15)
Primero completamos cuadrados y despejamos para obtener la ecuación de la superficie cuádrica.
2
2
2
144 x + 64 y + 36 z −288 x −128 y +72 z−332=0
(144 x 2−288 x)+(64 y 2−128 y)+(36 z 2+72 z)−332=0
144 ( x 2−2 x)+64 ( y 2−2 y)+36 (z 2+2 z)−332=0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
144( x −2 x +1 )−1 ⋅144+64 ( y −2 y +1 )−1 ⋅64+36 (z +2 z +1 )−1 ⋅36−332=0
2
2
2
144 (x−1) −144+64 ( y −1) −64 +36(z +1) −36−332=0
2
2
2
144 ( x−1) +64 ( y−1) + 36( z +1) −576=0
144( x −1)2 +64 ( y−1)2+ 36(z +1)2 =576
2
2
2
144(x −1) 64 ( y−1) 36( z +1)
+
+
=1
576
576
576
2
2
2
(x −1) ( y−1) (z +1)
+
+
=1
4
9
16
2
2
2
(x −1) ( y−1) (z +1)
+
+
=1
22
32
42
Esto representa un elipsoide de centro ( 1, 1, -1) y semiejes X, Y, Z de longitudes 2, 3, y 4, respectivamente.
Para graficarlo, primero graficamos sus curvas de nivel:
Trazas paralelas al plano YZ:
x =−1 ⇒
−1
x=
⇒
2
x=0
⇒
1
2
⇒
x =1
⇒
x =2
⇒
x=3
⇒
x=
(−1, 1 ,−1)
2
2
( y−1) (z +1)
7
+
=
2
2
16
3
4
2
2
( y −1) (z+ 1) 3
+
=
2
2
4
3
4
2
2
( y−1) (z +1) 15
+
=
2
2
16
3
4
2
2
( y −1) (z+ 1) 3
+
=
2
2
4
3
4
2
( y−1)
2
3
Punto rojo
Púrpura
Negro (tapado)
Rojo
Azul
2
+
(z +1)
2
4
(3 , 1 ,−1)
=1
Verde
Punto rojo
Trazas paralelas al plano XZ:
2
y =0
y=
1
2
y=1
y =2
2
( x−1) ( z +1) 8
⇒
+
=
9
22
42
2
2
( x−1) (z +1) 35
⇒
+
=
36
22
42
2
2
( x−1) ( z +1)
⇒
+
=1
22
42
( x−1)2 ( z +1)2 8
⇒
+
=
2
2
9
2
4
2
y =3
⇒
y=4
⇒
Negro (tapado)
Rojo
Azul
Verde
2
( x−1) ( z +1) 5
+
=
9
22
42
( 1, 4 ,−1)
Púrpura
Punto rojo
Trazas paralelas al plano XY:
z=−5 ⇒
z=−4 ⇒
z=−3 ⇒
z=−2 ⇒
z =−1 ⇒
z=0
⇒
(1 ,1 ,−5)
2
2
(x−1) ( y−1)
7
+
=
2
2
16
2
3
2
2
(x−1) ( y−1) 3
+
=
4
22
32
(x−1)2 ( y−1)2 15
+
=
2
2
16
2
3
2
2
(x −1) ( y−1)
+
=1
22
32
2
2
(x−1) ( y−1) 15
+
=
2
2
16
2
3
Punto rojo
Rojo
Azul
Negro (tapado)
Púrpura
Verde
Luego, usando los datos de la ecuación del elipsoide y las trazas anteriores, graficamos el elipsoide: