Educación General Básica - Subnivel Superior
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MATEMÁTICA
Pr
9.º EGB
TEXTO DEL ESTUDIANTE
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EGB
Pr
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Matemática
Texto del alumno
PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA
Lenín Moreno Garcés
MINISTRA DE EDUCACIÓN
Monserrat Creamer Guillén
Viceministra de Educación
Susana Araujo Fiallos
MAYA EDICIONES CÍA. LTDA.
Dirección general
Patricio Bustos Peñaherrera
Edición general
Juan Páez Salcedo
Autoría
Sonia del Pilar Tabango Sánchez
Coordinación editorial
Soledad Martínez Rojas
Dirección de arte
Paulina Segovia Larrea
Diseño y diagramación
Equipo de diseño Maya Ediciones
Investigación gráfica
Flavio Muñoz Mejía
Investigación TIC
Fernando Bustos Cabrera
Terminación y acabados
Santiago Carvajal Sulca
Ilustraciones
Andrés Fernández Analuisa, Shutterstock y sitios web
debidamente referidos
Fotografías
Shutterstock, archivo editorial y sitios web debidamente referidos
Viceministro de Gestión Educativa
Vinicio Baquero Ordóñez
Subsecretaria de Fundamentos Educativos
María Fernanda Crespo Cordovez
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Subsecretario de Administración Escolar
Mariano Eduardo López
Directora Nacional de Currículo
Graciela Mariana Rivera Bilbao la Vieja
Impreso por:
m
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Primera impresión
Marzo 2020
al
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Director Nacional de Recursos Educativos
Ángel Gonzalo Núñez López
Directora Nacional de Operaciones
y Logística
Carmen Guagua Gaspar
Nº de derecho de autor QUI-057157
de 10 de septiembre de 2019
ISBN: 978-9978-52-327-8
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Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante
ACUERDO Nro. MINEDUC-SFE-2018-00039-A, con fecha 16 de
agosto de 2018.
© MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2020
Av. 6 de Diciembre N52-84 y José Barreiro
Teléfono: 02 510 2447
coordinacion@mayaeducacion.com
www.mayaeducacion.com
Quito, Ecuador
© Ministerio de Educación del Ecuador
Av. Amazonas N34-451 y Av. Atahualpa
Quito-Ecuador
www.educacion.gob.ec
La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y
por cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y
cuando sea por los editores y se cite correctamente la fuente autorizada.
DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA
ADVERTENCIA
Un objetivo manifiesto del Ministerio de Educación es combatir el sexismo
y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a
través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para
alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no
reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica
preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras,
tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en
lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no
existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia
tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica
comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su
Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español
es posible <referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical
masculino>, y (b) es preferible aplicar <la ley lingüística de la economía
expresiva> para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente
ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los,
os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.
Índice
Los números en los inventos que cambiaron al mundo
Numeros racionales. Operaciones
Potenciación y radicación de números racionales. Propiedades
Números irracionales: números reales y redondeo
Adición y sustracción de números reales. Propiedades
Multiplicación y división de números reales
Tabla de frecuencias con datos agrupados
10
14
18
22
26
30
m
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ci
co
El arte, las ciudades y los números
48
Potenciación de números reales
Radicación de números reales
Racionalización
Expresiones algebraicas. Polinomios
Representación de polinomios con material concreto
Polígonos. Área de polígonos
Área de prismas y pirámides, cilindros y conos
50
54
58
62
66
70
74
Estrategias para resolver problemas. Resolver de atrás hacia adelante
Proyecto. La geometría en las vías
Desarrollo del pensamiento. Pensamiento lógico
Cálculo mental
Recuerda y practica
Aplicaciones para la vida
Olimpiadas matemáticas
Evaluaciones estandarizadas
Evaluación sumativa
78
80
81
81
82
84
86
87
90
Eje temático 2
Geometría y medida
ET 3
Eje temático 1
Álgebra y funciones
ET 2
ET 1
Pr
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a
ET 1
ET 2
34
36
37
37
38
40
42
43
46
al
iz
Estrategias para resolver problemas. Hacer un gráfico
Proyecto. Medidas de prevención de accidentes
Desarrollo del pensamiento. Desafíos matemáticos
Cálculo mental
Recuerda y practica
Aplicaciones para la vida
Olimpiadas matemáticas
Evaluaciones estandarizadas
Evaluación sumativa
Unidad 2
8
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n
ET 3
ET 1
Unidad 1
Eje temático 3
Estadística y probabilidad
Índice
Adición y sustracción de polinomios, con signos de
agrupación
Multiplicación de monomios y polinomios
Productos notables I
Productos notables II
Triángulo de Pascal y teorema del binomio
Volumen de prismas, pirámides y cuerpos redondos
Estrategias para resolver problemas.
Hacer un gráfico tridimensional
Proyecto. Aproximando medidas importantes
ET 1
ET 3
150
154
158
Proyecto. ¡A cuidarse de los rayos solares!
Desarrollo del pensamiento.
Desarrollo de cubos
Cálculo mental
Recuerda y practica
Aplico en la vida cotidiana
Olimpiadas matemáticas
Evaluaciones estandarizadas
Evaluación sumativa
121
121
122
124
126
127
130
132
164
165
165
166
168
170
171
174
162
176
Desarrollo del pensamiento.
Cuadrados mágicos
Cálculo mental
Recuerda y practica
Aplico en la vida cotidiana
Olimpiadas matemáticas
Evaluaciones estandarizadas
Evaluación sumativa
201
201
202
204
206
207
210
178
182
186
190
194
198
200
La matemática en la modelización de los fenómenos
Producto cartesiano. Relaciones
Funciones
Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Función lineal y afín
Técnicas de conteo: diagrama de árbol
Variaciones, combinaciones y permutaciones
Estrategias para resolver problemas.
Extrapolar un gráfico
Proyecto. El ahorro de la energía es nuestra
responsabilidad
ET 1
ET 1
134
138
142
146
92
La música y la matemática
Ecuaciones lineales o de primer grado
Resolución de problemas con ecuaciones
de primer grado
Fracciones algebraicas. Simplificación. Operaciones
Intervalos e inecuaciones
Medidas de dispersión con datos agrupados
Estrategias para resolver problemas.
Hacer un esquema y plantear una ecuación
Proyecto. Nuestra riqueza musical
Unidad 6
118
120
Desarrollo del pensamiento.
Calculando perímetros y áreas
Cálculo mental
Recuerda y practica
Aplico en la vida cotidiana
Olimpiadas matemáticas
Evaluaciones estandarizadas
Evaluación sumativa
La Matemática en la radiación solar
División de monomios y polinomios
División sintética. Cocientes notables
Factor común monomio y factor común polinomio
Factorización de binomios
Trinomio cuadrado perfecto/Trinomio cuadrado
perfecto incompleto
Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c
y de la forma ax2 + bx + c
Medidas de tendencia central para datos agrupados
Estrategias para resolver problemas. Buscar
regularidades
Unidad 5
94
98
102
106
110
114
Eje temático 1
Álgebra y funciones
214
218
222
226
230
234
238
240
Desarrollo del pensamiento.
Operadores matemáticos
Cálculo mental
Recuerda y practica
Aplico en la vida cotidiana
Olimpiadas matemáticas
Evaluaciones estandarizadas
Evaluación sumativa
TIC. Medidas de tendencia central
con datos agrupados
Bibliografía / Webgrafía
Eje temático 2
Geometría y medida
ET 3
ET 3
ET 1
Unidad 4
ET 3
En Ecuador se hizo y se hace ciencia
ET 2
ET 2
ET 1
Unidad 3
Eje temático 3
Estadística y probabilidad
212
241
241
242
244
246
247
250
252
256
Conoce tu libro
En la apertura de unidad hallarás una fotografía,
un texto introductorio con lo que podrás “leer las imágenes” e interpretar matemáticamente la realidad.
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También encontrarás preguntas generadoras que
invitan a familiarizarse con los objetivos por alcanzar en
cada unidad.
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Los contenidos inician con la sección de Saberes previos o Desequilibrio cognitivo, que permiten relacionar tus experiencias y tu vida con el nuevo
conocimiento. El material se apoya en fotografías, tablas,
esquemas gráficas e ilustraciones que harán más divertido
el aprendizaje.
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co
También encontrarás, de manera aleatoria, secciones interdisciplinarias como DFA (diversidad funcional en el aula),
Sabías que, Recuerda que, Conexiones, las cuales te
permitirán vincular la matemática con otras ciencias, y TIC
que te apoyará con enlaces de Internet para que refuerces
tus aprendizajes mediante juegos, información y retos.
Talleres han sido diseñados para evaluar las destrezas, mediante actividades interesantes y dinámicas.
Además se realiza trabajo colaborativo a fin de reforzar el trabajo en equipo y actividades indagatorias que
invitan a investigar y aplicar el contenido estudiado.
En los talleres o evaluación formativa, se detallan las destrezas con criterio de desempeño, las mismas que se las
denomina con su código por materia, subnivel, bloque
y número de destreza.
Estrategias para resolver problemas favorecen
la aplicación de conceptos y procedimientos para
solucionar problemas y situaciones matemáticas;
en esta sección pondrás en juego tu inteligencia y creatividad.
Cálculo mental, por su parte, menciona estrategias para
realizar cálculos rápidos.
Recuerda y practica es una sección en la que se
reforzarán, mediante ejercicios, los temas tratados en la
unidad o unidades del texto.
co
m
er
ci
Aplico en la vida cotidiana es un segmento del texto, que
está enfocado a la aplicación de la vida cotidiana, utilizando los contenidos de matemática.
al
iz
Desarrollo del pensamiento te ayudará a desarrollar tu
aptitud verbal, razonamiento numérico y razonamiento
abstracto.
ac
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n
Proyecto es una sección encaminada a la aplicación de
la matemática en tu vida económica, social, cultural y ambiental, a través de un proyecto aplicado a diferentes contextos.
su
Olimpiadas matemáticas es una sección que invita a desarrollar habilidades matemáticas a través de preguntas
tipo reto o concurso.
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ib
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a
Evaluaciones estandarizadas es un instrumento que sirve para identificar debilidades y fortalezas de los estudiantes a través de preguntas de opción múltiple.
Pr
Evaluación sumativa corresponde a la evaluación
de la unidad, con opciones de respuestas y desarrollo; son dos páginas con actividades variadas para evaluar tus destrezas. La sección incluye coevaluación
y autoevaluación.
unidad
1
Los números en los inventos que
cambiaron el mundo
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Al recorrer la historia de la humanidad, observamos que muchos son los inventos que han contribuido
a nuestro bienestar. Algunos prevalecen hasta la actualidad, otros han desaparecido porque han dejado de ser
útiles, y otros, porque han sido reemplazados.
Shutterstock, (2020). 511792000
Pr
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Muchos han sido inventos y descubrimientos significativos: el fuego, la rueda, el reloj, el papel, la imprenta,
la bombilla eléctrica, la refrigeradora, el teléfono, la televisión, el automóvil, la penicilina, el Internet y la
computadora, entre otros.
8
Preguntas generadoras
¿Qué invento de los nombrados crees que es el más significativo?
¿Por qué?
•
¿Cuál es el valor exacto de la diagonal de una hoja de papel bond?
Explica el proceso que seguiste para obtenerlo.
ac
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•
co
al
iz
m
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Álgebra
y funciones
• Números racionales. Operaciones
con números racionales: suma,
resta, multiplicación y división
• Potenciación y radicación de
números racionales. Propiedades
• Números irracionales. Conjunto
de los números reales
• Aproximación de los números
reales
• Adición y sustracción de
números reales. Propiedades
• Multiplicación y división de
números reales
• Tablas de frecuencias para datos
agrupados
Pr
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su
Estadística
y probabilidad
Objetivos:
O.M.4.1. Reconocer las relaciones existentes entre los conjuntos de
números enteros, racionales, irracionales y reales; ordenar estos números
y operar con ellos para lograr una mejor comprensión de procesos
algebraicos y de las funciones (discretas y continuas); y fomentar el
pensamiento lógico y creativo.
O.M.4.2. Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa
y distributiva; las cuatro operaciones básicas; y la potenciación y
radicación para la simplificación de polinomios, a través de la resolución
de problemas.
O.M.4.7. Representar, analizar e interpretar datos estadísticos y situaciones
probabilísticas con el uso de las TIC, para conocer y comprender mejor el
entorno social y económico, con pensamiento crítico y reflexivo.
9
Números racionales. Operaciones
Tema 1
Saberes previos
¿Sabías qué?
al
iz
La imagen muestra las horas en que Augusta observó el reloj en la mañana
antes de salir al colegio. ¿Qué parte fraccionaria de la hora ocupó para cada
actividad y qué parte fraccionaria de la hora utilizó para alistarse para ir al colegio?
a
donde a ∈ , b ∈ , b ≠ 0
b
Cepillar sus dientes:
De acuerdo con lo
expuesto, todo número
entero es un número
racional.
15
60
Despertó
Terminó de
bañarse y vestirse
Terminó el
desayuno
Se cepilló sus
dientes y salió
10
60
a
Con el fin de determinar la fracción de
hora que utilizó para alistarse totalmente,
sumamos las tres fracciones:
20 15 10 45
3
+ + =
. Simplificando tenemos:
60 60 60 60
4
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17
1
Pr
oh
ib
17 =
20
60
Para sumar o restar fracciones homogéneas, conservamos el denominador
y sumamos los numeradores. Si las fracciones son heterogéneas, buscamos
el mcm de los denominadores, el cual será dividido para cada denominador.
Ese resultado se multiplica por cada numerador. Los productos se sumarán
o restarán de acuerdo con la disposición de los signos.
Ejemplo 1
Realizar la operación
5 11 4
− +
9 9 9
Solución
2
5 11 4 5 − 11+ 4
− + =
=−
9 9 9
9
9
10
Archivo Editorial, (2020).
Desayunar:
su
Un número racional
es todo número que
puede ser representado
como una fracción.
Bañarse y vestirse:
co
Recuerda que...
m
er
ci
Observamos cuántos minutos le tomó hacer cada actividad y recordamos que la
hora tiene 60 minutos. El número de minutos tomado para cada actividad será el
numerador de cada fracción y los 60 minutos serán el denominador.
Sumamos algebraicamente los numeradores
y conservamos el denominador
Archivo Editorial, (2020).
Escribe los números que corresponden a las representaciones.
ac
ió
n
Shutterstock, (2020). 622087610
Nuestros ancestros
construyeron relojes
sobre piedras. Las horas
quedaban señaladas
por la incidencia de los
rayos solares.
Ejemplo 2
Conexiones
Realizar la operación:
Solución
Matemática
con Química
2 15 1 7
+ − − =
5 6 3 15
=
10
y
1
es oxígeno.
3
m
er
ci
Multiplicación y división de números racionales
30
Ejemplo 3
Multiplicar
Solución
4
5
15
2
8
4
7
11
22
=
6
co
Para multiplicar números racionales, debemos multiplicar los numeradores
con los numeradores y los denominadores con los denominadores. Luego,
aplicamos la ley de signos. Antes de multiplicar, se recomienda simplificar.
2
4
2
a
1
su
Simplificamos, multiplicamos los numeradores y denominadores que resultaron,
y aplicamos la ley de signos.
1
3
ib
id
7 22
28
4 15 8
×
= = 28
2
4 11 6
1
5
1 1
1
1
3
1
oh
Shutterstock, (2020). 634149503
=
al
iz
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n
Las moléculas de
muchos elementos
Calculamos el mcm de 5, 6, 3 y 15. Lo colocamos como denominador común
+
−
−
2
15
1
7
12
75
10
14
y realizamos las divisiones y multiplicaciones respectivas.
+
−
−
=
= de la naturaleza están
formadas por átomos.
5
6
3
15
30
2
15
1
7 12 + 75 − 10 − 14
2 15 1 7 12 + 75 − 10 − 14
+
−
−
=
=
Así, por ejemplo, el
+
−
−
2
15
1
7
12
75
10
14
× + 5 −6
+ − − =
15=
30
−3
=
agua está formada por
5 6 3 15
30
5
6
3
15÷
30
63 21
2 átomos de hidrógeno
63 21
= =
÷
= =
y 1 de oxígeno. Es decir,
30 10
2
÷
63 3021 10
de la composición
= =
3
30 21
10
63
del agua es hidrógeno
Enlace web
Amplía tu
conocimiento en
simplificación de
fracciones por medio
de descomposición,
ingresando al siguiente
enlace web:
bit.ly/2yvee3J
Pr
Para dividir números racionales, invertimos al racional divisor y procedemos
a multiplicar siguiendo el proceso de la multiplicación.
Ejemplo 4
5
−
2
45 9
45 14
÷ = − x = −10
7 14
7 9
1
1
11
Taller
Evaluación formativa
1. Expresa en fracciones de horas cada uno de los
siguientes datos.
3. Completa con un número para que se cumpla la
igualdad.
a) 15 min
1 1
a) − −+ +
5 5
b) 42 min
b)
2 2
− =
7 3
33
55
−−
==
55
77
ac
ió
n
c)
c) 50 min
1 1
d) −0,5+
−0,5+ = =
4 4
2. Efectúa las siguientes operaciones.
4. Identifica el minuendo y el sustraendo. Luego,
realiza la operación.
al
iz
a) ⎛⎜ − 15 ⎞⎟ + ⎛⎜ − 19 ⎞⎟ =
⎝ 23 ⎠ ⎝ 23 ⎠
b) ⎛⎜ 3 + 5 ⎞⎟ + ⎛⎜ 7 + 1 ⎞⎟ =
⎝ 4 3⎠ ⎝ 5⎠
a
su
co
b) Restar 0,3+
1
+1 =
3
Pr
oh
ib
id
c)
d)
12
3 5
+
4 3
5 3
=
3 2
1 2
8
restar
0,3 =
3 5
5
m
er
ci
a) De
2
+4
5
2 2
= =
5 5
2
3 1
de 1 + =
5
7 4
5. Analiza la solución del siguiente problema.
Luego, resuelve lo propuesto.
1
Francisco gana $ 600, y va a destinar de lo que
5
tiene para el pago del arriendo de su casa.
El número racional puede ser usado como operador:
120
1
× 600 = 120
5
1
a)
2
de 1400 =
7
b)
3
de 2 070 =
9
c)
11
de 102 =
17
M.4.1.16. Operar en ℚ (adición y multiplicación) resolviendo ejercicios numéricos. M.4.1.17. Aplicar las propiedades algebraicas
para la suma y la multiplicación de números racionales en la solución de ejercicios numéricos. (destreza desagregada)
6. Determina los siguientes productos efectuando
previamente todas las simplificaciones posibles.
⎛ 5 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 35 ⎞
a) ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ =
⎝ 6 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 12 ⎠
c) ¿Cuántas veces está
1
en 1?
2
d) ¿Cuántas veces está
1
1
en ?
4
2
9. Realiza las siguientes divisiones.
3
6
7
1
2,3
81
( )(
)
0,5 =
 10    9  
 1,1   1,23 =
 14 
 18 
(3,5)
( )
( )
12
=
7
c)
2 
÷1, 3 =
5
co
c)
64
÷
27
m
er
ci
b)
al
iz
b)
ac
ió
n
⎛ −7 ⎞ ⎛ −5 ⎞
a) − ⎜ ⎟ ÷ ⎜ ⎟ =
⎝ −3 ⎠ ⎝ 6 ⎠
7. Encuentra el valor de b.
10. Resuelve el siguiente problema.
2
Se quieren envasar 80 kilos de café en paquetes de
5
de kilo cada uno. ¿Cuántos paquetes se obtendrán?
id
a
su
a) 100b = 25
oh
ib
b) 0,09b = 0, 81
Pr
c) (0,2) (0,2) (0,2)b = 1
11. Trabajen en parejas y resuelvan.
Formulen un polinomio aritmético con números racionales. Resuélvanlo y expóngalo en
clase.
8. Completa.
a) El inverso de –21 es ______
b) El inverso de
Trabajo colaborativo
13
es ______
25
Actividad indagatoria
12. Investiga sobre las propiedades de la suma
y la multiplicación de números racionales.
Expón en clase ejemplos de aplicación.
13
Potenciación y radicación de números
racionales. Propiedades
Tema 2
Desequilibrio cognitivo
¿Sabías qué?
Los resultados de los ejercicios son erróneos; escribe la solución correcta.
a) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 6 4 b) 52 = 10 c) ( −2)3 = 8 d) ( −3)6 ÷ ( −3)5 = ( −3)11
__________________________________________________________________
ac
ió
n
La tipografía es el
sistema de la imprenta
tradicional de tipos
móviles inventado por
Johannes Gutenberg.
Esta forma de impresión
fue superada por la
impresión offset.
¿Cuál es el volumen del troquel de acero que se usó para elaborar uno que servirá
para hacer impresiones de tipo tipográfico?
3 cm
—
4
3 cm
—
4
3 cm
—
4
3
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 27
V =⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 64
al
iz
V = a3 , donde V = volumen y a = arista del cubo.
Por lo tanto, el volumen del troquel es
27 3
cm
64
m
er
ci
Shutterstock, (2020). 254853631
Por ser el troquel de forma cúbica, su volumen se calcula con la fórmula:
co
La potenciación es una operación que corresponde a una multiplicación
de factores iguales.
Propiedades de la potenciación
ib
Exponente
n
oh
b = a
Distributiva con la multiplicación
m
a
b
a
b
n
a
b
m
a
b
÷
n
a c
b d
n
Potencia de una potencia
m n
a
b
=
a
b
=
m+ n
a
b
=
n
Distributiva con la división
Potencia
Pr
Base
Cociente de bases iguales
id
Los términos de la
potenciación son:
a
Recuerda que...
su
Producto de bases iguales
n
c
d
n
⎛ a c ⎞ ⎛ a⎞ ⎛ c ⎞
⎜⎝ ÷ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ ÷ ⎜⎝ ⎟⎠
b d
b
d
a
b
n
m
=
a
b
+
Archivo Editorial, (2020).
–
Exponente
Par
Impar
Par
Impar
+
+
–
Archivo Editorial, (2020).
14
n
n m
Signos en la potenciación
Base
n
Ejemplo 1
Aplicar las propiedades de la potenciación y calcular la potencia.
4 5+ 3
11
÷
3 9
÷
2 8
6
7
2
=
8
3
2
=
2
÷
5
2
3
Los números
decimales pueden
ser transformados a
números racionales.
3
2
3
=
Si son exactos:
=
9
8
4
4
9
11 ( 8 )
6
7
=
2
3
=
2
2
3
=
3
2
3
5
ac
ió
n
6
7
0,66... )
2
=
6
7
11+ 8
6
7
=
3
=
7
6
3
=
0, 4 =
343
216
9 81 9 64 16
÷
= × =
4 64 4 81 9
Si son periódicos puros:
0,666... =
La radicación es una operación contraria a la potenciación. En ella se trata de
encontrar un número que, elevado al índice, nos permita obtener el radicando.
Raíz de raíz
su
a c
a
c
÷ =
÷
b d
b
d
id
a
m n
ib
Raíz de una potencia
4,237272... =
=
42372 − 423
=
9900
41 949 4 661
=
9 900 1 100
m
a
b
n
Recuerda que...
a m ×n a
=
b
b
a
=
b
n÷m
a
=
b
Regla de signos en la
radicación.
n
m
Radicando
+
Archivo Editorial, (2020).
–
Índice
Par
Impar
Par
Impar
Raíz
+
∉ℝ
–
oh
Ejemplo 2
Si son periódicos
mixtos:
a c
a c
⋅ =
⋅
b d
b d
Distributiva de la multiplicación
Distributiva de la división
6 2
=
9 3
co
Propiedades de la radicación
4 2
=
10 5
al
iz
c)
(
2
3
=
b)
4
m
er
ci
2
3
a)
Recuerda que...
Pr
Aplicar las propiedades de la radicación y calcular la raíz.
8 64 3 8 3 64 2 4 8 4
⋅
=
⋅
= ⋅ = =
27 216
27 216 3 6 18 9
a)
3
b)
2 3
64 6 64 2
=
=
729
729 3
6
36
81
c)
3
36
=
81
3÷ 6
36
=
81
Me refuerzo
Ingresa al siguiente
enlace web:
bit.ly/2KqbR7R
1
2
36
36 6 2
=
=
= =
81
81 9 3
Imprime la evaluación
y verifica tus
conocimientos.
15
Taller
Evaluación formativa
1. Expresa en forma de potencia los siguientes
productos.
a)
2 2 2
⋅ ⋅ =
3 3 3
b)
( −0,01)( −0,01) =
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
=
3
2. Determina el término que falta.
a)
b)
216
=
125
5
=
2
1024
16
81
3
su
0,3 1 =
1
4
2
=
ib
4
b) 0,25 ÷
id
a
10
3
oh
=
7
11
2
( )
3. Aplica las propiedades y calcula la potencia.
a)
11
5. Escribe el signo de la potencia resultante.
−8
________________________
a)
5 =
( −3)
co
=
5
6
⌢ 4 ⎛ 5⎞ 2
⎛ 5⎞
÷
0,83
=⎜ ⎟
c) ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
4
c)
4
m
er
ci
b)
7
11
2
al
iz
6
5
2
⎛ 2 5⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 5⎞
a) ⎜⎝ + ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ + ⎜⎝ ⎟⎠
3 3
3
3
ac
ió
n
c)
4. Resuelve y comprueba cada ejercicio. Luego
escribe verdadero (V) o falso (F).
b)
3
5
4
= ______________________
c) (1,234)–2 = _______________________
6. Resuelve los siguientes problemas.
a) La herencia de José es la centésima parte del
cuadrado de la herencia de Andrea. Si la herencia
de Andrea es de $ 2 000, ¿cuánto tiene José?
Pr
⌢ ⎛ 7 ⎞−1 ⎛ 2 ⎞2
c) 0, 6× ⎜ ⎟ ÷ ⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ ⎝7 ⎠
b) Un número racional es la quinta parte de la
2
1 1
+
sexta parte de
. ¿Cuál es el número?
5 12
d)
16
7
3
0 2
8
=
M.4.1.18. Calcular potencias de números racionales con exponentes enteros. (destreza desagregada)
M.4.1.19. Calcular raíces de números racionales no negativos en la solución de ejercicios numéricos (con operaciones combinadas)
y algebraicos, atendiendo la jerarquía de la operación.
7. Calcula la raíz en cada caso.
¿Cómo se extrae la raíz de una fracción mediante
la descomposición en factores primos?
d)
32
= ___________________
243
−
3
0,0009 = __________________
216 3 23 ⋅ 33 3 23 ⋅ 3 33 2 ⋅ 3 6 3
=
=
= 2 = =
3 6
64
26
2
4 2
2
169
625
a)
3
b)
6
−
1000
=−
=
7
10
c)
2
3
d)
6 561 9
=
625 5
−0,512 = −0,8
c)
3
e)
3
id
ib
8
8 125 3 8 3 125
÷
=
÷
27 64
27
64
(0,25)4 =
0,25
oh
d)
1,25 = 15 1,25
a
3 5
4
20 736
1 296
su
2 1
2 1
⋅
=
⋅
3 5
3 5
b)
b)
co
9. Escribe la propiedad que ha sido aplicada.
a)
m
er
ci
8. Determina el término que falta.
a)
ac
ió
n
5
3 234 = 3 234 __________________
9
11. Observa el ejemplo y extrae la raíz.
0,0625 = __________________
b)
c)
8
= ____________________
125
3 4
al
iz
a)
3
__________________
c)
Trabajo colaborativo
12. Trabajen en parejas y resuelvan.
Elaboren ejercicios con términos faltantes en
la potenciación y en la radicación para que otra
pareja los resuelva.
Pr
8
125 3 8
125
×
=
×3
512 1000
512
1000
10. Observa y explica el error cometido.
a)
b)
−0,0025 = −0,05
4 ⋅ 3 8 = 6 32
____________________
____________________
________________________
________________________
Actividad indagatoria
13. Investiga y ejemplifica, frente a tus compañeros y compañeras, por qué la propiedad distributiva en la potenciación y en la radicación no
se cumple.
17
Números irracionales: números reales
y redondeo
Tema 3
Saberes previos
¿Sabías qué?
b=6
a=8
A
c=?
Y
x=?
ac
ió
n
y = 20
Z
B
A una pantalla de 19 pulgadas se le va a colocar un protector de 16 pulgadas de
ancho y 13 pulgadas de altura. ¿Cuál es la medida exacta de su diagonal?
El protector de pantalla tiene una forma rectangular. Entre los lados que representan
el largo, la altura y la diagonal se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es
la diagonal que buscamos. Por lo tanto, debemos aplicar el teorema de Pitágoras.
D = 162 + 132
D = 256 + 169
D = 425
El número 425 no es un cuadrado perfecto, por lo tanto, hacemos uso de una
calculadora para obtener el valor exacto. En ella observamos que el resultado es:
19 pulgadas
co
Shutterstock, (2020). 481391746
z = 12
X
D = 5 17 = 20,61552813…
su
El número obtenido nos muestra un número decimal que no sigue un patrón, por
lo tanto, no se puede convertir en fracción.
id
Matemática
con Música
Se conoce como número irracional (I) a todo número que no se puede convertir a fracción.
a
Conexiones
oh
ib
Los números
irracionales forman
parte muy importante
el momento de realizar
cálculos geométricos.
Pr
Por ejemplo el
número Pi π se utiliza
para calcular áreas y
volumen de formas
circulares o esféricas.
Ejemplo 1
Clasificar los números en números enteros racionales e irracionales.
a) 1,333...
b)
3
17
c)
d)
5
32 e )
2,236067977499

e) 2, 4 1
f)
26
Solución
Enteros
5

1,333... y 2, 4 1
Racionales: se pueden convertir en fracción.
3
Irracionales: no se puede obtener una fracción.
17
2,236067977499
26
18
32 = 2
Archivo Editorial, (2020).
C
al
iz
A los televisores se los
identifica de acuerdo
con la medida de la
diagonal de su pantalla.
Así, por ejemplo,
un televisor de 19
pulgadas tiene un largo
de 15,2 pulgadas y 11,4
pulgadas de altura.
Aplica el teorema de Pitágoras para determinar los datos desconocidos.
m
er
ci
El televisor es un
aparato electrónico que
sirve para receptar y
reproducir las señales
del sistema llamado
televisión. A lo largo
de la historia, ha ido
evolucionando.
Representación de números irracionales
en la recta numérica
¿Sabías qué?
Existen números
irracionales famosos:
Ejemplo 2
Representar
2 y − 2 en la recta numérica.
…
ππ ==3,14159265358979323
3,14159265358979323
…
En la recta numérica ubicamos la unidad. Sobre el final de ella, levantamos una
perpendicular de medida igual a la unidad y unimos los dos segmentos formando
un triángulo rectángulo.
al
iz
–1
La razón de oro:
Algunas raíces
cuadradas de números
naturales son números
irracionales.
1
1
0
1
x
2
m
er
ci
Archivo Editorial, (2020).
C
0
–2
…
e ==2,7182818284590452
2,7182818284590452
…
8ϕφ = 1,6180339887498…
y
1
Número de Euler:
ac
ió
n
Solución
Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la medida de la hipotenusa.
c = 12 + 12
c= 2
2 , y lo marcado a la izquierda es − 2 .
su
1
C
a
1
–2
id
0
− 2
–1
0
1
1
2
2
x
ib
Archivo Editorial, (2020).
y
oh
Redondeo de los números reales
Pr
Los números reales se redondean según la cifra propuesta. Si el número que
precede a esa cifra es 5 o mayor a 5, se le suma 1. Caso contrario, se la mantiene.
Ejemplo 3
Redondear
Recuerda que...
El conjunto unión
del conjunto de los
números racionales
y del conjunto de los
números irracionales
es el conjunto de los
números reales.
= ∪Ι
3 a las centésimas.
Solución
Calculamos su valor en la calculadora:
Ingresa a
bit.ly/2Kb0Ubk
y aprende a ubicar
11 en la recta
numérica.
3 = 1,732050808. Como a 3 le sigue 2, y 2
no es igual ni mayor a 5, el redondeo es: 3 ≈1,73 .

Archivo Editorial, (2020).
mérica. Lo obtenido a la derecha de 0 es
co
Tomamos un compás para trasladar la medida de la hipotenusa sobre la recta nu-
Enlace web
19
Taller
Evaluación formativa
c)
1. Coloca  si es un número racional y una I si es
irracional.
a) 1,33…
e) 3,4231842318…
b) 2,2360679…
1
c)
119
f)
d)
h)
12,6 pulgadas
225
16,8 pulgadas
3 969
2. Escribe dos números irracionales comprendidos
entre los pares de números indicados.
d)
a) 0 y 1
b)
4y
7
3
12 mm
co
d) –8 y –8,1
2 2
e)
y
7 5
f) –1 010 y –1 010,56
3. Calcula la diagonal de las siguientes figuras;
señala si el valor obtenido es racional o irracional.
4. Representa en la recta numérica.
a)
5
x
8m
0
1
2
3
4
b) − 13
ib
id
a
su
a)
9 mm
m
er
ci
c) –1 y 1
al
iz
101
ac
ió
n
g) − 17
oh
8m
b)
Pr
-x
3/2 cm
c)
3
2
1
0
8
9 cm
0
20
1
2
3
4
M.4.1.26. Reconocer el conjunto de los números irracionales e identificar sus elementos.
5. Determina el valor de números irracionales en
la calculadora. Escríbelos con 6 cifras decimales.
Luego redondéalos a las décimas.
7=
b)
13 =
=
d) 8ϕ = 8 ×
=
m
er
ci
a) 2π = 2 ×
π
= 0,25 ×
b)
4
c) 5,2e = 5,2 ×
al
iz
6. Redondea los números irracionales famosos a
las centésimas, y calcula el valor de cada número
irracional.
=
=
________________________________________
co
________________________________________
10
a
id
2e2e
________________________________________
________________________________________
Trabajo colaborativo
10. Trabajen en parejas y resuelvan.
Sobre la obtención de 2 en un triángulo
rectángulo, calculen en forma consecutiva
3, 4 , 5, 6 y 7 .
ib
d) 2,718
2,718
7
3
2 92 9
su
7. Redondea los números irracionales a las milésimas. Luego coloca los signos >, < o =, según
corresponda.
3π 3π
1
4
Las medidas de las pantallas de los televisores
siempre están dadas en número naturales. ¿Es
posible la existencia de un televisor cuyo largo
sea 45,72 cm y su altura sea 25,4 cm? Toma
en cuenta que una pulgada es igual a 2,54 cm.
Justifica tu respuesta.
e) 5 − 71 =
2
c)
51
; 1,002;
2
9. Resuelve el problema.
21 − 4 =
a) 24
7
b) 5
27 ; 3,001;
c) 1+ 11 =
d)
15;
ac
ió
n
a)
b) Descendente
3 3
ϕ ϕ
5 5
oh
e) 1,121,12
Pr
8. Ordena en la forma indicada. Toma en cuenta un
redondeo a las centésimas.
a) Ascendente
1
2
−1, − 2, π , − , 5,16, 11
2
3
Actividad indagatoria
11. Investiga en qué consiste la razón áurea.
Expón en clase haciendo uso de gráficos
ilustrativos.
Puedes investigar en la siguiente página web:
bit.ly/2Yk1PyR
21
Adición y sustracción de números
reales. Propiedades
Tema 4
Desequilibrio cognitivo
¿Es verdad que al restar 56,89 de −
455
, se obtiene 113,765?
8
ac
ió
n
Para determinar la longitud total, debemos primero calcular el contorno de cada
tipo de llanta, y luego sumar las cuatro medidas obtenidas.
12 cm
10 cm
Carrera de coches de madera.
La fórmula para calcular el perímetro es
P = 2π r , donde:
P =y2π rse redondea a 3,14.
r es el radio, el cual es la mitad del diámetro,
Por lo tanto:
P = 2π (10 cm )
P = 2 × 3,14 × 10 cm
P = 62,8 cm
P = 2π (12 cm )
P = 2 × 3,14 × 12 cm
P = 75,36 cm
co
Llanta grande
Ltotal = 62,8 cm + 62,8 cm + 75,36 cm + 75,36 cm
Ltotal = 276,32 cm
Ltotal = 2,7632 m
Pr
oh
ib
id
a
Para la tradicional
carrera de coches de
madera que se realiza
en Quito, a propósito de
su fundación, se utilizan
aún las ruedas de
madera recubiertas de
caucho, pese a que en
cuestión de ruedas la
ciencia y la tecnología
han revolucionado su
estructura.
Llanta pequeña
su
Recuerda que...
al
iz
Como las llantas son circulares, debemos calcular el perímetro de dos tipos de
circunferencias, pues son iguales en diámetro de dos en dos.
m
er
ci
Shutterstock, (2020). 655706101
Durante las festividades de Quito se lleva a cabo la tradicional carrera de coches.
Uno de los participantes requiere caucho para cubrir las cuatro llantas de su coche.
¿Cuál es la longitud de caucho qué necesita?
Este resultado obtenido nos permite afirmar que el participante requiere
aproximadamente 3 m de caucho.
Para sumar o restar números reales, se puede proceder de dos formas: una consiste en redondear los números decimales y sumar; y otra, en expresar la respuesta con los números irracionales.
Ejemplo 1
5
2 1
2
+
+ −
3 3 3 3
Solución
2
3
22
5 1
6
2
+ + = 0+ = 2
3
3 3
3
Ejemplo 2
Expresar en forma exacta la cantidad de caucho que necesita el participante para
las llantas de su coche.
Solución
Recuerda que...
Propiedades de la
adición
Debemos calcular los perímetros en forma exacta. Esto es:
Clausurativa
Rueda pequeña
ac
ió
n
Si a,b,c ∈! ⇒ a + b + c ∈!
Conmutativa
Rueda grande
Si a,b ∈! ⇒ a + b = b + a
P = 2π × 12 cm
P = 24 π (cm )
Asociativa
Si a,b,c ∈! ⇒ ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Si a , b , c ∈ ⇒ ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Ltotal = 20π ( cm ) + 20π ( cm ) + 24π ( cm ) + 24π ( cm )
Ltotal = 88π ( cm )
m
er
ci
Luego sumamos el perímetro de las cuatro ruedas:
al
iz
P = 2π × 10 cm
P = 20π ( cm )
co
Sin embargo, esta respuesta para los fines indicados no resulta práctica. Por ello,
se debe redondear el número irracional resultado, y obtener un valor que sea
comprensible comercialmente.
a ∈! ⇒ a + 0 = a
Cancelativa
a,−a ∈! ⇒ a + (−a) = 0
Jerarquización en la
eliminación de los
signos de agrupación
en un polinomio
aritmético.
{( )}
De adentro hacia
afuera.
ib
Ejemplo 3
id
a
su
Cuando los números irracionales que se sumarán o restarán están expresados
en radicales, es necesario observar si son semejantes. Un radical es semejante
a otro cuando sus radicandos son iguales. El coeficiente, que es el número que
antecede al radical, puede ser diferente. A fin de conseguir radicales semejantes,
se descomponen los radicandos en sus factores primos para extraer la raíz de lo
que sea posible, de acuerdo con las propiedades de la radicación. Para sumar o
restar radicales semejantes, se suman o restan los coeficientes.
Modulativa
oh
1
Efectuar : − 32 + + 50 − 0,75 + 72 =
2
Solución
Pr
− 2 4 × 2 + 0,5 + 52 × 2 − 0,75 + 62 × 2 =
−22 2 + 0,5 + 5 2 − 0,75 + 6 2 =
(−4
)
2 + 5 2 + 6 2 + (0,5 − 0,75) =
¿Sabías qué?
La suma de dos
números irracionales no
siempre es un número
irracional, por ejemplo
3+ − 3 =0.
(
)
La suma de un número
racional y un irracional
siempre es un irracional.
7 2 − 0,25 = (valor exacto)
9,65 (valor redondeado a las centésimas)
23
Taller
Evaluación formativa
1. Redondea a las décimas y efectúa las operaciones.
1
2+ − 5=
2
18
4
3
0,7
−
5
4
3
b)
− 53
23
5
− π + 0,97 − 7 =
3
ac
ió
n
a)

−1,94
–
3. Expresa la respuesta como número irracional.
al
iz
2
a) −14 + − 3 + 4 3 =
3
m
er
ci
3
c) 2e + 2 − 19 =
4
8 − 3 2 + 5,678 −
16
=
7

188
c) − 5 + 20,8 + e −
=
9
ib
id
a
su
d)
co
 3
b) 0,172 − + 3 8 − 15 =
2
oh
2. Completa la tabla y escribe los resultados.
Pr
+
4 5
0,5
3
7
d) −1,25 + − 4π + 5 − 2 =
2
−3π
0,3…
− 17
π
0,71
–2
24
e)
5
32 + 5 243 − 2 + 4 5 3 =
M.4.1.27. Simplificar expresiones numéricas aplicando las reglas de los radicales.
M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y con términos algebraicos aplicando propiedades.
4. Realiza las siguientes restas. Redondea a las
milésimas el resultado.
d) −3 3 16 +
5
64 −
3
250 −
5
486
a) De 500,17 restar 13π
26
restar 43
3
b)
2
⎧
⎫ 1⎞
7 − ⎨10e × + 4 28 ⎬ ÷ ⎟
5
⎩
⎭ 4⎠
2
1
2
2 + 1,8 ÷
5
3
1
co
5. Transforma a radicales semejantes. Luego,
efectúa las operaciones.
8 − 5 2 + 6 128
id
a
su
a)
ac
ió
n
⎛
a) − ⎜ 1,6
⎝
m
er
ci
c) De −
3
5
al
iz
b) Restar − 3 2 de −
6. Resuelve los polinomios aritméticos; expresa la
respuesta en forma exacta.
Pr
oh
ib
b) − 27 + 2 243 − 2 187
Trabajo colaborativo
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
Ejemplifiquen las propiedades de la suma de
números irracionales.
c) 2 20 − 7 125 + 2 45
Actividad indagatoria
8. Investiga por qué en la resta no se cumplen
las propiedades conmutativa y asociativa.
Justifica con ejemplos la explicación que le
des a la clase.
Puedes usar el siguiente enlace web:
bit.ly/2KeZ3lW
25
Multiplicación y división de números
reales
Tema 5
Saberes previos
Realiza las operaciones.
b)
65
× 0,6
2
c)
16 ÷
4
3
d) − 7 × 5 × 2
10 2 21
ac
ió
n
a) 12,74 ( −10 )
Si un gigabyte tiene 1 000 megabytes, ¿cuál es la capacidad de almacenamiento
expresado en megabytes de los flash memories de la imagen?
Para realizar el cálculo, debemos multiplicar.
Flash memory: I
3 x 1 000 = 3 000 megabytes
32G
al
iz
Shutterstock, (2020). 230684560
3G
Flash memory: II
32 x 1 000 = 32 000 megabytes
m
er
ci
Los flash memories se deben guardar en una caja cilíndrica como se muestra en la
figura. ¿Cuál es la superficie de la base de la caja?
Flash memories de 3 y 32 G.
Archivo Editorial, (2020).
co
Ao = 3,14 × 4 2
Ao = 3,14 ×16
Ao = 50,24 cm2
Cuando los números reales que se multiplicarán o dividirán son irracionales,
debemos redondearlos.
Si los factores son números irracionales en radicales del mismo índice, se aplica
la propiedad recolectiva de la multiplicación.
oh
ib
id
a
Las unidades de
almacenamiento
de información han
evolucionado: primero
estuvieron los discos
flexibles de 5 ¼
pulgadas y
3 ½ pulgadas; luego
aparecieron los CDs
y DVDs, que fueron
reemplazados por el
flash memory.
Ao = π × r 2
su
¿Sabías qué?
Para conocer la superficie de la caja es
necesario obtener el área del círculo.
r = 4 cm
Pr
En la actualidad se
puede prescindir de
estos dispositivos
porque la información
puede ser almacenada
en enormes centros
de acumulación de
datos, conocidos como
“nubes”.
26
Ejemplo 1
Multiplicar 3,2 × π .
Solución
Redondeamos
3,2 × π a centésimos.
3,2 × 3,14 = 10,048
Ejemplo 2
Multiplicar
6 ×
3 ×
Solución
=
( 6 )( 3)( −10 ) ( −2)
=
360
= 6 10
−10 ×
−2
Ejemplo 3
(
)
−4 ( 2π ) − 5 ( 0,2)
3
Recuerda que...
( 2 )( 5 )
3
• El orden de
resolución en un
polinomio aritmético
es:
Solución
Multiplicamos radicales semejantes entre sí.
( 2 ) (− 5 ) ( 5 ) (2π ) (0,2)
= ( −8 ) (− 25 ) (0, 4 π )
= 3 −4
1. potencias y raíces;
ac
ió
n
3
2. multiplicaciones
y divisiones;
3
= − 2 (−5) (0, 4 π )
3. sumas y restas.
= 4π
• Todo número real
multiplicado por
cero es igual a cero.
512 ÷
al
iz
Ejemplo 4
8
m
er
ci
Solución
Aplicamos la propiedad recolectiva.
=
512 ÷ 8
co
= 64
=8
• En la división se
cumple la propiedad
distributiva a la
derecha.
(a + b + c ) ÷ d
=
a
b
c
+
+
d
d
d
Propiedades de la multiplicación
Si a , b ∈ 
a×b=c
a
Clausurativa
c ∈
Si a , b , c ∈ 
a×b×c =a×c ×b =b×c ×a
id
oh
Asociativa
Si hay una discapacidad
o dificultades visuales,
es necesario ayudarnos
unos a otros, ya sea con
una explicación de los
sucesos visuales o con
un resumen de lo que
sucede alrededor.
ib
Conmutativa
DFA
Descripción
su
Propiedad
Pr
Elemento neutro
Distributiva
Inverso multiplicativo
Si a , b , c ∈ 
( a × b ) × c = a × (b × c )
Si a ∈ 
a × 1= a
Si a , b , c ∈ 
( a + b ) × c = ac + bc
Si a ∈  − {0} ∃
a×
1
∈
a
1
=1
a
Archivo Editorial, (2020).
27
Taller
Evaluación formativa
1. Realiza la operación indicada.
a) −
4
× 0, 4
6
b)
−27 ÷ −3
3. Redondea a las décimas los números irracionales
y calcula el resultado.
a)
53 ÷ π
3
d) 13e × 12,5
b)
e) 2ϕ × 7ϕ
5
32 ÷
3
216
g) −16π ÷ 8π
i)
(
27
1
2
2 ×
)(
3
−49
)(
c) −
5
−32
)( 7 )( 3 )
3
13
÷ 13
15
m
er
ci
72 ÷
h)
5
7
al
iz
f)
71 ×
ac
ió
n
c) 8π ÷ 2
3
= 10
= 10
= 10
= 10
= −28 π
= −28 π
= −28 π
= −28 π
= 12,5
= 12,5
= 12,5
= 12,5
= 12
= 12
= 12
= 12
100 ×
× 4
b)
id
a
c) 25π ×
su
a)
co
2. Determina el factor que hace posible la igualdad.
oh
ib
d) −6 18 ×
Pr
e)
f)
g)
h)
8 ×8 ×
15
44
1
= –1,3
3
d) − π ×
2
2
4. Escribe la propiedad que se aplica en cada caso.
a)
2
3
×
=1
3
2
_____________________________________
b)
4
2
=
2
4
_____________________________________
× ×20 20 = −20 2
c)
3x 5x 6 = 3
(
5x 6
)
_____________________________________
10 × = 4 10
× 6× 2
= −6
d)
2
(
)
5 + 3 7 = 10 + 3 14
_____________________________________
e)
54 × 12 = 18 2
_____________________________________
28
M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y con términos algebraicos aplicando propiedades.
M.4.1.32. Calcular expresiones numéricas y algebraicas usando las operaciones básicas y las propiedades algebraicas en R.
5. Aplica la propiedad distributiva a la derecha
de la división, y encuentra el valor exacto de la
operación.
(
b)
(16π
50 −
)
72 +
98 ÷
e
2
2
2
e
e
+ 3 2 3
4+
1
4
1
17
9
+ =
2
2
2=
ac
ió
n
a)
e)
− 28e − 56π ) ÷ 4 =
m
er
ci
al
iz
7. Resuelve.
Para sostener un poste de 7 metros de altura,
se usará un cable tensor al que se lo ubicará
en la parte alta del poste hasta un punto
en el piso. De la base del poste al punto del
piso hay 3 metros. Si el costo por metro de
cable es de $ 3,25, ¿qué valor aproximado se
necesita para comprar el cable?
6. Resuelve los siguientes polinomios aritméticos.
2
4
÷ 2 + × 125
4
5
3
2 ×
3
−32 ÷
25 − 62 ×
7
− 1,3
12
oh
ib
id
a
b)
su
co
a) −3 × 2 +
14
2 2+
3
4
Trabajo colaborativo
4
1
1÷
3
2
8. Trabajen en parejas y resuelvan.
Formulen un polinomio aritmético con signos
de agrupación. El polinomio debe contener las
cuatro operaciones. Intercambien con otra pareja para la resolución respectiva.
Pr
c)
7
d)
13
{1,2 +
2
8 2
6 8
(
338
)
162 ÷ 2
}
Actividad indagatoria
9. Investiga otras propiedades de la división y
expón en clases con ejemplos.
29
Tabla de frecuencias con datos agrupados
Tema 6
Desequilibrio cognitivo
¿Cómo organizarías en tres grupos de igual número de elementos los siguientes
datos? Justifica bajo qué criterio los agrupaste.
210
150
225
136
230
175
145
190
ac
ió
n
104
al
iz
80 76
70 92 68 75 69 75 74 82
86
68
74
72
76
88
84
80
73
78
m
er
ci
EEQ, (2020). www.eeq.com
El grupo de datos mostrados a continuación corresponde a los kilovatios-hora de consumo eléctrico de
los habitantes de un conjunto habitacional.
Planilla de luz
¿Cómo podemos organizar los datos?
co
En este caso, lo haremos en forma agrupada.
Pero antes de ello, analizaremos algunos conceptos.
Rango R: es el valor que se obtiene al restar el menor valor de los datos del
mayor valor.
Pr
oh
ib
id
a
El francés Léon Foucault
desarrolló la lámpara
de arco en 1840. Con
este tipo de lámparas
se realizó el alumbrado
exterior en las calles.
Posteriormente,
fue Thomas Edison
quien encendió la
primera lámpara con
filamento de carbono
en Nueva York, el 27
de octubre de 1879.
Esta se mantuvo
en funcionamiento
continuo durante dos
días.
Los datos pueden ser organizados en tablas de frecuencia de una manera
desagrupada o agrupada.
su
¿Sabías qué?
Número de intervalos K: es el número de subgrupos que se conformarán dentro
del grupo de datos. Se calcula con la fórmula de Sturges, ingresando los datos
en la calculadora.
K = 1 + 3,322LogN,
donde N representa el número de datos.
Amplitud A: es el número de datos que contendrá cada intervalo de clase. Se
calcula dividiendo el rango para el número de intervalos.
Marca de clase: es el valor medio de cada intervalo.
Procedamos ahora a calcular los valores mencionados antes de armar la tabla.
R = 92 – 68; R = 24
K = 1 + 3,322Log20; K = 5,32; K ≈ 5
Es recomendable redondear al menor valor entero, de preferencia impar.
30
R
24
; A = ; A = 4,8; A ≈ 5
K
5
Conexiones
Con estos valores construimos la tabla que contendrá cinco intervalos de cinco
datos cada uno.
Consumo eléctrico en un conjunto habitacional
Intervalo
de clase
fi
Fi
fr
Fr
[68 – 73)
70,5
5
5
0,25
0,25
[73 – 78)
75,5
7
12
0,35
[78 – 83)
80,5
4
16
0,2
[83 – 88)
85,5
2
18
[88 – 92]
90,5
2
20
20
Fi
Fr
2
0,06
0,80
[1 440 –
5 0,14
1 640)
7
0,2
[1 640 –
2 0,06
1 840)
9
0,26
0,1
0,90
0,1
1
1
su
co
Para formar los intervalos, escribimos en el primer casillero el menor número de
los datos, en este caso 68, y le sumamos 5. Para el siguiente intervalo, tomamos el
último valor del primer intervalo, en este caso 73, y le sumamos 5. Repetimos el
proceso hasta obtener el quinto intervalo, el cual contiene el mayor valor de los
datos, es decir, 92.
Pr
oh
ib
id
a
Luego procedemos a calcular x. Para ello en cada intervalo sumamos el valor
inferior con el valor superior y lo dividimos entre 2.
68 + 73
; x = 70,5
2
73 + 78
; x = 75,5
x2 =
2
78 + 83
; x = 80,5
x3 =
2
83 + 88
; x = 85,5
x4 =
2
88 + 93
; x = 90,5
x5 =
2
fr
[1 240 –
2 0,06
1 440)
Archivo Editorial, (2020).
x1 =
fi
0,60
m
er
ci
93
Distancia
recorrida
al
iz
x
ac
ió
n
En la tabla constará la marca de clase x, la frecuencia absoluta fi, la frecuencia
absoluta acumulada Fi, la frecuencia relativa fr y la frecuencia relativa acumulada Fr.
Matemática
con deporte
Tabla de distribución de
frecuencias agrupadas
en diez intervalos para
la distancia recorrida
durante el test YoYo
de recuperación
intermitente nivel 1 en
35 jugadores de fútbol.
A la columna de fi la formamos con el conteo de los datos. La columna de Fi se
forma al sumar cada Fi con la fi siguiente.
A la columna de fr la obtenemos al dividir cada fi para N. Y la columna de Fr se
obtiene al sumar cada Fr con la fi siguiente.
[1 840 –
6 0,17 15 0,43
2 040)
[2 040 –
2 0,06 17 0,49
2 240)
[2 240 –
3 0,09 20 0,57
2 440)
[2 440 –
3 0,09 23 0,66
2 640)
[2 640 –
4 0,11 27 0,77
2 840)
[2 840 –
4 0,11 31 0,89
3 040)
[3 040 –
4 0,11 35
3 240)
1
Archivo Editorial, (2020).
A=
Recuerda que...
• Para calcular el
número de intervalos,
se usa la fórmula de
Sturges. También
se puede decidir el
número de intervalos.
• Para definir los
intervalos se usan
corchetes y paréntesis.
El corchete indica que
el valor es incluido, y
el paréntesis indica
que el dato es
excluido.
31
Taller
Evaluación formativa
b) Estaturas de un grupo de mujeres
1
Marca de
clase
a
2
Amplitud
b
Vi + Vs
2
K = 1+ 3,322LogN
3
Número de
intervalos
c
R = Vmayor − Vmenor
d
R
A=
K
4
Rango
x=
F1
fr
Fr
[155 – 160)
157,5
20
20
0,57
0,57
[160 – 165)
162,5
10
30
0,29
0,86
162,5
5
35
0,14
1
Número de intervalos:
Amplitud del intervalo:
al
iz
a) N = 25
4. Completa las tablas de frecuencia.
m
er
ci
a) Número de años que vive en la capital un grupo de migrantes
b) N = 16
Intervalo
de clase
c) N = 50
co
d) N = 100
e) N = 30
su
f) N = 75
a
g) N = 40
f1
[1 – 5)
20
[5 – 9)
15
[9 – 13)
12
[13 – 17)
25
[17 – 20]
30
id
ib
Intervalo
de clase
x
f1
F1
fr
Fr
[12 – 14)
13
8
8
0,3
0,3
[14 – 16)
15
5
13
0,2
[16 – 18)
17
12
25
[18 – 20)
19
2
27
x
f1
[20 – 23)
40
[23 – 26)
38
0,5
[26 – 29)
50
0,4
0,9
[29 – 32)
20
0,1
1
[32 – 35)
30
Número de datos:
[35 – 38)
32
Número de intervalos:
[38 – 41]
10
Amplitud del intervalo:
Total
Pr
F1
fr
Fr
Total
Intervalo
de clase
a) Edades de los jóvenes del grupo Alfa
oh
x
b) Inventario de calzado deportivo del almacén
Súper Deporte
3. Analiza la tabla y completa.
Archivo Editorial, (2020).
f1
Número de datos:
2. Utiliza la calculadora para determinar el número
de intervalos en cada caso, usando la fórmula de
Sturges.
32
x
[165 – 170]
Respuesta:
h) N = 45
Intervalo
de clase
ac
ió
n
Archivo Editorial, (2020).
1. Relaciona cada concepto con su cálculo.
F1
fr
Fr
M.4.3.2. Organizar datos no agrupados (máximo 20) y datos agrupados (máximo 50) en tablas de distribución de frecuencias:
absoluta, relativa, relativa acumulada y acumulada, para analizar el significado de los datos.
c) Número de vacunas existentes en un grupo
de unidades médicas
x
f1
[20 - 32)
7
[32 - 44)
2
[44 - 56)
8
[56 - 68)
5
[68 - 80]
6
Total
28
F1
fr
Fr
A=
A =
A =
b) Los datos corresponden a las temperaturas
promedio registradas en una ciudad en un mes.
ac
ió
n
Intervalo
de clase
Cálculo de la amplitud
Considerar K = 6
12 8 20 22 28
24 26 21 23 25
5. Responde las siguientes preguntas y justifica.
al
iz
22 20 16 12 14
a) ¿Una frecuencia absoluta puede ser mayor
que uno?
18 20 19 21 23
25 24 22 22 25
m
er
ci
_____________________________________
Intervalo
de clase
_____________________________________
x
f1
F1
fr
Fr
b) ¿Una frecuencia relativa puede ser mayor que
uno?
co
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
su
_____________________________________
a
6. Organiza la información en tablas de frecuencia
de datos agrupados.
ib
id
a) Los datos corresponden al número de
vacunas que se han reportado en existencia
en un grupo de unidades médicas.
oh
50 65 52 80 20 36 75
30 45 60 54 25 48 80
Total
Trabajo colaborativo
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
Recolecten datos relacionados con el consumo de metros cúbicos de agua potable de sus
hogares. Luego, organicen la información en
una tabla de frecuencias con datos agrupados.
Pr
62 30 50 28 70 62 55
45 35 80 25 75 20 65
Cálculo del rango
R=
Actividad indagatoria
R=
8. Investiga para qué sirve calcular la marca de
clase x. Da un ejemplo.
