Τριβολογία & Λίπανση
Όνομα: Ιωάννης
Επώνυμο: Παπαθεοδωρου
ΑΜ: 4118093
Εργασία: ΣΥΣΚΕΥΗ ΕΠΑΦΩΝ HERTZ
Θεωρία: Στην Τριβολογία πολλά προβλήματα επαφής αφορούν κυρτά σώματα όπως
κυλίνδρους, σφαίρες, στοιχεία κύλισης κυλισιεδράνων, οδόντες οδοντοτροχών. Η κλασική
βάση για την ανάλυση όλων αυτών των προβλημάτων επαφής, δόθηκε με τη θεωρία του
Hertz, όπου η επαφή ελαστικών σωμάτων αντιμετωπίζεται σαν ένα ελαστοστατικό
πρόβλημα με τους παρακάτω περιορισμούς:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Τα σώματα είναι απολύτως λεία
Έχουν τις ίδιες ελαστικές σταθερές
Έχουν απολύτως λείες επιφάνειες
Οι δύο επιφάνειες σε επαφή δεν είναι πολύ σύμμορφες
Δεν υπάρχει σχετική γωνιακή ταχύτητα περί τη νοητή κάθετη επί των επιφανειών
στο σημείο επαφής
Δεν υπάρχει στο σημείο επαφής εφαπτομενική δύναμη
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ :Η συσκευή αποτελείται από δυο κυρτές επιφάνειες :


