Progresii
Șiruri
(x)𝑛≥1 , 𝑆𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗
𝑥𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ (𝑆0 = 0)
Monotonia
Șirul (x)𝑛≥1 este:

strict crescător, dacă: 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ... sau 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 > 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ sau dacă
𝑥
𝑥𝑛 > 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , atunci 𝑥𝑛+1 > 1, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ ,

crescător, dacă: 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ ... sau 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ sau dacă
𝑥
𝑥𝑛 > 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , atunci 𝑥𝑛+1 ≥ 1, ∀𝑛 ∈ ℕ∗

strict descrescător, dacă: 𝑥1 > 𝑥2 > 𝑥3 > ... sau 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 < 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ sau dacă
𝑥
𝑥𝑛 > 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , atunci 𝑥𝑛+1 < 1, ∀𝑛 ∈ ℕ∗

descrescător, dacă: 𝑥1 ≥ 𝑥2 ≥ 𝑥3 ≥ ... sau 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 > 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ sau dacă
𝑥
𝑥𝑛 > 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , atunci 𝑥𝑛+1 ≤ 1, ∀𝑛 ∈ ℕ∗
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Mărginirea
Șirul (x)𝑛≥1 este mărginit, dacă ∃𝑚, 𝑀 ∈ ℝ astfel încât: 𝑚 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ .
Progresia aritmetică
÷ (𝑎𝑛 )𝑛≥1 , 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑟, ∀𝑛 ∈ ℕ∗
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗
Exemple:
÷ 5, 8, 11, 14, 17, 20, …
÷ 80, 75, 70, 65, 60, 55, 50, …
Proprietăți:



𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟, ∀𝑛 ∈ ℕ∗
𝑎+𝑐
÷ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ⟺ 𝑏 =
𝑆𝑛 =
(𝑎1 +𝑎𝑛 )⋅𝑛
2
2
Progresia geometrică
..
(𝑏 )
,𝑏
= 𝑏𝑛 ⋅ 𝑞, ∀𝑛 ∈ ℕ∗
. . 𝑛 𝑛≥1 𝑛+1
𝑆𝑛 = 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗
Exemple:
..
3, 6, 12, 24, 48, 96, …
..
..
5
80, −40, 20, −10, 5, − , …
..
2
Proprietăți:


𝑏𝑛 = 𝑏1 ⋅ 𝑞 𝑛−1 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗
..
𝑎, 𝑏, 𝑐 ⟺ 𝑏2 = 𝑎 ⋅ 𝑐
..