Cálculo del número de intervalos
K = 1+3,322log
K=
K≈
33
Estrategias para resolver problemas
Hacer un gráfico
Problema resuelto
Problema propuesto
La parte central de un parque tiene la forma de
un hexágono regular, cuyo lado mide 10 metros.
A este espacio se le colocará cerámica.
Franklin ha diseñado un panal de abejas de madera
para que los niños coloquen sus lápices de color.
¿Cuál es el área exacta de que dispondrá cada niño,
si el lado de cada celda mide 6 cm?
1. Comprender el problema
¿Qué forma tiene el terreno?
ac
ió
n
¿Cuántos metros de cerámica se requiere?
1. Comprender el problema
¿Qué forma tienen las celdas del panel de abejas?
_________________________________________
¿Cuánto mide el lado del terreno?
¿Cuánto mide el lado de cada celda?
_________________________________________
_________________________________________
¿Qué necesitamos conocer para calcular el
área de cada celda?
2. Fijar una estrategia
m
er
ci
¿Qué necesitamos conocer para calcular el
área indicada?
2. Fijar una estrategia
Realizar un gráfico ilustrativo y recordar que en un
hexágono regular la medida de un lado es igual a
la medida del radio del círculo que lo circunscribe.
3. Aplicar la estrategia
al
iz
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
id
a
Archivo Editorial, (2020).
su
co
3. Aplicar la estrategia
10 m
ib
ap
m
oh
10
ap =
(10 m)2 − (5 m)2
Pr
ap = 100 m2 − 25 m2
ap = 75 m2
ap = 5 3 m
P × ap
60 m × 5 3
; A=
; A = 150 3 m2
2
2
4. Expresar la respuesta
A=
Exactamente se requieren 150 3 m2 de cerámica
34
4. Expresar la respuesta
_________________________________________
_________________________________________
1. Luis quiere dividir un terreno cuadrangular en dos
partes iguales atravesando una cuerda y formando una diagonal. Si el terreno tiene una superficie
de 144 m2, ¿cuánto tiene que medir la cuerda?
2. Gabriela elaborará 12 cometas de forma hexagonal, cuyos lados miden 28 cm. ¿Qué cantidad de
papel necesita para elaborarlas?
a) Comprender el problema
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
ac
ió
n
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
m
er
ci
al
iz
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
d) Responder
3. Durante las horas de
75 cm
arte, Martina y Valentina
12 lt
hacen un mural en forma de trapecio y desean
120 cm
colocar una cinta decorativa en el borde. Si el trapecio tiene las siguientes medidas, ¿cuántos metros de cinta necesitan?
id
a
su
60 cm
_____________________________________
co
_____________________________________
4. En un colegio quieren hacer una mesa de picnic
con base hexagonal. ¿Cuál es el área que ocupará
esta mesa si cada lado mide 60 cm?
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
ib
a) Comprender el problema
oh
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
c) Aplicar la estrategia
Pr
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
d) Responder
_____________________________________
_____________________________________
35
Proyecto
Medidas de prevención de accidentes
Justificación / problemática
La ciencia ha contribuido para que los medios de transporte alcancen niveles que faciliten nuestra necesidad
de trasladarnos de un lugar a otro. Las velocidades con las que nos movilizan autos, buses, aviones y barcos nos
permiten ahorrar tiempo y esfuerzo.
ac
ió
n
Mientras esto sucede, es necesario que nos modernicemos también en medidas de seguridad que eviten la
producción de accidentes.
su
Objetivo
Organizar información relevante de la sociedad para informar y prevenir accidentes.
•
Marcadores
•
Imágenes
id
Cartulinas
ib
•
a
Recursos
•
Elaboren carteles con las medidas preventivas que se deben tomar en el transporte escolar.
Investiguen el número de accidentes que en su localidad se han producido mensualmente durante el
último año.
Pr
•
oh
Actividades
Evaluación
1. Organicen la información en tablas de frecuencia con datos agrupados.
2. Exhiban la tabla de frecuencias en lugares estratégicos de la institución para que la comunidad
educativa se informe. A la par, coloquen sus carteles con las medidas preventivas. Consideren como
lugares estratégicos la zona del transporte escolar y los mismos buses.
36
Shutterstock, (2020). 518597281
Shutterstock, (2020). 682233274
m
er
ci
co
Shutterstock, (2020). 296631638
al
iz
Nuestra posición de peatones debe ser de prudencia y de respeto al cruzar calles y avenidas. Si vamos dentro de
un medio de transporte, también debemos cumplir con las medidas de seguridad reglamentarias.
Desarrollo del pensamiento
Desafíos matemáticos
1. Una familia de seis personas va al cine, y se sientan todos juntos en una fila. A la salida, hacen amistad con la
administradora y esta les dice que los dejará entrar gratis el día que hayan completado todas las posiciones
posibles entre ellos, es decir, cuando se hayan sentado en las mismas seis butacas, ocupando cada vez una
posición distinta cada persona.
ac
ió
n
La familia va una vez por semana. ¿Cuántas semanas tendrán que transcurrir para que puedan entrar gratis
al cine?
al
iz
2. Un hipotético caminante se dispone a dar la vuelta al mundo (naturalmente, a pie), siguiendo la línea
ecuatorial. Se supone que esta persona puede caminar tranquilamente sobre las aguas, sobrevolar valles y
perforar montañas, con el objeto de que su trayectoria sea horizontal.
La longitud total de la línea Ecuador es 40 000 kilómetros. La estatura del caminante es 1,75 metros. ¿Qué
distancia recorrerá la cabeza en relación con los pies?
b) 175 m
c) 1 750 km
d) 11 m
e) 17 cm
f) 17 km
co
a) 410 km
m
er
ci
Para encontrar un valor exacto, debes tomar papel y lápiz y hacer el cálculo. Pero en este caso darás una
respuesta intuitiva, por lo que dispones de un minuto para seleccionar entre las siguientes respuestas:
su
Cálculo mental
Multiplicar números de dos cifras con el 9 en las decenas
97
100 – 97
ib
100 – 94
+
oh
6
=
91
94
100 – 9
100 – 94
a
×
id
94
3
=
9
6
×
97
=
9 118
100 – 97
×
3
=
18
Pr
Ahora hazlo tú
1. 93 × 97 =
5. 98 × 92 =
9. 93 × 96 =
2. 91 × 94 =
6. 97 × 98 =
10. 95 × 97 =
3. 96 × 92 =
7. 96 × 98 =
11. 96 × 95 =
4. 95 × 99 =
8. 94 × 93 =
12. 99 × 97 =
37
Recuerda y practica
1. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
9 es un entero. ( )
_____________________________________
3
y 0,189 son números racionales.
5
( )
b) Los números
5 + π ∈Ι f) Ζ ∪ Ι = (F )
Centésimas
1
2
2e + 0,3
π+
23 − 4π
5
−
7
_____________________________________
5. Representa en la recta numérica:
a) 2 5
Milésimas
co
7 − 23 2
su
50
5
m
er
ci
2. Completa la tabla con el redondeo solicitado.
3
10
; − 4,5; − ; − 5; − 2π ;
7
5
d) π ; − 6;
al
iz
(F )
Décimas
_____________________________________
(V )
e) ∪ Ι = Ζ Número
3
25
; 2; − 5; −
; 3; − 3, 4; 16
6
3
c) −0, 64;
c) Todo número entero es número racional. ( V )
d)
21
ac
ió
n
a) El número
7 4
5
b) − ; ; 0; − ; 3; − 4;
3 5
3
0
1
2
1
2
5
3
4
3
4
x
2 5
1
3
2
b)
id
1
25
b) π
c) 3
ib
a)
a
3. Completa la tabla con el redondeo solicitado.
e)
2
x
1
2
d) 3,8
Pr
oh
0
f) 5,3
g)
6. Realiza las siguientes operaciones. Expresa las
respuestas exactas.
47
4. Ordena de mayor a menor los números reales de
cada grupo.
a) −7;
2
16
; 0; − ; 3; − 5;
5
3
3
_____________________________________
38
a) 200 + 8 200 − 2 363
8
− 7,14 − 3π
5
i)
4 25 + 100 − 3 36 − 4 121 =
13
c) −2 3 81 − 7π + 8 3 24 + 6 3 375 + π
2
7. Identifica la propiedad que se aplica.
a) − 41 +
b)
al
iz
1+ 5
2
=1
×
2
1+ 5
m
er
ci
_____________________________________
c) −
1
e)
×2 5 =
2
(
4
4
+ 2,1 − 5 8 = − + 2,1 − 5 8
13
13
)
co
_____________________________________
su
ib
id
a
f) −8 3 2 − ( −3) 3 2 + 15 3 2 − 8 3 2 + 6 3 2 =
Pr
oh
g) 3 + 2 + 1 − 2 =
2 2 2 2
h) 2 5 + 45 + 180 − 80 =
1
1
− π =− π − 41+
2
2
_____________________________________
11⎞ 2 ⎤
1
⎡7
⎛
d) − ⎢ − 0,54 ⎜ 8π ÷ 2 + ⎟ + π ⎥ ÷
⎝
6 ⎠ 11 ⎦
5
⎣5
ac
ió
n
b) − 36 +
d)
−7 18 + 7 18 = 0
_____________________________________
8. Completa la información que muestran las edades de los estudiantes del colegio.
Edad
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
[4,6)
62
[6,8)
85
[8,10)
48
[10,12)
44
[12,14)
38
[14,16)
39
[16,18)
34
Frecuencia
relativa
Total
39
Aplico en la vida cotidiana
Tema: La estadística en
el deporte
Medidas de tendencia central
ac
ió
n
El deporte es una práctica saludable en nuestras
vidas. Los entrenadores de las diferentes disciplinas deben tener claro el avance de cada uno de
sus estudiantes, para definir las representaciones
escolares.
¿Cuáles serían las dos estudiantes
seleccionadas?
Reflexiona
T1
Martina
44
Rafaela
T2
T3
T4
T5
T6
31
46
35
37
43
33
32
33
31
32
32
Camila
32
37
32
35
32
32
Mía
32
33
32
32
32
33
A simple vista, ¿cuál es la primera seleccionada?
co
•
Estudiante
m
er
ci
Se obtienen los siguientes resultados:
al
iz
Wilson es el entrenador de natación del colegio y debe seleccionar a sus dos mejores deportistas, para representar a la institución educativa en las olimpiadas nacionales, categoría damas. Para ello, registra los tiempos
que establece cada una de las cuatro deportistas que tiene a su cargo, en 6 pruebas de 50 metros libres.
________________________________________________________________________________________
su
Ahora tiene en el banco $ 5 800.
Comprueba la respuesta.
• ¿Qué medida nos ayuda a determinar las dos estudiantes?
•
¿Hubieras podido sacar la segunda mejor deportista a simple vista? ¿Crees que la mediana es la mejor medida para determinar?
Pr
oh
ib
id
a
•
Resuelve la situación
•
40
Las estaturas (en cm) de los seis integrantes del equipo de básquet de un grado de secundaria, de una
institución educativa, son las siguientes: 143, 144, 146, 148, 149, 128. ¿Cuál es la estatura representativa del
equipo de básquet?
Shutterstock, (2020). 93628861
Situación cotidiana
Tema: Una alimentación
saludable
Situación cotidiana
ac
ió
n
La alimentación saludable es necesaria para mantener una buena salud; es preciso que nuestros alimentos aporten con energía y nutrientes de manera
equilibrada. Para esto es importante conocer las cantidades exactas al momento de preparar una receta.
María prepara para su familia un plato exquisito.
Estofado de pollo
Shutterstock, (2020). 129609470
Operaciones con números racionales
m
er
ci
al
iz
Ingredientes (Para 4 personas)
1 ¾ de tazas de arroz
½ kg de pollo
½ taza de zanahoria picada
½ taza de arvejas
1 cebolla
½ taza de papa picada
½ taza de agua
1 tomate
1 rama de apio
¼ de taza de aceite vegetal, sal, pimienta, hongos, laurel al gusto.
¿Qué cantidad de ingredientes es necesaria para preparar la receta para 3 y para 7 personas?
•
co
Reflexiona
¿Qué ocurre con la cantidad de ingredientes?
•
Comprueba la respuesta.
Ingredientes
a
½ kg de pollo
3 personas 7 personas
id
1 ¾ de tazas de arroz
su
________________________________________________________________________________________
Ingredientes
½ taza de arvejas
1 taza de papa picada
½ taza de agua
1 tomate
1/ 4 de taza de aceite
vegetal
1 cebolla
1 rama de apio
ib
½ taza de zanahoria
picada
Pr
oh
3 personas 7 personas
•
¿Qué ocurre con la cantidad de ingredientes si fuera para una persona?
________________________________________________________________________________________
Resuelve la situación
•
Los ingredientes para un pastel son: 1 taza de mantequilla; 3 huevos; 1 ½ tazas de azúcar; y, 2 tazas de harina. Si solo tenemos 2 huevos, ¿cómo debemos modificar los ingredientes restantes de la receta para poder
preparar el postre?
41
Olimpiadas matemáticas
1. ABC es un triángulo rectángulo; M es el punto
medio de la hipotenusa AB y ∠BAC = 60°. Entonces, ∠BMC es igual a:
B
M
60°
ac
ió
n
C
A
al
iz
Argumenta la solución:
m
er
ci
Respuesta: ______________________________________________________________________________
2. El peso promedio de un grupo de 4 personas es 80 kg. Si se agrega una persona más al grupo, el peso promedio es 80,2 kg. ¿Cuánto pesa la persona que se agregó al grupo?
su
co
Argumenta la solución:
a
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Pr
oh
ib
id
3. Observa el diseño y responde, ¿cuál es la mayor
cantidad de rectángulos que puedes contar?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
42
Evaluaciones estandarizadas
4. Lee y analiza.
1. Lee y analiza.
Observa el gráfico y responde:
Ana gana mensualmente $ 2 400. Sus gastos y el
de su familia se dan de la siguiente manera: en
alimentación, $ 600; vestimenta, $ 300; servicios
básicos, $120; educación, $ 900; recreación de la
familia, $ 120, y el resto lo ahorra.
Color favorito de estudiantes
8
7
6
5
4
3
2
1
¿Qué parte destina para alimentación?
ac
ió
n
N°. de estudiantes
¿Cuál es el porcentaje de los estudiantes que prefieren el color azul?
Argumenta la respuesta:
Color
Argumenta la respuesta:
3
12
6
b)
12
Escoge la respuesta correcta.
a) 10 %
c) 20 %
b) 16 %
d) 30 %
m
er
ci
a)
al
iz
Escoge la respuesta correcta.
1
6
1
d)
4
c)
5. Lee y analiza.
¿Qué fracción de su sueldo ahorra Ana?
2. Lee y analiza.
3
de hora en resolver un pro4
blema de matemática, mientras que Rosa demoró
1
del tiempo que demoró Verónica. ¿Qué fracción
2
de hora demoró Rosa en resolver el examen?
Argumenta la respuesta:
id
a
Argumenta la respuesta:
su
co
Verónica demoró
Pr
oh
ib
Escoge la respuesta correcta.
3
a)
c)
2
2
b)
d)
3
Escoge la respuesta correcta.
1
1
a)
c)
24
20
3
3
b)
d)
20
24
6. Lee y analiza.
1
2
3
8
La alfombra que se muestra en la figura ha sido
3
confeccionada con cuadrados pequeños de m
5
de longitud. ¿Cuál es el área que cubre esta alfombra?
Argumenta la respuesta:
3. Lee y analiza.
La mitad de la cuarta parte de 100 es:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 50
c) 12,5
b) 25
d) 75
Escoge la respuesta correcta.
12
108
a)
c)
5
25
12
9
b)
d)
5
25
43
7. Lee y analiza.
10. Lee y analiza.
Se desea colocar una plancha de vidrio sobre una
mesa hexagonal regular. Si uno de los lados de la
mesa tiene 4 dm de longitud, determina la superficie del vidrio.
Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que:
B obtuvo un punto más que D.
D obtuvo un punto más que C.
E obtuvo dos puntos menos que D.
B obtuvo dos puntos menos que A.
Argumenta la respuesta:
ac
ió
n
Ordénalos en forma decreciente.
Argumenta la respuesta:
a) 24 3
c)
b) 6
d) 24
al
iz
Escoge la respuesta correcta.
6 3
Escoge la respuesta correcta.
a) ABCDE
m
er
ci
8. Lee y analiza.
Si a la mitad de tres se le resta tres, qué número se
obtiene.
d) ABDCE
11. Lee y analiza.
Alejandro tiene 26 dólares; Julia tiene 14 dólares
y Cecilia 22 dólares. ¿Cuánto más de dinero tiene
Alejandro que Cecilia?
Argumenta la respuesta:
su
co
Argumenta la respuesta:
b) BCDEA
c) EDBAC
Escoge la respuesta correcta.
1
2
c) −
a
a)
id
1
b) –
2
3
2
ib
d) 0
9. Lee y analiza.
oh
¿Cuál es el resultado de
d) 4 dólares
89, 80, 73, 68, 65, ?
Pr
44
b) 30 dólares
Argumenta la respuesta:
108
b) 3 × 2
c) 2 dólares
¿Qué número continúa la serie?
Escoge la respuesta correcta.
1
2
a) 48 dólares
12. Lee y analiza.
3× 3 2 ?
Argumenta la respuesta:
a)
Escoge la respuesta correcta.
1
3
Escoge la respuesta correcta.
c)
6
108
a) 60
c) 64
d)
6
6
b) 61
d) 56
13. Lee y analiza.
Nombre del estudiante: __________________
¿Qué número continúa la serie?
________________________________________
2; 2 2 ; 4; 4 2 ; ____
Grado: _________________________________
Argumenta la respuesta:
Fecha: _________________________________
ac
ió
n
Instrucciones
Correcto
Incorrecto
Escoge la respuesta correcta.
c) 8 2
1. Pinta totalmente los círculos.
b) 8
d) 10
2. No hagas marcas fuera del círculo.
al
iz
a) 6 2
3. En caso de concluir antes de tiempo, revisa
los ejercicios en los que hayas tenido dudas.
¿Qué números van en los espacios en blanco?
12
14
16
24
28
32
48
?
?
su
a
Escoge la respuesta correcta.
c) 21 y 24
d) 56 y 64
ib
b) 42 y 48
id
a) 50 y 52
1)
A
B
C
D
2)
A
B
C
D
3)
A
B
C
D
4)
A
B
C
D
5)
A
B
C
D
6)
A
B
C
D
7)
A
B
C
D
8)
A
B
C
D
9)
A
B
C
D
10)
A
B
C
D
11)
A
B
C
D
12)
A
B
C
D
13)
A
B
C
D
14)
A
B
C
D
15)
A
B
C
D
co
Argumenta la respuesta:
m
er
ci
14. Lee y analiza.
15. Lee y analiza.
oh
Un múltiplo de 5 disminuido en 2 siempre es:
Pr
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) Número par
b) Número impar
c) Número puede ser par o impar
d) Número que termina en 3
45
Compruebo mis aprendizajes
Evaluación sumativa
5. Relaciona el proceso con la propiedad aplicada.
Luego, relaciona la respuesta correcta.
1. Selecciona el literal que contiene las afirmaciones
verdaderas.
1.
13 ∈ 
2.
−8 y π ∈ 
3.
∪ Ι =
1. −0,17 + 0,17 = 0
a) Conmutativa
2. −8 5 3 + 2e = 2e − 8 5 3
b) Clausurativa
3.
3
3
+ 2 −π = +
4
4
(
2 −π
)
4. −7 89 + 6 89 = − 89
4. Todo Ζ es Ι
c) Cancelativa
ac
ió
n
M.4.1.26. Reconocer el conjunto de los números irracionales e identificar sus elementos.
d) Asociativa
a) 1c, 2a, 3d, 4b
b) 1c, 2d, 3a, 4b
b) 2 y 3
c) 1b, 2d, 3c, 4a
c) 1 y 3
d) 1b, 2a, 3c, 4d
al
iz
a) 1 y 2
6. Al aproximar los números irracionales a las décimas y realizar la operación, se obtiene:
m
er
ci
d) 2 y 4
2. La medida de la hipotenusa del triángulo es:
− e π + 16
3, 4 , 5, 6 y 7
co
1
a)
2
b)
3, 4c), 1 5, 6d)y 27
b) 3,1
su
3. Al aproximar el número irracional 2π a las décimas,
se obtiene:
c) 6,3
id
M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y
con términos algebraicos aplicando propiedades.
Pr
oh
ib
4. Cuál es el resultado exacto que se obtiene al rea8
lizar la operación: de restar −3 8
5
8
a) − − 3 8
5
8
b) − + 6 2
5
c)
8
+6 2
5
8
d) − + 3 2
5
b) –1,8
d) –4,5
7. Al convertir los radicales en semejantes y realizar
la operación, se obtiene:
−3 8 +
1
1
50 −
200
2
4
a) 6 2
b) −6 2
c) −6 2 + 5 2
d) 6 2 − 5 2
8. ¿Cuál es la propiedad que se ha aplicado para
resolver la operación?
(7
)
72 + 4 128 − 98 ÷ 2
= 42 + 32 − 7
= 67
a) Conmutativa
b) Clausurativa
c) Asociativa
d) Distributiva
46
c) 9,8
M.4.1.27. Simplificar expresiones numéricas aplicando las reglas de los
radicales.
d) 6,8
a
a) 6,2
a) –9,8
Coevaluación
M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y
con términos algebraicos aplicando propiedades.
1. −3 2 × [
]=1
]=0
2. −3 2 + [
3. 3
([
])
= −3 2
1
4. − ÷ [
3
]= −3
1
2
a) 3 2
b)
11. Organicen los datos en una tabla de frecuencias con k = 3. Luego, seleccionen las respuestas
correctas.
2
1
c) −
3 2
120
100
130
100
125
148
Intervalo
de clase
d) − 2
b) 1c, 2a, 3b, 4b
10. ¿Cuál es el resultado del siguiente polinomio?
)
8 − 7 2 − 6 18 − 1 + 0,6 es:
3
c) 46 + 2
2
5
5
d) 13 2 +
b) 46 + 2 2
3
5
F1
f1
fr
Fr
El rango es:
a) 148 b) 248 c) 48
•
La amplitud de cada intervalo es:
a) 16
•
d) 120
b) 4
c) 8
d) 1
La marca de clase del segundo intervalo es:
a) 132 b) 140 c) 124 d) 108
•
La frecuencia absoluta del tercer intervalo es:
a) 3
•
b) 5
c) 1
d) 2
La frecuencia relativa del primer intervalo es:
a) 0,3
b) 0,2
c) 0,5
d) 1
id
a
su
co
a) 46 +
Autoevaluación
120
m
er
ci
•
d) 1a, 2c, 3b, 4d
(
130
Total
c) 1c, 2a, 3b, 4d
− 2
110
al
iz
a) 1a, 2c, 3d, 4b
x
145
ac
ió
n
9. Relaciona el espacio en blanco con el término
faltante que hace verdadera a la igualdad:
M.4.3.2. Organizar datos no agrupados (máximo 20) y datos agrupados
(máximo 50) en tablas de distribución de frecuencias: absoluta, relativa,
relativa acumulada y acumulada,
ib
12. Pinta según la clave.
Resuelvo por mí mismo
Necesito ayuda
Estoy en proceso
oh
Puedo ayudar a otros
Identifico números irracionales.
Pr
Contenidos
Redondeo números decimales.
Realizo operaciones con números reales.
Organizo datos en tablas de frecuencias con datos agrupados.
Metacognición
•
•
•
¿Aclaraste tus dudas con tu profesor o profesora?
¿Qué conocimiento aprendido has usado antes en tu quehacer diario?
¿Qué conocimiento podrías usar de aquí en adelante y dónde?
47
a
id
ib
oh
Pr
su
al
iz
m
er
ci
co
ac
ió
n
Para tus ejercicios
a
id
ib
oh
Pr
su
al
iz
m
er
ci
co
ac
ió
n
Para tus ejercicios
unidad
2
El arte, las ciudades y los números
Sin duda alguna, las construcciones y arquitectura son el producto de los cálculos matemáticos que hicieron
posible su elaboración y permanencia con el pasar de los años.
Shutterstock, (2020). 482320459
Pr
oh
ib
id
a
su
co
m
er
ci
al
iz
ac
ió
n
Las ciudades, pueblos o localidades, a través de su arquitectura y quehacer diario, reflejan la cultura de sus
habitantes. Los municipios y gobiernos locales incluyen dentro de sus programas uno relacionado con la
cultura, en el cual muchos artistas ponen de manifiesto su creatividad.
48
Preguntas generadoras
¿Qué figuras geométricas observas en la fotografía? Menciona al
menos cuatro.
•
¿Qué cuerpos geométricos miras en la fotografía? Menciona al
menos tres.
al
iz
• Potenciación de números reales.
Notación científica
• Radicación de números reales
• Racionalización
• Expresiones algebraicas
y polinomios
• Representación de polinomios
con material concreto
m
er
ci
Álgebra
y funciones
ac
ió
n
•
• Polígonos. Área de polígonos
• Área de prismas y pirámides,
cilindros y conos
Pr
oh
ib
id
a
su
co
Geometría
y medida
Objetivos:
O.M.4.1. Reconocer las relaciones existentes entre los conjuntos de números enteros,
racionales, irracionales y reales; ordenar estos números y operar con ellos para lograr
una mejor comprensión de procesos algebraicos y de las funciones (discretas y
continuas); y fomentar el pensamiento lógico y creativo.
O.M.4.4. Aplicar las operaciones básicas, la radicación y la potenciación en la resolución
de problemas con números enteros, racionales, irracionales y reales, para desarrollar el
pensamiento lógico y crítico.
O.M.4.6. Aplicar las conversiones de unidades de medida del SI y de otros sistemas en
la resolución de problemas que involucren perímetro y área de figuras planas, áreas y
volúmenes de cuerpos geométricos, así como diferentes situaciones cotidianas que
impliquen medición, comparación, cálculo y equivalencia entre unidades
49
Potenciación de números reales
Tema 1
Saberes previos
Escribe el término faltante para que la igualdad se cumpla.
3
5
=
729
1 024
=
0,0152 =
ac
ió
n
7
5
Shutterstock, (2020). 1413506
En una ciudad se le ha encargado a un artista la elaboración de tres murales con
cerámica rota. Estos murales tienen forma cuadrangular y sus lados respectivamente
miden 4,5 m, 5,2 m y 32 m . ¿Qué cantidad de cerámica se requiere exactamente
para la elaboración de tres murales?
al
iz
Para determinar la cantidad de cerámica, es necesario sumar el área de cada uno
de los murales.
m
er
ci
AT = A1 + A2 + A3
Por tener forma cuadrangular, su área se calcula elevando sus lados al cuadrado.
Técnica de trabajo con
cerámica.
AT = l12 + l22 + l32
AT = (4,5)2 + (5,2)2 +
¿Sabías qué?
co
AT = 79,29 m2
En la potenciación de los números reales  , se cumple:
su
x m ⋅ x n = x m+ n ( x ⋅ y ) = x m ⋅ yxmm ⋅ x n = x m+ n ( x ⋅ y ) = x m ⋅ y m
m
m
( )
Pr
oh
ib
id
a
m
x m ÷ x n = x m − n x
x
−m
1
= m ;con x ≠ 0
x
x
y
n
= x m ⋅n
m
=
y
x
m
; cony 0 y x 0
x o = 1 x 1 = x
Ejemplo 1
Aplicar las propiedades de la potenciación hasta reducir la expresión
Solución
Multiplicamos los exponentes
Shutterstock, (2020). 527797897
2
AT = 20,25 + 27,04 + 32
La laboriosa pero
interesante técnica del
trencadís, que significa
roto o quebrado, es una
técnica de cerámica
rota que se utiliza
para el revestimiento
de superficies,
especialmente en las
fachadas, parques,
jardines, puentes y
diseños interiores. Esta
técnica aporta una gran
belleza a las obras, a la
vez que resiste mejor el
paso del tiempo.
50
( 32 )
Distribuimos el exponente
2
6
26
6
3
Simplificamos el índice y el exponente 2 = 8
6
6
2
2 3
Ecuaciones exponenciales
Conexiones
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita se encuentra en el
x
x
x1 = x 2
exponente. a 1 =a 2
(e )
2 x
÷e 2 = e 4
Solución
(e )
2 x
÷e = e
2
Planetas
Mercurio
Masa (kg)
Venus
4,87 × 1024
Tierra
5,98 × 1024
Marte
6,42 × 1023
Júpiter
1,9 × 1027
Saturno
5,69 × 1026
Urano
Neptuno
8,69 × 1025
Plutón
1,32 × 1022
al
iz
Para resolver la ecuación es necesario que en los dos miembros tengamos la
misma base, de tal manera que se puedan igualar exponentes y resolver aplicando
las propiedades de la potenciación.
4
m
er
ci
El dividendo debe tener exponente 6 para que al restar 2 obtengamos 4 de acuerdo
a la propiedad cociente de bases iguales. Para obtener 6, x debe tener un valor de
3, pues al aplicar la propiedad potencia de potencia 2 x 3 = 6
Notación científica
co
Esta herramienta matemática sirve para expresar de una manera corta cantidades
bastante grandes o bastante pequeñas, haciendo uso de un dígito y la potenciación
con base 10.
su
Ejemplo 3
Expresar en notación científica el número 3 200 000 000.
Solución
id
a
Recorremos la coma hacia la izquierda hasta que quede un solo dígito en la parte
entera.
3,200000000 (9 posiciones)
oh
ib
A este número se le retiran los ceros y se lo multiplica por la base 10, a la cual se le
coloca como exponente el número de posiciones que se recorrió la coma.
3,2 × 109
Pr
Ejemplo 4
Expresar en notación científica el número 0,000000897.
3,3 × 1023
1,02 × 1026
Archivo Editorial, (2020).
Encontrar el valor de x en el siguiente ejercicio:
ac
ió
n
Ejemplo 2
Matemática
con astronomía
Las masas de los
planetas del sistema
solar requieren de
notación científica para
ser expresadas de mejor
manera.
Uso de la
calculadora
Notación científica
en la calculadora
Para ingresar números
en notación científica
en la calculadora, se
usa la tecla EXP o ×
10X. Así, por ejemplo,
para ingresar 5,1×10-4,
ingresamos el número
5,1. Luego oprimimos la
tecla EXP y finalmente
colocamos el número
– 4. Al presionar =,
observamos en la
pantalla lo siguiente:
Solución
Recorremos la coma hacia la derecha hasta conseguir un dígito en la parte entera
del número que resultará después de retirar los ceros.
00000008,97 (7 posiciones)
Multiplicamos por 10 y el exponente por colocar será igual al número de posiciones
que se movió la coma con signo negativo.
8,97 × 10–7
51
Taller
Evaluación formativa
1. Aplica las propiedades y resuelve.
4
2
5
5
2
5
=
a)
b) e 7 ÷ e −7 =
( −0,8 )−6 ( −0,8 )3 (0,8 )5 =
d)
(2 )
=
e)
2 3
5 4
5
6
f)
6 4
÷
7 5
g)
( −0, 24 )
j)
co
=
=
10
1
5
( 3)
3
2 6
a
=
=
10
1
3
(
0,3
oh
k)
5
−2
m)
) (
(2 5 ) (2 5 )
Pr
l)
3
4
5
2
3
3
4
10
−4
24
x
=
13
5
x
= 25
x
10
=
169
25
43
x
=
43
49
2
=
0,3
)
3
g)
h)
1
4
3
4
x
1
36
x
=
5
=
64
27
3 125
1 024
5
3. Selecciona las afirmaciones verdaderas.
a) La potencia de una base negativa elevada a
una exponente par es positiva.
=
b) Al aplicar la propiedad potencia de potencia,
se suman los exponentes.
c) La potencia de una base positiva elevada a un
exponente par es positiva.
3
=
4
3
3
n) ⎛⎜ ⎞⎟ × ⎛⎜ ⎞⎟ =
⎝ 7⎠
⎝ 7⎠
52
d)
3
x
f) −6 = −
id
i)
( 2)
=
ib
h)
=2
7
( 5)
e)
3
−1
6
c)
2
=
x 4
m
er
ci
2 2
su
c)
b)
2
(2 )
ac
ió
n
3
2
5
al
iz
a)
2. Encuentra el valor de x para que se cumpla la
igualdad.
d) La propiedad distribuida de la potencia se
aplica solo a la suma y a la resta.
M.4.1.34. Aplicar las potencias de números reales con exponentes enteros para la notación científica.
4. Completa la tabla, compara los resultados
obtenidos y emite una conclusión.
y
–2
1
4
2
2
–5
1
5
7
13
x+y
(x + y)²
x²
y²
h) 730 000 000 000 =
x²+ y²
i) 567 000 000 000 =
7. Corrige los errores cometidos.
ac
ió
n
x
g) 0,00021137 = a) 0,000278 = 2,78 × 10-6
_____________________________________
al
iz
b) 310 000 000 = 31 × 107
____________________________________
____________________________________
a = –1 , b = 3 y c = 2
3
a
b
2
c
b
c) 0,0000009 = 1,9 × 107
_____________________________________
2 2
=
d) 0,0067 = 6,7 x 102
co
a)
a
b
m
er
ci
5. Reemplaza el valor de a, b y c, y resuelve.
_____________________________________
_____________________________________
b
c
3
1
a
÷
1
a
c
=
id
b
c
2
Trabajo colaborativo
8. Trabajen en parejas y resuelvan.
Haciendo uso de números irracionales en radicales, ejemplifiquen las propiedades de la
potenciación de los números reales.
oh
ib
b)
su
Pr
6. Expresa en notación científica.
a) 4 000 000 = b) 141 000 000 000 =
c) 0,00008 = d) 0,000000246 = Actividad indagatoria
9. Investiga los prefijos que se usan para reemplazar a la base 10, elevada a los siguientes
exponentes:
103, 106, 109, 1012, 10-3, 10-6, 10-9, 10-12
e) 29 000 000 = f) 0,0000000579 = 53
Radicación de números reales
Tema 2
Desequilibrio cognitivo
¿Por qué la raíz cúbica de –512 es –8?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Shutterstock, (2020). 604559336
ac
ió
n
__________________________________________________________________
al
iz
Fabricio instalará focos reflectores en un panel para el desarrollo de un espectáculo
artístico. Los focos están por llegar, pero él debe adelantar el trabajo. Conoce que
los reflectores son cilíndricos, que su volumen es 6 031,86 cm³ y que su altura es
30 cm. ¿Qué medida debe tener el radio de los orificios que Fabricio hará en el panel?
Es necesario conocer la forma de los reflectores.
Recordamos que la fórmula del volumen de un cilindro es V = π r 2 h , y reemplazamos
en ella los datos.
6 031,86 cm3 = π ⋅ r 2 ⋅ 30 cm
La incógnita r debe ser despejada. Para ello aplicamos la propiedad llamada de
uniformidad, que permite dividir el uno y el otro lado de la igualdad por un mismo
número, esto es:
id
a
En algunas ciudades se
fijan fechas especiales
para dar espectáculos
que resaltan las artes
y la cultura. En Quito
sucede en el mes de
agosto.
r
Esquematicemos el foco reflector de acuerdo con el
dato de la forma. Ubiquemos en el gráfico los datos
numéricos y la incógnita del problema que es el radio.
co
A través de los
espectáculos artísticos,
los miembros de una
sociedad se entretienen
e incrementan
elementos en su cultura.
30 cm
su
¿Sabías qué?
Archivo Editorial, (2020).
V = 6 031,86 cm3
m
er
ci
Focos reflectores.
Shutterstock, (2020). 704836948
Pr
oh
ib
Las personas dedicadas
a los espectáculos
deben cuidar de
la escenografía,
el vestuario, la
iluminación, la
decoración y el sonido,
entre otros aspectos.
54
6 031,86 cm3 π ⋅ r 2 ⋅ 30 cm
=
; simplificando, tenemos:
π ⋅ 30 cm
π ⋅ 30 cm
6 031,86 cm2 2
=r
π ⋅ 30
La misma propiedad de uniformidad nos permite extraer la raíz cuadrada de uno
y otro lado de la igualdad.
6 031,86 cm2
= r2
π ⋅ 30
Con la calculadora determinamos el valor de la izquierda de la igualdad y en el otro
lado aplicamos la propiedad raíz de una potencia.
Tenemos: 8 cm = r que es lo mismo que: r = 8 cm.
En la radicación de números reales se cumple:
m
x⋅y = x ⋅ y ;
m
x mx
; x ∧ y ∈ ∧ m ∈
=
y my
m
x n = x m ; x ∈ ; m ∧ n ∈ ; Si m = n ⇒ m x n = x
m
Recuerda que...
x ∧ y ∈ ∧ m ∈
m
• m x+ y ≠m x +m y
• Si aplicas la
propiedad
distributiva en
forma inversa,
estás usando
la propiedad
recolectiva.
m
x ⋅m y = m x ⋅ y
ac
ió
n
n
1
m
Si n = 1
x = n⋅m x ; x ∈ ; m ∧ n ∈
• Cuando calculas
raíces:
al
iz
n m
xn = x m
Radicando
Ejemplo 1
Aplicar las propiedades de la radicación.
4π 2 ⋅ 5 = b)
a)
42
5
64 e
= 243
a)
co
Solución
m
er
ci
+
4π 2 ⋅ 5 = 22 ⋅ π 2 ⋅
su
5 Aplicamos la propiedad distributiva.
= 2π 4 5 Aplicamos las propiedades raíz de una potencia y raíz de raíz.
5
a
25 5 2 ⋅ 5 e15
5
Aplicamos la propiedad distributiva.
ib
=
64 e15 5 25 ⋅ 2 ⋅ e15
Descomponemos en factores primos.
=
243
35
5
id
b)
35
oh
2e 3 5 2
=
Aplicamos la propiedad raíz de una potencia.
3
Pr
Ejemplo 2
Expresa en forma de potencia
7
2
3
=
–
+
–
Índice
Par
Impar
Raíz
+
+
–
32 y 8 34
son radicales
equivalentes
porque al aplicar
las propiedades los
dos son iguales a
3.
• Para obtenerlos,
se multiplican o
dividen el índice y
el exponente por
un mismo número
diferente de cero.
•
•
4
5
2 ; 5 13 y 5 3
son radicales
homogéneos
porque tienen el
mismo índice.
Solución
7
3
2
1
= 27
=72
3
7
7
3
Aplicamos primero la propiedad distributiva.
Aplicamos la propiedad raíz de una potencia.
55
Taller
Evaluación formativa
1. Justifica tu respuesta con la potenciación; sigue
el ejemplo.
3. Aplica propiedades y resuelve.
a)
−
8
2
= − porque
7
−343
2
7
a)
64π 6 =
5
2
7
−
2
8
=
7
343
32
=
3 125
b)
3
8e 24 =
2
121
=
π8
c)
porque
3
0,000216 =
co
c)
3
−0,125
=
−729
e16
=
81
e)
5
32π 10
=
1 024 −1
ib
id
porque
a
d)
d)
su
porque
4
8e 2 × 72π 4 × 225 =
m
er
ci
b)
al
iz
porque
ac
ió
n
3
3
oh
2. Encuentra los valores para que se cumplan las
igualdades.
3 = 6 x3
x=
b)
6 = 8 6x
x=
7 = x 75
x=
Pr
a)
c)
9
d) 52 = 27 5x
56
x=
f)
2
×
3
2
=
3
M.4.1.35. Calcular raíces cuadradas de números reales no negativos y raíces cúbicas de números reales, aplicando las propiedades
en ℝ.
a) − 16π 2 d)
b)
c)
3
8
−
−
4
−64 e 4
6
83
e)
π6
256
f)
π 16
7. Clasifica a los radicales en equivalentes, homogéneas y semejantes.
1 000
5
−
64
256
a)
23; − 23; −8 23
b)
23; 8 234 ; 4 232
c)
23; 13; 69
8. Corrige el error cometido.
10 000 − 3 64 = 8
3
c)
6
6
2
3
m
er
ci
b)
27
=
9. Resuelve.
a)
400
=
e4
6. Expresa en radicales.
su
a

(1,73)
4
7
=
2
1
81
3
e 24 +1 =
–2
⌢ ⎞
⎛ 1
⎛ 72
1⎞
b) ⎜
– ⎟ −⎜
− 0, 34 ⎟ =
6⎠
⎝ 6
⎝ 2
⎠
ib
b)
1
( −6 )3 =
id
a)
1
7
co
5
al
iz
5. Expresa en forma de potencia.
a)
ac
ió
n
4. Marca con una x aquellas expresiones cuyos resultados no pertenecen a ℝ.
1
Pr
oh
 32  2
c) 
 =
 3 128 
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
10. Trabajen en parejas y resuelvan.
11. Consulta la fórmula para calcular el volumen
de una esfera y calcula su radio si el volumen
es 128 π cm³.
Escriban cinco radicales. Intercámbienlos
con otra pareja para que encuentren dos radicales equivalentes para cada uno.
57
Racionalización
Tema 3
Saberes previos
Realiza las siguientes operaciones:
32 cm
7
5=
2
4 32 − 4 128 −
2
50 =
5
−
35
96 − 5 729 =
7
ac
ió
n
3 5+ 5−
Wilma elabora banderines para adornar las calles de su barrio a propósito de la
fundación de la ciudad donde habita. Estos banderines están conformados por
algunos triángulos isósceles de dos medidas diferentes, como se muestra en la
figura. ¿Cuántas veces más grande es el lado del triángulo grande del lado del
triángulo pequeño? Expresar el valor exacto.
32 cm
22 cm
al
iz
32 cm
m
er
ci
Como primer paso, calculamos el valor de los lados de cada triángulo. Estos lados
corresponden a la hipotenusa de los triángulos rectángulos que se forman entre la
altura y la mitad de la base de los triángulos isósceles.
22 cm
co
su
Archivo Editorial, (2020).
¿Sabías qué?
l=
16 cm
(22 cm) + (16 cm)
2
2
a
l = 740 cm2
ib
oh
Pr
Shutterstock, (2020). 662536774
16 cm
L=
(32 cm) + (16 cm)
2
L = 28 ⋅ 5 cm2
l = 4 cm2 ⋅ 185
L = 28 cm2 ⋅ 5
l = 2 185 cm
L = 16 5 cm
Para conocer cuántas veces más grande es un lado con respecto al otro, debemos
dividir el lado mayor para el lado menor.
Reemplazamos los valores y aplicamos propiedades hasta expresar la respuesta
más simplificada.
1
8
1
1
L 16 5 cm
5
=
=8
=8
=8
= 8⋅
=
37
l 2 185 cm
185
37
37
37
El lado del triángulo más grande es
58
2
L = 1280 cm2
l = 22 ⋅185 cm2
id
Como muestra de
identidad, las ciudades
se embanderan a
propósito de las
fechas cívicas. Los
municipios, a través de
ordenanzas, obligan
a los propietarios de
las viviendas a cumplir
con esta actividad que
suma colorido a los
desfiles y coreografías
que se presentan.
32 cm
8
.
37
Cuando las expresiones numéricas tienen en el denominador una o más raíces,
estas pueden ser eliminadas a través de un proceso llamado racionalización.
De acuerdo con la forma del denominador, analizaremos tres casos de
racionalización.
Recuerda que...
El denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En
este caso, basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
a x − b es a x + b
y su producto es
a2 x + b2 .
Ejemplo 1
Racionalizar la expresión obtenida como resultado en la situación inicial.
Solución
El conjugado de
al
iz
a x − b y es a x + b y
37 y aplicamos propiedades.
Caso 2
m
er
ci
8
37 8 37 8 37
⋅
=
=
Multiplicamos el numerador y el denominador
37
37 37
372
por
El conjugado de
ac
ió
n
Caso 1
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en
los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica el numerador y el denominador por
el conjugado del denominador. El conjugado de una suma es la resta y viceversa.
2
2
x+ y
x − y , es igual a
x − y .
El producto que resulta,
)(
)
Ejemplo 2
Racionalizar
Enlace web
Amplía tu
conocimiento en
bit.ly/2YpjTYv
su
6
5+ 3
( ) ( )
co
(
y su producto es:
a2 x + b2 y .
Solución
(
a
Multiplicamos el numerador y el denominador por
) (
5− 3
2
) = 3(
)
5− 3 =3 5−3 3
ib
id
6
5− 3 6 5− 3 6
⋅
=
=
5− 3
5+ 3 5− 3
5− 3
oh
Caso 3
Pr
Si el denominador solo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n,
se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete
una potencia de exponente n.
Ingresa al siguiente
link web y realiza
ejercicios interactivos de
racionalización.
Ejemplo 3
Racionalizar
8
5
63
Solución
El factor racionalizante es
8
5
63
⋅
5
62
5
62
=
Me refuerzo
5
62 porque completa el exponente 5.
bit.ly/2YmUqyB
8 5 62
6
59
Taller
Evaluación formativa
1. Escribe el factor racionalizante de cada expresión.
a)
3. Determina la conjugada y la racionalizada.
a) −
5e
1
2+ 7
c)
3
4
d)
5
34
5
3 + 11
h)
5 −1
2− 7
j)
2 13 + 41
11
2 −3
d)
−2
5 + 13
e)
1
4 3 −1
f)
3
2 5+3 2
su
i)
c)
m
er
ci
g)
co
9
8
5
5− 3
al
iz
5
e)
f)
b)
ib
8π
2
oh
b) −
id
3
3
a
2. Racionaliza las siguientes expresiones:
a)
2
28
Pr
c)
60
d)
1
11 5
e)
4⋅ 5
2 ⋅ 13
ac
ió
n
b) 6 27
M.4.1.36. Reescribir expresiones numéricas o algebraicas con raíces en el denominador utilizando propiedades en ℝ (racionalización).
4. Determina el factor racionalizante y racionaliza.
d)
e)
a)
3
6
3
e2 ⋅ e3
6
eπ 5
35
ac
ió
n
c)
1
2
−5
33 5
12
8
265
3
3
6
b)
5. Analiza el ejemplo. Luego racionaliza.
2+π − 3+π
2
=
=
2+π − 3+π
2+π + 3+π
a)
)
( 2+π ) −( 3+π )
2( 2 + π − 3 + π )
=
=
(
2+π − 3+π
2
2
c)
48 ⋅ 3 24 ⋅ 6 2
=
4
27 ⋅ 3 6
3
=
2e − 7 − 5e − 7
Pr
oh
ib
b)
id
a
2+π − 3−π
52 eπ ⋅ 3 e 2π 4
4 5eϕ
co
2
su
=
al
iz
b)
7
m
er
ci
a)
6. Convierte los radicales a equivalentes; simplifica
y expresa la respuesta racionalizada.
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
x+ y
8. Investiga por qué
igual a x – y. Expón en clase.
Formulen un ejercicio similar al número
5. En parejas, resuelvan los dos ejercicios
formulados. Intercambien los ejercicios con
otra pareja para su resolución.
(
)(
x− y
)
es
61
Expresiones algebraicas. Polinomios
Tema 4
Desequilibrio cognitivo
Escribe las fórmulas para calcular el perímetro y el área de un rombo y de un
pentágono regular.
Diego, quien desconoce las medidas de las quenas, ha realizado una ilustración de
este instrumento musical. En ella ha identificado con las letras x y y dos distancias
de ubicación de dos de los seis orificios que tiene este instrumento. ¿Con qué
expresión representaríamos la distancia entre el primero y último de los orificios?
al
iz
y
x
Shutterstock, (2020). 174558206
Pentágono:
ac
ió
n
Rombo:
De acuerdo con la ilustración, la distancia requerida se obtiene al restar la distancia
menor y de la distancia mayor x. Si llamamos d a la distancia buscada, tenemos:
m
er
ci
d=x–y
Expresiones algebraicas
Irracionales
Racionales
Pr
62
Fraccionarias
3x²
2
3x 2
2 3x 2
Recuerda que...
Se llama término
algebraico a la
expresión de letras
y números que se
relacionan únicamente
con los signos de
multiplicación y
división.
Enteras
Ejemplo 1
Escribir tres términos algebraicos.
Solución
4 xy 4 ; − 6 ab 5c ;
2st 3
7u2v
Archivo Editorial, (2020).
oh
ib
id
a
La quena es un
instrumento de
viento de origen
preincásico. Se fabrica
con caña de bambú.
Su uso se remonta
a las festividades
tradicionales de
las comunidades
originarias de los Andes.
En la actualidad es uno
de los instrumentos
que identifica a los
grupos folclóricos que
enriquecen la cultura
Andina con su música.
su
¿Sabías qué?
co
Llamamos expresión algebraica a toda expresión que contiene letras y
números enlazados por signos de suma, resta, multiplicación y división.
Las expresiones algebraicas, de acuerdo con el número de términos, pueden
ser monomios (un término) o polinomios (más de un término).
Recuerda que...
Grado de un monomio
Si un polinomio tiene dos términos, se llama binomio, y si tiene tres términos,
trinomio.
Identificar las expresiones algebraicas de acuerdo con el número de términos.
c)
b) 6 x 5 y + 9 xy 5 − 1
5
d) 6 x y
1+ 5 + 2 = 8
6 x 5 y + 9 xy 5 − 7 xyz + 6
Solución
El monomio es de
grado absoluto 8.
m
er
ci
a) Es un binomio porque tiene dos términos.
b) Es un trinomio porque tiene tres términos.
c) Es un polinomio porque tiene más de dos términos.
d) Es un monomio porque tiene solo un término.
co
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene
al sustituir los valores asignados a las letras que contiene dicha expresión.
Ejemplo 3
5
− xy 5 z 2
3
al
iz
a) 6 x 5 y + 9 xy 5 ac
ió
n
Ejemplo 2
Absoluto: se obtiene al
sumar los exponentes
de la parte literal.
De grado relativo 1 con
respecto a x, grado
relativo 5 con respecto
a y, y grado relativo 2
respecto a z.
En un polinomio
el grado absoluto
es igual al mayor
grado absoluto de
los monomios que lo
conforman.
En el polinomio
3a²b + 2bc – b⁵c²
Solución
3
su
Calcular el valor numérico de –3x³ y² +5xy⁵ –2 para x = 1 y y = –2.
2
7
el grado absoluto es 7.
–3(4) + 5(–32) –2 Desarrollamos las potencias.
Si todos los términos
de un polinomio tienen
el mismo grado, el
polinomio se llama
homogéneo.
id
–12 –160 –2 = –174
a
–3(1)³ (–2)² +5(1)(–2)⁵ –2 Sustituimos los valores de x y y.
oh
ib
Se denominan términos semejantes a aquellos términos cuya parte literal es
similar en letras y exponentes. Si los términos de una expresión algebraica son
semejantes, pueden ser reducidos, es decir, sumados algebraicamente.
Pr
Ejemplo 4
Reducir términos semejantes en el polinomio
4a²b + 7ab² –4 + 2ab² – 8a²b + 5
Solución
Me refuerzo
Ingresa al siguiente link,
imprime la página 2 y
practica ecuaciones.
bit.ly/334dG2F
4a²b + 7ab² –4 + 2ab² – 8a²b + 5 Identificamos términos semejantes.
–4a²b + 9ab² + 1 Sumamos algebraicamente.
63
Taller
Evaluación formativa
1. Encuentra una expresión algebraica para cada
enunciado.
4. Escribe dos monomios que cumplan las condiciones indicadas en cada caso.
a) El triple de un número
a) Coeficiente negativo y dos variables
_____________________________________
_____________________________________
b) El doble de un número más cinco
ac
ió
n
b) Irracional con una sola variable
_____________________________________
c) Coeficiente fraccionario con tres variables y
grado absoluto 6
_____________________________________
_____________________________________
d) Racional fraccionario con dos variables y grado
absoluto –1
m
er
ci
d) La raíz cuadrada de 7 veces un número más el
cuadrado de dicho número
_____________________________________
al
iz
c) La razón entre el cuadrado de un número y el
doble de otro
e) La diferencia del cuádruplo de un número y el
producto de ese número con el doble de otro.
_____________________________________
_____________________________________
5. Halla el valor numérico de las expresiones
considerando que:
−2 x 2 y Racional fraccionaria
13 4
yz
2
su
co
2. Une con una línea, según corresponda.
a) − a + 2b − 3c
a
Racional entera
b)
ab 2
1 3
a bc + 4 ab 2 −
2
c
c)
−b3c 2 3 4 2
+ a c − 0,3ab 2
8
4
d)
3
ab 3c 3 + abc 4 − 10
2
ib
−4 3 xy 2
b=2
Irracional
id
3a 2
bc 5 a = –1
oh
3. Marca con una X según corresponda.
Monomio
Pr
3 7
x y
4
Binomio
Trinomio
Polinomio
–2x+3y–1
x − 2y
a+b+2c–6
64
c = –2
M.4.1.23. Definir y reconocer polinomios de grados 1 y 2. (destreza desagregada)
6. Identifica los elementos de cada término.
Término
Signo
Coeficiente
10. Selecciona los polinomios homogéneos.
4 3
2 4
7
5
a) −5 x y + x y − 3 xy + 2 xy
Parte literal
3
− x 6 y 5z
8
3
2 2
3
4
b) 14mn − 10m n + 3m n − 2m
c) 0,5ab −1 + 0,2a7 c −8 d + 4 a −8b −8
2v 6w −3
− 4a b c
ac
ió
n
3
3
3
d) 2 x + 4 y + z − 1
6 2
11. Ordena los polinomios en forma ascendente, de
acuerdo con el valor relativo con respecto a x.
 c 2d
− 0,6
a
a) −2 x 4 − 3 x − 6 x 6 − 5 x 3 + 1− 4 x 2
7. Determina el grado absoluto de cada monomio.
5a 5b −7 c −3 −4
e) −0,5 x y
4
c) 12
u z
w5
f)
b) ax −2 − 3bx 2 + xy − 2 + 6 x 4 − x −1
5
1x
11 y 8
8. Indica el grado relativo con respecto a x.
 8 −4
d) 0,72x z
a) 14 axy 5
e) 20 x −2 y 7
1 5
y2z2
f) 3 ar
3
x
9. Determina el grado absoluto de los polinomios.
3 2
2
2
a) −8 xy + 5 x y + 25 x y + 5 x y − 3 xy
2
2
2
2
b) ab − 3a b + 5ab − 12a b + 12
su
c) −6
a)
12. Reduce términos semejantes.
co
b) − 2abx 6 al
iz
b)
d) 31 a18b −12
m
er
ci
6 5
a) −4 x y z ax 2 y − 2b 3 x 5 z + 3a7 xy − 2 x −3
id
a
5
−3 3
3 2
b) 3z − 0,5 x z + 0,2 x y z
c)
1
1
1 2
rs + 3rs − r + 2rs 2 − 3rs + r
2
5
7
ib
c) 2a −3b −1 + 3a 4 b −3 − 2a 5b −5 + 4
oh
x
−7 5
8 −7
d) 4 x y − 2 + 7 x y
y
Pr
x −3 y −1 4 xy
3 4 −2 −2
−
x
y
z
+
3
+
e)
7
z −3
5 z3

1
1
d) 0,7x 2 − xy 2 + x 2 − 3 x 2 + xy 2
3
6
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
13. Trabajen en parejas y resuelvan.
14. Investiga qué es un polinomio completo.
Explica en clase.
Formulen cuatro polinomios y ordénenlos en
forma descendente.
•
Puedes revisar el siguiente enlace web:
bit.ly/336DKu7
65
Representación de polinomios
con material concreto
Tema 5
Saberes previos
¿Cómo descompondrías el número 5 678 para que aparezca como un polinomio?
ac
ió
n
__________________________________________________________________
Shutterstock, (2020). 117596575
Las medidas del ancho y largo del cuadro de arte, a la izquierda de
la página, son desconocidas, así como también el ancho del marco.
Por ello se les ha asignado con las letras x, y, z, respectivamente.
Encontrar la expresión que representa el área del marco.
m
er
ci
al
iz
Para dar solución, esquematizaremos el marco como una estructura
formada por cuatro rectángulos cuyas medidas son las indicadas.
A1
¿Sabías qué?
co
Los indígenas de Tigua,
ubicada en Cotopaxi,
aprendieron a plasmar
sus vivencias, leyendas
y sueños en el cuero de
las ovejas, primero con
anilina, y hoy en día con
pintura acrílica.
A1
z
su
x
a
A1 = x ⋅ z
A2 = z ⋅ ( y − 2 z )
Como son dos rectángulos de cada tipo, el área solicitada es:
oh
ib
AT = 2 A1 + 2 A2
AT = 2 xz + 2( y − 2 z ) z
AT = 2 xz + 2 yz − 4 z 2
Los polinomios pueden ser representados gráficamente mediante figuras
geométricas. La elaboración de fichas algebraicas de colores facilitan la
representación de los polinomios y los procesos de suma y resta entre ellos.
Archivo Editorial, (2020).
Pr
Shutterstock, (2020). 692723458
66
y
A2
La fórmula para calcular el área de un rectángulo es A = b ×h, por lo tanto:
id
El cóndor, el
curiquingue y el
danzante de Pujilí
son personajes que
aparecen en medio
de bellos y coloridos
paisajes andinos.
z
y – 2z
Archivo Editorial, (2020).
¿Cuál es el área total del cuadro?
mo
no
o2
mn
n2
no
m2
mn
mo
Otra forma de representar un polinomio:
(m + n + o )
2
= m 2 + n 2 + o 2 + 2 (mn + mo + no )
Ejemplo 1
Recuerda que...
Solución
Usaremos dos colores: el color verde para los términos positivos, y el color rojo para
los términos con signo negativo.
Esta es la relación de las
medidas entre las fichas
algebraicas.
ac
ió
n
Para representar la unidad, utilizaremos un cuadrado cuya medida será un
centímetro.
Para representar ± x, usaremos una ficha rectangular cuya altura será un centímetro, es decir, igual al lado del cuadrado que representa la unidad.
x
m
er
ci
–x
Al construir las fichas,
puedes hacerlas rojas
de un lado y verdes en
su reverso.
al
iz
–1
1
Archivo Editorial, (2020).
2
Construir fichas algebraicas para representar ± x , ± x , ± 1.
