z) = 0,
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e-¡Σ1 †Σ2 •§©O•
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F (x, y, z) = 0,
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G(x, y, z) = 0.
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F (x, y, z) = 0,
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(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)
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 z = z(t).
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
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(1)
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
 z = z(t).
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 x = r cos θ,
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 z = bθ.
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x = 0, y = 0, z = 0¤
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2
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b
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O
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 z = h.
大
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2
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国
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国
大
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中
中
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¥¡,
-‚•
( 2
( 2
y2
y2
x
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+
+
=
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2
2
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2
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b
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国
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
 ~„
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C
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C
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国
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 z = h.
2 = 1,
国
2
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b
q
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C
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2
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q
2 + 中
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 g-¡
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 z = h.
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C
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C
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2 = 1,
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中
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国
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C
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ý¥¡, ¿?1aq ?Ø, ù ÒŒ±xÑ
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b
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a
b
c
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½ 2 − 2 + 2 = 1,
a
b
c
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中
中
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b
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b
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d•§ 2 + 2 − 2 = 1,
a
b
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x2 y 2 z 2
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b
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½− 2 + 2 + 2 = 1.
a
b
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国
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中
国
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M
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C
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国
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大
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M
学
大
中
国
大
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M
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‚ •••þ•
~a = {x − 1, y, z}.
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国
大
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M
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大
中
国
大
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M
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中
中
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国
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2
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2
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中
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1
p
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2
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C
1
√ = sin ϕ = | cos(~a, ~k)|
2
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z
=
=p
,
(x − 1)2 + y 2 + z 2
|~a||~k|
=
国
中
中
中
中
¤±
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
学
中
国
大
学
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
C
O
O
(x − 1)2 + y 2 − z 2 = 0.
大
C
中
C
O
中
国
大
学
M
z
1
p
=√ ,
2
(x − 1)2 + y 2 + z 2
z{
M
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
1
√ = sin ϕ = | cos(~a, ~k)|
2
~a · ~k
z
=
=p
,
(x − 1)2 + y 2 + z 2
|~a||~k|
=
国
中
中
中
中
¤±
C
中
国
大
学
M
O
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中
国
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M
O
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C
中
C
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M
中
国
大
学
M
学
大
国
中
O
O
C
O
O
C
O
O
M
(x − 1)2 + y 2 − z 2 = 0. ( I¡)
学
大
中
国
大
学
M
z
1
p
=√ ,
2
(x − 1)2 + y 2 + z 2
z{
.
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
1
√ = sin ϕ = | cos(~a, ~k)|
2
~a · ~k
z
=
=p
,
(x − 1)2 + y 2 + z 2
|~a||~k|
=
国
中
中
中
中
¤±
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
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M
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M
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大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
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C
O
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中
国
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M
C
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M
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M
. -¡ ëꕧ
中
中
中
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国
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国
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
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国
大
学
M
C
‹I(x, y, z)UL«¤ü‡ë
O
O
中
国
大
学
M
C
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国
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M
C
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M
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êu, v ¼ê
中
国
中
国
中
. -¡ ëꕧ
中
中
中
中
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C
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M
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M
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M
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M
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M
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M
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C
中
国
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M
O
O
C
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
êu, v ¼ê 
 x = x(u, v),
y = y(u, v),

 z = z(u, v).
国
中
中
中
中
. -¡ ëꕧ
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
O
中
国
大
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M
中
国
大
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M
O
O
C
e-¡Σþ: ‹I(x, y, z)UL«¤ü‡ë

êu, v ¼ê 
 x = x(u, v),
y = y(u, v),

 z = z(u, v).
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
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M
O
O
C
O
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M
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大
中
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国
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中
中
中
. -¡ ëꕧ
中
C
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M
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M
O
O
C
e-¡Σþ: ‹I(x, y, z)UL«¤ü‡ë

êu, v ¼ê 
 x = x(u, v),
y = y(u, v),

 z = z(u, v).
C
O
中
国
大
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M
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中
国
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M
O
O
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大
国
中
大
学
M
O
O
eUl•§|¥ž ëêu, v, K
󻥤
F (x, y, z) = 0.
C
C
C
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国
中
中
中
中
. -¡ ëꕧ
国
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M
学
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O
M
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C
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国
大
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M
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M
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国
大
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M
C
O
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中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
Ρx2 + y 2 = a2
中
国
中
国
中
~X,
中
中
中
中
O
O
C
中
C
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
(0 ≤ ϕ ≤ 2π, −∞ < u < +∞).
O
C
C
中
O
O
中
国
大
学
M
国
中
Ρx2 + y 2 = a2 ëꕧ•


 x = a cos ϕ,
y = a sin ϕ,

 z = u.
中
国
大
学
M
C
中
~X,
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
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大
O
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C
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C
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C
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中
国
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M
C
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中
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M
C
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大
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M
C
O
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中
国
大
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M
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中
国
中
国
中
国
中
¥¡x2 + y 2 + z 2 = R2
中
中
中
中
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
C
中
国
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M
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C
中
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M
O
O
C
O
O
M
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大
C
中
C
O
中
国
大
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M


 x = R sin θ cos ϕ,
y = R sin θ sin ϕ,

 z = R cos θ.
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
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(0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π).
国
中
中
中
中
¥¡x2 + y 2 + z 2 = R2
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
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M
C
中
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M
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M
O
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C
O
O
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大
C
中
C
O
中
国
大
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M


 x = R sin θ cos ϕ,
y = R sin θ sin ϕ,

 z = R cos θ.
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
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(0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π).
国
中
中
中
中
¥¡x2 + y 2 + z 2 = R2
国
中
O
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O
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O
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国
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中
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国
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中
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1. ~„ g-¡
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M
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M
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中
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国
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M
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中
国
中
国
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国
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中
中
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国
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中
国
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M
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大
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M
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国
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M
C
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国
大
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M
˜. Euclid ˜mþ
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国
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国
中
中
中
中
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中
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国
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M
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国
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M
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M
O
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M
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国
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M
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O
C
中
国
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M
O
O
C
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N¤¤ 8ܵ
Rn = R × R × · · · × R
= {(a1 , a2 , · · · , an ) | ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}.
C
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中
中
中
˜. Euclid ˜mþ
国
中
Euclid˜mþ {ü•£
中
中
O
O
C
O
中
国
大
学
M
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O
C
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
n kSê|
N¤¤ 8ܵ
Rn = R × R × · · · × R
= {(a1 , a2 , · · · , an ) | ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}.
C
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中
国
大
学
M
中
中
˜. Euclid ˜mþ
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , · · · , an + bn )
国
中
Euclid˜mþ {ü•£
中
中
O
O
C
O
中
国
大
学
M
3Rn ½Â\{Úê¦$Žµ
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
n kSê|
N¤¤ 8ܵ
Rn = R × R × · · · × R
= {(a1 , a2 , · · · , an ) | ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}.
C
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中
国
大
学
M
中
中
˜. Euclid ˜mþ
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
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大
中
国
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学
M
O
O
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M
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C
C
C
a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , · · · , an + bn )
国
中
Euclid˜mþ {ü•£
中
中
O
O
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中
国
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M
3Rn ½Â\{Úê¦$Žµ
O
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O
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国
大
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M
中
国
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M
O
O
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Rn = R × R × · · · × R
= {(a1 , a2 , · · · , an ) | ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}.
C
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中
国
大
学
M
中
中
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C
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M
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中
国
大
学
大
国
中
国
大
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O
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M
O
O
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M
O
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λa = (λa1 , λa2 , · · · , λan )
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C
C
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a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , · · · , an + bn )
国
中
Euclid˜mþ {ü•£
O
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国
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M
O
O
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中
国
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M
O
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国
大
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国
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M
O
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C
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C
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C
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国
中
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M
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中
国
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M
O
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O
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国
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M
ak bk ,
k=1
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n
X
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M
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ha, bi = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn =
·‚ò½Â
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C
中
C
中
C
中
C
中
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国
中
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国
中
国
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国
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国
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y È÷v±e5Ÿ:
a, b, c ∈ Rn , λ, µ ∈ R, K
中
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国
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中
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M
O
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…
O
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C
O
中
国
大
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M
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M
O
O
C
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
y È÷v±e5Ÿ:
a, b, c ∈ Rn , λ, µ ∈ R, K
(1) ( ½ 5) ha, ai ≥ 0,
= a = 0;
国
中
中
中
中
N´
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…
O
中
国
大
学
M
ha, ai = 0
O
C
中
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
y È÷v±e5Ÿ:
a, b, c ∈ Rn , λ, µ ∈ R, K
(1) ( ½ 5) ha, ai ≥ 0,
= a = 0;
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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M
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大
中
国
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M
O
O
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(2) (é
é¡5) ha, bi = hb, ai;
国
中
中
中
中
N´
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…
O
中
国
大
学
M
ha, ai = 0
O
C
中
C
中
国
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M
O
O
C
O
O
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
y È÷v±e5Ÿ:
a, b, c ∈ Rn , λ, µ ∈ R, K
(1) ( ½ 5) ha, ai ≥ 0,
= a = 0;
(2) (é
é¡5) ha, bi = hb, ai;
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
O
M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
(3) (‚
‚55 ) hλa+µb, ci = λha, ci+µhb, ci;
国
中
中
中
中
N´
Euclid˜mþ {ü•£
…
O
中
国
大
学
M
ha, ai = 0
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
(1) ( ½ 5) ha, ai ≥ 0,
= a = 0;
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
C
y È÷v±e5Ÿ:
a, b, c ∈ Rn , λ, µ ∈ R, K
中
国
大
学
M
O
中
中
中
N´
(2) (é
é¡5) ha, bi = hb, ai;
C
O
O
C
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
ª) ha, bi2 ≤ ha, aihb, bi.
大
中
国
大
学
M
(4) (SchwarzØ
Ø
学
O
O
C
(3) (‚
‚55 ) hλa+µb, ci = λha, ci+µhb, ci;
国
中
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O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
C
中
·‚• , ²¡)ÛAÛ¥ü:
a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )m ål•
p
(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 .
国
中
Euclid˜mþ {ü•£
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
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M
O
O
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国
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M
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大
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M
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中
C
中
C
中
C
中
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a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )m ål•
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(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 .
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M
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M
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M
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大
中
国
大
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M
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国
中
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M
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国
大
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M
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国
大
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M
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a = (a1 , a2 , · · · , an ) Úb = (b1 , b2 , · · · , bn ) m
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C
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中
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中
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国
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中
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国
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国
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国
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/ •†•/ •´ d , ù´Ï•,
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学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
õ ¼ê
D´Rn þ :8, D
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
x 7→ z
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~1. (1)
ÎNNÈV = πr2 hÓž•6
urÚh , ÏdV ´r Úh
¼ê¶
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) /¥L¡,:,ž• §Ý
T = T (φ, ψ, t), § Ý C z Ó ž • 6
uφ, ψ, t, =T ´n ¼ê.
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
~1. (1)
ÎNNÈV = πr2 hÓž•6
urÚh , ÏdV ´r Úh
¼ê¶
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
O
M
学
大
C
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C
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C
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C
O
C
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
√
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
~2. ¦
¼êz = ln(x − y + 1) +
½Â•.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
x+y
中
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
): ½Â••D = {(x, y)|y < x+1, y ≥ −x}
中
国
大
学
M
O
O
O
C
x+y
O
C
O
O
√
C
中
中
~2. ¦
¼êz = ln(x − y + 1) +
½Â•.
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
中
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
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C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
): ½Â••D = {(x, y)|y < x+1, y ≥ −x}
中
国
大
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M
O
O
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x+y
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C
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O
√
C
中
中
~2. ¦
¼êz = ln(x − y + 1) +
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国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
国
中
国
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M
学
大
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M
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大
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大
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M
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C
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
O
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
¦f (x, y).
中
国
中
国
中
~3. ®•
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
x2 − y 2
¼êf (x+y, x−y) = 2
,
x + y2
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
): -u = x + y, v = x − y,
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
C
x2 − y 2
¼êf (x+y, x−y) = 2
,
x + y2
¦f (x, y).
中
国
大
学
M
中
中
中
~3. ®•
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
中
中
C
O
C
O
中
国
大
学
M
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O
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
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,
2
C
y=
C
u+v
,
2
C
x=
O
C
): -u = x + y, v = x − y, K
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
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M
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国
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M
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C
¦f (x, y).
中
中
中
x2 − y 2
¼êf (x+y, x−y) = 2
,
x + y2
~3. ®•
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
中
C
O
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
M
学
国
大
学
M
O
O
C
2uv
,
u2 + v 2
O
C
O
O
u−v
,
2
大
中
国
大
学
M
O
O
f (u, v) =
y=
C
u+v
,
2
O
x=
中
国
大
学
M
): -u = x + y, v = x − y, K
C
中
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
¦f (x, y).
中
中
中
x2 − y 2
¼êf (x+y, x−y) = 2
,
x + y2
~3. ®•
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
M
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大
国
2xy
.
x2 + y 2
O
O
中
国
大
学
f (x, y) =
O
C
O
O
2uv
,
u2 + v 2
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M
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M
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大
u−v
,
2
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f (u, v) =
y=
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u+v
,
2
O
C
x=
中
国
大
学
M
): -u = x + y, v = x − y, K
=
中
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
¦f (x, y).
中
中
中
x2 − y 2
¼êf (x+y, x−y) = 2
,
x + y2
~3. ®•
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
国
中
国
中
国
中
国
中
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M
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大
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M
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大
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M
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大
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M
学
大
C
O
C
O
C
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C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
•þŠ¼ê
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
•þŠ¼ê
D´Rn þ :8,
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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C
中
国
大
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M
O
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C
中
国
大
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M
O
O
C
C
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M
学
大
中
国
大
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M
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C
中
国
大
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M
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C
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中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
•þŠ¼ê
D´Rn þ :8, f ´D Rm N
f : D → Rm ,
x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ y = (y1 , y2 , · · · , ym ),
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
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中
国
大
学
M
C
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M
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大
中
国
大
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M
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O
C
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
z‡yi , i = 1, 2, · · · , mÑ´
x(x1 , x2 , · · · , xn ) ¼ê,
=yi = fi (x1 , x2 , · · · , xn ),
C
中
中
中
中
•þŠ¼ê
D´Rn þ :8, f ´D Rm N
f : D → Rm ,
x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ y = (y1 , y2 , · · · , ym ),
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
z‡yi , i = 1, 2, · · · , mÑ´
x(x1 , x2 , · · · , xn ) ¼ê,
=yi = fi (x1 , x2 , · · · , xn ),
džPf = (f1 , f2 , · · · , fm ).
C
中
中
中
中
•þŠ¼ê
D´Rn þ :8, f ´D Rm N
f : D → Rm ,
x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ y = (y1 , y2 , · · · , ym ),
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
z‡yi , i = 1, 2, · · · , mÑ´
x(x1 , x2 , · · · , xn ) ¼ê,
=yi = fi (x1 , x2 , · · · , xn ),
džPf = (f1 , f2 , · · · , fm ). Ïd~r
Rn → Rm N f ¡•n m‘•þŠ¼ê.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
•þŠ¼ê
D´Rn þ :8, f ´D Rm N
f : D → Rm ,
x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ y = (y1 , y2 , · · · , ym ),
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
国
中
国
中
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
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C
O
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M
学
大
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
z‡yi , i = 1, 2, · · · , mÑ´
x(x1 , x2 , · · · , xn ) ¼ê,
=yi = fi (x1 , x2 , · · · , xn ),
džPf = (f1 , f2 , · · · , fm ). Ïd~r
Rn → Rm N f ¡•n m‘•þŠ¼ê.
õ ¼ê´m = 1 AÏœ/.
C
中
中
中
中
•þŠ¼ê
D´Rn þ :8, f ´D Rm N
f : D → Rm ,
x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ y = (y1 , y2 , · · · , ym ),
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
‘•þŠ¼ê.
C
O
中
国
大
学
M
´˜
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
~4. ²¡)ÛAÛ¥Ù• ëꕧ
x = ϕ(t),
t ∈ [t0 , t1 ]
y = ψ(t),
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
(r, θ) 7→ (x, y, z)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
N
f : [0, ∞) × [0, 2π] → R3
中
国
中
国
中
国
中
~5.
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2π],
大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ù©þ/ª´


 x = x(r, θ) = r cos θ,
y = y(r, θ) = r sin θ,

 z = z(r, θ) = r,
C
中
C
O
O
C
O
(r, θ) 7→ (x, y, z)
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
C
N
f : [0, ∞) × [0, 2π] → R3
O
O
中
中
中
~5.
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
O
O
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
C
中
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2π],
n‘•þŠ¼ê,
学
M
O
C
O
O
(r, θ) 7→ (x, y, z)
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
N
f : [0, ∞) × [0, 2π] → R3
Ù©þ/ª´


 x = x(r, θ) = r cos θ,
y = y(r, θ) = r sin θ,

 z = z(r, θ) = r,
ù´
中
中
中
~5.
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
O
C
r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2π],
O
C
O
O
C
中
C
O
O
C
O
O
(r, θ) 7→ (x, y, z)
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
N
f : [0, ∞) × [0, 2π] → R3
Ù©þ/ª´


 x = x(r, θ) = r cos θ,
y = y(r, θ) = r sin θ,

 z = z(r, θ) = r,
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
ù´
n‘•þŠ¼ê, 3˜m)ÛAÛ
¥• , ù´º:3 : þŒ I¡.
学
大
中
中
中
~5.
国
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
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C
O
C
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中
国
大
学
M
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中
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大
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M
C
O
O
中
国
大
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M
C
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中
国
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M
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
¼ê AÛ¿Â
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
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学
大
C
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C
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C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
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国
大
学
M
¼ê AÛ¿Â
¼êz = f (x, y) ã/´˜Ü˜m-
中
国
中
国
中
国
中
¡.
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
国
O
M
学
大
O
M
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大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
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C
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C
O
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
¼ê AÛ¿Â
¼êz = f (x, y) ã/´˜Ü˜m-
中
国
中
国
中
国
中
¡.
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
国
中
O
M
学
大
O
M
学
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
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O
中
国
大
学
M
2. n ¼ê
大
C
O
C
O
N
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
(µ
1. Rn → Rm
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n ¼ê†•þŠ¼ê
3. •þŠ¼ê
国
中
国
O
M
学
大
O
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C
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中
国
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M
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中
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4•†ëY
中
国
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国
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M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
¼ê 4•†ëY
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
中
国
中
õ
õ ¼ê
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
中
国
中
˜!õ
õ ¼ê
¼ê 4•
中
4•†ëY
中
中
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
4•
D´Rn þ m8,
a = (a1 , a2 · · · , an ) ∈ D,
z = f (x)´½Â3D\{a}þ n ¼ê,
A´˜‡¢ê.
C
¼ê 4•
C
中
˜!õ
国
中
õ ¼ê
中
4•†ëY
中
中
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
4•
D´Rn þ m8,
a = (a1 , a2 · · · , an ) ∈ D,
z = f (x)´½Â3D\{a}þ n ¼ê,
A´˜‡¢ê.
C
¼ê 4•
C
中
˜!õ
国
中
õ ¼ê
中
4•†ëY
中
中
中
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
中
国
大
M
O
O
x ∈ N (a, δ) ∩ Dž, ¤á
| f (x) − A | < ε,
大
学
◦
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
4•
D´Rn þ m8,
a = (a1 , a2 · · · , an ) ∈ D,
z = f (x)´½Â3D\{a}þ n ¼ê,
A´˜‡¢ê.
XJéu?¿‰½ ε > 0, •3δ > 0, ¦
C
¼ê 4•
C
˜!õ
国
中
õ ¼ê
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
xªuažf Âñ,
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
中
国
中
K¡
õ ¼ê
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
K¡ xªuažf Âñ,
¿¡A•f xªuaž (n-)4•,
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
中
国
中
õ ¼ê
O
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
4•†ëY
K¡ xªuažf Âñ,
¿¡A•f xªuaž (n-)4•,
P•
lim f (x) = A
x →a
½
f (x) → A (x → a).
国
中
õ ¼ê
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
中
国
中
õ ¼ê
x2 y
~1. y²: (1) lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
中
中
中
中
4•†ëY
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
)µÏ•
p
x2 y
−
0
≤
|
y
|
<
x2 + y 2 ,
2
2
x +y
O
C
C
x2 y
~1. y²: (1) lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
4•†ëY
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
)µÏ•
p
x2 y
−
0
≤
|
y
|
<
x2 + y 2 ,
2
2
x +y
¤±é ∀ε > 0, δ = ε,
O
C
C
x2 y
~1. y²: (1) lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
4•†ëY
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
)µÏ•
p
x2 y
−
0
≤
|
y
|
<
x2 + y 2 ,
2
2
x +y
¤±é ∀ε > 0, δ = ε,
p
0 < x2 + y 2 < δž,
O
C
C
x2 y
~1. y²: (1) lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
4•†ëY
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
)µÏ•
p
x2 y
−
0
≤
|
y
|
<
x2 + y 2 ,
2
2
x +y
¤±é ∀ε > 0, δ = ε,
p
0 < x2 + y 2 < δž,
p
x2 y
≤
|
y
|
<
−
0
x2 + y 2 < ε,
2
2
x +y
O
C
C
C
x2 y
~1. y²: (1) lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
4•†ëY
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
)µÏ•
p
x2 y
−
0
≤
|
y
|
<
x2 + y 2 ,
2
2
x +y
¤±é ∀ε > 0, δ = ε,
p
0 < x2 + y 2 < δž,
p
x2 y
≤
|
y
|
<
−
0
x2 + y 2 < ε,
2
2
x +y
x2 y
u´
lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
中
国
大
学
M
大
C
C
C
x2 y
~1. y²: (1) lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
国
中
õ ¼ê
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
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大
C
O
C
O
C
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C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
中
国
中
õ ¼ê
,)µ
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
|x|
< ε,
2
中
O
M
学
C
O
O
=
大
C
O
C
O
x2 y
2xy
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
x2 y
−0 ≤
x2 + y 2
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
中
国
中
õ ¼ê
,)µÏ•
中
中
中
中
4•†ëY
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
δ = 2ε > 0,
|x|
< ε,
2
O
C
O
=
中
国
大
学
M
¤±é ∀ε > 0,
x2 y
2xy
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
x2 y
−0 ≤
x2 + y 2
C
,)µÏ•
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
4•†ëY
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¤±é ∀ε > 0, δ = 2ε > 0,
|x| < δ, |y| < δ, …(x, y) 6= (0, 0)ž,
O
O
|x|
< ε,
2
O
=
中
国
大
学
M
O
C
x2 y
2xy
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
x2 y
−0 ≤
x2 + y 2
C
,)µÏ•
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
4•†ëY
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
中
C
C
|x|
< ε,
2
O
C
大
学
M
O
O
=
O
x2 y
2xy
x2 y
−0 ≤
x2 + y 2
中
国
大
学
M
¤±é ∀ε > 0, δ = 2ε > 0,
|x| < δ, |y| < δ, …(x, y) 6= (0, 0)ž,
O
O
|x|
< ε,
2
O
=
中
国
大
学
M
O
C
x2 y
2xy
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
x2 y
−0 ≤
x2 + y 2
C
,)µÏ•
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
4•†ëY
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
国
大
学
M
x2 y
lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
中
C
C
|x|
< ε,
2
O
C
O
大
学
M
O
u´
=
O
x2 y
2xy
x2 y
−0 ≤
x2 + y 2
中
国
大
学
M
¤±é ∀ε > 0, δ = 2ε > 0,
|x| < δ, |y| < δ, …(x, y) 6= (0, 0)ž,
O
O
|x|
< ε,
2
O
=
中
国
大
学
M
O
C
x2 y
2xy
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
x2 y
−0 ≤
x2 + y 2
C
,)µÏ•
国
中
õ ¼ê
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
(x,y)→(0,0)
国
O
M
学
大
C
O
(x + y) sin
中
中
中
中
4•†ëY
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
lim
中
国
中
(2)
õ ¼ê
1
1
sin = 0
x
y
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
)µdu
1
1
(x+y) sin sin −0 ≤ | x+y | ≤ | x |+| y |,
x
y
O
C
(x,y)→(0,0)
C
中
1
1
sin = 0
x
y
(x + y) sin
C
lim
4•†ëY
中
中
中
(2)
国
中
õ ¼ê
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
)µdu
1
1
(x+y) sin sin −0 ≤ | x+y | ≤ | x |+| y |,
x
y
¤±,éu?¿‰½ ε > 0, •‡ δ = 2ε ,
O
C
(x,y)→(0,0)
C
中
1
1
sin = 0
x
y
(x + y) sin
C
lim
4•†ëY
中
中
中
(2)
国
中
õ ¼ê
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
|x| < δ, |y| < δ, …(x, y) 6= (0, 0) ž
C
@o
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
)µdu
1
1
(x+y) sin sin −0 ≤ | x+y | ≤ | x |+| y |,
x
y
¤±,éu?¿‰½ ε > 0, •‡ δ = 2ε ,
O
C
(x,y)→(0,0)
C
中
1
1
sin = 0
x
y
(x + y) sin
C
lim
4•†ëY
中
中
中
(2)
国
中
õ ¼ê
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
|f (x, y) − 0| ≤ |x| + |y| < δ + δ = ε.
C
|x| < δ, |y| < δ, …(x, y) 6= (0, 0) ž
O
@o
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
)µdu
1
1
(x+y) sin sin −0 ≤ | x+y | ≤ | x |+| y |,
x
y
¤±,éu?¿‰½ ε > 0, •‡ δ = 2ε ,
O
C
(x,y)→(0,0)
C
中
1
1
sin = 0
x
y
(x + y) sin
C
lim
4•†ëY
中
中
中
(2)
国
中
õ ¼ê
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
M
学
大
国
中
大
(x,y)→(0,0)
1
1
sin = 0.
x
y
O
C
O
O
M
学
(x + y) sin
国
学
大
lim
中
M
O
O
C
|f (x, y) − 0| ≤ |x| + |y| < δ + δ = ε.
ù`²
O
O
中
国
大
学
M
|x| < δ, |y| < δ, …(x, y) 6= (0, 0) ž
O
@o
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
)µdu
1
1
(x+y) sin sin −0 ≤ | x+y | ≤ | x |+| y |,
x
y
¤±,éu?¿‰½ ε > 0, •‡ δ = 2ε ,
O
C
(x,y)→(0,0)
C
中
1
1
sin = 0
x
y
(x + y) sin
C
lim
4•†ëY
中
中
中
(2)
国
中
õ ¼ê
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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m
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大
学
M
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
ê
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
p
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
O
M
学
大
C
O
C
O
∂z
= fy (x, y),
∂y
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
ê
国
O
M
学
大
C
O
C
O
z = f (x, y)3«•D ⊂ R2 þäk
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
∂z
= fx (x, y),
∂x
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
O
中
国
大
学
M
∂z
= fy (x, y),
∂y
O
C
中
O
中
国
大
学
M
∂z
= fx (x, y),
∂x
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
ê
C
中
C
中
C
中
ê
z = f (x, y)3«•D ⊂ R2 þäk
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
K§‚Ñ´x, y
¼ê, XJ§‚„•
3
ê, K
f (x, y)
ê.
国
中
p
国
中
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M
学
大
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C
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C
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M
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国
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M
C
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国
大
学
M
C
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国
O
M
学
大
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M
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大
中
国
大
学
M
UìégCþ ¦
êke o«µ
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
ØÓ,
中
国
大
学
M
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C
中
国
大
学
M
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O
C
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
ê
UìégCþ ¦ gS ØÓ,
êke o«µ
∂ ∂z ∂
∂ 2z
=
=
(fx (x, y))
∂x2
∂x ∂x
∂x
= fxx (x, y) = f11 (x, y),
国
中
p
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ 2z
∂ ∂z ∂
=
=
(fy (x, y))
∂y 2
∂y ∂y
∂y
= fyy (x, y) = f22 (x, y).
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
ê
UìégCþ ¦ gS ØÓ,
êke o«µ
∂ ∂z ∂
∂ 2z
=
=
(fx (x, y))
∂x2
∂x ∂x
∂x
= fxx (x, y) = f11 (x, y),
国
中
p
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
∂ ∂z ∂
∂ 2z
=
=
(fy (x, y))
∂x∂y
∂x ∂y
∂x
= fyx (x, y) = f21 (x, y),
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ 2z
∂ ∂z ∂
=
=
(fx (x, y))
∂y∂x
∂y ∂x
∂y
= fxy (x, y) = f12 (x, y),
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
ê
∂ ∂z ∂
∂ 2z
=
=
(fy (x, y))
∂x∂y
∂x ∂y
∂x
= fyx (x, y) = f21 (x, y),
国
中
p
O
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
ê.
O
O
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∂ 2z
∂ ∂z ∂
=
=
(fx (x, y))
∂y∂x
∂y ∂x
∂y
= fxy (x, y) = f12 (x, y),
¡ü‡¡•·Ü
C
中
中
中
中
ê
∂ ∂z ∂
∂ 2z
=
=
(fy (x, y))
∂x∂y
∂x ∂y
∂x
= fyx (x, y) = f21 (x, y),
国
中
p
O
C
C
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
ê.
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¡ü‡¡•·Ü
ê.
aq/Œ
n !o ½•p
中
国
大
学
M
∂ 2z
∂ ∂z ∂
=
=
(fx (x, y))
∂y∂x
∂y ∂x
∂y
= fxy (x, y) = f12 (x, y),
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
ê
∂ ∂z ∂
∂ 2z
=
=
(fy (x, y))
∂x∂y
∂x ∂y
∂x
= fyx (x, y) = f21 (x, y),
国
中
p
O
中
国
大
学
M
C
C
O
国
大
学
M
O
O
中
中
国
大
学
M
O
O
ê.
O
M
学
大
国
中
大
学
M
O
O
C
¡ü‡¡•·Ü
ê.
aq/Œ
n !o ½•p
9
±þ
êÚ¡•p
ê.
C
∂ 2z
∂ ∂z ∂
=
=
(fx (x, y))
∂y∂x
∂y ∂x
∂y
= fxy (x, y) = f12 (x, y),
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
ê
∂ ∂z ∂
∂ 2z
=
=
(fy (x, y))
∂x∂y
∂x ∂y
∂x
= fyx (x, y) = f21 (x, y),
国
中
p
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
¤k
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
~1. ¦z = ex+2y
∂ 3z
ê
.
∂y∂x2
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
ê9n
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∂z
= 2ex+2y
∂y
中
O
M
学
∂z
= ex+2y ,
∂x
中
国
大
学
M
ê
大
C
O
C
O
¤k
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
~1. ¦z = ex+2y
∂ 3z
ê
.
∂y∂x2
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
)µ˜
p
ê9n
中
C
O
O
C
O
∂z
= 2ex+2y
∂y
中
国
大
学
M
∂z
= ex+2y ,
∂x
O
C
ê
中
国
大
学
M
)µ˜
ê9n
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
¤k
ê
中
中
中
~1. ¦z = ex+2y
∂ 3z
ê
.
∂y∂x2
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
国
大
学
M
O
∂ 2z
∂ 2z
x+2y
,
= 2ex+2y .
=e
2
∂x
∂x∂y
中
大
学
M
O
O
C
ê
国
中
p
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
∂ 2z
∂ 2z
x+2y
= 4e
,
= 2ex+2y .
2
∂y
∂y∂x
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
O
M
学
大
C
O
C
O
∂ 3z
= 2ex+2y
2
∂y∂x
国
O
M
学
大
C
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
∂ 2z
∂ 2z
x+2y
= 4e
,
= 2ex+2y .
2
∂y
∂y∂x
中
国
O
M
学
大
C
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
ê
中
国
O
M
学
大
.
ê
中
国
中
n
p
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
gS´Äk
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
ꆦ
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
¯Kµ·Ü
'º
p
中
中
C
O
C
O
O
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
C
O
C
O
学
M
O
y²µfxy (0, 0) 6= fyx (0, 0).
大
C
x2 − y 2
xy 2
, x2 + y 2 =
6 0,
2
f (x, y) =
x +y

0,
x2 + y 2 = 0,


O
C
O
O
C
O
O
gS´Äk
中
~2.
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
ꆦ
ê
中
国
大
学
M
中
中
¯Kµ·Ü
'º
国
中
p
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
y²µ
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
p
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
 4
2 2
4
 x + 4x y − y
y
, x2 + y 2 =
6 0,
2
2
2
fx (x, y) =
(x + y )

0,
x2 + y 2 = 0,
中
国
大
学
M
C
中
C
O
C
O
O
C
ê
中
中
中
y²µ
国
中
p
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
 4
2 2
4
 x + 4x y − y
y
, x2 + y 2 =
6 0,
2
2
2
fx (x, y) =
(x + y )

0,
x2 + y 2 = 0,
中
国
大
学
M
C
中
C
O
C
O
O
C
ê
中
中
中
y²µ
¤±
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
C
O
= −1,
学
∆y
大
中
国
大
学
M
∆y→0
M
O
O
fxy (0, 0) = lim
− (∆y)
(∆y)4 − 0
O
C
5
国
中
p
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
ê

4
2 2
4
 x − 4x y − y
, x2 + y 2 6= 0,
x
2
2
2
fy (x, y) =
(x + y )

0,
x2 + y 2 = 0,
国
中
p
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
= 1,
M
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
∆x
O
C
∆x→0
−0
C
fyx (0, 0) = lim
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
(∆x)5
(∆x)4
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
ê

