INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE
INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS
ACADEMIA DE MECATRÓNICA
NOTAS DE
MEICATRÓNICA III
RESISTENCIA DE MATERIALES
Realizó: M. en C. Juan Roberto
Rodríguez Bello.
JUNIO DE 2008
Contenido.
Pag.
UNIDAD I.
Repaso de estática y conceptos básicos.
1
UNIDAD II.
El concepto de esfuerzo.
9
UNIDAD III.
Torsión.
13
UNIDAD IV.
Flexión.
22
UNIDAD V.
Esfuerzos Combinados.
36
UNIDAD VI.
Columnas.
63
Bibliografía.
75
Unidad I
Repaso de estática y
Conceptos Básicos.
1.1 INTRODUCCIÓN.
El objetivo principal del estudio de la mecánica de materiales es suministrar
futuro ingeniero los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas
estructuras portadoras de carga. En ese sentido, la estática juega un papel vital en
desarrollo y planteamiento de problemas tales que, si en dicho planteamiento hay error,
análisis de esfuerzos en consecuencia también tendrá error.
al
y
el
el
1.2 EQUILIBRIO ESTÁTICO Y DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
En este punto se tratarán y recordarán algunos de los procedimientos básicos de la
estática como es el Diagrama de cuerpo libre y lo que es Equilibrio. Para ello se realizarán
problemas tipo en los cuales se apliquen estas condiciones.
Equilibrio.
El concepto básico de equilibrio, nos lleva a recordar la 3ª Ley de Newton, la cual
dice que “A toda acción corresponde una reacción”. Esto nos dice que las fuerzas
aplicadas a un cuerpo en el sentido que fuere, siempre provocarán otras fuerzas
(Reacciones) que actúan en los puntos de apoyo de dicho cuerpo pero en sentido contrario,
así como los momentos o pares de reacción que en estos se produzcan dada la naturaleza de
dichos apoyos.
De acuerdo a lo anterior y manejando un sistema de referencia x-y-z, se pueden establecer
condiciones de equilibrio para cada eje mediante ecuaciones:
Suma de fuerzas
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣFz = 0
Suma de momentos
ΣMx = 0
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
1
ΣMy = 0
ΣMz = 0
Diagrama de Cuerpo Libre.
El diagrama de cuerpo libre, representa de manera gráfica a un elemento o pieza en
el cual se muestran todas las fuerzas y momentos que actúan en él, así como las reacciones
(fuerzas y momentos) en los puntos de apoyo. En este se deben apreciar todas las fuerzas y
reacciones en un equilibrio coherente y sensato para encontrar sus valores, así como las
dimensiones reales numéricamente, dado que como cuerpo las tiene. (No es precisamente
una partícula).
a
Ejemplos.
b
c
RA
Figura 1.1 Viga simplemente apoyada
RB
F1
F2
y
x
B
A
Ry
M'
F
Rx
Rx = Fx
y
Ry = Fy
M
Fx
M = Fy (x)
M’ = Fx (y)
x
Fy
Figura 1.2 Viga empotrada libre donde se aprecia el diagrama de cuerpo libre.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
2
x
B
F
y
W
y
x
Rz
A
z
Mz
My
Ry
Figura 1.3 Reacciones en el empotramiento de un letrero donde se aprecian las fuerzas
que las provocan diagrama.
-- Hacer problemas relacionados.
1.3 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA MECÁNICA DE MATERIALES.
Para entender la resistencia de materiales es necesario comprender primero los
conceptos que permitirán asimilar los fenómenos que la rigen.
Resistencia de materiales.
Estudia las relaciones entre las fuerzas externas que actúan en un cuerpo elástico y
los esfuerzos y deformaciones producidas por dichas fuerzas externas a través del
conocimiento de ciertas propiedades físicas de los materiales y de las leyes de la estática.
La importancia del conocimiento de esfuerzos y deformaciones es evidente, en el
diseño de maquinaria, en que el factor determinante puede ser la fatiga y la deformación.
Esfuerzo
Se dice que existe un esfuerzo en una barra cuando existen fuerzas unitarias que se
producen dentro de ella debido a una fuerza externa aplicada axial o transversalmente sobre
una de sus áreas, dichas fuerzas que mantienen en equilibrio la barra son perpendiculares o
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
3
paralelas a dicha sección recta. Estos pueden ser normales o cortantes. Las ecuaciones que
rigen este fenómeno son:
σ=
P
A
τ=
P
A
Fatiga.
Se dice que se tiene fatiga en una pieza debido a cargas cíclicas o variables por las
que el esfuerzo máximo se origina por el grado de repetición de dichas cargas, razón por la
cual un material falla después de que dicho esfuerzo se ha repetido durante n ciclos. Este
tipo de fallas son más peligrosas porque casi siempre suceden de manera inesperada y
debidas a esfuerzos menores que los considerados para diseño.
Deformación.
Es el cambio de dimensiones de un cuerpo como resultado de las cargas a que es
sometido.
La deformación correspondiente a la tensión es el alargamiento y la correspondiente
a la compresión es el acortamiento. Ambas deformaciones debidas a esfuerzos normales, y
su desplazamiento se representa con la letra δ , siempre paralelo a la longitud L por lo que
la deformación unitaria será:
ε = δL
B
B
P
L
C
A
δ
C
P
δ
(a)
(b)
Figura 1.4 Barra sometida a carga axial (b) en la que se aprecia la deformación debida a
esta y la gráfica carga deformación (a).
La deformación correspondiente al esfuerzo cortante es un desplazamiento δ normal
a la longitud L por lo que la deformación unitaria será:
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
4
tan γ =
δ
L
≈γ
δ
γ
L
Figura 1.5 Barra sometida a corte en la que se aprecia la deformación debida a este.
Por lo tanto, la deformación unitaria correspondiente al esfuerzo cortante es un
desplazamiento angular o un cambio de inclinación medido en radianes, entre el plano en
que actúa el esfuerzo cortante y otro perpendicular a dicho plano en donde τ y γ serán
considerados positivos si el desplazamiento es en el sentido de las manecillas del reloj.
En el caso de tensión σ y ε son positivos y, simultáneamente al alargamiento, se
producirá una contracción transversal; en el caso de la compresión σ y ε son negativos y,
simultáneamente al acortamiento, se producirá una expansión transversal.
Elasticidad.
Es la propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma original al retirarse las
fuerzas que lo deforman. Si la deformación que sufre un cuerpo desaparece totalmente al
retirarse la fuerza, se dice que el cuerpo es perfectamente elástico y si conserva parte de la
deformación se dice que es parcialmente elástico.
Resiliencia.
Expresa la resistencia de un metal a su rotura por impacto. En realidad, es el
resultado de un ensayo y se denomina así a la energía consumida en romper una probeta de
dimensiones determinadas.
Plasticidad.
Es la capacidad de un material de deformarse sin que llegue a romperse. Si la
deformación se produce por alargamiento mediante un esfuerzo de tracción, esta propiedad
se llama Ductilidad; cuando lo es por aplastamiento mediante un esfuerzo de compresión,
se llama Maleabilidad.
Fragilidad.
Es la propiedad que expresa falta de plasticidad y, por tanto, de tenacidad. Los
materiales frágiles se rompen el límite elástico; es decir, su rotura se produce bruscamente
al rebasar la carga el límite elástico.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
5
Fluencia.
Es la propiedad que tienen algunos metales de deformarse lenta y espontáneamente
bajo la acción de su propio peso o de cargas muy pequeñas. Esta deformación lenta se
denomina también creep o creeping. En general se presenta con más intensidad en los
metales con temperatura de fusión baja, como el plomo.
Ley de Hooke
El límite elástico de un material de ingeniería es el esfuerzo más alto que se puede
producir sin que experimente ninguna deformación plástica (permanente). En este capítulo
aludimos antes al concepto del límite elástico al estudiar la deformación plástica. En la
mayor parte de los materiales el esfuerzo es proporcional a la deformación, para valores de
los esfuerzos abajo del límite elástico, y la ecuación que lo rige es como sigue:
σ=Eε
(1.1)
Sustituyendo los correspondientes valores de σ y ε, se tiene:
P
δ
=E
A
l
Por tanto:
δ =
Pl
AE
(1.2)
Se conoce a esta relación como la ley de Hooke y la constante de proporcionalidad
(E) es el módulo de elasticidad (módulo de Young).
Módulo elástico.
El módulo elástico (E) es una medida de la rigidez de un material tecnológico. El
análisis de la ecuación anterior revela que, para un esfuerzo dado, los valores más grandes
de E producen deformaciones elásticas menores, lo que significa que mientras más alto es
el módulo elástico, la respuesta del elemento a un esfuerzo particular es menor. Este
parámetro es importante en los propósitos de análisis y diseño, en especial al calcular los
desplazamientos y deformaciones permisibles de los componentes de máquinas o de las
estructuras.
Módulo de rigidez.
Así como E representa el módulo de elasticidad en tensión y compresión, el Módulo
de Rigidez (G) es le módulo de elasticidad en el cortante. G es una medida de la fuerza
cortante que se necesita para producir una cantidad pequeña dada de deformación. El
estudiante debe recordar el concepto de deformación cortante ( γ ) que estudió en este
capítulo. Por lo tanto, si aplicamos la ley de Hooke al esfuerzo cortante ( τ ), resulta la
expresión:
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
6
τ=Gγ
(1.3)
Diagrama Esfuerzo deformación.
Los datos que se obtienen en la prueba de tensión se grafican como curvas de
esfuerzo-deformación. La figura muestra algunas curvas de esfuerzo deformación que se
pueden obtener con materiales típicos de ingeniería. La forma de la curva dependerá del
material que se prueba, la historia de su proceso y de la temperatura a la que se realiza la
prueba. Cuando los esfuerzos están en la región elástica, es espécimen recuperará sus
dimensiones originales si se retira la carga. La resistencia última a la tensión no se utiliza
con frecuencia en el diseño de maquinaria, porque a este nivel de esfuerzos el componente
ya ha sufrido una deformación plástica importante.
a
b
c
Figura 1.6 Graficas esfuerzo deformación de tres materiales distintos. (Acero bajo
carbono (a), acero alto carbono (b) y mármol (c)).
Examinemos este diagrama junto con las definiciones de varios parámetros del
material que se pueden observar en él.
Ru
σ
L.E.
Rc
Fractura
Resistencia
de fluencia
δ
Figura 1.7 Gráfica esfuerzo deformación en la que se aprecian los puntos principales.
Límite de proporcionalidad o Resistencia de cedencia. Es el valor más alto para el cual la
relación esfuerzo- deformación es lineal (esto es, proporcional a la deformación). En la
figura 1.7 sucede donde se marca la Rc).
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
7
Límite Elástico. Es el esfuerzo más alto que se puede imponer al material sin que haya
deformación permanente cuando se remueva la carga. En la figura 1.7 L. E.
Resistencia de fluencia. Es el punto que corresponde al es fuerzo que se requiere para
producir una deformación plástica pequeña y específica. Este punto es la referencia para
realizar diseño, ya que nunca se debe llegar a él dado que si se trabaja cerca, es posible con
un sobreesfuerzo, pasar a la zona plástica y de esta manera la pieza diseñada se deforme
plásticamente.
Resistencia Última a la tensión. Es una medida de la carga máxima que puede soportar un
material bajo condiciones de carga uniaxial. Se determina tomando la magnitud de la carga
máxima que se obtuvo durante la prueba y dividiéndola entre el área de la sección
transversal original (Ru).
D1
L
D2
L + δ1
L + δ2
L + δT
Figura 1.7 Esquema de la deformación de una barra
en la que se aprecia la contracción gradual y la ruptura.
CONCLUSIONES.
De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que para entender la Resistencia de
Materiales, es indispensable el conocimiento de la Estática como base de los análisis de las
fuerzas que actúan sobre una pieza, y así mismo, de la ciencia de materiales para conocer
cuales fueron las formas o ensayos hechos a ellos para comprender la naturaleza de falla en
una pieza según el material con el que fue fabricada.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
8
Unidad II El Concepto de esfuerzo.
2.1 INTRODUCCIÓN
El objetivo principal del estudio de la mecánica de materiales es suministrar al
futuro ingeniero los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas y
estructuras portadoras de carga.
Tanto el análisis como el diseño de una estructura dada involucran la determinación
de esfuerzos y deformaciones. Esta unidad estará dedicada al concepto de esfuerzo.
La Resistencia de materiales estudia las relaciones entre las fuerzas externas que
actúan en un cuerpo elástico y las esfuerzos y deformaciones producidas por dichas fuerzas
externas a través del conocimiento de ciertas propiedades físicas de los materiales y de las
leyes de la estática.
La importancia del conocimiento de esfuerzos y deformaciones es evidente, en el
diseño estructural en que pueden ser el factor determinante.
2.2 CARGA AXIAL, ESFUERZO NORMAL.
Como ya hemos indicado, la barra BC de la figura 1.4, es un elemento de dos
fuerzas y por lo tanto las fuerzas P y P’ que actúan en los extremos B y C están dirigidas a
lo largo de la barra. Decimos que al barra está cargada axialmente. La sección que hicimos
en la barra para determinar la fuerza interna y el esfuerzo correspondiente, era
perpendicular al eje de la barra, por lo tanto, la fuerza interna era normal al plano de la
sección y el esfuerzo correspondiente es un esfuerzo normal. Así la fórmula nos da el
esfuerzo normal en un elemento bajo carga axial:
σ=
P
A
(2.1)
Debemos notar que, en la formula 2.1, σ se obtiene dividiendo la magnitud P de la
resultante de las fuerzas internas distribuidas sobre la sección transversal, por el área A de
dicha sección. Este representa el valor promedio del esfuerzo y no el esfuerzo específico de
un punto en la sección.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
9
2.3 ESFUERZO CORTANTE
Las fuerzas internas estudiadas en el punto 1.3 y los esfuerzos correspondientes eran
perpendiculares a la sección considerada. Se obtiene un tipo muy diferente de esfuerzo
cuando se aplican fuerzas transversales P y P’ al elemento AB (Figura 2.1). Cortando en C,
entre los puntos de aplicación de las dos carga, obtenemos el diagrama de la porción AC
que se muestra. Concluimos que deben existir fuerzas internas en el plano de la sección y
que su resultante debe ser igual a P.