Para representar ± x , utilizaremos una ficha cuadrangular de lado igual a la base
de la ficha que representa a x.
x²
Ejemplo 2
ib
id
a
su
–x²
Archivo Editorial, (2020).
co
2
oh
2
Representar el polinomio −2 x + 3 x − 4 .
Archivo Editorial, (2020).
Pr
Solución
67
Taller
Evaluación formativa
2. Completa los polinomios de manera que
correspondan a las expresiones.
a) – 2x + 3
b) 2x – 4
b) 5x – 3
m
er
ci
al
iz
a) x + 3
ac
ió
n
1. Representa con dibujos de fichas algebraicas los
polinomios.
c) x² – 3x + 1
su
co
c) x² – 2x + 4
d) – 2x² + 3x
oh
ib
id
a
d) – 2x² – x + 1
Pr
e) 3x² – 3x – 2
68
e) 4x² – 6
M.4.1.25. Reescribir polinomios de grado 2 con la multiplicación de polinomios de grado 1.
3. Escribe los polinomios que corresponden a las
representaciones.
4. Reduce términos semejantes y escribe la
expresión algebraica resultante.
a)
b)
b)
co
m
er
ci
c)
al
iz
ac
ió
n
a)
c)
a
su
d)
d)
Pr
oh
ib
id
e)
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
5. Trabajen en parejas y resuelvan.
6. Investiga con qué podrías representar x³.
Escriban cuatro polinomios en x de segundo
grado. Intercambien con otra pareja para que
los representen con fichas algebraicas. Hagan
sus fichas con anticipación, siguiendo la guía
de su maestra o maestro.
Explica su uso a través de la representación de
un polinomio de tercer grado.
69
Polígonos. Área de polígonos
Tema 6
Desequilibrio cognitivo
al
iz
Shutterstock, (2020). 561102985
Un tapiz tiene forma rectangular. Su largo mide 1,20 m y su ancho, 0,60 m. El
trapecio señalado tiene las siguientes medidas: base mayor 50 cm, base menor
15 cm, y la altura 12 cm. ¿Qué porcentaje del área total del tapiz ocupa esa figura
trapezoidal?
Para responder a la pregunta planteada, debemos calcular el área del tapiz
rectangular y del trapecio indicado.
m
er
ci
Las fórmulas para calcular el área de estos dos polígonos irregulares son:
Tejido otavaleño.
B+b
⋅h
A = b × h y A =
2
Sustituyendo los datos, tenemos:
co
Área del tapiz
A = b ×h
A = 1,20 m × 0,60 m = 0,72 m 2
Área del trapecio del tapiz
B +b
×h
2
0,50 m + 0,15 m
A=
× 0,12 m
2
A = 0,039 m 2
A=
ib
oh
Pr
Shutterstock, (2020). 194272517
id
a
La manufactura de
los tapices otavaleños
es ancestral. En ellos
se pueden observar
figuras costumbristas
del paisaje andino, claras
muestras de la riqueza
de nuestra cultura
que viaja por muchos
lugares del mundo.
su
¿Sabías qué?
Recuerda que...
Los polígonos
pueden ser regulares
o irregulares. Los
regulares tienen sus
ángulos y lados iguales.
70
Para determinar el porcentaje, dividimos el área del trapecio para el área del tapiz
y multiplicamos por 100 este cociente.
A 0,039
=
= 0,0542 × 100 = 5, 42 %
A
0,72
Si los polígonos son regulares, para calcular su área usamos la fórmula
P × ap
, donde:
A =
2
P = perímetro del polígono;
ap = apotema (recta perpendicular que va desde el centro de la circunferencia
que inscribe al polígono hasta uno de sus lados).
Archivo Editorial, (2020).
ac
ió
n
Identifica las figuras geométricas que son polígonos.
Ejemplo 1
Recuerda que...
21,73 cm
3 cm
Diagonal
Radios
(5)
Ángulo
exterior
Centro
Ángulo central
Un polígono regular
puede ser inscrito en
una circunferencia y
dividido en triángulos
iguales.
al
iz
50 m × 7,7 m
P × ap
; A = 192,5 m2
; A=
A =
2
2
Archivo Editorial, (2020).
su
c) Para calcular el área de este octógono irregular, es necesario descomponerlo
en figuras conocidas. Si trazamos una línea vertical, obtenemos
un cuadrado y un hexágono regular, cuyos lados miden 3 cm.
id
3 cm
a
Calculamos
ib
A = l 2 ; A = (3 cm )2 ; A = 9 cm2
Pr
oh
Para calcular el área del hexágono, debemos calcular primero la apotema,
tomando en cuenta que el radio de la circunferencia que inscribe a un
hexágono es igual a su lado.
ap
3 cm
ap = (3 cm ) − (1,5) ; ap = 2,6 cm
2
2
P × ap
6 × 3 cm × 2,6 m
1,5 cm
; A = 23, 4 cm2
A =
; A=
2
2
Finalmente, sumamos las dos áreas:
ap
ap
ap
ap
ap
ap
ap
ap
ap
ap
ap
Apotema = altura de
cada triángulo.
Los tipos de polígonos
por el número de lados
son:
Número
de lados
co
Reemplazando tenemos:
ap
ap
b) La figura muestra que se trata de un decágono.
P = 10l ; P = 10(5 m ); P = 50 m
ap
3
4
5
6
7
Nombre del
polígono
P × ap
144 m × 21,73 m
; A = 1 564,56 cm2
; A=
2
2
m
er
ci
A =
Archivo Editorial, (2020).
Ángulo interior
(2)
Reemplazamos este resultado en la fórmula del área de un decágono. Su
perímetro es:
Apotema
Lado
P = 8l ; P = 8(18 cm ); P = 144 cm
(3)
(1)
5m
a) De acuerdo con el número de lados, se trata de un octágono. Por lo tanto,
su perímetro será igual a:
Superficie o área
Vértice
7,7 m
Solución
(4)
Archivo Editorial, (2020).
Los elementos de un
polígono regular son:
c)
Archivo Editorial, (2020).
b)
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
8
Octágono
9
Eneágono
10
Decágono
11
Endecágono
12 Dodecágono
Archivo Editorial, (2020).
18 cm
Ejemplo
a) ac
ió
n
Archivo Editorial, (2020).
Calcular el área de los polígonos de las figuras.
A + A = 9 cm2 + 23, 4 cm2 ; AT = 32, 4 cm2
71
Taller
Evaluación formativa
4. Calcula el área de los polígonos de las figuras.
Por la medida
Por el número
de sus lados y
de lados
ángulos
b)
30 mm
m
er
ci
Polígono
ac
ió
n
2. Clasifica los polígonos.
al
iz
Archivo Editorial, (2020).
22,85 cm
su
co
20,65 mm
c)
Archivo Editorial, (2020).
22 cm
Archivo Editorial, (2020).
a)
15 dm
Archivo Editorial, (2020).
Pr
oh
3. Identifica los elementos de un polígono regular.
72
d)
52 cm
97,03 cm
Archivo Editorial, (2020).
ib
id
a
20,61 dm
Archivo Editorial, (2020).
1. Encierra las figuras geométricas que son polígonos.
M.4.2.18. Calcular el área de polígonos regulares por descomposición en triángulos.
M.4.2.19. Aplicar la descomposición en triángulos en el cálculo de áreas de figuras geométricas compuestas.
5. Calcula el área de los hexágonos cuyos lados
miden:
7. Determina el área de los polígonos irregulares.
a)
a) 40 cm
2 cm
1 cm
5 cm
6. Realiza las siguientes actividades:
b)
su
b) Obtén el área del polígono a través del área
de los triángulos que lo conforman.
15 cm
9 cm
id
a
9 cm
Archivo Editorial, (2020).
ap
m
er
ci
L = 12 cm
ap = 8,26 cm
co
Archivo Editorial, (2020).
a) Calcula el área de uno de los triángulos que
conforman el polígono.
al
iz
3 cm
b) 3,6 m
Archivo Editorial, (2020).
ac
ió
n
4 cm
Pr
oh
ib
c) Calcula el área del polígono con la fórmula
para polígonos regulares. Luego compara el
resultado.
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
8. Trabajen en parejas y resuelvan.
9. Investiga cómo se inscriben los polígonos
regulares en la circunferencia. Haz el trazo de
uno de ellos en un cartel y expón en clase.
Desarrollen las actividades del ejercicio 5 para
un dodecágono de lado 4 cm y apotema 7,46 cm.
73
Área de prismas y pirámides,
cilindros y conos
Tema 7
Saberes previos
¿Qué cuerpos geométricos se forman al hacer girar las figuras geométricas
indicadas en los ejes de giro propuestos? Dibújalos.
Archivo Editorial, (2020).
Eje de giro
ac
ió
n
Eje de giro
¿Cómo se calcularía el área total de la parte inferior de la pirámide de la ilustración?
Shutterstock, (2020). 59569291
al
iz
Para conocer el área total es necesario dibujarla. Debemos observar las figuras
geométricas que forman la pirámide, calcular el área de cada una de ellas y sumarlas.
Pirámides truncadas.
A1
B1
b2
A2
A1
A2
B2
B1
B2
h
dos bases rectangulares;
su
B2
A4
A4
A3
b2
b1
B1
a
En Cochasquí existe un
complejo de pirámides
y tumbas, un verdadero
tesoro arquitectónico
prehispánico. Este nos
permite encontrarnos
con nuestra historia e
identidad.
b1
co
¿Sabías qué?
b2
Archivo Editorial, (2020).
b1
m
er
ci
Las figuras geométricas que observamos son: cuatro trapecios de igual altura, con
sus bases iguales de dos en dos;
id
El área lateral total se calcula con la fórmula:
Shutterstock, (2020). 310446743
Pr
oh
ib
La estructura no
es visible porque
la vegetación la
ha cubierto, sin
embargo, se recrea su
arquitectura que da
clara muestra de 15
pirámides truncadas y
cerca de 20 montículos
funerarios.
74
AT = 2 A1 + 2 A2 + A3 + A4
AT = 2
B1 + b1
B +b
⋅ h + 2 2 2 ⋅ h + B1 ⋅ b1 + B2 ⋅ b2 Reemplazamos datos.
2
2
AT = ( B1 + b1 ) ⋅ h + ( B2 + b2 ) ⋅ h + B1 ⋅ b1 + B2 ⋅ b2
Simplificando.
Si las medidas son las siguientes; B1 = 8 cm; b1 = 5 cm; B2 = 3,2 cm; b2 = 2 cm;
h = 3 cm
Reemplazamos datos:
AT = ((8 + 5) × 3) + ((3,2 + 2) × 3) + (8 × 3,2) + (5 × 2)
AT = 90,2 cm 2
El área total de prismas y pirámides se calcula sumando las áreas de las figuras
geométricas que lo forman.
Ejemplo 1
Recuerda que...
Un prisma es un cuerpo
geométrico formado
por dos caras planas
poligonales, paralelas e
iguales, que se llaman
bases, y tantas caras
rectangulares como
lados tiene cada base.
ac
ió
n
20 cm
Base
8 cm
ap = 6,93 cm
al
iz
Solución
Cara lateral
Altura
El prisma tiene 6 caras laterales rectangulares y dos bases hexagonales. Por lo tanto:
6 ⋅ 8 cm ⋅ 6,93 cm
2
2
2
AT = 960 cm + 332,64 cm
m
er
ci
AT = 6 ⋅ 8 cm ⋅ 20 cm + 2 ⋅
AT = 1 292,64 cm 2
Ejemplo 2
co
Calcular el área lateral del cono de la figura.
2 r
su
Archivo Editorial, (2020).
g
h
r
Base
Tanto los prismas como
las pirámides toman
el nombre de acuerdo
con el polígono que es
su base.
Los elementos de un
cono son:
Eje
Vértice
g
Superficie
lateral
Altura
id
a
r
Solución
Archivo Editorial, (2020).
ap
Base
Archivo Editorial, (2020).
Archivo Editorial, (2020).
Calcular el área total del prisma de la figura.
oh
ib
El gráfico permite observar que el área lateral será igual a la suma del área de la
base (que es un círculo) con la superficie lateral (que es un sector circular).
AT = A + Asup erficie lateral
Conexiones
LR
Pr
El sector circular se calcula con la fórmula S = , donde L es la longitud del arco,
2
el cual es igual al perímetro de la circunferencia, es decir, 2πr. Por su parte, R es la
generatriz.
2π rg
2
Reemplazando tenemos: AT = π r +
2
2
Simplificando: AT = π r + π rg
2
2
g, por el teorema de Pitágoras, se obtiene con: g = h + r
Matemática
con la construcción
Existen en nuestro
alrededor varios
monumentos, edificios
o construcciones
en forma de sólidos
geométricos. Para
obtener su superficie
exacta es necesario
conocer sus fórmulas
de solución.
75
Taller
Evaluación formativa
1. Responde.
a) ¿Por qué al cono y al cilindro se los llama
cuerpos de revolución?
_____________________________________
_____________________________________
Archivo Editorial, (2020).
c)
24,1 cm
2 dm
ac
ió
n
_____________________________________
b) ¿Cuál es la diferencia entre una pirámide y un
prisma?
_____________________________________
_____________________________________
Archivo Editorial, (2020).
1,5 m
12 cm
co
20 cm
5m
76
ap= 6,9
cm
e)
22 cm
Archivo Editorial, (2020).
10 cm
Pr
Archivo Editorial, (2020).
oh
b)
ib
id
a
su
Archivo Editorial, (2020).
a)
d)
m
er
ci
2. Escribe el nombre del cuerpo geométrico que
corresponde a cada desarrollo, y calcula el área
total exacta.
al
iz
_____________________________________
24 cm
45 cm
M.4.2.20. Construir pirámides, prismas, conos y cilindros a partir de patrones en dos dimensiones (redes), para calcular el área
lateral y total de estos cuerpos geométricos.
a) Calcula el área de un cono de diámetro 4 cm
y altura 17 cm.
ac
ió
n
e) Obtén el área de la base de una pirámide
hexagonal cuya área lateral es 648 cm2 y altura
18 cm.
3. Resuelve y redondea los resultados.
b) Calcula la altura de las caras laterales de una
pirámide cuadrangular cuya área lateral es
100 cm2. El perímetro de la base es 40 cm.
4. Calcula el área lateral del cono truncado de
la figura si se sabe que dicha área se calcula
con la fórmula Alateral = π ( r1 + r2 ) ⋅ g y que
r1 = 30 cm ; r2 = 20 cm y h = 40cm
al
iz
m
er
ci
Archivo Editorial, (2020).
r2
h
r1
su
co
c) Determina el área de un cono cuya altura es
igual al diámetro de la base y considerando
que la longitud de la circunferencia de la base
mide 10π m.
g
oh
ib
id
a
d) Calcula la altura de un cilindro de 4 m de
diámetro y área total 24 π m2 .
Pr
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
5. Trabajen en parejas y resuelvan.
6. Investiga cómo construir pirámides, prismas,
conos y cilindros. Elabora el desarrollo una de
estas figuras y explica en clase cómo lo hiciste.
Traigan una caja de forma prismática; ábranla
de manera que obtengan el desarrollo del
prisma; retiren las pestañas que hacían posible
que se cierre la caja; obtengan las medidas
necesarias para que calculen su área.
77
Estrategias para resolver problemas
Resolver de atrás hacia adelante
Problema propuesto
Fabiana construye un prisma cuadrangular. Su
docente le pide que construya otro de manera
que el área lateral se aumente en un 20 %. Si las
medidas de las caras laterales del nuevo prisma
son base 10 cm y altura 24 cm y solo se modificó
la altura, ¿cuál es la medida de la altura del primer
prisma?
Darío hace una modificación a una primera
construcción de un prisma triangular, de manera
que su área lateral se ve disminuida en un 40 %.
Las medidas de las caras laterales del nuevo prisma
son base 9 cm y altura 15 cm. Si solo modificó la
base, ¿cuál es la medida de la base de su primera
construcción?
ac
ió
n
Problema resuelto
al
iz
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿Disminución en el área lateral? ______________
¿Base y altura del segundo prisma? 10 cm y 24 cm
¿Base y altura del segundo prisma?
¿Qué medida se cambió en el segundo prisma?
_________________________________________
La altura
m
er
ci
¿Aumento que se produjo en el área lateral? 20 %
¿Qué medida se cambió en el segundo prisma?
¿Qué se desea conocer?
_________________________________________
¿Qué se desea conocer?
co
La altura del primer prisma
2. Fijar una estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
id
a
su
Tomaremos los datos finales para calcular el
área modificada. Sobre la base de ese valor que
representará el 120 %, calcularemos el valor que
representa el 100 %. Conocida el área del primer
prisma, determinaremos la altura, tomando en
cuenta que la base de las caras laterales no varió.
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
ib
Alateral = 4 × (10 cm × 24 cm ); Alateral = 960 cm 2
960 cm²
100 % x
oh
120 % _________________________________________
2. Fijar una estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
100 % ⋅ 960 cm 2
= 800 cm 2
120 %
Pr
x=
A= 800 cm 2 ÷ 4; A= 200 cm 2
A= b × h ; 200 cm 2 = 10 cm × h ; h =
200 cm 2
; h = 20 cm
10 cm
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
La altura del primer prisma es 20 cm.
78
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
_________________________________________
1. Flor construye un prisma cuadrangular, cuya área
lateral es de 500 cm2 y su área total mide 1 100 cm2.
Si el área de cada base aumenta en 25 %, ¿cuál será
la medida del lado de la base?
a) Comprender el problema
2. Galo tiene una caja de forma de un prisma rectangular, cuya área total es de 4 920 cm2, si las medidas
de la base son 45 cm y 20 cm. Y la altura mide 24 cm
pero tuvo un incremento del 20 % en su altura anterior, ¿cuánto medía el área de la caja anterior.
a) Comprender el problema
_____________________________________
ac
ió
n
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
m
er
ci
al
iz
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
d) Responder
_____________________________________
co
_____________________________________
su
3. Benjamín construye un prisma pentagonal que tiene de área total 5 380 cm2. Si el área de sus bases
mide 1 380 cm2 y su altura mide 40 cm, ¿cuál será
su nueva área, si se disminuye su altura en 10 %?
a
a) Comprender el problema
id
_____________________________________
_____________________________________
ib
b) Plantear la estrategia
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
oh
_____________________________________
4. El terreno de Ximena mide 45 m de largo y 25 m
de ancho. Si su hermana le cede parte del terreno
y sus medidas aumentan en 15 % por lado, ¿en
cuántos metros cuadrados se incrementa el área
de su terreno?
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
d) Responder
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Pr
c) Aplicar la estrategia
79
Proyecto
Justificación / problemática
Shutterstock, (2020). 399269998
ac
ió
n
al
iz
Shutterstock, (2020). 552735334
La geometría en las vías
m
er
ci
El tránsito es un fenómeno que consiste en pasar de un lugar a otro usando vías o parajes públicos.
En las ciudades es muy común observar el tránsito vehicular y peatonal. Para un buen funcionamiento de estos,
las autoridades locales y mundiales fijan reglas que se ven apoyadas con normativas de señalización.
co
Uno de estos instrumentos de señalización son los conos. Resulta muy común observar los conos de tráfico
vehicular que se utilizan para informar la suspensión temporal del tránsito en una determinada zona, para
seguridad de quienes transitan por ahí, ya sea porque se están haciendo obras de construcción o porque
sucedió un accidente.
Pero no solo hay conos de tránsito vehicular. También los hay de carácter deportivo, muy utilizados en las clases
de Cultura Física o en entrenamientos.
su
Objetivo
Utilizar conocimientos de cuerpos geométricos en situaciones de la vida diaria.
a
Recursos
Cartulinas de colores
•
Compás• Goma
•
Juego geométrico
• Tijeras
oh
ib
id
•
Actividades
Investiga sobre la descripción de los conos de señalización que incluya su forma, medidas y usos.
Pr
•
•
Elabora un cartel con los conos de señalización de tránsito vehicular.
•
Construye con cartulina los conos de señalización deportiva y calcula sus áreas totales.
Evaluación
1. Expongan sus trabajos haciendo hincapié en la descripción de cada cono, y promoviendo el respeto
que como ciudadanos y estudiantes debemos tener al momento de observarlos.
80
Desarrollo del pensamiento
Pensamiento lógico
al
iz
m
er
ci
co
ib
id
a
su
Shutterstock, (2020). 273750656
Shutterstock, (2020). 23409880 / 96136382 / 106165847 / 106799924 / 136714430 / 141263962 / 398502073 / 497412232 / 588895340
Dibuja dos cuadrados de manera que cada animal
quede en una región individual.
ac
ió
n
Une los dieciséis platanales con un mismo trazo (sin
levantar el lápiz ni repetir el mismo trazo), usando
seis líneas rectas.
oh
Cálculo mental
Ahora hazlo tú
Multiplica la cantidad por 100 y resta el
multiplicando.
7 × 99 =
17 × 99 =
4 × 99 = 34 × 99 =
5 × 99 = 5 × 100 = 500 – 5 = 495
2 × 99 = 49 × 99 =
36 × 99 = 36 × 100 = 3600 – 36 = 3 564
6 × 99 = 76 × 99 =
Pr
Multiplicar por 99
81
Recuerda y practica
1. Realiza las operaciones.
4. Escribe las cantidades que han sido representadas
con notación ciéntifica.
1 a) −0,17 − 2 3 i 3 + ÷ 1,6
3
a) 9,64 × 106 =
b) 1,4 × 10-3 =
d) 5,3 × 1012 =
1
b) 4 12 − 2 147 + π 2 + 0,75π 2
2
5. Obtén para cada radical dos radicales equivalentes.
{(
3
)
8
}=1
c)
5
3
=
6 3
b) − 2
m
er
ci
2. Determina el término faltante.
al
iz
3 2
a) − 7
a)
ac
ió
n
c) 7,32 × 10-8 =
5
12
b) 36 × 3 = 9 7
6
= 63
6. Racionaliza.
co
d)
3. Aplica las propiedades y resuelve.
−100π
=
50
1
su
2
+1
b)
18 2
=
2+4
Pr
oh
ib
id
a
a)
1
30
0,6
5
7
1 5
÷
2 4
a)
b)
82
18 −
4 607
256
− 3 27e 9
7. Racionaliza los siguientes ejercicios.
a)
1 3 6
⋅
6 4 7
g)
5 x
100 + 36
196 − 169
h)
7
=
5− 3
2
=
3− 7
2
=
3+ 3
a)
L = 8 cm
ap = 5,51 cm
h = 20 cm
id
2
=
3− 2
Ap
ap
b)
5 cm
ib
e)
a
su
h
( −5x )(
)
2y ( 2z ) =
5 cm
15 cm
oh
Pr
f)
Archivo Editorial, (2020).
8. Calcula el área de cada sólido geométrico.
co
d)
m
er
ci
al
iz
c)
2
ac
ió
n
b)
4 cm
4,9 cm
c)
g
4 cm
3 cm
83
Aplico en la vida cotidiana
Tema: Áreas en la carpintería
Áreas de polígonos
ac
ió
n
Desde nuestros antepasados, hasta la actualidad,
las formas geométricas siempre han estado presentes en nuestra vida cotidiana; forman parte de
diversos diseños de nuestro hogar: mesas, paredes,
esculturas, entre otras.
Las autoridades del colegio quieren colocar vidrio sobre las mesas del preescolar, para protegerlas. El perímetro de una mesita, que tiene la forma de un hexágono regular, es de 216 cm.
al
iz
Calcula el área de la pieza de vidrio que se debe colocar sobre dicha mesita para cubrir y proteger su superficie.
Reflexiona
•
m
er
ci
Aproxima resultados a la décima.
¿Cuántos triángulos iguales se pueden obtener de un hexágono regular?
________________________________________________________________________________________
¿Cuáles son sus medidas? __________________________________________________________________
•
Comprueba la respuesta.
•
¿Cuántos metros cuadrados de vidrio serán necesarios para colocar la protección de vidrio en 8 mesas iguales y en otra que tiene el doble de medida del lado?
•
Si el lado de la mesa grande es el doble que el lado de la mesa pequeña, ¿será el área también el doble?
Pr
oh
ib
id
a
su
co
•
Resuelve la situación
•
84
Un cuadro tiene una superficie con la forma de un polígono regular de seis lados. Si el perímetro de su superficie es de 336 cm, ¿podrá colocarse en una pared que tiene 100 cm de ancho? ¿Cuál es la superficie del cuadro?
Shutterstock, (2020). 1403743643
Situación cotidiana
Tema: Cómo calculo en
el mercado
Las personas que venden en el mercado deben tener muy claro el precio que ponen a los productos
que ofrecen para la venta; es decir, deben hacer un
cálculo adecuado para no afectarse en sus ganancias ni perjudicar al consumidor.
ac
ió
n
Situación cotidiana
Shutterstock, (2020). 571522837
Expresiones algebraicas
al
iz
En un huerto se recolectó cierta cantidad de manzanas verdes y el doble de esa cantidad más 20 kg de manzanas rojas. Luego se llenaron distintas bolsas con 10 kg de manzanas, de cada tipo. Cada bolsa con manzanas
verdes se vendió a 30 USD y cada bolsa con manzanas rojas, a 35 USD. Si por toda la venta se recibieron 570 USD,
¿cuántos kilos de manzanas se recolectaron en total?
•
m
er
ci
Reflexiona
¿Escribe una expresión algebraica para la cantidad en kilos de manzanas verdes y rojas?
________________________________________________________________________________________
Comprueba la respuesta.
•
¿Qué ecuación te ayudó a encontrar la respuesta correcta?
id
a
su
co
•
Pr
•
Pedro compra en la tienda de frutas cierta cantidad de kilogramos de mandarinas y el doble en peso de papaya. En total gasta 12 USD. ¿Cuántos kilogramos de mandarina compró?
Mandarina: 1,80 USD Papaya: 1,10 USD
Organiza los valores en la tabla sugerida.
Estudiante
Peso
Precio
Costo
oh
•
ib
Resuelve la situación
Mandarina
Papaya
Total USD
________________________________________________________________________________________
•
¿Por qué es necesario expresar la cantidad de kilogramos de mandarinas compradas con la variable x?
85
Olimpiadas matemáticas
1. Observa la figura y determina el valor del área
verde:
24 cm
16 cm
ac
ió
n
10 cm
al
iz
Argumenta la solución:
m
er
ci
Respuesta: ______________________________________________________________________________
co
2. El cuadrado ABCD tiene lados de longitud de 6
cm. Los puntos M y N están sobre AD y AB, respectivamente, de forma que CN y CM dividen el
cuadrado en tres regiones de la misma área. ¿Cuál
es la longitud de NB?
C
M
A
N
B
ib
id
a
su
Argumenta la solución:
D
oh
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Pr
3. Cristina está practicando el salto de longitud. El promedio de las distancias que saltó en los primeros intentos de hoy es 3,80 m. En su siguiente intento, saltó 3,99 m y su promedio alcanzó los 3,81 m. ¿Qué distancia
debe alcanzar en su próximo salto para aumentar su promedio a 3,82 m?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Recuperado de: http://www.ommenlinea.org/
86
Evaluaciones estandarizadas
4. Lee y analiza.
1. Lee y analiza.
La tercera parte de las canicas están en una bolsa
y las restantes, en una caja. La mitad de las canicas
de la caja, 15, se guarda en la cartuchera. ¿Cuántas
canicas están en la bolsa?
Si se duplica la expresión 24, se obtiene:
Argumenta la respuesta:
ac
ió
n
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
c) 26
b) 28
d) 25
Escoge la respuesta correcta.
al
iz
a) 44
2. Lee y analiza.
c) 20 canicas
b) 30 canicas
d) 15 canicas
m
er
ci
¿Cuál es la expresión que representa el siguiente
enunciado?
a) 45 canicas
“El cuádruple de la mitad del cuadrado de un número”.
Argumenta la respuesta:
5. Lee y analiza.
es a
como
es a:
su
co
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 4x2
a
c) 4(2x2)
id
⎛ x2 ⎞
d) 4 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
ib
b) 2(4x)2
3. Lee y analiza.
Escoge la respuesta correcta.
a)
b)
c)
d)
6. Lee y analiza.
oh
La suma de dos números es 70, y su cociente es 9.
¿Cuánto es la resta de estos números?
Pr
Argumenta la respuesta:
¿Qué número continúa la serie?
2; 3; 7; 16; 32; _______
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 56
c) 48
b) 54
d) 39
Escoge la respuesta correcta.
a) 64
c) 41
b) 57
d) 33
87
10. Lee y analiza.
7. Lee y analiza.
Si A = 3 [4 + 2 – (42 + 33) – 4]; calcula A disminuido en 5.
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 171
c) 135
a) 123
b) 153
d) 121
b) 118
al
iz
ac
ió
n
Si 345 765 + 362 527 = ABCDED; entonces el resultado de (A + B + C + D) × E, es:
8. Lee y analiza.
c) –128
d) –118
Calcula 4(A + B)
8
6
14
5
A
15
2
14
B
¿Cuál es el número que dividido para 7, luego
multiplicado por 4 y aumentado en 100 su resultado es 116?
Argumenta la respuesta:
su
co
Argumenta la respuesta:
m
er
ci
11. Lee y analiza.
Escoge la respuesta correcta.
a) 14
c) 35
a) 26
b) 28
d) 42
id
c) 52
d) 208
ib
b) 104
a
Escoge la respuesta correcta.
9. Lee y analiza.
En noveno de año hay 30 estudiantes, 10 practican básquet y 16 fútbol. Si todos practican un
deporte, ¿cuántos practican los dos deportes?
Argumenta la respuesta:
Pr
oh
Una bacteria se duplica cada minuto. Si colocamos una bacteria en una caja de vidrio, ¿después
de cuántos minutos hay 64 bacterias?
12. Lee y analiza.
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
88
a) 4 horas
c) 6 horas
b) 5 horas
d) 8 horas
Escoge la respuesta correcta.
a) 6 estudiantes
c) 4 estudiantes
b) 5 estudiantes
d) 3 estudiantes
13. Lee y analiza.
Nombre del estudiante: __________________
Determina el valor de X, si a = 11, b = 3.
a +1
X=
2b − 2
________________________________________
Grado: _________________________________
Fecha: _________________________________
Argumenta la respuesta:
ac
ió
n
Instrucciones
Correcto
Incorrecto
1. Pinta totalmente los círculos.
a) X = 6
c) X = 3
2. No hagas marcas fuera del círculo.
b) X = 4
d) X = 2
3. En caso de concluir antes de tiempo, revisa
los ejercicios en los que hayas tenido dudas.
al
iz
Escoge la respuesta correcta.
m
er
ci
14. Lee y analiza.
1)
A
B
C
D
Argumenta la respuesta:
2)
A
B
C
D
3)
A
B
C
D
4)
A
B
C
D
5)
A
B
C
D
6)
A
B
C
D
7)
A
B
C
D
8)
A
B
C
D
9)
A
B
C
D
10)
A
B
C
D
11)
A
B
C
D
12)
A
B
C
D
13)
A
B
C
D
14)
A
B
C
D
15)
A
B
C
D
su
co
Si a = 110° y b = 10°, ¿cuál es el suplemento de
a + b?
Escoge la respuesta correcta.
a) 70°
c) 110°
d) 80°
15. Lee y analiza.
id
a
b) 60°
ib
¿Qué número falta?
5
39
9
3
31
6
8
?
Pr
oh
7
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 48
c) 52
b) 50
d) 23
89
Compruebo mis aprendizajes
Evaluación sumativa
M.4.1.34. Aplicar las potencias de números reales con exponentes enteros para la notación científica.
5. Al transformar 2 3 22 a potencia, se obtiene:
1. Relaciona las columnas, luego selecciona la
respuesta correcta.
÷
2
7
3)
2
7
4)
2
2
7
12
6. Al resolver el polinomio aritmético
a) 1
b) −
(
7
2
1
2
2
d) ⎛⎜ − ⎞⎟
⎝ 7⎠
b) 1c, 2d, 3a, 4b
1)
3)
co
d) 1d, 2c, 3b, 4ª
M.4.1.34. Aplicar las potencias de números reales con exponentes enteros para la notación científica.
7 x = 73
a
c) 3
id
b) 5
su
2. El valor de X que hace posible la igualdad.
5
oh
ib
3. Al simplificar la expresión
40
b)
7
Pr
7
a)
40
50
98
64
7 2
c)
40
d) 15
1
, se obtiene:
19
d)
14
4. Selecciona el grupo de radicales que son
equivalentes.
a)
10
b)
c)
6
3 50
18
2 , 2 , 2
1
288
c) –288
d) –24
4)
5
6
4
6
2
5
4 6
5 3
4
6
5
4
2 4 a)
5
42
b)
5
44
c)
5
4
d)
5
43
a) 1c, 2a, 3d, 4b
b) 1a, 2c, 3d, 4b
c) 1b, 2d, 3c, 4a
d) 1b, 2d, 3a, 4c
8. Al racionalizar
3− 5
a)
b) − 3 − 5
2
, se obtiene:
3− 5
c) 3 + 5
d) − 3 + 5
M.4.1.25. Reescribir polinomios de grado 2 con la multiplicación de
polinomios de grado 1.
9. Analicen y respondan en parejas. El polinomio que
corresponde a la representación es:
26 , 23 , 212
10
26 , 5 23 , 20 212
e) 3 26 , 26 , − 4 26
90
b)
7. Relaciona cada expresión con su factor racionalizante. Luego, selecciona la respuesta correcta.
2)
c) 1d, 2c, 3a, 4b
1
24
M.4.1.36. Reescribir expresiones numéricas o algebraicas con raíces en
el denominador utilizando propiedades en R (racionalización).
−6
a) 1c, 2d, 3b, 4a
a) 10
)
a) −
2
7
c)
−2
1⎞ ⎫
⎧
⎛
2
2
⎨ 11 + 5 ÷ 73 ÷ ⎜⎝ −0,25+ ⎟⎠ ⎬ , se obtiene:
3 ⎭
⎩
4
6 0
3
d) 2 2
ac
ió
n
2
7
6
÷
2
7
3
c) 2 5
al
iz
2)
4
2
b) 2 3
m
er
ci
1)
2
7
5
a) 2 3
a) 2 x 2 − x + 3 c) x 2 − 2 x + 3
b) −2 x 2 + x + 3 2
d) −x + 2x − 3
e) Está ordenado con respecto a la letra x en
forma ________________.
M.4.1.23. Definir y reconocer polinomios de grados 1 y 2.
2) La raíz cuadrada de un número más su
2
cuadrado se representa con x + x .
3) El cociente entre dos números, elevado al
3
x
.
cuadrado, se representa con
y
4) El producto del doble de un número con otro
2x .
se representa con
y
a) 2 y 3
b) –6
c) 2
d) 11
M.4.2.20. Construir pirámides, prismas, conos y cilindros a partir de patrones en dos dimensiones (redes), para calcular el área lateral y total de
estos cuerpos geométricos.
13. El área lateral de un cono de altura 14 cm y radio
4 cm es:
a) 8
53 b)
53
c) 8 53
d) 4
53
m
er
ci
b) 1 y 2
a) –2
ac
ió
n
1) El doble de un número más el triple de otro se
representa por 2x + 3y .
12. El valor numérico del polinomio
2
−2 x 5 + 4 x 3 − z 2 + 2 para x = –1 y para z = –3 es:
3
al
iz
10. Identifica las afirmaciones verdaderas. Luego,
selecciona la respuesta correcta.
Coevaluación
c) 2 y 4
14. El área del polígono irregular de la figura es:
d) 1 y 3
a) 4 + 12 3
2
2
11. Analiza el siguiente polinomio 3 x + 2 xy − 4 y .
Luego, completa las frases.
b) Por el número de términos es un __________.
d) 4
co
a) Se trata de una expresión racional __________.
b) 6 3
2m
c) 4 + 6 3
su
c) Su grado absoluto es ___________.
id
Autoevaluación
a
d) Su grado relativo con respecto a y es _______.
ib
15. Pinta según la clave.
Resuelvo por mí mismo
Necesito ayuda
Estoy en proceso
oh
Puedo ayudar a otros
Aplico propiedades de la potenciación y radicación.
Pr
Identifico tipos de radicales y los transformo en potencias.
Contenidos
Racionalizo expresiones numéricas.
Resuelvo polinomios y aplico propiedades de solución.
Encuentro áreas de polígonos regulares e irregulares.
Metacognición
•
•
•
¿Realizaste las preguntas necesarias a tu docente para aclarar dudas?
¿Participaste activamente en los trabajos colaborativos?
¿En qué situaciones reales has utilizado estos conocimientos?
91
unidad
3
En Ecuador se hizo y se hace ciencia
La primera misión geodésica francesa fue una delegación de científicos enviados por la Academia de Ciencias
de París, que llegó a Quito el 29 de mayo de 1736.
Su objetivo fue medir un arco del meridiano terrestre a nivel del Ecuador. Pedro Vicente Maldonado, un gran
científico ecuatoriano, fue miembro de esta misión.
Shutterstock, (2020). 561A0155S
A más de cumplir con su propósito, la misión contribuyó a definir al metro lineal. A partir de ese momento, su
medida representó la diez millonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.
92
Preguntas generadoras
•
¿En el siglo que corría durante la venida de la misión geodésica
francesa, qué forma se concebía que tenía la Tierra?
•
Expresa utilizando notación científica la equivalencia de un metro
con relación al cuadrante del meridiano terrestre.
Álgebra
y funciones
• Adición y sustracción de
polinomios, con signos de
agrupación
• Multiplicación de monomios y
polinomios. Multiplicación de
polinomios
• Productos notables I (Cuadrado
de un binomio, producto de la
suma por la diferencia de dos
términos)
• Productos notables II (Producto
de la forma (a + x) (x + b) cubo
de un binomio)
• Triángulo de Pascal y teorema
del binomio
Geometría
y medida
• Volumen de prismas y pirámides
• Volumen de cilindros y conos
• Volumen por descomposición de
sólidos
Objetivos:
O.M.4.1. Reconocer las relaciones existentes entre los conjuntos de números
enteros, racionales, irracionales y reales; ordenar estos números y operar con ellos
para lograr una mejor comprensión de procesos algebraicos y de las funciones
(discretas y continuas); y fomentar el pensamiento lógico y creativo.
O.M.4.2. Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva;
las cuatro operaciones básicas; y la potenciación y radicación para la simplificación
de polinomios, a través de la resolución de problemas.
O.M.4.5. Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las relaciones
trigonométricas (utilizando las TIC) y las fórmulas usadas en el cálculo de
perímetros, áreas, volúmenes, ángulos de cuerpos y figuras geométricas, con el
propósito de resolver problemas. Argumentar con lógica los procesos empleados
para alcanzar un mejor entendimiento del entorno cultural, social y natural; y
fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes patrimoniales del país.
93
Tema 1
Adición y sustracción de polinomios,
con signos de agrupación
Saberes previos
Reduce términos semejantes.
3 x 2 − 2 x + 8 x 3 − 5 + 7 x − 11x 2 + 4 x − 5 x 2 + 6 − 3 x 3 − x 5 =
Shutterstock, (2020). 182981177
Los ordenadores actuales pueden ser mejorados en su desempeño al aumentar
su memoria RAM. Si un ordenador está diseñado con una cierta cantidad de RAM
medida en gigabytes (GB) con la posibilidad de agregarle el triple, ¿cuál es la
expresión algebraica que representa la cantidad de memoria inicial, lo posible de
agregar y el total máximo de memoria que puede tener ese ordenador?
Como no conocemos la cantidad de memoria colocada inicialmente, usamos x
para representarla.
Si la cantidad inicial es x, el triple queda representado con 3x.
Memoria RAM.
La cantidad máxima posible la obtenemos al sumar la inicial con lo posible de
agregar, esto es:
x + 3x
Como los términos son semejantes al reducirlos, obtenemos: 4x
¿Sabías qué?
Los ordenadores
tuvieron un precursor
mecánico creado en
1642 por Braise Pascal.
En nuestro país, en
1902, el matemático
y abogado Octavio
Cordero Palacios creó
un ordenador mecánico
al que nombró
“clave poligráfíca” o
“metaglota”. Este
dispositivo traducía
palabras de una lengua
a otra lengua. También
inventó un “dispositivo
numérico de cálculo
para obtener la raíz
cuadrada de números”
94
Sumar o restar monomios significa obtener una expresión algebraica después
de reducir términos semejantes.
Ejemplo 1
Sumar los monomios 3 x 2 , 2 y , − 4 x 2 , 7 z , − 2 y .
Solución
3 x 2 + 2 y + ( −4 x 2 ) + 7 z + ( −2 y )
Colocamos los signos de suma.
3x 2 + 2 y − 4 x 2 + 7z − 2 y
Destruimos paréntesis.
− x + 7 z Reducimos términos semejantes.
2
Ejemplo 2
Restar −2a 3b de −5a 3b
Solución
−5a 3b − ( −2a 3b ) Identificamos el minuendo y el sustraendo.
−5a 3b + 2a 3b −3a 3b
Destruimos el paréntesis.
Al sumar polinomios, aplicamos la propiedad asociativa y conmutativa de
manera que reagrupamos términos semejantes para reducirlos.
Ejemplo 3
Sumar
1 3
2
1
x + 2 x 2 y − 3 y 3 con − x 3 − x 2 y − 3 xy 2 + 4 y 3
2
5
4
Solución
1 3
x + 2x 2 y 3y 3 +
2
2 3
x
5
1 2
x y 3xy 2 + 4 y 3
4
Sumamos.
2
1 3
1
x + 2 x 2 y − 3 y 3 − x 3 − x 2 y − 3 xy 2 + 4 y Destruimos el ( ).
2
5
4
Aplicamos la propiedad asociativa y la conmutativa.
1 3 2 3
1 2
x
x + 2x 2 y
x y
2
5
4
3xy 2 +
(
3y 3 + 4 y 3
)
1 3 7 2
x + x y − 3 xy 2 + y 3 Reducimos términos semejantes.
10
4
Recuerda que...
La suma de polinomios
se puede hacer en
forma vertical. Para
ello es recomendable
ordenar y completar los
polinomios.
1 3
x + 2 x 2 y + 0 xy 2 − 3 y 3
2
2
1
− x 3 − x 2 y − 3 xy 2 + 4 y 3
5
4
1 3 7 2
x + x y − 3 xy 2 + y 3
10
4
DFA
Mantener contacto
visual es clave cuando
hay discapacidad o
dificultades auditivas.
Ejemplo 4
De la suma del polinomio 1 con el polinomio 3, restar el polinomio 2.
P1 :
4a 4 3a 2 a +1
P2 : 2a 5
a4
(7a +1)
2
3a 3
P3 : 10a 4 8a 3 3a 2
Solución
Primero resolvemos P2, recordando el orden de supresión de signos.
(7a +1)
2a 5
a4
2
3a 3
2a 5
a 4 7a 2 1 3a 3
2a 5 a 4 + 7a 2 +1+ 3a 3
2a 5 a 4 + 3a 3 + 7a 2 +1
Luego, colocamos en forma vertical los polinomios, cambiando de signo al
polinomio sustraendo.
0a 5 − 4 a 4 + 0a 3 − 3a 2 − a + 1
0a 5 + 10a 4 − 8a 3 − 3a 2 + 0a + 0
−2a 5 + a 4 − 3a 3 − 7a 2 + 0a − 1
−2a 5 + 7a 4 − 11a 3 − 13a 2 − a
Conexiones
Matemática
con Música
Podemos encontrar las
raíces de polinomios en
las teclas de un piano.
Al pulsar una tecla se
activa un martillo que
golpea una cuerda que
vibra a determinada
frecuencia (velocidad),
que es la que define la
nota. Esta frecuencia
es un número, y, de
hecho, es la raíz de
un polinomio que se
define a partir de las
características de la
cuerda. Esto mismo
sucede en cualquier
instrumento, y a
cualquier objeto que
vibra.
95
Taller
Evaluación formativa
1. Obtén la suma de los monomios M1 + M2 + M3.
Luego escribe la expresión algebraica resultante.
M1 :
3. Utiliza la propiedad asociativa y conmutativa para
calcular M1 + M2 + M3 + M4. Escribe la expresión
algebraica resultante.
M1 :
M2 :
M2 :
M3 :
M3 :
M1 + M2 + M3 =
M4 :
2. Calcula la suma de cada grupo de monomios.
M1 + M2 + M3 + M4 =
2
2
2
2
a) 3m ; − 4m ; − 7m ; 2m
4. Suma cada grupo de monomios.
a) 2ab ; − 3a 2b ; − 7 a 2b ; − 8ab
3
3
3
3
b) 20z ; − 80z ; 18z ; 12z
b) 3 x 4 ; − 8 x 4 ; 2 x 2 ; − 7 x 4 ; − 11x 2
c)

4
14 2
1,7ab 2 ; ab 2 ; ab 2 ;
ab
3
9
2
3
7
1
c) − m2 n; − mn2 ; − m2 n; − m2 n; mn2
3
2
6
2
d)
3
3 3
x y + 0,75 x 3 y − x 3 y − x 3 y
4
8
3 2
2
d) 0,5st ; 0,15; − st ;
4
e)
−14,6m 4n ; − 2, 4m 4n ; 7m 4n ;
2t ; 0,35
21 4
mn
10
5. Obtén la diferencia.
a) De 8 x 5 restar − 3 x 5
f)
3 2 r 3 ; − 2r 3 ; − 7 2 r 3 ; − 4r 3
1
b) Restar mn de − 5mn
2
g)
96
−2
x 5 x 1 x
7 x
;
;
;−
y 6 y 3 y
6 y
c) De 109 a 3bc restar 10 a 3bc
M.4.1.24. Operar con polinomios de grado ≤2 (adición y producto por escalar) en ejercicios numéricos y algebraicos.
6. Obtén el volumen disponible de la caja de la figura.
4 3
3 2
4 3
a) De 18m n − 6m n + 6 restar − 2m n + 12
3
x
2
Archivo Editorial, (2020).
9. Realiza las sustracciones.
1
x
2
1
x
2
b) Restar
7. Resuelve.
a)
b)
a2
{7a + 3ab
2yz
2
8a 2
( 4ab
a2
1
5
12 3
7
x − 7x 2 + 2 de x 4 + x 3 + x 2 −
5
10
2
3
)}
1
3
1
xz + yz + 0,6yz
xz
5
10
2
10. Efectúa las operaciones indicadas con los
siguientes polinomios:
P1 : ax 2 − 2a 2 x + 3
P2 :10ax 2 + 3a 2 x − 3
P3 : − 12a 2 x − ax 2 − 6
a) P1 + P2 – P3
8. Suma los polinomios.
a) 7 x 3 + 2 x 2 − 1; − 3 x 3 − 7 x 2 + 8
3 2 4 3 8 2 1 3
2
b) − ac + ac ; a c − ac + ac
2
3
5
7
b) –P1 – P2 + P3
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
11. Trabajen en parejas y resuelvan.
12. Investiga que significa P(x). Luego formula
dos ejemplos de P(x).
Formulen 4 polinomios que contengan términos semejantes. Propongan operaciones entre ellos a otra pareja para que las resuelvan.
Expón tu investigación junto con la suma y
resta de ellos.
97
Tema 2
Multiplicación de monomios
y polinomios
Desequilibrio cognitivo
Si P1 : −3 x 4 − 4 x 2 + 2 x − 9 ¿a qué es igual 2P1? Explica cómo lo calculaste.
Shutterstock, (2020). 289622906
Para una competencia de robots, un estudiante creó un robot manipulador
de forma prismática, cuya cara frontal es cuadrangular y sus caras laterales son
rectangulares. Si uno de los lados del rectángulo de las caras laterales es 1 cm más
grande que el otro lado, ¿cuál es la expresión algebraica que expresa en forma
aproximada el volumen del robot?
Archivo Editorial, (2020).
Lo primero que hacemos es esquematizar la forma del robot.
Robot manipulador.
En el Ecuador
estudiantes
universitarios de la
especialidad electrónica
y mecatrónica elaboran
robots que son
controlados a través de
celulares.
Estos estudiantes
crean sus robots con el
propósito de competir
en ferias científicas.
Una de las categorías
de competencia es el
fútbol.
Como no conocemos el valor de ninguna de las aristas, asignamos la letra x como
medida de las aristas de las caras cuadrangulares. De acuerdo con el enunciado, la
arista más larga de las caras rectangulares es 1 cm más que la corta, por lo tanto, mide
x + 1.
x
x+1
x
Para calcular el volumen de este prisma, consideramos la cara cuadrangular como
base y calculamos su área, a la cual la multiplicaremos luego con la altura para
obtener el volumen.
V = x ⋅ x ⋅ ( x + 1)
Aplicamos la propiedad de multiplicación de bases iguales de la potenciación.
V = x 2 ⋅ ( x + 1)
Recuerda que...
x n ⋅ x m = x n+m
x n ( x m + a ) = x n+m + ax n
x n ( x m + a ) = x n+m + ax n
98
Aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos el volumen requerido.
V = x3 + x2
Cuando multiplicamos monomios entre sí, multiplicamos sus coeficientes,
y obtenemos la parte literal al aplicar la propiedad de la potenciación de
producto de bases iguales.
Archivo Editorial, (2020).
¿Sabías qué?
Ejemplo 1
Recuerda que...
Multiplicar los siguientes monomios.
b) −5 x 5 y con
a) 4 a 2b con 8a 3b 6
Solución
a) 4 a b ⋅ 8a b = (4 ⋅ 8)( a
2
b)
(
3 6
5x 5 y )
2+ 3
3 5 3
y z
10
1+ 6
1
3 −5 3
y z y con − mx −2 z 3
10
6
3x 2 + 2 x − 1
)( b ) = 32a b
5 7
1
mx 2z 3 =
6
=
5
La multiplicación de
polinomios puede
ser resuelta en forma
vertical.
3
10
1 5
(x
6
2
x−6
) ( y ) (z )
1 5
3+3
1 3 −4 6
x y z
4
3x 3 + 2 x 2 − x
− 18 x 2 − 12 x + 6
3 x 3 − 16 x 2 − 13 x + 6
En la multiplicación de un número por un polinomio, un monomio por un
polinomio o un polinomio por otro, aplicamos la propiedad distributiva.
Ejemplo 2
DFA
Realizar las operaciones.
5
2
a) −5( a b − 4 ab + 1)
c)
b) 7m2 n3 ( −2m + 2n − 6 )
Solución
En los tres casos aplicaremos la propiedad distributiva e iremos multiplicando
monomio por monomio.
(
Cuando hay dificultades
visuales o una
discapacidad visual, la
mejor forma de ayudar
es proporcionando
explicaciones de tipo
descriptivo, concreto,
preciso y claro.
)
5
2
5
2
a) −5 a b − 4 ab + 1 = −5a b + 20ab − 5
b) 7m2 n3 ( −2m + 2n − 6 ) = −14m3n3 + 14m2 n4 − 42m2 n3
c)
(3x
2
)
+ 2 x − 1 ( x − 6 ) = 3 x 3 − 18 x 2 + 2 x 2 − 12 x − x + 6
Como podemos observar, este polinomio resultante tiene términos semejantes,
los cuales deben ser reducidos.
3 x 3 − 16 x 2 − 13 x + 6
99
Taller
Evaluación formativa
1. Realiza los productos entre monomios.
a) −2( x 3 − 6 x 2 + 4 x − 1)
a)
2a ⋅ 5a =
b)
3 2 10 5
x ⋅ xy =
5
9
c)
d)
b) 5( a 5b 4 − 3a 4 b 3 − 8a 3b 2 )
3m2 ⋅ 6m 3 =
( −2a )(2a )( −5a ) =
4
2
c)
e)
( −3y )( −2 y )( −4 y ) =
f)
(0,75x y )( −2 x y )( −5xy ) =
g)
( −0,5a y )(mny )( −2m n y ) =
h)
i)
4. Multiplica.
5
2
3
2
4
(3
3 2
2 4
st
11
2a
5
)(2
2b
3
1
6 6 8 5 1 4
m + m
m 2
5
6
3
3
3 2
1 3
rs
8
3
2
(
22 6
r t =
3
)( −5
2ab
−1
5. Obtén los productos.
(
a) 2 x 2 −3 x 3 + 2 x 2 − 6 x + 4
)=
2. Halla los siguientes productos:
(
b)
(−0,3x )(5x
3n − 2
c)
(−
7m − x + 6 =
n+2
7m x − 6
2
x
5
n
)(
)
5 4n + 3
x
(2,5x ) =
3
3
a)
a
a
x
c)
(−a
d)
16 2 ⎛ 9 2 6 2 3
3 ⎞
ab ⎜ a − b + ab − c ⎟
⎝8
3
5
8
2 ⎠
e)
0,6s 2t 2
f)
2a x −1
6
)
+ 3a 5 − 2a 4 + 3a 2 + 7a − 6 ( −2a 2 )
a
x
x
b)
y
y
c)
x
y
1
x
3
)
)=
3. Obtén el área total.
100
)
b) − x 2 y 2 x 4 − y 4 + z 2 − x 2 y 2 + y 2 z 2
a)
d)
)
d) −2 5 − 5 x 2 y + 2 x 3 y 2 − 4 5 x 2 y 3 − 1
3
y
5
1 4 15
st
s + t
2
6
2
6
y
x
1
x
3
(
3a x +2 − 2 2a − x −1 − 2a x +1
)
M.4.1.32. Calcular expresiones numéricas y algebraicas usando las operaciones básicas y las propiedades algebraicas en ℝ.
6. Resuelve aplicando la propiedad distributiva.
a)
( 2 x − 4 ) ( 6 x 2 − 4 x + 3)
b)
(m − n )( am − an − 3)
c)
( x − y )( x
d)
( a + b )( a 4 − a3b + a2b2 − ab3 + b 4 )
9. Multiplica.
a) 6a 2 + 2ab − 8b 2
3a − 2b
×
2
2
y + xy − xy
2
)
b) −3 x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 1
x 2 − 5x + 3
×
c)
7. Encuentra el área de las figuras.
3 3 2 2 1 2 1 3
m − m n + mn + n
4
5
3
2
×
2m + 3n
4x
a)
2x+3
2y
Archivo Editorial, (2018).
b)
2y+3
3a
c)
2a
d) 2 x m+ 3 − 4 x m+ 2 − 3 x m+1 − 2 x m
1 m−1 1 m− 2 m− 3
×
x − x +x
2
4
Archivo Editorial, (2018).
3a+2b
8. Calcula el área sombreada.
3x–2
x
3x+5
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
10. Trabajen en parejas y resuelvan.
11. Investiga el proceso que se debe seguir para
obtener el cuadrado y cubo de un polinomio.
Formulen dos polinomios P(x), uno de cuarto
grado y otro de tercer grado, con coeficientes
fraccionarios. Intercámbienlos con otra pareja
para que los multiplique.
Explica en clase con un ejemplo.
101
Productos notables I
Tema 3
Saberes previos
Efectúa los productos:
(2x
2
5
)
( ax − bx )(2ax + 3bx )
3 2
x 1
2
2
2
Cuadrado de un binomio
Shutterstock, (2020). 83556583
En el diseño de un circuito impreso se ha tomado en consideración usar una
placa de forma cuadrangular de la cual se sabe a ciencia cierta que se dejará un
margen de 5 mm, tanto en la parte inferior como del lado derecho. De ese margen
hacia adentro se podrán colocar pistas de cobre y los componentes electrónicos
necesarios. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de esa placa?
Elaboramos un esquema de la forma de la placa y colocamos las medidas
proporcionadas como datos. Al valor desconocido lo asignamos con la letra x.
Memorias de computador.
A fin de que un robot
realice las funciones
para las que fue creado,
debe contar con un
circuito de control.
Esos circuitos de control
se diseñan y luego son
elaborados en placas
de circuito impreso
donde se colocan los
elementos electrónicos.
Estas placas son hechas
a base de cobre para
la conducción, y de
un material aislante
como, por ejemplo la
baquelita.
5
x
El gráfico nos muestra un cuadrado cuyo
lado mide x + 5. Por lo tanto, su área es:
A = ( x + 5)( x + 5)
A = ( x + 5)2
5
Otra forma de obtener el área de la placa es dividiéndola en cuatro áreas.
x
Archivo Editorial, (2020).
¿Sabías qué?
Archivo Editorial, (2020).
x
5
Obtenemos el área total al sumar las
cuatro áreas.
x
A = x 2 + 5 x + 5 x + 52
5
Reduciendo términos semejantes,
tenemos:
A = x 2 + 10 x + 25
Como se trata de la misma placa, podemos decir que:
( x + 5)2 = x 2 + 10x + 25
Al analizar los dos lados de la igualdad, podemos concluir que en el segundo
miembro de la igualdad tenemos el cuadrado del primer término del primer
miembro de la igualdad, más el doble producto del primer término con el segundo
y el cuadrado del segundo término.
102
Existen ciertas multiplicaciones algebraicas que no necesitan ser desarrolladas
porque siguen un patrón. A estas multiplicaciones se las conoce como
productos notables. Entre ellos tenemos:
2
2
2
Producto de un binomio al cuadrado: ( x ± a ) = x ± 2ax + a
Ejemplo 1
Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado:
b)
a) ( y + 9)
4
0,3r
3 32
st
5
2
c)
1 m +1
x
2n
2
construimos un
rectángulo de medidas
(x + a) y (x – a). Luego le
trazamos una recta ,de
manera que obtenemos
dos trapecios.
x
2
a
x– a
x– a
a
Solución
Aplicamos la regla ( x ± a )2 = x 2 ± 2ax + a 2 , observando el signo.
a)
Para la demostración
geométrica de
( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2 ,
Producto de dos binomios conjugados o producto de la suma por la diferencia
de dos términos: ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2
2
Recuerda que...
( y + 9)2 = y 2 + 2( y )(9) + 92 = y 2 + 18 y + 81
b)
0,3r
4
2
3 32
st
5
=
1
r
3
1
= r
9
c)
1 m +1
x
2n
2
2
=
=
2
4
2
1
r
3
4
3 32
3
s t + s 3t 2
5
5
2
2 4 32 9 64
r st + st
5
25
8
1 m +1
x
2
2
2
x– a
1 m +1
x
(2n) + (2n)2
2
x– a
a
Producto de la suma por la diferencia de dos términos
Ejemplo 2
Encontrar el producto de los binomios conjugados.
b)
a a
x
m +1
1 2m + 2
x
2nx + 4n2
4
a) (2a − 5b )(2a + 5b )
1 n 4 m
y + x
4
5
x
Separamos los
trapecios. Giramos el
primero a la izquierda
y luego hacia abajo,
de modo que al unirlo
al segundo trapecio,
obtengamos la
siguiente construcción:
x
Aquí observamos un
cuadrado de lado
x, al que le falta un
cuadrado de lado a.