4
2 2
4
 x − 4x y − y
, x2 + y 2 6= 0,
x
2
2
2
fy (x, y) =
(x + y )

0,
x2 + y 2 = 0,
国
中
p
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
= 1,
C
∆x
Ïd, fxy (0, 0) 6= fyx (0, 0).
∆x→0
中
国
大
学
M
O
−0
O
fyx (0, 0) = lim
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
(∆x)5
(∆x)4
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
ê

4
2 2
4
 x − 4x y − y
, x2 + y 2 6= 0,
x
2
2
2
fy (x, y) =
(x + y )

0,
x2 + y 2 = 0,
国
中
p
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
g
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
ê3Ÿo^‡e†¦
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
ê
中
国
中
国
中
¯Kµ·Ü
SÃ'º
p
O
M
学
大
C
O
C
O
g
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
, ·‚ke¡ ½n:
国
O
M
学
大
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
ê3Ÿo^‡e†¦
中
国
O
M
学
大
C
O
êƒ
中
中
中
中
ê
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
'u·Ü
中
国
中
¯Kµ·Ü
SÃ'º
p
中
C
O
C
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
M
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ).
大
学
M
O
O
C
½n
XJ¼êz = f (x, y) ü‡·Ü
êfxy (x, y) Úfyx (x, y) 3:(x0 , y0 ) ëY, K
中
国
大
学
M
, ·‚ke¡ ½n:
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∆z = α∆x + β∆y + o( (∆x)2 + (∆y)2 )
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f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
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0,
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中
国
大
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M
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中
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大
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国
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M
fx (0, 0) = lim
C
C
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f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)
=0
∆x→0
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C
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国
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M
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国
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M
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国
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国
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M
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C
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国
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国
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M
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大
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M
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M
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M
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国
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©(þ)
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中
中
中
中
= [f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y)]
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国
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M
= f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
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M
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O
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y²µÄk·‚k
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国
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M
O
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+[f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )]
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中
‡©(þ)
中
中
中
中
= [f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y)]
C
O
中
国
大
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M
= f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
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M
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中
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学
M
O
O
C
= fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y)∆x
C
+[f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )]
国
中
‡©(þ)
中
中
中
中
= [f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y)]
C
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中
国
大
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M
= f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
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国
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M
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M
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y²µÄk·‚k
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国
大
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大
中
国
大
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+fy (x0 , y0 + θ2 ∆y)∆y,
学
M
O
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= fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y)∆x
C
+[f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )]
国
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国
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fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y) = fx (x0 , y0 ) + α,
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M
fy (x0 , y0 + θ2 ∆y) = fy (x0 , y0 ) + β,
O
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中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
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C
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M
fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y) = fx (x0 , y0 ) + α,
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C
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中
中
中
Ï•fx Úfy 3(x0 , y0 ):ëY, ¤±
国
中
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国
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大
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C
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C
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C
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C
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国
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学
M
C
O
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M
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∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
中
国
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国
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国
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中
中
中
中
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u´
中
中
中
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O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
+α∆x + β∆y
C
= fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
O
C
C
u´
国
中
‡©(þ)
中
中
中
中
C
O
C
大
学
M
O
O
C
国
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
= fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
p
+o( ∆x2 + ∆y 2 ),
中
+α∆x + β∆y
中
国
大
学
M
= fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
O
C
C
u´
国
中
‡©(þ)
中
中
中
中
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
M
学
大
国
中
国
大
学
=f 3(x0 , y0 ):Œ‡.
中
O
C
O
O
M
M
O
O
C
= fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
p
+o( ∆x2 + ∆y 2 ),
中
+α∆x + β∆y
O
C
中
国
大
学
M
= fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
学
大
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
O
C
C
u´
国
中
‡©(þ)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
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C
O
C
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O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~2. ¦¼ê z = exy 3:(2, 1)?
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©(þ)
‡©.
国
O
M
学
大
C
O
C
O
∂z
= xexy ,
∂y
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
~2. ¦¼ê z = exy 3:(2, 1)?
中
O
M
学
大
C
O
C
O
∂z
= yexy ,
∂x
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
)µdu
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©(þ)
‡©.
中
中
C
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O
国
大
学
M
O
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M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
(2,1)
大
国
中
中
国
大
学
M
= 2e2 ,
O
O
O
M
学
大
O
C
O
中
国
大
学
M
∂z
∂y
C
(2,1)
O
C
O
O
= e2 ,
∂z
= xexy ,
∂y
C
∂z
∂x
C
¤±
∂z
= yexy ,
∂x
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
)µdu
‡©.
中
中
中
~2. ¦¼ê z = exy 3:(2, 1)?
国
中
‡©(þ)
中
中
C
O
C
O
O
M
国
大
学
国
大
学
学
M
M
中
国
大
(2,1)
中
国
大
学
M
C
੥
= e2 dx + 2e2 dy.
dz
O
C
O
中
国
大
学
M
C
(2,1)
O
O
C
O
O
M
学
= 2e2 ,
O
(2,1)
∂z
∂y
O
= e2 ,
¼êz = exy 3:(2, 1)?
大
O
C
O
O
∂z
∂x
∂z
= xexy ,
∂y
中
¤±
∂z
= yexy ,
∂x
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
)µdu
‡©.
中
中
中
~2. ¦¼ê z = exy 3:(2, 1)?
国
中
‡©(þ)
国
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M
学
大
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M
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大
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M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~3. ¦u = x − cos y2 + arctan yz
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©(þ)
‡©.
国
O
M
学
大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
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~3. ¦u = x − cos y2 + arctan yz
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
∂u
= 1,
∂x
中
国
中
国
中
)µdu
中
中
中
中
‡©(þ)
‡©.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
O
O
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
‡©.
C
C
O
∂u
= 1,
∂x
∂u 1
y
z
= sin − 2
,
∂y
2
2 y + z2
)µdu
中
中
中
中
~3. ¦u = x − cos y2 + arctan yz
国
中
‡©(þ)
C
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
学
M
O
O
C
∂u
y
= 2
,
∂z
y + z2
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
‡©.
C
C
O
∂u
= 1,
∂x
∂u 1
y
z
= sin − 2
,
∂y
2
2 y + z2
)µdu
中
中
中
中
~3. ¦u = x − cos y2 + arctan yz
国
中
‡©(þ)
C
O
中
国
大
学
M
∂u
y
= 2
,
∂z
y + z2
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
‡©.
C
C
O
∂u
= 1,
∂x
∂u 1
y
z
= sin − 2
,
∂y
2
2 y + z2
)µdu
中
中
中
中
~3. ¦u = x − cos y2 + arctan yz
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
T¼ê3ٽ•{(x, y, z)|y 6= 0}S?
?Œ‡,
国
中
‡©(þ)
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
∂u
y
= 2
,
∂z
y + z2
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
T¼ê3ٽ•{(x, y, z)|y 6= 0}S?
?Œ‡, …
1
y
z y
du = dx+ sin − 2
dy+
dz.
2
2 y + z2
y2 + z2
学
大
O
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
‡©.
C
C
O
∂u
= 1,
∂x
∂u 1
y
z
= sin − 2
,
∂y
2
2 y + z2
)µdu
中
中
中
中
~3. ¦u = x − cos y2 + arctan yz
国
中
‡©(þ)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
¯K: õ ¼ê3,:Œ‡ž, ´Ä˜½k
3T:?
êëYº
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©(þ)
O
中
国
大
学
M
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
M
学
中
国
大
学
M
O
ê3(0, 0)?ØëY.
大
中
国
大
学
M
O
3(0, 0)?Œ‡,
O
C
O
中
国
大
学
M
C
x2 + y 2 6= 0,
x2 + y 2 = 0,
O
O
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
~4. y²µ¼ê
(
1
(x2 + y 2 ) sin x2 +y
2,
f (x, y) =
0,
C
中
中
中
中
¯K: õ ¼ê3,:Œ‡ž, ´Ä˜½k
3T:?
êëYº
国
中
‡©(þ)
中
中
中
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¤±¼êf (x, y) 3(0, 0)?Œ‡.
O
O
C
1
=0
+ (∆y)2
O
C
O
(∆x)2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
(∆x,∆y)→(0,0)
p
(∆x)2 + (∆y)2 sin
O
lim
中
国
大
学
M
O
O
C
y²µÏ•
国
中
‡©(þ)
中
中
中
中
x2 + y 2 6= 0,
x2 + y 2 = 0,
C
O
O
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
C
1
cos x2 +y
2,
中
2x
x2 +y 2
C
1
2x sin x2 +y
2 −
0,
C
fx (x, y) =
C
(
中
国
大
学
M
¤±¼êf (x, y) 3(0, 0)?Œ‡. q
O
C
1
=0
+ (∆y)2
O
(∆x)2
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
(∆x,∆y)→(0,0)
中
国
大
学
M
O
O
p
(∆x)2 + (∆y)2 sin
lim
O
C
C
y²µÏ•
国
中
‡©(þ)
中
中
中
中
(
fx (x, y) =
1
2x sin x2 +y
2 −
0,
x2 + y 2 6= 0,
x2 + y 2 = 0,
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
1
cos x2 +y
2,
1
2x
1
lim [2x sin x2 +y
2 − x2 +y 2 cos x2 +y 2 ]Ø•3,
(x,y)→(0,0)
O
2x
x2 +y 2
中
国
大
学
M
¤±¼êf (x, y) 3(0, 0)?Œ‡. q
O
C
1
=0
+ (∆y)2
O
(∆x)2
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
(∆x,∆y)→(0,0)
中
国
大
学
M
O
O
p
(∆x)2 + (∆y)2 sin
lim
O
C
C
y²µÏ•
国
中
‡©(þ)
中
中
中
中
(
fx (x, y) =
1
2x sin x2 +y
2 −
0,
x2 + y 2 6= 0,
x2 + y 2 = 0,
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
大
国
中
中
国
大
学
ê3(0, 0)?ØëY.
学
¤±f (x, y)
学
M
O
O
C
O
C
O
M
O
1
cos x2 +y
2,
1
2x
1
lim [2x sin x2 +y
2 − x2 +y 2 cos x2 +y 2 ]Ø•3,
(x,y)→(0,0)
大
2x
x2 +y 2
中
国
大
学
M
¤±¼êf (x, y) 3(0, 0)?Œ‡. q
O
C
1
=0
+ (∆y)2
O
(∆x)2
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
(∆x,∆y)→(0,0)
中
国
大
学
M
O
O
p
(∆x)2 + (∆y)2 sin
lim
O
C
C
y²µÏ•
国
中
‡©(þ)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
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M
C
O
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中
国
大
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M
中
中
中
中
‡©£e¤
国
O
M
学
大
O
M
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大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
‡©£e¤
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
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国
中
国
中
国
中
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学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‡©£e¤
!FÝ
中
中
中
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
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M
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M
学
大
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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D ⊂ R2 •m8, (x0 , y0 ) ∈ D•˜½:. X
J¼ê z = f (x, y), (x, y) ∈ D
3(x0 , y0 ):Œ
, K¡
•þ{fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )}•f 3:(x0 , y0 )
? FÝ,
O
C
O
C
O
O
C
!FÝ
国
中
‡©£e¤
中
中
中
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
½Â
D ⊂ R2 •m8, (x0 , y0 ) ∈ D•˜½:. X
J¼ê z = f (x, y), (x, y) ∈ D
3(x0 , y0 ):Œ
, K¡
•þ{fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )}•f 3:(x0 , y0 )
? FÝ,
O
C
O
C
O
O
C
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国
中
‡©£e¤
中
中
中
中
C
O
C
M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
M
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C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
学
中
国
大
学
大
国
中
中
国
大
学
gradf (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )i + fy (x0 , y0 )j.
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
½Â
D ⊂ R2 •m8, (x0 , y0 ) ∈ D•˜½:. X
J¼ê z = f (x, y), (x, y) ∈ D
3(x0 , y0 ):Œ
, K¡
•þ{fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )}•f 3:(x0 , y0 )
? FÝ, P•gradf (x0 , y0 ), =
O
C
O
C
O
O
C
!FÝ
国
中
‡©£e¤
国
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M
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中
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学
M
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国
大
学
M
C
O
O
(1) ef ≡ c (c•~ê), K gradf = 0;
国
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M
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大
C
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C
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M
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grad(αf + βg) = αgradf + βgradg;
中
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
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中
国
大
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M
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(1) ef ≡ c (c•~ê), K gradf = 0;
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(2) eα, β•~ê, K
grad(αf + βg) = αgradf + βgradg;
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(1) ef ≡ c (c•~ê), K gradf = 0;
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(3) grad(f · g) = f · gradg + g · gradf ;
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中
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(2) eα, β•~ê, K
grad(αf + βg) = αgradf + βgradg;
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M
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(1) ef ≡ c (c•~ê), K gradf = 0;
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(3) grad(f · g) = f · gradg + g · gradf ;
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大
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(1,−1,1)
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= 3,
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(1,−1,1)
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(1,−1,1)
= (y 2 + 2zx)
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(1,−1,1)
= (2yz + x2 )
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= −1,
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(1,−1,1)
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= (2xy + z 2 )
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= 3,
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(1,−1,1)
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= (y 2 + 2zx)
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(1,−1,1)
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∂x
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= −1.
(1,−1,1)
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(1,−1,1)
= (2yz + x2 )
O
= −1,
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国
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M
(1,−1,1)
C
= (2xy + z 2 )
O
= 3,
O
(1,−1,1)
O
C
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中
国
大
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M
= (y 2 + 2zx)
(1,−1,1)
O
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(1,−1,1)
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∂x
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中
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L(x, y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 )
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V = xyz. ¤±NÈ •ŒØ
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中
中
中
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国
O
M
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大
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M
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大
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M
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大
O
M
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大
C
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C
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C
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C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
Eܼꇩ{(þ)
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
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大
O
M
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大
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M
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大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
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M
C
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国
大
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M
˜!
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
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中
中
中
中
C
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O
中
国
大
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M
O
O
C
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M
O
O
C
O
中
国
大
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M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
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M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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x = ϕ(t), y = ψ(t)3:t? êÑ•3,
z = f (x, y)3ƒA:(x, y)Œ‡,
C
ê
O
˜!
国
中
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大
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M
O
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M
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M
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M
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M
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M
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国
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M
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O
C
中
国
大
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M
O
O
C
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x = ϕ(t), y = ψ(t)3:t? êÑ•3,
z = f (x, y)3ƒA:(x, y)Œ‡, KEܼ
êz = f (ϕ(t), ψ(t))3:t?Œ ,
C
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中
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国
中
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中
中
中
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国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
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中
国
大
学
M
O
M
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大
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
学
M
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
.
dt
∂x dt ∂y dt
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
½n1£
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x = ϕ(t), y = ψ(t)3:t? êÑ•3,
z = f (x, y)3ƒA:(x, y)Œ‡, KEܼ
êz = f (ϕ(t), ψ(t))3:t?Œ , …
C
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中
˜!
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
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国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
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M
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大
国
中
国
大
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中
O
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中
国
大
学
M
C
O
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学
M
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M
学
大
þª¡•
O
C
O
O
中
国
大
学
M
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
.
dt
∂x dt ∂y dt
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
½n1£
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x = ϕ(t), y = ψ(t)3:t? êÑ•3,
z = f (x, y)3ƒA:(x, y)Œ‡, KEܼ
êz = f (ϕ(t), ψ(t))3:t?Œ , …
C
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中
˜!
国
中
Eܼꇩ{(þ)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
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大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
y²µ
中
中
中
中
C
中
国
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M
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C
中
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M
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C
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M
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大
中
国
大
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M
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C
中
国
大
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M
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中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
∂f
∂f
=
(x0 , y0 )∆x +
(x0 , y0 )∆y
∂x
∂y
p
+α(∆x, ∆y) ∆x2 + ∆y 2 ,
O
C
C
y²µduf 3(x0 , y0 ):Œ‡, Ïd
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
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M
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
∂f
∂f
=
(x0 , y0 )∆x +
(x0 , y0 )∆y
∂x
∂y
p
+α(∆x, ∆y) ∆x2 + ∆y 2 ,
O
C
C
y²µduf 3(x0 , y0 ):Œ‡, Ïd
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
(∆x,∆y)→(0,0)
O
O
C
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lim
α(∆x, ∆y) = 0.
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
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M
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O
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
∂f
∂f
=
(x0 , y0 )∆x +
(x0 , y0 )∆y
∂x
∂y
p
+α(∆x, ∆y) ∆x2 + ∆y 2 ,
O
C
C
y²µduf 3(x0 , y0 ):Œ‡, Ïd
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
M
中
国
大
学
M
½Âα(0, 0) = 0,
@oþª (∆x, ∆y) = (0, 0)ž•¤á.
学
大
O
O
(∆x,∆y)→(0,0)
O
O
C
Ù¥α(∆x, ∆y)÷v
lim
α(∆x, ∆y) = 0.
国
中
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C
O
C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
O
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中
国
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M
C
O
O
C
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国
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M
∆y = ψ(t0 + ∆t) − ψ(t0 ),
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
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M
∆x = ϕ(t0 + ∆t) − ϕ(t0 ),
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
O
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中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
,
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
∆y = ψ(t0 + ∆t) − ψ(t0 ),
大
C
中
O
C
中
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
∆x = ϕ(t0 + ∆t) − ϕ(t0 ),
dux = ϕ(t), y = ψ(t)3t0 :Œ
国
中
Eܼꇩ{(þ)
O
O
C
国
大
学
M
O
O
C
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中
中
国
大
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M
O
M
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大
国
中
O
C
C
O
大
学
M
O
∆y
= ψ 0 (t0 )
∆t→0 ∆t
lim
O
∆x
= ϕ0 (t0 ),
∆t→0 ∆t
, ¤±¤
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
∆y = ψ(t0 + ∆t) − ψ(t0 ),
lim
C
中
O
C
中
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
∆x = ϕ(t0 + ∆t) − ϕ(t0 ),
dux = ϕ(t), y = ψ(t)3t0 :Œ
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国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
¤± dz (t0 )
dt
C
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
O
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
C
f (ϕ(t0 + ∆t), ψ(t0 + ∆t)) − f (ϕ(t0 ), ψ(t0 ))
∆t→0
∆t
lim
中
国
大
学
M
O
O
=
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
¤± dz (t0 )
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C
O
中
国
大
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M
O
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C
中
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M
C
O
中
国
大
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M
O
O
O
M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
∆t→0
∆t
lim
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
=
C
C
f (ϕ(t0 + ∆t), ψ(t0 + ∆t)) − f (ϕ(t0 ), ψ(t0 ))
∆t→0
∆t
lim
C
中
国
大
学
M
O
O
=
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
¤± dz (t0 )
dt
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
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M
O
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中
国
大
学
大
中
国
大
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M
O
O
C
(x0 , y0 )
C
h ∂f
M
O
中
国
大
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M
∆x ∂f
∆y i
+
(x0 , y0 )
∆t→0 ∂x
∆t
∂y
∆t
p
α(∆x, ∆y) ∆x2 + ∆y 2
+ lim
∆t→0
∆t
lim
M
O
O
O
O
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
∆t→0
∆t
lim
C
=
lim
中
国
大
学
M
=
C
f (ϕ(t0 + ∆t), ψ(t0 + ∆t)) − f (ϕ(t0 ), ψ(t0 ))
∆t→0
∆t
C
中
国
大
学
M
O
O
=
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
¤± dz (t0 )
dt
C
O
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
大
国
中
国
大
学
∂f
∂f
(x0 , y0 )ϕ0 (t0 ) +
(x0 , y0 )ψ 0 (t0 ).
∂x
∂y
学
M
O
O
C
(x0 , y0 )
C
h ∂f
O
C
O
中
国
大
学
M
∆x ∂f
∆y i
+
(x0 , y0 )
∆t→0 ∂x
∆t
∂y
∆t
p
α(∆x, ∆y) ∆x2 + ∆y 2
+ lim
∆t→0
∆t
lim
中
O
O
M
学
大
=
O
O
O
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
∆t→0
∆t
lim
C
=
lim
中
国
大
学
M
=
C
f (ϕ(t0 + ∆t), ψ(t0 + ∆t)) − f (ϕ(t0 ), ψ(t0 ))
∆t→0
∆t
C
中
国
大
学
M
O
O
=
国
中
Eܼꇩ{(þ)
国
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Œ‡5Ø
中
O
M
学
大
C
O
C
O
¼êf
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
½n¥,
ê•3.
中
国
中
国
中
5¿µ3
U~f•
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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M
O
O
C
中
O
C
中
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
0,
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0),
O
中
国
大
学
M
f (x, y) =
中
国
大
学
M
O
O
C
x2 y
x2 +y 2 ,
C
中
国
大
学
M
O
O
(
C
中
中
~1.
国
中
Eܼꇩ{(þ)
O
C
O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
-x = t, y = t,
K
Eܼê z = F (t) = f (t, t) = 2t ,
中
0,
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0),
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
f (x, y) =
O
x2 y
x2 +y 2 ,
O
C
中
国
大
学
M
O
O
(
C
中
中
~1.
国
中
Eܼꇩ{(þ)
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
C
中
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
-x = t, y = t,
K
Eܼê z = F (t) = f (t, t) = 2t ,
dz
1
= .
¤±
dt
2
C
0,
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0),
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
f (x, y) =
O
x2 y
x2 +y 2 ,
O
C
中
国
大
学
M
O
O
(
C
中
中
~1.
国
中
Eܼꇩ{(þ)
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
:
中
O
M
= 0.
学
t=0
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
dz
dt
大
C
O
C
O
Ï•fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0,
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
^óª{K,
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
= 0.
t=0
O
O
C
中
C
O
:
中
国
大
学
M
dz
dt
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
Ï•fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0,
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
^óª{K,
C
中
国
大
学
M
O
O
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中
国
大
学
M
O
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中
国
大
学
大
O
C
C
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国
中
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C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
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国
大
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M
C
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国
大
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M
C
O
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国
大
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M
C
O
O
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国
大
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M
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
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中
中
中
中
C
O
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学
M
O
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C
中
国
大
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M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
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国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y)3:(x, y)?
êÑ•3, z = f (u, v)3ƒA:(u, v)Œ
‡,
O
C
O
O
C
O
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C
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国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
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C
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C
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中
国
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大
国
中
国
中
O
C
M
O
O
C
O
O
M
ê,
大
学
M
大
学
3:(x, y)?•3
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
z = f (ϕ(x, y), ψ(x, y))
O
O
C
中
国
大
学
M
½n2£óª{K¤
u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y)3:(x, y)?
êÑ•3, z = f (u, v)3ƒA:(u, v)Œ
‡, KEܼê
O
C
O
O
C
O
O
O
O
C
!Eܼꇩ{
国
中
Eܼꇩ{(þ)
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O
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国
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M
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国
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学
M
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O
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中
国
大
学
M
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
,
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
中
国
中
国
中
国
中
…
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
O
O
C
中
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
,
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
…
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
.
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
国
中
Eܼꇩ{(þ)
O
O
C
中
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
,
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
…
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
y²†½n1 y²aq.
O
C
C
C
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
.
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
国
中
Eܼꇩ{(þ)
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
˜„õ
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
óª{KŒ±í2
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
¼ê œ/µ
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
z = f (y1 , y2 , · · · , ym ), (y1 , y2 , · · · , ym ) ∈ Df
´«•Df ⊂ Rm þ m ¼ê.
O
C
O
C
¼ê œ/µ
O
O
C
˜„õ
中
中
中
óª{KŒ±í2
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
z = f (y1 , y2 , · · · , ym ), (y1 , y2 , · · · , ym ) ∈ Df
´«•Df ⊂ Rm þ m ¼ê.
q
O
C
O
C
¼ê œ/µ
O
O
C
˜„õ
中
中
中
óª{KŒ±í2
O
O
M
国
大
学
M
中
中
国
大
学
M
学
中
国
大
学
M
•Dg ⊂ Rn þ n m‘•þŠ¼ê.
大
C
O
O
C
O
O
O
O
C
(x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ (y1 , y2 , · · · , ym )
C
g : Dg → Rm ,
国
中
Eܼꇩ{(þ)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
EEܼê
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
XJg(Dg ) ⊂ Df , @oŒ±
中
国
中
国
中
z = f ◦g
中
中
中
中
Eܼꇩ{(þ)
O
中
国
大
学
M
= f [y1 (x1 , x2 , · · · , xn ), y2 (x1 , x2 , · · · , xn ),
O
C
中
O
C
中
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
z = f ◦g
EEܼê
中
国
大
学
M
C
中
C
中
XJg(Dg ) ⊂ Df , @oŒ±
· · · , ym (x1 , x2 , · · · , xn )],
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Dg .
大
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
½n£óª{K¤
g3x0 ∈ Dg :Œ , =y1 , y2 , · · · , ym 3x0
:Œ
, …z = f (y)3y 0 = g(x0 ):Œ‡,
国
中
Eܼꇩ{(þ)
大
国
中
中
国
大
i = 1, 2, · · · , n.
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
½n£óª{K¤
g3x0 ∈ Dg :Œ , =y1 , y2 , · · · , ym 3x0
:Œ
, …z = f (y)3y 0 = g(x0 ):Œ‡,
K
∂z 0
(x )
∂xi
∂z 0 ∂y1 0
∂z 0 ∂y2 0
=
(y )
(x ) +
(y )
(x )
∂y1
∂xi
∂y2
∂xi
∂z 0 ∂ym 0
+··· +
(y )
(x );
∂ym
∂xi
国
中
Eܼꇩ{(þ)
O
O
C
中
O
O
C
中
X ∂z
∂z 0
∂yk 0
(x ) =
(y 0 )
(x ),
∂xi
∂yk
∂xi
中
国
大
学
M
m
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
=
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
i = 1, 2, · · · , n.
大
中
国
大
学
M
O
O
C
k=1
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
∂ym
∂xn
C
O
x=x0
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
···





O
∂ym
∂x2
..
.

中
国
大
学
M
O
∂y1
∂xn
∂y2
∂xn
C
∂ym
∂x1
..
.
···
···
...
中
国
大
学
M
..
.
∂y1
∂x2
∂y2
∂x2
大
中
国
大
学
M
O
O
C
=
∂y1
∂x1
∂y2
∂x1
C


∂z
∂z 
,
,··· ,
∂y1 ∂y2
∂yn y =y 0 

∂z
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
∂z ∂z
∂z ,
,··· ,
∂x1 ∂x2
∂xn x=x0

C
þªŒ±^Ý L«•
国
中
Eܼꇩ{(þ)
中
中
中
中
C
O
C
C
x=x0
O
中
国
大
学
M
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
国
O
∂ym
∂xn





中
国
大
学
M
···
O
0
中
O
∂ym
∂x2
..
.

O
∂ym
∂x1
大
O
O
M
∂y1
∂xn
∂y2
∂xn
(f ◦ g) (x0 ) = f 0 (y 0 )g 0 (x0 ).
大
学
..
.
···
···
...
êPÒL•
C
½^•þŠ¼ê
..
.
∂y1
∂x2
∂y2
∂x2
中
=
∂y1
∂x1
∂y2
∂x1
中
国
大
学
M


∂z
∂z 
,
,··· ,
∂y1 ∂y2
∂yn y =y 0 

∂z
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
∂z ∂z
∂z ,
,··· ,
∂x1 ∂x2
∂xn x=x0