P
P
A
B
P’
A
C
P
A
C
B
P’
Figura 2.1 Pieza sometida a corte y sus diagramas
de cuerpo libre.
P’
Estas fuerzas internas elementales se llaman fuerzas cortantes y la magnitud P de su
resultante es el cortante de la sección. Designando al esfuerzo cortante por la letra τ (tau)
escribimos
τ=
P
A
(2.2)
Se debe resaltar que el valor obtenido es un promedio del esfuerzo cortante en toda
la sección. Contrario a lo que sucede con los esfuerzos normales, la distribución de los
esfuerzos normales no puede suponerse uniforme. En unidades posteriores, se verá como el
cortante varía desde cero hasta un valor máximo, que puede ser mucho mayor que el
promedio.
Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches
utilizados para conectar miembros estructurales y componentes de máquinas.
2.4 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO.
Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos de aplastamiento en los
elementos que conectan a lo largo de la superficie de apoyo o superficie de contacto.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
10
Considerando dos placas unidas mediante un remache. El remache ejerce una fuerza P
sobre la placa A igual y opuesta a F ejercida por la placa sobre el remache.
Figura 2.2 Fuerzas que se generan
en un remache y en la placa que une,
y la superficie que proyecta el
barreno.
La fuerza P representa las resultante
de
las
fuerzas
elementales
distribuidas en el interior del medio
cilindro de diámetro d y de longitud t
igual al espesor de la placa. Puesto
que la distribución de esfuerzos es muy complicada. en la práctica se usa un valor promedio
nominal σb del esfuerzo, llamado esfuerzo de aplastamiento, que se obtiene dividiendo la
carga P por el área del rectángulo que se proyecta del remache en la sección de la placa
(figura 2.2). Como esta área es igual td, siendo t el espesor de la placa y d el diámetro del
remache, se tiene
σ=
P P
=
A td
2.4 ESFUERZO DEBIDOS A CAMBIOS DE TEMPERATURA.
Como es bien sabido, los metales cambian de dimensiones cuando cambia la
temperatura, si estos no tienen montaje o no están adyacentes a otros, no encontrarán
resistencia alguna, pero si lo hay, tendrá un esfuerzo correspondiente a la deformación
impedida. Así cuando se hace aumentar por medio de calor la longitud de una barra y
después se sujetan firmemente sus extremos a soportes rígidos de modo que se impida que
al enfriarse la barra recobre su longitud original, la barra una vez fría quedará sometida a
esfuerzos de tensión.
En el caso de una barra de longitud l empotrada en sus extremos la cual ha sido
calentada desde una temperatura superficial T0 hasta una temperatura T en donde el
enfriamiento tendremos un esfuerzo interno conocido como coeficiente de dilatación α
[1/°C].
L
L
δ
Figuara 2.3 Alargamiento o deformación causada por diferencia de temperatura.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
11
δ=εl
La dilatación lineal por calor para pequeños cambios de temperatura es
aproximadamente proporcional al aumento de esta y en donde la dilatación por unidad de
longitud y por grado de temperatura recibe el nombre de dicho coeficiente de dilatación
lineal y su esfuerzo que se representará será el siguiente
ε = α ( t – t0 )
si ε = σ/E
σ = ε E = α E ( t – t0 )
Tabla 2.1 Coeficiente de dilatación más comunes.
α [1/°C]
Material
Madera
6 x 10-6
Cobre
18 x 10-6
Acero
12 x 10-6
Ejemplo.
Una barra de longitud l = 50 cm se ha calentado desde una temperatura inicial de t =
10° C hasta 40° C en donde el coeficiente de dilatación de α = 128 x 10-7 [1/°C], en base a
su deformación unitaria producida se desea calcular cual será su alargamiento total que se
ha presentado, así como el esfuerzo a que ha sido sometido.
ε = α ( t – t0 )
σ=εE
ε = (128 x 10-7 ) ( 40 – 10 )
σ = (3.84 x10-4 ) ( 2 x106)
ε = 3.84 x10-4
σ = 768 Kg/cm2
δ=εl
δ = (3.84 x10-4) (50) = 0.0192 cm
CONCLUSIONES
De lo anterior podemos concluir que todos los elementos que interactúan en una
máquina o en una estructura están sometidos a fuerzas externas las cuales producen en ellos
esfuerzos internos los cuales pueden ser normales o de corte.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
12
Unidad III
Torsión.
3.1 INTRODUCCIÓN.
En las unidades anteriores se estudió los esfuerzos y deformaciones en elementos
sometidos a carga axial, es decir, a fuerzas dirigidas a lo largo del eje del elemento. En esta
unidad, se estudiarán los elementos sometidos a torsión. Más específicamente,
analizaremos los esfuerzos y deformaciones en elementos de sección circular, sometidos a
pares torsores o momentos de torsión, T y T’. Estos pares tienen una magnitud común T y
sentidos opuestos. Son vectores que pueden representarse con flechas curvas, como en la
figura 3.1a o por vectores-par, como en la figura 3.1b.
B
T'
T
(a)
A
T'
B
T
(b)
A
Figura 3.1 Barra sometida a torsión donde se ilustran los momentos de torsión con
vectores.
Los elementos sometidos a torsión por la acción de pares torsores o momentos de
torsión T producen esfuerzos los cuales no se distribuyen uniformemente dentro de una
sección. Por lo tanto para deducir las fórmulas que rigen la torsión en el rango elástico, se
deben considerar:
la compatibilidad entre los esfuerzos en distintos puntos de la sección y las
deformaciones (Ley de Hooke). El equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas
y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración.
comprobación de que lo anterior satisface las condiciones de carga del cuerpo
(condiciones de frontera)
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
13
De esta forma se podrá obtener una solución única.
3.2 TORSIÓN EN ELEMENTOS CIRCULARES
En muchas aplicaciones tecnológicas se presenta la torsión de flechas circulares
elásticas. Una muy común es la flecha motriz de un automóvil que transmite potencia del
motor a las ruedas. Otro ejemplo, es la barra de torsión que se utiliza en la dirección
delantera de algunos automóviles.
En este punto se deducen las ecuaciones básicas para determinar el ángulo de
torsión y la distribución de esfuerzos en un elemento circular sometido a un momento o par
de torsión según se muestra en la figura 3.2
Figura 3.2 Barra cilíndrica sometida a torsión donde se aprecia la desviación angular y
la distribución de esfuerzos.
Sus fórmulas se basan en la siguientes hipótesis :
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión
Las secciones planas permanecen planas después de la torsión (no se alabean)
La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección
permanece radial después de la torsión
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
14
El elemento esta sometido a la acción de pares de torsión que actúan en planos
perpendiculares a su eje
Los esfuerzos no sobrepasan los limites de proporcionalidad
Fórmulas de Torsión Elástica de un Elemento Circular.
θ=
MtL
GJ
τ máx =
(3.1)
MtR
J
(3.2)
J = ½ π R4
eje
macizo
J = ½ π (R4 - r4)
eje
hueco
Donde:
θ = Ángulo de torsión
Mt = Momento o par de torsión
L = Longitud del elemento
G = Módulo de elasticidad al cortante (módulo de rigidez)
J = Momento polar de inercia del área o sección
τ = Esfuerzo cortante
D = Diámetro exterior del elemento
d = Diámetro interior del elemento
R = Radio exterior del elemento
r = Radio interior del elemento.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
15
Para elementos de transmisión de potencia son aplicables:
N = Mt ω
(3.3)
N
2πf
(3.4)
Mt =
Donde:
N = Potencia
ω = Velocidad angular
f = Frecuencia de giro
Problemas:
1. Cuando se estaba perforando un pozo de petróleo a 6000 pies de profundidad, se
observó que la parte superior de la tubería de acero de 8 pulgadas de diámetro
exterior, de espesor de pared de 1 pulgadas, daba dos vueltas completas, antes de
que el taladro comenzara a rotar. Usando G = 11 x 106 lb/pulg2, hallar el esfuerzo
cortante máximo en el tubo causado por la torsión.
2. En un sistema de amortiguamiento se compone de un par de ejes conectados por
medio de engranes rectos, considerando un módulo de rigidez para el material de
ambos árboles de 8.0 x 1010 N/m2 y que el esfuerzo cortante admisible es de 4.8 X
1010 N/m2, hallar el par torsor máximo que se puede aplicar en el extremo libre del
sistema y el ángulo de distorsión máximo de ese último eje.
50
Ø 60
Extremo fijo
Ø 12
Ø 10
Ø 20
20
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
Acot: mm
16
3.3 TORSIÓN DE SECCIONES NO CIRCULARES
Existen además de los ejes circulares a torsión, otras formas de sección para las que
interesa calcular su esfuerzo y ángulo de torsión.
Sección elíptica. El esfuerzo cortante máximo ocurre en los extremos del eje menor.
τ máx =
2M t
π a b2
Ángulo de torsión de un extremo con respecto al otro
2a
m
O
θ=
(a 2 + b 2 ) M t L
π a 3b 3G
n
2b
Donde: J = π ( 2b (2a)3 + (2b)3(2a))/64 es el momento polar de inercia de la sección.
A=
πbh
4
es el área de la sección.
Triángulo equilátero: El esfuerzo máximo acontece en el centro de los lados.
τ máx =
20 M t
b3
θ=
46 M t L
b 4G
b
b
b
Hexágono regular: El esfuerzo máximo y el ángulo de torsión por unidad de longitud son
τ máx =
Mt
0.217 A d
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
θ=
Mt
0.13 Ad 2 G
17
Octágono regular: El esfuerzo máximo y el ángulo de torsión por unidad de longitud se
calculan por
τ máx =
Mt
0.217 Ad
θ=
Mt
0.13 Ad 2 G
Donde d es el diámetro del círculo inscrito y A el área de la sección.
Cuadrado: El esfuerzo máximo y el ángulo de torsión por unidad de longitud se calculan
por
τ máx =
4.81M t
a3
θ=
7.10 M t L
a 4G
a
a
Donde a es el lado del cuadrado
Trapecio isósceles: Se puede obtener unos valores
aproximados para el esfuerzo y el ángulo de torsión
reemplazando el trapecio por un rectángulo B
D
equivalente. Desde el centro de gravedad se trazan
perpendiculares a
los lados laterales del trapecio y
C
después se trazan las verticales que pasan por los
puntos de intersección de las perpendiculares y los
lados laterales. Para calcular el esfuerzo cortante
máximo y el ángulo de torsión se utilizan las ecuaciones utilizadas para el rectángulo.
Para cualquier eje macizo se obtiene un valor aproximado del ángulo de torsión
reemplazando la sección por otra elíptica equivalente de la misma área A y del mismo
momento polar de inercia J.
3.4 SECCIÓN DE PARED DELGADA CIRCULAR.
En el caso de un eje hueco redondo en que el diámetro interior es casi igual al
diámetro exterior, se considera al eje como un tubo de pared delgada. Para tal tubo en
torsión el momento polar de inercia de la sección recta puede ser calculado con suficiente
aproximación por la fórmula
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
18
J=
π
(d
32
4
e
− d i4
)
y es preferible utilizar la expresión aproximada
J = ∫ ρ 2 dA = r 2 ∫ dA = 2π r 3 e
A
(a)
A
donde r es el radio de la circunferencia media y e es el espesor de pared. Entonces,
admitiendo que en tal tubo de pared delgada la tensión de corte T sea uniforme a través de la
pared e igual al valor correspondiente al radio medio r, tenemos
τ=
Mt
2π r 2 e
(b)
De la misma manera, el ángulo de torsión del tubo será
M L
MtL
θ= t =
GJ
2π r 3 e G
(c)
El estado de cortante puro tal
como el existente en el elemento A de la
figura, es equivalente a tracción y
compresión biaxiales en un elemento
orientado con inclinación de 45°
respecto al eje geométrico del tubo, lo
mismo que el elemento B en la figura.
De ello se deduce que una tira estrecha y
larga de la pared que coincida con la
hélice de 45° representada en la figura
está sometida a compresión axial y, si la
pared del tubo es muy estrecha, tal tira
helicoidal puede
encorvarse. Se puede poner de manifiesto este fenómeno enrollando una hoja
de papel en forma de tubo y luego
sometiéndola a torsión. El análisis de
este problema demuestra que para un
tubo largo de acero bajo torsión, la
condición para evitar el peligro de
pandeo con tensiones normales de trabajo es que la relación e/r > 1/60 .
Figura 3.5 Cilindro de pared delgada.
Introduciendo en las ecuaciones las notaciones
A0 = πr2 - área encerrada por la circunferencia media
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
19
s = 2π r - longitud de la circunferencia media.
Obtenemos:
τ=
Mt
2 A0 e
θ=
(d)
MtL
2 A0 G
(e)
3.5 ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
En puntos anteriores, para poder calcular los esfuerzos en un árbol era necesario
calcular primero los momentos de torsión internos en las diferentes partes del árbol. Estos
momentos se obtienen por medio de la estática, trazando los diagramas de cuerpo libre de la
porción del árbol situada a un lado de un corte dado y escribiendo que la suma de los
momentos de torsión ejercidos en esa porción es cero.
