Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού - Λύσεις
2021-02-09
Περιεχόμενα
1 Παρατηρήσεις
1
1.1
Θέμα 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Θέμα 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Θέμα 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1 Παρατηρήσεις
• Πήρα πολλά email όταν σας έστειλα τους βαθμούς σας. Δεν έχω το χρόνο να σας απαντήσω προσωπικά. Είναι
φανερό ότι πολλοί από σας δεν έχετε επίγνωση τι γράψατε στην εξέταση, και ορισμένοι από σας, επιεικώς, δεν
δείχνετε τον καλύτερο εαυτό σας με αυτά που γράφετε στα email.
• Υπενθυμίζω ότι η αξιολόγηση για τον τελικό σας βαθμό (που είδατε) και όπως σας είχα πει στο πρώτο μάθημα,
είναι: (τελικός βαθμός) = (βαθμός γραπτού) x 0.7 + (βαθμός ασκήσεων) x 0.3. Για το βαθμό ασκήσεων είχαμε 4
ασκήσεις + 1 εργασία, σύνολο 5 ασκήσεις. Έλαβα υπόψη τον μέσο όρο των 3 καλυτέρων σας. Αν κάποιος είχε
παραδώσει λιγότερες από 3, αυτές συμπληρώθηκαν με μηδενικά. Αν κάποιος δεν παρέδωσε ασκήσεις, κατεβαίνει
στην τελική εξέταση, πριν καν γράψει κάτι, με −3.
• Για το θέμα πρώτο, το σχόλιο στη λύση. Αν είχατε κάνει την εργασία και είχατε προβληματιστεί με το ερώτημα θα
ξέρατε πως να την δουλέψετε.
• Για το δεύτερο θέμα είναι απλώς αντιγραφή από άσκηση που κάναμε και λύσαμε. Στην ουσία σας έδωσα μισό
θέμα. Το μόνο που είχατε να κάνετε ήταν να αντικαταστήσετε τα δικά σας νούμερα και να βγάλετε ένα αριθμητικό
αποτέλεσμα.
• Τρίτο θέμα, πάλι μια παραλλαγή από λυμένη άσκηση/παράδειγμα. Απλώς, αντί για ηλεκτρικό, σας έδωσα το μαγνητικό πεδίο. Η διαδικασία ίδια.
• Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να πω κάτι άλλο.
1
1.1 Θέμα 1
Υπολογίστε τις εκφράσεις ∇ ⋅ F και ∇ × F για F = 𝑟𝑛 r όπου 𝑟 ≠ 0. Για ποια τιμή του 𝑛 μπορείτε να χαρακτηρίσετε το
πεδίο F σωληνοειδές και ταυτόχρονα συντηρητικό και αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Λύση
Υπενθυμίζω, όπως είπα και στην παράδοση των θεμάτων, ότι το r είναι το πλήρες διάνυσμα θέσης, άρα r = 𝑟r.̂
Από τυπολόγιο Διάλεξης 2, σελ 49 και εφόσον F = 𝐴𝑟 r ̂ όπου 𝐴𝑟 = 𝑟𝑛+1 σε σφαιρικές συντεταγμένες, έχουμε
1 𝜕 2
1 𝜕
1
(𝑟 𝐴𝑟 ) = 2 (𝑟𝑛+3 ) = 2 (𝑛 + 3)𝑟𝑛+2 = (𝑛 + 3)𝑟𝑛
𝑟2 𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝑟
𝑟
Για σωληνοειδές πρέπει ∇ ⋅ F = 0 που ισχύει για 𝑛 = −3.
∇ ⋅ (𝐴𝑟 r)̂ =
Από το ίδιο τυπολόγιο έχουμε
1 𝜕𝐴𝑟 ̂ 1 𝜕𝐴𝑟
θ−
φ̂ = 0
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙
𝑟 𝜕𝜃
εφόσον 𝐴𝑟 ανεξάρτητο των 𝜃 και 𝜙. Το πεδίο εδώ είναι πάντα συντηρητικό ή αστρόβιλο εφόσον ∇ × F = 0.
∇ × (𝐴𝑟 r)̂ =
Το ταυτόχρονα ισχύει για 𝑛 = −3.
1.2 Θέμα 2
Δακτύλιος με ακτίνα 𝑟 έχει διάκενο 𝑑 και είναι ομοιόμορφα φορτισμένος με φορτίο 𝑄. Να βρεθεί η ένταση του ηλεκτρικού
πεδίου στο κέντρο του δακτυλίου σε σύστημα συντεταγμένων της επιλογής σας.
Δίδονται: 𝑄 = (3 τελευταία ψηφία ΑΜ𝑟 ) 𝜇C, 𝑟 = (2 πρώτα ψηφία ΑΜ𝑟 ) m, 𝑑 = (2 μεσαία ψηφία ΑΜ𝑟 /10) cm, 𝜖0 =
10−9 /(36𝜋) F/m.
Λύση
Για π.χ. ΑΜ𝑟 = 1923, 𝑄 = 923 𝜇C, 𝑟 = 19 m, 𝑑 = 9.2 cm.