C
þªŒ±^Ý L«•
国
中
Eܼꇩ{(þ)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
Eܼꇩ{£¥¤
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
2
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. z = ln(u2 + v), u = ex+y , v = x2 + y,
∂z ∂z
¦ , .
∂x ∂y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
2
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
C
)µ
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. z = ln(u2 + v), u = ex+y , v = x2 + y,
∂z ∂z
¦ , .
∂x ∂y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
2
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
2u
1
2
· ex+y + 2
· 2x
= 2
u +v
u +v
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
)µ
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. z = ln(u2 + v), u = ex+y , v = x2 + y,
∂z ∂z
¦ , .
∂x ∂y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
2
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
O
C
O
O
O
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
2u
1
2
· ex+y + 2
· 2x
= 2
u +v
u +v
2
2e2x+2y
2x
= 2x+2y2
+
2
e
+ x2 + y e2x+2y + x2 + y
M
O
中
国
大
学
M
)µ
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. z = ln(u2 + v), u = ex+y , v = x2 + y,
∂z ∂z
¦ , .
∂x ∂y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
2
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
2u
1
2
· ex+y + 2
· 2x
= 2
u +v
u +v
2
2e2x+2y
2x
= 2x+2y2
+
2
e
+ x2 + y e2x+2y + x2 + y
2
2(e2x+2y + x)
= 2x+2y2
;
e
+ x2 + y
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
)µ
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. z = ln(u2 + v), u = ex+y , v = x2 + y,
∂z ∂z
¦ , .
∂x ∂y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
1
2u
2
· 2yex+y + 2
·1
= 2
u +v
u +v
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
1
2u
2
· 2yex+y + 2
·1
= 2
u +v
u +v
2
4e2x+2y y
1
= 2x+2y2
+
2
e
+ x2 + y e2x+2y + x2 + y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
1
2u
2
· 2yex+y + 2
·1
= 2
u +v
u +v
2
4e2x+2y y
1
= 2x+2y2
+
2
e
+ x2 + y e2x+2y + x2 + y
2
4e2x+2y + 1
= 2x+2y2
.
e
+ x2 + y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
dz
dx
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
z = arctan(xy), y = ex , ¦
中
国
中
国
中
国
中
~3.
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
x=0
.
中
.
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
dx
∂x dx ∂y dx
O
C
x=0
O
中
国
大
学
M
O
O
O
dz
dx
C
C
z = arctan(xy), y = ex , ¦
)µdóª5K
中
国
大
学
M
中
中
中
~3.
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
.
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
dx
∂x dx ∂y dx
y
x
·
1
+
· ex
=
2
2
2
2
1+x y
1+x y
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
x=0
O
中
国
大
学
M
O
O
O
dz
dx
C
C
z = arctan(xy), y = ex , ¦
)µdóª5K
中
国
大
学
M
中
中
中
~3.
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
.
C
O
O
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
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C
O
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
dx
∂x dx ∂y dx
y
x
·
1
+
· ex
=
2
2
2
2
1+x y
1+x y
x
e (1 + x)
=
.
1 + x2 e2x
C
中
国
大
学
M
O
O
C
x=0
O
中
国
大
学
M
O
O
O
dz
dx
C
C
z = arctan(xy), y = ex , ¦
)µdóª5K
中
国
大
学
M
中
中
中
~3.
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
C
C
O
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M
学
中
国
大
国
中
大
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M
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中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
学
国
大
= 1.
x=0
中
dz
dx
M
O
O
C
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
dx
∂x dx ∂y dx
y
x
·
1
+
· ex
=
2
2
2
2
1+x y
1+x y
x
e (1 + x)
=
.
1 + x2 e2x
O
M
学
大
.
x=0
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
dz
dx
C
C
z = arctan(xy), y = ex , ¦
)µdóª5K
u´
中
中
中
~3.
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
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大
O
M
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大
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M
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大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
z = f (x, y, t), x = ϕ(t), y = ψ(t),
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~4.
dz
¦ .
dt
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
C
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C
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中
国
大
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M
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国
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M
C
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中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
dz
= f x ϕ t + f y ψt + f t .
dt
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
)µdóª5K
C
中
C
中
O
O
中
国
大
学
M
z = f (x, y, t), x = ϕ(t), y = ψ(t),
中
国
大
学
M
C
中
~4.
dz
¦ .
dt
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
国
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大
C
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C
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C
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C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~5. ®•u = u(x, y)•Œ‡¼ê,
∂u 2
2
¦( ∂u
∂x ) + ( ∂y ) 34‹Ie Lˆª.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
x = r cos θ, y = r sin θ.
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
‹I†4‹IkXe'Xµ
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
)µ†
C
中
中
中
中
~5. ®•u = u(x, y)•Œ‡¼ê,
∂u 2
2
¦( ∂u
∂x ) + ( ∂y ) 34‹Ie Lˆª.
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
x = r cos θ, y = r sin θ.
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
‹I†4‹IkXe'Xµ
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
)µ†
C
中
中
中
中
~5. ®•u = u(x, y)•Œ‡¼ê,
∂u 2
2
¦( ∂u
∂x ) + ( ∂y ) 34‹Ie Lˆª.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
=
+
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
C
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国
中
Eܼꇩ{£¥¤
x = r cos θ, y = r sin θ.
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
中
国
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学
M
‹I†4‹IkXe'Xµ
O
C
O
O
C
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C
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国
大
学
M
)µ†
C
中
中
中
中
~5. ®•u = u(x, y)•Œ‡¼ê,
∂u 2
2
¦( ∂u
∂x ) + ( ∂y ) 34‹Ie Lˆª.
òx, yw¤¥mCþ, Ò
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
=
cos θ +
sin θ,
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
∂x
∂y
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
x = r cos θ, y = r sin θ.
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
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国
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M
‹I†4‹IkXe'Xµ
O
C
O
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C
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C
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国
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M
)µ†
C
中
中
中
中
~5. ®•u = u(x, y)•Œ‡¼ê,
∂u 2
2
¦( ∂u
∂x ) + ( ∂y ) 34‹Ie Lˆª.
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
大
学
M
O
O
C
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
=
cos θ +
sin θ,
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
∂x
∂y
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
=
+
∂θ
∂x ∂θ ∂y ∂θ
C
òx, yw¤¥mCþ, Ò
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
x = r cos θ, y = r sin θ.
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
中
国
大
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M
‹I†4‹IkXe'Xµ
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
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国
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M
)µ†
C
中
中
中
中
~5. ®•u = u(x, y)•Œ‡¼ê,
∂u 2
2
¦( ∂u
∂x ) + ( ∂y ) 34‹Ie Lˆª.
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
大
学
M
O
O
C
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
=
cos θ +
sin θ,
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
∂x
∂y
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
= −r sin θ
+ r cos θ .
∂θ
∂x ∂θ ∂y ∂θ
∂x
∂y
C
òx, yw¤¥mCþ, Ò
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
O
M
学
大
C
O
C
O
O
中
国
大
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M
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国
C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
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M
C
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ª
中
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M
学
大
C
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²•\þ1
国
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M
学
大
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M
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中
国
大
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M
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
O
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C
中
中
国
O
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大
大
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M
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C
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国
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M
O
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C
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O
国
大
学
M
O
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M
学
大
中
国
∂r
1 ∂u 2
+ 2
.
r ∂θ
中
=
²•,
C
∂y
∂u 2
ª
C
+
∂u 2
C
∂x
中
国
大
学
M
∂u 2
²•\þ1
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
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C
中
中
国
大
学
M
ò1˜ª¦r
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
C
中
国
大
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M
O
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C
中
国
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M
O
O
C
O
C
O
O
M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
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国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
w = f (x2 + y 2 + z 2 , xyz),Ù¥f äk
∂w ∂ 2 w
ëY
ê, OŽ ,
.
∂x ∂z∂x
C
~6.
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
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中
中
中
C
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大
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M
O
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C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
)µòω = f (x2 + y 2 + z 2 , xyz)w¤Eܼ
ê
u = x2 + y 2 + z 2 ,
ω = f (u, v),
v = xyz.
O
C
O
O
O
O
O
O
C
w = f (x2 + y 2 + z 2 , xyz),Ù¥f äk
∂w ∂ 2 w
ëY
ê, OŽ ,
.
∂x ∂z∂x
C
~6.
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
C
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
O
O
国
大
学
M
∂u
= 2x,
∂x
中
学
M
O
O
w,
大
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
)µòω = f (x2 + y 2 + z 2 , xyz)w¤Eܼ
ê
u = x2 + y 2 + z 2 ,
ω = f (u, v),
v = xyz.
O
C
O
O
O
O
O
O
C
w = f (x2 + y 2 + z 2 , xyz),Ù¥f äk
∂w ∂ 2 w
ëY
ê, OŽ ,
.
∂x ∂z∂x
C
~6.
国
中
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中
中
中
C
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M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
O
O
国
大
学
M
∂u
∂v
= 2x,
= yz.
∂x
∂x
中
学
M
O
O
w,
大
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
)µòω = f (x2 + y 2 + z 2 , xyz)w¤Eܼ
ê
u = x2 + y 2 + z 2 ,
ω = f (u, v),
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C
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O
O
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∂w ∂ 2 w
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ê, OŽ ,
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国
中
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O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
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C
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C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∂ω ∂u ∂ω ∂v
∂ω
=
+
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
Eܼꇩ{£¥¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∂ω ∂u ∂ω ∂v
∂ω
∂ω
∂ω
=
+
= 2x
+ yz .
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u
∂v
中
国
O
M
学
大
O
M
学
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中
国
大
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M
dóª{K
中
国
中
国
中
中
中
中
中
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C
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国
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M
国
中
中
国
大
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M
O
O
C
O
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ω
∂ω
∂u Ú ∂v E´Eܼê,
C
∂ω ∂u ∂ω ∂v
∂ω
∂ω
∂ω
=
+
= 2x
+ yz .
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u
∂v
5¿
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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中
国
大
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M
中
中
中
dóª{K
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
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中
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大
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M
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M
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O
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M
学
大
中
国
大
学
M
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C
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∂u
∂v
= 2z,
= xy,
∂z
∂z
O
O
∂ω
∂ω
∂u Ú ∂v E´Eܼê,
中
国
大
学
M
∂ω ∂u ∂ω ∂v
∂ω
∂ω
∂ω
=
+
= 2x
+ yz .
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u
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C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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O
C
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中
国
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中
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dóª{K
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C
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M
C
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中
国
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M
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
∂ 2w
∂ ∂ω
∂ω =
+ yz
2x
∂z∂x
∂z
∂u
∂v
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
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2$^óª5KÒ
中
中
中
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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C
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大
中
国
大
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M
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C
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M
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国
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学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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国
大
学
M
O
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C
∂ 2w
∂ ∂ω
∂ω =
+ yz
2x
∂z∂x
∂z
∂u
∂v
∂ ∂ω ∂ω
∂ ∂ω = 2x
+y
+ yz
∂z ∂u
∂v
∂z ∂v
C
2$^óª5KÒ
国
中
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中
中
中
中
C
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国
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∂ ∂ω
∂ω =
+ yz
2x
∂z∂x
∂z
∂u
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∂ ∂ω ∂ω
∂ ∂ω = 2x
+y
+ yz
∂z ∂u
∂v
∂z ∂v
∂ 2w
2
∂ w
∂ω
= 2x 2z 2 + xy
+y
+
∂ u
∂v∂u
∂v
∂ 2w
∂ 2w yz 2z
+ xy 2
∂u∂v
∂ v
C
2$^óª5KÒ
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
中
中
中
C
O
中
国
大
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M
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C
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大
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M
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C
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M
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大
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国
大
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M
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中
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大
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M
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C
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国
大
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M
国
中
大
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M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ 2w
∂ ∂ω
∂ω =
+ yz
2x
∂z∂x
∂z
∂u
∂v
∂ ∂ω ∂ω
∂ ∂ω = 2x
+y
+ yz
∂z ∂u
∂v
∂z ∂v
∂ 2w
2
∂ w
∂ω
= 2x 2z 2 + xy
+y
+
∂ u
∂v∂u
∂v
∂ 2w
∂ 2w yz 2z
+ xy 2
∂u∂v
∂ v
2
∂ 2w
∂
w
= 4xz 2 + 2y(x2 + z 2 )
∂ u
∂u∂v
2
∂ w
∂w
+xy 2 z 2 + y
.
∂ v
∂v
C
2$^óª5KÒ
国
中
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O
O
C
中
大
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M
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∂f (u, v)
∂f (u, v)
f1 =
, f2 =
,
∂u
∂v
∂ 2 f (u, v)
∂ 2 f (u, v)
f12 =
, f21 =
∂v∂u
∂u∂v
Xd
,
国
中
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O
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C
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大
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M
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M
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e^¼êÎÒ\eIiL«éÙ1i‡Cþ
ê, =
∂f (u, v)
∂f (u, v)
f1 =
, f2 =
,
∂u
∂v
∂ 2 f (u, v)
∂ 2 f (u, v)
f12 =
, f21 =
∂v∂u
∂u∂v
Xd
, Kþ¡ (JŒL«•
∂ω
= 2xf1 + yzf2 ,
∂x
国
中
Eܼꇩ{£¥¤
中
国
大
学
M
O
O
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中
国
大
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C
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C
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中
中
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∂f (u, v)
∂f (u, v)
f1 =
, f2 =
,
∂u
∂v
∂ 2 f (u, v)
∂ 2 f (u, v)
f12 =
, f21 =
∂v∂u
∂u∂v
Xd
, Kþ¡ (JŒL«•
∂ω
= 2xf1 + yzf2 ,
∂x
∂ 2w
= 4xzf11 + 2y(x2 + z 2 )f12 + xy 2 zf22 + yf2 .
∂z∂x
中
国
大
学
M
国
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C
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~7. ¦¼ê p
ê.
z = f (x − y, xy 2 ), f k
∂z ∂ 2 z ∂ 2 z
¦ , 2,
.
∂x ∂x ∂y∂x
国
中
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O
C
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M
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= f1 + y 2 f2
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C
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中
中
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z = f (x − y, xy 2 ), f k
∂z ∂ 2 z ∂ 2 z
¦ , 2,
.
∂x ∂x ∂y∂x
国
中
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C
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M
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M
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M
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= f11 + 2y 2 f12 + y 4 f22
2
∂x
O
C
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M
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M
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= f1 + y 2 f2
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中
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¦ , 2,
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∂x ∂x ∂y∂x
国
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M
C
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= −f11 +(2xy−y 2 )f12 +2xy 3 f22 +2yf2
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M
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C
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∂ 2z
= f11 + 2y 2 f12 + y 4 f22
2
∂x
O
O
∂z
= f1 + y 2 f2
∂x
学
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)µ
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中
中
~7. ¦¼ê p
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z = f (x − y, xy 2 ), f k
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.
∂x ∂x ∂y∂x
国
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C
ò•§C†•u'uξ, η
C
C
C
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η = x + at,
O
ξ = x − at,
中
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国
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国
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2
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C
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M
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国
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M
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∂u
∂u
= −a
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∂ξ
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O
O
O
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,k
∂u ∂u ∂u
=
+
,
∂x
∂ξ ∂η
中
国
大
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M
ò•§C†•u'uξ, η
)µ‰CþC†±
C
C
O
η = x + at,
O
ξ = x − at,
中
国
大
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M
中
国
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M
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~8. 镧 ∂∂tu2 = a2 ∂∂xu2 ŠgCþ C†
国
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2
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C
O
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M
, ¤±
学
M
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O
C
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∂u
∂u
= −a
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∂t
∂ξ
∂η
Ï•ÅÄ•§ )ukëY
·Ü
ƒ .
学
大
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,k
∂u ∂u ∂u
=
+
,
∂x
∂ξ ∂η
中
国
大
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M
ò•§C†•u'uξ, η
)µ‰CþC†±
C
C
O
η = x + at,
O
ξ = x − at,
中
国
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M
中
国
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M
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C
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国
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M
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国
大
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M
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
= 2 +2
+
.
∂x2
∂ξ
∂ξ∂η ∂η 2
中
国
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国
中
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中
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中
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国
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M
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2
2
2
∂ 2u
2∂ u
2 ∂ u
2∂ u
=a
− 2a
+a
.
∂t2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2
O
C
C
O
O
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
= 2 +2
+
.
∂x2
∂ξ
∂ξ∂η ∂η 2
中
国
大
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M
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M
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2∂ u
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− 2a
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.
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O
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= 2 +2
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中
国
大
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M
中
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M
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C
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O
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= 0.
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dz = zx dx + zy dy.
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x, y•gCþž,
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M
O
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M
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国
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M
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M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
y = y(u, v),
C
x = x(u, v),
O
C
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O
C
dz = zx dx + zy dy.
O
x, y•gCþž,
中
国
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M
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国
大
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中
M
中
国
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M
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dx = xu du + xv dv,
y = y(u, v),
C
x = x(u, v),
O
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dz = zx dx + zy dy.
学
大
x, y•gCþž,
中
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M
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国
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dz = zu du + zv dv
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M
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¦ ,
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M
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中
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z = ln(x + y), ¦dk z.
中
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中
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国
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M
中
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M
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Ïddk u = 0, k ≥ 2. u´
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1
1
d2 z = d( ) = d( )du + d2 u
u
u
u
中
国
大
学
M
Ïddk u = 0, k ≥ 2. u´
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中
国
大
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M
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中
国
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M
O
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C
O
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u
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中
国
大
学
M
Ïddk u = 0, k ≥ 2. u´
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国
大
学
M
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国
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M
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u
u
u
2
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u
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中
国
大
学
M
Ïddk u = 0, k ≥ 2. u´
O
中
国
大
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M
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国
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M
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u
中
国
中
国
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3
中
中
中
中
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M
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国
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1
1
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d z = d(− 2 ) = d(− 2 )du2 − 2 d(du2 )
u
u
u
中
国
中
国
中
国
中
3
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中
中
中
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1
1
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u
u
3
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国
中
国
中
国
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中
中
中
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中
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1
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u
u
u
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中
中
1
1
du2
d z = d(− 2 ) = d(− 2 )du2 − 2 d(du2 )
u
u
u
3
3
2 ! du
2 ! (dx + dy)
.
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国
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国
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国
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国
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国
大
学
M
O
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C
O
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中
国
大
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M
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中
国
大
学
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中
中
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éuõ ¼êz = f (y),
Ù¥y = (y1 , y2 , · · · , ym )T .
˜
‡©/ª•
dz = f 0 (y)dy.
国
中
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C
中
C
中
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中
国
大
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M
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M
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中
国
大
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M
O
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dy = g 0 (x)dx.
O
C
中
国
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M
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M
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éuõ ¼êz = f (y),
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dy = g 0 (x)dx. dóª{K
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d z = 2 dx + 2
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x = ϕ(s, t), y = ψ(s, t),
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国
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中
国
中
国
中
国
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中
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D, E, ¿(½lD E Û¼ê.
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国
中
国
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中
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国
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M
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国
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中
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中
∀x ∈ D, y ∈ E.
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, KŠâEܼê
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Û¼ê, P•y = y(x), §÷v
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Fx (x0 , y0 ) + Fy (x0 , y0 )y 0 (x0 ) = 0,
国
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M
½n1£Û¼ê½n¤
F (x, y)÷v:
(1) 3:(x0 , y0 ) ,
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中
国
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国
中
中
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F (x, y)÷v:
(1) 3:(x0 , y0 ) ,
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(2) F (x0 , y0 ) = 0;
国
中
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F (x, y)÷v:
(1) 3:(x0 , y0 ) ,
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(2) F (x0 , y0 ) = 0;
(3) Fy (x0 , y0 ) 6= 0,
国
中
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国
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F (x, y)÷v:
(1) 3:(x0 , y0 ) , •SkëY
ê;
(2) F (x0 , y0 ) = 0;
(3) Fy (x0 , y0 ) 6= 0,
K•3x0
•N (x0 , δ)±9dF (x, y) = 0
3N (x0 , δ)þ•˜(½ ¼êy = y(x),
国
中
ۼꇩ{£þ¤
国
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M
学
大
O
M
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M
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(1) F (x, y(x)) = 0, x ∈ N (x0 , δ);
y0 = y(x0 ).
中
国
中
国
中
国
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中
中
ۼꇩ{£þ¤
C
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M
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C
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C
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C
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(1) F (x, y(x)) = 0, x ∈ N (x0 , δ);
y0 = y(x0 ).
(2) y(x)3N (x0 , δ)þäkëY ê, …
国
中
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中
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国
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M
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y 0 (x) = −
C
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C
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C
中
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(1) F (x, y(x)) = 0, x ∈ N (x0 , δ);
y0 = y(x0 ).
(2) y(x)3N (x0 , δ)þäkëY ê, …
国
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国
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国
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国
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国
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(½Û¼êy = x, Fy (0, 0) = 0.
国
中
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国
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国
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中
国
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国
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M
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~XF (x, y) = x3 − y 3 = 03(0, 0):NCŒ
(½Û¼êy = x, Fy (0, 0) = 0.
国
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F (x, y) = 0|^EÜ¼ê¦ {K
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(2) Aۿµe1w-¡z = F (x, y)
†z = 0 u˜:(x0 , y0 ), KÙ†z = 0
˜^1w-‚.
O
C
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国
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M
O
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中
国
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M
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M
C
中
中
中
中
5µ (1) ½n¥ ^‡(3)´¿© Ø7‡
.
~XF (x, y) = x3 − y 3 = 03(0, 0):NCŒ
(½Û¼êy = x, Fy (0, 0) = 0.
国
中
ۼꇩ{£þ¤
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国
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M
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中
(4) ½n¥(½ £Ûܤۼêy = y(x)
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XdKepler•§(y = x + ε sin y, 0 < ε < 1)
(½ ¼ê.
国
中
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国
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M
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‡, KÛ¼êy = y(x)•´k ëYŒ‡. ù
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国
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(4) ½n¥(½ £Ûܤۼêy = y(x)
ؘ½kwªL«,
XdKepler•§(y = x + ε sin y, 0 < ε < 1)
(½ ¼ê.
国
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(5) 3½n¥, XJF (x, y)3Ωþk ëYŒ
‡, KÛ¼êy = y(x)•´k ëYŒ‡. ù
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•‡lúªy 0 (x) = −
á=Œ .
Fy
(6) eFx (x0 , y0 ) 6= 0, KÓ
Û¼êx = x(y).
C
中
中
中
中
(4) ½n¥(½ £Ûܤۼêy = y(x)
ؘ½kwªL«,
XdKepler•§(y = x + ε sin y, 0 < ε < 1)
(½ ¼ê.
国
中
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F (x1 , . . . , xn , y)÷v:
(1) 3:(x01 , . . . , x0n , y0 ) , •SkëY
ê;
(2) F (x01 , . . . , x0n , y0 ) = 0;
(3) Fy (x01 , . . . , x0n , y0 ) 6= 0,
国
中
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大
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M
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中
中
½n2£õ Û¼ê½n¤
F (x1 , . . . , xn , y)÷v:
(1) 3:(x01 , . . . , x0n , y0 ) , •SkëY
ê;
(2) F (x01 , . . . , x0n , y0 ) = 0;
(3) Fy (x01 , . . . , x0n , y0 ) 6= 0,
•N ((x01 , . . . , x0n ), δ)
K•3(x01 , . . . , x0n )
±9dF (x1 , . . . , xn , y) = 0
3N ((x01 , . . . , x0n ), δ) þ•˜(½ ¼ê
y = y(x1 , . . . , xn ),
中
国
大
学
M
国
中
ۼꇩ{£þ¤
O
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
国
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中
国
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国
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国
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M
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国
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(1) F (x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn )) = 0,
x ∈ N ((x01 , . . . , x0n ), δ); y0 = y(x01 , . . . , x0n ).
中
国
大
学
M
C
中
C
O
O
C
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中
中
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国
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国
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M
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国
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国
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M
O
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= − i.
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Fy
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M
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(2) y(x1 , . . . , xn )3N ((x01 , . . . , x0n ), δ)þä
këY
ê, …
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
(1) F (x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn )) = 0,
x ∈ N ((x01 , . . . , x0n ), δ); y0 = y(x01 , . . . , x0n ).
中
国
大
学
M
C
中
C
O
O
C
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O
C
O
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中
中
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国
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O
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国
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M
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国
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M
O
O
C
Fx
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= − i.
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(2) y(x1 , . . . , xn )3N ((x01 , . . . , x0n ), δ)þä
këY
ê, …
中
国
大
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M
中
国
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学
M
中
国
大
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M
中
国
大
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M
(1) F (x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn )) = 0,
x ∈ N ((x01 , . . . , x0n ), δ); y0 = y(x01 , . . . , x0n ).
y²Ñ.
C
中
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
中
中
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国
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国
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C
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C
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国
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M
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国
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~1. 3þŒý¥¡
x2 y 2 z 2
+
+
= 1(z > 0)þ,
a2 b2 c2
∂z ∂z
¦ Ú .
∂x ∂y
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国
中
国
中
国
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中
中
中
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国
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国
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国
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M
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M
学
大
中
国
大
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M
O
O
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F (x, y, z) = 2 + 2 + 2 − 1,
a
b
c
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
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国
大
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M
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C
中
中
中
中
~1. 3þŒý¥¡
x2 y 2 z 2
+
+
= 1(z > 0)þ,
a2 b2 c2
∂z ∂z
¦ Ú .
∂x ∂y
国
中
ۼꇩ{£þ¤
C
O
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国
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国
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国
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M
O
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F (x, y, z) = 2 + 2 + 2 − 1,
a
b
c
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c
Û¼êz = f (x, y)•3.
学
大
O
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国
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国
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C
中
中
中
中
~1. 3þŒý¥¡
x2 y 2 z 2
+
+
= 1(z > 0)þ,
a2 b2 c2
∂z ∂z
¦ Ú .
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国
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大
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C
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国
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b2
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c2 x
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=− 2 ,
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国
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a2
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O
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国
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M
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x3 + y 3 − 3axy = 0
O
C
C
(Descartes)“/‚
中
国
大
学
M
C
O
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国
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中
中
中
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国
中
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0
ê.
C
中
国
大
学
M
Û¼êy = f (x) ˜ †
O
O
O
中
国
大
学
M
O
O
x3 + y 3 − 3axy = 0
O
C
C
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中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
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M
¤(½
中
中
中
~2. ?Ø(k
0
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M
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M
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M
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中
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大
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M
O
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国
中
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0
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M
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Û¼êy = f (x) ˜ †
O
C
C
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x3 + y 3 − 3axy = 0
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0
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中
国
大
学
大
国
中
国
大
学
6x + 6y(y )2 + 3y 2 y − 3a(2y + xy ) = 0,
中
大
学
M
O
O
3d•§ü>2éx¦ ,
O
C
C
C
3x2 + 3y 2 y − 3a(y + xy ) = 0.
国
中
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M
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大
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M
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M
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大
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M
C
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中
国
大
学
M
ay − x2
,
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国
O
M
学
大
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M
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大
中
国
大
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M
0
中
国
中
国
中
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中
中
中
中
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M
学
大
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M
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C
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C
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00
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国
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M
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M
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大
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M
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.
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,
y = 2
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国
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C
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C
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M
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M
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M
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M
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中
中
中
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国
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国
中
国
中
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M
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M
C
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国
大
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M
C
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国
大
学
M
•§x2 + y 2 + z 2 = 4z(½z•x, y
∂ 2z
∂ 2z
Û¼ê, ¦ 2 Ú
.
∂x
∂x∂y
中
国
中
国
中
国
中
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中
中
中
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~3.
中
中
中
中
C
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中
国
大
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M
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M
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M
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∂z
=4 ,
∂x
∂x
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,
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M
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•§x2 + y 2 + z 2 = 4z(½z•x, y
∂ 2z
∂ 2z
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.
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M
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.
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国
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M
)µ3•§x2 + y 2 + z 2 = 4zü>éx¦
,
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M
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M
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∂ 2z
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∂ 2z
∂ 2z
2 + 2( ) + 2z 2 = 4 2 ,
∂x
∂x
∂x
中
国
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M
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大
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中
国
大
学
M
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国
中
国
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O
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1 + ( ∂x
)
(2 − z)2 + x2
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=
=
.
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2−z
(2 − z)3
中
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中
国
大
学
M
中
国
大
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M
中
国
大
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M
∂z 2
∂ 2z
∂ 2z
2 + 2( ) + 2z 2 = 4 2 ,
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∂x
∂x
中
国
大
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M
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中
C
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中
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国
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大
中
国
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M
∂z
∂z
=4 ,
∂y
∂y
中
国
中
国
中
2y + 2z
中
中
中
中
ۼꇩ{£e¤
3•§x2 + y 2 + z 2 = 4zü>éy¦
中
中
中
中
C
O
C
O
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M
学
大
国
中
国
大
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M
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M
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M
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大
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国
大
学
M
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=
.
∂y
2−z
(2)
中
u´
∂z
∂z
=4 ,
∂y
∂y
O
2y + 2z
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
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国
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中
中
中
C
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中
国
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M
O
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C
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C
O
∂z
y
=
.
∂y
2−z
(2)
中
国
大
学
M
u´
∂z
∂z
=4 ,
∂y
∂y
O
2y + 2z
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
3•§x2 + y 2 + z 2 = 4zü>éy¦
C
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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M
O
O
C
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中
国
大
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M
O
∂z ∂z
∂ 2z
∂ 2z
2
+ 2z
=4
,
∂x ∂y
∂x∂y
∂x∂y
大
学
M
O
O
C
2é(2)ü>'ux¦
国
中
ۼꇩ{£e¤
国
O
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大
C
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C
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C
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C
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C
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国
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M
C
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中
国
大
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M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∂ 2z
xy
∂x ∂y
=
=
.
∂x∂y
2−z
(2 − z)3
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
∂z ∂z
中
国
中
国
中
u´
中
中
中
中
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国
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C
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C
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C
O
C
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中
国
大
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M
C
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O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
•§F (xz, yz) = 0(½z•x, y ¼
∂ 2z
ê, Ù¥F äk
ëY
ê, ¦ 2 .
∂x
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
ۼꇩ{£e¤
~4.
中
中
中
中
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
(3)
C
∂z
∂z
)F1 + y F2 = 0,
∂x
∂x
C
(z + x
,
中
国
大
学
M
)µ3•§F (xz, yz) = 0ü>éx¦
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
•§F (xz, yz) = 0(½z•x, y ¼
∂ 2z
ê, Ù¥F äk
ëY
ê, ¦ 2 .
∂x
C
~4.
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
C
O
C
中
国
大
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M
O
O
国
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M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
∂z
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=−
.
∂x
xF1 + yF2
大
学
M
O
O
C
u´
(3)
C
∂z
∂z
)F1 + y F2 = 0,
∂x
∂x
中
(z + x
,
中
国
大
学
M
)µ3•§F (xz, yz) = 0ü>éx¦
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
•§F (xz, yz) = 0(½z•x, y ¼
∂ 2z
ê, Ù¥F äk
ëY
ê, ¦ 2 .
∂x
C
~4.
国
中
ۼꇩ{£e¤
O
O
C
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
大
学
∂z 2
) F22 = 0,
∂x
学
C
C
∂z ∂z
∂ 2z
+ 2(z + x )y F12 + y 2 F2
∂x ∂x
∂x
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
∂ 2z
∂z
∂z
+ x 2 )F1 + (z + x )2 F11
(2
∂x
∂x
∂x
+ (y
C
中
C
O
O
O
C
,
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
2é(3)ü>'ux¦
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ 2z
1
∂z
∂z
= −
· 2 F1 + (z + x )2 F11
2
∂x
xF1 + yF2
∂x
∂x
∂z ∂z
∂z 2
+2(z + x )y F12 + (y ) F22 .
∂x ∂x
∂x
C
u´
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
zF1
∂z
=−
“\þª,
∂x
xF1 + yF2
C
ò
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ 2z
1
∂z
∂z
= −
· 2 F1 + (z + x )2 F11
2
∂x
xF1 + yF2
∂x
∂x
∂z ∂z
∂z 2
+2(z + x )y F12 + (y ) F22 .
∂x ∂x
∂x
C
u´
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
M
中
国
大
学
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
−y 2 z 2 (F22 F11 − 2F1 F2 F12 + F12 F22 )].
大
学
M
O
O
C
1
∂ 2z
=
· [2zF12 (xF1 + yF2 )
2
∂x
(xF1 + yF2 )3
中
国
大
学
M
zF1
∂z
=−
“\þª, u´
∂x
xF1 + yF2
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ò
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ 2z
1
∂z
∂z
= −
· 2 F1 + (z + x )2 F11
2
∂x
xF1 + yF2
∂x
∂x
∂z ∂z
∂z 2
+2(z + x )y F12 + (y ) F22 .
∂x ∂x
∂x
C
u´
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
~5.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
z = z(x, y)d•§f (x − 2z, 3y + z) =
∂ 2z
0(½, Ù¥f
ëYŒ‡, ¦ 2 .
∂x
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
~5.
C
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
)µ3•§f (x − 2z, 3y + z) = 0ü>éx¦
,
f1 (1 − 2zx ) + f2 zx = 0,
O
C
O
O
C
O
O
O
O
C
z = z(x, y)d•§f (x − 2z, 3y + z) =
∂ 2z
0(½, Ù¥f
ëYŒ‡, ¦ 2 .
∂x
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
~5.
C
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
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国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
)µ3•§f (x − 2z, 3y + z) = 0ü>éx¦
,
f1 (1 − 2zx ) + f2 zx = 0,
f1
u´zx =
.
2f1 − f2
O
C
O
O
C
O
O
O
O
C
z = z(x, y)d•§f (x − 2z, 3y + z) =
∂ 2z
0(½, Ù¥f
ëYŒ‡, ¦ 2 .
∂x
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
~5.
C
O
学
中
国
大
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
M
O
O
C
中
国
大
学
M
M
O
O
C
中
国
大
学
M
∂ 2z
∂ 2z
2
f
+(1−2z
)
f
+2(1−2z
)z
f
+f
+f22 zx2 = 0,
1
x
11
x x 12
2
∂x2
∂x2
国
−2
中
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
)µ3•§f (x − 2z, 3y + z) = 0ü>éx¦
,
f1 (1 − 2zx ) + f2 zx = 0,
f1
u´zx =
. þªü>2éx¦
2f1 − f2
O
C
O
O
C
O
O
O
O
C
z = z(x, y)d•§f (x − 2z, 3y + z) =
∂ 2z
0(½, Ù¥f
ëYŒ‡, ¦ 2 .
∂x
国
中
ۼꇩ{£e¤
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
f12 f22 + f22 f11 − 2f1 f2 f12
∂ 2z
=
.
∂x2
(2f1 − f2 )3
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
C
中
f1
“\þª
2f1 − f2
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
òzx =
国
中
ۼꇩ{£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
Û¼ê
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
n!•§|¤(½
中
国
中
国
中
中
中
中
中
ۼꇩ{£e¤
O
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
½n3£õ •þŠÛ¼ê•3½n¤
Fi (x1 , · · · , xn , y1 , · · · , ym )(i = 1, · · · , m)
÷vµ
0
(1) 3:P0 (x01 , · · · , x0n , y10 , · · · , ym
) ,
•Sé¤kgCþkëY ˜
ê;
(2) Fi (P0 ) = 0 (i = 1, · · · , m);
中
国
大
学
M
C
中
C
O
O
C
O
O
C
Û¼ê
O
O
中
中
中
n!•§|¤(½
国
中
ۼꇩ{£e¤
O
O
O
O
M
学
国
大
学
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
C
∂Fm
∂ym
···
大
中
国
大
学
M
u",
C
中
..
.
中
∂Fm
∂y2
..
.
C
∂Fm
∂y1
..
.
∂F1
∂ym
∂F2
∂ym
···
···
中
国
大
学
M
O
O
C
中
∂F1
∂y2
∂F2
∂y2
中
国
大
学
M
∂F1
∂y1
∂F2
∂y1
M
O
C
∂(F1 , · · · , Fm )
=
∂(y1 , · · · , ym )
3:P0 ?Ø
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
J=
ª
O
C
中
O
C
中
(3) Jacobi1
国
中
ۼꇩ{£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
K (1) 3P0 , •N S, •3•˜ ˜
|¼ê
yi = yi (x1 , · · · , xn )
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
ۼꇩ{£e¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
K (1) 3P0 , •N S, •3•˜ ˜
|¼ê
yi = yi (x1 , · · · , xn )(i = 1, · · · , m)
国
中
ۼꇩ{£e¤
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
C
中
K (1) 3P0 , •N S, •3•˜ ˜
|¼ê
yi = yi (x1 , · · · , xn )(i = 1, · · · , m)
÷v
Fi (x1 , · · · , xn , y1 (x1 , · · · , xn ), · · · ,
ym (x1 , · · · , xn )) = 0, x ∈ N,
国
中
ۼꇩ{£e¤
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
C
中
K (1) 3P0 , •N S, •3•˜ ˜
|¼ê
yi = yi (x1 , · · · , xn )(i = 1, · · · , m)
÷v
Fi (x1 , · · · , xn , y1 (x1 , · · · , xn ), · · · ,
ym (x1 , · · · , xn )) = 0, x ∈ N,
…yi0 = yi (x01 , · · · , x0n ).
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
(2) yi (x1 , · · · , xn ) (i = 1, · · · , m) 3N S
ëY, •3ëY
ê,
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
(2) yi (x1 , · · · , xn ) (i = 1, · · · , m) 3N S
ëY, •3ëY
ê,
∂yi
…
Œ±l•§|
∂xk
C
O
O
M
中
国
大
学
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
C
O
O
大
学
M
) .
C
m
∂Fi X ∂Fi ∂yj
+
= 0 (i = 1, 2, · · · , m)
∂xk j=1 ∂yj ∂xk
国
中
ۼꇩ{£e¤
∂Fm
∂x1
∂Fm
∂x2
···
O


.. 
.
. 
M
M
国
大
学
∂Fm
∂xn
中
学
C

O
..
.
∂F1
∂xn
∂F2
∂xn
C
···
···
C
∂F1
∂x2
∂F2
∂x2
O
∂F1
∂x1
∂F2
∂x1


·
 ..
 .
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C

∂Fm
∂ym
O
···
.. 
. 
O
∂Fm
∂y2
大
∂ym
∂xn
..
.
中
国
大
学
M
∂Fm
∂y1


 .
=
−
.. 
 .
. 
 .
−1
∂F1
∂ym
∂F2 

∂ym 
O
C
···
···
O
∂F1
∂y2
∂F2
∂y2
中
国
大
学
M
···
∂F1
∂y1
∂F2
∂y1
国
∂ym
∂x2
..
.

中
∂ym
∂x1
 ..
 .