Hay situaciones, sin embargo, en las que los momentos de torsión internos no
pueden ser determinados sólo por la estática. En efecto, en tales casos los momentos de
torsión externos mismos, es decir, los momentos ejercidos sobre el árbol por los apoyos y
conexiones, no pueden obtenerse del diagrama de cuerpo libre del árbol completo. Las
ecuaciones de equilibrio no son suficientes para ello y deben complementarse con
relaciones que involucren las deformaciones del árbol y que se obtiene mediante análisis
geométrico. Como esto sucede, se dice que los árboles son estáticamente indeterminados. El ejemplo siguiente muestra como analizarlos.
EJEMPLO. Un árbol acero circular AB con L = 250 mm y d = 20 mm, en el cual se ha
perforado una cavidad de 125 mm de largo y 16 mm de diámetro, comenzando en el
extremo B. El árbol está unido a soportes rígidos en los extremos y en la sección media se
aplica un momento de torsión de 120 N·m. Hallar el momento de torsión ejercido sobre el
árbol por cada uno de sus soportes.
MtA
A
A
MtB
MtA
120 Nm
120 Nm
B
B
A
Mt1
Mt2
MtB
120 Nm
B
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
20
Dibujando el D.C.L. y designando con MtA y con MtB a los momentos solicitados,
obtenemos la ecuación:
MtA + MtB = 120 N·m
Como no es suficiente para encontrar las incógnitas, es estáticamente indeterminado. Sin
embargo MtA y MtB pueden determinarse si observamos que el ángulo total de torsión del
árbol debe ser cero, puesto que ambos extremos son rígidos. designando a θ1 y θ2,
respectivamente, los ángulos de torsión de los segmentos AC y CB, tenemos
θ = θ1 + θ2 = 0
En el diagrama de cuerpo libre de un pequeño segmento del árbol que incluye el extremo A,
notamos que el momento de torsión interior Mt1 en AC es igual a MtA; en la figura, el
diagrama de cuerpo libre de un pequeño segmento del árbol que incluye el extremo B,
observamos que el momento de torsión interior Mt2 en CB es igual a MtB. Según la ec.
(3.1) y observando que los segmentos AC y CB del árbol están torsionados en sentidos
opuestos, escribimos
θ = θ1 + θ2 =
Mt A L1 Mt B L2
−
=0
J 1G
J 2G
Despejando MtB, tenemos
Mt B =
L1 J 2
Mt A
L2 J 1
Sustituyendo los datos numéricos
L1 = L2 = 125 mm
J1 = ½ π(10mm)4 = 15.71 X 103 mm4
J2 = ½ π [(10mm)4 - (8mm)4] = 9.27 X 103 mm4
escribimos
MtB = 0.590 MtA
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación original de equilibrio, tenemos:
MtA = 75.5 N • m
MtB = 44.5 N • m
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
21
Unidad IV
Flexión.
4.1 INTRODUCCIÓN.
En esta unidad, analizaremos los esfuerzos y deformaciones en elementos
prismáticos sometidos en sus extremos a pares iguales y opuestos M y M', que actúan en el
mismo plano longitudinal (fig. 4.1). En la primera parte del capítulo, supondremos que el
elemento es simétrico con respecto al plano de los pares, como se muestra en la figura.
Figura 4.1
Bloque prismático
sometido a flexión.
Cuando un elemento es sometido a pares iguales y opuestos que actúan en el mismo
plano longitudinal, se dice que está sometido a flexión pura. Observamos que si se hace un
corte a través del elemento AB fig. 4.1, la condición de equilibrio de la porción AC del
elemento requiere que las fuerzas elementales que actúan en AC debidas a la otra porción
sean equivalentes al par M (fig. 4.2). Por lo tanto, las fuerzas internas en cualquier sección
transversal de un elemento en flexión pura son equivalentes a un par. El momento M de
dicho par es conocido como momento /lector en la sección. Seguiremos la convención usual
y asignaremos signo positivo a M cuando el elemento es flexado tal como se muestra en la
fig. 4.1 y signo negativo cuando los sentidos de los pares M y M' son contrarios.
Figura 4.2 Bloque seccionado donde se aprecian la fuerzas elementales y su momento
equivalente.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
22
Un ejemplo de un elemento en flexión pura se encuentra en la porción BC de la viga
AD ilustrada en la fig. 4.3a. Haciendo un corte a través de un punto arbitrario E localizado
entre B y C y dibujando los diagramas de cuerpo libre de AD y AE (figs. 4.3b y c)
verificamos que las fuerzas internas que actúan en cualquier sección transversal localizada
entre B y C deben ser equivalentes a un par de 36 kN·m.
Figura 4.3 Viga simplemente apoyada.
El número relativamente reducido de
aplicaciones en ingeniería donde se encuentra la
flexión pura no justifica por sí solo dedicarle todo
un capítulo a este tipo de carga. Los resultados
que obtendremos, sin embargo, pueden ser
aplicados al análisis de otros tipos de carga, tales
como la carga axial excéntrica y la transversal.
Como vimos en la sec. 1.2, las fuerzas internas en
una sección de un elemento sometido a una carga
axial excéntrica son equivalentes a una fuerza P
aplicada en el centroide de la sección y a un par
M (fig. 4.4). Usando el principio de
superposición, podremos combinar nuestro
conocimiento de los esfuerzos bajo una carga
axial centrada y los resultados de nuestro
posterior análisis de esfuerzos en flexión pura
para obtener la distribución de esfuerzos bajo una
carga excéntrica. El estudio de la flexión pura
también desempeña un papel importante en el
análisis de vigas, i.e., en el estudio de elementos
prismáticos sometidos a cargas transversales.
Consideremos, por ejemplo, una viga en voladizo
AB que soporta una carga concentrada P en su
extremo libre (fig. 4.5a). Si hacemos un corte a través del punto C a una distancia x de A,
notamos en el diagrama de cuerpo libre de AC (fig. 4.4) que las fuerzas internas en la
sección consisten en una fuerza P' igual y opuesta a P y un par M de magnitud M=Px.
Como veremos más adelante, la distribución de esfuerzos cortantes depende de P y la
distribución de esfuerzos normales depende de M y es al misma que si se tratara de una
viga en flexión pura.
4.2 DISCUSIÓN DE LOS ESFUERZOS EN FLEXIÓN PURA
Usaremos los métodos de la estática para deducir las relaciones que deben ser
satisfechas por los esfuerzos ejercidos en cualquier sección transversal de un elemento
prismático en flexión pura. Designando por ax el esfuerzo normal en un punto de la sección
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
23
transversal y por τxy y τxz las componen del esfuerzo cortante, estableceremos que el sistema
de fuerzas internas elementales ejercidas en la sección es equivalente al par M (fig. 4.6).
Figura 4.4 Viga empotrada libre.
Figura 4.5 Elemento con carga axial excéntrica.
Figura 4.6 Fuerzas elementales internas que muestran la equivalencia con el momento M.
Recordamos de la estática que un par M consta de dos fuerzas iguales y opuestas.
La suma de las componentes de estas fuerzas en cualquier dirección es, por lo tanto, igual a
cero. Además, el momento de un par es el mismo con respecto a cualquier eje
perpendicular a su plano y es cero con respecto a cualquier eje contenido en dicho plano.
Escogiendo arbitrariamente el eje z, como se muestra en la fig. 4.6, expresamos la
equivalencia de las fuerzas elementales internas y del par M estableciendo que las sumas de
24
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
las componentes y de los momentos de las fuerzas elementales son iguales a
correspondientes componentes y momentos del par M:
los
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Dos puntos importantes a resaltar: 1º. el signo menos en la ecuación se debe a que un
esfuerzo de tracción (σx > 0) conduce a un momento negativo (en el sentido de las
manecillas del reloj) con respecto al eje z. 2º. La ecuación para y se vuelve trivial si el
elemento es simétrico con respecto al plano que contiene el momento M.
4.3 DEFORMACIONES EN UN ELEMENTO SIMÉTRICO EN FLEXIÓN PURA
Analizaremos ahora las deformaciones de un elemento prismático que posee un
plano de simetría y es sometido en sus extremos a pares iguales y opuestos M y M' que
actúan en el plano de simetría. El elemento se flexará bajo la acción de los pares, pero
permanecerá simétrico con respecto a dicho plano (fig. 4.7). Más aún como el momento
flector M es el mismo en cualquier sección transversal, el elemento se flexará
uniformemente.
Figura 4.7 Elemento simétrico bajo la
acción de pares.
Por lo tanto, a AB, a lo largo de la cual la
cara superior del elemento intersecta el
plano de los pares, tendrá una curvatura
constante. En otras palabras, la línea AB
que originalmente era una línea recta, se
transformará en un círculo de centro C, y
lo mismo ocurrirá línea A'B' (no ilustrada
en la figura) a lo largo de la cual la cara
inferior del elemento intersecta el plano
de simetría. También notamos que la línea AB disminuye en longitud cuando el elemento es
flexado como se muestra en la figura, es decir, cuando M > 0, mientras que A'B' se vuelve
más larga.
En seguida probaremos que cualquier sección transversal perpendicular al eje del elemento
permanece plana y que el plano de la sección pasa por C. Si éste no fuera el caso,
podríamos encontrar un punto E de la sección original a través de D (fig. 4.8a) el cual
después de que el elemento ha flexado no caería en el plano perpendicular al plano de
simetría que contiene la línea CD (fig. 4.8b). Pero, debido a la simetría del elemento, habría
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
25
otro punto E’ que podría ser transformado exactamente de la misma manera. Supongamos
que, después de que la viga ha flexado, ambos puntos estuvieran localizados a la izquierda
del plano definido por CD, tal como se muestra en la fig. 4.8b. Puesto que el momento
flector M es el mismo a lo largo del elemento, la misma situación prevalecería en otra
sección transversal y los puntos correspondientes a E y E’ también se moverían hacia la
izquierda.
Figura 4.8 Elemento flexado donde se
aprecia el desplazamiento de los puntos
en una sección transversal.
Supóngase que el elemento es
dividido en un gran número de
pequeños elementos cúbicos con caras
respectivamente paralelas a los tres
planos coordenados. La propiedad que
hemos establecido requiere que estos
elementos sean transformados como se
muestra en la fig. 4.9, cuando el
elemento es sometido a los pares M y
M'. Puesto que las caras representadas
en las dos proyecciones de la fig. 4.9
están a 90" la una con la otra,
concluimos que γxy = γzx = 0 y, por lo
tanto, que τxy = τxz = 0. Respecto a los
tres componentes del esfuerzo que no
hemos discutido llamados σy, σz, y τyz, notamos que deben ser iguales a 0 en la superficie
del elemento. Puesto que, por otra parte, las deformaciones involucradas no requieren
ninguna interacción entre los elementos de una sección transversal, supondremos que estas
tres componentes del esfuerzo son iguales a cero a lo largo de todo el elemento. Esta
suposición es verificada, por evidencia experimental y por la teoría de la elasticidad, para
elementos esbeltos que sufren pequeñas deformaciones. Concluimos que la única
componente del esfuerzo diferente de cero que actúa en cualquiera de los elementos
cúbicos considerados aquí es la componente normal σx. Por lo tanto, en cualquier punto
de un elemento esbelto en flexión pura, tenemos un estado uniaxial de esfuerzo.
Recordando que, para M > 0, se observa que las líneas AB y A'B' disminuyen y aumentan
respectivamente en longitud, notamos que la deformación εx y el esfuerzo σx son negativos
en la porción superior del elemento (compresión) y positivos en la porción inferior
(tracción).
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
26
Se sigue de la anterior discusión que debe existir una superficie paralela a las caras superior
e inferior del elemento, donde εx y σx sean cero.
Figura 4.9 Elemento dividido en pequeños
elementos cúbicos adyacentes.
Esta se llama superficie neutra. La superficie
neutra intersecta el plano de simetría a lo largo de
un arco de círculo DE (fig. 4.10a) e intersecta una
sección transversal a lo largo de una línea recta
llamada eje neutro de la sección (fig. 4.10b).
Seleccionaremos ahora el origen de coordenadas
sobre la superficie neutra, en vez de ubicarlo en
la cara inferior del elemento como lo hicimos
anteriormente, de tal manera que la distancia de
cualquier punto a la superficie neutra se medida
por la coordenada y.
Denotando por ρ el radio del arco DE y
considerando que DE es igual a L del
elemento no deformado, se tiene
L=ρθ
(4.4)
para JK
L’ = (ρ − y) θ
(4.5)
δ = L’ – L = - y θ
(4.6)
Sustituyendo:
Figura 4.10 elemento donde se aprecia el
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
27
δ = (ρ − y) θ - ρ θ = -y θ
(4.7)
eje neutro de la sección transversal.
La deformación unitaria longitudinal εx en los elementos de JK se obtiene
dividiendo δ por la longitud original L de JK. Escribimos
εx =
δ
L
=
− yθ
o
ρθ
εx = −
y
ρ
(4.8)
El signo menos se explica por el hecho de que hemos supuesto un momento flector positivo
y, por lo tanto, la viga será flexada con concavidad hacia arriba.
La deformación εx alcanza su máximo valor absoluto cuando y es máximo. Denotando por
c la máxima distancia desde la superficie neutra ( que corresponde a la superficie superior o
inferior del elemento) y por εm el máximo valor absoluto de la deformación, se tiene
εm =
c
(4.9)
ρ
despejando ρ y sustituyendo en la ecuación anterior, se puede escribir
y
c
εx = − εm
(4.10)
4.4 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN LA ZONA ELÁSTICA
Consideraremos ahora el caso cuando el momento flector tal que los esfuerzos
normales en el elemento permanecen por debajo de la resistencia a la fluencia σy. Esto
significa que, para todos los propósitos prácticos, los esfuerzos en el elemento
permanecerán por debajo del límite de proporcionalidad y del límite elástico también. No
habrá deformación permanente y se aplicará la ley de Hooke para esfuerzo uniaxial.