Es decir, tenemos que:
( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2 ,
4 m
x
5
0,25y n
Solución
Observamos que los binomios sean conjugados, es decir, que tengan términos
iguales con signo contrario, y aplicamos la regla: ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2
a) (2a − 5b )(2a + 5b ) = (2a )2 − (5b )2 = 4 a 2 − 25b 2
b)
1 n 4 m
y + x
4
5
0,25y n
4 m
1 n
x =
y
5
4
2
4 m
x
5
2
=
1 2n 16 2m
y
x
25
16
Me refuerzo
Ingresa al siguiente
enlace web:
bit.ly/2OAcUHD
Imprime el
documento y evalúa
tus aprendizajes de
productos notables.
103
Taller
Evaluación formativa
1. Expresa el área de cada cuadrado.
a)
c)
3
x +1
4
x −3
b)
d)
2y + 4
2. Completa la siguiente tabla:
x
y
2a
3b
6y
9z
4b
a2
1
r
2
x2
2xy
1
a+7
3
y2
3
2
a
8
3
2
b)
1
0,16x 3 + y 2
2
2
c)
5 2
w 0,3z 3
4
( x − 2 y )2 =
b)
( 3a + 7 )2 =
c)
( 6 x − 1)
d)
(2ab + 5)2 =
2
5. Resuelve los productos.
a)
(x
m
b)
(a
m+ 3
c)
( 2r
f)
(4 x
)
g)
( 8m
h)
( 7u v + 4 r )
i)
(
j)
(
3
)
2
=
+ b n+ 2
)
2
=
)
2
x +1
− 4 s x −1 =
5a
2n
1 3m
b
2
2
+ 2y =
c)
)
2
+ 3n =
4 2
)
2
4 2
y − 4y + 9
9
=
5 y 2 − 10 z 2
3
d)
− yn
b) 64 x 2 − 96 x + 36
=
2
6
=
=
(3r t − 2)
3
=
a) 9u2 + 12u + 4
e)
2
=
2
=
6. Resuelve y escribe la medida del lado del cuadrado, cuya área es la expresión dada.
a)
2
2
a)
2s 2
3. Obtén los productos notables.
104
x2 + 2xy + y2
4. Desarrolla los binomios.
)=
2a − 2b =
2
8
4
2
d) 4 x − x +
3
9
M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.
7. Aplica la propiedad asociativa para convertir
a cada trinomio en binomio. Luego realiza el
producto. Sigue el ejemplo:
( x + y − 3z )2 = ⎡⎣( x + y ) − 3z ⎤⎦
2
= ( x + y ) − 2( x + y )( 3z ) − 9z 2
2
= x 2 + 2xy + y 2 − 6xz − 6yz − 9z 2
a)
2
(2a
3b 4c ) = ( 2a 3b ) 4c
9. Obtén el producto notable.
a)
( x − 3)( x + 3) =
b)
(2 x − 6 )(2 x + 6 ) =
c)
( 6a
d)
(0,1x
2
e)
b)
(5x
c)
(
2
)
2
(
)
+ 3y + 2z 2 = 5x 2 + 3y + 2z 2
) (
2
3x + 2y +1 =
)
3x + 2y +1
2
8. Expresa el área de las figuras.
x −2
x +2
Archivo Editorial, (2018).
b)
2x + 3
2x − 3
c)
)(
1
y − 10
2
1
y + 10
2
)
+ 3b 3b − 6a 2 =
2
)(
)
+ 0,2 y 3 0,1x 2 − 0,2 y 3 =
1 2 1 2
z + y
8
3
1
z
8


2
1 2
y =
3
2
f)
(m − 1, 4a )( m + 1, 4a) =
g)
(r
h)
( 8a
i)
a)
2
m +1
)(
)
+ 25n r m+1 − 25n =
x −1
2 n
x
7
)(
)
− 3b x +1 3b x +1 + 8a x −1 =
1
y
4
2
1
2 n 2 1
x + y
7
4
1
=
10. Escribe el término o los términos faltantes para
que se cumpla el producto.
a)
(3a − 2b )
b)
(2 x + y )
c)
(7 x − 4 y )
d)
1 5
x +2
8
e)
(x
2m
)(
= 9a 2 − 12ab + 4b 2
= 4 x 2 − 4 xy + y 2
= 49 x 2 − 16 y 2
1 5
x
8
2 =
)
− 3 3 + x 2m =
1 10
x
4
64
−9
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
11. Trabajen en parejas y resuelvan.
12. Investiga la demostración del producto notable (x – a)2. Expón en clase.
Organicen grupos de tres integrantes para
explicar por qué (2y + 3) (–2y – 3) es igual a
(–2y + 3)2 y por qué (7x – 2y)(–7x – 2y) =
4y2 – 49x2, usando productos notables.
105
Productos notables II
Tema 4
Desequilibrio cognitivo
¿Cómo desarrollarías el cubo del binomio x + 1?
Shutterstock, (2020). 343355732
Producto de la forma (x + a) (x + b)
Una mano robótica, al ser un dispositivo electrónico, requiere de una placa de
circuito impreso controlador. Si durante el diseño se eligió una placa cuadrangular
de cierta medida, pero luego se observó la necesidad de agregarle 1 cm a la
izquierda y 2 cm en la parte inferior, ¿cuál es la expresión algebraica que representa
el área de la placa modificada?
Realizamos un esquema de la modificación que se le hizo a la placa.
Otro dispositivo
electrónico en el
que estudiantes
ecuatorianos han
puesto interés de
invención es la prótesis
de mano.
Con este tipo de
dispositivo las personas
que por alguna
razón perdieron una
extremidad superior
tienen la esperanza de
sustituirla para mejorar
su calidad de vida.
x
1
El gráfico nos permite ver un rectángulo
de lados x + 1 y x + 2, cuya área es:
A = (x + 1) (x + 2)
x
2
El área de esta placa también se puede obtener si la dividimos en cuatro secciones
como se muestra a continuación:
x
Archivo Editorial, (2020).
¿Sabías qué?
Archivo Editorial, (2020).
Mano de un robot.
1
x
2
Si calculamos el área de cada sección y
las sumamos, tenemos el área de la placa.
A = x² + x + 2x + 2
Reduciendo términos semejantes,
queda:
A = x² + 3x + 2
Dado que se trata de la misma área, deducimos que:
(x + 1) (x + 2) = x 2 + 3x + 2
Al analizar lo obtenido en el segundo miembro de la igualdad, podemos decir que
el primer término es el término común de los dos binomios elevado al cuadrado; el
segundo término tiene el coeficiente que resulta de la suma algebraica de los dos
términos no comunes de los binomios; y el tercer término resulta del producto de
esos mismos dos términos no comunes.
106
El producto notable de dos binomios con un término común se resuelve así:
Enlace web
Practica operaciones
con polinomios
(x+a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
bit.ly/2YwxSuT
Ejemplo 1
Obtener los productos notables.
b)
a) (2 x + 3)(2 x − 4)
2
m 3n
5
2
x n
5
Recuerda que...
Solución
a) (2 x + 3)(2 x − 4) = (2 x ) + (3 − 4) x + (3)( −4) = 4 x − x − 12
2
2
Representación
geométrica del cubo
del binomio (a + b)3
2
2
2
2
m 3n
x n = m +( 3n n )m +( 3n )( n )
5
5
5
4
= m 2 4mn +3n 2
25
b)
b3
ab2
ab2
a2b
ab2
a2b
a2b
a3
Binomio al cubo (a +b)³
1. Descomponemos la potencia en dos factores: ( a + b ) ( a + b )
2
(
)
2
2
2. Desarrollamos el binomio al cuadrado: a + 2ab + b ( a + b )
3. Multiplicamos aplicando la propiedad distributiva:
Archivo Editorial, (2020).
Para obtener el resultado de un binomio al cubo, seguiremos los siguientes pasos:
3
2
2
2
2
3
a + a b + 2a b + 2ab + ab + b
4. Reducimos términos semejantes: a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
Un binomio al cubo es igual al cubo del primer término más el triple producto
del cuadrado del primer término con el segundo término, más el triple del primer término con el cuadrado del segundo término y más el cubo del segundo
término.
Si el binomio tiene signo negativo (a–b)3, los signos van alternados:
a3 – 3a2b + 3ab – b3
Ejemplo 2
Resolver
5x -
3
1
y
5
DFA
El hecho de que haya
una discapacidad
auditiva no significa
que el tono de voz con
el que se habla debe ser
exagerado o excesivo.
Basta con que haya
claridad al momento de
comunicarse.
Solución
5x -
1
y
5
3
= 125x 3
1
1
y + 3( 5x ) y
5
5
3
1 3
15x 2 y + xy 2 +
y
5
125
3
= ( 5x )
2
3( 5x )
2
+
1
y
5
3
107
Taller
Evaluación formativa
1. Expresa y calcula el área de los rectángulos.
a)
x–1
A=
A=
x+2
b)
A=
2x + 4
1
x −2
4
1
x+6
4
a)
(x + 4 )(x
b)
(m + 3)(m
c)
(n
d)
(
A=
2x + 1
c)
3. Escribe el término o los términos faltantes para
que se cumpla la igualdad.
A=
A=
e)
2
) = x 2 − 2x − 24
) = m 2 + 10m + 21
+ 4 )(n 2 − 12) =
+ 2)(
1 2
a 1
2
n − 48
− 8) = 9x 2 − 18x − 16
1 2
1
a 3 = a4
2
4
+3
4. Obtén los productos.
d)
A=
y+2
a)
3
3
a
2
2
3 2 1
a
2
6
b)
1 2 1
x
4
2
A=
y– 8
2. Desarrolla los productos.
108
a)
( z + 3)( z + 8 ) =
b)
(u − 4 )(u + 7 ) =
c)
( x − 10 )( x − 2) =
d)
( 3 x + 2)(3 x + 6 ) =
e)
( 4 a − 3)( 4 a + 10 ) =
f)
(x
g)
(3x
h)
( 4 a + 5b )( 4 a − 3b ) =
i)
(
j)
(2m
2
k)
(3 j
+ 6c 2 6c 2 − 4 j 3 =
)(
c)
)
+ 4 x5 − 6 =
5
3
)(
)
4
)(
+ 0,1w 0,6v 4 − 0,2w
1 1
c+ d
3 2
)
1 2
c
d
3 9
− 2 3x 3 − 1 =
2x − y
3
d)
(0,6v
1 2 2
x
4
5
)(
)
2 x + 3y =
)(
)
)(
)
− 8a 2m2 + 4 a =
e)

(0,7a b
2 2

− 0,1d 0,7a 2b 2 − d
)(
)
M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.
5. Resuelve los productos.
a)
(x
n
)(
b)
(a
m +1
8. Expresa y calcula el volumen de los cubos.
)
a)
+ 2 xn − 3 =
)(
)
− 5 a m+1 − 4 =
x+2
c)
(7 x
a+2
)(
+ y 7 x a+2 + 5 y
)
b)
1
1
x y m 1 x 2y m 1 =
5
5
d)
x–3
9. Desarrolla los binomios.
6. Calcula el área total del prisma.
a)
( 4 y + 3)3 =
b)
(2 x − 5 y )3 =
x–1
x–1
x+8
3
7. Completa la tabla.
a
b
x
3
2x
y
3 2
s
5
5
t
2
xn
yn
c)
a3
3a2b
3ab2
1 2 1 3
m
n =
4
2
b3
d)
a
x +1
1
+ bx
2
3
=
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
10. Trabajen en parejas y resuelvan.
11. Investiga cómo se denomina el proceso
contrario a los productos notables. Toma como
ejemplo uno de los estudiados y muéstrale
a tu clase cómo se desarrolla dicho proceso
inverso.
Calculen el valor de la arista de los cubos que
cumplen las siguientes condiciones:
V = a 3 + 3a 2 + 3a + 1; si a = 1
V =x 3 − 6 x 2 + 12 x + 8; si x = 5
109
Triángulo de Pascal y teorema
del binomio
Tema 5
Saberes previos
Desarrolla los binomios:
(2 x − 3)2 =
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
7 21 35 35 21 7
8 28 56 70 56 28 8
( 4 a + 5b )3 =
¿Qué estructura tiene el triángulo denominado triángulo de Pascal que se observa
en la imagen?
Se trata de un triángulo simétrico de números enteros. Está conformado por filas
que tienen 1 al inicio y al final de cada fila. Empieza con un 1 en la primera fila, y en
las filas siguientes muestra números de forma que cada uno de ellos son la suma
de los dos números que tiene encima.
1
1
1
Blass Pascal, con su
análisis del triángulo
que lleva su apellido,
contribuyó a la
conformación de
teorías matemáticas,
como también lo
hicieron los trabajos del
ecuatoriano, de origen
alemán, Peter Thullen.
2
1
1
1
1
1
4
6
28
1
4
10
10
1
15
35
56
1
5
20
21
8
3
6
15
7
1
3
5
1
1
35
6
1
21
70
7
56
Archivo Editorial, (2020).
¿Sabías qué?
1
28
8
1
28
8
1
Ejemplo 1
Obtener la fila 9 y 10 del triángulo de Pascal.
Recuerda que...
Archivo Editorial, (2020).
En el triángulo de Pascal
se observan algunas
particularidades. Por
ejemplo al sumar los
números de la fila, se
obtienen las potencias
de 2.
110
1
1
1 1
2
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
4
8
16
32
64
128
Solución
Para obtener la fila 9, sumamos los números de la fila 8.
1
1
8
9
28
36
56
84
70
126
56
126
84
36
9
1
Para formar la fila 10, sumamos los obtenidos de la fila 9.
1
1
9
10
36
45
84
120
126
210
126
252
210
84
120
36
9
45
1
10
1
Teorema del binomio
El teorema del binomio o de Newton es una fórmula con la cual se pueden
escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera
y positiva de un binomio (a + b) n .
Para determinar esta fórmula, encontraremos por multiplicación directa los
desarrollos de los binomios hasta la quinta potencia.
( a + b )0 = 1
( a + b )1 = a + b
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b
( a + b )4 = a 4 + 4 a3b + 6a2b2 + 4 ab3 + b 4
( a + b )5 = a5 + 5a 4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab 4 + b5
El análisis de estos desarrollos nos permite dar forma a la fórmula que aplicaremos.
1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
Recuerda que...
La simetría que
se obtiene en los
coeficientes de los
términos del desarrollo
de los binomios es
similar a los números
dispuestos en el
triángulo de Pascal.
Si el binomio tiene
signo negativo,
en el desarrollo se
colocan los signos
alternadamente.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
( x + y )0
( x + y )1
( x + y )2
( x + y )3
( x + y )4
( x + y )5
( x + y )6
2. Para cada valor de n, el desarrollo de (a + b)n empieza con an y termina con
bn. En cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al
siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con
exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una
unidad menor que el número de orden del término.
4. El primer coeficiente es la unidad. El de cualquier otro término se obtiene
multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a
y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que
se trata de formar.
Enlace web
Desarrollar (x + 2y)7.
Amplía tu
conocimiento sobre el
triángulo de pascal y
binomio de Newton. Te
sugiero usar el siguiente
enlace web:
Solución
bit.ly/31cpaiO
Ejemplo 2
El desarrollo tendrá 8 términos, iniciará con x 7 y terminará con 128y 7.
Para la obtención de los coeficientes, tomamos en cuenta la conclusión 4.
x 7 + 7 x 6 (2 y ) + 21x 5 (2 y )2 + 35 x 4 (2 y )3 + 35 x 3 (2 y )4 + 21x 2 (2 y )5 + 7 x (2 y )6 + (2 y )7
x 7 + 14 x 6 y + 84 x 5 y 2 + 280 x 4 y 3 + 560 x 3 y 4 + 672 x 2 y 5 + 448 xy 6 + 128 y 7
111
Taller
Evaluación formativa
1. Lee la información. Luego realiza las actividades
indicadas.
a) Al analizar el triángulo de Pascal en forma
diagonal, se observa la disposición de los
siguientes tipos de números:
Unos
Números naturales
Números triangulares
1
Archivo Editorial, (2020).
1 1
Números tetraédricos
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 26 56 70 56 58 8 1
Los números triangulares son aquellos que
permiten obtener una estructura triangular.
2. Encuentra la fila 11 y la fila 12 del triángulo de
Pascal.
Fila 11
Fila 12
3. Escribe frente a cada binomio el número de
términos que le corresponde a su desarrollo.
5
a) ( x − b )
11
d) (2m + 6)
8
b) ( m − n)
n
e) ( z − 8)
5
2 2
c) ( a − b )
20
f) ( r − 2s )
4. Determina lo solicitado para cada binomio.
1
3
6
10
Archivo Editorial, (2020).
Los número tetraédricos son aquellos que
permiten obtener una estructura piramidal
de base triangular.
a) El primero y último término del desarrollo de
9
( x − a )
b) El primero y último término del desarrollo de
( a 3 − 2b 5 )6
1
4
10
20
Archivo Editorial, (2020).
a) Representa gráficamente los dos números
triangulares siguientes a 10.
c) El segundo término del desarrollo de
(2 y − 3)7
15
21
b) Representa gráficamente el número tetraédrico siguiente a 20.
d) El quinto término del desarrollo de
11
(2 + 4 a )
112
M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.
5. Utiliza el teorema del binomio para desarrollar
los siguientes binomios:
6. Desarrolla los binomios utilizando el triángulo
de Pascal.
( 2 − a )5
4
a) ( x + y )
b) ( b 3 + 1)8
b) ( m − n)5
c) ( z 2 − 3)7
c) (3 + a )5
a)
d) ( m 4 + 5n3 )6
d) ( a 2 − b )9
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
8. Investiga sobre la particularidad del triángulo
de Pascal con el número 11.
Formulen un binomio con 4 ≤ n ≤ 8.
Propongan a otra pareja encontrar dos de los
términos de su desarrollo.
9. Explícale a la clase el resultado de tu investigación.
Puedes utilizar el siguiente enlace web:
bit.ly/2ZzuvRa
113
Volumen de prismas, pirámides
y cuerpos redondos
Desequilibrio cognitivo
¿Sabías qué?
¿Cómo calcularías el volumen de agua que es posible colocar en cada uno de
los recipientes?
Archivo Editorial, (2020).
Al Ecuador han
llegado tres misiones
geodésicas francesas.
La segunda tuvo como
objetivo precisar las
mediciones de la
primera, y la tercera
(qué llegó en 1 990)
tuvo como finalidad
estudiar la dinámica
de la Tierra. En el
año 2016 se realizó
una medición con
precisión centimétrica
del Chimborazo. Esta
medición permitió
concluir que nuestro
nevado, medido desde
el centro de la Tierra, es
1 180 m más alto que el
Everest.
La tercera misión geodésica francesa determinó que la altura del Chimborazo es
6 268 m. Si uno de sus propósitos hubiera sido calcular su volumen, ¿cuál sería la
expresión algebraica que les permitiría obtener en forma aproximada ese volumen?
Lo primero que hacemos es seleccionar un cuerpo geométrico que represente
aproximadamente al nevado. Como éste tiene una cúspide, la decisión estaría
entre una pirámide y un cono. Sin embargo, al observar la base, el cuerpo que se
aproxima más es el cono.
Luego de las fórmulas para calcular el volumen de cuerpos geométricos, escogemos
la que le corresponde al cono y reemplazamos los datos conocidos.
Prisma
Shutterstock, (2020). 291223832
Cubo
Arista
a
V = l3
V = Abase ⋅ h
Pirámide
Cilindro
Altura
h
Base
V=
Me refuerzo
Abase ⋅ h
3
V=
Esfera
Radio
r
Radio
Altura
h
imprime el documento
y refuerza tus
conocimientos.
Altura
h
Radio
r
V = π r 2h
Cono
Ingresa al siguiente
enlace web:
bit.ly/2YDJXhK
Altura
h
Base
π r 2h
3
4
V = π r3
3
Conocemos la altura pero no el volumen. Por lo tanto, la expresión es:
V=
114
6 268π r 2
3
Archivo Editorial, (2020).
Tema 6
Ejemplo 1
Conexiones
Calcular el volumen de los cuerpos geométricos.
a)
h = 12 cm
Matemática con
industria
b)
Los silos
Shutterstock, (2020). 566160880
Archivo Editorial, (2020).
h = 15 cm
ap = 6,9 cm
4,5 cm
10 cm
4,5 cm
Solución
a) Se trata de una pirámide cuadrangular. Reemplazamos los datos conocidos
A ⋅h
en la fórmula V = base
3
( 4,5 cm )
V=
2
⋅12 cm
3
= 81 cm 3
b) Es un prisma rectangular, por tanto, reemplazamos los datos en la fórmula
V = Abase ⋅ h
V=
5 ⋅10 cm ⋅ 6,9 cm
P ⋅ ap
⋅h =
⋅15 cm =2 587,5 cm 3
2
2
Ejemplo 2
Calcular el volumen del líquido depositado en el recipiente.
Son grandes tanques
que sirven para
almacenar granos
y semillas.
La forma cónica inferior
resulta apropiada
para descargar lo
almacenado del tanque.
Por su forma
geométrica, resultan
muy útiles al momento
de saber acerca del
volumen de semillas
o granos almacenados.
R
2R
Debemos restar el volumen de la
esfera del volumen del cilindro.
R = 30 cm
De acuerdo con el gráfico, el radio de la esfera y de la base del cilindro es 30 cm
y la altura del cilindro es 60 cm.
Vlíquido =Vcilindro −Vesfera
4
Vlíquido = π (30 cm )2 (60 cm ) − π (30 cm )3
3
3
= 54 000π cm − 36 000π cm 3
Recuerda que...
Entre el volumen del
cono, la esfera y el
cilindro, se pueden
establecer relaciones
siempre que sus
medidas sean las
indicadas en el gráfico.
2r
2r
2r
2r
2r
Volumen Volumen
Volumen cono = esfera = cilindro
2
3
Archivo Editorial, (2020).
Archivo Editorial, (2020).
Solución
=18 000π cm 3
115
Taller
Evaluación formativa
1. Calcula el volumen de los cuerpos geométricos.
a)
2. Determina el volumen.
a)
h=
15 cm
a = 2,5 cm
b = 8 cm
Archivo Editorial, (2020).
Archivo Editorial, (2020).
h = 5m
a = 6m
b)
6m
20 cm
h
3m
Archivo Editorial, (2020).
Archivo Editorial, (2020).
b)
c)
Archivo Editorial, (2020).
12 cm
h = 50 cm
r = 15 cm
c)
Archivo Editorial, (2020).
200 mm
116
ap = 96,67 mm
80 mm
Archivo Editorial, (2020).
d)
20 cm
24 cm
M.4.2.21. Calcular el volumen de pirámides, prismas, conos y cilindros aplicando las fórmulas respectivas.
2m
6m
2m
Archivo Editorial, (2020).
3m
Archivo Editorial, (2020).
4. Calcula el volumen del cono libre del cilindro.
d)
12 m
4m
10/3 m
5m
3. Calcula el volumen del cuerpo geométrico inscrito.
5. Resuelve.
Vcubo = 64 m3
Una empresa farmacéutica ha elaborado cápsulas
que serán colocadas en un recipiente cilíndrico de
diámetro de 5 cm y de altura 8 cm. Si la forma y las
medidas de las cápsulas se muestran en la figura,
¿es verdad que se pueden colocar 200 cápsulas
en el recipiente? Justifica tu respuesta.
15 mm
b)
Archivo Editorial, (2020).
6
mm
Archivo Editorial, (2020).
Archivo Editorial, (2020).
a)
Vcubo = 5 832 cm 3
Archivo Editorial, (2020).
c)
________________________________________
________________________________________
Vcubo = 343 dm 3
________________________________________
________________________________________
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
6. Trabajen en parejas y resuelvan.
7. Investiga la fórmula para calcular el volumen
de un cono truncado. Formula un problema
y expón el proceso de cálculo de su volumen.
Calculen el volumen de un cono de altura y
diámetro 10 cm, una esfera de diámetro 10
cm y un cilindro de altura y diámetro 10 cm.
Comprueben que se cumplen las relaciones
entre sus volúmenes.
117
Estrategias para resolver problemas
Hacer un gráfico tridimensional
Problema resuelto
Problema propuesto
Calcular la medida de la línea diagonal de un
prisma cuadrangular que va de un vértice superior
a uno inferior. La arista de la base del prisma mide
20 cm y la altura, 60 cm.
Calcular la medida de la línea diagonal de un
prisma hexagonal que va de un vértice superior a
uno inferior. La arista de la base del prisma mide
2 m y la altura, 6 m.
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿De qué cuerpo geométrico se calculará la diagonal? Prisma cuadrangular.
¿Cuánto mide la arista de la base del prisma? 20 cm
¿Cuánto mide la altura del prisma? 60 m
2. Fijar una estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
Archivo Editorial, (2020).
Realizamos un dibujo en tres dimensiones, es decir, lo hacemos con perspectiva. Ahí dibujamos la
diagonal y observamos cómo obtener su medida.
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
60 cm
90º
El gráfico permite visualizar
dos triángulos rectángulos:
uno en la base, donde
calcularemos la diagonal
que es el cateto del
segundo triángulo, donde
está la diagonal requerida.
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿De qué cuerpo geométrico se calculará la diagonal?
_________________________________________
¿Cuánto mide la arista de la base del prisma? _______
¿Cuánto mide la altura del prisma? _____________
2. Fijar una estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
90º
20 cm
________________________
20 cm
d
60 cm
D
20 cm
d
________________________
________________________
________________________
________________________
d = (20 cm ) + (20 cm ) = 20 2 cm
2
D=
(60 cm )
2
2
(
+ 20 2 cm
)
2
= 20 11 cm
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
La diagonal mide 20 11 cm .
118
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
1. Calcula la medida de la línea diagonal de un prisma hexagonal que va de un vértice superior a uno
inferior. La arista de la base del prisma mide 12 cm
y la altura, 18 cm.
2. Calcula la medida de la línea diagonal de un prisma hexagonal que va de un vértice superior a uno
inferior. La arista de la base del prisma mide 8 cm y
la altura, 10 cm.
a) Comprender el problema
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
d) Responder
_____________________________________
_____________________________________
3. Calcula la medida de la línea diagonal de un prisma
cuadrangular que va de un vértice superior a uno
inferior. La arista de la base del prisma mide 36 cm
y la altura, 40 cm.
4. Calcula la medida de la línea diagonal de un prisma cuadrangular que va de un vértice superior a
uno inferior. La arista de la base del prisma mide
24 cm y la altura, 32 cm.
a) Comprender el problema
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
d) Responder
_____________________________________
_____________________________________
119
Proyecto
Aproximando medidas importantes
Nuestro país ha sido la sede por tres ocasiones de la visita de
científicos franceses para realizar mediciones con respecto a
la Tierra. La última de las misiones logró medir con exactitud,
usando satélites, la altura del Chimborazo. Con estas mediciones
se concluye que nuestro nevado medido desde el centro de
la Tierra es el punto más elevado del planeta. Si la Tierra fuera
completamente redonda, esto no sucedería. Pero como es
ensanchada en la línea equinoccial, la realidad incuestionable
es que en nuestro territorio se encuentra el mencionado punto.
Objetivo
Calcular el volumen de la Tierra aproximando su forma a la de una esfera.
Recursos
•
Hojas
•
Computador
•
Pliegos de papel bond
Actividades
•
Investiga sobre los objetivos primordiales de cada una de las misiones geodésicas francesas. ¿Cómo se
llega a determinar que el Chimborazo, a pesar de ser más pequeño que el Everest, resulta ser el punto más
elevado del mundo?
•
Investiga sobre el radio de la Tierra.
•
Investiga sobre los nombres de otros científicos que hayan sido reconocidos por academias de ciencias
o que hayan sido galardonados por sus trabajos.
Evaluación
1. Elabora un díptico que será entregado en la unidad educativa en la que estudias. El díptico contendrá
la siguiente información:
Página 1. Título: En el Ecuador se hizo y se hace ciencia. Contenido: collage con las imágenes de científicos
ecuatorianos con sus nombres.
Página 2. Resumen de los aspectos importantes y los objetivos de las tres misiones geodésicas
francesas.
Página 3. Dibujo esquemático de la forma aproximada de la Tierra superpuesta la imagen verdadera
con la explicación gráfica de por qué el Chimborazo es el punto más alto del planeta a pesar de que el
Everest es el monte más alto del mundo. Incluir las alturas de estos dos colosos e indicar por cuántos
metros el Chimborazo resulta ser más alto desde el centro de la Tierra.
Página 4. Gráfico de la Tierra con su forma esférica aproximada y el cálculo de su volumen aproximado.
2. Reproduce el díptico para distribuirlo entre los estudiantes de la unidad educativa.
120
Shutterstock, (2020). 157201103
Justificación / problemática
Desarrollo del pensamiento
Calculando perímetros y áreas
Determina la superficie y el perímetro de las áreas sombreadas en cada caso.
x
x
x
x
x
x
x
Archivo Editorial, (2020).
x
Cálculo mental
Multiplicación de un número por 1,25
Ahora hazlo tú
Estrategia: multiplicar un número por 1,25 equivale
a sumar el número con su cuarta parte.
a) 20 × 1,25 =
h) 18 × 1,25 =
b) 8 × 1,25 =
i) 24 × 1,25 =
c) 32 × 1,25 =
j) 36 × 1,25 =
d) 22 × 1,25 =
k) 52 × 1,25 =
e) 14 × 1,25 =
l) 72 × 1,25 =
f) 50 × 1,25 =
m) 56 × 1,25 =
g) 66 × 1,25 =
n) 26 × 1,25 =
30
4
= 30 + 7,5 = 37,5
30 × 1,25 = 30 +
121
Recuerda y practica
1. Resuelve.
3 4
2 3
b) P3 × P4 + 2P1 −P2
2
2
1
2 2 5 2 +
3
3
(
)
(
3
12 + 27
)
5. Resuelve.
a)
(
6x 2 (4 x 2 1) 3 2x 3 x 2 2x
)
2x 5
2. Racionaliza.
6
10 − 2
b)
3. Encuentra el valor numérico para a = –2; b = 2.
(3x
4
)(
− 5x 2 + 2x 4 + 6x −7 + x 2 + −5x − 4 − 5x + 2+7x 2
(
)
c) De 3x 2 − 4 x 5 + 3x 4 − x 3 − 3− x restar
6x − 2x + 3x −12 − 5x
5
a 2 − 4 ab + b 2
a3 + b3 − 1
d)
( −3x
3
3
)(
4
)
+ 2x 2 + 4 x −1 ⋅ 2x 2 + 4 x + 3 =
4. Realiza las operaciones indicadas con los siguientes polinomios:
P1 : −3a 3 − 2a + 4 P2 : 2a 2 − 0,5a − 0,75
P3 : −5a + 0,25 P4 : a 3 − 3a + 2
a) P₂ – 2P₃ + P₄
122
e) De la suma de 2x 2 − 5x 4 + 3x +1 y
x 5 − 3 x 3 + x − 3 , restar x − 2 x 2 + 4 x 3
)
f)
(2 x
2
)(
− 5x 5 − 3 − x 2 x 5 − 2 x + 3x 2 − 5x 4
)
6. Efectúa los productos notables.
1 2 2
a
b
5
3
a)
g)
(2 x − 3y )
2
=
b) 2r 2w − s
(
)
2
6
c) ( x + 1)2 − (2 x − 3)2
2
9⎞
⎛2
h) ⎜ x + ⎟ =
⎝3
4⎠
d)
1 2
y 6z
2
1 2
y + 8z
2
2
i)
⎛ 3x y ⎞
⎜⎝ + ⎟⎠ =
4 3
7. Calcula el volumen.
a)
2m
h = 1,5 m
50 cm
⎛ a 2b 2
xy ⎞ ⎛ a 2b 2
xy ⎞
+
⎜⎝ xy a 2b 2 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ xy − a 2b 2 ⎟⎠ =
b)
4 cm
r
h = 15 m
j)
123
Aplico en la vida cotidiana
Tema: Un negocio nuevo
Volumen de sólidos geométricos
Situación cotidiana
En varias ocasiones, antes de tener un negocio, se debe elaborar un presupuesto de gastos y estudio de
mercado sobre el negocio que se desea emprender, así como buscar diferentes estrategias para ofrecer un
buen servicio al cliente.
1.
2.
3.
Envases 1 y 2: el diámetro de la base es de 8 cm y la altura, de 12 cm. Envase 3: Tiene dos caras cuadradas de 6
cm de lado y altura 12 cm.
Reflexiona
•
¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre los tres envases?
________________________________________________________________________________________
•
Comprueba la respuesta.
•
Si Vinicio escogiera el envase que tiene menor capacidad, ¿cuántos metros cuadrados de cartón tendrá que
comprar si tiene que elaborar 100 unidades?
Resuelve la situación
•
124
Raúl tenía un tanque de reserva de agua que tenía forma de prisma; luego cambió por un tanque que
tiene el doble de los lados de la base y la misma altura. Si con el primer tanque pagaba 8 USD por el agua
consumida, ¿cuánto pagará con el nuevo tanque? El nuevo tanque mide 1 m de ancho; 1,40 m de largo; y
0,90 m de profundidad.
Shutterstock, (2020). 504013822,
72298076, 1114428194
Para abrir una tienda de comida rápida, Vinicio arma envases de distintas formas para llenarlos de papas fritas,
todos con el mismo largo. Si Vinicio desea brindar un buen servicio a sus clientes y quiere conocer qué envase
tiene mayor capacidad, ¿cuál debe elegir?
Tema: Estructuras metálicas
Aplicación de teorema de Pitágoras y semejanza
Situación cotidiana
Las construcciones, en la actualidad, utilizan estructuras metálicas que deben ser lo suficientemente resistentes para poder soportar el peso de la cubierta que se colocará.
Shutterstock, (2020). 1030063915
Guillermo tiene un taller donde hace estructuras metálicas. Uno de sus clientes le ha encargado preparar dos
estructuras, como se muestra a continuación. ¿Cuántos metros de tubo necesita para poder fabricarlos?
Reflexiona
•
¿Qué debes averiguar?
________________________________________________________________________________________
•
Comprueba la respuesta.
•
¿Qué estrategia utilizaste y qué conocimientos son necesarios para resolver la situación?
Resuelve la situación
En una fábrica de cajas si tienes que hacerlas sin tapa, ¿en cuál de las cajas se utiliza más cartón?
15 cm
Caja 1
Caja 2
Caja 3
m
30 cm
30
c
40 cm
45 cm
20 cm 3
0c
m
30 cm
•
125
Olimpiadas matemáticas
1. ¿Cuánto es el área de la flor formada en el hexágono? Toma en cuenta que cada lado mide 1 m.
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
2. Una cuadrícula de papel de 5 × 5, como la que se
presenta a un lado, se la quiere cortar de manera
que se obtengan piezas iguales, igual a la que se
muestra. ¿Cuál es el mayor número de piezas que
se puede obtener?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
3. ¿Con qué piezas de las siguientes se forma un
cuadrado?
4
1
2
3
5
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Recuperado de: http://www.ommenlinea.org/
126
Evaluaciones estandarizadas
4. Lee y analiza.
1. Lee y analiza.
Si al doble de la tercera parte de un número se le
agrega 8, su resultado es 32, ¿Cuál es dicho número?
Argumenta la respuesta:
Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, ¿cuántos elementos
tendría la intersección del conjunto de números
primos?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 30
c) 32
b) 28
d) 36
Escoge la respuesta correcta.
2. Lee y analiza.
En una planta avícola hay gallinas, gallos y patos.
Sin contar las gallinas, hay 24 aves; sin contar los
gallos, hay 36 animales; y, sin contar los patos, hay
28 animales. ¿Cuál es el número de gallos?
a) 8 elementos
c) 4 elementos
b) 5 elementos
d) 3 elementos
5. Lee y analiza.
¿Qué número puede ubicarse entre
Argumenta la respuesta:
3 7
y ?
5 9
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 4 gallos
c) 8 gallos
b) 6 gallos
d) 10 gallos
3. Lee y analiza.
Completa la serie y responde: ¿cuánto es (A + B)2?
A
5
20
3
8
24
5
B
30
4
5
6
b)
5
a)
2
3
7
d)
3
c)
6. Lee y analiza.
Seis amigos se reparten una caja de chocolates; a
cada uno le toca 15 chocolates. ¿Cuántos chocolates corresponde a cada uno si aumentan 3 amigos más?
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 16
c) 81
b) 100
d) 144
Escoge la respuesta correcta.
a) 8 chocolates
c) 12 chocolates
b) 10 chocolates
d) 15 chocolates
127
10. Lee y analiza.
7. Lee y analiza.
Un albergue de animales tiene alimento para
mantener a 15 animales durante 6 días. ¿A cuántos animales se podrá alimentar con la misma
cantidad de comida durante 9 días?
La tabla que se muestra a continuación resume
los resultados de dos equipos de fútbol. Si el
próximo partido se juega de local, ¿cuál es la probabilidad que el equipo gane?
Argumenta la respuesta:
Ganados
Perdidos
Local
24
5
Visitante
18
6
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 9 animales
c) 12 animales
b) 10 animales
d) 13 animales
8. Lee y analiza.
Si mi padre conduce a 60 km/h y tarda 25 minutos en llegar a mi colegio, ¿cuánto demorará si va
a 80 km/h?
Escoge la respuesta correcta.
5
24
a)
c)
24
5
29
24
b)
d)
100
29
11. Lee y analiza.
Argumenta la respuesta:
Una florista recoge flores y lleva un registro de la
cantidad que recoge diariamente hasta el fin de
semana. Si inició el lunes con 19 flores, ¿cuántas
recogió hasta el sábado?
Escoge la respuesta correcta.
a) 16´30´´
c) 15´
b) 18´45´´
d) 20´30´´
9. Lee y analiza.
19 - 25 - 37 - 55 - 79 ______
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
El bus del colegio cobra 3 USD por kilómetro recorrido. ¿Cuánto tendrá que cobrar a la semana si
cada día recorre 94 km?
Argumenta la respuesta:
a) 324
c) 109
b) 140
d) 450
12. Lee y analiza.
¿Qué números completan la serie?
4, 7, 13, 22, 34, ______, ______
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
128
a) 1 510 dólares
c) 1 410 dólares
b) 1 140 dólares
d) 1 210 dólares
Escoge la respuesta correcta.
a) 46 y 58
c) 45 y 56
b) 49 y 67
d) 68 y 136
13. Lee y analiza.
Nombre del estudiante: __________________
Luisa compra un televisor y paga 918,40 USD, con
el IVA incluido según la factura. ¿Cuánto costó el
televisor antes de agregar el impuesto?
________________________________________
Argumenta la respuesta:
Fecha: _________________________________
Grado: _________________________________
Instrucciones
Correcto
Incorrecto
Escoge la respuesta correcta.
a) 906,40
c) 820,00
1. Pinta totalmente los círculos.
b) 900,00
d) 800,00
2. No hagas marcas fuera del círculo.
14. Lee y analiza.
La suma de las líneas del triángulo suman 10,
¿cuánto es (A + B + C)2?
3. En caso de concluir antes de tiempo, revisa
los ejercicios en los que hayas tenido dudas.
1)
A
B
C
D
2)
A
B
C
D
3)
A
B
C
D
4)
A
B
C
D
5)
A
B
C
D
6)
A
B
C
D
7)
A
B
C
D
8)
A
B
C
D
9)
A
B
C
D
¿Cuánto es el 20 % del 50 % de 1 800?
10)
A
B
C
D
Argumenta la respuesta:
11)
A
B
C
D
12)
A
B
C
D
13)
A
B
C
D
14)
A
B
C
D
15)
A
B
C
D
1
A
3
B
C
5
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 121
c) 81
b) 100
d) 144
15. Lee y analiza.
Escoge la respuesta correcta.
a) 360
c) 180
b) 450
d) 160
129
Compruebo mis aprendizajes
Evaluación sumativa
M.4.1.24. Operar con polinomios de grado ≤2 (adición y producto por
escalar) en ejercicios numéricos y algebraicos.
M.4.1.32. Calcular expresiones numéricas y algebraicas usando las
operaciones básicas y las propiedades algebraicas en ℝ.
6. El polinomio que se obtiene al multiplicar −3ax 2
Sobre los polinomios:
con x 4 − 2 x 2 + 1 es:
P1 : 3 x 4 + 2 x 3 − 1
P2 : − 6 x 3 + 4 x 2 − x
P3 : 2 x 2 + 3 x − 2
a) −3ax 4 + 6ax 3 − 3ax
b) −3 x 5 + 6 x 4 − 3 x 2
c) 3ax 5 − 6ax 4 + 3ax 2
1. La suma de P1 y P2 es:
d) −3ax 6 + 6ax 4 − 3ax 2
a) 9 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − x − 1
7. El área de la figura es:
b) −6 x 3 + 4 x 2 − x − 1
2x − a
c) 3 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − x − 1
d) −6 x + 6 x + x − 2
3
2
2. La resta de P3 de P2 es:
a) −6 x 3 + 2 x 2 − 4 x + 2
b) 6 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 2
3
d) 3 x 4 − 2 x 2 + 1
2
a) −2a − a − 2
2
c) 2a + a + 2
2
b) a + 3ax + 4
2
d) a + 3a + 4
1 y escoge
4. Selecciona el monomio factor para que se
1
3
) 4 a −2b2 = a3
cumpla la igualdad 2a b (
a) 1 a 3b 3
2
c) 1 ab −3
2
b) 2ab 2 −3
d) 2a b
130
c) 4
d) 2 x 2 + ax + a 2
a) 3 x 3 + 7 x 2 − 9 x
c) 5 x 3 + 5 x 2 − 9 x
b) 3 x 3 + 7 x 2 − 9
d) 5 x 2 + 5 x − 9
)
y
9. Relaciona la columna de los productos con
sus desarrollos. Luego selecciona la respuesta
correcta.
1)
(2 x − 3)(2 x + 3)
a) 4 x 2 − 2 x − 6
2)
(2 x − 3)2
b) 8 x 3 − 36 x 2 + 54 x − 27
3)
(2 x − 3)(2 x + 2)
c) 4 x 2 − 12 x + 9
4)
(2 x − 3)3
d) 4 x 2 − 9
a) 1d, 2a, 3c, 4b
c) 1a, 2b. 3d, 4c
d) 1d, 2c, 3a, 4b
multiplicar el polinomio 3 y 3 − 2 y 2 + 5 y − 3 con:
b) 2
b) 2 x 2 + ax − a 2
b) 1c, 2d, 3b, 4a
5. El polinomio −8 y 2 + 12 y 3 − 12 + 20 y se obtiene al
a) –4
c) 2 x 2 + 3ax + a 2
(
2
1 2
3
2a + 3+ a 2
3. Resuelve a 2 a
2
la respuesta correcta.
a) 2 x 2 + 3ax − a 2
2
2
8. Resuelve x x x ( x 1) + 3 x + 2x 3
escoge la respuesta correcta.
c) 3 x + 2 x − 2 x − 3 x + 1
4
x+a
d) –2
10. Al simplificar la expresión ( x − 3y )( x + 3y ) − (2x − y ) ,
2
se tiene:
2
a) xy − 10 y
c) −3x 2 + 4 xy − 10 y 2
2
b) 6 x + 7 xy
2
2
d) 6 x − 10 y
11. Los números que pertenecen a la cuarta fila del
triángulo de Pascal son:
a) 1
4
6
4
b) 1
3
3
1
c) 1
2
1
d) 1
5
10
10
5
1
12. El desarrollo del binomio ( 2 y − 1) es:
I.ECA.X.X.X. Xxxx
14.
El volumen del cubo, libre del volumen del
cilindro medida en dm3, es:
Archivo Editorial, (2020).
M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar
I.ECA.X.X.X.
factores de Xxxx
expresiones algebraicas.
4 dm
64 − 16π
c) 16π − 64
b) 64 + 16π
d) 16π + 64
a)
5
5
4
3
2
a) 32 y + 5 y + 10 y + 10 y + 5 y + 1
5
4
3
2
b) 32 y + 80 y + 80 y + 40 y + 10 y + 1
15. El volumen del cuerpo geométrico es:
c) 32 y − 5 y + 10 y − 10 y + 5 y − 1
4
3
2
h=3m
5
4
3
2
d) 32 y − 80 y + 80 y − 40 y + 10 y − 1
M.4.2.21. Calcular el volumen de pirámides, prismas, conos y cilindros
aplicando las fórmulas respectivas.
1m
5m
4m
10 m
Coevaluación
Archivo Editorial, (2020).
5
Resuelvan en pareja los siguientes ejercicios.
13. La razón entre el volumen del cilindro y el volumen de la esfera es:
1
3
a)
c)
x
2
2
a) 70 m3
c) 60 m3
b) 80 m3
d) 100 m3
2x
b)
2x
2
3
d)
1
3
Autoevaluación
16. Pinta según la clave.
Puedo ayudar a otros
Resuelvo por mí mismo
Necesito ayuda
Estoy en proceso
Sumo y resto polinomios.
Multiplico polinomios.
Resuelvo operaciones combinadas.
Contenidos
Desarrollo productos notables.
Comprendo la estructura del triángulo de Pascal.
Aplico el teorema del binomio.
Calculo el volumen de poliedros y cuerpos redondos.
Metacognición
• Planteé al docente las preguntas necesarias para aclarar mis dudas.
• Participé motivado y activamente en los trabajos colaborativos y actividades indagatorias.
• Relacioné oportunamente los conocimientos adquiridos con situaciones de mi entorno.
131
unidad
4
La Matemática en la radiación solar
El sol emite energía. Esta viaja en forma de ondas llamadas electromagnéticas. Algunas de ellas atraviesan la
atmósfera y son absorbidas por la superficie terrestre y todos los objetos que en ella se encuentran, incluidos
nosotros.
De acuerdo con la cantidad de energía que transportan, las ondas pueden ser muy energéticas (como los rayos gamma, rayos X y ultravioleta) y de menos energía (como los infrarrojos, microondas y las ondas de radio).
Las ondas llamadas de espectro visible son las que pueden ser percibidas por el ojo humano y corresponden
a la luz.
LUZ VISIBLE
A
ND
O
O
CR
MI
O
DI
A
R
a
nd
o
de
Shutterstock, (2020). 569708209
d
itu
g
n
a
Lo
gí
er
n
E
132
JOS
O
R
RAR
INF
UV
Preguntas generadoras
•
Al comparar la frecuencia de las ondas electromagnéticas, ¿cuáles
son las ondas que tienen mayor frecuencia?
•
Investiga que tipo de ondas son dañinas para la piel de los seres
humanos.
Álgebra
y funciones
• División sintética. Cocientes
notables
• Factor común monomio y factor
común polinomio
• Factorización de trinomios.
Factorización de polinomios
(por agrupación de términos,
de trinomio cuadrado perfecto)
• Aplicaciones de la factorización:
Trinomios de la forma x 2 + bx + c
Trinomio de la forma ax 2 +bx +c
Diferencia de cuadrados
perfectos
Trinomio cuadrado perfecto
por adición y sustracción
• Factorización de la diferencia
o suma de cubos perfectos.
Estadística
y probabilidad
• Medidas de tendencia central
para datos agrupados
X-R
AY
GA
MM
A
No
Vo
ltio
nó
m
sd
et
ee
ro
lec
tró
n
Objetivos:
O.M.4.1. Reconocer las relaciones existentes entre los conjuntos de números
enteros, racionales, irracionales y reales; ordenar estos números y operar con
ellos para lograr una mejor comprensión de procesos algebraicos y de las
funciones (discretas y continuas); y fomentar el pensamiento lógico y creativo.
O.M.4.2. Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y
distributiva; las cuatro operaciones básicas; y la potenciación y radicación
para la simplificación de polinomios, a través de la resolución de problemas.
Gradiente
OG.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita,
verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de
conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto
de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender
las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con
responsabilidad social.
133
Tema 1
División de monomios y polinomios
Saberes previos
Realiza las multiplicaciones.
2x
3
3
b) −2a b( −6a − 3b ) =
2
-2
a) 3m (-4am )= Shutterstock, (2020). 101447341
¿Cuál es el valor del lado del panel solar, si el área está representada por la expresión
algebraica 8x 2?
Para determinar el valor del lado desconocido, procedemos a realizar una división.
Para ello contemplemos el siguiente proceso:
8x2 ÷ 2x =
Panel solar.
Dividimos los coeficientes y la parte literal aplicando la propiedad de la potenciación
de división de bases iguales.
8x2
= (8 ÷ 2)( x 2 ÷ x ) = 4 x
2x
¿Sabías qué?
Un panel solar es un
dispositivo que capta la
energía de la radiación
solar.
Los hay de dos tipos:
unos son conectores
térmicos que sirven
para calentar agua
y otros son paneles
fotovoltaicos que sirven
para generar energía
eléctrica.
Shutterstock, (2020). 115409395
En el espacio son
utilizados para
suministrar energía
eléctrica a los satélites
artificiales.
134
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, aplicamos la propiedad
distributiva de manera que obtenemos tantas divisiones de monomios como
términos tiene el polinomio. Luego procedemos a realizar cada una de ellas.
Ejemplo 1
2 2
4
2
Dividir 3 x − x − x por −2 x .
5
Solución
Expresamos la división.
2 2
x x ÷ ( 2x 2 ) =
5
3x 4
Aplicamos la propiedad distributiva.
3x 4
2 2
x x ÷ ( 2x 2 ) =
5
3x 4 ÷
(
2x 2
)
3
1 1
− x 2 + + x −1
2
5 2
2 2
x ÷
5
(
2x 2
)
x÷
(
2x 2
)
División entre polinomios
Para dividir un polinomio por otro, es recomendable ordenarlos en forma descendente, y colocarlos en una galera. Una vez colocados así, dividimos el primer
término del polinomio para el primer término del polinomio divisor, al cociente
lo multiplicamos por los términos del polinomio divisor, cambiamos de signo a
estos términos y procedemos a sumar algebraicamente el polinomio obtenido.
Repetimos el proceso hasta que el polinomio residuo obtenido sea de menor
grado que el polinomio divisor.
Recuerda que...
Si un polinomio
es incompleto,
es recomendable
completarlo.
0,1x 3 − 0,5x 2 + 0x + 4
−0,1x 3 − 0,3x 2
x +3
0,1x 2 − 0,8x + 2, 4
− 0,8x 2 + 0x + 4
0,8x 2 + 2, 4 x
2, 4 x + 4
− 2, 4 x − 7,2
− 3,2
Ejemplo 2
Dividir 4 x 4 − 5 x + x 2 + 2 + x 3 por −1+ x .
Solución
Ordenamos los polinomios al tiempo que los colocamos en una galera:
4 x 4 + x 3 + x 2 − 5x + 2
x −1
Dividimos 4x 4 por x y colocamos el resultado debajo del polinomio divisor:
4 x 4 + x 3 + x 2 − 5x + 2
x −1
4x3
Multiplicamos 4x 3 por x – 1 y al polinomio resultante lo colocamos con signo
contrario debajo del polinomio dividendo:
4 x 4 + x 3 + x 2 − 5x + 2
x −1
−4 x 4 + 4 x 3 4x3
Sumamos algebraicamente y repetimos el proceso hasta obtener 0 o un polinomio
de menor grado que el polinomio divisor:
4 x 4 + x 3 + x 2 − 5x + 2
x −1
−4 x 4 + 4 x 3 4 x 3 + 5x 2 + 6x + 1
5x + x − 5x + 2
3
2
−5x + 5x
3
2
6x 2 − 5x + 2
−6x 2 + 6x
x +2
DFA
El comportamiento y las
formas de hablar suelen
variar de persona a
persona. Es importante
respetar el estilo que
cada persona tenga a
la hora de hablar y de
comportarse.
Me refuerzo
Imprime la página 5
del siguiente link web
y practica división de
polinomios.
bit.ly/33b72YK
Enlace web
Amplía tu
conocimiento y
practica operaciones
con polinomios en el
siguiente enlace web:
bit.ly/336AmiW
−x + 1
3
135
Taller
Evaluación formativa
1. Obtén los siguientes cocientes.
3. Divide.
3
2
a) (16x − 8x + 4 x ) ÷ 2x =
2 2 4
a) 3 x y z ÷ xyz =
2 2
b) −8 y z ÷ 2 yz =
2 5
2 3
c) 16 a b c ÷ 8 a b =
b)
( 2x
c)
(−50x
d)
(36a b
− 9a 4 b 4 + 81a 3b 5 + 27a 2b 6 ÷ 9a 3b 2
e)
( −49 x
+ 21x 4 − 63 x 2 + 7 x ÷ 14 x
2
− 3x + 1) ÷ 4 x =
8 3
d) 7w y ÷ 2 yz =
e) 0, 4 x 6 y 5 z 4 ÷ 0,2 x 6 y 3 z =
f)
3 −4 2 1 3 −6
a b ÷ ab =
5
3
g)
11 5 3
mn ÷
2
9 3 2
mn
2
4
y 2 − 25x 3 y + 15x 2 ) ÷ 5xy
5 3
)
h) 0,3 x 4 y −2 ÷ 0,5 y −6 z
i)
−
144
÷ 12am2 n =
mn
6
)
2. Divide los monomios:
a) 72a 2mb 3n ÷ 8a 2mb 2 n =
b) 222 x y ÷ 37 x y =
2a
a
a
2a
−2
−3
−4
−2
f) (0,14m − 0,21m − 0,63m ) ÷ (−0,7m )
c) 27a 3 x b 2 x ÷ 9a x b x =
3m m
4 m −2 m
d) 8 x y ÷ 56 x y =
g)
8 5 2 2 3 3 5 2 4
7
ab + ab
a b ÷ a 2b 2
3
6
9
18
e) −18 x m+1z n ÷ 6 x m−1z n+1 =
− m+ 2
b ÷ 0,5am−2 =
f) 0,25a
h)
g)
3 2m−2 n−1 1 3 2
x
y ÷ x y =
8
4
h) 16 x 3 − 8 x 2 + 4 x ÷ 2 x =
136
17 2
xy
3
5 3 3 7 4 4
2
x y + x y ÷ x2y
4
5
3
M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.
5. Realiza las divisiones entre polinomios.
4. Encuentra el cociente.
a)
( 2x
b)
(3 y + 4 y − 2 y
+ 4 x ) ÷ 2x =
5
(6z
c)
2
6
3
2
)÷y =
2
a)
(6 x
2
− 3 x + 2 ÷ ( 2 x + 1) =
)
b)
(4 x
4
− 6 x 3 + 3x − 1 ÷ x 3 − 3 =
c)
(2 y
3
+ 9 y 2 + 5 y − 6 ÷ ( 2 y + 3)
) (
)
)
y + 18z 4 y 3 ) ÷ 6z 4 y =
1 ⎞
⎛ 5 3 1 2 5 2⎞ ⎛ 1
d) ⎜ a + a b + ab ⎟ ÷ ⎜ a − b ⎟
⎝3
⎠ ⎝2
16
2
4 ⎠
d)
(81a b
2 5
)
+ 9 a 5b 2 ÷ 9 a 2 b 2 =
e)
1 2 1 3 1 2
x
x ÷ x =
e)
2
2
4
(x
2a+3
) (
+ 2 x 2 a + 2 + 2 x 2 a +1 + x 2 a ÷ x a + x a −1
)
6. Calcula la base de la figura.
f)
(x
2m +1
− x m −1) ÷ x m =
x+4
A = 2x 2 + 5x − 12
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
8. Investiga el proceso de división de polinomios
por coeficientes separados. Expón ante la clase
con un ejemplo.
Calculen el área de un prisma cuadrangular
cuyo volumen es:
8a 3 + 4 a 2b − 2ab 2 + b 3 y cuya altura es 2a + b .
137
Tema 2
División sintética. Cocientes notables
Desequilibrio cognitivo
¿Cuál es el factor que hace posible cada producto?
Shutterstock, (2020). 370588907
(a + b)
1
3
x − y2
2
4
= a2 − b2
=
1 2 9 4
x − y
4
16
En la fabricación de un microondas, se ha considerado la expresión algebraica
x 3 + x 2 − 5 x − 2 para representar su volumen, y el binomio x − 2 para representar
su altura. ¿Cuál es la expresión que representa el área de su base?
Horno de microondas.
Para determinar la expresión algebraica que representa el área de la base del
microondas, debemos dividir la expresión del volumen para la expresión de la
altura.
Esta división puede ser realizada utilizando la división sintética, la cual es
recomendable usar en polinomios P(x), ordenados en forma descendente, que van
a ser divididos entre binomios de la forma x ± a .
El proceso es el siguiente:
¿Sabías qué?
Las microondas no solo
son emitidas por el
sol, sino que también
pueden ser generadas
a través de dispositivos
elaborados con
elementos llamados
semiconductores, como
el silicio o arseniuro
de galio o en tubos
llamados de vacío.
Una de las aplicaciones
de este tipo de
ondas es el horno de
microondas, el cual
genera ondas en el
rango de 2,45 GHz
(gigahercios).
Escribimos los coeficientes del polinomio dividendo y el opuesto del segundo
término del polinomio divisor.
1
1
–5
–2
2
Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos por el número de la
derecha. Registramos ese producto en la segunda columna para ser sumado
algebraicamente con el número que se encuentra en esa posición. Al resultado
obtenido lo multiplicamos por el número de la derecha y repetimos el proceso
para las siguientes columnas.
1
1
1
–5
–2
2
6
2
3
1
2
0
Expresamos el cociente separando el último número obtenido. Le damos la
forma, considerando que es un grado menor al polinomio dividendo. El número
excluido es el residuo.
Cociente
1
3
1
Residuo 0.
El polinomio cociente es: x 2 + 3 x + 1 .
138
Cocientes notables
Recuerda que...