∂y1
∂xn
∂y2 

∂xn 
O
C
···
···
中
国
大
学
M
∂y1
∂x2
∂y2
∂x2
中
国
大
学
M
∂y1
∂x1
 ∂y2
 ∂x1

O
O
C
O
O

C
中
中
中
中
ê^Ý Œ±L«•
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
dy dz
,
.
dx dx
C
¤(½, ¦
C
y = y(x), z = z(x)´d•§|
2
x + y 2 − z = 0,
x2 + 2y 2 + 3z 2 = 20,
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
~6.
国
中
ۼꇩ{£e¤
O
O
C
中
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
§
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
dy dz
,
.
dx dx
)µ3•§ü>éx¦
¤(½, ¦
中
国
大
学
M
O
O
C
y = y(x), z = z(x)´d•§|
2
x + y 2 − z = 0,
x2 + 2y 2 + 3z 2 = 20,
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
~6.
国
中
ۼꇩ{£e¤
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
O
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
学
M
O
O
C
dy dz
,
.
dx dx
)µ3•§ü>éx¦
§


 2x + 2y dy − dz = 0,
dx dx
dy
dz

 2x + 4y + 6z
= 0,
dx
dx
¤(½, ¦
大
中
国
大
学
M
O
O
C
y = y(x), z = z(x)´d•§|
2
x + y 2 − z = 0,
x2 + 2y 2 + 3z 2 = 20,
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
~6.
国
中
ۼꇩ{£e¤
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
dy
x(6z + 1)
=−
,
dx
6yz + 2y
中
国
中
国
中
¤±
中
中
中
中
ۼꇩ{£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
dz
x
=
.
dx 3z + 1
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
dy
x(6z + 1)
=−
,
dx
6yz + 2y
中
国
中
国
中
¤±
中
中
中
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
u = u(x, y), v = v(x, y)´d
∂u ∂v
xu − yv = 0,
¤(½, ¦ ,
•§|
.
yu + xv = 0,
∂x ∂x
C
~7.
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
C
O
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
学
M
O
O
C
,
大
中
国
大
学
M
O
O
C
)µ3•§ü>éx¦
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
u = u(x, y), v = v(x, y)´d
∂u ∂v
xu − yv = 0,
¤(½, ¦ ,
•§|
.
yu + xv = 0,
∂x ∂x
C
~7.
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
)µ3•§ü>éx¦
,

∂u
∂v

 u+x
−y
= 0,
∂x
∂x
∂u
∂v

y
+v+x
= 0,
∂x
∂x
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
u = u(x, y), v = v(x, y)´d
∂u ∂v
xu − yv = 0,
¤(½, ¦ ,
•§|
.
yu + xv = 0,
∂x ∂x
C
~7.
国
中
ۼꇩ{£e¤
中
中
中
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
∂v
yu − xv
=− 2
.
∂x
x + y2
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
O
M
学
大
国
中
大
学
M
O
∂u
xu + yv
=− 2
,
∂x
x + y2
O
O
C
)µ3•§ü>éx¦
,

∂u
∂v

 u+x
−y
= 0,
∂x
∂x
∂u
∂v

y
+v+x
= 0,
∂x
∂x
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
u = u(x, y), v = v(x, y)´d
∂u ∂v
xu − yv = 0,
¤(½, ¦ ,
•§|
.
yu + xv = 0,
∂x ∂x
C
~7.
国
中
ۼꇩ{£e¤
O
M
C
O
•þŠÛ¼ê‡©{
学
3. õ
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
ۼꇩ{
中
国
大
学
M
C
O
O
2. õ
大
C
O
C
O
C
O
ۼꇩ{
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
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学
大
中
国
大
学
M
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1. ˜
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
ۼꇩ{£e¤
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
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中
中
中
•• ê
国
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O
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国
O
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中
国
大
学
M
••
中
国
中
国
中
中
中
中
中
•• ê
国
O
M
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大
O
M
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大
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学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
Cz
C
O
O
中
国
大
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M
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O
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国
大
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M
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O
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中
国
大
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M
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O
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国
大
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M
ê´‡N¼ê÷,‹I¶••
œ¹¶
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
•• ê
O
M
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C
O
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C
O
O
C
O
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国
大
学
M
Cz
大
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
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M
C
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C
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中
国
大
学
M
ü:
中
中
中
-‚þéAut = t0 9t = t0 + ∆t
•M0 (x0 , y0 , z0 ) 9
M (x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z),
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
C
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
国
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ü:
中
中
中
-‚þéAut = t0 9t = t0 + ∆t
•M0 (x0 , y0 , z0 ) 9
M (x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z),
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
½Â1
:M ÷-‚ªC
uM0 ž, •‚M0 M 4•
˜M0 T ¡•-‚3
:M0 ƒ‚.
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ü:
中
中
中
-‚þéAut = t0 9t = t0 + ∆t
•M0 (x0 , y0 , z0 ) 9
M (x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z),
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
∆x ∆y ∆z
•••þ•
,
,
.
∆t ∆t ∆t
中
国
中
国
中
国
中
•‚M0 M
‡©{ AÛA^£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
T = {x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 )}.
大
C
中
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
•••þ£ƒ•þ¤•
O
O
C
O
O
C
∆x ∆y ∆z
•••þ•
,
,
.
∆t ∆t ∆t
-∆t → 0,
ƒ‚M0 T
中
国
大
学
M
中
中
中
•‚M0 M
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
x − x(t0 ) y − y(t0 ) z − z(t0 )
=
=
;
x0 (t0 )
y 0 (t0 )
z 0 (t0 )
O
•§•
C
T = {x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 )}.
ƒ‚M M0
C
中
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
•••þ£ƒ•þ¤•
O
O
C
O
O
C
∆x ∆y ∆z
•••þ•
,
,
.
∆t ∆t ∆t
-∆t → 0,
ƒ‚M0 T
中
国
大
学
M
中
中
中
•‚M0 M
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
M
学
中
国
大
学
••
大
国
中
国
中
O
C
O
O
M
•þÑŒ•ƒ‚
大
学
5µ†T ¤'~
•þ.
学
M
O
O
C
x − x(t0 ) y − y(t0 ) z − z(t0 )
=
=
;
x0 (t0 )
y 0 (t0 )
z 0 (t0 )
O
•§•
C
T = {x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 )}.
ƒ‚M M0
大
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
•••þ£ƒ•þ¤•
O
O
C
O
O
C
∆x ∆y ∆z
•••þ•
,
,
.
∆t ∆t ∆t
-∆t → 0,
ƒ‚M0 T
中
国
大
学
M
中
中
中
•‚M0 M
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
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O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
L:M0 …†ƒ‚R†
:M0 {²¡.
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£þ¤
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
x0 (t0 )(x−x0 )+y 0 (t0 )(y−y0 )+z 0 (t0 )(z−z0 ) = 0.
O
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
中
C
中
C
中
C
中
L:M0 …†ƒ‚R† ²¡¡•-‚Γ3
:M0 {²¡.
Ïd-‚Γ3:M0 {²¡•§•
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£þ¤
AO/, XJ-‚ •§•
y = y(x), z = z(x),
中
中
中
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
K-‚Œrx Š•ëê,
Ùƒ•þT = {1, y 0 (x0 ), z 0 (x0 )}.
O
C
O
C
O
O
C
AO/, XJ-‚ •§•
y = y(x), z = z(x),
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
中
中
C
O
O
ƒ‚•§•
中
国
大
学
M
§3:M0 (x0 , y(x0 ), z(x0 ))?
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
K-‚Œrx Š•ëê,
Ùƒ•þT = {1, y 0 (x0 ), z 0 (x0 )}.
O
C
O
C
O
O
C
AO/, XJ-‚ •§•
y = y(x), z = z(x),
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
x − x0
y − y(x0 ) z − z(x0 )
=
=
;
1
y 0 (x0 )
z 0 (x0 )
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
中
中
C
O
O
ƒ‚•§•
中
国
大
学
M
§3:M0 (x0 , y(x0 ), z(x0 ))?
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
K-‚Œrx Š•ëê,
Ùƒ•þT = {1, y 0 (x0 ), z 0 (x0 )}.
O
C
O
C
O
O
C
AO/, XJ-‚ •§•
y = y(x), z = z(x),
C
学
M
O
O
C
O
学
M
O
M
学
大
中
国
大
国
中
国
大
(x−x0 )+y 0 (x0 )(y−y(x0 ))+z 0 (x0 )(z−z(x0 )) = 0.
中
大
学
M
O
{²¡•§•
O
C
O
O
C
x − x0
y − y(x0 ) z − z(x0 )
=
=
;
1
y 0 (x0 )
z 0 (x0 )
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
L«
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
œ/2µüÜ-¡
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£þ¤
˜m-‚
国
中
O
M
学
大
O
M
学
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
-‚Γ •§•
F (x, y, z) = 0,
G(x, y, z) = 0
大
C
O
C
O
L«
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
œ/2µüÜ-¡
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£þ¤
˜m-‚
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
3P0 :֥, =rank(J ) = 2.
学
大
O
C
O
O
M
M
O
O
C
P0 (x0 , y0 , z0 )•Γþ˜:, …JacobiÝ
Fx Fy Fz
J=
Gx Gy Gz
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
-‚Γ •§•
F (x, y, z) = 0,
G(x, y, z) = 0
中
国
大
学
M
中
˜m-‚
C
L«
中
中
中
œ/2µüÜ-¡
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
3P0 :÷•, =rank(J ) = 2. ·‚5¦‚Γ3:P0 ƒ‚†{²¡•§.
学
大
O
C
O
O
M
M
O
O
C
P0 (x0 , y0 , z0 )•Γþ˜:, …JacobiÝ
Fx Fy Fz
J=
Gx Gy Gz
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
-‚Γ •§•
F (x, y, z) = 0,
G(x, y, z) = 0
中
国
大
学
M
中
˜m-‚
C
L«
中
中
中
œ/2µüÜ-¡
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
6= 0.
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
∂(F, G)
Fy Fz
=
Gy Gz
∂(y, z)
C
中
O
C
中
O
O
O
C
中
O
O
C
中
中
国
大
学
M
duÝ J 3P0 :÷•, Ø”˜„5, b
3P0 :¤á
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
O
O
C
中
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
学
M
O
O
C
x ∈ O(x0 , ρ).
大
中
国
大
学
M
O
O
C
z = z(x),
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
y = y(x),
C
中
中
中
dÛ¼ê•3½n, 3P0 :NC•˜(½
÷v y0 = y(x0 ), z0 = z(x0 ) Û¼ê
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
大
国
大
国
中
O
O
M
O
∂(F, G)
∂(F, G)
(P0 )/
(P0 ).
∂(x, y)
∂(y, z)
学
z 0 (x0 ) =
大
学
M
O
O
C
∂(F, G)
∂(F, G)
(P0 )/
(P0 ),
∂(z, x)
∂(y, z)
C
y 0 (x0 ) =
x ∈ O(x0 , ρ).
中
…k
z = z(x),
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
y = y(x),
C
中
中
中
dÛ¼ê•3½n, 3P0 :NC•˜(½
÷v y0 = y(x0 ), z0 = z(x0 ) Û¼ê
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
C
O
O
C
O
国
大
学
M
O
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
;
O
C
∂(F,G)
∂(x,y) (P0 )
大
中
国
大
学
M
O
O
C
z − z0
中
∂(F,G)
∂(z,x) (P0 )
=
C
O
O
y − y0
中
国
大
学
M
∂(F,G)
∂(y,z) (P0 )
=
O
C
C
x − x0
O
O
中
国
大
学
M
ƒ‚•§•
中
国
大
学
M
中
中
u´, -‚Γ3:P0 ?
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
{²¡•§•
中
中
;
C
O
∂(F,G)
∂(x,y) (P0 )
O
C
z − z0
中
国
大
学
M
∂(F,G)
∂(z,x) (P0 )
=
O
O
O
y − y0
中
国
大
学
M
∂(F,G)
∂(y,z) (P0 )
=
O
C
C
x − x0
O
O
中
国
大
学
M
ƒ‚•§•
中
国
大
学
M
中
中
u´, -‚Γ3:P0 ?
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂(F, G)
∂(F, G)
(P0 )(x − x0 ) +
(P0 )(y − y0 )
∂(y, z)
∂(z, x)
∂(F, G)
+
(P0 )(z − z0 ) = 0.
∂(x, y)
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
C
F (x, y, z) = 0,
3P0 : {²¡
G(x, y, z) = 0
Ò´dFÝ•þgradF (P0 ) ÚgradG(P0 )
ܤ LP0 ²¡.
-‚Γ :
C
中
C
O
O
中
国
大
学
M
O
(
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
O
C
中
O
C
中
½n
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
y²Ñ.
O
O
C
O
C
F (x, y, z) = 0,
3P0 : {²¡
G(x, y, z) = 0
Ò´dFÝ•þgradF (P0 ) ÚgradG(P0 )
ܤ LP0 ²¡.
-‚Γ :
C
中
C
O
O
中
国
大
学
M
O
(
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
O
C
中
O
C
中
½n
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
~1. ¦-‚x = et sin t, y = et cos t, z = t3
:(0, 1, 0)? ƒ‚†{²¡•§.
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
中
中
t=0
C
O
O
C
O
= 1,
中
国
大
学
M
= et (sin t + cos t)
C
中
国
大
学
M
O
O
C
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
t=0
中
x0 (t)
中
国
大
学
M
)µ:(0, 1, 0)éAut = 0, q
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~1. ¦-‚x = et sin t, y = et cos t, z = t3
:(0, 1, 0)? ƒ‚†{²¡•§.
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
中
中
t=0
C
O
O
C
O
O
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
学
大
C
= 1,
t=0
O
O
t=0
O
C
= et (cos t − sin t)
C
t=0
O
O
C
y 0 (t)
= 1,
中
国
大
学
M
= et (sin t + cos t)
O
x0 (t)
中
国
大
学
M
)µ:(0, 1, 0)éAut = 0, q
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~1. ¦-‚x = et sin t, y = et cos t, z = t3
:(0, 1, 0)? ƒ‚†{²¡•§.
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
中
中
t=0
C
O
O
C
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中
国
大
学
M
O
O
C
M
国
大
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M
中
中
国
大
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= 1,
t=0
O
O
t=0
O
C
= et (cos t − sin t)
C
t=0
大
学
M
O
O
C
y 0 (t)
= 1,
中
国
大
学
M
= et (sin t + cos t)
O
x0 (t)
中
国
大
学
M
)µ:(0, 1, 0)éAut = 0, q
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
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C
~1. ¦-‚x = et sin t, y = et cos t, z = t3
:(0, 1, 0)? ƒ‚†{²¡•§.
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中
‡©{ AÛA^£þ¤
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1
1
1
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国
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中
国
中
国
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中
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O
C
中
C
中
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1
1
1
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中
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¤±-‚3:(0, 1, 0)?
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x y−1 z
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M
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= x + y + z = 1.
国
中
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中
中
中
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中
国
大
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M
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M
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~2. ¦üΡx2 + y 2 = 1, x2 + z 2 = 1
‚
3:M0 ( √12 , √12 , √12 ) ? ƒ‚•§Ú{²¡
•§.
国
中
‡©{ AÛA^£þ¤
中
中
中
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C
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中
国
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 •Xeëꕧ/ªµ

 x = cos t,
y = sin t,

 z = sin t.
O
C
中
国
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M
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中
国
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O
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~2. ¦üΡx2 + y 2 = 1, x2 + z 2 = 1
‚
3:M0 ( √12 , √12 , √12 ) ? ƒ‚•§Ú{²¡
•§.
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中
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中
中
中
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中
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M
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 •Xeëꕧ/ªµ

 x = cos t,
y = sin t,

 z = sin t.
M0 :éA tŠ•t0 = π4 .
C
中
国
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M
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O
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国
大
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M
中
国
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M
O
O
C
~2. ¦üΡx2 + y 2 = 1, x2 + z 2 = 1
‚
3:M0 ( √12 , √12 , √12 ) ? ƒ‚•§Ú{²¡
•§.
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中
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中
中
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C
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 •Xeëꕧ/ªµ

 x = cos t,
y = sin t,

 z = sin t.
M0 :éA tŠ•t0 = π4 . -‚Γ ƒ•þ•
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o n −1 1 1 o
0
0
T |M0 = x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) = √ , √ , √ .
2 2 2
学
大
O
C
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
~2. ¦üΡx2 + y 2 = 1, x2 + z 2 = 1
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3:M0 ( √12 , √12 , √12 ) ? ƒ‚•§Ú{²¡
•§.
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2
2
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2
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1 1 1
x− √ =− y− √ =− z− √ ,
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M
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国
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中
中
中
中
){ µ dÛ¼ê•3½n,
F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 3M0 :NC(
½ Û¼êy = y(x), z = z(x).
国
中
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中
国
大
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M
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大
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M
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üàéx¦ ,
2x + 2yyx = 0,
2x + 2zzx = 0
C
中
国
大
学
M
O
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M
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中
中
中
){ µ dÛ¼ê•3½n,
F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 3M0 :NC(
½ Û¼êy = y(x), z = z(x).
国
中
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M
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M
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y
C
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大
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M
K©O3•§F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0
üàéx¦ ,
2x + 2yyx = 0,
2x + 2zzx = 0
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C
中
中
中
中
){ µ dÛ¼ê•3½n,
F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 3M0 :NC(
½ Û¼êy = y(x), z = z(x).
国
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M
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x
x
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y
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3M0 :?, yx = −1; zx = −1.
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中
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K©O3•§F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0
üàéx¦ ,
2x + 2yyx = 0,
2x + 2zzx = 0
u´
C
中
中
中
中
){ µ dÛ¼ê•3½n,
F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 3M0 :NC(
½ Û¼êy = y(x), z = z(x).
国
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x − √ = −(y − √ ) = −(z − √ ).
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Ï T-‚3:M0 = ( √12 , √12 , √12 )?
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C
中
国
大
学
M
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•0.
O
C
C
O
F (x, y, z) = 0,
O
C
O
O
中
国
大
学
M
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中
国
大
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M
中
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国
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‡©{ AÛA^£e¤
中
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M
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F (x, y, z) = 0,
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C
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M
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M
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中
国
中
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M
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M
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大
中
国
大
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M
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O
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C
O
中
国
大
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M
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O
C
O
O
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大
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M
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国
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M
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z − z0
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.
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中
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中
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M
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…z = f (x, y)3(x0 , y0 ):Œ‡,
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Σ : z = f (x, y),
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国
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中
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中
中
C
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K-¡Σ3M0 (x0 , y0 , z0 ):
(Ù¥z0 = f (x0 , y0 )) ƒ²¡•§•
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中
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M
O
O
C
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C
z−z0 = fx (x0 , y0 )(x−x0 )+fy (x0 , y0 )(y−y0 ). (1)
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中
中
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国
中
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中
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中
中
中
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国
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国
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‡©3AÛþL«T:ƒ²¡ç‹I
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国
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中
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中
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国
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中
中
中
中
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国
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¦M : ‹I.
国
中
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中
中
中
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C
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国
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M
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大
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国
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C
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中
国
大
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O
C
中
国
大
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国
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中
国
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O
O
C
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¦M : ‹I.
国
中
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中
中
中
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¦M : ‹I.
C
中
国
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国
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中
国
大
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国
中
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Fy = 4y,
Fz = 2z.
C
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)µ-F (x, y, z) = 4x2 + 2y 2 + z 2 − 4; K
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ƒ²¡²1u²¡2x + 2y + z + 5 = 0,
¦M : ‹I.
C
中
国
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学
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国
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2z
=
=
= t,
2
2
1
大
学
M
O
O
C
¤±, {8x, 4y, 2z}//{2, 2, 1}. -
国
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国
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1
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2
中
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2
国
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国
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1
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4
中
国
中
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1
1
y = t, z = t,
2
2
t = ±2,
中
国
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学
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1
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4
“\-¡•§
中
国
中
国
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K
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国
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M
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C
中
O
C
中
中
国
大
学
M
1
1
y = t, z = t,
2
2
t = ±2,
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
1
x = t,
4
“\-¡•§
O
O
O
C
中
O
O
C
中
K
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
1
¤±M : ‹I• (± , ±1, ±1).
2
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
O
O
C
中
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
国
中
中
国
大
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M
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国
大
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M
O
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C
C
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M
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大
中
国
大
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M
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C
中
国
大
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M
O
O
C
O
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中
国
大
学
M
.
C
中
中
中
~4. y²ü¥¡x2 + y 2 + z 2 = 2ax †
x2 + y 2 + z 2 = 2by(a, b > 0) ´ƒp
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
O
O
C
中
y²µ¥¡x2 + y 2 + z 2 = 2ax3?¿˜:
{•þ•
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
.
C
中
中
中
~4. y²ü¥¡x2 + y 2 + z 2 = 2ax †
x2 + y 2 + z 2 = 2by(a, b > 0) ´ƒp
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
n1 = {x − a, y, z};
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
O
O
C
中
y²µ¥¡x2 + y 2 + z 2 = 2ax3?¿˜:
{•þ•
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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M
O
O
C
O
O
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大
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M
.
C
中
中
中
~4. y²ü¥¡x2 + y 2 + z 2 = 2ax †
x2 + y 2 + z 2 = 2by(a, b > 0) ´ƒp
n1 = {x − a, y, z};
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¥¡x2 + y 2 + z 2 = 2by3?¿˜: {•þ
•
n2 = {x, y − b, z}.
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
国
O
M
学
大
O
M
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C
O
C
O
C
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C
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C
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O
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国
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M
C
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中
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M
C
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中
国
大
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M
C
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O
n1 · n2 = (x − a)x + y(y − b) + z 2
中
国
O
M
学
大
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M
学
大
中
国
大
学
M
3ü¥¡ ?¿
中
国
中
国
中
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£e¤
:(x, y, z)?,
中
中
C
中
国
大
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M
O
O
C
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M
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M
O
O
C
O
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M
学
大
中
国
大
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M
O
O
C
= x2 + y 2 + z 2 − ax − by
O
O
中
国
大
学
M
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中
国
大
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M
中
国
大
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M
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O
n1 · n2 = (x − a)x + y(y − b) + z 2
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C
C
:(x, y, z)?,
C
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中
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国
中
‡©{ AÛA^£e¤
中
中
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M
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M
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中
国
大
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大
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国
大
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M
O
O
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1 2
(x + y 2 + z 2 − 2ax)
2
1
+ (x2 + y 2 + z 2 − 2by) = 0.
2
M
O
O
C
=
C
= x2 + y 2 + z 2 − ax − by
O
O
中
国
大
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M
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国
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M
中
国
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M
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C
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中
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中
中
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M
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中
国
大
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.
大
中
国
大
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M
M
O
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C
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2
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2
M
O
O
C
=
C
= x2 + y 2 + z 2 − ax − by
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
n1 · n2 = (x − a)x + y(y − b) + z 2
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C
C
:(x, y, z)?,
C
中
中
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国
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‡©{ AÛA^£e¤
O
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M
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国
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M
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M
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C
中
中
中
中
国
大
学
M
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
2
2x + 3y 2 + z 2 = 47
~5. ¦-‚
x2 + 2y 2
=z
L:(−2, 1, 6)? ƒ‚•§†{²¡•§.
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
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O
C
中
国
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M
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M
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M
中
国
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M
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C
KØ´†
C
中
中
中
中
国
大
学
M
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国
中
‡©{ AÛA^£e¤
2
2x + 3y 2 + z 2 = 47
~5. ¦-‚
x2 + 2y 2
=z
L:(−2, 1, 6)? ƒ‚•§†{²¡•§.
O
O
C
中
C
中
国
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M
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国
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M
O
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C
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国
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M
O
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M
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大
中
国
大
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M
中
国
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M
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M
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中
中
中
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国
大
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M
)µ KØ´† z•ëꕧ. -‚Š
•ü‡-¡
‚, ƒ‚•´ƒAü‡ƒ²
¡
‚
−4x + 3y + 6z = 47,
4x − 4y + z = −6.
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
2
2x + 3y 2 + z 2 = 47
~5. ¦-‚
x2 + 2y 2
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L:(−2, 1, 6)? ƒ‚•§†{²¡•§.
O
O
C
中
C
M
O
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C
学
国
中
国
中
大
学
•þ
大
学
大
国
中
M
O
O
C
M
O
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C
O
O
M
•Œ±¦Ñƒ•þ, =ü‡{•þ
È.
学
大
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
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C
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国
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M
O
O
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C
中
中
中
中
国
大
学
M
)µ KØ´† z•ëꕧ. -‚Š
•ü‡-¡
‚, ƒ‚•´ƒAü‡ƒ²
¡
‚
−4x + 3y + 6z = 47,
4x − 4y + z = −6.
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
2
2x + 3y 2 + z 2 = 47
~5. ¦-‚
x2 + 2y 2
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L:(−2, 1, 6)? ƒ‚•§†{²¡•§.
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
x+2 y−1 z−6
=
=
.
27
28
4
中
O
M
学
大
C
O
C
O
{²¡•§•
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
ƒ‚•§•
中
国
中
国
中
l
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£e¤
27x + 28y + 4z + 2 = 0.
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£e¤
žŒ[g•
中
中
中
中
C
O
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
œ/3µe˜m-¡Σ •§•ëê/ª


 x = x(u, v),
(u, v) ∈ D ⊂ R2
y = y(u, v),

 z = z(u, v)
C
žŒ[g•
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
中
中
中
中
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
œ/3µe˜m-¡Σ •§•ëê/ª