Αν δεν υπήρχε διάκενο, το πεδίο λόγω συμμετρίας θα ήταν μηδέν. Εφόσον υπάρχει διάκενο, το πεδίο είναι μη μηδενικό
και οφείλεται αποκλειστικά στο κομμάτι φορτίου απέναντι από το διάκενο.
Από Διάλεξη 3, διαφάνεια 29 σε κυλινδρικές συντεταγμένες έχουμε:
E=
2𝜋
𝜌𝐿
(−𝑎 ρ̂ + ℎ z)̂
∫
𝑎 𝑑𝜙′
4𝜋𝜖0 𝜙′ =0 (𝑎2 + ℎ2 )3/2
Στην περίπτωσή μας γίνεται
𝜙
E=
𝜙
2
2
(−𝑟 ρ)̂
𝜌𝐿
𝜌 𝑑
𝜌𝐿
′
𝑟
𝑑𝜙
=
−
𝑑𝜙′ ρ̂ = − 𝐿 2 ρ̂
∫
∫
4𝜋𝜖0 𝜙′ =𝜙1 (𝑟2 )3/2
4𝜋𝜖0 𝑟 𝜙′ =𝜙1
4𝜋𝜖0 𝑟
Υπενθυμίζεται ότι το μήκος τόξου 𝑑 σε κύκλο ακτίνας 𝑟 που αντιστοιχεί σε γωνία 𝜙 είναι 𝑑 = 𝑟𝜙. Τo φορτίο 𝑄 =
𝜌𝐿 (2𝜋𝑟 − 𝑑) ⇒ 𝜌𝐿 = 𝑄/(2𝜋𝑟 − 𝑑) και
𝐸=
𝑄𝑑
= 17.747 V/m
4𝜋𝜖0 𝑟2 (2𝜋𝑟 − 𝑑)
2
>> K=9e9; Q=923e-6; r=19; d=9.2e-2;
>> E=K*Q*d/(r^2*(2*pi*r-d))
E = 17.747
Οπότε
E = −17.747 ρ̂ V/m
1.3 Θέμα 3
Σε ισοτροπικό μέσο με παραμέτρους 𝜎 = 0, 𝜇 = 𝜇0 και 𝜖 = 𝜖𝑟 𝜖0 , έχουμε πεδίο H = 𝐻0 sin(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) ŷ A/m.
Δίδονται: 𝜖𝑟 = (2 μεσαία ψηφία ΑΜ𝑟 ), 𝐻0 = (3 τελευταία ψηφία ΑΜ𝑟 ) A/m, 𝜔 = ΑΜ𝑟 × 105 rad/s.
Δίδονται επίσης: 𝜖0 = 8.854 × 10−12 F/m και 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 H/m.
Προσδιορίστε 𝛽 και E.
Λύση
Από Διάλεξη 10, διαφάνεια 29, παρόμοια άσκηση.
Για π.χ. ΑΜ𝑟 = 1923, 𝜖 = 92𝜖0 , H = 923 sin(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) ŷ A/m, 𝜔 = 1923 × 105 rad/s.
Στο πεδίο συχνοτήτων:
H(𝑧, 𝑡) = ℑ𝑚{H(𝑧)𝑒𝑗𝜔𝑡 } ⇒ H(𝑧) = 𝐻0 𝑒−𝑗𝛽𝑧 ŷ
∇ × H = 𝑗𝜔𝜖E ⇒ E =
∇×H
𝛽𝐻0 −𝑗𝛽𝑧
x̂
=
𝑒
𝑗𝜔𝜖
𝜔𝜖
Από το νόμο Faraday έχουμε επίσης
∇ × E = −𝑗𝜔𝜇H ⇒ H =
που σημαίνει
∇×E
1
(−𝑗𝛽 2 𝐻0 ) −𝑗𝛽𝑧
𝛽2 𝐻
=
𝑒
ŷ = 2 0 𝑒−𝑗𝛽𝑧 ŷ
(−𝑗𝜔𝜇)
(−𝑗𝜔𝜇)
𝜔𝜖
𝜔 𝜖𝜇
𝛽2
√
= 1 ⇒ 𝛽 = ±𝜔 𝜖𝜇
𝜔2 𝜖𝜇
Κρατάμε τη θετική τιμή για ισοτροπικά υλικά. Οπότε
√
√
𝛽 = 𝜔 𝜖𝜇 = 𝜔 𝜖𝑟 𝜖0 𝜇0 = 6.1524 rad/m
E=
𝛽𝐻0 −𝑗𝛽𝑧
x̂ = 3.625 × 104 𝑒−𝑗𝛽𝑧 x̂ V/m
𝑒
𝜔𝜖𝑟 𝜖0
octave:4> m0=4*pi*1e-7; e0=8.854e-12; H0=923; w=1923e5; er=92;
octave:5> b=w*sqrt(e0*er*m0)
b = 6.1524
octave:6> E0=(b*H0)/(w*er*e0)
E0 = 3.6253e+04
3