Suponiendo que el material es homogéneo y designando por E su módulo de elasticidad,
tenemos en la dirección longitudinal x
σx = E εx
(4.11)
Recordando la ecuación de (4.10) y multiplicando ambos miembros de dicha ecuación por
E, escribimos
y
Eε x = − (Eε m )
c
o usando (4.11)
y
c
σx = − σm
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
(4.12)
28
donde σm denota el máximo valor absoluto del esfuerzo. Este resultado muestra que, en la
zona elástica, el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia desde la superficie
neutra (fig. 4.11).
Figura 4.11 Distribución de esfuerzos en un
elemento sometido a flexión.
Debería notarse que, en este punto, no
conocemos la localización de la superficie
neutra ni el máximo valor σm del esfuerzo.
Ambos pueden ser encontrados si
recordamos las relaciones que se obtuvieron anteriormente de la estática. Sustituyendo
primero σx de (4.12) en (4.1), escribimos
de donde se establece que
∫ y dA = 0
(4.13)
Esta ecuación muestra que el momento de primer orden de una sección transversal
con respecto a su eje neutro debe ser cero. En otras palabras, para un elemento sometido a
flexión pura, siempre y cuando los esfuerzos permanezcan en la zona elástica, el eje neutro
pasa por el centroide de la sección.
Ahora recordemos la ec. (4.3) deducida en la sec. 4.2 con respecto a un eje
horizontal arbitrario z:
∫ (− yσ
x
dA) = M
Especificando que el eje z debe coincidir con el eje neutro de la don transversal,
sustituimos σx de (4.12) en (4.3) y escribimos
⎛
y
∫ (− y )⎜⎝ − c σ
σm
c
∫y
2
m
⎞
⎟dA = M
⎠
dA = M
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
(4.14)
29
Pero la integral representa el momento de segundo orden o momento de inercia, I,
de la sección transversal con respecto al eje neutro. Despejando (4.14) para σm, escribimos
por lo tanto
σm =
Mc
I
(4.15)
Sustituyendo σm de (4.15) en (4.12), obtenemos el esfuerzo σx a cualquier distancia
y del eje neutro:
σx = −
My
I
(4.16)
Las ecuaciones (4.15) y (4.16) se conocen como fórmulas de la flexión elástica, y el
esfuerzo normal σx causado por la "flexión" del elemento es a menudo llamado esfuerzo de
flexión o flexionante. Verificamos que el esfuerzo es de compresión (σx < 0) por encima del
eje neutro (y > 0) cuando el momento flector M es positivo y de tracción cuando M es
negativo.
Retornando a la ec. (4.15), notamos que la relación I/c depende únicamente de la
geometría de la sección transversal. Esta relación se llama módulo elástico de sección y se
denota por S.
Tenemos
I
Módulo elástico de sección = S =
(4.17)
c
Sustituyendo S por I/c en la ec. (4.15), escribimos esta ecuación en la forma alterna
σx =
M
S
(4.18)
4.5 DEFLEXIÓN EN VIGAS POR INTEGRACIÓN.
En la sección 4.3 se vio que una viga prismática sometida a flexión pura, adquiere
una forma deformada circular y que, dentro del intervalo elástico, la curva de la superficie
neutra puede expresarse como
1
ρ
=
M
EI
(4.19)
siendo M el momento flector, E el módulo de elasticidad e I el momento de inercia de la
sección transversal, relativo a su eje neutro.
Cuando una viga está sometida a carga transversal, la ec. (4.19) continua siendo
válida para cualquier sección transversal, siempre que se aplique el principio de Saint-
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
30
Venant. Sin embargo, tanto el momento flector como la curvatura de la superficie neutra
variará de una sección al extremo izquierdo de la viga, escribimos
1
ρ
=
M (x )
EI
(4.20)
Sea, por ejemplo, una viga en voladizo AB de longitud L, sometida a una carga
concentrada P en su extremo libre A (fig. 4.12a). Tenemos M(x) = - Px y sustituyendo en
(4.20),
1
ρ
=−
Px
EI
que muestra que la curvatura de la superficie neutra varía linealmente con x desde cero en
A, en donde ρA es infinito, hasta (-PL/EI) en B, donde |ρB| = (EI/PL), (fig.4.21 b).
P
A
x
L
B
P
B
A
x
ρA=οo
(a)
ρB
(b)
Figura 4.12 Viga en voladizo donde se aprecia la deformación en el extremo.
Consideremos ahora la viga con un extremo en voladizo AD (figura 4.13) que soporta dos
cargas concentradas tal como se muestra. Del diagrama de cuerpo libre de la viga (figura
4.14a), encontramos que las reacciones en los apoyos son RA = 1 KN y RC = 5 KN,
respectivamente, y dibujamos el diagrama de momentos flectores correspondiente (figura
4.14b). Observamos en el diagrama que M, y por lo tanto la curvatura de la viga, son nulos
en ambos extremos de la viga y también, en el punto E, localizado en x = 4 m. Entre A y E
el momento flector es positivo y la viga es cóncava hacia arriba; entre E y D el momento
flector es negativo y la viga es encava hacia abajo (fig. 4.14c). Observamos también que el
mayor valor de la curvatura (es decir, el valor más pequeño del radio de curvatura) ocurre
en el apoyo C, en donde |M| es máximo.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
31
De la información obtenida sobre su
curvatura, podemos adquirir una buena idea de
la forma de la viga deformada. Sin embargo, el
análisis y el diseño de una viga generalmente
requieren información más precisa sobre la
deflexión y la pendiente de la viga en diferentes
puntos. De particular importancia es el conocimiento de la deflexión máxima de la viga. En
este capítulo usaremos la ec. (4.20) para obtener
una relación entre la deflexión y medida en un
punto dado Q en el eje de la viga y la distancia x
desde e1 punto a algún origen fijo (fig. 4.15). La
relación obtenida es la ecuación de la curva
elástica, es decir, la ecuación de la curva en la
cual se convierte el eje de la viga, cuando se le
aplica la carga (Fig. 8.4b).
Figura 4.13 Viga con extremo en voladizo.
Figura 4.14 Diagramas de cuerpo libre
de momentos flectores y deformaciones.
Figura 4.15 Curva elástica donde se aprecia
la deformación debida a las cargas.
4.5.1 ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA
Primeramente, recordemos del cálculo elemental, que la curvatura de una curva plana en un
punto Q (x,y), puede expresarse como:
1
ρ
=
d2y
dx 2
⎡ ⎛ `dy ⎞ 2 ⎤
⎟ ⎥
⎢1 + ⎜
⎣⎢ ⎝ dx ⎠ ⎦⎥
3
(4.21)
2
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
32
donde dy/dx y d2y/dx2 son la primera y segunda derivadas de la función y(x) representada
por dicha curva. Pero, en el caso de la curva elástica de una viga, la pendiente dy/dx es muy
pequeña y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. Podemos escribir
entonces:
d2y
=
ρ dx 2
1
(4.22)
Sustituyendo 1/ρ de (4.22) en (4.20) tenemos
d 2 y Mx
=
EI
dx 2
(4.23)
La ecuación diferencial obtenida es lineal ordinaria y de segundo orden; es la ecuación
diferencial fundamental de la curva elástica.
El producto El es la rigidez a la flexión y, si varía a lo 1argo de la viga, como ocurre
con una viga de altura variable, debemos expresarla en función de x antes de proceder a
integrar la ec. (4.23). Sin embargo, en el caso de una viga prismática, que es el caso
considerado aquí, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar los dos
miembros de la ec. (4.23) por EI e integrar en x. Escribimos
x
dy
EI
= M ( x) dx + C1
dx ∫0
(4.24)
en donde Ci es la constante de integración. Designando por θ (x), el ángulo, medido en
radianes, que la tangente en Q a la curva elástica forma con la horizontal (fig. 4.16), y
recordando que éste ángulo es muy pequeño, tenemos
dy
= tan θ ≈ θ ( x)
dx
Así, podemos escribir la ec. (4.24) en la forma
x
EI θ ( x) = ∫ M ( x) dx + C1
(4.24’)
0
Integrando ambos miembros de la ec. (4.24) con respecto a x, tenemos
x x
⎡
⎤
EI y = ∫ ⎢ ∫ M ( x) dx + C1 ⎥dx + C 2
0 ⎣0
⎦
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
33
x
x
0
0
EIy = ∫ dx ∫ M ( x) dx + C1 x + C 2
(4.25)
en donde C2 es una segunda constante y el
primer término del segundo miembro
representa la función de x obtenida
integrando dos veces el momento flector
M(x). Si no fuera por el hecho de que Ci y
C2 están todavía indeterminadas, la ec.
(4.25) definiría la deflexión de la viga en
cualquier punto Q y las ecs. (4.24) y (4.24')
definirían análogamente la pendiente de la
viga en Q.
Figura 4.16 tangente que se forma con
la curva elástica y la horizontal.
Las constantes C1 y C2 se determinan
con base en las condiciones de contorno , más
precisamente, en las condiciones impuestas en
la viga por sus apoyos.
Limitándonos en esta sección a vigas
estáticamente determinadas, es decir, a vigas
apoyadas de tal manera que las reacciones en los
apoyos pueden obtenerse por los métodos de la
estática, observamos que sólo tenemos que
considerar tres tipos de vigas (fig 4.17): (a) la
viga simplemente apoyada, (b) la viga simple
con un extremo en voladizo y (c) la viga en
voladizo.
Figura 4.17 Condiciones de contorno para
vigas estáticamente determinadas.
En los primeros dos casos, los apoyos constan de un pasador y un soporte en A y de
un rodillo en B y requieren que la deflexión sea cero en cada uno de estos puntos. Haciendo
x = xA, y = yA en la ec. (4.25) y luego en x = xB , y = yB = 0 en la misma ecuación,
obtenemos dos ecuaciones que pueden ser resueltas para C1, y C2. En el caso del voladizo
(fig. 4.17c) notamos que tanto la deflexión como la pendiente en A deben ser cero.
Haciendo x = xA , y = yA = 0 en la ec. (4.25) y x = xA, θ = θA = 0 en la ec. (4.24’)
obtenemos de nuevo dos ecuaciones de las cuales se pueden determinar C1 y C2.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
34
PROBLEMAS:
4.1 a 4.6 En las vigas mostradas, dibuje los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos
flectores, asimismo determine el valor de los esfuerzos máximos producidos considerando
las condiciones de su sección.
1.3 m
5 ft
2.3 ft
B
A
550 Kg
4.5 Klb
2.5 Klb
800 lb/ft
2.8 ft
0.3 m 0.3m
2 ft
C
D
250 Kg/m
C
B
A
Ø1
4p
lg
2.3 ft
0.15 x 0.32 m
t = 10 mm
Figura P4.4
Figura P4.1
0.85 m
0.1m
B
A
4.5 KN
0.6 m
0.4 m
2.5 KN
0.2 m
D
C
100x250 mm
0.1m
A
B
Figura P4.5
t = 8 mm
8.5 ft
0.1 m 0.1m
A
0.6 m
B
C
0.1 x 0.25 m
t = 12 mm
Figura P4.6
6 ft
2.5 Klb
500 Kg
A
2.5 ft
4.4 Klb/ft
4 ft
0.2 m
D
C
Ø 0.25 m
Figura P4.2
300 Kg/m
450 Kg
0.6 m
840 Kg/m
1200 N/m
2.5 KN
1.2 m
0.25m
B
C
D
10x10 plg
Figura P4.3
4.7 a 4.12 En los problemas anteriores, determine la deformación máxima producida
considerando un valor de E = 200 GPa = 2.1 x106 Kg/mm2 = 30 x106 psi. Emplee el
método de doble integración
35
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRIGUEZ BELLO
E
Unidad V
Esfuerzos Combinados.
5.1 INTRODUCCIÓN.
En capítulos anteriores se han estudiado tres tipos básicos de cargas: axiales, de
torsión y de flexión. Cada uno de ellos se consideró que actuaba aisladamente sobre la
estructura. En esta unidad, analizaremos los casos en que actúan conjuntamente dos o más
de estos esfuerzos. Los tres tipos fundamentales de cargas y sus correspondientes fórmulas
se resumen en las siguientes:
Esfuerzo por carga axial:
Esfuerzo por carga de torsión:
Esfuerzo por carga de flexión:
P
A
Mr
σ= t
j
My
σf =
I
σa =
Hay cuatro combinaciones posibles de cargas: 1) axial y flexión; 2) axial y torsión;
3) torsión y flexión, y 4) axial, torsión y flexión. Comencemos por el caso (1) de
combinación de esfuerzos normales σ. En todos los demás casos interviene esfuerzos
normales y cortantes, por lo que requieren un estudio preliminar.
5.2 TEORÍAS DE FALLA.
5.2.1 FRACTURA FRÁGIL Y DÚCTIL.
* Fractura Dúctil.
Por lo general, las fallas dúctiles se presentan cuando el material de un componente
se sujeta a esfuerzos excesivos. Debido a esto, la s fallas dúctiles son fracturas de energía
relativamente alta; durante su desarrollo tienden a absorber energía.
Este tipo de falla se caracteriza por la propagación estable de grietas, lo que
significa que si se retira la carga q8ue produce grietas, cesa la propagación de estas.
Figura 5.2. Elemento que muestra una falla dúctil donde se aprecia la deformación previa
a la fractura.
36
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
* Fractura Frágil.
Las fallas frágiles se presentan de modo repentino con muy pocas o ninguna señal
externa de la fractura inminente. Este tipo de falla se presenta a esfuerzos menores que la
resistencia de fluencia. Con frecuencia las fallas frágiles están asociadas con grietas o con
otros defectos del material y en contraste con el comportamiento dúctil, se caracteriza por
una absorción muy maja de energía y ausencia de deformación plástica visible. Un ejemplo
de ello es una pieza de cristal, la cual después de la fractura se podría ensamblar como un
rompecabezas.