 x = x(u, v),
(u, v) ∈ D ⊂ R2
y = y(u, v),

 z = z(u, v)
C
žŒ[g•
C
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
学
M
O
M
学
国
大
XÛ¦Ùƒ²¡Ú{‚•§º
中
大
学
M
O
γ(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
O
C
O
O
C
½•þ/ª
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
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O
M
学
大
O
M
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大
C
O
C
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C
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C
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C
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中
国
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M
C
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中
国
大
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M
C
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O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£e¤
‰Yµ
中
中
中
中
中
国
大
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M
O
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中
国
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M
O
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大
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国
大
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M
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中
国
大
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M
O
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国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
Σ3M0 (u0 , v0 ):? ƒ²¡•§•
∂(y, z)
∂(z, x)
(x − x0 ) +
(y − y0 )
∂(u, v) (u0 ,v0 )
∂(u, v) (u0 ,v0 )
∂(x, y)
+
(z − z0 ) = 0;
∂(u, v) (u0 ,v0 )
C
‰Yµ
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
中
中
中
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
Σ3M0 (u0 , v0 ):? ƒ²¡•§•
∂(y, z)
∂(z, x)
(x − x0 ) +
(y − y0 )
∂(u, v) (u0 ,v0 )
∂(u, v) (u0 ,v0 )
∂(x, y)
+
(z − z0 ) = 0;
∂(u, v) (u0 ,v0 )
C
‰Yµ
O
O
学
大
中
国
大
学
M
∂(x,y)
∂(u,v) (u ,v )
0 0
M
O
.
O
C
z − z0
国
学
大
=
中
O
O
∂(z,x)
∂(u,v) (u ,v )
0 0
国
中
大
学
M
∂(y,z)
∂(u,v) (u ,v )
0 0
=
M
O
O
C
y − y0
C
x − x0
C
{‚•§•
国
中
‡©{ AÛA^£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
(µ
1. ˜m-‚ ƒ‚†{²¡
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
ƒ²¡†{‚
中
国
中
国
中
2. -¡
中
中
中
中
‡©{ AÛA^£e¤
国
中
国
O
M
学
大
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M
学
大
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M
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M
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大
C
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C
O
C
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C
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C
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中
国
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M
C
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M
C
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中
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大
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M
C
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中
国
大
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M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
中
õ ¼ê
国
O
M
学
大
C
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大
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M
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M
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M
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大
C
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国
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M
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M
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中
国
大
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M
中
中
中
中
Vúª
中
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国
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M
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大
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C
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国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
˜ ¼ê Taylor úªò¼ê3˜½‰Œ
SCquõ‘ª¼ê, l ò¯K=z•õ
‘ª¯K5?Ø.
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
中
õ ¼ê
O
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中
国
大
学
M
C
中
国
大
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M
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M
O
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C
Taylor úª.
大
中
国
大
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M
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C
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国
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M
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国
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M
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M
e¡·‚òÆSõ
C
中
O
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中
O
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C
中
O
O
C
中
Vúª
˜ ¼ê Taylor úªò¼ê3˜½‰Œ
SCquõ‘ª¼ê, l ò¯K=z•õ
‘ª¯K5?Ø.
国
中
õ ¼ê
国
中
国
O
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大
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国
大
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M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
中
õ ¼ê
•Qã{B, -∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 ,
¿Ú?‡©$ŽÎÒµ
中
中
中
中
Vúª
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
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M
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O
C
O
O
O
O
M
学
大
中
国
大
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M
O
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C
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国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(∆x
O
∂
∂
+ ∆y )f (x, y)
∂x
∂y
∂f (x, y)
∂f (x, y)
=
∆x +
∆y,
∂x
∂y
O
O
中
国
大
学
M
C
C
•Qã{B, -∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 ,
¿Ú?‡©$ŽÎÒµ
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
Vúª
∂
∂
+ ∆y )2 f (x, y)
∂x
∂y
2
∂ f (x, y)
∂ 2 f (x, y)
2
=
(∆x)
+
2
(∆x)(∆y)
∂x2
∂x∂y
∂ 2 f (x, y)
+
(∆y)2 ,
2
∂y
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
(∆x
O
∂
∂
+ ∆y )f (x, y)
∂x
∂y
∂f (x, y)
∂f (x, y)
=
∆x +
∆y,
∂x
∂y
O
O
中
国
大
学
M
C
C
•Qã{B, -∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 ,
¿Ú?‡©$ŽÎÒµ
C
国
大
学
M
O
O
C
O
中
中
国
大
学
M
O
C
O
O
M
学
大
国
中
大
学
M
O
O
C
(∆x
国
中
õ ¼ê
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
············
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
中
õ ¼ê
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
············
∂
∂
(∆x
+ ∆y )m f (x, y)
∂x
∂y
m
m
X
i ∂ f (x, y)
=
Cm
(∆x)i (∆y)m−i
i ∂y m−i
∂x
i=0
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
Vúª
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
国
中
õ ¼ê
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
C
学
M
O
O
Taylorúª.
大
中
国
大
学
M
O
O
C
¼ê
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
Vúª
············
∂
∂
(∆x
+ ∆y )m f (x, y)
∂x
∂y
m
m
X
i ∂ f (x, y)
=
Cm
(∆x)i (∆y)m−i
i ∂y m−i
∂x
i=0
e¡·‚Äk‰Ñ
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
Vúª
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
¼êf (x, y)3:M0 (x0 , y0 ) ,
•N (M0 )Säkn + 1 ëY
ê,
M (x, y)´T •S?˜:,
C
½n1
国
中
õ ¼ê
中
中
中
中
Vúª
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
∂
∂
+ ∆y
f (x0 , y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + ∆x
∂x
∂y
∂ 2
1
∂
+ ∆y
+
∆x
f (x0 , y0 ) + · · ·
2!
∂x
∂y
1
∂
∂ n
+
∆x
+ ∆y
f (x0 , y0 )
n!
∂x
∂y
1
∂
∂ n+1
+
∆x + ∆y
f (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)
(n + 1)!
∂x
∂y
学
大
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
¼êf (x, y)3:M0 (x0 , y0 ) ,
•N (M0 )Säkn + 1 ëY
ê,
Kk M (x, y)´T •S?˜:,
C
½n1
国
中
õ ¼ê
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Ù¥∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 , 0 < θ < 1.
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
中
õ ¼ê
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
þª¡•
¼êf (x, y)3:M0 (x0 , y0 )?
‘k.‚KF.{‘
Vúª.
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
Vúª
Ù¥∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 , 0 < θ < 1.
国
中
õ ¼ê
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
y²µ E9ϼê
ϕ(t) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
中
õ ¼ê
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
Kd½n^‡, ˜ ¼êϕ(t)30 ≤ t ≤ 1þ
äkn + 1 ëY ê,
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
Vúª
y²µ E9ϼê
ϕ(t) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
国
中
õ ¼ê
O
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
大
中
国
大
中
国
大
O
C
O
O
M
0 < θ < 1.
学
C
O
O
M
1 00
1
ϕ (0)t2 + · · · + ϕ(n) (0)tn
2!
n!
1
ϕ(n+1) (θt)tn+1 ,
(n + 1)!
学
+
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
Ïd3t = 0?¤áTaylorúª
O
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Kd½n^‡, ˜ ¼êϕ(t)30 ≤ t ≤ 1þ
äkn + 1 ëY ê,
ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ0 (0)t +
C
中
中
中
中
Vúª
y²µ E9ϼê
ϕ(t) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
国
中
õ ¼ê
O
O
C
中
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
C
1 00
ϕ (0) + · · ·
2!
1
1
+ ϕ(n) (0) +
ϕ(n+1) (θ).
n!
(n + 1)!
ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ0 (0) +
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
t = 1ž, k
O
C
中
O
C
中
O
中
国
大
学
M
Vúª
中
国
大
学
M
O
C
中
AO
国
中
õ ¼ê
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
∂ ∂
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∆x
∂x
∂y
O
óª{K´
中
国
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
A^Eܼê¦
中
中
中
中
Vúª
中
O
M
学
大
C
O
=
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
ϕ (t)
中
国
中
0
õ ¼ê
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
国
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
中
=
C
ϕ00 (t)
O
=
∂ ∂
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∆x
∂x
∂y
∂
∂ 2
∆x
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∂x
∂y
中
国
大
学
M
ϕ (t)
O
O
C
óª{K´
C
O
O
0
中
国
大
学
M
Vúª
中
中
中
A^Eܼê¦
国
中
õ ¼ê
O
O
中
国
大
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M
C
O
国
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M
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M
O
O
中
国
大
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M
O
O
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M
学
大
C
中
C
O
中
国
大
学
M
∂
∂ n
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∂x
∂y
中
∆x
C
C
=
中
······
C
=
O
ϕ00 (t)
∂ ∂
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∆x
∂x
∂y
∂
∂ 2
∆x
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∂x
∂y
中
国
大
学
M
=
O
O
C
óª{K´
C
O
O
ϕ (t)
中
国
大
学
M
0
ϕn (t)
Vúª
中
中
中
A^Eܼê¦
国
中
õ ¼ê
O
O
C
O
O
大
学
M
O
国
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
O
学
M
O
“\þ¡ϕ(1) L«ª= ½n(Ø.
大
C
中
C
O
∂
∂ n
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∂x
∂y
中
∆x
C
C
=
中
国
大
学
M
······
C
=
O
ϕ00 (t)
∂ ∂
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∆x
∂x
∂y
∂
∂ 2
∆x
+ ∆y
f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
∂x
∂y
中
国
大
学
M
=
O
O
C
óª{K´
C
O
O
ϕ (t)
中
国
大
学
M
0
ϕn (t)
Vúª
中
中
中
A^Eܼê¦
国
中
õ ¼ê
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
=fx (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)∆x
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
n = 0ž=•¥Šúªµ
O
C
中
O
C
中
O
C
中
O
中
国
大
学
M
Vúª
中
国
大
学
M
O
C
中
5µ(1)
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
+ fy (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)∆y.
国
中
õ ¼ê
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
中
国
大
学
M
O
C
O
学
M
O
(0 < θ < 1)
大
中
国
大
学
M
O
O
C
1
∂
∂
(x
+ y )n+1 f (θx, θy),
(n + 1)! ∂x
∂y
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
+
C
中
中
中
中
Vúª
(2) e (x0 , y0 ) = (0, 0), K
n ðŽN úªµ
f (x, y) = f (0, 0)
n
X
∂
∂
1
(x
+ y )m f (0, 0)
+
m! ∂x
∂y
m=1
国
中
õ ¼ê
O
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
M
学
大
国
中
国
大
学
(J, Œ
中
国
中
O
C
O
中
国
大
学
M
˜
大
学
±þ'u
¼ê Vúª
±²1 í2 n ¼ê.
O
C
O
(0 < θ < 1)
O
M
M
O
O
C
1
∂
∂
(x
+ y )n+1 f (θx, θy),
(n + 1)! ∂x
∂y
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
+
C
中
中
中
中
Vúª
(2) e (x0 , y0 ) = (0, 0), K
n ðŽN úªµ
f (x, y) = f (0, 0)
n
X
∂
∂
1
(x
+ y )m f (0, 0)
+
m! ∂x
∂y
m=1
国
中
õ ¼ê
国
中
O
M
学
大
O
M
学
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
n
大
C
O
C
O
~1. ¦¼êf (x, y) = ex+y
úª.
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
中
õ ¼ê
ðŽN
中
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ mf
= ex+y ,
i
m−i
∂x ∂y
ê, …
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
)µ¼êf 3R2 þk?¿ ëY
中
国
大
学
M
ðŽN
C
n
O
O
C
中
中
中
Vúª
~1. ¦¼êf (x, y) = ex+y
úª.
国
中
õ ¼ê
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂ mf
∂ m f (0, 0)
x+y
=e ,
= e0 = 1,
i
m−i
i
m−i
∂x ∂y
∂x ∂y
O
C
O
O
ê, …
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
)µ¼êf 3R2 þk?¿ ëY
中
国
大
学
M
ðŽN
C
n
O
O
C
中
中
中
Vúª
~1. ¦¼êf (x, y) = ex+y
úª.
国
中
õ ¼ê
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
C
¤±ex+y
ex+y
ðŽN úª•
n
X
1
=1+
(x + y)m
m!
m=1
1
+
(x + y)m+1 eθ(x+y) . (0 < θ < 1)
(n + 1)!
中
国
大
学
M
∂ mf
∂ m f (0, 0)
x+y
=e ,
= e0 = 1,
i
m−i
i
m−i
∂x ∂y
∂x ∂y
O
C
O
O
ê, …
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
)µ¼êf 3R2 þk?¿ ëY
中
国
大
学
M
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C
n
O
O
C
中
中
中
Vúª
~1. ¦¼êf (x, y) = ex+y
úª.
国
中
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¼ê ðŽN úª
C
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中
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C
O
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中
国
大
学
M
Vúª
大
C
O
2.
中
国
大
学
M
¼ê‘.‚KF{‘
国
O
M
学
大
C
O
C
O
(µ
1.
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
Vúª
中
国
中
国
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国
中
国
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国
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M
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国
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M
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中
中
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õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
国
O
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大
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国
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õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
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中
国
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M
O
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国
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学
大
中
国
大
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M
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国
大
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M
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国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
学
M
∆ > 0…A < 0ž, f (x0 , y0 )•4ŒŠ;
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
£2¤∆ < 0ž, f (x0 , y0 )Ø´4Š;
C
O
C
中
国
大
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M
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中
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大
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M
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大
中
国
大
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中
国
大
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M
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O
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中
国
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中
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国
中
中
中
中
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中
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
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中
国
大
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M
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国
中
中
中
中
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中
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C
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大
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学
M
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y²Ñ.
大
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C
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中
国
大
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M
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O
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大
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大
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M
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O
C
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国
中
中
中
中
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国
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M
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中
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M
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中
国
大
学
M
~1. ?Øf (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2
4Š.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
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M
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C
中
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C
中
C
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中
国
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M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
)µ)•§|
fx = 4x3 − 2x − 2y = 0,
fy = −4y 3 − 2x − 2y = 0,
中
国
大
学
M
O
C
O
O
O
O
C
~1. ?Øf (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2
4Š.
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
国
大
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M
O
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
)µ)•§|
fx = 4x3 − 2x − 2y = 0,
fy = −4y 3 − 2x − 2y = 0,
中
国
大
学
M
O
C
O
O
O
O
C
~1. ?Øf (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2
4Š.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
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7:(±1, ±1),(0, 0).
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
O
C
中
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
M
学
大
国
中
国
大
学
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中
学
O
O
C
O
M
O
中
国
学
大
大
M
O
O
C
7:(±1, ±1),(0, 0).
2OŽ
ê,
fxy = −2,
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
)µ)•§|
fx = 4x3 − 2x − 2y = 0,
fy = −4y 3 − 2x − 2y = 0,
fxx = 12x2 −2,
O
C
O
O
O
O
C
~1. ?Øf (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2
4Š.
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
国
O
M
学
大
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M
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O
C
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C
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C
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中
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大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
3(±1, ±1):?∆ = 96, fxx = 10 > 0,
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
3(±1, ±1):?∆ = 96, fxx = 10 > 0,
¤±f (±1, ±1) = −2 •4 Š;
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
C
中
C
O
中
国
大
学
M
½.
C
3(0, 0):?∆ = 0, Ã{^½n5
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
3(±1, ±1):?∆ = 96, fxx = 10 > 0,
¤±f (±1, ±1) = −2 •4 Š;
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
3(0, 0):?∆ = 0, Ã{^½n5 ½.
3-‚y = −x þf (x, −x) = 2x4 > 0¶
大
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
3(±1, ±1):?∆ = 96, fxx = 10 > 0,
¤±f (±1, ±1) = −2 •4 Š;
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
3(0, 0):?∆ = 0, Ã{^½n5 ½.
3-‚y = −x þf (x, −x) = 2x4 > 0¶
3-‚x = 0(|y| < 1) þ
f (0, y) = y 2 (y 2 − 1) < 0,
大
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
3(±1, ±1):?∆ = 96, fxx = 10 > 0,
¤±f (±1, ±1) = −2 •4 Š;
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
中
中
国
大
学
M
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
3(0, 0):?∆ = 0, Ã{^½n5 ½.
3-‚y = −x þf (x, −x) = 2x4 > 0¶
3-‚x = 0(|y| < 1) þ
f (0, y) = y 2 (y 2 − 1) < 0,
Ïdf (0, 0) = 0Ø´4Š.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
3(±1, ±1):?∆ = 96, fxx = 10 > 0,
¤±f (±1, ±1) = −2 •4 Š;
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
~2. ¦¼ê
f (x, y) = xy(a − x − y) (a 6= 0) 4Š.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
)µk)•§|
fx = y(a − x − y) − xy = 0,
fy = x(a − x − y) − xy = 0
大
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. ¦¼ê
f (x, y) = xy(a − x − y) (a 6= 0) 4Š.
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
)µk)•§|
fx = y(a − x − y) − xy = 0,
fy = x(a − x − y) − xy = 0
7:µ(0, 0), (a, 0), (0, a), ( a3 , a3 ).
大
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. ¦¼ê
f (x, y) = xy(a − x − y) (a 6= 0) 4Š.
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
O
O
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
O
M
fyy = −2x.
大
中
国
大
学
M
fxy = a−2x−2y,
学
O
O
C
)µk)•§|
fx = y(a − x − y) − xy = 0,
fy = x(a − x − y) − xy = 0
7:µ(0, 0), (a, 0), (0, a), ( a3 , a3 ).
2¦
ê,
fxx = −2y,
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. ¦¼ê
f (x, y) = xy(a − x − y) (a 6= 0) 4Š.
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
é:(0, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
é:(0, a), A = −2a, ∆ = −a2 ¶
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
é:(0, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
中
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
é:(a, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
O
C
O
O
O
O
C
é:(0, a), A = −2a, ∆ = −a2 ¶
C
é:(0, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
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M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
é:( a3 , a3 ), A = − 23 a, ∆ = 13 a2 .
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
é:(a, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
O
C
O
O
O
O
C
é:(0, a), A = −2a, ∆ = −a2 ¶
C
é:(0, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
4Š:¶
大
中
国
大
学
M
O
O
C
u´, (0, 0), (a, 0), (0, a)ÑØ´f
C
é:( a3 , a3 ), A = − 23 a, ∆ = 13 a2 .
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
é:(a, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
O
C
O
O
O
O
C
é:(0, a), A = −2a, ∆ = −a2 ¶
C
é:(0, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
C
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
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O
学
大
中
国
大
学
M
O
C
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a3
a > 0ž, f ( , ) =
•4ŒŠ,
3 3
27
M
O
4Š:¶
O
u´, (0, 0), (a, 0), (0, a)ÑØ´f
O
é:( a3 , a3 ), A = − 23 a, ∆ = 13 a2 .
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
é:(a, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
O
C
O
O
O
O
C
é:(0, a), A = −2a, ∆ = −a2 ¶
C
é:(0, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
中
C
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
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O
C
O
a3
•4ŒŠ,
27
a3
•4 Š.
27
C
O
O
M
学
大
国
中
大
学
M
O
O
C
a a
a > 0ž, f ( , ) =
3 3
a a
a < 0ž, f ( , ) =
3 3
4Š:¶
O
u´, (0, 0), (a, 0), (0, a)ÑØ´f
O
é:( a3 , a3 ), A = − 23 a, ∆ = 13 a2 .
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
é:(a, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
O
C
O
O
O
O
C
é:(0, a), A = −2a, ∆ = −a2 ¶
C
é:(0, 0), A = 0, ∆ = −a2 ¶
国
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£þ¤
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
4Š†•Š(e)
中
国
O
M
学
大
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~4. y²xy ≤ x ln x − x + ey ,
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£e¤
x ≥ 1, y ≥ 0.
中
C
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
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M
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国
大
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M
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M
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国
大
学
M
中
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
O
O
C
y²:
D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ +∞, 0 ≤ y ≤ +∞},
国
中
x ≥ 1, y ≥ 0.
中
~4. y²xy ≤ x ln x − x + ey ,
中
中
中
õ ¼ê 4Š†•Š£e¤
中
C
C
O
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M
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国
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国
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M
学
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
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f (x, y) = x ln x − x + ey − xy,
O
C
O
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中
国
大
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国
大
学
M
O
O
C
y²:
D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ +∞, 0 ≤ y ≤ +∞},
国
中
x ≥ 1, y ≥ 0.
中
~4. y²xy ≤ x ln x − x + ey ,
中
中
中
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中
C
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国
大
学
M
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M
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中
国
大
学
M
O
O
C
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O
M
O
C
O
(x, y) ∈ D.
éuz‡x0 ≥ 1,
du3Œ†‚x = x0 (y ≥ 0)þ, f (x, y)÷v
fy (x0 , y) = ey − x0 < 0, 0 ≤ y < ln x0 ,
fy (x0 , y) = ey − x0 > 0, ln x0 < y < +∞.
学
大
中
国
大
学
M
½Â
f (x, y) = x ln x − x + ey − xy,
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
y²:
D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ +∞, 0 ≤ y ≤ +∞},
国
中
x ≥ 1, y ≥ 0.
中
~4. y²xy ≤ x ln x − x + ey ,
中
中
中
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国
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国
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学
M
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国
大
学
M
Ïd3Œ†‚x = x0 (y ≥ 0)þ,
f (x0 , y)3y0 = ln x0 ?ˆ • Š.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
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O
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国
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学
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学
M
O
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f (x, ln x) = x ln x − x + eln x − x ln x = 0,
大
C
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中
国
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学
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国
大
学
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国
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Ïd3Œ†‚x = x0 (y ≥ 0)þ,
f (x0 , y)3y0 = ln x0 ?ˆ • Š.
du3-‚y = ln x(x ≥ 1)þf (x, y)÷v
国
中
中
中
中
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国
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f (x, ln x) = x ln x − x + eln x − x ln x = 0,
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f (x0 , y)3y0 = ln x0 ?ˆ • Š.
du3-‚y = ln x(x ≥ 1)þf (x, y)÷v
C
中
国
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学
M
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国
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国
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中
中
中
中
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国
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M
f (x, ln x) = x ln x − x + eln x − x ln x = 0,
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Ïd3Œ†‚x = x0 (y ≥ 0)þ,
f (x0 , y)3y0 = ln x0 ?ˆ • Š.
du3-‚y = ln x(x ≥ 1)þf (x, y)÷v
国
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中
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M
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x ≥ 1, y ≥ 0,
大
中
国
大
学
M
O
O
C
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Ïd3«•Dþo¤áf (x, y) ≥ 0, =
国
中
中
中
中
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国
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f (x, ln x) = x ln x − x + eln x − x ln x = 0,
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C
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f (x0 , y)3y0 = ln x0 ?ˆ • Š.
du3-‚y = ln x(x ≥ 1)þf (x, y)÷v
中
国
大
学
M
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O
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国
大
学
M
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中
国
大
学
M
… Ò=3-‚y = ln x(x ≥ 1)þ¤á.
O
C
O
x ≥ 1, y ≥ 0,
O
O
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C
xy ≤ x ln x − x + ey ,
C
Ïd3«•Dþo¤áf (x, y) ≥ 0, =
国
中
中
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²~I‡é¼ê gCþN\˜½ ^‡.
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国
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中
国
O
M
学
大
C
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~X, ¦ : †‚

 x + y + z = 1,
中
国
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M
学
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O
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2y + 3z = 6 œ¹e, p
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x2 + y 2 + z 2 •
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中
国
大
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M
x + 2y + 3z = 6,

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C
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M
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国
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3^‡ϕ(x, y, z) = 0 •›e,
¦¼êu = f (x, y, z) 4Š,
‰^‡4Š¯K,
•§ϕ(x, y, z) = 0 ‰ 啧( å^‡).
中
国
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z = 1 − x2 − y 2 , “\8I¼êV = 8xyz,
O
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·‚Œ±l•›^‡)Ñ
p
z = 1 − x2 − y 2 , “\8I¼êV = 8xyz,
K¯Kz•¦¼ê
p
V = 8xy 1 − x2 − y 2
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大
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M
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dÛ¼ê•3½n, Kϕ(x, y, z) = 0(½
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C
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C
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 fx (x0 , y0 , z0 ) − λϕx (x0 , y0 , z0 ) = 0,
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
 f (x , y , z ) − λϕ (x , y , z ) = 0.
z 0 0 0
z 0 0 0
C
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

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


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
Fz = fz − λϕz = 0,


 ϕ = 0.
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

Fx = fx − λϕx = 0,



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
Fz = fz − λϕz = 0,


 ϕ = 0.
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O
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

Fx = fx − λϕx = 0,



 F = f − λϕ = 0,
y
y
y

Fz = fz − λϕz = 0,




Fλ = ϕ = 0.
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O
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O
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O
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 ∂F = ∂f − P λ
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国
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M
^‡4Š¯K
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
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M
学
大
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M
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大
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M
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大
C
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C
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C
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C
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M
C
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M
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M
C
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中
国
大
学
M
~1. ¦8I¼êV = 8xyz 3 å^‡
x2 + y 2 + z 2 = 1e •Š.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
中
国
大
学
M
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C
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国
大
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M
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C
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M
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C
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大
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M
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中
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M
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M
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M
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大
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C
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O
C
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O
中
国
大
学
M
)µŠLagrange¼ê
F = 8xyz − λ(x2 + y 2 + z 2 − 1),
C
中
中
中
~1. ¦8I¼êV = 8xyz 3 å^‡
x2 + y 2 + z 2 = 1e •Š.
国
中
^‡4Š£e¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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C
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O
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C
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C
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中
国
大
学
M
)µŠLagrange¼ê
F = 8xyz − λ(x2 + y 2 + z 2 − 1),
)•§|


Fx = 8yz − 2λx = 0,



Fy = 8xz − 2λy = 0,

Fz = 8xy − 2λz = 0,


 x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0,
C
中
中
中
~1. ¦8I¼êV = 8xyz 3 å^‡
x2 + y 2 + z 2 = 1e •Š.
国
中
^‡4Š£e¤
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
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O
C
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C
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C
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C
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M
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中
国
大
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M
C
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国
大
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1
x2 = y 2 = z 2 = .
3
中
国
中
国
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中
中
中
中
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O
M
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C
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C
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C
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M
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大
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M
C
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O
C
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O
中
国
大
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M
•Š,
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
1
x2 = y 2 = z 2 = .
3
duk.48þ ëY¼ê7U
q•Ä
¯K ¢S¿Â,
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
O
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C
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M
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O
C
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M
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M
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M
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M
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C
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国
大
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M
O
中
国
大
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M
C
中
O
C
中
O
C
中
O
C
中
1
x2 = y 2 = z 2 = .
3
duk.48þ ëY¼ê7U
•Š,
q•Ä
¯K ¢S¿Â,
√
√
3
8 3
x=y=z=
ž, Vmax =
.
3
9
国
中
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国
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国
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中
中
中
中
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x + y + z = 1,
†‚
x + 2y + 3z = 6
中
C
O
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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学
M
C
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国
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M
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O
C
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M
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大
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大
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M
O
O
C
d(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
O
C
中
国
大
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M
O
O
中
国
大
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M
O
O
O
O
C
C
x + y + z = 1,
†‚
x + 2y + 3z = 6
ål.
)µ ¯K du¦¼ê
中
国
大
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中
中
中
~2. ¦ :
国
中
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中
国
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d(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
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C
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O
O
O
中
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大
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M
O
C
C
O
O
ål.
)µ ¯K du¦¼ê
中
国
大
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M
中
中
中
x + y + z = 1,
†‚
x + 2y + 3z = 6
~2. ¦ :
C
中
国
大
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M
O
O
C
大
国
中
中
国
大
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学
M
O
O
C
O
学
M
O
M
学
大
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x + y + z = 1,
x + 2y + 3z = 6,
O
O
C
3 å^‡
国
中
^‡4Š£e¤
中
中
中
中
中
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M
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M
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国
大
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M
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
F (x, y, z, λ, µ)
= x2 + y 2 + z 2 − λ(x + y + z − 1)
−µ(x + 2y + 3z − 6).
C
•d, ŠLagrange¼ê
国
中
^‡4Š£e¤
中
中
中
中
C
O
O
M
学
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国
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中
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M
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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

Fx = 2x − λ − µ = 0,




 Fy = 2y − λ − 2µ = 0,
Fz = 2z − λ − 3µ = 0,



x + y + z − 1 = 0,



x + 2y + 3z − 6 = 0,
学
大
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
F (x, y, z, λ, µ)
= x2 + y 2 + z 2 − λ(x + y + z − 1)
−µ(x + 2y + 3z − 6).
C
•d, ŠLagrange¼ê
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
C
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中
国
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M
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中
国
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M
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中
国
大
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M
µ = 4.
中
O
M
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大
C
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中
中
中
中
1
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3
国
O
M
学
大
O
M
学
大
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国
大
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5
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3
7
22
z= , λ=− ,
3
3
中
国
中
国
中
)
^‡4Š£e¤
中
中
中
中
5
1
x=− , y= ,
3
3
7
22
z = , λ = − , µ = 4.
3
3
dud¯K¦ ´: †‚ ål, Ï 8
I¼ê • Š˜½•3, ù‡•˜ 4Š
:7´• Š:,
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
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大
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大
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M
O
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中
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大
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M
O
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C
O
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中
国
大
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M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
)
国
中
^‡4Š£e¤
中
中
中
中
5
1
x=− , y= ,
3
3
7
22
z = , λ = − , µ = 4.
3
3
dud¯K¦ ´: †‚ ål, Ï 8
I¼ê • Š˜½•3, ù‡•˜ 4Š
:7´• Š:,
x + y + z = 1,
•Ò´`, : †‚
x + 2y + 3z = 6
r
r
√
5 1 7
25 5 3
ål•
d(− , , ) =
=
.
3 3 3
3
3
C
中
国
大
学
M
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C
中
国
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M
O
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O
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M
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M
O
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C
O
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M
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中
大
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M
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M
O
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中
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O
M
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C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
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M
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中
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大
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M
~3.3^=ý¥¡2x2 + y 2 + z 2 = 1þ, ¦å
l²¡2x + y − z = 6 •C:Ú• :.
C
O
O
中
国
大
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C
O
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中
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中
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中
^‡4Š£e¤
中
中
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M
O
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M
中
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大
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国
大
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1
2x + y − z = 6 ål• √ |2x + y − z − 6|.
6
O
C
O
O
C
O
O
O
O
C
~3.3^=ý¥¡2x2 + y 2 + z 2 = 1þ, ¦å
l²¡2x + y − z = 6 •C:Ú• :.
国
中
^‡4Š£e¤
中
中
中
中
C
O
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国
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M
中
国
大
学
M
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国
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M
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大
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1
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6
O
C
O
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C
O
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O
O
C
~3.3^=ý¥¡2x2 + y 2 + z 2 = 1þ, ¦å
l²¡2x + y − z = 6 •C:Ú• :.
C
中
国
大
学
M
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C
O
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M
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M
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中
国
大
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f (x, y, z) = (2x + y − z − 6)2
O
C
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国
中
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中
中
中
中
C
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中
国
大
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M
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国
大
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M
中
国
大
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M
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国
大
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)µý¥¡þ :(x, y, z) ²¡
1
2x + y − z = 6 ål• √ |2x + y − z − 6|.
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O
C
O
O
C
O
O
O
O
C
~3.3^=ý¥¡2x2 + y 2 + z 2 = 1þ, ¦å
l²¡2x + y − z = 6 •C:Ú• :.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
3 å^‡2x2 + y 2 + z 2 = 1 e •ŒŠ†
• Š.
学
大
O
O
O
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C
f (x, y, z) = (2x + y − z − 6)2
O
C
u´, ¯K=z•¦¼ê
国
中
^‡4Š£e¤
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
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M
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M
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大
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M
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中
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M
中
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M
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中
国
大
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M
O
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F (x, y, z, λ) = (2x + y − z − 6)2
−λ(2x2 + y 2 + z 2 − 1),
O
C
C
u´, ŠLagrange¼ê
国
中
^‡4Š£e¤
中
中
中
中
C
O
国
大
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M
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M
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中
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M
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O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
)ƒA/•§|


Fx = 4(2x + y − z − 6) − 4λx = 0,



Fy = 2(2x + y − z − 6) − 2λy = 0,

Fz = −2(2x + y − z − 6) − 2λz = 0,


 2x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0.
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
F (x, y, z, λ) = (2x + y − z − 6)2
−λ(2x2 + y 2 + z 2 − 1),
O
C
C
u´, ŠLagrange¼ê
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
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M
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大
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M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
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中
国
大
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M
C
O
O
中
国
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学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
1 1 1
1 1 1
A = ( , , − ), B = (− , − , ).
2 2 2
2 2 2
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
国
大
学
M
O
O
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中
国
大
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M
O
O
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中
国
大
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M
O
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C
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国
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M
O
O
C
C
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M
O
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O
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国
大
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M
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中
中
中
1 1 1
1 1 1
A = ( , , − ), B = (− , − , ).
2 2 2
2 2 2
2√
¤±, ¤¦•áål•dA =
6,
3
4√
¤¦••ål•dB =
6.
3
国
中
^‡4Š£e¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
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中
国
大
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M
O
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O
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国
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M
C
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中
中
中
1 1 1
1 1 1
A = ( , , − ), B = (− , − , ).
2 2 2
2 2 2
2√
¤±, ¤¦•áål•dA =
6,
3
4√
¤¦••ål•dB =
6.
3
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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M
学
大
中
国
大
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M
O
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†-¡ƒƒ ²¡
1 1 1
ƒ:‹I(± , ± , ∓ ).
2 2 2
国
中
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O
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大
学
M
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国
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中
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M
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大
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M
C
中
中
中
~4. ¦¼êz = x2 + y 2 3 •
√
√
D = {(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 ≤ 9}
þ •ŒÚ• Š.
国
中
^‡4Š£e¤
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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国
大
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M
O
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4Š,
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
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C
)µÄk• √¼ê3DSÜ
√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 < 9}
ù´Ã^‡4Š¯K.
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
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C
中
国
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M
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C
O
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国
大
学
M
C
中
中
中
~4. ¦¼êz = x2 + y 2 3 •
√
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D = {(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 ≤ 9}
þ •ŒÚ• Š.
国
中
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O
O
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国
大
学
M
O
O
C
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国
中
中
国
大
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M
O
O
C
4Š,
O
O
C
•d)‚5•§|
fx = 2x = 0,
fy = 2y = 0
O
M
学
大
C
中
)µÄk• √¼ê3DSÜ
√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 < 9}
ù´Ã^‡4Š¯K.
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
~4. ¦¼êz = x2 + y 2 3 •
√
√
D = {(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 ≤ 9}
þ •ŒÚ• Š.
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
Ïd•k")x = 0, y = 0,
=:(0, 0)´DSÜ 7:.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
O
C
O
中
国
大
学
M
fyy (0, 0) = 2.
C
fxy (0, 0) = 0,
C
fxx (0, 0) = 2,
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
´OŽ
C
中
中
中
中
Ïd•k")x = 0, y = 0,
=:(0, 0)´DSÜ 7:.
国
中
^‡4Š£e¤
O
O
C
O
fyy (0, 0) = 2.
中
国
大
学
M
fxy (0, 0) = 0,
中
国
大
学
M
fxx (0, 0) = 2,
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
´OŽ
C
中
中
中
中
Ïd•k")x = 0, y = 0,
=:(0, 0)´DSÜ 7:.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
2
Ïdfxx (0, 0)fyy (0, 0) − fxy
(0, 0) = 4 > 0.
fxx > 0,
国
中
^‡4Š£e¤
O
O
C
O
fyy (0, 0) = 2.
中
国
大
学
M
fxy (0, 0) = 0,
中
国
大
学
M
fxx (0, 0) = 2,
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
´OŽ
C
中
中
中
中
Ïd•k")x = 0, y = 0,
=:(0, 0)´DSÜ 7:.
C
O
C
O
C
O
M
大
国
中
中
国
大
学
M
O
Š
学
O
M
Š :, 4
学
4
大
国
中
大
学
M
O
¤ ±(0, 0): ´ ¼ êf
•f (0, 0) = 0.
O
O
C
2
Ïdfxx (0, 0)fyy (0, 0) − fxy
(0, 0) = 4 > 0.
fxx > 0,
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
2• ¼êf√3D >.√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 = 9}þ
ù´^‡4Š¯K.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
4Š,
中
中
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
√
√
F (x, y, λ) = x2 +y 2 −λ[(x− 2)2 +(y− 2)2 −9],
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
•dŠLagrange ¼ê
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
4Š,
C
中
中
2• ¼êf√3D >.√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 = 9}þ
ù´^‡4Š¯K.
国
中
^‡4Š£e¤
中
中
C
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
大
学
M
O
O
C
)•§|

√

2x
−
2λ(x
−

√ 2) = 0,
2y − 2λ(y − 2) = 0,

 (x − √2)2 + (y − √2)2 − 9 = 0.
C
√
√
F (x, y, λ) = x2 +y 2 −λ[(x− 2)2 +(y− 2)2 −9],
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
•dŠLagrange ¼ê
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
4Š,
C
中
中
2• ¼êf√3D >.√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 = 9}þ
ù´^‡4Š¯K.
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
1√
−
2.
2
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
5√
2 ½
x=y=
2
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
1√
5√
2 ½ −
2.
x=y=
2
2
duëY¼ê3
√
√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 = 9}þ
7
•ŒŠ†• Š,
国
中
^‡4Š£e¤
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
C
O
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
C
>.þ •ŒŠ•
5√ 5√
f ( 2,
2) = 25;
2
2
O
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Ïdf 3D
C
中
中
中
1√
5√
2 ½ −
2.
x=y=
2
2
duëY¼ê3
√
√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 = 9}þ
7
•ŒŠ†• Š,
国
中
^‡4Š£e¤
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
>.þ •ŒŠ•
5√ 5√
f ( 2,
2) = 25;
2
2
• Š•
1√
1√
f (− 2, − 2) = 1.
2
2
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Ïdf 3D
C
中
中
中
1√
5√
2 ½ −
2.
x=y=
2
2
duëY¼ê3
√
√
{(x, y)|(x − 2)2 + (y − 2)2 = 9}þ
7
•ŒŠ†• Š,
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
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大
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M
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大
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M
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大
C
O
C
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C
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C
O
C
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中
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大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
2†f 3DSÜ 4Šf (0, 0) = 0' ,
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
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大
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M
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M
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C
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C
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中
国
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M
C
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中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
2†f 3DSÜ 4Šf (0, 0) = 0' ,
Ò
3Dþ •ŒŠ•25;
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
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M
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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中
国
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学
M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
2†f 3DSÜ 4Šf (0, 0) = 0' ,
Ò
3Dþ •ŒŠ•25;
• Š•0.
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
3^‡x1 + x2 + · · · + xn = a (a•~ê)
e 4Š.
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
f (x1 , x2 , · · · , xn ) = x1 x2 · · · xn
O
C
O
O
C
xi ≥ 0 (i = 1, 2, · · · , n), ¦¼ê
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
~5.
国
中
^‡4Š£e¤
中
3^‡x1 + x2 + · · · + xn = a (a•~ê)
e 4Š.
C
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
f (x1 , x2 , · · · , xn ) = x1 x2 · · · xn
O
C
O
O
C
xi ≥ 0 (i = 1, 2, · · · , n), ¦¼ê
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
~5.
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
)µŠ9ϼê
F (x1 , x2 , · · · , xn ) = f (x1 , x2 , · · · , xn )
+λ(x1 + x2 + · · · + xn − a),
国
中
^‡4Š£e¤
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
)•§|


Fx1 = x2 x3 · · · xn + λ = 0,




 Fx2 = x1 x3 · · · xn + λ = 0,
·········



Fxn = x1 x2 · · · xn−1 + λ = 0,



x1 + x2 + · · · + xn = a,
国
中
^‡4Š£e¤
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
a n−1
λ=−
.
n
中
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
O
C
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
a
x1 = x2 = · · · = xn = ,
n
C
中
中
中
中
)•§|