Existen ciertas divisiones cuyo cociente puede ser escrito directamente. A este tipo
de divisiones las llamamos cocientes notables.
La diferencia de dos cuadrados perfectos dividida entre la suma de las raíces
es igual a la diferencia de sus raíces. Y si la división es para la diferencia de sus
raíces, el cociente es igual a la suma de las raíces.
a2 − b2
= a−b
a+b
25 x − 64 y z
5 x 2 + 8 yz 3
4
Calcular el cociente
a2 − b2
= a+b
a−b
2 6
4
2 6
2
3
Como 25 x − 64 y z es la diferencia de dos cuadrados perfectos y 5 x + 8 yz es
la suma de sus raíces, el cociente es:
25 x 4 − 64 y 2 z 6
= 5 x 2 − 8 yz 3
5 x 2 + 8 yz 3
La diferencia de cubos perfectos dividida entre la diferencia de sus raíces
cúbicas es igual al cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos
raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 − b3
= a 2 + ab + b 2
a−b
Si por el contrario es la suma, tenemos:
a3 + b3
= a 2 − ab + b 2
a+b
Ejemplo 1
Calcular el cociente
216 p 3 − 8q3r 9
6 p − 2qr 3
Solución
La diferencia de
dos potencias de
exponentes iguales, ya
sea pares o impares,
siempre es divisible
entre la diferencia de
sus bases.
x4 − y4
= x3 − x2y2 + y3
x+y
La suma de potencias
de exponentes iguales
impares siempre es
divisible exactamente
entre la suma de sus
bases.
x5 − y5
= x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
x−y
La diferencia de
potencias de
exponentes iguales
pares siempre es
divisible exactamente
entre la suma de sus
bases.
x4 −y4
= x 3 − x 2y 2 + y 3
x +y
Una suma de
potencias iguales pares
nunca será divisible
exactamente entre la
suma de sus bases;
tampoco lo será la
diferencia de potencias
iguales impares si se
divide entre la suma de
sus bases.
3
3 9
6 p − 2qr 3 es la diferencia de los cubos perfectos 216 p − 8q r
Por lo tanto:
216 p 3 − 8q3r 9
= 36 p2 + 12 p + 4 q2 r 6
6 p − 2qr 3
139
Taller
Evaluación formativa
1. Ordena en forma descendente los polinomios;
complétalos si es necesario.
3. Realiza las siguientes divisiones por división
sintética.
a)
a) −8 x + 6 − 5 x 3 + x 4 − 6 x 2
(3a
3
)
+ 15a 2 − 34 a + 56 ÷ ( a + 7 )
b) 16 y 4 + y 7 − 7 + 4 y 3 − 5 y 2
c) 18a + 7a 3 − 4 a 4 − 6 + a 5
b)
Cociente: (30x
3
Residuo:
− 21x − 6x 4 + 5 + 4 x 2 ) ÷ ( x − 5)
d) m−4 + 2m−1 − 3m + 4 − 6m−2
2. Completa el proceso de división sintética.
a)
(6x
4
+ 3x 3 − 2x 2 + 4 x − 6) ÷ ( x − 3)
+6
+3
–2
+4
–6
Cociente: 3
+63
+21
Cociente:
Residuo:
b)
(4 y − 6y
+3
2
+187
⎛ 7
2
1
2
3
c) ⎜⎝ − m + m +
Residuo:
13 2
1
1 ⎞
m − 2 + m5 − m 4 ⎟ ÷ ( m − 2 )
4
2
4 ⎠
+555
Cociente: + 3y 3 − 4 ) ÷ ( y + 6)
–6
+4
d)
–4
Residuo:
(1+ 0,75x
2
− 0,5x 5 + 3x 3 ) ÷ ( x + 3)
–18–888
+3
+148
Cociente:
Cociente: Residuo:
c)
(−2n
1
3
+ n 4 − 160n − 12) ÷ (n − 6)
–2
+0
–160
–12
6
Residuo:
1⎞
⎛1 3 2 2 1
⎞ ⎛
e) ⎜ x − x + x +1⎟ ÷ ⎜ x − ⎟
⎝3
⎠ ⎝
9
27
3⎠
+24
+4
Cociente:
Residuo:
140
+24
–16
Cociente:
Residuo:
M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.
4. Determina el cociente.
a)
b)
c)
d)
4 a 2 − 25b 2 c 2
=
2a − 5bc
81x 2 y 4 − 64 z 6
=
9 xy 2 + 8 z 3
49a 2 y 4 − 121z 6
=
7 ay 2 + 11z 3
36m 4n 2 − 100q 2
=
6m 2n − 10q
−0,01z 2 + 0,25w 2
=
e)
0,5w + 0,1z
f)
5. Completa las expresiones para que la igualdad
sea verdadera.
a)
b)
c)
9a 4 b 2 − 25c 6
3x 2 y − z 3
= 3a 2b + 5c 3
= 9x 4 y 2 + 3x 2 yz 3 + z 6
1 4 64 2
z − p
8
1
49
9
= z2 − p
7
3
6. Desarrolla los cocientes.
a)
x6 − y6
=
x−y
27m3 − 64 n3
=
3m − 4 n
125 x 6 + 343 y 6
g)
=
5x 2 + 7 y 2
h)
216a 9 + 512b 9
=
6 a 3 + 8b 3
i)
1331y 6 − 1000 z 3
=
11y 2 − 10 z
j)
8a 3m + 27b 3n
=
2a m + 3b n
k)
0,064 x 6 a − 0,036 y 9 a
=
0, 4 x 2 a − 0,6 y 3a
b)
p 7 − 128s 14
=
p − 2s 2
c)
32 x 5 + 243 y 10
=
2 x + 3y 2
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
Demuestren que
a−b
= a + b y que
a− b
8. Investiga por qué la suma de potencias con
exponentes pares iguales no es divisible para
la suma de sus raíces.
a−b
= a− b.
a+ b
141
Tema 3
Factor común monomio y factor común
polinomio
Saberes previos
Efectúa los productos:
a( x + y + z )
A sen t
A cos t
2 xy 2 (4 xy − 5 x 2 y 3 )
( a + z )(2m + 3p )
Algunas de las expresiones matemáticas que modelan el movimiento de las ondas
que transportan energía son:
0
A sen( t ) Modelación de expresiones
algebraicas.
¿Sabías qué?
Como la energía viaja
en forma de ondas,
la matemática ha
conseguido modelar
este movimiento con
expresiones algebraicas
que expresan el
tamaño de la onda y la
frecuencia con que se
producen.
(7 y + w 2 )( x 2 − 2 y )
A cos( t )
Si A es un factor, sen( t ) es otro factor y cos( t ) es otro factor, ¿cuál es el factor
común que tienen estas dos expresiones?
Al comparar las dos expresiones, observamos que el factor común es A.
Factorización de monomios
Factorizar un monomio significa expresarlo como el producto de otros
monomios.
Ejemplo 1
Factorizar el monomio − 6x 3 y 2
Solución
Una de las tantas formas puede ser:−2 ⋅ 3 ⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ y
Factorización de polinomios que tienen un factor común
El factor común de un polinomio se forma con el mcd de los coeficientes y las
letras de la parte literal que sean comunes con el menor exponente. Una vez
conformado el factor común, dividimos cada término del polinomio para el
factor común. Los cocientes constituyen el polinomio factor.
Recuerda que...
Factorizar un polinomio
significa aplicar el
proceso inverso a la
propiedad distributiva
en la multiplicación.
Ejemplo 2
Factorizar el monomio 4 a 2b 3c 5 − 12a 3b 2 c 3 + 20a 5bc 2
Solución
El mcd de 4, 12 y 20 es 4.
En la parte literal lo común es a 2bc 2 . Por lo tanto, el factor común es 4 a 2bc 2 .
Dividimos cada término del polinomio para el factor común y obtenemos:
4 a 2bc 2 ( b 2 c 3 − 3abc + 5a 3 )
142
Ejemplo 3
Recuerda que...
Extraer el factor común de ( a − b ) xy z + ( a − b ) yz − ( a − b ) xz .
2
2
2
3
Solución
El factor común es ( a − b ) z . Dividimos el polinomio para él y obtenemos:
( a − b )z( xy 2 + yz − xz 2 ).
Si introduces términos
en un paréntesis
precedido del signo
negativo, estos cambian
de signo.
−8x 2 − 3x = −(8x 2 + 3x )
En algunos polinomios es necesario hacer agrupaciones para extraer el factor
de entre sus elementos, luego de lo cual es probable que exista otro factor
común. De ser así, el polinomio queda factorizado por agrupación.
Ejemplo 4
Factorizar el polinomio 6 x 2 + 24 x + 5ax + 20a
Solución
El primer y segundo términos tienen la letra x en común, mientras que el tercer y
cuarto términos tienen en común la letra a. Por lo tanto, los agrupamos de dos en dos.
(6 x 2 + 24 x ) + (5ax + 20 a )
Extraemos factor común en cada grupo.
6 x ( x + 4) + 5a( x + 4)
Los dos términos tienen como factor común ( x + 4). Por lo tanto tenemos:
DFA
El proceso de
aprendizaje no debe
ser una carrera de
velocidad. Cada
persona tiene su propio
ritmo y debemos
respetarlo.
( x + 4)(6 x + 5a )
Ejemplo 5
Factorizar el polinomio 12 x 3 − 2 x + 3 − 18 x 2
Solución
Conexiones
Agrupamos el primer término con el tercer término y el segundo con el cuarto.
(12 x − 18 x ) − (2 x − 3)
3
2
En el primer grupo el factor común es 6 x 2 . En el segundo, el factor común es 1,
por lo que obtenemos:
6 x 2 (2 x − 3) − (2 x − 3)
Entre los dos términos, el factor común es (2 x − 3). Al dividir tenemos:
(2 x − 3)(6 x 2 − 1)
Matemática
con la Medicina
La factorización tiene
aplicaciones muy
puntuales en los
campos de la medicina,
pues ayudan a estudiar
las redes neuronales
y hace más fácil la
comprensión de los
mecanismos cerebrales
del aprendizaje.
143
Taller
Evaluación formativa
1. Calcula el mcd de cada grupo de números.
a) 14 y 21
14
3. Encuentra el factor común.
a) 2ab + 4 a 2b =
21
b) 18m2 + 3mn =
c) 16q2 rt − 4 qr 2t =
4
2 3
d) 63 x y − 9 x y =
b) 12, 20 y 36
12
20
e) 4,9w 3z 2 + 0,7w 4 z =
36 f) 14 a 5n4 p − 28a 6 n =
3 2 6
g) 25 xyz + 75 x y z =
h) 36m7 n7 p 3 − 6m5n5 p7 =
c) 93, 72 y 66
93
72
4. Factoriza las expresiones con fracciones.
66
a) 1 a 3b 3 − 5 ab =
2
2
d) 18, 54 y 42
18
54
a) 15ax
144
4 ⋅7 ⋅ a ⋅ x ⋅ x
2
b) 96 x 3 y 2
3 ⋅ 7 ⋅ a 2 ax 2
c) 28a 2 x 2
3⋅ 6 ⋅ a ⋅ x ⋅ x
d) 27 x 5 y 4
3⋅5⋅ a ⋅ x 2
e) 18ax 2
12 ⋅ 8 ⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y 2
f) 6 x 3 y 2
2 ⋅3⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y 2
g) 21a x
3⋅9 ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y
3
2
3 11 10 9 10 11
m n + m n =
7
7
c)
18 2 4 24 4 2
x y − x y =
25
25
d)
13 5 25 52 4 24
rs + r s =
3
3
42
2. Relaciona cada monomio con su factorización.
2
b)
3
2
5. Factoriza las expresiones con coeficientes decimales.
6 6
3 9
a) 1,5x y − 0,5x y =
3
b) 0, 4m7 n − 1,6mn7 =
c) 3,2a 9b 5 + 0,8a 5b 9 =
M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización
de expresiones algebraicas.
6. Extrae el factor común de cada polinomio.
2
8. Completa la factorización.
2 3
3 2
2 2
a) −72a b − 6a b = −6a b
a) 6 x y z + 12 xyz − 4 x y z
3 2
3 3
4 5
6 2
b) −12 x y + 6 x y =
b) 15a 2b 3 − 25a 3b 4 − 20a2b 2 + 35a 5b 3
(2 y
c) −42w z + 63w z − 7w z + 21w z
7 5
3 3
− x2
)
c) −2( a + b ) − c( a + b ) = −( a + b )
d) −(m+ n)y + (m+ n)x = −
5 4
3
(y − x)
6 2
9. Factoriza por agrupación de términos.
a) 6ax + 2ay + 12bx + 4by
d)
8 6 4 16 3 2 4 5 7
a b c − ab c + a bc
9
9
9
b) m2 nx + n4 y + m2 xy + n3 y 2
e) 0,64m3n3 − 0,8m 4 n2 + 0,16m2 n4
c) 14mx 2 − 6ny + 21nx 2 − 4my
f) 6 x 3 y 2 z + 12 xyz − 4 x 2 y 3 z 3
d) 3byr + 3bty + 4 arx + 4 atx
7. Identifica el factor común y factoriza.
a)
( n + 1) x − ( n + 1) y
Trabajo colaborativo
10. Trabajen en parejas y resuelvan.
Formulen un polinomio factorizable. Intercámbienlo con otra pareja para que sea factorizado.
Expongan las resoluciones en clase.
b) 2a ( 3a − 5) + 7b ( 3a − 5)
c)
(x
m +1
)
(
)
− y n a 3 + x m+1 − y n b 3
Actividad indagatoria
d) 7m ( a + b + c ) − 8n( a + b + c )
11. Investiga la expresión algebraica que permite
calcular la distancia recorrida por un objeto
que se desplaza con movimiento rectilíneo
uniforme, factorízala y expón en clase.
145
Tema 4
Factorización de binomios
Desequilibrio cognitivo
¿Cuáles de las expresiones representa la diferencia de dos cuadrados perfectos?
a 3 − 27b 3
1
4 a2 − b2
9
512 x 3 + 1
a 2 − 100
4 a 2 + 81b 2
Shutterstock, (2020). 704186575
La red de comunicación celular comprende algunos elementos, entre ellos el de
acceso al público (el teléfono celular). En el diseño de un teléfono celular se ha
2
2
considerado la expresión x − y para representar el área de su parte rectangular
frontal. ¿Es posible encontrar una expresión que represente su largo y otra que
represente su ancho?
Red de comunicación.
Si recordamos los productos notables, observaremos que cuando multiplicamos
la suma de dos términos por su diferencia, obtenemos la diferencia de sus cuadrados. Como la factorización es un proceso contrario a la multiplicación, podemos
decir que:
x 2 − y 2 es igual a ( x + y )( x − y ).
Por lo tanto, diremos que la expresión que representa al largo es
x + y y la que representa al ancho es x – y.
¿Sabías qué?
Varias frecuencias de
ondas de radio se usan
para la televisión y
emisiones de radio FM
y AM, comunicaciones
militares, teléfonos
celulares, redes
inalámbricas de
computadoras y otras
numerosas aplicaciones
de comunicaciones.
La diferencia de dos cuadrados perfectos es igual a dos factores; uno constituye la
suma de las raíces cuadradas y el otro, la diferencia de esas raíces.
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
Ejemplo 1
Factorizar 16 x 2 − 49 y 2
Solución
2
Comprobamos que 16 x 2 y 49 y sean cuadrados perfectos, es decir, calculamos
sus raíces cuadradas exactas.
2
De 16 x es 4 x y de 49 y 2 es 7 y .
Como tales raíces existen, factoramos aplicando la regla:
Shutterstock, (2020). 556931986
16 x 2 − 49 y 2 = (4 x + 7 y )(4 x − 7 y )
146
Ejemplo 2
Recuerda que...
Factorizar
Toda suma de
potencias pares puede
ser factorizada si puede
convertirse en suma de
cubos.
a) 81a 4 − b 4
b) (x + y)2 − ( z − w )2
Solución
2 23 3
a 6 + ba6 6=+(ba62 )=3 +
( a(b
) )+ (b2 )3
a) 81a − b = (9a + b )(9a − b )
4
4
2
2
2
2
2
4 2
2 2
4
= ( a2 +
= b( a 2)(+a b−
)(aa b4 −+ab2b 2) + b 4 )
Uno de los factores contiene otra diferencia de cuadrados.
a 4 + b 4 no es
Al factorizar tenemos:
factorizable, pues no
puede convertirse
en suma de cubos
perfectos.
81a 4 − b 4 = (9a 2 + b 2 )(9a 2 − b 2 )
= (9a 2 + b 2 )(3a + b )(3a − b)
Diferencia de bases
con exponentes pares
2
2
b) (x + y) − ( z − w ) = [(x + y) + ( z − w )][(x + y) − ( z − w )]
= ( x + y + z − w )( x + y − z + w )
Diferencia de cubos
a 4 − b 4 = ( a − b )( a 3 + a 2b + ab 2 + b 3 )
a 4 − b 4 = ( a − b )( a 3 + a 2b + ab 2 + b 3 )
Suma de bases con
exponentes impares
La diferencia de cubos es igual a dos factores: uno contiene la diferencia de
sus raíces cúbicas y el segundo, la suma del cuadrado de la primera raíz con el
a 5 + b 5 = ( a + b )( a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4 )
producto de las dos raíces y con el cuadrado de la otra raíz.
a 5 + b 5 = ( a + b )( a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4 )
a 3 − b 3 = ( a − b )( a 2 + ab + b 2 )
Diferencia de bases
con exponentes
impares
Ejemplo 3
a 5 − b 5 = ( a − b )( a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab 3 + b 4 )
Factorizar x 3 − 64 y 6
a 5 − b 5 = ( a − b )( a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab 3 + b 4 )
Solución
x 3 64 y 6 = x 3
(2y)2
3
= (x 4 y 2 )(x 2 + 4 xy 2 +16y 4 )
Suma de cubos
La suma de cubos es igual a dos factores: uno contiene la suma de sus raíces
cúbicas y el segundo, el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las
dos raíces más el cuadrado de la otra raíz.
a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 − ab + b 2 )
Ejemplo 4
Factorizar
1 9
x + 729 y 3
8
Solución
1 9
1
x + 729y 3 = x 3 + 9y
8
2
1 6 9 3
x
x y + 81y 2
4
2
147
Taller
Evaluación formativa
1. Extrae la raíz cuadrada de cada término.
c) −324 z 6 + 1=
a) 36 x 2
b) 144 a 2b 4
4 4
6
d) −400 x y + 9 z =
c) 81m8 n2
d) 25 y 6 z 12
e) 0,0169a 2 x 2
e)
64 2 1 2
a − b =
25
4
f) 0, 49 x 10 y 4 z 2
g)
9 2a
x
64
f)
2 2
h)
225r t
196s 4
i)
( a + b )2
j)
49 ( m + n)
4
2. Encierra las expresiones que pueden ser factorizadas
como diferencia de cuadrados.
a)
100 4 36 6
z − y =
49
81
64m2 − 16
d) 4 a 2 − 81b 4
b) 121a 4 + 36 z 6
e) 8 z 2 − 25w 2
c)
f) 100b12 a 2 − 225
49a 2 − 1
3. Factoriza.
2
2
a) 16v − 100 z =
b4
1
g) − a 2 + 2 =
9
c
h) −1+ 1,69a 4 b 2 =
4. Factoriza hasta la mínima expresión.
a) 16 x 4 − y 4 =
b) 169 − 121b 4 =
148
b) m8 − 81n4 =
M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de
expresiones algebraicas.
5. Extrae la raíz cúbica de los siguientes términos:
2 m+ 2
− 1=
b) 81a
3 6
a) 27a c
12 6 9
b) −64w y z
c) 1331
d)
a6
b3
c) 0,04 x 2n − 0,01y 2 =
d) a 4 x +2 − 25b 2 x +2 =
729 18 9 3
x y z
8
6. Factoriza.
a) 27 x 3 y 3 − 1=
b) 125a 6b 3 − 64 c 3 =
c) 216 r 9 + 8s 3t 3 =
1 3 8 3
m −
n
d)
343
729
7. Descompón en factores.
8. Factoriza la suma de cubos.
3
3
a) 8n + 216m =
3
b) 512 x + 1=
3n
c) 0,512 + 0,008x =
9. Factoriza y obtén dos factores.
a) x 12 + y 12 =
b) 64 x 6 + y 18 =
a) x 2 n − y 4 n =
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
10. Trabajen en parejas y resuelvan.
11. Investiga cómo quedaría factorizado el binomio a – b si consideramos que a y b son
cuadrados perfectos.
Formulen una suma de potencias pares que
sea factorable y otra que no lo sea. Intercambien la suma con otra pareja, la que decidirá
qué binomio factorizará. Expongan en clase.
149
Tema 5
Trinomio cuadrado perfecto /
Trinomio cuadrado perfecto incompleto
Saberes previos
Desarrolla los siguientes binomios:
(x + y)
2
=
1
2a + b
3
2
=
En el diseño de la lámina de impresión radiográfica de la imagen, se ha usado la
expresión 9 x 2 + 6 xy + y 2 para expresar su área; ¿es correcto decir que la placa es
cuadrada?
Shutterstock, (2020). 2607953
Dado que el área del cuadrado se obtiene elevando su lado al cuadrado, debemos
determinar la expresión que representa el área que resulta de dicha operación. Para
ello vamos a conceptualizar lo que es un trinomio cuadrado perfecto.
Radiografía de tórax.
¿Sabías qué?
Los rayos x son un
tipo de radiación
electromagnética,
invisible para el ojo
humano, capaz de
atravesar cuerpos
opacos y de imprimir
películas fotográficas.
Los actuales sistemas
digitales permiten
la obtención y
visualización de la
imagen radiográfica
directamente en
una computadora,
sin necesidad de
imprimirla.
Un trinomio cuadrado perfecto (TCP) es una expresión que tiene dos términos
positivos que son cuadrados perfectos y un término que puede ser positivo o
negativo, el cual resulta del doble producto de las raíces cuadradas de los dos
cuadrados perfectos.
a 2 + 2ab + b 2
Esta expresión se obtiene al desarrollar el cuadrado de un binomio. Por lo tanto:
2
a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )
De acuerdo con esta información, procedemos a determinar si la expresión
9 x 2 + 6 xy + y 2 es un trinomio cuadrado perfecto:
9 x 2 + 6 xy + y 2
y2
3x
2(3 x ) y
6 xy
La expresión cumple con la forma que corresponde a un trinomio cuadrado
perfecto, por lo tanto, puede ser factorizada de acuerdo con la regla.
9 x 2 + 6 xy + y 2 = (3 x + y )2
El resultado obtenido nos permite deducir que la forma de la lámina de impresión
radiográfica es la de un cuadrado cuyo lado queda representado por la expresión
3x + y .
150
Ejemplo 1
Recuerda que...
Factorizar 49a 4 − 42a 2b + 9b 2
Solución
49a 4 − 42a 2b + 9b 2
Comprobamos si hay dos términos cuadrados perfectos.
7a 2 3b 7a 2 3b
Observamos que el término del medio sea el doble
2
2(7a )(3b )
producto de las raíces de los cuadrados perfectos.
2
En ocasiones es
necesario introducir
al trinomio en un
paréntesis para que
cumpla las condiciones
de un TCP.
(
)
− b 2 + 2b − 1= − b 2 − 2b + 1
= − ( b − 1)
42a b
2
Como cumple las condiciones:
(
49a 4 − 42a 2b + 9b 2 = 7a 2 − 3b
)
2
Trinomio cuadrado perfecto incompleto
• Algunas veces los trinomios tienen dos términos positivos cuadrados
perfectos, pero el otro término no cumple la condición de ser el doble
producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. En ese caso
se busca la manera de completarlo, resultando al final una diferencia de
cuadrados.
• Este caso de factorización se conoce como trinomio cuadrado perfecto
incompleto.
Ejemplo 2
Factorizar 16w 4 − 68w 2 z 2 + 64 z 4
Me refuerzo
Ingresa a la siguiente
página web
bit.ly/2KmgkIz
y evalúa tu
conocimiento.
Solución
16w 4 y 64 z 4 son cuadrados perfectos positivos, pero 68w 2 z 2 no es el doble
producto de la raíces cuadradas. Este término debería tener la forma 64w 2 z 2.
2 2
Por lo tanto, para convertirlo en un TCP, sumamos 4w z , pero para no alterar la
expresión, también restamos 4w 2 z 2.
(16w
4
− 68w 2 z 2 + 64 z 4 + 4w 2 z 2 − 4w 2 z 2
(16w
4
− 64w z + 64 z − 4w z
( 4w
− 8 z 2 − 4w 2 z 2 Obtenemos una diferencia de cuadrados.
2
( 4w
( 4w
2
)
2 2
4
)
2 2
)
2
2
)
8z 2 + 2wz
)(
( 4w
2
8z 2
)
2wz
− 8 z 2 + 2wz 4w 2 − 8 z 2 − 2wz
)
Conexiones
Matemática
y contabilidad
La factorización es
una herramienta muy
útil en los campos
empresariales donde se
dan solución a diversos
problemas y modelos
financieros de cualquier
índole.
151
Taller
Evaluación formativa
1. Obtén el segundo término de cada trinomio para
que sean trinomios cuadrados perfectos.
+ 4b 2
a) 1+
2. Encierra los trinomios cuadrados perfectos.
a) 1+ 2ab − b 2
b) 169r 2 − 26rs + s 2
c) −4 x 2 + 24 xy 2 z + 36 y 4 z 2
d) 2a 2b 2 − 4 abc 2 + 4 c 4
2
b) 81a +
e) −6 xy + 9 x 2 + y 2
+ 16c 2
f) 121m2 − 88mnp + 64 n2 p 2
3. Comprueba si son trinomios cuadrados perfectos.
Luego factoriza.
c) 144 x +
4
+ 49 y
2
b) −9a 2 − 12ab − 4b 2
d)
1 2 2
mn +
4
a) 4 x 2 + 4 xy + y 2
+
16 4 2
pq
9
c) 36x 2 − 24 xy 2 + 4 y 4
e) 0,36x 2 y 2 −
+ 0,25z 4
d)
1 2 1
4
x + xz + z 2
64
6
9
f)
4 x 2m −
+ 196 y 2 n
e) 0,01n2 + 0,36m6 − 0,12m3n
4 2 x +2
g)
a
+
225
152
+ b 4 x +2
f)
−
8 3
16 6
r + 1+
r
25
625
M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de
expresiones algebraicas.
4. Extrae el factor común y luego factoriza el trinomio.
a) ax + 2axy + ay =
2
2
c)
( 2 x + 5 y )2 − 2( 2 x + 5 y )( z + w ) + ( z + w )2 =
b) 4mx − 12my + 9m =
2
6. Resuelve los trinomios cuadrados perfectos
incompletos.
a) a 4 + a 2b 2 + b 4 − a 2b 2 + a 2b 2
c) −w 2 z 2 + 4wtz 2 − 4t 2 z 2 =
b) 81x 4 − 36 x 2 y 2 + 16 y 4
d) 96xy − 64 x 2 − 36 y 2 =
c) 25 x 4 + 64 x 2 y 2 + 100 y 4 + 36 x 2 y 2 − 36 x 2 y 2
5. Descompón en factores.
a)
( x + y )2 − 2( x + y ) z 3 + z 6 =
d) 4 z 4 + y 4 + 4 z 2 y 2 − 4 z 2 y 2
b) 81m 4 + 18m2 ( a + b ) + ( a + b )2 =
e) 256m 4 + 64m2 n2 + 16n4
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7 . Trabajen en parejas y resuelvan.
8. Investiga cómo estructurar un trinomio cuadrado perfecto incompleto. Formula uno y
explica en clase cómo lo hiciste.
Creen dos trinomios cuadrados a partir de
binomios al cuadrado. Intercámbienlos con
otro grupo para que los factoricen.
153
Tema 6
Factorización de trinomios de la forma
y de la forma x 2 + bx + c
Desequilibrio cognitivo
Shutterstock, (2020). 507322168
¿Cuál es la expresión que representa el área de un rectángulo cuyo largo está
determinado por a –2 y cuyo ancho, por a –3?
Para evitar la radiación producida por los rayos gamma, se ha construido una placa
de plomo, cuya área ha sido representada por la expresión x² + 5x – 24 . ¿Cuál es la
expresión que representa el largo y el ancho de la placa?
Radiación rayos gamma.
¿Sabías qué?
Otro tipo de energía
electromagnética
son los rayos gamma.
Estos rayos vienen
desde el espacio y
son absorbidos por la
atmósfera. Sin embargo,
pueden ser producidos
al manipular los
átomos de elementos
radioactivos. Su
energía es tan grande
que pueden causar
daño al núcleo de
las células. Esta
propiedad se usa para
esterilizar alimentos e
instrumental médico.
Para responder a la interrogante, debemos recordar que un trinomio de la forma
x² + bx + c se obtiene a partir del producto de dos binomios que tienen como
término común una letra con coeficiente 1. Por lo tanto, revisemos la forma de
factorizar este trinomio.
La factorización de un trinomio de la forma x 2 + bx + c corresponde a dos
paréntesis. Los dos contendrán la raíz cuadrada del primer término. El primer
paréntesis tendrá el signo del segundo término, el segundo paréntesis tendrá el
signo que resulte de multiplicar los signos del segundo y tercer término. Luego
se buscarán dos términos que sumados algebraicamente den el coeficiente
b y que multiplicados algebraicamente den c.
x 2 + bx + c = ( x + d )( x + e )
d =b+c
y
e = b⋅c
Siempre d > e
En el trinomio x 2 + 5 x − 24 , que representa el área de la placa, tenemos:
x 2 + 5 x − 24 = ( x + 8 )( x − 3), puesto que 8 – 3 = 5 y (+8)(–3) = –24
Ejemplo 1
2
2
Factorizar x + 6 xy − 7 y
Solución
Este trinomio contiene como término independiente la letra y. Por lo tanto, los
términos por encontrar deberán contener dicha letra.
x 2 + 6 xy − 7 y 2 = ( x + 7 y )( x − y )
Recuerda que...
En un trinomio de la
forma x2 + bx + c , se
reconoce a c como el
término independiente.
154
Porque: 7 y − y = 6 y
y ( +7 y )( − y ) = −7 y 2
Enlace web
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
La factorización de este trinomio se obtiene de la siguiente manera:
1. Multiplicamos el término a con c.
Practica en
bit.ly/2GJhIEa
2. Abrimos 2 paréntesis; en cada uno colocamos a  c.
3. Colocamos en el primer paréntesis el signo del segundo término, y en el segundo paréntesis, el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo
con el signo del tercero.
4. Buscamos dos términos que sumados algebraicamente den b y que multiplicados algebraicamente den el producto a  c.
5. Dividimos toda la expresión para a.
6. Finalmente, extraemos el factor común de los paréntesis con la finalidad de
simplificar el denominador a.
Ejemplo 2
Factorizar 9m − 18m − 7
Solución
63
9m − 18m − 7
Multiplicamos 9 por 7.
(9m − )(9m + )
Colocamos los signos según lo indicado.
(9m − 21)(9m + 3)
Buscamos los números que sumados dan
9
3( 3m − 7 ) ⋅ 3( 3m + 1)
3⋅3
–18 y multiplicados –63 y dividimos por 9.
Extraemos factor común en cada paréntesis y
simplificamos.
(3m − 7 )(3m + 1)
Método del aspa
Consiste en descomponer en dos factores el primer y tercer término de un
trinomio, de manera que el producto en cruz nos permita obtener el término
del medio.
Ejemplo 3
Factorizar 2 x 2 + 3 x − 54
Solución
2 x 2 + 3 x − 54
2x
− 9 − 9x
x
6 + 12 x
3x
En algunos trinomios se
debe primero extraer el
factor común.
6x 2 + 27x − 15
10
2
2
Recuerda que...
3(2x 2 + 9x − 5)
3(2x + 10)(2x − 1)
2
3 ⋅ 2( x + 5)(2x − 1)
2
3( x + 5)(2x − 1)
Un trinomio puede
ser factorizado con la
fórmula general.
x=
− b ± b 2 − 4 ac
2a
Factorizar x 2 − 4 x − 12
x=
4 ± ( −4)2 − 4(1)( −12)
2(1)
4 ± 16 + 48
2
4 ± 64
x=
2
4±8
x=
2
4−8
4+8
; x2 =
x1 =
2
2
x1 = 6 , x 2 = −2
x=
Al expresar los factores,
cambiamos de signo.
(x – 6) (x + 2)
155
Taller
Evaluación formativa
1. Descompón los números. Exprésalos en dos
factores.
48
a)
120
d)
48 = 120 =
84
104
b)
e) a 2b 2 + 8ab − 105 =
f)
x 2 + 4 y − 32 y 2 =
e)
84 = 104 =
162
170
g) m2 + 22mn + 112n2 =
c)
f)
162 = 2. Identifica el tipo de trinomio.
170 =
h) z 2 + 20 zu − 69u2 =
2
a) a + 13a + 42
2
2
b) 9a + b − 2b
2
c) 4 x + 12 xy − 2b
i)
p 2 + 23pr − 108r 2 =
2
2
d) z + 3zw + 28w
3. Factoriza los trinomios.
a) x + 5 x − 66 =
2
b) x + 30 x + 104 =
2
j)
t 2 + w − 110w 2 =
4. Descompón en factores los trinomios.
2
a) 3x + 8x + 5 =
c) a 2 − 25a − 84 =
2
b) 12a + 13a − 14 =
d) m2 + 8m − 84 =
156
M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de
expresiones algebraicas.
c) 2x 2 + x − 36 =
2
c) 35 x + 37 x − 6 =
6. Utiliza el método del aspa para factorizar los
trinomios.
2
d) 6q + 4 gr − 32r =
a) x 3 + 11x 2 − 42 x =
e) 10 x + 23 xy − 42 y =
2
2
2
b) 2 x + x − 45 =
c) 40x 2 + 29xy + 3y 2 =
f) m2 + 8m − 84 =
2
2
d) 8m + 45mn − 18n =
5. Factoriza los trinomios utilizando la fórmula general.
2
a) x + x − 12 =
e) x 4 a + 12 x 2 a + 32 =
b) 6 x + 7 x − 3 =
f) 6x 2 − 7x − 3 =
2
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
8. Investiga cómo expresar la factorización del
trinomio x 2 – x – 3. Usa la fórmula general.
Busquen con anticipación un trinomio de la
forma ax 2 + b + c y, resuelvan los trinomios
por el método del aspa.
157
Tema 7
Medidas de tendencia central para
datos agrupados
Saberes previos
Calcula la media, mediana y moda de los siguientes datos que corresponden
a la edad de un grupo de diez jóvenes:
Shutterstock, (2020). 461156005
15 14 15 16 13 18 15 14 17 16
En una ciudad se ha medido durante un mes el índice de radiación de los rayos
ultravioleta. Estos datos han sido registrados en la siguiente tabla. ¿Cuáles son las
medidas de tendencia central de este grupo de datos?
Índices de radiación de una ciudad durante un mes
Gráfico de radiaciones solares.
¿Sabías qué?
La mayor parte de los
rayos ultravioleta UV
del sol son absorbidos
por la atmósfera, sin
embargo, debido al
agujero de la capa de
ozono, los UV llegan
cada vez en mayor
cantidad a la superficie
terrestre.
Shutterstock, (2020). 794343298
Cuando una persona se
expone a estos rayos,
puede sufrir daños en
su piel, o incluso, sufrir
de cáncer de piel.
Índice
χ
[1–3)
2
5
5
[3 – 5)
4
8
13
[5 – 7)
6
6
19
[7 – 9)
8
5
24
[9 – 11)
10
4
28
[11 – 13]
12
2
30
Fi
i
TOTAL
30
Archivo Editorial, (2020).
Revisemos cómo calcular las medidas de tendencia central.
Media x
χ=
∑x ⋅f
i
N
x ⋅f
donde: ∑ i suma de los productos de x con fi
N
De acuerdo con la fórmula, es necesario calcular los productos de x con
cuales registramos en la tabla.
i
, los
Índice de radiación de una ciudad durante un mes
índice
χ
[1–3)
2
5
5
10
[3 – 5)
4
8
13
32
[5 – 7)
6
6
19
36
Me refuerzo
[7 – 9)
8
5
24
40
Imprime la página 1 del
documento, practica
medidas de tendencia
central. bit.ly/2GK6waf
[9 – 11)
10
4
28
40
[11 – 13]
12
2
30
24
TOTAL
i
30
Fi
χ
i
182
Archivo Editorial, (2020).
158
χ=
∑x ⋅f
N
i
;x =
182
; x = 6,1
30
Mediana Me
Para calcularla se debe seleccionar un intervalo, el cual se identifica dividiendo
el número de datos por 2. La cantidad obtenida se busca en la columna de fi .
De no haberla, se toma la mayor fi siguiente.
N
Fi
Me = Li + A 2
fi
1
donde:
Li
A
Fi −1
Fi anterior del intervalo seleccionado
fi
frecuencia absoluta del intervalo
límite inferior del intervalo seleccionado
amplitud de los intervalos
Al aplicar la fórmula obtenemos:
30
13
Me = 5+ 2 2
;Me = 5,67
6
Conexiones
Matemática
con psicología
El tiempo que
transcurre entre la
finalización de la
presentación de un
chiste y el momento
en que una persona
comienza a reírse se
denomina tiempo de
reacción. En psicología,
es un caso de estudio.
La tabla muestra el
resultado de una
experiencia medida en
décimas de segundo.
Tiempo
i
Fi
[12,5 – 18,5)
5
5
[18,5 – 24,5)
57
62
[24,5 – 30,5)
134 196
[30,5 – 36,5)
130 326
[36,5 – 42,5)
58
384
[42,5 – 48,5)
10
394
Archivo Editorial, (2020).
Al aplicar la fórmula, tenemos:
El intervalo de la
mediana es: [30,5 – 36,5)
El intervalo modal es:
[24,5 – 30,5)
Moda Mo
Al igual que para la mediana, debemos seleccionar un intervalo al cual
llamaremos modal. Este intervalo corresponderá al que contiene a la mayor fi .
Mo = Li + A
(fi
fi fi 1
donde:
fi 1 ) + ( fi fi+1 )
ffi − 1
fi anterior a la del intervalo modal
ffi + 1
fi siguiente a la del intervalo modal
Enlace web
Refuerza tu
conocimiento sobre
medidas de tendencia
central, puedes revisar
el siguiente video:
bit.ly/2T27pzO
Mo = 3 + 2
3
8−5
; Mo = 5 + 2
= Mo = 4,2
3+ 2
( 8 − 5) + ( 8 − 6 )
159
Taller
Evaluación formativa
1. En la siguiente tabla de datos
Masa de un grupo de estudiantes
Edad de los empleados de una fábrica
χ
Edad
χ
[40 – 50]
45
4
4
180
[18 – 25)
[50 – 60]
55
10
14
550
[25 – 32)
[60 – 70]
65
2
16
130
[32 – 39)
i
Fi
[39 – 46)
identifica:
[46 – 53)
a) N =
b)
χ
Edad
i
[53 – 60]
N
=
2
TOTAL
c) Intervalo en que se calculará la mediana y la
moda
d) Li =
3. Calcula la media ( χ ).
χ=
e) A =
χ=
f) fi −1 =
χ=
∑f
i
N
4. Calcula la mediana.
g) fi +1 =
2. Lee el enunciado y realiza las actividades.
En una empresa se registró la edad de sus empleados que se resume en la siguiente tabla:
N
Fi
Me = Li + A 2
fi
31
48
51
36
56
49
Me =
60
18
40
35
36
40
Me =
29
46
48
39
39
34
1
Me =
Me =
37
44
56
47
42
49
42
29
27
38
25
48
Organiza los datos en una tabla de
frecuencias que contenga la marca de clase
x, la frecuencia absoluta fi y la frecuencia
absoluta acumulada fi y χ ⋅ fi .
R = 60 – 18 =
K = ≈
A =
160
5. Calcula la moda.
Mo = Li + A
Mo =
Mo =
Mo =
(f i
fi fi 1
f i 1) + (f i f i +1)
i
Fi
χ
i
M.4.3.6. Definir y aplicar niveles de medición: nominal, ordinal, intervalo y razón.
M.4.3.7. Calcular e interpretar las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y medidas de dispersión (rango, varianza
y desviación estándar) de un conjunto de datos en la solución de problemas.
6. Calcula las medidas de tendencia central de los
grupos de datos agrupados:
χ
i
Fi
χ
Ingreso mensual de los padres de familia de
un año de básica
Ingreso $
Edad de los empleados de una fábrica
Edad
b)
i
χ
i
[300 – 400)
4
[0 – 50)
22
[400 – 500)
6
[50 – 100)
25
[500 – 600)
2
[100 – 150)
18
[600 – 700)
10
[150 – 200)
12
[700 – 800)
6
[200 – 250)
10
[800 – 900]
5
[250 – 300]
12
[900 – 1 000)
2
[300 – 350)
8
[1 000 – 1 100)
2
[350 – 400)
6
[1 100 – 1 200)
1
[400 – 450)
5
TOTAL
38
[450 – 500)
2
TOTAL
120
a)
χ=
∑f
χ=
Fi
χ
i
N
=
2
χ = χ =
i
N
χ=
N
Fi
Me = Li + A 2
fi
N
=
2
Me = Me =
χ=
N
Fi
2
Me = Li + A
fi
1
1
Mo = Mo =
Trabajo colaborativo
Me =
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
Me =
Mo = Li + A
(f i
fi fi 1
f i 1) + (f i f i +1)
Entre todos los integrantes del curso, registren
sus estaturas en cm. Organicen la información
en una tabla de frecuencias con datos agrupados y, junto a dos estudiantes, calculen las
medidas de tendencia central.
Mo =
Mo =
Mo =
Actividad indagatoria
8. Investiga cómo calcular la desviación estándar
en datos agrupados. Aplica la fórmula en
algunos problemas de la ejercitación.
Puedes utilizar el siguiente enlace web:
bit.ly/2yxt4ql
161
Estrategias para resolver problemas
Buscar regularidades
Problema resuelto
Problema propuesto
Se ha calculado la suma de cinco grupos de números
enteros consecutivos y se ha observado que se
cumple una regularidad.
Se ha calculado la suma de los cubos de números
consecutivos y se ha observado que se cumple
una regularidad.
1 × 2 × 3 × 4 = 24
13 + 23 = 9
2 × 3 × 4 × 5 = 120
13 + 23 + 33 = 36
3 × 4 × 5 × 6 = 360
13 + 23 + 33 + 4 3 = 100
4 × 5 × 6 × 7 = 840
13 + 23 + 33 + 4 3 + 53 = 225
5 × 6 × 7 × 8 = 1 680
Determinar la regularidad y luego verificarla con
otros dos grupos de números consecutivos.
Determinar la regularidad y luego verificarla con
otros dos grupos de números consecutivos.
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿Qué son números consecutivos?
Son aquellos que están uno a continuación de
otro.
2. Plantear la estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
Buscamos la regularidad.
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
Al analizar los productos de números consecutivos,
observamos que, si les sumamos 1, obtenemos
números cuadrados perfectos.
24 + 1 = 25 = 52
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿Qué son números consecutivos?
_________________________________________
¿Cómo se calcula el cubo de un número?
_________________________________________
2. Fijar una estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
_________________________________________
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
Al analizar los resultados de las sumas, observamos que estos son cuadrados perfectos.
120 + 1 = 121 = 112
360 + 1 = 361 = 19 2
840 + 1 = 29 2
1 680 + 1 = 1 681 = 412
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
La regularidad que se observa y se cumple puede ser representada con la expresión algebraica
x 2 – 1, la cual se cumple en:
162
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
_________________________________________
6 × 7 × 8 × 9 = 3 024
3 024 + 1 = 3 025 = 552
_________________________________________
_________________________________________
8 × 9 × 10 × 11 = 7 920
7 920 + 1 = 7 921 = 892
_________________________________________
2. Si con tres palillos se puede formar un triángulo, ¿cuántos palillos se necesitan para formar 10
triángulos? Encuentra la regularidad al completar la tabla. ¿Cuál es la regularidad?
1. Un rectángulo mide 1 cm de ancho y 2 cm de largo. Si el ancho
2
aumenta un centímetro cada vez
y el largo se conserva, ¿en cuánto aumenta el perímetro? Com1
prueba si hay una regularidad al
completar la tabla. ¿Cuál es la regularidad?
a) Comprender el problema
1
2
3
5
_____________________________________
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
c) Aplicar la estrategia
Ancho
1
2
3
4
5
6
7
Triángulos
Largo
2
2
2
2
2
2
2
Número
de palillos
Perímetro
1
2
3
4
5
… 10
d) Responder
d) Responder ____________________________
_____________________________________
_____________________________________
3. Si con cuatro palillos se puede formar un cuadrado,
¿cuántos palillos se necesitan para formar 10 cuadrados? Encuentra la regularidad al completar la tabla.
¿Cuál es la regularidad?
4. ¿Cuánto suman los 30 primeros números pares?
Completa y encuentra la regularidad.
1
a) Comprender el problema
_____________________________________
2
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
c) Aplicar la estrategia
2 = ______
2 + 4 = ______
_____________________________________
2 + 4 + 6 = ______
c) Aplicar la estrategia
2 + 4 + 6 + 8 = ______
Cuadrados
1
2
3
4
5
… 10
Número
de palillos
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = ______
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 … + 60 = _____
d) Responder
d) Responder
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
163
Proyecto
¡A cuidarse de los rayos solares!
Justificación / problemática
Shutterstock, (2020). 404042443
Los rayos UV emitidos por el sol (debido al agujero que se ha producido en la capa de ozono) llegan a la superficie
terrestre, pues no son absorbidos adecuadamente por la atmósfera. De acuerdo con los índices de radiación de
estos rayos, las personas debemos tomar precauciones para evitar los daños que se pueden producir en la piel.
Piel normal
Piel con filtro solar
En la ilustración podemos observar cómo el uso de protector solar nos protege de los rayos UVB y UVA.
Objetivo
Informar sobre los niveles de radiación que ha experimentado la ciudad o localidad donde habitan los estudiantes y sobre las precauciones que deben tomarse en cada nivel de emisión de rayos UV.
Recursos
•
Cartulinas
•
Marcadores
•
Recortes de imágenes
Actividad
•
Investiga sobre los niveles de radiación que la ciudad o localidad donde habitan los estudiantes ha experimentado en los últimos 30 días.
Evaluación
1. Elabora dos tipos de carteles informativos sobre los niveles de radiación de los rayos ultravioleta y las
precauciones que se deben tomar de acuerdo con el nivel. Para ello, considera que el área de los carteles está representada por el trinomio x2 + 10x + 25, de manera que una vez deducidas las expresiones
que representan el ancho y el largo de sus lados, procedan a construirlos para x = 15 cm y x = 45 cm.
2. Sobre la base de los datos obtenidos en la investigación, construye una tabla de frecuencias con datos
agrupados y calcula las medidas de tendencia central de dichos datos.
164
Desarrollo del pensamiento
Desarrollo de cubos
La figura de la izquierda representa el desarrollo de un cubo. ¿Qué figuras representan el cubo armado?
a) Solo 2
(1)
b) 1 y 2
c) 2 y 3
d) 1 y 3
Archivo Editorial, (2020).
(2)
e) Las tres
f) Solo 1
(3)
Archivo Editorial, (2020).
Observa las cuatro vistas del cubo. Luego selecciona la figura que se opone a
a)
b)
c)
d)
Cálculo mental
Cuadrado de un número que termina en 5
Ahora hazlo tú
Estrategia:
a)
152 = 225
i)
1052 = 11025
•
Quitar la cifra de la unidad del número.
b)
252 = 625
j)
2052 = 42 025
•
Multiplicar el número que queda por su consecutivo.
c)
k)
•
Agregar 25 al número obtenido en el paso anterior.
452 = 2 025
3052 = 93 025
d)
652 = 4 225
l)
6052 = 366 025
e)
752 = 5 625
m) 5052 = 255 025
f)
552 = 3 025
n) 7052 = 497 025
Multiplicamos por su consecutivo: 3 × 4 = 12
g)
952 = 9 025
o)
4052 = 164 025
Agregamos al 12 el número 25: 1 225
h)
852 = 7 225
p)
8052 = 648 025
Ejemplo:
Calcular el cuadrado de 35.
Al retirar la cifra de las unidades, tenemos 3.
165
Recuerda y practica
1. Resuelve el polinomio aritmético. Expresa la
respuesta aproximándola a las décimas.
e2 +
2
16e 2
9
2e
÷
4e
2
+
(
+3)
4
1
e
3
5. Desarrolla los productos notables.
a)
x 3a − y 6 a
x a − y 2a
b)
49a 2 x − 25b 2 x
7a x − 5b x
c)
216 x 6 − 8 y 3
6x 2 − 2y
d)
1− 121a 4 b 2
1+ 11a 2b
2. Racionaliza la expresión.
31a 8 + 2
⋅
8− 2 8+ 2
3. Encuentra el valor del área de la figura.
6. Identifica el caso de factorización. Luego, factoriza.
a) 729 x 4 − x
a+b
F .C . y D .C .
2 3
2
2
b) m x + 2mx y + xy
F .C . y T .C .P .
4. Desarrolla los productos notables.
a)
(3x − 4 )
2
=
c)
b)
2 1 2 1
a+
a
3 2 3 8
d)
(0,2 x − 6 y )(0,2 x + 6 y ) =
(2 x
1 5 8 2
a + a
8
27
d)
x 5n+1 − xy 10 n
c)
e) 56q 2 + 10pq − 24 p 2
n
)(
)
− m 2 x n + 4m =
f) a 4 − b 4
166
7. Resuelve.
a)
(mn
2
)
2 3
+ 2n
(a
c)
4 x 2 −144
2x +12
d)
16x 4 y 2 − 25x 2 y 6
4 x 2 y − 5xy 3
e)
f)
(3x
h)
(15a
4
)
− 5x 3 + 4 x 2 : x 2
=
b)
m
g)
3
)
− 27a 2 +12a − 3a 5 ÷ 3a
)
3
+ bn =
8. Aplica Ruffini en los siguientes cocientes.
a)
(3x
4
− 8x 2 + 5x −1 : ( x − 2)
)
b)
( 6x
3
− 20x + 7 : ( x + 2)
c)
( −m
)
1+ m3
=
1+ m
4
)
+ 2m3 − 3m +1 : ( x +1)
27x 3 + 8
=
3x − 2
167
Aplico en la vida cotidiana
Tema: Conozco las
dimensiones de mi aula
Situación cotidiana
Por lo general, cuando compramos una vivienda,
un terreno o un local comercial, nos indican la superficie; pero, a través de la aplicación de la factorización, podemos conocer sus dimensiones si tenemos ciertas especificaciones.
Luciana compra un local comercial que tiene 400 m de superficie. Cuando lo adquirió le comunicaron que tiene
forma rectangular y que el ancho es 9 metros más corto que su largo. ¿Cómo puede conocer las dimensiones
del local?
Reflexiona
•
¿Qué caso de factoreo te puede ayudar a encontrar la medida de sus lados?
________________________________________________________________________________________
•
Comprueba la respuesta.
•
Si la superficie del terreno fuera 630 m2 y las condiciones de los lados fueran las mismas, ¿cuáles serían las
dimensiones del local?
Resuelve la situación
•
•
168
Cristina compra un terreno en forma de un triángulo rectángulo, y necesita conocer sus dimensiones. Ella solo posee la siguiente información:
un lado es 3 metros más largo que el otro lado.
El lado que está frente al ángulo recto mide 15 m.
¿Cuáles son las medidas del terreno? ¿Cuál será la
superficie?
Completa el esquema con los datos.
Shutterstock, (2020). 569068048
Factorización
Tema: Equipo
Medidas de tendencia central con datos agrupados
Situación cotidiana
Las medidas de tendencia central se utilizan para conocer el promedio de notas de estudiantes en una materia, el promedio de visitantes a un evento o el producto más representativo de ventas.
Masa (kg)
Marca (xi)
fi
Fi
[50;55[
52,5
3
3
[55;60[
57,5
8
11
[60;65[
62,5
12
23
[65;70[
67,5
7
30
[70;75[
72,5
3
33
[75;80[
77,5
2
35
Total
Shutterstock, (2020). 420577246
En el aula de noveno año, el profesor de Educación Física pide a los estudiantes que, con la utilización de una
balanza, midan su masa corporal. Los datos obtenidos se organizan de la siguiente manera.
35
¿Cuál es el valor es más representativo de los valores obtenidos?
Reflexiona
•
¿Qué medida de tendencia central te ayuda a obtener el valor más representativo? ___________________
•
A simple vista, ¿cuál crees que sería el valor más representativo? ___________________________________
•
Comprueba la respuesta.
•
¿Con qué conclusiones puedes aportar sobre los resultados obtenidos?
Resuelve la situación
•
•
En un banco de la localidad, debido al reclamo
de los clientes por la demora en la atención, se
decide tomar nota del tiempo que se emplea en
atender a un cliente. Los datos se muestran en la
tabla.
¿Cuál de las medidas de tendencia central es la más
adecuada para representar el tiempo que demora
en atender a los clientes en el banco? Calcula.
Masa (kg)
Marca (xi)
fi
Fi
[1;5[
[5;10[
[10;15[
[15;20[
[20;25[
[25;30[
Total
3
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
6
12
15
26
8
3
70
6
18
33
59
67
70
169
Olimpiadas matemáticas
1. Si cada lado del cuadrado blanco mide 10 cm y A,
B, C, D son puntos medios de cada lado, ¿cuál es
el área del cuadrado azul?
A
C
B
Argumenta la solución:
D
Respuesta: ______________________________________________________________________________
2. ¿Cuál es la suma de los ángulos marcados con 1 y
2 en la figura?
Argumenta la solución:
2
1
Respuesta: ______________________________________________________________________________
3. La figura que se muestra consta de 6 cuadrados,
con lado de 3 cm. ¿Cuál es su perímetro?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
170
Evaluaciones estandarizadas
1. Lee y analiza.
4. Lee y analiza.
Si 4 x + 12 = 84 , determina a qué es igual
3 x + 10
Lucía quiere medir una pancarta de 12 m. Para
5
3
esto, tiene tres sogas que miden: 2 m, 5 m y
8
4
1
3 . ¿Le alcanza a medir con las tres sogas?
12
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
10
c) Sí, es el largo exacto
24
13
b) No, le falta
d) Utiliza un pedazo
24
1
extra de
12
2. Lee y analiza.
a) Sí, y le sobra
12
3
40
11
4
48
?
5
a) 5
c) 7
b) 6
d) 8
5. Lee y analiza.
La suma de dos números enteros impares consecutivos es 64, determina el impar mayor.
Argumenta la respuesta:
54
¿Cuál es el valor de la incógnita?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 10
c) 12
b) 11
d) 13
3. Lee y analiza.
¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo, cuyos
lados miden x; x + 2; 2x + 1?
a) 31
c) 34
b) 33
d) 38
6. Lee y analiza.
El perímetro del cuadrado mide 60 cm.
¿Cuánto mide el área
sombreada?
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 4x + 3
c) 2x3 + 3x2 + 2x
b) 2x2 + 2x + 3
d) x2 + 2x + 3
Escoge la respuesta correcta.
a) 30 cm2
c) 225 cm2
b) 112,5 cm2
d) 60 cm2
171
10. Lee y analiza.
7. Lee y analiza.
Determina los siguientes dos números en la siguiente secuencia:
1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, _____, _____
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 15 y 17
c) 21 y 23
b) 9 y 19
d) 9 y 21
8. Lee y analiza.
El precio de una motocicleta es de 3 060 USD, una
vez que se ha efectuado un descuento de 15 %.
¿Cuál es el precio original de la moto?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 2 601
c) 3 600
b) 3 519
d) 3 825
11. Lee y analiza.
El largo de un rectángulo se incrementa 15 % y el
ancho, en 20 %. Determina el porcentaje en que
aumenta el área.
Si a + 3 = m, entonces a + 6 =
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 10 %
c) 20 %
b) 15 %
d) 38 %
a) m + 3
c) m + 6
b) 2m
d) 2m + 3
12. Lee y analiza.
9. Lee y analiza.
Una copiadora puede sacar copias de 3 libros
iguales en 4 horas. ¿Qué tiempo le llevará a la
misma copiadora realizar 5 libros de la misma longitud?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
172
Escoge la respuesta correcta.
a) 7h. 30 min
c) 6h. 20 min
b) 7h. 45 min
d) 6h. 40 min
Julio y su amigo acuden al médico de la siguiente manera: Julio cada 18 días y su amigo cada 15
días. Si el día de hoy coincidieron, ¿cuántos días
deben transcurrir para que vuelvan a coincidir?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 15
c) 30
b) 18
d) 90
13. Lee y analiza.
Nombre del estudiante: __________________
Determina el valor de x en la siguiente expresión
________________________________________
2x + 3 x + 5
=
2
3
Grado: _________________________________
Fecha: _________________________________
Argumenta la respuesta:
Instrucciones
Correcto
Escoge la respuesta correcta.
a) x = 4
b) x =
1
2
c) x =
1
4
d) x = 1
Incorrecto
1. Pinta totalmente los círculos.
2. No hagas marcas fuera del círculo.
3. En caso de concluir antes de tiempo, revisa
los ejercicios en los que hayas tenido dudas.
14. Lee y analiza.
En una oficina de 40 empleados, 14 tienen tablet
y 30, celular. ¿Cuántos empleados tienen ambos
aparatos, si se sabe que todos tienen al menos
uno de los dos?
1)
A
B
C
D
2)
A
B
C
D
Argumenta la respuesta:
3)
A
B
C
D
4)
A
B
C
D
5)
A
B
C
D
6)
A
B
C
D
7)
A
B
C
D
8)
A
B
C
D
9)
A
B
C
D
10)
A
B
C
D
11)
A
B
C
D
12)
A
B
C
D
13)
A
B
C
D
14)
A
B
C
D
15)
A
B
C
D
Escoge la respuesta correcta.
a) 4 empleados
c) 7 empleados
b) 6 empleados
d) 11 empleados
15. Lee y analiza.
Si cada cubo tiene
2 cm de arista,
¿cuál es el volumen
de la figura?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 21 cm3
c) 126 cm3
b) 84 cm3
d) 168 cm3
173
Compruebo mis aprendizajes
Evaluación sumativa
M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores
de expresiones algebraicas.