Carga
A
(PQ) o
Dúctil
PMÁX
A
(PQ)
Intermedio
PMÁX
PMÁX = (PQ)
Frágil
0
0
0
Desplazamiento
Figura 5.3. Gráfica carga-desplazamiento que muestra los diferentes tipos de fallas, donde
se aprecia en cual hay deformación previa a la fractura.
Figura 5.4. Elemento que muestra una falla frágil donde se aprecia que no hay
deformación previa a la fractura.
5.2.2 PRINCIPALES TEORÍAS DE FALLA.
* Teoría de los esfuerzos principales. (Esfuerzo Normal máximo)
Este criterio considera que, un componente de máquina estructural dado falla
cuando el esfuerzo normal máximo de dicho componente alcanza la resistencia final σy
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
37
obtenida de un ensayo a tracción de una probeta del mismo material. Por lo tanto, el
componente estructural estar seguro siempre y cuando los valores absolutos de los
esfuerzos principales σa y σb sean ambos menores que σy:
│σa │ < σy
│σb │ < σy
;
El criterio del esfuerzo normal máximo puede expresarse gráficamente como se
muestra en la figura.
σb
σy
-σy
σy
σa
-σy
“Si el punto obtenido graficando los valores de σa y σb de los esfuerzos principales
caen dentro del cuadro mostrado en al figura, el componente estructural es seguro, si cae
fuera del área, el componente fallará”. (Mecánica de Materiales, Beer & Johnston, McGraw
Hill)
La combinación de esfuerzos Normal y por corte que genera la tensión normal
máxima, recibe el nombre de “Esfuerzo principal máximo”, σ1. La magnitud de σ1 se puede
calcular por medio de la ecuación siguiente:
σ1 =
σ x +σ y
2
⎛σ x −σ y
+ ⎜⎜
⎝ 2
2
⎞
⎟⎟ + (τ xy )2
⎠
La combinación de esfuerzos que se aplica, la cual genera la tensión normal
mínima, recibe el nombre de “Esfuerzo principal mínimo”, σ2. Su magnitud puede
calcularse a partir de:
σ2 =
σx +σy
2
⎛σx −σ y
− ⎜⎜
2
⎝
2
⎞
⎟⎟ + (τ xy )2
⎠
Particularmente en análisis experimental de esfuerzos, es importante, conocer la
dirección de los esfuerzos principales. El ángulo de inclinación de los planos, en los cuales
ejercen acción los esfuerzos principales, a los que se da el nombre de planos principales, se
pueden encontrar a partir de la ecuación
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
38
⎡ 2τ xy ⎤
φσ = 1 2 arctan ⎢
⎥
⎢σ x − σ y ⎥
⎣
⎦
El ángulo φσ se mide a partir del eje x positivo del elemento original que genera tensión
hasta el esfuerzo principal máximo σ1. Así, el esfuerzo principal mínimo σ2, está en el
plano 90º a partir de σ1.
Cuando el elemento que genera tensión está orientado tal como se analizó de
manera que los esfuerzos principales actúan sobre él, el esfuerzo por corte es cero.
y
σ2
σ1
φ
x
σ1
σ2
* Teoría del esfuerzo cortante máximo. (máximo esfuerzo tangencial).
Este criterio está basado en la observación de que la fluencia en materiales dúctiles
es causada por el deslizamiento del material a lo largo de superficies oblicuas y se debe
primordialmente a esfuerzos cortantes. De acuerdo con este criterio, un componente
estructural dado es seguro siempre y cuando el valor máximo τmáx del esfuerzo cortante en
dicho componente permanezca menor que el correspondiente valor del esfuerzo cortante en
una probeta a tracción del mismo material cuando esta empieza a fluir.
Recordando que el valor máximo del esfuerzo cortante bajo carga axial centrada, es
igual a la mitad del valor del correspondiente esfuerzo normal axial, concluimos que el
esfuerzo cortante máximo en una probeta a tracción es ½ σy cuando la probeta empieza a
fluir. Por otra parte, vimos que para el esfuerzo plano, el valor máximo τmáx del esfuerzo
cortante es igual a ½ │σmáx │ si los esfuerzos principales son positivos o ambos negativos y
a ½ (│σmáx ─ σmín │) si el esfuerzo máximo es positivo y el esfuerzo mínimo es negativo.
Por lo tanto, si los esfuerzos principales σa y σb tienen el mismo signo, el criterio del
esfuerzo cortante máximo da
│σa │ < σy
;
│σb │ < σy
Si los esfuerzos principales σa y σb tienen signos opuestos, el criterio del esfuerzo cortante
máximo resulta
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
39
│σa ─ σb │ < σy
En una orientación distinta al elemento que genera tensión surgirá el esfuerzo máximo por
corte. Su magnitud se puede calcular a partir de
τ máx
⎛ σ x −σ y
= ⎜⎜
2
⎝
2
⎞
⎟⎟ + (τ xy )2
⎠
El ángulo de inclinación del elemento en el que se genera el esfuerzo máximo por corte se
calcula de la siguiente forma:
⎡ σ −σ y ⎤
φτ = 1 2 arctan ⎢− x
⎥
2τ xy ⎥⎦
⎢⎣
El ángulo entre el elemento principal que genera esfuerzos normales y el elemento que
genera el esfuerzo máximo de corte es siempre 45º.
En el elemento que genera el esfuerzo máximo de corte, habrá esfuerzos normales de igual
magnitud que actúan en sentido perpendicular a los planos en los que ejercen acción los
esfuerzos máximos de corte, estas tiene el valor de
σ=
σ x −σ y
2
Nótese que este es el promedio de los dos esfuerzos que se aplican.
PROBLEMA.
Un árbol se apoya entre dos cojinetes y soporta dos ruedas o coronas dentadas para cadena,
las tensiones en la cadenas ejercen fuerzas horizontales en el árbol, ello tiende a flexionarlo
en el plano xy. La rueda dentad en C ejerce un momento de torsión igual pero opuesto sobre
el árbol.
Para la condición de carga que se muestra, determine la condición de esfuerzos en el
elemento K de la superficie frontal del árbol (en el lado z positivo) justo ala derecha de la
rueda dentada B.
1) Determine los esfuerzos en el elemento K en le plano xy y muestre los esfuerzos en
el elemento que se genera.
2) Calcule los esfuerzos principales en el elemento y los sentidos en que actúan.
3) Dibuje el elemento que genera tensión sobre el cual ejercen acción los esfuerzos
principales y muestre su orientación respecto al eje original x.
4) calcule el esfuerzo máximo de corte en el elemento y la orientación del plano sobre
el cual actúa.
5) Dibuje el elemento que genera esfuerzo sobre el cual actúa el esfuerzo máximo por
corte y muestre su orientación respecto al eje original x.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
40
A
B
101.6
mm
Mt = 12700 Kg mm
C
K
101.6 mm
φarb = 31.75 mm
50.8 mm
D
Solución:
D.C.L.
z
RA
175 Kg
250 Kg
101.6
A
125 Kg
101.6
B
RD = 200 Kg.
50.8
C
D
200
x
75
0
0
175
0
0
10160 Kg mm
17780 Kg mm
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
41
σx =
τ xy =
Mc (17780 )(15.875)
= 5.6585 Kg/mm2
=
4
I
π (31.75)
64
Mr (12700)(15.875)
=
= 2.021 Kg/mm2
4
J
π (31.75)
32
y
σy = 0
5.6585 Kg/mm2
O
x
τxy = ± 2.021 Kg/mm2
Para el esfuerzo normal máximo:
σ1 =
σ x +σ y
2
2
⎛σ x −σ y
+ ⎜⎜
2
⎝
⎞
⎟⎟ + (τ xy )2
⎠
2
σ1 =
5.6585
⎛ 5.6585 ⎞
2
+ ⎜
⎟ + (2.021)
2
⎝ 2 ⎠
σ1 = 6.3061 Kg/mm2
σ2 =
σx +σy
2
⎛σx −σ y
− ⎜⎜
2
⎝
2
⎞
⎟⎟ + (τ xy )2
⎠
2
5.6585
⎛ 5.6585 ⎞
2
σ2 =
− ⎜
⎟ + (2.021)
2
⎝ 2 ⎠
σ2 = – 0.6476 Kg/mm2
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
42
y
φ = ½ arc tan [2 τxy /( σ x – σy )]
φ = ½ arc tan [2 (2.021)/( 5.6585 )]
φ = 17.769º
x
17.769º
6.306 Kg/mm2
– 0.6476 Kg/mm2
Para el Cortante Máximo.
2
τ máx
⎛ σ x −σ y
= ⎜⎜
2
⎝
τ máx
⎛ 5.6585 ⎞
2
= ⎜
⎟ + (2.021)
⎝ 2 ⎠
⎞
⎟⎟ + (τ xy )2
⎠
2
τmáx = 3.477 Kg/mm2
φτ = ½ arc tan [–( σy – σy ) / 2 τxy]
σ2 = – 0.6476 Kg/mm2
φτ = ½ arc tan [–5.6585 / (2*2.021)]
φτ = – 27.23º
27.23º
τmáx = 3.477 Kg/mm2
* Teoría de la deformación Normal máxima.
De acuerdo con este criterio, un componente estructural dado es seguro siempre y
cuando el valor máximo de la deformación normal en dicho componente sea menor que εu
de la deformación con la cual una probeta de prueba a tracción del mismo material fallará.
Pero, como se mostrará, la deformación es máxima a lo largo de uno de los ejes principales
de esfuerzo, si le deformación es elástica y el material homogéneo e isotrópico. Por lo
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
43
tanto, designando por εa y εb los valores de la deformación normal a lo largo de los ejes
principales en el plano de esfuerzo, escribimos
│εa │< εb
;
│εb │< εb
Usando la ley generalizada de Hooke, podemos expresar estas relaciones en función
de los esfuerzos principales σa y σb y de la resistencia final σu del material. Encontramos
que, de acuerdo con el criterio de la deformación normal máxima, el componente
estructural es seguro siempre y cuando el punto obtenido graficando σa y σb caiga dentro
del área mostrada, donde ν es la Relación de Poisson para el material dado.
σb
ε=
σu
σu
1 −ν
σu
1 +ν
–σu
ε=
σu
σa
∆l
l
σ
E
–σu
Para los esfuerzos normales.
1 −ν
(σ x + σ y ) + (1 + ν )
σ=
2
⎛σ x −σ y
⎜⎜
2
⎝
2
⎞
⎟⎟ + (τ xy )2
⎠
* Teoría del máximo trabajo de deformación.
Para esta teoría, consideremos una barra
BC de longitud L y de sección
transversal uniforma A, unida en B a un
apoyo fijo y sometida en C a una carga
axial P, incrementada gradualmente.
Ahora, si trazamos la magnitud de P de
la carga contra el alargamiento x de la
barra, obtenemos un cierto diagrama
carga-alargamiento que es característico
de al barra BC.
Consideremos ahora el trabajo dU hecho
por la carga P, cuando la varilla se
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
C
B
A
L
x
B
C
P
44
alarga en dx. Este trabajo elemental es igual al producto de la magnitud P de la carga y del
pequeño alargamiento dx. Escribimos
dU = P dx
P
P
0
x
0
x
dx
x1
x
Y notamos que la expresión obtenida es igual al elemento de área de ancho dx localizado
bajo el diagrama carga-deformación. El trabajo total hecho por la carga, cuando la varilla
experimenta un alargamiento x1 es
x1
U = ∫ Pdx
0
y es igual al área por debajo del diagrama carga-deformación entre x = 0 y x = x1.
El trabajo hecho por la carga P, cuando es aplicada lentamente a la varilla, debe resultar en
el aumento de cierta energía asociada con la deformación de la barra. Esta energía es la
llamada energía de deformación. Tenemos por definición
Energía de deformación = U =
∫
x1
0
Pdx
Recordemos que trabajo y energía deben expresarse en unidades que se obtienen
multiplicando unidades de longitud por una fuerza.
N·m=J
lb · pìe o lb · plg.
En el caso de la deformación lineal y elástica, la porción del diagrama carga-deformación
involucrado, puede representarse por medio de una recta cuya ecuación es
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
45
P=k·x
P
P1
U=
1
P1 x1
2
0
x1
Remplazando a P en la ecuación tenemos
x1
U = ∫ kxdx =
0
1 2
x1
2
1
U = P1 x1
2
siendo P1 el valor correspondiente a la deformación x1.
El concepto de energía de deformación es particularmente útil en al determinación
de los efectos de cargas de impacto en estructuras, o en componentes de máquinas.
Consideremos un cuerpo de masa m, que se mueve a una velocidad v0 y golpea el
extremo de la varilla B, suponiendo que no hay disipación de energía durante el impacto y
despreciando la inercia de los elementos de la varilla, encontramos que la energía máxima
de deformación Um adquirida por la varilla es igual a la energía cinética original
T = ½ m v02
del cuerpo en movimiento.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
46
U=0
σ=0
A
B
C
T=
1 2
mv0
2
vP
A
B
U = Um
σ = σm
T=0
v=0
1 2 1
mv 0 = Px
2
2
mv 02
P=
x
5.3 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN.
La viga simplemente apoyada de la figura 5.1-a, soporta una carga concentrada Q.
Supongamos una que la viga está unida a los apoyos en el centro de gravedad de las
secciones extremas. En el punto A, el esfuerzo normal de flexión es σ = My/I. Es una
tensión dirigida perpendicularmente al plano de la sección recta, como se indica en la
figura, y la fuerza que actúa en sobre re un elemento diferencial de área A es σf dA.