Fx1 = x2 x3 · · · xn + λ = 0,




 Fx2 = x1 x3 · · · xn + λ = 0,
·········



Fxn = x1 x2 · · · xn−1 + λ = 0,



x1 + x2 + · · · + xn = a,
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
a a
a
, ,··· ,
´•˜7:,
n n
n
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
a a
a
, ,··· ,
´•˜7:, …
n n
n
a a
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f , ,··· ,
=
.
n n
n
n
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
中
国
大
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M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
3¼ê ½Â• >.þ,
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≡ 0,
C
中
中
中
中
a a
a
, ,··· ,
´•˜7:, …
n n
n
a a
a a n
f , ,··· ,
=
.
n n
n
n
国
中
^‡4Š£e¤
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
3¼ê ½Â• >.þ,
a n
,
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≡ 0, ¤±fmax =
n
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
a a
a
, ,··· ,
´•˜7:, …
n n
n
a a
a a n
f , ,··· ,
=
.
n n
n
n
国
中
^‡4Š£e¤
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
3¼ê ½Â• >.þ,
a n
,=
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≡ 0, ¤±fmax =
n
a n x + x + · · · + x n
1
2
n
=
.
x1 x2 · · · xn ≤
n
n
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
a a
a
, ,··· ,
´•˜7:, …
n n
n
a a
a a n
f , ,··· ,
=
.
n n
n
n
国
中
^‡4Š£e¤
国
O
M
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大
O
M
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M
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大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
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中
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M
C
O
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国
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M
C
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中
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大
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M
C
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M
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√
x1 + x2 + · · · + xn
n
x1 x2 · · · xn ≤
,
n
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
O
O
C
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中
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M
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C
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M
C
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中
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M
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O
M
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AÛ²þŠØŒu§
大
O
中
国
大
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M
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中
国
大
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M
O
中
国
大
学
M
=n‡ ê
²þŠ.
O
C
中
O
C
中
O
C
中
ddŒ
√
x1 + x2 + · · · + xn
n
x1 x2 · · · xn ≤
,
n
国
中
^‡4Š£e¤
国
中
O
M
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O
M
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C
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C
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C
O
C
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C
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中
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M
C
O
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中
国
大
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M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
2. .‚KF¦ê{
国
O
M
学
大
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中
国
大
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M
(µ
1. ^‡4Š
中
国
中
国
中
中
中
中
中
^‡4Š£e¤
国
中
国
中
国
中
国
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M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
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õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
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中
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国
大
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中
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国
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中
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中
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中
中
中
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Ÿþ CqŠ•:
大
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国
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国
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国
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国
中
国
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中
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国
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中
国
大
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国
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国
大
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M
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中
国
大
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M
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中
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国
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中
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(AÛ/NΩŒ±´²¡!˜m«•, ²¡!
˜m -‚ã, ½ö´˜m ˜¡-¡),
国
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
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国
大
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M
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(AÛ/NΩŒ±´²¡!˜m«•, ²¡!
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—ݼê•ëY¼êµ = f (M ).
国
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
中
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大
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大
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国
大
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国
大
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(AÛ/NΩŒ±´²¡!˜m«•, ²¡!
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—ݼê•ëY¼êµ = f (M ).
国
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
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大
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中
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(AÛ/NΩŒ±´²¡!˜m«•, ²¡!
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国
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
中
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大
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(1)©•:
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(AÛ/NΩŒ±´²¡!˜m«•, ²¡!
˜m -‚ã, ½ö´˜m ˜¡-¡), Ù
—ݼê•ëY¼êµ = f (M ).
国
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
C
中
国
大
学
M
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O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
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O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
3∆Ωi þŸþ CqŠ•:
∆mi ≈ f (Mi )∆Ωi .
M
学
中
国
大
学
M
C
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大
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òÙÝþP•∆Ωi .
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中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
国
中
国
中
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大
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中
中
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M
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国
中
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中
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(3)¦Ú:
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M
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n
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M
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中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
(3)¦Ú:
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i=1
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n
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‡/N Ÿþ CqŠ•:
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∆mi ≈
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中
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中
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:Mi ∈ ∆Ωi , ŠÚª
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国
大
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M
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国
中
国
中
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中
中
中
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中
国
大
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中
中
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中
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中
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C
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C
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õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(þ)
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M
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M
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C
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C
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f (M )dΩ• ÈLˆª.
学
大
f (Mi )∆Ωi
大
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f (M )dΩ = lim
Ω
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Ω
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中
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中
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M
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Z
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C
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中
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中
中
中
中
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大
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ZZ
n
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中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
1˜.-‚È©(él• -‚È©):
国
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M
学
大
O
M
学
大
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M
学
大
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M
学
大
C
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C
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C
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C
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C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
1˜.-‚È©(él• -‚È©):
AÛ/N•˜m½²¡-‚ã L
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
中
国
大
学
M
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C
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国
大
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M
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C
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C
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国
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M
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M
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i=1
中
国
大
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M
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L
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中
国
大
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M
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国
大
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M
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C
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AÛ/N•˜m½²¡-‚ã L
Z
n
X
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国
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
O
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中
国
大
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M
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中
国
大
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M
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国
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M
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i=1
大
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f (ξi , ηi , ζi )∆si
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M
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f (x, y, z)ds = lim
n
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M
d→0
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大
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M
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1˜.-‚È©(él• -‚È©):
AÛ/N•˜m½²¡-‚ã L
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f (x, y)ds = lim
f (ξi , ηi )∆si
国
中
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中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
中
国
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M
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大
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中
大
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M
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f (x, y, z)ds = lim
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M
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国
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国
大
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1˜.-‚È©(él• -‚È©):
AÛ/N•˜m½²¡-‚ã L
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f (x, y)ds = lim
f (ξi , ηi )∆si
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õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
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M
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国
中
国
中
国
中
中
中
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中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
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国
中
国
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中
中
中
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õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
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国
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M
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大
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M
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中
中
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国
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中
中
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M
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C
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国
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M
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国
大
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M
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中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
3. êþŠ¼êÈ© AÛÚÔn¿Â
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M
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大
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国
大
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国
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C
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国
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M
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C
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国
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M
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国
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国
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M
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国
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中
中
中
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国
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国
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中
õ êþŠ¼êÈ© Vg†5Ÿ(e)
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中
国
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国
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国
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中
中
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国
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M
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国
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国
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国
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国
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M
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大
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M
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国
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Z
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国
中
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大
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M
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Z
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中
国
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M
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国
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† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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´±D >.-‚•O‚
1‚²1uz¶ Ρ,
§ º´-¡
z = f (x, y) (f (x, y) ≥ 0)
…3DþëY. ù«áN¡
•-ºÎN.
O
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国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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§ º´-¡
z = f (x, y) (f (x, y) ≥ 0)
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C
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中
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中
国
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中
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† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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国
中
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中
国
大
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M
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中
国
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国
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大
中
国
大
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国
大
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M
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国
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M
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O
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C
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† ‹IXe -È© OŽ(þ)
(1)©•:
中
C
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大
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M
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中
国
大
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M
O
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•, ¿±∆σi (i = 1, 2, · · · , n)
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±z‡f• >.-‚•O
‚, Š1‚²1uz ¶ Î
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O
C
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(1)©•:
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
中
国
大
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M
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M
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(1)©•:
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(þ)
国
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国
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M
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M
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(2)Cq:
中
国
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国
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中
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† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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国
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国
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国
大
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M
∀(ξi , ηi ) ∈ ∆σi (i = 1, 2 · · · , n),
^±f (ξi , ηi )•p, ∆σi •. ²ºÎN N
È5Cq“O1i‡ -ºÎN NÈ, =
国
中
O
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C
(2)Cq:
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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中
国
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M
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国
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M
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C
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国
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国
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国
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† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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国
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C
中
国
大
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M
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国
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M
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M
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大
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中
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国
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中
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O
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n
X
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中
国
大
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M
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国
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C
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国
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中
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国
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国
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国
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† ‹IXe -È© OŽ(þ)
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中
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C
O
C
O
C
O
(xy 2 + y cos y + 2)dσ =
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
-È©
中
O
M
学
大
C
O
x2 +y 2 ≤1
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
~7.
ZZ
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
.
国
O
M
学
大
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
2π
中
国
C
O
(xy 2 + y cos y + 2)dσ =
中
国
大
学
M
-È©
中
O
M
学
大
C
O
x2 +y 2 ≤1
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
~7.
ZZ
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
ª´Ä¤áº
C
Á¯e
中
国
大
学
M
D
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~8. D´xOy²¡þ±(1, 1), (−1, 1) Ú
(−1, −1) •º: n /«•, D1 ´D31
˜–• Ü©, ZZ
I=
(xy + cos x sin y)dxdy
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
O
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
国
大
D1
中
大
学
M
O
O
C
Á¯e
C
ª´Ä¤áº
ZZ
(1) I = 2
xydxdy;
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
D
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~8. D´xOy²¡þ±(1, 1), (−1, 1) Ú
(−1, −1) •º: n /«•, D1 ´D31
˜–• Ü©, ZZ
I=
(xy + cos x sin y)dxdy
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
cos x sin ydxdy;
中
国
大
学
M
C
O
O
ZZ
中
O
M
学
大
C
O
D1
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
(2) I = 2
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
(3) I = 4
O
O
C
中
C
O
O
(xy + cos x sin y)dxdy.
中
国
大
学
M
ZZ
中
国
大
学
M
D1
中
O
O
中
国
大
学
M
C
中
cos x sin ydxdy;
O
(2) I = 2
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
D1
国
中
ZZ
中
国
大
学
M
O
C
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
(3) eÈ©«•D'u†‚y = xé¡, K
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
D
大
中
国
大
学
M
O
O
C
D
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) eÈ©«•D'u†‚y = xé¡, K
ZZ
ZZ
f (x, y)dσ =
f (y, x)dσ
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
qeD = D1 ∪ D2 , …D1 †D2 'u†
‚y = xé¡, K
大
C
中
C
O
中
国
大
学
M
D
O
C
O
O
D
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) eÈ©«•D'u†‚y = xé¡, K
ZZ
ZZ
f (x, y)dσ =
f (y, x)dσ
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
O
O
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
M
O
O
C
O
O
M
学
D2
大
中
国
大
学
M
O
O
C
qeD = D1 ∪ D2 , …D1 †D2 'u†
‚y = xé¡, K
ZZ
ZZ
f (x, y)dσ =
f (y, x)dσ
D1
C
中
C
O
中
国
大
学
M
D
O
C
O
O
D
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) eÈ©«•D'u†‚y = xé¡, K
ZZ
ZZ
f (x, y)dσ =
f (y, x)dσ
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
.
C
x2 +y 2 ≤R2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
f (x)ëY…ðØ•", y²:
ZZ
af (x) + bf (y)
a+b 2
dxdy =
πR
I=
f (x) + f (y)
2
C
~9.
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
.y²: Ï•È©«•D : x2 + y 2 ≤ R '
uy = xé¡, ¤±k
O
C
O
O
O
O
中
国
大
学
M
x2 +y 2 ≤R2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
f (x)ëY…ðØ•", y²:
ZZ
af (x) + bf (y)
a+b 2
dxdy =
πR
I=
f (x) + f (y)
2
C
~9.
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
学
大
中
国
大
学
M
O
x2 +y 2 ≤R2
M
O
O
C
.y²: Ï•È©«•D : x2 + y 2 ≤ R '
uy = xé¡, ¤±k
ZZ
af (x) + bf (y)
I =
dxdy
f (x) + f (y)
O
C
O
O
O
O
中
国
大
学
M
x2 +y 2 ≤R2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
f (x)ëY…ðØ•", y²:
ZZ
af (x) + bf (y)
a+b 2
dxdy =
πR
I=
f (x) + f (y)
2
C
~9.
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
O
O
O
O
O
M
国
中
x2 +y 2 ≤R2
大
学
M
O
O
C
.y²: Ï•È©«•D : x2 + y 2 ≤ R '
uy = xé¡, ¤±k
ZZ
af (x) + bf (y)
I =
dxdy
f (x) + f (y)
2
2
x2 +y
Z Z≤R
af (y) + bf (x)
=
dxdy
f (y) + f (x)
学
大
中
国
大
学
M
x2 +y 2 ≤R2
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
f (x)ëY…ðØ•", y²:
ZZ
af (x) + bf (y)
a+b 2
dxdy =
πR
I=
f (x) + f (y)
2
C
~9.
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
O
中
国
大
学
M
af (x) + bf (y) + af (y) + af (x)
dxdy
f (x) + f (y)
C
x2 +y 2 ≤R2
O
O
O
中
国
大
学
M
=
国
中
2I
ZZ
C
中
C
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
M
学
中
国
大
学
大
中
国
大
学
M
y.
O
C
C
O
O
O
C
x2 +y 2 ≤R2
O
O
(a + b)dxdy = (a + b)πR2
O
=
M
中
国
大
学
M
af (x) + bf (y) + af (y) + af (x)
dxdy
f (x) + f (y)
x2 +y
Z2Z≤R2
l
中
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
2I
ZZ
=
国
中
C
中
C
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
†
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
~10. ¦ü‡. Œ»Ñ•R
¤Œ¤ áN NÈ.
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
Ρ
中
C
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
Ρ
ùü‡†
Ρ •§•
x2 + y 2 = R2 9x2 + z 2 = R2 .
eãxѧ‚31˜%• ã/:
O
):
†
O
O
C
~10. ¦ü‡. Œ»Ñ•R
¤Œ¤ áN NÈ.
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
Ρ
ùü‡†
Ρ •§•
x2 + y 2 = R2 9x2 + z 2 = R2 .
eãxѧ‚31˜%• ã/:
O
):
†
O
O
C
~10. ¦ü‡. Œ»Ñ•R
¤Œ¤ áN NÈ.
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
O
C
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
Ρ
ùü‡†
Ρ •§•
x2 + y 2 = R2 9x2 + z 2 = R2 .
eãxѧ‚31˜%• ã/:
O
):
†
O
O
C
~10. ¦ü‡. Œ»Ñ•R
¤Œ¤ áN NÈ.
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
ZZ p
V =8
R2 − x2 dσ
中
国
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
D
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
C
O
O
ZZ p
V =8
R2 − x2 dσ
中
O
M
学
p
R2 − x2 dy
中
国
大
学
M
0
大
dx
国
C
O
√
R2 −x2
中
O
M
学
Z
中
国
大
学
M
0
大
C
O
=8
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
ZD R
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
O
O
C
中
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
0
C
(R2 − x2 )dx
国
=8
0
R
中
Z
p
R2 − x2 dy
中
国
大
学
M
dx
0
C
√
R2 −x2
中
国
大
学
M
=8
Z
O
C
O
O
ZD R
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
ZZ p
V =8
R2 − x2 dσ
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
0
16 3
R.
3
C
(R2 − x2 )dx =
O
0
R
大
=8
p
R2 − x2 dy
国
Z
中
国
大
学
M
dx
0
C
√
R2 −x2
中
=8
Z
O
C
O
O
ZD R
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
ZZ p
V =8
R2 − x2 dσ
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
È©«•D •X .«•;
O
O
C
中
C
O
OŽ
中
国
大
学
M
-È©
O
C
O
O
‹IXe
中
国
大
学
M
2. †
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(µ
1. -È© AÛ¿Â
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
È©«•D QØ´X .•Ø´Y .«
•;
C
È©«•D •Y .«•;
国
中
中
中
中
† ‹IXe -È© OŽ(e)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
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大
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M
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C
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C
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C
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C
O
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
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中
国
大
学
M
C
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O
中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
-È© OŽ(þ)
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
4‹IXe
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
国
中
O
M
学
大
O
M
学
C
O
C
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C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
D
大
C
O
中
国
大
学
M
C
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z•4‹I/ª
国
O
M
学
大
C
O
-È©
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
˜. r
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
ZZ
f (x, y)dxdy
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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大
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O
O
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D
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C
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国
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ZZ
C
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中
中
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中
C
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ρ = ρ1 (ϕ) Ú ρ = ρ2 (ϕ)
(α ≤ ϕ ≤ β)
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O
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D
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(α ≤ ϕ ≤ β)
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国
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学
大
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中
中
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中
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中
中
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国
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1
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(2) Cq
国
中
中
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中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
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2
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= ρi ∆ρi ∆ϕi + (∆ρi )2 ∆ϕi
2
C
(2) Cq
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
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国
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= ρi ∆ρi ∆ϕi + (∆ρi )2 ∆ϕi
2
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C
(2) Cq
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
国
中
国
中
国
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国
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(3) ¦Ú 4•
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(3) ¦Ú 4•
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国
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国
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C
u´f (ξi , ηi ) = f (ρi cos ϕi , ρi sin ϕi ),
O
C
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x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
中
国
大
学
M
'X•
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
† ‹I†4‹I
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国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
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C
中
国
大
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M
O
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C
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M
国
中
国
中
大
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i=1
O
C
M
O
O
f (ρi cos ϕi , ρi sin ϕi )ρi ∆ρi ∆ϕi
学
d→0
大
学
M
O
O
= lim
i=1
n
X
大
C
d→0
中
国
大
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M
u´f (ξi , ηi ) = f (ρi cos ϕi , ρi sin ϕi ),
n
X
lim
f (ξi , ηi )∆σi
O
C
O
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
中
国
大
学
M
'X•
中
国
大
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M
中
国
大
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M
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O
C
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C
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国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
国
中
国
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M
学
大
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C
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中
国
大
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C
O
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国
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M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
dd
-È©l†
‹I úª:
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
中
国
大
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M
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大
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国
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M
O
O
C
D
C
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ
中
=
国
中
ZDZ
‹IC†•4
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
dd
-È©l†
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ZZ
f (x, y)dσ
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
中
国
大
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M
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国
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M
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国
大
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M
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国
大
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M
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大
中
国
大
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M
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O
C
O
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C
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C
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ
中
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国
中
ZDZ
‹IC†•4
中
国
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M
中
国
大
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M
O
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C
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-È©l†
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ZZ
f (x, y)dσ
中
中
中
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M
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中
国
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M
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大
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国
大
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2. r -È©
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
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大
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4‹IXe -È© OŽ(þ)
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中
国
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国
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中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
Ü,
中
C
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大
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国
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国
大
学
M
O
O
C
(1) 4:O uÈ©«•D
Ü, =
D = {(ρ, ϕ)|ρ1 (ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β},
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
中
国
大
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(1) 4:O uÈ©«•D
Ü, =
D = {(ρ, ϕ)|ρ1 (ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β},
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(1) 4:O uÈ©«•D
Ü, =
D = {(ρ, ϕ)|ρ1 (ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β},
C
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρ
ρ1 (ϕ)
国
α
大
dϕ
=
M
ρ2 (ϕ)
学
Z
中
大
学
M
O
ZD β
O
O
C
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ
O
C
ZZ
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(2) 4:O3È©«•D
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
>.,
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
ρ = ρ(ϕ) (α ≤ ϕ ≤ β)
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
>.•§•
国
O
M
学
大
C
O
(2) 4:O3È©«•D
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
D
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
>.,
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
ρ = ρ(ϕ) (α ≤ ϕ ≤ β)
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
>.•§•
国
O
M
学
大
C
O
(2) 4:O3È©«•D
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
D
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
>.,
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
dž,
D = {(ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β},
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
ρ = ρ(ϕ) (α ≤ ϕ ≤ β)
国
中
>.,
O
O
>.•§•
O
D
C
(2) 4:O3È©«•D
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
O
中
国
大
学
M
dž,
D = Z{(ρ,
Z ϕ)|0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β}, K
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
ρ = ρ(ϕ) (α ≤ ϕ ≤ β)
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
学
大
中
国
大
学
M
O
D
M
O
O
C
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ
国
中
>.,
O
O
>.•§•
O
D
C
(2) 4:O3È©«•D
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
O
中
国
大
学
M
dž,
D = Z{(ρ,
Z ϕ)|0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β}, K
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
ρ = ρ(ϕ) (α ≤ ϕ ≤ β)
C
M
O
O
C
M
O
O
C
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学
大
中
国
大
中
国
大
0
学
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρ.
学
dϕ
α
O
ρ(ϕ)
国
=
Z
M
ZD β
中
大
学
M
O
O
C
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ
国
中
>.,
O
O
>.•§•
O
D
C
(2) 4:O3È©«•D
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(3) 4:O3È©«•D
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
SÜ,
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
ρ = ρ(ϕ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π)
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
>.•§•
国
O
M
学
大
C
O
(3) 4:O3È©«•D
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
D
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
SÜ,
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
ρ = ρ(ϕ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π)
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
>.•§•
国
O
M
学
大
C
O
(3) 4:O3È©«•D
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
D
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
SÜ,
中
C
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
D = {(ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ),
0 ≤ ϕ ≤ 2π},
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
ρ = ρ(ϕ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π)
国
中
SÜ,
O
O
>.•§•
O
D
C
(3) 4:O3È©«•D
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
中
C
C
O
O
M
学
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
学
大
国
中
国
中
0
大
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρ.
大
dϕ
0
M
ρ(ϕ)
国
=
Z
中
大
学
M
O
ZD 2π
O
O
C
D = {(ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ),
0 ≤ ϕ ≤ 2π},
ZZ
K
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ
O
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
ρ = ρ(ϕ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π)
国
中
SÜ,
O
O
>.•§•
O
D
C
(3) 4:O3È©«•D
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(þ)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
-È© OŽ(e)
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
4‹IXe
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
gȩ.
中
O
M
学
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
0
大
C
O
C
O
z•4‹Ie
中
中
中
中
√
1−x2
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
中
国
中
Z 1 Z
~1. òÈ©
dx
f (x, y)dy
1−x
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
gȩ.
中
O
M
学
): È©«••
中
国
大
学
M
C
O
O
0
大
C
O
C
O
z•4‹Ie
中
中
中
中
√
1−x2
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
中
国
中
Z 1 Z
~1. òÈ©
dx
f (x, y)dy
1−x
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
): È©«••
√
D = {(x, y)|1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
gȩ.
O
O
中
国
大
学
M
f (x, y)dy
1−x
0
z•4‹Ie
国
中
√
1−x2
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
Z 1 Z
~1. òÈ©
dx
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
): È©«••
√
D = {(x, y)|1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
gȩ.
O
O
中
国
大
学
M
f (x, y)dy
1−x
0
z•4‹Ie
国
中
√
1−x2
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
Z 1 Z
~1. òÈ©
dx
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
4‹
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ù>.-‚éA
I•§©O•
中
国
大
学
M
): È©«••
√
D = {(x, y)|1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
gȩ.
O
O
中
国
大
学
M
f (x, y)dy
1−x
0
z•4‹Ie
国
中
√
1−x2
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
Z 1 Z
~1. òÈ©
dx
中
C
O
中
国
大
学
M
): È©«••
√
D = {(x, y)|1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
gȩ.
O
C
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ù>.-‚éA 4‹
I•§©O•
1
ρ=
Úρ = 1
sin ϕ + cos ϕ
(0 ≤ ϕ ≤ π2 )
中
O
中
国
大
学
M
f (x, y)dy
1−x
0
z•4‹Ie
国
中
√
1−x2
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
Z 1 Z
~1. òÈ©
dx
国
中
O
M
学
大
O
M
学
C
O
C
O
1−x
大
f (x, y)dy
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
1−x2
国
C
O
√
中
O
M
学
Z
中
国
大
学
M
dx
大
C
O
0
1
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
Z
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
Z
O
O
C
中
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
C
大
学
M
O
O
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρ.
1
sin ϕ+cos ϕ
C
dϕ
0
中
1
O
π
2
中
国
大
学
M
f (x, y)dy
1−x
0
=
1−x2
中
国
大
学
M
O
O
C
中
Z
dx
Z
国
中
√
1
Z
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
C
C
D
2
C
ZZ
y
~2. OŽ -È©
arctan dσ, Ù¥
x
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|1 ≤ x + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x}.
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
C
C
D
2
C
ZZ
y
~2. OŽ -È©
arctan dσ, Ù¥
x
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
)µ È©«•z•4‹I«••
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|1 ≤ x + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x}.
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
C
C
D
2
C
ZZ
y
~2. OŽ -È©
arctan dσ, Ù¥
x
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
)µ È©«•z•4‹I«••
n
πo
D = (ρ, ϕ)|1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤
.
4
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|1 ≤ x + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x}.
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
C
C
D
2
C
ZZ
y
~2. OŽ -È©
arctan dσ, Ù¥
x
O
C
国
大
学
M
O
O
C
学
中
国
大
学
国
大
学
大
中
中
1
O
O
0
ρ sin ϕ
ρdρ
ρ cos ϕ
O
arctan
C
dϕ
M
D
2
Z
M
π
4
Z
O
y
arctan dσ =
x
M
O
O
C
ZZ
中
国
大
学
M
)µ È©«•z•4‹I«••
n
πo
D = (ρ, ϕ)|1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤
.
4
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|1 ≤ x + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x}.
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
C
C
D
2
C
ZZ
y
~2. OŽ -È©
arctan dσ, Ù¥
x
O
C
O
O
学
大
国
中
中
国
大
学
大
1
国
0
M
O
1
M
O
O
0
ρ sin ϕ
ρdρ
ρ cos ϕ
O
arctan
C
dϕ
C
2
Z
学
4
=
π
4
Z
M
ZD π
y
arctan dσ =
x
Z 2
dϕ
ϕ · ρdρ
中
大
学
M
O
O
C
ZZ
中
国
大
学
M
)µ È©«•z•4‹I«••
n
πo
D = (ρ, ϕ)|1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤
.
4
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|1 ≤ x + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x}.
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
C
C
D
2
C
ZZ
y
~2. OŽ -È©
arctan dσ, Ù¥
x
O
C
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
M
O
O
C
O
O
学
大
国
0
学
4
=
M
ZD π
Z π
Z 2
4
y
ρ sin ϕ
dϕ
arctan
arctan dσ =
ρdρ
x
ρ cos ϕ
0
1
Z 2
Z π
Z 2
4
3π 2
dϕ
ϕ · ρdρ =
ϕdϕ ·
ρdρ =
.
64
1
0
1
中
大
学
M
O
O
C
ZZ
中
国
大
学
M
)µ È©«•z•4‹I«••
n
πo
D = (ρ, ϕ)|1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤
.
4
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|1 ≤ x + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x}.
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
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M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
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国
大
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M
中
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大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
D
C
ZZ p
~3. OŽ -È©
x2 + y 2 dσ, Ù¥
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
): È©«•z•4‹I«••
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
D
C
ZZ p
~3. OŽ -È©
x2 + y 2 dσ, Ù¥
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
): È©«•z•4‹I«••
n
π
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, − ≤ ϕ ≤
.
4
4
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
D
C
ZZ p
~3. OŽ -È©
x2 + y 2 dσ, Ù¥
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
O
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M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
大
中
国
大
学
M
D
学
M
O
O
C
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x2 + y 2 dσ
C
): È©«•z•4‹I«••
n
π
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, − ≤ ϕ ≤
.
4
4
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
D
C
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~3. OŽ -È©
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国
中
中
中
中
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中
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n
π
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D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, − ≤ ϕ ≤
.
4
4
C
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C
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M
学
中
国
大
学
中
国
大
学
大
中
国
大
C
O
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C
O
O
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ρ · ρdρ
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M
D
Z
M
π
4
− π4
学
M
O
O
C
ZZ p
Z
2
2
x + y dσ =
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
D
C
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x2 + y 2 dσ, Ù¥
国
中
中
中
中
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中
): È©«•z•4‹I«••
n
π
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, − ≤ ϕ ≤
.
4
4
C
O
O
C
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
O
0
学
cos3 ϕdϕ
2 cos ϕ
ρ · ρdρ
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中
− π4
Z
大
π
4
国
DZ
8
=
3
π
4
− π4
中
大
学
M
O
O
C
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Z
2
2
x + y dσ =
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
D
C
ZZ p
~3. OŽ -È©
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国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
): È©«•z•4‹I«••
n
π
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, − ≤ ϕ ≤
.
4
4
C
O
O
C
M
O
O
C
O
M
学
中
国
大
学
(1 − sin2 ϕ)d sin ϕ
大
− π4
国
π
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O
C
O
O
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ρ · ρdρ
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M
学
Z
中
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8
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3
3
大
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国
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8
=
3
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4
− π4
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大
学
M
O
O
C
ZZ p
Z
2
2
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
D
C
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x2 + y 2 dσ, Ù¥
国
中
中
中
中
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中
): È©«•z•4‹I«••
n
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πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, − ≤ ϕ ≤
.
4
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C
O
O
C
O
O
C
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国
大
学
M
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2.
9
中
M
学
大
− π4
(1 − sin2 ϕ)d sin ϕ =
国
π
4
0
O
C
O
O
Z
2 cos ϕ
ρ · ρdρ
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M
学
Z
中
− π4
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DZ
8
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中
大
学
M
O
O
C
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Z
2
2
x + y dσ =
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
D = {(x, y)|0 ≤ |y| ≤ x, x2 + y 2 ≤ 2x}.
O
C
C
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C
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x2 + y 2 dσ, Ù¥
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
国
中
O
M
学
大
O
M
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C
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C
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C
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中
国
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M
C
O
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中
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
C
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0
大
C
O
C
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+∞
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
Z
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
e−x dx.
2
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M
学
大
C
O
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O
中
国
大
学
M
C
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2
国
C
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中
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0
M
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中
国
大
学
M
+∞
学
Z
大
−x2
O
0
C
O
+∞
+∞
国
C
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e
中
国
大
学
M
C
O
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中
O
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学
大
C
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国
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M
学
大
中
国
大
学
M
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中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
e−x dx.
2
+∞
中
C
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O
O
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2
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中
国
大
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M
O
O
C
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M
O
O
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M
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中
国
大
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M
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O
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中
国
大
学
M
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2
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中
国
大
学
M
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+∞
国
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+∞
Z
中
Z
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O
+∞
中
国
大
学
M
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国
大
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中
+∞
Z
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中
中
中
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中
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大
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国
大
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中
国
大
学
M
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中
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C
2
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C
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M
O
C
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中
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0
中
国
大
学
M
e
Z
2
e−y dy, u´
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O
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+∞
中
国
大
学
M
+∞
Z
C
Z
O
O
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0
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O
+∞
中
国
大
学
M
I
Z
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0
C
O
O
中
国
大
学
M
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国
中
+∞
Z
~4. OŽÃ¡È©
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
C
O
O
C
O
O
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O
O
O
M
O
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M
+y 2 )
C
2
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C
0
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中
国
大
学
大
国
中
中
国
大
学
٥ȩ«• D = {(x, y)|x ≥ 0, y ≥ 0}.
学
大
2
e−y dy
dx ·
M
O
C
=
+∞
M
Z0Z
0
中
国
大
学
M
e
Z
2
e−y dy, u´
dx =
O
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−x2
+∞
中
国
大
学
M
+∞
Z
C
Z
O
O
e
0
2
−x2
O
+∞
中
国
大
学
M
I
Z
2
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0
C
O
O
中
国
大
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M
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国
中
+∞
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~4. OŽÃ¡È©
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
国
中
国
中
国
中
国
中
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M
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大
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M
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大
O
M
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大
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M
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大
C
O
C
O
C
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C
O
C
O
O
中
国
大
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M
C
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中
国
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M
C
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O
中
国
大
学
M
C
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中
国
大
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M
中
中
中
中
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z•4‹I«••
国
O
M
学
大
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M
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C
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C
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国
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M
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O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
z•4‹I«••
n
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ ≤
2
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
O
O
O
M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
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中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
C
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n
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ ≤
2
ZZ
2
2
2
I =
e−(x +y ) dxdy
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
国
大
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M
O
O
O
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
0
C
0
2
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中
国
大
学
M
+∞
Z
中
2
O
C
O
O
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中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
z•4‹I«••
n
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ ≤
2
ZZ
2
2
2
I =
e−(x +y ) dxdy
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
C
O
π
.
4
C
0
C
0
2
e−ρ ρdρ =
dϕ
=
中
国
大
学
M
+∞
Z
中
2
O
C
O
O
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中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
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πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ ≤
2
ZZ
2
2
2
I =
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国
中
中
中
中
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C
中
国
大
学
M
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O
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国
大
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M
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大
中
国
大
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中
国
大
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M
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.
4
0
√
Z +∞
π
2
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.
2
0
2
e−ρ ρdρ =
学
O
C
0
O
+∞
dϕ
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M
Z
中
2
O
C
O
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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n
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ ≤
2
ZZ
2
2
2
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国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
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O
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中
国
大
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M
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大
国
国
大
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O
O
C
M
O
O
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l
中
国
大
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M
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.
4
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Z +∞
π
2
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e−x dx =
.
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中
M
O
O
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0
学
+∞
dϕ
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大
Z
中
2
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C
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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n
πo
D = (ρ, ϕ)|0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ ≤
2
ZZ
2
2
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I =
e−(x +y ) dxdy
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
国
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M
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M
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国
大
学
M
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国
大
学
M
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中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
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国
大
学
M
O
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C
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C
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M
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ZZ
): dé¡5, ¡ÈS = 3
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中
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
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大
中
国
大
学
M
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C
´n“p4‚31˜–•¤/¤
国
中
中
中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
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C
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国
大
学
M
中
国
大
学
M
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C
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大
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中
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中
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中
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0
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国
大
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中
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M
Ù¥D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1, x + y ≥ 1}.
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国
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中
中
4‹IXe -È© OŽ(e)
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国
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M
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国
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中
中
中
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国
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M
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M
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国
中
中
中
中
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国
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国
大
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中
中
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国
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国
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国
O
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学
大
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中
国
大
学
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国
O
M
学
大
C
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中
国
O
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学
大
中
国
大
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M
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中
国
中
中
中
中
中
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国
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国
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˜„† {
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M
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国
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中
中
中
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C†T : x = x(u, v), y = y(u, v) òxOy²¡
þ 4«•DC•uOv²¡þ D0 , …÷v:
国
中
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中
国
大
学
M
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国
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M
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M
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国
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M
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中
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þ 4«•DC•uOv²¡þ D0 , …÷v:
国
中
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O
中
国
大
学
M
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O
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国
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学
M
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M
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大
中
国
大
学
M
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C
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中
国
大
学
M
(1) x(u, v), y(u, v)3D0 þk˜ ëY
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国
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国
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M
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国
大
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M
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中
中
中
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国
中
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中
国
大
学
M
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中
国
大
学
M
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M
学
国
大
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中
大
学
M
O
O
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6= 0;
∂(u, v)
C
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中
国
大
学
M
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国
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M
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中
中
中
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C†T : x = x(u, v), y = y(u, v) òxOy²¡
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国
中
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中
国
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国
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国
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M
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O
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国
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M
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国
大
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中
国
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M
中
中
中
中
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† úª.
x = ρ cos ϕ
,
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y = ρ sin ϕ
KJacobi1 ª•
国
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C
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国
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中
中
中
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中
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国
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中
国
大
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M
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O
C
中
C
中
国
大
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M
O
O
C
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中
国
大
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M
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f (x, y)dxdy
O
C
O
O
中
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大
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M
ZDZ
˜„† {
中
中
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D
C
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M
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M
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国
中
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C
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C
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C
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C
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D = (x, y) 2 + 2 ≤ 1
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中
国
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M
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国
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国
大
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M
C†T : x = aρ cos ϕ, y = bρ sin ϕ, òxOy²
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中
国
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M
C
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D0 = {(ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}
大
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M
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O
C
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o
x2 y 2
D = (x, y) 2 + 2 ≤ 1
a
b
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中
国
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M
中
国
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国
大
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M
C†T : x = aρ cos ϕ, y = bρ sin ϕ, òxOy²
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中
国
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M
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国
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M
…Jacobi1 ª•
∂(x, y)
J(ρ, ϕ) =
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∂(ρ, ϕ)
国
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…Jacobi1 ª•
∂(x, y) a cos ϕ −aρ sin ϕ
J(ρ, ϕ) =
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∂(ρ, ϕ)
b sin ϕ bρ cos ϕ
国
中
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M
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M
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…Jacobi1 ª•
∂(x, y) a cos ϕ −aρ sin ϕ
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O
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…Jacobi1 ª•
∂(x, y) a cos ϕ −aρ sin ϕ
J(ρ, ϕ) =
=
= abρ
∂(ρ, ϕ)
b sin ϕ bρ cos ϕ
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中
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M
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中
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…Jacobi1 ª•
∂(x, y) a cos ϕ −aρ sin ϕ
J(ρ, ϕ) =
=
= abρ
∂(ρ, ϕ)
b sin ϕ bρ cos ϕ
国
中
-È©
中
中
中
中
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C
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M
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大
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1 − 2 − 2 dxdy,
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中
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M
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Ù¥D•ý
+
= 1¤Œ¤ «•.
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x = aρ cos ϕ
) Š2Â4‹IC†
,
y = bρ sin ϕ
3dC†eò«•DéA•«•
O
C
中
国
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M
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中
国
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M
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国
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1 − 2 − 2 dxdy,
a
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中
中
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中
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+
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) Š2Â4‹IC†
,
y = bρ sin ϕ
3dC†eò«•DéA•«•
D0 = {(ρ, ϕ)|0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}
C
中
国
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M
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D
中
国
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M
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国
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M
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1 − 2 − 2 dxdy,
a
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中
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国
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1 − 2 − 2 dxdy
a
b
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国
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C
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国
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M
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国
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中
国
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x2 y 2
1 − 2 − 2 dxdy
a
b
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国
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M
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大
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M
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国
大
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M
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中
中
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中
国
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国
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中
国
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M
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M
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C
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中
国
大
学
大
中
国
大
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M
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0
M
0
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1 − ρ2 ρdρ
M
O
C
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国
大
学
M
O
中
国
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M
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中
国
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M
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O
中
O
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中
O
C
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x2 y 2
1 − 2 − 2 dxdy
a
b
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=
1 − ρ2 · abρdρdϕ
国
中
-È©
C
O
O
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
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M
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O
C
中
C
O
O
中
国
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M
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国
大
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M
0
O
C
Z 1p
2
dϕ
1 − ρ2 ρdρ = πab.
3
0
M
O
C
= ab
2π
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
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中
国
大
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M
D0 Z
O
中
O
C
中
O
C
中
˜„† {
ZZ r
x2 y 2
1 − 2 − 2 dxdy
a
b
ZDZ p
=
1 − ρ2 · abρdρdϕ
国
中
-È©
国
O
M
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大
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M
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C
O
C
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C
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国
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M
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M
C
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ZZ
~2. OŽ
xydxdy, Ù¥
中
国
O
M
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M
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国
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M
D
中
中
中
中
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中
国
中
国
中
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2
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O
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
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M
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C
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国
大
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M
C
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O
M
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M
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国
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M
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国
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M
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O
C
O
O
O
C
O
C
O
O
D
Ddy = x, y 2 = 2x, xy = 2, xy = 3 Œ¤.
2
C
中
中
中
中
˜„† {
ZZ
~2. OŽ
xydxdy, Ù¥
国
中
-È©
O
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M
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C
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国
大
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M
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M
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M
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M
O
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M
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M
O
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O
C
O
C
O
O
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Ddy = x, y 2 = 2x, xy = 2, xy = 3 Œ¤.

