Graf
Berarah
Mohammad Fahrurrozy
205090400111066
41
Graf Berarah
Digraph Terhubung
Jenis Digraph
03
Indegree dan Outdegree
02
Definisi Graf Berarah
(Directed Graph / Digraph)
01
04
Digraph Euler
05
Definisi
Graf
Berarah
Graf
Berarah
(Directe
d Graph
/
u
Digraph)
G:
• Merupakan suatu graf yang
setiap sisinya mempunyai orientasi arah
• Sisi berarah (𝑢, 𝑣) dinotasikan 𝑢𝑣 disebut
sisi berarah/busur(arc)
• Busur (𝑢, 𝑣) berasal dari 𝑢 menuju 𝑣 dan incident dengan 𝑢
• Busur 𝑢𝑣 dan 𝑣𝑢 merupakan busur yang berbeda
• Graf berarah boleh memuat loop, tetapi ada sisi ganda
• Graf ganda berarah : graf berarah yang punya loop berarah
dan sisi ganda berarah
w
y
v
x
• Himpunan titik nya : 𝑉 𝐺 = 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦
• Himpunan sisi nya :
𝐸 𝐺 = {𝑢𝑣, 𝑢𝑤, 𝑣𝑥, 𝑣𝑢, 𝑤𝑥,𝑤𝑦, 𝑦𝑥}
• Order = 5, Ukuran = 7
Graf Berarah (Directed Graph / Digraph)
Orientas
i
Jika terdapat sebuah graf berarah D sehingga G adalah graf
yang mendasari (underlying) D, maka D disebut orientasi
dari G.
• Digraf (a) dan (b) merupakan orientasi berbeda dari graf (c)
• Graf (c) mendasari (underlying) digraph (a) dan (b)
Setiap sisi mempunyai dua titik akhir, yaitu :
• 1 titik sebagai titik awal
• Titik yang lain sebagai titik akhir
• Jika sebuah sisi 𝑒1 berasal dari titik u dan berakhir pada titik v,
Maka 𝑒1 dikatakan insiden keluar dari u dan 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛 kedalam v.
• Jika dua sisi berarah mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama, maka
kedua sisi tersebut dikatakan sisi parallel
Pada graf G, sisi 𝑒1 dan 𝑒8 merupakan sisi parallel, sedangkan 𝑒1 dan 𝑒4 bukan
sisi parallel.
𝑒2
u
w
G:
𝑒6
𝑒8
𝑒4
𝑒5
𝑒1
y
𝑒7
v
𝑒3
x
Indegree
dan
Outdegree
Indegree
(Derajat Masuk)
• Merupakan banyaknya busur yang masuk dari 𝑣
atau arahnya menuju titik 𝑣
• Dinotasikan dengan d𝑖𝑛 𝑣 atau i𝑑 𝑣 atau 𝑑 − (𝑣)
• Merupakan banyaknya busur yang keluar dari 𝑣
atau arahnya keluar dari titik 𝑣
• Dinotasikan dengan d𝑜𝑢𝑡 𝑣 atau 𝑜𝑑 𝑣 atau
𝑑+ (𝑣)
Total
Degree
(Derajat Total)
Outdegree
(Derajat Keluar)
• Merupakan banyaknya busur yang incident
dengan
titik 𝑣
• Dinotasikan dengan deg 𝑣
• deg 𝑣 = 𝑑𝑖𝑛 𝑣 + 𝑑𝑜𝑢𝑡 (𝑣)
Contoh
𝑒2
u
w
𝑒6
𝑒5
𝑒4
y
𝑒1
G:
𝑑−
𝑑−
𝑑−
𝑑−
𝑑−
𝑢
𝑣
𝑤
𝑥
𝑦
=1
=1
=1
=2
=2
v
x
𝑒3
𝑑𝑒𝑔
𝑑𝑒𝑔
𝑑𝑒𝑔
𝑑𝑒𝑔
𝑑𝑒𝑔
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢
=3
=3
=3
=2
=3
𝑒7
𝑑+
𝑑+
𝑑+
𝑑+
𝑑+
𝑢
𝑣
𝑤
𝑥
𝑦
=2
=2
=2
=0
=1
Sebuah titik 𝑣 dalam suatu digraph disebut :
•
•
•
•
•
•
•
•
Titik terasing
Titik anting-anting
Titik asal
Titik terminal
Titik pemancar
Titik penerima
Titik pembawa
Titik biasa
(isolated vertex)
(pendant vertex)
(source vertex)
(terminal vertex)
(transmitter vertex)
(receiver vertex)
(carrier vertex)
(ordinary vertex)
jika 𝑑+ 𝑣 = 𝑑− 𝑣
jika 𝑑 + 𝑣 + 𝑑 − 𝑣 = 1
jika 𝑑 − 𝑣 = 0
jika 𝑑 + 𝑣 = 0
jika 𝑑+ 𝑣 > 0 dan 𝑑− 𝑣
jika 𝑑 + 𝑣 = 0 dan 𝑑 − 𝑣
jika 𝑑 + 𝑣 = 𝑑− 𝑣 = 1
jika 𝑑 + 𝑣 > 0 dan 𝑑− 𝑣
=0
=0
>0
>0
Jika 𝐷 merupakan suatu digraf
berukuran 𝑚 maka :
𝑑𝑜𝑢𝑡 𝑣 =
𝑣∈𝑉(𝐷)
𝑑𝑖𝑛 𝑣 = 𝑚
𝑣∈𝑉(𝐷)
TEOREMA
1
Jenis
Digraph
a. Digraph
Sederhana
• Tidak mempunyai loop atau sisi parallel
b. Digraph
simetris
• Untuk setiap sisi (a,b), ada juga sisi (b,a)
c. Digraph
asimetris
• Mempunyai satu sisi berarah diantara
sepasang titik dan terdapat loop
• Pada gambar, (a) asimetris, sedangkan
(b) bukan asimetris
d. Digraph
Lengkap
Ada 2 tipe digraph lengkap :
1. Digraph asimetris lengkap
Digraph asimetris di mana ada tepat 1 sisi berarah dari
setiap pasangan titik
2. Digraph simetris lengkap
Digraph sederhana di mana ada tepat 1
berarah dari
tiap titik ke titik lain.