Si la misma viga apoyada en la misma forma se somete a la acción de una fuerza
axial P (Fig. 5.1-b), los esfuerzos axiales se distribuyen uniformemente sobre cualquier
sección transversal. Su valor es σ = P/A y también es una tensión perpendicular a la
sección recta. la fuerza que actúa en el mismo elemento es σa dA.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
47
Si ambas cargas actúan simultáneamente en la viga (Fig. 5.1-c), el esfuerzo
resultante en a se obtiene como superposición de los dos efectos aislados. En efecto, la
fuerza resultante que actúa sobre el elemento diferencial A es el vector suma de las fuerzas
coaxiales σf dA y σa dA. Dividiendo esta fuerza entre el área dA se deduce el esfuerzo
resultante σ = σa + σf dirigido perpendicularmente a la sección recta.
Q
m
y
A
y
E. N.
R1
n
R2
A
σf dA
(a) Esfuerzo por flexión
Sección m-n
m
P
P
E. N.
A
y
n
(b) Esfuerzo axial
m
σf − σa
A
Q
Sección m-n
B
P
R1
n
E. N.
σf dA
σf + σa
y
y
A
B
y
y
P
σa dA
R2
(c) Esfuerzo axial y por flexión
combinados (Obsérvese el desplazamiento
de la línea de esfuerzo nulo).
A
Sección m-n
σa dA
σf dA
σa dA
Figura 5.5 Diagrama que muestra el efecto de superposición de esfuerzos al combinarse
flexión con carga axial.
Análogamente, en el punto B de la misma sección, también a una distancia y de la
línea neutra, pero encima de ella, el esfuerzo resultante es la diferencia entre los esfuerzos
axial y por flexión. Si a los esfuerzos de tensión se les da signo positivo y a los de
compresión, negativo, el esfuerzo resultante en un punto cualquiera de la viga viene dado
por al suma algebraica de los esfuerzos axial y de flexión en dicho punto:
σ = σa ± σf
σ=
⊕P My
±
A
I
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
(5.1)
48
Obsérvese que el esfuerzo axial puede ser de tensión o de compresión. Este es el
motivo de poner los signos positivo y negativo delante de P/A, y rodearlos con un círculo es
para recordar que el esfuerzo axial es uniforme en toda la sección.
En la ecuación 5.1 se ha aplicado el método de superposición. Ahora bien, hay que
tener en cuenta la modificación que la carga axial puede introducir en el momento
flexionante, como se aclarará posteriormente. La figura 5.2 muestra muy exagera-damente
la flexión producida por una carga transversal Q en una viga. Si P es de tensión, como en la
figura 5.2ª, el momento flexionante producido por P en cualquier sección, y que vale Pδ,
tiende a disminuir el momento producido por Q y, por tanto, reduce los esfuerzos por
flexión, y al contrario ocurre si se trata de una compresión axial. En otras palabras, los
valores dados por la ecuación (5.1) son algo mayor que los reales si P es de compresión y
menores que los reales si P es una tensión. Este efecto es despreciable, si las barras o
elementos estructurales son tan rígidos que los esfuerzos producidos por Pδ son muy
pequeños frente a los producidos por el momento flexionante de las fuerzas transversales Q,
es decir, si las deflexiones son muy pequeñas. Pero si las barras son largas y flexibles, el
efecto puede tener su importancia y deben emplearse otros procedimientos más exactos de
cálculo.
EJEMPLO.
Un voladizo tiene la sección indicada en la figura, y será el soporte para los
cojinetes de un árbol con un rodillo de alimentación de papel. La acción del árbol es una
fuerza P de 3500 Kg como se indica. Calcule los esfuerzos normales resultantes en los
puntas A y B del empotramiento.
A
4
3
P 120mm
140mm
45 mm
B
410 mm
Solución:
Se comienza por encontrar el momento flector debido a P, para lo que se descompone en
sus componentes Px = 2800 Kg y Py = 2100 Kg, y tomando momentos con respecto al eje
que pasa por el centro de gravedad de la sección AB:
Diagrama de cuerpo libre:
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
49
Px
M = M1 + M2
Ry
P
120 mm
Py
Rx
410 mm
Equilibrio en (AB).
M = Px (120) + Py (410) = 2800 (120) + 2100 (410) = 1197000 Kg·mm
La existencia de dos momentos flectores, se deba a la excentricidad de las cargas con
respecto al centro de gravedad de la sección de la pieza, y como se puede apreciar, la
componente horizontal es la que produce el esfuerzo normal axial, mientras que la vertical
produce el esfuerzo normal por flexión. Calculando los esfuerzos resultantes en A y en B.
Para A:
σ=
2800
6(1197000 )
+
(45)(140) (45)(140 )2
σ = 8.5872 Kg/mm2
Para B:
σ=
Respuesta
2800
6(1197000 )
−
(45)(140 ) (45)(140 )2
σ = ─ 7.6983 Kg/mm2
Respuesta.
Los signos indican tensión en A y compresión en B.
PROBLEMAS:
5.1 a 5.4 En el elemento mostrado, determine el valor de los esfuerzos en los puntos
indicados considerando las condiciones de su sección.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
50
140 mm
A
60 mm
B
2.5 KN
Figura P5.1
210 mm
6"
820 N
A
t = 6.5 mm
1.5"
A
Figura P5.2
B
40 mm
C
A
200 mm
Sección CC
C
50 mm
Figura P5.4
250 Kg
45°
90 mm
B
1.25m
0.85m
0.25
.4m
1.2 m
Ø 160 mm
B
7.5"
450 lb
2.5"
1.5"
25"
t = 12 mm
Figura P5.3
5.4 CÍRCULO DE MOHR.
El círculo usado para deducir algunas de las fórmulas básicas relativas a la
transformación del esfuerzo plano fue presentado por el ingeniero alemán Otto Mohr
(1835-1918) y se conoce como Círculo de Mohr para esfuerzo plano. Este círculo puede
usarse como método alterno para la solución de diferentes problemas y se basa en sencillas
consideraciones geométricas y no requiere del uso de fórmulas especializadas. Aunque fue
diseñado originalmente para soluciones gráficas, se puede aplicar igualmente mediante el
uso de calculadoras.
Consideremos un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano,
Figura 5.2a, y sean σx, σy y τxy las componentes del esfuerzo ejercido sobre el elemento.
Trazamos ahora un punto X de coordenadas σx y - τxy , y un punto Y de coordenadas σy y
+ τxy , Figura 5.2b. Si τxy es positivo, como se supuso Figura 5.2a, el punto X está
localizado por encima del eje σ y Y, por debajo. Uniendo X y Y con una línea recta,
definimos el punto C de intersección de la línea XY con el eje σ y dibujamos el círculo de
centro C y diámetro XY. En donde observamos que la abcisa de C del círculo corresponde
al σprom y las de los puntos A y B donde el circulo intersecta el eje σ representan
respectivamente los esfuerzos principales σmáx y σmín del elemento.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
51
b
σ
y
mín
a
σ
y
O
τ
σ
xy
θp
σ
x
x
σ
máx
máx
τ
σ
σ
máx
mín
Y (σ ,+τ )
y
(a)
B
O
xy
A
C
2θp
σ
τ
xy
X (σ ,−τ )
σ
x
mín
1
2
xy
(σ − σ )
x
y
(b)
Figura 5.6 Elemento sometido a esfuerzo plano y el círculo de Mohr.
También notamos que la rotación de la partícula siempre obedece a la motad del
ángulo de inclinación de la diagonal XY, como se puede apreciar en la correspondiente al
punto A.
Como el círculo de Mohr está definido unívocamente, el mismo circulo puede
obtenerse considerando las componentes del esfuerzo σx’, σy’ y τx’y’, correspondientes a los
ejes x’, y y’, como se muestra en la figura 5.3. El punto X’ de las coordenadas σx’ y -τx’y’, y
el punto Y’ de las coordenadas σy’ y +τx’y’, están por lo tanto localizados en el círculo de
Mohr, y el ángulo X’CA de la figura debe ser igual a dos veces el ángulo x’Oa en la figura
5.3ª. Puesto que, como se anotó anteriormente, el ángulo XCA es dos veces el ángulo xOa,
se concluye que el ángulo XCX’ en la figura 5.3b es dos veces el ángulo xOx’ en la figura
5.3a. Por lo tanto el diámetro X’Y’ que define los esfuerzos normal y cortante σx’, σy’ y τx’y’
puede obtenerse rotando el diámetro XY un ángulo igual a dos veces el ángulo θ formado
por los ejes x y x’ en la figura 5.3a. Notamos que la rotación del diámetro XY hacia el X’Y’
en la figura 5.3b tiene el mismo sentido de rotación que el eje xy hacia el eje x’y’ en la
figura 5.3a.
Esta propiedad que acabamos de indicar puede usarse para verificar el hecho de que
los planos de esfuerzo cortante máximo forman un ángulo de 45º con los planos
principales. Realmente recordemos que los puntos D y E del circulo de Mohr corresponden
a los planos de esfuerzo cortante máximo, mientras que A y B corresponden a los planos
principales (figura 5.4b). Puesto que los diámetros AB y DE en el círculo de Mohr forman
un ángulo de 90º entre sí, se concluye que las caras de los elementos correspondientes
forman un ángulo de 45º entre sí (Figura 5.4a).
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
52
b
σ
y
mín
a
σ
y
O
τ
σ
σ
máx
τ
máx
Y' (σ ,+τ )
xy
y'
σ
σ
x
x
Y
mín
θ
y'
σ
B
y'
τ
O
A
σ
C
x'y'
2θ
σ
x'
(a)
x'y'
x'
X
X' (σ ,−τ )
x'
x'y'
(b)
Figura 5.7 Rotación del eje XY para alcanzar el estado de esfuerzo X’Y’.
La construcción del Círculo de Mohr para esfuerzo plano, se simplifica
notablemente si consideramos por separado cada cara del elemento usado para definir las
componentes del esfuerzo. En las figuras anteriores observamos que cuando los esfuerzos
cortantes hacen rotar el elemento en sentido contrario a las manecillas del reloj, el punto
correspondiente a dicha cara en el círculo está localizado por debajo del eje σ. Cuando los
esfuerzos cortantes hacen rotar el elemento en sentido de las manecillas del reloj, el punto
correspondiente a dicha
ca-ra en el círculo está
d
locali-zado por encima
e
del eje σ. En lo referente
'
σ' σ
τ
a los es-fuerzos normales,
σ' = σ
τ
de acuer-do con la
D
convención usual, si es de
tensón será consi-derado
τ
b
90º
positivo (derecha) si es de
σ
A σ
B
compresión será neO
C
a
gativo (izquierda).
prom
máx
máx
mín
σ
máx
Figura 5.8 Diagrama que
muestra la condición de
esfuerzo normal promedio y esfuerzo cortante
máximo.
σ
O
máx
σ
mín
(a)
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
E
(b)
53
EJEMPLO:
Para el estado de esfuerzo que se muestra, a) construir el Círculo de Mohr, b) determinar
los esfuerzos principales, c) determinar el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal
correspondiente.
y
+τ (MPa)
10
10MPa
D
Y
40MPa
x
O
40
G
50MPa
B
F
C
O
A
20
40
R
a) Construcción del círculo.
σ (MPa)
X
50
1. Se traza un par de ejes coordenados tomando
a σ como el eje de las abscisas y a τ como el eje
−τ
de las ordenadas.
2. Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente
perpendiculares del cubo elemental, tales como la que tiene aplicada la compresión y la que
tiene la tensión, obteniendo dos puntos (X y Y) en la periferia del círculo. De acuerdo con
la convención de signos, la tensión es positiva y la compresión es negativa. Los esfuerzos
cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de la manecillas del reloj, como es
el caso del par horizontal, se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de corte que
tienden a girar en contra de las manecillas del reloj, tales como el par vertical, son
negativos.
3. Se traza la línea recta YCX que une estos dos puntos. Esta línea es el diámetro del
círculo cuyo centro es el punto C.
4. Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CX.
b) Obtención de los esfuerzos principales.
Las coordenadas del punto C son (20,0). La distancia OA da el esfuerzo principal máximo
que se obtiene como:
OA = OC + radio del círculo = OC + √ [(CF)2 + (FX)2 ]
= 20 + √ [(30)2 + (40)2 ] = 20 + 50
= 70 MPa
El esfuerzo principal mínimo es la distancia OB, que se determina así:
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
54
OB = OC - radio del círculo = OC – √ [(GC)2 + (GY)2 ]
= 20 – √ [(30)2 + (40)2 ] = 20 – 50
= –30 MPa
El ángulo de rotación del bloque, requerido para obtener esos esfuerzos es la mitad del
valor de 2θ en el círculo. Así:
σmín = -30 MPa
tan 2θ =
FX 40
=
= 1.33
CF 30
σmáx = 70 MPa
2θ = 53.1º
θ = 26.55º
b) Obtención del esfuerzo cortante máximo.
Este esfuerzo corresponde a las coordenadas del punto D, que son (20,50), el ángulo 2θs es
igual a 2θ + 90º. Por consiguiente,
σmed = -30 MPa
θs = θ + 45º = 26.55º + 45º = 71.55º
τmáx = 50 MPa
PROBLEMAS
5.5 a 5.10
En las Figuras P5.5 a P5.10 se muestran los esfuerzos en una partícula.
Determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. Dibujar las partículas
rotadas correspondientes y los valores de los esfuerzos en ellas, como en el problema
anterior.
y
y
20MPa
1300 psi
30MPa
2500 psi
x
O
x
O
40MPa
Figura P5.5
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
4000 psi
Figura P5.6
55
y
y
140Kg/mm2
2300 psi
230Kg/mm2
3500 psi
x
O
x
O
240 Kg/mm2
500 psi
Figura P5.7
Figura P5.8
y
y
40MPa
200 Kg/mm2
200 Kg/mm2
70MPa
x
O
x
O
700 Kg/mm2
25MPa
Figura P5.9
Figura P5.10
5.5 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN Y POR TORSIÓN.