Περσπεξ (άθραυστο γυαλί)
Λευκό σιλικονούχο ελαστικό οι οποίες πιέζονται με υδραυλικό πιεστήριο μεταξύ
τους. Η πίεση εφαρμόζεται στον κύλινδρο όταν, με τη βοήθεια ενός χειροκίνητου
υδραυλικού πιεστηρίου, οι δυο επιφάνειες έρχονται σε επαφή. Η υδραυλική πίεση
και το εφαρμοζόμενο φορτίο μετράται με μανόμετρο. Τα δυο σώματα λοιπόν
παραμορφώνονται και μάλιστα, πολύ περισσότερο το ελαστικό σώμα. Η μορφή της
επιφάνειας επαφής εξαρτάται από τη σχετική γωνιακή θέση των δύο σωμάτων,
μπορεί να είναι είτε κύκλος είτε έλλειψη και αποτυπώνεται σε χαρτί ώστε να
μετρηθούν οι διαστάσεις της. Την συσκευή μπορούμε να την φωτίσουμε την
επαφή και να γίνει ευδιάκριτη. Την γωνιακή σχέση μεταξύ των σωμάτων την
ρυθμίζουμε με την περιστροφή του κάτω σώματος, το οποίο έχει πάνω του το
μοιρογνωμόνιο. Για να μετρήσουμε το μέγεθος και τις διαστάσεις της επιφάνειας
ακολουθούμε την εξής μέθοδο :
a) Τοποθετούμε καρμπόν μεταξύ δύο φύλλων χαρτιού και τα βάζουμε
ανάμεσα στις επιφάνειες
b) Συμπιέζουμε τα δύο σώματα, η μελάνη πάει στο χαρτί και μας δείχνει το
ακριβές μέγεθος και σχήμα της επιφάνειας. Η μέτρηση των διαστάσεων
αυτών των αποτυπωμάτων δείχνει μια πειστική επιβεβαίωση των
εξισώσεων του HERTZ για τις επιφάνειες επαφής μεταξύ σωμάτων.
ΠΕΙΡΑΜΑ
Στην εργαστηριακή συσκευή, το σώμα (Α) παραμένει ακίνητο, ενώ το σώμα (Β) μπορεί να
περιστραφεί περί κατακόρυφο άξονα, κατά γωνία (φ) που ορίζει τη σχετική γωνιακή θέση
των αξόνων xx και ψψ. Ο δεύτερος κύριος άξονας ΒΒ ελάχιστης σχετικής καμπυλότητας
είναι κάθετος στον ΑΑ. Για τη δεδομένη γεωμετρία της συσκευής, η γωνία (θ) δίνεται ως
1
𝜋
συνάρτηση της επιλεγόμενης κάθε φορά γωνίας (φ): θ= 2 𝜑 + 4
Κατά την επαφή των δυο σωμάτων σχηματίζεται, γενικά, έλλειψη επαφής με το μεγάλο της
άξονα να συμπίπτει με τον ΑΑ. Αποδεικνύεται ότι οι ισοδύναμες ακτίνες καμπυλότητας της
επιφάνειας επαφής, κατά τους άξονες ΑΑ και ΒΒ δίνονται από τις σχέσεις :
400
𝜑 𝜋
𝜑 𝜋
𝜑 𝜋
𝜑 𝜋
= 3 cos 2( + ) + sin 2( + ) + 2 {(sin( + ) cos 𝜑 − cos( + ) sin 𝜑) }
𝑅𝛼𝛼
2 4
2 4
2 4
2 4
400
𝑅𝛽𝛽
𝜑
𝜋
𝜑
𝜋
𝜑
𝜋
𝜑
𝜋
=3cos 2 ( 2 − 4 ) + sin 2( 2 − 4 ) + 2 {sin( 2 − 4 ) cos 𝜑 − cos( 2 − 4 ) sin 𝜑) }
Για την εργαστηριακή συσκευή και για διάφορες τιμές της γωνίας (φ), η γωνία (θ) και τα
γεωμετρικά χαρακτηριστικά της επιφάνειας επαφής δίνονται στον Πινακα1.1 του
φυλλαδίου. Από το σχήμα 1.2 έχουμε ότι οι ημιάξονες (α και b) της ελλειπτικής επιφάνειας
επαφής μπορούν κάθε φορά να υπολογισθούν από τη σχετική γεωμετρία/ θέση των δυο
(1⁄𝑅𝛼𝛼, 1⁄𝑅𝛽𝛽 ) τις μηχανικές τους ιδιότητες (Ε1, Ε2, μ1 και μ2) και το επιβαλλόμενο
φορτίο (W):
α=μ*q
b =ν * q
Η παράμετρος (q) είναι μια συνάρτηση που σχετίζεται με τη φόρτιση και για τη δεδομένη
συσκευή δίνεται από τη Σχέση 1.10, ενώ οι σταθερές (μ) και (ν) σχετίζονται με τη σχετική
γεωμετρία επαφής και για διάφορες τιμές έχουν υπολογισθεί και δίνονται στον Πίνακα 1.2
και 1.3 Οι μηχανικές ιδιότητες των σωμάτων (Α) και (Β) είναι Ε1=3000 kN/m2 , σ1=0,5 και
Ε2=1000Ε1. Θεωρώντας αμελητέα την παραμόρφωση του σώματος (Α) από περσπεξ, σε
σχέση με αυτή του σώματος (Β) από σιλικονούχο ελαστικό, η Σχέση είναι η 1.8 και 1.10
Ο κύλινδρος του υδραυλικού πιεστηρίου, μέσω του οποίου ασκείται μηχανική φόρτιση στο
σύστημα έχει διάμετρο (d). Έτσι, λοιπόν, μπορεί να υπολογισθεί η κάθετη φόρτιση των
σωμάτων (W, σε Ν), για οποιαδήποτε τιμή μετρούμενης πίεσης (p, σε bar): W = 31.4 p
Επειδή, όπως είναι προφανές από τις τιμές του Πίνακα 1.1, για οποιαδήποτε σχετική θέση
των δυο σωμάτων ισχύει
1
𝑅𝛼𝛼
1
6
+ 𝑅𝛽𝛽 = 400 = 𝜎𝜏𝛼𝜃
α μ q και β ν q απλοποιείται στην:
, η συνάρτηση φορτίου των Σχέσεων
𝑞 = 9.22 3√𝑝
φ
θ
0°
40°
30°
60°
60°
75°
90°
90°
𝟏
3
2
1.27
1
𝑹𝜶𝜶
𝟏
400
3
400
4
400
4.73
400
5
𝑹𝜷𝜷
400
400
400
400
Πίνακας 1.1
τ
μ
ν
τ
μ
ν
10°
0.612
0.319
60°
1.486
0.717
20°
3.778
0.408
70°
1.284
0.802
30°
2.731
0.493
80°
1.128
0.893
40°
2.136
0.567
85°
1.061
0.944
50°
1.754
0.641
90°
1
1
Πίνακας 1.2
φ
0°
30°
60°
90°
μ
1
1.28
1.62
1.85
ν
1
0.81
0.675
0.62
Πίνακας 1.3
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ :
Για φ=0°