sisi
• Digraf (a) asimetris lengkap
• Digraf (b) simetris lengkap
e. Digraph
Isomorfik
• Dua digraph isomorfik ketika :
1. Graf – graf yang mendasarinya isomorfik
2. Arah dari sisi-sisi yang bersesuaian searah
• Dua digraph (a) dan (b) tidak isomorfik karena
walaupun graf yang mendasarinya isomorfik,
tetapi sisi 𝑒4 pada (a) tidak searah dengan 𝑒4 pada (b)
Contoh
Dua digraph (a) dan (b) isomorfik, sebab ada korespondensi 1-1 antara :
i. Titik-titik dalam dua digraph : 𝑢1 ↔ 𝑣1 , 𝑢2 ↔ 𝑣2 , 𝑢3 ↔ 𝑣5 , 𝑢4 ↔ 𝑣5 , 𝑢5 ↔ 𝑣3
ii. Sisi – sisi berarah dalam dua digraph :
(𝑢1 , 𝑢2 ) ↔ 𝑣1 , 𝑣2 , (𝑢1 , 𝑢4 ) ↔ 𝑣1 , 𝑣4 , (𝑢3 , 𝑢4 ) ↔ 𝑣5 , 𝑣4 , (𝑢2 , 𝑢3 ) ↔ 𝑣2 , 𝑣5 ,
(𝑢5 , 𝑢1 ) ↔ 𝑣3 , 𝑣1 , (𝑢3 , 𝑢1 ) ↔ 𝑣5 , 𝑣1 , (𝑢5 , 𝑢4 ) ↔ 𝑣3 , 𝑣4
f. Digraph Teratur
(regular)
• Setiap titik mempunyai indegree dan outdegree
yang sama
Digraf
Terhubung
Digraph Terhubung
1. Digraf Terhubung Kuat (Strongly Connected) :
• Ada 1 lintasan berarah dari setiap titik ke titik yang lain atau untuk
setiap titik 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸 𝐷 , terdapat lintasan 𝑢 − 𝑣 dan 𝑣 − 𝑢
2. Digraf Terhubung Lemah (Weakly Connected) :
• Hanya berlaku 1 saja diantara 𝑢 − 𝑣 dan 𝑣 − 𝑢 untuk suatu pasangan titik
pada D
Note :
• Subgraf Terhubung (lemah atau kuat) maksimal dari graf G disebut
komponen dari G
• Dalam setiap komponen dari G, setiap subgraph terhubung kuat
maksimal disebut fragmen/fragmen terhubung kuat dari G.
• Konsep jalan (walk), lintasan (path), trail (trail), dan sirkuit analog sama
dengan konsep pada graf terhubung.
Contoh
u
a
u
w
v
b
x
c
d
• Digraf (a) terhubung kuat karena untuk setiap titik 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸 𝐷 , terdapat
lintasan 𝑢 − 𝑣 dan 𝑣 − 𝑢
• Digraf (b) terhubung lemah karena untuk titik a dan b, terdapat lintasan
𝑏 − 𝑎, tetapi tidak ada lintasan 𝑎 − 𝑏
u
a
u
“Suatu digraf 𝐷
w
merupakan terhubung
kuat jika dan hanya
v
jika 𝐷 memuat jalan
merentang tertutup. “
b
c
TEOREMA 2
d
Digraf
Euler
Digraph Euler
• Garis Euler/Sirkuit Euler
Merupakan sirkuit yang memuat semua busur pada digraph D
• Digraph Euler
Merupakan digraph yang memuat sirkuit Euler
• Pada digraph D, sirkuit 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 merupakan
sirkuit Euler , maka digraph D merupakan
digraph Euler
D:
Teorema
3
“Misalkan 𝐷
merupakan suatu
digraf terhubung non
trivial. 𝐷 merupakan
digraf Euler jika
dan hanya jika untuk
setiap titik 𝑣 ∈ 𝐷,
berlaku
𝑑 + 𝑣 = 𝑑 − (𝑣)
Contoh
“Misalkan 𝐷 merupakan suatu digraf terhubung non trivial. 𝐷 merupakan digraf Euler jika
dan hanya jika setiap titik memiliki derajat masuk dan keluar yang sama.“
𝑑+
𝑑+
𝑑+
𝑑+
𝑑+
𝑑+
D:
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝑣6
=2
=2
=2
=2
=2
=3
𝑑−
𝑑−
𝑑−
𝑑−
𝑑−
𝑑−
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝑣6
=2
=2
=2
=2
=2
=3
Karena derajat masuk dan derajat keluar untuk setiap titik pada
digraph D sama,maka digraph D adalah digraph Euler.

Terima Kasih