03.07.2017
Grundlagen der Elastizitätstheorie
1 Einführung
Definition 1.1. Ein elastischer Körper ist ein Körper, der sich unter Krafteinwirkung verformt
und nach Wegfall der Belastung wieder in seinen Ursprungszustand zurückkehrt. Er heißt
linear-elastisch, falls das Hookesche Gesetz gilt.
Bemerkung. Wir treffen folgende Grundannahmen:
• Infinitesimale Verformungen (entspricht den meisten praktischen Anwendungen)
• Körper als Kontinuum, d.h. der eingenommene Raum ist stetig mit Masse gefüllt
2 Spannungen
Spannungsprinzip von Euler und Cauchy. An jeder (gedachten) Schnittfläche durch den
Körper finden flächenhaft verteilte Wechselwirkungen (Spannungen) statt.
Definition 2.1 (Spannung in einem Punkt). Sei A eine
Ebene, die den Körper in die zwei Teile V1 und V2 teilt, und
P ein Punkt in der Schnittfläche. Sei ∆A ein Flächenelement
mit Normalenvektor n, der nach V1 zeigt, sodass P in ∆A
liegt, und ∆F⃗ die Kraft, die durch V1 auf ∆A wirkt. Dann ist
die Spannung im Punkt P am Flächenelement ∆A definiert
∆F⃗
als: ⃗σ (n, P ) := lim
.
∆A→0 ∆A
Abbildung 1: Schnitt durch Ellipsoid
⊤
Definition 2.2. Betrachte die Standardbasis e1 ,e2 ,e3 von R3 . Sei ⃗σ (ei , P ) = σi1 σi2 σi3 .


σ11 σ12 σ13
Dann ist der Cauchy’sche Spannungstensor definiert durch S := σ21 σ22 σ23 .
σ31 σ32 σ33
Satz 2.3. Sei n Normaleneinheitsvektor einer Schnittfläche durch P (d.h. |n| = 1).
Dann gilt: ⃗σ (n, P ) = S ⊤ · n
Bemerkung. Es gilt: S = S ⊤
Definition 2.4. Definiere den Spannungsvektor σ := σ11 σ22 σ33 σ12 σ23 σ31
⊤
.
3 Verschiebungen und Verzerrungen
Definition 3.1. Sei Ω̄ die Teilmenge des R3 , die ein Körper
ohne Kraftbelastung einnimmt. Sei ϕ : Ω̄ → R3 eine stetige
Abb., sodass ϕ(x) den Ort angibt, an dem sich der Punkt
x nach der Verformung durch eine bestimmte Belastung
befindet.
Setze ϕ = id + u und nenne u(x) den Verschiebungsvektor.
Abbildung 2: Verschiebungsvektor
03.07.2017
1
Definition 3.2. Setze ϵij :=
2
∂uj
∂ui
+
∂xj
∂xi
und γij := 2 · ϵij für i ̸= j


ϵ11 ϵ12 ϵ13
Definiere nun den Cauchy’schen Verzerrungstensor durch E := ϵ21 ϵ22 ϵ23 
ϵ31 ϵ32 ϵ33
⊤
und den Spannungsvektor ϵ = ϵ11 ϵ22 ϵ33 γ12 γ23 γ31 .
Satz 3.3. Seien dPi und dPi′ wie in der Abbildung
rechts, α13 und α23 analog zu α12 .
Dann gilt: αij ≈ γij .
4 Die Stoffgesetze
Abbildung 3: Verzerrtes Volumenelement
Das Modell des linear-elastischen, homogenen und isotropen Körpers (Materialeigenschaften
sind in jedem Punkt und in jede Richtung gleich) wird hier genutzt, um reales Materialverhalten
anzunähern. Der Körper ist im Grundzustand spannungslos und alle Verformungsenergie kann
wiedergewonnen werden.
Satz 4.1. Für linear-elastische, homogene und isotrope Materialien gilt das Hookesche Gesetz
in seiner einfachsten Form:
S=
ν
Ẽ
(E +
spur(E)13 ),
1+ν
1 − 2ν
E=
1+ν
ν
S − spur(S)13 )
Ẽ
Ẽ
mit dem Elastizitätsmodul Ẽ und der Querkontraktionszahl ν.
  1 − ν
ν
ν
0
0
σ11

1−ν
ν
0
0
σ22   ν
  
ν
1−ν
0
0
σ33   ν
·
In Matrixform:
(1−2ν)
σ12   0
0
0
0
2
  
(1−2ν)
σ23   0
0
0
0
2
σ31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(1−2ν)
2
  
ϵ11
 ϵ 
  22 
  
  ϵ33 
· 
 γ12 
  
γ23

γ31
Literatur:
• Hahn, Hans Georg. Elastizitätstheorie: Grundlagen Der Linearen Theorie Und Anwendungen Auf
Eindimensionale, Ebene Und Räumliche Probleme. Stuttgart: Teubner, 1985.
• Braess, Dietrich. Finite Elemente: Theorie, Schnelle Löser Und Anwendungen in Der Elastizitätstheorie. 5., überarb. Aufl. Berlin [u.a.]: Springer Spektrum, 2013.