En el punto anterior, se trataron los esfuerzos debidos a la combinación de cargas axiales y
por flexión, y el método de superposición era válido debido a que la línea de acción en ellos
era la misma, pero en el caso de un elemento sometido a un momento de torsión y a una
carga axial vemos que esta produce esfuerzos normales σ = P/A en cada partícula, y el par
produce esfuerzos cortantes τ = (M r) / J. Estos esfuerzos se muestran sobre las partículas
de la figura 5.5b. Nótese que los esfuerzos cortante y normal no tienen la misma línea de
acción. Por consiguiente, la suma algebraica de los esfuerzos por superposición, no es
válida. En el caso de un elemento sometido a flexión, esta produce esfuerzos normales,
cuya línea de acción es al misma que los de la carga axial, y al igual que estos, no se
pueden sumar por superposición.
M
P
(a)
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
56
τ = (M r) / J
σ = P/A
τ = (M r) / J
σ = P/A
+
=
(b)
Figura 5.9 Esquema de una barra sometida a carga axial y a torsión (a) y partículas con
los esfuerzos respectivos a cada carga y la resultante (b).
En el caso de la flexión y torsión combinadas, se tienen dos situaciones diferentes debido a
que en la flexión se generan esfuerzos de tensión y de compresión. Esto provoca que en la
misma pieza, se tengan dos partículas con esfuerzos normales de tensión y de compresión
combinados con corte, como se muestra en la figura 5.6.
P
M
A
B
(a)
τ = (Mt r) / J
σ = Mc/I
A
σ = Mc/I
+
=
(b)
τ = (Mt r) / J
σ = Mc/I
B
τ = (Mt r) / J
τ = (Mt r) / J
σ = Mc/I
+
=
(c)
Figura 5.10 Esquema de una barra sometida a flexión y a torsión y partículas con los
esfuerzos respectivos a cada carga y sus resultantes.
EJEMPLO:
En el elemento que se muestra, determine los esfuerzos máximos en le punto A.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
57
A
Ø 50mm
D
C
90
4000N
mm
3600N
15
m
0m
Haciendo los diagramas de cuerpo libre de cada elemento, se tiene:
Dy
D.C.L. elemento CD
M
ΣFy = 0 B Dy = 3600 N
4000N C
D
ΣFx = 0 B Dx = 4000 N
Dx
3600N
ΣMD = 0 B MD = 540000 N
150
D.C.L. cilindro AD
3600N
ΣMAz = 324000 N
M Ay
A
MD
MAx
D
4000N
ΣMAy = 360000 N
4000N
MAz
3600N
90
De acuerdo a lo anterior, se deduce que el elemento esta sometido a Flexión-Torsión.
Análisis por torsión.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
58
A
MD
MAx
τ
D
τ=
Mr 16 M
=
J
π d3
τ=
16(540000)
π (50)3
τ = 22 MPa
Análisis por flexión.
y
x
A
90 mm
3600 N
σ
σ
MAz 3600 N
σ=
σ=
x
z
My
I
324000(25)
= 26.4 MPa
π (50)4
64
4000 N
90 mm
A
τ
MAy 4000 N
⎛ π (25)2 4(25) ⎞
⎟
×
4000⎜⎜
2
3π ⎟⎠
VQ
⎝
=
τ=
Ib
⎛ π (50)4 ⎞
⎜
⎟
⎜ 64 ⎟(50 )
⎝
⎠
= 2.71 MPa
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
59
donde:
r 25
y’ = (4r / 3π)
Q = A y’
50 mm
26.4 MPa
Entonces, la partícula resultante queda:
24.71 MPa
PROBLEMAS.
5.11 Determine el esfuerzo cortante
máximo y los esfuerzos principales en
el árbol de 50 mm de diámetro
mostrado en la figura P5.11. Las
poleas tienen un peso de 100N cada
una.
5.12 Determine el valor de la carga P
para el árbol mostrado, considerando
que el esfuerzo cortante máximo del
material es de 8000 psi y el normal
admisible es de 12000 psi. Desprecie
el peso de las poleas.
Figura P5.11
Figura P5.12
5.6 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS POR CARGAS AXIALES, POR
FLEXIÓN Y POR TORSIÓN.
En el caso de esta combinación,
con respecto a las anteriores, sólo sería
considerar en los esfuerzos normales, la
suma del esfuerzo por carga axial,
siendo entonces las ecuaciones que
resultan así:
Para Normales
σ =±
P My
±
A
I
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
60
Para cortantes
τ =±
VQ M r
±
Ib
J
dependiendo de los sentidos de estos, serán los signos, y en la partícula, se considera de al
misma manera.
PROBLEMAS:
5.13. En el árbol mostrado, determine los
esfuerzos máximos considerando que
tiene un diámetro de 40 mm y que la
fuerza mayor es de 1800 N, y la menor
es de 800 N, asimismo transmite un par
de torsión de 7200 N·mm. Todo esto
sucede en donde se encuentra el engrane
mayor.
5.14. En el árbol mostrado, determine los
esfuerzos máximos considerando que
tiene un diámetro de 30 mm y que la
fuerza mayor en el piñón es aplicada en
un diámetro de 40 mm.
5.15. En el letrero mostrado, determine el diámetro de un tubo si el esfuerzo cortante
máximo en A es de 1600 psi. La relación entre diámetros es de D/d = 1.2.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
61
m
1.2
B
F= 230 Kg
5.5 m
60 Kg
y
x
z
A
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
62
Unidad VI
Columnas.
6.1 INTRODUCCIÓN.
En las discusiones sobre el análisis y diseño de varios tipos de elementos y
estructuras, en capítulos anteriores, tuvimos dos intereses principales: 1) la resistencia de la
estructura, es decir, la capacidad de soportar carga sin experimentar esfuerzos excesivos, 2)
la capacidad de la estructura de soportar cargas sin experimentar deformaciones
inaceptables. En esta unidad se tratará la inestabilidad de la estructura, es decir, la
capacidad para soportar las cargas sin presentar un cambio súbito en su configuración.
Nuestra discusión se relacionará principalmente con columnas, es decir, con el análisis y
diseño de elementos prismáticos verticales que soportan cargas axiales.
P
P
A
B
A
(a)
B
(b)
Figura 6.1 Columna con extremos articulados cargada axialmente y pandeo posterior
causada por al inestabilidad.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
63
6.2 ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS.
Supóngase que debemos diseñar la columna AB de longitud L para soportar la carga P dada
(fig. 6.1a). La columna estará articulada en ambos extremos y supondremos que la carga P
axial y centrada. Si el área de la sección transversal A de la columna se escoge de tal
manera que el valor σ = P/A del esfuerzo en la sección transversal sea menor que el
esfuerzo admisible para el material usado, y la deformación δ = PL/AE cae dentro de las
especificaciones dadas, podríamos concluir que la columna ha sido correctamente diseñada.
Sin embargo, puede ocurrir que, cuando se aplique la carga, la columna presente pandeo; en
vez de permanecer recta, súbitamente presenta una curvatura (fig. 6.1b). Claramente una
columna que pandee bajo la acción de una carga dada no está diseñada correctamente.
6.3
FÓRMULA
ARTICULADOS.
DE
EULER
PARA
COLUMNAS
DE
EXTREMOS
Considerando la columna AB de la sección anterior, nos proponemos determinar el valor
crítico de la carga P, es decir Pcr para la cual la posición de la columna deja de ser estable.
Si P > Pcr, el menor desalineamiento o alteración originará pandeo en la columna. Nuestro
propósito es determinar las condiciones bajo las cuales es posible tener la configuración de
la figura 6.1b. Como una columna puede considerarse como una viga en posición vertical y
sometida a carga axial, se procederá como en el capítulo de flexión y se denotará como x la
distancia del extremo A de la columna a un punto cualquiera a de su curva elástica, y por y
la deflexión de dicho punto (Figura 6.2a). Se concluye que el eje x será vertical y dirigido
hacia abajo y que el eje y será horizontal y dirigido hacia la derecha. Considerando el
equilibrio del cuerpo libre Aa (Figura 6.2b) encontramos que el momento flector en a es M
= -Py. Sustituyendo este valor de M en la ecuación de la elástica para la viga se escribe
P
P
A
y (+)
x
y
x
a
Py
y
y
P
(a)
B
(b)
P
Figura 6.2 Análisis de una columna con extremos articulados considerándola como una
viga.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
64
d2y
M
=−
2
EI
dx
M = Py
;
d 2 y Py
+
=0
dx 2 EI
Ecuación de la elástica para una viga.
(1)
La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de 2º orden y homogénea con
coeficientes constantes, haciendo
m2 =
P
EI
m=
P
EI
y la solución general de la ecuación diferencial ordinaria es
y = A cos mx + B sen mx
(2)
Comprobando al derivar (2)
dy
P
= −A
sen
dx
EI
P
P
P
x+B
cos
x
EI
EI
EI
d2y
⎛ P ⎞
= − A⎜ ⎟ cos
2
dx
⎝ EI ⎠
P
P
⎛ P ⎞
x − B⎜ ⎟ sen
x
EI
EI
⎝ EI ⎠
(3)
Sustituyendo (3) y (2) en (1)
⎛ ⎛ P ⎞
⎜ − A⎜ ⎟ cos
⎜ ⎝ EI ⎠
⎝
P
P ⎞ P⎛
P
P ⎞
⎛ P ⎞
⎜ A cos
x − B⎜ ⎟ sen
x ⎟⎟ +
x + B sen
x⎟ = 0
⎜
EI
EI ⎠ EI ⎝
EI
EI ⎟⎠
⎝ EI ⎠
Desarrollando y reduciendo términos se encuentra que:
0=0
Aplicando condiciones de frontera: para x = 0 ; y = 0
sustituyendo en (2)
0 = A (1) + B (0)
A=0
La segunda posibilidad es que B = 0, lo cual es una solución trivial.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
65
para x = L ; y = 0
⎛ P ⎞
0 = B sen⎜⎜
L ⎟⎟
EI
⎝
⎠
la primera posibilidad es que B = 0
(solución trivial), y la segunda es
que
⎛ P ⎞
y = B sen⎜⎜
x ⎟⎟
EI
⎝
⎠
para que la segunda condición sea
satisfecha, debemos tener que mL
= nπ, sustituyendo m:
Figura 6.3 Posibles casos de pandeo.
P
L = nπ ; n = [ 0, 1, 2, 3, 4, .........∞ ]
EI
De aquí despejamos P y asignando a n = 1, que daría el valor menor de P, se tiene
Pcr =
π 2 EI
L2
Esta expresión se conoce como Fórmula de Euler.
σ=
σ=
π 2 EI
ALe
I = k2 A
2
π 2 Ek 2 A
σ=
Re =
ALe
2
=
P = Carga crítica
E = Módulo de elasticidad
I = Momento de inercia
Le = Longitud equivalente
k = Radio de giro mínimo
σ = esfuerzo crítico
π 2E
⎛ Le ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
2
π 2E
⎛ Le ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
L
k
Nomenclatura.
2
→
Relación de esbeltez.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
66
Observaciones.
1. La columna se flexionará respecto al eje de menor momento de inercia.
2. Una columna con las mismas condiciones soporta lo mismo sea de alta o baja
resistencia.
Limitaciones:
σLP = 200 MPa
;
(
E = 200Gpa
)
Le
π 2E
π 2 200 x10 3
=
=
= 99.346
200
k
σ
σ
Esfuerzo crítico
σLP
Esfuerzo de
trabajo
L/k
99.346
Figura 6.2 Gráfica donde se aprecian las curvas de esfuerzo para una columna.
Padm =
Longitudes equivalentes:
π 2 EI
F .S . Le
2
; F. S. > 1
Padm = Carga admisible
σ adm =
Padm
A
Le = L
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
Le = 0.5L
Le = 0.7 L
Le = 2L
67
EJEMPLO:
En la columna mostrada, determine la carga admisible y la longitud mínima de la columna.
100(50)
= 1.041x106 mm
12
3
E = 10 GPa
I min =
y
σadm = 30 MPa
F. S. = 2
L = 2.5 m
x
100 mm
50 mm
(
Le
π 2E
π 2 10 x10 3
=
=
30
k
σ
)
Le
= 57.35
k
k=
(
)
1
100 x50 3
I
12
= 14.43 mm
=
(50)(100)
A
Le = 57.35 (14.43) = 827.776 mm
L = 2 Le = 2 (827.776) = 1655.55 mm
L = 1.655 m
Padm =
Padm =
Longitud mínima
π 2 EI
F .S . Le
2
π 2 (10 x10 3 )(1.041x10 6 )
⎛ 2500 ⎞
2⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
2
Padm = 32877.62 N
En cuanto a las longitudes es correcto ya que 2.5 >1.655.
EJEMPLO:
En la columna mostrada, determine el valor de la carga P de seguridad si en el eje x se
considera articulada y en el eje y se considera empotrada, para E =70 GPa, F. S.=2.5 y L =
2 m, su sección es de 20 x 50 mm.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
68
y
2m
50
x
perno
20 mm
•
Análisis para el eje x; considerándola como doble articulación:
Ixx = (1/12) (20)(50)3 = 208333.333 mm4
Le = L = 2000 mm
Padm =
Padm =
•
π 2 EI
F .S . Le
2
π 2 (70 x103 )(208333.333)
2.5 (2000)
2
= 14393.173 N
Análisis para el eje y; considerándola como doble empotrada:
Iyy = (1/12) (50)(20)3 = 33333.333 mm4
Le = 0.5L = 1000 mm
Padm =
Padm =
π 2 EI
F .S . Le
2
π 2 (70 x10 3 )(33333.333)
2.5 (1000)
2
= 9211.63 N
De lo anterior se observa que en el análisis de la columna como doble empotrada, se
obtiene la carga máxima admisible.