1. Divide y luego selecciona el grupo de cocientes
obtenidos.
3ab
÷
9 a 2b
a 3b 4
3a 2b 2
4. Relaciona cada división con su cociente. Luego
selecciona la respuesta correcta.
1.
x3 −y3
x −y
A) x − y
2.
x2+y2
x +y
2
2
B) x − xy + y
3.
x2 −y2
x −y
C) x 2 + xy + y 2
4.
x3+y3
x +y
D) x + y
a)
1c ; 2a ; 3d ; 4b
27a 3b 4
2 3
3
2
a) 9a b ; 3ab ; 27 a ; 9 ab
2 3
3
b) 9a b ; 3ab ; 27; 9 ab
2
3 4
3
3 3
2
c) 27a b ; 3ab ; 9a b ; 9ab
b) 1b ; 2a ; 3d ; 4 c
c)
d) 9a 3b 2 ; 3ab 2 ; 27; 3ab 2
1
1
2
2. Realiza la división de x n+ 2 − x n+1 + x n por
3
6
9
1 n
x . Luego selecciona el polinomio resultado.
3
1
2
a) x 2 − x +
2
3
b)
1 2 n+2 1 2 n+1 2 2 n
x
− x + x
3
18
27
c)
1 2 1
2
x − x+
3
6
9
1
2
2 n− 2
− x 2 n−1 + x 2 n
d) x
2
3
3. Al dividir el polinomio, se obtiene como cociente
y residuo:
(2x3 – 7x2 + 11x – 8) : (x – 2)
d) 1b ; 2d ; 3a ; 4 c
M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales
en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas.
3
2
2
5. Al factorizar la expresión 8a − 4 ab − 20a b + 10b ,
se obtiene:
a)
( 4a
b)
(2a − 5b )( 4 a2 + 2b )
c)
( a + 5b )( 4 a + 2b )
d)
( 4a
2
2
)
− 2b ( 2a + 5b )
)
+ 2b ( 2a − 5b )
6. Relaciona cada trinomio con su factorización.
Luego selecciona la respuesta correcta.
1. 2a 2 + ab − 21b 2
a)
2
2
2. 4 a + 28ab + 49b
b)
3.
a 2 + 5ab − 24b 2
c)
4 a 2 + 8ab − 21b 2
d)
a) 2 x − 3 x − 5
R=0
4.
b) 2 x 2 + 3 x − 5
R=2
a) 1a ; 2d ; 3b ; 4 c
c) 2 x 2 − 3 x + 5
R=0
b) 1d ; 2a ; 3c ; 4b
d) 2 x 2 − 3 x + 5
R=2
2
174
1c ; 2d ; 3a ; 4b
c)
1d ; 2a ; 3b ; 4 c
d) 1d ; 3b ; 2a ; 4 c
( 2a + 7b )2
( a + 8b )( a − 3b )
(2a + 7b )(2a − 3b )
(2a + 7b )( a − 3b )
7.
SobreXxxx
el trinomio m4 – 2m2n2 + 49n4 selecciona
I.ECA.X.X.X.
las afirmaciones verdaderas.
(
4) x − y 6 = ( x + y )( x − y ) x 4 + x 2 y 2 + y 4
6
I.ECA.X.X.X. Xxxx
)
2
2
5) x − y = ( x + y )( x − y )
Se debe factorizar como:
a) Un trinomio cuadrado perfecto
b) No es factorizable
a) 1F ;2F ;3F ; 4V ; 5V
c) Un trinomio cuadrado incompleto
d) Un trinomio de la forma ax² + bx + c
a)
(m
2
+ 7n2 + 4mn m2 + 7n2 − 4mn
b)
(m
2
+ 7n + 4mn m + 7n − 4mn
c)
(m + 7n + 4mn)(m + 7n − 4mn)
d)
(m
2
)(
2
)
)
)(
+ 7n2 − 4mn m2 + 7n2 − 4mn
)
8. Comprueba la veracidad de cada igualdad.
Luego selecciona la respuesta correcta.
2
2
1) x − y = ( x + y )( x − y )
(
2) x 3 + y 3 = ( x + y ) x 2 + xy + y 2
(
c)
1F ;2F ;3V ; 4F ; 5V
d) 1V ;2F ;3F ; 4V ; 5V
Al factorizarlo se obtiene:
)(
b) 1V ;2F ;3F ; 4V ; 5F
)
)
3) x 4 + y 4 = x 2 + y 2 ( x + y )( x − y )
Coevaluación
M.4.3.7. Calcular e interpretar las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y medidas de dispersión (rango, varianza y desviación estándar) de un conjunto de datos en la solución de problemas.
9. Seleccionen las medidas de tendencia central
que se obtienen de los datos agrupados.
Edad de los empleados de una fábrica
χ
Edad
χ
[54 – 60)
57
8
8
456
[54 – 60)
63
10
18
630
[54 – 60)
69
5
23
345
[54 – 60)
75
7
30
525
i
Fi
i
a) 15; 64; 2; 10
c) 65,87; 64,2; 60; 71
b) 60,72; 65; 87; 64,2
d) 65; 87; 18; 10
Autoevaluación
10. Pinta según la clave.
Puedo ayudar a otros
Resuelvo por mí mismo
Necesito ayuda
Estoy en proceso
Divido entre monomios y polinomios
Divido por división sintética.
Contenidos
Extraigo el factor común de expresiones algebraicas.
Factorizo binomios.
Obtengo medidas de tendencia central en datos agrupados.
Metacognición
•
•
•
Aclaré todas mis dudas con el docente.
Observé situaciones de mi entorno donde se aplican los nuevos conocimientos adquiridos.
Mi participación activa en los grupos de trabajo contribuyó en mi aprendizaje.
175
unidad
5
La música y la matemática
Tanto egipcios como chinos y mesopotámicos estudiaron el sonido bajo los principios matemáticos.
Los pitagóricos de la antigua Grecia, bajo su principio de que toda la naturaleza consiste en armonía que brota
de los números, analizaron las escalas musicales en términos de la proporcionalidad.
Leibniz, el gran matemático alemán, consideró que la música posee una irrefutable estructura matemática.
El tiempo le da la razón, pues en la actualidad la música no solo usa la matemática para medir y contar, sino que
además las nuevas formas de componer la han llevado a apoyarse en conceptos matemáticos más complejos,
como son la teoría de conjuntos, el álgebra abstracta y la teoría de números. Incluso algunos compositores
han utilizado la proporción áurea y los números de Fibonacci.
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Shutterstock, (2020). 97111277 / 284918702
1
176
Preguntas generadoras
•
Investiga. ¿Cuál es el valor exacto de los dos tercios del número áureo?
•
Junto a tu docente investiga en que consiste la serie de Fibonacci.
Álgebra
y funciones
Geometría
y medida
• Ecuaciones de primer grado de
la forma x + a = b y ax = b
• Ecuaciones de primer grado
de la forma ax + c = b (en más
de un término y con signos de
agrupación)
• Planteamiento y resolución de
problemas con ecuaciones de
primer grado
• Ecuaciones lineales con
coeficiente fraccionario
• Fracciones algebraicas,
operaciones, fracciones
algebraicas complejas
• Desigualdades e intervalos.
Inecuaciones lineales con una
incógnita
• Medidas de dispersión para
datos agrupados
Objetivos:
11 12 13 14 15
O.M.4.7. Representar, analizar e interpretar datos estadísticos y situaciones
probabilísticas con el uso de las TIC, para conocer y comprender mejor el
entorno social y económico, con pensamiento crítico y reflexivo.
O.M.4.2. Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y
distributiva; las cuatro operaciones básicas; y la potenciación y radicación para
la simplificación de polinomios, a través de la resolución de problemas.
O.M.4.3. Representar y resolver de manera gráfica (utilizando las TIC) y analítica
ecuaciones e inecuaciones con una variable; ecuaciones de segundo grado
con una variable; y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.
177
Tema 1
Ecuaciones lineales o de primer grado
Desequilibrio cognitivo
¿Cuál es el valor de x en cada igualdad para que se cumplan?
Cejilla
Shutterstock, (2020). 250576867
3+x=7
6x = 12
4 – x = 10
2x = –10
Si x es la longitud de una cuerda de guitarra medida desde la cejilla superior hasta
el puente, y una octava se encuentra a 32 cm desde la cejilla superior, ¿cuál es la
longitud de la cuerda?
Lo primero que hacemos es plantear una ecuación, tomando en cuenta el
concepto musical de octava.
x
= 32 cm
2
Guitarra.
¿Sabías qué?
En la mitad de una
cuerda, el sonido
producido en su inicio
es el mismo pero en
diferente frecuencia. En
música, a este intervalo
se lo denomina octava.
Recuerda que...
Una ecuación es
una igualdad que
contiene una incógnita
representada por una
letra.
x +6−5= 8+3
Primer
miembro
Segundo
miembro
La longitud de la cuerda dividida por 2 corresponde a los 32 cm.
Para resolver la ecuación procedemos a aplicar las reglas de resolución de ecuaciones.
Una ecuación tiene dos miembros, el primero y segundo. Para resolverla
usamos el principio de transposición de términos.
1. Un término que está sumando en el miembro de una ecuación pasa al
segundo miembro a restar.
2. Un término que está restando en el miembro de una ecuación pasa al
segundo miembro a sumar.
3. Un término que está multiplicando en el miembro de una ecuación pasa al
segundo miembro a dividir.
4. Un término que está dividiendo en el miembro de una ecuación pasa al
segundo miembro a multiplicar.
x
En nuestra ecuación, que tiene la forma = b , pasamos el término que está
a
dividiendo a multiplicar. Así:
x
= 32
2
x = 2 × 32
x = 64
Por lo tanto, la longitud de la cuerda es 64 cm.
Ejemplo 1
Resolver las ecuaciones
a) x + 8 = –9 b) 4x = –20 c) 3x – 6 = 21
Solución
a) Esta ecuación es de la forma x + a = b. Pasamos el 8 con operación contraria
es decir con –8.
x + 8 = –9
x = –9 – 8
x = –17
178
b) Esta ecuación tiene la forma ax = b. En este caso, el término a está
multiplicando a la incógnita. Por lo tanto, debe pasar al otro miembro a
dividir.
20
x=− ;
4x = –20;
x = –5
4
Enlace web
Ingresa a
bit.ly/2yBYonX
y practica.
c) Esta ecuación tiene la forma ax + b = c. En este caso, primero pasamos
el término que no tiene la incógnita al otro miembro, para luego pasar
el término que multiplica a la incógnita. Así:
3x – 6 = 21; 3x = 21 + 6; 3x = 27; x =
27
;x=9
3
Ejemplo 2
Resolver la ecuación ( x − 3)( x + 2) − 6 x = ( x − 1) − 17
2
Solución
x 2 − x − 6 x − x 2 + 2 x = 1− 17 + 6
Desarrollamos los productos notables.
Trasponemos los términos que contienen
a la incógnita.
−5 x = −10
Reducimos términos semejantes.
x 2 − x − 6 − 6 x = x 2 − 2 x + 1− 17
−x = −
10
5
Pasamos 5 a dividir.
x =2
Cuando la ecuación tiene coeficiente fraccionario, se busca el mcm de los
denominadores; lo dividimos para cada denominador y multiplicamos por
el denominador. Al pasar el mcm del primer miembro al segundo miembro,
este se simplifica y la ecuación deja de tener denominadores y se la resuelve
siguiendo las reglas anteriores.
Recuerda que...
Una ecuación puede
ser comprobada. Para
ello se reemplaza el
valor obtenido de
la incógnita en la
ecuación y se verifica
la veracidad de la
igualdad.
6x – 13 = 23
Ejemplo 3
Resolver la ecuación 1 x − 4 = 2 − 4 x .
2
3 5
Solución
Determinamos el mcm; en este caso es 30.
15 x − 40 12 − 120 x
=
30
30
Dividimos el mcm para cada denominador
y multiplicamos por los numeradores.
15 x − 40 =
Pasamos el mcm del primer miembro al segundo.
15 x + 120 x = 12 + 40
Simplificamos.
Trasponemos los términos que contienen la incógnita
al primer miembro y los números al segundo.
x=
6x = 36
36
6
x=6
x =
1
4 2
x − = − 4x
2
3 5
12 − 120 x
× 30
30
15 x − 40 = 12 − 120 x
6x = 23 + 13
Comprobación
6(6) – 13 = 23
36 – 13 = 23
23 = 23
52
135
179
Taller Taller
Evaluación formativa
Evaluación formativa
1. Encuentra el valor de x.
5. Resuelve las ecuaciones.
a) x + 10 = 29
a)
X
6 Kg
4 Kg
Archivo Editorial, (2020).
b)
X X
8 Kg
2. Observa las imágenes y luego responde.
b) 6 x = 48
Archivo Editorial, (2020).
c) 10 x − 2 = 28
d)
4
1 2 3
y− = − y
5
2 4 10
¿Cuántos plátanos equilibran a una papaya?
3. Selecciona las afirmaciones correctas.
a) Una ecuación es una igualdad.
b) Una ecuación tiene tres miembros.
6. Resuelve las ecuaciones y luego comprueba.
a) x − 8 = 36
c) Un término que está sumando en un miembro
de una ecuación pasa al otro a dividir.
d) En la ecuación 3y = 4, al trasponer 3 al otro
miembro, obtenemos y = 4 × 3.
4. El valor de x que satisface a la ecuación es:
–6x = 2
180
b) 16 + 13 x = 20 − x
M.4.1.10. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en Z en la solución de problemas.
c)
x+
4 10
=
3 3
7. Desarrolla productos y luego resuelve.
a)
(2 x − 1)( x + 3) − 1= 2 x 2 + 1
b) 3 ( x + 4 ) − 3 ( x − 6 ) = 36
2
d) 9 x = 27
8. Resuelve las ecuaciones con coeficientes fraccionarios.
e) 14 x = −56
f) −62 x = 31
g)
x
=3
4
a)
3
2 3
3
x− = x+
4
7 2
14
2 4
x 7
b) − + x − 1= +
5 3
6 15
c)
3
5 3 5
x+ = − x
8
4 2 2
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
9. Trabajen en parejas y resuelvan.
10. Investiga sobre la propiedad de uniformidad
que se cumple en las ecuaciones, aplícala en
la resolución de una ecuación y expón la clave.
Formulen una ecuación de la forma x + a = b
y ax = b. Luego, intercambien con otra pareja
para su resolución.
Puedes revisar el siguiente enlace web.
bit.ly/2LXrWoB
181
Resolución de problemas con
ecuaciones de primer grado
Tema 2
Saberes previos
Shutterstock, (2020). 185667425
Resuelve las ecuaciones:
–7+2x = 11
7 3
1
x −5= + x
4
2 8
14x – 6 = 8x + 18 3
El tiempo musical de una fusa más el tiempo de una semicorchea es . Si el
8
tiempo de la semicorchea es el doble del de la fusa, ¿cuáles son los tiempos de las
dos figuras musicales?
Figuras musicales en el
pentagrama.
Este problema se puede resolver por medio de una ecuación. Para poder plantearla,
es necesario traducir el lenguaje común al lenguaje algebraico, observando la
asignación adecuada de la incógnita.
¿Sabías qué?
Las figuras musicales
indican la duración del
sonido. Colocadas en el
pentagrama, indican la
altura.
De la condición de que el tiempo de la semicorchea es el doble del de la fusa,
concluimos que:
Las figuras musicales
son redonda , blanca
Ahora tomemos la condición de la suma de los tiempos musicales, la cual nos
permite plantear la ecuación.
Tiempo musical de la fusa x.
Tiempo musical de la semicorchea 2x.
, negra , corchea
, semicorchea
fusa
y semifusa
x + 2x =
,
3
8
Una vez planteada la ecuación, procedemos a resolverla.
.
El tiempo musical de
estas figuras se mide en
pulsos.
3x =
3
8
x=
3
8 ⋅3
x=
1
8
Es conveniente comprobar el valor obtenido de la incógnita.
3
x + 2x = ;
8
1
1
3
+2
= ;
8
8
8
1 2 3 3 3
+ = ;
=
8 8 8 8 8
Como el valor satisface a la ecuación, procedemos a interpretar la solución.
x representa el tiempo de la fusa.
Entonces el tiempo de la fusa es
1.
8
El tiempo de la semicorchea se obtiene al reemplazar el valor de x en 2x.
2
1
1
= .
8
4
Por lo tanto, el tiempo musical de la semicorchea es
182
1
.
4
Ejemplo 1
Recuerda que...
Traducir las expresiones a lenguaje algebraico.
a) Tres números consecutivos
c) Números impares
b) Números pares
d) La mitad de un número
Solución
a) Asignamos a x como el primer número.
x; x + 1; x +2.
b) Cualquier número que tenga x al multpliplicar por 2.
2x
c) La expresión 2x permite tener un número par. Al sumarle la unidad, la nueva
expresión permitirá obtener un número impar. Por lo tanto, la expresión
que representa a un número impar es: 2x + 1.
d) Si asignamos con x al número, obtenemos la mitad al dividir por 2. Entonces
la expresión es x .
2
Ejemplo 2
En la resolución de un
problema se deben
tener en cuenta los
siguientes pasos:
Leer detenidamente el
problema.
• Identificar los datos y
representarlos usando
lenguaje algebraico.
• Plantear la ecuación.
• Resolver la ecuación.
• Comprobar la
ecuación.
• Interpretar la solución.
Las dos terceras partes de la edad de un padre exceden en 12 años a la edad de
su hijo. Hace 3 años la edad del padre era el doble que la edad del hijo. Hallar las
edades de ambos.
Solución
Edades
Hace 3 años
Actualidad
Hijo
x
x+3
Padre
2x
2x + 3
Archivo Editorial, (2020).
Planteamiento de la ecuación
Expresamos las dos terceras partes de la edad actual del padre y le restamos 12
años, de manera que se equilibre con la edad actual del hijo.
Enlace web
Refuerza tu
conocimiento y
practica ingresando al
siguiente enlace web:
bit.ly/2MC0WKM
2
(2 x + 3) − 12 = x + 3
3
Resolución de la ecuación
4
6
2
(2 x + 3) − 12 = x + 3; x + − 12 = x + 3; 4 x + 6 − 36 = 3 x + 9
3
3
3
4 x − 3 x = 36 + 12 − 9; x = 39
Comprobación
162
2
− 12 = 42; 54 − 12 = 42; 42 = 42
(2 ⋅ 39 + 3) − 12 = 39 + 3 ;
3
3
Interpretación
Edad del hijo: 39 + 3 = 42 años
Edad del padre: 2 (39) + 3 = 81 años
183
Taller Taller
Evaluación formativa
Evaluación formativa
1. Traduce a lenguaje algebraico.
Lenguaje común
Lenguaje algebraico
3. Plantea ecuaciones para cada situación.
a) El doble de un número sumado con 4 es 22.
El triple de un número
b) La suma de 4 números múltiplos consecutivos
de 5 es 70.
Un número aumentado
en cinco
La cuarta parte de un
número
El cuadrado de un
número
c) Al restar de 15 la mitad de un número, se
obtiene 6.
El cuádruplo del cubo de
un número
El doble de la suma de un
número con cuatro
d) El exceso de un número sobre 100 es 46.
Tres números
consecutivos pares
Un múltiplo de seis
e) La suma de un número con su anterior y
posterior es 84.
Dos números múltiplos
consecutivos de once
El resultado de restar un
número de veintitrés
4. Resuelve los siguientes problemas.
2. Completa la tabla.
Lenguaje algebraico
x
3
Lenguaje común
a) Entre tres hermanos se reparten $ 260. El
menor recibe el doble que el mediano y este
el cuádruplo del mayor. ¿Cuántos dólares
recibe cada uno?
x–1
4x
2
x
5
2x + 1, 2x + 3
4–x
x; x + 1
2x − x2
184
b) Determina cuatro números múltiplos de 4
y consecutivos cuya suma es igual al doble
del menor de los cuatro números.
M.4.1.21. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q de manera algebraica.
c) Si a la edad de Susana se le suma su tercera
parte, se obtiene la edad de Alberto. ¿Cuál es
la edad de Susana si Alberto tiene 36 años?
f) De un tanque de reserva de gasolina se han
consumido las 13 Si se añaden 12 galones
16
y un cuarto, el tanque se llena hasta las 4
5
partes de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad
del tanque?
d) Una madre tiene 26 años y su hijo 5. ¿Cuántos
años deben transcurrir para que la edad de la
madre sea cuatro veces la edad del hijo?
g) En un rectángulo la base mide 12 cm más que
la altura y el perímetro mide 48 cm. ¿Cuáles
son las dimensiones del rectángulo?
e) La edad de Roberto es tres veces la edad de
su hermana Martha. En cuatro años, la suma
de sus edades será igual a la mitad de la de
su padre. Si el padre tiene en la actualidad 44
años, ¿cuál es la edad actual de Roberto y de
Martha?
h) La diferencia de dos números es 30. Cuando
al mayor de ellos le disminuimos en 14,
obtenemos el triple del menor. ¿Cuáles son
los números?
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
5. Trabajen en parejas y resuelvan.
6. Investiga los tiempos de las otras figuras
musicales y formula un problema similar al
presentado al inicio. Expón en clase.
Formulen un problema que se resuelva con
el planteamiento de la ecuación 3x – 6 = 39.
Resuélvanlo y expónganlo.
185
Shutterstock, (2020). 45601951
Tema 3
Fracciones algebraicas. Simplificación.
Operaciones
Desequilibrio cognitivo
4
¿Es correcto decir que: − 5 = −5 = 5 ?
−4 −4 4
x
Notas musicales.
__________________________________________________________________
¿Sabías qué?
En el pentagrama,
después de la clave se
ubica la denominada
cifra o fórmula de
compás, que es una
fracción sin línea: el
denominador indica
las veces que la figura
musical tomada
de referencia está
contenida dentro de la
redonda, en tanto que
el numerador indica el
número de veces que
ese tiempo tomado está
dentro de un compás.
Recuerda que...
Toda fracción algebraica
tiene tres signos: uno
en el numerador, otro
en el denominador y el
tercero que es propio
de la fracción.
−
−y
+ x2z
+
+ a3
−b2c 5
En una evaluación de música, la docente a cargo ha solicitado que se determine
el valor de x de la cifra de compás. ¿Qué tipo de expresión algebraica utilizó la
docente? ¿Cuál es el valor de la incógnita que los estudiantes debieron asignar?
Como en el denominador la docente usó la letra x, la expresión es una expresión
algebraica racional.
1
El valor de la incógnita es 8, porque el tiempo de la corchea es y el de la redonda
2
es 4. Por lo tanto, el tiempo de la corchea está 8 veces en el tiempo de la redonda.
Fracciones algebraicas son expresiones literales que representan el cociente
entre dos expresiones algebraicas.
Una fracción algebraica puede ser simplificada. En el caso de que las
expresiones algebraicas que la conforman no sean monomios, previamente
serán factorizadas.
Ejemplo 1
Realizar cambios en los signos de la fracción −
Solución
−
ab 4
sin alterarla.
c
− ab 4
ab 4
porque al aplicar la ley de los signos (–)(–)(–), nos da –.
= −
−c
c
Ejemplo 2
Simplificar las fracciones algebraicas:
a) −
2y2z 5
8wy 3 z 4
b)
x 2 + xb
x 2 − b2
Solución
Me refuerzo
Ingresa al siguiente
enlace web:
bit.ly/2YMQg2N
Realiza ejercicios
interactivos y evalúa
tu aprendizaje de
factorización.
186
a) Aplicamos la propiedad de la potenciación de bases iguales.
−
2y2z 5
2 y 2 − 3 z 5− 4
y −1z
z
=
−
=
−
=
3 4
8wy z
8w
4w 4wy
b) Factorizamos la expresión del numerador y la del denominador
y simplificamos.
x 2 + xb
x (x +b )
x
=
=
2
2
x − b ( x + b )( x − b ) x − b
Recuerda que...
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas, debemos determinar el mcm de
las expresiones algebraicas que se encuentran en el denominador. Luego
dividimos el mcm para cada denominador y a ese resultado lo multiplicamos
por cada numerador. Reducimos términos semejantes, y simplificamos si es
posible.
Ejemplo 3
Realizar la operación
Solución
3
2y +1
6y
+ 2
− 2
y − 2 y + 4y + 4 y − 4
El mcm entre
x 2 − 2x − 15 y
3
2y +1
6y
3
2y +1
6y
+
=
+ 2
− 2
2 −
y − 2 ( y + 2) ( y + 2)( y − 2)
y − 2 y + 4y + 4 y − 4
2x 3 − 20x 2 + 50x ,
toda vez que
3( y + 2) + ( y − 2)( 2 y + 1) − 6 y ( y + 2)
2
=
=
=
(
x 2 − 2x − 15 = ( x + 3)( x − 5)
( y + 2)2 ( y − 2)
)
x 2 − 2x − 15 = ( x + 3)( x − 5)
3 y + 4 y + 4 + 2 y + y − 4 y − 2 − 6 y − 12 y
2
2
2
2x 3 − 20x 2 + 50x = 2x ( x − 5)2
( y + 2)2 ( y − 2)
2x 3 − 20x 2 + 50x = 2x ( x − 5)2 , es
3 y 2 + 12 y + 12 + 2 y 2 + y − 4 y − 2 − 6 y 2 − 12 y
( y + 2)2 ( y − 2)
− y 2 − 3 y + 10
=
−( y + 5)( y − 2)
( y + 2) ( y − 2) ( y + 2) ( y − 2)
2
2
El mcm de expresiones
algebraicas se obtiene
al multiplicar los
factores comunes con
el mayor exponente
por los factores no
comunes. Por lo tanto,
es necesario que las
expresiones hayan
sido factorizadas
previamente.
2x ( x − 5)2 ( x + 3).
=−
y +5
( y + 2)2
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Factorizamos las expresiones del numerador y del denominador de cada
fracción y simplificamos los factores comunes en cruz.
Si se trata de una división, invertimos la fracción y convertimos a la división en
multiplicación.
Ejemplo 4
Realizar la operación
x 2 −2 x − 15 3 x 2 − 15 x
x
⋅ 2
÷ 2
2
x − 25 x + x − 6 x − 4 x + 4
Solución
x 2 −2 x − 15 3 x 2 − 15 x x 2 − 4 x + 4
⋅
⋅
x 2 − 25 x 2 + x − 6
x
Convertimos la división en multiplicación.
( x − 5)( x + 3) 3 x ( x − 5) ( x − 2)2 3( x − 5)( x − 2)
⋅
⋅
=
x
( x − 5)( x + 5) ( x + 3)( x − 2)
( x + 5)
Factorizamos y simplificamos
187
Taller Taller
Evaluación formativa
Evaluación formativa
1. Escribe (V) si la igualdad es verdadera, y (F) si es
falsa.
x −x
a) − =
(
)
y
y
b)
a
−a
= − (
−b
b
c)
a ( −b )
ab
=
cd ( − c )( − d )
d) −
m
m
=
n− r r − n
2. Simplifica los monomios.
a)
)
(
)
(
)
b)
x 2 − 25
=
x 2 + 2 x − 15
c)
x2 − y2
=
zy + y + xz + x
d)
90 x 2 y 4 z 2
=
9 xy 2 z
x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
=
x 2 + xy − y 2
2 3 4
b) 14 a b c =
42abc 3
4. Encuentra el mcm de cada grupo de expresiones
monómicas.
3 4 5
2 3 5
3 6 9
a) 20 x y z ; 30 x y z ; 70 x y z
c)
8 x 2 y 5z3
=
64 x 5 y 7 z
2 5 8
3 2 5
7
b) 7 x y z ; 49 x y z ; 21xyz
81x m+1y n−1
d)
27 x m−1y n+1
5. Encuentra el mcm.
a) x 2 + 6 xy + 8 y 2 ; x 2 − 16 y 2 ; x 2 + 7 xy + 12 y 2
3. Factoriza y luego simplifica.
a)
188
a2 − 6a + 9
=
a2 − 9
b)
( x − 3)2 ; ( x 3 − 27 ) ; x 2 + 5 x − 24
M.4.1.22. Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer
grado con una incógnita en Q, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
6. Realiza las operaciones indicadas.
a)
3
2
1
+
+
a −1 a − 2 a
2
2
d) 6m − 11m − 21⋅ 9m + 3m − 2 ÷ m − 3
3m2 + 11m − 4 30m2 − 41m − 7 5m + 1
b)
8. Resuelve los ejercicios y comprueba las igualdades.
x −7
x −7
x −1
⋅
⋅
2
( x − 7 )( x − 1) 7 + 6 x − x 2 ( x − 1)
2
c)
x 2 −1
x2 +x
entre
x
x3
1
m − 2 m + 5m − 14
⋅
⋅
m + 5m − 14 m3 − 8 m2 + 2m + 4
2
2
7. Desarrolla los productos y cocientes.
a)
a)
x +1
1 x2 + x
⋅
⋅
x2 + 2x +1 x x + 2
b)
a 2 − 2a − 15
a2 + a − 6
entre
a 2 − 3a − 10
a2 − a − 2
c)
1
x 2 y 2 −1
xy
xy
=
1
xy − 1
1−
xy
xy
xy −
b)
x 2 − 4 xy − 5 y 2
x 2 − 5 xy
÷
28 x 2 + 11xy + y 2
4x + y
d)
c)
a2 + a − 2
a+4
a−4
⋅ 2
⋅ 2
a + 4 a − 4a + 3 a − a − 6
m −1
m 2 + m − m +1
m +1 =
m +1
m 2 −1
(m + 1)(m − 1)
m −1
m −1
m−
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
9. Trabajen en parejas y resuelvan.
10. Investiga el proceso que se debe seguir para
resolver la potenciación de fracciones algebraicas. Expón un ejemplo en clase.
Simplifiquen la fracción compleja:
x
x −1
x3 + x2
x −1
x+
189
Tema 4
Intervalos e inecuaciones
Shutterstock, (2020). 428655181
Saberes previos
Ubica los signos > o <, según corresponda.
5
8
3× 4
Partitura.
− 10
42 ÷ 2
12 − 14
43 − 3
2
100 − 94
24 + 4 2
Las imágenes muestran una parte de las partituras de dos obras musicales. Cada
imagen corresponde a un compás; los dos compases usan la negra como figura
musical de referencia ¿Cuál es la fórmula de compás de cada una de las partituras?
Al comparar las dos fórmulas de compás, ¿qué conclusión podemos emitir?
¿Sabías qué?
Para el primero y segundo compás, la fracción de compás tendrá como
denominador el 4, pues ese es el número de veces que la negra está contenida
en la redonda.
Los compases son
unidades de medición
de tiempo. Son
segmentos rítmicos de
una obra musical que
están conformados por
una cantidad de figuras
musicales.
En el primer compás, el tiempo 1 de la negra se repite 4 veces, por tanto, la fracción
sería 4 . En el segundo compás se observa que ese tiempo se repite 6 veces.
4
Entonces la fracción es 6 .
4
Al comparar las dos fórmulas de compás, concluimos que la primera es menor a la
segunda. Matemáticamente es: 4 < 6
4 4
Para separar los
compases se usa
una línea vertical
que atraviesa el
pentagrama.
Recuerda que...
Toda inecuación es una
desigualdad, pero no
toda desigualdad es
inecuación.
Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones no
son iguales: a > b (a y b∈R)
La desigualdad que contiene una incógnita se llama inecuación: 2x – 1 < 7
La solución de una inecuación se expresa en forma de intervalo.
Intervalo
Inecuación
(a, b)
a<x<b
[a, b]
a≤x≤b
[a, b)
a≤x<b
(a, b]
a<x≤b
(a, ∞)
x>a
[a, ∞)
x≥a
(–∞, b)
x<b
(–∞, b]
(–∞, ∞)
190
−7
x≤b
–∞ < x < ∞
Representación gráfica
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aaaa-
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
b++
b+
b
b+
b
b
b
b
b
b
b+
b
b
b++
b+
b+
-
+
+
-
+
-
+
-
Archivo Editorial, (2020).
En la resolución de una inecuación es necesario aplicar las propiedades de las
desigualdades.
Si a < b < c , entonces a <c.
Si a < b y c > 0, entonces
a b
ac < bc y < .
c c
Si a < b , entonces
a+ c < b + c y a − c < b − c .
Si a < b y c < 0, entonces
a b
ac > bc y > .
c c
Archivo Editorial, (2020).
Propiedad
Recuerda que...
• Al igual que las
ecuaciones, en
las inecuaciones
podemos trasponer
términos en la
resolución. Lo que
no debemos olvidar
es la propiedad de
multiplicación por un
número negativo.
• Inecuaciones de la
forma
−6 > 2 x + 4 ≥ −10
Ejemplo 1
Resolver la inecuación aplicando propiedades. Expresar la respuesta en forma de
intervalo.
−2 x − 5 ≥ −4 x + 3
se denominan
inecuaciones
continuas y se
pueden resolver
simultáneamente.
−6 − 4 > 2 x + 4 − 4 ≥ −10 − 4
Solución
−6 − 4 > 2 x + 4 − 4 ≥ −10 − 4
−2 x − 5 ≥ −4 x + 3
−2 x − 5 + 5 + 4 x ≥ −4 x + 3 + 5 + 4 x
−10 > 2 x ≥ −14
10 2
14
> x ≥−
2 2
2
2x ≥ 8
−
2x 8
≥
2 2
−5 > x ≥ −7
x ≥ 4 Solución 4;
+
Solución [−7; −5[
Ejemplo 2
3
x
1
Resolver la inecuación − − 3 < x + por transposición de términos.
2
2
4
Solución
3
x
1
− −3< x +
2
2
4
3 x con signo negativo y –3 con signo positivo.
Pasamos —
2
x 3
1
− − x < +3
2 2
4
Reducimos términos semejantes
Imprime la página 4 del
siguiente link y refuerza
tu conocimiento
resolviendo inecuaciones.
Multiplicamos por –2.
bit.ly/2Kk3r1M
−2 x <
1
2
x<
13
4
2x <
Me refuerzo
1 13
2 4
13 Solución
8
;
13
8
191
Taller Taller
Evaluación formativa
Evaluación formativa
1. Determina la desigualdad que se obtiene si
–10 < –6.
e) −2 ≤ x ≤ 5
a) Se le suma 5 a ambos lados.
f) 6 ≥ x ≥ − 10
b) Se le resta 8 a ambos lados.
g) −4 ≤ x < 8
c) Se le resta –2 a ambos lados.
h) −6 > x ≥ − 12
d) Se le multiplica por 4.
3. Determina la desigualdad que representa cada
intervalo.
e) Se le multiplica por –3.
f) Se le multiplica por –1.
g) Se le divide por 2.
2. Expresa cada desigualdad como un intervalo
y haz su gráfica.
a) [ −2 , 5]
b) ] − 4 , − 1]
c) ] − 2 , 5[
d) [ −80 , − 20[
a) x ≥ 4
b) x ≤ − 2
c)
x > −8
d) x < 6
192
1
e) ] − ∞ , ]
2
f) ] −∞, − 8[
g) ]0,3 ; ∞ + [
M.4.1.11. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita en ℤ, de manera analítica, en la solución de ejercicios
numéricos y problemas. M.4.1.39. Representar un intervalo en ℝ de manera algebraica y gráfica, y reconocer el intervalo como la
solución de una inecuación de primer grado con una incógnita en ℝ.
4. Resuelve las inecuaciones y expresa la solución
en forma de intervalo.
a) x + 2 ≥ 7
5. Desarrolla los productos. Luego soluciona la
inecuación y representa la solución en forma
gráfica.
a)
( x + 6 )( x + 3) ≥ ( x + 1)( x − 1)
b)
(2 x + 1)( x + 4 ) < ( x + 5)2 + x 2
b) x − 5 ≥ −3
c)
x − 10 ≤ 5
6. Resuelve las inecuaciones continuas.
a) 4 x + 1 ≥ 3 x − 5 > 10 − 7 x
d) 2 x ≥ 10
e) x < −1
f) −4 x < 6
b) 5 >
2 − 3x
> −1
7
g) 2 x − 7 ≤ − x + 14
h) 6 x − 10 ≤ −2 − 10 x
i)
1
c) 2 > 4 − x > 0
2
2 x + 7 − x > 4 x + 16
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
8. Investiga tres enunciados que pueden ser
representados por una desigualdad. Comparte
tu investigación con la clase.
Ejemplifiquen las propiedades 2, 3 y 4 de las
desigualdades en la resolución de inecuaciones
continuas de tres ejemplos. Expongan en
clase.
193
Tema 5
Medidas de dispersión con datos
agrupados
Desequilibrio cognitivo
Shutterstock, (2020). 435505567
De los valores que se muestran a continuación, ¿qué valor está más alejado y cuál
es el más cercano a 62?
120
Examen de una partitura.
211
56
112
209
68
115
70
46
Los resultados de un examen de música, calificado sobre 80 puntos, se muestran
organizados en la siguiente tabla de frecuencias. Analizar la variabilidad de los
datos.
Calificaciones del examen de música
Recuerda que...
Las medidas de
tendencia central
(media, mediana
y moda) solo nos
indican una parte de
la información que
necesitamos acerca de
las características de los
datos. Para entender
mejor el patrón de los
datos, debemos medir
también su dispersión,
extensión o variabilidad.
Logramos eso con las
medidas de dispersión.
Calificaciones
fi
[43 – 47)
6
[47 – 51)
10
[51 – 55)
2
[55 – 59)
16
[59 – 63)
12
[63 – 67)
20
[67 – 71)
24
[71 – 75)
6
[75 – 78]
4
Archivo Editorial, (2020).
¿Sabías qué?
La dispersión es una
medida que reporta
cuánto se extienden los
datos alrededor de un
valor medio.
Para realizar el análisis es necesario definir las medidas de dispersión de datos
agrupados.
Las más utilizadas son:
Rango: R = x n − x1
Glosario
rango. Es la diferencia
entre el valor máximo y
el mínimo en nuestros
datos.
varianza. Es el
promedio de los
cuadrados de las
distancias de cada
marca de clase a la
media.
194
∑f ( x − x )
2
Varianza: σ 2 =
i
N
Desviación típica: σ =
∑f ( x − x )
Desviación media: DM =
∑f
2
i
N
i
x−x
N
σ
⋅100 %
x
DM
Coeficiente de variación de DM: CVM =
⋅100 %
x
Coeficiente de variación: CV =
x
fi
x ⋅ fi
x−x
fi ( x − x )2
fi x − x
[43 – 47)
45
6
270
–17,12
1 758,57
102,72
[47 – 51)
49
10
490
–13,12
1 721,34
131,2
[51 – 55)
53
2
106
–9,12
166,35
18,24
[55 – 59)
57
16
912
–5,12
419,43
81,92
[59 – 63)
61
12
732
–1,12
15,05
13,44
[63 – 67)
65
20
1 300
2,88
165,88
57,6
[67 – 71)
69
24
1 656
6,88
1 136,03
165,12
[71 – 75)
73
6
438
10,88
710,25
65,28
[75 – 79]
77
4
308
14,88
885,66
59,52
100
6 212
6 978,56
695,04
∑ x .f
x=
Archivo Editorial, (2020).
1
N
6 212
;x =
; x = 62,12
100
Rango R = x n − x1; R = 79 − 43; R = 36
Varianza
∑f ( x − x )
2
σ2=
i
; σ2=
N
Matemática con
demografía
El gráfico muestra la
comparación entre dos
poblaciones que tienen
una misma media
aritmética.
Población A
Población B
X
edades
Archivo Editorial, (2020).
Calificaciones
Conexiones
fi (habitantes)
De acuerdo con los requerimientos de las fórmulas, creamos en la tabla de
frecuencia una columna para registrar f1, que nos servirá para calcular la media
aritmética. Además creamos columnas para registrar los otros requerimientos.
La población A muestra
menos dispersión en
sus datos con relación
a la población B.
Enlace web
Amplía tu conocimiento sobre medidas de
dispersión revisando el
siguiente enlace web:
bit.ly/2YIjbVm
6 978,56 2
; σ = 69,79
100
Al comparar con la media aritmética, observamos que no es un valor tan alejado.
Desviación típica
∑f ( x − x )
2
σ=
i
N
; σ = 69,79 ; σ = 8,35
Desviación media
DM =
∑f
i
x−x
N
; DM =
695,04
; DM = 6,95
100
Coeficiente de variación
CV =
σ
8,35
⋅100 %; CV =
⋅100 % = 13, 44 %
x
62,12
Coeficiente de variación de la desviación media
DM
6,95
CVM =
⋅ 100%; CVM =
⋅ 100%; CVM = 11,19%
x
62,12
Glosario
desviación estandar.
Es la raíz cuadrada de
la varianza, también
se conoce como
desviación típica.
desviación media. Es
la media aritmética de
los valores absolutos
de las desviaciones con
respecto a la media
aritmética.
coeficiente de
variación. Es la razón
entre la desviación
estándar y la media.
195
Taller Taller
Evaluación formativa
Evaluación formativa
1. Selecciona las unidades que indican la variabilidad
en un grupo de datos.
Media
Desviación típica
Moda
VarianzaMediana
Num. Estudiantes
Archivo Editorial, (2020).
Edades de los miembros de una familia
Rango
2. Selecciona la gráfica que muestra mayor dispersión.
Escuela 3
Escuela 2
Escuela 1
X
5. Completa la tabla. Luego calcula las medidas de
dispersión propuestas y emite una conclusión.
Calificaciones
3. Une con líneas según corresponda.
x
Edades
[0 – 10)
5
x ⋅ fi x − x fi ( x − x )2 fi x − x
fi
8
40
–25
5 000
200
[10 – 20) 15
6
90
–15
1 350
90
[20 – 30) 25
8
–5
200
40
[30 – 40) 35
6
5
150
30
[40 – 50)
9
15
2 025
135
[50 – 60)
2
25
1 250
50
[60 – 70)
2
35
2 450
70
[70 – 80)
1
45
2 025
45
14 450
660
∑ fi x − x
CV =
N
∑f ( X − X )
2
σ2
1
N
DM =
χ n − χ1
x=
σ
⋅100 %
CVM =
χ
DM
⋅100 %
σ
X
∑f ( X − X )
2
R=
1
N
4. Calcula el rango del grupo de datos recolectados
sobre la edad por un grupo de personas.
20
14
30
70
12
15
18
24
48
10
52
46
72
34
40
25
8
34
28
66
31
45
31
48
∑ x .f ; x =
1
; x=
N
R=
R=
R=
σ2 =
σ2 =
σ2 =
σ=
σ=
σ=
DM =
DM =
DM =
CV =
CV =
⋅100 % =
CVM =
CVM =
CVM =
Conclusión: ______________________________
196
M.4.3.7. Calcular e interpretar las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y medidas de dispersión (rango, varianza
y desviación estándar) de un conjunto de datos en la solución de problemas.
6. Calcula las medidas de dispersión de cada grupo
de datos y contesta.
Calificaciones alcanzadas
a)
Calificaciones
i
[50 – 57]
5
[57 – 64]
4
[64 – 71]
15
[71 – 78]
12
[78 – 85]
14
[85 – 92]
6
[92 – 99]
7
Calificaciones alcanzadas en una
prueba de conducción
Calificaciones
x
fi
b)
Puntos perdidos por un grupo
de conductores
Puntos
i
[0 – 2]
6
[2 – 4]
11
[4 – 6]
10
[6 – 8]
6
[8 – 10]
10
[10 – 12]
7
Puntos perdidos por un grupo
de conductores
Puntos
x
x ⋅ fi x − x fi ( x − x )2 fi x − x
fi
x ⋅ fi x − x fi ( x − x )2 fi x − x
X = R=
X = R=
σ = σ=
2
σ = σ=
DM = CV =
DM = CV =
2
CVM =
• ¿Qué indican los coeficientes de variabilidad?
____________________________________
CVM =
• ¿Qué indican las medidas de dispersión?
_____________________________________
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
7. Trabajen en parejas y resuelvan.
8. Investiga qué es el rango intercuartílico y
cómo se calcula. Luego, determínalo para uno
de los ejercicios realizados.
Calculen las medidas de dispersión de los
datos recolectados de la estatura de los
estudiantes del curso.
197
Estrategias para resolver problemas
Hacer un esquema y plantear una ecuación
Problema resuelto
Problema propuesto
Dos ciclistas avanzan uno hacia el otro por una
misma carretera. Sus velocidades son de 15 km/h
y de 20 km/h. Si los separan 105 km, ¿cuánto
tardarán en encontrarse?
Dos autos avanzan uno hacia el otro por una misma
carretera. Sus velocidades son de 45 km/h y de
30 km/h. Si los separan 200 km, ¿cuánto tardarán
en encontrarse?
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿Con qué velocidades viajan los ciclistas?
¿Con qué velocidades viajan los autos?
Primero: 15 km/h Segundo: 20 km/h
Auto 1: ______________ Auto 2:______________
¿Qué distancia los separa? ___________________
2. Plantear la estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
Elaboramos un esquema que nos permita
visualizar la relación entre las distancias que
recorrerán los ciclistas y planteamos una ecuación,
e
tomando en cuenta la fórmula t= —
v que permite
calcular el tiempo que se tarda un móvil cuando
lleva velocidad constante.
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
105 km
200 km
105 - x
15 km/h
Punto de encuentro
20 km/h
x
x
15
105 − x
Tiempo segundo ciclista: t =
20
Tiempo primer ciclista: t =
x 105 − x
Como los tiempos son iguales, tenemos: =
15
20
Resolvemos la ecuación:
x 105 − x
; 20x = 15(105 − x ); 20x = 1575 − 15x
=
15
20
1575
20x + 15x = 1575; 35x = 1575; x =
; x = 45
35
Reemplazamos x en cualquiera de las dos
ecuaciones:
x
45
t = ; t = ; t =3h
15
15
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
198
______________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
___________________________ _____________
Los ciclistas se encontrarán 3 horas después de su
partida.
45 km/h
x
200 - x
Punto de encuentro
30 km/h
Tiempo auto 1:
Tiempo auto 2:
Como se demoran el mismo tiempo, tenemos:
Resolvemos la ecuación:
Reemplazamos x en cualquiera de las dos ecuaciones:
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
_________________________________________
___ ______________________________________
Archivo Editorial, (2020).
Archivo Editorial, (2020).
¿Qué distancia los separa? 100 km
2. Plantear la estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
1. Un móvil se traslada de este a oeste con una velocidad de 20 km/h; otro móvil se traslada de oeste
a este a una velocidad de 30 km/h. Si los separan
250 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse?
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
2. Dos buses van a su encuentro. Para esto, se desplazan en diferentes velocidades y en diferentes sentidos. Sus velocidades son de 50 km/h y de 70 km/h.
Si los separan 280 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse?
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
d) Responder
_____________________________________
_____________________________________
3. Dos vehículos salen al encuentro desde dos ciudades diferentes, que distan 750 km. El primer vehículo va a una velocidad de 90 km/h, mientras
el segundo lo hace a una velocidad de 60 km/h.
Calcula el tiempo en que se encontrarán.
4. Luis sale de su casa y camina a 6 km/h, y Mateo
sale de su casa y va en bicicleta a 24 km/h. Si los
dos tienen que encontrarse y lo hacen a una distancia de 8 km, ¿en qué tiempo se encuentran?
a) Comprender el problema
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
199
Proyecto
Nuestra riqueza musical
Es nuestra responsabilidad mantener vivas las tradiciones
musicales. Aun cuando vivamos en un mundo globalizado
que nos ofrece un sinfín de géneros musicales de los
cuales podemos gustar, es menester fortalecer nuestra
identidad no permitiendo que se olvide nuestro legado
musical.
Objetivo
Shutterstock, (2020). 162957101
Poseemos muchos ritmos autóctonos, como el capishca
que es el más original y auténtico por sus raíces indígenas,
los afinados de guitarra característicos de las fiestas del
solsticio de junio, la marimba esmeraldeña, entre otros
que, con el pasar del tiempo, se han dejado de tocar.
Shutterstock, (2020). 1011225598
Los ecuatorianos poseemos una riqueza musical inmensa,
que data desde los tiempos precolombinos; así lo
demuestran los instrumentos musicales que se exhiben
en los museos.
Shutterstock, (2020). 126336095
Justificación / problemática
Informar sobre los instrumentos y géneros musicales ecuatorianos a través de una exposición para fortalecer
nuestra identidad.
Recursos
•
Imágenes
•
Grabadora con puerto USB
•
Flash memory,
•
Investigación sobre los instrumentos y
géneros musicales ecuatorianos.
Actividades
•
Realiza una investigación sobre los instrumentos y géneros musicales ecuatorianos.
•
Elabora carteles con las imágenes de los instrumentos musicales.
•
Crea un archivo con, por lo menos, cinco ritmos musicales ecuatorianos.
•
Expón frente a un grupo de estudiantes de otro paralelo la descripción de los cinco géneros musicales (a
medida que expongan, permitan que el público los escuche) y de los instrumentos cuyas imágenes se
elaboraron.
Evaluación
1. Elabora con anticipación una prueba con ítems de selección de los géneros musicales y de identificación
de los nombres de los instrumentos autóctonos del Ecuador, de manera que se obtenga una calificación
de 10 puntos.
2. Aplica la evaluación, tabula los datos obtenidos, organízalos en una tabla de frecuencia de datos
agrupados y calcula las medidas de dispersión.
200
Desarrollo del pensamiento
Cuadrados mágicos
1
19
•
9
17
11
9
19
12
17
18
9
15
11
15
12
18
15
Archivo Editorial, (2020).
Completa los cuadros con números del 1 al 9, de manera que al sumarse en sentido horizontal, vertical
y diagonal haya correspondencia con el número indicado.
Completa los cuadros con números del 11 al 19, de manera que al sumarse en sentido horizontal, vertical
y diagonal haya correspondencia con el número indicado.
17
44
44
47
50
43
42
45
50
45
43
45
42
43
40
52
40
Archivo Editorial, (2020).
•
Cálculo mental
Multiplicar por 5 y 25
Ahora hazlo tú
10
, multiplicar un número por 5 es lo
2
mismo que dividirlo por 2 y multiplicarlo por 10.
a) 48 × 5 = i) 16 × 25 =
b) 76 × 5 = j) 32 × 25 =
c) 21 × 5 = k) 42 × 25 =
d) 64 × 5 = l) 68 × 25 =
e) 82 × 5 = m) 24 × 25 =
f) 38 × 5 = n) 48 × 25 =
g) 27 × 5 = o) 74 × 25 =
h) 55 × 5 = p) 86 × 25 =
Como 5 =
34 × 5 = 34 ×
10 34
= × 10 = 17 × 10 = 170
2
2
100
.
Siguiendo el esquema, tenemos que 25 =
4
Por lo tanto, podemos decir que para multiplicar
un número por 25, basta con dividirlo por 4 y
multiplicar por 100.
28 × 25 = 28 ×
100 28
= × 100 = 7 × 100 = 700
4
4
201
Recuerda y practica
1. Resuelve el polinomio aritmético.
⎛5
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
⎜ 2 − ⎜⎝ 3 ⎟⎠ (3) + 5⎜⎝ 5 ⎟⎠
⎝
⎞ ⎛ ⎛ 1 3 ⎞2⎞
⎟ ÷ ⎜ 2 – ⎜⎝ 5 – 10 ⎟⎠ ⎟
⎠
⎠ ⎝
5. Relaciona la ecuación con su solución.
a) –x + 3 = 4
2. Encuentra el cociente por división sintética
(3y + 6y3 + 10 )÷ (2 + y).
b) 6x + 2 = 3x + 8
c) −
3. Factoriza.
12
x = 24
5
a) 4m2 + 2mp =
x
d)
− 1 = 10
4
b) a 2b 4 − 81c10 =
c)
1 2
x − 5 xy 2 + 25 y 4 =
4
2
e) − x + 8 = −4
3
d) 32a 5n − y 10 =
f)
( x + 1)2 − x ( x − 3) = 6
4. Resuelve la ecuación.
( x + 6 )( x − 5) − 1, 4 = − x (2 − x ) +
3
x
5
g)
( x + 1)( x − 3) + 6 − x 2 + 7 x = 4
202
6. Resuelve los siguientes problemas.
a) La suma de un número impar con su consecutivo par es 60. ¿Cuáles son los números?
b)
a−2
a +a−6
2
c)
2 p2 − p − 6
p2 − 4
b) La suma del doble de un número y su triple es
igual a 60.
a3 − a
2
d) 2a 2 + 6a
5a − 5a
2a + 6
c) La suma de tres números consecutivos es
igual a 75. ¿Cuáles son los números?
d) La suma de la mitad, el doble y el triple de un
número es igual a 110. ¿Cuál es el número?
8. Resuelve las inecuaciones.
a) −1≤ 3 x + 5 < 4
Sol .
7. Simplifica.
a
+a
a −1
a)
a
a
+
2
a −1 a −1
Solución: _____________________________
b) 6 ≥
3 − 5x
>1
4
Sol .
Solución: _____________________________
203
Aplico en la vida cotidiana
Tema: Inventario de papelería
Ecuaciones
Durante la época de inicio de clases, las papelerías se surten de productos y
siempre tienen una persona encargada de llevar un inventario de ventas. Para
tener las cuentas claras de los productos y sus ventas diarias, se utilizan las
ecuaciones.
El miércoles pasado, el encargado de la papelería “El buen papel” surtió el exhibidor con 90 cajas de marcadores. Al final del día, ya habían sido vendidas algunas.
El jueves por la mañana, el encargado de la papelería decidió reponer tantas cajas
de marcadores como las que habían quedado el día anterior. Al final del jueves, se había vendido el mismo
número de cajas de marcadores que el miércoles. Si quedaron 30, ¿cuántas cajas de marcadores se vendieron
el día miércoles?
Reflexiona
•
¿Cuál es la incógnita?
________________________________________________________________________________________
•
¿Cuál es la expresión que representa la cantidad de cajas vendidas el miércoles antes de cerrar la papelería?
________________________________________________________________________________________
•
Comprueba la respuesta.
¿Qué expresión representa las cajas de marcadores el jueves por la mañana?
•
¿Qué otra estrategia de solución puedes aplicar?
Resuelve la situación
•
204
A un partido de fútbol asistieron 2 000 personas entre adultos y niños, y se llegó a recaudar, por concepto de
entradas, un monto de 13 600 USD. Si el precio de la entrada era de 8 USD para los estudiantes y de 5 USD
para niños, ¿cuántos adultos y cuántos niños acudieron ese día?
Shutterstock, (2020). 439393645
Situación cotidiana
Tema: Límites de velocidad
Situación cotidiana
Vehículos
Es importante respetar los límites de velocidad establecidos
en la ley de nuestro
país, para evitar accidentes de tránsito. Por
eso, los conductores
y peatones debemos
informarnos, para no
cometer infracciones
que puedan costar
nuestra vida o la de
otra persona.
Tipo de vía
Límite
máximo
Rango
moderado
Fuera de rango
moderado
Urbana
50 km/h
50 km/h a 60 km/h
Más de 60 km/h
Perimetral
90 km/h
90 km/h a 120 km/h
Más de 120 km/h
Rectas en carretera
100 km/h
100 km/h a 135 km/h
Más de 135 km/h
Curvas en carretera
60 km/h
60 km/h a 75 km/h
Más de 75 km/h
Urbana
40 km/h
40 km/h a 50 km/h
Más de 50 km/h
Perimetral
70 km/h
70 km/h a 100 km/h
Más de 100 km/h
Rectas en carretera
90 km/h
90 km/h a 115 km/h
Más de 115 km/h
Curvas en carretera
50 km/h
50 km/h a 65 km/h
Más de 65 km/h
Urbana
40 km/h
40 km/h a 50 km/h
Más de 50 km/h
Perimetral
70 km/h
70 km/h a 95 km/h
Más de 95 km/h
Rectas en carretera
70 km/h
70 km/h a 100 km/h
Más de 100 km/h
Curvas en carretera
40 km/h
40 km/h a 60 km/h
Más de 60 km/h
Shutterstock, (2020). 262679462
Inecuaciones
Rosa iba en su auto por la vía Perimetral con su amiga Julia, cuando esta le dice: “Si duplicas la velocidad y aumentas en 20 km/h, estarías, aun así, dentro del límite de la velocidad permitida”.
¿Cuál es la velocidad máxima a la que se encontraba manejando Rosa?
Reflexiona
•
¿Crees que se respetan los límites de velocidad en nuestro país?
________________________________________________________________________________________
•
¿Cuáles son las velocidades máximas en la vía Perimetral? ________________________________________
•
Comprueba la respuesta.
•
Si se considera que Rosa conducía con una velocidad de 75 km/h y que, dentro de poco, tomaría una curva
en carretera, ¿cuánto es lo mínimo que debería reducir su velocidad para cumplir con los límites legales
establecidos?
•
Crea un problema en el que utilices las velocidades de un camión en zona urbana.
Resuelve la situación
•
Las edades de dos hermanos suman 24 años. ¿Cuál es la edad mínima que puede tener el hermano mayor?
205
Olimpiadas matemáticas
2
de lo que les
3
debía corresponder si la repartición hubiera sido equitativa. ¿Qué porcentaje de la bolsa de dulces le quedó
al amigo menor?
1. Cuatro amigos se repartieron una bolsa de dulces. Los tres más grandes se quedaron con
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
2. En la figura se muestra un triángulo equilátero
que tiene 9 cm2 de área. Dentro de él se han dibujado líneas paralelas en sus lados, que lo dividen
en tres partes iguales. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
3. En la siguiente figura los círculos son tangentes
(se tocan en un solo punto). Todos estos son del
mismo tamaño y tienen radio igual a 2 cm. ¿Cuál
es el área de la región sombreada?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
206
Recuperado de: http://www.ommenlinea.org
Evaluaciones estandarizadas
4. Lee y analiza.
1. Lee y analiza.
En una encuesta realizada a 300 estudiantes, se
obtuvieron los siguientes resultados:
180 prefieren clases en inglés; 130 prefieren clases
en español; y 40 prefieren clases en ambos idiomas. Si se elige a uno de los estudiantes al azar,
¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que
haya preferido solamente las clases en español?