P=2 bar
μ=1 και ν=1 (από τον πινάκα 1.3)
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √2 = 11,6
𝛼 = 𝜇 ∗ 𝑞 = 1 ∗ 11,6 = 11,6
𝛽 = 𝜈 ∗ 𝑞 = 1 ∗ 11,6 = 11,6

P=4bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √4 = 14,63
𝛼 = 𝜇 ∗ 𝑞 = 𝑞 = 14,63 = 𝛽

P=6bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √6 = 16,75
𝛼 = 𝛽 = 16,75

P=8bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √8 = 18,44
𝛼 = 𝛽 = 18,44

P=10bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √10 = 19,82
𝛼 = 𝛽 = 19,82
Για φ=30°

P=2bar
μ=1,28 και ν=0,81
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √2 = 11,6
𝛼 = 𝜇 ∗ 𝑞 = 1,28 ∗ 11,6 = 14,84
𝛽 = 𝜈 ∗ 𝑞 = 0,81 ∗ 11,6 = 9,4

P=4bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √4 = 14,63
𝛼 = 18,73
𝛽 = 11,85

P=6bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √6 = 16,75
𝛼 = 21,44
𝛽 = 11,85

P=8bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √8 = 18,44
𝛼 = 23,6
𝛽 = 11,94

P=10bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √10 = 19,82
𝛼 = 35,68
𝛽 = 16,05
Για φ=60°

P=2bar
μ =1,62 και ν=0,675
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √2 = 11,6
𝛼 = 𝜇 ∗ 𝑞 = 1,62 ∗ 11,6 = 18,79
𝛽 = 𝜈 ∗ 𝑞 = 0,675 ∗ 11,6 = 7,83

P=4bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √4 = 14,63
𝛼 = 23,70
𝛽 = 9,87

P=6bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √6 = 16,75
𝛼 = 27,13
𝛽 = 11,3

P=8bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √8 = 18,44
𝛼 = 29,87
𝛽 = 12,44

P=10bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √10 = 19,82
𝛼 = 32,10
𝛽 = 13,37
Για φ=90°

P=2bar
μ=1,85 και ν=0,62
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √2 = 11,6
𝛼 = 𝜇 ∗ 𝑞 = 1,85 ∗ 11,6 = 21,46
𝛽 = 𝜈 ∗ 𝑞 = 0,62 ∗ 11,6 = 7,19

P=4bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √4 = 14,63
𝛼 = 27,06
𝛽 = 9,07

P=6bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √6 = 16,75
𝛼 = 30,98
𝛽 = 10,38

P=8bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √8 = 18,44
𝛼 = 34,11
𝛽 = 11,43

P=10bar
μ και ν όμοια
3
3
𝑞 = 9,22 × √𝑃 = 9,22 × √10 = 19,82
P/φ 2bar
0
23mm
24mm
35.5
1.16
30
27mm
30mm
28.5
1.484
60
41mm
41mm
41
18,79
90
50mm
49mm
49.5
21,46
23mm
24mm
35.5
1.16
18mm
19mm
18.5
9.4
16mm
15mm
15.5
7.83
16mm
15mm
15.5
7.19
4bar
30mm
29mm
29.5
1.463
40mm
41mm
40.5
1.873
51mm
50mm
50.5
23,70
56mm
57mm
56.5
27,06
30mm
29mm
29.5
1.463
24mm
25mm
24.5
1.175
21mm
21mm
21
9.87
19mm
20mm
19.5
9.07
6bar
34mm
34mm
34
1.675
46mm
46mm
46
21.44
58mm
60mm
59
27,13
63mm
65mm
64
30,98
34mm
34mm
34
1.675
27mm
27mm
27
11.85
23mm
24mm
23.5
11.3
23mm
22mm
22.5
10.38
𝛼 = 36,66
𝛽 = 12,28
8bar
38mm
38mm
38
1.844
54mm
53mm
53.5
2.36
62mm
63mm
62.5
29,87
73mm
70mm
71.5
34,11
38mm
38mm
38
1.844
30mm
31mm
30.5
1.194
27mm
27m
27
12.44
28mm
27mm
27.5
11.43
10bar
41mm
41mm
41
1.982
57mm
56mm
56.5
3.568
70mm
69mm
69.5
32,10
77mm
76mm
76.5
36.66
41mm
41mm
41
1.982
32mm
33mm
32.5
1.605
30mm
29mm
29.5
13.37
26mm
28mm
27
12.28