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
u=
) ŠC†T :
x ,
 v = xy
2
C
中
中
中
中
˜„† {
ZZ
~2. OŽ
xydxdy, Ù¥
国
中
-È©
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
中
国
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M
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C
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国
大
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M
中
国
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M
O
O
C
中
国
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M
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
C
O
O
O
C
O
C
O
O
D
Ddy = x, y 2 = 2x, xy = 2, xy = 3 Œ¤.

(
1 2
y2

x = u− 3 v 3
u=
) ŠC†T :
,
1
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 v = xy
y = (uv) 3
2
C
中
中
中
中
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ZZ
~2. OŽ
xydxdy, Ù¥
国
中
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O
C
国
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M
O
O
C
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国
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M
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C
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国
大
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M
O
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C
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M
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大
中
国
大
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M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
…C†ò«•DC†•
D0 = {(u, v)|1 ≤ u ≤ 2, 2 ≤ v ≤ 3},
O
C
O
O
O
C
O
C
O
O
D
Ddy = x, y 2 = 2x, xy = 2, xy = 3 Œ¤.

(
1 2
y2

x = u− 3 v 3
u=
) ŠC†T :
,
1
x ,K
 v = xy
y = (uv) 3
2
C
中
中
中
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˜„† {
ZZ
~2. OŽ
xydxdy, Ù¥
国
中
-È©
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
-È©
Jacobi1 ª•
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
∂(x, y)
∂(u, v)
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
J(u, v) =
-È©
Jacobi1 ª•
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
∂(x, y)
1
=
∂(u, v) ∂(u, v)
∂(x, y)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
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J(u, v) =
-È©
Jacobi1 ª•
中
中
中
中
˜„† {
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
中
国
大
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M
O
O
O
M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
∂(x, y)
1
1
=
=
2
∂(u, v) ∂(u, v)
y 2y
− 2
∂(x, y)
x
x
y
x
C
中
国
大
学
M
O
O
J(u, v) =
中
国
大
学
M
C
Jacobi1 ª•
国
中
-È©
中
中
中
中
˜„† {
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
J(u, v) =
C
∂(x, y)
1
1
=
=
2
∂(u, v) ∂(u, v)
y 2y
− 2
∂(x, y)
x
x
y
x
1
1
=
2 = − 3u ,
3y
−
x
C
C
Jacobi1 ª•
国
中
-È©
中
中
中
中
˜„† {
C
C
O
M
学
大
国
中
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
1
dudv
3u
O
D0
D
O
C
v· −
O
O
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
O
J(u, v) =
O
C
xydxdy =
C
ZZ
∂(x, y)
1
1
=
=
2
∂(u, v) ∂(u, v)
y 2y
− 2
∂(x, y)
x
x
y
x
1
1
=
2 = − 3u ,
3y
−
x
ZZ
C
Jacobi1 ª•
国
中
-È©
中
中
中
中
˜„† {
C
O
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
中
国
大
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M
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M
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大
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国
大
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M
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D
O
O
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v· −
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
1
dudv
3u
D0Z
Z 3
1 21
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vdv
3 1 u
2
O
中
国
大
学
M
O
O
J(u, v) =
O
C
xydxdy =
C
ZZ
∂(x, y)
1
1
=
=
2
∂(u, v) ∂(u, v)
y 2y
− 2
∂(x, y)
x
x
y
x
1
1
=
2 = − 3u ,
3y
−
x
ZZ
C
Jacobi1 ª•
国
中
-È©
中
中
中
中
˜„† {
C
O
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
O
M
学
大
中
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大
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M
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D
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C
v· −
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
1
dudv
3u
D0Z
Z 3
1 21
5
=
du
vdv = ln 2.
3 1 u
6
2
O
中
国
大
学
M
O
O
J(u, v) =
O
C
xydxdy =
C
ZZ
∂(x, y)
1
1
=
=
2
∂(u, v) ∂(u, v)
y 2y
− 2
∂(x, y)
x
x
y
x
1
1
=
2 = − 3u ,
3y
−
x
ZZ
C
Jacobi1 ª•
国
中
-È©
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
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M
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C
O
C
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
/«•Œ¤.
中
国
大
学
M
D
O
O
中
国
大
学
M
中
y−x
e y+x dxdy, Ù¥D´±:(0, 0),
C
C
˜„† {
(1, 0) Ú(0, 1) •º: n
国
中
-È©
中
中
~3. OŽ
ZZ
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
C
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M
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大
中
国
大
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M
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C
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C
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中
国
大
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M
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国
大
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M
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C
/«•Œ¤.
中
国
大
学
M
D
O
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中
国
大
学
M
) ŠC†
中
y−x
e y+x dxdy, Ù¥D´±:(0, 0),
C
C
˜„† {
(1, 0) Ú(0, 1) •º: n
国
中
-È©
中
中
~3. OŽ
ZZ
中
中
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C
O
国
大
学
M
O
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C
中
国
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M
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M
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M
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M
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M
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中
国
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M
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国
大
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M
O
D
C
e y+x dxdy, Ù¥D´±:(0, 0),
C
C
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(1, 0) Ú(0, 1) •º: n /«•Œ¤.
u = y − x,
) ŠC†T :
,K
v =y+x
国
中
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中
中
~3. OŽ
ZZ
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C
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M
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C
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M
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M
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大
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M
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M
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M
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大
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M
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O
中
国
大
学
M
大
中
中
D
C
e y+x dxdy, Ù¥D´±:(0, 0),
C
C
˜„† {
(1, 0) Ú(0, 1) •º: n /«•Œ¤.
u = y − x,
x = −u+v
2 , ,
) ŠC†T :
,K
u+v
v =y+x
y= 2
国
中
-È©
中
中
~3. OŽ
ZZ
中
中
y−x
C
O
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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中
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大
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M
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
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国
大
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M
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中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
大
中
中
D
C
e y+x dxdy, Ù¥D´±:(0, 0),
C
C
˜„† {
(1, 0) Ú(0, 1) •º: n /«•Œ¤.
u = y − x,
x = −u+v
2 , ,
) ŠC†T :
,K
u+v
v =y+x
y= 2
ò«•D >.-‚:
y = 0(0 ≤ x ≤ 1), x = 0(0 ≤ y ≤ 1)
9x + y = 1(0 ≤ x ≤ 1) ©OC†•uv²¡
þ n^†‚ã:
国
中
-È©
中
中
~3. OŽ
ZZ
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
O
O
M
O
C
D
C
C
y−x
e y+x dxdy, Ù¥D´±:(0, 0),
学
大
˜„† {
(1, 0) Ú(0, 1) •º: n /«•Œ¤.
u = y − x,
x = −u+v
2 , ,
) ŠC†T :
,K
u+v
v =y+x
y= 2
ò«•D >.-‚:
y = 0(0 ≤ x ≤ 1), x = 0(0 ≤ y ≤ 1)
9x + y = 1(0 ≤ x ≤ 1) ©OC†•uv²¡
þ n^†‚ã:
v = −u(−1 ≤ u ≤ 0), v = u(0 ≤ u ≤ 1)
9v = 1(−1 ≤ u ≤ 1),
中
国
大
学
M
国
中
-È©
中
中
~3. OŽ
ZZ
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
∂(x, y)
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中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
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国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
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O
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国
大
学
M
1
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2
中
O
M
学
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
1
2
1
2
大
C
O
C
O
∂(x, y) − 12
= 1
J(u, v) =
∂(u, v)
2
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
-È©
1
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2
ZZ
u
O
O
C
O
C
中
中
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中
国
大
学
M
y−x
y+x
1
=− ,
2
O
C
C
O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
C
D0
D
中
e
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ZZ
1
2
1
2
中
国
大
学
M
中
中
˜„† {
∂(x, y) − 12
= 1
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∂(u, v)
2
国
中
-È©
O
O
C
O
C
中
中
C
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国
大
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M
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国
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M
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中
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大
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1 1
=
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y−x
y+x
1
=− ,
2
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ZZ
1
2
1
2
中
国
大
学
M
中
中
˜„† {
∂(x, y) − 12
= 1
J(u, v) =
∂(u, v)
2
国
中
-È©
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
C
ZZ
u
1
e dxdy =
e v dudv
2
DZ
D0
Z v
1
u
1
1
1
=
dv
e v du = (e − ).
2 0
4
e
−v
y−x
y+x
C
中
中
1
=− ,
2
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ZZ
1
2
1
2
中
国
大
学
M
中
中
˜„† {
∂(x, y) − 12
= 1
J(u, v) =
∂(u, v)
2
国
中
-È©
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
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ŠCþ“†, ̇•Ä±eü‡•¡:
中
国
O
M
学
大
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M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
-È©
O
M
学
大
C
O
C
O
C
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O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
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国
O
M
学
大
C
O
C
O
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ŠCþ“†, ̇•Ä±eü‡•¡:
中
国
O
M
学
大
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M
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大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
C†
-È©
O
M
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大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ȼê´ÄN´È©
国
O
M
学
大
C
O
C
O
中
国
大
学
M
l±þ~KŒ±wÑ, -È©´Ä‡
ŠCþ“†, ̇•Ä±eü‡•¡:
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
gȩ
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
C†
-È©
þe•´ÄC {ü
O
M
学
大
C
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C
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中
国
大
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M
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−1
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C
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中
国
大
学
M
C
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O
中
国
大
学
M
C
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中
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M
学
大
C
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C
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ZZ
国
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M
学
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大
中
国
大
学
M
|x|+|y|≤1
中
中
中
中
˜„† {
中
国
中
国
中
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-È©
1
f (u)du.
O
M
学
大
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
−1
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O
f (x + y)dxdy =
国
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
Z
中
O
M
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C
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中
国
大
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M
C
O
O
ZZ
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O
M
学
大
C
O
|x|+|y|≤1
中
中
中
中
˜„† {
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
y² ŠC†
中
国
中
~4. y²
-È©
1
f (u)du.
Z
中
1
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
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,
v =x−y
C
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−1
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
|x|+|y|≤1
C
f (u)du.
f (x + y)dxdy =
O
ZZ
C
O
O
中
国
大
学
M
˜„† {
中
中
中
~4. y²
国
中
-È©
Z
中
1
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
,
中
国
大
学
M
O
u+v
2
u−v
2
C
u=x+y
x=
,K
v =x−y
y=
C
y² ŠC†T :
−1
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
|x|+|y|≤1
C
f (u)du.
f (x + y)dxdy =
O
ZZ
C
O
O
中
国
大
学
M
˜„† {
中
中
中
~4. y²
国
中
-È©
Z
中
1
u+v
2
u−v
2
,
C
O
O
O
u=x+y
x=
,K
v =x−y
y=
中
国
大
学
M
y² ŠC†T :
−1
中
国
大
学
M
C
O
中
国
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M
O
|x|+|y|≤1
C
f (u)du.
f (x + y)dxdy =
O
ZZ
C
O
O
中
国
大
学
M
˜„† {
中
中
中
~4. y²
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
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C†•uOv²¡ Ý/•:
国
中
-È©
Z
中
1
u+v
2
u−v
2
,
C
O
O
O
u=x+y
x=
,K
v =x−y
y=
中
国
大
学
M
y² ŠC†T :
−1
中
国
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M
C
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中
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M
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|x|+|y|≤1
C
f (u)du.
f (x + y)dxdy =
O
ZZ
C
O
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中
国
大
学
M
˜„† {
中
中
中
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C
O
O
C
O
O
C
O
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M
中
国
大
学
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
D0 = {(u, v)| − 1 ≤ u ≤ 1, −1 ≤ v ≤ 1}
大
学
M
O
O
C
TC†òxOy²¡«•{(x, y)||x| + |y| ≤ 1}
C†•uOv²¡ Ý/•:
国
中
-È©
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
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C
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C
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国
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学
M
C
O
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
1
…Jacobi1 ª•|J(u, v)| = ,
2
中
国
O
M
学
大
O
M
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大
中
国
大
学
M
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中
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中
˜„† {
中
国
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国
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大
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C
O
C
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O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
1
…Jacobi1 ª•|J(u, v)| = ,
2
ZZ
f (x + y)dxdy
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
中
中
中
中
˜„† {
中
国
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国
中
|x|+|y|≤1
-È©
中
国
大
学
M
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国
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M
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C
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国
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M
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C
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大
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M
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M
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O
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中
国
大
学
M
|x|+|y|≤1
C
中
中
中
中
˜„† {
1
…Jacobi1 ª•|J(u, v)| = ,
2
ZZ
ZZ
1
f (u)dudv
f (x + y)dxdy =
2
国
中
-È©
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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C
中
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大
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M
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M
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M
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大
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M
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中
中
中
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1
…Jacobi1 ª•|J(u, v)| = ,
2
ZZ
ZZ
1
f (u)dudv
f (x + y)dxdy =
2
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Z 1
Z 1
1
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du
f (u)dv
2 −1
−1
国
中
-È©
中
国
大
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M
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中
国
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M
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C
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M
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M
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C
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中
中
中
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1
…Jacobi1 ª•|J(u, v)| = ,
2
ZZ
ZZ
1
f (u)dudv
f (x + y)dxdy =
2
D0
|x|+|y|≤1
Z 1
Z 1
Z 1
1
=
du
f (u)dv =
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2 −1
−1
−1
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M
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M
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M
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中
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M
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M
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国
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C
中
中
中
中
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1
…Jacobi1 ª•|J(u, v)| = ,
2
ZZ
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1
f (u)dudv
f (x + y)dxdy =
2
D0
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Z 1
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du
f (u)dv =
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2 −1
−1
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M
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国
大
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1. -È© ˜„† {K
中
O
M
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2. 2Â4‹IC†
国
O
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中
中
˜„† {
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M
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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M
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n-È© OŽ(þ)
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
˜. n-È© ½Â
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国
中
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中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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C
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n-È© ½Â
¼êf •˜mk.4«•Ωþ k.¼ê
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
˜. n-È© ½Â
中
C
O
中
国
大
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M
(1) òΩ?¿©•¤n‡ Ü©{∆Ωi }, 1i‡
4«• NÈ•∆Vi (i = 1, 2, · · · , n).
Pd = max {∆Ωi †»}
O
O
中
国
大
学
M
O
C
O
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中
国
大
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M
中
国
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M
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C
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¼êf •˜mk.4«•Ωþ k.¼ê
C
˜. n-È© ½Â
C
中
国
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M
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国
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国
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中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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C
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M
(1) òΩ?¿©•¤n‡ Ü©{∆Ωi }, 1i‡
4«• NÈ•∆Vi (i = 1, 2, · · · , n).
Pd = max {∆Ωi †»}
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国
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M
O
O
(2)? :(ξi , ηi , ζi ) ∈ ∆Ωi , ŠÚª
O
C
C
C
1≤i≤n
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
中
C
O
中
国
大
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M
(1) òΩ?¿©•¤n‡ Ü©{∆Ωi }, 1i‡
4«• NÈ•∆Vi (i = 1, 2, · · · , n).
Pd = max {∆Ωi †»}
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国
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M
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M
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国
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C
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X
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O
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国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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(3) XJÃØòΩXÛ©•, :(ξi , ηi , ζi )XÛ
À , d → 0 ž, þãÚªk(½ 4•,
国
中
C
中
C
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
O
C
O
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学
大
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中
中
国
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À , d → 0 ž, þãÚªk(½ 4•,
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n
X
f (ξi , ηi , ζi )∆Vi
f (x, y, z)dV = lim
国
中
C
中
C
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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ZZZ
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f (x, y, z)dV = lim
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国
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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©, l z•ng½È©.
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M
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中
国
O
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中
国
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国
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中
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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C
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Ô N Ó k ˜ m « •Ω, — Ý ¼
êf (x, y, z)•Ωþ ëY¼ê, KÔNΩ
Ÿþ•
国
中
中
国
大
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中
国
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C
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Ô N Ó k ˜ m « •Ω, — Ý ¼
êf (x, y, z)•Ωþ ëY¼ê, KÔNΩ
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ZZZ
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f (x, y, z)dV
国
中
中
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中
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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中
中
中
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国
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国
O
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
1. ‹I¡ÝK{
国
中
国
O
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学
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学
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大
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学
大
由 扫描全能王 扫描创建
C
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C
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
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国
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大
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国
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中
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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«•Ω÷v^‡:
C
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学
大
国
中
国
大
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中
M
国
大
学
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中
大
学
M
O
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†‚†Ω >.-¡–õkü‡ :
国
中
中
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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国
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
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M
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C
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国
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u´ΩŒ±L«•:
C
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国
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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M
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O
C
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中
国
大
学
M
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
z 2 −y 2
O
C
O
O
−
C
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
Dyz : 0 ≤ z ≤ 1, −z ≤ y ≤ z.
p
p
dz = x2 + y 2 ) x = ± z 2 − y 2
!
Z Z Z √z2 −y2
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f (x, y, z)dx dydz
√
C
(2) kéxÈ©
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
中
O
中
国
大
学
M
C
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大
学
M
O
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国
大
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M
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中
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M
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大
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大
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M
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中
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C
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C
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中
国
大
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M
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M
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C
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p
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中
中
中
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M
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M
C
M
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M
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国
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学
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√
2
2
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国
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dz
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1
中
大
学
M
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大
0
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Z
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√
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中
dy
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0
学
=
Z √z2 −y2
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Z
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C
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中
国
大
学
M
1
Z
z 2 −y 2
−
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中
中
国
大
学
M
O
O
C
Dyz : 0 ≤ z ≤ 1, −z ≤ y ≤ z.
p
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Z Z Z √z2 −y2
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中
中
中
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M
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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中
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中
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中
中
中
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M
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M
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M
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M
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M
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国
中
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O
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中
中
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† ‹IXen-È© OŽ(þ)
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C
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大
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M
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M
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M
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M
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C
C
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大
学
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M
学
大
国
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2
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O
C
O
O
M
国
大
学
0≤y≤
中
大
学
M
O
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
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O
中
国
大
学
M
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C
C
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国
大
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M
O
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M
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大
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M
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(þ)
国
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M
学
大
O
M
C
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C
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学
大
1−x−2y
C
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国
大
学
M
C
C
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大
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M
O
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0
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0
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1−x−2y
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Z
学
C
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国
大
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M
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M
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大
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0
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M
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
O
M
学
大
C
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C
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C
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C
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C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
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C
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国
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M
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大
中
国
大
学
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中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
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中
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中
国
中
国
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M
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M
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国
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国
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M
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
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国
中
国
中
国
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国
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C
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国
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国
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M
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
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M
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中
国
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M
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C
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中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
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中
国
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国
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C
O
C
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O
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国
大
学
M
中
国
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M
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C
中
国
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M
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M
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中
国
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M
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国
中
中
中
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† ‹IXen-È© OŽ(¥)
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国
大
学
M
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国
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M
Ω = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D(z),
O
C
O
C
O
O
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M
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国
大
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M
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中
国
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国
中
中
中
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M
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M
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国
大
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M
中
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大
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大
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大
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中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
O
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C
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
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M
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C
中
国
大
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M
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中
国
大
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M
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中
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¡•“ƒ¡{”, ½ö“‹I¶ÝK{”,
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˜{”.
大
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O
C
C
f (x, y, z)dxdy
dz
c1
d=n-È©z•
Žúª.
国
中
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国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
大
中
国
大
学
M
O
O
C
p
x2 + y 2
2
2
=
(2a − x + y −
)dxdy
a
Dxy
Z 2π
Z a
ρ2
=
dϕ
(2a − ρ − )ρdρ
a
0
0
中
国
大
学
M
dz
x2 +y 2
a
C
中
C
x2 +y 2
O
2a−
中
国
大
学
M
Z
O
√
C
dxdy
Dxy
学
M
O
O
dV =
ZΩ
Z
中
中
ZZ
C
中
国
大
学
M
V =
国
中
ZZZ
中
国
大
学
M
O
O
C
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
大
中
国
大
学
M
O
O
C
p
x2 + y 2
2
2
=
(2a − x + y −
)dxdy
a
Dxy
Z 2π
Z a
5
ρ2
=
dϕ
(2a − ρ − )ρdρ = πa3 .
a
6
0
0
中
国
大
学
M
dz
x2 +y 2
a
C
中
C
x2 +y 2
O
2a−
中
国
大
学
M
Z
O
√
C
dxdy
Dxy
学
M
O
O
dV =
ZΩ
Z
中
中
ZZ
C
中
国
大
学
M
V =
国
中
ZZZ
中
国
大
学
M
O
O
C
中
† ‹IXen-È© OŽ(¥)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
n-È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
† ‹IXe
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
n. |^é¡5{zn-È© OŽ
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
f (x, y, z)3k.4«•ΩþëY,
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ,
C
n. |^é¡5{zn-È© OŽ
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
(1) eΩ1 †Ω2 'uxOy¡é¡, K
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
f (x, y, z)3k.4«•ΩþëY,
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ,
C
n. |^é¡5{zn-È© OŽ
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
中
国
大
学
M
O
O
C
(1) eΩ1 †Ω2 'uxOy¡é¡, K
 ZZZ


2
f (x, y, z)dV,





ZZZ
 Ω1
f 'uz´ó¼ê;
f (x, y, z)dV =



Ω


0,



f 'uz´Û¼ê;
学
大
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
f (x, y, z)3k.4«•ΩþëY,
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ,
C
n. |^é¡5{zn-È© OŽ
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(2) eΩ1 †Ω2 'uyOz¡é¡, K
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
(2) eΩ1 †Ω2 'uyOz¡é¡, K
 ZZZ


2
f (x, y, z)dV,





ZZZ
 Ω1
f 'ux´ó¼ê;
f (x, y, z)dV =



Ω


0,



f 'ux´Û¼ê;
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(3) eΩ1 †Ω2 'uxOz¡é¡, K
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
(3) eΩ1 †Ω2 'uxOz¡é¡, K
 ZZZ


2
f (x, y, z)dV,





ZZZ
 Ω1
f 'uy´ó¼ê;
f (x, y, z)dV =



Ω


0,



f 'uy´Û¼ê;
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
国
中
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(4) Ó†é¡5
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
(4) Ó†é¡5
eòx†•y, y†•z, z†•x, È©«•ØC,
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
O
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
=(x, y, z) ∈ Ω ↔ (y, z, x) ∈ Ω, K
大
C
中
C
中
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
(4) Ó†é¡5
eòx†•y, y†•z, z†•x, È©«•ØC,
国
中
C
中
C
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ω
O
O
O
中
国
大
学
M
=(x, y, z) ∈ Ω ↔ (y, z, x) ∈ Ω, K
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z)dV =
f (y, z, x)dV
Ω
C
中
C
中
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
(4) Ó†é¡5
eòx†•y, y†•z, z†•x, È©«•ØC,
国
中
C
中
C
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
~5. k˜m«•
Ω1 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , z ≥ 0,
Ω2 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Ke¡ ( ´:
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
ydV = 4
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
C
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
国
Ω2
xyzdv.
中
国
大
xyzdV = 4
Ω1
中
国
大
学
M
O
M
Ω2Z Z Z
中
M
学
大
ZΩZ1Z
(4)
zdV ;
C
zdV = 4
O
O
ZΩZ2Z
O
(3)
C
ZΩZ1Z
ydV ;
学
(2)
ZΩZ2Z
国
ZΩZ1Z
xdV ;
O
C
O
O
xdV = 4
中
(1)
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~5. k˜m«•
Ω1 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , z ≥ 0,
Ω2 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Ke¡
Z Z Z ( ´:
ZZZ
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
ydV = 4
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
C
M
O
O
C
O
O
M
学
大
学
大
国
Ω2
‰µC
xyzdv.
中
国
大
xyzdV = 4
Ω1
中
国
大
学
M
O
M
Ω2Z Z Z
中
M
学
大
ZΩZ1Z
(4)
zdV ;
C
zdV = 4
O
O
ZΩZ2Z
O
(3)
C
ZΩZ1Z
ydV ;
学
(2)
ZΩZ2Z
国
ZΩZ1Z
xdV ;
O
C
O
O
xdV = 4
中
(1)
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~5. k˜m«•
Ω1 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , z ≥ 0,
Ω2 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Ke¡
Z Z Z ( ´:
ZZZ
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
y + z 2 = 2z,
Ù¥Ω´d-‚
7z¶^=
x=0
˜±)¤ -¡¤Œ¤ «•.
O
C
O
O
O
Ω
2
C
C
ZZZ
~6. OŽn-È©
(x + 2yz + z 2 )dV ,
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
C
O
C
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
) ^=-¡ •§•:
¥¡ x2 + y 2 + z 2 = 2z,
È©«•Ω•d¥¡Œ¤ «•.
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
y + z 2 = 2z,
Ù¥Ω´d-‚
7z¶^=
x=0
˜±)¤ -¡¤Œ¤ «•.
O
C
O
O
O
Ω
2
C
C
ZZZ
~6. OŽn-È©
(x + 2yz + z 2 )dV ,
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
Ω'uxOz¡ÚyOz¡é¡,
学
大
O
C
O
O
M
M
O
O
C
) ^=-¡ •§•:
¥¡ x2 + y 2 + z 2 = 2z,
È©«•Ω•d¥¡Œ¤ «•.
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
y + z 2 = 2z,
Ù¥Ω´d-‚
7z¶^=
x=0
˜±)¤ -¡¤Œ¤ «•.
O
C
O
O
O
Ω
2
C
C
ZZZ
~6. OŽn-È©
(x + 2yz + z 2 )dV ,
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
Ïdk
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
Ω
中
O
M
学
中
国
大
学
M
C
O
O
Ω
大
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
xdV =
国
O
M
学
大
C
O
ZZZ
中
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
Ïdk
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
ZZZ
2yzdV = 0
国
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
Ω
中
O
M
学
大
中
国
大
学
M
C
O
Ω
O
xdV =
国
C
O
C
O
O
ZZZ
中
O
M
学
(x + 2yz + z 2 )dV
中
国
大
学
M
Ω
大
C
O
ZZZ
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
Ïdk
中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
ZZZ
2yzdV = 0
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
国
中
国
中
大
学
M
O
O
C
Ω
C
z 2 dV
中
国
大
学
M
O
ZZZ
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
2
O
Ω
O
Ω
C
C
2yzdV = 0
(x + 2yz + z )dV =
Ω
中
ZZZ
xdV =
大
国
中
ZZZ
中
中
中
国
大
学
M
O
O
C
Ïdk
ZZZ
中
国
大
学
M
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
ZZ
中
C
O
O
C
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
大
学
M
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
x2 +y 2 ≤2z−z 2
O
C
0
Ω
z 2 dxdy
dz
=
z 2 dV
国
Z Ω2
ZZZ
中
国
大
学
M
(x + 2yz + z )dV =
中
国
大
学
M
2
O
Ω
O
中
国
大
学
M
O
O
Ω
ZZZ
2yzdV = 0
C
C
xdV =
O
中
国
大
学
M
ZZZ
中
Ïdk
国
中
ZZZ
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
ZZ
中
C
O
C
O
中
国
大
学
M
O
学
大
中
国
大
中
国
大
学
M
O
z 2 · π(2z − z 2 )dz
O
C
O
O
2
C
x2 +y 2 ≤2z−z 2
0
O
C
O
Ω
M
C
O
O
=
z 2 dV
z 2 dxdy
dz
Z
ZZZ
中
国
大
学
M
2
O
O
中
国
大
学
M
Z Ω2
0
M
Ω
(x + 2yz + z )dV =
=
学
O
O
Ω
ZZZ
2yzdV = 0
C
C
xdV =
O
中
国
大
学
M
ZZZ
中
国
大
学
M
Ïdk
国
中
ZZZ
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
Ω
C
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
国
大
中
国
大
学
0
32
π.
5
学
O
z 2 · π(2z − z 2 )dz =
大
O
2
C
x2 +y 2 ≤2z−z 2
M
C
O
O
=
z 2 dV
z 2 dxdy
dz
Z
中
C
O
ZZZ
中
国
大
学
M
ZZ
中
国
大
学
M
2
O
O
中
国
大
学
M
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(x + 2yz + z )dV =
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学
O
O
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ZZZ
2yzdV = 0
C
C
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O
中
国
大
学
M
ZZZ
中
Ïdk
国
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ZZZ
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
O
O
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大
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M
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国
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M
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国
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M
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C
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M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
Ù¥Ω = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
大
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
Ω
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
ZZZ
~7. ¦
(x2 + 2z 2 )dV ,
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
M
O
O
C
) w,È©«•ΩäkÓ†é¡5, Ïdk
中
国
大
学
M
Ù¥Ω = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
大
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
Ω
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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~7. ¦
(x2 + 2z 2 )dV ,
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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中
国
大
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M
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C
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
Ω
O
O
C
) w,È©«•ΩäkÓ†é¡5, Ïdk
ZZZ
ZZZ
x2 dV =
z 2 dV
中
国
大
学
M
Ù¥Ω = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
Ω
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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O
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中
国
大
学
M
中
国
大
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M
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~7. ¦
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国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
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M
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M
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大
中
国
大
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M
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ZZZ
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z 2 dV
中
国
大
学
M
Ù¥Ω = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
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C
中
C
中
国
大
学
M
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国
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学
M
中
国
大
学
M
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~7. ¦
(x2 + 2z 2 )dV ,
国
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
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M
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国
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M
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M
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大
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国
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M
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中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
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大
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国
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M
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M
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国
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学
M
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C
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中
国
大
学
M
C
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(x2 + 2z 2 )dV = 3
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O
M
学
大
C
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国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
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中
国
中
中
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
中
国
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M
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国
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M
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国
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M
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中
国
大
学
M
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1
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
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国
中
(x2 + 2z 2 )dV = 3
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O
C
ZZZ
中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
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O
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C
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M
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国
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M
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中
国
大
学
M
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Ω
中
国
大
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M
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z 2 dV
O
O
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
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中
(x2 + 2z 2 )dV = 3
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O
C
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中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
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M
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国
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M
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国
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学
M
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M
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1
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C
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x2 +y 2 ≤1−z 2
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学
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O
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ZZZ
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ZZ
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Z
中
国
大
学
M
1
中
中
国
大
学
M
Ω
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中
(x2 + 2z 2 )dV = 3
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O
C
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中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
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国
大
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M
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C
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C
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M
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C
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大
学
M
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大
中
国
大
学
M
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中
1
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O
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C
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国
C
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M
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z 2 dV
O
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= 3
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dz
Z
大
ZZZ
中
国
大
学
M
1
中
中
国
大
学
M
Ω
Z
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中
(x2 + 2z 2 )dV = 3
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O
C
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中
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
O
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中
国
大
学
M
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国
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M
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O
C
中
O
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C
国
大
学
M
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中
中
国
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M
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M
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大
中
国
大
学
M
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O
C
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国
中
中
国
大
学
M
中
国
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M
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C
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C
中
中
† ‹IXen-È© OŽ(e)
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M
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M
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中
国
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国
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中
国
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国
中
中
中
中
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n-È© † È©{(þ)
国
中
国
中
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M
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大
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大
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M
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大
C
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C
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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国
大
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M
C
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国
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学
M
C
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中
国
大
学
M
中
中
中
中
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˜!n-È© ˜„† {K
国
中
国
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国
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国
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M
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国
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M
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国
大
学
M
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
˜!n-È© ˜„† {K
中
中
中
中
C
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国
大
学
M
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国
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学
M
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学
大
中
国
大
学
M
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国
大
学
M
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
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M
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
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 x = x(u, v, w),
(1) C†T :
y = y(u, v, w),