¿Cuál es el valor de a?
3 10
a
3a
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 60 %
c) 30 %
b) 43,34 %
d) 46,67 %
a) 6
c) 9
b) 3
d)
3
5. Lee y analiza.
4a
a 3
= , ¿cuál es el valor de
?
3b
b 4
Argumenta la respuesta:
Si
2. Lee y analiza.
Si (m – 3)2 = 0, determina el valor de (m + 4)(m – 1)
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 1
c) 12
a) – 4
c) 3
b) 4
d) 15
b) 1
d) 14
3. Lee y analiza.
6. Lee y analiza.
a+4 2
=
a+3 4
Argumenta la respuesta:
Determina el valor de:
Si x2 = 3, ¿a qué número es igual x6?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 3
c) 9
a) 5
c) –5
b) 6
d) 27
b) 4
d) 10
207
10. Lee y analiza.
7. Lee y analiza.
¿Cuál es el número que multiplicado por 2 es 4
unidades menos que 3 veces 6?
20 cm
18 cm
x
Argumenta la respuesta:
26 cm
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a)
12
b) 12 2
c) 12
d) 18
8. Lee y analiza.
¿Qué números continúan la serie?
a) 6
c) 8
b) 7
d) 9
11. Lee y analiza.
La suma de dos números consecutivos es 81. Halla la diferencia del triple del mayor y el doble del
menor.
Argumenta la respuesta:
2, 4, 1, 3, 0, _____, _____
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 3, 2
c) –1, 2
b) 1, 2
d) 2, –1
a) 43
c) 54
b) 44
d) 72
12. Lee y analiza.
¿Qué letra continúa la serie?
9. Lee y analiza.
¿Qué número completa la serie?
8, 1, 3, 9, 2, 4, 10, 3, 5, 11, ...
A, E, I, M, P, T, …
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
208
Escoge la respuesta correcta.
a) V
c) W
a) 5
c) 3
b) X
d) Y
b) 4
d) 2
13. Lee y analiza.
Nombre del estudiante: __________________
¿Qué figura continúa la serie gráfica?
________________________________________
?
Argumenta la respuesta:
Grado: _________________________________
Fecha: _________________________________
Instrucciones
Correcto
Incorrecto
Escoge la respuesta correcta.
a)
c)
b)
d)
1. Pinta totalmente los círculos.
2. No hagas marcas fuera del círculo.
3. En caso de concluir antes de tiempo, revisa
los ejercicios en los que hayas tenido dudas.
14. Lee y analiza.
¿Qué figura continúa la serie gráfica?
?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a)
b)
c)
d)
15. Lee y analiza.
¿Qué número continúa la serie?
1, 54, 5, 18, 25, 6, 225, …
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 5
c) 2
b) 3
d) 1
1)
A
B
C
D
2)
A
B
C
D
3)
A
B
C
D
4)
A
B
C
D
5)
A
B
C
D
6)
A
B
C
D
7)
A
B
C
D
8)
A
B
C
D
9)
A
B
C
D
10)
A
B
C
D
11)
A
B
C
D
12)
A
B
C
D
13)
A
B
C
D
14)
A
B
C
D
15)
A
B
C
D
209
Compruebo mis aprendizajes
Evaluación
sumativa
Evaluación
sumativa
M.4.1.10. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en
ℤ en la solución de problemas.
1. Relaciona cada ecuación con su solución. Luego
selecciona la respuesta correcta.
2
A) x = − —
1. −2x + 4 = 6
3
2. x + 6 = 10
3. 3x − 1= 2x + 6
4
4.
− 7x = 6
3
a)a ) 1d ;
b)b ) 1d ;
c)c ) 1c ;
d)d ) 1c ;
2c ;
2c ;
2d ;
2d ;
3b ;
4 a;
4 a;
3b ;
B) x = 7
C) x = −1
D) x = 4
b) 0,5 +
7
5
c) La edad actual del hijo
d) El doble de la edad de la madre
c) 1
d) −
d)
7
5
b) 6
c) 1
d) –1
c) 14
d) 10
4. Completa según corresponda. Luego selecciona
las respuestas correctas.
1. El triple de un número
________
2. Un número aumentado en 3
________
3. Un número disminuido en 3
________
4. Restar de 3 un número
________
a)a ) 2 x ; x + 3;
x −3
1
x; 3− x; x + 3
3
x
; x − 3; 3 − x
c)c ) 3 x ; x + 3;
3
x
; 3− x; x − 3
d)d ) 2 x ; x + 3;
3
b)b ) 3 x ; x − 3;
210
x
; 3− x;
3
La ecuación planteada para resolver el
problema es:
b) 36 + x =
15 + x
2
c) 36 + x = 2(15 + x )
3
3
x = 0,25 x −
4
2
b) –1
•
a) 2( 36 + x ) = 15 + x
3. Determina el valor de x para que el perímetro
de un cuadrado sea 40 cm. Luego selecciona la
respuesta correcta.
a) 12
Se usa x para representar:
b) Los años que deben transcurrir
b) –1
a) –4
Una madre tiene 36 años y su hijo 15. ¿Cuántos
años deben transcurrir para que la edad de la
madre sea el doble de la edad del hijo?
a) La edad actual de la madre
4a
3b
3b
4a
( x + 6 )( x − 1) + 5 = x 2 − 6
a)
a)
5. Lee detenidamente el enunciado del problema.
Luego selecciona las respuestas correctas.
•
2. Resuelve las ecuaciones. Luego selecciona la
respuesta correcta.
a)
M.4.1.12. Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados
que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer grado con
una incógnita en ℤ, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones
obtenidas dentro del contexto del problema.
d)
36 + x
= 15 − x
2
•
Los años que deben transcurrir son:
a) 42
b) 21
c) 8
d) 6
6. Determina el mcm y selecciona la respuesta
correcta.
a) 9a 2 + 6a + 1
=
( 3a − 1)2
b) 9a 2 − 1
=
(3a + 1)(3a − 1)
c) 3a 2 + 2a − 1
=
(3a − 1)( a + 1)
d) a 2 + a
=
a ( a + 1)
a) a ( 3a − 1)( 3a + 1)( a + 1)
b) a ( 3a − 1) ( 3a + 1)( a + 1)
2
c)
(3a − 1)2 (3a + 1)
d)
(3a − 1)2 (3a + 1)( a + 1)
Coevaluación
M.4.1.39. Representar un intervalo en ℝ de manera algebraica y gráfica,
I.ECA.X.X.X.
y reconocerXxxx
el intervalo como la solución de una inecuación de primer
grado con una incógnita en ℝ.
I.ECA.X.X.X. Xxxx
7. Con las fracciones algebraicas
F1 :
x
1− x
1
; F2 :
; F3 : 2
2
x −1
−x − x + 2
x −x
2
8. Analiza la veracidad de cada afirmación y
selecciona
la respuesta correcta.
1)
1)
1)
1. 1)
2)
2)
2.2)
2)
3)
3. 3)
3)
3)
4. 4)
4)
4)
4)
realicen las operaciones indicadas y seleccionen
la respuesta correcta.
•
F1 − F2 + F3
a)
3x + 4 x + 2
x ( x + 1)( x + 1)( x + 2)
2
3x + 4 x + 2
( x + 1)( x − 1)(x+ 2)
4x + 2
d)
( x + 2)( x 2 − 1)
•
a)
x 2 ( x − 1)
( x + 1)( x + 2)
1
b)
( x + 1)( x + 2)( x − 1)
b
b
b
b
-
+
+
equivale a [ a , ∞ [
+
+
+
equivale a ]a , b ]
+
a
a
a
a
-
b) 1 y 4
+
+
+
equivale a [ −∞ , a ]
+
equivale a ] − ∞ , ∞ [
c) 2 y 3
+
d) 3 y 4
9. Relaciona cada inecuación con su solución.
2
1
F1 ⋅F2 ⋅
F3
+
+
+
a) 1 y 2
4x + 2
b)
x ( x + 1)( x − 1)
c)
a
a
a
a
a
a
a
a
c)
x2
( x + 1)( x + 2)
d) x 2 − 1
1. 1.
1.x +x11+≤116≤ 6
2. 2.
x 3≥x15≥ 15
2.− 3−
A)
a. a[5;
∞+ [∞+ [
. [5;
; − 5]
b . b].−∞
B)
] −∞
; − 5]
3. 3.
< 11,5
x 2+x1,5
+ 1,5
< 11,5
3.− 2−
4. 4.
4.x +x6+≤64≤x 4−x9− 9
; − 5)
c . c( −∞
C)
. ( −∞
; − 5)
+ +
d . d[ −
D)
. 5;[ −∞5; [∞ [
a)a ) 1b ;
b)b ) 1b ;
c)c ) 1b ;
d)d ) 1b ;
2a ;
2d ;
2c ;
2d ;
3c ;
3a ;
3d ;
3c ;
4d
4c
4a
4a
10. ¿Cuál es el intervalo, solución de la inecuación
x + 2 ≤ 2x − 6 < 8 + x ?
a) [–4; 2[ b) [–4; 2] c) [8; 14[
d) ]8; 14[
Autoevaluación
11. Pinta según la clave.
Puedo ayudar a otros
Resuelvo por mí mismo
Necesito ayuda
Estoy en proceso
Resuelvo ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Traduzco lenguaje gramatical a lenguaje algebraico.
Contenidos
Resuelvo problemas.
Realizo operaciones con fracciones algebraicas.
Represento intervalos.
Resuelvo inecuaciones.
Metacognición
• Indagué con mi maestro o maestra cuando tuve dudas.
• Encontré aplicabilidad de los conocimientos adquiridos.
• Colaboré en los trabajos grupales.
211
unidad
6
La matemática en la modelización
de los fenómenos
Desde tiempos antiguos se han observado fenómenos en los cuales ciertas magnitudes se relacionan entre
sí. Está, por ejemplo, la fuerza de atracción entre dos cuerpos, que se relaciona con la masa de los cuerpos y la
distancia que los separa. Asimismo, está el volumen de un gas a temperatura constante que se relaciona con
la presión que se ejerce sobre ese gas. El capital final de una inversión es el resultado de la relación entre el
capital invertido y el tiempo que dure la inversión.
Shutterstock, (2020). 298948025 - 250695448
Esta relación entre magnitudes puede ser representada mediante un gráfico matemático.
212
Preguntas generadoras
Observa la gráfica y responde.
•
¿Cuáles son las magnitudes que se relacionan?
•
¿A mayor presión que sucede con el volumen?
Álgebra
y funciones
• Producto cartesiano
• Relaciones y funciones
• Funciones crecientes,
decrecientes y constantes
• Función lineal y afín
Estadística
y probabilidad
• Técnicas de conteo: diagrama
de árbol; probabilidad de
eventos o sucesos compuestos
• Combinaciones y permutaciones
Objetivos:
O.M.4.1. Reconocer las relaciones existentes entre los conjuntos de números
enteros, racionales, irracionales y reales; ordenar estos números y operar con
ellos para lograr una mejor comprensión de procesos algebraicos y de las
funciones (discretas y continuas); y fomentar el pensamiento lógico y creativo.
O.M.4.7. Representar, analizar e interpretar datos estadísticos y situaciones
probabilísticas con el uso de las TIC, para conocer y comprender mejor el
entorno social y económico, con pensamiento crítico y reflexivo.
213
Producto cartesiano. Relaciones
Tema 1
Desequilibrio cognitivo
Shutterstock, (2020). 405029602
¿Qué condición debe cumplirse para que los pares ordenados A (x, y) y B (z, w)
sean iguales?
Tres amigas embarazadas de niñas consideran que Paola y Sol son nombres
apropiados para sus hijas. El apellido que llevaría una de las niñas es Salas, otro es
Cóndor y el tercero es Gualpa. ¿Cuáles serían las posibilidades de nominación de
las niñas?
Para elegir el nombre
de un hijo o una hija,
buscamos buscamos varias
combinaciones.
Recuerda que...
Los conjuntos pueden
ser representados
en forma sagital. El
producto cartesiano
se visualiza a través de
flechas que relacionan
los elementos de un
conjunto con los del
otro.
Archivo Editorial, (2020).
A
4
5
(Paola; Salas) , (Paola; Cóndor) , (Paola; Gualpa) ,
(Sol; Salas) , (Sol; Cóndor) , (Sol; Gualpa)
Solución
Como la cardinalidad de los conjuntos es nQ = 3 y nR = 3, la cardinalidad de los
productos será: nQ × R = nR × Q = 3 × 3 = 9
y
Archivo Editorial, (2020).
A × B = {( a ; b ) ∈ A × B / a ∈ A y b ∈B }
Con los conjuntos Q = {1, 3, 5} y R = { x, y, z}, obtener los productos cartesianos
Q × R y R × Q.
4
3
2
1
x
0
El producto cartesiano A × B efectuado entre dos conjuntos, uno A y otro B,
es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b) de manera que la
primera componente “a” pertenece al conjunto A y la segunda componente “b”
pertenece al conjunto B.
Ejemplo 1
Los elementos
también pueden ser
representados en los
ejes de un sistema de
coordenadas.
0
B = {Salas, Cóndor, Gualpa}
Consideremos al producto cartesiano de dos conjuntos como la vía de solución,
por lo tanto, definámoslo.
AA
× BB==
2
3
A = {Paola, Sol}
Aplicando esta definición, tenemos las siguientes posibilidades de nominación.
B
1
Consideremos a A como el conjunto formado por los nombres y B el conjunto
formado por los apellidos.
1
2
3
4
5
6
{
}
Q × R = (1, x ) , (1, y ) , (1, z ) , ( 3, x ) , ( 3, y ) , ( 3, z ) , ( 5, x ) , ( 5, y ) , ( 5, z )
R×Q =
{( x , 1) , ( y , 1) , ( z , 1) , ( x , 3) , ( y , 3) , ( z , 3) , ( x , 5) , ( y , 5) , ( z , 5)}
Estos resultados muestran que Q × R ≠ R × Q, por lo tanto concluimos que el
producto cartesiano no es conmutativo.
214
Relación
Recuerda que...
Una relación R es representada por el conjunto R que, determinado por
comprensión, se expresa así:
R = {(a, b) / a ∈ A
b ∈ B} A × B
Las relaciones también
se representan
mediante diagramas
sagitales.
M
R
0
2
Una relación queda totalmente definida si cumple una condición expresada en
forma gramatical o con una fórmula.
1
4
6
9
12
Ejemplo 2
2
4
6
9
Las relaciones cumplen
con propiedades:
Determinar por extensión:
a) La relación R1 definida de A = {6, 9} en B = {3, 4, 10} que cumpla con la
condición “ser mayor que”.
{
}
{
}
b) La relación R2 = ( x , y ) / y = x 3 definida de X = {0, 1, 2, 3} en
Y = {0, 1, 3, 8, 27, 81}.
c) La relación R3 = ( q,s ) / q = s definida de Q = {0, –1, 2, –5} en
S = {1, 3, 4, 16, 25, 36}.
Solución
a) Comparamos los elementos de A con los de B; escogemos los que permiten
formar los pares ordenados que cumplen con la condición de que la
primera componente sea mayor a la segunda.
R1 =
N
Archivo Editorial, (2020).
Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto de
A × B. En este contexto al conjunto A se lo denomina conjunto de salida y a B,
conjunto de llegada.
{( 6, 3) , ( 6, 4 ) , (9, 3) , (9, 4 )}
R es simétrica si para
todo par ordenado
(a, b) ∈ R, también el
par ordenado (b, a) ∈ R.
R es transitiva si (a, b) ∈
R y (b, c) ∈ R, entonces
(a, c) ∈ R.
Enlace web
b) Formamos los pares ordenados en los que se evidencie que la segunda
componente sea el cubo de la primera.
{
R es reflexiva si para
todo a ∈ A se verifica
que (a, a) ∈ R.
}
R2 = (1, 1) , ( 2, 8 ) , ( 3, 27 )
Revisa las propiedades
de las relaciones en:
bit.ly/2ZvWGjQ
c) Recordamos que al extraer la raíz cuadrada a un número positivo, tenemos
dos respuestas: una positiva y otra negativa.
{
}
R3 = ( −1, 1) , ( 2, 4 ) , ( −2, 4 ) , ( −5, 25)
Ejemplo 3
{
}
{
}
Considerar los conjuntos M = 0, 1, 2, 4 y N = 0, 5, 8, 9, 12, 16 , y la relación
{
}
R = ( 0, 0 ) , ( 2, 8 ) , ( 4, 16 ) .
Solución
Comparamos las primeras componentes con las segundas de cada par ordenado para
determinar la relación que existe entre ellas. 0 es la cuarta parte de 0, así como lo es
2 de 8, y 4 de 16. Además verificamos que de 1 no exista su cuádruplo en el conjunto
N. Verificado esto, procedemos a decir que la condición es “ser la cuarta parte”.
215
Taller
Evaluación formativa
1. Analiza cada uno de los siguientes ejemplos
expresados por comprensión. Luego realiza las
actividades.
N = { x / x ∈ , x < 5}
2. Realiza los productos cartesianos A × B, y
represéntalos en diagramas sagitales.
a) A = { vocales abiertas} y B = { vocales cerradas}
P = {x / x ∈  pares, x < 6}
Q = { x / x ∈ impares, x < 5}
R = { x / x ∈, − 2 < x < 2}
a) Determina por extensión cada conjunto.
_____________________________________
b) A = { x / x ∈ z , − 2 < x < 2}
B = { x / x ∈ z I N primos , x < 11}
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Determina la cardinalidad de N × P, N × Q,
P × Q, N × R.
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
3. Representa los productos cartesianos M × N y
N × M en el sistema de coordenadas, si
{
}
{ }
M = 2, 4, 6 N = 1, 3 .
_____________________________________
c) Calcula N × P, N × Q, P × Q, N × R.
4. Observa la representación gráfica del producto
cartesiano A × B. Luego forma los conjuntos A, B
y A × B.
d) Determina Q × N. Luego compara con N × Q
y escribe una conclusión.
QxN=
(1, 0) ; (1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4 ) ;
(3, 0) ; (3, 1) ; (3, 2) ; (3, 3) ; (3, 4 )
Conclusión: __________________________
____________________________________
_____________________________________
216
B
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
A
M.4.1.42. Calcular el producto cartesiano entre dos conjuntos para definir relaciones binarias (subconjuntos), representándolas
con pares ordenados.
5. Determina los conjuntos relación R a partir de los
siguientes conjuntos:
P = {1, 2, 3, 11} y Q = {6, 9, 10, 16}
7. Analiza las propiedades de las relaciones establecidas en el producto cartesiano de A × A, si
A = 1, 2, 3 . Explica:
{
}
{( ) ( ) ( ) ( )}
a) R1 = 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2
R1 determina de Q a P que cumple la condición
“ser menor que”.
Reflexividad: _________________________
________________________________________
Simetría: _____________________________
a) R2 define de P a Q que cumple la condición
“ser la mitad”.
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
{( )
b) R3 = p, q / q = p
2
}
{( ) ( ) ( ) ( )}
b) R2 = 1, 1 , 1, 2 , 2, 2 , 3, 3
_____________________________________
{
c) R4 = q, p/ qp < 20
}
6. Escribe en palabras una relación que represente
a cada imagen.
A
Archivo Editorial, (2020).
8
17
27
Reflexividad: _________________________
_____________________________________
_____________________________________
a)
Transitividad: _________________________
B
1
Simetría: _____________________________
_____________________________________
Transitividad: _________________________
_____________________________________
{( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
c) R3 = 1, 1 ; 2, 3 ; 3, 2 ; 2, 2 ; 3, 3
2
Reflexividad: _________________________
3
_____________________________________
4
Simetría: _____________________________
_____________________________________
b)
H
15
Archivo Editorial, (2020).
49
21
28
63
Transitividad: _________________________
5
_____________________________________
7
11
8. Se denomina relación de equivalencia por relación de dependencia. De acuerdo con esto, analiza
si la siguiente relación es equivalente. Explica.
{
}
Q × Q , si Q = a , b , c )
c)
Archivo Editorial, (2020).
J
K
L
4
2
7
4
8
16
{( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
R = a, a ; a, b ; b, a ; b, b ; c , c
________________________________________
________________________________________
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
9. Trabajen en parejas y resuelvan.
Verifiquen si la relación R que cumple la condición “ser divisor de” es equivalente.
10. Investiga el proceso para determinar el producto cartesiano entre intervalos. Consulta un
ejemplo y expón en clase.
217
Tema 2
Funciones
Saberes previos
Escribe la condición que describe la relación, y escribe el conjunto por extensión.
R=
{( x , y ) / x ∈, y ∈ ∧ x ⋅ y < 0}
__________________________________________________________________
Shutterstock, (2020). 703607794
__________________________________________________________________
En una empresa de telefonía fija, la forma de facturación del servicio depende del
número de minutos que cada cliente habla. La empresa cobra una pensión básica
de $ 6,50 y cobra el 15 % de los minutos utilizados por concepto de impuestos.
¿La expresión matemática que representa el costo del servicio define a una relación?
¿Sabías qué?
Existen dos tipos de
telefonía: la fija y la
móvil. La primera usa
una línea telefónica
con alambre de cobre
o fibra óptica, en tanto
que la segunda utiliza
las ondas de radio.
El uso de la telefonía
fija ha bajado
notablemente debido
a los avances
tecnológicos de los
teléfonos móviles y
las aplicaciones de
Internet.
Para la facturación
de este servicio,
ingenieras e
ingenieros en sistemas
utilizan expresiones
matemáticas en sus
programas.
Llamemos y al costo que un abonado de este tipo de telefonía debe pagar y x al
número de minutos.
El 15 % de los minutos hablados (x) se calcula convirtiendo el porcentaje a número
decimal 0,15x.
Por lo tanto, la expresión matemática es:
y = x + 0,15 x + 6,50 ; y = 1,15x + 6,50
Si llamamos X al conjunto de partida que contiene a todos los posibles valores de
los minutos (x) y Y al conjunto de llegada que contiene a todos los posibles valores
del costo y, la expresión obtenida define una relación en donde tanto el conjunto
de partida como el de llegada corresponden a los números reales positivos.
Su representación sagital sería:
x
y
0
6,50
12
20,30
20
29,50
Archivo Editorial, (2020).
La facturación depende del
tiempo de uso del teléfono.
En esta relación observamos que a un elemento del conjunto de partida le
corresponde únicamente un elemento del conjunto de llegada. Cuando se
observa esta correspondencia, la relación toma el nombre de función.
Una función se denota con las letras f, g, h, así:
Recuerda que...
Toda función es una
relación, pero no toda
relación es función.
218
f:X
Y se lee “f de X en Y”.
Para expresar la fórmula que la define se usa f(x)=, lo cual se lee como
“f de x es igual a”.
Ejemplo 1
Identificar las relaciones que son funciones.
a) B
C
Archivo Editorial, (2020).
Cuenca
Quito
Guayaquil
Loja
Recuerda que...
b) R
T
a
b
e
c
i
c) f :  + →  / f ( x ) = x
2
d) f :  →  / f ( x ) = x
Solución
a) Es función porque a cada elemento de B le corresponde un elemento de C.
b) No es función porque al elemento b del conjunto R le corresponden tres
elementos de T al igual que al elemento c.
c) No es función, pues al extraer la raíz cuadrada de un real positivo tenemos
dos respuestas: una positiva y otra negativa. Es decir, a un elemento de ℝ+
le corresponden dos imágenes en ℝ.
d) Si es función, a cada ℝ le corresponde únicamente un ℝ.
Dominio y rango de una función
El dominio de una función f : X Y es el conjunto formado por las primeras
componentes de los pares ordenados que pertenecen a f. Se simboliza
Dom f = {x / ( x , y ) ∈ f }. Para que una relación sea función, el conjunto de
partida debe coincidir con el dominio.
El rango o recorrido de una función f : X
Y es el conjunto formado por
las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a f. Se
simboliza Ran f = { y/ ( x , y ) ∈ f }. El rango está contenido en el conjunto de
llegada o codominio.
Para determinar el
dominio de una función
definida por una
fórmula, observamos las
siguientes restricciones:
1. La división por cero
no está definida. Es
decir, si x está en
el denominador,
excluiremos
los valores que
convierten en cero a
ese denominador.
1
;
En y =
2x − 3
2x − 3 ≠ 0
3
x≠
2
2. Las cantidades
subradicales de
radicales con índice
par deben ser
mayores o iguales
a cero, ya que no
podemos extraer
la raíz de índice par
de una cantidad
negativa.
En y = 3 x + 1 ;
3 x + 1≥ 0
1
x ≥−
3
Estas restricciones
también se consideran
al determinar el
recorrido.
Ejemplo 2
Determinar el dominio y el rango de la función f :  < 4 →  / f ( x ) = x + 1.
Solución
{( ) ( ) ( ) ( )}
Estructuramos la función f = 0, 1 ; 1, 2 ; 2, 3 ; 3, 4 .
Formamos el dominio con las primeras componentes Dom f = {0, 1, 2, 3}.
El rango se estructura con las segundas componentes: Ran f = {1, 2, 3, 4} .
219
Taller
Evaluación formativa
1. Indica cuáles de las siguientes relaciones son
funciones y justifica tus respuestas.
a)
S
Oso
Archivo Editorial, (2020).
Lobo
Rosa
y
_____________________________________
_____________________________________
Planta
_____________________________________
_____________________________________
g) R “ser la cuarta potencia de”, siendo
A = 0, 1, 16 ,81 y B = {0, 1, 2, −2, 3, −3, 5}
_____________________________________
_____________________________________
b)
A
Archivo Editorial, (2020).
1
0
–1
_____________________________________
1
0
2. Determina el dominio y el rango de cada función.
3
{( ) ( ) ( ) ( )}
27
a) f = 1, 3 ; 3, 5 ; 5, 7 ; 7, 9
5
_____________________________________
R
Q
–6
36
Archivo Editorial, (2020).
}
_____________________________________
–8
_____________________________________
c)
{
_____________________________________
B
–2
121
169
_____________________________________
{
}
f = {( 2, 7 ) ; ( 4, 13) ; ( 6, 19 ) ; ( 8, 25) ; (10, 31)}
b) f = x / x ∈ , x < 12, y = 3 x + 1
_____________________________________
6
{
}
c) f = x / x ∈ primos, x < 19, y = x 2
–11
11
f =
–13
13
(2, 4 ) ; (3, 9) ; (5, 25) ; (7, 49) ;
(11, 121) ; (13, 169) ; (17, 289) ;
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
3. Observa la determinación del dominio de las siguientes funciones reales definidas por una expresión algebraica. Luego calcula el dominio de las
funciones propuestas.
2
g( x ) =
x+4
El denominador debe ser diferente de 0, entonces
decimos que: x + 4 ≠ 0 x ≠ –4
d) R =
{( 4, 1) ; (5, 1) ; (7, 2) ; (7, 3)}
_____________________________________
_____________________________________
{( ) ( ) ( ) ( ) (
e) R = 0, 4 ; 1, 6 ; 2, 9 ; 3, 9 ; 4, 12
220
}
}
_____________________________________
Animal
Colibrí
Geranio
{
M = 1, 2, 3, 8
E
{
f) R “ser el doble de”, siendo L = 1, 2, 4, 16
)}
_____________________________________
Por lo tanto:
_____________________________________
Dom f = {
} { 4} o Dom f :
; 4
4;
+
M.4.1.47. Definir y reconocer funciones lineales en Z, con base en tablas de valores, de formulación algebraica y/o representación
gráfica, con o sin el uso de la tecnología.
f ( x ) = x 2 + 3x
No hay ninguna restricción por aplicar, por lo
tanto:
Dom f = {
} o Dom f :
;
+
h( x ) = 2 x − 2
La cantidad subradical debe ser mayor o igual a 0,
entonces:
2x − 2 ≥ 0
2x ≥ 2
x ≥1
Por lo tanto:
Dom f = 1;
+
4. Observa la determinación del rango o recorrido
de las funciones. Luego determina el rango de
las funciones propuestas.
f ( x) = 6x + 4
Sustituimos f(x) por y: y = 6 x + 4
Despejamos x: x =
y−4
6
Aplicamos la restricción que fuera necesaria. En este
caso ninguna restricción es aplicable, por lo tanto:
Ran hh::
Ran
;
+
h( x ) =
2
x −5
a) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − x + 3
_____________________________________
b) g( x ) = −
3
x −7
_____________________________________
2
x −5
xy − 5 y = 2
2 + 5y
x=
y
y=
El denominador no puede ser cero, entonces: y ≠ 0.
Por lo tanto: Ran h = {} − {0}
a) f ( x ) =
4
−2
6x +1
2
c) h( x ) = 2 x
3 x + 11
_____________________________________
d) f( x ) = 2 x − 0,5
_____________________________________
e)
b) h( x ) = 2(3x − 4)
h( x ) = 5 x + 9
_____________________________________
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
5. Trabajen en parejas y resuelvan.
Formulen, en grupos de tres integrantes, dos
relaciones en los ℤ, una de ellas deberá ser
función. Intercambien con otro trío para que
descubran cuál es función y encuentren su
dominio y rango.
6. Investiga cómo determinar el dominio de la
x
función f( x ) = 2 . Expón en clase.
x −1
221
Funciones crecientes, decrecientes
y constantes
Tema 3
Desequilibrio cognitivo
¿Qué gráfica corresponde a la función f(x) = – x?
b)
c)
d)
3
2
Archivo Editorial, (2020).
a)
1
-3
-2
-1
1
2
3
1
-1
-2
Un automóvil se dispone a seguir por una carretera recta. Parte
t
V0 = 0 km/h
del reposo e imprime una aceleración constante de 5 km/s².
1
La fórmula que modela este tipo de movimiento es d = at 2. ¿Cuál
2
es la representación gráfica de esta relación? ¿Es una relación o una
a = 5 km/h2
El automóvil acelera 5 Km/s².
¿Sabías qué?
función? ¿Cuál es su dominio y rango?
El tiempo (t) puede ser cero o cualquier otro valor positivo dentro de los ℝ, por
lo tanto, la distancia también podrá ser 0 o cualquier valor dentro de los ℝ+. Esto
significa que la representación gráfica corresponderá a una línea continua.
Para definir la forma de la curva que corresponde a la función, elaboramos una
tabla de valores y ubicamos los pares ordenados en un plano cartesiano. El tiempo
que es la variable independiente se representa en el eje x y la distancia que es la
variable dependiente, en el eje y.
t (s)
1
2
3
4
5
8
10
Cuando un móvil se
mueve describiendo
una trayectoria
rectilínea con una
aceleración constante,
el movimiento se
denomina rectilíneo
uniformemente variado.
Recuerda que...
Normalmente y es la
variable que se utiliza
para representar la
variable dependiente
en una ecuación,
y x es la variable
independiente.
222
250
200
150
100
50
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cuando una relación es una función, al trazar líneas verticales a lo largo de
todo la curva, cada recta únicamente interseca a la curva en un punto.
Al aplicar esta prueba de la línea vertical en la curva de nuestra situación,
observamos que cada línea se interseca con la curva en un solo punto.
Por otra parte, al analizar la gráfica en
el eje de las abscisas, observamos que
x toma valores desde cero hasta el
infinito positivo. Lo mismo sucede al
analizar los valores de las ordenadas,
por lo tanto:
d (m)
250
200
150
Archivo Editorial, (2020).
Una variable
dependiente representa
una cantidad cuyo valor
depende de cómo se
modifica la variable
independiente.
d (m)
d (m)
2,5
10
22,5
40
62,5
160
250
Archivo Editorial, (2020).
Shutterstock, (2020). 765256522
-3
100
50
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dom f : ⎡⎣0;∞ + ⎡⎣ y Ran f : ⎡⎣0;∞ + ⎡⎣ .
Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Una función es creciente en un intervalo,
si a medida que aumenta el valor de x,
aumenta el valor de y.
Una función es decreciente en un
intervalo, si a medida que aumenta el
valor de x, disminuye el valor de y.
x1 < x 2 → f ( x 1 ) < f ( x 2 )
x1 < x 2 → f ( x 1 ) > f ( x 2 )
y
n
ió
f (x1)
X1
0
Función
decr
eci
en
te
f (x2)
nte
cie
cre
Disminuye
Fu
nc
Aumenta
Archivo Editorial, (2018).
f (x2)
Archivo Editorial, (2020).
y
f (x1)
Una función que en
todo su dominio se
mantiene creciente
o decreciente se
denomina monótona.
Función decreciente
x
X2
Aumenta
X1
0
x
X2
Aumenta
Función monótona creciente.
Archivo Editorial, (2020).
Función creciente
Recuerda que...
Función constante
Función monótona decreciente.
Una función es constante
en un intervalo, si a medida
que aumenta el valor de x,
se mantiene el mismo valor en y.
Función constante
f (x1) = f (x2)
Constante
x1 < x 2 → f ( x 1 ) = f ( x 2 )
0
X1
Aumenta
X2
x
Ejemplo 1
Graficar la función f ( x ) = x 2 + 4 x − 2 y analizar su monotonía.
Construimos su tabla de valores
x
y
–5
3
–4
–2
–2
–6
–1
–5
0
–2
1
3
Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano y obtenemos la gráfica.
D
3
B
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
Archivo Editorial, (2020).
G
-2 A
-3
-4
C
1
2
Observamos en la función que en
; 2 mientras x
el intervalo
aumenta, y disminuye, por lo tanto,
es decreciente. En tanto que en
el intervalo 2; +
x aumenta y
también lo hace y, por lo tanto, es
creciente en ese intervalo.
Archivo Editorial, (2020).
y
Función no monótona.
Si una función muestra
características de
creciente y constante
a lo largo de su
dominio, se considera
creciente en todo su
dominio, por lo tanto,
se considera monótona.
De forma análoga, si se
muestra decreciente
y constante, será
monótona.
Como la función es creciente y
decreciente, no es monótona.
F -5
E
-6
223
Taller
Evaluación formativa
1. Determina si las siguientes gráficas corresponden
a funciones.
a)
e)
3. Elabora tablas de valores y grafica las siguientes
funciones. Luego determina el dominio y rango
de cada una.
a) f ( x ) = x − 2
x
y
4
3
2
1
f)
-3
-2
-1 0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
c)
g)
Archivo Editorial, (2020).
y
Dom f:
y
Archivo Editorial, (2020).
b)
Ran f:
b) f ( x ) = x 2 + 6
2
1
x
x
x
g
y
10
9
8
7
h)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
6
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5
9
-1
0
1
2
3
4
4
-2
3
-3
-4
2
1
2. Determina si las siguientes tablas de valores
corresponden a funciones.
a)
x
y
1
3
3
5
1
7
4
9
5
11
12
9
-4
-3
Dom f:
-2
-1 0
1
2
3
1
2
3
4
Archivo Editorial, (2020).
d)
Ran f:
c) f ( x ) = 2 − x 2
x
3
y
2
1
b)
x
y
1
4
3
6
7
10
10
13
20
23
61
64
-4
-3
-2
-1 0
-1
4
-2
-4
c)
x
y
16
–2
1
–1
0
0
16
2
10
3
-5
14
14
-6
Dom f:
224
Ran f:
Archivo Editorial, (2020).
-3
M.4.1.51. Definir y reconocer funciones potencia con n = 1, 2, 3, representarlas de manera gráfica e identificar su monotonía.
M.4.1.48. Reconocer funciones crecientes y decrecientes a partir de su representación gráfica o tabla de valores.
2
1
-3
-2
-1 0
-1
1
2
3
4
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
2
3 4
X
5
-2
Dom f:
e) f ( x ) = −
x
_____________________________________
Ran f:
_____________________________________
2
1− x
_____________________________________
y
b)
14
2
12
10
1
8
-1
6
4
2
-4
-6
-8
Dom f:
3
4
5
6
_____________________________________
c)
3
2
1
Ran f:
-3
3
f) h( x ) = 12 − x
-2
-1
0
1
2
3
-1
y
22
20
18
-2
16
14
_____________________________________
12
10
_____________________________________
8
6
4
2
-3
Dom f:
-2
-1
0
1
2
3
Archivo Editorial, (2020).
x
2
_____________________________________
1 2 3 456
Archivo Editorial, (2020).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-2
1
0
-1
Archivo Editorial, (2020).
-4
Y
a)
Archivo Editorial, (2020).
y
Archivo Editorial, (2020).
x
4. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y concluye sobre la monotonía de
cada función.
x
4
Archivo Editorial, (2020).
d) f ( x ) =
_____________________________________
_____________________________________
Ran f:
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
5. Trabajen en parejas y resuelvan.
Grafiquen la función definida por la fórmula
f(x) = –x³ – 3, determinen su dominio y rango,
y analicen su monotonía.
6. Investiga cuándo una función es continua;
expón con un ejemplo y con un contraejemplo.
225
Tema 4
Función lineal y afín
Saberes previos
Grafica las funciones f ( x ) = 2 x y g( x ) = 2 x + 1 y g( x ) = 2 x − 1 y establece
semejanzas y diferencias.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
En una fotocopiadora cobran 5 centavos por cada copia. ¿Cuál es la expresión
matemática que determina el costo de cierto número de copias? ¿Es esta expresión
una función? Si lo es, ¿qué tipo de función es?
Shutterstock, (2020). 635107742
La expresión que permite obtener el costo de un número desconocido de copias
es C = 0,05x, donde C representa el costo y x el número de copias.
Sí es una función, pues a cada elemento x le corresponderá solo un elemento en C.
Se trata de una función lineal porque la variable independiente x es de grado 1.
Además, si elaboramos una tabla de valores y graficamos, reemplazando C por y,
obtenemos una línea recta que pasa por el origen.
Fotocopiadora.
x
y
Cuando dos variables
son directamente
proporcionales,
obtenemos una línea
recta.
Para graficar una
función lineal es
suficiente determinar
dos pares ordenados.
15
0,75
20
1
30
1,5
50
2,5
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Archivo Editorial, (2020).
Recuerda que...
10
0,5
Se denomina función lineal a la función cuya expresión algebraica es del tipo
y = mx, siendo m un número cualquiera distinto de 0. A este valor m se lo llama
pendiente.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen: (0, 0).
La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
El dominio de la función lineal son todos los ℝ y su rango también son todos
los ℝ.
226
Ejemplo 1
1
Graficar las funciones lineales f ( x ) = −3 x ; g( x ) = −8 x y h( x ) = − x en un mismo
2
plano cartesiano. Luego emitir conclusiones.
Solución
Elaboramos para cada función una tabla de valores.
f(x) = –3x
x
y
–2
6
g(x) = –8x
x
y
–1
8
2
1
–6
1
h(x) = – —
2x
–8
x
–8
y
4
4
–2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-2
-4
1 2 3 4 5 6 7 8
Matemática con física
En el movimiento
rectilíneo uniforme
descrito por un móvil,
la distancia recorrida
(d) se relaciona con el
tiempo (t) de manera
proporcional y directa
por medio de la fórmula
d = v × t. Si es así,
se coloca el que va
centrado donde
v representa a la
velocidad constante
que caracteriza a este
movimiento.
Esta expresión
corresponde a una
función lineal donde la
velocidad es el valor de
la pendiente.
Archivo Editorial, (2020).
A las tres funciones les corresponde la gráfica de una línea recta que pasa por
el origen de coordenadas. Las tres son funciones decrecientes. Su inclinación
depende del valor de la pendiente (m): mientras mayor es, más se inclina hacia la
izquierda.
g
f
10
8
6
h
4
2
Conexiones
Función afín
Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + b,
siendo m y b números distintos de 0.
Ejemplo 2
Obtener y analizar la gráfica de la función f ( x ) = 3 x − 2.
Solución
Elaboramos una tabla de valores y graficamos.
f(x) = 3x –2
x
y
–2
–8
4
10
La gráfica corresponde a una función
afín porque es una recta que no pasa
por el origen: como la pendiente es
positiva, es creciente.
Recuerda que...
Dos rectas son paralelas
si las pendientes de sus
expresiones algebraicas
son iguales.
6
4
2
-5 -4 -3 -2 -1 0
-2
-4
-6
-8
f(x)=3x+4 g(x)=3x-2
1
2 3
4
Archivo Editorial, (2020).
Su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas. El valor
m es la pendiente, el número b es la ordenada en el origen. La recta corta al
eje y en el punto (0, b).
227
Taller
Evaluación formativa
1. Lee cada enunciado y realiza lo solicitado.
a) Un grifo deja caer 20 litros de agua en un
minuto. Elabora una tabla de valores para 2;
5; 10 y 20 minutos. Luego grafica la función e
indica su tipo.
d) Por ciertos productos y servicios en nuestro
país se paga un recargo del 12 % que representa el impuesto llamado IVA. Si un docente
dicta clases por $ 450, responde:
450
400
350
300
250
200
150
100
50
Archivo Editorial, (2020).
c) En un centro de exposiciones se dispuso que
la entrada tenga un costo de $ 2. Todos los
productos que se comercializan tienen un
valor de $ 25. Determina una expresión que
modele la función que relaciona al número de
productos comprados con el costo que debe
pagar una persona que visita la exposición.
¿A cuánto asciende el valor al incluir el IVA?
_____________________________________
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
b) En un almacén de ropa promocionan el 20 %
de descuento en prendas de vestir cuyo costo
es $ 35. Determina la expresión algebraica
que modela la situación. Luego elabora una
tabla de valores que contenga el costo que se
debe pagar por 3, 6 y 12 prendas de ese tipo.
Grafica la función e indica su tipo.
La expresión es:
¿A cuánto ascendería si el valor fuera $ 200?
_____________________________________
¿Cuál es la expresión algebraica general que
corresponde al precio del trabajo del docente
(x) y el valor que se paga (y)?
_____________________________________
e) Un kg de arroz cuesta 58 centavos. Obtén
la función que define el costo del arroz (y)
en función de los kg comprados (x). Luego:
señala su dominio, calcula cuánto se pagará
por 2,5 kg y qué cantidad de arroz se puede
comprar si se cuenta con $ 4,35.
400
350
2. Clasifica a las funciones en lineales y afines:
300
a) f ( x ) = −9 x − 4
250
b) g( x ) = −
Archivo Editorial, (2020).
200
228
150
c) h( x ) = 5 x − 2
100
50
0
9
x
11
d) f ( x ) = −0,1x + 5
2
4
6
8
10
12
e) g( x ) = 7 x − 6 + 6
M.4.1.50. Definir y reconocer una función lineal de manera algebraica y gráfica (con o sin el empleo de la tecnología).
a) f ( x ) = −7 x
4. Deduce la expresión algebraica de las funciones
a partir de su gráfica.
a)
b)
6
8
5
6
4
3
4
2
2
1
-2 -1 0
1
2
3
4
5
-4
-2
0
2
4
6
-2
Tipo de función:
m=
b=
Archivo Editorial, (2020).
3. Grafica las siguientes funciones y completa lo
requerido.
5. Halla la expresión algebraica de las funciones
lineales o afines de acuerdo con las condiciones
indicadas.
b) f ( x ) = 4 x − 5
a) Pasa por los puntos P1(–1; –5) y P2(2; 1).
Tipo de función:
m=
b=
b) Pasa por el origen y el punto P(–3; 1).
c) f ( x ) = − x + 8
6. Determina, sin hacer la gráfica, si los puntos
P1(–2; 10) , P2(2; 2), P3(1; –4) , P4(0; 6) son parte de
la recta que corresponde a la función f(x)= –2x +6.
Tipo de función:
d) f ( x ) =
m=
b=
x
4
7. Señala, sin hacer las gráficas, qué grupo de rectas
son paralelas.
a) f ( x ) = −5 x
g( x ) = 5 x + 3
h( x ) = −5 x + 4
Tipo de función:
m=
b) f ( x ) = 2 x − 3
g( x ) = 2 x
h( x ) = −6 + 2 x
b=
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
8. Trabajen en parejas y resuelvan.
Formulen las expresiones algebraicas de tres
rectas que sean paralelas. Comprueben si
cumplen la condición con la graficación.
9. Investiga cómo calcular la pendiente de una
recta conocidos dos puntos. Ejemplifica y
expón en clase.
229
Técnicas de conteo: diagrama de árbol
Tema 5
Desequilibrio cognitivo
Define los siguientes conceptos: experimento aleatorio, espacio muestral, evento.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Luisa debe acomodar en un estand tres libros: uno de matemática, otro de
ciencias naturales y un tercero de estudios sociales. ¿De cuántas formas los puede
acomodar?
La biblioteca debe ser un
lugar de mucha organización.
Un diagrama de árbol es una ordenación usada para enumerar todas las
posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede
ocurrir en un número finito.
Raíz
Archivo Editorial, (2020).
Shutterstock, (2020). 600627935
Para solucionar esta situación problémica, vamos a utilizar el denominado diagrama
de árbol, pero antes definámoslo.
Ramas
¿Sabías qué?
El valor mayor común
de los datos se utiliza
como tallo, y el
siguiente valor mayor
de posición común
se usa para formar las
hojas.
Archivo Editorial, (2020).
15, 16, 21, 23, 26, 26, 30, 32, 41
Tallo
1
2
3
4
Hoja
5 6
1 3
0 2
1
3
6
6
Elaboremos el diagrama de árbol apropiado para nuestro problema. Consideremos
las siglas: M para matemática, N para ciencias naturales y S para ciencias sociales.
N
S
S
N
M
S
S
M
M
N
N
M
M
N
S
Archivo Editorial, (2020).
En estadística también
se usa el concepto de
diagrama de árbol para
un conjunto de datos
recopilados.
La observación del diagrama nos permite concluir que son seis las distintas formas
como Luisa podría acomodar los tres textos.
230
Probabilidad de eventos compuestos
Los eventos o sucesos compuestos son probabilidades de dos o más situaciones
que pasan al mismo tiempo.
Ejemplo 1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona gane en un sorteo un viaje de por lo
menos 2 días en una de las regiones de clima a cálido? Las opciones de viaje se
muestran en el siguiente modelo de área.
1 día
2 días
3 días
Costa (C)
1C
2C
3C
Sierra (S)
1S
2S
3S
Oriente (O)
1O
2O
3O
Solución
Archivo Editorial, (2020).
Llamaremos P a la probabilidad. Los casos posibles son 9 y los favorables son 4: 2C,
4
2O, 3C y 3O. Por lo tanto, la probabilidad aplicando la regla de Laplace es: P =
9
Los sucesos compuestos pueden ser de los siguientes tipos:
Independientes: cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia de
otro, bien sea porque el espacio muestral regresa a ser el mismo o porque son
espacios muestrales diferentes. En este caso: P(A y B) = P(A) × P(B)
Incompatibles: cuando no tienen sucesos elementales comunes. La
probabilidad se calcula con la fórmula: P(A o B) = P(A) + P(B)
Compatibles: cuando tienen sucesos elementales comunes. La probabilidad
es igual a: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A) × P(B)
Ejemplo 2
Clasificar los siguientes sucesos compuestos en independientes, incompatibles
y compatibles.
a) Lanzar un dado y obtener un múltiplo de 3 o un divisor de 10.
b) Lanzar una moneda dos veces y obtener en las dos ocasiones cara.
c) Extraer de un naipe de 52 cartas un as o una carta de diamante.
Recuerda que...
• Dos eventos son
dependientes si el
resultado del primer
evento afecta
el resultado del
segundo evento.
Ejemplos de
estos sucesos son
aquellos en los
que después de
extraer canicas,
bolas o cartas, estas
no son devueltas
al grupo del que
se extrajeron. La
probabilidad de
estos sucesos es
igual al producto de
las probabilidades
de los eventos
individuales,
tomando en cuenta
que el número
de elementos del
espacio muestral
disminuye.
P(A y B) = P(A) × P(B)
• La probabilidad
puede ser
expresada en forma
porcentual, para
ello se multiplica su
valor por 100.
4 1
P = = = 16,67 %
24 6
Solución
a) Los sucesos elementales para el suceso A son 3 y 6 y los sucesos elementales del suceso B son1, 2 y 5. No hay sucesos elementales comunes, por lo
tanto, son incompatibles.
b) El primer lanzamiento no incide en el segundo lanzamiento, por lo tanto,
son sucesos independientes
c) Estos dos sucesos tienen un suceso en común, extraer un as de diamante,
por lo tanto, son sucesos compatibles.
231
Taller
Evaluación formativa
1. Utiliza diagramas de árbol para resolver cada
situación.
2. Usa el modelo de área para ilustrar los diferentes
resultados posibles en cada caso y responde.
a) Johanna empieza una rutina de actividad
física. Decide que durante los días laborables
trotará o hará bicicleta los 5 días, en tanto que
los fines de semana jugará fútbol, básquet,
vóley o tenis los 2 días. ¿De cuántas maneras
puede cumplir con su rutina semanal?
a) Escoger dos prendas de un clóset, una falda
si se cuenta con cuatro de ellas (negra, roja,
blanca y café) y una blusa si se tienen blanca,
beige y negra.
Faldas
Negra
Blanca FN-BBa
Beige FN-BBe
Negra FN-BN
Roja
Blanca
FR-BBa FB-BBa
FR-BBe FB-BBe
FR-BN FB-BN
Café
FC-BBa
FC-BBe
FC-BN
¿Cuál es la probabilidad de escoger las dos
prendas del mismo color?
b) Sacar cierta carta del naipe y lanzar un dado.
_____________________________________
b) Fabián está armando un folleto con
información ecológica. Tiene la posibilidad
de colocar pastas de color verde, amarillo y
tomate. El espiral puede ser blanco o negro
y para la primera página tiene dos carátulas,
una con animales y otra con plantas exóticas.
¿Cuáles son las posibles combinaciones que
puede realizar?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un
número par y una baraja roja?
¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol y
un número menor a 5?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un
número impar y una pica?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta
negra y el único número primo par?
_____________________________________
232
M.4.3.10. Aplicar métodos de conteo (combinaciones y permutaciones) en el cálculo de probabilidades.
3. Analiza la siguiente situación. Luego encierra la
respuesta correcta.
Mauricio juega cartas en solitario. Toma las 10
primeras cartas de un naipe, y las coloca boca
abajo después de barajar en desorden. Él debe
escoger una carta al azar y voltearla. Si la carta
que obtiene es mayor a 5, debe colocarla sobre
su costado derecho, donde estarán las cartas
ganadoras, y si es menor que 5, la colocará a
su izquierda, donde estará el grupo de cartas
perdedoras. Gana el juego si logra formar un
grupo de 3 cartas ganadoras antes de formar un
grupo de 3 cartas perdedoras.
a) Los sucesos son independientes, porque en
cada ronda Mauricio obtiene bien sea una
carta ganadora o una perdedora.
b) Felipe tiene un paquete de 18 cartas
enumeradas del 1 al 18. Toma una carta al
azar, observa el número y las revuelve de
nuevo en el paquete. ¿Cuál es la probabilidad
de que no le salga una carta menor o igual a
6 en el primer intento y que le salga una carta
menor o igual a 6 en el segundo intento?
c) Obtenemos un múltiplo de 3 o un número
par al lanzar un dado.
b) Los sucesos son independientes, porque el
juego no elimina a ninguno de los posibles
resultados.
c) Los eventos son dependientes, porque un
resultado es eliminado en cada turno y no es
reemplazado.
d) Obtenemos un número impar o un número
par mayor a 3 al lanzar un dado.
4. Analiza el cálculo de la probabilidad y resuelve.
a) Rosana tiene 8 pares de calcetines: 1 negro, 2
rosados, 3 blancos, 1 verde, 1 azul. Ella desea
ponerse calcetines blancos al tiempo que
se propone tomar aquellos que saque en el
tercer intento. Si los calcetines en el primero y
segundo intento no son blancos, los devolverá
al cajón. ¿Cuál es la probabilidad de que en el
tercer intento obtenga calcetines blancos?
e) Rafael tiene en su billetera 3 billetes de $ 10 y 7
billetes $ 5, y Oscar tiene en su billetera 4 billetes
de $ 10 y 4 billetes de $ 5. Si cada uno saca al
mismo tiempo y al azar un billete, ¿cuál es la
probabilidad de que obtengan juntos $ 15?
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
5. Trabajen en parejas y resuelvan.
Con el siguiente grupo de datos, elaboren un
diagrama de árbol.
6. Investiga con qué operaciones de conjuntos
se relaciona la probabilidad de conjuntos
independientes y compatibles. Demuestra su
uso en clase con un ejemplo.
Edades de un grupo de padres: 38, 42, 37, 41,
52, 48, 39, 35, 50, 43, 55, 36, 44, 51, 34, 33, 40, 49,
32.
233
Tema 6
Variaciones, combinaciones
y permutaciones
Saberes previos
¿Cuáles son los números que puedes formar con los números 3, 6 y 9 sin repetir
cifras?
Shutterstock, (2020). 1678448540
En el concurso de declamación de una institución educativa se han presentado
doce participantes, de los cuales tres serán premiados, uno será el ganador, otro
ocupará el segundo lugar y un tercero se acreditará el tercer lugar. ¿De cuántas
maneras se puede formar ese cuadro de premiados?
Observamos que existe un conjunto de participantes, conformado por doce
elementos; de ellos solo tres serán seleccionados para ser premiados con cierto
orden de acuerdo con su desenvolvimiento. Las características de esta situación
corresponden a una variación ordinaria, por lo tanto, definamos este parámetro
matemático.
Concurso de declamación.
Se denominan variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en
n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos, en donde se cumple
que: no entran todos los elementos, importa el orden y no hay repetición de
elementos. Para calcularlas usamos la fórmula:
V
Recuerda que...
El factorial de un
número es el producto
de los “n” factores
consecutivos desde “n”
hasta 1. El factorial de
un número se denota
por n!
n
m
=
m!
(m − n )!
Apliquemos la fórmula a nuestra situación
V
3
12
=
12!
12 × 11× 10 × 9!
=
= 12 × 11× 10 = 1 320
(12 − 3)!
9!
El cuadro de premiados puede formarse de 1 320 distintas formas.
Ejemplo 1
¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 0, 1,
3, 5, 7 y 9?
n! = n( n − 1)( n − 2)( n − 3)...3 ⋅ 2Solución
⋅1`
− 1)( n − 2)( n − 3)...3 ⋅ 2 ⋅1`
De los seis elementos con los que se dispone, debemos tomar tres. Importa el
orden y las cifras deben ser distintas, por lo tanto, se trata de una variación. Sin emPor ejemplo:
bargo, como ningún número empieza con cero, tenemos que separar el número
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 720en dos bloques: el primer bloque lo pueden ocupar solo 1, 3, 5, 7 y 9. Ahí tenemos
5 × 4 × 3 × 2 × 1= 720
una variación donde m = 5 y n = 1.
0! = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito, menos el
inicial, resultando una variación, en la que m = 5 y n = 2.
La variación total se calcula como el producto de las dos variaciones:
V =V ⋅V
1
2
5
5
=
5!
5!
5 × 4! 5 × 4 × 3!
⋅
=
⋅
= 5 × 20 = 100
(5 − 1)! (5 − 2)!
4!
3!
Existen otras formas de disponer los elementos de un conjunto.
234
Permutaciones
Son variaciones en las que todos los elementos son tomados en cuenta, importa
el orden y no se repiten los elementos. Se las calcula con la fórmula: Pn = n !
¿Sabías qué?
Puedes calcular el
factorial de un número
en la calculadora.
Ejemplo 2
¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con 1, 2, 3, 4 y 5?
Shutterstock, (2020). 706641844
Solución
Todos los elementos serán considerados para formar los números solicitados. El
orden cuenta y, al decirnos cifras diferentes, se nos indica que no se deben repetir
las cifras. Por lo tanto, se trata de una permutación.
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 120`
Ejemplo 3
Con las letras de la palabra brinco, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden
hacer que empiecen por vocal?
Enlace web
La palabra que debe formarse empezará por i u o seguida de las 5 letras restantes
tomadas de 5 en 5. En este caso, calculamos una permutación para las vocales y otra
para las 5 letras restantes. El resultado final será el producto de las 2 permutaciones.
Amplía tu
conocimiento en sobre
permutaciones, para
esto puedes utilizar el
siguiente enlace web:
P = P2 ⋅ P5 = 2!× 5! = (2 × 1) ⋅ (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 240
bit.ly/2ZvAs1c
Solución
Combinaciones: se llaman combinaciones de m elementos tomados de n en
n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m
elementos, de forma que: no entran todos los elementos, no importa el orden
y no se repiten los elementos. Las combinaciones se calculan con la fórmula:
C
n
m
=
m!
n!(m − n )!
Conexiones
Ejemplo 4
A una reunión asisten 20 personas que intercambian saludos entre ellas. ¿Cuántos
saludos se realizaron?
Solución
Están presentes 20 personas, pero los saludos se hacen de dos en dos, no importa
quién saluda primero y una misma persona no se puede saludar a sí misma.
Entonces se trata de una combinación. Al aplicar la fórmula, obtenemos:
C
2
20
=
20!
20 × 19 × 18!
=
= 10 × 19 = 190
2!(20 − 2)!
2 × 1× 18!
Se realizaron 190 saludos.
Matemática con
Tecnología
Las combinaciones
se utilizan en las
contraseñas que se
utilizan en correos
electrónicos, cuentas
bancarias y otros sitios.
Estas deben tener una
combinación de letras,
números y símbolos
que hacen difícil
que alguien pueda
descifrarlas.
235
Taller
1. Escribe frente a cada enunciado una V si es
verdadero o una F si es falso.
• En una variación se toman en cuenta todos los
elementos
(
)
• En una combinación no importa el orden.
(
)
Evaluación formativa
d) En un barrio se va a elegir el Comité promejoras, el cual estará conformado por presidente, vicepresidente, secretario, pro-secretario
y dos vocales. ¿De cuántas formas puede
constituirse dicho comité?
_____________________________________
• En una permutación se consideran todos los
elementos.
(
)
_____________________________________
• En una combinación entran todos los
elementos.
(
)
_____________________________________
2. Selecciona.
a) La semejanza entre variación y combinación:
_____________________________________
4. Calcula, sin usar la calculadora, el factorial indicado.
a) 3! =
• No importa el orden.
b) 5! =
• Se consideran todos los elementos.
c) 7! =
• No entran todos los elementos.
d) 8! =
• Importa el orden.
e) (20 – 16)! =
b) La semejanza entre variación y permutación:
• Importa el orden.