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
69
EJEMPLO:
Una barra de sección cuadrada y 3 m de longitud soporta una carga de 40 KN. Si los
extremos están articulados con rótulas, determinar el lado de la sección, con un valor de E
= 70 GPa.
y
3m
a
x
b
A = ab ; Le = L = 3m
I min =
ba 3
12
k=
I
ba 3
a2
a
=
=
=
12ab
12
A
12
Para el eje x: k =
a
12
Para el eje y: k =
b
12
Relaciones de esbeltez:
Para el eje x:
Para el eje y:
Le
3
3 12
=
=
a
k
a
12
igualando pandeos:
3 12
3 12
=
a
b
1
1
=
a
b
a
=1
b
Le
3
3 12
=
=
b
k
b
12
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
70
(
Diseñando con los datos dados:
σ=
σ=
40000 π 2 a 2 70 x109
=
a2
9(12)
P 40000 40000
=
=
A
ab
a2
π 2E
⎛ Le ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
2
=
a4 =
π 2 (70 x10 9 )
⎛ 3 12 ⎞
⎟
⎜
⎜ a ⎟
⎠
⎝
(
(40000)(9)(12) = 6.253x10 −6
π 2 (70 x109 )
2
a = 4 6.253 x10 −6
a = 0.050 m
igualando y empleando F. S. = 1:
40000 π 2 70 x109
=
2
a2
⎛ 3 12 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ a ⎠
)
a = 50 mm
)
6.3 FÓRMULA EMPÍRICAS PARA COLUMNAS (AISC).
Las columnas de acero estructural, se diseñan hoy con base en las fórmulas
propuestas por el Consejo de Investigación de Estabilidad Estructural. En estas fórmulas se
han aplicado factores de seguridad y se adoptan como especificaciones para construcción
de edificios por el Instituto Americano de Construcción en Acero. En forma básica, estas
especificaciones indican dos fórmulas para diseñar columnas, cada una de ellas determina
el esfuerzo máximo permisible en la columna, para determinado intervalo de relación de
esbeltez. Para columnas largas se propone la fórmula de Euler, es decir,
π 2E
σ=
2
⎛ Le ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
Para aplicare esta fórmula se requiere un factor de seguridad F.S. = 23/12 ≈ 1.92 así para el
diseño,
12π 2 E
σ=
2
⎛ Le ⎞
23⎜ ⎟
⎝ k ⎠
L = Le
Para L/k = 0 → σ cri = σ LP por lo tanto σ cri = σ 0
L/k = Cc ;
C1 =
1 σ LP
2 CC 2
½σ LP = σ LP – C1 (Cc)2
;
CC =
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
2π 2 E
σ LP
= Coeficiente de columna
71
σ cri = σ LP −
σ LP ⎛ L ⎞
2
σ cri
⎟
2 ⎜
2CC ⎝ k ⎠
σ adm
⎡
⎛ L
⎢
σ LP
1 ⎜⎜ k
⎢
1−
=
F .S . ⎢ 2 ⎜ CC
⎜
⎢
⎝
⎣
σ
σ cri
σLP
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⎡
⎛ L
⎢ 1⎜
= σ LP ⎢1 − ⎜ k
⎢ 2 ⎜ CC
⎜
⎢
⎝
⎣
Columnas
intermedias
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎛L⎞
= σ 0 − C1 ⎜ ⎟
⎝k⎠
2
σ cri =
½ σLP
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
π 2E
⎛ Le ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
2
Columnas
largas
200
Cc
L/k
Para columnas intermedias y cortas (Re < Cc)
⎛ L
5 3⎜
F .S . = + ⎜ k
3 8 ⎜ CC
⎜
⎝
⎞
⎛ L
⎟ 1⎜
⎟− ⎜ k
⎟ 8 ⎜ CC
⎟
⎜
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3
;
k=
I
A
Donde I siempre será el mínimo, no importando que el eje que se pandee, sea
transversal a I y se consideran esas condiciones de apoyo.
Demostración para Cc:
Si L/k = Cc
;
σ cri = ½ σ LP
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
72
1
2
π 2E
σ cri =
→
(CC )2
CC =
2π 2 E
σ LP
El factor de seguridad en columnas largas es constante
Si L/k = Cc
F .S . =
5 3 1 23
+ − =
3 8 8 12
σ adm =
π 2E
F .S .(Re )
2
Observaciones:
1. En columnas largas, el esfuerzo no depende de su resistencia.
2. En columnas intermedias y cortas, el esfuerzo sí depende de su resistencia.
CONCLUSIONES.
De acuerdo a lo anterior, cuando se analiza un elemento a compresión, si la carga en el
puede generar una inestabilidad y un pandeo, el análisis de este como sólido a compresión
es un error, por lo tanto, la forma correcta de tratarlo es como una columna, la cual,
dependiendo de la longitud y la sección, será una columna Intermedia o Larga.
PROBLEMAS
6.1 La varilla de un avión es de acero A-36. Determine el menor diámetro, redondeando al
1
/16 plg, para que soporte la carga de 4 Klb sin pandearse. Los extremos están articulados.
4 Klb
4 Klb
18 plg
6.2 Se supone que los miembros de la armadura están articulados. El miembro BD es una
varilla de acero A-36, de 2 plg. de radio. Determine al carga P que puede resistir la
armadura sin hacer que se pandee el miembro.
B
D
C
F
12 ft
A
16 ft
16 ft
P
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
G
16 ft
P
73
6.3 El tubo de Acero A-36 tiene 2 plg. de diámetro
exterior. Si se sujeta en su lugar con un cable,
determine el diámetro interior requerido en el tubo,
cerrando al ⅛ de plg, para que pueda soportar una
carga máxima P = 4 Klb sin que se pandee el tubo.
Suponga que los extremos del tubo son articulados.
12 ft
6.4 La armadura es de barras de acero A-36, cada una
de las cuales es redonda. Si la carga aplicada es P =
10 Klb, determine el diámetro del miembro AB, al ⅛
plg. más cercano, que evite que se pandee ese
miembro. Los elementos están articulados en sus
extremos.
C
D
5 ft
3 ft
A
B
4 ft
4 ft
y
P
B
mm
25
1m
6.5 Determine la carga P que soporta el
marco, sin que el miembro BC se pandee.
Debido a los extremos de horquilla del
miembro, suponga que los soportes en B y
x
C funcionan como articulaciones para el
pandeo respecto del eje x-x y como
x
empotramientos para el pandeo respecto al y
eje y-y.
mm
35
2m
P
A
C
4m
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
74
UNIDAD VII Vigas Curvas
En el estudio que sigue, supondremos que la línea media de la pieza es una curva y
plana que las secciones rectas de la barra tienen un eje de simetría en el plano. La pieza está
solicitada por fuerzas situadas en este plano de simetría. Considerando primeramente el
caso de una barra de sección constante en flexión pura, producida por pares aplicados en los
extremos (figura 6.1)
dA
δ
L
y
M
Línea Centriodal
E. N.
e
L
dφ
δe = δf
V
M
PL σL
=
AE E
σ e Le σ f L f
=
E
E
Como Le > Lf
σe > σf
R
δ=
dθ
Si se consideran dos puntos e y f en las zonas de tensión y compresión
respectivamente, se podría apreciar condiciones tales que el esfuerzo en e sería menor que
el de f, por lo que el esfuerzo no varía linealmente. Además como el esfuerzo interior es
mayor que el exterior, el eje neutro se encuentra abajo del eje centriodal hacia el centro de
curvatura.
d
ε=
δ
L
=
y dφ
V dθ
V=R–e+y
y
dφ
y dφ
ε=
( R − e + y ) dθ
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
de la ley de Hooke
σ=εE
σ=
⎞
E dφ ⎛
y
⎜⎜
⎟
dθ ⎝ R − e + y ⎟⎠
(1)
75
ΣF = 0 = ∫ σ dA
0=
E dφ ⎛ y dA ⎞
⎜
⎟
dθ ∫ ⎜⎝ R − e + y ⎟⎠
(a)
y = V – (R – e)
0=
E dφ ⎛ V − (R − e ) dA ⎞
⎜
⎟
dθ ∫ ⎝
V
⎠
De lo anterior se deduce que solamente la integral es igual a cero
0 = ∫ dA – (R – e) ∫ dA/V
A
dA
∫V
A
e= R−
dA
∫V
R−e =
(↻+) ∑M = 0 = M – ∫ y σ dA → Ver Nota*
M=
E dφ
dθ
E dφ
M=
dθ
⎛ y 2 dA ⎞
∫ ⎜⎜⎝ R − e + y ⎟⎟⎠
(b)
⎛ (V − ( R − e) )2 dA ⎞
∫ ⎜⎜⎝ R − e + y ⎟⎟⎠
⎛ (V − ( R − e) )2 dA ⎞
V2
V
2 dA
⎜
⎟
=
∫ ⎜⎝ R − e + y ⎟⎠ ∫ V dA − 2( R − e)∫ V dA + ( R − e) ∫ V
= ∫ VdA − 2( R − e) ∫ dA + ( R − e) 2 ∫
dA
V
Sustituyendo el valor de V en la primera integral
= ∫ ( R − e + y )dA − 2( R − e) ∫ dA + ( R − e) 2 ∫
*
dA
V
La suma de fuerzas elementales en la sección = M → M = ∫ yσ dA
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
76
= ( R − e) ∫ dA + ∫ y dA − 2( R − e) ∫ dA + ( R − e) 2 ∫
= ∫ y dA − ( R − e) ∫ dA + ( R − e) 2 ∫
= ∫ y dA + ∫
dA
V
dA
V
− ( R − e)V + ( R − e) 2
dA
V
como V = R – e + y se tiene:
– (R – e) (R – e + y) = – R2 + R e – R y + R e – e2 + e y
= – R2 + 2R e – R y + e y – e2
(R – e )2 = R2 – 2eR + e2
entonces
= (– R2 + 2R e – R y + e y – e2) + R2 – 2eR + e2
= –Ry+ey
y
dA
V
de la ec. a se deduce que el segundo término de la ecuación anterior se anula.
y2
∫ V dA = ∫ y dA
= ∫ y dA − ( R − e) ∫
como ∫ y dA es el momento estático
∫ y dA = e A
sustituyendo en la ecuación b; se tiene:
E dφ
(e A)
dθ
de la ec. 1 se tiene
M=
M=
σV
y
(c)
Resumen:
(e A)
My
eAV
donde V es el radio a la fibra de
análisis.
e= R−
σ=
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
σ=
A
dA
∫V
My
eAV
77
Consideraciones y limitaciones.
1. Cualquier sección transversal se mantiene plana después de la deformación.
2. El signo del momento flector es negativo si cierra la curva, positivo si la abre.
3. Cuando R es grande se puede utilizar la teoría de flexión para vigas rectas.
My
σ=
I
RADIO DE EJES NEUTROS DE DIFERENTES SECCIONES.
C
C
r1
r2
C
r
r
c
h
2b
b
R=
2a
h
r
ln 2
r1
R=
1
2
(r +
r 2 − c2
C
b
r1
)
R=
(
2πb
r − r 2 − a2
a
)
C
r2
r1
b1
r2
yc
h
h
q
b2
R=
1
2
h
r2 ⎛ r2 ⎞
⎜ ln ⎟ − 1
h ⎜⎝ r1 ⎟⎠
R=
h 2 (b1 + b2 )
(b1r2 − b2 r1 )ln r2 − h(b1 − b2 )
r1
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
1
2
78
Ejemplo.
Para el componente estructural y la carga ilustrada, determine el esfuerzo en el punto A
cuando: a) h = 60 mm; b) h = 70 mm.
200 N m
200 N m
a)
C
r1
r
15mm
A
60 mm
80 mm
60 mm
r1 = 20 mm
r2 = 80 mm
Para una sección rectangular
r = 50 mm
R=
h
r
ln 2
r1
R=
60
= 43.28 mm
⎛ 80 ⎞
ln⎜ ⎟
⎝ 20 ⎠
La excentricidad será:
e = r – R = 50 – 43.28
e = 6.72 mm
El esfuerzo será:
(
)
M (r1 − R ) − 200 × 10 3 (20 − 43.28)
=
(60 ×15)(6.72)(20)
A e r1
2
σmin = 38.49 N/mm
σ min =
b) Para h = 70 mm.
r1 = 10 mm
r2 = 80 mm
Para una sección rectangular
r = 45 mm
R=
h
r
ln 2
r1
R=
70
= 33.66 mm
⎛ 80 ⎞
ln⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
La excentricidad será:
e = r – R = 45 – 33.66
e = 11.33 mm
El esfuerzo será:
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
79
(
)
M (r1 − R ) − 200 ×10 3 (10 − 33.66)
=
(70 ×15)(11.33)(10)
A e r1
2
σmin = 39.77 N/mm
σ min =
Ejercicios.
Sabiendo que M = 100 Klb·in, determine el esfuerzo en el punto A y en el punto B.
C. C.
5
M
A
M
A
1.5
B
4.5
B
1.2 1.2 1.2
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO
80
BIBLIOGRAFÍA.
1. Andrew Pytel, Ferdinand L. Singer, Resistencia de Materiales. Editorial Oxford
4ª edición, Madrid España, 2002.
2. R. C. Hibbeler, Mecánica de Materiales, 4ª Edición, PEARSON PRENTICE
HALL, México, 1997.
3. Robert L. Mott, Resistencia de Materiales, 3ª Edición, PRENTICE HALL,
México, 1996.
4. Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr. Mecánica de Materiales, 1ª y 4ª
edición, McGRAW-HILL, Bogotá Colombia, 1982 y 2004.
81
APUNTES DE MECATRÓNICA III
M. en C. JUAN ROBERTO RODRIGUEZ BELLO