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O
C
C
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国
中
n-È© † È©{(þ)
中
中
中
中
C
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
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中
国
大
学
M
O
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C
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中
国
大
学
M
C
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M
中
国
大
学
M
(2) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)
3Ω0 äk˜ ëY
ê;
学
大
O
O
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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½n
¼êf 3k.4«•ΩþëY,


 x = x(u, v, w),
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y = y(u, v, w),


z = z(u, v, w)
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O
C
C
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国
中
n-È© † È©{(þ)
中
国
大
学
M
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中
国
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M
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C
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M
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国
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M
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国
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M
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国
大
学
M
中
中
中
(3) 3Ω0 þ, Jacobi1 ª
∂(x, y, z)
J(u, v, w) =
6= 0;
∂(u, v, w)
国
中
n-È© † È©{(þ)
中
国
大
学
M
O
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C
中
C
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中
国
大
学
M
f (x, y, z)dxdydz
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
K ZZZ
中
中
中
(3) 3Ω0 þ, Jacobi1 ª
∂(x, y, z)
J(u, v, w) =
6= 0;
∂(u, v, w)
C
M
O
O
C
O
O
M
学
中
国
大
学
中
国
大
学
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大
中
国
大
学
M
O
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M
O
O
C
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O
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C
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国
中
n-È© † È©{(þ)
中
国
大
学
M
O
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C
中
C
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中
国
大
学
M
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O
C
中
国
大
学
M
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O
C
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中
国
大
学
M
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中
中
中
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6= 0;
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M
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C
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M
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中
国
大
学
中
国
大
学
·|J(u, v, w)|dudvdw.
大
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国
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M
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C
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国
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M
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中
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C
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国
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M
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国
大
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国
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n-È© † È©{(þ)
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O
C
中
中
C
O
O
中
国
大
学
M
‹I(x, y, z)†ÙΡ‹I


 x = ρ cos ϕ,
y = ρ sin ϕ,

z=z
0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −∞ < z < +∞
国
中
†
中
国
大
学
M
中
:M
'X•
n-È© † È©{(þ)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
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大
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M
学
大
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M
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大
C
O
C
O
C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
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大
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M
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大
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M
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大
C
O
C
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C
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C
O
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
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M
C
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O
中
国
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M
C
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中
国
大
学
M
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
国
中
国
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大
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M
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M
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大
C
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C
O
C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
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M
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
国
中
O
M
学
大
O
M
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大
C
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C
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C
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C
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C
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中
国
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M
C
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O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
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中
国
大
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M
L«±z¶•¥%¶
Ρ;
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
ρ =~ê
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
L«±z¶•¥%¶
Ρ;
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
ρ =~ê
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
ϕ =~ê
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
L«±z¶•¥%¶
Ρ;
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
ρ =~ê
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
ϕ =~ê
L«Lz¶ Œ²¡;
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
L«±z¶•¥%¶
Ρ;
国
O
C
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M
学
大
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M
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大
中
国
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M
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中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
ϕ =~ê
L«Lz¶ Œ²¡;
中
中
中
中
C
中
国
大
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M
O
O
C
中
国
大
学
M
L«±z¶•¥%¶
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O
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
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M
O
O
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O
C
C
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
ϕ =~ê
C
大
国
中
中
国
大
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M
O
O
C
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学
M
O
M
学
国
大
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中
大
学
M
O
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O
C
O
O
C
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国
中
n-È© † È©{(þ)
中
中
中
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
L«±z¶•¥%¶
Ρ;
O
O
O
中
国
大
学
M
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国
大
学
M
O
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O
C
C
Ρ‹IX¥ nx‹I¡©O•:
ϕ =~ê
C
大
国
中
中
国
大
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M
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O
C
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学
M
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M
学
国
大
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中
大
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M
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O
C
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C
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国
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国
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国
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M
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国
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M
C
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国
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M
C
O
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国
大
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M


 x = ρ cos ϕ
3Ρ‹IC† y = ρ sin ϕ e

z=z
Jacobi1 ª•:
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
C
O
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M
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大
国
中
中
国
大
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M
O
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C
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国
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M
O
O
C
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中
国
大
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M
C
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
∂(x, y, z)
∂(ρ, ϕ, z)
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
J(ρ, ϕ, z) =
C
中
中
中
中


 x = ρ cos ϕ
3Ρ‹IC† y = ρ sin ϕ e

z=z
Jacobi1 ª•:
国
中
n-È© † È©{(þ)
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
中
国
大
学
C
O
O
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∂(x, y, z)
∂(ρ, ϕ, z)
cos ϕ −ρ sin ϕ 0
= sin ϕ ρ cos ϕ 0
0
0
1
J(ρ, ϕ, z) =
C
中
中
中
中


 x = ρ cos ϕ
3Ρ‹IC† y = ρ sin ϕ e

z=z
Jacobi1 ª•:
国
中
n-È© † È©{(þ)
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
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M
中
国
大
学
C
O
O
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
∂(x, y, z)
∂(ρ, ϕ, z)
cos ϕ −ρ sin ϕ 0
= sin ϕ ρ cos ϕ 0 = ρ
0
0
1
J(ρ, ϕ, z) =
C
中
中
中
中


 x = ρ cos ϕ
3Ρ‹IC† y = ρ sin ϕ e

z=z
Jacobi1 ª•:
国
中
n-È© † È©{(þ)
O
中
国
大
学
M
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)ρdρdϕdz.
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
=
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
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ZZ
中
中
中
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
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M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ω0
国
中
n-È© † È©{(þ)
O
中
国
大
学
M
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)ρdρdϕdz.
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
=
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
f (x, y, z)dxdydz
ZΩ
ZZ
中
中
中
Ïd Z Z Z
C
O
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
O
C
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M
O
O
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大
中
国
大
学
M
O
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C
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C
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国
中
n-È© † È©{(þ)
中
国
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M
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中
国
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M
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C
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大
中
国
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M
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中
国
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M
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中
国
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M
中
国
大
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M
O
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C
中
国
大
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M
O
O
C
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2
2
dz = 2 − x − y †x2 + y 2 = z¤Œ¤
«•.
C
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中
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中
中
中
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国
中
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国
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M
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国
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M
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中
国
大
学
M
O
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C
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国
大
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M
O
O
C
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中
国
大
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M
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
Ω
p
2
2
dz = 2 − x − y †x2 + y 2 = z¤Œ¤
«•.
C
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中
ZZZ
中
中
中
~1. O Ž n - È ©
国
中
n-È© † È©{(þ)
中
C
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M
学
大
国
中
国
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学
M
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C
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国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
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ÝK«•
Dxy = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
Ω
p
2
2
dz = 2 − x − y †x2 + y 2 = z¤Œ¤
«•.
C
x2 zdV ,Ù ¥Ω´
中
ZZZ
中
中
中
~1. O Ž n - È ©
国
中
n-È© † È©{(þ)
中
C
O
O
M
学
大
国
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
C
O
M
学
大
国
Ω
x2 zdV
中
大
学
M
O
ZZZ
O
O
C
) òΩÝK xOy¡
ÝK«•
Dxy = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
Ω
p
2
2
dz = 2 − x − y †x2 + y 2 = z¤Œ¤
«•.
C
x2 zdV ,Ù ¥Ω´
中
ZZZ
中
中
中
~1. O Ž n - È ©
国
中
n-È© † È©{(þ)
中
C
O
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
学
国
大
学
大
国
x2 +y 2
M
x2 zdz
M
dxdy
中
Dxy
Z √2−x2 −y2
O
C
大
国
Ω
O
O
ZZ
学
x2 zdV =
中
大
学
M
O
ZZZ
M
O
C
) òΩÝK xOy¡
ÝK«•
Dxy = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
Ω
p
2
2
dz = 2 − x − y †x2 + y 2 = z¤Œ¤
«•.
C
x2 zdV ,Ù ¥Ω´
中
ZZZ
中
中
中
~1. O Ž n - È ©
国
中
n-È© † È©{(þ)
O
M
学
大
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
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国
C
O
中
中
中
中
Z √2−x2 −y2
中
O
M
学
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
Dxy
大
C
O
C
O
Ω
国
O
M
学
大
O
M
学
大
中
国
大
学
M
x2 zdV =
ZZ
中
国
中
国
中
ZZZ
n-È© † È©{(þ)
x2 zdz
x2 +y 2
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
中
国
大
学
M
O
O
M
学
大
国
中
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ρ2 cos2 ϕzdz
O
O
O
M
学
大
中
中
O
ρ2
0
C
0
ρdρ
C
dϕ
Z √2−ρ2
1
Z
O
2π
x2 zdz
x2 +y 2
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
Z
Z √2−x2 −y2
dxdy
Dxy
C
Ω
=
国
中
x2 zdV =
ZZ
C
中
中
ZZZ
n-È© † È©{(þ)
中
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
C
ρ2 cos2 ϕzdz
ρdρ
2
0
Z0 2π
Z 1ρ
1
cos2 ϕdϕ
ρ3 · (2 − ρ2 − ρ4 )dρ
=
2
0
0
dϕ
O
C
O
O
O
Z √2−ρ2
1
中
国
大
学
M
Z
O
2π
x2 zdz
x2 +y 2
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
Z
Z √2−x2 −y2
dxdy
Dxy
C
Ω
=
国
中
x2 zdV =
ZZ
C
中
中
ZZZ
n-È© † È©{(þ)
中
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
大
学
M
O
O
C
ρ2 cos2 ϕzdz
ρdρ
2
0
Z0 2π
Z 1ρ
1
cos2 ϕdϕ
ρ3 · (2 − ρ2 − ρ4 )dρ
=
2
0
0
5π
=
.
48
dϕ
O
C
O
O
O
Z √2−ρ2
1
中
国
大
学
M
Z
O
2π
x2 zdz
x2 +y 2
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
Z
Z √2−x2 −y2
dxdy
Dxy
C
Ω
=
国
中
x2 zdV =
ZZ
C
中
中
ZZZ
n-È© † È©{(þ)
中
中
C
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
Ω
C
ρ2 cos2 ϕzdz
ρdρ
2
0
Z0 2π
Z 1ρ
1
cos2 ϕdϕ
ρ3 · (2 − ρ2 − ρ4 )dρ
=
2
0
0
5π
=
.
48
ZZZ
g•:
(x + y + x2 z)dV =?
dϕ
O
C
O
O
O
Z √2−ρ2
1
中
国
大
学
M
Z
O
2π
x2 zdz
x2 +y 2
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
学
M
Z
Z √2−x2 −y2
dxdy
Dxy
C
Ω
=
国
中
x2 zdV =
ZZ
C
中
中
ZZZ
n-È© † È©{(þ)
O
O
C
中
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
~2. ˜/NΩ´d²¡y + z = 4, z = 0Ú
Ρx2 + y 2 = 16¤Œ¤, ®•Ùþ?˜:
—݆T: z¶ ål¤ ', ¦T/N
Ÿþm.
国
中
n-È© † È©{(þ)
O
O
C
中
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
~2. ˜/NΩ´d²¡y + z = 4, z = 0Ú
Ρx2 + y 2 = 16¤Œ¤, ®•Ùþ?˜:
—݆T: z¶ ål¤ ', ¦T/N
Ÿþm.
国
中
n-È© † È©{(þ)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
大
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M
O
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C
C
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M
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大
中
国
大
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M
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C
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大
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M
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C
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中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
~2. ˜/NΩ´d²¡y + z = 4, z = 0Ú
Ρx2 + y 2 = 16¤Œ¤, ®•Ùþ?˜:
—݆T: z¶ ål¤ ', ¦T/N
Ÿþm.
) T/N p
—ݼê•
µ(x, y, z) = k x2 + y 2 (k > 0),
国
中
n-È© † È©{(þ)
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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C
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C
中
国
大
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M
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M
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大
中
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大
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M
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C
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M
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中
中
中
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) T/N p
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µ(x, y, z) = k x2 + y 2 (k > 0),
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m=
k x2 + y 2 dV.
国
中
n-È© † È©{(þ)
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M
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国
大
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M
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M
C
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M
中
国
大
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M
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C
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中
国
大
学
M
Ω
òΩÝK xOy¡
ÝK«•:
Dxy = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 16}
学
大
O
C
C
O
O
O
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C
中
国
大
学
M
O
O
C
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O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
~2. ˜/NΩ´d²¡y + z = 4, z = 0Ú
Ρx2 + y 2 = 16¤Œ¤, ®•Ùþ?˜:
—݆T: z¶ ål¤ ', ¦T/N
Ÿþm.
) T/N p
—ݼê•
µ(x, y, z) = k x2 + y 2 (k > 0),
¤¦Ÿþ•
ZZZ p
m=
k x2 + y 2 dV.
国
中
n-È© † È©{(þ)
国
中
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M
学
大
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M
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C
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n-È© † È©{(þ)
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大
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国
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M
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中
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M
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M
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中
国
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M
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中
中
中
中
n-È© † È©{(þ)
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国
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国
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国
大
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M
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0
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中
国
大
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M
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中
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0
4
中
=k
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C
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中
国
大
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M
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ρ · ρdρdϕdz
O
O
C
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C
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x2 + y 2 dV
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国
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M
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M
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k
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中
中
∴m =
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C
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M
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4
学
M
学
大
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0
O
0
O
0
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C
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=k
C
0
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M
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中
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国
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大
3
大
中
0
国
学
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M
2π
4
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0
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0
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0
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C
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0
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大
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国
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3
学
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学
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M
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0
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0
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Z
Z
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国
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M
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Z
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4
中
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中
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大
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中
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−→
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θ : OM †z¶ •¤Y
;
−→
ϕ : OP †x¶ • Y .
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国
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国
大
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M
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
 x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,

 z = r cos θ
O
中
国
大
学
M
O
O
O
学
中
国
大
学
大
中
国
大
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M
O
O
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π,
M
C
O
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M
O
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中
国
大
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M
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中
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国
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大
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M
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大
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M
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中
中
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

 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ e

 z = r cos θ
Jacobi1 ª•:
国
中
n-È© † È©{(¥)
O
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大
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M
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M
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M
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大
学
M
C
中
中
中
3¥¡‹IC†


 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ e

 z = r cos θ
Jacobi1 ª•:
∂(x, y, z)
J(r, θ, ϕ) =
∂(r, θ, ϕ)
sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
= sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ
cos θ
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0
国
中
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国
大
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M
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中
国
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中
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中
国
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M
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国
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M
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C
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中
中
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

 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ e

 z = r cos θ
Jacobi1 ª•:
∂(x, y, z)
J(r, θ, ϕ) =
∂(r, θ, ϕ)
sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
= sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ
cos θ
−r sin θ
0
= r2 sin θ
中
国
大
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M
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大
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国
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国
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中
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f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)
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C
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f (x, y, z)dxdydz
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f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)
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f (x, y, z)dxdydz
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(2) x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0;
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M
(3) 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4;
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(4) x + y + z ≤ 4, z ≥ x2 + y 2 ;
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国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Ω
C
中
中
中
中
~4. OŽn-È©
ZZZ
I=
(x2 + y 2 + z 2 )dV ,
国
中
n-È© † È©{(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
C
O
O
中
国
大
学
M
O
O
(x2 + y 2 + z 2 )dV
中
国
中
O
M
学
C
O
O
中
国
大
学
M
Ω
大
C
O
I =
国
O
M
学
大
中
国
大
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M
ZZZ
中
国
中
k
中
中
中
中
n-È© † È©{(e)
大
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
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C
中
C
O
中
国
大
学
M
O
O
国
大
学
M
O
O
O
M
学
中
国
0
C
0
O
r2 · r2 sin θdr
中
R
dθ
dϕ
0
Z
C
π
4
中
国
大
学
M
Z
O
O
O
=
中
国
大
学
M
Z Ω2π
大
国
中
(x2 + y 2 + z 2 )dV
C
中
国
大
学
M
O
O
I =
C
C
ZZZ
中
中
中
k
n-È© † È©{(e)
O
O
C
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M
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国
大
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M
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中
国
大
学
M
O
M
学
大
C
中
C
O
C
0
C
0
r4 dr
O
0
sin θdθ
R
国
dϕ
Z
中
国
大
学
M
0
π
4
O
Z
O
C
2π
r2 · r2 sin θdr
中
0
0
R
dθ
dϕ
=
Z
中
国
大
学
M
π
4
中
=
Z
O
O
O
Z Ω2π
Z
国
中
(x2 + y 2 + z 2 )dV
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
I =
C
C
ZZZ
中
中
中
k
n-È© † È©{(e)
O
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C
中
C
C
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国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
M
学
中
国
大
M
O
2 R5
= 2π · (1 −
)·
2
5
大
学
O
0
√
C
0
r4 dr
C
0
sin θdθ
R
O
dϕ
Z
中
国
大
学
M
0
π
4
Z
O
C
O
2π
r2 · r2 sin θdr
中
0
0
R
dθ
dϕ
=
Z
中
国
大
学
M
=
π
4
Z
O
O
O
Z Ω2π
Z
国
中
(x2 + y 2 + z 2 )dV
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
I =
C
C
ZZZ
中
中
中
k
n-È© † È©{(e)
O
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C
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C
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M
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国
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M
C
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中
国
大
M
O
O
C
√
2 R5
2− 2 5
= 2π · (1 −
)·
=
πR .
2
5
5
大
学
O
0
√
国
0
r4 dr
C
0
sin θdθ
R
O
dϕ
Z
中
国
大
学
M
0
π
4
Z
O
2π
r2 · r2 sin θdr
中
0
0
R
dθ
dϕ
=
Z
中
国
大
学
M
=
π
4
Z
O
O
O
Z Ω2π
Z
国
中
(x2 + y 2 + z 2 )dV
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
I =
C
C
ZZZ
中
中
中
k
n-È© † È©{(e)
中
国
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M
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国
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M
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C
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国
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M
O
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
C
O
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M
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大
中
国
大
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M
O
O
C
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国
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M
O
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C
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O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
~5. OŽn-È©
ZZZ
1
p
I=
dV ,
x2 + y 2 + z 2
Ω
p
Ù¥Ω´d-¡z = x2 + y 2 †z = 1¤Œ
¤ 4«•.
国
中
n-È© † È©{(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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C
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中
国
大
学
M
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中
中
中
~5. OŽn-È©
ZZZ
1
p
I=
dV ,
x2 + y 2 + z 2
Ω
p
Ù¥Ω´d-¡z = x2 + y 2 †z = 1¤Œ
¤ 4«•.
国
中
n-È© † È©{(e)
O
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国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
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中
国
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M
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M
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中
国
大
学
M
O
) æ^¥¡‹I5¦È©,
大
O
C
O
C
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国
大
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M
O
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C
C
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C
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国
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M
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中
国
大
学
M
C
中
中
中
中
~5. OŽn-È©
ZZZ
1
p
I=
dV ,
x2 + y 2 + z 2
Ω
p
Ù¥Ω´d-¡z = x2 + y 2 †z = 1¤Œ
¤ 4«•.
国
中
n-È© † È©{(e)
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
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C
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中
国
大
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M
C
O
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国
大
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M
C
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中
国
大
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M
C
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M
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大
中
国
大
学
M
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中
国
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国
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k
ZZZ
中
中
中
中
n-È© † È©{(e)
1
p
dV
x2 + y 2 + z 2
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中
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中
1
p
dV
x2 + y 2 + z 2
Z Ω2π
Z π Z 1
4
cos θ 1
=
dϕ
dθ
· r2 sin θdr
r
0
0
0
C
C
C
ZZZ
k
C
O
O
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
中
国
大
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M
O
O
C
O
O
O
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M
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大
中
国
大
学
M
O
O
C
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国
大
学
M
O
O
C
I =
中
国
大
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M
国
中
n-È© † È©{(e)
中
中
中
中
ZZZ
k
1
p
dV
x2 + y 2 + z 2
Z Ω2π
Z π Z 1
4
cos θ 1
=
dϕ
dθ
· r2 sin θdr
r
0
0
0
Z 2π
Z 1
Z π
4
cos θ
=
dϕ
sin θdθ
rdr
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
0
C
0
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
I =
0
国
中
n-È© † È©{(e)
中
中
中
中
ZZZ
k
1
p
dV
x2 + y 2 + z 2
Z Ω2π
Z π Z 1
4
cos θ 1
=
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dθ
· r2 sin θdr
r
0
0
0
Z 2π
Z 1
Z π
4
cos θ
=
dϕ
sin θdθ
rdr
C
O
O
中
国
大
学
M
C
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
学
大
中
国
大
学
M
O
0
C
O
中
国
大
学
M
sin θ
dθ
2 cos2 θ
C
= 2π
M
C
O
π
4
0
中
0
Z
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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0
国
中
n-È© † È©{(e)
中
中
中
中
ZZZ
k
1
p
dV
x2 + y 2 + z 2
Z Ω2π
Z π Z 1
4
cos θ 1
=
dϕ
dθ
· r2 sin θdr
r
0
0
0
Z 2π
Z 1
Z π
4
cos θ
=
dϕ
sin θdθ
rdr
C
O
O
中
国
大
学
M
C
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
0
O
O
学
大
中
国
大
学
M
O
0
C
O
中
国
大
学
M
π
4
C
= 2π
sin θ
1
dθ
=
π
·
2 cos2 θ
cos θ
M
C
O
π
4
0
O
0
Z
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
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0
国
中
n-È© † È©{(e)
C
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O
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国
大
学
M
C
O
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M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
0
O
O
国
大
学
M
√
= ( 2 − 1)π.
C
π
4
C
sin θ
1
dθ
=
π
·
2 cos2 θ
cos θ
O
0
C
O
中
国
大
学
M
0
O
π
4
= 2π
中
C
O
O
M
O
C
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
0
Z
学
中
1
p
dV
x2 + y 2 + z 2
Z Ω2π
Z π Z 1
4
cos θ 1
=
dϕ
dθ
· r2 sin θdr
r
0
0
0
Z 2π
Z 1
Z π
4
cos θ
=
dϕ
sin θdθ
rdr
I =
0
大
中
中
中
ZZZ
k
国
中
n-È© † È©{(e)
国
中
国
中
国
中
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
中
n-È© † È©{(e)
2Â¥¡‹IC†
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
中
中
中
2Â¥¡‹IC†


 x = ar sin θ cos ϕ,
C†T :
y = br sin θ sin ϕ,


z = cr cos θ
国
中
n-È© † È©{(e)
O
O
C
中
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
中
中
中
2Â¥¡‹IC†


 x = ar sin θ cos ϕ,
C†T :
y = br sin θ sin ϕ, òdý¥¡


z = cr cos θ
Œ¤ 4«•
o
n
x2 y 2 z 2
Ω = (x, y, z) 2 + 2 + 2 ≤ 1
a
b
c
C†•«•
国
中
n-È© † È©{(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
O
O
M
学
大
中
中
中
2Â¥¡‹IC†


 x = ar sin θ cos ϕ,
C†T :
y = br sin θ sin ϕ, òdý¥¡


z = cr cos θ
Œ¤ 4«•
o
n
x2 y 2 z 2
Ω = (x, y, z) 2 + 2 + 2 ≤ 1
a
b
c
C†•«•
n
0
Ω = (r, θ, ϕ)|0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π,
o
0≤r≤1 ,
中
国
大
学
M
国
中
n-È© † È©{(e)
O
O
C
中
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
…Jacobi1 ª
∂(x, y, z)
= abcr2 sin θ,
•J(r, θ, ϕ) =
∂(r, θ, ϕ)
国
中
n-È© † È©{(e)
O
O
C
中
C
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
=2Â4‹IC†e,
NÈ ƒ• abcr2 sin θdrdθdϕ.
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
中
国
大
学
M
…Jacobi1 ª
∂(x, y, z)
= abcr2 sin θ,
•J(r, θ, ϕ) =
∂(r, θ, ϕ)
国
中
n-È© † È©{(e)
国
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
x2 y 2 z 2
~6. ¦ý¥N 2 + 2 + 2 ≤ 1 NÈ.
a
b
c
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
n-È© † È©{(e)
O
O
C
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
国
中
O
中
国
大
学
M
C
áN«•.
O
C
O
O
M
学
大
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Ω
Ù¥Ω•ý¥¡Œ¤
C
中
中
中
x2 y 2 z 2
~6. ¦ý¥N 2 + 2 + 2 ≤ 1 NÈ.
a
b
c
ZZZ
) NÈV =
dV ,
国
中
n-È© † È©{(e)
O
中
国
大
学
M
áN«•.
O
C
中
O
中
国
大
学
M
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
Ω
Ù¥Ω•ý¥¡Œ¤
C
中
中
中
x2 y 2 z 2
~6. ¦ý¥N 2 + 2 + 2 ≤ 1 NÈ.
a
b
c
ZZZ
) NÈV =
dV ,
C
O
C
O
C
O
O
C
æ^2Â4‹IC†, KòΩC†•
O
中
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
Ω0 = {(r, θ, ϕ)|0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 1}.
国
中
n-È© † È©{(e)
国
中
O
M
学
大
O
M
学
大
C
O
C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
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M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
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国
O
M
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大
C
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ZZZ
中
国
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M
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大
中
国
大
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M
Ω
中
国
中
V =
中
中
中
中
n-È© † È©{(e)
国
O
M
学
大
C
O
abcr2 sin θdr
中
C
O
0
O
dθ
M
0
1
学
dϕ
Z
大
π
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
C
O
O
dV
国
C
O
C
O
O
ZZZ
中
O
M
学
Z
中
国
大
学
M
0
大
C
O
=
国
O
M
学
大
中
国
大
学
M
Z Ω2π
中
国
中
V =
中
中
中
中
n-È© † È©{(e)
O
O
中
国
大
学
M
O
O
大
学
M
O
国
大
学
M
O
中
国
大
学
M
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M
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国
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S = 2S1 = 2
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M
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国
中
-È© A^(þ)
国
中
中
国
0
大
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M
O
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国
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C
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国
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国
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大
中
中
中
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D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ R2 }, u´
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S = 2S1 = 2
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p
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0
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p
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R 2 − ρ2
0
p
R
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中
国
大
学
M
国
中
-È© A^(þ)
国
中
中
国
0
大
学
M
O
O
C
中
国
大
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M
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C
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国
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M
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M
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M
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中
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D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ R2 }, u´
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R
p
S = 2S1 = 2
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R2 − x2 − y 2
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ρdρ
R 2 − ρ2
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p
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R
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中
国
大
学
M
国
中
-È© A^(þ)
国
中
国
中
国
中
国
中
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M
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大
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M
学
大
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M
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C
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C
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国
大
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M
C
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国
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M
C
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˜Ü© ¡È.
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中
国
大
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M
C
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国
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M
中
中
中
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-È© A^(þ)
中
中
中
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C
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大
国
中
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国
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国
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国
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M
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C
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O
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国
大
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国
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˜Ü© ¡È.
国
中
-È© A^(þ)
中
中
中
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dS = 1 +
+
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∂x
∂y
O
C
中
国
大
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M
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国
大
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M
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国
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M
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˜Ü© ¡È.
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中
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中
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中
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M
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C
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r
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+
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∂x
∂y
p
= 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
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中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
O
O
C
~2. ¦-¡z = x2 + y 2 þ3²¡z = 1e¡
˜Ü© ¡È.
国
中
-È© A^(þ)
国
中
国
中
国
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国
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大
C
O
C
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C
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C
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C
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中
国
大
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M
C
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O
中
国
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M
C
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国
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M
C
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国
大
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M
中
中
中
中
-È© A^(þ)
…-¡3xOy¡ÝK«••
国
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M
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大
O
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大
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C
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C
O
C
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中
国
大
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M
C
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中
国
大
学
M
C
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中
国
大
学
M
C
O
O
中
国
大
学
M
…-¡3xOy¡ÝK«••
D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}, u´
中
国
中
国
中
国
中
中
中
中
中
-È© A^(þ)
中
国
大
学
M
O
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C
中
国
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M
O
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C
C
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中
国
大
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M
O
O
中
国
大
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M
O
O
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M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
0
C
0
Z 1p
dϕ
1 + 4ρ2 · ρdρ
C
=
中
国
大
学
M
O
O
C
O
O
中
国
大
学
M
ZD 2π
C
中
中
中
中
…-¡3xOy¡ÝK«••
D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}, u´
ZZ p
S =
1 + 4x2 + 4y 2 dxdy
国
中
-È© A^(þ)
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
O
中
国
大
学
M
O
O
O
学
大
中
国
大
学
M
O
0
M
O
C
0
C
Z 1 p0
= 2π
1 + 4ρ2 ρdρ
中
国
大
学
M
Z 1p
dϕ
1 + 4ρ2 · ρdρ
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
=
中
国
大
学
M
O
O
C
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国
大
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M
ZD 2π
C
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中
中
中
…-¡3xOy¡ÝK«••
D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}, u´
ZZ p
S =
1 + 4x2 + 4y 2 dxdy
国
中
-È© A^(þ)
O
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大
国
中
国
大
0
学
M
O
O
C
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1
中
国
大
学
M
3
1 2
· (1 + 4ρ2 ) 2
8 3
O
O
O
0
中
O
O
M
学
大
= 2π ·
C
0
C
Z 1 p0
= 2π
1 + 4ρ2 ρdρ
中
国
大
学
M
Z 1p
dϕ
1 + 4ρ2 · ρdρ
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
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中
国
大
学
M
O
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C
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中
国
大
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M
ZD 2π
C
中
中
中
中
…-¡3xOy¡ÝK«••
D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}, u´
ZZ p
S =
1 + 4x2 + 4y 2 dxdy
国
中
-È© A^(þ)
O
C
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C
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中
国
大
学
M
学
0
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(5 5 − 1).
6
大
=
国
1
中
国
大
学
M
3
1 2
· (1 + 4ρ2 ) 2
8 3
O
O
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0
中
O
O
M
学
大
= 2π ·
C
0
C
Z 1 p0
= 2π
1 + 4ρ2 ρdρ
中
国
大
学
M
Z 1p
dϕ
1 + 4ρ2 · ρdρ
O
C
中
国
大
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M
O
O
C
=
中
国
大
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M
O
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C
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中
国
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M
ZD 2π
C
中
中
中
中
…-¡3xOy¡ÝK«••
D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}, u´
ZZ p
S =
1 + 4x2 + 4y 2 dxdy
国
中
-È© A^(þ)
国
中
国
中
国
中
国
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O
M
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O
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中
国
大
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C
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国
大
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M
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~3.
-¡dz = x2 + y 2 Ú²¡z = 1¤Œ
¤, ¦T-¡ ¡È.
O
中
国
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中
国
大
学
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-È© A^(þ)
国
中
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大
C
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C
O
C
O
C
O
O
中
国
大
学
M
C
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·
·
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M
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中
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中
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0
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中
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3
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中
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Z
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中
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中
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M
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M
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M
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M
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国
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M
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-È© A^(e)
C
O
O
M
学
大
国
中
中
国
大
学
M
O
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
O
中
国
大
学
M
C
O
O
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
C
Ω
O
C
中
国
大
学
M
O
O
C
−→
dF = {dFx , dFy , dFz }, u´k
ZZZ
kmµx
Fx =
3 dV = 0
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
O
O
中
中
中
中
国
大
学
M
国
中
-È© A^(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
O
M
中
国
大
学
M
中
国
大
学
M
学
大
中
国
大
学
M
O
O
Ω
O
C
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C
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
O
C
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O
O
O
中
国
大
学
M
Ω
Fy =
O
C
中
国
大
学
M
O
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C
O
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中
国
大
学
M
中
中
中
−→
dF = {dFx , dFy , dFz }, u´k
ZZZ
kmµx
Fx =
3 dV = 0
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
ZZZ
国
中
-È© A^(e)
中
国
大
学
M
O
O
C
中
C
C
O
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M
中
国
大
学
M
中
国
大