• No importa el orden.
• Entran todos los elementos.
• No entran todos los elementos.
3. Analiza cada situación. Luego identifícala como
varianza, permutación o combinación. Justifica
tu respuesta.
a) ¿De cuántas formas pueden sentarse 6
personas en los últimos 6 asientos de un bus?
f) (10 – 4)! =
5. Obtén el resultado sin usar la calculadora.
a)
6!
=
2!
b)
20!
=
18!
c)
12!
=
(20 − 12)!
d)
10!
=
4!(9 − 2)!
_____________________________________
_____________________________________
b) En un salón de clase de 30 estudiantes se va
a formar una comisión de 4 estudiantes. ¿De
cuántas formas se puede formar esa comisión?
_____________________________________
a) 9! =
b) 11! =
c)
20!
=
15!
_____________________________________
d)
c) Cuántos números distintos de 3 cifras diferentes
se pueden formar con los dígitos 4, 8 y 9?
9!
=
(23 − 19)!
e)
11!
=
10!(45 − 44)!
_____________________________________
_____________________________________
236
6. Encuentra el resultado usando la calculadora.
M.4.3.10. Aplicar métodos de conteo (combinaciones y permutaciones) en el cálculo de probabilidades.
M.4.3.11. Calcular el factorial de un número natural y el coeficiente binomial en el cálculo de probabilidades.
7. Resuelve.
a) De cuántas maneras distintas se pueden
sentar 8 personas en una fila de butacas.
b) De cuántas maneras distintas se pueden
sentar 10 personas en una fila de butacas si
una de ellas siempre estará al final de la fila.
f) En la mesa directiva de un colegio se han
dispuesto 8 puestos para las autoridades. ¿De
cuántas formas distintas se pueden sentar si
la rectora y el secretario abogado siempre van
juntos?
c) ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se
pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
g) En un centro comercial hay 5 tiendas de ventas
de celular, pero solo se visitarán 3 de ellas para
revisar precios. ¿De cuántas maneras se pueden
seleccionar las 3 tiendas que se visitarán?
d) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11
jugadores de un equipo de fútbol, tomando
en cuenta que el arquero no puede ocupar
otra posición distinta que el arco?
h) En un grupo, compuesto por 5 hombres y
7 mujeres, deciden formar un comité de 2
hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse si:
Puede pertenecer a él cualquier hombre o
mujer.
e) ¿Cuántas claves de acceso a un sistema de
computación será posible diseñar si debe
estar formada de 5 letras, seguidas de 2
dígitos? Las letras y los dígitos no pueden
repetirse. Considerar 26 letras y los números
del 0 al 9.
Una mujer fue ya seleccionada para pertenecer al comité.
Dos hombres seleccionados no pueden estar
en el comité.
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
8. Trabajen en parejas y resuelvan.
Con la guía del docente, organicen la consulta
de situaciones que correspondan a variaciones,
permutaciones y combinaciones. Repártanlas
indistintamente entre sí para que identifiquen
a qué corresponden.
9. Investiga en qué consiste una permutación
con repetición. Explica con un ejemplo sus características y la manera de calcularla.
237
Estrategias para resolver problemas
Extrapolar un gráfico
Problema resuelto
Problema propuesto
La gráfica muestra la relación que existe entre la
distancia recorrida por un objeto que es arrojado
desde cierta altura y que cae por efecto de la
gravedad con el tiempo que transcurre. Halla la
distancia recorrida a los 3,5 segundos.
La gráfica muestra la relación que existe entre la
rapidez (v) que adquiere un objeto que es arrojado
de cierta altura con el tiempo que transcurre.
Determina la rapidez a los 10 segundos haciendo
uso del gráfico.
v(m/s)
50
40
30
30
20
20
10
10
0
0
0,5
1
1,5
2
0,5 1 1,5 2
2,5 3 3,5
4 4,5 5
2,5
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
t(s)
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿Qué magnitudes se relacionan en el gráfico?
¿Qué magnitudes se relacionan en el gráfico?
Magnitud independiente: tiempo.
Magnitud independiente: __________________
Magnitud dependiente: distancia.
Magnitud dependiente: ____________________
El tiempo solicitado no se muestra en la gráfica,
por lo que hay que extender los ejes y la curva. A
esta acción se la conoce como interpolación.
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
Extendemos la curva, conservando la forma; levantamos una recta perpendicular al eje horizontal desde 3,5 segundos, hasta que se interseque
con la curva prolongada y desde allí trazamos una
perpendicular al eje vertical. Tomamos el dato que
corresponde según la escala.
d (m)
50
Archivo Editorial, (2020).
40
30
20
10
0,5
_________________________________________
2. Plantear la estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
_________________________________________
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
90 v(m/s)
80
70
60
50
40
30
20
10
60
0
¿A qué tipo de función corresponde el gráfico?
1
1,5
2
2,5
3
3,5
t (s)
4
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
La distancia es 60 m.
t(s)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
Archivo Editorial, (2020).
¿A qué tipo de función corresponde el gráfico?
Es una función de grado 2.
2. Plantear la estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
238
Archivo Editorial, (2020).
Archivo Editorial, (2020).
40
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
_________________________________________
1. La gráfica muestra la relación que existe entre el
peso de manzanas y su costo. Halla el costo de
5,5 kg de manzanas.
3
Coste ($)
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Peso (kg)
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
2. Gina grafica la relación que existe entre la distancia que recorre y el tiempo que se demora. ¿Cuál
es la distancia que recorrería en 8 horas?
400
350
300
250
200
150
100
50
Distancia (km)
0
F
E
D
C
B
tiempo (h)
1
2
3
4
5
a) Comprender el problema
_____________________________________
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
c) Aplicar la estrategia
d) Responder
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
3. El gráfico muestra el tiempo que demora llenar
un recipiente. Halla el tiempo que tarda para llenar un recipiente de 22,5 litros.
4. Un ciclista se entrena para una competencia y
realiza un gráfico de su avance. Si debe llegar a su
meta en 3 horas, ¿a qué velocidad tendría que ir?
Volumen (en litros)
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (en minutos)
km/h 24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22
m
a) Comprender el problema
_____________________________________
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
c) Aplicar la estrategia
d) Responder ____________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
239
Proyecto
El ahorro de la energía es nuestra responsabilidad
Ahorrar energía es la clave, pues cuando disminuimos
el consumo de energía eléctrica, estamos evitando
la emisión de gases de efecto invernadero. Cuando
en casa ahorramos agua en la limpieza y uso del
inodoro, estamos contribuyendo a conservar este
recurso que, con el pasar del tiempo, evidenciamos
que es limitado.
Una manera de notar nuestro cambio de conducta
de consumo son las facturas de agua y luz eléctrica
que se nos entregan, las cuales son diseñadas por los
ingenieros en sistemas haciendo uso del concepto
matemático de funciones.
Objetivo
Informar recomendaciones que contribuyan a economizar el consumo del agua y de la energía eléctrica.
Modelar, a través de una función, el consumo de energía eléctrica o del agua potable.
Recursos
•
Imágenes
•
Investigación sobre el consumo de agua y energía eléctrica
•
Facturas del consumo de agua y energía eléctrica
Evaluación
1. Realicen una investigación sobre las recomendaciones para economizar el consumo de agua y energía
eléctrica.
2. Elaboren carteles con las imágenes y las recomendaciones para economizar el consumo de agua
y energía eléctrica y expónganlos en un área exterior al aula.
3. Estructuren una expresión algebraica de una función que modele el consumo de la energía eléctrica
o del agua potable. Para ello analicen, junto a su docente, una de estas facturas y extraigan los rubros
que constan en ellas. Lleguen a acuerdos sobre los parámetros que considerarán, de manera que
obtengan una sola expresión para todos. Una vez definida la función, realicen su gráfico, identifíquenla,
determinen su dominio y recorrido, y analicen su monotonía.
240
Shutterstock, (2020). 465381941
Todos conocemos del deterioro del medioambiente,
pero no basta con conocerlo. Es importante ser conscientes para actuar con responsabilidad. Entre nuestros
actos responsables deben estar el practicar y enseñar
cultura ambiental. De esa manera, garantizamos el futuro de las nuevas generaciones.
Shutterstock, (2020). 606374984
Justificación / problemática
Desarrollo del pensamiento
Operadores matemáticos
Son símbolos que representan una operación matemática. Toda operación matemática presenta una regla de
definición. Observa cada ejemplo y resuelve.
1. Siendo a % b = a + ab + b y a ∆ b = a² + ab – b², calcular (3 % 6) % (5 ∆ 4)
Desarrollamos, por un lado, el operador % del primer paréntesis y el operador ∆ del segundo paréntesis.
Desarrollamos el operador % que se encuentra entre los dos paréntesis.
3 % 6 = 3 + 3(6) +6
= 3 + 18 + 6
= 27
2. Si a * b = ab □ (a +b) y
27 % 29 = 27 +27(29) + 29
27 % 29 = 27 + 783 + 29
27 % 29 = 839
5 ∆ 4 = 5² + 5×4 – 4²
5 ∆ 4 = 25 + 20 –16
5 ∆ 4 = 29
a □ b = 2a + b, determinar 2 * 5.
Desarrollamos primero 2 * 5 aplicando la primera condición. Luego utilizamos la segunda condición para el
segundo miembro de la ecuación y finalmente concluimos:
2 * 5 = 2 × 5 □ (2 + 5)
10 □ 7 = 2 × 10 + 7 = 27
Por lo tanto, 2 * 5 = 27
2 * 3 = 10 □ 7
Ahora determinar:
1) (2 % 3) % (4 ∆ 3)
2) 4 * 3
Cálculo mental
Multiplicar por 2,5
Ahora hazlo tú
Multiplicamos el número por 2 y le
sumamos su mitad.
a) 22 × 2,5 =
h) 37 × 2,5 =
o) 18 × 2,5 =
b) 63 × 2,5 =
i) 62 × 2,5 =
p) 78 × 2,5 =
c) 28 × 2,5 =
j) 92 × 2,5 =
q) 94 × 2,5 =
d) 46 × 2,5 =
k) 16 × 2,5 =
r) 82 × 2,5 =
e) 88 × 2,5 =
l) 23 × 2,5 =
s) 54 × 2,5 =
f) 74 × 2,5 =
m) 45 × 2,5 =
t) 44 × 2,5 =
g) 38 × 2,5 =
n) 66 × 2,5 =
36 × 2,5 = 36 × 2 + 36 ÷ 2 = 72 + 18 = 90
241
Recuerda y practica
1. Escribe el término faltante.
a)
(
)
f) 6x 2 − 24 xy + 24 y 2
3
8 ⋅ 2 = 64
1
b)
=
3
1
c)
3
d)
15
5. Dados los conjuntos, responde:
A = { x / x ∈ Z / −1 < x < 4}
=3
B = { x / x ∈N /1 ≤ x ≤ 5}
a) ¿Cómo quedan expresados por extensión?
8
=2
2. Resuelve.
a)
_____________________________________
_____________________________________
8 − 3 32 − 6 4 64 =
b) ¿Cuántos pares ordenados tiene el producto
A × B?
_____________________________________
b) − 3 5 4 + 3 3 80 − 4 6 + 7 216 =
c) Realiza el diagrama sagital y escribe los pares ordenados.
A
B
3. Expresa en notación científica.
a) 0,000000000019
b) 723 000 000 000 000
c) 42 000 000
d) 0,0000276
4. Factoriza.
A×B=
a) 3abx − 6ay + 3a =
b) 2a 2 x −
16 2
8
b x + a2 y − b2 y =
3
3
d) Realiza el diagrama sagital y representa gráficamente.
M = {a, b}
M
2n
4n
c) x − 25y
d) 216n 6 + 27m 3
N = {x, y, z}
N
N
z
e) −126wxy + 49x 2 + 81w 2 y 2
y
x
a
242
b
M
e) Completa la tabla, representa gráficamente
y escribe la clase de función.
f ( x ) = 3x
–2
–1
0
1
b) −7 < 2x + 3 < 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–2
–3
–4
–5
–6
–7
7. Determina el dominio y rango de la función f, y
analiza su monotonía.
_____________________________________
f ( x ) = 2x +1
x
y
–2
–1
0
1
2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Ran f:
________________________________________
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
________________________________________
________________________________________
0
1
2
________________________________________
8. Encuentra la expresión algebraica que corresponde
a la función definida por la tabla de valores.
x
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
________________________________________
f(x) = −x +3
–1
-1
-2
-3
-4
-5
________________________________________
_____________________________________
–2
2
1
Dom f: –2
–3
–4
–5
–6
–7
x
y
2
1
x − = 0,5x + 3,5
5
2
2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
a)
Archivo Editorial, (2020).
x
y
6. Resuelve.
–4
2
–2
1,5
0
1
2
0,5
4
0
9. Resuelve
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–2
–3
–4
–5
–6
–7
_____________________________________
De una lista de 500 estudiantes se escogerán
20 para entregarles una beca de igual valor. ¿De
cuántas formas es posible elegir a los becarios?
________________________________________
243
Aplico en la vida cotidiana
Tema: Tiempo de congelación
Función lineal
Situación cotidiana
Cuando un técnico desea conocer el daño que tiene una refrigeradora, la conecta y analiza la variación del
tiempo y la temperatura, pues de esa manera identifica la solución al problema.
Lorenzo analiza el daño de la refrigeradora; para esto
representa con una función la temperatura en grados
centígrados, por un determinado tiempo en minutos.
f(x) = 20 – 2x
Shutterstock, (2020). 207296536
¿Qué clase de función es?
¿La función es creciente o decreciente? ¿Por qué?
¿Qué representa el 20 y qué significado tiene?
¿Qué representa el –2 y qué significado tiene?
Reflexiona
•
Completa la tabla y grafica dicha función:
f(x)
Temperatura (°C)
x
1
2
3
4
5
6
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Tiempo (minutos)
1
2
3
4
5
6
7
8
•
Comprueba la respuesta.
•
¿Cómo se expresaría la función si la temperatura inicial fuera 21 °C y los grados disminuyen 3 °C?
Resuelve la situación
•
Los empleados de una empresa que ganan entre 800 y 1 600 dólares, deben pagar un impuesto al SRI en
función de su salario, como se muestra en el gráfico. ¿Cuánto pagaría un empleado cuyo ingreso es de
1 000 USD mensuales?
Impuestos
50
25
0
244
200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600
Sueldo
Tema: El mejor menú
Diagrama de árbol - probabilidad
Situación cotidiana
En general, cuando vamos a un restaurante tenemos muchas opciones para escoger el menú que vamos
a comer. En un restaurante pueden haber muchísimas combinaciones. ¿Te atreves a calcular el número de
combinaciones del próximo restaurante que visites?
Por la graduación de su hija, la familia Rodas va a un
restaurante y le pasan el menú para que puedan elegir. ¿Cuáles son las combinaciones para poder elegir
entrada, plato fuerte y postre?
¿Cuál es la probabilidad de escoger un menú, cuyo
segundo sea pargo en salsa blanca?
Reflexiona
•
Menú del día
Entrada
Plato fuerte
Postre
• Sopa de pollo
• Empanada de
camarón
• Filete de pollo
• Carne a la
plancha
• Pargo en salsa
blanca
• Helado
• Pastel de
chocolate
• Frutillas con
crema
¿Qué dificultad tienes en escoger un menú? ¿Qué puedes hacer para saber el número de combinaciones?
________________________________________________________________________________________
•
Comprueba la respuesta.
Completa el diagrama de árbol.
Espacio muestral
________________________________________________________________________________________
Resuelve la situación
•
•
Realiza una carta de menú de un restaurante donde haya: 3 entradas, 2 platos fuertes y 2 postres. Diseña
el menú y contesta: ¿cuántas combinaciones se podría hacer con dicho menú?
Representa en tu cuaderno un diagrama de árbol.
________________________________________________________________________________________
245
Olimpiadas matemáticas
1. Calcula la superficie del área sombreada expresada en fracción.
1
1
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
2. Al doblar los cuadrados del gráfico, se forma un
cubo, ¿Qué letra queda opuesta a B?
B
A
D C
Argumenta la solución:
F
E
Respuesta: ______________________________________________________________________________
3. Tres martes en un mes coincidieron con fechas pares. ¿Qué día de la semana fue 21 de ese mes?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
246
Evaluaciones estandarizadas
4. Lee y analiza.
1. Lee y analiza.
¿Qué combinación alfanumérica continúa?
¿Cuánto es la suma de A + B?
4
2
25
8
5
0A4, 1C8, 2E12, …
64
125
A
Argumenta la respuesta:
B
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 520
c) 625
b) 512
d) 729
a) 3D14
c) 3G16
b) 4F10
d) 5F20
5. Lee y analiza.
¿Cuánto es el 30 % de los
Argumenta la respuesta:
2. Lee y analiza.
3
de 1 600?
4
La suma de dos números es 97 y su diferencia es
29. ¿Cuáles son dichos números?
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 42 y 55
c) 34 y 63
b) 61 y 36
d) 33 y 64
3. Lee y analiza.
(
)
Si 2 x ⋅ 23 ÷ 23 = 27 , entonces x es igual a:
a) 300
c) 800
b) 360
d) 1 200
6. Lee y analiza.
¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo que
mide 12 cm de largo y de ancho la mitad de su
largo?
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) x = 7
c) x = 4
a)
b) x = 5
d) x = 3
b) 6 3
3
c) 6 5
d) 5 6
247
7. Lee y analiza.
10. Lee y analiza.
¿Cuánto suman las diagonales de todas las caras
de un cubo que mide 12 cm de arista?
Argumenta la respuesta:
¿Qué número falta en la serie?
5, 4, 7, 6, ?, 8, 11, 10, 13
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
Escoge la respuesta correcta.
a) 12 2
c) 6 12
b) 72 2
d) 24 6
a) 7
c) 10
b) 9
d) 12
11. Lee y analiza.
8. Lee y analiza.
?
¿Cuántas diagonales tiene un dodecágono regular?
Argumenta la respuesta:
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 12
c) 26
b) 24
d) 54
9. Lee y analiza.
Escoge la respuesta correcta.
a)
c)
b)
d)
¿Qué número continúa la serie?
3 3 3 3
,
,
,
, ______
2 6 12 36
Argumenta la respuesta:
3,
12. Lee y analiza.
¿Qué valor falta en la tabla?
x
1
3
4
6
y
3
7
?
13
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
3
3
c)
a)
108
72
3
3
b)
d)
54
48
248
Escoge la respuesta correcta.
a) 8
c) 10
b) 9
d) 11
13. Lee y analiza.
Nombre del estudiante: __________________
¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?
25 cm
________________________________________
Grado: _________________________________
12 cm
Fecha: _________________________________
20 cm
Instrucciones
Argumenta la respuesta:
Correcto
Incorrecto
1. Pinta totalmente los círculos.
Escoge la respuesta correcta.
a) 30 cm
c) 25 cm
b) 27 cm
d) 32 cm
2. No hagas marcas fuera del círculo.
3. En caso de concluir antes de tiempo, revisa
los ejercicios en los que hayas tenido dudas.
14. Lee y analiza.
Calcula el perímetro del triángulo.
2a – 3b + 5
3a + b – 1
a+b
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) 6a – b
c) 6a – b + 4
b) 6a + 4
d) 4 – b
15. Lee y analiza.
¿Cuál de las siguientes opciones equivale a la si3
guiente expresión
?
3
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a)
3
c) 3
b)
3
3
d)
3
3
1)
A
B
C
D
2)
A
B
C
D
3)
A
B
C
D
4)
A
B
C
D
5)
A
B
C
D
6)
A
B
C
D
7)
A
B
C
D
8)
A
B
C
D
9)
A
B
C
D
10)
A
B
C
D
11)
A
B
C
D
12)
A
B
C
D
13)
A
B
C
D
14)
A
B
C
D
15)
A
B
C
D
249
Compruebo mis aprendizajes
Evaluación sumativa
M.4.1.51. Definir y reconocer funciones potencia con n = 1, 2, 3, representarlas de manera gráfica e identificar su monotonía.
1. Selecciona al par de conjuntos que le corresponde
el producto cartesiano:
Q × P = {(a , r ) , (a , s ) , (e , r ) , (e , s ) , (o, r ) , (o , s )}
a) Q = {QQ
r ,=s={}{r r, s, ys}} yPy= P{aP=, =
e{a,{o,ae}, ,eo, }o }
1. R es simétrica.
2. R es reflexiva.
a=, {=ea{, ,roe,}s, o} }y y yP P=P=
{r={,a{s,r}e, ,so}}
b) Q =Q{Q
3. R es transitiva.
4. R es simétrica y reflexiva.
a) 1 y 2
2. Selecciona el producto cartesiano que corresponde a la imagen.
Archivo Editorial, (2020).
X
6
5
4
3
2
1
16
25
X
0
1
2
3
4
5
6
7
M
–2
2
–1
1
a) M × N = {( 2,2) ; ( 3, 4 ) ; ( 3,6 ) ; ( 6,2 ) ; ( 6, 4 )}
b) M × N = {( 2,2) ; ( 3, 4 ) ; ( 3,6 ) ; ( 2,6 ) ; ( 6, 4 )}
c) M × N = {( 2,2) ; ( 4,3) ; ( 3,6 ) ; ( 6,2 ) ; ( 6, 4 )}
d) M × N = {( 2,2) ; ( 4,3) ; ( 6,3) ; ( 2,6 ) ; ( 4,6 )}
3. Conecta la definición de cada relación construida
a partir de los conjuntos A = 1, 3, 5 y B = {2, 6, 9}
con el conjunto de pares ordenados que la
conforman.
1. R = {( a , b ) / a > b}
2. R = {( a , b ) / a = b − 1}
3. R = {( a , b ) / a = b − 4}
⎧
b⎫
4. R = ⎨(a ,b ) / a = ⎬
⎩
2⎭
a) 1d ;
b) 1d ;
c) 1c ;
d) 1c ;
2c ;
2c ;
2d ;
2d ;
a) R = {(1, 2);(3, 6)}
b) R = {(5, 9)}
X
4
–4
5
–5
–2
0
1
3
Y
–9
–7
–6
–4
10
Y
X
–1
0
1
2
3
–1
0
1
8
1
b) 1 y 4
Y
c) 2 y 3
d) 2 y 4
6. Selecciona el intervalo que corresponde al
dominio de la función definida por la expresión
algebraica f ( x ) = 5 x − 1.
⎡1
⎤
⎡1
⎤
b) ⎢ ;∞+ ⎥
⎣5 ⎦
a) ⎢ ;∞+ ⎥
⎣5 ⎦
⎤
⎡1
1⎤
⎡
d) ⎢ ;∞+ ⎢
⎣5 ⎣
c) ⎥ − ∞; ⎥
⎦ 5⎦
7. ¿Cuál es la función cuyo dominio es Domf :  − {4}?
5
a)
c)
4
-4
-2
3
2
1
0
-1
d) R = {(1, 2)}
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
0
2
4
8
-2
b)
4a
3b
3b
4a
d) 2 y 4
Y
4
a) 1 y 2
c) R = {(3, 2);(5, 2)}
3b ;
4 a;
4 a;
3b ;
c) 2 y 3
5. Analiza las relaciones mostradas en las gráficas
y selecciona el grupo de relaciones que son
funciones.
N
250
b) 1 y 3
Archivo Editorial, (2020).
r ,=s={}{rr, ,sys}} Pyy= {PaP=, e={a,{i,,aeo, ,e}o, }i, o}
d) Q = {QQ
d)
6
8
6
4
4
2
2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
-2
2
Archivo Editorial, (2020).
Q =={Qaa,=, ee{,,rii,,,soo}} yyy PPP==={a{r,re,, s,so} }
Q
c)
4. Identifica las afirmaciones verdaderas con
respecto a la relación R = {(3, 3);(3, 9);(9, 3);(9, 9)}
establecida en el producto cartesiano B × B, si
B = {3, 9, 12}. Luego selecciona la respuesta
correcta.
I.ECA.X.X.X.
Xxxx
M.4.1.48. Reconocer
funciones crecientes y decrecientes a partir de su
representación gráfica o tabla de valores.
I.ECA.X.X.X. Xxxx
y
Archivo Editorial, (2018).
b) f (x) = –x + 2
0
2
c) f (x) = 3x + 6
4
d) f (x) = –3x + 6
-2
-4
-6
-8
10. Selecciona el punto que no pertenece a la recta
f ( x ) = − x + 5:
2
1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
a) (2, –3) b) (–1, 6)
1 2 3 4 5 6
c) (4, 1)
d) (6, –1)
Coevaluación
-2
11. Relacionen las funciones de la izquierda con las
de la derecha cuyas rectas son paralelas.
1. f ( x ) = 2 x − 6
a) f ( x ) = −0,25 x + 1
1. Es monótona.
2. Crece en el intervalo [–6, –4].
3. Decrece en el intervalo ]3, 6].
4. Es constante en el intervalo ]0, 3].
b) 2 y 3
-2
Archivo Editorial, (2020).
-4
4
a) 1 y 2
a) f (x) = x + 2
2
8. Elige las afirmaciones verdaderas con respecto a
la función mostrada en la gráfica, y selecciona la
respuesta correcta.
3
6
4
c) 2, 3 y 4
d) 3 y 4
2. f ( x ) = 0,5 x + 1
b) f ( x ) = 2 x + 6
3. f ( x ) = −2 x − 6
1
4. f ( x ) = − x + 1
4
c) f ( x ) = −2 x + 6
1
d) f ( x ) = x − 1
2
a) 1b ; 2a ; 3c ; 4 d
M.4.1.50. Definir y reconocer una función lineal de manera algebraica
y gráfica (con o sin el empleo de la tecnología).
b) 1b ; 2d ; 3a ; 4 c
c) 1b ; 2c ; 3d ; 4 a
9. Selecciona la expresión algebraica que corresponde a la función de la gráfica.
d) 1b ; 2d ; 3c ; 4 a
Autoevaluación
12. Pinta según la clave.
Puedo ayudar a otros
Resuelvo por mí mismo
Necesito ayuda
Estoy en proceso
Obtengo el producto cartesiano de dos conjuntos.
Identifico una función y determino dominio y rango.
Contenidos
Analizo la monotonía de una función.
Describo a la función lineal y a la afín.
Calculo la probabilidad de sucesos compuestos.
Identifico variaciones, permutaciones y combinaciones, y las calculo.
Metacognición
•
•
•
Indagué con mi docente cuando tuve dudas.
Encontré aplicabilidad de los conocimientos adquiridos.
Colaboré en los trabajos grupales.
251
TIC
Medidas de tendencia central con datos agrupados
1. Para calcular la marca de
clase, ingresa el límite
inferior y superior en
diferentes columnas. Utiliza
el ícono promedio y copia el
formato para las demás filas,
arrastrando el mouse desde la
esquina de la celda.
2. Para determinar la frecuencia acumulada,
copia la primera fi, luego en la columna
de Fi utiliza la fórmula = celda superior +
celda de la misma fila pero de fi, esto es:
= G2 + F3. Arrastra el mouse para copiar
el formato.
Archivo Editorial, (2020).
3. Para llenar la columna x.fi, utiliza la
fórmula = columna x*columna fi, esto
es = E2*F2. Copia el formato para
toda la columna x.fi.
4. Usa el ícono autosuma para obtener
la sumatoria en las columnas de fi
y de x.fi.
Archivo Editorial, (2020).
5. Selecciona una celda para introducir la fórmula de
la media aritmética = sumatoria de x.fi/sumatoria
de fi (= H8/F8).
Manipula el ícono
6. Una vez seleccionado el intervalo donde se
encuentra la mediana, escoge otra
celda para ingresar la fórmula
= C4 + 2*((F8/2 – G3)/F4.
hasta obtener una sola cifra decimal.
7. Selecciona el intervalo modal e
ingresa la fórmula:
, esto es:
= 3+ 2*((F3 – F2)/((F3 – F2) + (F3 – F4)).
252
Archivo Editorial, (2020).
Gráficos de funciones con Geogebra
1. Descarga el software GeoGebra en el
computador con ayuda de un tutorial.
2. En la parte inferior de la página, en el recuadro
entrada, ingresa la función por graficar. Toma
en cuenta que para funciones con exponentes
usamos el signo ^, y si son funciones racionales,
usamos /.
En un mismo plano cartesiano
podemos tener algunas funciones. De cada una de ellas
se registra su información en
la columna Vista algebraica.
Al seleccionar cualquiera de
ellas y dar clic derecho, se puede ingresar a propiedades para
cambiar color, grosor y opacidad del trazo.
Archivo Editorial, (2020).
En GeoGebra podemos graficar funciones con dominio delimitado. Para ello:
1. En el recuadro entrada escribe la
palabra “Si”. Al hacerlo, se despliega
un cuadro de condiciones. Escoge la
primera:
2. Sustituye en la <Condición> el intervalo
del dominio y en el <Entonces> la forma
de la función, así por ejemplo:
Si (–5 < x < 8, 4/x )
Archivo Editorial, (2020).
253
Elaboración de tablas para calcular variaciones, permutaciones y combinaciones
En Excel podemos elaborar tablas que permitan calcular variaciones, permutaciones o combinaciones, cualquiera sea m y n, optimizando tiempo.
1. Asigna una columna para m
y otra para n.
2. Ingresa un primer par de datos,
en cada una de las tres tablas.
En la celda derecha de cada una,
ingresa las siguientes fórmulas,
respectivamente:
Variación: m!
(m – n)!
= FACT(D4)/FACT(D4 – E4)
Permutación: = n!
= FACT(I4)
Combinación:
Archivo Editorial, (2020).
4. Guarda el archivo que podrá ser
utilizado en cualquier momento.
m!
n! (m – n)!
= FACT(F18)/
(FACT(G18)*FACT(F18 – G18))
254
3. Señala en la parte inferior de la celda
que contiene la fórmula y arrastra el
mouse hasta la celda final de la tabla,
de manera que el formato queda
copiado.
5. En cualquier situación problémica que se
presente, identifica si se trata de una variación,
una permutación o una combinación.
Reconoce el valor de m y n e ingresa los
dos datos. La respuesta aparecerá en la celda
correspondiente.
Shutterstock, (2020).1468198073
Shutterstock, (2020).1468198073
Shutterstock, (2020).1468198073
Shutterstock, (2020).1468198073
Shutterstock, (2020).1468198073
Bibliografía
González, M.O. y Mancill, J.O. (1962) Álgebra elemental moderna. Volumen 1. Buenos Aires: Editorial Kapeluz.
Ministerio de Educación del Ecuador (2010a) Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica. Quito.
Ministerio de Educación.
Ministerio de Educación del Ecuador (2010b). Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica.
Quito. Ministerio de Educación.
Ministerio de Educación del Ecuador (2013). Adaptaciones a la Actualización y Fortalecimiento Curricular de la
Educación Básica. Quito. Ministerio de Educación.
Swokowski, E. y Jeffery, A (2007). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México D. F.: Cengage Learning, S.A.
Webgrafía
Disfruta de las Matemáticas (2011). El triángulo de Pascal, [en linea] Disponible en: http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html
Ditutor (2017). Medidas de Tendencia Central de datos agrupados, [en linea]. Disponible en: https://www.
ditutor.com/estadistica/medidas_centralizacion.html
Mate móvil (2016). Variaciones, combinaciones y permutaciones, ejercicios resueltos, [en linea]. Disponible en:
https://matemovil.com/variaciones-combinaciones-y-permutaciones-ejercicios-resueltos/
Matemáticas Profe Alex (2017). Varianza, desviación estándar y coeficiente de variación | datos agrupados en
intervalos, [en linea]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=1myBo87lYyU
Matemáticas Profe Alex (2018). Dominio y Rango de una función, [en linea]. Disponible en: https://www.youtube.
com/watch?v=H40lcwlgPMk&t=100s
Portal Educativo (s/f ). Volumen de cuerpos geométricos, [en linea] Disponible en: https://www.portaleducativo.
net/octavo-basico/164/Volumen-de-cuerpos-geometricos
256
ac
ió
n
al
iz
m
er
ci
co
su
a
id
ib
oh
Pr
Educación General Básica
Noveno grado
Matemática
Los diez magníficos (fragmento)
Anna Cerasoli
co
m
er
ci
al
iz
ac
ió
n
—¿Te ha enseñado el abuelo ya el rectángulo de oro? —preguntó
a su sobrino-barman, que otra vez estaba atareado en la cafetera.
Filo, que en los últimos tiempos ha estado muy interesado en los
metales preciosos y pregunta a cualquiera que luzca un collar si
es de oro auténtico, se precipitó a ver ese rectángulo tan especial.
—¿De oro? ¿Y dónde está el oro? ¡A ver! Como el número de oro
del abuelo que al final no puedes cambiarlo por nada. A ustedes
los matemáticos se les ha subido un poco el asunto a la cabeza;
ven oro por todas partes…
—Tienes razón, querido sobrino. Es que este rectángulo se llama
de oro porque la base y la altura están en relación áurea: la altura es 0,618… veces la base. El número de oro, precisamente. ¿Te
acuerdas?
—Sí, naturalmente, ¡cómo olvidarlo! ¡Casi me convierto en un buscador de oro, como el abuelo!
su
Tomado de Cerasoli, Anna. (2015). Los diez magníficos. México: Editorial Océano.
id
a
Anna Cerasoli. Profesora italiana de matemáticas. Entre sus obras destacan Los diez
magníficos, Míster Cuadrado y Los trucos de las fracciones.
ib
La serpiente de Kekulé
Pr
oh
Federico di Trocchio
A comienzos del siglo XIX los teatros y otros edificios públicos
en Londres se iluminaban con un gas extraído de las ballenas.
Cuando este gas se comprimía a fin de transportarlo en barcas,
formaba un líquido. Este líquido fue analizado por primera vez en
1825 por el famoso científico Michael Faraday, quien verificó que
contenía carbono e hidrógeno en iguales proporciones. Posteriormente se lo denominó benceno. Durante muchos años nadie pudo
aislar la fórmula de la estructura de esta sustancia, hasta que
ac
ió
n
en 1865 Friedrich August Kekulé demostró que su molécula está
constituida por un anillo de seis átomos de carbono dispuestos en
forma de hexágono ideal, cada uno de los cuales está unido a un
átomo de hidrógeno.
al
iz
¿Cómo había hecho Kekulé para encontrar esta singular y hasta
entonces desconocida estructura? El autor no quiso revelarlo jamás, hasta que en 1890, en el transcurso de una convención con
motivo del vigésimo quinto aniversario del descubrimiento, y que
pasó a la historia como la Fiesta del benzol, reveló que había realizado el descubrimiento en sueños.
su
co
m
er
ci
En 1865, cuando era profesor de química de Gante, Bélgica, contó
Kekulé que una noche, mientras se ocupaba de preparar su manual de química, se durmió frente al fuego y comenzó a soñar con
una danza de átomos que poco apoco se convirtieron en varias
serpientes, hasta que finalmente una de ellas se mordió la cola
formando un anillo. En aquel momento, Kekulé, guiado por una
repentina iluminación, se despertó y pasó el resto de la noche
intentando disponer los átomos de carbono y de hidrógeno del
benceno de acuerdo a la figura que había aparecido en el sueño.
Pr
oh
ib
id
a
Esta anécdota comenzó a formar parte de las curiosidades y los
mitos de la historia de la ciencia y ha sido narrada infinitas veces, sobre todo para subrayar que a menudo en la investigación
científica también entran en juego factores psicológicos oscuros
e imponderables. El propio Kekulé había concluido su discurso
diciendo: “Durmamos entonces, señores, y tal vez podamos descubrir la verdad. Pero cuidémonos de no publicar nuestros sueños
antes de haberlos discutido en profundidad cuando estemos despiertos.”
Tomado de Di Trocchio, F. (2007). Las mentiras de la ciencia. Madrid: Alianza Editorial.
Federico di Trocchio (1949-2013). Historiador italiano, Federico di Trocchio es conocido
por su labor de investigación y divulgación dentro del campo de la Historia y Filosofía
de la Ciencia.
El planeta de los simios (fragmento)
Pierre Boulle
su
co
m
er
ci
al
iz
ac
ió
n
He de confesar ahora que me adapté a las condiciones de vida de
mi jaula con una facilidad notable. Desde el punto de vista material, vivía perfectamente feliz. Durante el día, los monos cuidaban
de mí con esmero, y por la noche compartí el lecho con una de las
hijas más hermosas del Cosmos. Tanto y tan bien me acostumbré
a esta situación que durante más de un mes no hice nada serio
para ponerle fin, sin darme cuenta ni de lo que extraña que era
ni de lo degradante que resultaba. Apenas hice más que aprender unas cuantas palabras más de la lengua simia. No seguí con
mis esfuerzos para llegar a entenderme con Zira, de manera que
suponiendo que por algún momento hubiese tenido la intuición
de mi naturaleza espiritual, debió dejarse convencer por Zairus
y llegar a considerarme como un hombre de su planeta, es decir
como un animal: un animal inteligente, quizá, pero en modo alguno intelectual.
Pr
oh
ib
id
a
Mi superioridad sobre los demás prisioneros que, por otra parte,
ya no llevaba hasta el punto de asustar a los guardianes, hacía
de mí el sujeto brillante del establecimiento. Debo declarar para
vergüenza mía que esta pequeña distinción era suficiente para
mi ambición del momento y que incluso me llenaba de orgullo.
Zoram y Zanam me demostraban su amistad e incluso les daba
placer verme sonreír, reír y pronunciar algunas palabras. Después
de haber agotado conmigo todos los tests clásicos, se las ingeniaban para inventar algunos más sutiles y nos alegrábamos juntos
cuando yo encontraba la solución del problema. Nunca dejaban
de traerme alguna golosina, que yo compartía siempre con Nova.
Éramos una pareja privilegiada. Yo era lo suficientemente fatuo
para creer que mi compañera se daba cuenta de cuánto debía a
mi talento y pasaba gran parte de mi tiempo en pavonearme ante
ella.
al
iz
ac
ió
n
Sin embargo, un día, después de algunas semanas, sentí de repente como una especie de náuseas. ¿Era el reflejo de la pupila de
Nova que aquella noche me había parecido singularmente inexpresivo? ¿Era el terrón de azúcar que Zira acababa de darme y
que, de repente, me había parecido que tenía un sabor amargo? El
caso es que enrojecí al pensar en mi resignación cobarde. ¿Qué
pensaría de mí el profesor Antelle, si por casualidad vivía aún
y me encontraba en este estado? Este pensamiento se me hizo
pronto insoportable y decidí inmediatamente comportarme en lo
sucesivo como un hombre civilizado.
su
co
m
er
ci
Mientras acariciaba el brazo de Zira, en acción de gracias, me
apoderé de su carnet y de su bolígrafo. No hice caso de sus dulces
reproches y, sentándome sobre la paja, me puse a dibujar la silueta de Nova. Soy un dibujante bastante bueno, y como el modelo
despertaba mi inspiración, logré hacer un boceto aceptable, que
entregué a la mona. Esto despertó en seguida su emoción y su
incertidumbre en cuanto a mí. Se le enrojeció el hocico y se quedó
mirándome, algo temblorosa.
Pr
oh
ib
id
a
Como permaneciera inmóvil, cogí nuevamente el carnet con decisión, que esta vez me entregó ella sin protesta alguna. ¿Cómo no
se me había ocurrido utilizar antes este medio tan sencillo? Tratando de recordar mis estudios escolares, tracé sobre el carnet la
figura geométrica que ilustra el teorema de Pitágoras. No escogí
este tema por casualidad. Recordé que, en mi juventud, había leído un libro sobre empresas del futuro en el que se decía que un
sabio había empleado este procedimiento para entrar en contacto
con inteligencias de otros mundos (…)
Ahora era ella la que se mostraba ávida de establecer contacto.
Di las gracias mentalmente a Pitágoras y me atreví un poco más
por la vía geométrica. Sobre una hoja de carnet dibujé lo mejor
que supe las tres cónicas con sus ejes y sus focos; una elipse, una
parábola y una hipérbola. Después, sobre la hoja de enfrente, dibu-
m
er
ci
al
iz
ac
ió
n
jé un cono de revolución. Debo recordar que la intersección de un
cuerpo de esta naturaleza con un plano es una de las tres cónicas
que siguen el ángulo de intersección. Hice la figura en el caso de
la elipse y, volviendo mi primer dibujo, indiqué con el dedo a la
maravillada mona la curva correspondiente.
Me arrancó el carnet de las manos, trazó, a su vez, otro cono, cortado por un plano a un ángulo distinto, y me señaló la hipérbole
con su largo dedo. Me sentí tan fuertemente sacudido por la intensa emoción que los ojos se me llenaron de lágrimas y estreché
sus manos convulsivamente. Nova, en el fondo de la jaula, chilló
de cólera. No la engañaba su instinto sobre la naturaleza de estas
efusiones. Entre Zira y yo acababa de establecerse una comunicación espiritual por conducto de la geometría.
Tomado de Boulle, P. (1985). El planeta de los simios. Barcelona: Ediciones Orbis.
su
co
Pierre Boulle (1912-1994). Escritor francés. Autor de novelas como El puente sobre el
río Kwai y El planeta de los simios.
Una mesa reservada
ib
id
a
Mary Dolciani, Simon Berman, Julus Freilich
Un visitante de la Torre de Londres en el año 1606 hubiera pre-
oh
senciado una escena sorprendente. En el centro de esta infaman-
Pr
te prisión, en una mesa reservada para su uso, un grupo de hombres, todos amigos e invitados de uno de los reclusos de la prisión,
se congregaban para discutir sobre matemáticas. El anfitrión de
esta desusada tertulia era nada menos que el Conde de Nortumbría. La figura principal en las discusiones era un consumado
astrónomo y matemático, Thomas Harriot.
Harriot había llegado a ocupar su lugar en la mesa del Conde,
en la Torre de Londres, gracias a una vida memorable. Nacido
en 1560, fue atrapado por el espíritu de vigor y creación que lle-
ac
ió
n
naba a Inglaterra durante el reinado de Isabel I. Su carrera se
inició con estudios en Oxford y poco después sirvió como tutor
de matemáticas de Sir Walter Raleigh. Fue Raleigh quien asignó
a Harriot a la oficina de agrimensura en la segunda expedición a
al
iz
Virginia. Después de regresar a Inglaterra y a sus estudios de matemáticas, le fue otorgada una pensión vitalicia por el Conde de
Nortumbría, quien a su vez era un matemático aficionado. Fue así
m
er
ci
que, en 1606, cuando el Conde cayó en desgracia con la Corona
y fue encerrado en la Torre de Londres, Harriot estuvo entre los
invitados de honor compartiendo la mesa del Conde.
co
Aunque en sus últimos años Harriot estuvo aquejado por cáncer,
continuó demostrando extraordinario talento matemático. El uso
del signo (=) para la igualdad, aunque introducido por otro mate-
su
mático, Recordre, se debe parcialmente a Harriot, quien ayudó a
convencer a otros matemáticos de su tiempo para que adoptaran
a
esa notación. Pero a Harriot sí debemos dos de los más útiles sím-
Pr
oh
ib
id
bolos matemáticos: los símbolos (>) y (<).
Tomado de Dolciani, M., Berman, S. y Freilich, J. (1976). Álgebra moderna. Estructura y
método. México: Publicaciones Cultural S.A.
Mary Dolciani (1923-1985). Fue profesora de Matemáticas, además de directora y profesora de varios institutos para profesores. Su obra se dedicó a los problemas que surgen en la enseñanza de las Matemáticas a nivel preparatorio.
Simon Berman. Profesor de Matemáticas en el Brooklyn Politechnic Institute. Fue miembro de varios comités que han formulado programas de Matemáticas.
Julus Freilich. Director de la escuela Floyd Bennett, jefe del departamento de Matemáticas del Brooklyn Technical High School e instructor en Brooklyn Polytechnic Institute.
Aritmética
Me decían los chicos de la escuela:
—Aprende la aritmética.
—David, estudia la aritmética…
—Tú no sabes aritmética. ¡Eres tonto!
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Me gritaba mi padre diariamente:
—Estudia la aritmética,
¡aprende la aritmética!...
Si no sabes la tabla de sumar,
no irás al cine el domingo,
ni al carrusel, ni al fútbol…
Hay que saber que dos y dos son cuatro
para poder vivir.
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Jorge Enrique Adoum
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Me rogaba mi madre, entristecida:
—Aprende la aritmética,
estudia la aritmética:
si no sabes restar y dividir
no tendrás un futuro,
ni dinero, ni casa, ni amigos, ni coche…
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Y no aprendí las tablas de aritmética.
Ni he logrado el futuro, ni el coche, ni el amigo;
pero he tomado todos los dones de la vida,
Gozándolos intensa y plenamente.
Tomado de Adoum, J. (1998). Poesía viva del Ecuador. Quito: Grijalbo Ecuatoriana.
Jorge Enrique Adoum (1926-2009). Escritor, poeta, narrador, ensayista, periodista de la
radio y la televisión de Francia, docente de Literatura, redactor cultural y diplomático
ecuatoriano. Durante dos años fue el secretario privado de Pablo Neruda.
Descartes, la mosca y las coordenadas cartesianas
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Alfred López
Debido a la precaria salud que padecía desde niño, René Descartes tenía que pasar innumerables horas en cama. Aprovechaba
para pensar en filosofía, matemáticas, divagar, e incluso se per-
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mitía perder el tiempo pensando en las musarañas.
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Teniendo su vista perdida en el techo de la estancia, fue una mosca a cruzarse en su mirada, cosa que hizo que la siguiera con la
vista durante un buen rato, mientras pensaba y se preguntaba si
se podría determinar a cada instante la posición que tendría el
insecto, por lo que pensó que si se conociese la distancia a dos
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superficies perpendiculares, en este caso la pared y el techo, se
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podría saber.
Mientras le daba vueltas a esto se levantó de la cama y, agarrando un trozo de papel, dibujó sobre él dos rectas perpendiculares:
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cualquier punto de la hoja quedaba determinado por su distancia
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a los dos ejes. A estas distancias las llamó coordenadas del punto.
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Acababan de nacer las coordenadas cartesianas y, con ellas, la
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Geometría analítica.
Tomado de https://bit.ly/2UoYEUA (20/03/2019)
Alfred López (1965). Escritor y bloguero español. Autor de los libros Ya está el listo que
todo lo sabe, Vuelve el listo que todo lo sabe.
Matemágicas (fragmento)
Norma Muñoz
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—Bueno —dijo Fito, armándose de valor— tienes que hacer una
operación matemática al mismo tiempo que haces algo con tu
cuerpo.
Fito había confesado el secreto. Se sentía como un general que
había perdido su mejor arma. Esperaba un bombardeo de preguntas por parte de María; sin embargo, ella se encogió de hombros,
suspiró sonoramente y reanudó la caminata.
—Conque eso era, ¿eh? Con razón a mí no me salía nada. Y lo
peor es que nunca me saldrá nada porque las matemáticas me
chocan. ¿No sabes si se puede usando una calculadora?
—No. Tienes que hacer las operaciones en tu mente o en un papel
—explicó Fito.
—Entonces, olvídalo. Eso no es para mí. Pero, dime, ¿desde cuándo
haces esas matemágicas?
—¿Matemágicas? —preguntó Fito, sorprendido.
—Sí, matemáticas mágicas, ¡matemágicas! ¿Cómo las descubriste? ¡Cuéntamelo todo!
De pronto, Fito se sintió tranquilo y aliviado. Todos los temores
que tenía unos minutos antes habían desaparecido. En el fondo, le
daba gusto contarle a alguien su secreto. Caminaron varias cuadras con calma, mientras Fito contaba toda la historia. Al llegar a
un edificio altísimo, se detuvo.
—Aquí vivo yo.
María se sorprendió. Miró la construcción de abajo a arriba, protegiéndose los ojos con la mano extendida.
—¡Ffiiiuuu! —silbó—. ¿Cuántos pisos son?
—Treinta.
—Y tú ¿en cuál vives?
—En el último.
Tomado de Muñoz Ledo, N. (2013). Matemágicas. Quito: Editorial Norma.
Norma Muñoz Ledo (1967). Escritora mexicana.
Érase una vez un problema (fragmento)
Carolina Ocaña Castillo
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Había una vez, en un lugar remoto detrás de una montaña, un
pueblecito que era conocido como el lugar más culto del planeta.
Esto era, quizás, por sus dos grandes Centros del Conocimiento:
El Mundo de las Letras y El Universo de los Números. Pero todo
lugar tiene sus ventajas y sus inconvenientes. Estos dos Centros
del Conocimiento siempre estaban discutiendo sobre cuál de ellos
impartía más cultura y, por tanto, era el mejor. Cada trimestre se
celebraban competiciones para ver cuál había enseñado mejor:
el centro cuyos alumnos hubiesen sacado mejores notas era el
ganador.
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Un día llegó a ese pueblo un señor llamado Aristoquímedes, que
tenía un gran problema. Había oído hablar de sus dos grandes
escuelas y pensaba que en una de ellas encontraría su respuesta.
Primero fue a preguntar a El Universo de los Números:
—Hola, me llamo Aristoquímedes y he oído hablar muy bien de
este pueblo. Me dijeron que aquí podría hallar cualquier respuesta…
—Sí, así es. Los números son capaces de todo y esta es su casa,
así que usted dirá.
—Verá… resulta que soy el encargado de suministrar y llevar los
cálculos del agua en mi edificio. El otro día tenía que hacer un
recado muy urgente y le pedí a uno de mis ayudantes que se encargase de los cálculos en mi lugar. Cuando volví, me dijo que al
principio se gastó la mitad del agua y que, 2 horas más tarde, se
había usado 1/5 de lo que quedaba. En el depósito quedaban 600
litros, pero necesito saber cuánto había al principio…
—Eh… pues… esto es muy fácil… solo hay que… no, hay que… ¿le importaría esperar un momento? Iré a preguntar al jefe.
—Claro.
—Lo siento. No sé cómo es posible, pero no existe ninguna solución
matemática que resuelva su problema… Lamento decirle que tendrá
que ir a El Mundo de las Letras a ver si allí saben qué hacer…
—Está bien. Muchas gracias.
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Se dirigió al edificio de al lado, su próximo destino. Una vez dentro se dirigió al mostrador y le dijo al responsable:
—Hola, me llamo Aristoquímedes, y he oído hablar muy bien de
este pueblo. Me dijeron que aquí podría hallar cualquier respuesta… aunque no tuviese mucho que ver con la literatura.
—¡Claro que sí! Verá, la lengua está relacionada con todo en esta
vida y, a través de ella y con un poco de lógica, podemos responderle cualquier cosa.
—Bien, pues, verá, es que en mi edificio yo me encargo de suministrar el agua y llevar todos los gastos. El problema es que el
otro día tuve que hacer un recado muy urgente que me requería
todo el día. Entonces dejé a mi ayudante a cargo del agua. Cuando
terminé y volvía a casa, el ayudante me dijo que primero utilizaron la mitad del depósito y que poco después se gastó 1/5 de lo
que quedaba. Miré en el depósito y aún había 600 litros de agua.
Pero, para hacer las facturas necesito saber qué cantidad de agua
había al principio. Sé que esto es un problema más bien matemático, pero acabo de ir al otro edificio y no han sabido resolverlo…
—Eso es obvio. No se preocupe: como ya le dije antes, con un poco
de lógica las letras pueden hacer milagros. Verá: si al principio
se gastó eso y luego esto y quedan tantos, pues yo diría que al
principio había… que había… me sorprende que vaya a decir esto,
pero… ¡no sé lo que había!
—No me diga que he venido hasta aquí para nada…
—Lo siento, pero no podemos hacer nada por usted.
—Bueno, sí hay algo que pueden hacer… pero no les va a gustar.
—¡Por favor! Cualquier cosa por el saber.
—Si ustedes solos no pueden resolver mi problema y los números
tampoco, tal vez si uniesen sus conocimientos podrían…
Tomado de https://bit.ly/2UFQDKo (05/03/2018)
Carolina Ocaña Castillo. Divulgadora de conocimientos matemáticos.
Matemática pura (fragmento)
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Piergiorgio Odifreddi
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En efecto, el archipiélago de la matemática moderna está conectado por caminos subterráneos, misteriosos e invisibles, que son
develados por inesperadas convergencias, que lo hacen emerger
y aflorar lentamente. Un símbolo de esta unidad es el episodio del
teorema de Fermat, sobre el cual nos explayaremos más adelante.
Sus raíces se encuentran en los estudios pitagóricos sobre los números enteros, que culminaron en el sigo III a.C. en los Elementos
de Euclides.
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En el siglo III d.C. Diofanto de Alejandría inició un estudio de las
soluciones enteras de ecuaciones con coeficientes enteros, y las
trató detalladamente en Aritmética, una obra en trece libros, de
los cuales solo sobrevivieron seis. En el siglo XVII, Pierre de Fermat estudió la obra de Diofanto y anotó en los márgenes de su
copia 48 observaciones, sin demostración alguna.
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En el siglo XVIII, todas las observaciones de Fermat habían sido
demostradas, con una sola excepción, que por eso se conoció
como el último teorema de Fermat: si bien existen dos cuadrados de números enteros cuya suma es un cuadrado (por ejemplo
9 y 16, cuya suma es 25), no existen dos cubos cuya suma sea
un cubo, ni dos potencias enésimas cuya suma sea una potencia
enésima, si n es mayor que 2.
En el siglo XIX, los intentos por demostrar el último teorema de
Fermat provocaron importantes progresos en la teoría de números y la confirmación del teorema para un número cada vez más
grande de exponentes, pero no una demostración general.
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En 1995, Andrew Wiles obtuvo la demostración general, a través
de un enfoque indirecto que, a primera vista, parece totalmente
desvinculado del problema, y utilizando un arsenal de técnicas
completamente abstractas. Para resolver un sencillo problema
numérico, con un enunciado elemental y clásico, fue necesario
apelar a una gran parte de la matemática superior y moderna. Y
el episodio es un ejemplo, no solo de la aparente continuidad dinámica, diacrónica y vertical de cada área de la matemática, sino
también de la oculta conexión estática, sincrónica y horizontal
entre las áreas más diferentes.
Tomado de Odifreddi, P. (2006). La matemática del siglo XX. Buenos Aires: Katz Editores.
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Matemáticos brujos
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Piergiorgio Odifreddi (1950). Matemático italiano, especializado en la lógica. Actualmente investiga la teoría de la recursividad.
Malba Tahan
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Nos cuenta Rebière que el zar Iván IV, conocido como el Terrible,
propuso una vez un problema a un geómetra de su corte. El problema consistía en determinar cuántos ladrillos se necesitarían
para de la construcción de un edificio ordinario, cuyas dimensiones eran conocidas. La respuesta fue rápida, y se llegó, después
de la construcción, a demostrar la exactitud de los cálculos. Iván,
impresionado con este hecho, mandó quemar al matemático, convencido de que había liberado al pueblo ruso de un brujo peligroso.
François Viète, el fundador del álgebra moderna, también fue
acusado de cultivar la brujería. Así es como los historiadores narran ese curioso episodio: Durante las guerras civiles en Francia,
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los españoles se servían, para su correspondencia secreta, de un
código en que figuraban cerca de 600 símbolos diferentes, periódicamente permutado según cierta regla que solo los súbditos
más íntimos de Felipe lo conocían. Habiendo sido, sin embargo,
interceptado un despacho secreto de España, Enrique IV, rey de
Francia, resolvió que el genio maravilloso de Viète descifrara el
escrito. El geómetra no solo descifró el documento capturado, sino
que descubrió la palabra secreta del código español. De ese descubrimiento, los franceses sacaron incalculable ventaja durante dos
años. Cuando Felipe II supo que sus enemigos habían descubierto
el secreto del código tenido como indescifrable, fue presa de gran
espanto y rencor, y llevó al Papa Gregorio XIII la denuncia de que
los franceses, contrariamente a la práctica de la fe cristiana, “recurrían a sortilegios diabólicos de magia y brujería”, denuncia a la
que el Pontífice no dio ninguna atención. Sin embargo, es curioso
el hecho de que Viète, a causa de su talento matemático, fuera
incluido entre los brujos y fetichistas de su tiempo.
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Tomado de https://bit.ly/2Klht6t (20/03/2019)
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Malba Tahan (1895-1974). Fue un profesor y escritor brasileño, conocido por sus libros
sobre las ciencias matemáticas, en particular por El hombre que calculaba.
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La muerte de Arquímedes
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Plutarco
Pero lo que más afligió a Marcelo fue la muerte de Arquímedes.
Sucedió que se encontraba tan ensimismado tratando de resolver
un problema con la ayuda de un diagrama —los ojos y el pensamiento fijos en la materia que estaba estudiando—, que no se percató de la incursión de los romanos ni de la captura de la ciudad.
De repente, un soldado se le acercó y le ordenó que le acompañara para presentarse ante Marcelo. Arquímedes se negó a hacerlo
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en tanto no hubiera resuelto el problema y establecido su demostración; al oír esto, el soldado se enfureció, sacó la espada y se la
clavó. Sin embargo, todas las versiones apuntan a que Marcelo se
sintió profundamente afligido por esta muerte, por lo que dio la
espalda al asesino como si de una persona impura se tratase, y
buscó a los hijos de Arquímedes para restituirles su honor.
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Plutarco (46-120). Historiador y filósofo griego.
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Tomado de https://bit.ly/2VvC5df (27/03/2019)
La matemática
Bertrand Russell
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La matemática posee no solo la verdad,
sino belleza suprema;
una belleza fría y austera,
como una escultura,
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sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil,
sin la hermosura de las pinturas o la música,
pero sublime y pura,
y capaz de una perfección como solo las mejores artes pueden
presentar.
El verdadero espíritu del deleite,
de exaltación,
el sentido de ser más grande que el hombre,
puede ser encontrado tanto en matemática como en la poesía.
Tomado de https://bit.ly/2IqNzeF (21/03/2019)
Bertrand Arthur William Russell (1872-1970). Fue un filósofo, matemático, lógico y escritor británico, ganador del Premio Nobel de Literatura, y conocido por su influencia
en la filosofía analítica, sus trabajos matemáticos y su activismo social.
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Educación General Básica - Subnivel Superior - Décimo EGB
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