𝑆𝑛 = 𝑏1 ⋅
𝑞𝑛 −1
𝑞−1
, 𝑞 ≠ 1 (𝑆𝑛 = 𝑏1 ⋅
1−𝑞𝑛
1−𝑞
, 𝑞 ≠ 1)
Exerciții:
1. Determinați primul termen, rația și suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice
(𝑎𝑛 )𝑛≥1 , dacă știm relațiile: 𝑎3 − 2𝑎5 = −22, 𝑎3 + 𝑎6 = 29.
2. Determinați 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, dacă numerele: 𝒙; 𝟑𝒙 − 𝟏; 𝒚 sunt în progresie aritmetică, iar
numerele: 𝒙 − 𝟏; 𝒙 + 𝟐; 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 sunt în progresie geometrică.
3. a) Calculați: 𝑆 = 13 + 17 + 21 + ⋯ + 129;
1
1
1
1
5
b) Demonstrați inegalitatea: 1 − 5 + 52 − 53 + ⋯ − 52019 < 6
4. Fie șirul (𝑥𝑛 )𝑛≥1 , având suma termenilor 𝑆𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ . Știind că
𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 5𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , arătați că șirul (𝑥𝑛 )𝑛≥1 este o progresie aritmetică.
5. În progresia aritmetică (𝑎𝑛 )𝑛≥1 știm relația: 𝑎3 + 𝑎7 + 𝑎18 + 𝑎22 = 16.
Calculați 𝑆24 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎24 .
6. Determinați 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, dacă numerele: 𝒙; 𝟐𝒙 − 𝟏; 𝒚 sunt în progresie aritmetică, iar
numerele: 𝒙 + 𝟏; 𝒙 + 𝟑; 𝟐𝒙 + 𝟗 sunt în progresie geometrică.
7. a) Calculați 𝑆 = 10 + 13 + 16 + ⋯ + 97;
1
1
b) Demonstrați inegalitatea: 1 + + 2 +
3
3
1
33
+ ⋯+
1
31000
3
< .
2
8. Fie șirul (𝑥𝑛 )𝑛≥1 , având suma termenilor 𝑆𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ . Știind că
𝑆𝑛 = 3 ∙ 2𝑛+1 − 6, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , arătați că șirul (𝑥𝑛 )𝑛≥1 este o progresie geometrică.
9. Rezolvați:
a) (𝑥 + 1) + (𝑥 + 4) + (𝑥 + 7) + ⋯ + (𝑥 + 28) = 155
b) 1 + 5 + 9 + ⋯ + 𝑥 = 231
10. Determinați primul termen și rația progresiei aritmetice (𝑎𝑛 )𝑛≥1 , dacă:
a) 𝑎2 − 𝑎6 + 𝑎4 = −7 , 𝑎8 − 𝑎7 = 2𝑎4
b) 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 15 , 𝑎1 𝑎2 𝑎3 = 120
c) 𝑎4 = 21 , 𝑆2𝑛 = 4𝑆𝑛
11. Determinați primul termen și rația progresiei geometrice (𝑏𝑛 )𝑛≥1 , dacă:
a) 𝑏1 − 𝑏2 = 8 , 𝑏2 + 𝑏3 = 12
b) 𝑏5 − 𝑏1 = 160 , 𝑏4 − 𝑏2 = 48
12. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 ≠ 0, 𝑎 + 𝑐 ≠ 0, 𝑏 + 𝑐 ≠ 0. Arătați că numerele 𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐 2 sunt în
1
1
1
progresie aritmetică dacă și numai dacă numerele
,
,
sunt în progresie
𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐
aritmetică.
13. Suma a trei numere în progresie aritmetică este 21. Dacă se adună 2, 3 și 9 acestor
numere, atunci se obțin alte trei numere în progresie geometrică. Determinați cele trei
numere inițiale.
𝑢
14. Fie șirurile (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ , 𝑢0 = −2 , 𝑢𝑛+1 = 1−𝑢𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ și (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ , 𝑣𝑛 =
1+𝑢𝑛
𝑢𝑛
𝑛
, ∀𝑛 ∈ ℕ.
a) Arătați că 𝑢𝑛 < 0 , ∀𝑛 ∈ ℕ
b) Șirul (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ este o progresie aritmetică
c) Determinați 𝑢𝑛 și 𝑣𝑛 în funcție de 𝑛.
15. Fie șirurile (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ , 𝑢0 = 4, 𝑢𝑛+1 =
3𝑢𝑛 +1
𝑢𝑛 +3
𝑢 +1
, ∀𝑛 ∈ ℕ și (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ , 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛−1 , ∀𝑛 ∈ ℕ.
𝑛
a) Șirul (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ este o progresie geometrică
b) Determinați 𝑢𝑛 și 𝑣𝑛 în funcție de 𝑛.
16. a) Calculați suma 𝑆(𝑥 ) = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 , 𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑥 ∈ ℝ.
1
1 2
1 𝑛−1
b)Demonstrați egalitatea: 1 + 2 (1 + 𝑛) + 3 (1 + 𝑛) + ⋯ + 𝑛 (1 + 𝑛)
17. Arătați că numărul 𝑎 = 44
⏟ … 4 88
⏟ … 8 9 este pătrat perfect, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ .
𝑛
𝑛−1
= 𝑛2